3.2.2
半角的正弦、余弦和正切
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.已知cosα=-cos2，则cos等于(
)
A.±
B.
C.
D.±
解析：由二倍角余弦公式，得3cos2=1，所以cos=±.
答案:A
2.若cosα=，则sin等于(
)
A.
B.
C.±
D.±
解析：sin=±=±或由1-2sin2=cosαsin=±.
答案:C
3.设α∈（π，2π），则等于（
）
A.sin
B.cos
C.-sin
D.-cos
解析：=｜cos｜，又α∈（π，2π)，
∴∈（，π).∴｜cos｜=-cos.
答案:D
4.已知sinθ=，θ为第三象限的角，则tan=______________.
解析：由条件，求得cosθ=，于是tan=-2.
答案:-2
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.下列各式与tanα相等的是（
）
A.
B.
C.
D.
解析：由于=tanα.
答案:D
2.设5π＜θ＜6π，cos=a，那么等于（
）
A.
B.
C.
D.
解析：由于5π＜θ＜6π，
∴＜＜.
∴sin=.
答案:B
3.已知sinα=，且α为第三象限角，则tan等于（
）
A.
B.
C.
D.
解析：由sinα=，且α为第三象限角，则cosα=，
所以tan.
答案:A
4.已知sin-cos=，450°＜α＜540°，则tan=______________.
解析：由sin-cos=，
∴（sin-cos)2=（)2,得sinα=.
又450°＜α＜540°，
∴cosα=.
∴tan=.
答案:2
5.若＜α＜2π，且cosα=，则的值是多少？
解析：∵＜α＜2π，∴＜＜π.又cosα=，
∴cos=.
∴=｜cos｜=-cos=.
答案:
6.已知tanα=a，求的值.
解：∵tan，
∴tanα=.
利用比例性质，
∴=tanα=a.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.设α∈（π，2π），则等于（
）
A.sin
B.cos
C.-sin
D.-cos
解析：∵α∈（π，2π)，∴∈（，π).
∴sin＞0.
∴=｜sin｜=sin.
答案:A
2.设＜α＜π，且cosα=a，则等于（
）
A.
B.
C.±
D.±
解析：sin=.
答案:B
3.化简等于（
）
A.tan2θ
B.cot4θ
C.tan4θ
D.cot2θ
解析：由tan=得
tan4θ=，
∴=tan4θ.
答案:C
4.若sinθ=，3π＜θ＜，则tan等于（
）
A.3
B.-3
C.
D.
解析：∵sinθ=，3π＜θ＜，
∴cosθ=-.∴＜＜.
∴tan=
答案:B
5.tan15°+cot15°等于(
)
A.2
B.
C.4
D.
解析：∵tan=，
∴原式=
答案:C
6.y=cos2x+cosxsinx的值域是_____________.
解析：y=cos2x+cosxsinx=sin2x=sin2x+cos2x+=sin（2x+)+，
∴y∈［+，+］.
答案:［+，+］
7.已知sinα=，2π＜α＜3π，那么sin+cos=______________.
解析：（sin+cos)2=1+sinα=，
又2π＜α＜3π，
∴π＜＜.
∴sin+cos=.
答案:
8.已知α为三角形内角,sinα=,则cot=____________.
解析：由条件,得cosα=±,cot=.
答案:3或
9.化简：cos2A+cos2（-A）+cos2（+A）.
解：原式=
［cos2A+cos（-2A)+cos（+2A)］
=+［cos2A+coscos2A+sinsin2A+coscos2A-sinsin2A］
=+［cos2A+2coscos2A］
=+（cos2A-cos2A)=.
10.已知sin（+2α）·sin（-2α）=，α∈（，），求2sin2α+tanα--1的值.
解：由sin（+2α)·sin（-2α)=，
∴2sin（+2α)cos（+2α)=，
即sin（+4α)=.∴cos4α=.
而2sin2α+tanα--1
=-cos2α+=-（cos2α+).
∵α∈（，)，∴2α∈（，π).
∴cos2α=，
tan2α=.
∴-（cos2α+)=-（)=.倍角公式
1．(2012·广东揭阳测试)已知倾斜角为α的直线l与直线x－2y＋2＝0平行，则tan
2α的值为( )
A．
B．
C．
D．
2．当cos
2α＝时，sin4α＋cos4α的值是( )
A．1
B．
C．
D．
3．若sin2x＞cos2x，则x的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．
4．函数y＝2sin
x(sin
x＋cos
x)的最大值为( )
A．
B．
C．
D．2
5．已知，则________.
6．已知θ是第三象限角，且sin4θ＋cos4θ＝，则sin
2θ＝________.
7．已知，则3cos
2θ＋sin
2θ＝________.
8．在△ABC中，，tan
B＝2，求tan(2A＋2B)的值．
9．(2012·福建三明联考)已知函数f(x)＝sin
xcos
x＋sin2x.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)函数f(x)的图象可由函数y＝sin
2x的图象经过怎样的变换得出？
参考答案
1．解析：依题意知，从而
tan
2α＝＝，故选C．
答案：C
2．解析：由cos
2α＝，得sin22α＝.
所以sin4α＋cos4α＝(sin2α＋cos2α)2－2sin2αcos2α＝1－sin22α＝.
答案：C
3．解析：由已知cos2x－sin2x＜0，
∴cos
2x＜0，
于是2kπ＋＜2x＜2kπ＋
(k∈Z)．
∴kπ＋＜x＜kπ＋(k∈Z)．
答案：D
4．解析：y＝2sin
x(sin
x＋cos
x)＝2sin2x＋2sin
xcos
x＝1－cos
2x＋sin
2x＝sin
2x－cos
2x＋1＝＋1，
所以y的最大值为.
答案：A
5．解析：
＝－cos
2α＝2sin2α－1＝.
答案：
6．解析：由sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝1－sin22θ＝，即1－sin22θ＝，解得sin22θ＝，
所以sin
2θ＝.
又θ为第三象限角，故2kπ＋π＜θ＜2kπ＋
(k∈Z)，
所以4kπ＋2π＜2θ＜4kπ＋3π(k∈Z)，
即2(2k＋1)π＜2θ＜2(2k＋1)π＋π(k∈Z)，
所以sin
2θ＞0，
故sin
2θ＝.
答案：
7．解析：由，得
2sin
θ＋cos
θ＝－5sin
θ＋15cos
θ，
∴7sin
θ＝14cos
θ.∴tan
θ＝2.
∴3cos
2θ＋sin
2θ＝3(cos2θ－sin2θ)＋2sin
θcos
θ＝＋＝3·＋＝＝－1.
答案：－1
8．解：解法一：在△ABC中，由cos
A＝得0＜A＜，则sin
A＝＝＝.
∴tan
A＝.
∴tan
2A＝.
又tan
B＝2，
∴tan
2B＝.
于是，tan(2A＋2B)＝＝.
解法二：由解法一可知.
∴tan(A＋B)＝＝，
∴tan(2A＋2B)＝.
9．解：(1)f(x)＝sin
xcos
x＋sin2x
＝sin
2x＋
＝.
∴函数f(x)的最小正周期为π；
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋
(k∈Z)
得kπ－≤x≤kπ＋
(k∈Z)，
∴f(x)的单调递增区间是(k∈Z)．
(2)∵f(x)＝＝，
∴先把函数y＝sin
2x的图象向右平移个单位长度，再把所得的图象向上平移个单位长度即得到函数f(x)的图象．3.2.2
半角的正弦余弦和正切
自我小测
1．已知sin
θ＝，<θ<3π，那么tan＋cos的值为( )
A．－3
B．3－
C．－
D．
2．设a＝cos
6°－sin
6°，b＝，c＝，则有( )
A．a>b>c
B．a
C．aD．b3．若＝，则sin
α＋cos
α的值是( )
A．
B．
C．1
D．
4．若f(x)＝2tan
x－，则f的值为( )
A．4
B．
C．4
D．8
5．化简等于( )
A．tan
2θ
B．cot
4θ
C．tan
4θ
D．cot
2θ
6．已知α为三角形的内角，sin
α＝，则cot＝__________．
7．若sin(π－α)＝，α∈，则sin
2α－cos2的值等于__________．
8．若θ∈，sin
2θ＝，则sin
θ＝__________．
9．设a＝(1＋cos
α，sin
α)，b＝(1－cos
β，sin
β)，c＝(1,0)，α∈(0，π)，β∈(π，2π)，a与c的夹角为θ1，b与c的夹角为θ2，且θ1－θ2＝，求sin的值．
10．已知sinsin＝，α∈，求2sin2α＋tan
α－－1的值．
参考答案
1．答案：B
2．解析：因为a＝sin
24°，b＝tan
26°，c＝sin
25°，所以a答案：C
3．答案：A
4．答案：D
5．答案：C
6．答案：3或
7．答案：
8．解析：由2θ∈，得cos
2θ＝－，
所以sin
θ＝＝．
答案：
9．解：由题意得cos
θ1＝＝＝＝cos．
因为θ1∈[0，π]，∈，所以θ1＝．
同理，cos
θ2＝＝
＝sin＝cos，
因为θ2∈[0，π]，－∈，所以θ2＝－．
将θ1＝，θ2＝－代入θ1－θ2＝中，得＝－，故sin＝sin＝sin＝．
10．解：因为sinsin＝，
所以2sincos＝，
即sin＝．所以cos
4α＝．
而2sin2α＋tan
α－－1
＝－cos
2α＋＝－．
因为α∈，所以2α∈．
所以cos
2α＝－＝－，
tan
2α＝－＝－．
所以－＝－＝，
即2sin2α＋tan
α－－1的值为．半角的正弦、余弦和正切
1．tan
15°＋cot
15°等于( )
A．2
B．
C．4
D．
2．设α∈(π，2π)，则等于( )
A．
B．
C．
D．
3．若，则sin
α＋cos
α的值是( )
A．
B．
C．1
D．
4．若sin
2α＝，且α∈，则cos
α－sin
α的值是( )
A．
B．
C．
D．
5．( )
A．tan
2θ
B．cot
4θ
C．tan
4θ
D．cot
2θ
6．已知α为三角形的内角，sin
α＝，则________.
7．若＜α＜2π，且cos
α＝，则的值是________．
8．已知0°＜α＜β＜90°，sin
α与sin
β是方程x2－(cos
40°)x＋cos240°－＝0的两根，则cos(2α－β)＝________.
9．已知，α∈，求2sin2α＋tan
α－－1的值．
10．(2011·北京模拟)已知函数f(x)＝sin
2x－2sin2x.
(1)求的值；
(2)若x∈，求f(x)的最大值和最小值．
参考答案
1．解析：原式＝＝2－＋2＋＝4.
答案：C
2．解析：∵α∈(π，2π)，∴∈，∴.
∴.
答案：A
3．解析：由，①
得，整理得.②
由①得.③
②＋③得，解得sin
α＝.
又由①得cos
α＝2sin
α－1＝2×－1＝.
故sin
α＋cos
α＝.
答案：A
4．解析：∵(cos
α－sin
α)2＝1－sin
2α＝1－＝，
∴|cos
α－sin
α|＝.由α∈，知cos
α＜sin
α，∴cos
α－sin
α＝.
答案：C
5．解析：由，得
tan
4θ＝，
所以＝tan
4θ.
答案：C
6．解析：由条件，得cos
α＝，
则或.
答案：3或
7．解析：∵＜α＜2π，∴＜＜π.又cos
α＝，
∴.
∴＝.
答案：
8．解析：由已知得Δ＝2cos240°－4cos240°＋2＝2sin240°，
∴x＝cos
40°±sin
40°.
∴x1＝sin
45°cos
40°＋cos
45°sin
40°＝sin
85°，
x2＝sin
45°cos
40°－cos
45°sin
40°＝sin
5°.
又由0°＜α＜β＜90°，
知β＝85°，α＝5°，
∴cos(2α－β)＝cos(－75°)＝cos
75°
＝cos(45°＋30°)＝.
答案：
9．解：∵，
∴，
即.∴.
而2sin2α＋tan
α－－1＝－cos
2α＋＝.
∵α∈，∴2α∈.
∴cos
2α＝，
tan
2α＝.
∴，
即2sin2α＋tan
α－－1的值为.
10．解：(1)＝.
(2)f(x)＝sin
2x＋cos
2x－1＝2－1.
因为x∈，所以，
所以≤≤1，
所以f(x)的最大值为1，最小值为－2.3.2.1
倍角公式
自我小测
1．若coscos＝，则sin
2θ＝( )
A．
B．
C．
D．
2．
等于( )
A．
B．
C．2
D．
3．函数f(x)＝cos
2x＋2sin
x的最小值和最大值分别为( )
A．－3,1
B．－2,2
C．－3，
D．－2，
4．已知tan
2θ＝－2，π<2θ<2π，则tan
θ的值为( )
A．
B．－
C．2
D．或－
5．
等于( )
A．1
B．2
C．
D．
6．已知sin
α＝，则sin
2＝__________．
7．若tan
α＝，则cos
＝__________．
8．若sin＝，则cos＝__________．
9．已知α为锐角，且sin
α＝．
(1)求的值；
(2)求tan的值．
10．已知向量m＝(sin
x，－1)，向量n＝，函数f(x)＝(m＋n)·m．
(1)求f(x)的最小正周期T；
(2)已知f(A)恰是f(x)在上的最大值，求锐角A．
参考答案
1．答案：B
2．答案：C
3．答案：C
4．答案：B
5．答案：C
6．答案：2－
7．解析：cos＝－sin
2α＝－＝－＝－＝－．
答案：－
8．解析：观察发现＋2α＝2，而＋＝，则cos＝sin，
所以cos＝2cos2－1
＝2sin2－1＝－．
答案：－
9．解：(1)因为α为锐角，且sin
α＝，
所以cos
α＝＝．
所以＝
＝＝20．
(2)由(1)，得tan
α＝＝，
所以tan＝＝＝．
10．解：(1)f(x)＝(m＋n)·m＝sin2x＋sin
xcos
x＋
＝＋sin
2x＋
＝sin
2x－cos
2x＋2
＝sin＋2，
所以函数f(x)的最小正周期T＝＝π．
(2)由(1)，知f(x)＝sin＋2．
当x∈时，－≤2x－≤．
由正弦函数的图象可知，当2x－＝时，f(x)取得最大值3，即f(A)＝3，此时2A－
＝，
所以A＝．3.2.1
倍角公式
课后导练
基础达标
1.sinα-cosα=,则sin２α的值是（
）
A.
B.
C.
D.
解析：两边平方，1-2sinαcosα=5,
∴sin2α=.
答案：B
2.已知tanα+=m，则sin2α等于（
）
A.
B.
C.2m
D.
解析：切化弦=m,∴sin２α=.
答案：B
3.cos·cos·cos·cos的值为（
）
A.
B.
C.
D.
解析：乘以，利用倍角公式化简得.
答案：D
4.下列结论错误的是（
）
A.tanα+
B.tanα-
C.sin2α-sin2β=sin(α+β)sin(α-β)
D.1+cos2θ=2sin2θ
解析：cos2θ=1-2sin2θ,
∴2sin2θ=1-cos2θ.
答案：D
5.已知sinα=,则sin2(α-)=_____________.
解析：原式=-cos2α（诱导公式）.
答案：2-
6.化简.
解：原式=
=sin50°+cos50°-(sin50°-cos50°)=2cos50°.
7.已知sin(+x)sin(-x)=,x∈(,π),求sin4x的值.
解：∵sin(+x)sin(-x)=sin(+x)sin［-(+x)］=sin(+x)cos(+x)
=sin(+2x)=cos2x=,
∴cos2x=.∵x∈(,π),
∴2x∈(π,2π).∴sin2x=.
∴sin4x=2sin2xcos4x=.
8.已知tan(+θ)=3,求sin2θ-2cos2θ的值.
解:∵tan(+θ)==3,
∴tanθ=.
∴原式=
.
综合运用
9.已知cos(+x)=,,求的值.
解：∵,
∴<+x<2π.
∵cos(+x)=,
∴<+x<2π.
∴sin(+x)=,tan(+x)=.
又∵sin2x=-cos(+2x)
=-2cos2(+x)+1
=+1=.
原式=
=sin2xtan(+x)=·()=.
10.已知sin22α+sin2αcosα-cos2α=1,α∈(0,),求sinα,tanα.
解:原等式可变为4sin2αcos2α+2sinα·cos2α-2cos2α=0,
∴2cos2α(2sinα-1)(sinα+1)=0.
∵α∈(0,),∴sinα+1≠0,cos2α≠0.
∴sinα=,α=.∴tanα=
11.α,β是锐角,且3sin2α+2sin2β=1,3sin2α-2sin2β=0,求证:α+2β=.
证明:由已知得3sin2α=1-2sin2β=cos2β,
又sin2β=sin2α=3sinαcosα,
∴cos(α+2β)=cosαcos2β-sinαsin2β
=cosα3sin2α-sinα3sinαcosα=0.
又0<α<,0<β<,
∴0<α+2β<π.∴α+2β=.
拓展探究
12.如图，在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ,沿BE方向前进30
m至点C处测得顶端A的仰角为2θ，再继续前进
m至D处,测得顶端A的仰角为４θ.同学们能否依据所测得的数据,计算出θ的大小与建筑物AE的高吗？
解：由已知BC=30
m,CD=10
m.
在Rt△ABE中,BE=AEcotθ,在Rt△ACE中,CE=AEcot2θ,
∴BC=BE-CE=AE(cotθ-cot2θ),
同理,可得CD=CE-DE=AE(cot2θ-cot4θ),
∴,
即.
而
=2cos2θ=,
∴2cos2θ=cos2θ=2θ=30°.
∴θ=15°,
∴AE=AC=BC=15
m.
故θ为15°，建筑物高为15
m.3.2.2
半角的正弦余弦和正切
课后导练
基础达标
1.若sin2α=,则cos（-α）的值为（
）
A.
B.
C.±
D.±
解析：cos(-α)=(coscosα+sin·sinα)=cosα+sinα,由于sin2α=,可利用(cosα+sinα)2=1+sin2α=.
又∵sin2α=>,故2kπ+<2α<2kπ+.从而kπ+<α∴cosα+sinα=±.
答案：D
2.若=1,则的值为（
）
A.3
B.-3
C.-2
D.-
解析：由已知解得tanθ=-,
∴cos
=3.
答案：A
3.已知θ是第三象限角，若sin4θ+cos4θ=,那么sin2θ等于（
）
A.
B.
C.
D.
解析：将原式配方得(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ=,于是1-sin22θ=,
∴sin22θ=.由已知,θ在第三象限,故θ∈(2kπ+π,2kπ+),从而2θ∈(4kπ+2π,4kπ+3π),故2θ在第一、二象限，所以sin2θ=.
答案：C
4.若,则sinα+cosα的值是（
）
A.
B.
C.1
D.
解析：由,①
得，整理得=.②
由①得=2.③
②+③得,得sinα=.
又由①得cosα=2sinα-1=2×-1=，
故sinα+cosα=+=.
答案：A
5.若sin2α=,且α∈(,),则cosα-sinα的值是（
）
A.
B.
C.
D.
解析：∵(cosα-sinα)2=1-sin２α=1-=,
∴|cosα-sinα|=.由α∈(,),知cosα答案：C
6.如果|cosθ|=,<θ<3π,则sin的值是（
）
A.
B.
C.
D.
解析：∵<θ<3π,<<，∴cosθ=.于是sin=.
答案：C
7.(2005上海高考,13)
若cosα=且α∈(0,),则tan=__________.
解析:∵α∈(0,),∴∈(0,).
∴tan=.
答案:
8.函数f(x)=cosx-sin2x-cos2x+的最大值是_________.
解析：f(x)=cosx-(1-cos2x)-(2cos2x-1)+=-cos2x+cosx+=-(cosx-)2+2.
当且仅当cosx=时,f(x)取最大值2.
答案：2
综合运用
9.sin-sin+2sincos=_______________.
解析：原式=sin-sin+2sincos=sin-sin+sin
=sin-cos+sin=sin(-)+sin
=-sin+sin==0.
答案：0
10.已知0<α<β<,sinα与sinβ是方程x2-(cos40°)x+cos240°-=0的两根,则cos(2α-β)=_______.
解析：∵Δ=2cos240°-4cos240°+2=2sin240°,
∴x=cos40°±sin40°.
∴x1=sin45°cos40°+cos45°sin40°=sin85°,
x2=sin45°cos40°-cos45°sin40°=sin5°.
又由0°<α<β<90°,
知β=85°,α=5°,
∴cos(2α-β)=cos(-75°)=cos75°=cos(45°+30°)=.
答案：
11.已知cos(α+)=,≤α<,求cos(２α+)的值.
解：cos(2α+)=cos2αcos-sin2αsin=(cos2α-sin2α).
∵≤α+<,cos(α+)>0,由此知<α+<.
∴sin(α+)=,从而有
cos2α=sin(2α+)=2sin(α+)cos(α+)
=2×()×=.
sin２α=-cos(2α+)=1-2cos2(α+)=1-2×（）2=.
∴cos(2α+)=×()=.
拓展探究
12.在△ABC中,求证：tantan+tantan+tantan=1.
证明：∵A、B、C是△ABC的三个内角，
∴A+B+C=π.
从而有=-.
左边=tan(tan+tan)+tan·tan
=tan·tan（+)(1-tan·tan)+tantan
=tantan(-)(1-tantan)+tantan
=1-tantan+tantan=1=右边.
∴等式成立.3.2.1
倍角公式
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.cos4-sin4等于（
）
A.0
B.
C.1
D.
解析：cos4-sin4=（cos2+sin2).（cos2-sin2)=cos=.
答案:B
2.已知sin=，cos=，则α所在的象限是（
）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析：由sin=，cos=得
sinα=2sincos=＜0，
cosα=cos2-sin2=（)2-（)2=＜0，
∴α为第三象限角.
答案:C
3.(2006高考全国卷Ⅱ，2)函数y=sin2xcos2x的最小正周期是（
）
A.2π
B.4π
C.
D.
解析：y=sin4x,最小正周期T=.
答案:D
4.cos·sin=___________，cos2-sin2=___________，=____________.
解析：cos·sin=·2sincos=sin=；
cos2v-sin2v=cos（2×)=cos=；
.
答案:
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.cos2α=时，sin4α+cos4α的值是（
）
A.1
B.
C.
D.
解析：由cos2α=,得sin22α=.
∴sin4α+cos4α=（sin2α+cos2α)2-2sin2αcos2α
=1sin22α=1-×=.
答案:C
2.已知sinα+cosα=，则tanα的值为（
）
A.
B.
C.或
D.不确定
解析：由sinα+cosα=，平方得1+2sinαcosα=，∴2sinαcosα=.
∴（sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=.
∴sinα-cosα=±.
由
∴tanα=.
由
∴tanα=.
答案:C
3.函数f（x）=cos2x-sinxcosx的最小正周期是____________.
解析：f（x)=cos2x-sin2x=2cos（2x+)，
∴T==π.
答案:π
4.化简：.
解：
=-(sin4+cos4)-2cos4=-sin4-3cos4.
5.已知函数f（x）=cos2x-2sinxcosx-sin2x，
(1)求f（x）的最小正周期；(2)求f（x）的最大值、最小值.
解：f（x)=cos2x-2sinxcosx-sin2x=cos2x-sin2x=2cos（2x+)，
∴T=π，f（x)max=2，f（x)min=-2.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.若sin2x＞cos2x，则x的取值范围是(
)
A.{x|2kπ＜x＜2kπ+，k∈Z}
B.{x|2kπ+＜x＜2kπ+，k∈Z}
C.{x|kπ＜x＜kπ+，k∈Z}
D.{x|kπ+＜x＜kπ+，k∈Z}
解析：由已知cos2x-sin2x＜0，cos2x＜0，于是2kπ+＜2x＜2kπ+（k∈Z).
∴kπ+＜x＜kπ+（k∈Z).
答案:D
2.若sinα=，α∈（，π），则tan2α的值为(
)
A.
B.
C.
D.
解析：由已知可得cosα=，则tanα==，
tan2α=.
答案:B
3.函数y=2sinx（sinx+cosx）的最大值为（
）
A.
B.
C.
D.2
解析：y=2sinx（sinx+cosx)=2sin2x+2sinxcosx=1-cos2x+sin2x=sin2x-cos2x+1
=sin（2x-)+1，
∴y的最大值为2+1.
答案:A
4.(2005高考全国卷Ⅱ,理7)锐角三角形的内角A、B满足tanA-=tanB，则有（
）
A.sin2A-cosB=0
B.sin2A+cosB=0
C.sin2A-sinB=0
D.sin2A+sinB=0
解析：由tanA-=tanB得-=tanB，
∴
=tanB.
∴
=tanB.
∴-cot2A=tanB.∴tan（2A-
)=tanB.
又A、B均为锐角，∴2A-
=B.
∴cos（2A-
)=cosB.∴sin2A=cosB.
∴sin2A-cosB=0.
答案:A
5.已知θ是第三象限角，且sin4θ+cos4θ=，则sin2θ=____________.
解析：由sin4θ+cos4θ=（sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ=1
sin22θ及已知条件可得1-
sin22θ=，得sin22θ=，即sin2θ=±.
又θ为第三象限角，故2kπ+π＜θ＜2kπ+（k∈Z)，
4kπ+2π＜2θ＜4kπ+3π（k∈Z)，
2（2k+1)π＜2θ＜2（2k+1)π+π（k∈Z).所以sin2θ＞0，
故sin2θ=.
答案：
6.(2006高考江苏卷，14)cot20°cos10°+sin10°tan70°-2cos40°=___________.
解析：原式=
cos10°+
sin10°
-2cos40°
=cos20°·
-2cos40°
=cos20°·
-2cos40°
=4cos220°-2cos40°
=2cos40°+2-2cos40°=2.
答案:2
7.已知=-5，则3cos2θ+sin2θ=______________.
解析：由=-5得
2sinθ+cosθ=-5sinθ+15cosθ，
∴7sinθ=14cosθ.∴tanθ=2.
∴3cos2θ+sin2θ=3（cos2θ-sin2θ)+2sinθcosθ
=
=-1.
答案:-1
8.求值：cos50°（-tan10°）.
解：原式=cos50°·（tan60°-tan10°)
=cos50°·（)
=cos50°·
=cos50°·=1.
9.(2006高考安徽卷，文17)已知α为锐角，且sinα=.
（1）求的值；
（2）求tan(α-)的值.
解:(1)∵α为锐角，且sinα=，
∴cosα==.
∴=20.
(2)∵tanα=，
∴tan(α-)=.
10.已知函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x，x∈R，问：
（1）函数的最小正周期是多少
（2）函数的单调递增区间是什么
（3）函数的图象可由函数y=sin2x，x∈R的图象如何变换而得出
解:y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x
=（sin2x+cos2x)+2sinxcosx+（2cos2x-1)+1=2+sin2x+cos2x=2+sin（2x+).
（1)T==π.
（2)由+2kπ≤2x+≤+2kπ，得原函数的单调递增区间为
［+kπ，+kπ］(k∈Z).
（3)可由y=2sin2x，x∈R的图象向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度得到.