3.1.2
两角和与差的正弦
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.若M=cos17°sin13°+sin17°cos13°,则M的值为（
）
A.
B.
C.
D.以上都不对
解析：利用两角和的正弦公式，原式=sin（13°+17°)=sin30°=.
答案:A
2.若M=sin12°cos57°-cos12°sin57°，N=cos10°cos55°+sin10°sin55°，则以下判断正确的是（
）
A.M＞N
B.M=N
C.M+N=0
D.MN=
解析：利用两角和与差的正弦或余弦公式，知M=sin（12°-57°)=-sin45°=，
N=cos（10°-55°)=cos（-45°)=,
∴M+N=0.
答案:C
3.化简：sin（-α）cos（-α）+sin（+α）cos（+α）=_____________.
解析：cosα·sinα-sinα·cosα=0.
答案:0
4.化简：sin（α+β）+sin（α-β）+2sinαsin(-β)=____________.
解析：原式=2sinαcosβ-2sinαcosβ=0
答案:0
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.sin44°cos14°-cos44°sin14°等于（
）
A.
B.
C.
D.
解析：sin44°cos14°-cos44°sin14°=sin（44°-14°)=sin30°=.
答案:A
2.若3sinx-cosx=sin（x+φ），φ∈（-π，π）,则φ=_____________.
解析：3sinx-cosx=（sinxcosx)=（sinxcosφ+cosxsinφ)，
∴cosφ=,sinφ=.又φ∈（-π，π)，∴φ=.
也可以由sin（x+φ)=sinxcosφ+cosxsinφ=3sinx-3cosx,
∴23cosφ=3，23sinφ=-3.
∴cosφ=,sinφ=.而φ∈（-π，π),
∴φ=.
答案:
3.=______________.
解析：
==2sin30°=1.
答案:1
4.化简：
解:
=
=cotβ-cotα+cotθ-cotβ+cotα-cotθ=0.
5.已知α、β都是锐角，且sinα=,sinβ=，求sin（α+β）.
解:∵α、β为锐角，且sinα=，sinβ=，
∴cosα=,cosβ=.
∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.已知sin（α+β）=，sin（α-β）=，则tanα∶tanβ等于（
）
A.
B.
C.-7
D.7
解析：由sin（α+β)=,sin（α-β)=,得sinαcosβ+cosαsinβ=,
①
sinαcosβ-cosαsinβ=,
②
①+②,得2sinαcosβ=;
①-②,得2cosαsinβ=，相除=-7.
答案:C
2.设a=2sin24°,b=sin85°cos85°,c=2（sin47°sin66°-sin24°sin43°）,则（
）
A.a＞b＞c
B.b＞c＞a
C.c＞b＞a
D.b＞a＞c
解析：b=sin85°-3cos85°=2（sin85°-cos85°)
=2sin（85°-60°)=2sin25°,
c=2（sin47°sin66°-sin24°sin43°)
=2（sin47°cos24°-cos47°sin24°)
=2sin（47°-24°)=2sin23°,函数y=sinx在（0，)上是增函数，所以b＞a＞c.
答案:D
3.发电厂发出的电是三相交流电，它的三根导线上的电流强度分别是关于时间t的函数，IA=Isinωt，IB=Isin（ωt+），IC=Isin（ωt+φ）且IA+IB+IC=0，0≤φ≤2π，则φ等于（
）
A.
B.
C.
D.
解析：IA+IB+IC=Isinωt+Isinωtcos+Icosωtsin+Isinωtcosφ+Icosωtsinφ
=Isinωt（1+cos+cosφ)+Icosωt（sin+sinφ)
=Isinωt（+cosφ)+Icosωt（+sinφ)=0，
∴而0≤φ≤2π,∴φ=.
答案:C
4.sin（θ+75°）+cos（θ+45°）cos（θ+15°）的值等于（
）
A.
B.
C.
D.0
解析：sin（θ+75°)+cos（θ+45°)-cos（θ+15°)
=sin（θ+15°+60°)+cos（θ+15°+30°)-cos（θ+15°)
=sin（θ+15°)cos60°+cos（θ+15°)sin60°+cos（θ+15°)cos30°-sin（θ+15°)sin30°-cos（θ+15°)
=sin（θ+15°)+cos（θ+15°)+cos（θ+15°)sin（θ+15°)-cos（θ+15°)=0.
答案:D
5.若＜β＜α＜，cos（α-β）=,sin（α+β）=,则sin2α等于（
）
A.
B.
C.
D.
解析：∵＜β＜α＜,cos（α-β)=,sin（α+β)=.
∴sin（α-β)=,
cos（α+β)=.
∴sin2α=sin［（α+β)+（α-β)］
=sin（α+β)cos（α-β)+cos（α+β)sin（α-β)
=×+（)×.
答案:A
6.(2005重庆高考卷,13)已知α、β均为锐角，且cos（α+β）=sin（α-β），则tanα=___________.
解析：∵cos（α+β)=sin（α-β)，
∴cosαcosβ-sinαsinβ=sinαcosβ-cosαsinβ.
∴cosα（cosβ+sinβ)=sinα（cosβ+sinβ).
又α、β均为锐角，
∴cosβ+sinβ≠0.
∴cosα=sinα.∴tanα=1.
答案:1
7.已知tan（α+β）=2,则=_________________.
解析：原式=.
答案:3
8.已知cos（-α）=，sin（+β）=，其中＜α＜，0＜β＜,求sin(α+β)的值.
解：∵α+β+=+β-(-α),
∴sin(α+β)=-cos［+(α+β)］
=-cos［(+β)-(-α)］
=-cos(+β)cos(-α)-sin(+β)sin(-α).(
)
又∵＜α＜,0＜β＜,
∴-＜-α＜0,＜+β＜π.
∴sin(-α)=,cos(+β)=.
将各式分别代入(
)式,
∴sin(α+β)=.
9.求证：.
证明:左=
=
=
=
=
==右，因此结论成立.
10.(2006高考全国卷Ⅱ，理17)已知向量a=（sinθ,1）,b=(1,cosθ),＜θ＜.
(1)若a⊥b，求θ；
（2）求｜a+b｜的最大值.
解：（1)若a⊥b，则sinθ+cosθ=0，由此得tanθ=-1(＜θ＜)，
∴θ=.
（2)由a=（sinθ,1),b=(1,cosθ),
得a+b=(sinθ+1,1+cosθ),
|a+b|=,
当sin(θ+)=1时，|a+b|取最大值，当θ=时，|a+b|的最大值为.两角和与差的正弦
1．设a＝2sin
24°，b＝sin
85°－cos
85°，c＝2(sin
47°sin
66°－sin
24°sin
43°)，则( )
A．a＞b＞c
B．b＞c＞a
C．c＞b＞a
D．b＞a＞c
2．如果α∈，且，那么等于( )
A．
B．
C．
D．
3．已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则( )
A．2
B．3
C．4
D．6
4．当时，函数f(x)＝sin
x＋cos
x的( )
A．最大值为1，最小值为－1
B．最大值为1，最小值为
C．最大值为2，最小值为－2
D．最大值为2，最小值为－1
5．若函数f(x)＝sin
ax＋cos
ax(a＞0)的最小正周期为1，则它的图象的一个对称中心为( )
A．
B．(0,0)
C．
D．
6．已知tan(α＋β)＝2，则________.
7．要使得sin
α－cos
α＝有意义，则m的取值范围是________．
8．已知13sin
α＋5cos
β＝9,13cos
α＋5sin
β＝15，那么sin(α＋β)的值为________．
9．已知，，其中，0＜β＜，求sin(α＋β)的值．
10．已知函数f(x)＝，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期和最大值；
(2)已知cos(β－α)＝，cos(β＋α)＝，求证：[f(β)]2－2＝0.
参考答案
1．解析：b＝sin
85°－cos
85°＝2＝2sin(85°－60°)＝2sin
25°，c＝2(sin
47°sin
66°－sin
24°sin
43°)＝2(sin
47°cos
24°－cos
47°sin
24°)＝2sin(47°－24°)＝2sin
23°，又函数y＝sin
x在上是增函数，所以b＞a＞c.
答案：D
2．解析：－cos
α＝sin
α＝×＝.
答案：A
3．答案：C
4．解析：f(x)＝
＝＝.
∵，∴.
∴－1≤f(x)≤2，故选D．
答案：D
5．解析：先将函数化为f(x)＝Asin(ωx＋θ)的形式，再讨论其对称中心．f(x)＝sin
ax＋cos
ax＝(a＞0)，∴T＝＝1，∴a＝2π.∴f(x)＝(a＞0)．
又∵f(x)与x轴的交点是其对称中心，经验证，仅有是函数f(x)的对称中心，故选C．
答案：C
6．解析：.
答案：3
7．解析：利用三角函数的值域求m的取值范围．
sin
α－cos
α＝2
＝，
即.∵－1≤≤1，
∴－1≤≤1.解不等式，可得－1≤m≤.
答案：
8．答案：
9．解：∵α＋β＋＝＋β－，
∴sin(α＋β)＝
＝
＝.
又∵，0＜β＜，
∴，.
∴，.
∴sin(α＋β)＝.
10．解：(1)f(x)＝sin
x＋＋cos
x＋sin
x
＝sin
x－cos
x＝，
所以T＝2π，f(x)max＝2.
(2)证明：由已知得cos(β－α)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β＝，①
cos(β＋α)＝cos
αcos
β－sin
αsin
β＝，②
①＋②得cos
αcos
β＝0.
因为0＜α＜β≤，所以cos
β＝0，可得β＝，
则f(β)＝，所以[f(β)]2－2＝0，即得证．3.1.3
两角和与差的正切
自我小测
1．已知tan
α＝，tan
β＝，且角α，β为锐角，则α＋β的值是( )
A．
B．或
C．
D．
2．在△ABC中，已知tan
A，tan
B是方程3x2＋8x－1＝0的两根，则tan
C等于( )
A．2
B．－2
C．4
D．－4
3．已知α∈，tan＝，那么sin
α－cos
α的值为( )
A．－
B．
C．－
D．
4．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝2，则角α不可能是( )
A．
B．
C．
D．
5．在△ABC中，tan
A＝，cos
B＝，则tan
C＝( )
A．－1
B．1
C．
D．－2
6．若＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝__________．
7．在△ABC中，高AD把BC分为长2
cm和3
cm的两段，∠A＝45°，则S△ABC＝__________．
8．已知3tan
αtan(α＋β)＝4[tan(α＋β)－tan
α－tan
β]，且cos(π＋β)>0，则sin(β－3π)＝__________．
9．已知α为第二象限的角，sin
α＝，β为第一象限的角，cos
β＝，求tan(2α－β)的值．
10．已知在△ABC中，tan
B＋tan
C＋tan
Btan
C＝，tan
A＋tan
B＋1＝tan
Atan
B，试判断△ABC的形状．
参考答案
1．答案：C
2．答案：A
3．答案：B
4．答案：B
5．解析：因为cos
B＝，且0
所以sin
B＝＝．
所以tan
B＝，
所以tan
C＝－tan（Ａ+Ｂ）＝－
＝－＝－1．
故选A．
答案：A
6．答案：
7．解析：设AD＝x
cm，由已知得tan∠BAD＝＝，tan∠CAD＝＝，
又∠BAD＋∠CAD＝45°，
则tan
45°＝＝＝1，
化简得x2－5x－6＝0，解得x＝6，x＝－1(舍去)．
所以S△ABC＝×AD×BC＝×6×5＝15(cm2)．
答案：15
cm2
8．答案：
9．解：因为α为第二象限的角，且sin
α＝，
所以cos
α＝－，所以tan
α＝．
又因为β为第一象限的角，且cos
β＝，
所以sin
β＝，所以tan
β＝．
所以tan(α－β)＝
＝＝．
所以tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]
＝
＝＝．
10．解：由tan
B＋tan
C＋tan
Btan
C＝，得
tan
B＋tan
C＝(1－tan
Btan
C)＝tan(B＋C)·(1－tan
Btan
C)．
若tan
Btan
C＝1，则tan
B＝cot
C，
故在△ABC中，B＝－C，
故B＋C＝，所以A＝，tan
A无意义，与题设矛盾．
所以tan
Btan
C≠1，所以tan(B＋C)＝，
所以B＋C＝．
同理，由tan
A＋tan
B＋1＝tan
Atan
B，
得
(tan
A＋tan
B)＝－(1－tan
Atan
B)．
所以tan(A＋B)＝－，所以A＋B＝．
又由A＋B＋C＝π，
得B＝C＝，A＝．
所以△ABC为等腰三角形．3.1.2
两角和与差的正弦
课后导练
基础达标
1.若α、β为锐角，且tanα=x,cosβ=，则α+β的值为（
）
A.150°
?B.120°
?C.90°
?D.60°
解析：cosβ==tanα
·cosα=sinα,由于α、β为锐角，∴α+β=90°.
答案：C
2.已知△ABC中，有关系式tanA=成立，则△ABC为（
）
A.等腰三角形
B.A=60°的三角形
C.等腰三角形或A=60°的三角形
D.不能确定
解析：“切化弦”后可得cos(A-C)=cos(A-B),
∴A-C=A-B或A-C=-（A-B），即B=C或2A=B+C，即B=C或A=60°.
答案：C
3.△ABC中，tanC=且sinAcosB=cos(120°-B)sinB,则△ABC是（
）
A.等腰三角形
B.等腰但非直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等边三角形
解析：由tanC=,得C=60°,
由sinAcosB=cos(120°-B)化简得sinAcosB=cosAsinB,∴A=B.∴△ABC为等边三角形.
答案：D
4.（2006东北三校联考）
如果α∈(,π),且sinα=,那么sin(α+)-cosα等于(
)
A.
B.
C.
D.
解析:sin(α+)-cosα=sinαcos+cosαsin-cosα=sinα=.
答案:A
5.当-≤x≤时，函数f(x)=sinx+cosx的（
）
A.最大值为1，最小值为-1
B.最大值为1，最小值为-
C.最大值为2，最小值为-2
D.最大值为2，最小值为-1
解析：f(x)=2(sinx+cosx)=2(sinxcos+cosxsin)=2sin(x+),
∵-≤x≤,
∴-≤x+≤.
∴-1≤f(x)≤2,选D.
答案：D
6.设a=2cos60°,b=cos5°-sin5°,c=2(sin47°·sin66°-sin24°sin43°),则a、b、c的大小关系是_______.
解析：b=cos5°-sin5°=2cos65°,c=2(cos43°·cos24°-sin24°sin43°)=2cos67°,∵cosx在［０，］上为减函数，∴a>b>c.
答案：a>b>c
7.函数y=sinx+cosx+2的最小值为________.
解析:y=sinx+cosx+2=sin(x+)+2,sin(x+)=-1时,ymin=2-.
答案：2-
8.cos285°cos15°-sin255°sin15°=_________.
解析:cos285°cos15°-sin255°sin15°
=cos(270°+15°)cos15°-sin(270°-15°)·sin15°
=sin15°·cos15°+cos15°sin15°
=sin(15°+15°)=sin30°=.
答案：
综合运用
9.已知f(x)=a+bsinx+ccosx的图象经过A（0，1），B（，1），当x∈［0，］时，f(x)的最大值为2-1,求f(x)的解析式.
解:由题意知
∴f(x)=a+(1-a)(sinx+cosx)=a+(1-a)sin(x+).
∵x∈［0,］,
∴sin(x+)∈［,1］.
∴当1-a>0时,a+(1-a)·1=2-1,得a=-1;
当1-a<0时,a+(1-a)·=2-1,无解;
当1-a=0时,f(x)=a=1矛盾.
综上,可得a=-1.
∴f(x)=-1+2sinx+2cosx=2sin(x+)-1.
10.求证:在△ABC中,sinA·cosB·cosC+cosA·sinB·cosC+cosA·cosB·sinC=sinA·sinB·sinC.
证明：由A、B、C为△ABC内角，
∴A+B+C=π.
∴左边=cosC(sinAcosB+cosAsinB)+cosAcosBsinC
=cosCsin(A+B)+cosAcosBsinC
=sinC［-cos(A+B)+cosAcosB］
=sinC［-cosAcosB+sinAsinB+cosAcosB］
=sinAsinBsinC.
11.求函数f(x)=的值域.
解：由(sinx+cosx)2=1+2sinxcosx,
∴sinxcosx=.
∴f(x)=
=
=(sinx+cosx-1)(其中sinx+cosx+1≠0).
又sinx+cosx=(sinx+cosx)=sin(x+),
∴sinx+cosx∈［-,］,且sinx+cosx≠-1.
∴f(x)的值域为［,-１)∪(-1,］.
拓展探究
12.已知0<β<,<α<,cos(-α)=,sin(+β)=,求sin(α+β)的值.
解：∵<α<,
∴-<-α<0.
∴sin(-α)=.
又∵0<β<,
∴<+β<π.
∴cos(+β)=.
∴sin(α+β)=-cos(+α+β)=-cos［(+β)-(-α)］
=-cos(+β)cos(-α)-sin(+β)sin(-α)
=-()×.3.1.3
两角和与差的正切
课后导练
基础达标
1.如果tan(α+β)=,tan(β-）=，则tan(α+)的值为（
）
A.
B.
C.
D.2
解析：tan(α+β)=tan［(α+)+(β-)］=〔令tan(α+)=m〕,求得m=,即tan(α+)=.
答案：B
2.化简tan(+)-tan(-)等于（
）
A.tanx
B.2tanx
C.tan
D.2tan
解析：由tan［（+）-(-)］=,
∴原式=2tanx.
答案：B
3.若α+β=,则（1-tanα)(1-tanβ)等于（
）
A.1
B.-1
C.2
D.-2
解析：(1-tanα)(1-tanβ)=1-(tanα+tanβ)+tanαtanβ
=1-tan(α+β)(1-tanαtanβ)+tanαtanβ=1-tan·(1-tanαtanβ)+tanαtanβ=2.
答案：C
4.若,则tan(+A)的值为（
）
A.
B.
C.
D.
解析：tan(+A)=.
答案：D
5.sin(α+β)=,sin(α-β)=,则的值为（
）
A.
B.
C.
D.
解析：由
①+②,得2sinαcosβ==,
①-②,得2cosαsinβ=,
两式相比,得=.
答案：B
6.如果tanα、tanβ是方程x2-3x-3=0的两根，则=________.
解析：tanα+tanβ=3,tanα·tanβ=-3,
.
答案：
7.已知tan(+α)=2,则的值为___________.
解析：∵tan(+α)=2,∴=2.
∴tanα=.
∴
答案：
8.化简3+tan(A+60°)tan(A-60°)+tanA·tan(A+60°)+tanAtan(A-60°)=______.
解析：原式=1+tan(A+60°)tan(A-60°)+1+tanAtan(A+60°)+1+tanAtan(A-60°)=
t
=0.
答案：0
综合运用
9.已知sinβ=msin(2α+β),其中m≠0,２α+β≠kπ(k∈Z).
求证：tan(α+β)=tanα.
证明：由sinβ=msin(２α+β),得sin［（α+β）-α］=msin［(α+β)+α］,
∴sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα=m［sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα］,
整理得（1-m）sin（α+β）cosα=(1+m)cos(α+β)·sinα,
即tan(α+β)=tanα.
10.如图，矩形ABCD中，AB=a,BC=2a,在BC上取一点P，使AB+BP=PD，求tan∠APD的值.
解：由AB+BP=PD,得a+BP=,解得BP=,
设∠APB=α,∠DPC=β,则tanα=,tanβ=.
从而tan(α+β)==-18.
又∵∠APD+(α+β)=π,
∴tan∠APD=18.
11.已知tanα=(1+m),(tanαtanβ+m)+tanβ=0,且α、β为锐角，求α+β.
解：由已知可得tanα=(1+m),①
tanβ=-tanαtanβ-m,②
①+②可得tanα+tanβ=(1-tanαtanβ),
∴=tan(α+β)=.
又∵0<α<,0<β<,
∴0<α+β<π,α+β=.
拓展探究
12.是否存在锐角α和β,使得下列两式①α+2β=,②tantanβ=2-同时成立
解:假设存在符合题意的锐角α,β.
由①得+β=,
所以tan(+β)=.
由②知tantanβ=2-,所以tan+tanβ=3-,
所以tan,tanβ是方程x2-(3-)x+2-=0的两个根,得x1=1,x2=2-.
因为0<α<,0<<,0所以tan≠1,tan=2-,tanβ=1.
又因为0<β<,所以将β=代入①得α=.
所以存在锐角α=,β=,使①②同时成立.3．1 和角公式
知识点一：两角和与差的余弦
1．cos45°cos15°＋sin15°sin45°的值为
A.
B.
C．－
D．－
2．cosα＝，则cos(α－)的值为
A.
B．－
C.
D.或－
3．若cos(α－β)＝，则(sinα＋sinβ)2＋(cosα＋cosβ)2＝__________.
知识点二：两角和与差的正弦
4．若M＝sin13°cos17°＋cos13°sin17°，则M的值为
A.
B.
C.
D．以上均错
5．(2010福建高考，理1)计算sin43°cos13°－cos43°sin13°的结果等于
A.
B.
C.
D.
6．已知cosx－sinx＝－，则sin(－x)＝__________.
7．在△ABC中，若sinAcosB＝1－cosAsinB，则△ABC一定是__________三角形．
知识点三：两角和与差的正切
8．若tanα＝3，tanβ＝，则tan(α－β)等于
A．－3
B．－
C．3
D.
9．tan10°tan20°＋(tan10°＋tan20°)的值为
A.
B．1
C.
D.
10．已知cosθ＝－，θ∈(π，)，求tan(θ－)的值．
能力点一：和角公式的基本应用
11．(2010课标全国高考，文10)若cosα＝－，α是第三象限的角，则sin(α＋)等于
A．－
B.
C．－
D.
12．sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)cos(110°－x)的值为
A.
B.
C.
D.
13.的值为
A.
B．1
C.
D.
14．若函数f(x)＝(1＋tanx)cosx,0≤x<，则f(x)的最大值为
A．1
B．2
C.＋1
D.＋2
15．已知sinαcosβ＝1，则cos(α＋β)＝__________.
16．已知α、β均为锐角，sinα＝，cosβ＝，求α－β的值．
17．已知向量a＝(sinθ，－2)与b＝(1，cosθ)互相垂直，其中θ∈(0，)．
(1)求sinθ和cosθ的值；
(2)若sin(θ－φ)＝，0<φ<，求cosφ的值．
能力点二：和角公式的综合应用
18．若a，b是非零实数，且＝tan，则＝__________.
19．(2010全国高考Ⅰ，理14)已知α为第三象限的角，cos2α＝－，则tan(＋2α)＝________.
20．在△ABC中，若sinA＝，cosΒ＝－，则sinC
＝__________.
21．已知函数f(x)＝－1＋2sin2x＋mcos2x的图象经过点A(0,1)，求此函数在[0，]上的最值．
22.在△ABC中，tanB＋tanC＋tanBtanC＝，且tanA＋tanB＋1＝tanAtanB，判断△ABC的形状．
23．(2010四川高考，理19)(1)①证明两角和的余弦公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ；
②由C(α＋β)推导两角和的正弦公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ.
(2)已知△ABC的面积S＝，·＝3，且cosB＝，求cosC.
24．已知函数f(x)＝Asin(x＋φ)(A>0,0<φ<π，x∈R)的最大值是1，其图象经过点M(，)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)已知α，β∈(0，)，且f(α)＝，f(β)＝，求f(α－β)的值．
答案与解析
基础巩固
1．B
2．D ∵cosα＝，
∴sinα＝±＝±.
∴cos(α－)＝cosαcos＋sinαsin＝(sinα＋cosα)＝或－.
3. 原式＝(sin2α＋sin2β＋2sinαsinβ)＋(cos2α＋cos2β＋2cosαcosβ)＝2＋2(sinαsinβ＋cosαcosβ)＝2＋2cos(α－β)＝2＋2×＝.
4．A
5．A ∵sin43°cos13°－cos43°sin13°＝sin(43°－13°)＝sin30°＝.∴选A.
6．－ sin(－x)＝sincosx－cossinx＝cosx－sinx＝×(－)＝－.
7．直角 由条件得sinAcosB＋cosAsinB＝1，
∴sin(A＋B)＝1，故sinC＝1.
∴C＝.
8．D
9．B ∵tan(10°＋20°)＝，
∴tan30°(1－tan10°tan20°)＝tan10°＋tan20°，
即(1－tan10°tan20°)＝tan10°＋tan20°.
∴1－tan10°tan20°＝(tan10°＋tan20°)，故原式＝1.
10．解：∵cosθ＝－，θ∈(π，)，
∴sinθ＝－＝－.
∴tanθ＝＝.
∴tan(θ－)＝＝＝－.
能力提升
11．A sin(α＋)＝(sinα＋cosα)＝(－－)＝－.
12．B 原式＝sin(65°－x)·sin[90°－(x－20°)]＋cos(65°－x)·cos(110°－x)＝sin(65°－x)·sin(110°－x)＋cos(65°－x)·cos(110°－x)＝cos(110°－x－65°＋x)＝cos45°＝.
13．A 原式＝＝tan(45°＋15°)＝.
14．B f(x)＝cosx＋sinx＝2×(cosx＋sinx)＝2sin(x＋)，
∵0≤x<，∴≤x＋<.∴f(x)的最大值为2.
15．0 由sinαcosβ＝1知或
∴α＝2k1π＋，β＝2k2π或α＝2k1π＋，β＝2k2π＋π(k1，k2∈Z)．
∴α＋β＝2kπ＋或(2k＋1)π＋(k∈Z)．∴cos(α＋β)＝0.
16．解：∵α、β均为锐角，sinα＝，cosβ＝，
∴sinβ＝，cosα＝.
∵sinα∴sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ
＝×－×＝－.
∴α－β＝－.
17．解：(1)∵a⊥b，则a·b＝sinθ－2cosθ＝0，即sinθ＝2cosθ，代入sin2θ＋cos2θ＝1，得sinθ＝±，cosθ＝±，又∵θ∈(0，)，∴sinθ＝，cosθ＝.
(2)∵0<φ<，0<θ<，
∴－<θ－φ<.
则cos(θ－φ)＝＝，
∴cosφ＝cos[θ－(θ－φ)]
＝cosθcos(θ－φ)＋sinθsin(θ－φ)＝×＋×＝.
18. 由
＝，及tan＝tan(＋)＝，
∴＝tan＝.
19．－ ∵α为第三象限的角，
∴π＋2kπ<α<＋2kπ，k∈Z.
∴2π＋4kπ<2α<3π＋4kπ，k∈Z.
又∵cos2α＝－，
∴2α为第二象限角．
∴sin2α＝＝.
∴tan2α＝＝－.
∴tan(＋2α)＝
＝＝－.
20. ∵cosB＝－，∴∠B为钝角，且sinB＝＝.又∵sinA＝，∴cosA＝＝，sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝.
21．解：∵A(0,1)在函数的图象上，
∴1＝－1＋2sin0＋mcos0，
解得m＝2.
∴f(x)＝－1＋2sin2x＋2cos2x
＝2(sin2x＋cos2x)－1
＝2sin(2x＋)－1.
∵0≤x≤，∴≤2x＋≤.
∴－≤sin(2x＋)≤1.
∴－3≤f(x)≤2－1.
∴函数f(x)在[0，]上的最大值为2－1，最小值为－3.
22．解：由tanA＝tan[π－(B＋C)]＝－tan(B＋C)＝＝＝－，
而0°而0°∴△ABC是顶角为120°的等腰三角形．
拓展探究
23．解：(1)①如图，在直角坐标系xOy内作单位圆O，并作出角α，β与－β，使角α的始边为Ox，交⊙O于点P1，终边交⊙O于点P2；角β的始边为OP2，终边交⊙O于点P3，角－β的始边为OP1，终边交⊙O于点P4.
则P1(1,0)，P2(cosα，sinα)，P3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，P4(cos(－β)，sin(－β))．
由P1P3＝P2P4及两点间的距离公式，
得[cos(α＋β)－1]2＋sin2(α＋β)
＝[cos(－β)－cosα]2＋[sin(－β)－sinα]2，
展开并整理，得2－2cos(α＋β)
＝2－2(cosαcosβ－sinαsinβ)．
∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.
②由①易得，cos(－α)＝sinα，
sin(－α)＝cosα.
sin(α＋β)＝cos[－(α＋β)]
＝cos[(－α)＋(－β)]
＝cos(－α)cos(－β)－sin(－α)sin(－β)
＝sinαcosβ＋cosαsinβ.
∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ.
(2)由题意，设△ABC的角B、C的对边分别为b、c，则S＝bcsinA＝.
·＝bccosA＝3>0.
∴A∈(0，)，cosA＝3sinA.
又sin2A＋cos2A＝1，
∴sinA＝，cosA＝.
由题意cosB＝，得sinB＝.
∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝.
故cosC＝cos[π－(A＋B)]
＝－cos(A＋B)＝－.
24．解：(1)依题意有A＝1，
则f(x)＝sin(x＋φ)，
将点M(，)代入得
sin(＋φ)＝，而0<φ<π，
∴＋φ＝.∴φ＝.故f(x)＝sin(x＋)＝cosx.
(2)依题意有cosα＝，cosβ＝，
而α，β∈(0，)，
∴sinα＝＝，
sinβ＝＝.
∴f(α－β)＝cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝×＋×＝.3.1.2
两角和与差的正弦
自我小测
1．sin
10°cos
35°－sin
260°sin
145°的值是( )
A．
B．－
C．sin
25°
D．－sin
25°
2．的值等于( )
A．2＋
B．
C．2－
D．
3．已知α∈，sin
α＝－，β∈，cos
β＝，则α＋β为( )
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
4．已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则log
等于( )
A．2
B．3
C．4
D．6
5．已知向量a＝(cos
x，sin
x)，b＝(，)，a·b＝，则cos＝__________．
6．已知sin
α＝，sin
β＝，则sin(α＋β)sin(α－β)＝__________．
7．要使sin
α－cos
α＝有意义，则m的取值范围是________．
8．已知cos＝，sin＝，其中＜α＜，0＜β＜，求sin(α＋β)的值．
9．已知函数f(x)＝Asin(x＋φ)(A>0,0<φ<π，x∈R)的最大值是1，其图象经过点M．
(1)求f(x)的解析式；
(2)已知α，β∈，且f(α)＝，f(β)＝，求f(α－β)的值．
参考答案
1．答案：A
2．解析：原式＝
＝＝＝＝2－．
答案：C
3．答案：C
4．答案：C
5．答案：
6．答案：
7．答案：
8．解：因为α＋β＋＝＋β－，
所以sin(α＋β)＝－cos
＝－cos
＝－coscos－sinsin．
又因为＜α＜，0＜β＜，
所以－＜－α＜0，＜＋β＜π．
所以sin＝－，cos＝－．
所以sin(α＋β)＝－×－×＝．
9．解：(1)因为函数f(x)的最大值为1，所以A＝1．
因为f(x)的图象经过点M，
所以sin＝．
因为0<φ<π，所以<＋φ<．
所以＋φ＝．所以φ＝．
所以f(x)＝sin＝cos
x．
(2)因为f(α)＝cos
α＝，f(β)＝cos
β＝，
且α，β∈，所以sin
α＝，sin
β＝．
所以f(α－β)＝cos(α－β)
＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β
＝×＋×＝．两角和与差的正切
1．在△ABC中，已知tan
A，tan
B是方程3x2＋8x－1＝0的两根，则tan
C等于( )
A．2
B．－2
C．4
D．－4
2．如果tan(α＋β)＝，，则的值为( )
A．
B．
C．
D．2
3．在锐角△ABC中，tan
Atan
B的值( )
A．不小于1
B．小于1
C．等于1
D．大于1
4．设tan
α和tan
β是方程mx2＋(2m－3)x＋(m－2)＝0的两根，则tan(α＋β)的最小值是( )
A．
B．
C．
D．不确定
5．求值：tan
20°＋tan
40°＋tan
20°tan
40°＝________.
6．如图所示，三个相同的正方形相接，则图中的α＋β＝__________.
7．在△ABC中，若(1＋cot
A)(1＋cot
C)＝2，则log2sin
B＝________.
8．已知α为第二象限的角，，β为第一象限的角，，求tan(2α－β)的值．
9．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝2a，在BC上取一点P，使AB＋BP＝PD，求tan∠APD的值．
参考答案
1．解析：∵tan
A，tan
B是3x2＋8x－1＝0的两根，
∴
∴tan(A＋B)＝＝－2.
∴tan
C＝－tan(A＋B)＝2.
答案：A
2．解析：设，
则tan(α＋β)＝
＝，解得，
即.
答案：B
3．解析：由于△ABC为锐角三角形，
∴tan
A，tan
B，tan
C均为正数．
∴tan
C＞0，∴tan[180°－(A＋B)]＞0.
∴tan(A＋B)＜0，即.
而tan
A＞0，tan
B＞0，
∴1－tan
Atan
B＜0，即tan
Atan
B＞1.
答案：D
4．解析：∵tan
α和tan
β是mx2＋(2m－3)x＋(m－2)＝0的两根，
∴
∴，且m≠0.
又tan(α＋β)＝，
∴当时，tan(α＋β)取最小值.
答案：C
5．解析：因为tan
60°＝tan(20°＋40°)＝＝，所以原式＝－tan
20°tan
40°＋tan
20°tan
40°＝.
答案：
6．解析：由题意，，，
∴tan(α＋β)＝.
∵0＜α＜，0＜β＜，∴0＜α＋β＜π，∴α＋β＝.
答案：
7．解析：由(1＋cot
A)(1＋cot
C)＝2，
得，
∴(tan
A＋1)(tan
C＋1)＝2tan
Atan
C．
∴1＋tan
A＋tan
C＝tan
Atan
C．
∴tan(A＋C)＝－1.
又A，B，C是△ABC的内角，
∴A＋C＝.
∴.∴.
∴log2sin
B＝.
答案：
8．解：∵α为第二象限的角，且，
∴，
∴.
又∵β为第一象限的角，且，
∴，∴.
∴tan(α－β)＝.
∴tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]
＝＝.
9．解：由AB＋BP＝PD，得a＋BP＝，解得.
设∠APB＝α，∠DPC＝β，
则tan
α＝，tan
β＝.
从而tan(α＋β)＝＝－18.
又∵∠APD＋(α＋β)＝π，
∴tan∠APD＝tan[π－(α＋β)]＝－tan(α＋β)＝18.两角和与差的余弦
1．sin
75°cos
45°＋sin
15°sin
45°的值为( )
A．
B．
C．
D．－1
2．若sin(π＋θ)＝，θ是第二象限角，，φ是第三象限角，则cos(θ－φ)的值是( )
A．
B．
C．
D．
3．若sin
α－sin
β＝1－，cos
α－cos
β＝，则cos(α－β)＝( )
A．
B．
C．
D．1
4．下列四个命题中的假命题是( )
A．存在这样的α和β的值，使得cos(α＋β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β
B．不存在无穷多个α和β的值，使得cos(α＋β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β
C．对任意的α和β，有cos(α＋β)＝cos
αcos
β－sin
αsin
β
D．不存在这样的α和β的值，使得cos(α＋β)≠cos
α
cos
β－sin
αsin
β
5．向量a＝(2cos
α，2sin
α)，b＝(3cos
β，3sin
β)，a与b的夹角为60°，则直线xcos
α－ysin
α＝与(x－cos
β)2＋(y＋sin
β)2＝的位置关系是( )
A．相切
B．相交
C．相离
D．随α，β的值而定
6．在△ABC中，若sin
Asin
B＜cos
Acos
B，则△ABC为________角三角形．
7．已知α，β均为锐角，且sin
α＝，cos
β＝，则α－β的值为________．
8．已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，＜α＋β＜2π，＜α－β＜π，求cos
2α.
9．已知，cos(α＋β)＝，α，β均为锐角，求cos
β
的值．
参考答案
1．解析：先由诱导公式sin
α＝cos(90°－α)，得sin
75°＝cos
15°.再由两角差的余弦公式，得
sin
75°cos
45°＋sin
15°sin
45°＝cos
15°cos
45°＋sin
15°sin
45°＝cos(45°－15°)＝cos
30°＝.
答案：C
2．解析：由sin(π＋θ)＝，得.又由θ是第二象限角，得.
由，得.又由φ是第三象限角，得，则cos(θ－φ)＝cos
θcos
φ＋sin
θsin
φ＝.
答案：B
3．解析：将两式平方后相加，可得2－2(cos
αcos
β＋sin
αsin
β)＝2－，即有cos(α－β)＝.
答案：B
4．解析：由于选项C是公式，故选项C，D显然正确；对于选项A，当α＝2kπ(k∈Z)，β＝2kπ＋(k∈Z)时，，cos
2kπ·＋sin
2kπ·＝0，因此存在无穷多个α，β的值，使得cos(α＋β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β，但不是对任意的α，β均成立，所以选项A正确，选项B错误．
答案：B
5．解析：由已知易求得|a|＝2，|b|＝3，则cos〈a，b〉＝＝cos(α－β)＝，
所以cos
αcos
β＋sin
αsin
β＝.所以圆心(cos
β，－sin
β)到直线的距离为，
所以圆心在直线上，即圆与直线相交．
答案：B
6．解析：∵sin
Asin
B＜cos
Acos
B，
∴cos(A＋B)＞0.又A＋B＋C＝π，
∴cos(π－C)＞0，可得cos
C＜0，则角C为钝角．
∴△ABC为钝角三角形．
答案：钝
7．解析：∵α，β均为锐角，
∴cos
α＝，sin
β＝.
又sin
α＜sin
β，∴α＜β.∴＜α－β＜0.
∴cos(α－β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β＝.
∴α－β＝.
答案：
8．解：cos
2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)，
∵＜α＋β＜2π，
∴sin(α＋β)＝.
又∵＜α－β＜π，
∴sin(α－β)＝.
∴cos
2α＝.
9．解：∵，α为锐角，
∴，则有sin2α＝48cos2α＝48(1－sin2α)．
解得.∴.
又cos(α＋β)＝，且0＜α＋β＜π，
∴sin(α＋β)＝.
∴cos
β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos
α＋sin(α＋β)sin
α＝.3.1.3
两角和与差的正切
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.与相等的是（
）
A.tan66°
B.tan24°
C.tan42°
D.tan21°
解析：由两角差的正切公式，原式==tan（45°-21°)=tan24°.
答案:B
2.的值是（
）
A.
B.
C.
D.
解析：=tan（45°+75°)=tan120°=-tan60°=.
答案:B
3.(2006河北唐山二模，9)在△ABC中，C=45°，则（1-tanA）（1-tanB）等于（
）
A.1
B.-1
C.2
D.-2
解析：(1-tanA)(1-tanB)=1+tanAtanB-(tanA+tanB)
=1+tanAtanB-tan(A+B)(1-tanAtanB)
=1+tanAtanB-tan135°(1-tanAtanB)=2.
答案:C
4.=_____________，=____________.
解析：
答案:1
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.已知tanα=,tan（α-β）=，则tan（2α-β）的值是（
）
A.
B.
C.
D.
解析：∵tanα=,tan（α-β)=,
∴tan（2α-β)=tan[（α-β)+α]=.
答案:C
2.已知，则cot（-α）等于（
）
A.
B.
C.
D.
解析：由,
所以cot（-α)=.
答案:A
3.锐角△ABC中，tanA·tanB的值是（
）
A.不小于1
B.小于1
C.等于1
D.大于1
解析：由于△ABC为锐角三角形，∴tanA、tanB、tanC均为正数.
∴tanC＞0.
∴tan[180°-（A+B)]＞0.
∴tan（A+B)＜0，即＜0.
而tanA＞0，tanB＞0，
∴1-tanAtanB＜0,即tanAtanB＞1.
答案:D
4.若tanα=，则tan（α+）=_____________.
解析：∵tanα=,
∴tan（α+)==3.
答案:3
5.函数y=tan（2x-)+tan（2x+）的最小正周期是_____________.
解析：y=tan（2x-)+tan（2x+)
==2tan4x.
答案：
6.已知tan（+α）=，求的值.
解:∵tan（+α)=,
∴,得tanα=-3.
∴=4cos2α
=.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.在△ABC中，已知tanA、tanB是方程3x2+8x-1=0的两根，则tanC等于（
）
A.2
B.-2
C.4
D.-4
解析：由于tanA、tanB是3x2+8x-1=0的两根，得
∴tan（A+B)==-2.
∴tanC=-tan（A+B)=2.
答案:A
2.设tanα=，tanβ=，且α、β角为锐角，则α+β的值是（
）
A.
B.或
C.
D.
解析：由tanα=，tanβ=,得tan（α+β)==1.又α、β均是锐角,∴α+β=.
答案:C
3.若tan110°=a，则tan50°的值为（
）
A.
B.
C.
D.
解析：tan110°=tan（60°+50°)==a，
∴+tan50°=a-atan50°.
∴tan50°（1+a)=a-
.
∴tan50°=.
另：tan50°=tan（110°-60°)=.
答案:A
4.设tanα和tanβ是方程mx2+（2m-3）x+（m-2）=0的两根，则tan（α+β）的最小值是（
）
A.
B.
C.
D.不确定
解析：∵tanα和tanβ是mx2+（2m-3)x+（m-2)=0的两根，
∴
∴m≤，且m≠0.
tan（α+β)=.
∴当m=时，tan（α+β)的最小值为.
答案:C
5.在△ABC中，若（1+cotA）（1+cotC）=2，则log2sinB=______________.
解析：由（1+cotA)（1+cotC)=2,得=2，
∴（tanA+1)（tanC+1)=2tanAtanC.
∴1+tanA+tanC=tanAtanC.
∴tan（A+C)=-1.又A、B、C是△ABC的内角,
∴A+C=.∴B=.∴sinB=.
∴log2sinB=.
答案:
6.计算：=________________.
解析：∵tan60°=tan（20°+40°)
=,∴tan20°+tan40°=3-3tan20°tan40°.
∴=1.
答案:1
7.计算：tan72°-tan12°-tan72°tan12°=______________.
解析：原式=tan(72°-12°)·(1+tan72°tan12°)-tan72°tan12°=.
答案:
8.(2005高考全国卷Ⅱ,文17)已知α为第二象限角，sinα=，β为第一象限角，cosβ=，求tan（2α-β）的值.
解：∵α为第二象限角且sinα=，
∴cosα=，tanα=.
又β为第一象限角且cosβ=，
∴sinβ=,tanβ=.
∴tan（α-β)=.
∴tan（2α-β)=tan［α+（α-β)］=.
9.设tanα、tanβ是方程x2-3x-3=0的两实根，求sin2(α+β)-3sin（α+β）cos（α+β）-3cos2(α+β)的值.
解：由题意,得tanα+tanβ=3，tanαtanβ=-3,
∴tan(α+β)=.
∴sin2(α+β)-3sin（α+β)cos（α+β)-3cos2(α+β)
=
.
10.在锐角△ABC中化简：tantan+tantan+tantan.
解:∵A+B+C=π,
∴,
∴,
∴tantan+tantan+tantan
=tan（tan+tan)+tanvtan
=tan·tan（1-tantan)+tantan
=tancot·（1-tantan)+tantan
=1-tantan+tantan=1.3.1.1
两角和与差的余弦
自我小测
1．化简sin×cos－sin×sin的结果为( )
A．cos
B．－cos
C．sin
D．－sin
2．在△ABC中，cos
A＝，cos
B＝，则cos
C等于( )
A．－
B．
C．－
D．
3．已知cos
α＝，则cos的值为( )
A．
B．－
C．
D．或－
4．向量a＝(2cos
α，2sin
α)，b＝(3cos
β，3sin
β)，a与b的夹角为60°，则直线xcos
α－ysin
α＝与圆(x－cos
β)2＋(y＋sin
β)2＝的位置关系是( )
A．相切
B．相交
C．相离
D．随α，β的值而定
5．已知α，β均为锐角，且sin
α＝，cos
β＝，则α－β的值为________．
6．已知sin(α－45°)＝－，0°<α<90°，则cos
α＝__________．
7．已知sin
x＋sin
y＝，则cos
x＋cos
y的取值范围是__________．
8．已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝－，＜α＋β＜2π，＜α－β＜π，求cos
2α．
9．已知α，β均为锐角，cos
α＝，cos(α＋β)＝－，求角β．
参考答案
1．答案：B
2．答案：B
3．答案：D
4．答案：B
5．答案：－
6．解析：因为0°<α<90°，所以－45°<α－45°<45°，
所以cos(α－45°)＝＝，
所以cos
α＝cos[(α－45°)＋45°]
＝cos(α－45°)cos
45°－sin(α－45°)sin
45°＝．
答案：
7．解析：设t＝cos
x＋cos
y，则t2＝cos2x＋2cos
xcos
y＋cos2y，sin2x＋2sin
xsin
y＋sin2y＝，所以t2＋＝2＋2cos(x－y)，t2≤，t∈．
答案：
8．解：cos
2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)]
＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)．
因为＜α＋β＜2π，
所以sin(α＋β)＝－．
又因为＜α－β＜π，所以sin(α－β)＝．
所以cos
2α＝×－×＝－．
9．解：因为α，β均为锐角，
所以0<α<，0<β<，0<α＋β<π．
又cos(α＋β)＝－，
所以sin(α＋β)＝＝．
由cos
α＝，得sin
α＝＝，
所以cos
β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos
α＋sin(α＋β)sin
α＝－×＋×＝．
又因为β是锐角，所以β＝．3.1.1
两角和与差的余弦
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.(高考全国卷Ⅰ，文1)已知向量a、b满足｜a｜=1，｜b｜=4，且a·b=2，则a与b的夹角为（
）
A.
B.
C.
D.
解析：∵a·b=|a||b|cos〈a,b〉，2=1×4cos〈a,b〉，
∴cos〈a,b〉=，〈a,b〉=.
答案:C
2.(高考湖北卷，理1)已知向量a=（，1），b是不平行于ｘ轴的单位向量，且a·b=，则b等于（
）
A.（，）
B.(,)
C.(,)
D.（1，0）
解析：A答案中的b不满足a·b=，C答案中的b不是单位向量，D答案中的b平行于x轴，所以淘汰A、C、D，而B答案满足题设所有条件.
答案:B
3.不查表求值：cos80°cos20°+sin80°sin20°=_____________.
解析：原式=cos（80°-20°)=cos60°=.
答案:
4.化简：cos（x+y）cos（x-y）-sin（x+y）sin（x-y）=______________.
解析：原式=cos［（x+y)+（x-y)］=cos2x.
答案:cos2x
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.sin22°sin23°-cos23°cos22°的值为（
）
A.
B.
C.
D.
解析：利用两角和的余弦公式，M=-（cos23°cos22°-sin23°sin22°)=-cos（23°+22°)=-cos45°=.
答案:D
2.sin75°cos45°+sin15°sin45°的值为（
）
A.
B.
C.
D.-1
解：先用诱导公式sinα=cos（90°-α)得sin75°=cos15°，再用两角差的余弦公式：
sin75°cos45°+sin15°sin45°=cos15°cos45°+sin15°sin45°=cos（45°-15°)=cos30°=.
答案:C
3.满足cosαcosβ=+sinαsinβ的一组α、β的值是（
）
A.α=,β=
B.α=,β=
C.α=,β=
D.α=,β=
解析：由cosαcosβ=+sinαsinβ,得cosαcosβ-sinαsinβ=，利用两角和的余弦公式得cos（α+β)=，∴α+β=2kπ±（k∈Z).
答案:A
4.(2005重庆高考卷,文2)（cos-sin）（cos+sin）=________________.
解析：（cos-sin)（cos+sin)=cos·cos-sin·sin=cos（+)=cos=.
答案:
5.cos15°+sin15°=______________.
解：cos15°+sin15°=cos60°cos15°+sin60°sin15°=cos（60°-15°)=cos45°=.
答案:
6.已知cos（α-β）cosα+sin（α-β）sinα=m，且β为第三象限角，求sinβ的值.
解：由于cos（α-β)cosα+sin（α-β)sinα中视α-β为一个角时由两角差的余弦公式，可求出cosβ，再由同角三角函数的基本关系式求出sinβ.
∵cos（α-β)cosα+sin（α-β)sinα=m.
∴cos（α-β-α)=m.
∴cosβ=m.而β为第三象限角，
∴sinβ=.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.下列四个命题中的假命题是（
）
A.存在这样的α和β的值使得cos（α+β）=cosαcosβ+sinαsinβ
B.不存在无穷多个α和β的值使得cos（α+β）=cosαcosβ+sinαsinβ
C.对任意的α和β有cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ
D.不存在这样的α和β的值使得cos（α+β）≠cosαcosβ-sinαsinβ
解析：由于选项C是公式，故选项C、D显然正确，对于选项A，可令α=2kπ，k∈Z，β=2kπ+时，cos（2kπ+2kπ+)=0，cos2kπ·cos（2kπ+)+sin2kπsin（2kπ+)=0，因此存在无数多个α、β，使得cos（α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ，但不是对任意的α、β均成立，所以选项A也是真命题.
答案:B
2.已知cos（α+β）+cos（α-β）=，则cosαcosβ的值为（
）
A.
B.
C.
D.
解析：由两角和与差的余弦公式cos（α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ,
cos（α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ，
所以cos（α+β)+cos（α-β)=cosαcosβ-sinαsinβ+cosαcosβ+sinαsinβ=2cosαcosβ=，
∴cosαcosβ=.
答案:D
3.sin163°sin223°+sin253°sin313°等于（
）
A.
B.
C.
D.
解析：原式=sin163°sin223°+sin（90°+163°)sin（90°+223°)=sin163°sin223°+cos163°cos223°
=cos（223°-163°)=cos60°=.
答案:B
4.已知sinα+sinβ+sinγ=0，cosα+cosβ+cosγ=0，则cos（α-β）的值是（
）
A.1
B.-1
C.
D.
解析：由已知可得sinα+sinβ=-sinγ，
①
cosα+cosβ=-cosγ.
②
①2+②2,得2+2cos（α-β)=1.
∴cos（α-β)=.
答案:D
5.(2006内蒙古包头一模，6)向量a=(2cosα,2sinα)，b=(3cosβ,3sinβ)，a与b的夹角为60°，则直线xcosα-ysinα=与(x-cosβ)2+(y+sinβ)2=的位置关系是（
）
A.相切
B.相交
C.相离
D.随α、β的值而定
解析：cos〈a,b〉==cos(α-β)=.
圆心(cosβ,-sinβ)到直线的距离为=0，
所以圆心在直线上，圆与直线相交.
答案:B
6.cos（54°-x）cos（36°+x）-sin（54°-x）sin（36°+x）=____________.
解析：cos（54°-x)cos（36°+x)-sin（54°-x)sin（36°+x)=cos［（54°-x)+（36°+x)］=cos90°=0.
答案:0
7.若cosα+cosβ=，sinα+sinβ=，则cos（α-β）的值为_______________.
解析：将两条件等式平方后相加，得（cos2α+sin2α)+（cos2β+sin2β)+2（cosαcosβ+sinαsinβ)=.
∴2+2cos（α-β)=，cos（α-β)=.
答案:
8.函数y=sinx+cosx的值域为______________.
解析：y=sinx+cosx=2(cosxcos+sinxsin)=2cos(x)∈［-2,2］.
答案:［-2,2］
9.已知cos(α+β)=,cos(α-β)=,＜α+β＜2π,＜α-β＜π,求cos2α.
解:cos2α=cos［(α+β)+(α-β)］=cos(α+β)cos(α-β)-sin(α+β)sin(α-β),
∵＜α+β＜2π,
∴sin(α+β)=.
又∵＜α-β＜π,
∴sin(α-β)=.
∴cos2α=×()-()×.
10.已知cos（α+β）=，cos（α-β）=,求tanαtanβ的值.
解:由
①+②,得cosαcosβ=,
②-①,得sinαsinβ=.
∴tanαtanβ=.3.1
和角公式
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.化简cos(α-β)cosβ-sin(α-β)sinβ的结果为（
）
A.1
B.cosα
C.sinα
D.cos(α-2β)
提示：逆用两角和的余弦公式.
答案:B
2.若sinαcosβ=，则cosαsinβ的取值范围是（
）
A.［-1，］
B.［，1］
C.［］
D.［，］
解析：sinαcosβ+cosαsinβ=sin（α+β)∈［-1，1］,
①
sinαcosβ-cosαsinβ=sin（α-β)∈［-1，1］,
②
由①≤cosαsinβ≤，
由②≤cosαsinβ≤，
∴≤cosαsinβ≤.
答案:D
3.若sin（α-β）cosα-cos（α-β）sinα=m，且β为第二象限角，则cosβ的值为（
）
A.
B.
C.
D.
解析：由sin（α-β)cosα-cos（α-β)sinα=m，
得sin［（α-β)-α］=m，
∴sin（-β)=m,
∴sinβ=-m.
又β为第二象限角，
∴cosβ=.
答案:B
4.(2006高考陕西卷，13)cos43°cos77°+sin43°cos167°的值为_______________.
解析：cos43°cos77°+sin43°cos167°=sin13°cos43°-cos13°sin43°=sin(13°-43°)=sin(-30°)=.
答案:－
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.设α∈（0，），β∈（，π），若cosβ=，sin（α+β）=，则sinα等于（
）
A.
B.
C.
D.
解析：∵α∈（0，)，β∈（，π)，
∴α+β∈（，).
又sin（α+β)=，
∴cos（α+β)=.又cosβ=，
∴sinβ=.
∴sinα=sin［（α+β)-β］=sin（α+β)·cosβ-cos（α+β)·sinβ
=·（-
)-（)·
=.
答案:C
2.已知△ABC中，若tanA=成立，则△ABC为（
）
A.等腰三角形
B.A=60°的三角形
C.等腰三角形或A=60°的三角形
D.不确定
解析：由tanA=，得
，
∴sinAsinC-sinAsinB=cosAcosB-cosAcosC.
∴cosAcosB+sinAsinB=cosAcosC+sinAsinC.
∴cos（A-B)=cos（A-C).
∴A-B=A-C或A-B=C-A.
∴B=C或2A=B+C.
由2A=B+C且A+B+C=180°,得A=60°.
答案:C
3.若，则cot（+α）=_____________.
解析：=cot（+α)=.
答案:
4.计算=_______________.（用数字作答）
解析：
=-tan15°=-tan(45°-30°)=.
答案:
5.化简:-2cos（α-β）.
解：-2cos(α-β)
.
6.已知cos（θ-α）=a，sin（θ-β）=b，求证：cos2（α-β）=a2+b2-2absin（α-β）.
证明：由cos（θ-α)=a得cosθcosα+sinθsinα=a,
①
由sin（θ-β)=b得sinθcosβ-cosθsinβ=b,
②
①×sinβ+②×cosα得sinθcos（α-β)=asinβ+bcosα,
③
①×cosβ-②×sinα得cosθcos（α-β)=acosβ-bsinα,
④
③2+④2得cos2（α-β)=a2+b2+2ab（sinβcosα-cosβsinα)=a2+b2-2absin（α-β)，
∴结论成立.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.（1+tan17°）（1+tan18°）（1+tan27°）（1+tan28°）的值是（
）
A.2
B.4
C.8
D.16
解析：tan（α+β)=，当α+β=45°时，tanα+tanβ=1-tanαtanβ，
∴tanα+tanβ+tanαtanβ+1=2.
∴（1+tanα)（1+tanβ)=2.
∴（1+tan17°)（1+tan18°)=2，（1+tan27°)（1+tan28°)=2.
答案:B
2.y=3sin（x+10°）+5sin（x+70°）的最大值是（
）
A.
B.
C.7
D.8
解析：y=3sin（x+10°)+5sin（x+70°)
=3sin（x+10°)+5sin（x+10°+60°)
=3sin（x+10°)+5sin（x+10°)cos60°+5cos（x+10°)sin60°
=
sin（x+10°)+cos（x+10°)，
∴y的最大值为（)2+（)2=7.
答案:C
3.已知sin（x-y）cosy+cos（x-y）siny≥1，则x、y的取值范围分别是（
）
A.不存在
B.x=2kπ+,k∈Z，y∈R
C.x∈R，y=2kx+,k∈Z
D.x、y∈R
解析：由sin（x-y)cosy+cos（x-y)siny≥1得sinx≥1，又-1≤sinx≤1，
∴sinx=1，x=2kπ+,k∈Z.
答案:B
4.设a，b∈R，a2+2b2=6，则a+b的最小值是（
）
A.
B.
C.-3
D.
解：由a2+2b2=6，可设a=cosα，b=sinα，
∴a+b=cosα+sinα=3（cosα+sinα)
=3sin（θ+α)（其中，sinθ=，cosθ=
).
∴a+b的最小值为-3.
答案:C
5.(2006高考福建卷，理3)已知α∈(,π)sinα=，则tan(α+)等于（
）
A.
B.7
C.
D.-7
解析：∵α∈(,π),sinα=,∴cosα=,tanα=.
∴tan(α+)=.
答案:A
6.(tan10°-)=____________.
解析：原式==-2.
答案:-2
7.在△ABC中，tanAtanB＞1，则△ABC为___________三角形.
解析：由于tanAtanB＞1，
∴A、B均为锐角，tan（A+B)=＜0.
而tanC=-tan（A+B)＞0，∴C为锐角.
答案:锐角
8.(2006高考江西卷，文13)已知向量a=（1，sinθ），b=（1，cosθ），则｜a-b｜的最大值为___________.
解析：由题意得a-b=(0,sinθ-cosθ)，
则｜a-b｜=｜sinθ-cosθ｜=
|sin(θ-
)|≤2.
故｜a-b｜的最大值为.
答案:
9.如图3-1-1，矩形ABCD中，AB=a，BC=2a，在BC上取一点P，使AB+BP=PD，求tan∠APD的值.
图3-1-1
解：设BP=x，则PC=2a-x，设∠BPA=α，∠DPC=β，
由于AB+BP=PD，∴a+x=,得x=.
∴tanα=，tanβ=.
∴tan（α+β)==-18.
∴tan∠APD=tan［180°-（α+β)］=18.
10.已知3sinβ=sin（2α+β），α≠kπ+，α+β≠kπ+，k∈Z，求证：tan（α+β）=2tanα.
证明：由3sinβ=sin（2α+β)，
∴3sin（α+β-α)=sin（α+β+α).
∴3sin（α+β)cosα-3cos（α+β)sinα
=sin（α+β)cosα+cos（α+β)sinα.
∴2sin（α+β)cosα=4cos（α+β)sinα.
又α≠kπ+，α+β≠kπ+，k∈Z，
∴cosα≠0，cos（α+β)≠0.
∴,
即tan（α+β)=2tanα.
快乐时光
化学课开始了，老师经过一通理论说教后，进入了实验阶段.“同学们注意了，”老师郑重其事地说：“我手上有一块银元，现在我要把它投进这杯硫酸里面，回想一下我刚才讲过的内容，银元会溶解吗？”立即有一声音答道：“不会.”“为什么？”老师追问道.该学生：“如果银元会溶解的话，您一定舍不得投进硫酸里面.”3.1.1
两角和与差的余弦
课后导练
基础达标
1.cos(-15°)的值为（
）
A.
B.
C.
D.
解析：cos(-15°)=cos15°=cos(45°-30°)=cos45°·cos30°+sin45°·sin30°=.
答案：C
2.cos78°·cos18°+sin78°·sin18°的值为（
）
A.
B.
C.
D.
解析：原式=cos(78°-18°)=cos60°=.
答案：A
3.化简cos(α+β)·cosα+sin(α+β)·sinα得（
）
A.cosα
B.cosβ
C.cos(2α+β)
D.sin(2α+β)
解析：原式=cos(α+β-α)=cosβ.
答案：B
4.若sinα-sinβ=1-,cosα-cosβ=-,则cos(α-β)的值为（
）
A.
B.
C.
D.1
解析：将两式平方后相加，可得2-2(cosαcosβ+sinαsinβ)=2-,即有cos(α-β)=.
答案：B
5.若sin(π+θ)=,θ是第二象限角，sin(+φ)=,φ是第三象限角，则cos(θ-φ)的值是（
）
A.
B.
C.
D.
解析：由sin(π+θ)=,得sinθ=,又θ是第二象限角，得cosθ=.
由sin(+φ)=,得cosφ=,又φ是第三象限角,得sinφ=,
则cos(θ-φ)=cosθcosφ+sinθsinφ=.
答案：B
6.若cos（α-β）=,则(sinα+sinβ)2+(cosα+cosβ)2=___________.
解析：(sinα+sinβ)2+(cosα+cosβ)2=2+2cos(α-β)=.
答案：
7.在△ABC中，若sinAsinB解析：∵sinAsinB∴cos(A+B)>0.又A+B+C=π,
∴cos(π-C)>0.∴cosC<0.
∴△ABC为钝角三角形.
答案：钝角三角形
8.已知α、β均为锐角，则sinα=，cosβ=，则α-β的值为_________.
解析：∵α、β均为锐角，
∴cosα=.sinβ=.
又sinα∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=.
∴α-β=.
答案：
综合运用
9.已知tanα=,cos(α+β)=,α、β均为锐角，求cosβ的值.
解：∵tanα=,α为锐角，
∴sin2α=48cos2α=48(1-sin2α).
∴sinα=.∴cosα=.
又cos(α+β)=，及0°<α+β<180°,
∴sin(α+β)=.
∴cosβ=cos［(α+β)-α］=cos(α+β)·cosα+sin(α+β)sinα=×+×=.
10.已知锐角α、β满足sinα=,sin(α+β)=,求β.
解：由已知锐角α、β满足sinα=,sin(α+β)=，得
cosα=,
又sinα>sin(α+β),故α+β必为钝角，
∴cos(α+β)=-.
∴cosβ=cos［(α+β)-α］=cos(α+β)cosα+sin(α+β)·sinα=×+×=.
∴β=60°.
11.使cosx-sinx=有解，其中x∈［-,］,求m的范围.
解：由cosx-sinx=,得2cos(+x)=.
由x∈［-,］,则+x∈［,］,
∴2cos(+x)∈［-,2］.
∴-≤≤2.
解得≤m≤3+.
拓展探究
12.重量为G的小车在地面上，卷扬机通过定滑轮牵引着它（如图），若设小车和地面间的动摩擦因数为μ，问牵引角φ多大时，用力最小？
解：可由物理学中的受力分析作图,由平衡条件得
即得F=
(μ=tanα),
要使F最小,分母应最大,即cos(α-φ)=1,即α=φ.
又tanα=μ,所以当φ=arctanμ时,F最小,
最小值为Fmin==Gsinα=Gsinφ.