向量在几何中的应用、向量在物理中的应用
1．和直线3x－4y＋7＝0平行的向量a及与此直线垂直的向量b分别是( )
A．a＝(3,4)，b＝(3，－4)
B．a＝(－3,4)，b＝(4，－3)
C．a＝(4,3)，b＝(3，－4)
D．a＝(－4,3)，b＝(3,4)
2．在△ABC中，有命题：
①－＝；②＋＋＝0；③若(＋)·(－)＝0，则△ABC为等腰三角形；④若·＞0，则△ABC为锐角三角形．
上述命题正确的是( )
A．①②
B．①④
C．②③
D．②③④
3．一条渔船距对岸4
km，它以2
km/h的速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际航程为8
km，则河水的流速为( )
A．km/h
B．2
km/h
C．km/h
D．3
km/h
4．已知△ABC的三个顶点A，B，C和平面内一点P，且＋＋＝，则点P与△ABC的位置关系是( )
A．P在△ABC内部
B．P在△ABC外部
C．P在AB边上或其延长线上
D．P在AC边上
5．已知向量＝(4，－5)，＝(－7,9)分别表示两个力f1，f2，则f1＋f2的大小为__________．
6．在△ABC中，A(－1,2)，B(3,1)，C(2，－3)，则AC边上的高所在的直线方程为__________．
7．若正方形ABCD的边长为1，点P在线段AC上运动，则·(＋)的最大值是__________．
8．如图所示，若D是△ABC内一点，且AB2－AC2＝DB2－DC2，求证：AD⊥BC．
9．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．
(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长．
(2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值．
参考答案
1．答案：C
2．解析：对于①，应有－＝，故①错误．对于④，由·＞0，得||||cos
A＞0，所以cos
A＞0.所以A为锐角．但B或C是否为锐角，不能确定，故④错误．②③是正确的．
答案：C
3．解析：如图所示，设河水流速为|v1|，实际航向与水流方向的夹角为α，则sin
α＝，所以α＝30°，|v1|＝＝(km/h)，即水流速度为km/h.
答案：A
4．解析：∵＋＋＝，
∴＋＝＋＝，
即＝2.
∴A，C，P三点共线，即点P在AC边上．
答案：D
5．解析：f1＋f2＝＋＝(－3,4)，
所以|f1＋f2|＝＝5.
答案：5
6．解析：与AC边平行的向量为＝(3，－5)，设P(x，y)是所求直线上任意一点，则＝(x－3，y－1)，所以AC边上的高所在的直线方程为·(x－3，y－1)＝0，即3x－5y－4＝0.
答案：3x－5y－4＝0
7．答案：
8．证明：设＝a，＝b，＝e，＝c，＝d，
则a＝e＋c，b＝e＋d，
∴a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)2＝c2＋2e·c－2e·d－d2.
由已知得a2－b2＝c2－d2，
∴c2＋2e·c－2e·d－d2＝c2－d2，
∴e·(c－d)＝0.
∵＝＋＝d－c，
∴·＝e·(d－c)＝0.
∴⊥，
∴AD⊥BC．
9．解：(1)由题设知＝(3,5)，＝(－1,1)，则＋＝(2,6)，－＝(4,4)．
所以|＋|＝2，|－|＝4.
故所求的两条对角线长分别为4，2.
(2)由题设知＝(－2，－1)，－t＝(3＋2t，5＋t)．
由(－t)·＝0，得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0.
化简得5t＝－11，解得t＝－，即t的值为－.2.4.1
向量在几何中的应用
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.在边长为1的等边△ABC中，若=a，=b，=c，则a·b+b·c+c·a等于（
）
A.
B.
C.3
D.0
解析：依题意，得a·b+b·c+c·a=3|a|2·cos120°=-.
答案：B
2.四边形ABCD中，若=，则四边形ABCD是（
）
A.平行四边形
B.梯形
C.菱形
D.矩形
解析：由=AB∥CD且AB≠CD，故四边形为梯形，选B.
答案：B
3.平面上不共线的三点A、B、C使得+所在的直线和-所在的直线恰好互相垂直，则△ABC必为_________________三角形.
解析：如图所示，作ABCD，易知+=，-=-=.依题意知BD与AC互相垂直，故ABCD为菱形，从而△ABC为等腰三角形，∠B为顶角.
答案：等腰
4.通过点A(3，2)且与直线l：4x-3y+9=0平行的直线方程为________________.
解：因向量(4，-3)与直线l垂直，所以向量n=(4，-3)与所求直线垂直.
设P(x，y)为所求直线上的一动点，则=(x-3，y-2)，点P在所求直线上.当且仅当n·=0，即4(x-3)+(-3)(y-2)=0时，化简得4x-3y-6=0.
答案：4x-3y-6=0
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.在△ABC中，有命题：
①-=；②++=0；③若(+)·(-)=0，则△ABC为等腰三角形；④若·＞0，则△ABC为锐角三角形.
上述命题正确的是（
）
A.①②
B.①④
C.②③
D.②③④
解析：对于①，应有-=，故①错;对于④，由·＞0有||||cosA＞0，
∴cosA＞0.∴A为锐角.但B或C是否为锐角，不能肯定，故④错.②③是正确的.
答案：C
2.设e是单位向量，=2e，=-2e，||=2，则四边形ABCD是（
）
A.梯形
B.菱形
C.矩形
D.正方形
解析：由=2e，=-2e，得ABCD.故为平行四边形.又||=2，||=2，∴四边形ABCD为菱形.
答案：B
3.直线3x+2y-6=0与向量n=(-2，3)的位置关系为（
）
A.平行
B.相交
C.垂直
D.重合
解析：由题知n=(-2，3)是直线3x+2y-6=0的方向向量，所以选A.
答案：A
4.过点A(3，-2)垂直于向量n=(5，-3)的直线方程是_______________.
解析：设此直线方程为5x-3y+c=0，因为直线过A(3，-2)，
∴5×3-3×(-2)+c=0.∴c=-21，即直线方程为5x-3y-21=0.
答案：5x-3y-21=0
5.如图2-4-1，若D是△ABC内的一点，且AB2-AC2=DB2-DC2，求证：AD⊥BC.
图2-4-1
证明：设=a，=b，=e，=c，=d，
则a=e+c，b=e+d，
∴a2-b2=(e+c)2-(e+d)2=c2+2e·c-2e·d-d2.
由已知a2-b2=c2-d2，∴c2+2e·c-2e·d-d2=c2-d2,
∴e·(c-d)=0.
∵=+=d-c，
∴·=e·(d-c)=0.∴⊥，即AB⊥BC.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.在△AOB中，=(2cosα，2sinα)，=(5cosβ，5sinβ)，若·=-5，则S△AOB等于(
)
A.
B.
C.
D.
解析：||=2，||=5，cosθ=，
∴θ=120°.
∴S△AOB=||·||sinθ=.
答案：D
2.在平面上有A、B、C三点，设m=+，n=-，若m与n的长度恰好相等，则有（
）
A.A、B、C三点必在同一条直线上
B.△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角
C.△ABC必为直角三角形且∠B=90°
D.△ABC必为等腰直角三角形
解析：如图所示，作出ABCD，其中+=，-=-=.由于|m|=|n|，因此||=||，即ABCD的对角线AC与BD相等，故ABCD为矩形.所以△ABC为直角三角形，其中∠B=90°.
答案：C
3.和直线3x-4y+7=0平行的向量a及垂直的向量b分别是(
)
A.a=(3，4)，b=(3，-4)
B.a=(-3，4)，b=(4，-3)
C.a=(4，3)，b=(3，-4)
D.a=(-4，3)，b=(3，4)
解析：由课本例题结论可知与直线Ax+By+C=0垂直的向量为(A，B)，平行的向量为(-B，A).
答案：C
4.已知△ABC的三个顶点A，B，C和平面内一点P，且++=，则P与△ABC的位置关系是(
)
A.P在△ABC内部
B.P在△ABC外部
C.P在AB边上或其延长线上
D.P在AC边上
解析：∵++=，∴+=+=，即=2.
∴A，C，P三点共线，即P在边AC上.
答案：D
5.已知A(2，3)，B(3，4)，C(1，5)，则△ABC的重心G的坐标为(
)
A.(4，2)
B.(2，4)
C.(-4，2)
D.(-2，4)
解析：由三角形的重心坐标公式,得若G(x，y)，即G(2，4).
答案：B
6.已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA=∠DAB=90°，CD=DA=AB，则AC与BC的位置关系是(
)
A.平行
B.垂直
C.共线
D.不确定
解析：以A为原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，如图所示，设AD=1，
则A(0，0)，B(2，0)，C(1，1)，D(0，1)，
∴=(-1，1)，=(1，1)，·=-1×1+1×1=0.
∴⊥,即BC⊥AC.
答案：B
7.(2006高考福建卷，理11)已知||=1，||=3，·=0，点C在∠AOB内，且∠AOC=30°,设=m+n(m、n∈R)，则等于(
)
A.
B.3
C.
D.
解析：∵||=1，||=，·=0，
∴△ABC为直角三角形，其中AC=AB=.
=+=OA+=+
(-)==,
∴m=,n=,即=3.
答案：B
8.已知O(0，0)和A(6，3)两点，若点P在直线OA上，且，又P是线段OB的中点，则点B的坐标是______________.
解析：设D(x，y)，由定比分点公式x=，则P(2，1).又由中点坐标公式，可得B(4，2).
答案：(4，2)
9.在△ABC中，A(-1，2)，B(3，1)，C(2，-3)，则AC边上的高所在直线方程为____________.
解析：与AC边平行的向量为：=(3，-5)，设P(x，y)是所求直线上任意一点，=(x-3，y-1)，所以AC边上的高所在的直线方程为·(x-3，y-1)=0，即3x-5y-4=0.
答案：3x-5y-4=0
10.以原点O和A(4，2)为两顶点作等腰直角三角形OAB，∠OBA=90°，求点B的坐标和向量.
解：设B(x，y)，则=(x，y)，=(x-4，y-2)，∵∠OBA=90°，即⊥，·=0，
∴x(x-4)+y(y-2)=0，即x2+y2-4x-2y=0.
①
设OA的中点为C，则C(2，1)，=(2，1)，=(x-2，y-1)，
在等腰直角△ABC中，⊥，
∴2(x-2)+y-1=0，即2x+y-5=0.
②
联立①②解得
故B点的坐标为(1，3)或(3，-1)；
当B(1，3)时，=(-3，1);
当B(3，-1)时，=(-1，-3).
11.如图2-4-2，已知△ABC中，||=，||=4，||=，MN是以点A为圆心，为半径的圆的直径，求·的最大值、最小值，并指出取最大值、最小值时向量的方向.
图2-4-2
解：在△ABC中，
∵cosA=，
∴·=||||cosA=5.
∴·=(-)·(-)=(-)·(--)
=-||2+(-)·+·=3+·.
(1)当与同向时，·=·=6.此时·取最大值9.
(2)当与反向时，·=-6，此时·取最小值-3.2.4.2
向量在物理中的应用
课后导练
基础达标
1.设AM是△ABC的边BC上的中线，若=a,=b,则等于（
）
A.a-b
B.b-a
C.a+b
D.a+b
解析：如图,∵=b,M是BC的中点,
∴=b,
∴=a+b.∴应选D.
答案：D
2.如右图，已知ABCDEF是一正六边形，O是它的中心，其中=a,=b,=c,则等于（
）
A.a+b
B.b-a
C.c-b
D.b-c
解析：由图知=，又=b-c,
∴=b-c.
∴应选D.
答案：D
3.向量a、b共线的有（
）
①a=2e,b=-2e
②a=e1-e2,b=-2e1+2e2
③a=4e1-e2,b=e1-e2
④a=e1+e2,b=2e1-2e2
A.①②③
B.②③④
C.①③④
D.①②③④
解析：①a=-b，∴a、b共线.∴①正确.
②b=-2a,
∴a、b共线.∴②正确.
③a=4(e1-e2)=4b,
∴a、b共线.∴③正确.
④a、b向量显然不共线.
∴应选A.
答案：A
4.设=（a+5b),=-2a+8b,=3(a-b),则共线的三点是（
）
A.A、B、C
B.B、C、D
C.A、B、D
D.A、C、D
解析：∵+==（-2a+8b)+3(a-b)=a+5b,
∴=.又与有公共点B，
∴A、B、D三点共线.
答案：C
5.若O为ABCD的中心，=4e1，=6e2,则3e2-2e1等于（
）
A.
B.
C.
D.
解析：由于=-4e1,由平行四边形法则知6e2-4e1=,∴3e2-2e1=.∴应选B.
答案：B
6.设=a，=b,=c，当c=λa+μb(λ、μ∈R,且λ+μ=1）时，点C在（
）
A.线段AB上
B.直线AB上
C.直线AB上，但除去点A
D.直线AB上，但除去点B
解析：∵λ+μ=1，
∴λ=1-μ,则c=λa+μb=(1-μ)a+μb=a+μ(b-a).
∵b-a=,
∴c=a+μ,即c-a=μ.
∵c-a=,
∴=μ.
当≠0时，、又有公共点A.
∴A、B、C三点共线.∴应选D.
答案：D
7.如图，已知两个力F1、F2的夹角为直角，且已知它们的合力F与F1的夹角是60°，|F|=10
N，求F1和F2的大小.
解:|F1|=|F|·cos60°=10×=5
N,
|F2|=|F|·sin60°=10×
N.
∴F1的大小为5
N，F2的大小为
N.
8.已知两恒力F1=（3，4），F2=（6，-5）作用于同一质点，使之由点A（20，15）移动到点B（7，0）.试求：
（1）F1、F2分别对质点所做的功；
（2）F1、F2的合力F对质点所做的功.
解:=（7，0）-(20,15)=(-13,-15).
(1)W1=F1·=（3，4）·（-13，-15）=-99（焦耳），
W2=F2·=(6,-5)·(-13,-15)=-3(焦耳).
(2)W=F·=（F1+F2）·=［（3,4）+(6,-5)］·（-13，-15）=（9，-1）·（-13，-15）=-102（焦耳）.
综合运用
9.在静水中划船的速度是每分钟40米，水流的速度是每分钟20米.如果从岸边O处出发，沿着水垂直于水流的航线到达对岸，试问小船的行进方向应指向哪里？
解:用向量的长度和方向分别表示水流的速度和方向，用表示船行进的方向，它的长度表示船的速度.以、为邻边作平行四边形OACB，连结OC.
依题意OC⊥OA，BC=OA=20，OB=40，
∴∠BOC=30°，船应沿上游与河岸夹角为60°的方向行进.
10.一艘船从A点出发以v1的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为v2，船实际航行的速度的大小为4
km/h，方向与水流间的夹角是60°，求v1和v2.
解:v1=v·sin60°=4×(km/h),v2=v·cos60°=4×=2(km/h).
∴v1的大小为
km/h，v2的大小为2
km/h.
11.平面上有两个向量e1=(1,0),e2=(0,1),今有动点P从P0（-1，2）开始沿着与向量e1+e2相同的方向做匀速直线运动，速度大小为|e1+e2|.另一点Q从Q0（-2，1）出发，沿着与向量3e1+2e2相同的方向做匀速直线运动，速度大小为|3e1+2e2|.设P、Q在t=0秒时分别在P0、Q0处，则当PQ⊥P0Q0时，求t的值.
解:∵P0（-1，2）、Q0（-2，-1），
∴=（-1，-3）.
又∵e1+
e2=（1，1），
∴|e1+e2|=
∵3e1+2e2=(3,2),
∴|3e1+2e2|=.
∴当t时刻时，点P的位置为（-1+t,2+t）,点Q的位置为（-2+3t,-1+2t）.
∴=(-1+2t,-3+t).
∵PQ⊥P0Q0,
∴(-1)·（-1+2t）+(-3)·(-3+t)=0.
∴t=2.
拓展探究
12.某人骑车以每小时a千米的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来；而当速度为2a时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向.
解：设a表示此人以每小时a千米的速度向东行驶的向量，无风时此人感到的风速为-a.
设实际风速为v，那么此时人感到的风速为v-a.
如下图，=-a,=-2a.
∵+=,∴=v-a.
这就是感到由正北方向吹来的风速.
又∵+=，
∴=v-2a.
于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是，
由题意知∠PBO=45°,PA⊥BO,BA=AO,可知△POB是等腰直角三角形.
∴PO=PB=a，即|v|=a.
∴实际风速是a的西北风.2.4
向量的应用
自我小测
1．作用在同一物体上的两个力|F1|＝5
N，|F2|＝4
N，它们的合力不可能是( )
A．2
N
B．5
N
C．9
N
D．10
N
2．和直线3x－4y＋7＝0平行的向量a及与此直线垂直的向量b分别是( )
A．a＝(3,4)，b＝(3，－4) B．a＝(－3,4)，b＝(4，－3)
C．a＝(4,3)，b＝(3，－4) D．a＝(－4,3)，b＝(3,4)
3．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(1,0)，B(2,2)，若点C满足＝＋t(－)，其中t∈R，则点C的轨迹方程为( )
A．(x－2)2＋(y－2)2＝2
B．x－y－1＝0 C．2x－y－1＝0
D．2x－y－2＝0
4．在△ABC中，有命题：
①－＝；②＋＋＝0；③若(＋)·(－)＝0，则△ABC为等腰三角形；④若·＞0，则△ABC为锐角三角形．
上述命题正确的是( )
A．①②
B．①④ C．②③
D．②③④
5．设O为△ABC内部的一点，且＋2＋3＝0，则△AOC的面积与△BOC的面积之比为( )
A．
B．
C．2
D．3
6．若正方形ABCD的边长为1，点P在线段AC上运动，则·(＋)的最大值是__________．
7．设坐标原点为O，已知过的直线交函数y＝x2的图象于A，B两点，则·的值为__________．
8．已知e1＝(1,0)，e2＝(0,1)，今有动点P从P0(－1,2)开始，沿着与向量e1＋e2相同的方向做匀速直线运动，速度大小为|e1＋e2|；另一动点Q从Q0(－2，－1)开始，沿着与向量3e1＋2e2相同的方向做匀速直线运动，速度大小为|3e1＋2e2|．设P，Q在t＝0
s时分别在P0，Q0处，问当⊥时所需的时间是多少？
9．已知AD，BE，CF是△ABC的三条高，DG⊥BE于点G，DH⊥CF于点H，如图所示，求证：HG∥EF．
参考答案
1．答案：D
2．答案：C
3．答案：D
4．解析：对于①，应有－＝，故①错误；对于④，由·＞0，得||||cos
A＞0，所以cos
A＞0．所以A为锐角．但B或C是否为锐角，不能确定，故④错误．②③是正确的．
答案：C
5．解析：设AC的中点为D，BC的中点为E，
则(＋)＋(2＋2)＝2＋4＝0，
所以＝－2，即O，D，E三点共线．
所以S△OCD＝2S△OCE，所以S△AOC＝2S△BOC．
答案：C
6．答案：
7．解析：设直线方程为y－＝kx，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得x2－kx－＝0，·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋
(x1x2)2＝(－1)＋×1＝－．
答案：－
8．解：e1＋e2＝(1,1),3e1＋2e2＝(3,2)，
如图，依题意，
得＝t(e1＋e2)＝(t，t)，
＝t(3e1＋2e2)＝(3t,2t)．
由P0(－1,2)，Q0(－2，－1)，
得P(t－1，t＋2)，Q(3t－2,2t－1)．
所以＝(－1，－3)，＝(2t－1，t－3)．
因为⊥，所以·＝0，
即2t－1＋3t－9＝0，解得t＝2
s．
故当⊥时所需的时间是2
s．
9．证明：因为⊥，⊥，
所以∥．同理∥．
设＝λ
(λ≠0)，
则＝λ，同理＝λ．
于是＝－＝λ(－)＝λ，
所以∥，即HG∥EF．2.4.2
向量在物理中的应用
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.下列各量中是向量的是（
）
A.密度
B.体积
C.电流强度
D.重力
解析：利用物理定义及向量的定义.
答案：D
2.已知两个力F1、F2的夹角为90°，它们的合力大小为10
N，合力与F1的夹角为60°，则F1的大小为（
）
A.N
B.5
N
C.10
N
D.N
解析：|F1|=|F|·cos60°=5.
答案：B
3.已知两个粒子A、B从同一源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为va=(4，3)，vb=(3，4)，则va在vb上的正射影为_______________.
解析：由题知va与vb的夹角θ的余弦值为cosθ=.
∴va在vb上的正射影为|va|cosθ=5×=.
答案：
4.一条河的两岸平行，河的宽度d=500
m，一艘船从A处出发到河对岸(如图2-4-3).已知船的速度|v1|=10
km/h，水流速度|v2|=2
km/h，问行驶最短航程时，所用时间是多少 为什么
图2-4-3
解：如果水是静止的，则船只要取垂直于河岸的方向行驶，就能使行驶的航程最短，所用时间最短.考虑到水的流速，要使船行驶最短航程，那么船的速度与水流速度的合速度v必须垂直于对岸，如下图.
|v|=≈9.8
km/h，θ=90°+arccos≈104°28′.
所以t=≈3.1
min.
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.某人先位移向量a：“向东走3
km，”接着再位移向量b：“向北走3
km，”则a+b为（
）
A.向东南走
km
B.向东北走
km
C.向东南走
km
D.向东北走
km
解析：由图知|a+b|=km.
答案：B
2.在重600
N的物体上系两根绳子，与铅垂线的夹角分别为30°、60°，重物平衡时，两根绳子拉力的大小分别为(
)
A.
B.150，150
C.，300
D.300，
解析：作OACB，使∠AOC=30°，∠BOC=60°，
在△OAC中，∠ACO=∠BOC=60°，∠OAC=90°，
||=||cos30°=N,
||=||sin30°=300
N
||=||=300
N.
答案：C
3.一条渔船距对岸4
km，以2
km/h的速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际航程为8
km，则河水的流速为（
）
A.
km/h
B.2
km/h
C.
km/h
D.3
km/h
解析：如图，设河水流速大小为v1，实际航向与水流方向的夹角为α，则sinα==，所以α=30°，v1=km/h，即水流速度大小为km/h.
答案：A
4.已知向量=(4，-5)，=(-7，9)分别表示两个力f1、f2，则f1+f2的大小为_____________.
解析：f1+f2=1+2=(-3，4)，
∴|f1+f2|==5.
答案：5
5.如图2-4-4,甲表示橡皮条在两个力的作用下，沿着GC的方向伸长了EO；图乙表示撤去F1和F2，用一个力F作用在橡皮条上，使橡皮条沿着相同的直线方向伸长相同的长度.改变力F1与F2的大小和方向，重复以上实验，可以得到F与F1、F2的关系为________________.
图2-4-4
解析：由向量的加法可得F=F1+F2，如图，实验验证了向量加法在力的分解中的应用.
答案：F=F1+F2
6.一自行车以6
m/s的速度向北行驶，这时骑车人感觉风自正西方吹来，但站在地面上测得风自西偏南方向吹来，试求：
(1)风相对于车的速度；
(2)风相对于地面的速度.
解：按相对速度概念，作速度向量如图，已知|v车地|=6
m/s，方向为正北，v风车与v风地的夹角为.由此可知
(1)风相对于车(即人)的速度的大小为|v风车|=|v车地|cot=m/s.
(2)风相对于地面的速度大小为|v风地|==12
m/s.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.用力f推动一物体水平运动s
m，设f与水平面夹角为θ，则它所做的功是(
)
A.f·s·cosθ
B.f·s
C.-|f|·s·cosθ
D.|f||s|cosθ
解析：W=|f||s|cosθ.
答案：D
2.所受重力为G的物体用绳子缚着，某人手拉着绳子在水平地面上拖走.若物体与地面滑动系数U=，那么绳子与地面所成角θ=____________时，所用拉力最少.（
）
A.30°
B.60°
C.90°
D.45°
解析：Fcosθ=(G-Fsinθ)，F=，
∴当θ=30°时，F取最小值其最小值为.
答案：A
3.已知作用在坐标原点的一个力F1=(3，4)，F2=(2，-5)，F3=(3，1)，则作用在原点的合力F1+F2+F3的坐标为（
）
A.(4，0)
B.(8，0)
C.(0，8)
D.(6，2)
解析：F1+F2+F3=(3，4)+(2，-5)+(3，1)=(8，0).
答案：B
4.一架飞机向北飞行300
km后改变航向向西飞行300
km，则飞行路程为_____________，两次位移和的方向为_____________，大小为_____________.(
)
A.300
km，北偏东45°，km
B.600
km，南偏东45°，km
C.600
km，北偏西45°，
km
D.km，北偏东45°，300
km
解析：路程为300+300=600
km，可按平形四边形(如图)作出位移及方向，知||=km，而∠BAC=45°.
答案：C
5.在静水中划船速度为每分钟40
m，水流速度为每分钟20
m，如果船从岸边A处出发，沿着垂直于水流的航线到达对岸，那么船应该沿上游与河岸夹角为___________的方向前进.（
）
A.30°
B.60°
C.90°
D.45°
解析：设水速对应向量，则||=20
m，静水中船速对应向量，则||=40
m，
而+=，由题意知△ADC为直角三角形，
sin∠DAC=.
∴∠DAC=30°.
∴船沿上游与河岸夹角为60°方向前进.
答案：B
6.(2006高考辽宁卷，12)设O(0，0)，A(1，0)，B(0，1)，点P是线段AB上的一个动点，=λ.若·≥?·,则实数λ的取值范围是（
）
A.≤λ≤1
B.≤λ≤1
C.≤λ≤
D.≤λ≤1+
解析：由=λ，可得P点坐标为(1-λ,λ)，若·≥·,可得(1-λ)×(-1)+λ≥λ(λ-1)+(-λ)(1-λ)，
即2λ2-4λ+1=0，得1-≤λ≤1+.
同时因为点P在线段AB上，所以0≤λ≤1.所以1-≤λ≤1.
答案：B
7.用两条成120°角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具重量为10
N，则每根绳子的拉力大小为_______________.
解析：由题意，知∠AOB=∠COB=60°，||=10，||=||=10.
答案：10
N
8.质量为m的物体静止地放在斜面上，斜面与水平面的夹角为α，则斜面对于物体的摩擦力f的大小为______________
N.
解析：物体受三个力：重力g，斜面对物体的支持力p，摩擦力f.
由于物体静止，
∴ｗ+f+p=0，设垂直于斜面斜下方、大小为1
N的力为e1，沿斜面下降方向、大小为1
N的力为e2，以e1，e2为基底，写出涉及三个力的坐标，则p=(-p，0)，f=(0，f)，
G=(mgcosα，mgsinα),
ｗ+f+p=(mgcosα-p，mgsinα-f)=(0，0),
故mgsinα-f=0，f=mgsinα(N).
答案：mgsinα
9.如图2-4-5，用两根绳子把重10
kg的物体W吊在水平杆子AB上,∠ACW=150°，∠BCW=120°,求A和B处所受力的大小(忽略绳子的重量).
图2-4-5
解：设A、B处所受力分别为f1、f2，10
kg的重力用f表示，则f1+f2=f.以重力作用点C为f1、f2的始点作平行四边形CFWE，使CW为对角线，则=f2，=f1，=f,
∠ECW=180°-150°=30°，∠FCW=180°-120°=60°，∠FCE=90°.
∴四边形CEWF为矩形.
∴||=||cos30°=10·=，||=||cos60°=10×=5.
∴A处所受力为
kg，B处所受力为5
kg.
10.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输.如图2-4-6所示，一艘船从长江南岸A点出发，以
km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2
km/h.
图2-4-6
(1)试用向量表示江水的速度、船速以及船实际航行的速度；
(2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与江水速度间的夹角表示).
解：(1)如图所示，表示船速，表示水速，以AD、AB为邻边作ABCD，则表示船实际航行的速度.
(2)在Rt△ABC中，||=2，||=，
∴||==4.
∵tan∠CAB=.
∴∠CAB=60°.
11.在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这种现象吗 并请同学们思考下面的问题：
(1)θ为何值时，|F1|最小，最小值是多少
(2)θ为何值时，|F1|=|G|
(3)如果|F|=588
N，|G|=882
N，θ在什么范围时，绳子才不会断
解：如图，由向量的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识，可以知道|F|=.
通过上面的式子，我们发现：当θ由0°到180°逐渐增大时，由0°到90°逐渐变大，cos的值由大逐渐变小，因此F由小逐渐变大，即F1、F2之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力.
由三角函数及表达式得：(1)θ=0时，|F1|最小，这时|F1|=；
(2)θ=120°时，|F1|=|G|；(3)0°≤θ＜82°.2.4.1
向量在几何中的应用
课后导练
基础达标
1.过点P′（1，2）且平行于向量a=（3，4）的直线方程为（
）
A.3x+4y-11=0
B.3x+4y+11=0
C.4x-3y+2=0
D.4x-3y-2=0
解析:设P（x,y)是直线上一点，则=(x-1,y-2),
∵∥a，∴4(x-1)-3(y-2)=0，
整理得4x-3y+2=0.
答案:C
2.过点A（2，3）且垂直于向量a=（2，1）的直线方程为（
）
A.2x+y-7=0
B.2x+y+7=0
C.x-2y+4=0
D.x-2y-4=0
解析:设P（x,y)是直线上一点，则=（x-2,y-3)，∵⊥a,
∴·a=0.
∴2(x-2)+(y-3)=0.
整理得2x+y-7=0.
答案:A
3.已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P且++=，则点P与△ABC的位置关系是（
）
A.P在△ABC内部
B.P在△ABC外部
C.P在AB边上或其延长线上
D.P在AC边上
解析：
∵++=,
∴+=+=,
即=2.
∴A、C、P三点共线，即P在边AC上.
答案：D
4.已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上（不包括端点A、C）,则等于（
）
A.λ(+）,λ∈(0,1)
B.λ(+）,λ∈(0,)
C.λ(-）,λ∈(0,1)
D.λ(-）,λ∈(0,)
解析：由向量运算法则=+及点P在对角线AC上，所以与同向，且||＜||.
故=λ（+），λ∈(0,1).
答案：A
5.已知A（1，2）、B（3，4）、C（5，0）,则sin∠BAC等于…（
）
A.
B.
C.
D.
解析:∵=(2,2),=(4,-2),
∴cos∠BAC=,
∴sin∠BAC=.
答案:A
6.ABCD三个顶点坐标分别为A（-2，1）、B（-1，3）、C（3，4）,则顶点D的坐标为（
）
A.（2，1）
B.（2，2）
C.（1，2）
D.（2，3）
解析:设D（x,y）,∵ABCD为平行四边形，
∴=，即（1，2）=（3-x,4-y）,
∴
∴D(2,2).
答案:B
7.在四边形ABCD中，=，且·=0，则四边形ABCD是（
）
A.平行四边形
B.菱形
C.矩形
D.正方形
解析:由=可得四边形ABCD为平行四边形，
又因为·=0，即⊥，所以∠B=90°.
所以四边形ABCD为矩形.
答案:C
8.三角形ABC三个顶点坐标为（4，1），（-1，6），（4，11），则△ABC是（
）
A.等腰三角形
B.既非等腰又非直角三角形
C.直角非等腰三角形
D.等腰直角三角形
解析:∵A（4，1），B（-1，6），C（4，11），
并且||=（-5，5），=（5，5），
∴·=-25+25=0，||=||.∴△ABC为等腰直角三角形.
答案:D
综合运用
9.已知平面上三点A、B、C满足||=3，||=4，||=5，则·+·+·=_____.
解析：∵||2+||2=||2，
∴△ABC为直角三角形.其中∠B=90°，
∴·+·+·=0+||||cos（π-∠C）+||||·cos（π-∠A）=-25.
答案：-25
10.设平面上有四个互异的点A、B、C、D，已知（+-2）·（-）=0，则△ABC的形状是_____.
解析：∵（+-2）·（-）=0，
∴（+）·（-）=0,
即||2-||2=0,||=||.
故△ABC为等腰三角形.
答案：等腰三角形
11.如下图所示,已知ABCD是菱形，AC和BD是它的两对角线，求证:AC⊥BD.
证法一：∵=+，=-，
∴·=（+）·（-）=||2-||2=0.
∴⊥.
证法二：以BC所在直线为x轴，B为原点建立坐标系.
设B（0，0），A（a,b),C(c,0),
则由||=||，得a2+b2=c2.
∵=-=（c-a,-b),
=+=(a+c,b),
∴·=c2-a2-b2=0.
∴⊥，即AC⊥BD.
拓展探究
12.如图，已知点L、M、N分别在△ABC的边BC、CA、AB上，且=l,=m,=n,
又++=0,求证:l=m=n.
证明：=+,=+,=+.
由已知=l,=m,=n,
∴++=(+)+(+)+(+)
=(++)+(l+m+n).
∵++=0,++=0,
∴l+m+n=0.
∴-l+m+n=0.
∴-l(-)+m+n=0.
∴(n-l)+(m-l)=0.
当n≠l时，=,∴A、B、C三点共线，与已知矛盾.
∴n=l,于是（m-l)=0.由≠0,知m=l,故l=m=n.
