2.3.1
向量数量积的物理背景与定义
自我小测
1．已知|b|＝3，a在b方向上的投影是，则a·b为( )
A．3
B．
C．2
D．
2．在Rt△ABC中，C＝90°，AC＝4，则·等于( )
A．－16
B．－8
C．8
D．16
3．下列命题中真命题的个数有( )
①|a·b|＝|a|·|b|；②a·b＝0 a＝0或b＝0；③|λa|＝|λ|·|a|；④λa＝0 λ＝0或a＝0．
A．1
B．2
C．3
D．4
4．设非零向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则〈a，b〉等于( )
A．150°
B．120°
C．60°
D．30°
5．如图，已知正六边形P1P2P3P4P5P6，下列向量的数量积中，最大的是( )
A．·
B．·
C．·
D．·
6．已知|a|＝10，|b|＝12，且(3a)·＝－36，则a与b的夹角为__________．
7．在△ABC中，已知||＝||＝4，且·＝8，则△ABC的形状为________．
8．已知平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为，以a，b为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条对角线的长度为__________．
9．若四边形ABCD满足＋＝0，且·＝0，试判断四边形ABCD的形状．
10．已知在△ABC中，＝c，＝a，＝b，若|c|＝m，|b|＝n，〈b，c〉＝θ．
(1)试用m，n，θ表示S△ABC；
(2)若c·b＜0，且S△ABC＝，|c|＝3，|b|＝5，则〈c，b〉为多少？
参考答案
1．答案：B
2．答案：D
3．答案：B
4．解析：如图所示．因为|a|＝|b|＝|c|，
所以△OAB是正三角形．所以〈a，b〉＝120°．
答案：B
5．解析：设正六边形的边长为a，则·＝，·＝a2，·＝0，·＝－．
答案：A
6．解析：(3a)·＝|a||b|cos〈a，b〉
＝×10×12cos〈a，b〉＝－36，
所以cos〈a，b〉＝－．
因为〈a，b〉∈[0°，180°]，所以a与b的夹角为120°．
答案：120°
7．答案：等边三角形
8．答案：
9．解：因为＋＝0，
所以＝，即AB∥DC，且AB＝DC，
所以四边形ABCD为平行四边形．
又因为·＝0，所以⊥，即AB⊥BC．
所以四边形ABCD为矩形．
10．解：(1)S△ABC＝AB·AC·sin∠CAB＝mnsin
θ．
(2)因为S△ABC＝＝|b||c|sin
θ，
所以＝×3×5sin
θ．所以sin
θ＝．因为c·b＜0，所以θ为钝角．所以θ＝150°，即〈c，b〉＝150°．2．3.2 向量数量积的运算律
知识点一：向量的数量积
1．已知向量a与b满足|a|＝3，|b|＝6，〈a，b〉＝，则a·b等于
A．－9 B．9 C．9 D．－9
2．已知非零向量m，n满足m·n≥0，则m与n夹角θ的取值范围是
A．[0，)
B．[0，]
C．[，π)
D．[，π]
3．一物体在力F的作用下沿水平方向由A运动至B，已知AB＝10米，F与水平方向成30°角，|F|＝5牛顿，则物体从A运动到B力F所做的功W＝__________________
________________________________________________________________________.
4．给出下列命题中，
①若a＝0，则对任一向量b，有a·b＝0；
②若a≠0，则对任意一个非零向量b，有a·b≠0；
③若a≠0，a·b＝0，则b＝0；
④若a·b＝0，则a、b至少有一个为0；
⑤若a≠0，a·b＝a·c，则b＝c；
⑥若a·b＝a·c，且b≠c，当且仅当a＝0时成立．
其中真命题为________．
5．(2010江西高考，文13)已知向量a，b满足|b|＝2，a与b的夹角为60°，则b在a上的投影是__________．
知识点二：向量数量积的性质及运算律
6．向量a，b、c满足a＋b＋c＝0且a⊥b，|a|＝1，|b|＝2，则|c|2等于
A．1
B．2
C．4
D．5
7．已知|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则向量a与b的夹角是
A.
B.
C.
D.
8．设平面上有四个互异的点A、B、C、D，已知(＋－2)·(－)＝0，则△ABC是
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．等边三角形
9．(2010湖南高考，文6)若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
10．设a，b，c为任意向量，m∈R，下列各式中
①(a－b)＋c＝a－(b－c)
②m(a＋b)＝ma＋mb
③(a－b)·c＝a·c－b·c
④(a·b)c＝a(b·c)
⑤|a·b|＝|a||b|
不成立的有________．
11．已知|a|＝1，|b|＝，设a与b的夹角为θ.
(1)若θ＝，求|a＋b|；
(2)若a与a－b垂直，求θ.
能力点一：有关数量积的计算问题
12．已知非零向量a，b，若(a＋2b)⊥(a－2b)，则等于
A.
B．4
C.
D．2
13．已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝12，则向量a在向量b上的正射影的数量为
A.
B．3
C．4
D．5
14．对于任意向量x和y，|x||y|与x·y的大小关系是
A．|x||y|≤x·y
B．|x||y|＞x·y
C．|x||y|≥x·y
D．|x||y|＜x·y
15．已知|a|＝2，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则|a－λb|的最小值为
A．4
B．2
C．2
D.
16．若|a|＝3，|b|＝5，且a＋λb与a－λb垂直，则λ＝________.
17．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，求a与b夹角的取值范围．
18.设平面内两个向量a与b互相垂直且|a|＝2，|b|＝1，又k与t是两个不同时为零的实数．
(1)若x＝a＋(t－4)b与y＝－ka＋tb互相垂直，求k关于t的函数解析式k＝f(t)；
(2)求函数k＝f(t)取最小值时的向量x、y.
能力点二：数量积的应用
19．一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为
A．6
B．2
C．2
D．2
20．(2010四川高考，理5)设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，2＝16，|＋|＝|－|，则||等于
A．8
B．4
C．2
D．1
21．(2010天津高考，文9)如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝，||＝1，则A·A等于
A．2
B.
C.
D.
22．在边长为的等边三角形ABC中，设＝c，＝a，＝b，则a·b＋b·c＋c·a＝________.
23．在△ABC中，设＝c，＝a，＝b，且a·b＝b·c＝c·a，试判断△ABC的形状．
24．在等腰直角三角形ABC中，∠C是直角，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上的一点，且AE＝2EB.求证：AD⊥CE.
答案与解析
基础巩固
1．A 2.B
3．75 W＝|F|·||·cos30°＝5×10×＝75.
4．①
5．1 b在a上的投影是|b|cos60°＝2×＝1.
6．D |c|2＝c2＝[－(a＋b)]2＝(a＋b)2＝|a|2＋|b|2＋2a·b，∵a⊥b，∴a·b＝0.∴|c|2＝1＋22＝5.
7．C
8．B (＋－2)·(－)＝[(－)＋(－)]·(－)＝(＋)·(－)＝||2－||2＝0，∴||＝||.
9．C 0＝(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2|a||b|cos〈a，b〉＋|b|2，
∵|a|＝|b|≠0，
∴2cos〈a·b〉＋1＝0，cos〈a，b〉＝－，〈a，b〉＝120°.
10．④⑤
11．解：(1)∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b
＝1＋()2＋2×1××cos＝3＋，∴|a＋b|＝.
(2)由条件得a·(a－b)＝0，∴a2＝a·b＝|a|·|b|·cosθ.
∴cosθ＝＝＝.
∴θ＝.
能力提升
12．D 因为(a＋2b)⊥(a－2b)，所以(a＋2b)·(a－2b)＝0.所以a2＝4b2.所以|a|＝2|b|.故＝2.
13．A 由于cos〈a，b〉＝＝＝，
∴|a|·cos〈a，b〉＝3×＝.
14．C
15．D ∵a·(b－a)＝a·b－|a|2＝a·b－4，∴a·b＝6.
|a－λb|2＝|a|2＋λ2|b|2－2λa·b＝4＋36λ2－12λ＝36(λ－)2＋3，
∴当λ＝时，|a－λb|2取最小值3.∴|a－λb|的最小值为.
16．± 由于(a＋λb)·(a－λb)＝0，
∴|a|2－λ2|b|2＝0.
∴λ2＝＝.
∴λ＝±.
17．解：设a与b的夹角为θ，根据题意得Δ≥0，即|a|2－4a·b≥0，
即|a|2－4|a||b|·cosθ≥0，
∴|a|2－4|a|×|a|·cosθ≥0.
∴cosθ≤.∴θ∈[，π]．
18．解：(1)∵a⊥b，∴a·b＝0.
又x⊥y，∴x·y＝0，
即[a＋(t－3)b]·(－ka＋tb)＝0.
－ka2－k(t－3)a·b＋ta·b＋t(t－3)b2＝0.
∵|a|＝2，|b|＝1，
∴－4k＋t2－3t＝0，
即k＝(t2－3t)．
(2)由(1)知，k＝(t2－3t)＝(t－)2－，
即函数最小值为－，此时t＝，
∴x＝a－b，y＝a＋b.
19．D 由已知得F1＋F2＋F3＝0，∴F3＝－(F1＋F2)．F＝(F1＋F2)2＝F＋F＋2|F1||F2|cos60°＝28.
∴|F3|＝2.
20．C 因为|＋|＝|－|，平方得·＝0，即⊥，
又2＝16，
所以||＝4.
所以||＝||＝2.
21．D 设||＝x，则||＝x，
·＝(＋)·＝·＝||·||·cos∠ADB＝x×1×＝.
22．－3
23．解：∵a·b＝b·c，
∴b·(a－c)＝0.
又b＝－(a＋c)，则有－(a＋c)·(a－c)＝0，
即c2－a2＝0，也即|c|＝|a|.
同理|b|＝|a|，故|a|＝|b|＝|c|.
所以△ABC为正三角形．
拓展探究
24．证明：方法一：·＝(＋)·(＋)
＝·＋·＋·＋·
＝－＋·()＋0＋·
＝－||2＋||||cos45°＋||||cos45°
＝－||2＋·||·||·＋·||·||·
＝－||2＋||2＋||2＝0.
∴⊥，即AD⊥CE.
方法二：设＝a，＝b.
由题设得|a|＝|b|，a·b＝0.
∵D为CB的中点，
∴＝b－a.
∵AE＝2EB，
∴＝＝(b－a)＝b－a.
∴＝＋＝a＋b－a＝a＋b.
∴·＝(b－a)(a＋b)
＝a·b－a·b＋b2－a2
＝(|b|2－|a|2)＝0.
∴⊥，即AD⊥CE.2.3.1
向量数量积的物理背景与定义
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.力使一个物体产生的位移为H，F与H的夹角为α，那么力F所做的功可表示为(
)
A.|F||H|sinα
B.|F||H|cosα
C.|F||H|tanα
D.|F||H|cotα
解析：由功的物理意义.
答案：B
2.以下命题中，不与“非零向量a、b夹角为钝角”等价的是（
）
A.非零向量a在非零向量b上的正射影为负值
B.非零向量a、b的内积为负值
C.非零向量a、b的长度皆小于a-b的长度
D.非零向量a、b的平方和大于a+b的平方
解析：由三角形法则知a、b、a-b恰构成一个三角形，
令|a|＜|b|＜|a-b|，且a与b夹角为锐角即可否定C选项的条件.
答案：D
3.已知|p|=2，|q|=3，且p与q的夹角为120°，则向量p在q方向上的正射影值为_____________；向量q在p方向上的正射影值为_____________.
解析：向量p在q方向上的正射影值为|p|sθ=2×cos120°=-1.
同理，|q|cosθ=3×cos120°=.
答案：-1
4.已知|a|=10，|b|=12，且(3a)·(b)=-36，则a与b的夹角为____________.
解析：(3a)·(b)=3|a||b|cos〈a，b〉
=3×10××12cos〈a，b〉=-36,∴cos〈a，b〉=.
∵cos〈a，b〉∈［0°，180°］.
∴cos〈a，b〉=120°.
答案：120°
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.下列命题正确的是(
)
A.若|a|=|b|，则a=b
B.若a、b为非零向量，则|a-b|＜|a+b|
C.若x、y满足|x+y|=|x|+|y|，则x·y=|x||y|
D.若x、y为非零向量，则x与y同向的条件是存在实数k，使得x=ky
解析：对于A，显然不成立；对于B，
|a-b|＜|a+b||a-b|2＜|a+b|2
(a-b)2＜(a+b)2a2+b2-2a·b＜a2+b2+2a·ba·b＞0，所以当a与b夹角为锐角时命题才能成立；
对于C，|x+y|=|x|+|y||x+y|2=(|x|+|y|)2(x+y)2=|x|2+|y|2+2|x||y|x2+y2+2x·y=
x2+y2+2|x||y|x·y=|x||y|，所以该命题正确；对于D，当且仅当k为正实数时才能成立.
答案：C
2.已知a、b都是单位向量，则下列结论中正确的是（
）
A.a·b=1
B.a2=b2
C.a∥ba=b
D.a·b=0
解析：单位向量是指模长为1的向量，对方向没有要求，因此夹角也无从得知，故A、C、D不正确，而|a|=，故B正确.
答案：B
3.在△ABC中，=a，=b，且a·b＞0，则△ABC为三角形.（
）
A.锐角
B.直角
C.钝角
D.等腰直角
解析：∵·＞0，∴·＜0，即∠ABC为钝角.
答案：C
4.若|a|=3，|b|=4，a，b的夹角为135°，则a·b等于(
)
A.
B.
C.
D.12
解析：∵a·b=|a||b|cos135°=3×4×()=.
答案：B
5.若|a|=2，b=-2a，则a·b=______________.
解析：|b|=2|a|=4，且b与a反向，∴〈a，b〉=180°.∴a·b=|a||b|cos180°=2×4×(-1)=-8.
答案：-8
6.已知|a|=4，|b|=5，当①a∥b；②a⊥b；③〈a，b〉=120°时，分别求a与b的数量积.
解：①a∥b，则a与b同向时，〈a，b〉=0°，此时a·b=|a||b|cos0°=4×5=20.
a与b反向时，〈a，b〉=180°，此时a·b=|a||b|cos180°=4×5×(-1)=-20.
②a⊥b时，a·b=0.
③〈a，b〉=120°，则a·b=|a||b|s〈a，b〉=4×5×()=-10.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.对任意向量x和y，|x||y|与x·y的大小关系是（
）
A.|x||y|≤x·y
B.|x||y|＞x·y
C.|x||y|≥x·y
D.|x||y|＜x·y
解析：设x与y夹角为θ，则x·y=|x||y|cosθ≤|x||y|·1=|x||y|.
特别地，当x或y等于0时，x·y=|x||y|=0；当θ=0°时，x·y=|x||y|.
答案：C
2.在△ABC中，若∠C=90°，AC=BC=4，则·等于(
)
A.16
B.8
C.-16
D.-8
解析：∵∠C=90°，AC=BC=4，故△ABC为等腰直角三角形，∴BA=，∠ABC=45°.
∴·=4×cos45°=16.
答案：A
3.(2006高考陕西卷，9)向量、满足()·=0且，则△ABC为(
)
A.等边三角形
B.直角三角形
C.等腰非等边三角形
D.三边均不相等的三角形
解析：由=∠A=60°.又由()·=0，
知∠A的平分线与BC垂直，所以△ABC为等边三角形.
答案：A
4.已知|a|=4，b在a方向上的正射影的数量为-8，则a·b等于(
)
A.16
B.32
C.-16
D.-32
解析：∵ab=|a||b|cos〈a，b〉=4×(-8)=-32.
答案：D
5.已知a·b=2，|a|=|b|=，则下面正确的是(
)
A.〈a，b〉=45°
B.a⊥b
C.a与b同向
D.a与b反向
解析：a·b=|a||b|cos〈a，b〉，即2=cos〈a，b〉，
∴cos〈a，b〉=1.
∴〈a，b〉=0°，即a∥b，且a与b同向.
答案：C
6.已知|a|=8，e为单位向量，当它们之间夹角为60°时，a在e方向上的正射影为(
)
A.-4
B.4
C.2
D.-2
解析：∵|a|cos60°=8×=4.
答案：B
7.若非零向量α，β满足|α+β|=|α-β|，则α与β所成角的大小为_____________.
解析：设=α，=β，作平行四边形ABCD，则α+β=，α-β=，
∴||=||.∴平行四边形ABCD为矩形.∴α⊥β.
答案：90°
8.已知a·b=，|a|=4，〈a，b〉=135°，则|b|=______________.
解析：a·b=|a||b|cos〈a，b〉，∴=4×|b|cos135°.∴|b|=6.
答案：6
9.若四边形ABCD满足+=0，且·=0，试判断四边形ABCD的形状.
解：∵+=0，∴=，即AB∥DC且AB=DC，∵四边形ABCD为平行四边形，
又∵·=0，∴⊥，即AB⊥BC.
∴四边形ABCD为矩形.
10.已知△ABC中，=c，=a，=b，
若|c|=m，|b|=n，〈b，c〉=θ,①试用m、n、θ表示S△ABC；
②若c·b＜0，且S△ABC=，|c|=3，|b|=5，则〈c，b〉为多少？
解：①S△ABC=AB·AC·sin∠CAB=m·nsinθ.
②∵S△ABC==|b||c|sinθ，
∴=×3×5sinθ.∴sinθ=.
∵c·b＜0，∴θ为钝角.
∴θ=150°，即〈c，b〉=150°.2.3.3
向量数量积的坐标运算与度量公式
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，则△ABC为（
）
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.无法判断
解析：由=(1，1)，=(-4，2)，=(3，-3)，得2=2，2=20，2=18.∴2+2=2，即AB2+AC2=BC2.∴△ABC为直角三角形.
(本题亦可画图，验证·=3-3=0⊥)
答案：B
2.已知m=(3，-1)，n=(x，-2)，且〈m，n〉=，则x等于（
）
A.1
B.-1
C.-4
D.4
解析：cos=，解得x=1.
答案：A
3.已知a=(2，5)，b=(λ，-3)，且a⊥b，则λ=________________.
解析：∵a⊥b，∴a·b=0，即2λ-15=0，λ=.
答案：
4.设=(3，1)，=(-1，2)，⊥，∥，则满足+=的坐标(O为原点)为_________________.
解：设=(x，y)，则=(x+3，y+1)，=-=(x+4，y-1).
∵⊥，∴-(x+3)+2(y+1)=0，即x-2y+1=0.
①
又∵∥，∴3(y-1)-(x+4)=0，即x-3y+7=0.
②
由①②得x=11，y=6.
∴=(11，6).
答案：(11，6)
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.已知a=(m-2，m+3)，b=(2m+1，m-2)，且a与b的夹角大于90°，则实数m的取值范围为（
）
A.m＞2或m＜
B.＜m＜2
C.m≠2
D.m≠2且m≠
解析：a与b夹角大于90°a·b＜0，
a·b=(m-2)(2m+1)+(m+3)(m-2)=3m2-2m-8,
解不等式3m2-2m-8＜0，得＜m＜2.
答案：B
2.(2006高考重庆卷，文7)已知三点A(2，3)，B(-1，-1)，C(6，k)，其中k为常数.若||=||,则与的夹角为(
)
A.arccos()
B.或arccos
C.arccos
D.或π-arccos
解析：由于||=||,且=(-3，-4)，=(4，k-3)，所以16+(k-3)2=25,解出k=6或0.当k=0时，·=0，其中夹角是；当k=6时，cosθ=，所以θ=π-arccos.
答案：D
3.已知m=(a，b)，向量n与m垂直，且|m|=|n|，则n的坐标为（
）
A.(b，-a)
B.(-a，b)
C.(-a，b)或(a，-b)
D.(b，-a)或(-b，a)
解析：设n的坐标为(x，y)，
由|m|=|n|，得a2+b2=x2+y2,
①
由m⊥n，得ax+by=0,
②
解①②组成的方程组得得n的坐标为(b，-a)或(-b，a).
答案：D
4.若i=(1，0)，j=(0，1)，则与3i+4j垂直的单位向量是______________.
解析：3i+4j=(3，4).设与3i+4j垂直的单位向量为b=(x，y)，
依题意，得
故与3i+4j垂直的单位向量为ij或-i+j.
答案：ij或-i+j
5.已知向量x与a=(2，-1)共线，且a·x=-18，则x=_______________.
解析：设x=(2λ，-λ)，又a·x=-18.
∴4λ+λ=-18.∴λ=.
答案：()
6.设向量a=(1，-1),b=(3，-4)，x=a+λb，λ为实数，试证：使模|x|最小的向量x垂直于向量b.
证明：因|x|2=x·x=|a|2+λ2|b|2+2λa·b，
故x2=25λ2+14λ+2=(5λ+)2+.
当5λ+=0，即λ=时，|x|最小.
此时x=ab=().
又=0，∴向量x与b垂直.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.已知a=(-1，3)，b=(2，-1)，且(ka+b)⊥(a-2b)，则k的值为（
）
A.
B.
C.
D.
解析：由(ka+b)⊥(a-2b)，得(ka+b)·(a-2b)=0.
而ka+b=(2-k，3k-1)，a-2b=(-5，5).
故-5(2-k)+5(3k-1)=0，解得k=.
答案：C
2.(2006高考重庆卷，理7)与向量a=()，b=()的夹角相等，且模为1的向量是(
)
A.()
B.()或()
C.（）
D.（）或（）
解析：设所求向量为e=(cosθ,sinθ)，由于该向量与a、b的夹角相等，故
a·e=b·ecosθ+sinθ=cosθsinθ3cosθ=-4sinθ,所以sinθ=且cosθ=，或sinθ=且cosθ=，所以B选项成立.
答案：B
3.已知点A(2，3)，若把向量绕原点O按逆时针方向旋转90°，得到向量，则B点坐标为(
)
A.(2，-3)
B.(-3，2)
C.(3，-2)
D.(3，2)
解析：设B(x，y)，∵⊥，||=||，
∴(舍去)，故B点坐标为(-3，2).
答案：B
4.已知A(1，2)，B(4，0)，C(8，6)，D(5，8)四点，则四边形ABCD是(
)
A.梯形
B.矩形
C.菱形
D.正方形
解析：=(3，-2)，=(-3，2)，=-，∴四边形ABCD为平行四边形.
又=(4，6)，·=3×4-2×6=0，即⊥，且||≠||，∴四边形ABCD为矩形.
答案：B
5.已知a=(2，-3)，b=(1，-2)，且c⊥a，b·c=1，则c的坐标为(
)
A.(3，-2)
B.(3，2)
C.(-3，-2)
D.(-3，2)
解析：设c=(x，y)，c⊥a，∴2x-3y=0.
①
又b·c=1，∴x-2y=1,
②
综合①②知x=-3，y=-2.
答案：C
6.已知a=(3，1)，b=(x，-3)，且a⊥b，则x等于(
)
A.3
B.1
C.-1
D.-3
解析：∵a⊥b，∴3x-3=0.∴x=1.
答案：B
7.以原点O及点A(5，2)为顶点作等腰直角△OAB，使∠A=90°，则的坐标为______________.
解析：依题意，设=(x，y)，则由||=||得.
①
而又由⊥得5x+2y=0.
②
由①②联立可解得x=2，y=-5或x=-2，y=5，
∴=(2，-5)或(-2，5).
答案：(2，-5)或(-2，5)
8.平面向量a，b中，已知a=(4，-3)，|b|=1，且a·b=5，则向量b=______________.
解析：设b=(x，y)，则
∴b=(，).
答案：(，)
9.设O为原点，点A(a，0)，B(0，a)(a＞0)，点P在线段AB上，且=t
(0≤t≤1)，则·的最大值为______________.
解析：∵·=·(+)=·(+t)=2+t·
=a2+t(a，0)·(-a，a)=a2+t(-a2+0)=(1-t)a2，
∵0≤t≤1，∴-1≤-t≤0，0≤1-t≤1，即·≤a2.
答案：a2
10.已知a=(cosα，sinα)，b=(cosβ，sinβ)(0＜α＜β＜π).
(1)求证：a+b与a-b互相垂直；
(2)若ka+b与ka-b的模相等，求β-α(其中k∈R且k≠0).
(1)证明：依题意知a+b=(cosα+cosβ，sinα+sinβ)，a-b=(cosα-cosβ，sinα-sinβ).
又(a+b)·(a-b)=(cosα+cosβ)(cosα-cosβ)+(sinα+sinβ)(sinα-sinβ)=cos2α-cos2β+sin2α-sin2β=0，
所以(a+b)⊥(a-b).
(2)解：由于ka±b=(kcosα±cosβ，ksinα±sinβ)，
所以|ka±b|=.
又因为|ka+b|=|ka-b|，所以2kcos(β-α)=-2kcos(β-α)，且k≠0，故cos(β-α)=0.
又0＜α＜β＜π，所以β-α=.
11.已知a=(cosα，sinα)，b=(cosβ，sinβ)，且|ka+b|=|a-kb|(k＞0)，
(1)用k表示数量积a·b；
(2)求a·b的最小值，并求此时a，b的夹角θ.
解：(1)由|ka+b|=|a-kb|,得(ka+b)2=3(a-kb)2，
∴k2a2+2ka·b+b2=3a2-6ka·b+3k2·b2.
∴(k2-3)a2+8ka·b+(1-3k2)b2=0.
∵|a|=1，|b|=1，∴k2-3+8ka·b+1-3k2=0，∴a·b=.
(2)a·b=，由函数单调性定义易知f(k)=(k+)在(0，1］上单调递减，在［1，+∞)上单调递增，
∴当k=1时最小值为f(1)=(1+1)=.
此时a，b夹角为θ，
cosθ=，∴θ=60°.2.3.1
向量数量积的物理背景与定义
课后导练
基础达标
1.已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60°,那么|a+3b|等于（
）
A.
B.
C.
D.4
解析:|a+3b|2=（a+3b）2=a2+6a·b+9b2=|a|2+6×|a||b|cos60°+9|b|2=13,
∴|a+3b|=.
答案:C
2.已知a、b是非零向量且满足（a-2b）⊥a，（b-2a）⊥b，则a与b的夹角是（
）
A.
B.
C.π
D.π
解析:由已知a·（a-2b）=0，b·（b-2a）=0，
得a2=2a·b，b2=2a·b.
∴2|a||b|cosθ=|a|2且|a|2=|b|2.
∴cosθ=.
∴θ=.
答案:B
3.在△ABC中，若=a，=b，=c且a·b=b·c=c·a，则△ABC的形状是(
)
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等边三角形
D.A、B、C均不正确
解析:由已知，得|a||b|cosC=|b||c|cosA=|a||c|cosB，于是|a|cosC=|c|cosA，，
∴sinAcosC-cosAsinC=0.
∴sin（A-C）=0.
∴A=C.同理,可得B=C，
∴A=B=C.故选C.
答案:C
注:公式sin(A-C)=sinAcosC-cosAsinC在第三章讲.
4.在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，a=3,b=1,c=3,则·等于（
）
A.
B.
C.-
D.
答案:C
5.已知|a|=a，|b|=b，向量a与b夹角为θ，则|a-b|等于（
）
A.
B.
C.
D.
解析:
|a-b|=
答案:C
6.已知ABCD，=a，=b，且|a|=|b|,则与位置关系为_________.
解析:ABCD为菱形.
答案:垂直
7.若O为△ABC所在平面内一点且满足（-）·（+-2）=0，则△ABC的形状为_______.
答案:等腰三角形
8.若向量a、b、c满足a+b+c=0且|a|=3，|b|=1，|c|=4，则a·b+b·c+c·a=______________.
答案:-13
综合运用
9.(2006福建高考,9)
已知向量a与b的夹角为120°,|a|=3,|a+b|=,则|b|等于(
)
A.5
B.4
C.3
D.1
解析:∵|a+b|=,∴(a+b)2=13,即a2+2a·b+b2=13,
即|a|2+2|a||b|cos〈a,b〉+|b|2=13,将|a|=3,〈a,b〉=120°,
代入得
|b|2-3|b|-4=0,解得|b|=4,
∴选B.
答案:B
10.下列各命题，其中真命题的个数为(
)
①若a=0，则对任何一个向量b，有a·b=0
②若a≠0,则对任何一个非零向量b，有a·b≠0
③若a≠0,a·b=0，则b=0
④若a·b=0，则a·b中至少有一个为0
⑤若a≠0,a·b=a·c，则b=c
⑥若a·b=a·c，则b=c，当且仅当a=0时成立
⑦a、b反向a·b=-|a||b|
A.1
B.2
C.3
D.4
解析:①⑦是真命题.对于②，当a⊥b时有a·b=0.对于③,当a⊥b时，有a·b=0，但b≠0.对于④，两个非零向量a·b，当它们垂直时，有a·b=0.对于⑤，由a·b=a·c，得a·（b-c）=0，当（b-c）⊥a且b-c≠0时也满足条件，但b≠c.⑥的错因与⑤类似.
答案:B
11.已知平面上三点A、B、C满足||=2,||=1,|=,则·+·+·的值等于_______.
解析:由已知可得△ABC满足|AB|=2,|AC|=,|BC|=1,
故∠C=,∠A=,∠B=,故·=0.
·+·+·=·(+)=·=-||2=-4.
答案:-4
拓展探究
12.如图，正方形OABC两边AB、BC的中点分别为D和E，求∠DOE的余弦值.
解:=+=+，=+=+，
∴·=（+）·（+）
=·+（·+·）+·.
∵⊥，⊥，
∴·=0，·=0.
∵=，=，
∴·=2=||2，·=2=||2=||2.
又||2=||2+||2=||2+||2=||2，
∴cos∠DOE=.2.3.2
向量数量积的运算律
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.有下面四个关系式：①0·0=0；②(a·b)c=a(b·c)；③a·b=b·a；④0a=0.其中正确的个数是
…（
）
A.4
B.3
C.2
D.1
解析：只有③是正确的.①错，因为数量积的结果是数量而不是向量；②错，因为数量积不满足结合律；④错，因为实数与向量的积结果应是向量.
答案：D
2.已知e1和e2是两个单位向量，夹角为，则下面的向量中与2e2-e1垂直的是（
）
A.e1+e2
B.e1-e2
C.e1
D.e2
解析：依题意，|e1|2=|e2|2=1，θ=，
∴e1·e2=|e1||e2|cosθ=.对于A，(e1+e2)·(2e2-e1)=2e22-e12+e1·e2=；
对于B，(e1-e2)·(2e2-e1)=-2e22-e12+3e1·e2=；对于C，e1·(2e2-e1)=
2e1·e2-e12=0；对于D，e2·(2e2-e1)=2e22-e1·e2=.
∴e1⊥(2e2-e1).
答案：C
3.已知|a|=|b|=5，向量a与b的夹角为，则|a+b|、|a-b|的值分别为___________、___________.
解析：依题意得a2=|a|2=25，b2=|b|2=25.
a·b=|a||b|cosθ=5×5×cos=.
∴|a+b|=.
同理,|a-b|==5.
答案：
5
4.已知|a|=6，|b|=4，a与b的夹角为60°，则(a+2b)·(a-3b)=
___________.
解：(a+2b)·(a-3b)=a·a-a·b-6b·b=|a|2-a·b-6|b|2
=|a|2-|a||b|cosθ-6|b|2=62-6×4×cos60°-6×42=-72.
答案：-72
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.关于向量a、b，下列命题中正确的是（
）
A.a-b=a+(-b)
B.a-a=0
C.|a-b|＞|a|-|b|
D.a∥b存在唯一的λ∈R，使b=λa
解析：向量的和与差仍是向量，因此B是错误的，应改为a-a=0.根据向量减法的三角形法则，当非零向量a与b不共线时，|a-b|＞|a|-|b|；
当a与b同向或a，b中有一个为0时，|a-b|=||a|-|b||，因此C不正确；D是在判断两向量平行时最常见的错误，它成立的前提是a≠0.
答案：A
2.向量m和n满足|m|=1，|n|=2，且m⊥(m-n)，则m与n夹角的大小为（
）
A.30°
B.45°
C.75°
D.135°
解析：设m与n夹角为θ，则由m⊥(m-n)，知m·(m-n)=0，m2-m·n=0，
∴m·n=m2=|m|2=1.
∴cosθ=.∴θ=45°.
答案：B
3.已知非零向量a、b、c两两夹角相等，且|a|=|b|=|c|=1，则|a+b+c|等于（
）
A.0
B.1
C.3
D.0或3
解析：a、b、c两两夹角相等有两种情形：夹角为0°(即三个向量同向)和夹角为120°.
答案：D
4.若向量a、b、c满足a+b+c=0，且|a|=3，|b|=1，|c|=4，则a·b+b·c+c·a=___________.
解析：解法一：根据已知条件，知|c|=|a|+|b|，c=-a-b，从而可知a与b同向，c与a、b反向.
所以有a·b+b·c+c·a=3×1×cos0°+1×4×cosπ+4×3×cosπ=3-4-12=-13.
解法二：因为(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)，
所以a·b+b·c+c·a==
=-13.
答案：-13
5.已知|a|=4，|b|=5，且a，b夹角为60°.
求值：(1)a2-b2；
(2)(2a+3b)·(3a-2b).
解：(1)a2-b2=|a|2-|b|2=42-52=-9;
(2)(2a+3b)·(3a-2b)=6a2+5a·b-6b2=6×16+5×4×5cos60°-6×25=-4.
6.在△ABC中，若·=·=·，那么点O是△ABC的什么特殊点？
解：如图，由·=·,得·(-)=0，·=0.
∴⊥即OB⊥CA.同理,OC⊥AB.
⊥BC.∴O为△ABC的垂心.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.以下等式中恒成立的有（
）
①|a·b|=|a||b|
②(a·b)2=a2·b2
③|a|=
④a2-2b2=(a-b)·(a+b)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解析：对于①，|a·b|=|a||b||cosθ|≤|a||b|，仅当θ=0°或180°时或b=0或a=0时等号成立；对于②，实质上是依据乘法结合律进行的变形，对于向量的内积运算不适用；③和④均符合运算法则，故只有③④正确.
答案：B
2.若a+b=c，a-b=d，且c⊥d，则一定有(
)
A.a=b
B.|a|=|b|
C.a⊥b
D.|a|=|b|且a⊥b
解析：∵c⊥d，∴(a+b)·(a-b)=0.∴a2-b2=0,即|a|=|b|，故应选B.
答案：B
3.(2006高考浙江卷，文2)设向量a，b，c满足a+b+c=0，a⊥b，|a|=1，|b|=2，则|c|2等于(
)
A.1
B.2
C.4
D.5
解析：|c|2=|a+b|2=a2+b2+2a·b=|a|2+|b|2=5.
答案：D
4.已知a，b是非零向量，满足(a-2b)⊥a，(b-2a)⊥b，则a与b的夹角是(
)
A.
B.
C.
D.
解析：由(a-2b)⊥a，(b-2a)⊥b，
∴a·(a-2b)=0，b·(b-2a)=0.
∴a2=2a·b，b2=2a·b.
∴2|a||b|cosθ=|a|2=|b|2.
cosθ=，∴θ=.
答案：B
5.在菱形ABCD(如图2-3-1)中，下列关系式不正确的是（
）
图2-3-1
A.∥
B.(+)⊥(+)
C.(-)·(-)=0
D.·=·
解析：A显然正确；
B：+=，+=，∵菱形对角线垂直，∴⊥.∴B正确;
C：-=，-=，同B一样，正确.
D：·=||||cos∠BAD，=||||cos(π-∠BAD)=-||||cos
∠BAD=-||||.
∴D错误.
答案：D
6.A、B、C、D为平面上四个互异点，且满足(+-2)·(-)=0，则△ABC的形状是(
)
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等腰直角三角形
D.等边三角形
解析：由(+-2)·(-)=0，
知［(-)+(
-)］·(-)=0，
(+)·(-)=0，即2=2.
∴||=||.
答案：B
7.已知：a·b=，|a|=4，则b在a方向上的射影数量为_____________.
解析：|a||b|cos〈a，b〉=，又|a|=4，
∴|b|cos〈a，b〉=.
答案：
8.设O、A、B、C为平面上的四个点，=a，=b，=c，且a+b+c=0，a·b=b·c=c·a=-1，则|a|+|b|+|c|=_____________.
解析：∵a·(a+b+c)=a·0=0，a·a+a·b+a·c=0，a·a-1-1=0，
∴|a|=.同理|b|=|c|=，即|a|+|b|+|c|=.
答案：
9.已知|a|=4，|b|=3，a与b的夹角为120°，且c=a+2b，d=2a+kb，问当k取何实数时，
(1)c⊥d；
(2)c∥d
解：设c与d的夹角为θ，则由已知得c·d=(a+2b)·(2a+kb)=2a2+(4+k)a·b+2kb2
=2×42+(4+k)×4×3×cos120°+2k·32=8+12k，
|c|=|a+2b|=，
|d|=|2a+kb|=
.
∴cosθ=.
(1)要使c⊥d，只要cosθ=0，即6k+4=0.
∴k=.
(2)要使c∥d，只要cosθ=±1，即=±(6k+4)，解得k=4.
综上，当k=时，c⊥d；当k=4时，c∥d.
10.已知a，b为非零向量，当a+tb(t∈R)的模取到最小值时,
(1)求t的值；
(2)已知a与b共线同向，求证：b⊥(a+tb).
(1)解：令m=|a+tb|，θ为a，b的夹角，则m2=|a|2+2ta·b+t2|b|2
=t2|b|2+2t|a||b|cosθ+|a|2=|b|2(t+cosθ)2+|a|2sin2θ，
∴当t=cosθ时，|a+tb|有最小值|a|sinθ.
(2)证明：∵a与b共线且同向，故cosθ=1，
∴t=.
∴b·(a+tb)=a·b+t|b|2=|a||b|-|a||b|=0.∴b⊥(a+tb).
11.设a⊥b，且|a|=2，|b|=1，又k，t是两个不同时为零的实数，
(1)若x=a+(t-3)b与y=-ka+tb垂直，求k关于t的函数关系式k=f(t)；
(2)求出函数k=f(t)的最小值.
解：(1)∵a⊥b，∴a·b=0.又x⊥y，
∴x·y=0，即［a+(t-3)b］·(-ka+tb)=0.
-ka2-k(t-3)a·b+ta·b+t(t-3)b2=0，∵|a|=2，|b|=1，∴-4k+t2-3t=0，即k=(t2-3t).
(2)由(1)知k=(t2-3t)=(t-)2-，即函数最小值为-.2.3.2
向量数量积的运算律
自我小测
1．已知|m|＝2，|n|＝1，且(m＋kn)⊥(m－3n)，m⊥n，则k等于( )
A．
B．
C．－
D．－
2．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上，且满足＝2，则·(
＋)＝( )
A．
B．
C．－
D．－
3．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，，那么|a＋3b|等于( )
A．
B．
C．
D．4
4．如图所示，在菱形ABCD中，下列关系式不正确的是( )
A．∥
B．(＋)⊥(＋)
C．(－)·(－)＝0
D．·＝·
5．设a，b，c是平面内任意的非零向量，且相互不共线，
①(a·b)c－(c·a)b＝0；
②|a|－|b|<|a－b|；
③(b·c)a－(c·a)b不与c垂直；
④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2；
其中是真命题的有( )
A．①②
B．②③
C．③④
D．②④
6．已知a＋b＝2i－8j，a－b＝－8i＋16j，其中i·j＝0，|i|＝|j|＝1，则a·b＝__________．
7．已知向量a，b，c满足a－b＋2c＝0，且a⊥c，|a|＝2，|c|＝1，则|b|＝________．
8．已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为__________，·的最大值为__________．
9．如下图正方形OABC两边AB，BC的中点分别为D和E．求∠DOE的余弦值．
10．设a⊥b，且|a|＝2，|b|＝1，k，t是两个不同时为零的实数．
(1)若x＝a＋(t－3)b与y＝－ka＋tb垂直，求k关于t的函数关系式k＝f(t)；
(2)求出函数k＝f(t)的最小值．
参考答案
1．答案：A
2．答案：A
3．答案：C
4．答案：D
5．解析：由b，c是平面内任意向量知①错误；
由三角形的三边关系得②正确；
由[(b·c)a－(c·a)b]·c＝(b·c)(a·c)－(c·a)(b·c)＝0得③错误；④显然正确．
答案：D
6．答案：－63
7．解析：因为a－b＋2c＝0，
所以b＝a＋2c，b2＝a2＋4a·c＋4c2＝8，
所以|b|＝．
答案：
8．解析：·＝(＋)·＝(＋)·＝＋·．
因为⊥，所以·＝0．
所以·＝12＋0＝1．
·＝(＋)·
＝·＋·＝(0≤λ≤1)，
所以·的最大值为1．
答案：1 1
9．解：＝＋＝＋，
＝＋＝＋，
所以·＝·
＝·＋(·＋·)＋·．
因为⊥，⊥，所以·＝0，·＝0，
因为＝，＝，
所以·＝·＝，
又＝＋
＝＋＝，
所以cos∠DOE＝＝＝＝．
10．解：(1)因为a⊥b，所以a·b＝0．
又x⊥y，所以x·y＝0，
即[a＋(t－3)b]·(－ka＋tb)＝0，
所以－ka2－k(t－3)a·b＋ta·b＋t(t－3)b2＝0．
因为|a|＝2，|b|＝1，所以－4k＋t2－3t＝0，
所以k＝
(t2－3t)(t≠0)．
即k＝f(t)＝
(t2－3t)(t≠0)．
(2)由(1)，知k＝f(t)＝
(t2－3t)
＝－，
所以函数k＝f(t)的最小值为－．向量数量积的物理背景与定义
1．设向量a·b＝40，|b|＝10，则a在b方向上的数量为( )
A．4
B．
C．
D．
2．对任意向量a和b，|a||b|与a·b的大小关系是( )
A．|a||b|≤a·b
B．|a||b|＞a·b
C．|a||b|≥a·b
D．|a||b|＜a·b
3．设非零向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则〈a，b〉等于( )
A．150°
B．120°
C．60°
D．30°
4．已知①a·0＝0；②0a＝0；③0－＝；④|a·b|＝|a||b|；⑤若a≠0，则对任一非零向量b有a·b≠0；⑥若a·b＝0，则a与b中至少有一个为0；⑦a与b是两个单位向量，则a2＝b2.
以上命题正确的是( )
A．①②③⑥⑦
B．③④⑦
C．②③④⑤
D．③⑦
5．(2012·黑龙江大庆期末)已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，AH为BC边上的高，以下结论：
①·(－)＝0；
②·＜0 △ABC为钝角三角形；
③·＝csin
B；
④·(－)＝a2.
其中正确的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
6．在△ABC中，，，则AB的长为__________．
7．若O是△ABC所在平面内一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的形状为__________．
8．若四边形ABCD满足＋＝0，且·＝0，试判断四边形ABCD的形状．
9．已知在△ABC中，＝c，＝a，＝b，若|c|＝m，|b|＝n，〈b，c〉＝θ.
(1)试用m，n，θ表示S△ABC；
(2)若c·b＜0，且S△ABC＝，|c|＝3，|b|＝5，则〈c，b〉为多少？
参考答案
1．答案：A
2．答案：C
3．解析：如图所示，∵|a|＝|b|＝|c|，
∴△OAB是正三角形．
∴〈a，b〉＝120°.
答案：B
4．解析：对于①，两个向量的数量积是一个实数，应有a·0＝0，故①错误；
对于②，应有0a＝0，故②错误；
对于③，很明显正确；
对于④，由数量积的定义，有|a·b|＝|a|·|b|·|cos
θ|≤|a||b|，这里θ是a与b的夹角，只有θ＝0或θ＝π时，才有|a·b|＝|a|·|b|，故④错误；
对于⑤，若非零向量a，b垂直，则有a·b＝0，故⑤错误；
对于⑥，由a·b＝0可知a⊥b，即a，b可以都是非零向量，故⑥错误；
对于⑦，a2－b2＝|a|2－|b|2＝1－1＝0，故⑦正确．
答案：D
5．答案：C
6．解析：由已知，得||cos
A＝，||cos
B＝.
又∵||＝||cos
A＋||cos
B，∴AB＝2.
答案：2
7．答案：直角三角形
8．解：∵＋＝0，∴＝，即AB∥DC且AB＝DC，
∴四边形ABCD为平行四边形．
又∵·＝0，∴⊥，即AB⊥BC．
∴四边形ABCD为矩形．
9．解：(1)S△ABC＝AB·AC·sin∠CAB＝mnsin
θ.
(2)∵S△ABC＝＝|b||c|sin
θ，
∴＝×3×5sin
θ，∴sin
θ＝.
∵c·b＜0，∴θ为钝角，∴θ＝150°，即〈c，b〉＝150°.2.3.3
向量数量积的坐标运算与度量公式
自我小测
1．设m，n是两个非零向量，且m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，则以下等式中与m⊥n等价的个数为( )
①m·n＝0；②x1x2＝－y1y2；
③|m＋n|＝|m－n|；④|m＋n|＝．
A．1
B．2
C．3
D．4
2．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝，若(a＋b)·c＝，则a与c的夹角为( )
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
3．已知向量＝(2,2)，＝(4,1)，在x轴上有一点P，使·有最小值，则点P的坐标是( )
A．(－3,0)
B．(2,0) C．(3,0)
D．(4,0)
4．连续投掷两次骰子得到的点数分别为m，n，向量a＝(m，n)与向量b＝(1,0)的夹角记为α，则α∈的概率为( )
A．
B．
C．
D．
5．若将向量a＝(2,1)围绕原点按逆时针方向旋转得到向量b，则向量b的坐标为( )
A．
B．
C．
D．
6．已知a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为__________．
7．定义一种新运算 ：a b＝|a|·|b|sin
θ，其中θ为a与b的夹角，已知a＝(－，1)，b＝，则a b＝__________．
8．已知a＝(5,12)，|a－b|＝3，则|b|的取值范围是__________．
9．已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)．
(1)求证：AB⊥AD；
(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标，并求矩形ABCD的两条对角线所夹的锐角的余弦值．
10．已知a＝(cos
α，sin
α)，b＝(cos
β，sin
β)，且|ka＋b|＝|a－kb|(k＞0)．
(1)用k表示数量积a·b；
(2)求a·b的最小值，并求此时a，b的夹角θ．
参考答案
1．解析：①②显然正确；对③④两边平方，化简，得m·n＝0，因此也是正确的，故选D．
答案：D
2．解析：设c＝(x，y)，
则由(a＋b)·c＝，得x＋2y＝－．
又cos〈a，c〉＝＝＝－，
即〈a，c〉＝120°．
答案：C
3．解析：设点P的坐标为(x,0)，
则＝(x－2，－2)，＝(x－4，－1)．
·＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1)＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1．
当x＝3时，·有最小值1，此时点P的坐标为(3,0)．故选C．
答案：C
4．解析：由已知，a与b的夹角为α，且α∈，
所以α<1．
又cos
α＝＝，
所以<<1，
即2m2>m2＋n2．所以m2>n2．
又因为m，n为正整数，所以m>n．
由题意，知所有的a的个数为36，满足m>n的向量的个数为15，故所求的概率为＝．
答案：B
5．解析：设b＝(x，y)，由已知条件，
知|a|＝|b|，a·b＝|a||b|cos
45°．
所以
解得或
因为向量a按逆时针旋转后，向量对应的点在第一象限，所以x>0，y>0．
所以b＝，故选B．
答案：B
6．答案：－
7．解析：据定义a b＝2××sin
θ，
又cos
θ＝＝－，
所以sin
θ＝，即a b＝．
答案：
8．解析：∵a＝(5,12)，∴|a|＝13．
∵|b|＝|a－(a－b)|，且|a|－|a－b|≤|a－(a－b)|≤|a|＋|a－b|，∴10≤|b|≤16．
答案：[10,16]
9．解：(1)证明：因为A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，
所以＝(1,1)，＝(－3,3)．
所以·＝1×(－3)＋1×3＝0，
所以⊥，即AB⊥AD．
(2)因为四边形ABCD为矩形，
所以⊥，＝．
设C点的坐标为(x，y)，
则＝(1,1)，＝(x＋1，y－4)，
所以解得
所以C点的坐标为(0,5)．
从而＝(－2,4)，＝(－4,2),
所以||＝，||＝，·＝8＋8＝16．
设与的夹角为θ，
则cos
θ＝＝＝，
所以矩形ABCD的两条对角线所夹的锐角的余弦值为．
10．解：(1)由|ka＋b|＝|a－kb|，得(ka＋b)2＝3(a－kb)2，
所以k2a2＋2ka·b＋b2＝3a2－6ka·b＋3k2b2．
所以(k2－3)a2＋8ka·b＋(1－3k2)b2＝0．
因为|a|＝1，|b|＝1，
所以k2－3＋8ka·b＋1－3k2＝0，
所以a·b＝＝．
(2)由(1)，得a·b＝＝，由函数的单调性的定义，易知f(k)＝在(0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，
所以当k＝1时，a·b的最小值为f(1)＝×(1＋1)＝．
此时a，b的夹角为θ，
则cos
θ＝＝＝，所以θ＝60°．向量数量积的运算律
1．以下等式中恒成立的有( )
①|a·b|＝|a||b|；②(a·b)2＝a2·b2；③|a|＝；
④a2－2b2＝(a－b)·(a＋b)．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2．已知向量a与b的夹角为，|a|＝2，|b|＝1，那么(a－4b)2等于( )
A．
B．2
C．6
D．12
3．已知|a|＝3，|b|＝4，且(a＋kb)⊥(a－kb)，则实数k的值为( )
A．
B．
C．
D．
4．已知a，b是非零向量，满足(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a与b的夹角是( )
A．
B．
C．
D．
5．已知非零向量与满足且，则△ABC为( )
A．三边均不相等的三角形
B．直角三角形
C．等腰非等边三角形
D．等边三角形
6．已知a·b＝，|a|＝4，则b在a方向上的射影的数量为__________．
7．已知a＋b＝2i－8j，a－b＝－8i＋16j，其中i·j＝0，|i|＝|j|＝1，则a·b＝__________.
8．设O，A，B，C为平面上的四个点，＝a，＝b，＝c，且a＋b＋c＝0，a·b＝b·c＝c·a＝－1，则|a|＋|b|＋|c|＝__________.
9．已知a，b是两个非零向量，同时满足|a|＝|b|＝|a－b|，求a与a＋b的夹角．
10．设a⊥b，且|a|＝2，|b|＝1，k，t是两个不同时为零的实数．
(1)若x＝a＋(t－3)b与y＝－ka＋tb垂直，求k关于t的函数关系式k＝f(t)；
(2)求出函数k＝f(t)的最小值．
参考答案
1．解析：对于①，|a·b|＝|a||b||cos
θ|≤|a||b|，仅当θ＝0°或180°时或b＝0或a＝0时等号成立；对于②，实质上是依据乘法结合律进行的变形，对于向量的数量积运算不适用；③和④均符合运算法则，故只有③④正确．
答案：B
2．答案：D
3．解析：(a＋kb)·(a－kb)＝|a|2－k2|b|2＝0，所以9＝k2×16，所以k2＝.所以k＝.
答案：A
4．解析：设所求夹角为θ，则由(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，
得a·(a－2b)＝0，b·(b－2a)＝0.
∴a2＝2a·b，b2＝2a·b.
∴2|a||b|cos
θ＝|a|2＝|b|2.
∴cos
θ＝＝，又∵θ∈[0，π]，∴θ＝.
答案：B
5．解析：由可知，∠BAC的平分线与边BC垂直．
又cos∠BAC＝，所以∠BAC＝.所以△ABC为等边三角形．
答案：D
6．解析：∵|a||b|cos〈a，b〉＝，又∵|a|＝4，
∴|b|cos〈a，b〉＝.
答案：
7．解析：由解得
∴a·b＝(－3i＋4j)·(5i－12j)＝－15|i|2－48|j|2＋56i·j＝－63＋56×0＝－63.
答案：－63
8．解析：∵a·(a＋b＋c)＝a·0＝0，
∴a·a＋a·b＋a·c＝0.
又∵a·b＝b·c＝c·a＝－1，
∴a·a－1－1＝0，∴|a|＝.同理|b|＝|c|＝，
∴|a|＋|b|＋|c|＝.
答案：
9．解：∵|a|＝|a－b|，
∴|a|2＝|a－b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2.
又∵|a|＝|b|，∴a·b＝|a|2.
又|a＋b|＝，
设a与a＋b的夹角为θ，
则cos
θ＝.
又∵θ∈[0，π]，∴，
即a与a＋b的夹角为.
10．解：(1)∵a⊥b，∴a·b＝0.
又∵x⊥y，∴x·y＝0，
即[a＋(t－3)b]·(－ka＋tb)＝0，
∴－ka2－k(t－3)a·b＋ta·b＋t(t－3)b2＝0.
∵|a|＝2，|b|＝1，
∴－4k＋t2－3t＝0，∴k＝(t2－3t)(t≠0)，
即k＝f(t)＝(t2－3t)(t≠0)．
(2)由(1)知k＝f(t)＝(t2－3t)＝，
故函数k＝f(t)的最小值为.2.3.2
向量数量积的运算律
课后导练
基础达标
1.若向量a与b的夹角为60°,|b|=4,(a+2b)·（a-3b）=-72，则向量a的模为（
）
A.2
B.4
C.6
D.12
解析:∵（a+2b）·（a-3b）=-72，
即|a|2-a·b-6|b|2=-72,
∴|a|2-a·b-6|b|2+72=0,
|a|2-|a||b|cos60°-24=0.
∴|a|2-2|a|-24=0.
解得|a|=6或|a|=-4（舍），故|a|=6.
答案:C
2.下列命题正确的是(
)
A.|a·b|=|a||b|
B.a·b≠0|a|+|b|≠0
C.a·b=0|a||b|=0
D.(a+b)·c=a·c+b·c
解析:A选项|a·b|=|a||b||cosθ|,而cosθ不一定为零.
B选项|a|+|b|≠0时,a与b的夹角可能等于90°.
C选项与B类似.故D正确.
答案:D
3.在四边形ABCD中,·=0,=,则四边形ABCD为(
)
A.梯形
B.菱形
C.矩形
D.正方形
解析:由=,可知四边形ABCD为平行四边形,
又·=0,∴⊥.
∴四边形ABCD为矩形.
答案:C
4.已知|a|=3,|b|=4,且(a+kb)⊥(a-kb),则实数k的值为(
)
A.±
B.±
C.±
D.±
解析:(a+kb)·(a-kb)=|a|2-k2|b|2=0得9=k2×16,∴k2=.
∴k=±.
答案:A
5.若a2=1,b2=2,(a-b)·a=0,则a与b的夹角为(
)
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
解析:∵|a|2=1,|b|2=2,∴|a|=1,|b|=.
∴(a-b)·a=|a|2-a·b=1-|a||b|cos〈a,b〉=0.
∴cos〈a,b〉=.∴a与b的夹角为45°.
答案:B
6.已知a+b=2i-8j,a-b=-8i+16j,其中i·j=0,|i|=|j|=1,则a·b=___________.
解析:由
解得
∴a·b=(-3i+4j)·(5i-12j)=-15|i|2-48|j|2-56i·j=-63-56×0=-63.
答案:-63
7.若|a|=13,|b|=19,|a+b|=24,则|a-b|=__________.
解析:由|a+b|=24得|a+b|2=242.
得132+192+2a·b=242.
∴|a-b|2=132+192-2a·b=2×132+2×192-242=484.
∴|a-b|=22.
答案:22
综合运用
8.已知|a|=10，|b|=12且（3a）·（b）=-36,求a与b的夹角.
解:由已知，得|a||b|cosα=-36,
∴cosα=-.
∵0°≤α≤180°,∴α=120°.
9.△ABC的三边长分别为AB=7，BC=5，CA=6，求·的值.
解:∵=-，
∴2=2-2·+2，
即||2=||2-2·+||2.
∴·==19.
10.已知a、b、c为非零向量，且b-a-c与a-b-c的模相等，a+b+c与a+b-c的模相等.试证明a与c互相垂直.
证明:由|b-a-c|=|a-b-c|，两边平方,得（b-a-c）2=（a-b-c）2，
即(b-a-c）2-（a-b-c）2=0.
∴（b-a-c+a-b-c）·（b-a-c-a+b+c)=0，
-2c·（2b-2a）=0，
即c·b-c·a=0.①
同理，由|a+b+c|=|a+b-c|，得c·b+c·a=0.②
由①②,可得c·a=0,故a⊥c.
拓展探究
11.已知|a|=5,|b|=4,且a与b的夹角为60°,则当k为何值时,向量ka-b与a+2b垂直
解:∵(ka-b)⊥(a+2b),
∴(ka-b)·(a+2b)=0,ka2+(2k-1)a·b-2b2=0.
k×52+(2k-1)×5×4×cos60°-2×42=0,
∴k=,
即k为时,向量ka-b与向量a+2b垂直.
12.已知a、b是两个非零向量,同时满足|a|=|b|=|a-b|,求a与a+b的夹角.
解:∵|a|=|a-b|,
∴|a|2=|a-b|2=|a|2-2a·b+|b|2.
又|a|=|b|,∴a·b=|a|2.
又|a+b|=|a|,
设a与a+b的夹角为θ,
则cosθ=.
又θ∈［0,π］,∴θ=,
即a与a+b的夹角为.2.3.3 向量数量积的坐标运算及度量公式
知识点一：向量数量积的坐标运算
1．若向量＝(3，－1)，n＝(2,1)，且n·＝7，那么n·等于
A．－2
B．2
C．－2或2
D．0
2．已知a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，则(a＋b)·(a－b)＝__________.
知识点二：两个向量垂直的坐标表示
3．(2010重庆高考，文3)若向量a＝(3，m)，b＝(2，－1)，a·b＝0，则实数m的值为
A．－
B.
C．2
D．6
4．已知a＝(4,3)，向量b是垂直于a的单位向量，则b等于
A．(，)或(，)
B．(，－)或(－，)
C．(，)或(－，－)
D．(，－)或(－，)
5．已知平面向量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，λa＋b与a垂直，则λ＝__________.
6．已知a＝(1，m)与b＝(n，－4)共线，且c＝(2,3)与b垂直，则m＋n的值为__________．
知识点三：向量的长度、夹角、距离公式
7．已知a＝(3,4)，b＝(5,12)，则a与b夹角的余弦值为
A.
B.
C．－
D．－
8．(2010课标全国高考，文2)a，b为平面向量，已知a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则a，b夹角的余弦值等于
A.
B．－
C.
D．－
9．已知a＝(m,1)，若|a|＝2，则m等于
A．1
B.
C．±1
D．±
10．已知a＝(1，)，b＝(＋1，－1)，则a与b的夹角是__________．
11．已知向量a＝(4，－3)，|b|＝1，且a·b＝5，则向量b＝__________.
12．设a＝(4，－3)，b＝(2,1)，若a＋tb与b的夹角为45°，求实数t的值．
能力点一：向量数量积的基本运算
13．已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|等于
A.
B.
C．5
D．25
14．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝，若(a＋b)·c＝，则a与c的夹角为
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
15．已知a＝(x,1)，b＝(1，x)，则的取值范围是
A．[－，]
B．[－1,1]
C．[0,1]
D．[0，]
16．已知A(1,2)，B(3,4)，C(－2,2)，D(－3,5)，则向量在向量上的投影为__________．
17．已知△ABC中，A(2,4)，B(－1，－2)，C(4,3)，BC边上的高为AD.
(1)求证：AB⊥AC；
(2)求点D和向量的坐标；
(3)设∠ABC＝θ，求cosθ；
(4)求证：AD2＝BD·CD.
能力点二：数量积的综合应用
18．已知向量＝(2,2)，＝(4,1)，在x轴上的一点P使·最小，则P点坐标是
A．(－3,0)
B．(2,0)
C．(3,0)
D．(4,0)
19．(2010山东高考，理12)定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a＝(m，n)，b＝(p，q)，令a⊙b＝mq－np，下面说法错误的是
A．若a与b共线，则a⊙b＝0
B．a⊙b＝b⊙a
C．对任意的λ∈R，有(λa)⊙b＝λ(a⊙b)
D．(a⊙b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2
20．已知A(3,2)，B(－1，－1)，若点P(x，－)在线段AB的中垂线上，则x＝__________.
21．已知A(－2,0)，B(3,0)，动点P(x，y)满足·＝x2，则点P的轨迹方程为__________．
22．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时：
(1)ka＋b与a－3b垂直？
(2)ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？
23．已知点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)．
(1)求证：AB⊥AD；
(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标，并求矩形ABCD两对角线所夹的锐角的余弦值．
24．(2010江苏高考，15)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．
(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；
(2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值．
25．在△ABC中，A(1,1)，B(1，－2)，C(－2，－1)，BD是AC边上的高，求：
(1)点D的坐标；
(2)·的值．
答案与解析
1．B n·＝n·(－)＝n·－n·＝7－(3×2－1)＝2.
2．－15
3．D 因为a·b＝0，所以6－m＝0.所以m＝6.
4．B 设b＝(x，y)，则4x＋3y＝0，且x2＋y2＝1，
解得x＝，y＝－或x＝－，y＝，
即b＝(，－)或(－，)．
5．－1 λa＋b＝λ(1，－3)＋(4，－2)＝(λ＋4，－3λ－2)，∴(λ＋4)＋(－3)·(－3λ－2)＝0.解得λ＝－1.
6. 由a与b共线得mn＋4＝0，由c与b垂直得2n－12＝0，∴n＝6，m＝－，故m＋n＝.
7．A
8．C b＝(2a＋b)－2a＝(3,18)－(8,6)＝(－5,12)，因此cos〈a，b〉＝＝＝.
9．D 由向量长度公式得|a|＝＝2，∴m＝±.
10.
11．(，－) 设b＝(m，n)，
∴解得
12．解：a＋tb＝(4，－3)＋t(2,1)＝(4＋2t，t－3)，(a＋tb)·b＝(4＋2t，t－3)·(2,1)＝5t＋5.
|a＋tb|＝＝.
由(a＋tb)·b＝|a＋tb||b|cos45°，得5t＋5＝，即t2＋2t－3＝0，∴t＝－3或t＝1.经检验t＝－3不合题意，舍去，∴t＝1.
能力提升
13．C
14．C a＋b＝(－1，－2)，设a＋b与c夹角为θ.
由(a＋b)·c＝，得|a＋b||c|cosθ＝.∴cosθ＝.∵a＋b与a共线且反向，∴a与c夹角为120°.
15．A 原式＝＝＝(x≠0)，
易知x＋≥2或x＋≤－2，
∴0<≤或－≤<0.
当x＝0时，原式＝0，
∴原式范围是[－，]．
16.
17．(1)证明：＝(－3，－6)，＝(2，－1)．因为·＝－3×2＋(－6)×(－1)＝0，所以⊥，即AB⊥AC.
(2)解：设点D的坐标为(x，y)，则＝(x－2，y－4)，＝(5,5)，因为AD为BC边上的高，所以AD⊥BC，即⊥.所以·＝5(x－2)＋5(y－4)＝0①.
又＝(x＋1，y＋2)，而与共线，所以5(x＋1)＝5(y＋2)②.联立①②，解得x＝，y＝，故点D的坐标为(，)，所以＝(－2，－4)＝(，－)．
(3)解：cosθ＝＝＝.
(4)证明：因为＝(，－)，＝(，)，＝(，)，所以||2＝，||＝，||＝||＝.所以||2＝||||，即AD2＝BD·CD.
18．C
19．B 对于A，若a，b共线，则mq－np＝0，所以a⊙b＝mq－np＝0，故A正确；对于B，因为a⊙b＝mq－np，又b⊙a＝np－mq，故B错误．同理可知C、D正确．
20. 线段AB的中点C(1，)，∴＝(1－x,1)．又∵PC⊥AB，＝(－4，－3)，∴·＝0.∴(1－x，1)·(－4，－3)＝0，解得x＝.
21．y2＝x＋6
22．解：(1)ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3，2)＝(10，－4)，当(ka＋b)·(a－3b)＝0时，这两个向量垂直．由(k－3)×10＋(2k＋2)×(－4)＝0.解得k＝19，即当k＝19时，ka＋b与a－3b垂直．
(2)当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一的实数λ，使ka＋b＝λ(a－3b)．由(k－3，2k＋2)＝λ(10，－4)，得
解得所以当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，此时ka＋b＝－a＋b.因为λ<0，所以－a＋b与a－3b反向．
23．解：(1)证明：∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，∴＝(1,1)，＝(－3,3)．由·＝1×(－3)＋1×3＝0，得⊥，∴AB⊥AD.
(2)∵AB⊥AD，四边形ABCD为矩形
，∴＝.设点C的坐标为(x，y)，则＝(x＋1，y－4)．
又＝(1,1)，
∴
∴
∴C(0,5)．从而＝(－2,4)，＝(－4,2)，且||＝2，||＝2，·＝8＋8＝16.
设〈，〉＝θ，则
cosθ＝＝＝.
∴求得矩形两条对角线所成的锐角的余弦值为.
24．解：(1)由题设知＝(3,5)，＝(－1,1)，则
＋＝(2,6)，－＝(4,4)．
所以|＋|＝2，|－|＝4.
故所求的两条对角线长分别为4，2.
(2)由题设知＝(－2，－1)，－t＝(3＋2t,5＋t)．
由(－t)·＝0，得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0，从而5t＝－11，所以t＝－.
拓展探究
25．解：(1)设D(x，y)，则＝(x－1，y＋2)，＝(3,2)，＝(x－1，y－1)，
由⊥，得·＝0，
即3(x－1)＋2(y＋2)＝0，
∴3x＋2y＋1＝0.①
由与共线，
得3(y－1)－2(x－1)＝0，
∴2x－3y＋1＝0.②
由①、②联立，解方程组得即D(－，)，
(2)由B(1，－2)，D(－，)，A(1,1)，得＝(－，)，＝(0,3)，
∴·＝(－，)·(0,3)＝.向量数量积的坐标运算与度量公式
1．已知a＝(2，－3)，b＝(1，－2)，且c⊥a，b·c＝1，则c的坐标为( )
A．(3，－2)
B．(3,2)
C．(－3，－2)
D．(－3,2)
2．已知m＝(a，b)，向量n与m垂直，且|m|＝|n|，则n的坐标为( )
A．(b，－a)
B．(－a，b)
C．(－a，b)或(a，－b)
D．(b，－a)或(－b，a)
3．已知a＝(m－2，m＋3)，b＝(2m＋1，m－2)，且a与b的夹角大于90°，则实数m的取值范围为( )
A．m＞2或m＜
B．＜m＜2
C．m≠2
D．m≠2且m≠
4．设向量a＝(1,0)，b＝，则下列结论中正确的是( )
A．|a|＝|b|
B．a·b＝
C．a－b与b垂直
D．a∥b
5．已知a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为__________．
6．已知O为坐标原点，＝(3,1)，＝(－1,2)，⊥，∥，则满足＋＝的向量的坐标为__________．
7．(2012·天津期末)定义平面向量之间的一种运算“ ”如下，对任意的a＝(m，n)，b＝(p，q)，令ab＝mq－np，给出下面五个判断，其中正确的有__________．(填正确的序号)
①若a与b共线，则ab＝0；②若a与b垂直，则ab＝0；③ab＝ba；④对任意的λ∈R，有(λa)b＝λ(ab)；⑤(ab)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2.
8．(2012·山东济宁期末)已知a＝(1,2)，b＝(－3,1)．
(1)求a－2b；
(2)设a，b的夹角为θ，求cos
θ的值；
(3)若向量a＋kb与a－kb互相垂直，求k的值．
9．已知a＝(cos
α，sin
α)，b＝(cos
β，sin
β)，且|ka＋b|＝|a－kb|(k＞0)．
(1)用k表示数量积a·b；
(2)求a·b的最小值，并求此时a，b的夹角θ.
参考答案
1．解析：设c＝(x，y)，
∵c⊥a，
∴2x－3y＝0.①
又b·c＝1，
∴x－2y＝1.②
综合①②知x＝－3，y＝－2.
∴c的坐标为(－3，－2)．
答案：C
2．解析：设向量n的坐标为(x，y)．
由|m|＝|n|，得a2＋b2＝x2＋y2.①
由m⊥n，得ax＋by＝0.②
解①②组成的方程组，得或
所以n的坐标为(b，－a)或(－b，a)．
答案：D
3．解析：a与b的夹角大于90°a·b＜0，
而a·b＝(m－2)(2m＋1)＋(m＋3)(m－2)＝3m2－2m－8.
解不等式3m2－2m－8＜0，得＜m＜2.
答案：B
4．答案：C
5．解析：向量λa＋b＝(－3λ－1,2λ)，a－2b＝(－1,2)．
因为λa＋b与a－2b垂直，
所以3λ＋1＋4λ＝0，解得λ＝.
答案：
6．解析：设＝(x，y)，则＝＋＝(x＋3，y＋1)，
∴＝－＝(x＋4，y－1)．
∵⊥，
∴－(x＋3)＋2(y＋1)＝0，即x－2y＋1＝0.①
又∵∥，
∴3(y－1)－(x＋4)＝0，即x－3y＋7＝0.②
由①②，解得x＝11，y＝6.
∴＝(11,6)．
答案：(11,6)
7．答案：①④⑤
8．解：(1)a－2b＝(1,2)－2(－3,1)＝(1＋6,2－2)＝(7,0)．
(2)cos
θ＝＝.
(3)因为向量a＋kb与a－kb互相垂直，所以(a＋kb)·(a－kb)＝0，即a2－k2b2＝0.因为a2＝5，b2＝10，所以5－10k2＝0k＝.
9．解：(1)由|ka＋b|＝|a－kb|，
得(ka＋b)2＝3(a－kb)2，
∴k2a2＋2ka·b＋b2＝3a2－6ka·b＋3k2b2，
即(k2－3)a2＋8ka·b＋(1－3k2)b2＝0.
∵|a|＝1，|b|＝1，
∴k2－3＋8ka·b＋1－3k2＝0，
∴a·b＝.
(2)由(1)，得a·b＝，由函数的单调性的定义，易知f(k)＝在(0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，
∴当k＝1时，a·b的最小值为f(1)＝×(1＋1)＝.
此时a，b的夹角为θ，
则cos
θ＝＝，
又∵θ∈[0，π]，
∴θ＝60°.2.3.3
向量数量积的坐标运算与度量公式
课后导练
基础达标
1.已知a=（3，-1），b=（1，-2），则a与b的夹角为（
）
A.
B.
C.
D.
解析:∵a·b=5，|a|=，|b|=，
cosθ=,∴θ=.
答案:B
2.设m、n是两个非零向量，且m=（x1,y1),n=(x2,y2)，则以下等式中与m⊥n等价的个数有(
)
①m·n=0
②x1x2=-y1y2
③|m+n|=|m-n|④|m+n|=
A.1
B.2
C.3
D.4
解析:对③④两边平方，化简得m·n=0m⊥n.
答案:D
3.已知点A（1，0）、B（5，-2）、C（8，4）、D（4，6），则四边形ABCD为（
）
A.正方形
B.菱形
C.梯形
D.矩形
解析:可以用坐标验证=且⊥，故ABCD为矩形.
答案:D
4.已知a=(2m-1,3-m),若|a|≤，则m的取值范围为（
）
A.［0，2］
B.［0，4］
C.（0，2］
D.（0，4］
解析:
|a|2=（2m-1）2+（3-m）2≤10m∈［0，2］.
答案:A
5.(2006江苏南京高三一模,3)
若向量n与直线l垂直,则称向量n为直线l的法向量,则直线x+2y+3=0的一个法向量为(
)
A.(1,2)
B.(1,-2)
C.(2,1)
D.(2,-1)
解析:可以确定已知直线的斜率k=-,
∴直线的方向向量a=(1,-).
由a·n=0,可知应选A.
答案:A
6.已知平面上直线l的方向向量e=(),点O（0,0)和A（1，-2）在l上的投影分别是O′和A′，则=λe，其中λ等于（
）
A.
B.
C.2
D.-2
解析:令e的起点是原点，与e方向相反，排除A、C，设e与夹角为θ.
∵=（1，-2），则||=，
∴cosθ=.
∴在e上的射影||·cosθ==-2.∴λ=-2.
答案:D
7.已知向量a=（1，1），b=（2，-3）.若ka-2b与a垂直，则k=___________.
解析:∵ka-2b=(k-4,k+6),又(ka-2b)·a=0,∴(k-4)·1+（k+6)·1=0.∴k=-1.
答案:-1
8.已知点A（1，-2），若与a=（2，3）同向，||=，则点B的坐标为_______.
解析:设A（xa,ya),B(xb,yb).
∵与a同向，∴可设=λa=（2λ,3λ)(λ＞0).
∵||=.
∴λ=2.则=(xb-xa，yb-ya)=(4,6).
∴B(5,4).
答案:(5,4)
综合运用
9.以原点O和点A（5，2）为两顶点作等腰直角△ABO，B为直角顶点，试求的坐标.
解:设B（x，y),则=（x,y),AB=(x-5,y-2).
∵△ABO是等腰直角三角形，故⊥，且||=||,
∴,
解得.
∴=（，）或=(,-).
10.已知a=（，-1），b=（，）且存在k，t∈R,使得x=a+（t2-3)b,y=-ka+tb,且x⊥y.试求的最小值.
解:由题意有|a|=2，|b|=1，
∵a·b=×-1×=0，
∴a⊥b.又∵x⊥y，
∴［a+（t2-3）b］·(-ka+tb)=0.
化简得k=.∴=(t2+4t-3)=(t+2)2.
当t=-2时，有最小值为.
11.已知直角三角形的两直角边长分别为4和6,试用向量法求两直角边中线所成钝角的余弦值.
思路分析:本题考虑用向量的几何法不易入手,故考虑用向量的坐标法,将直角三角形放到直角坐标系中,写出点的坐标,然后利用向量的坐标运算求解.
解:建立如图所示的坐标系,则A(4,0),B(0,6),E(2,0),F(0,3).
所以=(-4,3),=(2,-6).
所以·=-26,||=5,||=.所以cos∠AO′B=
.
所以两中线所成钝角的余弦值为.
拓展探究
12.讨论研究：
以坐标原点O和A（4，2）为2个顶点，作等腰直角三角形ABO，∠B=90°,求点B的坐标和AB的长.
解：设B（x,y),则=(x,y),=(x-4,y-2).
∵∠B=90°,∴⊥.
∴x(x-4)+y(y-2)=0,
即x2+y2=4x+2y.①
设中点为C，则C（2，1），=（2，1），=（x-2,y-1).
∵△AOB为等腰直角三角形，∴⊥.
∴2(x-2)+(y-1)=0,
即2x+y=5.②
由①②得
∴B(1,3)或（3，-1）.
∴=（-3，1）或（-1，-3）.
∴|AB|=||=.
