2.2.3
用平面向量坐标表示向量共线条件
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.与向量a=（）共线且方向相同的向量b的坐标是(
)
A.(-1,2)
B.(4,8)
C.（）
D.(-4,-8)
解析：由向量共线的条件，并注意方向相同.
答案：B
2.已知A(1，2)，B(2，3)，C(5，t)三点共线，则t的值为(
)
A.0
B.5
C.6
D.10
解析：=(1,1),
=(3,t-3),由于三点共线，∴1×(t-3)-1×3=0，t=6.
答案：C
3.已知，a=(6，m)，b=(3，-4)，且a与b共线，则m=_____________.
解析：6×(-4)=3m，∴m=-8.
答案：-8
4.已知a=(x-y，-1)，b=(2x，-3)，c=(y-5，2)，并且a∥b∥c，则x=_____________，y=___________.
解:∵a∥b，∴(x-y)·(-3)-2x·(-1)=0，即x-3y=0.
①
又∵b∥c，∴2x·2-(y-5)·(-3)=0，即4x+3y=15.
②
由①②联立解得x=3，y=1.
答案：3
1
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.以下命题错误的是（
）
A.若将=(x0，y0)平移，使起点M与坐标原点O重合，则终点N的坐标一定为(x0，y0)
B.=(x0，y0)的相反向量的坐标为(-x0，-y0)
C.若=(x0，y0)与y轴垂直，则必有y0=0
D.若=(x0，y0)是一个单位向量，则x0必小于1
解析：∵(x0，y0)为单位向量，∴x02+y02=1.
∴-1≤x0≤1.∴D选项错误.
答案：D
2.已知向量m=(-7，2+k)，n=(k+13，-6)，且m∥n，则k的值为（
）
A.1
B.-2
C.-16
D.1或-16
解析：∵m∥n，∴-7·(-6)=(2+k)·(k+13).∴k2+15k-16=0.∴k=1或-16.
答案：D
3..若△ABC的三边中点分别为D(2，1)，E(-3，4)，F(-1，-1)，则△ABC的重心P的坐标为_____________.
解析：易知△ABC的重心即是△DEF的重心.
设P(x，y)，则
∴P().
答案：()
4.已知平面内A，B，C三点的坐标分别为(0，-1)，(2，3)，(-1，-3)，则A，B，C三点的位置关系是_____________.
解析：∵=(2，4)，=(-1，-2)，
∴=-2.∴∥，且AB，AC有共同点A.
∴三点A、B、C共线.
答案：共线
5.已知向量a=(1，2)，b=(x，1)，u=a+2b，v=2a-b，且u∥v，求x的值.
解：u=(1，2)+2(x，1)=(1，2)+(2x，2)=(2x+1，4)，
v=2(1，2)-(x，1)=(2，4)-(x，1)=(2-x，3).
由于u∥v，则存在λ∈R，使得u=λv，即(2x+1，4)=((2-x)λ，3λ).
∴(2x+1)=(2-x).
解之,得x=.
6.已知a=(1，2)，b=(-3，2).
(1)求证：a和b是一组基底，并用它们表示c=f(x0，y0)；
(2)若(k2+1)a-4b与ka+b共线，求k的值.
(1)证明：∵1×2≠2×(-3)，∴a与b不共线,
又∵a与b皆为非零向量.
∴a和b是一组基底，可设c=ma+nb,则(x0，y0)=m(1，2)+n(-3，2).
∴(x0，y0)=(m，2m)+(-3n，2n).
∴
∴c=.
(2)解：依题意，［(k2+1)a-4b］∥(ka+b).
∴.
∴k2+4k+1=0，k=-2±.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.已知=e1+2e2，=(3-x)e1+(4-y)e2，其中e1、e2的方向分别与x、y轴正方向相同，且为单位向量.若与共线，则点P(x，y)的轨迹方程为（
）
A.2x-y-2=0
B.(x+1)2+(y-1)2=2
C.x-2y+2=0
D.(x-1)2+(y+1)2=2
解析：=(1，2)，=(3-x，4-y).
又与共线，令=λ，则有，即2x-y-2=0.
答案：A
2.已知a=(，sinα)，b=(sinα,)，若a∥b，则锐角α为（
）
A.30°
B.60°
C.45°
D.75°
解析：∵a∥b，
∴=sinα·sinα.
∴sinα=(sinα=舍去).∴α=30°.
答案：A
3.下列各组中的两个向量，其中不能作为一组基底的是(
)
A.a=(-2，3)，b=(4，6)
B.a=(2，3)，b=(3，2)
C.a=(1，-2)，b=(7，14)
D.a=(-3，2)，b=(-6，4)
解析：a与b共线,则a与b不能作为一组基底，选项D满足a=λb(λ∈R)，即a=-2b.
答案：D
4.四边形ABCD中，若=，则四边形ABCD是(
)
A.平行四边形
B.矩形
C.菱形
D.梯形
解析：由题意,知AB∥CD，且||≠||，
∴四边形ABCD为梯形.
答案：D
5.已知向量a=(3，4)，b=(sinα，cosα)，且a∥b，则tanα等于(
)
A.
B.
C.
D.
解析：∵a∥b，∴3cosα-4sinα=0.
∴tanα=.
答案：A
6.平面上有A(-2，1)，B(1，4)，D(4，-3)三点，点C在直线AB上，且=，连结DC并延长，取点E使=，则点E的坐标为(
)
A.(0，1)
B.(0，1)或()
C.()
D.(-8，)
解析：设C(x，y)，由=,得(x+2，y-1)=(x-1，y-4).
即
即C(-5，-2).又E在DC延长线上，
∴=，设E(a，b)，
则(a+5,b+2)=(a-4,b+3)a=-8，b=.
∴E(-8，).
答案：D
7.(2006北京西城抽样，7)已知A(7,1),B(1,4),直线y=与线段AB交于点C，且=2，则a等于（
）
A.2
B.
C.1
D.
解析：设C(a，b)，∵=2.
∴(a-7，b-1)=2(1-a，4-b)，a-7=2-2a且b-1=8-2b，∴a=3，b=3.∴C(3，3).又点C在直线y=ax上，∴a=2.
答案：A
8.已知A(1，-2)，若与a=(2，3)同向，||=，则点B的坐标为_______________.
解析：设B(x，y)，则=(x-1，y+2)，与a=(2，3)同向，
∴可设=λa=(2λ，3λ)(λ＞0).
由||=知，
∴λ=2.
又=(x-1，y+2)=(4，6)，
∴即B(5，4).
答案：(5，4)
9.已知e1=(-1，1)，e2=(0，2)，c=(4，6)，则c=_____________e1+______________e2.
解析：e1，e2显然不共线，设c=te1+ve2，则(4，6)=u(-1，1)+v(0，2)=(-u，u+2v).
∴
∴即c=-4e1+5e2.
答案：-4
5
10.如图2-2-5所示，已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，求AC和OB交点P的坐标.
图2-2-5
解：设=s·=(4s，4s)，=(4s-4，4s-0)=(4s-4，4s)，=(2-4，6-0)=(-2，6).
由与共线可得(4s-4)×6-4s×(-2)=0，解得s=.
所以=(4s，4s)=(3，3)，P点的坐标为(3，3).
11.是否存在这样的实数m、n，使得以点A(1，m),B(n，-3),C(m，0)、D(-1，n)为顶点的四边形ABCD为矩形 为什么
解：若四边形ABCD是矩形，则其必为平行四边形，所以=.
将A(1，m)、B(n，-3)、C(m，0)、D(-1，n)代入，有=(n-1，-3-m)，
=(m+1，-n)，
∴
由①得n-m=2，由②得m-n=-3，两式矛盾.∴不存在这样的实数m、n，使四边形ABCD为矩形.2.2.1
平面向量基本定理
课后导练
基础达标
1.如果e1、e2是平面内所有向量的一组基底，那么（
）
A.若实数m、n使得me1+ne2=0,则m=n=0
B.空间任一向量a可以表示为a=λ1e1+λ2e2,其中λ1、λ2为实数
C.对于实数m、n，me1+ne2不一定在此平面上
D.对于平面内的某一向量a，存在两对以上的实数m、n，使a=me1+ne2
解析:对于选项B，应为平面内任一向量，故B错.
对于C，me1+ne2一定在此平面上，故C错.
对于D，由平面向量基本定理,知m、n是唯一的，故D错.
答案:A
2.设e1、e2是两个不共线向量，若向量a=
e1+λe2(λ∈R)与b=-（e2-2e1)共线，则有(
)
A.λ=0
B.λ=-1
C.λ=-2
D.λ=
解析:∵a=μb，
∴e1+λe2=-μ(e2-2
e1),
则(2μ-1)
e1=(μ+λ)
e2.
∴
答案:D
3.设（a+5b），=-2a+8b，=3（a-b），那么下列各组中三点一定共线的是(
)
A.A、B、C
B.A、B、D
C.A、C、D
D.B、C、D
答案:B
4.O为ABCD的对角线交点，=4e1,=6e2,则3e2-2e1等于（
）
A.
B.
C.
D.
解析:由+=，得6
e2-4
e1=,即2(3e2-2e1)=.
答案:B
5.已知e1、e2是表示平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为一组基底的是(
)
A.e1+e2和e1-e2
B.3e1-2e2和4e2-6e1
C.e1+2e2和e2+2
e1
D.e2和e1+e2
解析:∵4e1-6e1=-2(3e1-2e2),
∴3e1-2e2与4e2-6e1共线,不能为基底.
答案:B
6.在ABCD中，与交于点M.若设=a，=b，则以下各选项中，与a+b相等的向量有（
）
A.
B.
C.
D.
解析:a+b=（b-a）=（-）==.
答案:D
7.设一直线上三点A、B、P满足=λ(λ≠1),O是空间一点,则用、表示为(
)
A.=+λ
B.=λ+(1-λ)
C.=
D.=+
解析:由=λ(λ≠1)得-=λ(-),即=.
答案:C
8.平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C满足=α+β,其中,α、β∈R,且α+β=1,则点C的轨迹方程为___________.
解析:将点C所满足的向量式条件转化为直角坐标系下的方程式即为点C的轨迹方程.
答案:x+2y-5=0
综合运用
9.如图,矩形ABCD中,若=5e1,=3e2,则等于(
)
A.(5e1+3e2)
B.(5e1-3e2)
C.(3e2+5e1)
D.(5e2-3e1)
解析:=-(+)=-(-5e1-3e2)=(5e1+3e2).
答案:A
10.、、的终点A、B、C在一条直线上,且=-3,设=p,=q,=r,则以下等式成立的是(
)
A.r=-p+q
B.r=-p+2q
C.r=p-q
D.r=-q+2p
解析:=-=r-p,=-=q-r.
又∵=-3,
∴r-p=-3(q-r),
∴r=-p+q.
答案:A
11.(2006东北师大附中,15)
已知e1、e2是两个不共线的向量,而a=k2
e1+(1-k)e2与b=2e1+3e2是两个共线向量,则实数k=______________.
解析:∵a与b共线,
∴存在实数λ使得a=λb即k2
e1+(1-k)e2=λ(2e1+3e2)=2λe1+3λe2,即
解得k=或-2.
答案:或-2
拓展探究
12.如图,△ABC中,点M是BC的中点,点N在边AC上,且AN=2NC,AM与BN相交于点P,求AP∶PM的值.
解:设=e1,=e2,则=-3e2-e1,
=2e1+e2.
∵A、P、M与B、P、N分别共线,
∴存在实数λ,μ,
使=λ=-λe1-3λe2,
=μ=2μe1+μe2,
故=-=(λ+2μ)
e1+(3λ+μ)
e2,而=+=2e1+3e2,
∴由平面向量基本定理得
∴
故=,即AP∶PM=4∶1.平面向量基本定理
1．已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2.则x－y的值等于( )
A．3
B．－3
C．0
D．2
2．设e1，e2是一个平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是( )
A．e1＋e2和e1－e2
B．3e1－2e2和4e2－6e1
C．e1＋2e2和e2＋2e1
D．e2和e1＋e2
3．在ABCD中，与交于点M.若设＝a，＝b，则以下各选项中，与－a＋b相等的向量有( )
A．
B．
C．
D．
4．设e1，e2是两个不共线的向量，若向量a＝e1＋λe2(λ∈R)与b＝－(e2－2e1)共线，则有( )
A．λ＝0
B．λ＝－1
C．λ＝－2
D．λ＝
5．如图所示，已知在△ABC中，M，N，P是线段AB的四等分点，＝e1，＝e2，则下列正确的是( )
A．＝e1＋e2，＝e1＋e2
B．＝e1－e2，＝e1＋e2
C．＝e1＋e2，＝(e1＋e2)
D．＝(e1－e2)，＝e1＋e2
6．设e1，e2为一组基底，a＝－e1＋2e2，b＝e1－e2，c＝3e1－2e2，以a，b为基底可以将c表示为c＝pa＋qb，则实数p，q的值分别为__________．
7．起点相同的三个非零向量a，b,3a－λb的终点在一条直线上，则λ＝__________.
8．平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点A(1,1)，B(－1,2)，若点C满足＝α＋β，其中，α，β∈R，且α＋β＝1，则点C的轨迹方程为__________．
9．如图所示，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM.
10．已知向量a＝－e1＋3e2＋2e3，b＝4e1－6e2＋2e3，c＝－3e1＋12e2＋11e3，问a能否表示成a＝λb＋μc(λ，μ∈R)的形式？若能，写出表达式；若不能，请说明理由．
参考答案
1．答案：A
2．答案：B
3．解析：a＋b＝(b－a)＝(－)＝＝＝.
答案：D
4．解析：∵a与b共线，且b≠0，∴存在实数μ，使得a＝μb，
即e1＋λe2＝－μ(e2－2e1)，则(2μ－1)e1＝(μ＋λ)e2.
∴解得
答案：D
5．解析：由题意得，N为线段AB的中点，所以＝(＋)＝(e1＋e2)＝e1＋e2，又M为AN的中点，
所以＝(＋)＝＝e1＋e2，故选项A正确．
选项B中＝e1＋e2，选项C中＝(e1－e2)，选项D中＝e1－e2.
答案：A
6．解析：c＝pa＋qb，即3e1－2e2＝(－pe1＋2pe2)＋(qe1－qe2)＝(q－p)e1＋(2p－q)e2，
所以解得
答案：1,4
7．解析：设＝a，＝b，＝3a－λb＝3－λ，
∵A，B，C三点共线，∴3＋(－λ)＝1，∴λ＝2.
答案：2
8．解析：由α＋β＝1，可知点C的轨迹是直线AB，通过直线的两点式求解直线AB的方程即可．
答案：x＋2y－3＝0
9．解：设＝e1，＝e2，则＝＋＝－3e2－e1，＝＋＝2e1＋e2.
∵A，P，M与B，P，N分别共线，∴存在实数λ，μ，使＝λ＝－λe1－3λe2，＝μ＝2μe1＋μe2，
∴＝－＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2，而＝＋＝2e1＋3e2，
∴由平面向量基本定理，得
∴∴＝，∴AP∶PM＝4∶1.
10．解：能．假设a＝λb＋μc(λ，μ∈R)，将a，b，c代入a＝λb＋μc，得－e1＋3e2＋2e3＝(4λ－3μ)e1＋(－6λ＋12μ)e2＋(2λ＋11μ)e3，则解得
所以a＝b＋c.所以a能表示成a＝λb＋μc(λ，μ∈R)的形式，表达式为a＝b＋c.2．2.1 平面向量基本定理
知识点一：平面向量基本定理
1．下列关于基底的说法正确的是
①平面内的任意两个向量都可作为一组基底．
②基底中的向量可以是零向量．
③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的．
A．① B．② C．③ D．②③
2．O为?ABCD的对角线交点，＝4e1，＝6e2，则3e2－2e1等于
A.
B.
C.
D.
3．已知e1、e2是同一平面内不共线的任意两个向量，下列说法正确的有
①λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；
②若实数λ、μ使λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0；
③对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数λ、μ有无数多对；
④若λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使λ2e1＋μ2e2＝λ(λ1e1＋μ1e2)．
A．①②
B．③④
C．②③
D．①③
4．AD与BE分别为△ABC的边BC，AC上的中线，且＝a，＝b，则等于
A.a＋b
B.a＋b
C.a－b
D．－a＋b
5．已知向量e1、e2不共线，实数x，y满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则x－y的值等于__________．
6．四边形OADB是以向量＝a，＝b为邻边的平行四边形，又BM＝BC，CN＝CD，试用a，b表示，，.
知识点二：直线的向量参数方程式
7．已知O是直线AB外一点，C，D是线段AB的三等分点，若＝3e1，＝e2，则等于
A．e1＋2e2
B．2e1＋e2
C.e1＋e2
D．e1＋e2
8．设一直线上三点A，B，P满足＝λ(λ≠1)，O为平面上任一点，则用，表示为__________．
能力点一：向量的分解
9．在?ABCD中，与交于点M.若设＝a，＝b，则以下各选项中，与－a＋b相等的向量有
A.
B.
C.
D.
10．△ABC中，＝，EF∥BC交AC于F点，设＝a，＝b，用a，b表示向量为__________．
11．在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点．若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝__________.
12．如图所示，已知四边形ABCD为矩形，且AD＝2AB，又△ADE为等腰直角三角形，F为ED的中点，＝e1，＝e2，选择{e1，e2}作为基底，用基底表示向量，，，.
13．如图所示，在平行四边形ABCD中，E、F分别为BC、DC边上的中点，若＝a，＝b.试以a，b为基底表示，.
能力点二：平面向量基本定理的综合应用
14．已知向量a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，其中e1，e2不共线，则a＋b与c＝6e1－2e2的关系为
A．不共线
B．共线
C．相等
D．无法确定
15．如图所示，点P在∠AOB的对角区域MON内，且满足＝x＋y，则实数对(x，y)可以是
A．(，－)
B．(，)
C．(－，－)
D．(－，)
16．如图，已知△ABC中，M，N，P顺次是AB的四等分点，＝e1，＝e2，则下列正确的是
A.＝e1＋e2，＝e1＋e2
B.＝e1－e2，＝e1＋e2
C.＝e1＋e2，＝(e1＋e2)
D.＝(e1－e2)，＝e1＋e2
17．设向量e1、e2是平面向量的一组基底，则a＝e1＋λe2与b＝－e1＋2e2共线时，λ＝________.
18．已知△ABC中，D为AB上一点，若＝2，＝＋λ，则λ＝________.
19．设e1、e2为两个不共线向量，a＝－e1＋3e2，b＝4e1＋2e2，c＝－3e1＋12e2，试以b、c为基底来表示向量a.
20．如图所示，点L、M、N分别为△ABC的边BC、CA、AB上的点，且＝l，＝m，＝n，若＋＋＝0，求证：l＝m＝n.
答案与解析
基础巩固
1．C
2．B 由＋＝得6e2－4e1＝，即2(3e2－2e1)＝＝2，
∴3e2－2e1＝.
3．A ④中，如果λ1e1＋μ1e2＝0，则不成立．
4．B 设AD与BE交点为F，则＝a，＝b，由＋＋＝0得＝(a－b)，
∴＝2＝2(－)＝a＋b.
5．3 ∵e1、e2不共线，
∴∴x－y＝3.
6．解：＝－＝a－b，
＝＝＝a－b，
∴＝＋＝b＋a－b＝a＋b.
又∵＝a＋b，∴＝＝a＋b，
∴＝－＝a－b.
7．D 如图，＝＋＝＋(－)＝＋＝e1＋e2.
8.＝
能力提升
9．D
10．－a＋b 如图，＝＋＝＋＝－a＋b.
11. 延长AF，DC交于点H，
∵E、F为中点，
∴AB＝HC＝CD，AF＝FH.
∴＝＋
＝2＋2
＝2＋2(－)．
∴＝＋，
即λ＝，μ＝.
∴λ＋μ＝.
12．解：∵e1＝，e2＝，
∴＝－＝e2－e1.
由已知AD＝2AB＝DE，且F为DE的中点，
∴四边形ABDF为平行四边形．
∴＝＝＝e2，
＝－＝2－＝2e2－e1，＝＝e2－e1.
13．解：∵四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是BC、DC的中点，
∴＝＝2，＝＝2.
∴＝＝b，＝＝＝－＝－a.
∴＝＋＋＝－＋＋＝－b＋a＋b＝a－b，
＝＋＝＋＝b－a.
14．B a＋b＝(e1－2e2)＋(2e1＋e2)＝3e1－e2.
又c＝6e1－2e2，∴a＋b＝c.
∴a＋b与c共线．
15．C
16．A N为AB中点，
即得＝(＋)＝(e1＋e2)，而M又为AN中点，
＝(＋)＝(e2＋e1＋e2)＝e1＋e2，
∴A正确．
B中应是＝e1＋e2，
C中＝(e1－e2)，
D中＝e1－e2.
17．－2 若a与b共线，则a＝mb，即e1＋λe2＝m(－e1＋2e2)，又e1与e2不共线，∴
∴λ＝－2.
18.
19．解：设a＝λ1b＋λ2c，则－e1＋3e2＝λ1(4e1＋2e2)＋λ2(－3e1＋12e2)，
即－e1＋3e2＝(4λ1－3λ2)e1＋(2λ1＋12λ2)e2.
∵e1，e2不共线，由平面向量基本定理，
得
解得
∴a＝－b＋c.
拓展探究
20．证明：设＝a，＝b，以a，b为基底．
由已知，得＝la，＝mb，
∵＝＋＝－b－a，
∴＝n＝－na－nb.
∴＝＋＝－b－a＋la＝(l－1)a－b，①
＝＋＝a＋mb，②
＝＋＝b＋(－na－nb)＝－na＋(1－n)b.③
将①②③代入＋＋＝0，得(l－1)a－b＋a＋mb－na＋(1－n)b＝0，
即(l－n)a＋(m－n)b＝0，
又∵a与b不共线，
∴∴l＝m＝n.2.2.2
向量的正交分解与向量的直角坐标运算
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.已知A(-5，-1)，B(3，-2)，则的坐标为（
）
A.(8，1)
B.(-4，）
C.(-8，1)
D.(-8，-1)
解析：∵A(-5，-1)，B(3，-2)，
∴=(8，-1).
∴-=(-4，).
答案：B
2.已知向量a=(3，m)的长度为5，则m的值为（
）
A.4
B.±4
C.16
D.±16
解析：作向量=a=(3，m)，则A点坐标为(3，m)，||==5，
∴m=±4.
答案：B
3.设a=(4，3)，b=(λ，6)，c=(-1，μ)，若a+b=c，则λ=___________，μ=___________.
解析：a+b=(4，3)+(λ，6)=(4+λ，9)=c=(-1，μ).
答案：-5
9
4.设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2).
(1)当点P是线段P1P2的中点时，点P的坐标为___________；
(2)当点P是线段P1P2的一个三等分点时，点P的坐标为___________.
解：(1)如图(甲)，由向量的线性运算可知=(+)=().
(2)如图(乙)，当点P是线段P1P2的一个三等分点时，有两种情况，即或=2.
(甲)
(乙)
如果=，那么=+=+=+(-)=+
=()，
即点P的坐标是().
同理，如果=2，那么点P的坐标是().
答案：(1)()
(2)()或()
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.已知a=(-7，24)，|λa|=50，则λ等于（
）
A.±
B.2
C.-2
D.±2
解析：|λa|=|λ||a|=25|λ|=50|λ|=2.
答案：D
2.已知a=(-1，2)，b=(1，-2)，则a+b与a-b的坐标分别为（
）
A.(0，0)，(-2，4)
B.(0，0)，(2，-4)
C.(-2，4)，(2，-4)
D.(1，-1)，(-3，3)
解析：a+b=(0，0)，a-b=(-2，4).
答案：A
3.已知=(x，y)，点B的坐标为(-2，1)，则的坐标为（
）
A.(x-2，y+1)
B.(x+2，y-1)
C.(-2-x，1-y)
D.(x+2，y+1)
解析：=-，∴=-=(-2-x，1-y).
答案：C
4.设a=(-1，2)，b=(1，-1)，c=(3，-2)，用a、b作基底可将c表示为c=pa+qb，则实数p、q的值为（
）
A.p=4，q=1
B.p=1，q=4
C.p=0，q=4
D.p=1，q=-4
解析：c=(-p+q，2p-q)，∴
答案：B
5.已知m=(sinα+cosα，sinα-cosα)，则m的长度为______________.
解析：∵|m|2=(sinα+cosα)2+(sinα-cosα)2=2sin2α+2cos2α=2，
∴|m|=.
答案：
6.如图2-2-4所示的直角坐标系xOy中，|a|=4，|b|=3，求a，b的坐标及B点的坐标.
图2-2-4
解：设a=(x，y)，则x=|a|cos45°=4×，y=|a|sin45°=4×，即a=()；b相对于x轴正方向的转角为120°，设b=(u，v)，
∴u=|b|cos120°=3×()=，v=|b|sin120°
=3×.
∴b=(，).
又的坐标即为A点的坐标，
∴A()，b==(，).
设B(a，b)，
∴()=(a-，b-),
∴
即B(，).
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.设A(1，2)，B(4，3)，若向量a=(x+y，x-y)与相等，则（
）
A.x=1，y=2
B.x=1，y=1
C.x=2，y=1
D.x=2，y=2
解析：=(3,1),由=a，得
答案：C
2.△ABC的两个顶点为A(4，8)，B(-3，6)，若AC的中点在x轴上，BC的中点在y轴上，则C的坐标为（
）
A.(-8，3)
B.(-3，4)
C.(3，-8)
D.(-4，3)
解析：设C=(x，y)，则
解之，得∴C=(3，-8).
答案：C
3.若M(3，-2)，N(-5，-1)，且=，则P点坐标为（
）
A.(-8，-1)
B.(-1，）
C.(1，）
D.(8，-1)
解析：P为的中点.
答案：B
4.若向量a=(1，1)，b=(1，-1)，c=(-1，2)，则c等于（
）
A.a+b
B.
C.
D.
解析：设c=ma+nb，则(-1，2)=m(1，1)+n(1，-1)=(m+n，m-n).
∴
答案：B
5.平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知A(3，1)，B(-1，3)，若点C满足=α+β，其中α，β∈R，且α+β=1，则点C的轨迹方程为(
)
A.3x+2y-11=0
B.(x-1)2+(y-2)2=5
C.2x-y=0
D.x+2y-5=0
解析：已知=(3，1)，=(-1，3)，设=(x,y),∵=α+β，
∴(x，y)=α(3，1)+β(-1，3).
∴
又∵α+β=1，∴x+2y-5=0.
答案：D
6.已知平行四边形ABCD中，=(3，7)，=(-2，3)，对角线AC，BD交于点O，则的坐标为(
)
A.(，5)
B.(，5)
C.(，-5)
D.(，-5)
解析：∵=+=(-2，3)+(3，7)=(1，10)，∴=(-1，-10).
∴==(，-5).
答案：C
7.已知点A(3，-4)，B(-1，2)，点P在直线AB上，且||=2||，则点P的坐标为(
)
A.(，0)
B.(-5，8)
C.(，1)或(-4，7)
D.(，0)或(-5，8)
解析：由题意知=±2，设P(x，y)，则(3-x，-4-y)=±2(-1-x，2-y)，
∴
答案：D
8.(2006贵州模拟,11)函数y=sinx的图象按向量a=（，2）平移后与函数ｇ(x)的图象重合，则ｇ(x)的表达式是（
）
A.cosx-2
B.-cosx-2
C.cosx+2
D.-cosx+2
解析：设平移前后对应点的坐标分别为(x′,y′),(x,y),则x′-x=且y′-y=-2，代入原函数式得y-2=sin(x+)，整理得g(x)=-cosx+2.
答案：D
9.已知A(，-1)，则所在直线与x轴所夹的锐角为_____________.
解析：易知点A在第四象限，作AH⊥x轴于H点，则在Rt△AHO中，AH=1，HO=，
∴tan∠HOA=，∠HOA=30°.
答案：30°
10.(1)已知2a+b=(-4，3)，a-2b=(3，4)，求向量a、b的坐标.
(2)x轴的正方向到a的夹角为60°，且|a|=2，求a的坐标.
解：(1)
①×2+②得5a=(-8+3，6+4)，a=(-1，2)，
b=(-4，3)-2(-1，2)=(-4，3)-(-2，4)=(-2，-1).
(2)∵x=|a|·cos60°=2·=1，y=|a|·sin60°=2×，
∴a=(1，).
11.用向量法：求cos+cos+cos的值.
解：将边长为1的正七边形ABCDEFO如图放入直角坐标系中，
则=(1，0)，=(cos，rin)，=(cos，sin)，=(cos，sin)，=(cos，sin)，=(cos，sin)，=(cos，sin).
∵++++++=0，∴这些向量的横坐标之和为0，即1+cos+cos+cos+cos+cos+cos=0.
由三角函数的诱导公式，可得cos=s，cos=cos，cos=cos.
∴上式为1+2(cos+cos+cos)=0.
∴cos+cos+cos=-.用平面向量坐标表示向量共线条件
1．已知a＝，b＝，若a∥b，则锐角α为( )
A．30°
B．60°
C．45°
D．75°
2．以下命题错误的是( )
A．若将＝(x0，y0)平移，使起点M与坐标原点O重合，则终点N的坐标一定为(x0，y0)
B．＝(x0，y0)的相反向量的坐标为(－x0，－y0)
C．若＝(x0，y0)与y轴垂直，则必有y0＝0
D．若＝(x0，y0)是一个单位向量，则x0必小于1
3．与a＝(12,5)平行的单位向量为( )
A．
B．
C．或
D．
4．已知a＝(1,2)，b＝(－2,3)，若ma－nb与a＋2b共线(其中m，n∈R，且n≠0)，则等于( )
A．
B．2
C．
D．－2
5．平面上有A(－2,1)，B(1,4)，D(4，－3)三点，点C在直线AB上，且＝，连接DC并延长，取点E，使＝，则点E的坐标为( )
A．(0,1)
B．(0,1)或
C．
D．
6．已知A，B，C三点的坐标分别为(0，－1)，(2,3)，(－1，－3)，则A，B，C三点的位置关系是________．
7．(2012·福建三明联考)已知两向量a＝(2，sin
θ)，b＝(1，cos
θ)，若a∥b，则__________.
8．已知点A(1，－2)，若与a＝(2,3)同向，||＝，则点B的坐标为__________．
9．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)．
(1)求证：a和b是一组基底，并用它们表示向量c＝(x0，y0)；
(2)若(k2＋1)a－4b与ka＋b共线，求k的值．
10．如图所示，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求AC和OB的交点P的坐标．
参考答案
1．解析：∵a∥b，∴＝sin
α·sin
α.
∴或.
∵α为锐角，∴舍去，
即，∴α＝30°.
答案：A
2．解析：∵(x0，y0)为单位向量，∴x02＋y02＝1.
∴－1≤x0≤1.故选项D错误．
答案：D
3．解析：利用平行与单位向量两个条件求解．
答案：C
4．解析：ma－nb＝m(1,2)－n(－2,3)＝(m＋2n,2m－3n)．a＋2b＝(1,2)＋2(－2,3)＝(－3,8)．
∵(ma－nb)∥(a＋2b)，
∴(m＋2n)×8＝－3×(2m－3n)，即14m＝－7n.
∴.
答案：A
5．解析：设点C(x，y)，由＝，
得(x＋2，y－1)＝(x－1，y－4)，
即解得
即C(－5，－2)．
又＝，
设点E(a，b)，则(a＋5，b＋2)＝(a－4，b＋3)，解得a＝－8，b＝.
故E.
答案：D
6．解析：∵＝(2,4)，＝(－1，－2)，
∴＝－2.
∴∥，且AB，AC有公共点A．
∴A，B，C三点共线．
答案：共线
7．答案：4
8．解析：设点B(x，y)，则＝(x－1，y＋2)，又与a＝(2,3)同向，
故可设＝λa＝(2λ，3λ)(λ＞0)．
由||＝，知，
解得λ＝2.
又＝(x－1，y＋2)＝(4,6)，
所以即点B的坐标为(5,4)．
答案：(5,4)
9．解：(1)证明：∵1×2≠2×(－3)，
∴a与b不共线．
∴a和b是一组基底，可设c＝ma＋nb，
则(x0，y0)＝m(1,2)＋n(－3,2)．
∴(x0，y0)＝(m,2m)＋(－3n,2n)．
∴
解得
∴c＝a＋b.
(2)由题意知，(k2＋1)a－4b与ka＋b平行，
故有，
即k2＋4k＋1＝0，解得，
因此k的值为.
10．解：设＝λ·＝(4λ，4λ)，＝(4λ－4,4λ－0)＝(4λ－4,4λ)，＝(2－4,6－0)＝(－2,6)．
由与共线，
可得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得.
所以＝(4λ，4λ)＝(3,3)，
所以点P的坐标为(3,3)．2.2.2
向量的正交分解与向量的直角坐标运算
自我小测
1．如图，设e1，e2为互相垂直的单位向量，则向量a－b可表示为( )
A．e1－3e2
B．－2e1－4e2
C．2e2－e1
D．3e1－e2
2．若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c＝( )
A．－a＋b
B．
a－b
C．
a－b
D．－a＋b
3．△ABC的两个顶点为A(4,8)，B(－3,6)，若AC的中点在x轴上，BC的中点在y轴上，则点C的坐标为( )
A．(－8,3)
B．(－3,4)
C．(3，－8)
D．(－4,3)
4．已知在 ABCD中，＝(3,7)，＝(－2,3)，对角线AC，BD交于点O，则的坐标为( )
A．
B．
C．
D．
5．设点A，B，C，D的坐标依次为(－1,0)，(3,1)，(4,3)，(0,2)，则四边形ABCD的形状为________．(填“平行四边形”“菱形”)
6．平面上有A(2，－1)，B(1,4)，D(4，－3)三点，点C在直线AB上，且＝，连接DC延长至点E，使||＝||，则点E的坐标为________．
7．已知边长为1的正方形ABCD．若点A与坐标原点重合，边AB，AD分别落在x轴，y轴的正方向上，则向量4＋－3的坐标为__________．
8．已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及＝＋t，求：
(1)t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限？
(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由．
9．已知向量u＝(x，y)与v＝(y,2y－x)的对应关系用v＝f(u)表示．
(1)证明：对于任意向量a，b及常数m，n，恒有f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b)成立；
(2)设a＝(1,1)，b＝(1,0)，求向量f(a)及f(b)的坐标；
(3)求使f(c)＝(p，q)(p，q为常数)的向量c的坐标．
参考答案
1．答案：A
2．答案：B
3．答案：C
4．解析：如图所示，=+=(-2,3)+(3,7)=(1,10)，
所以==．
所以错误!未定义书签。=．
答案：C
5．解析：如图所示，＝(0,2)－(－1,0)＝(1,2)，＝(4,3)－(3,1)＝(1,2)，所以＝．
又＝(3,1)－(－1,0)＝(4,1)，
所以||＝，||＝，
所以||≠||，
所以四边形ABCD为平行四边形．
答案：平行四边形
6．解析：因为＝，
所以－＝
(－)，
即＝(3，－6)．
又因为＝－，
设E(x，y)，则
得
答案：
7．解析：如图，各顶点的坐标为A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，
所以＝(1,0)，＝(0,1)，＝(1,1)．
所以4＋－3＝(1，－2)．
答案：(1，－2)
8．解：(1)设P(x，y)，由＝＋t得
(x，y)＝(1,2)＋t(3,3)，即
若P在x轴上，则yP＝0，即2＋3t＝0，所以t＝－．
若P在y轴上，则xP＝0，即1＋3t＝0，所以t＝－．
若P在第二象限，则 －(2)若四边形OABP能构成平行四边形，则
＝，即(1＋3t,2＋3t)＝(3,3)．
所以这是不可能的．
故不能成为平行四边形．
9．解：(1)证明：设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，
则ma＋nb＝(ma1＋nb1，ma2＋nb2)，
所以f(ma＋nb)＝(ma2＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1)，
mf(a)＋nf(b)＝m(a2,2a2－a1)＋n(b2,2b2－b1)
＝(ma2＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1)．
所以f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b)，
即对于任意向量a，b及常数m，n，
恒有f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b)．
(2)f(a)＝f((1,1))＝(1,2×1－1)＝(1,1)，
f(b)＝f((1,0))＝(0,2×0－1)＝(0，－1)．
(3)设c＝(x′，y′)，则f(c)＝(y′，2y′－x′)＝(p，q)，
所以解得
故向量c＝(2p－q，p)．2.2.2
向量的正交分解与向量的直角坐标运算
课后导练
基础达标
1.若向量a=（3，2），b=（0，-1），则向量2b-a的坐标是（
）
A.（3，-4）
B.（-3，4）
C.（3，4）
D.（-3，-4）
答案:D
2.设a=（-1，2），b=（-1，1），c=(3,-2),用a，b作基底，将c表示为c=pa+qb,则（
）
A.p=4,q=1
B.p=1,q=-4
C.p=0,q=4
D.p=1,q=4
答案:B
3.已知ABCD中，=（3，7），=（-2，3），对角线AC、BD交于O，则坐标为（
）
A.（，5）
B.（，5）
C.（，-5）
D.（，-5）
解析:如图所示，=+=（-2，3）+（3，7）=（1，10）,
∴==（，5）.
∴=（，-5）.
答案:C
4.设A、B、C、D坐标依次为（-1，0）、（3，1）、（4，3）、（0，2），则四边形ABCD为（
）
A.正方形
B.矩形
C.菱形
D.平行四边形
解析:如图所示，=（0，2）-（-1，0）=（1，2）,
=（4，3）-（3，1）=（1，2）,
∴=.
又=(3,1)-(-1,0)=(4,1)且||≠||,
∴四边形ABCD为平行四边形.
答案:D
5.设点A(-1,2),B(2,3),C(3,-1),且=2-3,则点D坐标为(
)
A.(2,16)
B.(-2,-16)
C.(4,16)
D.(2,0)
解析:设D(x,y),则=(x+1,y-2),=(3,1),=(1,-4),
由(x+1,y-2)=2(3,1)-3(1,-4)得
答案:A
6.设a=(-1,2),b=(1,-1),c=(3,-2),且c=pa+qb,则实数p、q的值为(
)
A.p=4,q=1
B.p=1,q=-4
C.p=0,q=1
D.p=1,q=4
解析:由(3,-2)=p(-1,2)+q(1,-1)得
解得p=1,q=4.
答案:D
7.已知A、B、C坐标分别为（2，-4）、（0，6）、（-8，10），则+2=_________，-=________.
答案:（-18，18）
（-3，-3）
8.已知边长为单位长的正方形ABCD.若A点与坐标原点重合，边AB、AD分别落在x轴、y轴的正方向上，则向量2+3+的坐标为___________.
解析:根据题意建立坐标系（如图），则各顶点的坐标分别为A（0，0）、B（1，0）、C（1，1）、D（0，1）.
∴=（1，0），=（0，1），=（1，1）.
∴2+3+=（2，0）+（0，3）+（1，1）=（3，4）.
答案:(3,4)
综合运用
9.(2006山东高考,4)
设向量a=(1,-3),b=(-2,4).若表示向量4a、3b-2a、c的有向线段首尾相接能构成三角形,则向量c为(
)
A.(1,-1)
B.(-1,1)
C.(-4,6)
D.(4,-6)
解析:若使向量4a,3b-2a,c表示的有向线段首尾相接构成三角形,则4a+(3b-2a)+c=0,
∴c=-2a-3b=-2(1,-3)-3(-2,4)=(4,-6).故选D.
答案:D
10.(2006湖南高考,10)
如图所示,OM∥AB,点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界),且=x+y,则实数对(x,y)可以是…(
)
A.()
B.()
C.()
D.()
解析:据平面向量基本定理和平行四边形法则,
A(),=+,P在下方,
B(),P在OM边界上,
D(),P在延长线上方,故选C.
答案:C
11.已知O是△ABC内一点,∠AOB=150°,∠BOC=90°,设=a,=b,=c且|a|=2,|b|=1,|c|=3,试用a和b表示c.
解:以O为坐标原点,OA所在直线为x轴建立如下图所示坐标系.由||=2,得=(2,0).
由∠AOB=150°,根据三角函数定义可求出B点坐标xb=1·cos150°=,yb=,
∴B(,),即=(,).
同理,∠AOC=150°+90°=240°,
∴xc=3×cos240°=,
yc=3sin240°=.
∴C(),
即=().
设=m+n,
则()=m(2,0)+n(,),
即
∴=-3-,即c=-3a-b.
拓展探究
12.已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10),若=+λ·(λ∈R),则λ=___________时,点P在第一、三象限角平分线上;λ___________时,点P在第三象限内.
思路分析:由题设条件可用λ分别表示点P的横、纵坐标,再根据点P在第一、三角限角平分线上的充要条件是它的横、纵坐标相等,点P在第三象限内的充要条件是它的横、纵坐标均为负,就能求出相应的λ值.
解:设点P的坐标为(x,y),
则=(x,y)-(2,3)=(x-2,y-3),
+λ·=［(5,4)-(2,3)］+λ［(7,10)-(2,3)］=(3,1)+λ(5,7)=(3+5λ,1+7λ).
∵=+λ,
∴
若P在一、三象限角平分线上,则5+5λ=4+7λ,
∴λ=.
若P在第三象限,则∴λ<-1.
∴λ=时,点P在一、三象限角平分线上;λ<-1时,点P在第三象限内.
答案:
<-1向量的正交分解与向量的直角坐标运算
1．若M(3，－2)，N(－5，－1)，且＝，则点P的坐标为( )
A．(－8，－1)
B．
C．
D．(8，－1)
2．若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c等于( )
A．
B．
C．
D．
3．已知点A(3，－4)，B(－1,2)，点P在直线AB上，且||＝2||，则点P的坐标为( )
A．
B．(－5,8)
C．或(－4,7)
D．或(－5,8)
4．在ABCD中，＝(3,7)，＝(－2,3)，对角线AC，BD交于点O，则的坐标为( )
A．
B．
C．
D．
5．△ABC的两个顶点分别为A(4,8)，B(－3,6)，若AC的中点在x轴上，BC的中点在y轴上，则点C的坐标为( )
A．(－8,3)
B．(－3,4)
C．(3，－8)
D．(－4,3)
6．设点A，B，C，D的坐标依次为(－1,0)，(3,1)，(4,3)，(0,2)，则四边形ABCD的形状为________．
7．已知边长为1的正方形ABCD，若点A与坐标原点重合，边AB，AD分别落在x轴，y轴的正方向上，则向量4＋－3的坐标为__________．
8．已知点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，若＝＋λ(λ∈R)，则λ＝__________时，点P在第一、三象限的角平分线上；当λ__________时，点P在第三象限内．
9．(1)已知2a＋b＝(－4,3)，a－2b＝(3,4)，求向量a，b的坐标．
(2)x轴的正方向与向量a的夹角为60°，且|a|＝2，求向量a的坐标．
10．已知O是△ABC内一点，∠AOB＝150°，∠BOC＝90°，设＝a，＝b，＝c，且|a|＝2，|b|＝1，|c|＝3，试用a和b表示c.
参考答案
1．解析：由题意知，P为线段MN的中点，则点P的坐标为.
答案：B
2．解析：设c＝ma＋nb(m，n∈R)，
则(－1,2)＝m(1,1)＋n(1，－1)＝(m＋n，m－n)．
所以解得
故c＝.
答案：B
3．解析：由题意，知＝±2，设P(x，y)，
则(3－x，－4－y)＝±2(－1－x,2－y)，
即或
解得或
答案：D
4．解析：如图所示，＝＋＝(－2,3)＋(3,7)＝(1,10)，
所以＝＝.
所以＝.
答案：C
5．解析：设点C的坐标为(x，y)，则
解得所以点C的坐标为(3，－8)．
答案：C
6．
解析：如图所示，∵＝(0,2)－(－1,0)＝(1,2)，＝(4,3)－(3,1)＝(1,2)，∴＝.
又∵＝(3,1)－(－1,0)＝(4,1)，
∴||＝，||＝，
∴||≠||，∴四边形ABCD为平行四边形．
答案：平行四边形
7．解析：如图，各顶点的坐标分别为A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，故＝(1,0)，＝(0,1)，＝(1,1)．于是4＋－3＝(1，－2)．
答案：(1，－2)
8．解析：设点P的坐标为(x，y)，
则＝(x，y)－(2,3)＝(x－2，y－3)，
＋λ·＝[(5,4)－(2,3)]＋λ[(7,10)－(2,3)]
＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ)．
∵＝＋λ，
∴
∴
若点P在第一、三象限的角平分线上，
则5＋5λ＝4＋7λ，∴.
若点P在第三象限内，则∴λ＜－1.
∴当时，点P在第一、三象限的角平分线上；
当λ＜－1时，点P在第三象限内．
答案： ＜－1
9．解：(1)
①×2＋②得，5a＝(－8＋3,6＋4)＝(－5,10)，
∴a＝(－1,2)，
∴b＝(－4,3)－2(－1,2)＝(－4,3)－(－2,4)＝(－2，－1)．
(2)设a＝(x，y)．
∵x＝|a|·cos
60°＝2×＝1，
y＝±|a|·sin
60°＝±2×＝，
∴a＝(1，)．
10．解：以O为坐标原点，OA所在的直线为x轴建立如图所示的坐标系．由||＝2，得＝(2,0)．
设点B的坐标为(x1，y1)，点C的坐标为(x2，y2)．
由∠AOB＝150°，根据三角函数的定义可求出点B的坐标x1＝1·cos
150°＝，，
所以B，即＝.
同理，点C的坐标为，即＝.
设＝m＋n，
则＝m(2,0)＋n，
即解得
所以＝－3－，即c＝－3a－b.2.2.3
用平面向量坐标表示向量共线条件
自我小测
1．以下命题错误的是( )
A．若将＝(x0，y0)平移，使起点M与坐标原点O重合，则终点N的坐标一定为(x0，y0)
B．＝(x0，y0)的相反向量的坐标为(－x0，－y0)
C．若＝(x0，y0)与y轴垂直，则必有y0＝0
D．若＝(x0，y0)是一个单位向量，则x0必小于1
2．如果向量a＝(k,1)，b＝(4，k)共线且方向相反，则k等于( )
A．±2
B．－2
C．2
D．0
3．已知＝e1＋2e2，＝(3－x)e1＋(4－y)e2，其中e1，e2的方向分别与x，y轴的正方向相同，且为单位向量．若与共线，则点P(x，y)的轨迹方程为( )
A．2x－y－2＝0
B．(x＋1)2＋(y－1)2＝2
C．x－2y＋2＝0
D．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
4．在△ABC中，已知A(2,3)，B(8，－4)，C(2，－1)，G是AD上的一点，D为BC的中点，且||＝2||，则点G的坐标为( )
A．
B．
C．
D．
5．已知A，B，C三点的坐标分别为(0，－1)，(2,3)，(－1，－3)，则A，B，C三点的位置关系是________．
6．已知向量a＝－(3,4)，b＝(sin
α，cos
α)，且a∥b，则tan
α＝________．
7．已知a>0，若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a＝________．
8．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)．
(1)求证：a和b是一组基底，并用它们表示c＝(x0，y0)；
(2)若(k2＋1)a－4b与ka＋b共线，求k的值．
9．如图所示，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求AC和OB的交点P的坐标．
参考答案
1．解析：因为(x0，y0)为单位向量，所以＋＝1．
所以－1≤x0≤1．所以选项D错误．
答案：D
2．答案：B
3．解析：＝(1,2)，＝(3－x,4－y)．
又与共线，
则有(4－y)－2(3－x)＝0，即2x－y－2＝0．
答案：A
4．答案：A
5．答案：共线
6．答案：
7．解析：因为＝(1，a2＋a)，＝(2，a3＋a)，
又由题意知∥，
所以a3＋a－2(a2＋a)＝0，得a＝1＋．
答案：1＋
8．解：(1)因为≠，所以a与b不共线，
即{a，b}可作为基底．
设c＝xa＋yb，即(x0，y0)＝x(1,2)＋y(－3,2)．
所以解得
所以c＝a＋b．
(2)(k2＋1)a－4b＝(k2＋1)(1,2)－4(－3,2)＝(k2＋13，2k2－6)，
ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)．
由(k2＋1)a－4b与ka＋b共线知(k2＋13)·(2k＋2)＝(2k2－6)(k－3)，解得k＝－2±．
9．解：设＝s·＝(4s,4s)(s∈R)，＝(4s－4,4s－0)＝(4s－4,4s)(s∈R)，＝(2－4,6－0)＝(－2,6)．
由与共线，
可得(4s－4)×6－4s×(－2)＝0，解得s＝．
所以＝(4s,4s)＝(3,3)，所以点P的坐标为(3,3)．2.2.3
用平面向量坐标表示向量共线条件
课后导练
基础达标
1.下列各组向量中，不能作为表示平面内所有向量基底的一组是（
）
A.a=(-1,2),b=(0,5)
B.a=(1,2),b=(2,1)
C.a=(2,-1),b=(3,4)
D.a=(-2,1),b=(4,-2)
解析:我们把不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.D中两个向量共线，故不能作为一组基底.
答案:D
2.以下命题错误的是（
）
A.若i、j分别是与平面直角坐标系中x轴、y轴同向的单位向量，则|i+j|=|i-j|
B.若a∥b，a=（x1,y1),b=(x2,y2),则必有
C.零向量的坐标表示为（0，0）
D.一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标
解析:对B选项，两个向量中，若有与坐标轴共线的向量或零向量，则坐标不应写成比例式.
答案:B
3.已知a=（1，2），b=（x,1).若（a+2b）∥（2a-b），则x的值是（
）
A.2
B.1
C.
D.
解析:a+2b=（1，2）+2（x,1)=（1+2x，4），2a-b=2（1，2）-（x,1)=(2-x,3).
∵(a+2b)∥(2a-b)，
∴3(1+2x)-4(2-x)=0.
解得x=.
答案:C
4.如右图,=-3，且=a,=b,=c，则下列等式成立的是（
）
A.c=-a+b
B.c=-a+2b
C.c=-b+2a
D.c=a+b
解析:由=+=-3，
即c=a-3(b-c),c=a-3b+3c.
∴c=a+b.
答案:A
5.下列所给向量共线的有(
)
A.(1,5),(5,-5)
B.(2,-3),(,)
C.(1,0),(0,1)
D.(1,-3),(8,)
解析:本题考查平面向量共线的条件,只需将所给坐标代入公式,看“x1y2-x2y1=0”是否成立即可.
答案:B
6.与a=(12,5)平行的单位向量为(
)
A.()
B.()
C.()或()
D.(±,±)
解析:利用平行与单位向量两个条件即可求得.
答案:C
7.已知A、B、C三点共线,且A(3,-6),B(-5,2),若C点横坐标为6,则C点的纵坐标为(
)
A.-13
B.9
C.-9
D.13
解析:设C(6,y),则∥.
又=(-8,8),=(3,y+6),
∴-8(y+6)-3×8=0.∴y=-9.
答案:C
8.已知a=（3，2），b=（2，-1），若λa+b与a+λb（λ∈R）平行，则λ=_________.
解析:λa+b=λ(3,2)+(2,-1)=(3λ+2,2λ-1)，
a+λb=(3,2)+λ(2,-1)=(3+2λ,2-λ),
∵(λa+b）∥（a+λb),
∴(3λ+2)(2-λ)-(3+2λ)(2λ-1)=0，即7λ2=7.
∴λ=1或-1.
答案:1或-1
综合运用
9.(2006全国高考卷Ⅱ,1)
已知向量a=(4,2),向量b=(x,3),且a∥b,则x等于(
)
A.9
B.6
C.5
D.3
解析:∵a∥b=x=6,∴选B.
答案:B
10.(2006辽宁高考,9)
△ABC的三内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c.设向量p=(a+c,b),q=(b-a,c-a).若p∥q,则角C的大小为(
)
A.
B.
C.
D.
解析:p∥q,∴(a+c)(c-a)-b(b-a)=0c2-a2=b2-ab,则a2+b2-c2=ab,
则cosC==,
又∵C∈(0,π),
∴C=.
故选B.
答案:B
11.向量=(k,12),=(4,5),=(10,k),当k为何值时,A、B、C三点共线
解:=-=（k,12)-(4,5)=(k-4,7),
=-=(k,12)-(10,k)=(k-10,12-k).
∵A、B、C共线，
∴∥，即（k-4)(12-k)-7(k-10)=0.
整理得k2-9k-22=0,
∴k=-2或k=11.
∴当k=-2或11时，A、B、C三点共线.
拓展探究
12.如图,已知ABCD是正方形，BE∥AC，AC=CE，EC的延长线交BA的延长线于点F，求证：AF=AE.
证明:以正方形ABCD的边DC所在的直线为x轴，以点C为坐标原点建立直角坐标系，设正方形的边长为1，则点A、B的坐标分别为A（-1，1）、B（0，1）.又设点E的坐标为（x,y),则=（x,y-1),=(1,-1).
∵∥,
∴x(-1)-1·（y-1)=0,
即x+y=1.①
又CE=AC,
∴x2+y2=2.②
∵点E在y轴右侧，
∴由①②得点E的坐标为().
∴|AE|=.
再设点F的坐标为（x′,1),则=(x′,1).
又=()且∥，
∴x′-·1=0.
∴x′=-2-.
∴F(-2-,1).
从而|AF|=|-1-（-2-）|=+1.
∴AF=AE.2.2.1
平面向量基本定理
自我小测
1．在 ABCD中，与交于点M．若设＝a，＝b，则以下各选项中，与－a＋b相等的向量是( )
A．
B．
C．
D．
2．设e1，e2是两个不共线的向量，若向量a＝e1＋λe2(λ∈R)与b＝－(e2－2e1)共线，则有( )
A．λ＝0
B．λ＝－1
C．λ＝－2
D．λ＝－
3．已知O是直线AB外一点，C，D是线段AB的三等分点，若＝3e1，＝e2，则等于( )
A．e1＋2e2
B．2e1＋e2
C．
e1＋e2
D．e1＋e2
4．如图所示，平面内的两条相交直线OP1和OP2将平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包含边界)，若＝m＋n，且点P落在第Ⅲ部分，则实数m，n满足( )
A．m>0，n>0
B．m>0，n<0
C．m<0，n>0
D．m<0，n<0
5．已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ，λ∈[0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的( )
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
6．设e1，e2为一组基底，a＝－e1＋2e2，b＝e1－e2，c＝3e1－2e2，用a，b为基底将c表示为c＝pa＋qb，则实数p，q的值分别为__________．
7．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(1,1)，B(－1,2)，若点C满足＝α
＋β，其中，α，β∈R，且α＋β＝1，则点C的轨迹方程为__________．
8．在△ABC中，点D在直线CB的延长线上，且＝4＝r＋s，求r－s的值．
9．过△ABC的重心G任作一条直线分别交AB，AC于点D，E，若＝x，＝y，且xy≠0，试求＋的值．
参考答案
1．答案：D
2．答案：D
3．答案：D
4．答案：B
5．解析：因为＝＋λ，而－＝，
所以＝λ．
令＋＝，
则是以A为起点，向量与为邻边的菱形对角线对应的向量，
即在∠BAC的平分线上．
又因为＝λ，
所以，共线．
所以点P的轨迹一定通过△ABC的内心，故选B．
答案：B
6．解析：c＝pa＋qb，即3e1－2e2＝(－pe1＋2pe2)＋(qe1－qe2)＝(q－p)e1＋(2p－q)e2，
所以所以
答案：1,4
7．解析：由α＋β＝1，可知点C的轨迹是直线AB，通过直线的两点式求解直线AB的方程即可．
答案：x＋2y－3＝0
8．解：因为＝＋＝4，
所以＝3．
所以＝－＝＋－
＝＋－
＝＋
(－)－
＝－，
所以r＝，s＝－，r－s＝．
9．解：如图，设=a，=b，
则=
==(a+b)．
所以=-=-b，
=-=xa-yb．
因为与共线，所以=λ，
即-b=λxa-λyb，
所以消去λ得，
即+=3．2.2.1
平面向量基本定理
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.下列各组向量中，一定能作为基底的是(
)
A.a=0，b≠0
B.a=3e，b=-3e(e≠0)
C.a=2e1-e2，b=e1+2e2(e1，e2不共线)
D.a=e1+e2，b=-2e1-2e2(e1，e2不共线)
解析：由平面向量基本定理知，a、b应不共线，
∴选C.
答案：C
2.O为平面上任一点，=x+y,若A，B，C三点共线，则必有(
)
A.x+y=1
B.x-y=1
C.x=-y
D.x，y为任意实数
解析：A、B、C三点共线,则=(1-t)+t，知x+y=1-t+t=1.
答案：A
3.M为线段AB的中点，O为平面上任一点，=x+y，则有x=____________，y=____________.
解析：由线段AB的中点的向量表达式知x=y=.
答案：
4.已知四边形ABCD中，=+，设=a，=b，用a，b表示=____________.
解：由=+知，四边形ABCD为平行四边形，∴=-=a-b.
答案：a-b
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.如果e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，那么，下列命题正确的是(
)
A.若实数λ1，λ2使λ1e1+λ2e2=0，则λ1=λ2=0
B.空间任一向量a都可以表示为a=λ1e1+λ2e2，其中λ1，λ2∈R
C.λ1e1+λ2e2不一定在平面α内，其中λ1，λ2∈R
D.对于平面a内任一向量a，使a=λ1e1+λ2e2的实数λ1，λ2有无数对
解析：利用平面向量基本定理.
答案：A
2.已知ABCDEF为正六边形，且=a，=b，则等于(
)
A.(a-b)
B.(b-a)
C.a+b
D.(a+b)
解析：∵==a，∴=+=b+a，
∴==(a+b).
答案：D
3.向量e1，e2不共线，则a=e1-2e2，b=λe1+4e2共线的条件是(
)
A.λ=0
B.λ=
C.λ=-2
D.λ=2
解析：要使a∥b，即存在k使e1-2e2=k(λe1+4e2)，∴
解得
答案：C
4.已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上（不包括端点A、C），则等于（
）
A.λ（+），λ∈（0，1）
B.λ（+），λ∈（0，）
C.λ（-），λ∈（0，1）
D.λ（-），λ∈（0，）
解析：如图，由向量的运算法则=+及点P在对角线AC上，所以与同向，且||＜||，故=λ（+），λ∈（0，1）.
答案：A
5.若2x+y=a，x-2y=b，其中a，b为已知向量，则x=____________，y=____________.
解析：可解方程组即得
答案：(a+b)
a-b
6.若A，B，C三点共线，+λ=2，则λ=____________.
解析：由=-λ+2，且A，B，C三点共线知-λ+2=1，∴λ=1.
答案：1
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.设=(a+5b)，=-2a+8b，=3(a-b)，那么下面各组中三点一定共线的是(
)
A.A，B，C
B.A，B，D
C.A，C，D
D.B，C，D
解析：=a+5b，=(a+5b)，
∴=，∴∥，且AB，BD有共同点B.∴A，B，D共线.
答案：B
2.e1，e2是表示平面内所有向量的一组基底，下列四组向量中，不能作为一组基底的是(
)
A.e1+e2和e1-e2
B.3e1-2e2和4e2-6e1
C.e1+2e2和e2+2e1
D.e2和e1+e2
解：由题意,知e1，e2不共线，所以易看出B中4e2-6e1=-2(3e1-2e2)，即3e1-2e2与4e2-6e1共线.
答案：B
3.如图2-2-1，已知△ABC中，N，M，P顺次是AB的四等分点，=e1，=e2，则下列正确的是(
)
图2-2-1
A.=e1+e2，=
B.=e1-e2，=
C.=，=(e1+e2)
D.=(e1-e2)，=e1+e2
解析：N为AB中点，即得=(+)=(e1+e2)，而M又为AN中点，
=(+)=(e2+e1+e2)=e1+e2，∴A正确.
B中应是=e1+e2，C中=(e1-e2)，D中=e1-e2.
答案：A
4.已知D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB的中点，且=a，=b，=c，则：①=(b+c)；②=a+b；③=(b+c).
其中正确的有______________个.（
）
A.0
B.1
C.2
D.3
解析：①=-a=-
(-b-c)=
(b+c);②=+=a+b;
③=(+)=(c-b).∴①②正确.
答案：C
5.如图2-2-2,已知=a，=b，且|a|=|b|，O点关于线段AB的对称点为S，则等于(
)
图2-2-2
A.a-b
B.2(a+b)
C.b-a
D.a+b
解析：由|a|=|b|知，||=||，∴OS垂直平分AB，四边形OBSA为平行四边形，
∴=a+b.
答案：D
6.(2006高考湖南卷，文10)如图2-2-3，OM∥AB，点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界),且=x+y，则实数对(x，y)可以是（
）
图2-2-3
A.（)
B.（）
C.（）
D.（）
解析：=a+b(a,b∈R+,0＜b＜1)
=aλ+b（λ＞0)=aλ(-)+b=-aλ+(aλ+b)=x+y,
则x=-aλ＜0,y=aλ+b,
∴x+y=b∈(0,1).∴选C.
答案：C
7.设e1，e2为一组基底，a=-e1+2e2，b=e1-e2，c=3e1-2e2，用a，b为基底将c表示为c=pa+qb，则实数p，q的值分别为____________与____________.
解析：c=pa+qb,即3e1-2e2=(-pe1+2pe2)+(qe1-qe2)
=(q-p)e1+(2p-q)e2，
∴
答案：1
4
8.若=3e1，=-5e2，且||=||，=，则四边形ABCD是____________.
解析：∵=，∴AB∥CD，且||=||.∴四边形ABCD为等腰梯形.
答案：等腰梯形
9.起点相同的三个非零向量a，b，3a-λb的终点在一条线上，则λ=_____________.
解析：设=a，=b，=3a-λb=3-λ，
∵A，B，C三点共线，∴3+(-λ)=1.
∴λ=2.
答案：2
10.已知D，E，F分别是△ABC的边AB，AC，BC的中点，
求证：四边形BDEF为平行四边形.
证明：∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴=，=，
=-=(-)=.又F是BC的中点.
∴=.
∴=.
所以DE∥BF且DE=BF，即四边形BDEF为平行四边形.
11.已知向量a=-e1+3e2+2e3，b=4e1-6e2+2e3，c=-3e1+12e2+11e3，问a能否表示成a=λb+μc的形式？若能，写出表达式；若不能，请说明理由.
解：假设a=λb+μc，将a，b，c代入a=λb+μc得-e1+3e2+2e3=(4λ-3μ)e1+(-6λ+12μ)e2+(2λ+11μ)e3，
则∴a=b+c.∴a能表示成a=λb+μc的形式.
