学业分层测评(十八)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．若点P(2,0)到双曲线－＝1的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为( )
A.
B．
C．2
D．2
【解析】 双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0，点P(2,0)到渐近线的距离为＝，所以a2＝b2，所以双曲线的离心率为，故选A.
【答案】 A
2．过双曲线x2－＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|＝( )
A.
B．2
C．6
D．4
【解析】 设A，B两点的坐标分别为(x，yA)，(x，yB)，将x＝c＝2代入渐近线方程y＝±x得到yA，yB，进而求|AB|.由题意知，双曲线x2－＝1的渐近线方程为y＝±x，将x＝c＝2代入得y＝±2，即A，B两点的坐标分别为(2,2)，(2，－2)，所以|AB|＝4.
【答案】 D
3．下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x的是( )
A．x2－＝1
B．－y2＝1
C.－x2＝1
D．y2－＝1
【解析】 由双曲线的性质利用排除法求解．
由双曲线焦点在y轴上，排除选项A、B，选项C中双曲线的渐近线方程为y＝±2x，故选C.
【答案】 C
4．将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m＞0)个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则( )
A．对任意的a，b，e1＞e2
B．当a＞b时，e1＞e2；当a＜b时，e1＜e2
C．对任意的a，b，e1＜e2
D．当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e2
【解析】 分别表示出e1和e2，利用作差法比较大小．
由题意e1＝＝；双曲线C2的实半轴长为a＋m，虚半轴长为b＋m，
离心率e2＝＝.
因为－＝，且a＞0，b＞0，m＞0，a≠b，
所以当a＞b时，＞0，即＞.
又＞0，＞0，
所以由不等式的性质依次可得2＞2,1＋2＞1＋2，所以＞，即e2＞e1；同理，当a＜b时，＜0，可推得e2＜e1.综上，当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e2.
【答案】 D
5．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )
A.
B．
C.
D．
【解析】 设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，不妨设一个焦点为F(c,0)，虚轴端点为B(0，b)，则kFB＝－.又渐近线的斜率为±，所以由直线垂直关系得·＝－1，即b2＝ac，又c2－a2＝b2，所以c2－a2＝ac，两边同除以a2，整理得e2－e－1＝0，解得e＝或e＝(舍去)．
【答案】 D
二、填空题
6．过双曲线－＝1的左焦点F1的直线交双曲线的左支于M，N两点，F2为其右焦点，则|MF2|＋|NF2|－|MN|的值为________．
【解析】 |MF2|＋|NF2|－|MN|＝|MF2|＋|NF2|－(|MF1|＋|NF1|)＝(|MF2|－|MF1|)＋(|NF2|－|NF1|)＝2a＋2a＝4a＝8.
【答案】 8
7．设F是双曲线C：－＝1的一个焦点．若C上存在点P,
使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为__________．
【解析】 根据题意建立a，c间的联系，再利用离心率公式计算．
不妨设F(－c,0)，PF的中点为(0，b)．由中点坐标公式可知P(c,2b)．又点P在双曲线上，
则－＝1，故＝5，即e＝＝.
【答案】
8．若双曲线x2－y2＝1右支上一点P(a，b)到直线y＝x的距离为，则a＋b＝________.
【导学号：32550089】
【解析】 由于点P(a，b)在右支上，所以a－b>0.
又∵＝，∴a－b＝，又∵a2－b2＝1，
∴a＋b＝＝＝.
【答案】
三、解答题
9．已知双曲线的方程是16x2－9y2＝144.
(1)求双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；
(2)设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|＝32，求∠F1PF2的大小．
【解】 (1)由16x2－9y2＝144得－＝1，
所以a＝3，b＝4，c＝5，
所以焦点坐标F1(－5,0)，F2(5,0)，离心率e＝，渐近线方程为y＝±x.
(2)由双曲线的定义可知||PF1|－|PF2||＝6，
cos
∠F1PF2＝
＝
＝＝0，
∴∠F1PF2＝90°.
10．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点P(4，－)．
(1)求双曲线方程；
(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：·＝0；
(3)在(2)的条件下，求△F1MF2的面积．
【解】 (1)∵e＝，
∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．
∵过点(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6.
∴双曲线方程为x2－y2＝6.
(2)证明：法一：由(1)可知，双曲线中a＝b＝，
∴c＝2，∴F1(－2，0)，F2(2，0)，
∴kMF1＝，kMF2＝，
kMF1·kMF2＝＝－.
∵点(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3，
故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2，∴·＝0.
法二：∵＝(－3－2，－m)，
＝(2－3，－m)，
∴·＝(3＋2)×(3－2)＋m2＝－3＋m2.
∵M点在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0，
∴·＝0.
(3)△F1MF2的底|F1F2|＝4，
△F1MF2的高h＝|m|＝，∴S△F1MF2＝6.
[能力提升]
1．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的焦点为F1，F2，且C上的点P满足·＝0，||＝3，||＝4，则双曲线C的离心率为( )
A.
B．
C.
D．5
【解析】 由双曲线的定义可得2a＝|||－|||＝1，所以a＝；因为·＝0，所以⊥，所以(2c)2＝||2＋||2＝25，解得c＝.所以此双曲线的离心率为e＝＝5.故D正确．
【答案】 D
2．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线过点(2，)，且双曲线的一个焦点在抛物线y2＝4x的准线上，则双曲线的方程为( )
A.－＝1
B．－＝1
C.－＝1
D．－＝1
【解析】 利用渐近线过已知点以及双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，列出方程组求解．
由双曲线的渐近线y＝x过点(2，)，可得＝×2.①
由双曲线的焦点(－，0)在抛物线y2＝4x的准线x＝－上，可得＝.②
由①②解得a＝2，b＝，所以双曲线的方程为－＝1.
【答案】 D
3．双曲线－＝1，－＝1的离心率分别为e1，e2，则e1＋e2的最小值为________．
【解析】 由已知得e1＝，e2＝，则e1＋e2＝＋＝()≥·2＝2.
【答案】 2
4．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝3|PF2|，·＝0，求双曲线的标准方程．
【解】 ∵|PF1|－|PF2|＝2a，|PF1|＝3|PF2|，
∴|PF1|＝3a，|PF2|＝a.
又＝，
＝，
∵·＝2－c2＋2＝0，
∴c2＝10.
又|PF2|＝a，∴2＋2＝a2.
∴a2＝4，
∴b2＝c2－a2＝6.
故所求双曲线的标准方程为－＝1.学业分层测评(十三)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．椭圆＋＝1的焦点坐标为( )
A．(5,0)，(－5,0)
B．(12,0)，(－12,0)
C．(0,12)，(0，－12)
D．(13,0)，(－13,0)
【解析】 ∵a2＝169，b2＝25，∴c2＝169－25＝144，
∴c＝12，又∵焦点在x轴上，
∴焦点为(12,0)，(－12,0)．
【答案】 B
2．对于常数m，n，“mn＞0”是“方程mx2＋ny2＝1的曲线是椭圆”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．即不充分也不必要条件
【解析】 mn＞0，若m＝n则mx2＋ny2＝1不是椭圆．
若方程mx2＋ny2＝1是椭圆则“mn＞0一定成立．”
【答案】 B
3．过点(3，－2)且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的方程是( )
A.＋＝1
B．＋＝1
C.＋＝1
D．＋＝1
【解析】 椭圆＋＝1的焦点在x轴上，且c2＝5.
设所求的椭圆方程为＋＝1，将(3，－2)代入方程得＋＝1，解得a2＝15，故所求椭圆方程为＋＝1.
【答案】 A
4．已知A(0，－1)、B(0,1)两点，△ABC的周长为6，则△ABC的顶点C的轨迹方程是( )
A.＋＝1(x≠±2)
B．＋＝1(y≠±2)
C.＋＝1(x≠0)
D．＋＝1(y≠0)
【解析】 ∵2c＝|AB|＝2，∴c＝1，
∴|CA|＋|CB|＝6－2＝4＝2a，
∴顶点C的轨迹是以A、B为焦点的椭圆(A、B、C不共线)．
因此，顶点C的轨迹方程＋＝1(y≠±2)．
【答案】 B
5．若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是( )
【导学号：32550066】
A．a＞3
B．a＜－2
C．a＞3或a＜－2
D．a＞3或－6＜a＜－2
【解析】 由于椭圆焦点在x轴上，
∴即 a＞3或－6＜a＜－2.
故选D.
【答案】 D
二、填空题
6．椭圆＋＝1的焦距是2，则m的值是________．
【导学号：32550067】
【解析】 当m＞4时，m－4＝1，∴m＝5.
当0＜m＜4时，4－m＝1，∴m＝3.
【答案】 3或5
7．若方程＋＝1表示椭圆，则k的取值范围是________．
【解析】 若方程＋＝1表示椭圆．
则，∴2＜k＜6且k≠4.
【答案】 (2,4)∪(4,6)
8．在平面直角坐标系中，A(4,0)，B(－4,0)，且＝，则△ABC的顶点C的轨迹方程为________．
【解析】 由正弦定理，得
＝，又|AB|＝8，
∴|BC|＋|AC|＝10.
由椭圆定义可知，点C的轨迹是以点A、B为焦点的椭圆．
又∵a＝×10＝5，c＝×8＝4，
∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.又∵点A、B、C不共线，
∴点C的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．
【答案】 ＋＝1(y≠0)
三、解答题
9．已知椭圆的中心在原点，两焦点F1，F2在x轴上，且过点A(－4,3)．若F1A⊥F2A，求椭圆的标准方程．
【解】 设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
设焦点F1(－c,0)，F2(c,0)(c＞0)．
∵F1A⊥F2A，∴·＝0，
而＝(－4＋c,3)，＝(－4－c,3)，
∴(－4＋c)·(－4－c)＋32＝0，∴c2＝25，即c＝5.
∴F1(－5,0)，F2(5,0)．
∴2a＝|AF1|＋|AF2|
＝＋
＝＋＝4.
∴a＝2，∴b2＝a2－c2＝(2)2－52＝15.
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
10．在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝2，AC＝，曲线E过C点，动点P在E上运动，且保持|PA|＋|PB|的值不变，求曲线E的方程．
【解】 如图，以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，在Rt△ABC中，
BC＝＝，
∵|PA|＋|PB|＝|CA|＋|CB|＝＋＝2，且|PA|＋|PB|＞|AB|，
∴由椭圆定义知，动点P的轨迹E为椭圆，且a＝，c＝1，b＝1.
∴所求曲线E的方程为＋y2＝1.
[能力提升]
1．已知曲线C：＋＝－1，则“4≤k＜5”是“曲线C表示焦点在y轴上的椭圆”的( )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 将曲线C的方程化为：＋＝1，若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则有k－3＞5－k＞0，即4＜k＜5，故“4≤k＜5”是“曲线C表示焦点在y轴上的椭圆”的必要不充分条件．
【答案】 A
2．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为( )
A．2
B．3
C．6
D．8
【解析】 设P(x0，y0)，则＋＝1，即y＝3－.又∵F(－1,0)，∴·＝x0·(x0＋1)＋y＝x＋x0＋3＝(x0＋2)2＋2.又x0∈[－2,2]，∴(·)∈[2,6]，∴(·)max＝6.
【答案】 C
3．已知椭圆＋y2＝1的焦点为F1，F2，设P(x0，y0)为椭圆上一点，当∠F1PF2为直角时，点P的横坐标x0＝________.
【解析】 由题意知F1(2,0)，F2(－2,0)，＝(x0－2，y0)
＝(x0＋2，y0)，∵∠F1PF2＝90°，
∴·＝(x0－2)(x0＋2)＋y＝0，
又∵y＝1－，∴x－4＋1－＝0，
∴x0＝±.
【答案】 ±
4．设M(x，y)是椭圆＋＝1上的任意一点，求x＋y的最值．
【解】 设x＝4cos
θ，y＝3sin
θ，θ∈，则x＋y＝4cos
θ＋3sin
θ＝5sin
(θ＋φ)，其中tan
φ＝.
∵sin
(θ＋φ)∈，∴x＋y∈[－5,5]．
∴(x＋y)min＝－5，(x＋y)max＝5.学业分层测评(十五)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为( )
A．(－1,0)
B．(1,0)
C．(0，－1)
D．(0,1)
【解析】 由准线过已知点可求出p的值，进而可求出抛物线的焦点坐标．
抛物线y2＝2px(p>0)的准线为x＝－且过点(－1,1)，故－＝－1，解得p＝2.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．
【答案】 B
2．设抛物线C：y2＝4x上一点P到y轴的距离为4，则点P到抛物线C的焦点的距离是( )
A．4
B．5
C．6
D．7
【解析】 抛物线C的准线方程为x＝－1，设抛物线C的焦点为F，由抛物线的定义知，|PF|＝d(d为点P到抛物线C的准线的距离)，又d＝4＋1＝5，所以|PF|＝5.
【答案】 B
3．抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，M为抛物线C上一点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切(O为坐标原点)，且外接圆的面积为9π，则p＝( )
A．2
B．4
C．6
D．8
【解析】 ∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径．∵外接圆的圆面积为9π，∴圆的半径为3，又∵圆心在OF的垂直平分线上，|OF|＝，∴＋＝3，∴p＝4.
【答案】 B
4．若动圆与圆(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )
A．y2＝8x
B．y2＝－8x
C．y2＝4x
D．y2＝－4x
【解析】 设动圆的半径为r，圆心O′(x，y)，且O′到点(2,0)的距离为r＋1，O′到直线x＝－1的距离为r，所以O′到(2,0)的距离与到直线x＝－2的距离相等，由抛物线的定义知y2＝8x.
【答案】 A
5．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则有( )
A．|P1F|＋|P2F|＝|FP3|
B．|P1F|2＋|P2F|2＝|P3F|2
C．2|P2F|＝|P1F|＋|P3F|
D．|P2F|2＝|P1F|·|P3F|
【解析】 因为P1，P2，P3在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，两边同时加上p，得2＝x1＋＋x3＋，即2|P2F|＝|P1F|＋|P3F|，故选C.
【答案】 C
二、填空题
6．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值为________．
【解析】 椭圆＋＝1的右焦点为(2,0)，抛物线y2＝2px的焦点为.∴＝2，∴p＝4.
【答案】 4
7．已知圆x2＋y2－6x－7＝0与抛物线y2＝2px(p＞0)的准线相切，则抛物线的准线方程为________．
【导学号：32550075】
【解析】 圆方程为(x－3)2＋y2＝16.抛物线y2＝2px的准线为x＝－，∴3－＝4，∴p＝2，
∴抛物线的准线方程为x＝－1.
【答案】 x＝－1.
8．已知P是抛物线y2＝4x上的动点，过P作抛物线准线的垂线，垂足为点M，N是圆(x－2)2＋(y－5)2＝1上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值是________．
【解析】 抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，圆(x－2)2＋(y－5)2＝1的圆心为Q(2,5)，根据抛物线的定义可知点P到准线的距离等于点P到焦点的距离，进而推断出当P，Q，F三点共线时，点P到点N的距离与点P到抛物线的焦点距离之和最小为－1＝－1.
【答案】 －1
三、解答题
9．已知定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2＝2x上移动，M为AB的中点，求M点到y轴的最短距离．
【解】 如图所示，抛物线y2＝2x的准线为l：x＝－，过A、B、M分别作AA′、BB′、MM′垂直于l，垂足分别为A′、B′、M′.由抛物线定义知|AA′|＝|FA|，|BB′|＝|FB|.又M为AB的中点，由梯形中位线定理得
|MM′|＝(|AA′|＋|BB′|)
＝(|FA|＋|FB|)≥|AB|＝×3＝，则M到y轴的距离d≥－＝1(当且仅当AB过抛物线的焦点时取“＝”)，所以dmin＝1，即M点到y轴的最短距离为1.
图3 2 1
10．如图3 2 1，已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.
(1)求抛物线方程；
(2)过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．
【解】 (1)抛物线y2＝2px的准线为x＝－，
于是，4＋＝5，p＝2.
所以抛物线方程为y2＝4x.
(2)因为点A的坐标是(4,4)，
由题意得B(0,4)，M(0,2)．
又F(1,0)，所以kAF＝.
因为MN⊥FA，所以kMN＝－.
则FA的方程为y＝(x－1)，
MN的方程为y＝－x＋2.
解方程组得所以N.
[能力提升]
1．设O为坐标原点，F
为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上一点，若·＝－4，则点A的坐标是( )
A．(2，±2)
B．(1，±2)
C．(1,2)
D．(2,2)
【解析】 设A(x0，y0)，由题意可知F(1,0)，＝(x0，y0)，＝(1－x0，－y0)，·＝x0(1－x0)－y＝－4.
∵y＝4x0，
∴x0－x－4x0＋4＝0，即x＋3x0－4＝0，
∴x0＝1或x0＝－4(舍去)．
∴y0＝±2.
【答案】 B
2．正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，点M在棱AB上，且AM＝，点P是平面ABCD上的动点，且点P到直线A1D1的距离与点P到点M的距离的平方差为1，则点P的轨迹是( )
A．抛物线
B．圆
C．直线
D．以上都不对
【解析】 作PF⊥AD于F，则PF⊥平面ADD1A1，作FE⊥A1D1于E，则PE⊥A1D1.
由勾股定理得
PF2＝PE2－EF2＝(PM2＋1)－1＝PM2，
∴PF＝PM.
由抛物线定义知，点P的轨迹是以M为焦点，AD为准线的抛物线．
【答案】 A
3．过抛物线y＝4x2的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若y1＋y2＝5，则线段AB的长为________．
【导学号：32550076】
【解析】 抛物线方程可化为x2＝y，
∴p＝，∴焦点F的坐标为，|AF|＝y1＋，|BF|＝y2＋，
∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝y1＋＋y2＋＝5＋＝.
【答案】
4．河上有座抛物线形拱桥，当水面距离拱桥顶5m时，水面宽为8m，一条小船宽4m，高2m，载货后船露出水面上的部分高0.75m，问：水面上涨到与抛物线形拱桥顶相距多少米时，小船开始不能通航？
【解】 如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系，设桥拱的抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)，由题意可知，点B(4，－5)在抛物线上，故p＝，得x2＝－y.当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA′，则A(2，yA)．由22＝－yA，得yA＝－，又知船面露出水面上部分高为0.75m，所以h＝|yA|＋0.75＝2(m)．
所以水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距2m时，小船开始不能通航.学业分层测评(三)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．设p：x<3，q：－1
A．充分必要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 根据充分、必要条件的定义直接利用数轴求解即可．将p，q对应的集合在数轴上表示出来如图所示，易知，当p成立时，q不一定成立；当q成立时，p一定成立，故p是q成立的必要不充分条件．
【答案】 C
2．设x∈R，则“x>1”是“x3>1”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 分别判断由“x>1”能否推出“x3>1”和由“x3>1”能否推出“x>1”．
由于函数f(x)＝x3在R上为增函数，所以当x>1时，x3>1成立，反过来，当x3>1时，x>1也成立．因此“x>1”是“x3>1”的充要条件，故选C.
【答案】 C
3．
l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线，q：l1，l2不相交，则( )
A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
C．p是q的充分必要条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
【解析】 根据空间两条直线的位置关系和充要条件的定义进行判断．
若l1，l2异面，则l1，l2一定不相交；若l1，l2不相交，则l1，l2是平行直线或异面直线，故p q，qp，故p是q的充分不必要条件．
【答案】 A
4．设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N M”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【解析】 当a＝1时，N＝{1}，显然满足N M，所以充分性成立；因为N M，所以a2＝1或a2＝2，即a＝±1或a＝±，故必要性不成立，所以选A.
【答案】 A
5．已知a，b为实数，命题甲：ab＞b2，命题乙：＜＜0，则甲是乙的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 当a＝2，b＝1时，ab＞b2，但＜＜0不成立；当＜＜0时，ab2＜0，则×ab2＞×ab2，即ab＞b2成立，所以选B.
【答案】 B
二、填空题
6．若p：x2－1＞0，q：(x＋1)(x－2)＞0，则綈p是綈q的________条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”其中一个)．
【解析】 綈p：x2－1≤0，∴－1≤x≤1，
綈q：(x＋1)(x－2)≤0，－1≤x≤2，
∴－1≤x≤1 －1≤x≤2而－1≤x≤1－1≤x≤2，
∴綈p是綈q的充分不必要条件．
【答案】 充分不必要
7．关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R的充要条件是________．
【解析】 对a分a＝0和a≠0两种情况讨论．
【答案】 或
8．若命题“若p，则q”为真，则下列说法正确的是________．
①p是q的充分条件；
②p是q的必要条件；
③q是p的充分条件；
④q是p的必要条件．
【解析】 由充分条件与必要条件的定义知，①④正确．
【答案】 ①④
三、解答题
9．命题p：x＞0，y＜0，命题q：x＞y，＞，则p是q的什么条件？
【导学号：32550007】
【解】 p：x＞0，y＜0，则q：x＞y，＞成立；
反之，由x＞y，＞ ＞0，因y－x＜0，得xy＜0，即x，y异号，又x＞y，得x＞0，y＜0.
所以“x＞0，y＜0”是“x＞y，＞”的充要条件．
10．已知a，b，c均为实数，求证ac＜0是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根的充要条件．
【证明】 ①充分性．若ac＜0，
则Δ＝b2－4ac＞0.
所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实根，设其两根为x1，x2，
因为ac＜0，
所以x1·x2＝＜0，
即x1，x2的符号相反，
所以方程有一个正根和一个负根．
②必要性．若方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根，设其两根为x1，x2，不妨设x1＜0，x2＞0，
则x1·x2＝＜0，
所以ac＜0.
由①②知ac＜0是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根的充要条件．
[能力提升]
1．
“若a，b∈R＋，a2＋b2＜1”是“ab＋1＞a＋b”的( )
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 a，b∈R＋，若a2＋b2＜1，则a2＋2ab＋b2＜1＋2ab＜1＋2ab＋(ab)2，即(a＋b)2＜(1＋ab)2，所以a＋b＜1＋ab成立；当a＝b＝2时，有1＋ab＞a＋b成立，但a2＋b2＜1不成立，所以“a2＋b2＜1”是“ab＋1＞a＋b”的充分不必要条件．
【答案】 C
2．已知a，b为非零向量，则“函数f(x)＝(ax＋b)2为偶函数”是“a⊥b”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 ∵f(x)＝(ax＋b)2＝a2x2＋2a·bx＋b2，且f(x)＝(ax＋b)2为偶函数，∴2a·b＝0，即a·b＝0，所以a⊥b；若a⊥b，则有a·b＝0，∴f(x)＝(ax＋b)2＝a2x2＋2a·bx＋b2＝a2x2＋b2为偶函数，∴“函数f(x)＝(ax＋b)2为偶函数”是“a⊥b”的充要条件，故选C.
【答案】 C
3．已知命题p：实数x满足－2≤1－≤2；命题q：实数x满足x2－2x＋(1－m2)≤0(m＞0)．若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________．
【导学号：32550008】
【解析】 令A＝＝{x|－2≤x≤10}，
B＝{x|x2－2x＋(1－m2)≤0，m＞0}
＝{x|1－m≤x≤1＋m，m＞0}．
∵“若綈p，则綈q”的逆否命题为“若q，则p”，
而綈p是綈q的必要不充分条件，
∴q是p的必要不充分条件，
∴p q，即A B，故
解得m≥9.
【答案】 [9，＋∞)
4．求证：关于x的一元二次不等式ax2－ax＋1>0对于一切实数x都成立的充要条件是0【解】 (1)必要性：若ax2－ax＋1>0对x∈R恒成立，由二次函数性质有：
，
即，
∴0(2)充分性：若00，
∴ax2－ax＋1>0(x∈R)恒成立．
由(1)(2)命题得证．学业分层测评(十二)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为a，点M在上且＝，N为B1B的中点，则||为( )
A.a
B．a
C.a
D．a
【解析】 以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A(a，0,0)，C1(0，a，a)，N.设M(x，y，z)．
∵点M在上且＝.
∴(x－a，y，z)＝(－x，a－y，a－z)，
∴x＝a，y＝，z＝.于是M.
∴||
＝
＝a.
【答案】 A
2．已知平面α的法向量为n＝(－2，－2,1)，点A(x,3,0)在平面α内，则点P(－2,1,4)到平面α的距离为，则x＝( )
【导学号：32550053】
A．－1
B．－11
C．－1或－11
D．－21
【解析】 ＝(x＋2,2，－4)，而d＝＝，
即＝，解得x＝－1或－11.
【答案】 C
3．已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长是1，则直线DA1与AC间的距离为( )
A.
B．
C.
D．
【解析】 建系如图A(1,0,0)，A1(1，0,1)，C(0,1,0)，＝(－1,1,0)，＝(1,0,1)，
设n＝(x，y，z)，令，
∴令x＝1则n＝(1,1，－1)
＝(1,0,0)，与AC的距离d＝＝.
【答案】 C
4．△ABC的顶点分别为A(1，－1,2)，B(5，－6,2)，C(1,3，－1)，则AC边上的高BD等于( )
A．5
B．
C．4
D．2
【解析】 设＝λ，D(x，y，z)．
则(x－1，y＋1，z－2)＝λ(0,4，－3)．
∴x＝1，y＝4λ－1，z＝2－3λ，
∴＝(－4,4λ＋5，－3λ)．
∴4(4λ＋5)－3(－3λ)＝0，∴λ＝－，
∴＝，
∴||＝
＝5.
【答案】 A
5．在长方体ABCD A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离为( )
A.
B．
C.
D．
【解析】 如图，建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(2，0,0)，A1(2,0,4)，B1(2,2,4)，D1(0,0,4)．
∴＝(2,2,0)，
＝(2,0，－4)，＝(0,0,4)，
设n＝(x，y，z)是平面AB1D1的一个法向量，
则n⊥，n⊥，∴即
令z＝1，则平面AB1D1的一个法向量为n＝(2，－2,1)．
∴由在n上射影可得A1到平面AB1D1的距离为d＝＝.
【答案】 C
二、填空题
6．如图2 6 5所示，在直二面角D AB E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△AEB是等腰直角三角形，其中∠AEB＝90°，则点D到平面ACE的距离为________．
图2 6 5
【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，－1,0)，E(1,0,0)，D(0，－1,2)，C(0,1,2).＝(0,0,2)，＝(1,1,0)，＝(0,2,2)，
设平面ACE的法向量n＝(x，y，z)，则
即
令y＝1，∴n＝(－1,1，－1)．
故点D到平面ACE的距离
d＝＝＝.
【答案】
7．设A(2,3,1)，B(4,1,2)，C(6,3,7)，D(－5，－4,8)，则点D到平面ABC的距离为________．
【导学号：32550054】
【解析】 设平面ABC的法向量n＝(x，y，z)，∵n·＝0，n·＝0，
∴即
令z＝－2，则n＝(3,2，－2)．
又＝(－7，－7,7)，∴点D到平面ABC的距离为d＝＝＝＝.
【答案】
8．如图2 6 7所示，正方体的棱长为1，E，F，M，N分别是棱的中点，则平面A1EF与平面B1NMD1的距离为________．
图2 6 7
【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系，
则A1(1,0,0)，B1(1,1,0)，E，F，D1(0,0,0)，M，N.
∵E，F，M，N分别是棱的中点，
∴MN∥EF，A1E∥B1N.
∴平面A1EF∥平面B1NMD1.
∴平面A1EF与平面B1NMD1的距离即为A1到平面B1NMD1的距离．
设平面B1NMD1的法向量为n＝(x，y，z)，
∴n·＝0，且n·＝0.
即(x，y，z)·(1,1,0)＝0，
且(x，y，z)·＝0.
∴x＋y＝0，且－x＋z＝0，
令x＝2，则y＝－2，z＝1.
∴n＝(2，－2,1)，n0＝.
∴A1到平面B1NMD1的距离为d＝|·n0|
＝＝.
【答案】
三、解答题
9．如图2 6 8，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，CC1＝2.
图2 6 8
(1)求证：直线CD1∥平面A1BC1；
(2)求直线CD1与平面A1BC1间的距离．
【证明】 (1)建系如图，
则C(0,4,0)，D1(0,0,2)，B(3,4,0)，A1(3,0,2)，C1(0,4,2)，所以＝(0，－4,2)，＝(0，－4,2)，＝(－3,0,2)，＝(－3,0,0)．
∵＝，∴CD1∥BA1，又因为CD1平面A1BC1，BA1?平面A1BC1，所以CD1∥平面A1BC1.
(2)设平面A1BC1的法向量为n＝(x，y，z)，
则即∴
取z＝6，则x＝4，y＝3，∴n＝(4,3,6)，则·n＝(－3，0,0)·(4,3,6)＝－12，|n|＝.所以点C到平面A1BC1的距离即直线CD1到平面A1BC1的距离，
即d＝＝＝.
10．如图2 6 9，已知△ABC是以∠B为直角的直角三角形，SA⊥平面ABC，SA＝BC＝2，AB＝4，M，N，D分别是SC，AB，BC的中点，求点A到平面SND的距离．
图2 6 9
【解】 建立如图所示的空间直角坐标系，则N(0,2,0)，
S(0,0,2)，
D(－1,4,0)，
∴＝(0，－2,2)，
＝(－1,4，－2)．设平面SND的法向量为n＝(x，y,1)．
∴n·＝0，n·＝0，
∴∴
∴n＝(2,1,1)．∵＝(0,0,2)．
∴点A到平面SND的距离为＝＝.
[能力提升]
1．若正四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为( )
A.
B．1
C.
D．
【解析】 如图所示，直线AB1与底面ABCD所成的角为∠B1AB，而A1C1到底面ABCD的距离为AA1，在Rt△ABB1中，B1B＝AB·tan
60°＝.所以AA1＝BB1＝.
【答案】 D
2．如图2 6 10，P ABCD是正四棱锥，ABCD A1B1C1D1是正方体，其中AB＝2，PA＝，则B1到平面PAD的距离为( )
图2 6 10
A．6
B．
C.
D．
【解析】 以A1B1为x轴，A1D1为y轴，A1A为z轴建立空间直角坐标系，设平面PAD的法向量是n＝(x，y，z)，
∵＝(0,2,0)，＝(1,1,2)，
∴·n＝0，且·n＝0.
∴y＝0，x＋y＋2z＝0，取z＝1，得n＝(－2,0,1)．
∵＝(－2,0,2)，∴B1到平面PAD的距离d＝＝.
【答案】 C
3.如图2 6 11所示，已知边长为4的正三角形ABC中，E，F分别为BC和AC的中点，PA⊥平面ABC，且PA＝2，设平面α过PF且与AE平行，则AE与平面α间的距离为________．
【导学号：32550055】
图2 6 11
【解析】 设，，的单位向量分别为e1，e2，e3，选取{e1，e2，e3}为空间向量的一个基底，易知e1·e2＝e2·e3＝e3·e1＝0，
＝2e1，＝2e2，＝2e3，＝＋＝＋＝＋(＋)＝－2e1＋e2＋e3.
设n＝xe1＋ye2＋e3是平面α的一个法向量，则n⊥，n⊥，
∴
∴n＝e1＋e3.
∴直线AE与平面α间的距离为
d＝＝＝.
【答案】
4．已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．
(1)求点D到平面PEF的距离；
(2)求直线AC到平面PEF的距离．
【解】 (1)建立以D为坐标原点，DA，DC，DP分别为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系，如图所示．
则P(0,0,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，
E，F，＝，＝，
设平面PEF的法向量n＝(x，y，z)，
则n·＝0且n·＝0，
所以
令x＝2，则y＝2，z＝3，
所以n＝(2,2,3)，
所以点D到平面PEF的距离为
d＝＝＝，
因此，点D到平面PEF的距离为.
(2)因为＝，
所以点A到平面PEF的距离为d＝＝＝，
所以AC到平面PEF的距离为.学业分层测评(四)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．将“a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2”改写成全称命题是
( )
A．存在a0，b0∈R，使a＋b＋2a0b0＝(a0＋b0)2
B．存在a0＜0，b0＞0，使a＋b＋2a0b0＝(a0＋b0)2
C．存在a0＞0，b0＞0，有a＋b＋2a0b0＝(a0＋b0)2
D．对所有a，b∈R，有a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2
【解析】 a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2是全称命题，
隐藏了“对所有a，b∈R”．
【答案】 D
2．下列命题中的真命题是( )
A．存在x0∈N，使4x0<－3
B．存在x0∈Z，使2x0－1＝0
C．对任意x∈R,2x＞x2
D．对任意x∈R，x2＋2＞0
【解析】 当x∈R时，x2≥0，∴x2＋2≥2＞0
【答案】 D
3．已知命题p： x0∈R，sin
x0＜x0，则綈p为( )
A． x0∈R，sin
x0＝x0
B． x∈R，sin
x＜x
C． x0∈R，sin
x0≥x0
D． x∈R，sin
x≥x
【解析】 原命题为特称命题，故其否定为全称命题，即綈p： x∈R，sin
x≥x.
【答案】 D
4．非空集合A、B满足A?B，下面四个命题中正确的个数是( )
①对任意x∈A，都有x∈B；②存在x0 A，使x0∈B；
③存在x0 B，使x0∈A；④对任意x B，都有x A.
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】 根据A?B知，①②④正确，③错误．
【答案】 C
5．下列命题中的假命题是( )
A．对任意x∈R,2x－1＞0
B．对任意x∈N
，(x－1)2＞0
C．存在x∈R，lg
x＜1
D．存在x∈R，tan
x＝2
【解析】 A项，∵x∈R，∴x－1∈R，由指数函数性质得2x－1＞0；B项，∵x∈N
，∴当x＝1时，(x－1)2＝0，与(x－1)2＞0矛盾；C项，当x＝时，lg＝－1＜1；显然D正确．
【答案】 B
二、填空题
6．下列命题，是全称命题的是________；是特称命题的是________．
【导学号：32550011】
①正方形的四条边相等；
②有两个角是45°的三角形都是等腰直角三角形；
③正数的平方根不等于0；
④至少有一个正整数是偶数．
【解析】 ①②③都是省略了全称量词的全称命题．④是特称命题．
【答案】 ①②③ ④
7．“所有的自然数都大于零”的否定是________．
【解析】 改变量词并否定判断词．
【答案】 存在一个自然数小于或等于零
8．若命题“存在x0∈R，x＋mx0＋2m－3＜0”为假命题，则实数m的取值范围是________．
【解析】 由题意可知，命题“对任意x∈R，x2＋mx＋2m－3≥0”为真命题，故Δ＝m2－4(2m－3)＝m2－8m＋12≤0，解得2≤m≤6.
【答案】 [2,6]
三、解答题
9．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断真假．
(1)对任意的实数a、b，关于x的方程ax＋b＝0恰有唯一解；
(2)存在实数x，使得＝.
【解】 (1)该命题是全称命题．
当a＝0，b≠0时方程无解，故该命题为假命题．
(2)该命题是特称命题．
∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2，
∴≤＜.
故该命题是假命题．
10．写出下列全称命题或特称命题的否定：
(1)所有能被3整除的整数都是奇数；
(2)每一个四边形的四个顶点共圆；
(3)有的三角形是等边三角形．
【解】 (1)该命题的否定是：至少存在一个能被3整除的整数不是奇数．
(2)该命题的否定是：至少存在一个四边形，它的四个顶点不共圆．
(3)该命题的否定是：所有三角形都不是等边三角形．
[能力提升]
1．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( )
A．每一个锐角三角形的内角都是锐角
B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数x0，使＞2
【解析】 B，D是特称命题，D是假命题，B是真命题．
【答案】 B
2．“关于x的不等式f(x)＞0有解”等价于( )
A．存在x∈R，使得f(x)＞0成立
B．存在x∈R，使得f(x)≤0成立
C．对任意x∈R，使得f(x)＞0成立
D．对任意x∈R，f(x)≤0成立
【解析】 “关于x的不等式f(x)＞0有解”等价于“存在实数x，使得f(x)＞0成立”，故选A.
【答案】 A
3．命题“偶函数的图像关于y轴对称”的否定是________．
【解析】 本题中的命题是全称命题，省略了全称量词，加上全称量词后该命题可以叙述为：所有偶函数的图像关于y轴对称．将命题中的全称量词“所有”改为存在量词“有些”，结论“关于y轴对称”改为“关于y轴不对称”，所以该命题的否定是“有些偶函数的图像关于y轴不对称”．
【答案】 有些偶函数的图像关于y轴不对称
4．已知对任意x∈(－∞，1]，不等式(a－a2)4x＋2x＋1＞0恒成立．求a的取值范围．
【导学号：32550012】
【解】 令2x＝t，∵x∈(－∞，1]，
∴t∈(0,2]，∴a2－a＜.
要使上式在t∈(0,2]上恒成立，
只需求出f(t)＝在t∈(0,2]上的最小值即可．
∵f(t)＝＝2＋＝2－，
且∈，∴f(t)min＝f(2)＝.
∴a2－a＜.∴－＜a＜.
所以a的取值范围是.学业分层测评(十九)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．方程|x|＋|y|＝1表示的曲线是( )
【解析】 原方程可化为
或或或
作出其曲线为D.
【答案】 D
2．方程4x2－y2＋4x＋2y＝0表示的曲线是( )
A．一个点
B．两条互相平行的直线
C．两条互相垂直的直线
D．两条相交但不垂直的直线
【解析】 ∵4x2－y2＋4x＋2y＝0，
∴(2x＋1)2－(y－1)2＝0，
∴2x＋1＝±(y－1)，
∴2x＋y＝0或2x－y＋2＝0，这两条直线相交但不垂直．
【答案】 D
3．已知定点A(－1,0)，B(1,0)，动点P满足直线PA，PB的斜率之积为－1，则动点P满足的方程是( )
A．x2＋y2＝1
B．x2＋y2＝1(x≠±1)
C．x2＋y2＝1(x≠0)
D．y＝(x≠±1)
【解析】 设动点P的坐标为(x，y)，则kPA＝(x≠－1)，
kPB＝(x≠1)．
∵kPA·kPB＝－1，
∴·＝－1，整理得x2＋y2＝1(x≠±1)．
【答案】 B
4．已知两定点A(－2,0)、B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于( )
A．π
B．4π
C．8π
D．9π
【解析】 根据题意，用直译法．设动点P的坐标为(x，y)，由已知|PA|＝2|PB|，得＝2，两边平方，得x2＋4x＋4＋y2＝4x2－8x＋4＋4y2，化简得(x－2)2＋y2＝4.
所以P点的轨迹是半径为2的圆，所以面积是4π.
【答案】 B
5．设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为( )
A.－＝1
B．＋＝1
C.－＝1
D．＋＝1
【解析】 ∵M为AQ垂直平分线上一点，则|AM|＝|MQ|，
∴|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5，故M的轨迹是以定点C、A为焦点的椭圆，∴a＝，c＝1，则b2＝a2－c2＝，
∴其标准方程为＋＝1.
【答案】 D
二、填空题
6．若曲线C：xy＋3x＋ky＋2＝0，当k＝________时，曲线经过点(2，－1)．
【导学号：32550093】
【解析】 将点(2，－1)代入曲线C的方程xy＋3x＋ky＋2＝0，由曲线与方程的概念知，方程成立，即2×(－1)＋3×2＋k×(－1)＋2＝0，解得k＝6.
【答案】 6
7．已知点M到定点F(1,0)的距离和它到定直线l：x＝4的距离的比是常数，设点M的轨迹为曲线C，则曲线C的轨迹方程是________．
【解析】 设点M(x，y)则
＝整理得＋＝1.
【答案】 ＋＝1
8．下列结论正确的是________．(填序号)
①方程＝1表示斜率为1，在y轴上的截距是2的直线；
②△ABC的顶点坐标分别为A(0,3)，B(－2,0)，C(2,0)，则中线AD的方程是x＝0；
③到x轴距离为5的点的轨迹方程是y＝5；
④曲线2x2－3y2－2x＋m＝0通过原点的充要条件是m＝0.
【解析】 ①③不符合曲线与方程概念中的条件(1)；②不满足曲线与方程概念中的条件(2)；只有④正确．
【答案】 ④
三、解答题
9．光线沿直线l1：x－2y＋5＝0射入，遇直线l：3x－2y＋7＝0后反射，求反射光线所在的直线方程．
【解】 由得
即反射点M的坐标为(－1,2)．
又取直线x－2y＋5＝0上一点P(－5,0)，设P关于直线l的对称点P′(x0，y0)，由PP′⊥l可知，kPP′＝－＝.
而PP′的中点Q的坐标为，Q点在l上，
即3·－2·＋7＝0.
由得
根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为29x－2y＋33＝0.
10．A为定点，线段BC在定直线l上滑动，已知|BC|＝4，A到l的距离为3，求△ABC的外心的轨迹．
【解】 建立平面直角坐标系，使x轴与l重合，A点在y轴上(如图所示)，则
A(0,3)．
设外心P(x，y)．
∵P在BC的垂直平分线上，
∴B(x＋2,0)，C(x－2,0)．
∵P也在AB的垂直平分线上，∴|PA|＝|PB|，
即＝.
化简，得x2－6y＋5＝0.
故外心的轨迹方程为x2－6y＋5＝0.
所以，△ABC的外心的轨迹是抛物线x2－6y＋5＝0.
[能力提升]
1.如图3 4 1，△PAB所在的平面α和四边形ABCD所在的平面β互相垂直，且AD⊥α，BC⊥α，AD＝4，BC＝8，AB＝6，若tan∠ADP＋2tan∠BCP＝10，则点P在平面α内的轨迹是( )
图3 4 1
A．圆的一部分
B．椭圆的一部分
C．双曲线的一部分
D．抛物线的一部分
【解析】 由题意可得＋2＝10，则PA＋PB＝40＞AB＝6，又因P、A、B三点不共线，故点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆的一部分，
故选B.
【答案】 B
2．在平面直角坐标系中，两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的“L－距离”定义为||P1P2
|＝|x1－x2|＋|y1－y2|，则平面内与x轴上两个不同的定点F1，F2的“L－距离”之和等于定值(大于||F1F2|)的点的轨迹可以是( )
【解析】 设F1(－c,0)，F2(c,0)，P(x，y)，则点P满足：||PF1|＋||PF2|＝2a(2a>||F1F2|)，代入坐标，得|x＋c|＋|x－c|＋2|y|＝2a.当y>0时，y＝当y≤0时，y＝
所以图像应为A.
【答案】 A
3．曲线C是平面内与两个定点F1(－1,0)和F2(1,0)的距离的积等于常数a2(a＞1)的点的轨迹．给出下列三个结论：
①曲线C过坐标原点；②曲线C关于坐标原点对称；
③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于a2.
其中，所有正确结论的序号是________．
【解析】 设曲线C上任一点P(x，y)，由|PF1|·|PF2|＝a2，可得·＝a2(a＞1)，将原点(0,0)代入等式不成立，故①不正确．
∵点P(x，y)在曲线C上，点P关于原点的对称点P′(－x，－y)，将P′代入曲线C的方程等式成立，故②正确．设∠F1PF2＝θ，则S△F1PF2＝|PF1||PF2|·
sin
θ＝a2sin
θ≤a2，故③正确．
【答案】 ②③
4．如图3 4 2所示，圆O1和圆O2的半径都等于1，|O1O2|＝4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN(M、N)为切点，使得|PM|＝|PN|.试建立平面直角坐标系，并求动点P的轨迹方程．
图3 4 2
【解】 以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴，建立如图所示的坐标系，
则O1(－2,0)，O2(2,0)．
由已知|PM|＝|PN|，
∴|PM|2＝2|PN|2.
又∵两圆的半径均为1，
∴|PO1|2－1＝2(|PO2|2－1)．
设P(x，y)，
则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]，
即(x－6)2＋y2＝33.
∴所求动点P的轨迹方程为
(x－6)2＋y2＝33.学业分层测评(九)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．设A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，则AB的中点M到C的距离|CM|的值为( )
A.
B．
C.
D．
【解析】 M，即M，
＝－(0,1,0)＝，
∴||＝＝.
【答案】 C
2．已知a＝(1,2，－y)，b＝(x,1,2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，则( )
A．x＝，y＝1
B．x＝，y＝－4
C．x＝2，y＝－
D．x＝1，y＝－1
【解析】 由题意知，a＋2b＝(2x＋1,4,4－y)，2a－b＝(2－x,3，－2y－2)．
∵(a＋2b)∥(2a－b)，∴存在实数λ，使a＋2b＝λ(2a－b)，
∴，解得.
【答案】 B
3．已知向量a＝(0，－1,1)，b＝(4,1,0)，|λa＋b|＝，且λ＞0，则λ＝( )
A．2
B．3
C．4
D．5
【解析】 由题意，得λa＋b＝(4,1－λ，λ)．因为|λa＋b|＝，所以42＋(1－λ)2＋λ2＝29，整理得λ2－λ－6＝0.又λ＞0，所以λ＝3.
【答案】 B
4．若a＝(1，λ，－1)，b＝(2，－1,2)，且a与b的夹角的余弦为，则|a|＝( )
A.
B．
C.
D．
【解析】 因为a·b＝1×2＋λ×(－1)＋(－1)×2＝－λ，
又因为a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉＝××＝，所以＝－λ.
解得λ2＝，所以|a|＝＝.
【答案】 C
5．已知空间三点A(1,1,1)，B(－1,0,4)，C(2，－2,3)，则与的夹角θ的大小是( )
A．60°
B．120°
C．30°
D．150°
【解析】 ＝(－1,0,4)－(1,1,1)＝(－2，－1,3)，
＝(1,1,1)－(2，－2,3)＝(－1,3，－2)，
∴cos
θ＝＝＝－，
∴θ＝120°.
【答案】 B
二、填空题
6．已知三个力F1＝(1,2,1)，F2＝(－1，－2,3)，F3＝(2,2，－1)，则这三个力的合力为________．
【解析】 合力为F1＋F2＋F3＝(1,2,1)＋(－1，－2,3)＋(2,2，－1)
＝(2,2,3)．
【答案】 (2,2,3)
7．已知a＋b＝(－1，－2,3)，a－b＝(1,0,1)，则a＝________，b＝________.
【导学号：32550035】
【解析】 a＝＝(0，－1,2)，b＝＝(－1，－1,1)．
【答案】 (0，－1,2) (－1，－1,1)
8．设向量a＝(1，－2,2)，b＝(－3，x,4)，已知a在b上的投影为1，则x＝________.
【解析】 ∵a＝(1，－2,2)，b＝(－3，x,4)，a在b上的投影为1，∴|a|·cos
〈a，b〉＝1.
∴a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉＝|b|.
∴－3－2x＋8＝，
∴x＝0或x＝(舍去)．
【答案】 0
三、解答题
9．已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1,4)，求a＋b，a－b，a·b，(－2a)·b，(a＋b)·(a－b)．
【解】 a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1,4)＝(2，－2,2)；
a－b＝(2，－1，－2)－(0，－1,4)＝(2,0，－6)；
a·b＝(2，－1，－2)·(0，－1,4)＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7；
(－2a)·b＝－2(a·b)＝－2×(－7)＝14；
(a＋b)·(a－b)＝(2，－2,2)·(2,0，－6)＝2×2＋(－2)×0＋2×(－6)＝－8.
10．直三棱柱ABC A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N是A1A的中点．
(1)求的长；
(2)求cos〈，〉的值．
【解】 以C为原点，以，，为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系．
(1)依题意，得B(0,1,0)，N(1,0,1)，＝(1，－1,1)，
∴||＝.
(2)依题意，得A1(1,0,2)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)．
∴＝(1，－1,2)，＝(0,1,2)，
∴·＝3，||＝，||＝.
∴cos〈，〉＝＝.
[能力提升]
1．已知A(4,1,3)、B(2，－5,1)，C为线段AB上一点，且＝3，则C的坐标为( )
A.
B．
C.
D．
【解析】 设C(x，y，z)，则＝(x－4，y－1，z－3)．
又＝(－2，－6，－2)，＝3，
∴(－2，－6，－2)＝(3x－12,3y－3,3z－9)．
∴解得
【答案】 C
2．已知a＋3b与7a－5b垂直，且a－4b与7a－2b垂直，则〈a，b〉＝________.
【解析】 由条件知(a＋3b)·(7a－5b)
＝7|a|2＋16a·b－15|b|2＝0，
及(a－4b)·(7a－2b)＝7|a|2＋8|b|2－30a·b＝0.
两式相减，得46a·b＝23|b|2，∴a·b＝|b|2.
代入上面两个式子中的任意一个，即可得到|a|＝|b|.
∴cos〈a，b〉＝＝＝.
∵〈a，b〉∈[0°，180°]，∴〈a，b〉＝60°.
【答案】 60°
3．与a＝(2，－1,2)共线且满足a·x＝－18的向量x＝________.
【解析】 设x＝λa＝(2λ，－λ，2λ)，
a·x＝4λ＋λ＋4λ＝9λ＝－18，
∴λ＝－2，∴x＝(－4,2，－4)．
【答案】 (－4,2，－4)
4．已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,2,3)，B(2，－1，5)，C(3,2，－5)．
【导学号：32550036】
(1)求△ABC的面积．
(2)求△ABC中AB边上的高．
【解】 (1)由已知得＝(1，－3,2)，
＝(2,0，－8)，
∴||＝＝，
||＝＝2.
·＝1×2＋(－3)×0＋2×(－8)＝－14.
cos〈，〉＝＝＝，sin〈，〉＝＝.
∴S△ABC＝||·||·sin〈，〉
＝××2×＝3.
(2)设AB边上的高为CD，
则||＝＝3.学业分层测评(七)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的
( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
【解析】 由a·b＝|a||b|cos
θ＝|a||b|可知cos
θ＝1，由此可得a与b共线；反过来，若a，b共线，则cos
θ＝±1，a·b＝±|a||b|.故a·b＝|a||b|是a，b共线的充分不必要条件．
【答案】 A
2．如图2 2 7所示，已知三棱锥O
ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，点G在线段MN上，且MG＝2GN.设＝x＋y＋z，则x，y，z的值分别为( )
图2 2 7
A．x＝，y＝，z＝
B．x＝，y＝，z＝
C．x＝，y＝，z＝
D．x＝，y＝，z＝
【解析】 ＝＋＝＋
＝＋(－)＝－＋
＝＋×(＋)
＝＋＋，
∴x＝，y＝，z＝.
【答案】 D
3．已知e1、e2互相垂直，|e1|＝2，|e2|＝2，a＝λe1＋e2，b＝e1－2e2，且a、b互相垂直，则实数λ的值为( )
A.
B．
C．1
D．2
【解析】 ∵a⊥b，∴(λe1＋e2)·(e1－2e2)＝0.
又e1⊥e2，∴e1·e2＝0.
∴λe－2e＝0.又∵|e1|＝2，|e2|＝2，
∴4λ－8＝0，∴λ＝2.
【答案】 D
4．设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－，则|a＋2b|＝( )
【导学号：32550026】
A.
B．
C.
D．
【解析】 依题意得|a＋2b|2＝a2＋4b2＋4a·b＝5＋4×＝3，则|a＋2b|＝.
【答案】 B
5.如图2 2 8所示，已知空间四边形OABC，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉的值为( )
图2 2 8
A.
B．
C．－
D．0
【解析】 ∵·＝·(－)＝·－·
＝||·||cos〈，〉－||·||·cos〈，〉
又OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，
∴·＝0，即⊥，∴cos〈，〉＝0.
【答案】 D
二、填空题
6．如图2 2 9，在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，＝c，则＋＝________.(用a、b、c表示)
图2 2 9
【解析】 ＋＝＋－
＝＋
＝＋(＋)
＝a＋b＋c
＝(a＋b＋c)．
【答案】 (a＋b＋c)
7.如图2 2 10，在45°的二面角α l β的棱上有两点A、B，点C、D分别在α、β内，且AC⊥AB，∠ABD＝45°，AC＝BD＝AB＝1，则CD的长度为________．
图2 2 10
【解析】 由＝＋＋，
cos〈，〉＝cos
45°cos
45°＝，
∴||2＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·)
＝3＋2×(0＋1×1×cos
135°＋1×1×cos
120°)
＝2－，∴||＝.
【答案】
8．如图2 2 11所示，已知空间四边形ABCD每条边和对角线都等于1，点E，F分别是CD，AD的中点，则·＝________.
【导学号：32550027】
图2 2 11
【解析】 ∵綊，〈，〉＝60°，∴〈，〉＝120°.
∴·＝||||cos
〈，〉
＝1×cos
120°＝－.
【答案】 －
三、解答题
9．在空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC.M、N分别是OA、BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC.
【证明】 如图，连接ON，设∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ，＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|.
又＝(＋)＝＝(a＋b＋c)，＝c－b，
∴·＝(a＋b＋c)·(c－b)
＝(a·c－a·b＋b·c－b2＋c2－b·c)
＝(|a|2cos
θ－|a|2cos
θ－|a|2＋|a|2)＝0.
∴OG⊥BC.
10．如图2 2 12，点E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，其中E，H是中点，F，G是三等分点，且CF＝2FB，CG＝2GD.求证：与为共线向量．
图2 2 12
【证明】 ∵E，H分别是AB，AD的中点，
∴＝－
＝－
＝(－)
＝.
又∵CF＝2FB，CG＝2GD，
∴＝，＝.
∴＝－
＝－
＝(－)
＝.
∴＝.∴＝.
∴与为共线向量．
[能力提升]
1．设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·＝·＝·＝0，则△BCD为( )
A．钝角三角形
B．锐角三角形
C．直角三角形
D．不确定
【解析】 ＝＋，＝＋，＝＋，
∴cos
〈，〉＝
＝eq
\f(\o(BA,\s\up12(→))2,|＋||＋|)＞0，
∴〈，〉为锐角，
同理cos
〈，〉＞0，∴∠BCD为锐角，
cos
〈，〉＞0，∴∠BDC为锐角，即△BCD为锐角三角形．
【答案】 B
2．如图2 2 13，平行六面体ABCD A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，则AC1的长为( )
图2 2 13
A.
B．
C.
D．
【解析】 ∵＝＋＋，
∴||＝＝
∵AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，
∴〈，〉＝90°，〈，〉＝〈，〉＝60°，
∴||＝
＝.
【答案】 B
3．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E、F分别是BC、AD的中点，则·的值为________．
【解析】 如图，设＝a，＝b，＝c，
则|a|＝|b|＝|c|＝a，且a，b，c三向量两两夹角为60°.
＝(a＋b)，＝c，
∴·＝(a＋b)·c
＝(a·c＋b·c)＝(a2cos
60°＋a2cos
60°)＝a2.
【答案】 a2
4．如图2 2 14，正方形ABCD与正方形ABEF边长均为1，且平面ABCD⊥平面ABEF，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a(0＜a＜)．
图2 2 14
(1)求MN的长度；
(2)当a为何值时，MN的长最小．
【解】 (1)由已知得||＝，||＝||＝a.
＝，＝，
∴＝＋＋
＝＋＋
＝(＋)＋＋
＝(＋)－＋(－＋)
＝＋，
||＝＝
＝
＝(0＜a＜)．
(2)由(1)知当a＝时，||的最小值为，即M，N分别是AC，BF的中点时，MN的长最小，最小值为.学业分层测评(五)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．已知原命题是“若r，则p或q”，则这一命题的否命题是( )
A．若綈r，则p且q
B．若綈r，则綈p或綈q
C．若綈r，则綈p且綈q
D．若綈r，则綈p且q
【解析】 “p或q”的否定为“綈p且綈q”．根据否命题的定义知：选项C正确．
【答案】 C
2．命题p：点A在直线y＝2x－3上，q：点A在抛物线y＝－x2上，则使“p且q”为真命题的一个点A(x，y)是( )
【导学号：32550014】
A．(0，－3)
B．(1,2)
C．(1，－1)
D．(－1,1)
【解析】 若“p且q”为真命题，则p为真命题，q为真命题，则A点既在直线y＝2x－3上，又在抛物线y＝－x2上，所以通过验证只有C正确．
【答案】 C
3．对于p：x∈A∩B，则綈p( )
A．x∈A且x B
B．x A或x∈B
C．x A或x B
D．x∈A∪B
【解析】 p等价于x∈A且x∈B，所以綈p为x A或x B.
【答案】 C
4．已知命题p：对任意a∈R，且a＞0，a＋≥2，命题q：存在x0∈R，sin
x0＋cos
x0＝，则下列判断正确的是( )
A．p是假命题
B．q是真命题
C．p且(綈q)是真命题
D．(綈p)且q是真命题
【解析】 由均值不等式知p为真命题；因为sin
x0＋cos
x0＝sin≤，所以q为假命题，则綈q为真命题，所以p且(綈q)为真命题．故选C.
【答案】 C
5．命题p：函数y＝loga(ax＋2a)(a＞0且a≠1)的图像必过定点(－1,1)；命题q：如果函数y＝f(x)的图像关于(3,0)对称，那么函数y＝f(x－3)的图像关于原点对称，则有( )
A．“p且q”为真
B．“p或q”为假
C．p真q假
D．p假q真
【解析】 将点(－1,1)代入y＝loga(ax＋2a)，成立，故p为真；由y＝f(x)的图像关于(3,0)对称，知y＝f(x－3)的图像关于(6,0)对称，故q为假．
【答案】 C
二、填空题
6．命题p：“相似三角形的面积相等”则綈p为________，否命题为________．
【解析】 綈p只否定命题的结论，而否命题则是命题的条件、结论都否定．
【答案】 相似三角形的面积不相等 若三角形不相似则它们的面积不相等
7．已知命题p：若实数x，y满足x2＋y2＝0，则x，y全为零．命题q：若a＞b，则＜.给出下列四个命题：
①p且q；②p或q；③非p；④非q
其中真命题是________．
【解析】 显然p为真命题；当a＝1，b＝－2时，q不成立，所以q是假命题．从而“p且q”“非p”为假命题，“p或q”“非q”为真命题．
【答案】 ②④
8．已知命题p：函数f(x)＝lg(x2－4x＋a2)的定义域为R；命题q：当m∈[－1,1]时，不等式a2－5a－3≥恒成立，如果命题“p或q”为真命题，且“p且q”为假命题，则实数a的取值范围是____________．
【解析】 若命题p为真，则Δ＝16－4a2＜0 a＞2或a＜－2.若命题q为真，因为m∈[－1,1]，所以∈[2，3]．因为对于任意m∈[－1,1]，不等式a2－5a－3≥恒成立，只需满足a2－5a－3≥3，解得a≥6或a≤－1.命题“p或q”为真命题，且“p且q”为假命题，则p，q一真一假．
①当p真q假时，可得 2＜a＜6；
②当p假q真时，可得 －2≤a≤－1.
综合①②，可得a的取值范围是[－2，－1]∪(2,6)．
【答案】 [－2，－1]∪(2,6)
三、解答题
9．分别指出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”“綈p”形式，并判断真假．
(1)p：2n－1(n∈Z)是奇数；
q：2n－1(n∈Z)是偶数．
(2)p：a2＋b2<0，
q：a2＋b2≥0.
(3)p：集合中的元素是确定的；
q：集合中的元素是无序的．
【解】 (1)p或q,2n－1(n∈Z)是奇数或是偶数；(真)
p且q：2n－1(n∈Z)既是奇数又是偶数；(假)
綈p：2n－1(n∈Z)不是奇数．(假)
(2)p或q：a2＋b2＜0或a2＋b2≥0；(真)
p且q：a2＋b2＜0且a2＋b2≥0；(假)
綈p：a2＋b2≥0.(真)
(3)p或q：集合中的元素是确定的或是无序的；(真)
p且q：集合中的元素是确定的且是无序的；(真)
綈p集合中的元素是不确定的．(假)
10．在一次模拟打飞机的游戏中，小李接连射击了两次，设命题p是“第一次击中飞机”，命题q是“第二次击中飞机”．试用p，q以及逻辑联结词“或”“且”“非”表示下列命题：
(1)命题s：两次都击中飞机；
(2)命题r：两次都没击中飞机；
(3)命题t：恰有一次击中了飞机；
(4)命题u：至少有一次击中了飞机．
【解】 (1)两次都击中飞机表示：第一次击中飞机且第二次击中飞机，所以命题s表示为p且q.
(2)两次都没击中飞机表示：第一次没有击中飞机且第二次没有击中飞机，所以命题r表示为綈p且綈q.
(3)恰有一次击中了飞机包含两种情况：一是第一次击中飞机且第二次没有击中飞机，此时表示为p且綈q；二是第一次没有击中飞机且第二次击中飞机，此时表示为綈p且q，所以命题t表示为(p且綈q)或(綈p且q)．
(4)法一：命题u表示：第一次击中飞机或第二次击中飞机，所以命题u表示为p或q.
法二：綈u：两次都没击中飞机，即是命题r，所以命题u是綈r，从而命题u表示为綈(綈p且綈q)．
法三：命题u表示：第一次击中飞机且第二次没有击中飞机，或者第一次没有击中飞机且第二次击中飞机，或者第一次击中飞机且第二次击中飞机，所以命题u表示为(p且綈q)或(綈p且q)或(p且q)．
[能力提升]
1．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )
A．(綈p)或(綈q)
B．p或(綈q)
C．(綈p)且(綈q)
D．p或q
【解析】 至少有一位学员没有降落在指定范围意味着甲没有或者乙没有降落在指定范围．
【答案】 A
2．已知：p：|x－1|≥2，q：x∈Z，若p且q，綈q同时为假命题，则满足条件的x的集合为( )
A．{x|x≤－1或x≥3，x Z}
B．{x|－1≤x≤3，x Z}
C．{x|x＜－1或x∈Z}
D．{x|－1＜x＜3，x∈Z}
【解析】 ∵綈q为假，∴q为真．
∵p且q为假，∴p为假，
∴x满足|x－1|＜2且x∈Z，
∴－1＜x＜3且x∈Z.
【答案】 D
3．已知p：函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，若綈p是假命题，则a的取值范围是____________.
【导学号：32550015】
【解析】 綈p：函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上不是减函数．
∵綈p为假，则p为真，
即函数在(－∞，4]上为减函数，
∴－(a－1)≥4，即a≤－3，
∴a的取值范围是(－∞，－3]．
【答案】 (－∞，－3]
4．已知命题p：c2＜c和命题q：对任意x∈R，x2＋4cx＋1＞0恒成立，已知p或q为真，p且q为假，求实数c的取值范围．
【解】 由不等式c2＜c，得0＜c＜1，
即命题p：0＜c＜1，
所以命题非p：c≤0或c≥1，
又由(4c)2－4＜0，得－＜c＜，
所以命题q：－＜c＜，
所以命题非q：c≤－或c≥，
由题知：p和q必有一个为真，一个为假．
当p真q假时，≤c＜1；当q真p假时，－＜c≤0，
故c的取值范围是∪.学业分层测评(十四)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．若点P(a,1)在椭圆＋＝1的外部，则a的取值范围为( )
【导学号：32550071】
A.
B.∪
C.
D.
【解析】 因为点P在椭圆＋＝1的外部，
所以＋＞1，解得a＞或a＜－.
【答案】 B
2．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若＝2，则椭圆的离心率是( )
A.
B．
C.
D．
【解析】 如图，由题意得OP∥FB，＝2，
∴＝＝，即＝.∴＝e＝.
【答案】 D
3．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且椭圆G上一点到其两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为
( )
A.＋＝1
B．＋＝1
C.＋＝1
D．＋＝1
【解析】 由题意设椭圆G的方程为＋＝1(a＞b＞0)，因为椭圆G上一点到其两个焦点的距离之和为12，所以a＝6.由离心率为，得＝，解得c＝3.所以b2＝a2－c2＝36－27＝9，则椭圆G的方程为＋＝1.
【答案】 A
4．椭圆(1－m)x2－my2＝1的长轴长为( )
A.
B．
C．－
D．
【解析】 椭圆标准方程为＋＝1，
∴∴m＜0.
此时1－m＞－m＞0，∴＜－.
∴a2＝－，b2＝，2a＝2＝－.
【答案】 C
5．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是( )
A.
B．
C.
D．
【解析】 根据椭圆的对称性可求得a的值，再根据短轴的端点到直线的距离求得b的取值范围，代入离心率公式即可得答案．
根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得A，B两点到椭圆左、右焦点的距离为4a＝2(|AF|＋|BF|)＝8，所以a＝2.又d＝≥，所以1≤b<2，所以e＝＝＝.因为1≤b<2，所以0【答案】 A
二、填空题
6．已知椭圆中心在原点，一个焦点为F(－2，0)，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是______________________．
【解析】 由已知得∴a2＝16，b2＝4.
∴标准方程为＋＝1.
【答案】 ＋＝1
7．椭圆＋＝1和＋＝k(k＞0，a＞0，b＞0)具有________．
①相同的顶点；②相同的离心率；③相同的焦点；④相同的长轴和短轴．
【解析】 不妨设a＞b，则椭圆＋＝k的离心率e2＝＝.而椭圆＋＝1的离心率e1＝，故②正确．
【答案】 ②
8．焦点在x轴上的椭圆，焦距|F1F2|＝8，离心率为，椭圆上的点M到焦点F1的距离2，N为MF1的中点，则|ON|(O为坐标原点)的值为________．
【导学号：32550072】
【解析】 ∵|F1F2|＝2c＝8，e＝＝，∴a＝5，
∵|MF1|＋|MF2|＝2a＝10，|MF1|＝2，∴|MF2|＝8.
又∵O，N分别为F1F2，MF1的中点，
∴ON是△F1F2M的中位线，
∴|ON|＝|MF2|＝4.
【答案】 4
三、解答题
9．已知椭圆mx2＋(m＋3)y2＝m(m＋3)(m＞0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标．
【解】 椭圆方程可化为＋＝1，则a2＝m＋3，b2＝m，c＝＝.所以e＝＝，解得m＝1，则a＝2，b＝1，c＝.
所以椭圆的标准方程为＋y2＝1，椭圆的长轴长为4；短轴长为2；焦点坐标分别为(－，0)，(，0)；顶点坐标分别为(－2,0)，(2,0)，(0,1)，(0，－1)．
10．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为2.
(1)求该椭圆的方程；
(2)若P是该椭圆上的一个动点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，求·的最大值与最小值．
【解】 (1)设椭圆的半焦距为c，
由题意＝，且a＝2，得c＝，b＝1，
∴所求椭圆方程为＋y2＝1.
(2)设P(x，y)，由(1)知F1(－，0)，F2(，0)，则·＝(－－x，－y)·(－x，－y)＝x2＋y2－3＝x2＋－3＝x2－2，∵x∈[－2,2]，
∴当x＝0，即点P为椭圆短轴端点时，
·有最小值－2；当x＝±2，即点P为椭圆长轴端点时，·有最大值1.
[能力提升]
1．若直线ax＋by＋4＝0和圆x2＋y2＝4没有公共点，则过点(a，b)的直线与椭圆＋＝1的公共点个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．需根据a，b的取值来确定
【解析】 直线ax＋by＋4＝0与圆x2＋y2＝4没有公共点，即相离，
∴＞2，∴a2＋b2＜4，
∴＋＜1，
∴＋＜＋＜1，
∴(a，b)在椭圆＋＝1的内部故有2个公共点．
【答案】 C
2．设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF1的中点在y轴上，若∠PF1F2＝30°，则椭圆的离心率为( )
A.
B．
C.
D．
【解析】 设PF1的中点为M，连接PF2，由于O为F1F2的中点，则OM为△PF1F2的中位线，所以OM∥PF2，
所以∠PF2F1＝∠MOF1＝90°.
由于∠PF1F2＝30°，所以PF1＝2PF2，
由勾股定理得F1F2＝＝PF2，
由椭圆定义得2a＝PF1＋PF2＝3PF2 a＝，2c＝F1F2＝PF2 c＝，所以椭圆的离心率为e＝＝·＝.故选D.
【答案】 D
3．如图3 1 2，椭圆的中心在坐标原点O，顶点分别是A1，A2，B1，B2，焦点分别为
F1，F2，延长B1F2与A2B2交于P点，若∠B1PA2为钝角，则此椭圆的离心率e的取值范围为________．
图3 1 2
【解析】 设椭圆方程为＋＝1，
建立如图所示的坐标系．
则A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)，F2(c,0)，(－c，－b)，(a，－b)，
·＝(－c，－b)·(a，－b)＝－ac＋b2<0，
又∵a2＝b2＋c2，
∴－ac＋a2－c2<0，
∴e2＋e－1>0,
又∵0∴【答案】
4．如图3 1 3，椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1.
图3 1 3
(1)若|PF1|＝2＋，|PF2|＝2－，求椭圆的标准方程；
(2)若|PF1|＝|PQ|，求椭圆的离心率e.
【解】 (1)由椭圆的定义，有2a＝|PF1|＋|PF2|＝(2＋)＋(2－)＝4，故a＝2.
设椭圆的半焦距为c，由已知PF1⊥PF2，
因此2c＝|F1F2|＝
＝＝2.
即c＝，从而b＝＝1，
故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2)法一：连接F1Q，如图，设点P(x0，y0)在椭圆上，且PF1⊥PF2，则
＋＝1，x＋y＝c2，
求得x0＝±，y0＝±.
由|PF1|＝|PQ|>|PF2|得x0>0，从而|PF1|2＝2＋
＝2(a2－b2)＋2a＝(a＋)2.
由椭圆的定义，|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a.从而由|PF1|＝|PQ|＝|PF2|＋|QF2|，有|QF1|＝4a－2|PF1|，
又由PF1⊥PF2，|PF1|＝|PQ|，
知|QF1|＝|PF1|，因此
(2＋)|PF1|＝4a，即(2＋)(a＋)＝4a，
于是(2＋)(1＋)＝4，解得
e＝＝－.
法二：如图，由椭圆的定义，|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a，从而由|PF1|＝|PQ|＝|PF2|＋|QF2|，有|QF1|＝4a－2|PF1|.
又由PF1⊥PQ，|PF1|＝|PQ|，知|QF1|＝|PF1|，因此，4a－2|PF1|＝|PF1|，则|PF1|＝2(2－)a，从而|PF2|＝2a－|PF1|＝2a－2(2－)a＝2(－1)a.
由PF1⊥PF2，知|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2，因此
e＝＝
＝
＝＝－.学业分层测评(二)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．“－2＜x＜1”是“x＞1或x＜－1”的( )
A．充分条件
B．必要条件
C．既不充分也不必要条件
D．充要条件
【解析】 ∵－2＜x＜1x＞1或x＜－1，且x＞1或x＜－1－2＜x＜1，∴“－2＜x＜1”是“x＞1或x＜－1”的既不充分，也不必要条件．
【答案】 C
2．a＜0，b＜0的一个必要条件为( )
A．a＋b＜0
B．a－b＞0
C.＞1
D．＜－1
【解析】 a＋b＜0
a＜0，b＜0，而a＜0，b＜0 a＋b＜0.
【答案】 A
3．“ab≠0”是“直线ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交”的( )
A．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 ab≠0，即，此时直线ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交；又当ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交时，a≠0且b≠0.
【答案】 C
4．一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分条件是
( )
A．a≤0
B．a＞0
C．a＜－1
D．a＜1
【解析】 ∵一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一正根和一负根．∴x1x2＜0.即＜0 a＜0，本题要求的是充分条件．由于{a|a＜－1} {a|a＜0}，故答案应为C.
【答案】 C
5．设0＜x＜，则“xsin2x＜1”是“xsin
x＜1”的( )
A．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 因为0＜x＜，所以0＜sin
x＜1.由x·sin
x＜1知xsin2x＜sin
x＜1，因此必要性成立．由xsin2x＜1得xsin
x＜，而＞1，因此充分性不成立．
【答案】 B
二、填空题
6．满足sin
α＝的一个充分条件是α＝____(填一角即可)．
【解析】 ∵α＝ sin
α＝，
∴sin
α＝的一个充分条件可以是α＝.
【答案】
7．已知“x＞k”是“＜1”的充分条件，则k的取值范围是________．
【导学号：32550004】
【解析】 解不等式＜1得，x＜－1或x＞2，
∵x＞k x＞2或x＜－1∴k≥2.
【答案】 [2，＋∞)
8．已知p：x∈A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈R}，q：x∈B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R，m∈R}．若p是綈q的充分条件，则实数m的取值范围是________．
【解析】 ∵A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|m－2≤x≤m＋2}，∴ RB＝{x|x＜m－2或x＞m＋2}．∵p是綈q的充分条件，∴A RB，∴m－2＞3或m＋2＜－1，∴m＞5或m＜－3.
【答案】 (－∞，－3)∪(5，＋∞)
三、解答题
9．分别判断下列“若p，则q”命题中，p是否为q的充分条件或必要条件，并说明理由．
(1)p：sin
θ＝0，q：θ＝0；
(2)p：θ＝π，q：tan
θ＝0；
(3)p：a是整数，q：a是自然数；
(4)p：a是素数，q：a不是偶数．
【解】 (1)由于p：sin
θ＝0 q：θ＝0，p：sin
θ＝0
q：θ＝0，
所以p是q的必要条件，p是q的不充分条件．
(2)由于p：θ＝π q：tan
θ＝0，p：θ＝π /
q：tan
θ＝0，
所以p是q的充分条件，p是q的不必要条件．
(3)由于p：a是整数q：a是自然数，
p：a是整数 q：a是自然数，
所以p是q的必要条件，p是q的不充分条件．
(4)由于p：a是素数 /
q：a不是偶数，
所以p是q的不充分条件，p是q的不必要条件．
10．已知p：4x＋k≤0，q：x2－x－2＜0，且p是q的必要条件，求k的取值范围．
【解】 由4x＋k≤0，得x≤－；
由x2－x－2＜0，得－1＜x＜2.
设A＝
，B＝{x|－1＜x＜2}，
由p是q的必要条件，得A B.
∴－≥2，
∴k≤－8.
即k的取值范围为(－∞，－8]．
[能力提升]
1．不等式1－＞0成立的充分条件是( )
A．x＞1
B．x＞－1
C．x＜－1或0＜x＜1
D．x＜0或x＞1
【解析】 x＞1 1－＞0，故选A.
【答案】 A
2．设a，b为向量，则“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的
( )
A．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 ∵a·b＝|a||b|cos
〈a，b〉＝|a||b|，
∴cos
〈a，b〉＝1，
∴〈a，b〉＝0，
∴a·b＝|a||b| a∥b.
而∵a∥b夹角可为π，∴a·b＝－|a||b|，
∴a·b＝|a||b| /
a∥b，
故选A.
【答案】 A
3．(2016·长春高二检测)如果命题“若A，则B”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A是B的________条件．
【解析】 否命题为真，则逆命题为真．
∴“若B，则A”为真，∴B A，
而原命题为假设AB，
∴A是B的必要条件．
【答案】 必要
4．已知p：x2－2x－3＜0，若－a＜x－1＜a是p的一个必要条件但不是充分条件，求使a＞b恒成立的实数b的取值范围．
【解】 由于p：x2－2x－3＜0 －1＜x＜3，－a＜x－1＜a 1－a＜x＜1＋a(a＞0)．依题意，得{x|－1＜x＜3}?{x|1－a＜x＜1＋a}(a＞0)，
所以解得a＞2，
则使a＞b恒成立的实数b的取值范围是b≤2，即(－∞，2]．学业分层测评(二十)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹是( )
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
【解析】 点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，即点P到直线x＝－2的距离与它到点(2,0)的距离相等，符合抛物线的定义，故点P的轨迹是抛物线．
【答案】 D
2．已知双曲线方程为x2－＝1，过P(1,0)的直线L与双曲线只有一个公共点，则共有L( )
A．4条
B．3条
C．2条
D．1条
【解析】 因为双曲线方程为x2－＝1，所以P(1,0)是双曲线的右顶点，所以过P(1,0)并且和x轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外还有两条就是过P(1,0)分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的共有3条．
【答案】 B
3．已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )
A．x＝1
B．x＝－1
C．x＝2
D．x＝－2
【解析】 抛物线的焦点F，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－，即x＝y＋，将其代入y2＝2px＝2p＝2py＋p2，
所以y2－2py－p2＝0，
所以＝p＝2，
所以抛物线的方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1.
【答案】 B
4．过双曲线2x2－y2＝2的右焦点作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|＝4，则这样的直线l的条数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】 由2x2－y2＝2得x2－＝1，∴a2＝1，b2＝2，当直线l与两支相交时需|AB|≥2a＝2.由|AB|＝4可得直线l有两条；当直线l只与右支相交时，需|AB|≥＝4，由|AB|＝4可得直线l只有1条．综上，符合题意的直线l共有3条．
【答案】 C
5．设双曲线－＝1的一条渐近线与抛物线y＝x2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为( )
A.
B．5
C.
D．
【解析】 设双曲线的渐近线方程为y＝kx，这条直线与抛物线y＝x2＋1相切，联立方程得整理得x2－kx＋1＝0，则Δ＝k2－4＝0，解得k＝±2，即＝2，故双曲线的离心率e＝＝＝＝.
【答案】 D
二、填空题
6．直线y＝x＋4与双曲线x2－y2＝1的交点坐标为________．
【解析】 联立方程组得消去y得x2－(x＋4)2＝1，则x＝－，代入y＝x＋4得y＝.
故直线y＝x＋4与双曲线x2－y2＝1的交点坐标为.
【答案】
7．已知直线l过点P(0,2)且与椭圆x2＋2y2＝2只有一个公共点，则直线l的方程为____________．
【导学号：32550096】
【解析】 当直线l斜率不存在时，方程为x＝0，与椭圆x2＋2y2＝2有两个公共点，舍去；
当直线l斜率存在时，设方程为y＝kx＋2，代入椭圆方程得x2＋2(kx＋2)2＝2，整理得(2k2＋1)x2＋8kx＋6＝0，
由Δ＝64k2－4×6×(2k2＋1)＝0，解得k＝±.
【答案】 y＝x＋2或y＝－x＋2
8．已知抛物线y2＝4x，过点Q(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y＋y的最小值是________．
【解析】 设直线AB的方程为ty＝x－4(t∈R)，由得x2－(8＋4t2)x＋16＝0，Δ＝(8＋4t2)2－4×16＝64t2＋16t4≥0，∴x1＋x2＝8＋4t2≥8，∴y＋y＝4(x1＋x2)≥32.
【答案】 32
三、解答题
9．已知双曲线C：2x2－y2＝2与直线l上一点P(1,2)．求直线l的斜率k为何值时，l与C分别有一个交点，两个交点，没有交点？
【解】 设直线l的方程为y－2＝k(x－1)，代入C的方程，并整理得(2－k2)x2＋2(k2－2k)x－k2＋4k－6＝0，
当k＝±时，方程组有唯一解．
当k≠±时，由Δ＝0，得k＝.
所以当k＝±或k＝或k不存在时，l与C只有一个交点．
如图，当＜k＜或k＜－或－＜k＜时，l与C有两个交点．
当k＞时，l与C无交点．
10．已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且倾斜角为45°的直线l与椭圆相交于A，B两点．
(1)求AB的中点坐标；
(2)求△ABF2的周长与面积．
【解】 (1)由＋＝1，知a＝，b＝，c＝1.
∴F1(－1,0)，F2(1,0)，∴l的方程为y＝x＋1，
联立消去y得5x2＋6x－3＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点M(x0，y0)，则x1＋x2＝－，x1x2＝－，x0＝＝－，y0＝＝＝＋1＝(或y0＝x0＋1＝－＋1＝)，∴中点坐标为M.
(2)由题意知，F2到直线AB的距离d＝＝＝，
|AB|＝·＝，
∴S△ABF2＝|AB|d＝××＝，
∴△ABF2的周长＝4a＝4.
[能力提升]
1．曲线x2＋4y2＝52与x2＋y2＝37的交点个数是( )
A．4
B．3
C．2
D．1
【解析】 将方程x2＋4y2＝52与x2＋y2＝37相减可得3y2＝15，则y有两个值，依据任何一个曲线方程可知y的一个值对应两个x值，因此，两曲线共有4个交点．
【答案】 A
2．(2014·全国卷Ⅱ)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )
A.
B．
C.
D．
【解析】 由已知得F，故直线AB的方程为y＝tan
30°·，即y＝x－.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立
将①代入②并整理得x2－x＋＝0，∴x1＋x2＝，
∴线段|AB|＝x1＋x2＋p＝＋＝12.
又原点(0,0)到直线AB的距离为d＝＝.
∴S△OAB＝|AB|d＝×12×＝.
【答案】 D
3．已知双曲线x2－＝1，过P(2,1)点作一直线交双曲线于A，B两点，并使P为AB的中点，则直线AB的斜率为________．
【解析】 法一：显然直线AB存在斜率，
设AB斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则AB方程为y－1＝k(x－2)，由
得(3－k2)x2＋(4k2－2k)x－4k2＋4k－4＝0，
∴x1＋x2＝＝4，∴k＝6.
法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4，
y1＋y2＝2，且x－＝1，x－＝1.
两式相减得(x1－x2)(x1＋x2)＝.
显然x1－x2≠0，
∴＝＝6，即kAB＝6.
【答案】 6
4．已知点A(1,2)在椭圆＋＝1内，F的坐标为(2,0)，在椭圆上求一点P使|PA|＋2|PF|最小．
【解】 ∵a2＝16，b2＝12，∴c2＝4，c＝2.
∴F为椭圆的右焦点，并且离心率为＝.
设P到右准线l的距离为d，则|PF|＝d，d＝2|PF|.
∴|PA|＋2|PF|＝|PA|＋d.
当P点的纵坐标(横坐标大于零)与A点的纵坐标相同时，|PA|＋d最小，如图．
把y＝2代入＋＝1，
得x＝(负值舍去)，
即P为所求的点．学业分层测评(一)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．下列语句不是命题的有( )
①《非常学案》是最畅销的教辅材料吗？
②2x－1＞3.
③7＋6＝14.
④两直线平行内错角相等．
A．①②
B．①③
C．②④
D．①②③
【答案】 A
2．若命题p的逆命题是假命题，则下列判断一定正确的是( )
A．命题p是真命题
B．命题p的否命题是假命题
C．命题p的逆否命题是假命题
D．命题p的否命题是真命题
【解析】 一个命题的逆命题与否命题互为逆否命题，故它们同真假，故选B.
【答案】 B
3．命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是( )
A．这个四边形的对角线互相平分
B．这个四边形的对角线互相垂直
C．这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直
D．这个四边形是平行四边形
【解析】 此命题可改为“若一个四边形是平行四边形则它的对角线互相平分，也互相垂直”，故结论为选项C.
【答案】 C
4．在下列命题中，真命题是( )
A．“x＝2时，x2－3x＋2＝0”的否命题
B．“若b＝3，则b2＝9”的逆命题
C．若x∈R，则x2＋3＜0
D．“相似三角形的对应角相等”的逆否命题
【解析】 “相似三角形的对应角相等”是真命题，又因为原命题与逆否命题为等价命题，故选D.
【答案】 D
5．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图像不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( )
A．3
B．2
C．1
D．0
【解析】 易知原命题是真命题，则其逆否命题也是真命题，而逆命题、否命题是假命题，故它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题只有一个．
【答案】 C
二、填空题
6．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，则s是p的逆命题t的________命题．
【导学号：32550002】
【解析】 根据四种命题的关系，易知s是t的否命题．
【答案】 否
7．把下列不完整的命题补充完整，并使之成为真命题．若函数f(x)＝3＋log2x的图像与g(x)的图像关于________对称，则函数g(x)＝________.(填上你认为可以成为真命题的一种情况既可)
【解析】 该题将函数的图像和性质与命题综合在一起，要综合利用各部分的知识．部分可能情况有：x轴，－3－log2x；y轴，3＋log2(－x)；原点，－3－log2(－x)；直线y＝x,2x－3等．
【答案】 x轴 －3－log2x
8．给定下列命题：
①“若k＞0，则方程x2＋2x－k＝0”有实数根；
②若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd；
③对角线相等的四边形是矩形；
④若xy＝0，则x、y中至少有一个为0.
其中真命题的序号是________．
【解析】 ①Δ＝4＋4k∵k＞0，∴Δ＞0方程有实根，故①为真命题．②，④易判断为真命题．③对角线相等的四边形有可能是梯形．
【答案】 ①②④
三、解答题
9．将下列命题改写为“若p，则q”的形式，并判断真假．
(1)偶数能被2整除；
(2)奇函数的图像关于原点对称．
【解】 (1)若一个数是偶数，则它能被2整除．真命题．
(2)若一个函数是奇函数，则它的图像关于原点对称．真命题．
10．分别写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并判断这四个命题的真假：
(1)若一个整数的末位数字是0，则这个整数能被5整除；
(2)四条边相等的四边形是正方形．
【解】 找出原命题的条件和结论，依照定义写出另外三种命题．
(1)逆命题：若一个整数能被5整除，则这个整数的末位数字是0；
否命题：若一个整数的末位数字不是0，则这个整数不能被5整除；
逆否命题：若一个整数不能被5整除，则这个整数的末位数字不是0.
逆命题和否命题是假命题，原命题和逆否命题是真命题．
(2)原命题可以改写成：若一个四边形的四条边相等，则它是正方形；
逆命题：若一个四边形是正方形，则它的四条边相等；
否命题：若一个四边形的四条边不全相等，则它不是正方形；
逆否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不全相等．
原命题和逆否命题是假命题，逆命题和否命题是真命题．
[能力提升]
1．有下列四个命题：
①“若x＋y＝0，则x、y互为相反数”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆命题；
④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题．
其中真命题的序号为( )
A．①②
B．②③
C．①③
D．③④
【解析】 ①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题是“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，是真命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题是“若两个三角形不全等，则这两个三角形面积不相等”，是假命题；③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆命题是“若x2＋2x＋q＝0有实根，则q≤1”，是真命题；④“不等边三角形的三个内角相等”是假命题，其逆否命题是假命题．
【答案】 C
2．若命题p的逆否命题是q，q的逆命题是r，则p与r是
( )
A．互逆命题
B．互否命题
C．互逆否命题
D．不确定
【解析】 p，q互为逆否命题，又q的逆命题是r，故p、r为互否命题．
【答案】 B
3．下列说法正确的是________．
①“若x2＋y2＝0，则x，y全为零”的否命题为“若x2＋y2≠0，则x，y全不为零”．
②“正多边形都相似”的逆命题是真命题．
③“若x－3是有理数，则x是无理数”的逆否命题是真命题．
【解析】 ①中否命题：“若x2＋y2≠0则x，y不全为0”，故是错误的．
②中逆命题：“若两个多边形相似，则这两个多边形是正多边形”，是假命题，故此说法错误．
③中逆否命题：“若x不是无理数，则x－3不是有理数”，是真命题，故说法正确．
【答案】 ③
4．若方程x2＋2px－q＝0(p，q是实数)没有实数根，则p＋q<.
(1)判断上述命题的真假，并说明理由．
(2)试写出上述命题的逆命题，并判断真假，说明理由．
【解】 (1)上述命题是真命题，由题意，
得方程的判别式Δ＝4p2＋4q<0，得q<－p2，
∴p＋q∴p＋q<.
(2)逆命题：如果p，q是实数，p＋q<，则方程x2＋2px－q＝0没有实数根．逆命题是假命题，如当p＝1，q＝－1时，p＋q<，但原方程有实数根x＝－1.学业分层测评(十一)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.如图2 5 7，在长方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别是棱BB1，B1C1的中点，若∠CMN＝90°，则异面直线AD1与DM的夹角为( )
图2 5 7
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系，设D1C1＝a，C1B1＝b，C1C＝c.
则D1(0,0,0)，A(0，b，c)，D(0,0，c)，C(a,0，c)，M，N.
则＝，＝.
∵∠CMN＝90°，∴·＝0.
即b2－c2＝0，即b2＝c2.
∴·＝(0，－b，－c)·
＝－b2＋c2＝0.
∴AD1与DM的夹角为90°.
【答案】 D
2.如图2 5 8，在正四面体A BCD中，E为棱AD的中点，则CE与平面BCD的夹角的正弦值为( )
图2 5 8
A.
B．
C.
D．
【解析】 作AO⊥平面BCD于O，则O是△BCD的中心，以O为坐标原点，OD为y轴，OA为z轴建立空间直角坐标系，设AB＝2，则O(0,0,0)，
A，C，E，
∴＝，＝，
∴cos〈，〉＝＝＝.
∴CE与平面BCD的夹角的正弦值为.
【答案】 B
3．过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABC，且PA＝AB，则平面ABC与平面PCD所成锐二面角的度数为( )
A．75°
B．60°
C．45°
D．30°
【解析】 以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，不妨设AB＝1，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)，从而＝(0,1，－1)，＝(－1,0,0)．设平面ABC与平面PCD的法向量分别为n1，n2，取n1＝＝(0,0,1)．
设n2＝(x，y，z)，由n2⊥，n2⊥，
可得，
可取n2＝(0,1,1)．于是cos
〈n1，n2〉＝＝＝，所以平面ABC与平面PCD所成锐二面角的度数为45°.
【答案】 C
4．如图2 5 9所示，已知点P为菱形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC中点，则平面CBF与平面DBF夹角的正切值为( )
图2 5 9
A.
B．
C.
D．
【解析】 设AC∩BD＝O，连接OF，以O为原点，OB，OC，OF所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设PA＝AD＝AC＝1，则BD＝，
∴B，F，C，D.
∴＝，且为平面BDF的一个法向量．
由＝，＝
可得平面BCF的一个法向量n＝(1，，)．
∴cos〈n，〉＝，sin〈n，〉＝.
∴tan〈n，〉＝.
【答案】 D
5．P是二面角α AB β棱上的一点，分别在α，β平面内引射线PM，PN，如果∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，那么α与β的夹角大小为( )
【导学号：32550047】
A．60°
B．70°
C．80°
D．90°
【解析】 设PM＝a，PN＝b，作ME⊥AB，NF⊥AB，
则因∠BPM＝∠BPN＝45°，故PE＝，PF＝.于是·＝(－)·(－)＝·－·－·＋·＝abcos
60°－a·cos
45°－·bcos
45°＋·＝－－＋＝0.因为EM，FN分别是α，β内的与棱AB垂直的两条直线，所以与的夹角就是α与β的夹角．
【答案】 D
二、填空题
6．若平面α的一个法向量为m＝(3,3,0)，直线l的一个方向向量为b＝(1,1,1)，则l与α所成角的余弦值为________．
【解析】 ∵平面α的法向量为m＝(3,3,0)，直线l的一个方向向量为b＝(1,1,1)．
则cos
〈m，b〉＝＝＝，
sin
〈m，b〉＝.
∴l与α所成角的余弦值为.
【答案】
7．正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60°的二面角，则异面直线AD与BF所成角的余弦值是________．
【导学号：32550048】
【解析】 建立如图坐标系，设AB＝1，则D，A(0,0,0)，＝，F(1,0,0)，B(0,1,0)，＝(1，－1,0)．
cos
θ＝＝＝.
【答案】
8．如图2 5 10所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，A1C与AB夹角的余弦值为________，A1C1与平面BB1C1C夹角为________，平面A1BCD1与平面ABCD的夹角为________．
图2 5 10
【解析】 ∠A1CD是A1C与AB的夹角，cos∠A1CD＝＝；
∠A1C1B1是A1C1与面BC1的夹角，∠A1C1B1＝45°；
∠A1BA是面A1BCD1与面ABCD的夹角，∠A1BA＝45°.
【答案】 45° 45°
三、解答题
9.如图2 5 11，在三棱锥S ABC中，∠SAB＝∠SAC＝∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝，SB＝.
图2 5 11
(1)求证：SC⊥BC；
(2)求SC与AB所成角的余弦值．
【解】 (1)证明：如图，取A为原点，垂直于AB的直线为x轴，AB，AS分别为y轴、z轴
建立空间直角坐标系，则有AC＝2，BC＝，SB＝，得B(0，，0)、S(0,0，2)、C，
∴＝，
＝.
∵·＝0，∴SC⊥BC.
(2)设SC与AB所成的角为α
＝(0，，0)，·＝4，||||＝4，
∴cos
α＝＝，即为所求．
10．如图2 5 12，在三棱柱ABO A1B1O1中，OA⊥OB，且OB＝3，OA＝4，BB1＝4，D为A1B1的中点．P为BB1上一点，且OP⊥BD.
图2 5 12
求直线OP与底面AOB的夹角的正弦值．
【解】 以O点为原点，以OB，OA，OO1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，由题意，有O(0,0,0)，B(3,0,0)，D，B1(3,0,4)．
设P(3,0，z)，则＝，＝(3,0，z)．
∵BD⊥OP，∴·＝－＋4z＝0，解得z＝.
∵BB1⊥平面AOB，
∴是底面AOB的一个法向量，且＝(0,0,4)．
∴sin
∠POB＝|cos
∠BPO|＝
＝＝.
∴直线OP与底面AOB夹角的正弦值为.
[能力提升]
1．平面α的一个法向量为n1＝(4,3,0)，平面β的一个法向量为n2＝(0，－3,4)，则平面α与平面β夹角的余弦值为( )
A．－
B．
C.
D．以上都不对
【解析】 cos
〈n1，n2〉＝＝－，∴平面α与平面β夹角的余弦值为.
【答案】 B
2．已知四棱锥P ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝DC＝，AB＝1，则AC与PB所成的角的余弦值为
( )
A.
B．
C.
D．
【解析】 以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz，则各点坐标为A(0,0,0)，B(0,1,0)，C，P，从而＝，＝，
所以cos
〈，〉＝＝.
【答案】 B
3．正四棱锥S ABCD中，O为顶点在底面上的投影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC的夹角是________．
【解析】 如图，以O为原点建立空间直角坐标系，设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a，
则A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(－a,0,0)，P，则＝(2a,0,0)，＝，(a，a,0)．
设平面PAC的法向量为n，可求得n＝(0,1,1)，
设BC与平面PAC的夹角为θ，则sin
θ＝|cos
〈，n〉|＝，∴θ＝30°.
【答案】 30°
4．如图2 5 13，在四棱锥P ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．
【导学号：32550049】
图2 5 13
(1)证明：BE⊥DC；
(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；
(3)若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F AB P的余弦值．
【解】 依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系(如图)，可得B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)
由E为棱PC的中点，得E(1,1,1)．
(1)证明：＝(0,1,1)，＝(2,0,0)，
故·＝0，所以BE⊥DC.
(2)＝(－1,2,0)，＝(1,0，－2)．
设n＝(x，y，z)为平面PBD的法向量，
则即
不妨令y＝1，可得n＝(2,1,1)为平面PBD的一个法向量．
于是有cos
〈n，〉＝＝＝.
所以，直线BE与平面PBD所成角的正弦值为.
(3)＝(1,2,0)，＝(－2，－2,2)，＝(2,2,0)，＝(1,0,0)．
由点F在棱PC上，设＝λ，0≤λ≤1.
故＝＋＝＋λ＝(1－2λ，2－2λ，2λ)．由BF⊥AC，得·＝0，因此，2(1－2λ)＋2(2－2λ)＝0，解得λ＝.
即＝.
设n1＝(x，y，z)为平面FAB的法向量，
则即
不妨令z＝1，可得n1＝(0，－3,1)为平面FAB的一个法向量．取平面ABP的法向量n2＝(0,1,0)．
则cos
〈n1，n2〉＝＝＝－，
易知，二面角F AB P是锐角，所以其余弦值为.学业分层测评(八)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．给出下列命题：
①空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底；
②已知向量a∥b，则a、b与任何向量都不能构成空间的一个基底；
③A、B、M、N是空间四点，若、、不能构成空间的一个基底，那么A、B、M、N共面；
④已知向量组{a，b，c}是空间的一个基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的一个基底．
其中正确命题的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】 空间中只要三个向量不共面就可以作为一个基底，故①正确；②中，a∥b，则a，b与其他任一向量共面，不能作为基底；③中，向量，，共面，则A、B、M、N共面；④中，a与m，b不共面，可作为空间一个基底．故①②③④均正确．
【答案】 D
2．若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，d＝α
a＋β
b＋γ
c，则α、β、γ分别为( )
A.，－1，－
B．，1，
C．－，1，－
D．，1，－
【解析】 d＝α
a＋β
b＋γ
c
＝α(e1＋e2＋e3)＋β(e1＋e2－e3)＋γ(e1－e2＋e3)
＝(α＋β＋γ)e1＋(α＋β－γ)e2＋(α－β＋γ)e3
＝e1＋2e2＋3e3.
由向量基底表示唯一性得
∴
【答案】 A
3．已知i，j，k为标准正交基底，a＝i＋2j＋3k，则a在i方向上的投影为
( )
A．1
B．－1
C.
D．－
【解析】 a·i＝|a||i|cos〈a，i〉，
∴|a|cos〈a，i〉＝＝(i＋2j＋3k)·i＝1.
【答案】 A
4．如图2 3 9，在三棱柱ABC A1B1C1中，D是面BB1C1C的中心，且＝a，＝b，＝c，则＝( )
图2 3 9
A.a＋b＋c
B.a－b＋c
C.a＋b－c
D．－a＋b＋c
【解析】 ＝＋＝＋(＋)
＝c＋(－＋＋)
＝c－a＋(－c)＋b
＝－a＋b＋c.
【答案】 D
5．已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为{8,6,4}，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则点A在基底{i，j，k}下的坐标为( )
A．(12,14,10)
B．(10,12,14)
C．(14,10,12)
D．(4,2,3)
【解析】 ∵点A在基底{a，b，c}下坐标为(8,6,4)，
∴＝8a＋6b＋4c
＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)
＝12i＋14j＋10k，
∴点A在基底{i，j，k}下的坐标为(12,14,10)．
【答案】 A
二、填空题
6．e1，e2，e3是空间一组基底，a＝e1－2e2＋e3，b＝－2e1＋4e2－2e3，则a与b的关系为________．
【导学号：32550030】
【解析】 ∵b＝－2a，∴a∥b.
【答案】 a∥b
7．已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(2,1,3)，其中a＝4i＋2j，b＝2j＋3k，c＝3k－j，则点A在基底{i，j，k}下的坐标为________．
【解析】 由题意知点A对应向量为2a＋b＋3c＝2(4i＋2j)＋(2j＋3k)＋3(3k－j)＝8i＋3j＋12k，
∴点A在基底{i，j，k}下的坐标为(8,3,12)．
【答案】 (8,3,12)
8．已知长方体ABCD A′B′C′D′，点E，F分别是上底面A′B′C′D′和面CC′D′D的中心，且＝x＋y＋z，则2x－4y＋6z＝________.
【解析】 ∵＝＋＝＋(＋)
＝＋＋，
又＝x＋y＋z，
∴x＝，y＝，z＝1.
∴2x－4y＋6z＝5.
【答案】 5
三、解答题
9．已知在正四棱锥P ABCD中，O为底面中心，底面边长和高都是2，E，F分别是侧棱PA，PB的中点，如图2 3 10，以O为坐标原点，分别以射线DA，DC，OP的指向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，写出点A，B，C，D，P，E，F的坐标．
图2 3 10
【解】 设i，j，k分别是x轴，y轴，z轴的正方向方向相同的单位向量．
(1)因为点B在坐标平面xOy内，且底面正方形的中心为O，边长为2，所以＝i＋j，
所以向量的坐标为(1,1,0)，即点B的坐标为(1,1,0)．
同理可得A(1，－1,0)，C(－1,1,0)，D(－1，－1,0)．
又点P在z轴上，所以＝2k.
所以向量的坐标为(0,0,2)，即点P的坐标为(0,0,2)．
因为F为侧棱PB的中点，所以＝(＋)＝(i＋j＋2k)＝i＋j＋k，所以点F的坐标为.
同理点E的坐标为.
故所求各点的坐标分别为A(1，－1,0)，B(1,1,0)，C(－1，1,0)，D(－1，－1,0)，P(0,0,2)，E，F.
10．如图2 3 11，在空间四边形OABC中，|OA|＝8，|AB|＝6，|AC|＝4，|BC|＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求在上的投影．
【导学号：32550031】
图2 3 11
【解】 ∵＝－，
∴·＝·－·
＝||||cos
〈，〉－||||cos
〈，〉
＝8×4×cos
135°－8×6×cos
120°＝24－16，
∴在上的投影为||·cos
〈，〉＝.
[能力提升]
1．设O ABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若＝x＋y＋z，则(x，y，z)为( )
A.
B．
C.
D．
【解析】 因为OG＝＝(＋)
＝＋×
＝＋
＝＋＋，
而＝x＋y＋z，
所以x＝，y＝，z＝.
【答案】 A
2．已知向量{a，b，c}是空间的一基底，向量{a＋b，a－b，c}是空间的另一基底，一向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(1,2,3)，则向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为( )
A.
B．
C.
D．
【解析】 设向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(x，y，z)，则a＋2b＋3c＝x(a＋b)＋y(a－b)＋z
c
＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc
∴，即.
【答案】 B
3．已知点M在平面ABC内，并且对空间任一点O，＝x＋＋，则x＝________.
【解析】 由于M∈平面ABC，所以x＋＋＝1，解得x＝.
【答案】
4．如图2 3 12所示，在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：
图2 3 12
(1)；(2)；(3)＋.
【解】 (1)∵P是C1D1的中点，
∴＝＋＋＝a＋＋＝a＋c＋＝a＋c＋b.
(2)∵N是BC的中点，
∴＝＋＋＝－a＋b＋＝－a＋b＋＝－a＋b＋c.
(3)∵M是AA1的中点，
∴＝＋＝＋＝－a＋＝a＋b＋c，
又＝＋＝＋＝＋＝c＋a，
∴＋＝＋＝a＋b＋c.学业分层测评(十)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．以下四组向量：
①a＝(1，－2,1)，b＝(－1,2，－1)；
②a＝(8,4,0)，b＝(2,1,0)；
③a＝(1,0，－1)，b＝(－3,0,3)；
④a＝，b＝(4，－3,3)．
其中a，b分别为直线l1，l2的方向向量，则它们互相平行的是( )
A．②③
B．①④
C．①②④
D．①②③④
【解析】 ①∵a＝－b，∴a∥b.
②∵a＝4b，∴a∥b.
③∵b＝－3a，∴a∥b.
④∵b＝－3a，∴a∥b.
【答案】 D
2．已知线段AB的两端点坐标为A(9，－3,4)，B(9,2,1)则线段AB与坐标平面
( )
A．xOy平行
B．xOz平行
C．yOz平行
D．yOz相交
【解析】 ∵A(9，－3,4)，B(9,2,1)
∴＝(0,5，－3)
∵yOz平面内的向量的一般形式为a＝(0，y，z)
∴∥a
∴∥平面yOz.∴AB∥平面yOz.
【答案】 C
3．已知向量a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则( )
A．x＝6，y＝15
B．x＝3，y＝
C．x＝3，y＝15
D．x＝6，y＝
【解析】 ∵l1∥l2，设a＝λb，
∴(2,4,5)＝λ(3，x，y)，
∴x＝6，y＝.
【答案】 D
4．已知平面α的法向量是(2,3，－1)，平面β的法向量是(4，λ，－2)，若α⊥β，则λ的值是( )
【导学号：32550041】
A．－
B．6
C．－6
D．
【解析】 ∵α⊥β，
∴α的法向量与β的法向量也互相垂直．
∴(2,3，－1)·(4，λ，－2)＝8＋3λ＋2＝0，∴λ＝－.
【答案】 A
5．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中在平面α内的是( )
A．(1，－1,1)
B．
C.
D．
【解析】 要判断点P是否在平面α内，只需判断向量与平面α的法向量n是否垂直，即·n是否为0，因此，要对各个选项进行检验．对于选项A，＝(1,0,1)，则·n＝(1,0,1)·(3,1,2)＝5≠0，故排除A；对于选项B，＝，则·n＝(1，－4，)·(3,1,2)＝0，故B正确；同理可排除C，D.故选B.
【答案】 B
二、填空题
6．已知l∥α，且l的方向向量为(2，－8,1)平面α的法向量为(1，y,2)，则y＝________.
【解析】 ∵l∥α，∴l⊥α的法向量，
∴2×1－8y＋1×2＝0，∴y＝.
【答案】 .
7．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，向量(x，y，z)是平面ABC的一个法向量，则x∶y∶z＝________.
【解析】 设n＝(x，y，z)则
n·＝0，即(x，y，z)·(－1,1,0)＝0，
∴－x＋y＝0，
n·＝0，即(x，y，z)·(0，－1,1)＝0，
∴－y＋z＝0，
∴x∶y∶z＝1∶1∶1.
【答案】 1∶1∶1
8．已知a＝(1,1,0)，b＝(1,1,1)，若b＝b1＋b2，且b1∥a，b2⊥a，则b1＝________，b2＝________.
【解析】 设b1＝(x，y，z)，∵b1∥a，∴x＝y，z＝0.
又∵b2＝b－b1＝(1－x,1－y,1－z)，b2⊥a，
∴b2·a＝1－x＋1－y＝0，得x＋y＝2.
∴x＝y＝1.
即b1＝(1,1,0)，b2＝(0,0,1)．
【答案】 (1,1,0) (0,0,1)
三、解答题
9．用向量方法证明：如果两个相交平面与第三个平面垂直，则它们的交线也与第三个平面垂直．
【解】 已知：如图，α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ.
求证：l⊥γ
证明：设平面α，β，γ的法向量分别为a，b，c，直线l的方向向量为e，则a·e＝0，b·e＝0.
因为a，b与e不共面，
故存在实数x，y，z使c＝xa＋yb＋ze.
因为a⊥c，b⊥c，
所以
因为α与β相交，所以a与b不共线，所以≠，
所以方程组有唯一解所以c＝ze，即c∥e，从而有l⊥γ.
图2 4 4
10．如图2 4 4所示，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.
证明：(1)PA∥平面EDB；
(2)PB⊥平面EFD.
【证明】 (1)以D为坐标原点，DA、DC、DP所在的直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系．
连结AC，AC交BD于G.
连结EG.设DC＝a，
依题意得A(a,0,0)，P(0,0，a)，E，
∵底面ABCD是正方形，
∴G是此正方形的中心，
故点G的坐标为，
且＝(a,0，－a)，EG＝.
∴＝2，即PA∥EG.
而EG 平面EDB且PA 平面EDB，
∴PA∥平面EDB.
(2)依题意得B(a，a,0)，PB＝(a，a，－a)．
又＝，
故·＝0＋－＝0，
∴PB⊥DE，由已知EF⊥PB，且EF∩DE＝E，
所以PB⊥平面EFD.
[能力提升]
1．已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)．若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则x，y，z分别为( )
A.、－、4
B．、－、4
C.、－2、4
D．4、、－15
【解析】 ⊥，∴·＝0，得z＝4.
又BP⊥平面ABC，∴·＝0，·＝0，可解得x＝，y＝－.
【答案】 B
2．如图2 4 5，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E是CD的中点，F是AD上一点，当BF⊥PE时，AF：FD的值为( )
图2 4 5
A．1∶2
B．1∶1
C．3∶1
D．2∶1
【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形边长为1，PA＝a.
则B(1,0,0)，E，
P(0,0，a)．
设点F的坐标为(0，y,0)，
则＝(－1，y,0)，＝.
∵BF⊥PE，∴·＝0，解得y＝，则F点坐标为，
∴F为AD中点，∴AF∶FD＝1∶1.
【答案】 B
3．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥，其中正确的是________．
【导学号：32550042】
【解析】 ∵·＝0，·＝0，
∴AP⊥AB，AP⊥AD且是平面ABCD的法向量．
【答案】 ①②③
4．如图2 4 6，在三棱锥P ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC.
图2 4 6
(1)求证：AC⊥PB；
(2)设O，D分别为AC，AP的中点，点G为△OAB内一点，且满足＝(＋)，求证：DG∥面PBC；
【证明】 (1)因为PA⊥平面ABC，AC 平面ABC，所以PA⊥AC.
又因为AB⊥AC，且PA∩AB＝A，
所以AC⊥平面PAB.
又因为PB 平面PAB，
所以AC⊥PB.
(2)法一：因为PA⊥平面ABC，
所以PA⊥AB，PA⊥AC.
又因为AB⊥AC，
所以建立如图所示的空间直角坐标系A xyz.
设AC＝2a，AB＝b，PA＝2c，
则A(0,0,0)，B(0，b,0)，C(2a,0,0)，P(0,0,2c)，D(0,0，c)，O(a,0,0)，
又因为＝(＋)，
所以G.
于是＝，
＝(2a，－b,0)，＝(0，b，－2c)．
设平面PBC的一个法向量n＝(x0，y0，z0)，
则有，即
不妨设z0＝1，则有y0＝，x0＝，
所以n＝
因为n·＝·＝·＋·＋1·(－c)＝0，所以n⊥.又因为DG 平面PBC，所以DG∥平面PBC.
法二：取AB中点E，连接OE，则＝(＋)．
由已知＝(＋)可得＝，则点G在OE上．
连接AG并延长交CB于点F，连接PF.
因为O，E分别为AC，AB的中点，所以OE∥BC，即G为AF的中点．又因为D为线段PA的中点，
又所以DG∥PF，又DG 平面PBC，PF 平面PBC，所以DG∥平面PBC.学业分层测评(十七)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．已知点F1(0，－13)，F2(0,13)，动点P到F1与F2的距离之差的绝对值为26，则动点P的轨迹方程为( )
A．y＝0
B．y＝0(|x|≥13)
C．x＝0(|y|≥13)
D．以上都不对
【解析】 ∵||PF1|－|PF2||＝|F1F2|，∴点P的轨迹是分别以F1，F2为端点的两条射线．
【答案】 C
2．已知方程－＝1表示双曲线，则k的取值范围是( )
A．－1＜k＜1
B．k＞0
C．k≥0
D．k＞1或k＜－1
【解析】 ∵方程－＝1表示双曲线，∴(1＋k)(1－k)＞0，∴－1＜k＜1.
【答案】 A
3．若双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于( )
A．11
B．9
C．5
D．3
【解析】 根据双曲线的定义求解．
由题意知a＝3，b＝4，∴c＝5.由双曲线的定义有||PF1|－|PF2||＝|3－|PF2||＝2a＝6，∴|PF2|＝9.
【答案】 B
4．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在双曲线上，|PF1|＝2|PF2|，则cos
∠F1PF2＝( )
A.
B．
C.
D．
【解析】 由题意可知，a＝＝b，∴c＝2.
设|PF1|＝2x，|PF2|＝x，
∴|PF1|－|PF2|＝x＝2，
∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，|F1F2|＝4.
利用余弦定理有
cos
∠F1PF2＝＝.
【答案】 C
5．已知点F1(－，0)，F2(，0)，动点P满足|PF2|－|PF1|＝2，当点P的纵坐标为时，点P到坐标原点的距离是( )
A.
B．
C.
D．2
【解析】 ∵动点P满足|PF2|－|PF1|＝2＜2为定值，∴P点轨迹为双曲线的左支，方程为x2－y2＝1(x≤－1)．
当y＝时，x2＝y2＋1＝，
∴＝＝
【答案】 C
二、填空题
6．若双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点坐标是(0,3)，则实数k的值为________．
【解析】 因为双曲线焦点在y轴上，所以k＜0，所以双曲线的标准方程为－＝1，且－－＝32＝9，解得k＝－1.
【答案】 －1
7．若椭圆＋＝1(m＞n＞0)和双曲线－＝1(a＞0，b＞0)有相同的焦点F1，F2，P是它们的一个公共点，则|PF1|·|PF2|＝________.
【导学号：32550085】
【解析】 ∵P是椭圆＋＝1上的点，焦点为F1，F2，∴|PF1|＋|PF2|＝2.①
又∵P是双曲线－＝1上的点，焦点为F1，F2，
∴||PF1|－|PF2||＝2.②
①2－②2，得4|PF1|·|PF2|＝4m－4a，
∴|PF1|·|PF2|＝m－a.
【答案】 m－a
8．P为双曲线x2－＝1右支上一点，M、N分别是圆(x＋4)2＋y2＝4和圆(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为________．
【解析】 设双曲线的两个焦点为F1(－4,0)、F2(4,0)，则F1、F2为两圆的圆心，又两圆的半径分别为r1＝2，r2＝1，则|PM|≤|PF1|＋2，|PN|≥|PF2|－1，故|PM|－|PN|≤(|PF1|＋2)－(|PF2|－1)＝|PF1|－|PF2|＋3＝2a＋3＝5.
【答案】 5
三、解答题
9.如图3 3 2，已知定圆F1：x2＋y2＋10x＋24＝0，定圆F2：x2＋y2－10x＋9＝0，动圆M与定圆F1、F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程．
图3 3 2
【解】 ∵圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，
∴圆心F1(－5,0)，半径r1＝1.
∵圆心F2：(x－5)2＋y2＝42，
∴圆心F2(5,0)，半径r2＝4.
设动圆M的半径为R，则有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4，∴|MF2|－|MF1|＝3＜|F1F2|.
∴M点轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线(左支)，且a＝，c＝5.
∴双曲线方程为x2－y2＝1.
10．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若点M在双曲线上，F1、F2为左、右焦点，且|MF1|＋|MF2|＝6，试判别△MF1F2的形状．
【解】 (1)椭圆方程可化为＋＝1，焦点在x轴上，且c＝＝，
故设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
则有解得a2＝3，b2＝2，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
(2)不妨设M点在右支上，则有|MF1|－|MF2|＝2，
又|MF1|＋|MF2|＝6，
故解得|MF1|＝4，|MF2|＝2，
又|F1F2|＝2，
因此在△MF1F2中，|MF1|边最长，而
cos∠MF2F1＝＜0，
所以∠MF2F1为钝角，故△MF1F2为钝角三角形．
[能力提升]
1．已知F1(－3,0)，F2(3,0)，满足条件|PF1|－|PF2|＝2m－1的动点P的轨迹是双曲线的一支．下列数据：
①2；②－1；③4；④－3；⑤，则m可以是( )
A．①②
B．①③
C．①②⑤
D．②④
【解析】 由双曲线定义得
∴－＜m＜且m≠.故选A.
【答案】 A
2．已知F1，F2分别为双曲线－＝1的左、右焦点，P(3，1)为双曲线内一点，点A在双曲线的右支上，则|AP|＋|AF2|的最小值为( )
A.＋4
B．－4
C.－2
D．＋2
【解析】 因为|AP|＋|AF2|＝|AP|＋|AF1|－2，所以要求|AP|＋|AF2|的最小值，只需求|AP|＋|AF1|的最小值．如图，连接F1P交双曲线的右支于点A0.当点A位于A0处时，|AP|＋|AF1|最小，最小值为.故|AP|＋|AF2|的最小值为－2.
【答案】 C
3．已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1,4)，点P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值是________．
【导学号：32550086】
【解析】 设F′为双曲线的右焦点，则F′(4,0)，
|PF|＋|PA|＝|PF′|＋|PA|＋2a＝|PF′|＋|PA|＋4，
当P，F′，A三点共线时|PF′|＋|PA|最小，
即|PF|＋|PA|最小，∴|PF′|＋|PA|＋4＝＋4＝9.
【答案】 9
4．如图3 3 3所示，某建筑工地要挖一个横截面为半圆的柱形土坑，挖出的土能沿AP，BP运到P处，其中|AP|＝100m，|BP|＝150m，∠APB＝60°，怎样运土才能最省工？
图3 3 3
【解】 设M为分界线上任一点，则|MA|＋|AP|＝|MB|＋|BP|，即|MA|－|MB|＝|PB|－|PA|＝50m，所以M在以A，B为焦点的双曲线的右支上，易得|AB|2＝17
500m2，建立直角坐标系，得分界线所在的曲线方程为－＝1(x≥25)．
故运土时，在双曲线左侧的土沿AP运到P处，右侧的土沿BP运到P处最省工.学业分层测评(十六)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．过抛物线y＝ax2(a＞0)的焦点F作一直线交抛物线于A、B两点，若线段AF、BF的长分别为m，n，则等于( )
A.
B．
C．2a
D．
【解析】 抛物线y＝ax2(a＞0)的标准方程x2＝y
∴2p＝，p＝，∴＋＝＝4a
∴＝＝.
【答案】 B
2．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，曲线y＝(k＞0)与C交于点P，PF⊥x轴，则k＝( )
A.
B．1
C．
D．2
【解析】 ∵y2＝4x，∴F(1,0)．
又∵曲线y＝(k＞0)与C交于点P，PF⊥x轴，∴P(1,2)．
将点P(1,2)的坐标代入y＝(k＞0)得k＝2.故选D.
【答案】 D
3．设O是坐标原点，F是抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，A是抛物线上的一点，与x轴正向的夹角为60°，则|OA|为( )
A.p
B．p
C.p
D．p
【解析】 如图所示，设A(x0，y0)，|FB|＝m，∵∠AFB＝60°，∴|AF|＝2m，|AB|＝m，∴
由抛物线的定义|AF|＝x0＋＝m＋p
∴2m＝m＋p，∴m＝p，
∴A，∴|OA|＝＝＝p.
【答案】 B
4．过点P(4,4)与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线有( )
A．0条
B．1条
C．2条
D．3条
【解析】 当直线斜率不存在时，直线与抛物线有两个不同交点，不符合题意，故设直线方程为y－4＝k(x－4)，
由
得：ky2－2y＋8－8k＝0.
当k＝0时，解得：y＝4，故直线与抛物线交于点(8,4)，
当k≠0时，由Δ＝4－4k(8－8k)＝0得：k＝，
故有两条直线与抛物线相切，
故符合条件的直线有3条．
【答案】 D
5．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若＋＋＝0，则||＋||＋||＝( )
A．9
B．6
C．4
D．3
【解析】 设A(xA，yA)，B(xB，yB)，C(xC，yC)，
由＋＋＝0，得xA＋xB＋xC＝3.
∴||＋||＋||＝xA＋＋xB＋＋xC＋＝3＋p＝3＋×2＝6.
【答案】 B
二、填空题
6．已知抛物线的离心率为e，焦点为(0，e)，则抛物线的标准方程为________．
【解析】 由e＝1，得焦点为(0,1)，∴抛物线的标准方程为x2＝4y.
【答案】 x2＝4y
7．已知A(2,0)，点B为抛物线y2＝x上的一点，求|AB|的最小值为________．
【解析】 设点B(x，y)，则x＝y2≥0，所以
|AB|＝＝＝
＝，
所以当x＝时，|AB|取得最小值，且|AB|的最小值为.
【答案】
8．已知定点A(－3,0)，B(3,0)，动点P在抛物线y2＝2x上移动，则·的最小值等于________．
【导学号：32550080】
【解析】 设P(x0，y0)则y＝2x0，x0≥0，
∴·＝(－3－x0，－y0)·(3－x0，－y0)
＝x＋y－9
＝x＋2x0－9，
当x0＝0时，·min
＝－9.
【答案】 －9
三、解答题
9．抛物线的顶点在原点，对称轴是椭圆＋＝1短轴所在的直线，抛物线的焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及准线方程．
【解】 ∵椭圆＋＝1的短轴在x轴上，
∴抛物线的对称轴为x轴．
设抛物线的标准方程为y2＝2px或y2＝－2px(p＞0)，
∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，
∴＝3，即p＝6.
∴抛物线的方程为y2＝12x或y2＝－12x，准线方程分别为x＝－3或x＝3.
10．若抛物线y2＝2px(p>0)上有一点M到准线及对称轴的距离分别为10和6，求点M的横坐标．
【解】 ∵点M到对称轴的距离为6，
∴设点M的坐标为(x，±6)．
∵点M到准线的距离为10，∴
解得或，即点M的横坐标为1或9.
[能力提升]
1．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O为原点，若|AF|＝3，则△AOB的面积为( )
A.
B．
C.
D．2
【解析】 设∠AFx＝θ(0＜θ＜π)及|BF|＝m，则点A到准线l：x＝－1的距离为3，得3＝2＋3cos
θ，则cos
θ＝.又m＝2＋mcos
(π－θ)，则m＝＝，所以△AOB的面积为S△AOB＝|OF|·|AB|·sin
θ＝×1×(3＋)×＝.
【答案】 C
2．如图3 2 2，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为( )
图3 2 2
A．y2＝9x
B．y2＝6x
C．y2＝3x
D．y2＝x
【解析】 如图，分别过A，B作AA1⊥l于点A1，BB1⊥l于点B1，由抛物线的定义知：|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|，
∵|BC|＝2|BF|，∴|BC|＝2|BB1|，
∴∠BCB1＝30°，∴∠AFx＝60°，
连接A1F，则△AA1F为等边三角形，过点F作FF1⊥AA1于点F1，
则F1为AA1的中点，设l交x轴于点K，则|KF|＝|A1F1|＝|AA1|＝|AF|，即p＝，
∴抛物线方程为y2＝3x，故选C.
【答案】 C
3．已知定点Q(2，－1)，F为抛物线y2＝4x的焦点，动点P为抛物线上任意一点，当|PQ|＋|PF|取最小值时，P的坐标为________．
【解析】 设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|＝|PD|，
∴要使|PQ|＋|PF|取得最小值，即需D，P，Q三点共线时|PQ|＋|PF|最小．将Q(2，－1)的纵坐标代入y2＝4x得x＝，故P的坐标为.
【答案】
4．过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点．点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．求证：直线AC经过原点O.
【证明】 如图，∵抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，∴经过点F的直线AB的方程可设为x＝my＋，代入抛物线方程得y2－2pmy－p2＝0，若记A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1，y2是该方程的两个根，所以y1y2＝－p2.
∵BC∥x轴，且点C在准线x＝－上，∴点C的坐标为，故直线CO的斜率为k＝＝＝，
即k也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O.学业分层测评(六)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．若空间任意两个非零向量a，b，则|a|＝|b|，且a∥b是a＝b的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 a＝b |a|＝|b|，且a∥b；所以，必要；当b＝－a时，有|a|＝|b|且a∥b，但a≠b，所以，不充分．故选B.
【答案】 B
2．下列命题中正确的个数是( )
①如果a，b是两个单位向量，则|a|＝|b|；
②两个空间向量共线，则这两个向量方向相同；
③若a，b，c为非零向量，且a∥b，b∥c，则a∥c；
④空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【解析】 对于①：由单位向量的定义即得|a|＝|b|＝1，故①正确；对于②：共线不一定同向，故②错；对于③：正确；对于④：正确，在空间任取一点，过此点引两个与已知非零向量相等的向量，而这两个向量所在的直线相交于此点，两条相交直线确定一个平面，所以两个非零向量可以平移到同一平面内．
【答案】 C
3．如图2 1 3所示，三棱锥A BCD中，AB⊥面BCD，∠BDC＝90°，则在所有的棱表示的向量中，夹角为90°的共有( )
图2 1 3
A．3对
B．4对
C．5对
D．6对
【解析】 夹角为90°的共有与，与，与，与，与.
【答案】 C
4.在如图2 1 4所示的正三棱柱中，与〈，〉相等的是( )
图2 1 4
A．〈，〉
B．〈，〉
C．〈，〉
D．〈，〉
【解析】 ∵＝，∴〈，〉＝〈，〉＝〈，〉＝60°，故选D.
【答案】 D
5．在正方体ABCD A1B1C1D1中，平面ACC1A1的法向量是( )
A.
B．
C.
D．
【解析】 ∵BD⊥AC，BD⊥AA1，
∴BD⊥面ACC1A1，
故为平面ACC1A1的法向量．
【答案】 A
二、填空题
6．正四面体S ABC中，E，F分别为SB，AB中点，则〈，〉＝________.
【解析】 如图所示，∵E，F为中点，
∴EF∥SA，而△SAC为正三角形，
∴∠SAC＝，
∴〈，〉＝.
【答案】
7．下列命题正确的序号是________．
①若a∥b，〈b，c〉＝，则〈a，c〉＝；
②若a，b是同一个平面的两个法向量，则a＝b；
③若空间向量a，b，c满足a∥b，b∥c，则a∥c；
④异面直线的方向向量不共线．
【导学号：32550022】
【解析】 ①〈a，c〉＝或，①错；②a∥b，②错；
③当b＝0时，推不出a∥c，③错；
④由于异面直线既不平行也不重合，所以它们的方向向量不共线，④对．
【答案】 ④
图2 1 5
8．如图2 1 5，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于________．
【解析】 要求异面直线EF与GH所成的角就是求〈，〉，因为与同向共线，与同向共线，所以〈，〉＝〈，〉，在正方体中△A1BC1为等边三角形，所以〈，〉＝〈，〉＝60°.
【答案】 60°
三、解答题
9.如图2 1 6，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝2，AA1＝1，在以长方体的顶点为起点和终点的向量中，
图2 1 6
(1)写出所有的单位向量；
(2)写出与相等的所有向量；
(3)写出与相反的所有向量；
(4)写出模为的所有向量．
【解】 在长方体ABCD A1B1C1D1中，因为长、宽、高分别为AB＝3，AD＝2，AA1＝1，所以AD1＝＝.
(1)单位向量有：，，，，，，，.
(2)与相等的向量有：，，.
(3)与相反的向量有：，，，.
(4)模为的向量有：，，，，，，，.
图2 1 7
10．如图2 1 7所示，已知正四面体A BCD.
(1)过点A，作出方向向量为的空间直线；
(2)过点A，作出平面BCD的一个法向量．
【解】 如图所示，过点A作直线AE∥BC，由直线的方向向量的定义可知，直线AE即为过点A且方向向量为的空间直线．
(2)如图所示，取平面BCD的中心O，由正四面体的性质可知，AO垂直于平面BCD，
∴向量可作为平面BCD的一个法向量．
[能力提升]
1．空间两向量a，b互为相反向量，已知向量|b|＝3，则下列结论正确的是( )
A．a＝b
B．a＋b为实数0
C．a与b方向相同
D．|a|＝3
【解析】 ∵a，b互为相反向量，
∴a＝－b，又∵|b|＝3，
∴|a|＝3.
【答案】 D
2．在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，下列四对向量：①与；②与；③与；④与.其中互为相反向量的有n对，则n＝( )
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】 与，与平行且方向相反，互为相反向量．
【答案】 B
图2 1 8
3．如图2 1 8所示，四棱锥D1 ABCD中，AD＝DD1＝CD，底面ABCD是正方形，DD1⊥面ABCD，E是AD1的中点，求〈，〉．
【解】 取CD1的中点F，连接EF，DF，
则＝，
∴〈，〉＝〈，〉，
由AD＝DD1＝CD，
且D1D⊥AD，D1D⊥CD，
∴DE＝DF＝EF＝DD1，
∴△EFD为正三角形，
∠FED＝，
∴〈，〉＝〈，〉＝.
4．如图2 1 9，四棱锥V ABCD，底面ABCD为正方形，VA⊥平面ABCD，以这五个顶点为起点和终点的向量中，求：
【导学号：32550023】
图2 1 9
(1)直线AB的方向向量；
(2)求证：BD⊥平面VAC，并确定平面VAC的法向量．
【解】 (1)由已知得，在以这五个顶点为起点和终点的向量中，直线AB的方向向量有，，，这4个．
(2)证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AC⊥BD.
又∵VA⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，
∴BD⊥VA.
又AC∩VA＝A，∴BD⊥平面VAC.
∴平面VAC的法向量有，这2个．