名称 | 2017_2018学年高中数学全一册学业分层测评(含解析)(打包20套)北师大版选修2_1 | | |
格式 | zip | ||
文件大小 | 3.2MB | ||
资源类型 | 教案 | ||
版本资源 | 北师大版 | ||
科目 | 数学 | ||
更新时间 | 2017-10-17 10:19:15 |
∴p+q<.
(2)逆命题:如果p,q是实数,p+q<,则方程x2+2px-q=0没有实数根.逆命题是假命题,如当p=1,q=-1时,p+q<,但原方程有实数根x=-1.学业分层测评(十一)
(建议用时:45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.如图2 5 7,在长方体ABCD A1B1C1D1中,M,N分别是棱BB1,B1C1的中点,若∠CMN=90°,则异面直线AD1与DM的夹角为( )
图2 5 7
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系,设D1C1=a,C1B1=b,C1C=c.
则D1(0,0,0),A(0,b,c),D(0,0,c),C(a,0,c),M,N.
则=,=.
∵∠CMN=90°,∴·=0.
即b2-c2=0,即b2=c2.
∴·=(0,-b,-c)·
=-b2+c2=0.
∴AD1与DM的夹角为90°.
【答案】 D
2.如图2 5 8,在正四面体A BCD中,E为棱AD的中点,则CE与平面BCD的夹角的正弦值为( )
图2 5 8
A.
B.
C.
D.
【解析】 作AO⊥平面BCD于O,则O是△BCD的中心,以O为坐标原点,OD为y轴,OA为z轴建立空间直角坐标系,设AB=2,则O(0,0,0),
A,C,E,
∴=,=,
∴cos〈,〉===.
∴CE与平面BCD的夹角的正弦值为.
【答案】 B
3.过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABC,且PA=AB,则平面ABC与平面PCD所成锐二面角的度数为( )
A.75°
B.60°
C.45°
D.30°
【解析】 以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,不妨设AB=1,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),P(0,0,1),从而=(0,1,-1),=(-1,0,0).设平面ABC与平面PCD的法向量分别为n1,n2,取n1==(0,0,1).
设n2=(x,y,z),由n2⊥,n2⊥,
可得,
可取n2=(0,1,1).于是cos
〈n1,n2〉===,所以平面ABC与平面PCD所成锐二面角的度数为45°.
【答案】 C
4.如图2 5 9所示,已知点P为菱形ABCD所在平面外一点,且PA⊥平面ABCD,PA=AD=AC,点F为PC中点,则平面CBF与平面DBF夹角的正切值为( )
图2 5 9
A.
B.
C.
D.
【解析】 设AC∩BD=O,连接OF,以O为原点,OB,OC,OF所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,设PA=AD=AC=1,则BD=,
∴B,F,C,D.
∴=,且为平面BDF的一个法向量.
由=,=
可得平面BCF的一个法向量n=(1,,).
∴cos〈n,〉=,sin〈n,〉=.
∴tan〈n,〉=.
【答案】 D
5.P是二面角α AB β棱上的一点,分别在α,β平面内引射线PM,PN,如果∠BPM=∠BPN=45°,∠MPN=60°,那么α与β的夹角大小为( )
【导学号:32550047】
A.60°
B.70°
C.80°
D.90°
【解析】 设PM=a,PN=b,作ME⊥AB,NF⊥AB,
则因∠BPM=∠BPN=45°,故PE=,PF=.于是·=(-)·(-)=·-·-·+·=abcos
60°-a·cos
45°-·bcos
45°+·=--+=0.因为EM,FN分别是α,β内的与棱AB垂直的两条直线,所以与的夹角就是α与β的夹角.
【答案】 D
二、填空题
6.若平面α的一个法向量为m=(3,3,0),直线l的一个方向向量为b=(1,1,1),则l与α所成角的余弦值为________.
【解析】 ∵平面α的法向量为m=(3,3,0),直线l的一个方向向量为b=(1,1,1).
则cos
〈m,b〉===,
sin
〈m,b〉=.
∴l与α所成角的余弦值为.
【答案】
7.正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60°的二面角,则异面直线AD与BF所成角的余弦值是________.
【导学号:32550048】
【解析】 建立如图坐标系,设AB=1,则D,A(0,0,0),=,F(1,0,0),B(0,1,0),=(1,-1,0).
cos
θ===.
【答案】
8.如图2 5 10所示,在正方体ABCD A1B1C1D1中,A1C与AB夹角的余弦值为________,A1C1与平面BB1C1C夹角为________,平面A1BCD1与平面ABCD的夹角为________.
图2 5 10
【解析】 ∠A1CD是A1C与AB的夹角,cos∠A1CD==;
∠A1C1B1是A1C1与面BC1的夹角,∠A1C1B1=45°;
∠A1BA是面A1BCD1与面ABCD的夹角,∠A1BA=45°.
【答案】 45° 45°
三、解答题
9.如图2 5 11,在三棱锥S ABC中,∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°,AC=2,BC=,SB=.
图2 5 11
(1)求证:SC⊥BC;
(2)求SC与AB所成角的余弦值.
【解】 (1)证明:如图,取A为原点,垂直于AB的直线为x轴,AB,AS分别为y轴、z轴
建立空间直角坐标系,则有AC=2,BC=,SB=,得B(0,,0)、S(0,0,2)、C,
∴=,
=.
∵·=0,∴SC⊥BC.
(2)设SC与AB所成的角为α
=(0,,0),·=4,||||=4,
∴cos
α==,即为所求.
10.如图2 5 12,在三棱柱ABO A1B1O1中,OA⊥OB,且OB=3,OA=4,BB1=4,D为A1B1的中点.P为BB1上一点,且OP⊥BD.
图2 5 12
求直线OP与底面AOB的夹角的正弦值.
【解】 以O点为原点,以OB,OA,OO1分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,由题意,有O(0,0,0),B(3,0,0),D,B1(3,0,4).
设P(3,0,z),则=,=(3,0,z).
∵BD⊥OP,∴·=-+4z=0,解得z=.
∵BB1⊥平面AOB,
∴是底面AOB的一个法向量,且=(0,0,4).
∴sin
∠POB=|cos
∠BPO|=
==.
∴直线OP与底面AOB夹角的正弦值为.
[能力提升]
1.平面α的一个法向量为n1=(4,3,0),平面β的一个法向量为n2=(0,-3,4),则平面α与平面β夹角的余弦值为( )
A.-
B.
C.
D.以上都不对
【解析】 cos
〈n1,n2〉==-,∴平面α与平面β夹角的余弦值为.
【答案】 B
2.已知四棱锥P ABCD的底面为直角梯形,AB∥DC,∠DAB=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=DC=,AB=1,则AC与PB所成的角的余弦值为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系A xyz,则各点坐标为A(0,0,0),B(0,1,0),C,P,从而=,=,
所以cos
〈,〉==.
【答案】 B
3.正四棱锥S ABCD中,O为顶点在底面上的投影,P为侧棱SD的中点,且SO=OD,则直线BC与平面PAC的夹角是________.
【解析】 如图,以O为原点建立空间直角坐标系,设OD=SO=OA=OB=OC=a,
则A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0),P,则=(2a,0,0),=,(a,a,0).
设平面PAC的法向量为n,可求得n=(0,1,1),
设BC与平面PAC的夹角为θ,则sin
θ=|cos
〈,n〉|=,∴θ=30°.
【答案】 30°
4.如图2 5 13,在四棱锥P ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点.
【导学号:32550049】
图2 5 13
(1)证明:BE⊥DC;
(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值;
(3)若F为棱PC上一点,满足BF⊥AC,求二面角F AB P的余弦值.
【解】 依题意,以点A为原点建立空间直角坐标系(如图),可得B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2)
由E为棱PC的中点,得E(1,1,1).
(1)证明:=(0,1,1),=(2,0,0),
故·=0,所以BE⊥DC.
(2)=(-1,2,0),=(1,0,-2).
设n=(x,y,z)为平面PBD的法向量,
则即
不妨令y=1,可得n=(2,1,1)为平面PBD的一个法向量.
于是有cos
〈n,〉===.
所以,直线BE与平面PBD所成角的正弦值为.
(3)=(1,2,0),=(-2,-2,2),=(2,2,0),=(1,0,0).
由点F在棱PC上,设=λ,0≤λ≤1.
故=+=+λ=(1-2λ,2-2λ,2λ).由BF⊥AC,得·=0,因此,2(1-2λ)+2(2-2λ)=0,解得λ=.
即=.
设n1=(x,y,z)为平面FAB的法向量,
则即
不妨令z=1,可得n1=(0,-3,1)为平面FAB的一个法向量.取平面ABP的法向量n2=(0,1,0).
则cos
〈n1,n2〉===-,
易知,二面角F AB P是锐角,所以其余弦值为.学业分层测评(八)
(建议用时:45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.给出下列命题:
①空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底;
②已知向量a∥b,则a、b与任何向量都不能构成空间的一个基底;
③A、B、M、N是空间四点,若、、不能构成空间的一个基底,那么A、B、M、N共面;
④已知向量组{a,b,c}是空间的一个基底,若m=a+c,则{a,b,m}也是空间的一个基底.
其中正确命题的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】 空间中只要三个向量不共面就可以作为一个基底,故①正确;②中,a∥b,则a,b与其他任一向量共面,不能作为基底;③中,向量,,共面,则A、B、M、N共面;④中,a与m,b不共面,可作为空间一个基底.故①②③④均正确.
【答案】 D
2.若a=e1+e2+e3,b=e1+e2-e3,c=e1-e2+e3,d=e1+2e2+3e3,d=α
a+β
b+γ
c,则α、β、γ分别为( )
A.,-1,-
B.,1,
C.-,1,-
D.,1,-
【解析】 d=α
a+β
b+γ
c
=α(e1+e2+e3)+β(e1+e2-e3)+γ(e1-e2+e3)
=(α+β+γ)e1+(α+β-γ)e2+(α-β+γ)e3
=e1+2e2+3e3.
由向量基底表示唯一性得
∴
【答案】 A
3.已知i,j,k为标准正交基底,a=i+2j+3k,则a在i方向上的投影为
( )
A.1
B.-1
C.
D.-
【解析】 a·i=|a||i|cos〈a,i〉,
∴|a|cos〈a,i〉==(i+2j+3k)·i=1.
【答案】 A
4.如图2 3 9,在三棱柱ABC A1B1C1中,D是面BB1C1C的中心,且=a,=b,=c,则=( )
图2 3 9
A.a+b+c
B.a-b+c
C.a+b-c
D.-a+b+c
【解析】 =+=+(+)
=c+(-++)
=c-a+(-c)+b
=-a+b+c.
【答案】 D
5.已知点A在基底{a,b,c}下的坐标为{8,6,4},其中a=i+j,b=j+k,c=k+i,则点A在基底{i,j,k}下的坐标为( )
A.(12,14,10)
B.(10,12,14)
C.(14,10,12)
D.(4,2,3)
【解析】 ∵点A在基底{a,b,c}下坐标为(8,6,4),
∴=8a+6b+4c
=8(i+j)+6(j+k)+4(k+i)
=12i+14j+10k,
∴点A在基底{i,j,k}下的坐标为(12,14,10).
【答案】 A
二、填空题
6.e1,e2,e3是空间一组基底,a=e1-2e2+e3,b=-2e1+4e2-2e3,则a与b的关系为________.
【导学号:32550030】
【解析】 ∵b=-2a,∴a∥b.
【答案】 a∥b
7.已知点A在基底{a,b,c}下的坐标为(2,1,3),其中a=4i+2j,b=2j+3k,c=3k-j,则点A在基底{i,j,k}下的坐标为________.
【解析】 由题意知点A对应向量为2a+b+3c=2(4i+2j)+(2j+3k)+3(3k-j)=8i+3j+12k,
∴点A在基底{i,j,k}下的坐标为(8,3,12).
【答案】 (8,3,12)
8.已知长方体ABCD A′B′C′D′,点E,F分别是上底面A′B′C′D′和面CC′D′D的中心,且=x+y+z,则2x-4y+6z=________.
【解析】 ∵=+=+(+)
=++,
又=x+y+z,
∴x=,y=,z=1.
∴2x-4y+6z=5.
【答案】 5
三、解答题
9.已知在正四棱锥P ABCD中,O为底面中心,底面边长和高都是2,E,F分别是侧棱PA,PB的中点,如图2 3 10,以O为坐标原点,分别以射线DA,DC,OP的指向为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系,写出点A,B,C,D,P,E,F的坐标.
图2 3 10
【解】 设i,j,k分别是x轴,y轴,z轴的正方向方向相同的单位向量.
(1)因为点B在坐标平面xOy内,且底面正方形的中心为O,边长为2,所以=i+j,
所以向量的坐标为(1,1,0),即点B的坐标为(1,1,0).
同理可得A(1,-1,0),C(-1,1,0),D(-1,-1,0).
又点P在z轴上,所以=2k.
所以向量的坐标为(0,0,2),即点P的坐标为(0,0,2).
因为F为侧棱PB的中点,所以=(+)=(i+j+2k)=i+j+k,所以点F的坐标为.
同理点E的坐标为.
故所求各点的坐标分别为A(1,-1,0),B(1,1,0),C(-1,1,0),D(-1,-1,0),P(0,0,2),E,F.
10.如图2 3 11,在空间四边形OABC中,|OA|=8,|AB|=6,|AC|=4,|BC|=5,∠OAC=45°,∠OAB=60°,求在上的投影.
【导学号:32550031】
图2 3 11
【解】 ∵=-,
∴·=·-·
=||||cos
〈,〉-||||cos
〈,〉
=8×4×cos
135°-8×6×cos
120°=24-16,
∴在上的投影为||·cos
〈,〉=.
[能力提升]
1.设O ABC是四面体,G1是△ABC的重心,G是OG1上的一点,且OG=3GG1,若=x+y+z,则(x,y,z)为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 因为OG==(+)
=+×
=+
=++,
而=x+y+z,
所以x=,y=,z=.
【答案】 A
2.已知向量{a,b,c}是空间的一基底,向量{a+b,a-b,c}是空间的另一基底,一向量p在基底{a,b,c}下的坐标为(1,2,3),则向量p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 设向量p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为(x,y,z),则a+2b+3c=x(a+b)+y(a-b)+z
c
=(x+y)a+(x-y)b+zc
∴,即.
【答案】 B
3.已知点M在平面ABC内,并且对空间任一点O,=x++,则x=________.
【解析】 由于M∈平面ABC,所以x++=1,解得x=.
【答案】
4.如图2 3 12所示,在平行六面体ABCD A1B1C1D1中,设=a,=b,=c,M,N,P分别是AA1,BC,C1D1的中点,试用a,b,c表示以下各向量:
图2 3 12
(1);(2);(3)+.
【解】 (1)∵P是C1D1的中点,
∴=++=a++=a+c+=a+c+b.
(2)∵N是BC的中点,
∴=++=-a+b+=-a+b+=-a+b+c.
(3)∵M是AA1的中点,
∴=+=+=-a+=a+b+c,
又=+=+=+=c+a,
∴+=+=a+b+c.学业分层测评(十)
(建议用时:45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.以下四组向量:
①a=(1,-2,1),b=(-1,2,-1);
②a=(8,4,0),b=(2,1,0);
③a=(1,0,-1),b=(-3,0,3);
④a=,b=(4,-3,3).
其中a,b分别为直线l1,l2的方向向量,则它们互相平行的是( )
A.②③
B.①④
C.①②④
D.①②③④
【解析】 ①∵a=-b,∴a∥b.
②∵a=4b,∴a∥b.
③∵b=-3a,∴a∥b.
④∵b=-3a,∴a∥b.
【答案】 D
2.已知线段AB的两端点坐标为A(9,-3,4),B(9,2,1)则线段AB与坐标平面
( )
A.xOy平行
B.xOz平行
C.yOz平行
D.yOz相交
【解析】 ∵A(9,-3,4),B(9,2,1)
∴=(0,5,-3)
∵yOz平面内的向量的一般形式为a=(0,y,z)
∴∥a
∴∥平面yOz.∴AB∥平面yOz.
【答案】 C
3.已知向量a=(2,4,5),b=(3,x,y)分别是直线l1,l2的方向向量,若l1∥l2,则( )
A.x=6,y=15
B.x=3,y=
C.x=3,y=15
D.x=6,y=
【解析】 ∵l1∥l2,设a=λb,
∴(2,4,5)=λ(3,x,y),
∴x=6,y=.
【答案】 D
4.已知平面α的法向量是(2,3,-1),平面β的法向量是(4,λ,-2),若α⊥β,则λ的值是( )
【导学号:32550041】
A.-
B.6
C.-6
D.
【解析】 ∵α⊥β,
∴α的法向量与β的法向量也互相垂直.
∴(2,3,-1)·(4,λ,-2)=8+3λ+2=0,∴λ=-.
【答案】 A
5.已知平面α内有一个点A(2,-1,2),α的一个法向量为n=(3,1,2),则下列点P中在平面α内的是( )
A.(1,-1,1)
B.
C.
D.
【解析】 要判断点P是否在平面α内,只需判断向量与平面α的法向量n是否垂直,即·n是否为0,因此,要对各个选项进行检验.对于选项A,=(1,0,1),则·n=(1,0,1)·(3,1,2)=5≠0,故排除A;对于选项B,=,则·n=(1,-4,)·(3,1,2)=0,故B正确;同理可排除C,D.故选B.
【答案】 B
二、填空题
6.已知l∥α,且l的方向向量为(2,-8,1)平面α的法向量为(1,y,2),则y=________.
【解析】 ∵l∥α,∴l⊥α的法向量,
∴2×1-8y+1×2=0,∴y=.
【答案】 .
7.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),向量(x,y,z)是平面ABC的一个法向量,则x∶y∶z=________.
【解析】 设n=(x,y,z)则
n·=0,即(x,y,z)·(-1,1,0)=0,
∴-x+y=0,
n·=0,即(x,y,z)·(0,-1,1)=0,
∴-y+z=0,
∴x∶y∶z=1∶1∶1.
【答案】 1∶1∶1
8.已知a=(1,1,0),b=(1,1,1),若b=b1+b2,且b1∥a,b2⊥a,则b1=________,b2=________.
【解析】 设b1=(x,y,z),∵b1∥a,∴x=y,z=0.
又∵b2=b-b1=(1-x,1-y,1-z),b2⊥a,
∴b2·a=1-x+1-y=0,得x+y=2.
∴x=y=1.
即b1=(1,1,0),b2=(0,0,1).
【答案】 (1,1,0) (0,0,1)
三、解答题
9.用向量方法证明:如果两个相交平面与第三个平面垂直,则它们的交线也与第三个平面垂直.
【解】 已知:如图,α∩β=l,α⊥γ,β⊥γ.
求证:l⊥γ
证明:设平面α,β,γ的法向量分别为a,b,c,直线l的方向向量为e,则a·e=0,b·e=0.
因为a,b与e不共面,
故存在实数x,y,z使c=xa+yb+ze.
因为a⊥c,b⊥c,
所以
因为α与β相交,所以a与b不共线,所以≠,
所以方程组有唯一解所以c=ze,即c∥e,从而有l⊥γ.
图2 4 4
10.如图2 4 4所示,在四棱锥P ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.
证明:(1)PA∥平面EDB;
(2)PB⊥平面EFD.
【证明】 (1)以D为坐标原点,DA、DC、DP所在的直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系.
连结AC,AC交BD于G.
连结EG.设DC=a,
依题意得A(a,0,0),P(0,0,a),E,
∵底面ABCD是正方形,
∴G是此正方形的中心,
故点G的坐标为,
且=(a,0,-a),EG=.
∴=2,即PA∥EG.
而EG 平面EDB且PA 平面EDB,
∴PA∥平面EDB.
(2)依题意得B(a,a,0),PB=(a,a,-a).
又=,
故·=0+-=0,
∴PB⊥DE,由已知EF⊥PB,且EF∩DE=E,
所以PB⊥平面EFD.
[能力提升]
1.已知=(1,5,-2),=(3,1,z).若⊥,=(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,则x,y,z分别为( )
A.、-、4
B.、-、4
C.、-2、4
D.4、、-15
【解析】 ⊥,∴·=0,得z=4.
又BP⊥平面ABC,∴·=0,·=0,可解得x=,y=-.
【答案】 B
2.如图2 4 5,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,E是CD的中点,F是AD上一点,当BF⊥PE时,AF:FD的值为( )
图2 4 5
A.1∶2
B.1∶1
C.3∶1
D.2∶1
【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系,设正方形边长为1,PA=a.
则B(1,0,0),E,
P(0,0,a).
设点F的坐标为(0,y,0),
则=(-1,y,0),=.
∵BF⊥PE,∴·=0,解得y=,则F点坐标为,
∴F为AD中点,∴AF∶FD=1∶1.
【答案】 B
3.已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点,如果=(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1).对于结论:①AP⊥AB;②AP⊥AD;③是平面ABCD的法向量;④∥,其中正确的是________.
【导学号:32550042】
【解析】 ∵·=0,·=0,
∴AP⊥AB,AP⊥AD且是平面ABCD的法向量.
【答案】 ①②③
4.如图2 4 6,在三棱锥P ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥AC.
图2 4 6
(1)求证:AC⊥PB;
(2)设O,D分别为AC,AP的中点,点G为△OAB内一点,且满足=(+),求证:DG∥面PBC;
【证明】 (1)因为PA⊥平面ABC,AC 平面ABC,所以PA⊥AC.
又因为AB⊥AC,且PA∩AB=A,
所以AC⊥平面PAB.
又因为PB 平面PAB,
所以AC⊥PB.
(2)法一:因为PA⊥平面ABC,
所以PA⊥AB,PA⊥AC.
又因为AB⊥AC,
所以建立如图所示的空间直角坐标系A xyz.
设AC=2a,AB=b,PA=2c,
则A(0,0,0),B(0,b,0),C(2a,0,0),P(0,0,2c),D(0,0,c),O(a,0,0),
又因为=(+),
所以G.
于是=,
=(2a,-b,0),=(0,b,-2c).
设平面PBC的一个法向量n=(x0,y0,z0),
则有,即
不妨设z0=1,则有y0=,x0=,
所以n=
因为n·=·=·+·+1·(-c)=0,所以n⊥.又因为DG 平面PBC,所以DG∥平面PBC.
法二:取AB中点E,连接OE,则=(+).
由已知=(+)可得=,则点G在OE上.
连接AG并延长交CB于点F,连接PF.
因为O,E分别为AC,AB的中点,所以OE∥BC,即G为AF的中点.又因为D为线段PA的中点,
又所以DG∥PF,又DG 平面PBC,PF 平面PBC,所以DG∥平面PBC.学业分层测评(十七)
(建议用时:45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.已知点F1(0,-13),F2(0,13),动点P到F1与F2的距离之差的绝对值为26,则动点P的轨迹方程为( )
A.y=0
B.y=0(|x|≥13)
C.x=0(|y|≥13)
D.以上都不对
【解析】 ∵||PF1|-|PF2||=|F1F2|,∴点P的轨迹是分别以F1,F2为端点的两条射线.
【答案】 C
2.已知方程-=1表示双曲线,则k的取值范围是( )
A.-1<k<1
B.k>0
C.k≥0
D.k>1或k<-1
【解析】 ∵方程-=1表示双曲线,∴(1+k)(1-k)>0,∴-1<k<1.
【答案】 A
3.若双曲线E:-=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线E上,且|PF1|=3,则|PF2|等于( )
A.11
B.9
C.5
D.3
【解析】 根据双曲线的定义求解.
由题意知a=3,b=4,∴c=5.由双曲线的定义有||PF1|-|PF2||=|3-|PF2||=2a=6,∴|PF2|=9.
【答案】 B
4.已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在双曲线上,|PF1|=2|PF2|,则cos
∠F1PF2=( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 由题意可知,a==b,∴c=2.
设|PF1|=2x,|PF2|=x,
∴|PF1|-|PF2|=x=2,
∴|PF1|=4,|PF2|=2,|F1F2|=4.
利用余弦定理有
cos
∠F1PF2==.
【答案】 C
5.已知点F1(-,0),F2(,0),动点P满足|PF2|-|PF1|=2,当点P的纵坐标为时,点P到坐标原点的距离是( )
A.
B.
C.
D.2
【解析】 ∵动点P满足|PF2|-|PF1|=2<2为定值,∴P点轨迹为双曲线的左支,方程为x2-y2=1(x≤-1).
当y=时,x2=y2+1=,
∴==
【答案】 C
二、填空题
6.若双曲线8kx2-ky2=8的一个焦点坐标是(0,3),则实数k的值为________.
【解析】 因为双曲线焦点在y轴上,所以k<0,所以双曲线的标准方程为-=1,且--=32=9,解得k=-1.
【答案】 -1
7.若椭圆+=1(m>n>0)和双曲线-=1(a>0,b>0)有相同的焦点F1,F2,P是它们的一个公共点,则|PF1|·|PF2|=________.
【导学号:32550085】
【解析】 ∵P是椭圆+=1上的点,焦点为F1,F2,∴|PF1|+|PF2|=2.①
又∵P是双曲线-=1上的点,焦点为F1,F2,
∴||PF1|-|PF2||=2.②
①2-②2,得4|PF1|·|PF2|=4m-4a,
∴|PF1|·|PF2|=m-a.
【答案】 m-a
8.P为双曲线x2-=1右支上一点,M、N分别是圆(x+4)2+y2=4和圆(x-4)2+y2=1上的点,则|PM|-|PN|的最大值为________.
【解析】 设双曲线的两个焦点为F1(-4,0)、F2(4,0),则F1、F2为两圆的圆心,又两圆的半径分别为r1=2,r2=1,则|PM|≤|PF1|+2,|PN|≥|PF2|-1,故|PM|-|PN|≤(|PF1|+2)-(|PF2|-1)=|PF1|-|PF2|+3=2a+3=5.
【答案】 5
三、解答题
9.如图3 3 2,已知定圆F1:x2+y2+10x+24=0,定圆F2:x2+y2-10x+9=0,动圆M与定圆F1、F2都外切,求动圆圆心M的轨迹方程.
图3 3 2
【解】 ∵圆F1:(x+5)2+y2=1,
∴圆心F1(-5,0),半径r1=1.
∵圆心F2:(x-5)2+y2=42,
∴圆心F2(5,0),半径r2=4.
设动圆M的半径为R,则有|MF1|=R+1,|MF2|=R+4,∴|MF2|-|MF1|=3<|F1F2|.
∴M点轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线(左支),且a=,c=5.
∴双曲线方程为x2-y2=1.
10.已知双曲线过点(3,-2)且与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦点.
(1)求双曲线的标准方程;
(2)若点M在双曲线上,F1、F2为左、右焦点,且|MF1|+|MF2|=6,试判别△MF1F2的形状.
【解】 (1)椭圆方程可化为+=1,焦点在x轴上,且c==,
故设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),
则有解得a2=3,b2=2,
所以双曲线的标准方程为-=1.
(2)不妨设M点在右支上,则有|MF1|-|MF2|=2,
又|MF1|+|MF2|=6,
故解得|MF1|=4,|MF2|=2,
又|F1F2|=2,
因此在△MF1F2中,|MF1|边最长,而
cos∠MF2F1=<0,
所以∠MF2F1为钝角,故△MF1F2为钝角三角形.
[能力提升]
1.已知F1(-3,0),F2(3,0),满足条件|PF1|-|PF2|=2m-1的动点P的轨迹是双曲线的一支.下列数据:
①2;②-1;③4;④-3;⑤,则m可以是( )
A.①②
B.①③
C.①②⑤
D.②④
【解析】 由双曲线定义得
∴-<m<且m≠.故选A.
【答案】 A
2.已知F1,F2分别为双曲线-=1的左、右焦点,P(3,1)为双曲线内一点,点A在双曲线的右支上,则|AP|+|AF2|的最小值为( )
A.+4
B.-4
C.-2
D.+2
【解析】 因为|AP|+|AF2|=|AP|+|AF1|-2,所以要求|AP|+|AF2|的最小值,只需求|AP|+|AF1|的最小值.如图,连接F1P交双曲线的右支于点A0.当点A位于A0处时,|AP|+|AF1|最小,最小值为.故|AP|+|AF2|的最小值为-2.
【答案】 C
3.已知F是双曲线-=1的左焦点,A(1,4),点P是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值是________.
【导学号:32550086】
【解析】 设F′为双曲线的右焦点,则F′(4,0),
|PF|+|PA|=|PF′|+|PA|+2a=|PF′|+|PA|+4,
当P,F′,A三点共线时|PF′|+|PA|最小,
即|PF|+|PA|最小,∴|PF′|+|PA|+4=+4=9.
【答案】 9
4.如图3 3 3所示,某建筑工地要挖一个横截面为半圆的柱形土坑,挖出的土能沿AP,BP运到P处,其中|AP|=100m,|BP|=150m,∠APB=60°,怎样运土才能最省工?
图3 3 3
【解】 设M为分界线上任一点,则|MA|+|AP|=|MB|+|BP|,即|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=50m,所以M在以A,B为焦点的双曲线的右支上,易得|AB|2=17
500m2,建立直角坐标系,得分界线所在的曲线方程为-=1(x≥25).
故运土时,在双曲线左侧的土沿AP运到P处,右侧的土沿BP运到P处最省工.学业分层测评(十六)
(建议用时:45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.过抛物线y=ax2(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于A、B两点,若线段AF、BF的长分别为m,n,则等于( )
A.
B.
C.2a
D.
【解析】 抛物线y=ax2(a>0)的标准方程x2=y
∴2p=,p=,∴+==4a
∴==.
【答案】 B
2.设F为抛物线C:y2=4x的焦点,曲线y=(k>0)与C交于点P,PF⊥x轴,则k=( )
A.
B.1
C.
D.2
【解析】 ∵y2=4x,∴F(1,0).
又∵曲线y=(k>0)与C交于点P,PF⊥x轴,∴P(1,2).
将点P(1,2)的坐标代入y=(k>0)得k=2.故选D.
【答案】 D
3.设O是坐标原点,F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,A是抛物线上的一点,与x轴正向的夹角为60°,则|OA|为( )
A.p
B.p
C.p
D.p
【解析】 如图所示,设A(x0,y0),|FB|=m,∵∠AFB=60°,∴|AF|=2m,|AB|=m,∴
由抛物线的定义|AF|=x0+=m+p
∴2m=m+p,∴m=p,
∴A,∴|OA|===p.
【答案】 B
4.过点P(4,4)与抛物线y2=2x只有一个公共点的直线有( )
A.0条
B.1条
C.2条
D.3条
【解析】 当直线斜率不存在时,直线与抛物线有两个不同交点,不符合题意,故设直线方程为y-4=k(x-4),
由
得:ky2-2y+8-8k=0.
当k=0时,解得:y=4,故直线与抛物线交于点(8,4),
当k≠0时,由Δ=4-4k(8-8k)=0得:k=,
故有两条直线与抛物线相切,
故符合条件的直线有3条.
【答案】 D
5.设F为抛物线y2=4x的焦点,A,B,C为该抛物线上三点,若++=0,则||+||+||=( )
A.9
B.6
C.4
D.3
【解析】 设A(xA,yA),B(xB,yB),C(xC,yC),
由++=0,得xA+xB+xC=3.
∴||+||+||=xA++xB++xC+=3+p=3+×2=6.
【答案】 B
二、填空题
6.已知抛物线的离心率为e,焦点为(0,e),则抛物线的标准方程为________.
【解析】 由e=1,得焦点为(0,1),∴抛物线的标准方程为x2=4y.
【答案】 x2=4y
7.已知A(2,0),点B为抛物线y2=x上的一点,求|AB|的最小值为________.
【解析】 设点B(x,y),则x=y2≥0,所以
|AB|===
=,
所以当x=时,|AB|取得最小值,且|AB|的最小值为.
【答案】
8.已知定点A(-3,0),B(3,0),动点P在抛物线y2=2x上移动,则·的最小值等于________.
【导学号:32550080】
【解析】 设P(x0,y0)则y=2x0,x0≥0,
∴·=(-3-x0,-y0)·(3-x0,-y0)
=x+y-9
=x+2x0-9,
当x0=0时,·min
=-9.
【答案】 -9
三、解答题
9.抛物线的顶点在原点,对称轴是椭圆+=1短轴所在的直线,抛物线的焦点到顶点的距离为3,求抛物线的方程及准线方程.
【解】 ∵椭圆+=1的短轴在x轴上,
∴抛物线的对称轴为x轴.
设抛物线的标准方程为y2=2px或y2=-2px(p>0),
∵抛物线的焦点到顶点的距离为3,
∴=3,即p=6.
∴抛物线的方程为y2=12x或y2=-12x,准线方程分别为x=-3或x=3.
10.若抛物线y2=2px(p>0)上有一点M到准线及对称轴的距离分别为10和6,求点M的横坐标.
【解】 ∵点M到对称轴的距离为6,
∴设点M的坐标为(x,±6).
∵点M到准线的距离为10,∴
解得或,即点M的横坐标为1或9.
[能力提升]
1.过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,点O为原点,若|AF|=3,则△AOB的面积为( )
A.
B.
C.
D.2
【解析】 设∠AFx=θ(0<θ<π)及|BF|=m,则点A到准线l:x=-1的距离为3,得3=2+3cos
θ,则cos
θ=.又m=2+mcos
(π-θ),则m==,所以△AOB的面积为S△AOB=|OF|·|AB|·sin
θ=×1×(3+)×=.
【答案】 C
2.如图3 2 2,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A,B,交其准线l于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为( )
图3 2 2
A.y2=9x
B.y2=6x
C.y2=3x
D.y2=x
【解析】 如图,分别过A,B作AA1⊥l于点A1,BB1⊥l于点B1,由抛物线的定义知:|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|,
∵|BC|=2|BF|,∴|BC|=2|BB1|,
∴∠BCB1=30°,∴∠AFx=60°,
连接A1F,则△AA1F为等边三角形,过点F作FF1⊥AA1于点F1,
则F1为AA1的中点,设l交x轴于点K,则|KF|=|A1F1|=|AA1|=|AF|,即p=,
∴抛物线方程为y2=3x,故选C.
【答案】 C
3.已知定点Q(2,-1),F为抛物线y2=4x的焦点,动点P为抛物线上任意一点,当|PQ|+|PF|取最小值时,P的坐标为________.
【解析】 设点P在准线上的射影为D,则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|,
∴要使|PQ|+|PF|取得最小值,即需D,P,Q三点共线时|PQ|+|PF|最小.将Q(2,-1)的纵坐标代入y2=4x得x=,故P的坐标为.
【答案】
4.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A,B两点.点C在抛物线的准线上,且BC∥x轴.求证:直线AC经过原点O.
【证明】 如图,∵抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,∴经过点F的直线AB的方程可设为x=my+,代入抛物线方程得y2-2pmy-p2=0,若记A(x1,y1),B(x2,y2),则y1,y2是该方程的两个根,所以y1y2=-p2.
∵BC∥x轴,且点C在准线x=-上,∴点C的坐标为,故直线CO的斜率为k===,
即k也是直线OA的斜率,所以直线AC经过原点O.学业分层测评(六)
(建议用时:45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.若空间任意两个非零向量a,b,则|a|=|b|,且a∥b是a=b的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】 a=b |a|=|b|,且a∥b;所以,必要;当b=-a时,有|a|=|b|且a∥b,但a≠b,所以,不充分.故选B.
【答案】 B
2.下列命题中正确的个数是( )
①如果a,b是两个单位向量,则|a|=|b|;
②两个空间向量共线,则这两个向量方向相同;
③若a,b,c为非零向量,且a∥b,b∥c,则a∥c;
④空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【解析】 对于①:由单位向量的定义即得|a|=|b|=1,故①正确;对于②:共线不一定同向,故②错;对于③:正确;对于④:正确,在空间任取一点,过此点引两个与已知非零向量相等的向量,而这两个向量所在的直线相交于此点,两条相交直线确定一个平面,所以两个非零向量可以平移到同一平面内.
【答案】 C
3.如图2 1 3所示,三棱锥A BCD中,AB⊥面BCD,∠BDC=90°,则在所有的棱表示的向量中,夹角为90°的共有( )
图2 1 3
A.3对
B.4对
C.5对
D.6对
【解析】 夹角为90°的共有与,与,与,与,与.
【答案】 C
4.在如图2 1 4所示的正三棱柱中,与〈,〉相等的是( )
图2 1 4
A.〈,〉
B.〈,〉
C.〈,〉
D.〈,〉
【解析】 ∵=,∴〈,〉=〈,〉=〈,〉=60°,故选D.
【答案】 D
5.在正方体ABCD A1B1C1D1中,平面ACC1A1的法向量是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 ∵BD⊥AC,BD⊥AA1,
∴BD⊥面ACC1A1,
故为平面ACC1A1的法向量.
【答案】 A
二、填空题
6.正四面体S ABC中,E,F分别为SB,AB中点,则〈,〉=________.
【解析】 如图所示,∵E,F为中点,
∴EF∥SA,而△SAC为正三角形,
∴∠SAC=,
∴〈,〉=.
【答案】
7.下列命题正确的序号是________.
①若a∥b,〈b,c〉=,则〈a,c〉=;
②若a,b是同一个平面的两个法向量,则a=b;
③若空间向量a,b,c满足a∥b,b∥c,则a∥c;
④异面直线的方向向量不共线.
【导学号:32550022】
【解析】 ①〈a,c〉=或,①错;②a∥b,②错;
③当b=0时,推不出a∥c,③错;
④由于异面直线既不平行也不重合,所以它们的方向向量不共线,④对.
【答案】 ④
图2 1 5
8.如图2 1 5,在正方体ABCD A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为AA1,AB,BB1,B1C1的中点,则异面直线EF与GH所成的角等于________.
【解析】 要求异面直线EF与GH所成的角就是求〈,〉,因为与同向共线,与同向共线,所以〈,〉=〈,〉,在正方体中△A1BC1为等边三角形,所以〈,〉=〈,〉=60°.
【答案】 60°
三、解答题
9.如图2 1 6,在长方体ABCD A1B1C1D1中,AB=3,AD=2,AA1=1,在以长方体的顶点为起点和终点的向量中,
图2 1 6
(1)写出所有的单位向量;
(2)写出与相等的所有向量;
(3)写出与相反的所有向量;
(4)写出模为的所有向量.
【解】 在长方体ABCD A1B1C1D1中,因为长、宽、高分别为AB=3,AD=2,AA1=1,所以AD1==.
(1)单位向量有:,,,,,,,.
(2)与相等的向量有:,,.
(3)与相反的向量有:,,,.
(4)模为的向量有:,,,,,,,.
图2 1 7
10.如图2 1 7所示,已知正四面体A BCD.
(1)过点A,作出方向向量为的空间直线;
(2)过点A,作出平面BCD的一个法向量.
【解】 如图所示,过点A作直线AE∥BC,由直线的方向向量的定义可知,直线AE即为过点A且方向向量为的空间直线.
(2)如图所示,取平面BCD的中心O,由正四面体的性质可知,AO垂直于平面BCD,
∴向量可作为平面BCD的一个法向量.
[能力提升]
1.空间两向量a,b互为相反向量,已知向量|b|=3,则下列结论正确的是( )
A.a=b
B.a+b为实数0
C.a与b方向相同
D.|a|=3
【解析】 ∵a,b互为相反向量,
∴a=-b,又∵|b|=3,
∴|a|=3.
【答案】 D
2.在平行六面体ABCD A1B1C1D1中,下列四对向量:①与;②与;③与;④与.其中互为相反向量的有n对,则n=( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】 与,与平行且方向相反,互为相反向量.
【答案】 B
图2 1 8
3.如图2 1 8所示,四棱锥D1 ABCD中,AD=DD1=CD,底面ABCD是正方形,DD1⊥面ABCD,E是AD1的中点,求〈,〉.
【解】 取CD1的中点F,连接EF,DF,
则=,
∴〈,〉=〈,〉,
由AD=DD1=CD,
且D1D⊥AD,D1D⊥CD,
∴DE=DF=EF=DD1,
∴△EFD为正三角形,
∠FED=,
∴〈,〉=〈,〉=.
4.如图2 1 9,四棱锥V ABCD,底面ABCD为正方形,VA⊥平面ABCD,以这五个顶点为起点和终点的向量中,求:
【导学号:32550023】
图2 1 9
(1)直线AB的方向向量;
(2)求证:BD⊥平面VAC,并确定平面VAC的法向量.
【解】 (1)由已知得,在以这五个顶点为起点和终点的向量中,直线AB的方向向量有,,,这4个.
(2)证明:∵四边形ABCD为正方形,
∴AC⊥BD.
又∵VA⊥平面ABCD,BD 平面ABCD,
∴BD⊥VA.
又AC∩VA=A,∴BD⊥平面VAC.
∴平面VAC的法向量有,这2个.