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第十三章●第三节
等边三角形
问题引入
下列图片中有你熟悉的数学图形吗？你能说出此图形的名称吗？
满足什么条件的三角形是等边三角形？
三条边都相等的三角形是等边三角形。
等边三角形
A
B
C
问题引入
知识点详解
请分别画出一个等腰三角形和等边三角形，结合你画的图形说出它们有什么区别和联系？
A
B
C
A
B
C
联系：等边三角形是特殊的等腰三角形；
区别：等边三角形有三条相等的边，而等腰三角形只有两条。
等腰三角形有哪些特殊的性质呢？
从边的角度：两腰相等；
从角的角度：等边对等角；
从对称性的角度：轴对称图形、三线合一。
将等腰三角形的性质用于等边三角形，你能得到什么结论？
知识点详解
结合等腰三角形的性质，你能填出等边三角形对应的结论吗？
图形
边
角
轴对称图形
等腰
三角形
两边相等
（定义）
两底角相等
（等边对等角）
是（三线合一）
一条对称轴
等边
三角形
三边相等
（定义）
相等每个角都等于60°
是（三线合一）条对称轴
知识点详解
对“等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°”这一结论进行证明。
已知：△ABC
是等边三角形
求证：∠A
=∠B
=∠C=60°。
证明：∵ △ABC
是等边三角形，
∴ BC
=AC，BC
=AB。
∴ ∠A
=∠B，∠A
=∠C
。
∴ ∠A
=∠B
=∠C
。
∵ ∠A
+∠B
+∠C
=180°，
∴ ∠A
=60°。
∴ ∠A
=∠B
=∠C
=60°。
A
B
C
知识点详解
等边三角形除了用定义（即用边）来判定以
外，能否利用角来判定呢？
思考1 一个三角形的三个内角满足什么条件是等边三角形？
思考2 一个等腰三角形满足什么条件是等边三角形？
三个角都相等的三角形或者一个角为60°的等腰三角形。
知识点详解
请你将得到的这两个命题进行证明。
等边三角形
等腰三角形
一般三角形
知识点详解
已知：在△ABC
中，∠A=∠B=∠C。
求证：△ABC是等边三角形。
C
A
B
证明：∵ ∠A
=∠B，∠B
=∠C
，
∴ BC
=AC，
AC
=AB。
∴ AB
=BC
=AC。
∴ △ABC
是等边三角形。
知识点详解
已知：在△ABC
中，AC
=BC且∠A
=60°。
求证：△ABC是等边三角形。
C
A
B
证明：∵AB＝AC
∴∠B＝∠C
∵∠B＋∠C＝180°－∠A
∴∠B＝∠C＝1/2（180°－60°）＝60°
∴∠A＝∠B＝∠C
∴AB＝BC＝AC
知识点详解
等边三角形的判定定理1：
三个角都相等的三角形是等边三角形。
C
A
B
符号语言：
在△ABC
中，
∵ ∠A=∠B
=∠C
，
∴ △ABC
是等边三角形。
知识点详解
等边三角形的判定定理2：
有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形。
C
A
B
符号语言：
在△ABC
中，
∵ BC
=AC，∠A
=60°，
∴ △ABC
是等边三角形。
知识点详解
如图，△ABC
是等边三角形，DE∥BC，
分别交AB，AC
于点D，E。
求证：△ADE
是等边三角形。
证明：
∵ △ABC
是等边三角形，
∴ ∠A
=∠B
=∠C
=60°。
∵ DE∥BC，
∴ ∠B
=∠ADE，∠C
=∠AED。
∴ ∠A=∠ADE
=∠AED。
∴ △ADE
是等边三角形。
A
B
C
D
E
知识点详解
用两个全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出怎样的三角形？能拼出等边三角形吗？请说说你的理由。
A
B
D
C
A
B
C
D
知识点详解
你能借助这个图形，找到含30°角的直角
△ABC
的直角边BC
与斜边AB
之间有什么数量关系吗？
A
B
D
C
知识点详解
BC
=
AB。
猜想 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
请说一说你猜想的命题中，条件和结论分别是什么？并结合图形，用符号语言表述出来。
这个命题是真命题吗？请进行证明。
知识点详解
A
B
C
D
证明：在△ABC
中，
∵ ∠C
=90°，∠A
=30°，
∴ ∠B
=60°。
延长BC
到D，使BD
=AB，
连接AD，
则△ABD
是等边三角形。
由等边三角形的性质可知，AC
也是BD
边上的中线，
∴ BC
=
BD
=
AB
。
知识点详解
你还能用其他方法证明吗？
A
B
C
另证：作∠BCE
=60°，交AB于E，连接CE
则∠ACE
=90°-60°=30°。
在△ABC
中，
∵ ∠ACB=90°，∠A
=30°，
∴ ∠B
=60°。
在△BCE
中，
∵ ∠BCE=60°，∠B
=60°，
∴ △BCE
是等边三角形。
∴ BC
=BE
=CE。
E
知识点详解
你还能用其他方法证明吗？
A
B
C
E
另证：在△ACE
中，
∵ ∠A=30°，∠ACE
=30°，
∴ △AEC是等腰三角形。
∴ CE
=AE。
∴ BC
=BE
=CE
=AE。
∴ BC
=BE
=AE
=
AB。
知识点详解
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
A
B
C
符号语言：
∵ 在Rt△ABC
中，
∠C
=90°，∠A
=30°，
∴ BC
=
AB。
知识点详解
例题详解
如图是屋架设计图的一部分，点D
是斜梁AB的中点，立柱BC、DE
垂直于横梁AC，AB
=7。4
cm，∠A
=30°，立柱BC、DE
要多长？
A
B
C
D
E
解：∵ DE⊥AC，BC⊥AC，∠A
=30°，
∴ BC
=
AB，DE
=
AD。
∴ BC
=3。7（m）。
又 AD
=
AB，
∴ DE
=
AD
=1。85（m）
。
立柱BC
的长是3。7
m，DE
的长是1。85
m。
课堂小结
1.等腰三角形和等边三角形
联系：等边三角形是特殊的等腰三角形；
区别：等边三角形有三条相等的边，而等腰三角形只有两条
2.等边三角形的判定定理1：
三个角都相等的三角形是等边三角形。
符号语言：
在△ABC
中，
∵ ∠A=∠B
=∠C
，
∴ △ABC
是等边三角形。
课堂小结
3.等边三角形的判定定理2：
有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形。
符号语言：
在△ABC
中，
∵ BC
=AC，∠A
=60°，
∴ △ABC
是等边三角形。
4.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。《等边三角形》
等边三角形是新人教八年级数学上册第13章第3节内容，本课的主要内容是引导学生探究等边三角形的性质定理和判定定理以及定理的推理证明和初步应用。本教材是学生学习了轴对称图形和等腰三角形有关知识后学习的，在实际生活中总能找到等边三角形的影子，它不仅使我们的生活变得丰富多彩，让我们在生活中体验到特殊的对称美，而且为我们的数学研究提供了重要素材。这一课的内容不仅是等腰三角形的延续，而且为今后证明角相等、线段相等提供了重要依据，在教材中处于非常重要的地位，起着承前启后的作用。
【知识与能力目标】
1、理解并掌握等边三角形的定义，探索等边三角形的性质和判定方法；
2、能够用等边三角形的知识解决相应的数学问题。
【过程与方法目标】
在探索等边三角形的性质和判定的过程中，体会知识间的关系，感受数学与生活的联系。
【情感态度价值观目标】
培养学生的分析解决问题的能力，使学生养成良好的学习习惯。
【教学重点】
1、理解并掌握等边三角形的定义，探索等边三角形的性质和判定方法；
2、够用等边三角形的知识解决相应的数学问题。
【教学难点】
等边三角形性质和判定的应用。
多媒体课件、教具等。
一、问题导入
问题：满足什么条件的三角形是等边三角形？
三条边都相等的三角形是等边三角形。
二、课本精讲
请分别画出一个等腰三角形和等边三角形，结合你画的图形说出它们有什么区别和联系？
联系：等边三角形是特殊的等腰三角形；
区别：等边三角形有三条相等的边，而等腰三角形只有两条。
问题：等腰三角形有哪些特殊的性质呢？
从边的角度：两腰相等；
从角的角度：等边对等角；
从对称性的角度：轴对称图形、三线合一。
思考：将等腰三角形的性质用于等边三角形，你能得到什么结论？
结合等腰三角形的性质，你能填出等边三角形对应的结论吗？
图形
边
角
轴对称图形
等腰三角形
两边相等（定义）
两底角相等（等边对等角）
是（三线合一）
一条对称轴
等边三角形
三边相等（定义）
对“等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°”这一结论进行证明。
已知：△ABC是等边三角形。求证：∠A=∠B=∠C=60°。
证明：∵△ABC是等边三角形，∴BC=AC，BC=AB。∴∠A=∠B，∠A=∠C。∴∠A=∠B=∠C。∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=60°。∴∠A=∠B=∠C=60°。
等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。
符号语言：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°
思考：利用所学知识判断，等边三角形是轴对称图形吗？若是轴对称图形，请画出它的对称轴。
问题：等边三角形除了用定义（即用边）来判定以外，能否利用角来判定呢？
思考：一个三角形的三个内角满足什么条件是等边三角形？
思考：一个等腰三角形满足什么条件是等边三角形？
三个角都相等的三角形或者一个角为60°的等腰三角形。
请你将得到的这两个命题进行证明。
等边三角形的判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形。
符号语言：在△ABC中，∵∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形。
等边三角形的判定定理2：有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形。
符号语言：在△ABC中，∵BC=AC，∠A=60°，∴△ABC是等边三角形。
判定等边三角形的方法：从边的角度：等边三角形的定义；从角的角度：等边三角形的两条判定定理。
等边三角形的判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形。
等边三角形的判定定理2：有一个角为60°的等腰三角形。
例4.如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E。求证：△ADE是等边三角形。
思考：这个特殊的直角三角形相比一般的直角三角形有什么不同之处，它有什么特殊性质？
活动：用两个全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出怎样的三角形？能拼出等边三角形吗？请说说你的理由。
问题：你能借助这个图形，找到含30°角的直角△ABC的直角边BC与斜边AB之间有什么数量关系吗？
猜想：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
问题：请说一说你猜想的命题中，条件和结论分别是什么？并结合图形，用符号语言表述出来。
思考：这个命题是真命题吗？请进行证明。
已知：如图，
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°。求证：BC=AB。
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
符号语言：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∴BC=AB。
例5.如图是屋架设计图的一部分，
点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7。4cm，∠A=30°，立柱BC、DE要多长？
三、巩固提高
教科书80页练习1、2。教科书81页练习。
四、课堂小结
（1）本节课学习了哪些内容？（2）等边三角形与等腰三角形相比有哪些特殊的性质？共有几种判定等边三角形的方法？（3）结合本节课的学习，谈谈研究三角形的方法。（4）在应用含30°角的直角三角形的性质时，能解决哪些问题？需要注意哪些问题？
略。
教材分析
教学目标
教学重难点
课前准备
教学过程
教学反思
