《13．4课题学习
最短路径问题》教案
教学目标
能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用；
能利用轴对称将线段和最小问题转化为“连点
( http: / / www.21cnjy.com )之间，线段最短”问题；能通过逻辑推理证明所求距离最短；在探索最短路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想．
教学重难点
利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题
如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最
( http: / / www.21cnjy.com )小问题，突破难点的方法：利用轴对称性质，作任意已知点的对称点，连接对称点和已知点，得到一条线段，利用两点之间线段最短来解决．
教学过程
一、创设情景，引入课题
师：前面我们研究过一些关于“两点的所有连线
( http: / / www.21cnjy.com )中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识解决它们．
二、自主探究，合作交流
观察思考教材85页的问题1，将其抽象为数学问题．
这是一个实际问题，你打算首先做什么？
思考画图、得出数学问题．
将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．
师生活动：学生尝试回答，并互相补充，最后达成共识：(1)从A地出发，到河边l饮马，然后到B地；
(2)在河边饮马的地点有无
( http: / / www.21cnjy.com )穷多处，把这些地点与A，B连接起来的两条线段的长度之和，就是从A地到饮马地点，再回到B地的路程之和；(3)现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小(如图)．
强调：将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”
学生合作交流，参照教科书的作法完成该题．
作法：(1)作点B关于直线l的对称点B′；
(2)连接AB′，与直线l相交于点C，则点C即为所求．
问题：你能用所学的知识证明AC
+BC最短吗？
证明：在直线l上任取一点C′(与点C不重合)，连接AC′，BC′，B′C′．
由轴对称的性质知，BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC=AC+B′C=AB′，
AC′+BC′=AC′+B′C′．
问题2．造桥选址问题，如图，A和B两地
( http: / / www.21cnjy.com )在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN．桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直．)
思维分析：1、如图假定任选位置造桥MN，连接AM和BN，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？
思维点拨：改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？
学生按照教材的方法作图试一试，教师给予指导．
三、课后作业
教材93页第15题．
B
A
l
l
A
B′
C
B
B
A
B
A
M
N《13．4课题学习
最短路径问题》教案
教学目标
能利用轴对称解决简单的最短路径问题；
能通过逻辑推理证明所求距离最短．
教学重难点
利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题
利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题．
教学过程
一、回顾导入
前面我们研究过一些关于“两
( http: / / www.21cnjy.com )点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们会称它们为最短路径问题，同学们仔细回顾一下原来的知识，然后思考我们教材中的问题1．
二、传授新知
转化为数学问题，如图所示
( http: / / www.21cnjy.com )，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时先作点B关于直线l的对称点B′，则点C是直线l与AB′的交点．
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为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，证明AC＋CB＜AC′＋C′B如下：
证明：由作图可知，点B和B′关于直线l
( http: / / www.21cnjy.com )对称，所以直线l是线段BB′的垂直平分线．因为点C与C′在直线l上，所以BC＝B′C，BC′＝B′C′．
在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，
所以AC＋B′C＜AC′＋B′C′，
所以AC＋BC＜AC′＋C′B．
问题2．如图，从A地到B地经过一条小河(河岸平行)，今欲在河上建一座与两岸垂直的桥，应如何选择桥的位置才能使从A地到B地的路程最短？
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思路导引：从A到B要走的路线是A→M→
( http: / / www.21cnjy.com )N→B，如图所示，而MN是定值，于是要使路程最短，只要AM＋BN最短即可．此时两线段应在同一平行方向上，平移MN到AC，从C到B应是余下的路程，连接BC的线段即为最短的，此时不难说明点N即为建桥位置，MN即为所建的桥．
学生之间相互交流合作完成问题2的求解以及证明．
三、课后作业
教材93页第15题．
