【人教B版】2017-2018学年数学·选修2-2全册练习（24份，Word版，含解析）

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第三章　3.2　第2课时
一、选择题
1．(2015·新课标Ⅱ理，2)若a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则a＝
导学号
05300709(　　)
A．－1　　　　　　　
　
B．0
C．1
D．2
答案]　B
解析]　由已知得4a＋(a2－4)i＝－4i，所以4a＝0，a2－4＝－4，解得a＝0，故选B.
2．已知i是虚数单位，则＝导学号
05300710(　　)
A．1－2i
B．2－i
C．2＋i
D．1＋2i
答案]　D
解析]　本题考查复数的四则运算．
＝＝＝1＋2i.
熟记复数除法法则是解决题目的关键．
3．若复数z满足(2－i)z＝|1＋2i|，则z的虚部为导学号
05300711(　　)
A.
B．i
C．1
D．i
答案]　A
解析]　解法1：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则(2－i)(a＋bi)＝5，
∴(2a＋b)＋(2b－a)i＝，
由复数相等的条件知
∴∴z的虚部为.
解法2：将两边同乘以2＋i得，5z＝(2＋i)，
∴z＝＋i，∴z的虚部为.
解法3：z＝＝＝＋i，
∴z的虚部为.
4．复数z＝在复平面上对应的点位于导学号
05300712(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
答案]　A
解析]　z＝＝＝＝＋，
所以复数z对应的点为(，)，在第一象限．
5．(2015·湖北理，1)i为虚数单位，i607的共轭复数为导学号
05300713(　　)
A．i
B．－i
C．1
D．－1
答案]　A
解析]　因为i4＝1，所以，i607＝i4×151＋3＝i3＝－i，所以i607的共轭复数为i.故本题正确答案选A.
6．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝
导学号
05300714(　　)
A．－5
B．5
C．－4＋i
D．－4－i
答案]　A
解析]　本题考查复数的乘法，复数的几何意义．
∵z1＝2＋i，z1与z2关于虚轴对称，∴z2＝－2＋i，
∴z1z2＝－1－4＝－5，故选A.
7．已知i为虚数单位，z为复数，下面叙述正确的是导学号
05300715(　　)
A．z－为纯虚数
B．任何数的偶数次幂均为非负数
C．i＋1的共轭复数为i－1
D．2＋3i的虚部为3
答案]　D
解析]　当z为实数时A错；由i2＝－1知B错；由共轭复数的定义知1＋i的共轭复数为1－i，C错，故选D.
8．(2015·安徽理，1)设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于
导学号
05300716(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
答案]　B
解析]　由题意＝＝＝－1＋i，其对应的点坐标为(－1,1)，位于第二象限，故选B.
二、填空题
9．规定运算＝ad－bc，若＝1－2i，设i为虚数单位，则复数z＝________.
导学号
05300717
答案]　1－i
解析]　由已知可得＝2z＋i2＝2z－1
＝1－2i，∴z＝1－i.
10．(2015·徐州期末)已知复数z满足＝i(i为虚数单位)，若z＝a＋bi(a，b∈R)，则a＋b＝________.导学号
05300718
答案]　1
解析]　由题意可得z＝i(1－2i)2＝i(1－4－4i)＝i(－3－4i)＝4－3i，
由复数相等可得a＝4且b＝－3，
∴a＋b＝4－3＝1.
三、解答题
11．设复数z满足|z|＝5，且(3＋4i)z在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上，|z－m|＝5(m∈R)，求z和m的值．导学号
05300719
解析]　设z＝x＋yi(x，y∈R)，
∵|z|＝5，∴x2＋y2＝25，
而(3＋4i)z＝(3＋4i)(x＋yi)＝(3x－4y)＋(4x＋3y)i
又∵(3＋4i)z在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上，
∴3x－4y＋4x＋3y＝0，得y＝7x，
∴x＝±，y＝.
即z＝±；z＝±(1＋7i)．
当z＝1＋7i时，有|1＋7i－m|＝5，
即(1－m)2＋72＝50，得m＝0，m＝2.
当z＝－(1＋7i)时，同理可得m＝0，m＝－2.
一、选择题
1．(2016·全国卷Ⅲ理，2)若z＝1＋2i，则＝(　　)
A．1
B．－1
C．i
D．－i
答案]　C
解析]　＝＝i.
2．若复数是纯虚数，则实数a的值为导学号
05300721(　　)
A．2
B．－
C.
D．－
答案]　A
解析]　∵＝＝是纯虚数，∴a＝2.
3．(2015·会宁县期中)定义运算＝ad－bc，则符合条件＝4＋2i的复数z为导学号
05300722(　　)
A．3－i
B．1＋3i
C．3＋i
D．1－3i
答案]　A
解析]　根据定义，可知1×zi－(－1)×z＝4＋2i，
即z(1＋i)＝4＋2i，
∴z＝＝＝＝3－i.
4．设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若z·i＋2＝2z，则z＝
导学号
05300723(　　)
A．1＋i
B．1－i
C．－1＋i
D．－1－i
答案]　A
解析]　设z＝x＋yi(x，y∈R)，由z·i＋2＝2z，得(x2＋y2)i＋2＝2(x＋yi)＝2x＋2yi，
∴∴∴z＝1＋i，故选A.
二、填空题
5．(2016·江苏卷，2)复数z＝(1＋2i)(3－i)，其中i为虚数单位，则z的实部是________.
答案]　5
解析]　复数z＝(1＋2i)(3－i)＝5＋5i，其实部是5.
6．关于x的不等式mx2－nx＋p>0(m，n，p∈R)的解集为(－1,2)，则复数m＋pi所对应的点位于复平面内的第________象限．导学号
05300725
答案]　二
解析]　∵mx2－nx＋p>0(m、n、p∈R)的解集为(－1，2)，
∴，即m<0，p>0.
故复数m＋pi所对应的点位于复平面内的第二象限．
7．已知复数z＝1＋i，则复数的模为______．导学号
05300726
答案]　
解析]　＝
＝＝＝1－i，
故1－i的模为.
三、解答题
8．已知z是复数，z＋2i、均为实数(i为虚数单位)，且复导学号
05300727
数(z＋ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
解析]　设z＝x＋yi
(x、y∈R)，
z＋2i＝x＋(y＋2)i，由题意得y＝－2.
＝＝(x－2i)(2＋i)
＝(2x＋2)＋(x－4)i
由题意得，x＝4.
∴z＝4－2i.
∵(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i，
根据条件，可知，
解得
2∴实数a的取值范围是(2,6)．
9．复数z＝且|z|＝4，z对应的点在第一象限，若复数0、z、对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a、b的值．导学号
05300728
解析]　z＝(a＋bi)＝2i·i(a＋bi)
＝－2a－2bi.
由|z|＝4得a2＋b2＝4，①
∵复数0、z、对应的点构成正三角形，
∴|z－|＝|z|.
把z＝－2a－2bi代入化简得|b|＝1.②
又∵Z在第一象限，∴a<0，b<0.
由①②得.
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第一章　1.3　第1课时
一、选择题
1．函数f(x)＝(x－3)ex的单调增区间是导学号05300199(　　)
A．(－∞，2)　　　　
B．(0,3)
C．(1,4)
D．(2，＋∞)
答案]　D
解析]　f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令f′(x)>0，解得x>2，故选D.
2．函数f(x)＝2x－sinx导学号05300200(　　)
A．是增函数
B．是减函数
C．在(0，＋∞)上增，在(－∞，0)上减
D．在(0，＋∞)上减，在(－∞，0)上增
答案]　A
解析]　f′(x)＝2－cosx>0在(－∞，＋∞)上恒成立．故选A.
3．函数y＝xlnx在区间(0,1)上是导学号05300201(　　)
A．单调增函数
B．单调减函数
C．在上是减函数，在上是增函数
D．在上是增函数，在上是减函数
答案]　C
解析]　f′(x)＝lnx＋1，当0当0.
∴函数在上是减函数，在上是增函数．
4．函数y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能是导学号05300202(　　)
答案]　D
解析]　当x∈(－∞，0)时，f(x)为减函数，则f′(x)<0，当x∈(0，＋∞)时，f(x)为减函数，则f′(x)<0.故选D.
5．(2016·全国卷Ⅰ文，12)若函数f(x)＝x－sin2x＋asinx在(－∞，＋∞)单调递增，则a的取值范围是(　　)
A．－1,1]
B．－1，]
C．－，]
D．－1，－]
答案]　C
解析]　函数f(x)＝x－sin2x＋asinx在(－∞，＋∞)单调递增，等价于f′(x)＝1－cos2x＋acosx＝－cos2x＋acosx＋≥0在(－∞，＋∞)恒成立．设cosx＝t，
则g(t)＝－t2＋at＋≥0在－1,1]恒成立，
所以，
解得－≤a≤.故选C.
6．若在区间(a，b)内有f′(x)＞0，且f(a)
≥0，则在(a，b)内有导学号05300204(　　)
A．f(x)＞0
B．f(x)＜0
C．f(x)＝0
D．不能确定
答案]　A
解析]　∵在区间(a，b)内有f′(x)>0，
∴函数f(x)在区间(a，b)内是递增的，
∵f(a)≥0，∴f(x)>f(a)≥0.故选A.
7．(2015·湖南文，8)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是导学号05300205(　　)
A．奇函数，且在(0,1)上是增函数
B．奇函数，且在(0,1)上是减函数
C．偶函数，且在(0,1)上是增函数
D．偶函数，且在(0,1)上是减函数
答案]　A
解析]　求出函数的定义域，判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可．函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，函数的定义域为(－1,1)，函数f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－ln(1＋x)－ln(1－x)]＝－f(x)，所以函数是奇函数．f′(x)＝＋＝，已知在(0,1)上f′(x)＞0，所以f(x)在(0,1)上单调递增，故选A.
8．设函数F(x)＝是定义在R上的函数，其中f(x)的导函数f
′(x)满足f
′(x)A．f(2)>e2f(0)，f(2015)>e2015f(0)
B．f(2)e2015f(0)
C．f(2)D．f(2)>e2f(0)，f(2015)答案]　C
解析]　∵函数F(x)＝的导数
F′(x)＝＝<0，
∴函数F(x)＝是定义在R上的减函数，
∴F(2)同理可得f(2015)二、填空题
9．函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调减区间为________．导学号05300207
答案]　(－1,11)
解析]　本题主要考查求导公式和单调区间．
f′(x)＝3x2－30x－33＝3(x－11)(x＋1)，
由(x－11)(x＋1)<0得－1∴f(x)的单调减区间为(－1,11)．
10．已知函数f(x)＝ax－lnx，若f(x)>1在区间(1，＋∞)内恒成立，则实数a的取值范围为________．导学号05300208
答案]　a≥1
解析]　由f(x)>1得ax－lnx－1>0，即a>在(1，＋∞)上恒成立．设g(x)＝，g′(x)＝－.
∵x>1，∴g′(x)<0，∴g(x)单调递减．
所以g(x)11．若函数y＝x3－ax2＋4在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围是____________．
导学号05300209
答案]　3，＋∞)
解析]　y′＝3x2－2ax，由题意知3x2－2ax≤0在区间(0,2)内恒成立，
即a≥x在区间(0,2)上恒成立，∴a≥3.
三、解答题
12．(2015·会宁县校级期中)已知函数f(x)＝ax3＋bx2(x∈R)的图象过点P(－1,2)，且在点P处的切线恰好与直线x－3y＝0垂直．导学号05300210
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若函数f(x)在区间m，m＋1]上单调递增，求实数m的取值范围．
解析]　(1)∵y＝f(x)过点P(－1,2)，且在点P处的切线恰好与直线x－3y＝0垂直，
∴，
∴a＝1，b＝3，
∴f(x)＝x3＋3x2.
(2)由题意得：f′(x)＝3x2＋6x＝3x(x＋2)>0，
解得x>0或x<－2.
故f(x)的单调递增区间为(－∞，－2]和0，＋∞)．
即m＋1≤－2或m≥0，
故m≤－3或m≥0.
一、选择题
1．已知f(x)＝－x3－x，x∈m，n]，且f(m)·f(n)<0，则方程f(x)＝0在区间m，n]上
导学号05300211(　　)
A．至少有三个实数根
B．至少有两个实根
C．有且只有一个实数根
D．无实根
答案]　C
解析]　∵f′(x)＝－3x2－1<0，
∴f(x)在区间m，n]上是减函数，又f(m)·f(n)<0，故方程f(x)＝0在区间m，n]上有且只有一个实数根．故选C.
2．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为导学号05300212(　　)
答案]　D
解析]　函数y＝f(x)在区间(－∞，0)上单调增，则导函数y＝f′(x)在区间(－∞，0)上函数值为正，排除A、C，原函数y＝f(x)在区间(0，＋∞)上先增再减，最后再增，其导函数y＝f′(x)在区间(0，＋∞)上函数值先正、再负、再正，排除B，故选D.
3．(2015·新课标Ⅱ理，12)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x＞0时，xf′(x)－f(x)＜0，则使得f(x)＞0成立的x的取值范围是导学号05300213(　　)
A．(－∞，－1)∪(0,1)
B．(－1,0)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(－1,0)
D．(0,1)∪(1，＋∞)
答案]　A
解析]　记函数g(x)＝，则g′(x)＝，因为当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，故当x>0时，g′(x)<0，所以g(x)在(0，＋∞)单调递减；又因为函数f(x)(x∈R)是奇函数，故函数g(x)是偶函数，所以g(x)在(－∞，0)单调递减，且g(－1)＝g(1)＝0.当00，则f(x)>0；当x<－1时，g(x)<0，则f(x)>0，综上所述，使得f(x)>0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)，故选A.
4．已知函数f(x)(x∈R)满足f(1)＝1，且f(x)的导函数f′(x)<，则f(x)<＋的解集为
导学号05300214(　　)
A．{x|－1B．{x|x<－1}
C．{x|x<－1或x>1}
D．{x|x>1}
答案]　D
解析]　该题给出条件f′(x)<，要求学生能够联想到不等式f(x)<与它的关系，从而转化为研究函数的单调性问题．设F(x)＝f(x)－，则F′(x)＝f′(x)－<0，∴F(x)是减函数．而F(1)＝0，∴f(x)<的解集为{x|x>1}．
二、填空题
5．若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则m的取值范围是________．
导学号05300215
答案]　
解析]　f′(x)＝3x2＋2x＋m，依题意可知f(x)在R上只能单调递增，所以Δ＝4－12m≤0，∴m≥.
6．已知函数f(x)＝x3－ax2－3x在区间1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________．导学号05300216
答案]　(－∞，0]
解析]　∵f(x)＝x3－ax2－3x，∴f
′(x)＝3x2－2ax－3，又因为f(x)＝x3－ax2－3x在区间1，＋∞)上是增函数，f
′(x)＝3x2－2ax－3≥0在区间1，＋∞)上恒成立，
∴解得a≤0，
故答案为(－∞，0]．
7．若f(x)＝－x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是________．
导学号05300217
答案]　b≤－1
解析]　f(x)在(－1，＋∞)上为减函数，∴f
′(x)≤0在(－1，＋∞)上恒成立，∵f
′(x)＝－x＋，∴－x＋≤0，∵b≤x(x＋2)＝(x＋1)2－1在(－1，＋∞)上恒成立，∴b≤－1.
三、解答题
8．求下列函数的单调区间．导学号05300218
(1)f(x)＝x－lnx；
(2)f(x)＝＋sinx＋3.
解析]　(1)函数的定义域为(0，＋∞)，其导数为f′(x)＝1－，令1－>0，解得x>1.
∴(1，＋∞)是函数f(x)的单调递增区间．
同理令1－<0，解得0∴(0,1)是f(x)的单调递减区间．
(2)f′(x)＝＋cosx.
令＋cosx>0，解得2kπ－∴(2kπ－，2kπ＋)(k∈Z)是f(x)的单调递增区间．
令＋cosx<0，解得2kπ＋∴(2kπ＋，2kπ＋)(k∈Z)是f(x)的单调递减区间．
9．(2015·天津文，20)已知函数f(x)＝4x－x4，x∈R.导学号05300219
(1)求f(x)的单调区间；
(2)设曲线y＝f(x)与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y＝g(x)，求证：对于任意的实数x，都有f(x)≤g(x)．
解析]　(1)由f(x)＝4x－x4，可得f′(x)＝4－4x3，
当f′(x)>0，即x<1时，函数f(x)单调递增；
当f′(x)<0，即x>1时，函数f(x)单调递减．
所以函数f(x)的单调递增区间是(－∞，1)，单调递减区间是(1，＋∞)．
(2)设P(x0,0)，则x0＝4，f′(x0)＝－12，曲线y＝f(x)在点P处的切线方程为y＝f′(x0)(x－x0)，即g(x)＝f′(x0)(x－x0)，令F(x)＝f(x)－g(x)，即F(x)＝f(x)－f′(x)(x－x0)，则F′(x)＝f′(x)－f′(x0)．由于f(x)＝4－4x3在(－∞，＋∞)单调递减，故F′(x)在(－∞，＋∞)单调递减．又因为F′(x0)＝0，所以当x∈(－∞，x0)时，F′(x)>0，所以当x∈(x0，＋∞)时，F′(x)<0.
所以F(x)在(－∞，x0)单调递增，在(x0，＋∞)单调递减，
所以对任意的实数x，F(x)≤F(x0)＝0，
对于任意的正实数x，都有f(x)≤g(x)．
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第一章　1.1　第1课时
一、选择题
1．在表达式中，Δx的值不可能导学号05300008(　　)
A．大于0　　　　　
B．小于0
C．等于0
D．大于0或小于0
答案]　C
解析]　Δx可正，可负，但不为0，故应选C.
2．自由落体运动的公式为s(t)＝gt2(g＝10m/s2)，若v＝，则下列说法正确的是导学号05300009(　　)
A．v是在0～1s这段时间内的速率
B．v是从1s到(1＋Δt)s这段时间内的速率
C．5Δt＋10是物体在t＝1s这一时刻的速率
D．5Δt＋10是物体从1s到(1＋Δt)s这段时间内的平均速率
答案]　D
解析]　v＝＝5Δt＋10，
由平均速度的定义可知选D.
3．一质点运动的方程为s＝5－3t2，则在一段时间1,1＋Δt]内相应的平均速度为
导学号05300010(　　)
A．3Δt＋6
B．－3Δt＋6
C．3Δt－6
D．－3Δt－6
答案]　D
解析]　＝
＝
＝－3Δt－6.
4．函数y＝在x＝1到x＝2之间的平均变化率为导学号05300011(　　)
A．－1
B．－
C．－2
D．2
答案]　B
解析]　＝＝－.
5．函数f(x)＝2x＋1在区间1,5]上的平均变化率为导学号05300012(　　)
A.
B．－
C．2
D．－2
答案]　C
解析]　＝＝＝2.
6．在曲线y＝x2＋1的图象上取一点(1,2)及附近一点(1＋Δx,2＋Δy)，则为
导学号05300013(　　)
A．Δx＋＋2
B．Δx－－1
C．Δx＋2
D．Δx－＋2
答案]　C
解析]　＝＝Δx＋2.
7．一质点的运动方程是s＝4－2t2，则在时间段1,1＋Δt]内相应的平均速度是
导学号05300014(　　)
A．2Δt＋4
B．－2Δt＋4
C．2Δt－4
D．－2Δt－4
答案]　D
解析]　＝＝－2Δt－4.
8．在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x；②y＝x2；③y＝x3；④y＝中，平均变化率最大的是导学号05300015(　　)
A．④
B．③
C．②
D．①
答案]　B
解析]　Δx＝0.3时，①y＝x在x＝1附近的平均变化率k1＝1；②y＝x2在x＝1附近的平均变化率k2＝2＋Δx＝2.3；③y＝x3在x＝1附近的平均变化率k3＝3＋3Δx＋(Δx)2＝3.99；④y＝在x＝1附近的平均变化率k4＝－＝－.∴k3＞k2＞k1＞k4.故选B.
二、填空题
9．一物体运动方程是s＝2t2，则从2s到(2＋Δt)s这段时间内位移的增量Δs为________．
导学号05300016
答案]　8Δt＋2(Δt)2
解析]　Δs＝2(2＋Δt)2－2(22)
＝24＋4Δt＋(Δt)2]－8
＝8Δt＋2(Δt)2.
10．函数f(x)＝8x－6在区间m，n]上的平均变化率为________．导学号05300017
答案]　8
解析]　＝＝8.
11．已知函数y＝x3－2，当x＝2时，＝________.导学号05300018
答案]　(Δx)2＋6Δx＋12
解析]　＝＝(Δx)2＋6Δx＋12.
12．函数y＝在x＝1附近，当Δx＝时平均变化率为________．导学号05300019
答案]　－2
解析]　＝＝＝－2.
三、解答题
13．求函数f(x)＝x2＋3在3,3＋Δx]内的平均变化率．导学号05300020
解析]　＝
＝
＝
＝Δx＋6.
一、选择题
1．函数y＝f(x)，当自变量从x0到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数
导学号05300021(　　)
A．在区间x0，x1]上的平均变化率
B．在x0处的变化率
C．在x1处的变化率
D．在x0，x1]上的变化率
答案]　A
2．已知曲线y＝x2和这条曲线上的一点P，Q是曲线上点P附近的一点，则点Q的坐标为导学号05300022(　　)
A.
B.
C.
D.
答案]　C
3．函数y＝－x2、y＝、y＝2x＋1、y＝在x＝1附近(Δx很小时)，平均变化率最大的一个是导学号05300023(　　)
A．y＝－x2
B．y＝
C．y＝2x＋1
D．y＝
答案]　C
解析]　y＝－x2在x＝1附近的平均变化率为k1＝－(2＋Δx)；y＝在x＝1附近的平均变化率为k2＝－；y＝2x＋1在x＝1附近的平均变化率为k3＝2；y＝在x＝1附近的平均变化率为k4＝；当Δx很小时，k1<0，k2<0,04．物体做直线运动所经过的路程s可以表示为时间t的函数s＝s(t)，则物体在时间间隔t0，t0＋Δt]内的平均速度是导学号05300024(　　)
A．v0
B．
C.
D．
答案]　C
解析]　由平均变化率的概念知C正确，故应选C.
二、填空题
5．在x＝2附近，Δx＝时，函数y＝的平均变化率为________．导学号05300025
答案]　－
解析]　＝＝－＝－.
6．已知圆的面积S与其半径r之间的函数关系为S＝πr2，其中r∈(0，＋∞)，则当半径r∈1,1＋Δr]时，圆面积S的平均变化率为________．导学号05300026
答案]　2π＋πΔr
解析]　＝＝2π＋π·Δr.
7．函数y＝cosx在x∈时的变化率为________；在x∈时的变化率为________．导学号05300027
答案]　　－
解析]　当x∈时，＝＝；
当x∈时，＝＝＝－.
因此，y＝cosx在区间和区间上的平均变化率分别是和－.
三、解答题
8．已知函数f(x)＝2x＋1，g(x)＝－2x，分别计算在下列区间上f(x)及g(x)的平均变化率：
导学号05300028
(1)－3，－1]；(2)0,5]．
解析]　(1)函数f(x)在区间－3，－1]上的平均变化率为
＝＝2，
g(x)在区间－3，－1]上的平均变化率为
＝＝－2.
(2)函数f(x)在区间0,5]上的平均变化率为
＝＝2，
g(x)在区间0,5]上的平均变化率为
＝＝－2.
9．已知函数y＝f(x)＝x3＋x，证明函数f(x)在任意区间x，x＋Δx]上的平均变化率都是正数．导学号05300029
证明]　＝
＝
＝3x2＋1＋3xΔx＋(Δx)2
＝3x2＋3Δx·x＋(Δx)2＋1.
由于方程3x2＋3Δx·x＋(Δx)2＋1＝0的判别式为(3Δx)2－4×3(Δx)2＋1]＝－3(Δx)2－12<0，
则3x2＋3Δx·x＋(Δx)2＋1>0对一切x∈R恒成立，所以>0，故f(x)在任意区间x，x＋Δx]上的平均变化率都是正数．
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第三章　3.1　第1课时
一、选择题
1．下列说法中正确的个数是导学号05300610(　　)
①实数是复数；②虚数是复数；③实数集和虚数集的交集不是空集；④实数集与虚数集的并集等于复数集．
A．1　　
B．2　　
C．3　　
D．4
答案]　C
解析]　①②④正确，故选C.
2．下列说法正确的是导学号05300611(　　)
A．如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等
B．ai是纯虚数
C．如果复数x＋yi是实数，则x＝0，y＝0
D．复数a＋bi不是实数
答案]　A
解析]　两个复数相等的充要条件是实部、虚部分别相等．故选A.
3．(2015·沈阳高二检测)已知a，b∈R，则a＝b是(a－b)＋(a＋b)i为纯虚数的
导学号05300612(　　)
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
答案]　C
解析]　本题考查纯虚数的概念，解题的关键是弄清充分条件，必要条件等概念．当a＝b＝0时，复数为0，是实数，故B不正确；由(a－b)＋(a＋b)i为纯虚数，则 a＝b≠0，即a＝b≠0为该复数为纯虚数的充要条件，∴a＝b是该复数为纯虚数的必要不充分条件．
4．复数z＝(m2＋m)＋mi(m∈R，i为虚数单位)是纯虚数，则实数m的值为
导学号05300613(　　)
A．0或－1
B．0
C．1
D．－1
答案]　D
解析]　∵z为纯虚数，∴∴m＝－1，故选D.
5．复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i　(a、b∈R)为纯虚数的充要条件是
导学号05300614(　　)
A．|a|＝|b|
B．a<0且a＝－b
C．a>0且a≠b
D．a>0且a＝±b
答案]　D
解析]　a2－b2＝0，且a＋|a|≠0.
6．若sin2θ－1＋i(cosθ＋1)是纯虚数，则θ的值为导学号05300615(　　)
A．2kπ－(k∈Z)　　　　　　
B．2kπ＋(k∈Z)
C．2kπ±(k∈Z)
D．＋(k∈Z)
答案]　B
解析]　由得(k∈Z)
∴θ＝2kπ＋.故选B.
7．以3i－的虚部为实部，以3i2＋i的实部为虚部的复数是
导学号05300616(　　)
A．3－3i
B．3＋i
C．－＋i
D．＋i
答案]　A
解析]　3i－的虚部为3,3i2＋i＝－3＋i，实部为－3，所以选A.
8．若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x的值为导学号05300617(　　)
A．1
B．±1
C．－1
D．－2
答案]　A
解析]　解法一：由x2－1＝0得，x＝±1，当x＝－1时，x2＋3x＋2＝0，不合题意，当x＝1时，满足，故选A.
解法二：检验法：x＝1时，原复数为6i满足，排除C、D；x＝－1时，原复数为0，不满足，排除B.故选A.
二、填空题
9．满足方程x2－2x－3＋(9y2－6y＋1)i＝0的实数对(x，y)表示的点的个数是________．
导学号05300618
答案]　2
解析]　由题意，知
∴
∴(x，y)表示的点为(3，)，(－1，)，共有2个．
10．设C＝{复数}，A＝{实数}，B＝{纯虚数}，全集U＝C，那么下面结论正确的个数是________．导学号05300619
①A∪B＝C；②
UA＝B；③A∩ UB＝C；④C∪B＝C.
答案]　1
解析]　只有④正确．
11．已知复数z＝k2－3k＋(k2－5k＋6)i(k∈Z)，且z＜0，则k＝________.导学号05300620
答案]　2
解析]　∵z＜0，k∈Z，∴∴k＝2.
三、解答题
12．实数m分别取什么数值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i导学号05300621
(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数；(4)是0.
解析]　由m2＋5m＋6＝0得，m＝－2或m＝－3，由m2－2m－15＝0得m＝5或m＝－3.
(1)当m2－2m－15＝0时，复数z为实数，∴m＝5或－3；
(2)当m2－2m－15≠0时，复数z为虚数，∴m≠5且m≠－3.
(3)当时，复数z是纯虚数，∴m＝－2.
(4)当时，复数z是0，∴m＝－3.
一、选择题
1．下列命题中哪个是真命题导学号05300622(　　)
A．－1的平方根只有一个
B．i是1的四次方根
C．i是－1的立方根
D．i是方程x6－1＝0的根
答案]　B
解析]　∵(±i)2＝－1，∴－1的平方根有两个，故A错；∵i3＝－i≠－1.∴i不是－1的立方根；∴C错；
∵i6＝i2＝－1，∴i6－1≠0，故i不是方程x6－1＝0的根，故D错；
∵i4＝1，∴i是1的四次方根．故选B.
2．(2015·锦州期中)若(m－1)＋(3m＋2)i是纯虚数，则实数m的值为
导学号05300623(　　)
A．1
B．1或2
C．0
D．－1、1、2
答案]　A
解析]　因为(m－1)＋(3m＋2)i是纯虚数，所以m－1＝0且3m＋2≠0，解得m＝1.
3．若复数cosθ＋isinθ和sinθ＋icosθ相等，则θ的值为导学号05300624(　　)
A.
B．或π
C．2kπ＋(k∈Z)
D．kπ＋(k∈Z)
答案]　D
解析]　由复数相等的条件得cosθ＝sinθ.
∴θ＝kπ＋(k∈Z)．故选D.
4．若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则导学号05300625(　　)
A．a＝－1
B．a≠－1且a≠2
C．a≠－1
D．a≠2
答案]　C
解析]　①因为a2－a－2≠0时，已知的复数一定不是纯虚数．解得a≠－1且a≠2.
②当a2－a－2＝0，且|a－1|－1＝0时，已知的复数也不是一个纯虚数．
解得∴a＝2.
综上可知，当a≠－1时，已知的复数不是一个纯虚数．故选C.
二、填空题
5．若x答案]　－2　－1
解析]　由复数相等的条件知，
∵x＜y＜0，∴.
6．若复数z＝m＋(m2－1)i(m∈R)满足z<0，则m＝________.导学号05300627
答案]　－1
解析]　∵z<0即，∴m＝－1.
7．复数z＝sinθ－1＋i(1－2cosθ)且θ∈(0，π)，若z为实数，则θ的值为________；若z为纯虚数，则θ的值是________．导学号05300628
答案]　　
解析]　z∈R时，1－2cosθ＝0，
∴cosθ＝，∵0<θ<π，∴θ＝；
z为纯虚数时，，又∵θ∈(0，π)，∴θ＝.
三、解答题
8．求适合方程(x＋y)2＋(x－y)2－3(x－y)]i＝9－2i的实数x、y的值．导学号05300629
解析]　由两复数相等的充要条件，得
或或或
解得或或或.
9．已知复数z1＝m＋(4－m2)i(m∈R)，z2＝2cosθ＋(λ－3sinθ)i(λ∈R)．若z1＝z2，证明：－≤λ≤7.导学号05300630
解析]　由复数相等的条件，
得，
∴λ＝4－4cos2θ＋3sinθ＝42－，
当sinθ＝－时，λmin＝－；当sinθ＝1时，λmax＝7.∴－≤λ≤7.
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第三章　3.1　第2课时
一、选择题
1．若复数(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)i表示的点在虚轴上，则实数m的值为
导学号05300645(　　)
A．－1　　　　　　
B．4
C．－1和4
D．－1和6
答案]　C
解析]　由题意解得m2－3m－4＝0，∴m＝4或m＝－1.故选C.
2．复数z＝－1－2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于导学号05300646(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
答案]　C
解析]　z＝－1－2i对应点Z(－1，－2)，位于第三象限.
3．已知复数z＝(x－1)＋(2x－1)i的模小于，则实数x的取值范围是
导学号05300647(　　)
A．－B．x<2
C．x>－
D．x<－或x>2
答案]　A
解析]　由(x－1)2＋(2x－1)2<10，解得－4．下列命题中假命题是导学号05300648(　　)
A．复数的模是非负实数
B．复数等于零的充要条件是它的模等于零
C．两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件
D．复数z1>z2的充要条件是|z1|＞|z2|
答案]　D
解析]　①任意复数z＝a＋bi
(a、b∈R)的模|z|＝≥0总成立．∴A正确；
②由复数相等的条件z＝0 . |z|＝0，故B正确；
③若z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i
(a1、b1、a2、b2∈R)
若z1＝z2，则有a1＝a2，b1＝b2，∴|z1|＝|z2|
反之由|z1|＝|z2|，推不出z1＝z2，
如z1＝1＋3i，z2＝1－3i时|z1|＝|z2|，故C正确；
④不全为实数的两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，∴D错．故选D.
5．已知a、b∈R，那么在复平面内对应于复数a－bi，－a－bi的两个点的位置关系是
导学号05300649(　　)
A．关于x轴对称
B．关于y轴对称
C．关于原点对称
D．关于直线y＝x对称
答案]　B
解析]　在复平面内对应于复数a－bi，－a－bi的两个点为(a，－b)和(－a，－b)关于y轴对称．
6．在下列结论中正确的是导学号05300650(　　)
A．在复平面上，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴
B．任何两个复数都不能比较大小
C．如果实数a与纯虚数ai对应，那么实数集与纯虚数集是一一对应的
D．－1的平方根是i
答案]　A
解析]　两个虚数不能比较大小排除B，当a＝0时，ai是实数，排除C，－1的平方根是±i，排除D，故选A.
7．(2016·全国卷Ⅰ理，2)设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝(　　)
A．1
B.
C.
D．2
答案]　B
解析]　因为(1＋i)x＝x＋xi＝1＋yi，所以x＝y＝1，|x＋yi|＝|1＋i|＝＝，选B.
8．复数z1＝a＋2i
(a∈R)，z2＝2＋i且|z1|<|z2|，则a的取值范围是导学号05300652(　　)
A．(1，＋∞)
B．(－∞，－1)
C．(－1,1)
D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
答案]　C
解析]　∵|z1|<|z2|，∴<，
∴a2＋4<5，
∴－1＜a＜1.故选C.
二、填空题
9．设复数z的模为17，虚部为－8，则复数z＝______.导学号05300653
答案]　±15－8i
解析]　设复数z＝a－8i，由＝17，
∴a2＝225.a＝±15.则z＝±15－8i.
10．已知|z|＝3，且z＋3i是纯虚数，则z＝________.导学号05300654
答案]　3i
解析]　设z＝a＋bi(a，b∈R)，∵|z|＝3，
∴a2＋b2＝9.
又w＝z＋3i＝a＋bi＋3i＝a＋(b＋3)i为纯虚数，
∴
又a2＋b2＝9，∴a＝0，b＝3.
11．(2015·徐州期末)已知i为虚数单位，若复数z＝＋2i(a≥0)的模等于3，则a的值为________．导学号05300655
答案]　5
解析]　因为复数z＝＋2i(a≥0)的模等于3，所以a＋4＝9，解得a＝5.
三、解答题
12．复数z＝(a2＋1)＋ai(a∈R)对应的点在第几象限？复数z对应的点的轨迹方程是什么？导学号05300656
解析]　因为a2＋1≥1>0，复数z＝(a2＋1)＋ai对应的点为(a2＋1，a)，所以z对应的点在第一、四象限或实轴的正半轴上．设z＝x＋yi(x，y∈R)，则
消去a可得x＝y2＋1，所以复数z对应的点的轨迹方程是y2＝x－1.
一、选择题
1．(2016·全国卷Ⅱ理，1)已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－3,1)
B．(－1,3)
C．(1，＋∞)
D．(－∞，－3)
答案]　A
解析]　由已知可得复数z在复平面内对应的点的坐标为(m＋3，m－1)，所以，解得－32．复平面内，向量表示的复数为1＋i，将向右平移一个单位后得到向量，则向量与点A′对应的复数分别为导学号05300658(　　)
A．1＋i,1＋i
B．2＋i,2＋i
C．1＋i,2＋i
D．2＋i,1＋i
答案]　C
解析]　向量向右平移一个单位后起点O′(1,0)，
∵＝＋＝＋＝(1,0)＋(1,1)＝(2,1)，
∴点A′对应复数2＋i，又＝，
∴对应复数为1＋i.故选C.
3．设z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，t∈R，则以下结论中正确的是导学号05300659(　　)
A．z对应的点在第一象限
B．z一定不是纯虚数
C．z对应的点在实轴上方
D．z一定是实数
答案]　C
解析]　∵2t2＋5t－3＝(t＋3)(2t－1)的值可正、可负、可为0，t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1≥1，∴排除A、B、D.故选C.
4．若cos2θ＋i(1－tanθ)是纯虚数，则θ的值为导学号05300660(　　)
A．kπ－(k∈Z)
B．kπ＋(k∈Z)
C．2kπ＋(k∈Z)
D．＋(k∈Z)
答案]　A
解析]　∵
∴选项B、C不满足②.
D中若k为偶数(如k＝0)也不满足②.故选A.
二、填空题
5．设A、B为锐角三角形的两个内角，则复数z＝(cotB－tanA)＋i(tanB－cotA)的对应点位于复平面的第______象限.
导学号05300661
答案]　二
解析]　由于0
∴>A>－B>0，
∴tanA>cotB，cotA故复数z对应点在第二象限．
6．设z＝log2(m2－3m－3)＋i·log2(m－3)(m∈R)，若z对应的点在直线x－2y＋1＝0上，则m的值是____________．导学号05300662
答案]　
解析]　∵log2(m2－3m－3)－2log2(m－3)＋1＝0，整理得log2＝0，
∴2m2－6m－6＝m2－6m＋9，即m2＝15，m＝±.
又
∵m－3>0且m2－3m－3>0，∴m＝.
7．复数z满足|z＋3－i|＝，则|z|的最大值和最小值分别为________．
导学号05300663
答案]　3，
解析]　|z＋3－i|＝表示以C(－3，)为圆心，为半径的圆，则|z|表示该圆上的点到原点的距离，显然|z|的最大值为|OC|＋＝2＋＝3，最小值为|OC|－＝2－＝.
三、解答题
8．(2015·泰安高二检测)已知复数z＝m(m－1)＋(m2＋2m－3)i(m∈R)．导学号05300664
(1)若z是实数，求m的值；
(2)若z是纯虚数，求m的值；
(3)若在复平面C内，z所对应的点在第四象限，求m的取值范围．
解析]　(1)∵z为实数，∴m2＋2m－3＝0，解得m＝－3或m＝1.
(2)∵z为纯虚数，∴解得m＝0.
(3)∵z所对应的点在第四象限，
∴解得－39．若复数z满足|z＋2|＋|z－2|＝8，求|z＋2|的最大值和最小值．导学号05300665
解析]　由题意知，|z＋2|＋|z－2|＝8表示椭圆，由椭圆的几何性质知，椭圆长轴上的两个顶点到焦点(－2,0)的距离分别是最大值和最小值，因此当z＝4，即复数z对应的点是椭圆右顶点时，|z＋2|有最大值6，当z＝－4，即复数z对应的点是椭圆左顶点时，|z＋2|有最小值2.
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第一章　1.4　第2课时
一、选择题
1．定积分(2x＋ex)dx的值为导学号05300331(　　)
A．e＋2　　　　　　
B．e＋1
C．e
D．e－1
答案]　C
解析]　本题考查定积分的计算、微积分基本定理．
(2x＋ex)dx＝(x2＋ex)|＝1＋e－1＝e.
2．下列各式中，正确的是导学号05300332(　　)
A.f′(x)dx＝f′(b)－f′(a)
B.f′(x)dx＝f′(a)－f′(b)
C.f′(x)dx＝f(b)－f(a)
D.f′(x)dx＝f(a)－f(b)
答案]　C
解析]　要分清被积函数和原函数．
3．已知自由落体的运动速度v＝gt(g为常数)，则当t∈1,2]时，物体下落的距离为
导学号05300333(　　)
A.g
B．g
C.g
D．2g
答案]　C
解析]　物体下落的距离s＝gtdt＝gt2＝g.故选C.
4．(2015·湖南理，11)(x－1)dx＝导学号05300334(　　)
A．0　　
B．1　　
C．2　　
D．3
答案]　A
解析]　
(x－1)dx＝(x2－x)|20＝0，故选A.
5．若曲线y＝与直线x＝a、y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则正实数a为
导学号05300335(　　)
A.　　　
B.　　　
C.　
D．
答案]　A
解析]　由题意知，dx＝a2，
∵(x)′＝x，∴dx＝x|＝a，
∴a＝a2，∴a＝.
6．曲线y＝cosx
与坐标轴所围图形的面积是导学号05300336(　　)
A．4　
B．2　　　
C.　
D．3
答案]　D
解析]　由y＝cosx图象的对称性可知，
y＝cosx与坐标轴所围面积是3cosxdx＝3sinx＝3.故选D.
7．如图，阴影部分的面积是导学号05300337(　　)
A．2
B．2－
C.
D．
答案]　C
解析]　(3－x2－2x)dx＝＝.故选C.
8.|x2－4|dx＝导学号05300338(　　)
A.
B．
C．
D．
答案]　C
解析]　|x2－4|dx＝(4－x2)dx＋(x2－4)dx
＝＋＝
.故选C.
二、填空题
9．(2015·青岛市胶州市高二期中)若(2x＋k)dx＝2，则k的值为________．
导学号05300339
答案]　1
解析]　(2x＋k)dx＝(x2＋kx)|＝1＋k＝2，
解得k＝1，故答案为1.
10．如图，阴影部分面积用定积分表示为________．导学号05300340
答案]　(f(x)－g(x))dx
11．(2015·三峡区期中)由曲线y＝sinx，y＝cosx与直线x＝0，x＝所围成的平面图形(下图中的阴影部分)的面积是________．导学号05300341
答案]　2－2
解析]　由三角函数的对称性和题意可得
S＝2(cosx－sinx)dx
＝2(sinx＋cosx)＝2(＋)－2(0＋1)
＝2－2.
三、解答题
12．求下列定积分．导学号05300342
(1)dx；　　(2)x3dx；　　(3)
exdx.
解析]　(1)因为(lnx)′＝，所以dx＝3lnx
＝3(ln2－ln1)＝3ln2.
(2)∵′＝x3，∴x3dx＝x4＝.
(3)∵(ex)′＝ex，∴exdx＝ex＝e－.
一、选择题
1．若f(x)＝x2＋2f(x)dx，则f(x)dx＝导学号05300343(　　)
A．－1
B．－
C．
D．1
答案]　B
解析]　本题考查定积分的求法．
根据题设条件可得f(x)dx＝－|＝－.
2．由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形面积为导学号05300344(　　)
A.　　　
B.　　　
C.　　　
D.
答案]　A
解析]　由得交点为(0,0)，(1,1)．
∴S＝(x2－x3)dx＝＝.
3．设f(x)＝，则f(x)dx等于导学号05300345(　　)
A.
B．
C.
D．不存在
答案]　C
解析]　f(x)dx＝x2dx＋(2－x)dx，取F1(x)＝x3，F2(x)＝2x－x2，
则F′1(x)＝x2，F′2(x)＝2－x，
∴f(x)dx＝F1(1)－F1(0)＋F2(2)－F2(1)＝－0＋2×2－×22－＝.故选C.
4．若S1＝x2dx，S2＝dx，S3＝exdx，则S1，S2，S3的大小关系为
导学号05300346(　　)
A．S1B．S2C．S2D．S3答案]　B
解析]　S1＝x2dx＝|＝.
S2＝dx＝lnx|＝ln2－ln1＝ln2.
S3＝exdx＝ex|＝e2－e＝e(e－1)．
∵e>2.7，∴S3>3>S1>S2.故选B.
二、填空题
5．(2015·锦州期中)(x2＋sinx)dx＝________.导学号05300347
答案]　
解析]　本题考查了定积分的知识，由于(x2＋sinx)dx＝＝－cos1－(－－cos1)＝，定积分在高考题中题目较为简单，要熟练记住一些函数的导数与积分式．
6．已知函数y＝f(x)的图象是折线段ABC，其中A(0,0)、B(，5)、C(1,0)．函数y＝xf(x)(0≤x≤1)的图象与x轴围成的图形的面积为________．导学号05300348
答案]　
解析]　本题考查待定系数法与定积分的计算．
设直线为y＝kx＋b，代入点B的坐标，∴y＝10x.
代入B，C两点的坐标，则，
∴k＝－10，b＝10.
∴y＝
，
∴f(x)＝
.
∴S＝10x2dx＋(10x－10x2)dx
＝10·＋10·(－)＝＋＝.
定积分的几何意义即曲边梯形的面积．
三、解答题
7．一辆汽车的速度—时间曲线如图所示，求汽车在这1min内所行驶的路程．
导学号05300349
解析]　由速度—时间曲线易知，
v(t)＝
由变速直线运动的路程表达式可得
取H(t)＝，F(t)＝30t，G(t)＝－t2＋90t，
则H′(t)＝3t，F′(t)＝30，G′(t)＝－1.5t＋90.
从而s＝3tdt＋30dt＋(－1.5t＋90)dt
＝H(10)－H(0)＋F(40)－F(10)＋G(60)－G(40)
＝1350(m)．
答：该汽车在这1min内所行驶的路程是1350m.
简解：由定积分几何意义知所求路程即为图中梯形ABCO的面积，即＝1350(m)．
8．(1)已知f(a)＝(2ax2－a2x)dx，求f(a)的最大值；导学号05300350
(2)已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，f(x)dx＝－2，求a，b，c的值．
解析]　(1)因为′＝2ax2－a2x，
所以(2ax2－a2x)dx＝
＝a－a2.
所以f(a)＝a－a2＝－＋
＝－2＋.
所以当a＝时，f(a)有最大值
.
(2)∵f(－1)＝2，f′(0)＝0，
∴　①
而f(x)dx＝(ax2＋bx＋c)dx，
取F(x)＝ax3＋bx2＋cx，
则F′(x)＝ax2＋bx＋c.
∴f(x)dx＝F(1)－F(0)＝a＋b＋c＝－2②
解①②得a＝6，b＝0，c＝－4.
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第一章　1.4　第1课时
一、选择题
1．设f(x)是连续函数，且为偶函数，在对称区间－a，a]上的积分f(x)dx，由定积分的几何意义得f(x)dx的值为导学号05300297(　　)
A．0　　　　　　　
B．2f(x)dx
C.
f(x)dx
D．f(x)dx
答案]　B
解析]　偶函数图象关于y轴对称，对称区间上面积相等．
2．求由曲线y＝ex，直线x＝2，y＝1围成的曲边梯形的面积时，若选择x为积分变量，则积分区间为导学号05300298(　　)
A．0，e2]
B．0,2]
C．1,2]
D．0,1]
答案]　B
解析]　解方程组可得.所以积分区间为0,2]．故选B.
3.1dx的值为导学号05300299(　　)
A．0
B．1
C.
D．2
答案]　B
解析]　由定积分的几何意义可得1dx是由x＝0，x＝1，y＝0和y＝1围成的矩形的面积．
4．计算f(x)＝x2在0,1]上的定积分时，有下列说法：
①在0到1之间插入n－1个分点，将区间0,1]n等分，过每个分点作x轴的垂线，将曲边三角形分成n个小曲边梯形(或三角形)，这n个小曲边梯形的面积和等于原曲边形面积的和；
②当n很大时，f(x)在区间上的值可以用f近似代替；
③当n很大时，f(x)在区间上的值可以用f近似代替；
④当n很大时，用f与f代替f(x)在上的值，得到的积分和不相等，因而求得的积分值也不相等．其中正确结论的个数为导学号05300300(　　)
A．1　　
B．2　　
C．3　　
D．4
答案]　C
解析]　用f与f近似代替f(x)在区间上的值得到的积分和是不相等的，但当n→∞时其积分和的极限值相等，都等于f(x)在0,1]上的定积分．故选C.
5．下列积分值等于1的积分是导学号05300301(　　)
A.xdx
B．(x＋1)dx
C.1dx
D．dx
答案]　C
解析]　1dx的几何意义是由直线x＝0，x＝1,
y＝0和y＝1围成平面图形的面积，其值为1.故选C.
6．设f(x)在a，b]上连续，将a，b]n等分，在每个小区间上任取ξi，则f(x)dx是
导学号05300302(　　)
A.(ξi)
B．(ξi)·
C.(ξi)·ξi
D．(ξi)·(ξi＋1－ξi)
答案]　B
解析]　由定积分的定义可知B正确．
7．设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)，若f(x)dx＝f(x0)，0≤x0≤1，则x0的值为
导学号05300303(　　)
A.
B．
C.
D．1
答案]　A
8．下列命题不正确的是导学号05300304(　　)
A．若f(x)是连续的奇函数，则f(x)dx＝0
B．若f(x)是连续的偶函数，则f(x)dx＝2f(x)dx
C．若f(x)在a，b]上连续且恒正，则f(x)dx>0
D．若f(x)在a，b]上连续且f(x)dx>0，则f(x)在a，b]上恒正
答案]　D
解析]　对于A：因为f(x)是奇函数，所以图象关于原点对称，所以x轴上方的面积和x轴下方的面积相等，故积分是0，所以A正确，对于B：因为f(x)是偶函数，所以图象关于y轴对称，故图象都在x轴下方或上方且面积相等，故B正确，C显然正确．D选项中f(x)也可以小于0，但必须有大于0的部分，且f(x)>0的曲线围成的面积比f(x)<0的曲线围成的面积大．故选D.
二、填空题
9.
·写成定积分是________．导学号05300305
答案]　xdx
10．已知f(x)dx＝3，则f(x)＋6]dx＝________.导学号05300306
答案]　15
11．定积分3dx的几何意义是________．导学号05300307
答案]　由直线x＝2，x＝4，y＝0和y＝3所围成的矩形的面积
三、解答题
12．用定积分表示下列阴影部分的面积(不要求计算)．导学号05300308
解析]　由曲线所围成的区域图形可知：
(1)
sinxdx；(2)
x2dx；(3)－(－x)dx.
一、选择题
1．当n很大时，函数f(x)＝x2在区间上的值，可以用________近似代替．
导学号05300309(　　)
A．f
B．f
C．f
D．f(0)
答案]　C
2．在“近似代替”中，函数f(x)在区间xi，xi＋1]上的近似值等于
导学号05300310(　　)
A．只能是左端点的函数值f(xi)
B．只能是右端点的函数值f(xi＋1)
C．可以是该区间内任一点函数值f(ξi)(ξ∈xi，xi＋1])
D．以上答案均不正确
答案]　C
3．设连续函数f(x)>0，则当aA．一定为正
B．一定为负
C．当0D．以上结论都不对
答案]　A
解析]　∵f(x)>0，
∴曲边梯形在x轴上方，
∴f(x)dx>0.故选A.
4．已知t>0，若(2x－2)dx＝8，则t＝导学号05300312(　　)
A．1
B．－2
C．－2或4
D．4
答案]　D
解析]　作出函数f(x)＝2x－2的图象与x轴交于点A(1,0)，与y轴交于点B(0，－2)，易求得S△OAB＝1，
∵(2x－2)dx＝8，且(2x－2)dx＝－1，∴t>1，
∴S△AEF＝|AE||EF|＝×(t－1)(2t－2)＝(t－1)2＝9，∴t＝4，故选D.
二、填空题
5．正弦曲线y＝sinx在0,2π]上的一段曲线与x轴所围成平面图形的面积用定积分可表示为________．导学号05300313
答案]　
|sinx|dx
6．已知f(x)dx＝6，则6f(x)dx等于________．导学号05300314
答案]　36
7．已知f(x)＋g(x)]dx＝18，g(x)dx＝10，则f(x)dx等于________．导学号05300315
答案]　8
三、解答题
8．利用定积分的几何意义求：导学号05300316
(1)
dx；(2)dx.
解析]　(1)被积函数的曲线是圆心在原点，半径为2的半圆周，由定积分的几何意义知此积分计算的是半圆的面积，
∴有dx＝＝2π.
(2)∵被积函数为y＝，其表示的曲线为以原点为圆心，1为半径的四分之一圆，由定积分的几何意义可知所求的定积分即为四分之一圆的面积．
∴dx＝π·12＝π.
9．求由直线x＝0，x＝2，y＝0及曲线y＝x3围成的曲边梯形的面积．(提示：此处用到了求和公式13＋23＋…＋n3＝(1＋2＋…＋n)2＝]2)导学号05300317
解析]　将0,2]平均分成n等份，每份，第i个小曲边梯形的面积S1＝·()3，S＝
()3＋()3＋…＋()3]＝
(13＋23＋…＋n3)＝
＝4.
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选修2－2综合素质测试
时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1.是z的共轭复数．若z＋＝2，(z－)i＝2(i为虚数单位)，则z＝
导学号
05300785(　　)
A．1＋i　　　　　　
B．－1－i
C．－1＋i
D．1－i
答案]　D
解析]　本题考查复数、共轭复数的运算．
设z＝a＋bi，则＝a－bi.
由题设条件可得a＝1，b＝－1.选D.
2．若f(x)＝x2－2x－4lnx，则f′(x)＞0的解集为导学号
05300786(　　)
A．(0，＋∞)
B．(－1,0)∪(2，＋∞)
C．(2，＋∞)
D．(－1,0)
答案]　C
解析]　本题主要考查导数的概念及分式不等式的解法和对数的概念．因为f(x)＝x2－2x－4lnx，
∴f′(x)＝2x－2－＝>0，
即，解得x>2，故选C.
3．下列命题中正确的是导学号
05300787(　　)
A．复数a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d
B．任何复数都不能比较大小
C．若＝，则z1＝z2
D．若|z1|＝|z2|，则z1＝z2或z1＝
答案]　C
解析]　A选项未注明a，b，c，d∈R.实数是复数，实数能比较大小．z1与z2的模相等，符合条件的z1，z2有无数多个，如单位圆上的点对应的复数的模都是1.故选C.
4．数列1，，，，，，，，，，…，的前100项的和等于导学号
05300788(　　)
A．13
B．13
C．14
D．14
答案]　A
解析]　从数列排列规律看，项有n个，故1＋2＋…＋n＝≤100.得n(n＋1)≤200，所以n≤13，当n＝13时，＝13×7＝91(个)，故前91项的和为13，从第92项开始到第100项全是，共9个，故前100项的和为13.故选A.
5．对一切实数x，不等式x2＋a|x|＋1≥0恒成立，则实数a的取值范围是
导学号
05300789(　　)
A．(－∞，－2]
B．－2,2]
C．－2，＋∞)
D．0，＋∞)
答案]　C
解析]　用分离参数法可得a≥－(x≠0)，则|x|＋≥2，∴a≥－2.当x＝0时，显然成立．
6．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为导学号
05300790(　　)
A.
B．2e2
C．e2
D．
答案]　D
解析]　y′＝(ex)′＝ex，曲线在点(2，e2)处的切线斜率为e2，因此切线方程为y－e2＝e2(x－2)，则切线与坐标轴交点为A(1,0)，B(0，－e2)，
所以：S△AOB＝×1×e2＝.
7．已知函数f(x)＝x3－12x，若f(x)在区间(2m，m＋1)上单调递减，则实数m的取值范围是导学号
05300791(　　)
A．－1≤m≤1
B．－1C．－1D．－1≤m<1
答案]　D
解析]　因为f
′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)，令f
′(x)<0 －28．三次函数当x＝1时有极大值4，当x＝3时有极小值0，且函数过原点，则此函数是
导学号
05300792(　　)
A．y＝x3＋6x2＋9x
B．y＝x3－6x2＋9x
C．y＝x3－6x2－9x
D．y＝x3＋6x2－9x
答案]　B
解析]　由条件设f(x)＝ax3＋bx2＋cx，则f
′(x)＝3ax2＋2bx＋c＝3a(x－1)(x－3)，∴b＝－6a，c＝9a，
∴f(x)＝ax3－6ax2＋9ax，∵f(1)＝4，∴a＝1.
∴f(x)＝x3－6x2＋9x，故选B.
9．若xy是正实数，则2＋2的最小值是导学号
05300793(　　)
A．3
B．
C．4
D．
答案]　C
解析]　因为xy是正实数，所以
2＋2＝x2＋＋＋y2＋＋
＝＋＋≥1＋2＋1＝4，当且仅当x＝y＝±时，等号成立．故选C.
10．复数z满足方程＝4，那么复数z在复平面内对应的点P组成的图形为
导学号
05300794(　　)
A．以(1，－1)为圆心，以4为半径的圆
B．以(1，－1)为圆心，以2为半径的圆
C．以(－1,1)为圆心，以4为半径的圆
D．以(－1,1)为圆心，以2为半径的圆
答案]　C
解析]　原方程可化为|z＋(1－i)|＝4，即|z－(－1＋i)|＝4，表示以(－1,1)为圆心，以4为半径的圆．故选C.
11．已知f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d在区间－1,2]上是减函数，那么b＋c
导学号
05300795(　　)
A．有最大值
B．有最大值－
C．有最小值
D．有最小值－
答案]　B
解析]　由题意f′(x)＝3x2＋2bx＋c在－1,2]上，f′(x)≤0恒成立．
所以，
即，
令b＋c＝z，b＝－c＋z，
如图A是使得z最大的点，
最大值为b＋c＝－6－＝－.故应选B.
12．(2016·浙江理，6)如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且
|AnAn＋1|＝|An＋1An＋2|，An≠An＋2，n∈N
，|BnBn＋1|＝|Bn＋1Bn＋2|，Bn≠Bn＋2，n∈N
.
(P≠Q表示点P与Q不重合)
若dn＝|AnBn|，Sn为△AnBnBn＋1的面积，则(　　)
A．{Sn}是等差数列
B．{S}是等差数列
C．{dn}是等差数列
D．{d}是等差数列
答案]　A
解析]　由题意，过点A1，A2，A3，…，An，An＋1，…分别作直线B1Bn＋1的垂线，高分别记为h1，h2，h3，…，hn，hn＋1，…，根据平行线的性质，得h1，h2，h3，…，hn，hn＋1，…成等差数列，又Sn＝×|BnBn＋1|×hn，|BnBn＋1|为定值，所以{Sn}是等差数列．故选A.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上)
13．(2015·天津理，9)i是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a的值为________．导学号
05300797
答案]　－2
解析]　(1－2i)(a＋i)＝a＋2＋(1－2a)i是纯虚数，所以a＋2＝0，即a＝－2.
14．已知f(x)＝，x≥0，若f1(x)＝f(x)，fn＋1(x)＝f(fn(x))，n∈N＋，
则f2015(x)的表达式为________．导学号
05300798
答案]　f2015(x)＝
解析]　本题考查了函数的解析式．
f1(x)＝f(x)＝，f2(x)＝f(f1(x))＝＝，f3(x)＝f(f2(x))＝＝，…，
f2015(x)＝.
15．定积分sintcostdt＝________.导学号
05300799
答案]　
解析]　
sintcostdt＝sin2tdt
＝(－cos2t)＝×(1＋1)＝.
16．设曲线y＝xn＋1(n∈N
)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lgxn，则a1＋a2＋…＋a99的值为________．导学号
05300800
答案]　－2
解析]　本小题主要考查导数的几何意义和对数函数的有关性质．
∵k＝y′|x＝1＝n＋1，
∴切线l：y－1＝(n＋1)(x－1)，
令y＝0，xn＝，∴an＝lg，
∴原式＝lg＋lg＋…＋lg
＝lg××…×＝lg＝－2.
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本题满分12分)已知a>b>0，求证：<－<.导学号
05300801
证明]　要证明原不等式成立，
只需证即证<(－)2<.
因为a>b>0，所以a－b>0，－>0.
所以只需证<－<，
即证<2<，
即证<1<，即证<1<.
因为a>b>0，所以<1<成立．
故原不等式成立．
18．(本题满分12分)请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x(cm)．导学号
05300802
(1)若广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？
(2)某厂商要求包装盒容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
解析]　设包装盒的高为hcm，底面边长为acm.
由已知得a＝x，h＝＝(30－x)，0(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1800，
所以当x＝15时，S取得最大值．
(2)V＝a2h＝2(－x3＋30x2)，V′＝6x(20－x)．
由V′＝0，得x＝0(舍)或x＝20.
当x∈(0,20)时，V′>0；当x∈(20,30)时，V′<0.
所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值．
此时＝.即包装盒的高与底面边长的比值为.
19．(本题满分12分)求同时满足下列条件的所有复数z：导学号
05300803
(1)z＋是实数，且1(2)z的实部和虚部都是整数．
解析]　设z＝a＋bi(a，b∈R，且a2＋b2≠0)．
则z＋＝a＋bi＋＝a＋bi＋
＝a＋bi.
由(1)知z＋是实数，且1∴b＝0，即b＝0或a2＋b2＝10.
又1)
当b＝0时，(
)化为1当a2＋b2＝10时，(
)化为1<2a≤6，
∴由题中条件(2)知a＝1,2,3.
∴相应的b＝±3，±(舍)，±1.
因此，复数z为：1±3i或3±i.
20．(本题满分12分)设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a>0.导学号
05300804
(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；
(2)当x∈0,1]时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值．
解析]　(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f
′(x)＝1＋a－2x－3x2，
令f
′(x)＝0得x1＝，
x2＝，x1所以f
′(x)＝－3(x－x1)(x－x2)，
当xx2时，f
′(x)<0；当x1′(x)>0，故f(x)在(－∞，x1)和(x2，＋∞)内单调递减，在(x1，x2)内单调递增．
(2)因为a>0，所以x1<0，x2>0，
①当a≥4时，x2≥1，由(1)知，f(x)在0,1]上单调递增，所以f(x)在x＝0和x＝1处分别取得最小值和最大值．
②当0由(1)知，f(x)在0，x2]上单调递增，在x2,1]上单调递减，
所以f(x)在x＝x2＝处取得最大值，
又f(0)＝1，f(1)＝a，所以当0当a＝1时，f(x)在x＝0处和x＝1处同时取得最小值．
当121．(本题满分12分)已知数列{an}满足a1＝a，an＋1＝(n∈N
)．导学号
05300805
(1)求a2，a3，a4；
(2)猜测数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明．
解析]　(1)由an＋1＝，可得a2＝＝，a3＝＝＝，a4＝＝＝.
(2)猜测an＝(n∈N
)．
下面用数学归纳法证明：
①当n＝1时，左边＝a1＝a，
右边＝＝a，猜测成立．
②假设当n＝k(k∈N
)时猜测成立，
即ak＝.
则当n＝k＋1时，ak＋1＝＝
＝
＝.
故当n＝k＋1时，猜测也成立．
由①，②可知，对任意n∈N
都有
an＝成立．
22．(本题满分14分)(2016·天津理，20)设函数f(x)＝(x－1)3－ax－b，x∈R，其中a，b∈R.
(Ⅰ)求f(x)的单调区间；
(Ⅱ)若f(x)存在极值点x0，且f(x1)＝f(x0)，其中x1≠x0，求证：x1＋2x0＝3；
(Ⅲ)设a＞0，函数g(x)＝|f(x)|，求证：g(x)在区间0,2]上的最大值不小于.
解析]　(Ⅰ)解：由f(x)＝(x－1)3－ax－b，可得f′(x)＝3(x－1)2－a.
下面分两种情况讨论：
(1)当a≤0时，有f′(x)＝3(x－1)2－a≥0恒成立，所以f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．
(2)当a>0时，令f′(x)＝0，解得x＝1＋，或x＝1－.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，1－)
1－
(1－，1＋)
1＋
(1＋，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
所以f(x)的单调递减区间为(1－，1＋)，单调递增区间为(－∞，1－)，(1＋，＋∞)．
(Ⅱ)证明：因为f(x)存在极值点，所以由(Ⅰ)知a>0，且x0≠1，由题意，得f′(x0)＝3(x0－1)2－a＝0，即(x0－1)2＝，
进而f(x0)＝(x0－1)3－ax0－b＝－x0－－b.
又f(3－2x0)＝(2－2x0)3－a(2－2x0)－b＝(1－x0)＋2ax0－3a－b＝－x0－－b＝f(x0)，且3－2x0≠x0，由题意及(Ⅰ)知，存在唯一实数满足f(x1)＝f(x0)，且x1≠x0，因此x1＝3－2x0，所以x1＋2x0＝3；
(Ⅲ)证明：设g(x)在区间0,2]上的最大值为M，max{x，y}表示x，y两数的最大值．下面分三种情况讨论：
(1)当a≥3时，1－≤0<2≤1＋，由(Ⅰ)知，f(x)在区间0,2]上单调递减，所以f(x)在区间0,2]上的取值范围为f(2)，f(0)]，因此g(x)在区间0,2]上的最大值．
M＝max{|f(2)|，|f(0)|}＝max{|1－2a－b|，|－1－b|}
＝max{|a－1＋(a＋b)|，|a－1－(a＋b)|}
＝，所以M＝a－1＋|a＋b|≥2.
(2)当≤a<3时，1－≤0<1－<1＋<2≤1＋，由(Ⅰ)和(Ⅱ)知，
f(0)≥f(1－)＝f(1＋)，f(2)≤f(1＋)＝f(1－)，
所以f(x)在区间0,2]上的取值范围为f(1＋)，f(1－)]，因此
M＝max{|f(1＋)|，|f(1－)|}
＝max{|－－a－b|，|－a－b|}
＝max{|＋(a＋b)|，|－(a＋b)|}
＝＋|a＋b|≥××＝.
(3)当0f(0)f(1＋)＝f(1－)，
所以f(x)在区间0,2]上的取值范围为f(0)，f(2)]，因此
M＝max{|f(0)|，|f(2)|}＝max{|－1－b|，|1－2a－b|}
＝mnax{|1－a＋(a＋b)|，|1－a－(a＋b)|}
＝1－a＋|a＋b|>.
综上所述，当a>0时，
g(x)在区间0,2]上的最大值不小于.
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第一章　1.1　第3课时
一、选择题
1．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线导学号05300073(　　)
A．不存在　　　　
B．与x轴平行或重合
C．与x轴垂直
D．与x轴斜交
答案]　B
解析]　由导数的几何意义知，f(x)在(x0，f(x0))处切线的斜率k＝f′(x0)＝0.
∴切线与x轴平行或重合．
2．下列点中，在曲线y＝x2上，且在此点处的切线倾斜角为的是
导学号05300074(　　)
A．(0,0)　　　　　　
B．(2,4)
C.
D．
答案]　D
解析]　f′(x)＝
＝
＝
＝
(2x0＋Δx)＝2x0.
∵切线倾斜角为.
∴函数在切点x0处的导数值为1.
令2x0＝1，x0＝，∴y＝.
3．曲线y＝－2x2＋1在点(0,1)处的切线的斜率是导学号05300075(　　)
A．－4
B．0
C．4
D．不存在
答案]　B
解析]　y′|x＝0＝
＝
(－2Δx)＝0.故选B.
4．已知曲线y＝f(x)在x＝5处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)及f′(5)分别为
导学号05300076(　　)
A．3,3
B．3，－1
C．－1,3
D．－1，－1
答案]　B
解析]　当x＝5时，y＝－5＋8＝3，∴f(5)＝3，
又∵f′(5)＝k＝－1，故选B.
5．如果曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么
导学号05300077(　　)
A．f′(x0)＞0
B．f′(x0)＜0
C．f′(x0)＝0
D．f′(x0)不存在
答案]　B
解析]　切线x＋2y－3＝0的斜率k＝－，即f′(x0)＝－＜0.故选B.
6．函数f(x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是导学号05300078(　　)
A．0B．0C．0D．0答案]　B
解析]　f′(2)、f′(3)是x分别为2、3时对应图象上点的切线斜率，f(3)－f(2)＝，∴f(3)－f(2)是x为2和3时对应两点连线的斜率，故选B.
7．曲线y＝x2在点P(1,1)处的切线方程为导学号05300079(　　)
A．y＝2x
B．y＝2x－1
C．y＝2x＋1
D．y＝－2x
答案]　B
解析]　∵＝＝2x＋Δx，
∴
＝2x，∴y′|x＝1＝2，
∴切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.
8．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于
导学号05300080(　　)
A．1
B．
C．－
D．－1
答案]　A
解析]　∵y′|x＝1＝
＝
＝
(2a＋aΔx)＝2a，
∴2a＝2，∴a＝1.
二、填空题
9．自由落体运动方程是s(t)＝gt2，物体在t＝2这一时刻的速度是____________．
导学号05300081
答案]　2g
解析]　＝＝g·Δt＋gt.
＝＝
＝gt.
∴
当t＝2时，速度为2g.
10．已知曲线y＝x3＋，则过点P(2,4)的切线方程是________．导学号05300082
答案]　y－4x＋4＝0
解析]　∵y′＝x2，点P(2,4)在曲线上，
∴过点P(2,4)的切线的斜率为4.
∴切线方程为y－4＝4(x－2)，即y－4x＋4＝0.
11．抛物线y＝x2在点P处的切线平行于直线y＝4x－5，则点P的坐标为________．
导学号05300083
答案]　(2,4)
解析]　
＝
＝2x，
令2x＝4，∴x＝2，即在点(2,4)处的切线平行于直线y＝4x－5.
三、解答题
12．求曲线f(x)＝在点(－2，－1)处的切线的方程．导学号05300084
解析]　由于点(－2，－1)恰好在曲线f(x)＝上，所以曲线在点(－2，－1)处的切线的斜率就等于函数f(x)＝在点(－2，－1)处的导数．
而f′(－2)＝
＝
＝
＝－，
故曲线在点(－2，－1)处的切线方程为
y＋1＝－(x＋2)，整理得x＋2y＋4＝0.
一、选择题
1．已知曲线y＝2ax2＋1过点(，3)，则该曲线在该点的切线方程是
导学号05300085(　　)
A．y＝－4x－1
B．y＝4x－1
C．y＝4x＋8
D．y＝4x或y＝4x－4
答案]　B
解析]　由3＝2a()2＋1得a＝1或a＝－1(舍)．
又y′|x＝1＝4，所以切线方程为y－3＝4(x－1)，即y＝4x－1.故选B.
2．曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是导学号05300086(　　)
A．3　　
B．－3　　
C．9　　
D．15
答案]　C
解析]　y′＝
＝
＝
(3x2＋3x·Δx＋Δx2)＝3x2.
∴曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线的斜率k＝3，切线方程为y－12＝3(x－1)，即y＝3x＋9.
令x＝0，得y＝9，故选C.
3．曲线y＝ax2＋1与直线y＝x相切，则a＝导学号05300087(　　)
A.
B．
C.
D．1
答案]　B
解析]　y′＝
＝
＝
(2ax＋aΔx)＝2ax
设切点为(x0，y0)，则2ax0＝1，∴x0＝.
∵切点在直线y＝x上，∴y0＝
代入y＝ax2＋1得＝＋1
∴a＝.故选B.
4．曲线y＝x3＋x－2在点P0处的切线平行于直线y＝4x－1，则点P0的坐标是
导学号05300088(　　)
A．(1,0)
B．(－1，－4)
C．(1,0)或(－1，－4)
D．(0,1)或(4,1)
答案]　C
解析]　设P0(x0，y0)，
则f′(x0)＝
＝3x＋1＝4，
所以x0＝±1.因此P0(1,0)或(－1，－4)．故选C.
二、填空题
5．曲线y＝x2－3x在点P处的切线平行于x轴，则点P的坐标为________．
导学号05300089
答案]　
解析]　∵y′＝
＝
(2x＋Δx＋3)＝2x－3，
令y′＝0，得x＝，
代入曲线方程y＝x2－3x得y＝－.
6．曲线f(x)＝x3在点A处的切线的斜率为3，则该曲线在点A处的切线方程为____________．导学号05300090
答案]　3x－y－2＝0或3x－y＋2＝0
解析]　设点A(x0，x)，
则k＝f′(x0)＝
＝
(3x＋3x0·Δx＋Δx2)＝3x＝3.
∴x0＝±1.
∴切点的坐标为(1,1)或(－1，－1)，
∴所求的切线方程为y－1＝3(x－1)或y＋1＝3(x＋1)，即3x－y－2＝0或3x－y＋2＝0.
7．过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程是________．导学号05300091
答案]　2x－y＋4＝0
解析]　∵y′＝
＝
(6x＋3Δx－4)＝6x－4，
∴y′|x＝1＝2.所求直线的斜率为2，所以所求直线的方程为y－2＝2(x＋1)，即2x－y＋4＝0.
三、解答题
8．已知函数f(x)＝的图象上一点A(4，f(4))，O为坐标原点，点B为曲线段OA上一动点，求△OAB的面积的最大值．导学号05300092
解析]　由f(x)＝，得f(4)＝2，∴A(4,2)，
∴直线OA的斜率为.
如图，将直线OA平移至直线l，使得直线l与f(x)＝的图象相切于点B，此时△OAB的面积有最大值．
设B(x0，y0)，则直线l的斜率f
′(x0)＝，
又f
′(x0)＝
＝
＝，
∴＝，解得x0＝1，而y0＝＝1，即B(1,1)．
点B到直线OA：y＝x的距离d＝＝，
|OA|＝＝2，
∴△OAB的面积的最大值为|OA|·d＝×2×＝1.
9．已知曲线y＝x2－1与y＝x3＋1在x0点的切线互相垂直，求x0的值．导学号05300093
解析]　函数y＝x2－1在x0处的导数为：
y′|x＝x0＝
＝
＝2x0.
函数y＝x3＋1在x0处的导数为：
y′|x＝x0＝
＝
＝3x，
∵两曲线在x0处的切线互相垂直，显然两切线的斜率都存在，
∴2x0·3x＝－1，解得x0＝－.
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选修2－2知能基础测试
时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是导学号
05300764(　　)
A．真，假，真　　　　
B．假，假，真
C．真，真，假
D．假，假，假
答案]　B
解析]　本题考查四种命题的关系，真假判断，复数中共轭复数的概念．
若z1＝a＋bi，则z2＝a－bi.
∴|z1|＝|z2|，故原命题正确、逆否命题正确．
其逆命题为：若|z1|＝|z2|，则z1，z2互为共轭复数，
若z1＝a＋bi，z2＝－a＋bi，则|z1|＝|z2|，而z1，z2不为共轭复数．
∴逆命题为假，否命题也为假．
2．已平面α∥平面β，直线m α，直线n β，点A∈m，点B∈n，记点A，B之间的距离为a，点A到直线n的距离为b，直线m和n的距离为c，则导学号
05300765(　　)
A．c≤b≤a
B．c≤a≤b
C．a≤c≤b
D．b≤c≤a
答案]　A
3．设f(x)为可导函数，且满足条件
＝3，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为导学号
05300766(　　)
A.
B．3
C．6
D．无法确定
答案]　C
解析]　
＝
＝f′(1)＝3，∴f′(1)＝6.故选C.
4．给出下列命题①dx＝dt＝b－a(a，b为常数且a05300767(　　)
A．0
B．1
C．2
D．3
答案]　B
解析]　dt＝b－a≠dx＝a－b，故①错，而y＝x2是偶函数其在－1,0]上的积分结果等于其在0,1]上的积分结果，故②正确，对于③有S＝2sinxdx＝4.故③错．
5．(2015·四川理，2)设i是虚数单位，则复数i3－＝导学号
05300768(　　)
A．－i
B．－3i
C．i
D．3i
答案]　C
解析]　i3－＝－i－＝－i＋2i＝i，选C.
6．函数f(x)＝3x－4x3(x∈0,1])的最大值是导学号
05300769(　　)
A.
B．－1
C．0
D．1
答案]　D
解析]　由f
′(x)＝3－12x2＝0得，x＝±，∵x∈0,1]，∴x＝，∵当x∈0，]，f
′(x)>0，当x∈，1]时，f
′(x)<0，∴f(x)在0，]上单调递增，在，1]上单调递减，故x＝时，f(x)取到极大值也是最大值，f()＝3×－4×()3＝1，故选D.
7．过x2＋y2＝10x内一点(5,3)有n条弦，它们的长度构成等差数列，最短的弦长为数列首项a1，最长的弦长为数列的末项an，若公差d∈，则n的取值范围是
导学号
05300770(　　)
A．n＝4
B．5≤n≤7
C．n>7
D．n∈R＋
答案]　B
解析]　A(5,3)，圆心O(5,0)，最短弦为垂直OA的弦，a1＝8，最长弦为直径：an＝10，公差d＝，
∴≤≤，∴5≤n≤7.
8．若f(x)＝，005300771(　　)
A．f(a)>f(b)
B．f(a)＝f(b)
C．f(a)D．f(a)·f(b)>1
答案]　C
解析]　∵f′(x)＝，在(0，e)上f′(x)>0，
∴f(x)在(0，e)上为增函数．∴f(a)9．已知使函数y＝x3＋ax2－a的导数为0的x值也使y值为0，则常数a的值为
导学号
05300772(　　)
A．0
B．±3
C．0或±3
D．非以上答案
答案]　C
解析]　求出使y′＝0的值的集合，再逐一检验．y′＝3x2＋2ax.令y′＝0，得x＝0或x＝－a.
由题设x＝0时，y＝0，故－a＝0，则a＝0.且知当x＝2，a＝－3或x＝－2，a＝3时，也成立．故选C.
10．函数y＝asinx＋sin3x在x＝处有极值，则a的值为导学号
05300773(　　)
A．－6
B．6
C．－2
D．2
答案]　D
解析]　y′＝acosx＋cos3x，由条件知，acos＋cosπ＝0，∴a＝2，故选D.
11．下列求导运算正确的是导学号
05300774(　　)
A．(2x)′＝x·2x－1
B．(3ex)′＝3ex
C．(x2－)′＝2x－
D．()′＝
答案]　B
解析]　对于A，(2x)′＝2xln2；对于B，(3ex)′＝3ex；对于C，(x2－)′＝2x＋；对于D，()′＝；综上可知选B.
12．(2015·青岛高二检测)设f(x)，g(x)分别是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0.且g(－3)＝0.则不等式f(x)g(x)<0的解集是
导学号
05300775(　　)
A．(－3,0)∪(3，＋∞)
B．(－3,0)∪(0,3)
C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(0,3)
答案]　D
解析]　令φ＝(x)＝f(x)g(x)，
则φ′(x)＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0对x<0恒成立，
∴当x<0时，φ(x)单调递增．
又∵g(－3)＝0，
∴φ(－3)＝g(－3)·f(－3)＝0.
从而当x<－3时，φ(x)<0，当－30.
又φ(x)为奇函数．
∴当03时，φ(x)>0，
综上，当x∈(－∞，－3)∪(0,3)时，φ(x)<0.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上)
13．(2016·北京理，9)设a∈R，若复数(1＋i)(a＋i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a＝________.
答案]　－1
解析]　(1＋i)(a＋i)＝(a－1)＋(a＋1)i，由已知得a＋1＝0，解得a＝－1.
14．如图，平面中两条直线l1和l2相交于点O，对于平面上任意一点M，若p，q分别是M到直线l1和l2的距离，则称有序非负数实数对(p，q)是点M的“距离坐标”．根据上述定义，“距离坐标”是(1,2)的点的个数是________．导学号
05300777
答案]　4
解析]　据上述定义，“距离坐标”是(1,2)的点可以在两条直线相交所成的四个区域内各找到一个，所以满足条件的点的个数是4个．
15．观察分析下表中的数据：导学号
05300808
多面体
面数(F)
顶点数(V)
棱数(E)
三棱柱
5
6
9
五棱锥
6
6
10
立方体
6
8
12
猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是________．
答案]　F＋V－E＝2
解析]　本题考查归纳推理．
5＋6－9＝2，
6＋6－10＝2，
6＋8－12＝2，
∴F＋V－E＝2.
16．已知不等式1－<0的解集为(－1,2)，则(1－)dx＝________.
导学号
05300778
答案]　2－3ln3
解析]　由条件知方程1－＝0的根为－1或2，∴a＝1.
∴(1－)dx＝(1－)dx
＝＝2－3ln3.
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本题满分12分)已知z1、z2为复数，i为虚数单位，z1·1＋3(z1＋1)＋5＝0，为纯虚数，z1、z2在复平面内对应的点分别为P、Q.导学号
05300779
(1)求点P的轨迹方程；
(2)求点Q的轨迹方程；
(3)写出线段PQ长的取值范围．
解析]　(1)设z1＝x＋yi，(x、y∈R)，由z1·1＋3(z1＋1)＋5＝0得x2＋y2＋6x＋5＝0，整理得(x＋3)2＋y2＝4，
∴点P的轨迹方程为(x＋3)2＋y2＝4.
(2)设z2＝x＋yi，(x、y∈R)，
＝＝，
∵为纯虚数，∴x2＋y2＝9且y≠0，
∴点Q的轨迹方程为x2＋y2＝9(y≠0)．
(3)PQ长的取值范围是0,8)．
∵两圆相交，∴PQ长的最小值为0，
又两圆圆心距为3，两圆半径分别为2和3，∴PQ长的最大值为8，但点Q的轨迹方程中y≠0，∴|PQ|<8，
∴线段PQ长的取值范围是0,8)．
说明]　第(3)问要求“写出线段PQ长的取值范围”可以不写解答过程．
18．(本题满分12分)已知函数f(x)＝ex－ax2－bx－1，其中a、b∈R，e＝2.71828…为自然对数的底数．
设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间0,1]上的最小值．导学号
05300780
解析]　由f(x)＝ex－ax2－bx－1，有g(x)＝f
′(x)＝ex－2ax－b.
所以g′(x)＝ex－2a.
当x∈0,1]时，g′(x)∈1－2a，e－2a]．
当a≤时，g′(x)≥0，所以g(x)在0,1]上单调递增．
因此g(x)在0,1]上的最小值是g(0)＝1－b；
当a≥时，g′(x)≤0，所以g(x)在0,1]上单调递减，
因此g(x)在0,1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b；
当所以函数g(x)在区间0，ln(2a)]上单调递减，在区间(ln(2a)，1]上单调递增．
于是，g(x)在0,1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b；
综上所述，当a≤时，g(x)在0,1]上的最小值是g(0)＝1－b；
当当a≥时，g(x)在0,1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b.
19．(本题满分12分)已知函数f(x)＝.求证：对于任意不小于3的正整数n都有f(n)>成立．导学号
05300781
证明]　要证f(n)>(n∈N＋且n≥3)，只需证>，即证1－>1－，也就是证明2n－1>2n.
下面用数学归纳法来证明2n－1>2n(n∈N＋且n≥3)．
①当n＝3时，左边＝7，右边＝6，左边>右边，不等式成立．
②假设当n＝k(k∈N＋且k≥3)时不等式成立，即2k－1>2k，则当n＝k＋1时，2k＋1－1＝2·2k－1＝2(2k－1)＋1>2·2k＋1＝2(k＋1)＋2k－1>2(k＋1)，故当n＝k＋1时，不等式也成立．
综上所述，当n∈N＋且n≥3时，2n－1>2n成立．
所以f(n)>(n∈N＋且n≥3)成立．
20．(本题满分12分)某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元(3≤a≤5)的管理费，预计当每件产品的售价为x元(9≤x≤11)时，一年的销售量为(12－x)2万件．导学号
05300782
(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式；
(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q(a)．
解析]　(1)分公司一年的利润L(万元)与售价x的函数关系式为：
L＝(x－3－a)(12－x)2，x∈9,11]．
(2)L′(x)＝(12－x)2－2(x－3－a)(12－x)
＝(12－x)(18＋2a－3x)
令L′＝0得x＝6＋a或x＝12(不合题意，舍去)．
∵3≤a≤5，∴8≤6＋a≤.
在x＝6＋a两侧L′(x)的值由正变负．
所以(1)当8≤6＋a≤9，即3≤a≤时，
Lmax＝L(9)＝(9－3－a)(12－9)2＝9(6－a)．
(2)当9<6＋a≤，即Lmax＝L＝
2＝43，
所以Q(a)＝
.
答：若3≤a≤，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)＝9(6－a)(万元)；若21．(本题满分12分)设函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d(a>0)，且方程f′(x)－9x＝0的两个根分别为1,4.导学号
05300783
(1)当a＝3且曲线y＝f(x)过原点时，求f(x)的解析式；
(2)若f(x)在(－∞，＋∞)内无极值点，求a的取值范围．
解析]　本题考查了函数与导函数的综合应用．
由f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d得f′(x)＝ax2＋2bx＋c
∵f′(x)－9x＝ax2＋2bx＋c－9x＝0的两根为1,4.
∴(
)
(1)当a＝3时，由(
)式得，
解得b＝－3，c＝12.
又∵曲线y＝f(x)过原点，∴d＝0.
故f(x)＝x3－3x2＋12x.
(2)由于a>0，所以“f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d
在(－∞，＋∞)内无极值点”等价于“f′(x)＝ax2＋2bx＋c≥0在(－∞，＋∞)内恒成立”，
由(
)式得2b＝9－5a，c＝4a.
又∵Δ＝(2b)2－4ac＝9(a－1)(a－9)
解得a∈1,9]，
即a的取值范围为1,9]．
22．(本题满分14分)(2016·四川卷理，21)设函数f(x)＝ax2－a－lnx，其中a∈R.
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性；
(Ⅱ)确定a的所有可能取值，使得f(x)>－e1－x在区间(1，＋∞)内恒成立．(e＝2.718…为自然对数的底数)
解析]　(Ⅰ)f′(x)＝2ax－＝(x>0)．
当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在(0，＋∞)内单调递减．
当a>0时，由f′(x)＝0，有x＝.
此时，当x∈(0，)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈(，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
(Ⅱ)令g(x)＝－，s(x)＝ex－1－x.
则s′(x)＝ex－1－1.
而当x>1时，s′(x)>0，
所以s(x)在区间(1，＋∞)内单调递增．
又由s(1)＝0，有s(x)>0，
从而当x>1时，g(x)>0.
当a≤0，x>1时，f(x)＝a(x2－1)－lnx<0.
故当f(x)>g(x)在区间(1，＋∞)内恒成立时，必有a>0.
当01.
由(Ⅰ)有f()0，
所以此时f(x)>g(x)在区间(1，＋∞)内不恒成立．
当a≥时，令h(x)＝f(x)－g(x)(x≥1)．
当x>1时，h′(x)＝2ax－＋－e1－x>x－＋－＝>>0.
因此，h(x)在区间(1，＋∞)内单调递增．
又h(1)＝0，所以当x>1时，h(x)＝f(x)－g(x)>0，即f(x)>g(x)恒成立．
综上，a∈，＋∞)．
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第一章　1.3　第2课时
一、选择题
1．已知函数f(x)在点x0处连续，下列命题中正确的是导学号05300234(　　)
A．导数为零的点一定是极值点
B．如果在点x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极小值
C．如果在点x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值
D．如果在点x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极大值
答案]　C
解析]　由极大值的定义可知C正确．
2．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)
导学号05300235(　　)
A．无极大值点，有四个极小值点
B．有三个极大值点，两个极小值点
C．有两个极大值点，两个极小值点
D．有四个极大值点，无极小值点
答案]　C
解析]　f′(x)的图象有4个零点，且全为变号零点，所以f(x)有4个极值点，且f′(x)的函数值由正变负为极大值点，由负变正为极小值点，故选C.
3．函数f(x)＝x＋的极值情况是导学号05300236(　　)
A．当x＝1时，极小值为2，但无极大值
B．当x＝－1时，极大值为－2，但无极小值
C．当x＝－1时，极小值为－2；当x＝1时，极大值为2
D．当x＝－1时，极大值为－2；当x＝1时，极小值为2
答案]　D
解析]　f′(x)＝1－，令f′(x)＝0，得x＝±1，
函数f(x)在区间(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调增，在(－1,0)和(0,1)上单调减，
∴当x＝－1时，取极大值－2，当x＝1时，取极小值2.故选D.
4．函数y＝x4－x3的极值点的个数为导学号05300237(　　)
A．0　　
B．1　　
C．2　　
D．3
答案]　B
解析]　y′＝x3－x2＝x2(x－1)，由y′＝0得x1＝0，x2＝1.
当x变化时，y′、y的变化情况如下表
x
(－∞，0)
0
(0,1)
1
(1，＋∞)
y′
－
0
－
0
＋
y
?
无极值
?
极小值
?
故选B.
5．函数y＝f(x)＝x3－3x的极大值为m，极小值为n，则m＋n为
导学号05300238(　　)
A．0　　　　　　　　
B．1
C．2
D．4
答案]　A
解析]　y′＝3x2－3，令y′＝0，得3(x＋1)(x－1)＝0，
解得x1＝－1，x2＝1，
当x<－1时，y′>0；当－1当x>1时，y′>0，
∴函数在x＝－1处取得极大值，m＝f(－1)＝2；
函数在x＝1处取得极小值，n＝f(1)＝－2.
∴m＋n＝2＋(－2)＝0.
6．(2016·四川文，6)已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝(　　)
A．－4
B．－2
C．4
D．2
答案]　D
解析]　由题意得f′(x)＝3x2－12，由f′(x)＝0得x＝±2，当x∈(－∞，－2)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，当x∈(－2,2)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，所以a＝2.
7．(2015·青岛市胶州市高二期中)下列函数中x＝0是极值点的函数是
导学号05300240(　　)
A．f(x)＝－x3
B．f(x)＝－cosx
C．f(x)＝sinx－x
D．f(x)＝
答案]　B
解析]　A．y′＝－3x2≤0恒成立，所以函数在R上递减，无极值点．
B．y′＝sinx，当－πC．y′＝cosx－1≤0恒成立，所以函数在R上递减，无极值点．
D．y＝在(－∞，0)与(0，＋∞)上递减，无极值点．
8．函数f(x)＝－(aA．f(a)＝f(b)
B．f(a)C．f(a)>f(b)
D．f(a)，f(b)的大小关系不能确定
答案]　C
解析]　f
′(x)＝()′＝
＝.
当x<1时，f
′(x)<0，∴f(x)为减函数，
∵af(b)．
9．函数f(x)＝x2－x＋1在区间－3,0]上的最值为导学号05300242(　　)
A．最大值为13，最小值为
B．最大值为1，最小值为4
C．最大值为13，最小值为1
D．最大值为－1，最小值为－7
答案]　C
解析]　由y′＝2x－1＝0，得x＝(舍去)，f(－3)＝13，f(0)＝1，∴f(x)在－3,0]上的最大值为13，最小值为1，故选C.
二、填空题
10．(2015·陕西文，15)函数y＝xex在其极值点处的切线方程为________．
导学号05300243
答案]　y＝－
解析]　y＝f(x)＝xex f′(x)＝(1＋x)ex，令f′(x)＝0 x＝－1，此时f(－1)＝－，
函数y＝xex在其极值点处的切线方程为y＝－.
11．函数y＝x－2在0,4]上的最大值是__________，最小值是____________．
导学号05300244
答案]　0　－1
解析]　y′＝1－，令y′＝0，得x＝1，
f(0)＝0，f(1)＝－1，f(4)＝0，
∴函数y＝x－2的最大值为0，最小值为－1.
12．若函数f(x)＝x＋asinx在R上递增，则实数a的取值范围为________．
导学号05300245
答案]　－1,1]
解析]　f
′(x)＝1＋acosx，由条件知f
′(x)≥0在R上恒成立，∴1＋acosx≥0，a＝0时显然成立；a>0时，
∵－≤cosx恒成立，∴－≤－1，∴a≤1，∴0三、解答题
13．求下列函数的极值．导学号05300246
(1)y＝x2－7x＋6；(2)y＝x3－27x.
解析]　(1)y′＝(x2－7x＋6)′＝2x－7.
令y′＝0，解得x＝.
当x变化时，y′，y的变化情况如下表.
x
y′
－
0
＋
y
?
极小值－
?
当x＝时，y有极小值，且y极小值＝－.
(2)y′＝(x3－27x)′＝3x2－27＝3(x＋3)(x－3)．
令y′＝0，解得x1＝－3，x2＝3.
当x变化时，y′，y的变化情况如下表：
x
(－∞，－3)
－3
(－3,3)
3
(3，＋∞)
y′
＋
0
－
0
＋
y
?
极大值54
?
极小值－54
?
∴当x＝－3时，y有极大值，且y极大值＝54.当x＝3时，y有极小值，且y极小值＝－54.
一、选择题
1．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极值点有导学号05300247(　　)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
答案]　C
解析]　由f′(x)的图象可知，函数f(x)在区间(a，b)内，先增，再减，再增，最后再减，故函数f(x)在区间(a，b)内有三个极值点．故选C.
2．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为
导学号05300248(　　)
A．－1B．－3C．a<－1或a>2
D．a<－3或a>6
答案]　D
解析]　f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6.因为f(x)既有极大值又有极小值，所以Δ>0，即4a2－4×3×(a＋6)>0，即a2－3a－18>0，解得a>6或a<－3.故选D.
3．函数y＝ax3＋bx2取得极大值或极小值时的x的值分别为0和，则
导学号05300249(　　)
A．a－2b＝0
B．2a－b＝0
C．2a＋b＝0
D．a＋2b＝0
答案]　D
解析]　y′＝3ax2＋2bx，由题设知0和是方程3ax2＋2bx＝0的两根，∴a＋2b＝0.故选D.
4．已知函数f(x)＝ex(sinx－cosx)，x∈(0,2015π)，则函数f(x)的极大值之和为
导学号05300250(　　)
A.
B．
C.
D．
答案]　B
解析]　f
′(x)＝2exsinx，令f
′(x)＝0得sinx＝0，∴x＝kπ，k∈Z，当2kπ′(x)>0，f(x)单调递增，当(2k－1)π′(x)<0，f(x)单调递减，
∴当x＝(2k＋1)π时，f(x)取到极大值，∵x∈(0,2015π)，∴0<(2k＋1)π<2015π，∴0≤k<1007，k∈Z.
∴f(x)的极大值之和为S＝f(π)＋f(3π)＋f(5π)＋…＋f(2013π)＝eπ＋e3π＋e5π＋…＋e2013π＝＝，故选B.
二、填空题
5．若函数y＝2x3－3x2＋a的极大值是6，则a＝________.导学号05300251
答案]　6
解析]　y′＝6x2－6x＝6x(x－1)，易知函数f(x)在x＝0处取得极大值6，即f(0)＝6，∴a＝6.
6．函数f(x)＝sinx＋cosx
，x∈的最大、最小值分别是________．
导学号05300252
答案]　，－1
解析]　f′(x)＝cosx－sinx＝0，
∴tanx＝1，∵x∈，∴x＝，
当－0，
∴x＝是函数f(x)的极大值点．
∵f＝－1，f＝1，f＝.
∴f(x)的最大值为，最小值为－1.
7．已知f(x)＝x3－3bx＋3b在(0,1)内有极小值，则实数b的取值范围是________．
导学号05300253
答案]　(0,1)
解析]　∵f′(x)＝3x2－3b＝3(x2－b)．
因为函数f(x)在(0,1)内有极小值，
故方程3(x2－b)＝0在(0,1)内有解，所以0<<1，即0三、解答题
8．已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.导学号05300254
(1)求a，b的值；
(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．
解析]　(1)f
′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4.
由已知得f(0)＝4，f
′(0)＝4，故b＝4，a＋b＝8.
从而a＝4，b＝4.
(2)由(1)知，f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x，
f
′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2)(ex－)．
令f
′(x)＝0得，x＝－ln2或x＝－2.
从而当x∈(－∞，－2)∪(－ln2，＋∞)时，f
′(x)>0；当x∈(－2，－ln2)时，f
′(x)<0.
故f(x)在(－∞，－2)，(－ln2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln2)上单调递减．
当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e－2)．
9．(2016·北京理，18)设函数f(x)＝xea－x＋bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝(e－1)x＋4.
(Ⅰ)求a，b的值；
(Ⅱ)求f(x)的单调区间．
解析]　(Ⅰ)因为f(x)＝xea－x＋bx，所以f′(x)＝(1－x)ea－x＋b.
依题设，即
解得a＝2，b＝e.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)＝xe2－x＋ex.
由f′(x)＝e2－x(1－x＋ex－1)及e2－x>0知，f′(x)与1－x＋ex－1同号．
令g(x)＝1－x＋ex－1，则g′(x)＝－1＋ex－1.
所以当x∈(－∞，1)时，g′(x)<0，g(x)在区间(－∞，1)上单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)在区间(1，＋∞)上单调递增．
故g(1)＝1是g(x)在区间(－∞，＋∞)上的最小值，
从而g(x)>0，x∈(－∞，＋∞)．
综上可知，f′(x)>0，x∈(－∞，＋∞)．
故f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．
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第三章　3.2　第1课时
一、选择题
1．已知z1＝3－4i，z2＝－5＋2i，z1、z2对应的点分别为P1、P2，则对应的复数为
导学号
05300676(　　)
A．－8＋6i　　　　　
B．8－6i
C．8＋6i
D．－2－2i
答案]　B
解析]　因为＝－，对应的复数为z1－z2＝(3－4i)－(－5＋2i)＝8－6i.故选B.
2．设x∈R，则“x＝1”是“复数z＝(x2－1)＋(x＋1)i为纯虚数”的
导学号
05300677(　　)
A．充分必要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
答案]　A
解析]　z是纯虚数 x＝1，故选A.
3．|(3＋2i)－(4－i)|等于导学号
05300678(　　)
A.
B．
C．2
D．－1＋3i
答案]　B
解析]　原式＝|－1＋3i|＝＝.
4．复数(1－i)－(2＋i)＋3i等于导学号
05300679(　　)
A．－1＋i
B．1－i
C．i
D．－i
答案]　A
解析]　原式＝(1－2)＋(－1－1＋3)i＝－1＋i.
5．设f(z)＝，且z1＝1＋5i，z2＝－3＋2i，则f()的值是导学号
05300680(　　)
A．－2＋3i
B．－2－3i
C．4－3i
D．4＋3i
答案]　D
解析]　∵z1－z2＝(1＋5i)－(－3＋2i)＝4＋3i
∴＝4－3i，∵f(z)＝，∴f(4－3i)＝＝4＋3i.故选D.
6．设z∈C，且|z＋1|－|z－i|＝0，则|z＋i|的最小值为导学号
05300681(　　)
A．0　　
B．1　　　　
C.　　
D．
答案]　C
解析]　∵|z＋1|＝|z－i|，∴复数z的对应点轨迹为连结点A(－1,0)，B(0,1)的线段的中垂线y＝－x，而|z＋i|表示直线y＝－x上的点到定点(0，－1)的距离，∴|z＋i|≥.故选C.
7．已知|z－3|＋|z＋3|＝10且|z－5i|－|z＋5i|＝8，则复数z等于导学号
05300682(　　)
A．4i
B．－4i
C．±4i
D．以上都不对
答案]　B
解析]　由几何意义可知复数z的对应点在以F1(－3,0)，F2(3,0)为焦点、长轴长为10的椭圆上，又在F3(0，－5)，F4(0,5)为焦点、实轴长为8的双曲线的下支上．
如图故z＝－4i.故选B.
8．△ABC的三个顶点对应的复数分别为z1、z2、z3，若复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点为△ABC的导学号
05300683(　　)
A．内心
B．垂心
C．重心
D．外心
答案]　D
解析]　由几何意义知，z到△ABC三个顶点距离都相等，z对应的点是△ABC的外心．
二、填空题
9．复平面上三点A、B、C分别对应复数1,2i,5＋2i，则由A、B、C所构成的三角形形状是________．导学号
05300684
答案]　直角三角形
解析]　∵||＝|2i－1|＝，
||＝|(5＋2i)－1|＝|4＋2i|＝2，
||＝|(5＋2i)－2i|＝|5|＝5.
且||2＋||2＝||2，
∴△ABC为直角三角形．
10．已知复数z的模是2，则|z－i|的最大值为________．导学号
05300685
答案]　3
解析]　解法1：设z＝x＋yi
(x、y∈R)，则|z|＝＝2，∴x2＋y2＝4，|z－i|＝＝＝.
∵－2≤y≤2，∴1≤5－2y≤9，∴1≤|z－i|≤3.
解法2：∵|z|＝2，∴复数z对应点z在以原点为圆心2为半径的圆上，|z－i|表示圆上点到定点(0,1)的距离，显然|z－i|max＝3.
11．已知向量和向量对应的复数分别为3＋4i和2－i，则向量对应的复数为________．导学号
05300686
答案]　－1－5i
解析]　∵＝－，∴对应复数为(2－i)－(3＋4i)＝－1－5i.
三、解答题
12．已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)．设z＝z1－z2，且＝13＋2i，求复数z1和z2.导学号
05300687
解析]　∵z＝z1－z2＝(3x＋y)＋(y－4x)i－(4y－2x)－(5x＋3y)i]
＝(3x＋y)－(4y－2x)]＋(y－4x)＋(5x＋3y)]i
＝(5x－3y)＋(x＋4y)i，
∴＝(5x－3y)－(x＋4y)i
又∵＝13＋2i，∴
解得
∴z1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i＝5－9i，
z2＝4×(－1)－2×2]－5×2＋3×(－1)]i
＝－8－7i.
一、选择题
1．如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是导学号
05300688(　　)
A．1
B．
C．2
D．
答案]　A
解析]　设复数－i、i、－1－i在复平面内对应的点分别为Z1、Z2、Z3，因为|z＋i|＋|z－i|＝2，|Z1Z2|＝2，所以点Z的集合为线段Z1Z2.
问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求|ZZ3|的最小值，
∵|Z1Z3|＝1.故选A.
2．满足条件|z|＝1及＝的复数z的集合是导学号
05300689(　　)
A.
B.
C.
D.
答案]　C
解析]　解法1：设z＝x＋yi
(x、y∈R)，依题意得
，解得.
∴z＝±i.
解法2：根据复数模的几何意义知|z|＝1是单位圆，＝是以A，B为端点的线段AB的中垂线x＝.
∴满足此条件的复数z是以为实部的一对共轭复数，由模为1知选C.故选C.
3．A、B分别是复数z1、z2在复平面上对应的两点，O是原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则△AOB是导学号
05300690(　　)
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
答案]　B
解析]　由复数与向量的对应关系，|z1＋z2|＝|z1－z2| |＋|＝|－|，
∴以、为邻边的平行四边形为矩形，
∴∠AOB为直角．故选B.
4．若θ∈(π，π)，则复数(cosθ＋sinθ)＋(sinθ－cosθ)i在复平面内所对应的点在
导学号
05300691(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
答案]　B
解析]　cosθ＋sinθ＝sin(θ＋)，θ∈(π，π)，θ＋∈(π，π)，sin(θ＋)<0，cosθ＋sinθ<0，
sinθ－cosθ＝sin(θ－)，θ－∈(π，π)，
sin(θ－)>0，sinθ－cosθ>0.
∴复数(cosθ＋sinθ)＋(sinθ－cosθ)i在复平面内所对应的点在第二象限．
二、填空题
5．在复平面内，若复数z满足|z＋3|＋|z－3|＝10，则z在复平面内对应的点的轨迹方程为____________．导学号
05300692
答案]　＋＝1
解析]　根据模的几何意义，复数z在复平面内对应的点到两定点(－3,0)、(3,0)的距离之和为定值10，故其轨迹是以(－3,0)、(3,0)为焦点的椭圆．
∵2c＝6,2a＝10，∴b＝4，
从而其轨迹方程是＋＝1.
6．(2015·锦州期中)已知|z|＝1，则|1－i－z|的最大值是________，最小值是________．
导学号
05300693
答案]　3　1
解析]　因为|z|＝1，所以z在半径为1的圆上，|1－i－z|＝|z－(－1＋i)|即圆上一点到点(－1，)的距离，dmax＝3，dmin＝1.
7．已知z＝1＋i，设ω＝z－2|z|－4，则ω＝________.导学号
05300694
答案]　－(3＋2)＋i
解析]　∵z＝1＋i，∴|z|＝，
∴ω＝z－2|z|－4＝(1＋i)－2－4
＝－(3＋2)＋i.
三、解答题
8．若f(z)＝2z＋－3i.f(＋i)＝6－3i，试求f(－z)．导学号
05300695
解析]　∵f(z)＝2z＋－3i，
∴f(＋i)＝2(＋i)＋(＋i)－3i＝2＋2i＋z－i－3i＝2＋z－2i，
又f(＋i)＝6－3i，∴2＋z－2i＝6－3i
即2＋z＝6－i
设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi.
∴2(a－bi)＋(a＋bi)＝6－i，
即，∴，
∴z＝2＋i，
∴f(－z)＝－2z－－3i＝－2(2＋i)－(2－i)－3i
＝－6－4i.
9．已知复数z1、z2满足|z1|＝|z2|＝|z1＋z2|，z1＋z2＝2i，求z1、z2.导学号
05300696
解析]　设z1＝a＋bi(a，b∈R)，
∵z1＋z2＝2i，∴z2＝2i－z1＝－a＋(2－b)i，
|z1＋z2|＝2.
又|z1|＝|z2|＝|z1＋z2|，
∴
解得a＝±，b＝1.
故所求的复数为z1＝＋i，z2＝－＋i或z1＝－＋i，z2＝＋i.
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第二章　2.2　第1课时
一、选择题
1．用分析法证明问题是从所证命题的结论出发，寻求使这个结论成立的
导学号05300475(　　)
A．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．既非充分条件又非必要条件
答案]　A
2．下面的四个不等式：
①a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca；
②a(1－a)≤；
③＋≥2；
④(a2＋b2)·(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.
其中恒成立的有导学号05300476(　　)
A．1个　
B．2个　
C．3个　
D．4个
答案]　C
解析]　∵(a2＋b2＋c2)－(ab＋bc＋ac)＝(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0
a(1－a)－＝－a2＋a－＝－2≤0，
(a2＋b2)·(c2＋d2)＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2
≥a2c2＋2abcd＋b2d2＝(ac＋bd)2，
∴①②④正确．故选C.
3．设x＝，y＝－，z＝－，则x、y、z的大小顺序是导学号05300477(　　)
A．x>y>z
B．z>x>y
C．y>z>x
D．x>z>y
答案]　D
解析]　∵x、y、z都是正数，又x2－z2＝2－(8－4)＝4－6＝－＞0，∴x＞z.
∵＝＝＞1.∴z＞y.
∴x>z>y.故选D.
4．若aA．(a，b)和(b，c)内
B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内
D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
答案]　A
解析]　因为a0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0，由零点存在性定理知，选A.
5．p＝＋，q＝·(m、n、a、b、c、d均为正数)，则p、q的大小为导学号05300479(　　)
A．p≥q
B．p≤q
C．p>q
D．不确定
答案]　B
解析]　q＝
≥＝＋＝p.故选B.
6．已知函数f(x)＝x，a、b∈R＋，A＝f，B＝f()，C＝f，则A、B、C的大小关系为导学号05300480(　　)
A．A≤B≤C
B．A≤C≤B
C．B≤C≤A
D．C≤B≤A
答案]　A
解析]　∵≥≥，又函数f(x)＝x在(－∞，＋∞)上是单调减函数，
∴f≤f()≤f.故选A.
7．若x、y∈R，且2x2＋y2＝6x，则x2＋y2＋2x的最大值为导学号05300481(　　)
A．14
B．15
C．16
D．17
答案]　B
解析]　由y2＝6x－2x2≥0得0≤x≤3，从而x2＋y2＋2x＝－(x－4)2＋16，∴当x＝3时，最大值为15.
8．设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若bcos
C＋ccos
B＝asin
A，则△ABC的形状为导学号05300482(　　)
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不确定
答案]　B
解析]　由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，所以，sin(B＋C)＝sin2A，∴sinA＝sin2A，而sinA>0，∴sinA＝1，A＝，所以△ABC是直角三角形．
二、填空题
9．设a>0，b>0，c>0，若a＋b＋c＝1，则＋＋的最小值为________．导学号05300483
答案]　9
解析]　∵a>0，b>0，c>0，a＋b＋c＝1，
∴＋＋＝＋＋
＝3＋＋＋＋＋＋
≥3＋2＋2＋2＝9，
等号在a＝b＝c＝时成立．
10．若0导学号05300484
答案]　a＋b
解析]　∵0∴a2＋b22ab(a≠b)，
∴2ab2(a≠b)，故a＋b最大．
简解：不妨取a＝，b＝，则a＋b＝，2＝，a2＋b2＝，2ab＝，显然最大为a＋b.
11．设p＝2x4＋1，q＝2x3＋x2，x∈R，则p与q的大小关系是________．导学号05300485
答案]　p≥q
解析]　∵p－q＝2x4＋1－(2x3＋x2)＝(x－1)2(2x2＋2x＋1)，
又2x2＋2x＋1恒大于0，∴p－q≥0，故p≥q.
三、解答题
12．已知a、b、c∈R＋，求证：≥.导学号05300486
证明]　要证≥，
只需证：≥2，
只需证：3(a2＋b2＋c2)≥a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca，
只需证：2(a2＋b2＋c2)≥2ab＋2bc＋2ca，
只需证：(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥0，而这是显然成立的，
所以≥成立.
一、选择题
1．已知x、y为正实数，则导学号05300487(　　)
A．2lgx＋lgy＝2lgx＋2lgy
B．2lg(x＋y)＝2lgx·2lgy
C．2lgx·lgy＝2lgx＋2lgy
D．2lg(xy)＝2lgx·2lgy
答案]　D
解析]　2lg(xy)＝2(lgx＋lgy)＝2lgx·2lgy.
2．已知a>0，b>0，＋＝1，则a＋2b的最小值为导学号05300488(　　)
A．7＋2
B．2
C．7＋2
D．14
答案]　A
解析]　a＋2b＝(a＋2b)·＝7＋＋.
又∵a>0，b>0，∴由均值不等式可得：a＋2b＝7＋＋≥7＋2＝7＋2.当且仅当＝且＋＝1，即3a2＝2b2且＋＝1时等号成立，故选A.
3．若两个正实数x、y满足＋＝1，且不等式x＋A．(－1,4)
B．(－∞，－1)∪(4，＋∞)
C．(－4,1)
D．(－∞，0)∪(3，＋∞)
答案]　B
解析]　∵x>0，y>0，＋＝1，∴x＋＝(x＋)(＋)＝2＋＋≥2＋2＝4，等号在y＝4x，即x＝2，y＝8时成立，∴x＋的最小值为4，要使不等式m2－3m>x＋有解，应有m2－3m>4，∴m<－1或m>4，故选B.
4．在f(m，n)中，m、n、f(m，n)∈N
，且对任意m、n都有：
(1)f(1,1)＝1，(2)f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2，(3)f(m＋1,1)＝2f(m,1)；给出下列三个结论：
①f(1,5)＝9；②f(5,1)＝16；③f(5,6)＝26；
其中正确的结论个数是________个．导学号05300490(　　)
A．3　　
B．2　　
C．1　　
D．0
答案]　A
解析]　∵f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2，∴f(m，n)组成首项为f(m,1)，公差为2的等差数列，
∴f(m，n)＝f(m,1)＋2(n－1)．
又f(1,1)＝1，∴f(1,5)＝f(1,1)＋2×(5－1)＝9，
又∵f(m＋1,1)＝2f(m,1)，∴f(m,1)构成首项为f(1,1)，公比为2的等比数列，∴f(m,1)＝f(1,1)·2m－1＝2m－1，∴f(5,1)＝25－1＝16，∴f(5,6)＝f(5,1)＋2×(6－1)＝16＋10＝26，∴①②③都正确，故选A.
二、填空题
5．函数y＝f(x)在(0,2)上是增函数，函数y＝f(x＋2)是偶函数，则f(1)，f(2.5)，f(3.5)的大小关系是________________．导学号05300491
答案]　f(3.5)解析]　由已知f(x)关于x＝2对称，又f(x)在(0,2)上是增函数，
∴结合f(x)图象得f(3.5)6．如果不等式|x－a|<1成立的充分非必要条件是答案]　≤a≤
解析]　由|x－a|＜1 a－1＜x＜a＋1
由题意知?(a－1，a＋1)则有，
解得≤a≤.
7．已知f(x)＝是奇函数，那么实数a的值等于________．导学号05300493
答案]　1
解析]　解法1：∵f(x)＝(x∈R)是奇函数，则f(－x)＋f(x)＝＋＝0，∴a＝1.
解法2：∵f(x)为R上的奇函数，∴f(0)＝0，即f(0)＝＝0，∴a＝1.
三、解答题
8．已知n∈N
，且n≥2，求证：>－.导学号05300494
证明]　要证>－，
即证1>n－，只需证>n－1，
∵n≥2，∴只需证n(n－1)>(n－1)2，
只需证n>n－1，只需证0>－1，
最后一个不等式显然成立，故原结论成立．
9．(2016·浙江文，20)设函数f(x)＝x3＋，x∈0,1]．证明：
(Ⅰ)f(x)≥1－x＋x2；
(Ⅱ)解析]　(Ⅰ)因为1－x＋x2－x3＝＝，
由于x∈0,1]，有≤，即1－x＋x2－x3≤，
所以f(x)≥1－x＋x2.
(Ⅱ)由0≤x≤1得x3≤x，故
f(x)＝x3＋≤x＋＝x＋－＋
＝＋≤，
所以f(x)≤.
由(Ⅰ)得f(x)≥1－x＋x2＝(x－)2＋≥，
又因为f()＝>，所以f(x)>.
综上，PAGEwww.
第二章知能基础测试
时间120分钟，满分150分．
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．k棱柱有f(k)个对角面，则k＋1棱柱的对角面个数f(k＋1)为导学号05300577(　　)
A．f(k)＋k－1　　　
B．f(k)＋k＋1
C．f(k)＋k
D．f(k)＋k－2
答案]　A
解析]　增加的一条侧棱与其不相邻的k－2条侧棱形成k－2个对角面，而过与其相邻的两条侧棱的截面原来为侧面，现在也成了一个对角面，故共增加了k－1个对角面，∴f(k＋1)＝f(k)＋k－1.故选A.
2．已知a>0，b>0，a、b的等差中项为，且α＝a＋，β＝b＋，则α＋β的最小值为
导学号05300578(　　)
A．3
B．4
C．5
D．6
答案]　C
解析]　由已知得a＋b＝1，
∴α＋β＝a＋＋b＋＝1＋＋＝3＋＋≥3＋2＝5.故选C.
3．已知f(x)＝x3＋x(x∈R)，a、b、c∈R，且a＋b>0，b＋c>0，c＋a>0，则f(a)＋f(b)＋f(c)的符号为导学号05300579(　　)
A．正
B．负
C．等于0
D．无法确定
答案]　A
解析]　∵f′(x)＝3x2＋1>0，
∴f(x)在R上是增函数．
又a＋b>0，∴a>－b.∴f(a)>f(－b)．
又f(x)＝x3＋x是奇函数，
∴f(a)>－f(b)，即f(a)＋f(b)>0.
同理：f(b)＋f(c)>0，f(c)＋f(a)>0，
∴f(a)＋f(b)＋f(c)>0，故选A.
4．下列代数式(其中k∈N
)能被9整除的是导学号05300580(　　)
A．6＋6·7k
B．2＋7k－1
C．2(2＋7k＋1)
D．3(2＋7k)
答案]　D
解析]　特值法：当k＝1时，显然只有3(2＋7k)能被9整除，故选D.
证明如下：
当k＝1时，已验证结论成立，
假设当k＝n(n∈N
)时，命题成立，即3(2＋7n)能被9整除，那么3(2＋7n＋1)＝21(2＋7n)－36.
∵3(2＋7n)能被9整除，36能被9整除，
∴21(2＋7n)－36能被9整除，
这就是说，k＝n＋1时命题也成立．
故命题对任何k∈N
都成立．
5．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N
都成立，那么a，b，c的值为导学号05300581(　　)
A．a＝，b＝c＝
B．a＝b＝c＝
C．a＝0，b＝c＝
D．不存在这样的a、b、c
答案]　A
解析]　令n＝1，得1＝3(a－b)＋c，
令n＝2，得1＋2×3＝9(2a－b)＋c，
令n＝3，得1＋2×3＋3×32＝27(3a－b)＋c.
即，
∴a＝，b＝c＝.故选A.
6．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝导学号05300582(　　)
A．28
B．76
C．123
D．199
答案]　C
解析]　法一：由a＋b＝1，a2＋b2＝3得ab＝－1，代入后三个等式中符合，则a10＋b10＝(a5＋b5)2－2a5b5＝123，故选C.
法二：令an＝an＋bn，则a1＝1，a2＝3，a3＝4，a4＝7，…得an＋2＝an＋an＋1，从而a6＝18，a7＝29，a8＝47，a9＝76，a10＝123，故选C.
7．观察下列各式：55＝3125,56＝15625,57＝78125，…，则52015的末四位数字为
导学号05300583(　　)
A．3125
B．5625
C．0625
D．8125
答案]　D
解析]　∵55＝3125,56＝15625,57＝78125，
58末四位数字为0625,59末四位数字为3125，
510末四位数字为5625,511末四位数字为8125，
512末四位数字为0625，…，
由上可得末四位数字周期为4，呈规律性交替出现，
∴52015＝54×502＋7末四位数字为8125.
8.已知函数f(x)满足f(0)＝0，导函数f
′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象与x轴围成的封闭图形的面积为导学号05300584(　　)
A.
B．
C．2
D．
答案]　B
解析]　由f
′(x)的图象知，f
′(x)＝2x＋2，
设f(x)＝x2＋2x＋c，由f(0)＝0知，c＝0，∴f(x)＝x2＋2x，
由x2＋2x＝0得x＝0或－2.
故所求面积S＝－(x2＋2x)dx＝＝.
9．平面上有n个圆，其中每两个都相交于两点，每三个都无公共点，它们将平面分成f(n)块区域，有f(1)＝2，f(2)＝4，f(3)＝8，则f(n)的表达式为导学号05300585(　　)
A．2n
B．n2－n＋2
C．2n－(n－1)(n－2)(n－3)
D．n3－5n2＋10n－4
答案]　B
解析]　四个选项的前三项是相同的，但第四项f(4)＝14(如图)就只有B符合，从而否定A，C，D，选B，一般地，可用数学归纳法证明f(n)＝n2－n＋2.故选B.
10．已知等比数列an＝，其前n项和为Sn＝k，则Sk＋1与Sk的递推关系不满足
导学号05300586(　　)
A．Sk＋1＝Sk＋
B．Sk＋1＝1＋Sk
C．Sk＋1＝Sk＋ak＋1
D．Sk＋1＝3Sk－3＋ak＋ak＋1
答案]　A
解析]　Sk＋1＝a1＋a2＋…＋ak＋ak＋1
＝Sk＋ak＋1.C真．
Sk＋1＝1＋＋…＋
＝1＋×＝1＋Sk.B真．
3Sk＝3×
＝3＋1＋＋…＋
＝3＋－ak－ak＋1
＝3＋Sk＋1－ak－ak＋1.D真．
事实上，Sk＋1＝Sk＋ak＋1＝Sk＋.A不真．故选A.
11．下列结论正确的是导学号05300587(　　)
A．当x>0且x≠1时，lgx＋≥2
B．当x>0时，＋≥2
C．当x≥2时，x＋的最小值为2
D．当0答案]　B
解析]　A错在lgx的正负不清；C错在等号成立的条件不存在；根据函数f(x)＝x－的单调性，当x＝2时，f(2)max＝，故D错．故选B.
12．如图(1)，在△ABC中，AB⊥AC于点A，AD⊥BC于点D，则有AB2＝BD·BC，类似地有命题：如图(2)，在三棱锥A－BCD中，AD⊥面ABC，若A在△BCD内的射影为O，则S＝S△BCO·S△BCD，那么上述命题导学号05300588(　　)
A．是真命题
B．增加条件“AB⊥AC”后才是真命题
C．是假命题
D．增加条件“三棱锥A－BCD是正三棱锥”后才是真命题
答案]　A
解析]　由已知垂直关系，不妨进行如下类比：将题图(2)中的△ABC，△BCO，△BDC分别与题图(1)中的AB，BD，BC进行类比即可．严格推理如下：连结DO并延长交BC于点E，连结AE，则DE⊥BC，AE⊥BC.因为AD⊥面ABC，所以AD⊥AE.又因为AO⊥DE，所以AE2＝EO·ED，所以S＝(BC·EA)2＝(BC·EO)·(BC·ED)＝S△BCO·S△BCD.故选A.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上)
13．(2016·全国卷Ⅱ理，15)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.
甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________.
答案]　1和3
解析]　为方便说明，不妨将分别写有1和2,1和3,2和3的卡片记为A，B，C.从丙出发，由于丙的卡片上的数字之和不是5，则丙只可能是卡片A或B，无论是哪一张，均含有数字1，再由乙与丙的卡片上相同的数字不是1可知，乙所拿的卡片必然是C，最后由甲与乙的卡片上相同的数字不是2，知甲所拿的卡片为B，此时丙所拿的卡片为A.
14．在平面上，我们用一直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按如图所标边长，由勾股定理有c2＝a2＋b2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O－LMN，如果用S1、S2、S3表示三个侧面面积，S表示截面面积，那么类比得到的结论是________．导学号05300590
答案]　S2＝S＋S＋S
解析]　类比如下：
正方形 正方体；截下直角三角形 截下三侧面两两垂直的三棱锥；直角三角形斜边平方 三棱锥底面面积的平方；直角三角形两直角边平方和 三棱锥三个侧面面积的平方和，结论S2＝S＋S＋S.
证明如下：如图，作OE⊥平面LMN，垂足为E，连接LE并延长交MN于F，
∵LO⊥OM，LO⊥ON，
∴LO⊥平面MON，
∵MN 平面MON，
∴LO⊥MN，
∵OE⊥MN，∴MN⊥平面OFL，∴S△OMN＝MN·OF，S△MNE＝MN·FE，S△MNL＝MN·LF，OF2＝FE·FL，∴S＝(MN·OF)2＝(MN·FE)·(MN·FL)＝S△MNE·S△MNL，同理S＝S△MLE·S△MNL，S＝S△NLE·S△MNL，∴S＋S＋S＝(S△MNE＋S△MLE＋S△NLE)·S△MNL＝S，即S＋S＋S＝S2.
15．对于大于1的自然数m的n次幂可用奇数进行如图所示的“分裂”，仿此，记53的“分裂”中的最小数为a，而52的“分裂”中最大的数是b，则a＋b＝________.
导学号05300591
答案]　30
解析]　类比规律
∴a＝21，b＝9故a＋b＝30.
16．(2016·四川文，15)在平面直角坐标系中，当P(x，y)不是原点时，定义P的“伴随点”为P′(，)；当P是原点时，定义P的“伴随点”为它自身．现有下列命题：
①若点A的“伴随点”是点A′，则点A′的“伴随点”是点A；
②单位圆上的点的“伴随点”仍在单位圆上；
③若两点关于x轴对称，则它们的“伴随点”关于y轴对称；
④若三点在同一条直线上，则它们的“伴随点”一定共线．
其中的真命题是________(写出所有真命题的序号)．
答案]　②③
解析]　对于①，设A(0,3)，则A的“伴随点”为A′(，0)，但是A′(，0)的“伴随点”为(0，－3)，与A不同，所以①错误；对于②，设单位圆C：x2＋y2＝1上的点P(x，y)，点P的“伴随点”为P′(x′，y′)，则有，所以x′2＋y′2＝＋＝＝1，所以②正确；对于③，设P(x，y)的“伴随点”为P′(，)，P1(x，－y)的“伴随点”为P′1(，)，易知P′(，)与P′1(，)关于y轴对称，所以③正确；对于④，设原直线的解析式为Ax＋By＋C＝0，其中A，B不同时为0，且P(x0，y0)为该直线上一点，P(x0，y0)的“伴随点”为P′(x′，y′)，其中P，P′都不是原点，且，则x0＝－(x＋y)y′，y0＝(x＋y)x′，将P(x0，y0)代入原直线方程，得－A(x＋y)y′＋B(x＋y)x′＋C＝0，则－Ay′＋Bx′＋＝0，由于x＋y的值不确定，所以“伴随点”不一定共线，所以④错误．
三、解答题(本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本题满分12分)已知a、b、c是互不相等的非零实数．用反证法证明三个方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0至少有一个方程有两个相异实根．
导学号05300593
证明]　假设三个方程中都没有两个相异实根，
则Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0，
Δ3＝4a2－4bc≤0.
相加有a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0，
即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0.
由题意a、b、c互不相等，∴①式不能成立．
∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．
18．(本题满分12分)在圆x2＋y2＝r2(r>0)中，AB为直径，C为圆上异于A、B的任意一点，则有kAC·kBC＝－1.你能用类比的方法得出椭圆＋＝1(a>b>0)中有什么样的结论？并加以证明．导学号05300594
解析]　类比得到的结论是：在椭圆＋＝1(a>b>0)中，A、B分别是椭圆长轴的左右端点，点C(x，y)是椭圆上不同于A、B的任意一点，则kAC·kBC＝－
证明如下：设A(x0，y0)为椭圆上的任意一点，则A关于中心的对称点B的坐标为B(－x0，－y0)，点P(x，y)为椭圆上异于A，B两点的任意一点，则kAP·kBP＝·＝.
由于A、B、P三点在椭圆上，∴
两式相减得，＋＝0，
∴＝－，即kAP·kBP＝－.
故在椭圆＋＝1(a>b>0)中，长轴两个端点为A、B、P为异于A、B的椭圆上的任意一点，则有kAB·kBP＝－.
19．(本题满分12分)已知a、b∈R，求证：≥.导学号05300595
证明]　设f(x)＝，x∈0，＋∞)．设x1、x2是0，＋∞)上的任意两个实数，且0≤x1则f(x2)－f(x1)＝－＝
.
因为x2>x1≥0，所以f(x2)>f(x1)．
所以f(x)＝在0，＋∞)上是增函数．(大前提)
由|a|＋|b|≥|a＋b|≥0(小前提)
知f(|a|＋|b|)≥f(|a＋b|)
即≥成立．
20．(本题满分12分)设a，b∈R＋，且a≠b，求证：a3＋b3>a2b＋ab2.导学号05300596
证明]　证法1：用分析法．
要证a3＋b3>a2b＋ab2成立，
只需证(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)成立．又因a＋b>0，
只需证a2－ab＋b2>ab成立．
只需证a2－2ab＋b2>0成立．
即需证(a－b)2>0成立．
而依题设a≠b，则(a－b)2>0显然成立．
由此命题得证．
证法2：用综合法．
a≠b a－b≠0 (a－b)2>0
a2－2ab＋b2>0 a2－ab＋b2>ab.
注意到a，b∈R＋，a＋b>0，由上式即得(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)．
∴a3＋b3>a2b＋ab2.
21．(本题满分12分)(2015·甘肃省会宁一中高二期中)用数学归纳法证明等式：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N
)．导学号05300597
证明]　(1)当n＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－1×(2＋1)＝－3，
故左边＝右边，
∴当n＝1时，等式成立；
(2)假设n＝k时，等式成立，
即12－22＋32－…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)成立，
那么n＝k＋1时，左边＝12－22＋32－…＋(2k＋1)2－(2k＋2)2
＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－4(k＋1)2
＝(2k＋1)(2k＋1)－k]－4(k＋1)2
＝(k＋1)(－2k－3)
＝－(k＋1)2(k＋1)＋1]，
综合(1)、(2)可知等式12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)对于任意正整数都成立．
22．(本题满分14分)(2015·湖北理，22)已知数列{an}的各项均为正数，bn＝nnan(n∈N＋)，e为自然对数的底数．导学号05300598
(1)求函数f(x)＝1＋x－ex的单调区间，并比较n与e的大小；
(2)计算，，，由此推测计算的公式，并给出证明；
(3)令cn＝(a1a2…an)，数列{an}，{cn}的前n项和分别记为Sn，Tn，证明：Tn＜eSn.
解析]　(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝1－ex.
当f′(x)＞0，即x＜0时，f(x)单调递增；
当f′(x)＜0，即x＞0时，f(x)单调递减．
故f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，＋∞)．
当x＞0时，f(x)＜f(0)＝0，即1＋x＜ex.
令x＝，得1＋＜e，即(1＋)n＜e.①
(2)＝1·(1＋)1＝1＋1＝2；
＝·＝2·2(1＋)2
＝(2＋1)2＝32；
＝·
＝32·3(1＋)3＝(3＋1)3＝43.
由此推测：＝(n＋1)n.②
下面用数学归纳法证明②.
(1)当n＝1时，左边＝右边＝2，②成立．
(2)假设当n＝k时，②成立，即
＝(k＋1)k.
当n＝k＋1时，bk＋1＝(k＋1)(1＋)k＋1ak＋1，由归纳假设可得
＝·
＝(k＋1)k(k＋1)(1＋)k＋1＝(k＋2)k＋1.
所以当n＝k＋1时，②也成立．
根据(1)(2)，可知②对一切正整数n都成立．
(3)由cn的定义，②，算术－几何平均不等式，
bn的定义及①得
Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn
＝(a1)＋(a1a2)＋(a1a2a3)＋…＋(a1a2…an)
＝＋＋＋…
≤＋＋＋…＋
＝b1＋＋…＋]＋b2＋＋…＋]＋…＋bn·
＝b1(1－)＋b2(－)＋…＋bn(－)
＜＋＋…＋
＝(1＋)1a1＋(1＋)2a2＋…＋(1＋)nan
＜ea1＋ea2＋…＋ean＝eSn.
即Tn＜eSn.
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第二章　2.3
一、选择题
1．用数学归纳法证明1＋q＋q2＋…＋qn＋1＝(n∈N
，q≠1)，在验证n＝1等式成立时，等式左边的式子是导学号05300544(　　)
A．1　　　　　　　　
B．1＋q
C．1＋q＋q2
D．1＋q＋q2＋q3
答案]　C
解析]　左边＝1＋q＋q1＋1＝1＋q＋q2.故选C.
2．用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N
)，从n＝k到n＝k＋1，左边的式子之比是导学号05300545(　　)
A.
B．
C.
D．
答案]　B
解析]　
＝
＝
.故选B.
3．用数学归纳法证明＋＋…＋>(n≥2，n∈N
)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时不等式左边导学号05300546(　　)
A．增加了一项
B．增加了两项＋
C．增加了B中两项但减少了一项
D．以上各种情况均不对
答案]　C
解析]　n＝k时，左边＝＋＋…＋，n＝k＋1时，左边＝＋＋…＋＋＋
∴增加了＋，减少了一项.
故选C.
4．设平面内有k条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设k条直线的交点个数为f(k)，则f(k＋1)与f(k)的关系是导学号05300547(　　)
A．f(k＋1)＝f(k)＋k－1
B．f(k＋1)＝f(k)＋k＋1
C．f(k＋1)＝f(k)＋k＋2
D．f(k＋1)＝f(k)＋k
答案]　D
解析]　因为任何两条不平行，任何三条不共点，所以当增加一条直线时，则增加k个交点，故交点个数为f(k)＋k.
5．某个与正整数n有关的命题，如果当n＝k(k∈N
)时该命题成立，则可推得n＝k＋1时该命题也成立，现已知n＝5时命题不成立，那么可推得导学号05300548(　　)
A．当n＝4时该命题不成立
B．当n＝6时该命题不成立
C．当n＝4时该命题成立
D．当n＝6时该命题成立
答案]　A
解析]　由命题及其逆否命题的等价性知选A.
6．等式12＋22＋32＋…＋n2＝(5n2－7n＋4)导学号05300549(　　)
A．n为任何正整数都成立
B．仅当n＝1,2,3时成立
C．当n＝4时成立，n＝5时不成立
D．仅当n＝4时不成立
答案]　B
解析]　经验证，n＝1,2,3时成立，n＝4,5，…不成立．故选B.
7．(2015·枣庄一模)用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上导学号05300550(　　)
A．k2＋1
B．(k＋1)2
C.
D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2
答案]　D
解析]　∵当n＝k时，左边＝1＋2＋3＋…＋k2.
当n＝k＋1时，左边＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋…＋(k＋1)2，
∴当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2.
8．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N
)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开导学号05300551(　　)
A．(k＋3)3
B．(k＋2)3
C．(k＋1)3
D．(k＋1)3＋(k＋2)3
答案]　A
解析]　因为从n＝k到n＝k＋1的过渡，增加了(k＋3)3，减少了k3，故利用归纳假设，只需将(k＋3)3展开，证明余下的项9k2＋27k＋27能被9整除．
二、填空题
9．(2015·辽宁师大附中高二检测)用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N＋)”的过程中，第二步n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时应得到________．导学号05300552
答案]　1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－1
10．用数学归纳法证明当n∈N＋时，1＋2＋22＋23＋…＋25n－1是31的倍数时，当n＝1时原式为__________，从k→k＋1时需增添的项是________．导学号05300553
答案]　1＋2＋22＋23＋24　25k＋25k＋1＋25k＋2＋25k＋3＋25k＋4
11．使不等式2n＞n2＋1对任意n≥k的自然数都成立的最小k值为________．
导学号05300554
答案]　5
解析]　25＝32,52＋1＝26，对n≥5的所有自然数n,2n＞n2＋1都成立，自己用数学归纳法证明之．
三、解答题
12．已知f(n)＝1＋＋＋…＋，n∈N＋，求证：n＋f(1)＋…＋f(n－1)＝nf(n)(n≥2且n∈N＋)．导学号05300555
证明]　(1)当n＝2时，左边＝2＋f(1)＝3，右边＝2f(2)＝3，等式成立．
(2)假设n＝k时，k＋f(1)＋…＋f(k－1)＝kf(k)．
当n＝k＋1时，
k＋1＋f(1)＋…＋f(k－1)＋f(k)
＝1＋f(k)＋kf(k)＝(k＋1)f(k)＋1
＝(k＋1)·(f(k)＋)＝(k＋1)f(k＋1)．
即n＝k＋1时，命题成立．
根据(1)和(2)，可知结论正确.
一、选择题
1．用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3…(2n－1)(n∈N＋)”，则“从k到k＋1”左端需乘的代数式为导学号05300556(　　)
A．2k＋1
B．2(2k＋1)
C.
D．
答案]　B
解析]　n＝k时左式＝(k＋1)(k＋2)(k＋3)
n＝k＋1时左式＝(k＋2)(k＋3)…(2k＋1)(2k＋2)故“从k到k＋1”左端需乘＝2(2k＋1)．故选B.
2．已知数列{an}，a1＝1，a2＝2，an＋1＝2an＋an－1(k∈N
)，用数学归纳法证明a4n能被4整除时，假设a4k能被4整除，应证导学号05300557(　　)
A．a4k＋1能被4整除
B．a4k＋2能被4整除
C．a4k＋3能被4整除
D．a4k＋4能被4整除
答案]　D
解析]　在数列{a4n}中，相邻两项下标差为4，所以a4k后一项为a4k＋4.故选D.
3．(2015·锦州期中)在数学归纳法证明多边形内角和定理时，第一步应验证
导学号05300558(　　)
A．n＝1成立
B．n＝2成立
C．n＝3成立
D．n＝4成立
答案]　C
解析]　多边形的边数最少是3，即三角形，
∴第一步验证n等于3.
4．用数学归纳法证明3k≥n3(n≥3，n∈N)，第一步应验证导学号05300559(　　)
A．n＝1
B．n＝2
C．n＝3
D．n＝4
答案]　C
解析]　∵n≥3，n∈N，∴第一步应验证n＝3时，命题成立．
二、填空题
5．用数学归纳法证明关于n的恒等式时，当n＝k时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，则当n＝k＋1时，待证表达式应为________．导学号05300560
答案]　1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)2
6．用数学归纳法证明：1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N
)的过程如下：
导学号05300561
①当n＝1时，左边＝20＝1，右边＝21－1＝1，不等式成立；
②假设n＝k时，等式成立，
即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1.
则当n＝k＋1时，
1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1，
所以n＝k＋1时等式成立．
由此可知对任意正整数n，等式都成立．
以上证明错在何处？____________.
答案]　没有用上归纳假设
解析]　由数学归纳法证明步骤易知其错误所在．
7．设S1＝12，S2＝12＋22＋12，…，Sn＝12＋22＋32＋…＋n2＋…＋22＋12.用数学归纳法证明Sn＝时，第二步从“n＝k到n＝k＋1”右边应添加的项为________．
导学号05300562
答案]　
解析]　Sk＋1－Sk＝－
＝.
三、解答题
8．在数列{an}中，a1＝a2＝1，当n∈N
时，满足an＋2＝an＋1＋an，且设bn＝a4n，求证：{bn}的各项均为3的倍数．导学号05300563
证明]　(1)∵a1＝a2＝1，
故a3＝a1＋a2＝2，a4＝a3＋a2＝3.
∴b1＝a4＝3，当n＝1时，b1能被3整除．
(2)假设n＝k时，即bk＝a4k是3的倍数．
则n＝k＋1时，bk＋1＝a4(k＋1)＝a(4k＋4)＝a4k＋3＋a4k＋2
＝a4k＋2＋a4k＋1＋a4k＋1＋a4k＝3a4k＋1＋2a4k.
由归纳假设，a4k是3的倍数，故可知bk＋1是3的倍数．
∴n＝k＋1时命题正确．
综合(1)、(2)可知，对于任意正整数n，数列{bn}的各项都是3的倍数．
9．若不等式＋＋＋…＋>对一切正整数n都成立，求正整数a的最大值，并证明你的结论．导学号05300564
解析]　取n＝1，＋＋＝，
令>，得a<26，且a∈N＋.
∴取a＝25.下面用数学归纳法证明：
＋＋…＋>.
①n＝1时，结论已证．
②假设n＝k(k∈N＋)时，＋＋…＋>，则当n＝k＋1时，有＋＋…＋
＋＋＋
＝(＋＋…＋)＋(＋＋－)>＋＋－]．
∵＋＝>，
∴＋－>0.
∴＋＋…＋>，
即n＝k＋1时，结论也成立．
由①②可知，对一切n∈N＋，都有＋＋…＋>.
故a的最大值为25.
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第二章　2.2　第2课时
一、选择题
1．设a、b、c都是正数，则三个数a＋、b＋、c＋导学号05300807(　　)
A．都大于2　　　　
B．至少有一个大于2
C．至少有一个不小于2
D．至少有一个不大于2
答案]　C
解析]　a＋＋b＋＋c＋＝a＋＋b＋＋c＋≥2＋2＋2＝6.故选C.
2．异面直线在同一个平面的射影不可能是导学号05300507(　　)
A．两条平行直线
B．两条相交直线
C．一点与一直线
D．同一条直线
答案]　D
解析]　举反例的方法
如图正方体ABCD－A1B1C1D1中
A1A与B1C1是两条异面直线，它们在平面ABCD内的射影分别是点A和直线BC，故排除C；
BA1与B1C1是两条异面直线，它们在平面ABCD内的射影分别是直线AB和BC，故排除B；
BA1与C1D1是两条异面直线，它们在平面ABCD内的射影分别是直线AB和CD，故排除A.故选D.
3．已知x、y∈R，且x2＋y2＝1，则(1－xy)(1＋xy)有导学号05300508(　　)
A．最小值，而无最大值
B．最小值1，而无最大值
C．最小值和最大值1
D．最大值1和最小值
答案]　D
解析]　设x＝cosα，y＝sinα，则(1－xy)(1＋xy)
＝(1－sinαcosα)(1＋sinαcosα)＝1－sin2αcos2α
＝1－sin22α∈，1]．
4．用反证法证明命题“如果a>b>0，那么a2>b2”时，假设的内容应是
导学号05300509(　　)
A．a2＝b2
B．a2C．a2≤b2
D．a2答案]　C
5．实数a，b，c满足a＋2b＋c＝2，则导学号05300510(　　)
A．a，b，c都是正数
B．a，b，c都大于1
C．a，b，c都小于2
D．a，b，c至少有一个不小于
答案]　D
解析]　假设a，b，c均小于，则a＋2b＋c<＋1＋，与已知矛盾．
6．“M不是N的子集”的充分必要条件是导学号05300511(　　)
A．若x∈M则x N
B．若x∈N则x∈M
C．存在x1∈M x1∈N，又存在x2∈M x2 N
D．存在x0∈M x0 N
答案]　D
解析]　按定义，若M是N的子集，则集合M的任一个元素都是集合N的元素．所以，要使M不是N的子集，只需存在x0∈M但x0 N.选D.
7．设a、b、c∈R＋，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR>0”是“P、Q、R同时大于零”的导学号05300512(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案]　C
解析]　首先若P、Q、R同时大于零，则必有PQR>0成立．
其次，若PQR>0，且P、Q、R不都大于0，则必有两个为负，不妨设P<0，Q<0，即a＋b－c<0，b＋c－a<0，∴b<0与b∈R＋矛盾，故P、Q、R都大于0.故选C.
8．用反证法证明某命题时，对其结论：“自然数a、b、c中恰有一个偶数”正确的反设为导学号05300513(　　)
A．a、b、c都是奇数
B．a、b、c都是偶数
C．a、b、c中至少有两个偶数
D．a、b、c中至少有两个偶数或都是奇数
答案]　D
解析]　“自然数a、b、c中恰有一个偶数”即a、b、c中有两奇一偶，故其反面应为都是奇数或两偶一奇或都是偶数，故选D.
二、填空题
9．设f(x)＝x2＋ax＋b，求证：|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于.用反证法证明此题时应假设____________________．导学号05300514
答案]　|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|都小于
10．完成反证法证题的全过程．导学号05300515
题目：设a1，a2，…，a7是1,2，…，7的一个排列．
求证：乘积p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－7)为偶数．
证明：反设p为奇数，则________均为奇数．①
因奇数个奇数之和为奇数，故有
奇数＝________________________________②
＝________________________________③
＝0.
答案]　①a1－1，a2－2，…，a7－7
②(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)
③(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋3＋…＋7)
11．设实数a、b、c满足a＋b＋c＝1，则a、b、c中至少有一个数不小于________．
导学号05300516
答案]　
解析]　假设a、b、c都小于，则a＋b＋c<1.
故a、b、c中至少有一个数不小于.
三、解答题
12．求证：若x，y，z均为实数，且a＝4y－x2－，b＝4z－y2－，c＝4x－z2－2π，求证：a，b，c中至少有一个小于零．导学号05300517
证明]　假设a，b，c都不小于零，则a＋b＋c≥0.
所以a＋b＋c＝(4y－x2－)＋(4z－y2－)＋(4x－z2－2π)＝－(x－2)2＋(y－2)2＋(z－2)2]－4π＋12≥0.
因为－(x－2)2＋(y－2)2＋(z－2)2]≤0，
所以－4π＋12≥0，
即4π≤12，这与基本事实4π>12矛盾．
故a，b，c中至少有一个小于零.
一、选择题
1．实数a，b，c不全为0的含义是导学号05300518(　　)
A．a，b，c均不为0
B．a，b，c中至多有一个为0
C．a，b，c中至少有一个为0
D．a，b，c中至少有一个不为0
答案]　D
解析]　“不全为0”即“至少有一个不为0”．
2．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是导学号05300519(　　)
A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根
B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根
C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根
D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根
答案]　A
解析]　本题考查命题的非的写法．
至少有一个实根的否定为：没有实根．
反证法的假设为原命题的否定．
3．已知x>0，y>0，x＋y≤4，则有导学号05300520(　　)
A.≤
B．＋≥1
C.≥2
D．≥1
答案]　B
解析]　由x>0，y>0，x＋y≤4得≥，A错；x＋y≥2，∴≤2，C错；xy≤4，∴≥，D错．
4．(2016·北京文，8)某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段．下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.
学生序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
立定跳远(单位：米)
1.96
1.92
1.82
1.80
1.78
1.76
1.74
1.72
1.68
1.60
30秒跳绳(单位：次)
63
a
75
60
63
72
70
a－1
b
65
在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则(　　)
A．2号学生进入30秒跳绳决赛
B．5号学生进入30秒跳绳决赛
C．8号学生进入30秒跳绳决赛
D．9号学生进入30秒跳绳决赛
答案]　B
解析]　由数据可知，进入立定跳远决赛的8人为1～8号，所以进入30秒跳绳决赛的6人从1～8号里产生．数据排序后可知3号，6号，7号必定进入30秒跳绳决赛，则得分为63，a,60,63，a－1的5人中有3人进入30秒跳绳决赛．若1号，5号学生未进入30秒跳绳决赛，则4号学生就会进入决赛，与事实矛盾，所以1号，5号学生必进入30秒跳绳决赛．故选B.
二、填空题
5．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是________．导学号05300522
答案]　存在一个三角形，其外角至多有一个钝角
6．用反证法证明命题“如果AB∥CD，AB∥EF，那么CD∥EF”，证明的第一个步骤是________．导学号05300523
答案]　假设CD与EF不平行
7．用反证法证明命题：“a，b∈N，ab可被5整除，那么a、b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为__________________．导学号05300524
答案]　假设a、b都不能被5整除
三、解答题
8．若x>0，y>0，且x＋y>2，求证<2和<2中至少有一个成立．导学号05300525
解析]　假设都不成立，即有≥2且≥2.
∵x>0，y>0，
∴1＋x≥2y且1＋y≥2x，
∴2＋(x＋y)≥2(x＋y)，
∴x＋y≤2，这与已知条件x＋y>2矛盾．
∴假设不成立，原命题成立，
即<2和<2中至少有一个成立．
9．求证：当x2＋bx＋c2＝0有两个不相等的非零实数根时，bc≠0.导学号05300526
证明]　假设bc＝0.
(1)若b＝0，c＝0，方程变为x2＝0；则x1＝x2＝0是方程x2＋bx＋c2＝0的两根，这与方程有两个不相等的实数根矛盾．
(2)若b＝0，c≠0，方程变为x2＋c2＝0；但c≠0，此时方程无解，与x2＋bx＋c2＝0有两个不相等的非零实数根矛盾．
(3)若b≠0，c＝0，方程变为x2＋bx＝0，方程的根为x1＝0，x2＝－b，这与方程有两个非零实根矛盾．
综上所述，可知bc≠0.
10．(2015·湖南理，16)设a>0，b>0，且a＋b＝＋.证明：导学号05300527
(1)a＋b≥2；
(2)a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．
证明]　由a＋b＝＋＝，a>0，b>0，得ab＝1.
(1)由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2＝2，即a＋b≥2；
(2)假设a2＋a<2与b2＋b<2同时成立，则由a2＋a<2及a>0得0PAGEwww.
第一章　1.2　第2课时
一、选择题
1．若f(x)＝cos，则f′(x)为导学号05300134(　　)
A．－sin　　　　
B．sin
C．0
D．－cos
答案]　C
解析]　f(x)＝cos＝，∴f′(x)＝0.
2．函数f(x)＝xa，a∈Q，若f′(－1)＝－4，则a的值为导学号05300135(　　)
A．4
B．－4
C．5
D．－5
答案]　A
解析]　f′(x)＝α·xα－1，
∴f′(－1)＝α·(－1)α－1＝－4，∴α＝4.
3．给出下列命题：
①y＝ln2，则y′＝
②y＝，则y′|x＝3＝－
③y＝2x，则y′＝2x·ln2
④y＝log2x，则y′＝
其中正确命题的个数为导学号05300136(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
答案]　C
解析]　由求导公式知②③④正确．
4．设f(x)＝sinx－cosx，则f(x)在x＝处的导数f
′()＝导学号05300137(　　)
A.
B．－
C．0
D．
答案]　A
解析]　∵f
′(x)＝cosx＋sinx，
∴f
′()＝cos＋sin＝，故选A.
5．设函数f(x)＝cosx则′等于导学号05300138(　　)
A．0
B．1
C．－1
D．以上均不正确
答案]　A
解析]　∵f＝cos＝0，
∴′＝0′＝0，故选A.
6．设函数f(x)＝sinx，则f′(0)等于导学号05300139(　　)
A．1
B．－1
C．0
D．以上均不正确
答案]　A
解析]　∵f′(x)＝(sinx)′＝cosx，
∴f′(0)＝cos0＝1.故选A.
7．若y＝lnx，则其图象在x＝2处的切线斜率是导学号05300140(　　)
A．1　　
B．0　　
C．2　　
D．
答案]　D
解析]　∵y′＝，∴y′|x＝2＝，故图象在x＝2处的切线斜率为.
8．已知直线y＝kx是y＝lnx的切线，则k的值为导学号05300141(　　)
A.
B．－
C．
D．－
答案]　C
解析]　∵y′＝＝k，∴x＝，切点坐标为，
又切点在曲线y＝lnx上，∴ln＝1，
∴＝e，k＝.
二、填空题
9．函数f(x)＝sinx在x＝处的切线方程为________．导学号05300142
答案]　x－2y＋－＝0
10．(2015·新课标Ⅱ文，16)已知曲线y＝x＋ln
x在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________.导学号05300143
答案]　8
解析]　由y′＝1＋可得曲线y＝x＋ln
x在点(1,1)处的切线斜率为2，故切线方程为y＝2x－1，与y＝ax2＋(a＋2)x＋1联立得ax2＋ax＋2＝0，显然a≠0，所以由Δ＝a2－8a＝0 a＝8.
11．曲线y＝lnx与x轴交点处的切线方程是______________．导学号05300144
答案]　y＝x－1
解析]　∵曲线y＝lnx与x轴的交点为(1,0)
∴y′|x＝1＝1，切线的斜率为1，
所求切线方程为：y＝x－1.
三、解答题
12．(1)y＝ex在点A(0,1)处的切线方程；导学号05300145
(2)y＝lnx在点A(1,0)处的切线方程．
解析]　(1)∵(ex)′＝ex，
∴y＝ex在点(0,1)处的切线的斜率为1.
∴切线方程为y－1＝1×(x－0)，即x－y＋1＝0.
(2)∵(lnx)′＝，
∴y＝lnx在点A(1,0)处的切线的斜率为1.
∴切线方程为y＝1×(x－1)，即x－y－1＝0.
一、选择题
1．物体运动的图象(时间x，位移y)如图所示，则其导函数图象为导学号05300146(　　)
答案]　D
解析]　由图象可知，物体在OA，AB，BC三段都做匀速运动，位移是时间的一次函数，因此其导函数为常数函数，并且直线OA，直线AB的斜率为正且kOA>kAB，直线BC的斜率为负，故选D.
2．下列函数中，导函数是奇函数的是导学号05300147(　　)
A．y＝sinx
B．y＝ex
C．y＝lnx
D．y＝cosx－
答案]　D
解析]　由y＝sinx得y′＝cosx为偶函数，故A错；又y＝ex时，y′＝ex为非奇非偶函数，∴B错；C中y＝lnx的定义域x>0，∴C错；D中y＝cosx－时，y′＝－sinx为奇函数，∴选D.
3．设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N＋，则f2015(x)的值是导学号05300148(　　)
A．sinx　　　　　　
B．－sinx
C．cosx
D．－cosx
答案]　D
解析]　依题意：f1(x)＝cosx，f2(x)＝－sinx，
f3(x)＝－cosx，f4(x)＝sinx，f5(x)＝cosx，
按以上规律可知：f2015(x)＝f3(x)＝－cosx，故选D.
4．(2016·山东文，10)若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质．下列函数中具有T性质的是(　　)
A．y＝sinx　　　　　　　
B．y＝lnx
C．y＝ex
D．y＝x3
答案]　A
解析]　设两切点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．选项A中，y′＝cosx，cosx1cosx2＝－1，当x1＝0，x2＝π时满足，故选项A中的函数具有T性质；选项B、C、D中函数的导数均为正值或非负值，故两点处的导数之积不可能为－1，故选A.
二、填空题
5．过原点作曲线y＝ex的切线，则切点坐标为________，切线方程为________．
导学号05300150
答案]　(1，e)　y＝ex
解析]　设切点为(x0，ex0)，又y′＝(ex)′＝ex，
∴切线的斜率为k＝y′|x＝x0＝ex0，
∴切线方程为y－ex0＝ex0(x－x0)．
又切线过原点，
∴－ex0＝－x0·ex0，即(x0－1)·ex0＝0，
∴x0＝1，
∴切点为(1，e)，斜率为e，
∴切线方程为y＝ex.
6．函数y＝log2x图象上一点A(a，log2a)处的切线与直线(2ln2)x＋y－3＝0垂直，则a＝________.导学号05300151
答案]　2
解析]　y＝log2x在点A(a，log2a)处的切线斜率为
k1＝y′|x＝a＝|x＝a＝.
已知直线斜率k2＝－2ln2.
∵两直线垂直，∴k1k2＝＝－1，∴a＝2.
7．若f(x)＝x2－2x－4lnx，则f
′(x)>0的解集为________．导学号05300152
答案]　(2，＋∞)
解析]　由f(x)＝x2－2x－4lnx，得函数定义域为(0，＋∞)，且f
′(x)＝2x－2－＝＝2·＝2·，f
′(x)>0，解得x>2，故f
′(x)>0的解集为(2，＋∞)．
三、解答题
8．设点P是y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最短距离．导学号05300153
解析]　根据题意得，平行于直线y＝x的直线与曲线y＝ex相切的切点为P，该切点即为与y＝x距离最近的点，如图，即求在曲线y＝ex上斜率为1的切线，由导数的几何意义可求解．
令P(x0，y0)，∵y′＝(ex)′＝ex，
∴由题意得ex0＝1，得x0＝0，
代入y＝ex，y0＝1，即P(0,1)．
利用点到直线的距离公式得最短距离为.
9．已知两条曲线y＝sinx、y＝cosx，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．导学号05300154
解析]　由于y＝sinx、y＝cosx，设两条曲线的一个公共点为P(x0，y0)，
∴两条曲线在P(x0，y0)处的斜率分别为
k1＝y′|x＝x0＝cosx0，
k2＝y′|x＝x0＝－sinx0.
若使两条切线互相垂直，必须
cosx0·(－sinx0)＝－1，
即sinx0·cosx0＝1，也就是sin2x0＝2，这是不可能的，
∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．
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第一章知能基础测试
时间120分钟，满分150分．
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．曲线y＝x2－2x在点
处的切线的倾斜角为导学号05300372(　　)
A．－1　
B．45°　
C．－45°　
D．135°
答案]　D
解析]　y′＝x－2，所以斜率k＝1－2＝－1，因此倾斜角为135°.故选D.
2．下列求导运算正确的是导学号05300373(　　)
A.′＝1＋
B．(log2x)′＝
C．(3x)′＝3x·log3e
D．(x2cosx)′＝－2xsinx
答案]　B
解析]　′＝1－，所以A不正确；
(3x)′＝3xln3，所以C不正确；(x2cosx)′＝2xcosx＋x2·(－sinx)，所以D不正确；(log2x)′＝，所以B对．故选B.
3．如图，一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0)＝0)，则导函数y＝S′(t)的图像大致为
导学号05300373(　　)
答案]　A
解析]　由图象知，五角星露出水面的面积的变化率是增→减→增→减，其中恰露出一个角时变化不连续，故选A.
4．已知函数f(x)＝x4－2x3＋3m，x∈R，若f(x)＋9≥0恒成立，则实数m的取值范围是导学号05300375(　　)
A．m≥
B．m>
C．m≤
D．m<
答案]　A
解析]　因为函数f(x)＝x4－2x3＋3m，所以f′(x)＝2x3－6x2.令f′(x)＝0，得x＝0或x＝3.经检验知x＝3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值点为f(3)＝3m－.不等式f(x)＋9≥0恒成立，即f(x)≥－9恒成立，所以3m－≥－9，解得m≥.
5．直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为
导学号05300376(　　)
A．2
B．4
C．2
D．4
答案]　D
解析]　如图所示
由解得或
∴第一象限的交点坐标为(2,8)
由定积分的几何意义得S＝(4x－x3)dx＝(2x2－)|＝8－4＝4.
6．已知f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，则x0＝导学号05300377(　　)
A．e2
B．e
C.
D．ln2
答案]　B
解析]　f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝lnx＋1，
由f′(x0)＝2，得lnx0＋1＝2，解得x0＝e.
7．(2015·会宁县期中)曲线f(x)＝x3＋x－2的一条切线平行于直线y＝4x－1，则切点P0的坐标为导学号05300378(　　)
A．(0，－1)或(1,0)
B．(1,0)或(－1，－4)
C．(－1，－4)或(0，－2)
D．(1,0)或(2,8)
答案]　B
解析]　由y＝x3＋x－2，得y′＝3x2＋1，
由已知得3x2＋1＝4，解之得x＝±1.
当x＝1时，y＝0；当x＝－1时，y＝－4.
∴切点P0的坐标为(1,0)或(－1，－4)．
8．函数f(x)＝x3－2x＋3的图象在x＝1处的切线与圆x2＋y2＝8的位置关系是
导学号05300379(　　)
A．相切
B．相交且过圆心
C．相交但不过圆心
D．相离
答案]　C
解析]　切线方程为y－2＝x－1，即x－y＋1＝0.圆心到直线的距离为＝<2，所以直线与圆相交但不过圆心．故选C.
9．f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是
导学号05300380(　　)
答案]　D
解析]　由图可知，当b>x>a时，f′(x)>0，故在a，b]上，f(x)为增函数．且又由图知f′(x)在区间a，b]上先增大后减小，即曲线上每一点处切线的斜率先增大再减小，故选D.
10．曲线y＝ex在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为
导学号05300381(　　)
A.e2
B．4e2
C．2e2
D．e2
答案]　D
解析]　∵y′＝e，
∴在点(4，e2)处的切线方程为y＝e2x－e2，
令x＝0得y＝－e2，令y＝0得x＝2，
∴围成三角形的面积为e2.故选D.
11．(2016·全国Ⅰ理，7)函数y＝2x2－e|x|在－2,2]的图象大致为(　　)
答案]　D
解析]　由导函数图象可知，当x<0时，函数f(x)递减，排除A，B；当0′(x)>0，函数f(x)递增．因此，当x＝0时，f(x)取得极小值，故选D.
12．(2015·甘肃省会宁一中高二期中)对于任意的两个实数对(a，b)和(c，d)，规定：(a，b)＝(c，d)，当且仅当a＝c，b＝d；运算“ ”为：(a，b) (c，d)＝(ac－bd，bc＋ad)；运算“ ”为：(a，b) (c，d)＝(a＋c，b＋d)，设p，q∈R，若(1,2) (p，q)＝(5,0)，则(1,2) (p，q)＝导学号05300383(　　)
A．(4,0)
B．(2,0)
C．(0,2)
D．(0，－4)
答案]　B
解析]　由(1,2) (p，q)＝(5,0)得
，
所以(1,2) (p，q)＝(1,2) (1，－2)＝(2,0)．
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上)
13．(2016·全国卷Ⅲ理，15)已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是______________.
答案]　y＝－2x－1
解析]　由题意可得当x>0时，
f(x)＝lnx－3x，则f′(x)＝－3,
f′(1)＝－2，则在点(1，－3)处的切线方程为y＋3＝－2(x－1)，即y＝－2x－1.
14．若函数f(x)＝在(0，＋∞)上为增函数，则实数a的取值范围是________．
导学号05300385
答案]　a≥0
解析]　f′(x)＝′＝a＋，
由题意得，a＋≥0对x∈(0，＋∞)恒成立，
即a≥－，x∈(0，＋∞)恒成立．∴a≥0.
15．(2015·安徽理，15)设x3＋ax＋b＝0，其中a，b均为实数．下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是________．(写出所有正确条件的编号)导学号05300386
①a＝－3，b＝－3；②a＝－3，b＝2；③a＝－3，b＞2；④a＝0，b＝2；⑤a＝1，b＝2.
答案]　①③④⑤
解析]　令f(x)＝x3＋ax＋b，求导得f′(x)＝3x2＋a，当a≥0时，f′(x)≥0，所以f(x)单调递增，且至少存在一个数使f(x)<0，至少存在一个数使f(x)>0，所以f(x)＝x3＋ax＋b必有一个零点，即方程x3＋ax＋b＝0仅有一根，故④⑤正确；当a<0时，若a＝－3，则f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，易知，f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在－1,1]上单调递减，所以f(x)极大＝f(－1)＝－1＋3＋b＝b＋2，f(x)极小＝f(1)＝1－3＋b＝b－2，要使方程仅有一根，则f(x)极大＝f(－1)＝－1＋3＋b＝b＋2<0或者f(x)极小＝f(1)＝1－3＋b＝b－2>0，解得b<－2或b>2，故①③正确．所以使得三次方程仅有一个实根的是①③④⑤.
16．已知函数f(x)＝x3－3x，若过点A(1，m)(m≠－2)可作曲线y＝f(x)的三条切线，则实数m的取值范围为________．导学号05300387
答案]　(－3，－2)
解析]　f
′(x)＝3x2－3，设切点为P(x0，y0)，则切线方程为y－(x－3x0)＝(3x－3)(x－x0)，∵切线经过点A(1，m)，∴m－(x－3x0)＝(3x－3)(1－x0)，∴m＝－2x＋3x－3，m′＝－6x＋6x0，∴当01时，此函数单调递减，当x0＝0时，m＝－3，当x0＝1时，m＝－2，∴当－3三、解答题(本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本题满分12分)设f(x)＝alnx＋＋x＋1，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴．导学号05300388
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的极值．
解析]　(1)因为f(x)＝alnx＋＋x＋1，
故f′(x)＝－＋.
由于曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴，故该切线斜率为0，即f′(1)＝0，从而a－＋＝0，
解得a＝－1.
(2)由(1)知f(x)＝－lnx＝＋x＋1(x>0)，
f′(x)＝－－＋＝
＝.
令f′(x)＝0，解得x1＝1，x2＝－
(因为x2＝－不在定义域内，舍去)．
当x∈(0,1)时，f′(x)<0，故f(x)在(0,1)上为减函数；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(1，＋∞)上为增函数．
故f(x)在x＝1处取得极小值f(1)＝3.
18．(本题满分12分)已知函数f(x)＝ax3＋cx＋d(a≠0)是R上的奇函数，当x＝1时，f(x)取得极值－2.导学号05300389
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)的单调区间和极大值；
(3)证明：对任意x1、x2∈(－1,1)，不等式|f(x1)－f(x2)|<4恒成立．
解析]　(1)∵f(x)是R上的奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
即－ax3－cx＋d＝－ax3－cx－d，∴d＝－d，
∴d＝0(或由f(0)＝0得d＝0)．
∴f(x)＝ax3＋cx，f
′(x)＝3ax2＋c，
又当x＝1时，f(x)取得极值－2，
∴
即解得
∴f(x)＝x3－3x.
(2)f
′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，令f
′(x)＝0，得x＝±1，
当－1′(x)<0，函数f(x)单调递减；
当x<－1或x>1时，f
′(x)>0，函数f(x)单调递增；
∴函数f(x)的递增区间是(－∞，－1)和(1，＋∞)；递减区间为(－1,1)．
因此，f(x)在x＝－1处取得极大值，且极大值为f(－1)＝2.
(3)由(2)知，函数f(x)在区间－1,1]上单调递减，且f(x)在区间－1,1]上的最大值为M＝f(－1)＝2.最小值为m＝f(1)＝－2.∴对任意x1、x2∈(－1,1)，
|f(x1)－f(x2)|即对任意x1、x2∈(－1,1)，不等式|f(x1)－f(x2)|<4恒成立．
19．(本题满分12分)计算定积分|x＋3|dx.导学号05300390
解析]　因为f(x)＝|x＋3|＝
所以原式＝(－x－3)dx＋
(x＋3)dx.
分别取F1(x)＝－x2－3x，F2(x)＝x2＋3x，
则F′1(x)＝－x－3，F′2(x)＝x＋3.
所以|x＋3|dx＝(－x－3)dx＋
(x＋3)dx＝(－x2－3x)|＋(x2＋3x)|＝5.
20．(本题满分12分)某银行准备新设一种定期存款业务，经预测：存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k>0)，借款的利率为4.8%.又银行吸收的存款能全部放贷出去．
导学号05300391
(1)若存款利率为x，x∈(0,0.048)，试写出存款量g(x)及银行应支付给储户的利息h(x)与存款利率x之间的关系式；
(2)存款利率定为多少时，银行可获得最大收益？
解析]　(1)由题意，存款量g(x)＝kx2.银行应支付的利息h(x)＝xg(x)＝kx3.
(2)设银行可获得收益为y，则y＝0.048kx2－kx3.
∴y′＝0.096kx－3kx2.
令y′＝0，得x＝0(舍去)或x＝0.032。
当x∈(0,0.032)时，y′>0；当x∈(0.032,0.048)时，y′<0.
∴当x＝0.032时，y取得最大值．
即当存款利率为3.2%时，银行可获最大收益．
21．(本题满分12分)设函数f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax＋8，其中a∈R.导学号05300392
(1)若f(x)在x＝3处取得极值，求常数a的值；
(2)若f(x)在(－∞，0)上为增函数，求a的取值范围．
解析]　(1)f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a＝6(x－a)(x－1)．
因f(x)在x＝3处取得极值，
所以f′(3)＝6(3－a)(3－1)＝0，解得a＝3.
经检验知当a＝3时，x＝3为f(x)的极值点．
(2)令f′(x)＝6(x－a)(x－1)＝0得x1＝a，x2＝1.
当a<0时，若x∈(－∞，a)∪(1，＋∞)，则f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，a)和(1，＋∞)上为增函数．
当0≤a<1时，f(x)在(－∞，0)上为增函数．
当a≥1时，若x∈(－∞，1)∪(a，＋∞)，则f′(x)>0，
所以f(x)在(－∞，1)和(a，＋∞)上为增函数，从而f(x)在(－∞，0)上为增函数．
综上可知，当a≥0时，f(x)在(－∞，0)上为增函数．
22．(本题满分14分)(2016·全国卷Ⅱ理，21)(Ⅰ)讨论函数f(x)＝ex的单调性，并证明当x>0时，(x－2)ex＋x＋2>0；
(Ⅱ)证明：当a∈0,1)时，函数g(x)＝(x>0)有最小值，设g(x)的最小值为h(a)，求函数h(a)的值域.
解析]　(Ⅰ)f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)．
f′(x)＝＝≥0，
且仅当x＝0时，f′(x)＝0，所以f(x)在(－∞，－2)，(－2，＋∞)上单调递增．
因此当x∈(0，＋∞)时，f(x)>f(0)＝－1.
所以(x－2)ex>－(x＋2)，(x－2)ex＋x＋2>0.
(Ⅱ)g′(x)＝＝(f(x)＋a)．
由(Ⅰ)知，f(x)＋a单调递增．对任意的a∈0,1)，f(0)＋a＝a－1<0，f(2)＋a＝a≥0.因此，存在唯一xa∈(0,2]，使得f(xa)＋a＝0，即g′(xa)＝0.
当0当x>xa时，f(x)＋a>0，g′(x)>0，g(x)单调递增．
因此g(x)在x＝xa处取得最小值，最小值为
g(xa)＝＝＝.
于是h(a)＝，由()′＝>0，得单调递增．
所以，由xa∈(0,2]，得＝因为单调递增，对任意的λ∈(，]，存在唯一的xa∈(0,2]，a＝－f(xa)∈0,1)，使得h(a)＝λ，所以h(a)的值域是(，]．
综上，当a∈0,1)时，g(x)有最小值h(a)，h(a)的值域是(，]．
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第二章　2.1　第1课时
一、选择题
1．下面使用类比推理正确的是导学号05300406(　　)
A．“若a·4＝b·4，则a＝b”类比推出“若a·0＝b·0，则a＝b”
B．“(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“(a·b)c＝ac·bc”
C．“(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“＝＋(c≠0)”
D．“(ab)n＝anbn”类比推出“(a＋b)n＝an＋bn”
答案]　C
2．已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝(n∈N＋)，则a20＝导学号05300407(　　)
A．0　　　　　　　
B．－
C.
D．
答案]　B
解析]　∵a1＝0，∴a2＝－，a3＝＝，a4＝0，…，由此可以看出周期为3，∴a20＝a3×6＋2＝a2＝－.
3．下面几种推理是合情推理的是导学号05300408(　　)
①由圆的性质类比出球的有关性质；
②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；
③教室内有一把椅子坏了，则该教室内的所有椅子都坏了；
④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n－2)·180°.
A．①②
B．①③④
C．①②④
D．②④
答案]　C
解析]　①是合情推理中的类比法，排除D；②是归纳推理，排除B；④是归纳推理．故选C.
4．已知数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，an＝2an－1＋1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的一个表达式是导学号05300409(　　)
A．n2－1
B．(n－1)2＋1
C．2n－1
D．2n－1＋1
答案]　C
解析]　a2＝2a1＋1＝2×1＋1＝3，
a3＝2a2＋1＝2×3＋1＝7，
a4＝2a3＋1＝2×7＋1＝15，利用归纳推理，猜想an＝2n－1，故选C.
5．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝导学号05300410(　　)
A．f(x)
B．－f(x)
C．g(x)
D．－g(x)
答案]　D
解析]　本题考查了推理证明及函数的奇偶性内容，由例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，选D，体现了对学生观察能力，概括归纳推理能力的考查．
6．我们把4,9,16,25，…这些数称做正方形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正方形(如下图)，则第n－1个正方形数是导学号05300411(　　)
A．n(n－1)
B．n(n＋1)
C．n2
D．(n＋1)2
答案]　C
解析]　第n－1个正方形数的数目点子可排成n行n列，即每边n个点子的正方形，∴点数为n2.故选C.
7．根据给出的数塔猜测123456×9＋7等于导学号05300412(　　)
1×9＋2＝11
12×9＋3＝111
123×9＋4＝1111
1234×9＋5＝11111
12345×9＋6＝111111
…
A．1111110
B．1111111
C．1111112
D．1111113
答案]　B
解析]　由数塔猜测应是各位都是1的七位数，即1111111.
8.观察图所示图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为导学号05300413(　　)
A.
B．△
C.
D．○
答案]　A
解析]　由每行或每列均有2个黑色图形知，本题选A.
二、填空题
9．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；
乙说：我没去过C城市；
丙说：我们三人去过同一城市；
由此可判断乙去过的城市为________．导学号05300414
答案]　A
解析]　利用逻辑推理的知识求解．
由题意可推断：甲没去过B城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A，C城市，而乙“没去过C城市”，说明乙去过城市A，由此可知，乙去过的城市为A.
10．对于等差数列{an}有如下命题：“若{an}是等差数列，a1＝0，s、t是互不相等的正整数，则有(s－1)at－(t－1)as＝0”．类比此命题，给出等比数列{bn}相应的一个正确命题是________．导学号05300415
答案]　若{bn}是等比数列，b1＝1，s、t是互不相等的正整数，则有＝1
解析]　这是一个从等差数列到等比数列的平行类比，等差数列中的加、减、乘、除类比到等比数列经常是乘、除、乘方、开方，类比方法的关键在于善于发现不同对象之间的“相似”，“相似”是类比的基础．∴＝＝1.
11．(2016·山东文，12)观察下列等式：
(sin)－2＋(sin)－2＝×1×2；
(sin)－2＋(sin)－2＋(sin)－2＋(sin)－2＝×2×3；
(sin)－2＋(sin)－2＋(sin)－2＋…＋(sin)－2＝×3×4；
(sin)－2＋(sin)－2＋(sin)－2＋…＋(sin)－2＝×4×5；
……
照此规律，
(sin)－2＋(sin)－2＋(sin)－2＋…＋(sin)－2＝________.
答案]　n(n＋1)
解析]　根据已知，归纳可得结果为n(n＋1)．
三、解答题
12．已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，有如下的性质：导学号05300417
(1)通项an＝am＋(n－m)·d(n>m，n，m∈N
)
(2)若m＋n＝p＋q，其中，m、n、p、q∈N
，则am＋an＝ap＋aq.
(3)若m＋n＝2p，m，n，p∈N
，则am＋an＝2ap.
(4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成等差数列．
类比上述性质，在等比数列{bn}中，写出相类似的性质．
解析]　等比数列{bn}中，设公比为q，前n项和为Sn.
(1)an＝am·qn－m(n>m，n，m∈N
)．
(2)若m＋n＝p＋q，其中m，n，p，q∈N
，
则am·an＝ap·aq.
(3)若m＋n＝2p，其中，m，n，p∈N
，则a＝am·an.
(4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n(各项均不为零)构成等比数列．
一、选择题
1．设0<θ<，已知a1＝2cosθ，an＋1＝，则猜想an＝导学号05300418(　　)
A．2cos
B．2cos
C．2cos
D．2sin
答案]　B
解析]　∵a1＝2cosθ，a2＝＝2＝2cos，a3＝＝2＝2cos……，猜想an＝2cos.故选B.
2．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是导学号05300419(　　)
①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；
②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；
③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．
A．①
B．①②
C．①②③
D．③
答案]　C
解析]　正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故①②③都对．故选C.
3．把3、6、10、15、21、…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如下图)，试求第六个三角形数是导学号05300420(　　)
A．27
B．28
C．29
D．30
答案]　B
解析]　观察归纳可知第n－1个三角形数共有点数：1＋2＋3＋4＋…＋n＝个，∴第六个三角形数为＝28.故选B.
4．(2015·甘肃省会宁一中高二期中)如图，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当⊥时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率为导学号05300421(　　)
A.
B．
C.＋1
D．－1
答案]　A
解析]　类比“黄金椭圆”，在黄金双曲线中，|OA|＝a，|OB|＝b，|OF|＝c，
当⊥时，|BF|2＋|AB|2＝|AF|2，
∴b2＋c2＋c2＝a2＋c2＋2ac，
∵b2＝c2－a2，整理得c2＝a2＋ac，
∴e2－e－1＝0，解得e＝，或e＝(舍去)．
故黄金双曲线的离心率e＝.
二、填空题
5．在平面上，若两个正三角形的边长比为1?2，则它们的面积比为1?4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1?2，则它们的体积比为________．导学号05300422
答案]　1?8
解析]　＝＝·＝×＝.
6．(2015·陕西文，16)观察下列等式
1－＝
1－＋－＝＋
1－＋－＋－＝＋＋
……
据此规律，第n个等式可为_________________________________．导学号05300423
答案]　1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋
解析]　观察等式知：第n个等式的左边有2n个数相加减，奇数项为正，偶数项为负，且分子为1，分母是1到2n的连续正整数，等式的右边是＋＋…＋.故答案为1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋
三、解答题
7．在△ABC中，不等式＋＋≥成立，
在四边形ABCD中，不等式＋＋＋≥成立，
在五边形ABCDE中，不等式＋＋＋＋≥成立，猜想在n边形A1A2…An中，有怎样的不等式成立？导学号05300424
解析]　根据已知特殊的数值：、、，…，总结归纳出一般性的规律：(n≥3且n∈N
)．
∴在n边形A1A2…An中：＋＋…＋≥(n≥3且n∈N
)．
8．已知等式sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°＝，sin26°＋cos236°＋sin6°cos36°＝.请写出一个具有一般性的等式，使你写出的等式包含已知的等式，并证明结论的正确性．
导学号05300425
解析]　等式为sin2α＋cos2(30°＋α)＋sinαcos(30°＋α)＝.证明如下：
sin2α＋cos2(30°＋α)＋sinαcos(30°＋α)
＝sin2α＋＋sinα(cos30°·cosα－sin30°·sinα)＝＋sin2α＋＋sin2α－sin2α＝＋sin2α＋(cos2α－sin2α)＋sin2α－sin2α＝＋sin2α＋cos2α－sin2α＋sin2α－sin2α＝＋sin2α＋(1－2sin2α)＝.
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第一章　1.2　第3课时
一、选择题
1．函数f(x)＝a4＋5a2x2－x6的导数为导学号05300167(　　)
A．4a3＋10ax2－x6　　
B．4a3＋10a2x－6x5
C．10a2x－6x5
D．以上都不对
答案]　C
解析]　f′(x)＝(a4)′＋(5a2x2)′－(x6)′＝－6x5＋10a2x.
2．函数y＝2sinxcosx的导数为导学号05300168(　　)
A．y′＝cosx
B．y′＝2cos2x
C．y′＝2(sin2x－cos2x)
D．y′＝－sin2x
答案]　B
解析]　y′＝(2sinxcosx)′＝2(sinx)′·cosx
＋2sinx(cosx)′＝2cos2x－2sin2x＝2cos2x.
3．下列求导运算正确的是导学号05300169(　　)
A．(x＋)′＝1＋
B．(log2x)′＝
C．(3x)′＝3x
D．(x2cosx)′＝－2xsinx
答案]　B
解析]　根据对数函数的求导法则可知B正确．
4．曲线f(x)＝xlnx在x＝1处的切线方程为导学号05300170(　　)
A．y＝2x＋2
B．y＝2x－2
C．y＝x－1
D．y＝x＋1
答案]　C
解析]　∵f
′(x)＝lnx＋1，∴f
′(1)＝1，
又f(1)＝0，∴在x＝1处曲线f(x)的切线方程为y＝x－1.
5．(2015·锦州期中)下列结论：
(1)若y＝cosx，则y′＝－sinx.
(2)若y＝，则y′＝
(3)若f(x)＝，则f′(3)＝－.
其中正确的命题的个数为导学号05300171(　　)
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
答案]　C
解析]　(1)若y＝cosx，则y′＝－sinx正确，
(2)若y＝＝x－，(x>0)，则
y′＝－x－－1＝－x－＝－×＝－，故(2)错误．
(3)若f(x)＝＝x－2，则f′(x)＝－2x2－1＝－2x－3＝－，则f′(3)＝－正确．
故正确的命题的个数为2个．
6．函数f(x)＝(a>0)在x＝x0处的导数为0，则x0是导学号05300172(　　)
A．a　
B．±a　
C．－a　
D．a2
答案]　B
解析]　解法1：f′(x)＝′
＝＝，
∴f′(x0)＝＝0，得：x0＝±a.
解法2：∵f′(x)＝′＝′＝1－，
∴f′(x0)＝1－＝0，即x＝a2，∴x0＝±a.
故选B.
7．(2015·青岛市胶州市高二期中)已知函数f(x)＝(x－3)ex，则f′(0)＝
导学号05300173(　　)
A．2
B．－2
C．3
D．4
答案]　B
解析]　∵f(x)＝(x－3)ex，
∴f′(x)＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex，
∴f′(0)＝(0－2)e0＝－2，故选B.
8．函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能是
导学号05300174(　　)
A．f(x)＝ax
B．f(x)＝logax
C．f(x)＝xex
D．f(x)＝xlnx
答案]　D
解析]　若f(x)＝ax，则f′(x)＝(ax)′＝axlna，x∈R，不满足题意，排除A；若f(x)＝logax，则f′(x)＝(a>0，a≠1)，x≠0，不满足题意，排除B；若f(x)＝xex，则f′(x)＝ex＋xex，x∈R，不满足题意，排除C，故选D.
二、填空题
9．函数y＝2x3－3x2＋4x－1的导数为____________．导学号05300175
答案]　6x2－6x＋4
解析]　y′＝(2x3)′－(3x2)′＋(4x)′＝6x2－6x＋4.
10．若曲线y＝xlnx上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________．
导学号05300176
答案]　(e，e)
解析]　本题主要考查求导公式及导数的几何意义，∵y＝xlnx，∴y′＝lnx＋1，设P(x0，y0)，∵P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，∴y|x＝x0＝lnx0＋1＝2，∴x0＝e，将x0＝e代入y＝x·lnx得y0＝e，∴P点坐标为(e，e)，解答本题的关键在于掌握曲线在某点处的切线斜率为此点处的导数值．
11．(2016·全国卷Ⅱ理，16)若直线y＝kx＋b是曲线y＝lnx＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝________.
答案]　1－ln2
解析]　设y＝kx＋b与y＝lnx＋2和y＝ln(x＋1)的切点分别为(x1，lnx1＋2)和(x2，ln(x2＋1))．
则切线分别为y－lnx1－2＝(x－x1)，y－ln(x2＋1)＝(x－x2)，
化简得y＝x＋lnx1＋1，y＝x－＋ln(x2＋1)，依题意，，解得x1＝，
从而b＝lnx1＋1＝1－ln2.
三、解答题
12．求下列函数的导数．导学号05300178
(1)y＝3x－lgx；
(2)y＝(x2＋1)(x＋1)；
(3)y＝；
(4)y＝－sinx＋ex.
解析]　(1)y′＝(3x)′－(lgx)′＝3x·ln3－.
(2)y＝(x2＋1)(x＋1)＝x3＋x2＋x＋1，
∴y′＝3x2＋2x＋1.
(3)y′＝′
＝
＝＝.
(4)y′＝(－sinx)′＋(ex)′＝－cosx＋ex.
一、选择题
1．已知曲线y＝－3lnx的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为
导学号05300179(　　)
A．3　　
B．2　　
C．1　　
D．
答案]　A
解析]　由f′(x)＝－＝得x＝3.故选A.
2．曲线y＝xsinx在点处的切线与x轴、直线x＝π所围成的三角形的面积为
导学号05300180(　　)
A.
B．π2
C．2π2
D．(2＋π)2
答案]　A
解析]　曲线y＝xsinx在点处的切线方程为y＝－x，所围成的三角形的面积为.故选A.
3．设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝导学号05300181(　　)
A．0　　
B．1　　
C．2　　
D．3
答案]　D
解析]　本题考查导数的基本运算及导数的几何意义．
令f(x)＝ax－ln(x＋1)，∴f′(x)＝a－.
∴f(0)＝0，且f′(0)＝2.联立解得a＝3，故选D.
4．已知曲线y＝x4＋ax2＋1在点(－1，a＋2)处切线的斜率为8，则a＝
导学号05300182(　　)
A．9
B．6
C．－9
D．－6
答案]　D
解析]　y′＝4x3＋2ax，y′|x＝－1＝－4－2a＝8，
∴a＝－6.
二、填空题
5．若f(x)＝log3(x－1)，则f′(2)＝________.导学号05300183
答案]　
解析]　∵f′(x)＝log3(x－1)]′
＝(x－1)′＝，
∴f′(2)＝.
6．曲线y＝x(3lnx＋1)在点(1,1)处的切线方程为________________．导学号05300184
答案]　4x－y－3＝0
解析]　本题考查导数的几何意义，考查切线方程的求法．y′＝3lnx＋4，故y′|x＝1＝4，所以曲线在点(1,1)处的切线方程为y－1＝4(x－1)，化为一般式方程为4x－y－3＝0.在求过某一点的切线方程时，先通过求导得出切线的斜率，利用点斜式即可写出切线方程，注意最后应将方程化为一般式．
7．曲线y＝在点(1,1)处的切线为l，则l上的点到圆x2＋y2＋4x＋3＝0上的点的最近距离是________．导学号05300185
答案]　2－1
解析]　y′|x＝1＝－|x＝1＝－1，∴切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0，圆心(－2,0)到直线的距离d＝2，圆的半径r＝1，
∴所求最近距离为2－1.
三、解答题
8．设y＝8sin3x，求曲线在点P处的切线方程．导学号05300186
解析]　∵y′＝(8sin3x)′＝8(sin3x)′
＝24sin2x(sinx)′＝24sin2xcosx，
∴曲线在点P处的切线的斜率
k＝y′|x＝＝24sin2·cos＝3.
∴适合题意的曲线的切线方程为
y－1＝3，即6x－2y－π＋2＝0.
9．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)通过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求a、b、c的值．导学号05300187
解析]　∵y＝ax2＋bx＋c过(1,1)点，
∴a＋b＋c＝1①
∵y′＝2ax＋b，y′|x＝2＝4a＋b，
∴4a＋b＝1②
又曲线过(2，－1)点，∴4a＋2b＋c＝－1③
解由①②③组成的方程组，得a＝3，b＝－11，c＝9.
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第一章　1.1　第2课时
一、选择题
1．某质点的运动方程是s＝t－(2t－1)2，则在t＝1s时的瞬时速度为
导学号05300040(　　)
A．－1　　　　　　
B．－3
C．7
D．13
答案]　B
解析]　∵
＝
＝－3－4Δt，
∴f′(1)＝
＝
(－3－4Δt)＝－3.
2．设函数f(x)＝ax＋2，若f′(1)＝3，则a＝导学号05300041(　　)
A．2
B．－2
C．3
D．－3
答案]　C
解析]　f′(1)＝
＝
＝a＝3.
3．设函数f(x)可导，则
等于导学号05300042(　　)
A．f′(1)
B．3f′(1)
C.f′(1)
D．f′(3)
答案]　C
解析]　原式＝
＝f′(1)．故选C.
4．已知物体做自由落体运动的方程为s(t)＝gt2，若Δt→0时，无限趋近于9.8m/s，则正确的说法是导学号05300043(　　)
A．9.8m/s是物体在0～1s这段时间内的速度
B．9.8m/s是物体在1s～(1＋Δt)s这段时间内的速度
C．9.8m/s是物体在t＝1s这一时刻的速度
D．9.8m/s是物体从1s～(1＋Δt)s这段时间内的平均速度
答案]　C
解析]　由瞬时速度的定义可知选C，某一时刻和某一时间段是两个不同的物理概念．
5．函数f(x)在x0处可导，则
导学号05300044(　　)
A．与x0、h都有关
B．仅与x0有关，而与h无关
C．仅与h有关，而与x0无关
D．与x0、h均无关
答案]　B
解析]　由导数的定义可知选B.
6．一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s与时间t之间的函数关系为s＝t2，则t＝2s时，此木块在水平方向的瞬时速度为导学号05300045(　　)
A．1
B．
C.
D．
答案]　C
解析]　Δs＝(2＋Δt)2－×22＝Δt＋(Δt)2，＝＋Δt，
则s′|t＝2＝
＝.故选C.
7．设f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a等于导学号05300046(　　)
A．2
B．－2
C．3
D．－3
答案]　A
解析]　f′(1)＝
＝a＝a＝2.故选A.
8．若f′(x0)＝2，则
等于导学号05300047(　　)
A．－1
B．－2
C．1
D．
答案]　A
解析]　
＝－·
＝－f′(x0)＝－1.故选A.
二、填空题
9．函数y＝5x2＋6在区间2,2＋Δx]内的平均变化率为________．导学号05300048
答案]　20＋5Δx
解析]　∵Δy＝5(2＋Δx)2＋6－5×22－6＝20Δx＋5Δx2，∴平均变化率为＝20＋5Δx.
10．物体自由落体的运动方程是s＝gt2(g＝9.8m/s2)，则物体在t＝3s这一时刻的速度为____________．导学号05300049
答案]　29.4m/s
解析]　平均速度＝(6＋Δt)．
当Δt→0时，v＝×6＝29.4(m/s)．
11．已知函数y＝f(x)在x＝x0处的导数为11，则
＝________.
＝________.导学号05300050
答案]　－11　－
解析]　
＝－
＝－f′(x0)＝－11；
＝－
＝－f′(x0)＝－.
三、解答题
12．已知f(x)＝x2＋3.导学号05300051
(1)求f(x)在x＝1处的导数；
(2)求f(x)在x＝a处的导数．
解析]　(1)因为＝
＝＝2＋Δx，
当Δx无限趋近于0时，2＋Δx无限趋近于2，所以f(x)在x＝1处的导数等于2.
(2)因为＝
＝＝2a＋Δx，
当Δx无限趋近于0时，2a＋Δx无限趋近于2a，
所以f(x)在x＝a处的导数等于2a.
一、选择题
1．在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(m)与起跳后的时间t(s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，则瞬时速度为0m/s的时刻是导学号05300052(　　)
A.s
B．s
C.s
D．s
答案]　A
解析]　h′(t)＝－9.8t＋6.5，由h′(t)＝0得t＝，故选A.
2．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，且x0∈(a，b)，则
的值为
导学号05300053(　　)
A．f′(x0)
B．2f′(x0)
C．－2f′(x0)
D．0
答案]　B
解析]　
＝2
＝2
＝2f′(x0)．
3．一物体作直线运动，其运动方程为s(t)＝－3t2＋t，则该物体的初速度为
导学号05300054(　　)
A．－3
B．－2
C．0
D．1
答案]　D
解析]　∵Δs＝－3(0＋Δt)2＋(0＋Δt)－(－3×02＋0)
＝－3(Δt)2＋Δt.＝－3Δt＋1.
∴
＝
(－3Δt＋1)＝1.
4．已知f
′(x0)＝a，则
的值为导学号05300055(　　)
A．－2a
B．2a
C．a
D．－a
答案]　B
解析]　∵f
′(x0)＝
＝a，
∴
＝
＝
＋
＝＋＝2a，故选B.
二、填空题
5．已知函数y＝x3，当x＝2时，
＝________.导学号05300056
答案]　12
解析]　
＝
＝
＝(Δx)2＋6Δx＋12]＝12.
6．函数y＝x＋在x＝1处的导数是________．导学号05300057
答案]　0
解析]　∵Δy＝1＋Δx＋－1－＝Δx－1＋＝，
∴＝，
∴y′|x＝1＝
＝0.
7．一物体的运动方程为s＝7t2－13t＋8，则其在t＝________时的瞬时速度为1.
导学号05300058
答案]　1
解析]　
＝
＝
＝
(7Δt＋14t0－13)
＝14t0－13
令14t0－13＝1，
∴t0＝1.
三、解答题
8．已知一物体的运动方程是s＝求此物体在t＝1和t＝4时的瞬时速度．导学号05300059
解析]　当t＝1时，Δs＝3(Δt＋1)2＋2－3×12－2＝3Δt2＋6Δt，
∴＝3Δt＋6，∴
＝6，
即当t＝1时的瞬时速度为6.
当t＝4时，Δs＝29＋3(Δt＋4－3)2－29－3(4－3)2
＝3Δt2＋6Δt，
∴＝3Δt＋6，
∴
＝6，
即当t＝4时的瞬时速度为6.
9．已知f(x)＝x2，g(x)＝x3，求适合f′(x0)＋5＝g′(x0)的x0值．导学号05300060
解析]　由导数的定义可知
f′(x0)＝＝＝2x0，
g′(x0)＝
＝3x，
因为f′(x0)＋5＝g′(x0)，所以2x0＋5＝3x，
即3x－2x0－5＝0
解得：x0＝－1或x0＝.
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第三章知能基础测试
时间120分钟，满分150分．
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．(2015·新课标Ⅰ理，1)设复数z满足＝i，则|z|＝导学号
05300742(　　)
A．1　　　　　　　　　
B.
C.
D．2
答案]　A
解析]　由＝i得，z＝＝＝i，故|z|＝1，故选A.
2．若复数1＋i、－2＋i、3－2i在复平面上的对应点分别为A、B、C，BC的中点D，则向量对应的复数是导学号
05300743(　　)
A.－i
B．＋i
C．－＋i
D．－－i
答案]　D
解析]　A(1,1)，B(－2,1)，C(3，－2)，
∴D(，－)，
∴＝(－，－)．
对应复数为－－i.
3．设z是复数，a(z)表示满足zn＝1的最小正整数n，则对虚数单位i，a(i)＝
导学号
05300744(　　)
A．8　　
B．6　　
C．4　　
D．2
答案]　C
解析]　考查阅读理解能力和复数的概念与运算．
∵a(z)表示使zn＝1的最小正整数n.
又使in＝1成立的最小正整数n＝4，∴a(i)＝4.故选C.
4．(2015·山东理，2)若复数z满足＝i，其中i为虚数单位，则z＝
导学号
05300745(　　)
A．1－i
B．1＋i
C．－1－i
D．－1＋i
答案]　A
解析]　因为＝i，所以＝i(1－i)＝1＋i，
∴z＝1－i.故选A.
5．已知a、b∈R，且为实数，则a·b等于导学号
05300746(　　)
A．－1
B．－2
C．2
D．1
答案]　A
解析]　∵＝
＝为实数，∴1＋ab＝0，
∴a·b＝－1.故选A.
6．i是虚数单位，复数＝导学号
05300747(　　)
A．1－i
B．－1＋i
C.＋i
D．－＋i
答案]　A
解析]　本题考查复数的加、减、乘、除四则运算．
原式＝＝＝1－i，故选A.
7．若1＋x＋x2＝0，则1＋x＋x2＋…＋x100等于导学号
05300748(　　)
A．0
B．1
C．－±i
D．±i
答案]　D
解析]　由1＋x＋x2＝0得x＝－±i.
由ω的性质得1＋x＋x2＋…＋x100＝x99＋x100＝x99(1＋x)
＝1＋x＝±i.故选D.
8．若i是虚数单位，且满足(p＋qi)2＝q＋pi的实数p、q一共有导学号
05300749(　　)
A．1对
B．2对
C．3对
D．4对
答案]　D
解析]　由(p＋qi)2＝q＋pi得(p2－q2)＋2pqi＝q＋pi，所以，解得或或
或.因此满足条件的实数p、q一共有4对．故选D.
9．设复数z满足(z－2i)(2－i)＝5，则z＝导学号
05300750(　　)
A．2＋3i
B．2－3i
C．3＋2i
D．3－2i
答案]　A
解析]　考查了复数的运算．
z－2i＝＝2＋i，
∴z＝2＋3i.
10．当m∈R时，方程(1－i)x2＋mx－(1＋i)＝0有导学号
05300751(　　)
A．两不等实根
B．一对共轭虚根
C．两非共轭虚根
D．一个实根和一个虚根
答案]　C
解析]　令m＝0，则x2＝＝i，
∴x＝＋i或x＝－－i排除A、B、D.
说明]　虚系数一元二次方程不能用判别式，本题中Δ＝m2＋4(1＋i)(1－i)＝m2＋8>0，但不能因此说此方程有两不等实根．故选C.
11．设向量、分别对应非零复数z1、z2，若⊥，则是
导学号
05300752(　　)
A．非负数
B．纯虚数
C．正实数
D．不确定
答案]　B
解析]　∵⊥，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，则有ac＋bd＝0.
∴＝＝＝i.故选B.
12．设复数z＝lg(m2－1)＋i，z在复平面内的对应点导学号
05300753(　　)
A．一定不在一、二象限
B．一定不在二、三象限
C．一定不在三、四象限
D．一定不在二、三、四象限
答案]　C
解析]　∵，
∴m＜－1，此时lg(m2－1)可正、可负，＞，故选C.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上)
13．已知x＋＝－1，则x2015＋的值为________．导学号
05300754
答案]　－1
解析]　∵x＋＝－1，∴x2＋x＋1＝0.
∴x＝－±i，∴x3＝1.
2015＝3×671＋2，x2015＝x3×671＋2＝x2，
∴x2015＋＝x2＋＝2－2
＝(－1)2－2＝－1.
14．(2016·天津理，9)已知a，b∈R，i是虚数单位，若(1＋i)(1－bi)＝a，则的值为________.
答案]　2
解析]　(1＋i)(1－bi)＝1＋b＋(1－b)i＝a，所以b＝1，a＝2，＝2.
15．复数z与(z＋2)2－8i均为纯虚数，则z＝________.导学号
05300756
答案]　－2i
解析]　设z＝mi(m≠0)，则
(z＋2)2－8i＝(4－m2)＋(4m－8)i是纯虚数，
∴，∴m＝－2.
16．若复数z满足z(1＋i)＝1－i(i是虚数单位)，则其共轭复数＝________.
导学号
05300757
答案]　i
解析]　本题考查共轭复数的概念及复数的代数运算．
∵z(1＋i)＝1－i，∴z＝＝＝－i，
∴＝i.
三、解答题(本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本题满分12分)虚数z满足|z|＝1，z2＋2z＋＜0，求z.导学号
05300758
解析]　设z＝x＋yi
(x、y∈R，y≠0)，∴x2＋y2＝1.
则z2＋2z＋＝(x＋yi)2＋2(x＋yi)＋
＝(x2－y2＋3x)＋y(2x＋1)i.
∵y≠0，z2＋2z＋<0，∴
又x2＋y2＝1.　　　　
　③
由①②③得
.　∴z＝－±i.
18．(本题满分12分)已知z＝，其中i为虚数单位，a>0，复数ω＝z(z＋i)的虚部减去它的实部所得的差等于，求复数ω的模．导学号
05300759
解析]　∵z＝，代入ω＝z(z＋i)，得
ω＝(＋i)＝
＝＝
＝＋i，
∴ω的实部为，虚部为，
由已知得－＝，
解得a2＝4，∴a＝±2.
又a>0，故a＝2.
|ω|＝|＋i|＝|＋i|
＝|＋3i|＝.
19．(本题满分12分)已知复数z＝(2m2－3m－2)＋(m2－3m＋2)i.导学号
05300760
(1)当实数m取什么值时，复数z是：①实数；②纯虚数；
(2)当m＝0时，化简.
解析]　(1)①当m2－3m＋2＝0时，即m＝1或m＝2时，复数z为实数．
②若z为纯虚数，则
解得∴m＝－.
即m＝－时，复数z为纯虚数．
(2)当m＝0时，z＝－2＋2i，
＝＝＝－－i.
20．(本题满分12分)(2015·洛阳高二期中)(1)已知复数z在复平面内对应的点在第四象限，|z|＝1，且z＋＝1，求z；导学号
05300761
(2)已知复数z＝－(1＋5i)m－3(2＋i)为纯虚数，求实数m的值．
解析]　(1)设z＝a＋bi(a、b∈R)，
由题意得
解得a＝，b＝±.
∵复数z在复平面内对应的点在第四象限，∴b＝－.
∴z＝－i.
(2)z＝－(1＋5i)m－3(2＋i)＝(m2－m－6)＋(2m2－5m－3)i，依题意，m2－m－6＝0，解得m＝3或－2.
∵2m2－5m－3≠0.∴m≠3.
∴m＝－2.
21．(本题满分12分)已知复数z＝
，ω＝z＋ai(a∈R)，当||≤时，求a的取值范围．
导学号
05300762
解析]　∵z＝＝＝1－i，
∴|z|＝.又＝≤，∴|ω|≤2.
而ω＝z＋ai＝(1－i)＋ai＝1＋(a－1)i，(a∈R)，
则≤2 (a－1)2≤3，
∴－≤a－1≤，1－≤a≤1＋.
22．(本题满分14分)设虚数z满足|2z＋15|＝|＋10|.导学号
05300763
(1)求|z|；
(2)若＋是实数，求实数a的值．
解析]　(1)设z＝x＋yi(x，y∈R，y≠0)，
|2x＋2yi＋15|＝|x－yi＋10|，
∴|z|＝＝5.
(2)＋＝＋
＝＋i.
∵＋为实数，∴－＝0.
∵y≠0，∴－＝0，
∴a2＝x2＋y2＝75，a＝±5.
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第一章　1.3　第3课时
一、选择题
1．某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y(万元)与营运年数x(x∈N＋)满足y＝－x2＋12x－25，则每辆客车营运多少年可使其营运年平均利润最大导学号05300266(　　)
A．3　　　　　　　　
B．4
C．5
D．6
答案]　C
解析]　年平均利润
f(x)＝＝－x－＋12(x∈N＋)，
又f′(x)＝－1＋，
令f′(x)＝0，解得x＝5.
又极值唯一，故选C.
2．以长为10的线段AB为直径画半圆，则它的内接矩形面积的最大值为
导学号05300267(　　)
A．10
B．15
C．25
D．50
答案]　C
解析]　如图，设∠NOB＝θ，则矩形面积S＝5sinθ×2×5cosθ＝50sinθcosθ＝25sin2θ，故Smax＝25.故选C.
3．设底面为正三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为
导学号05300268(　　)
A.
B．
C.
D．2
答案]　C
解析]　设底面边长为x，侧棱长为l，
则V＝x2·sin60°·l，∴l＝.
∴S表＝2S底＋3S侧＝x2sin60°＋3xl＝x2＋.
令S′表＝x－＝0，
则x3＝4V，即x＝.
又当x∈(0，)时，S′表<0；
x∈(，V)时，S′表>0.
∴当x＝时，表面积最小．故选C.
4．用边长为48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四个角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四个角截去的正方形的边长为导学号05300269(　　)
A．6cm
B．8cm
C．10cm
D．12cm
答案]　B
解析]　设截去的正方形的边长为xcm，则做成的长方体无盖铁盒的底面边长为(48－2x)cm，高为xcm，体积V(x)＝(48－2x)2·x＝4x3－192x2＋482x.
其中0令V′(x)＝0，则x2－32x＋192＝0，∴x1＝8，x2＝24(舍去)．
在(0,24)中V(x)只有一个极值点，所以当正方形边长为8cm时，铁盒容积最大．故选B.
5．福建炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是
导学号05300270(　　)
A．8
B．
C．－1
D．－8
答案]　C
解析]　∵f′(x)＝x2－2x(0≤x≤5)，
∴原油温度的瞬时变化率为：x2－2x，其最小值为－1.
6．内接于半径为R的球且体积最大的圆柱体的高为导学号05300271(　　)
A.R
B．R
C.R
D．R
答案]　A
解析]　作轴截面如图，设圆柱高为2h，
则底面半径为，圆柱体体积为V＝π·(R2－h2)·2h＝2πR2h－2πh3.
令V′＝0得2πR2－6πh2＝0，∴h＝R.
即当2h＝R时，圆柱体的体积最大．故选A.
7．有一长为16米的篱笆，要围成一个矩形场地，则此矩形场地的最大面积为
导学号05300272(　　)
A．32m2
B．14m2
C．16m2
D．18m2
答案]　C
解析]　设矩形的长为x米，则宽为8－x，矩形面积为S＝x(8－x)(x>0)，
令S′＝8－2x＝0，得x＝4，此时S最大＝42＝16.故选C.
8．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大的年利润的年产量为导学号05300273(　　)
A．13万件
B．11万件
C．9万件
D．7万件
答案]　C
解析]　本题考查了导数的应用及求导运算，∵x>0，y′＝－x2＋81＝(9－x)(9＋x)，令y′＝0，x＝9，x∈(0,9)，y′>0，x∈(9，＋∞)，y′<0，y先增后减，∴x＝9时函数取最大值，选C，属导数法求最值问题．
二、填空题
9．面积为S的一切矩形中，其周长最小的是________．导学号05300274
答案]　以为边长的正方形
解析]　设矩形的长为x，则宽为，
其周长l＝2x＋(0令l′＝0得x＝，
当00，
∴当x＝时，l取极小值，这个极小值就是最小值．故面积为S的一切矩形中，其周长最小的是以为边长的正方形．
10．把长60cm的铁丝围成矩形，当长为________cm，宽为________cm时，矩形面积最大．导学号05300275
答案]　15　15
解析]　设矩形的长为xcm，则宽为＝(30－x)cm(0矩形的面积S＝x·(30－x)＝30x－x2，
S′＝30－2x＝2(15－x)，令S′＝0得x＝15，
当00，当15∴当x＝15时，S取极大值，这个极大值就是最大值，故当矩形长为15cm，宽为15cm时面积最大．
11．某商品一件的成本为30元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出(200－x)件，当每件商品的定价为________元时，利润最大．导学号05300276
答案]　115
解析]　利润为S(x)＝(x－30)(200－x)＝－x2＋230x－6000，(30≤x≤200)
S′(x)＝－2x＋230，由S′(x)＝0得x＝115，这时利润达到最大．
三、解答题
12．永泰某景区为提高经济效益，现对某一景点进行改造升级，从而扩大内需，提高旅游增加值，经过市场调查，旅游增加值y万元与投入x(x≥10)万元之间满足：y＝f(x)＝ax2＋x－bln，a，b为常数．当x＝10万元时，y＝19.2万元；当x＝30万元时，y＝50.5万元．(参考数据：ln2＝0.7，ln3＝1.1，ln5＝1.6)．导学号05300277
(1)求f(x)的解析式；
(2)求该景点改造升级后旅游利润T(x)的最大值．(利润＝旅游增加值－投入)．
解析]　(1)由条件可得
解得a＝－，b＝1，
则f(x)＝－＋x－ln(x≥10)．
(2)T(x)＝f(x)－x＝－＋x－ln(x≥10)，
则T′(x)＝＋－＝－，
令T′(x)＝0，则x＝1(舍)或x＝50，
当x∈(10,50)时，T′(x)>0，因此T(x)在(10,50)上是增函数；
当x∈(50，＋∞)时，T′(x)<0，因此T(x)在(50，＋∞)上是减函数，
∴当x＝50时，T(x)取最大值．
T(50)＝－＋×50－ln＝24.4(万元)．
即该景点改造升级后旅游利润T(x)的最大值为24.4万元.
一、选择题
1．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R与年产量x的关系是R(x)＝，则总利润最大时，每年生产的产品是导学号05300278(　　)
A．100
B．200
C．250
D．300
答案]　D
解析]　由题意，总成本为C＝20000＋100x，所以总利润为P＝R－C＝
.
P′＝.
令P′＝0，当0≤x≤400时，得x＝300；当x>400时，P′<0恒成立，易知当x＝300时，总利润最大．故选D.
2．若一球的半径为r，作内接于球的圆柱，则其侧面积最大为导学号05300279(　　)
A．2πr2
B．πr2
C．4πr2
D．πr2
答案]　A
解析]　如图所示，设内接圆柱的底面半径为R，母线长为l，则R＝rcosθ，l＝2rsinθ.
∴S侧＝2πrcosθ·2rsinθ＝4πr2sinθcosθ，
∴S′＝4πr(cos2θ－sin2θ)＝0，
∴θ＝，即当θ＝，R＝时，S侧最大，且最大值为2πr2.
故选A.
3．用总长为6m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的相邻两边长之比为3?4，那么容器容积最大时，高为导学号05300280(　　)
A．0.5m　
B．1m　
C．0.8m　
D．1.5m
答案]　A
解析]　设容器底面相邻两边长分别为3xm,4xm，则高为＝(m)，容积V＝3x·4x·＝18x2－84x3，V′＝36x－252x2，由V′＝0得x＝或x＝0(舍去)．x∈时，V′>0，x∈时，V′<0，所以在x＝处，V有最大值，此时高为0.5m.
4．某工厂要围建一个面积为512
m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌墙所用的材料最省时堆料场的长和宽分别为
导学号05300281(　　)
A．32　16
B．30　15
C．40　20
D．36　18
答案]　A
解析]　要求材料最省，则要求新砌的墙壁总长最短，设场地宽为x
m，则长为
m，因此新墙总长为L＝2x＋(x>0)，则L′＝2－，
令L′＝0得x＝±16，又x>0，∴x＝16，则当x＝16时，Lmin＝64，∴长为＝32(m)．故选A.
二、填空题
5．货车欲以xkm/h的速度行驶去130km远的某地，按交通法规，限制x的允许范围是50,100]，假设汽油的价格为2元/升，而汽车耗油的速率是升/小时，司机的工资是14元/小时，则最经济的车速是________，这次行车的总费用最低是________．
导学号05300282
答案]　18km/h　26元
解析]　行车的总费用
y＝×2＋×14
＝＋x，y′＝－
令y′＝0，解得x＝18∈50,100]．
∴当x＝18(km/h)时，总费用最低，且ymin＝26(元)．
6．(2015·南安市期末)要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则其高为________．导学号05300283
答案]　cm
解析]　设圆锥的高为hcm，
∴V圆锥＝π(400－h2)×h，
∴V′(h)＝π(400－3h2)．
令V′(h)＝0，得h2＝，∴h＝(cm)
当00；
当∴当h＝时，V取最大值．
7．在半径为R的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为________时它的面积最大．
导学号05300284
答案]　
解析]　设∠OBC＝θ，
则0<θ<.
OD＝Rsinθ，BD＝Rcosθ，
∴S△ABC＝Rcosθ(R＋Rsinθ)＝R2cosθ＋R2sinθcosθ.
S′(θ)＝－R2sinθ＋R2(cos2θ－sin2θ)＝0
∴cos2θ＝sinθ，∴θ＝，即当θ＝时，△ABC的面积最大，此时高为OA＋OD＝R＋＝.
三、解答题
8．(2015·甘肃省会宁一中高二期中)已知某厂生产x件产品的总成本为f(x)＝25000＋200x＋x2(元)．导学号05300285
(1)要使生产x件产品的平均成本最低，应生产多少件产品？
(2)若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？
解析]　(1)设生产x件产品的平均成本为y元，则
y＝＝＋200＋x(x>0)
y′＝－＋
令y′＝0，得x1＝1000，x2＝－1000(舍去)
当x∈(0,1000)时，y取得极小值．
由于函数只有一个极值点，所以函数在该点取得最小值，
因此要使平均成本最低，应生产1000件产品．
(2)利润函数
L(x)＝500x－(25000＋200x＋)＝300x－25000－x2
L′(x)＝300－
令L′(x)＝0，得x＝6000
当x∈(0,6000)时，L′(x)>0
当x∈(6000，＋∞)时，L′(x)<0，∴x＝6000时，L(x)取得极大值，即函数在该点取得最大值，
因此要使利润最大，应生产6000件产品．
9．某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200m2的三级污水处理池(平面图如图所示)．如果池四周围墙建造单价为400元/m2，中间两道隔墙建造单价为248元/m2，池底建造单价为80元/m2，水池所有墙的厚度忽视不计．导学号05300286
?(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；
(2)若由于地形限制，该地的长和宽都不能超过16m，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．
解析]　设污水处理池的长为xm，则宽为m，
再设总造价为y元，则有
(1)y＝2x×400＋×2×400＋248×2×＋80×200＝800x＋＋16000≥2＋16000＝2×14400＋16000＝44800，
当且仅当800x＝，即x＝18(m)时，y取得最小值．
∴当污水处理池的长为18m，宽为m时总造价最低，为44800元．
(2)∵0∴12.5≤x≤16，x≠18，
∴不能用基本不等式．但我们可用函数单调性定义或导数证明上述目标函数在区间12.5,16]上是减函数，从而利用单调性求得最小值．
由(1)知，y＝φ(x)＝800(x＋)＋16000(12.5≤x≤16)．
方法1：利用定义证明单调性．
对任意x1，x2∈12.5,16]，设x1则φ(x1)－φ(x2)＝800(x1－x2)＋324·(－)]＝>0.
∴φ(x1)>φ(x2)，
故y＝φ(x)在12.5,16]上为减函数．
从而有φ(x)≥φ(16)＝45000.
方法2：利用导数判断单调性．
y′＝φ′(x)＝800(1－)，当12.5≤x≤16时，
y′＝800·<0，∴φ(x)在12.5,16]上为减函数．从而φ(x)≥φ(16)＝45000.
∴当长为16m、宽为12.5m时，总造价最低，最低造价为45000元．
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第二章　2.1　第2课时
一、选择题
1．下面说法正确的个数为导学号05300441(　　)
①演绎推理是由一般到特殊的推理；②演绎推理得到的结论一定是正确的；③演绎推理一般模式是“三段论”形式；④演绎推理得到的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关．
A．1　　
B．2　　
C．3　　
D．4
答案]　C
2．三段论：“①只有船准时起航，才能准时到达目的港；②这艘船是准时到达目的港的；③所以这艘船是准时起航的”中的“小前提”是导学号05300442(　　)
A．①
B．②
C．①②
D．③
答案]　B
3．(2015·锦州期中)若三角形两边相等，则该两边所对的内角相等，在△ABC中，AB＝AC，所以在△ABC中，∠B＝∠C，以上推理运用的规则是导学号05300443(　　)
A．三段论推理
B．假言推理
C．关系推理
D．完全归纳推理
答案]　A
解析]　根据三角形两边相等，则该两边所对的内角相等(大提前)，
在△ABC中，AB＝AC，(小前提)
所以在△ABC中，∠B＝∠C(结论)，
符合三段论．
4．观察下面的演绎推理过程，判断正确的是导学号05300444(　　)
大前提：若直线a⊥直线l，且直线b⊥直线l，则a∥b.
小前提：正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1⊥AA1，且AD⊥AA1.
结论：A1B1∥AD.
A．推理正确
B．大前提出错导致推理错误
C．小前提出错导致推理错误
D．仅结论错误
答案]　B
解析]　由l⊥a，l⊥b得出a∥b只在平面内成立，在空间中不成立，故大前提错误．
5．下面的推理是关系推理的是导学号05300445(　　)
A．若三角形两边相等，则该两边所对的内角相等，在△ABC中，AB＝AC，所以在△ABC中，∠B＝∠C
B．因为2是偶数，并且2是素数，所以2是素数
C．因为a∥b，b∥c，所以a∥c
D．因为是有理数或无理数，且不是有理数，所以是无理数
答案]　C
解析]　A是三段论推理，B、D是假言推理．故选C.
6．“因为四边形ABCD是矩形，所以四边形ABCD的对角线相等．”补充上述推理的大前提导学号05300446(　　)
A．正方形都是对角线相等的四边形
B．矩形都是对角线相等的四边形
C．等腰梯形都是对角线相等的四边形
D．矩形都是对边平行且相等的四边形
答案]　B
解析]　由结论可得要证的问题是“对角线相等”，因此它应在大前提中体现出来．故选B.
7．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是导学号05300447(　　)
A．使用了归纳推理
B．使用了类比推理
C．使用了“三段论”，但大前提使用错误
D．使用了“三段论”，但小前提使用错误
答案]　D
解析]　应用了“三段论”推理，小前提与大前提不对应，小前提使用错误导致结论错误．
8.如图，因为AB∥CD，所以∠1＝∠2，又因为∠2＋∠3＝180°，所以∠1＋∠3＝180°.所用的推理规则为导学号05300448(　　)
A．假言推理
B．关系推理
C．完全归纳推理
D．三段论推理
答案]　D
解析]　关系推理的规则是“若a＝b，b＝c，则a＝c”，或“若a∥b，b∥c，则a∥c”．故选D.
二、填空题
9．设f(x)定义如下数表，{xn}满足x0＝5，且对任意自然数n均有xn＋1＝f(xn)，则x2
015的值为________.导学号05300449
x
1
2
3
4
5
f(x)
4
1
3
5
2
答案]　4
解析]　由数表可知
x1＝f(x0)＝f(5)＝2，
x2＝f(x1)＝f(2)＝1，
x3＝f(x2)＝f(1)＝4，
x4＝f(x3)＝f(4)＝5，
x5＝f(x4)＝f(5)＝2，
……
∴{xn}的周期为4.
∴x2
015＝x3＝4.
10．(2015·徐州期末)给出下列演绎推理：“自然数是整数，________，所以，2是整数”，如果这个推理是正确的，则其中横线部分应填写____________．导学号05300450
答案]　2是自然数
解析]　由演绎推理三段论可知：“自然数是整数，2是自然数，所以，2是整数”．
11．求函数y＝的定义域时，第一步推理中大前提是有意义时，a≥0，小前提是有意义，结论是________．导学号05300451
答案]　log2x－2≥0
三、解答题
12.如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，求证：四边形EFGH为平行四边形．导学号05300452
证明]　在△ABD中，因为E，H分别是AB，AD的中点，所以EH∥BD，EH＝BD，同理，FG∥BD，且FG＝BD，所以EH∥FG，EH＝FG，所以四边形EFGH为平行四边形.
一、选择题
1．下面是一段演绎推理：
大前提：如果直线平行于平面，则这条直线平行于平面内的所有直线；
小前提：已知直线b∥平面α，直线a 平面α；
结论：所以直线b∥直线a.
在这个推理中导学号05300453(　　)
A．大前提正确，结论错误
B．小前提与结论都是错误的
C．大、小前提正确，只有结论错误
D．大前提错误，结论错误
答案]　D
解析]　如果直线平行于平面，则这条直线只是与平面内的部分直线平行，而不是所有直线，所以大前提错误，当直线b∥平面α，直线a 平面α时，直线b与直线a可能平行，也可能异面，故结论错误，选D.
2．观察下列事实：|x|＋|y|＝1的不同整数解(x，y)的个数为4，|x|＋|y|＝2的不同整数解(x，y)的个数为8，|x|＋|y|＝3的不同整数解(x，y)的个数为12，……，则|x|＋|y|＝20的不同整数解(x，y)的个数为导学号05300454(　　)
A．76
B．80
C．86
D．92
答案]　B
解析]　记|x|＋|y|＝n(n∈N
)的不同整数解(x，y)的个数为f(n)，则依题意有f(1)＝4＝4×1，f(2)＝8＝4×2，f(3)＝12＝4×3，……，由此可得f(n)＝4n，所以|x|＋|y|＝20的不同整数解(x，y)的个数为f(20)＝4×20＝80，选B.
3．在△ABC中，若sinC＝2cosAsinB，则此三角形必是导学号05300455(　　)
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
答案]　A
解析]　由sinC＝2cosAsinB得：c＝2··b，即：a2＝b2，∴a＝b，∴△ABC为等腰三角形，故选A.
4．若数列{an}的前n项和Sn＝log5(n＋4)，则数列{an}从第二项起是
导学号05300456(　　)
A．递增数列
B．递减数列
C．常数列
D．以上都错
答案]　B
解析]　因Sn＝log5(n＋4)，则当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝log5＝log5，
∴an的值随n的增大而减小．
∴{an}为递减数列，故选B.
二、填空题
5．已知a>0，b>0，m＝lg，n＝lg，则m与n的大小关系为________．
导学号05300457
答案]　m>n
解析]　∵(＋)2＝a＋b＋2>a＋b，
∴>，∴m>n.
6．设a≥0，b≥0，a2＋＝1，则a·的最大值为________．导学号05300458
答案]　
解析]　a·＝··
≤×＝.
7．已知sinα＝，cosα＝，其中α是第二象限角，则m的取值为________．
导学号05300459
答案]　8
解析]　由2＋2＝1，
整理，得m2－8m＝0，
∴m＝0或8.
∵α是第二象限角，则sinα>0，cosα<0.
经验证知m＝8.
三、解答题
8．设函数f(x)＝|lgx|，若0f(b)，求证：ab<1.导学号05300460
证明]　证法1：由已知
f(x)＝|lgx|＝
∵0f(b)，
∴a、b不能同时在区间1，＋∞)上．
又由于00，有－lga－lgb>0.
∴lg(ab)<0.∴ab<1.
证法2：由题设f(a)>f(b)，即|lga|>|lgb|，上式等价于(lga)2>(lgb)2，即(lga＋lgb)(lga－lgb)>0.
∴lg(ab)·lg>0.
由已知b>a>0，∴<1.
∴lg<0.∴lg(ab)<0.∴09．已知函数f(x)＝(x∈R)．导学号05300461
(1)判断f(x)在R上的单调性，并用定义证明；
(2)当n∈N＋时，合理猜想f(n)与的大小．(不需证明)
证明]　(1)f(x)在R上是增函数．证明如下：
设x1，x2∈R，且x1f(x2)－f(x1)＝－＝.
∵x10.
∴f(x2)>f(x1)，∴f(x)在R上是增函数．
(2)设g(n)＝.当n＝1时，f(1)＝，g(1)＝，
有f(1)有f(2)有f(3)>g(3)；当n＝4时，f(4)＝，g(4)＝，
有f(4)>g(4)；….
从而，当n＝1,2时，f(n)g(n)，即>.
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