2017_2018版高中数学全一册学案（打包24套）新人教A版必修3

第三章
概率
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[自我校对]
①P(A)＋P(B)
②P(A)＋P(B)＝1
③
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随机事件的概率
1.有关事件的概念
(1)必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的必然事件，简称必然事件．
(2)不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件，简称不可能事件．
(3)确定事件：必然事件与不可能事件统称为相对于条件S的确定事件，简称确定事件．
(4)随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的随机事件，简称随机事件．
(5)事件的表示方法：确定事件和随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．
2．对于概率的定义应注意以下几点
(1)求一个事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验．
(2)只有当频率在某个常数附近摆动时，这个常数才叫做事件A的概率．
(3)概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值．
(4)概率反映了随机事件发生的可能性的大小．
(5)必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，故0≤P(A)≤1.
( http: / / www.21cnjy.com )　对一批U盘进行抽检，结果如下表：
抽出件数a
50
100
200
300
400
500
次品件数b
3
4
5
5
8
9
次品频率
(1)计算表中次品的频率；
(2)从这批U盘中任抽一个是次品的概率约是多少？
(3)为保证买到次品的顾客能够及时更换，要销售2
000个U盘，至少需进货多少个U盘？
【精彩点拨】　结合频率的定义进行计算填表，并用频率估计概率．
【规范解答】　(1)表中次品频率从左到右依次为0.06,0.04,0.025,0.017,
0.02,0.018.
(2)当抽取件数a越来越大时，出现次品的频率在0.02附近摆动，所以从这批U盘中任抽一个是次品的概率约是0.02.
(3)设需要进货x个U盘，为保证其中有2
000个正品U盘，则x(1－0.02)≥2
000，因为x是正整数，
所以x≥2
041，即至少需进货2
041个U盘．
[再练一题]
1．某射击运动员为备战奥运会，在相同条件下进行射击训练，结果如下：
射击次数n
10
20
50
100
200
500
击中靶心次数m
8
19
44
92
178
455
(1)该射击运动员射击一次，击中靶心的概率大约是多少？
(2)假设该射击运动员射击了300次，则击中靶心的次数大约是多少？
(3)假如该射击运动员射击了300次，前270次都击中靶心，那么后30次一定都击不中靶心吗？
(4)假如该射击运动员射击了10次，前9次中有8次击中靶心，那么第10次一定击中靶心吗？
【解】　(1)由题意，击中靶心的频率分别为0
( http: / / www.21cnjy.com ).8,0.95,0.88,0.92,0.89,0.91，当射击次数越来越大时，击中靶心的频率在0.9附近摆动，故概率约为0.9.
(2)击中靶心的次数大约为300×0.9＝270(次)．
(3)由概率的意义，可知概率是个常数，不因试验次数的变化而变化．后30次中，每次击中靶心的概率仍是0.9，所以不一定击中靶心．
(4)不一定．
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互斥事件与对立事件
1.对互斥事件与对立事件的概念的理解
(1)互斥事件是不可能同时发生的两个事件
( http: / / www.21cnjy.com )；对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者必须有一个发生．因此对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，对立事件是互斥事件的特殊情况．
(2)利用集合的观点来看，如果事件A∩B＝
( http: / / www.21cnjy.com )，则两事件是互斥的，此时A∪B的概率就可用加法公式来求，即为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；如果事件A∩B≠ ，则可考虑利用古典概型的定义来解决，不能直接利用概率加法公式．
(3)利用集合的观点来看
( http: / / www.21cnjy.com )，如果事件A∩B＝ ，A∪B＝U，则两事件是对立的，此时A∪B就是必然事件，可由P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1来求解P(A)或P(B)．
2．互斥事件概率的求法
(1)若A1，A2，…，An互斥，则P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
(2)利用这一公式求概率的步骤：①要确定这
( http: / / www.21cnjy.com )些事件彼此互斥；②这些事件中有一个发生；③先求出这些事件分别发生的概率，再求和．值得注意的是：①、②两点是公式的使用条件，不符合这两点，是不能运用互斥事件的概率加法公式的．
3．对立事件概率的求法
P(Ω)＝P(A∪)＝P(A)＋P()＝1，由公式可得P(A)＝1－P()(这里是A的对立事件，Ω为必然事件)．
4．互斥事件的概率加法公式是解决概率问题的重要公式，它能把复杂的概率问题转化为较为简单的概率或转化为其对立事件的概率求解．
( http: / / www.21cnjy.com )　甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5个不同的题目．其中，选择题3个，判断题2个，甲、乙两人各抽一题．
(1)甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少？
(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？
【精彩点拨】　用列举法把所有可能的情况列举出来，或考虑互斥及对立事件的概率公式．
【规范解答】　把3个选择题记为x1，x2，x3,2个判断题记为p1，p2.
总的事件数为20.
“甲抽到选择题，乙抽到判断题
( http: / / www.21cnjy.com )”的情况有：(x1，p1)，(x1，p2)，(x2，p1)，(x2，p2)，(x3，p1)，(x3，p2)，共6种；
“甲抽到判断题，乙抽到选择题
( http: / / www.21cnjy.com )”的情况有：(p1，x1)，(p1，x2)，(p1，x3)，(p2，x1)，(p2，x2)，(p2，x3)，共6种；
“甲、乙都抽到选择题”的情况有：(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x1)，(x2，x3)，(x3，x1)，(x3，x2)，共6种；
“甲、乙都抽到判断题”的情况有：(p1，p2)，(p2，p1)，共2种．
(1)“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的概率为＝，
“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的概率为＝，
故“甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题”的概率为＋＝.
(2)“甲、乙两人都抽到判断题”的概率为＝，故“甲、乙两人至少有一人抽到选择题”的概率为1－＝.
[再练一题]
2．某服务电话，打进的电
( http: / / www.21cnjy.com )话响第1声时被接的概率是0.1；响第2声时被接的概率是0.2；响第3声时被接的概率是0.3；响第4声时被接的概率是0.35.
(1)打进的电话在响5声之前被接的概率是多少？
(2)打进的电话响4声而不被接的概率是多少？
【解】　(1)设事件“电话响
( http: / / www.21cnjy.com )第k声时被接”为Ak(k∈N)，那么事件Ak彼此互斥，设“打进的电话在响5声之前被接”为事件A，根据互斥事件概率加法公式，得P(A)＝P(A1∪A2∪A3∪A4)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＋P(A4)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.35＝0.95.
(2)事件“打进的电话响4声而不被接”是事
( http: / / www.21cnjy.com )件A“打进的电话在响5声之前被接”的对立事件，记为.根据对立事件的概率公式，得P()＝1－P(A)＝1－0.95＝0.05.
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古典概型与几何概型
古典概型是一种最基本的概率
( http: / / www.21cnjy.com )模型，也是学习其他概率模型的基础，在高考题中，经常出现此种概率模型的题目．解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性．在应用公式P(A)＝时，关键是正确理解基本事件与事件A的关系，求出n，m.但列举时必须按某一顺序做到不重复、不遗漏．
几何概型同古典概型一样，是概
( http: / / www.21cnjy.com )率中最具有代表性的试验概型之一，在高考命题中占有非常重要的位置．我们要理解并掌握几何概型试验的两个基本特征，即：每次试验中基本事件的无限性和每个事件发生的等可能性，由于其结果的无限性，概率就不能应用P(A)＝求解，而需转化为几何度量(如长度、面积、体积等)的比值求解，体现了数形结合的数学思想．
( http: / / www.21cnjy.com )　甲、乙两艘货轮都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机到达，试求两船中有一艘在停泊位时，另一艘船必须等待的概率．
【精彩点拨】　甲、乙两艘货轮停靠泊位的时间是6小时，当两船到达泊位的时间差不超过6小时时，两船中一艘停靠，另一艘必须等待．
【规范解答】　设甲、乙两船到达泊位的时刻分别为x、y.
则作出如图所示的区域．
本题中，区域D的面积S1＝242，区域d的面积S2＝242－182.
∴P＝＝＝.
即两船中有一艘在停泊位时另一船必须等待的概率为.
[再练一题]
3．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率是(　　)
A.　　　　　　　　
B.
C.
D.
【解析】　∵当b＝1时，没有满足条件的a值；
当b＝2时，a＝1；
当b＝3时，a可以是1，可以是2，∴共3种情况．
而从{1,2,3,4,5}中随机取一个数a，再从{1,2,3}中随机取一个数b，共有3×5＝15种不同取法，
∴概率为＝.
【答案】　D
概率与统计的综合问题
统计和古典概型的综合是高考解答题
( http: / / www.21cnjy.com )的一个命题趋势和热点，此类题很好地结合了统计与概率的相关知识，并且在实际生活中应用也十分广泛，能很好地考查学生的综合解题能力，在解决综合问题时，要求同学们对图表进行观察、分析、提炼，挖掘出图表所给予的有用信息，排除有关数据的干扰，进而抓住问题的实质，达到求解的目的．
( http: / / www.21cnjy.com )　随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图3 1所示．
图3 1
(1)直接根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；
(2)计算甲班的样本方差；
(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173
cm的同学，求身高为176
cm的同学被抽中的概率．
【精彩点拨】　(1)根据“叶”
( http: / / www.21cnjy.com )上的数据的集中情况作出判断；(2)代入方差的计算公式求解；(3)列出基本事件和所求事件，用古典概型概率公式求解．
【规范解答】　(1)由茎叶图可知：甲班身高集
( http: / / www.21cnjy.com )中于160
cm～179
cm之间，而乙班身高集中于170
cm～179
cm之间．因此乙班平均身高高于甲班；
(2)＝
＝170(cm)．
甲班的样本方差s2＝[(158－170)2＋(162－170)2＋(163－170)2＋(168－170)2＋(168－170)2＋(170－170)2＋(171－170)2＋(179－170)2＋(179－170)2＋(182－170)2]＝57.2(cm2)．
(3)设“身高为176
cm的同学被抽中
( http: / / www.21cnjy.com )”为事件A，从乙班10名同学中抽取两名身高不低于173
cm的同学有：(181,173)，(181,176)，(181,178)，(181,179)，(179,173)，(179,176)，(179,178)，(178,173)，(178,176)，(176,173)共10个基本事件，而事件A含有4个基本事件：(181,176)，(179,176)，(178,176)，(176,173)，
∴P(A)＝＝.
[再练一题]
4．某班同学利用国庆节进行社会实践，
( http: / / www.21cnjy.com )对[25,55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数的频率分布直方图：
组数
分组
低碳族的人数
占本组的频率
第一组
[25,30)
120
0.6
第二组
[30,35)
195
p
第三组
[35,40)
100
0.5
第四组
[40,45)
a
0.4
第五组
[45,50)
30
0.3
第六组
[50,55]
15
0.3
图3 2
(1)补全频率分布直方图并求n，a，p的值；
(2)从年龄段在[40,50)的“低碳
( http: / / www.21cnjy.com )族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在[40,45)岁的概率．
【解】　(1)第二组的频率为1－(0.04＋
( http: / / www.21cnjy.com )0.04＋0.03＋0.02＋0.01)×5＝0.3，所以高为＝0.06.频率分布直方图如下：
第一组的人数为＝200，频率为0.04×5＝0.2，
所以n＝＝1
000.
由题可知，第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为1
000×0.3＝300，所以p＝＝0.65.
第四组的频率为0.03×5＝0.15，所以第四组的人数为1
000×0.15＝150，所以a＝150×0.4＝60.
(2)因为[40,45)岁年龄段的“低碳族”与[45,50)岁年龄段的“低碳族”的比值为60∶30＝2∶1，
所以采用分层抽样法抽取6人，[40,45)岁中有4人，[45,50)岁中有2人．
设[40,45)岁中的4人为a，b，c，
( http: / / www.21cnjy.com )d，[45,50)岁中的2人为m，n，则选取2人作为领队的选法有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，m)，(a，n)，(b，c)，(b，d)，(b，m)，(b，n)，(c，d)，(c，m)，(c，n)，(d，m)，(d，n)，(m，n)，共15种；其中恰有1人年龄在[40,45)岁的有(a，m)，(a，n)，(b，m)，(b，n)，(c，m)，(c，n)，(d，m)，(d，n)，共8种．
所以选取的2名领队中恰有1人年龄在[40,45)岁的概率为.
数形结合思想
数形结合思想在求古典概型和几何概型的
( http: / / www.21cnjy.com )概率中有着广泛的应用．在古典概型中，基本事件的个数较多且不易列举时，借助于图形会比较直观计数．在几何概型中，把基本事件转化到与长度、面积、体积有关的图形中，结合图形求长度、面积、体积的比．
( http: / / www.21cnjy.com )　设点(p，q)在|p|≤3，|q|≤3中按均匀分布出现，试求方程x2＋2px－q2＋1＝0的两根都是实数的概率．
【精彩点拨】　试验的全部结果构成的区域为正方形的面积，方程有两个实根构成的区域为圆的外部．
【规范解答】　基本事件总体的区域D的度量为正方形面积，
即D的度量为S正方形＝62＝36，
由方程x2＋2px－q2＋1＝0的两根都是实数，
得Δ＝(2p)2－4(－q2＋1)≥0，
∴p2＋q2≥1.
∴当点(p，q)落在如图所示的阴影部分时，
方程的两根均为实数，由图可知，构成的区域d的度量为S正方形－S圆＝36－π，
∴原方程的两根都是实数的概率为P＝.
[再练一题]
5．三个人玩传球游戏，每个人都等可能地传给另两人(不自传)，若从A发球算起，经4次传球又回到A手中的概率是多少？
【解】　记三人为A、B、C，则4次传球的所有可能可用树状图方式列出，如下图：
每一个分支为一种传球方案，则基本事件的总数为16，而又回到A手中的事件个数为6个，根据古典概型概率公式得P＝＝.
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1．小敏打开计算机时，忘记了开
( http: / / www.21cnjy.com )机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是(　　)
A.　　　　　　　　　
B.
C.
D.
【解析】　∵Ω＝{(M,1)，(M,2
( http: / / www.21cnjy.com ))，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)}，
∴事件总数有15种．
∵正确的开机密码只有1种，∴P＝.
【答案】　C
2．某路口人行横道的信号灯
( http: / / www.21cnjy.com )为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为(　　)
A.　　　
B.
C.　　　
D.
【解析】　如图，若该行人在
( http: / / www.21cnjy.com )时间段AB的某一时刻来到该路口，则该行人至少等待15秒才出现绿灯．AB长度为40－15＝25，由几何概型的概率公式知，至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为＝，故选B.
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【答案】　B
3．为美化环境，从红、黄、白、紫4
( http: / / www.21cnjy.com )种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】　从4种颜色的花中任选2种颜
( http: / / www.21cnjy.com )色的花种在一个花坛中，余下2种颜色的花种在另一个花坛的种数有：红黄—白紫、红白—黄紫、红紫—白黄、黄白—红紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共6种，其中红色和紫色的花不在同一花坛的种数有：红黄—白紫、红白—黄紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共4种，故所求概率为P＝＝，故选C.
【答案】　C
4．某公司的班车在7：30,8：00,8：
( http: / / www.21cnjy.com )30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是(　　)
A.
B.
C.
D.
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【解析】　如图，7：50至8：30之
( http: / / www.21cnjy.com )间的时间长度为40分钟，而小明等车时间不超过10分钟是指小明在7：50至8：00之间或8：20至8：30之间到达发车站，此两种情况下的时间长度之和为20分钟，由几何概型概率公式知所求概率为P＝＝.故选B.
【答案】　B
5．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边
( http: / / www.21cnjy.com )的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
【解析】　从1,2,3,4,5中任取3个不
( http: / / www.21cnjy.com )同的数共有如下10个不同的结果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股数只有(3,4,5)，所以概率为.故选C.
【答案】　C3.2.1　古典概型
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1．了解基本事件的特点，能写出一次试验所出现的基本事件．(易错易混点)
2．理解古典概型及其概率计算公式，会判断古典概型．(难点)
3．会用列举法求古典概型的概率．(重点)
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[基础·初探]
教材整理1　基本事件的特点
阅读教材P125例1以上的部分，完成下列问题．
1．任何两个基本事件是互斥的．
2．任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．
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某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组，某学生只选报其中的2个，则基本事件共有(　　)
A．1个　　　
B．2个　　　
C．3个　　　
D．4个
【解析】　基本事件有(数学，计算机)，(数学，航空模型)，(计算机，航空模型)共3个．
【答案】　C
教材整理2　古典概型
阅读教材P126～P127“探究”以上的部分，完成下列问题．
1．古典概型的特点
如果某类概率模型具有以下两个特点：
(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
(2)每个基本事件出现的可能性相等．
我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．
2．古典概型的概率公式
对于任何事件A，P(A)＝.
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1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若一次试验的结果所包含的基本事件的个数为有限个，则该试验符合古典概型．(　　)
(2)“抛掷两枚硬币，至少一枚正面向上”是基本事件．(　　)
(3)从装有三个大球、一个小球的袋中，取出一球的试验是古典概型．(　　)
(4)一个古典概型的基本事件数为n，则每一个基本事件出现的概率都是.(　　)
【答案】　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是(　　)
A.　　　
B.　　　
C.　　　
D.
【解析】　基本事件有：甲乙丙、甲丙
( http: / / www.21cnjy.com )乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲共六个，甲站在中间的事件包括乙甲丙、丙甲乙共2个，所以甲站在中间的概率：P＝＝.
【答案】　C
3．若书架上放的数学、物理、化学书分别是5本，3本，2本，则随机抽出一本是物理书的概率为________．
【解析】　从中随机抽出一本书共有10种取法，抽到物理书有3种情况，故抽到物理书的概率为.
【答案】　
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[小组合作型]
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基本事件和古典概型的判断
( http: / / www.21cnjy.com )　(1)抛掷一枚骰子，下列不是基本事件的是(　　)
A．向上的点数是奇数
B．向上的点数是3
C．向上的点数是4
D．向上的点数是6
(2)下列是古典概型的是(　　)
A．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为基本事件
B．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为基本事件
C．从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率
D．抛掷一枚均匀硬币首次出现正面为止
【精彩点拨】　结合基本事件及古典概型的定义进行判断，基本事件是最小的随机事件，而古典概型要两个特征——有限性和等可能性．
【尝试解答】　(1)向上的点数是奇数包含三
( http: / / www.21cnjy.com )个基本事件：向上的点数是1，向上的点数是3，向上的点数是5，则A项不是基本事件，B，C，D项均是基本事件．故选A.
(2)A项中由于点数的和出现的可
( http: / / www.21cnjy.com )能性不相等，故A不是；B项中的基本事件是无限的，故B不是；C项满足古典概型的有限性和等可能性，故C是；D项中基本事件既不是有限个也不具有等可能性，故D不是．
【答案】　(1)A　(2)C
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1．基本事件具有以下特点：①不可能再分为更小的随机事件；②两个基本事件不可能同时发生．
2．判断随机试验是否为古典概型，关键是抓住古典概型的两个特征——有限性和等可能性，二者缺一不可．
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[再练一题]
1．下列试验是古典概型的为________.
①从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小；
②同时掷两颗骰子，点数和为6的概率；
③近三天中有一天降雨的概率；
④10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率．
【解析】　①②④是古典概型，因为符合古典概型的定义和特点．③不是古典概型，因为不符合等可能性，降雨受多方面因素影响．
【答案】　①②④
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基本事件的计数问题
( http: / / www.21cnjy.com )　有两个正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1,2,3,4，下面做投掷这两个正四面体玩具的试验：用(x，y)表示结果，其中x表示第1个正四面体玩具朝下的点数，y表示第2个正四面体玩具朝下的点数．试写出：
(1)试验的基本事件；
(2)事件“朝下点数之和大于3”；
(3)事件“朝下点数相等”；
(4)事件“朝下点数之差的绝对值小于2”．
【精彩点拨】　根据事件的定义，按照一定的规则找到试验中所有可能发生的结果，列举出来即可．
【尝试解答】　(1)这个试验的基本事件为：
(1,1)，(1,2)，(1
( http: / / www.21cnjy.com ),3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．
(2)事件“朝下点数之和大于3”包含以下13个基本事件：
(1,3)，(1,4)，(2
( http: / / www.21cnjy.com ),2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．
(3)事件“朝下点数相等”包含以下4个基本事件：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)．
(4)事件“朝下点数之差的绝对值
( http: / / www.21cnjy.com )小于2”包含以下10个基本事件：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)．
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1．在求基本事件时，一定要按规律去写，这样不容易漏写．
2．确定基本事件是否与顺序有关．
3．写基本事件时，主要用列举法，具体写时可用列表法或树状图法．
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[再练一题]
2．连续掷3枚硬币，观察这3枚硬币落在地面上时是正面朝上还是反面朝上．
(1)写出这个试验的所有基本事件；
(2)求这个试验的基本事件的总数；
(3)“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含哪些基本事件？
【解】　(1)这个试验包含的基本事件有：(正
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(2)这个试验包含的基本事件的总数是8.
(3)“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含以下3个基本事件：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)．
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简单的古典概型的概率计算
( http: / / www.21cnjy.com )　袋子中装有除颜色外其他均相同的编号为a，b的2个黑球和编号为c，d，e的3个红球，从中任意摸出2个球．
(1)写出所有不同的结果；
(2)求恰好摸出1个黑球和1个红球的概率；
(3)求至少摸出1个黑球的概率．
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【精彩点拨】　(1)可以利用初
( http: / / www.21cnjy.com )中学过的树状图写出；(2)找出恰好摸出1个黑球和1个红球的基本事件，利用古典概型的概率计算公式求出；(3)找出至少摸出1个黑球的基本事件，利用古典概型的概率计算公式求出．
【尝试解答】　(1)用树状图表示所有的结果为：
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所以所有不同的结果是ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de.
(2)记“恰好摸出1个黑球和1个红球”为事件A，
则事件A包含的基本事件为ac，ad，ae，bc，bd，be，共6个基本事件，
所以P(A)＝＝0.6，
即恰好摸出1个黑球和1个红球的概率为0.6.
(3)记“至少摸出1个黑球”为事件B，
则事件B包含的基本事件为ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，共7个基本事件，
所以P(B)＝＝0.7，
即至少摸出1个黑球的概率为0.7.
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1．求古典概型概率的计算步骤
(1)确定基本事件的总数n；
(2)确定事件A包含的基本事件的个数m；
(3)计算事件A的概率P(A)＝.
2．解决古典概型问题的基
( http: / / www.21cnjy.com )本方法是列举法，但对于较复杂的古典概型问题，可采用转化的方法：一是将所求事件转化为彼此互斥事件的和；二是先求对立事件的概率，再求所求事件的概率．
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[再练一题]
3．袋中有红、白色球各一个，每次任取一个，有放回地摸三次，求基本事件的个数，写出所有基本事件的全集，并计算下列事件的概率：
(1)三次颜色恰有两次同色；(2)三次颜色全相同；
(3)三次摸到的红球多于白球．
【解】　每个基本事件为(
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(1)记事件A为“三次颜色恰有两次同色”．
∵A中含有基本事件个数为m＝6，
∴P(A)＝＝＝0.75.
(2)记事件B为“三次颜色全相同”．
∵B中含基本事件个数为m＝2，
∴P(B)＝＝＝0.25.
(3)记事件C为“三次摸到的红球多于白球”．
∵C中含有基本事件个数为m＝4，
∴P(C)＝＝0.5.
[探究共研型]
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基本事件的特征
探究1　为什么说基本事件是彼此互斥的？
【提示】　基本事件是试验的最基本结果，这些基
( http: / / www.21cnjy.com )本结果不能用其他结果加以描述．在一次试验中，只可能出现一种结果，即产生一个基本事件，如掷骰子试验中，一次试验只会出现一个点数，任何两个点数不可能在一次试验中同时发生，即基本事件不可能同时发生，因而基本事件是彼此互斥的，但其他试验结果都可以用基本事件加以描述．
探究2　基本事件的表示方法有哪些？
【提示】　写出所有的基本事件可采用的方法较多，例如列表法、坐标系法、树状图法，但不论采用哪种方法，都要按一定的顺序进行，做到不重不漏．
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古典概型的特征
探究3　古典概型有何特点？何为非古典概型？
【提示】　一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性，并不是所有的试验都是古典概型．
下列三类试验都不是古典概型：
(1)基本事件个数有限，但非等可能；
(2)基本事件个数无限，但等可能；
(3)基本事件个数无限，也不等可能．
探究4　举例说明古典概型的概率与模型选择无关？
【提示】　以“甲、乙、丙三位
( http: / / www.21cnjy.com )同学站成一排，计算甲站在中间的概率”为例，若从三个同学的站位顺序来看，则共有“甲乙丙”、“甲丙乙”、“乙甲丙”、“乙丙甲”、“丙甲乙”、“丙乙甲”六种结果，其中“甲站在中间”包含“乙甲丙”、“丙甲乙”两个基本事件，因此所求事件的概率为P＝＝；若仅从甲的站位来看，则只有“甲站1号位”、“甲站2号位”、“甲站3号位”三种结果，其中“甲站在中间”只有“甲站2号位”这一种情况，因此所求概率为P＝.
( http: / / www.21cnjy.com )　先后抛掷两枚大小相同的骰子．
(1)求点数之和出现7点的概率；
(2)求出现两个4点的概率；
(3)求点数之和能被3整除的概率．
【精彩点拨】　明确先后掷两枚骰子的基本事件总数，然后用古典概型概率计算公式求解，可借图来确定基本事件情况．
【尝试解答】　如图所示，从图中容易看出基本事件与所描点一一对应，共36种．
(1)记“点数之和出现7点”为事件A，从图中可以看出，事件A包含的基本事件共6个：(6,1)，(5,2)，(4，
3)，(3,4)，(2,5)，(1,6)．故P(A)＝＝.
(2)记“出现两个4点”为事件B，从图中可以看出，事件B包含的基本事件只有1个，即(4,4)．故P(B)＝.
(3)记“点数之和能被3
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1．在求概率时，若事件可以表
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2．数形结合能使解决问题的过程变得形象、直观，给问题的解决带来方便．
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[再练一题]
4．抛掷两颗骰子，求：
(1)点数之和是4的倍数的概率；
(2)点数之和大于5小于10的概率．
【解】　如图，基本事件共有36种．
(1)记“点数之和是4的倍数”的事件
( http: / / www.21cnjy.com )为A，从图中可以看出，事件A包含的基本事件共有9个：(1,3)，(2,2)，(2,6)，(3,1)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，(6,6)，所以P(A)＝.
(2)记“点数之和大于5小于10”的事
( http: / / www.21cnjy.com )件为B，从图中可以看出，事件B包含的基本事件共有20个．即(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，(3,6)，(4,5)，(5,4)，(6,3)．所以P(B)＝.
1．同时投掷两颗大小完全相同的骰子，用(x，y)表示结果，记A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的基本事件数是(　　)
A．3　　　　
B．4　　　　
C．5　　　　
D．6
【解析】　事件A包含的基本事件有6个：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)．
【答案】　D
2．下列关于古典概型的说法中正确的是(　　)
①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个
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A．②④
B．①③④
C．①④
D．③④
【解析】　根据古典概型的特征与公式进行判断，①③④正确，②不正确．
【答案】　B
3．从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表，甲被选中的概率为(　　)
A.
B.
C.
D．1
【解析】　从甲、乙、丙三
( http: / / www.21cnjy.com )人中任选两人有：(甲、乙)、(甲、丙)、(乙、丙)共3种情况，其中，甲被选中的情况有2种，故甲被选中的概率为P＝.
【答案】　C
4．在1,3,5,8路公共汽车都要
( http: / / www.21cnjy.com )停靠的一个站(假定这个站只能停靠一辆公共汽车)，有一位乘客等候1路或3路公共汽车，假定当时各路公共汽车首先到站的可能性相等，则首先到站的正好是这位乘客所要乘的公共汽车的概率是________．
【解析】　∵4种公共汽车先到站有4个结果，且每种结果出现的可能性相等，“首先到站的车正好是所乘车”的结果有2个，
∴P＝＝.
【答案】　
5．一个盒子里装有完全相同的十个小球，分别标上1,2,3，…，10这10个数字，今随机地抽取两个小球，如果：
(1)小球是不放回的；
(2)小球是有放回的．
分别求两个小球上的数字为相邻整数的概率．
【解】　随机选取两个小球，
( http: / / www.21cnjy.com )记事件A为“两个小球上的数字为相邻整数”，可能结果为(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，(5,6)，(6,7)，(7,8)，(8,9)，(9,10)，(2,1)，(3,2)，(4,3)，(5,4)，(6,5)，(7,6)，(8,7)，(9,8)，(10,9)共18种．
(1)如果小球是不放回的，按抽取顺序记录结果(x，y)，共有可能结果90种．
因此，事件A的概率是＝＝.
(2)如果小球是有放回的，按抽取顺序记录结果(x，y)，则x有10种可能，y有10种可能，共有可能结果100种．
因此，事件A的概率是＝.3.1.1　随机事件的概率
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1．了解事件的分类及随机事件发生的不确定性和其概率的稳定性．(难点)
2．理解频率与概率的联系与区别．(重点)
3．能初步举出重复试验的结果．
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[基础·初探]
教材整理1　事件
阅读教材P108的内容，完成下列问题．
1．确定事件：在条件S下，一定会发生的事
( http: / / www.21cnjy.com )件，叫做相对于条件S的必然事件，简称为必然事件；在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件，简称为不可能事件．必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件，简称为确定事件．
2．随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的随机事件，简称为随机事件．
3．事件：确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母A，B，C，……表示．
4．分类：
事件
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1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)三角形的内角和为180°是必然事件．(　　)
(2)“抛掷硬币三次，三次正面向上”是不可能事件．(　　)
(3)“下次李欢的数学成绩在130分以上”是随机事件．(　　)
【答案】　(1)√　(2)×　(3)√
2．下列事件中，是随机事件的有(　　)
①在一条公路上，交警记录某一小时通过的汽车超过300辆；
②若a为整数，则a＋1为整数；
③发射一颗炮弹，命中目标；
④检查流水线上一件产品是合格品还是次品．
A．1个　　　B．2个　　　C．3个　　　D．4个
【解析】　当a为整数时，a＋1一定为整数，是必然事件，其余3个均为随机事件．
【答案】　C
3．下列事件是确定事件的是(　　)
A．2018年世界杯足球赛期间不下雨
B．没有水，种子发芽
C．对任意x∈R，有x＋1＞2x
D．抛掷一枚硬币，正面向上
【解析】　选项A，C，D均是随机事件，选项B是不可能事件，所以也是确定事件，故选B.
【答案】　B
教材整理2　频数与频率
阅读教材P109～P110“思考”以上部分，完成下列问题．
在相同的条件S下重复n次试验，
( http: / / www.21cnjy.com )观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率，其取值范围是[0,1]．
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某射击运动员射击20次，恰有18次击中目标，则该运动员击中目标的频率是________．
【解析】　设击中目标为事件A，则n＝20，nA＝18，则f20(A)＝＝0.9.
【答案】　0.9
教材整理3　概率
阅读教材P111～P112的内容，完成下列问题．
随机事件发生可能性的大小用概率来度
( http: / / www.21cnjy.com )量，概率是客观存在的．对于给定的随机事件A，事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此
可用频率fn(A)来估计概率P(A)，即P(A)≈.
因此求事件A的概率的前提是：大量重复的试验，试验的次数越多，获得的数据越多，这时用来表示P(A)越精确．
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在一次掷硬币试验中，掷30
000次，
( http: / / www.21cnjy.com )其中有14
984次正面朝上，则出现正面朝上的频率是________，这样，掷一枚硬币，正面朝上的概率是________．
【解析】　设“出现正面朝上”为事件A，则n＝30
000，nA＝14
984，fn(A)＝≈0.499
5，P(A)＝0.5.
【答案】　0.499
5　0.5
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[小组合作型]
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事件类型的判断
( http: / / www.21cnjy.com )　(1)下列事件中的随机事件为(　　)
A．若a，b，c都是实数，则a(bc)＝(ab)c
B．没有水和空气，人也可以生存下去
C．抛掷一枚硬币，反面向上
D．在标准大气压下，温度达到60℃时水沸腾
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(2)从一副牌中抽出5张红桃、4张梅花、3张黑桃放在一起洗匀后，从中一次随机抽出10张，恰好红桃、梅花、黑桃3种牌都抽到，这件事情(　　)
A．可能发生　　　　　
B．不可能发生
C．很可能发生
D．必然发生
【精彩点拨】　在一次试验中，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件，结合(1)(2)两题可进行判断．
【尝试解答】　(1)A中的等式是实数乘法的结
( http: / / www.21cnjy.com )合律，对任意实数a，b，c是恒成立的，故A是必然事件．在没有空气和水的条件下，人是绝对不能生存下去的，故B是不可能事件．抛掷一枚硬币时，在没得到结果之前，并不知道会是正面向上还是反面向上，故C是随机事件．在标准大气压的条件下，只有温度达到100℃，水才会沸腾，当温度是60℃时，水是绝对不会沸腾的，故D是不可能事件．
(2)∵若这10张牌中抽出了全部的红桃与梅花共9张，一定还有1张黑桃；
若抽出了全部的梅花与黑桃共7张，则还会有3张红桃；
若抽出了全部的红桃与黑桃共8张，则还会有2张梅花；
∴这个事件一定发生，是必然事件．
故选D.
【答案】　(1)C　(2)D
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要判定事件是何种事件，首先要看清条
( http: / / www.21cnjy.com )件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的，第二步再看它是一定发生，还是不一定发生，还是一定不发生，一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件.
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[再练一题]
1．给出下列四个命题：①“三个
( http: / / www.21cnjy.com )球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件；②当“x为某一实数时可使x2＜0”是不可能事件；③“每年的国庆节都是晴天”是必然事件；④“从100个灯泡(有10个是次品)中取出5个，5个都是次品”是随机事件．其中正确命题的个数是(　　)
A．4　　　　B．3　　　　C．2　　　　D．1
【解析】　“每年的国庆节都是晴天”是随机事件，故命题③错误，命题①②④正确．故选B.
【答案】　B
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试验结果的分析
( http: / / www.21cnjy.com )　袋中装有大小相同的红、白、黄、黑4个球，分别写出以下随机试验的条件和结果．
(1)从中任取1球；(2)从中任取2球．
【精彩点拨】　明确条件和结果，据生活经验按一定顺序逐一列出全部结果．
【尝试解答】　(1)条件为：从袋中任取1球，结果为：红、白、黄、黑4种．
(2)条件为从袋中任取2球，
( http: / / www.21cnjy.com )若记(红，白)表示一次试验中，取出的是红球与白球，结果为(红，白)，(红，黄)，(红，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(黄，黑)6种．
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1．把握住随机试验的实质，要明确一次试验就是将事件的条件实现一次，如取出“红球、白球”就实现了条件“任取2个小球”一次．
2．准确理解随机试验的条件、结果等有关定义，
( http: / / www.21cnjy.com )并能使用它们判断一些事件，指出试验结果，这是求概率的基础．在写试验结果时，一般采用列举法写出，必须首先明确事件发生的条件．根据日常生活经验，按一定次序列举，才能保证所列结果没有重复，也没有遗漏．
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[再练一题]
2．一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球，问：
(1)共有多少种不同结果？
(2)摸出2个黑球有多少种不同的结果？
【解】　(1)从装有4个球的口袋内摸出2个
( http: / / www.21cnjy.com )球，共有6种不同的结果：(白，黑1)，(白，黑2)，(白，黑3)，(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑2，黑3)．
(2)从3个黑球中摸出2个黑球，共有3种不同的结果：(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑2，黑3)．
[探究共研型]
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随机事件的“条件”特征
探究1　定义中的“条件S”是唯一的吗？
【提示】　这里的S可以是一个条
( http: / / www.21cnjy.com )件，也可以是一组条件(可以理解为一个条件的集合)，此处的定义与初中教材中的定义(在一定条件下)有所不同，新定义的表述更加简洁．
探究2　如何理解条件在判断事件类型中的作用？
【提示】　(1)要判断一个事件是哪种事件，首先要看清条件，条件决定事件的种类，随着条件的改变，其结果也会不同．
(2)随机事件是在条件S下，可能发生也可能不
( http: / / www.21cnjy.com )发生的事件．应注意：事件的结果是相对于“条件S”而言的．所以要确定一个随机事件的类型，必须明确何为事件发生的条件，何为在此条件下产生的结果．
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频率与概率的关系
探究3　频率与试验次数有关吗？概率呢？
【提示】　(1)频率是事件A发生的次数与试验总次数的比值，当然与试验次数有关．
频率本身是随机的，是一个变量，在试验前不能确
( http: / / www.21cnjy.com )定，做同样次数的重复试验得到的事件发生的频率会不同．比如，全班每个人都做了10次掷硬币的试验，但得到正面朝上的频率可以是不同的．
(2)概率是一个确定的数，是客观存在的，与试验做没做、做多少次完全无关．
比如，如果一个硬币是质地均匀的，则掷硬币一次出现正面朝上的概率是0.5，与做多少次试验无关．
探究4　试验次数越多，频率就越接近概率吗？
【提示】　不是．随着试验次
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( http: / / www.21cnjy.com )　下面的表中列出10次抛掷硬币的试验结果，n为抛掷硬币的次数，m为硬币“正面向上”的次数．计算每次试验中“正面向上”这一事件的频率，并考察它的概率．
试验序号
抛掷的次数n
“正面向上”的次数m
“正面向上”出现的频率
1
500
251
2
500
249
3
500
256
4
500
253
5
500
251
6
500
246
7
500
244
8
500
258
9
500
262
10
500
247
【精彩点拨】　先由公式fn(A)＝分别求出各项试验对应的频率然后估计概率．
【尝试解答】　由fn(A)＝，可分别得出这
( http: / / www.21cnjy.com )10次试验中“正面向上”这一事件出现的频率依次为0.502，0.498，0.512，0.506,0.502,0.492,0.488,0.516，0.524，0.494.这些数在0.5附近摆动，由概率的统计定义可得，“正面向上”的概率为0.5.
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1．频率是事件A发生的次数m与试验
( http: / / www.21cnjy.com )总次数n的比值，利用此公式可求出它们的频率．频率本身是随机变量，当n很大时，频率总是在一个稳定值附近左右摆动，这个稳定值就是概率．
2．解此类题目的步骤是：先利用频率的计算公式依次计算频率，然后用频率估计概率．
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[再练一题]
3．某射击运动员进行飞碟射击训练，七次训练的成绩记录如下：
射击次数n
100
120
150
100
150
160
150
击中飞碟数nA
81
95
120
81
119
127
121
(1)求各次击中飞碟的频率；(保留三位小数)
(2)该射击运动员击中飞碟的概率约为多少？
【解】　(1)计算得各次击中飞碟的频率依次约为0.810，0.792,0.800,0.810,0.793,0.794,0.807.
(2)由于这些频率非常地接近0.800，且在它附近摆动，所以运动员击中飞碟的概率约为0.800.
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1．下列事件中，不可能事件为(　　)
A．三角形内角和为180°
B．三角形中大边对大角，大角对大边
C．锐角三角形中两个内角和小于90°
D．三角形中任意两边的和大于第三边
【解析】　若两内角的和小于90°，则第三个内角必大于90°，故不是锐角三角形，所以C为不可能事件，而A、B、D均为必然事件．
【答案】　C
2．下列事件：①一个口袋内装有5个红球
( http: / / www.21cnjy.com )，从中任取一球是红球；②抛掷两枚骰子，所得点数之和为9；③x2≥0(x∈R)；④方程x2－3x＋5＝0有两个不相等的实数根；⑤巴西足球队在下届世界杯足球赛中夺得冠军．其中，随机事件的个数为(　　)
A．1　　　
B．2　　　
C．3　　　
D．4
【解析】　①③是必然事件；②⑤是随机事件；④是不可能事件．
【答案】　B
3．“连续抛掷两枚质地均匀的骰子，记录朝上的点数”，该试验的结果共有(　　)
A．6种
B．12种
C．24种
D．36种
【解析】　试验的全部结果为(1,1)，(1,
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【答案】　D
4．北京去年6月份共有7天为阴雨天气，设阴雨天气为事件A，则事件A出现的频数为________，事件A出现的频率为________．
【解析】　由频数的意义知，事件A出现的频数为7，频率为.
【答案】　7　
5．某人做试验，从一个装有标号为1,2
( http: / / www.21cnjy.com ),3,4的小球的盒子中，无放回地取两个小球，每次取一个，先取的小球的标号为x，后取的小球的标号为y，这样构成有序实数对(x，y)．
(1)写出这个试验的所有结果；
(2)写出“第一次取出的小球上的标号为2”这一事件．
【解】　(1)当x＝1时，y＝
( http: / / www.21cnjy.com )2,3,4；当x＝2时，y＝1,3,4；当x＝3时，y＝1,2,4；当x＝4时，y＝1,2,3.因此，这个试验的所有结果是(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)．
(2)记“第一次取出的小球上的标号是2”为事件A，则A＝{(2,1)，(2,3)，(2,4)}．3.3.2　均匀随机数的产生
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1．能用模拟方法估计事件的概率．(重点)
2．设计科学的试验来估计概率．(难点)
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[基础·初探]
教材整理　均匀随机数的产生
阅读教材P137～P139的内容，完成下列问题．
1．[0,1]上均匀随机数的产生
利用计算器的RAND函数可
( http: / / www.21cnjy.com )以产生[0,1]上的均匀随机数，试验的结果是区间[0,1]内的任何一个实数，而且出现任何一个实数是等可能的，因此，可以用计算器产生的0到1之间的均匀随机数进行随机模拟．
2．随机模拟方法的基本思想是估计概率．
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1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)随机数只能用计算器或计算机产生．(　　)
(2)计算机或计算器只能产生[0,1]的均匀随机数，对于试验结果在[2,5]上的试验，无法用均匀随机数进行模拟估计试验．(　　)
(3)x是[0,1]上的均匀随机数，则利用变量代换y＝(b－a)x＋a可得[a，b]上的均匀随机数．(　　)
【答案】　(1)×　(2)×　(3)√
2．用随机模拟方法求得某几何概型的概率为m，其实际概率的大小为n，则(　　)
A．m>n　　　　　　　　
B．mC．m＝n
D．m是n的近似值
【解析】　随机模拟法求其概率，只是对概率的估计．
【答案】　D
3．在区间(10,20]内的所有实数中，随机取一个实数a，则这个实数a<13的概率是(　　)
A.　　　
B.
C.　　　
D.
【解析】　∵a∈(10,13)，∴P(a<13)＝＝.
【答案】　C
4．在边长为2的正方形当中，有一个封闭曲
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图3 3 8
【解析】　设阴影区域的面积为S，则≈，S≈.
【答案】　
[小组合作型]
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用随机模拟法估计长度型几何概率
( http: / / www.21cnjy.com )　取一根长度为3
m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1
m的概率有多大？
【精彩点拨】　用模拟方法并进行相应转化求概率．
【尝试解答】　法一：(1)利用计算器或计算机产生一组(共N个)0到1区间的均匀随机数，a1＝RAND；
(2)经过伸缩变换，a＝a1
3；
(3)统计出[1，2]内随机数的个数N1；
(4)计算频率fn(A)＝，即为概率P(A)的近似值．
法二：做一个带有指针的圆盘，把圆
( http: / / www.21cnjy.com )周三等分，标上刻度[0,3](这里3和0重合)．转动圆盘记下指针指在[1,2](表示剪断绳子位置在[1,2]范围内)的次数N1及试验总次数，则fn(A)＝即为概率P(A)的近似值．
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1．用随机数模拟的关键是把实
( http: / / www.21cnjy.com )际问题中事件A及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范围．法二用转盘产生随机数，这种方法可以亲自动手操作，但费时费力，试验次数不可能很大；法一用计算机产生随机数，可以产生大量的随机数，又可以自动统计试验的结果，同时可以在短时间内多次重复试验，可以对试验结果的随机性和规律性有更深刻的认识．
2．用随机模拟方法估计几何概型的步
( http: / / www.21cnjy.com )骤：①确定需要产生随机数的组数，如长度、角度型只用一组，面积型需要两组；②由基本事件空间对应的区域确定产生随机数的范围；③由事件A发生的条件确定随机数应满足的关系式；④统计事件A对应的随机数并计算A的频率来估计A的概率．
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[再练一题]
1．在区间[0,3]内任取一个实数，求该实数大于2的概率.
【解】　(1)利用计算器或计算机产生n个0～1之间的均匀随机数，x＝RAND；
(2)作伸缩变换：y＝x
(3－0)，转化为[0,3]上的均匀随机数；
(3)统计出[2,3]内均匀随机数的个数m；
(4)则概率P(A)的近似值为.
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用随机模拟法估计面积型几何概率
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( http: / / www.21cnjy.com )　如图3 3 9，在一个边长为3
cm的正方形内部画一个边长为2
cm的正方形，向大正方形内随机投点，求所投的点落入小正方形内的概率．
图3 3 9
【精彩点拨】　把二维型的图形放在一个确定的
( http: / / www.21cnjy.com )坐标平面或者平面上，用均匀随机数产生两组随机数作为点的坐标，或者用实物(如黄豆)计算其频率，从而可估计概率．
【尝试解答】　记事件A＝{所投点落入小正方形内}．
(1)用计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数，a1＝RAND，b1＝RAND.
(2)经过伸缩平移变换，a＝a1
3－1.5,b=b1
3－1.5,得［－1.5，1.5］上的均匀随机数.
(3)统计落入大正方形内点数N(
( http: / / www.21cnjy.com )即上述所有随机数构成的点(a，b)数)及落入小正方形内的点数N1(即满足－1(4)计算频率fn(A)＝，即为概率P(A)的近似值．
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一般地，若一个随机事件需要用两个连
( http: / / www.21cnjy.com )续变量 如本例中的x，y 来描述，用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，利用坐标平面能顺利地建立与面积有关的几何概型.
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[再练一题]
2.如图3 3 10，在墙上挂着一块边长为1
( http: / / www.21cnjy.com )6
cm的正方形木板，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2
cm，4
cm,6
cm，某人站在3
m之外向此板投镖，设投镖击中线上或没有投中木板时不算，可重投，问：投中大圆内的概率是多少？投中小圆与中圆形成的圆环内的概率是多少？投中大圆之外的概率是多少？
图3 3 10
【解】　记事件A＝{投中大圆内}，事件B＝{投中小圆与中圆形成的圆环内}，事件C＝{投中大圆之外}．
(1)用计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数a1＝RAND，b1＝RAND；
(2)经过伸缩平移变换，a＝16a1－8，b＝16b1－8，得到两组[－8,8]的均匀随机数；
(3)统计投中大圆内的次数N1(即满足
( http: / / www.21cnjy.com )a2＋b2＜36的点(a，b)的个数)，投中小圆与中圆形成的圆环的次数N2(即满足4＜a2＋b2＜16的点(a，b)的个数)，投中木板的总次数N(即满足－8＜a＜8，－8＜b＜8的点(a，b)的个数)；
(4)计算频率fn(A)＝，fn(B)＝，fn(C)＝，即分别为概率P(A)，P(B)，P(C)的近似值．
利用随机模拟试验估计不规则图形的面积
( http: / / www.21cnjy.com )　利用随机模拟方法计算图3 3 11中阴影部分(曲线y＝2x与x轴、x＝±1围成的部分)的面积．
图3 3 11
【精彩点拨】　在坐标系中画出正方形，用随机模拟的方法可以求出阴影部分面积与正方形面积之比，从而求得阴影部分的近似值．
【尝试解答】　(1)利用计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数，a1＝RAND，b1＝RAND.
(2)进行平移和伸缩变换，a＝a1[N1，N)，即为点落在阴影部分的概率的近似值．
(3)统计试验总次数N和落在阴影内的次数N1(满足条件b<2a的点(a，b))．
(4)计算频率，即为点落在阴影部分的概率的近似值．
(5)用几何概率公式求得点落在阴影部分的概率为P＝.
∴≈.
∴S＝即为阴影部分面积的近似值．
( http: / / www.21cnjy.com )
1．解决本题的关键是利用随机模拟法和几何概率公式分别求得几何概率，然后通过方程求得阴影部分面积的近似值．
2.＝，应当作公式记住，当然应理解其来历，其中N为总的试验次数，N1为落在不规则图形内的试验次数．
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[再练一题]
3．如图3 3 12所示，在一个长为4，宽为2的矩形中有一个半圆，试用随机模拟的方法近似计算半圆面积，并估计π的值．
图3 3 12
【解】　记事件A为“点落在半圆内”．
(1)利用计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数a1＝RAND，b1＝RAND；
(2)进行平移和伸缩变换，a＝(a1－0.5)
4，b＝b1]4－x2)的点(a，b)的个数)；
(4)计算频率就是点落在阴影部分的概率的近似值；
(5)用几何概型公式求概率，P(A)＝，所以≈，即S半圆＝，为半圆面积的近似值．
又2π＝，所以π≈.
[探究共研型]
[a，b]内的均匀随机数
探究1　如何产生[a，b]内的均匀随机数？
【提示】　利用计算机(或计算器)产生[0,1]上的均匀随机数x1＝RAND，然后利用伸缩和平移变换，令x＝x1]
探究2　产生[a，b]内的均匀随机数时，[a，b]上的任何一个实数，都是等可能的吗？
【提示】　产生[a，b]内的均匀随机数时，试验的结果是[a，b]上的任何一个实数，并且任何一个实数都是等可能的．
( http: / / www.21cnjy.com )　将[0,1]内的均匀随机数a1转化为[－2,6]内的均匀随机数a，需实施的变换为(　　)
A．a＝a1
18
B.a＝a1
8+2
C．a＝a1
8-2
D.a＝a1
6
【精彩点拨】　结合两个区间长度及对应的端点值对a1实施变换．
【尝试解答】　因为随机数
( http: / / www.21cnjy.com )x∈[0,1]，而基本事件都在[－2,6]上，其区间长度为8，所以首先把a1变为8a1，又因区间左端值为－2，所以8a1再变为8a1－2，故变换公式为a＝8a1－2.
【答案】　C
[再练一题]
4．b1是[0,1]上的均匀随机数，b＝3(b1－2)，则b是区间________上的均匀随机数．
【解析】　0≤b1≤1，则函数b＝3(b1－2)的值域是－6≤b≤－3，即b是区间[－6，－3]上的均匀随机数．
【答案】　[－6，－3]
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1．用均匀随机数进行随机模拟，可以解决(　　)
A．只能求几何概型的概率，不能解决其他问题
B．不仅能求几何概型的概率，还能计算图形的面积
C．不但能估计几何概型的概率，还能估计图形的面积
D．最适合估计古典概型的概率
【解析】　很明显用均匀随机数进行随机模拟，不
( http: / / www.21cnjy.com )但能估计几何概型的概率，还能估计图形的面积，但得到的是近似值，不是精确值，用均匀随机数进行随机模拟，不适合估计古典概型的概率．
【答案】　C
2．利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a－1<0”发生的概率为(　　)
A.　　　　　　　
B.
C.
D.
【解析】　因为0【答案】　C
3．设x是[0,1]内的一个均匀随机数，经过变换y＝2x＋3，则x＝对应变换成的均匀随机数是(　　)
A．0
B．2
C．4
D．5
【解析】　当x＝时，y＝2×＋3＝4.
【答案】　C
4．如图3 3 13，在边长为1的正方形中随机撒1
000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．
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图3 3 13
【解析】　由题意知，这是个几何概型问题，＝＝0.18.
∵S正＝1，∴S阴＝0.18.
【答案】　0.18
5．设有一个正方形网格，其中每个最小正
( http: / / www.21cnjy.com )方形的边长都等于6
cm，现用直径等于2
cm的硬币投掷到网格上，用随机模拟方法求硬币落下后与格线有公共点的概率.
【解】　记事件A＝{硬币与格线有公共点}，
设硬币中心为B(x，y)．
步骤：(1)利用计算机或计算器产生两组0到1之间的均匀随机数，x1＝RAND，y1＝RAND.
(2)经过平移和伸缩变换，则x＝(x1－0.5)
6，y＝(y1－0.5)
6，得到两组[－3,3]内的均匀随机数．
(3)统计试验总次数N及硬币与格线有公共点的次数N1(满足条件|x|≥2或|y|≥2的点(x，y)的个数)．
(4)计算频率，即为硬币落下后与格线有公共点的概率．2.2.1　用样本的频率分布估计总体分布
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1．理解用样本的频率分布估计总体分布的方法．
2．会列频率分布表，画频率分布直方图、频率分布折线图、茎叶图．(重点)
3．能够利用图形解决实际问题．(难点)
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[基础·初探]
教材整理1　用样本估计总体、数据分析
的基本方法
阅读教材P65～P66上半部分的内容，完成下列问题．
1．用样本估计总体的两种情况
(1)用样本的频率分布估计总体分布．
(2)用样本的数字特征估计总体的数字特征．
2．数据分析的基本方法
(1)借助于图形
分析数据的一种基本方法是用图将它们画出来，此方法可以达到两个目的，一是从数据中提取信息，二是利用图形传递信息．
(2)借助于表格
分析数据的另一种方法是用紧凑的表格改变数据的排列方式，此方法是通过改变数据的构成形式，为我们提供解释数据的新方式．
教材整理2　频率分布直方图
阅读教材P66～P68的内容，完成下列问题．
画频率分布直方图的步骤
1．一个容量为80的样本中，数据的最大值为152，最小值为60，组距为10，应将样本数据分为(　　)
A．10组　　　　　　　　
B．9组
C．8组
D．7组
【解析】　由题意可知，＝9.2，故应将数据分为10组．
【答案】　A
2．从一群学生中抽取一个一定容量的样本，对他们的学习成绩进行分析．已知不超过80分的为10人，其累积频率为0.5，则样本容量是(　　)
A．20　　　
B．40　　　
C．80　　　
D．60
【解析】　样本容量为＝20.
【答案】　A
教材整理3　频率分布折线图和总体密度曲线
阅读教材P69的内容，完成下列问题．
1．频率分布折线图
连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到了频率分布折线图．
2．总体密度曲线
随着样本容量的增加，作图时所分的组数也在增
( http: / / www.21cnjy.com )加，组距减小，相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称之为总体密度曲线，它反映了总体在各个范围内取值的百分比．
教材整理4　茎叶图
阅读教材P70的内容，完成下列问题．
1．茎叶图的制作方法
将所有两位数的十位数字作为茎，个位数字作为叶，茎相同者共用一个茎，茎按从小到大的顺序从上向下列出．
2．茎叶图的优缺点
在样本数据较少时，用茎叶图表示数据的
( http: / / www.21cnjy.com )效果较好．它不但可以保留所有信息，而且可以随时记录，这对数据的记录和表示都能带来方便．但是当样本数据较多时，茎叶图就显得不太方便，因为每一个数据都要在图中占据一个空间，如果数据很多，枝叶就会很长．
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1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)样本容量越大，估计的越准确．(　　)
(2)频率分布直方图的纵轴表示频率．(　　)
(3)茎叶图不能增加数据．(　　)
【答案】　(1)√　(2)×　(3)×
2．如图2 2 1是一个班的语文成绩的茎叶图(单位：分)，则优秀率(90分以上)是________，最低分是________.
5
1
5
6
0
3
4
4
6
7
8
8
9
7
3
5
5
5
6
7
9
8
0
2
3
3
5
7
9
1
图2 2 1
【解析】　由茎叶图知，样本容量为25,90分以上的有1人，故优秀率为＝4%，最低分为51分．
【答案】　4%　51
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[小组合作型]
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频率分布直方图的绘制
( http: / / www.21cnjy.com )　某省为了了解和掌握2016年高考考生的实际答卷情况，随机地取出了100名考生的数学成绩，数据如下：(单位：分)
135
98
102
110
99
121
110
96
100
103
125
97
117
113
110
92
102
109
104
112
105
124
87
131
97
102
123
104
104
128
109
123
111
103
105
92
114
108
104
102
129
126
97
100
115
111
106
117
104
109
111
89
110
121
80
120
121
104
108
118
129
99
90
99
121
123
107
111
91
100
99
101
116
97
102
108
101
95
107
101
102
108
117
99
118
106
119
97
126
108
123
119
98
121
101
113
102
103
104
108
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)列出频率分布表；
(2)画出频率分布直方图和折线图；
(3)估计该省考生数学成绩在[100,120)分之间的比例．
【精彩点拨】　先求极差．根据极差与数据个数确定组距、组数，然后按频率分布直方图的画法绘制分析．
【尝试解答】　100个数据中，最大值为135，最小值为80，极差为135－80＝55.取组距为5，则组数为＝11.
(1)频率分布表如下：
分组
频数
频率
频率/组距
[80,85)
1
0.01
0.002
[85,90)
2
0.02
0.004
[90,95)
4
0.04
0.008
[95,100)
14
0.14
0.028
[100,105)
24
0.24
0.048
[105,110)
15
0.15
0.030
[110,115)
12
0.12
0.024
[115,120)
9
0.09
0.018
[120,125)
11
0.11
0.022
[125,130)
6
0.06
0.012
[130,135]
2
0.02
0.004
合计
100
1
0.2
注：表中加上“频率/组距”一列，这是为画频率分布直方图准备的，因为它是频率分布直方图的纵坐标．
(2)根据频率分布表中的有关信息画出频率分布直方图及折线图，如图所示：
(3)从频率分布表中可知，这100名考生的
( http: / / www.21cnjy.com )数学成绩在[100,120)分之间的频率为0.24＋0.15＋0.12＋0.09＝0.60，据此估计该省考生数学成绩在[100,120)分之间的比例为60%.
( http: / / www.21cnjy.com )
1．在列频率分布表时，极差、组距、组数有如下关系：
(1)若为整数，则＝组数；
(2)若不为整数，则的整数部分＋1＝组数．
2．组距和组数的确定没有固
( http: / / www.21cnjy.com )定的标准，将数据分组时，组数力求合适，使数据的分布规律能较清楚地呈现出来，组数太多或太少都会影响了解数据的分布情况，若样本容量不超过100，按照数据的多少常分为5～12组，一般样本容量越大，所分组数越多．
( http: / / www.21cnjy.com )
[再练一题]
1．有一容量为200的样本，数据的分组以及各组的频数如下：
[－20，－15)，7；[－1
( http: / / www.21cnjy.com )5，－10)，11；[－10，－5)，15；[－5,0)，40；[0,5)，49；[5,10)，41；[10,15)，20；[15,20]，17.
(1)列出样本的频率分布表；
(2)画出频率分布直方图和频率分布折线图；
(3)求样本数据不足0的频率．
【解】　(1)频率分布表如下：
分组
频数
频率
[－20，－15)
7
0.035
[－15，－10)
11
0.055
[－10，－5)
15
0.075
[－5,0)
40
0.2
[0,5)
49
0.245
[5,10)
41
0.205
[10,15)
20
0.1
[15,20]
17
0.085
合计
200
1.00
(2)频率分布直方图和频率分布折线图如图所示：
(3)样本数据不足0的频率为：
0．035＋0.055＋0.075＋0.2＝0.365.
频率分布直方图的应用
( http: / / www.21cnjy.com )　某校在5月份开展了科技月活动．在活动中某班举行了小制作评比，规定作品上交的时间为5月1日到31日，逾期不得参加评比．评委会把同学们上交作品的件数按5天一组分组统计，绘制了频率分布直方图(如图2 2 2)．已知从左到右各长方形的高的比为2∶3∶4∶6∶4∶1，第三组的频数为12，请解答下列问题：
图2 2 2
(1)本次活动共有多少件作品参加评比？
(2)哪组上交的作品数最多，有多少件？
(3)经过评比，第四组和第六组分别有10件、2件作品获奖，问这两组哪组获奖率较高？
【精彩点拨】　(1)根据条件：从
( http: / / www.21cnjy.com )左到右各长方形的高的比为2∶3∶4∶6∶4∶1，第三组的频数为12，计算参加评比的作品总数；(2)根据频率分布直方图判断哪组上交的作品最多，再由本组的频率计算频数；(3)先分别由第四组和第六组的频率计算该组的频数，再计算获奖率．
【尝试解答】　(1)设从左到右各长方形的高分别为2x,3x,4x,6x,4x，x.设参加评比的作品总数为a件，
依题意得：4x×5＝，x＝，
满足(2x＋3x＋4x＋6x＋4x＋x)×5＝1，
解得a＝60(件)．
(2)由频率分布直方图可以看出第四组上交的作品数量最多，共有6×x×5×a＝18(件)．
(3)第四组和第六组上交的作品数分别为：18件，x×5×a＝3(件)，则它们的获奖率分别为：＝；，又<，所以第六组的获奖率较高．
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1．频率分布直方图的性质
(1)因为小矩形的面积＝组距
( http: / / www.21cnjy.com )×频率/组距＝频率，所以各小矩形的面积表示相应各组的频率．这样，频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小；
(2)在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于1；
(3)频数/相应的频率＝样本容量．
2．频率分布直方图反映了样本在各个范围内取值的可能性，由抽样的代表性利用样本在某一范围内的频率，可近似地估计总体在这一范围内的可能性．
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[再练一题]
2．某工厂对一批产品进行了抽样检测．如
( http: / / www.21cnjy.com )图2 2 3是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]．已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是(　　)
图2 2 3
A．90　　　B．75　　　C．60　　　D．45
【解析】　产品净重小于100克的
( http: / / www.21cnjy.com )频率为(0.050＋0.100)×2＝0.300，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，设样本容量为n，则＝0.300，所以n＝120，净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是120×(0.1＋0.15＋0.125)×2＝90.
【答案】　A
茎叶图及其应用
( http: / / www.21cnjy.com )　某中学高二(2)班甲、乙两名学生自进入高中以来，每次数学考试成绩情况如下：
甲：95,81,75,91,86,89,71,65,76,88,94,110,107.
乙：83,86,93,99,88,103,98,114,98,79,78,106,101.
画出两人数学成绩的茎叶图，并根据茎叶图对两人的成绩进行比较.：
【精彩点拨】　题中可用十位数字为茎，个位数字为叶作茎叶图，然后根据茎叶图分析两人成绩．
【尝试解答】　甲、乙两人数学成绩的茎叶图如图所示：
从这个茎叶图上可以看出，乙同学的得分情况
( http: / / www.21cnjy.com )是大致对称的，中位数是98；甲同学的得分情况，也大致对称，中位数是88.乙同学的成绩比较稳定，总体情况比甲同学好．
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1．绘制茎叶图的关键是分清茎和叶，
( http: / / www.21cnjy.com )如本题中数据是两位数，十位数字为“茎”，个位数字为“叶”；如果是小数时，通常把整数部分作为“茎”，小数部分作为“叶”，解题时要根据数据的特点合理选择茎和叶．
2．利用茎叶图进行数据分析时，一般从数据分布的对称性、中位数、稳定性等几个方面来考虑．
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[再练一题]
3.如图2 2 4是2017年青年歌手
( http: / / www.21cnjy.com )大奖赛中七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(图中m为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为a1，a2，则一定有(　　)
图2 2 4
A．a1＞a2
B．a2＞a1
C．a1＝a2
D．a1，a2的大小与m的值有关
【解析】　根据茎叶图可知，去掉一个最高分和一个最低分后，甲的平均分为a1＝80＋＝84，乙的平均分为a2＝80＋＝85，故a2＞a1.
【答案】　B
[探究共研型]
频率分布直方图的特征
探究1　频率分布表和频率分布直方图有哪些特征？
【提示】　频率分布表和频率分布直方图有以下特征：
(1)频率分布表中的数字和频率分布直方图的形状都与分组数有关．
分组数的变化引起频率分布表和频率分布直方图的结构变化．
(2)随机性．频率分布表和频率分布直方图由样本决定，因此它们会随着样本的改变而改变．
(3)规律性．若固定分组数，随着样本容量的
( http: / / www.21cnjy.com )增加，频率分布表中各个频率会稳定在某个值的附近，从而频率分布直方图中的各个矩形的高度也会稳定在特定的值上．
探究2　画频率分布直方图时，如何确定组距？
【提示】　组距的选择应力求“
( http: / / www.21cnjy.com )取整”，如果极差不利于分组(如不能被组数整除)，可适当增大极差，如在左、右两端各增加适当范围(尽量使两端增加的量相同)．
探究3　影响频率分布直方图的因素有哪些？
【提示】　同样一组数据，如
( http: / / www.21cnjy.com )果组距不同，横轴、纵轴的单位不同，得到的图的形状也会不同，不同的形状给我们的印象也不同，这种印象有时会影响我们对总体的判断；同一个总体，由于抽样的随机性，如果随机抽取另外一个容量相同的样本，所形成的样本频率分布一般会与前一个的样本频率分布有所不同，但是，它们都可以近似地看作总体的分布．
探究4　频率分布表和频率分布直方图有什么优缺点？
【提示】　(1)频率分布表反映具体数据在各个不同区间的取值频率，但不够直观、形象，对分析数据分布的总体态势不太方便．
(2)频率分布直方图能够直观
( http: / / www.21cnjy.com )地表明数据分布的形状，一般呈中间高、两端低、左右对称的“峰”状结构．但是从直方图本身得不到具体的数据内容，也就是说，把数据表示成直方图后，原始数据不能在图中表示出来．
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茎叶图的特征
探究5　画茎叶图时，重复出现的数据只记录一次吗？
【提示】　不是．绘制茎叶图时，重复出现的数据要重复记录，不能遗漏，特别是“叶”位置的数据．同一数据出现几次，就要在图中体现几次．
探究6　什么情况下适合用茎叶图？
【提示】　(1)对于样本数
( http: / / www.21cnjy.com )据较少，但较为集中的一组数据：若数据是两位整数，则将十位数字作茎，个位数字作叶；若数据是三位整数，则将百位、十位数字作茎，个位数字作叶．样本数据为小数时作类似处理．
(2)对于样本数据较少，但较为集中的两组数据，关键是找到两组数据共有的茎．
( http: / / www.21cnjy.com )　中小学生的视力状况受到社会的广泛关注，某市有关部门从全市6万名高一学生中随机抽取了400名，对他们的视力状况进行一次调查统计，将所得到的有关数据绘制成频率分布直方图，如图2 2 5所示．从左至右五个小组的频率之比依次是5∶7∶12∶10∶6，则全市高一学生视力在[3.95,4.25)范围内的学生人数约有________．
图2 2 5
【精彩点拨】
1．注重对图形的观察
图表试题解题三个步骤：一观、二识、三解，做到观图要细、识图要全、解图要准．如本例中，要从频率分布直方图中看出组距，求出第五组的频率．
2．重视对性质的理解和应用
在频率分布直方图中，小长方形的高＝，小长方形的面积＝×组距＝频率．如本例中，0.5×0.3＝0.15才是第五个小组的频率．
【尝试解答】　由图知，第五小组的频率为0.
( http: / / www.21cnjy.com )5×0.3＝0.15，所以第一小组的频率为0.15×＝0.125，所以全市6万名高一学生中视力在[3.95,4.25)范围内的学生约有60
000×0.125＝7
500(人)．
【答案】　7
500人
[再练一题]
4．某公司为了改善职工的出行条件，随机抽取1
( http: / / www.21cnjy.com )00名职工，调查了他们的居住地与公司间的距离d(单位：km)．由其数据绘制的频率分布直方图如图2 2 6所示，则样本中职工居住地与公司间的距离不超过4
km的人数为________人．
图2 2 6
【解析】　不超过4
km的频率为(0.1＋0
( http: / / www.21cnjy.com ).14)×2＝0.48，故样本中职工居住地与公司间的距离不超过4
km的人数有0.48×100＝48(人)．
【答案】　48
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1．一个容量为20的样本数据，分组及各组的频数如下：
[10,20)，2；[20,30)，3；
( http: / / www.21cnjy.com )[30,40)，4；[40,50)，5；[50,60)，4；[60,70]，2.则样本在区间[20,60)上的频率是(　　)
A．0.5　　　　　　　　　
B．0.6
C．0.7
D．0.8
【解析】　频率＝＝＝＝0.8.
【答案】　D
2．一个容量为32的样本，已知某组样本的频率为0.125，则该组样本的频数为(　　)
A．2
B．4
C．6
D．8
【解析】　频率＝，则频数＝频率×样本容量＝0.125×32＝4.
【答案】　B
3．如图2 2 7是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22,30)内的频率为(　　)
图2 2 7
A．0.2　　　　
B．0.4
C．0.5　　　　
D．0.6
【解析】　∵数据总个数n＝10，
又落在区间[22,30)内的数据个数为4，
∴所求的频率为＝0.4，故选B.
【答案】　B
4．将容量为n的样本中的数据分
( http: / / www.21cnjy.com )成6组，绘制频率分布直方图．若第一组至第六组数据的频率之比为2∶3∶4∶6∶4∶1，且前三组数据的频数之和等于27，则n等于________.
【解析】　设第一组至第六组的样本数据的频数为2x,3x,4x,6x,4x，x，则2x＋3x＋4x＝27，得x＝3.故n＝20x＝60.
【答案】　60
5．某班50名同学参加数学测验，成绩的分组及各组的频数如下：
[40,50)，2；[50,60)，3；[60,70)，10；[70,80)，15；[80,90)，12；[90,100]，8.
(1)列出样本的频率分布表；
(2)画出频率分布直方图．
【解】　(1)频率分布表如下：
分组
频数
频率
[40,50)
2
0.04
[50,60)
3
0.06
[60,70)
10
0.2
[70,80)
15
0.3
[80,90)
12
0.24
[90,100]
8
0.16
(2)频率分布直方图如下：1.1.1　算法的概念
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1．通过回顾解二元一次方程组的方法，了解算法的思想．(重点)
2．了解算法的含义和特征．(难点)
3．会用自然语言表述简单的算法．(易错易混点)
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[基础·初探]
教材整理1　算法的概念
阅读教材P2～P3“例1”以上部分，完成下列问题．
　12世纪的算法
指的是用阿拉伯数字进行算术运算的过程
数学中的算法
通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤
现代算法
通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题
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判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)一个算法可解决某一类问题．(　　)
(2)算法的步骤是有限的，有些步骤可有可无．(　　)
(3)同一个问题可以有不同的算法．(　　)
【解析】　(1)√.　根据算法的概念可知．
(2)×.　算法的步骤是有限的，也是明确的，不能可有可无．
(3)√.　例如二元一次方程组的算法，可用“加减消元法”，也可用“代入消元法”．
【答案】　(1)√　(2)×　(3)√
教材整理2　算法的特征
阅读教材P3～P4“例1”至“例2”的内容，完成下列问题．
1．有限性：一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限步操作之后停止，不能是无限的．
2．确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当模棱两可．
3．顺序性与正确性：算法从初始步骤开始，
( http: / / www.21cnjy.com )分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后续步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成问题．
4．不唯一性：求解某一问题的解法不一定是唯一的，对于同一个问题可以有不同的算法．
5．普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决．
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下列可以看成算法的是(　　)
A．学习数学时，课前预习，课上认真听讲并记好笔记，课下先复习再做作业，之后做适当的练习题
B．今天餐厅的饭真好吃
C．这道数学题难做
D．方程2x2－x＋1＝0无实数根
【解析】　A是学习数学的一个步骤，所以是算法．
【答案】　A
教材整理3　算法与计算机
阅读教材P5结尾部分，结合本节内容完成下列问题．
1．算法设计的目的
计算机解决任何问题都要依赖于算法，只有将解
( http: / / www.21cnjy.com )决问题的过程分解为若干个明确的步骤，即算法，并用计算机能够接受的“语言”准确地描述出来，计算机才能够解决问题．
2．算法设计的要求
(1)设计的算法要适用于一类问题，并且遇到类似问题能够重复使用；
(2)算法过程要做到能一步一步地执行，每一步执行的操作，必须是明确有效的，不能含糊不清；
(3)所设计的算法必须在有限步后得到问题的结果，不能无限进行下去；
(4)设计的算法的步骤应当是最简练的，即最优算法．
3．算法与数学中的解法的联系和区别
(1)联系：算法与解法是一般与特殊的关系，也是抽象
与具体的关系，算法的获取要借助一般意义上具体问题的求解方法，而任何一个具体问题都可利用这类问题的一般方法解决．
算法是“傻瓜化”的，相对于某一类问题的算法
( http: / / www.21cnjy.com )，不能省略任何一个小步骤，不能忽略任何一种可能的情况，否则计算机都不能完成执行过程，而只要按照算法一步一步进行，这类问题都会得到解决．
加减乘除运算法则、多项式的运算法则以及我们学过的许多数学公式等都是算法．
(2)区别：算法是解决某些
( http: / / www.21cnjy.com )问题所需要的程序和步骤的统称，也可以理解为数学中的“通法通解”；而解法是解决某一个具体问题的过程和步骤，是具体的解题过程．
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已知一个学生的语文成绩为89，数学成绩为96，外语成绩为99.求他的总分和平均分的一个算法为：
第一步，令A＝89，B＝96，C＝99.
第二步，计算总分S＝____①____.
第三步，计算平均分M＝____②____.
第四步，输出S和M.
【答案】　①A＋B＋C　②
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[小组合作型]
( http: / / www.21cnjy.com )
算法的概念
( http: / / www.21cnjy.com )　(1)下列描述不能看作算法的是(　　)
A．做米饭需要刷锅，淘米，添水，加热这些步骤
B．洗衣机的使用说明书
C．解方程2x2＋x－1＝0
D．利用公式S＝πr2计算半径为4的圆的面积，就是计算π×42
( http: / / www.21cnjy.com )
(2)下列关于算法的说法：
①求解某一类问题的算法是唯一的；
②算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义或模糊；
③算法执行后一定产生明确的结果．
其中正确的是(　　)
A．1个　　　
B．2个　　　
C．3个　　　
D．0个
【精彩点拨】　判断对算法的阐述是否正确，应当以算法的概念为标准，衡量各种阐述是否符合算法特点．
【尝试解答】　(1)A，B，D都描述了解决问题的过程，可以看作算法，
而C只描述了一个事实，没说明怎么解决问题，不是算法．
(2)根据算法的特征可以知道，算法要有
( http: / / www.21cnjy.com )明确的开始与结束，每一步操作都必须是明确而有效的，必须在有限步内得到明确的结果，所以②③正确．而解决某一类问题的算法不一定是唯一的，故①错误．
【答案】　(1)C　(2)B
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
1．算法实际上是解决问题的一种程序性方法，它通常解决某一个或一类问题，在用算法解决问题时，显然体现了特殊与一般的数学思想．
2．算法的特点有：①有限性，②确定性，③顺序性和正确性，④不唯一性，⑤普遍性．解答有关算法的概念判断题应根据算法的这五大特点．
( http: / / www.21cnjy.com )
[再练一题]
1．下列叙述中，
①植树需要运苗、挖坑、栽苗、浇水这些步骤；
②按顺序进行下列运算：1＋1＝2,2＋1＝3,3＋1＝4，…，99＋1＝100；
③从青岛乘动车到济南，再从济南乘飞机到南京；
④3x>x＋1；
⑤求所有能被3整除的正数，即3,6,9,12，….
能称为算法的有________．
【解析】　根据算法的含义和特征：①
( http: / / www.21cnjy.com )②③都是算法；④⑤不是算法．其中④，3x>x＋1不是一个明确的步骤，不符合确定性；⑤的步骤是无穷的，与算法的有限性矛盾．
【答案】　①②③
( http: / / www.21cnjy.com )
算法的设计
( http: / / www.21cnjy.com )　设计一个算法，判断7是否为质数．
【精彩点拨】　依次用2～6除7，如果它们中有一个能整除7，则7不是质数，否则7是质数．
【尝试解答】　第一步，用2除7，得到余数1，所以2不能整除7.
第二步，用3除7，得到余数1，所以3不能整除7.
第三步，用4除7，得到余数3，所以4不能整除7.
第四步，用5除7，得到余数2，所以5不能整除7.
第五步，用6除7，得到余数1，所以6不能整除7.
因此，7是质数．
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
设计一个具体问题的算法，通常按以下
( http: / / www.21cnjy.com )步骤：? 1 认真分析问题，找出解决此题的一般数学方法；? 2 借助有关变量或参数对算法加以表述；? 3 将解决问题的过程划分为若干步骤；? 4 用简练的语言将这个步骤表示出来.
( http: / / www.21cnjy.com )
[再练一题]
2．设计一个算法，判断35是否为质数．
【解】　第一步，用2除35，得到余数1，所以2不能整除35.
第二步，用3除35，得到余数2，所以3不能整除35.
第三步，用4除35，得到余数3，所以4不能整除35.
第四步，用5除35，得到余数0，所以5能整除35.
因此，35不是质数．
( http: / / www.21cnjy.com )
算法的应用
( http: / / www.21cnjy.com )　设计算法，给定任一x的值，求y的值，其中y＝
【精彩点拨】　题目中的函数为分段函数，求函数值时，应对x进行分类讨论．判断给定的x的值与0的大小关系，再代入相应关系式求函数值．
【尝试解答】　第一步，输入x的值．
第二步，判断x是否大于零，若x>0，执行第三步；否则，执行第四步．
第三步，计算y＝x2＋1的值，转去执行第五步．
第四步，计算y＝2x－1的值．
第五步，输出y的值．
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
分段函数求函数值的算法要运用分类讨论思想进行设计，一定要对算法中可能遇到的情况考虑周全，满足与不满足都要有相应的步骤.
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[再练一题]
3．已知y＝写出给定变量x的值，求函数值y的算法.
【解】　算法如下：
第一步，输入x的值．
第二步，若x＞0，则y＝－x＋1，然后执行第四步；否则执行第三步．
第三步，若x＝0，则y＝0；然后执行第四步，否则y＝x＋1.
第四步，输出y的值．
[探究共研型]
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算法的概念与特征
探究1　是不是任何一个算法都有明确的结果？
【提示】　是．因为算法的步骤是明确的，有时可能需要大量重复的计算，但只要按部就班地去做，总能得到确定的结果．
探究2　书写算法时，能使用“……”、“同理”、“类似地”等词语吗？
【提示】　不能．书写算法时，要注意算法的确定性，步骤要清晰、明确，“……”、“同理”、“类似地”等所代表的部分是无法执行的．
探究3　一个具体问题的算法唯一吗？
【提示】　一个具体问题的算法不唯一．如解二元
( http: / / www.21cnjy.com )一次方程组的算法就有消元法、代入法两种．由于传统数学问题的解法不唯一，使得求解某一个问题的算法也不唯一．
探究4　写算法应该注意什么？
【提示】　算法就是解决问题的步骤，平时无论我们做什么事都离不开算法，算法的描述可以用自然语言，也可以用数学语言．
写算法应注意以下几点：
1．写出的算法，必须能解决一类问题(如：判断一个整数n(n＞1)是否为质数；求任意一个方程的近似解；…)，并且能够重复使用．
2．要使算法尽量简单、步骤尽量少．
3．要保证算法正确，且计算机能够执行，如：让计算机计算1×2×3×4×5是可以做到的．
再如：用自然语言描述求y＝－x2－2x＋3的最大值的算法．
一般同学会这样写：第一步，配方得y＝－(x＋1)2＋4.
第二步，函数的最大值为4.
实际上，作为一个具体问题来
( http: / / www.21cnjy.com )说，上述解法没有什么错误，但是我们要描述的是求这一类问题的算法，它可以用来解决这个问题，也可以用来求这一类问题，则上述解法就欠妥了．应就y＝ax2＋bx＋c作一般讨论．
本题算法应该这样写：
第一步，给a，b，c赋值．
第二步，判断a≥0是否成立，若成立，则输出“函数无最大值”，结束算法；否则执行第三步．
第三步，计算，并将结果赋给max.
第四步，输出max，结束算法．(算法执行过程中，依次给a，b，c取值－1，－2,3)
( http: / / www.21cnjy.com )
1．下列关于算法的说法中正确的个数有(　　)
①求解某一类问题的算法是
( http: / / www.21cnjy.com )唯一的；②算法必须在有限步骤操作之后停止；③x2－x＞2是一个算法；④算法执行后一定产生确定的结果；⑤对于像“喝一碗水”这类含有动作的语言能出现在算法的一个步骤中．
A．1个　　
B．2个　　
C．3个　　
D．4个
【解析】　因为x2－x＞2仅仅是一个数
( http: / / www.21cnjy.com )学问题，不能表达一个算法，所以③是错误的．依据算法的多样性(不唯一性)知①错误，由算法的有限性知②正确，由于算法具有可执行性，算法的每一步必须是计算机能执行的，所以⑤是错误的，正确的有②④.
【答案】　B
2．结合下面的算法：
第一步，输入x.
第二步，判断x是否小于0.若是，则输出x＋2，否则执行第三步．
第三步，输出x－1.
当输入的x的值为－1,0,1时，输出的结果分别为(　　)
A．－1,0,1
B．－1,1,0
C．1，－1,0
D．0，－1,1
【解析】　根据x值与0的关系，选择执行
( http: / / www.21cnjy.com )不同的步骤．当x＝－1时，输出x＋2，即输出1；当x＝0时，输出x－1，即输出－1；当x＝1时，输出x－1，即输出0.
【答案】　C
3．输入一个x值，利用y＝|x＋1|求函数值的算法如下，请将所缺部分补充完整：
第一步，输入x；
第二步，________；
第三步，计算y＝－x－1；
第四步，输出y.
【解析】　含绝对值的函数的函数值的算法要注意分类讨论思想的应用，本题中当x≥－1时y＝x＋1；当x＜－1时y＝－x－1，由此可完善算法．
【答案】　当x≥－1时，计算y＝x＋1，否则执行第三步
4．已知长方体的长、宽、高分别为a，b，c.写出求对角线长l的算法如下：
第一步，输入长、宽、高a，b，c的值．
第二步，计算l＝的值．
第三步，________.
将算法补充完整，横线处应填________．
【解析】　算法要有输出，故第三步应为输出结果l的值．
【答案】　输出对角线长l的值
5．设计一个算法，求表面积为16π的球的体积．
【解】　算法一：
第一步，取S＝16π.
第二步，计算R＝(由于S＝4πR2)．
第三步，计算V＝πR3.
第四步，输出运算结果．
算法二：
第一步，取S＝16π.
第二步，计算V＝π3.
第三步，输出运算结果．2.1.3　分层抽样
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1．记住分层抽样的特点和步骤．(重点)
2．会用分层抽样从总体中抽取样本．(重点、难点)
3．给定实际抽样问题会选择合适的抽样方法进行抽样．(易错易混点)
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[基础·初探]
教材整理1　分层抽样的概念
阅读教材P60～P61上半部分内容，完成下列问题．
一般地，在抽样时，将总体分
( http: / / www.21cnjy.com )成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样．
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某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表：(每名同学只参加一个小组)
(单位：人)
篮球组
书画组
乐器组
高一
45
30
a
高二
15
10
20
学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调
( http: / / www.21cnjy.com )查，按小组分层抽样的方法，从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人，结果篮球组被抽出12人，则a的值为________．
【解析】　因为＝，所以解得a＝30.
【答案】　30
教材整理2　分层抽样的适用条件
阅读教材P61“探究”上面的内容，完成下列问题．
分层抽样尽量利用事先所掌握的
( http: / / www.21cnjy.com )各种信息，并充分考虑保持样本结构与总体结构的一致性，这对提高样本的代表性非常重要．当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样的方法．
分层抽样的步骤
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)分层抽样实际上是按比例抽样．(　　)
(2)分层抽样中每个个体被抽到的可能性不一样．(　　)
(3)分层抽样中不能用简单随机抽样和系统抽样．(　　)
【答案】　(1)√　(2)×　(3)×
2．为了解某地区的中小学生的视力情况
( http: / / www.21cnjy.com )，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是(　　)
A．简单随机抽样　　　　
B．按性别分层抽样
C．按学段分层抽样
D．系统抽样
【解析】　因为男女生视力情况差异不大，而学段的视力情况有较大差异，所以应按学段分层抽样，故选C.
【答案】　C
3．有一批产品，其中一等品10
( http: / / www.21cnjy.com )件，二等品25件，次品5件．用分层抽样从这批产品中抽出8件进行质量分析，则抽取的一等品有____________件．
【解析】　抽样为×10＝2.
【答案】　2
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[小组合作型]
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分层抽样的概念
( http: / / www.21cnjy.com )　(1)
下列问题中，最适合用分层抽样抽取样本的是(　　)
A．从10名同学中抽取3人参加座谈会
B．某社区有500个家庭，其中高收入
( http: / / www.21cnjy.com )的家庭125个，中等收入的家庭280个，低收入的家庭95个，为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本
C．从1
000名工人中，抽取100名调查上班途中所用时间
D．从生产流水线上，抽取样本检查产品质量
(2)分层抽样又称类型抽样，即将相似的
( http: / / www.21cnjy.com )个体归入一类(层)，然后每类抽取若干个个体构成样本，所以分层抽样为保证每个个体等可能抽样，必须进行(　　)
A．每层等可能抽样
B．每层可以不等可能抽样
C．所有层按同一抽样比等可能抽样
D．所有层抽个体数量相同
【精彩点拨】　当总体由差
( http: / / www.21cnjy.com )异明显的几部分组成时，该样本的抽取适合用分层抽样，结合(1)(2)中的四个选项及分层抽样的特点可对(1)(2)作出判断．
【尝试解答】　(1)
A中总体
( http: / / www.21cnjy.com )个体无明显差异且个数较少，适合用简单随机抽样；C和D中总体个体无明显差异且个数较多，适合用系统抽样；B中总体个体差异明显，适合用分层抽样．
(2)保证每个个体等可能的被抽取是三种基本抽样方式的共同特征，为了保证这一点，分层抽样时必须在所有层都按同一抽样比等可能抽取．
【答案】　(1)B　(2)C
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1．使用分层抽样的前提
分层抽样的适用前提条件是总体可以分层、层与层之间有明显区别，而层内个体间差异较小．
2．使用分层抽样应遵循的原则
(1)将相似的个体归入一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则；
(2)分层抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比等于抽样比．
( http: / / www.21cnjy.com )
[再练一题]
1．某学校有男、女学生各
( http: / / www.21cnjy.com )500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是(　　)
A．抽签法　　　　
B．随机数法
C．系统抽样法
D．分层抽样法
【解析】　由于被抽取的个体属性有明显的差异，因此宜采用分层抽样法．
【答案】　D
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分层抽样的方案设计
( http: / / www.21cnjy.com )　某政府机关有在编人员100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人．上级机关为了了解政府机构改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定用何种方法抽取，请具体实施操作．
【精彩点拨】　→→→→→
【尝试解答】　∵机构改革关系到每个人的不同利益，故采用分层抽样方法较妥．
∵＝5，
∴＝2，＝14，＝4.
∴从副处级以上干部中抽取2人，从一般干部中抽取14人，从工人中抽取4人．
因副处级以上干部与工人数都较少，他们分别按1
( http: / / www.21cnjy.com )～10编号和1～20编号，然后采用抽签法分别抽取2人和4人；对一般干部70人进行00,01，…，69编号，然后用随机数表法抽取14人．这样便得到了一个容量为20的样本．
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
1．在分层抽样的过程中，为
( http: / / www.21cnjy.com )了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即ni∶Ni＝n∶N.
2．分层后，各层的个体较多时，可采用系统抽样或简单随机抽样取出各层中的个体，一定要注意按比例抽取．
( http: / / www.21cnjy.com )
[再练一题]
2．某公司生产三种型号的轿车，产量分别是
( http: / / www.21cnjy.com )1
200辆，6
000辆和2
000辆，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取________辆、________辆、________辆.
【解析】　三种型号的轿车
( http: / / www.21cnjy.com )共9
200辆，抽取样本为46辆，则按＝的比例抽样，所以依次应抽取1
200×＝6(辆)，6
000×＝30(辆)，2
000×＝10(辆)．
【答案】　6　30　10
[探究共研型]
( http: / / www.21cnjy.com )
分层抽样的特点
探究1　分层抽样的特点有哪些？
【提示】　(1)分层抽样适用于已知总体是由差异明显的几部分组成的；
(2)分成的各层互不交叉；
(3)各层抽取的比例都等于样本容量在总体中的比例，即，其中n为样本容量，N为总体容量．
探究2　计算各层所抽取个体的个数时，若Ni·的值不是整数怎么办？
【提示】　为获取各层的入样数目，需先正确计算出抽样比，若Ni·的值不是整数，可四舍五入取整，也可先将该层等可能地剔除多余的个体．
探究3　分层抽样公平吗？
【提示】　分层抽样中，每个个体被抽到的可能性是相同的，与层数、分层无关．
如果总体的个数为N，样本容量为n，Ni为第i层的个体数，则第i层抽取的个体数ni＝n·，每个个体被抽到的可能性是＝·n·＝.
( http: / / www.21cnjy.com )
三种抽样方法的特点和适用范围
探究4　简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的各自特点及适用范围有什么异同？
【提示】　简单随机抽样是最基本的抽样方法，应用于系统抽样和分层抽样中．简单随机抽样所得样本的代表性与个体编号无关．
系统抽样容易实施，可节约抽样成本．系统抽样所得样本的代表性与个体编号有关，如果个体随编号呈现某种特征，所得样本代表性很差．
分层抽样应用最广泛，它充分利用总体信息，得到的样本比前两种抽样方法都具有代表性．
三种抽样方法的特点及其适用范围如下表：
类别
简单随机抽样
系统抽样
分层抽样
各自特点
从总体中逐个抽取
将总体均分成几个部分，按事先确定的规则在各部分抽取
将总体分成几层，分层进行抽取
相互联系
在起始部分采用简单随机抽样
在各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样
适用范围
总体中的个体数较少
总体中的个体数较多
总体由存在明显差异的几部分组成
共同点
①抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等；②每次抽出个体后不再放回，即不放回抽样
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )　选择合适的抽样方法抽样，写出抽样过程．
(1)有甲厂生产的30个篮球，其中一箱21个，另一箱9个，抽取3个；
(2)有30个篮球，其中甲厂生产的有21个，乙厂生产的有9个，抽取10个；
(3)有甲厂生产的300个篮球，抽取10个；
(4)有甲厂生产的300个篮球，抽取30个．
【精彩点拨】　应结合三种抽样方法的使用范围和实际情况灵活使用各种抽样方法解决问题．
【尝试解答】　(1)总体容量较小，用抽签法．
①将30个篮球编号，编号为00,01，…，29；
②将以上30个编号分别写在完全一样的小纸条上，揉成小球，制成号签；
③把号签放入一个不透明的袋子中，充分搅拌；
④从袋子中逐个抽取3个号签，并记录上面的号码；
⑤找出和所得号码对应的篮球即可得到样本．
(2)总体由差异明显的两个层次组成，需选用分层抽样．
①确定抽取个数．因为＝3，所以甲厂生产的应抽取＝7(个)，乙厂生产的应抽取＝3(个)；
②用抽签法分别抽取甲厂生产的篮球7个，乙厂生产的篮球3个，这些篮球便组成了我们要抽取的样本．
(3)总体容量较大，样本容量较小，宜用随机数表法．
①将300个篮球用随机方式编号，编号为001,002，…，300；
②在随机数表中随机地确定一个数作为开始，如第8行第29列的数“7”开始．任选一个方向作为读数方向，比如向右读；
③从数“7”开始向右读，每次读三位，凡不在
( http: / / www.21cnjy.com )001～300中的数跳过去不读，遇到已经读过的数也跳过去不读，依次得到10个号码，这就是所要抽取的10个样本个体的号码．
(4)总体容量较大，样本容量也较大，宜用系统抽样．
①将300个篮球用随机方式编号，编号为000,001,002，…，299，并分成30段，其中每一段包含＝10(个)个体；
②在第一段000,001,002，…，009这十个编号中用简单随机抽样抽出一个(如002)作为起始号码；
③将编号为002,012,022，…，292的个体抽出，即可组成所要求的样本．
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
抽样方法的选取：
1 若总体由差异明显的几个层次组成，则选用分层抽样；?
2 若总体没有差异明显的
( http: / / www.21cnjy.com )层次，则考虑采用简单随机抽样或系统抽样.?当总体容量较小时宜用抽签法；当总体容量较大，样本容量较小时宜用随机数表法；当总体容量较大，样本容量也较大时宜用系统抽样；?
3 采用系统抽样时，当总体容量N能被样本容
( http: / / www.21cnjy.com )量n整除时，抽样间隔为k＝；当总体容量不能被样本容量整除时，先用简单随机抽样剔除多余个体，抽样间隔为k＝[]
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[再练一题]
3．下列问题中，采用怎样的抽样方法较为合理？
(1)从10台电冰箱中抽取3台进行质量检查；
(2)某学校有160名教职工，其中教师120
( http: / / www.21cnjy.com )名，行政人员16名，后勤人员24名，为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本；
(3)体育彩票000
001～100
000编号中，凡彩票号码最后三位数为345的中一等奖．
【解】　
题号
判断
原因分析
(1)
抽签法
总体容量较小，宜用抽签法
(2)
分层抽样
由于学校各类人员对这一问题的看法可能差异较大，用分层抽样
(3)
系统抽样
总体容量大，样本容量较大，等距抽取，用系统抽样
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1．下列实验中最适合用分层抽样法抽样的是(　　)
A．从一箱3
000个零件中抽取5个入样
B．从一箱3
000个零件中抽取600个入样
C．从一箱30个零件中抽取5个入样
D．从甲厂生产的100个零件和乙厂生产的200个零件中抽取6个入样
【解析】　D中总体有明显差异，故用分层抽样．
【答案】　D
2．一批灯泡400只，其中20
W、4
( http: / / www.21cnjy.com )0
W、60
W的数目之比是4∶3∶1，现用分层抽样的方法产生一个容量为40的样本，三种灯泡依次抽取的个数为(　　)
A．20,15,5　　　　　　　　　
B．4,3,1
C．16,12,4
D．8,6,2
【解析】　三种灯泡依次抽取的个数为40×＝20,40×＝15,40×＝5.
【答案】　A
3．某单位有职工100人，不到
( http: / / www.21cnjy.com )35岁的有45人，35岁到49岁的有25人，剩下的为50岁以上(包括50岁)的人，用分层抽样的方法从中抽20人，各年龄段分别抽取的人数为(　　)
A．7,5,8
B．9,5,6
C．7,5,9　
D．8,5,7
【解析】　由于样本容量与总体个体数之比为＝，故各年龄段抽取的人数依次为45×＝9(人)，25×＝5(人)，20－9－5＝6(人)．
【答案】　B
4．某企业三月中旬生产A，B，C三种产品共3
000件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：
产品类型
A
B
C
产品数量(件)
1
300
样本容量
130
由于不小心，表格中A，C两种产品
( http: / / www.21cnjy.com )的有关数据已被污染看不清楚了，统计员只记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C产品的数量是________件．
【解析】　抽样比为130∶1
3
( http: / / www.21cnjy.com )00＝1∶10，即每10个产品中抽取1个个体，又A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，故C产品的数量是[(3
000－1
300)－100]×＝800(件)．
【答案】　800
5．某市化工厂三个车间共有工人1
000名，各车间男、女工人数如下表：
第一车间
第二车间
第三车间
女工
173
100
y
男工
177
x
z
已知在全厂工人中随机抽取1名，抽到第二车间男工的可能性是0.15.
(1)求x的值；
(2)现用分层抽样的方法在全厂抽取50名工人，问应在第三车间抽取多少名？
【解】　(1)由＝0.15，得x＝150.
(2)∵第一车间的工人数是173＋177＝350，第二车间的工人数是100＋150＝250，
∴第三车间的工人数是1
000－350－250＝400.
设应从第三车间抽取m名工人，则由＝，得m＝20.
∴应在第三车间抽取20名工人．1.2.1　输入语句、输出语句和赋值语句
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1．理解输入语句、输出语句、赋值语句的作用．(重点)
2．能够将程序框图转化为“算法”语句．(难点)
3．进一步体会算法的基本思想．
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[基础·初探]
教材整理1　输入语句
阅读教材P22例1下面的内容，完成下列问题．
格式
INPUT
“提示内容”；变量
功能
可以一次为一个或多个变量赋值，实现了算法中的输入功能
说明
“提示内容”一般是提示用户输入什么样的信息，程序框图中的输入框转化为算法语句就是输入语句，输入语句没有计算功能
教材整理2　输出语句
阅读教材P22～P23例2前面的内容，完成下列问题.
格式
PRINT
“提示内容”；表达式
功能
先计算表达式的值，然后输出结果，实现了算法中的输出功能．显然在计算机屏幕上，也就是输出信息可以是常量、变量的值和系统信息
说明
程序框图中的输出框转化为算法语句就是输出语句，输出语句有计算功能，能直接输出计算公式的值.
教材整理3　赋值语句
阅读教材P23～P24例2～例3之间的内容，完成下列问题.
格式
变量＝表达式
功能
先计算“＝”右边表达式的值，然后把结果赋值给“＝”左边的变量，此步完成后，“＝”左边变量的值就改变了
说明
赋值语句中的“＝”叫做赋值号，它和数学中的等号不完全一样，并且两边内容不能随意互换
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1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)语句INPUT只能给一个变量赋值．(　　)
(2)输出语句可以输出数值计算的结果．(　　)
(3)赋值语句中的“＝”和数学中的“＝”作用一样．(　　)
【答案】　(1)×　(2)√　(3)×
2．下列赋值语句错误的是(　　)
A．A＝A＋2
　　　　　
B．m－1＝n
C．m＝3n
D．P＝3＋1
【解析】　赋值语句中，“＝”左边是变量，右边是表达式，故B错误．
【答案】　B
3．下面一段程序执行后的结果是________．
【解析】　先把2赋给A，然后把A
2赋给A.
即A的值为4，再把4＋6＝10赋给A，
所以输出的结果为10.
【答案】　10
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[小组合作型]
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三种语句的格式与功能
( http: / / www.21cnjy.com )　(1)有以下程序：
A＝3?B＝5?A＝B?B＝A?PRINT　“A＝”；A?PRINT　“B＝”；B?END
程序执行后的结果是(　　)
A．5　5　　　　　　　
B．3　3
C．A＝5　B＝5
D．A＝3　B＝3
(2)下列语句中正确的有________．(填序号)
①输入语句INPUT　a，b，c.
②输入语句INPUT　x＝3.
③输出语句PRINT　A＝4.
④输出语句PRINT　20,3
2.
⑤赋值语句
x=x/2.
⑥赋值语句
2=a.
【精彩点拨】　(1)输入语句不能与赋值语句混用，注意区别．
(2)输入、输出语句是任何一个程序必不可少的语句，其功能是实现数据的输入、输出，要严格按固定的格式书写．
【尝试解答】　(1)运行程序：A＝3，B＝5，A＝5，B＝5，故选C.
(2)①正确；②不正确，INP
( http: / / www.21cnjy.com )UT语句中只能是变量；③不正确，PRINT语句中只能输出变量或表达式，不能赋值；④正确；⑤正确；⑥不正确，不能给常量赋值．
【答案】　(1)C　(2)①④⑤
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( http: / / www.21cnjy.com )
1．输入语句要求输入的值只能是具体的常数，不能是变量或表达式(输入语句无计算功能)，若输入多个数，各数之间应用“，”隔开．
2．计算机执行到输入语句时，暂停等候用户输入“提示内容”所提示的数据，输入后回车，则程序继续运行，“提示内容”及其后的“；”可省略．
3．输出语句可以输出常量、变量或表达式的值(输出语句有计算功能)或字符，程序中引号内的部分将原始呈现．
4．赋值语句是一个程序必不可少的重要组成部分，使用赋值语句，一定要注意其格式要求，不能利用赋值语句进行代数式计算等．
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[再练一题]
1．设A＝10，B＝20，则可以实现A，B的值互换的程序是(　　)
【解析】　A中程序执行后A＝B＝10，B中程序执行后A＝B＝10，C中程序执行后A＝20，B＝10，D中程序执行后A＝B＝10.
【答案】　C
利用三种语句编写程序
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( http: / / www.21cnjy.com )　编写程序，计算甲、乙、丙三人的平均年龄．
【精彩点拨】　→→
【尝试解答】　解决本例的算法步骤：
第一步：输入甲、乙、丙三人的年龄a，b，c.
第二步：计算y＝.
第三步：输出y.
程序如下所示：
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
1．编写程序的关键在于弄清问题的算法，特别是算法的结构，然后确定采用哪一种算法语句，分清算法的步骤，写出程序．
2．输入语句、输出语句、赋值语
( http: / / www.21cnjy.com )句基本上对应于算法中的顺序结构，编写程序时“INPUT语句”是输入框中的信息，赋值语句是处理框中的信息，“PRINT语句”是输出框中的信息．
3．编写程序的步骤：①首先根据问题
( http: / / www.21cnjy.com )要求构思算法分析；②然后把算法分析转化为程序框图，即画出程序框图；③再把程序框图转化为程序．要注意转化过程中这三种基本结构与相应语句的对应．熟练后可直接写出程序．
( http: / / www.21cnjy.com )
[再练一题]
2．编写程序，计算一个学生数学、语文、英语三门课的平均成绩.
【解】　法一：程序如下：
法二：程序如下：
( http: / / www.21cnjy.com )
算法语句与程序框图的转化
( http: / / www.21cnjy.com )　以下是一个用基本算法语句编写的程序，根据程序画出其相应的程序框图．
【精彩点拨】　根据程序结构及顺序依次画出．
【尝试解答】　程序框图如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
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由程序画程序框图的关键是分清程序的结构，
( http: / / www.21cnjy.com )使用了哪些基本的算法语句，从而据此判定算法的逻辑结构，然后将语句中的内容填入相应的程序框中即可得到相应的程序框图.同样由程序框图设计程序就要看框图中使用了哪些逻辑结构，这些结构使用哪些算法语句，然后把框图中的内容写入算法语句即可.
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[再练一题]
3．用算法语句写出下面程序框图的程序．
图1 2 1
【解】　程序如下：
[探究共研型]
输入语句与输出语句的比较
探究1　输入语句和输出语句的变量内容有什么区别？
【提示】　输入语句的变量只能是具体的数，不能是函数、变量或表达式，而输出语句的表达式可以是常量、变量的值或运算式．
探究2　任何算法都必须有输出语句吗？
【提示】　任何求解问题的算法，都
( http: / / www.21cnjy.com )要把求解的结果“输出”，由此可知，任何程序语言也必须有“输出语句”来控制输出．不同的程序语言都有自己的输出语句和表现形式，但功能是一样的，就是以某种形式把求解结果“输出”．
探究3　输入语句必须放在程序开头，输出语句必须放在程序结尾吗？
【提示】　不是．输入语句和输出语句可以根据程序的需要放在任何需要输入或输出的地方．
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赋值语句的特征
探究4　赋值符号与等号的区别是什么？
【提示】　赋值语句中的“＝”与代数运算
( http: / / www.21cnjy.com )中的“＝”的意义是不同的．例如赋值语句a＝b表示把b的值赋给a，而不是说a与b相等．又如语句i＝i＋1，在赋值语句中表示i的值自身加1，而在代数式中i＝i＋1是不成立的．
探究5　赋值语句有哪些常用形式？
【提示】　(1)赋予变量常数值．例如：i＝1，这个式子表示的是将1这个数值赋给i.
(2)赋予变量其他变量或表达式的值．例如：a＝b，这个式子表示的是将b的值赋给a.
(3)将含有变量自身的表达式的值赋给变量．例如：i＝i＋1，这个式子表示的是将i＋1的值赋给i，即表示i的值自身加1.
( http: / / www.21cnjy.com )　下列程序语言中表达式的值正确的是(　　)
A．6
SQR（4）+3^2
2=154
B．3
（5+4）+SQR（9）^2=17
C．5+3
（12-7））/4=5
D．（2+3）
5-4+2
3
SQR（4）^2=72
【解析】　A中错误之处是违背运算顺序的规
( http: / / www.21cnjy.com )定，正确含义为：6×＋32×2＝30；B中正确含义为3×(5＋4)＋()2＝36；C的含义是[5＋3×(12－7)]÷4＝5；D中的含义为(2＋3)×5－4＋2×3×()2＝45.
【答案】　C
[再练一题]
4．已知糕点店的月饼价格如下
( http: / / www.21cnjy.com )：豆沙馅的月饼每千克25元，蛋黄馅的月饼每千克35元，莲蓉馅的月饼每千克30元，若顾客依次购买这三种月饼a，b，c千克，应收多少钱？请设计一个程序，帮助售货员算帐．
【解】　程序如下：
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1．关于赋值语句需要注意的事项中不正确的是(　　)
A．赋值号左边只能是变量名字，而不是表达式
B．赋值号左、右不能对换
C．不能利用赋值语句进行代数式的演算
D．赋值号与数学中的符号的意义相同
【解析】　关于赋值语句中一定要注意的事项是把赋值号与数学中的等号区分开，它们的意义不相同．
【答案】　D
2．下列程序的结果是(　　)
A．6
B．7
C．8
D．9
【解析】　运行程序有：M＝3，
N＝3＋1＝4，
M＝3－1＝2，
y＝2＋4＝6，
输出6.故选A.
【答案】　A
3．下列程序执行后结果为3，则输入的x值为(　　)
A．1　　　
B．－3　　　
C．－1　　　
D．1或－3
【解析】　由题意得：x2＋2x＝3，解方程得x＝1或x＝－3.
【答案】　D
4．下面程序输出的结果是________．
【解析】　该程序的运行过程是：
a＝5，
b＝3，
c＝(3＋5)/2＝4，
d＝42＝16，
输出d＝16.
【答案】　d＝16
5．用赋值语句写出下列算法，并写出程序．摄氏温度C为23.5℃，将它转换成华氏温度F，并输出．已知F＝C＋32.
【解】　算法如下：
第一步，C＝23.5.
第二步，F＝C＋32.
第三步，输出F.
程序如下：2.2.2　用样本的数字特征估计总体的数字特征
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1．会求样本的众数、中位数、平均数、标准差、方差．(重点)
2．理解用样本的数字特征来估计总体数字特征的方法．(重点)
3．会应用相关知识解决实际统计问题．(难点)
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[基础·初探]
教材整理1　众数、中位数、平均数
阅读教材P72～P73的内容，完成下列问题．
1．众数：在一组数据中，出现次数最多
( http: / / www.21cnjy.com )的数叫做众数．如果有两个或两个以上数据出现的最多且出现的次数相等，那么这些数据都是这组数据的众数；如果一组数据中，所有数据出现的次数都相等，那么认为这组数据没有众数．
2．中位数：将一组数据按从小到大的顺序依
( http: / / www.21cnjy.com )次排列，当数据有奇数个时，处在最中间的那个数是这组数据的中位数；当数据有偶数个时，处在最中间的两个数的平均数是这组数据的中位数．
3．平均数：一组数据的总和除以这组数据的个数取得的商叫做这组数据的平均数，一般记为＝(x1＋x2＋…＋xn)．
4．三种数字特征的比较
名称
优点
缺点
众数
①体现了样本数据的最大集中点；②容易计算
①它只能表达样本数据中很少的一部分信息；②无法客观地反映总体的特征
中位数
①不受少数几个极端数据(即排序靠前或靠后的数据)的影响；②容易计算，便于利用中间数据的信息
对极端值不敏感
平均数
代表性较好，是反映数据集中趋势的量．一般情况下，可以反映出更多的关于样本数据全体的信息
任何一个数据的改变都会引起平均数的改变．数据越“离群”，对平均数的影响越大
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1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)中位数一定是样本数据中的某个数．(　　)
(2)在一组样本数据中，众数一定是唯一的．(　　)
【答案】　(1)×　(2)×
2．已知一组数据为20,30,40,50,50,60,70,80.其中平均数、中位数和众数的大小关系是(　　)
A．平均数＞中位数＞众数
B．平均数＜中位数＜众数
C．中位数＜众数＜平均数
D．众数＝中位数＝平均数
【解析】　众数为50，平均数＝(20＋30＋40＋50＋50＋60＋70＋80)＝50，中位数为(50＋50)＝50，故选D.
【答案】　D
3．一组观察值4,3,5,6出现的次数分别为3,2,4,2，则样本平均值为(　　)
A．4.55　　　　　　　　
B．4.5
C．12.5
D．1.64
【解析】　＝≈4.55.
【答案】　A
教材整理2　频率分布直方图中的众数、中位数、平均数
阅读教材P72～P73的内容，完成下列问题．
在频率分布直方图中，众数是最高
( http: / / www.21cnjy.com )矩形中点的横坐标，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．
教材整理3　标准差、方差
阅读教材P74～P77例2上面的内容，完成下列问题．
1．标准差的计算公式
标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示，
s＝
.
2．方差的计算公式
标准差的平方s2叫做方差．
s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]．
其中，xi(i＝1,2，…，n)是样本数据，n是样本容量，是样本平均数．
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某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7,8,7,9,5,4,9,10,7,4.
则：(1)平均命中环数为________；
(2)命中环数的标准差为________．
【解析】　(1)＝＝7.
(2)s2＝[(7－7)2＋(8
( http: / / www.21cnjy.com )－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(5－7)2＋(4－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝4，∴s＝2.
【答案】　(1)7　(2)2
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[小组合作型]
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众数、中位数、平均数
( http: / / www.21cnjy.com )　某工厂人员及工资构成如下表：
人员
经理
管理人员
高级技工
工人
学徒
合计
周工资/元
2
200
1
250
1
220
1
200
490
人数
1
6
5
10
1
23
(1)指出这个问题中的众数、中位数、平均数；
(2)这个问题中，平均数能客观地反映该工厂的工资水平吗？为什么？
【精彩点拨】　先结合众数、中位数、平均数的意义求出众数、中位数、平均数，再结合影响平均数的因素作答．
【尝试解答】　(1)由题中表格可知
( http: / / www.21cnjy.com )：众数为1
200，中位数为1
220，平均数为(2
200＋1
250×6＋1
220×5＋1
200×10＋490)÷23＝1
230(元/周)．
(2)虽然平均数为1
230元/周
( http: / / www.21cnjy.com )，但从题中表格中所列出的数据可见，只有经理在平均数以上，其余的人都在平均数以下，故用平均数不能客观真实地反映该厂的工资水平．
( http: / / www.21cnjy.com )
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1．众数、中位数、平均数都是刻画数据特
( http: / / www.21cnjy.com )征的，但任何一个样本数据改变都会引起平均数的改变，而众数、中位数不具有这个性质．所以平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息，它是样本数据的重心．
2．在样本中出现极端值的情况下，众数、中位数更能反映样本数据的平均水平．
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[再练一题]
1．已知一组数据按从小到大排列为－
( http: / / www.21cnjy.com )1,0,4，x,6,15，且这组数据的中位数是5，那么数据的众数是________，平均数是________．
【解析】　∵中位数为5，∴＝5，即x＝6.
∴该组数据的众数为6，平均数为＝5.
【答案】　6　5
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方差和标准差
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( http: / / www.21cnjy.com )　甲、乙两机床同时加工直径为100
cm的零件，为检验质量，从中抽取6件测量数据为：
甲：99　100　98　100　100　103
乙：99　100　102　99　100　100
(1)分别计算两组数据的平均数及方差；
(2)根据计算说明哪台机床加工零件的质量更稳定．
【精彩点拨】　
【尝试解答】　(1)甲＝[99＋100＋98＋100＋100＋103]＝100，
乙＝[99＋100＋102＋99＋100＋100]＝100，
s＝[(99－100)2
( http: / / www.21cnjy.com )＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝，
s＝[(99－100)2＋(1
( http: / / www.21cnjy.com )00－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.
(2)由(1)知甲＝乙，比较它们的方差，∵s＞s，故乙机床加工零件的质量更稳定．
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1．在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问
( http: / / www.21cnjy.com )题，还要研究其偏离平均值的离散程度(即方差或标准差)，方差大说明取值分散性大，方差小说明取值分散性小或者取值集中、稳定．
2．关于统计的有关性质及规律
(1)若x1，x2，…，xn的平均数为，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数是m＋a；
(2)数据x1，x2，…，xn与数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差相等；
(3)若x1，x2，…，xn的方差为s2，那么ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2.
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[再练一题]
2．某校高二年级在一次数
( http: / / www.21cnjy.com )学选拔赛中，由于甲、乙两人的竞赛成绩相同，从而决定根据平时在相同条件下进行的六次测试确定出最佳人选，这六次测试的成绩数据如下：
甲
127
138
130
137
135
131
乙
133
129
138
134
128
136
求两人比赛成绩的平均数以及方差，并且分析成绩的稳定性，从中选出一位参加数学竞赛．
【解】　设甲、乙两人成绩的平均数分别为甲，乙，
则甲＝130＋(－3＋8＋0＋7＋5＋1)＝133，
乙＝130＋(3－1＋8＋4－2＋6)＝133，
s＝[(－6)2＋52＋(－3)2＋42＋22＋(－2)2]＝，
s＝[(02＋(－4)2＋52＋12＋(－5)2＋32]＝.
因此，甲与乙的平均数相同，由于乙的方差较小，所以乙的成绩比甲的成绩稳定，应该选乙参加竞赛比较合适．
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频率分布直方图与数字特征的综合应用
( http: / / www.21cnjy.com )　已知一组数据：
125　121　123　125　127　129　125　128　130
129　126　124　125　127　126　122　124　125　126　128
(1)填写下面的频率分布表：
分组
频数累计
频数
频率
[120.5,122.5)
[122.5,124.5)
[124.5,126.5)
[126.5,128.5)
[128.5,130.5]
合计
(2)作出频率分布直方图；
(3)根据频率分布直方图或频率分布表求这组数据的众数、中位数和平均数.
【精彩点拨】　将数据分组后依次填写分布表．然后画出直方图，最后根据数字特征在直方图中的求法求解．
【尝试解答】　
(1)
分组
频数累计
频数
频率
[120.5,122.5)
2
0.1
[122.5,124.5)
3
0.15
[124.5,126.5)
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8
0.4
[126.5,128.5)
4
0.2
[128.5,130.5]
3
0.15
合计
20
1
(2)
(3)在[124.5,126.5)中的数
( http: / / www.21cnjy.com )据最多，取这个区间的中点值作为众数的近似值，得众数为125.5，事实上，众数的精确值为125.图中虚线对应的数据是124.5＋2×＝125.75，事实上中位数为125.5.使用“组中值”求平均数：＝121.5×0.1＋123.5×0.15＋125.5×0.4＋127.5×0.2＋129.5×0.15＝125.8，事实上平均数的精确值为＝125.75.
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1．利用频率分布直方图求数字特征
(1)众数是最高的矩形的底边的中点；
(2)中位数左右两侧直方图的面积相等；
(3)平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．
2．利用直方图求众数、中位数、平均数均为近似值，往往与实际数据得出的不一致，但它们能粗略估计其众数、中位数和平均数．
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[再练一题]
3．某中学举行电脑知识竞赛，现将高
( http: / / www.21cnjy.com )一参赛学生的成绩进行整理后分成五组，绘制成如图2 2 20所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30,0.40,0.15,0.10,0.05.求：
图2 2 20
(1)高一参赛学生的成绩的众数、中位数；
(2)高一参赛学生的平均成绩．
【解】　(1)由题图可知众数为65，
又∵第一个小矩形的面积为0.3，
∴设中位数为60＋x，则0.3＋x×0.04＝0.5，得x＝5，
∴中位数为60＋5＝65.
(2)依题意，平均成绩为：
55×0.3＋65×0.4＋75×0.15＋85×0.1＋95×0.05＝67，
∴平均成绩约为67.
[探究共研型]
平均数、中位数、众数的特征
探究1　一组数据的平均数、中位数、众数唯一吗？
【提示】　一组数据的平均数、中位数
( http: / / www.21cnjy.com )都是唯一的，众数不唯一，可以有一个，也可以有多个，还可以没有．如果有两个数据出现的次数相同，并且比其他数据出现的次数都多，那么这两个数据都是这组数据的众数．
探究2　如何从样本的数字特征中了解数据中是否存在极端数据？
【提示】　中位数不受几个极端数据
( http: / / www.21cnjy.com )的影响，而平均数受每个数据的影响，“越离群”的数据，对平均数的影响越大，因此如果样本平均数大于样本中位数，说明数据中存在许多较大的极端值；反之，说明数据中存在许多较小的极端值．在实际应用中，如果同时知道样本中位数和样本平均数，可以了解样本数据中极端数据的信息．
探究3　众数、中位数有哪些应用？
【提示】　(1)众数只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中有不少数据重复出现时，众数往往更能反映问题．
(2)中位数仅与数据的排列位置有关，中位
( http: / / www.21cnjy.com )数可能在所给数据中，也可能不在所给数据中．当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其集中趋势．
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方差、标准差的特征
探究4　从数据的哪些数字特征可以得到数据的离散程度？
【提示】　(1)数据的离散程度可以通过极差
( http: / / www.21cnjy.com )、方差或标准差来描述，极差反映了一组数据变化的最大幅度，它对一组数据中的极端值极为敏感，一般情况下，极差大，则数据波动性大；极差小，则数据波动性小．极差只需考虑两个极端值，便于计算，但没有考虑中间的数据，可靠性较差．
(2)标准差和方差则反映了一组数
( http: / / www.21cnjy.com )据围绕平均数波动的大小，方差、标准差的运算量较大．因为方差与原始数据单位不同，且平方后可能夸大了偏差程度，所以虽然标准差与方差在体现数据离散程度上是一样的，但解决问题时一般用标准差．
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样本的数字特征
探究5　样本的数字特征具有哪些性质？
【提示】　(1)样本的数字特征具有随机性，这种随机性是由样本的随机性引起的．
(2)样本的数字特征具有规律性，在很广泛的
( http: / / www.21cnjy.com )条件下，简单随机样本的数字特征(如众数、中位数、平均数和标准差等)随样本容量的增加而稳定于总体相应的数字特征(总体的数字特征是一定的，不存在随机性)．
( http: / / www.21cnjy.com )　某班4个小组的人数为10,10，x,8，已知该组数据的中位数与平均数相等，求这组数据的中位数．
【精彩点拨】　x的大小未知，可根据x的取值不同分别求中位数．
【尝试解答】　该组数据的平均数为(x＋28)，中位数一定是其中两个数的平均数，由于x不知是多少，所以要分几种情况讨论：
(1)当x≤8时，原数据按从小到大的
( http: / / www.21cnjy.com )顺序排列为x,8,10,10，其中位数为×(10＋8)＝9.若(x＋28)＝9，则x＝8，此时中位数为9.
(2)当8·(x＋10)，则x＝8，而8不在8(3)当x>10时，原数据按从小到大的顺序排
( http: / / www.21cnjy.com )列为8,10,10，x，其中位数为×(10＋10)＝10.若(x＋28)＝10，则x＝12，此时中位数为10.
综上所述，这组数据的中位数为9或10.
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当在数据中含有未知数x，
( http: / / www.21cnjy.com )求该组数据的中位数时，由于x的取值不同，所以数据由小到大 或由大到小 排列的顺序不同，由于条件的变化，问题的结果有多种情况，不能用同一标准或同一种方法解决，故需分情况讨论，讨论时要做到全面合理，不重不漏.
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[再练一题]
4．为了考察某校各班参加课外书法小
( http: / / www.21cnjy.com )组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为____________．
【解析】　设5个班级中参加的人数分
( http: / / www.21cnjy.com )别为x1，x2，x3，x4，x5，则由题意知＝7，(x1－7)2＋(x2－7)2＋(x3－7)2＋(x4－7)2＋(x5－7)2＝20，五个整数的平方和为20，则必为0＋1＋1＋9＋9＝20，由|x－7|＝3可得x＝10或x＝4.由|x－7|＝1可得x＝8或x＝6，由上可知参加的人数分别为4,6,7,8,10，故最大值为10.
【答案】　10
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1．样本101,98,102,100,99的标准差为(　　)
A.　　　　　　　　　
B．0
C．1
D．2
【解析】　样本平均数＝100，方差为s2＝2，
∴标准差s＝，故选A.
【答案】　A
2．甲乙两名学生六次数学测验成绩(百分制)如图2 2 21所示．
图2 2 21
①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数；
②甲同学的平均分比乙同学高；
③甲同学的平均分比乙同学低；
④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差．
上面说法正确的是(　　)
A．③④
B．①②④
C．②④
D．①③
【解析】　甲的中位数81，乙的
( http: / / www.21cnjy.com )中位数87.5，故①错，排除B、D；甲的平均分＝(76＋72＋80＋82＋86＋90)＝81，乙的平均分＝(69＋78＋87＋88＋92＋96)＝85，故②错，③对，排除C，故选A.
【答案】　A
3．甲、乙、丙、丁四名射手在选拔赛中所得的平均环数及其方差s2如下表所示，则选送决赛的最佳人选应是(　　)
甲
乙
丙
丁
7
8
8
7
s2
6.3
6.3
7
8.7
A.甲　　　B．乙　　　C．丙　　　D．丁
【解析】　∵乙＝丙＞甲＝丁，且s＝s＜s＜s，
∴应选择乙进入决赛．
【答案】　B
4．为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量得到频率分布直方图如图2 2 22，则
图2 2 22
(1)这20名工人中一天生产该产品数量在[55,75)的人数是________．
(2)这20名工人中一天生产该产品数量的中位数为________．
(3)这20名工人中一天生产该产品数量的平均数为________．
【解析】　(1)(0.040×10＋0.025×10)×20＝13.
(2)设中位数为x，则0.2＋(x－55)×0.04＝0.5，x＝62.5.
(3)0.2×50＋0.4×60＋0.25×70＋0.1×80＋0.05×90＝64.
【答案】　(1)13　(2)62.5　(3)64
5．甲、乙两人在相同条件下各打靶10次，每次打靶的成绩情况如图2 2 23所示：
图2 2 23
(1)填写下表：
平均数
方差
中位数
命中9环及以上
甲
7
1.2
1
乙
5.4
3
(2)请从四个不同的角度对这次测试进行分析：
①从平均数和方差结合分析偏离程度；
②从平均数和中位数结合分析谁的成绩好些；
③从平均数和命中9环以上的次数相结合看谁的成绩好些；
④从折线图上两人射击命中环数及走势分析谁更有潜力.
【解】　(1)乙的射靶环数依次为2
( http: / / www.21cnjy.com ),4,6,8,7,7,8,9,9,10.所以乙＝(2＋4＋6＋8＋7＋7＋8＋9＋9＋10)＝7；乙的射靶环数从小到大排列为2,4,6,7,7,8,8,9,9,10，所以中位数是＝7.5；甲的射靶环数从小到大排列为5,6,6,7,7,7,7,8,8,9，所以中位数为7.于是填充后的表格如下表所示：
平均数
方差
中位数
命中9环及以上
甲
7
1.2
7
1
乙
7
5.4
7.5
3
(2)①甲、乙的平均数相同，均为7，但s＜s，说明甲偏离平均数的程度小，而乙偏离平均数的程度大．
②甲、乙的平均水平相同，而乙的中位数比甲大，说明乙射靶成绩比甲好．
③甲、乙的平均水平相同，而乙命中9环以上(包含9环)的次数比甲多2次，可知乙的射靶成绩比甲好．
④从折线图上看，乙的成绩呈上升趋势，而甲的成绩在平均线上波动不大，说明乙的状态在提升，更有潜力．3.3.1　几何概型
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1．理解几何概型的定义及特点．(重点)
2．掌握几何概型的计算方法和求解步骤，准确地把实际问题转化为几何概型问题．(难点)
3．与长度、角度有关的几何概型问题．(易混点)
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[基础·初探]
教材整理1　几何概型
阅读教材P135～P136例1以上的部分，完成下列问题．
1．几何概型的定义
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．
2．几何概型的特点
(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个．
(2)每个基本事件出现的可能性相等．
3．几何概型的概率公式
P(A)＝.
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1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)几何概型的概率与构成事件的区域形状无关．(　　)
(2)在射击中，运动员击中靶心的概率在(0,1)内．(　　)
(3)几何概型的基本事件有无数多个．(　　)
【答案】　(1)√　(2)×　(3)√
2．如图所示，有四个游戏盘，将它们水平放稳后，向上面扔一颗小玻璃球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是
(　　)
【解析】　A中奖概率为，B中奖概率为，C中奖概率为，D中奖概率为，故选A.
【答案】　A
3．在区间[－1,2]上随机取一个数x，则|x|≤1的概率为________．
【解析】　∵区间[－1,2]的长度
( http: / / www.21cnjy.com )为3，由|x|≤1得x∈[－1,1]，而区间[－1,1]的长度为2，x取每个值为随机的，∴在[－1,2]上取一个数x，|x|≤1的概率P＝.
【答案】　
教材整理2　均匀分布
阅读教材P136例1及以下的部分，完成下列问题．
当X为区间[a，b]上的任意实数，并且是等可能的，我们称X服从[a，b]上的均匀分布，X为[a，b]上的均匀随机数．
X服从[3,40]上的均匀分布，则X的值不能等于(　　)
A．15　　　　　　　　　
B．25
C．35
D．45
【解析】　由于X∈[3,40]，则3≤X≤40，则X≠45.故选D.
【答案】　D
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[小组合作型]
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与长度有关的几何概型
( http: / / www.21cnjy.com )　某汽车站每隔15
min有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一位乘客到达车站后等车时间超过10
min的概率.
【精彩点拨】　乘客在上一辆车发车后的5
min之内到达车站，等车时间会超过10
min.
【尝试解答】　设上一辆车于时刻T1到
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记“等车时间超过10
min”为事件A，则当乘客到达车站的时刻t落在线段T1T上(不含端点)时，事件A发生．
∴P(A)＝＝＝，
即该乘客等车时间超过10
min的概率是.
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在求解与长度有关的几何概
( http: / / www.21cnjy.com )型时，首先找到试验的全部结果构成的区域D，这时区域D可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A发生对应的区域d，在找d的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A的概率.
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[再练一题]
1．一个路口的红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？
(1)红灯亮；
(2)黄灯亮；
(3)不是红灯亮．
【解】　在75秒内，每一时刻到达路口亮灯的时间是等可能的，属于几何概型．
(1)P＝＝＝.
(2)P＝＝＝.
(3)P＝
＝＝＝，
或P＝1－P(红灯亮)＝1－＝.
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与面积有关的几何概型
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( http: / / www.21cnjy.com )　设有一个等边三角形网格，其中每个最小等边三角形的边长都是4
cm，现用直径等于2
cm的硬币投掷到此网格上，求硬币落下后与格线没有公共点的概率．
【精彩点拨】　当且仅当硬币中心
( http: / / www.21cnjy.com )与格线的距离都大于半径1，硬币落下后与格线没有公共点，在等边三角形内作与正三角形三边距离为1的直线，构成小等边三角形，当硬币中心在小等边三角形内时，硬币与三边都没有公共点，所以硬币与格线没有公共点就转化为硬币中心落在小等边三角形内的问题．
【尝试解答】　设A＝{硬币落下后与格线没
( http: / / www.21cnjy.com )有公共点}，如图所示，在等边三角形内作小等边三角形，使其三边与原等边三角形三边距离都为1，则等边三角形的边长为4－2＝2，由几何概率公式得：
P(A)＝＝.
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几何概型的特点是基本事件有无限多个，但
( http: / / www.21cnjy.com )应用数形结合的方法即可巧妙解决，即要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何量度来求随机事件的概率.
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[再练一题]
2．如图3 3 1，一个等腰直角三角形的
( http: / / www.21cnjy.com )直角边长为2，分别以三个顶点为圆心，1为半径在三角形内作圆弧，三段圆弧与斜边围成区域M(图中白色部分)．若在此三角形内随机取一点P，则点P落在区域M内的概率为________．
图3 3 1
【解析】　由题意知题图中的阴
( http: / / www.21cnjy.com )影部分的面积相当于半径为1的半圆面积，即阴影部分面积为，又易知直角三角形的面积为2，所以区域M的面积为2－.故所求概率为＝1－.
【答案】　1－
与体积有关的几何概型
( http: / / www.21cnjy.com )　一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，求蜜蜂“安全飞行”的概率．
【精彩点拨】　利用体积之比求概率．
【尝试解答】　依题意，在棱长为3的正方
( http: / / www.21cnjy.com )体内任意取一点，这个点到各面的距离均大于1.则满足题意的点区域为：位于该正方体中心的一个棱长为1的小正方体．由几何概型的概率公式，可得满足题意的概率为：
P＝＝.
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与体积有关的几何概型问题的解决：?
1 如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量，则其概率的计算公式为：?
P A ＝.?
2 解决此类问题一定要注意几何概型的条件，并且要特别注意所求的概率是与体积有关还是与长度有关，不要将二者混淆.
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[再练一题]
3．本例条件不变，求这个蜜蜂飞到正方体某一顶点A的距离小于的概率．
【解】　到A点的距离小于的点，在以A为球心，半径为的球内部，而点又必须在已知正方体内，
则满足题意的A点的区域体积为π×3×.
所以P＝＝.
[探究共研型]
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几何概型与古典概型的异同
探究1　古典概型和几何概型有何异同点？
【提示】　相同点：古典概型与几何概型中每一个基本事件发生的可能性都是相等的．
不同点：古典概型要求随机试验的基本事件
( http: / / www.21cnjy.com )的总数必须是有限多个；几何概型要求随机试验的基本事件的个数是无限的，而且几何概型解决的问题一般都与几何知识有关．
探究2　P(A)＝0 A是不可能事件，P(A)＝1 A是必然事件是否成立？
【提示】　(1)无论是古典概型还是几何概型，若A是不可能事件，则P(A)＝0肯定成立；若A是必然事件，则P(A)＝1肯定成立．
(2)在古典概型中，若事件A的概率P(A)＝0，则A为不可能事件；若事件A的概率P(A)＝1，则A为必然事件．
(3)在几何概型中，若事件A的概率P(A
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( http: / / www.21cnjy.com )　(1)在区间[－2,2]上任取两个整数x，y组成有序数对(x，y)，求满足x2＋y2≤4的概率；
(2)在区间[－2,2]上任取两个实数x，y组成有序数对(x，y)，求满足x2＋y2≤4的概率．
【精彩点拨】　(1)在区间[－2,2]上任
( http: / / www.21cnjy.com )取两个整数x，y，组成有序数对(x，y)是有限的，应用古典概型求解；(2)在区间[－2,2]上任取两个实数x，y，组成有序数对(x，y)是无限的，应用几何概型求解．
【尝试解答】　(1)在区间[－2,2]
( http: / / www.21cnjy.com )上任取两个整数x，y组成有序数对(x，y)，共计25个，其中满足x2＋y2≤4的在圆上或圆内共计13个(如图所示)，∴P＝.
(2)在区间[－2,2]上任取两个
( http: / / www.21cnjy.com )实数x，y组成有序数对(x，y)，充满的区域是边长为4的正方形区域，其中满足x2＋y2≤4的是图中阴影区域(如图所示)，S阴＝π×22＝4π，∴P＝＝.
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古典概型与几何概型的不同之处是古典概型的基本事件总数是有限的，而几何概型的基本事件总数是无限的，解题时要仔细审题，注意区分.
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[再练一题]
4．下列概率模型中，几何概型的个数为(　　)
①从区间[－10,10]上任取一个数，求取到1的概率；
②从区间[－10,10]上任取一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率；
③从区间[－10,10]上任取一个整数，求取到大于1而小于2的数的概率；
④向一个边长为4
cm的正方形内投一点，求点离中心不超过1
cm的概率．
A．1　　　　
B．2　　　　
C．3　　　　
D．4
【解析】　①中的概率模型不是几何概
( http: / / www.21cnjy.com )型，虽然区间[－10,10]上有无数个数，但取到“1”只是一个数字，不能构成区间长度；②中的概率模型是几何概型，因为区间[－10,10]和区间[－1,1]上都有无数个数，且在这两个区间上的每个数被取到的可能性相等；③中的概率模型不是几何概型，因为区间[－10,10]上的整数只有21个，是有限的；④中的概率模型是几何概型，因为在边长为4
cm的正方形和半径为1
cm的圆内均有无数个点，且这两个区域内的任何一个点被投到的可能性相同．
【答案】　B
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1．转动图中各转盘，指针指向红色区域的概率最大的是(　　)
【解析】　D中红色区域面积是圆面积的一半，其面积比A、B、C中要大，故指针指到的概率最大．
【答案】　D
2．一只蚂蚁在如图3 3 2所示的地板砖(除颜色不同外，其余全部相同)上爬来爬去，它最后停留在黑色地板砖(阴影部分)上的概率是(　　)
图3 3 2
A.　　　　　　　　　
B.
C.
D.
【解】　从题图中可以得到地板砖总数为12，其中黑色地板砖有4个，由此可知最后停留在黑色地板砖上的概率是＝.
【答案】　A
3．在半径为1的圆中随机地投一个点，则点落在圆内接正方形中的概率是(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】　点落在圆内的任意位置是
( http: / / www.21cnjy.com )等可能的，而落在圆内接正方形中只与面积有关，与位置无关，符合几何概型特征，圆内接正方形的对角线长等于2，则正方形的边长为.
∵圆面积为π，正方形面积为2，∴P＝.
【答案】　B
4．函数f(x)＝－x2＋2x，x∈[－1,3]，则任取一点x0∈[－1,3]，使得f(x0)≥0的概率为________．
【解析】　依题意得，解得0≤x0≤2，所以任取一点x0∈[－1,3]，使得f(x0)≥0的概率P＝＝.
【答案】　
5．在长为12
cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边长作一个正方形，求作出的正方形面积介于36
cm2与81
cm2之间的概率．
【解】　如图所示，点M落在线段AB上的任一点上是等可能的，并且这样的点有无限多个．
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设事件A为“所作正方形面积介于36
cm2与81
cm2之间”，它等价于“所作正方形边长介于6
cm与9
cm之间”．
取AC＝6
cm，CD＝3
cm，则当M点落在线段CD上时，事件A发生．
所以P(A)＝＝＝.2.1.2　系统抽样
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1．记住系统抽样的方法和步骤．(重点)
2．会用系统抽样从总体中抽取样本．(难点)
3．能用系统抽样解决实际问题．(易错易混点)
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[基础·初探]
教材整理1　系统抽样的概念
阅读教材P58上半部分内容，完成下列问题．
先将总体中的个体逐一编号，然后按号码顺序以一定的间隔k进行抽取，先从第一个间隔中随机地抽取一个号码，然后按此间隔逐个抽取即得到所需样本．
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某影院有40排座位，每排有46个座位，一个报告会上坐满了听众，会后留下座号为20的所有听众进行座谈，这是运用了(　　)
A．抽签法　　　　　　　
B．随机数表法
C．系统抽样法
D．放回抽样法
【解析】　此抽样方法将座位分成40组，每组
( http: / / www.21cnjy.com )46个个体，会后留下座号为20的相当于第一组抽20号，以后各组抽取20＋46n，符合系统抽样特点．
【答案】　C
教材整理2　系统抽样的步骤
阅读教材P58下半部分内容，完成下列问题．
一般地，假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，我们可以按下列步骤进行系统抽样：
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)总体个数较多时可以用系统抽样．(　　)
(2)系统抽样的过程中，每个个体被抽到的概率不相等．(　　)
(3)用系统抽样从N个个体中抽取一个容量为n的样本，要平均分成n段，每段各有个号码．(　　)
【答案】　(1)√　(2)×　(3)×
2．有20个同学，编号为1～20，现在从中抽取4人的作文卷进行调查，用系统抽样方法确定所抽的编号为(　　)
A．5,10,15,20
B．2,6,10,14
C．2,4,6,8
D．5,8,11,14
【解析】　将20分成4个组，每组5个号，间隔等距离为5.
【答案】　A
3．已知标有1～20号的小球20个，按下面方法抽样(按从小号到大号排序)：
(1)以编号2为起点，采用系统抽样抽取4个球，则这4个球的编号的平均值为________；
(2)以编号3为起点，采用系统抽样抽取4个球，则这4个球的编号的平均值为________．
【解析】　这20个小球分4组，每
( http: / / www.21cnjy.com )组5个，(1)若以2号为起点，则另外三个球的编号依次为7,12,17，这4球编号平均值为＝9.5.(2)若以3号为起点，则另外三个球的编号依次为8,13,18，这4球编号平均值为＝10.5.
【答案】　(1)9.5　(2)10.5
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[小组合作型]
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系统抽样的概念
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( http: / / www.21cnjy.com )　(1)某商场欲通过检查部分发票及销售记录来快速估计每月的销售金额，采用如下方法：从某本发票的存根中随机抽一张，如15号，然后按顺序将65号，115号，165号，…，发票上的销售金额组成一个调查样本．这种抽取样本的方法是(　　)
A．抽签法　　　　　　　
B．随机数法
C．系统抽样法
D．以上都不对
(2)为了解1
200名学生对学
( http: / / www.21cnjy.com )校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采用系统抽样，则分段的间隔k＝________.
【精彩点拨】　解决此类问题的关键是根据系统抽样的概念及特征，抓住系统抽样适用的条件作出判断．
【尝试解答】　(1)上述抽样方法
( http: / / www.21cnjy.com )是将发票平均分成若干组，每组50张，从第一组抽出了15号，以后各组抽15＋50n(n∈N
)号，符合系统抽样的特点．
(2)根据样本容量为30，将1
200名学生分为30段，每段人数即间隔k＝＝40.
【答案】　(1)C　(2)40
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判断一个抽样是否为系统抽样
( http: / / www.21cnjy.com )： 1 首先看是否在抽样前知道总体是由什么组成，多少个个体， 2 再看是否将总体分成几个均衡的部分，并在每一个部分中进行简单随机抽样， 3 最后看是否等距抽样.
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[再练一题]
1．下列抽样问题中最适合用系统抽样法抽样的是(　　)
A．从全班48名学生中随机抽取8人参加一项活动
B．一个城市有210家百货商店
( http: / / www.21cnjy.com )，其中大型商店20家，中型商店40家，小型商店150家．为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为21的样本
C．从参加模拟考试的1
200名高中生中随机抽取100人分析试题作答情况
D．从参加模拟考试的1
200名高中生中随机抽取10人了解某些情况
【解析】　A．总体容量较小，样本容量
( http: / / www.21cnjy.com )也较小，可采用抽签法；B.总体中的个体有明显的层次不适宜用系统抽样法；C.总体容量较大，样本容量也较大，可用系统抽样法；D.若总体容量较大，样本容量较小时可用随机数表法．
【答案】　C
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系统抽样的方案设计
( http: / / www.21cnjy.com )　某校高中三年级的295名学生已经编号为1,2，…，295，为了了解学生的学习情况，要按1∶5的比例抽取一个样本，请用系统抽样的方法进行抽取，并写出过程．
【精彩点拨】　按1∶5的比例确定样本容量，再按系统抽样的步骤进行，关键是确定第1段的编号．
【尝试解答】　按照1∶5的比例抽取样本，则样本容量为×295＝59.
抽样步骤是：
(1)编号：按现有的号码；
(2)确定分段间隔k＝5，把295名同学分成
( http: / / www.21cnjy.com )59组，每组5人，第1组是编号为1～5的5名学生，第2组是编号为6～10的5名学生，依次下去，第59组是编号为291～295的5名学生；
(3)采用简单随机抽样的方法，从第一组5名学生中抽出一名学生，不妨设编号为l(1≤l≤5)；
(4)那么抽取的学生编号为l
( http: / / www.21cnjy.com )＋5k(k＝0,1,2，…，58)，得到59个个体作为样本，如当l＝3时的样本编号为3,8,13，…，288,293.
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
当总体容量能被样本容量整除时，分段
( http: / / www.21cnjy.com )间隔k＝；当用系统抽样抽取样本时，通常是将起始数s加上间隔k得到第2个个体编号 s＋k ，再加k得到第3个个体编号 s＋2k ，依次进行下去，直到获取整个样本.
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[再练一题]
2．某班共有52人，现根据
( http: / / www.21cnjy.com )学生的学号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本．已知3号、29号、42号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的学号是(　　)
A．10
B．11
C．12
D．16
【解析】　分段间隔k＝＝13，可推出另一个同学的学号为16，故选D.
【答案】　D
[探究共研型]
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系统抽样的特点
探究1　系统抽样有哪些特点？
【提示】　(1)系统抽样适用于总体容量较大，且个体之间无明显差异的情况；
(2)剔除多余的个体及第1段抽样用简单随机抽样的方法；
(3)系统抽样是等可能抽样，每个个体被抽到的可能性相等．
探究2　怎样判断一种抽样是否为系统抽样？
【提示】　判断一种抽样是否为系统抽样，关键有两点：
(1)是否在抽样前知道总体是由什么构成的，抽样的方法能否保证每个个体被抽到的机会均等；
(2)是否能将总体分成几个均衡的部分，在每个部分中是否能进行简单随机抽样．
探究3　在系统抽样中，N不一定能被n整除，那么系统抽样还公平吗？
【提示】　在系统抽样中，
(1)若N能被n整除，则将比值作为分段间隔k.由于起始编号的抽取采用简单随机抽样的方法，因此每个个体被抽取的可能性是一样的．
(2)若N不能被n整除，则用简单随机
( http: / / www.21cnjy.com )抽样的方法从总体中剔除几个个体，使得总体中剩余的个体数能被n整除，再确定样本．因此每个个体被抽取的可能性还是一样的．
所以，系统抽样是公平的．
( http: / / www.21cnjy.com )　为了了解参加某种知识竞赛的1
003名学生的成绩，抽取一个容量为50的样本，选用什么抽样方法比较恰当？简述抽样过程．
【精彩点拨】　→→→→→→
【尝试解答】　(1)随机地将这1
003个个体编号为1,2,3，…，1
003；
(2)利用简单随机抽样，先从总
( http: / / www.21cnjy.com )体中随机剔除3个个体，剩下的个体数1
000能被样本容量50整除，然后将1
000个个体重新编号为1,2,3，…，1
000；
(3)将总体按编号顺序均分成50组，每组包括20个个体；
(4)在编号为1,2,3，…，20的第一组个体中，利用简单随机抽样抽取一个号码，比如是18；
(5)以18为起始号码，每间隔20抽取一个号码，这样得到一个容量为50的样本：18,38,58，…，978,998.
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当总体容量不能被样本容量整除时，可
( http: / / www.21cnjy.com )以先从总体中随机剔除几个个体，但要注意的是剔除过程必须是随机的，也就是总体中的每个个体被剔除的机会均等.剔除几个个体后使总体中剩余的个体数能被样本容量整除.
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[再练一题]
3．从某厂生产的802辆轿车中抽取80辆测试某项性能．请用系统抽样方法进行抽样，并写出抽样过程．
【解】　第一步，先从802辆轿车中剔除2辆轿车(剔除方法可用随机数法)；
第二步，将余下的800辆轿车编号为1,2，…，800，并均匀分成80段，每段含k＝＝10个个体；
第三步，从第1段即1,2，…，10这10个编号中，用简单随机抽样的方法抽取一个号(如5)作为起始号；
第四步，从5开始，再将编号为15,25，…，795的个体抽出，得到一个容量为80的样本．
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1．为了了解参加某次知识竞赛的1
252名
( http: / / www.21cnjy.com )学生的成绩，决定采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，那么从总体中应随机剔除的个体数目为(　　)
A．2　　　　
B．3　　　　
C．4　　　　
D．5
【解析】　因为1
252＝50×25＋2，所以应随机剔除2个个体，故选A.
【答案】　A
2．为了了解某地参加计算机水平测试
( http: / / www.21cnjy.com )的5
008名学生的成绩，从中抽取了200名学生的成绩进行统计分析，运用系统抽样方法抽取样本时，每组的容量为(　　)
A．24
B．25
C．26
D．28
【解析】　因为5
008＝200×25＋8，所以选B.
【答案】　B
3．要从160名学生中抽
( http: / / www.21cnjy.com )取容量为20的样本，用系统抽样法将160名学生从1～160编号．按编号顺序平均分成20组(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第16组应抽出的号码为125，则第一组中按此抽签方法确定的号码是
(　　)
A．7
B．5
C．4
D．3
【解析】　由系统抽样知第一组确定的号码是125－15×8＝5.
【答案】　B
4．在一个个体数目为2
003的总体中，利用系统抽样抽取一个容量为100的样本，则总体中每个个体被抽到的机会为_________．
【解析】　因为采用系统抽样的
( http: / / www.21cnjy.com )方法从个体数目为2
003的总体中抽取一个样本容量为100的样本，每个个体被抽到的可能性都相等，于是每个个体被抽到的机会都是.
【答案】　
5．中秋节，相关部门对某食品厂生产的303盒中秋月
饼进行质量检验，需要从中抽取10盒，请用系统抽样的方法完成对此样本的抽取．
【解】　(1)将303盒月饼用随机的方式编号；
(2)从总体中用简单随机抽样的方式剔除3盒月饼，将剩下的月饼重新用000～299编号，并等距分成10段；
(3)在第一段000,001,002，…，029这三十个编号中用简单随机抽样确定起始号码l；
(4)将编号为l，l＋30，l＋2×30，l＋3×30，…，l＋9×30的个体抽出，组成样本．2.3.1　变量之间的相关关系
2.3.2　两个变量的线性相关
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1．理解两个变量的相关关系的概念．(难点)
2．会作散点图，并利用散点图判断两个变量之间是否具有相关关系．(重点)
3．会求回归直线方程．(重点)
4．相关关系与函数关系．(易混点)
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[基础·初探]
教材整理1　变量之间的相关关系
阅读教材P84～P86的内容，完成下列问题．
1．相关关系：不像匀速直线运动中时间与路程的关系那样是完全确定的，而是带有不确定性．
2．散点图：将样本中几个数据点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)描在平面直角坐标系中得到的图形．
3．正相关与负相关：散点
( http: / / www.21cnjy.com )图中的点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，称它为正相关．若散点图中的点分布在从左上角到右下角的区域内，对于两个变量的这种相关关系，称它为负相关．
4．相关关系与函数关系的辨析
相关关系与函数关系均是指两个变量间的关系，它们的不同点如下：
(1)函数关系是一种确定的关系；相关关系是一种非确定的关系，即不能用一个函数关系式来严格地表示变量之间的关系．
(2)函数关系是一种因果关系，而相
( http: / / www.21cnjy.com )关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．例如，有人发现，对于在校儿童，脚的大小与阅读能力有很强的相关关系，然而学会更多的新词并不能使脚变大，而是涉及第三个因素——年龄，当儿童长大一些以后，他们的阅读能力会提高，而且脚也会变大．
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如图2 3 1所示的两个变量不具有相关关系的有________．
图2 3 1
【解析】　①是确定的函数关系
( http: / / www.21cnjy.com )；②中的点大都分布在一条曲线周围；③中的点大都分布在一条直线周围；④中点的分布没有任何规律可言，x，y不具有相关关系．
【答案】　①④
教材整理2　回归直线方程
阅读教材P87～P89的内容，完成下列问题．
1．回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．
2．回归方程：回归直线对应的方程叫回归直线的方程，简称回归方程．
3．最小二乘法：求回归直线时，使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．
4．求回归方程：若两个具有线性相关关系的变
( http: / / www.21cnjy.com )量的一组数据为：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，则所求的回归方程为＝x＋，其中，为待定的参数，由最小二乘法得：
是回归直线斜率，是回归直线在y轴上的截距．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)回归方程中，由x的值得出的y值是准确值．(　　)
(2)回归方程一定过样本点的中心．(　　)
(3)回归方程一定过样本中的某一个点．(　　)
(4)选取一组数据中的部分点得到的回归方程与由整组数据得到的回归方程是同一个方程．(　　)
【答案】　
(1)×　(2)√　(3)×　(4)
×
2．过(3,10)，(7,20)，(11,24)三点的回归直线方程是(　　)
A.＝1.75＋5.75x　　
B.＝－1.75＋5.75x
C.＝5.75＋1.75x
D.＝5.75－1.75x
【解析】　求过三点的回归直线方程，
( http: / / www.21cnjy.com )目的在于训练求解回归系数的方法，这样既可以训练计算，又可以体会解题思路，关键是能套用公式．代入系数公式得＝1.75，＝5.75.代入直线方程，求得＝5.75＋1.75x.故选C.
【答案】　C
3．已知x与y之间的一组数据：
x
0
1
2
3
4
y
1
3
5
7
9
则y与x的线性回归方程＝bx＋a必过点(　　)
A．(1,2)
B．(5,2)
C．(2,5)
D．(2.5,5)
【解析】　线性回归方程一定过样本中心(，)．
由＝＝2，＝＝5.
故必过点(2,5)．
【答案】　C
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[小组合作型]
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相关关系的判断
( http: / / www.21cnjy.com )　(1)下列两个变量之间的关系，哪个不是函数关系(　　)
A．正方体的棱长和体积
B．圆半径和圆的面积
C．正n边形的边数和内角度数之和
D．人的年龄和身高
(2)对变量x，y有观测数据(xi，yi
( http: / / www.21cnjy.com ))(i＝1,2，…，10)，得散点图①；对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散点图②.由这两个散点图可以判断(　　)
图2 3 2
A．变量x与y正相关，u与v正相关
B．变量x与y正相关，u与v负相关
C．变量x与y负相关，u与v正相关
D．变量x与y负相关，u与v负相关
【精彩点拨】　结合相关关系，函数关系的定义及正负相关的定义分别对四个选项作出判断．
【尝试解答】　(1)A、B、C都
( http: / / www.21cnjy.com )是函数关系，对于A，V＝a3；对于B，S＝πr2；对于C，g(n)＝(n－2)π.而对于D，年龄确定的不同的人可以有不同的身高，∴选D.
(2)由图象知，变量x与y呈负相关关系；u与v呈正相关关系．
【答案】　(1)D　(2)C
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判断两个变量x和y间是否具有线性相关关
( http: / / www.21cnjy.com )系，常用的简便方法就是绘制散点图，如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响.
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[再练一题]
1．某公司2011～2016年的年利润x(单位：百万元)与年广告支出y(单位：百万元)的统计资料如下表所示：
年份
2011
2012
2013
2014
2015
2016
利润x
12.2
14.6
16
18
20.4
22.3
支出y
0.62
0.74
0.81
0.89
1
1.11
A.利润中位数是16，x与y有正线性相关关系
B．利润中位数是18，x与y有负线性相关关系
C．利润中位数是17，x与y有正线性相关关系
D．利润中位数是17，x与y有负线性相关关系
【解析】　由表知，利润中位数是(16＋18)＝17，且y随x的增大而增大，故选C.
【答案】　C
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求回归直线方程
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( http: / / www.21cnjy.com )　一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，收集数据如下：
零件数x(个)
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
加工时间y(分)
62
68
75
81
89
95
102
108
115
122
(1)y与x是否具有线性相关关系？
(2)如果y与x具有线性相关关系，求y关于x的回归直线方程．
【精彩点拨】　→→
→
【尝试解答】　(1)画散点图如下：
由上图可知y与x具有线性相关关系．
(2)列表、计算：
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
xi
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
yi
62
68
75
81
89
95
102
108
115
122
xiyi
620
1
360
2
250
3
240
4
450
5
700
7
140
8
640
10
350
12
200
＝55，＝91.7，x＝38
500，＝87
777，iyi＝55
950
＝＝≈0.668，
＝－＝91.7－0.668×55＝54.96.
即所求的回归直线方程为：＝0.668x＋54.96.
( http: / / www.21cnjy.com )
用公式求回归方程的一般步骤：?
1 列表xi，yi，xiyi；?
2 计算，，，iyi；?
3 代入公式计算，的值；?
4 写出回归方程.
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[再练一题]
2．已知变量x，y有如下对应数据：
x
1
2
3
4
y
1
3
4
5
(1)作出散点图；
(2)用最小二乘法求关于x，y的回归直线方程．
【解】　(1)散点图如图所示：
(2)＝＝，
＝＝，
iyi＝1＋6＋12＋20＝39，
＝1＋4＋9＋16＝30，
＝＝，
＝－×＝0，
所以＝x为所求回归直线方程．
利用回归方程对总体进行估计
( http: / / www.21cnjy.com )　下表提供了某厂节能降耗技术改进后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据：
x
3
4
5
6
y
2.5
3
4
4.5
(1)请画出上表数据的散点图；
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出回归方程＝x＋；
(3)已知该厂技改前100
( http: / / www.21cnjy.com )吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？
【精彩点拨】　(1)以产量为横坐标，以生产能耗对应的测量值为纵坐标，在平面直角坐标系内画散点图；
(2)应用计算公式求得线性相关系数，的值；(3)实际上就是求当x＝100时，对应的v的值．
【尝试解答】　(1)散点图，如图所示：
(2)由题意，得iyi＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5，
＝＝4.5，
＝＝3.5，
＝32＋42＋52＋62＝86，
∴＝＝＝0.7，
＝－＝3.5－0.7×4.5＝0.35，
故线性回归方程为＝0.7x＋0.35.
(3)根据回归方程的预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤为0.7×100＋0.35＝70.35(吨)，
故耗能减少了90－70.35＝19.65(吨)标准煤．
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回归分析的三个步骤：?
1 判断两个变量是否线性相关：可以利用经验，也可以画散点图；?
2 求线性回归方程，注意运算的正确性；?
3 根据回归直线进行预测估计：估计值不是实际值，两者会有一定的误差.
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[再练一题]
3．某种产品的广告费支出y(百万元)与销售额x(百万元)之间的关系如下表所示．
x
8
12
14
16
y
5
8
9
11
(1)假定y与x之间存在线性相关关系，求其回归直线方程．
(2)若广告费支出不少于60百万元，则实际销售额应不少于多少？
【解】　(1)设回归直线方程为＝x＋，则＝＝
＝＝，＝－＝－×＝－×＝－，则所求回归直线方程为＝x－.
(2)由＝x－≥60，得x≥≈84，所以实际销售额不少于84百万元．
[探究共研型]
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散点图的特征
探究1　任意两个统计数据是否均可以作出散点图？怎么根据散点图判断变量之间的关系？
【提示】　任意两个统计数据均可以作出散
( http: / / www.21cnjy.com )点图，对于作出的散点图，如果所有的样本点都落在某一函数曲线上，就用该函数来描述变量之间的关系，即变量之间具有函数关系．特别地，若所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就具有线性相关关系；如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近，变量之间就有相关关系；如果散点图中的点的分布几乎没有什么规则，则这两个变量之间不具有相关关系．
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回归直线的特征
探究2　如何画回归直线？
【提示】　(1)建立直角坐标系，两轴的长度单位可以不一致．
(2)将n个数据点描在平面直角坐标系中．
(3)画回归直线时，一定要画在多数点经过的区域，可以先观察有哪两个点在直线上．
探究3　回归系数的含义是什么？
【提示】　(1)代表x每增加一个单位，y的平均增加单位数，而不是增加单位数．
(2)当＞0时，两个变量呈正相关关系，含义为：x每增加一个单位，y平均增加个单位数；
当＜0时，两个变量呈负相关关系，含义为：x每增加一个单位，y平均减少个单位数．
探究4　回归直线方程与直线方程的区别是什么？
【提示】　线性回归直线方程中
( http: / / www.21cnjy.com )y的上方加记号“^
”是与实际值y相区别，因为线性回归方程中的“”的值是通过统计大量数据所得到的一个预测值，它具有随机性，因而对于每一个具体的实际值而言，的值只是比较接近，但存在一定的误差，即y＝＋e(其中e为随机变量)，预测值与实际值y的接近程度由随机变量e的标准差决定．
( http: / / www.21cnjy.com )　已知x与y之间的几组数据如下表：
x
1
2
3
4
5
6
y
0
2
1
3
3
4
假设根据上表数据所得线性回归直线方程
( http: / / www.21cnjy.com )为＝x＋.若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y＝b′x＋a′，则以下结论正确的是
(　　)
A.>b′，>a′　　　　　　
B.>b′，C.a′
D.【精彩点拨】　先由已知条件分别求出b′，a′的值，再由，的计算公式分别求解，的值，即可作出比较．
【尝试解答】　根据所给数据求出直线方程y＝b′x＋a′和回归直线方程的系数，并比较大小．
由(1,0)，(2,2)求b′，a′.
b′＝＝2，
a′＝0－2×1＝－2.
求，时，
iyi＝0＋4＋3＋12＋15＋24＝58，
＝3.5，＝，
＝1＋4＋9＋16＋25＋36＝91，
∴＝＝，
＝－×3.5＝－＝－，
∴a′.
【答案】　C
[再练一题]
4．设某大学的女生体重y(单位：kg)
( http: / / www.21cnjy.com )与身高x(单位：cm)具有线性相关关系．根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是(　　)
A．y与x具有正的线性相关关系
B．回归直线过样本点的中心(，)
C．若该大学某女生身高增加1
cm，则其体重约增加0.85
kg
D．若该大学某女生身高为170
cm，则可断定其体重必为58.79
kg
【解析】　为正数，所以两变量具有正的线
( http: / / www.21cnjy.com )性相关关系，故A正确；B，C显然正确；若该大学某女生身高为170
cm，则可估计其体重为58.79
kg.
【答案】　D
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1．设一个回归方程＝3＋1.2x，则变量x增加一个单位时(　　)
A．y平均增加1.2个单位　
B．y平均增加3个单位
C．y平均减少1.2个单位
D．y平均减少3个单位
【解析】　由b＝1.2>0，故选A.
【答案】　A
2．下列有关线性回归的说法，不正确的是(　　)
A．变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系
B．在平面直角坐标系中用描点的方法得到表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图
C．回归方程最能代表观测值x、y之间的线性关系
D．任何一组观测值都能得到具有代表意义的回归直线
【解析】　只有数据点整体上分布在一条直线附近时，才能得到具有代表意义的回归直线．
【答案】　D
3．已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数＝3，＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是(　　)
A.＝0.4x＋2.3
B.＝2x－2.4
C.＝－2x＋9.5
D.＝－0.3x＋4.4
【解析】　因为变量x和y正相关，则回
( http: / / www.21cnjy.com )归直线的斜率为正，故可以排除选项C和D.因为样本点的中心在回归直线上，把点(3,3.5)的坐标分别代入选项A和B中的直线方程进行检验，可以排除B，故选A.
【答案】　A
4．对具有线性相关关系的变量x和y，测得一组数据如下表所示．
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
若已求得它们的回归直线的斜率为6.5，则这条回归直线的方程为________.
【解析】　由题意可知＝＝5，
＝＝50.
即样本中心为(5,50)，
设回归直线方程为＝6.5x＋，
∵回归直线过样本中心(5,50)，
∴50＝6.5×5＋，即＝17.5，
∴回归直线方程为＝6.5x＋17.5.
【答案】　＝6.5x＋17.51.3　算法案例
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1．会用辗转相除法与更相减损术求两个数的最大公约数．(易错易混点)
2．会用秦九韶算法求多项式的值．(难点)
3．会在不同进位制间进行相互转化．(重点)
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[基础·初探]
教材整理1　辗转相除法与更相减损术
阅读教材P34～P36例1前的内容，完成下列问题．
1．辗转相除法
(1)辗转相除法是用于求两个正整数的最大公约数的一种算法，这种算法是由欧几里得在公元前300年左右首先提出的，因而又叫欧几里得算法．
(2)所谓辗转相除法，就是
( http: / / www.21cnjy.com )对于给定的两个数，用较大的数除以较小的数．若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时较小的数就是原来两个数的最大公约数．
2．更相减损术
更相减损术是我国古代数学专著《九章算术
( http: / / www.21cnjy.com )》中介绍的一种求两数最大公约数的方法．其基本过程是：第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数．若是，用2约简；若不是，执行第二步．第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数．继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数．
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)228与1
995的最大公约数是________．
(2)18与30的最大公约数是________．
【解析】　(1)1
995＝228×8＋171，
228＝171×1＋57，
171＝57×3，
∴57是228与1
995的最大公约数．
(2)30－18＝12，
18－12＝6，
12－6＝6，
∴18与30的最大公约数是6.
【答案】　(1)57　(2)6
教材整理2　秦九韶算法
阅读教材P37～P38例2前的内容，完成下列问题．
求多项式f(x)＝anxn＋an－1xn－
( http: / / www.21cnjy.com )1＋…＋a1x＋a0的值时，常用秦九韶算法，这种算法的运算次数较少，是多项式求值比较先进的算法，其实质是转化为求n个一次多项式的值，共进行n次乘法运算和n次加法运算．其过程是：
改写多项式为：
f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0
＝(anxn－1＋an－1xn－2＋…＋a1)x＋a0
＝((anxn－2＋an－1xn－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0＝…
＝(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0.
设v1＝anx＋an－1，
v2＝v1x＋an－2，
v3＝v2x＋an－3，
……
vn＝vn－1x＋a0.
( http: / / www.21cnjy.com )
设计程序框图，用秦九韶算法求多项式的值，所选用的结构是(　　)
A．顺序结构　　　　　　
B．条件结构
C．循环结构
D．以上都有
【解析】　根据秦九韶算法的含义知选D.
【答案】　D
教材整理3　进位制
阅读教材P40的内容，完成下列问题．
1．进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统．“满k进一”就是k进制，k进制的基数是k.
2．将k进制数化为十进制数的方法是：先把k进制数写成各位上的数字与k的幂的乘积之和的形式，再按照十进制数的运算规则计算出结果．
3．将十进制数化为k进制数方法是：除k取余
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判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)五进制的基数是5，用0,1,2,3,4,5六个数字表示．(　　)
(2)秦九韶算法的优点是减少了乘法运算的次数，提高了运算效率．(　　)
(3)用秦九韶算法可以求两个正整数的最大公约数．(　　)
(4)不同进位制中，十进制的数比二进制的数大．(　　)
【答案】　
(1)×　(2)√　(3)
×　(4)
×
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[小组合作型]
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求最大公约数
( http: / / www.21cnjy.com )　(1)98,280的最大公约数为(　　)
A．7　
B．14
C．16
D．8
(2)用更相减损术求得78与36的最大公约数为________．
【精彩点拨】　求两个数的最大公约数可用辗转相除法，也可用更相减损术．
【尝试解答】　(1)由辗转相除法可得：
( http: / / www.21cnjy.com )280＝98×2＋84,98＝84×1＋14,84＝14×6.故最大公约数为14.也可以使用更相减损术或短除法．
(2)78－36＝42,42－36＝6,36－6＝30，
30－6＝24,24－6＝18,18－6＝12，
12－6＝6.
【答案】　(1)B　(2)6
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1．求两个正整数的最大公约数的问题
( http: / / www.21cnjy.com )，可以用辗转相除法，也可以用更相减损术．用辗转相除法，即根据a＝nb＋r这个式子，反复相除，直到r＝0为止；用更相减损术，即根据r＝|a－b|这个式子，反复相减，直到r＝0为止．
2．当两个整数的差较大时，用辗转相除法计算的次数较少．
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[再练一题]
1．用辗转相除法求78与36的最大公约数．
【解】　由辗转相除法得，
78＝36×2＋6，
36＝6×6，
故78与36的最大公约数是6.
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秦九韶算法
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( http: / / www.21cnjy.com )　已知一个5次多项式为f(x)＝4x5＋2x4＋3.5x3－2.6x2＋1.7x－0.8，用秦九韶算法求这个多项式当x＝5时的值．
【精彩点拨】　可根据秦九韶算法原理，将所给的多项式改写，然后由内到外逐次计算．
【尝试解答】　将f(x)改写为f(x)＝((((4x＋2)x＋3.5)x－2.6)x＋1.7)x－0.8，
由内向外依次计算一次多项式，当x＝5时的值：
v0＝4；
v1＝4×5＋2＝22；
v2＝22×5＋3.5＝113.5；
v3＝113.5×5－2.6＝564.9；
v4＝564.9×5＋1.7＝2
826.2；
v5＝2
826.2×5－0.8＝14
130.2.
所以当x＝5时，多项式的值等于14
130.2.
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1．先将多项式写成一次多项式的形式，然后
( http: / / www.21cnjy.com )运算时从里到外，一步一步地做乘法和加法即可．这样比直接将x＝2代入原式大大减少了计算量．若用计算机计算，则可提高运算效率．
2．注意：当多项式中n次项不存在时，可将第n项看作0·xn.
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[再练一题]
2．用秦九韶算法计算f(x)＝6x5－4x4＋x3－2x2－9x，需要加法(或减法)与乘法运算的次数分别为(　　)
A．5,4　　　　
B．5,5　　　　
C．4,4　　　　
D．4,5
【解析】　n次多项式需进行
( http: / / www.21cnjy.com )n次乘法；若各项均不为零，则需进行n次加法，缺一项就减少一次加法运算．f(x)中无常数项，故加法次数要减少一次，为5－1＝4.故选D.
【答案】　D
[探究共研型]
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进位制及其转化
探究1　常见进位制有哪些？
【提示】　(1)十进制使用0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字，基数为10.
(2)二进制使用0和1这两个数字，基数为2.
(3)八进制使用0,1,2,3,4,5,6,7这八个数字，基数为8.
(4)十六进制使用0,1,2,
( http: / / www.21cnjy.com )3,4,5,6,7,8,9，A，B，C，D，E，F这十六个符号，基数为16.其中A，B，C，D，E，F分别相当于十进制中的10,11,12,13,14,15.
探究2　两个非十进制的数之间怎样转化？
【提示】　两个非十进制的数之间的转化，可以先化成十进制数，再化成另一进制的数，即将十进制作为“桥梁”．
探究3　不同进位制的数能比较大小吗？
【提示】　进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，不同进位制的数可以比较大小，一般转化成十进制数比较大小更方便．
探究4　进位制的原理是什么？不同的进位制如何区分？
【提示】　(1)十进制的
( http: / / www.21cnjy.com )原理是满十进一．一个十进制正整数N可以写成an·10n＋an－1·10n－1＋…＋a1·101＋a0·100的形式，其中an，an－1，…，a1，a0都是0至9中的数字，且an≠0.例如365＝3×102＋6×10＋5.
(2)一般地，k进制数的原理是满k进一，k进
( http: / / www.21cnjy.com )制数一般在右下角处标注(k)，以示区别．例如270(8)表示270是一个8进制数．但十进制一般省略不写．
( http: / / www.21cnjy.com )　把“五进制”数1234(5)转化为“十进制”数，再把它转化为“八进制”数.
【精彩点拨】　k进制化十进制时，利用求各位上的数与k的幂的乘积后再相加的方法，十进制化其他进制可采用除k取余法．
【尝试解答】　∵1
234(5)＝1×53＋2×52＋3×51＋4×50＝194，而
∴1
234(5)＝194(10)＝302(8)．
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把一个非十进制转化为另一种非十进
( http: / / www.21cnjy.com )制数，通常是把这个数先转化为十进制数，然后再利用除k取余法，把十进制数转化为k进制数.而在使用除k取余法时要注意以下几点：
1 必须除到所得的商是0为止；
2 各步所得的余数必须从下到上排列；
3 切记在所求数的右下角标明基数.
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[再练一题]
3．210(6)化成十进制数为________，85化成七进制数为________.
【解析】　210(6)＝2×62＋1×6＝78，
所以85＝151(7)．
【答案】　78　151(7)
秦九韶算法中的运算次数
直接法乘法运算的次数最多可达，加法最多n次，秦九韶算法通过转化把乘法运算的次数减少到最多n次，加法最多n次．
( http: / / www.21cnjy.com )　已知f(x)＝x5＋2x4＋3x3＋4x2＋5x＋6，用秦九韶算法求这个多项式当x＝2时的值时，做了几次乘法？几次加法？
【尝试解答】　在v1中虽然“v1＝2＋
( http: / / www.21cnjy.com )2＝4”，而计算机还是做了1次乘法“v1＝2×1＋2＝4”．因为用秦九韶算法计算多项式f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0当x＝x0时的值时，首先将多项式改写成f(x)＝(…(anx＋an－1)x＋…＋a1)x＋a0，然后再计算v1＝anx＋an－1，v2＝v1x＋an－2，v3＝v2x＋an－3，…，vn＝vn－1x＋a0.无论an是不是1，这次的乘法都是要进行的．由以上分析，共做了5次乘法，5次加法．
[再练一题]
4．用秦九韶算法求多项式f(x)＝4x5－x2＋2当x＝3时的值时，需要进行的乘法运算和加法运算的次数分别为(　　)
A．4,2　　　　
B．5,3　　　　
C．5,2　　　　
D．6,2
【解析】　f(x)＝4x5－x2＋2＝((((4x)x)x－1)x)x＋2，需5次乘法运算和2次加法运算．
【答案】　C
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1．490和910的最大公约数为(　　)
A．2　　　
B．10　　　
C．30　　　
D．70
【解析】　910＝490×1＋420,490＝420×1＋70,420＝70×6，故最大公约数为70.
【答案】　D
2．用更相减损术求294和84的最大公约数时，需做减法的次数是(　　)
A．2
B．3
C．4
D．5
【解析】　294－84＝210,210－84＝126,126－84＝42,84－42＝42.
【答案】　C
3．下列有可能是4进制数的是(　　)
A．5123
B．6542
C．3103
D．4312
【解析】　4进制数每位上的数字一定小于4，
故选C.
【答案】　C
4．将51化为二进制数得________．
【解析】　
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【答案】　110
011(2)
5．利用秦九韶算法求f(x)＝x5＋x3＋x2＋x＋1当x＝3时的值．
【解】　原多项式可化为：
∵f(x)＝((((x＋0)x＋1)x＋1)x＋1)x＋1
当x＝3时
v0＝1，v1＝1×3＋0＝3，v2＝3×3＋1＝10，
v3＝10×3＋1＝31，v4＝31×3＋1＝94，
v5＝94×3＋1＝283.
所以，当x＝3时f(3)＝283.3.1.2　概率的意义
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1．通过实例进一步理解概率的意义．(重点)
2．能用概率的意义解释生活中的事例．(难点)
3．了解概率在其他领域中的统计规律．
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[基础·初探]
教材整理1　概率的正确理解
阅读教材P113～P114“思考”以上的部分，完成下列问题．
随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但
( http: / / www.21cnjy.com )是随机性中含有规律性．认识了这种随机性中的规律性，就能使我们比较准确地预测随机事件发生的可能性．概率只是度量事件发生的可能性的大小，不能确定是否发生．
教材整理2　五个案例
阅读教材P115～P118的内容，完成下列问题．
1．游戏的公平性
(1)裁判员用抽签器决定谁先发球，不管哪一名运动员先猜，猜中并取得发球的概率均为0.5，所以这个规则是公平的．
(2)在设计某种游戏规则时，一定要考虑这种规则对每个人都是公平的这一重要原则．
2．决定中的概率思想
如果我们面临的是从多个可选答案中挑
( http: / / www.21cnjy.com )选正确答案的决策任务，那么“使得样本出现的可能性最大”可以作为决策的准则，这种判断问题的方法称为极大似然法，极大似然法是统计中重要的统计思想方法之一．
3．天气预报的概率解释
天气预报的“降水”是一个随机事件，
( http: / / www.21cnjy.com )“降水概率为90%”指明了“降水”这个随机事件发生的概率为90%，在一次试验中，概率为90%的事件也可能不出现，因此，“昨天没有下雨”并不能说明“昨天的降水概率是90%”的天气预报是错误的．
4．试验与发现
概率学的知识在科学发展中起着非常重要的作用，
( http: / / www.21cnjy.com )例如，奥地利遗传学家孟德尔利用豌豆所做的试验，经过长期观察得出了显性与隐性的比例接近3∶1，而对这一规律进行深入研究，得出了遗传学中一条重要的统计规律．
5．遗传机理中的统计规律
孟德尔在自己长达七、八年的试验中，观察到了遗传规律，这种规律是一种统计规律．
以豌豆为例说明孟德尔发现的杂交规律，假设纯黄为显性，记为YY，纯绿为隐性，记为yy：
第二代中YY，yy出现的概率都是，Yy出现的概率为，所以黄色豌豆(YY，Yy)∶绿色豌豆(yy)≈3∶1.
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)事件A发生的概率很小时，该事件为不可能事件．(　　)
(2)某医院治愈某种病的概率为0.8，则10个人去治疗，一定有8人能治愈．(　　)
(3)平时的多次比赛中，小明获胜的次数比小华的高，所以这次比赛应选小明参加．(　　)
【答案】　(1)×　(2)×　(3)√
2．已知某人在投篮时投中的概率为50%，则下列说法正确的是(　　)
A．若他投100次，一定有50次投中
B．若他投一次，一定投中
C．他投一次投中的可能性大小为50%
D．以上说法均错
【解析】　概率是指一件事情发生的可能性大小．
【答案】　C
3．若在同等条件下进行n次重复试验得到某个事件A发生的频率f(n)，则随着n的逐渐增加，有(　　)
A．f(n)与某个常数相等
B．f(n)与某个常数的差逐渐减小
C．f(n)与某个常数差的绝对值逐渐减小
D．f(n)在某个常数附近摆动并趋于稳定
【解析】　随着n的增大，频率f(n)会在概率附近摆动并趋于稳定，这也是频率与概率的关系．
【答案】　D
4．事件A发生的概率是，则表示的________．
【解析】　根据概率的含义知表示的是事件A发生的可能性大小．
【答案】　事件A发生的可能性的大小
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[小组合作型]
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概率含义的正确理解
( http: / / www.21cnjy.com )　(1)下列说法正确的是(　　)
A．由生物学知道生男生女的概率约为0.5，一对夫妇先后生两小孩，则一定为一男一女
B．一次摸奖活动中，中奖概率为0.2，则摸5张票，一定有一张中奖
C．10张票中有1张奖票，10人去摸，谁先摸则谁摸到奖票的可能性大
D．10张票中有1张奖票，10人去摸，无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1
(2)有以下一些说法：
①昨天没有下雨，则说明“昨天气象局的天气预报降水概率为95%”是错误的；
②“彩票中奖的概率是1%”表示买100张彩票一定有1张会中奖；
③做10次抛硬币的试验，结果3次正面朝上，因此正面朝上的概率为；
④某厂产品的次品率为2%，但该厂的50件产品中可能有2件次品．
其中错误说法的序号是________．
【精彩点拨】　结合概率的定义，正确理解概率的含义，概率是描述随机事件发生的可能性大小的量，而不是必然发生或必然不发生．
【尝试解答】　(1)一对夫妇生两小
( http: / / www.21cnjy.com )孩可能是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，所以A不正确；中奖概率为0.2是说中奖的可能性为0.2，当摸5张票时，可能都中奖，也可能中一张、两张、三张、四张，或者都不中奖，所以B不正确；10张票中有1张奖票，10人去摸，每人摸到的可能性是相同的，即无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1，所以C不正确；D正确．
(2)①中降水概率为95%，仍有不降水的可能，故①错；
②中“彩票中奖的概率是1%”表示在设计彩票时，有1%的机会中奖，但不一定买100张彩票一定有1张会中奖，故错误；
③中正面朝上的频率为，概率仍为，故③错误；
④中次品率为2%，但50件产品中可能没有次品，也可能有1件或2件或3件……次品，故④的说法正确．
【答案】　(1)D　(2)①②③
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1．概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值
.
2．由概率的定义我们可以知道随机事件A在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率就是其规律性在数量上的反映．
3．正确理解概率的意义，要清楚概率与频率的区别与联系．对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件．
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[再练一题]
1．某工厂生产的产品合格率是99.99%，这说明(　　)
A．该厂生产的10
000件产品中不合格的产品一定有1件
B．该厂生产的10
000件产品中合格的产品一定有9
999件
C．合格率是99.99%，很高，说明该厂生产的10
000件产品中没有不合格产品
D．该厂生产的产品合格的可能性是99.99%
【解析】　合格率是99.99%，是指该工厂生产的每件产品合格的可能性大小，即合格的概率．
【答案】　D
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决策中的概率思想
( http: / / www.21cnjy.com )　设有外形完全相同的两个箱子，甲箱有99个白球和1个黑球，乙箱有1个白球和99个黑球，今随机地抽取一箱，再从取出的一箱中抽取一球，结果取得白球．问这球是从哪一个箱子中取出的．
【精彩点拨】　应用统计中的极大似然法作出判断．
【尝试解答】　甲箱中有99个白球1个
( http: / / www.21cnjy.com )黑球，故随机地取出一球，得白球的可能性是；乙箱中有1个白球和99个黑球，从中任取一球，得到白球的可能性是，由此看出，这一白球从甲箱中抽取的概率比从乙箱中抽出的概率大得多．由极大似然法知，既然在一次抽样中抽到白球，当然可以认为是从概率大的箱子中抽出的．所以我们作出统计推断该白球是从甲箱中抽出的．
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在一次试验中，概率大的事件比
( http: / / www.21cnjy.com )概率小的事件出现的可能性更大，这正是能够利用极大似然法来进行科学决策的理论依据.因此，在分析、解决有关实际问题时，要善于灵活地运用极大似然法这一思想方法来进行科学地决策.
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[再练一题]
2．同时向上抛100个铜板，结果落地时100个铜板朝上的面都相同，你认为这100个铜板更可能是下面哪种情况(　　)
A．这100个铜板两面是一样的
B．这100个铜板两面是不同的
C．这100个铜板中有50个两面是一样的，另外50个两面是不相同的
D．这100个铜板中有20个两面是一样的，另外80个两面是不相同的
【解析】　落地时100个铜板朝上的面都相同，根据极大似然法可知，这100个铜板两面是一样的可能性较大．
【答案】　A
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概率的应用
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( http: / / www.21cnjy.com )　为了估计水库中鱼的尾数，可以使用以下的方法：先从水库中捕出2
000尾鱼，给每尾鱼做上记号，不影响其存活，然后放回水库．经过适当的时间，让其和水库中的其他鱼充分混合，再从水库中捕出500尾，查看其中有记号的鱼，有40尾，试根据上述数据，估计水库中鱼的尾数．
【精彩点拨】　按有记号的鱼所占的比例进行求解．
【尝试解答】　设水库中鱼
( http: / / www.21cnjy.com )的尾数是n，现在要估计n的值，假定每尾鱼被捕的可能性是相等的，从水库中任捕一尾鱼，设事件A＝{带记号的鱼}，则P(A)＝.
第二次从水库中捕出500尾鱼，其中带记号
( http: / / www.21cnjy.com )的有40尾，即事件A发生的频数为40，由概率的统计定义知P(A)≈，即≈，解得n≈25
000.
所以估计水库中的鱼有25
000尾．
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1．由于概率反映了随机事件发生的可能性的大小，概率是频率的近似值与稳定值，所以可以用样本出现的频率近似地估计总体中该结果出现的概率．
2．实际生活与生产中常常用随机事件发生的概率来估计某个生物种群中个别生物种类的数量、某批次的产品中不合格产品的数量等．
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[再练一题]
3．某中学为了了解初中部学生的某项行
( http: / / www.21cnjy.com )为规范的养成情况，在校门口按系统抽样的方法：每2分钟随机抽取一名学生，登记佩带胸卡的学生的名字．结果，150名学生中有60名佩带胸卡．第二次检查，调查了初中部的所有学生，有500名学生佩带胸卡．据此估计该中学初中部一共有多少名学生．
【解】　设初中部有n名学生，依题意得＝，解得n＝1
250.
所以该中学初中部共有学生大约1
250名．
[探究共研型]
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概率的意义
探究1　如何理解概率意义上的“可能性”？
【提示】　(1)概率意义上的
( http: / / www.21cnjy.com )“可能性”是大量随机现象的客观规律，与我们日常所说的“可能”“估计”是不同的，也就是说，单独一次试验结果的不肯定性与多次试验累积结果的有规律性，才是概率意义上的“可能性”．
(2)概率是根据大量的随机试验得到的一个相应的期望值，它说明一个事件发生的可能性的大小，并未说明一个事件一定发生或一定不发生．
探究2　如何用概率知识解释天气预报中的“降水”？
【提示】　天气预报中的“降水”是一个随机事件
( http: / / www.21cnjy.com )，概率只是说明这个随机事件发生的可能性的大小，概率值越大，说明在一次试验中事件发生的可能性越大，但在一次试验中，“降水”这个事件是否发生还是随机的．
探究3　我们知道，每次抛掷硬币的结果出现正
( http: / / www.21cnjy.com )、反的概率都为0.5，则连续抛掷质地均匀的硬币两次，是否一定出现“一次正面向上，一次反面向上”呢？
【提示】　不一定．这是因为统计规
( http: / / www.21cnjy.com )律不同于确定的数学规律，对于具体的一次试验而言，它带有很大的随机性(即偶然性)，通过具体试验可以知道除上述结果外，也可能出现“两次都是正面向上”、“两次都是反面向上”．
尽管随机事件的概率不像函数
( http: / / www.21cnjy.com )关系那样具有确定性，但是如果我们知道某事件发生的概率的大小，也能作出科学的决策．例如：做连续抛掷两枚质地均匀的硬币的试验1
000次，可以预见：“两个都是正面向上”大约出现250次，“两个都是反面向上”大约出现250次，而“一个正面向上、一个反面向上”大约出现500次．
( http: / / www.21cnjy.com )　已知某厂的产品合格率为90%，现抽出10件产品检查，则下列说法正确的是(　　)
A．合格产品少于9件
B．合格产品多于9件
C．合格产品正好是9件
D．合格产品可能是9件
【精彩点拨】　利用“概率”及“合格率”的意义进行分析．
【尝试解答】　一个事件的概率是通过大量
( http: / / www.21cnjy.com )的重复试验得到的，其反映了该随机事件发生的可能性大小，因此在本题中“抽出10件产品”相当于做了10次试验，而每次试验结果可能是正品，也可能是次品．故只有D正确．
【答案】　D
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随机事件在一次试验中发生与否是随机的.但
( http: / / www.21cnjy.com )随机中含有规律性，而概率恰是其规律性在数量上的反映，概率是客观存在的，它与试验次数，哪一个具体的试验都没有关系，运用概率知识，可以帮助我们预测事件发生的可能性.
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[再练一题]
4．“今天北京的降雨概率是80%，上海的降雨概率是20%”，下列说法不正确的是(　　)
A．北京今天一定降雨，而上海一定不降雨
B．上海今天可能降雨，而北京可能没有降雨
C．北京和上海都可能没降雨
D．北京降雨的可能性比上海大
【解析】　北京的降雨概率80
( http: / / www.21cnjy.com )%大于上海的降雨概率20%，说明北京降雨的可能性比上海大，也可能都降雨，也可能都没有降雨，但是不能确定北京今天一定降雨，上海一定不降雨，所以B，C，D正确，A错误．
【答案】　A
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1．在给病人动手术之前，外科医生会告知病人或家属一些情况，其中有一项是说这种手术的成功率大约是99%.下列解释正确的是(　　)
A．100个手术有99个手术成功，有1个手术失败
B．这个手术一定成功
C．99%的医生能做这个手术，另外1%的医生不能做这个手术
D．这个手术成功的可能性大小是99%
【解析】　成功率大约是99%，说明手术成功的可能性大小是99%，故选D.
【答案】　D
2．下列叙述中的事件最能体现概率是0.5的是(　　)
A．抛掷一枚骰子10次，其中数字6朝上出现了5次，抛掷一枚骰子数字6向上的概率
B．某地在8天内下雨4天，该地每天下雨的概率
C．进行10
000次抛掷硬币试验，出现5
001次正面向上，那么抛掷一枚硬币正面向上的概率
D．某人买了2张体育彩票，其中一张中500万大奖，那么购买一张体育彩票中500万大奖的概率
【解析】　A，B，D中试验次数较少，只能说明相应事件发生的频率是0.5.
【答案】　C
3．经过市场抽检，质检部门得知市场上食用油合格率为80%，经调查，某市市场上的食用油大约有80个品牌，则不合格的食用油品牌大约有(　　)
A．64个　　　　　　　　
B．640个
C．16个
D．160个
【解析】　80×(1－80%)＝16.
【答案】　C
4．给出下列四个命题：
①设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件是次品；
②做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面朝上，因此，出现正面朝上的概率是；
③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率；
④抛掷骰子100次，得点数是1的结果18次，则出现1点的频率是.
其中正确的命题有________．
【解析】　①错，次品率是大量产品的估计值，并不是针对200件产品来说的．②③混淆了频率与概率的区别．④正确．
【答案】　④
5．如果掷一枚质地均匀的硬币，连续5次正面向上，有人
认为下次出现反面向上的概率大于，这种理解正确吗？
【解】　这种理解是不正确的．掷一枚质地均匀的
( http: / / www.21cnjy.com )硬币，作为一次试验，其结果是随机的，但通过大量的试验，其结果呈现出一定的规律，即“正面向上”、“反面向上”的可能性都是，连续5次正面向上这种结果是可能的，但对下一次试验来说，仍然是随机的，其出现正面向上和反面向上的可能性还是，而不会大于.2.1.1　简单随机抽样
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1．理解并掌握简单随机抽样的定义、特点和适用范围．(重点、易错易混点)
2．掌握两种简单随机抽样的步骤，并能用简单随机抽样方法抽取样本．(重点、难点)
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[基础·初探]
教材整理1　简单随机抽样
阅读教材P56“思考”以上的内容，完成下列问题．
1．简单随机抽样的定义
一般地，设一个总体含有N个个
( http: / / www.21cnjy.com )体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．这样抽取的样本，叫做简单随机样本．
2．简单随机抽样的特点如下：
(1)有限性：简单随机抽样要求被抽取的样本的总体个数是有限的，便于通过样本对总体进行分析．
(2)逐一性：简单随机抽样是从总体中逐个地进行抽取，便于实践中操作．
(3)不放回性：简单随机抽样是一种不放回抽样，便于进行有关的分析和计算．
(4)等可能性：简单随机抽样中各个个体被抽到的机会都相等，从而保证了抽样方法的公平．
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1．在简单随机抽样中，某一个个体被抽中的可能性(　　)
A．与第几次抽样有关，第一次抽中的可能性要大些
B．与第几次抽样无关，每次抽中的可能性都相等
C．与第几次抽样有关，最后一次抽中的可能性要大些
D．每个个体被抽中的可能性无法确定
【解析】　在简单随机抽样中，每一个个体被抽中的可能性都相等，与第几次抽样无关．故选B.
【答案】　B
2．下列抽样方法是简单随机抽样的是(　　)
A．从50个零件中一次性抽取5个做质量检验
B．从50个零件中有放回地抽取5个做质量检验
C．从整数集中逐个抽取10个分析是奇数还是偶数
D．运动员从8个跑道中随机抽取一个跑道
【解析】　A项中是一次性抽取
( http: / / www.21cnjy.com )5个，不是逐个抽取，则A项不是简单随机抽样；B项中是有放回抽取，则B项也不是简单随机抽样；C项中整数集是无限集，总体容量不是有限的，则C项也不是简单随机抽样；很明显D项是简单随机抽样．
【答案】　D
教材整理2　两种常用的简单随机抽样方法
阅读教材P56“思考”以下的内容，完成下列问题．
1．抽签法
(1)抽签法(抓阄法)的定义
一般地，抽签法就是把总体
( http: / / www.21cnjy.com )中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本．
(2)抽签法的步骤如下：
①编号．将N个个体编号(号码可以从1～N，也可以使用已有的号码)．
②写签．将1～N这N个号码写到大小、形状相同的号签上．
③搅拌均匀．将写好的号签放入一个不透明的容器中，搅拌均匀．
④抽签．从容器中每次抽取一个号签，连续抽取n次，并记录其编号．
⑤确定样本．从总体中找出与号签上的号码对应的个体，组成样本．
(3)抽签法的优缺点：
优点是简单易行．
缺点是仅适用于容量较少的总体，在总体容量
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2．随机数法
(1)随机数法的定义
随机数法，即利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样．这里仅介绍随机数表法．
①随机数表
随机数表由数字0,1,2，…，9组成
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②随机数表法的步骤如下：
(ⅰ)编号．将各个个体编号．
(ⅱ)选定初始值(数)．为了保证所选数字的随机性，在查看随机数表前就指出开始数字的横、纵位置．
(ⅲ)选号．从选定的数字开始按照一定的方向读下去，得到的号码若不在编号中或已被选用，则跳过，直到选满n个为止．
(ⅳ)确定样本．按步骤③选出的号码从总体中找出与其对应的个体，组成样本．
(2)随机数法的优缺点：
优点是简单易行，不论总体容量是多少都可以使用，它很好地解决了当总体容量较多时用抽签法制签难的问题．
缺点是当总体容量很大时，需要的样本容量也很大时，利用随机数法抽取样本仍不方便．
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1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)简单随机抽样就是随便抽取样本．(　　)
(2)抽签时，先抽的比较幸运．(　　)
(3)3个人抓阄，每个人抓到的可能性都一样．(　　)
(4)使用随机数表时，开始的位置和方向可以任意选择．(　　)
【答案】　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2．采用简单随机抽样，从6个标有序号A，B，C，D，E，F的球中抽取1个球，则每个球被抽到的可能性是________．
【解析】　每个个体抽到的可能性是一样的．
【答案】　
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[小组合作型]
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简单随机抽样的概念
( http: / / www.21cnjy.com )　(1)关于简单随机抽样，下列说法正确的是(　　)
①它要求被抽取样本的总体的个数有限；
②它是从总体中逐个地进行抽取；
③它是一种不放回抽样；
④它是一种等可能性抽样，每次从总体中抽取一
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A．①②　　　　　　　　　
B．③④
C．①②③
D．①②③④
(2)下面的抽样方法是简单随机抽样的是________．
①从无数张高考试卷中抽取50张试卷作为样本；
②从80台笔记本电脑中一次性抽取6台电脑进行质量检查；
③一福彩彩民买30选7彩票时，从装有30个
( http: / / www.21cnjy.com )大小、形状都相同的乒乓球的盒子(不透明)中逐个无放回地摸出7个有标号的乒乓球，作为购买彩票的号码；
④用抽签法从10件产品中选取3件进行质量检验．
【精彩点拨】　根据简单随机抽样的概念及特征去判断．
【尝试解答】　(1)由随机抽样的特征可知．
(2)①中样本总体数目不确定，不是简单随机抽
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【答案】　(1)D　(2)③④
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判断一个抽样是否是简单随机抽样，一定要看它是否满足简单随机抽样的四个特点，这是判断的唯一标准.
1 简单随机抽样的样本总体个数有限；
2 简单随机抽样的样本是从总体中逐个抽取；
3 简单随机抽样是一种不放回抽样；
4 简单随机抽样的每个个体入样机会均等.
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[再练一题]
1．下面的抽样方法是简单随机抽样吗？为什么？
(1)从无数个个体中抽取50个个体作为样本；
(2)质量监督部门从180种儿童玩具中选出18种玩具进行质量检验，在抽样操作过程中，从中任取一种玩具检验后再放回；
(3)国家跳水队挑出最优秀的10名跳水队员，备战奥运会；
(4)一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出6个号签．
【解】　(1)不是简单随机抽样，因为简单随机抽样要求被抽取的样本总体的个数是有限的．
(2)不是简单随机抽样，因为简单随机抽样要求逐个不放回地抽取样本．
(3)不是简单随机抽样，因为这10名跳水队员是挑选出来的最优秀的，每个个体被抽到的可能性不同，不符合简单随机抽样中“等可能抽样”的要求．
(4)是简单随机抽样，因为总体中的个体数是有限的，并且是从总体中逐个进行抽取的，是不放回、等可能的抽样．
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抽签法的方案设计
( http: / / www.21cnjy.com )　要从某汽车厂生产的30辆汽车中随机抽取3辆进行测试，请选择合适的抽样方法，并写出抽样过程.
【精彩点拨】　已知N＝30，n＝3，抽签法抽样时编号1,2，…，30，抽取3个编号，对应的汽车组成样本．
【尝试解答】　应使用抽签法，步骤如下：
①将30辆汽车编号，号码是1,2,3，…，30；
②将1～30这30个编号写在大小、形状都相同的号签上；
③将写好的号签放入一个不透明的容器中，并搅拌均匀；
④从容器中每次抽取一个号签，连续抽取3次，并记录上面的编号；
⑤所得号码对应的3辆汽车就是要抽取的对象．
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1．一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是制签是否方便；二是个体之间差异不明显．一般地，当样本容量和总体容量较小时，可用抽签法．
2．应用抽签法时应注意以下几点
(1)编号时，如果已有编号可不必重新编号；
(2)号签要求大小、形状完全相同；
(3)号签要均匀搅拌；
(4)要逐一不放回的抽取．
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[再练一题]
2．下列抽样实验中，用抽签法方便的是(　　)
A．从某厂生产的3
000件产品中抽取600件进行质量检验
B．从某厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验
C．从甲、乙两厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验
D．从某厂生产的3
000件产品中抽取10件进行质量检验
【解析】　A总体容量较大，样本容量也较大不适
( http: / / www.21cnjy.com )宜用抽签法；B总体容量较小，样本容量也较小可用抽签法；C中甲、乙两厂生产的两箱产品有明显区别，不能用抽签法；D总体容量较大，不适宜用抽签法．
【答案】　B
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随机数表法的方案设计
( http: / / www.21cnjy.com )　现有120台机器，请用随机数表法抽取10台机器，写出抽样过程．
【精彩点拨】　已知N＝120，n＝10，用
( http: / / www.21cnjy.com )随机数表法抽样时编号000,001,002，…，119，抽取10个编号(都是三位数)，对应的机器组成样本．
【尝试解答】　第一步，先将120台机器编号，可以编为000,001,002，…，119；
第二步，在随机数表中任选一个数作为开始，任选一个方向作为读数方向，例如选出第9行第7列的数3，向右读；
第三步，从选定的数3开始向右读，每次读取三
( http: / / www.21cnjy.com )位，凡不在000～119中的数跳过去不读，前面已经读过的也跳过去不读，依次可得到074,100,094,052,080,003,105,107,083,092；
第四步，以上这10个号码074,100,094,052,080,003,105,107,083,092所对应的10台机器就是要抽取的对象．
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1．在利用随机数法抽样的过程中应注意
(1)编号要求数位相同；
(2)第一个数字的抽取是随机的；
(3)读数的方向是任意的，且事先定好的．
2．随机数法的特点
优点：简单易行．它很好地解决了当总体中的个体数较多时用抽签法制签难的问题．
缺点：当总体中的个体数很多，需要的样本容量也很大时，用随机数法抽取样本容易重号．
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[再练一题]
3．假设要考察某公司生产的50
( http: / / www.21cnjy.com )0克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000,001，…，799进行编号，如果从随机数表第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的5袋牛奶的编号________．(下面摘取了随机数表第7行至第9行)
84421753315724550688770474476721763350258392120676
63016378591695556719981050717512867358074439523879
33211234297864560782524207443815510013429966027954
【解析】　找到第8行第7列的数开始向右读，
( http: / / www.21cnjy.com )第一个符合条件的是785；第二个数916＞799，舍去；第三个数955＞799，舍去；第四个数567符合题意，这样再依次读出结果为199,507,175.
【答案】　785,567,199,507,175
[探究共研型]
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简单随机抽样的特点
探究1　从100名学生中抽取20名进行100米测试，则样本指的是抽取的20名学生吗？
【提示】　不是．样本指的是抽取的20名学生的100米测试成绩，而不是这些学生．因为抽取的是考察对象的某一数值指标，而不是考察的对象．
探究2　什么样的总体适合用简单随机抽样？
【提示】　(1)总体中的个体性质相似，无明显层次；
(2)总体中的个体数目较小，尤其是样本容量较小．
探究3　现有甲、乙两位同学对同一个总体用简单随机抽样的方法抽样，那么他们抽取的样本一定一样吗？
【提示】　这两位同学抽出来的样本
( http: / / www.21cnjy.com )不一定一样．因为对于一次简单随机抽样来说，抽出来的样本是确定的，而这两位同学分别抽取时，各个个体是否入样带有随机性，且个体间无固定间距．
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简单随机抽样的方法
探究4　抽取一个号签，记录其编号
( http: / / www.21cnjy.com )后放入容器中，再次抽取记录，连续n次后得到号签上的号码对应的个体，这些个体组成样本，这种抽样方法是抽签法吗？
【提示】　不是．因为抽签法是逐个不放回抽取，目的是保证抽取的号签不会重复，而这里记录编号后又放回容器中，所以不是抽签法．
探究5　利用随机数表法抽样时，如何对各个个体编号？
【提示】　利用随机数表法抽样时，对各个个体
( http: / / www.21cnjy.com )编号要视总体中的个数情况而定，但必须保证所编号码的位数一致，不允许出现不同位数的号码．另外，对于两位数的编号，一般是将起始号编为00，而不是01，它的好处在于可使100个个体都可用两位数字号码表示，否则将会出现三位数字号码100，这样确定的起始号便于我们使用随机数表．
探究6　抽签法和随机数法有什么异同点？
【提示】　相同点：
(1)都是简单随机抽样，并且要求被抽取样本的总体的个体数有限；
(2)都是从总体中逐个地进行抽取，都是不放回抽样．
不同点：
(1)在总体容量较小的情况下，抽签法比随机数法简单；
(2)抽签法适用于总体中的个体数相对较少的情况，而随机数法更适用于总体中的个体数较多的情况，这样可以节约大量的人力和制作号签的成本．
( http: / / www.21cnjy.com )　某单位积极支援西部开发，现从报名的20名志愿者中随机选取5名组成志愿小组到新疆工作，请用抽签法设计抽样方案．
【精彩点拨】　1.明确简单随机抽样的特点，特别是不放回抽样与等可能抽样的特点.2.掌握抽签法的操作步骤．
【尝试解答】　①将20名志愿者编号，号码是01,02，…，20；
②将号码分别写在一张纸条上，揉成团，制成号签；
③将得到的号签放入一个不透明的袋子中，并搅拌均匀；
④从袋子中依次抽取5个号签，并记录上面的编号；
⑤所得号码对应的5名志愿者就是志愿小组的成员．
[再练一题]
4．某学校高二年级有500名学生，
( http: / / www.21cnjy.com )考试后为详细分析教学中存在的问题，计划抽取一个容量为20的样本，使用随机数表法进行抽取，要取三位数，写出你抽得的样本，并写出抽取过程．(起点在第几行、第几列，具体方法)
【解】　第一步：给500名学生编号：001,002,003，…，500；
第二步：从随机数表的第13行第3列的4(任意选
取的)开始向右连续读取数
( http: / / www.21cnjy.com )字，以3个数为一组，碰到右边线时向下错一行向左继续读取．在读取时，遇到大于500或重复前数时，将它舍弃，再继续向下取，所取得的样本号码是：424,064,297,074,140,407,385,075,354,
024,066,352,022,088,313,500,162,290,263,253.
第三步：以上这20个号码所对应的20名学生就是要抽取的对象．
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1．抽签法中确保样本代表性的关键是(　　)
A．制签　　　　　　　　
B．搅拌均匀
C．逐一抽取
D．抽取不放回
【解析】　逐一抽取、抽取不放回是简单随机抽样的特点，但不是确保代表性的关键，一次抽取与有放回抽取也不影响样本的代表性，制签也一样，故选B.
【答案】　B
2．为了了解全校240名高一学生的身高情况，从中抽取40名学生进行测量．下列说法正确的是(　　)
A．总体是240名　　　　　
B．个体是每一个学生
C．样本是40名学生
D．样本容量是40
【解析】　在这个问题中，总体是240名学生的身高，个体是每个学生的身高，样本是40名学生的身高，样本容量是40，因此选D.
【答案】　D
3．某班50名学生中有30名男生，20名女生，用简单随机抽样抽取1名学生参加某项活动，则抽到女生的可能性为(　　)
A．0.4
B．0.5
C．0.6
D.
【解析】　在简单随机抽样中每个个体被抽到的机会相等，故可能性为＝0.4.
【答案】　A
4．一个总体的60个个体编号为0
( http: / / www.21cnjy.com )0,01，…，59，现需从中抽取一容量为8的样本，请从随机数表的倒数第5行(下表为随机数表的最后5行)第11列开始，向右读取，直到取足样本，则抽取样本的号码是________．
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【解析】　所取的号码要在00～59之间且重复出现的号码仅取一次．
【答案】　18,00,38,58,32,26,25,39
5．从30个灯泡中抽取10个进行质量检测，试说明利用随机数表法抽取这个样本的步骤．
【解】　第一步，将30个灯泡编号：00,01,02,03，…，29；
第二步，在随机数表中任取一个数作为开始，如从第9行第35列的0开始(见课本随机数表)；
第三步，从0开始向右读，每次读取两位
( http: / / www.21cnjy.com )，凡不在00～29中的数跳过去不读，前面已经读过的也跳过去不读，依次可得到00,13,02,09,27,17,08,28,18,07这10个编号，则这10个编号所对应的灯泡就是要抽取的对象．第二章
统计
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[自我校对]
①随机数法
②系统抽样
③分层抽样
④频率分布直方图
⑤茎叶图
⑥方差与标准差
⑦散点图
⑧回归方程
　
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抽样方法及应用
随机抽样有简单随机抽样、系统抽样和分
( http: / / www.21cnjy.com )层抽样三种．其共同点是在抽样过程中每个个体被抽到的机会相等，当总体中的个体数较少时，常采用简单随机抽样；当总体中的个体数较多时，多采用系统抽样；当已知总体由差异明显的几部分组成时，常采用分层抽样．其中简单随机抽样是最简单、最基本的抽样方法．在进行系统抽样和分层抽样时都要用到简单随机抽样．
应用各种抽样方法抽样时要注意以下问题：
(1)利用抽签法时要注意把号签放在不透明的容器中且搅拌均匀；
(2)利用随机数法时注意编号位数要一致；
(3)利用系统抽样时，若抽样间隔k＝不是整数，应剔除部分个体；
(4)在分层抽样中，若在某一层抽到的个体数不是整数，应在该层剔除部分个体，使抽取个体数为整数．
( http: / / www.21cnjy.com )　某高级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人．现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1,2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号为1,2，…，270，并将整个编号依次分为10段．如果抽得号码有下列四种情况：
①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250；
②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265；
③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254；
④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270.
关于上述样本的下列结论中，正确的是(　　)
A．②③都不能为系统抽样
B．②④都不能为分层抽样
C．①④都可能为系统抽样
D．①③都可能为分层抽样
【精彩点拨】　分层抽样时
( http: / / www.21cnjy.com )，在各层所抽取的样本个数与该层个体数的比值等于抽样比；系统抽样抽取的号码按从小到大排列后，每一个号码与前一个号码的差都等于分段间隔．
【规范解答】　按分层抽样时，
( http: / / www.21cnjy.com )在一年级抽取108×＝4(人)，在二年级、三年级各抽取81×＝3(人)，则在号码段1,2，…，108中抽取4个号码，在号码段109,110，…，189中抽取3个号码，在号码段190,191，…，270中抽取3个号码，①②③符合，所以①②③可能是分层抽样，④不符合，所以④不可能是分层抽样；如果按系统抽样时，抽取出的号码应该是“等距”的，①③符合，②④不符合，所以①③都可能为系统抽样，②④都不能为系统抽样．
【答案】　D
[再练一题]
1．①教育局督学组到校检查工作，临时需在每
( http: / / www.21cnjy.com )班各抽调两人参加座谈；②某班数学期中考试有15人在120分以上，40人在90～119分，1人不及格，现从中抽出8人研讨进一步改进教与学；③某班春节聚会，要产生两位“幸运者”．就这三件事，合适的抽样方法分别为(　　)
A．分层抽样，分层抽样，简单随机抽样
B．系统抽样，系统抽样，简单随机抽样
C．分层抽样，简单随机抽样，简单随机抽样
D．系统抽样，分层抽样，简单随机抽样
【尝试解答】　①每班各抽两人需用系统抽样．
②由于学生分成了差异比较大的几层，应用分层抽样．
③由于总体与样本容量较小，应用简单随机抽样．故选D.
【答案】　D
( http: / / www.21cnjy.com )
用样本的频率分布估计总体分布
利用样本的频率分布表和频
( http: / / www.21cnjy.com )率分布直方图对总体情况作出估计，有时也利用频率分布折线图和茎叶图对总体情况作出估计．直方图能够很容易地表示大量数据，非常直观地表明分布的形状，使我们能够看到在分布表中看不清楚的数据模式，这样根据样本的频率分布，我们可以大致估计出总体的分布．但是，当总体的个体数较多时，所需抽样的样本容量也不能太小，随着样本容量的增加，频率分布折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条曲线为总体密度曲线，它能给我们提供更加精细的信息．在样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它不但可以保留原始信息，而且可以随时记录，这给数据的记录和表示都能带来方便．
( http: / / www.21cnjy.com )　如下表所示给出了某校500名12岁男孩中用随机抽样得出的120人的身高资料．(单位：cm)
区间界限
[122,126)
[126,130)
[130,134)
[134,138)
[138,142)
人数
5
8
10
22
33
区间界限
[142,146)
[146,150)
[150,154)
[154,158]
人数
20
11
6
5
(1)列出样本的频率分布表；
(2)画出频率分布直方图；
(3)估计身高低于134
cm的人数占总人数的百分比．
【精彩点拨】　(1)根据频数计算出频率．分“分组
”、“频数”、“频率”三列，列出频率分布表．
(2)根据频率分布表画出频率分布直方图．
(3)根据频率分布表计算出身高低于134
cm的频率．
【规范解答】　(1)样本的频率分布表：
分组
频数
频率
[122,126)
5
0.04
[126,130)
8
0.07
[130,134)
10
0.08
[134,138)
22
0.18
[138,142)
33
0.28
[142,146)
20
0.17
[146,150)
11
0.09
[150,154)
6
0.05
[154,158]
5
0.04
合计
120
1.00
(2)画出频率分布直方图，如下图所示：
(3)因为样本中身高低于134
cm的人数的频率为＝≈0.19，所以估计身高低于134
cm的人数约占总人数的19%.
[再练一题]
2．为了了解某校高一学生的视力情况，随
( http: / / www.21cnjy.com )机地抽查了该校100名高一学生的视力情况，得到频率分布直方图如图2 1，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组频数和为62，视力在4.6到4.8之间的学生数为a，最大频率为0.32，则a的值为(　　)
图2 1
A．64　　　B．54　　　C．48　　　D．27
【解析】　[4.7,4.8)之间频率为0.32，[4.6,4.7)之间频率为1－0.62－0.05－0.11＝1－0.78＝0.22.
∴a＝(0.22＋0.32)×100＝54.
【答案】　B
( http: / / www.21cnjy.com )
用样本的数字特征估计总体的数字特征
样本的数字特征可分为两大类：
( http: / / www.21cnjy.com )一类是反映样本数据集中趋势的，包括平均数、众数、中位数；另一类是反映样本数据的波动大小，包括样本方差及标准差．通常，在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题还要研究方差，方差描述了数据相对平均数的离散程度，在平均数相同的情况下，方差越大，离散程度越大，数据波动性越大，稳定性越差；方差越小，数据越集中，质量越稳定．
( http: / / www.21cnjy.com )　甲、乙两人数学成绩的茎叶图如图2 2所示：
图2 2
(1)求出这两名同学的数学成绩的平均数、标准差；
(2)比较两名同学的成绩，谈谈你的看法．
【精彩点拨】　(1)利用茎叶图中的数据计算平均数、标准差．
(2)从平均数和方差两方面比较两人的成绩．
【解】　甲＝(65＋70＋80＋86＋89＋95＋91＋94＋107＋113)＝89.
s＝[(65－89)2
( http: / / www.21cnjy.com )＋(70－89)2＋(80－89)2＋(86－89)2＋(89－89)2＋(95－89)2＋(91－89)2＋(94－89)2＋(107－89)2＋(113－89)2]＝199.2，
∴s甲≈14.1.
乙＝(79＋86＋83＋88＋93＋99＋98＋98＋102＋114)＝94.
s＝[(79－94)2＋(86
( http: / / www.21cnjy.com )－94)2＋(83－94)2＋(88－94)2＋(93－94)2＋(99－94)2＋(98－94)2＋(98－94)2＋(102－94)2＋(114－94)2]＝96.8.
∴s乙≈9.8.
∴甲＜乙且s甲＞s乙．
∴乙同学的平均成绩较高且标准差较小；
说明乙同学比甲同学的成绩扎实，稳定．
[再练一题]
3．对甲、乙的学习成绩进行抽样分析，各抽5门功课，得到的观测值如下：
甲
60
80
70
90
70
乙
80
60
70
80
75
问：甲、乙谁的平均成绩好？谁的各门功课发展较平衡？
【解】　甲的平均成绩为甲＝74，乙的平均成绩为乙＝73.所以甲的平均成绩好．
甲的方差是s＝(142＋62＋42＋162＋42)＝104，乙的方差是s＝×(72＋132＋32＋72＋22)＝56.
因为s＞s，所以乙的各门功课发展较平衡．
回归直线的方程
分析两个变量的相关关系时，可根据样本
( http: / / www.21cnjy.com )数据散点图确定两个变量之间是否存在相关关系，还可利用最小二乘法求出回归方程．从散点图上，我们可以分析出两个变量是否存在相关关系．如果这些点大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，那么就说这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线，直线的方程叫做回归方程．
求回归方程的步骤：
(1)先把数据制成表，从表中计算出i，i，，iyi；
(2)计算回归系数，；
(3)写出回归方程＝x＋.
( http: / / www.21cnjy.com )　下表数据是退水温度x(℃)对黄酮延长性y(%)效应的试验结果，y是以延长性计算的，且对于给定的x，y为正态变量，其方差与x无关．
x(℃)
300
400
500
600
700
800
y(%)
40
50
55
60
67
70
(1)画出散点图；
(2)指出x，y是否线性相关；
(3)若线性相关，求y关于x的回归方程；
(4)估计退水温度是1
000
℃时，黄酮延长性的情况．
【精彩点拨】　先画出散点图，确定y与x之间是否线性相关，再根据求回归直线方程的步骤求出回归直线方程，最后根据回归方程确定黄酮延长性的情况．
【规范解答】　(1)散点图如图：
(2)由散点图可以看出样本点分布在一条直线的附近，可见y与x线性相关．
(3)列出下表并用科学计算器进行有关计算.
i
1
2
3
4
5
6
xi
300
400
500
600
700
800
yi
40
50
55
60
67
70
xiyi
12
000
20
000
27
500
36
000
46
900
56
000
x
90
000
160
000
250
000
360
000
490
000
640
000
＝550，＝57，x＝1
990
000，xiyi＝198
400
于是可得
＝＝≈0.058
86，
＝－＝57－0.058
86×550＝24.627.
因此所求的回归直线的方程为：
＝0.058
86x＋24.627.
(4)将x＝1
000代入回归方程得
＝0.058
86×1
000＋24.627＝83.487，
即退水温度是1
000
℃时，
黄酮延长性大约是83.487%.
[再练一题]
4．有人收集了春节期间平均气温x与某取暖商品销售额y的有关数据如下表：
平均气温(℃)
－2
－3
－5
－6
销售额(万元)
20
23
27
30
根据以上数据，用线性回归的方法
( http: / / www.21cnjy.com )，求得销售额y与平均气温x之间的线性回归方程＝x＋的系数＝－2.4，则预测平均气温为－8℃时该商品的销售额为(　　)
A．34.6万元　　　　　　
B．35.6万元
C．36.6万元
D．37.6万元
【解析】　＝＝－4，
＝＝25，
所以25＝(－2.4)×(－4)＋a.
所以＝15.4.
所以回归直线方程为＝－2.4x＋15.4.
当x＝－8时，y＝34.6，即预测平均气温为－8℃时，该商品的销售额为34.6万元．故选A.
【答案】　A
数形结合思想
数形结合思想在本章中的重要应用是通过频率分布的态势对总体进行估计及根据散点图确定两个变量是否具有相关关系，并做出判断．
统计图表(频率分布直方图、茎
( http: / / www.21cnjy.com )叶图)与数字特征(平均数、中位数、方差)是高考的重点和热点内容，几乎每年必考，通常以茎叶图和频率分布直方图为载体，考查平均数、中位数、方差等的计算，高考对变量间的相关性的考查呈逐年上升的趋势，主要考查借助散点图直观地分析两个变量间的相关关系，知道回归直线经过样本中心，会求回归方程，并能利用方程对有关变量作出估计．
( http: / / www.21cnjy.com )　为了调查甲、乙两个网站受欢迎的程度，随机选取了14天，统计上午8：00～10：00间各自的点击量，得如图2 3所示的茎叶图，根据茎叶图求：
(1)甲、乙两个网站点击量的极差分别是多少？
(2)甲网站点击量在[10,40]间的频率是多少？
(3)观察茎叶图，估计甲、乙两个网站哪个更受欢迎，并说明理由．
图2 3
【精彩点拨】　茎叶图的比较可以观察茎叶图中反映的信息，通过极差可以粗略判断分散集中程度．
【规范解答】　(1)根据茎叶图，
( http: / / www.21cnjy.com )得甲网站的点击量的最大值是73，最小值是8，乙网站的点击量的最大值是71，最小值是5，则甲网站的极差为73－8＝65，乙网站的极差为71－5＝66.
(2)观察茎叶图，得甲网站点击量在[10,40]间的有20,24,25,38，共4个，所以甲网站点击量在[10,40]间的频率为＝.
(3)观察茎叶图，得甲网站的点击量集中在茎叶图的下方，而乙网站的点击量集中在茎叶图的上方，从数据的分布情况来看，甲网站更受欢迎．
[再练一题]
5.从甲、乙两个城市分别随机抽
( http: / / www.21cnjy.com )取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示(如图2 4所示)．设甲、乙两组数据的平均数分别为甲、乙，中位数分别为m甲、m乙，则下列关系中正确的是________(填序号)．
①甲<乙，m甲>m乙；　　②甲<乙，m甲③甲>乙，m甲>m乙；
④甲>乙，m甲图2 4
【解析】　由茎叶图m甲＝＝20，m乙＝＝29.
∴m甲＜m乙．
甲＝(41＋43＋30＋30＋38＋22＋25＋27＋10＋10＋14＋18＋18＋5＋6＋8)＝，
乙＝(42＋43＋48＋31＋32＋34＋34＋38＋20＋22＋23＋23＋27＋10＋12＋18)＝.
∴甲<乙．
【答案】　②
( http: / / www.21cnjy.com )
1．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘
( http: / / www.21cnjy.com )制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中2 5A点表示十月的平均最高气温约为15
℃，B点表示四月的平均最低气温约为5
℃.下面叙述不正确的是(　　)
图2 5
A．各月的平均最低气温都在0
℃以上
B．七月的平均温差比一月的平均温差大
C．三月和十一月的平均最高气温基本相同
D．平均最高气温高于20
℃的月份有5个
【解析】　对于选项A，由图易知各月的
( http: / / www.21cnjy.com )平均最低气温都在0
℃以上，A正确；对于选项B，七月的平均最高气温点与平均最低气温点间的距离大于一月的平均最高气温点与平均最低气温点间的距离，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B正确；对于选项C，三月和十一月的平均最高气温均为10
℃，所以C正确；对于选项D，平均最高气温高于20
℃的月份有七月、八月，共2个月份，故D错误．
【答案】　D
2．根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位：万吨)柱形图，以下结论中不正确的是(　　)
图2 6
A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著
B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效
C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
【解析】　依据给出的柱形图，逐项验证．
对于A选项，由图知从2007年到
( http: / / www.21cnjy.com )2008年二氧化硫排放量下降得最多，故A正确．对于B选项，由图知，由2006年到2007年矩形高度明显下降，因此B正确．对于C选项，由图知从2006年以后除2011年稍有上升外，其余年份都是逐年下降的，所以C正确．由图知2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关，故选D.
【答案】　D
3．如图2 7是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．
图2 7
注：年份代码1～7分别对应年份2008～2014
(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；
(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．
附注：
参考数据：yi＝9.32，tiyi＝40.17，＝0.55，≈2.646.
参考公式：相关系数r＝，
回归方程＝＋t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝，＝－.
【解】　(1)由折线图中数据和附注中参考数据得
＝4，
(ti－)2＝28，＝0.55，
(ti－)(yi－)＝tiyi－yi＝40.17－4×9.32＝2.89，
r≈≈0.99.
因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当大，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系．
(2)由＝≈1.331及(1)得
＝＝≈0.103，
＝－≈1.331－0.103×4≈0.92.
所以y关于t的回归方程为＝0.92＋0.10t.
将2016年对应的t＝9代入回归方程得
＝0.92＋0.10×9＝1.82.
所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨．
4．某公司计划购买1台机
( http: / / www.21cnjy.com )器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
图2 8
记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)，n表示购机的同时购买的易损零件数．
(1)若n＝19，求y与x的函数解析式；
(2)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；
(3)假设这100台机器在购机的同
( http: / / www.21cnjy.com )时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？
【解】　(1)当x≤19时，y＝3
800；
当x>19时，y＝3
800＋500(x－19)＝500x－5
700，
所以y与x的函数解析式为
y＝(x∈N)．
(2)由柱状图知，需更换的零件数不大于18的频率为0.46，不大于19的频率为0.7，故n的最小值为19.
(3)若每台机器在购机同时都购买19个易损零
( http: / / www.21cnjy.com )件，则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3
800，20台的费用为4
300,10台的费用为4
800，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为(3
800×70＋4
300×20＋4
800×10)＝4
000.
若每台机器在购机同时都购买20个易损零件
( http: / / www.21cnjy.com )，则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4
000，10台的费用为4
500，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为(4
000×90＋4
500×10)＝4
050.
比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件．
5．某公司为了解用户对其产
( http: / / www.21cnjy.com )品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表．
A地区用户满意度评分的频率分布直方图
图2 9①
B地区用户满意度评分的频数分布表
满意度评分分组
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,100]
频数
2
8
14
10
6
在图2 6②中作出B地区
( http: / / www.21cnjy.com )用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；
B地区用户满意度评分的频率分布直方图
图2 9②
【解】　如图所示．
通过两地区用户满意度评分
( http: / / www.21cnjy.com )的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值；B地区用户满意度评分比较集中，而A地区用户满意度评分比较分散．
6．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传
( http: / / www.21cnjy.com )费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
图2 10
(xi－)2
(wi－)2
(xi－)(yi－)
(wi－)(yi－)
46.6
563
6.8
289.8
1.6
1
469
108.8
表中wi＝，w]＝wi.
(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据(2)的结果回答下列问题：
①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据(u1，v1)，(u2
( http: / / www.21cnjy.com )，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝－.
【解】　(1)由散点图可以判断，y＝c＋d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型．
(2)令w＝，先建立y关于w的线性回归方程．
由于＝＝＝68，
＝－
＝563－68×6.8＝100.6，
所以y关于w的线性回归方程为＝100.6＋68w，
因此y关于x的回归方程为＝100.6＋68.
(3)①由(2)知，当x＝49时，
年销售量y的预报值＝100.6＋68＝576.6，
年利润z的预报值＝576.6×0.2－49＝66.32.
②根据(2)的结果知，年利润z的预报值
＝0.2(100.6＋68)－x＝－x＋13.6＋20.12.
所以当＝＝6.8，即x＝46.24时，取得最大值．
故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．3.1.3　概率的基本性质
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1．了解事件间的包含关系和相等关系．
2．理解互斥事件和对立事件的概念及关系．(重点、易错易混点)
3．了解两个互斥事件的概率加法公式．(难点)
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[基础·初探]
教材整理1　事件的关系与运算
阅读教材P119～P120“探究”以上的部分，完成下列问题．
定义
表示法
图示
事件的关系
包含关系
一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)
B A(或A B)
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事件互斥
若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥，即事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生
若A∩B＝ ，则A与B互斥
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事件对立
若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件
若A∩B＝ ，且A∪B＝U，则A与B对立
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事件的运算
并事件
若某事件发生当且仅当事件A或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)
A∪B(或A＋B)
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交事件
若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)
A∩B(或AB)
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同时抛掷两枚硬币，向上面都是正面为事件M，向上面至少有一枚是正面为事件N，则有(　　)
A．M N　　
B．M N　　
C．M＝N　　
D．M＜N
【解析】　事件N包含两种结果：向上面都是正面或向上面是一正一反．则当M发生时，事件N一定发生，则有M N.故选A.
【答案】　A
教材整理2　概率的性质
阅读教材P120“探究”以下的部分，完成下列问题．
1．概率的取值范围为[0,1]．
2．必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0.
3．概率加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
特例：若A与B为对立事件，则P(A)＝1－P(B)，
P(A∪B)＝1，P(A∩B)＝0.
4．概率的加法公式的含义
(1)使用条件：A，B互斥．
(2)推广：若事件A1，A2，…，An彼此互斥，则P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
(3)在求某些复杂的事件的概率时，可将其分解为一些概率较易求的彼此互斥的事件，化整为零，化难为易．
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1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)互斥事件一定对立．(　　)
(2)对立事件一定互斥．(　　)
(3)互斥事件不一定对立．(　　)
(4)事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率．(　　)
(5)事件A与B互斥，则有P(A)＝1－P(B)．(　　)
(6)若P(A)＋P(B)＝1，则事件A与事件B一定是对立事件．(　　)
【答案】　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×　(5)×　(6)×
2．P(A)＝0.1，P(B)＝0.2，则P(A∪B)等于(　　)
A．0.3　　　　　　　
B．0.2
C．0.1
D．不确定
【解析】　由于不能确定A与B互斥，则P(A∪B)的值不能确定．
【答案】　D
3．一商店有奖促销活动中有一等奖与二等奖两个奖项，其中中一等奖的概率为0.1，中二等奖的概率为0.25，则不中奖的概率为________．
【解析】　中奖的概率为0.1＋0.25＝0.35，中奖与不中奖互为对立事件，所以不中奖的概率为1－0.35＝0.65.
【答案】　0.65
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[小组合作型]
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互斥事件与对立事件的判定
( http: / / www.21cnjy.com )　(1)抽查10件产品，设事件A：至少有两件次品，则A的对立事件为
(　　)
A．至多两件次品　　　　
B．至多一件次品
C．至多两件正品
D．至少两件正品
(2)把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是(　　)
A．对立事件
B．不可能事件
C．互斥但不对立事件
D．以上答案都不对
【精彩点拨】　根据互斥事件及对立事件的定义判断．
【尝试解答】　(1)“至少有两件次品”的否定是“至多有一件次品”，故选B.
(2)“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生，但分得红牌的还可能是丙或丁，所以不是对立事件．故选C.
【答案】　(1)B　(2)C
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判断互斥事件和对立事件时，主要
( http: / / www.21cnjy.com )用定义来判断.当两个事件不能同时发生时，这两个事件是互斥事件；当两个事件不能同时发生且必有一个发生时，这两个事件是对立事件.
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[再练一题]
1．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件：
(1)“恰有1名男生”与“恰有2名男生”；
(2)“至少有1名男生”与“全是男生”；
(3)“至少有1名男生”与“全是女生”；
(4)“至少有一名男生”与“至少有一名女生”．
【解】　从3名男生和2名女生中任选2人有如下三种结果：2名男生，2名女生，1男1女．
(1)“恰有1名男生”指1男1女，与“恰有2
( http: / / www.21cnjy.com )名男生”不能同时发生，它们是互斥事件；但是当选取的结果是2名女生时，该两事件都不发生，所以它们不是对立事件．
(2)“至少1名男生”包括2名男生和1男1女两种结果，与事件“全是男生”可能同时发生，所以它们不是互斥事件．
(3)“至少1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥，由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件．
(4)“至少有1名女生”包括1男1女与2名
( http: / / www.21cnjy.com )女生两种结果，当选出的是1男1女时，“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件．
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事件的运算
( http: / / www.21cnjy.com )　在投掷骰子试验中，根据向上的点数可以定义许多事件，如：A＝{出现1点}，B＝{出现3点或4点}，C＝{出现的点数是奇数}，D＝{出现的点数是偶数}．
(1)说明以上4个事件的关系；
(2)求两两运算的结果．
【精彩点拨】　解答时抓住运算定义．
【尝试解答】　在投掷骰子
( http: / / www.21cnjy.com )的试验中，根据向上出现的点数有6种基本事件，记作Ai＝{出现的点数为i}(其中i＝1,2，…，6)．则A＝A1，B＝A3∪A4，C＝A1∪A3∪A5，D＝A2∪A4∪A6.
(1)事件A与事件B互斥，但不对立，事件
( http: / / www.21cnjy.com )A包含于事件C，事件A与D互斥，但不对立；事件B与C不是互斥事件，也不对立；事件B与D不是对立事件，也不是互斥事件；事件C与D是互斥事件，也是对立事件．
(2)A∩B＝ ，A∩C＝A，A∩D＝ .
A∪B＝A1∪A3∪A4＝{出现点数1或3或4}，
A∪C＝C＝{出现点数1或3或5}，
A∪D＝A1∪A2∪A4∪A6＝{出现点数1或2或4或6}．
B∩C＝A3＝{出现点数3}，
B∩D＝A4＝{出现点数4}．
B∪C＝A1∪A3∪A4∪A5＝{出现点数1或3或4或5}．
B∪D＝A2∪A3∪A4∪A6＝{出现点数2或3或4或6}．
C∩D＝ ，C∪D＝A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6＝{出现点数1,2,3,4,5,6}．
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事件间运算方法：?
1 利用事件间运算的定义.列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算.?
2 利用Venn图，借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算.
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[再练一题]
2．掷一枚骰子，下列事件：
A＝{出现奇数点}，B＝{出现偶数点}，C＝{点数小于3}，D＝{点数大于2}，E＝{点数是3的倍数}．
求：(1)A∩B，BC；(2)A∪B，B＋C；
(3)记是事件H的对立事件，求，C，∪C，＋.
【解】　(1)A∩B＝ ，BC＝{出现2点}．
(2)A∪B＝{出现1,2,3,4,5或6点}，B＋C＝{出现1,2,4或6点}．
(3)＝{点数小于或等于2}＝{出现1或2点}；
C＝BC＝{出现2点}；
∪C＝A∪C＝{出现1,2,3或5点}；
＋＝{出现1,2,4或5点}．
[探究共研型]
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互斥事件和对立事件的关系
探究1　在一次试验中，对立的两个事件会都不发生吗？
【提示】　在一次试验中，事件A和它的对立事件只能发生其中之一，并且必然发生其中之一，不可能两个都不发生．
探究2　互斥事件和对立事件有何区别和联系？
【提示】　(1)对立事件一般是
( http: / / www.21cnjy.com )针对两个事件来说的，一般两个事件对立，则这两个事件是互斥事件；反之，若两个事件是互斥事件，则这两个事件未必是对立事件．
(2)对立事件是特殊的互斥事件，若事件A，B是对立事件，则A与B互斥，而且A∪B是必然事件．
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( http: / / www.21cnjy.com )　某射手在一次射击训练中，射中10环，9环，8环，7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28，计算这个射手在一次射击中：
(1)射中10环或7环的概率；
(2)不够7环的概率．
【精彩点拨】　先设出事件，判断是否互斥或对立，然后再使用概率公式求解．
【尝试解答】　(1)设“射中10
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故P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.21＋0.28＝0.49.
所以射中10环或7环的概率为0.49.
(2)不够7环从正面考虑
( http: / / www.21cnjy.com )有以下几种情况：射中6环，5环，4环，3环，2环，1环，0环，但由于这些概率都未知，故不能直接求解，可考虑从反面入手，不够7环的反面大于等于7环，即7环，8环，9环，10环，由于此两事件必有一个发生，另一个不发生，故是对立事件，可用对立事件的方法处理．
设“不够7环”为事件E，则事件为“射中7环或8环或9环或10环”，由(1)可知“射中7环”、“射中8环”等彼此是互斥事件，
所以P()＝0.21＋0.23＋0.25＋0.28＝0.97，
从而P(E)＝1－P()＝1－0.97＝0.03.
所以不够7环的概率是0.03.
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1．对于一个较复杂的事件，一般将其分
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2．“正难则反”是解决问题的一种很好的方法，应注意掌握，如本例中的第(2)问，直接求解比较麻烦，则可考虑求其对立事件的概率，再转化为所求．
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[再练一题]
3．甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙获胜的概率为，求：
(1)甲获胜的概率；
(2)甲不输的概率．
【解】　(1)“甲获胜”和“和棋或乙获胜”是对立事件，所以“甲获胜”的概率P＝1－－＝.
(2)法一：设事件A为“甲不输”，可看成是“甲获胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P(A)＝＋＝.
法二：设事件A为“甲不输”，可看成是“乙获胜”的对立事件，所以P(A)＝1－＝.
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1．如果事件A，B互斥，记，分别为事件A，B的对立事件，那么(　　)
A．A∪B是必然事件
B.∪是必然事件
C.与一定互斥
D.与一定不互斥
【解析】　用集合的Venn图解决此类问题较为直观，如图所示，∪是必然事件．
【答案】　B
2．从一批产品中取出三件产品，设A＝{三件产
( http: / / www.21cnjy.com )品全不是次品}，B＝{三件产品全是次品}，C＝{三件产品至少有一件是次品}，则下列结论正确的是(　　)
A．A与C互斥　　　　
B．任何两个均互斥
C．B与C互斥
D．任何两个均不互斥
【解析】　∵从一批产品中取出三件产品包含4个基本事件．
D1＝{没有次品}，D2＝{1件次品}，D3＝{2件次品}，D4＝{3件次品}，
∴A＝D1，B＝D4，C＝D2∪D3∪D4，故A与C互斥，A与B互斥，B与C不互斥．
【答案】　A
3．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙两人下成和棋的概率为(　　)
A．60%
B．30%
C．10%
D．50%
【解析】　甲不输棋包含甲获胜或甲、乙两人下成和棋，则甲、乙两人下成和棋的概率为90%－40%＝50%.
【答案】　D
4．从4名男生和2名女生中任选3人去参加演讲比赛，所选3人中至少有1名女生的概率为，那么所选3人中都是男生的概率为________.
【解析】　设A＝{3人中至少有1名女生}，B＝{3人都为男生}，则A，B为对立事件，所以P(B)＝1－P(A)＝.
【答案】　
5．盒子里装有6个红球，4个白球，从
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【解】　记事件C为“3个球中既有红球又有
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1．理解循环语句的两种格式及功能．(重点)
2．会应用条件语句和循环语句编写程序．(难点)
3．掌握当型循环和直到型循环的条件．(易混点)
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[基础·初探]
教材整理　循环语句的格式、功能及程序框图
阅读教材P29～P30例8上面的内容，完成下列问题．
名称
直到型(UNTIL语句)
当型(WHILE语句)
格式
DO　循环体LOOP_UNTIL条件
WHILE条件　循环体WEND
功能
先执行一次DO和UNTIL之间的循环体，再
( http: / / www.21cnjy.com )判断UNTIL后的条件是否符合，如果不符合，继续执行循环体；然后再检查上述条件，如果仍不符合，再次执行循环体，直到条件符合时为止．这时不再执行循环体，跳出循环体执行UNTIL语句后面的语句
先判断条件的真假，如果条件符合，则执行WHI
( http: / / www.21cnjy.com )LE和WEND之间的循环体；然后再检查上述条件，如果条件仍符合，再次执行循环体，这个过程反复进行，直到某一次条件不符合为止，这时不再执行循环体，跳出循环体，执行WEND后面的语句
对应程序框图
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1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)UNTIL语句是先执行一次循环体，后判断条件．(　　)
(2)WHILE语句是先判断条件，后执行循环体．(　　)
(3)UNTIL语句是条件满足时执行循环体，条件不满足时，结束循环；而WHILE语句是当条件不满足时执行循环体，满足时结束循环．(　　)
【答案】　(1)√　(2)√　(3)×
2．下列四个程序框图中能用直到型语句描述的是(　　)
【解析】　直到型语句特征是不满足条件，执行循环体，满足条件，退出循环．
【答案】　A
3．运行下面的程序，输出的值为________．
【解析】　对循环体执行S＝S＋i，再执行i＝i＋2，然后判断，∵1＋3＋5＋…＋29＝225>200；i＝31.
∴n＝31－2＝29.
【答案】　29
[小组合作型]
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WHILE语句的应用
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( http: / / www.21cnjy.com )　编写程序，计算1＋＋＋＋…＋的值．
【精彩点拨】　→→→
【尝试解答】　程序框图如下：
程序：
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1．本题是累加问题，可设置合适的变量进行累加．
2．应用循环语句时，应注意设置变量，设计循环的条件和设计循环体三个方面．
3．当型循环语句中WHILE和WEND成对出现．
4．判断条件往往是控制循环次数的变量．
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[再练一题]
1．若将题目改为“计算1－＋－＋…＋－”应如何设计程序？
【解】　程序框图如下：
程序语句为：
UNTIL语句的应用
( http: / / www.21cnjy.com )　画出计算12＋32＋52＋…＋9992的程序框图，并写出程序.
【精彩点拨】　明确各项特点及关系确定好循环体，利用循环结构求和，画出程序框图，然后写出程序．
【尝试解答】　程序框图如图所示：
程序语句为：
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1．直到型循环语句中先执行一次循环体，再判断条件是否满足，以决定继续循环还是退出循环．
2．循环次数的控制往往是判断条件，在循环体内要有控制条件的改变，否则会陷入死循环．
3．控制循环次数的变量要综合考虑初始化时和LOOP
UNTIL后两处，若初始值为1，则循环体中累加，若初始值为循环的次数，则循环体中递减．
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[再练一题]
2．设计一个计算1×3×5×7×…×999的值的框图与程序．
【解】　程序框图如图所示：
程序：
[探究共研型]
两种循环语句的辨析
探究1　两种循环语句有哪些联系？
【提示】　两种语句都可以实现计算机反复执行循环体的目的，只是表达形式不同．一般地，WHILE语句和UNTIL语句可以相互转化．
探究2　两种循环语句执行的顺序相同吗？
【提示】　两种循环语句执行的顺序不同．
执行UNTIL语句时，先执行循环体，再判断条件，直到条件满足；执行WHILE语句时，先判断条件，再执行循环体，直到条件不满足．
探究3　在两种循环语句中，循环条件的内容相同吗？
【提示】　在两种循环语句中，循环条件的内容是不同的．
UNTIL语句中的条件是循环结束的条件
( http: / / www.21cnjy.com )，满足此条件时，执行循环体后面的语句，不满足时执行循环体；WHILE语句中的条件是执行循环体的条件，满足此条件时，执行循环体，否则执行循环体后面的语句．
探究4　在两种循环语句中，循环体的执行次数相同吗？
【提示】　在两种循环语句中，循环体的执行次数是不同的．
由于UNTIL语句是先执
( http: / / www.21cnjy.com )行循环体再判断条件，因此，任何一个UNTIL语句中，循环体至少要执行一次，直到条件满足；而WHILE语句是先判断条件，因此，循环体可能一次也不执行就退出循环体.
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循环语句与条件语句的关系
探究5　循环语句与条件语句有什么关系？
【提示】　循环语句中一定有条件语句，条
( http: / / www.21cnjy.com )件语句是循环语句的一部分，离开条件语句，循环语句无法循环；但条件语句可以脱离循环语句单独存在，可以不依赖循环语句独立地解决问题．
探究6　既然循环结构中包含条件结构，那么在循环语句中也包含“IF—THEN”这样的语句，对吗？
【提示】　不对．算法语句都有其固定的格式，循环语句的格式为DO—循环体—LOOP
UNTIL条件或者WHILE条件—循环体—WEND.
( http: / / www.21cnjy.com )　分别用当型和直到型循环语句编写一个程序，同时计算1×3×5×…×99和2×4×6×…×100的值.
【精彩点拨】　分别运用UNTIL语句和WHILE语句编写程序．
【尝试解答】　用UNTIL语句编写程序：
用WHILE语句编写程序：
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两种循环语句的相同点是： 1
( http: / / www.21cnjy.com ) 进入循环前的语句相同； 2 循环体相同； 3 输出部分相同.不同点是： 1 循环条件的位置不同； 2 循环条件不同.
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[再练一题]
3．求12＋22＋32＋…＋n2＜1
000成立的n的最大整数值，分别用两种循环语句编写程序．
【解】　用“WHILE语句”表示为：
用“UNTIL语句”表示为：
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1．下列算法：
①求和＋＋＋…＋；
②已知两个数求它们的商；
③已知函数定义在区间上，将区间十等分求端点及各分点处的函数值；
④已知正方形的边长求面积．
其中可能用到循环语句的是(　　)
A．①②　
B．①③
C．①④
D．③④
【解析】　在问题处理时，对某一步骤或若干步骤重复执行多次的适用于循环语句，故①③可能用到．
【答案】　B
2．下列循环语句，循环终止时，i等于(　　)
A．3　　　　
B．4
C．5　　　　
D．6
【解析】　该循环语句是UNTIL语句，当条件成立时退出循环，D正确．
【答案】　D
3．下面程序的运行结果是(　　)
A．3　　　　
B．7　　　　
C．15　　　　
D．17
【解析】　第一次循环，S＝0×2＋1＝1，i＝2；
第二次循环，S＝1×2＋1＝3，i＝3；
第三次循环，S＝3×2＋1＝7，i＝4；
第四次循环，S＝7×2＋1＝15，i＝5.
输出S＝15.
【答案】　C
4．根据如图1 2 2所示的程序框图，把对应的程序中所缺少的语句补充完整．
图1 2 2
【解析】　由程序框图可知
( http: / / www.21cnjy.com )利用了直到型循环结构，对应的语句为直到型循环语句，DO后面执行的为循环体，故①②处应分别为S＝S＋i2，i＝i＋1，直到满足条件i＞100为止，所以③处应为i＞100.
【答案】　①S＝S＋i^2　②i＝i＋1　③i＞100
5．运行下面的程序，输出的值为________．
【解析】　由于循环体是先
( http: / / www.21cnjy.com )判断条件，再执行S＝S＋i，i＝i＋1，然后再进行判断，当S＝1＋2＋3＋4＋5＝15时，执行i＝5＋1＝6，这时15<18成立，再循环一次S＝15＋6＝21，i＝6＋1＝7，这时再判断21<18不成立，于是执行“PRINT　i”，即i＝7.
【答案】　71.1.2
第2课时　条件结构
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1．了解条件结构的概念，并明确其执行过程．(重点)
2．理解条件结构在程序框图中的作用．(难点)
3．会用条件结构设计程序框图解决有关问题．(易错易混点)
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[基础·初探]
教材整理1　条件结构的概念
阅读教材P10例4前面的内容，完成下列问题．
在一个算法中，经常会遇到一些条件的判断，算法的流程根据条件是否成立有不同的流向．条件结构就是处理这种过程的结构．
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判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)条件结构是一种重要的基本逻辑结构，任何算法都离不开它．(　　)
(2)条件结构的条件需要放在判断框内，判断框有两个出口，根据条件的成立与否，要走不同的出口．(　　)
(3)条件结构的判断框有两个出口，所以执行条件结构后的结果不唯一．(　　)
【答案】　(1)×　(2)√　(3)×
教材整理2　条件结构程序框图的形式与特征
阅读教材P10例4前面的内容，完成下列问题．
名称
双条件结构
单条件结构
结构形式
特征
两个步骤A、B根据条件是否满足选择其中一个执行
根据条件是否成立选择是否执行步骤A
说明：(1)在双条件结构中，算法
( http: / / www.21cnjy.com )执行到此判断框给定的条件时，根据条件是否成立，选择不同的执行框(步骤A、步骤B)，无论条件是否成立，都要执行步骤A和步骤B之一，但不可能既执行步骤A又执行步骤B，也不可能步骤A和步骤B都不执行．
(2)在单条件结构中，步骤A和步骤B可以有一个是空的，即不执行任何操作．
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1．判断给出的整数n是否为偶数，设计程序框图时所含有的基本逻辑结构是(　　)
A．顺序结构　　　　　　　
B．条件结构
C．顺序结构、条件结构
D．以上都不正确
【解析】　任何程序框图中都有顺序结构．当n能被2整除时，n是偶数；否则，n不是偶数，所以必须用条件结构来解决．故选C.
【答案】　C
2．如图1 1 15所示，若输入x＝－1，则输出y＝________.
图1 1 15
【解析】　∵－1<3，∴y＝4－(－1)＝5.
【答案】　5
[小组合作型]
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对条件结构的理解
( http: / / www.21cnjy.com )　(1)如图1 1 16是算法流程图的一部分，其算法的逻辑结构是(　　)
图1 1 16
A．顺序结构　　　　　　　
B．条件结构
C．判断结构
D．以上都不对
(2)给出以下四个问题：
①输入一个数x，输出它的相反数；
②求面积为6的正方形的周长；
③求三个数a，b，c中的最大数；
④求函数f(x)＝的函数值．
其中不需要用条件结构来描述其算法的有(　　)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【精彩点拨】　根据顺序结构与条件结构的特点判断．
【尝试解答】　(1)此逻辑结构是条件结构．
(2)语句①不需要对x进行判断，所
( http: / / www.21cnjy.com )以不需要用条件结构来描述算法；语句②不需要进行判断，不需要使用条件语句；语句③要比较两个数的大小，需要用到条件结构；语句④为分段函数，需要判断x的范围，所以需要用到条件结构来描述算法．
【答案】　(1)B　(2)B
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条件结构不同于顺序结构的地
( http: / / www.21cnjy.com )方：它不是依次执行操作指令进行运算，而是依据条件作出逻辑判断，选择执行不同指令中的一个.一般地，这里的判断主要是判断“是”或“否”，即判断是否符合条件的要求，因而它有一个入口和两个出口，但最后还是只有一个终结口.
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[再练一题]
1．条件结构不同于顺序结构的特征是含有(　　)
A．处理框
B．判断框
C．输入、输出框
D．起止框
【解析】　由于顺序结构中不含判断框，而条件结构中必须含有判断框，故选B.
【答案】　B
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简单条件结构的设计
( http: / / www.21cnjy.com )　求过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的斜率．设计该问题的算法并画出程序框图.
【精彩点拨】　先对x1，x2是否相等进行判断，然后利用斜率公式．
【尝试解答】　算法如下：第一步，输入x1，y1，x2，y2.
第二步，如果x1＝x2，输出“斜率不存在”；
否则，k＝.
第三步，输出k.
程序框图如图所示：
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1．已知两点求直线斜率，若条件中已知x1≠x2，则只用顺序结构即可解决问题；若无限制条件，必须分类讨论应用条件结构解决问题．
2．程序框图中的判断框内的内容x1＝x2，也可改为x1≠x2，此时相应地与“是”、“否”相连的图框必须对换．
3．解决这类问题时，首先对问题设置的条件作出判断，设置好判断框内的条件，然后根据条件是否成立选择不同的流向．
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[再练一题]
2．设计求一个数的绝对值的算法并画出程序框图．
【解】　算法如下：
第一步，输入实数x.
第二步，若x≥0，则y＝x；
若x<0，则y＝－x.
第三步，输出y.
程序框图如图所示：
条件结构的读图与应用
( http: / / www.21cnjy.com )　如图1 1 17所示的程序框图运行时，若输入a＝2，b＝－1，c＝5，则输出结果为________．
图1 1 17
【精彩点拨】　该程序框图的功能是找出三个数中最小的数，所以逐一比较两数的大小即可．
【尝试解答】　因为a＝2，b＝
( http: / / www.21cnjy.com )－1，c＝5，所以根据程序框图可知，先令x＝a，即x＝2.再比较x与b的大小，因为x＞b，所以令x＝b，即x＝－1，然后比较x与c的大小，因为x＜c，所以直接输出x，故输出结果为－1.
【答案】　－1
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条件结构读图要注意：
1 理清所要实现的算法的结构特点和流程规则，分析其功能.
2 结合框图判断所要填入的内容或计算所要输出或输入的值.
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[再练一题]
3．某市出租车的起步价为8元(含3千米)，超
( http: / / www.21cnjy.com )过3千米的里程每千米收2.6元，另外每车次超过3千米收燃油附加费1元(不考虑其他因素)．相应的收费系统的程序框图如图1 1 18所示，则(1)处应填________，(2)处应填________.
图1 1 18
【解析】　当x＞3时，y＝8＋2.6(x－3)＋1＝9＋2.6(x－3)＝2.6x＋1.2；当x≤3时，y＝8.
【答案】　y＝2.6x＋1.2　y＝8
[探究共研型]
条件结构中的“条件”特征
探究1　条件结构中的“条件”有哪些特征？
【提示】　1.条件结构是依据指定条件选择执行不同指令的控制结构．
2．条件结构主要用在需要根据条件进行判断的算法中，如分段函数的求值、比较数据的大小关系等．
探究2　一个判断框有两条流出线，能说条件结构执行的结果不唯一吗？
【提示】　一个判断框有两个退出点，但
( http: / / www.21cnjy.com )根据判断条件是否成立，选择的退出点是确定的，所以条件结构执行的结果是唯一的，即条件结构只有一个退出点，不能将判断框的退出点和条件结构的退出点混为一谈．
探究3　在条件结构中，“条件”可以改变吗？
【提示】　求分段函数的函数值的程序框图画法不唯一，判断框内的内容可以改变，但相应处理框的内容也要发生改变．
( http: / / www.21cnjy.com )　“特快专递”是目前人们经常使用的异地邮寄信函或托运物品的一种快捷方式．某快递公司规定甲、乙两地之间物品的托运费用根据下列方法计算：
f＝
其中f(单位：元)为托运费，ω为托运物品的重量(单位：千克)．
试设计计算费用f的算法并画出程序框图．
【精彩点拨】　在计算费用f时，需要讨论ω与50的大小．所以要用条件结构画程序框图．
【尝试解答】　算法步骤如下：
第一步，输入物品的重量ω.
第二步，如果ω≤50，则令f＝0.53ω，否则执行第三步．
第三步，f＝50×0.53＋(ω－50)×0.85.
第四步，输出托运费f.
程序框图如下：
[再练一题]
4．设火车托运质量为w(kg)的行李时，每千米的费用(单位：元)标准为：
f＝
试画出路程为s千米时，行李托运费用M的程序框图．
【解】　算法如下：
第一步：输入物品质量w、路程s，
第二步：若w>30.那么f＝0.4×30＋0.5(w－30)；否则，f＝0.4w.
第三步：计算M＝s×f.
第四步：输出M.
程序框图如图所示：
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条件结构的嵌套
探究4　什么是条件结构的嵌套？有哪些特征？
【提示】　所谓嵌套，是指条件结构内，又套有小的分支，对条件进行二次或更多次的判断．常用于一些分段函数的求值问题．
一般地，如果是分三段的函数，则需要引入两个判断框；如果是分四段的函数，则需要引入三个判断框；以此类推．
探究5　在条件结构的嵌套中，判断框中的条件是唯一的吗？
【提示】　不是．在具体的程序设计中，这里的条件可以不同，但相应的条件下对应的结果是相同的．因此对于一个具体问题，编写的程序可以是不一样的．
( http: / / www.21cnjy.com )　已知函数y＝f(x)＝试写出求该函数的函数值的算法，并画出程序框图.
【精彩点拨】　解答本题可先对x的值进行判断，然后根据不同情况y取不同的值．
【尝试解答】　算法如下：
第一步，输入x.
第二步，判断x>0是否成立，
若成立，则y＝1，转执行第四步；若不成立，则执行第三步．
第三步，判断x＝0是否成立，
若成立，则y＝0，转执行第四步；否则y＝－1，执行第四步．
第四步，输出y.
程序框图：
1．下列关于条件结构的说法中正确的是(　　)
A．条件结构的程序框图有一个入口和两个出口
B．无论条件结构中的条件是否满足，都只能执行路径之一
C．条件结构中两条路径可以同时执行
D．对于一个算法来说，判断框中条件是唯一的
【解析】　根据条件结构的特征可知，选B.
【答案】　B
2．如图1 1 19所示的程序框图，其功能是(　　)
图1 1 19
A．输入a，b的值，按从小到大的顺序输出它们的值
B．输入a，b的值，按从大到小的顺序输出它们的值
C．求a，b的最大值
D．求a，b的最小值
【解析】　取a＝1，b＝2知，该程序框图输出b＝2，因此是求a，b的最大值．
【答案】　C
3．如图1 1 20所示的程序框图，输入x＝2，则输出的结果是________．
图1 1 20
【解析】　通过程序框图可知本题是求函数y＝的函数值，根据x＝2可知y＝＝2.
【答案】　2
4．已知函数y＝如图1 1 21表示的是给定x的值，求其对应的函数值y的程序框图．
图1 1 21
①处应填写________；②处应填写________．
【解析】　由框图可知只要满足①中的条件则对应的函数解析式为y＝2－x，故此处应填写x<2？，则②处应填写y＝log2x.
【答案】　x<2？　y＝log2x
5．某居民区的物业管理部门每月向居民收取卫生费，计
费方法是：3人和3人以下
( http: / / www.21cnjy.com )的住户，每户收取5元；超过3人的住户，每超出一人加收1.2元．设计一个算法，根据住户的人数，计算应收取的卫生费，并画出程序框图.
【解】　算法如下：
第一步，输入x.
第二步，若x≤3，则y＝5；否则，y＝5＋1.2(x－3)．
第三步，输出y.
程序框图如图所示：1.1.2　第1课时　程序框图、顺序结构
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1．了解程序框图的含义，理解程序框图的作用．(难点)
2．掌握各种程序框和流程线的画法与功能．
3．理解程序框图中的顺序结构，会用顺序结构表示算法．(重点)
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[基础·初探]
教材整理1　程序框图
阅读教材P6的内容，完成下列问题．
1．程序框图
(1)程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形．
(2)在程序框图中，一个或几个程序框的组合表示算法中的一个步骤；带有方向箭头的流程线将程序框连接起来，表示算法步骤的执行顺序．
2．常见的程序框、流程线及各自表示的功能
图形符号
名称
功能
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终端框(起止框)
表示一个算法的起始和结束
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输入、输出框
表示一个算法输入和输出的信息
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处理框(执行框)
赋值、计算
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判断框
判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“Y”；不成立时标明“否”或“N”
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流程线
连接程序框
○
连接点
连接程序框图的两部分
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在程序框图中，表示判断框的图形是(　　)
【解析】　四个选项中的程序框依次为处理框，输入、输出框，判断框和起止框．
【答案】　C
教材整理2　顺序结构
阅读教材P8～P9，完成下列问题．
1．定义：顺序结构是由若干个依次执行的步骤组成的．这是任何一个算法都离不开的基本结构．
2．程序框图表示为：
3．顺序结构的特点
语句与语句之间、框与框之间是按照从上
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1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)程序框图是算法的一种表现形式．(　　)
(2)一个完整的程序框图一定是以起止框开始，同时又以起止框表示结束．(　　)
(3)一个程序框图中可以没有顺序结构．(　　)
【答案】　(1)√　(2)√　(3)×
2．如图1 1 1所示的程序框图，输出的结果是S＝7，则输入的A值为________．
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图1 1 1
【解析】　该程序框图的功能是输入A，计算2A＋1的值．由2A＋1＝7，解得A＝3.
【答案】　3
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[小组合作型]
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程序框图的认识和理解
( http: / / www.21cnjy.com )　下列关于程序框图的说法正确的是(　　)
A．程序框图是描述算法的语言
B．程序框图中可以没有输出框，但必须要有输入框给变量赋值
C．在程序框图中，一个判断框可能同时产生两种结果
D．程序框图与流程图不是同一个概念
【精彩点拨】　根据程序框图的定义和程序框的功能判断．
【尝试解答】　由于算法设计时要求返回执
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【答案】　A
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1．理解程序框图中各框图的功能是解此类题的关键，用程序框图表示算法更直观、清晰、易懂．
2．起止框用“
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3．输入、输出框图用“
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4．处理框用“
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5．判断框是唯一具有超过一个退出点的图形符号．
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[再练一题]
1．关于程序框图的框图符号的理解，正确的是(　　)
①任何一个程序框图都必须有起
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A．1个　　　　　　　　　
B．2个
C．3个
D．4个
【解析】　任何一个程序都有
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【答案】　C
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利用顺序结构表示算法
( http: / / www.21cnjy.com )　已知直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，点P(x0，y0)，设计一个算法计算点P到直线l的距离，并画出程序框图.
【精彩点拨】　可以利用点到直线的距离公式d＝，给公式中的字母赋值，再代入计算．
【尝试解答】　用自然语言描述算法如下：
第一步，输入点P的横、纵坐标x0，y0，
输入直线方程的系数，即常数A，B，C.
第二步，计算z1＝Ax0＋By0＋C.
第三步，计算z2＝A2＋B2.
第四步，计算d＝.
第五步，输出d.
程序框图：
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1．对于套用公式求解的问题往往运用顺序结构
( http: / / www.21cnjy.com )，编写顺序结构的算法，应写公式，看公式中的条件是否满足，若不满足，则先求出需要量，然后将公式中涉及的量全部代入求值即可．
2．应用顺序结构表示算法的步骤
(1)认真审题，理清题意，明确解决方法；
(2)明确解题步骤；
(3)数学语言描述算法，明确输入量、计算过程、输出量；
(4)用程序框图表示算法过程．
3．顺序结构在程序框图中的表现就是用流程线将
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[再练一题]
2．把直线l改为圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，写出求点P0(x0，y0)到圆上的点的距离最大值的算法及程序框图.
【解】　第一步，输入点P0的横、纵坐标x0，y0，输入圆心C的横、纵坐标a，b，圆的半径r.
第二步，计算z1＝.
第三步，计算d＝z1＋r.
第四步，输出d.
程序框图：
程序框图的应用
( http: / / www.21cnjy.com )　如图1 1 2所示是解决某个问题而绘制的程序框图，仔细分析各图框内的内容及图框之间的关系，回答下面的问题：
(1)该框图解决的是怎样的一个问题？
(2)若最终输出的结果y1＝3，y2＝－2，当x取5时输出的结果5a＋b的值应该是多大？
(3)在(2)的前提下，输入的x值越大，输出的ax＋b是不是越大，为什么？
(4)在(2)的前提下，当输入的x值为多大时，输出结果ax＋b等于0
图1 1 2
【精彩点拨】　根据程序框图的意义进行分析．
【尝试解答】　(1)该框图解决的是求函数f(x)＝ax＋b的函数值的问题．其中输入的是自变量x的值，输出的是x对应的函数值．
(2)y1＝3，即2a＋b＝3.①
y2＝－2，即－3a＋b＝－2.②
由①②得a＝1，b＝1.
所以f(x)＝x＋1.
所以当x取5时，5a＋b＝f(5)＝5＋1＝6.
(3)输入的x值越大，输出的函数值ax＋b越大，
因为f(x)＝x＋1是R上的增函数．
(4)令f(x)＝x＋1＝0，得x＝－1，因此当输入的x值为－1时，输出的函数值为0.
( http: / / www.21cnjy.com )
由程序框图识别算法功能应注意的问题
根据算法功能求输出结果，或根据输出结果求框图中某一步骤，应注意以下几点：
(1)要明确各框图符号的含义及作用；
(2)要明确框图的方向流程；
(3)要正确认图，即根据框图说明该算法所要解决的问题．
其中，明确算法功能是解决此类问题的关键．
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[再练一题]
3．写出下列算法的功能：
(1)图1 1 3(1)中算法的功能是(a＞0，b＞0)________．
(2)图1 1 3(2)中算法的功能是__________________________．
图1 1 3
【答案】　(1)求以a，b为直角边的直角三角形斜边c的长　(2)求两个实数a，b的和
[探究共研型]
程序框图的画法与特征
探究1　画程序应遵循的规则有哪些？
【提示】　(1)使用标准的程序框图的图形符号．
(2)程序框图一般按照从上到下、从左到右的顺序画．
(3)一个完整的程序框图必须有终端框，用于表示一个算法的开始和结束．
(4)除判断框外，大多程序框图的图形符号只有一个进入点和一个退出点，判断框是唯一具有超过一个退出点的框图符号．
(5)一种判断框是“是”与“否”两分支的判断，而且有且仅有两个结果；另外一种是多分支判断，可能有几种不同的结果．
(6)在程序框图的图形符号内，用于描述的语言要简练、清楚．
探究2　画程序框图时，一般共分几步？
【提示】　画程序框图一般分三步：
(1)第一步：用自然语言表述算法步骤(又称算法分析)；
(2)第二步：确定每一个算法步骤所含的逻辑结构，并用相应的程序框图表示；
(3)第三步：将所有步骤的程序框图用流程线连接起来，并加上终端框，得到整个表示算法的程序框图．
探究3　程序框图与计算机程序的关系是什么？
【提示】　在设计计算机程序时要画出程序运行的
( http: / / www.21cnjy.com )程序框图，有了这个程序框图，再去设计程序就有了依据，从而就可以把整个程序用机器语言表述出来，因此程序框图是我们设计程序的基本和开端.
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1．对程序框图叙述正确的是(　　)
A．表示一个算法的起始和结束，程序框是
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B．表示一个算法输入和输出的信息，程序框是
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C．表示一个算法的起始和结束，程序框是
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D．表示一个算法输入和输出的信息，程序框是
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【解析】　由程序框的算法功能可知选项C正确．
【答案】　C
2．根据所给的程序框图，如图1 1 4所示，输出的结果是(　　)
图1 1 4
A．3　　　　
B．1　　　　
C．2　　　　
D．0
【解析】　由X＝Y，得X＝2；
由Y＝X，得Y＝2；由Z＝Y，得Z＝2.
【答案】　C
3．若R＝8，则如图1 1 5所示的程序框图运行后的结果为a＝________.
图1 1 5
【解析】　由R＝8得b＝＝2，a＝2b＝4.
【答案】　4
4．如图1 1 6是求长方体的体积和表面积的一个程序框图，补充完整，横线处应填________．
图1 1 6
【解析】　根据题意，长方体的长、宽、高应从键盘输入，故横线处应填写输入框
.
【答案】　
( http: / / www.21cnjy.com )
5．写出解不等式2x＋1＞0的一个算法，并画出程序框图．
【解】　第一步，将1移到不等式的右边；
第二步，不等式的两端同乘；
第三步，得到x＞－.
程序框图如图所示：3.2.2　(整数值)随机数的产生
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1．了解随机数的意义.
2．会用模拟方法(包括计算器产生的随机数进行模拟)估计概率．(重点)
3．理解用模拟方法估计概率的实质．(难点)
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[基础·初探]
教材整理1　随机数与伪随机数
阅读教材P130的内容，完成下列问题．
1．随机数
要产生1～n(n∈N
)之间的随机整
( http: / / www.21cnjy.com )数，把n个大小形状相同的小球分别标上1,2,3，…，n，放入一个袋中，把它们充分搅拌，然后从中摸出一个，这个球上的数就称为随机数．
2．伪随机数
计算机或计算器产生的随机数
( http: / / www.21cnjy.com )是依照确定算法产生的数，具有周期性(周期很长)，它们具有类似随机数的性质．因此，计算机或计算器产生的并不是真正的随机数，我们称它们为伪随机数．
教材整理2　整数值随机数的产生及应用
阅读教材P131～P132“例6”以上的部分，完成下列问题．
1．产生整数值随机数的方法
用计算器的随机函数RAND
( http: / / www.21cnjy.com )I(a，b)或计算机的随机函数RANDBETWEEN(a，b)可以产生从整数a到整数b的取整数值的随机数；也可用计算机中的Excel软件产生随机数．
用计算机或计算器模拟试验的方法称为随机模拟方法．
2．整数值的随机数的应用
利用计算器或计算机产生的随机数
( http: / / www.21cnjy.com )来做模拟试验，通过模拟试验得到的频率来估计概率，这种用计算器或计算机模拟试验的方法称为随机模拟方法或蒙特卡罗方法．
( http: / / www.21cnjy.com )
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)随机模拟方法只适用于试验结果有限的试验．(　　)
(2)计算机或计算器产生的随机数是伪随机数，因此取得的概率不可信．(　　)
(3)随机数的抽取就是简单随机抽样．(　　)
【答案】　(1)√　(2)×　(3)√
2．用随机模拟方法得到的频率(　　)
A．大于概率　　　　　　
B．小于概率
C．等于概率
D．是概率的近似值
【解析】　用随机模拟方法得到的频率是概率的近似值．
【答案】　D
3．随机函数RANDBETWEEN(0,7)不可能产生的随机数是(　　)
A．0
B．2
C．3
D．9
【解析】　由随机函数RANDBETWEEN(a，b)的含义知，选D.
【答案】　D
4．从含有3个元素的集合的所有子集中任取一个，所取的子集是含有2个元素的集合的概率为________．
【解析】　所有子集共8个， ，{a}，
( http: / / www.21cnjy.com ){b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，含两个元素的子集共3个，故所求概率为.
【答案】　
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[小组合作型]
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随机数的产生方法
( http: / / www.21cnjy.com )　产生10个在1～25之间的取整数值的随机数．
【精彩点拨】　用计算器的随机函数RAND(a，b)产生．
【尝试解答】　方法如下：
反复按ENTER键10次，就可以产生10个1～25之间的随机数．
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1．产生随机数可以采用抽签法或用计算机(器)产生随机数．
2．利用计算机或计算器产
( http: / / www.21cnjy.com )生随机数时，需切实保证操作步骤与顺序的正确性．并且注意不同型号的计算器产生随机数的方法可能会不同，具体操作可参照其说明书．
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[再练一题]
1．某校高一年级共20个班，1
200名学生，期中考试时如何把学生分配到40个考场中去？
【解】　要把1
200人分到40个考场，每个考场30人，可用计算机完成．
(1)按班级、学号顺序把学生档案输入计算机；
(2)用随机函数按顺序给每个学生一个随机数(每人都不相同)；
(3)使用计算机的排序功能按随机数从小
( http: / / www.21cnjy.com )到大排列，可得到1
200名学生的考试号0
001,0
002，…，1
200，然后0
001～0
030为第一考场，0
031～0
060为第二考场，依次类推．
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用随机模拟估计概率
( http: / / www.21cnjy.com )　某篮球爱好者做投篮练习，假设其每次投篮命中的概率是60%，那么在连续三次投篮中，三次都投中的概率是多少？
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【精彩点拨】　因为投篮的命中率为60%，所
( http: / / www.21cnjy.com )以要用0～9这10个数字中的6个数字代表投篮命中，另4个数字代表投篮不命中．又由于连续三次投篮，所以需要产生的随机数每3个一组．
【尝试解答】　我们通过设计模拟试验的方法来解决问题，利用计算机或计算器可以产生0到9之间的取整数值的随机数．
我们用1,2,3,4,5,6表示投中，用
( http: / / www.21cnjy.com )7,8,9,0表示未投中，这样可以体现投中的概率是60%.因为是投篮三次，所以每三个随机数作为一组．
例如：产生20组随机数：
812　932　569　683　271
989　730　537　925　834
907　113　966　191　432
256　393　027　556　755
这就相当于做了20次试验，在这组数中，如
( http: / / www.21cnjy.com )果3个数均在1,2,3,4,5,6中，则表示三次都投中，它们分别是113,432,256,556，即共有4组数，我们得到了三次投篮都投中的概率近似为＝20%.
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用整数随机数模拟试验估计概率时，首先要确定随机数的范围和用哪些数代表不同的试验结果.我们可以从以下三方面考虑：
1 当试验的基本事件等可能时，基本事件总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个基本事件；
2 研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数；
3 当每次试验结果需要n个随机数表示时，要把n个随机数作为一组来处理，此时一定要注意每组中的随机数字能否重复.
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[再练一题]
2．种植某种树苗，成活率是0.9.若种植该种树苗5棵，用随机模拟方法估计恰好4棵成活的概率．
【解】　利用计算器或计算机产生0到9之间
( http: / / www.21cnjy.com )取整数值的随机数，我们用0代表不成活，1至9的数字代表成活，这样可以体现成活率是0.9.因为种植5棵，所以每5个随机数作为一组，可产生30组随机数，如下所示：
69801　66097　77124　22961　74235　31516
29747　24945　57558　65258　74130　23224
37445　44344　33315　27120　21782　58555
61017　45241　44134　92201　70362　83005
94976　56173　34783　16624　30344　01117
这就相当于做了30次试验，在这些
( http: / / www.21cnjy.com )数组中，如果恰有一个0，则表示恰有4棵成活，共有9组这样的数，于是我们得到种植5棵这样的树苗恰有4棵成活的概率近似为＝0.3.
[探究共研型]
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随机数的特征
探究1　通过随机数的特征来估计概率有什么优势？
【提示】　用频率估计概率时
( http: / / www.21cnjy.com )，需做大量的重复试验，费时费力，并且有些试验具有破坏性，有些试验无法进行，因而随机模拟试验就成为一种重要的方法，它可以在短时间内多次重复．
探究2　哪些概率问题可以用随机模拟来估计概率？
【提示】　(1)对于满足“有限性”但不满足“等可能性”的概率问题，我们可采取随机模拟方法来估计概率．
(2)对于一些基本事件的总数比较大
( http: / / www.21cnjy.com )而导致很难把它列举得不重复、不遗漏的概率问题或对于基本事件的等可能性难于验证的概率问题，应考虑用随机模拟方法来估计概率．
( http: / / www.21cnjy.com )　通过模拟试验，产生了20组随机数：
6830　3013　7055　7430　7740
4422　7884　2604　3346　0952
6807　9706　5774　5725　6576
5929　9768　6071　9138　6754
如果恰有三个数在1,2,3,4,5,6中，则表示恰有三次击中目标，问四次射击中恰有三次击中目标的概率约为________．
【精彩点拨】　因四次射击中，恰有三次击中，所以要结合随机数每四个一组从左到右的数，找出满足条件数，进而估计概率．
【尝试解答】　表示三次击中目
( http: / / www.21cnjy.com )标分别为3013,2604,5725,6576,6754，共5组数，而随机数总共20组，所以所求的概率近似值为＝25%.
【答案】　25%
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1．恰当设计
恰当设计随机数，弄清随机数代表的事件及代表所求事件的随机数组，如本例用1,2,3,4,5,6表示击中目标，用0,7,8,9表示没击中．
2．准确计算
要正确计算代表所求事件的随
( http: / / www.21cnjy.com )机数组的个数和总的随机数组的个数，正确利用概率公式计算出所求概率．如本例找出代表恰有三次击中目标的随机数组个数，即可求出概率．
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[再练一题]
3．在用随机(整数)模拟求“有4个男生和
( http: / / www.21cnjy.com )5个女生，从中取4个，求选出2个男生2个女生”的概率时，可让计算机产生1～9的随机整数，并用1～4代表男生，用5～9代表女生．因为是选出4个，所以每4个随机数作为一组．若得到的一组随机数为“4678”，则它代表的含义是________．
【解析】　1～4代表男生，5～9代表女生，4678表示一男三女．
【答案】　选出的4个人中，只有1个男生
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1．用随机模拟方法估计概率时，其准确程度决定于(　　)
A．产生的随机数的大小
B．产生的随机数的个数
C．随机数对应的结果
D．产生随机数的方法
【解析】　随机数容量越大，概率越接近实际数．
【答案】　B
2．小明同学的QQ密码是由0,1,
( http: / / www.21cnjy.com )2,3,4,5,6,7,8,9这10个数字中的6个数字组成的六位数，由于长时间未登录QQ，小明忘记了密码的最后一个数字，如果小明登录QQ时密码的最后一个数字随意选取，则恰好能登录的概率是(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
【解析】　只考虑最后一位数字即可，从0至9这
( http: / / www.21cnjy.com )10个数字中随机选择一个作为密码的最后一位数字有10种可能，选对只有一种可能，所以选对的概率是.
【答案】　D
3．用计算机随机模拟掷骰子的试验，估计出现2点的概率，则下列步骤中不正确的是(　　)
A．用计算器的随机函数R
( http: / / www.21cnjy.com )ANDI(1,7)或计算机的随机函数RANDBETWEEN(1,7)产生6个不同的1到6之间的取整数值的随机数x，如果x＝2，我们认为出现2点
B．我们通常用计数器n记录做了多少次掷骰子试验，用计数器m记录其中有多少次出现2点，置n＝0，m＝0
C．出现2点，则m的值加1，即m＝m＋1；否则m的值保持不变
D．程序结束，出现2点的频率作为概率的近似值
【解析】　计算器的随机函数R
( http: / / www.21cnjy.com )ANDI(1,7)或计算机的随机函数RANDBETWEEN(1,7)产生的是1到7之间的整数(包括1,7)，共7个整数．
【答案】　A
4．抛掷一枚均匀的正方体骰子两次，用
( http: / / www.21cnjy.com )随机模拟方法估计朝上面的点数和为7的概率，共进行了两次试验，第一次产生了60组随机数，第二次产生了200组随机数，那么这两次估计的结果相比较，第________次准确.
【解析】　用随机模拟方法估计概率时，产生的随机数越大，估计的结果越准确，所以第二次比第一次准确．
【答案】　二
5．盒中有大小、形状相同的5只白球2只黑球，用随机模拟法求下列事件的概率：
(1)任取一球，得到白球；
(2)任取三球，都是白球．
【解】　用1,2,3,4,5表示白球，6,7表示黑球．
(1)步骤：
①利用计算器或计算机产生1到7的整数随机数，每一个数一组，统计组数n；
②统计这n组数中小于6的组数m；
③任取一球，得到白球的概率估计值是.
(2)步骤：
①利用计算器或计算机产生1到7的整数随机数，每三个数一组，统计组数n；
②统计这n组数中，每个数字均小于6的组数m；
③任取三球，都是白球的概率估计值是.第一章
算法初步
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[自我校对]
①顺序结构
②条件结构
③循环结构
④条件语句
⑤循环语句
⑥秦九韶算法
⑦进位制
　
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算法的设计
1.算法设计与一般意义上的解决问题不同，
( http: / / www.21cnjy.com )它是对一类问题的一般解法的抽象与概括，它往往是把问题的解法划分为若干个可执行的步骤，有时是重复多次，但最终都必须在有限个步骤之内完成．
2．对于给定的问题，设计其算法时应注意以下四点：
(1)与解决问题的一般方法相联系，从中提炼与概括步骤；
(2)将解决问题的过程划分为若干步骤；
(3)引入有关的参数或变量对算法步骤加以表述；
(4)用简练的语言将各个步骤表达出来；
(5)算法的执行要在有限步内完成．
( http: / / www.21cnjy.com )　设计一个算法，求方程x2－4x＋2＝0在(3,4)之间的近似根，要求精确度为10－4，算法步骤用自然语言描述．
【精彩点拨】　可以利用二分法的步骤设计算法．
【规范解答】　算法步骤如下：
第一步，令f(x)＝x2－4x＋2，由于f(3)＝－1<0，f(4)＝2>0，所以设x1＝3，x2＝4.
第二步，令m＝，判断f(m)是否等于0，若f(m)＝0，则m为所求的根，结束算法；若f(m)≠0，则执行第三步．
第三步，判断f(x1)f(m)>0是否成立，若成立，则令x1＝m；否则令x2＝m.
第四步，判断|x1－x2|<10－4是否成立，若成立，则x1与x2之间的任意取值均为满足条件的近似根；若不成立，则返回第二步．
[再练一题]
1．已知平面坐标系中两点A(－1,0)，B(3,2)，写出求线段AB的垂直平分线方程的一个算法．
【解】　第一步，计算x0＝＝＝1，y0＝＝1，
得AB的中点N(1,1)．
第二步，计算k1＝＝，
得AB的斜率．
第三步，计算k＝－＝－2，得AB垂直平分线的斜率．
第四步，由点斜式得直线AB的垂直平分线的方程：y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0.
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程序的编写
算法设计和程序框图是设计程序的基础．编写程序的基本方法是“自上而下逐步求精”，步骤如下：
(1)把一个复杂的大问题分解成若干相对
( http: / / www.21cnjy.com )独立的小问题．若小问题仍较复杂，则可以把小问题分解成若干个子问题．这样不断地分解，使小问题或子问题简单到能直接用程序的三种基本结构甚至是五种基本语句表达清楚为止．
(2)对应每一个小问题或子问题编写出一个功能上相对独立的程序块来．
(3)把每一个模块统一组装，完成程序．
( http: / / www.21cnjy.com )　某高中男子体育小组的50
m赛跑成绩(单位：s)如下：6.4,6.5,7.0,6.8,7.1,7.3,6.9,7.4,7.5,7.6,6.3,6.4,6.4,6.5,6.7,7.1,6.9,6.4,7.1,7.0.设计一个程序，从这20个成绩中搜索出小于6.8
s的成绩．并画出程序框图．
【精彩点拨】　明确问题的含义，判断好程序框图的结构，然后写出程序．
【规范解答】　程序如下：
程序框图如下图：
[再练一题]
2．请写出如图1 1所示的程序框图描述的算法的程序．
图1 1
【解】　这是一个求分段函数：
y＝
的函数值的算法，输入、输出框分别对应输入、输出语句，判断对应条件语句．
所以算法程序为：
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　程序框图的读图应用
从近几年高考各省市试题中可以看出，本部分命题呈现以下特点：
(1)考题以选择题、填空题为主，属中低档题．
(2)考查内容是程序框图，或者要求补充完整
( http: / / www.21cnjy.com )框图，或者要求求出按程序框图执行后的结果．程序框图中主要以条件结构和循环结构为主，其中循环结构是重点．
( http: / / www.21cnjy.com )　如图1 2所示是一算法的程序框图，若此程序运行结果为S＝720，则在判断框中应填入关于k的判断条件是(　　)
图1 2
A．k≥6
B．k＝7
C．k≥8
D．k≥9
【精彩点拨】　本题可以按照开始
( http: / / www.21cnjy.com )的输入值、程序执行的规律和输出结果进行综合解决．容易出错的地方是不清楚这个判断条件是什么，本题是当不满足判断框中的条件时结束循环，当判断框中的条件满足时执行循环，故应该从k＝10开始按照递减的方式逐步进行，直到S的输出结果为720.
【规范解答】　第一次运行结果为S
( http: / / www.21cnjy.com )＝10，k＝9；第二次运行结果为S＝10×9＝90，k＝8；第三次运行结果为S＝720，k＝7.这个程序满足判断框的条件时执行循环，故判断条件是k≥8？.故选C.
【答案】　C
[再练一题]
3．阅读如图1 3所示的程序框图，运行相应的程序，如果输入某个正整数n后，输出的s∈(10,20)，那么n的值为(　　)
图1 3
A．3　　　　
B．4　　　　
C．5　　　　
D．6
【解析】　逐项验证．若n＝3，输出s＝7 (10,20)．
若n＝4时，s＝15∈(10,20)．
【答案】　B
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分类讨论思想
在解答某些数学问题时，有时会有多种情况，需对
( http: / / www.21cnjy.com )各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得结论，这就是分类讨论思想．在具体问题的算法设计中，往往需要根据条件进行逻辑判断，并进行不同的处理(如条件结构和循环结构)，这实际上运用了分类讨论的数学思想方法．
( http: / / www.21cnjy.com )　某商场实行优惠措施，若购物金额x在800元以上(包括800元)，则打8折，若购物金额x在800元以下500元以上(包括500元)，则打9折；否则不打折．设计算法的程序框图，要求输入购物金额x，能输出实际交款额，并写出程序语句．
【精彩点拨】　先把实际问题转化为数学问题，再画出程序框图，写出程序．
【规范解答】　本题的实质是求函数
y＝的值
程序框图如下：
程序如下：
[再练一题]
4．编写一个程序，对于函数y＝
输入x的值，输出相应的函数值．
【解】　
1．执行下面的程序框图，如果输入的x＝0，y＝1，n＝1，则输出x，y的值满足(　　)
图1 4
A．y＝2x　　
B．y＝3x
C．y＝4x
D．y＝5x
【解析】　输入x＝0，y＝1，n＝
( http: / / www.21cnjy.com )1，运行第一次，x＝0，y＝1，不满足x2＋y2≥36；运行第二次，x＝，y＝2，不满足x2＋y2≥36；运行第三次，x＝，y＝6，满足x2＋y2≥36，输出x＝，y＝6.由于点在直线y＝4x上，故选C.
【答案】　C
2．执行如图1 5所示的程序框图，如果输入的a＝4，b＝6，那么输出的n＝(　　)
图1 5
A．3　　　　B．4
C．5　　　　D．6
【解析】　a＝4，b＝6，n＝0，s＝0，
第一次循环：a＝b－a＝6－4＝2，b＝b－
( http: / / www.21cnjy.com )a＝6－2＝4，a＝b＋a＝4＋2＝6，s＝s＋a＝0＋6＝6，n＝n＋1＝1，不满足s>16；
第二次循环：a＝b－a＝4－6＝－2，b＝b
( http: / / www.21cnjy.com )－a＝4－(－2)＝6，a＝b＋a＝6－2＝4，s＝s＋a＝6＋4＝10，n＝n＋1＝1＋1＝2，不满足s>16；
第三次循环：a＝b－a＝6－4＝2，b＝
( http: / / www.21cnjy.com )b－a＝6－2＝4，a＝b＋a＝4＋2＝6，s＝s＋a＝10＋6＝16，n＝n＋1＝2＋1＝3，不满足s>16；
第四次循环：a＝b－a＝4－6＝－2，b＝b
( http: / / www.21cnjy.com )－a＝4－(－2)＝6，a＝b＋a＝6－2＝4，s＝s＋a＝16＋4＝20，n＝n＋1＝3＋1＝4，满足s>16，输出n＝4.
【答案】　B
3．执行下面的程序框图，如果输入的t＝0.01，则输出的n＝(　　)
图1 6
A．5　　　　B．6　　　　C．7　　　　D．8
【解析】　逐次运行程序，直至输出n.
运行第一次：S＝1－＝＝0.5，m＝0.25，n＝1，S>0.01；
运行第二次：S＝0.5－0.25＝0.25，m＝0.125，n＝2，S>0.01；
运行第三次：S＝0.25－0.125＝0.125，m＝0.062
5，n＝3，S>0.01；
运行第四次：S＝0.125－0.062
5＝0.062
5，m＝0.031
25，n＝4，S>0.01；
运行第五次：S＝0.031
25，m＝0.015
625，n＝5，S>0.01；
运行第六次：S＝0.015
625，m＝0.007
812
5，n＝6，S>0.01；
运行第七次：S＝0.007
812
5，m＝0.003
906
25，n＝7，S<0.01.
输出n＝7.故选C.
【答案】　C
4．下边程序框图的算法思路源于我国古代数学
( http: / / www.21cnjy.com )名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为14,18，则输出的a＝(　　)
图1 7
A．0
B．2
C．4
D．14
【解析】　逐次运行程序，直至程序结束得出a值．
a＝14，b＝18.
第一次循环：14≠18且14＜18，b＝18－14＝4；
第二次循环：14≠4且14＞4，a＝14－4＝10；
第三次循环：10≠4且10＞4，a＝10－4＝6；
第四次循环：6≠4且6＞4，a＝6－4＝2；
第五次循环：2≠4且2＜4，b＝4－2＝2；
第六次循环：a＝b＝2，跳出循环，输出a＝2，故选B.
【答案】　B1.2.2　条件语句
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1．理解条件语句．(重点)
2．用条件语句编写程序．(难点)
3．条件语句与条件结构的关系．(易混点)
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[基础·初探]
教材整理　条件语句的格式、功能及结构
阅读教材P25例5前面的内容，完成下列问题.
格式一
格式二
条件语句
IF　条件　THEN　语句体END　IF
IF　条件　THEN语句体1ELSE语句体2END　IF
语句功能
首先对IF后的条件进行判断，如果(IF)条件符合，那么(THEN)执行语句体，否则执行END　IF之后的语句
首先对IF后的条件进行判断，如果(IF)条件符合，那么(THEN)执行语句体1，否则(ELSE)执行语句体2
对应条件结构框图
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1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)条件语句的执行是按照程序中的先后顺序执行的．(　　)
(2)条件语句实现了程序框图中的条件结构．(　　)
(3)条件语句一定要完整，即IF—THEN—ELSE—END　IF中每一部分都不能少．(　　)
【答案】　(1)√　(2)√　(3)×
2．条件语句对应的基本逻辑结构是(　　)
A．顺序结构
B．条件结构
C．循环结构
D．以上都不正确
【解析】　条件语句对应的基本逻辑结构是条件结构，故选B.
【答案】　B
3．当a＝3时，下面的程序段输出的结果是________．
【解析】　当a＝3时，满足a<10的条件，所以计算机执行y＝2×a，即y＝6.
【答案】　6
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[小组合作型]
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条件语句和条件结构
( http: / / www.21cnjy.com )　(1)给出下面4个问题：①输入一个数x，输出它的绝对值；②求函数f(x)＝的函数值；③求面积为6的正方形的周长；④求三个数a，b，c中的最大数．其中可以用条件语句来描述其算法的有(　　)
A．1个　
B．2个
C．3个
D．4个
(2)已知条件语句如下：
则下列说法正确的是(　　)
A．条件成立时，先执行语句体1，再执行语句体2，最后结束条件语句
B．条件不成立时，先执行语句体2，再执行语句体1，最后结束条件语句
C．条件成立时，先执行语句体1，再结束条件语句
D．条件成立时，先执行语句体2，再结束条件语句
【精彩点拨】　(1)根据问题的解决是否需要分类来确定是否需要用条件语句．(2)根据条件语句，判断执行的过程．
【尝试解答】　(1)在算法中需要逻辑
( http: / / www.21cnjy.com )判断的都要用到条件语句，其中①②④都需要进行逻辑判断，故都要用到条件语句，③只要顺序结构就能描述其算法．
(2)根据条件语句的功能知选C.
【答案】　(1)C　(2)C
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1．一个条件语句都是以“IF”开始，以“END
IF”结束，这是条件语句中不可缺少的．
2．当问题的解决需要分类讨论时，需要条件语句，其中分段函数求值是典型问题．
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[再练一题]
1．求下列函数的函数值的算法中需要用到条件语句的函数为(　　)
A．f(x)＝x2－1
B．f(x)＝x3－1
C．f(x)＝
D．f(x)＝2x
【答案】　C
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条件语句的应用
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( http: / / www.21cnjy.com )　已知函数f(x)＝编写一个程序，使输入的每一个x值，都得到相应的函数值．
【精彩点拨】　求函数值必须先判断x的范围，因而要设计算法必须用条件结构，相应程序的书写用条件语句．
【尝试解答】　用变量x，y分别表示自变量和函数值，步骤如下：
第一步，输入x值．
第二步，判断x的范围，若x≥1，则用解析式y＝2x－1，求函数值；否则用y＝x2－2求函数值．
第三步：输出y值．
程序框图如图所示：
程序如下：
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1．算法中需要根据情况判断，分类执行时，如求一个数的绝对值，比较两个数的大小，求分段函数的函数值等，都需要用到条件语句．
2．条件语句必须以IF语句开始，以END
IF语句结束，即“IF　END
IF”必须成对出现．
3．若程序只对条件满足时作处理，不用处理条件不满足时的情况，则选用“IF—THEN—END
IF”格式．
4．解此类问题的步骤：
(1)构思出解决问题的一个算法；(可用自然语言)
(2)画出程序框图，形象直观地描述算法；
(3)根据框图编写程序，即逐步把框图中的算法步骤用算法语句表达出来．
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[再练一题]
2．根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为(　　)
A．25
B．30
C．31
D．61
【解析】　由题意得y＝
当x＝60时，y＝25＋0.6×(60－50)＝31.
∴输出y的值为31.
【答案】　C
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嵌套条件语句的应用
( http: / / www.21cnjy.com )　已知分段函数y＝编写程序，要求输入自变量x的值，输出相应的函数值并画出程序框图.
【精彩点拨】　→→
【尝试解答】　程序框图如图所示：
程序如下：
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1．已知分段函数的解析式求函数值的问题，须用条件语句书写程序，当条件的判断有两个以上的结果时，可以选择条件结构嵌套去解决．
2．常规格式(注意根据题目可用多于2个以上的条件语句嵌套)．
[再练一题]
3．已知函数f(x)＝编写程序，根据输入的x值输出对应的y值．
【解】　程序如下：
[探究共研型]
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两种条件语句的辨析
探究1　两种条件语句的共同点是什么？
【提示】　两种语句首先都要对
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IF结束．
探究2　两种条件语句的区别是什么？
【提示】　IF—THEN—END
IF语句
( http: / / www.21cnjy.com )只有一个语句体，是满足条件时执行的语句体；IF—THEN—ELSE—END
IF语句含有两个语句体，满足条件时执行一个语句体，不满足条件时执行另一个语句体．
( http: / / www.21cnjy.com )　设计程序，使任意输入的两个不相等的实数按从大到小的顺序输出．
【精彩点拨】　输入的两个不相
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【尝试解答】　程序如下：
INPUT　a，b
IF　a＜b　THEN
　c＝a
　a＝b
　b＝c
END　IF
PRINT　a，b
END
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1．条件语句的一般形式为：其中B表示的是(　　)
A．满足条件时执行的内容
B．条件语句
C．条件
D．不满足条件时，执行的内容
【解析】　如果条件A成立，则执行B步骤，否则执行C步骤．
【答案】　A
2．对于下面程序：
如果在运行时，输入2，那么输出的结果是(　　)
A．2,5　　
B．2,4
C．2,3
D．2,9
【解析】　输入a的值2，首先判断是否大于5，显然2不大于5，然后判断2与3的大小，显然2小于3，所以结果是b＝5，因此结果应当输出2,5.
【答案】　A
3．给出以下程序：
如果输入x1＝2，x2＝3，那么执行此程序的结果是输出(　　)
A．7
B．10
C．5
D．8
【解析】　由于输入的两个数x1
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【答案】　C
4．写出下列程序的运行结果．
若a＝4，则b＝________；若a＝－4，则b＝________.
【解析】　分析程序可知，上述程序是一
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【答案】　29　－2
5．编写一个程序，判断一元二次方程x2－2x＋3＝0有无实数根.
【解】　程序如下：1.1.2
第3课时
循环结构
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1．掌握两种循环结构的程序框图的画法．(重点)
2．能进行两种循环结构的程序框图的相互转化．
3．能正确设计程序框图，解决有关实际问题．(难点)
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[基础·初探]
教材整理1　循环结构的定义
阅读教材P12程序框图下面的内容，完成下列问题．
在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤的情况，这就是循环结构．反复执行的步骤称为循环体．
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判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)循环结构是在一些算法中从某处开始，按照一定条件反复执行处理某一步骤，因此循环结构一定包含条件结构．(　　)
(2)循环结构中不一定包含条件结构．(　　)
(3)循环结构中反复执行的步骤叫做循环体．(　　)
【答案】　(1)√　(2)×　(3)√
教材整理2　常见的两种循环结构
阅读教材P13例6上面的内容，完成下列问题．
1．常见的两种循环结构
名称
结构图
特征
直到型循环结构
先执行循环体后判断条件，若不满足条件则执行循环体，否则终止循环
当型循环结构
先对条件进行判断，满足时执行循环体，否则终止循环
2.循环结构的特点
(1)重复性：在一个循环结构中，总有一个过程要重复一系列的步骤若干次，而且每次的操作完全相同．
(2)判断性：每个循环结构都包含一个判断条件，它决定这个循环的执行与终止．
(3)函数性：循环变量在构造循环结构中起了关键作用，一般蕴含着函数的思想．
3．理解循环结构应注意的两点
(1)循环结构中必须包含条件结构，以保证在适当时候终止循环．
(2)循环结构内不存在无终止的循环，即死循环．
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1．直到型循环结构对应的框图为(　　)
【解析】　根据直到型程序框图的概念进行判断．
【答案】　B
2．阅读如图1 1 31的框图，运行相应的程序，输出S的值为________．
图1 1 31
【解析】　S＝0，n＝3，S＝0＋(－2)3＝－8，
n＝3－1＝2≤1不成立；
故S＝－8＋(－2)2＝－4，
n＝2－1＝1≤1成立．
故输出S的值为－4.
【答案】　－4
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[小组合作型]
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含循环结构的程序的运行
( http: / / www.21cnjy.com )　执行如图1 1 32所示的程序框图，输出的S值为(　　)
图1 1 32
A．1　　　　　　　　　
B．3
C．7
D．15
【精彩点拨】　根据程序框图进行判断，要注意程序终止的条件．
【尝试解答】　程序框图运行如下：
k＝0<3，S＝0＋20＝1，k＝1<3；
S＝1＋21＝3，k＝2<3；
S＝3＋22＝7，k＝3.
输出S＝7.
【答案】　C
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1．如果算法问题里涉及的运算进行多次重复的操作，且先后参与运算的各数之间有相同的变化规律，就可以引入循环变量参与运算，构成循环结构．
2．在循环结构中，要注意根据条件设置合理的计数变量，累加(乘)变量，同时条件的表述要恰当，精确．
3．累加变量的初值一般为0，而累乘变量的初值一般为1，累加(乘)和计数一般是同步进行的，累加(乘)一次，计数一次．
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[再练一题]
1．阅读如图1 1 33所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n的值为(　　)
图1 1 33
A．1　　　　　　　　
B．2
C．3
D．4
【解析】　当n＝1时，21>12满足条件，继续循环得n＝2,22>22不成立，不满足条件，所以输出n＝2.
【答案】　B
含循环结构程序框图的设计
( http: / / www.21cnjy.com )　设计一个算法，求1×2×3×…×100的值，并画出程序框图．
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【精彩点拨】　式中各项相乘
( http: / / www.21cnjy.com )，且各项有规律递增，所以引入累乘变量S和计数变量i，利用S＝S×i，i＝i＋1这两个式子反复执行，因此需要利用循环结构设计程序框图．
【尝试解答】　算法如下：
第一步，令S＝1.
第二步，令i＝2.
第三步，S＝S×i.
第四步，i＝i＋1.
第五步，若i＞100，则输出S；否则，返回第三步．
该算法的程序框图如图所示．
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1．如果算法问题中涉及的运算进行了许
( http: / / www.21cnjy.com )多次重复的操作，且先后参与运算的数之间有相同的变化规律，就可以引入变量(我们称之为循环变量)，构成循环结构．
2．在循环结构中，要注意根据条件设计合理
( http: / / www.21cnjy.com )的计数变量、累加变量和累乘变量等，特别要求条件的表述要恰当、精确．累加变量的初始值一般取0，而累乘变量的初始值一般取1.
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[再练一题]
2．根据例2选择另外一种循环结构，画出它的程序框图．
【解】　程序框图：
循环结构的实际应用
( http: / / www.21cnjy.com )　某商场第一年销售计算机5
000台，如果平均每年销售量比上一年增加10%，那么从第一年起，大约几年可使总销售量达40
000台？画出解决此问题的程序框图．
【精彩点拨】　根据题中条件解决该问题需选择循环结构画流程图．
【尝试解答】　程序框图如图所示：
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用循环结构设计算法解决应用问题的步骤：
(1)审题．
(2)建立数学模型．
(3)用自然语言表述算法步骤．
(4)确定每一个算法步骤所包含的逻辑结构，对于要重复执行的步骤，通常用循环结构来设计，并用相应的程序框图表示，得到表示该步骤的程序框图．
(5)将所有步骤的程序框图用流程线连接起来，并加上终端框，得到表示整个算法的程序框图．
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[再练一题]
3．某班共有学生50人，在一次数学测试中，要搜索出测试中及格(60分及以上)的成绩，试设计一个算法，并画出程序框图.
【解】　算法步骤如下：
第一步，把计数变量n的初始值设为1.
第二步，输入一个成绩r，比较r与60的大小．若r≥60，则输出r，然后执行下一步；若r<60，则执行下一步．
第三步，使计数变量n的值增加1.
第四步，判断计数变量n与学生个数50的大小，若n≤50，返回第二步；若n>50，则结束．
程序框图如图：
[探究共研型]
循环变量的特征
探究1　在循环结构中，计数变量和累加(乘)变量有什么作用？
【提示】　一般地，循环结构中都有一
( http: / / www.21cnjy.com )个计数变量和累加(乘)变量：计数变量用于记录循环次数，同时它的取值还可能用于判断循环是否终止；累加(乘)变量用于表示每一步的计算结果．计数变量和累加(乘)变量一般是同步执行的，累加(乘)一次，计数一次．
探究2　利用循环结构描述算法，要注意什么？
【提示】　要注意循环条件、变量初值、循环体各语句之间的影响．
(1)注意各个语句顺序不同对结果的影响；
(2)注意各个变量初始值不同对结果的影响；
(3)要对循环开始和结束的变量及结束时变量的值认真检验，以免出现多循环或者漏循环．
( http: / / www.21cnjy.com )　如图1 1 34所示的3个程序框图中，哪一个是满足12＋22＋32＋…＋n2＞106的最小正整数n的程序框图．
①
②
③
图1 1 34
【尝试解答】　图①中变量i2加给S
( http: / / www.21cnjy.com )后i再加1，在检验条件时，满足条件后输出的i比实际值多1，显然是未重视最后一次循环的检验所致．图②中，i加1后再加i2加给S，由于开始时i＝1，这样导致第一次执行循环体时加的就是22，漏掉了第1项，是由于未重视第一次执行循环时的数据所致．图③是满足条件的．
循环结构中的“条件”特征
探究3　循环结构的判断框中的条件是唯一的吗？
【提示】　不是．在设计具体的
( http: / / www.21cnjy.com )程序框图时，循环结构的判断框中的条件可能根据选择模型的不同而不同，也可能由于具体算法的特点而不同，但不同的条件应该有相同的确定的结果．
探究4　直到型循环结构与当型循环结构中的循环条件一样吗？
【提示】　不一样．直到型循环结构
( http: / / www.21cnjy.com )中的循环条件是终止循环的，只要一满足条件就终止执行循环体，只有不满足条件时，才反复执行循环体；而当型循环结构中的循环条件是维持循环的，只有满足条件才执行循环体．
探究5　当型循环结构与直到型循环结构的联系与区别是什么？
【提示】　1.联系
(1)当型循环结构与直到型循环结构虽形式不同，但功能和作用是相同的，可以相互转化；
(2)循环结构中必然包含条件结构，以保证在适当的时候终止循环；
(3)循环结构只有一个入口和一个出口；
(4)循环结构内不存在死循环，即不存在无终止的循环．
2．区别
直到型循环结构是先执行一次循环体，然
( http: / / www.21cnjy.com )后再判断是否继续执行循环体，当型循环结构是先判断是否执行循环体；直到型循环结构是在条件不满足时执行循环体，当型循环结构是在条件满足时执行循环体，要掌握这两种循环结构，必须抓住它们的区别．
( http: / / www.21cnjy.com )　已知有一列数，，，…，，请使用两种循环结构框图实现求该数列前20项的和．
【精彩点拨】　该列数中每一项的分母是
( http: / / www.21cnjy.com )分子数加1，单独观察分子，恰好是1,2,3,4，…，n，因此可用循环结构实现，设计数变量i，用i＝i＋1实现分子，设累加变量S，用S＝S＋，可实现累加，注意i只能加到20.
【尝试解答】　程序框图如下：
直到型循环结构　　当型循环结构
1．下列框图是循环结构的是(　　)
图1 1 35
A．①②　　B．②③　　C．③④　　D．②④
【解析】　由循环结构的特点知③④是循环结构，其中①是顺序结构，②是条件结构．
【答案】　C
2．一个算法的程序框图如图1 1 36所示，当输入的x值为3时，输出y的值恰好是，则“①”处的关系式是(　　)
A．y＝x3　　　　　　　
B．y＝3－x
C．y＝3x
D．y＝x
图1 1 36
【解析】　当x＝3时，∵x＞0，由x＝x－2，得x＝1；再用x＝x－2，得x＝－1；而当x＝－1时，3x＝.
【答案】　C
3．如图1 1 37所示的程序框图中，语句“S＝S×n”将被执行的次数是
(　　)
图1 1 37
A．4　　　　
B．5　　　　
C．6　　　　
D．7
【解析】　由程序框图知：
S＝1×2×3×…×n.
又1×2×3×4×5＝120＜200，
1×2×3×4×5×6＝720＞200.
故语句“S＝S×n”被执行了5次．
【答案】　B
4．运行如图1 1 38程序框图，输出的结果为________．
图1 1 38
【解析】　n＝1，S＝1＋0＝1；n＝2，S＝3；n＝3，S＝6；n＝4，S＝10；n＝5，S＝15；n＝6，S＝21；n＝7，S＝28.
【答案】　28
5．画出计算1＋＋＋…＋的值的一个程序框图．
【解】　程序框图如图所示：