2.2
二项分布及其应用
2.2.3
独立重复试验与二项分布
( http: / / www.21cnjy.com )
A级 基础巩固
一、选择题
1．若X～B(10，0.8)，则P(X＝8)等于( )
A．C×0.88×0.22
B．C×0.82×0.28
C．0.88×0.22
D．0.
82×0.28
解析：因为X～B(10，0.8)，所以P(X＝k)＝C0.8k(1－0.8)10－k，所以P(X＝8)＝C×0.88×0.22.
答案：A
2．某人参加一次考试，4道题中答对3道为及格，已知他的解题正确率为0.4，则他能及格的概率约为( )
A．0.18
B．0.28
C．0.37
D．0.48
解析：他能及格的概率P＝C×0.43×(1－0.4)＋C×0.44＝0.179
2≈0.18.
答案：A
3．在某次试验中，事件A出现的概率为p，则在n次独立重复试验中出现k次的概率为( )
A．1－pk
B．(1－p)kpn－k
C．1－(1－p)k
D．C(1－p)kpn－k
解析：出现1次的概率为1－p，由二项分布概率公式可得出现k次的概率为C(1－p)kpn－k.
答案：D
4．(2015·课标全国Ⅰ卷)投
( http: / / www.21cnjy.com )篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )
A．0.648
B．0.432
C．0.36
D．0.312
解析：根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为C0.62×0.4＋0.63＝0.648.
答案：A
5．一袋中有5个白球，3个红
( http: / / www.21cnjy.com )球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则P(ξ＝12)等于( )
A．C
B．C
C．C
D．C
解析：当ξ＝12时，表示前11次中取到9次红球，第12次取到红球，所以P(ξ＝12)＝C.
答案：B
二、填空题
6．下列例子中随机变量ξ服从二项分布的有________．
①随机变量ξ表示重复抛掷一枚骰子n次中出现点数是3的倍数的次数；
②某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数ξ；
③有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用有放回抽取方法，ξ表示n次抽取中出现次品的件数(M＜N)；
④有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用不放回抽取方法，ξ表示n次抽取中出现次品的件数．
解析：对于①，设事件A为“抛
( http: / / www.21cnjy.com )掷一枚骰子出现的点数是3的倍数”，P(A)＝.而在n次独立重复试验中事件A恰好发生了k次(k＝0，1，2，…，n)的概率P(ξ＝k)＝C，符合二项分布的定义，即有ξ～B.对于②，ξ的取值是1，2，3，…，P(ξ＝k)＝0.9×0.1k－1(k＝1，2，3，…，n)，显然不符合二项分布的定义，因此ξ不服从二项分布．③和④的区别是：③是“有放回”抽取，而④是“无放回”抽取，显然④中n次试验是不独立的，因此ξ不服从二项分布，对于③有ξ～B.故应填①③.
答案：①③
7．设随机变量X～B(2，p)，随机变量Y～B(3，p)，若P(X≥1)＝，则P(Y≥1)＝________．
解析：因为X～B(2，p)，所以
( http: / / www.21cnjy.com )P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－C(1－p)2＝，解得p＝.又Y～B(3，p)，所以P(Y≥1)＝1－P(Y＝0)＝1－C(1－p)3＝.
答案：
8．口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，
( http: / / www.21cnjy.com )有放回地每次摸取一个球，定义数列{an}：an＝如果Sn为数列{an}的前n项和，那么S5＝3的概率为________．
解析：由题意知有放回地摸球为独
( http: / / www.21cnjy.com )立重复试验，且试验次数为5，这5次中有1次摸得红球．每次摸取红球的概率为，所以S5＝3时，概率为C×＝.
答案：
三、解答题
9．某单位为绿化环境，移
( http: / / www.21cnjy.com )栽了甲、乙两种大树各2棵．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各棵大树是否成活互不影响，求移栽的4棵大树中．
(1)至少有1棵成活的概率；
(2)两种大树各成活1棵的概率．
解：设Ak表示第k棵甲种大树成活，k＝1，2，Bl表示第l棵乙种大树成活，l＝1，2，
则A1，A2，B1，B2相互独立，且P(A1)＝P(A2)＝，P(B1)＝P(B2)＝.
(2)由独立重复试验中事件发生的概率公式知，所求概率为P＝C·C＝×＝＝.
10.
一名学生骑自行车
( http: / / www.21cnjy.com )去上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是.设X为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X的分布列．
解：依据已知条件，可将遇到每个交通岗看作一次试验，遇到红灯的概率都是，且每次试验结果都是相互独立的，所以X～B.
故P(X＝k)＝C＝C，k＝0，1，2，…，6.
因此所求X的分布列为：
X
0
1
2
3
4
5
6
P
B级 能力提升
1．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率p的取值范围是( )
A．[0.4，1)
B．(0，0.4]
C．[0.6，1)
D．(0，0.6]
解析：由条件知P(ξ＝1)≤P(ξ＝2)，
所以Cp(1－p)3≤Cp2(1－p)2，2(1－p)≤3p，
所以p≥0.4.
又0≤p＜1，所以0.4≤p＜1.
答案：A
2．设事件A在每次试验中发生的概率相同，且在
( http: / / www.21cnjy.com )三次独立重复试验中，若事件A至少发生一次的概率为，则事件A恰好发生一次的概率为________．
解析：设事件A在每次试验中发
( http: / / www.21cnjy.com )生的概率为p，由题意得，事件A发生的次数X～B(3，p)，则有1－(1－p)3＝，得p＝，则事件A恰好发生一次的概率为C××＝.
答案：
3．甲、乙两队参加世博会
( http: / / www.21cnjy.com )知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且各人答对正确与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分．
(1)求随机变量ξ的分布列；
(2)设C表示事件“甲队得2分，乙队得1分”，求P(C)．
解：(1)由题意知，ξ的可能取值为0，1，2，3，
P(ξ＝0)＝C×＝，
P(ξ＝1)＝C××＝，
P(ξ＝2)＝C××＝，
P(ξ＝3)＝C×＝，
所以ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
3
P
(2)甲队得2分，乙队得1分，两事件相互独立，
由(1)得，甲队得2分的概率P(ξ＝2)＝，
乙得1分的概率P＝××＋××＋××＝.
根据独立事件概率公式得，“甲队得2分，乙队得1分”的概率P(C)＝×＝.1.3
二项式定理
1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质
( http: / / www.21cnjy.com )
A级 基础巩固
一、选择题
1．(1＋x)2n＋1(n∈N
)的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是( )
A．n，n＋1
B．n－1，n
C．n＋1，n＋2
D．n＋2，n＋3
解析：因为2n＋1为奇数，所以展开式中间两项的二项式系数最大，中间两项的项数是n＋1，n＋2.
答案：C
2．设
(x2＋1)(2
( http: / / www.21cnjy.com )x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，则a0＋a1＋a2＋…＋a11的值为( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
解析：令等式中x＝－1可得a0＋a1＋a2＋…＋a11＝(1＋1)×(－1)9＝－2，故选A.
答案：A
3．已知的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含x项的系数是( )
A．5
B．20
C．10
D．40
解析：根据题意，该二项式的展开式的二项式系数之和为32，
则有2n＝32，可得n＝5，
Tr＋1＝Cx2(5－r)·x－r＝Cx10－3r，
令10－3r＝1，解得r＝3，
所以展开式中含x项的系数是C＝10，故选C.
答案：C
4．已知C＋2C＋22C＋…＋2nC＝729，则C＋C＋C的值等于
( )
A．64 B．32
C．63 D．31
解析：由已知(1＋2)n＝3n＝729，解得n＝6，则C＋C＋C＝C＋C＋C＝×26＝32.
答案：B
5．已知的展开式中，各项系数的和与各二项式系数的和之比为64，则n等于( )
A．4
B．5
C．6
D．7
解析：令x＝1，得各项系数的和为4n，又各二项式系数的和为2n，故＝64.所以n＝6.
答案：C
二、填空题
6．(a＋)n的展开式中奇数项系数和为512，则展开式的第八项T8＝________．
解析：C＋C＋C＋…＝2n－1＝512＝29，所以n＝10，所以T8＝Ca3()7＝120a.
答案：120a
7．(1＋)n展开式中的各项系数的和大于8而小于32，则系数最大的项是________．
解析：因为8＜C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＜32，即8＜2n＜32.所以n＝4.所以展开式共有5项，系数最大的项为T3＝C()2＝6x.
答案：6x
8．如图所示，满足如下条件：
①第n行首尾两数均为n；
②表中的递推关系类似“杨辉三角”．
则第10行的第2个数是________，第n行的第2个数是________．
1
2 2
3 4 3
4 7 7 4
5 11 14 11 5
6 16 25 25 16 6
…
解析：由图表可知第10行的第2个数为：
(1＋2＋3＋…＋9)＋1＝46，
第n行的第2个数为：
[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋1＝＋1＝.
答案：46
三、解答题
9．已知(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，求：
(1)a0＋a1＋a2＋a3＋a4；
(2)(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2.
解：(1)由(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，
令x＝1得(2－3)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4，
所以a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝1.
(2)在(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4中，
令x＝1得(2－3)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4，①
令x＝－1得
(－2－3)4＝a0－a1＋a2－a3＋a4.②
所以(a0＋a2＋a4)2－
( http: / / www.21cnjy.com )(a1＋a3)2＝(a0－a1＋a2－a3＋a4)(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)＝(－2－3)4(2－3)4＝(2＋3)4(2－3)4＝625.
10．(1＋2x)n的展开式中第六项与第七项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．
解：T6＝C(2x)5，T7＝C(2x)6，依题意有C25＝C26，
解得n＝8.
所以(1＋2x)n的展开式中，二项式系数最大的项为
T5＝C(2x)4＝1
120x4.
设第(k＋1)项系数最大，则有eq
\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(C2k≥C2k－1，,C2k≥C2k＋1，))
解得5≤k≤6.
又因为k∈{0，1，2，…，8}，所以k＝5或k＝6.
所以系数最大的项为T6＝1
792x5，T7＝1
792x6.
B级 能力提升
1．若9n＋C·9n－1＋…＋C·9＋C是11的倍数，则自然数n为( )
A．奇数
B．偶数
C．3的倍数
D．被3除余1的数
解析：9n＋C·9n－1＋…＋C·9＋C＝(9n＋1＋C·9n＋…＋C·92＋C＋C)－＝(9＋1)n＋1－＝(10n＋1－1)是11的倍数，所以n＋1为偶数，n为奇数．
答案：A
2．(2015·山东卷)观察下列各式：
C＝40；
C＋C＝41；
C＋C＋C＝42；
C＋C＋C＋C＝43；
……
照此规律，当n∈N
时，
C＋C＋C＋…＋C＝________．
解析：具体证明过程可以是：
C＋C＋C＋…＋C＝(2C＋2C＋2C＋…＋2C)＝[(C＋C)＋(C＋C)＋(C＋C)＋…＋(C＋C)]＝(C＋C＋C＋…＋C＋C＋…＋C)＝·22n－1＝4n－1.
答案：4n－1
3．已知(a2＋1)n展开式中的各项系数之和等于的展开式的常数项，而(a2＋1)n的展开式的系数最大的项等于54，求a的值．
解：由得Tr＋1＝C＝Cx，
令Tr＋1为常数项，则20－5r＝0，
所以r＝4，常数项T5＝C·＝16.
又(a2＋1)n展开式中的各项系数之和等于2n，由此得到2n＝16，n＝4.
所以(a2＋1)4展开式中系数最大项是中间项T3＝Ca4＝54.
解得a＝±.2.2
二项分布及其应用
2.2.1
条件概率
( http: / / www.21cnjy.com )
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知P(B|A)＝，P(AB)＝，则P(A)等于( )
A. B. C. D.
解析：由P(AB)＝P(A)P(B|A)可得P(A)＝.
答案：C
2．某地区空气质量监测资料表明，一天的
( http: / / www.21cnjy.com )空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )
A．0.8
B．0.75
C．0.6
D．0.45
解析：已知连续两天为优良的概率是0.6，
( http: / / www.21cnjy.com )那么在前一天空气质量为优良的前提下，要求随后一天的空气质量为优良的概率，可根据条件概率公式，得P＝＝0.8.
答案：A
3．在10个形状大小均相同的球中有6个红球和4个白球，不放回地依次摸出2个球，在第1次摸出红球的条件下，第2次也摸到红球的概率为( )
A.
B.
C.
D.
解析：设第一次摸到的是红球为事件A，则P(A)＝＝，设第二次摸得红球为事件B，则P(AB)＝＝，
故在第一次摸得红球的条件下第二次也摸得红球的概率为
P(B|A)＝＝.
答案：D
4．某种电子元件用满3
00
( http: / / www.21cnjy.com )0小时不坏的概率为，用满8
000小时不坏的概率为.现有一只此种电子元件，已经用满3
000小时不坏，还能用满8
000小时的概率是( )
A.
B.
C.
D.
解析：记事件A：“用满3
000小时不坏”，
( http: / / www.21cnjy.com )P(A)＝；记事件B：“用满8
000小时不坏”，P(B)＝.因为B A，所以P(AB)＝P(B)＝，P(B|A)＝＝＝÷＝.
答案：B
5．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率是( )
A．0.72
B．0.8
C．0.86
D．0.9
解析：设“种子发芽”为事件A，“
( http: / / www.21cnjy.com )种子成长为幼苗”为事件AB(发芽，并成活而成长为幼苗)，则P(A)＝0.9，又种子发芽后的幼苗成活率为P(B|A)＝0.8，所以P(AB)＝P(A)P(B|A)＝0.9×0.8＝0.72.
答案：A
二、填空题
6．4张奖券中只有1张能中奖，现分别
( http: / / www.21cnjy.com )由4名同学无放回地抽取．若已知第一名同学没有抽到中奖券，则最后一名同学抽到中奖券的概率是________．
解析：因为第一名同学没有抽到中奖券已知，所以问题变为3张奖券，1张能中奖，最后一名同学抽到中奖券的概率，显然是.
答案：
7．把一枚硬币任意抛掷两次，事件B为“第一次出现反面”，事件A为“第二次出现正面”，则P(A|B)为________．
解析：事件B包含的基本事件数有1×C＝2个，AB包含的基本事件数为1，由条件概率公式P(A|B)＝＝.
答案：
8．某人一周晚上值班2次，在已知他周日一定值班的条件下，他在周六晚上值班的概率为________．
解析：设事件A为“周日值班”，事件B为“周六值班”，
则P(A)＝eq
\f(C,C)，P(AB)＝eq
\f(1,C)，故P(B|A)＝＝.
答案：
三、解答题
9．某班从6名班干部(其中男生4人，女生2人)中选出3人参加学校的义务劳动，在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率．
解：记“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B.
P(A)＝eq
\f(C,C)＝＝，P(AB)＝eq
\f(C,C)＝，
所以P(B|A)＝＝.
10．某班级有学生40人，其中团员15人，全班分四个小组，第一小组10人，其中团员4人，如果要在班内任选一人当学生代表．
(1)求这个代表恰好在第一小组内的概率；
(2)现在要在班内任选一个团员代表，问这个代表恰好在第一小组内的概率是多少？
解：设A＝{在班内任选一个学生，该学生属于第一小组}，B＝{在班内任选一个学生，该学生是团员}．
(1)由古典概率知P(A)＝＝.
(2)法一 由古典概型知P(A|B)＝.
法二 P(AB)＝，P(B)＝，
由条件概率的公式，得P(A|B)＝.
B级 能力提升
1．从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张，将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞，则第2张也是假钞的概率为( )
A. B. C. D.
解析：设事件A表示“抽到2张都是假钞”，事件B为“2张中至少有1张假钞”，所以所求概率为P(A|B)．
而P(AB)＝eq
\f(C,C)，P(B)＝eq
\f(C＋CC,C).
所以P(A|B)＝＝.
答案：D
2．盒中装有6件产品，其
( http: / / www.21cnjy.com )中4件一等品，2件二等品，从中不放回地取产品，每次1件，取两次，已知第二次取得一等品，则第一次取得的是二等品的概率是________．
解析：令第二次取得一等品为事件A，第一次取得二等品为事件B，
则P(AB)＝eq
\f(C·C,C·C)＝，P(A)＝eq
\f(C·C＋CC,C·C)＝.
所以P(B|A)＝＝×＝.
答案：
3．现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：
(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；
(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；
(3)在第1次抽到舞蹈的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．
解：设“第1次抽到舞蹈节目”为事件A，“第2次抽到舞蹈节目”为事件B，则“第1次和第2次都抽到舞蹈节目”为事件AB.
(1)从6个节目中不放回地依次抽取2次的事件数为n(Ω)＝A＝30，
根据分步计数原理n(A)＝AA＝20，
于是P(A)＝＝＝.
(2)因为n(AB)＝A＝12，
于是P(AB)＝＝＝.
(3)法一 由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为
P(B|A)＝＝÷＝.
法二 因为n(AB)＝12，n(A)＝20，
所以P(B|A)＝＝＝.2.1
离散型随机变量及其分布列
2.1.2
离散型随机变量的分布列
第1课时
离散型随机变量的分布列
( http: / / www.21cnjy.com )
A级 基础巩固
一、选择题
1．袋中有大小相同的5个钢球，分别标有
( http: / / www.21cnjy.com )1，2，3，4，5五个号码．在有放回地抽取条件下依次取出2个球，设两个球号码之和为随机变量ξ，则ξ所有可能取值的个数是( )
A．25 B．10 C．9 D．5
解析：第一次可取1，2，3，4
( http: / / www.21cnjy.com )，5中的任意一个，由于是有放回抽取，第二次也可取1，2，3，4，5中的任何一个，两次的号码和可能为2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9个．
答案：C
2．若随机变量X的分布列为：
X
－2
－1
0
1
2
3
P
0.1
0.2
0.2
0.3
0.1
0.1
则当P(X
A．(－∞，2]
B．[1，2]
C．(1，2]
D．(1，2)
解析：由随机变量X的分布列知
( http: / / www.21cnjy.com )：P(X<－1)＝0.1，P(X<0)＝0.3，P(X<1)＝0.5，P(X<2)＝0.8，则当P(X答案：C
3．设离散型随机变量X的概率分布列如下表：
X
1
2
3
4
P
p
则p等于( )
A.
B.
C.
D.
解析：由＋＋＋p＝1，解得p＝＝.
答案：D
4．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝m，k＝1，2，3，则m的值为( )
A.
B.
C.
D.
解析：P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，由离散型随机变量的分布列的性质知P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝1，即＋＋＝1，解得m＝.
答案：B
5．随机变量ξ的概率分布列为P(ξ＝n)＝，n＝1，2，3，4，其中a是常数，则P的值为( )
A.
B.
C.
D.
解析：＋＋＋＝a
＝a＝1.
所以a＝.
所以P＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝×＝.
答案：D
二、填空题
6．随机变量ξ的分布列如下：
ξ
－1
0
1
P
a
b
c
其中a、b、c成等差数列，则P(|ξ|＝1)＝________．
解析：由a＋b＋c＝1及2b＝a＋c，得b＝，所以P(|ξ|＝1)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝－1)＝.
答案：
7．设随机变量ξ的可能取值为5，6，7，…，16这12个值，且取每个值的概率均相同，则P(ξ＞8)＝________．
解析：依题意有P(ξ＞8)＝×8＝.
答案：
8．随机变量η的分布列如下：
η
1
2
3
4
5
6
P
0.2
x
0.35
0.1
0.15
0.2
则x＝________，P(η≤3)＝________．
解析：由分布列的性质得0.2＋x＋0.3
( http: / / www.21cnjy.com )5＋0.1＋0.15＋0.2＝1，解得x＝0.故P(η≤3)＝P(η＝1)＋P(η＝2)＋P(η＝3)＝0.2＋0.35＝0.55.
答案：0 0.55
三、解答题
9．从4张已编号(1～4号)的卡片中任意取出2张，取出的卡片号码数之和为X.求随机变量X的分布列．
解：
X可取3，4，5，6，7.其中X＝3表示取出分别标有1，2的2张卡片，P(X＝3)＝eq
\f(1,C)＝；
X＝4表示取出分别标有1，3的2张卡片，P(X＝4)＝eq
\f(1,C)＝；
X＝5表示取出分别标有1，4或2，3的2张卡片，P(X＝5)＝eq
\f(2,C)＝；
X＝6表示取出分别标有2，4的2张卡片，P(X＝6)＝eq
\f(1,C)＝；
X＝7表示取出分别标有3，4的2张卡片，P(X＝7)＝eq
\f(1,C)＝.
所以变量X的分布列为：
X
3
4
5
6
7
P
10.设随机变量X的分布列为P＝ak(k＝1，2，3，4，5)．求：
(1)常数a的值；
(2)P；
(3)P.
解：题目所给随机变量X的分布列为：
X
1
P
a
2a
3a
4a
5a
(1)由a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，
解得a＝.
(2)P＝P＋P＋P(X＝1)＝＋＋＝.
(3)P＝P＋P＋P＝＋＋＝.
B级 能力提升
1．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝(k＝1，2，3，
4，5)，则P＝( )
A.
B.
C.
D.
解析：由＜ξ＜知ξ＝1，2，P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝.所以P＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝.
答案：D
2．设随机变量ξ等可能取值1，2，3，…，n，如果P(ξ＜4)＝0.3，那么n＝________．
解析：由ξ＜4知ξ＝1，2，3时，有P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝0.3＝，解得n＝10.
答案：10
3．将一颗骰子掷两次，求两次掷出的最大点数ξ的分布列．
解：将一颗骰子连掷两次共出现的等可能基本事件有6×6＝36(种)，其最大点数ξ可能取的值为1，2，3，4，5，6.
P(ξ＝1)＝.
ξ＝2包含三个基本事件(1，2
( http: / / www.21cnjy.com ))，(2，1)，(2，2)，其中(x，y)表示第一枚骰子点数为x，第二枚骰子点数为y.所以P(ξ＝2)＝＝.
同理可求得P(ξ＝3)＝，P(ξ＝4)＝，P(ξ＝5)＝，P(ξ＝6)＝.
所以ξ的分布列为：
ξ
1
2
3
4
5
6
P1.1
分类加法计数原理与分步乘法计数原理
第2课时
分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用
( http: / / www.21cnjy.com )
A级 基础巩固
一、选择题
1．植树节那天，四位同学植树，现有3棵不同的树，若一棵树限1人完成，则不同的植树方法种数有( )
A．1×2×3
B．2×3×4
C．34
D．43
解析：完成这件事分三步．第一步，植第一
( http: / / www.21cnjy.com )棵树，有4种不同的方法；第二步，植第二棵树，有4种不同的方法；第三步，植第三棵树，也有4种不同的方法．由分步乘法计数原理得：N＝4×4×4＝43，故选D.
答案：D
2．从1，2，3，4，5五个数中任取3个，可组成不同的等差数列的个数为(
)
A．2
B．4
C．6
D．8
解析：分两类：第一类，公差大于0，有以下
( http: / / www.21cnjy.com )4个等差数列：①1，2，3，②2，3，4，③3，4，5，④1，3，5；第二类，公差小于0，也有4个．根据分类加法计数原理可知，可组成的不同的等差数列共有4＋4＝8(个)．
答案：D
3．从集合{1，2，3}和{1，4，5，6}中各取1个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中能确定不同点的个数为( )
A．12
B．11
C．24
D．23
解析：先在{1，2，3}中取出1个
( http: / / www.21cnjy.com )元素，共有3种取法，再在{1，4，5，6}中取出1个元素，共有4种取法，取出的2个数作为点的坐标有2种方法，由分步乘法计数原理知不同的点的个数有N＝3×4×2＝24(个)．又点(1，1)被算了两次，所以共有24－1＝23(个)．
答案：D
4．已知x∈{2，3，7}，y∈{－31，－24，4}，则xy可表示不同的值的个数是( )
A．1＋1＝2
B．1＋1＋1＝3
C．2×3＝6
D．3×3＝9
解析：x，y在各自的取值集合中各选一
( http: / / www.21cnjy.com )个值相乘求积，这件事可分两步完成．第一步，x在集合{2，3，7}中任取一个值有3种方法；第二步，y在集合{－31，－24，4}中任取一个值有3种方法．根据分步乘法计数原理知，不同值有3×3＝9(个)．
答案：D
5．用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数的个数是( )
A．20
B．16
C．14
D．12
解析：因为四位数的每个位数上都有两种可
( http: / / www.21cnjy.com )能性(取2或3)，其中四个数字全是2或3的不合题意，所以适合题意的四位数共有2×2×2×2－2＝14(个)．
答案：C
二、填空题
6．3位旅客投宿到1个旅馆的4个房间(每房间最多可住3人)有________种不同的住宿方法．
解析：分三步，每位旅客都有4种不同的住宿方法，因而共有不同的方法4×4×4＝43＝64(种)．
答案：64
7．甲、乙、丙3个班各有三好
( http: / / www.21cnjy.com )学生3，5，2名，现准备推选2名来自不同班的三好学生去参加校三好学生代表大会，共有________种不同的推选方法．
解析：分为三类：
第一类，甲班选一名，乙班选一名，根据分步乘法计数原理，选法有3×5＝15(种)；
第二类，甲班选一名，丙班选一名，根据分步乘法计数原理，选法有3×2＝6(种)；
第三类，乙班选一名，丙班选一名，根据分步乘法计数原理，选法有5×2＝10(种)．
综合以上三类，根据分类加法计数原理，不同选法共有15＋6＋10＝31(种)．
答案：31
8．甲、乙、丙3位志愿者安
( http: / / www.21cnjy.com )排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有________种．
解析：分三类．若甲在周一，则乙、丙的排法有4×3＝12(种)；
若甲在周二，则乙、丙的排法有3×2＝6(种)；
若甲在周三，则乙、丙的排法有2×1＝2(种)．
所以不同的安排方法共有12＋6＋2＝20(种)．
答案：20
三、解答题
9．某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O型血的共有28人，A型血的共有7人，B型血的共有9人，AB型血的共有3人．
(1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？
(2)从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？
解：从O型血的人中选1人有28种不同的选法
( http: / / www.21cnjy.com )，从A型血的人中选1人有7种不同的选法，从B型血的人中选1人有9种不同的选法，从AB型血的人中选1人有3种不同的选法．
(1)任选1人去献血，即无论选哪种血型的哪一
( http: / / www.21cnjy.com )个人，“任选1人去献血”这件事情都可以完成，所以用分类加法计数原理，不同的选法有28＋7＋9＋3＝47(种)．
(2)要从四种血型的人中各选1人，即从每种血
( http: / / www.21cnjy.com )型的人中各选出1人后，“各选1人去献血”这件事情才完成，所以用分步乘法计数原理，不同的选法有28×7×9×3＝5
292(种)．
10．8张卡片上写着0，1，2，…，7共8个数字，取其中的三张卡片排放在一起，可组成多少个不同的三位数？
解：先排百位数字，从1，2，
( http: / / www.21cnjy.com )…，7共7个数字中选一个，有7种选法；再排十位数字，从除去百位数字外，剩余的7个数字(包括0)中选一个，有7种选法；最后排个位数字，从除前两步选出的数字外，剩余的6个数字中选一个，有6种选法．由分步乘法计数原理得，共可以组成的不同三位数有7×7×6＝294(个)．
B级 能力提升
1．将1，2，3，…，9这9个数
( http: / / www.21cnjy.com )字填在如图的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大．当3，4固定在图中的位置时，填写空格的方法有( )
3
4
A．6种
B．12种
C．18种
D．24种
解析：因为每一行从左到右，每一列从上到下分
( http: / / www.21cnjy.com )别依次增大，1，2，9只有一种填法，5只能填在右上角或左下角，5填好后与之相邻的空格可填6，7，8任一个；余下两个数字按从小到大只有一种方法．结果共有2×3＝6(种)，故选A.
答案：A
2．把9个相同的小球放入编号为1，2，3的三个箱子里，要求每个箱子放球的个数不小于其编号数，则不同的放球方法共有________种．
解析：分四类：第一个箱子放入1个小球，
( http: / / www.21cnjy.com )将剩余的8个小球放入2，3号箱子，共有4种放法；第一个箱子放入2个小球，将剩余的7个小球放入2，3号箱子，共有3种放法；第一个箱子放入3个小球，将剩余的6个小球放入2，3号箱子，共有2种放法；第一个箱子放入4个小球则共有1种放法．根据分类加法计数原理共有10种情况．
答案：10
3．某人有4种颜色的灯泡(每种颜色
( http: / / www.21cnjy.com )的灯泡足够多)，要在如图所示的6个点A，B，C，A1，B1，C1上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有多少种？
解：第一步，在点A1，B1，C1上安装灯泡，A1有4种方法，B1有3种方法，C1有2种方法，4×3×2＝24，即共有24种方法．
第二步，从A，B，C中选一个点安装第4种颜色的灯泡，有3种方法．
第三步，再给剩余的两个点安装灯泡，共有3种方法，由分步乘法计数原理可得，安装方法共有4×3×2×3×3＝216(种)．1.2
排列与组合
1.2.2
组合
第2课时
组合的综合应用
( http: / / www.21cnjy.com )
A级 基础巩固
一、选择题
1．楼道里有12盏灯，为了节约用电，需关掉3盏不相邻的灯，则关灯方案有
( )
A．72种 B．84种 C．120种 D．168种
解析：需关掉3盏不相邻的灯，即将这3盏灯插入9盏亮着的灯的空中，所以关灯方案共有C＝120(种)．故选C.
答案：C
2．4位同学每人从甲、乙、丙三门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有( )
A．12种
B．24种
C．30种
D．36种
解析：依题意，满足题意的选法共有C×2×2＝24(种)．
答案：B
3．从编号为1、2、3、4的四种不同的种
( http: / / www.21cnjy.com )子中选出3种，在3块不同的土地上试种，每块土地上试种一种，其中1号种子必须试种，则不同的试种方法有( )
A．24种
B．18种
C．12种
D．96种
解析：从3块不同的土地中选1块种1号种
( http: / / www.21cnjy.com )子，有C种方法，从其余的3种种子中选2种种在另外的2块土地上，有A种方法，所以所求方法有CA＝18(种)．
答案：B
4．将4个颜色互不相同的球全部收入编号为1和2的2个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有( )
A．10种
B．20种
C．36种
D．52种
解析：根据2号盒子里放球的个数分类：第
( http: / / www.21cnjy.com )一类，2号盒子里放2个球，有C种放法，第二类，2号盒子里放3个球，有C种放法，剩下的小球放入1号盒中，共有不同放球方法C＋C＝10(种)．
答案：A
5．某电视台连续播放5个广告，其
( http: / / www.21cnjy.com )中有3个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求最后播放的必须是公益广告，且2个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式有( )
A．120种
B．48种
C．36种
D．18种
解析：依题意，所求播放方式的种数为CCA＝2×3×6＝36.
答案：C
二、填空题
6．教育部为了发展贫困地区
( http: / / www.21cnjy.com )教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教．现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有________种不同的分派方法．
解析：先把6个毕业生平均分成3组，
( http: / / www.21cnjy.com )方法有eq
\f(CCC,A)(种)，再将3组毕业生分到3所学校，方法有A＝6(种)，故6个毕业生平均分到3所学校，分派方法共有eq
\f(CCC,A)·A＝90(种)．
答案：90
7．50件产品中有4件是次品，从中任意抽出5件，至少有3件是次品的抽法共有________种．
解析：分两类，有4件次品的抽法有CC种，有3件次品的抽法有CC种，所以不同的抽法共有CC＋CC＝4
186(种)．
答案：4
186
8．以正方体的顶点为顶点的四面体共有________个．
解析：先从8个顶点中任取4个的取法为C种，其中，共面的4点有12个，则四面体的个数为C－12＝58(个)．
答案：58
三、解答题
9．为了提高学生参加体育锻炼
( http: / / www.21cnjy.com )的热情，光明中学组织篮球比赛，共24个班参加，第一轮比赛是先分四组进行单循环赛，然后各组取前两名再进行第二轮单循环赛(在第一轮中相遇过的两个队不再进行比赛)，问要进行多少场比赛？
解：第一轮每组6个队进行单循环赛，共有C场比赛，4个组共计4C场．
第二轮每组取前两名，共计8个组，应比赛C场，由于第一轮中在同一组的两队不再比赛，故应减少4场，因此第二轮的比赛应进行C＝4(场)．
综上，两轮比赛共进行4C＋C－4＝84(场)．
10．从5名女同学和4名男同学中选出4人参加四场不同的演讲，分别按下列要求，各有多少种不同选法？
(1)男、女同学各2名；
(2)男、女同学分别至少有1名；
(3)在(2)的前提下，男同学甲与女同学乙不能同时选出．
解：(1)(CC)A＝1
440.
所以男、女同学各2名共有1
440种选法．
(2)(CC＋CC＋CC)A＝2
880，
所以男、女同学分别至少有1名共有2
880种选法．
(3)[120－(C＋CC＋C)]A＝2
376，
所以在(2)的前提下，男同学甲与女同学乙不能同时选出共有2
376
种选法．
B级 能力提升
1．从乒乓球运动员男5名、女6名中组织一场混合双打比赛，不同的组合方法种数为( )
A．CC
B．CA
C．CACA
D．AA
解析：分两步进行．第一步，选出两名男选
( http: / / www.21cnjy.com )手，有C种方法；第二步，从6名女生中选出2名且与已选好的男生配对，有A种．故有CA种组合方法．
答案：B
2．某科技小组有六名学生，现从中选出三人去参观展览，至少有一名女生入选的不同选法有16种，则该小组中的女生人数为________．
解析：设男生人数为x，则女生有(6－x)人．依题意C－C＝16，
则6×5×4＝x(x－1)(x－2)＋16×6，所以x(x－1)(x－2)＝2×3×4，解得x＝4.即女生有2人．
答案：2
3．有五张卡片，它们的正、反面分别写0与1
( http: / / www.21cnjy.com )，2与3，4与5，6与7，8与9.将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？
解：法一 依0与1两个特殊值分析，可分三类：
(1)取0不取1，可先从
( http: / / www.21cnjy.com )另四张卡片中选一张作百位，有C种方法；0可在后两位；有C种方法；最后需从剩下的三张中任取一张，有C种方法；又除含0的那张外，其他两张都有正面或反面两种可能，故此时可得不同的三位数有CCC·22个．
(2)取1不取0，同上分析可得不同的三位数C·22·A个．
(3)0和1都不取，有不同三位数C·23·A个．
综上所述，不同的三位数共有
CCC·22＋C·22·A＋C·23·A＝432(个)．
法二 任取三张卡片可以组成不同三位数C·23·A个，
其中0在百位的有C·22·A个，这是不合题意的，
故可组成的不同三位数共有C·23·A－C·22·A＝432(个)．2.1
离散型随机变量及其分布列
2.1.2
离散开明随机变量的分布列
第2课时
两点分布与超几何分布
( http: / / www.21cnjy.com )
A级 基础巩固
一、选择题
1．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从
( http: / / www.21cnjy.com )袋中不放回每次任意取出1个球，直到取出的球是白球为止时，所需要的取球次数为随机变量ξ，则ξ的可能取值为( )
A．1，2，3，…，6
B．1，2，3，…，7
C．0，1，2，…，5
D．1，2，…，5
解析：可能第一次就取到白球，也可能红球都取完才取到白球，所以ξ的可能取值为1，2，3，…，7.
答案：B
2．下列随机变量中服从两点分布的是( )
A．射击一次命中目标的次数
B．抛掷三枚骰子，所得的点数之和
C．抛掷一枚骰子，所得的点数
D．6张卡片上分别标有号码1，2，3，4，5，6，从中任取3张，三张卡片中最大的号码
解析：一次射击命中目标的次数X取值只可能为0，1，0表示没有命中，1表示命中，符合两点分布．
答案：A
3．设随机变量ξ的概率分布为P(ξ＝k)＝，k＝0，1，2，3，则c＝( )
A.
B.
C.
D.
解析：依题意c＋＋＋＝1，所以c＝.
答案：C
4．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么以为概率的事件是( )
A．都不是一等品
B．恰有一件一等品
C．至少有一件一等品
D．至多有一件一等品
解析：设取到一等品的件数是ξ，则
( http: / / www.21cnjy.com )ξ＝0，1，2，P(ξ＝0)＝eq
\f(CC,C)＝，P(ξ＝1)＝eq
\f(CC,C)＝，P(ξ＝2)＝eq
\f(CC,C)＝，因为P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝，所以满足题设的事件是“至多有一件一等品”．
答案：D
5．某12人的兴趣小组中，有5名“三好学生”，现从中任选6人参加竞赛，用X表示这6人中“三好学生”的人数，则下列概率中等于eq
\f(CC,C)的是( )
A．P(X＝2)
B．P(X＝3)
C．P(X≤2)
D．P(X≤3)
解析：因为P(X＝3)＝eq
\f(CC,C)，所以选B.
答案：B
二、填空题
6．一批产品共50件，其中5件次品，45件合格品，从这批产品中任意抽2件，则出现次品的概率为__________(用数字作答)．
解析：含1件次品的概率P1＝eq
\f(CC,C)，含2件次品的概率P2＝eq
\f(C,C)，
所以出现次品的概率P＝P1＋P2＝.
答案：
7．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取2个球，设其中有ξ个红球，则随机变量ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
P
解析：P(ξ＝0)＝eq
\f(CC,C)＝，P(ξ＝1)＝eq
\f(CC,C)＝＝，
P(ξ＝2)＝eq
\f(CC,C)＝.
答案：
8．已知离散型随机变量X的分布列P(X＝k)＝，k＝1，2，3，4，5，令Y＝2X－2，则P(Y＞0)＝________．
解析：由已知Y取值为0，2，4，6，8，且P(Y＝0)＝，P(Y＝2)＝，P(Y＝4)＝＝，P(Y＝6)＝，P(Y＝8)＝.
则P(Y>0)＝P(Y＝2)＋P(Y＝4)＋P(Y＝6)＋P(Y＝8)＝.
答案：
三、解答题
9．一个袋中有形状大小完全相同的3个白球和4个红球．
(1)从中任意摸出一球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，求X的分布列；
(2)从中任意摸出两个球，用0表示两个球全是白球，用1表示两个球不全是白球，求X的分布列．
解：(1)因为摸出红球的概率为P(X＝1)＝eq
\f(C,C)＝，所以X的分布列为：
X
0
1
P
(2)因为P(X＝0)＝eq
\f(C,C)＝，所以X的分布列为：
X
0
1
P
10.生产方提供50箱的一批产品，其中有
( http: / / www.21cnjy.com )2箱不合格产品．采购方接收该批产品的准则是：从该批产品中任取5箱产品进行检测，若至多有1箱不合格产品，便接收该批产品．问：该批产品被接收的概率是多少？
解：以50箱为一批产品，从中随机抽
( http: / / www.21cnjy.com )取5箱，用X表示“5箱中不合格产品的箱数”，则X服从超几何分布．这批产品被接收的条件是5箱中没有不合格的或只有1箱不合格，所以被接收的概率为P(X≤1)，
即P(X≤1)＝eq
\f(CC,C)＋eq
\f(CC,C)＝.
综上该批产品被接收的概率是.
B级 能力提升
1．已知在10件产品中可能存在次品
( http: / / www.21cnjy.com )，从中抽取2件检查，其次品数为ξ，已知P(ξ＝1)＝，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为( )
A．10%
B．20%
C．30%
D．40%
解析：设10件产品中有x件次品，
则P(ξ＝1)＝eq
\f(CC,C)＝＝，解得x＝2或8.
因为次品率不超过40%，
所以x＝2，所以次品率为＝20%.
答案：B
2．某班有50名学生，其中15人选修A课程，另外35人选修B课程，从班级中任选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率是________．
解析：将50名学生看作一批产品，其中选修A课
( http: / / www.21cnjy.com )程为不合格品，选修B课程为合格品，随机抽取两名学生，X表示选修A课程的学生数，则X服从超几何分布，其中N＝50，M＝15，n＝2.
依题意所求概率为P(X＝1)＝eq
\f(CC,C)＝.
答案：
3．某研究机构准备举行一次数学新课程研讨会，共邀请50名一线教师参加，使用不同版本教材的教师人数如下表所示：
版本
人教A版
人教B版
苏教版
北师大版
人数
20
15
5
10
(1)从这50名教师中随机选出2名，求2人所使用教材的版本相同的概率；
(2)若随机选出2名使用人教版的教师发言，设使用人教A版的教师人数为ξ，求随机变量ξ的分布列．
解：(1)从50名教师中随机选出2
( http: / / www.21cnjy.com )名的方法数为C＝1
225，选出2人使用教材的版本相同的方法数为C＋C＋C＋C＝350，故2人使用教材的版本相同的概率P＝＝.
(2)ξ的所有可能取值为0，1，2.
P(ξ＝0)＝eq
\f(C,C)＝，P(ξ＝1)＝eq
\f(CC,C)＝，P(ξ＝2)＝eq
\f(C,C)＝.
所以ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
P3.2
独立性检验的基本思想及其初步应用
( http: / / www.21cnjy.com )
A级 基础巩固
一、选择题
1．下面是2×2列联表：
变量
y1
y2
总计
x1
a
21
73
x2
2
25
27
总计
b
46
100
则表中a，b的值分别为( )
A．94，96 B．52，50 C．52，54 D．54，52
解析：因为a＋21＝73，所以a＝52，又a＋2＝b，所以b＝54.
答案：C
2．在独立性检测中，若有99%的把握认为两个研究对象Ⅰ和Ⅱ有关系，则K2的取值范围是( )
A．[3.841，5.024)
B．[5.024，6.635)
C．[6.635，7.879)
D．[7.879，10.828)
解析：查表可知选C.
答案：C
3．下面是调查某地区男女中学生喜欢理科的等高条形图，阴影部分表示喜欢理科的百分比，从图可以看出( )
A．性别与喜欢理科无关
B．女生中喜欢理科的比为80%
C．男生比女生喜欢理科的可能性大些
D．男生不喜欢理科的比为60%
解析：从等高条形图可以看出，男生比女生喜欢理科的可能性大些．
答案：C
4．在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是(
)
①若K2的观测值满足K2≥6.635，我
( http: / / www.21cnjy.com )们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；②从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病；③从统计量中得知有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误．
A．①
B．①③
C．③
D．②
解析：①推断在100个吸烟的人中必有99人患有肺病，说法错误，排除A、B，③正确．排除D，所以选项C正确．
答案：C
5．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下表的列联表：
喜好程度
男
女
总计
爱好
40
20
60
不爱好
20
30
50
总计
60
50
110
由K2＝算得，
k＝≈7.8.
附表：
P(K2≥k0)
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
参照附表，得到的正确结论是( )
A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
解析：由k≈7.8及P(K2≥6.63
( http: / / www.21cnjy.com )5)＝0.010可知，在犯错误的概率不超过1%的前提下认为“爱好该项运动与性别有关”，也就是有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．
答案：C
二、填空题
6．下列关于K2的说法中，正确的有________．
①K2的值越大，两个分类变量的相关性越大；
②若求出K2＝4＞3.841，则有95%的把握认为两个分类变量有关系，即有5%的可能性使得“两个分类变量有关系”的推断出现错误；
③独立性检验就是选取一个假设H0条件下的小
( http: / / www.21cnjy.com )概率事件，若在一次试验中该事件发生了，这是与实际推断相抵触的“不合理”现象，则做出拒绝H0的推断．
解析：对于①，K2的值越大，只
( http: / / www.21cnjy.com )能说明我们有更大的把握认为二者有关系，却不能判断相关性大小，故①错误；根据独立性检验的概念和临界值表知②③正确．
答案：
②③
7．某小学对232名小学生调查发
( http: / / www.21cnjy.com )现：180名男生中有98名有多动症，另外82名没有多动症，52名女生中有2名有多动症，另外50名没有多动症，用独立性检验的方法判断多动症与性别________(填“有关”或“无关”)．
解析：由题目数据列出如下列联表：
性别
多动症
无多动症
总计
男生
98
82
180
女生
2
50
52
总计
100
132
232
由表中数据可看到
k＝≈42.117＞10.828.
所以，在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为多动症与性别有关系．
答案：有关
8.
某卫生机构对366人进行健康体检，其中
( http: / / www.21cnjy.com )某项检测指标阳性家族史者糖尿病发病的有16人，不发病的有93人；阴性家族史者糖尿病发病的有17人，不发病的有240人，有________的把握认为糖尿病患者与遗传有关系．
解析：先作出如下糖尿病患者与遗传列联表(单位：人)：
家族
糖尿病发病
糖尿病不发病
总计
阳性家族史
16
93
109
阴性家族史
17
240
257
总计
33
333
366
根据列联表中的数据，得到K2的观测值为k＝≈6.067＞5.024.故我们有97.5%的把握认为糖尿病患者与遗传有关系．
答案：97.5%
三、解答题
9．为考察某种药物预防疾病的效果进行动物试验，得到如下列联表：
分类
患病
未患病
总计
服用药
10
45
55
未服用药
20
30
50
总计
30
75
105
试用等高条形图分析服用药和患病之间是否有关系．
解：根据列联表所给的数据可得出服用药患病的频率为≈0.18，未服用药患病的频率为＝0.4，
两者的差距是|0.18－0.4|＝0.22，两者相差很大，
作出等高条形图如图所示，
因此服用药与患病之间有关系的程度很大．
10．某大型企业人力资源部为了研究企业员工工作积极性和对待企业改革态度的关系，随机抽取了189名员工进行调查，所得数据如下表所示：
工作态度
积极支持企业改革
不太赞成企业改革
总计
工作积极
54
40
94
工作一般
32
63
95
总计
86
103
189
对于人力资源部的研究项目，根据上述数据能得出什么结论？
李明对该题进行了独立性检验的分析，
( http: / / www.21cnjy.com )结论是“在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为企业员工的工作积极性和对待企业改革的态度有关系”．他的结论正确吗？
解：由列联表中的数据求得K2的观测值为
k＝≈10.759.
因为10.759>7.879，
所以在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为企业员工的工作积极性和对待企业改革的态度有关系．
所以李明的结论正确．
B级 能力提升
1．有两个分类变量x，y，其2×2列联表如下
( http: / / www.21cnjy.com )表．其中a，15－a均为大于5的整数，若在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“x与y之间有关系”，则a的取值应为(
)
变量
y1
y2
x1
a
20－a
x2
15－a
30＋a
A.5或6
B.
6或7
C．7
或8
D．8或9
解析：查表可知，要使在犯错误的概率不超过0.
( http: / / www.21cnjy.com )1的前提下，认为K2之间有关系，则K2＞2.706，而K2＝＝＝，要使K2＞2.706得a＞7.19或a＜2.04.又因为a＞5且15－a＞5，a∈Z，所以a＝8或9，故当a取8或9时在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为“x与y之间有关系”．
答案：D
2．对196个接受心脏搭桥手术的病人和196个接受血管清障手术的病人进行了3年的跟踪研究，调查他们是否又发作过心脏病，调查结果如下表所示：
分类
又发作过心脏病
未发作过心脏病
总计
心脏搭桥手术
39
157
196
血管清障手术
29
167
196
总计
68
324
392
试根据上述数据计算K2＝________，比较这两种手术对病人又发作心脏病的影响有没有差别_________．
解析：提出假设H0：两种手术对病人又发作心脏病的影响没有差别．根据列联表中的数据，可以求得K2的观测值．k＝≈1.78.
当H0成立时，K2＝1.78，又K2＜2
( http: / / www.21cnjy.com ).072的概率为0.85.所以，不能否定假设H0.也就是不能做出这两种手术对病人又发作心脏病的影响有差别的结论．
答案：1.78 不能做出这两种手术对病人又发作心脏病的影响有差别的结论
3．某教育科研机构研发了一款新的学习软件，为
( http: / / www.21cnjy.com )了测试该软件的受欢迎程度，该公司在某市的两所初中和两所小学按分层抽样法抽取部分学生进行了调研．已知这四所
学校在校学生有9
000人，其中小学生5
400人，参加调研的初中生有180人．
(1)参加调研的小学生有多少人？
(2)该科研机构将调研的情况统计后得到下表：
学生
喜爱使用该学习软件
不太喜爱使用该学习软件
总计
初中生
60
120
180
小学生
90
总计
请将上表填写完整，并据此说明是否有99.9%的把握认为“喜爱使用该学习软件”与“学生年龄”有关．
解：(1)这四所学校共9
000人，其中小学生5
400人，
所以初中生有3
600人，
因为参加调研的初中生有180人，
所以抽取比例为＝.
所以参加调研的小学生有5
400×＝270(人)．
(2)由(1)知参加调研的总人数为180＋270＝450，
所以表格中的数据如下表所示：
学生
喜爱使用该学习软件
不太喜爱使用该学习软件
总计
初中生
60
120
180
小学生
180
90
270
总计
240
210
450
因为，K2＝≈16.071＞10.828，
所以有99.9%的把握认为“喜爱玩该游戏”与“学生年龄”有关．2.4
正态分布
( http: / / www.21cnjy.com )
A级 基础巩固
一、选择题
1．设随机变量X～N(1，22)，则D＝( )
A．4 B．2 C. D．1
解析：因为X～N(1，22)，所以D(X)＝4.
所以D＝D(X)＝1.
答案：D
2．设两个正态分布N(μ1，σ)(σ1＞0)和N(μ2，σ)(σ2＞0)的密度函数图象如图所示，则有( )
A．μ1＜μ2，σ1＜σ2
B．μ1＜μ2，σ1＞σ2
C．μ1＞μ2，σ1＜σ2
D．μ1＞μ2，σ1＞σ2
解析：μ反映的是正态分布的平均水平，x＝
( http: / / www.21cnjy.com )μ是正态密度曲线的对称轴，由图可知μ1＜μ2；σ反映的正态分布的离散程度，σ越大，越分散，曲线越“矮胖”，
σ越小，越集中，曲线越“瘦高”，由题图可知σ1＜σ2.
答案：A
3．
(2015·山东卷)已知某批零件的
( http: / / www.21cnjy.com )长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为( )
[附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.44%]
A．4.56%
B．13.59%
C．27.18%
D．31.74%
解析：由正态分布的概率公式知P(－3＜ξ
( http: / / www.21cnjy.com )＜3)＝0.682
6，P(－6＜ξ＜6)＝0.954
4，故P(3＜ξ＜6)＝＝＝0.135
9＝13.59%.
答案：B
4．在某项测量中，测量结果ξ服从正
( http: / / www.21cnjy.com )态分布N(1，σ2)(σ>0)．若ξ在(0，1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0，2)内取值的概率为( )
A．0.9
B．0.5
C．0.6
D．0.8
解析：因为ξ服从正态分布N(1，σ2)，
所以正态密度曲线的对称轴是直线x＝1，
因为ξ在(0，1)内取值的概率为0.4，
所以根据正态曲线的性质知在(0，2)内取值的概率为0.8，故选D.
答案：D
5．已知某批材料的个体强度
( http: / / www.21cnjy.com )X服从正态分布N(200，182)，现从中任取一件，则取得的这件材料的强度高于182但不高于218的概率为( )
A．0.997
3
B．0.682
6
C．0.841
3
D．0.815
9
解析：由题意知μ＝200，σ＝18，μ－σ＝182，μ＋σ＝218，
由P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682
6，答案应选B.
答案：B
二、填空题
6．已知随机变量ξ服从正态分布，
( http: / / www.21cnjy.com )且落在区间(0.2，＋∞)上的概率为0.5，那么相应的正态曲线f(x)在x＝________时，达到最高点．
解析：由正态曲线关于直线x＝μ对称且其落在区间(0.2，＋∞)上的概率为0.5，得μ＝0.2.
答案：0.2
7．已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)里的概率和落在区间(3，5)里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为________．
解析：由题意知区间(－3，－1)与(3，5)
( http: / / www.21cnjy.com )关于直线x＝μ对称，因为区间(－3，－1)和区间(3，5)关于x＝1对称，所以正态分布的数学期望为1.
答案：1
8．若随机变量ξ～N(10，σ2)，P(9≤ξ≤11)＝0.4，则P(ξ≥11)＝________．
解析：由P(9≤ξ≤11)＝0.4且正态曲线以x＝10为对称轴知，
P(9≤ξ≤11)＝2P(10≤ξ≤11)＝0.4，
即P(10≤ξ≤11)＝0.2，
又P(ξ≥10)＝0.5，
所以P(ξ≥11)＝0.5－0.2＝0.3.
答案：0.3
三、解答题
9．设X～N(1，22)，试求：
(1)P(－1＜X≤3)；
(2)P(3＜X≤5)．
解：因为X～N(1，22)，所以μ＝1，σ＝2.
(1)P(－1＜X≤3)＝P(1－2＜X≤1＋2)＝0.682
6.
(2)因为P(3＜X≤5)＝P(－3＜X≤－1)，
所以P(3＜X≤5)＝[P(－3＜X≤5)－P(－1＜X≤3)]＝[P(1－4＜X≤1＋4)－P(1－2＜X≤1＋2)]＝[P(1－4＜X≤1＋4)－P(1－2＜X≤1＋2)]＝[P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)－P(μ－σ＜X≤μ＋σ)]＝(0.954
4－0.682
6)＝0.135
9.
10.已知某地农民工年均收入ξ(单位：元)服从正态分布，其密度函数图象如图所示．
(1)写出此地农民工年均收入的概率密度曲线函数式；
(2)求此地农民工年均收入在8
000～8
500元的人数百分比．
解：设农民工年均收入ξ～N(μ，σ2)，
结合图象可知μ＝8
000，σ＝500.
(1)此地农民工年均收入的概率密度曲线函数式
P(x)＝e－＝e－，x∈(－∞，＋∞)．
(2)因为P(7
500<ξ≤8
000)
＝P(8
000－500<ξ≤8
000＋500)
＝0.682
6.
所以P(8
000<ξ≤8
500)＝P(7
500<ξ≤8
500)＝0.341
3，
即农民工年均收入在8
000～8
500元的人数占总体的34.13%.
B级 能力提升
1．以Φ(x)表示标准正态总体在区间
( http: / / www.21cnjy.com )(－∞，x)内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则概率P(|ξ－μ|＜σ)等于( )
A．Φ(μ＋σ)－Φ(μ－σ)
B．Φ(1)－Φ(－1)
C．Φ
D．2Φ(μ＋σ)
解析：设η＝，则P(|ξ－μ|＜σ)＝P(|η|＜1)＝P(－1＜η＜1)＝Φ(1)－Φ(－1)．
答案：B
2．据抽样统计，在某市的公务员考试中，考生的
( http: / / www.21cnjy.com )综合评分X服从正态分布N(60，102)，考生共10
000人，若一考生的综合评分为80分，则该考生的综合成绩在所有考生中的名次是第________名．
解析：依题意，P(60－20＜X≤
( http: / / www.21cnjy.com )60＋20)＝0.954
4，P(X＞80)＝(1－0.954
4)＝0.022
8，故成绩高于80分的考生人数为10
000×0.022
8＝228(人)．
所以该生的综合成绩在所有考生中的名次是第229名．
答案：229
3．有一种精密零件，其尺寸X(单位：mm)服从正态分布，即X～N(20，4)．若这批零件共有5
000个．
(1)试求这批零件中尺寸为18～22
mm的零件所占的百分比；
(2)若规定尺寸为24～26
mm的零件不合适，则这批零件中不合适的零件大约有多少个？
解：(1)因为X～N(20，4)，
所以μ＝20，σ＝2.
所以μ－σ＝18，μ＋σ＝22.
于是零件尺寸X为18～22
mm的零件所占百分比大约是68.26%，
(2)μ－3σ＝20－3×2＝14，μ＋3σ＝20＋3×2＝26，μ－2σ＝16，μ＋2σ＝24，
所以零件尺寸X为14～26
mm的百分比大约是99.74%，而零件尺寸X为16～24
mm的百分比大约是95.44%.
所以零件尺寸为24～26
mm的百分比大约是＝2.15%.
5
000×2.15%＝107.5，
因此尺寸为24～26
mm的零件大约有107个．2.2
二项分布及其应用
2.2.2
事件的相互独立性
( http: / / www.21cnjy.com )
A级 基础巩固
一、选择题
1．有以下三个问题：
①掷一枚骰子一次，事件M：“出现的点数为奇数”，事件N：“出现的点数为偶数”；
②袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M：“第1次摸到白球”，事件N：“第2次摸到白球”；
③分别抛掷2枚相同的硬币，事件M：“第1枚为正面”，事件N：“两枚结果相同”．
这三个问题中，M，N是相互独立事件的有( )
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
解析：①中，M，N是互斥事件；②中，P(M)
( http: / / www.21cnjy.com )＝，P(N)＝，即事件M的结果对事件N的结果有影响，所以M，N不是相互独立事件；③中，P(M)＝，P(N)＝，P(MN)＝，P(MN)＝P(M)·P(N)，因此M，N是相互独立事件．
答案：C
2．一件产品要经过2道独立的加工程序，第一道工序的次品率为a，第二道工序的次品率为b，则产品的正品率为( )
A．1－a－b
B．1－ab
C．(1－a)(1－b)
D．1－(1－a)(1－b)
解析：设A表示“第一道工序的产品为正品”，B表示“第二道工序的产品为正品”，则P(AB)＝P(A)P(B)＝(1－a)(1－b)．
答案：C
3．如图所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )
A.
B.
C.
D.
解析：设A表示“第一个圆盘的指针落在奇数所在的区域”，
则P(A)＝，B表示“第二个圆盘的指针落在奇数据在的区域”，
则P(B)＝.故P(AB)＝P(A)·P(B)＝×＝.
答案：A
4．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等
( http: / / www.21cnjy.com )品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )
A.
B.
C.
D.
解析：所求概率为×＋×＝或P＝1－×－×＝.
答案：B
5．某大街在甲、乙、丙三处设有红、绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别为，，，则汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率为( )
A.
B.
C.
D.
解析：设汽车分别在甲、乙
( http: / / www.21cnjy.com )、丙三处通行为事件A，B，C，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，停车一次即为事件ABC＋ABC＋ABC的发生，
故概率P＝××＋××＋××＝.
答案：D
二、填空题
6．在甲盒内的200个螺杆中有160个是
( http: / / www.21cnjy.com )A型，在乙盒内的240个螺母中有180个是A型．若从甲、乙两盒内各取一个，则能配成A型螺栓的概率为________．
解析：从甲盒内取一个A型螺杆记
( http: / / www.21cnjy.com )为事件M，从乙盒内取一个A型螺母记为事件N，因事件M，N相互独立，则能配成A型螺栓(即一个A型螺杆与一个A型螺母)的概率为P(MN)＝P(M)P(N)＝×＝.
答案：
7．已知P(A)＝0.3，P(B)＝0.5，当事件A、B相互独立时，P(A∪B)＝________，P(A|B)＝________．
解析：因为A，B相互独立，所以P
( http: / / www.21cnjy.com )(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A)·P(B)＝0.3＋0.5－0.3×0.5＝0.65；P(A|B)＝P(A)＝0.3.
答案：0.65 0.3
8．甲、乙两颗卫星同时监
( http: / / www.21cnjy.com )测台风，在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为________．
解析：在同一时刻两颗卫星预报都不准确
( http: / / www.21cnjy.com )的概率为(1－0.8)×(1－0.75)＝0.
05，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为1－0.05＝0.95.
答案：0.95
三、解答题
9．已知电路中有4个开关，每个开关独立工作，且闭合的概率为，求灯亮的概率．
解：因为A，B断开且C，D至少有一个断开时，
( http: / / www.21cnjy.com )线路才断开，导致灯不亮，P＝P(AB)[1－P(CD)]＝P(A)P(B)[1－P(CD)]＝××＝.
所以灯亮的概率为1－＝.
10．某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为，乙当选的概率为，丙当选的概率为.
(1)求恰有一名同学当选的概率；
(2)求至多有两人当选的概率．
解：设甲、乙、丙当选的事件分别为A，B，C，
则有P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
(1)因为A，B，C相互独立，
所以恰有一名同学当选的概率为
P(A)＋P(B)＋P(eq
\o(\s\up
14(—
),\s\do
5(B
))C)＝P(A)P()P()＋P()P(B)P()＋P()P()P(C)＝××＋××＋××＝.
(2)至多有两人当选的概率为1－P(ABC)＝1－P(A)P(B)P(C)＝1－××＝.
B级 能力提升
1．从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，则等于( )
A．2个球不都是红球的概率
B．2个球都是红球的概率
C．至少有1个红球的概率
D．2个球中恰有1个红球的概率
解析：分别记从甲、乙袋中摸出一个红球为事
( http: / / www.21cnjy.com )件A、B，则P(A)＝，P(B)＝，由于A、B相互独立，所以1－P()P()＝1－×＝.根据互斥事件可知C正确．
答案：C
2．有一道数学难题，在半小时内，甲能解决的
( http: / / www.21cnjy.com )概率是，乙能解决的概率是，2人试图独立地在半小时内解决它，则两人都未解决的概率为__________，问题得到解决的概率为________．
解析：都未解决的概率为＝×＝，
问题得到解决就是至少有1人能解决问题，所以P＝1－＝.
答案：
3．某项选拔共有三轮考核
( http: / / www.21cnjy.com )，每轮设有一个问题，回答问题正确者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、第二、第三轮的问题的概率分别为，，，且各轮问题能否正确回答互不影响．
(1)求该选手被淘汰的概率；
(2)记该选手在考核中回答问题的个数为ξ，求随机变量ξ的分布列．
解：(1)记“该选手能正确回答第i轮的问题”为事件Ai(i＝1，2，3)，则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝.
所以该选手被淘汰的概率
P＝1－P(A1A2A3)
＝1－P(A1)P(A2)P(A3)
＝1－××
＝.
(2)ξ的所有可能取值为1，2，3.
则P(ξ＝1)＝P(A1)＝，
P(ξ＝2)＝P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝×＝，
P(ξ＝3)＝P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝×＝，
所以ξ的分布列为：
ξ
1
2
3
P1.1
分类加法计数原理与分步乘法计数原理
第1课时
分类加法计数原理与分步乘法计数原理
( http: / / www.21cnjy.com )
A级 基础巩固
一、选择题
1．某学生去书店，发现2本好书，决定至少买其中一本，则购买方式共有( )
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
解析：分两类：买1本或买2本书，各类购买方式依次有2种、1种，故购买方式共有2＋1＝3(种)．故选C.
答案：C
2．现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法有( )
A．7种
B．12种
C．64种
D．81种
解析：要完成配套，分两步：第一步，选上衣
( http: / / www.21cnjy.com )，从4件中任选一件，有4种不同的选法；第二步，选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同选法．故不同取法共有4×3＝12(种)．
答案：B
3．将3张不同的奥运会门票分给10名同学中的3人，每人1张，则不同分法的种数是( )
A．2
160
B．720
C．240
D．120
解析：第1张门票有10种分法，第2张门票有9种分法，第3张门票有8种分法，由分步乘法计数原理得分法共有10×9×8＝720(种)．
答案：B
4．已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为( )
A．40
B．16
C．13
D．10
解析：分两类情况讨论．第一类，直线a分别与
( http: / / www.21cnjy.com )直线b上的8个点可以确定8个不同的平面；第二类，直线b分别与直线a上的5个点可以确定5个不同的平面．根据分类加法计数原理知，8＋5＝13(个)，即共可以确定13个不同的平面．
答案：C
5．从集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数有( )
A．30个
B．42个
C．36个
D．35个
解析：要完成这件事可分两步，第一步确定b(b≠0)有6种方法，第二步确定a有6种方法，故由分步乘法计数原理知共有虚数6×6＝36(个)．
答案：C
二、填空题
6．加工某个零件分三道工序，第一道工序有5人，第二道工序有6人，第三道工序有4人，从中选3人每人做一道工序，则选法有________种．
解析：选第一、第二、第三道工序各一人的方法数依次为5，6，4，由分步乘法计数原理知，选法总数为N＝5×6×4＝120(种)．
答案：120
7．三名学生分别从计算机、英语两学科中选修一门课程，不同的选法有________种．
解析：由分步乘法计数原理知，不同的选法有N＝2×2×2＝23＝8(种)．
答案：8
8．一学习小组有4名男生、3名女生，任选一
( http: / / www.21cnjy.com )名学生当数学课代表，共有________种不同选法；若选男女生各一名当组长，共有________种不同选法．
解析：任选一名当数学课代表
( http: / / www.21cnjy.com )可分两类，一类是从男生中选，有4种选法；另一类是从女生中选，有3种选法．根据分类加法计数原理，不同选法共有4＋3＝7(种)．
若选男女生各一名当组长，需分两步：第1
( http: / / www.21cnjy.com )步，从男生中选一名，有4种选法；第2步，从女生中选一名，有3种选法．根据分步乘法计数原理，不同选法共有4×3＝12(种)．
答案：7 12
三、解答题
9．若x，y∈N
，且x＋y≤6，试求有序自然数对(x，y)的个数．
解：按x的取值进行分类：
x＝1时，y＝1，2，…，5，共构成5个有序自然数对；
x＝2时，y＝1，2，…，4，共构成4个有序自然数对；
……
x＝5时，y＝1，共构成1个有序自然数对．
根据分类加法计数原理，有序自然数对共有N＝5＋4＋3＋2＋1＝15(个)．
10．现有高一四个班的学生34人，其中一、二、三、四班分别有7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组．
(1)选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？
(2)每班选一名组长，有多少种不同的选法？
(3)推选两人做中心发言，这两人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？
解：
(1)分四类．第一类，从一班
( http: / / www.21cnjy.com )学生中选1人，有7种选法；第二类，从二班学生中选1人，有8种选法；第三类，从三班学生中选1人，有9种选法；第四类，从四班学生中选1人，有10种选法．
所以，共有不同的选法N＝7＋8＋9＋10＝34(种)．
(2)分四步．第一、第二、第三、第四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长．所以共有不同的选法N＝7×8×9×10＝5
040(种)．
(3)分六类，每类又分两步．从一、
( http: / / www.21cnjy.com )二班学生中各选1人，有7×8种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有7×9种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有7×10种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有8×9种不同的选法；从二、四班学生中各选1人，有8×10种不同的选法；从三、四班学生中各选1人，有9×10种不同的选法．
所以，共有不同的选法N＝7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(种)．
B级 能力提升
1．某班小张等4位同学报名参加A、B、C三个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，且小张不能报A小组，则不同的报名方法有( )
A．27种
B．36种
C．54种
D．81种
解析：除小张外，每位同学都有3种选择，小张只有2种选择，所以不同的报名方法有3×3×3×2＝54(种)．
答案：C
2．有三个车队分别有4辆、5辆、5辆车，现欲从其中两个车队各抽取一辆车外出执行任务，设不同的抽调方案数为n，则n的值为________．
解析：不妨设三个车队分别为甲、乙、丙，则分3
( http: / / www.21cnjy.com )类．甲、乙各一辆共4×5＝20(种)；甲、丙各一辆共4×5＝20(种)；乙、丙各一辆共5×5＝25(种)，所以共有20＋20＋25＝65(种)．
答案：65
3．乒乓球队的10名队员中
( http: / / www.21cnjy.com )有3名主力队员，派5名参加比赛，
3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员中选2名安排在第二、四位置，求不同的出场安排共有多少种．
解：按出场位置顺序逐一安排：
第一位置有3种安排方法；
第二位置有7种安排方法；
第三位置有2种安排方法；
第四位置有6种安排方法；
第五位置有1种安排方法．
由分步乘法计数原理知，不同的出场安排方法有3×7×2×6×1＝252(种)．3.1
回归分析的基本思想及其初步应用
第1课时
线性回归模型
( http: / / www.21cnjy.com )
A级 基础巩固
一、选择题
1．有下列说法：
①线性回归分析就是由样本点去寻找一条直线，贴近这些样本点的数学方法；
②利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示；
③通过回归方程＝x＋及其回归系数b，可以估计和观测变量的取值和变化趋势；
④因为由任何一组观测值都可以求得一个线性回归方程，所以没有必要进行相关性检验．
其中正确说法的个数是(
)
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：①反映的是最小二乘法思想，故正确．②
( http: / / www.21cnjy.com )反映的是画散点图的作用，也正确．③反映的是回归模型y＝bx＋a＋e，其中e为随机误差，故也正确．④不正确，在求回归方程之前必须进行相关性检验，以体现两变量的关系．
答案：C
2．设两个变量x和y之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r，y关于x的回归直线的斜率是b，纵轴上的截距是a，那么必有(
)
A．b与r的符号相同
B．a与r的符号相同
C．b与r的符号相反
D．a与r的符号相反
解析：因为b＞0时，两变量正相关，此时r＞0；b＜0时，两变量负相关，此时r＜0.
答案：A
3．实验测得四组(x，y)的值为(1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，5)，则y与x之间的回归直线方程为(
)
A.＝x＋1
B.＝x＋2
C.＝2x＋1
D.＝x－1
解析：求出样本中心(，)代入选项检验知选项A正确．
答案：A
4．设某大学的女生体重y(单位：kg)与身
( http: / / www.21cnjy.com )高x(单位：cm)具有线性相关关系．根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是(
)
A．y与x具有正的线性相关关系
B．回归直线过样本点的中心(，)
C．若该大学某女生身高增加1
cm，则其体重约增加0.85
kg
D．若该大学某女生身高为170
cm，则可断定其体重必为58.79
kg
解析：回归方程中x的系数为0.85＞0，因
( http: / / www.21cnjy.com )此y与x具有正的线性相关关系，A正确；由回归方程系数的意义可知回归直线过样本点的中心，，B正确；依据回归方程中y的含义可知，x每变化1个单位，y相应变化约0.85个单位，C正确；用回归方程对总体进行估计不能得到肯定的结论，故D错误．
答案：D
5．(2015·福建卷)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
收入x/万元
8.2
8.6
10.0
11.3
11.9
支出y/万元
6.2
7.5
8.0
8.5
9.8
根据上表可得回归直线方程＝x＋，其中＝0.76，＝y－，.
据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( )
A．11.4万元
B．11.8万元
C．12.0万元
D．12.2万元
解析：由已知得
＝＝10(万元)，
＝＝8(万元)，
故＝8－0.76×10＝0.4.
所以回归直线方程为＝0.76x＋0
( http: / / www.21cnjy.com ).4，社区一户年收入为15万元家庭年支出为＝0.76x＋0.4，社区一户年收入为15万元家庭支出为＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)．
答案：B
二、填空题
6．若施化肥量x(kg)与小麦产量y
( http: / / www.21cnjy.com )(kg)之间的回归直线方程为＝250＋4x，当施化肥量为50
kg时，预计小麦产量为________kg.
解析：把x＝50代入＝250＋4x，得＝450.
答案：450
7．已知x，y的取值如表所示：
x
0
1
3
4
y
2.2
4.3
4.8
6.7
若从散点图分析，y与x线性相关，且＝0.95x＋，则的值等于________．
解析：x＝
(0＋1＋3＋4)＝2，y＝＝4.5，而回归直线方程过样本点的中心(2，4.5)，
所以＝y－0.95x＝4.5－0.95×2＝2.6.
答案：2.6
8．已知一个线性回归方程为＝1.5x＋45，其中x的取值依次为1，7，5，13，19，则＝________．
解析：＝＝9，因为回归直线方程过点(，)，所以＝1.5x＋45＝1.5×9＋45＝58.5.
答案：58.5
三、解答题
9．某医院用光电比色计检验尿汞时，得尿汞含量x(单位：mg/L)与消光系数y读数的结果如下：
尿汞含量x
2
4
6
8
10
消光系数y
64
138
205
285
360
(1)画出散点图；
(2)求回归方程．
解：(1)散点图如图所示：
(2)由图可知y与x的样本点大致分布在一条直线周围，因此可以用线性回归方程来拟合它．
设回归方程为＝x＋.
故所求的线性回归方程为＝36.95x－11.3.
10．某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：
年份
2008
2010
2012
2014
2016
需求量/万吨
236
246
257
276
286
(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程＝x＋；
(2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2018年的粮食需求量．
解：(1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来求回归直线方程．为此对数据预处理如下：
年份2012年
－4
－2
0
2
4
需求量257万吨
－21
－11
0
19
29
对预处理后的数据，容易算得＝0，＝3.2.所以
＝＝6.5，
＝－＝3.2.
由上述计算结果，知所求回归直线方程为
－257＝(x－2
012)＋＝6.5(x－2
012)＋3.2，
即＝6.5(x－2
012)＋260.2.①
(2)利用直线方程①，可预测2018年的粮食需求量为
＝6.5×(2
018－2
012)＋260.2＝6.5×6＋260.2＝299.2(万吨)≈300(万吨)．
B级 能力提升
1．某学生四次模拟考试中，其英语作文的减分情况如下表：
考试次数x
1
2
3
4
所减分数y
4.5
4
3
2.5
显然所减分数y与模拟考试次数x之间有较好的线性相关关系，则其线性回归方程为( )
A．y＝0.7x＋5.25
B．y＝－0.6x＋5.25
C．y＝－0.7x＋6.25
D．y＝－0.7x＋5.25
解析：由题意可知，所减分数y与模拟考试次数x之间为负相关，所以排除A.
考试次数的平均数为x＝(1＋2＋3＋4)＝2.5，
所减分数的平均数为y＝(4.5＋4＋3＋2.5)＝3.5，
即直线应该过点(2.5，3.5)，代入验证可知直线y＝－0.7x＋5.25成立，故选D.
答案：D
2．为了解篮球爱好者小李的
( http: / / www.21cnjy.com )投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x(单位：小时)与当天投篮命中率y之间的关系：
时间x
1
2
3
4
5
命中率y
0.4
0.5
0.6
0.6
0.4
小李这5天的平均投篮命中率为________，用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为________．
解析：这5天的平均投篮命中率为
＝＝0.5，
＝＝3.
所以＝＝0.01，＝－＝0.47.
所以回归直线方程为＝0.01x＋0.47.
当x＝6时，＝0.01×6＋0.47
＝0.53.
答案：0.5 0.53
3．某市垃圾处理厂的垃圾年处理量(单位：千万吨)与资金投入量x(单位：千万元)有如下统计数据：
分类
2012年
2013年
2014年
2015年
2016年
资金投入量x/千万元
1.5
1.4
1.9
1.6
2.1
垃圾处理量y/千万吨
7.4
7.0
9.2
7.9
10.0
(1)若从统计的5年中任取2年，求这2年的垃圾处理量至少有一年不低于8.0千万吨的概率；
(2)由表中数据求得线性回归方程为＝4x＋，该垃圾处理厂计划2017年的垃圾处理量不低于9.0千万吨，现由垃圾处理厂决策部门获悉2017年的资金投入量约为1.8千万元，请你预测2017年能否完成垃圾处理任务，若不能，缺口约为多少千万吨？
解：(1)从统计的5年垃圾处理量中任取2年
( http: / / www.21cnjy.com )的基本事件共10个：(7.4，7.0)，(7.4，9.2)，(7.4，7.9)，(7.4，10.0)，(7.0，9.2)，(7.0，7.9)，(7.0，10.0)，(9.2，7.9)，(9.2，10.0)，(7.9，10.0)，其中垃圾处理量至少有一年不低于8.0千万吨的基本事件有6个：(7.4，9.2)，(7.4，10.0)，(7.0，9.2)，(7.0，
10.0)，(9.2，7.9)，(9.2，10.0)．
所以，这2年的垃圾处理量至少有一年不低于8.0千万吨的概率为P＝＝.
(2)＝＝1.7，
＝＝8.3，
因为直线＝4x＋过样本中心点(，)，
所以8.3＝4×1.7＋，解得＝1.5.
所以＝4x＋1.5.
当x＝1.8时，＝4×1.8＋1.5＝8.7＜9.0，
所以不能完成垃圾处理任务，缺口约为0.3千万吨．1.2
排列与组合
1.2.1
排列
第1课时
排列与排列数公式
( http: / / www.21cnjy.com )
A级 基础巩固
一、选择题
1．从集合{3，
5，7，9，11}
( http: / / www.21cnjy.com )中任取两个元素：①相加可得多少个不同的和？②相除可得多少个不同的商？③作为椭圆＋＝1中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程？④作为双曲线－＝1中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程？
上面四个问题属于排列问题的是( )
A．①②③④ B．②④ C．②③ D．①④
解析：因为加法满足交换律，所以①不是排列问题；除法不满足交换律，如≠，所以②是排列问题．
若方程＋＝1表示焦点
( http: / / www.21cnjy.com )在x轴上的椭圆，则必有a>b，a，b的大小一定；在双曲线－＝1中不管a>b还是a答案：B
2．计算eq
\f(A－A,A)＝( )
A．12
B．24
C．30
D．36
解析：A＝7×6A，A＝6A，所以eq
\f(A－A,A)＝eq
\f(36A,A)＝36.
答案：D
3．北京、上海、香港三个民航站之间的直达航线，需要准备不同的飞机票的种数为( )
A．3
B．6
C．9
D．12
解析：这个问题就是从北京、上海、香港三个民航站中，每次取出两个站，按照起点站在前、终点站在后的顺序排列，求一共有多少种不同的排列．
起点站
终点站
飞机票
北京
上海
北京—上海
香港
北京—香港
上海
北京
上海—北京
香港
上海—香港
香港
北京
香港—北京
上海
香港—上海
答案：B
4．若从6名志愿者中选出4名分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，则选派方案有( )
A．180种
B．360种
C．15种
D．30种
解析：由排列定义知选派方案有A＝6×5×4×3＝360(种)．
答案：B
5．用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有( )
A．24个
B．30个
C．40个
D．60个
解析：将符合条件的偶数分
( http: / / www.21cnjy.com )为两类：一类是2作个位数，共有A个，另一类是4作个位数，也有A个．因此符合条件的偶数共有A＋A＝24(个)．
答案：A
二、填空题
6．若A＝10×9×…×5，则m＝_________________________.
解析：由10－(m－1)＝5，得m＝6.
答案：6
7．现有8种不同的菜种，任选4种种在不同土质的4块地上，有________种不同的种法(用数字作答)．
解析：将4块不同土质的地看作4个不同
( http: / / www.21cnjy.com )的位置，从8种不同的菜种中任选4种种在4块不同土质的地上，则本题即为从8个不同元素中任选4个元素的排列问题．所以不同的种法共有A＝8×7×6×5＝1
680(种)．
答案：1
680
8．从2，3，5，7中每次选出两个不同的数作为分数的分子、分母，则可产生不同的分数的个数是______，其中真分数的个数是____．
解析：第一步：选分子，可从4个数字中任
( http: / / www.21cnjy.com )选一个作分子，共有4种不同选法；第二步：选分母，从剩下的3个数字中任选一个作分母，有3种不同选法．根据分步乘法计数原理，不同选法共有4×3＝12(种)，其中真分数有，，，，，，共6个．
答案：12 6
三、解答题
9．求下列各式中n的值：
(1)90A＝A；
(2)AA＝42A.
解：(1)因为90A＝A，
所以90n(n－1)＝n(n－1)(n－2)(n－3)．
所以n2－5n＋6＝90.
所以(n－12)(n＋7)＝0.
解得n＝－7(舍去)或n＝12.
所以满足90A＝A的n的值为12.
(2)由AA＝42A，得·(n－4)！＝42(n－2)！.
所以n(n－1)＝42.
所以n2－n－42＝0.解得n＝－6(舍去)或n＝7.
10．用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的四位数．
(1)能被5整除的四位数有多少个？
(2)这些四位数中偶数有多少个？
解：(1)能被5整除的数个位必须是5，故
( http: / / www.21cnjy.com )有A＝120(个)．(2)偶数的个位数只能是2，4，
6，有A种排法，其他位上有A种排法，由乘法原理知，四位数中偶数共有A·A＝360(个)．
B级 能力提升
1．满足不等式eq
\f(A,A)＞12的n的最小值为( )
A．12
B．10
C．9
D．8
解析：由排列数公式得＞12，即(n－5)(n－6)＞12，解得n＞9或n＜2.又n≥7，所以n＞9.又n∈N
，所以n的最小值为10.
答案：B
2．从集合{0，1，2，5，7，9，1
( http: / / www.21cnjy.com )1}中任取3个元素分别作为直线方程Ax＋By＋C＝0中的系数A，B，C，所得直线经过坐标原点的有________条．
解析：易知过原点的直线方程的常数项为0，则C＝0，再从集合中任取两个非零元素作为系数A，B，有A种．
所以符合条件的直线有A＝30(条)．
答案：30
3．一条铁路线原有m个车站，为了适应客运需要
( http: / / www.21cnjy.com )，新增加了n(n≥1，n∈N
)个车站，因而客运车票增加了58种，问：原来这条铁路线有多少个车站？现在又有多少个车站？
解：原有m个车站，所以原有客运车票A种，现有(n＋m)个车站，所以现有客运车票A种．
所以A－A＝58，
所以(n＋m)(n＋m－1)－m(m－1)＝58.
即2mn＋n2－n＝58，
即n(2m＋n－1)＝29×2＝1×58.
由于n，2m＋n－1均为正整数，故可得方程组
①或②
或③或④
方程组①与④不符合题意．
解方程组②得m＝14，n＝2，解方程组③得m＝29，n＝1.
所以原有14个车站，现有16个车站或原有29个车站，现有30个车站．1.2
排列与组合
1.2.2
组合
第1课时
组合与组合数公式
( http: / / www.21cnjy.com )
A级 基础巩固
一、选择题
1．从10个不同的数中任取2个数，求其和、差、积、商这四个问题，属于组合的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：因为减法、除法运算中交换位置，对结果有影响，所以属于组合的有2个．
答案：B
2．已知平面内A、B、C、D这4个点中任何3点均不共线，则由其中任意3个点为顶点的所有三角形的个数为( )
A．3
B．4
C．12
D．24
解析：C＝C＝4.
答案：B
3．集合A＝{x|x＝C，n是非负整数}，集合B＝{1，2，3，4}，则下列结论正确的是( )
A．A∪B＝{0，1，2，3，4}
B．B?A
C．A∩B＝{1，4}
D．A B
解析：依题意，C中，n可取的值为1，2，3，4，所以A＝{1，4，6}，所以A∩B＝{1，4}．
答案：C
4．下列各式中与组合数C(n≠m)相等的是( )
A.
C
B.C
C．C
D.eq
\f(A,n！)
解析：因为C＝·＝，所以选项B正确.
答案：B
5．C＋C＋C＋…＋C＝( )
A．C
B．C
C．C
D．C
解析：原式＝C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝…＝C＋C＝C.
答案：C
二、填空题
6．化简：C－C＋C＝________．
解析：C－C＋C＝(C＋C)－C＝C－C＝0.
答案：0
7．已知圆上有9个点，每两点连一线段，则所有线段在圆内的交点最多有________个．
解析：此题可化归为圆上9个点可组成多少个四边形，所以交点最多有C＝126(个)．
答案：126
8．从一组学生中选出4名学生当代
( http: / / www.21cnjy.com )表的选法种数为A，从这组学生中选出2人担任正、副组长的选法种数为B，若＝，则这组学生共有________人．
解析：设有学生n人，则eq
\f(A,C)＝，解之得n＝15.
答案：15
三、解答题
9．解不等式：2C＜3C.
解：因为2C＜3C，
所以2C＜3C.
所以＜3×.
所以＜，解得x＜.
因为，所以x≥2.
所以2≤x＜.又x∈N
，所以x的值为2，3，4，5.
所以不等式的解集为{2，3，4，5}．
10．平面内有10个点，其中任何3个点不共线．
(1)以其中任意2个点为端点的线段有多少条？
(2)以其中任意2个点为端点的有向线段有多少条？
(3)以其中任意3个点为顶点的三角形有多少个？
解：(1)所求线段的条数
( http: / / www.21cnjy.com )，即为从10个元素中任取2个元素的组合，共有C＝＝45(条)，即以10个点中的任意2个点为端点的线段共有45条．
(2)所求有向线段的条数，即为
( http: / / www.21cnjy.com )从10个元素中任取2个元素的排列，共有A＝10×9＝90(条)，即以10个点中的2个点为端点的有向线段共有90条．
(3)所求三角形的个数，即从10个元素中任选3个元素的组合数，共有C＝＝120(个)．
B级 能力提升
1．某研究性学习小组有4名男生和4名女生，一次问卷调查活动需要挑选3名同学参加，其中至少一名女生，则不同的选法种数为( )
A．120
B．84
C．52
D．48
解析：用间接法可求得选法共有C－C＝52(种)．
答案：C
2．A，B两地街道如图所示，某人要从A地前往B地，则路程最短的走法有________种(用数字作答)．
解析：根据题意，要求从A地到B
( http: / / www.21cnjy.com )地路程最短，必须只向上或向右行走即可，分析可得，需要向上走2次，向右走3次，共5次，从5次中选3次向右，剩下2次向上即可，则不同的走法有C＝10(种)．
答案：10
3．现有5名男司机，4名女司机，需选派5人运货到某市．
(1)如果派3名男司机、2名女司机，共有多少种不同的选派方法？
(2)至少有两名男司机，共有多少种不同的选派方法？
解：(1)从5名男司机中选派3名，有C种方法，
从4名男司机中选派2名，有C种方法，
根据分步乘法计数原理得所选派的方法总数为
CC＝CC＝×＝60(种)．
(2)分四类：
第一类，选派2名男司机，3名女司机的方法有CC＝
40(种)；
第二类，选派3名男司机，2名女司机的方法有CC＝
60(种)；
第三类，选派4名男司机，1名女司机的方法有CC＝
20(种)；
第四类，选派5名男司机，不派女司机的方法有CC＝
1(种)．
所以选派方法共有40＋60＋20＋1＝121(种)．3.1
回归分析的基本思想及其初步应用
第2课时
线性回归分析
( http: / / www.21cnjy.com )
A级 基础巩固
一、选择题
1．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两变量的线性相关性做实验，并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m如下表所示：
分类
甲
乙
丙
丁
r
0.82
0.78
0.69
0.85
m
106
115
124
103
则哪位同学的试验结果体现A、B两变量有更强的线性相关性( )
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
解析：r越接近1，相关性越强，残差平方和m越小，相关性越强，所以选D正确．
答案：D
2．已知具有线性相关关系的两个变量x，y之间的一组数据如下，且回归方程是＝0.95x＋a，则当x＝6时，y的预测值为( )
x
0
1
2
3
4
y
2.2
4.3
4.5
4.8
6.7
A.8.4
B．8.3
C．8.2
D．8.1
解析：由已知可得x＝＝2，y＝＝4.5，
所以4.5＝0.95×2＋a，所以a＝2.6，
所以回归方程是＝0.95x＋2.6，
所以当x＝6时，y的预测值＝0.95×6＋2.6＝8.3.
答案：B
3．若某地财政收入x与支出y满足线
( http: / / www.21cnjy.com )性回归模型y＝bx＋a＋e(单位：亿元)，其中b＝0.8，a＝2，|e|<0.5，如果今年该地区财政收入10亿元，年支出预计不会超过( )
A．10亿元
B．9亿元
C．10.5亿元
D．9.5亿元
解析：x＝10时，＝0.8×10＋2＝10.
因为|e|<0.5，所以年支出预计不会超过10.5亿元．
答案：C
4．通过残差图我们发现在采集样本点过程中，样本点数据不准确的是( )
A．第四个
B．第五个
C．第六个
D．第八个
解析：由题图可知，第六个的数据偏差最大，所以第六个数据不准确．
答案：C
5．如图所示，5个(x，y)数据，去掉D(3，10)后，下列说法错误的是( )
A．相关系数r变大
B．残差平方和变大
C．相关指数R2变大
D．解释变量x与预报变量y的相关性变强
解析：由散点图知，去掉D后，x与y的相关性变强，且为正相关，所以r变大，R2变大，残差平方和变小．
答案：B
二、填空题
6．若一组观测值(x1，y1)，(x2
( http: / / www.21cnjy.com )，y2)，…，(xn，yn)之间满足yi＝bxi＋a＋ei(i＝1，2，…，n)，且ei恒为0，则R2为________．
解析：由ei恒为0，知yi＝i，即yi－i＝0，
答案：1
7．x，y满足如下表的关系：
x
0.2
0.6
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
2.2
y
0.04
0.36
1
1.4
1.9
2.5
3.2
3.98
4.82
则x，y之间符合的函数模型为________．
解析：通过数据发现y的值与x的平方值比较接近，所以x，y之间的函数模型为y＝x2.
答案：y＝x2
8．关于x与y，有如下数据：
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
有如下的两个模型：(1)＝6.5x＋17.5；(2)＝7x＋17.通过残差分析发现第(1)个线性回归模型比第(2)个拟合效果好．则R________R，Q1________Q2(用大于，小于号填空，R，Q分别是相关指数和残差平方和)．
解析：根据相关指数和残差平方和的意义知R＞R，Q1＜Q2.
答案：＞ ＜
三、解答题
9．某服装店经营某种服装，在某周内纯获利y(单位：元)与该周每天销售这种服装件数x之间的一组数据如下表：
x
3
4
5
6
7
8
9
y
66
69
73
81
89
90
91
(1)求样本点的中心；
(2)画出散点图；
(3)求纯获利y与每天销售件数x之间的回归方程．
解：(1)x＝6，y≈79.86，即样本点的中心为(6，79.86)．
(2)散点图如图所示：
(3)因为＝≈4.75，
＝－x≈51.36，所以＝4.75x＋51.36.
10．关于x与y有以下数据：
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
已知x与y线性相关，由最小二乘法得＝6.5.
(1)求y与x的线性回归方程；
(2)现有第二个线性模型：＝7x＋17，且R2＝0.82.若与(1)的线性模型比较，哪一个线性模型拟合效果比较好，请说明理由．
解：(1)依题意设y与x的线性回归方程为＝6.5x＋.
＝＝5，＝＝50，因为
( http: / / www.21cnjy.com )＝6.5x＋经过(，)，所以y与x的线性回归方程为＝6.5x＋17.5
.所以50＝6.5×5＋.所以＝17.5.
(2)由(1)的线性模型得yi－yi与yi－的关系如下表所示：
yi－yi
－0.5
－3.5
10
－6.5
0.5
yi－
－20
－10
10
0
20
由于R＝0.845，R2＝0.82知R＞R2，所以(1)的线性模型拟合效果比较好．
B级 能力提升
1．根据如下样本数据：
x
3
4
5
6
7
y
4.0
2.5
－0.5
0.5
－2.0
得到的回归方程为＝bx＋a，若a＝7.9，则x每增加
1个单位，y就( )
A．增加1.4个单位
B．减少1.4个单位
C．增加1.2个单位
D．减少1.2个单位
解析：易知x＝×(3＋4＋5＋6＋7)＝5，
y＝×(4＋2.5－0.5＋0.5－2)＝0.9，
所以样本点中心为(5，0.9)，
所以0.9＝5b＋7.9，所以b＝－1.4，
所以x每增加1个单位，y就减少1.4个单位．故选B.
答案：B
2．若某函数型相对一组数据的残差平方和为89，其相关指数为0.95，则总偏差平方和为________，回归平方和为________．
解析：因为R2＝1－，
0．95＝1－，所以总偏差平方和为1
780；回归平方和＝总偏差平方和－残差平方和＝1
780－89＝1
691.
答案：1
780 1
691
3．某运动员训练次数与成绩之间的数据关系如下：
次数x
30
33
35
37
39
44
46
50
成绩y
30
34
37
39
42
46
48
51
(1)作出散点图；
(2)求出回归方程；
(3)作出残差图；
(4)计算相关指数R2；
(5)试预测该运动员训练47次及55次的成绩．
解：(1)作出该运动员训练次数(x)与成绩(y)之间的散点图，如图所示，由散点图可知，它们之间具有线性相关关系．
(2)＝39.25，＝40.875,
( http: / / www.21cnjy.com )＝13
180，
＝－＝－0.003
88.
所以回归方程为＝1.0415x－0.003
88.
(3)作残差图如图所示，由图可知，残差点比较均匀地分布在水平带状区域中，说明选用的模型比较合适．
(4)计算得相关指数R2＝0.985
5，说明了该运动员的成绩的差异有98.55%是由训练次数引起的．
(5)由上述分析可知，我们可用回归方程＝1.041
5x－0.003
88作为该运动员成绩的预报值．
将x＝47和x＝55分别代入该方程可得y≈49和y≈57.
故预测该运动员训练47次和55次的成绩分别为49和57.1.2
排列与组合
1.2.1
排列
第2课时
排列的综合应用
( http: / / www.21cnjy.com )
A级 基础巩固
一、选择题
1．A，B，C，D，E五人并排站成一行，如果A，B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数是( )
A．6 B．24 C．48 D．120
解析：把A，B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人的全排列，排法共有A＝24(种)．
答案：B
2．用数字1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20
000大的五位偶数共有( )
A．48个
B．36个
C．24个
D．18个
解析：个位数字是2的有3A＝18(个)，个位数字是4的有3A＝18(个)，所以共有36个．
答案：B
3．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有( )
A．6种
B．12种
C．24种
D．30种
解析：首先甲、乙两人从4门
( http: / / www.21cnjy.com )课程中同选1门，有4种方法；其次从剩余3门中任选2门进行排列，排列方法有A＝6(种)．于是，甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法共有4×6＝24(种)．
答案：C
4．3张卡片正反面分别标有数字1和2，3和4，5和7，若将3张卡片并列组成一个三位数，可以得到不同的三位数的个数为( )
A．30
B．48
C．60
D．96
解析：“组成三位数”这件事，分2步完
( http: / / www.21cnjy.com )成：第1步，确定排在百位、十位、个位上的卡片，即为3个元素的一个全排列A；第2步，分别确定百位、十位、个位上的数字，各有2种方法．根据分步乘法计数原理，可以得到不同的三位数有A×2×2×2＝48(个)．
答案：B
5．生产过程有4道工序，每道工序需要安排
( http: / / www.21cnjy.com )一人照看，现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两名工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两名工人中安排1人，则不同的安排方案共有( )
A．24种
B．36种
C．48种
D．72种
解析：分类完成．第1类，若甲在第一
( http: / / www.21cnjy.com )道工序，则丙必在第四道工序，其余两道工序无限制，有A种排法；第2类，若甲不在第一道工序(此时乙一定在第一道工序)，则第四道工序有2种排法，其余两道工序有A种排法，有2A种排法．
由分类加法计数原理得，不同的安排方案共有A＋2A＝36(种)．
答案：B
二、填空题
6．若把英语单词“error”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有________种．
解析：A－1＝19.
答案：19
7．把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，
且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．
解析：先考虑产品A与B相邻，把A、B作为一个元素有A种方法，而A、B可交换位置，所以摆法有2A＝48(种)．
又当A、B相邻又满足A、C相邻，摆法有2A＝12(种)．
故满足条件的摆法有48－12＝36(种)．
答案：36
8．在所有无重复数字的四位数中，千位上的数字比个位上的数字大2的数共有________个．
解析：千位数字比个位数字大2，有8
( http: / / www.21cnjy.com )种可能，即(2，0)，(3，1)，…，(9，7)，前一个数为千位数字，后一个数为个位数字，其余两位无任何限制．所以共有8A＝448(个)．
答案：448
三、解答题
9．7人站成一排．
(1)甲、乙、丙排序一定时，有多少种排法？
(2)甲在乙的左边(不一定相邻)有多少种不同的排法？
解析：(1)法一7人的所有排列方法有A种，其中甲、乙、丙的排序有A种，又已知甲、乙、丙排序一定，
所以甲、乙、丙排序一定的排法共有eq
\f(A,A)＝840(种)．
法二(插空法) 7人站定7个
( http: / / www.21cnjy.com )位置，只要把其余4人排好，剩下的3个空位，甲、乙、丙就按他们的顺序去站，只有一种站法，故排法有A＝7×6×5×4＝840(种)．
(2)“甲在乙的左边”的7人排列
( http: / / www.21cnjy.com )数与“甲在乙的右边”的7人排列数相等，而7人的排列数恰好是这二者之和，因此满足条件的排法有A＝2
520(种)．
10．一场晚会有5个演唱节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单．
(1)3个舞蹈节目不排在开始和结尾，有多少种排法？
(2)前4个节目要有舞蹈节目，有多少种排法？
解：(1)先从5个演唱节目中选两个排
( http: / / www.21cnjy.com )在首尾两个位置有A种排法，再将剩余的3个演唱节目，3个舞蹈节目排在中间6个位置上有A种排法，故共有不同排法AA＝1
440(种)．
(2)先不考虑排列要求，有A种排列，其中前4个节目没有舞蹈节目的情况，可先从5个演唱节目中选4个节目排在前四个位置，然后将剩余四个节目排列在后四个位置，有AA种排法，所以前四个节目要有舞蹈节目的排法有A－AA＝37
440(种)．
B级 能力提升
1．在航天员进行的一项太空试验中，
( http: / / www.21cnjy.com )要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，则试验顺序的编排方法共有( )
A．24种
B．48种
C．96种
D．144种
解析：本题是一个分步计数问题，由题意
( http: / / www.21cnjy.com )知程序A只能出现在第一步或最后一步，所以从第一个位置和最后一个位置中选一个位置排A，编排方法有A＝2(种)．因为程序B和C在实施时必须相邻，所以把B和C看作一个元素，同除A外的3个元素排列，注意B和C之间有2种排法，即编排方法共有AA＝48(种)．根据分步乘法计数原理知，编排方法共有2×48＝96(种)，故选C.
答案：C
2．三个人坐在一排八个座位上，若每人的两边都要有空位，则不同的坐法种数为________．
解析：“每人两边都有空位”是说三个
( http: / / www.21cnjy.com )人不相邻，且不能坐两头，可视作5个空位和3个人满足上述两要求的一个排列，只要将3个人插入5个空位形成的4个空当中即可．所以不同坐法共有A＝24(种)．
答案：24
3．用1，2，3，4，5，6，7排成无重复数字的七位数，按下述要求各有多少个？
(1)偶数不相邻；
(2)偶数一定在奇数位上；
(3)1和2之间恰好夹有一个奇数，没有偶数．
解：
(1)用插空法，共有AA＝1
440(个)．
(2)先把偶数排在奇数位上有A种排法，再排奇数有A种排法．
所以共有AA＝576(个)．
(3)1和2的位置关系有
( http: / / www.21cnjy.com )A种，在1和2之间放一个奇数有A种方法，把1，2和相应奇数看成整体再和其余4个数进行排列有A种排法，所以共有AAA＝720(个)．2.1
离散型随机变量及其分布列
2.1.1
离散型随机变量
( http: / / www.21cnjy.com )
A级 基础巩固
一、选择题
1．6件产品中有2件次品与4件正品，从中任取2件，则下列可作为随机变量的是( )
A．取出产品的件数
B．取出正品的件数
C．取到产品的概率
D．取到次品的概率
解析：由题意知，此试验所有可能结果为2件正品、1件正品和1件次品、2件次品．因此取出正品的件数可作为随机变量．故选B.
答案：B
2．①某机场候机室中一天的旅客数量X；②
( http: / / www.21cnjy.com )连续投掷一枚均匀硬币4次，正面向上的次数X；③某篮球下降过程中离地面的距离X；④某立交桥一天经过的车辆数X.其中不是离散型随机变量的是( )
A．①中的X
B．②中的X
C．③中的X
D．④中的X
解析：①②④中的随机变量X可能取的值
( http: / / www.21cnjy.com )，我们都可以按一定次序一一列出，因此，它们都是离散型随机变量；③中的X可以取某一区间内的一切值，无法按一定次序一一列出，故③中的X不是离散型随机变量．
答案：C
3．一串钥匙有6把，只有一把能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验次数X的最大可能取值为( )
A．6 B．5 C．4 D．2
解析：由于是逐次试验，可能前5次都打不开锁，那么剩余钥匙一定能打开锁，故选B.
答案：B
4．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则“ξ＝5”表示的试验结果是( )
A．第5次击中目标
B．第5次未击中目标
C．前4次未击中目标
D．第4次击中目标
解析：击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ＝5，则说明前4次均未击中目标．
答案：C
5．抛掷两枚骰子，所得点数之积记为ξ，那么ξ＝4表示的随机试验结果是( )
A．2枚都是4点
B．1枚是1点，另1枚是4点
C．2枚都是2点
D．1枚是1点，另1枚是4点，或者2枚都是2点
解析：抛掷两枚骰子，其中一枚是x点，另一枚是y点，其中x，y＝1，2，…，6，而ξ＝xy，由ξ＝4得或或
答案：D
二、填空题
6．在100件产品中含有4件次品，从中任意抽取2件，ξ表示其中次品的件数，则ξ＝0的含义是______________．
答案：ξ＝0表示取出的2件产品都是正品
7．同时抛掷5枚硬币，得到硬币反面向上的个数为ξ，则ξ的所有可能取值的集合为______________．
解析：ξ的可能取值为0，1，2，3，4，5.
答案：{0，1，2，3，4，5}
8．在8件产品中，有3件次品，5件正品，从中任取3件，记次品的件数为ξ，则{ξ＜2}表示的试验结果是______________．
解析：应分ξ＝0和ξ＝1两类．ξ＝0表示取
( http: / / www.21cnjy.com )到3件正品；ξ＝1表示取到1件次品、2件正品．故{ξ＜2}表示的试验结果为取到1件次品，2件正品或取到3件正品．
答案：取到1件次品、2件正品或取到3件正品
三、解答题
9．一个袋中装有除颜色外完全相同的5个白球
( http: / / www.21cnjy.com )和5个黑球，从中任取3个，每抽到一个白球加5分，抽到黑球不加分，且最后不管结果如何都加上6分，求最终得分Y的可能取值，并判定Y是否是离散型随机变量．
解：设X表示抽到的白球个数，则由题意可得
( http: / / www.21cnjy.com )Y＝5X＋6，而X可能的取值为0，1，2，3，所以Y对应的值为5×0＋6，5×1＋6，5×2＋6，5×3＋6.即Y的可能取值为6，11，16，21.显然，Y为离散型随机变量．
10．某篮球运动员在罚球时，命中1球得2分，不命中得0分，且该运动员在5次罚球中命中的次数ξ是一个随机变量．
(1)写出ξ的所有取值及每一个取值所表示的结果；
(2)若记该运动员在5次罚球后的得分为η，写出所有η的取值及每一个取值所表示的结果．
解：(1)ξ可取0，1，2，3，4，5.表示5次罚球中分别命中0次，1次，2次，3次，4次，5次．
(2)η可取0，2，4，6，8，10.表示5次罚球后分别得0分，2分，4分，6分，8分，10分．
B级 能力提升
1．一用户在打电话时忘了号码的
( http: / / www.21cnjy.com )最后四位数字，只记得最后四位数字两两不同，且都大于5，于是他随机拨最后四位数字(两两不同)，设他拨到所要号码时已拨的次数为ξ，则随机变量ξ的所有可能取值的种数为( )
A．20
B．24
C．4
D．18
解析：由于后四位数字两两不同，且都大于5，因此只能是6，7，8，9四位数字的不同排列，故有A＝24(种)．
答案：B
2．甲、乙两队员进行乒乓球单打比赛，规定采用“七局四胜制”．用ξ表示需要比赛的局数，则{ξ＝6}表示的试验结果有________种．
解析：{ξ＝6}表示前5局中胜3局的球队，第6局一定获胜，共有C·C＝20(种)．
答案：20
3．某次演唱比赛，需要加试文化科学
( http: / / www.21cnjy.com )素质，每位参赛选手需回答3个问题，组委会为每位选手都备有10道不同的题目可供选择，其中有5道文史类题目，3道科技类题目，2道体育类题目，测试时，每位选手从给定的10道题目中不放回地随机抽取3次，每次抽取一道题目，回答完该题后，再抽取下一道题目做答．某选手抽到科技类题目的道数为X.
(1)试求出随机变量X的可能取值；
(2){X＝1}表示的试验结果是什么？可能出现多少种不同的结果？
解：(1)由题意得X的可能取值为0，1，2，3.
(2){X＝1}表示的事件是“恰抽到一道科技类题目”．
从三类题目中各抽取一道，不同的结果有CCCA＝180(种)．
抽取1道科技类题目，2道文史类题目，不同的结果有CCA＝180(种)．
抽取1道科技类题目，2道体育类题目，不同的结果有CCA＝18(种)．
由分类加法计数原理知可能出现的不同结果有180＋180＋18＝378(种)．1.3
二项式定理
1.3.1
二项式定理
( http: / / www.21cnjy.com )
A级 基础巩固
一、选择题
1．化简多项式(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1的结果是( )
A．(2x＋2)5
B．2x5
C．(2x－1)5
D．32x5
解析：原式＝[(2x＋1)－1]5＝(2x)5＝32x5.
答案：D
2．在的展开式中，x的幂指数是整数的项共有( )
A．3项
B．4项
C．5项
D．6项
解析：Tr＋1＝Cx·x－＝C·x12－r，则r分别取0，6，12，18，24时，x的幂指数为整数，所以x的幂指数有5项是整数项．
答案：C
3．若的展开式中第四项为常数项，则n＝( )
A．4
B．5
C．6
D．7
解析：由二项展开式可得Tr＋1＝
( http: / / www.21cnjy.com )C()n－r＝(－1)r2－rCx·x－，从而T4＝T3＋1＝(－1)32－3Cx，由题意可知＝0，n＝5.
答案：B
4．在(1－x3)(1＋x)10的展开式中，x5的系数是( )
A．－297
B．－252
C．297
D．207
解析：(1－x3)(1＋x)10＝(1＋x)10－x3(x＋1)10展开式中含x5的项的系数为：C－C＝207.
答案：D
5．若Cx＋Cx2＋…＋Cxn能被7整除，则x，n的值可能为( )
A．x＝5，n＝5
B．x＝5，n＝4
C．x＝4，n＝4
D．x＝4，n＝3
解析：Cx＋Cx2＋…＋Cxn＝(1＋x)n－1，检验得B正确．
答案：B
二、填空题
6．(2016·北京卷)在(1－2x)6的展开式中，x2的系数为________(用数字作答)．
解析：Tr＋1＝C·16－r·(－2x)r＝(－2)rC·xr，令r＝2，
得T3＝(－2)2Cx2＝60x2.故x2的系数为60.
答案：60
7.的展开式中的第四项是________．
解析：T4＝C23＝－.
答案：－
8．如果的展开式中，x2项为第三项，则自然数n＝________．
解析：Tr＋1＝C()n－r＝Cx，由题意知r＝2时，＝2，所以n＝8.
答案：8
三、解答题
9．在的展开式中，求：
(1)第3项的二项式系数及系数；
(2)含x2的项及项数．
解：(1)第3项的二项式系数为C＝15，
又T3＝C(2)4＝24Cx，
所以第3项的系数为24C＝240.
(2)Tk＋1＝C(2)6－k＝(－1)k26－kCx3－k，
令3－k＝2，得k＝1.
所以含x2的项为第2项，且T2＝－192x2.
10．在二项式的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列．
(1)求展开式的第四项；
(2)求展开式的常数项．
解：Tr＋1＝C()n－r＝Cxn－r.
由前三项系数的绝对值成等差数列，
得C＋C＝2×C，
解得n＝8或n＝1(舍去)．
(1)展开式的第四项为：
T4＝Cx＝－7.
(2)当－r＝0，即r＝4时，
常数项为C＝.
B级 能力提升
1．如果的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为( )
A．3
B．5
C．6
D．10
解析：展开式的通项表达式为C(3x2)n－r·＝C3n－r(－2)rx2n－5r，若C3n－r(－2)rx2n－5r为非零常数项，必有2n－5r＝0，得n＝r，所以正整数n的最小值为5.
答案：B
2．设二项式(a＞0)的展开式中，x3的系数为A，常数项为B，若B＝4A，则a的值是________．
解析：A＝C(－a)2，B＝C(－a)4，由B＝4A知，C(－a)2＝C(－a)4，
解得a＝2(舍去a＝－2)．
答案：2
3．如果f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n(m，n∈N
)中，x项的系数为19，求f(x)中x2项系数的最小值．
解：x项的系数为C＋C＝19，即m＋n＝19，
当m，n都不为1时，x2项的系数为
C＋C＝＋
＝m2－19m＋171
＝＋171－，
因为m∈N
，所以当m＝9或10时，x2项的系数最小，为81.
当m为1或n为1时，x2项的系数为C＝153>81，
所以f(x)中x2项系数的最小值为81.2.3
离散型随机变量的均值与方差
2.3.
2
离散型随机变量的方差
( http: / / www.21cnjy.com )
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知随机变量ξ满足P(ξ＝1)＝0.3，P(ξ＝2)＝0.7，则E(ξ)和D(ξ)的值分别为( )
A．0.6和0.7
B．1.7和0.09
C．0.3和0.7
D．1.7和0.21
解析：E(ξ)＝1×0.3＋2×0.7＝1.7，D(ξ)＝(1.7－1)2×0.3＋(1.7－2)2×0.7＝0.21.
答案：D
2．已知随机变量X～B(100，0.2)，那么D(4X＋3)的值为( )
A．64 B．256 C．259 D．320
解析：由X～B(100，0.2)知n＝
( http: / / www.21cnjy.com )100，p＝0.2，由公式得D(X)＝100×0.2×0.8＝16，因此D(4X＋3)＝42D(X)＝16×16＝256.
答案：B
3．甲、乙两个运动员射击命中环数ξ、η的分布列如下表．其中射击比较稳定的运动员是( )
环数k
8
9
10
P(ξ＝k)
0.3
0.2
0.5
P(η＝k)
0.2
0.4
0.4
A.甲
B．乙
C．一样
D．无法比较
解析：E(ξ)＝9.2，E(η)＝9.2，所以E(η)＝E(ξ)，D(ξ)＝0.76，D(η)＝0.56＜D(ξ)，所以乙稳定．
答案：B
4．已知随机变量ξ，η满足ξ＋η＝8，且ξ服从二项分布ξ～B(10，0.6)，则E(η)和D(η)的值分别是( )
A．6和2.4
B．2和2.4
C．2和5.6
D．6和5.6
解析：由已知E(ξ)＝10×0.6＝6，D(ξ)＝10×0.6×0.4＝2.4.因为ξ＋η＝8，所以η＝8－ξ.
所以E(η)＝－E(ξ)＋8＝2，D(η)＝(－1)2D(ξ)＝2.4.
答案：B
5．已知p，q∈R，X～B(5，p)．若E(X)＝2，则D(2X＋q)的值为( )
A．2.4
B．4.8
C．2.4＋q
D．4.8＋q
解析：因为X～B(5，p)，
所以E(X)＝5p＝2，所以p＝，
D(X)＝5××＝，
所以D(2X＋q)＝4D(X)＝4×＝4.8，故选B.
答案：B
二、填空题
6．若事件在一次试验中发生次数的方差等于0.25，则该事件在一次试验中发生的概率为________．
解析：在一次试验中发生次数记为ξ，则ξ服从两点分布，则D(ξ)＝p(1－p)，所以p(1－p)＝0.25，解得p＝0.5.
答案：0.5
7．已知X的分布列为：
X
－1
0
1
P
若η＝2X＋2，则D(η)的值为________．
解析：E(X)＝－1×＋0×＋1×＝－，D(X)＝，D(η)＝D(2X＋2)＝4D(X)＝.
答案：
8．随机变量X的分布列如下表：
X
0
1
2
P
x
y
z
其中x，y，z成等差数列，若E(X)＝，则D(X)的值是________．
解析：E(X)＝0×x＋1×y＋2×z＝y＋2z＝，
又x＋y＋z＝1，且2y＝x＋z，解得x＝，y＝，z＝0，所以D(X)＝×＋×＋×0＝.
答案：
三、解答题
9．袋中有大小相同的小球
( http: / / www.21cnjy.com )6个，其中红球2个、黄球4个，规定取1个红球得2分，1个黄球得1分．从袋中任取3个小球，记所取3个小球的得分之和为X，求随机变量X的分布列、均值和方差．
解：由题意可知，X的所有可能的取值为5，4，3.
P(X＝5)＝eq
\f(CC,C)＝，
P(X＝4)＝eq
\f(CC,C)＝，
P(X＝3)＝eq
\f(C,C)＝，
故X的分布列为：
X
5
4
3
P
E(X)＝5×＋4×＋3×＝4，
D(X)＝(5－4)2×＋(4－4)2×＋(3－4)2×＝.
10．每人在一轮投篮练习中最多可投篮4
( http: / / www.21cnjy.com )次，现规定一旦命中即停止该轮练习，否则一直试投到4次为止．已知一选手的投篮命中率为0.7，求一轮练习中该选手的实际投篮次数ξ的分布列，并求出ξ的期望E(ξ)与方差E(ξ)
(保留3位有效数字)．
解：ξ的取值为1，2，3，4.若ξ＝1，表
( http: / / www.21cnjy.com )示第一次即投中，故P(ξ＝1)＝0.7；若ξ＝2，表示第一次未投中，第二次投中，故P(ξ＝2)＝(1－0.7)×0.7＝0.21；若ξ＝3，表示第一、二次未投中，第三次投中，故P(ξ＝3)＝(1－0.7)2×0.7＝0.063；若ξ＝4，表示前三次未投中，故P(ξ＝4)＝(1－0.7)3＝0.027.
因此ξ的分布列为：
ξ
1
2
3
4
P
0.7
0.21
0.063
0.027
E(ξ)＝1×0.7＋2×0.21＋3×0.063＋4×0.027＝1.417.
D(ξ)＝(1－1.417)2×0.7＋
( http: / / www.21cnjy.com )(2－1.417)2×0.21＋(3－1.417)2×0.
063＋(4－1.417)2×0.027＝0.513.
B级 能力提升
1．若ξ是离散型随机变量，P(ξ＝X1)
( http: / / www.21cnjy.com )＝，P(ξ＝X2)＝，且X1＜X2，又已知E(ξ)＝，D(ξ)＝，则X1＋X2的值为( )
A.
B.
C．3
D.
解析：X1，X2满足
解得或
因为X1＜X2，所以X1＝1，X2＝2，所以X1＋X2＝3.
答案：C
2．抛掷一枚均匀硬币n(3≤n≤8)次，正面向上的次数ξ服从二项分布B，若P(ξ＝1)＝，则方差D(ξ)＝________．
解析：因为3≤n≤8，ξ服从二项分布B，且P(ξ＝1)＝，所以C··＝，即n＝，解得n＝6，所以方差D(ξ)＝np(1－p)＝6××＝.
答案：
3．一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．
将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．
(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；
(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列、期望E(X)及方差D(X)．
解：(1)设A1表示事件“日销售
( http: / / www.21cnjy.com )量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天的日销售量不低于100个且另1天的日销售量低于50个”．因此
P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，
P(A2)＝0.003×50＝0.15，
P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.
(2)X可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为
P(X＝0)＝C(1－0.6)3＝0.064，
P(X＝1)＝C·0.6(1－0.6)2＝0.288，
P(X＝2)＝C·0.62(1－0.6)＝0.432，
P(X＝3)＝C·0.63＝0.216，
则X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
0.064
0.288
0.432
0.216
因为X～B(3，0.6)，所以期望E(X)＝3×0.6＝1.8，方差D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.2.3
离散型随机变量的均值与方差
2.3.1
离散型随机变量的均值
( http: / / www.21cnjy.com )
A级 基础巩固
一、选择题
1．一批种子的发芽率为80%，现播下100粒该种种子，则发芽的种子数X的均值为( )
A．60
B．70
C．80
D．90
解析：易知发芽的种子数X～B(100，0.8)，
所以E(X)＝100×0.8＝80.
答案：C
2．若随机变量ξ的分布列如下表所示，则E(ξ)的值为( )
ξ
0
1
2
3
4
5
P
2x
3x
7x
2x
3x
x
A.
B.
C.
D.
解析：根据概率和为1，可得x＝，
所以E(ξ)＝0×2x＋1×3x＋2×7x＋3×2x＋4×3x＋5×x＝40x＝.
答案：C
3．同时抛掷5枚质地均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为X，则X的均值是( )
A．20
B．25
C．30
D．40
解析：抛掷一次正好出现3枚反面向上，2枚正面向上的概率为eq
\f(C,25)＝.所以X～B.故E(X)＝80×＝25.
答案：B
4．若随机变量ξ～B(n，0.6)，且E(ξ)＝3，则P(ξ＝1)的值为( )
A．2×0.44
B．2×0.45
C．3×0.44
D．3×0.64
解析：因为ξ～B(n，0.6)，所以E(
( http: / / www.21cnjy.com )ξ)＝n×0.6，故有0.6n＝3，解得n＝5.P(ξ＝1)＝C×0.6×0.44＝3×0.44.
答案：C
5．口袋中有编号分别为1、2、3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X的期望为( )
A.
B.
C．2
D.
解析：X＝2，3所以P(X＝2)＝eq
\f(1,C)＝，P(X＝3)＝eq
\f(C,C)＝.
所以E(X)＝2×＋3×＝.
答案：D
二、填空题
6．已知X～B，则E(2X＋3)＝________．
解析：E(X)＝100×＝50，E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝103.
答案：103
7．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：
ξ
7
8
9
10
P
x
0.1
0.3
y
已知ξ的期望E(ξ)＝8.9，则y的值为________．
解析：
( http: / / www.21cnjy.com )
答案：0.4
8．对某个数学题，甲解出的概率为，乙解出的概率为，两人独立解题．记X为解出该题的人数，则E(X)＝________．
解析：P(X＝0)＝×＝，P(X＝1)＝×＋×＝，P(X＝2)＝×＝，E(X)＝＝.
答案：
三、解答题
9．某运动员投篮投中的概率为0.6.求：
(1)一次投篮时投中次数X的均值；
(2)重复5次投篮时投中次数Y的均值．
解：(1)X的分布列为
X
0
1
P
0.4
0.6
则E(X)＝0×0.4＋1×0.6＝0.6，
即一次投篮时投中次数X的均值为0.6.
(2)Y服从二项分布，即Y～B(5，0.6)．
故E(Y)＝5×0.6＝3，
即重复5次投篮时投中次数Y的均值为3.
10．在10件产品中，有3件一等品、4件二等品、3件三等品．从这10件产品中任取3件，求取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望．
解：从10件产品中任取3件，共有C种结果．从10件产品任取3件，其中恰有k件一等品的结果数为CC，其中k＝0，1，2，3.
所以P(X＝k)＝eq
\f(CC,C)，k＝0，1，2，3.
所以随机变量X的分布列是：
X
0
1
2
3
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
B级 能力提升
1．某船队若出海后天气好，可获得5
00
( http: / / www.21cnjy.com )0元；若出海后天气坏，将损失2
000元；若不出海也要损失1
000元．根据预测知天气好的概率为0.6，则出海的期望效益是( )
A．2
000元
B．2
200元
C．2
400元
D．2
600元
解析：出海的期望效益E(ξ)＝5
000×0.6＋(1－0.6)×(－2
000)＝3
000－800＝2
200(元)．
答案：B
2．设离散型随机变量ξ的可能取值为1，2，3
( http: / / www.21cnjy.com )，4，P(ξ＝k)＝ak＋b(k＝1，2，3，4)，且E(ξ)＝3，则a＋b＝________．
解析：因为P(ξ＝1)＋P(
( http: / / www.21cnjy.com )ξ＝2)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)＝10a＋4b＝1，且E(ξ)＝30a＋10b＝3，所以a＝，b＝0，所以a＋b＝.
答案：
3．由于电脑故障，使得随机变量X的分布列中部分数据丢失(以“？”
代替)，其表如下：
X
1
2
3
4
5
6
P
0.20
0.10
0.？5
0.10
0.1？
0.20
(1)求P(X＝3)及P
(X＝5)的值；
(2)求E(X)；
(3)若η＝2X－E(X)，求E(η)．
解：(1)由分布列的性质可知
0．20＋0.10＋0.？5＋0.10＋0.1？＋0.20＝1.
故0.？5＋0.1？＝0.40.
由于小数点后只有两位有效数字，
故0.1？中“？”处应填5，0.？5中的“？”处数字为2.
即P(X＝3)＝0.25，P(X＝5)＝0.15.
(2)E(X)＝1×0.20＋2×0.10＋3×0.25＋4×0.1＋5×0.15＋6×0.20＝3.50.
(3)法一 由E(η)＝2E(X)－E(X)＝E(X)得，
E(η)＝E(X)＝3.50.
法二 由于η＝2X－E(X)，
所以η的分布列如下：
η
－1.5
0.5
2.5
4.5
6.5
8.5
P
0.20
0.10
0.25
0.10
0.15
0.20
所以E(η)＝－1.5×0.20＋0.5×0.10＋2.5×0.25＋4.5×0.10＋6.5×0.15＋8.5×0.20＝3.50.