1.1.2
集合间的基本关系
【教学目标】
让学生初步了解子集的概念及其表示方法,同时了解相等集合、真子集和空集的有关概念，以及集合的Venn图.
【重点难点】
重点:子集、真子集概念及它们的联系与区别；空集概念以及与一般集合间的关系.
难点：空集的概念以及与一般集合间的关系.
【教学过程】
一、情景设置
复习引入
1、元素与集合的关系
2、常用数集
3、集合表示
实例：观察下面实例:你能发现两个集合间的关系吗？
1、A={1,2,3}
B={1,2,3,4,5}；
2、设A为新华中学高一(2)班全体女生组成的集合，B为这个班全体学生组成的集合
3、设C={x|x是两条边相等的三角形}，D={x|x是等腰三角形}
二、探索研究
1．由实例中的(1),(2)
观察两个集合的关系
子集定义:
记作：
读作：
真子集定义:
记作：
读作：
2．由实例中的(3)，发现两个集合的相等关系
集合相等定义：
3．简述Venn图：
4．方程x2＋1＝0的所有实数根组成的集合如何表示？
空集的定义： 记作：
规定：空集是 的子集，空集是 的真子集。
5．符号说明:
①从属关系符号(元素与集合之间):_____________
②包含关系符号(集合与集合之间):______________
6．①集合Ａ与它本身的关系如何？
②对于集合Ａ，Ｂ，Ｃ，如果ＡＢ，ＢＣ，那么Ａ，Ｃ关系如何？
三、教学精讲
例1．写出集合Ａ＝{a,b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集？
如果Ａ＝{a,b,c}呢？
由此你发现什么规律？
例2．已知{1，2}M{1，2，3，4，5}，则这样的集合M有___个.
答案：7
例3．①已知集合Ａ＝｛1,3｝Ｂ＝｛x|mx-3=0｝且BA,则m的值是多少？
答案：0或1或3
②已知集合Ａ＝｛x|-2≤x≤5｝Ｂ＝｛x|m+1≤x≤2m-1｝若BA,则求实数m的取值范围是.
答案：{m|m≤3}
四、课堂练习
1．下列各组中的两个集合相等的有（
）
①P={x|x=2n,nZ}
Q={x|x=2（n-1）,nZ}
②P={x|x=2n-1,nN＋}
Q={x|x=2n+1},nN＋}
③P={x|x2-x=0}
Q={x|x=},nZ}
A①②③
B①③
C②③
D①②
答案:B
2．课本P7练习
五、本节小结
子集、真子集、空集的有关概念.
【教学后记】单调性与最大（小）值
【教学目标】
（1）通过实例，使学生体会、理解到函数的最大（小）值及其几何意义；
（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；
【重点难点】
重点：函数的最大（小）值及其几何意义．
难点：利用函数的单调性求函数的最大（小）值。
【教学过程】
一、情境设置
问题:画出下列函数的图像，指出图像的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？
①f(x)=-x+3
②f(x)=-x+3,x∈[-1,2]
③f(x)=x2+2x+1
④f(x)=x2+2x+1,x∈[-2,2]
二、探索研究
由以上分析，你能得出函数y=f(x)最大(小)值的含义吗？
三、教学精讲
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；
（2）存在x0∈I，使得f(x0)
=
M
那么，称M是函数y=f(x)的最大值（Maximum
Value）．
思考：仿照函数最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值（Minimum
Value）的定义．
注意：
①函数最大（小）值首先应该是一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0)
=
M；
②函数最大（小）值应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）．
③函数最大（小）值不一定是唯一的，有的函数可能有多个。
④函数最大（小）值反映的是函数的整体性质，即在整个定义域的最值。
思考1：函数y=-2x+1，x∈(-1,+∞)有最大值吗 为什么？
思考2：由这个问题你发现了什么值得注意的地方？
例1．课本P30例3
例2．已知函数f(x)=(x∈[2,6])，求函数的最大值和最小值.
例3．已知函数f(x)=x+,(x>0),
(1)证明当0
(2)求函数的最小值.
由例题分析归纳：
(1)利用函数单调性的求函数的最大（小）值的方法：
①利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值.
②利用图象求函数的最大（小）值.
(2)①如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；
②如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；
四、课堂练习
1．课本P32.练习5
2．函数y=有没有最大（小）值？
3．求函数y=x2-4x+6在x(1,5]上的最值。2,11
五、本节小结
函数的最大（小）值的定义及简单应用。
【教学后记】集合间的基本运算
【教学目标】
1.了解全集的意义和它的表示.
2.理解补集的概念,能正确运用补集的符号和表示形式.
【重点难点】
补集的概念及运算
【教学过程】
一、情景设置
问题1：用列举法表示下列集合：
A={xZ|(x-2)(x+)(x-)=0};
B={xQ|(x-2)(x+)(x-)=0};
C={xR|(x-2)(x+)(x-)=0};
问题2：A={高一某班的全体女同学}
B={高一某班的全体男同学}
U={全体同学}
集合A、B、U间的关系如何
__________
二、探索研究
通过问题1，可以得出在不同范围内研究同一个问
( http: / / www.21cnjy.com )题，可能有不同的结果。因此我们在研究问题时，必须确定研究对象的范围，这是我们这节课要研究的问题之一.
全集的定义：
注：①全集是相对的，即一个
( http: / / www.21cnjy.com )集合只要能包含我们所要研究的对象的全体，那么这个集合就可以看作全集。如问题1中的A、B、C中的全集可以是N、Q、R。
②其它集合都全集的子集。
补集的定义：
记作：
；符号表示
；
Venn图表示：
三、教学精讲
例1．已知U={x|x是
( http: / / www.21cnjy.com )小于9的正整数},
A={1，2，3}
，B={3，4，5，6}，求CUA，CUB，(CUA)∩(CUB)，CU(A∪B),CU(A∩B),(CUA)∪(CUB).
思考:通过解例1，你能从中得出什么结论？
例2.设全集U={x|x是三角形},A={x|x是锐角三角形}，B={x|x是钝角三角形}，求A∩B，CU(A∪B).
例3.已知全集U=R,A={x|-2≤x≤4},B={x|-3≤x≤3},求:
①CUA，CUB;
②(CUA)∪(CUB),CU(A∩B)
③(CUA)∩(CUB),CU(A∪B)
(建议利用数轴解决)
例题选讲.设U={1，2，3，4，5，
( http: / / www.21cnjy.com )6，7，8，9}，（CUA）∩B={3，7}，（CUB）∩A={2，8}，(CUA)∩(CUB)
={1，5，6}，则集合A=
，B=
(建议利用Venn图解决)
四、课堂练习
1．设U=R,A={x|-1B={x|2≤x<5},则CUA=______
CUB=____________,
CAB=________________.
答案：CUA={x|x≤-1或5CUB={x|x<2或x≥5}
CAB={x|-12．集合A＝{x｜-1≤x<2}当U={x|x≤3}时, CUA＝________,
当Ｕ＝{x|-2≤x≤2}时，CUA＝_____
答案：{x|2≤x≤3或x<-1}
{x|-2≤x<-1或x=2}
五、本节小结
全集补集的概念以及性质
【教学后记】对数函数及其性质
【教学目标】
1．知道同底的对数函数与指数函数互为反函数
2．熟练应用对数函数的图象和性质，解决一些综合问题。
【重点难点】
对数函数的性质的综合运用，反函数的意义
【教学过程】
一、情景设置
问题:用列表描点法在同一个直角坐标系中画出y=log2x与y=2x与x=log2y的函数图像。
二、探索研究
①通过图像探索在指数函数y=2x中，x为自变量，y为因变量，如果把y当成自变量，
x当成因变量，那么x是y的函数吗？
②如果是，那么对应关系是什么？如果不是，请说明理由。
③探索y=2x与x=log2y的图像间的关系。
④探索y=2x与y=log2x的图像间的关系。
⑤结合①与④推测函数y=ax与函数y=logax的关系。
三、教学精讲
共同讨论以上问题：
①指数函数y=2x在R上是单调
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（增/减函数）。过y轴的正半轴上任意一点作x轴的平行线，与y=2x的图像有且只有一个交点，即对任意的y都有
的x相对应，可以把y作为自变量，x作为y的函数。
②由指数式与对数式关系，由y=2x解得
。
③在同一个直角坐标系中，y=2x与x=log2y的图像完全重合。
④通过观察图像可知，y=2x与y=log2x的图像关于
⑤通过①与④类比，归纳知道，y=ax（a>0,且a≠1）的反函数是
，且他们的图像关于
对称。
由反函数的概念可知，同底的指数函数和对数函数互为反函数，它们的图像关于直线y=x对称
例1．求下列函数的反函数：
①y=2x+3
②y=
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③y=（）x
④y=0.2x+1
例2．若y=log2(2-ax)在区间［0，1］上是减函数，则求a的取值范围。
例3．已知函数f(x)=log2[ax2+(a-1)x+]
(1)若定义域为R,求实数a的取值范围；(2)若值域为R,求实数a的取值范围.
例4．试求：(1)满足不等式2(log2x)2+9log0.5x+9≤0的x的范围；
(2)当x在(1)中求得的范围内变动时，函数f(x)=
log2
log2的最大值和最小值。对数函数及其性质
【教学目标】
1．掌握对数函数的定义、图象和性质.
2．会求简单对数函数(对数型函数)的定义域
【重点难点】
对数函数的定义、图象和性质．
【教学过程】
一、情景设置
问题:我们研究指数函数时，曾讨论过
( http: / / www.21cnjy.com )细胞分裂问题，某种细胞分裂时,得到的细胞的个数y是分裂次数x的函数,这个函数可用指数函数_____________表示.现在研究相反的问题,如果要求这种细胞经过多少次分裂,大约可以得到1万个，10万个，……细胞？那么分裂次数x就是要得到的细胞个数y的函数，根据对数的定义，这个函数可以写成对数的形式就是_______________.
二、探索研究
1．对数函数的定义：形如y=logax(a>0,a≠1)的函数叫做对数函数.定义域是________.
思考：①为什么规定底数a>0,a≠1？
②如何根据对数函数的定义判断一个函数是否是一个指数函数？请你说出步骤
2．学习指数函数时，对其性质研究了哪些内容，采取怎样的方法？
画出函数的图象，结合图象研究函数的性质定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性．
三．教学精讲
对数函数的图象和性质
①在同一坐标系中画出下列函数的图象：
y=log2x
y=logx
②从画出的图象中你能发现函数y=log2x的图象和函数y=logx的图象有什么关系？可否
利用y=log2x的图象画出y=logx的图象？说明画法的理由。
观察y=log2x和y=logx的图象，可以得出对数函数y=ax在底数a>1及0这两种情况下的图象和性质：
y=logax(a>1)
y=logax(0图
象
性
质
①定义域:________②值域:_______③恒过定点_______即当x=1,y=0
在(0,+∞)上是__________函数.
在(0,+∞)上是__________函数.
logax
logax
例1．求下列函数的定义域
(1)y=logax2
(2)
y=loga(4-x)
例2．比较下列各组数的大小：
(1)log23.4,
log28.5;
(2)log0.31.8,
log0.32.7
(3)loga5.1,
loga5.9(a>0,且a≠1)
(4)
log43,
log34,
log
()
四．课堂练习
比较下列各组数的大小：(1)loga，logae(a>0,且a≠1)；(2)log2，log2(a2+a+1)(a∈R).
五、本节小结
对数函数的定义,图象和性质以及简单的对数函数(对数型函数)的定义域
【教学后记】指数与指数幂的运算
【教学目标】
理解根式的概念
【重点难点】
根式的概念
【教学过程】
一、情景设置
课题引入：以课本P48页问题1、问题2引入。
讨论：
①什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个,
立方根呢？
②如x4=a,x5=a,
x6=a，根据上面的结论我们又能得到什么呢？
③根据上面的结论我们能得到一般性的结论？
④可否用一个式子表达呢？
二、探索研究
1．整数指数幂的运算法则
①
②
③
2．n次方根的定义：
说明：①n次方根的定义是
和
的推广。
②在实数范围内，正数的奇次方根是一个
，负数的奇次方根是一个
．
零的奇次方根是
．设a∈R,n是大于1的奇数，则a的n次方根记作
．
③在实数范围内，正数的偶
( http: / / www.21cnjy.com )次方根有
个，它们互为
，零的偶次方根是
，负数的偶次方根
．设a≥0,n是大于1的偶数，则a的n次方根是
．
三、教学精讲
①式子叫做
，n叫做
，a叫做
．
②()n=
;
当n为奇数时，
=
．当n为偶数时，=
=
例1、求下列各式的值
①
②
③
④(a>b)
例2、计算：
eq
\r(5－2)＋
eq
\r(5＋2)
四、课堂练习
1．下列运算正确的是(
)
(A)(－a2)3＝(－a3)2
(B)(－a2)3＝－a2＋3
(C)(－a2)3＝(－a)6
(D)(－a2)3＝(－1)3a2×3＝－a6
2．若a＝(2＋)1，b＝(2－)1，则(a＋1)2(
b＋1)2的值是(
)
3．下列有四个命题
①正数的偶次方根是一个正数；②正数的奇次方根是一个正数；
③负数的偶次方根是一个负数；④负数的奇次方根是一个负数．
其中正确命题的个数是(
)
(A)0个
(B)1个
(C)2个
(D)3个
4．a∈R,n∈N
,下列四个运算恒成立的是（
）
(A)
()n=a
(B)
()n=|a|
(C)()n=|a|
(D)
=|a|
5．已知3a＝2，3b＝5，则32ab＝____________
答案：DDCB
五、本节小结
①如果xn=a，那么x叫做
，其中n>1，且n∈N
．当n是奇数时，正数的n次方根
，负数的n次方根是
．a的n次方根用符号
表示．
式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
②当n是偶数时，正数的n次方根
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．此时，正数a的正的n次方根用符号
表示，负的n次方根用符号
表示．正的n次方根与负的n次方根可以合并成±（a>0）．由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作＝0．
③()n=
;
当n为奇数时，=
．当n为偶数时，=
【教学后记】1.1.1
集合的含义与表示
【教学目标】
要求学生初步了解集合的含义，体会元素与集合间的关系，掌握集合的表示法，知道常用数集及其记法.
【重点难点】
重点:集合的含义与表示法.
难点：表示法的恰当选择.
【教学过程】
一、情景设置
实例引入：
(1)
1～20以内的所有素数.
(2)
我国从1991～2003的13年内所发射的所有人造卫星.
(3)
金星汽车厂2003年生产的所有汽车.
(4)
2004年1月1日之前与我国建立外交关系的所有国家.
(5)
所有的正方形.
(6)
忻州一中2008年8月15日入学的高一全体学生.
(7)
方程的x2+3x-3=0所有实数解.
(8)
到直线l的距离等于定长d的所有的点
结论：一般地，我们把研究对象统称为元素；把一些元素组成的总体叫做集合，也简称集.
二、探索研究
问题1：元素与集合的关系如何描述？
若a是集合A中的元素,记做_______.若a不是集合A中的元素,记做_______.
问题2：1～20以内的所有素数如何表示？答____________(列举法)
问题3：你能用列举法表示不等式x-7<3的解集吗？答___________(不能)
问题4：集合元素有什么特征？
①对于集合A={1,3,5},3、7是否是A中的元素？答___________________
②{忻州一中年龄较小的学生}是否表示一个集合？答__________________
由此得集合中的元素具有__________性.
③A={2，2，4}表示是否准确 答__________________
由此得集合元素具有__________性.
④A={太平洋,大西洋},B={大西洋,太平洋}是否表示同一个集合 答_______
由此得集合元素具有__________性.
同时得出：如果两个集合的元素是一样的，就称两个集合相等.
问题5：常用数集如何表示？
自然数集——______;正整数集——____(_____);整数集——_______;
有理数集——______;实数集——_______.
三、教学精讲
用列举法、描述法表示集合，应注意些什么
例：试分别用列举法、描述法表示下列集合：
①小于10的所有自然数组成的集合;
②方程x2=x的所有实数根组成的集合;
③由1～20以内的所有素数组成的集合;
④由大于10小于20的所有整数组成的集合
四、课堂练习
课本P5练习
五、本节小结
集合的概念、表示；集合元素与集合间的关系；常用数集的记法.
注意：(1)描述法表示集合应注意集合的代表元素
(2)只要不引起误解集合的代表元素也可省略
【教学后记】函数的表示法
【教学目标】
1．通过具体实例，掌握简单的分段函数，并能简单应用；
2．了解映射的概念及表示方法，会利用映射的概念来判断“对应关系”是否是映射.
【重点难点】
分段函数的表示及其图象，映射概念的理解．
【教学过程】
一、情景设置
(1)画出函数h(x)=|x|的图象,并比较它与f(x)=x，g(x)=-x在解析式上有什么区别
(2)复习初中已经遇到过的对应：
①对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的点P和它对应；
②对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序实数对(x,y)和它对应；
③对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；
④某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应；
⑤函数的概念．
我们已经知道，函数是建立在两个非空数集间的
( http: / / www.21cnjy.com )一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种的对应就叫映射（mapping）
二、探索研究
(1)．由具体实例(1)归纳:
①定义:
称为分段函数.
②分段函数是______函数而不是______函数(一个、几个)
③函数h(x)是分段函数,在定义域的不同部分,其解析式不同.
分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集.
④生活中有很多可以用分段函数描述的实际问题如出租车的计费、个人所得税纳税额等等．请举出几个分段函数的例子．
(2)．由具体实例(2)归纳:
①映射的概念：
记作“f：A
( http: / / www.21cnjy.com )B”
说明：
（1）这两个集合有先后顺序，A到B的射与B到A的映射是截然不同的．其中f表示具体的对应法则，可以用汉字叙述．
（2）“都有唯一”什么意思？
包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思。
三、教学精讲
例１．某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：
（1）5公里以内(含5公里)，票价2元；
（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按5公里计算）．
如果某条线路的总里程20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．
注意：
①本例具有实际背景，所以解题时应考虑其实际意义；
②分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写成函数值的几种不同表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．
例2．已知f(x)=
函数,
①求f{f[f(5)]}的值.
②画出函数的图象．
例3．课本P22例7
四、课堂练习
课本P22练习1．2．3．4
五、本节小结
分段函数的表示及其图象，映射概念
【教学后记】幂函数
【教学目标】
1．通过生活实例引出幂函数的概念，会画幂函数的图象，了解幂函数图象的变化情况和性质；
2．了解几个常见的幂函数的性质，了解幂函数和指数函数的本质区别；
3．应用幂函数的图象和性质解决有关简单问题，培养学生观察分析归纳能力．
【重点难点】
重点：从五个具体的幂函数中认识幂函数的概念和性质．
难点：画幂函数的图象并由图象概括其性质是教学中可能遇到的困难．
【教学过程】
情景设置
1．①如果正方体的边长为a，则正方体的体积V随a变化的函数关系是_______．
V=a3
②如果正方形的面积为S，则正方形的边长a随S变化的函数关系是_______．
a=
③如果某人ts内骑车行进了1km，那么他骑车的速度v随t变化的函数关系是_______．
v=t1km/s
以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型，
你能发现以上几个函数解析式有什么共同点吗？
它们是否都为指数函数？(都为幂的形式，且变量都出现在底数上)
(都不是)
2．你能画出函数y=x，y=x2，y=，y=x1，y=x3的图象吗？
3．通过对以上五个函数图象的观察，哪个象限一定有幂函数的图象？哪个象限一定没有？哪个象限可能有？这时可通过什么途径来判断？
(第一象限一定有，第四象限一定没有，第二、三象限可能有，也可能没有，这时可通过幂函数的定义域和奇偶性来判断)
4．通过对以上五个函数图象的观察，你能得出它们的性质吗？
(1)它们的图象都过点(1,1)；
(2)
y=x，y=x3，y=x1是奇函数，y=x2是偶函数，y=是非奇非偶函数；
(3)在区间(0,+∞)上，y=x，y=x2，，y=x3，y=都是增函数，y=x1是减函数；
(4)在第一象限内，y=x1向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近；
(5)在第一象限内，y=x2，，y=x3向下凸，y=向上凸．
二、教学精讲
例1．判断下列函数哪些是幂函数？
①y=0.2x；②y=2x2；③y=x2+x；④y=x3；⑤y=x3
①②③④都不是；⑤是
例2．已知y=(m2)+2n3是幂函数，求m，n的值．
解：由题意得解得
eq
\b\lc\{(\a\al\vs
(m=3,n=))为所求．
例3．求下列幂函数的定义域，指出其奇偶性、单调性，并画它们的大致图象．
①y=；②y=x2；③y=
( http: / / www.21cnjy.com )
例4．比较下列各组数的大小：
①
( http: / / www.21cnjy.com )和
( http: / / www.21cnjy.com )；②，
( http: / / www.21cnjy.com )，
解：①
( http: / / www.21cnjy.com )
>
( http: / / www.21cnjy.com )；②<
( http: / / www.21cnjy.com )<
三、探索研究
四、课堂练习
若幂函数y=f(x)的图象过点(9,)，则f(25)的值是______．
作出函数y=
( http: / / www.21cnjy.com )的图象，根据图象讨论这个函数有哪些性质．
定义域(-∞,0)∪(0，+∞)；过定点(1,1)；偶函数；(0,+∞)上是增函数；
在第一象限内，向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近．
比较大小
①
( http: / / www.21cnjy.com ),
( http: / / www.21cnjy.com )
②
( http: / / www.21cnjy.com ),
( http: / / www.21cnjy.com ),
解：①
( http: / / www.21cnjy.com )<
( http: / / www.21cnjy.com )
②<
( http: / / www.21cnjy.com )<
( http: / / www.21cnjy.com )
【教学后记】函数与方程
【教学目标】
结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系。
【重点难点】
①根据二次函数图象与轴的交点的个数判断一元二次方程根的个数；
②函数零点的概念；
③函数的零点与方程根的联系。
【教学过程】
一、情景设置
1．如何判断方程x22x3=0根的，个数并求其根？
法一：用及求根公式或因式分解；
法二：画出y=x22x3的图象，观察其与x轴交点的情况．
2．任给一个方程f(x)=0（不一定是一元二次方程），又如何判断其根的个数？
画出y=
f(x)的图象，观察其与x轴交点的个数．
3．什么是函数的零点？
对于函数f(x)，使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。
4．函数的零点与方程的根之间有什么关系？
方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象x轴有交点函数y=f(x)有零点
5．怎样判断函数是否有零点？
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个也就是方程f(x)=0的根。
二、教学精讲
例1．①已知函数f(x)=mx2+mx+1没有零点，求实数m的范围。0≤m<4
②已知函数f(x)=2(m+1)x2+4mx+2m1有两个零点，求实数m的范围。
m<1且m≠1
例2．求函数f(x)=Inx+2x6的零点的个数。
法一：(课本88页例1)；
法二：分别作出y=
Inx和y=62x的图象，看两图象交点的个数。
例3．已知函数f(x)=|x22x3|a分别满足下列条件，求实数a的取值范围。
①函数有两个零点；
②函数有三个零点；
③函数有四个零点。
数形结合，分别作出y=|x22x3|和y=a的图象,看两图象交点的个数.
①a=0或a>4;②a=4;③0三、探索研究
四、课堂练习
①判断函数y=|x1|2零点的个数.
作出y=|x1|2的图象，两个零点.
②证明函数f(x)=x+3在(0,+∞)上恰有两个零点。
提示：f()=，f(1)=1，f(3)=
，∴f()f(1)<0，f(1)f(3)<0，
∴函数f(x)=x+3在(0,+∞)上有两个零点．
以下只要用单调性定义证明f(x)=x+3在(0,1)，(1,+∞)上分别单调即可．
五、本节小结
【教学后记】函数与方程
【教学目标】
①让学生学会用二分法求方程的近似解，知道二分法是科学的数学方法。
②了解用二分法求方程的近似解特点，学会用计算器或计算机求方程的近似解，初步了解算法思想。
【重点难点】
用二分法求方程的近似解。
【教学过程】
一、情景设置
①有12个小球，质量均匀，只有一个球是比别的球重，你用天平称几次可以找出这个球，要求次数越少越好。
解：第一步，两端各放六个球，低的那一端一定有重球；
第二步，两端各放三个球，低的那一端一定有重球；
第三步，两端各放一个球，如果平衡，剩下的就是重球，否则，低的就是重球。
其实这就是一种二分法的思想。
②我们通过前面知道，函数f(x)=Inx+2x6在区间(2,3)内有零点，进一步的问题是，如何找出这个零点的近似解。
解：f(2)<0,f(3)>0,则f(2)·f(3)<0,这说明在区间内有零点x0，取区间的中点，f(2.5)·f(3)<0，x0∈(2.5,3).重复上述步骤，那么零点所在的范围会越来越小。这样，在一定的精确度下，我们可以在有限次重复相同步骤后，将所得的零点所在区间内的任意一点作为函数零点的近似值。
③什么叫二分法？见课本
④用二分法求函数零点的近似值的步骤是什么？见课本
二、教学精讲
例1．见课本90页例2
例2．借助计算机或计算器用二分法求方程Inx+x3=0的近似值（精确到0.1）
解：令f(x)=
Inx+x3,
f(2)<0,f(3)>0,取(2,3)作为初始区间，用二分法列表如下：
中点
中点函数值
区间
2.5
f(2.5)>0
(2,2.5)
2.25
f(2.25)>0
(2,2.25)
2.125
f(2.125)<0
(2.125,2.25)
2.1875
f(2.1875)<0
(2.1875,
2.25)
2.21875
f(2.21875)>0
(2.1875,
2.21875)
由于区间(2.1875,
2.21875)的两个端点的精确到0.1的近似值都是2.2，所以方程Inx+x3=0的近似值是2.2。
注：两种精确度的把握：
方程的近似解的精确度为ε，指所得到的满足|ab|<ε的解值区间(a,b)内所有值都可作为方程的近似值，这样的近似值有无穷多个；
方程的近似解精确到ε，是指所得到的解值区间(
( http: / / www.21cnjy.com )a,b)的a和b精确到ε的值都相同，且该值就是方程的惟一的近似值，但注意该值有可能不在该区间内．
三、探索研究
四、课堂练习
①见课本92页习题第4题。
②求函数f(x)=3x+在区间(0,1)内的零点（精确到0.1）.
取中点
中点函数值
区间
0.5
f(0.5)>0
(0,0.5)
0.25
f(0.25)<0
(0.25,0.5)
0.375
f(0.375)>0
(0.25,0.375)
0.3125
f(0.3125)>0
(0.25,0.3125)
由于区间(0.25,0.3125)的两个端点的精确到0.1的近似值都是0.3，所以函数f(x)=3x+在区间(0,1)内的零点是0.3。
【教学后记】函数的奇偶性
【教学目标】
(1)熟练掌握函数奇偶性的。
(2)函数的奇偶性综合应用
【重点难点】
函数的奇偶性综合应用
【教学过程】
一、复习引入
①奇偶性的定义：
②奇偶性的判定方法：
二、探索研究
问题①：已知f(x)是偶函数，且当x≥0时，f(x)=x2-2x+1则如何求f(x)的解析式？
问题②：已知f(x)是奇函数，且在(0,+∞)上是增函数，f(x)在(-∞，0)上是增函数还是减函数？
三、教学精讲
例1、已知f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)=x|x-2|,求x∈R时，f(x)的表达式？
答案：x≤0时，f(x)=
x|x+2|;
例2、判断函数f(x)=的奇偶性；答案：奇函数
例3、判断函数f(x)=
eq
\f(+x-1,
+x+1)的奇偶性.
答案：奇函数
例4、已知函数f(x)=ax2+bx+3a+b为偶函数，其定义域为[a-1,2a]，求f(x)的值域.
答案：[1,]
例5、已知函数f(x)=ax7+bx5+cx3+dx+5，其中a,b,c,d,为常数，若f(-7)=-7,求f(7)的值；答案：17
例6、已知y=f(x)是
( http: / / www.21cnjy.com )奇函数，且y=f(x)在[a,b](a>0)上是单调递增的，f(x)在[-b,-a]上的单调性如何？并证明你的结论。
四、本节小结：函数奇偶性的判断及其应用。
【教学后记】1.1.3
集合间的基本运算
【教学目标】
1.深刻理解交集与并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集,及有关性质.
2.能使用Venn图表达集合的交并关系及运算.
【重点难点】
交集与并集的概念、性质及运算
【教学过程】
一、情景设置
问题1:考察下列各个集合,你能说出集合C与集合A、B之间的关系吗
①A={1,3,5,}
B={2,4,6}
C={1,2,3,4,5,6};
②A={x|x是有理数}
B={x|x是无理数},
C={x|x是实数};
二、探索研究
1．并集的含义：
记作
；读作
；符号表示
Venn图表示：
2．交集的含义：
记作
；读作
；符号表示
Venn图表示：
三、教学精讲
例1、①A={4,5，6，8}
B={3,5，7，8}求A∩B,A∪B.
②已知A={x|-1例2、设平面内直线l1上点的集合为L1，直线l2上点的集合为L2，用集合的运算表示l1、l2的位置关系.
例3、已知集合A={1,2}，且A∪B={1,2,3}，则满足条件的集合B的个数有多少？
(其中可变化集合A或变化A∪B中的元素)
由以上例题，思考下列集合间的关系：（交集并集运算性质）
(1)A∩B_____B∩A,A∩B_____A,
A∩B_____B,A∩φ=_______，A∩A=______
(2)A∪B_____B∪A,A_____A∪B,
B______A∪B,A∪φ=______，A∪A=______
(3)A∩B=A______A
( http: / / www.21cnjy.com )B
,A∪B=A______B
( http: / / www.21cnjy.com )A.
(4)A=B_____A∩B=A∪B______A
( http: / / www.21cnjy.com )B且B
( http: / / www.21cnjy.com )A
四、课堂练习
1．课本P11练习1,2,3题
2．已知A为奇数集,B为偶数集,Z为整数集,求A∩B,A∩Z,B∩Z,A∪B,A∪Z,B∪Z
3．设A={x|x2-5x+q=0},B={x|x2-px+15=0},A∩B={3}.则P=________,q=________.
A∪B=___________（P=8,q=6,A∪B={2,3,5}）
4．A={x|-2≤x≤5}，B={x|x≤m}，若A∩B=A，则m的范围为__________。(可变化其中的等号)
五、本节小结
交集、并集的含义，表示及有关运算性质.
【教学后记】函数的概念
【教学目标】
（1）通过判断函数的相等认识的函数的整体性；
（2）进一步加深对函数概念的理解；
（3）函数定义域的求法.
【重点难点】
判断函数的相等以及函数定义域的求法.
【教学过程】
一、情景设置
1．①复习函数的概念
设A、B是__________,如果按照__
( http: / / www.21cnjy.com )______________,使对于集合A中的______
,在集合B中都有_______________和它对应,那么就称__________为从A到B的一个函数（function）．,记作：__________
.其中,x叫做___
__,x的取值范围A叫做函数的________（domain）;与x的值相对应的y的值叫做________,函数值的集合{f(x)|xA}叫做函数的______（range）.
②集合B与函数f:A→B的值域之间的关系？.
③函数的三要素:_________、__________、_________.
2．我们学习了函数的概念，y=x与y=是同一个函数吗？
3．分别写出函数y=x+1和函数y=t+1的定义域和对应关系，并比较异同.
函数y=x+1和函数y=t+1的值域相同吗？
( http: / / www.21cnjy.com )由此可见，两个函数的定义域和对应关系分别相同，值域相同吗？
二、探索研究
你能得出两个函数相等的条件吗？
三、教学精讲
例1．下列函数中哪个与函数y=x相等？
①y=()2;
②y=;
③y=;
④y=.
例2．判断下列函数f(x)与g(x)是否表示同一个函数，说明理由.
（1）f(x)=(x－1)0；g(x)=1;
（2）f(x)=；g(x)=-;
（3）f(x)=
x2；g(x)=
(x+1)2;
（4）f(x)=|x|；g(x)=
;
例3．求下列函数的定义域
（1）f(x)=
（2）f(x)=
（3）f(x)=
eq
\f((x+1)0,)
（4）f(x)=+-1
例4.（1）已知y=f(x)的定义域[-1,1],求下列函数的定义域
①
y=f(x-3)
②y=f()
答案：①[2,4]，②
(-∞,-1)∪[1,+∞]
（2）若函数y=f(2x+3)的定义域是[-4,5],求y=f(x)以及y=f(2x-3)的定义域
答案:
[-5,13)
[-1,8)
四、课堂练习
1、课本P19练习1、2
2、函数y=f(x)的图象与直线x=a的交点个数为___________。(最多1个)
五、本节小结
函数相等的判断,函数定义域的求法以及一些简单复合函数的定义域.
【教学后记】函数模型及其应用
【教学目标】
函数模型及其进一步的应用
【重点难点】
恰当选择数学模型解决实际问题
【教学过程】
一、情景设置
二、教学精讲
例1．课本习题3．2A组第4题
例2．某厂生产一种机器的固定成本(即
( http: / / www.21cnjy.com )固定投入)为0．5万元，但每生产一台，需要增加可变成本(即另增加投入)0．25万元．市场对此产品的年需求量为500台，销售的收入函数为R(x)=5x(0≤x≤5)(单位：万元)，其中x是产品售出的数量(单位：百台)．
把利润表示为年产量的函数；
年产量是多少时，工厂所得利润最大？
年产量是多少时，工厂才不亏本？
解：(1)利润
y=R(x)C(x)(固定成本+可变成本)=
eq
\b\lc\{(\a\al\vs
(0.5+4.75x
0≤x≤5,120.25x
x>5))
(2)若0≤x≤5，则y=0.5+4.75x=(x4.75)2+4.7520.5，
∴当x=5时，y有最大值10.75；
若x>5，则y=120.25x是减函数，∴当x=6时，y有最大值10.50．
综上可得，年产量为500台时，工厂所得利润最大．
当0≤x≤5时，由y≥0，即0.5+4.75x≥0，解得0当x>5时，y≥0，即120.25x≥0，解得5综上可得，当年产量x满足1≤x≤48，x∈Z时，工厂不亏本．
例3．某医药研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量使用，据检测，服药后每毫升血液中的含药量y与时间t之间近似值满足如图所示曲线．
写出服药后y与t之间的函数关系；
据测定，每毫升血液中的含药量不少于4微克时
治疗疾病有效，假若某病人一天中第一次服药时间为
7:00，第二次应在什么时间服药效果最佳？
解：由题意得，当0≤t<0.5时，y=6；
当0.5≤t≤8时，函数图象是直线，则可设y=kx+b(k≠0)．
由图象得，解得
eq
\b\lc\{(\a\al\vs
(k=,b=))，即此时y=t+．
综上所得，y与t之间的函数关系为y=
eq
\b\lc\{(\a\al\vs
(6
0≤t<0.5,t+
0.5≤t≤8))．
(2)设在第一次服药t1小时后第二次服药，则t1+=4，解得t1=3，即第二次服药应在10:00．
三、探索研究
四、课堂练习
1．某商场计划投入一笔资金采购一批
( http: / / www.21cnjy.com )紧俏商品，经过市场调查发现，如果月初出售，可获利15%，并可用本和利再投资其它商品，到月末又可获利10%；如果月末出售，可获利30%，但要付出仓储费用700元，请根据商场情况，如何购销获利较多？
解：设商场投资x元，在月
( http: / / www.21cnjy.com )初出售，到月末可获y1元，在月末出售，可获利y2元，则
y1=15%+10%(x+15%x)=0.265x，y2=0.3x700．
当x>20000时，y2>y1；当x=20000时，y2y1；当x<20000时，y2∴当投资小于20000时，月初出售；当投资等于20000时，月初、月末出售均可；当投资大于20000时，月末出售．
2．光线通过一块玻璃，其强度要损失10%，把几块这样的玻璃重叠起来，设光线原来的强度为k，通过
x块玻璃后强度为y．
(1)写出y关于x的函数关系式；
(2)
通过
多少块玻璃后，光线减弱到原来的以下？(lg3≈0.4771)
解：(1)y=0.9xk(x∈N
)
(2)由题意：0.9xk<，∴0.9x<，两边取对数，xlg0.9
<0，
∴x>
eq
\f(lg,
lg0.9)=≈10.4，∴xmin=11．∴通过
11块玻璃后光线强度减弱到原来的以下．
小结：建立数学模型的要领可概括为：
收集数据，画图提出假设；
依据图表，理顺数量关系；
抓住关键，建立函数模型；
精确计算，求解数学问题；
回到实际，检验问题结果．
o
y
t
8
0.5
6
(小时)
(微克)对数与对数运算
【教学目标】
对数的运算性质
【重点难点】
准确应用对数的运算性质及对数恒等式.
【教学过程】
一、情景设置
问题：
①我们知道，对数运算可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数运算性质，得出相应的对数运算性质吗？
②如我们知道am=M,
an=N,
aman=
am+n,那m+n如何表示,能用对数式运算吗？
③在上述②的条件下，类比指数运算性质能得出其他对数运算性质吗？
二、探索研究
(1)推导：①设am=M,
an=N,由于aman=
am+n，由对数的定义得到:
log
( http: / / www.21cnjy.com )M=m,
log
( http: / / www.21cnjy.com )N=n,
log
( http: / / www.21cnjy.com )(MN)=log
( http: / / www.21cnjy.com )M+log
( http: / / www.21cnjy.com )N
仿照上述过程，由am÷an=
am-n和(am)n=amn得出对数其他运算性质
②
③
得出对数的运算性质:如果
( http: / / www.21cnjy.com )a>0,a≠1,M>0,N>0,
那么
①log
( http: / / www.21cnjy.com )(MN)=log
( http: / / www.21cnjy.com )M+log
( http: / / www.21cnjy.com )N
②log
( http: / / www.21cnjy.com )
=log
( http: / / www.21cnjy.com )M
–log
( http: / / www.21cnjy.com )N
③log
( http: / / www.21cnjy.com )M
( http: / / www.21cnjy.com )=nlog
( http: / / www.21cnjy.com )M
(2)你能否用最简练的语言描述上述运算性质？
①
②
③
(3)
上述运算性质中的字母的取值有什么限制吗？
三、教学精讲
例1.用log
( http: / / www.21cnjy.com )x,log
( http: / / www.21cnjy.com )y,
log
( http: / / www.21cnjy.com )z表示下列各式:
①log
( http: / / www.21cnjy.com )
②log
( http: / / www.21cnjy.com )
eq
\f(x2
,)
③log
( http: / / www.21cnjy.com )
eq
\f(,y2z)
④log
( http: / / www.21cnjy.com )(x
eq
\r(4,)
)
例2.求下列各式的值:
①2log510+log50.25
②log2(47
( http: / / www.21cnjy.com )25)
③lg
-
lg+lg
四、课堂练习
1.求下列各式的值:
①5
( http: / / www.21cnjy.com )
②2log
( http: / / www.21cnjy.com )2-log
( http: / / www.21cnjy.com )+log
( http: / / www.21cnjy.com )8
-5
( http: / / www.21cnjy.com )
2.求解下列各题:
①若lgm=b-lgn,则m用n,b表示为____________.
②已知log
( http: / / www.21cnjy.com )9=a,log
( http: / / www.21cnjy.com )5=b.用a,b表示log
( http: / / www.21cnjy.com )75.
五、本节小结
熟练掌握对数的运算性质及初步应用
【教学后记】函数的概念
【教学目标】
（1）通过丰富实例，进一步体会函数是描述变
( http: / / www.21cnjy.com )量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；
（2）了解构成函数的要素；
【重点难点】
重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数；
难点：符号“y=f(x)”的含义.
【教学过程】
一、情景设置，引入课题
1、复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；
2、阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：
（1）炮弹的射高与时间的变化关系问题；
（2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；
（3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题
备用实例：
我国2003年4月份非典疫情统计：
日
期
2
3
4
5
6
7
8
9
10
新增确诊病例数
106
105
89
103
113
126
98
152
101
二、探索研究
问题1：对实例（1），你能得
( http: / / www.21cnjy.com )出炮弹飞行1s,5s,10s,20s时距地面多高吗？其中t的变化范围是多少？
问题2：对实例（2），你能从图中可以看
( http: / / www.21cnjy.com )出哪一年臭氧空洞面积最大？哪些年臭氧空洞面积大约为1500万平方千米？其中t的取值范围是什么？
问题3：对实例（3），恩格尔系数与时间之间的
( http: / / www.21cnjy.com )关系是否和前两个中的两个变量之间的关系相似？如何用集合与对应的语言来描述这个关系？
问题4：分析、归纳以上三个实例，变量之间的关系有什么共同点？
共同特点是
三、教学精讲
1．函数的定义：
定义域:
值域：
值域与函数定义中集合B的关系如何？
注意：
①定义中涉及两个集合和一个对应关系。
②关键字：集合A中的“任一”；集合B中的“有唯一”，要理解其含义。
③函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，是一个数，而不是f乘x．
④“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；
例如
2．初中学过哪些函数？它们的定义域、值域对应法则分别是什么？
3．区间的概念：(本质是一个集合)
①开区间
，数轴表示
②闭区间
，数轴表示
③半开半闭区间
，数轴表示
④无穷区间以及数轴表示：
注：①“∞”是一个符号，不是一个具体的数。
②以“+∞”和“-∞”为端点的区间，这一端必须用圆括号。
例1．已知函数f(x)=x2+2,求f(-2),f(-a),f(a+1),
f(f(x)).
答案:f(-2)=6
f(-a)=a2+2
f(a+1)=a2+2a+3
f(f(x))=x4+4x2+6
例2．课本P17例1
四、课堂练习
课本P19练习1、2
五、本节小结
1、从具体实例引入了函数的的概念，定义域，值域。
2、区间的概念及其表示。
【教学后记】
A
1
0
-1
0
1
g：x→x2
B
A
1
2
3
3
5
7
9
f：x→2x+1
B函数的表示法
【教学目标】
掌握函数的三种表示方法,通过函数的各种表示及其相互转化来加强对函数概念的理解.
【重点难点】
重点：函数的三种表示方法．
难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数.
【教学过程】
一、情景设置
我们前面已经学习了函数的定义，函数的定义域的求法，两个函数是否相同的判定方法，那么函数的表示方法常用的有哪些呢？
、
、
。
二、探索研究
1．结合1.2.1的三个实例，讨论三种表示方法的定义:
解析法:
图像法：
列表法：
2．某种笔记本的单价是5元，买x(x∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y元．试用三种表示法表示函数y=f(x).
思考：比较三种表示法，它们各自的特点是什么
解析法的特点:
图像法的特点：
列表法的特点：
三、教学精讲
三种表示法应该注意什么？
①函数图象既可以连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等；
②解析法：必须注明函数的定义域，否则使函数解析式有意义的自变量的取值范围是函数的定义域；不是所有的函数都能用解析法表示。
③图像法：根据实际情景来决定是否连线；
④列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征。
例1．下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级及班级平均分表：
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
第6次
王
伟
98
87
91
92
88
95
张
城
90
76
88
75
86
80
赵
磊
68
65
73
72
75
82
班平均分
88.2
78.3
85.4
80.3
75.7
82.6
请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析．
注意：本例为了研究学生的学习情况，将离散的点用虚线连接，这样更便于研究成绩的变化特点。
例2.已知f(x)为二次函数,且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求f(x)的解析式
答案:①
f(x)=x2-2x-1
例3.①已知f(+1)=x+2,求f(x)的解析式.
②已知f()=+,求f(x)的解析式
答案:①f(x)=x2-1(x≥1)
②f(x)=x2-x+1(x≠1)
四、课堂练习
1.已知f(x)是一次函数,且f[f(x)]=4x-1,求f(x)
答案:f(x)=x-
或f(x)=-2x+1
2.周长为l,的铁丝弯成下部为矩形，
( http: / / www.21cnjy.com )上部为半圆的框架（如图），若矩形底边长为2x，求此框架围城图形的面积y关于的函数表达式，并写出它的定义域.
五、本节小结
函数的三种表示方法．
【教学后记】对数函数及其性质
【教学目标】
1．进一步理解对数函数的图象和性质；
2．熟练应用对数函数的图象和性质，解决一些综合问题。
【重点难点】
教学重点：对数函数的图象和性质．
教学难点：对数函数的性质的综合运用．
【教学过程】
一、情景设置
1．画出函数
( http: / / www.21cnjy.com )的图象。
回答下列问题．
（1）函数
( http: / / www.21cnjy.com )与
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )且
( http: / / www.21cnjy.com )有什么关系？图象之间又有什么特殊的关系？
（2）以
( http: / / www.21cnjy.com )的图象为基础，在同一坐标系中画出
( http: / / www.21cnjy.com )的图象．
（3）已知函数
( http: / / www.21cnjy.com )
的图象，则底数之间的关系：_______________________________.
2.根据对数函数的图象和性质填空．
(1)已知函数
( http: / / www.21cnjy.com )，则当
( http: / / www.21cnjy.com )时，
( http: / / www.21cnjy.com )
；当
( http: / / www.21cnjy.com )时，
( http: / / www.21cnjy.com )
；
当
( http: / / www.21cnjy.com )时，
( http: / / www.21cnjy.com )
；当
( http: / / www.21cnjy.com )时，
( http: / / www.21cnjy.com )
．
(2)已知函数
( http: / / www.21cnjy.com )，则当
( http: / / www.21cnjy.com )时，
( http: / / www.21cnjy.com )
；当
( http: / / www.21cnjy.com )时，
( http: / / www.21cnjy.com )
；当
( http: / / www.21cnjy.com )时，
( http: / / www.21cnjy.com )
；当
( http: / / www.21cnjy.com )时，
( http: / / www.21cnjy.com )
；当
( http: / / www.21cnjy.com )时，
( http: / / www.21cnjy.com )
．
二、教学精讲
例1.溶液酸碱度的测量。
溶液酸碱度是通过PH刻画的。PH的计算公式为PH=-lg[H]，其中[H]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升。
（1）根据对数函数性质及上述PH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；
（2）已知纯净水中氢离子的浓度为[H]=10摩尔/升，计算纯净水的PH。
答案：见课本72页例9
例2．函数
( http: / / www.21cnjy.com )在[2，4]上的最大值比最小值大1，求
( http: / / www.21cnjy.com )的值.
例3．求函数y=loga(-x2+8x-7)的定义域，值域及单调区间．
定义域：1值域:(-∞,lg9]
四．课堂练习
（1）求函数y=
( http: / / www.21cnjy.com )(6+x-2x2)的单调增区间。
（2）求函数
( http: / / www.21cnjy.com )的最小值．0
五、本节小结
【教学后记】
y=
eq
log\s\do3(a)\s\do5(1)x
y=
eq
log\s\do3(a)\s\do5(2)x
y=
eq
log\s\do3(a)\s\do5(3)x
y=
eq
log\s\do3(a)\s\do5(4)x第三章
函数的应用
【知识建构】
【教学目标】
理解方程的根与函数零点的关系，会用二分法求函数零点；
巩固常见函数模型的应用．
【教学过程】
一、情景设置
二、教学精讲
已知m∈R，设P：x1和
( http: / / www.21cnjy.com )x2是方程x2ax2=0的两个根，不等式|m5|≤|x1x2|对任意实数a∈[1,2]恒成立；Q：函数f(x)=3x2+2mx+m+有两个不同的零点，求使P和Q同时成立的实数m的取值范围．
解：由题意知x1+x2=a，x1x2=2，∴|
x1x2|==．
当a∈[1,2]时，的最小值为3，∴只需|m5|≤3，即2≤m≤8．
由已知得Q中，f(x)=3x2+2mx+m+的判别式△=4m212(m+)>0，∴m<1或m>4．
综上，要使P和Q同时成立，只需，解得m∈(4,8]
已知函数f(x)=3x+．
判断函数零点的个数；
找出零点所在区间．
解：(1)在同一坐标系中分别画出g(x)=3x，h(x)=的图象，由图象知，f(x)=3x+只有一个零点．
因为f(0)=1，f(1)=2.5，∴零点x∈(0,1)．
设函数f(x)=x3+3x5，其图象在(∞,+∞)上是连续不断的．
求值：f(0)=____，f(1)=____，f(2)=____，f(3)=____，所以f(x)在区间_______内存在零点x0；
用二分法求方程f(x)=0的近似解(精确度0.1)．
解：(1)f(0)=5，f(1)=1，f(2)=9，f(3)=31．
x0≈1.125(不唯一)．
某自来水厂的有400吨水，水厂
( http: / / www.21cnjy.com )每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向
居民小区不间断供水，t小时内供水总量为120吨，其中0≤t≤24．
从供水开始到第几小时，蓄水池中的存水量最少？最小水量是多少？
若蓄水池中的水量少于80吨时，
( http: / / www.21cnjy.com )就全出现供水紧张现象，请问，在一天24小时内，有几小时出现供水紧张现象？解：设供水t小时，水池中存水y吨，则y=400+60t120=60()2+40(0≤t≤24)，当t=6时，ymax=40吨，故从供水开始到第6小时，蓄水池中的存水量最少，？最小存水为40吨．
依条件知
eq
\b\lc\{(\a\al\vs
(60()2+40<80,
0≤t≤24))，解得故一天24小时内有8小时出现供水紧张．
三、探索研究
四、课堂练习
若函数f(x)满足f(3x)=f(3+x)，且函数f(x)有6个零点，求所有零点的和．
16
2．已知图象连续不断的函数y=f(
( http: / / www.21cnjy.com )x)在区间(a,b)(ba=0.1)上有唯一零点，如果用“二分法”求这个零点(精确度0.0001)，的近似值，那么将区间(a,b)等分的次数至少是_______．
10
【教学后记】
函数模型及其应用
函数与方程
函数的零点
函数的应用
定义
求法
方程f(x)=0的根叫函数f(x)的零点
二分法
每次一分为二逐步逼近的方法
解方程f(x)=0
几种不同增长的函数模型
y=logax(a>1)
越来越慢
y=xn(n>0)
较快
y=ax(a>1)
爆炸式
y=kx(k>0)
稳定
函数模型的应用举例
实际问题的函数刻划
用函数的观点看实际问题的
用函数模型解决问题
认定函数关系,通过研究函数性质解决问题的观点看实际问题的
函数建模案例
用数学思想方法、知识解决实际问题的过程对数与对数运算
【教学目标】
1．对数的运算性质进一步应用
2．换底公式的应用
【重点难点】
换底公式的应用
【教学过程】
一、情景设置
1．复习对数的运算性质以及公式应用需要注意的问题。
2．引入：利用常用对数表、自然对数表能求出任意正数的常用对数或自然对数，如何求其它底的对数呢？
二、探索研究
你能根据对数的定义推导出下面的换底公式吗？
log
( http: / / www.21cnjy.com )b
=
(a>0,且a≠1;c>0,且c≠1；b>0)
三、教学精讲
推导过程：
推论:①log
( http: / / www.21cnjy.com )b=
②log
( http: / / www.21cnjy.com )b
( http: / / www.21cnjy.com )=log
( http: / / www.21cnjy.com )b
③log
( http: / / www.21cnjy.com )b
( http: / / www.21cnjy.com )
=
log
( http: / / www.21cnjy.com )b
例1．①log89
log2732的值。（可以换以10为底，以2为底，以3为底）
②已知log23=a,
log37=b,用a,b表示log4256。
例2．计算:
①lg25+lg8+lg5lg20+
( http: / / www.21cnjy.com )lg22
②(log2125+log425+
log85)(log1258+log254+log52).
例3．课本P66例5例6
四、课堂练习
1.log49343=
.
2.在b=log(a-2)3中，实数a的取值范围是
3.已知log189=a,
18b=5，,用a,b表示log3645。
4.已知方程lg2x+(lg2+lg3)lgx+lg2lg3
=0有两个不等的实数根x1、x2,求x1x2的值.
五、本节小结
换底公式及推论的应用、对数的运算性质进一步应用
【教学后记】单调性与最大（小）值
【教学目标】
1.理解增函数、减函数的概念;
2.掌握利用定义证明和判断函数单调性的方法.
【重点难点】
1.增函数、减函数的概念
2.利用定义证明和判断函数单调性的方法
【教学过程】
一、情境设置
问题1：由课本P27图1.3-1，你能说出函数图像有什么特点？
问题2:作出函数①f(x)=x
②y=x2的图象
二、探索研究
1．观察图象①函数f(x)=x的图像由左至右是上升的；
2．观察图象②函数y=x2的图象
3．问题：从上面的观察分析，能得出什么结论？
三、教学精讲
(1)增(减)函数的概念:
设函数f(x)的定义域为I：
如果对于I内某个区间_______________的值x1,x2，当x1如果函数y=f(x)在某个
( http: / / www.21cnjy.com )区间上是_____________,那么就说函数y=f(x)在这一区间上具有________,这一区间叫做y=f(x)的___________.
(2)概念的理解
①函数的单调性是对于函数______内的某个子区间而言的，且在定义域的不同区间上，其单调性也不一定一样。
②函数的单调性反映的是函数在某区间上的函数值的变化趋势，所以在某一点处不讨论函数的单调性。
③定义中的x1,x2有三个特征:
a.某区间内_____的两个自变量值
b.有大小x1c.同属一个单调区间
④单调区间的写法:若区间的端点
( http: / / www.21cnjy.com )在定义域内,单调区间可写成__________,也可写成________,若函数在区间的端点处无定义,单调区间必须写成_________.
⑤若干个单调性相同的单调区间不能进行并集，它们之间用逗号隔开即可。
例1．课本P29例1
例2．课本P29例2
探究：由例2分析，反比例函数y=(k≠0)的单调性如何？
问：y=的单调减区间为(-∞,0)∪(0,+∞),这样表示对吗？
总结归纳证明函数单调性的一般步骤：
例3．(1)画出已知函数f(x)=-x2+2x+3的图像；
(2)证明函数f(x)=-x2+2x+3在区间上(-∞,1]上是增函数；
(3)当函数在区间(-∞,m]上是增函数时，求实数m的取值范围。
四、课堂练习
课本P32.练习1、3、4
五、本节小结
1.增函数、减函数的概念及对概念的理解.
2.利用定义证明函数单调性的步骤.
【教学后记】指数与指数幂的运算
【教学目标】
1.理解分数指数幂的含义
2.掌握有理指数幂的运算性质
3.会对根式、分数指数幂进行互化
4.了解无理指数幂的意义
【重点难点】
分数指数幂的概念和分数指数的运算性质
【教学过程】
一、情景设置
课题引入：以课本P48页问题2引入。
观察=
=a2=
；==a3=
；=
=a5=
总结规律
当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成
的形式．
二、探索研究
=
=
；=
=
(a>0)
当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式也可以写成
的形式．
三、教学精讲
1．分数指数幂的含义
（1）()n=am,由n次方根的定义，即可以看成am的
．
规定正数的正分数指数幂的意义是
(a>0,m,n∈N
,且n>1)．负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，规定=
(a>0,m,n∈N
,且n>1)．在这样的规定下，根式与分数指数幂表示相同的量，只是形式不同而已．
0的正分数指数幂等于
，0
0的负分数指数幂
．
（2）规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从
推广到
．
2．整数指数幂的运算性质，对有理指数幂也同样适用，即对于任意有理数r,s,均有下面的运算性质：
①
②
③
3.我们将指数的取值范围从整数推广到了有理数，那么，当指数是无理数时，如
5，又如何理解呢？
例1．求值：，
，()－3,
(
eq
\s\up5(-
\f(3,4))
例2．用分数指数幂的形式表示下列各式（a>0）:
①·
②
eq
\r(a
eq
\r(a))
③a3·
例3．求下列各式的值：
①
eq
\r(4,81
eq
\r())
②2
③
eq
\f(a2,)(a>0)
答案：3
;
6;
四、课堂练习
1．课本P59习题4
2．计算下列各式
①(2)0.5+0.1-2+
eq
(2)\s\up5(-
\f(2,3))
-30+
答案：100
②
eq
\r(3,a)÷
eq
\r()
答案：1
五、本节小结
①分数指数幂不可理解为个a相乘，它是根式的一种新的写法．
②一般进行指数幂运算时，化根式为分
( http: / / www.21cnjy.com )数指数，化小数为分数进行运算．对于计算结果，如果没有特殊要求，分数指数幂和根式的形式都可以．但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能同时含有分母和负指数．
【教学后记】函数模型及其应用
【教学目标】
①培养学生由实际问题转化为数学问题的建模能力，即根据实际问题进行信息综合列出函数解析式。
②会利用函数图象性质对函数解析式进行处理得出数学结论，并根据数学结论解决实际问题。
【重点难点】
根据实际问题分析建立数学模型和根据实际问题拟合判断数学模型，并根据数学模型解决实际问题。
【教学过程】
一、情景设置
二、教学精讲
例1．①我市有甲乙两家乒乓球队俱乐部，两
( http: / / www.21cnjy.com )家设备和服务都好，但收费方式不同，甲家每张球台每小时5元；乙家接月计算，一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元．小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时．
设在甲家租一张球台开展活动x小时的
( http: / / www.21cnjy.com )收费为f(x)元(15≤x≤40)，在乙家租一张球台开展活动x小时的收费为g(x)元(15≤x≤40)，试求f(x)和g(x)．
②A、B两城相距100km，在两地
( http: / / www.21cnjy.com )之间距A城xkm处D地建一核电站给A、B两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得少于10km，已知供电费与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λ=0.25．若A城供电量为20亿度/月，B城为10亿度/月，把月供电总费用y表示成x的函数，并求定义域．
③分析以上实例属于哪种函数模型．
答案：
①f(x)=5x(15≤x≤40)
g(x)=
②y=5x2+(100x)2(10≤x≤90)
③分别属于一次函数模型，二次函数模型，分段函数模型。
例2．课本例6
例3．课本习题3．2A组6题．
三、探索研究
四、课堂练习
课本106页练习第2题
东方旅社有100张普通客床，
( http: / / www.21cnjy.com )若每床每夜收租费10元时，客床可以全部租出；若每床每夜收费提高2元，便减少10张客床租出；若再提高2元，便再减少10张客床租出．依此情况变化下去，为了投资少而获租金最多，每床每夜应提高租金多少元？
解：设每床每夜应提高租金x元，则可租出(10010x)张客床，设可获利润y元，依题意有：
y=(10+2x)(10010x)=20(x)2+1125．
∵x∈N，x=2或3时，ymax=1120
当x=2时，需租出床80张；当x=3时，需租出床70张，∴x=3时的投资小于x=2时的投资．
小结：函数应用题的解法
阅读、审题：要做到简缩问题，删掉次要语句，深入理解关键字句，同时，最好用表格或图形处理数据，便于寻找数量关系；
建模：将问题简单化、符号化，尽量借鉴标准形式，建立数学关系式；
合理求解纯数学问题；
解释并回答数学问题．
【教学后记】函数与方程
【教学目标】
进一步巩固有关方程的根与函数的零点的知识，总结求方程的根与函数的零点的方法，探寻其中的规律。
【重点难点】
较复杂的函数零点个数的研究。
【教学过程】
一、情景设置
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个也就是方程f(x)=0的根。
二、教学精讲
例1．已知函数f(x)=x33x+4,
①证明函数y=f(x)在(1,+∞)上为增函数；
②证明方程f(x)=0没有大于1的根。
①用定义；②f(1)=2由①知x>1时f(x)>2>0
例2．若关于x的方程3x25x+a=0的一根在(2,0)内，另一个根在(1,3)内，求a的取值范围。
解：画出f(x)=
3x25x+a的图像，由题意得不等式组：12另解：画出f(x)=
3x25x和f(x)=a的图象使它们的交点一个在(2,0)内，另一个根在(1,3)内，由图像得12例3．已知函数f(x)=3x+
，
①判断函数零点的个数；
②找出零点所在区间．
略解：①分别作出y=3x与y=的图象，观察知，两图象有且只有一个交点．
②零点所在区间(0,1)
例4．已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d有三个零点，分别是0、1、2，如图，
求证：b<0。
方法一：把零点代入，用表示。
f(x)=x(x1)(x2),当x<0时，
f(x)<0所以b<0
方法二：∵f(0)=f(1)=f(2)=0,∴f(x)=ax(x1)(x2).
当x>2时,f(x)>0所以a>0.
比较同次项
系数得b=3a,∴b<0.
三、探索研究
四、课堂练习
①函数y=ax22bx的一个零点为1，求函数y=bx2ax的零点．0、2.
作出y=|x1|2的图象，两个零点.
②若函数f(x)=2mx+4在[2,1]上存在零点，则实数m的取值范围是（B
）．
A．[,4]
B．(∞,2]∪[1,+∞)
C．[1,2]
D．(2,1)
③若方程ax2+3x+4a=0的根都小于1，求实数a的取值范围。
讨论a=0,a≠0.方法一根的分布；方法二韦达定理。0≤a≤.
提示：f()=，f(1)=1，f(3)=
，∴f()f(1)<0，f(1)f(3)<0，
∴函数f(x)=x+3在(0,+∞)上有两个零点．
以下只要用单调性定义证明f(x)=x+3在(0,1)，(1,+∞)上分别单调即可．
五、本节小结
【教学后记】
o
y
x
1
2
1
2
1
1函数模型及其应用
【教学目标】
①借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异。
②恰当运用函数的三种表示方法（解析式、表格、图象）并借助信息技术解决一些实际问题。
【重点难点】
重点：认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同。
难点：应用函数模型解决一些实际问题。
【教学过程】
一、情景设置
①一张纸的厚度大约为0.01cm，一块砖
( http: / / www.21cnjy.com )的厚度大约为10cm，请同学们计算将一张纸对折n次的厚度和n块砖的厚度，列出函数关系式，并计算n=20时它们的厚度。你的直觉与结果一致吗？
解：纸对折n次的厚度：f(n)=0.01·2n(cm)，n块砖的厚度：g(n)=10n(cm),f(20)≈105cm,g(20)=2m.
②在同一坐标系中作出y=log2x,y=2x,y=
x2的图象。
③请在图象上分别标出使不等式log2x<2x<
x2和log2x<
x2<2x成立的自变量的取值范围。
(2,4)
和(0,2)∪(4,+∞).
④由以上问题你能得出怎样结论？
y=2x的图象与y=
x2的图象有两个交点(2,4)和(4,16)，这表明2x与x2在自变量不同的区间内有不同的大小关系，有时2x<
x2，有时x2<2x。但是，当自变量x越来越大时，可以看到，y=2x的图象就像与x轴垂直一样，2x的值快速增长，x2比起2x来，几乎有些微不足道。
⑤你能得出更一般的结论吗？
见课本101页第1行至第12行．
二、教学精讲
例1．见课本104页练习第1题。
例2．见课本97页例2。
三、探索研究
四、课堂练习
（1）某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象如图所示，假设其关系为指数函数，并给出下列说法：
①此指数函数的底数为2；
②在第5个月时，野生水葫芦的面积就会超过30cm2;
③野生水葫芦从4cm2蔓延到12cm2只需1.5个月；
④设野生水葫芦蔓延到2m2、3m2、6m2所需的时间分别为t1、t2、t3，则有t1+t2=t3；
⑤野生水葫芦在第1期到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2到第4个月之间蔓延的平均速度。
哪些说法是正确的？
解：①说法正确。∵关系为指数函数
∴可设y=ax(a>0,a≠1).∴a1=2∴a=2
②说法正确∵25=32>30
③∵4=2x,x=2;
12=2x,x=log212≈3.6
3.62>1.5
∴说法不正确
④∵t1=1,t2=log23,t3=log26∴说法正确
⑤∵指数函数增加速度越来越快
∴说法不正确
(2)某种计算机病毒是通过电子邮
( http: / / www.21cnjy.com )件进行传播的，如果某台计算机感染上这种病毒，那么它会在下一轮病毒发作时传播一次病毒，并感染其它20台计算机．现有10台计算机被第一轮病毒感染，问被第5轮病毒感染的计算机有多少台？
10204
=160万台
x
1
2
1
o
4
3
16
8
4
2
面积/m2
时间/月
y函数的奇偶性
【教学目标】
（1）理解函数的奇偶性及其几何意义；
（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；
（3）学会判断函数的奇偶性．
【重点难点】
重点：函数的奇偶性及其几何意义．
难点：判断函数的奇偶性的方法。
【教学过程】
一、情境设置
问题:观察下列函数的图象，思考并讨论以下问题：
(1)这两个函数图象有什么共同的特征吗？
(2)相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的？
二、探索研究
问题①：结合以上两个函数的图像特征，如
( http: / / www.21cnjy.com )何利用函数的解析式来描述偶函数的定义
问题②：偶函数的图像有什么特征？
问题③：函数f(x)=x2,x∈[-1,2]是偶函数吗？
问题④：偶函数的定义域有什么特征？
问题⑤：观察函数f(x)=x和f(x)=的图像，类比偶函数的推导过程，给出奇函数的定义和性质？
三、教学精讲
奇(偶)函数性质：
①图像对称性
②整体性
③定义域对称性
例1．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)=x4;
(2)f(x)=x5;
(3)f(x)=x+;
(4)f(x)=;
(5)f(x)=
(6)f(x)=+;
归纳：判断函数的奇偶性的方法：
例2．在下列图形中，只画出了函数图象的一半，请你画出它的另一半，并说出画法依据。
y=x－1
y=x－3
y=x2+1
y=-x4
例3．若f(x)的定义域关于
( http: / / www.21cnjy.com )原点对称，试判断函数F(x)=[
f(x)+
f(-x)]及G(x)=[
f(x)-
f(-x)]的奇偶性。（这个例题说明了什么？）
四、课堂练习
课本P36练习1、2
五、本节小结
函数的奇偶性及判断函数的奇偶性的方法。
【教学后记】
y
x
x
y
-1
0
1
-1
0
1对数与对数运算
【教学目标】
1.理解对数的概念．
2.能正确进行指数式与对数式的互化。
【重点难点】
指数式与对数式的关系
【教学过程】
一、情景设置
问题：截止到1999年底，我国人口约13亿。如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么经过多少年以后人口数可达到18亿，20亿，30亿？
二、探索研究
①=1.01x,
=1.01x,
=1.01x,在这几个式子中x分别等于多少？
②你能否给出一个一般性的结论？
三、教学精讲
1.对数的定义:
①如果a(a>0,a≠1)的b次幂等于N，即__________，那么b叫做以a为底N的对数
（Logarithm）.记作____________.其中a叫做_____________,N叫做___________.
根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：当a>0,a≠1时，ax=N
( http: / / www.21cnjy.com )x=
logaN
②对数与指数幂的关系
a
b
N
运算
指数式
ab=N
由a,b求N(幂)
对数式
logaN=b
由a,N,求b(指数)
③说明:10零和负数没有对数,但对数可以是任意实数.
20对数式中各字母的范围:a>0且a≠1;N>0;b∈R.
2.对数的性质(对数恒等式):
①loga1=________
②logaa=_______
③alogaN=＿＿＿
④logaab=________
3.对数的两种常见形式:
①常用对数:__________________
_____.
②自然对数_____________________
.
例1.把下列指数式写成对数式：
①3x=81
②10x=25
③2-6=
④()m=5.73
例2.把下列对数式写成指数式：
①log
( http: / / www.21cnjy.com )8=-3
( http: / / www.21cnjy.com )
②lg2=0.3010
③ln10=2.303
④log2128=7
例3．①求下列各式中x的值：
log64x=-
；logx8=6；lg
100=x；-ln
e2=x；log2(log5x)=1；log3(lg
x)=0.
四、课堂练习
1.把下列指数式写成对数式：
①3n=27
②()x=
③
( http: / / www.21cnjy.com )=
eq
\f(1,)
④10-2=
2.把下列对数式写成指数式：
( http: / / www.21cnjy.com )
①log87=x
②lg0.01=-2
③log
( http: / / www.21cnjy.com )16=-4
④ln5=y
3.求下列式中的x的值:
①x=log
( http: / / www.21cnjy.com )
②log4x=-
③logx8=-3
④log3=1⑤log
( http: / / www.21cnjy.com )(3+2)=x
⑥5
( http: / / www.21cnjy.com )-1=x
五、本节小结
对数的定义、指数式与对数式的关系
【教学后记】