江苏省南通市高中数学恒等变换与伸压变换教案新人教A版选修4_2

恒等变换与伸压变换
教学目标
1．理解可以用矩阵来表示平面中常见的几何变换．
2．掌握恒等、伸压变换的几何意义及其矩阵表示．
教学重点、难点
恒等、伸压变换的几何意义及其矩阵表示
教学过程：
一、问题情境
（一）问题：1.给定一个矩阵,就确定了一个变换,它的作用是将平
面上的一个点(向量)变换成另外一个点(向量).
反
过来,平面中常见变换是否都可以用矩阵来表示呢
如果可以,又该怎样表示呢
如：1.已知△ABC,
A(2,0),
B(-1,0),
C(0,2),
它们在变换T作用下保
持位置不变,
能否用矩阵M来表示这一变换
2．将图中所示的四边形ABCD保持位置不变，
能否用矩阵M来表示？
（二）由矩阵M=　　　　　确定的变换TM称为恒等变换，这时称矩阵M为恒等变换矩阵
或单位矩阵，二阶单位矩阵一般记为E.平面是任何一点（向量）或图形，在恒等变换之下
都把自己变为自己.
（三）由矩阵M=或M=确定的变换TM称为（垂直）　　　变换，
这时称矩阵M=或M=　　　　变换矩阵．
当M=时确定的变换将平面图形作沿x轴方向伸长或压缩,当时伸长,当时压缩.变换TM确定的变换不是简单地把平面上的点(向量)
沿x轴方向“向下压”或“向外伸”,它是x轴方向伸长或压缩,以为例，对于x轴上方的点向下压缩，对于x轴下方的点向上压缩，对于x轴上的点变换前后原地不动．
当M=时确定的变换将平面图形作沿y轴方向伸长或压缩,当时伸长,当时压缩．
在伸压变换之下，直线仍然变为直线，线段仍然变为线段．
恒等变换是伸压变换的特例，伸压变换多与三角函数图象的变换联系起来研究．
二、例题精讲
例1
求
在矩阵M=
作用下的图形.
变题：将矩阵M变为，结果如何？
例2
如图所示，已知曲线经过变换T作用后变为新的曲线C，试求变换T对应的矩阵M，以及曲线C的解析表达式。
变题：已知曲线y＝sinx经过变换T作用后变为新的曲线，画出相关的图象，
并求出变换T对应的矩阵M．
三、课堂精练
1．研究直角坐标平面内正方形OBCD在矩阵对应的变换作用下得到的几何图形，其中O（0，0），B（2，0），C（2，2），D（0，2）。
2．在平面直角坐标系中xOy中，设椭圆在矩阵对应的变换作用下得到曲线F，求曲线F的方程．
3．若直线y
5x
5在二阶矩阵M对应的伸压变换下变成另一条直线y
x
1，求矩阵M．
4．二阶矩阵M对应的变换将点(1，－1)，(－2，1)变换成点(－1，－1)，(0，－2)．
(1)
求变换矩阵M．
(2)
设直线l在变换作用下得到了直线m：x
y
4，求直线l的方程．
四、课堂小结
1.我已掌握的知识
2.我已掌握的方法
五、课后作业
1．点（－１，k）在伸压变换矩阵之下的对应点的坐标为（-2,　-4　），则m、k的值分别为
．
2．求把△ABC变成△A’B’C’的变换矩阵M，其中A（0，0），B（2，0），C（1，1），A’（0，0），B’（2，0），C‘（1，2）．
3．若直线y=x-1在矩阵M对应的伸压变换下变成另一条直线y=4x-4，则
M=__________．