(共14张PPT)
第十四章●第三节
公式法
问题引入
问题1
如图，学校有一块边长为66m的正方形场地，现要在四个角各建一个边长为17m的正方形花坛，问场地还剩余多大面积供学生活动？
解法二：
（m2）
探究新知
解法一：
（m2）
追问：同学们，哪一种解法简便？解法为什么是正确的？
平方差公式：
解：(1)
(2)
探究新知
问题2
请同学们计算下列各式：
(1)
(2)
追问1：通过上面的计算，你会把
和
因式分解吗？
解：(1)
(2)
追问2：对于一般形式
，分解因式的结果又是怎样的呢？
解：(1)
(2)
(3)
(4)
探究新知
问题3
计算下列各式：
(1)
(2)
(3)
(4)
解：(1)
(2)
(3)
(4)
探究新知
追问1：通过上面的计算，你会把下面的多项式分解因式吗？
(1)
(2)
(3)
(4)
追问2：你能归纳一下完全平方公式吗？完全平方式的形式和特点是什么？
完全平方公式：两个数的平方和，加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方。
例1
把下列各式分解因式：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
分析：在观察中发现1—5题均满足平方差公式的特征，可以使用平方差公式因式分解。
应用新知
解：(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
应用新知
追问：你能解释一开始提出的问题吗？
先运用平方差公式把已知算式分解因式，再计算。
例2
把下列各式因式分解：
（1）
（2）
应用新知
解：（1）
（2）
提问：利用完全平方公式来分解因式的关键是看多项式是否符合公式的特点，此题符合吗？
提问：(1)中有公因式吗？如果把(2)中(a＋b)看作一个整体怎样因式分解？
例3
分解因式：
(1)
(2)
应用新知
解：(1)
(2)
1.(1)下面的因式分解是否正确，为什么？若不正确请写出正确答案。
①
②
(2)分解因式：
①
；②
；③
。
(3)用简便方法计算：
①
②
③
巩固新知
2．把下列各式因式分解：
(1)
(2)
(3)
(4)
3．把下列各式因式分解：
(1)
(2)
(3)
(4)
巩固新知
课堂小结
1.举一个例子说说应用平方差公式和完全平方公式分解因式的多项式应具有怎样的特征。
(1)每个公式的形式与特点，通过对多项式的项数、次数等的总体分析来确定，是否可以用公式分解以及用哪个公式分解，通常是，当多项式是二项式时，考虑用平方差公式分解；当多项式是三项时，应考虑用完全平方公式分解；
(2)在有些情况下，多项式不一定能直接用公式，需要进行适当的组合、变形、代换后，再使用公式法分解；
(3)当多项式各项有公因式时，应该首先考虑提公因式，然后再运用公式分解。
2.谈谈多项式因式分解的思考方向和分解的步骤。
3.谈谈多项式分解的注意点。《提公因式法》
因式分解其实是整式乘法的逆运算，把整式乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式法，教科书中介绍了3个最基本的公式：（1个平方差公式）和（2个完全平方公式），并结合公式讲授如何运用公式进行多项式的因式分解。
运用公式法分解因式时，应理解每个公式的意
( http: / / www.21cnjy.com )义，掌握不同公式的形式和特点，多项式符合哪一种公式的使用条件就用哪一种公式分解因式。另外，乘法公式中的字母，可以表示任何数、单项式或多项式，只要符合公式的特点，都可以运用公式法分解因式。
探索分解因式的方法，实际上是对整式乘法的再
( http: / / www.21cnjy.com )认识，因此要借助学生已有的整式乘法运算的基础，给学生创设一个新的、具有启发性的情境，激励学生通过独立思考与讨论交流的方法发现问题情境中的变形关系，并运用数学符号进行表示，然后再运用所学的知识去解决相关的问题。
【知识与能力目标】
1.掌握平方差公式和完全平方公式的特点，能运用公式进行因式分解；
2.能综合运用提公因式法、公式法分解因式。
【过程与方法目标】
经历公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维，感受数学知识的完整性。
【情感态度价值观目标】
培养学生良好的互动交流的习惯，体会数学在实际问题中的应用价值。
【教学重点】
熟练运用公式进行因式分解。
【教学难点】
掌握公式的特点，正确运用公式进行因式分解。
多媒体课件、教具等。
一、导入新知
问题1
如图，学校有一块边长为66m的正方形场地，现要在四个角各建一个边长为17m的正方形花坛，问场地还剩余多大面积供学生活动？
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解法一：662﹣4×172=4356-4×289=4356-4×289=4356-1156=3200（m2）
解法二：662﹣4×172=662﹣（2×17）2=（66+34）（66-34）=100×32=3200（m2）
追问：同学们，哪一种解法简便？解法为什么是正确的？
这就是今天这节课所要解决的问题。
二、探究新知
问题2
请同学们计算下列各式。
(1)(a+5)(a-5)；(2)(4m+3n)(4m-3n)
学生动手计算出上面的两道题，并踊跃上台板演。
(1)(a+5)(a-5)=a2-52=a2-25
(2)(4m+3n)(4m-3n)=(4m)2-(3n)2=16m2-9n2
追问1：通过上面的计算，你会把a2-25和16m2-9n2因式分解吗？
从逆向思维入手，引导学生得出下面答案：
a2-25=a2-52=(a+5)(a-5)
(2)16m2-9n2=(4m)2-(3n)2
=(4m+3n)(4m-3n)
追问2：对于一般形式a2-b2，分解因式的结果又是怎样的呢？
平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)
强调：平方差公式中的字母a、b，可以表示数、含字母的代数式(单项式、多项式)。
问题3
计算下列各式：(1)(m-4n)2
(2)(m+4n)2
(3)(a+b)2
(4)(a-b)2
解：(1)(m-4n)2=m2-8mn+16n2
(2)(m+4n)2=m2+8mn+16n2
(3)(a+b)2=a2+2ab+b2
(4)(a-b)2=a2-2ab+b2
追问1：通过上面的计算，你会把下面的多项式分解因式吗？
(1)m2-8mn+16n2
(2)m2+8mn+16n2
(3)a2+2ab+b2
(4)a2-2ab+b2
从逆向思维的角度入手，帮助学生得到下面答案：
解：(1)m2-8mn+16n2=(m-4n)2
(2)m2+8mn+16n2=(m+4n)2
(3)a2+2ab+b2=(a+b)2
(4)a2-2ab+b2=(a-b)2
追问2：你能归纳一下完全平方公式吗？完全平方式的形式和特点是什么？
把乘法公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
( http: / / www.21cnjy.com )和(a－b)2＝a2－2ab＋b2反过来，就可以得到：a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2。
完全平方公式：两个数的平方和，加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方。
把a2＋2ab＋b2和a2－2ab＋b2这样的式子叫做完全平方式。
完全平方式的形式和特点：
①项数：三项
②有两项是两个数的平方和，这两项的符号相同
③有一项是这两个数的积的两倍
三、运用新知
例1
把下列各式分解因式：
(1)x2-9y2
(2)16x4-y4
(3)12a2x2-27b2y2
(4)(x+2y)2-(x-3y)2
(5)m2(16x-y)+n2(y-16x)
分析：在观察中发现1—5题均满足平方差公式的特征，可以使用平方差公式因式分解。
解：(1)x2-9y2=(x+3y)(x-3y)
(2)16x4-y4=(4x2+y2)(4x2-y2)=(4x2+y2)(2x+y)(2x-y)
(3)12a2x2-27b2y2=3(4a2x2-9b2y2)=3(2ax+3by)(2ax-3by)
(4)(x+2y)2-(x-3y)2=[(x+2y)+(x-3y)][(x+2y)-(x-3y)]=5y(2x-y)
(5)m2(16x-y)+n2(y-16x)=(16x-y)(m2-n2)=(16x-y)(m+n)(m-n)
追问：你能解释一开始提出的问题吗？
先运用平方差公式把已知算式分解因式，再计算。
662﹣4×172=662﹣（2×17）2=（66+34）（66-34）=100×32=3200（m2）。
例2
把下列各式因式分解：
（1）16x2＋24x＋9
（2）－x2＋4xy－4y2
提问：利用完全平方公式来分解因式的关键是看多项式是否符合公式的特点，此题符合吗？
解：（1）16x2＋24x＋9
=（4x）2+2·4x·3＋32
=（4x＋3）2
（2）－x2＋4xy－4y2
=－（x2－4xy+4y2）
=－（x－2y）2
例3
分解因式：
(1)3ax2＋6axy＋3ay2；(2)(a＋b)2－12(a＋b)＋36。
提问：(1)中有公因式吗？如果把(2)中(a＋b)看作一个整体怎样因式分解？
解：(1)3ax2＋6axy＋3ay2
=3a(x2＋2xy＋y2)
=3a(x＋y)2
（2）(a＋b)2－12(a＋b)＋36。
=(a＋b)2－2×6(a＋b)＋62
=[(a＋b)－6]2
=(a＋b－6)2
四、巩固新知
1.(1)下面的因式分解是否正确，为什么？若不正确请写出正确答案。
①m2＋n2＝(m＋n)2
②m2－n2＝(m－n)2
(2)分解因式：
①x3－9x；②(a2＋b2)2－4a2b2；③(y2－4)2－6(y2－4)＋9。
(3)用简便方法计算：
①16×15
②1
9992－3
998×1
998＋19982
③2992＋599
2.把下列各式因式分解：
(1)x2＋2x＋1；
(2)4a2＋4a＋1；
(3)1－6y＋9y2；
(4)1＋m＋。
3.把下列各式因式分解：
(1)－x2＋2xy－y2；
(2)－4－9a2＋12a；
(3)－a2－4ab－4b2；
(4)－25x2－30xy－9y2。
五、课堂小结
1.举一个例子说说应用平方差公式和完全平方公式分解因式的多项式应具有怎样的特征。
在运用公式因式分解时，要注意：
(1)每个公式的形式与特点
( http: / / www.21cnjy.com )，通过对多项式的项数、次数等的总体分析来确定，是否可以用公式分解以及用哪个公式分解，通常是，当多项式是二项式时，考虑用平方差公式分解；当多项式是三项时，应考虑用完全平方公式分解；
(2)在有些情况下，多项式不一定能直接用公式，需要进行适当的组合、变形、代换后，再使用公式法分解；
(3)当多项式各项有公因式时，应该首先考虑提公因式，然后再运用公式分解。
2.谈谈多项式因式分解的思考方向和分解的步骤。
3.谈谈多项式分解的注意点。
略。
教材分析
教学目标
教学重难点
课前准备
教学过程
教学反思
