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第十四章●第三节
提公因式法
问题引入
问题1
完成下面的问题：
⑴
630能被哪些数整除，说说你是怎样想的？
⑵
当a＝101，b＝99时，求
的值。
分析：对于问题1我们必须对630进行质因数分解，对于问题2，虽然可以直接把a＝101，b＝99代入进行计算，但如果应用平方差公式应先把
变形成
的形式再代入进行计算，将会使计算过程变得简捷。
探究新知
问题2
把下列多项式写成整式乘积的形式：
（1）
；（2）
；
问题3
等式
与等式
有什么关系？
因式分解：
把一个多项式化成几个整式乘积的形式的变形叫做因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
因式分解与整式乘法是两个方向相反的变形。
探究新知
问题4
多项式
中各项含有相同因式吗？请将它写成两个因式的乘积的形式。多项式
和
呢？
我们把多项式中各项都有的公共的因式叫做这个多项式的公因式，如在
中的公因式是m，在
中的公因式是x，在
中的公因式是y。
概念：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
分析：根据因式分解的概念判断。
解：(1)(5)是因式分解，(2)(3)(4)不是因式分解。
例1
下列从左到右的变形是否是因式分解，为什么
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
应用新知
分析：找
和
的公因式，应该从数、字母和字母的次数3个方面进行考虑；分解因式完成后观察整式提取公因式后所得的另一个因式的各项有没有公因式了，如提取的公因式是4ab，另一个因式是否还有公因式？如果有，应该怎么办？
例2
把
分解因式。
应用新知
解：
分析：引导学生对该多项式的每项因式的特点进行仔细观察，从而发现把b＋c看作一个“整体”时公因式就是b＋c，再用提公因式法进行分解。
例3
把
分解因式。
应用新知
解：
解：
例4 用简便方法计算：
。
应用新知
追问：说说例2、例3和例4的公因式有什么不同？
1.把
分解因式。
巩固新知
解：
2．分解因式：
。
分析：观察所给多项式可以找出公因式
或
，于是有两种变形，
和
，从而得到下面两种分解方法。
3．如图，把
三个电阻串联起来，线路AB上的电流为I，电压为V，则
。当
时，求V的值。
巩固新知
解：
课堂小结
1.举一个例子说说什么是因式分解。
2.什么是多项式的公因式？确定公因式该从哪几个方面进行考虑？
3.说说提公因式法的一般步骤。
(1)确定提取的公因式；
(2)用公因式去除这个多项式，所得的商式作为另一个因式；
(3)把多项式写成这两个因式的积的形式。《提公因式法》
因式分解其实是整式乘法的逆运算，本册教材中重点介绍了两种因式分解的方法：提公因式法和公式法。
本节学习的是提公因式法，它是最基本的也是
( http: / / www.21cnjy.com )最重要的因式分解的方法，提公因式法的关键是确定多项式中各项的公因式，为此，教学过程中，可让学生多次实践，摸索确定公因式的一般方法，寻找一般规律，并在乘法分配律及整式的乘法知识基础上完成对运用提公因式法进行因式分解的一般过程的学习。
因式分解的过程中，提取多项式中各项的公因式
( http: / / www.21cnjy.com )，既可以是单项式，也可以是多项式。另外，确定公因式时应分两个步骤，数字系数部分和字母部分。如果是整数系数，就应提取最大公约数，对于字母部分，应考虑以下两个方面：首先是取各项相同的字母，其次是各相同字母的指数取其次数最低的。
【知识与能力目标】
1.理解多项式的因式分解是与整式的乘法方向相反的变形，会判断某种变形是不是因式分解；
2.理解多项式各项的公因式的概念，会运用提公因式法将多项式分解因式。
【过程与方法目标】
使学生经历探索多项式各项公因式的过程，培养学生转化的数学思想方法。
【情感态度价值观目标】
培养学生分析、类比以及化归的思想，主动积极地积累确定公因式的初步经验，体会因式分解的应用价值。
【教学重点】
提公因式法分解因式。
【教学难点】
正确确定多项式各项的公因式。
多媒体课件、教具等。
一、导入新知
问题1
完成下面的问题：
⑴630能被哪些数整除，说说你是怎样想的？
⑵当a＝101，b＝99时，求a2－b2的值。
对于问题1我们必须对630进行质因数分解，
( http: / / www.21cnjy.com )对于问题2，虽然可以直接把a＝101，b＝99代入进行计算，但如果应用平方差公式应先把a2－b2变形成(a＋b)(a－b)的形式再代入进行计算，将会使计算过程变得简捷。
通过对上面两个问题的解决方
( http: / / www.21cnjy.com )法和过程的讨论，使学生感知到把一个数进行质因数分解和把一个多项式变为几个整式的乘积是对数和式的一种恒等变形，能使演算简便。
二、探究新知
问题2
把下列多项式写成整式乘积的形式：
⑴
；⑵
。
在复习多项式的乘法的同时，让学生体会多项式的乘法与因式分解的关系，为因式分解概念的得出打下基础。
问题3
等式与等式有什么关系？
引入因式分解的概念，即把一个多项式化成
( http: / / www.21cnjy.com )几个整式乘积的形式的变形叫做因式分解，也叫做把这个多项式分解因式，因式分解与整式乘法是两个方向相反的变形。
问题4
多项式mn+mb中各项含有相同因式吗？请将它写成两个因式的乘积的形式。多项式4x2-x和xy2-yz-y呢？
我们把多项式中各项都有的公共的因式
( http: / / www.21cnjy.com )叫做这个多项式的公因式，如在mn+mb中的公因式是m，在4x2-x中的公因式是x，在xy2-yz-y中的公因式是y。
概念：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
三、运用新知
例1
下列从左到右的变形是否是因式分解，为什么
(1)2x2+4=2(x2+2)
(2)t(2t2-3t+1)=2t3-3t2+t
(3)x2+4xy-y2=x(x+4y)-y2
(4)m(x+y)=mx+my
(5)x2-2xy+y2=(x-y)2
分析：根据因式分解的概念判断。
解：(1)(5)是因式分解，(2)(3)(4)不是因式分解。
例2
把8a3b2＋12ab3c分解因式。
分析：找8a3b2和12ab3c的
( http: / / www.21cnjy.com )公因式，应该从数、字母和字母的次数3个方面进行考虑；分解因式完成后观察整式提取公因式后所得的另一个因式的各项有没有公因式了，如提取的公因式是4ab，另一个因式是否还有公因式？如果有，应该怎么办？
解：8a3b2＋12ab3c
=4ab2·2a2＋4ab2·3bc
=4ab2（2a2＋3bc）
例3
把2a(b+c)-3b(b+c)分解因式。
分析：引导学生对该多项式的每项因式的特点进行仔细观察，从而发现把b＋c看作一个“整体”时公因式就是b＋c，再用提公因式法进行分解。
解：2a(b+c)-3b(b+c)
=(b+c)(2a-3b)。
例4 用简便方法计算：0.84×12＋12×0.6－0.44×12。
解：0.84×12＋12×0。6－0。44×12
=(0.84＋0.6－0.44)×12
=1×12
=12
追问：说说例2、例3和例4的公因式有什么不同？
四、巩固新知
1.把-4x2yz-12xy2z+4xyz分解因式。
解：-4x2yz-12xy2z+4xyz
=-(4x2yz+12xy2z-4xyz)
=-4xyz(x+3y-1)。
2.分解因式：3a2(x-y)3-4b2(y-x)2
分析：观察所给多项式可以找出公因式(y-x)
( http: / / www.21cnjy.com )2或(x-y)2，于是有两种变形，(x-y)3=-(y-x)3和(x-y)2=(y-x)2，从而得到下面两种分解方法。
解法1：3a2(x-y)3-4b2(y-x)2
=-3a2(y-x)3-4b2(y-x)2
=-[(y-x)2·3a2(y-x)+4b2(y-x)2]
=-(y-x)2[3a2(y-x)+4b2]
=-(y-x)2(3a2y-3a2x+4b2)；
解法2：3a2(x-y)3-4b2(y-x)2
=(x-y)2·3a2(x-y)-4b2(x-y)2
=(x-y)2[3a2(x-y)-4b2]
=(x-y)2(3a2x-3a2y-4b2)
3.如图，把R1，R2，R3三个电阻串联起来，线路AB上的电流为I，电压为V，
则V=IR1+IR2+IR3。当R1=34。9，R2=20。8，R3=32。3，I=2。5时，求V的值。
( http: / / www.21cnjy.com )
解：V=IR1+IR2+IR3
=2.5×34.9+2.5×20.8+2.5×32.3
=2.5×（34.9+20.8+32.3）
=2.5×88
=220
五、课堂小结
1.举一个例子说说什么是因式分解。
2.什么是多项式的公因式？确定公因式该从哪几个方面进行考虑？
3.说说提公因式法的一般步骤。
(1)确定提取的公因式；
(2)用公因式去除这个多项式，所得的商式作为另一个因式；
(3)把多项式写成这两个因式的积的形式。
略。
教材分析
教学目标
教学重难点
课前准备
教学过程
教学反思
