1.3.1
单调性与最大（小）值
课后训练
1．定义在R上的函数f(x)满足f(x)＜5，则f(x)的最大值是( )．
A．5
B．f(5)
C．4.9
D．不能确定
2．定义在区间[0,3]上的函数y＝f(x)是减函数，则它的最大值是( )．
A．f(0)
B．f(3)
C．0
D．3
3．函数f(x)(－2≤x≤2)的图象如图所示，则函数的最大值和最小值分别为( )．
A．f(2)，f(－2)
B．f，f(－1)
C．f，f
D．f，f(0)
4．函数f(x)＝x2－4x＋3，x∈[1,4]，则f(x)的最大值为( )．
A．－1
B．0
C．3
D．－2
5．f(x)＝的最大值是( )．
A．0
B．1
C．2
D．3
6．函数f(x)＝在[1，b](b＞1)上的最小值是，则b＝__________.
7．函数f(x)＝x2＋bx＋1的最小值是0，则实数b＝__________.
8．(能力拔高题)定义在R上的函数f(x)对任意两个不等实数x1，x2，总有＞0成立，且f(－3)＝a，f(－1)＝b，则f(x)在[－3，－1]上的最大值是__________．
9．已知函数f(x)＝，x∈[－3，－2]，求函数f(x)的最大值和最小值．
10．某公司生产一种电子仪器的固定成本为20
000元，每生产一台仪器需要增加投入100元，最大月产量是400台．已知总收益满足函数R(x)＝400x－x2，其中x是仪器的月产量(单位：台)．
(1)将利润y(元)表示为月产量x(台)的函数．
(2)当月产量为何值时，公司所获得利润最大？最大利润为多少？(总收益＝总成本＋利润)
参考答案
1.
答案：D
2.
答案：A
3.
答案：C 由图象可知最大值为，最小值为.
4.
答案：C ∵f(x)在[1,2]上是减函数，在[2,4]上是增函数，又f(1)＝0，f(4)＝3，
∴f(x)的最大值是3.
5.
答案：D 当0≤x≤1时，f(x)的最大值是f(1)＝2，
又当1＜x＜2时，f(x)＝2；当x≥2时，f(x)＝3，则f(x)的最大值是3.
6.
答案：4 ∵f(x)在[1，b]上是减函数，
∴f(x)在[1，b]上的最小值为f(b)＝，
∴b＝4.
7.
答案：±2 f(x)是二次函数，二次项系数1＞0，
则最小值为＋1＝0，
解得b＝±2.
8.
答案：b 由＞0，得f(x)在R上是增函数，
则f(x)在[－3，－1]上的最大值是f(－1)＝b.
9.
答案：解：设x1，x2是区间[－3，－2]上的任意两个实数，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝.
由于－3≤x1＜x2≤－2，
则x1－x2＜0，x1＋1＜0，x2＋1＜0.
所以f(x1)－f(x2)＜0，f(x1)＜f(x2)．
所以函数f(x)＝，x[－3，－2]是增函数．
又因为f(－2)＝4，f(－3)＝3，
所以函数的最大值是4，最小值是3.
10.
答案：解：(1)设月产量为x台时，利润为y元，
则总成本为20
000＋100x，
所以y＝R(x)－(20
000＋100x)
＝400x－－20
000－100x
＝＋300x－20
000,0≤x≤400.
(2)由(1)得y＝
(x－300)2＋25
000，
当x＝300时，y有最大值25
000，
即当月产量为300台时，公司所获得利润最大，最大利润为25
000元．1.3
函数的基本性质
函数的单调性
课后训练
千里之行
始于足下
1．函数f(x)＝2x，x∈[－1,2]上的单调性为( )．
A．减函数
B．增函数
C．先减后增
D．先增后减
2．若区间(a，b)是函数y＝f(x)的单调增区间，x1，x2∈(a，b)，且x1
A．f(x1)B．f(x1)＝f(x2)
C．f(x1)>f(x2)
D．以上都有可能
3．函数y＝x2－3x＋2的单调减区间是( )．
A．[0，＋∞)
B．[1，＋∞)
C．[1,2]
D．
4．下列函数为增函数的是( )．
A．(x>0)
B．
C．
D．
5．若函数在(0，＋∞)上为减函数，则实数b的取值范围是________．
6．f(x)是R上的增函数，若a＋b>0，则f(a)＋f(b)________f(－a)＋f(－b)(比较大小)．
7．指出函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调区间．
8．求证：函数在区间(1，＋∞)上为减函数．
百尺竿头
更进一步
求函数的单调区间．
答案与解析
1.答案：B
解析：因为原函数为一次函数且斜率k＝2>0，故在R上为增函数，所以在区间x∈[－1,2]上为增函数，故选B.
2.答案：A
解析：由函数的单调性的定义可知选A.
3.答案：D
解析：由二次函数y＝x2－3x＋2图象的对称轴为且开口向上，所以单调减区间为
，故选D.
4.答案：D
5.答案：b>0
解析：由于原函数的单调性与函数相同，所以当b>0时，原函数在区间(0，＋∞)上为增函数．
6.答案：>
解析：因为a＋b>0，所以a>－b，或者b>－a.
又因为f(x)为增函数，所以有f(a)>f(－b)，f(b)>f(－a)．
所以两式相加得到f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)．
7.
解：当x≥0时，y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，
当x<0时，y＝－x2－2x＋3＝
－(x＋1)2＋4，
作出函数的图象如图所示，在(－∞，－1)和[0,1]上，函数为增函数，在[1，＋∞)和[－1,0]上，函数为减函数．
8.证明：设x1，x2是区间(1，＋∞)上的任意两个实数，且x1则由题意可知，
因为10，x2－x1>0.
故f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
所以函数在区间(1，＋∞)上为减函数．
百尺竿头
更进一步
解：函数的定义域为[0,2]，设，u＝－x2＋2x，函数u＝－x2＋2x的单调增区间为(－∞，1)，单调减区间为[1，＋∞)，则函数的单调增区间是(－∞，1)∩[0,2]＝[0,1)，单调减区间是[1，＋∞)∩[0,2]＝[1,2]．1.3.2
奇偶性
课后训练
1．已知函数f(x)是奇函数，x＞0时，f(x)＝1，则f(－2)＝( )
A．0
B．1
C．－1
D．±1
2．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f(2)＝0，则使得f(x)＜0的x的取值范围是( )
A．(－∞，2)
B．(2，＋∞)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
D．(－2,2)
3．已知函数f(x)在区间[－5,5]上是偶函数，在区间[0,5]上是单调函数，且f(3)＜f(1)，则( )
A．f(－1)＜f(－3)
B．f(0)＞f(－1)
C．f(－1)＜f(1)
D．f(－3)＜f(－5)
4．已知函数
(x≠±1)是偶函数，且f(x)不恒等于0，则函数f(x)是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
5．设函数f(x)(x∈R)为奇函数，，f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，则f(5)等于( )
A．0
B．1
C．
D．5
6．若f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(－2)从小到大的顺序是________．
7．若f(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上为奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，f(－2)＝0，则不等式x·f(x)＜0的解集为________．
8．设f(x)在R上是偶函数，在(－∞，0)上递减，若f(a2－2a＋3)＞f(a2＋a＋1)，求实数a的取值范围．
9．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－2x，
(1)求出函数f(x)在R上的解析式；
(2)画出函数f(x)的图象．
10．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若f(x)满足f(x＋3)＝f(x)，且f(1)＞1，f(2)＝2m－3，求m的取值范围．
参考答案
1.
答案：C
2.
答案：D
3.
答案：B
4.
答案：A
5.
答案：C
6.
答案：f(－2)＜f(1)＜f(0)
7.
答案：{x|－2＜x＜0或0＜x＜2}
8.
答案：解：由题意知f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
又a2－2a＋3＝(a－1)2＋2＞0，
，
且f(a2－2a＋3)＞f(a2＋a＋1)，
∴a2－2a＋3＞a2＋a＋1，即3a＜2，.
9.
答案：解：(1)由于函数f(x)是定义域为R的奇函数，则f(0)＝0.
设x＜0，则－x＞0.
∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]
＝－x2－2x，
综上，
(2)图象如图．
10.
答案：解：∵f(x＋3)＝f(x)，
∴f(2)＝f(－1＋3)＝f(－1)．
∵f(x)为奇函数，且f(1)＞1，
∴f(－1)＝－f(1)＜－1.
∴f(2)＜－1，即2m－3＜－1，m＜1.
∴m的取值范围为(－∞，1)．1.3.2
奇偶性
课后训练
1．下列图象表示的函数，具有奇偶性的可能是( )．
2．下列函数中是偶函数的是( )．
A．y＝x2(x＞0)
B．y＝|x＋1|
C．y＝
D．y＝3x－1
3．f(x)是定义在R上的奇函数，f(－3)＝2，则下列各点在函数f(x)图象上的是( )．
A．(－3，－2)
B．(3,2)
C．(2，－3)
D．(3，－2)
4．若函数y＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a等于( )．
A．－2
B．－1
C．1
D．2
5．定义在R上的偶函数f(x)的部分图象如图所示，则在(－2,0)上，下列函数中与f(x)的单调性不同的是( )．
A．y＝x2＋1
B．y＝|x|
C．y＝2x＋1
D．y＝
6．函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则f(3)＋f(－3)＝__________.
7．已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且在[2,6]上是减函数，则f(－5)__________f(3)．(填“＞”或“＜”)
8．(能力拔高题)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则f(6)＝__________.
9．求证：函数f(x)＝x2＋的图象关于y轴对称．
10．已知函数f(x)＝x4.
(1)判断函数f(x)的奇偶性．
(2)分别指出函数f(x)在区间(1,6)和(－6，－1)上的单调性并证明．
(3)由此你能发现什么结论？
参考答案
1.
答案：B
2.
答案：C
3.
答案：D ∵f(x)是奇函数，∴f(－3)＝－f(3)．
又f(－3)＝2，则f(3)＝－2，则点(3，－2)在f(x)图象上．
4.
答案：C 二次函数y＝(x＋1)(x－a)＝x2＋(1－a)x－a的对称轴是直线x＝，又函数y＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则其图象关于y轴即直线x＝0对称，所以＝0，解得a＝1.
5.
答案：C 函数f(x)的图象如图所示，则在区间(－2,0)上的图象是下降的，
则函数f(x)在(－2,0)上是减函数．
函数y＝2x＋1在区间(－2,0)上是增函数，故选C.
6.
答案：0 ∵f(x)是奇函数，∴f(－3)＝－f(3)．
∴f(3)＋f(－3)＝f(3)－f(3)＝0.
7.
答案：＜ ∵函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，
∴f(－5)＝f(5)．
又∵函数y＝f(x)在[2,6]上是减函数，且5＞3，
∴f(5)＜f(3)．∴f(－5)＜f(3)．
8.
答案：0 f(6)＝f(4＋2)＝－f(4)＝－f(2＋2)＝f(2)＝f(0＋2)＝－f(0)．
又f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(－0)＝－f(0)．
∴f(0)＝0，f(6)＝0.
9.
答案：分析：转化为证明函数f(x)＝x2＋是偶函数．
证明：函数f(x)的定义域是(－，0)(0，＋)，
f(－x)＝(－x)2＋＝x2＋＝f(x)，
即函数f(x)＝x2＋是偶函数．
故函数f(x)＝x2＋的图象关于y轴对称．
10.
答案：解：(1)f(x)的定义域为R，f(－x)＝(－x)4＝x4＝f(x)，
故f(x)是偶函数．
(2)函数f(x)在区间(1,6)上是增函数，在区间(－6，－1)上是减函数．证明如下：
设x1，x2是区间(1,6)上的任意两个实数，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝x14－x24＝(x12－x22)(x12＋x22)＝(x1－x2)(x1＋x2)(x12＋x22)，
∵1＜x1＜x2＜6，
∴x1－x2＜0，x1＋x2＞0，x12＋x22＞0.
∴f(x1)＜f(x2)．
∴函数f(x)在区间(1,6)上是增函数．
同理可证函数f(x)在区间(－6，－1)上是减函数．
(3)偶函数f(x)在区间(a，b)和(－b，－a)上具有相反的单调性，其中ab≥0，a＜b.1.3
函数的基本性质
函数奇偶性的应用
课后训练
千里之行
始于足下
1．狄利克雷函数是( )．
A．奇函数
B．偶函数
C．既奇又偶函数
D．非奇非偶函数
2．关于函数(x∈R且x≠0)，有下列三个结论：
①f(x)的值域为R；②f(x)是定义域上的增函数；③对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，有f(－x)＋f(x)＝0成立．
其中正确的结论是( )．
A．②③
B．①③
C．①②
D．①②③
3．已知函数y＝f(x)在区间(－∞，0)上为减函数，又f(x)为偶函数，则f(－3)与f(2.5)的大小关系是( )．
A．f(－3)>f(2.5)
B．f(－3)C．f(－3)＝f(2.5)
D．无法确定
4．已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，则f(2)等于( )．
A．－26
B．－18
C．－10
D．10
5．已知函数
(x≠±1)是偶函数，且f(x)不恒等于0，则函数f(x)是( )．
A．奇函数
B．偶函数
C．既奇又偶函数
D．非奇非偶函数
6．若偶函数f(x)在(－∞，0]上为增函数，则满足f(1)≤f(a)的实数a的取值范围是________．
7．若f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，则f(0)、f(1)、f(－2)从小到大的顺序是________．
8．已知函数f(x)为定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x，
(1)求出函数f(x)在R上的解析式；
(2)画出函数f(x)的图象．
9．已知函数f(x)是偶函数，其定义域为(－1,1)，且在[0,1)上为增函数，若f(a－2)－f(4－a2)<0.试求a的取值范围．
百尺竿头
更进一步
函数是定义在(－1,1)上的奇函数，且.
(1)确定函数f(x)的解析式；
(2)用定义证明f(x)在(－1,1)上是增函数；
(3)解不等式：f(t－1)＋f(t)<0.
答案与解析
1.答案：B
解析：由偶函数的定义，任取x∈R，若x∈Q，则－x∈Q，故f(－x)＝f(x)＝1；
若，则，故f(－x)＝f(x)＝－1.
综上，此函数为偶函数．
2.答案：B
解析：因为x∈R且x≠0，又，所以函数f(x)为奇函数，故③正确；又函数在定义域上不具有单调性，于是函数f(x)在定义域上不具有单调性，不难得知函数的值域为R.
3.答案：A
解析：函数y＝f(x)在区间(－∞，0)上为减函数，所以f(－3)>f(－2.5)，又函数f(x)为偶函数，所以f(－2.5)＝f(2.5)，故f(－3)>f(2.5)．
4.答案：A
解析：由函数g(x)＝x5＋ax3＋bx是奇函数，得g(－x)＝－g(x)，又f(2)＝g(2)－8，f(－2)＝g(－2)－8，∴f(2)＋f(－2)＝－16，∵f(－2)＝10，∴f(2)＝－16－f(－2)＝－16－10＝－26.
5.答案：A
解析：∵g(x)是偶函数，故定义域关于原点对称，
且g(－x)＝g(x)，即.
∴.
由f(x)不恒为0，不恒为0，
∴f(－x)＋f(x)＝0.
∴f(－x)＝－f(x)．
∴函数f(x)为奇函数．
6.答案：[－1,1]
解析：由已知偶函数f(x)在(－∞，0]上为增函数，
∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
∴，
或－1≤a≤0.
故a∈[－1,1]．
7.答案：f(－2)解析：因为f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)恒成立，
即(m－1)x2－6mx＋2＝(m－1)x2＋6mx＋2恒成立．
所以m＝0，即f(x)＝－x2＋2.
因为f(x)的图象开口向下，对称轴为y轴，
所以f(2)8.解：(1)①由于函数f(x)为定义域为R的奇函数，则f(0)＝0；②当x<0时，－x>0，
∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x，
综上：
(2)图象如图．
9.解：∵f(a－2)－f(4－a2)<0，
∴f(a－2)又∵f(x)为偶函数，
∴f(|a－2|)又∵f(x)在[0,1)上为增函数，得
即
解得或.
因此实数a的取值范围是．
百尺竿头
更进一步
(1)解：∵f(x)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(0)＝－f(0)，即f(0)＝0，
∴
即
∴.
(2)证明：任取－1∵－10，
,，
又∵－10，
∴f(x2)－f(x1)>0，
∴f(x)在(－1,1)上是增函数．
(3)解：f(t－1)<－f(t)＝f(－t)．
∵f(x)在(－1,1)上是增函数，
∴－1单调性与最大（小）值
课后训练
(时间：25分钟，满分：100分)
1．若函数y＝ax＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是( )
A．2
B．－2
C．2或－2
D．0
2．若函数则函数f(x)的值域是( )
A．[0，＋∞)
B．(－∞，－2)
C．(－2，＋∞)
D．(－∞，－2)∪[0，＋∞)
3．函数在上的值域为( )
A．
B．
C．
D．
4．函数的值域是( )
A．[0，＋∞)
B．[1，＋∞)
C．[－2，＋∞)
D．[－1，＋∞)
5．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)的最小值为－2，则f(x)的最大值为( )
A．－1
B．0
C．1
D．2
6．已知函数f(x)＝x2－6x＋8，x∈[1，a]，且f(x)的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是_
_________．
7．用min{a，b}表示a，b两个数中的最小值．设f(x)＝min{x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为________．
8．已知函数f(x)＝x2＋4x＋2在[a，b]上的值域为[a，b]，则a＝________，b＝________.
9．已知函数，x∈[1,3]，求函数的最大值和最小值．
10．已知函数f(x)＝ax2－2ax＋2＋b(a≠0)在[2,3]上有最大值5和最小值2，求a，b的值．
参考答案
1答案：C
2答案：D
3答案：A
4答案：C
5答案：C
6答案：(1,3]
7答案：6
8答案：－2 －1
9答案：解：.
设x1，x2是区间[1,3]上的任意两个实数，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝
＝
＝.
由1≤x1＜x2≤3，得x1－x2＜0，(x1＋1)(x2＋1)＞0，
于是f(x1)－f(x2)＜0，
即f(x1)＜f(x2)．
所以，函数是区间[1,3]上的增函数．
因此，函数在区间[1,3]的两个端点处分别取得最小值与最大值，即在x＝1时取得最小值，最小值是0；在x＝3时取得最大值，最大值是.
10答案：解：f(x)＝ax2－2ax＋2＋b＝a(x－1)2＋2＋b－a的对称轴方程是x＝1.
(1)当a＞0时，f(x)在[2,3]上是增函数．
∴即
解得
(2)当a＜0时，f(x)在[2,3]上是减函数，
∴即
解得
综上所述，或1.3.2
奇偶性
课后导练
基础达标
1.下列四个命题中，正确命题的个数是（
）
①偶函数的图象一定与y轴相交
②奇函数的图象一定过原点
③偶函数的图象有且只有一条对称轴，即y轴
④是奇函数且又是偶函数的函数一定是f(x)=0,x∈R
A.0
B.1
C.2
D.3
解析：①若定义域内包含0，则偶函数图象一定与y轴相交，②若定义域内有0，则奇函数的图象一定过原点，③偶函数图象关于y轴对称，但是还可以有其他的对称轴，④既奇又偶的函数一定是f(x)=0，但定义域不一定是x∈R.
答案：A
2.如果奇函数f(x)在区间［3,7］上是增函数且最小值是5，则f(x)在［-7，-3］上是（
）
A.增函数，最小值为-5
B.增函数，最大值是-5
C.减函数，最小值为-5
D.减函数，最小值是-5
解析：由奇函数的图象关于原点对称（如下图）可知：f(x)在［-7，-3］上单调递增，且f(x)max=f(-3)=-f(3)=-5.
答案：B
3.函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)在(-∞,0)上单调递增，若x1<0）
A.f(-x1)>f(-x2)
B.f(-x1)C.f(-x1)=f(-x2)
D.f(-x1)≤f(-x2)
解析：x1<0f(-x2)答案：A
4.对于定义在R上的任意奇函数f(x)都有（
）
A.f(x)-f(-x)>0
B.f(x)-f(-x)≤0
C.f(x)·f(-x)≤0
D.f(x)·f(-x)>0
解析：当x≠0时，f(x)·f(-x)<0;当x=0时，f(x)·f(-x)=0,故f(x)·f(-x)≤0.
答案：C
5.已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数，那么g(x)=ax3+bx2+cx是（
）
A.奇函数
B.偶函数
C.既奇又偶函数
D.非奇非偶函数
解析：由条件得b=0,∴g(x)=ax3+cx,由于g(-x)=ax3+cx=-ax3-cx=-g(x),∴g(x)为奇函数.
答案：A
6.设f(x)是奇函数，且在(0,+∞)上是增函数，又f(-3)=0,则x·f(x)<0的解是（
）
A.-33
B.x<-3或0C.x<-3或x>3
D.-3解析：由条件得f(3)=f(-3)=0,
x·f(x)<0或或或-3答案：D
7.在下列函数中，不具有奇偶性的是…（
）
①y=2(x-1)2-3
②y=x2-3|x|+4
③y=|x+1|+|x-1|
④y=
A.①②③
B.①③④
C.①③
D.①
解析：由奇偶函数的定义可知只有y=2(x-1)2-3为非奇非偶函数.
答案：D
8.f(x)是定义在（-∞,+∞）上的偶函数，且x≥0时，f(x)=x3+x2,则当x<0时，f(x)=_______.
解析：当x<0时，-x>0,f(-x)=(-x)3+(-x)2=-x3+x2.
∵f(-x)=f(x),∴f(x)=-x3+x2.
答案：-x3+x2
9.已知函数f(x)=ax5+bx3+cx+8,且f(-2)=10,则f(2)=______________.
解析：令g(x)=f(x)-8=ax5+bx3+cx,则g(x)为奇函数.
∵g(-2)=f(-2)-8=10-8=2,
∴g(2)=-2,
∴f(2)=g(2)+8=-2+8=6.
答案：6
10.若f(x)是偶函数，则f(1+)-f()=__________________.
解析：f(1+)-f()=f(1+)-f［-(1+)］=f(1+)-f(1+)=0.
答案：0
综合运用
11.函数y=f(x)在（0，2）上是减函数，且关于x的函数y=f(x+2)是偶函数，那么…（
）
A.f()B.f()C.f(3)D.f(3)解析：令f(x+2)=x2,∴f(x)=(x-2)2,其对称轴为x=2,对f()=f(),且>3>,
∴f()>f(3)>f(),故选A.
答案：A
12.定义在R上的奇函数f(x)为增函数；偶函数g(x)在区间［0，+∞)上的图象与f(x)的图象重合，设a>b>0，下列给出的不等式中成立的是（
）
①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b)
②f(b)-f(-a)③f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a)
④f(a)-f(-b)A.②④
B.②③
C.①④
D.①③
解法一：取f(x)=x,g(x)=|x|,a=2,b=1代入①得，3>1;②得，3<1;③得，3>-1;④得，3<-1.故①③正确，选D.
解法二：令f(x)=x,g(x)=|x|作出相应图象，如下图所示.观察图象可知①③正确.故选D.
解法三：由于f(x)为奇函数且在原点有意义，故f（0）=0，又f(x)为增函数，∴f(a)>f(b)>f(0)=0.当x≥0时，g(x)=f(x).
据条件改写①得，f(b)+f(a)>g(a)-g(b)=f(a)-f(b)，即f(b)>0,①正确而②不正确.
改写③得，f(a)+f(b)>g(b)-g(a)=f(b)-f(a)，即f(a)>0，③正确而④不正确，故选D.
答案：D
13.函数y=f(x)在定义域（-1，1）上是单调递减函数，且f(1-a)__________________.
解析：f(1-a)答案：014.f(x)是定义在(-2,2)上的奇函数，且是单调递减函数，若f(2-a)+f(2a-3)<0，求a的取值范围.
解析：f(2-a)+f(2a-3)<0f(2-a)<-f(2a-3)f(2-a)∵f(x)是定义在（-2，2）上的奇函数，且单调递减，∴
解得
1答案：115.若f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)+g(x)=,求函数f(x)和g(x).
解析：由
①+②得，2f(x)=-=,
∴f(x)=,代入①得g(x)=.
16.已知y=f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数，且在［0,+∞)上为增函数.
(1)求证：y=f(x)在(-∞,0)上是增函数；
(2)如果f()=1，解不等式-1(1)证明：略.
（2）解析：∵f(x)是定义在（-∞,+∞）上的奇函数，∴f(0)=0.
∵f()=1,
∴f(-)=-1,
∴-1∵f(x)在［0,+∞］上为增函数，
∴f(x)在(-∞，0)上也为增函数，
∴
解得
-拓展探究
17.已知函数f(x)=(m2-1)x2+(m-1)x+n+2的定义域为(-∞,+∞).m、n为何值时f(x)为奇函数？
解法一：f(x)=(m2-1)x2+(m-1)x+n+2是奇函数，对任意x∈R，都有f(-x)+f(x)=0恒成立，即(m2-1)x2-(m-1)x+n+2+(m2-1)x2+(m-1)x+n+2=0恒成立，也就是(m2-1)x+n+2=0对任意x∈R的成立.
当且仅当即时，f(-x)+f(x)=0对任意x∈R成立，
∴时，f(x)是奇函数.
解法二：由于f(x)是定义在(-∞,+∞)上是奇函数，因此f(0)=0,得到n+2=0.∴n=-2.f(x)=(m2-1)x2+(m-1)x为奇函数，必须满足m2-1=0,即m=±1.∴m=±1且n=-2时，f(x)是奇函数.
18.对于任意非零实数x,y，函数y=f(x)(x≠0)满足f（xy）=f(x)+f(y).
(1)求证：f(1)=f(-1)=0；
（2）求证：y=f(x)是偶函数；
（3）若y=f(x)在（0，+∞）上是增函数，解不等式f(x)+f(x-)≤0.
(1)证明：令x=y=1,得f(1)=f(1)+f(1),则f(1)=0;又令x=y=-1,得f(1)=f(-1)+f(-1),即0=2f(-1),
∴f(-1)=0,故f(1)=f(-1)=0.
(2)证明：∵f(1)=f(x·)=f(x)+f(),f(-1)=f(-x·)=f(-x)+f(),而f(1)=f(-1)=0,
∴f(-x)=f(x),
∴f(x)是偶函数，
（3）解析：∵f(x)+f(x-)≤0，即f(x2-x)≤0,而y=f(x)在(0,+∞)上是增函数，
∴f(x2-x)≤f(1),
∴
解得
≤x≤,且x≠0,x≠.1.3.2
奇偶性
课后训练
1．奇函数y＝f(x)(x∈R)的图象必定经过点( )
A．(a，f(－a))
B．(－a，f(a))
C．(－a，－f(a))
D．
2．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝( )
A．－3
B．－1
C．1
D．3
3．设f(x)是定义在R上的一个函数，则函数F(x)＝f(x)－f(－x)在R上一定是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
4．函数是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
5．若函数为奇函数，则a＝( )
A．
B．
C．
D．1
6．若函数f(x)是奇函数，则＝______.
7．已知y＝f(x)是奇函数，若g(x)＝f(x)＋2且g(1)＝1，则g(－1)＝__________.
8．若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝x2＋3x＋1，则f(x)＝________.
9．已知函数是定义在(－1,1)上的奇函数，且，求函数f(x)的解析式．
10．判断下列函数的奇偶性：
(1)
；
(2)定义在R上的函数f(x)对任意实数x，y，恒有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)．
参考答案
1答案：C
2答案：A
3答案：A
4答案：B
5答案：A
6答案：0
7答案：3
8答案：x2＋1
9答案：解：法一：∵f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，
∴f(0)＝0.即∴b＝0.
又，∴a＝2.
∴.
法二：∵是奇函数，，
∴.
则即
解得∴.
法三：∵是定义在(－1,1)上的奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，即，
化简得b＝0.∴.
∵，∴，∴a＝2.
∴.
10答案：解：(1)由得－1≤x＜0或0＜x≤1.
故函数f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]，关于原点对称，且x＋2＞0，
从而有，
于是．
故函数f(x)是奇函数．
(2)令x＝y＝0，可得f(0)＋f(0)＝f(0＋0)＝f(0)，从而f(0)＝0.
令y＝－x，可得f(x)＋f(－x)＝f(x－x)＝f(0)＝0，即f(－x)＝－f(x)．又f(x)的定义域为R，关于原点对称，故f(x)为奇函数．1.3.1
单调性与最大（小）值
课后训练
1．设(a，b)，(c，d)都是函数f(x)的单调增区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1＜x2，则f(x1)与f(x2)的大小关系是( )
A．f(x1)＜f(x2)
B．f(x1)＞f(x2)
C．f(x1)＝f(x2)
D．不能确定
2．下列函数在区间[0，＋∞)上是增函数的是( )
①y＝2x ②y＝x2＋2x－1 ③y＝|x＋2| ④y＝|x|＋2
A．①②
B．①③
C．②③④
D．①②③④
3．函数在R上是( )
A．减函数
B．增函数
C．先减后增
D．无单调性
4．定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等实数a，b，总有成立，则必有( )
A．函数f(x)是先增加后减少
B．函数f(x)是先减少后增加
C．f(x)在R上是增函数
D．f(x)在R上是减函数
5．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2在[－5,5]上单调，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－5]
B．[5，＋∞)
C．[－5,5]
D．(－∞，－5]∪[5，＋∞)
6．函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[－2，＋∞)时是增函数，当x∈(－∞，－2]时是减函数，则f(1)等于______．
7．已知函数f(x)是定义在[－1,1]上的减函数，若f(m－1)＞f(2m－1)，则实数m的取值范围是________．
8．已知y＝f(x)在[0，＋∞)上是减函数，则与f(a2－a＋1)的大小关系为________．
9．画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象，并指出该函数的单调区间．
10．证明函数f(x)＝x2－4x－1在[2，＋∞)上是增函数．
参考答案
1答案：D
2答案：D
3答案：B
4答案：C
5答案：D
6答案：13
7答案：(0,1]
8答案：
9答案：解：x≥0时，y＝－x2＋2x＋3；x＜0时，y＝－x2－2x＋3.
∴
画出该函数的图象如图所示，由图象知，该函数的单调递增区间是(－∞，－1]，(0,1]；单调递减区间是(－1,0]，(1，＋∞)．
10答案：证明：设x1，x2是区间[2，＋∞)上的任意两个实数，且x2＞x1≥2，则
f(x1)－f(x2)
＝
＝
＝(x1－x2)(x1＋x2)－4(x1－x2)
＝(x1－x2)(x1＋x2－4)．
∵x2＞x1≥2，∴x1－x2＜0，x1＋x2＞4，
即x1＋x2－4＞0，∴f(x1)－f(x2)＜0，
即f(x1)＜f(x2)．
∴函数f(x)＝x2－4x－1在[2，＋∞)上是增函数．1.3.1
单调性与最大（小）值
课后训练
基础巩固
1．定义在R上的函数y＝f(x)对任意两个不等实数x，y总有＜0成立，则必有( )
A．函数f(x)在R上是增函数
B．函数f(x)在R上是减函数
C．函数f(x)在R上是常数函数
D．函数f(x)在R上的单调性不确定
2．下列函数中，在区间(－∞，0)上为增函数的是( )
A．y＝－2x
B．
C．y＝|x|
D．y＝－x2
3．设函数f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，则( )
A．f(a)＞f(2a)
B．f(a2)＜f(a)
C．f(a2＋a)＜f(a)
D．f(a2＋1)＜f(a)
4．函数y＝f(x)在R上是增函数，若a＋b≤0，则有( )
A．f(a)＋f(b)≤－f(a)－f(b)
B．f(a)＋f(b)≥－f(a)－f(b)
C．f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)
D．f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)
5．函数f(x)＝2x－x2(x[0，3])的最大值M与最小值m的和等于( )
A．－1
B．0
C．1
D．－2
6．函数f(x)＝在区间[1,5]上的最大值为__________，最小值为__________．
7．已知y＝f(x)在定义域(－1,1)内是增函数，且f(t－1)＜f(1－2t)，求实数t的取值范围．
8．已知f(x)＝－x2＋2x＋3．
(1)画出函数f(x)的图象；
(2)根据图象写出函数f(x)的单调区间；
(3)利用定义证明函数f(x)＝－x2＋2x＋3在区间(－∞，1]上是增函数；
(4)当函数f(x)在区间(－∞，m]上是增函数时，求实数m的取值范围．
能力提升
9．函数f(x)＝在区间(－2，＋∞)上为增函数，则a的取值范围为( )
A．
B．
C．
D．
10．有下列四种说法：
①函数y＝2x2＋x＋1在区间(0，＋∞)上不是增函数；
②函数在(－∞，－1)(－1，＋∞)上是减函数；
③函数f(x)＝在R上为增函数，则实数b的取值范围是1≤b≤2；
④若函数y＝|x－a|在区间(－∞，4]上是减函数，则实数a的取值范围是a≥4．
其中正确说法的序号是__________．
11．已知f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间[1,5]上的最小值为f(5)，则a的取值范围为__________．
12．已知二次函数f(x)＝x2－2x＋3．
(1)当x[－2,0]时，求f(x)的最值；
(2)当x[－2,3]时，求f(x)的最值；
(3)当x[t，t＋1]时，求f(x)的最小值g(t)．
13．讨论f(x)＝，x(－1,1)的单调性(其中a≠0)．
14．(学科综合题)在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)＝f(x＋1)－f(x)．某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x台的收入函数R(x)＝3
000x－20x2(单位：元)，其成本函数为C(x)＝500x＋4
000(单位：元)，利润是收入与成本之差．
(1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；
(2)利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)是否具有相等的最大值？
(3)你认为本题中边际利润函数MP(x)取最大值的实际意义是什么？
15．(压轴题)已知函数f(x)的定义域为R，且对m，nR，恒有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，且，当x＞时，f(x)＞0．
(1)求证：f(x)是单调递增函数；
(2)试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证．
错题记录
错题号
错因分析
参考答案
1．B 点拨：由＜0知f(x)－f(y)与x－y异号，所以函数f(x)在R上是减函数．
2．D 点拨：对于A，函数y＝－2x在R上为减函数；对于B，函数在区间(－∞，0)上为减函数；对于C，函数y＝|x|在区间(－∞，0)上为减函数；对于D，函数y＝－x2在区间(－∞，0)上为增函数．
3．D 点拨：∵a2＋1＞a，函数f(x)在R上单调递减，
∴f(a2＋1)＜f(a)．
4．C 点拨：∵a＋b≤0，∴a≤－b，b≤－a．
又∵函数f(x)在R上是增函数，
∴f(a)≤f(－b)，f(b)≤f(－a)．
∴f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)．
5．D 点拨：由于函数f(x)＝2x－x2(x)在区间上是增函数，在区间(1,3]上是减函数，故当x＝1时，函数取最大值M＝1，当x＝3时，函数取最小值m＝－3．
因此M＋m＝－2．
6．3 点拨：因为函数f(x)＝在区间上单调递减，所以其在区间[1,5]上单调递减．故当x＝1时，函数f(x)取最大值3，当x＝5时，函数f(x)取最小值．
7．解：由题意，得解得0＜t＜．故实数t的取值范围是．
8．解：(1)函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象如图所示．
(2)由函数f(x)的图象得，在直线x＝1的左侧图象是上升的，在直线x＝1的右侧图象是下降的，故函数f(x)的单调递增区间是(－∞，1]，单调递减区间是[1，＋∞)．
(3)设对任意的x1，x2(－∞，1]，且x1＜x2，则有
f(x1)－f(x2)＝(－x1２＋2x1＋3)－(－x２２＋2x2＋3)
＝(x２２－x1２)＋2(x1－x2)
＝(x1－x2)(2－x1－x2)．
∵x1，x2(－∞，1]，且x1＜x2，
∴x1－x2＜0，x1＋x2＜2．
∴2－x1－x2＞0．
∴f(x1)－f(x2)＜0．∴f(x1)＜f(x2)．
∴函数f(x)＝－x2＋2x＋3在区间(－∞，1]上是增函数．
(4)函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象的对称轴是直线x＝1，在对称轴的左侧是增函数，那么当区间(－∞，m]位于对称轴的左侧时满足题意，则有m≤1，即实数m的取值范围是(－∞，1]．
9．C 点拨：f(x)＝．
∵函数f(x)在区间(－2，＋∞)上是增函数，∴1－2a＜0，即a＞．
10．③④ 点拨：对于①，y＝2x2＋x＋1＝在区间上是增函数，因此其在区间(0，＋∞)上是增函数，故①不正确；
对于②，函数在区间(－∞，－1)上单调递减，在区间(－1，＋∞)上单调递减，但在其并集(－∞，－1)(－1，＋∞)上不是单调递减，故②不正确；
对于③，因为函数f(x)＝在R上为增函数，则有解得1≤b≤2；
对于④，函数y＝|x－a|＝又已知函数y＝|x－a|在区间上是减函数，则a≥4．
11．a≤－4 点拨：对称轴方程为x＝1－a．
∵函数f(x)在区间[1,5]上的最小值为f(5)，
∴1－a≥5，得a≤－4．
12．解：f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，其对称轴为x＝1，开口向上．
(1)当x[－2,0]时，f(x)在区间[－2,0]上是单调递减的，故当x＝－2时，f(x)有最大值f(－2)＝11；
当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝3．
(2)当x[－2,3]时，f(x)在区间[－2,3]上是先减后增的，故当x＝1时，f(x)有最小值f(1)＝2；
又|－2－1|＞|3－1|，∴f(x)的最大值为f(－2)＝11．
(3)①当t＞1时，f(x)在区间[t，t＋1]上单调递增，
所以当x＝t时，f(x)取得最小值，此时g(t)＝f(t)＝t2－2t＋3．
②当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，f(x)在区间[t，t＋1]上先减后增，故当x＝1时，f(x)取得最小值，此时g(t)＝f(1)＝2．
③当t＋1＜1，即t＜0时，f(x)在区间[t，t＋1]上单调递减，所以当x＝t＋1时，f(x)取得最小值，
此时g(t)＝f(t＋1)＝t2＋2．
综上，g(t)＝
13．解：设－1＜x1＜x2＜1，
则f(x1)－f(x2)＝，
∵－1＜x1＜x2＜1，
∴|x1|＜1，|x2|＜1，x2－x1＞0．
∴x1２－1＜0，x２２－1＜0，|x1x2|＜1，即－1＜x1x2＜1．
∴x1x2＋1＞0．∴＞0．
于是，当a＞0时，f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，
此时函数为减函数；
当a＜0时，f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，此时函数为增函数．
14．解：(1)P(x)＝R(x)－C(x)＝－20x2＋2
500x－4
000(x[1,100]，x
N)，
MP(x)＝P(x＋1)－P(x)＝2
480－40x(x[1,100]，xN)．
(2)∵P(x)＝－20x2＋2
500x－4
000＝＋74
125，
∴当x＝62或63时，P(x)max＝74
120(元)．
又MP(x)是减函数，∴当x＝1时，MP(x)max＝2
440(元)．
故P(x)与MP(x)不具有相等的最大值．
(3)边际利润函数MP(x)当x＝1时取最大值，说明生产第2台与生产第1台的总利润差最大，即第二台报警系统利润最大．MP(x)是减函数，说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润相比较，利润在减小．
15．(1)证明：设x1＜x2，则x2－x1－＞，
由题意得＞0．
∵f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)
＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)
＝f(x2－x1)－1
＝f(x2－x1)＋－1
＝＞0，
∴f(x2)＞f(x1)．
∴f(x)是单调递增函数．
(2)解：f(x)＝2x＋1．验证过程如下：
其定义域显然为R，f(x1＋x2)＝2(x1＋x2)＋1，
f(x1)＋f(x2)－1＝2x1＋1＋2x2＋1－1＝2(x1＋x2)＋1，
∴f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)－1．
当时，＋1＝－1＋1＝0．
当时，f(x)＝2x＋1＞2×＋1＝0，即f(x)＞0成立．1.3
函数的基本性质
函数的最大（小）值
课后训练
千里之行
始于足下
1．设函数f(x)＝2x－1(x<0)，则f(x)( )．
A．有最大值
B．有最小值
C．是增函数
D．是减函数
2．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)的最小值为－2，则f(x)的最大值为( )．
A．－1
B．0
C．1
D．2
3．已知2x2－3x≤0，则函数f(x)＝x2＋x＋1( )．
A．有最小值，但无最大值
B．有最小值，有最大值1
C．有最小值1，有最大值
D．无最大值，也无最小值
4．的值域为( )．
A．R
B．[0，＋∞)
C．[0,3]
D．[0,2]∪{3}
5．函数y＝2x2＋1，x∈N
的最小值为________．
6．函数y＝f(x)的定义域为[－4,6]，且在区间(－4，－2]上递减，在区间(－2,6]上递增，且f(－4)7．求下列函数的值域：
(1)f(x)＝－4x＋1(－1≤x≤3)；
(2)f(x)＝2x2－4x＋1(2≤x≤3)．
8．将进货单价为40元的商品按50元一个出售，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润是多少？
百尺竿头
更进一步
已知函数y＝－x2＋4x－2，x∈[0,5]．
(1)写出函数的单调区间；
(2)若x∈[0,3]，求函数的最大值和最小值．
答案与解析
1.答案：C
解析：画出函数f(x)＝2x－1(x<0)的图象，如图中实线部分，由图象可知，函数f(x)＝2x－1(x<0)是增函数，无最大值及最小值，故选C.
2.答案：C
解析：因为f(x)＝－(x－2)2＋4＋a，由x∈[0,1]可知当x＝0时，f(x)取得最小值，及－4＋4＋a＝－2，所以a＝－2，所以f(x)＝－(x－2)2＋2，当x＝1时，f(x)取得最大值为－1＋2＝1.故选C.
3.答案：C
解析：因为2x2－3x≤0，即，，所以最小值为1，最大值为，故选C.
4.答案：D
解析：当0≤x≤1,0≤f(x)≤2；当15.答案：3
解析：因为当x∈N
时，原函数为单调递增函数，所以当x＝1时，原函数取得最小值为3.
6.答案：f(－2) f(6)
解析：画出f(x)的一个大致图象，由图象可知最大值为f(6)，最小值为f(－2)，或根据单调性和最大(小)值的定义求解．
7.解：因为给出的一次函数为单调递减函数，所以f(－1)＝－4×(－1)＋1＝5为最大值，f(3)＝－4×3＋1＝－12＋1＝－11为最小值，所以原函数的值域为[－11,5]．
(2)因为给出的函数为二次函数，且对称轴为x＝1，所以原函数在区间[2,3]上为单调递增函数，所以原函数的值域为[1,7]．
8.解：设售价为x元，利润为y元，则
y＝[500－(x－50)×10](x－40)
＝(1
000－10x)(x－40)＝－10x2＋1
400x－40
000
＝－10(x－70)2＋9
000，所以售价为70元时，ymax＝9
000(元)．
即为得到最大利润，售价应为70元，最大利润为9
000元．
百尺竿头
更进一步
解：(1)y＝－x2＋4x－2＝－(x－2)2＋2，x∈[0,5]，所以此函数的单调区间为[0,2)，[2,5]．
(2)
此函数在区间[0,2)上是增函数，在区间[2,3]上是减函数，结合函数的图象知：当x＝2时，函数取得最大值，最大值为2；又x＝3时，y＝1，x＝0时，y＝－2，所以函数的最小值为－2.1.3.2
奇偶性
课后训练
基础巩固
1．若函数y＝f(x)是奇函数，则下列坐标表示的点在y＝f(x)的图象上的是( )
A．(a，－f(a))
B．(－a，－f(a))
C．(－a，－f(－a))
D．(a，f(－a))
2．下列判断正确的是( )
A．函数f(x)＝是奇函数
B．函数f(x)＝(1－x)是偶函数
C．函数f(x)＝x＋是非奇非偶函数
D．函数f(x)＝1既是奇函数又是偶函数
3．有下面四个结论：
①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)＝0(xR)．
其中正确结论的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
4．若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
5．函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x＞0时，f(x)＝－x＋1，则当x＜0时，f(x)的表达式为( )
A．－x＋1
B．－x－1
C．x＋1
D．x－1
6．设函数f(x)＝为奇函数，则实数a＝__________．
7．设函数f(x)为奇函数，若f(－2)＋f(－1)－3＝f(1)＋f(2)＋3，则f(1)＋f(2)＝__________．
8．设函数y＝f(x)是偶函数，它在区间[0,1]上的图象如图，则它在区间[－1,0]上的解析式为__________．
9．判断函数f(x)＝的奇偶性．
能力提升
10．定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2[0，＋∞)(x1≠x2)，有＜0，则( )
A．f(3)＜f(－2)＜f(1)
B．f(1)＜f(－2)＜f(3)
C．f(－2)＜f(1)＜f(3)
D．f(3)＜f(1)＜f(－2)
11．已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，则f(2)等于( )
A．－26
B．－18
C．－10
D．10
12．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在区间(－∞，0]上是减函数，且f(2)＝0，则使f(x)＜0成立的x的取值范围是( )
A．(－∞，2)
B．(2，＋∞)
C．(－∞，－2)(2，＋∞)
D．(－2,2)
13．已知函数f(x)为奇函数，当1≤x≤4时，f(x)＝x2－4x＋5，则当－4≤x≤－1时，f(x)的最小值是( )
A．－6
B．－5
C．－2
D．－1
14．已知函数f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3是偶函数，则f(－1)，f()，f()由小到大的顺序是__________．
15．设f(x)是R上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，则f(7.5)＝__________．
16．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)＜的x的取值范围是__________．
17．(压轴题)已知函数f(x)的定义域是(－∞，0)(0，＋∞)，对定义域内的任意x1，x2都有f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)，且当x＞1时f(x)＞0，f(2)＝1．
(1)求证：f(x)是偶函数；
(2)求证：f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数；
(3)试比较与的大小．
错题记录
错题号
错因分析
参考答案
1．B 点拨：因为y＝f(x)是奇函数，故f(－a)＝－f(a)，即(－a，－f(a))在y＝f(x)的图象上．
2．C 点拨：对于A，函数f(x)＝的定义域是(－∞，2)(2，＋∞)，不关于原点对称，故不是奇函数；对于B，函数f(x)＝(1－x)的定义域是[－1,1)，不关于原点对称，故不是奇函数；对于C，函数f(x)＝x＋的定义域为(－∞，－1][1，＋∞)，定义域关于原点对称，但f(－x)≠－f(x)，且f(－x)≠f(x)，故函数是非奇非偶函数；对于D，f(x)＝1只是偶函数．
3．A 点拨：偶函数的图象关于y轴对称，但不一定与y轴相交，因此③正确，①错误．奇函数的图象关于原点对称，但不一定经过原点，因此②不正确．若y＝f(x)既是奇函数又是偶函数，由定义可得f(x)＝0，但不一定xR，故④错误．
4．A 点拨：由f(－x)＝f(x)知b＝0，
于是g(x)＝ax3＋cx，而g(－x)＝－ax3－cx＝－g(x)．故g(x)为奇函数．
5．B 点拨：当x＜0时，f(x)＝－f(－x)＝－[－(－x)＋1]＝－x－1．
6．－1 点拨：函数定义域为(－∞，0)(0，＋∞)，f(1)＝2(1＋a)，f(－1)＝0，
又f(－1)＝－f(1)，所以2(1＋a)＝0．所以a＝－1．
7．－3 点拨：∵函数f(x)为奇函数，∴f(－2)＋f(－1)＝－f(2)－f(1)．又由已知得－f(2)－f(1)－3＝f(1)＋f(2)＋3．故f(1)＋f(2)＝－3．
8．f(x)＝x＋2 点拨：由题意知f(x)在区间[－1,0]上为一线段，且过(－1,1)，(0,2)两点，设f(x)＝kx＋b，x[－1,0]，将(－1,1)，(0,2)代入得k＝1，b＝2．
9．解：函数的定义域是(－∞，0)(0，＋∞)．
①当x＞0时，－x＜0，
则f(－x)＝(－x)3＋3(－x)2－1＝－x3＋3x2－1＝－(x3－3x2＋1)＝－f(x)．
②当x＜0时，－x＞0，
则f(－x)＝(－x)3－3(－x)2＋1＝－x3－3x2＋1＝－(x3＋3x2－1)＝－f(x)．
由①②知，当x(－∞，0)(0，＋∞)时，都有f(－x)＝－f(x)．
因此f(x)为奇函数．
10．A 点拨：由＜0，得f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减，
又函数f(x)是偶函数，故f(－2)＝f(2)，
因此f(3)＜f(2)＜f(1)，从而f(3)＜f(－2)＜f(1)，应选A．
11．A 点拨：令g(x)＝x5＋ax3＋bx，
由于g(－x)＝(－x)5＋a(－x)3＋b(－x)＝－(x5＋ax3＋bx)＝－g(x)，则g(x)是奇函数，
于是可得f(x)＝g(x)－8，
f(－2)＝g(－2)－8＝－g(2)－8＝10，即g(2)＝－18．
故f(2)＝g(2)－8＝－18－8＝－26．
12．D 点拨：由函数f(x)的性质可画出其草图，如图所示．
则当f(x)＜0时，－2＜x＜2．
13．B 点拨：因为奇函数的图象关于原点对称，所以只需求f(x)＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1在1≤x≤4时的最大值．因为f(4)＝5最大，所以当－4≤x≤－1时，f(－4)＝－5最小．
14．f()＜＜f(－1) 点拨：∵所给函数为偶函数，∴m＝0．∴f(x)＝－x2＋3，该函数在区间(0，＋∞)上是减函数．∴＜＜f(1)，即＜＜f(－1)．
15．－0.5 点拨：由已知得f(7.5)＝f(5.5＋2)＝－f(5.5)＝－f(3.5＋2)＝f(3.5)＝f(1.5＋2)＝－f(1.5)＝－f(－0.5＋2)＝f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5．
16． 点拨：因为函数f(x)为偶函数，所以由f(2x－1)＜可得f(|2x－1|)＜．又因为函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，所以|2x－1|＜，即＜2x－1＜，解得＜x＜．
17．(1)证明：函数的定义域是(－∞，0)(0，＋∞)．
令x1＝x2＝1，得f(1×1)＝f(1)＋f(1)，
即f(1)＝0．
令x1＝x2＝－1，得f(1)＝f((－1)×(－1))＝f(－1)＋f(－1)，
即2f(－1)＝0，从而可知f(－1)＝0．
因此f(－x)＝f(－1·x)＝f(－1)＋f(x)＝f(x)．
故f(x)是偶函数．
(2)证明：设0＜x1＜x2，
则f(x2)－f(x1)＝－f(x1)
＝f(x1)＋－f(x1)＝，
∵x2＞x1＞0，∴＞1．
∴，即f(x2)－f(x1)＞0．
∴f(x2)＞f(x1)，即f(x1)＜f(x2)．
∴f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数．
(3)解：由(1)知f(x)是偶函数，
则有，
由(2)知f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数，
则，因此．1.3.1
单调性与最大（小）值
课后训练
1．函数f(x)在R上是减函数，则有( )．
A．f(3)＜f(5)
B．f(3)≤f(5)
C．f(3)＞f(5)
D．f(3)≥f(5)
2．设f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是减函数，则实数a的取值范围是( )．
A．a≥
B．a≤
C．a＞－
D．a＜
3．下列命题正确的是( )．
A．定义在(a，b)上的函数f(x)，若存在x1，x2∈(a，b)，使得x1＜x2时有f(x1)＜f(x2)，那么f(x)在(a，b)上为增函数
B．定义在(a，b)上的函数f(x)，若有无穷多对x1，x2∈(a，b)，使得x1＜x2时有f(x1)＜f(x2)，那么f(x)在(a，b)上为增函数
C．若f(x)在区间A上为减函数，在区间B上也为减函数，则f(x)在A∪B上也为减函数
D．若f(x)在区间I上为增函数且f(x1)＜f(x2)(x1，x2∈I)，那么x1＜x2
4．定义在R上的函数f(x)，对任意x1，x2∈R(x1≠x2)，有＜0，则( )．
A．f(3)＜f(2)＜f(1)
B．f(1)＜f(2)＜f(3)
C．f(2)＜f(1)＜f(3)
D．f(3)＜f(1)＜f(2)
5．若二次函数y＝ax2＋b在[0，＋∞)上是减函数，则点P(a，b)在平面直角坐标系中位于( )．
A．第一象限
B．第二象限
C．y轴左侧
D．y轴右侧
6．如图所示为函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，则函数f(x)的单调递增区间是__________．
7．已知函数f(x)＝(k≠0)在区间(0，＋∞)上是增函数，则实数k的取值范围是__________．
8．函数f(x)＝－2x2＋mx＋1在区间[1,4]上是单调函数，则实数m的取值范围是__________．
9．判断并证明函数f(x)＝－＋1在(0，＋∞)上的单调性．
10．(能力拔高题)(1)写出函数y＝x2－2x的单调区间及其图象的对称轴，观察：在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点？
(2)写出函数y＝|x|的单调区间及其图象的对称轴，观察：在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点？
(3)定义在[－4,8]上的函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，y＝f(x)的部分图象如图所示，请补全函数y＝f(x)的图象，并写出其单调区间，观察：在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点？
(4)由以上你发现了什么结论？(不需要证明)
参考答案
1.
答案：C ∵函数f(x)在R上是减函数，且3＜5，
∴f(3)＞f(5)．
2.
答案：D 当2a－1＜0，即a＜时，f(x)是减函数．
3.
答案：D
4.
答案：A 对任意x1，x2∈R(x1≠x2)，有＜0，则x2－x1与f(x2)－f(x1)异号，故f(x)在R上是减函数．又3＞2＞1，则f(3)＜f(2)＜f(1)．
5.
答案：C ∵二次函数y＝ax2＋b的对称轴是y轴，且在[0，＋)上是减函数，∴a＜0，bR，则点P(a，b)位于y轴左侧．
6.
答案：[－1.5,3]和[5,6]
7.
答案：(－，0) 函数f(x)是反比例函数，若k＞0，函数f(x)在区间(－，0)和(0，＋)上是减函数；若k＜0，函数f(x)在区间(－，0)和(0，＋)上是增函数，所以有k＜0.
8.
答案：(－，4][16，＋) 二次函数f(x)的对称轴是直线x＝，又二次函数在对称轴的两侧的单调性相反，则(1,4)，所以≤1或≥4，即m≤4或m≥16.
9.
答案：解：函数f(x)＝＋1在(0，＋)上是增函数．证明如下：
设x1，x2是(0，＋)上的任意两个实数，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝，
由x1，x2(0，＋)，得x1x2＞0，
又由x1＜x2，得x1－x2＜0，
于是f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
∴f(x)＝＋1在(0，＋)上是增函数．
10.
答案：解：(1)函数y＝x2－2x的单调递减区间是(－，1]，单调递增区间是[1，＋∞)；对称轴是直线x＝1；区间(－，1]和区间[1，＋)关于直线x＝1对称，函数y＝x2－2x在对称轴两侧的单调性相反．
(2)函数y＝|x|的单调递减区间是(－，0]，单调递增区间是[0，＋)；对称轴是y轴，即直线x＝0；区间(－，0]和区间[0，＋)关于直线x＝0对称，函数y＝|x|在对称轴两侧的单调性相反．
(3)函数y＝f(x)，x[－4,8]的图象如图所示．
函数y＝f(x)的单调递增区间是[－4，－1]，[2,5]；单调递减区间是[5,8]，[－1,2]；区间[－4，－1]和区间[5,8]关于直线x＝2对称．区间[－1，2]和区间[2,5]关于直线x＝2对称，函数y＝f(x)在对称轴两侧对称区间内的单调性相反．
(4)可以发现结论：如果函数y＝f(x)的图象关于直线x＝m对称，那么函数y＝f(x)在直线x＝m两侧对称区间内的单调性相反．1.3
函数的基本性质
函数奇偶性的概念
课后训练
千里之行
始于足下
1．对于定义域是R的任意奇函数f(x)，都有( )．
A．f(x)－f(－x)>0
B．f(x)－f(－x)≤0
C．f(x)·f(－x)≤0
D．f(x)·f(－x)>0
2．设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是( )．
A．f(x)f(－x)是奇函数
B．f(x)|f(－x)|是奇函数
C．f(x)－f(－x)是偶函数
D．f(x)＋f(－x)是偶函数
3．若函数f(x)＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a等于( )．
A．－2
B．－1
C．1
D．2
4．奇函数y＝f(x)(x∈R)的图象必定经过点( )．
A．(a，f(－a))
B．(－a，f(a))
C．(－a，－f(a))
D．
5．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(－2a－3≤x≤1)是偶函数，则a＝________，b＝________.
6．已知函数y＝f(x)是偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是________．
7．如图是偶函数f(x)的x≥0时的图象，请作出x<0时的图象．
8．已知f(x)＝(m2－1)x2＋(m－1)x＋n＋2，问m，n为何值时，f(x)为奇函数？
百尺竿头
更进一步
设a为实数，函数f(x)＝x2＋|x－a|＋1，x∈R.
讨论f(x)的奇偶性；(2)求f(x)的最小值．
答案与解析
1.答案：C
解析：对任意奇函数f(x)，有f(－x)＝－f(x)．
∴f(x)·f(－x)＝－[f(x)]2≤0，故选C.
2.答案：D
解析：用奇偶性定义判断．
设g(x)＝f(x)＋f(－x)，
则g(－x)＝f(－x)＋f(x)＝g(x)，
∴f(x)＋f(－x)是偶函数，∴选D.
3.答案：C
解析：利用定义求值．
∵f(x)＝(x＋1)(x－a)为偶函数，
∴f(－x)＝f(x)．
即(－x＋1)(－x－a)＝(x＋1)(x－a)，
∴x·(a－1)＝x·(1－a)，
故1－a＝0，∴a＝1，故选C.
4.答案：C
解析：∵y＝f(x)是奇函数，
∴f(－a)＝－f(a)．∴选C.
5.答案：－1 0
解析：∵f(x)是偶函数，
∴其定义域关于原点对称，
∴－2a－3＝－1，
∴a＝－1.
∴f(x)＝－x2＋bx＋c.
∵f(－x)＝f(x)，
∴－(－x)2＋b(－x)＋c＝－x2＋bx＋c.
∴－b＝b，∴b＝0.
6.答案：0
解析：偶函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，∴f(x)与x轴的四个交点也关于y轴对称．因此，若一根为x1，则它关于y轴对称的根为－x1；若一根为x2，则它关于y轴对称的根为－x2，故f(x)＝0的四根之和为x1＋(－x1)＋x2＋(－x2)＝0.
7.解：偶函数的图象关于y轴对称，由对称性可以作出函数f(x)的x<0时的图象，如图中y轴左边的部分．
8.解：可以利用定义f(－x)去求m，n；也可以取特殊值求m，n.已知f(x)为定义在R上的奇函数，令x＝0，得f(0)＝n＋2＝0，得n＝－2.取特殊值，令x＝－1，x＝1，则f(－1)＋f(1)＝(m2－1＋1－m)＋(m2－1＋m－1)＝2(m2－1)＝0，得m＝±1.又由于m＝1，n＝－2时，f(x)＝0，既为奇函数又为偶函数，舍去．
所以，当m＝－1，n＝－2时，f(x)为奇函数．
百尺竿头
更进一步
解：(1)当a＝0时，f(－x)＝(－x)2＋|－x|＋1＝f(x)．此时f(x)为偶函数；
当a≠0时，f(a)＝a2＋1，f(－a)＝a2＋2|a|＋1，∴f(－a)≠f(a)，f(－a)≠－f(a)，此时函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
(2)①当x≤a时，函数，若，则函数f(x)在(－∞，a]上单调递减，
∴函数f(x)在(－∞，a]上的最小值为f(a)＝a2＋1；
若，则函数f(x)在(－∞，a]上的最小值为，且．
②当x≥a时，函数，
若，则函数f(x)在[a，＋∞)上最小值为，且；
若，则函数f(x)在[a，＋∞)上单调递增，
∴函数f(x)在[a，＋∞)上的最小值是f(a)＝a2＋1.
综上，当时，函数f(x)的最小值是，当时，函数f(x)的最小值是a2＋1，当时，函数f(x)的最小值是.1.3
函数的基本性质
课后导练
基础达标
1.已知函数y=-kx+2在(-∞,+∞)上单调递减，则k的取值范围是（
）
A.k<0
B.k>0
C.k=0
D.不确定
解析：由一次函数的单调性可知：-k<0,
∴k>0.
答案：B
2.设f(x)、g(x)都是单调函数，有如下四个命题，其中正确的命题为（
）
①若f(x)单调递增，g(x)单调递增，则f(x)-g(x)单调递增
②若f(x)单调递增，g(x)单调递减，则f(x)-g(x)单调递增
③若f(x)单调递减，g(x)单调递增，则f(x)-g(x)单调递减
④若f(x)单调递减，g(x)单调递减，则f(x)-g(x)单调递减
A.①③
B.①④
C.②③
D.②④
解析：由函数单调性定义可得：②③正确，也可举反例否定①④命题.
答案：C
3.如果二次函数y=x2+(m-2)x+4在［1,+∞］上单调递增，则m的取值范围是（
）
A.m≤0
B.m≥0
C.m≤4
D.m≥4
解析：-≤1,即m≥0.
答案：B
4.下列函数中，在区间(0,+∞)上是增函数的是（
）
A.y=
B.y=2x-1
C.y=1-2x
D.y=(2x-1)2
解析：由基本初等函数的性质可知选B.
答案：B
5.已知函数f(x)在［-2,3］上单调，且f(-2)·f(3)<0,则方程f(x)=0在［-2,3］内…（
）
A.至少有一实根
B.至多有一实根
C.没有实根
D.必有唯一实根
解析：由于f(x)在［-2，3］上单调，又f(-2)·f(-3)<0,∴y=f(x)在［-2，3］上必与x轴有一交点，如右图.故选D.
答案：D
6.设函数f(x)(x∈R)为奇函数，f(1)=,f(x+2)=f(x)+f(2),则f(5)等于（
）
A.0
B.1
C.
D.5
解析：∵f(x+2)=f(x)+f(2),且f(x)为奇函数，f(1)=,
∴f(1)=f(-1+2)=f(-1)+f(2)=-f(1)+f(2).
∴f(2)=2f(1)=2×=1.
∴f(5)=f(3+2)=f(3)+f(2)=f(1+2)+f(2)=2f(2)+f(1)=.
答案：C
7.若f(x)=(m-1)x2+mx+3(x∈R)的图象关于y轴对称，则f(x)的单调递增区间为___________.
解析：∵由条件得-=0,∴m=0,
∴y=-x2+3,故增区间为（-∞,0］.
答案：（-∞,0）
8.f(x)是定义在R上的增函数，有下列函数：①y=［f(x)］2是增函数；②y=是减函数；③y=-f(x)是减函数；④y=|f(x)|是增函数.其中错误的结论是_______________.
解析：利用单调函数的定义判断.
答案：①②④
9.已知函数f(x)=x2+mx在(-∞,-1)上递减，在［-1,+∞］上递增，则f(x)在［-2,2］上的值域为
____________________.
解析：由条件知：-=-1,∴m=2.
∴f(x)=x2+2x,∴ymin=-1,ymax=f(2)=8.
答案：［-1，8］
10.若一次函数y=mx+b在(-∞,+∞)上单调递减，函数y=的单调区间为_________.
解析：由条件得m<0,∴y=的减区间为（-∞,-m）或(-m,+∞).(如右图所示)
答案：（-∞,-m）或(-m,+∞)
综合运用
11.下列函数在（-∞,0）上为增函数的有（
）
①y=|x|
②y=
③y=-
④y=x+
A.①和②
B.②和③
C.③和④
D.①和④
解析：当x∈(-∞,0)时y=-x为减函数.y==-1为常数函数.y=-=x为增函数，y=x+=x-1为增函数，∴③④两函数在（-∞,0）上是增函数.
答案：C
12.设函数f(x)是（-∞,+∞）上的减函数，则（
）
A.f(a)>f(2a)
B.f(a2)C.f(a2+a)D.f(a2+1)解析：∵a2+1-a=(a-)2+>0,
∴a2+1>a.
∵f(x)在(-∞,+∞)上为减函数，
∴f(a2+1)答案：D
13.函数y=的单调递减区间是_________________.
解析：解y==-1+,可得减区间是（-∞,-1）和（-1，+∞）.
答案：（-∞,-1）和（-1，+∞）
14.用定义证明y=-x3+1在（-∞,+∞）是减函数.
证明：设x10,
Δy=f(x2)-f(x1)=(-x23+1)-(-x13+1)
=x13-x23=(x1-x2)(x12+x1x2+x22)
=(x1-x2)［(x1+)2+x22］.
∵x1-x2=-Δx<0,
(x1+)2≥0,x22≥0且x1≠x2,
∴(x1+)2+x22>0，
∴Δy<0，即函数f（x）=-x3+1在（-∞,+∞）上是递减函数.
拓展探究
15.求函数y=2x-1-的最大值.
解法一：∵令t=
(t≥0)，则x=,∴y=-1-t=--t+=-(t+1)2+6.
∵t≥0,∴y=-
(t+1)2+6在［0,+∞］上为减函数，
∴当t=0时，y有最大值.
解法二：函数的定义域为（-∞,）.
∵2x-1在（-∞,）上递增，在（-∞,）上递减，
∴y=2x-1-在（-∞,）上为增函数.
∴当x=时，y有最大值.