1.1.3
集合的基本运算
课后训练
基础巩固
?1．若集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x＜1}，则AB＝( )
A．{x|x＜1}
B．{x|－1≤x≤2}
C．{x|－1≤x≤1}
D．{x|－1≤x＜1}
2．设全集U＝{a，b，c，d，e}，集合M＝{a，c，d}，N＝{b，d，e}，那么(UM)(UN)是( )
A．
B．{d}
C．{a，c}
D．{b，e}
3．已知全集U＝Z，集合A＝{－1,0,1,2}，B＝{x|x2＝x}，则A(UB)为( )
A．{－1,2}
B．{1,2}
C．{－1,0}
D．{－1,0,2}
4．已知集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若AB＝{0,1,2,4,16}，则a的值为( )
A．0
B．1
C．2
D．4
5．第三十届夏季奥林匹克运动会于2012年在伦敦举行，若集合A＝{参加伦敦奥运会比赛的运动员}，集合B＝{参加伦敦奥运会比赛的男运动员}，集合C＝{参加伦敦奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是( )
A．AB
B．BC
C．AB＝C
D．BC＝A
6．设集合M＝{1,2,3}，则满足MN＝{1,2,3,4,5}的集合N的个数是( )
A．1
B．3
C．4
D．8
7．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝3}，B＝{(x，y)|x－y＝1}，则AB＝( )
A．{2,1}
B．{x＝2，y＝1}
C．{(2,1)}
D．(2,1)
8．已知集合A＝{x|x＜1，或x＞5}，B＝{x|a≤x≤b}，且AB＝R，AB＝{x|5＜x≤6}，则2a－b＝__________．
9．已知集合A＝{x|x2＋ax＋12b＝0}，B＝{x|x2－ax＋b＝0}，且满足(RA)B＝{2}，A(RB)＝{4}，求实数a，b的值．
能力提升
10．对于集合A，B，定义A－B＝{x|xA，且xB}，AB＝(A－B)(B－A)．设M＝{1,2,3,4,5,6}，N＝{4,5,6,7,8,9,10}，则MN中元素个数为( )
A．5
B．6
C．7
D．4
11．若集合A＝{1,3，x}，B＝{1，x2}，AB＝{1,3，x}，则满足条件的实数x有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
12．设非空集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|3≤x≤22}，则能使A(AB)成立的a的集合是__________．
13．已知集合A＝{x|x2－px＋15＝0}，B＝{x|x2－ax－b＝0}，且AB＝{2,3,5}，AB＝{3}，求p，a，b的值．
14．已知集合A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x＜0，或x＞4}，若AB＝，求a的取值范围．
15．已知集合A＝{y|y＞a2＋1，或y＜a}，B＝{y|2≤y≤4}，若AB≠，求实数a的取值范围．
错题记录
错题号
错因分析
参考答案
1．D 点拨：由交集的定义得{x|－1≤x≤2}{x|x＜1}＝{x|－1≤x＜1}．
2．A 点拨：方法一：(UM)(UN)＝U(MN)＝UU＝．
方法二：(UM)(UN)＝{b，e}{a，c}＝．
3．A 点拨：∵B＝{x|x2＝x}＝{0,1}，
∴UB＝{xZ|x≠0,1}．
∴A(UB)＝{－1,2}．
4．D 点拨：由已知得或解之得a＝4．
5．D
6．D 点拨：由题意可知集合N中一定含有元素4,5，方法一：本题实际上就是求集合M＝{1,2,3}的子集个数，共有23＝8个．方法二：将集合N的所有情况一一列举出来，集合N的所有情况有：{4,5}，{1,4,5}，{2,4,5}，{3,4,5}，{1,2,4,5}，{1,3,4,5}，{2,3,4,5}，{1,2,3,4,5}．
7．C 点拨：AB＝
8．－4 点拨：如图所示，
(第8题图)
可知a＝1，b＝6,2a－b＝－4．
9．解：由条件(RA)B＝{2}和A(RB)＝{4}，知2B，但2A；4A，但4B．
将x＝2和x＝4分别代入B，A两集合中的方程得即
解得，．
10．C 点拨：∵M＝{1,2,3,4,5,6}，N＝{4,5,6,7,8,9,10}，
∴M－N＝{x|xM，且xN}＝{1,2,3}，
N－M＝{x|xN，且xM}＝{7,8,9,10}．
∴MN＝(M－N)(N－M)＝{1,2,3}{7,8,9,10}＝{1,2,3,7,8,9,10}．
11．C 点拨：∵AB＝{1,3，x}，A＝{1,3，x}，B＝{1，x2}，
∴AB＝A，即BA．
∴x2＝3或x2＝x．
①当x2＝3时，得x＝．
若，则A＝{1,3，}，B＝{1,3}，符合题意；
若，则A＝{1,3，}，B＝{1,3}，符合题意．
②当x2＝x时，则x＝0或x＝1．
若x＝0，则A＝{1,3,0}，B＝{1,0}，符合题意；
若x＝1，则A＝{1,3,1}，B＝{1,1}，不成立，舍去．
综上可知，或x＝0．故选C．
12．{a|6≤a≤9} 点拨：∵A(AB)，∴AB．
∵A≠，则2a＋1≤3a－5，∴a≥6．
∴由3≤2a＋1≤3a－5≤22，解得6≤a≤9．
13．解：∵AB＝{3}，∴3A．
∴3是方程x2－px＋15＝0的一个根．
∴32－3p＋15＝0．∴p＝8．∴A＝{3,5}．
又∵AB＝{2,3,5}，AB＝{3}，
∴B＝{2,3}．
∴由韦达定理可知
∴a＝5，b＝－6．
14．解：画数轴如图所示．
(1)若A＝，则2a＞a＋3，即a＞3，此时AB＝．
(2)若A≠，由AB＝，
得
由(1)，(2)知，所求a的取值范围是{a|0≤a≤1，或a＞3}．
15．解：因为A＝{y|y＞a2＋1，或y＜a}，B＝{y|2≤y≤4}，我们不妨先考虑当AB＝时a的取值范围．
若AB＝，则有得
故a≤或≤a≤2．
因此AB＝时，a的取值范围为a≤或≤a≤2．
而AB≠时，a的取值范围显然是其补集，故所求实数a的取值范围是{a|a＞2，或＜a＜}．1.1.2
集合间的基本关系
课后训练
1．下列关系正确的是( )．
A．0N
B．1R
C．πQ
D．－3Z
2．集合{(x，y)|y＝2x－1}表示( )．
A．方程y＝2x－1
B．点(x，y)
C．平面直角坐标系中的所有点组成的集合
D．函数y＝2x－1图象上的所有点组成的集合
3．已知集合M中的元素a，b，c是△ABC的三边长，则△ABC一定不是( )．
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．等腰三角形
4．2010年10月31日，为期6个月的上海世博会落幕．本次世博会的主题是：城市，让生活更美好．副主题是：城市多元文化的融合；城市经济的繁荣；城市科技的创新；城市社区的重塑；城市和乡村的互动．共有189个国家、57个国际组织参展上海世博会．设上海世博会的展馆组成的集合为M，上海世博会的志愿者组成的集合为Q，下列表示集合M和Q正确的是( )．
A．M＝{x|x是上海世博会展馆}，Q＝{x|x是志愿者}
B．M＝{x|x是世博会展馆}，Q＝{x|x是上海世博会的志愿者}
C．M＝{x|x是世博会展馆}，Q＝{x|x是志愿者}
D．M＝{x|x是上海世博会展馆}，Q＝{x|x是上海世博会的志愿者}
5．设集合A＝，若x1A，x2A，则必有( )．
A．x1＋x2A
B．x1x2A
C．x1－x2A
D.A
6．集合{xN|2x－5＜0}中所有元素的和为__________．
7．已知集合C＝，用列举法表示C＝__________.
8．集合A＝{x|x2－2x＋m＝0}含有两个元素，则实数m满足的条件是__________．
9．用适当的方法表示下列集合：
(1)不超过10的非负偶数组成的集合；
(2)大于10的所有自然数组成的集合．
10．(能力拔高题)若集合A＝{x|x＝3n＋1，nZ}，B＝{x|x＝3n＋2，nZ}，M＝{x|x＝6n＋3，nZ}．若mM，问是否存在a∈A，bB，使m＝a＋b
参考答案
1.
答案：A
2.
答案：D
3.
答案：D ∵aM，bM，cM，∴a，b，c互不相等．
∴△ABC一定不是等腰三角形．
4.
答案：D A项中，集合Q中的元素是志愿者，没有指明是上海世博会的志愿者，所以A项不正确；B项中，集合M是世博会展馆，没有指明是上海世博会展馆，所以B项不正确；同理，C项也不正确；很明显D项正确．
5.
答案：B 如果元素具有(nN)的形式，则这个元素属于集合A.
由于x1A，x2A，可设x1＝(mN)，x2＝(kN)．
又x1x2＝m＋kN，
则x1x2A，故B项正确；取，
，可验证A项、C项、D项都是错误的．
6.
答案：3 {xN|2x－5＜0}＝＝{0,1,2}，0＋1＋2＝3.
7.
答案：{1,2,4,5,6,9} 由题意知3－x＝±1，±2，±3，±6，
∴x＝0，－3,1,2,4,5,6,9.
又∵xN
，
∴C＝{1,2,4,5,6,9}．
8.
答案：m＜1 集合A是关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0的解集，由A中含有两个元素，知Δ＝4－4m＞0，故m＜1.
9.
答案：解：(1)不超过10的非负偶数有0,2,4,6,8,10，共6个，故可用列举法表示为{0,2,4,6,8,10}．
(2)大于10的所有自然数有无数个，故可用描述法表示为{x|x＞10，xN}．
10.
答案：分析：由mM，可写出m的表达式，再根据A，B中元素的特征，寻找a，b.
解：设m＝6k＋3＝(3k＋1)＋(3k＋2)(kZ)，
令a＝3k＋1，b＝3k＋2，则m＝a＋b.
由kZ，知aA，bB.
故若mM，一定存在aA，bB，使m＝a＋b成立．1.1.3
集合的基本运算
课后训练
1．若集合A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|0＜x＜2}，则集合A∪B等于( )
A．{x|0＜x＜1}
B．{x|1＜x＜2}
C．{x|－2＜x＜2}
D．{x|－2＜x＜0}
2．已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P的子集共有( )
A．2个
B．4个
C．6个
D．8个
3．若A＝{(x，y)|x＋y＝3}，B＝{(x，y)|x－y＝1}，则A∩B等于( )
A．{(1,2)}
B．(2,1)
C．{(2,1)}
D．
4．集合A＝{a2，a＋1，－1}，B＝{2a－1，|a－2|,3a2＋4}，A∩B＝{－1}，则a的值是( )
A．－1
B．0或1
C．2
D．0
5．若集合A＝{参加2012年奥运会的运动员}，集合B＝{参加2012年奥运会的男运动员}，集合C＝{参加2012年奥运会的女运动员}，则下列关系正确的是( )
A．AB
B．BC
C．A∩B＝C
D．B∪C＝A
6．设A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x＜0，或x≥2}，则A∩B＝______，A∪B＝______.
7．已知集合A＝{x|x＜－2，或x＞4}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝{x|x＜－2，或x≥a}，则实数a的取值范围是__________．
8．已知集合A＝{x|2＜x≤5}，B＝{x|x＜a}，若A∩B≠，则a的取值范围为________．
9．已知集合A＝{x|－4≤x≤2}，B＝{x|－1＜x≤3}，P＝.求A∪B，A∩P，(A∩B)∪P.
10．已知A＝{x|a＜x≤a＋8}，B＝{x|x＜－1，或x＞5}．若A∪B＝R，求a的取值范围．
参考答案
1答案：C
2答案：B
3答案：C
4答案：D
5答案：D
6答案：{x|2≤x≤3} {x|x＜0，或x≥1}
7答案：－2＜a≤4
8答案：a＞2
9答案：解：A∪B＝{x|－4≤x≤2}∪{x|－1＜x≤3}＝{x|－4≤x≤3}，
A∩P＝{x|－4≤x≤2}∩＝{x|－4≤x≤0}，
∵A∩B＝{x|－4≤x≤2}∩{x|－1＜x≤3}＝{x|－1＜x≤2}，
∴(A∩B)∪P＝{x|－1＜x≤2}∪＝.
10答案：解：在数轴上标出集合A，B，如图．
要使A∪B＝R，则
解得－3≤a＜－1.
综上可知，a的取值范围为－3≤a＜－1.1.1.2
集合间的基本关系
课后训练
基础巩固
?1．已知集合M＝{1}，N＝{1,2,3}，则有( )
A．M＜N
B．MN
C．NM
D．MN
2．已知全集U＝R，则正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的Venn图是( )
3．已知集合A＝{x|x是菱形}，B＝{x|x是正方形}，C＝{x|x是平行四边形}，那么A，B，C之间的关系是( )
A．ABC
B．BAC
C．ABC
D．A＝BC
4．若集合A＝{x|0≤x＜3，xZ}，则集合A的子集个数为( )
A．5
B．6
C．7
D．8
5．下列关系式中正确的个数为( )
①{a，b}{a，b}；
②{a，b}＝{b，a}；
③{0}；
④0{0}；
⑤{0}；
⑥＝{0}；
⑦．
A．3
B．4
C．5
D．6
6．设集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|x＞a}，且AB，则实数a的取值范围是( )
A．a＜1
B．a≤1
C．a＞1
D．a≥1
7．已知集合A＝{－1,3,2m－1}，B＝{3，m2}，若BA，则实数m＝__________．
8．已知集合，，则M与N的关系是__________．
9．设集合A＝{－1,1}，B＝{x|x2－2ax＋b＝0}，若B≠，且BA，求实数a，b的值．
能力提升
10．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，aR}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值是( )
A．1
B．－1
C．0,1
D．－1,0,1
11．已知{1,2}A{1,2,3,4,5}，则满足条件的集合A的个数为( )
A．5
B．6
C．7
D．8
12．已知集合A＝{x|x＝a2＋1，aN}，B＝{y|y＝b2－4b＋5，bN}，则有( )
A．A＝B
B．AB
C．BA
D．AB
13．若xA，A，就称A是“亲密组合”集合，则集合的所有非空子集中，是“亲密组合”集合的个数为__________．
14．已知集合A＝{x|2a－2＜x≤a＋2}，B＝{x|－2≤x＜3}，且AB，求实数a的取值范围．
15．(压轴题)已知集合A＝{x|0＜x－a≤5}，．
(1)若AB，求实数a的取值范围；
(2)若BA，求实数a的取值范围；
(3)A与B能否相等？若能，求出a的值，若不能，请说明理由．
错题记录
错题号
错因分析
参考答案
1．D 点拨：∵1{1,2,3}，∴{1}{1,2,3}．故选D．
2．B 点拨：∵N＝{x|x2＋x＝0}＝{－1,0}，∴NM．故选B．
3．B 点拨：集合A，B，C之间的关系如图．
4．D 点拨：A＝{x|0≤x＜3，xZ}＝{0,1,2}．
因为含有n个元素的集合的所有子集个数为2n，所以A的子集个数为23＝8．
5．C 点拨：由子集的含义知{a，b}{a，b}，{a，b}＝{b，a}(无序性)，{0}，都成立；
由元素与集合的关系知0{0}．
而与{0}是两个不同的集合，故⑤⑥不正确．
6．B 点拨：如图，
∵AB，∴a≤1．
7．1 点拨：∵BA，又m2≠－1，∴m2＝2m－1，或m2＝3(舍去，不满足集合中元素的互异性)，即m2－2m＋1＝0，得m＝1，经检验，符合题意．
8．MN 点拨：∵，
∴，．
由于1＋2k是奇数，k＋2是整数，故MN．
9．解：由B≠，且BA知B＝{－1}或B＝{1}或B＝{－1,1}．
当B＝{－1}时，有解之得a＝－1，b＝1；
当B＝{1}时，有解之得a＝1，b＝1；
当B＝{－1,1}时，有解之得a＝0，b＝－1．
综上可知，a＝－1，b＝1或a＝1，b＝1或a＝0，b＝－1．
10．D 点拨：∵集合A有且仅有2个子集，∴A仅有一个元素，即方程ax2＋2x＋a＝0(aR)仅有一个根．
当a＝0时，方程化为2x＝0，
∴x＝0，此时A＝{0}，符合题意．
当a≠0时，Δ＝22－4·a·a＝0，即a2＝1，∴a＝±1．
此时A＝{－1}，或A＝{1}，符合题意．
∴a＝0或a＝±1．
11．C 点拨：符合条件的集合A有：{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，共7个．
12．A 点拨：对任意yB，有y＝b2－4b＋5＝(b－2)2＋1．
∵bN，∴(b－2)2N．
令b－2＝c，则y＝c2＋1，cN，
∴yA．∴BA．
对任意xA，有x＝a2＋1，aN．
不妨令a＝b－2，则xB，∴AB．
因此A＝B，应选A．
13．15 点拨：按照“亲密组合”集合的定义，符合条件的集合有{－1}，{1}，，，{－1,1}，，，，，，，，，，，共15个．
14．解：由已知AB．
(1)当A＝时，应有2a－2≥a＋2a≥4．
(2)当A≠时，由A＝{x|2a－2＜x≤a＋2}，B＝{x|－2≤x＜3}，
得
综合(1)(2)知，所求实数a的取值范围是{a|0≤a＜1，或a≥4}．
15．解：由题意知A＝{x|a＜x≤a＋5}，则
(1)若AB，则0≤a≤1．
此时所求a的取值范围是{a|0≤a≤1}．
(2)若BA，则≥6，或
解得a≤－12，或故a≤－12．
故BA时，a的取值范围是{a|a≤－12}．
(3)若A＝B，即{x|a＜x≤a＋5}＝，
则即
这不可能同时成立．因此A≠B．1.1.1
集合的含义与表示
课后导练
基础达标
1.给出的对象不能构成集合的是（
）
A.直角坐标系中横纵坐标互为相反数的点
B.平方后不等于9的实数
C.无限靠近2的实数x
D.方程x+y=3的解
解析:C中元素不满足确定性.
答案:C
2.下列集合中，不是方程(x-1)x(x+1)=0解集的集合是（
）
A.{1,0,-1}
B.{0,-1,1}
C.{x|x(x+1)(x-1)=0}
D.{(-1,0,1)}
解析:{(-1,0,1)}表示是一个有序数组的集合，该集合只含一个元素，不是方程（x-1）x(x+1)=0的解集.
答案：D
3.下列表示的关系中正确的个数有（
）
①0N
②3.14Q
③π∈R
④3∈{x|x≤}
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解析:①0∈N,②3.14是有理数，∴3.14∈Q,③π∈R显然正确，④3=,∴3{x|x≤},∴正确命题只有③.
答案:A
4.集合{x|x=+}中元素的个数有…（
）
A.2个
B.3个
C.4个
D.无法说清
解析:当a>0,b>0时，x=2;当a>0,b<0时，x=1-1=0;当a<0,b>0时，x=0;当a<0,b<0时，x=-1-1=-2,∴集合中含有3个元素，故选B.
答案:B
5.用列举法写出与集合A、B相等的集合.
A={x∈N|x≥1且x≤2}=________________;
B={x|x=1或x=2}=__________________.
答案：{1，2}
{1，2}
6.集合M={x∈N|x=5-m,m∈N}中元素的个数为_________________.
答案：6
7.用描述法表示在自然数中被7除余2的数为__________________.
答案：{x|x=7m+2,m∈N}
8.若1∈A={x|x2-a=0},则B={y|y=x+1,x∈A}=___________________.
解析：∵1∈A,∴a=1,
∴A={1,-1},B={y|y=x+1,x∈A}={2,0}.
答案：{y|y=2或y=0}
9.下列几组集合中哪些是表示相同的集合：
（1）集合M=，N={0}；
（2）集合M={x|x2-3x+2=0},N={y|y2-3y+2=0};
(3)集合M={x|x=2k-1,k∈Z},集合N={x=4k±1,k∈Z};
(4)集合M={π}，N={3.141
5}.
解析：分析集合中元素是否完全相同.
(1)M≠N.集合M为空集，N中有一元素为0；
（2）M=N.两个集合中的代表元素用的字母不同不影响实质；
（3）M=N.M={奇数}，N中集合的表达形式涉及到整数分类，4k,4k+1,4k+2,4k-1(或4k+3),k∈Z,所以{x|x=4k±1,k∈Z}={奇数}；
（4）M≠N.π是无理数，3.141
5是有理数，π≠3.141
5.
答案：（2）（3）表示相同集合
10.用适当的方法表示下列集合.
(1)2008年举办奥运会的国家所组成的集合；
(2)由0,1，2三个数字所组成的一切可能的无重复数字的自然数集合；
(3)直角坐标平面上y轴上的点的集合；
(4)方程组的解集.
答案：（1）{中国}
（2）{0，1，2，10，20，21，102，201，120，210};
（3）{（x,y）|x=0,y∈R};
(4){(,),(-,-)}.
综合运用
11.已知集合A={y|y=-x2+5x-4,x∈R},则有（
）
A.1∈A,且4∈A
B.1∈A,但4A
C.1A,但4∈A
D.1A,且4A
解析：集合A是二次函数y=-x2+5x-4中，y的取值范围，而不是一元二次方程-x2+5x-4=0的解集，而y=-x2+5x-4=-(x-)2+≤,故1∈A,但4A.
答案：B
12.已知集合M={m|m=a+b,a,b∈Q},则下列元素中属于集合M的元素个数是（
）
①m=1+π
②m=
③m=
④m=+
A.0
B.1
C.2
D.3
解析：①m=1+π2,πQ,故mM;
②m==2+M;
③m==1-∈M;
④m=(+)+(-)=6M.
故选B.
答案：B
13.集合M={y∈Z|y=,x∈Z}的元素个数是（
）
A.2个
B.4个
C.6个
D.8个
解析：将x=-11,-7,-5,-4,-2,-1,1,5代入y=分别得到y∈Z,故选D.
答案：D
14.设集合P={3，4，5}，Q={4，5，6，7},定义P
Q={（a,b）|a∈P,b∈Q},则P
Q中元素的个数是（
）
A.3个
B.7个
C.10个
D.12个
解析：（3，4）、（3，5）、（3，6）、（3，7）、（4，4）、（4，5）、（4，6）、（4，7）、（5，4）、（5，5）、（5，6）、（5，7），共12个元素.
答案：D
15.已知A={x∈N|∈N},试用列举法表示A.
解析：因为∈N(x∈N)所以6-x=1,2,3,4,6,12(x∈N)，即x=5,4,3,2,0.所以A={0，2，3，4，5}.
16.设A表示集合{2，3，a2+2a-3},B表示集合{|a+3|,2},已知5∈A且5B.求a的值.
解析：因为5∈A,5B,
所以,即
所以a=-4.
拓展探究
17.定集合中的元素有有限多个，则称该集合为有限集，集合中的元素有无限多个，称集合为无限集.不含任何元素的集合为空集.
当a、b满足什么条件时，集合A={x|ax+b=0}是有限集、无限集、空集？
解析：(1)当a≠0时，集合A={x|ax+b=0}={x|x=-}是有限集.
(2)当a=0时，ax+b=0变为0·x=-b,
①b=0时，0·x=0,x有无穷多解；
②b≠0时，0·x=b,无解.
则a=0且b=0时，集合是无限集；
a=0且b≠0时，集合是空集.
综上，a≠0时，集合A是有限集；
a=0且b=0时，集合A是无限集；
a=0且b≠0时，集合A是空集.
18.已知集合A={x|ax2+2x+1=0,a∈R,x∈R}：
(1)若A中只有一个元素，求a值，并求出这个集合；
（2）若A中至多具有一个元素，求a的取值范围.
解析：（1）当a=0时，方程2x+1=0只有一根x=-;当a≠0时，Δ=0即4-4a=0,所以a=1,这时x1=x2=-1.
所以，当a=0或a=1时，A中只有一个元素分别为-或-1，即A={-}或A={-1}.
(2)A中至多有一元素包括两种情形即A中有一个元素和A是空集.当A是空集时，则有,解得a>1;结合（1）知：
当a=0或a≥1时，A中至多有一个元素.1.1.2
集合间的基本关系
课后训练
1．下列各式错误的是( )．
A．{12}{x|x＜4}
B．0{x|x＞4}
C．{12}{x|x＞4}
D．{0}{x|x＜4}
2．集合A＝{0,1,2}的子集的个数是( )．
A．16
B．8
C．7
D．4
3．已知集合A＝{x|1＜x≤3}，B＝{x|x＜a}，若AB，则实数a满足的条件为( )．
A．a＞1
B．a≥1
C．a≥3
D．a＞3
4．含有三个元素的集合A可表示为，也可表示为{a2，a＋b,0}，则a2
010＋b2
011的值为( )．
A．0
B．2
C．1
D．－1
5．已知集合M＝，则集合M，N的关系是( )．
A．M＝N
B．MN
C．NM
D．NM
6．若{x|2x－a＝0}?{x|－1＜x＜3}，则a满足的条件是__________．
7．集合 {(x，y)|y＝3x＋b}，则b＝__________.
8．设A＝{xR|x2－5x＋m＝0}，B＝{xR|x－3＝0}，且BA，则实数m＝__________，集合A＝__________.
9．右图所示的Venn图中反映的是四边形、梯形、平行四边形、菱形、正方形这五种几何图形之间的关系，问集合A，B，C，D，E分别是哪种图形的集合？
10．(能力拔高题)已知集合A＝{2,4,6,8,9}，B＝{1,2,3,5,8}，是否存在集合C，使C中每一个元素都加上2变成A的一个子集；且C的每个元素都减去2，就变成了B的一个子集？若存在，求出集合C；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
答案：A
2.
答案：B 由于A中含有3个元素，则它有23＝8个子集．
3.
答案：D 由题意知，若AB，则a＞3.
4.
答案：C 比较同一集合的两种表示，知a≠0，
否则无意义，故＝0，∴b＝0.
此时集合A＝{a,0,1}＝{a2，a,0}，
∴a2＝1，则a＝±1(舍去正值)．
∴a2
010＋b2
011＝1.
5.
答案：B 明确集合M，N中的元素，依据有关概念来判断．方法1：用列举法分别表示集合M，N.集合M＝，
集合N＝，则有M?N.
方法2：设n＝2m或2m＋1，mZ，则有
N＝＝，
故MN.
6.
答案：－2＜a＜6 ∵{x|2x－a＝0}＝，
∴{x|－1＜x＜3}，
∴－1＜＜3，即－2＜a＜6.
7.
答案：2 ∵＝{(0,2)}，
∴(0,2){(x，y)|y＝3x＋b}．
∴2＝3×0＋b，即b＝2.
8.
答案：6 {2,3} B＝{3}．∵BA，
∴3A，即9－15＋m＝0.∴m＝6.
解方程x2－5x＋6＝0，得x1＝2，x2＝3，
∴A＝{2,3}．
9.
答案：解：观察Venn图，得B，C，D，E均是A的子集，且有ED，DC.
梯形、平行四边形、菱形、正方形都是四边形，故A＝{四边形}；梯形不是平行四边形，而菱形、正方形是平行四边形，故B＝{梯形}，C＝{平行四边形}；正方形是菱形，故D＝{菱形}，E＝{正方形}．
10.
答案：解：假设存在满足条件的集合C.
A中元素都减去2，得E＝{0,2,4,6,7}．
B中元素都加上2，得F＝{3,4,5,7,10}．
则集合C中的元素均在E，F中，因此满足条件的C为{4}或{7}或{4,7}．1.1
集合
并集、交集
课后训练
千里之行
始于足下
1．已知集合A＝{x|x>0}，B＝{x|－1≤x≤2}，则A∪B等于( )．
A．{x|x≥－1}
B．{x|x≤2}
C．{x|0
D．{x|－1≤x≤2}
2．已知集合A＝{(x，y)|y＝2x＋1}，B＝{x|y＝x－1}，则A∩B＝( )．
A．{－2}
B．{(－2，－3)}
C．
D．{－3}
3．下列4个推理：①；②；③；④.其中正确的个数是( )．
A．1
B．2
C．3
D．4
4．集合A＝{a2，a＋1，－1}，B＝{2a－1，|a－2|,3a2＋4}，A∩B＝{－1}，则a的值是( )．
A．－1
B．0或1
C．2
D．0
5．已知集合A＝{(x，y)|y＝x＋3}，B＝{(x，y)|y＝3x－1}，则A∩B＝________.
6．集合A＝{x|27．已知集合A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|2x－4≥x－2}．
(1)求A∩B；
(2)若集合C＝{x|2x＋a>0}，满足B∪C＝C，求实数a的取值范围．
8．已知A＝{x|－2≤x≤4}，B＝{x|x>a}．
(1)若，求实数a的取值范围；
(2)若，且，求实数a的取值范围．
百尺竿头
更进一步
设A，B是两个非空集合，定义A与B的差集A－B＝{x|x∈A，且x B}．
(1)试举出两个数集，求它们的差集．
(2)差集A－B与B－A是否一定相等？说明理由．
(3)已知A＝{x|x>4}，B＝{x|－6答案与解析
1.答案：A
解析：画出数轴如图所示：易知A∪B＝{x|x≥－1}．
2.答案：C
解析：集合A表示的为点集与集合B没有公共元素，故A∩B＝ ，选C.
3.答案：C
解析：，∴①是错误的．
，∴②是正确的．③④是交集与并集的性质，故都是正确的．
4.答案：D
解析：由A∩B＝{－1}，得－1∈B.因为|a－2|≥0,3a2＋4>0，所以2a－1＝－1，这时a＝0，这时A＝{0,1，－1}，B＝{－1,2,4}，则A∩B＝{－1}成立．
5.答案：{(2,5)}
解析：由得
∴．
6.答案：a>2
解析：已知，由数轴可得a>2.
7.解：(1)∵B＝{x|x≥2}，
∴A∩B＝{x|2≤x<3}．
(2)∵，
，
∴a>－4.
8.解：(1)如图可得，在数轴上实数a在－2的右边，可得a≥－2.
(2)由于，且，所以在数轴上，实数a在－2的右边且在4的左边，可得－2≤a<4.
百尺竿头
更进一步
解：(1)如A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，
则A－B＝{1}．
(2)不一定相等，
由(1)B－A＝{4}，而A－B＝{1}，
故A－B≠B－A.
又如，A＝B＝{1,2,3}时，
，，
此时A－B＝B－A，
故A－B与B－A不一定相等．
(3)因为A－B＝{x|x≥6}，
B－A＝{x|－6A－(A－B)＝{x|4B－(B－A)＝{x|4由此猜测：对于两个集合A、B，
有A－(A－B)＝B－(B－A)．1.1.3
集合的基本运算
课后训练
1．已知集合M＝{x|－3＜x≤5}，N＝{x|x＜－5，或x＞4}，则M∪N等于( )．
A．{x|x＜－5，或x＞－3}
B．{x|－5＜x＜4}
C．{x|－3＜x＜4}
D．{x|x＜－3，或x＞5}
2．(2010·广东卷)若集合A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|0＜x＜2}，则集合A∩B等于( )．
A．{x|－1＜x＜1}
B．{x|－2＜x＜1}
C．{x|－2＜x＜2}
D．{x|0＜x＜1}
3．设集合A＝{0}，B＝{2，m}，且AB＝{－1,0,2}，则实数m等于( )．
A．－1
B．1
C．0
D．2
4．已知集合M＝{x|－2≤x－1≤2}和N＝{x|x＝2k－1，k∈N＋}的关系的Venn图，如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有( )．
A．3个
B．2个
C．1个
D．无穷多个
5．已知集合A＝{x|x是直线}，B＝{x|x是圆}，则A∩B中元素的个数为( )．
A．2
B．1
C．0
D．4
6．已知A＝{x|x≥3}，B＝{x|x＜6}，则A∩B＝__________.
7．已知集合A＝{x|x≥5}，集合B＝{x|x≤m}，且A∩B＝{x|5≤x≤6}，则实数m＝________.
8．设S＝{(x，y)|x＜0，且y＜0}，T＝{(x，y)|x＞0，且y＞0}，则S∩T＝______，S∪T＝______.
9．已知集合M＝{x|2x－4＝0}，集合N＝{x|x2－3x＋m＝0}，
(1)当m＝2时，求M∩N，M∪N；
(2)当M∩N＝M时，求实数m的值．
10．已知集合A＝，集合B＝{m|3＞2m－1}，求A∩B，A∪B.
参考答案
1.
答案：A 在数轴上表示集合M和N，如图所示，
则数轴上面所有“线”下面的部分就是
M∪N＝{x|x＜－5，或x＞－3}．
2.
答案：D 在数轴上表示集合A和B，如图所示，
则数轴上方“双线”下面的部分就是AB＝{x|0＜x＜1}．
3.
答案：A 由于AB＝{－1,0,2}，则－1A或－1B，
又A＝{0}，则－1A，所以必有－1B.
又B＝{2，m}，则m＝－1.
4.
答案：B M＝{x|－1≤x≤3}，集合N是全体正奇数组成的集合，则阴影部分所示的集合为MN＝{1,3}，即阴影部分所示的集合共有2个元素．
5.
答案：C ∵AB＝ ，∴AB中元素个数为0.
6.
答案：{x|3≤x＜6}
7.
答案：6 用数轴表示集合A，B，如图所示，
由于AB＝{x|5≤x≤6}，则m＝6.
8.
答案： {(x，y)|xy＞0} 集合S是平面直角坐标系中第三象限内的所有点组成的集合，集合T是平面直角坐标系中第一象限内的所有点组成的集合，则ST＝ ，ST＝{(x，y)|x＞0，且y＞0或x＜0，且y＜0}＝{(x，y)|xy＞0}．
9.
答案：分析：(1)集合M是方程2x－4＝0的解集，集合N是关于x的方程x2－3x＋m＝0的解集，依据定义求MN，MN；(2)由于MN＝M，且M≠，则M中的元素属于集合N，即是关于x的方程x2－3x＋m＝0的解，由此求得m的值．
解：(1)由题意得M＝{2}．当m＝2时，N＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，
则MN＝{2}，MN＝{1,2}．
(2)∵MN＝M，∴MN.∵M＝{2}，∴2N.
故2是关于x的方程x2－3x＋m＝0的解，即4－6＋m＝0，解得m＝2.
10.
答案：分析：集合A是不等式组的解集，集合B是不等式3＞2m－1的解集，先确定集合A和B的元素，再根据交集和并集的定义，借助于数轴写出结果．
解：解不等式组得－2＜x＜3，则A＝{x|－2＜x＜3}，
解不等式3＞2m－1，得m＜2，则B＝{m|m＜2}．
用数轴表示集合A和B，如图所示，
则AB＝{x|－2＜x＜2}，AB＝{x|x＜3}．1.1.1
集合的含义与表示
课后训练
1．下列给出的对象中，能表示集合的是( )
A．一切很大的数
B．无限接近于0的数
C．漂亮的小女孩
D．方程x2－1＝0的实数根
2．由a2,2－a,4组成一个集合A，A中含有三个元素，则实数a的取值可以是( )
A．1 B．－2 C．6 D．2
3．集合A中的元素y满足y∈N且y＝－x2＋1，若t∈A，则t的值为( )
A．0
B．1
C．0或1
D．1或2
4．已知集合S中的三个元素是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
5．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m的值为( )
A．2
B．3
C．0或3
D．0,2,3均可
6．以方程x2－5x＋6＝0和方程x2－x－2＝0的解为元素的集合中共有______个元素．
7．已知集合A中的元素是自然数，且满足“若a∈A，则4－a∈A”，则集合A中最多有__________个元素．
8．设x，y，z是非零实数，若，则以a的值为元素的集合中元素的个数是______．
9．设x∈R，集合A中含有三个元素3，x，x2－2x，
(1)求元素x应满足的条件；
(2)若－2∈A，求实数x.
10．设a，b∈R，集合A中有三个元素1，a＋b，a，集合B中含有三个元素0，，b，且A＝B，求a，b的值．
参考答案
1答案：D
2答案：C
3答案：C
4答案：D
5答案：B
6答案：3
7答案：5
8答案：3
9答案：解：(1)由集合元素的互异性可得
x≠3且x2－2x≠x，x2－2x≠3，
解得x≠－1且x≠0且x≠3.
(2)若－2∈A，则x＝－2或x2－2x＝－2.
由于方程x2－2x＋2＝0无解，
所以x＝－2.
10答案：解：由于集合B中的元素是0，，b，故a≠0，b≠0.
又A＝B，∴a＋b＝0，即b＝－a，∴.
∴a＝－1，b＝1.1.1.3
集合的基本运算
课后训练
1．2010年12月24日，在土耳其举行的世界女子国际象棋锦标赛上，中国年仅16岁的棋手侯逸凡勇夺桂冠，成为世界国际象棋历史上第13位女子世界冠军，中国第4位世界棋后．如果把国际象棋中全部棋子组成的集合记为U，棋盘上剩下的棋子组成集合B，被吃掉的棋子组成集合C，则B等于( )．
A．C
B．U
C．U∩C
D． UC
2．(2012·浙江名校第一次联考)设全集U＝R，集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|x2－2x－3≥0}，则A∩( UB)＝( )．
A．{x|x≤－1}
B．{x|x≤1}
C．{x|－1＜x≤1}
D．{x|1＜x＜3}
3．已知全集U＝{0,1,2}，且 UA＝{2}，则集合A的真子集的个数为( )．
A．3
B．4
C．5
D．6
4．(2010·辽宁卷)已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，( UB)∩A＝{9}，则A＝( )．
A．{1,3}
B．{3,7,9}
C．{3,5,9}
D．{3,9}
5．如图所示，阴影部分表示的集合是( )．
A．A∩(B∩C)
B．( UA)∩(B∩C)
C．C∩ U(A∪B)
D．C∩ U(A∩B)
6．已知集合A＝{x|0≤x≤5}，B＝{x|2≤x＜5}，则 AB＝__________.
7．有15人进入家电超市，其中有9人买了电视机，有7人买了电脑，两种均买的有3人，则这两种均没买的有__________人．
8．已知集合A＝{x|2a－2＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，且A RB，则a的取值范围是__________．
9．已知U＝R，A＝{x|x2＋px＋12＝0}，B＝{x|x2－5x＋q＝0}，若( UA)∩B＝{2}，( UB)∩A＝{4}，求A∪B.
10．(能力拔高题)已知集合S＝{1,3，x3＋3x2＋2x}，A＝{1，|2x－1|}，当 SA＝{0}时，实数x是否存在？若存在，求出x；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
答案：D
2.
答案：D
3.
答案：A ∵A＝{2}，∴A＝{0,1}，则A的真子集是 ，{0}，{1}，共有3个．
4.
答案：D 用Venn图表示，如图所示，
则A＝{3,9}．
5.
答案：C 由于阴影部分在C中，均不在A，B中，则阴影部分表示的集合是C的子集，也是(AB)的子集，即是CAB)．
6.
答案：{x|0≤x＜2，或x＝5}
7.
答案：2 设这15人构成全集U，买电视机的9人构成集合A，买电脑的7人构成集合B，用Venn图表示，如图所示，
则两种均没买的有15－(9－3)－3－(7－3)＝2(人)．
8.
答案：{a|a≤1，或a≥2} B＝{x|x≤1，或x≥2}≠，
∵AB，∴A＝或A≠.
若A＝，此时有2a－2≥a，∴a≥2.
若A≠，则有
∴a≤1.综上所述，a≤1或a≥2.
9.
答案：分析：先确定p和q的值，再明确A与B中的元素，最后求得AB.
解：∵(A)
B＝{2}，∴2B且2A.
∵A(B)＝{4}，∴4A且4B.
∴解得p＝－7，q＝6，
∴A＝{3,4}，B＝{2,3}，∴AB＝{2,3,4}．
10.
答案：分析：解决问题的关键是正确理解A＝{0}的意义，它有两层含义，即0S，且0A.
解：∵A＝{0}，∴0S，且0A.∴S＝{1,3,0}．
因此x3＋3x2＋2x＝0，即x(x＋1)(x＋2)＝0，
解得x1＝0，x2＝－1，x3＝－2.
当x＝0时，|2x－1|＝1，则A＝{1,1}，
∴x＝0不合题意．
当x＝－1时，|2x－1|＝3，∴A＝{1,3}．
∴A＝{0}．∴x＝－1符合题意．
当x＝－2时，|2x－1|＝5，
∴A＝{1,5}．但5S，
∴x＝－2不符合题意．
∴实数x的值存在，它只能是－1.1.1.1
集合的含义与表示
课后训练
1．集合的另一种表示方法是( )
A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}
C．{0,1,2,3,4,5}
D．{1,2,3,4,5}
2．大于4的所有奇数构成的集合可用描述法表示为( )
A．{x|x＝2k－1，k∈N}
B．{x|x＝2k－1，k∈N，k≥2}
C．{x|x＝2k＋1，k∈N}
D．{x|x＝2k＋1，k∈N，k≥2}
3．方程组的解集是( )
A．(5,4)
B．{5，－4}
C．{(－5,4)}
D．{(5，－4)}
4．下列集合中表示同一集合的是( )
A．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}
B．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}
C．M＝{4,5}，N＝{5,4}
D．M＝{1,2}，N＝{(1,2)}
5．定义集合运算：A?B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A?B的所有元素之和为( )
A．0 B．2 C．3 D．6
6．当x∈A时，若x－1A，且x＋1A，则称x为A的一个“孤立元素”，所有孤立元素组成的集合称之为“孤星集”，则集合A＝{0,1,2,3,5}中“孤立元素”组成的“孤星集”为__________．
7．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{1,2}，C＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，用列举法表示集合C＝______________.
8．用符号“∈”或“”填空：
(1)3__________{x|x＝n2＋1，n∈N
}，
3__________{x|x＝n2＋1，n∈R}；
(2)(1,1)__________{y|y＝x2}，
(1,1)__________{(x，y)|y＝x2}．
9．(1)用描述法表示图中阴影部分(含边界)的点构成的集合．
(2)用列举法表示集合A＝.
10．已知集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A．
参考答案
1答案：C
2答案：D
3答案：D
4答案：C
5答案：D
6答案：{5}
7答案：{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)}
8答案：(1) ∈ (2) ∈
9答案：解：(1)阴影部分的点P(x，y)的横坐标x的取值范围为－1≤x≤3，纵坐标y的取值范围为0≤y≤3.故阴影部分的点构成的集合为{(x，y)|－1≤x≤3,0≤y≤3}．
(2)因为x∈N，，当x＝1时，；当x＝7时，；当x＝9时，.
所以A＝{1,7,9}．
10答案：解：当k＝0时，原方程变为－8x＋16＝0，
所以x＝2，此时集合A＝{2}；
当k≠0时，要使一元二次方程kx2－8x＋16＝0有两个相等的实根，
需Δ＝64－64k＝0，即k＝1.
此时方程的解为x1＝x2＝4，集合A＝{4}．
所以，k＝0时，A＝{2}；k＝1时，A＝{4}．1.1.3
集合的基本运算
课后训练
1．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x＝2a，a∈A}，则集合
(A∪B)中的元素个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2．设全集U＝{x∈Z|－1≤x≤5}，A＝{1,2,5}，B＝{x∈N|－1＜x＜4}，则B∩()＝( )
A．{3}
B．{0,3}
C．{0,4}
D．{0,3,4}
3．若P＝{x|x＜1}，Q＝{x|x＞－1}，则( )
A．PQ
B．QP
C．()Q
D．Q()
4．已知全集U＝R，集合A＝{x|(x2＋ax＋b)(x－1)＝0}，集合B满足条件A∩B＝{1,2}，且A∩()＝3，则a＋b＝( )
A．－1
B．1
C．3
D．11
5．如图，U是全集，M，P，S是U的3个子集，则阴影部分所表示的集合是( )
A．(M∩P)∩S
B．(M∩P)∪S
C．(M∩P)∩(S)
D．(M∩P)∪(S)
6．设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{2,4}，B＝{3,4,5}，C＝{3,4}，则(A∪B)∩(C)＝________.
7．已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x＜－1，或x＞4}，那么集合A∩()等于________．
78．设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2＜x＜4}，全集U＝R，且()∩B＝，则实数m的取值范围为________．
9．已知全集U＝R，集合A＝{x|x＜－1}，B＝{x|2a＜x＜a＋3}，且B ()，求a的取值范围．
10．某市政府对水、电提价，召开听证会，如记“对水提价”为事件A，“对电提价”为事件B．现向100名市民调查其对A，B两事件的看法，有如下结果：赞成A的人数是全体的，其余的不赞成；赞成B的比赞成A的多3人，其余不赞成；另外，对A，B都不赞成的市民人数比对A，B都赞成的市民人数的多1人，问对A，B都赞成的市民和都不赞成的市民各有多少人？
参考答案
1答案：B
2答案：B
3答案：C
4答案：B
5答案：C
6答案：{2,5}
7答案：{x|－1≤x≤3}
8答案：m≥2
9答案：解：由题意得 RA＝{x|x≥－1}．
(1)若B＝，则a＋3≤2a，即a≥3，满足B()．
(2)若B≠，则由B()，
得即－≤a＜3.
综上可得.
10答案：解：赞成A的人数为，赞成B的人数为60＋3＝63.
如图所示，
设对事件A，B都赞成的市民人数为x，
则对A，B都不赞成的市民人数为.
依题意可得，(60－x)＋(63－x)＋x＋＝100，
解得x＝36，即对A，B两事件都赞成的市民有36人，对A，B两事件都不赞成的市民有13人．1.1.3
集合的基本运算
课后导练
基础达标
1.满足A∪{a}={a,b,c}的集合A的个数为（
）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解析：A={b,c}或A={a,b,c}.
答案：B
2.集合S={x∈N
|-2）
A.M∪P
B.M∩P
C.(M)∪(P)
D.(M)∩(P)
解析：M={-1,0,1,2,6,7,8},
P={2,4,5,7,8}∴{2,7,8}=M∩P.
答案：D
3.设M、P是两个非空集合，规定M-P={x|x∈M且xP},根据规定，M-(M-P)等于（
）
A.M
B.P
C.M∪P
D.M∩P
解析：M-(M-P)={x|x∈M,且xM-P}，如图阴影Ⅰ为M-P，
∴M-（M-P）为图中阴影Ⅱ,
∴M-(M-P)=M∩P.
答案：D
4.已知I={x∈N|x≤7},集合A={3，5，7}，集合B={2，3，4，5}，则（
）
A.A={1，2，4，6}
B.（A）∩（B）={1，2，3，4，6}
C.A∩B=
D.B∩A={2,4}
解析：N={0,1,2,3,…},而集合N中含有0是容易忽略的，故A中A={0,1,2,4,6}；B中（A）∩（B）=（A∪B）={0，1，6}；C中A∩B只要找出在A中且不在B中的元素即可，为{7}.
答案：D
5.集合M={x|2x2+3ax+2=0},N={x|2x2+x+b=0},M∩N={},则a+b=__________________.
解析：∵M∩N={},
∴2×+a+2=0,2×++b=0，
∴a=-,b=-1,
∴a+b=-.
答案：-
6.若集合A={x|x∈Z且-10≤x≤-1},B={x|x∈Z且x2≤25}，则A∪B中元素个数有_______.
解析：∵A={-10,-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1},B={-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5},
∴A∪B={-10,-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5},∴A∪B中有16个元素.
答案：16个
7.集合M={(x,y)|x+y=2},N={(x,y)|x-y=4},则M∩N=_______________.
解析：∵∴
∴M∩N={(3,-1)}.
答案：{（3，-1）}
8.集合A={x|x≤-1或x>6},B={x|-2≤x≤a},若A∪B=R，则实数a的取值范围为_________.
解析：由图示可知a≥6.
答案：a≥6
9.某中学高中一年级学生参加数学小组的有45人，参加物理小组的有37人，其中同时参加数学小组和物理小组的有15人，数学小组和物理小组都没有参加的有127人，问该校高中一年级共有多少学生？
解析：30+15+22+127=194（人）.
答案：194人
10.已知A={x|a≤x≤a+3},B={x|x<-1或x>5}.
(1)若A∩B=，求a的取值范围；
(2)若A∪B=B，求a的取值范围.
解析：(1)依题意得∴-1≤a≤2.
(2)由A∪B=B知AB，
∴a+3<-1或a>5,
∴a<-4或a>5.
综合运用
11.设U为全集，M、G是非空集合，MU，GU，MG，GM，则（M∩G）∪M等于（
）
A.M∩G
B.M
C
D.M
解析：如图所示M∩G为图中阴影部分，
∴（M∩G）∪M=M,故选D.
答案：D
12.设集合M={x|-1≤x≤7},S={x|k+1≤x≤2k-1},若M∩S=,则k的取值范围是（
）
A.k≤4
B.k<2或者k>6
C.k<0或者k>6
D.k<0
解析：M∩S=.若S=，则k+1>2k-1,∴k<2.
若S≠,则或
解得：k>6
故k<2或k>6选B.
答案：B
13.已知全集U={2，0，3-a2},P={2,a2-a-2},且P={-1}，求实数a.
解析：∵P={-1},
解得a=2,
检验知a=2符合题意.
14.设集合A={|a+1|,3,5},集合B={2a+1,a2+2a,a2+2a-1},当A∩B={2，3}时，求A∪B.
解析：∵|a+1|=2,∴a=1或a=-3,
当a=1时，集合B的元素a2+2a=3,2a+1=3,由集合的元素应具有互异性的要求，因此a≠1.
当a=-3时，集合B={-5，3，2}.
∴A∪B={-5,2,3,5}.
答案：{-5，2，3，5}
15.A={（x,y）|ax-y2+b=0},B={(x,y)|x2-yx-b=0},已知A∩B{(1,2)},求a、b.
解析：由A∩B{(1,2)},知x=1,y=2满足方程组将x=1,y=2代入得∴
16.设全集U={x∈N
|-2解析：U={x∈N
|-1|1≤x<5}={1,2,3,4}.
∵A={1,4},∴A={2,3},即2，3是方程x2-5x+m=0的两个根，∴m=6.
拓展探究
17.已知集合A={1,3,-a2},B={1,a-2},是否存在实数a,使得A∪B=A？若存在a,求出集合A、B；若不存在，请说明理由.
解析：假设存在实数a使得A∪B=A，于是可得a-2=3或a-2=-a2.
∴a=5或a=-2或a=1.
当a=5时，A={1，3，-25}，B={1，3}；
当a=-2时，A={1，3，-4}，B={1，-4}；
当a=1时，A={1，3，-1}，B={1，-1}.1.1
集合
集合的表示
课后训练
千里之行
始于足下
1．方程组的解集是( )．
A．(5,4)
B．{5，－4}
C．{(－5,4)}
D．{(5，－4)}
2．下列集合中表示同一集合的是( )．
A．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}
B．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}
C．M＝{4,5}，N＝{5,4}
D．M＝{1,2}，N＝{(1,2)}
3．定义集合运算：．设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合的所有元素之和为( )．
A．0
B．2
C．3
D．6
4．集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，C＝{x|x＝4k＋1，k∈Z}．若a∈A，b∈B，则一定有( )．
A．a＋b∈A
B．a＋b∈B
C．a＋b∈C
D．a＋b∈A，B，C中任一个
5．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{1,2}，C＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，用列举法表示集合C＝________.
6．用符号“∈”或“”填空．
(1)
________R,
________；
(2)3________{x|x＝n2＋1，n∈N
}；
(3)(1,1)________{y|y＝x2}，
(1,1)________{(x，y)|y＝x2}．
7．下面三个集合：
A＝{x|y＝x2＋1}；
B＝{y|y＝x2＋1}；
C＝{(x，y)|y＝x2＋1}．
问：(1)它们是不是相同的集合？
(2)它们各自的含义是什么？
8．已知集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.
百尺竿头
更进一步
设S是由满足下列条件的实数所构成的集合：①；②若a∈S，则.请解答下列问题：
(1)若2∈S，则S中必有另外两个数，求出这两个数；
(2)求证：若a∈S，则.
(3)在集合S中元素能否只有一个？请说明理由．
(4)求证：集合S中至少有三个不同的元素．
参考答案
1.答案：D
解析：．
2.答案：C
解析：集合{(3,2)}与{(2,3)}是两个不同的集合，(3,2)与(2,3)是两个不同的元素，A错误；B中M是点集，N是数集，因此集合M与N不相同；同理，D中集合M是两个数，而集合N中是一个点(1,2)，D错误．
3.答案：D
解析：由于x∈A，y∈B，那么在计算xy时，可以进行如下分类：
(1)x＝1，y＝0；(2)x＝1，y＝2；(3)x＝2，y＝0；(4)x＝2，y＝2.
依题意，，其所有元素之和为6.
4.答案：B
解析：考查对集合概念的理解，注意集合是研究元素特征的，即不能出现a＋b＝(2k)＋(2k＋1)＝4k＋1的错误；应为a＋b＝2k1＋(2k2＋1)＝2(k1＋k2)＋1(k1、k2∈Z)，由于k1＋k2∈Z，得a＋b∈B.
5.答案：{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)}
解析：∵C＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，
∴满足条件的点为
(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)．
6.答案：(1)∈ (2)
(3)
∈
解析：(1)
，而，
∴．
(2)要判定3是否为集合中的元素，只需分析方程n2＋1＝3(n∈N＋)是否有解．
∵n2＋1＝3，
∴，
∴．
(3)(1,1)是一个有序实数对，在坐标平面上表示一个点，而{y|y＝x2}表示二次函数函数值构成的集合，
故．
集合{(x，y)|y＝x2}表示抛物线y＝x2上的点构成的集合(点集)，且满足y＝x2，∴(1,1)∈{(x，y)|y＝x2}．
7.解：(1)在A、B、C三个集合中，虽然代表元素满足的表达式一致，但代表元素互不相同，所以它们是互不相同的集合．
(2)集合A的代表元素是x，满足y＝x2＋1，
故A＝{x|y＝x2＋1}＝R.
集合B的代表元素是y，满足y＝x2＋1的y≥1，
故B＝{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}．
集合C的代表元素是(x，y)，满足条件y＝x2＋1，即表示满足y＝x2＋1的实数对(x，y)；也可认为满足条件y＝x2＋1的坐标平面上的点．
因此，C＝{(x，y)|y＝x2＋1}＝{点P∈平面α|P是抛物线y＝x2＋1上的点}．
8.解：当k＝0时，
原方程变为－8x＋16＝0，
所以x＝2，此时集合A＝{2}；
当k≠0时，要使一元二次方程kx2－8x＋16＝0只有一个实根，
需，即k＝1.
此时方程的解为x1＝x2＝4，集合A＝{4}．
百尺竿头
更进一步
(1)解：∵2∈S,
，∴.
∵－1∈S，，∴.
∵，，∴.
∴－1，，即集合S中另外两个数为－1和.
(2)证明：∵a∈S，∴.
∴(a≠0，因为若a＝0，则，不合题意)．
(3)解：集合S中的元素不能只有一个．
理由：假设集合S中只有一个元素．
则根据题意知，即a2－a＋1＝0.此方程无实数解，∴.因此集合S中不能只有一个元素．
(4)证明：由(2)知a∈S时，,
.
现证明a，，三个数互不相等．
①若，即a2－a＋1＝0，方程无解，∴；
②若，即a2－a＋1＝0，方程无解，
∴；
③若，即a2－a＋1＝0，方程无解，
∴.
综上所述，集合S中至少有三个不同的元素．1.1.2
集合间的基本关系
课后训练
1．下列各集合中，只有一个子集的集合为( )
A．{x|x2≤0}
B．{x|x3≤0}
C．{x|x2＜0}
D．{x|x3＜0}
2．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A C B的集合C的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
3．若集合A＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，集合B＝{x|x＋5＞0}，则集合A与B的关系是( )
A．A∈B
B．AB
C．BA
D．A＝B
4．已知集合A{2,3,7}，且A中至多有一个奇数，则这样的集合A有( )
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个
5．已知A＝{x|x2－3x＋a＝0}，B＝{1,2}，且BA，则实数a的值为( )
A．1
B．2
C．3
D．0
6．已知集合M＝{(x，y)|x＜0，y＜0}，集合N＝{(x，y)|xy＞0}，则集合M与N的关系是__________．
7．已知{x|x2＋x＋a＝0}，则实数a的取值范围是______．
8．已知集合A＝{x|－1≤x≤5}，B＝{x|1－2m≤x≤m＋1}．若AB，则实数m的取值范围是______．
9．已知集合A＝{x|－3≤x＜4}，B＝{x|2m－1＜x≤m＋1}，且BA．求实数m的取值范围．
10．设A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}，若BA，求实数a的值．
参考答案
1答案：C
2答案：D
3答案：B
4答案：D
5答案：B
6答案：MN(或MN)
7答案：
8答案：m≥4
9答案：解：(1)当B＝时m＋1≤2m－1，
解得m≥2，这时BA.
(2)当B≠时，由BA得
解得－1≤m＜2，
综上得m≥－1.
10答案：解：由题知，A＝{3,5}．
若B＝，即方程ax－1＝0无解，则a＝0；
若B≠，即关于x的方程ax－1＝0有解，
则a≠0.
这时有或，
即或.
综上所述，a＝0或或.1.1.1
集合的含义与表示
课后训练
基础巩固
?1．下列说法正确的个数是( )
①很小的实数可以构成集合；
②集合A＝{x|y＝x2}与集合B＝{y|y＝x2}是同一个集合；
③由1，，，，0.5这些数组成的集合有5个元素．
A．0
B．1
C．2
D．3
2．给出下列关系：
①＝R；②Q；③|－3|N；④Q．
其中正确的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
3．下列各组中的两个集合M和N，表示同一个集合的是( )
A．M＝{π}，N＝{3.141
59}
B．M＝{2,3}，N＝{(2,3)}
C．M＝{x|－1＜x≤1，xN}，N＝{1}
D．M＝{1，，π}，N＝{π，1，||}
4．下列四个说法正确的个数是( )
①集合N中的最小数为1；
②若aN，则－aN；
③若aN，bN，则a＋b的最小值为2；
④所有小的正数组成一个集合；
⑤πR；
⑥Q；
⑦0N
；
⑧|－4|N
．
A．0
B．1
C．2
D．3
5．直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合为( )
A．{0,1}
B．{(0,1)}
C．
D．
6．集合M＝{(x，y)|xy＜0，xR，yR}是( )
A．第一象限内的点集
B．第二象限内的点集
C．第三象限内的点集
D．第二、四象限内的点集
7．下列各组中M，P表示同一集合的是( )
A．M＝{3，－1}，P＝{(3，－1)}
B．M＝{(3,1)}，P＝{(1,3)}
C．M＝{y|y＝x2－1，xR}，P＝{x|x＝t2－1，tR}
D．M＝{y|y＝x2－1，xR}，P＝{(x，y)|y＝x2－1，xR}
8．集合{xN
|x－3＜2}的另一种表示法是( )
A．{0,1,2,3,4}
B．{1,2,3,4}
C．{0,1,2,3,4,5}
D．{1,2,3,4,5}
9．已知集合S＝{a，b，c}中的三个元素是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
10．已知集合A是由0，a，a2－3a＋2三个元素组成的集合，且2A，则实数a的值为( )
A．2
B．3
C．0或3
D．0或2或3
11．用列举法写出集合＝__________．
能力提升
12．现定义一种运算，当m，n都是正偶数或都是正奇数时，mn＝m＋n，当m，n中一个为正奇数，另一个为正偶数时，mn＝mn．则集合M＝{(a，b)|ab＝16，aN
，bN
}中元素的个数为( )
A．22
B．20
C．17
D．15
13．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{1,2}，C＝{(x，y)|xA，yB}，用列举法表示集合C＝__________．
14．(新定义题)设A，B为两个实数集，定义集合A＋B＝{x|x＝x1＋x2，x1A，x2B}，若A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，则A＋B中元素的个数为__________．
15．已知集合A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，若1A，求实数a的值及集合A．
16．已知集合A＝{x，x＋1,1}，B＝{x，x＋x2，x2}，且A＝B，求实数x．
17．已知集合A＝{x|ax2－3x－4＝0，xR}．
(1)若A中有两个元素，求实数a的取值范围；
(2)若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．
错题记录
错题号
错因分析
参考答案
1．A 点拨：①不正确，“很小的实数”标准不明确，不符合集合中元素的确定性；②不正确，集合A＝R，集合B＝{y|y≥0}，A≠B；③不正确，，＝0.5，故仅有3个元素．
2．B 点拨：①③错误，②④正确，应选B．
3．D 点拨：选项A中两个集合的元素互不相等；选项B中两个集合一个是数集，一个是点集；选项C中集合M＝{0,1}，只有D项符合．
4．C 点拨：①错，因为N中最小数是0；②错，因为0N，而－0N；③错，当a＝1，b＝0时，a＋b＝1；④错，小的正数是不确定的；⑤正确；⑥正确，因为属于无理数；⑦错，0N
；⑧错，|－4|＝4N
．
5．B 点拨：直线y＝2x＋1与y轴的交点坐标是(0,1)．其组成的集合用列举法表示是{(0,1)}．
6．D 点拨：当x＞0，y＜0时，(x，y)为第四象限内点的坐标；
当x＜0，y＞0时，(x，y)为第二象限内点的坐标．
7．C 点拨：选项A中，M是由3，－1两个元素构成的集合，而集合P是由点(3，－1)构成的集合；选项B中，(3,1)与(1,3)表示不同的点，故M≠P；选项D中，M是二次函数y＝x2－1，xR的所有因变量组成的集合，而集合P是二次函数y＝x2－1，xR图象上所有点组成的集合．
8．B 点拨：∵x－3＜2，xN
，∴x＜5，xN
．
∴x＝1,2,3,4．故选B．
9．D 点拨：由集合中元素的互异性知，a，b，c互不相等，故三角形不能是等腰三角形．
10．B 点拨：因为2A，所以a＝2或a2－3a＋2＝2，即a＝0或a＝2或a＝3．又集合中的元素要满足互异性，经检验知a＝3满足题意．
11．{－3，－1,1,3} 点拨：∵Z，xZ，
∴3能被3－x整除，即3－x为3的因数．
∴3－x＝±1或3－x＝±3．
∴＝±3或＝±1．
综上可知，－3，－1,1,3满足题意．
12．C 点拨：①当a，b都是正偶数时，(a，b)可以是(2,14)，(4,12)，(6,10)，(8,8)，(14,2)，(12,4)，(10,6)，共7个；
当a，b都是正奇数时，(a，b)可以是(1,15)，(3,13)，(5,11)，(7,9)，(9,7)，(11,5)，(13,3)，(15,1)，共8个；
②当a，b中一个为正奇数，一个为正偶数时，(a，b)可以是(1,16)，(16,1)，共2个．
因此满足题意的元素个数为17．
13．{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)} 点拨：根据集合C的含义写出，注意不要漏写．
14．4 点拨：当x1＝1时，x1＋x2＝1＋2＝3或x1＋x2＝1＋3＝4；
当x1＝2时，x1＋x2＝2＋2＝4或x1＋x2＝2＋3＝5；
当x1＝3时，x1＋x2＝3＋2＝5或x1＋x2＝3＋3＝6．
因此A＋B＝{3,4,5,6}，有4个元素．
15．解：(1)若a＋2＝1，则a＝－1．
所以A＝{1,0,1}，与集合中元素的互异性矛盾，则a＝－1应舍去．
(2)若(a＋1)2＝1，则a＝0或a＝－2，
当a＝0时，A＝{2,1,3}满足题意；
当a＝－2时，A＝{0,1,1}，与集合中元素的互异性矛盾，则a＝－2应舍去．
(3)若a2＋3a＋3＝1，则a＝－1或a＝－2，由上分析知a＝－1与a＝－2均应舍去．
综上，a＝0，集合A＝{1,2,3}．
16．解：由A＝B，得或解得x＝±1，经检验x＝1不满足集合中元素的互异性，而x＝－1满足．
故x＝－1．
17．解：(1)若集合A中有两个元素，
则
解得a＞且a≠0．
(2)若a＝0，则A＝，符合题意；
若a≠0，则Δ＝9＋16a≤0，
解得a≤，所以a≤．
综上所述，a≤或a＝0．
三年高考精选
1．D 点拨：由xA，yA得x－yA，得(x，y)的可能取值如下：(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(4,3)，(5,3)，(5,4)．故集合B中所含元素的个数为10．
2．C 点拨：由已知，得{z|z＝x＋y，xA，yB}＝{－1,1,3}，
因此集合{z|z＝x＋y，xA，yB}中的元素的个数为3．
3．－3 点拨：∵|x－2|≤5，∴－5≤x－2≤5．
∴－3≤x≤7．
∴集合A中的最小整数为－3．1.1.2
集合间的基本关系
课后导练
基础达标
1.下列表示中错误的是(
)
①{0}=
②{2}{2,4,6}
③{2}∈{x|x2-3x+2=0}
④0∈{0}
A.①②
B.①③
C.②④
D.②③
解析:①{0}是单元素集，而是空集，故{0}≠;③{x|x2-3x+2=0}={2,1},∴2∈{2,1}但不是{2}∈{2,1}.
答案:B
2.设A={正方形}，B={矩形}，C={平行四边形}，D={梯形}，则下列包含关系中不正确的是(
)
A.AB
B.BC
C.CD
D.AC
解析:梯形不是平行四边形，∴C不正确.
答案：C
3.已知集合M={x|x=2m,m∈Z},N={y|y=2(n+1),n∈Z},则(
)
A.MN
B.MN
C.M=N
D.M≠N
解析:M和N都表示偶数集合，∴M=N.
答案：C
4.下列四个集合中，是空集的是（
）
A.{x|x2=0}
B.{x|x-1<0}
C.{(x,y)|y2=-x2,x、y∈R}
D.{x|x2-x+1=0,x∈R}
解析：∵{x|x2-x+1=0,x∈R}表示方程x2-x+1=0的实根的集合，可x2-x+1=0无实根,
∴该集合为空集.
答案：D
5.集合M={x|x=3k-2,k∈Z},N={x|x=3m+1,m∈Z},P={x|x=6n+1,n∈Z},则M、N、P的关系正确的是（
）
A.PNM
B.N=PM
C.PM=N
D.PM=N
解析：可采用列举法表示：M={…，-11，-8，-5，-2，1，4，7，10,…}，N={…，-8，-5，-2，1，4，7，10，…}，P={…，-11，-5，1，7，13，…}∴M=NP.
答案：C
6.若集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|=0},则集合A与B的关系为________________.
解析：A={1，2}，B={1},
∴BA.
答案：BA
7.集合M{2,3,5}，且M中至多有一个奇数，则这样的集合个数为_______________.
解析：符合条件的集合有：,{2}，{3}，{5}，{2,3}，{2,5}.
答案：6个
8.集合A={x|x=2k,k∈Z},B={x|x=2k+1,k∈Z},C={x|x=2(k+1),k∈Z},D={x|x=2k-1,k∈Z},E={x|x=2k-2,k∈Z},写出上述集合中相等的集合：___________________.
解析：∵E={x|x=2(k-1),k∈Z}，
∴A、C、E都表示偶数集合，
∴A=C=E;B、D都表示奇数集，
∴B=D.
答案：A=C=E,B=D
9.已知集合A={-1.3，m}，集合B={3，4}.若BA.则实数m=_______.
解析:∵BA,4∈B,
∴4∈A,
∴m=4,但m≠3，根据元素的互异性.
答案:4
10.设M={（x,y）|mx+ny=4}且{（2，1），（-2，5）}M,则m=__________,n=__________.
解析：由题意得
解得
答案：
综合运用
11.集合P={x,1},Q={y,1,2},其中x,y∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9},且P是Q的真子集，把满足上述条件的一对有序整数（x,y）作为一个点，这样点的个数是________________.
解析：当x=2时，y可取3,4,5,6,7,8,9,此时，满足条件的点共7个；
当x=3时，y只能取3,此时满足条件的点有1个；
同理当x=4,5,6,7,8,9时，满足条件的点分别有1个，共6个，
∴共14个.
答案：14个
12.设M={x|x2-1=0},N={x|ax-1=0},若NM，则a的值为___________________.
解析：忽略空集是学生常犯的错误，本题应考虑两方面：①N≠时,a=±1,②N=时a=0.
答案：±1或0
13.若x∈R,A={2,4,x2-5x+9},求使A={2，3，4}的x值.
解析：x2-5x+9=3时，解得：x=2或x=3.
14.a、x∈R,B={3,x2+ax+a},C={x2+(a+1)x-3,1},求使B=C的a与x的值.
解析：∵B=C,
∴
解得或
答案：或
15.已知集合A={x∈R|x2+3x+3=0},B={y∈R|y2-5y+6=0},APB,求满足条件的集合P.
解析：由已知A=，B={2,3},B的真子集为：，{2}，{3}
又∵是任何集合的子集，
∵P可以是，{2}，{3}.
答案：或{2}或{3}
16.已知A={1，1+d,1+2d},B={1,q,q2},当A=B时，求d、q的值.
解析：由集合互异性可知d≠0,q≠1,-1,0,由A=B可推得，
①或②
由①得（1-q）=-d,1-q2=-2d,
相除1+q=2得q=1,不合题意;
由②得（2q+1）（q-1）=0,因为q≠1所以q=-代入得d=-.
所以d值为-，q值为-.
拓展探究
17.设集合M={x|2x2-5x-3=0},N={x|mx=1}，且NM，求实数m的取值集合.
解析：当N=时，m=0,当N≠,
∵NM={3,-},
∴=3,即m=或=-,即m=-2,∴m的取值集合为{0，-2，}.
18.若集合A={x|x=a2+2a+4,a∈R},B={y|y=b2-4b+3,b∈R}，试确定集合A、B之间的关系.
解析：A={x|x=(a+1)2+3}={x|x≥3},
B={y|y=(b-2)2-1}={y|y≥-1},
∴AB.
答案：AB1.1
集合
集合间的基本关系
课后训练
千里之行
始于足下
1．如果集合，，那么( )．
A．
B．{a}A
C．{a}∈A
D．a A
2．已知非空集合P满足：①P {1,2,3,4,5}，②若a∈P，则6－a∈P，符合上述条件的集合P的个数是( )．
A．4
B．5
C．7
D．31
3．设A＝{x|－1a}，若AB，则a的取值范围是( )．
A．{a|a≥3}
B．{a|a≤－1}
C．{a|a>3}
D．{a|a<－1}
4．已知集合M＝{(x，y)|x＋y<0，xy>0}和P＝{(x，y)|x<0，y<0}，那么( )．
A．PM
B．MP
C．M＝P
D．MP
5．下列关系中正确的是________．
①∈{0}；②{0}；③{0,1} {(0,1)}；④{(a，b)}＝{(b，a)}．
6．图中反映的是四边形、梯形、平行四边形、菱形、正方形这五种几何图形之间的关系，则A、B、C、D、E分别代表的图形的集合为____________________________________________．
7．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集．
8．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}．
(1)若AB，求a的取值范围；
(2)若B A，求a的取值范围．
百尺竿头
更进一步
设集合A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，a∈R}．如果B A，求实数a的取值范围．
答案与解析
1.答案：B
解析：，∴a∈A，A错误．由元素与集合之间的关系及集合与集合之间的关系可知，C、D错，B正确．
2.答案：C
解析：由a∈P,6－a∈P，且P {1,2,3,4,5}可知，P中元素在取值方面应满足的条件是1,5同时选；2,4同时选；3可单独选，可一一列出满足条件的全部集合P为{3}，{1,5}，{2,4}，{1,3,5}，{2,3,4}，{1,5,2,4}，{1,2,3,4,5}，共7个．
3.答案：B
解析：由AB，画出数轴如图可求得a≤－1，注意端点能否取得－1是正确求解的关键．
4.答案：C
解析：∵∴
∴M＝P.
5.答案：②
解析：{0}，∴①错误；空集是任何非空集合的真子集，②正确；{(0,1)}是含有一个元素的点集，③错误；{(a，b)}与{(b，a)}是两个不等的点集，④错误，故正确的是②.
6.答案：A＝{四边形}，B＝{梯形}，C＝{平行四边形}，D＝{菱形}，E＝{正方形}
解析：
由以上概念之间的包含关系可知：集合A＝{四边形}，集合B＝{梯形}，集合C＝{平行四边形}，集合D＝{菱形}，集合E＝{正方形}．
7.解：∵A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，
∴A＝{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．
∴A的子集有：，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}，{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．
8.解：(1)若AB，由图可知a>2.
(2)若B A，由图可知，1≤a≤2.
百尺竿头
更进一步
解：∵A＝{x|x2＋4x＝0}＝{0，－4}；
又∵B A，
∴存在，{0}，{－4}，{0，－4}这四种可能．
①当时，
方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0无解，
从而，
解得a<－1；
②当B＝{0}时，方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0有两个相等实根．
∴∴a＝－1.
③当B＝{－4}时，方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0有两个相等实根．
∴无解．
④当B＝{0，－4}时，
方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0有两个不等实根．
∴∴a＝1.
综上，a的取值范围是{a|a≤－1，或a＝1}．1.1
集合
补集及综合应用
课后训练
千里之行
始于足下
1．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x＝2a，a∈A}，则集合 U(A∪B)中的元素个数为( )．
A．1
B．2
C．3
D．4
2．设全集U＝{x∈Z|－1≤x≤5}，A＝{1,2,5}，B＝{x∈N|－1A．{3}
B．{0,3}
C．{0,4}
D．{0,3,4}
3．如图所示，U是全集，A，B是U的子集，则阴影部分所表示的集合是( )．
A．A∩B
B．A∪B
C．B∩( UA)
D．A∩( UB)
4．已知全集U＝A∪B中有m个元素，( UA)∪( UB)中有n个元素．若A∩B非空，则A∩B的元素个数为( )．
A．mn
B．m＋n
C．n－m
D．m－n
5．设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{2,4}，B＝{3,4,5}，C＝{3,4}，则(A∪B)∩( UC)＝________.
6．设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－27．已知全集U＝R，A＝{x|－4≤x≤2}，B＝{x|－1(1)求A∩B；
(2)求( UB)∪P；
(3)求(A∩B)∩( UP)．
8．已知全集U＝R，集合A＝{a|a≥2，或a≤－2}，B＝{a|关于x的方程ax2－x＋1＝0有实数根}，求A∪B，A∩B，A∩( UB)．
百尺竿头
更进一步
设全集U＝R，A＝{x∈R|a≤x≤2}，B＝{x∈R|2x＋1≤x＋3，且3x≥2}．
(1)若B A，求实数a的取值范围；
(2)若a＝1，求A∪B，( UA)∩B.
答案与解析
1.答案：B
解析：∵A＝{1,2}，∴B＝{2,4}，
∴A∪B＝{1,2,4}，
∴ U(A∪B)＝{3,5}．
2.答案：B
解析：∵U＝{－1,0,1,2,3,4,5}，B＝{0,1,2,3}， UA＝{－1,0,3,4}，
∴B∩ UA＝{0,3}．
3.答案：C
解析：由Venn图可知阴影部分为B∩( UA)．
4.答案：D
解析：U＝A∪B中有m个元素，
∵( UA)∪( UB)＝ U(A∩B)中有n个元素，
∴A∩B中有m－n个元素，故选D.
5.答案：{2,5}
解析：∵A∪B＝{2,3,4,5}， UC＝{1,2,5}，
∴(A∪B)∩( UC)
＝{2,3,4,5}∩{1,2,5}＝{2,5}．
6.答案：m≥2
解析：由已知A＝{x|x≥－m}，
∴ UA＝{x|x<－m}．
∵B＝{x|－2∴－m≤－2，即m≥2.
∴m的取值范围是m≥2.
7.解：借助数轴，如图．
(1)A∩B＝{x|－1(2)∵ UB＝{x|x≤－1，或x>3}，
∴( UB)∪P＝{x|x≤0，或}．
(3) UP＝{x|}．
(A∩B)∩( UP)
＝{x|－1＝{x|08.解：对于方程ax2－x＋1＝0，
当a＝0时，x＝1，满足题意．
当a≠0时，要使该方程有实数根，
则，∴.
综上知：.∴．
∴，A∩B＝{a|a≤－2}．
又∵，∴A∩ UB＝{a|a≥2}．
百尺竿头
更进一步
解：(1)
，
又∵B A，∴.
(2)若a＝1，则A＝{x|1≤x≤2}，
此时．
由 UA＝{x|x<1，或x>2}，
∴．1.1
集合
集合的含义
课后训练
千里之行
始于足下
1．下列给出的对象中，能表示集合的是( )．
A．一切很大的数
B．无限接近于0的数
C．美丽的小女孩
D．方程x2－1＝0的实数根
2．下面说法中正确的个数是( )．
①集合N
中最小的数是1；
②若，则a∈N
；
③若a∈N
，b∈N
，则a＋b的最小值是2；
④x2＋4＝4x的解集是由“2,2”组成的集合．
A．0
B．1
C．2
D．3
3．已知集合S中的三个元素是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是( )．
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
4．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m的值为( )．
A．2
B．3
C．0或3
D．0,2,3均可
5．由实数x，－x，|x|，，所构成的集合最多有________个元素．
6．以方程x2－5x＋6＝0和方程x2－x－2＝0的解为元素的集合中共有________个元素．
7．若所有形如
(a∈Z，b∈Z)的数组成集合A，判断是不是集合A中的元素．
8．设x∈R，集合A中含有三个元素3，x，x2－2x，(1)求元素x应满足的条件；(2)若－2∈A，求实数x.
百尺竿头
更进一步
设x，y，z是非零实数，若，求a的值的集合中元素的个数．
参考答案
1.答案：D
解析：A，B，C选项均不符合集合中元素具有的确定性．
2.答案：C
解析：N
是正整数集，最小的正整数是1，故①正确；当a＝0时，，且，故②错；若a∈N
，则a的最小值是1，又b∈N
，b的最小值也是1，当a和b都取最小值时，a＋b取最小值2，故③正确．由集合元素的互异性知④是错误的，故①③正确，选C.
3.答案：D
解析：由集合中元素的互异性知三边长互不相等，故选D.
4.答案：B
解析：由2∈A得m＝2或m2－3m＋2＝2，解得m＝2，m＝0或m＝3.
由集合是由三个元素组成的集合，结合集合中元素的互异性知m＝3.
5.答案：2
解析：注意，，讨论x的符号，故最多有两个元素．
6.答案：3
解析：解x2－5x＋6＝0得x＝2或x＝3，由x2－x－2＝0得(x－2)(x＋1)＝0，解得x＝－1或x＝2，由集合元素的特性可知，共有3个元素．
7.解：因为在
(a∈Z，b∈Z)中，令a＝－2，b＝2，即可得到，所以是集合A中的元素．
8.解：(1)根据集合元素的互异性可知
.
(2)∵x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，
又－2∈A，∴x＝－2.
百尺竿头
更进一步
解：根据x，y，z符号的可能情况进行分类讨论，再结合元素的互异性，确定元素的个数．注意到求解的基本思路是去掉绝对值符号．
(1)x，y，z全正，则a＝1＋1＋1＋1＝4；(2)x，y，z中有两个为正，则a＝1＋1－1－1＝0；(3)x，y，z中有一个为正，则a＝1－1－1＋1＝0；(4)x，y，z全负，则a＝－1－1－1－1＝－4.所以a中的元素共有3个，分别为－4,0,4.