1.2.2
函数的表示法
课后训练
1．下列不是函数表示法的是( )．
A．换元法
B．解析法
C．图象法
D．列表法
2．下列点中不在函数y＝的图象上的是( )．
A．(1,1)
B．(－2，－2)
C.
D．(－1,0)
3．垂直于x轴的直线与函数y＝图象的交点至多有( )．
A．0个
B．1个
C．2个
D．无数个
4．等腰三角形的周长为20，底边长y是一腰长x的函数，则( )．
A．y＝10－x(0＜x≤10)
B．y＝10－x(0＜x＜10)
C．y＝20－2x(5≤x≤10)
D．y＝20－2x(5＜x＜10)
5．(2010·陕西卷)某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于
6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为( )．
A．y＝
B．y＝
C．y＝
D．y＝
6．某班连续进行了5次数学测试，其中智方同学的成绩如下表所示，则分数是次数的函数，在这个函数中，定义域是__________，值域是__________.
次数
1
2
3
4
5
分数
86
88
93
86
95
7．函数f(x)＝x2－4x＋6，x∈[1,5)的值域是__________．
8．已知集合A＝{x|y＝}，集合B＝{y|y＝－x2＋4x}，则A∩B＝__________.
9.已知函数p＝f(m)的图象如图所示．求：
(1)函数p＝f(m)的定义域；
(2)函数p＝f(m)的值域；
(3)p取何值时，只有唯一的m值与之对应．
10．(情景题)2011年4月1日，王兵买了一辆别克新凯越1.6
L手动挡的家庭轿车，该种汽车燃料消耗量标识是：市区工况：10.40
L/100
km；市郊工况：6.60
L/100
km；综合工况：8.00
L/100
km.
王兵估计：他的汽车一年的行驶里程约为10
000
km，汽油价格按平均价格7.50元/L来计算，当年行驶里程为x
km时燃油费为y元．
(1)判断y是否是关于x的函数，如果是，求出函数的定义域和解析式．
(2)王兵一年的燃油费估计是多少？
参考答案
1.
答案：A
2.
答案：D
3.
答案：B 垂直于x轴的直线与函数y＝的图象至多有1个交点．
4.
答案：D ∵2x＋y＝20，
∴y＝20－2x，解不等式组
得5＜x＜10.
5.
答案：B 当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，可以看作先用该班人数除以10，再用这个余数与3相加，若和大于等于10就增选一名代表，若和不大于10，就不增选代表．故推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系可以表示为y＝.
6.
答案：{1,2,3,4,5} {86,88,93,95}
7.
答案：[2,11) 画出函数的图象，如图所示，
观察图象可得图象上所有点的纵坐标的取值范围是[f(2)，f(5))，即函数的值域是[2,11)．
8.
答案：[－1,4] 集合A是函数y＝的定义域，
则A＝{x|x≥－1}；
集合B是二次函数y＝－x2＋4x的值域，
则B＝{y|y≤4}，则AB＝{x|－1≤x≤4}．
9.
答案：分析：(1)图象上所有点的横坐标的取值范围就是函数f(m)的定义域；
(2)图象上的所有点的纵坐标的取值范围就是函数f(m)的值域；
(3)作垂直于p轴的直线p＝p0，根据直线p＝p0与函数p＝f(m)的图象仅有一个交点来确定．
解：(1)观察函数p＝f(m)的图象，可以看出图象上所有点的横坐标的取值范围是－3≤m≤0或1≤m≤4，
所以函数的定义域是[－3,0][1,4]．
(2)观察函数p＝f(m)的图象，可以看出图象上所有点的纵坐标的取值范围是－2≤p≤2，
所以函数的值域是[－2,2]．
(3)当直线p＝p0与函数p＝f(m)的图象仅有一个交点时，有0＜p0≤2，所以p的取值范围是(0,2]．
10.
答案：解：(1)y是关于x的函数．
函数的定义域是[0,10
000]，
函数解析式为y＝8××7.50＝0.60x.
(2)当x＝10
000时，y＝0.60×10
000＝6
000，
所以王兵一年的燃油费估计是6
000元．1.2
函数及其表示
课后导练
基础达标
1.设f(x)=(x≠0),则f()等于
（
）
A.f(x)
B.
C.f(-x)
D.
解析：f()====f(x).
答案：A
2.下列各组函数中，表示同一个函数的是（
）
A.y=x-1和y=
B.y=x0和y=1
C.f(x)=x2和g(x)=(x+1)2
D.f(x)=和g(x)=
解析：A中两函数定义域不同；B中y=x0=1(x≠0)与y=1的定义域不同；C中两函数的对应关系不同；D中f(x)==1(x>0),g(x)==1(x>0).∴D正确.
答案：D
3.函数f(x)=若f(x)=3,则x的值是（
）
A.1
B.±
C.,1
D.
解析：若x+2=3,则x=1(-∞,-1),应舍去.
若x2=3,则x=±,∵-(-1,2),应舍去.
若2x=3,∴x=［2,+∞］,应舍去.
∴x=.应选D.
答案：D
4.函数y=的定义域是（
）
A.{x|x<0且x≠-}
B.{x|x<0}
C.{x|x>0}
D.{x|x≠0,且x≠-,x∈R}
解析：由|x|-x>0|x|>xx<0.
答案：B
5.函数y=+的值域是（
）
A.{y|y≥0}
B.{y|y>0}
C.{0}
D.R
解析：∵∴x=0,∴值域为{0}.
答案：C
6.f(x)=，则f(4x)=x的根是（
）
A.
B.-
C.2
D.-2
解析：f(4x)=，则=x的根为x=.
答案：A
7.若f(x)和g(x)都是定义域为R的函数，且x-f［g(x)］=0有实数解，则f［g(x)］不可能是
（
）
A.x2+x-
B.x2+x+
C.x2-
D.x2+
解析：分别代入验证可知该选B.
答案：B
8.若f(x)=x2-ax+b,f(b)=a,f(1)=-1,则f(-5)的值是_____________.
解析：由条件得解得
∴f(x)=x2-x-1,∴f(-5)=29.
答案：29
9.已知函数y=f(x)的定义域为［0,1］，则函数f(x+a)的定义域为___________.
解析：由条件得0≤x+a≤1,∴-a≤x≤1-a.
答案：［-a,1-a］
10.当定义域是___________时，函数f(x)=与函数g(x)=
相同.
解析：由≥0?x≤-1或x>1,由x>1.由{x|x≤-1或x>1}∩{x|x>1}={x|x>1},此时f(x)=与g(x)相同.
答案：x>1
综合运用
11.已知函数f(x)=的定义域为A，g(x)=的定义域为B，若A∩B=，则实数a的取值范围是（
）
A.(-2,4)
B.［-1,3］
C.［-2,4］
D.(-1,3)
解析：A={x|x2-2x-8≥0}={x|x≥4或x≤-2},
B={x|1-|x-a|>0}={x|a-1
∵A∩B=,
∴
解得-1答案：B
12.已知函数y=的定义域为R，则m的取值范围为______________.
解析：当m=0时，mx2-2mx+m+2>0满足题目的条件，当m≠0时，
∵y=的定义域为R
∴解得m>0.
答案：m≥0
13.已知函数y=ax2-ax-4(x∈R),若y<0恒成立，则a的取值范围是_____________________.
解析：由题意得ax2-ax-4<0的解集为R，
即或a=0.
解得-16答案：-1614.已知f(x)=x2+x+1,
(1)求f(2x)的解析式；
(2)求f［f(x)］的解析式；
(3)对于任意x∈R,求证：f(-+x)=f(--x).
(1)解析：f(2x)=(2x)2+2x+1=4x2+2x+1.
(2)解析：f［f(x)］=［f(x)］2+f(x)+1=(x2+x+1)2+x2+x+1+1=x4+2x3+4x2+3x+3.
(3)证明：f(-+x)=（-+x）2+(-+x)+1=+x2-x-+x+1=x2+.
f(--x)=(--x)2--x+1=+x+x2--x+1=x2+,故f(-+x)=f(--x).
15.求函数y=-x2+4x+2(x∈［-1,1］)的值域.
解：y=-x2+4x+2=-(x-2)2+6,
∵x∈［-1,1］,
∴x-2∈［-3,-1］,
∴1≤(x-2)2≤9,
∴-3≤-(x-2)2+6≤5,即-3≤y≤5,
∴函数y=-x2+4x+2(x∈［-1,1］)的值域为［-3，5］.
16.已知函数f(x)=(a,b为常数且a≠0)满足f(2)=1,方程f(x)=x有唯一解，求函数f(x)的解析式，并求f［f(-3)］的值.
解：据题意f(2)=1得
=1即2a+b=2.
①
又=x有唯一解，
即x(ax+b-1)=0有唯一解，且这个解为0，
∴a·0+b-1=0,
∴b=1,代入式①解得a=，
∴f(x)=.
于是f(-3)===6,
∴f［f(-3)］=f(6)==
拓展探究
17.已知函数f(x)=2x-1,g(x)=
求f［g(x)］和g［f(x)］的解析式.
解：x≥0时，g(x)=x2,f［g(x)］=2x2-1;
x<0时，g(x)=-1,f［g(x)］=-2-1=-3.
∴f［g(x)］=
当2x-1≥0,即x≥时，g［f(x)］=(2x-1)2;当2x-1<0,即x<时，g［f(x)］=-1.
∴g［f(x)］=
18.α、β是实系数x的方程x2+2(m-1)x+m2-4=0的两个实根，记y=α2+β2,求y=f(m)的解析式、定义域、值域.
解析：y=α2+β2=(α+β)2-2αβ=4(m-1)2-2(m2-4)=4m2-8m+4-2m2+8=2m2-8m+12.
∵由于x2+2(m-1)x+m2-4=0有两实根，
∴4(m-1)2-4(m2-4)≥0,即m≤.
∴y=α2+β2=2m2-8m+12的定义域为（-∞，］.函数y=2m2-8m+12(m∈(-∞,］)的图象如右上图.
∴函数的最小值为ymin=2×22-8×2+12=4,故其值域为［4，+∞).1.2
函数及其表示
分段函数及映射
课后训练
千里之行
始于足下
1．某人从甲村去乙村，一开始沿公路乘车，后来沿小路步行，下图中横轴表示走的时间，纵轴表示某人与乙村的距离，则较符合该人走法的图象是( )．
2．设则f(5)的值是( )．
A．24
B．21
C．18
D．16
3．设集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，则下列的对应不表示从P到Q的映射的是( )．
A．
B．
C．
D．
4．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来．睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点…….用S1、S2分别表示乌龟和兔子所行的路程(t为时间)，则下图与故事情节相吻合的是( )．
5．设函数若f(x0)＝8，则x0＝________.
6．如图，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则的值等于________．
7．已知函数
(1)画出函数的图象；
(2)根据已知条件分别求f(1)、f(－3)、f(f(－3))、f(f(f(－3)))的值．
8．如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD，底边BC长为7
cm，腰长为
cm，当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BF＝x，试写出左边部分的面积y与x的函数解析式，并画出大致图象．
百尺竿头
更进一步
当m为怎样的实数时，方程x2－4|x|＋5＝m有四个互不相等的实数根？
答案与解析
1.答案：D
解析：(1)开始乘车速度较快，后来步行，速度较慢；(2)开始某人离乙地最远，以后越来越近，最后到达乙地，符合(1)的只有C、D，符合(2)的只有B、D.
2.答案：A
解析：f(5)＝f(f(10))，f(10)＝f(f(15))＝f(18)＝21，f(5)＝f(21)＝24.
3.答案：C
解析：当时集合P中3≤x≤4部分在集合Q中无对应，因此不表示映射．
4.答案：B
解析：结合题中乌龟及兔子的行进过程知选B.
5.答案：或4
解析：若x0≤2，
则，得.
∵x0≤2，∴.
若x0>2，则f(x0)＝2x0＝8，
∴x0＝4.
综上可知或x0＝4.
6.答案：2
解析：由题意，f(3)＝1，∴.
7.解：(1)函数图象如图所示，作图过程略．
(2)f(1)＝12＝1，f(－3)＝0，
f(f(－3))＝f(0)＝1，
f(f(f(－3)))＝f(1)＝12＝1.
8.解：过点A，D分别作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是G，H.
因为ABCD是等腰梯形，
底角为45°，cm，
所以BG＝AG＝DH＝HC＝2
cm.
又BC＝7
cm，所以AD＝GH＝3
cm.
(1)
当点F在BG上时，
即x∈[0,2]时，；
(2)当点F在GH上时，
即x∈(2,5]时；
(3)当点F在HC上时，即x∈(5,7]时，
.
综合(1)(2)(3)，得函数解析式为
函数图象如图所示．
百尺竿头
更进一步
解：先作出y＝x2－4|x|＋5的图象．
如图，从图中可以直接看出，当1函数的表示法
课后训练
1．已知f(x)是反比例函数，且f(－3)＝－1，则f(x)的解析式为( )
A．
B．
C．f(x)＝3x
D．f(x)＝－3x
2．已知，则f(6)的值为( )
A．15
B．7
C．31
D．17
3．已知二次函数图象的顶点坐标为(1,1)，且过(2,2)点，则该二次函数的解析式为( )
A．y＝x2－1
B．y＝－(x－1)2＋1
C．y＝(x－1)2＋1
D．y＝(x－1)2－1
4．如图是张大爷晨练时的离家距离(y)与行走时间(x)之间的函数关系的图象，若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是( )
5．已知点(0,0)，(1,2)，(3,1)在函数f(x)的图象上，则的值为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
6．若一个长方体的高为80
cm，长比宽多10
cm，则这个长方体的体积y(cm3)与长方体的宽x(cm)之间的表达式是________．
7．已知函数f(2x＋1)＝3x＋2，且f(a)＝4，则a＝______.
8．若函数f(x)满足，则f(2)的值为______．
9．(1)设f(x)是定义在R上的函数，且满足f(0)＝1，并且对任意实数x，y，有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，求f(x)的解析式．
(2)已知f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，求f(x)．
10．如图所示，用长为l的铁丝弯成下部分为矩形，上部分为半圆形的框架，若矩形底边长为2x，求此框架围成的面积y与x的函数关系式，并指出其定义域．
参考答案
1答案：B
2答案：C
3答案：C
4答案：D
5答案：C
6答案：y＝80x2＋800x(x＞0)
7答案：
8答案：－1
9答案：解：(1)由f(0)＝1，f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，令x＝y，
得f(0)＝f(x)－x(2x－x＋1)．
即f(x)－x(2x－x＋1)＝1，
即f(x)＝x2＋x＋1.
(2)∵f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，
将x换成－x，得f(－x)＋2f(x)＝x2－2x.
∴将以上两式消去f(－x)，
得3f(x)＝x2－6x.
故.
10答案：解：由题意知此框架是由一个矩形和一个半圆组成的图形，而矩形的边AB＝2x，设AD＝a，则有2x＋2a＋πx＝l，即，半圆直径为2x，半径为x，
∴面积.
根据实际意义知，又x＞0，
解得.
即函数，其定义域为.1.2.1
函数的概念
课后训练
基础巩固
?1．如图所示，不可能表示函数的是( )
2．下列对应是集合M上的函数的有( )
①M＝R，N＝N
，对应关系f：对集合M中的元素，取绝对值与N中的元素对应；
②M＝{1，－1,2，－2}，N＝{1,4}，对应关系f：x→y＝x2，xM，yN；
③M＝{三角形}，N＝{x|x＞0}，对应关系f：对M中的三角形求面积与N中元素的对应．
A．1个
B．2个
C．3个
D．0个
3．下列四组中，函数f(x)与g(x)表示同一函数的是( )
A．f(x)＝，g(x)＝()4
B．f(x)＝x，g(x)＝
C．f(x)＝1，g(x)＝
D．f(x)＝，g(x)＝x－2
4．函数的定义域是__________．
5．下表表示y是x的函数，则当x＝6时，对应的函数值是__________．
x
0＜x≤1
1＜x≤5
5＜x≤10
x＞10
y
1
2
3
4
6．已知函数f(x)＝x2－4x＋5，f(a)＝10，则a＝__________．
7．函数y＝x2－1(x≥)的值域是__________．
8．求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝．
9．已知函数f(x)＝x2＋1，xR．
(1)分别计算：f(1)－f(－1)，f(2)－f(－2)，f(3)－f(－3)的值；
(2)由(1)你发现了什么结论？并加以证明．
能力提升
10．函数f(x)＝的定义域为( )
A．
B．(－2，＋∞)
C．
D．
11．若函数的定义域是A，函数的值域是B，则AB＝__________．
12．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出
x
1
2
3
f(x)
2
1
1
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
则f(g(1))的值为__________；当g(f(x))＝2时，x＝__________．
13．若函数f(x)的定义域为[1,4]，求函数f(x＋2)的定义域．
14．求下列函数的值域：
(1)f(x)＝x2－2x＋2；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝x－．
15．已知f(x)＝，求[f(1)＋f(2)＋…＋f(2
013)]＋的值．
错题记录
错题号
错因分析
参考答案
1．D 点拨：D项中，在(0，＋∞)内取一个x，对应两个y，不符合函数的定义．
2．A 点拨：①的M中有的元素在N中无对应元素；③的M中的元素不是数集．
3．B 点拨：A中函数f(x)的定义域为R，函数g(x)的定义域为[0，＋∞)，定义域不同；C中函数f(x)的定义域为R，函数g(x)的定义域为(0，＋∞)(－∞，0)，定义域不同；D中函数f(x)的定义域为{x|x≠－2}，函数g(x)的定义域为R，故不是同一函数．
4． 点拨：要使函数有意义，则需解之得－2≤x≤3且x≠．
5．3 点拨：∵5＜6≤10，∴当x＝6时，对应的函数值是3．
6．－1或5 点拨：∵f(a)＝a2－4a＋5＝10，
∴a2－4a－5＝0，解得a＝－1或5．
7．[1，＋∞)
8．解：(1)∵由得∴≤x≤3．
∴函数f(x)＝的定义域为．
(2)∵由得∴x≤4且x≠－1．
∴函数f(x)＝的定义域为{x|x≤4，且x≠－1}．
9．解：(1)f(1)－f(－1)＝(12＋1)－[(－1)2＋1]＝2－2＝0，
f(2)－f(－2)＝(22＋1)－[(－2)2＋1]＝5－5＝0，
f(3)－f(－3)＝(32＋1)－[(－3)2＋1]＝10－10＝0．
(2)由(1)可发现结论：对任意xR，有f(x)－f(－x)＝0，
即f(x)＝f(－x)，证明如下：
∵由题意可得f(－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1＝f(x)，
∴对任意xR，总有f(x)＝f(－x)．
∴f(x)－f(－x)＝0．
10．D 点拨：由得x＞－2且x≠，因此所求函数定义域为．
11．[0,2)(2，＋∞) 点拨：由题意知A＝{x|x≠2}，B＝{y|y≥0}，则AB＝[0,2)(2，＋∞)．
12．1 1 点拨：f(g(1))＝f(3)＝1；
由g(2)＝2知f(x)＝2，此时x＝1．
13．解：∵函数f(x)的定义域为[1,4]，
∴使函数f(x＋2)有意义的条件是1≤x＋2≤4，即－1≤x≤2．故函数f(x＋2)的定义域为[－1,2]．
14．解：(1)由题意知函数f(x)的定义域为R，
∵f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1≥1，
∴所求函数的值域为{y|y≥1}．
(2)∵f(x)＝，
∴所求函数的值域为{y|y≠5}．
(3)设t＝，则x＝t2－1(t≥0)，
于是y＝t2－1－t＝．
又∵t≥0，∴y≥．
∴所求函数的值域为．
15．解：∵f(x)＝，∴f(x)＋＝1．∴f(1)＋＝f(2)＋＝…＝f(
2
013)＋＝1．
∴[f(1)＋f(2)＋…＋f(2
013)]＋＝2
013．1.2
函数及其表示
函数的概念
课后训练
千里之行
始于足下
1．下列各组函数表示相等函数的是( )．
A．与y＝x＋3
B．与y＝x－1
C．y＝x0(x≠0)与y＝1(x≠0)
D．y＝2x＋1，x∈Z与y＝2x－1，x∈Z
2．函数的定义域为( )．
A．[－2,2]
B．[－2,2)
C．[－2,1)∪(1,2]
D．(－2,1)∪(1,2)
3．函数的值域是( )．
A．(－∞，－1)∪(－1，＋∞)
B．(－∞，1)∪(1，＋∞)
C．(－∞，0)∪(0，＋∞)
D．(－∞，0)∪(1，＋∞)
4．函数f(x)的定义域是[0,3]，则f(2x－1)的定义域是( )．
A．
B．[0,3]
C．[－1,5]
D．
5．若[a,3a－1]为一确定区间，则a的取值范围是________．
6．若，且，则a＝________.
7．已知f(x)＝2x＋a，，若g(f(x))＝x2＋x＋1，求a的值．
8．已知函数的定义域为A，函数的值域为B，求A∩B.
百尺竿头
更进一步
已知函数.
(1)求f(2)与，f(3)与；
(2)由(1)中求得结果，你能发现f(x)与有什么关系？并证明你的发现；
(3)求．
答案与解析
1.答案：C
解析：A中两函数定义域不同，B、D中两函数对应关系不同，C中定义域与对应关系都相同．
2.答案：C
解析：解不等式组解得[－2,1)∪(1,2]．
3.答案：B
解析：因为函数的分子与分母都是关于x的一次函数，所以可用“分离常数法”求此函数的值域．.因为，所以y≠1.
4.答案：A
解析：由f(x)定义域为[0,3]知，0≤2x－1≤3，即
5.答案：
解析：由题知a<3a－1，解得.
6.答案：
解析：∵，
∴.
∴.
7.解：∵f(x)＝2x＋a，
，
∴
．
又g(f(x))＝x2＋x＋1，
∴，
解得a＝1.
8.解：要使函数有意义，
则即.
∴A＝(－∞，1)∪(1，＋∞)．
∵，∴，
∴B＝[1，＋∞)．
∴A∩B＝(1，＋∞)．
百尺竿头
更进一步
解：(1)∵，
∴，
，
，
.
(2)由(1)发现.
证明如下：
.
(3)
.
由(2)知，
，
∴原式.1.2.1
函数的概念
课后训练
1．函数的图象与直线x＝1的交点最多有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．以上都不对
2．下列说法正确的是( )
A．函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应
B．函数的定义域和值域可以是空集
C．函数的定义域和值域一定是数集
D．函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系也就确定了
3．下列各组函数相等的是( )
A．与g(x)＝x＋1
B．与
C．f(x)＝(x－2)0与g(x)＝1
D．与
4．在下列从集合A到集合B的对应关系中，不能确定y是x的函数的是( )
①A＝{x|x∈Z}，B＝{y|y∈Z}，对应关系f：；
②A＝{x|x＞0，x∈R}，B＝{y|y∈R}，对应关系f：x→y2＝3x；
③A＝{x|x∈R}，B＝{y|y∈R}，对应关系f：x→y：x2＋y2＝25；
④A＝R，B＝R，对应关系f：x→y＝x2；
⑤A＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，B＝R，对应关系f：(x，y)→s＝x＋y；
⑥A＝{x|－1≤x≤1，x∈R}，B＝{0}，对应关系f：x→y＝0.
A．①⑤⑥
B．②④⑤⑥
C．②③④
D．①②③⑤
5．设f：x→x2是集合A到集合B的函数，如果集合B＝{1}，则集合A不可能是( )
A．{1}
B．{－1}
C．{－1,1}
D．
6．集合{x|－9≤x＜5}用区间表示为______；集合{x|x≤5，且x≠0}用区间表示为______________．
7．设集合A＝[－2,10)，B＝[5,13)，则(A∩B)＝______.(用区间表示)
8．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，f：A→B是集合A到集合B的函数，则对应关系可以是______．
9．判断下列对应是否是实数集R上的函数：
(1)f：把x对应到3x＋1；
(2)g：把x对应到|x|＋1；
(3)h：把x对应到；
(4)r：把x对应到.
10．判断下列各组函数是否为相等函数：
(1)f(x)＝，g(x)＝x－5；
(2)f(x)＝2x＋1(x∈Z)，g(x)＝2x＋1(x∈R)；
(3)f(x)＝|x＋1|，
参考答案
1答案：B
2答案：C
3答案：D
4答案：D
5答案：D
6答案：[－9,5) (－∞，0)∪(0,5]
7答案：(－∞，5)∪[10，＋∞)
8答案：x→x＋1(x→2x或x→x＋4或x→2(x＋1)等，答案不唯一，填对一个即可)
9答案：解：(1)是．它的对应关系f是：把x乘3再加1，对于任一x∈R,3x＋1都有唯一确定的y值与之对应．如x＝－1，则3x＋1＝－2与之对应．同理，(2)也是实数集R上的一个函数．(3)不是．当时，根据对应关系，没有值与之对应．(4)不是．当x＜－2时，根据对应关系，找不到实数与之对应．
10答案：解：(1)(2)不是，(3)是．
对于(1)，f(x)的定义域为{x|x≠－3}，g(x)的定义域为R；对于(2)，f(x)的定义域为Z，g(x)的定义域为R，所以(1)(2)中两组函数均不是相等函数；对于(3)，两函数的定义域、对应关系均相同，故为相等函数．1.2.2
函数的表示法
课后训练
1．已知映射f：P→Q是P到Q的函数，则P，Q的元素
( )．
A．可以是点
B．必须是实数
C．可以是方程
D．可以是三角形
2．设函数f(x)＝则f的值为( )．
A.
B．－
C.
D．18
3．给出下列四个对应，其中是映射的是( )．
4．下列图形是函数y＝x|x|的图象的是( )．
5．客车从甲地以60
km/h的速度匀速行驶1
h到达乙地，在乙地停留了0.5
h，然后以80
km/h的速度匀速行驶1
h到达丙地．下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s(km)与时间t(h)之间关系的图象中，正确的`是( )．
6．某客运公司确定车票价格的方法是：如果行程不超过100千米，票价是每千米0.5元；如果超过100千米，超过部分按每千米0.4元定价，则客运票价y(元)与行程x(千米)之间的函数关系式是________．
7．(2010·全国卷Ⅰ)直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点，则a的取值范围是________．
8．判断下列从A到B的对应是否是映射．
(1)A＝{1,2,3}，B＝{7,8,9}，f(1)＝f(2)＝7，f(3)＝8；
(2)A＝Z，B＝{－1,1}，n为奇数时，f(n)＝－1，n为偶数时，f(n)＝1；
(3)A＝B＝{1,2,3}，f(x)＝2x－1；
(4)A＝B＝{x|x≥－1}，f(x)＝2x＋1.
9．已知函数f(x)＝1＋(－2＜x≤2)．
(1)用分段函数的形式表示该函数；
(2)画出函数的图象；
(3)写出函数的值域．
参考答案
1.
答案：B 当且仅当P，Q均是非空数集时，映射f：P→Q才是P到Q的函数．
2.
答案：A ∵f(2)＝22＋2－2＝4，
∴.
3.
答案：A 选项A符合映射的定义，是映射；选项B，集合M中的元素2和4在N中无与之对应的元素，故不是映射；选项C，集合M中的元素在N中均有两个元素与之对应，故不是映射，选项D也不是映射．
4.
答案：D 函数y＝x|x|＝故选D.
5.
答案：C 从甲地到达乙地以60
km/h匀速行驶1
h，行驶路程为60
km，此时图象为过(0,0)，(1,60)的线段；在乙地停留0.5
h，此时图象为过(1,60)，(1.5,60)的线段；然后从乙地以80
km/h匀速行驶1
h到达丙地，行驶路程为80
km，此时的图象为过(1.5,60)，(2.5,140)的线段．
6.
答案：y＝根据行程是否大于100千米来求出解析式，由题意，当0≤x≤100时，y＝0.5x；当x＞100时，y＝100×0.5＋(x－100)×0.4＝10＋0.4x.
7.
答案：y＝x2－|x|＋a＝
画出直线y＝1和曲线y＝x2－|x|＋a的图象如图所示．
由图知解得1＜a＜.
8.
答案：解：对于(1)，集合A中的元素在集合B中都有唯一的对应元素，因而是映射；对于(2)，集合A中的任一元素x在对应关系f作用下，在B中都有唯一元素与之对应，因而是映射；对于(3)，由于当x＝3时，f(3)＝2×3－1＝5，在集合B中无对应元素，因而不满足映射的定义，不是映射；对于(4)，满足映射的定义，是映射．
9.
答案：解：(1)当0≤x≤2时，f(x)＝1＋＝1，当－2＜x＜0时，f(x)＝1＋＝1－x.故f(x)＝
(2)函数f(x)的图象如图所示．
(3)由(2)知，f(x)的值域为[1,3)．1.2.2
函数的表示法
课后训练
基础巩固
?1．下面各图表示的对应构成映射的个数是( )
A．3
B．4
C．5
D．6
2．函数y＝x＋的图象是( )
3．已知f(x)＝则等于( )
A．
B．
C．
D．
4．若，则f(x)＝__________．
5．图中的图象所表示的函数解析式为__________．
6．已知f(x)是一次函数，若f(f(x))＝4x－1，则f(x)＝__________．
7．已知函数f(x)＝则不等式(x＋1)f(x)＞2的解集是__________．
8．函数f(x)＝的最大值是__________．
能力提升
9．某学生从家去学校，为了锻炼身体，开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．图中d轴表示该学生与学校之间的距离，t轴表示所用的时间，则符合上述情况的只可能是( )
10．若函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)(x，yR)，则下列各式不恒成立的是( )
A．f(0)＝0
B．f(3)＝3f(1)
C．
D．f(－x)＋f(x)＜0
11．将函数y＝f(x)向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得y＝x2的图象，则函数f(x)的解析式为__________．
12．若定义运算ab＝则函数f(x)＝x(2－x)的值域为__________．
13．(学科内综合题)如图所示，在梯形ABCD中，AB＝10，CD＝6，AD＝BC＝4，动点P从B点开始沿着折线BC，CD，DA前进至A，若P点运动的路程为x，△PAB的面积为y．
(1)写出y＝f(x)的解析式，指出函数的定义域；
(2)画出函数的图象并写出函数的值域．
14．(压轴题)设函数f(x)＝|x2－4x－5|．
(1)在区间[－2,6]上画出函数f(x)的图象；
(2)当m为怎样的实数时，方程|x2－4x－5|＝m有四个互不相等的实数根？
(3)设集合A＝{x|f(x)≥5}，B＝(－∞，－2][0,4][6，＋∞)，试判断集合A和B之间的关系，并给出证明．
错题记录
错题号
错因分析
参考答案
1．A 点拨：(1)(2)(3)这三个图所表示的对应都符合映射的定义，即A中每一个元素在对应关系下，B中都有唯一的元素与之对应．
对于(4)(5)，A中的每一个元素在B中有2个元素与之对应，所以不是A到B的映射．
对于(6)，A中的元素a3，a4在B中没有元素与之对应，所以不是A到B的映射．
综上可知，能构成映射的个数为3，所以选A．
2．D 点拨：y＝x＋＝故选D．
3．B 点拨：．
4．(x≠0，且x≠－1) 点拨：令，则且t≠0，因此f(t)＝．
故f(x)＝(x≠0，且x≠－1)．
5．y＝ 点拨：当0≤x＜1时，；当1≤x≤2时，y＝＋3．
6．2x－或－2x＋1 点拨：设f(x)＝kx＋b(k≠0)，则f(f(x))＝kf(x)＋b＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b．
∵f(f(x))＝4x－1，∴
解得或
∴所求函数解析式为f(x)＝2x－或f(x)＝－2x＋1．
7．{x|x＞1，或x＜－3} 点拨：因为f(x)＝所以(x＋1)f(x)＞2可转化为或解得x＞1或x＜－3．
故所求不等式的解集为{x|x＞1，或x＜－3}．
8．4 点拨：作出分段函数的图象即可得解，图象如图所示．
9．D 点拨：t＝0时，学生在家，与学校的距离d≠0，因此排除A，C；学生先跑后走，因此d随t的变化是先快后慢．故选D．
10．D 点拨：赋值．令x＝y＝0，得f(0)＝f(0)＋f(0)，得f(0)＝0；
令x＝y＝，得f(1)＝，
即．
令y＝－x，得f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，
得f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0．
令x＝1，y＝1，得f(2)＝2f(1)，
则f(3)＝f(2＋1)＝f(2)＋f(1)＝3f(1)．故选D．
11．f(x)＝(x－1)2－2 点拨：将函数y＝x2的图象向下平移2个单位长度得函数y＝x2－2的图象，再将函数y＝x2－2的图象向右平移一个单位长度，得函数y＝(x－1)2－2的图象．
12．(－∞，1] 点拨：由题意得f(x)＝画出函数f(x)的图象得所求值域是(－∞，1]．
13．解：如图所示，
(1)①当P在BC上运动时，如图①所示，
易知∠B＝60°，y＝×10×(xsin
60°)＝,0≤x≤4．
②当P点在CD上运动时，如图②所示，
y＝×10×＝，4＜x≤10．
③当P在DA上运动时，如图③所示，
y＝×10×(14－x)sin
60°
＝，10＜x≤14．
综上所得，函数的解析式为
(2)函数y＝f(x)的图象如图所示．
由图象可知，函数y＝f(x)的图象上所有点的纵坐标的取值范围是0≤y≤．
所以函数y＝f(x)的值域为[0,
]．
14．解：(1)f(x)＝|x2－4x－5|＝
其图象如图所示．
(2)由图象可知，当0＜m＜9时，直线y＝m与y＝|x2－4x－5|的图象有四个不同的交点，因此当0＜m＜9时，方程|x2－4x－5|＝m有四个互不相等的实数根．
(3)方程f(x)＝5的解分别是x＝2－，0,4,2＋，观察图象可得f(x)≥5的解是x≤2－，或0≤x≤4，或x≥2＋，则A＝(－∞，2－)[0,4][2＋，＋∞)．
∵2＋＜6,2－＞－2，∴BA．1.2.1
函数的概念
课后训练
1．已知函数，且f(a)＝2，则a＝( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2．函数y＝f(x＋1)的定义域为[－1,2]，则函数y＝f(x)的定义域为( )
A．[－1,2]
B．[0,2]
C．[－1,3]
D．[0,3]
3．函数的定义域为( )
A．
B．(－2，＋∞)
C．∪
D．
4．若函数f(x)满足f(2x－1)＝x＋1，则f(3)等于( )
A．3
B．4
C．5
D．6
5．若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数的定义域是( )
A．[0,1]
B．[0,1)
C．[0,1)∪(1,4]
D．(0,1)
6．函数f(x)＝3x－1，x∈[－5,2)的值域是______．
7．已知函数f(x)＝8，则f(x2)＝______.
8．已知f(x)＝x＋3，g(x)＝x2＋3x－2，则f(g(x))＝______.
9．已知函数f(x)对任意实数x，y都有f(xy)＝f(x)＋f(y)成立．
(1)求f(0)与f(1)的值；
(2)若f(2)＝a，f(3)＝b(a，b均为常数)，求f(36)的值．
10．已知函数.
(1)求f(2)与，f(3)与的值．
(2)由(1)中求得的结果，你能发现f(x)与有什么关系？并证明你的发现．
(3)求f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2
012)＋．
参考答案
1答案：C
2答案：D
3答案：C
4答案：A
5答案：B
6答案：[－16,5)
7答案：8
8答案：x2＋3x＋1
9答案：解：由已知对任意实数x，y都有
f(xy)＝f(x)＋f(y)．
(1)令x＝y＝0，得f(0)＝f(0)＋f(0)，
∴f(0)＝0.
令x＝y＝1，得f(1)＝f(1)＋f(1)，∴f(1)＝0.
(2)令x＝2，y＝3，得f(6)＝f(2)＋f(3)＝a＋b.
令x＝y＝6，得f(36)＝f(6)＋f(6)＝2(a＋b)．
10答案：解：(1)
，；，.
(2)由(1)中求得的结果，可猜测
.
证明如下：
.
(3)由(2)知.
∴，，…，.又，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2
012)＋＝＋＝.1.2.1
函数的概念
课后训练
1．下列说法正确的是( )．
A．函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应
B．函数的定义域和值域可以是空集
C．函数的定义域和值域一定是数集
D．函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系也就确定了
2．函数y＝的值域是( )．
A．R
B．{y|y≠0}
C．{y|y≠－3}
D．{y|y＞－3}
3．下列函数中，与函数y＝有相同定义域的是( )．
A．f(x)＝
B．f(x)＝
C．f(x)＝|x|
D．f(x)＝
4．已知函数f(x)＝，则f＝( )．
A.
B.
C．a
D．3a
5．(能力拔高题)已知A＝{a，b，c}，B＝{－1,0,1}，函数f：A→B满足f(a)＋f(b)＋f(c)＝0，则这样的函数f(x)有( )．
A．4个
B．6个
C．7个
D．8个
6．集合{x|－12≤x＜10，或x＞11}用区间表示为__________．
7．给出下列函数：
①y＝x2－x＋2，x＞0；
②y＝x2－x，x∈R；
③y＝t2－t＋2，t∈R；
④y＝t2－t＋2，t＞0.
其中与函数y＝x2－x＋2，x∈R相等的是__________．
8．已知函数f(x)对任意实数x1，x2都有f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)成立，则f(0)＝__________，f(1)＝__________.
9．已知函数f(x)＝x＋，
(1)求f(x)的定义域；
(2)求f(－1)，f(2)的值；
(3)当a≠－1时，求f(a＋1)的值．
10．下列对应是否是从A到B的函数？
①A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→|x|；
②A＝Z，B＝N，f：A→B，平方；
③A＝Z，B＝Z，f：A→B，求算术平方根；
④A＝N，B＝Z，f：A→B，求平方根；
⑤A＝[－2,2]，B＝[－3,3]，f：A→B，求立方．
参考答案
1.
答案：C
2.
答案：B
3.
答案：A 函数y＝的定义域为{x|x＞0}；
函数f(x)＝的定义域为{x|x＞0}；
函数f(x)＝的定义域为{x|x≠0，xR}；
函数f(x)＝|x|的定义域为R；
函数f(x)＝的定义域为{x|x≥1}．
所以与函数y＝有相同定义域的是f(x)＝.
4.
答案：D ＝3a.
5.
答案：C 当f(a)＝－1时，f(b)＝0，f(c)＝1或f(b)＝1，f(c)＝0，即此时满足条件的函数有2个；当f(a)＝0时，f(b)＝－1，f(c)＝1或f(b)＝1，f(c)＝－1或f(b)＝0，f(c)＝0，即此时满足条件的函数有3个；当f(a)＝1时，f(b)＝0，f(c)＝－1或f(b)＝－1，f(c)＝0，即此时满足条件的函数有2个．综上可得，满足条件的函数共有2＋3＋2＝7(个)．
6.
答案：[－12,10)(11，＋)
7.
答案：③ ①中定义域不同，故不相等；②中定义域相同，解析式不同，即对应关系不同，故不相等；③中定义域相同，对应关系相同，故相等；④中定义域不同，故不相等．
8.
答案：0 0 令x1＝x2＝0，有f(0×0)＝f(0)＋f(0)，解得f(0)＝0；令x1＝x2＝1，有f(1×1)＝f(1)＋f(1)，解得f(1)＝0.
9.
答案：解：(1)要使函数有意义，必须使x≠0，
即f(x)的定义域是(－，0)(0，＋)．
(2)f(－1)＝－1＋＝－2，f(2)＝2＋.
(3)当a≠－1时，a＋1≠0，
故f(a＋1)＝a＋1＋.
10.
答案：解：只有②是从A到B的函数，①③④⑤不是．
对于①，A中的元素0在B中无元素和它对应，故不是函数．
对于③，A中的负整数没有算术平方根，故不是函数．
对于④，A中的一些元素，如2,3等在B中无元素和它们对应，故不是函数．
对于⑤，A中的一些元素，如2在B中无元素和它对应，故不是函数．
对于②，满足函数的定义，是函数．1.2.2
函数的表示法
课后训练
1．设则f(g(π))的值为( )
A．1
B．0
C．－1
D．π
2．函数则f(1)的值为( )
A．1
B．2
C．3
D．0
3．映射f：A→B，A＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，对于任意a∈A，在集合B中和它对应的元素是|a|，则集合B中元素的最少个数是( )
A．7
B．6
C．5
D．4
4．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来．睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用S1，S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下图与故事情节相吻合的是( )
5．已知函数若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于( )
A．－3
B．－1
C．1
D．3
6．设函数若f(a)＞1，则实数a的取值范围是________．
7．若定义运算则函数f(x)＝x(2－x)的值域是________．
8．已知集合A中的元素(x，y)在映射f下对应B中的元素(x＋2y,2x－y)，则B中元素(3,1)在A中的对应元素是__________．
9．已知函数
(－2＜x≤2)．
(1)用分段函数的形式表示该函数；
(2)作出该函数的图象，并写出该函数的值域．
10．某市出租车起步价为5元，起步价内最大行驶里程为3
km，以后3
km内每1
km加收1.5元，再超过3
km后，每1
km加收2元．(不足1
km按1
km计算)
(1)写出出租费用y关于行驶里程x的函数关系式；
(2)作出函数图象，并求行程7.5
km时的出租费用．
参考答案
1答案：B
2答案：D
3答案：D
4答案：B
5答案：A
6答案：(4，＋∞)
7答案：(－∞，1]
8答案：(1,1)
9答案：解：(1)当0≤x≤2时，；
当－2＜x＜0时，.
所以
(2)函数f(x)的图象如图所示，由图象知，f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3)．
10答案：解：(1)令[x]表示不大于x的最大整数，
当0＜x≤3时，y＝5；
当3＜x≤6时，y＝5＋1.5([x]－2)；
当x＞6时，y＝9.5＋2([x]－5)．
∴
(2)当x＝7.5时，y＝2[7.5]－0.5＝2×7－0.5＝13.5(元)．
函数图象如图所示．1.2
函数及其表示
函数的表示法
课后训练
千里之行
始于足下
1．设f(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则g(x)＝( )．
A．2x＋1
B．2x－1
C．2x－3
D．2x＋7
2．函数y＝f(x)的图象与直线x＝a(a∈R)的交点有( )．
A．至多有一个
B．至少有一个
C．有且仅有一个
D．有一个或两个以上
3．一列货运火车从某站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达下一站停车，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次匀速行驶，下列图象可以近似地刻画出火车在这段时间内的速度变化情况的是( )．
4．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：
x
1
2
3
f(x)
2
1
1
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
则f(g(1))的值为________；当g(f(x))＝2时，x＝________.
5．若一个长方体的高为80
cm，长比宽多10
cm，则这个长方体的体积y(cm3)与长方体的宽x(cm)之间的表达式是________．
6．已知f(x)是二次函数，且满足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，则f(x)＝________.
7．作出下列函数的图象：
(1)y＝1＋x(x∈Z)；(2)y＝x2－2x(x∈[0,3))；(3).
8．如图所示，用长为l的铁丝弯成下部分为矩形，上部为半圆形的框架，若矩形底边长为2x，求此框架围成的面积y与x的函数关系式，并指出其定义域．
百尺竿头
更进一步
对任意实数x，y都有f(x＋y)－2f(y)＝x2＋2xy－y2＋3x－3y，求函数f(x)的解析式．
答案与解析
1.答案：B
解析：由已知得g(x＋2)＝f(x)＝2x＋3＝2(x＋2)－1，所以g(x)＝2x－1.故选B.
2.答案：A
解析：由函数的定义对于定义域内的任意一个x值，都有唯一一个y值与它对应，所以函数y＝f(x)的图象与直线x＝a(a∈R)至多有一个交点(当a的值不在定义域内时，也可能没有交点)．故选A.
3.答案：B
解析：根据题意，知火车从静止开始匀加速行驶，所以只有选项B、C符合题意，然后匀速行驶一段时间后又停止了一段时间，所以可以确定选B.
4.答案：1 1
解析：由表格知：g(1)＝3，
∴f(g(1))＝f(3)＝1.
当g(f(x))＝2时，得到g(2)＝2，
即f(x)＝2.
又∵f(1)＝2，∴x＝1.
5.答案：y＝80x2＋800x(x>0)
解析：由题意，知长方体的宽为x
cm，长为(10＋x)
cm，则根据长方体的体积公式，得y＝(10＋x)x×80＝80x2＋800x.所以y与x之间的表达式是y＝80x2＋800x(x>0)．
6.答案：x2－x＋1
解析：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由f(0)＝1，得c＝1，
由f(x＋1)－f(x)＝2x，
得a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－ax2－bx－1＝2x.
左边展开整理得2ax＋(a＋b)＝2x，
得a＝1，b＝－1，∴f(x)＝x2－x＋1.
7.解：(1)这个函数的图象由一些点组成，这些点都在直线y＝1＋x上，如图①所示．
(2)因为0≤x<3，所以这个函数的图象是抛物线y＝x2－2x介于0≤x<3之间的一部分，如图②所示．
(3)根据绝对值的定义可得分别画出y＝x＋1，x>0和y＝x－1，x<0的图象，如图③所示．
8.解：由题意知此框架是由一个矩形和一个半圆组成的图形，而矩形的长AB＝2x，设宽为a，则有2x＋2a＋πx＝l，即，半圆直径为2x.
半径为x，∴面积.
根据实际意义知，又x>0，解得.
即函数的定义域为．
百尺竿头
更进一步
解：方法一：∵f(x＋y)－2f(y)
＝x2＋2xy－y2＋3x－3y对任意x，y∈R都成立，
故可令x＝y＝0，得f(0)＝0.
再令y＝0，得f(x)－2f(0)＝x2＋3x.
∴f(x)＝x2＋3x.
方法二：在已知式子中，令x＝0，得
f(y)－2f(y)＝－y2－3y，
∴－f(y)＝－y2－3y，∴f(y)＝y2＋3y.
令y＝x，得f(x)＝x2＋3x，
即为所求函数解析式．