2.1.1
指数与指数幂的运算
课后训练
1．对于a＞0，b＞0，m，n∈R，以下运算中正确的是( )．
A．aman＝amn
B．(am)n＝am＋n
C．ambn＝(ab)m＋n
D.m＝a－mbm
2．若有意义，则实数a的取值范围是( )．
A．a≥2
B．a≤2
C．a＞2
D．a＜2
3．下列等式正确的是( )．
A．(x≠0)
B．(x≠0)
C.
D.(y＞0)
4．计算(n∈N
)的结果为( )．
A.
B．22n＋5
C．
D.
2n－7
5．若102x＝25，则10－x等于( )．
A．－
B.
C.
D.
6．若x＞0，则＝__________.
7．设α，β是方程5x2＋10x＋1＝0的两个根，则2α·2β＝__________，(2α)β＝__________.
8．(能力拔高题)已知10α＝2,10β＝3，则＝__________.
9．已知2x＋2－x＝a(a≥2)，求4x＋4－x的值．
10．(1)计算；
(2)化简.
参考答案
1.
答案：D aman＝am＋n，(am)n＝amn，(ab)m＋n＝am＋nbm＋n，故选项A，B，C均不正确；＝a－mbm，故选项D正确．
2.
答案：C ∵(a－2)，∴若有意义，
则a－2＞0，即a＞2.
3.
答案：D 选项A中，，所以选项A不正确；选项B中，，所以选项B不正确；选项C中，等式成立的条件是＞0，即xy＞0，所以选项C不正确；选项D中，，由于y＞0，则，所以选项D正确．
4.
答案：D 原式＝＝22n＋2－2n－1－2n＋6＝27－2n
＝(2－1)2n－7＝.
5.
答案：B ∵102x＝25，∴.
∴10x＝＝5.∴10－x＝.
6.
答案：－23 原式＝＋4＝－23.
7.
答案： 利用一元二次方程根与系数的关系，得
α＋β＝－2，αβ＝，
则2α·2β＝2α＋β＝2－2＝，(2α)β＝2αβ＝.
8.
答案： .
9.
答案：解：∵2x＋2－x＝a，∴22x＋2＋2－2x＝a2.
∴4x＋4－x＝22x＋2－2x＝a2－2.
10.
答案：解：(1)原式＝＝0.1－1＋32
＝10＋9－＋27＝.
(2)原式＝.2.1
指数函数
指数与指数幂的运算
课后训练
千里之行
始于足下
1．有下列命题：①；②若a∈R，则(a2－a＋1)0＝1；③；④.
其中正确命题的个数是( )．
A．0
B．1
C．2
D．3
2．计算的结果是( )．
A．
B．
C．
D．
3．式子
(a>0)经过计算可得到( )．
A．a
B．
C．
D．
4．计算得( )．
A．
B．
C．
D．
5．当8
6．设2x＝8y＋1,9y＝3x－9，则x＋y＝________.
7．计算下列各式的值：
(1)
；
(2)
(a>0，b>0)．
8．已知，求下列各式的值：
(1)x＋x－1；
(2)
.
百尺竿头
更进一步
已知a>0，对于0≤r≤8，r∈N
，式子能化为关于a的整数指数幂的可能情形有几种？
答案与解析
1.答案：B
解析：①中，若n为偶数，则不一定成立，故A是错误的；②中，因为，所以(a2－a＋1)0＝1是正确的；③是错误的；④左边为负数，而右边为正数，是错误的，故选B.
2.答案：C
解析：.
3.答案：D
解析：原式＝
4.答案：A
解析：原式＝.
5.答案：2
解析：由8.
6.答案：27
解析：由2x＝8y＋1得2x＝23y＋3，
所以x＝3y＋3，①
由9y＝3x－9得32y＝3x－9，
所以2y＝x－9.②
由①②联立方程组，
解得x＝21，y＝6，
所以x＋y＝27.
7.解：(1)原式＝
.
(2)原式＝
.
8.解：(1)已知式两边平方得x＋2＋x－1＝9，∴x＋x－1＝7.
(2)将x＋x－1＝7两边平方得x2＋2＋x－2＝49，∴x2＋x－2＝47，
∴，
∴.
百尺竿头
更进一步
解：.
要使∈Z，须使r为4的倍数．
∵0≤r≤8，r∈N
，
∴r＝0,4,8，
当r＝0时，为整数；
当r＝4时，为整数；
当r＝8时，为整数；
∴r＝0,4,8时，上式可化为关于a的整数指数幂．2.1.1
指数与指数幂的运算
课后训练
基础巩固
1．设m，n是正整数，a是正实数，观察下列各式：①；②a0＝1；③．其中正确的有( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
2．的值是( )
A．2
B．－2
C．±2
D．－8
3．化简(2x＞1)的结果是( )
A．1－2x
B．0 C．2x－1
D．(1－2x)2
4．计算(2a－3)·(－3a－1b)÷(4a－4)，得( )
A．
B．
C．
D．
5．(a＞0)的值是( )
A．1
B．a
C．
D．
6．已知＝－a－1，则实数a的取值范围是__________．
7．设α，β是方程5x2＋10x＋1＝0的两个根，则2α·2β＝__________，(2α)β＝__________．
能力提升
8．若10m＝2,10n＝4，则＝__________．
9．已知a＜0，则化简的结果为__________．
10．化简的结果为__________．
11．已知a－b＝，b－c＝，则a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝__________．
12．计算(或化简)下列各式：
(1)；(2)．
13．已知f(x)＝2x－2－x，g(x)＝2x＋2－x．
(1)求[f(x)]2－[g(x)]2的值；
(2)设f(x)f(y)＝4，g(x)g(y)＝8，求的值．
14．(压轴题)集合{x1，x2，…，xn}的一元子集{x1}，{x2}，…，{xn}分别对应于幂20,21，…，2n－1；二元子集{x1，x2}，{x1，x3}，…，{xn－1，xn}分别对应于幂20＋21,21＋22，…，2n－2＋2n－1，…；n元子集{x1，x2，…，xn}对应于幂20＋21＋…＋2n－1．
(1)求子集{x2，x4}的对应幂；
(2)求幂20＋23＋25的对应子集；
(3)幂20＋23＋25＝1＋8＋32＝41称为该子集的“幂序数”(可对各子集按先后排序)，试求幂序数为100的子集．
错题记录
错题号
错因分析
参考答案
1．D 点拨：①②③都正确．
2．B 点拨：＝－2．
3．C 点拨：由＝|a|＝可得．
4．A 点拨：原式＝[2×(－3)÷4]·(a－3－1＋4·)＝．
5．D 点拨：原式＝．
6．(－∞，－1] 点拨：∵＝|a＋1|，∴|a＋1|＝－a－1＝－(a＋1)．∴a＋1≤0，即a≤－1．
7． 点拨：由题意得，α＋β＝－2，αβ＝，故2α·2β＝2α＋β＝2－2＝，(2α)β＝2αβ＝．
8．1 点拨：．
9． 点拨：∵a＜0，∴．
10． 点拨：．
11．15 点拨：∵a－b＝＝2＋，
b－c＝＝2－，∴a－c＝4．
∴a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝[(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2]＝×[(2＋)2＋(2－)2＋42]＝×30＝15．
12．解：(1)原式＝
＝
＝＝21＝2．
(2)原式＝
＝＝0．
13．解：(1)[f(x)]2－[g(x)]2＝[f(x)＋g(x)][f(x)－g(x)]
＝(2x－2－x＋2x＋2－x)(2x－2－x－2x－2－x)
＝2·2x·(－2)·2－x＝－4；
(2)f(x)f(y)＝(2x－2－x)(2y－2－y)＝2x＋y＋2－(x＋y)－[2x－y＋2－(x－y)]＝g(x＋y)－g(x－y)＝4．
同理可得g(x)g(y)＝g(x＋y)＋g(x－y)＝8．
因此解得
故＝3．
14．解：(1)子集为二元子集，其幂为2个单幂之和，幂的指数分别为对应元素下标减1，即21＋23．
(2)子集为三元子集，元素的下标数为对应幂的指数加1，即{x1，x4，x6}．
(3)100＝64＋32＋4＝26＋25＋22，对应的三元子集为{x3，x6，x7}．2.1.1
指数与指数幂的运算
课后训练
1．化简[的结果为( )
A．5
B．
C．
D．－5
2．计算得( )
A．
B．
C．
D．
3．如果x＝1＋2b，y＝1＋2－b，那么用x表示y等于( )
A．
B．
C．
D．
4．化成分数指数幂为( )
A．
B．
C．
D．
5．设，则等于( )
A．m2－2
B．2－m2
C．m2＋2
D．m2
6．计算：－3－1＋π0＝________.
7．若x＞0，则______.
8．化简：＝______.
9．化简：(1)；
(2).
10．已知x＋y＝12，xy＝9，且x＜y，求的值．
参考答案
1答案：B
2答案：A
3答案：D
4答案：B
5答案：C
6答案：
7答案：－23
8答案：
9答案：解：(1)原式＝
＝
＝
＝÷(ab)＝
(2)原式＝
＝
10答案：解：
＝.又x＋y＝12，xy＝9，则有(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝108.
而x＜y，∴.
∴原式＝
023-61
4+2564+(2
√2
2
2
a
3
s/4
3
b
2
36
b
2
4
b
5
b
2
10
A-V
X
x2+y2(x2+y2)(x2-y2)
11
x+y-2x2y
x+y-2(xy
X
x-y
12-2×9
6√3-6√32.1
指数函数
指数函数的图象及其性质
课后训练
千里之行
始于足下
1．下列式子一定是指数函数的是( )．
A．形如y＝ax的函数
B．y＝22x＋1
C．y＝(|m|＋2)－x
D．y＝x2
2．函数的定义域是( )．
A．(－∞，0]
B．[0，＋∞)
C．(－∞，0)
D．(－∞，＋∞)
3．已知对不同的a值，函数f(x)＝2＋ax－1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点P，则P点的坐标是( )．
A．(0,3)
B．(0,2)
C．(1,3)
D．(1,2)
4．已知函数f(x)＝ax在(0,2)内的值域是，则函数y＝f(x)的图象是( )．
5．函数(a>1)恒过定点(1,10)，则m＝________.
6．当x>0时，函数f(x)＝(a2－1)x的值总大于1，则实数a的取值范围是________．
7．求函数
(－3≤x≤1)的值域．
8．已知函数f(x)＝ax－1(x≥0)的图象经过点，其中a>0且a≠1.
(1)求a的值；
(2)求函数y＝f(x)(x≥0)的值域．
百尺竿头
更进一步
设，若0的值．
答案与解析
1.答案：C
解析：根据指数函数的定义求解．
2.答案：A
解析：要使函数有意义，
则1－2x≥0，即2x≤1，
∴x≤0.
3.答案：C
解析：令x－1＝0，得x＝1，
此时y＝2＋1＝3，
∴图象恒过定点(1,3)．
4.答案：A
解析：∵f(x)＝ax在(0,2)内的值域是，
∴f(x)在(0,2)内单调递减，
∴05.答案：9
解析：由题可知a0＋m＝10，即1＋m＝10，得m＝9.
6.答案：
解析：∵x>0时，f(x)＝(a2－1)x的值总大于1，∴a2－1>1，∴a2>2，即，
故.
7.解：令t＝－2x2－8x＋1，
则，
又t＝－2x2－8x＋1＝－2(x2＋4x)＋1＝－2(x＋2)2＋9，
∵－3≤x≤1，∴当x＝－2时，tmax＝9，当x＝1时，tmin＝－9，
故－9≤t≤9，∴，
即3－9≤y≤39，
故所求函数的值域为．
8.解：(1)函数图象过点，
所以，
则.
(2)(x≥0)，
由x≥0，得x－1≥－1，
于是.
所以函数的值域为(0,2]．
百尺竿头
更进一步
解：.
观察式子，不难发现.
从而.2.1.2
指数函数及其性质
课后训练
1．函数f(x)＝x在[－1,0]上的最大值是( )．
A．－1
B．0
C．1
D．3
2．(2010·重庆卷)函数y＝的值域是( )．
A．[0，＋∞)
B．[0,4]
C．[0,4)
D．(0,4)
3．(学科内综合题)已知集合M＝{－1,1}，N＝，则M∩N等于( )．
A．{－1,1}
B．{－1}
C．{0}
D．{－1,0}
4．若函数f(x)的定义域是(0,2)，则f(3－3x)的定义域是( )．
A．(0,2)
B．(－2,0)
C．(0,1)
D．(－1,0)
5．若函数f(x)＝(a＞0，且a≠1)是R上的单调函数，则实数a的取值范围是( )．
A.
B.
C.
D.
6．函数y＝ax(a＞0，且a≠1)在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则a＝__________.
7．函数y＝(e＝2.718
28…)的定义域为__________．
8．一种专门占据内存的计算机病毒，开机时占据内存2
KB，然后每3
min自身复制一次，复制后所占据内存是原来的2倍，那么开机后，该病毒占据64
MB(1
MB＝210
KB)内存需要经过的时间为______min.
9．比较下列各题中两个值的大小：
(1)0.8－0.1,0.8－0.2；
(2)1.70.3,0.93.1；
(3)a1.3，a2.5(a＞0，且a≠1)．
10．(探究题)已知关于x的方程x＝7－a的根为正数，求a的取值范围．
参考答案
1.
答案：
D 函数f(x)＝在[－1,0]上是减函数，则最大值是f(－1)＝＝3.
2.
答案：C 要使函数有意义，自变量x的取值需满足16－4x≥0.
又∵4x＞0，∴16－4x＜16，
∴0≤16－4x＜16，∴0≤＜4.
故函数y＝的值域为[0,4)．
3.
答案：B ＜2x＋1＜42－1＜2x＋1＜22－1＜x＋1＜2－2＜x＜1，∴N＝{x|－2＜x＜1，xZ}＝{－1,0}．
∴MN＝{－1}．
4.
答案：C 由题意，得0＜3－3x＜2，∴－2＜3x－3＜0，
∴1＜3x＜3，即30＜3x＜31，∴0＜x＜1.
5.
答案：D 当a＞1时，f(x)在(－，－1)上是增函数，在[－1，＋)上是减函数，则函数f(x)在R上不是单调函数，故a＞1不合题意；当0＜a＜1时，f(x)在(－，－1)上是增函数，在[－1，＋)上是增函数，又函数f(x)在R上是单调函数，则a(－1－1)＋1≤a－(－1)，解得a≥，所以实数a的取值范围是≤a＜1.
6.
答案：2 y＝ax在R上是单调函数，所以有a0＋a＝3，解得a＝2.
7.
答案：[0，＋) 要使函数有意义，自变量x的取值需满足ex－1≥0，解得x≥0.
8.
答案：45 设开机t
min后，该病毒占据y
KB内存，
由题意，得y＝，
令＝64×210，
又64×210＝26×210＝216，
所以有＋1＝16，解得t＝45.
9.
答案：解：(1)由于0＜0.8＜1，∴指数函数y＝0.8x在R上为减函数．
∴0.8－0.1＜0.8－0.2.
(2)∵1.70.3＞1,0.93.1＜1，∴1.70.3＞0.93.1.
(3)当a＞1时，函数y＝ax是增函数，此时a1.3＜a2.5；
当0＜a＜1时，函数y＝ax是减函数，
此时a1.3＞a2.5，即当0＜a＜1时，a1.3＞a2.5；
当a＞1时，a1.3＜a2.5.
10.
答案：分析：设方程的根为x0，由x0＞0，确定的值域，转化为解不等式，得a的取值范围．
解：设方程的根为x0，∵x0＞0，∴(0,1)．
∴0＜7－a＜1，解得6＜a＜7.
∴a的取值范围是(6,7)．2.1.1
指数与指数幂的运算
课后导练
基础达标
1.下列等式一定成立的是(
)
A.·=a
B.·=0
C.（a3）2=a9
D.÷=
解析:由同底数幂的运算法则易知选D.
答案:D
2.下列两个命题:甲:=(-2)3=-8;乙:
===23=8.正确的说法是(
)
A.甲对,乙不对
B.甲不对,乙对
C.甲,乙都对
D.甲,乙都不对
解析:当指数扩充到有理数指数幂后，幂的运算法则使用的前提条件是底数a＞0，故甲不正确，乙正确.
答案：B
3.化简（·）·（-3）÷（13）的结果是（
）
A.6a
B.-a
C.-9a
D.9a
解析:根据同底数幂的运算法则计算易得C.
答案:C
4.化简()4·()4的结果是(
)
A.a16
B.a8
C.a4
D.a2
解析:将根式由里向外化为分数指数幂运算.
答案:C
5.化简()-4等于(
)
A.
B.
C.
D.
解析：原式=［］-4=［］-4=（）-1=.
答案：A
6.若0<2x-1<3,则+2|x-2|等于(
)
A.4x-5
B.-3
C.3
D.5-4x
解析：原式=|1-2x|+2|x-2|=2x-1+2（2-x）=3.
答案：C
7.若10a=2,10b=3,则=___________________________.
解析：原式====.
答案：
8.化简÷=____________________________.
解析：原式=÷=÷ab==.
答案：
9.-(-)-2÷160.75=_______________________.
解析：原式=-8÷8=-1=.
答案：
10.化简-=______________________.
解析：原式=（+）-（-）=2.
答案：2
综合运用
11.·-=________________________.
解析：原式=-·-（-1）
=-·-（-1）
=--(-1)
=-1-+1=-.
答案：-
12.化简-=_______________________(a>1).
解析：原式=（a-a-1）-(a+a-1)=-2a-1.
答案：-2a-1
13.(1);
(2).
解析：(1)原式=2·=1
600.
(2)原式====+.
答案：（1）1
600
（2）+
拓展探究
14.化简：+-
解析：∵x-1=（-1）（++1），
∴x+1=（+1）（-+1），原式=-1+-+1-=-（+1）=-.
答案：-
15.已知、是方程3x2-6x+1=0的两根,那么α+β的值为多少
解析：∵由条件得+=2,·=,
∴α+β=(+)2-2=4-=.
答案：2.1.2
指数函数及其性质
课后训练
1．已知M＝{x|y＝2x}，N＝{y|y＝2x}，则M∩N＝( )．
A．{x|x＞0}
B．R
C．{x|x＜0}
D．
2．函数y＝的定义域是( )．
A．R
B．(－∞，2]
C．[2，＋∞)
D．(0，＋∞)
3．函数y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则有( )．
A．a＝1或a＝2
B．a＝1
C．a＝2
D．a＞0且a≠1
4．方程2x＋x＝0的解的个数是( )．
A．0
B．1
C．2
D．3
5．已知f(x)＝ax＋a－x(a＞0，且a≠1)，f(1)＝3，则f(0)＋f(1)＋f(2)的值为( )．
A．7
B．9
C．11
D．12
6．已知函数f(x)＝ax(a＞0，a≠1)过点(2,4)，则a＝__________.
7．函数f(x)＝3·a2x－1＋4(a＞0，且a≠1)恒过定点P，则点P的坐标是__________．
8．(能力拔高题)已知函数f(x)＝，则f＝__________.
9．已知集合A＝{x|y＝，x∈R}，集合B＝{y|y＝－2x－3，x∈A}．
(1)求集合A；
(2)求集合B.
10．已知函数f(x)＝(x∈R)，a为实数．
(1)试证明对任意实数a，f(x)为增函数；
(2)试确定a的值，使f(x)为奇函数．
参考答案
1.
答案：A ∵M＝R，N＝{y|y＞0}，∴MN＝{y|y＞0}．
2.
答案：B 由2－x≥0，得x≤2.
3.
答案：C 由指数函数的定义，得解得a＝2.
4.
答案：
B 在同一平面直角坐标系中画出函数y＝2x和函数y＝－x的图象，如图所示，则函数y＝2x和函数y＝－x的图象仅有一个交点，所以方程仅有一个实数解．
5.
答案：D ∵f(1)＝3，∴a＋a－1＝3.
又∵f(0)＝2，f(2)＝a2＋a－2，
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＝2＋3＋a2＋a－2
＝5＋(a＋a－1)2－2＝5＋32－2＝12.
6.
答案：2 由题意，得4＝a2，解得a＝±2.
又a＞0，所以a＝2.
7.
答案：令2x－1＝0，解得x＝，
则＝3＋4＝7，故定点P的坐标为.
8.
答案：50 f(x)＋f(1－x)＝＝1，所以原式＝＝1＋1＋…＋1＝50.
9.
答案：解：(1)要使函数y＝有意义，自变量x的取值需满足解得0≤x≤2，则A＝{x|0≤x≤2}．
(2)设2x＝t，当xA，即x[0,2]时，t[1,4]，
则－2x－3＝2×(2x)2－2x－3＝2t2－t－3，t[1,4]．
函数y＝2t2－t－3，t[1,4]的值域是[－2,25]，
则B＝{y|－2≤y≤25}．
10.
答案：(1)证明：设x1，x2是任意两个实数，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝
＝.∵x1＜x2，∴.
又∵2x＞0，∴＋1＞0,＋1＞0.
∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
故对任意实数a，f(x)为增函数．
(2)解：若f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，
即a－.
变形，得2a＝＝2.
故a＝1，即当a＝1时，f(x)为奇函数．2.1.1
指数与指数幂的运算
课后训练
1．已知m10＝3，则m等于( )．
A.
B.
C．±
D．310
2．下列各式正确的是( )．
A．()3＝a
B．()4＝－7
C．()5＝|a|
D.＝a
3．当n＞1，且n∈N
时，以下说法正确的是( )．
A．正数的n次方根是一个正数
B．负数的n次方根是一个负数
C．0的n次方根是0
D．a的n次方根用表示
4．已知xy≠0，且＝－2xy，则有( )．
A．xy＜0
B．xy＞0
C．x＞0，y＞0
D．x＜0，y＜0
5．(能力拔高题)等于( )．
A．3＋
B．2＋
C．1＋2
D．1＋2
6．已知a∈R，n∈N
，给出4个式子：①；②；③；④.其中没有意义的是__________(填序号)．
7．若5＜a＜8，则式子＝__________.
8．2010年1月21日，国家统计局发布的数据显示，2009年中国国内生产总值(GDP)为335
353亿元，按可比价格计算，比上年增长8.7%，设2009年平均每月GDP的增长率为x，则x＝__________.
9．求的值．
10．已知a＜b＜0，n＞1，n∈N
，化简.
参考答案
1.
答案：C
2.
答案：A
3.
答案：C
4.
答案：A ＝|2xy|＝－2xy，
∴2xy＜0，∴xy＜0.
5.
答案：A 原式＝
＝3＋.
6.
答案：③ ①中，根指数为6是偶数，而被开方数(－2)2n＞0，
∴有意义；
②中，根指数为5，∴有意义；
③中，根指数为6是偶数，而被开方数(－3)2n＋1＜0，
∴没有意义；
④中，根指数为9，∴有意义．
7.
答案：3 ∵5＜a＜8，∴a－5＞0，a－8＜0.
∴原式＝|a－5|＋|a－8|＝(a－5)＋(8－a)＝3.
8.
答案：－1 设2008年底中国国内生产总值为m亿元，则有(1＋x)12m＝(1＋8.7%)m，故.
9.
答案：解：原式＝
＝＋0.5
＝＋0.5＝.
10.
答案：解：∵a＜b＜0，∴a－b＜0，a＋b＜0.
当n是奇数时，原式＝(a－b)＋(a＋b)＝2a；
当n是偶数时，原式＝|a－b|＋|a＋b|
＝(b－a)＋(－a－b)＝－2a.
∴2.1.2
指数函数及其性质
课后训练
1．已知，则a，b的大小关系是( )
A．1＞a＞b＞0
B．a＜b
C．a＞b
D．1＞b＞a＞0
2．下列各关系中，正确的是( )
A．
B．
C．
D．
3．已知指数函数y＝b·ax在[b,2]上的最大值与最小值的和为6，则a＝( )
A．2
B．－3
C．2或－3
D．
4．已知指数函数f(x)＝ax在(0,2)内的值域是(a2,1)，则函数y＝f(x)的图象是( )
5．函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大，则a＝( )
A．
B．
C．或
D．或
6．若函数f(x)的定义域是，则函数f(2x)的定义域是______．
7．已知函数f(x)＝ax在x∈[－1,1]上恒有f(x)＜2，则实数a的取值范围为__________．
8．定义运算则函数f(x)＝1]．
9．已知函数y＝9x－2·3x＋2，x∈[1,2]，求函数的值域．
10．已知函数.
(1)判断并证明函数f(x)的单调性；
(2)若，求实数a的取值范围．
参考答案
1答案：B
2答案：D
3答案：A
4答案：A
5答案：C
6答案：(－1,0)
7答案：∪(1,2)
8答案：1
9答案：解：y＝9x－2·3x＋2＝(3x)2－2·3x＋2，
设t＝3x，x∈[1,2]，则t∈[3,9]，
则原函数化为y＝t2－2t＋2(t∈[3,9])，
∵y＝t2－2t＋2＝(t－1)2＋1，
∴函数y＝t2－2t＋2在[3,9]上为增函数，
∴5≤y≤65.
∴所求函数的值域为{y|5≤y≤65}．
10答案：解：(1)函数f(x)在定义域R上是减函数，证明如下：
.
设x1，x2是定义域内任意两个实数，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝－1＋－(－1＋)
＝－＝
∵x1＜x2，且2＞1，
∴＞，即－＞0.
又＋1＞0,
＋1＞0，
∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)．
所以函数f(x)在R上是减函数．
(2)由(1)知，函数f(x)在R上是减函数．
∵，
∴32a＋1＞，即32a＋1＞3a－4.
∴2a＋1＞a－4，即a＞－5.
所以实数a的取值范围是(－5，＋∞)．2.1
指数函数
指数函数及其性质的应用
课后训练
千里之行
始于足下
1．函数的单调递增区间为( )．
A．(－∞
，＋∞)
B．(0，＋∞)
C．(1，＋∞)
D．(0,1)
2．下列各关系中，正确的是( )．
A．
B．
C．
D．
3．已知a>b，ab≠0，下列不等式①a2>b2，②2a>2b，③，④中恒成立的有( )．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
4．已知实数a、b满足等式，下列五个关系式：①0A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
5．若a>1，－16．方程2|x|＋x＝2的实根的个数为________．
7．函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大，求a的值．
8．根据下列条件确定实数x的取值范围：(a>0且a≠1)．
百尺竿头
更进一步
画出函数y＝|3x－1|的图象，并利用图象回答：k为何值时，方程|3x－1|＝k无解？有一解？有两解？
答案与解析
1.答案：A
解析：定义域为R.
设u＝1－x，.
∵u＝1－x在R上为减函数，
又∵在(－∞，＋∞)上是减函数，
∴在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴选A.
2.答案：D
解析：首先根据函数为R上的减函数，判断，其次，
可知，故选D.
3.答案：B
解析：当b4.答案：B
解析：由与的图象可知，
当a＝b＝0时，；
当a当a>b>0时，
也可以使.
故①②⑤都可以，不可能成立的关系式是③④两个．
5.答案：四
解析：结合图象知一定不过第四象限．
6.答案：2
解析：原方程变形为2|x|＝2－x，可用数形结合法来解，在同一平面直角坐标系中作出函数y1＝2|x|及y2＝2－x的图象，如图所示．结合图象可知，方程有2个实根．
7.解：(1)若a>1，则f(x)是增函数，
∴f(x)在[1,2]上的最大值为f(2)，最小值为f(1)．
∴，即.
解得.
(2)若0∴f(x)在[1,2]上的最大值为f(1)，最小值为f(2)，
∴，即，
解得.
综上所述，或.
8.解：原不等式可化为，
对于函数y＝ax(a>0且a≠1)，
当底数a大于1时在R上是增函数；
当底数a大于0小于1时在R上是减函数，
所以当a>1时，由，
解得；
当0解得.
综上可知，当a>1时，；
当0百尺竿头
更进一步
解：函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到，函数图象如图所示．
当k<0时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象无交点，即方程无解；
当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解；
当0指数函数及其性质
课后训练
1．若集合M＝{y|y＝2x，x∈R}，N＝{y|y＝x2，x∈R}，则集合M，N的关系为( )
A．MN
B．N M
C．NM
D．M＝N
2．若关于x的指数函数y＝(2a－1)x在R上为单调减函数，那么实数a的取值范围是( )
A．
B．a＞1
C．
D．a≤1
3．若函数是指数函数，则的值为( )
A．2
B．－2
C．
D．
4．函数f(x)＝ax与g(x)＝－x＋a的图象大致是( )
5．若函数y＝ax＋b－1(a＞0，且a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有( )
A．0＜a＜1，且b＞0
B．a＞1，且b＞0
C．0＜a＜1，且b＜0
D．a＜1，且b＞0
6．若函数f(x)＝＋m(a＞1)恒过定点(1,10)，则m＝______.
7．设函数则f(f(－4))＝______.
8．已知直线y＝2a与函数y＝|2x－2|的图象有两个公共点，则实数a的取值范围是______．
89．已知函数f(x)＝ax－1(x≥0)的图象经过点，其中a＞0且a≠1.
(1)求a的值；
(2)求函数y＝f(x)(x≥0)的值域．
10．已知函数.
(1)试求f(a)＋f(1－a)的值；
(2)利用(1)的结论求
的值．
参考答案
1答案：A
2答案：C
3答案：D
4答案：A
5答案：C
6答案：9
7答案：4
8答案：(0,1)
9答案：解：(1)因为函数图象过点，
所以，
则.
(2)由(1)得
(x≥0)，
由x≥0，得x－1≥－1，
于是.
所以所求函数的值域为(0,2]．
10答案：解：(1)f(a)＋f(1－a)＝
.
(2)由(1)知f(a)＋f(1－a)＝1.
∴
＝＋
＝1
006.2.1.1
指数与指数幂的运算
课后训练
1．下列等式中，正确的个数为( )
①；②若a∈R，则(a2－a＋1)0＝1；③；④.
A．0
B．1
C．2
D．3
2．已知xy≠0，且，则有( )
A．xy＜0
B．xy＞0
C．x＞0，y＞0
D．x＜0，y＜0
3．把根式改写成分数指数幂的形式为( )
A．
B．
C．
D．
4．若，则化简的结果是( )
A．
B．
C．
D．
5．若，则实数a的取值范围是( )
A．a∈R
B．
C．
D．
6．＝______.
7．当8＜x＜10时，________.
8．化简______.
9．写出使下列各式成立的实数x的取值范围：
(1)
；
(2)
.
10．(1)计算：；
(2)已知a＜b＜0，n＞1，n∈N
，化简.
参考答案
1答案：B
2答案：A
3答案：A
4答案：C
5答案：D
6答案：－1
7答案：2
8答案：a－1
9答案：解：(1)由于根指数是3，故有意义即可，此时x－3≠0，即x≠3.故实数x的取值范围是x≠3.
(2)∵
＝，
∴∴－5≤x≤5.
∴实数x的取值范围是－5≤x≤5.
10答案：解：(1)原式＝
＝
＝.
(2)当n是奇数时，原式＝(a－b)＋(a＋b)＝2a；
当n是偶数时，原式＝|a－b|＋|a＋b|
＝(b－a)＋(－a－b)＝－2a.
所以2.1.2
指数函数及其性质
课后导练
基础达标
1.设集合S={y|y=3x,x∈R},T={y|y=x2-1,x∈R},则S∩T等于(
)
A.S
B.T
C.
D.有限集
解析:∵S={y|y＞0}，T={y|y≥-1},
∴S∩T=S，故选A.
答案:A
2.0)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析:f（x）的图象是由y=ax沿y轴向下平移|b|个单位，如图，故不过第一象限.
答案：A
3.设f(x)=a-|x|(a>0且a≠1),f(2)=4,则(
)
A.f(-1)>f(-2)
B.f(1)>f(2)
C.f(2)D.f(-3)>f(-2)
解析:由条件得：4=a-2，
∴a=，
∴f（x）=2|x|其图象如右图，由其单调性可得f（-3）＞f（-2）.
答案：D
4.若3<()x<27,则(
)
A.-1B.x>3或x<-1
C.-3D.1解析：3＜（）x＜273＜3-x＜331＜-x＜3-3＜x＜-1.
答案：C
5.当x＞0时，函数f（x）=（a2-1）x的值总大于1，则实数a的取值范围是(
)
A.1＜|a|＜
B.|a|＜1
C.|a|＞1
D.|a|＞
解析：由条件得：a2-1＞1，即a2＞2即|a|＞.
答案：D
6.已知y1=()x,y2=3x,y3=10-x,y4=10x,则在同一坐标系内,它们的图象为…
(
)
解析：当底数a＞1时，底数越大，图象越靠近y轴，即y4=10x的图象比y2=3x的图象更靠近y轴.
当底数0＜a＜1时，底数越小，图象越靠近y轴，即y3=（）x比y1=（）x的图象更靠近y轴，故选A.本题还可取一个特殊值验证即得.
答案：A
7.f(x)=ax-2-1(a>0且a≠1)恒过点(
)
A.(0,2)
B.(2,1)
C.(2,0)
D.(0,0)
解析：y=ax-2是由y=ax向右平移2个单位得到的.y=ax-2-1是由y=ax-2向下平移1个单位得到的，故过（2，0）点.
答案：C
8.若x∈［-1,1］,则f(x)=3x-2的值域为______________;f(x)=3x-2的值域为_______________.
解析：∵x∈［-1,1］，
∴3x∈［,3］，3x-2∈［-，1］，
即f（x）=3x-2的值域为［-,1］.
∵x∈［-1,1］，
∴x-2∈［-3,-1］,∴3x-2∈［,］.
答案：［-,1］
［,］
9.若23-2x<(0.5)3x-4,则x的取值范围为_________________________.
解析：原不等式0.52x-3<0.53x-42x-3＞3x-4x<1.
答案：x<1
10.a=0.80.7,b=0.80.5,c=1.30.8,则a、b、c的大小关系为_____________________.
解析：由函数单调性可知：0.80.7<0.80.5<1,而c=1.30.8＞1.
答案：a综合运用
11.若a＞0，且a≠1，f（x）是奇函数，则g（x）=f（x）［+］(
)
A.是奇函数
B.不是奇函数也不是偶函数
C.是偶函数
D.不确定
解析：g（x）的定义域为{x|x≠0，x∈R}.
∵g（-x）=f（-x）［+］
=-f（x）［+］
=-f（x）［］
=-f（x）［］
=f（x）［］=f（x）［］=f（x）［+］=g（x）,
∴g（x）为偶函数.故选C.
答案：C
12．函数y=的单调减区间是(
)
A.（-∞，1）
B.［1，2］
C.［，+∞］
D.（-∞，）
解析：设y=（）μ，μ=x2-3x+2，原函数的单调减区间，即μ=x2-3x+2的单调增区间.
答案：C
13.已知函数f(x)=(a>0且a≠1).
(1)求函数的定义域;
(2)判断函数的奇偶性.
解析:(1)要使函数有意义,只要ax-1≠0,即ax≠1,x≠0,
因此,定义域为{x|x≠0,且x∈R}.
(2)由定义域{x|x≠0},对任意x≠0,f(-x)=====-f(x),所以函数是奇函数.
14.关于x的方程（）x=有负根，求a的取值范围.
解析:因为x＜0时，（）x＞1，故要使原方程有负根，只需＞1即可.
即＞0，
所以（3a-2）（5-a）＞0.
解得＜a＜5.
15.函数f(x)=ax(a>0且a≠1)在区间［1,2］上的最大值比最小值大,求a.
解析：当a>1时,f(x)max=f（2）=a2,f（x）min=f（1）=a，∴a2-a=,
解得a=0（舍）或a=.
当0综上可得a=或a=.
拓展探究
16.求函数y=的值域及单调区间.
解析：设μ=x2-2x-1，则原函数化为y=（）μ.
因为μ=（x-1）2-2≥-2，且y=（）μ为减函数.所以y=（）μ≤（）-2=9.
从而函数y=的值域为（0，9）.
又二次函数μ=x2-2x-1的单调增区间是［1，+∞］，减区间是（-∞，1），且指数函数y=（）μ在（-∞，+∞）上是减函数，因而原函数的单调增区间是（-∞，1］，减区间是［1，+∞］.
17.若f（x）和g（x）都是奇函数，且F（x）=af（x）+bg（x）+2在（0，+∞）上有最大值8.求F（-x）的最小值.
解析：∵f（x）、g（x）都是奇函数，
∴F（-x）=-［af（x）+bg（x）-2］.
∵F（x）有最大值8，
∴af（x）+bg（x）+2≤8,即af（x）+bg（x）≤6.
于是-［af（x）+bg（x）］≥-6.
从而F（-x）=-［af（x）+bg（x）］+2≥-4.
∴F（-x）min=-4.2.1.2
指数函数及其性质
课后训练
基础巩固
1．函数y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则a的值为( )
A．1
B．2
C．3
D．1或2
2．若集合A＝{y|y＝2x，xR}，B＝{y|y＝x2，xR}，则( )
A．A B
B．A?B
C．A＝B
D．A∩B＝
3．若函数y＝(1－2a)x是实数集R上的增函数，则实数a的取值范围是( )
A．
B．(－∞，0)
C．
D．
4．设，则( )
A．aa＜ab＜ba
B．aa＜ba＜ab
C．ab＜aa＜ba
D．ab＜ba＜aa
5．对任意实数a(a＞0，且a≠1)，函数f(x)＝ax－1＋3的图象必经过点( )
A．(5,2)
B．(2,5)
C．(4,1)
D．(1,4)
6．若a＞1，－1＜b＜0，则函数y＝ax＋b的图象一定在( )
A．第一、二、三象限
B．第一、三、四象限
C．第二、三、四象限
D．第一、二、四象限
7．已知a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＞b＞c
B．b＞a＞c
C．c＞b＞a
D．c＞a＞b
8．函数的定义域是__________．
9．指数函数y＝f(x)的图象经过点(2,4)，则f(4)·f(2)＝__________．
10．若函数f(x)＝ax－1(a＞0，且a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，求实数a的值．
11．比较下列各组数的大小．
(1)422,333；
(2)0.8－2，．
能力提升
12．函数y＝ax在区间[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则a的值是( )
A．
B．2
C．4
D．
13．写出满足条件f(x1)·f(x2)＝f(x1＋x2)的一个函数f(x)＝__________．
14．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝1－2－x，则不等式f(x)＜的解集是__________．
15．讨论函数f(x)＝的单调性，并求其值域．
16．已知函数f(x)＝(a＞0且a≠1)．
(1)求f(x)的定义域、值域；
(2)讨论f(x)的奇偶性；
(3)讨论f(x)的单调性．
错题记录
错题号
错因分析
参考答案
1．B 点拨：由题意知解得a＝2．
2．A 点拨：∵A＝{y|y＝2x，xR}＝{y|y＞0}，
B＝{y|y＝x2，xR}＝{y|y≥0}，∴AB．
3．B 点拨：由题意得1－2a＞1，解得a＜0．
4．C 点拨：∵由已知条件知0＜a＜b＜1，
∴ab＜aa，aa＜ba．
∴ab＜aa＜ba．
5．D 点拨：
令x－1＝0，得x＝1，所以y＝1＋3＝4．故函数f(x)的图象过定点(1,4)．
6．A 点拨：∵a＞1，且－1＜b＜0，∴其图象如图所示．
7．D 点拨：因为函数y＝0.8x是R上的单调减函数，
所以a＞b．
又因为a＝0.80.7＜0.80＝1，c＝1.20.8＞1.20＝1，
所以c＞a．故c＞a＞b．
8．(－∞，0] 点拨：由题意得－1≥0，即≥1，x≤0．
9．64 点拨：设f(x)＝ax，由题意得4＝a2，
于是a＝2，f(4)·f(2)＝24×22＝64．
10．解：∵当a＞1时，函数f(x)在区间[0,2]上递增，
∴即
∴．
又a＞1，∴．
当0＜a＜1时，函数f(x)在区间[0,2]上递减，
∴即解得a．
综上所述，．
11．解：(1)422＝(42)11＝1611,333＝2711，
∵11＞0,16＞1,27＞1，
∴由指数函数的图象随底数的变化规律可得1611＜2711，即422＜333．
(2)由指数函数的性质可知0.8－2＞1，
而＜1，故0.8－2＞．
12．B 点拨：由题意得a0＋a1＝3，解得a＝2．
13．f(x)＝2x 点拨：本题答案不唯一，一般地，指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)都满足f(x1)·f(x2)＝f(x1＋x2)．
14．{x|x＜－1} 点拨：当x＞0时，0＜＜1,0＜1－＜1，即0＜1－2－x＜1，显然f(x)＜无解；当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝1－2x＝－f(x)，则f(x)＝2x－1，则f(x)＜即为2x－1＜，2x＜＝2－1，所以x＜－1．故所求解集为{x|x＜－1}．
15．解：∵函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，
设x1，x2(－∞，＋∞)，且x1＜x2，
∴f(x2)＝，f(x1)＝，
＝．
(1)当x1＜x2≤1时，x1＋x2＜2，即有x1＋x2－2＜0．
又∵x2－x1＞0，∴(x2－x1)(x2＋x1－2)＜0．
又对于xR，f(x)＞0恒成立，且，
∴f(x2)＞f(x1)．
∴函数f(x)在区间(－∞，1]上单调递增．
(2)当1≤x1＜x2时，x1＋x2＞2，即有x1＋x2－2＞0．
又∵x2－x1＞0，∴(x2－x1)(x2＋x1－2)＞0．
则知0＜＜1，∴f(x2)＜f(x1)．
∴函数f(x)在区间[1，＋∞)上单调递减．
综上，函数f(x)在区间(－∞，1]上是增函数，在区间[1，＋∞)上是减函数．
∵x2－2x＝(x－1)2－1≥－1,0＜＜1，
∴0＜≤＝3．
∴函数f(x)的值域为(0,3]．
16．解：(1)易得函数f(x)的定义域为R．
∵f(x)＝＝1－，
观察可知函数f(x)的值域为(－1,1)．
(2)∵f(－x)＝＝－f(x)且定义域为R，
∴f(x)为奇函数．
(3)方法一：f(x)＝，
①当a＞1时，∵ax＋1为增函数，且ax＋1＞0，
∴为减函数，从而f(x)＝1－为增函数．
②当0＜a＜1时，同理可得f(x)＝为减函数．
方法二：设x1，x2R，且x1＜x2，则
f(x1)－f(x2)＝．
∵，，
∴当a＞1时，由x1＜x2，得．
∴f(x1)＜f(x2)．
同理，当0＜a＜1时，可得f(x1)＞f(x2)．
故当a＞1时，f(x)在R上是增函数；当0＜a＜1时，f(x)在R上是减函数．