3.1.1
方程的根与函数的零点
课后训练
基础巩固
1．若二次函数y＝ax2＋bx＋c中，ac＜0，则该函数的零点个数是( )
A．1
B．2
C．0
D．无法确定
2．下列函数中在区间[3,5]上有零点的是( )
A．f(x)＝2xln(x－2)－3
B．f(x)＝－x3－3x＋5
C．f(x)＝2x－4
D．f(x)＝＋2
3．如果函数f(x)＝ax＋b只有一个零点2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是( )
A．0,2
B．0，
C．0，
D．2，
4．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点个数为__________．
5．根据表格中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个解所在的区间为(k，k＋1)(kN)，则k的值为__________．
x
－1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.39
20.09
x＋2
1
2
3
4
5
6．若函数f(x)＝ax2＋2ax＋c(a≠0)的一个零点为1，则它的另一个零点为__________．
7．求下列函数的零点：
(1)f(x)＝2x＋b；
(2)f(x)＝－x2＋2x＋3；
(3)f(x)＝log3(x＋2)；
(4)f(x)＝2x－2．
能力提升
8．若函数f(x)在区间(0,2)内有零点，则( )
A．f(0)＞0，f(2)＜0
B．f(0)·f(2)＜0
C．在区间(0,2)内，存在x1，x2，使f(x1)·f(x2)＜0
D．以上说法都不正确．
9．函数(其中e为自然对数的底数)的零点所在的区间是( )
A．
B．
C．
D．
10．已知函数f(x)与g(x)满足的关系为f(x)－g(x)＝－x－3，根据所给数表，判断f(x)的一个零点所在的区间为( )
x
－1
0
1
2
3
g(x)
0.37
1
2.72
7.39
20.39
A．(－1,0)
B．(0,1)
C．(1,2)
D．(2,3)
11．对于函数f(x)＝x2＋mx＋n，若f(a)＞0，f(b)＞0，则函数f(x)在区间(a，b)内( )
A．一定有零点
B．一定没有零点
C．可能有两个零点
D．至多有一个零点
12．已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2，并且α，β是函数f(x)的两个零点，则实数a，b，α，β的大小关系可能是( )
A．a＜α＜b＜β
B．a＜α＜β＜b
C．α＜a＜b＜β
D．α＜a＜β＜b
13．二次函数y＝ax2＋bx＋c(xR)的部分对应值如下表：
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
y
6
0
－4
－6
－6
－4
0
6
则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是__________．
14．(压轴题)已知关于x的方程x2＋2x＋m＋1＝0．
(1)若此方程有两个实根，且都比小，求实数m的取值范围；
(2)若此方程有两个实根，且一根比2大，一根比2小，求实数m的取值范围．
错题记录
错题号
错因分析
参考答案
1．B 点拨：∵Δ＝b2－4ac＞0，∴二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，即二次函数y＝ax2＋bx＋c有2个零点．
2．A 点拨：检验f(3)f(5)是否小于零．
3．B 点拨：因为函数f(x)＝ax＋b只有一个零点2，即2a＋b＝0，所以b＝－2a．
所以g(x)＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)．
故函数g(x)有两个零点0，．
4．3 点拨：零点为－4,0,4，共3个．
5．1 点拨：设f(x)＝ex－x－2，
则f(－1)＝0.37－1＝－0.63＜0，
f(0)＝1－2＝－1＜0，
f(1)＝2.72－3＝－0.28＜0，
f(2)＝7.39－4＝3.39＞0，
f(3)＝20.09－5＝15.09＞0，
∴f(1)·f(2)＜0，
∴函数f(x)的零点所在的区间为(1,2)，则k＝1．
6．－3 点拨：根据函数解析式，由韦达定理得x1＋x2＝＝－2，即得结论．
7．解：(1)令2x＋b＝0，解得，即函数f(x)＝2x＋b的零点是．
(2)令－x2＋2x＋3＝0，解得x＝－1或3，即函数f(x)＝－x2＋2x＋3的零点是x1＝－1，x2＝3．
(3)令log
3(x＋2)＝0，解得x＝－1，即函数f(x)＝log3(x＋2)的零点是x＝－1．
(4)令2x－2＝0，解得x＝1，即函数f(x)＝2x－2的零点是x＝1．
8．D
9．B 点拨：函数在区间(a，b)上有零点，则需函数图象在区间(a，b)上连续，且在两端点处的函数值异号，即f(a)f(b)＜0．把选项中的各端点值代入验证可知应选B．
10．C 点拨：由列表可知f(1)＝g(1)－1－3＝2.72－4＝－1.28，
f(2)＝g(2)－2－3＝7.39－5＝2.39，
∵f(1)f(2)＜0，
∴函数f(x)的一个零点所在区间为(1,2)．
11．C 点拨：由二次函数的图象可知，当Δ＞0，且a＜＜b时，函数f(x)在区间(a，b)内可能有两个零点．
12．C 点拨：∵α，β是函数f(x)的两个零点，
∴f(α)＝f(β)＝0．
又f(a)＝f(b)＝－2＜0，结合二次函数的图象(如图所示)可知a，b必在α，β之间．故选C．
13．{x|x＜－2，或x＞3} 点拨：由图表可知f(－2)＝f(3)＝0，且当x(－2,3)时，y＜0，
故当x(－∞，－2)(3，＋∞)时，y＞0．
14．解：设f(x)＝x2＋2x＋m＋1．
(1)问题转化为函数f(x)的两个零点都在直线的左侧，满足题意的函数图象如图①所示，结合函数图象有：
图①
解得＜m≤0．
故实数m的取值范围是．
(2)问题转化为函数f(x)的两个零点分居在直线x＝2的两侧，如图②结合函数图象有f(2)＝m＋9＜0，解得m＜－9．
故实数m的取值范围为(－∞，－9)．
图②3.1.1
方程的根与函数的零点
课后训练
1．若，则函数f(4x)＝x的零点是( )
A．－2
B．2
C．
D．
2．函数y＝x2＋2px＋1的零点一个大于1，一个小于1，则p的取值范围是( )
A．(－∞，－1)
B．(－1，＋∞)
C．(－1,1)
D．[－1,1]
3．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法中正确的命题是( )
A．若f(a)f(b)＞0，不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0
B．若f(a)f(b)＜0，存在且只存在一个实数c∈(a，b)使得f(c)＝0
C．若f(a)f(b)＞0，有可能存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0
D．若f(a)f(b)＜0，有可能不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0
4．设函数y＝x3与的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是( )
A．(0,1)
B．(1,2)
C．(2,3)
D．(3,4)
5．函数的零点的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
6．若函数f(x)＝ax－x－a(a＞0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是__________．
7．已知函数f(x)＝3mx－4，若在[－2,0]上存在x0，使f(x0)＝0，则实数m的取值范围是________．
8．已知f(x)是定义域为R的奇函数，且在(－∞，0)内的零点有
2
012个，则f(x)的零点的个数为______．
9．方程x2－(k＋2)x＋1－3k＝0有两个不等实根x1，x2，且0＜x1＜1＜x2＜2，求实数k的取值范围．
10．已知二次函数f(x)的二次项系数为a(a＜0)，且f(x)＝－2x的实根为1和3，若函数y＝f(x)＋6a只有一个零点，求f(x)的解析式．
参考答案
1答案：D
2答案：A
3答案：C
4答案：B
5答案：C
6答案：(1，＋∞)
7答案：
8答案：4
025
9答案：解：因为方程x2－(k＋2)x＋1－3k＝0有两个不等实根x1，x2，且0＜x1＜1＜x2＜2，所以设f(x)＝x2－(k＋2)x＋1－3k，画出函数的大致图象如图．
据图象有f(0)＝1－3k＞0，且f(1)＝－4k＜0，且f(2)＝1－5k＞0，所以.
所以实数k的取值范围为.
10答案：解：∵f(x)＝－2x的实根为1和3，
∴f(x)＋2x＝a(x－1)(x－3)．
∴f(x)＝ax2－(2＋4a)x＋3a.
又∵函数y＝f(x)＋6a只有一个零点，
∴方程f(x)＋6a＝0有两个相等实根．
∴ax2－(2＋4a)x＋9a＝0有两个相等实根．
∴Δ＝(2＋4a)2－36a2＝0，即5a2－4a－1＝0.
∴a＝1或.
又∵a＜0，∴.
∴.3.1
函数与方程
课后导练
基础达标
1.方程5x2-7x-1=0的根所在的区间是(
)
A.(-1,0)
B.(1,2)
C.一个根在(-1,0)上,另一个根在(1,2)上
D.一个根在(0,1)上,另一个根在(-2,-1)上
解析:∵f(-1)·f(0)＜0,f(1)·f(2)＜0,
∴选C.
答案:C
2.函数f(x)=lnx-的零点所在的大致区间是(
)
A.(1,2)
B.(2,3)
C.(e,3)
D.(e,+∞)
解析:利用计算器代入验证可知选B.
答案：B
3.函数f(x)=x2-5x-6的零点是(
)
A.2,3
B.-2,3
C.6,-1
D.-6,1
解析:令x2-5x-6=0,∴x1=6或x2=-1.
∴选C.
答案:C
4.函数f(x)=x-零点的个数是(
)
A.0
B.1
C.2
D.无零点
解析:令x-=0,即x2-1=0,∴x=±1.
∴f(x)=x-的零点个数有两个.
答案:C
5.若函数f(x)=2ax2-x-1在(0,1)内恰有一个零点,则a的取值范围是(
)
A.a＜-1
B.a＞1
C.-1＜a＜1
D.0≤a＜1
解析：f(0)·f(1)＜0,
即(-1)·（2a-2）＜0,∴a＞1.
答案：B
6.若函数y=f(x)在区间［0,1］上的图象是连续不间断的曲线,且方程f(x)=0在(0,1)内仅有一个实数根,则f(0)·f(1)的值(
)
A.大于0
B.小于0
C.等于0
D.无法判断
解析：满足条件的图象可能有如下几种情况：
∴选D.
答案：D
7.函数y=f(x)的图象在区间［1,4］上是连续不断的曲线,且f(1)·f(4)＜0,则函数y=f(x)(
)
A.在(1,4)内有且仅有一个零点
B.在(1,4)内至少一个零点
C.在(1,4)内至多一个零点
D.在(1,4)内不一定有零点
解析：可作出y=f(x)图象的草图知：y=f(x)在［1，4］内至少有一个零点或更多.
答案：B
8.若函数y=x2+(m-2)x+(5-m)有2个大于2的零点,则m的取值范围是(
)
A.(-5,-4)
B.（-∞,-4）
C.（-∞,-2）
D.（-∞,-5）∪（-5,-4）
解析：,-5＜m≤-4.
答案：A
9.y=f(x)的大体图象如下图所示,则函数y=f(|x|)的零点的个数为(
)
A.4
B.5
C.6
D.7
解析：∵y=f(|x|)是偶函数，∴其图象关于y轴对称.y=f(x)当x＞0时，有三个零点.
∴当x＜0时也有三个零点.又0是y=f(|x|)的一个零点.共7个.
答案：D
10.若函数f(x)唯一的一个零点同时在区间(0,16)，(0,8)，(0,4)，(0,2)上,那么下列命题中正确的是(
)
A.函数f(x)在区间(0,1)内有零点
B.函数f(x)在区间(0,1)或(1,2)内有零点
C.函数f(x)在区间［2,16］上无零点
D.函数f(x)在区间(1,16)内无零点
解析：由题目条件说明函数f(x)的零点必在（0，2）内.∴选C
答案：C
综合运用
11.f(x)=logax(a＞0,且a≠1)，则关于x的方程f(x)=a-x,以下结论正确的是（
）
A.仅当a＞1时，方程有唯一解
B.方程必有唯一解
C.仅当0＜a＜1时，方程有唯一解
D.方程无解
解析：当a＞1时，y1=logax与y2=a-x的图象如右图，此时两函数图象有唯一交点，即f(x)=a-x有唯一解.
同理0＜a＜1时，f(x)=a-x有唯一解.
答案：B
12.关于x的方程x2+px+2=0一根大于2，一根小于2，则p的取值范围是______________.
解析：设y=x2+px+2.由条件得f(2)＜0，
即6+2p＜0.∴p＜-3.
答案：p＜-3
13.若函数f(x)=2(m+1)x2-1与函数g(x)=4mx-2m有两个交点，则m的取值范围是_________.
解析：由条件得方程2（m+1）x2-1=4mx-2m有两个不等的实数根.即2（m+1）x2-4mx+2m-1=0，有两个不等的实数根，即16m2-8(m+1)(2m-1)＞0，解得m＜1.
答案：m＜1
14.若函数f(x)=x2-2x+2+b在R上有一个零点x=2，则它是否还有其他的零点？如果有，把它求出来；如果没有，请说明理由.
解析：∵函数f(x)=x2-2x+2+b的对称轴是x=1，于是由其对称性可知，必有且只能有另一个零点，即x=0.
15.试判断函数f(x)=lg(x-3)：
（1）在区间（3，5）上有没有零点？
（2）在区间（5，+∞）上有没有零点？
解析：（1）令f(x)=lg(x-3)=0,则x-3=1，即得零点x=4.
∵4∈(3,5),∴f(x)在（3，5）上有零点.
（2）∵f(x)=lg(x-3)的定义域是（3，+∞），值域是R，又f(x)在定义域上是增函数，∴f(x)在其定义域上只能有一个零点.由（1）知,其唯一的零点是x=4.∴f(x)在（5，+∞）上没有零点.
16.已知函数f(x)=ax3-2ax+3a-4在区间（-1，1）上有零点，求实数a的取值范围.
解析：当a=0时，f（x）=-4，与题意不符.故a≠0.f(1)=2a-4,f(-1)=4a-4.
∵f(x)在（-1，1）上有零点，
∴f(1)·f(-1)＜0，即（2a-4）(4a-4)＜0,解得1＜a＜2.故a的取值范围为（1，2）.
拓展探究
17.关于x的二次方程x2+(m-1)x+1=0在区间［0，2］上有解.求实数m的范围.
解析：设f(x)=x2+(m-1)x+1,x∈［0,2］,
（1）f(x)=0在区间［0，2］上有一解.
∵f(0)=1＞0,∴应有f(2)≤0m≤-.
（2）f(x)=0在区间［0，2］上有两解，则
∴-≤m≤-1.由（1）（2）知：m≤-1.
18.已知函数f(x)=2x+,判断f(x)在(-1,+∞)上的单调性.
解析：令g(x)=2x,h(x)=,
∵g(x)=2x是（-1，+∞）上的增函数，
又∵h(x)=1-是（-1，+∞）上的增函数,
∴f(x)=g(x)+h(x)=2x+是（-1，+∞）上的增函数.3.1.1
方程的根与函数的零点
课后训练
1．已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的零点所在的大致区间是( )．
A．(－2，－1)
B．(－1,0)
C．(0,1)
D．(1,2)
2．函数f(x)＝ln
x＋2x－6的零点所在的区间为( )．
A．(1,2)
B．(2,3)
C．(3,4)
D．(4,5)
3．方程x3－x－1＝0在[1,1.5]内的实数解有( )．
A．3个
B．2个
C．至少1个
D．0个
4．设函数y＝x3与的图象交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是( )．
A．(0,1)
B．(1,2)
C．(2,3)
D．(3,4)
5．设二次函数f(x)＝x2－x＋a(a＞0)，若f(m)＜0，则f(m－1)的值为( )．
A．正数
B．负数
C．非负数
D．正数、负数和零都有可能
6．已知函数f(x)＝的零点是2，则2m＝__________.
7．对于方程x3＋x2－2x－1＝0，有下列判断：
①在(－2，－1)内有实数根；
②在(－1,0)内有实数根；
③在(1,2)内有实数根；
④在(－∞，＋∞)内没有实数根．
其中正确的有__________．(填序号)
8．(能力拔高题)函数f(x)＝mx－1在(0,1)内有零点，则实数m的取值范围是__________．
9．求下列函数的零点：
(1)f(x)＝2x＋b；(2)f(x)＝－x2＋2x＋3；
(3)f(x)＝log3(x＋2)；(4)f(x)＝6x－5.
10．已知二次函数f(x)满足：f(0)＝3；f(x＋1)＝f(x)＋2x.
(1)求函数f(x)的解析式．
(2)令g(x)＝f(|x|)＋m(m∈R)，若函数g(x)有4个零点，求实数m的范围．
参考答案
1.
答案：C
2.
答案：B f(1)＝ln
1＋2－6＝－4＜0，
f(2)＝ln
2＋4－6＝ln
2－2＜0，
f(3)＝ln
3＋6－6＝ln
3＞0，所以f(2)f(3)＜0，
则函数f(x)的零点所在的区间为(2,3)．
3.
答案：C 方程x3－x－1＝0在[1,1.5]内实数解的个数，即为函数f(x)＝x3－x－1在[1,1.5]内零点的个数，由f(1)·f(1.5)＜0可知f(x)＝x3－x－1在[1,1.5]内至少有1个零点，故方程x3－x－1＝0在[1,1.5]内至少有1个实数解．
4.
答案：B 令f(x)＝x3，则f(0)＝0＝－4＜0，f(1)＝1＝－1＜0，f(2)＝23＝7＞0，f(3)＝27＝26
＞0，f(4)＝4363
＞0，
故f(1)·f(2)＜0，即x0所在的区间是(1,2)．
5.
答案：A 由于二次函数f(x)的二次项系数1＞0，且f(m)＜0，则二次函数f(x)存在两个零点，设为x1，x2，且x1＜x2.
则x2＋x1＝1，x2x1＝a，x2－x1＞0，x1＜m＜x2，所以x2－x1＝，由于a＞0，则＜1，则m－1＜x1，所以f(m－1)＞0.
6.
答案： ∵f(x)的零点是2，∴f(2)＝0，
∴＝0，解得m＝－2.∴2m＝2－2＝.
7.
答案：①②③ 设f(x)＝x3＋x2－2x－1，则f(－2)＝－1＜0，f(－1)＝1＞0，
f(0)＝－1＜0，f(1)＝－1＜0，f(2)＝7＞0，则f(x)在(－2，－1)，(－1,0)，(1,2)内均有零点，即①②③正确．
8.
答案：(1，＋) 画出函数f(x)＝mx－1的图象如图所示，设A(1,0)．
若函数f(x)＝mx－1在(0,1)内有零点，则f(x)的图象与x轴的交点应在线段OA(不含端点)上．由图可知f(1)＝m－1＞0，解得m＞1.
9.
答案：解：(1)令2x＋b＝0，解得x＝，即函数的零点是.
(2)令－x2＋2x＋3＝0，解得x＝－1，或x＝3，即函数的零点是－1和3.
(3)令log3(x＋2)＝0，解得x＝－1，即函数的零点是－1.
(4)令6x－5＝0，解得x＝log65，即函数的零点是log65.
10.
答案：解：(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，∵f(0)＝3，
∴c＝3，即f(x)＝ax2＋bx＋3.
f(x＋1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋3＝ax2＋(2a＋b)x＋(a＋b＋3)，
f(x)＋2x＝ax2＋(b＋2)x＋3，
∵f(x＋1)＝f(x)＋2x，
∴解得a＝1，b＝－1，
∴f(x)＝x2－x＋3.
(2)由(1)，得g(x)＝x2－|x|＋3＋m，
在平面直角坐标系中，画出函数g(x)的图象，如图所示，
由于函数g(x)有4个零点，则函数g(x)的图象与x轴有4个交点．
由图象得
解得－3＜m＜，
即实数m的范围是.3.1.2
用二分法求方程的近似解
课后训练
基础巩固
1．用二分法求函数f(x)＝3x3－6的零点时，初始区间可选为( )
A．(0,1)
B．(1,2)
C．(2,3)
D．(3,4)
2．用二分法求函数f(x)在区间(a，b)内的唯一零点时，精确度为0.001，则结束计算的条件是( )
A．|a－b|＜0.1
B．|a－b|＜0.001
C．|a－b|＞0.001
D．|a－b|＝0.001
3．下列函数不宜用二分法求零点的是( )
A．f(x)＝x3－1
B．f(x)＝ln
x＋3
C．f(x)＝x2＋4x＋4
D．f(x)＝－x2＋4x－1
4．函数f(x)＝x3＋4的零点必落在区间( )
A．[－3，－2]
B．[－2，－1]
C．[－1,0]
D．[1,2]
5．已知函数y＝f(x)的图象是连续不间断的，且有如下的x，f(x)对应值：
x
1
2
3
4
5
6
7
f(x)
136.136
15.552
－3.92
10.88
－52.488
－232.064
11.238
由表可知函数y＝f(x)在区间(1,7)内的零点个数至少为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
6．用二分法求图象是连续不断的函数f(x)在区间(1,2)内零点近似值的过程中得到f(1)＜0，f(1.5)＞0，f(1.25)＜0，则该函数的零点所在的一个区间为( )．
A．(1,1.5)
B．(1.25,1.5)
C．(1.5,2)
D．不能确定
7．下列函数中在区间[1,2]上一定有零点的是( )
A．f(x)＝3x2－4x＋5
B．f(x)＝x3－5x－5
C．f(x)＝mx2－3x＋6
D．f(x)＝ex＋3x－6
8．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]上的近似解，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有解区间为__________．
9．用二分法求函数f(x)＝x3－x－1在区间[1,1.5]内的一个零点(精确到0.1)．
能力提升
10．下列函数中能用二分法求零点的是( )
11．方程ln
x－＝0的解所在的区间是( )
A．(0,1)
B．(1，e)
C．(e,3)
D．(3，＋∞)
12．若x0是方程的解，则x0属于区间( )
A．
B．
C．
D．
13．某方程在区间D＝(2,4)内有一无理根，若用二分法求此根的近似值，且使所得近似值的精确度达到0.1，则应将D分( )
A．2次
B．3次
C．4次
D．5次
14．求的近似值(精确度0.01)．
15．(压轴题)如图，有一块边长为15
cm的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x
cm的小正方形，然后折成一个无盖的盒子．
(1)写出盒子的体积y以x为自变量的函数解析式，并讨论这个函数的定义域；
(2)如果要做成一个容积是150
cm3的无盖盒子，那么截去的小正方形的边长x是多少(精确到0.1
cm)
错题记录
错题号
错因分析
参考答案
1．B 点拨：∵f(1)＝－3，f(2)＝18，∴f(1)·f(2)＜0．
∴可选区间为(1,2)．
2．B 点拨：据二分法的步骤知当区间长度|b－a|小于精确度ε时，便可结束计算．
3．C 点拨：∵f(x)＝x2＋4x＋4＝(x＋2)2≥0，不存在小于0的函数值，∴不能用二分法求零点．
4．B 点拨：因f(－2)＝－4＜0，f(－1)＝3＞0，故函数f(x)＝x3＋4在区间[－2，－1]内必有零点．
5．D 点拨：由表可知：f(2)·f(3)＜0，f(3)·f(4)＜0，f(4)·f(5)＜0，f(6)·f(7)＜0，因此函数y＝f(x)在区间(1,7)内至少有4个零点．
6．B 点拨：∵f(1.25)＜0，f(1.5)＞0，∴f(1.25)·f(1.5)＜0，则函数的零点落在区间(1.25,1.5)内．
7．D 点拨：对于D项，∵f(1)＝e＋3－6＝e－3＜0，f(2)＝e2＋6－6＝e2＞0，∴f(1)·f(2)＜0，∴函数f(x)＝ex＋3x－6在区间[1,2]上一定有零点．
8．[2,2.5] 点拨：记f(x)＝x3－2x－5，
∵f(2)＝－1＜0，f(2.5)＝－10＞0，
∴下一个有解区间为[2,2.5]．
9．解：∵f(1)＝1－1－1＝－1＜0，f(1.5)＝3.375－1.5－1＝0.875＞0，
∴函数f(x)在区间[1,1.5]内存在零点，取区间[1,1.5]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：
中点值
中点(端点)函数值
取值区间
[1,1.5]
x0＝＝1.25
f(x0)＜0
[1.25,1.5]
x0＝＝1.375
f(x1)＞0
[1.25,1.375]
x2＝＝1.312
5
f(x2)＜0
[1.312
5,1.375]
x3＝＝1.343
75
f(x3)＞0
[1.312
5,1.343
75]
∵区间[1.312
5,1.343
75]的两个端点精确到0.1的近似值都是1.3，∴原函数的零点的近似值为1.3．
10．C 点拨：在A中，函数无零点，在B和D中，函数有零点，但它们均是不变号零点，因此它们都不能用二分法来求零点．而在C中，函数图象是连续不间断的，且图象与x轴有交点，并且其零点为变号零点，∴C中的函数能用二分法求其零点．故选C．
11．B 点拨：令f(x)＝ln
x－，则f(1)＝ln
1－＝－1＜0，f(e)＝ln
e－＝1－＞0，f(1)·f(e)＜0，且函数f(x)＝ln
x－在区间(1，e)上连续，因此方程ln
x－＝0的解所在的区间是(1，e)．
12．C 点拨：令f(x)＝，∵＞0，＜0，
∴函数f(x)在区间内存在零点．故选C．
13．D 点拨：等分1次，区间长度为1，等分2次区间长度为0.5，…，等分4次，区间长度为0.125，等分5次，区间长度为0.062
5＜0.1．故选D．
14．解：设，则x3－2＝0，令f(x)＝x3－2，函数f(x)的零点的近似值就是的近似值，下面用二分法求其零点的近似值．
由于f(1)＝－1＜0，f(2)＝6＞0，故可以取区间(1,2)为计算的初始区间．
用二分法逐步计算，列表如下：
取值区间
中点值
中点函数近似值
(1,2)
1.5
1.375
0
(1,1.5)
1.25
－0.046
9
(1.25,1.5)
1.375
0.599
6
(1.25,1.375)
1.312
5
0.261
0
(1.25,1.312
5)
1.281
25
0.103
3
(1.25,1.281
25)
1.265
625
0.027
3
(1.25,1.265
625)
1.257
812
5
－0.010
0
(1.257
812
5,1.265
625)
1.261
718
75
0.008
6
∵|1.265
625－1.257
812
5|＝0.007
812
5＜0.01，
∴取x＝1.265
625作为函数f(x)的零点的近似值．
∴的近似值为1.265
625．
15．解：(1)盒子的体积y以x为自变量的函数解析式为y＝(15－2x)2x，其定义域为{x|0＜x＜7.5}．
(2)如果要做成一个容积是150
cm3的无盖盒子，那么有方程(15－2x)2x＝150．下面用二分法来求该方程在区间(0,7.5)内的近似解．
令f(x)＝(15－2x)2x－150，函数图象如图所示．
由图象可以看出，函数f(x)在定义域内分别在区间(0,1)和(4,5)内各有一个零点，即方程(15－2x)2x＝150分别在区间(0,1)和(4,5)内各有一个解．下面用二分法求方程的近似解．
取区间(0,1)的中点x1＝0.5，用计算器可算得f(0.5)＝－52．
∵f(0.5)·f(1)＜0，
∴x0(0.5,1)．
再取区间(0.5,1)的中点x2＝0.75，用计算器可算得f(0.75)≈－13.31．
∵f(0.75)·f(1)＜0，∴x0(0.75,1)．
同理可得x0(0.75,0.875)，此时区间(0.75,0.875)的长度小于0.2，
∴此区间中点即为所求．
∴方程在区间(0,1)内精确到0.1的近似解为0.8．
同理可得方程在区间(4,5)内精确到0.1的近似解为4.7．
∴如果要做成一个容积是150
cm3的无盖盒子，截去的小正方形的边长大约是0.8
cm或4.7
cm．3.1.2
用二分法求方程的近似解
课后导练
基础达标
1.以下函数图象中,不能用二分法求函数零点的是(
)
解析:利用二分法无法求不变号的零点.
答案:D
2.函数f(x)=ax2+bx+c(a＞0),已知f(m)＞0,f(-)＜0,且m＜-＜,则方程f(x)=0在区间(m,n)内(
)
A.有且只有一个根
B.有两个不等实根
C.有两个相等实根
D.无实根
解析:∵f(m)·f(-)＜0,
∴在（m,-）内必有一零点.
∵-＜，说明抛物线的对称轴在（m，）内，据抛物线的对称性可知：在（-,n）内有另一零点.
答案：B
3.方程x2-2x-1=0的一个近似解(精确到0.1)是(
)
A.2.4
B.2.3
C.2.5
D.2.6
解析:令f(x)=x2-2x-1，
∵f(2)·f(3)＜0,
∴利用二分法可求得近似解为2.3.
答案：B
4.已知函数y=x2+(1-k)x-k的一个零点在(2,3)内,则实数k的范围是(
)
A.(-3,-2)
B.(2,3)
C.(3,4)
D.(0,1)
解析：由条件得：f(2)·f(3)＜0，解得2＜k＜3.
答案：B
5.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如右图所示,则(
)
A.b∈（-∞,0）
B.b∈（0,1）
C.b∈（1,2）
D.b∈（2,+∞）
解析：∵f(0)=0,∴d=0.
∵f(1)=f(2)=0，
∴
∴
∴f(x)=-x3+bx2-bx,
∵f()＞0，∴可解得b＜0.
答案：A
6.若方程x2+(m-2)x+(5-m)=0无解,则m的取值范围是(
)
A.（-∞,-4]
B.（-4,4）
C.（-5,-4）
D.（-∞,-5）∪（-5,-4］
解析：由（m-2）2-4(5-m)＜0，解得-4＜m＜4.
答案：B
7.函数f(x)=-x2+4x-3在区间［1,3］上(
)
A.没有零点
B.有一个零点
C.有两个零点
D.有无数个零点
解析：∵f(1)=0,f(3)=-9+12-3=0，
∴在［1，3］上有两个零点.
答案：C
8.已知函数y=f(x)的零点在区间［0,1］内,欲使零点的近似值的精确度达到0.01,则用二分法取中点的次数的最小值为(
)
A.6
B.7
C.8
D.9
解析：利用二分法，达到精确要求即可数出取中点的次数.
答案：B
9.方程x3-2x2+3x-6=0在区间［-2,4］上的根必属于区间(
)
A.［-2,1］
B.［,4］
C.［1,］
D.［,］
解析:代入验证即可.
答案:B
10.函数f(x)=lnx+2x-6的零点一定位于区间（
）
A.（1，2）
B.（2，3）
C.（3，4）
D.（4，5）
解析：代入验证即可.
答案：B
综合运用
11.方程lg3x=-x+1的近似解(精确到0.1)是__________________.
解析：令f(x)=lg3x+x-1.
∵f()·f(1)＜0,∴利用二分法可求得在（，1）上的近似解为0.7.
答案：0.7
12.已知函数f(x)=2-x-log2x,则方程f(x)=0解的个数为___________________.
解析：作出y=()x与y=log2x的图象，只有一个交点.即f(x)=0解的个数为1.
答案：1
13.方程x3+lgx=18的根x≈_______________.(结果精确到0.1)
解析：令f(x)=x3+lgx-18,f(2)＞0,f(3)＜0.
∴f(x)在（2，3）内必有一零点.利用二分法计算得x≈2.6.
答案：2.6
14.求方程x3+5=6x2+3x的一个近似解.(精确度0.1)
解析：令f(x)=x3-6x2-3x+5,
f(0)=5＞0,f(1)=-3＜0.
∴f(0)·f(1)＜0，故f(x)在（0，1）上必有零点，即方程x3+5=6x2+3x在（0，1）上必有实根.
下面用二分法求出方程在（0,1）上的近似解x0.
x0∈(,1),x0∈(0.5,0.75),
x0∈(0.625,0.75),x0∈(0.687
5,0.75)，
0.75-0.687
5=0.062
5＜0.1.
故（0.687
5,0.75）上任一值都可作为原方程根的近似解，如x0=0.7.
拓展探究
15.甲从A地以每小时60
km的速度向B地匀速行驶.十五分钟后,乙从A地出发加速向甲追去,已知乙距A地的路程s(km)与时间t(h)的关系为s=20t2,求乙多长时间可追上甲 (精确到0.1)
解析：设乙经过t(h)可追上甲，
则60（t+）=20t2，
整理得4t2-12t-3=0，设f(t)=4t2-12t-3,∵f(3)=-3＜0,f(4)=13＞0,
∴函数f(t)=4t2-12t-3在（3，4）上必有一零点.即方程4t2-12t-3=0在（3，4）上必有一实根.
设该实根为t0，则t0∈(3，4)，用二分法可知：
t0∈(3,3.5),t0∈(3,3.25),t0∈(3.125,3.25),t0∈(3.187
5,3.25),t0∈(3.218
75,3.25),t0∈(3.218
75,3.234
375).由于区间的两个端点值精确到0.1时都是3.2，故t0=3.2.即乙需3.2小时可追上甲.3.1.2
用二分法求方程的近似解
课后训练
1．定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的曲线，已知函数f(x)在区间(a，b)上有一个零点x0，且f(a)·f(b)＜0，用二分法求x0时，当f＝0时，则函数f(x)的零点是( )．
A．(a，b)外的点
B．x＝
C．区间或内的任意一个实数
D．x＝a或x＝b
2．已知函数y＝f(x)的图象是连续不断的，有如下的x，f(x)的对应值：
x
1
2
3
4
5
6
7
f(x)
136.136
15.552
－3.92
10.88
－52.488
－232.064
11.238
则方程f(x)＝0存在实数解的端点处为整数的区间有( )．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
3．用二分法求函数f(x)＝2x－3的零点时，初始区间可选为( )．
A．(－1,0)
B．(0,1)
C．(1,2)
D．(2,3)
4．函数y＝x与函数y＝lg
x的图象的交点的横坐标(精确到0.1)约是( )．
A．1.5
B．1.6
C．1.7
D．1.8
5．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次算得f(0)＜0，f(0.5)＞0，可得其中一个零点x0∈__________，第二次应计算__________．
6．已知函数f(x)的图象是连续不断的，f(1)·f(2)＜0，用二分法求f(x)在(1,2)内的零点时，第一步是__________．
7．在用二分法求方程f(x)＝0在[0,1]上的近似解时，经计算，f(0.625)＜0，f(0.75)＞0，f(0.687
5)＜0，即得出方程的一个近似解为__________．(精确度为0.1)
8．已知图象连续不断的函数y＝f(x)在区间(0,0.1)上有唯一零点，如果用二分法求这个零点(精确度为0.01)的近似值，则应将区间(0,0.1)等分的次数至少为__________．
9．求函数f(x)＝x3－x－1在(1,1.5)内的零点(精确度为0.1)．
10．(能力拔高题)求的值．(精确度为0.01)
参考答案
1.
答案：B
2.
答案：D 由于f(2)f(3)＜0，f(3)f(4)＜0，f(4)f(5)＜0，f(6)f(7)＜0，则方程f(x)＝0在区间(2,3)，(3,4)，(4,5)，(6,7)上存在实数解．
3.
答案：C f(－1)＝＜0，f(0)＝－2＜0，f(1)＝－1＜0，f(2)＝1＞0，f(3)＝5＞0，
则f(1)f(2)＜0，即初始区间可选(1,2)．
4.
答案：D 设f(x)＝lg
x，经计算f(1)＝＜0，f(2)＝lg
＞0，所以方程lg
x＝0在[1,2]内有解．应用二分法逐步缩小方程实数解所在的区间，可知选项D符合要求．
5.
答案：(0,0.5) f(0.25)
6.
答案：计算区间(1,2)的中点c＝
7.
答案：0.75或0.687
5 因为|0.75－0.687
5|＝0.062
5＜0.1，所以0.75或0.687
5都可以作为方程的近似解．
8.
答案：4 设等分的最少次数为n，则由＜0.01，得2n＞10，
∴n的最小值为4.
9.
答案：解：f(1)＝－1＜0，f(1.5)＝0.875＞0，用二分法逐次计算，列表如下：
区间
中点的值
中点函数近似值
(1,1.5)
1.25
－0.30
(1.25,1.5)
1.375
0.22
(1.25,1.375)
1.312
5
－0.05
(1.312
5,1.375)
1.343
75
0.08
由于|1.375－1.312
5|＝0.062
5＜0.1，
所以函数的一个近似零点为x＝1.312
5.
10.
答案：分析：设x＝，转化为求函数f(x)＝x3－2的零点．
解：设x＝，则x3＝2，即x3－2＝0，令f(x)＝x3－2，则函数f(x)的零点的近似值就是的近似值，以下用二分法求其零点．由f(1)＝－1＜0，f(2)＝6＞0，故可以取区间(1,2)为计算的初始区间．
用二分法逐次计算，列表如下：
区间
中点的值
中点函数近似值
(1,2)
1.5
1.375
(1,1.5)
1.25
－0.046
9
(1.25,1.5)
1.375
0.599
6
(1.25,1.375)
1.312
5
0.261
0
(1.25,1.312
5)
1.281
25
0.103
3
(1.25,1.281
25)
1.265
625
0.027
3
(1.25,1.265
625)
1.257
812
5
－0.010
0
由于1.265
625－1.257
812
5＝0.007
812
5＜0.01,1.265
625是函数的零点的近似值，即的近似值是1.265
625.3.1.2
用二分法求方程的近似解
课后训练
1．设函数f(x)＝x3＋bx＋c是[－1,1]上的增函数，且，则方程f(x)＝0在区间[－1,1]上( )
A．可能有3个实数根
B．可能有2个实数根
C．有唯一实数根
D．没有实数根
2．若函数f(x)唯一的零点在区间(0,8)，(0,6)，(0,4)，(0,2)内，那么下列命题正确的是( )
A．函数f(x)在区间(0,1)内有零点
B．函数f(x)在区间(0,1)或(1,2)内有零点
C．函数f(x)在区间[2,8)内无零点
D．函数f(x)在区间(1,8)内有零点
3．用二分法求函数的零点，函数的零点总位于区间[an，bn](n∈N)上，当|an－bn|＜m时，函数的零点近似值与真实零点a的误差最大不超过( )
A．
B．
C．m
D．2m
4．方程log2x＋x2＝2的解一定位于区间( )
A．(0,1)
B．(1,2)
C．(2,3)
D．(3,4)
5．若函数f(x)的图象是连续不断的，且f(0)＞0，f(1)f(2)f(4)＜0，则下列命题正确的是( )
A．函数f(x)在区间(0,1)内有零点
B．函数f(x)在区间(1,2)内有零点
C．函数f(x)在区间(0,2)内有零点
D．函数f(x)在区间(0,4)内有零点
6．在用二分法求方程f(x)＝0在[0,1]上的近似解时，经计算，f(0.625)＜0，f(0.75)＞0，f(0.687
5)＜0，即可得出方程的一个近似解为______(精确度为0.1)．
7．某方程有一无理根在区间D＝(1,3)内，若用二分法求此根的近似值，则将D至少等分__________次后，所得近似值的精确度为0.1.
8．已知方程mx2－x－1＝0在(0,1)内恰有一解，则实数m的取值范围是________．
9．用二分法求方程的近似解(精确度0.1)．
10．在26个钢珠中，混入了一个外表和它们完全相同的铜珠(铜珠稍重)，现只有一台天平，你能否设计一个方案，称最少的次数把铜珠找出来．
参考答案
1答案：C
2答案：C
3答案：B
4答案：B
5答案：D
6答案：0.687
5
7答案：5
8答案：(2，＋∞)
9答案：解：由方程可得，分别画出函数y＝ln
x和的图象(如图)．
这两个函数图象交点处函数值相等，因此交点处的横坐标就是方程，即方程的解．
从图象上可以看出，两图象只有一个交点，交点的横坐标介于2和3之间，设，f(2)＝ln
2－1＜0，，用计算器计算，得
区间
中点值
中点函数近似值
[2,3]
2.5
0.083
[2,2.5]
2.25
－0.106
[2.25,2.5]
2.375
－0.010
[2.375,2.5]
2.437
5
0.037
[2.375,2.437
5]
因为2.437
5－2.375＝0.062
5＜0.1，所以所求的方程的近似解可取为2.375.
10答案：解：把26个钢珠等分成两份，放在天平里，铜珠一定在较重的13个中，把这13个钢珠随便拿出一个，再将剩下的12个等分成两份，放在天平上，若质量相等，则拿出的那个就是铜珠；否则，在质量较重的6个中，再等分为两份放在天平上，铜珠还是在稍重的3个中，再拿出一个，其余的两个放在天平上，若天平平衡，则拿出的一个便是铜珠，否则天平上稍重的那个便是，因而最少称4次便可把铜珠找出来．
