3.2.2
函数模型的应用实例
课后训练
1．电讯费调整后，市话费标准为：通话时间不超过3分钟，收费0.2元；超过3分钟以后，每增加1分钟收费0.1元，不足1分钟按1分钟计算，则通话费S(元)与通话时间t(分钟)的函数图象可表示为( )
2．某城市出租汽车统一价格，凡上车起步价为6元，行程不超过2
km者均按此价收费，行程超过2
km，超过部分按3元/km收费(不足1
km按1
km计价)，另外，遇到堵车或等候时，汽车虽没有行驶，仍按6分钟折算1
km计算(不足1
km按1
km计价)．陈先生坐了一趟出租车，车费24元，车上仪表显示等候时间为11分30秒，那么陈先生此趟行程的取值范围是( )
A．[5,6)
B．(5,6]
C．[6,7)
D．(6,7]
3．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为( )
A．45.606万元
B．45.6万元
C．45.56万元
D．45.51万元
4．有一组实验数据如下表所示：
t
1
2
3
4
5
s
1.5
5.9
13.4
24.1
37
下列所给函数模型较适合的是( )
A．y＝logax(a＞1)
B．y＝ax＋b(a＞1)
C．y＝ax2＋b(a＞0)
D．y＝logax＋b(a＞1)
5．为了稳定市场，确保农民增收，某农产品的市场收购价格a与其前三个月的市场收购价格有关，且使a与其前三个月的市场收购价格之差的平方和最小．若下表列出的是该产品前6个月的市场收购价格：
月份
1
2
3
4
5
6
7
价格(元/担)
68
78
67
71
72
70
则7月份该产品的市场收购价格应为( )
A．69元
B．70元
C．71元
D．72元
6．已知A，B两地相距150
km，某人开汽车以每小时60
km的速度从A地到达B地，在B地停留1
h后再以每小时50
km的速度返回A地，把汽车离开A地的距离x表示成时间t的函数，表达式是________．
7．光线通过一块玻璃，其强度要失掉原来的，要使通过玻璃的光线强度为原来的以下，至少需要重叠这样的玻璃块数是______(lg
3≈0.477
1)．
8．将进货单价为8元的商品按10元一个销售，每天可卖出100个．若每涨价1元，则日销售量依次减少10个．为获得最大利润，则此商品日销售价应定为每个________元．
9．渔场中鱼群的最大养殖量为m(m＞0)，为了保证鱼群的生长空间，实际养殖量x应小于m，以便留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量y和实际养殖量与空闲率(空闲率是空闲量与最大养殖量的比值)的乘积成正比，比例系数为k(k＞0)．
(1)写出y关于x的函数关系式，并指出该函数的定义域；
(2)求鱼群年增长量的最大值．
10．通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间．讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f(x)表示学生掌握和接受概念的能力(f(x)值越大，表示接受的能力越强)，x表示提出和讲授概念的时间(单位：min)，可有以下公式：
(1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？
(2)开讲后5
min与开讲后20
min比较，学生的接受能力何时强一些？
11．在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)＝f(x＋1)－f(x)．某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x台(x∈N
)的收入函数为R(x)＝3
000x－20x2(单位：元)，其成本函数为C(x)＝500x＋4
000(单位：元)，利润是收入与成本之差．
(1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；
(2)利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)是否具有相同的最大值？
参考答案
1答案：B
2答案：B
3答案：B
4答案：C
5答案：C
6答案：
7答案：11
8答案：14
9答案：解：(1)根据题意知，空闲率是，故y关于x的函数关系式是，0＜x＜m.
(2)由(1)知，，0＜x＜m.
则当时，.所以，鱼群年增长量的最大值为.
10答案：解：(1)当0＜x≤10时，
f(x)＝－0.1x2＋2.6x＋43＝－0.1(x－13)2＋59.9，故f(x)递增，最大值为f(10)＝－0.1×(－3)2＋59.9＝59；
当16＜x≤30时，f(x)递减，
f(x)＜－3×16＋107＝59.
因此，开讲后10
min，学生达到最强的接受能力(值为59)，并维持6
min.
(2)
f(5)＝－0.1×(5－13)2＋59.9＝59.9－6.4＝53.5，
f(20)＝－3×20＋107＝47＜53.5＝f(5)，
因此开讲后5
min学生的接受能力比开讲后20
min强一些．
11答案：解：由题意知，x∈[1,100]，且x∈N
.
(1)P(x)＝R(x)－C(x)＝3
000x－20x2－(500x＋4
000)＝－20x2＋2
500x－4
000，
MP(x)＝P(x＋1)－P(x)
＝－20(x＋1)2＋2
500(x＋1)－4
000－[－20x2＋2
500x－4
000]＝2
480－40x.
(2)
，当x＝62或x＝63时，P(x)的最大值为74
120(元)．
因为MP(x)＝2
480－40x是减函数，所以当x＝1时，MP(x)的最大值为2
440(元)．
因此，利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)不具有相同的最大值．3.2.2
函数模型的应用实例
课后训练
基础巩固
1．某产品的利润y(元)关于产量x(件)的函数关系式为y＝3x＋4，则当产量为4件时，利润y等于( )
A．4元
B．16元
C．85元
D．不确定
2．拟定从甲地到乙地通话m
min的电话费f(m)＝1.06·(0.50[m]＋1)，其中m＞0，[m]是大于或等于m的最小整数(如[3]＝3，[3.7]＝4，[5.2]＝6)，则从甲地到乙地通话时间为5.5
min的通话费为( )
A．3.71
B．3.97
C．4.24
D．4.77
3．如果寄信时的收费方式如下：每封信不超过20
g付邮费0.80元，超过20
g而不超过40
g付邮费1.60元，依次类推，每增加20
g需增加邮费0.80元(信的质量在100
g以内)．某人所寄一封信的质量为72.5
g，那么他应付邮费( )
A．3.20元
B．2.90元
C．2.80元
D．2.40元
4．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2
000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.8元，普通车存车费是每辆一次0.5元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是( )
A．y＝0.3x＋800(0≤x≤2
000)
B．y＝0.3x＋1
600(0≤x≤2
000)
C．y＝－0.3x＋800(0≤x≤2
000)
D．y＝－0.3x＋1
600(0≤x≤2
000)
5．据报道，青海的湖水在最近50年内减少了10%，如果按此规律，设2012年的湖水量为m，从2012年起，过x年后湖水量y与x的函数关系是( )
A．
B．y＝(1－)m
C．y＝m
D．y＝(1－0.150x)m
6．今有一组数据如下：
t
1.99
3.0
4.0
5.1
6.12
v
1.5
4.04
7.5
1.2
18.01
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是( )
A．v＝log2t
B．v＝
C．v＝
D．v＝2t－2
7．某电脑公司2012年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为400万元，占全年经营总收入的40%．该公司预计2014年经营总收入要达到1
690万元，且计划从2012年到2014年每年经营总收入的年增长率相同，则2013年预计经营总收入为__________万元．
8．某企业拟投资A，B两个项目，预计投资A项目m万元可获得利润P＝(m－20)2＋105万元，投资B项目n万元可获得利润Q＝(40－n)2＋(40－n)万元．若该企业用40万元来投资这两个项目，则分别投资多少万元能获得最大利润？最大利润是多少？
能力提升
9．2013年全球经济转暖，据统计某地区1月、2月、3月的用工人数分别为0.2万人，0.4万人和0.76万人，则该地区这三个月的用工人数y万人关于月数x的函数关系近似的是( )
A．y＝0.2x
B．y＝(x2＋2x)
C．y＝
D．y＝0.2＋log16x
10．如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图：那么“红豆生南国，春来发几枝”的红豆生长时间与枝数的关系用下列__________函数模型拟合最好．( )
A．指数函数：y＝2t
B．对数函数：y＝log2t
C．幂函数：y＝t3
D．二次函数：y＝2t2
11．如图所示，折线是某电信局规定打长途电话所需要付的电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系图象，根据图象填空：
(1)通话2分钟，需付的电话费为__________元；
(2)通话5分钟，需付的电话费为__________元；
(3)如果t≥3，则电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系式为__________．
12．从盛满20升纯酒精的容器里倒出1升，然后用水加满，再倒出1升混合溶液，再用水加满，这样继续下去，则所倒次数x和酒精残留量y之间的函数关系为__________．
13．通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间．讲授开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f(x)表示学生掌握和接受概念的能力[f(x)值越大，表示接受的能力越强]，x表示提出和讲授概念的时间(单位：min)，可有以下公式：
(1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？
(2)开讲后5
min与开讲后20
min比较，学生的接受能力何时强一些？
14．为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x与当年灌溉面积y.现有连续10年的实测资料，如下表所示．
年序
最大积雪深度x(cm)
灌溉面积y(公顷)
1
15.2
28.6
2
10.4
21.1
3
21.2
40.5
4
18.6
36.6
5
26.4
49.8
6
23.4
45.0
7
13.5
29.2
8
16.7
34.1
9
24.0
45.8
10
19.1
36.9
(1)描点画出灌溉面积随积雪深度变化的图象；
(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型，并画出图象；
(3)根据所建立的函数模型，估计若今年最大积雪深度为25
cm，则可以灌溉土地多少公顷？
15．某民营企业生产A、B两种产品，根据市场调查和预测，A产品的利润y与投资额x成正比，其关系如图1所示；B产品的利润y与投资额x的算术平方根成正比，其关系如图2所示(利润与投资额的单位均为万元)．
图1
图2
(1)分别将A、B两种产品的利润表示为投资额的函数关系式；
(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润为多少万元？
错题记录
错题号
错因分析
参考答案
1．C 点拨：当x＝4时，y＝34＋4＝85(元)．
2．C 点拨：5.5
min的通话费为f(5.5)＝1.06×(0.50×[5.5]＋1)＝1.06×(0.50×6＋1)＝1.06×4＝4.24．
3．A 点拨：由题意，得20×3＜72.5＜20×4，因此这个人应付的邮费为0.80×4＝3.20元．
4．D 点拨：由题意知，变速车存车数为(2
000－x)辆次，则总收入y＝0.5x＋(2
000－x)×0.8＝0.5x＋1
600－0.8x＝－0.3x＋1
600(0≤x≤2
000)．
5．C 点拨：设每年湖水量为上一年的q%，则(q%)50＝0.9，解得q%＝．因此过x年后湖水量y与x的函数关系是y＝m．
6．C 点拨：取t＝1.99≈2，代入A得v＝log22＝1≠1.5；代入B得v＝＝－1≠1.5；代入C得v＝＝1.5；代入D得v＝2×2－2＝2≠1.5．故选C．
7．1
300 点拨：设从2012年到2014年每年经营总收入的年增长率为x．
由题意，得2012年经营总收入为1
000万元，则有1
000(1＋x)2＝1
690，解得x＝0.3．
故2013年预计经营总收入为1
000(1＋0.3)＝1
300(万元)．
8．解：设投资x万元于A项目，则投资(40－x)万元于B项目，总利润W＝(x－20)2＋105＋＝－x2＋30x＋100＝－(x－15)2＋325．
因为当x＝15时，Wmin＝325(万元)，
所以投资A项目15万元，B项目25万元时可获得最大利润，最大利润为325万元．
9．C 点拨：代入验证即可．
10．A 点拨：验证即可．
11．(1)3.6 (2)6 (3)y＝1.2t(t≥3) 点拨：(1)由图象可知，当t≤3时，电话费都是3.6元．
(2)由图象可知，当t＝5时，y＝6，即需付电话费6元．
(3)当t≥3时，y关于x的图象是一条直线，且经过(3,3.6)和(5,6)两点，故设函数关系式为y＝kt＋b，则
解得故y关于t的函数关系式为y＝1.2t(t≥3)．
12．y＝20× 点拨：第一次倒完后y＝19，第二次倒完后，y＝19×＝，第三次倒完后y＝19×，…，第x次倒完后y＝＝20×．
13．解：(1)当0＜x≤10时，
f(x)＝－0.1x2＋2.6x＋43＝－0.1(x－13)2＋59.9，
故f(x)递增，
最大值为f(10)＝－0.1×(－3)2＋59.9＝59；
显然，当16＜x≤30时，f(x)递减，f(x)＜－3×16＋107＝59．
因此，开讲后10分钟，学生达到最强的接受能力(值为59)，并维持6分钟．
(2)f(5)＝－0.1×(5－13)2＋59.9＝59.9－6.4＝53.5，
f(20)＝－3×20＋107＝47＜53.5，
因此开讲后5分钟，学生的接受能力比开讲后20分钟强一些．
14．解：(1)描点、作图如图(甲)所示．
(2)从图(甲)中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y与最大积雪深度x满足一次函数模型y＝a＋bx(a，b为常数，且b≠0)．
取其中的两组数据(10.4,21.1)，(24.0,45.8)，
代入y＝a＋bx，得
用计算器可得a≈2．2，b≈1．8．
这样，我们得到一个函数模型：y＝2.2＋1.8x．作出函数图象如图(乙)，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映积雪深度与灌溉面积的关系．
(3)由y＝2.2＋1.8×25，求得y＝47.2，即当积雪深度为25
cm时，可以灌溉土地约47.2公顷．
15．解：(1)依题意，A产品的利润y与投资额x的函数关系式设为y＝kx(k为参数)，
由图形知，当x＝1.8时，y＝0.45，代入得．因此函数关系式为y＝(x≥0)．
B产品的利润y与投资额x的函数关系式设为y＝k′(k′为参数)，
由图形知，当x＝4时，y＝2.5，代入得k′＝．因此函数关系式为y＝(x≥0)．
(2)设B产品投资x万元，则A产品投资(10－x)万元，
依题意总利润Q＝(10－x)＋(0≤x≤10)
＝．
因为当，即时，Q有最大值，10－x＝，
所以A产品投资3.75万元，B产品投资6.25万元，可使企业获得最大利润，最大利润为4.062
5万元．3.2.1
几类不同增长的函数模型
课后训练
1．下列函数中，增长速度最慢的是( )．
A．y＝6x
B．y＝log6x
C．y＝x6
D．y＝6x
2．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是( )．
A．y＝100x
B．y＝log100x
C．y＝x100
D．y＝100x
3．某工厂12月份的产量是1月份产量的7倍，那么该工厂这一年中的月平均增长率是( )．
A.
B.
C.－1
D.－1
4．某地为了加强环境保护，决定使每年的绿地面积比上一年增长10%，那么从今年起，x年后绿地面积是今年的y倍，则函数y＝f(x)的大致图象是( )．
5．某种细菌在培养过程中，每15分钟分裂一次(由一个分裂成两个)，这种细菌由1个分裂成4
096个需经过__________小时．
6．(情景题)在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况如图所示．现给出下列说法：
①前5
min温度升高的速度越来越快；②前5
min温度升高的速度越来越慢；③5
min以后温度保持匀速升高；④5
min以后温度保持不变．
其中正确的说法是__________．
7．在同一平面直角坐标系内作出下列函数的图象，并比较它们的增长情况：
(1)y＝0.1ex－100，x[1,10]；
(2)y＝20ln
x＋100，x[1,10]；
(3)y＝20x，x∈[1,10]．
8．(能力拔高题)下面给出f(x)与f(x＋1)－f(x)随x取值而得到的函数值列表：
试问：(1)各函数随x增大，函数值有什么共同的变化趋势？
(2)各函数增长的快慢有什么不同？
(3)根据以上结论，体会以下实例的现实意义．
①一个城市的电话号码的位数，大致设置为城市人口以10为底的对数；
②银行的客户存款的年利率，一般不会高于10%.
参考答案
1.
答案：B
2.
答案：D 由于指数函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，函数y＝100x增长速度最快．
3.
答案：D 设月平均增长率为x,1月份产量为a，
则有a(1＋x)11＝7a，则1＋x＝，故x＝.
4.
答案：D 设今年绿地面积为m，则有my＝(1＋10%)xm，
即y＝1.1x.
故仅有D项符合题意．
5.
答案：3 设分裂x次后有y个细菌，则y＝2x，令2x＝4
096＝212，则x＝12，即需分裂12次，需12×15＝180(分钟)，即3小时．
6.
答案：②④ 因为温度y关于时间t的图象是先凸后平，即5
min前每当t增加一个单位增量Δt，则y相应的增量Δy越来越小，而5
min后是y关于t的增量保持为0，则②④正确．
7.
答案：解：图象如图所示，由图象可以看到：
函数y＝0.1ex－100，x[1,10]以爆炸式速度增长；
函数y＝20ln
x＋100，x[1,10]增长速度缓慢，并逐渐趋于稳定；
函数y＝20x，x[1,10]以稳定的速率增长．
8.
答案：解：(1)随x的增大，各函数的函数值都在增大．
(2)通过f(x＋1)－f(x)的函数值可以看出：各函数增长的快慢不同，其中f(x)＝2x增长最快，而且越来越快；增长最慢的，刚开始是f(x)＝，到后来是log2x，而且增长的幅度越来越小．
(3)①电话号码升位，会涉及到千家万户，无疑是一件大事．将电话号码的位数设为城市人口以10为底的对数将保证即使人口有较大增长，电话号码也不必马上升位，保证了电话号码的稳定性．
②按复利计算，存款以指数函数增长，如果利率设置太高，存款增长将越来越快，银行将难以承担利息付出．3.2.1
几类不同增长的函数模型
课后训练
基础巩固
1．某公司为了适应市场需求对产品结构作了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用( )
A．一次函数
B．幂函数
C．指数型函数
D．对数型函数
2．下列函数中，随着x的增大，增长速度最快的是( )
A．y＝50
B．y＝1
000x
C．y＝2x－1
D．
3．某电脑公司六年来电脑总产量y(台)与生产时间x(年)的函数关系如图．有下列说法：①前三年产量增长速度越来越快；②前三年产量增长速度越来越慢；③后三年这种产品停止生产；④后三年产量保持不变．其中说法正确的是( )
A．②③
B．②④
C．①③
D．①④
4．某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表：
x
1
2
3
…
y
1
3
8
…
下面的函数关系式中，能表达这种关系的是( )
A．y＝2x－1
B．y＝x2－1
C．y＝2x－1
D．y＝1.5x2－2.5x＋2
5．某林场计划第一年造林10
000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林( )
A．14
400亩
B．172
800亩
C．17
280亩
D．20
736亩
6．某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系式为y＝alog2(x＋1)，设这种动物第一年有100只，则到第7年它们发展到( )
A．300只
B．400只
C．500只
D．600只
7．四人赛跑，假设他们跑过的路程fi(x)(其中i{1,2,3,4})和时间x(x＞1)的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是( )
A．f1(x)＝x2
B．f2(x)＝4x
C．f3(x)＝log2x
D．f4(x)＝2x
8．若a＞1，n＞0，那么当x足够大时，ax，xn，logax的大小关系是__________．
能力提升
9．今有一组实验数据如下：
t
1.993
3.002
4.001
5.032
6.121
s
1.501
4.413
7.498
12.04
17.93
现准备用下列函数中的一个近似地表示数据满足的规律，其中接近的一个是( )
A．s－1＝2t－3
B．
C．2s＝t2－1
D．s＝2t－2
10．下图所示的为某池塘中的浮萍蔓延的面积y(m2)与时间t(月)的关系y＝at的图象．有以下叙述：①这个指数函数的底数为2；②第5个月时浮萍面积就会超过30
m2；③浮萍从4
m2蔓延到12
m2需要经过1.5个月；④浮萍每月增加的面积相等；⑤若浮萍蔓延到2
m2，3
m2，6
m2所经过的时间分别为t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3.其中正确的叙述是( )
A．①②④
B．①②③④
C．①②⑤
D．②③④⑤
11．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致为( )
12．某地一年内的气温Q(t)(单位：℃)与时间t(月份)之间的关系如图所示．已知该年的平均气温为10
℃，令C(t)表示时间段[0，t]内的平均气温，C(t)与t之间的函数关系用下列图象表示，则正确的应该是( )
13．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3
km(不超过3
km按起步价付费)；超过3
km但不超过8
km时，超过部分按2.15元/km收费；超过8
km时，超过部分按2.85元/km收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车最多行驶了__________km．
14．(压轴题)电信局为了配合客户的不同需要，设有A，B两种优惠方案，这两种方案的应付话费(元)与通话时间(分钟)之间的关系如图所示(实线部分)(注：图中MN∥CD)．试问：
(1)若通话时间为2小时，按方案A，B各付话费多少元？
(2)方案B从500分钟以后，每分钟收费多少元？
(3)通话时间在什么范围内，方案B才会比方案A优惠？
错题记录
错题号
错因分析
参考答案
1．D 点拨：初期利润增长迅速，后来增长越来越慢．可用对数型函数模型来反映调整后利润与时间的关系．
2．C 点拨：指数函数增长速度最快，故选C．
3．B 点拨：由图象可知说法②④正确．
4．D 点拨：画散点图或代入数值，选择拟合效果最好的函数，故选D．
5．C 点拨：y＝10
000×(1＋20%)3＝17
280．
6．A 点拨：由题意，得alog22＝100，即a＝100，故y＝100log2(x＋1)．将x＝7代入得y＝100log28＝300．
7．D 点拨：当x足够大时，跑在最前面的人具有的函数关系为指数型函数．
8．ax＞xn＞logax
9．C 点拨：结合实验数据及每个函数的特征可得．
10．C 点拨：该函数为y＝2x．将题目中所给数据代入验证即可获得答案为C．
11．D 点拨：设林区的森林原有蓄积量为a，由题意可得ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)．因为函数为对数函数，所以函数y＝f(x)的图象大致为D中图象．
12．A 点拨：由题图知，当t＝6时，C(t)＝0，排除C；当t＝12时，C(t)＝10，排除D；在大于6的某一段时间平均气温大于10
℃，所以排除B．故选A．
13．9 点拨：设出租车行驶的路程为x
km，付费为y元．
由题意得，
令y＝22.6，解得x＝9．
14．解：由图可知M(60,98)，N(500,230)，C(500,168)，MN∥CD．
设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系分别为fA(x)，fB(x)，
则fA(x)＝
fB(x)＝
(1)通话2小时，两种方案的话费分别为116元、168元．
(2)因为fB(n＋1)－fB(n)＝(n＋1)＋18－－18＝＝0.3(元)(n＞500)，
所以方案B从500分钟以后，每分钟收费0.3元．
(3)由图知，当0≤x≤60时，有fA(x)＜fB(x)．
当x＞500时，fA(x)＞fB(x)，
当60＜x≤500时，由fA(x)＞fB(x)，得x＞，
因此当通话时间大于分钟时，方案B比方案A优惠．3.2.1
几类不同增长的函数模型
课后训练
1．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用( )
A．一次函数
B．二次函数
C．指数型函数
D．对数型函数
2．在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10.4%，专家预测经过x年可能增长为原来的y倍，则函数y＝f(x)的图象大致为( )
3．用一根长为12
m的铁丝折成一个矩形的铁框架，则能折成的框架的最大面积是( )
A．9
m2
B．36
m2
C．4.5
m2
D．最大面积不存在
4．有4种飞行器进行飞行表演，假设其飞过的路程和时间的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果它们一直飞下去，最终跑在最前面的飞行器飞过的路程和时间具有的函数关系是( )
A．f1(x)＝x2
B．f2(x)＝4x
C．f3(x)＝log2x
D．f4(x)＝2x
5．一等腰三角形的周长为20，底边长y是关于腰长x的函数，它的解析式为( )
A．y＝20－2x(x≤10)
B．y＝20－2x(x＜10)
C．y＝20－2x(5≤x≤10)
D．y＝20－2x(5＜x＜10)
6．某旅店有客房300间，每间日房租为20元，每天客满．旅店欲提高档次，并提高租金，如果每间客房每日增加1元，客房出租数就会减少5间．若不考虑其他因素，旅店将租金定为__________元时，每天客房的总收入最高．
7．某商人购进一批家电，每台进价已按原价a扣去20%，他希望给货物定一新价，以便每台按新价让利25%销售后，仍可获得售价20%的纯利，则此商人经营这种家电的件数x与按新价让利总额y之间的函数关系式是________．
8．为了预防甲流的发生，某学校决定对教室用药熏消毒法进行消毒，根据药学原理，从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为
据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室学习．那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室？
9．某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本价为25元，因为在生产过程中平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，为了净化环境，工厂设计两套方案对污水进行处理，并准备实施．
方案一：工厂的污水先净化处理后再排出，每处理1立方米污水所用原料费2元，并且每月排污设备损耗费为30
000元；
方案二：工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费．问：
(1)工厂每月生产3
000件产品时，你作为厂长，在不污染环境，又节约资金的前提下应选择哪种方案？通过计算加以说明；
(2)若工厂每月生产6
000件产品，你作为厂长，又该如何决策呢？
10．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T－Ta＝(T0－Ta)·，其中Ta表示环境温度，h称为半衰期．
现有一杯用88
℃热水冲的速溶咖啡，放在24
℃的房间中，如果咖啡降温到40
℃需要20
min，那么降温到35
℃时，需要多长时间(结果精确到0.1)
参考答案
1答案：D
2答案：D
3答案：A
4答案：D
5答案：D
6答案：40
7答案：
(x∈N
)
8答案：解：由题意可得，
即得或
得或t≥0.6.
因为前0.1个小时药物浓度是逐渐增大的，故至少需要经过0.6小时后才可回教室．
9答案：解：设工厂生产x件产品时，依方案一的利润为y1，依方案二的利润为y2，由题意知
y1＝(50－25)x－2×0.5x－30
000＝24x－30
000，
y2＝(50－25)x－14×0.5x＝18x.
(1)当x＝3
000时，y1＝42
000，y2＝54
000，
∵y1＜y2，∴应选择方案二处理污水．
(2)当x＝6
000时，y1＝114
000，y2＝108
000，
∵y1＞y2，∴应选择方案一处理污水．
10答案：解：由题意知40－24＝(88－24)·，
即＝.
解之，得h＝10，故T－24＝(88－24)·.
当T＝35时，代入上式，得35－24＝(88－24)·，即＝.
两边取对数，用计算器求得t≈25.4.
因此，约需要25.4
min，可降温到35
℃.3.2
函数模型及其应用
课后导练
基础达标
1.某种细菌在培养过程中,每15分钟分裂一次(由一个分裂为两个),这种细菌由1个繁殖成4
096个需经过(
)
A.12小时
B.4小时
C.3小时
D.2小时
解析：设经过x小时这种细菌由1个繁殖成4
096个.则4
096=24x，解得x=3.
答案：C
2.已知镭经过100年剩留原来质量的95.76%,设质量为1的镭经过x年后的剩留量为y,则x、y之间的函数关系是(
)
A.y=
B.y=()x
C.y=
D.y=1-
解析：镭经100年剩留原来质量的95.76%，经200年剩留原来质量的（95.76%）2，经300年剩留原来质量的（95.76%）3，
……
经x年剩留原来质量的.
答案：A
3.一家旅社有100间相同的客房,经过一段时间的经营实践,旅社经理发现,每天每间客房的价格与住房率之间的关系如下:
每间每天定价
20元
18元
16元
14元
住房率
65%
75%
85%
95%
要使每天收入达到最高,每间客房定价应为(
)
A.20元
B.18元
C.16元
D.14元
解析：四种价格每天的收入分别为：
20×65元=1
300元；18×75=1
350元.
16×85=1
360元；14×95=1
330元.
故每间每天定价16元收入最高.
答案：C
4.某商品降价10%后,欲恢复原价,则应提价(
)
A.10%
B.9%
C.11%
D.%
解析：设原来药价为a，则降低10%后药价为a-10%a=90%a，若设应提升x，药价才能恢复原价，则90%a（1+x）=a.
解得x=%.
答案：D
5.某地区植被破坏后土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷，0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加值y公顷依赖于年数x的函数采用下列哪个函数模拟较好（
）
A.y=
B.y=(x2+2x)
C.y=·2x
D.y=0.2+log16x
解析：将（1，0.2），（2，0.4），（3，0.76）代入四个选项，看哪一个模型更合适.知选C.
答案：C
6.(2004高考湖南卷，11)农民收入由工资性收入和其他收入两部分构成.2003年某地区农民人均收入为3
150元（其中工资性收入为1
800元，其他收入为1
350元），预计该地区自2004年起的5年内，农民的工资性收入将以每年6%的年增长率增长，其他收入每年增加160元，根据以上数据，2008年该地区农民人均收入介于（
）
A.4
200—4
400元
B.4
400—4
600元
C.4
600—4
800元
D.4
800—5
000元
解析：设从2003年起第n年的收入为y，则有y=1
800(1+6%)n-1+［1
350+(n-1)·160］，2003年为当n=1时，则2008年为n=6，
故2008年农民收入1
800（1+6%）5+（1
350+5×160）∈(4
400,4
600).
答案：B
7.一高为h0、满缸水量为V0的鱼缸的轴截面如下图所示，其底部碰了一个小洞，满缸水从洞中流出.若鱼缸水深为h时，水的体积为V，则函数V=f(h)的大致图象可能是（
）
解析：当水深为h0时，体积为V0.∴排除A、C.
当h=时，V接近.
∴应选D.
答案：D
8.(2004成都)如下图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y（m2）与时间t的关系：y=at，有以下叙述，其中正确的是（
）
①这个指数函数的底数为2
②第5个月时，浮萍面积就会超过30
m2
③浮萍从4
m2蔓延到12
m2需要经过1.5个月
④浮萍每月增加的面积都相等
⑤若浮萍蔓延到2
m2、3m2、6
m2所经过的时间分别为t1、t2、t3，则t1+t2=t3
A.①②
B.①②③④
C.②③④⑤
D.①②⑤
解析：①②正确，③④不正确，⑤正确，选D.由图象过（1，2），则a1=2，故①正确，若t=5，则y=a5=25=32＞30,故②正确，因y=2t,且2=2t1，3=2t2，6=2t3,故2t1+t2=2×3=2t3，即t1+t2=t3,则⑤正确.
答案：D
9.拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费f(m)=1.06×(0.50×［m］+1)给出,其中m＞0,［m］是大于或等于m的最小整数(如［3］=3,［3.7］=4,［5.1］=6).则从甲地到乙地通话时间为5.5分钟的通话费为(
)
A.3.71
B.3.97
C.4.24
D.4.77
解析：f(5.5)=1.06×(0.50×［5.5］+1)=1.06×［0.50×6+1］=4.24.应选C.
答案：C
综合运用
10.当2＜x＜4时,log2x、2x、x2的大小关系是____________________________.
答案：log2x＜2x＜x2
11.一个水池每小时注入水量是全池的,水池还没注水部分的总量y随时间x变化的关系式是____________________________.
答案：y=1-(x∈［0,10］)
12.汽车的油箱是长方体形容器，它的长是a
cm，宽是b
cm，高是c
cm，汽车开始行驶时油箱内装满汽油，已知汽油的耗油量是n
cm3/km，汽车行驶的路程y
km与油箱内剩余油量的液面高度x
cm的函数关系式为_________________________.
答案：y=(0≤x＜c)
13.物体从静止开始下落,下落的距离与时间的平方成正比,已知开始下落的2
s内,物体下落的距离是19.6
m,问如果下落的时间为5
s,则物体的距离是________________m.
解析：设下落距离为y，时间为t.
则y=kt2，由条件得19.6=22·k.
∴k=4.9∴y=4.9t2，
当t=5s时，
y=4.9×25=122.5.
答案：122.5
14.(2004上海理，18)某单位用木料制作如右图所示的框架，框架的下部是边长分别为x、y（单位：m）的矩形，上部是等腰直角三角形.要求框架围成的总面积为8
m2，问x,y分别为多少（精确到0.01
m）时用料最省？
解析：由题意得：xy+x·x=8，
则y=.
用料总长L=2x+2y+x
=(2+)x+2(-x)
=(+)x+
=［·-］2+2·4≥8，
当且仅当=，即x=2.343
m,此时y=2.828
m时用料最省.
15.一个自来水厂,蓄水池中有水450吨,水厂每小时可向蓄水池中注水80吨,同时蓄水池又向居民小区供水,t小时内供水总量为160吨,现在开始向水池中注水并同时向居民小区供水.
(1)问多少小时后,蓄水池中水量最少
(2)若蓄水池中水量少于150吨时,就会出现供水紧张现象,问每天有几小时供水紧张
解析：（1）设t小时后蓄水池中水量最小，且蓄水量为y吨，则
y=450+80t-160
=80()2-160+450
=80［()2-2+5］+50
=80［(-)2］+50.
当=时，即t=5小时时蓄水池中蓄水量最少.
（2）若80()2-160+450＜150，即80()2-160·+300＜0.
其对应方程的两个根：
=,=.
∴|t2-t1|=()2-()2=10（小时）,
即每天有10小时供水紧张.
拓展探究
16.医学上研究传染病传播中病毒的发展规律及其预防，将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行实验.经检测，病毒细胞的个数y与天数n的函数关系式为y=2n-1(n∈N
).已知该病毒细胞在小白鼠体内的个数超过108的时候小白鼠将死亡.但注射某种药物，将可杀死其体内该病毒细胞的98%.
（1）为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注射该种药物（精确到天）？
（2）第二次最迟在何时注射该种药物，才能维持小白鼠的生命（精确到天）？已知lg2=0.301
0.
解析：（1）由题意，病毒细胞关于时间n的函数为y=2n-1，则病毒细胞2n-1≤108.两边取以10为底的对数得：（n-1）lg2≤8，故n≤27.5，即第一次最迟应在第27天注射该种药物.
（2）由题意，注入药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞为226×2%，再经过x天后，小白鼠体内的病毒细胞为226×2%×2x.
由题意226×2%×2x≤108，两边取对数得：26·lg2+lg2-2+xlg2≤8得x≤6.2，即再经过6天必须注射该药物，即第二次最迟应第33天注射该药物.3.2.2
函数模型的应用实例
课后训练
1．某产品的利润y(元)关于产量x(件)的函数关系式为y＝3x＋4，则当产量为4件时，利润为( )．
A．4元
B．16元
C．85元
D．不确定
2．某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的关系式为y＝5x＋4
000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套量至少为( )．
A．200副
B．400副
C．600副
D．800副
3．甲、乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是( )．
A．甲比乙先出发
B．乙比甲跑的路程多
C．甲、乙两人的速度相同
D．甲先到达终点
4．今有一组实验数据如下表所示：
t
1.99
3.0
4.0
5.1
6.12
u
1.5
4.04
7.5
12
18.01
则能体现这些数据关系的函数模型是( )．
A．u＝log2t
B．u＝2t－2
C．u＝
D．u＝2t－2
5．一天，亮亮发烧了，早晨6时他烧得很厉害，吃过药后感觉好多了，中午12时亮亮的体温基本正常，但是下午18时他的体温又开始上升，直到半夜24时亮亮才感觉身上不那么发烫了．则下列各图能基本上反映出亮亮这一天(0～24时)体温的变化情况的是( )．
6．某人从A地出发，开汽车以60
km/h的速度，经2
h到达B地，在B地停留1
h，则汽车离开A地的距离y(单位：km)是时间t(单位：h)的函数，该函数的解析式是__________．
7．某种细胞分裂时，由1个分裂成4个，4个分裂成16个……这样，一个细胞分裂x次后，得到的细胞个数是y，当y＝256时，则共分裂的次数是__________．
8．某市原来民用电价为0.52元/kW·h.换装分时电表后，峰时段(早上八点到晚上九点)的电价为0.55元/kW·h，谷时段(晚上九点到次日早上八点)的电价为0.35元/kW·h.对于一个平均每月用电量为200
kW·h的家庭，要使节省的电费不少于原来电费的10%，则这个家庭每月在峰时段的平均用电量至多为多少？
9．(能力拔高题)沿海地区某村在2010年底共有人口1
480人，全年工农业生产总值为3
180万，从2011年起计划10年内该村的总产值每年增加60万元，人口每年净增a人，设从2011年起的第x年(2011年为第一年)该村人均产值为y万元．
(1)写出y与x之间的函数关系式；
(2)为使该村的人均产值10年内每年都有增长，那么该村每年人口的净增不能超过多少人？
参考答案
1.
答案：C 当x＝4时，y＝34＋4＝85.
2.
答案：D 由10x－y＝10x－(5x＋4
000)≥0，得x≥800.
3.
答案：D 由图象知甲所用时间短，所以甲先到达终点．
4.
答案：C 可以先画出散点图，并利用散点图直观地认识变量间的关系，选择合适的函数模型来刻画它．散点图如图所示．
由散点图可知，图象不是直线，排除选项D；图象不符合对数函数的图象特征，排除选项A；当t＝3时，2t－2＝23－2＝6，＝4，
由表格知当t＝3时，u＝4.04，模型u＝能较好地体现这些数据关系．
5.
答案：C 从0时到6时，体温上升，图象是上升的，排除选项A；从6时到12时，体温下降，图象是下降的，排除选项B；从12时到18时，体温上升，图象是上升的，排除选项D.
6.
答案：y＝当0≤t≤2时，y＝60t；
当2＜t≤3时，y＝120.
7.
答案：4 y＝4x，xN
，当4x＝256时，解得x＝4.
8.
答案：解：原来每月电费为0.52×200＝104(元)．
设峰时用电量为x
kW·h，电费为y元，谷时段用电量为(200－x)
kW·h.
则y＝0.55x＋0.35(200－x)≤(1－10%)×104，即0.55x＋70－0.35x≤93.6，则0.2x≤23.6，
故x≤118，
9.
答案：解：(1)依题意得第x年该村的工农业生产总值为(3
180＋60x)万元，
而该村第x年的人口总数为(1
480＋ax)人，
故(1≤x≤10)．
(2)，
为使该村的人均产值年年都有增长，则在1≤x≤10内，y＝f(x)为增函数，则有53＜0，
∴a＜≈27.9.
又∵aN
，
∴a的最大值是27.
即该村每年人口的净增不能超过27人．3.2.2
函数模型的应用实例
课后导练
基础达标
1.一根弹簧挂重100
N的重物时,伸长20
cm,当挂重150
N的重物时,弹簧伸长
…(
)
A.3
cm
B.15
cm
C.25
cm
D.30
cm
解析：∵=,∴x=30.
答案：D
2.某人2005年1月1日到银行存入一年期存款a元,若年利率为x,按复利计算,到2008年1月1日,可取回款____________________元(
)
A.a(1+x)3
B.a(1+x)4
C.a+(1+x)3
D.a(1+x3)
解析：2006年1月1日本利和为a(1+x);
2007年1月1日本利和为a(1+x)+a(1+x)x=a(1+x)2;
2008年1月1日本利和为a(1+x)3.
∴选A.
答案：A
3.某物体一天中的温度T
℃是时间t(小时)的函数T=t3-3t+60,t=0表示12:00的温度,其后t取正值,则上午8:00的温度是(
)
A.112
℃
B.58
℃
C.18
℃
D.8
℃
解析：由条件得上午8:00，t=-4,
此时T=（-4）3-3×（-4）+60=8
℃.
∴选D.
答案：D
4.某产品的总成本y(万元)与产量x之间的函数关系式是y=3
000+20x-0.1x2,x∈(0,240),若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本时的最低产量为(
)
A.100台
B.120台
C.150台
D.180台
解析：设最低生产x台,
则3
000+20x-0.1x2＜25x.
解得x＜=-200（舍去），
或x＞=150.
答案：C
5.某电脑用户计划用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘,根据需要,软件至少买3片,磁盘至少买2盒,则不同的选购方式共有(
)
A.5种
B.6种
C.7种
D.8种
解析：设分别用x元和y元购买单件软件和盒装磁盘.
则
当y=2时，x=6或x=5或x=4或x=3;
当y=3时，x=4或x=3;
当y=4时，x=3.
答案：C
6.如右图,直角梯形OABC中,AB∥OC,OC⊥BC,且AB=1,OC=BC=2,直线l:x=t,截此梯形所得位于l左侧图形面积为S,则函数S=f(t)的大致图象为(
)
解析：取特殊点检验：当x=1时，S=1，
∴可排除A、B.当x=2时，S=1+1×2=3，此时只有D满足.
答案：D
7.如果一个立方体的体积在数值上等于V,表面积为S,且V=S+1,那么这个立方体的一个面的边长(精确到0.01)为(
)
A.5.01
B.5.08
C.6.03
D.6.05
解析：设立方体边长为1，则a3=6a2+1.
令f(a)=a3-6a2-1,f(6)=-1＜0，f(7)=72-1＞0,
∴f(a)在（6，7）内必有一零点，用二分法求得精确到0.01的近似值为6.03.
答案：C
8.某工厂生产两种成本不同的产品，由于市场销售发生变化，甲产品连续两次提价20%，同时乙产品连续两次降价20%，结果都以23.04元售出.此时厂家同时出售甲、乙产品各一件，盈亏情况是（
）
A.不亏不赚
B.亏5.92元
C.赚5.92元
D.赚28.96元
解析：设甲、乙两种产品原价分别为a、b，则a(1+20%)2=23.04,b(1-20%)2=23.04.
∴a=16元，b=36元.
若出售甲、乙产品各一件，甲产品盈利23.04-16=7.04元，
乙产品亏36-23.04=12.96元，
∴共亏12.96-7.04=5.92元.
答案：B
9.将进货单价为80元的商品按90元一个出售时能卖出400个，根据经验，该商品若每个涨（降）1元，其销售量就减少（增加）20个，为获得最大利润，售价应定为（
）
A.92元
B.94元
C.95元
D.88元
解析：按所卖商品个数×现价-所卖商品个数×进货单价逐项检验知选C.
答案：C
10.某种微生物经30分钟繁殖为原来的2倍，且知该微生物的繁殖规律为y=ekt，其中k为常数，t表示时间（单位：小时），y表示微生物个数，则k=________________；经过5小时，1个此微生物就能繁殖为__________________个（
）
A.ln2,1
023
B.2ln2,1
023
C.ln2,1
024
D.2ln2,1
024
解析：由条件得：2=.
两边取以e为底的对数得：
ln2=k·,∴k=2ln2.
∴y=.
经5小时，y===210=1
024.
∴选D.
答案：D
综合运用
11.某单位计划使某种产品的成本比上一年降低2%,则成本降低到原来的80%时,需经过_____
年.(用对数表示)
解析：设经x年后降低到原来的80%，
则（1-2%）x=80%，解得：x=log0.980.8.
答案：log0.980.8
12.某不法商人将彩电按原价提高40%,然后在广告中写上“大酬宾,八折优惠”,结果是每台彩电比原价多赚了270元,那么每台彩电原价是_______________元.
解析：设彩电原价为x元，则(x+40%x)×80%-x=270.解得x=2
250（元）.
答案：2
250
13.某化工厂生产某产品当年产量在150—250吨之内时,其年生产总成本y(万元)与年产量x(吨)之间关系可近似地表示为y=-30x+4
000,则年产量为_________吨时,每吨的平均成本最低.
解析：每吨的平均成本为：y=+-30=(x+)-30=(-)2+2×-30≥10.当且仅当=，即x=200
吨.
答案：200
14.人口的增长是当前世界上各国普遍关注的问题.我们经常在报刊上看到关于人口增长的预报,说到本世纪中叶,全世界(或某地区)人口将达到多少亿.你可能注意到不同的报刊对同一时间的人口预报在数字上有较大的区别.你知道他们是如何预测的吗 为什么会有较大的区别呢
早在1798年,英国经济学家马尔萨斯就提出自然状态下的人口增长模型y=y0·ert,其中t表示时间,y0表示t=0时的人口数,r表示人口的年平均增长率.
下面两个表格是我国两段时期的人口资料,试分别求出这两段时期的人口模型,并进行比较,解释为什么会不同,并预测2010年时我国人口总数.
甲
1950—1959
年份
1950
1951
1952
1953
1954
人数(万)
55
196
56
300
57
482
58
796
60
266
年份
1955
1956
1957
1958
1959
人数(万)
61
456
62
828
64
563
65
994
67
207
乙
1991—1998
年份
1991
1992
1993
1994
人数(万)
114
333
115
823
117
171
118
517
年份
1995
1996
1997
1998
人数(万)
119
850
121
121
122
389
123
626
解析:设1950—1959年的人口增长率分别为r1,r2,…,r9.由55
196(1+r1)=56
300,得r1≈0.020
0.
同理r2≈0.021
0,r3≈0.022
9,r4≈0.025
0,r5≈0.019
7,r6≈0.022
3,r7≈0.027
6,r8≈0.022
2,r9≈0.018
4.
于是，1950—1959年人口增长率为r=(r1+r2+…+r9)/9≈0.022
1.
∴1950—1959年的人口增长模型y1=55
196e0.022
1t(t∈N).
设1991—1998年人口增长率分别为s1,s2,…,s7,
由114
333(1+s1)=115
823得s1≈0.013
0.
同理s2≈0.011
6,s3≈0.011
5,s4≈0.011
2,s5≈0.010
6,s6≈0.010
5,s7≈0.010
1.
∴1991—1998年的人口年平均增长率为r=(s1+s2+…+s7)/7≈0.011
2.
∴1991—1998年的人口增长模型y2=114
333e0.011
2t,(t∈N).
后者的人口平均增长率明显小于前者,这正说明了我国的计划生育政策所起的作用.
若以模型一预测我国2010年人口数为y1=55
196·e0.022
1×60≈207
865.16(万人),
以模型二预测为y2=114
333·e0.011
2×19≈141
445.59(万人),
很明显应以1991—1998年的模型预测是合理的,到2010年我国人口预计可达14亿.
15.(利润问题)某种商品生产x吨时,所需费用为(x2+5x+100)元,而出售x吨时,每吨售价为p元,这里p=a+(a、b是常数).
(1)写出出售这种商品所获得的利润y元与售出这种商品的吨数x之间的函数关系式;
(2)如果生产出来的这种商品都能卖完,那么当产品是150吨时,所获利润最大,并且这时每吨价格是40元,求a、b.
解析：（1）y=(a+)x-(x2+5x+100)=(-)x2+(a-5)x-100;
（2）由题意得
解得
拓展探究
16.某电脑公司生产A种型号的家庭电脑，1995年平均每台电脑的生产成本为5
000元，并以纯利润20%标定出厂价（1996年初生产成本与1995年相同）.1996年开始，公司更新设备，大力推行技术创新，并加强企业管理，从而生产成本逐年降低.2000年平均每台A种型号的家庭电脑尽管出厂价仅为1995年出厂价的60%，但却实现了纯利润50%的高收益.
（1）求2000年每台电脑的生产成本；
（2）求以1995年生产成本为基数，1995年2000年生产成本平均每年降低的百分数（精确到0.01）.
解析：（1）由题意可知，1995年每台电脑的出厂价为5
000×（1+20%）=6
000（元），故2000年每台电脑的出厂价为6
000×60%=,3
600（元）.
设2000年每台电脑的生产成本为x元，则有x(1+50%)=3
600，解得x=2
400.
故2000年每台电脑的生产成本为2
400元.
（2）设1995年至2000年生产成本平均每年降低的百分数为x，则5
000（1-x）5=2
400，即（1-x）5=,用计算器可解得x≈0.14=14%.
故从1995年到2000年生产成本平均每年降低14%.
17.在英国，1961年时，一所新房子以3
500英磅的价格出售，而1981年，它却以34
000英磅的价格再出售.20年来，这所房子没有什么变化，但价格却上涨了.假定这20年来，价格膨胀率不变，那么这所房子的价格膨胀率是多少（忽略房子的折旧因素）？
另一方面，一加仑汽油，在1961的价格是33便士；而1983年，一加仑的价格却上涨到184便士.对房价与汽油价分别所反映的价格膨胀率进行比较，哪一个高？
又若上面的价格膨胀率一直保持到2010年不变，那么在2010年，房价和汽油价格将分别是多少？
解析：设初始价格为a，价格膨胀率为x%，第（n+1）年的价格为yn，则yn=a·（1+x%）n.
对于房屋价格有34
000=（1+x%）20×3
500，
解得x%≈12%.
对于汽油价格，有184=（1+x%）22×33，
解得x%≈8%.故房价的膨胀率高.
若按上面的价格膨胀率计算，到2010年：
房价为34
000×（1+12%）29≈909
498（英磅）；
汽油价为184×（1+8%）27≈1
470（便士）.
