第一章第一节集合第二课时
教学分析
课本从学生熟悉的集合(自然数的集合、有理数的集合等)出发，通过类比实数间的大小关系引入集合间的关系，同时，结合相关内容介绍子集等概念．在安排这部分内容时，课本注重体现逻辑思考的方法，如类比等．
值得注意的问题：在集合间的关系教学中，建议重视使用Venn图，这有助于学生通过体会直观图示来理解抽象概念；随着学习的深入，集合符号越来越多，建议教学时引导学生区分一些容易混淆的关系和符号，例如∈与 的区别．
三维目标
1．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，能判断给定集合间的关系，提高利用类比发现新结论的能力．
2．在具体情境中，了解空集的含义，掌握并能使用Venn图表达集合的关系，加强学生从具体到抽象的思维能力，树立数形结合的思想．
重点难点
教学重点：理解集合间包含与相等的含义．
教学难点：理解空集的含义．
课时安排
1课时
导入新课
思路1.实数有相等、大小关系，如5＝5,5<7,5>3等等，类比实数之间的关系，你会想到集合之间有什么关系呢？(让学生自由发言，教师不要急于作出判断，而是继续引导学生)欲知谁正确，让我们一起来观察、研探．
思路2.复习元素与集合的关系——属于与不属于的关系，填空：(1)0____N；(2)____Q；(3)－1.5____R.
类比实数的大小关系，如5<7,2≤2，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？
(答案：(1)∈；(2) ；(3)∈)
推进新课
(1)观察下面几个例子：
①A={1，2，3}，B={1，2，3，4，5}
②设A为国兴中学高一(3)班男生的全体组成的集合，B为这个班学生的全体组成的集合；
③设C＝{x|x是两条边相等的三角形}，D＝{x|x是等腰三角形}；
④E＝{2,4,6}，F＝{6,4,2}．
你能发现两个集合间有什么关系吗？
(2)例子①中集合A是集合B的子集，例子④中集合E是集合F的子集，同样是子集，有什么区别？
(3)结合例子④，类比实数中的结论：“若a≤b，且b≤a，则a＝b”，在集合中，你发现了什么结论？
(4)升国旗时，每个班的同学都聚集在一起站在旗杆附近指定的区域内，从楼顶向下看，每位同学是哪个班的，一目了然．试想一下，根据从楼顶向下看到的，要想直观表示集合，联想集合还能用什么表示？
(5)试用Venn图表示例子①中集合A和集合B.
(6)已知A B，试用Venn图表示集合A和B的关系．
(7)任何方程的解都能组成集合，那么x2＋1＝0的实数根也能组成集合，你能用Venn图表示这个集合吗？
(8)一座房子内没有任何东西，我们称为这座房子是空房子，那么一个集合没有任何元素，应该如何命名呢？
(9)与实数中的结论“若a≥b，且b≥c，则a≥c”相类比，在集合中，你能得出什么结论？
活动：教师从以下方面引导学生：
(1)观察两个集合间元素的特点．
(2)从它们含有的元素间的关系来考虑．规定：如果A B，但存在x∈B，且x A，我们称集合A是集合B的真子集，记作A?B(或B?A)．
(3)实数中的“≤”类比集合中的 .
(4)把指定位置看成是由封闭曲线围成的，学生看成集合中的元素，从楼顶看到的就是把集合中的元素放在封闭曲线内．教师指出：为了直观地表示集合间的关系，我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．
(5)封闭曲线可以是矩形也可以是椭圆等等，没有限制．
(6)分类讨论：当A B时，A?B或A＝B.
(7)方程x2＋1＝0没有实数解．
(8)空集记为 ，并规定：空集是任何集合的子集，即 A；空集是任何非空集合的真子集，即 ?A(A≠ )．
(9)类比子集．
讨论结果：(1)①集合A中的元素都在集合B中；②集合A中的元素都在集合B中；③集合C中的元素都在集合D中；④集合E中的元素都在集合F中．可以发现：对于任意两个集合A，B有下列关系：集合A中的元素都在集合B中；或集合B中的元素都在集合A中．
(2)例子①中A B，但有一个元素4∈B，且4 A；而例子④中集合E和集合F中的元素完全相同．
(3)若A B，且B A，则A＝B.
(4)可以把集合中元素写在一个封闭曲线的内部来表示集合．
(5)如图1所示表示集合A，如图2所示表示集合B.
图1
图2
(6)如图3和图4所示．
图3
图4
(7)不能．因为方程x2＋1＝0没有实数解．
(8)空集．
(9)若A B，B C，则A C；若A?B，B?C，则A?C.
思路1
例1
某工厂生产的产品在重量和长度上都合格时，该产品才合格．若用A表示合格产品的集合，B表示重量合格的产品的集合，C表示长度合格的产品的集合．已知集合A，B，C均不是空集．
(1)则下列包含关系哪些成立？
A B，B A，A C，C A.
(2)试用Venn图表示集合A，B，C间的关系．
活动：学生思考集合间的关系以及Venn图的表示形式．当集合A中的元素都属于集合B时，则A B成立，否则A B不成立．用相同的方法判断其他包含关系是否成立．教师提示学生注意以下两点：
(1)重量合格的产品不一定是合格产品，但合格的产品一定重量合格；
长度合格的产品不一定是合格产品，但合格的产品一定长度合格．
(2)根据集合A，B，C间的关系来画出Venn图．
解：(1)包含关系成立的有：A B，A C.
(2)集合A，B，C间的关系用Venn图表示，如图5所示．
图5
变式训练
课本本节练习，3.
点评：本题主要考查集合间的包含关系．其关键是首先明确两集合中的元素具体是什么．
判断两个集合A，B之间是否有包含关系的步骤是：先明确集合A，B中的元素，再分析集合A，B中的元素之间的关系，得：集合A中的元素都属于集合B时，有A B；当集合A中的元素都属于集合B，集合B中至少有一个元素不属于集合A时，有A?B；当集合A中的元素都属于集合B，并且集合B中的元素也都属于集合A时，有A＝B；当集合A中至少有一个元素不属于集合B，并且集合B中至少有一个元素也不属于集合A时，有AB，且BA，即集合A，B互不包含.
例2
写出集合{a，b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集．
活动：学生思考子集和真子集的定义，教师提示学生空集是任何集合的子集，一个集合不是其本身的真子集．按集合{a，b}的子集所含元素的个数分类讨论．
解：集合{a，b}的所有子集为 ，{a}，{b}，{a，b}．真子集为 ，{a}，{b}.
变式训练已知集合P＝{1,2}，那么满足Q P的集合Q的个数是( )A．4 B．3 C．2 D．1解析：集合P＝{1,2}含有2个元素，其子集有22＝4个，又集合Q P，所以集合Q有4个．答案：A
点评：本题主要考查子集和真子集的概念，以及分类讨论的思想．通常按子集中所含元素的个数来写出一个集合的所有子集，这样可以避免重复和遗漏．思考：集合A中含有n个元素，那么集合A有多少个子集？多少个真子集？解：当n＝0时，即空集的子集为 ，即子集的个数是1＝20；当n＝1时，即含有一个元素的集合如{a}的子集为 ，{a}，即子集的个数是2＝21；当n＝2时，即含有一个元素的集合如{a，b}的子集为 ，{a}，{b}，{a，b}，即子集的个数是4＝22.…
集合A中含有n个元素，那么集合A有2n个子集，由于一个集合不是其本身的真子集，所以集合A有(2n－1)个真子集.
思路2
例1
已知集合A＝{－1,3,2m－1}，集合B＝{3，m2}．若B A，则实数m＝________.
活动：先让学生思考B A的含义，根据B A，知集合B中的元素都属于集合A，由集合元素的互异性，列出方程求实数m的值．因为B A，所以3∈A，m2∈A.对m2的值分类讨论．
解析：∵B A，∴3∈A，m2∈A.∴m2＝－1(舍去)或m2＝2m－1.解得m＝1.∴m＝1.
答案：1
点评：本题主要考查集合和子集的概念，以及集合元素的互异性．本题容易出现m2＝3，其原因是忽视了集合元素的互异性．避免此类错误的方法是解得m的值后，再代入验证．
讨论两集合之间的关系时，通常依据相关的定义，观察这两个集合元素的关系，转化为解方程或解不等式.
变式训练已知集合M＝{x|2－x<0}，集合N＝{x|ax＝1}，若N?M，求实数a的取值范围．分析：集合N是关于x的方程ax＝1的解集，集合M＝{x|x>2}≠ ，由于N?M，则N＝ 或N≠ ，要对集合N是否为空集分类讨论．
解：由题意得M＝{x|x>2}≠ ，则N＝ 或N≠ .当N＝ 时，关于x的方程ax＝1无解，则有a＝0；当N≠ 时，关于x的方程ax＝1有解，则a≠0，此时x＝，又∵N?M，∴∈M.∴>2.∴0
例2
(1)分别写出下列集合的子集及其个数： ，{a}，{a，b}，{a，b，c}．
(2)由(1)你发现集合M中含有n个元素，则集合M有多少个子集？
活动：学生思考子集的含义，并试着写出子集．(1)按子集中所含元素的个数分类写出子集；(2)由(1)总结当n＝0，n＝1，n＝2，n＝3时子集的个数规律，归纳猜想出结论．
解：(1) 的子集有： ，即 有1个子集；
{a}的子集有： ，{a}，即{a}有2个子集；
{a，b}的子集有： ，{a}，{b}，{a，b}，即{a，b}有4个子集；
{a，b，c}的子集有： ，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，即{a，b，c}有8个子集．
(2)由(1)可得：当n＝0时，有1＝20个子集；
当n＝1时，集合M有2＝21个子集；
当n＝2时，集合M有4＝22个子集；
当n＝3时，集合M有8＝23个子集；
因此含有n个元素的集合M有2n个子集.
变式训练已知集合A?{2,3,7}，且A中至多有一个奇数，则这样的集合A有……( )A．3个 B．4个 C．5个 D．6个解析：对集合A所含元素的个数分类讨论．A＝ 或{2}或{3}或{7}或{2,3}或{2,7}共有6个．答案：D
点评：本题主要考查子集的概念以及分类讨论和归纳推理的能力．集合M中含有n个元素，则集合M有2n个子集，有2n－1个真子集，记住这个结论，可以提高解题速度．写一个集合的子集时，按子集中元素的个数来写不易发生重复和遗漏现象.
课本本节练习，1,2.
【补充练习】
本节课学习了：
①子集、真子集、空集、Venn图等概念；
②能判断存在子集关系的两个集合谁是谁的子集，进一步确定其是否是真子集；
③清楚两个集合包含关系的确定，主要靠其元素与集合关系来说明．
课本习题1.1，A组，5.
本节教学设计注重引导学生通过类比来获得新知，在实际教学中，要留给学生适当的思考时间，使学生自己通过类比得到正确结论．丰富学生的学习方式、改进学生的学习方法是高中数学课程追求的基本理念，学生的数学学习活动不能仅限于对概念、结论和技能的记忆、模仿和接受，独立思考、自主探索、合作交流、阅读自学等都应成为学生学习数学的重要方式．
[备选例题]
【例1】
下面的Venn图中反映的是四边形、梯形、平行四边形、菱形、正方形这五种几何图形之间的关系，问集合A，B，C，D，E分别是哪种图形的集合？
图6
思路分析：结合Venn图，利用平面几何中梯形、平行四边形、菱形、正方形的定义来确定．
解：梯形、平行四边形、菱形、正方形都是四边形，故A＝{四边形}；梯形不是平行四边形、菱形、正方形，而菱形、正方形是平行四边形，故B＝{梯形}，C＝{平行四边形}；正方形是菱形，故D＝{菱形}，E＝{正方形}，即A＝{四边形}，B＝{梯形}，C＝{平行四边形}，D＝{菱形}，E＝{正方形}．
【例2】
设集合A＝{x||x|2－3|x|＋2＝0}，B＝{x|(a－2)x＝2}，则满足B?A的a的值共有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
解析：由已知得A＝{x||x|＝1或|x|＝2}＝{－2，－1,1,2}，集合B是关于x的方程(a－2)x＝2的解集，∵B?A，∴B＝ 或B≠ .当B＝ 时，关于x的方程(a－2)x＝2无解，∴a－2＝0.∴a＝2.当B≠ 时，关于x的方程(a－2)x＝2的解x＝∈A，∴＝－2或＝－1或＝1或＝2.解得a＝1或0或4或3，综上所得，a的值共有5个．
答案：D
【例3】
集合A＝{x|0≤x<3且x∈N}的真子集的个数是( )
A．16
B．8
C．7
D．4
解析：A＝{x|0≤x<3且x∈N}＝{0,1,2}，则A的真子集有23－1＝7个．
答案：C
【例4】
已知集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|(x－1)(x－a)＝0}，试判断集合B是不是集合A的子集？是否存在实数a使A＝B成立？
思路分析：先在数轴上表示集合A，然后化简集合B，由集合元素的互异性，可知此时应考虑a的取值是否为1，要使集合B成为集合A的子集，集合B的元素在数轴上的对应点必须在集合A对应的线段上，从而确定字母a的分类标准．
解：当a＝1时，B＝{1}，所以B是A的子集；当13时，B不是A的子集．综上可知，当1≤a≤3时，B是A的子集．
由于集合B最多只有两个元素，而集合A有无数个元素，故不存在实数a，使B＝A.
点评：分类讨论思想，就是科学合理地划分类别，通过“各个击破”，再求整体解决(即先化整为零，再聚零为整)的策略思想．类别的划分必须满足互斥、无漏、最简的要求，探索划分的数量界限是分类讨论的关键．
[思考]
(1)空集中没有元素，怎么还是集合？(2)符号“∈”和“ ”有什么区别？
剖析：(1)疑点是总是对空集这个概念迷惑不解，并产生怀疑的想法．产生这种想法的原因是没有了解建立空集这个概念的背景，其突破方法是通过实例来体会．例如，根据集合元素的性质，方程的解能够组成集合，这个集合叫做方程的解集．对于＝0，x2＋4＝0等方程来说，它们的解集中没有元素．也就是说确实存在没有任何元素的集合，那么如何用数学符号来刻画没有元素的集合呢？为此引进了空集的概念，把不含任何元素的集合叫做空集．这就是建立空集这个概念的背景．由此看出，空集的概念是一个规定．又例如，不等式|x|<0的解集也是不含任何元素，就称不等式|x|<0的解集是空集．
(2)难点是经常把这两个符号混淆，其突破方法是准确把握这两个符号的含义及其应用范围，并加以对比．符号∈只能适用于元素与集合之间，其左边只能写元素，其右边只能写集合，说明左边的元素属于右边的集合，表示元素与集合之间的关系，如－1∈Z， Z；符号 只能适用于集合与集合之间，其左右两边都必须写集合，说明左边的集合是右边集合的子集，表示集合与集合之间的关系，如{1} {1,0}， {x|x<0}．第一章第一节集合第三课时
教学分析
课本从学生熟悉的集合出发，结合实例，通过类比实数加法运算引入集合间的运算，同时，结合相关内容介绍子集和全集等概念．在安排这部分内容时，课本继续注重体现逻辑思考的方法，如类比等．
值得注意的问题：在全集和补集的教学中，应注意利用图形的直观作用，帮助学生理解补集的概念，并能够用直观图进行求补集的运算．
三维目标
1．理解两个集合的并集与交集、全集的含义，掌握求两个简单集合的交集与并集的方法，会求给定子集的补集，感受集合作为一种语言，在表示数学内容时的简洁和准确，进一步提高类比的能力．
2．通过观察和类比，借助Venn图理解集合的基本运算．体会直观图示对理解抽象概念的作用，培养数形结合的思想．
重点难点
教学重点：交集与并集，全集与补集的概念．
教学难点：理解交集与并集的概念，以及符号之间的区别与联系．
课时安排
2课时
第1课时
作者：尚大志
导入新课
思路1.我们知道，实数有加法运算，两个实数可以相加，例如5＋3＝8.类比实数的加法运算，集合是否也可以“相加”呢？教师直接点出课题．
思路2.请同学们考察下列各个集合，你能说出集合C与集合A、B之间的关系吗？
(1)A＝{1,3,5}，B＝{2,4,6}，C＝{1,2,3,4,5,6}；
(2)A＝{x|x是有理数}，B＝{x|x是无理数}，C＝{x|x是实数}．
引导学生通过观察、类比、思考和交流，得出结论．教师强调集合也有运算，这就是我们本节课所要学习的内容．
思路3.(1)①如图1甲和乙所示，观察两个图的阴影部分，它们分别同集合A、集合B有什么关系？
图1
②观察集合A与B与集合C＝{1,2,3,4}之间的关系．
学生思考交流并回答，教师直接指出这就是本节课学习的课题：集合的基本运算．
(2)①已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，写出由集合A，B中的所有元素组成的集合C.
②已知集合A＝{x|x>1}，B＝{x|x<0}，在数轴上表示出集合A与B，并写出由集合A与B中的所有元素组成的集合C.
推进新课
(1)通过上述问题中集合A与B与集合C之间的关系，类比实数的加法运算，你发现了什么？
(2)用文字语言来叙述上述问题中，集合A与B与集合C之间的关系．
(3)用数学符号来叙述上述问题中，集合A与B与集合C之间的关系．
(4)试用Venn图表示A∪B＝C.
(5)请给出集合的并集定义．
(6)求集合的并集是集合间的一种运算，那么，集合间还有其他运算吗？
请同学们考察下面的问题，集合A与B与集合C之间有什么关系？
①A＝{2,4,6,8,10}，B＝{3,5,8,12}，C＝{8}；
②A＝{x|x是国兴中学2007年9月入学的高一年级女同学}，B＝{x|x是国兴中学2007年9月入学的高一年级男同学}，C＝{x|x是国兴中学2007年9月入学的高一年级同学}．
(7)类比集合的并集，请给出集合的交集定义？并分别用三种不同的语言形式来表达．
活动：先让学生思考或讨论问题，然后再回答，经教师提示、点拨，并对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路，主要引导学生发现集合的并集和交集运算并能用数学符号来刻画，用Venn图来表示．
讨论结果：(1)集合之间也可以相加，也可以进行运算，但是为了不和实数的运算相混淆，规定这种运算不叫集合的加法，而是叫做求集合的并集．集合C叫集合A与B的并集．记为A∪B＝C，读作A并B.
(2)所有属于集合A或属于集合B的元素组成了集合C.
(3)C＝{x|x∈A，或x∈B}．
(4)如图1所示．
(5)一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集．其含义用符号表示为A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}，用Venn图表示，如图1所示．
(6)集合之间还可以求它们的公共元素组成集合的运算，这种运算叫求集合的交集，记作A∩B，读作A交B.①A∩B＝C，②A∪B＝C.
(7)一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集．
其含义用符号表示为：
A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
用Venn图表示，如图2所示．
图2
例1
A＝{x|x<5}，B＝{x|x>0}，C＝{x|x≥10}，则A∩B，B∪C，A∩B∩C分别是什么？
活动：学生先思考集合中元素的特征，明确集合中的元素．将集合中元素利用数形结合在数轴上找到，那么运算结果寻求就易进行．这三个集合都是用描述法表示的数集，求集合的并集和交集的关键是找出它们的公共元素和所有元素．
解：因A＝{x|x<5}，B＝{x|x>0}，C＝{x|x≥10}，在数轴上表示，如图3所示，所以A∩B＝{x|00}，A∩B∩C＝ .
图3
点评：本题主要考查集合的交集和并集．求集合的并集和交集时，①明确集合中的元素；②依据并集和交集的含义，直接观察或借助于数轴或Venn图写出结果.
变式训练1．设A＝{x|x＝2n，n∈N
}，B＝{x|x＝2n，n∈N}，求A∩B，A∪B.
解：对任意m∈A，则有m＝2n＝2·2n－1，n∈N
，因n∈N
，故n－1∈N，有2n－1∈N，那么m∈B，即对任意m∈A有m∈B，所以A B.而10∈B但10 A，即A?B，那么A∩B＝A，A∪B＝B.2．求满足{1,2}∪B＝{1,2,3}的集合B的个数．
解：满足{1,2}∪B＝{1,2,3}的集合B一定含有元素3，B＝{3}；还可含1或2其中一个，有{1,3}，{2,3}；还可含1和2，即{1,2,3}，那么共有4个满足条件的集合B.3．设A＝{－4,2，a－1，a2}，B＝{9，a－5,1－a}，已知A∩B＝{9}，求a.解：因A∩B＝{9}，则9∈A，a－1＝9或a2＝9.∴a＝10或a＝±3.当a＝10时，a－5＝5,1－a＝－9；当a＝3时，a－1＝2不合题意；当a＝－3时，a－1＝－4不合题意．故a＝10.此时A＝{－4,2,9,100}，B＝{9,5，－9}，满足A∩B＝{9}．4．设集合A＝{x|2x＋1<3}，B＝{x|－3…
( )A．{x|－3 B．{x|1C．{x|x>－3}
D．{x|x<1}解析：集合A＝{x|2x＋1<3}＝{x|x<1}，观察或由数轴得A∩B＝{x|－3例2
设集合A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，a∈R}，若A∩B＝B，求a的值．
活动：明确集合A，B中的元素，教师和学生共同探讨满足A∩B＝B的集合A，B的关系．集合A是方程x2＋4x＝0的解组成的集合，可以发现，B A，通过分类讨论集合B是否为空集来求a的值．利用集合的表示法来认识集合A，B均是方程的解集，通过画Venn图发现集合A，B的关系，从数轴上分析求得a的值．
解：由题意得A＝{－4,0}．∵A∩B＝B，∴B A.∴B＝ 或B≠ .
当B＝ 时，即关于x的方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0无实数解，
则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，解得a<－1.
当B≠ 时，若集合B仅含有一个元素，则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，解得a＝－1，
此时，B＝{x|x2＝0}＝{0} A，即a＝－1符合题意．
若集合B含有两个元素，则这两个元素是－4,0，
即关于x的方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的解是－4,0.
则有
解得a＝1，则a＝1符合题意．
综上所得，a＝1或a≤－1.
变式训练1．已知非空集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|3≤x≤22}，则能使A (A∩B)成立的所有a值的集合是什么？解：由题意知A (A∩B)，即A B，A非空，利用数轴得解得6≤a≤9，即所有a值的集合是{a|6≤a≤9}．2．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，集合B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且A∪B＝A，试求实数m的取值范围．分析：由A∪B＝A得B A，则有B＝ 或B≠ ，因此对集合B分类讨论．解：∵A∪B＝A，∴B A.又∵A＝{x|－2≤x≤5}≠ ，∴B＝ ，或B≠ .当B＝ 时，有m＋1>2m－1，∴m<2.当B≠ 时，观察图4：图4由数轴可得解得2≤m≤3.综上所述，实数m的取值范围是m<2或2≤m≤3，即m≤3.
点评：本题主要考查集合的运算、分类讨论的思想，以及集合间关系的应用．已知两个集合的运算结果，求集合中参数的值时，由集合的运算结果确定它们的关系，通过深刻理解集合表示法的转换，把相关问题化归为其他常见的方程、不等式等数学问题．这称为数学的化归思想，是数学中的常用方法，学会应用化归和分类讨论的数学思想方法解决有关问题.
课本本节练习，1,2,3.
【补充练习】
本节主要学习了：
1．集合的交集和并集．
2．通常借助于数轴或Venn图来求交集和并集．
1．课外思考：对于集合的基本运算，你能得出哪些运算规律？
2．请你举出现实生活中的一个实例，并说明其并集、交集和补集的现实含义．
3．书面作业：课本习题1.1，A组，6,7,8.
由于本节课内容比较容易接受，也是历年高考的必考内容之一，所以在教学设计上注重加强练习和拓展课本内容．设计中通过借助于数轴或Venn图写出集合运算的结果，这是突破本节教学难点的有效方法．第一章第一节集合第四课时
导入新课
问题：①分别在整数范围和实数范围内解方程(x－3)(x－)＝0，其结果会相同吗？
②若集合A＝{x|0学生回答后，教师指明：在不同的范围内集合中的元素会有所不同，这个“范围”问题就是本节学习的内容，引出课题．
推进新课
①用列举法表示下列集合：
A＝{x∈Z| x－2 x＋ x－ ＝0；
B＝{x∈Q| x－2 x＋ x－ ＝0；
C＝{x∈R| x－2 x＋ x－ ＝0}.
②问题①中三个集合相等吗？为什么？
③由此看，解方程时要注意什么？
④问题①，集合Z，Q，R分别含有所解方程时所涉及的全部元素，这样的集合称为全集，请给出全集的定义．
⑤已知全集U＝{1,2,3}，A＝{1}，写出全集中不属于集合A的所有元素组成的集合B.
⑥请给出补集的定义．
⑦用Venn图表示 UA.
活动：组织学生充分讨论、交流，使学生明确集合中的元素，提示学生注意集合中元素的范围．
讨论结果：①A＝{2}，B＝{2，－}，C＝{2，－，}．
②不相等，因为三个集合中的元素不相同．
③解方程时，要注意方程的根在什么范围内，同一个方程，在不同的范围其解会有所不同．
④一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记为U.
⑤B＝{2,3}．
⑥对于一个集合A，全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集．
集合A相对于全集U的补集记为 UA，即 UA＝{x|x∈U，且x A}．
⑦如图6所示，阴影表示补集．
图6
思路1
例1设U＝{x|x是小于9的正整数}，A＝{1,2,3}，B＝{3,4,5,6}，求 UA， UB.
活动：让学生明确全集U中的元素，回顾补集的定义，用列举法表示全集U，依据补集的定义写出 UA， UB.
解：根据题意，可知U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，
所以 UA＝{4,5,6,7,8}； UB＝{1,2,7,8}．
点评：本题主要考查补集的概念和求法．用列举法表示的集合，依据补集的含义，直接观察写出集合运算的结果．
常见结论： U(A∩B)＝( UA)∪( UB)； U(A∪B)＝( UA)∩( UB).
变式训练1．已知集合U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,4,5,7}，B＝{3,4,5}，则( UA)∩( UB)等于( )
A．{1,6} B．{4,5}C．{2,3,4,5,7}
D．{1,2,3,6,7}解析：思路一：观察得( UA)∩( UB)＝{1,3,6}∩{1,2,6,7}＝{1,6}．思路二：A∪B＝{2,3,4,5,7}，则( UA)∩( UB)＝ U(A∪B)＝{1,6}．答案：A2．设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2,4}，B＝{2}，则A∩( UB)等于( )A．{1,2,3,4,5}
B．{1,4}
C．{1,2,4}
D．{3,5}答案：B3．设全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，P＝{1,2,3,4,5}，Q＝{3，4,5,6,7}，则P∩( UQ)等于( )A．{1,2}
B．{3,4,5}
C．{1,2,6,7}
D．{1,2,3,4,5}答案：A
例2设全集U＝{x|x是三角形}，A＝{x|x是锐角三角形}，B＝{x|x是钝角三角形}．求A∩B， U(A∪B)．
活动：学生思考三角形的分类和集合的交集、并集和补集的含义．结合交集、并集和补集的含义写出结果．A∩B是由集合A，B中公共元素组成的集合， U(A∪B)是全集中除去集合A∪B中剩下的元素组成的集合．
解：根据三角形的分类可知A∩B＝ ，
A∪B＝{x|x是锐角三角形或钝角三角形}，
U(A∪B)＝{x|x是直角三角形}.
变式训练1．已知集合A＝{x|3≤x<8}，求 RA.
解： RA＝{x|x<3或x≥8}．2．设S＝{x|x是至少有一组对边平行的四边形}，A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是矩形}，求B∩C， AB， SA.
解：B∩C＝{x|x是正方形}， AB＝{x|x是邻边不相等的平行四边形}， SA＝{x|x是梯形}．3．已知全集I＝R，集合A＝{x|x2＋ax＋12b＝0}，B＝{x|x2－ax＋b＝0}，满足( IA)∩B＝{2}，( IB)∩A＝{4}，求实数a，b的值．解：a＝，b＝－.4．设全集U＝R，A＝{x|x≤2＋}，B＝{3,4,5,6}，则( UA)∩B等于…( )A．{4} B．{4,5,6} C．{2,3,4} D．{1,2,3,4}解析：∵U＝R，A＝{x|x≤2＋}，∴ UA＝{x|x>2＋}．而4,5,6都大于2＋，∴( UA)∩B＝{4,5,6}．答案：B
思路2
例1已知全集U＝R，A＝{x|－2≤x≤4}，B＝{x|－3≤x≤3}，求：
(1) UA， UB；
(2)( UA)∪( UB)， U(A∩B)，由此你发现了什么结论？
(3)( UA)∩( UB)， U(A∪B)，由此你发现了什么结论？
活动：学生回想补集的含义，教师指导学生利用数轴来解决．依据补集的含义，借助于数轴求得．
解：在数轴上表示集合A，B，如图7所示，
图7
(1)由图得 UA＝{x|x<－2或x>4}， UB＝{x|x<－3或x>3}．
(2)由图得( UA)∪( UB)＝{x|x<－2或x>4}∪{x|x<－3或x>3}＝{x|x<－2或x>3}；∵A∩B＝{x|－2≤x≤4}∩{x|－3≤x≤3}＝{x|－2≤x≤3}，
∴ U(A∩B)＝ U{x|－2≤x≤3}＝{x|x<－2或x>3}．
∴得出结论 U(A∩B)＝( UA)∪( UB)．
(3)由图得( UA)∩( UB)＝{x|x<－2或x>4}∩{x|x<－3或x>3}＝{x|x<－3或x>4}；∵A∪B＝{x|－2≤x≤4}∪{x|－3≤x≤3}＝{x|－3≤x≤4}，∴ U(A∪B)＝ U{x|－3≤x≤4}＝{x|x<－3或x>4}．∴得出结论 U(A∪B)＝( UA)∩( UB).
变式训练1．已知集合U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,4,5,7}，B＝{3,4,5}，则( UA)∪( UB)等于( )A．{1,6}
B．{4,5}C．{1,2,3,4,5,7}
D．{1,2,3,6,7}答案：D2．设集合I＝{x||x|<3，x∈Z}，A＝{1,2}，B＝{－2，－1，2}，则A∪( IB)等于( )A．{1}
B．{1,2}
C．{2}
D．{0,1,2}答案：D
例2设全集U＝{x|x≤20，x∈N，x是质数}，A∩( UB)＝{3,5}，( UA)∩B＝{7,19}，( UA)∩( UB)＝{2,17}，求集合A，B.
活动：学生回顾集合的运算的含义，明确全集中的元素．利用列举法表示全集U，根据题中所给的条件，把集合中的元素填入相应的Venn图中即可．求集合A，B的关键是确定它们的元素，由于全集是U，则集合A，B中的元素均属于全集U，由于本题中的集合均是有限集并且元素的个数不多，可借助于Venn图来解决．
解：U＝{2,3,5,7,11,13,17,19}，
由题意借助于Venn图，如图8所示，
图8
∴A＝{3,5,11,13}，B＝{7,11,13,19}．
点评：本题主要考查集合的运算、Venn图以及推理能力．借助于Venn图分析集合的运算问题，使问题简捷地获得解决，将本来抽象的集合问题直观形象地表示出来，这正体现了数形结合思想的优越性.
变式训练1.
设I为全集，M，N，P都是它的子集，则图9中阴影部分表示的集合是( )图9A．M∩[( IN)∩P]
B．M∩(N∪P)C．[( IM)∩( IN)]∩P
D．M∩N∪(N∩P)
解析：思路一：阴影部分在集合M内部，排除C；阴影部分不在集合N内，排除B，D.思路二：阴影部分在集合M内部，即是M的子集，又阴影部分在P内不在集合N内，即在( IN)∩P内，所以阴影部分表示的集合是M∩[( IN)∩P]．答案：A2．设U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，( UA)∩B＝{3,7}，( UB)∩A＝{2,8}，( UA)∩( UB)＝{1,5,6}，则集合A＝________，B＝________.
解析：借助Venn图，如图10，把相关运算的结果表示出来，自然地就得出集合A，B了．图10答案：{2,4,8,9} {3,4,7,9}
课本本节练习，4.
【补充练习】
本节课学习了：
①全集和补集的概念和求法．
②常借助于数轴或Venn图进行集合的补集运算．
课本习题1.1，A组，9,10，B组，4.
本节教学设计注重渗透数形结合的思想方法，因此在教学过程中要重点指导学生借助于数轴或Venn图进行集合的补集运算．由于高考中集合常与以后学习的不等式等知识紧密结合，本节对此也予以体现，可以利用课余时间学习有关解不等式的知识．
[备选例题]
【例1】
已知A＝{y|y＝x2－4x＋6，x∈R，y∈N}，B＝{y|y＝－x2－2x＋7，x∈R，y∈N}，求A∩B，并分别用描述法、列举法表示它．
解：y＝x2－4x＋6＝(x－2)2＋2≥2，A＝{y|y≥2，y∈N}，
又∵y＝－x2－2x＋7＝－(x＋1)2＋8≤8，∴B＝{y|y≤8，y∈N}．
故A∩B＝{y|2≤y≤8}＝{2,3,4,5,6,7,8}．
【例2】
设S＝{(x，y)|xy>0}，T＝{(x，y)|x>0且y>0}，则( )
A．S∪T＝S
B．S∪T＝T
C．S∩T＝S
D．S∩T＝
解析：S＝{(x，y)|xy>0}＝{(x，y)|x>0且y>0，或x<0且y<0}，则T S，所以S∪T＝S.
答案：A
【例3】
某城镇有1
000户居民，其中有819户有彩电，有682户有空调，有535户彩电和空调都有，则彩电和空调至少有一种的有________户．
解析：设这1
000户居民组成集合U，其中有彩电的组成集合A，有空调的组成集合B，如图13所示．有彩电无空调的有819－535＝284(户)；有空调无彩电的有682－535＝147(户)，因此二者至少有一种的有284＋147＋535＝966(户)．填966.
图13
答案：966
差集与补集
有两个集合A，B，如果集合C是由所有属于A但不属于B的元素组成的集合，那么C就叫做A与B的差集，记作A－B(或A\\B)．
例如，A＝{a，b，c，d}，B＝{c，d，e，f}，C＝A－B＝{a，b}．
也可以用Venn图表示，如图14所示(阴影部分表示差集)．
图14
图15
特殊情况，如果集合B是集合I的子集，我们把I看作全集，那么I与B的差集I－B，叫做B在I中的补集，记作.
例如，I＝{1,2,3,4,5}，B＝{1,2,3}，＝I－B＝{4,5}．
也可以用Venn图表示，如图15所示(阴影部分表示补集)．
从集合的观点来看，非负整数的减法运算，就是已知两个不相交集合的并集的基数，以及其中一个集合的基数，求另一个集合的基数，也可以看作是求集合I与它的子集B的差集的基数．第一章第一节集合第一课时
通过本章的学习，使学生会使用最基本的集合语言表示有关的数学对象，并能在自然语言、图形语言、集合语言之间进行转换，体会用集合语言表达数学内容的简洁性、准确性，帮助学生学会用集合语言描述数学对象，发展学生运用数学语言进行交流的能力．通过本章的学习，使学生不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还会用集合与对应的语言刻画函数，为后续学习奠定基础．函数是高中数学的核心概念，本章把函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型来学习，强调结合实际问题，使学生感受运用函数概念建立模型的过程与方法，从而发展学生对变量数学的认识，培养学生的抽象概括能力，提高学生应用数学的意识．
课本力求紧密结合学生的生活经验和已有数学知识，通过列举丰富的实例，强调从实例出发，让学生对集合和函数概念有充分的感性认知基础，再用集合与对应语言抽象出函数概念．课本突出了集合和函数概念的背景教学，这样比较符合学生的认识规律．教学中要高度重视数学概念的背景教学．课本尽量创设使学生运用集合语言和数学符号进行表达和交流的情境和机会，并注意运用Venn图表达集合的关系及运算，用图象表示函数，帮助学生借助直观图示认识抽象概念．课本在例题、习题的教学中注重运用集合和函数的观点研究、处理数学问题，这一观点，一直贯穿到以后的数学学习中．在例题和习题的编排中，渗透了分类讨论思想，让学生体会到分类讨论思想在生活中和数学中的广泛运用，这是学生在初中阶段所缺少的．函数的表示是本章的主要内容之一，课本重视采用不同的表示法(列表法、图象法、分析法)，目的是丰富学生对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念．在教学中，既要充分发挥图象的直观作用，又要适当地引导学生从代数的角度研究图象，使学生深刻体会数形结合这一重要数学方法．课本将函数推广到了映射，体现了由特殊到一般的思维规律，有利于学生对函数概念学习的连续性．
在教学中，要坚持循序渐进，逐步渗透数形结合、分类讨论这方面的训练．对函数的三要素着重从函数的实质上要求理解，而对定义域、值域的繁难计算，特别是人为的过于技巧化的训练不作提倡，要准确把握这方面的要求，防止拔高教学．重视函数与信息技术整合的要求，通过电脑绘制简单函数动态图象，使学生初步感受到信息技术在函数学习中的重要作用．为了体现课本的选择性，在练习题安排上加大了弹性，教师应根据学生实际情况，合理地取舍．
本章教学时间约需14课时，具体分配如下(仅供参考)：
1.1.1
集合的含义与表示
约1课时
1.1.2
集合间的基本关系
约1课时
1.1.3
集合的基本运算
约2课时
1.2.1
函数的概念
约2课时
1.2.2
函数的表示法
约3课时
1.3.1
单调性与最大(小)值
约2课时
1.3.2
奇偶性
约1课时
实习作业
约1课时
本章复习
约1课时
教学分析
集合语言是现代数学的基本语言，同时也是一种抽象的数学语言．教材将集合的初步知识作为初、高中数学课程的衔接，既体现出集合在高中数学课程中举足轻重的作用，又体现出集合在数学中的奠基性地位．
课本除了从学生熟悉的集合(自然数的集合、有理数的集合等)出发，结合实例给出元素、集合的含义、性质、表示方法之外，还特别注意渗透了“概括”与“类比”这两种常用的逻辑思考方法．因此，建议教学时，应引导学生从大量的实例中概括出集合的含义；多创设让学生运用集合语言进行表达和交流的情境和机会，以便学生在实际应用中逐渐熟悉自然语言、集合语言和图形语言各自的特点和表示方法，能进行相互转换并且灵活应用，充分掌握集合语言．与此同时，本小节作为高一数学教学的第一节新授课，知识体系中的新概念、新符号较多，建议教学时先引导学生阅读课本，然后进行交流、讨论，让学生在阅读与交流中理解概念并熟悉新符号的使用．这样，既能够培养学生自我阅读、共同探究的能力，又能提高学生主动学习、合作交流的精神．
三维目标
1．了解集合含义；理解元素与集合“属于”关系；熟记常用数集专用符号．
2．深刻理解集合元素的确定性、互异性、无序性；能够用其解决有关问题．
3．能选择不同的形式表示具体的问题中的集合．
重点难点
教学重点：集合的基本概念与表示方法．
教学难点：选择适当的方法表示具体问题中的集合．
课时安排
1课时
导入新课
思路1.集合对我们来说可谓是“最熟悉的陌生人”．说它熟悉，是因为我们在现实生活中常常用到“集合”这个名词；比如说，军训的时候，教官是不是经常喊：“高一(4)班的同学，集合啦！”那么说它陌生，是因为我们还未从数学的角度理解集合，从数学的层面挖掘集合的内涵．那么，在数学的领域中，集合究竟是什么呢？集合又有着怎样的含义呢？就让我们通过今天这堂课的学习，一起揭开“集合”神秘的面纱．
思路2.你经常会谈论你的家庭，你的班级．其实在讲到你的家庭、班级的时候，你必定在联想构成家庭、班级的成员，例如：家庭成员就是被你称为父亲、母亲、哥哥、姐姐、妹妹、弟弟……的人；班级成员就是与你在同一个教室里一起上课、一起学习的人；一些具有特定属性的人构成的群体，在数学上就是一个集合．那么，在数学中，一些对象的总体怎样才可以构成集合、集合中的元素有哪些特性？集合又有哪些表示方法呢？
这就是本节课我们所要学习的内容．
思路3.“同学们，在小学和初中的学习过程中，我们已经接触过一些集合的例子，比如说：有理数集合，到一个定点的距离等于定长的点的集合(圆)，那么大家是否能够举出更多关于集合的例子呢？”(通过两个简单的例子，引导大家进行类比，运用发散性思维思考说出更多的关于集合的实例，然后教师予以点评．)
“那么，集合的含义究竟是什么？它又该如何表示呢？这就是我们今天要研究的课题．”
推进新课
①中国有许多传统的佳节，那么这些传统的节日是否能构成一个集合 如果能，这个集合由什么组成
②全体自然数能否构成一个集合 如果能，这个集合由什么组成
③方程x2-3x+2=0的所有实数根能否构成一个集合 如果能，这个集合由什么组成
④你能否根据上述几个问题总结出集合的含义
讨论结果：①能．这个集合由春节、元宵节、端午节等有限个种类的节日组成，称为有限集．
②能．这个集合由0、1、2、3、……等无限个元素组成，称为无限集．
③能．这个集合由1、2两个数组成．
④我们把研究对象统称为“元素”，把一些元素组成的总体叫做“集合”．
通过以上的学习我们已经知道集合是由一些元素组成的总体，那么是否所有的元素都能构成集合呢 请看下面几个问题
①近视超过300度的同学能否构成一个集合
②“眼神很差”的同学能否构成一个集合
③比较问题①②，说明集合中的元素具有什么性质
④我们知道冬虫夏草既是一种植物，又是一种动物那么在所有动植物构成的集合中，冬虫夏草出现的次数是一次呢还是两次
⑤组成英文单词every的字母构成的集合含有几个元素 分别是什么
⑥问题④⑤说明集合中的元素具有什么性质
⑦在玩斗地主的时候，我们都知道3、4、5、6、7是一个顺子，那比如说老师出牌的时候把这五张牌的顺序摆成了5、3、6、7、4，那么这还是一个顺子么 类比集合中的元素，一个集合中的元素是3、4、5、6、7，另外一个集合中的元素是5、3、6、7、4，这两个集合中的元素相同么 集合相同吗 这体现了集合中的元素的什么性质
讨论结果：①能．
②不能．
③确定性．问题②对“眼神很差”的同学没有一个确定的标准，到底怎样才算眼神差，是近视300度？400度？还是说“眼神很差”只是寓意？我们不得而知．因此通过问题①②我们了解到，对于给定的集合，它的元素必须是确定的，即任何一个元素要么在这个集合中，要么不在这个集合中，这就是集合中元素的确定性．
④一次．
⑤4个元素．e、v、r、y这四个字母．
⑥互异性．一个集合中的元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素不能重复出现．
⑦是．元素相同．集合相同．体现集合中元素的无序性，即集合中的元素的排列是没有顺序的．只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的．
①如果用A表示所有的自然数构成的集合，B表示所有的有理数构成的集合，a=1.58，那么元素“和集合A、B分别有着怎样的关系
②大家能否从问题①中总结出元素与集合的关系
③A表示“1～20内的所有质数”组成的集合，那么3________A，4________A.
讨论结果：①a是集合B中的元素，a不是集合A中的元素．
②a是集合B中的元素，就说a属于集合B，记作a∈B；a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a A.因此元素与集合的关系有两种，即属于和不属于．
③3∈A,4 A.
①从这堂课的开始到现在，你们注意到了我用了几种方法表示集合？
②字母表示法中有哪些专用符号？
③除了自然语言法和字母表示法之外，课本还为我们提供了几种集合的表示方法？分别是什么？
④列举法的含义是什么？你能否运用列举法表示一些集合？请举例!
⑤能用列举法把下列集合表示出来吗？
(ⅰ)小于10的质数；
(ⅱ)不等式x-2>5的解集.
⑥描述法的含义是什么？你能否运用描述法表示一些集合？请举例!
⑦集合的表示方法共有几种？
讨论结果：①两种，自然语言法和字母表示法．
②非负整数集(或自然数集)，记作N；
除0的非负整数集，也称正整数集，记作N
或N＋；
整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R.
③两种，列举法与描述法．
④把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法．例如“地球上的四大洋”组成的集合可以用列举法表示为{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}，方程x2－3x＋2＝0的所有实数根组成的集合可以用列举法表示为{1,2}．
⑤“小于10的质数”可以用列举法表示出来；“不等式x－2>5的解集”不能够用列举法表示出来，因为这个集合是一个无限集．因此，当集合是无限集或者其元素数量较多而不便于无一遗漏地列举出来的时候，如果我们再用列举法来表示集合就显得不够简洁明了．
⑥用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法．具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．例如，不等式x－2>5的解集可以表示为{x∈R|x>7}；所有的正方形的集合可以表示为{x|x是正方形}，也可写成{正方形}．
⑦自然语言法、字母表示法、列举法、描述法．
例1下列所给对象不能构成集合的是__________．
(1)高一数学课本中所有的难题；
(2)某一班级16岁以下的学生；
(3)某中学的大个子；
(4)某学校身高超过1.80米的学生．
活动探究：教师首先引导学生通过读题、审题，了解本题考查的基本知识点——集合中元素的确定性；然后指导学生对4个选项进行逐一判断；判断所给元素是否能构成集合，关键是看是否满足集合元素的确定性．
解析：(1)不能构成集合．“难题”的概念是模糊的，不确定的，无明确的标准，对于一道数学题是否是“难题”无法客观地判断．实际上一道数学题是“难者不会，会者不难”，因而“高一数学课本中所有的难题”不能构成集合．
(2)能构成集合，其中的元素是某班级16岁以下的学生．
(3)因为未规定大个子的标准，所以(3)不能组成集合．
(4)由于(4)中的对象具备确定性，因此，能构成集合．
答案：(1)(3)
变式训练1．下列几组对象可以构成集合的是( )A．充分接近π的实数的全体B．善良的人C．某校高一所有聪明的同学D．某单位所有身高在1.7
m以上的人答案：D2．已知集合S的三个元素a、b、c是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是( )A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形
D．等腰三角形答案：D3．由a2,2－a,4组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是( )A．1
B．－2
C．6
D．2答案：C点评：本题主要考查集合元素的性质．当所描述的对象明确的时候就能构成集合，若元素不明确就不能构成集合，称为元素的确定性；同时，一个集合中的元素是互不相同的，称为元素的互异性；此外还要注意元素的无序性.
例2
用列举法表示下列集合：
(1)小于10的所有自然数组成的集合；
(2)方程x2＝x的所有实数根组成的集合；
(3)由1～20以内的所有质数组成的集合．
活动探究：讲解例2的过程中，可以设计如下问题引导学生：
针对例2(1)：①自然数中是否含有0？②小于10的自然数有哪些？③如何用列举法表示小于10的所有自然数组成的集合？
针对例2(2)：①解一元二次方程的方法有哪些？分别是什么？②方程x2＝x的解是什么？③如何用列举法表示方程x2＝x的所有实数根组成的集合？
针对例2(3)：①如何判断一个数是否为质数(即质数的定义是什么)？②1～20以内的质数有哪些？③如何用列举法表示由1～20以内的所有质数组成的集合？
在用列举法表示集合的过程中，应让学生先明确集合中的元素，再把元素写入“{ }”内，并用逗号隔开．
解：(1)小于10的自然数有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么A＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}；
(2)方程x2＝x的两个实根为x1＝0、x2＝1，设方程x2＝x的所有实数根组成的集合为B，那么B＝{0,1}；
(3)1～20以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19，设由1～20以内的所有质数组成的集合为C，那么C＝{2,3,5,7,11,13,17,19}．
点评：本题主要考查了集合表示法中的列举法，通过本题的教学可以体会利用集合表示教学内容的严谨性和简洁性.
变式训练1．用列举法表示下列集合：(1)一年之中的四个季节组成的集合；(2)满足不等式1＜1＋2x＜19的素数组成的集合．答案：(1){春季，夏季，秋季，冬季}；(2){2,3,5,7}．2．已知集合A＝{x∈N|∈N}，试用列举法表示集合A.
解：由题意可知6－x是8的正约数，当6－x＝1时，x＝5；当6－x＝2时，x＝4；当6－x＝4时，x＝2；当6－x＝8时，x＝－2；而x≥0，∴x＝2,4,5，即A＝{2,4,5}．点评：变式训练1主要对列举法进行了考查；变式训练2考查了两个方面的知识点，一是元素与集合的关系，二是列举法的应用，体现了对知识综合应用的能力.
例3
试分别用列举法和描述法表示下列集合：
(1)方程x2－2＝0的所有实数根组成的集合；
(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合．
活动探究：讲解例3的过程中，可以设计如下问题引导学生：
针对例3(1)——列举法
①方程x2－2＝0的解是什么？
②如何用列举法表示方程x2－2＝0的所有实数根组成的集合？
针对例3(1)——描述法
①描述法的定义是什么？
②所求集合中元素有几个共同特征？分别是什么？
③如何用描述法表示所求集合？
针对例3(2)——列举法
①大于10小于20的所有整数有哪些？
②由大于10小于20的所有整数组成的集合用列举法如何表示？
针对例3(2)——描述法
①所求集合中元素有几个共同特征？分别是什么？
②如何用描述法表示所求集合？
解：(1)设方程x2－2＝0的实数根为x，并且满足x2－2＝0，因此，用描述法表示为A＝{x∈R|x2－2＝0}；方程x2－2＝0的两个实根为x1＝－、x2＝，因此，用列举法表示为A＝{－，}．
(2)设大于10小于20的整数为x，它满足条件x∈Z且10点评：例2和例3是通过“问题引导”的方式，使学生逐步逼近答案的过程．在此过程中，既帮助学生理清了解答问题的基本思路，又使得列举法和描述法在实例中得到进一步的巩固.
变式训练用适当的方法表示下列集合：(1)Welcome中的所有字母组成的集合；(2)由所有小于20的既是奇数又是质数的正整数组成的集合；(3)由所有非负偶数组成的集合；(4)直角坐标系内第三象限的点组成的集合；(5)不等式2x－3>2的解集．解：(1)列举法：{W，e，l，c，o，m}；(2)列举法：{3,5,7,11,13,17,19}；(3)描述法：{x|x＝2n，n∈N}；(4)描述法：{(x，y)|x<0且y<0}；(5)描述法：{x|x>2.5}.
课后练习1、2.
【补充练习】
本节学习了：(1)集合的含义；(2)集合中元素的性质；(3)元素与集合的关系；(4)集合的表示方法．
习题1.1A组3、4
本节教学设计是以数学课程标准的要求为指导，结合生活中的一些实例，重视引导学生积极思考，主动参与到教学中，体现了学生的主体地位．同时结合高考的要求适当拓展了教材，使学生的发散性思维得到拓展，最大限度地挖掘了学生的学习潜力，真正做到了对教材的“活学活用”．
集合论的诞生
集合论是德国著名数学家康托尔于19世纪末创立的.17世纪，数学中出现了一门新的分支：微积分．在之后的一二百年中这一崭新学科获得了飞速发展并结出了丰硕成果．其推进速度之快使人来不及检查和巩固它的理论基础.19世纪初，许多迫切问题得到解决后，出现了一场重建数学基础的运动．正是在这场运动中，康托尔开始探讨了前人从未碰过的实数点集，这是集合论研究的开端．到1874年康托尔开始一般地提出“集合”的概念．他对集合所下的定义是：把若干确定的有区别的(不论是具体的或抽象的)事物合并起来，看作一个整体，就称为一个集合，其中各事物称为该集合的元素．人们把康托尔于1873年12月7日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那一天定为集合论诞生日．
康托尔把无穷集这一词汇引入数学．对无穷集的研究使他打开了“无限”这一数学上的潘多拉盒子．“我们把全体自然数组成的集合简称作自然数集，用字母N来表示．”学过集合的所有人应该对这句话不会感到陌生．但在接受这句话时我们根本无法想到当年康托尔如此做时是在进行一项更新无穷观念的工作．在此以前数学家们只是把无限看作永远在延伸着的，一种变化着成长着的东西来解释．无限永远处在构造中，永远完成不了，是潜在的，而不是实在．这种关于无穷的观念在数学上被称为潜无限.18世纪数学王子高斯就持这种观点．由于潜无限思想在微积分的基础重建中已经获得了全面胜利，康托尔的实无限思想在当时遭到一些数学家的批评与攻击是不足为怪的．然而康托尔并未就此止步，他以前所未有的方式，继续正面探讨无穷．他提出用一一对应准则来比较无穷集元素的个数．他把元素间能建立一一对应的集合称为个数相同，用他自己的概念是等势．由于一个无穷集可以与它的真子集建立一一对应关系——也就是说无穷集可以与它的真子集等势，即具有相同的个数．这与传统观念“全体大于部分”相矛盾．而康托尔认为这恰恰是无穷集的特征．在此意义上，自然数集与正偶数集具有了相同的个数，他将其称为可数集．又可容易地证明有理数集与自然数集等势，因而有理数集也是可数集．后来当他又证明了实数集合也是可数集时，一个很自然的想法是无穷集是清一色的，都是可数集．但出乎意料的是，他在1873年证明了实数集的势大于自然数集．有人嘲笑集合论是一种“疾病”，有人嘲讽超限数是“雾中之雾”，称“康托尔走进了超限数的地狱”．
然而集合论前后经历二十余年，最终获得了世界公认．在1900年第二次国际数学家大会上，著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣布“……数学已被算术化了．从康托尔提出集合论至今，时间已经过去了一百多年，在这一段时间里，数学又发生了极其巨大的变化，包括对上述经典集合论作出进一步发展的模糊集合论的出现等等．而这一切都是与康托尔的开拓性工作分不开的．因而当现在回头去看康托尔的贡献时，我们仍然可以引用当时著名数学家对他的集合论的评价作为我们的总结．“它是对无限最深刻的洞察，它是数学天才的最优秀作品，是人类纯智力活动的最高成就之一．康托尔的无穷集合论是过去两千五百年中对数学的最令人不安的独创性贡献．”