第一章第二节函数及其表示第三课时
导入新课
思路1.当x>1时，f(x)＝x＋1；当x≤1时，f(x)＝－x，请写出函数f(x)的解析式．这个函数的解析式有什么特点？教师指出本节课题．
思路2.化简函数y＝|x|的解析式，说说此函数解析式的特点，教师指出本节课题．
推进新课
①函数h(x)＝与f(x)＝x－1，g(x)＝x2在解析式上有什么区别？
②请举出几个分段函数的例子．
活动：学生讨论交流函数解析式的区别．所谓“分段函数”，习惯上指在定义域的不同部分，有不同对应法则的函数．
讨论结果：①函数h(x)是分段函数，在定义域的不同部分，其解析式不同．说明：分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集；生活中有很多可以用分段函数描述的实际问题，如出租车的计费、个人所得税纳税额等等．
②例如：y＝等．
例1画出函数y＝|x|的图象．
活动：学生思考函数图象的画法：①化简函数的解析式为基本初等函数；②利用变换法画出图象，根据绝对值的概念来化简解析式．
解法一：由绝对值的概念，我们有y＝
所以，函数y＝|x|的图象如图7所示．
图7
解法二：画函数y＝x的图象，将其位于x轴下方的部分对称到x轴上方，与函数y＝x的图象位于x轴上方的部分合起来得函数y＝|x|的图象如图7所示．
点评：函数y＝f(x)的图象位于x轴上方的部分和y＝|f(x)|的图象相同，函数y＝f(x)的图象位于x轴下方的部分对称到上方就是函数y＝|f(x)|的图象的一部分．利用函数y＝f(x)的图象和函数y＝|f(x)|的图象的这种关系，由函数y＝f(x)的图象画出函数y＝|f(x)|的图象.
变式训练1．已知函数y＝(1)求f{f[f(5)]}的值；(2)画出函数的图象．
分析：本题主要考查分段函数及其图象．f(x)是分段函数，要求f{f[f(5)]}，需要确定f[f(5)]的取值范围，为此又需确定f(5)的取值范围，然后根据所在定义域代入相应的解析式，逐步求解．画出函数在各段上的图象，再合起来就是分段函数的图象．
解：(1)∵5>4，∴f(5)＝－5＋2＝－3.∵－3<0，∴f[f(5)]＝f(－3)＝－3＋4＝1.∵0<1<4，∴f{f[f(5)]}＝f(1)＝12－2×1＝－1，即f{f[f(5)]}＝－1.(2)图象如图8所示：图82．课本本节练习3.3．画出函数y＝的图象． 步骤：①画整个二次函数y＝(x＋1)2的图象，再取其在区间(－∞，0]上的图象，其他部分删去不要；②画一次函数y＝－x的图象，再取其在区间(0，＋∞)上的图象，其他部分删去不要；③这两部分合起来就是所要画的分段函数的图象．如图9所示．图9
例2某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：
(1)乘坐汽车5千米以内(含5千米)，票价2元；
(2)5千米以上，每增加5千米，票价增加1元(不足5千米按5千米计算)，
如果某条线路的总里程为20千米，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．
活动：学生讨论交流题目的条件，弄清题意．本例是一个实际问题，有具体的实际意义，根据实际情况公共汽车到站才能停车，所以行车里程只能取整数值．由于里程在不同的范围内，票价有不同的计算方法，故此函数是分段函数．
解：设里程为x千米时，票价为y元，根据题意得x∈(0,20]．
由“招手即停”公共汽车票价制定的规定，可得到以下函数解析式：
根据这个函数解析式，可画出函数图象，如图10所示．
图10
点评：本题主要考查分段函数的实际应用，以及应用函数解决问题的能力．生活中有很多可以用分段函数描述的实际问题，如出租车的计费、个人所得税纳税额等等．在列出其解析式时，要充分考虑实际问题的规定，根据规定来求得解析式．
注意：
①本例具有实际背景，所以解题时应考虑其实际意义；
②分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写成函数值不同的几种表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况.
变式训练某客运公司确定车票价格的方法是：如果行程不超过100千米，票价是每千米0.5元，如果超过100千米，超过部分按每千米0.4元定价，则客运票价y(元)与行程x(千米)之间的函数关系式是________．解析：根据行程是否大于100千米来求出解析式．答案：y＝
1．函数f(x)＝|x－1|的图象是( )
图11
解析：方法一：函数的解析式化为y＝画出此分段函数的图象，故选B.
方法二：将函数f(x)＝x－1位于x轴下方部分沿x轴翻折到x轴上方，与f(x)＝x－1位于x轴上方部分合起来，即可得到函数f(x)＝|x－1|的图象，故选B.
方法三：由f(－1)＝2，知图象过点(－1,2)，排除A，C，D，故选B.
答案：B
2．已知函数f(x)＝
(1)画出函数的图象；
(2)求f(1)，f(－1)，f[f(－1)]的值．
解：分别作出f(x)在x>0，x＝0，x<0上的图象，合在一起得函数的图象．
(1)如图12所示，画法略．
图12
(2)f(1)＝12＝1，f(－1)＝－＝1，f[f(－1)]＝f(1)＝1.
3．某人驱车以52千米/时的速度从A地驶往260千米远处的B地，到达B地并停留1.5小时后，再以65千米/时的速度返回A地．试将此人驱车走过的路程s(千米)表示为时间t的函数．
分析：本题中的函数是分段函数，要由时间t属于哪个时间段，得到相应的解析式．
解：从A地到B地，路上的时间为＝5(小时)；从B地回到A地，路上的时间为＝4(小时)．所以走过的路程s(千米)与时间t的函数关系式为
s＝
问题：已知函数f(x)满足f(1)＝1，f(n＋1)＝f(n)＋2，n∈N
.
(1)求：f(2)，f(3)，f(4)，f(5)；
(2)猜想f(n)，n∈N
.
探究：(1)由题意得f(1)＝1，则有
f(2)＝f(1)＋2＝1＋2＝3，
f(3)＝f(2)＋2＝3＋2＝5，
f(4)＝f(3)＋2＝5＋2＝7，
f(5)＝f(4)＋2＝7＋2＝9.
(2)由(1)得
f(1)＝1＝2×1－1，
f(2)＝3＝2×2－1，
f(3)＝5＝2×3－1，
f(4)＝7＝2×4－1，
f(5)＝9＝2×5－1.
因此猜想f(n)＝2n－1，n∈N
.
本节课学习了：画分段函数的图象；求分段函数的解析式以及分段函数的实际应用．
课本习题1.2B组3、4.
本节教学设计容量较大，特别是例题涉及图象，建议使用信息技术来完成．本节重点为分段函数，这是课标明确要求也是高考的重点，通过分段函数问题能够区分学生的思维层次，因此教学中应予以重视．第一章第二节函数及其表示第四课时
导入新课
思路1.复习初中常见的对应关系
1．对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的点P和它对应．
2．对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序实数对(x，y)和它对应．
3．对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应．
4．某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应．
5．函数的概念．
我们已经知道，函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种对应就叫映射(板书课题)．
思路2.前面学习了函数的概念是：一般地，设A，B是两个非空数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应．
(1)对于任意一个实数，在数轴上都有唯一的点与之对应．
(2)班级里的每一位同学在教室里都有唯一的座位与之对应．
(3)对于任意的三角形，都有唯一确定的面积与之对应．
那么这些对应又有什么特点呢？
这种对应称为映射，引出课题．
推进新课
①给出以下对应关系：
图13
这三个对应关系有什么共同特点？
②像问题①中的对应我们称为映射，请给出映射的定义？
③“都有唯一”是什么意思？
④函数与映射有什么关系？
讨论结果：①集合A，B均为非空集合，并且集合A中的元素在集合B中都有唯一的元素与之对应．
②一般地，设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射，记作“f：A→B”．
如果集合A中的元素x对应集合B中的元素y，那么集合A中的元素x叫集合B中元素y的原象，集合B中元素y叫集合A中的元素x的象．
③包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思，即是一对一或多对一．
④函数是特殊的映射，映射是函数的推广．
例题
下列哪些对应是从集合A到集合B的映射？
(1)A＝{P|P是数轴上的点}，B＝R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；
(2)A＝{P|P是平面直角坐标系中的点}，B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；
(3)A＝{三角形}，B＝{x|x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；
(4)A＝{x|x是新华中学的班级}，B＝{x|x是新华中学的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生．
活动：学生思考映射的定义．判断一个对应是否是映射，要紧扣映射的定义．
(1)中数轴上的点对应着唯一的实数；
(2)中平面直角坐标系中的点对应着唯一的有序实数对；
(3)中每一个三角形都有唯一的内切圆；
(4)中新华中学的每个班级对应其班内的多个学生．
解：(1)是映射；(2)是映射；(3)是映射；
(4)不是映射．新华中学的每个班级对应其班内的多个学生，是一对多，不符合映射的定义.
变式训练1．图14(1)，(2)，(3)用箭头所标明的A中元素与B中元素的对应法则，是不是映射？图14答案：(1)不是；(2)是；(3)是．2．在图15中的映射中，A中元素60°对应的元素是什么？在A中的什么元素与B中元素对应？图15答案：A中元素60°对应的元素是，在A中的元素45°与B中元素对应.
1．下列对应是从集合S到T的映射的是( )
A．S＝N，T＝{－1,1}，对应法则是(－1)n，n∈S
B．S＝{0,1,4,9}，T＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}，对应法则是开平方
C．S＝{0,1,2,5}，T＝{1，，}，对应法则是取倒数
D．S＝{x|x∈R}，T＝{y|y∈R}，对应法则是x→y＝
解析：判断映射的方法简单地说应考虑A中的元素是否都可以受对应法则f的作用，作用的结果是否一定在B中，作用的结果是否唯一这三个方面．很明显A符合定义；B是一对多的对应；C中集合S中的元素0没有象；D中集合S中的元素1也无象．
答案：A
2．已知集合M＝{x|0≤x≤6}，P＝{y|0≤y≤3}，则下列对应关系中不能看作从M到P的映射的是( )
A．f：x→y＝x
B．f：x→y＝x
C．f：x→y＝x
D．f：x→y＝x
解析：选项C中，集合M中部分元素没有象，其他均是映射．
答案：C
3．已知集合A＝N
，B＝{a|a＝2n－1，n∈Z}，映射f：A→B，使A中任一元素a与B中元素2a－1对应，则与B中元素17对应的A中元素是( )
A．3
B．5
C．17
D．9
解析：利用对应法则转化为解方程．由题意得2a－1＝17，解得a＝9.
答案：D
4．若映射f：A→B的象的集合是Y，原象的集合是X，则X与A的关系是________；Y与B的关系是________．
解析：根据映射的定义，可知集合A中的元素必有象且唯一；集合B中的元素在集合A中不一定有原象．故象的集合是B的子集．所以X＝A，Y B.
答案：X＝A Y B
5．已知集合M＝{a，b，c，d}，P＝{x，y，z}，则从M到P能建立不同映射的个数是________．
解析：集合M中有4个元素，集合P中有3个元素，则从M到P能建立34＝81个不同的映射．
答案：81
6．下列对应哪个是集合M到集合N的映射？哪个不是映射？为什么？
(1)设M＝{矩形}，N＝{实数}，对应法则f为矩形到它的面积的对应．
(2)设M＝{实数}，N＝{正实数}，对应法则f为x→.
(3)设M＝{x|0≤x≤100}，N＝{x|0≤x≤100}，对应法则f为开方再乘10.
解：(1)是M到N的映射，因为它是多对一的对应．
(2)不是映射，因为当x＝0时，集合N中没有元素与之对应．
(3)是映射，因为它是一对一的对应．
7．设集合A和B都是自然数集，映射f：A→B把A中的元素n映射到B中的元素2n＋n，则在映射f下，A中的元素________对应B中的元素3.( )
A．1
B．3
C．9
D．11
解析：对应法则为f：n→2n＋n，根据选项验证2n＋n＝3，可得n＝1.
答案：A
8．已知集合A＝{1,2,3，k}，B＝{4,7，a4，a2＋3a}，且a∈N，k∈N，x∈A，y∈B，映射f：A→B，使B中元素y＝3x＋1和A中元素x对应，求a及k的值．
分析：先从集合A和对应法则f入手，同时考虑集合中元素的互异性，可以分析出此映射必为一一映射，再由3→10，求得a值，进而求得k值．
解：∵B中元素y＝3x＋1和A中元素x对应，
∴A中元素1的象是4；2的象是7；3的象是10，即a4＝10或a2＋3a＝10.
∵a∈N，
∴由a2＋3a＝10，得a＝2.
∵k的象是a4，
∴3k＋1＝16，得k＝5.
∴a＝2，k＝5.
9．已知集合A＝{(x，y)|x＋y<3，x∈N，y∈N}，B＝{0,1,2}，f：(x，y)→x＋y，则这个对应是否为映射？是否为函数？请说明理由．
解：是映射，不是函数．由题意得A＝{(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(2,0)}，显然对于A中的每一个有序实数对，它们的和是0或1或2，则在B中都有唯一一个数与它对应，所以是映射，因为集合A不是数集而是点集，所以不是函数．
问题：集合M中有m个元素，集合N中有n个元素，则从M到N能建立多少个不同的映射？
探究：当m＝1，n＝1时，从M到N能建立1＝11个不同的映射；
当m＝2，n＝1时，从M到N能建立1＝12个不同的映射；
当m＝3，n＝1时，从M到N能建立1＝13个不同的映射；
当m＝2，n＝2时，从M到N能建立4＝22个不同的映射；
当m＝2，n＝3时，从M到N能建立9＝32个不同的映射．
集合M中有m个元素，集合N中有n个元素，则从M到N能建立nm个不同的映射．
本节课学习了：
(1)映射的对应是一种特殊的对应，元素之间的对应必须满足“一对一或多对一”．
(2)映射由三个部分组成：集合A，集合B及对应法则f，称为映射的三要素．
(3)映射中集合A，B中的元素可以为任意的．
课本本节练习4.
补充作业：
已知下列集合A到B的对应，请判断哪些是A到B的映射，并说明理由．
(1)A＝N，B＝Z，对应法则f为“取相反数”；
(2)A＝{－1,0,2}，B＝{－1,0，}，对应法则：“取倒数”；
(3)A＝{1,2,3,4,5}，B＝R，对应法则：“求平方根”；
(4)A＝{0,1,2,4}，B＝{0,1,4,9,64}，对应法则f：a→b＝(a－1)2；
(5)A＝N
，B＝{0,1}，对应法则：除以2所得的余数．
答案：(2)不是映射，(1)(3)(4)(5)是映射．
本节教学设计的内容拓展较深，在实际教学中根据学生实际选取例题和练习．本节重点为映射的概念，对于映射来说，只需要掌握概念即可，不要求拓展其内容，以免加重学生的负担，也偏离了课标要求和高考的方向．
[备选例题]
【例1】
区间[0，m]在映射f：x→2x＋m所得的象集区间为[a，b]，若区间[a，b]的长度比区间[0，m]的长度大5，则m等于( )
A．5
B．10
C．2.5
D．1
解析：函数f(x)＝2x＋m在区间[0，m]上的值域是[m,3m]，
则有[m,3m]＝[a，b]，则a＝m，b＝3m，
又区间[a，b]的长度比区间[0，m]的长度大5，
则有b－a＝(m－0)＋5，即b－a＝m＋5，
所以3m－m＝m＋5，
解得m＝5.
答案：A
【例2】
设x∈R，对于函数f(x)满足条件f(x2＋1)＝x4＋5x2－3，那么对所有的x∈R，f(x2－1)＝________.
解析：(换元法)设x2＋1＝t，
则x2＝t－1，
则f(t)＝(t－1)2＋5(t－1)－3＝t2＋3t－7，
即f(x)＝x2＋3x－7.
所以f(x2－1)＝(x2－1)2＋3(x2－1)－7＝x4＋x2－9.
答案：x4＋x2－9
[知识总结]
1．函数与映射的知识记忆口诀：
函数新概念，记准要素三；定义域值域，关系式相连；
函数表示法，记住也不难；图象和列表，解析最常见；
对应变映射，只是变唯一；映射变函数，集合变数集．
2．映射到底是什么？怎样理解映射的概念？
剖析：对于映射这个概念，可以从以下几点来理解：(1)映射中的两个集合A和B可以是数集、点集或由图形组成的集合等；(2)映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往是不一样的；(3)映射要求对集合A中的每一个元素在集合B中都有元素与之对应，而这个与之对应的元素是唯一的，这样集合A中元素的任意性和在集合B中对应的元素的唯一性构成了映射的核心；(4)映射允许集合B中存在元素在A中没有元素与其对应；(5)映射允许集合A中不同的元素在集合B中有相同的对应元素，即映射只能是“多对一”或“一对一”，不能是“一对多”；(6)映射是特殊的对应，函数是特殊的映射．
3．函数与映射的关系
函数是特殊的映射，对于映射f：A→B，当两个集合A、B均为非空数集时，则从A到B的映射就是函数，所以函数一定是映射，而映射不一定是函数．第2节
函数及其表示（2）
教学分析
课本从引进函数概念开始就比较注重函数的不同表示方法：解析法，图象法，列表法．函数的不同表示方法能丰富对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念．特别是在信息技术环境下，可以使函数在形与数两方面的结合得到更充分的表现，使学生通过函数的学习更好地体会数形结合这种重要的数学思想方法．因此，在研究函数时，要充分发挥图象的直观作用．在研究图象时，又要注意代数刻画以求思考和表述的精确性．课本将映射作为函数的一种推广，这与传统的处理方式有了逻辑顺序上的变化．这样处理，主要是想较好地衔接初中的学习，让学生将更多的精力集中理解函数的概念，同时，也体现了从特殊到一般的思维过程．
三维目标
1．了解函数的一些基本表示法(列表法、图象法、解析法)，会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数，树立应用数形结合的思想．
2．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用，提高应用函数解决实际问题的能力，增加学习数学的兴趣．
3．会用描点法画一些简单函数的图象，培养学生应用函数的图象解决问题的能力．
4．了解映射的概念及表示方法，会利用映射的概念来判断“对应关系”是否是映射，感受对应关系在刻画函数和映射概念中的作用，提高对数学高度抽象性和广泛应用性的进一步认识．
重点难点
教学重点：函数的三种表示方法，分段函数和映射的概念．
教学难点：分段函数的表示及其图象，映射概念的理解．
课时安排
3课时
第1课时
导入新课
思路1.语言是沟通人与人之间的联系的，同样的祝福又有着不同的表示方法．例如，简体中文中的“生日快乐！”用繁体中文为：生日快樂！英文为：Happy
Birthday！法文是Bon
Anniversaire！德文是Alles
Gute
Zum
Geburtstag！印度尼西亚文是Selamat
Ulang
Tahun！……那么对于函数，又有什么不同的表示方法呢？引出课题：函数的表示法．
思路2.我们前面已经学习了函数的定义，函数的定义域的求法，函数值的求法，两个函数是否相同的判定方法，那么函数的表示方法常用的有哪些呢？这节课我们就来研究这个问题(板书课题)．
推进新课
初中学过的三种表示法：解析法、图象法和列表法各是怎样表示函数的？
讨论结果：(1)解析法：用数学表达式表示两个变量之间的函数关系，这种表示方法叫做解析法，这个数学表达式叫做函数的解析式．
(2)图象法：以自变量x的取值为横坐标，对应的函数值y为纵坐标，在平面直角坐标系中描出各个点，这些点构成了函数的图象，这种用图象表示两个变量之间函数关系的方法叫做图象法．
(3)列表法：列一个两行多列的表格，第一行是自变量的取值，第二行是对应的函数值，这种用表格来表示两个变量之间的函数关系的方法叫做列表法．
例1某种笔记本的单价是5元，买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元，试用三种表示法表示函数y＝f(x)．
活动：学生思考函数的表示法的规定．注意本例的设问，此处“y＝f(x)”有三种含义，它可以是解析表达式，可以是图象，也可以是对应值表．本题的定义域是有限集，且仅有5个元素．
解：这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5}，
用解析法可将函数y＝f(x)表示为y＝5x，x∈{1,2,3,4,5}．
用列表法可将函数y＝f(x)表示为
笔记本数x
1
2
3
4
5
钱数y
5
10
15
20
25
用图象法可将函数y＝f(x)表示为图1.
图1
点评：本题主要考查函数的三种表示法．解析法的特点是：简明、全面地概括了变量间的关系，可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值，便于用解析式来研究函数的性质，还有利于我们求函数的值域；图象法的特点是：直观、形象地表示自变量变化时相应的函数值变化的趋势，有利于我们通过图象来研究函数的某些性质，图象法在生产和生活中有许多应用，如企业生产图、股市走势图等；列表法的特点是：不需要计算就可以直接看出与自变量的值对应的函数值，列表法在实际生产和生活中也有广泛的应用，如银行利率表、列车时刻表等等．但是并不是所有的函数都能用解析法表示，只有函数值随自变量的变化发生有规律的变化时，这样的函数才可能有解析式，否则写不出解析式，也就不能用解析法表示．例如：张丹的年龄n(n∈N
)每取一个值，那么他的身高y(单位：cm)总有唯一确定的值与之对应，因此身高y是年龄n的函数y＝f(n)，但是这个函数的解析式不存在，函数y＝f(n)不能用解析法来表示．
注意：①函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等；
②解析法：必须注明函数的定义域，否则使函数解析式有意义的自变量的取值范围是函数的定义域；
③图象法：根据实际情境来决定是否连线；
④列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征.
变式训练1.
如图所示为y＝ax2＋bx＋c的图象，下列结论正确的是( )图2A．abc>0 B．a＋b＋c<0C．a－b＋c>0
D．2c<3b
解析：由图象研究二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质，易知a<0，b>0，c>0.当x＝1时，y＝a＋b＋c>0；当x＝－1时，a－b＋c<0，故A，B，C都错．答案：D2.
已知2f(x)＋f(－x)＝3x＋2，则f(x)＝________.解析：由题意得把f(x)和f(－x)看成未知数，解方程即得．答案：3x＋
例2下面是某校高一(1)班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级平均分表：
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
第六次
王 伟
98
87
91
92
88
95
张 城
90
76
88
75
86
80
赵 磊
68
65
73
72
75
82
班平均分
88.2
78.3
85.4
80.3
75.7
82.6
请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析．
活动：学生思考做学情分析，具体要分析什么？怎么分析？借助什么工具？本题利用表格给出了四个函数，它们分别表示王伟、张城、赵磊的考试成绩及各次考试的班级平均分．由于表格区分三位同学的成绩高低不直观，故采用图象法来表示．做学情分析，具体要分析学习成绩是否稳定，成绩变化趋势．
解：把“成绩”y看成“测试序号”x的函数，用图象法表示函数y＝f(x)，如图3所示．
图3
由图3可看到：
王伟同学的数学成绩始终高于班级平均分，学习情况比较稳定而且成绩优秀；
张城同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均分水平上下波动，而且波动幅度较大；
赵磊同学的数学学习成绩呈上升趋势，表明他的数学成绩稳步提高．
点评：本题主要考查根据实际情境需要选择恰当的函数表示法的能力，以及应用函数解决实际问题的能力．通过本题可见，图象法比列表法和解析法更能直观反映函数值的变化趋势．
注意：本例为了研究学生的学习情况，将离散的点用虚线连接，这样便于研究成绩的变化特点.
变式训练1．函数y＝x2－4x＋6，x∈[1,5)的值域是________．答案：[2,11)2．将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的函数关系式，并求定义域和值域，作出函数的图象．
分析：解此题的关键是先把实际问题转化成数学问题，即把面积y表示为x的函数，用数学的方法解决，然后再回到实际中去．解：设矩形一边长为x，则另一边长为(a－2x)，则面积y＝(a－2x)x＝－x2＋ax.又得0
图5
图6解析：要求由水瓶的形状识别容积V和高度h的函数关系，突出了对思维能力的考查．观察图象，根据图象的特点发现：取水深h＝，注水量V′>，即水深为一半时，实际注水量大于水瓶总水量的一半．A中V′<，C、D中V′＝，故排除A，C，D.答案：B
课本本节练习2,3.
【补充练习】
1．等腰三角形的周长是20，底边长y是一腰长x的函数，则( )
A．y＝10－x(0B．y＝10－x(0C．y＝20－2x(5≤x≤10)
D．y＝20－2x(5解析：根据等腰三角形的周长列出函数解析式．
∵2x＋y＝20，∴y＝20－2x.则20－2x>0.∴x<10.由构成三角形的条件(两边之和大于第三边)可知2x>20－2x，得x>5，∴函数的定义域为{x|5∴y＝20－2x(5答案：D
2．定义在R上的函数y＝f(x)的值域为[a，b]，则y＝f(x＋1)的值域为( )
A．[a，b]
B．[a＋1，b＋1]
C．[a－1，b－1]
D．无法确定
解析：将函数y＝f(x)的图象向左平移一个单位得函数y＝f(x＋1)的图象，由于定义域均是R，则这两个函数图象上点的纵坐标的取值范围相同，所以y＝f(x＋1)的值域也是[a，b]．
答案：A
3．函数f(x)＝(x∈R)的值域是( )
A．(0,1)
B．(0,1]
C．[0,1)
D．[0,1]
解析：(观察法)定义域是R，由于x2≥0，则1＋x2≥1，从而0<≤1.
答案：B
问题：变换法画函数的图象都有哪些？
解答：变换法画函数的图象有三类：
1．平移变换：
(1)将函数y＝f(x)的图象向左平移a(a>0)个单位得函数y＝f(x＋a)的图象；
(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移a(a>0)个单位得函数y＝f(x－a)的图象；
(3)将函数y＝f(x)的图象向上平移b(b>0)个单位得函数y＝f(x)＋b的图象；
(4)将函数y＝f(x)的图象向下平移b(b>0)个单位得函数y＝f(x)－b的图象．
简记为“左加(＋)右减(－)，上加(＋)下减(－)”．
2．对称变换：
(1)函数y＝f(x)与函数y＝f(－x)的图象关于直线x＝0即y轴对称；
(2)函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图象关于直线y＝0即x轴对称；
(3)函数y＝f(x)与函数y＝－f(－x)的图象关于原点对称．
3．翻折变换：
(1)函数y＝|f(x)|的图象可以将函数y＝f(x)的图象位于x轴下方部分沿x轴翻折到x轴上方，去掉原x轴下方部分，并保留y＝f(x)的x轴上方部分即可得到．
(2)函数y＝f(|x|)的图象可以将函数y＝f(x)的图象位于y轴右边部分翻折到y轴左边替代原y轴左边部分并保留y＝f(x)在y轴右边部分图象即可得到．
函数的图象是对函数关系的一种直观、形象的表示，可以直观地显示出函数的变化状况及其特性，它是研究函数性质时的重要参考，也是运用数形结合思想研究和运用函数性质的基础．另一方面，函数的一些特性又能指导作图，函数与图象是同一事物的两个方面，是函数的不同表现形式．函数的图象可以比喻成人的相片，观察函数的图象可以解决研究其性质，当然，也可以由函数的性质确定函数图象的特点．借助函数的图象来解决函数问题，函数的图象问题是高考的热点之一，应引起重视．
本节课学习了：函数的三种表示方法，在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表示函数．
课本习题1.2A组7,8,9.
本节教学设计容量较大，尽量借助于信息技术来完成．本节的设计重点是函数的三种表示方法，提出了表示法的应用，特别是用图象法求函数的值域，并对求函数值域的方法进行了总结以满足高考的要求．第一章第二节函数及其表示第一课时
教学分析
函数是中学数学中最重要的基本概念之一．在中学，函数的学习大致可分为三个阶段．第一阶段是在义务教育阶段，学习了函数的描述性概念，接触了正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等最简单的函数，了解了它们的图象、性质等．本节学习的函数概念与后续将要学习的函数的基本性质、基本初等函数(Ⅰ)和基本初等函数(Ⅱ)是学习函数的第二阶段，这是对函数概念的再认识阶段．第三阶段是在选修系列的导数及其应用的学习，这是函数学习的进一步深化和提高．
在学生学习用集合与对应的语言刻画函数之前，学生已经把函数看成变量之间的依赖关系；同时，虽然函数概念比较抽象，但函数现象大量存在于学生周围．因此，课本采用了从实际例子中抽象出用集合与对应的语言定义函数的方式介绍函数概念．
三维目标
1．会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号y＝f(x)的含义；通过学习函数的概念，培养学生观察问题、提出问题的探究能力，进一步培养学习数学的兴趣和抽象概括能力；启发学生运用函数模型表述思考和解决现实世界中蕴涵的规律，逐渐形成善于提出问题的习惯，学会数学表达和交流，发展数学应用意识．
2．掌握构成函数的三要素，会求一些简单函数的定义域，体会对应关系在刻画函数概念中的作用，使学生感受到学习函数的必要性和重要性，激发学生学习的积极性．
重点难点
教学重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数．
教学难点：符号“y＝f(x)”的含义，不容易认识到函数概念的整体性，而将函数单一地理解成对应关系，甚至认为函数就是函数值．
课时安排
2课时
第1课时
作者：高建勇
导入新课
思路1.北京时间2005年10月12日9时整，万众瞩目的“神舟”六号飞船胜利发射升空，5天后圆满完成各项任务并顺利返回．在“神舟”六号飞行期间，我们时刻关注“神舟”六号离我们的距离y随时间t是如何变化的，本节课就对这种变量关系进行定量描述和研究．引出课题．
思路2.问题：已知函数y＝请用初中所学函数的定义来解释y与x的函数关系？先让学生回答后，教师指出：这样解释会显得十分勉强，本节将用新的观点来解释，引出课题．
推进新课
(1)给出下列三种对应：(幻灯片)
①一枚炮弹发射后，经过26
s落到地面击中目标．炮弹的射高为845
m，且炮弹距地面的高度h(单位：m)随时间t(单位：s)变化的规律是h＝130t－5t2.
时间t的变化范围是数集A＝{t|0≤t≤26}，h的变化范围是数集B＝{h|0≤h≤845}．则有对应f：t→h＝130t－5t2，t∈A，h∈B.
②近几十年来，大气层的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧洞问题．图1中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积S(单位：106
km2)随时间t(单位：年)从1979～2001年的变化情况．
图1
根据图1中的曲线，可知时间t的变化范围是数集A＝{t|1979≤t≤2001}，臭氧层空洞面积S的变化范围是数集B＝{S|0≤S≤26}，则有对应：
f：t→S，t∈A，S∈B.
③国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高．下表中的恩格尔系数y随时间t(年)变化的情况表明，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化．
“八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况
时间(t)
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
恩格尔系数(y)
53.8
52.9
50.1
49.9
49.9
48.6
46.4
44.5
41.9
39.2
37.9
根据上表，可知时间t的变化范围是数集A＝{t|1991≤t≤2001}，恩格尔系数y的变化范围是数集B＝{y|37.9≤y≤53.8}.则有对应：f：t→y，t∈A，y∈B.
以上三个对应有什么共同特点？
2 我们把这样的对应称为函数，请用集合的观点给出函数的定义.
3 函数的定义域是自变量的取值范围，那么你是如何理解这个“取值范围”的？
4 函数有意义又指什么？
5 函数f：A→B的值域为C，那么集合B＝C吗？
活动：让学生认真思考以上三个对应，也可以分组讨论交流，引导学生找出这三个对应的本质共性．
解：(1)共同特点是：集合A，B都是数集，并且对于数集A中的每一个元素x，在对应关系f：A→B下，在数集B中都有唯一确定的元素y与之对应．
(2)一般地，设A，B都是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A，其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
在研究函数时常会用到区间的概念，设a，b是两个实数，且a定义
名称
符号
数轴表示
{x|a≤x≤b}
闭区间
[a，b]
{x|a开区间
(a，b)
{x|a≤x半开半闭区间
[a，b)
{x|a半开半闭区间
(a，b]
{x|x≥a}
[a，＋∞)
{x|x>a}
(a，＋∞)
{x|x≤a}
(－∞，a]
{x|x(－∞，a)
R
(－∞，＋∞)
(3)自变量的取值范围就是使函数有意义的自变量的取值范围．
(4)函数有意义是指：自变量的取值使分母不为0；被开方数为非负数；如果函数有实际意义时，那么还要满足实际取值等等．
(5)C B.
例题已知函数f(x)＝＋，
(1)求函数的定义域；
(2)求f(－3)，f()的值；
(3)当a>0时，求f(a)，f(a－1)的值．
活动：(1)让学生回想函数的定义域指的是什么？函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，故转化为求使和有意义的自变量的取值范围.有意义，则x＋3≥0，有意义，则x＋2≠0，转化为解由x＋3≥0和x＋2≠0组成的不等式组．
(2)让学生回想f(－3)，f()表示什么含义？f(－3)表示自变量x＝－3时对应的函数值，f()表示自变量x＝时对应的函数值．分别将－3，代入函数的对应法则中得f(－3)，f()的值．
(3)f(a)表示自变量x＝a时对应的函数值，f(a－1)表示自变量x＝a－1时对应的函数值．分别将a，a－1代入函数的对应法则中得f(a)，f(a－1)的值．
解：(1)要使函数有意义，自变量x的取值需满足解得－3≤x<－2或x>－2，即函数的定义域是[－3，－2)∪(－2，＋∞)．
(2)f(－3)＝＋＝－1；f()＝＋＝＋.
(3)∵a>0，∴a∈[－3，－2)∪(－2，＋∞)，即f(a)，f(a－1)有意义．
则f(a)＝＋；f(a－1)＝＋＝＋.
点评：本题主要考查函数的定义域以及对符号f(x)的理解．求使函数有意义的自变量的取值范围，通常转化为解不等式组．
f(x)是表示关于变量x的函数，又可以表示自变量x对应的函数值，是一个整体符号，分开符号f(x)没有什么意义．符号f可以看作是对“x”施加的某种法则或运算．例如f(x)＝x2－x＋5，当x＝2时，看作“2”施加了这样的运算法则：先平方，再减去2，再加上5；当x为某一代数式(或某一个函数记号时)，则左右两边的所有x都用同一个代数式(或某一个函数)来代替．如：f(2x＋1)＝(2x＋1)2－(2x＋1)＋5，f[g(x)]＝[g(x)]2－g(x)＋5等等．
符号y＝f(x)表示变量y是变量x的函数，它仅仅是函数符号，并不表示y等于f与x的乘积．符号f(x)与f(m)既有区别又有联系：当m是变量时，函数f(x)与函数f(m)是同一个函数；当m是常数时，f(m)表示自变量x＝m对应的函数值，是一个常量．
已知函数的解析式，求函数的定义域，就是求使得函数解析式有意义的自变量的取值范围，即
(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R.
(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合．
(3)如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合．
(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合(即求各部分定义域的交集)．
(5)对于由实际问题的背景确定的函数，其定义域还要受实际问题的制约.
变式训练1．函数y＝－的定义域为__________．答案：{x|x≤1，且x≠－1}．点评：本题容易错解：化简函数的解析式为y＝x＋1－，得函数的定义域为{x|x≤1}．其原因是这样做违背了讨论函数问题要保持定义域优先的原则．化简函数的解析式容易引起函数的定义域发生变化，因此求函数的定义域之前时，不要化简解析式．2．若f(x)＝的定义域为M，g(x)＝|x|的定义域为N，令全集U＝R，则M∩N等于( )A．M
B．NC． UM
D． UN解析：由题意得M＝{x|x>0}，N＝R，则M∩N＝{x|x>0}＝M.答案：A3．已知函数f(x)的定义域是[－1,1]，则函数f(2x－1)的定义域是________．解析：要使函数f(2x－1)有意义，自变量x的取值需满足－1≤2x－1≤1，∴0≤x≤1.答案：[0,1]
本节课学习了：函数的概念、函数定义域的求法和对函数符号f(x)的理解．
课本习题1.2，A组，1,5.
本节教学中，在归纳函数的概念时，本节设计运用了大量的实例，如果不借助于信息技术，那么会把时间浪费在实例的书写上，会造成课时不足即拖堂现象．本节重点设计了函数定义域的求法，而函数值域的求法将放在函数的表示法中学习．由于函数是高中数学的重点内容之一，也是高考的重点和热点，因此对函数的概念等知识进行了适当的拓展，以满足高考的需要．
第2课时
作者：刘玉亭
复习
1．函数的概念．
2．函数的定义域的求法．
导入新课
思路1.当实数a，b的符号相同，绝对值相等时，实数a＝b；当集合A，B中元素完全相同时，集合A＝B；那么两个函数满足什么条件才相等呢？引出课题：函数相等．
思路2.我们学习了函数的概念，y＝x与y＝是同一个函数吗？这就是本节课学习的内容，引出课题：函数相等．
推进新课
①指出函数y＝x＋1的构成要素有几部分？
②一个函数的构成要素有几部分？
③分别写出函数y＝x＋1和函数y＝t＋1的定义域和对应关系，并比较异同.
④函数y＝x＋1和函数y＝t＋1的值域相同吗？由此可见两个函数的定义域和对应关系分别相同，值域相同吗？
⑤由此你对函数的三要素有什么新的认识？
讨论结果：①函数y＝x＋1的构成要素为：定义域R，对应关系x→x＋1，值域是R.
②一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域，简称为函数的三要素．其中定义域是函数的灵魂，对应关系是函数的核心．当且仅当两个函数的三要素都相同时，这两个函数才相同．
③定义域和对应关系分别相同．
④值域相同．
⑤如果两个函数的定义域和对应关系分别相同，那么它们的值域一定相等．因此只要两个函数的定义域和对应关系分别相同，那么这两个函数就相等．
例题
下列函数中哪个与函数y＝x相等？
(1)y＝()2；(2)y＝；(3)y＝；(4)y＝.
活动：让学生思考两个函数相等的条件后，引导学生求出各个函数的定义域，化简函数关系式为最简形式．只要它们定义域和对应关系分别相同，那么这两个函数就相等．
解：函数y＝x的定义域是R，对应关系是x→x.
(1)∵函数y＝()2的定义域是[0，＋∞)，
∴函数y＝()2与函数y＝x的定义域不相同．
∴函数y＝()2与函数y＝x不相等．
(2)∵函数y＝的定义域是R，
∴函数y＝与函数y＝x的定义域相同．
又∵y＝＝x，
∴函数y＝与函数y＝x的对应关系也相同．
∴函数y＝与函数y＝x相等．
(3)∵函数y＝的定义域是R，
∴函数y＝与函数y＝x的定义域相同．
又∵y＝＝|x|，
∴函数y＝与函数y＝x的对应关系不相同．
∴函数y＝与函数y＝x不相等．
(4)∵函数y＝的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，
∴函数y＝与函数y＝x的定义域不相同，
∴函数y＝与函数y＝x不相等．
点评：本题主要考查函数相等的含义．讨论函数问题时，要保持定义域优先的原则．对于判断两个函数是否是同一个函数，要先求定义域，若定义域不同，则不是同一个函数；若定义域相同，再化简函数的解析式，若解析式相同(即对应关系相同)，则是同一个函数，否则不是同一个函数.
变式训练判断下列各组的两个函数是否相同，并说明理由．①y＝x－1，x∈R与y＝x－1，x∈N；②y＝与y＝·；③y＝1＋与u＝1＋；④y＝x2与y＝x；⑤y＝2|x|与y＝是同一个函数的是________．(把是同一个函数的序号填上即可)解析：只需判断函数的定义域和对应法则是否均相同即可．
①前者的定义域是R，后者的定义域是N，由于它们的定义域不同，故不是同一个函数；
②前者的定义域是{x|x≥2或x≤－2}，后者的定义域是{x|x≥2}，它们的定义域不同，故不是同一个函数；
③定义域相同均为非零实数，对应法则相同都是自变量取倒数后加1，那么值域必相同，故是同一个函数；④定义域是相同的，但对应法则不同，故不是同一个函数；
⑤函数y＝2|x|＝则定义域和对应法则均相同，那么值域必相同，故是同一个函数．故填③⑤.答案：③⑤
1．下列给出的四个图形中，是函数图象的是( )
图2
A．①
B．①③④
C．①②③
D．③④
答案：B
2．函数y＝f(x)的定义域是R，值域是[1,2]，则函数y＝f(2x－1)的值域是________．
答案：[1,2]
3．下列各组函数是同一个函数的有________．
①f(x)＝，g(x)＝x；②f(x)＝x0，g(x)＝；
③f(x)＝，g(u)＝；④f(x)＝－x2＋2x，g(u)＝－u2＋2u.
答案：②③④
问题：函数y＝f(x)的图象与直线x＝m有几个交点？
探究：设函数y＝f(x)定义域是D，
当m∈D时，根据函数的定义知f(m)唯一，
则函数y＝f(x)的图象上横坐标为m的点仅有一个(m，f(m))，
即此时函数y＝f(x)的图象与直线x＝m仅有一个交点；
当m D时，根据函数的定义知f(m)不存在，
则函数y＝f(x)的图象上横坐标为m的点不存在，
即此时函数y＝f(x)的图象与直线x＝m没有交点．
综上所得，函数y＝f(x)的图象与直线x＝m有交点时仅有一个，或没有交点．
(1)复习了函数的概念，总结了函数的三要素；
(2)判断两个函数是否是同一个函数．
1．设M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列4个图形，其中能表示以集合M为定义域，N为值域的函数关系的是( )
图3
答案：B
2．某公司生产某种产品的成本为1
000元，以1
100元的价格批发出去，随生产产品数量的增加，公司收入________，它们之间是________关系．
解析：由题意，多生产一单位产品则多收入100元．生产产品数量看成是自变量，公司收入看成是因变量，容易得出对于自变量的每一个确定值，因变量都有唯一确定的值与之对应，从而判断两者是函数关系．
答案：增加 函数
3．函数y＝x2与S＝t2是同一函数吗？
答：函数的确定只与定义域与对应关系有关，而与所表示的字母无关，因此y＝x2与S＝t2表示的是同一个函数．因此并非字母不同便是不同的函数，这是由函数的本质决定的．
本节教学内容主要是依据高考说明，对课本内容适当拓展，重点对函数的相等问题进行了引申，设计时对拓展的内容采取渐进式，设计时本着逐步提高、拓展，不能急于求成，否则事倍功半．
备选例题
【例1】
已知函数f(x)＝，则函数f[f(x)]的定义域是________．
解析：∵f(x)＝，∴x≠－1.∴f[f(x)]＝f()＝.
∴1＋≠0，即≠0.∴x≠－2.
∴f(x)的定义域为{x|x≠－2且x≠－1}．
答案：{x|x≠－2且x≠－1}
【例2】
已知函数f(2x＋3)的定义域是[－4,5)，求函数f(2x－3)的定义域．
解：由函数f(2x＋3)的定义域得函数f(x)的定义域，从而求得函数f(2x－3)的定义域．设2x＋3＝t，当x∈[－4,5)时，有t∈[－5,13)，则函数f(t)的定义域是[－5,13)，解不等式－5≤2x－3<13，得－1≤x<8，即函数f(2x－3)的定义域是[－1,8)．
函数的传统定义和近代定义的比较
函数的传统定义(初中学过的函数定义)与它的近代定义(用集合定义函数)在实质上是一致的．两个定义中的定义域和值域的意义完全相同；两个定义中的对应法则实际上也一样，只不过叙述的出发点不同．传统定义是从运动变化的观点出发，其中对应法则是将自变量x的每一个取值与唯一确定的函数值对应起来；近代定义则是从集合、对应的观点出发，其中的对应法则是将原象集合中任一元素与象集合中的唯一确定的元素对应起来．
至于函数的传统定义向近代定义过渡的原因，从历史上看，函数的传统定义来源于物理公式，最初的函数概念几乎等同于解析式，要说清楚变量以及两个变量的依赖关系，往往先要弄清各个变量的物理意义，这就使研究受到了不必要的限制．后来，人们认识到了定义域和值域的重要性，如果只根据变量的观点来解析，会显得十分勉强，如：符号函数sgn
x＝用集合与对应的观点来解释，就显得十分自然了，用传统定义几乎无法解释，于是就有了函数的近代定义．由于传统的定义比较生动、直观，有时仍然会使用这一定义．