第一节指数函数第三课时
导入新课
思路1.同学们，既然我们把指数从正整数推广到整数，又从整数推广到正分数到负分数，这样指数就推广到有理数，那么它是否也和数的推广一样，到底有没有无理数指数幂呢？回顾数的扩充过程，自然数到整数，整数到分数(有理数)，有理数到实数．并且知道，在有理数到实数的扩充过程中，增添的数是——实数．对无理数指数幂，也是这样扩充而来．既然如此，我们这节课的主要内容是：教师板书本堂课的课题〔指数与指数幂的运算(3)〕之无理数指数幂．
思路2.同学们，在初中我们学习了函数的知识，对函数有了一个初步的了解，到了高中，我们又对函数的概念进行了进一步的学习，有了更深的理解，我们仅仅学了几种简单的函数，如一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数、三角函数等，这些远远不能满足我们的需要，随着科学的发展，社会的进步，我们还要学习许多函数，其中就有指数函数，为了学习指数函数的知识，我们必须学习实数指数幂的运算性质，为此，我们必须把指数幂从有理数指数幂扩充到实数指数幂，因此我们本节课学习：指数与指数幂的运算(3)之无理数指数幂，教师板书本节课的课题．
推进新课
(1)我们知道＝1.414
213
56…，那么1.41,1.414,1.414
2,1.414
21，…，是的什么近似值？而1.42,1.415,1.414
3,1.414
22，…，是的什么近似值？
(2)多媒体显示以下图表：同学们从上面的两个表中，能发现什么样的规律？
的过剩近似值
5的近似值
1.5
11.180
339
89
1.42
9.829
635
328
1.415
9.750
851
808
1.414
3
9.739
872
62
1.414
22
9.738
618
643
1.414
214
9.738
524
602
1.414
213
6
9.738
518
332
1.414
213
57
9.738
517
862
1.414
213
563
9.738
517
752
…
…
5的近似值
的不足近似值
9.518
269
694
1.4
9.672
669
973
1.41
9.735
171
039
1.414
9.738
305
174
1.414
2
9.738
461
907
1.414
21
9.738
508
928
1.414
213
9.738
516
765
1.414
213
5
9.738
517
705
1.414
213
56
9.738
517
736
1.414
213
562
…
…
(3)你能给上述思想起个名字吗？
(4)一个正数的无理数次幂到底是一个什么性质的数呢？如5，根据你学过的知识，能作出判断并合理地解释吗？
(5)借助上面的结论你能说出一般性的结论吗？
活动：教师引导，学生回忆，教师提问，学生回答，积极交流，及时评价学生，学生有困惑时加以解释，可用多媒体显示辅助内容：
问题(1)从近似值的分类来考虑，一方面从大于的方向，另一方面从小于的方向．
问题(2)对图表的观察一方面从上往下看，再一方面从左向右看，注意其关联．
问题(3)上述方法实际上是无限接近，最后是逼近．
问题(4)对问题给予大胆猜测，从数轴的观点加以解释．
问题(5)在(3)(4)的基础上，推广到一般的情形，即由特殊到一般．
讨论结果：(1)1.41,1.414,1.414
2,1.414
21，…这些数都小于，称的不足近似值，而1.42，1.415,1.414
3,1.414
22，…，这些数都大于，称的过剩近似值．
(2)第一个表：从大于的方向逼近时，5就从51.5,51.42,51.415,51.414
3,51.414
22，…，即大于5的方向逼近5.
第二个表：从小于的方向逼近时，5就从51.4,51.41,51.414,51.414
2,51.414
21，…，即小于5的方向逼近5.
从另一角度来看这个问题，在数轴上近似地表示这些点，数轴上的数字表明一方面5从51.4,51.41,51.414,51.414
2,51.414
21，…，即小于5的方向接近5，而另一方面5从51.5,51.42,51.415,51.414
3,51.414
22，…，即大于5的方向接近5，可以说从两个方向无限地接近5，即逼近5，所以5是一串有理数指数幂51.4,51.41,51.414,51.414
2,51.414
21，…，和另一串有理数指数幂51.5,51.42,51.415,51.414
3,51.414
22，…，按上述变化规律变化的结果，事实上表示这些数的点从两个方向向表示5的点靠近，但这个点一定在数轴上，由此我们可得到的结论是5一定是一个实数，即51.4<51.41<51.414<51.414
2<51.414
21<…<5<…<51.414
22<51.414
3<51.415<51.42<51.5.
充分表明5是一个实数．
(3)逼近思想，事实上里面含有极限的思想，这是以后要学的知识．
(4)根据(2)(3)我们可以推断5是一个实数，猜测一个正数的无理数次幂是一个实数．
(5)无理数指数幂的意义：
一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．
也就是说无理数可以作为指数，并且它的结果是一个实数，这样指数概念又一次得到推广，在数的扩充过程中，我们知道有理数和无理数统称为实数．我们规定了无理数指数幂的意义，知道它是一个确定的实数，结合前面的有理数指数幂，那么，指数幂就从有理数指数幂扩充到实数指数幂．
1 为什么在规定无理数指数幂的意义时，必须规定底数是正数？
2 无理数指数幂的运算法则是怎样的？是否与有理数指数幂的运算法则相通呢？
3 你能给出实数指数幂的运算法则吗？
活动：教师组织学生互助合作，交流探讨，引导他们用反例说明问题，注意类比，归纳．
对问题(1)回顾我们学习分数指数幂的意义时对底数的规定，举例说明．
对问题(2)结合有理数指数幂的运算法则，既然无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数，那么无理数指数幂的运算法则应当与有理数指数幂的运算法则类似，并且相通．
对问题(3)有了有理数指数幂的运算法则和无理数指数幂的运算法则，实数的运算法则自然就得到了．
讨论结果：(1)底数大于零的必要性，若a＝－1，那么aα是＋1还是－1就无法确定了，这样就造成混乱，规定了底数是正数后，无理数指数幂aα是一个确定的实数，就不会再造成混乱．
(2)因为无理数指数幂是一个确定的实数，所以能进行指数的运算，也能进行幂的运算，有理数指数幂的运算性质，同样也适用于无理数指数幂．类比有理数指数幂的运算性质可以得到无理数指数幂的运算法则：
①ar·as＝ar＋s(a>0，r，s都是无理数)．
②(ar)s＝ars(a>0，r，s都是无理数)．
③(a·b)r＝arbr(a>0，b>0，r是无理数)．
(3)指数幂扩充到实数后，指数幂的运算性质也就推广到了实数指数幂．
实数指数幂的运算性质：
对任意的实数r，s，均有下面的运算性质：
①ar·as＝ar＋s(a>0，r，s∈R)．
②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)．
③(a·b)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)．
例1利用函数计算器计算．(精确到0.001)
(1)0.32.1；(2)3.14－3；(3)3.1；(4)3.
活动：教师教会学生利用函数计算器计算，熟悉计算器的各键的功能，正确输入各类数，算出数值，对于(1)，可先按底数0.3，再按键，再按幂指数2.1，最后按，即可求得它的值；
对于(2)，先按底数3.14，再按键，再按负号键，再按3，最后按即可；
对于(3)，先按底数3.1，再按键，再按34，最后按即可；
对于(4)，这种无理指数幂，可先按底数3，其次按键，再按键，再按3，最后按键．有时也可按或键，使用键上面的功能去运算．
学生可以相互交流，挖掘计算器的用途．
解：(1)0.32.1≈0.080；(2)3.14－3≈0.032；(3)3.1≈2.336；(4)3≈6.705.
点评：熟练掌握用计算器计算幂的值的方法与步骤，感受现代技术的威力，逐步把自己融入现代信息社会；用四舍五入法求近似值，若保留小数点后n位，只需看第(n＋1)位能否进位即可．
例2
求值或化简．
(1)(a>0，b>0)；
(2)()(a>0，b>0)；
(3)＋－.
活动：学生观察，思考，所谓化简，即若能化为常数则化为常数，若不能化为常数则应使所化式子达到最简，对既有分数指数幂又有根式的式子，应该把根式统一化为分数指数幂的形式，便于运算，教师有针对性地提示引导，对(1)由里向外把根式化成分数指数幂，要紧扣分数指数幂的意义和运算性质，对(2)既有分数指数幂又有根式，应当统一起来，化为分数指数幂，对(3)有多重根号的式子，应先去根号，这里是二次根式，被开方数应凑完全平方，这样，把5,7,6拆成()2＋()2,22＋()2,22＋()2，并对学生作及时的评价，注意总结解题的方法和规律．
解：(1)＝ab(ab)＝a－2bab＝ab＝
.
点评：根式的运算常常化成幂的运算进行，计算结果如没有特殊要求，就用根式的形式来表示．
(2)()＝aa－b－b＝a0b0＝.
点评：化简这类式子一般有两种办法，一是首先用负指数幂的定义把负指数化成正指数，另一个方法是采用分式的基本性质把负指数化成正指数．
(3)＋－
＝＋－
＝－＋2－－2＋＝0.
点评：考虑根号里面的数是一个完全平方数，千万注意方根的性质的运用．
例3
已知x＝(5－5－)，n∈N
，求(x＋)n的值．
活动：学生思考，观察题目的特点，从整体上看，应先化简，然后再求值，要有预见性，5与5－具有对称性，它们的积是常数1，为我们解题提供了思路，教师引导学生考虑问题的思路，必要时给予提示．
x2＝(5－5－)2＝(5－2·50＋5－)
＝(5＋2＋5－－4)＝(5＋5－)2－1.
这时应看到1＋x2＝1＋(5－5－)2＝(5＋5－)2，
这样先算出1＋x2，再算出，代入即可．
解：将x＝(5－5－)代入1＋x2，得1＋x2＝1＋(5－5－)2＝(5＋5－)n，
所以(x＋)n＝[(5－5－)＋]n
＝[(5－5－)＋(5＋5－)]n＝(5)n＝5.
点评：运用整体思想和完全平方公式是解决本题的关键，要深刻理解这种做法．
课本习题2.1A组 3.
利用投影仪投射下列补充练习：
1．化简：(1＋2－)(1＋2－)(1＋2－)(1＋2－)(1＋2－)的结果是( )
A.(1－2－)－1
B．(1－2－)－1
C．1－2－
D.(1－2－)
解析：根据本题的特点，注意到它的整体性，特别是指数的规律性，我们可以进行适当的变形．
因为(1＋2－)(1－2－)＝1－2－，所以原式的分子分母同乘以(1－2－)．
依次类推，所以＝－1.
答案：A
2．计算(2)0.5＋0.1－2＋(2)－3π0＋9－0.5＋490.5×2－4.
解：原式＝()＋100＋()－3＋3×49×＝＋100＋－3＋＋＝100.
3．计算＋(a≥1)．
解：原式＝＋＝＋1＋|－1|(a≥1)．
本题可以继续向下做，去掉绝对值，作为思考留作课下练习．
4．设a>0，x＝(a－a－)，则(x＋)n的值为__________．
解析：1＋x2＝1＋(a－a－)2＝(a＋a－)2.
这样先算出1＋x2，再算出，
将x＝(a－a－)代入1＋x2，得1＋x2＝1＋(a－a－)2＝(a＋a－)2.
所以(x＋)n＝[(a－a－)＋]n
＝[(a－a－)＋(a＋a－)]n＝a.
答案：a
参照我们说明无理数指数幂的意义的过程，请你说明无理数指数幂2的意义．
活动：教师引导学生回顾无理数指数幂5的意义的过程，利用计算器计算出的近似值，取它的过剩近似值和不足近似值，根据这些近似值计算2的过剩近似值和不足近似值，利用逼近思想，“逼出”2的意义，学生合作交流，在投影仪上展示自己的探究结果．
解：＝1.732
050
80…，取它的过剩近似值和不足近似值如下表．
的过剩近似值
2的过剩近似值
的不足近似值
2的不足近似值
1.8
3.482
202
253
1.7
3.249
009
585
1.74
3.340
351
678
1.73
3.317
278
183
1.733
3.324
183
446
1.731
3.319
578
342
1.732
1
3.322
110
36
1.731
9
3.321
649
849
1.732
06
3.322
018
252
1.732
04
3.321
972
2
1.732
051
3.321
997
529
1.732
049
3.321
992
923
1.732
050
9
3.321
997
298
1.732
050
7
3.321
996
838
1.732
050
81
3.321
997
091
1.732
050
79
3.321
997
045
…
…
…
…
我们把用2作底数，的不足近似值作指数的各个幂排成从小到大的一列数
21．7,21.72,21.731,21.731
9，…，
同样把用2作底数，的过剩近似值作指数的各个幂排成从大到小的一列数：
21．8,21.74,21.733,21.732
1，…，不难看出的过剩近似值和不足近似值相同的位数越多，即的近似值精确度越高，以其过剩近似值和不足近似值为指数的幂2α会越来越趋近于同一个数，我们把这个数记为2，
即21.7<21.73<21.731<21.731
9<…<2<…<21.732
1<21.733<21.74<21.8.
也就是说2是一个实数，2＝3.321
997
…也可以这样解释：
当的过剩近似值从大于的方向逼近时，2的近似值从大于2的方向逼近2；
当的不足近似值从小于的方向逼近时，2的近似值从小于2的方向逼近2.
所以2就是一串有理指数幂21.7,21.73,21.731,21.731
9，…，和另一串有理指数幂21.8,21.74,21.733,21.732
1，…，按上述规律变化的结果，即2≈3.321
997.
(1)无理指数幂的意义．
一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．
(2)实数指数幂的运算性质：
对任意的实数r，s，均有下面的运算性质：
①ar·as＝ar＋s(a>0，r，s∈R)．
②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)．
③(a·b)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)．
(3)逼近的思想，体会无限接近的含义．
课本习题2.1
B组 2.
无理数指数是指数概念的又一次扩充，教学中要让学生通过多媒体的演示，理解无理数指数幂的意义，教学中也可以让学生自己通过实际情况去探索，自己得出结论，加深对概念的理解，本堂课内容较为抽象，又不能进行推理，只能通过多媒体的教学手段，让学生体会，特别是逼近的思想、类比的思想，多作练习，提高学生理解问题、分析问题的能力．
[备用习题]
1．以下各式中成立且结果为最简根式的是( )
A.＝
B.＝y·
C.＝
D．(－)3＝5＋125－2·
答案：B
2．对于a>0，r，s∈Q，以下运算中正确的是( )
A．ar·as＝ars
B．(ar)s＝ars
C．()r＝ar·bs
D．arbs＝(ab)r＋s
答案：B
3．式子＝成立的充要条件是( )
A.≥0
B．x≠1
C．x<1
D．x≥2
解析：方法一：
要使式子＝成立，需x－1>0，x－2≥0，即x≥2.
若x≥2，则式子＝成立．
从而x≥2是式子＝成立的充要条件．故选D.
方法二：
对A，式子≥0连式子成立也保证不了，尤其x－2≤0，x－1<0时式子不成立．
对B，x－1<0时式子不成立．
对C，x<1时无意义．
对D正确．
答案：D
4．化简(1＜b<2)．
解：＝＝－1(1
5．计算＋.
解：令x＝＋，
两边立方得x3＝2＋＋2－＋3··(＋)，即x3＝4－3x，x3＋3x－4＝0.∴(x－1)(x2＋x＋4)＝0.
∵x2＋x＋4＝(x＋)2＋>0，∴x－1＝0，即x＝1.∴＋＝1.第一节指数函数第五课时
导入新课
思路1.复习导入：我们前一节课学习了指数函数的概念和性质，下面我们一起回顾一下指数函数的概念、图象和性质．如何利用指数函数的图象和性质来解决一些问题，这就是本堂课要讲的主要内容．教师板书课题．
思路2.我们在学习指数函数的性质时，利用了指数函数的图象的特点，并且是用类比和归纳的方法得出，在理论上，我们能否严格的证明特别是指数函数的单调性，以便于我们在解题时应用这些性质，本堂课我们要解决这个问题．教师板书课题：指数函数及其性质的应用(1)．
例1比较下列各题中的两个值的大小：
(1)1.72.5与1.73；(2)0.8－0.1与0.8－0.2；(3)1.70.3与0.93.1.
活动：学生自己思考或讨论，回忆比较数的大小的方法，结合题目实际，选择合理的方法，再写出答案(最好用实物投影仪展示写得正确的答案)．比较数的大小，一是作差，看两个数差的符号，若为正，则前面的数大；二是作商，但必须是同号数，看商与1的大小，再决定两个数的大小；三是计算出每个数的值，再比较大小；四是利用图象；五是利用函数的单调性．教师在学生中巡视其他学生的解答，发现问题及时纠正并评价．
解法一：用数形结合的方法，如第(1)小题，用图形计算器或计算机画出y＝1.7x的图象，如图1.
图1
在图象上找出横坐标分别为2.5、3的点，显然，图象上横坐标为3的点在横坐标为2.5的点的上方，所以1.72.5<1.73，同理0.8－0.1<0.8－0.2,1.70.3>0.93.1.
解法二：用计算器直接计算：1.72.5≈3.77,1.73≈4.91，
所以1.72.5<1.73.同理0.8－0.1<0.8－0.2,1.70.3>0.93.1.
解法三：利用函数单调性，
(1)1.72.5与1.73的底数是1.7，它们可以看成函数y＝1.7x，当x＝2.5和3时的函数值；因为1.7>1，所以函数y＝1.7x在R上是增函数，而2.5<3，所以1.72.5<1.73；
(2)0.8－0.1与0.8－0.2的底数是0.8，它们可以看成函数y＝0.8x，当x＝－0.1和－0.2时的函数值；因为0<0.8<1，所以函数y＝0.8x在R上是减函数，而－0.1>－0.2，所以0.8－0.1<0.8－0.2；
(3)因为1.70.3>1.70＝1,0.93.1<0.90＝1，所以1.70.3>0.93.1.
点评：在第(3)小题中，可以用解法一、解法二解决，但解法三不适合．由于1.70.3与0.93.1不能直接看成某个函数的两个值，因此，在这两个数值间找到1，把这两数值分别与1比较大小，进而比较1.70.3与0.93.1的大小，这里的1是中间值．
思考
在上面的解法中，你认为哪种方法更实用？
活动：学生对上面的三种解法作比较，解题有法但无定法，我们要采取多种解法，在多种解法中选择最优解法，这要通过反复练习强化来实现．
变式训练1．已知a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8，按大小顺序排列a，b，c.解：ba；当a>1时，a例2用函数单调性的定义证明指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的单调性．
活动：教师点拨提示定义法判断函数单调性的步骤，单调性的定义证明函数的单调性，要按规定的格式书写．
证法一：设x1，x2∈R，且x1＜x2，则
y2－y1＝ax2－ax1＝ax1(ax2－x1－1)．
因为a＞1，x2－x1＞0，所以ax2－x1＞1，即ax2－x1－1＞0.
又因为ax1＞0，所以y2－y1＞0，即y1所以当a＞1时，y＝ax，x∈R是增函数．
同理可证，当0＜a＜1时，y＝ax是减函数．
证法二：设x1，x2∈R，且x1＜x2，则y2与y1都大于0，则＝＝ax2－x1.
因为a＞1，x2－x1＞0，所以ax2－x1＞1，即>1，y1所以当a＞1时，y＝ax，x∈R是增函数．
同理可证，当0＜a＜1时，y＝ax是减函数．
变式训练若指数函数y＝(2a－1)x是减函数，则a的取值范围是多少？解：由题可知0<2a－1<1，即＜a＜1.
例3截止到1999年底，我国人口约13亿，如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少(精确到亿)
活动：师生共同讨论，将实际问题转化为数学表达式，建立目标函数，常采用特殊到一般的方式，教师引导学生注意题目中自变量的取值范围，可以先考虑一年一年增长的情况，再从中发现规律，最后解决问题：
1999年底 人口约为13亿；
经过1年 人口约为13(1＋1%)亿；
经过2年 人口约为13(1＋1%)(1＋1%)＝13(1＋1%)2亿；
经过3年 人口约为13(1＋1%)2(1＋1%)＝13(1＋1%)3亿；
……
经过x年 人口约为13(1＋1%)x亿；
经过20年 人口约为13(1＋1%)20亿．
解：设今后人口年平均增长率为1%，经过x年后，我国人口数为y亿，则
y＝13(1＋1%)x，
当x＝20时，y＝13(1＋1%)20≈16(亿)．
答：经过20年后，我国人口数最多为16亿．
点评：类似此题，设原值为N，平均增长率为p，则对于经过时间x后总量y＝N(1＋p)x(x∈N)，像y＝N(1＋p)x等形如y＝kax(k∈R，且k≠0；a＞0，且a≠1)的函数称为指数型函数．
1．函数y＝a|x|(a＞1)的图象是( )
图2
解析：当x≥0时，y＝a|x|＝ax的图象过(0,1)点，在第一象限，图象下凸，是增函数．
答案：B
2．下列关系中正确的是( )
A．()<()<()
B．()<()<()
C．()<()<()
D．()<()<()
答案：D
3．已知函数f(x)的定义域是(0,1)，那么f(2x)的定义域是( )
A．(0,1)
B．(，1)
C．(－∞，0)
D．(0，＋∞)
解析：由题意得0＜2x＜1，即0＜2x＜20，所以x＜0，即x∈(－∞，0)．
答案：C
4．若集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{y|y＝x2，x∈R}，则( )
A．A?B
B．A?B
C．A＝B
D．A∩B＝
解析：A＝{y|y＞0}，B＝{y|y≥0}，所以A?B.
答案：A
5．对于函数f(x)定义域中的任意的x1、x2(x1≠x2)，有如下的结论：
①f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)；②f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)；
③>0；④f()<.
当f(x)＝10x时，上述结论中正确的是__________．
解析：因为f(x)＝10x，且x1≠x2，所以f(x1＋x2)＝10x1＋x2＝10x1·10x2＝f(x1)·f(x2)，所以①正确；
因为f(x1·x2)＝10x1·x2≠10x1＋10x2＝f(x1)＋f(x2)，②不正确；
图3
因为f(x)＝10x是增函数，所以f(x1)－f(x2)与x1－x2同号，
所以>0，所以③正确．
因为函数f(x)＝10x图象如图3所示是上凹下凸的，可解得④正确．
答案：①③④
另解：④.∵10x1>0,10x2>0，x1≠x2，
∴>.∴>，
即>10.∴>f()．
在同一坐标系中作出下列函数的图象，讨论它们之间的联系．
(1)①y＝3x，②y＝3x＋1，③y＝3x－1；
(2)①y＝()x，②y＝()x－1，③y＝()x＋1.
活动：学生动手画函数图象，教师点拨，学生没有思路，教师可以提示．学生回忆函数作图的方法与步骤，按规定作出图象，特别是关键点．
解：如图4及图5.
观察图4可以看出，y＝3x，y＝3x＋1，y＝3x－1的图象间有如下关系：
y＝3x＋1的图象由y＝3x的图象左移1个单位得到；
y＝3x－1的图象由y＝3x的图象右移1个单位得到；
y＝3x－1的图象由y＝3x＋1的图象向右移动2个单位得到．
观察图5可以看出，y＝()x，y＝()x－1，y＝()x＋1的图象间有如下关系：
y＝()x＋1的图象由y＝()x的图象左移1个单位得到；
y＝()x－1的图象由y＝()x的图象右移1个单位得到；
y＝()x－1的图象由y＝()x＋1的图象向右移动2个单位得到．
你能推广到一般的情形吗？同学们留作思考．
思考
本节课我们主要学习了哪些知识，你有什么收获？把你的收获写在笔记本上.
活动：教师用多媒体显示以下内容，学生互相交流学习心得，看是否与多媒体显示的内容一致．
本节课，在复习旧知识的基础上学习了数形结合的思想、函数与方程的思想，加深了对问题的分析能力，形成了一定的能力与方法．
课本习题2.1
B组 1、3、4.
本节课主要是复习巩固指数函数及其性质，涉及的内容较多，要首先组织学生回顾指数函数的性质，为此，必须利用函数图象，数形结合，通过数与形的相互转化，借助形的直观性解决问题，本节课要训练学生能够恰当地构造函数，根据函数的单调性比较大小，有时要分a>1,0教材把指数函数、对数函数、幂函数当作三种重要的函数模型来学习，强调通过实例和图象的直观，揭示这三种函数模型增长的差异及其关系，从而让学生体会建立和研究一个函数模型的基本过程和方法，学会运用具体的函数模型解决一些实际问题．
本章总的教学目标是：了解指数函数模型的实际背景，理解有理数指数幂的意义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；理解指数函数的概念和意义，掌握f(x)＝ax的符号及意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的有关性质(单调性、值域、特别点)，通过应用实例的教学，体会指数函数是一种重要的函数模型；理解对数的概念及其运算性质，了解对数换底公式及其简单应用，能将一般对数转化为常用对数或自然对数，通过阅读材料，了解对数的发现历史及其对简化运算的作用；通过具体函数，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，掌握f(x)＝logax的符号及意义，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的有关性质(单调性、值域、特殊点)；知道指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数(a＞0，a≠1)，初步了解反函数的概念和f－1(x)的意义；通过实例了解幂函数的概念，结合五种具体函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x的图象，了解它们的变化情况．
本章的重点是三种初等函数的概念、图象及性质，要在理解定义的基础上，通过几个特殊函数图象的观察，归纳得出一般图象及性质，这种由特殊到一般的研究问题的方法是数学的基本方法．把这三种函数的图象及性质之间的内在联系及本质区别搞清楚是本章的难点．
教材注重从现实生活的事例中引出指数函数概念，所举例子比较全面，有利于培养学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望．教学中要充分发挥课本的这些材料的作用，并尽可能联系一些熟悉的事例，以丰富教学的情境创设．在学习对数函数的图象和性质时，教材将它与指数函数的有关内容作了比较，让学生体会两种函数模型的增长区别与关联，渗透了类比思想．建议教学中重视知识间的迁移与互逆作用．教材对反函数的学习要求仅限于初步的知道概念，目的在于强化指数函数与对数函数这两种函数模型的学习，教学中不宜对其定义做更多的拓展．教材对幂函数的内容做了削减，仅限于学习五种学生易于掌握的幂函数，并且安排的顺序向后调整，教学中应防止增加这部分内容，以免增加学生的学习负担．通过运用计算机绘制指数函数的动态图象，使学生进一步体会到信息技术在数学学习中的作用，教师要尽量发挥电脑绘图的教学功能．教材安排了“阅读与思考”的内容，有利于加强数学文化的教育，应指导学生认真研读．
本章教学时间约需14课时，具体分配如下(仅供参考)
2.1
指数函数
约6课时
2.2
对数函数
约6课时
2.3
幂函数
约1课时
本章复习
约1课时
教学分析
我们在初中的学习过程中，已了解了整数指数幂的概念和运算性质．从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上，类比出正数的n次方根的定义，从而把指数推广到分数指数．进而推广到有理数指数，再推广到实数指数，并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂．
教材为了让学生在学习之外就感受到指数函数的实际背景，先给出两个具体例子：GDP的增长问题和碳14的衰减问题．前一个问题，既让学生回顾了初中学过的整数指数幂，也让学生感受到其中的函数模型，并且还有思想教育价值．后一个问题让学生体会其中的函数模型的同时，激发学生探究分数指数幂、无理数指数幂的兴趣与欲望，为新知识的学习作了铺垫．
本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如推广的思想(指数幂运算律的推广)、类比的思想、逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)、数形结合的思想(用指数函数的图象研究指数函数的性质)等，同时，充分关注与实际问题的结合，体现数学的应用价值．
根据本节内容的特点，教学中要注意发挥信息技术的力量，尽量利用计算器和计算机创设教学情境，为学生的数学探究与数学思维提供支持．
三维目标
1．通过与初中所学的知识进行类比，理解分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质．掌握分数指数幂和根式之间的互化，掌握分数指数幂的运算性质．培养学生观察分析、抽象类比的能力．
2．掌握根式与分数指数幂的互化，渗透“转化”的数学思想．通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯，让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理．
3．能熟练地运用有理指数幂运算性质进行化简、求值，培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力．
4．通过训练及点评，让学生更能熟练掌握指数幂的运算性质．展示函数图象，让学生通过观察，进而研究指数函数的性质，让学生体验数学的简洁美和统一美．
重点难点
教学重点：
(1)分数指数幂和根式概念的理解．
(2)掌握并运用分数指数幂的运算性质．
(3)运用有理指数幂性质进行化简、求值．
教学难点：
(1)分数指数幂及根式概念的理解．
(2)有理指数幂性质的灵活应用．
课时安排
3课时
第1课时
作者：路致芳
导入新课
思路1.同学们在预习的过程中能否知道考古学家如何判断生物的发展与进化，又怎样判断它们所处的年代？(考古学家是通过对生物化石的研究来判断生物的发展与进化的，第二个问题我们不太清楚)考古学家是按照这样一条规律推测生物所处的年代的．教师板书本节课题：指数函数——指数与指数幂的运算．
思路2.同学们，我们在初中学方根、立方根，那么有没有四次方根、五次方根…n次方根呢？答案是肯定的，这就是我们本堂课研究的课题：指数函数——指数与指数幂的运算．
推进新课
1 什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个，立方根呢？
2 如x4＝a，x5＝a，x6＝a根据上面的结论我们又能得到什么呢？
3 根据上面的结论我们能得到一般性的结论吗？
4 可否用一个式子表达呢？
活动：教师提示，引导学生回忆初中的时候已经学过的平方根、立方根是如何定义的，对照类比平方根、立方根的定义解释上面的式子，对问题(2)的结论进行引申、推广，相互交流讨论后回答，教师及时启发学生，具体问题一般化，归纳类比出n次方根的概念，评价学生的思维．
讨论结果：(1)若x2＝a，则x叫做a的平方根，正实数的平方根有两个，它们互为相反数，如：4的平方根为±2，负数没有平方根，同理，若x3＝a，则x叫做a的立方根，一个数的立方根只有一个，如：－8的立方根为－2.
(2)类比平方根、立方根的定义，一个数的四次方等于a，则这个数叫a的四次方根．一个数的五次方等于a，则这个数叫a的五次方根．一个数的六次方等于a，则这个数叫a的六次方根．
(3)类比(2)得到一个数的n次方等于a，则这个数叫a的n次方根．
(4)用一个式子表达是，若xn＝a，则x叫a的n次方根．
教师板书n次方根的意义：
一般地，如果xn＝a，那么x叫a的n次方根(n－throot)，其中n＞1且n∈N
.
可以看出数的平方根、立方根的概念是n次方根的概念的特例．
你能根据n次方根的意义求出下列数的n次方根吗？ 多媒体显示以下题目 .
①4的平方根；②±8的立方根；③16的4次方根；④32的5次方根；⑤－32的5次方根；⑥0的7次方根；⑦a6的立方根.
2 平方根，立方根，4次方根，5次方根，7次方根，分别对应的方根的指数是什么数，有什么特点？4，±8，16，－32，32，0，a6分别对应什么性质的数，有什么特点？
3 问题 2 中，既然方根有奇次的也有偶次的，数a有正有负，还有零，结论有一个的，也有两个的，你能否总结一般规律呢？
4 任何一个数a的偶次方根是否存在呢？
活动：教师提示学生切实紧扣n次方根的概念，求一个数a的n次方根，就是求出的那个数的n次方等于a，及时点拨学生，从数的分类考虑，可以把具体的数写出来，观察数的特点，对问题(2)中的结论，类比推广引申，考虑要全面，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路．
讨论结果：(1)因为±2的平方等于4，±2的立方等于±8，±2的4次方等于16,2的5次方等于32，－2的5次方等于－32,0的7次方等于0，a2的立方等于a6，所以4的平方根，±8的立方根，16的4次方根，32的5次方根，－32的5次方根，0的7次方根，a6的立方根分别是±2，±2，±2,2，－2,0，a2.
(2)方根的指数是2,3,4,5,7…特点是有奇数和偶数．总的来看，这些数包括正数，负数和零．
(3)一个数a的奇次方根只有一个，一个正数a的偶次方根有两个，是互为相反数.0的任何次方根都是0.
(4)任何一个数a的偶次方根不一定存在，如负数的偶次方根就不存在，因为没有一个数的偶次方是一个负数．
类比前面的平方根、立方根，结合刚才的讨论，归纳出一般情形，得到n次方根的性质：
①当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，是互为相反数，正的n次方根用表示，如果是负数，负的n次方根用－表示，正的n次方根与负的n次方根合并写成±(a＞0)．
②n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时a的n次方根用符号表示．
③负数没有偶次方根；0的任何次方根都是零．
上面的文字语言可用下面的式子表示：
a为正数：
a为负数：
零的n次方根为零，记为＝0.
可以看出数的平方根、立方根的性质是n次方根的性质的特例．
思考
根据n次方根的性质能否举例说明上述几种情况？
活动：教师提示学生对方根的性质要分类掌握，即正数的奇偶次方根，负数的奇次方根，零的任何次方根，这样才不重不漏，同时巡视学生，随机给出一个数，我们写出它的平方根，立方根，四次方根等，看是否有意义，注意观察方根的形式，及时纠正学生在举例过程中的问题．
解：答案不唯一，比如，64的立方根是4,16的四次方根为±2，－27的5次方根为，而－27的4次方根不存在等．其中也表示方根，它类似于的形式，现在我们给式子一个名称——根式．
根式的概念：
式子叫根式，其中a叫被开方数，n叫根指数．
如中，3叫根指数，－27叫被开方数．
思考
表示an的n次方根，等式＝a一定成立吗？如果不一定成立，那么等于什么？
活动：教师让学生注意讨论n为奇偶数和a的符号，充分让学生多举实例，分组讨论．教师点拨，注意归纳整理．
〔如＝＝－3，＝|－8|＝8〕．
解答：根据n次方根的意义，可得：()n＝a.
通过探究得到：n为奇数，＝a.
n为偶数，＝|a|＝
因此我们得到n次方根的运算性质：
①()n＝a.先开方，再乘方(同次)，结果为被开方数．
②n为奇数，＝a.先奇次乘方，再开方(同次)，结果为被开方数．
n为偶数，＝|a|＝ 先偶次乘方，再开方(同次)，结果为被开方数的绝对值．
思路1
例题
求下列各式的值：
(1)；(2)；(3)；(4)(a>b)．
活动：求某些式子的值，首先考虑的应是什么，明确题目的要求是什么，都用到哪些知识，关键是啥，搞清这些之后，再针对每一个题目仔细分析．观察学生的解题情况，让学生展示结果，抓住学生在解题过程中出现的问题并对症下药．求下列各式的值实际上是求数的方根，可按方根的运算性质来解，首先要搞清楚运算顺序，目的是把被开方数的符号定准，然后看根指数是奇数还是偶数，如果是奇数，无需考虑符号，如果是偶数，开方的结果必须是非负数．
解：(1)＝－8；
(2)＝10；
(3)＝π－3；
(4)＝a－b(a>b)．
点评：不注意n的奇偶性对式子的值的影响，是导致问题出现的一个重要原因，要在理解的基础上，记准，记熟，会用，活用．
变式训练求出下列各式的值：(1)；(2)(a≤1)；(3).解：(1)＝－2，(2)(a≤1)＝3a－3，(3)＝ 点评：本题易错的是第(3)题，往往忽视a与1大小的讨论，造成错解.
思路2
例1下列各式中正确的是( )
A.＝a
B.＝
C．a0＝1
D.＝.
活动：教师提示，这是一道选择题，本题考查n次方根的运算性质，应首先考虑根据方根的意义和运算性质来解，既要考虑被开方数，又要考虑根指数，严格按求方根的步骤，体会方根运算的实质，学生先思考哪些地方容易出错，再回答．
解析：(1)＝a，考查n次方根的运算性质，当n为偶数时，应先写＝|a|，故A项错．
(2)＝，本质上与上题相同，是一个正数的偶次方根，根据运算顺序也应如此，结论为＝，故B项错．
(3)a0＝1是有条件的，即a≠0，故C项也错．
(4)D项是一个正数的偶次方根，根据运算顺序也应如此，故D项正确．所以答案选D.
答案：D
点评：本题由于考查n次方根的运算性质与运算顺序，有时极易选错，选四个答案的情况都会有，因此解题时千万要细心．
例2
＋＝__________.
活动：让同学们积极思考，交流讨论，本题乍一看内容与本节无关，但仔细一想，我们学习的内容是方根，这里是带有双重根号的式子，去掉一层根号，根据方根的运算求出结果是解题的关键，因此将根号下面的式子化成一个完全平方式就更为关键了，从何处入手？需利用和的平方公式与差的平方公式化为完全平方式．正确分析题意是关键，教师提示，引导学生解题的思路．
解析：因为＝＝＝＋1，
＝＝＝－1，
所以＋＝2.
答案：2
点评：不难看出与形式上有些特点，即是对称根式，是形式的式子，我们总能找到办法把其化成一个完全平方式．
思考
上面的例2还有别的解法吗？
活动：教师引导，去根号常常利用完全平方公式，有时平方差公式也可，同学们观察两个式子的特点，具有对称性，再考虑并交流讨论，一个是“＋”，一个是“－”，去掉一层根号后，相加正好抵消．同时借助平方差，又可去掉根号，因此把两个式子的和看成一个整体，两边平方即可，探讨得另一种解法．
另解：利用整体思想，x＝＋，
两边平方，得x2＝3＋2＋3－2＋2()()＝6＋2＝6＋2＝8，所以x＝2.
点评：对双重二次根式，特别是形式的式子，我们总能找到办法将根号下面的式子化成一个完全平方式，问题迎刃而解，另外对±的式子，我们可以把它们看成一个整体利用完全平方公式和平方差公式去解．
变式训练若＝a－1，求a的取值范围．解：因为＝a－1，而＝＝|a－1|＝a－1，即a－1≥0，所以a≥1.点评：利用方根的运算性质转化为去绝对值符号，是解题的关键.
(教师用多媒体显示在屏幕上)
1．以下说法正确的是( )
A．正数的n次方根是一个正数
B．负数的n次方根是一个负数
C．0的任何次方根都是零
D．a的n次方根用表示(以上n＞1且n∈N
)
答案：C
2．化简下列各式：
(1)；(2)；(3)；(4)；(5).
答案：(1)2；(2)；(3)x2；(4)|x|；(5)|x－y|.
3．计算＋＝__________.
解析：＋
＝＋
＝＋
＝＋＋－
＝2.
答案：2
问题：＝a与()n＝a(n＞1，n∈N)哪一个是恒等式，为什么？请举例说明．
活动：组织学生结合前面的例题及其解答，进行分析讨论，解决这一问题要紧扣n次方根的定义．
通过归纳，得出问题结果，对a是正数和零，n为偶数时，n为奇数时讨论一下．再对a是负数，n为偶数时，n为奇数时讨论一下，就可得到相应的结论．
解：(1)()n＝a(n＞1，n∈N)．
如果xn＝a(n＞1，且n∈N)有意义，则无论n是奇数或偶数，x＝一定是它的一个n次方根，所以()n＝a恒成立．
例如：()4＝3，()3＝－5.
(2)＝
当n为奇数时，a∈R，＝a恒成立．
例如：＝2，＝－2.
当n为偶数时，a∈R，an≥0，表示正的n次方根或0，所以如果a≥0，那么＝a.例如＝3，＝0；如果a＜0，那么＝|a|＝－a，如＝＝3，
即()n＝a(n＞1，n∈N)是恒等式，＝a(n＞1，n∈N)是有条件的．
点评：实质上是对n次方根的概念、性质以及运算性质的深刻理解．
学生仔细交流讨论后，在笔记上写出本节课的学习收获，教师用多媒体显示在屏幕上．
1．如果xn＝a，那么x叫a的n次方根，其中n＞1且n∈N
.用式子表示，式子叫根式，其中a叫被开方数，n叫根指数．
(1)当n为偶数时，a的n次方根有两个，是互为相反数，正的n次方根用表示，如果是负数，负的n次方根用－表示，正的n次方根与负的n次方根合并写成±(a＞0)．
(2)n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时a的n次方根用符号表示．
(3)负数没有偶次方根.0的任何次方根都是零．
2．掌握两个公式：n为奇数时，()n＝a，n为偶数时，＝|a|＝
课本习题2.1A组 1.
补充作业：
1．化简下列各式：
(1)；(2)；(3)；(4).
解：(1)＝＝＝；
(2)＝－＝－；
(3)＝＝x2；
(4)＝＝.
2．若5解析：因为5答案：2a－13
3.＋＝__________.
解析：对双重二次根式，我们觉得难以下笔，我们考虑只有在开方的前提下才可能解出，由此提示我们想办法去掉一层根式，
不难看出＝＝＋.
同理＝＝－.所以＋＝2.
答案：2
学生已经学习了数的平方根和立方根，根式的内容是这些内容的推广，本节课由于方根和根式的概念和性质难以理解，在引入根式的概念时，要结合已学内容，列举具体实例，根式的讲解要分n是奇数和偶数两种情况来进行，每种情况又分a>0，a<0，a＝0三种情况，并结合具体例子讲解，因此设计了大量的类比和练习题目，要灵活处理这些题目，帮助学生加以理解，所以需要用多媒体信息技术服务教学．第一节指数函数第四课时
教学内容分析
本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学(1)》(人教A版)第二章第一节第二课(2.1.2)《指数函数及其性质》．根据实际情况，将《指数函数及其性质》划分为三节课〔指数函数的图象及其性质，指数函数及其性质的应用(1)，指数函数及其性质的应用(2)〕，这是第一节课“指数函数的图象及其性质”．指数函数是重要的基本初等函数之一，作为常见函数，它不仅是今后学习对数函数和幂函数的基础，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以指数函数应重点研究．
学生学习情况分析
指数函数是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数性质的基础上进行研究的，是学生对函数概念及性质的第一次应用．教材在之前的学习中给出了两个实际例子(GDP的增长问题和碳14的衰减问题)，已经让学生感受到了指数函数的实际背景，但这两个例子的背景对于学生来说有些陌生．本节课先设计一个看似简单的问题，通过超出想象的结果来激发学生学习新知的兴趣和欲望．
设计思想
1．函数及其图象在高中数学中占有很重要的位置．如何突破这个既重要又抽象的内容，其实质就是将抽象的符号语言与直观的图象语言有机地结合起来，通过具有一定思考价值的问题，激发学生的求知欲望——持久的好奇心．我们知道，函数的表示法有三种：列表法、图象法、解析法，以往的函数的学习大多只关注到图象的作用，这其实只是借助了图象的直观性，只是从一个角度看函数，是片面的．本节课力图让学生从不同的角度去研究函数，对函数进行一个全方位的研究，并通过对比总结得到研究的方法，让学生去体会这种研究方法，以便能将其迁移到其他函数的研究中去．
2．在本节课的教学中我努力实践以下两点：
(1)在课堂活动中通过同伴合作、自主探究培养学生积极主动、勇于探索的学习方式．
(2)在教学过程中努力做到生生对话、师生对话，并且在对话之后重视体会、总结、反思，力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握一些学习、研究数学的方法．
3．通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法．
教学目标
根据学生的实际情况，本节课的教学目标是：理解指数函数的概念，能画出具体指数函数的图象；在理解指数函数概念、性质的基础上，能应用所学知识解决简单的数学问题；在教学过程中通过类比，回顾归纳从图象和解析式这两种不同角度研究函数性质的数学方法，加深对指数函数的认识，让学生在数学活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要；同时通过本节课的学习，使学生获得研究函数的规律和方法；培养学生主动学习、合作交流的意识．
重点难点
教学重点：指数函数的概念、图象和性质．
教学难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质.
一、创设情境、提出问题(约3分钟)
师：如果让1号同学准备2粒米，2号同学准备4粒米，3号同学准备6粒米，4号同学准备8粒米，5号同学准备10粒米，……，按这样的规律，51号同学该准备多少粒米？
学生回答后教师公布事先估算的数据：51号同学该准备102粒米，大约5克重．
师：如果改成让1号同学准备2粒米，2号同学准备4粒米，3号同学准备8粒米，4号同学准备16粒米，5号同学准备32粒米，……，按这样的规律，51号同学该准备多少粒米？
学情预设
学生可能说出很多或能算出具体数目．
师：大家能否估计一下51号同学该准备的米有多重吗？
教师公布事先估算的数据：51号同学所需准备的大米约重1.2亿吨．
师：1.2亿吨是一个什么概念？根据2007年9月13日美国农业部发布的最新数据显示，2007～2008年度我国大米产量预计为1.27亿吨．这就是说51号同学所需准备的大米相当于2007～2008年度我国全年的大米产量！
设计意图
用一个看似简单的实例，为引出指数函数的概念做准备；同时通过与一次函数的对比让学生感受指数函数的爆炸增长，激发学生学习新知的兴趣和欲望．
在以上两个问题中，每位同学所需准备的米粒数用y表示，每位同学的座号数用x表示，y与x之间的关系分别是什么？
学生很容易得出y＝2x(x∈N
)和y＝2x(x∈N
)．
学情预设
学生可能会漏掉x的取值范围，教师要引导学生思考具体问题中x的取值范围．
二、师生互动、探究新知
1．指数函数的定义
师：其实，在本章开头的问题中，也有一个与y＝2x类似的关系式y＝1.073x(x∈N
，x≤20)．
(1)让学生思考讨论以下问题(问题逐个给出，约3分钟)：
①y＝2x(x∈N
)和y＝1.073x(x∈N
，x≤20)这两个解析式有什么共同特征？
②它们能否构成函数？
③是我们学过的哪个函数？如果不是，你能否根据该函数的特征给它起个恰当的名字？
设计意图
引导学生从具体问题、实际问题中抽象出数学模型．学生对比已经学过的一次函数、反比例函数、二次函数，发现y＝2x，y＝1.073x是一个新的函数模型，再让学生给这个新的函数命名，由此激发学生的学习兴趣．
引导学生观察，两个函数中，底数是常数，指数是自变量．
师：如果可以用字母a代替其中的底数，那么上述两式就可以表示成y＝ax的形式．自变量在指数位置，所以我们把它称作指数函数．
(2)让学生讨论并给出指数函数的定义(约6分钟)．
对于底数的分类，可将问题分解为：
①若a<0，会有什么问题？(如a＝－2，x＝，则在实数范围内相应的函数值不存在)
②若a＝0，会有什么问题？(对于x≤0，ax都无意义)
③若a＝1又会怎么样？(1x无论x取何值，它总是1，对它没有研究的必要)
师：为了避免上述各种情况的发生，所以规定a>0且a≠1.
在这里要注意生生之间、师生之间的对话．
学情预设
①若学生从教科书中已经看到指数函数的定义，教师可以问，为什么要求a>0，且a≠1；a＝1为什么不行？
②若学生只给出y＝ax，教师可以引导学生通过类比一次函数(y＝kx＋b，k≠0)、反比例函数(y＝，k≠0)、二次函数(y＝ax2＋bx＋c，a≠0)中的限制条件，思考指数函数中底数的限制条件．
设计意图
①对指数函数中底数限制条件的讨论可以引导学生研究一个函数应注意它的实际意义和研究价值；
②讨论出a>0，且a≠1，也为下面研究性质时对底数的分类做准备．
接下来教师可以问学生是否明确了指数函数的定义，能否写出一两个指数函数？教师也在黑板上写出一些解析式让学生判断，如y＝2×3x，y＝32x，y＝－2x.
学情预设
学生可能只是关注指数是否是变量，而不考虑其他的．
设计意图
加深学生对指数函数定义和呈现形式的理解．
2．指数函数的性质
(1)提出两个问题(约3分钟)
①目前研究函数一般可以包括哪些方面？
设计意图
让学生在研究指数函数时有明确的目标：函数三要素(对应法则、定义域、值域)和函数的基本性质(单调性、奇偶性)．
②研究函数(比如今天的指数函数)可以怎么研究？用什么方法、从什么角度研究？
可以从图象和解析式这两个不同的角度进行研究；可以从具体的函数入手(即底数取一些数值)；当然也可以用列表法研究函数，只是今天我们所学的函数用列表法不易得出此函数的性质，可见具体问题要选择适当的方法来研究才能事半功倍！还可以借助一些数学思想方法来思考．
设计意图
①让学生知道图象法不是研究函数的唯一方法，由此引导学生可以从图象和解析式(包括列表)两个不同的角度对函数进行研究；
②对学生进行数学思想方法(从一般到特殊再到一般、数形结合、分类讨论)的有机渗透．
(2)分组活动，合作学习(约8分钟)
师：下面我们就从图象和解析式这两个不同的角度对指数函数进行研究．
①让学生分为两大组，一组从解析式的角度入手(不画图)研究指数函数，一组借助电脑通过几何画板的操作从图象的角度入手研究指数函数；
②每一大组再分为若干合作小组(建议4人一小组)；
③每组都将研究所得到的结论或成果写出来以便交流．
学情预设
考虑到各组的水平可能有所不同，教师应巡视，对个别组可做适当的指导．
设计意图
通过自主探索、合作学习，不仅让学生充当学习的主人更可加深对所得到结论的理解．
(3)交流、总结(约10～12分钟)
师：下面我们开一个成果展示会！
教师在巡视过程中应关注各组的研究情况，此时可选一些有代表性的小组上台展示研究成果，并对比从两个角度入手研究的结果．
教师可根据上课的实际情况对学生发现、得出的结论进行适当的点评或要求学生分析．这里除了研究定义域、值域、单调性、奇偶性外，再引导学生注意是否还有其他性质？
师：各组在研究过程中除了定义域、值域、单调性、奇偶性外是否还得到一些有价值的副产品呢？〔如过定点(0,1)，y＝ax与y＝()x的图象关于y轴对称〕
学情预设
①首先选一个从解析式的角度研究的小组上台汇报；
②对于从图象的角度研究的，可先选没对底数进行分类的小组上台汇报；
③问其他小组有没有不同的看法，上台补充，让学生对底数进行分类，引导学生思考哪个量决定着指数函数的单调性，以什么为分界，教师可以马上通过电脑操作看函数图象的变化．
设计意图
①函数的表示法有三种：列表法、图象法、解析法，通过这个活动，让学生知道研究一个具体的函数可以从多个角度入手，从图象角度研究只是能直观的看出函数的一些性质，而具体的性质还是要通过对解析式的论证；特别是定义域、值域更是可以直接从解析式中得到的．
②让学生上台汇报研究成果，使学生有种成就感，同时还可训练其对数学问题的分析和表达能力，培养其数学素养；
③对指数函数的底数进行分类是本课的一个难点，让学生在讨论中自己解决分类问题，使该难点的突破显得自然．
师：从图象入手我们很容易看出函数的单调性、奇偶性，以及过定点(0,1)，但定义域、值域却不可确定；从解析式(结合列表)可以很容易得出函数的定义域、值域，但对底数的分类却很难想到．
教师通过几何画板中改变参数a的值，追踪y＝ax的图象，在变化过程中，让全体学生进一步观察指数函数的变化规律．
师生共同总结指数函数的图象和性质，教师可以边总结边板书．
图象
0a>1
定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质
过定点(0,1)
非奇非偶
在R上是减函数
在R上是增函数
三、巩固训练、提升总结(约8分钟)
1．例：已知指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点(3，π)，求f(0)，f(1)，f(－3)的值．
解：因为f(x)＝ax的图象经过点(3，π)，所以f(3)＝π，
即a3＝π.解得a＝π，于是f(x)＝π.
所以f(0)＝1，f(1)＝，f(－3)＝.
设计意图
通过本题加深学生对指数函数的理解．
师：根据本题，你能说出确定一个指数函数需要什么条件吗？
师：从方程思想来看，求指数函数就是确定底数，因此只要一个条件，即布列一个方程就可以了．
设计意图
让学生明确底数是确定指数函数的要素，同时向学生渗透方程的思想．
2．练习：(1)在同一平面直角坐标系中画出y＝3x和y＝()x的大致图象，并说出这两个函数的性质；
(2)求下列函数的定义域：①y＝2；②y＝().
3．师：通过本节课的学习，你对指数函数有什么认识？你有什么收获？
学情预设
学生可能只是把指数函数的性质总结一下，教师要引导学生谈谈对函数研究的学习，即怎么研究一个函数．
设计意图
①让学生再一次复习对函数的研究方法(可以从多个角度进行)，让学生体会本节课的研究方法，以便能将其迁移到其他函数的研究中去．
②总结本节课中所用到的数学思想方法．
③强调各种研究数学的方法之间有区别又有联系，相互作用，才能融会贯通．
4．作业：课本习题2.1A组 5.
1．本节课改变了以往常见的函数研究方法，让学生从不同的角度去研究函数，对函数进行一个全方位的研究，不仅仅是通过对比总结得到指数函数的性质，更重要的是让学生体会到对函数的研究方法，以便能将其迁移到其他函数的研究中去，教师可以真正做到“授之以渔”而非“授之以鱼”．
2．教学中借助信息技术可以弥补传统教学在直观感、立体感和动态感方面的不足，可以很容易的化解教学难点、突破教学重点、提高课堂效率，本节课使用几何画板可以动态地演示出指数函数的底数的变化过程，让学生直观地观察底数对指数函数单调性的影响．
3．在教学过程中不断向学生渗透数学思想方法，让学生在活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要，部分学生还能自觉地运用这些数学思想方法去分析、思考问题．第一节指数函数第二课时
导入新课
思路1.碳14测年法．原来宇宙射线在大气层中能够产生放射性碳14，并与氧结合成二氧化碳后进入所有活组织，先为植物吸收，再为动物吸收，只要植物和动物生存着，它们就会不断地吸收碳14在机体内保持一定的水平．而当有机体死亡后，即会停止吸收碳14，其组织内的碳14便以约5
730年的半衰期开始衰变并消失．对于任何含碳物质只要测定剩下的放射性碳14的含量，便可推断其年代(半衰期：经过一定的时间，变为原来的一半)．引出本节课题：指数与指数幂的运算之分数指数幂．
思路2.同学们，我们在初中学习了整数指数幂及其运算性质，那么整数指数幂是否可以推广呢？答案是肯定的．这就是本节的主讲内容，教师板书本节课题——指数与指数幂的运算之分数指数幂．
推进新课
1 整数指数幂的运算性质是什么？
2 观察以下式子，并总结出规律：a＞0,
①；
②；
③；
④.
3 利用 2 的规律，你能表示下列式子吗？
，，， x>0，m，n∈N
，且n>1 .
4 你能用方根的意义来解释 3 的式子吗？
5 你能推广到一般的情形吗？
活动：学生回顾初中学习的整数指数幂及运算性质，仔细观察，特别是每题的开始和最后两步的指数之间的关系，教师引导学生体会方根的意义，用方根的意义加以解释，指点启发学生类比(2)的规律表示，借鉴(2)(3)，我们把具体推广到一般，对写正确的同学及时表扬，其他学生鼓励提示．
讨论结果：(1)整数指数幂的运算性质：an＝a·a·a·…·a，a0＝1(a≠0)；00无意义；
a－n＝(a≠0)；am·an＝am＋n；(am)n＝amn；(an)m＝amn；(ab)n＝anbn.
(2)①a2是a10的5次方根；②a4是a8的2次方根；③a3是a12的4次方根；④a5是a10的2次方根．实质上①＝a，②＝a，③＝a，④＝a结果的a的指数是2,4,3,5分别写成了，，，，形式上变了，本质没变．
根据4个式子的最后结果可以总结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式(分数指数幂形式)．
(3)利用(2)的规律，＝5，＝7，＝a，＝x.
(4)53的四次方根是5，75的三次方根是7，a7的五次方根是a，xm的n次方根是x.
结果表明方根的结果和分数指数幂是相通的．
(5)如果a>0，那么am的n次方根可表示为＝a，即a＝(a>0，m，n∈N
，n>1)．
综上所述，我们得到正数的正分数指数幂的意义，教师板书：
规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a>0，m，n∈N
，n>1)．
1 负整数指数幂的意义是怎样规定的？
2 你能得出负分数指数幂的意义吗？
3 你认为应怎样规定零的分数指数幂的意义？
4 综合上述，如何规定分数指数幂的意义？, 5 分数指数幂的意义中，为什么规定a＞0，去掉这个规定会产生什么样的后果？, 6 既然指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质是否也适用于有理数指数幂呢？
活动：学生回想初中学习的情形，结合自己的学习体会回答，根据零的整数指数幂的意义和负整数指数幂的意义来类比，把正分数指数幂的意义与负分数指数幂的意义融合起来，与整数指数幂的运算性质类比可得有理数指数幂的运算性质，教师在黑板上板书，学生合作交流，以具体的实例说明a＞0的必要性，教师及时作出评价．
讨论结果：(1)负整数指数幂的意义是：a－n＝(a≠0)，n∈N
.
(2)既然负整数指数幂的意义是这样规定的，类比正数的正分数指数幂的意义可得正数的负分数指数幂的意义．
规定：正数的负分数指数幂的意义是a－＝＝(a>0，m，n∈N
，n>1)．
(3)规定：零的分数指数幂的意义是：零的正分数次幂等于零，零的负分数指数幂没有意义．
(4)教师板书分数指数幂的意义．分数指数幂的意义就是：
正数的正分数指数幂的意义是a＝(a>0，m，n∈N
，n>1)，正数的负分数指数幂的意义是a－＝＝(a>0，m，n∈N
，n>1)，零的正分数次幂等于零，零的负分数指数幂没有意义．
(5)若没有a＞0这个条件会怎样呢？
如(－1)＝＝－1，(－1)＝＝1具有同样意义的两个式子出现了截然不同的结果，这只说明分数指数幂在底数小于零时是无意义的．因此在把根式化成分数指数时，切记要使底数大于零，如无a＞0的条件，比如式子＝|a|，同时负数开奇次方是有意义的，负数开奇次方时，应把负号移到根式的外边，然后再按规定化成分数指数幂，也就是说，负分数指数幂在有意义的情况下总表示正数，而不是负数，负数只是出现在指数上．
(6)规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数．
有理数指数幂的运算性质：对任意的有理数r，s，均有下面的运算性质：
①ar·as＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)，
②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)，
③(a·b)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
我们利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质可以解决一些问题，来看下面的例题．
例1求值：(1)8；(2)25；(3)()－5；(4)()－.
活动：教师引导学生考虑解题的方法，利用幂的运算性质计算出数值或化成最简根式，根据题目要求，把底数写成幂的形式，8写成23,25写成52，写成2－1，写成()4，利用有理数幂的运算性质可以解答，完成后，把自己的答案用投影仪展示出来．
解：(1)8＝(23)＝23×＝22＝4；
(2)25＝(52)＝52×(－)＝5－1＝；
(3)()－5＝(2－1)－5＝2－1×(－5)＝32；
(4)()－＝()4×(－)＝()－3＝.
点评：本例主要考查幂值运算，要按规定来解．在进行幂值运算时，要首先考虑转化为指数运算，而不是首先转化为熟悉的根式运算，如8＝＝＝4.
例2
用分数指数幂的形式表示下列各式．
a3·；a2·；(a>0)．
活动：学生观察、思考，根据解题的顺序，把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质来运算，根式化为分数指数幂时，要由里往外依次进行，把握好运算性质和顺序，学生讨论交流自己的解题步骤，教师评价学生的解题情况，鼓励学生注意总结．
解：a3·＝a3·a＝a3＋＝a；
a2·＝a2·a＝a2＋＝a；
＝(a·a)＝(a)＝a.
点评：利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质进行根式运算时，其顺序是先把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质来运算．对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，没有特别要求，就用分数指数幂的形式来表示，但结果不能既有分数指数又有根式，也不能既有分母又有负指数．
例3
计算下列各式(式中字母都是正数)．
(1)(2ab)(－6ab)÷(－3ab)；
(2)(mn)8.
活动：先由学生观察以上两个式子的特征，然后分析，四则运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的，整数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后，其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序，再解答，把自己的答案用投影仪展示出来，相互交流，其中要注意到(1)小题是单项式的乘除运算，可以用单项式的乘除法运算顺序进行，要注意符号，第(2)小题是乘方运算，可先按积的乘方计算，再按幂的乘方进行计算，熟悉后可以简化步骤．
解：(1)原式＝[2×(－6)÷(－3)]ab＝4ab0＝4a；
(2)(mn)8＝(m)8(n)8＝mn＝m2n－3＝.
点评：分数指数幂不表示相同因式的积，而是根式的另一种写法．有了分数指数幂，就可把根式转化成分数指数幂的形式，用分数指数幂的运算法则进行运算了．
本例主要是指数幂的运算法则的综合考查和应用．
变式训练求值：(1)3··；(2).解：(1)3··＝3·3·3·3＝31＋＋＋＝32＝9；(2)＝()＝()＝＝＝m2n－4.
例4
计算下列各式：
(1)(－)÷；
(2)(a＞0)．
活动：先由学生观察以上两个式子的特征，然后分析，化为同底．利用分数指数幂计算，在第(1)小题中，只含有根式，且不是同次根式，比较难计算，但把根式先化为分数指数幂再计算，这样就简便多了，第(2)小题也是先把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算，最后写出解答．
解：(1)原式＝(25－125)÷25＝(5－5)÷5
＝5－5＝5－5＝－5；
(2)＝＝a＝a＝.
课本本节练习 1、2、3.
[补充练习]
教师用实物投影仪把题目投射到屏幕上让学生解答，教师巡视，启发，对做得好的同学给予表扬鼓励．
1．(1)下列运算中，正确的是( )
A．a2·a3＝a6
B．(－a2)3＝(－a3)2
C．(－1)0＝0
D．(－a2)3＝－a6
(2)下列各式①，②，③，④(各式的n∈N，a∈R)中，有意义的是( )
A．①②
B．①③
C．①②③④
D．①③④
(3)()2·()2等于( )
A．a
B．a2
C．a3
D．a4
(4)把根式－2改写成分数指数幂的形式为( )
A．－2(a－b)
B．－2(a－b)
C．－2(a－b)
D．－2(a－b)
(5)化简(ab)(－3ab)÷(ab)的结果是( )
A．6a
B．－a
C．－9a
D．9a
2．计算：(1)0.027－(－)－2＋256－3－1＋(－1)0＝__________.
(2)设5x＝4,5y＝2，则52x－y＝__________.
3．已知x＋y＝12，xy＝9且x＜y，求的值．
答案：1.(1)D (2)B (3)B (4)A (5)C 2.(1)19 (2)8
3．解：＝.
因为x＋y＝12，xy＝9，所以(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝144－36＝108＝4×27.
又因为x＜y，所以x－y＝－2×3＝－6.
所以原式＝＝＝－.
1．化简：.
活动：学生观察式子特点，考虑x的指数之间的关系可以得到解题思路，应对原式进行因式分解，根据本题的特点，注意到：
x－1＝(x)3－13＝(x－1)·(x＋x＋1)；
x＋1＝(x)3＋13＝(x＋1)·(x－x＋1)；
x－x＝x[(x)2－1]＝x(x－1)(x＋1)．
构建解题思路教师适时启发提示．
解：
＝
＝x－1＋x－x＋1－x－x＝－x.
点拨：解这类题目，要注意运用以下公式，
(a－b)(a＋b)＝a－b，
(a±b)2＝a±2ab＋b，
(a±b)(a ab＋b)＝a±b.
2．已知a＋a－＝3，探究下列各式的值的求法．
(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2；(3).
解：(1)将a＋a-＝3，两边平方，得a＋a－1＋2＝9，即a＋a－1＝7；
(2)将a＋a－1＝7两边平方，得a2＋a－2＋2＝49，即a2＋a－2＝47；
(3)由于a－a-＝(a)3－(a-)3，
所以有＝a＋a－1＋1＝8.
点拨：对“条件求值”问题，一定要弄清已知与未知的联系，然后采取“整体代换”或“求值后代换”两种方法求值．
活动：教师，本节课同学们有哪些收获？请把你的学习收获记录在你的笔记本上，同学们之间相互交流．同时教师用投影仪显示本堂课的知识要点：
(1)分数指数幂的意义就是：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a>0，m，n∈N
，n>1)，正数的负分数指数幂的意义是a＝＝(a>0，m，n∈N
，n>1)，零的正分数次幂等于零，零的负分数指数幂没有意义．
(2)规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数．
(3)有理数指数幂的运算性质：对任意的有理数r、s，均有下面的运算性质：
①ar·as＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)，
②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)，
③(a·b)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
(4)说明两点：
①分数指数幂的意义是一种规定，我们前面所举的例子只表明这种规定的合理性，其中没有推出关系．
②整数指数幂的运算性质对任意的有理数指数幂也同样适用．因而分数指数幂与根式可以互化，也可以利用(an)＝a＝am来计算．
课本习题2.1A组 2、4.
本节课是分数指数幂的意义的引出及应用，分数指数是指数概念的又一次扩充，要让学生反复理解分数指数幂的意义，教学中可以通过根式与分数指数幂的互化来巩固加深对这一概念的理解，用观察、归纳和类比的方法完成，由于是硬性的规定，没有合理的解释，因此多安排一些练习，强化训练，巩固知识，要辅助以信息技术的手段来完成大容量的课堂教学任务．第一节指数函数第六课时
导入新课
思路1.我们在学习指数函数的性质时，利用了指数函数的图象的特点，并且是用类比和归纳的方法得出，在上节课的探究中我们知道，函数①y＝3x，②y＝3x＋1，③y＝3x－1的图象之间的关系，由其中的一个可得到另外两个的图象，那么，对y＝ax与y＝ax＋m(a>0，m∈R)有着怎样的关系呢？在理论上，含有指数函数的复合函数是否具有奇偶性呢？这是我们本堂课研究的内容．教师点出课题：指数函数及其性质的应用(2)．
思路2.我们在第一章中，已学习了函数的性质，特别是单调性和奇偶性是某些函数的重要特点，我们刚刚学习的指数函数，严格地证明了指数函数的单调性，便于我们在解题时应用这些性质，在实际生活中，往往遇到的不单单是指数函数，还有其他形式的函数，有的是指数函数的复合函数，我们需要研究它的单调性和奇偶性，这是我们面临的问题，也是我们本节课要解决的问题——指数函数及其性质的应用(2)．
推进新课
1 指数函数有哪些性质？
2 利用单调性的定义证明函数单调性的步骤有哪些？
3 对复合函数，如何证明函数的单调性？
4 如何判断函数的奇偶性，有哪些方法？
活动：教师引导，学生回忆，教师提问，学生回答，积极交流，及时评价学生，学生有困惑时加以解释，可用多媒体显示辅助内容．
讨论结果：(1)指数函数的图象和性质
一般地，指数函数y＝ax在底数a＞1及0＜a＜1这两种情况下的图象和性质如下表所示：
a>1
0图象
图象特征
图象分布在一、二象限，与y轴相交，落在x轴的上方
都过点(0,1)
第一象限的点的纵坐标都大于1；第二象限的点的纵坐标都大于0且小于1
第一象限的点的纵坐标都大于0且小于1；第二象限的点的纵坐标都大于1
从左向右图象逐渐上升
从左向右图象逐渐下降
性质
(1)定义域：R
(2)值域：(0，＋∞)
(3)过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1
(4)x>0时，y>1；x<0时，0(4)x>0时，01
(5)在R上是增函数
(5)在R上是减函数
(2)依据函数单调性的定义证明函数单调性的步骤是：
①取值．即设x1、x2是该区间内的任意两个值且x1＜x2.
②作差变形．即求f(x2)－f(x1)，通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形．
③定号．根据给定的区间和x2－x1的符号确定f(x2)－f(x1)的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论．
④判断．根据单调性定义作出结论．
(3)对于复合函数y＝f(g(x))可以总结为：
当函数f(x)和g(x)的单调性相同时，复合函数y＝f(g(x))是增函数；
当函数f(x)和g(x)的单调性相异即不同时，复合函数y＝f(g(x))是减函数；
又简称为口诀“同增异减”．
(4)判断函数的奇偶性：
一是利用定义法，即首先是定义域关于原点对称，再次是考查式子f(x)与f(－x)的关系，最后确定函数的奇偶性；
二是作出函数图象或从已知图象观察，若图象关于原点或y轴对称，则函数具有奇偶性．
例1在同一坐标系下作出下列函数的图象，并指出它们与指数函数y＝2x的图象的关系．
(1)y＝2x＋1与y＝2x＋2；(2)y＝2x－1与y＝2x－2.
活动：教师适当时候点拨，学生回想作图的方法和步骤，特别是指数函数图象的作法，学生回答并到黑板上作图，教师指点学生，列出对应值表，抓住关键点，特别是(0,1)点，或用计算机作图．
解：(1)列出函数数据表作出图象如图6.
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
2x
…
0.125
0.25
0.5
1
2
4
8
…
2x＋1
…
0.25
0.5
1
2
4
8
16
…
2x＋2
…
0.5
1
2
4
8
16
32
…
图6
比较可知函数y＝2x＋1、y＝2x＋2与y＝2x的图象的关系为：将指数函数y＝2x的图象向左平行移动1个单位长度，就得到函数y＝2x＋1的图象；将指数函数y＝2x的图象向左平行移动2个单位长度，就得到函数y＝2x＋2的图象．
(2)列出函数数据表作出图象如图7.
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
2x
…
0.125
0.25
0.5
1
2
4
8
…
2x－1
…
0.062
5
0.125
0.25
0.5
1
2
4
…
2x－2
…
0.031
25
0.062
5
0.125
0.25
0.5
1
2
…
图7
比较可知函数y＝2x－1、y＝2x－2与y＝2x的图象的关系为：将指数函数y＝2x的图象向右平行移动1个单位长度，就得到函数y＝2x－1的图象；将指数函数y＝2x的图象向右平行移动2个单位长度，就得到函数y＝2x－2的图象．
点评：类似地，我们得到y＝ax与y＝ax＋m(a>0，a≠1，m∈R)之间的关系：
y＝ax＋m(a>0，m∈R)的图象可以由y＝ax的图象变化而来．
当m>0时，y＝ax的图象向左移动m个单位得到y＝ax＋m的图象；
当m<0时，y＝ax的图象向右移动|m|个单位得到y＝ax＋m的图象．
上述规律也简称为“左加右减”．
变式训练 为了得到函数y＝2x－3－1的图象，只需把函数y＝2x的图象( )A．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度B．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度C．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度D．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度答案：A点评：对于有些复合函数的图象，常用变换方法作出.
例2
已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．
(1)求a，b的值；
(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．
活动：学生审题，考虑解题思路．求值一般是构建方程，求取值范围一般要转化为不等式，如果有困难，教师可以提示，(1)从条件出发，充分利用奇函数的性质，由于定义域为R，所以f(0)＝0，f(－1)＝－f(1)，(2)在(1)的基础上求出f(x)，转化为关于k的不等式，利用恒成立问题再转化．
(1)解：因为f(x)是奇函数，
所以f(0)＝0，即＝0 b＝1.所以f(x)＝；
又由f(1)＝－f(－1)知＝－ a＝2.
(2)解法一：由(1)知f(x)＝＝－＋，易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．
又因f(x)是奇函数，从而不等式：f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0
等价于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(k－2t2)，因f(x)为减函数，由上式推得：
t2－2t>k－2t2，即对一切t∈R有3t2－2t－k>0，
从而判别式Δ＝4＋12k<0，∴k<－.
解法二：由(1)知f(x)＝.
又由题设条件得＋<0，
即(22t2－k＋1＋2)(1－2t2－2t)＋(2t2－2t＋1＋2)(1－22t2－k)<0.
整理得23t2－2t－k>1，因底数2>1，故3t2－2t－k>0，
上式对一切t∈R均成立，从而判别式Δ＝4＋12k<0，即k<－.
点评：记住下列函数的增减性，对解题是十分有用的，若f(x)为增(减)函数，则为减(增)函数．
求函数y＝()|1＋2x|＋|x－2|的单调区间．
活动：教师提示，因为指数含有两个绝对值，要去绝对值，要分段讨论，同时注意底数的大小，分析出指数的单调区间，再确定函数的单调区间，利用复合函数的单调性学生思考讨论，然后解答．
解：由题意可知2与－是区间的分界点．
当x<－时，因为y＝()－1－2x－x＋2＝()1－3x＝23x－1＝·8x，
所以此时函数为增函数．
当－≤x<2时，因为y＝()1＋2x－x＋2＝()3＋x＝2－3－x＝·()x，
所以此时函数为减函数．
当x≥2时，因为y＝()1＋2x＋x－2＝()3x－1＝21－3x＝2·()x，
所以此时函数为减函数．
当x1∈[－，2)，x2∈[2，＋∞)时，因为2·()x2－·()x1＝2·2－3x2－2－3·2－x1＝21－3x2－2－3－x1，
又因为1－3x2－(－3－x1)＝4－3x2＋x1＝4＋x1－3x2<0，所以1－3x2<－3－x1，
即2·()x2<·()x1.
所以此时函数为减函数．
综上所述，函数f(x)在(－∞，－]上单调递增，在[－，＋∞)上单调递减．
设m<1，f(x)＝，若0(1)f(a)＋f(1－a)的值；
(2)f()＋f()＋f()＋…＋f()的值．
活动：学生思考，观察，教师提示学生注意式子的特点，做这种题目，一定要有预见性，即第(2)问要用到第(1)问的结果，联系函数的知识解决．
解：(1)f(a)＋f(1－a)＝＋＝＋＝＋＝＋＝＝1.
(2)f()＋f()＋f()＋…＋f()
＝[f()＋f()]＋[f()＋f()]＋…＋[f()＋f()]
＝500×1＝500.
点评：第(2)问是第(1)问的继续，第(1)问是第(2)问的基础，两个问题是衔接的，利用前一个问题解决后一个问题是我们经常遇到的情形，要注意问题与问题之间的联系．
本节课复习了指数函数的性质，借助指数函数的性质的运用，我们对函数的单调性和奇偶性又进行了复习巩固，利用单调性和奇偶性解决了一些问题，对常考的函数图象的变换进行了学习，要高度重视，在不断学习中升华提高．
课本习题2.1B组 2.
指数函数作为一类基本的初等函数，它虽然不具有函数通性中的奇偶性，但是它与其他函数复合构成具有比较复杂的单调性的函数，同时也可以复合出比较特殊的奇函数和偶函数，判断复合函数的单调性和奇偶性要十分小心，严格按规定的要求，有时借助数形结合可帮我们找到解题思路，本堂课是在以前基础上的提高与深化，同时又兼顾了高考常考的内容，因此涉及面广，容量大，要集中精力，加快速度，高质量完成教学任务．
富兰克林的遗嘱与拿破仑的诺言
富兰克林利用放风筝而感受到电击，从而发明了避雷针．这位美国著名的科学家死后留下了一份有趣的遗嘱：
“……一千英镑赠给波士顿的居民，如果他们接受了这一千英镑，那么这笔钱应该托付给一些挑选出来的公民，他们得把这些钱按每年5%的利率借给一些年轻的手工业者去生息．这些钱过了100年增加到131
000英镑．我希望那时候用100
000英镑来建立一所公共建筑物，剩下的31
000英镑拿去继续生息100年．在第二个100年末了，这笔钱增加到4
061
000英镑，其中1
061
000英镑还是由波士顿的居民来支配，而其余的3
000
000英镑让马萨诸塞州的公众来管理．过此之后，我可不敢主张了！”
你可曾想过：区区的1
000英镑遗产，竟立下几百万英镑财产分配的遗嘱，是“信口开河”，还是“言而有据”呢？事实上，只要借助于复利公式，同学们完全可以通过计算而作出自己的判断．
yn＝m(1＋a)n就是复利公式，其中m为本金，a为年利率，yn为n年后本金与利息的总和．在第一个100年末富兰克林的财产应增加到：y100＝1
000(1＋5%)100≈131
501(英镑)，比遗嘱中写的还多出约501英镑．在第二个100年末，遗产就更多了：y100′＝31
501(1＋5%)100≈4
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421(英镑)．可见富兰克林的遗嘱是有科学根据的．
遗嘱故事启示我们：在指数效应下，微薄的财产，低廉的利率，可以变得令人瞠目结舌．威名显赫的拿破仑，由于陷进了指数效应的漩涡而使法国政府十分难堪！
1797年，拿破仑参观国立卢森堡小学，赠上了一束价值三个金路易的玫瑰花，并许诺只要法兰西共和国存在一天，他将每年送一束价值相等的玫瑰花，以作两国友谊的象征．由于连年征战，拿破仑忘却了这一诺言！1894年，卢森堡王国郑重地向法兰西共和国提出了“玫瑰花悬案”，要求法国政府在拿破仑的声誉和1
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596法郎的债款中，二者选取其一．这笔巨款就是三个金路易的本金，以5%的年利率，在97年的指数效应下的产物．