第二节对数函数第四课时
教学分析
有了指数函数的图象和性质的学习经历，以及对数知识的知识准备，对数函数概念的引入、对数函数图象和性质的研究便水到渠成．
对数函数的概念是通过一个关于细胞分裂次数的确定的实际问题引入的，既说明对数函数的概念来自实践，又便于学生接受．在教学中，学生往往容易忽略对数函数的定义域，因此，在进行定义教学时，要结合指数式强调说明对数函数的定义域，加强对对数函数定义域为(0，＋∞)的理解．在理解对数函数概念的基础上掌握对数函数的图象和性质，是本节的教学重点，而理解底数a的值对于函数值变化的影响(即对对数函数单调性的影响)是教学的一个难点，教学时要充分利用图象，数形结合，帮助学生理解．
为了便于学生理解对数函数的性质，教学时可以先让学生在同一坐标系内画出函数y＝log2x和y＝logx的图象，通过两个具体的例子，引导学生共同分析它们的性质．有条件的学校也可以利用《几何画板》软件，定义变量a，作出函数y＝logax的图象，通过改变a的值，在动态变化的过程中让学生认识对数函数的图象和性质．
研究了对数函数的图象和性质之后，可以将对数函数的图象和性质与指数函数的图象和性质进行比较，以便加深学生对对数函数的概念、图象和性质的理解，同时也可以为反函数的概念的引出做一些准备．
三维目标
1．理解对数函数的概念，掌握对数函数的性质，了解对数函数在生产实践中的简单应用，培养学生的数学交流能力和与人合作精神，用联系的观点分析问题，通过对对数函数的学习，渗透数形结合、分类讨论等数学思想．
2．能根据对数函数的图象，画出含有对数式的函数的图象，并研究它们的有关性质，使学生用联系的观点分析、解决问题．认识事物之间的相互转化，通过师生双边活动使学生掌握比较同底对数大小的方法，培养学生的数学应用的意识．
3．掌握对数函数的单调性及其判定，会进行同底数的对数和不同底数的对数的大小比较，加深对对数函数和指数函数的性质的理解，深化学生对函数图象变化规律的理解，通过对数函数有关性质的研究，培养观察、分析、归纳的思维能力以及数学交流能力，增强学习的积极性，同时培养学生倾听、接受别人意见的优良品质．
重点难点
重点：对数函数的定义、图象和性质；对数函数性质的初步应用，利用对数函数单调性比较同底对数大小，对数函数的特性以及函数的通性在解决有关问题中的灵活应用．
难点：底数a对对数函数性质的影响，不同底数的对数比较大小，单调性和奇偶性的判断和证明．
课时安排
3课时
第1课时
作者：郝云静
导入新课
思路1.如课本2.2.1的例6，考古学家一般通过提取附着在出土文物、古遗址上死亡物体的残留物，利用t＝logP估算出土文物或古遗址的年代．根据问题的实际意义可知，对于每一个碳14含量P，通过对应关系t＝logP都有唯一确定的年代t与它对应，所以t是P的函数．同理，对于每一个对数式y＝logax中的x，任取一个正的实数值，y均有唯一的值与之对应，所以y是关于x的函数．这就是本节课的主要内容，教师点出课题：对数函数及其性质(1)．
思路2.我们研究指数函数时，曾经讨论过细胞分裂问题，某种细胞分裂时，得到的细胞的个数y是分裂次数x的函数，这个函数可以用指数函数y＝2x表示．现在，我们来研究相反的问题，如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到1万个，10万个，……细胞，那么，分裂次数x就是细胞个数y的函数．根据对数的定义，这个函数可以写成对数的形式就是x＝log2y.如果用x表示自变量，y表示函数，这个函数就是y＝log2x.这一节，我们来研究与指数函数密切相关的函数——对数函数．教师点出课题：对数函数及其性质(1)．
推进新课
(1)用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的，写出存留污垢x表示的漂洗次数y的关系式，请根据关系式计算若要使存留的污垢，不超过原有的，则至少要漂洗几次？
(2)你是否能根据上面的函数关系式，给出一个一般性的概念？
(3)为什么对数函数的概念中明确规定a>0，a≠1
(4)你能求出对数函数的定义域、值域吗？
(5)如何根据对数函数的定义判断一个函数是否是一个对数函数？请你说出它的步骤．
活动：先让学生仔细审题，交流讨论，然后回答，教师提示引导，及时鼓励表扬给出正确结论的学生，引导学生在不断探索中提高自己应用知识的能力，教师巡视，个别辅导，评价学生的结论．
讨论结果：(1)若每次能洗去污垢的，则每次剩余污垢的，漂洗1次存留污垢x＝，漂洗2次存留污垢x＝()2，…，漂洗y次后存留污垢x＝()y，因此y用x表示的关系式是对上式两边取对数得y＝logx，当x＝时，y＝3，因此至少要漂洗3次．
(2)对于式子y＝logx，如果用字母a替代，这就是一般性的结论，即对数函数的定义：
函数y＝logax(a>0且a≠1，x>0)叫做对数函数，对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)，值域为(－∞，＋∞)．
(3)根据对数式与指数式的关系，知y＝logax可化为ay＝x，由指数的概念，要使ay＝x有意义，必须规定a＞0且a≠1.
(4)因为y＝logax可化为x＝ay，不管y取什么值，由指数函数的性质ay＞0，所以x∈(0，＋∞)，对数函数的值域为(－∞，＋∞)．
(5)只有形如y＝logax(a>0且a≠1，x>0)的函数才叫做对数函数，
即对数符号前面的系数为1，底数是不为1的正常数，真数是x的形式，否则就不是对数函数．像y＝loga(x＋1)，y＝2logax，y＝logax＋1等函数，它们是由对数函数变化而得到的，都不是对数函数．
(1)前面我们学习指数函数的时候，根据什么思路研究指数函数的性质，对数函数呢？
(2)前面我们学习指数函数的时候，如何作指数函数的图象？说明它的步骤．
(3)利用上面的步骤，做下列函数的图象：y＝log2x，y＝logx.
(4)观察上面两个函数的图象各有什么特点，再画几个类似的函数图象，看是否也有类似的特点？
(5)根据上述几个函数图象的特点，你能归纳出指数函数的性质吗？
(6)把y＝log2x和y＝logx的图象，放在同一坐标系中，你能发现这两个图象的关系吗？
(7)你能证明上述结论吗？
(8)能否利用y＝log2x的图象画出y＝logx的图象？请说明画法的理由．
活动：教师引导学生回顾需要研究的函数有哪些性质，共同讨论研究对数函数的性质的方法，强调数形结合，函数图象在研究函数性质中的作用，注意从具体到一般的思想方法的运用，渗透概括能力的培养，进行课堂巡视，个别辅导，投影展示画的好的部分学生的图象，同时投影展示课本表23，及图2.21,2.22及2.23，及时评价学生，补充学生回答中的不足．学生独立思考，提出研究对数函数性质的思路，独立画图，观察图象及表格，表述自己的发现，同学们相互交流，形成对对数函数性质的认识，推荐代表发表本组的集体认识．
讨论结果：(1)我们研究函数时，根据图象研究函数的性质，由具体到一般，一般要考虑函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，有时也通过画函数图象，从图象的变化情况来看函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等性质．
(2)一般是列表、描点、连线，借助多媒体手段画出图象，用计算机作函数的图象．
(3)列表(学生自己完成)：
X
0.25
0.5
1
2
4
8
16
32
…
y＝log2x
－2
－1
0
1
2
3
4
5
…
y＝logx
2
1
0
－1
－2
－3
－4
－5
…
作图1、图2：
图1
图2
(4)通过观察图1，可知y＝log2x的图象分布在y轴右边，说明定义域是正实数．图象上下延伸，无止境，说明值域是全体实数．图象自左至右是上升的，说明是增函数，图象经过点(1,0)，当x>1时y>0，当0
通过观察图2，可知y＝logx的图象分布在y轴右边，说明定义域是正实数．图象上下延伸，无止境，说明值域是全体实数．图象自左至右是下降的，说明是减函数，图象经过点(1,0)，当x>1时y<0，当00，图象不关于x轴对称，也不关于y轴对称．定义域不关于原点对称，说明函数既不是奇函数也不是偶函数．
可以再画下列函数的图象：y＝log6x，y＝logx，以作比较，重新观察函数图象的特点，推广到一般的情形．
(5)通过以上观察我们得到对数函数图象的特点进而得出函数的性质．
图象的特征
函数的性质
(1)图象都在y轴的右边
(1)定义域是(0，＋∞)
(2)函数图象都经过(1,0)点
(2)1的对数是0
(3)从左往右看，当a＞1时，图象逐渐上升，当0＜a＜1时，图象逐渐下降
(3)当a＞1时，y＝logax是增函数，当0＜a＜1时，y＝logax是减函数
(4)当a＞1时，函数图象在(1,0)点右边的纵坐标都大于0，在(1,0)点左边的纵坐标都小于0；当0＜a＜1时，图象正好相反，在(1,0)点右边的纵坐标都小于0，在(1,0)点左边的纵坐标都大于0
(4)当a＞1时，x＞1，则logax＞0，0＜x＜1，则logax＜0；当0＜a＜1时，x＞1，则logax＜0，0＜x＜1，则logax>0
由上述表格可知，对数函数的性质如下：
a>1
0图象
性质
定义域：(0，＋∞)
值域：R
过点(1,0)，即当x＝1时，y＝0
x∈(0,1)时，y<0；x∈(1，＋∞)时，y>0
x∈(0,1)时，y>0；x∈(1，＋∞)时，y<0
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
(6)在同一坐标系中作出y＝log2x和y＝logx两个函数的图象如图3.
经过仔细研究观察发现，它们的图象关于x轴对称．
图3
(7)证明：设点P(x1，y1)是y＝log2x上的任意一点，它关于x轴的对称点是P1(x1，－y1)，它满足方程y＝logx＝－log2x，即点P1(x1，－y1)在y＝logx的图象上，反之亦然，所以y＝log2x和y＝logx两个函数的图象关于x轴对称．
(8)因为y＝log2x和y＝logx两个函数的图象关于x轴对称，所以，可以根据y＝log2x的图象，利用轴对称的性质画出y＝logx的图象，同学们一定要掌握这种作图的方法，对以后的学习非常有好处．下面我们看它们的应用．
例1
求下列函数的定义域：
(1)y＝logax2；(2)y＝loga(4－x)．
活动：学生回忆，教师提示，师生共同完成解题过程．此题主要利用对数函数y＝logax的定义域为(0，＋∞)求解．①若函数解析式中含有分母，分母不能为0；②若函数解析式中含有根号，要注意偶次根号下非负；③0的0次幂没有意义；④若函数解析式中含有对数式，要注意对数的真数大于0，底数大于0而不等于1.
解：(1)由x2>0得x≠0，所以函数y＝logax2的定义域是{x|x≠0}；
(2)由4－x>0得x<4，所以函数y＝loga(4－x)的定义域是{x|x<4}．
点评：该题主要考查对数函数y＝logax的定义域为(0，＋∞)这一限制条件，根据函数的解析式，列出相应不等式或不等式组，解不等式或不等式组即可.
变式训练1．课本本节练习2.2．求下列函数的定义域：(1)y＝log3(1－x)； (2)y＝；(3)y＝log7；
(4)y＝.解：(1)由1－x＞0得x＜1，所以所求函数定义域为{x|x＜1}．
(2)由log2x≠0，得x≠1，又x＞0，所以所求函数定义域为{x|x＞0且x≠1}．(3)由得x<，所以所求函数定义域为{x|x＜}．(4)由得所以x≥1.所以所求函数定义域为{x|x≥1}.
例2
溶液酸碱度的测量．
溶液酸碱度是通过pH刻画的．pH的计算公式为pH＝－lg[H＋]，其中[H＋]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升．
(1)根据对数函数性质及上述pH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；
(2)已知纯净水中氢离子的浓度为[H＋]＝10－7摩尔/升，计算纯净水的pH.
活动：学生审题，教师巡视，学生展示思维过程．此题主要利用对数及对数函数的性质求解．首先利用对数的运算性质把pH＝－lg
[H＋]化为pH＝lg，再利用对数函数的性质来说明．
解：(1)根据对数的运算性质，有pH＝－lg[H＋]＝lg[H＋]－1＝lg.在(0，＋∞)上，随着[H＋]的增大，减小，相应地，lg也减小，即pH减小．所以，随着[H＋]的增大，pH减小，即溶液中氢离子的浓度越大，溶液的酸度就越大．
(2)当[H＋]＝10－7时，pH＝－lg10－7，所以纯净水的pH是7.
点评：注意数学在实际问题中的应用．
课本本节练习1.
【补充练习】
求下列函数的定义域：
(1)f(x2－2)＝lg；(2)y＝.
解：(1)设x2－2＝t，则x2＝2＋t，所以＝.
所以f(t)＝lg，即f(x)＝lg.
因为x2≥0，所以t＝x2－2≥－2，又>0，所以t＞3.
所以所求函数定义域为{x|x＞3}．
(2)要使函数有意义需得得
所以所求函数定义域为{x|－2≤x＜或＜x＜0或1＜x＜或＜x≤2}．
在同一坐标系中，画出函数y＝log3x，y＝logx，y＝log2x，y＝logx的图象，比一比，看它们之间有何区别与联系．
活动：教师引导学生回顾作函数图象的方法与步骤，共同讨论研究对数函数的性质的方法，强调数形结合，强调函数图象在研究函数性质中的作用，注意从具体到一般的思想方法的运用，渗透概括能力的培养，进行课堂巡视，个别辅导，及时评价学生，学生独立思考，独立画图，观察图象及表格，表述自己的发现，同学们相互交流，形成对对数函数性质的认识．计算机画出如下图象(如图4)．
图4
可以看到：所有图象都跨越一、四象限，任何两个图象都是交叉出现的，交叉点是(1,0)；
当a>1时，图象向下与y轴的负半轴无限靠拢，在点(1,0)的右侧，函数值恒大于0，对同一自变量x而言，底数越大，函数值越小；在点(1,0)的左侧，函数值恒小于0，对同一自变量x而言，底数越大，函数值越大．
当0以此为依据，可定性地分析在同一坐标系中，底数不同的若干个对数函数的底数的大小关系．
怎样定量分析同一坐标系中，底数不同的对数函数的底数的大小呢？我们知道，对于对数函数y＝logax，当y＝1时，x＝a，而a恰好又是对数函数的底数，这就启发我们，不妨作直线y＝1，它同各个图象相交，交点的横坐标恰好就是对数函数的底数，以此可比较底数的大小．
同时，根据不同图象间的关系，也可比较真数相同，底数不同的对数函数值的大小，如log23log0.62等．
除了上述两种情况外，对于底数和真数都不同的函数值也可通过媒介值“0”或“1”去比较大小．
如log1.50.5与log0.50.3，因为log1.50.5<0，log0.50.3>0，
所以log1.50.5又如log21.5与log0.50.4，因为log21所以0log0.50.5＝1，所以log0.50.4>log21.5.
1．对数函数的概念．
2．对数函数的图象与性质．
3．函数定义域的求法及函数奇偶性的判定方法．
4．数形结合与转化的数学思想．
课本习题2.2A组 7、8、9、10.
本节课是在前面研究了对数及常用对数、指数函数的基础上，研究的第二类具体初等函数，它有着丰富的内涵，和我们的实际生活联系密切，也是以后学习的基础，鉴于这种情况，安排教学时，要充分利用函数图象，数形结合，无论是导入还是概念得出的过程，都比较详细，因此课堂容量大，要提高学生互动的积极性，特别是归纳出对数函数的图象和性质后，要与指数函数的图象和性质进行比较，加深对数函数的概念、图象和性质的理解，要提高课堂的效率和节奏，多运用信息化的教学手段，顺利完成本堂课的任务．第二节对数函数第二课时
教学目标
1．知识与技能
(1)通过实例推导对数的运算性质，准确地运用对数运算性质进行运算、求值、化简，并掌握化简求值的技能．
(2)运用对数运算性质解决有关问题．
(3)培养学生分析、解决问题的能力．
培养学生的数学应用意识和科学分析问题的精神和态度．
2．过程与方法
(1)让学生经历并推导出对数的运算性质．
(2)让学生归纳整理本节所学的知识．
3．情感态度与价值观
让学生感觉对数运算性质的重要性，增加学生的成功感，增强学习的积极性．
重点难点
重点：对数运算的性质与对数知识的应用．
难点：正确使用对数的运算性质．
导入新课
思路1.上节课我们学习了以下内容：
1．对数的定义．
2．指数式与对数式的互化．
ab＝N logaN＝b.
3．重要性质：
(1)负数与零没有对数；(2)loga1＝0，logaa＝1；(3)对数恒等式alogaN＝N.
下面我们接着讲对数的运算性质〔教师板书课题：对数与对数运算(2)〕．
思路2.我们在学习指数的时候，知道指数有相应的运算法则，即指数运算法则：
am·an＝am＋n；am÷an＝am－n；(am)n＝amn；＝a.(a>0且a≠1)
从上节课我们还知道指数与对数都是一种运算，而且它们互为逆运算，对数是否也有和指数相类似的运算法则呢？答案是肯定的，这就是本堂课的主要内容，点出课题：对数与对数运算(2)．
推进新课
(1)在上节课中，我们知道，对数运算可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数运算性质，得出相应的对数运算性质吗？
(2)如我们知道am＝M，an＝N，am·an＝am＋n，那m＋n如何表示，能用对数式运算吗？
(3)在上述(2)的条件下，类比指数运算性质能得出其他对数运算性质吗？
(4)你能否用最简练的语言描述上述结论？如果能，请描述．
(5)上述运算性质中的字母的取值有什么限制吗？
(6)上述结论能否推广呢？
(7)学习这些性质能对我们进行对数运算带来哪些方便呢？
讨论结果：(1)通过问题(2)来说明．
(2)如am·an＝am＋n，设M＝am，N＝an，于是MN＝am＋n，由对数的定义得到M＝am m＝logaM，N＝an n＝logaN，MN＝am＋n m＋n＝logaMN，logaMN＝logaM＋logaN.
因此m＋n可以用对数式表示．
(3)令M＝am，N＝an，则＝am÷an＝am－n，所以m－n＝loga.
又由M＝am，N＝an，所以m＝logaM，n＝logaN.
所以logaM－logaN＝m－n＝loga，即loga＝logaM－logaN.
设M＝am，则Mn＝(am)n＝amn.由对数的定义，
所以logaM＝m，logaMn＝mn.所以logaMn＝mn＝nlogaM，即logaMn＝nlogaM.
这样我们得到对数的三个运算性质：
如果a>0，a≠1，M>0，N>0，则有
loga(MN)＝logaM＋logaN；①
loga＝logaM－logaN；②
logaMn＝nlogaM(n∈R)．③
(4)以上三个性质可以归纳为：
性质①：两数积的对数，等于各数的对数的和；
性质②：两数商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数；
性质③：幂的对数等于幂指数乘以底数的对数．
(5)利用对数运算性质进行运算，所以要求a>0，a≠1，M>0，N>0.
(6)性质①可以推广到n个数的情形：
即loga(M1M2M3…Mn)＝logaM1＋logaM2＋logaM3＋…＋logaMn(其中a>0，a≠1，M1、M2、M3、…、Mn均大于0)．
(7)纵观这三个性质我们知道，
性质①的等号左端是乘积的对数，右端是对数的和，从左往右看是一个降级运算．
性质②的等号左端是商的对数，右端是对数的差，从左往右是一个降级运算，从右往左是一个升级运算．
性质③从左往右仍然是降级运算．
利用对数的性质①②可以使两正数的积、商的对数转化为两正数的各自的对数的和、差运算，大大的方便了对数式的化简和求值．
例1
用logax，logay，logaz表示下列各式：
(1)loga；(2)loga.
活动：学生思考观察，教师巡视，检查学生解题情况，发现问题及时纠正．
利用对数的运算性质，把整体分解成部分．
对(1)loga，可先利用性质②，转化为两数对数的差，再利用性质①，把积的对数转化为两数对数的和．
对(2)loga，可先利用性质②，转化为两数对数的差，再利用性质①，把积的对数转化为两数对数的和，最后利用性质③，转化为幂指数与底数的对数的积．
解：(1)loga＝loga(xy)－logaz＝logax＋logay－logaz；
(2)loga＝loga(x2)－loga
＝logax2＋loga－loga＝2logax＋logay－logaz.
点评：对数的运算性质实质上是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘的运算．
变式训练1．若a>0，a≠1，x>0，y>0，x>y，下列式子正确的个数为( )①logax·logay＝loga(x＋y)；②logax－logay＝loga(x－y)；③loga＝logax÷logay；④loga(xy)＝logax·logay.A．0
B．1
C．2
D．3答案：A2．若a>0，a≠1，x>y>0，n∈N
，下列式子正确的个数为( )①(logax)n＝nlogax；②(logax)n＝logaxn；③logax＝－loga；④＝loga；⑤＝logax；⑥logax＝loga；⑦logaxn＝nlogax；⑧loga＝－loga.A．3
B．4
C．5
D．6答案：B
例2
求值：(1)log3；(2)log3.
解：(1)解法一：设log3＝x，则()x＝3＝()3，所以x＝3.
解法二：log3＝log()3＝3.
(2)解法一：令x＝log3，则3x＝，即3x＝3－3，
所以x＝－3.
解法二：log3＝log33－3＝－3.
例3
计算：
(1)lg14－2lg＋lg7－lg18；(2)；(3).
解：(1)解法一：lg14－2lg＋lg7－lg18＝lg(2×7)－2(lg7－lg3)＋lg7－lg(32×2)＝lg2＋lg7－2lg7＋2lg3＋lg7－2lg3－lg2＝0.
解法二：lg14－2lg＋lg7－lg18＝lg14－lg()2＋lg7－lg18＝lg＝lg1＝0.
(2)＝＝＝.
(3)＝
＝＝.
点评：此例题体现对数运算性质的综合运用，应注意掌握变形技巧，如(3)题各部分变形要化到最简形式，同时注意分子、分母的联系；(2)题要避免错用对数运算性质．特别是对数运算性质的灵活运用、运算性质的逆用常被学生所忽视．
例4
设x＝log23，求的值．
活动：学生思考观察，教师引导，学生有困难及时提示并评价学生的思考过程．本题主要考查对数的定义及其运算性质．先利用对数定义求2x，再求23x，从而可求，或先化简再代入求值．
解法一：由x＝log23，得2x＝3,2－x＝，所以＝＝32＋3×＋()2＝.
解法二：＝＝22x＋1＋2－2x＝32＋1＋()2＝.
课本本节练习第1、2、3题．
【补充练习】
1．用logax，logay，logaz，loga(x＋y)，loga(x－y)表示下列各式：
(1)loga；(2)loga(x·)；(3)loga(xyz－)；(4)loga；
(5)loga(·y)；(6)loga[]3.
解：(1)loga＝loga－logay2z＝logax－(2logay＋logaz)
＝logax－2logay－logaz；
(2)loga(x·)＝logax＋loga＝logax＋(logaz3－logay2)
＝logax－logay＋logaz＝logax－logay＋logaz；
(3)loga(xyz－)＝logax＋logay＋logaz－＝logax＋logay－logaz；
(4)loga＝logaxy－loga(x2－y2)＝logax＋logay－loga(x＋y)(x－y)
＝logax＋logay－loga(x＋y)－loga(x－y)；
(5)loga(·y)＝loga＋logay＝loga(x＋y)－loga(x－y)＋logay；
(6)loga[]3＝3[logay－logax－loga(x－y)]＝3logay－3logax－3loga(x－y)．
2．已知f(x6)＝log2x，则f(8)等于( )
A.
B．8
C．18
D.
解析：因为f(x6)＝log2x，x＞0，令x6＝8，得x＝2＝2，所以f(8)＝log22＝.
另解：因为f(x6)＝log2x＝log2x6，所以f(x)＝log2x.
所以f(8)＝log28＝log223＝.
答案：D
已知x、y、z>0，且lgx＋lgy＋lgz＝0，求x＋·y＋·z＋的值．
活动：学生讨论、交流、思考，教师可以引导．大胆设想，运用对数的运算性质．由于所求的式子是三项积的形式，每一项都有指数，指数中又有对数，因此想到用对数的运算性质，如果能对所求式子取对数，那可能会好解决些，故想到用参数法，设所求式子的值为t.
解：令x＋·y＋·z＋＝t，则lgt＝(＋)lgx＋(＋)lgy＋(＋)lgz＝＋＋＋＋＋＝＋＋＝＋＋＝－3，所以t＝10－3＝即为所求．
1．对数的运算性质．
2．对数的运算性质的综合应用，特别是性质的逆向使用．
3．对数与指数形式比较：
式子
ab＝N
logaN＝b
名称
a——幂的底数b——幂的指数N——幂值
a——对数的底数b——以a为底的N的对数N——真数
运算性质
am·an＝am＋n；am÷an＝am－n；(am)n＝amn；(a>0，a≠1，m、n∈R)
loga(MN)＝logaM＋logaN；loga＝logaM－logaN；logaMn＝nlogaM(n∈R)；(a>0，a≠1，M>0，N>0)
课本习题2.2A组 3、4、5.
在前面研究了对数概念的基础上，为了运算的方便，本节课我们借助指数的运算性质，推出了对数的运算性质，引导学生自己完成推导过程，加深对公式的理解和记忆，对运算性质的认识类比指数的运算性质来理解记忆，强化性质的使用条件，注意对数式中每一个字母的取值范围，由于它是以后学习对数函数的基础，所以安排教学时，要反复练习，加大练习的量，多结合信息化的教学手段，顺利完成本堂课的任务．第二节对数函数第七课时
教学分析
本小节选自《普通高中课程标准数学教科书——数学必修1》(人教A版)第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2.2对数函数及其性质(第1课时)，主要内容是学习对数函数的定义、图象、性质及初步应用．对数函数是继指数函数之后的又一个重要初等函数，无论从知识，还是从思想方法的角度，对数函数与指数函数都有许多类似之处．与指数函数相比，对数函数所涉及的知识更丰富、方法更灵活、能力要求也更高．学习对数函数是对指数函数知识和方法的巩固、深化和提高，也为解决函数综合问题及其在实际上的应用奠定良好的基础．
学生学习情况分析
刚从初中升入高一的学生，仍保留着初中生许多学习特点，能力发展正处于形象思维向抽象思维转折的阶段，但更注重形象思维．由于函数概念十分抽象，又以对数运算为基础，同时，初中函数教学要求降低，初中生运算能力有所下降，以上双重问题增加了对数函数教学的难度．教师必须认识到这一点，教学中要控制要求的拔高，关注学习过程．
设计理念
本节课以建构主义基本理论为指导，以新课标基本理念为依据进行设计，针对学生的学习背景，对数函数的教学首先要挖掘其知识背景贴近学生实际，其次，激发学生的学习热情，把学习的主动权交给学生，为他们提供自主探究、合作交流的机会，确实改变学生的学习方式．
教学目标
1．通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；
2．能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；
3．通过比较、对照的方法，引导学生结合图象类比指数函数，探索研究对数函数的性质，培养学生运用函数的观点解决实际问题．
教学重点与难点
重点：掌握对数函数的图象和性质；
难点：底数对对数函数值变化的影响．
教学流程：背景材料→引出课题→函数图象→函数性质→问题解决→归纳小结．
熟悉背景、引入课题
1．让学生看材料：
材料1(幻灯)：马王堆女尸千年不腐之谜：一九七二年，马王堆考古发现震惊世界，专家发掘西汉辛追遗尸时，形体完整，全身润泽，皮肤仍有弹性，关节还可以活动，骨质比现在六十岁的正常人还好，是世界上发现的首例历史悠久的湿尸．大家知道，世界发现的不腐之尸都是在干燥的环境风干而成，譬如沙漠环境，这类干尸虽然肌肤未腐，是因为干燥不利细菌繁殖，但关节和一般人死后一样，是僵硬的，而马王堆辛追夫人却是在湿润的环境中保存了两千多年，而且关节可以活动．人们最关注有两个问题，第一：怎么鉴定尸体的年份？第二：是什么环境使尸体未腐？其中第一个问题与数学有关．
(如图1，在长沙马王堆“沉睡”近2200年的古长沙国丞相夫人辛追，日前奇迹般地“复活”了)
图1
那么，考古学家是怎么计算出古长沙国丞相夫人辛追“沉睡”近2
200年？前面已经知道考古学家是通过提取尸体的残留物碳14的残留量P，利用t＝logP估算尸体出土的年代，不难发现：对每一个碳14的含量的取值，通过这个对应关系，生物死亡年数t都有唯一的值与之对应，从而t是P的函数；
如图2，材料2(幻灯)：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个……如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到细胞1万个，10万个……不难发现：分裂次数y就是要得到的细胞个数x的函数，即y＝log2x.
图2
2．引导学生观察这些函数的特征：含有对数符号，底数是常数，真数是变量，从而得出对数函数的定义：一般地，我们把函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．
注意：①对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如：y＝2log2x，y＝log5都不是对数函数．②对数函数对底数的限制：a>0，且a≠1.
3．根据对数函数定义填空：
例1
(1)函数y＝logax2的定义域是__________(其中a>0，a≠1)；
(2)函数y＝loga(4－x)的定义域是__________(其中a>0，a≠1)．
说明：本例主要考查对数函数定义中底数和定义域的限制，加深对概念的理解，所以把教材中的解答题改为填空题，节省时间，点到为止，以避免挖深、拓展、引入复合函数的概念．
设计意图
新课标强调“考虑到多数高中生的认知特点，为了有助于他们对函数概念本质的理解，不妨从学生自己的生活经历和实际问题入手”．因此，新课引入不是按旧教材从反函数出发，而是选择从两个材料引出对数函数的概念，让学生熟悉它的知识背景，初步感受对数函数是刻画现实世界的又一重要数学模型．这样处理，对数函数显得不抽象，学生容易接受，降低了新课教学的起点．
尝试画图、形成感知
1．确定探究问题
教师：当我们知道对数函数的定义之后，紧接着需要探讨什么问题？
学生1：对数函数的图象和性质．
教师：你能类比前面研究指数函数的思路，提出研究对数函数图象和性质的方法吗？
学生2：先画图象，再根据图象得出性质．
教师：画对数函数的图象是否像指数函数那样也需要分类？
学生3：按a>1和0教师：观察图象主要看哪几个特征？
学生4：从图象的形状、位置、升降、定点等角度去识图．
教师：在明确了探究方向后，下面按以下步骤共同探究对数函数的图象：
步骤一：(1)用描点法在同一坐标系中画出下列对数函数的图象：
y＝log2x，y＝logx.
(2)用描点法在同一坐标系中画出下列对数函数的图象：
y＝log3x，y＝logx.
步骤二：观察对数函数y＝log2x、y＝log3x与y＝logx、y＝logx的图象特征，看看它们有哪些异同点．
步骤三：利用计算器或计算机，选取底数a(a>0，且a≠1)的若干个不同的值，在同一平面直角坐标系中作出相应对数函数的图象．观察图象，它们有哪些共同特征？
步骤四：规纳出能体现对数函数的代表性图象．
步骤五：作指数函数与对数函数图象的比较．
2．学生探究成果
(1)如图3、4，用描点法画出下列对数函数y＝log2x、y＝logx、y＝log3x、y＝logx的图象．
图3
图4
(2)如图5，学生选取底数a＝、、、、4、5、6、10，并推荐几位代表上台演示“几何画板”，得到相应对数函数的图象．由于学生自己动手，加上“几何画板”的强大作图功能，学生可非常清楚地看到底数a是如何影响函数y＝logax(a>0，且a≠1)图象的变化．
图5
(3)有了这种画图感知的过程以及学习指数函数的经验，学生很明确y＝logax(a>1)、y＝logax(0
y＝logax(a>1)
y＝logax(0图6
(4)学生相互补充，自主发现了图象的下列特征：①图象都在y轴右侧，向y轴正负方向无限延伸；②都过(1,0)点；③当a>1时，图象沿x轴正向逐步上升；当0图7
3．拓展探究：(1)对数函数y＝log2x与y＝logx、y＝log3x与y＝logx的图象有怎样的对称关系？
(2)对数函数y＝logax(a>1)，当a值增大时，图象的上升“程度”怎样？
说明：这是学生探究中容易忽略的地方，通过补充，学生对对数函数图象感性认识就比较全面了．
设计意图
旧教材是通过对称变换直接从指数函数的图象得到对数函数图象，这样处理学生虽然会接受这个事实，但对图象的感觉是肤浅的；这样处理也存在着函数教学忽视图象、性质的认知过程而注重应用的“功利”思想．因此，本节课的设计注重引导学生用特殊到一般的方法探究对数函数图象的形成过程，加深感性认识．同时，帮助学生确定探究问题、探究方向和探究步骤，确保探究的有效性．这个环节，还要借助计算机辅助教学作用，增强学生的直观感受．
理性认识、发现性质
1．确定探究问题
教师：当我们对对数函数的图象有了直观认识后，就可以进一步研究对数函数的性质，提高我们对对数函数的理性认识．同学们，通常研究函数的性质有哪些途径？
学生：主要研究函数的定义域、值域、单调性、对称性、过定点等性质．
教师：现在，请同学们依照研究函数性质的途径，再次联手合作，根据图象特征探究出对数函数的定义域、值域、单调性、对称性、过定点等性质．
2．学生探究成果
在学生自主探究、合作交流的基础上填写如下表格：
函数
y＝logax(a>1)
y＝logax(0图象
定义域
R＋
R＋
值域
R
R
单调性
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
过定点
(1,0)即x＝1时，y＝0
(1,0)即x＝1时，y＝0
取值范围
01时，y>0
00，x＝1时，y＝0，x>1时，y<0
设计意图
发现性质、弄清性质的来龙去脉，是为了更好地揭示对数函数的本质属性，传统教学往往让学生在解题中领悟．为了扭转这种方式，可先引导学生回顾指数函数的性质，再利用类比的思想，小组合作的形式通过图象主动探索出对数函数的性质．教学实践表明：当学生对对数函数的图象已有感性认识后，得到这些性质必然水到渠成．
理性认识、发现性质
【问题一】(幻灯)(教材例8)比较下列各组数中两个值的大小：
(1)log23.4，log28.5；(2)log0.31.8，log0.32.7；
(3)loga5.1，loga5.9(a＞0，且a≠1)．
独立思考：1.构造怎样的对数函数模型？
2．运用怎样的函数性质？
小组交流：(1)y＝log2x是增函数；(2)y＝log0.3x是减函数；
(3)y＝logax，分a>1和0变式训练1.比较下列各题中两个值的大小：(1)log106__________log108；(2)log0.56__________log0.54；(3)log0.10.5__________log0.10.6；(4)log1.50.6__________log1.50.4.2．已知下列不等式，比较正数m，n的大小：(1)log3mlog0.3n；(3)logamlogan(a>1).
【问题二】(幻灯)(教材例9)溶液酸碱度的测量．
溶液酸碱度是通过pH刻画的．pH的计算公式为pH＝－lg
[H＋]，其中[H＋]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升．
(1)根据对数函数性质及上述pH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；
(2)已知纯净水中氢离子的浓度为[H＋]＝10－7摩尔/升，计算纯净水的pH.
独立思考：解决这个问题需选择怎样的模型？运用什么函数性质？
小组交流：pH＝－lg
[H＋]＝lg
[H＋]－1＝lg，随着[H＋]的增大，pH减小，即溶液中氢离子浓度越大，溶液的酸碱度就越大．
设计思路
1．这个环节不作为本节课的重头戏，设置探究问题只是从另一层面上提升学生对性质的理解和应用．问题一是比较大小，始终要紧扣对数函数模型，渗透函数的观点(数形结合)解决问题的思想方法；
2．旧教材在图象与性质之后，通常操练类似比较大小等技巧性过大的问题，而新教材引出问题二，还是强调“数学建模”的思想，并且关注学科间的联系，这种精神应予领会．当然要预计到，实际教学中学生理解这道应用题题意会遇到一些困难，教师要注意引导．
归纳小结、巩固新知
1．议一议：(1)怎样的函数称为对数函数？
(2)对数函数的图象形状与底数有什么样的关系？
(3)对数函数有怎样的性质？
2．看一看：对数函数的图象特征和相关性质：
对数函数的图象特征
对数函数的相关性质
a>1
0a>1
0函数图象都在y轴右侧
函数的定义域为(0，＋∞)
图象关于原点和y轴不对称
非奇非偶函数
向y轴正负方向无限延伸
函数的值域为R
函数图象都过定点(1,0)
loga1＝0
自左向右看，图象逐渐上升
自左向右看，图象逐渐下降
增函数
减函数
第一象限的图象纵坐标都大于0
第一象限的图象纵坐标都大于0
x>1，logax>0
00
第四象限的图象纵坐标都小于0
第四象限的图象纵坐标都小于0
0x>1，logax<0
作业布置、课后自评
1．必做题：教材习题2.2A组 第7、8、9、12题．
2．选做题：教材习题2.2A组 第2题．
从教二十多年，每设计函数的教学，始终存有困惑的感慨，同时也有遇旧如新的喜悦．函数始终是高中数学教学的主线，对数函数始终是高中数学的难点．高中新课改的春风，带来了函数教学设计上的创新，促使我们在学生学习方法上、教学内容的组织上、教学辅助手段上率先尝试，但这只是一个起点，目前教学条件还受到制约，如图形计算器未能普及、课时紧容量大，都影响函数的正常教学，这些都希望能引起大家的广泛关注并深入探讨！第二节对数函数第五课时
导入新课
思路1.复习以下内容：(1)对数函数的定义；(2)对数函数的图象与性质．
这些定义与性质有什么作用呢？这就是我们本堂课的主讲内容，教师点出课题：对数函数及其性质(2)(在黑板上板书)．
思路2.上一节，大家学习了对数函数y＝logax的图象和性质，明确了对数函数的单调性，即当a＞1时，在(0，＋∞)上是增函数；当0＜a＜1时，在(0，＋∞)上是减函数．这一节，我们主要通过对数函数的单调性解决有关问题．教师板书课题：对数函数及其性质(2)．
推进新课
1 根据你掌握的知识，目前比较数的大小有什么方法？
2 判断函数的单调性有哪些方法和步骤？
3 判断函数的奇偶性有哪些方法和步骤？
活动：学生回忆，教师引导，教师提问，学生回答，学生之间可以相互交流讨论，学生有困难教师点拨．
问题(1)学生回顾数的大小的比较方法，有些数一眼就能看出大小，有些数比较抽象，就用到某些函数的图象和性质，要分别对待，具体问题具体分析．
问题(2)学生回顾判断函数的单调性的方法和步骤，严格按步骤与规定．
问题(3)学生回顾判断函数的奇偶性的方法和步骤，严格按步骤与规定．
讨论结果：(1)比较数的大小：
①作差，看两个数差的符号，若为正，则前面的数大．
②作商，但必须是同号数，看商与1的大小，再决定两个数的大小．
③计算出每个数的值，再比较大小．
④是两个以上的数，有时采用中间量比较．
⑤利用图象法．
⑥利用函数的单调性．
(2)常用的方法有定义法、图象法、复合函数的单调性的判断．
利用定义证明单调性的步骤：
①在给定的区间上任取两个自变量的值x1，x2，且x1＜x2.
②作差或作商(同号数)，注意变形．
③判断差的符号，商与1的大小．
④确定增减性．
对于复合函数y＝f[g(x)]的单调性的判断步骤可以总结为：
当函数f(x)和g(x)的单调性相同时，复合函数y＝f[g(x)]是增函数；
当函数f(x)和g(x)的单调性相异即不同时，复合函数y＝f[g(x)]是减函数．
又简称为口诀“同增异减”．
(3)有两种方法：定义法和图象法．
利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：
①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；
②确定f(－x)与f(x)的关系；
③作出相应结论：
若f(－x)＝f(x)或f(－x)－f(x)＝0，则f(x)是偶函数；
若f(－x)＝－f(x)或f(－x)＋f(x)＝0，则f(x)是奇函数．
图象法：
偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．这也可以作为判断函数奇偶性的依据．下面看它们的应用．
例1
比较下列各组数中两个值的大小：
(1)log23.4；log28.5；(2)log0.31.8，log0.32.7；
(3)loga5.1，loga5.9(a＞0，且a≠1)；(4)log75，log67.
活动：学生思考、交流，教师要求学生展示自己的思维过程，并及时评价．对(1)与(2)由数形结合的方法或直接利用对数函数的单调性来完成；作出图象，利用图象法比较；计算出结果；作差利用对数函数的性质．对(3)因为底数的大小不确定，因此要分类讨论，再利用对数函数的单调性；作差利用对数函数的性质；转化为指数函数，再由指数函数的单调性判断大小．对(4)所给的对数式的底数和真数都不相同，可以找一个中间量作为桥梁，通过比较中间量与这两个对数式的大小来比较对数式的大小，一般选择“0”或“1”作为中间量进行比较．
解：(1)解法一：用图形计算器或多媒体画出对数函数y＝log2x的图象，如图5.
图5
在图象上，横坐标为3.4的点在横坐标为8.5的点的下方，
所以log23.4解法二：由函数y＝log2x在R＋上是单调增函数，且3.4＜8.5，
所以log23.4解法三：直接用计算器计算，得log23.4≈1.8，log28.5≈3.1，所以log23.4解法四：作差log23.4－log28.5＝log2，因为2>1，<1，根据对数函数的性质，
所以log2<0，即log23.4(2)log0.31.8>log0.32.7.
(3)解法一：当a＞1时，y＝logax在(0，＋∞)上是增函数且5.1＜5.9，所以loga5.1当0loga5.9.
解法二：转化为指数函数，再由指数函数的单调性判断大小．
令b1＝loga5.1，则ab1＝5.1，令b2＝loga5.9，则ab2＝5.9.
当a＞1时，y＝ax在R上是增函数，且5.1＜5.9，所以b1＜b2，即loga5.1＜loga5.9；
当0＜a＜1时，y＝ax在R上是减函数，且5.1<5.9，所以b1>b2，即loga5.1＞loga5.9.
解法三：作差loga5.1－loga5.9＝loga，<1，由对数函数的性质，
当a＞1时，loga<0，因此loga5.1＜loga5.9；
当0＜a＜1时，loga>0，因此loga5.1＞loga5.9.
(4)解法一：因为函数y＝log7x和函数y＝log6x都是定义域上的增函数，
所以log75＜log77＝1＝log66＜log67.
所以log75＜log67.
解法二：直接利用对数的性质，log75＜1，而log67＞1，因此log75＜log67.
点评：对数函数的单调性取决于对数的底数是大于1还是小于1.而已知条件并未指明时，需要对底数a进行讨论，体现了分类讨论的思想，要求学生逐步掌握．同时本题采用了多种解法，从中还体现了数形结合的思想方法，要注意体会和运用.
变式训练 比较log20.7与log0.8两值的大小．解：考查函数y＝log2x.因为2＞1，所以函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数．又0.7＜1，所以log20.7＜log21＝0.再考查函数y＝logx，因为0＜＜1，所以函数y＝logx在(0，＋∞)上是减函数．又1＞0.8，所以log0.8＞log1＝0.所以log20.7＜log0.8.
点评：题中所给的对数式的底数和真数都不相同，可以找一个中间量作为桥梁，通过比较中间量与这两个对数式的大小来比较对数式的大小，一般选择“0”或“1”作为中间量进行比较，这里的中间量是0.
例2
求下列函数的定义域、值域：
(1)y＝；(2)y＝log2(x2＋2x＋5)．
活动：学生回忆，教师提示，学生展示解题过程，教师巡视，及时评价学生．此题主要利用对数及对数函数的定义及y＝logax的定义域为(0，＋∞)求解．教师引导，学生回答，求函数定义域时应首先考虑函数解析式，这两题既有二次根式，又有对数和指数式，且真数和指数中含有变量，因此考虑被开方数非负、零和负数没有对数等，转化为不等式来解．
解：(1)要使函数有意义，则需2－x2－1－≥0，即－x2－1≥－2 －1≤x≤1，
所以定义域为[－1,1]．
因为－1≤x≤1，所以－1≤－x2≤0，从而－2≤－x2－1≤－1.
所以≤2－x2－1≤.所以0≤2－x2－1－≤.所以0≤y≤.
所以值域为[0，]．
(2)因为x2＋2x＋5＝(x＋1)2＋4≥4对一切实数都恒成立，所以函数定义域为R；
从而log2(x2＋2x＋5)≥log24＝2，即函数值域为[2，＋∞)．
点评：该题主要考查对数函数及其性质，根据函数的解析式，列出相应不等式或不等式组，解不等式或不等式组即可，求值域要根据定义域．
课本本节练习3.
【补充练习】
1．函数y＝的定义域是( )
A．(3，＋∞) B．[3，＋∞)
C．(4，＋∞)
D．[4，＋∞)
2．求y＝log0.3(x2－2x)的单调递减区间．
3．求函数y＝log2(x2－4x)的单调递增区间．
答案：1.要使函数有意义，需log2x－2≥0，log2x≥2，x≥4，因此函数的定义域是[4，＋∞)，选D.
2．先求定义域：由x2－2x＞0，得x(x－2)＞0，所以x＜0或x＞2.
因为函数y＝log0.3t是减函数，故所求单调减区间即为t＝x2－2x在定义域内的增区间．
又t＝x2－2x的对称轴为x＝1，所以所求单调递减区间为(2，＋∞)．
3．先求定义域：由x2－4x＞0，得x(x－4)＞0，所以x＜0或x＞4.
又函数y＝log2t是增函数，故所求单调递增区间即为t＝x2－4x在定义域内的单调递增区间．
因为t＝x2－4x的对称轴为x＝2，所以所求单调递增区间为(4，＋∞)．
探究y＝logax的图象随a的变化而变化的情况．
用计算机先画出y＝log2x，y＝log3x，y＝log5x，y＝logx，y＝logx的图象，如图6.
图6
通过观察图象可总结如下规律：当a＞1时，a值越大，y＝logax的图象越靠近x轴；当0＜a＜1时，a值越大，y＝logax的图象越远离x轴．
本节课复习了对数函数及其性质，借助对数函数的性质的运用，我们对函数的单调性和奇偶性又进行了复习巩固，利用单调性和奇偶性解决了一些问题，对常考的内容进行了学习，要高度重视，特别是要和高考接轨，注意题目的形式和难度．
课本习题2.2B组 2、3.
【补充作业】
1．求函数y＝＋lg(5－2x)的定义域．
解：要使函数有意义，只需
即解得1≤x<.所以函数的定义域是[1，)．
2．求函数y＝log(x2－2x－3)的单调区间，并用单调定义给予证明．
解：∵x2－2x－3>0，∴x>3或x<－1.
单调减区间是(3，＋∞)，单调增区间是(－∞，－1)．
证明：设x1，x2∈(3，＋∞)且x1y1＝log(x－2x1－3)，y2＝log(x－2x2－3)，
(x－2x1－3)－(x－2x2－3)＝(x2－x1)[2－(x1＋x2)]．
∵x2>x1>3，∴x2－x1>0,2－(x1＋x2)<0.
∴(x－2x1－3)<(x－2x2－3)．又底数0<<1，
∴y1－y2>0，即y1>y2.∴y在(3，＋∞)上是减函数．
同理可证y在(－∞，－1)上是增函数．
3．已知y＝loga(2－ax)在[0,1]上是x的减函数，求a的取值范围．
解：因为a＞0且a≠1，
(1)当a＞1时，函数t＝2－ax>0是减函数；
由y＝loga(2－ax)在[0,1]上是x的减函数，知y＝logat是增函数，所以a＞1；
由x∈[0,1]时，2－ax≥2－a＞0，得a＜2，所以1＜a＜2.
(2)当00是增函数；
由y＝loga(2－ax)在[0,1]上是x的减函数，知y＝logat是减函数，
所以0综上所述，0本堂课主要是复习对数函数及其性质，是在以前基础上的提高与深化，它起着承上启下的作用，侧重于对数函数的单调性和奇偶性，同时又兼顾了高考常考的内容．对于对数函数的单调性需严格按定义来加以论证，对于对数函数的奇偶性的判定也要按定义来加以论证，这类问题不但技巧性较强，而且涉及面广、容量大，因此要集中精力，提高学生兴趣，加快速度，高质量完成教学任务．第二节对数函数第八课时
教学内容分析
《普通高中课程标准数学教科书·必修1》(人民教育出版社)高中一年级第二单元2.2.2《对数函数的图象和性质》第一课时．
函数是高中数学的主体内容——变量数学的主要研究对象之一，是中学数学的重点知识；研究函数的一般理论和基本方法，用函数的思想方法解决实际问题，是函数教学的主要目标．必修(1)2.2.2对数函数及其性质，按课标要求教学时间为3个学时，本节课为第1课时．本节课教学是学生在学过正比例函数、一次函数、二次函数、反比例函数和指数函数的基础上进一步学习的一种新函数，对对数函数概念的理解，图象和性质的掌握和应用有利于学生对初等函数认识的系统性，有利于进一步加深对函数思想方法的理解．为后面进一步探究对数函数的应用及指数函数、对数函数的综合应用起到承上启下的作用．
学情与教材分析
对数函数是高中引进的第二个初等函数，是本章的重点内容．学生在前面指数函数学习的基础上，用研究指数函数的方法，进一步研究和学习对数函数的概念、图象和性质以及初步应用，有利于学生进一步完善初等函数的认识的系统性，加深对函数的思想方法的理解，在教学过程中，虽然学生的认知水平有限，但只要让学生体验对数函数来源于实践，通过教学课件的演示，通过数形结合，让学生感受y＝logax(a>0且a≠1)中，a取不同的值时反映出不同的函数图象，让学生观察、小组讨论、发现、归纳出图象的共同特征、函数图象的规律，进而探究学习对数函数的性质．
最后将对数函数、指数函数的图象和性质进行比较，以便加深对对数函数的概念、图象和性质的理解，同时也为后面教学作准备．
设计思想
在本节课的教学过程中，通过古遗址上死亡生物体内碳14含量与生物死亡年代关系的探索，引出对数函数的概念．通过对底数a的分类讨论，探究总结出对数函数的图象与性质，使学生经历从特殊到一般的过程，体验知识的产生、形成过程，通过例题的分析与练习，进一步培养学生自主探索，合作交流的学习方式，通过学生经历直观感知，观察、发现、归纳类比，抽象概括等思维过程，落实培养学生积极探索学习习惯，提高学生的数学思维能力的新课程理念．
教学目标
1．通过对对数函数概念的学习，培养学生的实践能力，使学生理解对数函数的概念，激发学生的学习兴趣．
2．通过对对数函数有关性质的研究，渗透数形结合、分类讨论的数学思想．培养学生观察、分析、归纳的思维能力和交流能力，增强学习的积极性．掌握对数函数的图象与性质，并会初步应用．
3．培养学生自主学习、数学交流能力和数学应用意识．通过联系的观点分析、解决两数比较大小的问题．
教学重点和难点
重点：1.对数函数的定义、图象、性质．
2．对数函数的性质的初步应用．
难点：底数a对对数函数图象、性质的影响．
问题与情境
师生活动
设计意图
活动一：1．你能说出指数函数的概念、图象、性质吗？2．(课件演示)看2.2.1的例6，在t＝logP中，请同学们用计算器计算，在古遗址上生物体内碳14的含量P，与之相对应生物死亡年代t的值，完成下表：P0.50.30.01t3.你能归纳出这类函数的一般式吗
生：回答问题1.师：组织学生计算，注意引导学生从函数的实际出发，解释两个变量之间的关系．教师提出问题，注意引导学生把解析式概括到y＝logax形式．学生思考，归纳概括函数特征.
通过回顾旧知识，使知识得到联系．创设问题情境，让学生从生活中发现问题，激发学生的学习兴趣．初步建立对数函数模型．
活动二：归纳给出对数函数的概念．你知道为什么a>0且a≠1和x>0吗？
师：(板书)一般地，我们把函数logax(a>0且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域为x∈(0，＋∞)． 教师引导学生用对数的定义分析、回答.
抽象出对数函数的一般形式，让学生感受从特殊到一般的数学思维方法，发展学生的抽象思维能力.
续表
问题与情境
师生活动
设计意图
活动三：1.你能用描点法画出y＝log2x和y＝logx的图象吗？2.从画出的图象中，你能发现解析式的区别在哪里？图象有什么不同和联系吗？
生：独立画图，同学间交流．师：课堂巡视，个别辅导，展示画得较好的个别同学的图象．如图1生：个别同学尝试回答．师：引导学生发现、观察、对比底数不同对函数图象的影响.
会用描点法画出这两个函数的图象．为讨论对数函数的图象和性质作铺垫.
活动四：1．你能画出下列函数：(1)y＝log2x，y＝log3x，y＝log4x，(2)y＝logx，y＝logx，y＝logx的图象吗？观察并回答有什么共同点和不同点？2．你能思考并归纳出y＝logax(a>0且a≠1)中，当a>1和0生：独立思考，小组讨论．师：用多媒体课件展示各个函数的图象．生：观察图象，讨论、交流合作，归纳出对数函数的共同性质．师：注意引导学生从函数性质去分析.
通过学生讨论，培养学生交流合作的能力．获得对数函数的图象和性质．明确底数a是确定对数函数的要素，渗透分类讨论思想.
对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象
性质
通过对数函数图象的观察，分析总结出对数函数的性质，有利于加深学生对性质的理解和掌握，使学生经历从特殊到一般的过程，体验知识的产生、形成过程，逐步培养学生的抽象概括能力.
定义域：x∈(0，＋∞)值域：R过定点(1,0)在x∈(0，＋∞)上为增函数，当x>1时，y>0，当0 定义域：x∈(0，＋∞)值域：R过定点(1,0)在x∈(0，＋∞)上为减函数，当x>1时，y<0，当00.
续表
问题与情境
师生活动
设计意图
活动五：练习1：画出函数y＝log5x和y＝logx的图象，并说明这两个函数图象有什么不同点和相同点.
生：独立完成．师：课堂巡视，注意收集学生存在的问题，集中讲评.
掌握对数函数图象的画法.
活动六：【例1】求下列函数的定义域：(1)y＝logax2；(2)y＝loga(4－x)．
师：(分析)函数的定义域必须使函数的解析式有意义，根据y＝logax中x>0，所以①x2>0，即x≠0；②4－x>0，∴x<4.师：(板书)解：(1)∵x2>0，∴x≠0，即函数y＝logax2的定义域为{x|x≠0}．(2)∵4－x>0，∴x<4，即函数y＝loga(4－x)的定义域为{x|x<4}．生：认真听讲，积极思考，叙述解例1的步骤.
明确真数大于0的条件，掌握解题步骤.
练习2：求下列函数的定义域：(1)y＝log5(1－x)；(2)y＝；(3)y＝log7；(4)y＝.
师：请4个同学上台板演．生：独立完成．师：课堂巡视，个别辅导，对学生完成情况进行点评.
函数图象性质得到进一步的巩固和提高.
活动七：【例2】比较下列各组数中两个值的大小．(1)log23.4，log28.5；(2)log0.31.8，log0.32.7；(3)log20.3，log0.30.4；(4)log56，log65.
师：(分析)请同学们观察(1)(2)两题，这两个对数底数相同，因此(1)可认为是y＝log2x中，x取3.4和8.5时的函数值．(2)可认为是y＝log0.3x中，x取1.8和2.7的函数值．由y＝logax单调性可以比较．(3)中底数不相同，真数也不相同，结合函数图象，共同探索出比较方法．(4)根据函数的单调性，可寻找中间量1进行比较．(板书)解：(1)∵y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，且3.4<8.5，∴log23.4log0.32.7.(3)由y＝log2x图象可知：log20.3<0.由y＝log0.3x图象可知，log0.30.4>0，∴log20.3log55＝1，log65log65.
利用对数函数的单调性，进行两个函数对数值的大小比较，函数的性质得到初步应用．补充的(3)(4)两小题是为了更好地共同探索出各种比较方法.
续表
问题与情境
师生活动
设计意图
练习3：比较下列各题中的两个值的大小．(1)log106，log108；(2)log0.56，log0.54；(3)log0.5，log0.6；(4)log1.51.6，log1.51.4.
师：请4个同学上台板演，其余同学独立完成．教师在巡视中个别辅导，结合学生完成情况，有针对性的点评.
使学生进一步应用对数函数的性质.
活动八：(补充思考题)看谁能解答下题．设loga<1，则实数a的取值范围是( )A．0B.1
D．a>
师：鼓励学生大胆尝试．教师注意引导学生用分类讨论思想，应用函数性质去解答.
本题是让部分学有余力的同学积极去完成．培养学生的探索精神，渗透分类讨论思想.
小结：1．你能归纳出这节课的学习内容吗？2．对数函数及其性质与指数函数及其性质有什么区别和联系？3．你能谈谈这节课的收获和体会吗？
小组讨论，合作交流，由学生代表总结表达，教师补充.
学生在教学反思中，整理知识，进一步巩固和提高对对数函数及其性质的理解.
函数内容是学生学习上的一个难点，本节课的教学设计能通过实例渗透数学方法和思想，与指数函数类比学习，注重学生探究学习的过程．能够根据教学内容、学生的认知规律和教学设计的情意原则、过程原则进行设计，突出教师的指导和学生自主探究、合作交流的学习理念，使学生对概念的产生、图象的形成过程有了较深入的理解．通过对对数函数的图象和性质的研究，对底数a的分类讨论，以达到突破难点的目的．通过例题的分析和讲解、学生的练习，使函数的图象和性质得到初步应用．活动八补充的思考题是让层度较好的同学去完成，如果课堂时间不允许，可将此部分内容留给学生课后去完成．第二节对数函数第一课时
教学内容分析
本节课是新课标高中数学A版必修1中第二章对数函数内容的第1课时，也就是对数函数的入门．对数函数对于学生来说是一个全新的函数模型，学习起来比较困难．而对数函数又是本章的重要内容，在高考中占有一定的分量，它是在指数函数的基础上，对函数类型的拓广，同时在解决一些日常生活问题及科研中起着十分重要的作用．通过本节课的学习，可以让学生理解对数的概念，从而进一步深化对对数模型的认识与理解，为学习对数函数做好准备．同时，通过对对数概念的学习，对培养学生对立统一、相互联系、相互转化的思想，培养学生的逻辑思维能力都具有重要的意义．
学生学习情况分析
现阶段大部分学生学习的自主性较差，主动性不够，学习有依赖性，且学习的信心不足，对数学存在或多或少的恐惧感．通过对指数与指数幂的运算的学习，学生已多次体会了对立统一、相互联系、相互转化的思想，并且探究能力、逻辑思维能力得到了一定的锻炼．因此，学生已具备了探索、发现、研究对数定义的认识基础，故应通过指导，教会学生独立思考、大胆探索和灵活运用类比、转化、归纳等数学思想的学习方法．
设计思想
学生是教学的主体，本节课要给学生提供各种参与机会．为了调动学生学习的积极性，使学生化被动为主动，本节课可利用多媒体辅助教学，引导学生从实例中认识对数模型，体会引入对数的必要性．在教学重难点上，步步设问、启发学生的思维，通过课堂练习、探究活动、学生讨论的方式来加深理解，更好地突破难点和提高教学效率．让学生在教师的引导下，充分地动手、动口、动脑，掌握学习的主动权．
教学目标
1．理解对数的概念，了解对数与指数的关系；掌握对数式与指数式的互化；理解对数的性质，掌握以上知识并形成技能．
2．通过实例使学生认识对数模型，体会引入对数的必要性；通过师生观察分析得出对数的概念及对数式与指数式的互化．
3．通过学生分组进行探究活动，掌握对数的重要性质．通过做练习，使学生感受到理论与实践的统一．
4．培养学生的类比、分析、归纳能力，培养学生严谨的思维品质以及在学习过程中培养学生的探究意识．
重点难点
重点：(1)对数的概念；(2)对数式与指数式的相互转化．
难点：(1)对数概念的理解；(2)对数性质的理解．
教学环节
教学程序及设计
设计意图
创设情境，引入新课
引例(3分钟)1．一尺之锤，日取其半，万世不竭．(1)取5次，还有多长？(2)取多少次，还有0.125尺？分析：(1)为同学们熟悉的指数函数模型，易得()5＝，(2)可设取x次，则有()x＝0.125，抽象出：()x＝0.125 x＝？2．2002年我国GDP为a亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年GDP是2002年的2倍？分析：设经过x年，则有(1＋8%)x＝2，抽象出：(1＋8%)x＝2 x＝？
让学生根据题意，设未知数，列出方程．这两个例子都出现指数是未知数x的情况，让学生思考如何表示x，激发其对对数的学习兴趣，培养学生的探究意识．生活及科研中还有很多这样的例子，因此引入对数是必要的.
讲授新课
一、对数的概念(3分钟)一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数(logarithm)，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．注意：(1)底数的限制：a>0且a≠1；(2)对数的书写格式.
正确理解对数定义中底数的限制，为以后对数函数定义域的确定做准备．同时注意对数的书写格式，避免因书写不规范而产生的错误．
二、对数式与指数式的互化：(5分钟)幂底数←a→对数底数指数←b→对数幂←N→真数思考：(1)为什么对数的定义中要求底数a>0且a≠1 (2)是否是所有的实数都有对数呢？负数和零没有对数
让学生了解对数与指数的关系，明确对数式与指数式形式的区别，a、b和N位置的不同，及它们的含义．互化体现了等价转化这个重要的数学思想．
三、两个重要对数(2分钟)(1)常用对数：以10为底的对数log10N，简记为lgN；(2)自然对数：以无理数e＝2.718
28…为底的对数logeN，简记为lnN.(在科学技术中，常常使用以e为底的对数)注意：两个重要对数的书写
这两个重要对数一定要掌握，为以后的解题以及换底公式作准备．
课堂练习(7分钟)1．将下列指数式写成对数式：(1)24＝16；(2)3－3＝；(3)5a＝20；(4)()b＝0.45.2．将下列对数式写成指数式：(1)log5125＝3；(2)log3＝－2；(3)log10a＝－1.069.3．求下列各式的值：(1)log264；(2)log927.
本练习让学生独立阅读课本例1和例2后思考完成，从而熟悉对数式与指数式的相互转化，加深对对数概念的理解．并要求学生指出对数式与指数式互化时应注意哪些问题，培养学生严谨的思维品质.
续表
教学环节
教学程序及设计
设计意图
讲授新课
四、对数的性质(12分钟)探究活动1求下列各式的值：(1)log31＝0；(2)lg1＝0；(3)log0.51＝0；(4)ln1＝0.思考：你发现了什么？“1”的对数等于零，即loga1＝0(a>0且a≠1)，类比：a0＝1(a>0且a≠1)．
探究活动由学生独立完成后，通过思考，然后分小组进行讨论，最后得出结论．通过练习与讨论的方式，让学生自己得出结论，从而能更好地理解和掌握对数的性质．培养学生类比、分析、归纳的能力．
探究活动2求下列各式的值：(1)log33＝1；(2)lg10＝1；(3)log0.50.5＝1；(4)lne＝1.思考：你发现了什么？底数的对数等于“1”，即logaa＝1(a>0且a≠1)，类比：a1＝a(a>0且a≠1)．
探究活动3求下列各式的值：(1)2log23＝3；(2)7log70.6＝0.6；(3)0.4log0.489＝89.思考：你发现了什么？对数恒等式：alogaN＝N(a>0且a≠1)．
探究活动4求下列各式的值：(1)log334＝4；(2)log0.90.95＝5；(3)lne8＝8.思考：你发现了什么？对数恒等式：logaan＝n(a>0且a≠1).
小结
负数和零没有对数；“1”的对数等于零，即loga1＝0；底数的对数等于“1”，即logaa＝1；对数恒等式：alogaN＝N；对数恒等式：logaan＝n.(a>0且a≠1)
将学生归纳的结论进行小结，从而得到对数的基本性质．
归纳小结，强化思想
(3分钟)1．引入对数的必要性——对数的概念一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数(logarithm)，记作x＝logaN.2．指数与对数的关系3．对数的基本性质负数和零没有对数；loga1＝0；logaa＝1；对数恒等式：alogaN＝N；logaan＝n.
总结是一堂课内容的概括，有利于学生系统地掌握所学内容．同时，将本节内容纳入已有的知识体系中，发挥承上启下的作用．为下一课时对数的运算打下扎实的基础．
作业布置
一、课本习题2.2A组第1、2题．二、已知loga2＝x，loga3＝y，求a3x＋2y的值．三、求下列各式的值：22log25；2－log23；32log95；31－2log34.
作业是学生信息的反馈，教师可以在作业中发现学生在学习中存在的问题，弥补教学中的不足.
续表
教学环节
教学程序及设计
设计意图
板书设计
2.2.1 对数与对数运算第1课时
引例1引例2一、对数的定义
二、对数式与指数式的互化练习
三、对数的基本性质四、小结五、作业布置
本教学设计先由引例出发，创设情境，激发学生对对数的学习兴趣；在讲授新课部分，通过结合多媒体教学以及一系列的课堂探究活动，加深学生对对数的认识；最后通过课堂练习来巩固学生对对数的掌握．第二节对数函数第六课时
导入新课
思路1.复习指数函数与对数函数的关系，那么函数y＝ax与函数y＝logax到底还有什么关系呢？这就是本堂课的新内容——反函数，教师板书课题：对数函数及其性质(3)．
思路2.在比较系统地学习对数函数的定义、图象和性质的基础上，利用对数函数的图象和性质研究一些含有对数式的、形式上比较复杂的函数的图象和性质，特别明确了对数函数的单调性，并且我们通过对数函数的单调性解决了有关问题．因此，应搞清y＝ax与函数y＝logax的关系，培养学生综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力．教师点出课题：对数函数及其性质(3)．
推进新课
①用列表描点法在同一个直角坐标系中画出x＝log2y、y＝2x与y＝log2x的函数图象．
②通过图象探索在指数函数y＝2x中，x为自变量，y为因变量，如果把y当成自变量，x当成因变量，那么x是y的函数吗？
③如果是，那么对应关系是什么？如果不是，请说明理由．
④探索y＝2x与x＝log2y的图象间的关系．
⑤探索y＝2x与y＝log2x的图象间的关系．
⑥结合②与⑤推测函数y＝ax与函数y＝logax的关系．
讨论结果：①y＝2x与x＝log2y.
X
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
Y
…
1
2
4
8
…
y＝log2x.
Y
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
X
…
1
2
4
8
…
图象如图7.
图7
②在指数函数y＝2x中，x是自变量，y是x的函数(x∈R，y∈R＋)，而且其在R上是单调递增函数．过y轴的正半轴上任意一点作x轴的平行线，与y＝2x的图象有且只有一个交点，即对任意的y都有唯一的x相对应，可以把y作为自变量，x作为y的函数．
③由指数式与对数式的关系，y＝2x得x＝log2y，即对于每一个y，在关系式x＝log2y的作用之下，都有唯一确定的值x和它对应，所以，可以把y作为自变量，x作为y的函数，即x＝log2y.这时我们把函数x＝log2y〔y∈(0，＋∞)〕叫做函数y＝2x(x∈R)的反函数，但习惯上，通常以x表示自变量，y表示函数，对调x＝log2y中的x，y写成y＝log2x，这样y＝log2x〔x∈(0，＋∞)〕是指数函数y＝2x(x∈R)的反函数．由上述讨论可知，对数函数y＝log2x〔x∈(0，＋∞)〕是指数函数y＝2x(x∈R)的反函数；同时，指数函数y＝2x(x∈R)也是对数函数y＝log2x〔x∈(0，＋∞)〕的反函数．因此，指数函数y＝2x(x∈R)与对数函数y＝log2x〔x∈(0，＋∞)〕互为反函数．
以后，我们所说的反函数是x，y对调后的函数．如y＝log3x，x∈(0，＋∞)与y＝3x(x∈R)互为反函数，y＝log0.5x与y＝0.5x(x∈R)互为反函数．
④从我们的列表中知道，y＝2x与x＝log2y的函数图象相同．
⑤通过观察图象可知，y＝2x与y＝log2x的图象关于直线y＝x对称．
⑥通过②与⑤类比归纳知道，y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数是y＝logax(a＞0且a≠1)，且它们的图象关于直线y＝x对称．
由反函数的概念可知，同底的指数函数和对数函数互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
1 用计算机在同一坐标系中作出下列函数的图象：①y＝log3x；②y＝log3 x＋1 ；③y＝log3 x－1 .
2 从图象上观察它们之间有什么样的关系？
3 用计算机在同一坐标系中作出下列函数的图象：①y＝log3x；②y＝log3x＋1；③y＝log3x－1., 4 从图象上观察它们之间有什么样的关系？
5 你能推广到一般的情形吗？
活动：学生动手画出函数图象，教师点拨，学生没有思路教师可以提示．
学生回忆函数作图的方法与步骤，按规定作出图象，特别是关键点．
讨论结果：(1)如图8.
图8
(2)观察图8可以看出，y＝log3x，y＝log3(x＋1)，y＝log3(x－1)的图象间有如下关系：
y＝log3(x＋1)的图象由y＝log3x的图象向左移动1个单位得到；
y＝log3(x－1)的图象由y＝log3x的图象向右移动1个单位得到；
y＝log3(x－1)的图象由y＝log3(x＋1)的图象向右移动2个单位得到；
y＝log3(x＋1)的图象由y＝log3(x－1)的图象向左移动2个单位得到．
(3)如图9.
图9
(4)观察图9可以看出，y＝log3x，y＝log3x＋1，y＝log3x－1的图象间有如下关系：
y＝log3x＋1的图象由y＝log3x的图象向上平移1个单位得到；
y＝log3x－1的图象由y＝log3x的图象向下平移1个单位得到；
y＝log3x－1的图象由y＝log3x＋1的图象向下平移2个单位得到；
y＝log3x＋1的图象由y＝log3x－1的图象向上平移2个单位得到．
(5)由上面的观察讨论可知，一般情况如下：
①由函数y＝logax的图象得到函数y＝loga(x＋h)的图象的变化规律为：
当h＞0时，只需将函数y＝logax的图象向左平移h个单位就可得到函数y＝loga(x＋h)的图象；
当h＜0时，只需将函数y＝logax的图象向右平移|h|个单位就可得到函数y＝loga(x＋h)的图象．
②由函数y＝logax的图象得到函数y＝logax＋b的图象的变化规律为：
当b＞0时，只需将函数y＝logax的图象向上平移b个单位就可得到函数y＝logax＋b的图象；
当b＜0时，只需将函数y＝logax的图象向下平移|b|个单位就可得到函数y＝logax＋b的图象．
③由函数y＝logax的图象得到函数y＝loga(x＋h)＋b的图象的变化规律为：
画出函数y＝logax的图象，先将函数y＝logax的图象向左(当h＞0时)或向右(当h＜0时)平移|h|个单位，可得到函数y＝loga(x＋h)的图象，再将函数y＝loga(x＋h)的图象向上(当b＞0时)或向下(当b＜0时)平移|b|个单位就可得到函数y＝loga(x＋h)＋b的图象．
这样我们就可以很方便地将函数y＝logax的图象进行平移得到与函数y＝logax有关的函数图象．那么，你能很方便地由函数y＝logax的图象得到函数y＝loga|x|的图象吗？留作思考练习，同学们课下完成．
例1
已知a>0，a≠1，f(logax)＝(x>0)．
(1)求f(x)的表达式；
(2)求证：函数f(x)在R上是增函数．
活动：学生审题，教师指导，学生有困难，教师提示，并及时评价．(1)把logax看成一个整体，利用换元法处理．利用指数与对数的关系，求出logax中的x，然后代入求解．(2)证明函数的增减性要用函数单调性的定义．学生回顾单调性的证明方法与步骤，要按规定的格式书写．
(1)解：设t＝logax，则x＝at，f(t)＝.
所以f(x)＝.
(2)证明：设x1，x2∈R，x1f(x1)－f(x2)＝－＝，
当a>1时，ax1－ax2<0，a2－1>0，
当00，a2－1<0，
而ax1ax2及a·ax1·ax2＋1均为正，
所以对一切a>0，a≠1，总有f(x1)所以f(x)在R上是增函数．
点评：换元法是解题常用的数学方法，要注意体会．
例2
已知F(x)＝f(x)－g(x)，其中f(x)＝loga(x－1)，并当且仅当(x0，y0)在f(x)的图象上时，点(2x0,2y0)在y＝g(x)的图象上．
(1)求y＝g(x)的解析式；
(2)当x在什么范围时，F(x)≥0
活动：学生仔细审题，积极思考，探讨解题方法，教师及时提示引导．(1)由已知函数的解析式利用代入法求函数的解析式．由于P0(x0，y0)与P1(2x0,2y0)是相关的，如果我们能把y＝g(x)上的点P1(2x0,2y0)的坐标通过变换，表示为P0(x0，y0)的坐标的相关形式，代入即可，也称相关点法；(2)求字母的取值范围一般是转化为不等式．在(1)的基础上，求出F(x)，由F(x)≥0得不等式，根据不等式的类型来解．
解：(1)由点(x0，y0)在y＝loga(x－1)的图象上，
得y0＝loga(x0－1)．
令2x0＝u,2y0＝v，则x0＝，y0＝，
所以＝loga(－1)，即v＝2loga(－1)．
由(2x0,2y0)在y＝g(x)的图象上，即(u，v)在y＝g(x)的图象上，
故y＝g(x)＝2loga(－1)．
(2)F(x)＝f(x)－g(x)＝loga(x－1)－2loga(－1)，
当a>1时，由F(x)≥0，可解得2当0点评：(1)注意求函数解析式的方法，特别是相关点法．
(2)解对数不等式，当底数是字母时，应分情况求解，注意分类讨论的数学思想的运用．
已知集合M＝{x|x<3}，N＝{x|log2x>1}，则M∩N等于( )
A．
B．{x|0C．{x|1D．{x|2答案：D
对于区间[m，n]上有意义的两个函数f(x)与g(x)，如果对任意的x∈[m，n]，均有|f(x)－g(x)|≤1，则称f(x)与g(x)在[m，n]上是接近的，否则称f(x)与g(x)在[m，n]上是非接近的．现有两个函数f1(x)＝loga(x－3a)与f2(x)＝loga(a＞0，a≠1)，给定区间[a＋2，a＋3]．
(1)若f1(x)与f2(x)在给定区间[a＋2，a＋3]上都有意义，求a的取值范围；
(2)讨论f1(x)与f2(x)在给定区间[a＋2，a＋3]上是否是接近的．
活动：学生读题，理解题目的含义，教师引导学生，及时提示，严格把握新信息f(x)与g(x)在[m，n]上是接近的定义解题．
解：(1)依题意a＞0，a≠1，a＋2－3a＞0，a＋2－a＞0，
所以0＜a＜1.
(2)|f1(x)－f2(x)|＝|loga(x2－4ax＋3a2)|.
令|f1(x)－f2(x)|≤1，得－1≤loga(x2－4ax＋3a2)≤1.①
因为0＜a＜1，又[a＋2，a＋3]在x＝2a的右侧，
所以g(x)＝loga(x2－4ax＋3a2)在[a＋2，a＋3]上为减函数．
从而g(x)max＝g(a＋2)＝loga(4－4a)，g(x)min＝g(a＋3)＝loga(9－6a)，
于是①成立，当且仅当
解此不等式组得0故当0当a＞且a≠1时，f1(x)与f2(x)在给定区间[a＋2，a＋3]上是非接近的．
1．互为反函数的概念及其图象间的关系．
2．对数函数图象的平移变换规律．
3．本节课又复习了对数函数的图象与性质，借助对数函数的性质的运用，我们对函数的单调性和奇偶性又进行了复习巩固，利用单调性和奇偶性解决了一些问题，对常考的函数图象的变换进行了学习，要高度重视，在不断学习中总结规律．
4．指数、对数函数图象性质对比．
课本习题2.2B组 1、4、5.
学生已经比较系统地掌握了对数函数的定义、图象和性质，因此本堂课首先组织学生回顾函数的通性，以及有关指数型函数的图象的变化规律以及与指数式有关的复合函数的奇偶性、单调性的讨论方法与步骤，为学生用类比法学习作好方法上的准备．由于本节课是本单元的最后一节，内容比较综合，量也较大，所以应响应高考要求，抓住关键，强化细节，努力使学生掌握与高考相适应的知识与能力，做到与高考接轨．
指导学生学习的方法集锦
1．科学家培根的“酿蜜法”：我们不应该像蚂蚁一样单只收集，也不应该像蜘蛛一样光会在肚里抽丝，而应该像蜜蜂一样采百花酿甜蜜．
2．理学家朱熹的“三到法”：读书有三到：心到、眼到、口到．
3．教育家孔子的“学思结合法”：学而不思则罔，思而不学则殆．
4．小说家巴尔扎克的“反问法”：打开一切科学的钥匙是问号．
5．作家列夫·托尔斯泰的“思维法”：只有靠积极思维得来的才是真正的知识．
6．心理学家洛克的“多少法”：学识广博的诀窍是：一下子不要学很多的东西．
7．生理学家巴甫洛夫的“循序渐进法”：要想一下全知道，就意味着什么也不会知道．
8．文学家伏尔泰的“再读法”：重新再读一本旧书，就仿佛与老友重逢．
9．文学家欧阳修的“三上法”：马上，枕上，厕上．
10．历史学家陈恒的“读目法”：读书先读目录，心中有数．
11．学问家王盛鸣的“竭泽法”：知识如鱼，目录如网，要学会用网在书海中打捞．
12．天文学家哥白尼的“合精法”：要善于集合相近学科的理论精华．
13．教育家布鲁纳的“兴趣法”：学习的最好刺激，乃是对所学材料的兴趣．
14．国学家章学诚的“切己法”：不切己者，虽泰山而不顾．
15．科学家巴斯德的“坚持法”：使我达到目的的奥秘是我的坚持精神．
16．孟轲的“独立思考法”：尽信书不如无书．
17．短篇小说家马克·吐温的“专注法”：只要能专注，就能取得连自己都会吃惊的成就．
18．史学家顾炎武的“新旧法”：每年用三个月复习旧知识，其余时间学新书．第二节对数函数第三课时
教学目标
1．知识与技能
推导对数的换底公式，培养学生分析、解决问题的能力，培养学生的数学应用意识和科学分析问题的精神和态度．
2．过程与方法
让学生经历推导对数的换底公式的过程，归纳整理本节所学知识．
3．情感态度与价值观
通过对数的运算性质、对数换底公式的学习，培养学生的探究意识，培养学生的严谨的思维品质；感受对数的广泛应用．
重点难点
重点：对数的运算性质、换底公式及其应用．
难点：正确使用对数的运算性质和换底公式．
导入新课
思路1.问题：你能根据对数的定义推导出下面的换底公式吗？a＞0，且a≠1，c＞0，且c≠1，b＞0，logab＝.教师直接点出课题：对数与对数运算(3)之对数的换底公式及其应用．
思路2.前两节课我们学习了以下内容：1.对数的定义及性质；2.对数恒等式；3.对数的运算性质，用对数的运算性质我们能就同底数的对数进行运算，那么不同底数的对数集中在一起，如何解决呢？这就是本堂课的主要内容．教师板书课题：对数与对数运算(3)之对数的换底公式及其应用．
思路3.从对数的定义可以知道，任意不等于1的正数都可作为对数的底，数学史上，人们经过大量的努力，制作了常用对数表和自然对数表，只要通过查表就能求出任意正数的常用对数或自然对数，这样，如果能将其他底的对数转换为以10为底或以e为底的对数就能方便地求出任意不等于1的正数为底的对数，那么，怎么转化呢？这就需要一个公式，即对数的换底公式，从而引出课题：对数与对数运算(3)之对数的换底公式及其应用．
推进新课
①已知lg2＝0.301
0，lg3＝0.477
1，求log23的值；
②根据①，如a>0，a≠1，你能用含a的对数式来表示log23吗？
③更一般地，我们有logab＝，如何证明？
④证明logab＝的依据是什么？
⑤你能用自己的话概括出换底公式吗？
⑥换底公式的意义是什么？有什么作用？
活动：学生针对提出的问题，交流讨论，回顾所学，力求转化，教师适时指导，必要时提示学生解题的思路，给学生创造一个互动的学习环境，培养学生的创造性思维能力．对①目前还没有学习对数的换底公式，它们又不是同底，因此可考虑对数的定义，转化成方程来解；对②参考①的思路和结果的形式，借助对数的定义可以表示；对③借助①②的思路，利用对数的定义来证明；对④根据证明的过程来说明；对⑤抓住问题的实质，用准确的语言描述出来，一般是按照从左到右的形式；对⑥换底公式的意义就在于对数的底数变了，与我们的要求接近了．
讨论结果：①因为lg2＝0.301
0，lg3＝0.477
1，根据对数的定义，所以100.301
0＝2,100.477
1＝3.
不妨设log23＝x，则2x＝3，所以(100.301
0)x＝100.477
1，
100．301
0×x＝100.477
1，
即0.301
0x＝0.477
1，x＝＝.
因此log23＝＝≈1.585
1.
②根据①我们看到，最后的结果是log23用lg2与lg3表示，是通过对数的定义转化的，这就给我们以启发，本来是以2为底的对数转换成了以10为底的对数，
不妨设log23＝x，由对数定义知道，2x＝3，
两边都取以a为底的对数，得
loga2x＝loga3，
xloga2＝loga3，
x＝，
也就是log23＝.
这样log23就表示成了以a为底的3的对数与以a为底的2的对数的商．
③证明logab＝.
证明：设logab＝x，由对数定义知道，ax＝b；
两边取c为底的对数，
得logcax＝logcb xlogca＝logcb；
所以x＝，即logab＝.
一般地，logab＝(a>0，a≠1，b>0，c>0，c≠1)称为对数换底公式．
④由③的证明过程来看，换底公式的证明要紧扣对数的定义，证明的依据是：若M＞0，N＞0，M＝N，则logaM＝logaN.
⑤一个数的对数，等于同一底数的真数的对数与底数的对数的商，这样就把一个对数变成了与原来对数的底数不同的两个对数的商．
⑥换底公式的意义就在于把对数式的底数改变，把不同底问题转化为同底问题，为使用运算性质创造条件，更方便化简求值．
说明：我们使用的计算器中，“log”通常是常用对数，因此要使用计算器计算对数，一定要先用换底公式转化为常用对数．如log23＝，
即计算log23的值的按键顺序为：“log”→“3”→“÷”→“log”→“2”→“＝”．
再如：在前面要求我国人口达到18亿的年份，就是要计算x＝log1.01，
所以x＝log1.01＝＝≈＝32.883
7≈33(年)．
可以看到运用对数换底公式，有时要方便得多．
例1
求log89·log2732的值．
活动：学生观察题目，思考讨论，互相交流，教师适时提示，学生板演，利用换底公式统一底数；根据题目的特点，底数不同，所以考虑把底数统一起来，可以化成常用对数或以2为底的对数，以3为底的对数也可．
解法一：log89·log2732＝·＝·＝.
解法二：log89·log2732＝·＝·＝.
解法三：log89·log2732＝·＝·＝.
点评：灵活运用对数的换底公式是解决问题的关键．
例2
计算：(1)；(2)log43·log92－log.
活动：学生积极交流，教师引导，学生展示自己的思维过程，教师对学生的表现及时评价．先利用对数运算性质和换底公式进行化简，然后再求值；对(1)根据题目的特点，底数不同，所以考虑把底数统一起来，再利用对数的运算性质化简．对(2)利用换底公式把底数统一起来，再化简求值．
解：(1)原式＝＝＝－3.
(2)log43·log92－log＝·－
＝log23·log32＋log22
＝＋＝.
点评：在利用对数的换底公式进行化简求值时，一般情况是根据题中所给的对数式的具体特点选择恰当的底数进行换底，如果题目中所给的真数和底数互不相同，我们常选择以10为底的对数进行换底．
例3
(1)证明＝1＋logab；
(2)已知loga1b1＝loga2b2＝…＝loganbn＝λ，求证：loga1a2…an(b1b2…bn)＝λ.
活动：学生思考、讨论，教师适当提示：(1)运用对数换底公式，统一成以a为底的对数可直接得解，或利用对数的定义，分别把三个式子设出，再由定义转化成指数形式，利用指数幂的性质得解；(2)这是条件证明问题，应在现有条件下利用换底公式，转化成积的形式，从题目的结论来看，真数是积的形式，因此要创造对数的和的形式，这就想到先换底，再利用等比性质来解．
(1)证法一：设logax＝p，logabx＝q，logab＝r，则x＝ap，x＝(ab)q＝aqbq，b＝ar.
所以ap＝(ab)q＝aq(1＋r)，从而p＝q(1＋r)．
因为q≠0，所以＝1＋r，即＝1＋logab.
证法二：显然x>0且x≠1，x可作为底数，左边＝＝＝logaab＝1＋logab＝右边．
(2)证明：因为loga1b1＝loga2b2＝…＝loganbn＝λ，
所以由换底公式得＝＝…＝＝λ.
由等比定理，所以＝λ.所以＝λ.
所以loga1a2…an(b1b2…bn)＝＝λ.
点评：在解题过程中，根据题目的需要，把底数转化，换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，该公式既可正用，又可逆用，使用时的关键是选择底数，换底的目的是实现对数式的化简．
例4
20世纪30年代，里克特(C.F.Richter)制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大．这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M＝lgA－lgA0，其中，A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差)．
(1)假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级(精确到0.1)；
(2)5级地震给人的震感已比较明显，计算7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍(精确到1)
活动：学生审题，教师引导，学生交流，展示自己的思维过程，教师强调实际问题的注意事项．根据题目给出的数学模型及其含义来解决．这是实际问题，但题目给出了数学模型即关系式，关系式是以常用对数的形式给出，因此要利用对数的定义和运算性质，同时注意要使实际问题有意义．
解：(1)M＝lg20－lg0.001＝lg＝lg20
000＝lg2＋lg104≈4.3.
因此，这是一次约为里氏4.3级的地震．
(2)由M＝lgA－lgA0可得M＝lg，即＝10M，
所以A＝A0·10M.
当M＝7.6时，地震的最大振幅为A1＝A0·107.6；
当M＝5时，地震的最大振幅为A2＝A0·105.
所以，两次地震的最大振幅之比是＝＝107.6－5＝102.6≈398.
答：7.6级地震的最大振幅大约是5级地震的最大振幅的398倍．
点评：利用所学知识解决实际问题，是教学的一个难点．
课本本节练习4.
【补充练习】
(1)已知lg2＝a，lg3＝b，则等于( )
A.
B.
C.
D.
(2)已知2lg(x－2y)＝lgx＋lgy，则的值为( )
A．1
B．4
C．1或4
D．4或－1
(3)若3a＝2，则log38－2log36＝__________.
(4)lg12.5－lg＋lg0.5＝__________.
答案：(1)C (2)B (3)a－2 (4)1
探究换底公式的其他证明方法：
活动：学生讨论、交流、思考，教师可以引导，大胆设想，运用对数的定义及运算性质和指数幂的运算性质．
证法一：设logaN＝x，则ax＝N，两边取以c(c>0且c≠1)为底的对数，得logcax＝logcN，所以xlogca＝logcN，即x＝.故logaN＝.
证法二：由对数恒等式，得N＝alogaN，两边取以c(c>0且c≠1)为底的对数，得logcN＝logaN·logca，所以logaN＝.
证法三：令logca＝m，logaN＝n，则a＝cm，N＝an，所以N＝(cm)n＝cmn.
两边取以c(c>0且c≠1)为底的对数，得mn＝logcN，所以n＝，即logaN＝.
对数换底公式的应用：换底公式logaN＝(c>0且c≠1，a>0且a≠1，N>0)的应用包括两个方面，即由左端到右端的应用和由右端到左端的应用，前者较为容易，而后者则易被学生忽视，因此，教学时应重视后者的用法，下面仅就后者举例说明：
例：化简：＋＋＋.
解：原式＝logNM＋logNM＋logNM＋logNM＝4logNM.
1．对数换底公式；
2．换底公式可用于对数式的化简、求值或证明．若对数式的底数和真数可转化成同底数的幂的形式，则该幂底数可被选作换底公式的底数，也可把对数式转化成以10为底的常用对数或以任意数a(a＞0且a≠1)为底的对数式的形式．
课本习题2.2A组 6、11、12.
【补充作业】
1．已知log＝a，log＝b，求log81175的值．
解：因为log＝log277＝log37＝a，所以log37＝3a.
又因为log＝log35＝b，
所以log81175＝log325×7＝(log325＋log37)＝(2log35＋log37)＝.
2．求证：(log23＋log49＋log827＋…＋log2n3n)log9＝.
证明：左边＝(log23＋log49＋log827＋…＋log2n3n)log9
＝()·log932
＝nlog23·log3＝log23·log32＝＝右边．
本堂课主要是学习对数的换底公式，它在以后的学习中有着非常重要的应用，由于对数的运算性质是在同底的基础上，因此利用对数换底公式把不同底数的对数转化为同底显得非常重要，有时也可以逆用对数的换底公式达到我们的目的，特别是实际问题的应用十分广泛，因此要反复训练，强化记忆，所以设计了大量的例题与练习，授课时要加快速度，激发学生学习的兴趣，多运用多媒体的教学手段．
【备选例题】
【例1】
化简：···.
解：原式＝···＝logNM·logNM·logNM·logNM＝(logNM)4.
【例2】
求证：logab＝(a>0，b>0且a≠1，b≠1)．
证法一：logab＝＝.
证法二：＝＝logab.
【例3】
试证：＋＋＋…＋＝.
证明：＋＋＋…＋＝logx(2×3×4×…×n)
＝logx(1×2×3×4×…×n)＝logxn！＝.
对数的创立
对数是中学初等数学中的重要内容，那么当初是谁首创“对数”这种高级运算的呢？在数学史上，一般认为对数的发明者是16世纪末到17世纪初的苏格兰数学家——纳皮尔(Napier,1550—1617年)男爵．在纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门学科．可是由于当时常量数学的局限性，天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”，因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间．纳皮尔也是当时的一位天文爱好者，为了简化计算，他多年潜心研究大数字的计算技术，终于独立发明了对数．
当然，纳皮尔所发明的对数，在形式上与现代数学中的对数理论并不完全一样．在纳皮尔那个时代，“指数”这个概念还尚未形成，因此纳皮尔并不是像现行代数课本中那样，通过指数来引出对数，而是通过研究直线运动得出对数概念的．那么，当时纳皮尔所发明的对数运算，是怎么一回事呢？在那个时代，计算多位数之间的乘积，还是十分复杂的运算，因此纳皮尔首先发明了一种计算特殊多位数之间乘积的方法．让我们来看看下面这个例子：
0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、…
1、2、4、8、16、32、64、128、256、512、1
024、2
048、4
096、8
192、16
384、…
这两行数字之间的关系是极为明确的：第一行表示2的指数，第二行表示2的对应幂．如果我们要计算第二行中两个数的乘积，可以通过第一行对应数字的加和来实现．
比如，计算64×256的值，就可以先查询第一行的对应数字：64对应6,256对应8；然后再把第一行中的对应数字加和起来：6＋8＝14；第一行中的14，对应第二行中的16
384，所以有64×256＝16
384.纳皮尔的这种计算方法，实际上已经完全是现代数学中“对数运算”的思想了．回忆一下，我们在中学学习“运用对数简化计算”的时候，采用的不正是这种思路吗？计算两个复杂数的乘积，先查《常用对数表》，找到这两个复杂数的常用对数，再把这两个常用对数值相加，再通过《常用对数的反对数表》查出加和值的反对数值，就是原先那两个复杂数的乘积了．这种“化乘除为加减”，从而达到简化计算的思路，不正是对数运算的明显特征吗？
经过多年的探索，纳皮尔男爵于1614年出版了他的名著《奇妙的对数定律说明书》，向世人公布了他的这项发明，并且解释了这项发明的特点．所以，纳皮尔是当之无愧的“对数缔造者”，理应在数学史上享有这份殊荣．伟大的导师恩格斯在他的著作《自然辩证法》中，曾经把笛卡儿的坐标、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼茨的微积分共同称为17世纪的三大数学发明．法国著名的数学家、天文学家拉普拉斯(Pierre
Simon
Laplace,1749—1827)曾说：对数，可以缩短计算时间，“在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”．