第一节函数与方程第二课时
教学设计(一)
教学内容分析
本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学1必修本(A版)》的第三章3.1.2用二分法求方程的近似解．本节课要求学生根据具体的函数图象能够借助计算机或信息技术工具计算器用二分法求相应方程的近似解，这种方法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系；它既是本册书中的重点内容，又是对函数知识的拓展，既体现了函数在解方程中的重要应用，同时又为高中数学中函数与方程思想、数形结合思想、二分法的算法思想打下了基础，因此决定了它的重要地位．
学生学习情况分析
学生已经学习了函数，理解函数零点和方程根的关系，初步掌握了函数与方程的转化思想．但是对于求函数零点所在区间，只是比较熟悉求二次函数的零点，对于高次方程和超越方程对应函数零点的寻求会有困难．另外算法程序的模式化和求近似解对他们是一个全新的问题．
设计理念
倡导积极主动、勇于探索的学习精神和合作探究式的学习方式；注重提高学生的数学思维能力，发展学生的数学应用意识；与时俱进地认识“双基”，强调数学的内在本质，注意适度形式化；在教与学的和谐统一中体现数学的文化价值；注重信息技术与数学课程的合理整合．
教学目标
通过具体实例理解二分法的概念，掌握运用二分法求简单方程近似解的方法，从中体会函数的零点与方程根之间的联系及其在实际问题中的应用；能借助计算器用二分法求方程的近似解，让学生能够初步了解逼近思想；体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一；通过具体实例的探究，归纳概括所发现的结论或规律，体会从具体到一般的认知过程．
教学重点与难点
教学重点：用“二分法”求方程的近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．
教学难点：方程近似解所在初始区间的确定，恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解．
(一)创设情境，提出问题
问题1：在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障．这是一条10
km长的线路，如何迅速查出故障所在？
如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多．每查一个点要爬一次电线杆.10
km长，大约有200多根电线杆呢．
想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？
以实际问题为背景，以学生感觉较简单的问题入手，激活学生的思维，形成学生再创造的欲望．注意学生解题过程中出现的问题，及时引导学生思考，从二分法查找的角度解决问题．
学情预设
学生独立思考，可能出现以下解决方法：
思路1：直接一个个电线杆去寻找．
思路2：通过先找中点，缩小范围，再找剩下的一半的中点．
老师从思路2入手，引导学生解决问题：
如图，维修工人首先从中点C检查．用随身带的话机向两个端点测试时，发现AC段正常，断定故障在BC段，再到BC段中点D查，这次发现BD段正常，可见故障在CD段，再到CD段中点E来查．每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，如此查下去，不用几次，就能把故障点锁定在一两根电线杆附近．
师：我们可以用一个动态过程来展示一下(展示多媒体课件)．
在一条线段上找某个特定点，可以通过取中点的方法逐步缩小特定点所在的范围(即二分法思想)．
设计意图
从实际问题入手，利用计算机演示用二分法思想查找故障发生点，通过演示让学生初步体会二分法的算法思想与方法，说明二分法原理源于现实生活，并在现实生活中广泛应用．
(二)师生探究，构建新知
问题2：假设电话线故障点大概在函数f(x)＝lnx＋2x－6的零点位置，请同学们先猜想它的零点大概是什么？我们如何找出这个零点？
1．利用函数性质或借助计算机、计算器画出函数图象，通过具体的函数图象帮助学生理解闭区间上的连续函数，如果两个端点的函数值是异号的，那么函数图象就一定与x轴相交，即方程f(x)＝0在区间内至少有一个解(即上节课的函数零点存在性定理，为下面的学习提供理论基础)．引导学生从“数”和“形”两个角度去体会函数零点的意义，掌握常见函数零点的求法，明确二分法的适用范围．
2．我们已经知道，函数f(x)＝lnx＋2x－6在区间(2,3)内有零点，且f(2)<0，f(3)>0.进一步的问题是，如何找出这个零点？
合作探究：学生先按四人小组探究．(倡导学生积极交流、勇于探索的学习方式，有助于发挥学生学习的主动性)
生：如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值．
师：如何有效缩小根所在的区间？
生1：通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围．
生2：是否也可以通过“取三等分点或四等分点”的方法逐步缩小零点所在的范围？
师：很好，一个直观的想法是：如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，可以得到零点的近似值．其实“取中点”和“取三等分点或四等分点”都能实现缩小零点所在的范围．但是在同样可以实现缩小零点所在范围的前提下，“取中点”的方法比取“三等分点或四等分点”的方法更简便．因此，为了方便，下面通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围．
引导学生分析理解求区间(a，b)的中点的方法x＝.
合作探究：(学生2人一组互相配合，一人按计算器，一人记录过程．四人小组中的两组比较缩小零点所在范围的结果．)
步骤一：取区间(2,3)的中点2.5，用计算器算得f(2.5)≈－0.084<0.
由f(3)>0，得知f(2.5)·f(3)<0，所以零点在区间(2.5,3)内．
步骤二：取区间(2.5,3)的中点2.75，用计算器算得f(2.75)≈0.512>0.因为f(2.5)·f(2.75)<0，所以零点在区间(2.5,2.75)内．
结论：由于(2,3)?(2.5,3)?(2.5,2.75)，所以零点所在的范围确实越来越小了．如果重复上述步骤，在一定精确度下，我们可以在有限次重复上述步骤后，将所得的零点所在区间内的任一点作为函数零点的近似值．特别地，可以将区间端点作为函数零点的近似值．
引导学生利用计算器边操作边认识，通过小组合作探究，得出教科书上的表3—2，让学生有更多的时间来思考与体会二分法实质，培养学生合作学习的良好品质．
学情预设
学生通过上节课的学习知道这个函数的零点就是函数图象与x轴的交点的横坐标，故它的零点在区间(2,3)内．进一步利用函数图象通过“取中点”逐步缩小零点的范围，利用计算器通过将自变量改变步长很快得出表3—2，找出零点的大概位置．
设计意图
从问题1到问题2，体现了数学转化的思想方法，问题2有着承上启下的作用，使学生更深刻地理解二分法的思想，同时也突出了二分法的特点．通过问题2让学生掌握常见函数零点的求法，明确二分法的适用范围．
问题3：对于其他函数，如果存在零点是不是也可以用这种方法去求它的近似解呢？
引导学生把上述方法推广到一般的函数，经历归纳方法的一般性过程之后得出二分法及用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤．
对于在区间[a，b]上连续不断且满足f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
注意引导学生分化二分法的定义：一是二分法的适用范围，即函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续不断；二是用二分法求函数的零点近似值的步骤．
给定精确度ε，用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤如下：
1．确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε；
2．求区间(a，b)的中点c；
3．计算f(c)：
(1)若f(c)＝0，则c就是函数的零点；
(2)若f(a)·f(c)<0，则令b＝c〔此时零点x0∈(a，b)〕；
(3)若f(c)·f(b)<0，则令a＝c〔此时零点x0∈(c，b)〕；
4．判断是否达到精确度ε：
即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤2～4.
学情预设
学生思考问题3举出二次函数外，对照步骤观察函数f(x)＝ln
x＋2x－6的图象去体会二分法的思想．结合二次函数图象和标有a、b、x0的数轴理解二分法的算法思想与计算原理．
设计意图
以问题研讨的形式替代教师的讲解，分化难点、解决重点，给学生“数学创造”的体验，有利于学生对知识的掌握，并强化对二分法原理的理解．学生在讨论、合作中解决问题，充分体会成功的愉悦．让学生归纳一般步骤有利于提高学生自主学习的能力，让学生尝试由特殊到一般的思维方法．利用二分法求方程近似解的过程，用图表示，既简约又直观，同时能让学生初步体会算法的思想．
(三)例题剖析，巩固新知
例
借助计算器或计算机用二分法求方程2x＋3x＝7的近似解．(精确度0.1)
两人一组，一人用计算器求值，一人记录结果；学生讲解缩小区间的方法和过程，教师点评．
本例鼓励学生自行尝试，让学生体验解题遇阻时的困惑以及解决问题的快乐．此例让学生体会用二分法来求方程近似解的完整过程，进一步巩固二分法的思想方法．
思考
问题 1 ：用二分法只能求函数零点的“近似值”吗？
问题 2 ：是否所有的零点都可以用二分法来求其近似值？
教师有针对性的提出问题，引导学生回答，学生讨论，交流.反思二分法的特点，进一步明确二分法的适用范围以及优缺点，指出它只是求函数零点近似值的“一种”方法.
设计意图
及时巩固二分法的解题步骤，让学生体会二分法是求方程近似解的有效方法．解题过程中也起到了温故转化思想的作用．
(四)尝试练习，检验成果
1．下列函数中能用二分法求零点的是( )
设计意图
让学生明确二分法的适用范围．
2．用二分法求图象是连续不断的函数y＝f(x)在x∈(1,2)内零点近似值的过程中得到f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则函数的零点落在区间( )
A．(1,1.25) B．(1.25,1.5)
C．(1.5,2)
D．不能确定
设计意图
让学生进一步明确缩小零点所在范围的方法．
3．借助计算器或计算机，用二分法求方程x＝3－lg
x在区间(2,3)内的近似解．(精确度0.1)
设计意图
进一步加深和巩固对用二分法求方程近似解的理解．
答案：略
(五)课堂小结，回顾反思
学生归纳，互相补充，老师总结：
1．理解二分法的定义和思想，用二分法可以求函数的零点近似值，但要保证该函数在零点所在的区间内是连续不断的；
2．用二分法求方程的近似解的步骤．
设计意图
帮助学生梳理知识，形成完整的知识结构．同时让学生知道理解二分法定义是关键，掌握二分法解题的步骤是前提，实际应用是深化．
(六)课外作业
1．[书面作业]课本习题3.1A组3、4、5；
2．[知识链接]本节阅读与思考“中外历史上的方程求解”．
3．[课外思考]：如果现在地处学校附近的地下自来水管某处破裂了，那么怎么找出这个破裂处，要不要把水泥板全部掀起？
板书设计
3．1.2 用二分法求方程的近似解
1．二分法的定义
2．用二分法求函数的零点近似值的步骤
3．用二分法求方程的近似解
这节课既是一堂新课又是一堂探究课．整个教学过程，以问题为教学出发点，以教师为主导，学生为主体，设计情境激发学生的学习热情，激励学生去取得成功，顺应合理的逻辑结构和认知结构，符合学生的认知规律和心理特点，重视思维训练，发挥学生的主体作用，注意数学思想方法的溶入渗透，满足学生渴望的奖励结构．整个教学设计中，特别注重以下几个方面：
(1)重视学生的学习体验，突出他们的主体地位．训练了他们用从特殊到一般，再由一般到特殊的思维方式解决问题的能力．不断加强他们的转化类比思想．
(2)注重将用二分法求方程的近似解的方法与现实生活中的案例联系起来，让学生体会数学方法来源于现实生活，又可以解决现实生活中的问题．
(3)注重学生参与知识的形成过程，动手、动口、动脑相结合，使他们“听”有所思，“学”有所获，增强学习数学的信心，体验学习数学的乐趣．
(4)注重师生之间、同学之间互动，注重他们之间的相互协作，共同提高．第一节函数与方程第三课时
教学设计(二)
教学内容分析
本节选自《普通高中课程标准实验教科书·数学1》人教A版第三单元第一节第二课，主要是分析函数与方程的关系．教材分三步来进行：第一步，从学生认为较简单的一元二次方程与相应的二次函数入手，由具体到一般，建立一元二次方程的根与相应函数的零点的联系．然后推广为一般方程与相应函数的情形；第二步，在用二分法求方程近似解的过程中，通过函数图象和性质来研究方程的解，体现方程和函数的关系；第三步，在函数模型的应用过程中，通过函数模型以及模型的求解，更全面地体现函数与方程的关系，逐步建立起函数与方程的联系．
本节课是这一小节的第二节课，即用二分法求方程的近似解．它以上节课的“连续函数的零点存在定理”为确定方程解所在区间的依据，从求方程近似解这个侧面来体现“方程与函数的关系”；而且在“用二分法求函数零点的步骤”中渗透了算法的思想，为学生后续学习算法的内容埋下伏笔；充分体现新课程“渗透算学方法，关注数学文化以及重视信息技术应用”的理念．求方程近似解其中隐含“逼进”的数学思想，并且运用“二分法”来逼近目标是一种普通而有效的方法，其关键是逼近的依据．
学生学习情况分析
同学们有了第一节课的基础，对函数的零点具备基本的认识；而二分法来自生活，是由生活中抽象而来的，只要我们选材得当，能够激发学生的学习兴趣，达到渗透数学思想关注数学文化的目的，学生也能够很容易理解这种方法．其中运用“二分法”进行区间缩小的依据、总结出“运用二分法求方程的近似解”的步骤、将“二分法”运用到生活实际，是需要学生“跳跳”才能摘到的“桃子”．
设计理念
本节课倡导积极主动、勇于探索的学习方式，应用从生活实际——理论——实际应用的过程，应用数形结合、图表、信息技术，采用教师引导——学生探索相结合的教学方法，注重提高学生提出问题、分析问题和解决问题的能力，让学生经历直观感知、观察发现、抽象与概括、符号表示、运算求解、数据处理、反思与建构等思维过程．
教学目标
1．理解二分法的概念，掌握运用二分法求简单方程近似解的方法；利用信息技术辅助教学，让学生用计算器自己验证求方程近似值的过程；
2．体会二分法的思想和方法，使学生意识到二分法是求方程近似解的一种方法；让学生能够了解近似逼近思想，培养学生探究问题的能力和创新能力，以及严谨的科学态度；
3．体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法；感受正面解决问题困难时，通过迂回的方法使问题得到解决的快乐．
教学重点与难点
教学重点：能够借用计算器用二分法求相应方程的近似解，根所在区间的确定及逼近的思想．
教学难点：对二分法的理论支撑的理解，区间长度的缩小．
1．教学基本流程图
2.教学情境设计
教学设计
学情预设
设计意图知识链接
创设情境，引出课题
1．大家都看过李咏主持的〈幸运52〉吧，今天咱也试一回(出示游戏)．2．竞猜中，“高了”、“低了”的含义是什么？如何确定价格的最可能的范围？3．如何才能更快地猜中商品的预定价格？4．“二分”的思路是什么？
1.教师从学生熟悉的电视节目，引导学生体会、分析、归纳迅速猜价的方法．2．学生能够主动参与游戏，并且参与游戏的同学可以比较并总结经验．学生会有很多种方案．3．对于“问题2”学生能够顺利地得出“主持人的“高了，低了”的回答是判断价格所在区间的依据”这个结论．4．此时教师通过“问题3”引导学生进行比较哪种方法更快更好．从中学生可以得到用二分法解决问题的思路——二分指的是将解所在区间平均地分为两个区间.
1.利用视屏与游戏的形式，学生会踊跃参与；商品价格竞猜也是学生熟悉的，竞猜的方法会很多样，可以进行竞赛．2．通过问题2，启发学生寻找确定区间的依据，为后面探索“用二分法求方程近似解”的时候埋下伏笔．3．通过游戏，让学生经历游戏过程，感受数学来自生活，激发学生的学习兴趣；引导学生善于发现身边的数学，培养学生的归纳演绎的能力；学会将实际情境转化为数学模型．4．通过比较不同的方法得出最快的竞猜的方法——二分法．
师生探究，构建新知
1.上节课我们学了什么定理，它的作用是什么？还有什么问题没有解决？2．已知函数f(x)＝ln
x＋2x－6在区间(2,3)内存在一个零点；如何求出方程ln
x＋2x－6＝0在区间(2,3)的近似解(精确度为0.01)？与刚才的游戏是否有类似之处？3．精确度的含义是什么？怎样的区间才算满足设定的精确度？4．区间(2,3)的精确度为多少？5．如何将零点所在的范围缩小(即如何将精确度缩小)？缩小的依据是什么？
1.教师通过“问题1”对上节课的内容进行复习引入，点出今天的课题．并且有前面游戏作为伏笔，学生能够得出“连续函数零点存在定理”是判断方程的根所在区间的依据．2．通过“问题2”应用具体的题目引导学生进行思考．学生通过引导将方程的解与商品的价格联系到一起，运用刚才的游戏的经验，得到缩小区间的想法．3．学生对精确度的概念可能有所遗忘．教师可以借助数轴解释说明精确度的含义，引导学生思考什么时候停止操作．4．教师通过“问题4～6”引导学生将“二分法”与“零点存在定理”相结合得到正确的新的零点所在的区间．并确定结束的时间.
[设计意图]1．开门见山，延续上一节课的内容继续深入的研究，使得知识有一个链接，让学生能够很容易地将新知识建构到旧的知识体系中．2．运用问题1，将学生的思路与前面已解决的问题联系起来，引导学生层层深入，抽丝拨茧，学习如何分析问题、如何利用新的知识解决问题；培养学生分析问题、解决问题的能力，以及运用知识、驾驭知识的能力．3．师生的互动有利于一边引导一边总结．将二分法应用于解决实际问题，即将新的知识应用于解决新的问题．培养学生实际应用的能力，加强解决问题的严谨性，总结知识的逻辑性．使得最后方法的总结能够顺利进行．4．有了前面的商品竞猜过程的经历，学生比较容易入手，分析比较容易到位，从而降低思维的难度．
续表
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师生探究，构建新知
6．如何利用今天“猜价格”——“二分法”的逼近思想来缩小区间？7．近似解是多少？
5.学生按照游戏的方法也就是按照“二分法”的思路，不断缩小零点存在的区间，进行具体操作，填出(附录1)中的表格．表格刚开始的前几行学生可能会比较慢，也有可能会出错；通过多次的重复以及经验的总结，后面的表格可以正确的、快速地回答出来；使得最后的“应用二分法求函数的零点”的方法的总结更加顺利．6．对于“问题7”学生不太容易得到比较简洁的结论．教师可以进行解释说明：“由于整个区间内的数均满足精确度的条件，因此区间内的所有数均可以作为近似解，但区间端点a，b是已知的值，所以可以取a或b作为近似解．”，最后得到方程的近似解(附录1的表格后面的内容).
[知识链接]1．函数零点存在定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．2．精确度是对同一个量的不同近似数的精确程度的度量．一般是：一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．
形成概念，深化提高
1.我们刚才的求解过程中有哪些过程是一直重复出现的？2．我们取其一段，大家看如何用数学语言来描述？3．点明求方程的近似解的“二分法”：对于在区间(a，b)上连续不断、且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把方程的解所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近近似解，进而得到近似解的方法叫二分法.4.进一步提出问题：
运用二分法求方程的近似解的步骤是什么？5．运用二分法的前提是什么(游戏开始时要先做什么工作)？引例条件的内涵是什么？6．二分法的实质是什么？它有什么作用？
学生经过老师“问题1～2”的提示与引导，可以得到“取区间的中点，计算函数值，比较符号，确定新的区间”这样的相同的过程．学生根据“二分法”的定义进行归纳总结：运用二分法求方程的近似解的步骤(附录2)．其中步骤①“画图或利用函数值的正负，确定初始区间(a，b)，验证f(a)f(b)<0”；学生很有可能会有遗漏．此时可以提出“问题5”引导学生回忆、思考，从而得到运用二分法的前提——即步骤①.对于“问题6”，较好的学生才能回答出来.
[设计意图]1．不断的引导，将刚才的解题过程经过“自然语言——数学语言——去其糟粕取其精华——具体步骤”的过程，帮助学生学会归纳总结的方法．2．课间的及时总结有利于学生对当前所学的内容进行升华，了解自己掌握了什么知识，在后面的做题中可以有法可依，可以提高解题的正确率，增强自信．3．问题6的设计是将学生的思维进一步升华，不再停留在技能这一个层次，而是上升为数学思想方法的层次.[知识链接]1．运用二分法的前提是要先判断根在某个所在的区间．2．二分法实际上是通过缩小区间长度寻找解的一种方法．
续表
教学设计
学情预设
设计意图知识链接
课内练习及课后作业
1.练习：(1)(2)题为例题仿照题，由同桌协助完成．(3)(4)考查二分法的含义，由同学独立完成，可以寻求帮助．(附录4)2．思考：两道题均为实际应用题，为学有余力的同学提高能力．(附录4)3．课后作业：习题3.1
A组3、4；B组1、2.
练习1.(1)(2)经过同桌两位同学合作可以顺利完成．(3)(4)独立完成如果有困难的同学在同伴或老师的帮助下可以完成．练习2实际应用：学有余力的同学与同伴合作探讨，也可以解决.
[设计意图]1．不同层次的题目，层层递进，不断提高学生的能力．不仅巩固新学的知识，而且让不同层次的学生得到不同的收获；2．培养合作、互助精神；3．培养学生应用与创新的能力，利用二分法的逼近思想解决实际问题．
本课小结
请同学们回顾一下本节课的教学过程，你觉得你已经掌握了哪些知识？
教师通过点名提问，学生借助教师的帮助对整节课进行最后的归纳总结，得到以下两点：(1)二分法是一种求一元方程近似解的通法．(2)利用二分法来解一元方程近似解的操作步骤(附录3).
[设计意图]学生的归纳总结的能力不强，需要不断的培养；课后的总结有利于学生对整节课的内容进行升华，了解自己掌握了什么知识，养成良好的学习习惯，建立自信心.
1．本节课有两条线，明线：“从生活实际、从学生熟知的现实生活、从学生喜爱的游戏——“竞猜商品的价格”入手，引导学生进入深层的思考——如何才能更快更好地赢得游戏？与学生一道进行新知识的探索过程——二分法的得来；再将二分法充分地运用在函数零点的求解上；最后将二分法求解函数零点的过程程序化”；暗线：“生活实际(特殊)——二分法的理论(一般)——二分法的应用(特殊)”．让学生经历知识的形成与应用过程，培养发现问题、提出问题、解决问题的能力，体现数学的基础性、时代性、典型性和可接受性，体会数学来自生活，应用于生活的最高境界，感受数学之美．
2．引入课题的方式，(1)从生活中的常见现象——“商品价格的竞猜”引入；(2)开门见山——“继续前面的研究”引入．
(附录1)解：设f(x)＝ln
x＋2x－6，x∈(2,3)，先取区间的中点，再计算中点的函数值，接着应用“零点存在定理”确定零点所在的区间，从而缩小精确度，得到下表：
区
间
中点
中点函数值
精确度
2
3
2.5
－0.083
709
268
1
2.5
3
2.75
0.511
600
912
0.5
2.5
2.75
2.625
0.215
080
896
0.25
2.5
2.625
2.562
5
0.065
983
344
0.125
2.5
2.562
5
2.531
25
－0.008
786
748
0.062
5
2.531
25
2.562
5
2.546
875
0.028
617
117
0.031
25
2.531
25
2.546
875
2.539
062
5
0.009
919
918
0.015
625
2.531
25
2.539
062
5
2.535
156
25
0.000
567
772
0.007
813
2.531
25
2.535
156
25
2.533
203
125
－0.004
109
191
0.003
906
2.533
203
125
2.535
156
25
2.534
179
688
－0.001
770
635
0.001
953
2.534
179
688
2.535
156
25
2.534
667
969
－0.000
601
413
0.000
977
2.534
667
969
2.535
156
25
2.534
912
109
－1.681
57×10－5
0.000
488
所以，当精确度为0.01时，由于|2.539
062
5－2.531
25|＝0.007
812
5<0.01，因此我们可以将x＝2.531
25作为函数f(x)＝ln
x＋2x－6零点的近似值，也即方程ln
x＋2x－6＝0根的近似值．
(附录2)二分法求解方程f(x)＝0〔或g(x)＝h(x)〕近似解的基本步骤：
①画图或利用函数值的正负，确定初始区间(a，b)，验证f(a)·f(b)<0；
②求区间(a，b)的中点x1(x1＝)；
③计算f(x1)：若f(x1)＝0，则x1就是函数f(x)的零点，x1就是f(x)＝0的根，计算终止；
若f(a)f(x1)<0，则选择区间(a，x1)；
若f(a)f(x1)>0，则选择区间(x1，b)；
④循环操作②、③，直到当区间的精确度达到事先指定的精确度ε(若是要求精确到ε，两端点精确到同一个近似值时才终止计算)．
(附录3)
1．练习：(1)应用计算器，求方程x3＋3x－1＝0的一个正的近似解．
(2)应用计算器，求方程2x＋x＝4的近似解．
(3)用二分法判断方程2x＝x2的根的个数( )
A．1
B．2
C．3
D．4
(4)方程lg(x＋4)＝10x的根的情况是( )
A．仅有一根
B．有一正根一负根
C．有两负根
D．无实根
2．思考：(1)从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点，现在某接点发生故障，需及时修理，为了尽快断定故障发生点，一般至少需要检查接点的个数为几个？
(2)一天，泉州七中校区与现代中学(分校)校区的电缆线路出了故障(相距大约10
km)，电工是怎样检测的呢？
答案：略第二节函数模型及其应用第二课时
导入新课
思路1.(情境导入)
国际象棋起源于古代印度．相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他要什么．发明者说：“请在棋盘的第一个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒，依次类推，每个格子里的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子．请给我足够的麦粒以实现上述要求．”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了．假定千粒麦子的质量为40g，据查，目前世界年度小麦产量为6亿吨，但这仍不能满足发明者要求，这就是指数增长．本节我们讨论指数函数、对数函数、二次函数的增长差异．
思路2.(直接导入)
我们知道，对数函数y＝logax(a>1)，指数函数y＝ax(a>1)与幂函数y＝xn(n>0)在区间(0，＋∞)上都是增函数．但这三类函数的增长是有差异的．本节我们讨论指数函数、对数函数、二次函数的增长差异．
推进新课
①在区间 0，＋∞ 上判断y＝log2x，y＝2x，y＝x2的单调性.
②列表并在同一坐标系中画出三个函数的图象.
③结合函数的图象找出其交点坐标.
④请在图象上分别标出使不等式log2x<2x
⑤由以上问题你能得出怎样的结论？
讨论结果：
①在区间(0，＋∞)上函数y＝log2x，y＝2x，y＝x2均为单调增函数．
②见下表与图9.
X
0.2
0.6
1.0
1.4
1.8
2.2
2.6
3.0
3.4
…
Y＝2x
1.149
1.516
2
2.639
3.482
4.959
6.063
8
10.556
…
Y＝x2
0.04
0.36
1
1.96
3.24
4.84
6.67
9
11.56
…
y＝log2x
－2.322
－0.737
0
0.485
0.848
1.138
1.379
1.585
1.766
…
图9
③从图象看出y＝log2x的图象与另外两函数的图象没有交点，且总在另外两函数的图象的下方，y＝2x的图象与y＝x2的图象有两个交点(2,4)和(4,16)．
④不等式log2x<2x⑤我们在更大的范围内列表作函数图象(图10)，
X
0
1
2
3
4
5
6
7
8
…
Y＝2x
1
2
4
8
16
32
64
128
256
…
Y＝x2
0
1
4
9
16
25
36
49
64
…
图10
容易看出：y＝2x的图象与y＝x2的图象有两个交点(2,4)和(4,16)，这表明2x与x2在自变量不同的区间内有不同的大小关系，有时2x但是，当自变量x越来越大时，可以看到，y＝2x的图象就像与x轴垂直一样，2x的值快速增长，x2比起2x来，几乎有些微不足道，如图11和下表所示．
x
0
10
20
30
40
50
60
70
80
…
y＝2x
1
1
024
1.05E＋06
1.07E＋09
1.10E＋12
1.13E＋15
1.15E＋18
1.18E＋21
1.21E＋24
…
y＝x2
0
100
400
900
1
600
2
500
3
600
4
900
6
400
…
图11
一般地，对于指数函数y＝ax(a>1)和幂函数y＝xn(n>0)，通过探索可以发现，在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，ax会小于xn，但由于ax的增长快于xn的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有ax>xn.
同样地，对于对数函数y＝logax(a>1)和幂函数y＝xn(n>0)，在区间(0，＋∞)上，随着x的增大，logax增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样．尽管在x的一定变化范围内，logax可能会大于xn，但由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有logax综上所述，尽管对数函数y＝logax(a>1)，指数函数y＝ax(a>1)与幂函数y＝xn(n>0)在区间(0，＋∞)上都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n>0)的增长速度，而y＝logax(a>1)的增长速度则会越来越慢．因此，总会存在一个x0，当x>x0时，就会有logax0)增长快于对数函数y＝logax(a>1)增长，但它们与指数增长比起来相差甚远，因此指数增长又称“指数爆炸”．
例1某市的一家报刊摊点，从报社买进晚报的价格是每份0.20元，卖出价是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社．在一个月(以30天计)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？
活动：学生先思考或讨论，再回答．教师根据实际，可以提示引导：
设摊主每天从报社买进x份，显然当x∈[250,400]时，每月所获利润才能最大．而每月所获利润＝卖报收入的总价－付给报社的总价．卖报收入的总价包含三部分：①可卖出400份的20天里，收入为20·0.30x；②可卖出250份的10天里，收入为10·0.30·250；③10天里多进的报刊退回给报社的收入为10·0.05·(x－250)．付给报社的总价为30·0.20x.
解：设摊主每天从报社买进x份晚报，显然当x∈[250,400]时，每月所获利润才能最大．于是每月所获利润y为
y＝20·0.30x＋10·0.30·250＋10·0.05·(x－250)－30·0.20x＝0.5x＋625，x∈[250,400]．
因函数y在[250,400]上为增函数，故当x＝400时，y有最大值825元．
例2某医药研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y与时间t之间近似满足如图12所示的曲线．
图12
(1)写出服药后y与t之间的函数关系式；
(2)据测定：每毫升血液中含药量不少于4微克时治疗疾病有效，假若某病人一天中第一次服药时间为上午7：00，问一天中怎样安排服药的时间(共4次)效果最佳？
解：(1)依题意，得y＝
(2)设第二次服药时在第一次服药后t1小时，则－t1＋＝4，t1＝4.因而第二次服药应在11：00；
设第三次服药在第一次服药后t2小时，则此时血液中含药量应为两次服药量的和，即有－t2＋－(t2－4)＋＝4，解得t2＝9，故第三次服药应在16：00；
设第四次服药在第一次后t3小时(t3>10)，则此时第一次服进的药已吸收完，此时血液中含药量应为第二、三次的和，－(t2－4)＋－(t2－9)＋＝4，解得t3＝13.5，故第四次服药应在20：30.
变式训练
通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间：讲座开始时，学生兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f(x)表示学生接受概念的能力[f(x)的值愈大，表示接受的能力愈强]，x表示提出和讲授概念的时间(单位：分钟)，可有以下的公式：f(x)＝(1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？(2)开讲后5分钟与开讲后20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？解：(1)当0某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图13(1)的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图13(2)的抛物线段表示．
(1)写出图13(1)表示的市场售价与时间的函数关系P＝f(t)；
写出图13(2)表示的种植成本与时间的函数关系式Q＝g(t)；
(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？
(1) (2)
图13
(注：市场售价和种植成本的单位：元/102
kg，时间单位：天)
活动：学生在黑板上书写解答．教师在学生中巡视其他学生的解答，发现问题及时纠正．
解：(1)由图13(1)可得市场售价与时间的函数关系为f(t)＝
由图13(2)可得种植成本与时间的函数关系为g(t)＝(t－150)2＋100,0≤t≤300.
(2)设t时刻的纯收益为h(t)，
则由题意得h(t)＝f(t)－g(t)．
即h(t)＝
当0≤t≤200时，配方整理，得h(t)＝－(t－50)2＋100，
所以当t＝50时，h(t)取得区间[0,200]上的最大值100；
当200所以当t＝300时，h(t)取得区间[200,300]上的最大值87.5.
综上，由100>87.5可知，h(t)在区间[0,300]上可以取得最大值100，此时t＝50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大．
点评：本题主要考查由函数图象建立函数关系式和求函数最大值的问题，考查运用所学知识解决实际问题的能力．
探究内容
①在函数应用中如何利用图象求解析式．
②分段函数解析式的求法．
③函数应用中的最大值、最小值问题．
举例探究：(2007山东省青岛高三教学质量检测，理21)某跨国公司是专门生产健身产品的企业，第一批产品A上市销售40天内全部售完，该公司对第一批产品A上市后的国内外市场销售情况进行调研，结果如图14(1)、图14(2)、图14(3)所示．其中图14(1)的折线表示的是国外市场的日销售量与上市时间的关系；图14(2)的抛物线表示的是国内市场的日销售量与上市时间的关系；图14(3)的折线表示的是每件产品A的销售利润与上市时间的关系．
图14
(1)分别写出国外市场的日销售量f(t)、国内市场的日销售量g(t)与第一批产品A上市时间t的关系式；
(2)第一批产品A上市后的哪几天，这家公司的国内和国外日销售利润之和超过6
300万元？
分析：1.利用图象求解析式，先要分清函数类型再利用待定系数法求解析式．
2．在t∈[0,40]上，有几个分界点，请同学们思考应分为几段．
3．回忆函数最值的求法．
解：(1)f(t)＝
g(t)＝－t2＋6t(0≤t≤40)．
(2)每件A产品销售利润h(t)＝
该公司的日销售利润F(t)＝
当0≤t≤20时，F(t)＝3t(－t2＋8t)，先判断其单调性．
设0≤t1＜t2≤20，则F(t1)－F(t2)＝3t1(－t＋8t1)－3t2(－t＋8t2)＝－(t1＋t2)(t1－t2)2.
∴F(t)在[0,20]上为增函数．
∴F(t)max＝F(20)＝6
000<6
300.
当206
300，
则当30300，
故在第24、25、26、27、28、29天日销售利润超过6
300万元．
点评：1.利用图象求解析式，先要分清函数类型再利用待定系数法求解析式，重点是找出关键点．
2.在t∈[0,40]上，有几个分界点，t＝20，t＝30两点把区间分为三段．
3．二次函数的最值可用配方法，另外利用单调性求最值也是常用方法之一．
本节学习了：①指数函数、对数函数、二次函数的增长差异．②幂函数、指数函数、对数函数的应用．
课本习题3.2A组3、4.
本节设计从精彩的故事开始，让学生从故事中体会数学带来的震撼，然后借助计算机感受不同函数模型的巨大差异．接着通过最新题型训练学生利用函数模型解决实际问题的能力；并且重点训练了由图象转化为函数解析式的能力，因为这是高考的一个重点．本节的每个例题都很精彩，可灵活选用．
[备选例题]
【例1】
某西部山区的某种特产由于运输的原因，长期只能在当地销售，当地政府对该项特产的销售投资收益为：每年投入x万元，可获得利润P＝－(x－40)2＋100万元．当地政府拟在新的十年发展规划中加快发展此特产的销售，其规划方案为：在规划后对该项目每年都投入60万元的销售投资，在未来10年的前5年中，每年都从60万元中拨出30万元用于修建一条公路，5年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的5年中，该特产既在本地销售，也在外地销售，在外地销售的投资收益为：每年投入x万元，可获利润Q＝－(60－x)2＋(60－x)万元．
问从10年的累积利润看，该规划方案是否可行？
解：在实施规划前，由题设P＝－(x－40)2＋100(万元)，知每年只需投入40万，即可获得最大利润100万元．
则10年的总利润为W1＝100×10＝1
000(万元)．
实施规划后的前5年中，由题设P＝－(x－40)2＋100，知每年投入30万元时，有最大利润Pmax＝(万元)．
前5年的利润和为×5＝(万元)．
设在公路通车的后5年中，每年用x万元投资于本地的销售，而用剩下的(60－x)万元用于外地区的销售投资，则其总利润为
W2＝[－(x－40)2＋100]×5＋(－x2＋x)×5
＝－5(x－30)2＋4
950.
当x＝30时，(W2)max＝4
950(万元)．
从而10年的总利润为＋4
950(万元)．
∵＋4
950>1
000，
∴该规划方案有极大实施价值．第二节函数模型及其应用第一课时
教学分析
函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述．本节的教学目标是认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同，应用函数模型解决简单问题．课本对几种不同增长的函数模型的认识及应用，都是通过实例来实现的．通过教学让学生认识到数学来自现实生活，数学在现实生活中是有用的．
三维目标
1．借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异．
2．恰当运用函数的三种表示方法(解析式、表格、图象)并借助信息技术解决一些实际问题．
3．让学生体会数学在实际问题中的应用价值，培养学生学习兴趣．
重点难点
教学重点：认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同．
教学难点：应用函数模型解决简单问题．
课时安排
2课时
第1课时
作者：林大华
导入新课
思路1.(事例导入)
一张纸的厚度大约为0.01
cm，一块砖的厚度大约为10
cm，请同学们计算将一张纸对折n次的厚度和n块砖的厚度，列出函数关系式，并计算n＝20时它们的厚度．你的直觉与结果一致吗？
解：纸对折n次的厚度：f(n)＝0.01·2n(cm)，n块砖的厚度：g(n)＝10n(cm)，f(20)≈105
m，g(20)＝2
m.
也许同学们感到意外，通过对本节课的学习大家对这些问题会有更深的了解．
思路2.(直接导入)
请同学们回忆指数函数、对数函数以及幂函数的图象和性质，本节我们将通过实例比较它们的增长差异．
推进新课
①如果张红购买了每千克1元的蔬菜x千克，需要支付y元，把y表示为x的函数.
②正方形的边长为x，面积为y，把y表示为x的函数.
③某保护区有1单位面积的湿地，由于保护区的努力，使湿地面积每年以5%的增长率增长，经过x年后湿地的面积为y，把y表示为x的函数.
④分别用表格、图象表示上述函数.,⑤指出它们属于哪种函数模型.
⑥讨论它们的单调性.
⑦比较它们的增长差异.
⑧另外还有哪种函数模型与对数函数相关.
活动：先让学生动手做题后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路．
①总价等于单价与数量的积．
②面积等于边长的平方．
③由特殊到一般，先求出经过1年、2年…
④列表画出函数图象．
⑤引导学生回忆学过的函数模型．
⑥结合函数表格与图象讨论它们的单调性．
⑦让学生自己比较并体会．
⑧其他与对数函数有关的函数模型．
讨论结果：①y＝x.
②y＝x2.
③y＝(1＋5%)x.
④如下表
x
1
2
3
4
5
6
Y＝x
1
2
3
4
5
6
Y＝x2
1
4
9
16
25
36
y＝(1＋5%)x
1.05
1.10
1.16
1.22
1.28
1.34
它们的图象分别为图1，图2，图3.
图1
图2
图3
⑤它们分别属于：y＝kx＋b(直线型)，y＝ax2＋bx＋c(a≠0，抛物线型)，y＝kax＋b(指数型)．
⑥从表格和图象得出它们都为增函数．
⑦在不同区间增长速度不同，随着x的增大y＝(1＋5%)x的增长速度越来越快，会远远大于另外两个函数．
⑧另外还有与对数函数有关的函数模型，形如y＝logax＋b，我们把它叫做对数型函数．
例1假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．
请问，你会选择哪种投资方案？
活动：学生先思考或讨论，再回答．教师根据实际，可以提示引导：我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据．
解：设第x天所得回报是y元，则方案一可以用函数y＝40(x∈N
)进行描述；方案二可以用函数y＝10x(x∈N
)进行描述；方案三可以用函数y＝0.4×2x－1(x∈N
)进行描述．三个模型中，第一个是常数函数，后两个都是递增函数模型．要对三个方案做出选择，就要对它的增长情况进行分析．我们先用计算机计算一下三种所得回报的增长情况．
x/天
方案一
方案二
方案三
y/元
增加量/元
y/元
增加量/元
y/元
增加量/元
1
40
10
0.4
2
40
0
20
10
0.8
0.4
3
40
0
30
10
1.6
0.8
4
40
0
40
10
3.2
1.6
5
40
0
50
10
6.4
3.2
6
40
0
60
10
12.8
6.4
7
40
0
70
10
25.6
12.8
8
40
0
80
10
51.2
25.6
9
40
0
90
10
102.4
51.2
10
40
0
100
10
204.8
102.4
…
…
…
…
…
…
…
30
40
0
300
10
214
748
364.8
107
374
182.4
再作出三个函数的图象(图4)．
图4
由表和图4可知，方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但方案二与方案三的函数的增长情况很不相同．可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二无法企及的．从每天所得回报看，在第1～3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第5～8天，方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元．
下面再看累积的回报数．通过计算机或计算器列表如下：
天数回报/元方案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
一
40
80
120
160
200
240
280
320
360
400
440
二
10
30
60
100
150
210
280
360
450
550
660
三
0.4
1.2
2.8
6
12.4
25.2
50.8
102
204.4
409.2
818.8
因此，投资1～6天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或方案二；投资8～10天，应选择方案二；投资11天(含11天)以上，则应选择方案三．
针对上例可以思考下面问题：
①选择哪种方案是依据一天的回报数还是累积回报数．
②课本把两种回报数都列表给出的意义何在？
③由此得出怎样的结论．
答案：①选择哪种方案依据的是累积回报数．
②让我们体会每天回报数的增长变化．
③上述例子只是一种假想情况，但从中我们可以体会到，不同的函数增长模型，其增长变化存在很大差异.
变式训练
某市移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者先缴50元月基础费，然后每通话1分钟付话费0.4元；“神州行”不缴月基础费，每通话1分钟付话费0.6元，若设一个月内通话x分钟，两种通讯业务的费用分别为y1元和y2元，那么(1)写出y1、y2与x之间的函数关系式；(2)在同一直角坐标系中画出两函数的图象；(3)求出一个月内通话多少分钟，两种通讯业务费用相同；(4)若某人预计一个月内使用话费200元，应选择哪种通讯业务较合算．
思路分析：我们可以先建立两种通讯业务所对应的函数模型，再通过比较它们的变化情况，为选择哪种通讯提供依据．(1)全球通的费用应为两种费用的和，即月基础费和通话费，神州行的费用应为通话费用；(2)运用描点法画图，但应注意自变量的取值范围；(3)可利用方程组求解，也可以根据图象回答；(4)求出当函数值为200元时，哪个函数所对应的自变量的值较大．解：(1)y1＝50＋0.4x(x≥0)，y2＝0.6x(x≥0)．(2)图象如图5所示．图5(3)根据图中两函数图象的交点所对应的横坐标为250，所以在一个月内通话250分钟时，两种通讯业务的收费相同．
(4)当通话费为200元时，由图象可知，y1所对应的自变量的值大于y2所对应的自变量的值，即选取全球通更合算．另解：当y1＝200时有0.4x＋50＝200，∴x1＝375；当y2＝200时有0.6x＝200，x2＝.显然375>，∴选用“全球通”更合算．点评：在解决实际问题过程中，函数图象能够发挥很好的作用，因此，我们应当注意提高读图的能力．另外，本例题用到了分段函数，分段函数是刻画现实问题的重要模型.
例2某公司为了实现1
000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随着利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？
活动：学生先思考或讨论，再回答．教师根据实际，可以提示引导：某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，由于公司总的利润目标为1
000万元，所以人员销售利润一般不会超过公司总的利润．于是只需在区间[10,1
000]上，检验三个模型是否符合公司要求即可．不妨先作出函数图象，通过观察函数的图象，得到初步结论，再通过具体计算，确认结果．
解：借助计算器或计算机作出函数y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x的图象(图6)．
图6
观察函数的图象，在区间[10,1
000]上，模型y＝0.25x，y＝1.002x的图象都有一部分在直线y＝5的上方，只有模型y＝log7x＋1的图象始终在y＝5的下方，这说明只有按模型y＝log7x＋1进行奖励时才符合公司的要求．
下面通过计算确认上述判断．
首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万．
对于模型y＝0.25x，它在区间[10,1
000]上递增，而且当x＝20时，y＝5，因此，当x>20时，y>5，所以该模型不符合要求；
对于模型y＝1.002x，由函数图象，并利用计算器，可知在区间(805,806)内有一个点x0满足1.002x0＝5，由于它在区间[10,1
000]上递增，因此当x>x0时，y>5，所以该模型也不符合要求；
对于模型y＝log7x＋1，它在区间[10,1
000]上递增，而且当x＝1
000时，y＝log71
000＋1≈4.55<5，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求．
再计算按模型y＝log7x＋1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x∈[10,1
000]时，是否有＝≤0.25成立．
令f(x)＝log7x＋1－0.25x，x∈[10,1
000]．利用计算器或计算机作出函数f(x)的图象(图7)，由函数图象可知它是递减的，因此
图7
f(x)7<0，即log7x＋1<0.25x.
所以当x∈[10,1
000]时，<0.25.
说明按模型y＝log7x＋1奖励，奖金不超过利润的25%.
综上所述，模型y＝log7x＋1确实能符合公司的要求.
变式训练市场营销人员对过去几年某商品的价格及销售数量的关系做数据分析发现有如下规律：该商品的价格每上涨x%(x>0)，销售数量就减少kx%(其中k为正实数)．目前，该商品定价为a元，统计其销售数量为b个．(1)当k＝时，该商品的价格上涨多少，就能使销售的总金额达到最大？(2)在适当的涨价过程中，求使销售总金额不断增加时k的取值范围．解：依题意，价格上涨x%后，销售总金额为y＝a(1＋x%)·b(1－kx%)＝[－kx2＋100(1－k)x＋10
000]．(1)取k＝，y＝(－x2＋50x＋10
000)，所以x＝50，即商品价格上涨50%，y最大为ab.(2)因为y＝[－kx2＋100(1－k)x＋10
000]，此二次函数的开口向下，对称轴为x＝，在适当涨价过程后，销售总金额不断增加，即要求此函数当自变量x在{x|x>0}的一个子集内增大时，y也增大．所以>0，解得0光线通过一块玻璃，其强度要损失10%，把几块这样的玻璃重叠起来，设光线原来的强度为k，通过x块玻璃以后强度为y.
(1)写出y关于x的函数关系式；
(2)通过多少块玻璃以后，光线强度减弱到原来的以下．(lg3≈0.477
1)
解：(1)光线经过1块玻璃后强度为(1－10%)k＝0.9k；
光线经过2块玻璃后强度为(1－10%)·0.9k＝0.92k；
光线经过3块玻璃后强度为(1－10%)·0.92k＝0.93k；
光线经过x块玻璃后强度为0.9xk.
∴y＝0.9xk(x∈N
)．
(2)由题意：0.9xk＜.∴0.9x＜.
两边取对数，xlg0.9＜lg.
∵lg0.9＜0，∴x＞.
∵＝≈10.4，∴xmin＝11.
∴通过11块玻璃以后，光线强度减弱到原来的以下．
某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象(如图8所示)．假设其关系为指数函数，并给出下列说法：
①此指数函数的底数为2；
②在第5个月时，野生水葫芦的面积就会超过30
m2；
③野生水葫芦从4
m2蔓延到12
m2只需1.5个月；
④设野生水葫芦蔓延到2
m2、3
m2、6
m2所需的时间分别为t1、t2、t3，则有t1＋t2＝t3；
⑤野生水葫芦在第1到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2到第4个月之间蔓延的平均速度．
哪些说法是正确的？
图8
解：①说法正确．
∵关系为指数函数，
∴可设y＝ax(a>0且a≠1)．∴由图知2＝a1.
∴a＝2，即底数为2.
②∵25＝32>30，∴说法正确．
③∵指数函数增长速度越来越快，
∴说法不正确．
④t1＝1，t2＝log23，t3＝log26，∴说法正确．
⑤∵指数函数增长速度越来越快，∴说法不正确．
活动：学生先思考或讨论，再回答．教师提示、点拨，及时评价．
引导方法：从基本知识和基本技能两方面来总结．
答案：(1)建立函数模型；(2)利用函数图象性质分析问题、解决问题．
课本习题3.2A组1、2.
本节设计由学生熟悉的素材入手，结果却出乎学生的意料，由此使学生产生浓厚的学习兴趣．课本中两个例题不仅让学生学会了函数模型的应用，而且体会到它们之间的差异；我们补充的例题与之相映生辉，其难度适中，是各地高考模拟经常选用的素材．其中拓展提升中的问题紧贴本节主题，很好地体现了指数函数的性质特点，是不可多得的素材．第一节函数与方程第四课时
教学设计(三)
三维目标
知识与技能：
1．通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件；
2．借助科学计算器，掌握运用二分法求满足一定精确度要求的简单方程近似解的方法．
过程与方法：
1．了解数学上的逼近思想、极限思想；
2．体验二分法的算法思想，培养自主探究的能力，为学习算法做准备．
情感、态度与价值观：
1．通过了解数学家的史料来提高数学素养，并增强学习数学的兴趣；
2．体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一；
3．通过具体实例的探究，归纳发现的结论或规律，体会从具体到一般的认知过程．
教学重点与难点
教学重点：二分法的基本思想的理解，运用二分法求函数零点的近似值的步骤和过程；
教学难点：精确度概念的理解及恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解．
教材分析
本节课在学生应用数形结合的数学思想指导下学习了方程的根与对应函数零点之间的关系的基础上，再介绍求函数零点的近似值的“二分法”，并在总结“用二分法求方程近似解步骤”中渗透算法的思想，为学生后续学习算法内容做准备．教科书不仅希望学生在数学思想与运用信息技术的能力上有所收获，而且希望学生通过了解古今中外数学家求方程的解的史料来渗透数学文化，提高数学素养．
学情分析
学生基础较好，学生学习的主动性较强，所以通过一节课掌握用二分法求方程的近似解的方法，体验二分法中的逼近思想、算法思想．但在求解的过程中，由于数值计算较为复杂，因此对获得给定精确度的近似解增加了困难，所以希望学生具备恰当地使用信息技术工具解决这一问题的能力．
信息技术分析
多媒体教室及几何画板4.06中文版、Visual
Basic
6.0简体中文版应用程序．
教学方法
动手操作、分组讨论、合作交流、课后实践．
教学设计流程图
——由模仿中央电视台节目“幸运52”中的猜价游戏导入新课，提出二分法的思想
↓
——回顾例题，复习零点存在性定理，提出新问题：能不能求出零点《几何画板》演示
↓
——借助《几何画板》软件探究用二分法求方程的近似解
↓
——总结出用二分法求方程近似解的步骤
↓
——学生借助科学计算器，用二分法求方程的近似解
↓
——介绍数学家求方程的近似解的历史
↓
——利用Visual
Basic编写程序，渗透算法思想
教学设计理念
1．倡导积极主动、勇于探索的学习方式．
2．鼓励学生自主探究、合作交流．
3．注重信息技术与数学课程的整合．
4．体现数学的文化价值．
教学情境设计
一、创设情境，导入新课
问题情境：中央电视台有一档娱乐节目“幸运52”，主持人李咏会给选手在限定时间内猜某一物品的售价的机会，如果猜中，就把物品奖励给选手，同时获得一枚商标．某次猜一种品牌的手机，价格在500～1
000元之间，选手开始报价：1
000元，主持人回答：高了；紧接着报价900元，高了；700元，低了；800元，低了；880元，高了；850元，低了；851元，恭喜你，你猜中了．
设计意图
1．创设学生熟悉的游戏情境，制造悬念，引发学生的学习兴趣，并在教师的指导下设计猜价方案．
2．在学生设计猜价方案的基础上，提出设计此方案的思想后引入“二分法”，水到渠成．
师生活动：
师：表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分，实际中，游戏的报价过程体现了“逼近”的数学思想，你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？请学生思考后，提问学生用你的猜价方案猜手机价格？
生：猜价方案
区间 中点(取整) 高低
[500,1
000]
750
低了
[750,1
000]
875
高了
[750,875]
812
低了
[812,875]
843
低了
[843,875]
859
高了
[843,859]
851
ok
师：用几何画板配合学生演示猜价的过程后，提问此方案的设计思想(附图一)．
生：关键是取区间的中点，不断地缩小价格所在的区间．
师：此方法在数学上称作“二分法”，并在黑板上板书，从而引入课题．
二、例题回顾
人教A版3.1.1节例1
求函数f(x)＝ln
x＋2x－6的零点的个数？方程ln
x＋2x－6＝0的实数解的个数？
问题1：如何来确定函数零点的存在性，即方程的实数解的存在性？
问题2：f(x)＝ln
x＋2x－6在区间(2,3)内有零点，如何找出？
设计意图
通过例题回顾，引导学生将找方程的实数解与找对应函数的零点的问题等同起来，体会数学模型之间的转换．
师生活动：
师：借助几何画板直观演示(附图二)函数零点所在区间，并复习零点存在性定理后，让学生思考问题2，提示学生回顾猜价方案的思想．
生：使用科学计算器进行计算，思考，交流思路．
师：提问学生．
生：1.取(2,3)的中点2.5，发现f(2.5)·f(3)<0，所以零点在(2.5,3)内．
2．以此类推，发现零点所在的区间在不断缩小．
三、合作探究
问题1：零点存在区间的大小能说明什么问题？
问题2：你能够总结出使零点存在的区间越来越小的规律吗？
问题3：当我们能够将零点所在的区间不断地缩小时，怎样确定零点的近似值？
设计意图
1．让学生在教师的指导下学会发现问题、分析问题，初步体会极限思想．
2．引导学生从具体的实例出发，总结出一般性的规律，符合学生的思维意识，并让学生充分体会二分法思想．
3．引导学生将函数零点的近似值求出来，让学生体会精确度的作用．
师生活动：
1．师：借助几何画板(附图三)引导学生思考，并让学生交流、讨论．
生：零点存在区间越小，区间两端点越接近该区间的实数解．
2．师：说明让零点存在区间越来越小是解决问题的关键，请思考问题2.
生：分组交流．
生：经合作整理，规律如下：
每次将区间二等分，留下区间端点函数值符号相反的区间．
师：实质是根据什么定理？
生：零点存在性定理．
3．师：顺势让学生思考问题3后，指出给定精确度ε，只要将上述步骤进行有限次重复后即区间两端点差的绝对值小于ε，则区间内的任意一点都可以作为函数零点的近似值．
几何画板直观演示(附图四)．
四、师生小结
你能说出二分法的意义及用二分法求函数y＝f(x)零点近似值的步骤吗？
1．二分法的意义
对于在区间[a，b]上连续不断且满足f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
2．给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：几何画板分布演示(附图五)．
设计意图
引导学生小结二分法的适用条件及求方程近似解的具体步骤，培养学生从特殊到一般的思想，体验解决问题的成就感．
师生活动：
师：阐述二分法的逼近原理，引导学生理解二分法的算法思想，明确二分法求函数近似零点的具体步骤．
师：分析关键词：
f(a)·f(b)<0、m＝、精确度ε、|a－b|<ε的意义．
生：结合求函数f(x)＝ln(x)＋2x－6在区间(2,3)内的零点，理解二分法的算法思想与计算原理．
五、学以致用
问题1：实际生活中有没有利用到二分法的思想方法的例子呢？试举例．
问题2：借助计算器或计算机用二分法求方程2x＋3x＝7的近似解．(精确度0.1)
设计意图
1．培养学生联系实际的能力，让学生体会数学与实际生活的密切联系．
2．培养学生的动手能力，让学生逐步掌握运用二分法求方程近似解的思想方法，并使学生的认识不断加深．
师生活动：
1．师：让学生讨论，学生思考联想实际生活，尝试举出运用二分法的例子．
生：电力工人检测电线，找故障．
2．(1)学生利用科学计算器动手操作、进行小组交流，老师作课堂巡视指导．
(2)师借助几何画板分布，直观演示(附图六)．
六、数学文化
阅读本节阅读与思考“中外历史上的方程求解”．
设计意图
让学生感受数学文化方面的熏陶，增强数学素养．
七、知识迁移
问题：回忆用二分法求方程的近似解的步骤中，缩小零点所在的区间的步骤是否可以进行重复，如果给定精确度后重复的步骤是否是有限次的？
设计意图
初步介绍算法思想，为必修3的算法教学埋下伏笔．
师生活动：
师：如果一种计算方法对某一类问题都有效，计算可以一步一步地进行，每一步都能得到唯一的结果，我们常把这一类问题的求解过程叫做解决这一类问题的一种算法．它的优点是一种通法，更大的优点是，它可以让计算机来实现．例如我们可以编写用二分法求方程的近似解的程序，快速地求出一个函数的零点．
程序框图及程序(附图七)
八、课堂小结
问题：本节课学习了哪些知识、方法、思想？
设计意图
学生在回顾、总结、反思的过程中，将所学的知识条理化、系统化，使自己的认知结构更趋合理．注重数学方法的提炼，可使学生逐渐把经验内化为能力．
师生活动：
师：引导学生从知识、方法两方面进行总结后板书：
1．要找方程的实数解可先利用函数的连续性判定方程实数解的存在性，再利用二分法求方程的近似解；
2．二分法的意义；
3．二分法求方程的近似解的步骤；
4．逼近、极限、二分法．
教学设计附图：
区间 中点(取整) 高低
[500,1
000]
750
低了
[750,1
000]
875
高了
[750,875]
812
低了
[812,875]
843
低了
[843,875]
859
高了
[843,859]
851
附图一
附图二
附图三
附图四
二次法求解方程近似解的基本步骤：(精确度ε)
1．利用计算或作图的方法，确定初始区间[a，b]；
2．验证f(a)·f(b)<0；
3．求区间(a，b)的中点c＝；
4．计算f(c)：
(1)若f(c)＝0，则c就是函数的零点；
(2)若f(a)·f(c)<0，则令b＝c〔此时零点X0∈(a，c)〕；
(3)若f(c)·f(b)<0，则令a＝c〔此时零点X0∈(c，b)〕；
5．判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点的近似值a(或b)；否则重复3～4.
附图五
附图六
附visual
basic程序
Private
Sub
Command1_Click()
Dim
a
As
Single
Dim
b
As
Single
Dim
d
As
Single
a＝InputBox(“a”，“区间左端点”)
b＝InputBox(“b”，“区间右端点”)
d＝InputBox(“d”，“精确度”)
Text1.Text＝a
Text2.Text＝b
Text3.Text＝d
fa＝2^a＋3]
1．创设有趣且适合学生认知的问题情境，调动课堂气氛，提高学生的学习兴趣，鼓励每个学生动手、动口、动脑，积极参与数学的学习过程．
2．教学中以问题为主线，重视二分法概念的形成，培养学生的探究意识，增强学生的问题意识，提高发现和解决问题的能力．
3．在整个教学过程中，教师注意发挥学生的主体性，给学生留下充分的时间与空间，让学生分组交流、合作探究．在课堂上，学生不仅学会了有条理地表述自己的观点，还学会了相互接纳、互助与赞赏，并不断对自己和别人的想法进行批判和反思．学生间的多向交流，可以使他们从多角度得出问题解决的途径．
4．重视知识的形成过程，注重思维方法，注重探索方法，让学生主动获取知识，让学生在学习过程中去体验数学和经历数学．这样才能体现“思想方法比知识更重要”这一新的教学价值观．
5．在教学中适当介绍数学家的奋斗历史，从而渗透数学文化，增强学生的数学素养．
不足之处
1．在分组交流，学生合作探究解决问题上显得经验不足，不够老到．
2．在使用《几何画板》演示教学内容时，学生学习《几何画板》基本操作的实际水平与本节课知识运用所要求的水平不符．可以在课外花点时间让学生学习数学常用的几种软件，从而提高学生的动手能力．第一节函数与方程第五课时
教学设计(四)
教材分析
本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学1必修本(A版)》第三章的3.1.2用二分法求方程的近似解．
由于在实际问题的解决中，列出的方程可能相当复杂．设f(x)是实系数多项式或是任一实数函数，方程f(x)＝0称为代数方程或超越方程．一般说来，此类方程的根即使存在，也往往不能用公式表示，或者求出了根的表达式，却因比较复杂，难以用它来计算根的近似值．所以，当根存在时，研究求根的数值方法很有必要，本节教材向学生介绍了求零点近似值的实用且基本的方法——二分法．
教材在学生了解了函数的零点与方程根的联系的基础上，从实例入手介绍了求方程近似解的二分法．学生不难理解函数的零点及其求法，而困难的地方在于使用二分法求函数零点的计算过程相当繁杂．
在教学中应注意鼓励学生运用现代教育技术学习、探索和解决问题，借助计算器或计算机处理繁杂的计算、理解数学概念、探索数学结论．
学情分析
学生在学习了方程的根与函数的零点后，对于不能用公式法求根的方程f(x)＝0来说，我们可以将它与函数y＝f(x)联系起来，并利用函数的性质找出零点或零点所在的区间，从而求出方程的根，或者用二分法求出方程的近似解．
本节课的学习历经直观感知、观察发现、归纳类比等思维过程，有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和作出判断，因此教师在教学过程中应力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，开拓他们的创新意识和“逐步逼近”的数学思想．
教学目标
知识与技能：
通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，并从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用．
过程与方法：
能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备．
情感态度和价值观：
体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一．
重点难点
重点：通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．
难点：恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解．
课前准备
1．学生要准备能进行较为复杂运算的计算器．
2．课前学习材料：分治算法．
分治是实际生活中使用得比较广泛的一种解决问题的方法．在程序设计中，分治算法的设计思想是：将一个规模比较大的、难以直接解决的问题，分割成一些规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题相同；然后将这些子问题各个击破，分而治之．值得注意的是，分治算法的设计思想很自然地导致了递归算法的应用．它的一般设计模式如下：
if 问题规模小到可以直接解决 then 直接解决该问题
else 将问题分解成k个规模较小的子问题
end
if
for
i＝1
to
k
递归调用该分治算法，分别解决每一个子问题
next
i
将各子问题的解合并为原问题的解．
设计意图
从学生感兴趣的计算机编程问题引入，引导学生分析分治算法的思想与方法，为后面引出二分法的思想与方法做铺垫．
教学环节
创设情境
一、创设情境，引出课题
问题：现有大小与形状完全相同的金属小球16个，其中有一个是实心的，其余都是空心的．用一架天平需测量几次一定能找出实心小球？(要求测量次数尽可能少)
让学生思考、讨论，并得出结论．
学生可能会得出这样的结论：先将这16个小球分成个数相等的两部分，将这两部分放在天平上称，实心球在较重的这部分球中，再将较重的这部分球分成个数相等的两部分，将这两部分放在天平上称，实心球又在较重的这部分球中，依此类推，所以只要四次一定能找到实心小球．
学生也有可能将小球分成相同的四部分，再两部分两部分地去称，也可得到结果，等等．教师根据学生得出的方法进行总结．
设计意图
以实际问题为载体，通过学生亲自产生的思维方法体会二分法查找的思想与方法．
二、组织探究，导出算法
1．问题：通过上一节课的学习，我们知道函数f(x)＝ln
x＋2x－6在区间(2,3)内有零点(如下图所示)．那我们能否找出这个零点呢？或者能找出这个零点的近似值吗？
设计意图
上面的问题有着承上启下的作用，它既是对前面一节课结果的进一步的深入，也揭示了本节课所要解决的问题．
2．将学生分成几组进行合作学习，并要求学生将自己的求解过程进行记录、归纳．
设计意图
由于这一任务具有一定的难度，问题又具有一定的挑战性，有利于激发学生的主动性与小组学习活动的激情及发挥学习共同体的创造性，因此采用了小组合作学习的方式进行教学．这一环节借助信息技术功能提倡学生通过观察、思考、讨论来归纳结论，体现了学生自主探究的学习方式．
3．通过学生的合作学习，由一个小组代表发言求函数f(x)＝ln
x＋2x－6零点的过程，可用下表反映：
区间
中点的值
中点函数近似值
(2,3)
2.5
－0.084
(2.5,3)
2.75
0.512
(2.5,2.75)
2.625
0.215
(2.5,2.625)
2.562
5
0.066
(2.5,2.562
5)
2.531
25
－0.009
(2.531
25,2.562
5)
2.546
875
0.029
(2.531
25,2.546
875)
2.539
062
5
0.010
(2.531
25,2.539
062
5)
2.535
156
25
0.001
当精确度为0.01时，由于|2.539
062
5－2.531
25|＝0.007
812
5<0.01，所以我们可以将x＝2.531
25作为函数f(x)＝ln
x＋2x－6零点的近似值，也即方程ln
x＋2x－6＝0根的近似值．
4．给定精确度ε，再请一个小组代表发言求函数f(x)零点近似值的基本步骤(教师引导，由其他小组补充，逐步完善)
(1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精度ε；
(2)求区间(a，b)的中点x1；
(3)计算f(x1)：①若f(x1)＝0，则x1就是函数的零点；
②若f(a)·f(x1)<0，则令b＝x1[此时零点x0∈(a，x1)]；
③若f(x1)·f(b)<0，则令a＝x1[此时零点x0∈(x1，b)]；
(4)判断是否达到精度ε；
即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤2～4.
设计意图
从特殊到一般，揭示数学通常的发现过程，给学生“数学创造”的体验．这种教学方式易于学生接受和形成二分法的算法思想与计算原理．
三、探索发现，寻找内涵
1．教师：通过前面的探究，我们得出了求函数f(x)零点近似值的一种方法，我们来给这种方法取个名字，叫什么好呢？(学生可能会取“分割法”、“二分法”、“中点法”等，教师最后进行评析)
设计意图
从学生探究创造中下定义，便于学生深刻理解定义的内涵，这也是新课程提倡的教学理念之一．
2．问题：是不是所有有零点的函数都适合用二分法求零点的近似值呢？请同学们先看下面几个函数的图象再回答．
图一
图二
图三
学生通过上图的比较与分析，可以得出上图中一、三两个函数是无法用二分法求零点的近似值的，因此要用二分法求零点的近似值的函数必须具备两个特征：函数f(x)在区间[a，b]上连续不断，且满足f(a)·f(b)<0.这时教师对二分法的定义进行完善：对于在区间[a，b]上连续不断，且满足f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
设计意图
通过学生自己的观察、比较、分析，深化学生对定义的认识与理解，进一步挖掘二分法的内涵，使学生对二分法的算法思想与计算原理有了新的感悟．
3．教师进一步指出，从“数”的角度看，函数的零点即是使f(x)＝0的实数；从“形”的角度看，函数的零点即是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标．若函数f(x)的图象在x＝x0处与x轴相切，则零点x0通常称为不变号零点；若函数f(x)的图象在x＝x0处与x轴相交，则零点x0通常称为变号零点．二分法的条件f(a)·f(b)<0表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点．
设计意图
引导学生从“数”和“形”两个角度去体会函数零点的意义，掌握常见函数零点的求法，进一步明确二分法的适用范围．
四、尝试练习，体会应用
1．例题：借助计算器或计算机用二分法求方程2x＋3x＝7的近似解．(精确度0.1)
分析：首先利用函数性质或借助计算机、计算器画出函数图象，确定函数零点大致所在的区间，然后利用二分法逐步计算解答．
注意：
(1)第一步确定零点所在的大致区间(a，b)，可利用函数性质，也可借助计算机或计算器，但尽量取端点为整数的区间，尽量缩短区间长度，通常可确定一个长度为1的区间．
(2)建议列表样式如下：
零点所在区间
中点函数值
区间长度
[1,2]
f(1.5)>0
1
[1,1.5]
f(1.25)<0
0.5
[1.25,1.5]
f(1.375)<0
0.25
如此列表的优势：计算步数明确，区间长度小于精度时，即为计算的最后一步．
(在教学中教师要引导学生利用二分法逐步寻求函数零点的近似值，注意规范方法、步骤与书写格式．学生要根据二分法的思想与步骤独立完成思考，并进行交流、讨论、评析．)
设计意图
该例题是对这节课前面所学知识和数学思想的综合运用和巩固，解题过程体现了数学表达的简洁性和数学思维的严谨性，也体现了函数思想在解方程中的应用．
2．学生练习：
已知f(x)＝2＋2x－x2，
(1)如果g(x)＝f(2－x2)，求g(x)的解析式；
(2)借助计算器或计算机，画出函数g(x)的图象；
(3)求出函数g(x)的零点．(精确到0.1)
分析：本题第(1)问是一道代入法复合函数解析式的问题，第(2)、(3)问需用本节知识进行解决．另外在求g(x)的零点时，不妨用函数g(x)的奇偶性，只需用二分法求出其中一个零点，另一个便知道了．
答案：(1)g(x)＝2＋2x2－x4；
(2)
(3)±1.7.
设计意图
利用课堂练习巩固所学的知识内容、数学思想、数学方法，以求达到教学目标．本环节以个别指导为主，体现面对全体学生的课改理念．
五、小结体会，教师归纳
以学生发言的形式对本堂课进行小结，教师归纳强调：
1．二分法求方程的近似解，要求函数f(x)在某一区间[a，b]内连续，并且在此区间端点的函数值异号．
2．用二分法不能求二次重根．
3．在学习中要注意运用函数与方程的思想、数形结合的思想和“逐步逼近”的数学思想．
设计意图
关注学生学习的主动性，培养学生表达交流数学的能力．学生的课堂小结既是对一节课的简单回顾与梳理，也是对所学内容的再次巩固．
六、作业回馈，巩固知识
1．教材习题3.1(A组)第3～6题、(B组)第4题．
2．提高作业：
(1)已知函数f(x)＝2(m＋1)x2＋4mx＋2m－1.
①m为何值时，函数的图象与x轴有两个交点？
②如果函数的一个零点在原点，求m的值．
(2)用二分法求的近似值(精确到0.01)．
设计意图
1为巩固作业，2为课外拓展作业，培养学生的探究、创造能力．
七、课外活动，培养能力
查找有关系资料或利用internet查找有关高次代数方程的解的研究史料，追寻阿贝尔(Abel)和伽罗瓦(Galois)．
设计意图
增强探索精神，培养创新意识．
利用函数图象解方程和函数问题
1．求方程x＋lg
x＝3的近似解．
求某些方程的解，不容易通过笔算来获得，可以通过函数图象，但往往不太容易直接画图，而且画出的图象也不准确，此时利用图形计算器帮助我们画出图象(很多复杂的函数都可以很快在图形计算器上画出)，对于我们来说，方法是更重要的．
第一步：按键，输入函数：y1＝lg
x，y2＝3－x.
第二步：按键，画出两个函数的图象，如下图所示：
第三步：按键：intersection(求交点)，屏幕会出现对话框：选择第一条曲线、第二条曲线、下限、上限之后，屏幕上会给出交点值：xc：2.587
17，yc：0.412
826，则x＝2.587
17即为方程x＋lg
x＝3的近似解．
小结：利用函数图象的交点解方程是一个重要方法，而图形计算器为我们提供了一个强有力的工具．
2．一片树林中现有木材30
000米3，如果每年增长5%，经过x年树林中有木材y米3，写出x、y间的函数关系式，并且利用图象，求约经过多少年，木材可以增加到40
000米3？(结果保留一位有效数字)
画出函数图象后，可以通过用键移动光标，寻找当y＝40
000时的x值；也可再作函数y2＝40
000的图象，用求图象的交点即可．第二节函数模型及其应用第三课时
教学目标
知识与技能：(1)通过实例“汽车的行驶规律”，理解一次函数、分段函数的应用，提高学生的读图能力．
(2)通过“马尔萨斯的人口增长模型”，使学生学会指数型函数的应用，了解函数模型在社会生活中的广泛应用．
过程与方法：在实际问题的解决中，发展学生科学地提出问题、分析问题的能力，体会数学与物理、人类社会的关系．
情感、态度与价值观：通过学习，体会数学在社会生活中的应用价值，培养学生的兴趣和探究素养．
重点、难点
教学重点：分段函数和指数型函数的应用．
教学难点：函数模型的体验与建立．
导入新课
思路1.(情境导入)
在课本第三章的章头图中，有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋.1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们几乎占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛、羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚人头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气．
与之相应，图中话道出了其中的意蕴：对于一个种群的数量，如果在理想状态(如没有天敌、食物充足等)下，那么它将呈指数增长；但在有限制的环境中，种群数量一般符合对数增长模型．上一节我们学习了不同的函数模型的增长差异，这一节我们将进一步讨论不同函数模型的应用．
思路2.(直接导入)
上一节我们学习了不同的函数模型的增长差异，这一节我们将进一步讨论不同函数模型的应用．
推进新课
①我市有甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同．甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元．小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时．
设在甲家租一张球台开展活动x小时的收费为f(x)元(15≤x≤40)，在乙家租一张球台开展活动x小时的收费为g(x)元(15≤x≤40)，试求f(x)和g(x)．
②A、B两城相距100
km，在两地之间距A城x
km处的D地建一核电站，给A、B两城供电，为保证城市安全．核电站距城市的距离不得少于10
km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λ＝0.25.若A城供电量为20亿度/月，B城为10亿度/月．把月供电总费用y表示成x的函数，并求定义域．
③分析以上实例属于那种函数模型．
讨论结果：①f(x)＝5x(15≤x≤40)；
g(x)＝
②y＝5x2＋(100—x)2(10≤x≤90)．
③分别属于一次函数模型、二次函数模型、分段函数模型．
例1一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示．
(1)求图1中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；
(2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2
004
km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s
km与时间t
h的函数解析式，并作出相应的图象．
图1
活动：学生先思考讨论，再回答．教师可根据实际情况，提示引导．
图中横轴表示时间，纵轴表示速度，面积为路程；由于每个时间段速度不同，汽车里程表读数s(km)与时间t(h)的函数为分段函数．
解：(1)阴影部分的面积为50×1＋80×1＋90×1＋75×1＋65×1＝360.
阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360
km.
(2)根据图1，有s＝
这个函数的图象如图2所示．
图2
变式训练
电信局为了满足客户不同需要，设有A、B两种优惠方案，这两种方案应付话费(元)与通话时间(分钟)之间关系如图3所示(其中MN∥CD)．(1)分别求出方案A、B应付话费(元)与通话时间x(分钟)的函数表达式f(x)和g(x)；
(2)假如你是一位电信局推销人员，你是如何帮助客户选择A、B两种优惠方案的？并说明理由．图3解：(1)两种优惠方案所对应的函数解析式：f(x)＝g(x)＝(2)当f(x)＝g(x)时，x－10＝50，∴x＝200.∴当客户通话时间为200分钟时，两种方案均可；当客户通话时间为0≤x＜200分钟，g(x)>f(x)，故选择方案A；当客户通话时间为x>200分钟时，g(x)2人口问题是当今世界各国普遍关注的问题．认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据．早在1798年，英国经济学家马尔萨斯(T.R.Malthus，1766—1834)就提出了自然状态下的人口增长模型：y＝y0ert，
其中t表示经过的时间，y0表示t＝0时的人口数，r表示人口的年平均增长率．
下表是1950～1959年我国的人口数据资料：
年份
1950
1951
1952
1953
1954
1955
1956
1957
1958
1959
人数/万人
55
196
56
300
57
482
58
796
60
266
61
456
62
828
64
563
65
994
67
207
(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到0.000
1)，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；
(2)如果按表的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？
解：(1)设1951～1959年的人口增长率分别为r1，r2，r3，…，r9.
由55
196(1＋r1)＝56
300，
可得1951年的人口增长率为r1≈0.020
0.
同理可得，r2≈0.021
0，r3≈0.022
9，r4≈0.025
0，r5≈0.019
7，r6≈0.022
3，r7≈0.027
6，r8≈0.022
2，r9≈0.018
4.
于是，1951～1959年期间，我国人口的年平均增长率为
r＝(r1＋r2＋…＋r9)÷9≈0.022
1.
令y0＝55
196，则我国在1950～1959年期间的人口增长模型为
y＝55
196e0.022
1t，t∈N.
根据表中的数据作出散点图，并作出函数y＝55
196e0.022
1t(t∈N)的图象(图4)．
图4
由图可以看出，所得模型与1950～1959年的实际人口数据基本吻合．
(2)将y＝130
000代入y＝55
196e0.022
1t，
由计算器可得t≈38.76.
所以，如果按表的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年(即1989年)我国的人口就已达到13亿．由此可以看到，如果不实行计划生育，而是让人口自然增长，今天我国将面临难以承受的人口压力.
变式训练一种放射性元素，最初的质量为500
g，按每年10%衰减．(1)求t年后，这种放射性元素质量ω的表达式；
(2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(剩留量为原来的一半所需的时间叫做半衰期)．(精确到0.1.已知lg2＝0.301
0，lg3＝0.477
1)解：(1)最初的质量为500
g.经过1年后，ω＝500(1－10%)＝500×0.91；经过2年后，ω＝500×0.9(1－10%)＝500×0.92；由此推知，t年后，ω＝500×0.9t.(2)解方程500×0.9t＝250，则0.9t＝0.5，所以t＝＝≈6.6(年)，即这种放射性元素的半衰期约为6.6年.
某电器公司生产A型电脑.1993年这种电脑平均每台的生产成本为5
000元，并以纯利润20%确定出厂价．从1994年开始，公司通过更新设备和加强管理，使生产成本逐年降低．到1997年，尽管A型电脑出厂价仅是1993年出厂价的80%，但却实现了50%纯利润的高效益．
(1)求1997年每台A型电脑的生产成本；
(2)以1993年的生产成本为基数，求1993年至1997年生产成本平均每年降低的百分数．(精确到0.01，以下数据可供参考：＝2.236，＝2.449)
活动：学生先思考讨论，再回答．教师根据实际情况，提示引导．
出厂价＝单位商品的成本＋单位商品的利润．
解：(1)设1997年每台电脑的生产成本为x元，依题意，得
x(1＋50%)＝5
000×(1＋20%)×80%，
解得x＝3
200(元)．
(2)设1993年至1997年间每年平均生产成本降低的百分率为y，则依题意，得5
000(1－y)4＝3
200，
解得y1＝1－，y2＝1＋(舍去)．
所以y＝1－≈0.11＝11%，
即1997年每台电脑的生产成本为3
200元，1993年至1997年生产成本平均每年降低约为11%.
点评：函数与方程的应用是本章的重点，请同学们体会它们的关联性．
某家电企业根据市场调查分析，决定调整产品的生产方案：准备每周(按120个工时计算)生产空调、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台．已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表：
家电名称
空调
彩电
冰箱
每台所需工时
每台产值(千元)
4
3
2
问每周应生产空调、彩电、冰箱各多少台，才能使周产值最高？最高产值是多少？(以千元为单位)
解：设每周生产空调、彩电、冰箱分别为x台、y台、z台，每周产值为f千元，
则f＝4x＋3y＋2z，其中
由①②可得y＝360－3x，z＝2x，
代入③得则有30≤x≤120.
故f＝4x＋3(360－3x)＋2·2x＝1
080－x，
当x＝30时，fmax＝1
080－30＝1
050.
此时y＝360－3x＝270，z＝2x＝60.
答：每周应生产空调30台，彩电270台，冰箱60台，才能使每周产值最高，最高产值为1
050千元．
点评：函数、方程、不等式有着密切的关系，它们相互转化组成一个有机的整体．请同学们借助上面的实例细心体会．
本节重点学习了函数模型的实例应用，包括一次函数模型、二次函数模型、分段函数模型等；另外还应关注函数、方程、不等式之间的相互关系．
活动：学生先思考讨论，再回答．教师提示、点拨，及时评价．
引导方法：从基本知识和基本技能两方面来总结．
课本习题3.2A组5、6.
本节设计从有趣的故事开始，让学生从故事中体会函数模型的选择，然后通过几个实例介绍常用函数模型．接着通过最新题型，训练学生由图表转化为函数解析式的能力，从而解决实际问题．本节的每个例题的素材贴近现代生活，都是学生非常感兴趣的问题，很容易引起学生的共鸣．第二节函数模型及其应用第四课时
教学分析
本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学1必修(A版)》第三章的3.2.2“函数模型的应用实例”，即建立拟合函数模型解决实际问题．
函数模型的应用是中学数学的重要内容之一，它主要包含三个方面：利用给定的函数模型解决实际问题，建立确定性函数模型解决问题，建立拟合函数模型解决实际问题．而建立拟合函数模型解决实际问题是其重点，也是难点．函数模型的应用教学，既有不可替代的位置，又有重要的现实意义．
本节通过实例来说明函数模型的应用，是因为函数模型本身就来源于现实，能给学生提供更多从实际问题中发现或建立数学模型的机会，并体会数学在实际问题中的应用价值．因此在中学教学中有重要的地位．
学情分析
学生在学习本节内容之前，已经学习了函数的图象和性质，理解了函数的图象与性质之间的关系，尤其是学习了3.2.1几类不同的函数增长模型和3.2.2函数模型的应用实例．学会了如何利用给定的函数模型解决实际问题，建立确定性函数模型解决问题，已经具备了一定的函数模型应用能力．这为理解建立拟合函数模型解决实际问题提供了基础，也为深入理解如何建立合适的拟合函数模型提供了依据．但学生对于动态数据认识薄弱，对于综合应用函数图象与性质尚不够熟练，这些都给学生选择合适的模型造成一定的困难．因此，在教学时应该为学生创设熟悉的问题情境，充分利用学生熟悉的函数图象来选择合适的模型．引导学生观察、计算、思考和理解问题的本质．
教学目标
知识与技能：了解函数拟合的基本思想，学会建立拟合函数模型解决实际问题．
过程与方法：借助信息技术，利用数据画出函数图象，从拟合简单的一次函数模型入手，掌握多角度观察函数图象的技能，探究出各种合适的拟合函数模型．在建构知识的过程中体会数形结合的思想与从特殊到一般的归纳思想．
情感、态度与价值观：体验探究的乐趣，体验函数是描述变化规律的基本数学模型，培养学生分析解决问题的能力．
重点与难点
重点：将实际问题化为函数模型，建立合适的拟合函数模型解决简单的实际问题．
难点：如何建立适当的函数模型来解决实际问题．
设计思想
一、创设应用情境，引出问题
前面我们学习过两种函数模型的应用，分别是利用给定函数模型解决实际问题，建立确定性的函数模型解决问题，那么在既没有给出函数模型又无法建立确定性函数模型的情况下，又该如何解决实际问题呢？
二、组织探究
例1下表是我校从实施研究性学习以来，高一年级段学生的研究性学习小论文在我市每年一次的评比中获奖的相关数据．
年份
1
2
3
4
5
篇数
14
21
27
35
41
请描点画出获奖篇数随年份变化的图象，并写出一个能基本反映这个变化现象的函数解析式．
设计意图
以学生熟悉的实际问题为背景，激活学生的原有知识，形成学生的“再创造”欲望，让学生在熟悉的环境中发现新知识，使新知识和原知识形成联系，同时也体现了数学的应用价值．
探究：
(1)组织学生读、议，小组讨论该如何分析题目？
①列表
c1
c2
c3
c4
c5
c6
1
14
2
21
3
27
4
35
5
41
②描点
图1
③根据点的分布特征，可以考虑以一次函数y＝kx＋b(k≠0)作为描绘篇数与年份的变化趋势．
取(1,14)，(4,35)，有
解得这样，我们就得到函数模型y＝7x＋7.
作出此模型函数图象如下：
图2
根据上述图象，我们发现这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映我校获奖篇数与年份的变化趋势.
变式训练我校自实施研究性学习以来，全校三个年级段学生的研究性学习小论文在我市每年一次的评比中第1年、第2年、第3年的获奖篇数分别是52、61、68.为了预测以后每年的获奖篇数，甲同学选择了模型y＝ax2＋bx＋c，乙同学选择了模型y＝p·qx＋r，其中y为篇数，x为年份．a，b，c，p，q，r都是常数．结果第4年、第5年、第6年的获奖篇数分别为74、78、83，你认为谁选择的模型较好？探究组织学生读、议，小组讨论分析、解决问题．
解：(1)列表
c1c2c3c4c5c6152261368474578683(2)画散点图图3(3)确定函数模型由前三组数据，用计算器确定函数模型：甲：y1＝－x2＋12x＋41；乙：y2＝－52.07×0.778x＋92.5.(4)作出函数图象进行比较计算x＝6时，y1＝77，y2＝80.9.图4可见，乙同学选择的模型较好.
设计意图
此变式训练是为进一步巩固例1的拟合函数思想，培养学生的应用数学意识与提高解决问题能力．
例2我校不同身高的男、女同学的体重平均值如下表：
身高/cm
150
152
154
156
158
160
162
164
166
168
170
172
体重/kg
42.9
44.8
46.5
48.5
50.2
52.3
54.2
56.6
59.1
61.4
63.8
66.2
(1)根据表中提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映我校同学体重y
kg与身高x
cm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式．
(2)若体重超过相同身高的同学体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，下面请各位同学对照拟合函数模型来测算自己的体重是否正常？
设计意图
本例题以学生熟悉的问题出发再创设情境，引起学生的学习兴趣，再次引发学生构建自身基础上的“再创造”，并通过小组合作学习，培养学生解决问题的能力，应用数学的意识．
问题(1)的探究：
①通过学生自主活动分析数据，发现本题只给出了通过测量得到的数据表，要想由这些数据直接发现函数模型是困难的．
②教师引导学生将表中的数据输入计算器或计算机，画出它们的散点图．教师提问所作散点图与已知的哪个函数图象最接近，从而选择这个函数模型．
图5
由图可发现指数型函数y＝a×bx的图象可能与散点图的吻合较好，可选之．
③教师再问：如何确定拟合函数模型中a，b值．
④教师把学生每4人分成一小组合作探究，求出拟合函数模型中a，b的值，然后画出图形，得到的拟合函数效果如何？
⑤教师下去巡视后，请小组中的1名成员上台到实物投影处讲解．
组1：选取(150,42.9)，(154,46.5)两组数据，用计算器得a＝0.918，b＝1.026.
从而得函数解析式为y＝0.918×1.026x，画出这个函数图象与散点图．
图6
我们发现，函数y＝0.918×1.026x不能很好地反映我校学生身高与体重的关系．
组2：选取(168,61.4)，(172,66.2)两组数据，用计算器算出a＝3.065，b＝1.018.
这样得到函数模型为y＝3.065×1.018x，画出这个函数图象与散点图．
图7
我们发现，函数y＝3.065×1.018x不能很好地反映我校学生身高与体重关系．
组3：选取(154,46.5)，(168,61.4)两组数据，用计算器算出a＝2.2，b＝1.02.
这样得出函数模型为y＝2.2×1.02x，画出这个函数图象与散点图．
图8
我们发现，散点图上的点基本上或大多数接近函数y＝2.2×1.02x的图象，所以函数y＝2.2×1.02x很好地刻画了我校学生身高与体重的关系．
教师引导学生回顾问题的特点及解决问题的过程与方法．本题需要判断选择的函数模型与问题所给数据的吻合程度，当取表中不同的两组数据时，得到的函数解析式可能会不一样，需不断修正．当然本题若运用计算器或计算机的拟合功能，那么获得的函数模型会更精确，下课后同学们自己试一试，并且本例题体现了一个完整的建立函数模型进而解决问题的过程．
在教师引导下，请一学生归纳解决问题的基本过程：
设计意图
引导学生进行反思和总结，并将之一般化，用流程的形式表达出来，培养了学生的反思能力及总结提升的能力．
问题(2)探究：
由于是研究学生自身的体重问题，因而学生的兴趣很高，每人很快都编好了自己的问题，解答起来．如一男生身高175
cm，体重80
kg，他的计算如下：
将x＝175代入y＝2.2×1.02x，得y＝2.2×1.02175≈70.4.
由于80÷70.4≈1.136<1.2.
所以，该男生体重正常．
设计意图
采用师生平等对话交流，学生单独完成的模式．因为本题是测算自己本身体重的问题，所以学生兴趣很高．本题问题难度不大，但意义重大，是培养数学应用意识的重要素材，即用拟合函数来预测自己关心的日常生活问题，学生体验过程方式教学，体现了新课程的理念．
三、练习反馈
教材本节练习1.
学生完成后在小组中互相批改、交流．
设计意图
本环节以个别指导为主，体现面对全体学生的理念，使学生及时巩固所学知识、方法，以达到教学目标．
四、小结反思
以小组中1人总结，3人倾听的方式，对本课内容进行自主小结，教师归纳强调建立拟合函数模型解决实际问题的基本过程．
设计意图
提高学习主动性，培养学生表达、交流的数学能力，自主小结的形式是将课堂还给学生，是对所学内容的回顾与梳理．
五、课外作业
教材习题3.2A组1题，B组1题．
六、课外实践
通过拟合函数模型看温州经济发展．
上网收集1995～2005年温州的国内生产总值、财政收支、对外经济三项数据，建立适当的拟合函数模型，画出拟合函数模型的图象，并通过拟合函数图象来预测温州在2010年的经济发展状况．
设计意图
课外作业为巩固作业，课外实践为拓展作业，培养学生应用数学知识、提高解决问题的能力，培养学生的探究和再创造能力．
教学流程
——实际问题引入，激发学生兴趣．
↓
——画出散点图，建立模型，体会不同函数模型拟合的准确程度．
↓
——由数据画出散点图，建立拟合函数模型，尝试选择不同的函数拟合数据并不断修正．
↓
——师生交流共同小结，归纳建立拟合函数模型应用题的求解方法与步骤．
↓
——强化基本方法及过程，规范基本格式．
↓
——收集生活中的具体实际问题，运用拟合函数思想来解决，培养问题意识及提高应用数学的能力．
知识结构
问题探讨
(1)第三章的3.2.2函数模型的应用实例是否可以设置为3课时，给定的函数模型、建立确定性函数模型、建立拟合函数模型解决实际问题各设置1课时，这样可以让学生感受到函数的广泛应用，真实体验到数学是有用的；体现新课程的问题性，应用性特点；培养学生的问题意识，更加拓展学生数学活动的空间，发展学生“做数学”“用数学”的意识．
(2)在函数模型的应用中，建立拟合函数模型解决实际问题是实际应用最广泛、学生最陌生、也是难度最大的，尤其是如何建立适当的拟合函数模型来解决实际问题．建议在教材中是否可安排更多的建立拟合函数模型解决实际问题的例题，加深学生对如何建立适当拟合函数模型的理解．并在练习中多安排渗透拟合函数思想的思考题．
学习资源第一节函数与方程第一课时
函数的应用是学习函数的一个重要方面．学生学习函数的应用，目的就是利用已有的函数知识分析问题和解决问题．通过函数的应用，对完善函数的思想，激发应用数学的意识，培养分析问题、解决问题的能力，增强实践的能力等，都有很大的帮助．
本章主要内容：函数与方程、函数模型及其应用、实习作业和小结．在函数与方程这一节中课本从学生最熟悉的二次函数入手，通过研究方程的根与函数的零点的关系，使函数的图象与性质得到充分的应用，同时也展现了函数和方程的密切关系．求函数零点的近似解不仅展示了数学方法的严谨性、科学性，也为计算机的应用提供了广阔的空间．让学生进一步受到数学思想方法的熏陶，激发学生的学习热情．
在函数模型及其应用这一节中让学生近距离接近社会生活，从生活中学习数学，使数学在社会生活中得到应用和提高，让学生体会到数学是有用的，从而培养学生的学习兴趣．“数学建模”也是高考考查的重点．
本章还是数学思想方法的载体，学生在学习中会经常用到“函数方程思想”“数形结合思想”“转化思想”，从而提高自己的数学能力．
因此应从三个方面把握本章：(1)知识间的联系；(2)数学思想方法；(3)认知规律．
本章教学时间约需8课时，具体分配如下(仅供参考)：
3.1 函数与方程
约2课时
3.2 函数模型及其应用
约4课时
实习作业
约1课时
本章复习
约1课时
作者：陈美珠，泉州第九中学教师．本教学设计获福建省教学设计大赛一等奖．
教学内容分析
本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学Ⅰ必修本(A版)》的第三章第一课时3.1.1方程的根与函数的零点．
函数与方程是中学数学的重要内容，既是初等数学的基础，又是初等数学与高等数学的连接纽带．在现实生活注重理论与实践相结合的今天，函数与方程都有着十分重要的应用，再加上函数与方程还是中学四大数学思想之一，因此函数与方程在整个高中数学教学中占有非常重要的地位．
就本章而言，本节通过对二次函数的图象的研究判断一元二次方程根的存在性以及根的个数，建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后由特殊到一般，将其推广到一般方程与相应的函数的情形．它既揭示了初中一元二次方程与相应的二次函数的内在联系，也引出对函数知识的总结拓展．之后将函数零点与方程的根的关系在利用二分法解方程中(3.1.2)加以应用，通过建立函数模型以及模型的求解(3.2)更全面地体现函数与方程的关系，逐步建立起函数与方程的联系，渗透“方程与函数”思想．
总之，本节课渗透着重要的数学思想“特殊到一般的归纳思想”、“方程与函数”和“数形结合”的思想，教好本节课可以为学好中学数学打下一个良好的基础，因此教好本节是至关重要的.
学生学习情况分析
程度差异性：中低等程度的学生占大多数，程度较高与程度很差的学生占少数．
知识、心理、能力储备：学生之前已经学习了函数的图象和性质，现在基本会画简单函数的图象，也会通过图象去研究理解函数的性质，这就为学生理解函数的零点提供了帮助，初步的数形结合知识也足以让学生直观理解函数零点的存在性，因此从学生熟悉的二次函数的图象入手介绍函数的零点，从认知规律上讲，应该是容易理解的．再者一元二次方程是初中的重要内容，学生应该有较好的基础，对于它的根的个数以及存在性学生比较熟悉，学生理解起来没有多大问题．这也为我们归纳函数的零点与方程的根的联系提供了知识基础．但是学生对其他函数的图象与性质认识不深(比如三次函数)，对于高次方程还不熟悉，我们缺乏更多类型的例子，让学生从特殊到一般归纳出函数与方程的内在联系，因此理解函数的零点、函数的零点与方程根的联系应该是学生学习的难点．加之函数零点的存在性的判定方法的表示抽象难懂．因此在教学中应加强师生互动，尽多地给学生动手的机会，让学生在实践中体验二者的联系，并充分提供不同类型的二次函数和相应的一元二次方程让学生研讨，从而直观地归纳、总结、分析出二者的联系．
设计思想
教学理念：培养学生学习数学的兴趣，学会严密思考，并从中找到乐趣．
教学原则：注重各个层面的学生．
教学方法：启发诱导式．
教学目标
以二次函数的图象与对应的一元二次方程的关系为突破口，探究方程的根与函数的零点的关系，发现并掌握在某区间上图象连续的函数存在零点的判定方法；学会在某区间上图象连续的函数存在零点的判定方法．让学生在探究过程中体验发现的乐趣，体会数形结合的数学思想，从特殊到一般的归纳思想，培养学生的辩证思维以及分析问题解决问题的能力．
教学重点与难点
重点：函数零点与方程根之间的关系；连续函数在某区间上存在零点的判定方法．
难点：发现与理解方程的根与函数零点的关系；探究发现函数存在零点的判定方法．
1 方程的根与函数的零点以及零点存在性的探索
1．1 方程的根与函数的零点
导入新课
问题1：解方程(比赛)：①6x－1＝0；②3x2＋6x－1＝0.
再比赛解3x5＋6x－1＝0.
设计意图
问题1(产生疑问，引起兴趣，引出课题)
比赛模式引入，调动积极性，可根据学分评定中进行过程性评定加分奖励，充分调动学生的积极性和主动性．
第三题学生无法解答，产生疑惑引入课题：教师介绍说一次方程、二次方程甚至三次方程、四次方程的解都可以通过系数的四则运算，乘方与开方等运算来表示，但高于四次的方程一般不能用公式求解，如3x5＋6x－1＝0.紧接着介绍阿贝尔(挪威)定理(五次及高于五次的代数方程没有一般的代数解法)，伽罗瓦(法国)的近世代数理论，提出早在十三世纪的中国，秦九韶等数学家就提出了高次方程数值解的解法，振奋学生的民族自豪感，最后引出人们一直在研究方程的近似解方法二分法．
问题2：先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：如图1.
①方程x2－2x－3＝0与函数y＝x2－2x－3；
②方程x2－2x＋1＝0与函数y＝x2－2x＋1；
③方程x2－2x＋3＝0与函数y＝x2－2x＋3.
图1
[师生互动]
师：教师引导学生解方程、画函数图象、分析方程的根与图象和x轴交点坐标的关系，推广到一般的方程和函数，引出零点概念．
零点概念：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．
师：填表格：
函数
y＝x2－2x－3
y＝x2－2x＋1
y＝x2－2x＋3
函数的零点
方程的根
生：经过独立思考，填完表格．
师提示：根据零点概念，提出问题，零点是点吗？零点与方程的根有何关系？
生：经过观察表格，得出第一个结论．
师再问：根据概念，函数y＝f(x)的零点与函数y＝f(x)的图象与x轴的交点有什么关系？
生：经过观察图象与x轴的交点完成解答，得出第二个结论．
师：概括总结前两个结论(请学生总结)．
(1)概念：函数的零点并不是“点”，它不是以坐标的形式出现，而是实数．例如函数y＝x2－2x－3的零点为x＝－1,3.
(2)函数零点的意义：函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，亦即函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．
(3)方程f(x)＝0有实数根 函数y＝f(x)的图象与x轴有交点 函数y＝f(x)有零点．
师：引导学生仔细体会上述结论．
再提出问题：如何根据函数零点的意义求零点？
生：可以解方程f(x)＝0而得到(代数法)；
可以利用函数y＝f(x)的图象找出零点．(几何法)
问题2：一方面让学生理解函数零点的含义，另一方面通过对比让学生再次加深对二者关系的认识，使函数图象与x轴交点的横坐标到函数零点的概念转变得更自然、更易懂．通过对比教学揭示知识点之间的密切关系．
问题3：是不是所有的二次函数都有零点？
师：仅提出问题，不须做任何提示．
生：根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况，并进行交流，总结概括形成结论．
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点：看Δ.
(1)Δ>0，方程ax2＋bx＋c＝0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点．
(2)Δ＝0，方程ax2＋bx＋c＝0有两相等实根(二重根)，二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个零点．
(3)Δ<0，方程ax2＋bx＋c＝0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点．
第一阶段设计意图：
本节的前半节一直以二次函数作为模本研究，此题是从特殊到一般的升华，也全面总结了二次函数的零点情况，给学生一个清晰的解题思路，进而培养学生归纳总结的能力．
1．2 零点存在性的探索
[师生互动]
师：要求学生用连续不断的几条曲线连接如图2所示的A、B两点，观察所画曲线与直线l的相交情况，由两个学生上台板书：
图2
生：两个学生画出连接A、B两点的几条曲线后发现这些曲线必与直线l相交．
师：再用连续不断的几条函数曲线连接如图A、B两点，引导学生观察所画曲线与直线l的相交情况，说明连接A、B两点的函数曲线交点必在区间(a，b)内．
生：观察下面函数f(x)＝0的图象(如图3)并回答：
图3
(1)区间[a，b]上________(有/无)零点；f(a)·f(b)________0(<或>)．
(2)区间[b，c]上________(有/无)零点；f(b)·f(c)________0(<或>)．
(3)区间[c，d]上________(有或无)零点；f(c)·f(d)________0(<或>)．
答案：略
师：教师引导学生结合函数图象，分析函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在着一定的关系．
生：根据函数零点的意义结合函数图象，归纳得出函数零点存在的条件，并进行交流、评析，总结概括形成结论：
一般地，我们有：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
第二阶段设计意图：
教师引导学生探索归纳总结函数零点存在定理，培养学生的归纳总结能力和逻辑思维能力．
例1已知函数f(x)＝－3x5－6x＋1有如下对应值表：
x
－2
－1.5
0
1
2
F(x)
109
44.17
1
－8
－107
函数y＝f(x)在哪几个区间内必有零点？为什么？
设计意图
通过本例引导探索，师生互动．
探求1：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)>0时，函数在区间(a，b)内没有零点吗？
探求2：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)<0时，函数在区间(a，b)内有零点，但是否只一个零点？
探求3：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且函数在区间(a，b)内有零点时一定有f(a)·f(b)<0吗？
探求4：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象不是一条连续不断的曲线，函数在区间(a，b)内有零点时一定有f(a)·f(b)<0吗？
师：总结两个条件：
(1)函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；
(2)在区间[a，b]上有f(a)·f(b)<0.
一个结论：函数y＝f(x)在区间[a，b]内单调则函数在这个区间内有且只有一个零点．
补充：什么时候只有一个零点？
(观察得出)函数y＝f(x)在区间[a，b]内单调时只有一个零点．
例2
求函数f(x)＝ln
x＋2x－6的零点个数．问题：
(1)你可以想到什么方法来判断函数零点个数？
(2)判断函数的单调性，由单调性你能得到该函数具有什么特性？
第三阶段设计意图：
教师引导学生理解函数零点存在定理，分析其中各条件的作用，应用例1，例2加深对定理的理解．
(可根据时间和学生对知识的接受程度适当调整)
1．求函数y＝x3－2x2－x＋2的零点，并画出它的大致图象．
2．利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：
(1)x2－x－2＝0；(2)f(x)＝ex－4x.
3．利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：
(1)f(x)＝－x3－3x＋3；(2)f(x)＝2xln(x－2)－3.
[师生互动]
师：多媒体演示；结合图象考察零点所在的大致区间与个数，结合函数的单调性说明零点的个数；让学生认识到函数的图象及基本性质(特别是单调性)在确定函数零点中的重要作用．
生：建议学生使用计算器求出函数的大致区间，培养学生的估算能力，也为下一节的用二分法求方程的近似解作准备．
第四阶段设计意图：
利用练习巩固新知识，加深理解，为用二分法求方程的近似解作准备．
(可根据时间和学生对知识的接受程度适当调整)
讨论：请大家给出方程x2·ex－3＝0的一个解的大约范围，看谁找的范围更小？
[师生互动]
师：把学生分成小组共同探究，给学生足够的自主学习时间，让学生充分研究，发挥其主观能动性．也可以让各组把这几个题做为小课题来研究，激发学生的学习潜能和热情．老师用多媒体演示，直观地演示根的存在性及根存在的区间的大小情况．
生：分组讨论，各抒己见．在探究学习中得到数学能力的提高．
第五阶段设计意图：
一是为用二分法求方程的近似解作准备，
二是小组探究合作学习，培养学生的创新能力和探究意识，本组探究题目就是为了培养学生的探究能力，此组题目具有较强的开放性，探究性，基本上可以达到上述目的．
零点的概念；
零点存在性的判断；
零点存在性定理的应用注意点：零点个数判断以及方程根所在区间．
教材习题3.1(A组)第1、2题．
思考
总结函数零点求法要注意的问题；思考可以用求函数零点的方法求方程的近似解吗？
教学程序设计框图：
——
↓
——结合实际问题诱发兴趣，结合二次函数引入课题．
↓
——二次函数的零点及零点存在性的探究．
↓
——零点存在性为练习重点．
↓
——进一步探索函数零点存在性的判定．
↓
——重点放在零点的存在性判断及零点的确定上．
↓
——研究二次函数在零点、零点范围之内及零点范围之外的函数值符号，并尝试进行系统的总结．
本设计遵循了由浅入深、循序渐进的原则，分三步来展开这部分的内容．第一步，从学生认为较简单的一元二次方程与相应的二次函数入手，由具体到一般，建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后将其推广到一般方程与相应的函数的情形．第二步，在用二分法求方程近似解的过程中，通过函数图象和性质研究方程的解，体现函数与方程的关系．第三步，在函数模型的应用过程中，通过建立函数模型以及模型的求解，更全面地体现函数与方程的关系，逐步建立起函数与方程的联系．本节只是函数与方程的关系建立的第一步，教学中忌面面俱到，延展太深．
恰当使用信息技术：本节的教学中应恰当使用信息技术．实际上，一些内容因为涉及大数字运算、大量的数据处理、超越方程求解以及复杂的函数作图，因此如果没有信息技术的支持，教学是不容易展开的．因此，教学中会加强信息技术的使用力度，合理使用多媒体和计算器．