高一数学苏教版必修1课后导练Word版含解析50份

课后导练
基础达标
1.等于（
）
A.2-3x
B.3x-2
C.±(2-3x)
D.
解析：=|2-3x|=
答案：D
2.计算的结果是（
）
A.
B.-
C.
D.-
解析：原式====.
答案：C
3.下列各式成立的是（
）
A.=
B.()5=b5
C.=
D.=
解析：=；（）5=（a-1b）5=a-5b5；====；==.
答案：D
4.若x∈(8,10),则+为（
）
A.2x-18
B.2
C.18-2x
D.-2
解析：+=|x-8|+|x-10|，当x∈（8，10）时，原式=x-8+10-x=2.
答案：B
5.x、y∈R恒成立的是（
）
A.（-）6=x-y
B.=x2+y2
C.-=x-y
D.=x+y
解析：A显然不成立，C在x<0,或y<0时不成立,D在x+y<0时不成立,只有B正确.故选B.
答案:B
6.等式=(3-x)成立时，x的取值范围是_________.
解析:∵==|x-3|=(3-x)
，
∴3-x≥0且x+3≥0,
∴-3≤x≤3.
答案:-3≤x≤3
7.若ax=5,则=___________________.
解析:原式==［］2-+［］2
=ax-1+=5-1+=.
答案：
8.计算：
（1）5--6+；
（2）·÷.
解析:（1）原式=5×-2××2-6×+
=-6×+
=2×-2×3×
=2×-2×=0；
（2）原式=··÷
=··÷
=·
=a0·b0=1.
9.设|x|<3,则-的值是什么
解析:原式=-=|x-1|-|x+3|.
∵|x|<3,∴-3当-3当1≤x<3时,原式=(x-1)-(x+3)=-4.
∴-=
10.化简÷(1-2)×.
解析:原式=÷×
=··=··=a.
综合训练
11.化简（1+）（1+）（1+）（1+）·（1+）的结果是（
）
A.（1-）-1
B.（1-）-1
C.1-
D.（1-）
解析：原式==…===
（1-）-1.
故选A.
答案：A
12.若a=（2+）-1，b=（2-）-1，则（a+1）-2+（b+1）-2的值是（
）
A.1
B.
C.
D.
解析：a=（2+）-1=2-，b=（2-）-1=2+.
∴（a+1）-2+（b+1）-2=（3-）-2+（3+）-2===，故选D.
答案：D
13.当3x<5y时，=_______________.
解析:
==|5y-3x|.
∵5y>3x，
∴|5y-3x|=5y-3x.
答案：5y-3x
14.已知y=++，则实数x、y依次为______________.
解析：y=++=++，
∴∴∴x=,y=
答案：，
15.已知a>0,对于0≤r≤8,r∈N,式子()8-r·（）r能化为关于a的整数指数幂的可能情形有几种？
解析:（）8-r·（）r=·==.
r=0，4，8时，上式成为关于a的整数指数幂.
拓展提升
16.化简求值
(1)-［-2×()0］2×+10(2-)-1-()-0.5;
(2)b-2·(-3b-1)÷.
解析:（1）原式=-(-2×1)2×(-2)4+-
=()-1-26+10(2+3)-10
=2-64+20+10-10
=-42.
(2)原式=-b-3÷
=-b-3÷
=-
=-·
=-.课后导练
基础达标
1.函数y=-x2+4x-2的区间［1，4］上的最小值是（
）
A.-7
B.-4
C.-2
D.2
解析：∵y=-(x2-4x+4)-2+4=-(x-2)2+2，在x=4时，函数有最小值-2.
∴应选C
答案：C
2.如果x是整数，则关于函数y=2x2-5x的最小值判断正确的是（
）
A.无最小值
B.当x=时，取得最小值-
C.当x=1时，取得最小值-3
D.当x=2时，取得最小值-2
解析：y=2x2-5x=2(x2-x+)-=2(x-)2-.因x是整数，所以x=时取得的值不能选，它只能在距对称轴最近的整数x=1处取得.
答案：C
3.y=在区间［2，4］上的最大值、最小值分别是(
)
A.1，
B.，1
C.，
D.，
解析：y=在（0,-∞）上是减函数，∴ymax==1ymin==,故选A.
答案：A
4.函数f(x)=则f(x)的最大、最小值分别为(
)
A.10，6
B.10，8
C.8，6
D.以上都不对
解析：当x∈［1,2］时，f(x)ma
( http: / / www.21cnjy.com )x=f(2)=10,f(x)min=8；当x∈［-1，1］时，
f(x)max=f(1)=8,fmin=f(-1)=6,故选A.
答案：A
5.已知-3)
A.-
B.-
C.
D.
解析：-3等号成立的条件是x2=9-x2,即x=-时，y取最小值-.
答案：A
6.把下列错误说法的代号填到横线上_________________.
①增函数的值域中一定有最大值；
②减函数的图象一定与x轴相交；
③一次函数一定是增函数；
④y=在定义域{x|x∈R且x≠0}上是减函数；
⑤二次函数在任何区间上都不是单调函数.
解析：增函数不一定有最大值如y=x，x∈R;减函数图象不一定与x轴相交如y=,x∈（0，+∞）；一次函数有可能是减函数,如y=-2x;y=在（-∞,0)上是减函数，在（0，+∞)上是减函数，在R上既不是增函数，也不是减函数.二次函数在不包括含对称轴的区间上是单调函数，故①②③④⑤均错误.
答案：①②③④⑤
7.函数y=|x-1|在区间［0,4］上的最大值为__________，最小值为____________.
解析：y=|x-1|=故ymax=4-1=3,
ymin=1-1=0.
答案：3
0
8.求函数y=|x+2|+的最值.
解析：y=|x+2|+=|x+2|+|x-3|=
当x≤-2，-2x+1≥-2×(-2)+1=5；
当x≥3时,2x-1≥2×3-1=5，∴y≥5.
综上有，函数有最小值5，不存在最大值.
9.已知f(x)的定义域为（0，
( http: / / www.21cnjy.com )+∞)，且在定义域内为增函数，满足f(xy)=f(x)+f(y),f(2)=1，解不等式f(x)+f(x-2)<3.
解析：由f(xy)=f(x)+f(y),f(2)=1，可得f(8)=3,f(x)+f(x-2)<3f［x(x-2)］∴不等式f(x)+f(x-2)<3的解集是（2，4）.
10.已知函数f(x)=ax2-2ax+2+b(a≠0)在［2,3］上有最大值5和最小值2，求a、b的值.
解析：因为a≠0,所以函数f(x)为二次函数，对称轴为x=1,当a>0时，
∴
得
当a<0时,
∴
得
综上有a=-1,b=3或a=1,b=0.
综合训练
11.函数f(x)=11-x(1-x)的最大值是（
）
A.
B.
C.
D.
解析：令y=1-x(1-x)=x2-x+1=(x-)2+，
∴y的最小值为，
∴f(x)=的最大值为.故选D.
答案：D
12.如果函数f(x)=ax2+(a+3)x-1在区间（-∞，1）上为增函数，则a的取值范围是
（
）
A.（-∞，-1）
B.［-1,0］
C.［0,+∞)
D.［-1，+∞)
解析：当a=0时，f(x)=3x-1，显然在（-∞,1)上单调递增，当a≠0时，则有
-1≤a<0,
综上-1≤a≤0选B.
答案：B
13.函数y=的最大值是______________.
-x+5
x>1
解析：当x≤0时，y的最大值为3；当01时，y的最大值不存在，但此时y<4.故y的最大值是4.
答案：4
14.函数f(x)=的最大值为__________，最小值为___________.
解析：当x∈［0,4］时，
( http: / / www.21cnjy.com )f(x)的最大值是f(4)=23，最小值是f(0)=-1.当x∈［-4,0)时，fmin(x)=f(-4)=-25,fmax(x)不存在，但有f(x)<-1.
∴f(x)的最大值为23，最小值为-25.
答案：23
-25
15.当x≥0，y≥0,x+2y=1时，求2x+3y2的最小值.
解析：2x+3y2=2(1-2y)+3y2
=3y2-4y+2
=3(y-)2+，
∵x=1-2y≥0，
∴0≤y≤,且在该区间上是减函数，
∴当y=时，f(y)有最小值f()=.
∴当y=且x=0时，2x+3y2有最小值.
拓展提升
16.已知函数f(x)=2-x2,
( http: / / www.21cnjy.com )g(x)=x若规定f(x)·g(x)=min{f(x),g(x)},那么f(x)·g(x)的最大值是______.（注意：min表示最小值）
解析：y=f(x)·g(x)=
画出上述函数的图象，如下图（实线部分）,由图易知，图中的最高点A的纵标即为所求.
解方程组
得
或于是所求的最大值为1.课后导练
基础达标
1.已知a=log32,那么log38-2log36用a表示是
（
）
A.a-2
B.5a-2
C.3a-(1+a)2
D.3a-a2-1
解析：log38-2log36=log323
( http: / / www.21cnjy.com )-2(log33+log32)=3log32-2-2log32=log32-2=a-2,故选A.
答案：A
2.的值是（
）
A.2+
B.2
C.2+
D.1+
解析：==2,故选B.
答案：B
3.化简的结果为（
）
A.
B.1
C.2
D.4
解析：===2.
答案：C
4.已知f(x5)=lgx,则f(2)等于（
）
A.lg2
B.lg32
C.lg
D.lg2
解析：令x5=2，∴x=,∴f(2)==lg2.
答案：D
5.设m>0,10x=lg(10m)+lg，则x的值为（
）
A.1
B.2
C.0
D.-1
解析：10x=lg(10m)+lg=lg(10m·)=lg10=1,∴x=0.
答案：C
6.=_________________.
解析：原式===-4lg10=-4.
答案：-4
7.若点A(lga,lgb)关于x轴对称的点的坐标是(0,1)，则a=___________,b=___________.
解析：由题意得A（0，-1），∴lga=0;lgb=-1,∴a=1,b=.
答案：1
8.计算：
（1）2（lg）2+lg·lg5+;
(2)lg5(lg8+lg1
000)+(lg)2+lg+lg0.06.
解析：(1)原式=lg(2lg+lg5)+
=lg
(lg2+lg5)+1-lg
=lg+1-lg=1.
(2)原式=lg5(3lg2+3)+3lg22-lg6+lg6-2
=3lg5lg2+3lg5+3lg22-2
=3lg2(lg5+lg2)+3lg5-2
=3lg2+3lg5-2
=3(lg2+lg5)-2=1.
9.设x
=log23,求的值.
解法一：由x=log23得2x=3,2-x=.
∴==32+3×+()2=.
解法二：==22x+1+2-2x=32+1+=.
10.已知2x=3y=6z,求x,y,z之间的关系.
解析：设2x=3y=6z=k，则x=log2k,y=log3k,z=log6k.①当k=1时，x=y=z=0；②当k≠1时，由换底公式，得logk2=,
logk3=,logk6=,
∵logk6=logk2+logk3,∴=+,故x,y,z之间的关系是x=y=z=0,或=+.
综合训练
11.已知3a=5b=A,且+=2,则A的值为（
）
A.15
B.
C.±
D.225
解析：由题意得a=log3A,b=log5A,∴+=+=loga3+loga5=loga15=2,
∴A=.
答案：B
12.(2004全国Ⅰ理,2)已知函数f(x)=,若f(a)=b,则f(-a)等于…（
）
A.b
B.-b
C.
D.-
解析：f(a)==b,f(-a)=，
∴f(a)+f(-a)=lg(·)=lg1=0，
∴f(-a)=-f(a)=-b.
答案：B
13.(log23+log49+log827+…+3n)×log9=________________.
解析：原式=（log23+32+33+…+3n）×log932
=nlog23×log932=log23·log932=log23·=.
答案：
14.已知集合A={x,xy,lg(xy)},B={0,|x|,y},并且A=B，那么（x+）+(x2+)+(x3+)+…+(x2
006+)的值等于_________________.
解析：根据元素的互异性，由B知x≠0,y≠0.∵0∈B,且A=B，∴0∈A.故只有lg(xy)=0,从而xy=1,又由1∈A及A=B，得1∈B，于是有或其中x=y=1与元素的互异性矛盾，所以x=y=-1,
∴原式=-2+2-2+…+2-2+2=0.
答案：0
15.已知lgx+lgy=2lg(x-2y),求的值.
解析：由已知，可得lg(xy)=lg
( http: / / www.21cnjy.com )(x-2y)2,从而有xy=(x-2y)2,整理得x2-5xy+4y2=0,即（x-y）(x-4y)=0.∴x=y,或x=4y.
但由x>0,y>0,x-2y>0,可得x>2y>0,
∴x=y应舍去.故x=4y,即xy=4.
∴=4=()4=4.
拓展提升
16.已知a、b、c为△ABC的三边，且关于x的方程x2-2x+lg(c2-b2)-lg
a2+1=0有等根，试判断△ABC的形状.
解析：由条件知：Δ=4-4lg(c2-b2)+4lga2-4=4［lga2-lg(c2-b2)］=0.
∴a2=c2-b2,即△ABC为直角三角形.课后导练
基础达标
1.若y=f(x)(x∈R)是奇函数,g(x)(x∈R)为偶函数,则下列函数中一定是奇函数的是（
）
A.［f(x)］2+［g(x)］2
B.f［g(x)］
C.f(x)-g(x)
D.f(x)·g(x)
解析：由复合函数奇偶性判断的性质可知
f(x)·g(x)为奇函数，选D.
答案：D
2.定义在R上的偶函数f(x),在x>0上是增函数,则（
）
A.f(3)B.f(-π)C.f(3)D.f(-4)解析：因f(x)为偶函数,∴f(-4)=f(4),f(-π)=f(π),
又因在x＞0上是增函数，
∴f(4)＞f(π)＞f(3),
即f(-4)＞f(-π)＞f(3)，故选C.
答案：C
3.下列结论中正确的是（
）
A.偶函数的图象一定与y轴相交
B.奇函数y=f(x)在x=0处有定义，则f(0)=0
C.定义域为R的增函数一定是奇函数
D.图象过原点的单调函数，一定是奇函数
解析：∵y=f(x)为奇函数，
∴f(-0)=-f(0),
即f(0)=-f(0).
∴2f(0)=0,
∴f(0)=0.故选B.
答案：B
4.若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在（-∞,0］上是减函数，且f(2)=0,则使得f(x)＜0的x的取值范围是（
）
A.（-∞，2）
B.(2,+∞)
C.(-∞,-2)∪(2,+∞)
D.(-2,2)
解析：用图象法解，由函数的性质可画出其图象如右图所示.
显然f(x)＜0的解集为{x|-2＜x＜2},故选D.
答案：D
5.设定义在R上的函数f(x)=x|x|,则f(x)（
）
A.既是奇函数,又是增函数
B.既是偶函数,又是增函数
C.既是奇函数,又是减函数
D.既是偶函数,又是减函数
解析：∵f(-x)=-x|x|=-f(x),∴f(x)在R上是奇函数；当x＞0时f(x)=x2,在［0，+∞）上是增函数，又奇函数在原点两侧单调性一致，故选A.
答案：A
6.若y=(m-1)x2+(2+m)x+3是偶函数，则m=______________.
解析：二次函数是偶函数，则一次项系数为0，也可用偶函数定义来判断，m=-2.
答案：-2
7.已知y=ax,y=在(0,+∞)上都是减函数,则y=ax2+bx+c在(-∞,0)上是_________________函数.（填“增”或“减”)
解析：y=ax是减函数,则a＜0，y=在（0，+∞）上是减函数，则b＞0.y=ax2+bx+c的对称轴x=-＞0，又抛物线开口向下，所以在（-∞,0）上是增函数.
答案：增
8.奇函数在整个定义域(-1,1)上为减函数,且f(1-a)+f(1-a2)<0,求实数a的取值范围.
解析：f(1-a)+f(1-a2)＜0f(1-a)＜-f(1-a2)=f(a2-1),
∴f(1-a)＜f(a2-1),由题目已知可得：
或-＜a＜0
0＜a＜1.
9.已知f(x)是R上的奇函数，且f(x+3)=f(x)，当0≤x≤1时，f(x)=x2-4,求f(5.5).
解析：f(x+3)=f(x)f(5.5)=f(2.5)=f(-0.5).
∵f(x)是奇函数，且0≤x≤1时，f(x)=x2-4,
∴f(-0.5)=-f(0.5)=-(0.52-4)=.
10.已知奇函数f(x)的定义域R，且当x＞0时，f(x)=x2-2x+3.求f(x)的表达式.
解析：设x＜0,则-x＞0.
∴f(-x)=(-x)2-2(-x)+3=x2+2x+3.
∵f(x)是奇函数，
∴f(-x)=-f(x).
∴当x＜0时，f(x)=-f(-x)=-x2-2x-3;当x=0时，f(0)=0.
∴f(x)=
综合训练
11.已知偶函数y=f(x)(x∈R)在x<0时是增函数,若x1<0,x2>0且|x1|<|x2|,则下列结论中正确的是（
）
A.f(-x1)B.f(-x1)>f(-x2)
C.f(-x1)=f(-x2)
D.以上结论都不对
解析：因x1＜0,x2＞0,|x1|＜|x2|,
∴0＞x1＞-x2,
∴f(x1)＞f(-x2).
而f(x1)=f(-x1),
∴f(-x1)＞f(-x2),选B.
答案：B
12.f(x)是奇函数,当x∈［0,+∞］时,f(x)≤m(m<0),则f(x)的值域是（
）
A.［m,-m］
B.(-∞,m)
C.［-m,+∞)
D.(-∞,m］∪［-m,+∞)
解析：设x∈(-∞,0］,则-x≥0,于是f
( http: / / www.21cnjy.com )(-x)≤m.又因为f(x)是奇函数，因而f(-x)=-f(x)≤m.所以f(x)≥-m,故选D.
答案：D
13.若h(x)、g(x)均为奇函数,
( http: / / www.21cnjy.com )f(x)=ah(x)+bg(x)+2在(0,+∞)上有最大值5,则在(-∞,0)上f(x)有最小值____________.
解析：∵当x＞0时ah(x)+bg(x)+2≤5,
∴ah(x)+bg(x)≤5-2=3,
f(-x)=ah(-x)+bg(-x)+2
=-ah(x)-bg(x)+2
=-［ah(x)+bg(x)］+2
≥-3+2=-1.
答案：-1
14.设f(x)=ax7+bx5+cx3+dx+5,其中a、b、c、d是常数，若f(-7)=-7,则f(7)=___________.
解析：f(-7)=a(-7)7+b(-7)5+c(-7)3+d(-7)+5=-7,
∴a(-7)7+b(-7)5+c(-7)3+d(-7)=-7-5=-12,
∴-(a×77+b×75+c×73+d×7)=-12,
∴a×77+b×75+c×73+d×7=12,
∴f(7)=12+5=17.
答案：17
15.已知函数f(x)满足f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y)对任意的实数x、y总成立,且f(1)≠f(2).
求证:f(x)是偶函数.
解析：令y=0,则f(x)+f(x)=2f(x)·f(0).∵f(1)≠f(2),∴f(x)不恒为0.
∴f(0)=1.
令x=0,f(y)+f(-y)=2f(0)·f(y)=2f(y),
∴f(-y)=f(y).
∴函数f(x)是偶函数.
拓展提升
16.若对于一切实数x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y).
(1)求f(0),并证明f(x)为奇函数;
(2)若f(1)=3,求f(-3).
解析:(1)令x=y=0,则f(0)=2f(0),
即f(0)=0.
令y=-x,则f［x+(-x)］=f(x)+f(-x),
∴f(x)+f(-x)=f(0)=0,
即f(-x)=-f(x).
∴y=f(x)为奇函数.
(2)由y=f(x)为奇函数,
∴f(-3)=-f(3).
∵f(3)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=3f(1),
∴f(-3)=-3f(1)=-9.函数的最值练习
1．下列函数中，在(0,2)上为增函数的是__________．
①y＝－3x＋1；②y＝|x＋2|；③；④y＝x2－4x＋3．
2．函数f(x)＝|x－2|－2在区间［0,3］上有最小值__________，最大值__________．
3．设f(x)＞0是定义在区间D上的单调递减函数，则下列函数：①y＝3－f(x)；②；③y＝［f(x)］2；④中单调增函数的个数为__________．
4．若函数f(x)＝x2－ax＋3在区间［1,3］上有最小值－1，则a的值为__________．
5．函数f(x)＝x4＋2x2－1的最小值是__________．
6．函数在区间［1,3］上有最大值3，则k＝__________．
7．已知定义域为(0，＋∞)的函数f(x)＝ax2＋1(a＜0)，求满足f(x)＜f(2－x)的x的取值范围是__________．
8．对任意函数f(x)，g(x)在公共定义域内，规定f(x)
( http: / / www.21cnjy.com )g(x)＝min{f(x)，g(x)}，若f(x)＝3－x，g(x)＝，则f(x)
( http: / / www.21cnjy.com )g(x)的最大值为______．
9．求证：函数y＝f(x)＝x2＋在(0，＋∞)上的最小值为2．
10．设x∈R，求函数y＝2|x－1|－3|x|的最大值．
11．设a为实数，函数f(x)＝2x2＋(x－a)|x－a|．
(1)若f(0)≥1，求a的取值范围；
(2)求f(x)的最小值．
12．对于定义域为D的函数y＝f(x)，若同时满足下列条件：①f(x)在D内单调递增或单调递减；②存在区间［a，b］
( http: / / www.21cnjy.com )D，使f(x)在［a，b］上的值域为［a，b］，那么把y＝f(x)(x∈D)叫闭函数．
(1)求闭函数y＝－x3符合条件②的区间［a，b］．
(2)判断函数(x＞0)是否为闭函数？并说明理由．
参考答案
1．答案：②
2．答案：－2　0
3．答案：3
4．答案：4
5．答案：－1
6．答案：5
7．答案：(1,2)
8．答案：1
9．证明：任取x1，x2∈(0,1］，且x1＜x2，
则x2－x1＞0，x1＋x2＞0,0＜＜1，＞1，
∴1－＜0．
＝
＝
＝(x2＋x1)＜0，
∴f(x2)＜f(x1)．∴f(x)在(0,1］上是单调减函数．
同理可得f(x)在［1，＋∞)上是单调增函数．
故f(x)在(0，＋∞)上的最小值为f(1)＝2．
10．解法一：去掉绝对值符号后可得：
故可得图象如下图．
由图可知当x＝0时，ymax＝2．
解法二：当x≥1时，y≤－3；
当0≤x＜1时，－3＜y≤2；
当x＜0时，y＜2．从而可得当x＝0时，ymax＝2．
11．解：(1)若f(0)≥1，
则－a|a|≥1 a≤－1．
(2)当x≥a时，f(x)＝3x2－2ax＋a2，
f(x)min＝＝
当x＜a时，f(x)＝x2＋2ax－a2，
f(x)min＝＝
综上，f(x)min＝
12．解：(1)由题意，y＝－x3在［a，b］上递减，
则解得
所以，所求的区间为［－1,1］．
(2)取x1＝1，x2＝10，
则f(x1)＝＜＝f(x2)，
即f(x)不是(0，＋∞)上的减函数．
取x1＝，x2＝，f(x1)＝＋10＜＋100＝f(x2)，即f(x)不是(0，＋∞)上的增函数．
所以，函数在定义域内不单调递增或单调递减，从而该函数不是闭函数．课后训练
千里之行
始于足下
1．给出下列关系
①{3}∈{3,4}；②；③{3,5}＝{3,1,5}；④
( http: / / www.21cnjy.com ){2}；⑤{1}
( http: / / www.21cnjy.com ){x|x＜2}；⑥．其中正确的序号是________．
2．设集合A＝{x|x2－1＝0}，B＝{x||x|＝1}，C＝{－1,0,1}，则集合A，B，C之间的关系是________．
3．集合{x∈N|x＝5－2n，n∈N}的真子集的个数是______________．
4．已知全集U＝R，集合M＝{x|x2－4≤0}，则M＝________.
5．若集合M＝{x|x＝2n＋1，n∈Z}，N＝{x|x＝4m±1，m∈Z}，则集合M与N的关系是________．
6．设全集为R，A＝{x|x＜0，或x≥1}，B＝{x|x≥a}，若A?B，则a的取值范围是________．
7．已知全集U＝{2,0,3－a2}，P＝{2，a2－a－2}，且P＝{－1}，求实数a的值．
8．已知集合A＝{x|x＜－1，或x＞6}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}，全集U＝R.
（1）当x∈N
时，求集合A的子集个数．
（2）若，求实数m的取值范围．
百尺竿头
更进一步
　已知集合U＝{x|－1≤x≤2，x∈P}，A＝{x|0≤x＜2，x∈P}，B＝{x|－a＜x≤1，x∈P}（－1＜a＜1）.
（1）若P＝R，求A中最大元素m与B中最小元素n的差m－n；
（2）若P＝Z，求B和A中所有元素之和及（B）．
参考答案与解析
千里之行
1．②④⑥
2．A＝B
( http: / / www.21cnjy.com )C
3．7　解析：当n＝0,1,2时，得到x的值分别为5,3,1.
∴集合{x∈N|x＝5－2n，n∈N}＝
( http: / / www.21cnjy.com ){1,3,5}．其真子集有23－1＝7个，分别是?，{1}，{3}，{5}，{1,3}，{1,5}，{3,5}．
4．{x|x＜－2，或x＞2}　解析：因为集合M＝{x|x2－4≤0}＝{x|－2≤x≤2}，全集U＝R，∴．
5．M＝N　解析：方法一：∵M＝{…，－5，－3，－1,1,3,5，…}，N＝{…，－5，－3，－1,1,3,5…}，∴M＝N.
方法二：∵n∈Z，∴当n为偶数时，
( http: / / www.21cnjy.com )令n＝2m，m∈Z.则M＝{x|x＝4m＋1，m∈Z}，当n为奇数时，令n＝2m－1，m∈Z，则M＝{x|x＝2（2m－1）＋1，m∈Z}＝{x|x＝4m－1，m∈Z}．∴M＝N.
方法三：M为奇数集合，而N中元素均为奇数，∴有，任取x∈M，则x＝2n＋1，当n为偶数2m时，有x＝4m＋1∈N，当n为奇数2m－1时，仍有x＝4m－1∈N，∴.∴且，故M＝N.
6．a≥1　解析：∵A＝{x|x＜0，或x≥1}，∴A＝{x|0≤x＜1}，∵B＝{x|x≥a}，∴B＝{x|x＜a}，将集合A，B在数轴上表示出来，如图所示．
∵A?B，∴a≥1.
7．解：∵P＝{－1}，∴－1∈U，且.
∴解得a＝2.经检验，a＝2符合题意．
故实数a的值为2.
8．解：（1）∵A＝{x|－1≤x≤6}．
∴当x∈N
时，A＝{1,2,3,4,5,6}．
∴集合A的子集个数为26＝64（个）．
（2）∵BA，∴分与讨论．
①当时，m－1＞2m＋1，即m＜－2.
②当时，由BA，借助数轴（如图所示）．
得
解得.
综上所述，m的取值范围是m＜－2或.
百尺竿头
解：（1）由已知得A＝{x|－1≤x＜0，或x＝2}，B＝{x|－1≤x≤－a，或1（2）∵P＝Z，∴U＝{x|－1≤x≤2，x∈Z}＝{－1,0,1,2}，A＝{x|0≤x＜2，x∈Z}＝{0,1}，B＝{1}或{0,1}．∴B＝{0}或．即B中元素之和为0，又A＝{－1,2}．其元素之和为－1＋2＝1.故所求元素之和为0＋1＝1.∵B＝{0}，或，∴（B）＝{－1,1,2}或（B）＝＝U＝{－1,0,1,2}．交集、并集练习
1．已知集合M＝{x|－3＜x≤5}，N＝{x|x＜－5或x＞5}，则M∪N等于________．
2．已知集合M＝{(x，y)|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，那么集合M∩N等于________．
3．设集合A＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，B＝{y|y＝x＋1，x∈R}，则A∩B等于________．
4．第二十九届夏季奥林匹克运动
( http: / / www.21cnjy.com )会于2008年8月8日在北京举行．若集合A＝{参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B＝{参加北京奥运会比赛的男运动员}，集合C＝{参加北京奥运会比赛的女运动员}，则B∪C__________A．
5．设M＝{1,2,4,5}，P＝{1,2,3}，则有
( http: / / www.21cnjy.com )________(M∩P)．
6．如图所示，U是全集，M，P，S是U的三个子集，则阴影部分表示的集合是__________．
7．满足条件{1,2,3}∪B＝{1,2,3,4,5}的集合B的个数是__________．
8．已知集合A＝{x|x2＋2(a＋1)x＋
( http: / / www.21cnjy.com )a2－1＝0}，B＝{x|x2＋4x＝0}，若A∪B＝B，则实数a的取值范围是________．
9．某市政府对水、电提价，召开听证会，如记对水提价为事件A，对电提价为事件B．现向100名市民调查其对A、B两事件的看法，有如下结果：赞成A的人数是全体的，其余的不赞成；赞成B的比赞成A的多3人，其余不赞成；另外，对A、B都不赞成的市民人数比对A、B都赞成的市民人数的多1人，问对A、B都赞成的市民和都不赞成的市民各有多少人？
10．已知集合A＝{x|0≤x≤5}，集合B＝{x|m≤x≤2m－1}，且A∪B＝A，试用区间符号表示实数m的取值范围．
参考答案
1．答案：{x|x＜－5或x＞－3}
2．答案：{(3，－1)}
3．答案：{y|y≥1}
4．答案：＝
5．答案：
( http: / / www.21cnjy.com )
6．答案：S∩M∩P
7．答案：8
8．答案：{a|a≤－1或a＝1}
9．解：赞成A的人数为100×＝60，赞成B的人数为60＋3＝63．
如图所示，记100名市民组成的集合为U，赞成事件A的市民为集合A，赞成事件B的市民为集合B．
设对事件A、B都赞成的市民人数为x，则对A、B都不赞成的市民人数为＋1．依题意可得，(60－x)＋(63－x)＋x＋＋1＝100，解得x＝36，
即对A、B两事件都赞成的市民有36人，对A、B两事件都不赞成的市民有13人．
10．解：∵A∪B＝A，
∴B
( http: / / www.21cnjy.com )A．
又∵A＝{x|0≤x≤5}≠
( http: / / www.21cnjy.com )，
∴B＝
( http: / / www.21cnjy.com )，或B≠
( http: / / www.21cnjy.com )．
当B＝
( http: / / www.21cnjy.com )时，有m＞2m－1，
∴m＜1．
当B≠
( http: / / www.21cnjy.com )时，如图，
由图可得解得1≤m≤3．
综上所述，实数m的取值范围为(－∞，3］．课后导练
基础达标
1.在下列函数中，定义域和值域不同的是（
）
A.y=
B.y=
C.y=
D.y=
解析：A、C的定义域、值域都为R.B的定义域和值域都为［0，+∞），而D中x∈R,y∈［0,+∞),故选D.
答案：D
2.已知幂函数y=、y=、y=、y=在第一象限内的图象分别是C1、C2、C3、C4,则n1、n2、n3、n4的大小关系是（
）
A.n1>n2>1,n3B.n1>n2>1,n4C.n1>1>n2>0>n4>n3
D.n1>1>n2>0>n3>n4
解析：由图象可知C1、C2对应的n的值为正数，而C3、C4为负数；且n1>1>n2，n4答案：D
3.函数y=+(x2-mx+1)的定义域为全体实数，则m的取值范围是（
）
A.(-1,2)
B.(-1,+∞)
C.(-2,2)
D.(-1-,-1+)
解析：由题意知当x∈R时，mx
( http: / / www.21cnjy.com )2+4x+m+2恒大于0，∴u=mx2+4x+m+2中，m>0,Δ=16-4m(m+2)<0,解得5-1答案：B
4.y=(m为不等于0的偶数，n为奇数，且m·n<0)，那么它的大致图象是（
）
解析：因m为偶数，有y=的定义域为（0，+∞）,排除B、C，又m·n<0,∴<0,故y=在其定义域上递减，故选D.
答案：D
5.幂函数y=(m2-m-1)，当x∈(0,+∞)时为减函数，则实数m的值为（
）
A.m=2
B.m=-1
C.m=-1或2
D.m≠
解析：把选项代入幂函数检验知m=2时，合题意.
答案：A
6.已知a=xα,b=,c=,x∈(0,1),α∈(0,1)，则a、b、c的大小顺序是_______________.
解析：据题意可令x=,α=,∴a=,b=,c=()2=,
故c答案：c7.已知>,则x的取值范围是_______________.
解析：在同一坐标系中画出y=与y=的图象观察交点的坐标，得到结论x∈(-∞,0)∪(1,+∞).
答案：（-∞,0）∪(1,+∞)
8.比较下列各题中两个值的大小：
（1）(3.97)-2,;(2),.
解析：（1）∵（3.97）-2>4-2=2-4,<(0.5)4=2-4,
∴(3.79)-2>.
(2)∵>=1,<=1,∴>.
9.分别指出幂函数y=xα的图象具有下列特点之一时的α的值，其中
α∈{-2,-1,-,,,1,2,3}.
(1)过原点，递增；
（2）不过原点，不与坐标轴相交，递减；
（3）关于y轴对称，并与坐标轴相交；
（4）关于y轴对称，不与坐标轴相交；
（5）关于原点对称，且通过原点；
（6）关于原点对称，但不通过原点.
解析：（1）α=,,1,3(2)α=-1,-
(3)α=2(4)α=-2(5)α=,1,3
(6)α=-1
10.当n取不同的有理数时，讨论幂函数y=xn的定义域.
解析：当n∈N
时，定义域为R；
当n=0时，定义域为{x|x≠0};
当n为负整数时，定义域为{x|x≠0};
当n=,(p,q∈N
,q>1,且p,q互质)时，
①若q为偶数时，定义域为［0,+∞）;
②若q为奇数时，定义域为R;
当n=-(p,q∈N
,q>1且p,q互质)时，
①若q为偶数时，定义域为（0，+∞）;
②若q为奇数时，定义域为{x|x≠0}.
综合训练
11.下列命题中正确的是（
）
A.当n=0时，函数y=xn的图象是一条直线
B.幂函数的图象都经过点(0,0)、(1,1)
C.幂函数的图象不可能出现在第四象限
D.若幂函数y=xn是奇函数，则y=xn在其定义域上一定是增函数
解析：A选项，当x=0时，y=00无意义；B选项，y=的图象不过（0，0）；D选项，y=是奇函数，但在其定义域上不是增函数，故选C.
答案：C
12.已知幂函数f(x)存在反函数f-1(x),且f-1()=，则f(x)的表达式是…（
）
A.f(x)=x3
B.f(x)=x-3
C.f(x)=
D.f(x)=
解析：由题意知（，3）在f(x)的图象上，把几个选项代入检验知应选B.
答案：B
13.设x∈(0,1)时，函数y=xp的图象在直线y=x的上方，则p的取值范围是_____________.
解析：由y=xp的图象特点知p∈（-∞,0）∪(0,1).
答案：（-∞,0）∪(0,1)
14.函数y=+的定义域为___________；函数y=4(x+|x|)-1的定义域为___________.
解析：由y=+知x≥0且-x≥0,
∴函数y=+的定义域为{0}.
y=4(x+|x|)-1=,有x+|x|≠0,
∴函数y=4(x+|x|)-1的定义域为（0,+∞）.
答案：{0}
（0，+∞）
15.若<，求实数m的取值范围.
解析：当即m<-1时，不等式成立；
当即当即m∈时，不等式成立；
当时，不等式不成立.
综上得能使不等式成立的m的取值范围是（-∞,-1）∪(,).
拓展提升
16.已知f(x)=x3(+):
(1)判断函数的奇偶性；
（2）证明f(x)>0.
(1)解析：∵2x-1≠0,即2x≠1,
∴x≠0,即函数f(x)的定义域为{x∈R|x≠0}.
又f(x)=x3(+)=·,
f(-x)=·=·=f(x),
∴函数f(x)是偶函数.
（2）证明：当x>0时，则x3>0,2x>1,2x-1>0,
∴f(x)=·>0.
又f(x)=f(-x),当x<0时，f(x)=f(-x)>0.
综上所述f(x)>0.课后训练
千里之行
始于足下
1．下列对应中，能构成集合A到集合B的映射的序号是________．
①A＝{0,2}，B＝{0,1}，f：；②A＝{－2,0,2}，B＝{4}，f：x→x2；③A＝R，B＝{y|y>0}，f：；④A＝B＝R，f：x→2x＋1.⑤A＝{x|x≥2，x∈N}，B＝{y|y≥0，y∈Z}；f：x→x2－2x＋2.
2．已知映射f：A→B，其中
( http: / / www.21cnjy.com )，集合A＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，集合B中的元素都是A中元素在映射f下的象，且对任意的a∈A，在B中和它对应的元素是|a|，则集合B中元素的个数是________．
3．已知f：x→|x|＋1是集合A＝R到集合B＝{x|x>0}的一个映射，则B中的元素8在A中的原象是________．
4．已知A＝{a，b}，B＝{c，d，e}，则集合A到集合B的不同的映射f的个数为________．
5．给出下列两个集合间的对应关系
①A＝{你班的同学}，B＝{体重}，f：每个同学对应自己的体重；
②M＝{1,2,3,4}，N＝{2,4,6,8}，f：x→2x；
③A＝B＝R，f：；
④A＝R，B＝{y|y≥0}，f：x→x4；
⑤A＝{江苏，浙江、山东、广东}，B＝{
( http: / / www.21cnjy.com )南京、杭州、济南、广州}，f：A中每个省对应B中的一个省会城市，其中映射的个数是________，是函数的序号为________．
6．为了确保信息安全，信息需加密传输，发
( http: / / www.21cnjy.com )送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密）．已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a＋2b,2b＋c,2c＋3d,4d，例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16，当接收方收到的密文为14,9,23,28时，对应的明文为________．
7．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{5,6,7}，在下列A到B的四种对应关系中，是否构成A到B的映射？
8．若f：y＝3x＋1是从集合A＝{1,2,3，k}到集合B＝{4,7，a4，a2＋3a}的一个映射，求自然数a，k及集合A，B.
百尺竿头
更进一步
　设集合A＝B＝{（x，y）|x∈R，y∈R}，f是A到B的映射，并满足f：（x，y）→（－xy，x－y）．
（1）求B中元素（3，－4）在A中的原象；
（2）试探索B中有哪些元素在A中存在原象；
（3）求当B中元素（a，b）在A中有且只有一个原象时，a，b所满足的关系式．
参考答案与解析
千里之行
1．①④⑤　解析：∵A中元素0在B中无对应元素，
∴②不是集合A到B的映射，
∵0无倒数．
∴0∈A,0在B中无象，
∴③不能构成映射．
2．4　解析：由题意，知对应法则是f：a→|a|，
∴A中的3和－3对应的象是3，－2和2对应的象是2，－1和1对应的象是1,4对应的象是4，
∴B＝{1,2,3,4}，故B中元素有4个．
3．±7　解析：设原象为x，则|x|＋1＝8，即|x|＝7，∴x＝±7即8对应A中的原象为±7.
4．9　解析：∵A中有2个元素，B中有3个元素，∴A到B的映射共有32＝9个．
5．4　②④　解析：①⑤是映射，由于A、B不是数集，故不是函数，②④是映射，也是函数，③A中非正实数在B中无象，所以不是映射，更不是函数．
6．6,4,1,7　解析：由题意知　解得　
∴对应明文为6,4,1,7.
7．解：（1）是A到B的映射．
（2）∵A中的元素4在B中无对应元素，故该对应不是A到B的映射．
（3）该对应是A到B的映射．
（4）A中的元素3在B中有两个元素与之对应，故不是A到B的映射．
8．解：∵1的象是4,7的原象是2，
∴可以判断A中的元素3的象要么是a4，要么是a2＋3a.
由a4＝3×3＋1＝10，且a∈N知，a不存在．
∴a2＋3a＝10，解得a＝－5（舍去），a＝2.
又集合A中的元素k的象3k＋1＝a4＝16.，
∴k＝5，∴A＝{1,2,3,5}，B＝{4,7,10,16}．
百尺竿头
解：（1）设（x，y）是（3，－4）的原象，于是解之，得或
∴（3，－4）在A中的原象是（－1,3），（－3,1）．
（2）设任意（a，b）∈B，在A中有原象（x，y）应满足
由②式可得y＝x－b.代入①式得　x2－bx＋a＝0.　③
当且仅当Δ＝b2－4a≥0时，③式有实数根，因此只有当B中元素满足b2－4a≥0时，在A中才有原象．
（3）由以上（2）的解题过程，知只有当B中元素满足b2＝4a时，它在A中有且只有一个原象，故a、b所满足的关系式为b2＝4a.函数的图象练习
1．下列四个图形中，可能是函数y＝f(x)的图象的是__________．
2．函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点个数是__________．
3．下图是某容器的侧面图，如果以相同的速度向容器中注水，则容器中水的高度与时间的函数关系为下图中的__________．
4．如图，正△ABC的边长为1，E，
( http: / / www.21cnjy.com )F，G分别是AB，BC，CA上的点，且AE＝BF＝CG，设△EFG的面积为y，AE的长为x，则y关于x的函数的图象大致是________．
5．二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是__________．
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
y
6
0
－4
－6
－6
－4
0
6
6．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象的对称轴为x＝3，则f(2)与f()的大小关系是__________．
7．某工厂八年来某种产品总产量C与时间t(年)的函数关系如下图所示，则下列四种说法中正确的是________．
①前三年中产量增长速度越来越快；②前三年中产量增长的速度越来越慢；③第三年后，这种产品停止生产；④第三年后，年产量保持不变．
8．水池有2个进水口，1个出水口，每个进
( http: / / www.21cnjy.com )出水口进出水速度如图①②所示，某天0点到6点，该水池的蓄水量如图③所示(至少打开一个水口)．给出以下3个论断：
①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则一定正确的论断是__________．
9．在同一直角坐标系中，分别作出函数y1＝x＋1和y2＝x2－3x－4的图象，并回答x为何值时，y1＞y2，y1＝y2，y1＜y2？
10．在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标均为整数的点称为格点．试求由函数和直线x＝10及x轴所围成的三角形内部及边上的格点有多少个？
参考答案
1．答案：①②③
2．答案：0或1
3．答案：③
4．答案：③
5．答案：(－∞，－2)∪(3，＋∞)
6．答案：f(2)＞f()
7．答案：②③④
8．答案：①
9．解：作出两函数的图象如图所示，
由方程组得或
所以两图象交点坐标为(－1,0)和(5,6)．
从而当x∈(－1,5)时，y1＞y2；
当x＝－1或5时，y1＝y2；
当x∈(－∞，－1)∪(5，＋∞)时，y1＜y2．
10．解：作出如图所示的图象，
则共有1＋2＋4＋5＋7＋8＋10＝37(个)格点．课后训练
千里之行
始于足下
1．下列对象能构成集合的序号是________．
①NBA联盟中所有优秀的篮球运动员；②2011年诺贝尔奖获得者R；③美韩联合军演时发射的所有导弹；④校园花坛里所有鲜艳的花朵．
2．给出下列6个关系：，,0∈{0}，tan45°∈Z，0∈N
，π∈Q，其中，正确的个数为________．
3．（1）“被3除余1的数”组成的集合用描述法可表示为________．
（2）设集合，用列举法表示为____________．
4．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{3，x2,2}，若A＝B，则x的值是________．
5．下列结论中，正确的个数是________．
①cos30°∈Q；②若，则a∈N；③方程x2＋4＝4x的解集中含有2个元素；④若a∈N
，b∈N，则a＋b的最小值为2；⑤|－3|∈N
.
6．下列结论中，正确的序号是________．
①若以集合S＝{a，b，c}中三个元素为边可构成一个三角形，则该三角形一定不是等腰三角形；②满足1＋x＞x的实数x组成一个集合；③方程的解集为{2，－2}；④方程（x－1）2（x＋5）（x－3）＝0的解集中含有3个元素；⑤今天正午12时生活在地球上的所有人构成的集合为无限集．
7．已知二元素集A＝{a－3,2a－1}，若－3∈A，求实数a的值．
8．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}．
（1）若A中只有一个元素，求a的值；
（2）若A中最多有一个元素，求a的取值范围；
（3）若A中至少有一个元素，求a的取值范围．
百尺竿头
更进一步
　设S是由满足下列条件的实数所构成的集合：①；②若a∈S，则，请解答下列问题：（1）若2∈S，则S中必有另外两个数，求出这两个数；（2）求证：若a∈S，则；（3）在集合S中元素能否只有一个？请说明理由．
参考答案与解析
千里之行
1．②③　解析：①中的“优秀”、④中的“鲜艳”标准不明确，不能构成集合．
2．3　解析：,0∈{0}，tan45°＝1∈Z正确；，0∈N
，π∈Q不正确．
3．（1）{x|x＝3n＋1，n∈Z}　（2）{0,1,2}
4．±1　解析：由A＝B得x2＝1，∴x＝±1.
5．1　解析：只有⑤正确．∵
?Q，∴①不正确．取a＝0.1，则－0.1?N,0.1?N，∴②不正确；∵方程x2＋4＝4x的解集中只含有一个元素2，∴③不正确；∵a∈N
，∴a的最小值为1，∵b∈N，∴b的最小值为0，∴a＋b的最小值为1，故④不正确．
6．①②④　解析：由集合中元素的互异性知①正确；由1＋x＞x，得x为全体实数．故x构成实数集R，②正确；方程的解为x＝2且y＝－2，所以方程的解集表示不正确，应为含的单元素集，③错误；④中方程有一个重根x＝1，在集合中只算一个元素，故④正确；⑤中构成的集合为有限集，故不正确．
7．解：∵－3∈A，∴－3＝a－3或－3＝2a－1.
若－3＝a－3，则a＝0.此时A＝{－3，－1}，符合题意．
若－3＝2a－1，则a＝－1，此时A＝{－4，－3}，符合题意．
综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1.
8．解：（1）当a＝0时，原方程变为2x＋1＝0.此时，符合题意；
当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0为一元二次方程，Δ＝4－4a＝0时，
即a＝1时，原方程的解为x＝－1，符合题意．故当a＝0或a＝1时，原方程只有一个解，此时A中只有一个元素．
（2）A中最多含有一个元素，即A中有一个元素或A中没有元素．
当Δ＝4－4a＜0，即a＞1时，原方程无实数解，结合（1）知，
当a＝0或a≥1时，A中最多有一个元素．
（3）A中至少有一个元素，即A中有一个或两个元素．由Δ＞0得a＜1，结合（1）可知，a≤1.
百尺竿头
解：（1）∵2∈S,2≠1，∴.∵－1∈S，－1≠1，∴.∵，，∴，∴－1，，即集合S中另外两个数分别为－1和.
（2）证明：∵a∈S，∴，∴（a≠0，若a＝0，则，不合题意）．
（3）集合S中的元素，不能只有一个，理由：假设集合S中只有一个元素，则根据题意知，即a2－a＋1＝0.此方程无实数解．∴.因此集合S不能只有一个元素．指数函数的定义及性质练习
1．下列以x为自变量的函数中，是指数函数的是______．
①y＝(－2)x　②y＝5x
③y＝－2x　④y＝ax＋2(a＞0且a≠1)
2．设a＝40．9，b＝80．48，，则a，b，c的大小关系是__________．
3．若指数函数的图象经过点，则f(2)＝__________．
4．函数的定义域是__________．
5．若0＜a＜1，记m＝a－1，，，则m，n，p的大小关系是__________．
6．已知集合M＝{－1,1}，，则M∩N＝__________．
7．如图是指数函数：①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx；④y＝dx的图象，则a，b，c，d的大小关系是__________．
8．已知实数a，b满足等式，下列五个关系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b＝0．其中不可能成立的关系式有__________．
9．若函数求不等式|f(x)|≥的解集．
10．设0≤x≤2，求函数y＝4x－2·2x＋1＋1的值域．
参考答案
1．答案：②
2．解析：因为a＝40．9＝21．8，b＝80．48＝21．44，＝21．5，
所以由指数函数y＝2x在(－∞，＋∞)上单调递增知a＞c＞b．
答案：a＞c＞b
3．解析：设f(x)＝ax，则a－3＝，a＝2，
所以f(x)＝2x，f(2)＝22＝4．
答案：4
4．解析：由条件得2x－1－8≥0，即x－1≥3，x≥4．
所求定义域为［4，＋∞)．
答案：［4，＋∞)
5．解析：∵0＜a＜1，
∴y＝ax在R上为单调递减函数．
∵－＜－1＜－，
∴p＜m＜n．
答案：p＜m＜n
6．解析：由＜2x＋1＜4，得－1＜x＋1＜2，－2＜x＜1．
又x∈Z，∴x＝－1或0．所以N＝{－1,0}．
从而M∩N＝{－1}．
答案：{－1}
7．解析：利用特殊值法判断．
答案：b＜a＜d＜c
8．解析：在同一坐标系中作出与的图象，如下图所示，由图象可知当a＜b＜0，或0＜b＜a，或a＝b＝0时才有可能成立，故不成立的关系式为③0＜a＜b和④b＜a＜0．
答案：③④
9．解：当x＜0时，原不等式化为，
即|x|≤3，－3≤x＜0；
当x≥0时，原不等式化为，
即3－x≥3－1,0≤x≤1．
综上所述，所求解集为［－3,1］．
10．解：设2x＝t，因为0≤x≤2，所以1≤t≤4．
所以原函数可化为y＝t2－4t＋1＝(t－2)2－3，1≤t≤4．
因为对称轴t＝2∈［1,4］，
所以当t＝2，即2x＝2，x＝1时，y有最小值－3．
又因为端点t＝4较t＝1离对称轴t＝2远，
所以当t＝4，即2x＝4，x＝2时，y有最大值1．
故函数的值域为［－3,1］．对数的运算性质练习
1．下列四个命题中，是真命题的有__________．
①lg
2lg
3＝lg
5；
②lg23＝lg
9；
③若logaM＋N＝b，则M＋N＝ab；
④若log2M＋log3N＝log2N＋log3M，则M＝N.
2．对于a＞0，a≠1，下列说法中正确的是__________．
①若M＝N，则logaM＝l
( http: / / www.21cnjy.com )ogaN；②若logaM＝logaN，则M＝N；③若logaM2＝logaN2，则M＝N；④若M＝N，则logaM2＝logaN2.
3．已知f(x5)＝lg
x，则f(2)＝__________.
4．已知lg
2＝a，lg
3＝b，则log36＝__________.
5．已知logbx－logby＝a，则logb5x3－logb5y3＝______.
6．设a＞0，，则＝__________.
7．已知11.2a＝1
000,1.12b＝1
000，则＝____.
8．已知函数f(x)满足：当x≥4时，；当x＜4时，f(x)＝f(x＋1)，则f(2＋log23)＝__________.
9．若函数y＝x2＋(log2N)x＋log2N有最小值，求正数N.
10．设p，q满足log9p＝log12q＝log16(p＋q)，求的值．
11．分贝是计量声音强度相对大小的单位
( http: / / www.21cnjy.com )．物理学家引入了声压级(spl)来描述声音的大小：把一很小的声压P0＝2×10－5帕作为参考声压，把所要测量的声压P与参考声压P0的比值取常用对数后乘以20得到的数值称为声压级．声压级是听力学中最重要的参数之一，单位是分贝(dB)．分贝值在60以下为无害区，60～110为过渡区，110以上为有害区．
(1)根据上述材料，列出声压级y与声压P的函数关系式．
(2)某地声压P＝0.002帕，试问该地为以上所说的什么区，声音环境是否优良？
(3)假设某会场内掌声的声压级为90分贝，求声压P.
参考答案
1．解析：本题易错选①或②或
( http: / / www.21cnjy.com )③.主要原因是对对数函数的运算性质不清，在对数运算的性质中，与①类似的一个错误的等式是lg
2＋lg
3＝lg
5；②中的lg23表示(lg
3)2，它与lg
32＝lg
9意义不同；③中的logaM＋N表示(logaM)＋N，它与loga(M＋N)意义不同；④中等式可化为log2M－log2N＝log3M－log3N，
即，所以M＝N.
答案：④
2．解析：在①中，当M＝N≤0时，logaM与logaN均无意义，因此logaM＝logaN不成立．
在②中，当logaM＝logaN时，必有M＞0，N＞0，且M＝N，因此M＝N成立．
在③中，当logaM2＝log
( http: / / www.21cnjy.com )aN2时，有M≠0，N≠0，且M2＝N2，即|M|＝|N|，但未必有M＝N，例如，M＝2，N＝－2时，也有logaM2＝logaN2，但M≠N.
在④中，若M＝N＝0，则logaM2与logaN2均无意义，因此logaM2＝logaN2不成立．所以只有②正确．
答案：②
3．解析：令x5＝t，则.
所以．则f(2)＝lg
2.
答案：lg
2
4．解析：log36＝.
答案：
5．解析：原式＝(logb5＋logbx3)－(logb5＋logby3)＝3logbx－3logby＝3a.
答案：3a
6．解析：由条件得，
所以
答案：3
7．解析：由条件得a＝log11.21
000＝，
b＝log1.121
000＝，
从而＝.
答案：
8．解析：∵3＜2＋log23＜4，∴f(2＋log23)＝f(3＋log23)＝＝＝.
答案：
9．解：y＝x2＋(log2N)x＋log2N＝(x＋log2N)2－(log2N)2＋log2N.所以x＝－log2N时，
ymin＝log2N－(log2N)2，
即log2N－(log2N)2＝.
所以(log2N＋1)(log2N－5)＝0.
所以log2N＝－1或log2N＝5.
从而N＝或N＝32.
10．分析：题目中的已知条件是对数式等式，欲求结论是的值，因此需要中间量把对数式化为指数式，得关于的一元二次方程，再由求根公式求得的值．
解：设log9p＝log12q＝log16(p＋q)＝k，
∴p＝9k，q＝12k，p＋q＝16k.∴16k＝12k＋9k.
∴＝1＋.∴－－1＝0.
设＝x，x＞0，则x2－x－1＝0，
解得.∵x＞0，∴.
又∵，∴.
11．分析：(1)由已知
( http: / / www.21cnjy.com )条件即可写出声压级y与声压P之间的函数关系式；(2)由函数关系式求得当P＝0.002帕时，声压级y的值，由此可判断所在区的声音环境；(3)实际上是已知y的值求P的值，代入函数关系式，解对数方程可得声压．
解：(1)由已知得(其中P0＝2×10－5)．
(2)当P＝0.002帕时，＝20lg
102＝40(分贝)．
由已知条件知40分贝小于60分贝，所以此地为无害区，环境优良．
(3)由题意，得90＝20lg，则＝104.5，
所以P＝104.5P0＝104.5×2×10－5＝2×10－0.5≈0.63(帕)．课后导练
基础达标
1.下列指数式与对数式互化不正确的一组是（
）
A.100=1与lg1=0
B.=与log27=-
C.log39=2与=3
D.log55=1与51=5
答案：C
2.下列说法中错误的是（
）
A.零和负数没有对数
B.任何一个指数式都可以化为对数式
C.以10为底的对数叫做常用对数
D.以e为底的对数叫做自然对数
解析：不是所有的指数式都可化为对数式，如（-5）2=25就不能转换，再如（-5）-2=.
答案：B
3.若lg［log2(lgx)］=0,则的值等于（
）
A.100
B.10
C.0.01
D.
解析：∵lg1=0,∴log2(lgx)=1,∴lgx=2,
∴x=100.
∴===.
答案：D
4.若logx=z,则x、y、z之间的关系满足（
）
A.y3=xz
B.y=x3z
C.y=7xz
D.y=z7x
解析：由题意，得xz==,∴(xz)3=y,∴y=x3z.
答案：B
5.以下四个结论中正确的是（
）
①lg(lg10)=0
②lg(lne)=0
③若10=lgx,则x=10
④若e=lnx,则x=e2
A.①③
B.②④
C.①②
D.③④
解析：lg10=1,lne=1，∴①②正确.若10=lgx,则x=1010.若e=lnx，则x=ee，③④错误.
答案：C
6.若log3()=1,则x=____________.
解析：log3()=1,∴=3，
∴1-2x=27，∴x=-13.
答案：-13
7.log6［log4(log381)］=__________________.
解析：log6［log4(log381)］=log6(log44)=log61=0.
答案：0
8.(1)要使log3(3-4x)有意义，求x的取值范围；
（2）要使log(2-3x)3有意义，求x的取值范围.
解析：（1）由题意得3-4x>0,
∴x<.
(2)2-3x>0，且2-3x≠1,
∴x<且x≠.
9.当底数是时，求8的对数.
解析：设所求的对数为x，则8=x,
∴()x=8,∴=23,
∴=3，
∴x=6,故8=6.
10.试证明=N(对数恒等式)(a>0且a≠1,N>0).
证明：令ax=N
①,则x=logaN
②,把②式代入①式，则=N.
综合训练
11.给出三个命题，其中正确的命题是…（
）
①对数的真数是非负数
②若a>0且a≠1，则loga1=0
③若a>0且a≠1，则logaa=1
A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③
解析：因对数的真数大于0，所以①错误，可排除A、C、D选项.故选B.
答案：B
12.若N=（-a）2,(a<0),则有（
）
A.log2N=-a
B.log2(-a)=N
C.logn(-a)=2
D.log(-a)N=2
答案：D
13.设f(10x)=x,则f(100)=_________________.
解析：f(100)=f(102),
∵f(10x)=x,
∴f(102)=2.
答案：2
14.设f(x)=则满足f(x)=的x的值为_____________.
解析：当x∈(-∞,1)时，2-x==2-2,∴-x=-2,
而x=2
不在（-∞,1）范围内，∴x=2舍去；
当x∈(1,+∞)时，log81x=，
∴=x，
∴x=3满足条件.
答案：3
15.求满足logxy=1的y与x的函数关系式，并作出其图象.
解析：根据对数的定义有y>0,x>0且x≠1.
∵logxy=1,
∴x1=y,即y=x.
函数图象见右图，它是第一象限的角平分线，去掉（0，0）和（1，1）两点.
拓展提升
16.设M={0，1}，N={11-a,lga,2a,a}是否存在a的值使M∩N={1}
解析：不存在a的值使M∩N={1}.
事实上，若lga=1,则a=10，此
( http: / / www.21cnjy.com )时11-a=1,从而11-a=lga=1,与集合元素的互异性矛盾；若2a=1，则a=0,此时lga无意义；若a=1，此时lga=0,从而M∩N={0,1}与条件不符；若11-a=1，则a=10，从而lga=1,与元素的互异性矛盾.课后导练
基础达标
1.已知函数f(x)=x+2，x∈(1,2)，则f(x)的值域为（
）
A.(2，4]
B.(3，4]
C.(3，5]
D.(2，5］
解析：由1答案：B
2.函数f(x)=(x-)0的定义域为（
）
A.（2，-）
B.（-2，+∞）
C.（，+∞）
D.（-2，）∪(,+∞)
解析：由题意得∴
∴x∈(-2,∪(,+∞).
答案：D
3.函数f(x)=的定义域为(
)
A.{x|x≥-3}
B.{x|x≥-3且x≠2}
C.{x|x>-3}
D.{x|x>-3且x≠2}
解析：由题意得，x+3≥0且x-2≠0，
∴x≥-3且x≠2.
答案：B
4.f(x)=x2
-2x+5，则f(x)的值域为(
)
A.（5，+∞）
B.（4，+∞）
C.［4，+∞)
D.(1,+∞）
解析：∵a=1,开口向上，=4,
∴f(x)的值域为［4，+∞）.
答案：C
5.下列所给四组函数表示同一函数的是(
)
A.f(x)=x，g(x)=()2
B.f(x)=x,g(x)=
C.f(x)=1,g(x)=x0
D.f(x)=x2+x+1,g(x)=
解析：判断两个函数是否为同一函数，可从三个方面来看：定义域，值域和对应法则.A答案中定义域不同，C、D同样是定义域不同，故选B.
答案：B
6.设函数f(x)的定义域是［0，4］，则f(x2)的定义域是______________.
解析：∵f(x)的定义域［0,4］，对于f(x2)来说有x2∈［0，4］∴x∈［-2，2］.
答案：［-2,2］
7.函数y=++x2的定义域是__________，值域是_____________.
解析：由题意知x-4≥0且4-x≥0,
∴x≥4且x≤4,∴x=4,y=16.
∴定义域为{4}，值域为{16}.
答案：{4}
{16}
8.求下列函数定义域.
（1）y=+,
(2)y=+(3x-1)0.
解析：(1)由得-2≤x≤2,∴函数的定义域是{x|-2≤x≤2}.
(2)由得x≠且x≠2，∴函数的定义域为{x|x∈R且x≠且x≠2}.
9.已知f(x-2)的定义域是［2,4］，求f(x)、f(x+1)的定义域.
解析：∵2≤x≤4，∴0≤x-2≤2,
∴f(x)的定义域为［0,2］.
∵f(x)的定义域为［0,2］,
∴0≤x+1≤2.
∴-1≤x≤1.
∴f(x+1)的定义域为［-1,1］.
10.已知f(x)=2x+a,g(x)=(x2+3)，若g［f(x)］=x2+x+1,求a的值.
解析：∵f(x)=2x+a,g(x)=(x2+3)，
∴g［f(x)］=g(2x+a)=［(2x+a)2+3］=x2+ax+(a2+3).
而g［f(x)］=x2+x+1,
∴x2+ax+(a2+3)=x2+x+1.
∴得
∴a=1.
综合训练
11.下列函数完全相同的是（
）
A.f(x)=x-1,g(x)=()2
B.f(x)=x3,g(x)=
C.f(x)=,g(x)=x+2
D.f(x)=x2,g(x)=
解析：判断两个函数是否为同一函数，可从函数的三要素方面比较，A定义域不同,B值域不同，C定义域不同，故选D
.
答案：D
12.已知函数y=x2-2x+3在区间［0,m］上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（
）
A.［1，+∞)
B.［0，2］
C.(-∞，2]
D.［1,2］
解析：y=(x-1)2+2在区间［0，m］上有最大值3，最小值2，则m≥1且m≤2.故选D.
答案：D
13.f(x)=+的定义域是_____________.
解析：由得
∴定义域为（-∞，-3）∪［3，6）∪（6，+∞）.
答案：（-∞，-3）∪［3，6］∪（6，+∞）.
14.函数y=的定义域是，值域是_____________.
解析：∵-x2+x≥0,∴x2-x≤0,∴0≤x≤1.
∵-x2+x=-(x2-x+)+=-(x-12)2+,0≤-（x-）2+≤,
∴y=的值域［0，］.
答案：［0，1］
［0，］
15.已知二次函数y=f(x)的定
( http: / / www.21cnjy.com )义域R,f(1)=2,且在x=t（t为实数）处取得最值，若y=g(x)为一次函数，且g(x)+f(x)=x2+2x-3,求y=f(x)的解析式.
解析：设f(x)=a(x-t)2+m,
∵y=g(x)为一次函数，f(x)+g(x)=x2+2x-3,
∴a=1.
∵f(1)=2,
∴2=(1-t)2+m,
∴m=-t2+2t+1,
∴f(x)=(x-t)2-t2+2t+1,
即f(x)=x2-2tx+2t+1.
拓展提升
16.（1）已知函数f(x)=求f{f［f(π)］}的值.
(2)已知函数f(x)=,f(1)+f(2)+f()+f(3)+f()+f(4)+f()=_____________；
(3)若函数f(x)满足对a,b∈R，有f(ab)=f(a)+f(b),且f(2)=p,f(3)=q,求f(72).
解析：（1）∵π>0，
∴f(π)=0，f［f(π)］=-e<0,
∴f{f［f(x)］}=(-e)2+1=e2+1.
(2)∵对x∈R，都有f(x)+f()=+=1.∴原式=+3=.
(3)∵a,b∈R时，f(ab)=f(a)+f(b),
且f(2)=p,f(3)=q,
∴f(72)=f(8×9)=f(8)+f(9)
=f(4)+f(2)+f(3)+f(3)
=3f(2)+2f(3)=3p+2q.课后训练
千里之行
始于足下
1．如果lg2＝a，lg3＝b，则等于________．
2．下列结论中，正确的序号是________．
①lg2·lg3＝lg5；②lg23＝lg9；③；④若logaM＋N＝b，则M＋N＝ab（a>0且a≠1）；⑤若log2M＋log3N＝log2N＋log3M，则M＝N.
3．（1）已知loga2＝m，loga3＝n（a>0且a≠1）则a2m－n＝________；
（2）若a>0，，则________；
（3）若5lgx＝25，则x＝________.
4．已知lg（log2x）＝0，，则logxy＝________.
5．已知，logn8＝blogn56（m、n>0且m≠1，n≠1），则a＋b＝________，________.
6．（1）已知11.2a＝1
000,0.011
2b＝1
000，则________.
（2）若2a＝5b＝10，则________.
7．求下列各式的值：
（1）2log525＋log264－2
011logπ1；
（2）log155·log1545＋（log153）2；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）．
8．2010年我国国民生产总值为a亿元，如
( http: / / www.21cnjy.com )果年平均增长8%，那么经过多少年后国民生产总值是2010年的2倍？（lg2≈0.301
0，lg3≈0.477
1，lg1.08≈0.033
4，精确到1年）
百尺竿头
更进一步
（1）已知log189＝a,18b＝5，用a，b表示log3645.
（2）已知a>0且a≠1，若log2a＋loga8＝4，则①判断函数f（x）＝xa＋3的奇偶性；②计算的值；③判断函数g（x）＝ax的单调性．
参考答案与解析
千里之行
1.　解析：∵lg2＝a，lg3＝b，
∴
2．③⑤　解析：由对数的运算性质知①②错；由对数恒等式知③正确；当loga（M＋N）＝b时，有M＋N＝ab，∴④错；由log2M＋log3N＝log2N＋log3M，得log2M－log2N＝log3M－log3N，即，上式只有当，即M＝N时成立，∴⑤正确．
3．（1）　（2）3　（3）100　解析：（1）∵loga2＝m，loga3＝n，∴am＝2，an＝3.
∴
（2）法一：∵a>0，，∴
∴，即，∴
法二：∵a>0，∴，∴　∴
（3）∵5lgx＝25＝52.∴lgx＝2，x＝102＝100.
4．－3　解析：∵lg（log2x）＝0，∴log2x＝1，∴x＝2，
又∵，
∴，∴，∴.
∴.
5．1　56　解析：由换底公式得.
，
∴a＋b＝log567＋log568＝log5656＝1.
∵log567＝a，∴.
∴.
6．（1）1　（2）1　解析：（1）法一：用指数解：由已知得.
，两式相除得：，
∴.
法二：用对数解．由题意，得a×lg11.2＝3，
b×lg0.011
2＝3，∴.
法三：综合法解．∵11.2a＝1
000,0.011
2b＝1
000，∴a＝log11.21
000，b＝log0.011
21
000.∴
（2）法一：由2a＝5b＝10，得a＝log210，b＝log510，
∴.
法二：对已知条件的各边取常用对数，得alg2＝blg5＝1，∴，，
∴.
7．解：（1）原式＝2log552＋log226－2011×0＝4＋6－0＝10.
（2）原式＝log155（
( http: / / www.21cnjy.com )1＋log153）＋（log153）2＝log155＋log153（log155＋log153）＝log155＋log153＝log1515＝1.[或原式＝（1－log153）（1＋log153）＋（log153）2＝1－（log153）2＋（log153）2＝1]
（3）原式＝（－2）×（－4）×（－2）＝－16.
（4）设，则＝（1＋lg2）lg7＋（lg7－1）（－lg2）＝lg7＋lg2＝lg14.∴x＝14，即.
（5）原式＝（1－lg2）（
( http: / / www.21cnjy.com )3＋3lg2）＋3lg22＋lg6－2－lg6＝3（1－lg2）（1＋lg2）＋3lg22－2＝3（1－lg22）＋3lg22－2＝3－2＝1.
（6）原式.
8．解：设经过x年后国民生产总值
( http: / / www.21cnjy.com )是2010年的2倍．经过1年，总产值为a（1＋8%），经过2年，总产值为a（1＋8%）2，……经过x年，总产值为a（1＋8%）x.
由题意得a（1＋8%）x＝2a，即1.08x＝2.
方法一：两边取常用对数，得lg1.08x＝lg2，即．
方法二：用换底公式．∵1.08x＝2，∴
．
答：约经过9年，国民生产总值是2010的两倍．
百尺竿头
解：（1）∵18b＝5，∴log185＝b，又∵log189＝a，∴log182＝1－log189＝1－a.
∴.
2）∵loga8＋log2a＝4，∴3loga2＋log2a＝4，∴，
∴（log2a－1）（log2a－3）＝0，即log2a＝1或log2a＝3，∴a＝2或a＝8.
①当a＝2时，f（x）＝x2＋3是偶函数；当a＝8时，f（x）＝x8＋3也是偶函数．
∴f（x）是偶函数．
②当a＝2时，原式；当a＝8时，原式.
③∵g（x）＝2x或g（x）＝8x，且2与8都大于1，∴g（x）＝ax在R上是单调增函数．课后导练
基础达标
1.下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是（
）
A.y=3-x
B.y=x2+1
C.y=
D.y=-|x|
解析：B答案中y=x2+1为二次函数，抛物线开口向上，以y轴为对称轴，所以y=x2+1在(0,2)上单调递增
，故选B.
答案：B
2.下列结论正确的是（
）
A.函数y=kx(k为常数，k<0)在R上是增函数
B.函数y=x2在R上是增函数
C.y=在定义域内为减函数
D.y=在（-∞,0）上为减函数
解析：y=kx的图象是直线，当k<0时，y随x增大而减小；y=x2在（-∞，0）上递减，在（0，+∞）上递增；y=在（-∞，0）上递减，在（0，+∞）上递减，故选D.
答案：D
3.已知函数f(x)=2x2-mx+3，当x∈（-2，+∞）时是增函数，当x∈(-∞,-2)时是减函数，则f(1)等于(
)
A.-3
B.13
C.7
D.由m而决定的常数
解析：由题意知，二次函数的对称轴x=-2,
∴=-2,m=-8.
∴f(x)=2x2+8x+3.
∴f(1)=2×12+8×1+3=13
，故选B.
答案：B
4.设函数f(x)=(2a-1)x+b是R上的减函数，则有(
)
A.a≥
B.a≤
C.a>-
D.a<
解析：由题意知2a-1<0，∴a<,选D.
答案：D.
5.下列四个n的取值中，使函数y=xn的图象过原点，且在其定义域R上是增函数的是(
)
A.-2
B.-1
C.1
D.2
解析：当n=-2时，y=，不过原点；
当n=-1时，y=，同样不过原点；当n=2时，y=x2过原点.但它在（-∞,0)上递增，在（0，+∞）上递减，故选C.
答案：C
6.已知函数y=f(x)的图象如下图所示，写出函数的单调区间____________.
解析：由图象可以看到：y=f(x)在（-∞，-1）和［0，1）上递减；在［-1,0)和［1，+∞）上递增.
答案：递增区间为［-1,0］，［1，+∞］；递减区间为（-∞,-1）［0，1］
7.已知函数f(x)是区间（0，+∞）上的减函数，那么f(a2-a+1)与f()的大小关系是______.
解析：先比较a2-a+1与的大小，a2-a+1=a2-a++=(a-)2+≥，因f(x)在区间（0,+∞）上是减函数，
∴f(a2-a+1)≤f().
答案：f(a2-a+1)≤f()
8.判断f(x)=(x≥1)的单调性.
解析：设1≤x1f(x1)-f(x2)=-
=
=，
∵x1x2>1,∴1-x1x2<0,
又x1-x2<0,(1+x12)(1+x22)>0,
∴>0,
即f(x1)>f(x2).
∴f(x)在［1，+∞)上是减函数.
9.设函数f(x)在（0，+∞)上是减函数，且有f(2a2+a+1)解析：f(x)在（0，+∞)上是
( http: / / www.21cnjy.com )减函数，又2a2+a+1>0,3a2-2a+1>0,所以当f(2a2+a+1)3a2-2a+1,
∴a2-3a<0.
∴0∴实数a的取值范围是{a|010.若f(x)=-x2+2ax与g(x)=在区间［1,2］上都是减函数，求a的取值范围.
解析：∵f(x)的对称轴为x=a且开口向下，
∴a≤1.
又∵g(x)=在［1,2］上为减函数，
∴a>0.
∴a∈(0,1］.
综合训练
11.已知函数f(x)在区间［a,b］上单调且f(a)·f(b)<0，则方程f(x)=0在区间［a,b］内
（
）
A.至少有一实根
B.至多有一实根
C.没有实根
D.必有唯一的实根
解析：因f(x)在［a,b］上单调，又f(a)与f(b)异号，故函数f(x)的图象在［a,b］上与x轴必有交点，且交点唯一，故选D.
答案：D
12.已知f(x)在(-∞，+∞)内是减函数，a,b∈R,a+b≤0，则有（
）
A.f(a)+f(b)≤-f(a)-f(b)
B.f(a)+f(b)≥-f(a)-f(b)
C.f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b)
D.f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)
解析：a+b≤0,
∴a≤-b,
∴f(a)≥f(-b),f(b)≥f(-a),
∴f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).
答案：D
13.函数y=-的单调递增区间是_________，单调递减区间是__________.
解析：首先考虑使函数有意义的x的值，-x2-x+6≥0得-3≤x≤2，
∴由对称轴是x=-，
得到f(x)=-x2-x+6在x∈［-3，-］时，函数递增；x∈［-,2］时，函数递减.
答案：［-3,-］［-,2］
14.有下列四个命题
①函数y=2x2+x+1在(0,＋∞)上不是增函数；②函数y=在(-∞,-1)∪(-1,+∞)上是减函数；③函数y=-的单调增区间为［-2,+∞)；④已知f(x)在R上为增函数，若a+b>0,则有f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b).
其中正确命题的序号是___________________.
解析：因y=2x2+x+1在［-,+∞)上递增，所以①不正确；②说法不对，y=不在两个区间的并集上递减，而是分别在两个区间上递减；③忽略了函数的定义域；④中a+b>0得a>-b，有f(a)>f(-b)，同理有f(b)>f(-a)，两同向不等式相加，得f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b)，④正确.
答案：④
15.已知函数f(x)的定义域为R，满足f(-x)=>0，且g(x)=f(x)+c(c为常数）在区间［a,b］上是减函数，判断并证明g(x)在区间［-b,-a］上的单调性.
解析：设-b≤x1≤x2≤-a，
则b≥-x1>-x2≥a.
∵g(x)在区间［a,b］上是减函数，
∴g(-x1)f(-x1)+c则f(-x1)又∵f(-x)=>0,
∴0<<，即f(x1)>f(x2).
∴f(x1)+c>f(x2)+c,即g(x1)>g(x2).
∴g(x)在区间［-b,-a］上是减函数.
拓展提升
16.设函数f(x)是实数集R上的增函数，令F(x)=f(x)-f(2-x).
(1)求证：F（x)在R是增函数；
（2）若F(x1)+F(x2)>0,
求证：x1+x2>2.
解析：无论给出的函数式子多么复杂
( http: / / www.21cnjy.com )，只要是证明单调性，就必用“定义法”，只要是比较自变量的大小，就必用单调性定义的逆命题.这就是解题思路，在正确的思路指导下，必能攻无不克，战无不胜.
证明：（1）任取x1,x2∈R，且x1∵f(x)在R上是增函数，
∴f(x1)f(2-x2),
即f(x1)-f(x2)<0,f(2-x1)-f(2-x2)>0,
∴F(x1)-F(x2)=［f(x1)-f(2-x1)］-［f(x2)-f(2-x2)］
=［f(x1)-f(x2)］+［f(2-x2)-f(2-x1)］<0,
即F(x1)∴F(x)在R上是增函数.
(2)∵F(x1)+F(x2)>0,
∵F（x1）>-F(x2).
而-F(x2)=-［f(x2)-f(2-x2)］
=f(2-x2)-f(x2)
=f(2-x2)-f［2-（2-x2)］
=F(2-x2).
∴F（x1）>F(2-x2).
又∵F（x)在R上是增函数，
∴x1>2-x2，即x1+x2>2.课后导练
基础达标
1.已知全集U={0,1,2},且
( http: / / www.21cnjy.com )Q={2},则集合Q的真子集共有(
)
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
解析：∵U={0，1，2}，
( http: / / www.21cnjy.com )Q={2},
∴Q={0,1},
∴Q的真子集个数为22-1=3.
故选A.
答案：A
2.设全集U={0,1,2,3,4},集合A={0,1,2,3},集合B={2,3,4},则由
( http: / / www.21cnjy.com )A与
( http: / / www.21cnjy.com )B的所有元素组成的集合为(
)
A.{0}
B.{0,1}
C.{0,1,4}
D.{0,1,2,3,4}
解析：∵U={0，1，2，3，4}，A={0，1，2，3}，
∴
( http: / / www.21cnjy.com )A={4}.
∵B={2，3，4}，
∴
( http: / / www.21cnjy.com )B={0，1}，
∴由
( http: / / www.21cnjy.com )与
( http: / / www.21cnjy.com )B所有元素组成集合为{0，1，4}，故选C.
答案：C
3.已知
( http: / / www.21cnjy.com )A={x|x>5,x∈Z},
( http: / / www.21cnjy.com )B={x|x>2,x∈Z},则有(
)
A.AB
B.AB
C.A=B
D.以上都不对
解析：∵
( http: / / www.21cnjy.com )A={x|x>5,x∈Z}，
∴A={x|x≤5,x∈Z}.
∵
( http: / / www.21cnjy.com )B={x|x>2,x∈Z},
∴B={x|x≤2,x∈Z}.
∴BA.故选B，也可以用数轴或韦恩图来求解.
答案：B
4.设集合S={0,1,2,3,4},集合A={1,2,3}，集合B={2,3,4}，则下列正确的是…（
）
A.(
( http: / / www.21cnjy.com )A)(
( http: / / www.21cnjy.com )B)
B.(
( http: / / www.21cnjy.com )A)
( http: / / www.21cnjy.com )(
( http: / / www.21cnjy.com )B)
C.(
( http: / / www.21cnjy.com )A)
( http: / / www.21cnjy.com )(
( http: / / www.21cnjy.com )B)
D.(
( http: / / www.21cnjy.com )A)=(
( http: / / www.21cnjy.com )B)
解析：由题意可知
( http: / / www.21cnjy.com )A={0,4},
( http: / / www.21cnjy.com )B={0,1},
∴（
( http: / / www.21cnjy.com )A）
( http: / / www.21cnjy.com )（
( http: / / www.21cnjy.com )B）.故选C.
答案：C
5.设全集U=R，M={x|-2≤x≤2}，则
( http: / / www.21cnjy.com )M等于（
）
A.{x|x<1}
B.{x|-2C.{x|x<-2,或x>2}
D.{x|-2≤x<1}
解析：在数轴上求得
( http: / / www.21cnjy.com )M={x|x<-2或x>2}.
答案：C
6.已知U={三角形},A={锐角三角形},则
( http: / / www.21cnjy.com )A=___________.
解析：因为三角形按角分类分为锐角三角形、直角三角形或钝角三角形，所以A={直角或钝角三角形}.
答案：{直角或钝角三角形}
7.已知集合A={x∈R|x≥-3}，集合B={x∈R|x>1}，则
( http: / / www.21cnjy.com )B=____________.
解析：在数轴上求得
( http: / / www.21cnjy.com )B={x∈R|-3≤x≤1}.
答案：{x∈R|-3≤x≤1}
8.已知集合A={0,2,4,6},
( http: / / www.21cnjy.com )A={-1,-3,1,3,5},
( http: / / www.21cnjy.com )B={-1,0,2},求集合B.
解析：由A={0,2,4,6}和
( http: / / www.21cnjy.com )A={-1,-3,1,3,5}可得U={-3,-1,0,1,2,3,4,5,6}，
又因
( http: / / www.21cnjy.com )B={-1,0,2},
∴B={-3,1,3,4,5,6}.
9.设全集U={2,4,1-a},A={2,a2-a+2}，若
( http: / / www.21cnjy.com )UA={-1}，求实数a的值.
解析：因
( http: / / www.21cnjy.com )A={-1},
∴U的元素1-a=-1,
∴a=2.
又A={2,4}，合符题意，
所以a=2.
10.已知某校高一年级有10个班,集
( http: / / www.21cnjy.com )合A={某校高一(1)班的学生},B={某校高一(1)班的男生},D={某校高一年级(1)—(10)班}.
(1)若A为全集,求
( http: / / www.21cnjy.com )B;
(2)若D为全集,能否求出
( http: / / www.21cnjy.com )B 为什么
解析：（1）
( http: / / www.21cnjy.com )B={某校高一（1）班的女生}；
（2）无法表达出
( http: / / www.21cnjy.com )B，因为B集合的元素是高一（1）班男生，而D集合的元素是班级，它包含10个元素，如果用列举法来表示则为D={(1)班，（2）班，……,（10）班}，因此B
( http: / / www.21cnjy.com )D.
综合训练
11.设全集是实数集R，若A={x|≥0},则
( http: / / www.21cnjy.com )A是（
）
A.{2}
B.{-1}
C.{x|x<2}
D.
解析：解得A={x|x≥2},
∴
( http: / / www.21cnjy.com )A={x|x<2}.
答案：C
12.下列结论中不正确的是（
）
A.
( http: / / www.21cnjy.com )=M
B.
( http: / / www.21cnjy.com )M=
C.
( http: / / www.21cnjy.com )(
( http: / / www.21cnjy.com )A)=A
D.
( http: / / www.21cnjy.com )A={0}
解析：因为空集的补集是全集，全集的补集是空集，而集合补集的补集是集合本身，所以A、B、C均正确，D应为
( http: / / www.21cnjy.com )A=，故选D.
答案：D
13.设全集U={1,2,3,4},A={x|x2-mx+n=0,x∈U},若
( http: / / www.21cnjy.com )A={2,3},则m=_________,n=_______.
解析：由题意知A={1,4}，所以1和4是方程x2-mx+n=0的两个实根，由根与系数的关系可得m=5,n=4.
答案：5
4
14.已知全集U={x|x是正实数}，集合A={x|0( http: / / www.21cnjy.com )A=_____________.
解析：整理A集合可知A={1( http: / / www.21cnjy.com )A={x|06,x∈R}.
答案：{x|06,x∈R}
15.设全集U=R,A={x|x<-1或x>1},B={x|x-2≥0},判断
( http: / / www.21cnjy.com )A与
( http: / / www.21cnjy.com )B之间的关系.
解析：∵U=R，
A={x|x<-1或x>1},
B={x|x-2≥0},
∴
( http: / / www.21cnjy.com )A={x|-1≤x≤1},
B={x|x<2}.
∴
( http: / / www.21cnjy.com )A
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )B.
拓展提升
16.设U=R，集合A={x|x2+4
( http: / / www.21cnjy.com )ax-4a+3=0，x∈R},B={x|x2-(a-1)x+a2=0,x∈R},C={x|x2+2ax-2a=0,x∈R}，若A、B、C中至少有一个不是空集，求实数a的取值范围.
解法一：若A≠，
则Δ1=（4a）2-4(-4a+3)≥0，
解之得:a≤-或a≥；
若B≠，则Δ2=［-(a-1)］2-4a2≥0，
解之得：-1≤a≤；
若C≠，则Δ3=(2a)2-4(-2a)≥0，
解之得：a≤-2或a≥0.
故由题意，a的取值范围为(-∞,-)∪［,+∞］∪［-1,］∪(-∞,-2)∪［0,+∞］=(-∞,-］∪［-1,+∞］.
解法二：若A、B、C均为空集，则
即
解得
即-所以a的取值范围是{a|-基础达标
1.已知loga<1,那么a的取值范围是（
）
A.0B.a>
C.D.01
解析：分当a>1和0答案：D
2.点(m,n)在函数f(x)=ax的图象上，则下列哪一点一定在函数g(x)=-logax(a>0且a≠1)的图象上（
）
A.(m,n)
B.(n,-m)
C.(m,-n)
D.(-m,n)
解析：因点（m,n）在f(x)=ax上，n=am,
∴logan=m，
∴-logan=-m,∴(n,-m)在g(x)=-logax上，选B.
答案：B
3.函数y=的定义域是（
）
A.［-，-1］∪（1,）
B.（-，-1）∪（1,）
C.［-2，-1］∪（1,）
D.（-2，-1）∪（1,2）
解析：由函数需1答案：A
4.若loga(a2+1)）
A.(0,1)
B.(0,)
C.(,1)
D.(1,+∞)
解析：当a>1时，a2+1<2a,
∴(a-1)2<0,不存在这样的a;
当02a>1，
∴答案：C
5.已知函数y=f(x)是奇函数，当x∈(0,+∞)时，f(x)=lgx,则当x∈(-∞,0)时，f(x)的解析式为（
）
A.f(x)=-lgx
B.f(x)=lg(-x)
C.f(x)=-lg(-x)
D.f(x)=lg(-x)
解析：当x∈（-∞,0）时，
-x∈(0,+∞),
∴f(-x)=lg(-x).
又∵f(-x)=-f(x),
∴f(x)=-lg(-x)，选C.
答案：C
6.已知f(10x)=x,则f(7)的值是___________________.
解析：f(10x)=x=lg10x,
∴f(7)=lg7.
答案：lg7
7.函数y=x，x∈(0,8)的值域是_________________.
解析：y=x为减函数，
当x=8时，y=8=（）-3=-3.
由函数图象可知，y=x的值域是［-3，+∞).
答案：［-3，+∞)
8.求函数y=+lg(5-2x)的定义域.
解析：要使函数有意义，只需
即解得1≤x<.
所以函数的定义域是［1,).
9.已知f(x)=1+log2x(1≤x≤4),求函数g(x)=［f(x)］2+f(x2)的最大值和最小值.
解析：g(x)=［f(x)］2+f(x2
( http: / / www.21cnjy.com ))=(1+log2x)2+1+log2x2=1+2log2x+log22x+1+2log2x=log22x+4log2x+2
=(log2x+2)2+2-4=(log
( http: / / www.21cnjy.com )2x+2)2-2,由于f(x)的定义域为［1，4］,则g(x)的定义域为［1，2］,于是当x=1时，g(x)min=2,当x=2时，g(x)max=7.
10.设函数y=f(x),且lg(lgy)=lg3x+lg(3-x).
(1)求f(x)的表达式及定义域；
（2）求f(x)的值域.
解析：（1）∵lg(lgy)=lg(3x)+lg(3-x),
∴即
又∵lg(lgy)=lg(3x)+lg(3-x),
∴lg(lgy)=lg［3x(3-x)］,lgy=3x(3-x),
∴y=103x(3-x),其中0(2)令u=3x(3-x),
则u=-3(x-)2+(0∴1综合训练
11.若函数y=loga(x+b)(a>0,a≠1)的图象过两点（-1，0）和（0，1），则（
）
A.a=2,b=2
B.a=,b=2
C.a=2,b=1
D.a=,b=
解析：∵函数y=loga(x+b)过（-1，0）（0，1）两点
∴（-1，0），（0，1）坐标满足y=loga(x+b).
∴
解得a=b=2.
答案：A
12.若函数y=(2-log2x)的值域是（-∞,0）,那么它的定义域是（
）
A.（0，2）
B.（2，4）
C.（0，4）
D.（0，1）
解析：∵y=(2-log2x)的值域是（-∞,0）,
由(2-log2x)<0
得2-log2x>1.
∴log2x<1.
∴0答案：A
13.若logx(3x-2)≥0,则x的取值范围是____________________.
解析：因logx(3x-2)≥0,
∴
或
∴x>1或答案：(,1)∪(1,+∞)
14.y=lg(x2+ax+1)的值域是R，则实数a的取值范围是_____________.
解析：函数y=lg(x2+ax+1)的值域为R，则u=x2+ax+1取遍所有正实数.
∴Δ=a2-4≥0,
∴a≤-2或a≥2.
答案：a≤-2或a≥2
15.2005年底我国人口总数达到13亿，如果人口的自然年增长率控制在1.25%，问哪一年我国人口总数将超过14亿？
解析：设x年后人口总数超过14亿，依题意，得13·（1+0.012
5）x>14,
即1.012
5x>.两边取常用对数，得x·lg1.012
5>lg14-lg13,
∴x>≈6.
答：6年后，即2011年我国人口总数将超过14亿.
拓展提升
16.已知y=loga(2-ax),在［0,1］上是x的减函数，求a的取值范围.
解析：（1）首先设u=2-ax,当a
( http: / / www.21cnjy.com )∈(0,1),x∈［0,1］时，u是减函数，y=logau是u的减函数，则函数y=loga(2-ax)在［0,1］上是增函数，不合题意.
（2）当a∈(1,+∞),x∈［0,1］时
( http: / / www.21cnjy.com )，u是x的减函数，y=logau是u的增函数，则函数y=loga(2-ax)在［0,1］上是减函数，但2-ax>0,在x∈［0,1］时必须恒成立，
有得a<2,故1基础达标
1.若点P（a,b）在第四象限，则点M(b-a,a-b)在（
）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析：P在第四象限，∴a>0,b<0,
∴b-a<0,a-b>0,∴M在第二象限.
答案：B
2.下列图象中，不可能是y=f(x)的图象（
）
解析：由函数定义可知选D.也可用x=t直线，在平面坐标系上自左至右滑动，行进中与x=t有两个交点的就不是函数图象
答案：D
3.若正比例函数y=(m-1)的图象经过二、四象限，则m等于(
)
A.1
B.2
C.-1
D.-2
解析：∵y=(m-1)是正比例函数.
∴m2-3=1,
∴m=±2.又图象过二、四象限，
∴m-1<0,
∴m只取-2，故选D.
答案：D
4.已知函数y=f(x)=(a-1)xa是反比例函数，则它的图象在(
)
A.第一、三象限
B.第二、四象限
C.第一、二象限
D.第三、四象限
解析：因y=(a-1)xa是反比例函数，有a=-1,
∴a-1<0,
∴图象在二四象限.
答案：B
5.给出某运动的速度折线图（如下图），从以下的运动中选出一种使其速度变化符合图中折线
(
)
A.钓鱼
B.跳高
C.推铅球
D.跑百米
解析：从图中发现速度随时间逐渐变大，达到最大值时逐渐变为零，应该是跑百米.
答案：D
6.函数y=kx+b(k·b≠0)的图象不经过第一象限，则k、b满足____________条件.
解析：图象过二、三、四象限，故k<0,b<0.
答案：k<0,b<0
7.函数f(x)=ax2+bx+c满足a、b、c及Δ=b2-4ac均为正数，则f(x)的图象不经过__________.
解析：a>0,开口向上，由b>0得对称轴x=-b2a<0；c>0,得抛物线与y轴交点在y轴正半轴上，所以图象不过第四象限.
答案：第四象限
8.设函数f(x)=若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,求关于x的方程f(x)=x的解的个数.
解析：∵∴∴f(x)=
当x≤0时，方程x2+4x+2=x，即x2+3x+2=0.∴x=-1，或x=-2,
当x>0时，x=2.
故方程f(x)=x有三个根.
9.函数y=-2x+2和y=x-1的图象是两条相交直线，求它们与y轴围成的三角形面积.
解析：
由题意知A（0，2），B（0，-1），C（1，0）S△ABC=|AB|·|CO|=×3×1=.
10.用长为l的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆型的框架.若矩形底面边长为2x，求此框架围成的面积y与x的函数解析式，并写出它的定义域.
解析：∵CD=AB=2x,∴=πx，
∴AD=
( http: / / www.21cnjy.com )=.
故y=2x·+=-(2+)x2+lx
由得定义域为{x|0<}.
综合训练
11.向高为h的圆锥形漏斗注入化学溶液（漏斗下方口暂时关闭），注入溶液量V与高度h的函数图象是（
）
解析：由题意知，开始向漏斗注入化学溶液时，高度变化的快，而体积变化的慢，越向上情况则相反，故选A
.
答案：A
12.如下图，函数y=的图象大致是（
）
解析：函数在x=1处无意义，排除A、D，取x=2与x=3比较函数值选B.
答案：B
13.若二次函数y=-x2+2
( http: / / www.21cnjy.com )mx-m2+3的图象的对称轴为x+2=0，则m=____________，顶点坐标为________________.
解析：y=-x2+2mx-m2+3的对称轴为x=m，又x=-2,∴
m=-2.当x=-2时，y最大=3，∴顶点坐标为（-2,3）.
答案：-2
（-2，3）
14.已知下列曲线：
以及编号为①②③④的四个方程：①-=0;②|x|-|y|=0;③x-|y|=0;④|x|-y=0.
请按曲线A、B、C、D的顺序，依次写出与之对应的方程的编号_____________.
解析：按图象逐个分析，注意x、y的取值范围.
答案：④②①③
15.如右图,函数的图象由两条射线及抛物线的一部分组成，求函数的解析式.
解析：设左侧的射线对应的解析式为
y=kx+b(x≤1).
因为点（1，1）（0，2）在此射线上，
所以解得k=-1,b=2.
所以左侧射线对应的函数的解析式
y=-x+2(x≤1).
同理，x≥3时，函数的解析式为y=x-2(x≥3)，
再设抛物线对应的二次函数的解析式为
y=a(x-2)2+2(1≤x≤3,a<0)则
因为点（1，1）在抛物线上，
所以a+2=1,所以a=-1
所以抛物线对应的函数的解析式为
y=-x2+4x-2(1≤x≤3).
综上所述，函数的解析式为
y=
拓展提升
16.画出y=x2-4x+3的图象，并由图象回答下列问题：
（1）比较f(-3),f(0),f(3),f(5)的大小，-3，0，3，5到对称轴的距离大小顺序如何，你从中能得出什么规律？
（2）若y=-x2+4x+3，仿照上例你能得出什么规律？
（3）若y=x2+4x+c,试比较f(3)、
f(-5)、f(-2)三个数的大小.
解析：（1）y=x2-4x+3=(x-2)2-1,函数图象如下图（1）所示.
其中f(-3)=(-3)2-4×(-3)+3=24,
f(0)=3,
f(3)=32-4×3+3=0,
f(5)=52-4×5+3=8.
∴f(-3)>f(5)>f(0)>(3).
-3，0，3，5到对称轴x=2的距离按从大到小排列为|-3-2|>|5-2|>|0-2|>|3-2|.
由此我们可得出，二次函数y=ax2+bx+c,a>0即抛物线开口向上时，自变量x到对称轴的距离越大，对应的函数值f（x)越大.
(2)画出y=-x2+4x+3=-(x-2)2+7的图象如上图（2），观察图象可得f(-3)我们可得出，二次函数y=ax2+bx+c,a<0,即抛物线开口向下时，自变量x到对称轴的距离越大，对应的函数值f(x)越小.
（3）y=x2+4x+c=(x+2)2+c-4，对称轴为x=-2，又横坐标分别为3、-5、-2的点到对称轴距离最大为5，最小为0.
∴按上述所得规律三个数的大小顺序为f(3)>f(-5)>f(-2).课后训练
千里之行
始于足下
1．对于定义在R上的任意奇函数f（x），下列式子中恒成立的序号是________．
（1）f（x）－f（－x）≥0；（2）f（x）－f（－x）≤0；（3）f（x）·f（－x）≤0；（4）f（x）·f（－x）≥0；（5）f（x）＋f（－x）＝0；（6）.
2．已知函数f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，其定义域是[a－1,2a]，则a＝________，b＝________.
3．已知f（x）＝x5＋ax3＋bx－8，且f（－2）＝10，则f（2）＝________.
4．已知奇函数f（x）在x<0时，函数解析式为f（x）＝x（x－1），则当x>0时，函数解析式f（x）＝______________.
5．若f（x）是定义在R上的偶函数，在（－∞，0]上是单调减函数，且f（2）＝0，则使得f（x）<0的x的取值范围是______．
6．若f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x
( http: / / www.21cnjy.com )－2）＝－f（x），给出下列4个结论：①f（2）＝0；②f（x）＝f（x＋4）；③f（x）的图象关于直线x＝0对称；④f（x＋2）＝f（－x），其中所有正确结论的序号是______．
7．判断下列函数的奇偶性：
（1）；（2）；（3）；（4）
（a∈R）．
8．设f（x）为定义在R上的偶函数，
( http: / / www.21cnjy.com )当0≤x≤2时，y＝x；当x>2时，y＝f（x）的图象是顶点为P（3,4）且过点A（2,2）的抛物线的一部分．
（1）求函数f（x）在（－∞，－2）上的解析式；
（2）在直角坐标系中画出函数f（x）的图象；
（3）写出函数f（x）的值域．
百尺竿头
更进一步
　设函数f（x）对于任意x，y∈R，都有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且x>0时，f（x）<0，f（1）＝－2.
（1）证明：f（x）为奇函数；
（2）证明：f（x）在R上为单调减函数；
（3）若f（2x＋5）＋f（6－7x）>4，求x的取值范围．
参考答案与解析
千里之行
1．（3）（5）　解析：由奇函数的定
( http: / / www.21cnjy.com )义知，f（－x）＝－f（x），∴f（x）·f（－x）＝f（x）·[－f（x）]＝－[f（x）]2≤0，且f（x）＋f（－x）＝0，∴（3）（5）正确，（1）（2）（4）错，（6）当f（－x）≠0时成立，故不恒成立．
2.　0　解析：∵函数具有奇偶性时，定义域必须关于原点对称，故a－1＝－2a，∴，又对于f（x）有f（－x）＝f（x）恒成立，∴b＝0.
3．－26　解析：方法一：
( http: / / www.21cnjy.com )令g（x）＝x5＋ax3＋bx，则g（x）是奇函数．∴f（－2）＝g（－2）－8＝－g（2）－8＝10，∴g（2）＝－18，∴f（2）＝g（2）－8＝－18－8＝－26.
方法二：∵f（－x）＋f（
( http: / / www.21cnjy.com )x）＝（－x）5＋a（－x）3＋b（－x）－8＋x5＋ax3＋bx－8＝－16，∴f（－2）＋f（2）＝－16，又f（－2）＝10，∴f（2）＝－16－f（－2）＝－16－10＝－26.
4．－x（x＋1）　解析：设x
( http: / / www.21cnjy.com )>0时，则－x<0，由条件，得f（－x）＝－x（－x－1）∵函数为奇函数，∴f（－x）＝－f（x），∴－f（x）＝－x（－x－1），∴f（x）＝－x（x＋1）（x>0）．
5．（－2,2）　解析：方法一：f（2
( http: / / www.21cnjy.com )）＝0，f（－2）＝0，f（x）在（－∞，0]上单调递减，又∵f（x）为偶函数，∴f（x）在[0，＋∞）上单调递增，当x∈（－2,0]时，f（x）方法二：∵f（x）是偶函
( http: / / www.21cnjy.com )数，且在（－∞，0]上是单调减函数，∴f（x）在[0，＋∞）上是单调增函数，∵f（2）＝0，∴f（－2）＝f（2）＝0，由单调性易知使f（x）<0的x的取值范围是（－2,2），借助图形更直观，如图．
6．①②④　解析：由题意，知f（0）＝
( http: / / www.21cnjy.com )－f（2），∴f（2）＝－f（0），又f（x）是R上的奇函数，∴f（0）＝0，∴f（2）＝0，故①正确；∵f（x）＝－f（x＋2）＝f（x＋4），∴②正确；∵f（x）为奇函数，∴图象关于原点对称，③不正确；∵f（－x）＝－f（x）＝f（x＋2），∴④正确．
7．解：（1），但f（x）的定义域为{x|x≠1}，关于原点不对称，故此函数是非奇非偶函数．
（2）f（x）的定义域为R，∵对任意的x∈R，都有，∴函数f（x）为奇函数．
（3）f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），关于原点对称．
当x>0时，－x<0，则f（－x）＝（－x
( http: / / www.21cnjy.com )）3＋3（－x）2－1＝－x3＋3x2－1＝－（x3－3x2＋1）＝－f（x）．当x<0时，－x>0，则f（－x）＝（－x）3－3（－x）2＋1＝－x3－3x2＋1＝－（x3＋3x2－1）＝－f（x）∴对定义域内的任意x，都有f（－x）＝－f（x）∴函数f（x）为奇函数．
（4）当a＝0时，f（x）＝x2，对任意x∈（－∞，0）∪（0，＋∞），f（－x）＝（－x）2＝x2＝f（x），∴函数f（x）为偶函数．当a≠0时，（a≠0，x≠0），取x＝±1，得f（－1）＋f（1）＝2≠0，f（－1）－f（1）＝－2a≠0，∴f（－1）≠－f（1），f（－1）≠f（1），∴函数f（x）既不是奇函数，也不是偶函数．
8．解：（1）当x>2时，设f（x）＝a
( http: / / www.21cnjy.com )（x－3）2＋4.又因为过A（2,2），所以f（2）＝a（2－3）2＋4＝2，解得a＝－2，所以f（x）＝－2（x－3）2＋4.设x∈（－∞，－2），则－x>2，所以f（－x）＝－2（－x－3）2＋4.又因为f（x）在R上为偶函数，所以f（－x）＝f（x），所以f（x）＝－2（－x－3）2＋4，即f（x）＝－2（x＋3）2＋4，x∈（－∞，－2）．
（2）图象如图所示，
（3）由图象观察知f（x）的值域为{y|y≤4}．
百尺竿头
（1）证明：∵x，y∈R，f（x＋y）＝
( http: / / www.21cnjy.com )f（x）＋f（y）．令x＝y＝0，∴f（0）＝f（0）＋f（0），∴f（0）＝0.令y＝－x，代入f（x＋y）＝f（x）＋f（y），得f（0）＝f（x）＋f（－x），而f（0）＝0，∴f（－x）＝－f（x）（x∈R），∴f（x）为奇函数．
（2）证明：任意x1，x2∈R，且x1<
( http: / / www.21cnjy.com )x2，由f（x＋y）＝f（x）＋f（y）知f（x2－x1）＝f（x2）＋f（－x1）．∵x2－x1>0，
∴f（x2－x1）<0，且f（x）为奇函数，∴f（－x1）＝－f（x1），
∴f（x2）＋f（－x1）＝f（x2）－f（x1）＝f（x2－x1）<0，即f（x2）（3）解：∵f（2x＋5）＋f（6－7x）＝f（2x＋5＋6－7x）＝f（11－5x）．而f（1＋1）＝f（1）＋f（1）＝－2－2＝－4，即f（2）＝－4，∴4＝－f（2）＝f（－2）．∴f（2x＋5）＋f（6－7x）>4等价于f（11－5x）>f（－2）．由（2）知，f（x）在R上为单调减函数，∴11－5x<－2，解得，∴x的取值范围为.课后导练
基础达标
1.下列判断中正确的是（
）
A.f(x)=()2是偶函数
B.f(x)=（）3是奇函数
C.f(x)=x2-1在［-5，3］上是偶函数
D.f(x)=是偶函数
解析：A、B、C中函数的定义域都不关于原点对称，故选D.
答案：D
2.下面四个结论：①偶函数的图象一定
( http: / / www.21cnjy.com )与y轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y轴对称；④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x∈R).其中正确命题的个数是（
）
A.1
B.2
C.3
D.4
解析：偶函数的图象关于y轴对称，但不一定与y轴相交.
反例：y=x0，故①错误，③正确.
奇函数的图象关于原点对称，但不一定经过原点.
反例：y=x-1,故②错误.
若y=f(x)既是奇函数又是偶函数，由定义可得f(x)=0，但未必x∈R.
反例：f(x)=+，其定义域为{-1,1}，故④错误.
∴选A.
答案：A
3.对于定义域是R的任意奇函数f(x)都有(
)
A.f(x)+f(-x)>0
B.f(x)-f(-x)≤0
C.f(x)·f(-x)≤0
D.f(x)·f(-x)>0
解析：∵f(-x)=-f(x),
∴f(x)·f(-x)=-f(x)·f(x)≤0.
答案：C
4.已知y=f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)=x(1+x),当x<0时，f(x)等于(
)
A.-x(1-x)
B.x(1-x)
C.-x(1+x)
D.x(1+x)
解析：设x<0，则-x>0,
∴f(-x)=-x(1-x).
∵f(x)是奇函数，得f(x)=x(1-x).故选B.
答案：B
5.已知函数f(x)的定义域为［a,b］,函数y=f(x)的图象如右图所示，则函数f(|x|)的图象是(
)
解析：∵y=f(|x|)是偶函数，∴y=f(|x|)的图象是由y=f(x)把x>0的图象保留，且关于y轴对称.故选B.
答案：B
6.若y=(m-1)x2+2mx+3是函偶数，则m=______________.
解析：函数为偶函数，图象关于y轴对称，
∴对称轴x=-=0,∴m=0.
答案：0
7.设函数f(x)在区间（-∞,+∞）内有
( http: / / www.21cnjy.com )定义，下列函数①y=-|f(x)|;②y=xf(x2);③y=-f(x);④y=f(x)-f(-x)其中必为奇函数的有____________.
解析：对于②，令g(x)=xf(x2),
则g(-x)=-xf［（-x)2］=-xf(x2)=-g(x),
∴y=xf(x2)为奇函数.
对于④,令g(x)=f(x)-f(-x),则g(-x)=f(-x)-f(x)=-g(x),
∴y=f(x)-f(-x)为奇函数.
∴填②④.
答案：②④
8.判断函数f(x)=的奇偶性.
解析：由已知可知函数的定义域为R.
当x>0时，-x<0.
f(-x)=2(-x)+3=-(2x-3)=-f(x)，
当x=0时,f(-x)=-f(x)=0.
当x<0时,-x>0.
f(-x)=2(-x)-3=-(2x+3)=-f(x)，
∴f(-x)=-f(x).
∴此函数为奇函数.
9.判断函数f(x)=(x-1)(-1解析：∵-1∴f(-x)=-=-=f(x),∴f(x)为偶函数.
10.已知奇函数y=f(x)是定义在（-2，2）上的减函数，若f（m)+f(2m-1)>0求实数m的取值范围.
解析：由f(m)+f(2m-1)>0得f(m)>-f(2m-1),
又∵f(x)是奇函数，∴f(m)>f(1-2m).
由f(x)是（-2，2）上的减函数，可得
解得-∴所求实数m的取值范围是-综合训练
11.已知f(x+1)是偶函数，则函数y=f(2x)的图象的对称轴是（
）
A.x=1
B.x=
C.x=-1
D.x=-
解析：∵f(x+1)是偶函数，故f(x)关于直线x=1对称，
∴y=f(2x)关于直线x=对称.故选B
答案：B
12.已知f(x)=x5+ax3+bx-8,且f(-2)=10,则f(2)等于（
）
A.-26
B.-18
C.-10
D.10
解析：令g(x)=f(x)+8=x5+ax3+bx,则g(x)是奇函数，
∴g(-2)+g(2)=0.
∴f(-2)+8+f(2)+8=0.
∵f(-2)=10,∴f(2)=-26.∴选A.
答案：A
13.已知函数f(x)=ax2+bx+c(-2a-3≤x≤1)是偶函数，则a=___________,b=____________.
解析：由f(x)是偶函数，
∴-2a-3=-1,
a=-1且f(x)的图象关于y轴对称.
又二次函数的对称轴为x=-,
∴有-=0,即b=0.
答案：-1
0
14.设奇函数f(x)的定义
( http: / / www.21cnjy.com )域为［-5,5］,若当x∈［0，5］时，f(x)的图象如右图所示，则不等式f(x)<0的解是______________.
解析：利用奇函数图象的对称性解题.
由图象及对称性得f(x)<0的解集为（-2，0）∪（2，5］.
答案：（-2，0）∪（2，5）
15.设定义在［-2,2］上的偶函数f(x)在区间［0,2］上单调递减，若f(1-m)解析：∵f(x)是偶函数.
∴f(-x)=f(x)=f(|x|)
∴不等式f(1-m)f(|1-m|)又当x∈［0,2］时，f(x)是减函数.
∴
解得-1≤m<.
拓展提升
16.已知y=f(x)是奇函数，它在（0，+∞)上是增函数，且f(x)<0,试问F(x)=在（-∞，0）上是增函数还是减函数？证明你的结论.
解析：任取x1,x2∈(-∞,0),且x1-x2>0.
∵y=f(x)在（0，+∞）上是增函数，且f(x)<0.
∴f(-x2)①
又∵f(x)是奇函数，
∴f(-x2)=-f(x2),f(-x1)=-f(x1).
②
由①②得f(x2)>f(x1)>0.
于是F(x1)-F(x2)=-=>0,即F(x1)>F(x2).
∴F(x)=在（-∞，0）上是减函数.对数的概念练习
1．将指数式63＝216化为对数式为________．
2．计算的结果为__________．
3．满足等式logx8＝3的x值为__________．
4．要使log(a－1)a有意义，则a的取值范围是________．
5．完成下列指数式、对数式之间的互化：
(1)＝5.73
( http: / / www.21cnjy.com )__________.
(2)log0.516＝－4
( http: / / www.21cnjy.com )__________.
6．求下列对数的值：
(1)log2.56.25＝__________；
(2)＝__________.
7．计算：(1)＝__________；
(2)＝__________.
8．计算log2[log3(log5125)]＝__________.
9．已知f(10x)＝x，试求f(3)．
10．已知loga2＝m，loga3＝n，求a2m＋n的值．
11．已知x＝log23，求的值．
12．设方程x2－＋2＝0的两根为α，β，试求的值．
参考答案
1．答案：log6216＝3
2．答案：
3．答案：2
4．解析：由条件得解得a＞1且a≠2.
答案：(1,2)∪(2，＋∞)
5．答案：(1)5.73＝m　(2)0.5－4＝16
6．解析：(1)因为6.25＝2.52，所以原式＝2.
(2)因为(－1)2＝3－，
又(3－2)(3＋)＝1，
所以(－1)－2＝3＋，原式＝－2.
答案：(1)2　(2)－2
7．答案：(1)18　(2)4
8．答案：0
9．解：设10x＝t，则x＝lg
t，所以f(t)＝lg
t，f(3)＝lg
3.
10．解：由条件得am＝2，an＝3，
所以a2m＋n＝22×3＝12.
11．解：由条件得2x＝3，
所以原式＝＝＝.
12．解：由条件得α＋β＝，αβ＝2，
从而α2－αβ＋β2＝(α＋β)2－3αβ＝()2－3×2＝4，(α－β)2＝(α＋β)2－4αβ＝()2－4×2＝2.
故原式＝log42＝.子集、全集、补集练习
1．已知集合M＝{(x，y)|x＋y＜0且xy＞0}，集合P＝{(x，y)|x＜0且y＜0}，则集合M与P的关系是________．
2．已知集合{2x，x2－x}有且只有4个子集，则实数x的取值范围是________．
3．集合{x∈N|x＝5－2n，n∈N}的真子集的个数是________．
4．设M＝{x|x＝a2＋1，a∈N
}，P＝{y|y＝b2－4b＋5，b∈N
}，则M与P的关系是________．
5．已知全集U＝Z，A＝{x|x＝2k，k∈Z}，则
( http: / / www.21cnjy.com )U
A＝________．
6．设A，B为两个集合，下列四种说法：
①A
( http: / / www.21cnjy.com )B
( http: / / www.21cnjy.com )对任意x∈A，有x
( http: / / www.21cnjy.com )B；②A
( http: / / www.21cnjy.com )B
( http: / / www.21cnjy.com )A和B无公共元素；③A
( http: / / www.21cnjy.com )B
( http: / / www.21cnjy.com )A
( http: / / www.21cnjy.com )B；④A
( http: / / www.21cnjy.com )B
( http: / / www.21cnjy.com )存在x∈A，使得x
( http: / / www.21cnjy.com )B．
其中正确的是__________．
7．设集合A＝{x|－2＜x＜2}，B＝{x|x≥a}，且A
( http: / / www.21cnjy.com )B，则实数a的取值范围是________．
8．设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1
( http: / / www.21cnjy.com )A，且k＋1
( http: / / www.21cnjy.com )A，那么称k是A的一个“孤立元”．给定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合有________个．
9．设全集U＝{2,4，－(a－3)2}，A＝{2，a2－a＋2}，若
( http: / / www.21cnjy.com )UA＝{－1}，试求实数a的值．
10．已知非空集合P满足：①P
( http: / / www.21cnjy.com ){1,2,3,4,5}，②若a∈P，则(6－a)∈P，符合上述条件的非空集合P有多少个？写出这些集合来．
11．集合P＝{x|x2－3x＋b＝0，x∈R}，Q＝{x|(x＋1)(x2＋3x－4)＝0，x∈R}．
(1)若b＝4，存在集合M使得P
( http: / / www.21cnjy.com )M
( http: / / www.21cnjy.com )Q，求出这样的集合M．
(2)P能否成为Q的一个子集？若能，求b的值或取值范围；若不能，请说明理由．
参考答案
1．答案：M＝P
2．答案：{x|x≠0，且x≠3，x∈R}
3．答案：7
4．答案：M
( http: / / www.21cnjy.com )P
5．答案：{x|x＝2k＋1，k∈Z}
6．答案：④
7．答案：{a|a≤－2}
8．答案：6
9．解：由条件得－(a－3)2＝－1，
解之，得a＝2或4．
当a＝2时，a2－a＋2＝4∈U，成立；
当a＝4时，a2－a＋2＝14
( http: / / www.21cnjy.com )U，不合题意．
综上所述，a＝2．
10．分析：若1∈P，则6－1＝5∈P，故1,5这两个元素必须同时属于P或同时不属于P；
若2∈P，则6－2＝4∈P，故2,4这两个元素必须同时属于P或同时不属于P；
若3∈P，则6－3＝3∈P，故3这个元素属于P或不属于P．
解：符合条件的非空集合P有：{1,5}
( http: / / www.21cnjy.com )，{2,4}，{3}，{1,3,5}，{2,3,4}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}，共7个．
11．解：(1)当b＝4时，方程x2－3x＋b＝0的判别式Δ＝(－3)2－4×1×4＜0，故P＝
( http: / / www.21cnjy.com )，且Q＝{－4，－1,1}，
由已知M应是一个非空集合，且是Q的一个真
( http: / / www.21cnjy.com )子集，用列举法可得这样的集合M共有6个，分别为{－4}，{－1}，{1}，{－4，－1}，{－4,1}，{－1,1}．
(2)①当P＝
( http: / / www.21cnjy.com )时，P显然是Q的一个子集，
此时Δ＝9－4b＜0，∴b＞．
②当P≠
( http: / / www.21cnjy.com )时，Q＝{－4，－1,1}，可以通过假设存在性成立，逐一验证来判断b的取值．
即，若当－1∈P时，(－1)2－3×(－1)＋b＝0，b＝－4，此时x2－3x－4＝0，得x1＝－1，x2＝4．
∵4
( http: / / www.21cnjy.com )Q，∴P不是Q的一个子集．
若－4∈P时，(－4)2－3×(－4)＋b＝0，得b＝－28，此时由x2－3x－28＝0，得x1＝－4，x2＝7，
∵7
( http: / / www.21cnjy.com )Q，∴P不是Q的一个子集．
若1∈P时，12－3×1＋b＝0，b＝2，此时由x2－3x＋2＝0得x1＝1，x2＝2．
∵2
( http: / / www.21cnjy.com )Q，∴P不是Q的一个子集．
综上，满足题意的b的取值范围是．课后训练
千里之行
始于足下
1．函数的定义域为________．
2．已知a>0且a≠1，在同一坐标系内，下列四图中，函数y＝ax与y＝loga（－x）的大致图象的序号是________．
3．设a＝log54，b＝（log53）2，c＝log45，则a、b、c的大小关系是________．
4．（1）若函数f（x）＝logax（0（2）已知函数若f（a）≥2，则a的取值范围是________．
5．对任意不等于1的正数a，函数f（x）＝loga（x＋3）的反函数的图象都过点P，则点P的坐标是________．
6．（1）已知log0.7（2m）（2）函数的值域是________．
（3）方程的解是________．
7．已知函数f（x）＝logax（a>0，且a≠1），如果对于任意x∈[3，＋∞）都有|f（x）|≥1成立，求a的取值范围．
8．在同一直角坐标下，画出函数f（x）＝1＋log2x与g（x）＝2－x＋1的图象．
百尺竿头
更进一步
　求函数在2≤x≤4范围内的最值．
参考答案与解析
千里之行
1．
解析：要使解析式有意义，只需
即0<4x－3<1，
∴，∴函数的定义域为．
2．②　解析：y＝ax的图象只能在上半平
( http: / / www.21cnjy.com )面，y＝loga（－x）只能在左半平面，又因为函数y＝ax与y＝loga（－x）的增减性正好相反，所以只有②符合．
3．b( http: / / www.21cnjy.com )g5x为单调增函数，∴0＝log51又c＝log45>log44＝1
∴b4．（1）　（2）（－∞，－1]∪[2，＋∞）
解析：（1）f（x）＝logax（0当x∈[a,2a]时，f（x）max＝f（a）＝1，f（x）min＝f（2a）＝loga2a.
根据题意，3loga2a＝1，即，
所以，即.
故由得.
（2）当a≤0时，，∴－a≥1，∴a≤－1；当a>0时，f（a）＝log2（a＋2）≥2＝log24.　∴a＋2≥4.　∴a≥2.　∴a的取值范围是a≤－1或a≥2.
5．（0，－2）　解析：法一：函数f（x）＝loga（x＋3）的反函数为g（x）＝ax－3，而g（0）＝a0－3＝－2.
∴g（x）的图象都过点（0，－2）．
法二：∵f（－2）＝loga1＝0，∴函数f（x）的图象都过点（－2,0），
又∵原函数与其反函数的图象关于直线y＝x对称，
∴其反函数的图象经过点（0，－2）．
6．（1）（1，＋∞）　（2）[－2，＋∞）　（3）x＝2
解析：（1）考查函数y＝log0.7x，它在（0，＋∞）上是单调减函数，
∵log0.7（2m）m－1>0.
由得m>1，即m的取值范围是（1，＋∞）．
（2）令t＝4x－x2，则t＝－（x－2）2＋4≤4，而在（0,4]上为单调减函数，
∴当t＝4时，y有最小值，∴y≥－2，即值域为[－2，＋∞）（也可认为当x＝2时，t有最大值4，而为单调减函数，∴y有最小值且）．
（3）原方程可化为
即　　∴x＝2.
7．解：根据对数函数的图象和性质，知在区间[3，＋∞）上：当a>1时，|f（x）|≥1?f（x）≥1?loga3≥1，
∴1当0∴.
综上可知，a的取值范围是．
8．解：∵f（x）的图象是由y＝log2x的图象向上平移1个单位长度得到的，的图象是由的图象向右平移1个单位长度得到的，∴先画出函数y＝log2x与的图象，再经平移即得f（x）与g（x）的图象，如图所示．
百尺竿头
解：，令，则由于t关于x的函数在[2,4]上是单调减函数，∴，，即t∈[－2，－1]．
∴函数
其图象的对称轴为，开口向下．
∴g（t）在[－2，－1]上为单调增函数．
∴，
.课后导练
基础达标
1.已知f(x)=则f［f(-1)］值为（
）
A.5
B.2
C.-1
D.-2
解析：由题意知f(-1)=-(-1)+1=2
∴f［f(-1)］=f(2)=22+1=5，故选A.
答案：A
2.已知f(x)=则f(3)等于（
）
A.1
B.2
C.3
D.4
解析：f(3)=f(3+2)=f(5+2)=7-4=3.故选C.
答案：C
3.下列图中可作为函数y=f(x)的图象的是(
)
解析：由函数的定义知选D.
答案：D
4.已知正方形周长为x，它的外接圆的半径为y，则y关于x的函数解析式是(
)
A.y=x
B.y=x
C.y=x
D.y=x
解析：正方形周长为x，则其边长为，由解直角三角形可得y=·=x，故选C.
答案：C
5.某厂日产手套总成本y（元）与手
( http: / / www.21cnjy.com )套日产量x（双）的关系为y=5x+4
000，而厂子出售手套每双10元，若要保证不亏本，日产量应为(
)
A.2
000双
B.4
000双
C.600双
D.800双
解析：设刚好生产x双不亏本，则有10x≥5x+4
000,则x≥800，故选D.
答案：D
6.已知f(x)=若f(x)=10，则x=_____________.
解析：易知x≤0.∴x2+1=10，x=-3.
答案：-3
7.若f(x-1)=2x+5，则f(x2)=___________.
解析：令x-1=t，则x=t+1,f(t)=2(t+1)+5=2t+7,
∴f(x2)=2x2+7.
答案：2x2+7
8.将函数y=+2|x+2|改写为分段函数.
解析：y=+2|x+2|
=+2|x+2|
=|x-1|+2|x+2|,要去掉绝对值需对1与-2两点分数轴所成的三部分讨论，
当x<-2时，
y=1-x-2(x+2)=-3x-3，
当-2≤x≤1时，
y=1-x+2(x+2)=x+5，
当x>1时，
y=x-1+2(x+2)=3x+3，
∴原函数可化为y=
9.植物园要建形状为直角梯形的苗圃
( http: / / www.21cnjy.com )，两邻边借用夹角为135°的两面墙，另两边总长为30米，设垂直于底边的腰长为x米，则苗圃面积S关于x的函数解析式.
解析：设直角梯形的垂直于底的腰为x，则下底为（30-x）米，过135°角的顶点向底边作垂线，由等腰直角三角形知上底为（30-2x）米,
∴S=x=-x2+30x，因为要构成的图形为梯形而不是三角形
，
∴010.若f{f［f(x)］}=27x+26,求一次函数f(x)的解析式.
解析：设f(x)=ax+b,f［f(x)］=a2x+ab+b,
f{f［（x)］}=a(a2x+ab+b)+b=a3x+a2b+ab+b,
∴解得a=3,b=2.
若a=3,b=2,则f(x)=3x+2,f［f(x)］=3(3x+2)+2=9x+8,
f{f［（x)］}=3(9x+8)+2=27x+26.∴a=3,b=2,f(x)=3x+2为所求.
综合训练
11.已知函数f(x)=奇函数g(x)在x=0处有定义，且x<0时，g(x)=x(1+x),则方程f(x)+g(x)=f(x)·g(x)的解的个数有（
）
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
解析：当x>0时，-x<0,g(x)=-g(-x)=x(1-x),且g(0)=0,
∴f(x)+g(x)=即f(x)+g(x)=
f(x)·g(x)=
当x≤0时，x2=-x2(1+x),x2(2+x)=0得x=0或x=-2；
当0当x≥1时，2x-x2=x2(1-x),x(x2-2x+2)=0,无解.
∴方程共有两个解.
答案：C
12.在x克a%的盐水中，加入y克b%的盐水，浓度变成c%，则x与y的函数关系式为（
）
A.y=x
B.y=x
C.y=x
D.y=x
解析：据配制前后溶质不变，有a%·x+b%·y=c%·(x+y)，即ax+by=cx+cy，故y=x.
答案：B
13.已知f(x)=则f［f(-1)］=_______________.
解析：f(-1)=0,当x=0时，f(0)=π.
答案：π
14.已知f(2x-1)=4x2-2x，则f(x)=____________,f(1)=___________.
解析：f(2x-1)=4x2-2x,令t=2x-1
∴x=,∴f(t)=4()2-2·=t2+t,
∴f(x)=x2+x.∴f(1)=1+1=2.
答案：x2+x
2
15.如果函数f(x)满足方程af(x)+f()=ax,x∈R，且x≠0，a为常数，且a≠±1则f(x)的解析式是什么？
解析：∵af(x)+f()=ax,
①
将x换成，则换成x，得af()+f(x)=ax,
②
由①②消去f(),
即①×a-②得（a2-1）f(x)=a2x-.
∵a≠±1,
∴f(x)=，
即f(x)=(x∈R，且x≠0）.
拓展提升
16.A、B两地相距150千米，某汽车以每小时50千米的速度从A地到B地，在B地停留2小时之后，又以每小时60千米的速度返回A地.
（1）写出该车离开A地的距离s（千米）关于时间t（小时）的函数关系，并画出图象；
（2）求车开出6小时后，车离开A地的距离.
解析：（1）由50
t=150得t1=3.
由60
t=150，得t2=.∴当0≤t≤3时，s=50
t；
当3当5∴所求函数关系式为s=
图象如下图所示.
（2）当t=6时，s=150-60（6-5）=90(千米），即车开出6小时后，车离开A地的距离为90千米.集合的含义及其表示练习
1．给出下列关系：①∈R；②
( http: / / www.21cnjy.com )Q；③4.5∈Q；④0∈N
，其中正确的个数为________．
2．已知集合S＝{a，b，c}中三个元素是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是__________三角形．
3．由实数a，－a，|a|所组成的集合最多含有________个元素．
4．下列四个集合中，表示空集的是__________．
①{0}；
②{(x，y)|y2＝－x2，x∈R，y∈R}；
③{x||x|＝5，x∈Z，x
( http: / / www.21cnjy.com )N}；
④{x|2x2＋3x－2＝0，x∈N}．
5．用适当的符号填空：已知A＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，则有17__________A，－5__________A．
6．下列给出的5种说法中，正确说法的序号是________(填上所有正确说法的序号)．
①任意一个集合的正确表示方法都是惟一的；
②集合{0，－1,2，－2}与集合{－2，－1,0,2}相等；
③若集合P是满足不等式0≤2x≤1(x∈R)的x的集合，则这个集合是无限集；
④已知a∈R，则a
( http: / / www.21cnjy.com )Q；
⑤集合{x|x＝2k－1，x∈Z}与集合{y|y＝2s＋1，s∈Z}相等．
7．设－5∈{x|x2－ax－5＝0}，试用列举法表示集合A＝{x|x2－4x－a＝0}为__________．
8．定义集合A
B＝{x|x∈A且x
( http: / / www.21cnjy.com )B}．已知A＝{1,3,5,7}，B＝{2,3,5}，则A
B＝__________．
9．已知集合A＝{2，a，b}与集合B＝{2a,2，b2}恰好相等，试求a，b的值，并写出这个集合．
10．已知集合A＝{x∈R|mx2－2x＋3＝0，m∈R}，若A中元素至多只有一个，求m的取值范围．
11．用集合的形式表示不等式组的解集．
12．已知集合A＝{x∈R|m2x2－n＝0}，当m，n满足什么条件时，集合A是有限集、无限集、空集？
参考答案
1．答案：3
2．答案：等腰
3．答案：2
4．答案：④
5．答案：∈　
( http: / / www.21cnjy.com )
6．答案：②③⑤
7．答案：A＝{2}
8．答案：{1,7}
9．解：由条件可得或
解得或或
其中舍去．
从而这个集合为A＝B＝{2,0,1}或A＝B＝．
10．解：当m＝0时，原方程为－2x＋3＝0，，符合题意；
当m≠0时，方程mx2－2x＋3＝0为一元二次方程，由Δ＝4－12m≤0，得，
即当时，方程mx2－2x＋3＝0无实根或有两个相等的实根，符合题意；
综上可知，m＝0或．
11．解：由不等式(x＋1)(x－1)＞(x－2)2，得，
由不等式－3＜＋1，得x＜24，
从而原不等式组的解集为．
12．解：∵m2x2－n＝0，∴m2x2＝n．
当m＝0，n＝0时，x∈R，A就是实数集，集合A是无限集．
当m≠0，n＝0时，x＝0，A＝{0}，集合A是有限集．
当m≠0，n＜0时，方程m2x2－n＝0无实根，集合A是空集．
当m≠0，n＞0时，方程m2x2－n＝0有两个不等的实根，，，集合A是有限集．
当m＝0，n≠0时，方程无实根，集合A为空集．
综上所述，当m＝0，n＝0时，集合A是无限集；
当m≠0，n＜0或m＝0，n≠0时，集合A是空集；
当m≠0，n≥0时，集合A是有限集．函数的概念练习
1．若的定义域为M，g(x)＝|x|的定义域为N，则M∩N等于__________．
2．已知集合M＝{－1,2,1}，N＝{0,1,2}，给出下列四个对应法则：①x→x2；②x→x＋1；③x→；④x→．
其中能构成从M到N的函数的是__________．
3．下列函数中，与函数y＝x是同一函数的是________________________________．
①；
②；
③；
④；
⑤s＝t．
4．函数y＝＋1的值域是__________．
5．函数的定义域是__________．
6．设，则等于__________．
7．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：
x
1
2
3
f(x)
2
1
1
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
则f［g(1)］的值为__________；当g［f(x)］＝2时，x＝__________．
8．求下列函数的定义域和值域．
(1)；(2)．
9．已知，x∈R且x≠－1，g(x)＝x2＋2，x∈R．
(1)求f(2)和g(a)；
(2)求g［f(2)］和f［g(x)］．
10．换元思想是高中数学
( http: / / www.21cnjy.com )中的重要数学思想．我们在求函数定义域时，也有换元思想，如函数y＝f(x)的定义域为(1,3)，则函数y＝f(2x－1)的定义域，可由1＜2x－1＜3得(1,2)．试根据上述方法，解决下列问题：
(1)已知函数y＝f(x)的定义域为［－1,3］，试求函数y＝f(3x－1)的定义域；
(2)已知函数y＝f(3x－1)的定义域为［－1,3］，试求函数y＝f(x)的定义域；
(3)已知函数y＝f(3x－1)的定义域为［－1,3］，试求函数y＝f(1－x)的定义域．
参考答案
1．解析：由题意，得M＝{x|x＞0}，N＝R，
则M∩N＝{x|x＞0}＝M．
答案：M
2．解析：因22＝4
( http: / / www.21cnjy.com )N，所以①不是函数．
因2＋1＝3
( http: / / www.21cnjy.com )N，所以②不是函数．
因，，，所以③是函数，显然④不是函数．
答案：③
3．解析：因为y＝＝|x|，所以①不是．
因为x－1≥0，x≥1，所以②不是．
因为＝x，所以③是．
因为x≠0，所以④不是．
因为s＝t的定义域和对应法则与y＝x的完全相同，所以⑤是．
答案：③⑤
4．解析：因为x≥0时，≥0，所以y≥1．
答案：［1，＋∞)
5．答案：{x|x＜0}
6．解析：，．
所以原式＝－1．
答案：－1
7．解析：f［g(1)］＝f(3)＝1；当g［f(x)］＝2时，f(x)＝2，x＝1．
答案：1　1
8．解：(1)由x－2≠0得定义域为{x|x≠2}，
由＝＝3＋≠3，
得值域为{y|y≠3}．
(2)由4－2x≥0得定义域为{x|x≤2}，
由≥0，－2≥－2，
得值域为［－2，＋∞)．
9．解：(1)，g(a)＝a2＋2．
(2)∵，
∴g［f(2)］＝，
f［g(x)］＝f(x2＋2)＝．
10．解：(1)由条件得－1≤3x－1≤3,0≤x≤，
所求定义域为．
(2)设t＝3x－1，由条件知－1≤x≤3，
所以－4≤3x－1≤8，
即－4≤t≤8．
所以y＝f(x)的定义域为［－4,8］．
(3)由(2)可知y＝f(x)的定义域为［－4,8］，
从而－4≤1－x≤8，
解得－7≤x≤5，
所求定义域为［－7,5］．幂函数练习
1．下列函数中，在(－∞，0)上为减函数的是________．
①；②y＝x2；③y＝x3；④y＝x－2.
2．下列函数中不是幂函数的是__________．
①；②y＝x3；③y＝2x；④y＝x－1.
3.下列函数中，在区间(1，＋∞)上为增函数的是__________．
①y＝2x＋1；②；③y＝－(x－1)2；④(x－1)．
4．函数的定义域为__________．
5．比较下列各组数中两数的大小：
(1)0.61.3__________0.71.3；
(2)__________.
6．幂函数y＝f(x)的图象过点(3,27)，则f(2)＝__________.
7．函数y＝xα＋3的图象必过定点__________．
8．已知，则a的取值范围是________．
9．某市高考模拟考试阅卷点数学阅卷教师共
( http: / / www.21cnjy.com )有50人，要完成文、理科数学试卷的阅卷任务．阅卷安排时，需将50人分成两组，一组完成55捆理科数学试卷，另一组完成21捆文科数学试卷．据历年阅卷测得，阅卷一天，理科阅完一捆需要3人，文科阅完一捆需要2人，请你合理安排文、理科数学阅卷教师的人数，使完成全市文、理科数学阅卷任务的时间最短．
10．已知幂函数(m∈Z)的图象关于y轴对称，且与x轴、y轴无交点．
(1)求函数f(x)的解析式，并画出它的图象；
(2)讨论函数的奇偶性(a，b∈R)．
参考答案
1．解析：由幂函数的性质，可知y＝x2在(－∞，0)上为减函数．
答案：②
2．解析：根据幂函数的定义可知③不是幂函数．
答案：③
3.
答案：①②
4．解析： x＞，由此得，函数的定义域为.
答案：
5．解析：(1)因为y＝x1.3在(0，＋∞)上单调递增，
所以0.61.3＜0.71.3.
(2)因为在(0，＋∞)上单调递减，
所以.
答案：(1)＜　(2)＞
6．解析：设f(x)＝xα，
则3α＝27，α＝3.
从而f(x)＝x3，f(2)＝23＝8.
答案：8
7．解析：取x＝1，得y＝4，定点为(1,4)．
答案：(1,4)
8．解析：幂函数的图象如图所示．
①若解得a＜－1.
②若解得.
③若解集为∈
( http: / / www.21cnjy.com ).
综上可知，a∈(－∞，－1)∪.
答案：a∈(－∞，－1)∪
9．解：设安排文科阅卷教师x人，则
( http: / / www.21cnjy.com )安排理科阅卷教师(50－x)人，又设完成文科阅卷时间为f(x)，完成理科阅卷时间为g(x)，完成全市阅卷时间为H(x)．由题意，得
f(x)＝(0＜x＜50，x∈N
)，g(x)＝(0＜x＜50，x∈N
)，
则H(x)＝
H(x)的图象如图所示，由图象可知，当f(x)＝g(x)时，H(x)存在最小值，此时完成全市阅卷任务的时间最短．由，得x≈10.1，
∵H(10)＝f(10)＝4.2，H(11)＝g(11)≈4.23，
∴x＝10.
故应安排10人阅文科数学试卷，40人阅理科数学试卷．
10．分析：求解本题的关键是先确定m的值，写出f(x)的解析式，再把f(x)代入g(x)的解析式，判断g(x)的奇偶性．
解：(1)∵幂函数的图象与x轴、y轴无公共点，
∴m2－2m－3＜0，即(m＋1)(m－3)＜0.
解得－1＜m＜3.
又m∈Z，得m＝0,1,2.又幂函数的图象关于y轴对称，
∴它是偶函数．把m＝0,1,2分别代入得f(x)＝x－3，f(x)＝x－4，f(x)＝x－3，
只有f(x)＝x－4符合条件，故m只能取1.
∴f(x)＝x－4.
其图象如图所示．
(2)把f(x)＝x－4代入g(x)的解析式，得
(x≠0)．
∴g(－x)＝－b(－x)3＝＋bx3.
∴当a≠0，b≠0时，g(x)为非奇非偶函数；
当a＝0，b≠0时，g(x)为奇函数；
当a≠0，b＝0时，g(x)为偶函数；
当a＝b＝0时，g(x)既为奇函数又为偶函数．课后导练
基础达标
1.设A={0,1,2,4,5,7},B={1,4,6,8,9},C={4,7,9},则(A∩B)∪(A∩C)等于(
)
A.{1,4}
B.{1,7}
C.{4,7}
D.{1,4,7}
解析：A∩B={1,4},A∩C={4,7},所以(A∩B)∪(A∩C)={1,4,7},故选D.
答案：D
2.满足{1,2}∪A={1,2,5}的所有集合A的个数是(
)
A.1
B.2
C.4
D.8
解析：由题意知A={5}或{1,5}或{2,5}或{1,2,5}，故选C.
答案：C
3.设全集U={0，-1，-2，-3，-4}，集合M={0，-1，-2}，N={0，-3，-4}，那么（
( http: / / www.21cnjy.com )M）∩N为（
）
A.{-3，-4}
B.
C.{-1,-2}
D.{0}
解析：
( http: / / www.21cnjy.com )M={-3，-4}，N={0，-3，-4}，
∴(
( http: / / www.21cnjy.com )M)∩N={-3,-4}.故选A.
答案：A
4.设集合M={(x,y)|x+y=2},N={(x,y)|x-y=4},那么集合M∩N为(
)
A.x=3,y=-1
B.(3,-1)
C.{3,-1}
D.{(3,-1)}
解析：集合M和N的元素是点，求x+y=2与x-y=4的方程组的解组成的点的坐标.由x=3,y=-1，得元素为（3,-1），故选D.
答案：D
5.设集合M={x|-1≤x＜2＝,N={x|x-k≤0},若M∩N≠,则k的取值范围是(
)
A.(-∞,2]
B.［-1,+∞)
C.(-1,+∞)
D.［-1,2］
解析：通过数轴得到k的取值范围为k≥-1，故选B.
答案：B
6.已知M={x|x是直角三角形},P={x|x是等腰三角形},则M∩P=___________.
答案：{x|x是等腰直角三角形}
7.集合A含有10个元素,集合B含有8个元素,集合A∩B含有3个元素,则集合A∪B有
________个元素.
解析：因A∩B含有3个元素，所以集合A与B有3个元素是相同的，所以A∪B中的元素个数为10+8-3=15（个）.
答案：15
8.设A={x|-4≤x＜2},B={x|x<-2或x≥4},求出A∩B,A∪B.
解析：先画数轴,把集合A用横线阴影表示,把集合B用竖线阴影表示.
( http: / / www.21cnjy.com )
由交集的定义可知,A∩B应是网格部分,即A∩B={x|-4≤x<-2}.
由并集的定义可知,A∪B应是全部阴影部分,即A∪B={x|x<2或x≥4}.
9.写出下列图中阴影部分所表示的集合.
(1)
(2)
（3）
答案：（1）（A）∩B
（2）
( http: / / www.21cnjy.com )B
（3）（A∩B）∪（
( http: / / www.21cnjy.com )B∩C）
10.设集合A={|a+1|,3,5},集合B={2a+1,a2+2a,a2+2a-1},当A∩B={2,3}时,求A∪B.
解析：∵A∩B={2，3}，
∴A集合中的元素|a+1|=2，
∴a+1=±2,
∴a=1或a=-3
当a=1时，集合B中的2a+1与a2+2a均为3，不合题意，所以a=1舍去.
当a=-3时，A={2,3,5}，B={-5,3,2}，
∴A∪B={-5，2，3，5}.
综合训练
11.
M={y|y=x-2},N={y|y=}，那么M∩N等于（
）
A.(1,+∞)
B.［1,+∞)
C.（0,+∞）
D.［0,+∞)
解析：M={y|y=x-2}={y|y=}=(0,+∞),N={y|y=}=［0,+∞），
∴M∩N=（0，+∞）.
答案：C
12.已知集合S={(x,y)|x-y=1}，T={(x,y)|x+y=3}，那么S∩T为（
）
A.x=2,y=1
B.(2,1)
C.{2,1}
D.{(2,1)}
解析：由得.故选D.
答案：D
13.设U为全集，非空集合A、B满足A
( http: / / www.21cnjy.com )B，则下列集合中为空集的是（
）
A.A∩B
B.A∩
( http: / / www.21cnjy.com )B
C.B∩
( http: / / www.21cnjy.com )A
D.
( http: / / www.21cnjy.com )A∩
( http: / / www.21cnjy.com )B
解析：由韦恩图知选B.
答案：B
14.若{3,4,m2-3m-1}∩{2m,-3}={-3},则m=______________.
解析：由题意得m2-3m-1=-3，解得m=2或m=1.当m=2时，2m=4，则两集合的交集为{-3，4}，
∴m=2不合题意.
∴m=1.
答案：1
15.已知A={x|x2-3x+
( http: / / www.21cnjy.com )2=0}，B={x|x2-ax+a-1=0},C={x|x2-mx+2=0},且A∪B=A,A∩C=C，求实数a及m的值.
解析：∵A={1，2}，B={x|(x-1)［x-(a-1)］=0}及A∪B=ABA，
∴a-1=2a=3（此时A=B），或a-1=1
a=2（此时B={1},x=1为其二重根.）
由A∩C=CCA当C={1}或C={2}时，
显然不成立，从而C=A，C=.
当C=A时，m=3，
当C=时，由Δ=m2-8<0-2综上可得a=2或a=3,m=3或-2拓展提升
16.已知全集S={1,3,x3+3x2+2x}和它的子集A={1,|2x-1|}，如果
( http: / / www.21cnjy.com )A={0}，则这样的实数x是否存在？若存在，求出x；若不存在，请说明理由.
解析：由x3+3x2+2x=0，求得
x1=0，x2=-1，x3=-2.
当x=0时与|2x-1|=1，但A中已有元素1.
当x=-1时，|2x-1|=3,3∈S.
当x=-2时，|2x-1|=5,5S.
这样实数x存在，它只能是-1.指数函数的图象及性质练习
1．为了得到函数y＝2x－3－1的图象，
( http: / / www.21cnjy.com )只需把函数y＝2x的图象上所有的点向右平移__________个单位长度，再向下平移__________个单位长度．
2．若函数y＝ax－b－1(a＞0且a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有__________．
3．函数y＝－ex的图象与y＝e－x的图象关于__________对称．
4．已知函数y＝4x－3·2x＋3的值域为［1,7］，则x的取值范围是__________．
5．若a＞1，b＜－1，则函数y＝ax＋b的图象不经过第__________象限．
6．把函数y＝ex的图象向左平移2个单位长度，向下平移3个单位长度，得到图象对应的解析式是________．
7．函数y＝ax－3＋3(a＞0且a≠1)恒过定点________．
8．若函数f(x)＝2－|x－1|－m的图象与x轴有交点，则实数m的取值范围是__________．
9．已知函数，
(1)判断该函数的奇偶性；
(2)证明函数在定义域上是增函数．
10．求下列函数的单调区间：
(1)y＝|2x－2|；(2)y＝2－|x|．
11．已知函数f(x)＝·x3(a＞0，且a≠1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)讨论f(x)的奇偶性．
12．是否存在实数m，使得函数f(x)＝x2·为奇函数？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．答案：3　1
2．解析：根据题意作出如图所示的图象，
从而0＜a＜1，且b＋1＞1，即b＞0．
答案：0＜a＜1且b＞0
3．解析：若点(x，y)在函数y＝－ex上，
则－y＝ex＝e－(－x)，说明点(－x，－y)在函数y＝e－x的图象上．
答案：坐标原点
4．解析：y＝(2x)2－3·2x＋3＝，所以当x∈(－∞，0］时，2x∈(0,1］，此时y∈［1,3)，符合题意．当x∈［1,2］时，2x∈［2,4］，此时y∈［1,7］，符合题意．
答案：(－∞，0］∪［1,2］
5．解析：作出如图所示的图象，可知图象不经过第二象限．
答案：二
6．答案：y＝ex＋2－3
7．解析：令x－3＝0，即x＝3，
则ax－3＋3＝a3－3＋3＝4，
所以函数y＝ax－3＋3恒过定点(3,4)．
答案：(3,4)
8．解析：∵－|x－1|≤0，
∴0＜2－|x－1|≤1．
要使函数f(x)与x轴有交点，只需0＜m≤1即可．
答案：(0,1］
9．(1)解：因为＝－f(x)，
所以函数f(x)是奇函数．
(2)证明：定义域为x∈R，任取x1，x2∈R，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝－＝，
因此f(x)在R上单调递增．
10．解：(1)y＝|2x－2|＝其图象如下图所示．由图象可得函数y＝|2x－2|的单调递增区间为［1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，1)．
(2)y＝2－|x|＝其图象如下图所示．
由图象可得函数y＝2－|x|的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为［0，＋∞)．
11．解：(1)由题意得ax－1≠0，x≠0，
所以所求定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
(2)因为f(－x)＝(－x)3＝(－x3)＝x3＝f(x)，
所以f(x)为偶函数．
12．解：因为g(x)＝x2为R上的偶函数，故要使f(x)为奇函数，只需h(x)＝为奇函数．
假设h(x)为奇函数，则h(x)＋h(－x)＝0，
即＋＝0，＋＝0．
去分母，得(3x－m)(1＋m·3x)＋(3x＋m)(1－m·3x)＝0．
整理得2·3x·(1－m2)＝0，解得m＝±1．
经检验，当m＝±1时，f(x)为奇函数．
故存在m＝±1，使函数f(x)为奇函数．课后导练
基础达标
1.函数y=［(1-x)(x+3)］的递减区间是（
）
A.(-3,-1)
B.(-∞,-1)
C.(-∞,-3)
D.(-1,+∞)
解析：y=［(1-x)(x+3)］=(-x2-2x+3),它的定义域为（-3，1），令u=-x2-2x+3,当x∈(-∞,-1)时函数u=-x2-2x+3为增函数，所以原函数的递减区间（-3，-1）.
答案：A
2.方程log2(x+4)=3x实根的个数是（
）
A.0
B.1
C.2
D.3
解析：设y=log2(x+4)及y=3x.画图知交点两个.
答案：C
3.函数f(x)与g(x)=()x的图象关于直线y=x对称，则f(4-x2)的单调递增区间是（
）
A.(0,+∞)
B.(-∞,0)
C.(0,2)
D.(-2,0)
解析：f(x)与g(x)=(12)x的图象关于直线y=x对称，
∴f(x)=x,∴f(4-x2)=（4-x2）,它的定义域为（-2，2），而令u=4-x2,则u=4-x2的递减区间为（0，+∞）,
∴y=f(4-x2)的单调递增区间是（0，2）.
答案：C
4.函数y=的图象大致是（
）
解析：∵y=
∴应选C.
答案：C
5.三个数60.7,0.76,log0.76的大小关系为___________________.
解析：60.7>1,0<0.76<1,log0.76<0,故60.7>0.76>log0.76.
答案：log0.76<0.76<60.7
6.函数f(x)=(x-1)+的值域为_______________.
解析：定义域为（１，2），f（x）为单调递减函数，值域为［0，+∞).
答案：［0，+∞)
7.解方程：log9x+3=1.
解析：化为同底对数，可得log3x+=1,
∴(log3x)2-2(log3x)+1=0,
即（log3x-1）2=0.
得log3x=1,从而得x=3.
经检验，x=3为原方程的解.
8.已知y1=loga(x2-5x+6),y2=loga(2x2-7x+6)(a>0,且a≠1)，若y1>y2,求x的范围.
解析：当a>1时，由y1>y2,得
解得得0当0y2，得
解得
x<0,或x>3.
故当a>1且0y2;
当03时，有y1>y2.
9.已知f(x)=loga.(a>0且a≠1)
(1)求f(x)的定义域；
（2）判断f(x)的奇偶性并予以证明；
（3）求使f(x)>0的x的取值范围.
解析：（1）由对数函数定义知>0,∴-1（2）f(-x)=loga=loga()-1=-f(x),∴f(x)是奇函数.
（3）当a>1时，
loga>0等价于-x>1x∈(0,1).
当0loga>0等价于0<<1x∈(-1,0).
故a>1时，x∈(0,1)时，f(x)>0,
00.
综合训练
10.函数f(x)=|log2x|的图象是（
）
解析：由f(x)=log2x的图象把x轴下方的部分翻折到x轴上方，选A.
答案：A
11.函数y=lnx+1(x＞0)的反函数为（
）
A.y=ex+1(x∈R)
B.y=ex-1(x∈R)
C.y=ex+1(x＞1)
D.y=ex-1(x＞1)
解析：由y=lnx+1,
得x=ey-1.
又因为函数y=lnx+1的值域为R，
于是y=lnx+1的反函数为y=ex-1(x∈R).
故选B
.
答案：B
12.已知函数f(x)=lg(x+1)(x>0),则f(x)的反函数为________.
解析：∵y=lg(x+1)(x>0),
∴y>0,且x+1=10y.
∴x=10y-1.∴反函数f-1(x)=10x-1(x>0).
答案：f-1(x)=10x-1(x>0)
13.抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1%，则至少要抽几次.（lg2≈0.301
0）
解析：设至少抽n次可使容器内空气少于原来的0.1%.则a(1-60%)n<0.1%a(设原空气为a)，即0.4n<0.001,
两边取常用对数得n·lg0.4=≈7.5.故至少需要抽8次.
拓展提升
14.已知函数f(x)=-log2,求f(x)的定义域并讨论它的奇偶性和单调性.
解析：x需满足由>0得-1所以函数f(x)的定义域为（-1,0）∪(0,1).
因为函数f(x)的定义域关于原点对称，且对定义域内的任意x,
有f(-x)=--log2=-(-log2)=-f(x),
所以f(x)是奇函数.
研究f(x)在（0，1）内的单调性，任取x1,x2∈（0，1），且设x1f(x1)-f(x2)=-log2-+log2=(-)+［log2(-1)-log2(-1)］
由->0,log2(-1)-log2(-1)>0得f(x1)-f(x2)>0,
即f(x)在（0,1）内单调递减,
由于f(x)是奇函数，所以f(x)在（-1，0）内单调递减.指数函数的应用练习
1．函数y＝ax在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则a的值为__________．
2．预测人口的变化趋势有多种方
( http: / / www.21cnjy.com )法，最常用的是“直接推算法”，使用的公式是pn＝p0(1＋k)n(k为常数，k＞－1)，其中pn为预测期内n年后人口数，p0为初期人口数，k为预测期内年增长率，如果－1＜k＜0，那么在这期间人口数__________．
3．某商品价格前两年每年增长20%，后两年每年下降20%，则四年后的价格与原来价格比较变化的情况是__________．
4．下图是表示某池塘中的浮萍蔓延的面积y(m2)与时间t(月)的关系：y＝at，有以下叙述，其中正确的是__________．
①这个指数函数的底数为2；
②第5个月时，浮萍面积就会超过30
m2；
③浮萍从4
m2蔓延到12
m2需要经过1.5个月；
④浮萍每月增加的面积都相等；
⑤若浮萍蔓延到2
m2、3
m2、6
m2所经过的时间分别为t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3.
5．一种专门占据内存的计算机病毒，开机时占据
( http: / / www.21cnjy.com )内存2
KB，然后每3分钟自身复制一次，复制所占据内存是原来的2倍，那么开机后，该病毒占据64
MB(1
MB＝210
KB)内存需要经过的时间为______分钟．
6．一电子元件厂去年生产某
( http: / / www.21cnjy.com )种规格的电子元件a个，计划从今年开始的m年内，每年生产此种规格电子元件的产量比上一年增长p%，则此种规格电子元件的年产量y随年数x变化的函数关系式为________．
7．某市2006年有常住人口54万，如果
( http: / / www.21cnjy.com )人口按每年1.2%的增长率增长，则2012年该市常住人口约为__________万人．(精确到0.01万)
8．一种产品原来成本为1万元，计
( http: / / www.21cnjy.com )划在今后几年中，按照每年平均6%的速度降低成本，则成本y与年数x之间的函数关系式是__________，其中8年后的成本是__________．(精确到0.01万元)
9．已知函数y＝|x＋2|，(1)作出图象；(2)指出单调增区间；(3)求值域．
10．已知函数f(x)＝3x，且f(a＋2)＝18，g(x)＝3ax－4x的定义域为[0,1]．
(1)求g(x)的解析式；
(2)求g(x)的单调区间，确定其增减性，并试用定义证明；
(3)求g(x)的值域．
参考答案
1．解析：∵y＝ax在R上是单调函数，
∴a0＋a1＝3.解得a＝2.
答案：2
2．解析：由－1＜k＜0得0＜1＋k＜1，从而原函数pn为单调递减函数．
答案：呈下降趋势
3．解析：设原来价格为a，
则四年后变为y＝a(1＋20%)2(1－20%)2＝0.921
6a.
答案：下降7.84%
4．解析：由图象，得点(1,2)在函数的图象上，则2＝a1，
即a＝2.所以函数解析式应为y＝2t，所以①正确；
当t＝5时，y＝25＝32＞30，所以②正确；
当t＝2时，y＝4，当t＝3.5时，y＝23.5＝，所以③不正确；
第(n＋1)个月比第n个月增加的面积为2n＋1－2n＝2n≠常数，所以④不正确；
对于⑤，2＝2t1，3＝2t2，6＝2t3，
由于2t1＋t2＝2t12t2＝2×3＝6＝2t3，
所以t1＋t2＝t3，所以⑤正确．
答案：①②⑤
5．解析：设开机t分钟后，该病毒占据y
KB内存，
由题意得，则有＝64×210，
又64×210＝26×210＝216，
所以有＋1＝16，解得t＝45.
答案：45
6．答案：y＝a(1＋p%)x(x≤m，x∈N
)
7．解析：由条件得54×(1＋1.2%)6≈58.01(万)．
答案：58.01
8．答案：y＝1×(1－6%)x　0.61万元
9．解：(1)由函数解析式可得y＝|x＋2|＝其图象分成两部分，如下图．
(2)由图象可知，函数的单调增区间是(－∞，－2]．
(3)由图可知，当x＝－2时，函数y＝|x＋2|有最大值1，无最小值，所以函数的值域为(0,1]．
10．解：(1)∵f(x)＝3x，且f(a＋2)＝3a＋2＝18，∴3a＝2.
∵g(x)＝3ax－4x＝(3a)x－4x，
∴g(x)＝2x－4x.
(2)∵g(x)的定义域为[0,1]，令t＝2x.
∴t∈[1,2]，则g(t)＝t－t2＝－(t2－t)＝，t∈[1,2]．
∵函数t＝2x在区间[0,1]上单调递增，函数g(t)＝t－t2在[1,2]上单调递减，
∴g(x)在区间[0,1]上单调递减．
证明：设x1，x2为区间[0,1]上任意两值，
且x1＜x2，则g(x2)－
( http: / / www.21cnjy.com )g(x1)＝2x2－4x2－2x1＋4x1＝(2x2－2x1)－(4x2－4x1)＝(2x2－2x1)(1－2x1－2x2)．∵0≤x1＜x2≤1，
∴2x2＞2x1，且1≤2x1＜2,1＜2x2≤2.
∴2＜2x1＋2x2＜4.
∴－4＜－2x1－2x2＜－2，
可知(2x2－2x1)(1－2x1－2x2)＜0.
∴g(x2)＜g(x1)．
∴函数g(x)在区间[0,1]上单调递减．
(3)∵g(x)在区间[0,1]上是减函数，
则x∈[0,1]时，有g(1)≤g(x)≤g(0)，
∵g(1)＝21－41＝－2，g(0)＝20－40＝0，
∴－2≤g(x)≤0，
故函数g(x)的值域为[－2,0]．课后导练
基础达标
1.如果函数f(x)=(a2-1)x在R上是减函数,那么实数a的取值范围是(
)
A.|a|＞1
B.|a|＜2
C.|a|＞3
D.1＜|a|＜
解析:f(x)=(a2-1)x在R上是减函数,
∴0∴1∴1即1<|a|<，选D
答案:D
2.曲线C1、C2、C3、C4分别是指数函数y=ax,y=bx,y=cx和y=dx的图象,则a、b、c、d与1的大小关系是(
)
A.a＜b＜1＜c＜d
B.a＜b＜1＜d＜c
C.b＜a＜1＜c＜d
D.b＜a＜1＜d＜c
解析:作直线x=1,直线和C1
( http: / / www.21cnjy.com )、C2、C3、C4分别交于一点，依次点的坐标为（1，a），（1，b），（1，c），（1，d），观察交点位置可得b答案:D
3.下列关系式中正确的是（
）
A.<2-1.5<
B.<<2-1.5
C.2-1.5<+<
D.2-1.5<<
解析:把2-1.5变为()1.5,因y=()x是减函数,所以只看指数大小就知C项正确，选C.
答案:C
4.当x>0时,函数f(x)=(a2-1)x的值总大于1,则实数a的取值范围是（
）
A.1<|a|<2
B.|a|<1
C.|a|>
D.|a|<
解析:∵x>0时,f(x)=(a2-1)x的值总大于1,
∴a2-1>1.
∴a2>2.∴|a|>.
∴选C.
答案:C
5.已知f(x)=4+ax-1(a>0,a≠1)的图象恒过定点P,则P点的坐标是（
）
A.(1,5)
B.(1,4)
C.(0,4)
D.(4,0)
解析:当x=1时,f(x)=4+1=5,
∴过(1,5)点.选A.
答案:A
6.函数y=的定义域为__________________.
解析:由题意得
答案:(-∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞)
7.用“>”或“<”填空：
若>1，则a_________1;若()m<(0.125)n,则m_________n;若1.7a<1.7b,则a_________b.
解析:a>1时,a>1;()m<(0.125)n得()m<()n,因y=()x是减函数,
∴m>n;因y=1.7x是增函数,
∴a答案:>
>
<
8.将下列各数从小到大排列起来.
,,,,,()0,(-2)3,.
解析:(-2)3是个负数,=,=,()0=1,整理后再按底数相同的或指数相同的进行比较.<<<1,1<<<
∴各数从小到大依次为(-2)3<<<<()0<<<.
9.已知f(x)=(a>0,a≠1),求证f(x)=f(-x).
证明:f(-x)=
==
==f(x),
即f(x)=f(-x).
10.判断(1-2b)3.1与(1-2b)3.5的大小(b<).
解析:∵b<.∴2b<1,∴1-2b>0.
当0<1-2b<1,即0(1-2b)3.5;
当1-2b>1,即b<0时,y=(1-2b)x是增函数,有(1-2b)3.1<(1-2b)3.5;
当1-2b=1,即b=0时,(1-2b)3.1=(1-2b)3.5=1.
综上可知,当0(1-2b)3.5；
当b<0时,(1-2b)3.1<(1-2b)3.5；
当b=0时,(1-2b)3.1=(1-2b)3.5.
综合训练
11.函数y=2-x+1+2的图象可以由函数y=()x的图象_________得到(
)
A.先向左平移1个单位,再向上平移2个单位
B.先向左平移1个单位,再向下平移2个单位
C.先向右平移1个单位,再向上平移2个单位
D.先向右平移1个单位,再向下平移2个单位
解析:y=2-x+1+2=2-(x-1)+2=()x-1+2,∴y=()x向右平移1个单位,再向上平移2个单位,选C.
答案:C
12.在同一平面直角坐标系中,函数f(x)=ax与g(x)=ax的图象可能是（
）
解析:先排除C,在A、B中，f（x）=ax与g（x）=ax中a的符号一正、一负，所以A、B都不正确，故选D.
答案：D
13.函数y=ax-1+2(a>0且a≠1)必过定点_______________.
解析：不管a为何值，当指数为0时，a0=1，所以图象过（1，3）.
答案：（1，3）
14.函数f（x）=ax（a>0且a≠1）在区间［1,2］上的最大值比最小值大,则a的值为_____.
解析:(1)如果a>1,f(x)是增函数,
则f(2)-f(1)=
,
即a2-a=,
解得a=.
(2)如果0则f(1)-f(2)=,
即a-a2=,
解得a=.综上,a=或a=.
答案:或
15.求a4x-5>a3x+1(a>0且a≠1)中实数x的取值范围.
解析:当a>1时,由a4x-5>a3x+1
( http: / / www.21cnjy.com )可得4x-5>3x+1即x>6;当0a3x+1得4x-5<3x+1即,x<6.
综上知，当a>1时,x的取值范围为(6,+∞)，
当0拓展提升
16.已知函数f(x)=x(+),
(1)求它的定义域;
(2)讨论它的奇偶性;
(3)证明它在定义域上恒大于零.
解析：(1)定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).
(2)∵f(-x)=-x(+)
=-x(+)
=-x(-1++)
=x（+)
=f(x).
∴f(x)为偶函数.
(3)证明：当x>0时,3x>1,
∴f(x)>0,
又f(x)为偶函数,
∴当x<0时,f(x)>0.
综上,它在定义域上恒大于零.课后训练
千里之行
始于足下
1．设A＝{x|x＋1＞0}，B＝{x|x＜0}，则A∩B＝________.
2．设全集U＝{x∈N
|x＜6}，集合A＝{1,3}，B＝{3,5}，则（A∪B）＝________.
3．设集合A＝{（x，y）|4x＋y＝6}，B＝{（x，y）|3x＋2y＝7}，则满足C?（A∩B）的集合C的个数为________．
4．已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，且B≠?，若A∪B＝A，则实数m的取值范围是________．
5．已知S＝{x|x2－px
( http: / / www.21cnjy.com )＋6＝0}，M＝{x|x2－2x＋q＝0}，且S∩M＝{3}，则p＋q＝________，S∪M＝________.
6．若集合A＝{1,3，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝{1,3，x}，则满足条件的实数x的值为________．
7．已知全集U＝R，A＝{x|－4≤x＜2}，B＝{x|－1＜x≤3}，，求A∩B，A∪B，（B）∪P，（A∩B）∩（P），并用区间表示．
8．设集合A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{9，a－5,1－a}，已知A∩B＝{9}，求实数a的值及A∪B.
百尺竿头
更进一步
　已知三个集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋a－1＝0}，C＝{x|x2－bx＋2＝0}，问同时满足B
( http: / / www.21cnjy.com )A，A∪C＝A的实数a，b是否存在？若存在，求出a，b的取值；若不存在，说明理由．
参考答案与解析
千里之行
1．（－1,0）　解析：A∩B＝{x|x＞－1}∩{x|x＜0}＝{x|－1＜x＜0}．
2．{2,4}　解析：∵U＝{1,2,3,4,5}，A∪B＝{1,3,5}，∴（A∪B）＝{2,4}．
3．2　解析：．
∵C?A∩B，∴集合C的个数有2个，分别为?，{（1,2）}．
4．（2,4]　解析：∵A∪B＝A，∴B?A，又B≠?，∴
解得2＜m≤4.∴实数m的取值范围是（2,4]．
5．2　{－1,2,3}　解析：∵3∈S，∴32－3p＋6＝0，解得p＝5，
由3∈M，得32－2×3＋q＝0，∴q＝－3.　∴p＋q＝2，将p＝5，q＝－3.
代入原方程，得S＝{2,3}，M＝{－1,3}，∴S∪M＝{－1,2,3}．
6．0或　解析：∵A＝{1,3，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝{1,3，x}．
∴A∪B＝A，即B?A　∴x2＝3，或x2＝x.
①当x3＝3时，，，则，B＝{1,3}，符合题意；
若，则，B＝{1,3}，符合题意．
②当x2＝x时，x＝0，或x＝1，若x＝0；则A＝{1,3,0}，B＝{1,0}，符合题意；若x＝1，则A＝{1,3,1}，B＝{1,1}，与集合中元素的互异性矛盾，舍去．综上可知，x的值为0或.
7．解：A∩B＝{x|－1＜x＜2}，用区间表示为A∩B＝（－1,2）；
A∪B＝{x|－4≤x≤3}，用区间表示为A∪B＝[－4,3]；
∵B＝{x|x≤－1，或x＞3}，，
∴，用区间表示为；
（A∩B）∩（P）＝{x|0＜x＜2}，用区间表示为（A∩B）∩（P）＝（0,2）．
8．解：∵A∩B＝{9}．∴9∈A　∴2a－1＝9，或a2＝9.
（1）若2a－1＝9，则a＝5.此时A＝{－4,9,25}，B＝{9,0，－4}．
∴A∩B＝{－4,9}，与已知矛盾，舍去．
（2）若a2＝9，则a＝±3.当a＝3时，A＝{－4,5,9}，B＝{9，－2，－2}．
B中有两个元素均为－2，与集合中元素的互异性矛盾，舍去．
当a＝－3时，A＝{－4，－7,9}，B＝{9，－8,4}，符合题意．
综上可知，a＝－3，A∪B＝{－8，－7，－4,4,9}．
百尺竿头
解：存在．∵A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，B＝{x|x2－ax＋a－1＝0}＝{x|（x－1）[x－（a－1）＝0]}，
又∵B?A，∴a－1＝1，∴a＝2.
∵A∪C＝A，∴C?A.∴有以下三种情况：
①当C＝?时，方程x2－bx＋2＝0无实根，
∴Δ＝b2－8＜0，∴.
②当C＝{1}或C＝{2}时，方程x2－bx＋2＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b2－8＝0，∴.此时，或，不符合题意，舍去．
③当C＝{1,2}时，方程x2－bx＋2＝0有两个不相等的实数根，由根与系数的关系知，b＝1＋2＝3.两根之积为2.
综上所述，存在a＝2，b＝3，或满足条件．映射的概念练习
1．为确保信息安全，信息需加密传输，
( http: / / www.21cnjy.com )发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a＋2b,2b＋c,2c＋3d,4d．例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16．当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为________．
2．下列说法中正确的是__________．
①对于任意两个集合A和B，都可以建立一个从A到B的映射；
②对无限集A和有限集B，一定不能建立一个从A到B的映射；
③对于单元素集合A和非空集合B，只能建立一个从A到B的映射；
④对于非空集合A和单元素集合B，只能建立一个从A到B的映射．
3．点(x，y)在映射f下的对应元素为，则点(2,0)在f作用下的对应元素(x，y)为__________．
4．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：
十六进制
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
十进制
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
例如，用十六进制表示：E＋D＝1B，则A×B等于__________．
5．设集合A＝{x|0≤x≤6}，B＝{y|0≤y≤2}，从A到B的对应法则__________是映射．(写出一个即可)
6．已知集合M＝P＝{1,2,3,4,5}，则下列从M到P的对应关系f为映射的是__________．
7．已知A＝N
，B＝{
( http: / / www.21cnjy.com )正奇数}，映射f：A→B使A中任一元素a与B中元素2a－1相对应，则在f：A→B中，A中元素9与B中元素__________对应；与集合B中元素9对应的A中元素为__________．
8．设集合A＝{a，b，c}，B＝{p，q}，那么集合A到B的不同映射最多可以有__________个．
9．集合A、B是平面直角坐标系
( http: / / www.21cnjy.com )上的两个点集，给定从A→B的映射f：(x，y)→(x2＋y2，xy)，求B中的元素(5,2)所对应A中的元素．
10．现代社会对破译密文的难度要求越来越
( http: / / www.21cnjy.com )大，有一种密码把英文的明文(真实文)按两个字母一组分组(如果最后剩一个字母，则任意添一个字母，拼成一组)，例如：
Wish
you
success，分组为Wi，sh，yo，us，uc，ce，ss得到其中英文的a，b，c，…，z这26个字母(不论大小写)依次对应1,2,3，…，26这26个自然数，见表格：
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
k
l
m
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
n
o
p
q
r
s
t
u
v
w
x
y
z
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
给出如下一个变换公式将明文转换为密文．如→→，即ce变成mc(说明：29÷26余数为3)；
又如→→，即wi变成oa(说明：41÷26余数为15,105÷26余数为1)．
(1)按上述方法将明文star译成密文；
(2)若按上述方法将某明文译成的密文是kcwi，请你找出它的明文．
参考答案
1．解析：由题意得a＋2b＝14,2b＋c＝9,2c＋3d＝23，4d＝28，解之，得d＝7，c＝1，b＝4，a＝6．
答案：6,4,1,7
2．解析：紧扣映射的概念，当A＝
( http: / / www.21cnjy.com )或B＝
( http: / / www.21cnjy.com )时，①不正确；②也不正确，因为至少可以建立A中的元素全与B中某一个元素对应的映射；③的说法不正确，因B中有n个元素时，则可以建立n个从A到B的映射；④是正确的，因为A中的任一元素都只能和B中的惟一元素对应．
答案：④
3．解析：，
．
答案：(，－1)
4．解析：A×B＝10×11＝110,110÷16＝6余14，而14在16进制中用E表示，故A×B＝6E．
答案：6E
5．答案：f：x→y＝x(不惟一)
6．解析：在(1)(4)中，集合M中都
( http: / / www.21cnjy.com )存在元素在集合P中找不到元素与之对应，(3)中，集合M中的一个元素在集合P中有两个元素与之对应，也不是映射．
答案：(2)
7．解析：根据映射的定义，在f：A→B中
( http: / / www.21cnjy.com )，A中元素9与B中元素2×9－1＝17对应．在这个映射中，设A中元素a与B中元素9对应，则2a－1＝9，解得a＝5．
答案：17　5
8．解析：8个，分别是
答案：8
9．分析：正确理解映射的概念，合理处理字母问题是求解本题的关键．利用对应法则找到元素间的关系，建立关于x和y的方程组是求解的关键．
解：依题可得
①＋2×②，得(x＋y)2＝9，
∴x＋y＝±3．
于是，原方程组可化为如下的两个方程组：
或
解得
∴B中的元素(5,2)对应A中的元素是(1,2)，(2,1)，(－1，－2)，(－2，－1)．
10．分析：根据题中的概念和
( http: / / www.21cnjy.com )基本框架，可以进行较为深入的探索——题中所给变换公式可以人为设定，这样任意两个人之间都可以用密文交流．本题在解决时，要注意两点：一是正确运用公式，设x′，y′代表密文，x，y代表明文；二是“模取”运算——即取余运算．
解：(1)将star分组：st，ar，对应的数组分别为，由得
→→，
→→．
∴star翻译成密文为ggkw．
(2)由得
将kcwi分组：kc，wi，对应的数组分别为，，由得
→→，
→→．
∴密文kcwi是由明文good翻译来的．课后导练
基础达标
1.给出下列表述:①鲜艳的颜色;②中国古代四大发明;③比较贵的手机;④英文字母的全体.以上能构成集合的是(
)
A.①②
B.②④
C.①②④
D.①③④
解析：①③对于鲜艳和比较贵无明确的标准，②④中的元素能满足元素的特性，故选B.
答案：B
2.给出下列关系:①∈R;②Q;③|-3|N
;④0∈N.其中正确的个数为(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
解析：①②④正确，故选C.
答案：C
3.已知集合S={a,b,c}中的3个元素是△ABC的三边长,那么△ABC一定不是(
)
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.钝角三角形
解析：由集合元素的互异性知a、b、c一定不相同，故选C.
答案：C
4.集合M与N表示同一个集合的是(
)
A.M={5,-6},N={-6,5}
B.M={(2,3)},N={(3,2)}
C.M={0},N=
D.M={x|x≤-1},N={x|x<-1}
解析：B中两个元素不是同一点，C中M集合有一元素0，而N集合没有元素是空集，D中集合M比集合N多元素-1，故选A.
答案：A
5.由实数x,-x,|x|,,-组成的集合中，最多含有元素（
）
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
解析：已知实数即为x,-x,|x|,|x|，-x,由集合元素的互异性知，应选A.
答案：A
6.（1）已知M={x|x为平行四边形}，a是矩形，b是梯形，则a________M,b_________M.
（2）若A={x|x2=x},则-1_________A,
若B＝{x∈N|1≤x≤10},则8__________B.
解析：（1）有两条对角线相等的平行四边形是矩形，
∴a∈M而梯形两组对边中只有一组对边平行，
∴bM.
（2）由x2=x得x=0或x=1,
∴-1A.
而8∈B.
答案：（1）∈
（2）
∈
7.集合A只含有三个元素2、4和6,若a∈A,则6-a∈A,那么a的值是____________.
解析：∵2∈A,6-2∈A,4∈A,6-4∈A,6∈A,6-6A,
∴a=2或a=4.
答案：2或4
8.集合A={x|ax2+2x+1=0}中只有一个元素时，求a的取值集合.
解析：当a=0时，方程为2x=1，
∴x=-，符合题意.
当a≠0时，方程为二次方程要使方程有一解，则Δ=4-4a=0,
∴a=1.
综上有a的取值集合为{0,1}.
9.若∈{t}，求t的值.
解析：由题意得
=t,
∴1-t=t+t2,
∴t2+2t-1=0,
∴t=-1±.
10.设A={2,3,a2+2a-3},B={|a+3|,2},已知5∈A且5B,求a的值和集合B.
解析：∵5∈A,
∴a2+2a-3=5,得a=-4或a=2.
而当a=2时|a+3|=5，不合题意.
∴a=-4.
当a=-4时，|-4+3|=1,
∴B={1,2}.
∴a=-4,B={1,2}.
综合训练
11.含有三个实数的集合可表示为{a,,1}={a2,a,0},则a2
006+b2
005等于（
）
A.1
B.-1
C.0
D.2
解析：由集合相等的条件知：=0且a2=1,
则b=0,a=-1，故a2
006+b2
005=1.
答案：A
12.已知A={x|x<5}，a=2，则（
）
A.a∈A
B.aA
C.{a}∈A
D.以上都不对
解析：∵(2)2=24<25,∴a∈A.
答案：A
13.集合{3,x,x2-2x}中，x应满足的条件是_____________.
解析：由集合元素的互异性知x≠3,x2-2x≠3,x≠x2-2x得x≠3且x≠0且x≠-1.
答案：x≠3且x≠0且x≠-1
14.方程(x-1)(x2-1)=0的解集中含有元素的个数是____________.
解析：由(x-1)(x2-1)=0得x=±1，
所以元素的个数为2.
答案：2
15.设a、b∈Z，形如a+5b的数构成的集合记作M，若x,y∈M，请你验证元素x+y,x-y,xy,是否属于集合M.
解析：令x=a1+b1,y=a2+b2,则x+y=a1+a2+(b1+b2),a1+a2∈Z,b1+b2∈Z,
∴x+y∈M.
同理可证x-y,xy属于集合M，而==M.
∴x+y∈M,x-y∈M,xy∈M,M.
拓展提升
16.数集A满足：若a∈A,a≠1，则∈A,
求证：（1）若2∈A，则A中另外有两个元素；
（2）集合A不可能是单元素集合.
证明：（1）由已知2∈A,则=-1∈A.
∵-1∈A,则=∈A.
∵∈A,则=2∈A.∴A中另外两个元素是-1，.
（2）由已知a∈A,a≠1，则∈A.
∴=∈A.
∵∈A,则=a∈A.
故A中含有三个元素a,
,，
且a××=-1.
若A是单元素集合，则必有a===-1，这显然不可能.
故A不是单元素集合.函数的表示方法练习
1．一个面积为100
cm2的等腰梯形，上底长为x
cm，下底长为上底长的3倍，则把它的高y表示成x的函数为__________．
2．下列图形是函数y＝－|x|(x∈［－2,2］)的图象的是__________．
3．设，则＝__________．
4．设则等于__________．
5．设则的值为________，f(x)的定义域是__________．
6．函数的最大值为______．
7．已知f(x＋1)＝x2－2x，则＝__________．
8．A、B两地相距150
( http: / / www.21cnjy.com )km，某汽车以每小时50
km的速度从A地到B地，在B地停留2
h之后，又以每小时60
km的速度返回A地．则该车离开A地的距离s(km)关于时间t(h)的函数关系式为________．
9．作函数y＝|x＋3|＋|x－5|的图象，并求出函数的值域．
10．如图，梯形OABC各顶点的坐标分别为O(0,0)，A(6,0)，B(4,2)，C(2,2)．一条与y轴平行的动直线l从O点开始作平行移动，到A点为止．设直线l与x轴的交点为M，OM＝x，记梯形被直线l截得的在l左侧的图形的面积为y．求函数y＝f(x)的解析式、定义域、值域以及的值．
参考答案
1．答案：(x＞0)
2．答案：②
3．答案：f(x)
4．答案：
5．答案：　［－1,0)∪(0，＋∞)
6．答案：4
7．答案：
8．答案：
9．解：因为函数y＝|x＋3|＋|x－5|可以化为
所以函数的图象如图所示．
由图可知函数的值域为［8，＋∞)．
10．解：当0≤x≤2时，图形为等腰直角三角形，此时y＝·x·x＝x2；
当2＜x≤4时，图形为一个直角梯形，它又可分割成一个等腰直角三角形(确定的)与一个矩形，此时y＝×2×2＋(x－2)×2＝2x－2；当4＜x≤6时，
图形为一个五边形，它可看做是原梯形去掉一个等腰直角三角形(位于直线右侧)，
此时y＝×(6＋2)×2－(6－x)2＝－x2＋6x－10．于是
并且函数y＝f(x)的定义域是［0,6］．
又当0≤x≤2时，0≤x2≤2；
当2＜x≤4时，2＜2x－2≤6；
当4＜x≤6时，6＜－x2＋6x－10≤8．
所以函数y＝f(x)的值域为［0,2］∪(2,6］∪(6,8］，即为［0,8］．
由于∈(2,4］，故＝2×－2＝5．
又5∈(4,6］，故f(5)＝－×52＋6×5－10＝．于是＝f(5)＝．课后导练
基础达标
1.设f(x)=()|x|,x∈R,那么f(x)是(
)
A.奇函数且在(0,+∞)上是增函数
B.偶函数且在(0,+∞)上是增函数
C.奇函数且在(0,+∞)上是减函数
D.偶函数且在(0,+∞)上是减函数
解析:因f(-x)=()|-x|=()|x|=f(x)且x∈R,∴f(x)为偶函数,因y=()x是减函数,∴f(x)=()x在(0,+∞)上是减函数.
答案:D
2.函数y=的值域是（
）
A.(-∞,1)
B.(-∞,0)∪(0,+∞)
C.(-1,+∞)
D.(-∞,-1)∪(0,+∞)
解析:因3x>0,∴3x-1>-1,
∴当0>3x-1>-1时,f(x)∈(-∞,-1);当3x-1>0时,f(x)∈(0,+∞),故选D.
答案:D
3.函数y=的单调递减区间是（
）
A.(-∞,1)
B.［1,+∞)
C.(-∞,-1)
D.(-1,+∞)
解析:因y=()u是单调减函数,根据“同增异减”的原则，当u=-x2+2x-1单调递增时，y=为减函数，而u=-x2+2x-1的增区间为（-∞，1］，选A.
答案：A
4.若x∈（2，4），a=，b=（2x）2，c=，则a、b、c的大小关系是（
）
A.a>b>c
B.a>c>b
C.c>a>b
D.b>a>c
解析：∵b=（2x）2=22x，b>1，
∴要比较a,b,c的大小,只要比较x2,2x,2x当x∈(2,4)时的大小即可.
用特殊值法,取x=3,容易得知,x2>2x>2x,
则a>c>b.
答案:B
5.值域是(0,+∞)的函数是（
）
A.y=
B.y=()1-x
C.y=
D.y=
解析:y=中≠0,∴y≠1;同样y=与y=中y均能取到0,故选B.
答案:B
6.若函数f(x)=则f(log3)=__________.
解析:∵log3∈［-1,0］，
∴f(log3)==()-1=()-1=2.
答案:2
7.已知函数f(x)=,其定义域为_________，值域为_________，奇偶性为_________.
解析:由题意知1-x2≥0,∴x∈［-1,1］;
∵≥0
∴∈［0,1］,∈［,1］.
∵f(-x)=
==f(x).
∴函数为偶函数.
答案:［-1,1］
［,1］
偶函数
8.求下列函数的定义域和值域：
(1)y=;
(2)y=.
解析:(1)由题意得3x-2≥0，x≥，
∵≥0，
∴≥1，
∴定义域为［，+∞），值域为［1，+∞）.
（2）由题意得2x-1≠0,x≠0,
∵2x>0,
∴2x-1>-1.
当-1<2x-1<0时,y∈(-∞,-1).
当2x-1>0时,y∈(0,+∞).
∴定义域为(-∞,-1)∪(0,+∞),值域为(-∞,-1)∪(0,+∞).
9.求函数y=的值域.
解析:∵y==,
又∵3x>0,∴3x+1>1,则(3x+1)2>1.
∴(3x+1)2+3>4，即y=>2.故函数的值域为(2,+∞).
10.若f(x)和g(x)分别是奇函数和偶函数,若f(x)-g(x)=()x,则f(1),g(0),g(-2)从小到大的顺序是
__________________.
解析:由题意得
解出f(x)=()x+1-()-x+1，
g(x)=-()x+1-()-x+1,则f(1)=-,g(0)=-1,
g(-2)=-2.
∴g(-2)答案：g(-2)综合训练
11.某厂2006年的产值为a万元，预计产值每年以n%递增，则该厂到2018年的产值(单位：万元)是（
）
A.a(1+n%)13
B.a(1+n%)12
C.a(1+n%)11
D.a(1-n%)12
解析:2007年的产值为a(1+
( http: / / www.21cnjy.com )n%);2008年的产值为a(1+n%)2;2009年的产值为a(1+n%)3……2018年的产值为a(1+n%)12,故选B.
答案:B
12.若定义运算a·b=则函数f(x)=3x·3-x的值域是（
）
A.(0,1]
B.［1,+∞)
C.(0,+∞)
D.(-∞,+∞)
解析:由题意得
3x·3-x=由函数的图象可得:f(x)∈(0,1］,故选A.
答案:A
13.已知f(x)是偶函数,当x<0时,f(x)=2x+1,当x>0时,f(x)=_______________.
解析:设x>0,则-x<0,
∴f(-x)=2-x+1,
又∵f(x)是偶函数,
∴f(-x)=f(x),
∴f(x)=2-x+1.
答案:2-x+1
14.已知f(x)是指数函数,若f(-)=,则f(-)=______________.
解析:设f(x)=ax,∵f(-)=,
∴=,
∴===,
∴a=
,∴f(x)=()x,
∴f(-)===.
答案:
15.求下列函数的定义域、值域.
(1)y=;
(2)y=;
(3)y=.
解析:(1)要使函数有意义，只需2x-1≠0,
即x≠.
∴函数的定义域为{x|x∈R且x≠}.
∵≠0,
∴y≠80=1.
∴y=的值域为{y|y>0且y≠1}.
(2)要使函数有意义，只需1-()x≥0,即()x≤()0,
∴x≥0,即函数的定义域为［0,+∞］.
∵0≤1-()x<1,
∴y=的值域为［0,1).
(3)函数的定义域为R，
∵2x-x2=-(x-1)2+1≤1,
∴y=≥.
∴函数的值域为{y|y≥}.
拓展提升
16.已知函数y=，
(1)求函数的定义域,值域;
(2)确定函数的单调区间.
解析:(1)根据指数函数的定义域易知,此函数的定义域是R,先求出函数u=x2-6x+11在R上的值域,再利用指数函数的单调性求得此函数的值域为(0,).
(2)由函数y=与u=x2-6x+11在同一区间上的单调性相反,易得函数y=在区间(-∞,3］上是增函数,在区间［3,+∞)上是减函数.分数指数幂练习
1．下列说法中正确的有__________个．
①－2是16的四次方根；
②正数的n次方根有两个；
③a的n次方根就是；
④＝a(a≥0)．
2．下列各数中，最大的数是__________．
①；②；③?；④2－1．
3．以下各式中错误的是__________．
①＝1(a＞0)；
②＝a－4b6(a，b＞0)；
③＝24y(x，y＞0)；
④(a，b，c＞0)．
4．当a＜b时，的值是__________．
5．将用分数指数幂表示的结果是____．
6．若am＝2，an＝3，则＝________．
7．已知a＋＝3，则＝__________．
8．化简：(1)＝________；
(2)(a＞0，b＞0)＝________．
9．计算：(1)
(2)．
10．已知，，求的值．
11．已知a＋a－1＝5，求下列各式的值：
(1)a2＋a－2；(2)；(3)a3＋a－3．
12．已知a＞0，对于0≤r≤8，r∈N
，式子能化为关于a的整数指数幂的可能情形有几种？
参考答案
1．解析：从n次方根和n次根式的
( http: / / www.21cnjy.com )概念入手，认清各概念与各符号之间的关系．此题主要目的是分清n次方根是什么和有几个，进一步明确根式进行简单运算的依据．
①正确，由(－2)4＝16可验证．
②不正确，要对n分奇偶讨论．
③不正确，a的n次方根可能有一个值，可能有两个值．
④正确，根据根式运算的依据，当n为奇数时＝a是正确的；当n为偶数时，若a≥0，则有＝a．综上，当a≥0时，无论n为何值均有＝a成立．
答案：2
2．解析：因为，，，，所以最大．
答案：③
3．解析：对于①，因为＝a0＝1，
所以正确．
对于②，原式＝a－4b6，正确．
对于③，原式＝，正确．
对于④，原式＝．
答案：④
4．解析：原式＝|a－b|＋(a－b)＝0．
答案：0
5．解析：原式＝
＝＝．
答案：
6．解析：a3m－n＝，
∴＝．
答案：
7．解析：∵a和的符号相同，a＋＝3＞0，
∴a＞0．
∴＞0．
又＋2＝3＋2＝5，
∴．
答案：
8．解析：(1)原式＝＝＝＝；
(2)原式＝＝＝ab－1．
答案：(1)　(2)ab－1
9．分析：指数为小数时化为分数的形式，底数为根式时，化为指数式，并根据运算法则的顺序进行计算．
解：(1)原式＝
＝；
(2)原式＝
＝2＋4×27＝110．
10．分析：先化简，后求值．
解：＝＝＝1．
11．解：(1)方法一：由a＋a－1＝5两边平方，得a2＋2＋a－2＝25，即a2＋a－2＝23；
方法二：a2＋a－2＝a2＋2＋a－2－2＝(a＋a－1)2－2＝25－2＝23．
(2)∵＝a＋a－1－2＝5－2＝3，
∴．∴．
(3)a3＋a－3＝(a＋a－1)(a2－1＋a－2)
＝(a＋a－1)(a2＋2＋a－2－3)
＝(a＋a－1)［(a＋a－1)2－3］
＝5×(25－3)＝110．
12．
分析：把化为指数式，再分类讨论其指数为整数的有哪几种情形．
解：∵＝＝，∴是整数．∵0≤r≤8，r∈N
，∴r＝4或8．
∴式子能化为关于a的整数指数幂，有2种情形．函数的单调性练习
1．函数的单调递增区间为__________．
2．已知函数f(x)在R上是减函数，则满足＜f(1)的实数x的取值范围是__________．
3．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的对称轴为x＝2，且a＞0，则下列不等式成立的是__________．
①f(1)＞f(0)；②f(π)＞f(1)；③f(－)＜f(π)；④＞f(π)．
4．已知下列函数：①；②y＝－2x＋1；③y＝－2x2＋4x－1；④．则在区间［1，＋∞)上单调递增的函数是__________．
5．已知二次函数y＝2x2－(m－2)x＋m2－m在(1，＋∞)上单调递增，则m的取值范围是________．
6．若函数f(x)在R上单调递增，则不等式f(x＋2)＜f(3x－6)的解集为__________．
7．若f(x)是二次函数，且f(2)＝－3，f(－2)＝－7，f(0)＝－3，则f(x)的单调增区间是__________．
8．已知函数则不等式f(x)＞2的解集为__________．
9．作出函数f(x)＝x2＋x－6的图象，并回答下列问题：
(1)当x取何值时f(x)≥0？
(2)写出函数的单调区间．
10．若二次函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5在区间上是增函数，求f(2)的取值范围．
11．判断函数(a∈R，且a≠0)在区间(－1,1)内的单调性．
12．已知f(x)＝－x2＋2x＋8，g(x)＝x2－3．
(1)试求f(x)的单调区间；
(2)试判断x∈(2，＋∞)时，f［g(x)］的单调性；
(3)试猜想f［g(x)］的单调区间(不必写过程，只写结果)．
参考答案
1．答案：
2．答案：(－1,0)∪(0,1)
3．答案：②
4．答案：①④
5．答案：(－∞，6］
6．答案：(4，＋∞)
7．答案：(－∞，1)
8．答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)
9．解：由f(x)＝x2＋x－6＝得顶点坐标，
又与坐标轴交点坐标为(－3,0)，(2,0)和(0，－6)，
所以作出如下图所示的图象．
(1)从图象可知，当x≥2或x≤－3时，f(x)≥0．
(2)对于，其定义域为(－∞，－3］∪［2，＋∞)，所以单调增区间为［2，＋∞)，单调减区间为(－∞，－3］．
10．解：二次函数f(x)在区间上是增函数，且抛物线开口向上，
故其对称轴或与直线重合或位于直线的左侧，
故，解得a≤2，
f(2)＝22－(a－1)×2＋5＝11－2a．
所以f(2)≥7．
11．解：设x1，x2为区间(－1,1)内的任意两个值，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝．
因为－1＜x1＜x2＜1，
所以x1x2＋1＞0，x2－x1＞0，x?2?1－1＜0，x?2?2－1＜0．
①当a＞0时，f(x1)－f(x2)＞0，
即f(x1)＞f(x2)，
因此函数在区间(－1,1)上为减函数；
②当a＜0时，f(x1)－f(x2)＜0，
即f(x1)＜f(x2)，
因此函数在区间(－1,1)上为增函数．
12．解：(1)由f(x)＝－x2＋2x＋8＝－(x－1)2＋9，
可知函数f(x)的单调增区间为(－∞，1)，单调减区间为(1，＋∞)．
(2)设x1＞x2＞2，
则g(x1)＝－3，g(x2)＝－3，
从而g(x1)＞g(x2)＞1．
由(1)可知f［g(x1)］＜f［g(x2)］，
从而f［g(x)］在(2，＋∞)上单调递减．
(3)当x∈(－2,0)或x∈(2，＋∞)时函数f［g(x)］单调递减，
当x∈(－∞，－2)或x∈(0,2)时函数f［g(x)］单调递增．课后导练
基础达标
1.函数符号y=f(x)表示（
）
A.y等于f与x的乘积
B.f(x)一定是一个式子
C.y是x的函数
D.对于不同的x,y也不同
解析：由函数定义知y=f(x)表示y是x的函数，故选C.
答案：C
2.集合A={x|0≤x≤4},B={y|0≤y≤2},下列不表示从A到B的函数的是（
）
A.f：x→y=x
B.f：x→y=x
C.f：x→y=x
D.f：x→y=
解析：解本题的关键是抓住函数的定义，看是否满足对于集足A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应.C答案中我们以x=4为例，当x=4时，y=而不是集合B中的元素，所以选C.
答案：C
3.若已知f(x)=x2+1则f(3x+2)为(
)
A.9x2+12x+5
B.9x2+6x+5
C.x2+3x+2
D.9x2+6x+1
解析：f(3x+2)=(3x+2)2+1=9x2+12x+5.故答案选A.
答案：A
4.由下列各式表示的x与y的对应中，y不是x的函数的是(
)
A.3x+2y=1
B.xy=1
C.x2+y2=1(-1≤x≤1)
D.x3+y3=1
解析：此类题主要考虑对于x的任意一个值，在B中是否有唯一值与它对应.C答案中对于x的每一个值，y都有两个值和它对应，故选C.
答案：C
5.设M={x|-2≤x≤2},N={y|0≤y≤2),给出下列4个图形，其中能表示以集合M为定义域，N为值域的函数关系是(
)
解析：据函数概念判断.A答案中定
( http: / / www.21cnjy.com )义域为{x|-2≤x≤0}与M不同；C答案表明对于x的每一个值，y除x=2点之外，都有两个值与x对应；答案D的值域与N不一致，故选B.
答案：B
6.f(x)=,f(-2)=____________,f(0)=_____________,f(a)=_____________,f(-x)=_________,f(t-1)=____________.
解析：把x=-2,0,a,-x,t-1分别代入函数的解析式并化简得最简结果.
答案：-4
2
7.函数y=f(x)定义在区间［-1，1］上，则函数y=f(x)的图象与直线x=的交点个数是_____.
解析：由函数定义知，在y=f(x)中，x=时，有唯一的y值和它对应，故交点个数是1.
答案：1
8.已知f(x)=x2-mx+n，且f(1)=-1,f(0)=2，
求f(-5)的值.
解析：由f(1)=-1,f(0)=2
得
∴
∴f(x)=x2-4x+2.
∴f(-5)=52+4×5+2=47,
9.已知f(x)=x2+1,求f(x-1)=5的解.
解析：∵f(x)=x2+1，
∴f(x-1)=(x-1)2+1，
当f(x-1)=5时，（x-1)2+1=5，
∴(x-1)2=4，∴x-1=±2，
∴x=3或x=-1.
10.已知f(3x+1)=4x+3，求f(2)的值.
解析：先求f(x)的解析式，f(3x+1)=4x+3=(3x+1)+，
∴f(x)=
x+,
∴f(2)=×2+=.
综合训练
11.长方形的周长为4，一边长为x，面积为y，则（
）
A.y=4x-x2(0B.y=2x-x2(0C.y=4x-x2(0D.y=2x-x2(0解析：周长为4，一边长为x，则另一边长为（2-x)，∴y=x(2-x)=2x-x2，由题意可知0.
答案：B
12.拟定从甲地到乙地通话m分钟的
( http: / / www.21cnjy.com )电话费由f(m)=1.06×(0.5［m］+1）(元)决定,其中m>0，［m］是大于或等于m的最小整数，则从甲地到乙地通话时间为5.5分钟的电话费为（
）
A.3.71元
B.3.97元
C.4.24元
D.4.77元
解析：由题意知［5.5］=6，
∴f(5.5)=1.06×(0.5×6+1)
=1.06×4=4.24，
故选C.
答案：C
13.已知f(x)=x2+x+1，则f()=____________，f［f()］=___________.若f(2x+1)=x2，则f(x)=_____________.
解析：f()=()2++1=3+，f［f()］=f(3+)=(3+)2+3++1=15+7,
∵f(2x+1)=x2，令2x+1=t则有x=，∴f(t)=()2,即f(x)=()2.
答案：3+
15+7
()2
14.已知四组函数：
（1）f(x)=x,g(x)=()2n(n∈N
)；
（2）f(x)=x,g(x),=(n∈N)；
（3）f(n)=2n-1,g(n)=2n+1(n∈N)；
(4)f(x)=x2-2x-1,g(t)=t2-2t-1.
其中表示同一函数的是_____________.
解析：在（1）中f(x)的定义
( http: / / www.21cnjy.com )域为R，g(x)的定义域为{x|x≥0};在（3）中两函数的对应关系不同，故（1）（3）中的两个函数不是相同的函数.
在（2）中=x，且两函数定义域均为R，故（2）中两函数表示同一函数.
在（4）中虽然自变量用不同的字母表示，但两函数的定义域和对应关系都相同，所以表示同一函数.
∴(2)（4）表示同一函数.
答案：（2）（4）
15.设f(x)满足3f(x)+2f()=4x,求f(x).
解析：∵3f(x)+2f(1x)=4x,
①
∴3f()+2f(x)=,
②
联立，用①×3-②×2,5f(x)=12x-，
∴f(x)=-.
拓展提升
16.从甲地到乙地的火车票价为80元，儿童乘火车时，按照身高选择免票、半票或全票，选购票种的规则如下表.
身高h/m
购票款数/元
h≤1.1
0
1.140
h>1.4
80
（1）若儿童身高h为输入值，相应的购票款为输出值，则
1.0→____________；1.3→____________；1.5→____________.
(2)若购票款为输入值，儿童身高h为输出值，则0→____________；40→____________.
解：（1）0
40
80
(2)h≤1.1
1.1千里之行
始于足下
1．设，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为________．
2．在下列函数中，定义域和值域相同的函数的个数为______________．
①y＝x2　②　③
④　⑤
3．图中曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，四个值，则对应于曲线C1，C2，C3，C4的n依次为________．
4．已知幂函数f（x）＝（2n2－n）xn＋1，若在其定义域上为单调增函数，则f（x）在区间上的最小值为________．
5．已知函数f（x）＝xα＋m的图象经过点（1,3），又其反函数图象经过点（10,2），则f（f（1））＝________.
6．设，，，则a，b，c的大小关系是________．
7．已知幂函数y＝f（x）过点，试求出此函数的解析式，并作出图象，判断奇偶性、单调性．
8．已知幂函数y＝（m2＋2m－2）xm＋2在（0，＋∞）上是单调增函数，求满足的实数a的取值范围．
百尺竿头
更进一步
　已知幂函数
（p∈Z）在（0，＋∞）上是单调增函数，且是偶函数．
（1）求p的值，并写出相应的函数f（x）的解析式；
（2）设函数g（x）＝－qf[f（x）]＋（
( http: / / www.21cnjy.com )2q－1）f（x）＋1，问是否存在实数q（q＜0），使得g（x）在（－∞，－4]上是单调减函数，且在[－4,0）上是单调增函数？若存在，请求出q的值；若不存在，请说明理由．
参考答案与解析
千里之行
1．1,3　解析：当α＝－1或时，所得幂函数定义域不是R；当α＝1或α＝3时满足题中条件．
2．3　解析：①⑤中函数定义域为R，值域为
( http: / / www.21cnjy.com )[0，＋∞），②中函数的定义域与值域都是[0，＋∞），③④中两函数的定义域与值域都是R，∴②③④符合．
3．2，，，－2　解析：由题图，知C1、C2表示的幂函数在（0，＋∞）上都是单调增函数，对应n值为正；C3、C4表示的幂函数在（0，＋∞）上都是单调减函数，对应的n值为负，又当x＝4时，x2＝16，，，，∴对应于C1，C2，C3，C4的n依次为2，，，－2.
4.　解析：∵f（x）为幂函数，∴2n2－n＝1，解得或n＝1，当时，符合题意；当n＝1时，f（x）＝x2在定义域上不具有单调性，舍去，∴，.f（x）在[0，＋∞）上是单调增函数，∴在上也为单调增函数．∴
5．29　解析：由互为反函数的两个函数图象之
( http: / / www.21cnjy.com )间的关系知，反函数过点（10,2），则（2,10）必在原函数f（x）的图象上，∴2α＋m＝10，①
又f（x）过点（1,3），∴1α＋m＝3，②
由②得m＝2，代入①得α＝3，∴f（x）＝x3＋2.
∴f（1）＝3，f（f（1））＝f（3）＝33＋2＝29.
6．a＞c＞b　解析：构造幂函数，∵该函数在（0，＋∞）上是单调增函数．
∴，即a＞c；构造指数函数，∵该函数在R上是单调减函数，∴，即b＜c，∴a＞c＞b.
7．解：设幂函数为y＝xα，又过点，得，∴.∴函数解析式为，定义域为（0，＋∞）．∴f（x）是非奇非偶函数，且f（x）在（0，＋∞）上为单调减函数，图象为
8．解：由幂函数的定义知，m2＋2m－2＝1，即m2＋2m－3＝0.
解得m＝1或m＝－3，当m＝1
( http: / / www.21cnjy.com )时，y＝x3在（0，＋∞）上单调增函数．符合题意，当m＝－3时，y＝x－1在（0，＋∞）上是单调减函数，不合题意（舍）．
∴m＝1.　∵在（－∞，0）和（0，＋∞）上为单调减函数．
∴由，可得a＋1＞3－2a＞0，
或3－2a＜a＋1＜0，或a＋1＜0＜3－2a，
∴a＜－1或.
∴a的取值范围是．
百尺竿头
解：（1）幂函数在（0，＋∞）上是单调增函数，则，解得－1＜p＜3.又p∈Z，所以p＝0,1,2.
当p＝0或p＝2时，不是偶函数；
当p＝1时，f（x）＝x2是偶函数，所以p＝1，此时f（x）＝x2.
（2）存在．g（x）＝－qx4＋（2q－1）x2＋1，
令t＝x2，则g（x）＝h（t）＝－qt2＋（2q－1）t＋1（t≥0）．
因为t＝x2，在（－∞，0）上是单调减函数，
当x∈（－∞，－4]时，t∈[16，＋∞），当x∈[－4,0）时，t∈（0,16]．
当h（t）在[16，＋∞）上是单调增函数，在（0,16]上是单调减函数时，
g（x）在（－∞，－4]上是单调减函数，在[－4,0）上是单调增函数．
此时二次函数h（t）的图象的对称轴为直线t＝16，即，解得.所以存在实数q，使得g（x）在（－∞，－4]上是单调减函数，且在[－4,0）上是单调增函数．课后导练
基础达标
1.下列四个图形表示四种对应关系,其中是映射的是(
)
A.①②
B.②③
C.③④
D.①④
解析：由映射定义知②③是映射，故选B.
答案：B
2.设A={x|0≤x≤2},B={y|1≤y≤2},在下列各图中能表示从集合A到集合B的映射的是
（
）
解析：A与B的值域不合适，C表示的是象不唯一，故选D.
答案：D
3.从集合A到集合B的对应:①A=R,B=R
( http: / / www.21cnjy.com )+,f:求绝对值;②A=R+,B=R,f:开平方;③A={平面内的点},B={平面内的圆},f:在平面内以A中的点为圆心画圆.其中映射的个数是(
)
A.0
B.1
C.2
D.3
解析：①A中的0元素在B中没有象；②A中元素的象不唯一；③A中元素的象不唯一，没有映射，故选A.
答案：A
4.设集合A和集合B都是实
( http: / / www.21cnjy.com )数集R，映射f:A→B是把集合A中的元素x对应到集合B中的元素x3-x+1,则在映射f下象1的原象所组成的集合是（
）
A.{1}
B.{0}
C.{0，-1，1}
D.{0，1，2}
解析：由x的象为x3-x+1,于是令x3-x+1=1解出的x应为原象,选C.
答案：C
5.设集合A和B都是自然数集,映射f:A→B
( http: / / www.21cnjy.com )把A中的元素n映射到B中的元素2n+n,则在映射f下,A中的元素____________对应B中的元素3（
）
A.1
B.3
C.9
D.11
解析：∵2n+n=3,把选项代入检验得n=1.
答案：A
6.已知集合A={1，2，3，…，10}，B={1，，，…，}，设x∈A,y∈B,试给出一个对应法则f，使f:A→B是从集合A到B的一个映射，f:x→y=.
解析：观察并根据映射的定义知y=.
答案：
7.已知集合A=N
,B={奇数},映射f
( http: / / www.21cnjy.com ):A→B,使A中任一元素a与B中元素2a-1相对应,则与B中元素17对应的A中的元素为______________.
解析：由2a-1=17,得a=9.
答案：9
8.已知A到B的映射f1:x→2x-1,从B到C的映射f2:y→,则从集合A到C的对应法则是什么？
解析：由题意知：x→2x-1,则y=2x-1,C中的元素z,z==,
∴A到C的映射f:x→.
9.根据映射的定义,判定下列各题给定的集合A、集合B与对应关系f是否构成映射:
(1)A={1,2,3,4},B={3,4,5,6,7,8,9},f:x→2x+1;
(2)A={平面M内的三角形},B={平面M内的圆},f:作三角形的内切圆;
(3)A=B=N
,f:x→y=|x-3|.
解析：(1)是.
(2)是.因为每一个三角形都有唯一确定的内切圆.
(3)不是.因A中的元素3在B中没有象.
10.A={(x,y)|x+y<3,x∈N
( http: / / www.21cnjy.com ),y∈N},B={0,1,2},f:(x,y)→x+y,这个对应是否为映射 是否为函数 并说明理由.
解析：这个对应是映射，不是函数.
因为由题意知A={(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0)},按照f:(x,y)→x+y,在B中都有元素和它对应，所以这个对应是映射；而对于映射，集合A不是数集,故不是函数.
综合训练
11.在映射f：A→B中，下列说法中不正确的为（
）
①集合B中的任一元素，在集合A中至少有一个元素与它相对应
②集合B中至少存在一元素在集合A中无原象
③集合B中可能有元素在集合A中无原象
④集合B中可能有元素在集合A中的原象不止一个
A.①②
B.②③
C.③④
D.①④
解析：对集合A到B的映射f，其象集f(A)
( http: / / www.21cnjy.com )B,它可以是f(A)
( http: / / www.21cnjy.com )B,也可以是f(A)=B,
所以③④两种说法均为真，而①②不真.故选A.
答案：A
12.已知集合M={x|0≤x≤6},P={y|0≤y≤3},则下列对应关系中不能看作从M到P的映射的是(
)
A.f:x→y=x
B.f:x→y=x
C.f:x→y=x
D.f:x→y=x
解析：观察在M集合中的元素，按照选项中所给的对应法则，选项C中，当3＜x≤6时，M中的元素x在P中没象,故选C.
答案：C
13.已知集合M={a,b,c},N
( http: / / www.21cnjy.com )={1,2,3,4},则从M到N的映射有____________个,从N→M的映射有_____________个.
解析：M中的a元素在N中有4种不同的
( http: / / www.21cnjy.com )对应，b、c也是如此，因此，从M到N的映射有4×4×4=64个，同理从N到M的映射有3×3×3×3=81个.
答案：64
81
14.若M={-1,0,1
( http: / / www.21cnjy.com )},N={-2,-1,0,1,2},从M到N的映射满足:对每个x∈M恒使x+f(x)为偶数,则映射f有__________个.
解析：M中的-1，能和N中的-1，1对应；M中的0能和N中的-2，0，2对应，M中的1能和-1，1对应，故有2×3×2=12个.
答案：12
15.已知A={1，2，3，k},B=
( http: / / www.21cnjy.com ){5,7,a4,a2+2a},a∈N
,k∈N,x∈A,y∈B,f:x→y=2x+1是从定义域A到值域B的一个函数，求a,k,A,B.
解析：由对应法则：1→3,2→5,3→7,
k→2k+1,
∴a4≠3,a2+2a=3.
得a=1或a=-3(舍去)，∴a4=1.
又2k+1=1,∴k=0,
故A={0，1，2，3}，B={1，3，5，7}.
拓展提升
16.已知A=N,B={,,,…},f是A到B的映射,且f:x→y=(x∈A,y∈B).
(1)求与B中的对应的A中的元素;
(2)求与B中的元素y对应的A中的元素;
(3)构造一个从B到A的映射,使A中的每一个元素在B中都有元素和它对应.
解析：(1)=x=8.
(2)y=2x-1=y(2x+1)2x-1=2xy+yx=.
(3)由（2）知，g:y→.课后训练
千里之行
始于足下
1．下列函数为单调增函数的序号是________．
①
（x>0）；②；③；④.
2．函数y＝x2－3x＋2的单调减区间是________，最小值是________．
3．下列命题正确的序号是________．
①定义在（a，b）上的函数f（x），若
( http: / / www.21cnjy.com )存在x1，x2∈（a，b），使得x1②定义在（a，b）上的函数f（x），若有
( http: / / www.21cnjy.com )无穷多对x1，x2∈（a，b），使得x1③若f（x）在区间I1上是单调增函数，在区间I2上也是单调增函数，则f（x）在I1∪I2上也一定是单调增函数．
④若f（x）在区间I上单调递增，g（x）在区间I上单调递减，则f（x）－g（x）在区间I上单调递增．
4．已知函数y＝f（x）与函数y＝g（x）的图象如图：
则函数y＝f（x）的单调增区间是________；函数y＝g（x）的单调减区间是________．
5．小军遇到这样一道题目
( http: / / www.21cnjy.com )：写出满足在（－∞，0）上递减，在[0，＋∞）上递增，且有最小值为2的两个函数．请你帮小军写出满足条件的两个函数表达式：________________________________.
6．有下列四个命题：
①函数y＝2x2＋x＋1在（0，＋∞）上不是单调增函数；②函数在（－∞，－1）∪（－1，＋∞）上是单调减函数；③函数的单调增区间是（－∞，＋∞）；④已知f（x）在R上为单调增函数，若a＋b>0，则有f（a）＋f（b）>f（－a）＋f（－b）．
其中正确命题的序号是________．
7．已知函数f（x）＝x2＋2（1－2a）x＋6在（－∞，－1）上是单调减函数．
（1）求f（2）的取值范围；
（2）比较f（2a－1）与f（0）的大小．
8．已知函数f（x）＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．
（1）当a＝－1时，求函数f（x）的最大值与最小值；
（2）求实数a的取值范围，使y＝f（x）在区间[－5,5]上是单调函数．
百尺竿头
更进一步
　已知函数，问此函数在区间[2,6]上是否存在最大值和最小值？若存在，请求之，若不存在，请说明理由．
参考答案与解析
千里之行
1．④　解析：在（0，＋∞）上是单调减函数在[0，＋∞）上是单调减函数，.在（0，＋∞）上也是单调减函数，
在[0，＋∞）上为单调增函数．
2．　　解析：函数的对称轴为，且开口向上，所以单调减区间为．，∴当时，.所以函数的最小值为.
3．④　解析：由单调增函数的定义，知x1，x2必须是区间（a，b）上的任意两个值且x1对④设x1，x2∈I,
且x1( http: / / www.21cnjy.com )2，则f（x1）g（x2），∴－g（x2）>－g（x1），∴f（x2）－g（x2）>f（x1）－g（x1），故f（x）－g（x）在I上单调递增，∴④正确．
4．（－∞，－2]，[0，＋∞）　（－∞，0]，（0，＋∞）
5．y＝x2＋2或y＝|x|＋2　解析：这是一个开放性题，答案不惟一，可以是y＝ax2＋2，y＝a|x|＋2（a>0）．
6．④　解析：①因为函数在上为单调增函数，所以在（0，＋∞）上也是单调增函数，故①错．②函数在区间（－∞，－1）和（－1，＋∞）上各自是单调减函数，但不能说函数在（－∞，－1）∪（－1，＋∞）上为单调减函数，因为当取x1＝－2，x2＝0时，x1故③错．④∵f（x）在R上为单调增函数，又a＋b>0，∴有a>－b，或b>－a，则有f（a）>f（－b），或f（b）>f（－a）．两式相加得f（a）＋f（b）>f（－a）＋f（－b），故④正确．
7．解：（1）∵二次函数f
( http: / / www.21cnjy.com )（x）＝x2＋2（1－2a）x＋6的图象的对称轴为x＝2a－1，且开口向上，∴此函数在区间（－∞，2a－1]上是单调减函数．若使f（x）在（－∞，－1）上为单调减函数，其对称轴x＝2a－1必须在x＝－1的右侧或与其重合，即－1≤2a－1，∴a≥0.∴f（2）＝22＋2（1－2a）×2＋6＝－8a＋14≤14，即f（2）∈（－∞，14]．
（2）∵当x＝2a－1时，二次函数f（x）取得最小值，
∴f（2a－1）≤f（0）．
8．解：（1）当a＝－1时，f（x）＝x2－2x＋2＝（x－1）2＋1，x∈[－5,5]．
∵f（x）的对称轴为x＝1，∴当x＝1时f（x）取得最小值为1；当x＝－5时，f（x）取得最大值，且f（x）max＝f（－5）＝37.
（2）f（x）＝x2＋2ax
( http: / / www.21cnjy.com )＋2＝（x＋a）2＋2－a2的对称轴为x＝－a.∵f（x）在[－5,5]上是单调函数，∴－a≤－5或－a≥5，解得a≤－5或a≥5，∴a的取值范围是{a|a≤－5，或a≥5}．
百尺竿头
解：假设存在，先判定函数的单调性．
设x1，x2∈[2,6]，且x1.由2≤x10，x2－1>0，∴（x1－1）（x2－1）>0，又∵x10，∵f（x1）>f（x2），∴函数在区间[2,6]上是单调减函数．
∴函数在[2,6]的两个端点上分别取得最大值与最小值，即当x＝2时，取最大值，且最大值为2；在x＝6时，取最小值，最小值为0.4.课后导练
基础达标
1.下面有四个命题，其中正确命题的个数为(
)
①集合N中最小数为0;②若a∈Q,则a∈R;③所有小的正数组成一个集合;④若a∈N,b∈N,则a+b的最小值为2.
A.0
B.1
C.2
D.3
解析：①②正确，故选C.
答案：C
2.方程组的解集为(
)
A.(1,0,2)
B.{1,0,2}
C.{(1,0,2)}
D.{(x,y,z)|(1,2,3)}
解析：三元一次方程组解唯一，它的解集只有一个元素而由方程组可知x=1，y=0,z=2，故选C.
答案：C
3.已知x∈N
,则方程x2-2x-3=0的解集为(
)
A.{3}
B.{-1}
C.{-1,3}
D.{(-1,3)}
解析：x2-2x-3=0的实数解为x=3,x=-1，而x∈N
,
∴x=3，故选A.
答案：A
4.下列集合中,表示同一集合的是(
)
A.M={(0,1)},N={(1,0)}
B.M={1,2},N={(1,2)}
C.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1}
D.M={3,2},N={2,3}
解析：A中集合的主要元素是点的坐标，M与N不同，B、C中主要元素不同，故选D.
答案：D
5.下列集合表示空集的是（
）
A.{x|x=0}
B.{(x,y)|y2=-x2,x,y∈R}
C.{x|2x2+3x-2=0,x∈N}
D.{x|1}
解析：集合{x|2x2+3x-2=0,x∈N}中2x2+3x-2=0的解为和-2，均不属于N，故选C.
答案：C
6.设B={,,,,…},用描述法可表示为______________.
答案：B={x|x=,k∈N
}
7.集合A={x|8答案：{9，10，11}
8.用列举法表示下列给定的集合：
（1）大于1且小于8的质数；
（2）A={x|-2解析：（1）∵大于1且小于8的质数有2,3,5,7,
∴集合为{2,3,5,7}.
（2）∵-1∴x为0,1,2,3,4.
∴A={0,1,2,3,4}.
9.用适当方法表示下列集合：
（1）二次函数y=x2+2x-1的函数值组成的集合；
（2）一次函数y=2x的自变量的值组成的集合.
解析：此类问题求解的关键是认清集合中的元素是什么.
（1）因为二次函数y=x2+2x-1在x∈R时的值有无数个，故用描述法表示为{y|y=x2+2x-1}.
（2）同（1）一样也是一个无限集，故用描述法表示{x|y=2x}.
10.设集合A={x|∈N，x∈N}.
(1)试判断元素1,元素3与集合A的关系;
(2)用列举法表示集合A.
解析：（1）当x=1时，=2∈N,
当x=3时，=N,
∴1∈A,3A.
（2）因当x=0时，=3∈N,
当x=4时，=1∈N,
∴A={0,1,4}.
综合训练
11.设M={面积为1的三角形},N={面积为1的正方形},则(
)
A.M、N都是有限集
B.M、N都是无限集
C.M是有限集,N是无限集
D.M是无限集,N是有限集
解析：根据题目中所给集合中元素是否可数，M中面积为1的三角形有无数个而面积为1的正方形只有一种，故选D.
答案：D
12.已知集合A={x|1）
A.{1,2,3}
B.{2,3}
C.{1,2}
D.{1,3}
答案：B
13.平面直角坐标系中,到两坐标轴距离相等的点的集合可表示为_____________.
解析：由于集合中的元素是点，于是所表示的集合是{(x,y)|y=±x}.
答案：{(x,y)|y=±x}
14.使式子有意义的x允许值组成的集合是____________,它是____________集.
解析：由题意得1-x≥0且x+2≠0，
∴x≤1且x≠-2,
于是所求得集合为{x|x≤1且x≠-2}.
因满足集合条件的实数有无限个，故为无限集.
答案：{x|x≤1且x≠-2}
无限
15.设P表示平面内的动点，属于下列集合的点组成什么图形：
（1）{P|PO=1
cm}（O是定点）；
（2）{P|PA=PB}（A、B是两个定点）.
解析：（1）点P满足到定点O的距离等于定长，故点P在以O为圆心，1
cm为半径的圆上，既点P组成圆.
（2）点P到A、B两定点距离相等，则点P在A、B线段的中垂线上，即点P组成直线.
拓展提升
16.在平面直角坐标系里，
( http: / / www.21cnjy.com )集合A={(x,y)|2x-y=1}表示直线2x-y=1.从这个角度看，集合B={(x,y)|2x-y=1且x+4y=5}表示什么？观察集合A、B，看它们有什么关系？
解析：集合B表示点（x,y）而点满足的
( http: / / www.21cnjy.com )条件是它既在直线2x-y=1上，又在直线x+4y=5上，所以它表示两条直线的交点.而A集合表示直线上的所有的点，所以B集合的唯一的元素是A中的一个元素.课后导练
基础达标
1.下面有四个命题，其中正确命题的个数为(
)
①集合N中最小数为0;②若a∈Q,则a∈R;③所有小的正数组成一个集合;④若a∈N,b∈N,则a+b的最小值为2.
A.0
B.1
C.2
D.3
解析：①②正确，故选C.
答案：C
2.方程组的解集为(
)
A.(1,0,2)
B.{1,0,2}
C.{(1,0,2)}
D.{(x,y,z)|(1,2,3)}
解析：三元一次方程组解唯一，它的解集只有一个元素而由方程组可知x=1，y=0,z=2，故选C.
答案：C
3.已知x∈N
,则方程x2-2x-3=0的解集为(
)
A.{3}
B.{-1}
C.{-1,3}
D.{(-1,3)}
解析：x2-2x-3=0的实数解为x=3,x=-1，而x∈N
,
∴x=3，故选A.
答案：A
4.下列集合中,表示同一集合的是(
)
A.M={(0,1)},N={(1,0)}
B.M={1,2},N={(1,2)}
C.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1}
D.M={3,2},N={2,3}
解析：A中集合的主要元素是点的坐标，M与N不同，B、C中主要元素不同，故选D.
答案：D
5.下列集合表示空集的是（
）
A.{x|x=0}
B.{(x,y)|y2=-x2,x,y∈R}
C.{x|2x2+3x-2=0,x∈N}
D.{x|1}
解析：集合{x|2x2+3x-2=0,x∈N}中2x2+3x-2=0的解为和-2，均不属于N，故选C.
答案：C
6.设B={,,,,…},用描述法可表示为______________.
答案：B={x|x=,k∈N
}
7.集合A={x|8答案：{9，10，11}
8.用列举法表示下列给定的集合：
（1）大于1且小于8的质数；
（2）A={x|-2解析：（1）∵大于1且小于8的质数有2,3,5,7,
∴集合为{2,3,5,7}.
（2）∵-1∴x为0,1,2,3,4.
∴A={0,1,2,3,4}.
9.用适当方法表示下列集合：
（1）二次函数y=x2+2x-1的函数值组成的集合；
（2）一次函数y=2x的自变量的值组成的集合.
解析：此类问题求解的关键是认清集合中的元素是什么.
（1）因为二次函数y=x2+2x-1在x∈R时的值有无数个，故用描述法表示为{y|y=x2+2x-1}.
（2）同（1）一样也是一个无限集，故用描述法表示{x|y=2x}.
10.设集合A={x|∈N，x∈N}.
(1)试判断元素1,元素3与集合A的关系;
(2)用列举法表示集合A.
解析：（1）当x=1时，=2∈N,
当x=3时，=N,
∴1∈A,3A.
（2）因当x=0时，=3∈N,
当x=4时，=1∈N,
∴A={0,1,4}.
综合训练
11.设M={面积为1的三角形},N={面积为1的正方形},则(
)
A.M、N都是有限集
B.M、N都是无限集
C.M是有限集,N是无限集
D.M是无限集,N是有限集
解析：根据题目中所给集合中元素是否可数，M中面积为1的三角形有无数个而面积为1的正方形只有一种，故选D.
答案：D
12.已知集合A={x|1）
A.{1,2,3}
B.{2,3}
C.{1,2}
D.{1,3}
答案：B
13.平面直角坐标系中,到两坐标轴距离相等的点的集合可表示为_____________.
解析：由于集合中的元素是点，于是所表示的集合是{(x,y)|y=±x}.
答案：{(x,y)|y=±x}
14.使式子有意义的x允许值组成的集合是____________,它是____________集.
解析：由题意得1-x≥0且x+2≠0，
∴x≤1且x≠-2,
于是所求得集合为{x|x≤1且x≠-2}.
因满足集合条件的实数有无限个，故为无限集.
答案：{x|x≤1且x≠-2}
无限
15.设P表示平面内的动点，属于下列集合的点组成什么图形：
（1）{P|PO=1
cm}（O是定点）；
（2）{P|PA=PB}（A、B是两个定点）.
解析：（1）点P满足到定点O的距离等于定长，故点P在以O为圆心，1
cm为半径的圆上，既点P组成圆.
（2）点P到A、B两定点距离相等，则点P在A、B线段的中垂线上，即点P组成直线.
拓展提升
16.在平面直角坐标系里，集
( http: / / www.21cnjy.com )合A={(x,y)|2x-y=1}表示直线2x-y=1.从这个角度看，集合B={(x,y)|2x-y=1且x+4y=5}表示什么？观察集合A、B，看它们有什么关系？
解析：集合B表示点（x,y）而点满足的
( http: / / www.21cnjy.com )条件是它既在直线2x-y=1上，又在直线x+4y=5上，所以它表示两条直线的交点.而A集合表示直线上的所有的点，所以B集合的唯一的元素是A中的一个元素.对数函数的概念与性质练习
1．设a＝lg
e，b＝(lg
e)2，，则a，b，c的大小关系是__________．
2．下列函数中，与函数有相同定义域的是__________．
①f(x)＝ln
x；②；③f(x)＝|x|；④f(x)＝ex.
3．设P和Q是两个集合，定义集合P－Q＝{
( http: / / www.21cnjy.com )x|x∈P，且x Q}，如果P＝{x|log2x＜1}，Q＝{x|1＜x＜3}，那么P－Q＝__________.
4．若0＜x＜y＜1，则下列不等式成立的是__________．
①3y＜3x；②logx3＜logy3；③log4x＜log4y；④.
5．函数的定义域为__________．
6．函数y＝lg(x2＋4x＋14)的值域为__________．
7．函数＋log2(x－1)的值域是__________．
8．设a＝60.7，b＝0.76，c＝log0.76，则a，b，c的大小关系是__________．
9．设函数试求方程f(x)＝4的解集．
10．解不等式：loga(x－4)＞loga(x－2)．
11．求函数y＝()2－＋5在x∈[2,4]上的值域．
12．设x≥0，y≥0，且x＋2y＝，求函数T＝(8xy＋4y2＋1)的最大值与最小值．
参考答案
1．答案：a＞c＞b
2．解析：函数的定义域是(0，＋∞)，而函数f(x)＝ln
x的定义域也是(0，＋∞)．
答案：①
3．解析：先解不等式，得P＝{x|0＜x＜2}．
由P－Q定义，得P－Q＝{x|0＜x≤1}．
答案：{x|0＜x≤1}
4．答案：③
5．解析：由得0＜x≤，且x≠.
所以所求函数的定义域是∪.
答案：∪
6．解析：因为x2＋4x＋14＝(x＋2)2＋10，
所以y∈[1，＋∞)．
答案：[1，＋∞)
7．解析：由得x≥3，
此时x－1≥2.log2(x－1)≥1，
所以所求值域为[1，＋∞)．
答案：[1，＋∞)
8．解析：因为c＝log0.76＜0,0＜0.76＜1,60.7＞1，
所以a＞b＞c.
答案：a＞b＞c
9．解：由得x＝2；由得x＝16.
所以所求方程的解集为{2,16}．
10．解：当a＞1时，原不等式等价于无解；
当0＜a＜1时，原不等式等价于
解之，得x＞4.
∴当a＞1时，原不等式的解集为
( http: / / www.21cnjy.com )；
当0＜a＜1时，原不等式的解集为(4，＋∞)．
11．解：y＝()2－＋5＝(－1)2＋4.
当x∈[2,4]时，∈.
所以值域为.
12．解：∵x＋2y＝，∴2y＝－x.
设P＝8xy＋4y2＋1
＝
＝－3x2＋x＋＝，
又∵x≥0，y≥0，x＋2y＝，
∴－x＝2y≥0，即x≤.
∴0≤x≤，在此范围内，当x＝时，P的最大值为；当x＝时，P的最小值为1.
∵0＜＜1，∴是减函数．
因此，函数(8xy＋4y2＋1)的最大值是，最小值是.对数函数的图象与性质练习
1．为了得到函数的图象，只需把函数y＝lg
x的图象上所有的点向__________平移3个单位长度，再向__________平移1个单位长度．
2．已知函数f(x)＝loga
( http: / / www.21cnjy.com )(2x＋b－1)(a＞0，a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的条件是________________________________________________________________________．
3．下图是对数函数y＝logax当底数a的值分别取，，，时所对应的图象，则相应于C1，C2，C3，C4的a的值依次是__________．
4．函数f(x)＝1＋log2x与g(x)＝2－x＋1在同一直角坐标系下的图象大致是__________．
5．函数f(x)＝log(a－1)x是减函数，则a的取值范围是________．
6．若loga2＜logb2＜0，则a，b与0,1的大小关系是__________．
7．函数(1－x)的单调递增区间是__________．
8．已知偶函数f(x)，当x＞0时，f(x)＝lg(x＋1)，则当x＜0时，f(x)的表达式是__________．
9．已知函数f(x)＝lg(x－1)，
(1)求函数f(x)的定义域和值域；
(2)证明f(x)在定义域上是增函数．
参考答案
1．解析：＝lg(x＋3)－1.
答案：左　下
2．解析：由图象易知a＞1，
所以0＜a－1＜1.
又取x＝0得f(0)＝logab＜0且logab＞－1，
所以0＜a－1＜b＜1.
答案：a＞1，＜b＜1
3．解析：因为底数a大于1时，
( http: / / www.21cnjy.com )对数函数的图象自左向右呈上升趋势，且a越大，图象就越靠近x轴；底数a大于0且小于1时，对数函数的图象自左向右呈下降趋势，且a越小，图象就越靠近x轴．
答案：，，，
4．解析：注意g(x)＝2－x＋1＝2－(x－1)的图象是由y＝2－x的图象右移1个单位而得，本题考查函数图象的平移法则．
答案：③
5．解析：注意到a－1既受a－1＞0且a－1≠1的制约，又受减函数的约束，由此可列关于a的不等式求a.
由题意知0＜a－1＜1，∴1＜a＜2.
答案：(1,2)
6．解析：方法一：由底数与对数函数的图象关系(如下图)，可知y＝logax，y＝logbx图象的大致走向．
再由对数函数的图象规律：从第一象限看，自左向右底数依次增大．
方法二：取特殊值法．
∵，＝，
∴＜＜0.
∴可取，，则0＜b＜a＜1.
答案：0＜b＜a＜1
7．解析：函数的定义域是(－∞，1)，设，u＝1－x，由于函数是减函数，函数u＝1－x是减函数，则函数(1－x)的单调递增区间是(－∞，1)．
答案：(－∞，1)
8．解析：当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝lg(－x＋1)，
因为f(x)为偶函数，
所以f(x)＝f(－x)＝lg(1－x)．
答案：lg(1－x)
9．分析：(1)结合对数函数的性质易得知函数f(x)的定义域和值域；(2)可用定义法证明f(x)在定义域上的单调性．
(1)解：要使函数有意义，x的取值需满足x－1＞0，则有x＞1，即函数f(x)的定义域是(1，＋∞)．
由于函数f(x)的定义域是(1，＋∞)，则有u＝x－1的值域是(0，＋∞)，那么函数f(x)的值域是R.
(2)证明：任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1＜x2，则有
f(x1)－f(x2)＝lg(x1－1)－lg(x2－1)＝，∵1＜x1＜x2，∴0＜x1－1＜x2－1.
∴0＜＜1.又∵当0＜x＜1时，y＝lg
x＜0，
∴.
∴f(x1)＜f(x2)．
∴f(x)在定义域上是增函数．函数的奇偶性练习
1．奇函数f(x)在区间［3,7
( http: / / www.21cnjy.com )］上为单调增函数，最小值为5，那么函数f(x)在区间［－7，－3］上为单调__________函数，且最__________值为__________．
2．函数f(x)是R上的偶函数，且在［0，＋∞)上单调递增，则下列各式成立的是__________．
①f(－2)＞f(0)＞f(1)；②f(－2)＞f(1)＞f(0)；
③f(1)＞f(0)＞f(－2)；④f(1)＞f(－2)＞f(0)．
3．下列函数中是奇函数且在(0,1)上单调递增的函数是__________．
①f(x)＝x＋；②f(x)＝x2－；
③；④f(x)＝x|x|．
4．下列函数是奇函数的是__________．
①；②y＝－3x2；③y＝－|x|；④y＝πx3－x；⑤y＝x3·|x|．
5．若φ(x)，g(x)都是奇函数，f(x)
( http: / / www.21cnjy.com )＝aφ(x)＋bg(x)在(0，＋∞)上有最大值5，则f(x)在(－∞，0)上有__________．(填最值情况)
6．设函数为奇函数，则a＝__________．
7．若f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，则在R上f(x)的表达式为__________．
8．已知f(x)＝x3＋，且f(a)＝1，则f(－a)＝____．
9．判断函数的奇偶性．
10．已知函数f(x)＝x2＋(x≠0)，常数a∈R，讨论函数f(x)的奇偶性并说明理由．
11．若函数当a为何值时，f(x)是奇函数？
12．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x2－4x＋3．
(1)求f［f(－1)］的值；
(2)求函数f(x)的解析式；
(3)求函数f(x)在区间［t，t＋1］(t＞0)上的最小值．
参考答案
1．解析：根据题意作出如图所示的草图即可知．
答案：增　大　－5
2．解析：由条件得f(－2)＝f(2)，
因为f(x)在［0，＋∞)上单调递增，
所以f(0)＜f(1)＜f(2)，
即f(－2)＞f(1)＞f(0)．
答案：②
3．解析：由定义可知①④是奇函数，
但对于函数f(x)＝x＋来说，
当x＝时，＝，
当x＝时，＝，
所以①不是递增函数．
答案：④
4．解析：先判断定义域关于原点
( http: / / www.21cnjy.com )是否对称，再确定f(－x)与－f(x)的关系．①中定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)关于原点不对称，所以排除①；②③均是偶函数；④⑤中函数的定义域是R，可得f(－x)＝－f(x)，则它们是奇函数．
答案：④⑤
5．解析：由条件得f(－x)＝aφ(－x)＋bg(－x)＝－aφ(x)－bg(x)＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数，它的图象关于原点对称．
答案：最小值－5
6．解析：由f(－x)＋f(x)＝0得＝0，解得a＝－1．
答案：－1
7．解析：当x＜0时，－x＞0，
f(－x)＝(－x)2－2(－x)＝x2＋2x，
∵f(x)为奇函数，
∴f(x)＝－f(－x)＝－x2－2x．
综上所述，
答案：
8．解析：f(x)＝x3＋的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f(－x)＝(－x)3＋＝＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．
因此f(－a)＝－f(a)＝－1．
答案：－1
9．解：f(x)的定义域为(－6，－1］∪［1,6)，关于原点对称．
当x∈(－6，－1］时，－x∈［1,6)，
f(－x)＝(－x－5)2－4＝(x＋5)2－4＝f(x)；
当x∈［1,6)时，－x∈(－6，－1］，
f(－x)＝(－x＋5)2－4＝(x－5)2－4＝f(x)．
综上可知，对于x∈(－6，－1］∪［1,6)，
都有f(－x)＝f(x)，
所以f(x)为偶函数．
10．解：当a＝0时，f(x)＝x2对任意的x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝(－x)2＝f(x)，
所以f(x)为偶函数．
当a≠0时，f(x)＝x2＋(x≠0)，不妨取x＝±1，
f(－1)＋f(1)＝2≠0，f(－1)－f(1)＝－2a≠0，
所以f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)．
所以函数既不是奇函数又不是偶函数．
11．解：假设f(x)是奇函数，则有f(－x)＝－f(x)．
当x＞0时，－x＜0，
则f(－x)＝a(－x)2＋(－x)＝ax2－x．
又∵x＞0时，f(x)＝－x2＋x，
∴－f(x)＝x2－x．
∵f(－x)＝－f(x)，
即ax2－x＝x2－x，
∴a＝1．
下面证明是奇函数．
证明：当x＞0时，－x＜0，
则f(－x)＝(－x)2＋(－x)
＝x2－x＝－(－x2＋x)＝－f(x)；
当x≤0时，－x≥0，
则f(－x)＝－(－x)2＋(－x)＝－x2－x＝－(x2＋x)＝－f(x)，
于是
∴f(－x)＝－f(x)．
∴假设成立，a＝1．
12．解：(1)因为f(－1)＝－f(1)＝0，故f［f(－1)］＝f(0)，
由奇函数的性质知f(0)＝0，
从而有f［f(－1)］＝0．
(2)当x＝0时，由奇函数的性质知f(0)＝0；
当x＜0时，－x＞0，
故f(x)＝－f(－x)
＝－［(－x)2－4(－x)＋3］
＝－x2－4x－3．
综上所述，
(3)当x＞0时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，对称轴为x＝2．
当0＜t≤1时，区间［t，t＋1］(t＞0)在对称轴的左侧，此时f(x)min＝f(t＋1)＝t2－2t；
当1＜t≤2时，对称轴在区间［t，t＋1］(t＞0)内部，此时f(x)min＝f(2)＝－1；
当t＞2时，区间［t，t＋1］(t＞0)在对称轴的右侧，此时f(x)min＝f(t)＝t2－4t＋3．
综上所述，