高一数学苏教版必修1同步练习Word版含解析30份

2.1.2　函数的表示方法
1．已知函数f(x)＝　则f(f())＝__________.
2．x∈A，y∈B，下列两个表格①和②能看成y是x的函数的表格是________．
x
1
2
3
2
5
y
90
89
89
85
95
x
1
2
3
4
5
y
90
89
89
90
95
3．函数y＝f(x)的图
( http: / / www.21cnjy.com )象如右图所示，那么f(x)的定义域是________；值域是________；其中只与x的一个值对应的y值的范围是________．
4．已知函数f(x)＝，求解：
(1)点(3,14)在f(x)的图象上吗？
(2)当x＝4时，求f(x)的值；
(3)当f(x)＝2时，求x的值．
课堂巩固
1．已知函数f(x)＝则f(f(－π))的值为________．
2．下列图形是函数y＝－|x|(x∈[－2,2])的图象的序号是________．
3．(1)已知f()＝，则f(x)的解析式为________．
(2)已知f(x)是一次函数，若f(f(x))＝9x＋3，则f(x)的解析式为__________．
4．已知正方形的周长为x，它的外接圆的半径为y，则y关于x的解析式是__________．
5．已知f(x－1)＝2x＋3，f(m)＝6，则m等于__________．
6．如下图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽2
m，渠深1.8
m，边坡的倾角是45°.
(1)试用解析表达式将横断面中水的面积A
m2表示成水深h
m的函数；
(2)画出函数的图象；
(3)确定函数的定义域和值域．
1．设f(x)＝　则f(f())＝________.
2．下列图象中表示函数关系y＝f(x)的序号是__________．
3．植物园要建形状为直角梯形的苗圃，两邻
( http: / / www.21cnjy.com )边借用夹角为135°的两面墙，另两边总长为30米．设垂直于底边的腰长为x米，则苗圃面积S关于x的函数解析式为__________
．
4．已知函数f(x)＝　若f(a)＝3，则a的值是__________．
5．由于水污染日益严重，水资源变得日益
( http: / / www.21cnjy.com )短缺．为了节约用水，某市政府拟自2009年开始对居民自来水收费标准调整如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨6元；当用水超过4吨时，超过部分每吨增收3元．则某户居民所交水费y元与该月此户居民所用水量x吨之间的函数关系式为____________．
6．已知f(x)＋2f()＝x(x≠0)，则f(x)＝__________.
7．函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x＋2)＝，若f(1)＝－5，则f(f(5))＝__________.
8．(1)已知f(x)满足f(x－)＝x2＋，则f(x＋1)的表达式为__________．
(2)(易错题)已知f(1－)＝x，则f(x)的解析式为__________．
9．如图，用长为l的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若矩形底边长为2x，求此框架围成的面积y与x的函数关系式，并指出其定义域．
10．已知函数f(x)＝
(1)求下列各值：f(－8)，f()，f()，f(－)；
(2)作出函数的简图；
(3)求函数的值域．
答案
2．1.2　函数的表示方法
课前预习
1.　>0，∴f()＝－1＝－<0.
∴f(f())＝f(－)＝－＋1＝.
2．②　从表格①中可以得到集合A中的元素2和集合B中的两个元素89,85对应，
∴表示①不能看成y是x的函数，而表格②则可以．
3．[－3,0]∪[2,3)　[1,5)　[1,2)∪(4,5)
4．解：(1)∵＝－≠14，
∴点(3,14)不满足函数解析式，即点(3,14)不在函数f(x)的图象上．
(2)当x＝4时，f(x)＝＝－3.
(3)由f(x)＝2得＝2，解得x＝14.
课堂巩固
1．－π　∵－π<0，
∴f(－π)＝(－π)2－1＝π2－1>0.
∴f(f(－π))＝f(π2－1)＝－π.
2．②　y＝－|x|＝　
其中y＝－x(0≤x≤2)是直线y＝－
( http: / / www.21cnjy.com )x上满足0≤x≤2的一条线段(包括端点)，y＝x是直线y＝x上满足－2≤x＜0的一条线段(包括左端点)，其图象在原点及x轴下方．
3．(1)f(x)＝(x≠0且x≠－1)
(2)f(x)＝3x＋或f(x)＝－3x－
(1)令u＝，∵x≠0且x≠－1，
∴x＝，u≠0且u≠－1.
∴f(u)＝＝(u≠0且u≠－1)，
即f(x)＝(x≠0且x≠－1)．
(2)由题设f(x)＝ax＋b，则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝9x＋3，
比较系数得，a2＝9且ab＋b＝3，
∴或∴f(x)＝3x＋或f(x)＝－3x－.
4．y＝x　如图，设正方形的边长为a，则4a＝x.
∴a＝.
由勾股定理得(2y)2＝a2＋a2＝2a2.
∴y＝a＝x.
5．－　方法一：设x－1＝t，则x＝2t＋2，
f(t)＝2×(2t＋2)＋3＝4t＋7，
即f(x)＝4x＋7.
∴f(m)＝4m＋7＝6.
∴m＝－.
方法二：令2x＋3＝6，得x＝.
∴m＝x－1＝×－1＝－.
6．解：(1)由已知，横断面为等腰梯形，下底为2
m，上底为(2＋2h)
m，高为h
m，
∴水的横断面面积A＝＝h2＋2h(0(2)函数图象如下确定：由于A＝(h＋1)2－1，对称轴为直线h＝－1，顶点坐标为(－1，－1)，且图象过(0,0)和(－2,0)，
又考虑到0∴函数A＝h2＋2h的图象仅是抛物线的一部分，如图所示．
(3)定义域为{h|0∴0课后检测
1.　∵||≤1，
∴f()＝|－1|－2＝－.
∵|－|>1，f(－)＝＝，
∴f(f())＝f(－)＝.
2．②⑤⑥　∵在图②⑤⑥中，一个自变量x都对应唯一的y值，能表示函数f(x)，而①③④则有一个x值对应两个y值的情况，故不能表示函数．
3．S＝－x2＋30x，x∈(0,15)　如图所示，直角梯形的高为x米，一底边长为(30－x)米，则另一底边长为(30－2x)米．
由梯形面积公式得S＝[(30－x)＋(30－2x)]·x
＝(60－3x)x＝－x2＋30x.
又30－2x>0，∴0∴所求的函数解析式为S＝－x2＋30x，x∈(0,15)．
4.　当a≤－1时，f(a)＝a＋2＝3，得a＝1与a≤－1矛盾，舍去；
当－1∴a＝±，∵－ (－1,2)舍去，∴a＝；
当a≥2时，f(a)＝2a＝3，得a＝，与a≥2矛盾，舍去．
综上可知，a＝.
5．y＝　　当用水量0≤x≤4时，水费y＝6x；当用水量x>4时，水费y＝24＋9(x－4)＝9x－12.
6．f(x)＝－(x≠0)　∵f(x)＋2f()＝x(x≠0)，①
∴将上式中的x都用替换得f()＋2f(x)＝.②
解①②关于f(x)与f()的二元方程组得f(x)＝－(x≠0)．
7．－　由f(x＋2)＝，得f(x＋4)＝＝f(x)，
∴f(5)＝f(1)＝－5.
∴f(f(5))＝f(－5)＝f(－1)＝＝＝－.
8．(1)f(x＋1)＝(x＋1)2＋2
(2)f(x)＝(x－1)2(x≤1)
(1)∵f(x－)＝x2＋
＝(x2－2x·＋)＋2x·
＝(x－)2＋2，
∴f(x)＝x2＋2.
∴f(x＋1)＝(x＋1)2＋2.
(2)设1－＝t，则x＝(1－t)2.
∵x≥0，∴t≤1.
∴f(t)＝(1－t)2(t≤1)．
∴f(x)的解析式为f(x)＝(x－1)2(x≤1)．
点评：求函数解析式常用方法有配凑
( http: / / www.21cnjy.com )法(配方)，如第(1)小题；换元法，如第(2)小题，课堂巩固3题中的第(1)题；待定系数法，如课堂巩固第3题的(2)小题；构造方程组消元法，如前面第6题等．本题第(2)小题是将“1－”换元为另一个字母t，求出变量x与t的关系后代入原式可求出t的函数关系，从而得出所求解析式，但用此换元法要特别注意正确确定中间变量t的取值范围，否则就不能准确得出函数f(x)的定义域．
9．解：由题意知此框架是由
( http: / / www.21cnjy.com )一个矩形和一个半圆组成的图形，而矩形的长AB＝2x，设宽为a，则2x＋2a＋πx＝l，即a＝－－x，半圆的直径为2x，半径为x.
所以y＝x2＋(－x－x)·2x＝－(2＋)x2＋lx.
根据实际意义知－x－x>0，
又因为x>0，所以0即函数y＝－(2＋)x2＋lx的定义域是{x|010．解：函数的定义域为[－1,0)∪[0,1)∪[1，2]＝[－1,2]．
(1)因为－8 [－1,2]，所以f(－8)无意义．
因为－1≤x<0时，f(x)＝－x，
所以f(－)＝－(－)＝.
因为0≤x<1时，f(x)＝x2，
所以f()＝()2＝.
因为1≤x≤2时，f(x)＝x，所以f()＝.
(2)在同一坐标系中分段画出函数图象，如图所示．
(3)由(2)画出的图象可知，函数的值域为[0,2]．
点评：(1)分段函数的定义域是各段
( http: / / www.21cnjy.com )自变量取值集合的并集，应注意在不同的自变量取值范围内用不同的关系式，所以求值时应根据自变量的值所在的区间选用相应的关系式．分段函数的值域是各段函数值的集合的并集而不是交集，分段函数的最大(小)值是各段上的最大(小)值中的最大(小)者．
(2)画分段函数的图象时，要注意不同段之间图象端点间的衔接，该用实心点用实心点，该用空心点就用空心点，不能出现“一对多”现象．第二课时　奇偶性
1．下列说法中，正确的序号是__________．
①图象关于原点成中心对称的函数一定是奇函数
②奇函数的图象一定经过原点
③偶函数的图象若不经过原点，则它与x轴交点的个数一定是偶数
④图象关于y轴成轴对称的函数一定是偶函数．
2．已知函数y＝f(x)为奇函数，若f(3)－f(2)＝1，则f(－2)－f(－3)＝__________.
3．已知偶函数y＝f(x)在区间[0,4]上是单调增函数，则f(－3)与f(π)的大小关系是__________．
4．若f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝，求f(x)和g(x)的解析式．
课堂巩固
1．(1)一次函数y＝kx＋b(k≠0)是奇函数，则b＝________；
(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，则b＝________.
2．已知f(x)是区间(－∞，＋∞)上的奇函数，f(1)＝－2，f(3)＝1，则f(－1)与f(3)的大小关系是__________．
3．已知奇函数f(x)在x<0时，f(x)＝x(x－1)，则当x>0时，f(x)＝________.
4．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，则f(7.5)等于__________．
5．(2008重庆高考，理6改编)若定义
( http: / / www.21cnjy.com )在R上的函数f(x)满足：对任意x1、x2∈R有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)＋1，则下列说法一定正确的序号是__________．
①f(x)为奇函数
②f(x)为偶函数
③f(x)＋1为奇函数
④f(x)＋1为偶函数
6．函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且f()＝，求函数f(x)的解析式．
1．若函数f(x)＝x3(
( http: / / www.21cnjy.com )x∈R)，则函数y＝f(－x)在其定义域上是单调递__________(填“增”“减”)的__________(填“奇”“偶”“非奇非偶”)函数．
2．设函数y＝f(x)是奇函数．若f(－2)＋f(－1)－3＝f(1)＋f(2)＋3，则f(1)＋f(2)＝________.
3．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，其定义域是[a－1,2a]，则a＝__________，b＝__________.
4．若φ(x)，g(x)都是奇
( http: / / www.21cnjy.com )函数，f(x)＝aφ(x)＋bg(x)＋2在(0，＋∞)上有最大值5，则f(x)在(－∞，0)上有最小值是__________．
5．若函数f(x)＝(x
( http: / / www.21cnjy.com )＋a)(bx＋2a)(常数a、b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝__________.
6．老师给了一个函数y＝f(x)，三个学生甲、乙、丙各指出这个函数的一个性质：
甲：对于x∈R，函数的图象关于y轴对称；
乙：在(－∞，0]上函数递减；
丙：在[0，＋∞)上函数递增．
请构造一个这样的函数：__________.
7．若f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x
( http: / / www.21cnjy.com )－2)＝－f(x)，给出下列4个结论：①f(2)＝0；②f(x)＝f(x＋4)；③f(x)的图象关于直线x＝0对称；④f(x＋2)＝f(－x)．其中所有正确结论的序号是________．
8．(易错题)已知定义域为R的函
( http: / / www.21cnjy.com )数f(x)在(8，＋∞)上为减函数，且函数y＝f(x＋8)为偶函数，则下列关系正确的序号为__________．
①f(6)>f(7)　②f(6)>f(9)　③f(7)＝f(9)④f(7)>f(9)　⑤f(7)f(10)　⑧f(6)＝f(10)　⑨f(7)＝f(10)
9．(易错题)(1)已知函数f(x)满足关系式2f(x)＋f()＝x，试判断f(x)的奇偶性．
(2)已知函数f(x)＝
判断f(x)的奇偶性并证明．
10．已知函数f(x)＝(a、b、c∈Z)是奇函数，又f(1)＝2，f(2)<3，求a、b、c的值．
11．已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，常数a∈R)．
(1)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；
(2)若函数f(x)在x∈[2，＋∞)上为增函数，求a的取值范围．
答案
第二课时　奇偶性
课前预习
1．①③④
2．1　∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．
∴f(－2)－f(－3)＝－f(2)－[－f(3)]＝f(3)－f(2)＝1.
3．f(－3)∴f(－3)＝f(3)，∵f(x)在[0,4]上是单调增函数，∴f(3)4．解：由题意，得
由，得f(x)＝，
由，得g(x)＝.
课堂巩固
1．(1)0　(2)0　(1)由
( http: / / www.21cnjy.com )题知，－kx＋b＝－(kx＋b)，∴b＝0.(2)由题知a(－x)2＋b(－x)＋c＝ax2＋bx＋c，∴－bx＝bx，故b＝0.
2．f(3)∴f(－1)＝－f(1)＝2>1＝f(3)，即f(3)3．－x(x＋1)　设x>0，则－x<0，由题意，得f(－x)＝－x(－x－1)＝x(x＋1)．∵函数f(x)为奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，即－f(x)＝x(x＋1)，
∴f(x)＝－x(x＋1)．
4．－0.5　∵f(x＋2)＝－f
( http: / / www.21cnjy.com )(x)，f(－x)＝－f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，∴f(7.5)＝f(5.5＋2)＝－f(5.5)＝－f(3.5＋2)＝f(3.5)＝f(1.5＋2)＝－f(1.5)＝－f(－0.5＋2)＝f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5.
5．③　令x1＝x2＝0，则f(0＋0
( http: / / www.21cnjy.com ))＝f(0)＋f(0)＋1，∴f(0)＝－1.令x1＋x2＝0，则x2＝－x1，由条件有f(0)＝f(x1)＋f(－x1)＋1，∴f(x1)＋f(－x1)＋2＝0(x1∈R)．
∴①②都不正确，∵f(－x1)＋1＝－[f(x1)＋1]，∴f(x1)＋1为奇函数．故③正确，④不正确．
6．解：∵f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，
∴f(－0)＝－f(0)．∴f(0)＝0，即b＝0.
∴f(x)＝.∵f()＝，∴＝.
解得a＝1，∴f(x)的解析式为f(x)＝.
课后检测
1．减　奇　∵f(x)＝x3，∴y＝f(－x)＝(－x)3＝－x3.
∴y＝f(－x)是单调递减的奇函数．
2．－3　∵f(x)为奇函数，∴f(
( http: / / www.21cnjy.com )－x)＝－f(x)．f(－2)＝－f(2)，f(－1)＝－f(1)．∴由条件得－f(2)－f(1)－3＝f(1)＋f(2)＋3.
∴f(1)＋f(2)＝－3.
3.　0　∵函数具有奇偶性时
( http: / / www.21cnjy.com )，定义域必须关于原点对称，∴a－1＋2a＝0，∴a＝.又对于f(x)有f(－x)＝f(x)恒成立，∴b＝0.
4．－1　∵φ(x)，g(x
( http: / / www.21cnjy.com ))是奇函数，∴φ(－x)＝－φ(x)，g(－x)＝－g(x)．当x∈(0，＋∞)时，f(x)≤5，∴aφ(x)＋bg(x)≤3，当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，此时有aφ(－x)＋bg(－x)≤3，
∴－(aφ(x)＋bg(x))≤3，
∴aφ(x)＋bg(x)≥－3，即f(x)＝aφ(x)＋bg(x)＋2≥－3＋2＝－1，∴当x∈(－∞，0)时f(x)有最小值为－1.
5．－2x2＋4　f(x)＝(x＋a)(b
( http: / / www.21cnjy.com )x＋2a)＝bx2＋(2a＋ab)x＋2a2，∵f(x)是偶函数，∴2a＋ab＝0.又f(x)的值域为(－∞，4]，∴b<0且2a2＝4.∴b＝－2，即f(x)＝－2x2＋4.
6．y＝x2或y＝|x|　这是一个开放性题
( http: / / www.21cnjy.com )，答案不唯一．由三个性质可得出，f(x)为偶函数且左减右增．∴可以是y＝ax2(a>0)或y＝a|x|(a>0)等．
7．①②④　由题意，知f(0)＝－f(2)，∴f(2)＝－f(0)．又f(x)是R上的奇函数，∴f(－0)＝－f(0)，即f(0)＝0.
∴f(2)＝0.故①正确．∵f(x)＝－
( http: / / www.21cnjy.com )f(x＋2)＝f(x＋4)，∴②正确．∵f(x)为奇函数，∴图象关于原点对称，∴③不正确．∵f(－x)＝－f(x)＝f(x＋2)，∴④正确．
8.③⑦⑧　方法一：∵f(x)在(8，＋∞)上为减函数，∴f(9)>f(10)．∵y＝f(x＋8)为偶函数，
∴f(－x＋8)＝f(x＋8)．
令x＝1，得f(－1＋8)＝f(1＋8)，
即f(7)＝f(9)．∴f(7)>f(10)．
令x＝2，得f(－2＋8)＝f(2＋8)，
即f(6)＝f(10)．
∴f(6)＝f(10)方法二：∵y＝f(x＋8)为偶函数，
∴其图象关于y轴对称，
即f(x＋8)的对称轴为x＝0(y轴)．
将函数y＝f(x＋8)的图象向右平移8个单位，
即得函数y＝f(x)的图象，
∴y＝f(x)的对称轴为x＝8.
又f(x)在(8，＋∞)上为减函数，
∴f(x)在(－∞，8)上为增函数．
∴f(6)＝f(10)故③⑦⑧正确．
点评：比较函数值的大小要利用
( http: / / www.21cnjy.com )对称性．将所比较的函数值对应的自变量转化到同一个单调区间上，再运用单调性比较(方法一)；也可利用与对称轴的远近及单调性比较大小(如方法二)．注意常用如下结论：(1)奇函数在其对称区间内具有相同的单调性；偶函数在对称区间内的单调性相反．
(2)若f(x)对任意的
( http: / / www.21cnjy.com )x∈R，都有f(a＋x)＝f(a－x)，则f(x)的图象关于直线x＝a对称(或说f(x)的对称轴为x＝a)，反之亦成立．特别地，当a＝0时，f(x)为偶函数．本题中由f(－x＋8)＝f(x＋8)，得f(x)的对称轴为x＝8.此类问题的关键是弄清对称轴，千万不能把y轴看成是f(x)的对称轴，这是致错的主要原因，若能设想本题f(x)的大致图象如下图，则问题就好理解了．
9．解：(1)由题意，知
( http: / / www.21cnjy.com )f(x)的定义域为{x|x∈R且x≠0},2f(x)＋f()＝x①，将①式中的x用替换得2f()＋f(x)＝②，由①②联立消去f()得f(x)＝.
∵定义域关于原点对称且有f(－x)＝＝－＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数．
(2)当x<0时，－x>0，f(－x)＝－
( http: / / www.21cnjy.com )(－x)2＋2(－x)－3＝－x2－2x－3＝－(x2＋2x＋3)＝－f(x)；当x>0时，－x<0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＋3＝x2－2x＋3＝－(－x2＋2x－3)＝－f(x)，当x＝0时，f(－0)＝f(0)＝0＝－f(0)．综上，f(x)是奇函数．
点评：(1)判断函数的奇偶性，首先要检查定
( http: / / www.21cnjy.com )义域是否关于原点对称，若函数的定义域不关于原点对称，则此函数是非奇非偶函数；若对称，再判断f(－x)＝±f(x)之一是否能成立，若同时成立，即有f(x)＝0，则此时函数f(x)既是奇函数又是偶函数．本题第(1)小题要先求f(x)的解析式，用构造方程消去法，再判断奇偶性，不能直接判断．(2)对分段函数判断奇偶性，必须分别证明x>0和x<0时均有f(－x)＝－f(x)成立，才能判定函数f(x)为奇函数，缺一不可．若只有x>0时，f(－x)＝－f(x)成立，并不能说明f(x)具有奇偶性，是奇函数．因为奇偶性是对整个定义域内性质的刻画，注意不要漏掉x＝0时的情况．
10．解：由f(－x)＝－f(x
( http: / / www.21cnjy.com ))，得＝－，即－bx＋c＝－(bx＋c)，∴c＝0.又f(1)＝2，∴得到a＋1＝2b.而由f(2)<3，得<3.
∴<0.∴或
解得－1若a＝0，则b＝ Z，舍去；若a＝1，则b＝1∈Z，符合题意，∴a＝1，b＝1，c＝0.
11．解：(1)当a＝0时，f(x)＝x2，
对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
当a≠0时，f(x)＝x2＋(a≠0，x≠0)，
得f(－1)＋f(1)＝2≠0，f(－1)－f(1)＝－2a≠0，
∴f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)．
∴函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
(2)设2≤x1f(x1)－f(x2)＝x＋－x－＝[x1x2(x1＋x2)－a]，
要使函数f(x)在x∈[2，＋∞)上为增函
( http: / / www.21cnjy.com )数，必须f(x1)－f(x2)<0恒成立，∵x1－x2<0，x1x2>4，即a又∵x1＋x2>4，∴x1x2(x1＋x2)>16.
∴a的取值范围是(－∞，16]．第2章　函数概念与基本初等函数Ⅰ
2．1　函数的概念和图象
2．1.1　函数的概念和图象
1．对于函数y＝f(x)，以下说法中正确的个数为__________．
①y是x的函数　②对于不同的x，y的值也不同　③f(a)表示当x＝a时函数f(x)的值，是一个常量　④对某一个x，可以有两个y值与之对应
2．设数集A＝{a，b，c}，B＝{x，y，z}，从集合A到B的四种对应方式如图，其中是从A到B的函数的序号是________．
3．设f(x)＝，则f(2)＋f()＝__________.
4．函数f(x)＝＋的定义域是__________．
5．设函数f(x)＝ax＋b，若f(1)＝－2，f(－1)＝0，则a与b的值分别为________．
6．函数f(x)＝与g(x)＝的定义域分别为M、N，则函数y＝f(x)＋g(x)的定义域为________．
7．下列图形中，不可能是函数y＝f(x)的图象的序号是________．
8．下列各组中的两个函数，表示同一函数的组的个数是__________．
(1)f(x)＝x，g(x)＝()2
(2)f(x)＝x，g(x)＝
(3)f(x)＝|x|，g(x)＝
(4)f(x)＝x，g(x)＝
(5)f(x)＝2x－x2，g(t)＝2t－t2
9．设g(x)＝2x＋1，f[g(x)]＝3x＋2，若f(a)＝4，则a＝__________.
10．已知函数f(x)＝－x2＋2x，
(1)求f[f(－2)]；
(2)求f(x)的值域；
(3)画出函数的图象．
11．已知f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)．
(1)求f(2)，g(2)的值；
(2)求f[g(2)]的值；
(3)求f[g(x)]、g[f(x)]的值．
12．画出函数f(x)＝x2－4x＋3，x∈[0,3]的图象，并求出函数的值域．
13．已知函数f(x)＝x2＋px＋q满足f(1)＝f(2)＝0，则f(－1)的值为__________．
14．已知函数f(x)＝，则满足f(4x)＝x的x的值为__________．
15．设M＝{x|－2≤x≤2}
( http: / / www.21cnjy.com )，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列4个图形，其中能表示以集合M为定义域，N为值域的函数关系的序号是________．
16．若f(x)＝ax2－，a是一个正常数，且f[f()]＝－，则a＝__________.
　　　　　　　　　　　　
( http: / / www.21cnjy.com )　　　　　　实验是科学之父。——戴伯韬17.已知函数f(x)＝3x－4的值域为[－10,5]，则其定义域为__________．
18．若集合A＝{x|－1≤x≤1，x∈Z}，则当x∈A时，函数f(x)＝3x－1的值域为__________．
19．有一位商人，从北京向上海的家中打电
( http: / / www.21cnjy.com )话，通话m分钟的电话费由函数f(m)＝1.06×(0.5[m]＋1)(元)决定，其中m＞0，[m]是大于或等于m的最小整数．则从北京到上海通话时间为5.5分钟的电话费为________元．
20．(易错题)设函数f1(x)＝，f2(x)＝，f3(x)＝x2，则f1{f2[f3(2
009)]}＝__________.
21．如图，△ABC是一个等腰
( http: / / www.21cnjy.com )直角三角形，AB＝AC＝1，EF∥BC.当E从A移向B时，写出线段EF的长度l与它到点A的距离h之间的函数关系式，并作出函数的图象．
22．求函数y＝(x∈R)的值域．
23．口香糖的生产已有很长的历史，咀嚼口香
( http: / / www.21cnjy.com )糖有很多益处，但其残留物也会带来污染，为了研究口香糖的黏附力与温度的关系，一位同学通过实验，测定了不同温度下除去糖分的口香糖与瓷砖地面的黏附力，得到了如下表所示的一组数据：
(1)请根据上述数据，绘制出口香糖黏附力F随温度t变化的图象；
(2)根据上述数据以及得到的图象，你能得到怎样的实验结论呢？
?答案与解析
基础巩固
1．2　由函数定义知①③正确；④不正确．对不同的x，可以有相同的y值，如y＝x2，当x＝±1时，y＝1.
∴②不正确．
2．(1)(2)(3)
3．0　∵f(2)＝，f()＝－，
∴f(2)＋f()＝0.
4．[－1,2)∪(2，＋∞)　由题意得∴
即函数f(x)的定义域为[－1,2)∪(2，＋∞)．
5．－1，－1　由已知得
解得a＝－1，b＝－1.
6．{x|x≥2}(或N)　由题意知，M＝{x|x≥1}，N＝{x|x≥2}，
∴函数y＝f(x)＋g(x)的定义域为M∩N＝{x|}＝{x|x≥2}＝N.
7．(1)(3)　由函数定义，对
( http: / / www.21cnjy.com )y＝f(x)，x为自变量，y为函数值，若一个x值对应两个y的值，就不构成函数，也不是函数图象，如(1)(3)．若一对一或多对一则是函数．
8．2　(1)f(x)的定义域为
( http: / / www.21cnjy.com )R，g(x)的定义域为[0，＋∞)，所以不是同一函数；(2)g(x)＝＝|x|与f(x)的对应法则不同，也不是同一函数；(3)是同一函数；(4)g(x)的定义域为{x|x≠0}与f(x)的定义域不同，所以不是同一函数；(5)两个函数的定义域、对应法则都相同，只是自变量字母不同，是同一函数．
9.　方法一(换元法)：令g(x)＝t，
即2x＋1＝t，∴x＝.
∴f[g(x)]＝f(t)＝3＋2＝t＋.
∴f(a)＝a＋.
∵f(a)＝4，∴a＋＝4.
∴a＝.
方法二(配凑法)：∵f[g(x)]＝f(2x＋1)＝3x＋2＝(2x＋1)＋，
∴f(x)＝x＋.
∴f(a)＝a＋＝4.
解得a＝.
方法三(待定系数法)：由已知f(x)为一次函数，设f(x)＝kx＋b，
则f[g(x)]＝kg(x)＋b＝k(2x＋1)＋b＝2kx＋(k＋b)．
又f[g(x)]＝3x＋2，∴比较系数得2k＝3且k＋b＝2.∴k＝，b＝.
∴f(x)＝x＋.
∴f(a)＝a＋＝4.∴a＝.
10．解：(1)∵f(－2)＝－8，
∴f[f(－2)]＝f(－8)＝－80.
(2)函数f(x)的定义域为R，
∵f(x)＝－x2＋2x＝－(x2－2x＋1)＋1＝－(x－1)2＋1≤1，
∴所求函数的值域为{y|y≤1}．
(3)描点法作出函数图象如下图所示．
11．解：(1)f(2)＝＝，
g(2)＝22＋2＝6.
(2)f[g(2)]＝f(6)＝＝.
(3)f[g(x)]＝f(x2＋2)＝＝；
g[f(x)]＝g()＝()2＋2
＝＋2.
12．解：f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1.
描点法作出函数图象如下：
∵x∈[0,3]，
∴图象只是一段抛物线弧(包括两端点)．
由图可知：－1≤y≤3，当x＝0时，y＝3；
当x＝2时，y＝－1，
∴所求函数的值域为[－1,3]．
能力提升
13．6　由题意得
( http: / / www.21cnjy.com )∴f(x)＝x2－3x＋2.
∴f(－1)＝(－1)2－3×(－1)＋2＝6.
14.　∵f(x)＝，
∴f(4x)＝＝x，
即4x2－4x＋1＝0，解得x＝.
15．②　由函数概念，要构成函数
( http: / / www.21cnjy.com )必须是定义域中的每一个自变量对应唯一一个函数值．①中，当016.　∵f()＝a()2－＝2a－，
∴f[f()]＝f(2a－)＝a(2a－)2－＝－，
即a(2a－)2＝0.
∵a>0，∴2a－＝0.∴a＝.
17．[－2,3]　画出函数f(x)＝3x－4(y∈[－10,5])的图象如图．
∵当y＝－10时，x＝－2；
当y＝5时，x＝3，∴其图象为一线段且端点为(－2，－10)，(3,5)．
∴所求定义域为[－2,3]．
18．{－4，－1,2}　∵x∈A＝{－1,0,1}，∴当x＝－1时，f(－1)＝－4；
当x＝0时，f(0)＝－1；
当x＝1时，f(1)＝2.
∴函数f(x)的值域为{－4，－1,2}．
19．4.24　∵m＝5.5，∴[5.5]＝6.
∴f(5.5)＝1.06×(0.5×6＋1)＝1.06×4＝4.24.
20.　方法一：∵f3(x)＝x2，
∴f3(2
009)＝2
0092.
∵f2(x)＝，
∴f2[f3(2
009)]＝f2(2
0092)＝.
又f1(x)＝，
∴f1{f2[f3(2
009)]}＝f1()＝＝.
方法二：∵f1(x)＝，f2(x)＝，f3(x)＝x2，
∴f1{f2[f3(x)]}＝f1(f2(x2))＝f1()＝＝.
∴f1{f2[f3(2
009)]}＝＝.
点评：已知函数f(x)，g
( http: / / www.21cnjy.com )(x)的解析式，求复合函数f[g(x)]的函数值时，要注意理解“f”和“g”的符号含义，一般遵循先内后外的原则，将g(x)看作自变量，结合对应法则一步一步导出最终结果．可以先求出复合函数解析式，再求值(方法二)；也可以逐个求值，最后求出结果(方法一)．但最终的结果一定不要带有“f”或“g”这样的抽象符号，否则会错解或还要进一步求解．这是解此类问题的易错点．
21．解：在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝1，EF∥BC，EF＝l.
设A到EF的距离为h，
则l＝2h,0≤h≤.
图象如下图所示．
点评：本题以平面几何的三角形为
( http: / / www.21cnjy.com )载体，考查函数建模能力．求函数关系式主要寻求变量间的等量关系．本题利用等腰直角三角形的性质：“斜边上的中线(高线)等于斜边的一半”，列出等式，即得所求函数关系式，最后必须注明函数定义域，自变量h要符合实际意义，图象为一线段(含两端点)．
22．解法一：∵x∈R时，x2＋1>x2≥0，
∴0≤<1，且当x＝0时，y最小为0.
∴0≤y<1.
解法二：由已知得yx2＋y＝x2，
∴x2＝≥0，即y与1－y同号且y≠1.
∴或
解得0≤y<1，
即原函数值域为[0,1)．
解法三：y＝＝＝1－，
∵x2≥0(x∈R)，∴x2＋1≥1.
∴0<≤1，－1≤－<0.
∴0≤1－<1，即0≤y<1.
∴函数值域为[0,1)．
点评：本题解法运用了不等式知识，解法
( http: / / www.21cnjy.com )一运用了实数的性质，解法二利用分离变量，将问题转化为不等式组来解，解法三是分离常数后，再用不等式求解．“分离常数”“分离变量”都是常用的数学解题技巧与方法．
拓展探究
23．解：在图象上描出题目表格中数据对应的点，之后用直线将两相邻点连接得到近似图象，然后根据图象合理推出结论．
(1)口香糖黏附力F随温度t变化的图象如图所示．
(2)实验结论：①随着温度的升高，口香糖的黏附力先增大后减小；②当温度在37
℃时，口香糖的黏附力最大．2.4　幂函数
1．下列四图中是函数y＝x的图象的序号是__________．
2．若幂函数y＝f(x)的图象经过点(9，)，则f(25)的值是__________．
3．在下列函数y＝，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝x＋1，y＝1中，是幂函数的个数为__________．
4．幂函数f(x)的图象过点(4，)，若f(a)＝2，则a＝__________.
5．幂函数f(x)的图象过点(3，)，则f(x)的解析式为__________．
6．设a∈{－1,1，，3}，则使函数y＝xa的定义域为R且为奇函数的所有a值为__________．
7．在下列函数中，定义域和值域相同的函数的个数为__________．
①y＝x2　②y＝x　③y＝x　④y＝x
⑤y＝x
8．图中曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n依次为__________．
9．设a＝0.20.3，b＝0.30.3，c＝0.30.2，则a、b、c的大小关系是__________．
10．下列四个命题：①y
( http: / / www.21cnjy.com )＝x－4是偶函数，在(0，＋∞)上是单调减函数；②y＝x是奇函数，在(0，＋∞)上是单调增函数；③y＝x－是偶函数，在(0，＋∞)上是单调减函数；④y＝x－是偶函数，在(0，＋∞)上是单调减函数．其中正确的序号是__________．
11．比较下列各题中两个值的大小：
(1)1.5，1.7；
(2)2.2－，1.8－.
12．已知幂函数y＝f(x)过点(2，)，试求出此函数的解析式，并作出图象，判断奇偶性、单调性．
13．已知偶函数f(x)＝xm2－2m－3(m∈Z)在(0，＋∞)上单调递减．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若f(2a＋1)＝f(a)，求实数a的值．
14．下列命题正确的个数是__________．
①当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线
②幂函数的图象都经过(0,0)、(1,1)两点
③若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大
④幂函数的图象不可能在第四象限
⑤图象不经过点(－1,1)的幂函数一定不是偶函数
15．幂函数的图象过点(2，)，则它的单调增区间是__________．
16.设α∈{－2，－1,0,1,2}，则使函数y＝xα的定义域为R且为偶函数的α的值为__________．
17．已知幂函数f(x)＝x2，g(x)＝x3，则使f(x)>g(x)成立的x的取值范围是__________．
18．已知幂函数f(x)＝(2n2－n)xn＋1，若在其定义域上为单调增函数，则n＝__________.
19．已知函数f(x)＝xn的图象经过点(3，)，则f(x)在区间[，4]上的最小值为__________．
20．若函数f(x)＝则f(f(f(0)))＝__________.
21．设α∈{－2，－1，－，，，1,2,3}，则使f(x)＝xα为奇函数且在(0，＋∞)上是单调增函数的α的值的个数是__________．
22．两个数()和()的大小关系是__________．
23．已知函数f(x)＝xα＋m的图象经过点(1,3)，又其反函数图象经过点(10,2)，则f(x)的解析式为__________．
24．(易错题)若(a＋1)－<(3－2a)－，试求a的取值范围．
25．试探讨下列问题：
(1)在幂函数y＝xα中，如果α是正偶数，如α＝2,4,6，…，这一类函数具有哪些重要性质？
(2)在幂函数y＝xα中，如果α是正奇数，如α＝1,3,5，…，这一类函数具有哪些重要性质？
26．已知点(，2)在幂函数f(x)的图象上，点(－2，)在幂函数g(x)的图象上，问当x为何值时，
(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)?答案与解析
基础巩固
1．(3)　函数y＝x的定义域为[0，＋∞)，且过点(0,0)，(1,1)，∴不是(2)(4)；
∵<1，∴当x>1时函数增得慢，不是(1)．∴(3)正确．
2.　设f(x)＝xα，由f(9)＝，即9α＝，32α＝3－1，
∴α＝－.∴f(x)＝x－.
∴f(25)＝25－＝.
3．1　y＝＝x－2为幂函数．
4.　设f(x)＝xα，则f(4)＝4α＝，解得α＝－，∴f(x)＝x－.
∴f(a)＝a－＝2，得a＝.
5．x　设f(x)＝xα，则＝3α.
又＝3，∴α＝.
6．1、3　　当a＝－1或时，所得幂函数定义域不是R；当a＝1和a＝3时，满足题中条件．
7．3　①⑤中函数定义域为R，值域为[0，＋∞)，②中函数的定义域与值域都是[0，＋∞)，③④中两函数的定义域与值域都是R，∴②③④符合．
8．2，，－，－2　由题图，
( http: / / www.21cnjy.com )知C1、C2表示的幂函数在(0，＋∞)上都是单调增函数，对应的n值为正；C3、C4表示的幂函数在(0，＋∞)上都是单调减函数，相应的n值为负，又当x＝4时，x2＝16，x＝2，x－＝，x－2＝，
∴相应于C1，C2，C3，C4的n依次为2，，－，－2.
9．a∴0.20.3<0.30.3，即a0.2，
∴0.30.3<0.30.2，即b∴a10．①④　①∵y＝x－4是偶函数且在第一象限是单调减函数，∴①正确；
∵y＝x＝定义域为[0，＋∞)，不是奇函数，∴②错；
∵y＝x－＝，定义域为(0，＋∞)，
∴不是偶函数，③错；
∵y＝x－是偶函数且在第一象限为单调减函数，∴④正确．
11．解：(1)1.5，1.7是幂函数y＝x的两个函数值，考察函数y＝x在(0，＋∞)上是单调增函数，
∵1.5<1.7，∴1.5<1.7.
(2)∵函数y＝x－在第一象限内是单调减函数，且2.2>1.8，
∴2.2－<1.8－.
12．解：设幂函数为y＝xα，又过点(2，)，得＝2α，
∴α＝－.
∴函数解析式为y＝x－，定义域为(0，＋∞)．
∴f(x)是非奇非偶函数，且f(x)在(0，＋∞)上为减函数，图象为
13．解：(1)由m2－2m－3<0，得－1又m∈Z，
∴m＝0或1或2.
而m2－2m－3为偶数，
∴m＝1时，m2－2m－3＝－4.
∴f(x)＝x－4.
(2)|2a＋1|＝|a|,2a＋1＝a或2a＋1＝－a，
∴a＝－1或a＝－.
能力提升
14．2　当α＝0时，函数y＝x
( http: / / www.21cnjy.com )α的定义域为{x|x≠0，x∈R}，其图象为一条断直线，∴①不正确；当α<0时，函数y＝xα的图象不过(0,0)点，∴②不正确；幂函数y＝x－1的图象关于原点对称，但其在定义域内不是单调增函数，∴③不正确；幂函数的图象都不在第四象限，故④正确；∵当α∈R时，幂函数y＝xα一定过(1,1)点，∴若幂函数为偶函数，由对称性知它一定过(－1,1)点，∴不过(－1,1)点的幂函数一定不是偶函数，即⑤正确．
15．(－∞，0)　设f(x)＝xα，由图象过点(2，)，知2α＝，
∴α＝－2.
∴f(x)＝x－2，其单调增区间为(－∞，0)．
16．2
17．(－∞，0)∪(0,1)　f(x)>g(x)，即x2>x3，
∴x2－x3＝x2(1－x)>0.
∴x2(x－1)<0.
∴x<1且x≠0.
∴x的取值范围是(－∞，0)∪(0,1)(也可画出图象观察易得答案)．
18．－　由题意2n2－n＝1，解
( http: / / www.21cnjy.com )得n＝－或n＝1.当n＝－时，f(x)＝，符合题意；当n＝1时，f(x)＝x2在定义域R上不单调，舍去．
∴n＝－.
19.　∵f(x)的图象过点(3，)，
∴3n＝.∴n＝－1.
∴f(x)＝x－1在区间[，4]上为减函数．
∴f(x)min＝f(4)＝4－1＝.
20．1　由已知得f(0)＝－2，－2<0，
∴f(－2)＝(－2＋3)＝1.1>0.
∴f(1)＝1－＝1.
∴f(f(f(0)))＝f(f(－2))＝f(1)＝1.
21．3　y＝x，y＝x，y＝x3均适合题意．
22．()<()　∵<，>0，
∴根据幂函数的单调性，有()<().
又0<<1，>，
∴根据指数函数的单调性，有()<().
综上可知，()<().
23．f(x)＝x3＋2　由互为反函数的两函数图象之间的关系知，反函数图象过点(10,2)，
则(2,10)必在原函数图象上．
∴2α＋m＝10.①
又f(x)经过点(1,3)，
∴1α＋m＝3.②
由②得m＝2，代入①，得α＝3.
∴f(x)的解析式为f(x)＝x3＋2.
24．解：由题意，若a＋1与3－2a在同一单调区间内，则有
(1)a＋1与3－2a都在(－∞，0)内，且y＝x－在其定义域内是单调减函数，
∴有解得a∈
( http: / / www.21cnjy.com )；
(2)a＋1与3－2a都在(0，＋∞)内，且y＝x－为单调减函数，原不等式成立，
则必有
解得若a＋1与3－2a不在同一单调区间内，要使原不等式成立，
则有解得a<－1.
综上，可知a的取值范围是(－∞，－1)∪(，)．
点评：本题主要考查幂函数y＝x－.因为它在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是单调减函数，且其图象在第三和第一象限内，所以应对a＋1与3－2a所在的单调区间相同与不同分别进行讨论；注重分类讨论思想的应用．借助于函数的图象，将问题考虑全面，谨防考虑不周导致漏解或错解．
25．解：(1)具备α>0时幂函数的性质，同时又具备图象关于y轴对称(即偶函数)这一重要性质．
(2)具备α>0时幂函数的性质，同时又具备图象关于原点对称(即为奇函数)这一重要性质．
拓展探究
26．解：设f(x)＝xα，由题意，得2＝()α?α＝2，
∴f(x)＝x2.
同理可求：g(x)＝x－2，在同一坐标系内作出y＝f(x)与y＝g(x)的图象，如图．
由图象可知：
(1)当x>1或x<－1时，f(x)>g(x)；
(2)当x＝±1时，f(x)＝g(x)；
(3)当－11．下列以x为自变量的函数中，是指数函数的序号是__________．
①y＝(－4)x；②y＝πx；③y＝－4x；④y＝ax＋2(a>0且a≠1)；⑤y＝(a＋1)x(a>－1且a≠0)．
2．方程3x－1＝的解是__________．
3．指数函数y＝(2m－1)x是单调减函数，则m的取值范围是__________．
4．设f(x)＝3x＋2，则函数f(x)的值域为__________．
5．函数y＝2x－1＋1的图象是由函数y＝2x的图象经过怎样的平移得到的？
课堂巩固
1．指数函数y＝f(x)的图象经过点(2,4)，那么f(－1)·f(3)＝__________.
2．函数y＝的定义域是__________．
3.
右图是指数函数①y=ax；②y=bx；③y=cx；④y=dx的图象，则a、b、c、d与1的大小关系是　　　　　.
4．(1)已知函数f(x)＝4＋ax－2(a＞0，a≠1)的图象恒过定点P，则点P的坐标是__________．
(2)函数f(x)＝ax2＋2x－3＋m(a＞1)恒过点(1,10)，则m＝__________.
5．设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝()－1.5，则y1、y2、y3的大小关系为__________．
6．为了得到函数y＝3×()x的图象，可以把函数y＝()x的图象向__________平移__________个单位长度．
7．已知镭经过100年剩余的质量是原来质量的0.957
6，设质量为1的镭经过x年后，剩留量是y，求y关于x的函数关系式．
1．函数y＝()的值域是__________．
2．下列说法中，正确的序号是__________．
函数y＝－ex的图象：①与y＝ex的图象关
( http: / / www.21cnjy.com )于y轴对称；②与y＝ex的图象关于坐标原点对称；③与y＝ex的图象关于x轴对称；④与y＝e－x的图象关于y轴对称；⑤与y＝e－x的图象关于坐标原点对称；⑥与y＝e－x的图象关于x轴对称．
3．(1)已知指数函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)的图象经过点(3，π)，则f(－3)的值为__________；
(2)函数y＝ax(a>0，且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值的和为6，则a的值为__________．
4．一种单细胞生物以一分为
( http: / / www.21cnjy.com )二的方式进行繁殖，每三分钟分裂一次，假设将一个这种细胞放在一个盛有营养液的容器中，恰好一小时这种细胞充满容器，假设开始将两个细胞放入容器，同样充满容器的时间是__________分钟．
5．(易错题)若函数f(x)＝是R上的单调增函数，则实数a的取值范围是__________．
6．下列四个图形中，是函数y＝a|x|(a>1)的大致图象的序号是__________．
7.已知实数a，b满足等式()a＝()b，下列五个关系式：
①0其中不可能成立的关系式有__________个．
8．设函数f(x)定义在实数集上，
( http: / / www.21cnjy.com )它的图象关于直线x＝1对称，且当x≥1时，f(x)＝3x－1，则f()，f()，f()的大小关系是__________．
9．已知函数f(x)＝－m(m为常数)是奇函数，则m＝__________.
10．(1)已知0(2)已知函数f(x)满足：对
( http: / / www.21cnjy.com )任意实数x111．(1)设函数f(x)＝若f(x0)>1，则x0的取值范围是__________．
(2)若x1、x2为方程2x＝()－＋1的两个实数解，则x1＋x2＝.
12．(易错题)(1)函数f(x)＝()x－()x＋1，x∈[－3,2]的值域是__________；
(2)已知函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)在区间[－1,1]上有最大值14，则a的值为__________．
13．已知函数f(x)＝(＋)·x3.
(1)求f(x)的定义域；
(2)讨论f(x)的奇偶性；
(3)证明f(x)>0.
14．讨论函数f(x)＝()x2－2x的单调性，并求其值域．
答案
2．2.2　指数函数
课前预习
1．②⑤　由指数函数的定义知①③④
( http: / / www.21cnjy.com )不是指数函数；②是；⑤∵a＞－1且a≠0，∴a＋1＞0且a＋1≠1.∴y＝(a＋1)x(a＞－1且a≠0)是指数函数．
2．－1　由＝3－2，知3x－1＝3－2，
∴x－1＝－2，即x＝－1.
3.＜m＜1　由指数函数的性质知0＜2m－1＜1，∴＜m＜1.
4．(2，＋∞)　∵3x＞0，∴3x＋2＞2，即f(x)＞2，∴f(x)的值域为(2，＋∞)．
5．解：∵指数函数y＝2x的图象向右平移一个
( http: / / www.21cnjy.com )单位长度，就得到函数y＝2x－1的图象．再向上平移一个单位长度，就得到函数y＝2x－1＋1的图象．
∴函数y＝2x－1＋1的图象是由函数y＝2x的图象向右平移一个单位长度再向上平移一个单位长度而得到的．
课堂巩固
1．4　设f(x)＝ax，由题意f(2)＝4，即a2＝4.
又a＞0且a≠1，∴a＝2.∴f(x)＝2x.
∴f(－1)·f(3)＝2－1·23＝22＝4.
2．(－∞，0]　要使函数有意义，必须1－3x≥0，即3x≤1,3x≤30，
∴x≤0.∴函数定义域为(－∞，0]．
3．b＜a＜1＜d＜c　直
( http: / / www.21cnjy.com )线x＝1与四个指数函数图象交点的坐标分别为(1，a)，(1，b)，(1，c)，(1，d)．由图象可知纵坐标的大小关系，即得答案．
4．(1)(2,5)　(2)9　(1)函数图象随变量a的变化而变化，但恒有当x＝2时，f(2)＝4＋a0＝5，
∴P(2,5)．
(2)∵f(x)恒过点(1,10)，∴把(1,10)点代入解析式得a12＋2×1－3＋m＝10，即m＋a0＝10，∴m＝9.
5．y2＜y3＜y1　y1＝(22)0
( http: / / www.21cnjy.com ).9＝21.8，y2＝(23)0.48＝23×0.48＝21.44，y3＝21.5，∵y＝2x为R上的单调增函数，且1.44＜1.5＜1.8，∴21.44＜21.5＜21.8，即y2＜y3＜y1.
6．右　1　∵y＝3×()x＝()x－1，∴把函数y＝()x的图象向右平移1个单位长度便得到y＝()x－1的图象，即y＝3×()x的图象．
7．解：由题意知，一百年后质量为1
( http: / / www.21cnjy.com )的镭剩留量y1＝1×0.957
6＝0.957
61，二百年后质量为1的镭剩留量y2＝y1×0.957
6＝0.957
6×0.957
6＝0.957
62，…，x百年后质量为1的镭剩留量y＝(0.957
6)x，∴x年后，y＝0.957
6.
课后检测
1．(0,1]　方法一(单调性法)：∵函数
( http: / / www.21cnjy.com )的定义域为[1，＋∞)，且u＝为增函数，y＝()u为减函数，∴由复合函数单调性知，原函数为减函数．
∴当x＝1时ymax＝1.又指数函数值域为y>0，
∴0方法二(图象法)：令u(x)＝，则u(x)≥0，画出y＝()u(x)的图象，从图象可知02．③⑤　函数y＝－ex与函数y＝ex，同一个x对应的函数值互为相反数，其图象关于x轴对称，
∴③正确．对函数y＝－ex与函数y＝e－x而言，自变量x取相反数时，对应的函数值也为相反数，∴其图象关于原点对称，⑤正确．
另解：∵图象的对称性可以转化成点
( http: / / www.21cnjy.com )与点之间的对称性，关于x轴对称时(x，y)→(x，－y)，∴y＝－ex与y＝ex关于x轴对称．∵关于原点对称时，(x，y)→(－x，－y)，∴y＝－ex→y＝e－x，即函数y＝－ex与y＝e－x的图象关于原点对称．∴③⑤正确．
3．(1)　(2)2　方法一：∵f(x)＝ax的图象经过点(3，π)，∴f(3)＝π，即a3＝π.∴a＝π，f(x)＝π.
∴f(－3)＝π＝.
方法二：由f(3)＝a3＝π，
得f(－3)＝a－3＝＝.
(2)∵y＝ax是单调函数，∴最大值与最小值在区间端点1,2取得．
∴f(1)＋f(2)＝6，即a2＋a－6＝0，解得a＝2，或a＝－3.
又∵a＞0且a≠1，∴a＝2.
4．57　设要经过时间为x分钟充满容器，由题意有2×2＝220，解得x＝57.
5．[4,8)　由f(x)在R上是单调增函数，知a＞1，4－＞0，a1≥(4－)×1＋2同时成立，解此不等式组得a∈[4,8)．
点评：利用函数的单调性求参数范围问题，无
( http: / / www.21cnjy.com )论运用什么方法求解，最终都必须转化为含该参数的不等式(组)解决，但要注意转化的等价性．本题已知函数为指数函数与一次函数构成的分段函数，用单调性时要特别注意两段的衔接点．因为f(x)是定义域R上的单调增函数，所以当x＝1(衔接点)时，必有a1≥(4－)×1＋2成立(等号成立)，若忽视这一点，就会得出1＜a＜8的错误结论．
6．(2)　函数f(|x|)是偶函
( http: / / www.21cnjy.com )数，应先画出x≥0时f(x)的图象，然后沿y轴翻折过去，得到x<0时的函数图象．当x≥0时，y＝a|x|＝ax的图象过(0,1)点，a>1在第一象限，图象下凸，是增函数．
7．2　由题意：当a＝b＝0时，()a＝()b＝1，∴⑤正确．
当a<0，b<0时，由题意知2－a＝3－b，
∴－a>－b，即a当a>0，b>0时，由题意知2－a＝3－b，
∴－b>－a，即a>b>0.∴①正确．
∴③④不可能成立．(亦可用图象法解)
8．f()1时为增函数，当x<1时为减函数，∴f(x)中的x距离对称轴越近，函数值越小，由此得f()方法二：由题设知，x≤1时单调递减，x≥1时
( http: / / www.21cnjy.com )函数f(x)单调递增，而x＝1为对称轴，∴f()＝f(1＋)＝f(1－)＝f()．∵<<，
∴f()>f()>f()，
即f()9.　∵f(x)的定义域为R，且为奇函数，
∴f(0)＝0.∴m＝＝.
10．(1)一　(2)f(x)＝2x　
(1)∵0＜a＜1，b＜-1，
∴y=ax+b的大致图象如右图所示．
由图象知，函数y=ax+b的图象不经过第一象限．
(2)这是一个开放性题目，答案不唯一，只按要求写出一个即可，由题知f(x)为增函数，且满足指数函数的性质，
∴此函数为y=ax(a>1)．
11．(1)(－∞，－1)∪(1，＋∞)　(2)－1
(1)当x0≤0时，令2－x0－1＞1，则2－x0＞2，
∴x0＜－1；当x0＞0时，令x＞1，得x0＞1.
综上，知x0∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
(2)由题意，得2x＝2－1，即x＝－1，化简得x2＋x－1＝0，由韦达定理(即根与系数的关系)可知x1＋x2＝－1.
12．(1)[，57]　(2)3或　
(1)∵f(x)＝[()2]x－()x＋1＝[()x]2－()x＋1，x∈[－3,2]，且y＝()x在x∈[－3,2]上为单调减函数，
∴()2≤()x≤()－3，即eq
\f(1,4)≤()x≤8，设t＝()x，则t∈[，8]，原函数可化为f(x)＝g(t)＝t2－t＋1，t∈[，8]．
∵g(t)＝(t－)2＋，∴结合函数g(t)的图象可知，g()≤g(t)≤g(8)．∴≤g(t)≤57，即f(x)∈[，57]．
故原函数的值域为[，57]．
(2)y＝(ax)2＋2ax－1＝(ax＋1)2－2，
令ax＝t，所以y＝(t＋1)2－2.
当a>1时，
∵－1≤x≤1，∴≤ax≤a，即≤t≤a.
∵函数的对称轴为t＝－1，∴当t＝a时有最大值．
∵(a＋1)2－2＝14.∴a＝3.
当0∵－1≤x≤1，∴a≤ax≤.
∴a≤t≤.
∴当t＝时有最大值．
∴(＋1)2－2＝14.所以a＝.
∴a的值为3或.
13．解法一：(1)由题意，2x－1≠0，即x≠0，
∴定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
(2)令g(x)＝＋，φ(x)＝x3，则f(x)＝g(x)·φ(x)．
∵g(－x)＝＋＝＋
＝－＋＝－＋
＝－1－＋＝－－
＝－(＋)＝－g(x)，
∴g(x)为奇函数．又∵φ(x)＝x3为奇函数，
∴f(x)＝(＋)·x3为偶函数．
(3)证明：x>0时，2x>1，∴2x－1>0.
又∵x3>0，
∴f(x)>0.由偶函数的图象关于y轴对称，知x<0时，f(x)>0也成立．故对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，恒有f(x)>0.
解法二：(1)由2x－1≠0，得x≠0，∴函数定义域为{x|x≠0，x∈R}．
(2)在定义域内任取x，则－
( http: / / www.21cnjy.com )x在定义域内，则有f(－x)＝(＋)(－x)3＝－(＋)·x3＝－·x3＝·x3，而f(x)＝(＋)·x3＝·x3，
∴f(－x)＝f(x)．∴函数f(x)为偶函数．
(3)证明：当x<0时，由指数函数的性质知，0<2x<1，－1＜2x－1＜0，
∴<－1.∴＋<－<0.
又x3<0，∴f(x)＝(＋)·x3>0.
由f(x)为偶函数，当x>0时，f(x)>0.总之，x∈R且x≠0时，函数f(x)>0.
14．解法一：因为函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，设x1，x2∈(－∞，＋∞)，且x1则f(x1)＝()x－2x1，
f(x2)＝()x－2x2，
所以＝＝()x－2x2－x＋2x1
＝()x－x－2(x2－x1)＝()(x2－x1)(x2＋x1－2)．
(1)当x1则有x2＋x1－2<0，又因为x2－x1>0，
所以(x2－x1)(x2＋x1－2)<0.
所以()(x2－x1)(x2＋x1－2)>1.
又因为对于x∈R，f(x)>0恒成立，
所以f(x2)>f(x1)．所以函数f(x)＝()x2－2x在(－∞，1]上单调递增．
(2)当1≤x12，则有x2＋x1－2>0，
又因为x2－x1>0，所以(x2－x1)(x2＋x1－2)>0.所以0<()(x2－x1)(x2＋x1－2)<1.
所以f(x2)所以函数f(x)在[1，＋∞)上单调递减．
综上所述，函数f(x)在(－∞，1]上是增函数，在[1，＋∞)上是减函数．
因为x2－2x＝(x－1)2－1≥－1,0＜＜1，
所以0＜()x2－2x≤()－1＝5.
所以函数f(x)的值域是(0,5]．
解法二：因为函数f(x)的定义域是(－∞，＋∞)，
令t＝x2－2x，则f(x)＝g(t)＝()t.
又因为t＝x2－2x＝(
( http: / / www.21cnjy.com )x－1)2－1在(－∞，1]上是单调减函数，而g(t)＝()t在定义域内是减函数，所以函数f(x)在(－∞，1]上为增函数．
又因为g(t)＝()t在定义域内为减函数，t＝(x－1)2－1在[1，＋∞)上是增函数，
所以函数f(x)在[1，＋∞)上是减函数，值域求法同解法一(略)．1.3　交集、并集
1．若集合A＝{1,3}，B＝{2,3,4}，则A∩B＝__________，A∪B＝__________.
2．设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，则 U(A∩B)＝__________.
3．已知集合P＝{x|1≤x≤10，x∈N}，集合Q＝{x|x2＋x－6＝0}，则P∩Q＝__________.
4．满足条件M∪{1}＝{1,2,3}的集合M的个数是__________．
5．设集合A＝[－5,1
( http: / / www.21cnjy.com ))，B＝(－∞，2]，全集U＝R，则A∩B＝__________，A∪B＝__________，( UA)∩B＝__________.
6．已知A＝{1,2,3,4}，B＝{3,4,5,6}，C＝{1,3,4,6}，全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，求：
(1)A∩C；(2)A∪B；
(3)A∩ ；(4)C∪ ；
(5)( UA)∩( UB)；
(6) U(A∪B)；
(7)( UA)∪( UC)；(8) U(A∩C)．
课堂巩固
1．若A＝{x|x2＝1}，B＝{x|x2－2x－3＝0}，则A∩B＝__________，A∪B＝__________.
2．已知集合M＝{x|－33．已知集合M＝{(x，y)|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，则M∩N＝__________.
4．满足M {a1，a2，a3，a4}，且M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}的集合M的个数是__________．
5．若集合A，B，C满足A∩B＝A，B∪C＝C，则A与C之间的关系必定是________．
6．在相应的图中，对所要求的集合部分打上阴影：
(1)(A∪B)∩( U(A∩B))；
(2)(B∪C)∪( UA)；
(3)B∩( U(A∪C))．
7．某运动协会共有成员68人，其中会游泳的57人，会射击的62人，若两项都不会的有3人，则这个运动协会中两项都会的有多少人？
8．设二次方程x2＋ax＋b＝0和x2＋cx＋15＝0的解集分别是A和B，又A∪B＝{3,5}，A∩B＝{3}，求a、b、c的值．
1．设全集U＝{a，b，c，d}，A＝{a，c}，B＝{b}，则A∩( UB)＝__________.
2．设集合M＝{m|－33．若A＝{1,5，－x2}，B＝{1,2x－3}，且A∪B＝A，则这样的x的不同值的个数为__________．
4．已知集合M＝{a2，a＋1，－3}，N＝{a－3,2a－1，a2＋1}，若M∩N＝{－3}，则a的值是________．
5．已知U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x≤－1}，则(A∩ UB)∪(B∩ UA)＝__________.
6．设集合A＝{(x，y)|4x＋y＝6}，B＝{(x，y)|3x＋2y＝7}，满足C (A∩B)的集合C的个数为__________．
7.用集合表示下列图中的阴影部分．
　
(1)__________；(2)__________．
8．(易错题)设P、Q是非空集合，定
( http: / / www.21cnjy.com )义P Q＝{x|x∈(P∪Q)，且x (P∩Q)}，现有集合M＝[0,4]，N＝(1，＋∞)，则M N＝__________.
9．如图，有四个区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ分别代表与A、B有关的交集、并集、补集，请你将对应的区域与集合连结起来．
10．(易错题)设集合A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{9，a－5，1－a}，已知A∩B＝{9}，求实数a的值及A∪B.
11．某班举行数、理、化三科竞赛，每人
( http: / / www.21cnjy.com )至少参加一科，已知参加数学竞赛的有27人，参加物理竞赛的有25人，参加化学竞赛的有27人，其中参加数学、物理两科的有10人，参加物理、化学两科的有7人，参加数学、化学两科的有11人，而参加数、理、化三科的有4人，求全班人数．
12．(创新题)已知集合A＝[－1,1]，B＝(－3，－1)．
(1)求A∩B，A∪B；
(2)若集合C中含有3个元素，且满足C∩B≠ ，C ((A∪B)∩Z)(Z为整数集)，求集合C.
答案
1．3　交集、并集
课前预习
1．{3}　{1,2,3,4}
2．{1,4,5}　∵A∩B＝{2,3}，U＝{1,2,3,4,5}，∴ U(A∩B)＝{1,4,5}．
3．{2}　∵P＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，Q＝{－3,2}，∴P∩Q＝{2}．
4．2　由条件知，M中至少含元素2和3，
∴集合M有{2,3}，{1,2,3}共2个．
5．[－5,1)　(－∞，2]　(－∞，－5)∪[1,2]
借助数轴知，A∩B＝A＝[－5,1)，
A∪B＝B＝(－∞，2]．
UA＝(－∞，－5)∪[1，＋∞)．
∴( UA)∩B＝(－∞，－5)∪[1,2]．
6．解：(1)A∩C＝{1,3,4}；
(2)A∪B＝{1,2,3,4,5,6}；
(3)A∩ ＝ ；
(4)C∪ ＝{1,3,4,6}；
(5)( UA)∩( UB)＝{5,6,7,8}∩{1,2,7,8}＝{7,8}；
(6) U(A∪B)＝{7,8}；
(7)( UA)∪( UC)＝{5,6,7,8}∪{2,5,7,8}＝{2,5,6,7,8}；
(8) U(A∩C)＝{2,5,6,7,8}．
注：通过本题可验证( UA)∩( UB)＝ U(A∪B)，
( UA)∪( UC)＝ U(A∩C)．
课堂巩固
1．{－1}　{－1,1,3}　∵A＝{－1,1}，B＝{－1,3}，
∴A∩B＝{－1}，A∪B＝{－1,1,3}．
2．{x|x<1}　M＝{x|－3∴M∪N＝{x|x<1}，借助数轴如图所示．
3．{(3，－1)}　M∩N＝{(x，y)|}
＝{(x，y)|}＝{(3，－1)}．
4．2　∵M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}，
∴a1∈M，a2∈M，a3 M.
又∵M {a1，a2，a3，a4}，∴M为{a1，a2}或{a1，a2，a4}共2个．
5．A C　∵A∩B＝A，∴A B.
∵B∪C＝C，∴B C.
∴A B C，故A C.
6.
7．解法一：依据集合的运算性质，可设两项都会的有x人，
则由图知68＝(57－x)＋x＋(62－x)＋3.
∴x＝54.
解法二：设两项都会的有x人．画出Venn图如图所示．
可知两项都会的人x＝(62＋57)－68＋3＝54.
答：这个运动协会中游泳，射击两项都会的有54人．
8．解：∵A∩B＝{3}，∴3是方程x2＋cx＋15＝0的根，即32＋3c＋15＝0.
∴c＝－8.
将c＝－8代回方程得x2－8x＋15＝0.
∴B＝{3,5}．又A∪B＝{3,5}，A∩B＝{3}，
∴A＝{3}，即方程x2＋ax＋b＝0有两个相等的实数根为3.
由根与系数的关系知3＋3＝－a,3×3＝b，
即a＝－6，b＝9.
∴a，b，c的值分别为－6,9，－8.
课后检测
1．{a，c}　∵U＝{a，b，c，d}，B＝{b}，
∴ UB＝{a，c，d}，A＝{a，c}．
∴A∩( UB)＝{a，c}．
2．{－1,0,1}　依题意M＝{－2，－1,0,1}，N＝{－1,0,1,2,3}，从而M∩N＝{－1,0,1}．
3．3　由题意得B A，
∴2x－3＝5或2x－3＝－x2.解得x＝4,1，－3.经检验均合题意，故x值有3个．
4．－1　依题意，a－3＝－3或2a－1＝－3，解得a＝0或a＝－1.
当a＝0时，M＝{0,1，－3}，N＝{－3，－1,1}，这与M∩N＝{－3}矛盾，故a≠0；
当a＝－1时，M＝{1,0，－3}，N＝{－4，－3,2}，符合题意，∴a＝－1.
5．{x|x>0，或x≤－1}　 UB＝
( http: / / www.21cnjy.com ){x|x>－1}， UA＝{x|x≤0}，A∩ UB＝{x|x>0}，B∩ UA＝{x|x≤－1}．
∴(A∩ UB)∪(B∩ UA)＝{x|x>0，或x≤－1}．
6．2　A∩B＝{(x，y)|}
＝{(x，y)|}＝{(1,2)}．
∵C (A∩B)，∴C为 或{(1,2)}共2个．
7．(1)( UA)∩B　(2)A∩B∩C
8．[0,1]∪(4，＋∞)　由定义可知：M N＝{x|x∈(M∪N)，且x (M∩N)}，
∵M∪N＝{x|x≥0}＝[0，＋∞)，
M∩N＝(1,4]，如图：
∴M N＝[0,1]∪(4，＋∞)．也可用Venn图表示，M N实质就是图中阴影部分．
点评：本题给出了一种自定义的新运算，这
( http: / / www.21cnjy.com )类题型新颖，常在各类试题中出现，只有通过仔细读题，明确符号含义，弄懂运算规律，才能做对做好，否则不能真正把握概念本质，理解模糊就会犯错．在求交集、并集时常借助数轴，运用数形结合思想，但必须注意端点是否取得，只有细心，才不会犯错．
9．解：
10．解：∵A∩B＝{9}，∴9∈A.
(1)若2a－1＝9，则a＝5.
此时A＝{－4,9,25}，B＝{9,0，－4}，
∴A∩B＝{－4,9}，与已知矛盾，舍去．
(2)若a2＝9，则a＝±3.当a＝3时，A
( http: / / www.21cnjy.com )＝{－4,5,9}，B＝{9，－2，－2}，B中有两个元素均为－2，与集合中元素的互异性矛盾，舍去；
当a＝－3时，A＝{－4，－7,9}，B＝{9，－8,4}．符合题意．
综上所述，a＝－3，A∪B＝{－8，－7，－4，4,9}．
点评：借助集合运算考查集合元素
( http: / / www.21cnjy.com )的性质，运用分类讨论思想解决．这也是历届高考必考查的数学思想方法．本题由交集元素入手，求出给定参数a的可能值，再检验是否符合条件，解此类问题时常忘记检验，若集合中的元素是用含字母的代数式表示，则检测必不可少，否则会因违背集合中元素的互异性而错解．
11．解：设参加数学、物理、化学竞
( http: / / www.21cnjy.com )赛的人构成的集合分别为A、B、C，用nP表示集合P中所含元素的个数，则nA＝27，nB＝25，nC＝27，nA∩B＝10，nB∩C＝7，nA∩C＝11，nA∩B∩C＝4，如下图所示．
∴全班人数为各数之和，即为
10＋12＋13＋7＋3＋6＋4＝55.
答：全班共有55人．
12．解：(1)在数轴上，画出集合A、B，如图．
可知A∩B＝ ，A∪B＝(－3,1]．
(2)∵(A∪B)∩Z＝{－2，－1,0,1}，C∩B≠ ，且C ((A∪B)∩Z)．∴－2∈C.
又C中含3个元素，∴C为{－2，－1,0}，{－2,0,1}，{－2，－1,1}，共3个．2.3.2　对数函数
第一课时
1．已知函数f(x)＝lg，若f(a)＝b，则f(－a)＝__________.
2．下列函数中，在区间(0，＋∞)上是单调增函数的个数是__________．
①y＝5x　②y＝lgx＋2　③y＝()x　④y＝x2＋1　⑤y＝logx
3．已知函数f(x)＝的定义域为M，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为N，则M∩N＝__________.
4．函数y＝loga(x－2)＋1(a＞0且a≠1)恒过定点P，则P点的坐标为__________．
5．画出函数f(x)＝|log2x|的图象．
课堂巩固
1．函数f(x)＝log(a－1)x是减函数，则a的取值范围是__________．
2.
右图是对数函数y=logax的图象，已知a值取、、、，则相应于C1、C2、C3、C4的a的值依次是　　　　　.
3．下列不等式成立的序号是__________．
①log32＜log23＜log25　②l
( http: / / www.21cnjy.com )og32＜log25＜log23　③log23＜log32＜log25　④log23＜log25＜log32
4．(1)已知函数f(x)＝若f(a)＝，则a＝__________.
(2)若函数f(x)＝logax(05．记函数f(x)＝()－x的反函数为f－1(x)，则函数y＝f－1(x－1)的图象可由函数y＝log2x经过向__________平移__________个单位而得到．
6．(1)已知log0.7(2m)(2)已知loga<1，则a的取值范围是__________．
7．已知函数y＝lg(－x)，求其定义域，并判断函数的奇偶性、单调性．
1．下列四图，当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的大致图象的序号是__________．
2．设a＝log3，b＝()0.2，c＝2，则a、b、c的大小关系是__________．
3．若函数y＝f(x)的图象与函数y＝ln＋1的图象关于直线y＝x对称，则f(x)＝__________.
4．已知函数f(x)＝若f(x0)≥2，则x0的取值范围是__________．
5．设a＝log34，b＝log43，c＝log3(log43)，则a、b、c的大小关系是__________．
6．(1)已知函数f(x)＝logax满足f(9)＝2，则a＝__________；
(2)如果函数f(x)＝(3－a)x，g(x)＝logax的单调性相同，则a的取值范围是__________．
7．(1)函数f(x)＝的定义域是__________；
(2)函数y＝log(x－1)(3－x)的定义域是__________．
8．方程log2(x＋4)＝3x的实根个数为__________．
9．函数y＝log(4x－x2)的值域是__________．
10．(易错题)方程log(3x－1)＝log(x－1)＋log(3＋x)的解集是__________．
11．(易错题)已知0＜a＜b＜1，比较logab、logba、logb、loga的大小．
12．已知f(x)＝loga(a>0且a≠1)．
(1)求函数的定义域；
(2)判断函数的奇偶性并予以证明；
(3)求使f(x)>0的x的取值范围．
13．求函数f(x)＝－(logx)2－logx＋5在2≤x≤4范围内的最值．
答案
2.3.2　对数函数
第一课时
课前预习
1．－b　f(－a)＝lg＝lg()－1＝－lg＝－f(a)＝－b.
2．3　①②④是(0，＋∞)上的增函数．
3．(－1,1)　∵M＝{x|1－x＞0}＝{x|x＜1}，N＝{x|1＋x＞0}＝{x|x＞－1}，
∴M∩N＝{x|－1＜x＜1}＝(－1,1)．
4．(3,1)　若x－2＝1，即x＝3时，则不论a为何值，只要a＞0且a≠1，都有y＝1.∴函数恒过定点P(3,1)．
5．解：函数f(x)＝|log2x|的图象应是将y＝log2x的图象位于x轴下方的部分翻折到x轴上方，而原上方的不变，图象如下：
课堂巩固
1．(1,2)　由题意知，0＜a－1＜1，∴1＜a＜2.
2.，，，　∵当a>1时，对数函数的图象自左向右呈上升趋势，且a越大，图象就越靠近x轴；当0a2>a3>a4，因此C1、C2、C3、C4相应的a值依次为，，，.
3．①　∵log32＜log33＝1,1＝log22＜log23＜log25，∴log32＜log23＜log25，故①正确．
4．(1)－1或　(2)　(1)令f(a)＝log2a＝，得a＝＞0；令f(a)＝2a＝＝2－1，得a＝－1＜0，均满足条件，∴a＝－1或.
(2)f(x)＝logax(0＜a＜1)在(0，＋∞)上是减函数，
当x∈[a,2a]时，f(x)max＝f(a)＝1，f(x)min＝f(2a)＝loga2a.
根据题意，3loga2a＝1，即loga2a＝，
所以loga2＋1＝，即loga2＝－.
故由a－＝2得a＝2－＝.
5．右　一　∵f(x)＝()－x＝2x，
∴f－1(x)＝log2x.∴f－1(x－1)＝log2(x－1)，其图象只需将y＝log2x图象向右平移一个单位长度即可得到．
6．(1)(1，＋∞)　(2)(0，)∪(1，＋∞)　
(1)考察函数y＝log0.7x，它在(0，＋∞)上是减函数，
∵log0.7(2m)＜log0.7(m－1)，∴2m＞m－1＞0.
由得m＞1，即m的取值范围是(1，＋∞)．
(2)当a>1时，loga，
∴a>1.当0综上，知a的取值范围是01，即a∈(0，)∪(1，＋∞)．
7．解：由题意－x>0，得x∈R，即定义域为R.
又f(－x)＝lg[－(－x)]
＝lg(＋x)＝lg
＝lg(－x)－1
＝－lg(－x)＝－f(x)，
∴y＝lg(－x)是奇函数．
任取x1、x2∈(0，＋∞)且x1＜x2，则＜ ＋x1＜＋x2 ＞，
即有－x1＞－x2＞0.
∴lg(－x1)＞lg(－x2)，即f(x1)＞f(x2)成立．
∴f(x)在(0，＋∞)上为单调减函数．
又f(x)是定义在R上的奇函数，故f(x)在(－∞，0)上也为单调减函数．
课后检测
1．①　首先把y＝a－x化为y＝()x，
∵a＞1，∴0＜＜1.
因此y＝()x，即y＝a－x的图象是下降的，y＝logax的图象是上升的．
2．a＜b＜c　∵a＝log3＜log1＝0,0＜b＝()0.2＜()0＝1，c＝2＞20＝1，∴a＜b＜c.
3．e2x－2　∵y＝f(x)与
( http: / / www.21cnjy.com )y＝ln＋1的图象关于y＝x对称，∴y＝f(x)与y＝ln＋1互为反函数．∵ln＝y－1，∴＝ey－1.∴x＝(ey－1)2＝e2y－2，∴f(x)＝e2x－2.
4．(－∞，－1]∪[2，＋∞)　当x0≤0
( http: / / www.21cnjy.com )时，f(x0)＝()x0≥2，∴－x0≥1，∴x0≤－1；当x0＞0时，f(x0)＝log2(x0＋2)≥2＝log24.
∴x0＋2≥4，∴x0≥2，∴x0的取值范围是(－∞，－1]∪[2，＋∞)．
5．c＜b＜a　∵a＝log3
( http: / / www.21cnjy.com )4＞log33＝1，b＝log43＞log41＝0且b＝log43＜log44＝1，即0＜b＜1，c＝log3(log43)＜log31＝0，∴c＜b＜a.
6．(1)3　(2)(1,2)　(1)由题意知loga9＝2，
∴a2＝9.又a＞0，且a≠1，∴a＝3；
(2)由题意，得或解得1＜a＜2.
7．(1)(－∞，3)∪(3,4)　(2)(1,2)∪(2,3)　
(1)由题意，得∴x≠3，且x＜4，
∴所求函数的定义域为(－∞，3)∪(3,4)；
(2)要使原函数有意义，必须且只需即∴1＜x＜3且x≠2.
∴原函数的定义域为(1,2)∪(2,3)．
8．2　此类问题通过解方
( http: / / www.21cnjy.com )程是无法解决的，只有借助于函数图象来解决．在同一坐标系中作出函数y＝log2(x＋4)与y＝3x的图象如图所示，可观察出两个函数的图象共有两个不同的交点，∴原方程有两个实根．函数y＝log2(x＋4)的图象可由y＝log2x的图象向左平移4个单位得到．
9．[－2，＋∞)　令t＝4x－x2，则t＝－(x－2)2＋4≤4，而y＝logt在(0,4]上为单调减函数，
∴当t＝4时，y有最小值ymin＝log4＝－2.
∴y≥－2，即值域为[－2，＋∞)(也可以认为：当x＝2时，t有最大值为4，而y＝logt为减函数，
∴y有最小值且ymin＝log4＝－2)．
10．{2}　原方程可化为即
∴x＝2.∴原方程的解集为{2}．
点评：同底的对数方程可用
( http: / / www.21cnjy.com )比较真数法化为代数方程来解．若不同底，可用定义或性质转化为同底，但要注意转化的等价性．本题主要利用对数的运算性质，将方程转化为一元二次方程，同时保证各对数式有意义，即求出的根必须适合x的范围，或求出解来后再验根．否则会因产生增根而错解．求解集要注意最后将解或根写成集合形式．
11．解：方法一(代数法)：∵0＜a＜b＜1，
∴＞＞1，函数y＝logax和y＝log
( http: / / www.21cnjy.com )bx都是区间(0，＋∞)上的单调减函数，y＝logx和y＝logx都是区间(0，＋∞)上的单调增函数．
∴logab＞loga1＝0，logba＞logb1＝0，logb＜log1＝0，loga＜log1＝0.
∵logab＜logaa＝1＝logbb＜logba，
loga＜logb＝－1＝loga＜logb，
∴loga＜logb＜logab＜logba.
方法二(图象法、数形结合法)：
由对数函数的性质及0＜a＜b＜1，可以得到函数y＝logax，y＝logbx，y＝logx，y＝logx的图象的大致位置如图所示．
作直线x＝a和x＝b可以得到logab、logba、logb、loga的对应点A、B、C、D.
由此可以判断它们的大小关系为：
loga点评：比较两个对数式的值的大
( http: / / www.21cnjy.com )小，若同底可根据对数函数的单调性判断；若不是同底的对数式，一种途径是化为同底或采用放缩法借助第三个中间量来比较大小，这个中间量通常是“0”或“1”，特别是多个数式的大小比较，一般先以0与1作分界点进行分组，然后再在每组内分别比较，最后下结论(如方法一)；另一种途径是利用对数函数的图象与性质去判断(如方法二)．图象法直观形象、快捷，但需对基本函数的图象把握深、透．由于底数影响指、对数函数的单调性，因此要特别注意底数，必要时还要分类讨论．
12.解：(1)由题意，知＞0，
∴有①或②
解①得－1＜x＜1，解②得x∈ ，∴函数f(x)的定义域为x∈(－1,1)．
(2)由(1)知，函数定义域关于原点对称，
∵f(－x)＝loga＝loga()－1
＝－loga＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数．
(3)∵f(x)＞0，
∴loga＞0，即loga＞loga1.
∴当a＞1时，有＞1.
又∵－1＜x＜1，∴1－x＞0.
∴1＋x＞1－x，得x＞0.
又∵x＜1，∴0＜x＜1.
当0＜a＜1时，有0＜＜1.
∵1－x＞0，∴0＜1＋x＜1－x.
∴－1＜x＜0.
综上，知当a＞1时，f(x)＞0的x的取值范围是(0,1)；当0＜a＜1时，f(x)＞0的x的取值范围是(－1,0)．
13．解：f(x)＝－(
( http: / / www.21cnjy.com )logx)2－log()2x1＋5＝－(logx)2－logx＋5，令t＝logx，则由于t关于x的函数在[2,4]上是单调减函数，∴tmin＝log4＝－2，tmax＝log2＝－1，即t∈[－2，－1]．
∴函数y＝g(t)＝－t2－t＋5
＝－(t＋)2＋.
其图象对称轴t＝－，开口向下．
∴g(t)在[－2，－1]上为单调增函数．
∴f(x)max＝g(t)max＝g(－1)＝，
f(x)min＝g(t)min＝g(－2)＝2.第二课时
1．已知函数f(x)＝logax(a>
( http: / / www.21cnjy.com )0且a≠1)的反函数为y＝f－1(x)，且有反函数值f－1(2)<1，则下列图象中是函数f(x)的图象的序号是__________．
2．将函数y＝log2x的图象
( http: / / www.21cnjy.com )向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到函数f(x)的图象，则f(x)的解析式是__________．
3．若定义在区间(－1,0)上的函数f(x)＝log2a(x＋1)满足f(x)＞0，则a的取值范围是__________．
4．已知05．若a＝log3π，b＝log76，c＝log20.8，则a、b、c的大小关系是__________．
6．已知函数f(x)＝1＋lo
( http: / / www.21cnjy.com )gax(a>0，且a≠1)，f－1(x)是f(x)的反函数．若f－1(x)的图象过点(3,4)，则a＝__________.
7．设a>1，函数f(x)＝logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为，则a等于__________．
8．设a>1，且m＝loga(a2＋1)，n＝loga(a－1)，p＝loga(2a)，则m、n、p的大小关系是__________．
9．在同一平面直角坐标系中，函数y＝g(x
( http: / / www.21cnjy.com ))的图象与y＝ex的图象关于直线y＝x对称，而函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象关于y轴对称．若f(m)＝－1，则m＝__________.
10．已知f(x)＝lg，f(1)＝0，且当x>0时，恒有f(x)－f()＝lgx.
(1)求常数a、b的值；
(2)求f(x)的定义域．
11．已知函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，如果对于任意x∈[3，＋∞)都有|f(x)|≥1成立，求a的取值范围．
12．在同一直角坐标系下，画出函数f(x)＝1＋log2x与g(x)＝2－x＋1的图象．
13．(1)函数y＝f(x)的图象与函数y＝log3x(x>0)的图象关于直线y＝x对称，则f(x)＝__________；
(2)若函数f(x)的反函数为f－1(x)＝log2x，则f(x)＝__________.
14．已知函数f(x)＝log2(x2－ax＋3a)在[2，＋∞)上是单调增函数，则实数a的取值范围是__________．
15．若a＝，b＝，c＝，则a、b、c的大小关系为__________．
16．若集合A＝{x|2≤22－x<8，x∈Z}，B＝{x||log2x|>1}，则A∩(
( http: / / www.21cnjy.com )RB)的元素个数为__________．
17．设函数f(x)＝则不等式f(x)>2的解集为__________．
18.若x∈(e－1,1)，a＝lnx，b＝2lnx，c＝ln3x，则a、b、c的大小关系是__________．
19．已知函数f(x)＝2x
( http: / / www.21cnjy.com )＋3，f－1(x)是f(x)的反函数，若mn＝16，m，n∈(0，＋∞)，则f－1(m)＋f－1(n)的值为__________．
20．设a，b，c均为正数，且2a＝loga，()b＝logb，()c＝log2c，则a、b、c的大小关系为__________．
21．对于函数f(x)定义域中任意的x
( http: / / www.21cnjy.com )1、x2(x1≠x2)，有如下结论：①f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)；②f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)；③>0；④f()<(f(x1)＋f(x2))．当f(x)＝lgx时，上述结论成立的序号是__________．
22．(易错题)(1)方程lgx2－lg(x＋2)＝0的解集是__________；
(2)函数y＝log(1－x)(x＋3)的递增区间是__________．
23．(易错题)已知f(x)＝1＋logx3，g(x)＝2logx2，试比较f(x)与g(x)的大小．
24．已知f(x)＝lg(ax－bx)(a>1>b>0)．
(1)求y＝f(x)的定义域．
(2)在函数图象上是否存在不同的两点，使过这两点的直线平行于x轴？
(3)当a，b满足什么条件时，f(x)在区间(1，＋∞)上恒取正值？
25．已知函数f(x)＝lg(ax2＋2x＋1)，其中a∈R，
(1)若函数f(x)的定义域是R，求实数a的取值范围；
(2)若函数f(x)的值域是R，求实数a的取值范围．
?答案与解析
基础巩固
1．②　∵f－1(x)＝ax，
又f－1(2)<1，∴a2<1.
∵a>0且a≠1，
∴02．f(x)＝log2(x＋2)－1　y＝log2xy＝log2(x＋2)y＝log2(x＋2)－1.
3.(0，)　当x∈(－1,0)时，有x＋1∈(0,1)，此时要满足f(x)>0，只要0<2a<1即可．
∴04．z∵0又<<，
∴loga>loga>loga，即z5．a>b>c　∵a＝log3π>log33＝1，log71∴0∴a>b>c.
6．2　由互为反函数图象间的关系，得(4,3)必在函数f(x)的图象上，
∴3＝1＋loga4，即loga4＝2.
∴a2＝4.
又a>0且a≠1，∴a＝2.
7．4　由a>1，知f(x)在区间[a,2a]上为单调增函数，
∴loga2a－logaa＝，即loga2＝，解得a＝4.
8．n1，则m＝log25>log24＝2，n＝log21＝0，p＝log24＝2，
∴n方法二：∵a>1，
∴a2＋1－2a＝(a－1)2.
∴a2＋1>2a；
2a－(a－1)＝a＋1>0，
∴2a>a－1.
∴a2＋1>2a>a－1＞0.
根据a>1时，y＝logax为单调增函数，得loga(a2＋1)>loga(2a)>loga(a－1)，即m>p>n.
9．－　由题意知，g(x)是函数y＝ex的反函数，
∴g(x)＝lnx.
又函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象关于y轴对称，
∴f(x)＝ln(－x)．
又∵f(m)＝－1，
∴ln(－m)＝－1＝lne－1，
∴－m＝e－1，即m＝－.
10．解：(1)∵f(1)＝0，
∴lg＝0，
∴a＋b＝2.①
∵f(x)－f()＝lgx，
∴lg－lg＝lgx.
∴＝x，即ax2＋bx＝ax＋bx2.
∴a＝b.②
由①②知，a＝b＝1.
(2)∵f(x)＝lg，
∴由>0，得①或②
由①得x>0，由②得x<－1，
∴函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)．
11．解：根据对数函数的图象和性质，知在区间[3，＋∞)上：当a>1时，|f(x)|≥1?f(x)≥1?loga3≥1，
∴1当0综上可知，a的取值范围是[，1)∪(1,3]．
12．解：∵f(x)的图象是由y＝l
( http: / / www.21cnjy.com )og2x向上平移1个单位得到的，g(x)＝()x－1的图象是由y＝()x的图象向右平移一个单位得到的，∴先画出函数y＝log2x与y＝()x的图象，再经平移即得f(x)与g(x)的图象，如图所示．
能力提升
13．(1)3x(x∈R)　(2)2x(
( http: / / www.21cnjy.com )x∈R)　(1)由题意知y＝f(x)与y＝log3x(x>0)互为反函数，∴f(x)＝3x(x∈R)．
(2)∵y＝f－1(x)＝log2x，
∴x＝2y.∴f(x)＝2x(x∈R)．
14．(－4,4]　令u(x)＝x2－ax＋3a，其对称轴为x＝，由题意有解得－415．c( http: / / www.21cnjy.com )a＝ln2＝ln2，b＝＝ln3，c＝ln5＝ln5.∵(2)30＝215，(3)30＝310，(5)30＝56，又∵56<215<310，∴5<2<3.
∴ln5方法二：(作差法)a－b＝－＝＝(ln8－ln9)<0，∴a同理可得c方法三：(作商法)依据题意可知a、b、c都为正数，
∵＝·＝<1，
∴a又∵＝·＝>1，
∴c∴c方法四：∵a＝ln，b＝ln，c＝ln，
又＝<＝，＝>＝，∴c16．2　方法一：由21≤22－x<23＝8，得1≤2－x<3，
∴－1≤－x<1.
∴－1又∵x∈Z，
∴x＝0,1，即A＝{0,1}；
而0,1均不属于B，
∴0,1均属于
( http: / / www.21cnjy.com )RB.
∴A∩(
( http: / / www.21cnjy.com )RB)＝{0,1}．
∴A∩(
( http: / / www.21cnjy.com )RB)中有2个元素．
方法二：由|log2x|>1得log2x>1，或log2x<－1，解得x>2或0∴B＝{x|02}，
∴
( http: / / www.21cnjy.com )RB＝{x|x≤0或≤x≤2}．
由方法一知A＝{0,1}，
∴A∩(
( http: / / www.21cnjy.com )
RB)＝{0,1}．
∴A∩(
( http: / / www.21cnjy.com )RB)中有2个元素．
17．(1,2)∪(，＋∞)　(1)当x<2时，f(x)＝2ex－1>2?ex－1>1＝e0?x>1.
∴1(2)当x≥2时，f(x)＝log3(x2－
( http: / / www.21cnjy.com )1)>2?log3(x2－1)>log39?x2－1>9?x2>10(|x|>)?x>或x<－?x>.由(1)(2)可知不等式的解集为(1,2)∪(，＋∞)．
18．b∵x∈(e－1,1)，
∴x>x2，∴a>b.
∵e－1∴lnx19．－2　由f(x)＝2x＋3，
得f－1(x)＝log2x－3，
∴f－1(m)＋f－1(n)＝log2m－3＋log2n－3＝log2mn－6＝log216－6＝4－6＝－2.
20．a方法二(代数法)：∵a>0，
∴2a>20＝1.
∴loga>1＝log，
∴0又∵b>0，
∴0<()b<()0＝1.
∴0又∵()c>0，
∴log2c>0＝log21，∴c>1.
∴021．②③
22．(1){－1,2}　(2)(－1,1)　
(1)由题意知即
∴x2－x－2＝0，解得x＝2或x＝－1.
经检验知，－1,2都是原方程的解．
(2)令u＝(1－x)(x＋3)>0，
∴①或②
解①得－3∴函数的定义域为(－3,1)．
∵u＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，对称轴为x＝－1，
∴u在(－3，－1)上是单调增函数，在(－1,1)上是单调减函数．
又∵y＝logu为定义域上的单调减函数，
∴y＝log(1－x)(x＋3)在(－1,1)上是单调增函数，即原函数的递增区间为(－1,1)．
点评：(1)对数方程一般要转化为一元
( http: / / www.21cnjy.com )一次或二次方程来解．但要保证转化时各对数式有意义，即求出的根必须适合x的取值范围．此类问题常因不恒等变形而产生增根导致错解，所以要注意验根．
(2)本题是对数函数与二次函数的复
( http: / / www.21cnjy.com )合函数，需要分别判断它们的单调性，由于底数∈(0,1)，所以对数函数是单调减函数，二次函数经配方后，可依对称轴确定单调性与单调区间．但必须注意研究函数性质，或求单调区间，应考虑“定义域优先原则”．此类问题常因忽视定义域，而将单调区间求错．若对数的底数是字母，还要讨论．
23．解：f(x)和g(x)的定义域都是(0,1)∪(1，＋∞)．
f(x)－g(x)＝1＋logx3－2logx2＝1＋logx3－logx4＝logxx.
(1)当00，即0g(x)．
(2)当x>1时，若x>1，即x>，此时logxx>0，即x>时，f(x)>g(x)；若x＝1，即x＝，此时logxx＝0，即x＝时，f(x)＝g(x)；若0综上所述，当x∈(0,1)∪(，＋∞)时，f(x)>g(x)；当x＝时，f(x)＝g(x)；当x∈(1，)时，f(x)点评：比较两个函数值的大小常用函数的单调性
( http: / / www.21cnjy.com )．本题两函数可化为同底的对数式，所以可用作差法比较大小，但其差不仅真数上含变量x，底数上也有，所以使用对数的性质，要讨论底数大于1，还是大于零小于1，还要讨论真数．利用分类讨论思想解题，必须搞清分类标准，做到不重不漏．本题往往只注重了底数的讨论，却忽视了真数的讨论或对真数讨论混乱不清，而导致错解．
24．解：(1)由ax－bx>0，得()x>1＝()0，
∵>1，∴x>0.
∴函数的定义域为(0，＋∞)．
(2)先证明f(x)是其定义域上的单调增函数．对于任意的x1>x2>0，
∵a>1>b>0，
∴ax1>ax2，bx1∴ax1－bx1>ax2－bx2.
∴lg(ax1－bx1)>lg(ax2－bx2)．
∴f(x1)>f(x2)．
∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数．
( http: / / www.21cnjy.com )假设y＝f(x)上存在不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，使直线AB∥x轴，则x1≠x2，y1＝y2，这与f(x)是增函数矛盾，
∴y＝f(x)的图象上不存在两点，使过这两点的直线平行于x轴．
(3)要使f(x)在(1，＋∞)上恒取正值，由于f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
∴只需f(1)≥0即可，即lg(a－b)≥0.∴a－b≥1.
∴当a，b满足a－b≥1时，f(x)在区间(1，＋∞)上恒取正值．
拓展探究
25．解：(1)∵f(x)的定义域为R，
∴对一切x∈R，u＝ax2＋2x＋1的值恒为正数，即u>0对任意x∈R恒成立，
当a＝0时，u＝2x＋1对x∈R不恒为正．
∴a≠0，二次函数u＝ax2＋2x＋1的图象都在x轴上方时，u>0对一切实数恒成立．
∴有解得a>1.
(2)∵f(x)的值域为R，
∴u＝ax2＋2x＋1能取遍所有的正实数；
当a＝0时，u＝2x＋1能取到所有的正实数；
当a≠0时，要使u能取到所有的正实数，必须满足
解得0∴a的取值范围是[0,1]．
点评：(1)f(x)的定义域为R，即关于x
( http: / / www.21cnjy.com )的不等式ax2＋2x＋1>0的解集为R，是有关常规问题．当a≠0时，可考虑用二次函数的图象与性质解决．
(2)f(x)的值域为R与a
( http: / / www.21cnjy.com )x2＋2x＋1恒为正值不等价，是非常规问题．因为这里要求f(x)取遍一切实数，即要求u＝ax2＋2x＋1取遍一切正数，考查此函数图象的各种情况，如图，使u取遍一切正数的条件是a＝0或
(3)注意当二次项系数为字母参数(a)时
( http: / / www.21cnjy.com )，因为a＝0不能用判别式Δ，所以一定要讨论a＝0与a≠0的情况．本题注重了等价转化思想与分类讨论思想的应用．1.2　子集、全集、补集
1．设集合A＝{x|x≥3}，x＝2，则下列关系中正确的序号是__________．
①x?A　②x A　③{x}∈A　④{x}?A
2．(原创题)设集合A＝{x
( http: / / www.21cnjy.com )|x2－1＝0}，B＝{x||x|＝1}，C＝{－1,0,1}，则集合A、B、C之间的关系是__________．
3．若集合M＝{0,1}，I＝{0,1,2,3,4,5}，则 IM＝__________.
4．集合A＝{x|0≤x<3，x∈N}的真子集个数是__________．
5．选用适当的符号(∈， ，＝， ，?， ，?)填空：
________Q；{}________Q；Z________N；N__________N
；{1,2}________{2,1}．
6．指出下列各集合之间的关系，并用Venn图表示：A＝{四边形}，B＝{菱形}，C＝{平行四边形}，D＝{正方形}．
课堂巩固
1．下列说法：①空集没有子
( http: / / www.21cnjy.com )集；②空集是任何集合的真子集；③任何一个集合必有两个或两个以上的子集；④空集是任何集合的子集；⑤若 ?A，则A≠ .其中正确的个数为________．
2．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合A＝{2,3,6}，则集合 UA＝__________.
3．若集合A＝{1,3，x}，B＝{x2,1}，且B?A，则满足条件的实数x的个数为__________．
4．已知集合A?{1,2,3}，且A的元素中至少含有一个奇数，则满足条件的集合A的个数为__________．
5．已知全集U＝{非负实数}，集合A＝{x|06．设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x－a≥0}，若A?B，则实数a的取值范围是__________．
7．用适当的符号(∈， ，＝，?，?)填空：
(1)b__________{a，b，c}
( http: / / www.21cnjy.com )；(2) __________{x|x2＝－4}；(3){小说}__________{武侠小说}；(4) __________{x|x2＋2x＋1＝0}；(5){被5整除的数}__________{被10整除的数}．
8．集合U、S、T、F的关系如图所示，下列关系中哪些是对的，哪些是错的？
(1)S?U；(2)F?T；(3)S?T；(4)S?F；(5)S?F；(6)F?U.
9．设集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B A，求实数m的取值范围．
1．下列关系式：① ?{0}；②{a}∈{a
( http: / / www.21cnjy.com )，b，c}；③0 {0}；④ ∈{0,1}；⑤{a} {a}．其中表述正确的序号是________．
2．集合M＝{x|x2－x＝0}，N＝{y|x2＋y2＝1，x∈N}，则M、N的关系是__________．
3．(原创题)已知全集U＝{1,2,3,4,
( http: / / www.21cnjy.com )5}，集合A＝{x|－24．若{1}?A {1,2,3,4}，且A中所有元素之和为奇数的集合A的个数是__________．
5．第二十九届夏季奥林匹克运
( http: / / www.21cnjy.com )动会于2008年8月8日在北京举行，若集合A＝{参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B＝{参加北京奥运会比赛的男运动员}，集合C＝{参加北京奥运会比赛的女运动员}，则 AB＝__________， AC＝__________.
6．已知全集U和集合A，B，P，A＝ UB，B＝ UP，则A与P的关系是________．
7．同时满足：(1)M {1,2,3,4,5}；(2)若a∈M，则6－a∈M的非空集合M有________个．
8．(易错题)已知A＝{x|x2－2x－3＝0}，B＝{x|ax－1＝0}，若B?A，求实数a的值．
9.设全集U＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{|2a－1|,2}， UA＝{5}，求实数a的值．
10．(创新题)已知集合A＝{2
( http: / / www.21cnjy.com ),4,6,8,9}，B＝{1,2,3,5,8}，是否存在集合C，使C的每一个元素都加上2就变成了A的一个子集，且C的每一个元素都减去2，就变成了B的
一个子集？若存在，求出集合C；若不存在，请说明理由．
11．已知集合A＝{x|x2－3x＋4＝0}，B＝{x|(x＋1)(x2＋3x－4)＝0}，若A?P B，求满足条件的集合P.
12．已知集合U＝{x|－1≤x≤2，x∈P}，A＝{x|0≤x<2，x∈P}，B＝{x|－a(1)若P＝R，求 UA中最大元素m与 UB中最小元素n的差m－n；
(2)若P＝Z，求 AB和 UA中所有元素之和及 U( AB)．
答案
1．2　子集、全集、补集
课前预习
1．④　∵2＝>＝3，
∴x∈A，{x}?A.
2．A＝B?C　∵A＝{－1,1}，B＝{－1,1}，
∴A＝B?C.
3．{2,3,4,5}
4．7　∵A＝{0,1,2}，∴真子集有 ，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}共7个．
5．∈　?　?　?　＝
6．解：集合A、B、C、D之间的关系为D?B?C?A.
用Venn图表示为：
课堂巩固
1．2　④⑤正确．任何集合是它本身的子集，所以①错误；空集是任何非空集合的真子集，所以②错误； 只有一个子集即其本身，所以③错误．
2．{1,4,5}
3．3　∵B?A，∴x2∈A.又x2≠1，∴x2＝3或x2＝x，解得x＝±或x＝0或x＝1.当x＝1时，不满足题意．∴x＝0或x＝±.
4．5　由题意，A共有{1}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，共5个．
5．{x|0≤x≤1或x>6}　∵U＝{x|x≥0}，A＝{x|1∴ UA＝{x|0≤x≤1或x>6}．
6．a≤1　∵A?B，∴集合B必须真包含集合A.可借助于数轴，如图所示：
∵B＝{x|x≥a}，∴由图可知a≤1.
7．(1)∈　(2)＝　(3)?　(4)?　(5)?
8．解：(1)(3)(6)对；(2)(4)(5)错．
9．解：(1)当B＝ 时，有m＋1>2m－1，
即m<2，显然B A成立；
(2)当B≠ 时，由B A，得
解得2≤m≤3.
综上可知，m的取值范围是m≤3.
课后检测
1．①⑤　②应为“?”；③应为“∈”；④应为“?”．
2．M?N　M＝{0,1}，∵x∈N，且y2＝1－x2，
∴当x＝0时，y＝±1；当x＝1时，y＝0.
∴N＝{－1,0,1}．∴M?N.
3． UA? UB　∵A＝{x|－2∴ UA＝{1,5}，∵B＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3}．
∴ UB＝{1,4,5}．∴ UA? UB.
4．3　满足条件{1}?A {1,2,3,
( http: / / www.21cnjy.com )4}的集合A有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,3,4}，{1,2,3,4}，显然和为奇数的有{1,2}，{1,4}，{1,2,4}共3个．
5．C　B
6．A＝P　法一：画出Venn图，如下图所示，由图可知A＝P.
法二：由补集的定义，∵B＝ UP，∴A＝ UB＝ U( UP)＝P.
7．7　∵M {1,2,3,4,5}，a∈M，则6－a∈M.
∴1,5应同时属于M,2,4也应同时属于M,3可单独属于M.
∴非空集合M应有23－1＝7个，即{3
( http: / / www.21cnjy.com )}，{1,5}，{2,4}，{1,3,5}，{2,3,4}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}．
8．解：A＝{x|x2－2x－3＝0}＝{－1,3}，且B?A，
(1)当B＝ 时，方程ax－1＝0无解，故当a＝0时，B?A；
(2)当B≠ 时，若a≠0，则B＝{}，
当＝－1时，a＝－1；
当＝3时，a＝都适合题意．
综上知，a的值为－1,0，.
点评：由于空集是任何非空集合的真子集，所以当B＝ 时，B?A成立；这种情况容易遗漏，在解此类问题时要切实注意．
9．解：∵ UA＝{5}，A＝{|2a－1|,2}，U＝{2,3，a2＋2a－3}，
∴解得
∴a＝2.
10．解：假设存在集合C满足条件，则C≠ ，且C {0,2,4,6,7}，C {3,4,5,7,10}．
∴存在集合C＝{4}，或C＝{7}或C＝{4,7}满足题意．
11．解：∵方程x3－3x＋4＝0的判别式Δ＝－7<0，
∴方程无解，即A＝ .
由方程(x＋1)(x2＋3x－4)＝0，得x＝－1，或x＝－4，或x＝1.
∴B＝{－4，－1,1}．
又∵A?P B，∴P≠ 且P B.
故满足条件的集合P有：{－4}，{－1}，{1}，{－4，－1}，{－4,1}，{－1,1}，{－4，－1,1}共7个．
12．解：(1)∵ UA＝{x|－1≤x<0，或x＝2}，
∴m＝2.
又∵ UB＝{x|－1≤x≤－a，或1∴n＝－1.
∴m－n＝2－(－1)＝3.
(2)∵P＝Z，∴U＝{x|－1≤
( http: / / www.21cnjy.com )x≤2，x∈Z}＝{－1,0,1,2}，A＝{0,1}，B＝{1}或{0,1}．(注：当a≤0时，B＝{1}；当a>0时，B＝{0,1}．)
∴ AB＝{0}，或 AB＝ ，即元素之和为0.
又 UA＝{－1,2}，其元素和为1，
故所求元素和为0＋1＝1.
∵ AB＝{0}，或 AB＝ ，
∴ U( AB)＝{－1,1,2}，
或 U( AB)＝ U ＝U＝{－1,0,1,2}．2.1.3　函数的简单性质
第一课时　单调性
1．下列函数：①y＝2x；②y＝|x|；③y＝x3；④y＝x0；⑤y＝x2.其中在(－∞，0)上为单调减函数的序号是__________．
2．二次函数f(x)＝x2－6x＋3，有下
( http: / / www.21cnjy.com )列结论：①f(x)是单调增函数；②f(x)是单调减函数；③f(x)在(－∞，0)上是单调减函数；④f(x)在(－∞，0)上是单调增函数．其中正确的个数是__________．
3．若函数f(x)＝(2a－1)x＋b是R上的单调减函数，则a的取值范围是__________．
4．如果函数f(x)在[a
( http: / / www.21cnjy.com )，b]上是单调增函数，则对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论中正确的个数是__________．
①>0
②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0
③f(a)④>0
5．函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[
( http: / / www.21cnjy.com )－2，＋∞)时为单调增函数，当x∈(－∞，－2]时为单调减函数，则f(1)＝__________.
6．如果函数y＝5x2＋mx＋4在区间(－∞，－1]上是单调减函数，在区间[－1，＋∞)上是单调增函数，则m＝__________.
7．若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)在[a，b]上的最大值与最小值之差为__________．
8．已知函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图象如下图：
　　
则函数y＝f(x)的单调增区间是__________．
函数y＝g(x)的单调减区间是__________．
9．设f(x)是定义在A上的单调减函数，且f(x)>0，则下列函数中为单调增函数的序号是__________．
①y＝3－f(x)　②y＝1＋　③y＝[f(x)]2④y＝1－
10．(原创题)已知函数y＝f(x)在定义域
( http: / / www.21cnjy.com )(－∞，0)上是单调增函数，且f(1－a)11．如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)的图象，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一个单调区间上，它是递增的还是递减的．
12．求f(x)＝－x2＋4x在[0,5]上的最大值和最小值．
13．对于每一个实数x，设f(x)取y
( http: / / www.21cnjy.com )＝4x＋1，y＝x＋2，y＝－2x＋4三个函数中的最小值，用分段函数写出f(x)的解析式，并求f(x)的最大值．
14．在“(　　)”处填写“√”或“×”：
(1)增函数一定有最大值．(　　)
(2)减函数的图象一定与x轴相交．(　　)
(3)一次函数一定是增函数．(　　)
(4)y＝(定义域{x∈R|x≠0})是减函数．(　　)
(5)二次函数在任何区间上都不是单调函数．(　　)
15．已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是单调减函数，则实数a的取值范围是__________．
16．已知函数f(x)在区间[a，c]上单调递减，在区间[c，b]上单调递增，则f(x)在区间[a，b]上的最小值是__________．
17．已知函数f(x－2)＝2x2－9x＋13，则使函数f(x)是单调减函数的区间是__________．
18．已知f(x)为R上的单调减函数，则满足f()19．当x∈[0,5]时，函数f(x)＝3x2－4x＋c的值域为__________．
20．(易错题)有下列四个命题
( http: / / www.21cnjy.com )：①函数y＝2x2＋x＋1在(0，＋∞)上不是单调增函数；②函数y＝在(－∞，－1)∪(－1，＋∞)上是单调减函数；③函数y＝的单调增区间是(－∞，＋∞)；④已知f(x)在R上为单调增函数，若a＋b>0，则有f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)．其中正确命题的序号是__________．
21．已知f(x)是定义在[－1,1]上的单调减函数，且有f(x－1)22．已知函数f(x)＝x2＋2(1－2a)x＋6在(－∞，－1)上是单调减函数，
(1)求f(2)的取值范围；
(2)比较f(2a－1)与f(0)的大小．
23．判断函数f(x)＝－x3＋a在(－∞，＋∞)上的单调性，并证明你的结论．
24．已知函数y＝，问此函数在区间[2,6]上是否存在最大值和最小值？若存在，请求之；若不存在，请说明理由．
　25.已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．
(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值与最小值；
(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数．
?答案与解析
第一课时　单调性基础巩固
1．②⑤
2．1　∵f(x)＝(x－3)2－6，
∴函数在(－∞，3]上递减，在[3，＋∞)上递增．
∴只有③正确，①②④错误．
3．a<　当2a－1<0，即a<时，函数f(x)在R上是单调减函数．
4．3　由函数单调性定义知，x1－x2与f(x1)－f(x2)同号，则函数是单调增函数．
∴①②④正确，
又∵x1≠x2，
即x1与x2的大小未知，
∴不一定有f(x1)若x1>x2，则由f(x)在[a，b]上是单调增函数，
∴f(x1)>f(x2)，
∴③错．
5．13　二次函数的对称轴为x＝，由题意得＝－2，
∴m＝－8.∴f(x)＝2x2＋8x＋3，f(1)＝2＋8＋3＝13.
6．10　由题意知，二次函数的对称轴x＝－＝－1.
∴m＝10.
7．|f(a)－f(b)|　由题
( http: / / www.21cnjy.com )意f(x)在区间端点处取得最值．当f(x)在[a，b]上是单调增函数时，f(x)min＝f(a)，f(x)max＝f(b)，最大值与最小值之差为f(b)－f(a)；当f(x)在[a，b]上是单调减函数时，f(x)min＝f(b)，f(x)max＝f(a)，此时，最大值与最小值之差为f(a)－f(b)．
故所求结果为|f(a)－f(b)|.
8．(－∞，－2]，[0，＋∞)　(－∞，0]，(0，＋∞)
9．①②④　由题意，设x1，x2∈A，且x1f(x2)>0，
∴3－f(x1)<3－f(x2)，
即y＝3－f(x)在A上为单调递增函数．
同理可得1＋<1＋，f
2(x1)>f
2(x2)，1－<1－.
∴y＝1＋，y＝1－在A上均为单调增函数．y＝f2(x)在A上是单调减函数，即填①②④.
10．(2,3)　由题意得解得211.解：由题图知，函数y＝f(
( http: / / www.21cnjy.com )x)的单调区间有[－5，－2)，[－2,1)，[1,3)，[3,5]，其中y＝f(x)在区间[－5，－2)，[1,3)上是减少的，在区间[－2,1)，[3,5]上是增加的．
12．解：f(x)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4.画出函数f(x)在[0,5]上的简图如下图．
由图可知，f(x)max＝f(2)＝4，f(x)min＝f(5)＝－5.
13．解：由直线y＝4x
( http: / / www.21cnjy.com )＋1与y＝x＋2，求得交点A(，2)，再由直线y＝x＋2与y＝－2x＋4，求出交点B(，2)，由图象(1)可看出：
f(x)＝
(1)
画出f(x)的图象如图(2)可知，当x≥时，f(x)为单调减函数，
∴当x＝时，f(x)有最大值，且有f(x)max＝f()＝－2×＋4＝.
(2)
能力提升
14．(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×
15．a≤－3　∵函数f(x)的图象为开
( http: / / www.21cnjy.com )口向上的抛物线，其对称轴为x＝1－a，∴由题意知，对称轴在x＝4的右侧或与x＝4重合，即1－a≥4，∴a≤－3.
16．f(c)　∵f(x)在区间[a，c]上单调递减，∴对于任意的x∈[a，c]有f(x)≥f(c)，当且仅当x＝c时取“＝”．
又∵f(x)在[c，b]上单调递增，
∴对任意的x∈[c，b]有f(x)≥f(c)，当且仅当x＝c时，取“＝”．
∴对任意的x∈[a，b]有f(x)≥f(c)，当且仅当x＝c时取“＝”，
即f(x)的最小值为f(c)．
17．(－∞，]　方法一(配凑法)：
∵f(x－2)＝2(x－2)2＋8x－8－9x＋13＝2(x－2)2－(x－2)＋3，
∴函数f(x)的解析式为f(x)＝2x2－x＋3.其图象为开口向上的抛物线，对称轴为x＝，
∴单调减区间为(－∞，]．
方法二(换元法)：设t＝x－2，则x＝t＋2，∴f(t)＝2(t＋2)2－9(t＋2)＋13＝2t2－t＋3.以下同方法一．
18．(－1,0)∪(0,1)　∵f(x)是R上的单调减函数，∴由已知得>1，
∴
即－119．[－＋c,55＋c]　函数f(x)
( http: / / www.21cnjy.com )＝3x2－4x＋c的对称轴x＝，且开口方向向上，∴当x∈[0，]时为单调减函数，当x∈[，5]时为单调增函数，且f(0)∴f(x)在[0,5]上的最小值为f()＝3×()2－4×＋c＝－＋c，最大值为f(5)＝3×52－4×5＋c＝55＋c.
∴函数f(x)＝3x2－4x＋c的值域为[－＋c，55＋c]．
20．④　①∵函数在(－，＋∞)上为单调增函数，∴在(0，＋∞)上也是单调增函数，故①错．
②函数y＝在区间(－∞，－1)和(－1，＋∞)上各自是单调减函数，但不能说函数在(－∞，－1)∪(－1，＋∞)上为单调减函数，故②错．
③∵函数y＝的定义域是[，＋∞)，
∴函数的单调增区间是[，＋∞)，故③错．
④∵f(x)在R上为单调增函数，又a＋b>0，
∴有a>－b或b>－a，
∴f(a)>f(－b)，f(b)>f(－a)，两式相加，得f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)，故④对．
点评：①二次函数的单调性取决于开口方向与
( http: / / www.21cnjy.com )对称轴．对分式函数y＝不能说在(－∞，－1)∪(－1，＋∞)上是单调减函数，因为当取x1＝－2，x2＝0时，x1(2)讨论函数单调性或求单调区间，必须先求函数的定义域，单调区间往往是定义域或其子集，忽视这一点，很容易得出错误结果，如③.
21．解：由题意，条件f(x－1)解之，得∴x的取值范围是(，]．
22．解：(1)∵二次函数f
( http: / / www.21cnjy.com )(x)图象的对称轴为x＝2a－1，且开口向上，∴函数在区间(－∞，2a－1]上是单调减函数．若使f(x)在(－∞，－1)上是单调减函数，其对称轴x＝2a－1必须在直线x＝－1的右侧或与其重合，即－1≤2a－1，
∴a≥0.∴f(2)＝22＋2(1－2a)×2＋6＝－8a＋14≤14，
即f(2)∈(－∞，14]．
(2)∵当x＝2a－1时，二次函数f(x)取得最小值，∴f(2a－1)≤f(0)．
23．解：函数f(x)＝－x3＋a在(－∞，＋∞)上是单调减函数．
证明：任取x1，x2∈R，
( http: / / www.21cnjy.com )且x1∵x1∴x2－x1>0，(x2＋x1)2＋x≥0(当且仅当x1＝x2＝0时，等号成立)．
∵x1≠x2，
∴(x2＋x1)2＋x>0，
即f(x1)>f(x2)．∴f(x)＝－x3＋a在(－∞，＋∞)上是单调减函数．
24．解：方法一(图象法
( http: / / www.21cnjy.com ))：函数的图象如下图所示，观察知，函数在闭区间[2,6]上是单调减函数，∴函数在区间的两个端点处存在最大值和最小值，即当x＝2时取得最大值，且最大值为2.当x＝6时取得最小值，且最小值为0.4.
方法二(定义法)：任设x1，x2∈[2,6]且x1＝.
由2≤x10，x2－1>0，(x1－1)(x2－1)>0.
又x1＜x2，
∴x2－x1>0.
∴f(x1)>f(x2)，于是函数f(x)＝在闭区间[2,6]上是单调减函数，
∴函数在[2,6]的两个端点处分别存在最大值与最小值，即当x＝2时，取得最大值，且最大值为2；当x＝6时，取得最小值，且最小值为0.4.
拓展探究
25．解：(1)当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[－5,5]．
∵f(x)的对称轴为x＝1，
∴当x＝1时，f(x)取最小值为1；
当x＝－5时，f(x)取最大值为37.
(2)f(x)＝x2＋2ax＋2＝(x＋a)2＋2－a2的对称轴为x＝－a，
∵f(x)在[－5,5]上是单调函数，
∴－a≤－5或－a≥5，
解得a≤－5或a≥5.第二课时　奇偶性
1．下列说法中，正确的序号是__________．
①图象关于原点成中心对称的函数一定是奇函数
②奇函数的图象一定经过原点
③偶函数的图象若不经过原点，则它与x轴交点的个数一定是偶数
④图象关于y轴成轴对称的函数一定是偶函数．
2．(1)一次函数y＝kx＋b(k≠0)是奇函数，则b＝________；
(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，则b＝________.
3．已知函数y＝f(x)为奇函数，若f(3)－f(2)＝1，则f(－2)－f(－3)＝__________.
4．已知偶函数y＝f(x)在区间[0,4]上是单调增函数，则f(－3)与f(π)的大小关系是__________．
5．已知f(x)是区间(－∞，＋∞)上的奇函数，f(1)＝－2，f(3)＝1，则f(－1)与f(3)的大小关系是__________．
6．已知奇函数f(x)在x<0时，f(x)＝x(x－1)，则当x>0时，f(x)＝________.
7．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，则f(7.5)等于__________．
8．若定义在R上的函数f(x)满足：对
( http: / / www.21cnjy.com )任意x1、x2∈R有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)＋1，则下列说法一定正确的序号是__________．
①f(x)为奇函数
②f(x)为偶函数
③f(x)＋1为奇函数
④f(x)＋1为偶函数
9．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x3＋x；
(2)f(x)＝＋；
(3)f(x)＝x2＋1，x∈[－2,2)；
(4)f(x)＝
10．若f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝，求f(x)和g(x)的解析式．
11．函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且f()＝，求函数f(x)的解析式．
12．若函数f(x)＝x3(x∈
( http: / / www.21cnjy.com )R)，则函数y＝f(－x)在其定义域上是单调递__________(填“增”“减”)的__________(填“奇”“偶”“非奇非偶”)函数．
13．设函数y＝f(x)是奇函数．若f(－2)＋f(－1)－3＝f(1)＋f(2)＋3，则f(1)＋f(2)＝________.
14．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，其定义域是[a－1,2a]，则a＝__________，b＝__________.
15．若φ(x)，g(x)都是奇函数，f
( http: / / www.21cnjy.com )(x)＝aφ(x)＋bg(x)＋2在(0，＋∞)上有最大值5，则f(x)在(－∞，0)上有最小值是__________．
16．若函数f(x)＝(x＋a)(
( http: / / www.21cnjy.com )bx＋2a)(常数a、b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝__________.
17．老师给了一个函数y＝f(x)，三个学生甲、乙、丙各指出这个函数的一个性质：
甲：对于x∈R，函数的图象关于y轴对称；
乙：在(－∞，0]上函数递减；
丙：在[0，＋∞)上函数递增．
请构造一个这样的函数：__________.
18．若f(x)是定义在R上的奇函数，
( http: / / www.21cnjy.com )且f(x－2)＝－f(x)，给出下列4个结论：①f(2)＝0；②f(x)＝f(x＋4)；③f(x)的图象关于直线x＝0对称；④f(x＋2)＝f(－x)．其中所有正确结论的序号是________．
19．(易错题)已知定义域为R的函数f(x
( http: / / www.21cnjy.com ))在(8，＋∞)上为减函数，且函数y＝f(x＋8)为偶函数，则下列关系正确的序号为__________．
①f(6)>f(7)　②f(
( http: / / www.21cnjy.com )6)>f(9)　③f(7)＝f(9)　④f(7)>f(9)　⑤f(7)f(10)　⑧f(6)＝f(10)　⑨f(7)＝f(10)
20.(易错题)(1)已知函数f(x)满足关系式2f(x)＋f()＝x，试判断f(x)的奇偶性．
(2)已知函数f(x)＝
判断f(x)的奇偶性并证明．
21．已知函数f(x)＝(a、b、c∈Z)是奇函数，又f(1)＝2，f(2)<3，求a、b、c的值．
22．已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，常数a∈R)．
(1)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；
(2)若函数f(x)在x∈[2，＋∞)上为增函数，求a的取值范围．
?答案与解析
1．①③④
2．(1)0　(2)0　(1)由题知，－kx＋b＝－(kx＋b)，∴b＝0.(2)由题知a(－x)2＋b(－x)＋c＝ax2＋bx＋c，
∴－bx＝bx，故b＝0.
3．1　∵f(x)为奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)．
∴f(－2)－f(－3)＝－f(2)－[－f(3)]＝f(3)－f(2)＝1.
4．f(－3)∴f(－3)＝f(3)，
∵f(x)在[0,4]上是单调增函数，
∴f(3)∴f(－3)5．f(3)∴f(－1)＝－f(1)＝2>1＝f(3)，
即f(3)6．－x(x＋1)　设x>0，则－x<0，由题意，得f(－x)＝－x(－x－1)＝x(x＋1)．∵函数f(x)为奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
即－f(x)＝x(x＋1)，
∴f(x)＝－x(x＋1)．
7．－0.5　∵f(x＋2
( http: / / www.21cnjy.com ))＝－f(x)，f(－x)＝－f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，∴f(7.5)＝f(5.5＋2)＝－f(5.5)＝－f(3.5＋2)＝f(3.5)＝f(1.5＋2)＝－f(1.5)＝－f(－0.5＋2)＝f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5.
8．③　令x1＝x2＝0，则
( http: / / www.21cnjy.com )f(0＋0)＝f(0)＋f(0)＋1，∴f(0)＝－1.令x1＋x2＝0，则x2＝－x1，由条件有f(0)＝f(x1)＋f(－x1)＋1，∴f(x1)＋f(－x1)＋2＝0(x1∈R)．
∴①②都不正确，∵f(－x1)＋1＝－[f(x1)＋1]，∴f(x1)＋1为奇函数．故③正确，④不正确．
9．解：(1)函数的定义域为R，关于原点对称，
又f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－(x3＋x)＝－f(x)，
∴函数f(x)是奇函数．
(2)由得x2＝1，
即x＝±1.
∴函数的定义域为{－1,1}，关于原点对称．
f(1)＝f(－1)＝0，
∴f(x)既是奇函数又是偶函数．
(3)∵函数f(x)的定义域为[－2,2)，不关于原点对称，
∴函数f(x)是非奇非偶函数．
(4)函数的定义域关于原点对称．
方法一：当x>0时，－x<0，f(－x)＝(－x)[1－(－x)]＝－x(1＋x)＝－f(x)；
当x<0时，－x>0，f(－x)＝(－x)[1＋(－x)]＝－x(1－x)＝－f(x)．
∴f(－x)＝－f(x)．
∴f(x)是奇函数．
方法二：函数f(x)＝的图象如图．
图象关于原点对称，
∴f(x)是奇函数．
10．解：由题意，得
由，得f(x)＝，
由，得g(x)＝.
11．解：∵f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，
∴f(－0)＝－f(0)．
∴f(0)＝0，即b＝0.
∴f(x)＝.
∵f()＝，∴＝，
解得a＝1.
∴f(x)的解析式为f(x)＝.
能力提升
12．减　奇　∵f(x)＝x3，
∴y＝f(－x)＝(－x)3＝－x3.
∴y＝f(－x)是单调递减的奇函数．
13．－3　∵f(x)为奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)．
f(－2)＝－f(2)，
f(－1)＝－f(1)．
∴由条件得－f(2)－f(1)－3
＝f(1)＋f(2)＋3.
∴f(1)＋f(2)＝－3.
14.　0　∵函数具有奇偶性时，定义域必须关于原点对称，
∴a－1＋2a＝0，
∴a＝.又对于f(x)有f(－x)＝f(x)恒成立，
∴b＝0.
15.－1　∵φ(x)，g(x)是奇函数，
∴φ(－x)＝－φ(x)，g(－x)＝－g(x)．
当x∈(0，＋∞)时，f(x)≤5，
∴aφ(x)＋bg(x)≤3，
当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，
此时有aφ(－x)＋bg(－x)≤3，
∴－[aφ(x)＋bg(x)]≤3，
∴aφ(x)＋bg(x)≥－3，
即f(x)＝aφ(x)＋bg(x)＋2≥－3＋2＝－1，
∴当x∈(－∞，0)时，f(x)有最小值为－1.
16．－2x2＋4　f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)＝bx2＋(2a＋ab)x＋2a2，
∵f(x)是偶函数，
∴2a＋ab＝0.又f(x)的值域为(－∞，4]，
∴b<0且2a2＝4.
∴b＝－2，即f(x)＝－2x2＋4.
17．y＝x2或y＝|x|　这是一个开放性题，答案不唯一．由三个性质可得出，f(x)为偶函数且左减右增．
∴可以是y＝ax2(a>0)或y＝a|x|(a>0)等．
18．①②④　由题意，知f(0)＝－f(2)，
∴f(2)＝－f(0)．
又f(x)是R上的奇函数，
∴f(－0)＝－f(0)，即f(0)＝0.
∴f(2)＝0.故①正确．
∵f(x)＝－f(x＋2)＝f(x＋4)，
∴②正确．
∵f(x)为奇函数，
∴图象关于原点对称，
∴③不正确．
∵f(－x)＝－f(x)＝f(x＋2)，
∴④正确．
19．③⑦⑧　方法一：∵f(x)在(8，＋∞)上为减函数，∴f(9)>f(10)．
∵y＝f(x＋8)为偶函数，
∴f(－x＋8)＝f(x＋8)．
令x＝1，得f(－1＋8)＝f(1＋8)，
即f(7)＝f(9)．∴f(7)>f(10)．
令x＝2，得f(－2＋8)＝f(2＋8)，
即f(6)＝f(10)．
∴f(6)＝f(10)∴③⑦⑧正确．
方法二：∵y＝f(x＋8)为偶函数，
∴其图象关于y轴对称，
即f(x＋8)的对称轴为x＝0(y轴)．
将函数y＝f(x＋8)的图象向右平移8个单位，
即得函数y＝f(x)的图象，
∴y＝f(x)的对称轴为x＝8.
又f(x)在(8，＋∞)上为减函数，
∴f(x)在(－∞，8)上为增函数．
∴f(6)＝f(10)故③⑦⑧正确．
点评：比较函数值的大小要利
( http: / / www.21cnjy.com )用对称性．将所比较的函数值对应的自变量转化到同一个单调区间上，再运用单调性比较(方法一)；也可利用与对称轴的远近及单调性比较大小(如方法二)．注意常用如下结论：(1)奇函数在其对称区间内具有相同的单调性；偶函数在对称区间内的单调性相反．
(2)若f(x)对任意的x∈R，都有f(a
( http: / / www.21cnjy.com )＋x)＝f(a－x)，则f(x)的图象关于直线x＝a对称〔或说f(x)的对称轴为x＝a〕，反之亦成立．特别地，当a＝0时，f(x)为偶函数．本题中由f(－x＋8)＝f(x＋8)，得f(x)的对称轴为x＝8.此类问题的关键是弄清对称轴，千万不能把y轴看成是f(x)的对称轴，这是致错的主要原因，若能设想本题f(x)的大致图象如下图，则问题就好理解了．
20．解：(1)由题意，知f(x)的定义域为
( http: / / www.21cnjy.com ){x|x∈R且x≠0},2f(x)＋f()＝x①，将①式中的x用替换得2f()＋f(x)＝②，由①②联立消去f()得f(x)＝.
∵定义域关于原点对称且有
f(－x)＝
＝－＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数．
(2)当x<0时，－x>0，f(－x)＝－(
( http: / / www.21cnjy.com )－x)2＋2(－x)－3＝－x2－2x－3＝－(x2＋2x＋3)＝－f(x)；当x>0时，－x<0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＋3＝x2－2x＋3＝－(－x2＋2x－3)＝－f(x)，当x＝0时，f(－0)＝f(0)＝0＝－f(0)．综上，f(x)是奇函数．
点评：(1)判断函数的奇偶性，首先要检查
( http: / / www.21cnjy.com )定义域是否关于原点对称，若函数的定义域不关于原点对称，则此函数是非奇非偶函数；若对称，再判断f(－x)＝±f(x)之一是否能成立，若同时成立，即有f(x)＝0，则此时函数f(x)既是奇函数又是偶函数．本题第(1)小题要先求f(x)的解析式，用构造方程消去法，再判断奇偶性，不能直接判断．(2)对分段函数判断奇偶性，必须分别证明x>0和x<0时均有f(－x)＝－f(x)成立，才能判定函数f(x)为奇函数，缺一不可．若只有x>0时，f(－x)＝－f(x)成立，并不能说明f(x)具有奇偶性，是奇函数．因为奇偶性是对整个定义域内性质的刻画，注意不要漏掉x＝0时的情况．
21．解：由f(－x)＝－f(x)，得＝－，
即－bx＋c＝－(bx＋c)，
∴c＝0.又f(1)＝2，
∴得到a＋1＝2b.而由f(2)<3，得<3.
∴<0.
∴或
解得－1∴a＝0，或a＝1.
若a＝0，则b＝?Z，舍去；若a＝1，则b＝1∈Z，符合题意，
∴a＝1，b＝1，c＝0.
拓展探究
22．解：(1)当a＝0时，f(x)＝x2，
对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
当a≠0时，f(x)＝x2＋(a≠0，x≠0)，
得f(－1)＋f(1)＝2≠0，f(－1)－f(1)＝－2a≠0，
∴f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)．
∴函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
(2)设2≤x1f(x1)－f(x2)＝x＋－x－＝[x1x2(x1＋x2)－a]，
要使函数f(x)在x∈[2，＋∞)上为增函数，必须f(x1)－f(x2)<0恒成立，
∵x1－x2<0，x1x2>4，
即a又∵x1＋x2>4，
∴x1x2(x1＋x2)>16.
∴a的取值范围是(－∞，16]．2.2　指数函数
2．2.1　分数指数幂
1．若a＝2，b＝3，c＝－2，则(ac)b＝__________.
2．根式a的分数指数幂形式为__________．
3.＝__________.
4．(1)求下列各式的值：①27；②(6)；③()－.
(2)解方程：①x－3＝；②＝9.
课堂巩固
1．下列命题中，正确命题的个数是__________．
①＝a　
②若a∈R，则(a2－a＋1)0＝1
③＝x＋y　
④＝
2．下列根式、分数指数幂的互化中，正确的序号是__________．
①－＝(－x)(x≠0)　②＝x　③x－＝－　④·＝x　⑤()－＝(xy≠0)　⑥＝y(y<0)
3．2－(2k＋1)－2－(2k－1)＋2－2k的化简结果是__________．
4．(1)设α，β是方程2x2＋3x＋1＝0的两个根，则()α＋β＝__________.
(2)若10x＝3,10y＝4，则10x－y＝__________.
5．求下列各式的值：
(1)(0.027)＋()－(2)0.5；
(2)()＋·(－)－1－(1)－()－()－1.
6．已知a＋a－＝4，求a＋a－1的值．
7．化简下列各式：
(1)；
(2).
1．[(－)2]－的值是__________．
2．化简()4·()4的结果是__________．
3．以下各式，化简正确的个数是__________．
①aa－a－＝1；
②(a6b－9)－＝a－4b6；
③(－xy－)(x－y)(－xy)＝y；
④＝－ac.
4．化简＋的结果是__________．
5．下列结论中，正确的序号是__________．
①当a<0时，(a2)＝a3　
②＝|a|(n>1且n∈N
)
③函数y＝(x－2)－(3x－7)0的定义域是(2，＋∞)　
④若100a＝5,10b＝2，则2a＋b＝1
6．(1)若a＝(2＋)－1，b＝(2－)－1，则(a＋1)－2＋(b＋1)－2的值是__________．
(2)若x＞0，y＞0，且(＋)＝3(＋5)，则的值是__________．
7.已知a＝(n∈N
)，则(＋a)n的值是__________．
8．若S＝(1＋2－)(1＋2－)(1＋2－)(1＋2－)(1＋2－)，那么S等于__________．
9．先化简，再求值：
(1)，其中a＝8－；
(2)，其中a2x＝5.
10．(易错题)计算：
(1)(2)0＋2－2·(2)－－(0.01)0.5；
(2)(2)0.5＋0.1－2＋(2)－－3π0＋；
(3)(0.008
1)－－[3×()0]－1×[81－0.25＋(3)－]－－10×0.027.
11．已知x＋x－＝3，求的值．
12．化简下列各式：
(1)－；
(2)÷(1－2)×.
答案
2．2　指数函数
2．2.1　分数指数幂
课前预习
1.　(ac)b＝abc＝23×(－2)＝2－6＝＝.
2．a　a＝a·a＝a1＋＝a.
3．5　＝＝＝5.
4．解：(1)①27＝(33)＝33×＝32＝9.
②(6)＝()＝[()2]＝()2×＝.
③()－＝()2×(－)＝()－3＝()3＝.
(2)①∵x－3＝＝2－3，∴x＝2.
②∵＝9，∴()2＝(9)2＝9.
∴x＝(32)＝3.
课堂巩固
1．1　∵＝
∴①不正确；
∵a∈R，且a2－a＋1＝(a－)2＋≠0，②正确；
∵x4＋y3为多项式，∴③不正确；④中左边为负，右边为正显然不正确．
∴只有②正确．
2．②⑤　①－＝－x，∴①错；②＝(x)＝(x·x)＝(x)＝x，
∴②对；③x－＝＝，∴③错；④·＝x·x＝x＋＝x，∴④错；⑤()－＝()＝，∴⑤对；⑥＝|y|＝－y(y<0)，
∴⑥错．∴②⑤正确．
3．－2－(2k＋1)　∵2－(2k＋
( http: / / www.21cnjy.com )1)－2－(2k－1)＋2－2k＝2－2k·2－1－2－2k·21＋2－2k＝(－2＋1)·2－2k＝－·2－2k＝－2－(2k＋1)．
4．(1)8　(2)　(1)由根与系数的关系，得α＋β＝－，
∴()α＋β＝()－＝(2－2)－＝23＝8.
(2)∵10x＝3,10y＝4，∴10x－y＝10x÷10y＝10x÷(10y)＝3÷4＝.
5．解：(1)原式＝(0.33)＋()－()
＝＋－＝.
(2)原式＝3－＋－()－(3－)－31
＝＋(＋)－[4()4]－3－－3
＝＋3＋－·－－3
＝－.
6．解：∵a＋a－＝4.
∴两边平方，得a＋a－1＋2＝16.
∴a＋a－1＝14.
7．解：(1)原式＝×5×x－＋1－×y－＋
＝24x0y＝24y；
(2)原式
＝
＝＝m＋m－.
课后检测
1.　原式＝2－＝＝.
2．a4　原式＝()4·()4＝(a×)4·(a3×)4＝(a)4·(a)4＝a2·a2＝a4.
3．3　由分数指数幂的运算法
( http: / / www.21cnjy.com )则知①②③正确；对④，∵左边＝－a＋b－c－－＝－a1b0c－2＝－ac－2≠右边，∴④错误．
4．b或2a－3b　原式＝a－b＋|a－2b|＝＝
5．④　①中，当a＜0时，(a2
( http: / / www.21cnjy.com ))＝[(a2)]3＝(|a|)3＝(－a)3＝－a3，∴①不正确；当a＜0，n为奇数时，＝a，∴②不正确；③中，有即x≥2且x≠，故定义域为[2，)∪(，＋∞)，
∴③不正确；④中，∵100a＝5,10b＝2，
∴102a＝5,10b＝2,102a×10b＝10.
∴2a＋b＝1.∴④正确．
6．(1)　(2)3　(1)a＝＝2－，b＝＝2＋，
∴(a＋1)－2＋(b＋1)－2＝(3－)－2＋(3＋)－2＝＋
＝
＝
＝＝＝.
(2)由已知条件，可得
()2－2－15()2＝0，
∴＋3＝0或－5＝0.
∵x＞0，y＞0，∴＝5，x＝25y.
∴原式＝
＝＝＝3.
7．2
009　∵a＝，
∴a2＋1＝1＋
＝
＝()2.
∴＋a
＝＋
＝2
009.
∴(＋a)n＝(2
009)n＝2
009.
8.(1－2－)－1　
原式＝
＝
＝
＝＝
＝＝(1－2－)－1.
9．解：(1)原式＝a2＋－－＝a＝(8－)
＝8－＝(23)－＝2－7＝.
(2)原式＝
＝
＝a2x－1＋a－2x＝5－1＋＝4.
10.解：(1)原式＝1＋·()－()
＝1＋×－()2×＝1＋－＝1.
(2)原式＝()＋()－2＋()－－3×1＋
＝＋100＋()－2－3＋
＝＋100＋－3＋＝100.
(3)原式＝[(0.3)4]－－3－1×[(34)－＋()－]－－10×[(0.3)3]
＝0.3－1－[3－1＋()－1]－－10×0.3
＝－(＋)－－3＝－－3＝0.
点评：一般地，进行指数幂的运算时，常化负指
( http: / / www.21cnjy.com )数为正指数，化小数为分数，若含根式，则化根式为分数指数幂，这样便于进行乘除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的，也是简化运算的常用技巧．若不按此规律，则会使运算变得烦琐，甚至会导致计算错误．在计算过程中一定要熟记分数指数幂的意义及运算性质和公式成立的条件，认真细致、一丝不苟，并边做边检查，否则会“一步出错，全盘皆输”．
11．解：∵x＋x－＝3，∴(x＋x－)2＝9.
∴x＋x－1＝7.
∴原式＝
＝
＝＝.
12．解：(1)原式
＝－
＝(x－)2－x－·y－＋(y－)2－(x－)2－x－·y－－(y－)2＝－2(xy)－.
(2)原式＝÷(1－2)×a＝÷×a＝××a＝a·a·a＝a.2.2　指数函数
2．2.1　分数指数幂
1．下列命题中，正确命题的个数是__________．
①＝a　②若a∈R，则(a2－a＋1)0＝1
③＝x＋y　④＝
2．下列根式、分数指数幂的互化中，正确的序号是__________．
①－＝(－x)(x≠0)　②＝x　③x－＝－　④·＝x　⑤()－＝(xy≠0)　⑥＝y(y<0)
3．若a＝2，b＝3，c＝－2，则(ac)b＝__________.
4．根式a的分数指数幂形式为__________．
5.＝__________.
6．2－(2k＋1)－2－(2k－1)＋2－2k的化简结果是__________．
7．(1)设α，β是方程2x2＋3x＋1＝0的两个根，则()α＋β＝__________.
(2)若10x＝3,10y＝4，则10x－y＝__________.
8．(1)求下列各式的值：①27；②(6)；③()－.
(2)解方程：①x－3＝；②＝9.
9．求下列各式的值：
(1)(0.027)＋()－(2)0.5；
(2)()＋·(－)－1－(1)－()－()－1.
10．已知a＋a－＝4，求a＋a－1的值．
11．化简下列各式：
(1)；
(2).
12．[(－)2]－的值是__________．
13．化简()4·()4的结果是__________．
14．以下各式，化简正确的个数是__________．
①aa－a－＝1
②(a6b－9)－＝a－4b6
③(－xy－)(x－y)(－xy)＝y
④＝－ac
15．如果a3＝3，a10＝384，则a3[()]n等于__________．
16．化简＋的结果是__________．
17．下列结论中，正确的序号是__________．
①当a<0时，(a2)＝a3
②＝|a|(n>1且n∈N
)
③函数y＝(x－2)－(3x－7)0的定义域是(2，＋∞)
④若100a＝5,10b＝2，则2a＋b＝1
18．(1)若a＝(2＋)－1，b＝(2－)－1，则(a＋1)－2＋(b＋1)－2的值是__________．
(2)若x＞0，y＞0，且(＋)＝3(＋5)，则的值是__________．
19．已知a＝(n∈N
)，则(＋a)n的值是__________．
20．若S＝(1＋2－)(1＋2－)(1＋2－)(1＋2－)(1＋2－)，那么S等于__________．
21．先化简，再求值：
(1)，其中a＝8－；
(2)，其中a2x＝5.
22.(易错题)计算：
(1)(2)0＋2－2·(2)－－(0.01)0.5；
(2)(2)0.5＋0.1－2＋(2)－－3π0＋；
(3)(0.008
1)－－[3×()0]－1×[81－0.25＋(3)－]－－10×0.027.
23．已知x＋x－＝3，求的值．
24．化简下列各式：
(1)－；
(2)÷(1－2)×.
?答案与解析
基础巩固
1．1　∵＝
∴①不正确；
∵a∈R，且a2－a＋1＝(a－)2＋≠0，∴②正确；
∵x4＋y3为多项式，∴③不正确；④中左边为负，右边为正显然不正确．
∴只有②正确．
2.②⑤　①－＝－x，∴①错；
②＝(x)＝(x·x)＝(x)＝x，∴②对；
③x－＝＝，∴③错；
④·＝x·x＝x＋＝x，
∴④错；
⑤()－＝()＝，
∴⑤对；
⑥＝|y|＝－y(y<0)，∴⑥错．
∴②⑤正确．
3.　(ac)b＝abc＝23×(－2)＝2－6＝＝.
4．a　a＝a·a＝a1＋＝a.
5．5　＝＝＝5.
6．－2－(2k＋1)　∵2－(2k＋1)－
( http: / / www.21cnjy.com )2－(2k－1)＋2－2k＝2－2k·2－1－2－2k·21＋2－2k＝(－2＋1)·2－2k＝－·2－2k＝－2－(2k＋1)．
7．(1)8　(2)　(1)由根与系数的关系，得α＋β＝－，
∴()α＋β＝()－＝(2－2)－＝23＝8.
(2)∵10x＝3,10y＝4，∴10x－y＝10x÷10y＝10x÷(10y)＝3÷4＝.
8．解：(1)①27＝(33)＝33×＝32＝9.
②(6)＝()
＝[()2]＝()2×＝.
③()－＝()2×(－)
＝()－3＝()3＝.
(2)①∵x－3＝＝2－3，∴x＝2.
②∵＝9，
∴()2＝(9)2＝9.
∴x＝(32)＝3.
9．解：(1)原式＝(0.33)＋()－()＝＋－＝.
(2)原式＝3－＋－()－(3－)－31
＝＋(＋)－[4()4]－3－－3
＝＋3＋－·－－3
＝－.
10．解：∵a＋a－＝4.
∴两边平方，得a＋a－1＋2＝16.
∴a＋a－1＝14.
11．解：(1)原式＝×5×x－＋1－×y－＋＝24x0y＝24y；
(2)原式
＝
＝＝m＋m－.
能力提升
12.　原式＝2－＝＝.
13．a4　原式＝()4·()4＝(a×)4·(a3×)4＝(a)4·(a)4＝a2·a2＝a4.
14．3　由分数指数幂的运算法则知①②③正确；
对④，∵左边＝－a＋b－c－－＝－a1b0c－2＝－ac－2≠右边，∴④错误．
15．3·2n　原式＝3·[()]n＝3·[(128)]n＝3·(27×)n＝3·2n.
16．b或2a－3b　原式＝a－b＋|a－2b|＝＝
17．④　①中，当a＜0时，(a2)＝[(a2)]3＝(|a|)3＝(－a)3＝－a3，
∴①不正确；
当a＜0，n为奇数时，＝a，
∴②不正确；
③中，有
即x≥2且x≠，
故定义域为[2，)∪(，＋∞)，
∴③不正确；
④中，∵100a＝5,10b＝2，
∴102a＝5,10b＝2,102a×10b＝10.
∴2a＋b＝1.∴④正确．
18．(1)　(2)3　(1)a＝＝2－，b＝＝2＋，
∴(a＋1)－2＋(b＋1)－2＝(3－)－2＋(3＋)－2＝＋＝
＝
＝＝＝.
(2)由已知条件，可得
()2－2－15()2＝0，
∴＋3＝0或－5＝0.
∵x＞0，y＞0，
∴＝5，x＝25y.
∴原式＝
＝＝＝3.
19．2
009　∵a＝，
∴a2＋1＝1＋
＝
＝()2.
∴＋a
＝＋
＝2
009.
∴(＋a)n＝(2
009)n＝2
009.
20.(1－2－)－1　
原式＝
＝
＝
＝
＝
＝＝(1－2－)－1.
21．解：(1)原式＝a2＋－－
＝a＝(8－)
＝8－＝(23)－＝2－7＝.
(2)原式＝
＝
＝a2x－1＋a－2x＝5－1＋＝4.
22．解：(1)原式＝1＋·()－()＝1＋×－()2×＝1＋－＝1.
(2)原式＝()＋()－2＋()－－3×1＋
＝＋100＋()－2－3＋
＝＋100＋－3＋＝100.
(3)原式＝[(0.3)4]－－3－1×[(34)－＋()－]－－10×[(0.3)3]
＝0.3－1－[3－1＋()－1]－－10×0.3
＝－(＋)－－3＝－－3＝0.
点评：一般地，进行指数幂的运
( http: / / www.21cnjy.com )算时，常化负指数为正指数，化小数为分数，若含根式，则化根式为分数指数幂，这样便于进行乘除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的，也是简化运算的常用技巧．若不按此规律，则会使运算变得烦琐，甚至会导致计算错误．在计算过程中一定要熟记分数指数幂的意义及运算性质和公式成立的条件，认真细致、一丝不苟，并边做边检查，否则会“一步出错，全盘皆输”．
23．解：∵x＋x－＝3，
∴(x＋x－)2＝9.
∴x＋x－1＝7.
∴原式＝
＝
＝＝.
拓展探究
24．解：(1)原式＝－＝(x－)2－x－·y－＋(y－)2－(x－)2－x－·y－－(y－)2＝－2(xy)－.
(2)原式＝÷(1－2)×a
＝÷×a＝××a＝a·a·a＝a.1.2　子集、全集、补集
1．设集合A＝{x|x≥3}，x＝2，则下列关系中正确的序号是__________．
①x
( http: / / www.21cnjy.com )A　②x
( http: / / www.21cnjy.com )A　③{x}∈A　④{x}
( http: / / www.21cnjy.com )A
2．下列说法：①空集没有子集；②空集是任
( http: / / www.21cnjy.com )何集合的真子集；③任何一个集合必有两个或两个以上的子集；④空集是任何集合的子集；⑤若??A，则A≠?．其中正确的个数为________．
3．(原创题)设集合A＝{x|x2－
( http: / / www.21cnjy.com )1＝0}，B＝{x||x|＝1}，C＝{－1,0,1}，则集合A、B、C之间的关系是__________．
4．若集合M＝{0,1}，I＝{0,1,2,3,4,5}，则
( http: / / www.21cnjy.com )IM＝__________.
5．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合A＝{2,3,6}，则集合
( http: / / www.21cnjy.com )UA＝__________.
6．若集合A＝{1,3，x}，B＝{x2,1}，且B
( http: / / www.21cnjy.com )A，则满足条件的实数x的个数为__________．
7．集合A＝{x|0≤x<3，x∈N}的真子集个数是__________．
8．选用适当的符号(∈，
( http: / / www.21cnjy.com )，＝，
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com ))填空：
________Q；{}________Q；Z________N；N__________N
；{1,2}________{2,1}．
9．已知集合A＝{－1，1}，B＝{x|ax＋1＝0}，若B?A，则实数a的所有可能取值的集合为__________．
10．已知集合A?{1,2,3}，且A的元素中至少含有一个奇数，则满足条件的集合A的个数为__________．
11．已知全集U＝{非负实数}，集合A＝{x|0( http: / / www.21cnjy.com )UA＝__________.
12．设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x－a≥0}，若A?B，则实数a的取值范围是__________．
13．用适当的符号(∈，
( http: / / www.21cnjy.com )，＝，
( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com ))填空：
(1)b__________{a，b，c}；
(2)?__________{x|x2＝－4}；
(3){小说}__________{武侠小说}；
(4)?__________{x|x2＋2x＋1＝0}；
(5){被5整除的数}__________{被10整除的数}．
14．指出下列各集合之间的关系，并用Venn图表示：A＝{四边形}，B＝{菱形}，C＝{平行四边形}，D＝{正方形}．
15．集合U、S、T、F的关系如图所示，下列关系中哪些是对的，哪些是错的？
(1)S
( http: / / www.21cnjy.com )U；(2)F
( http: / / www.21cnjy.com )T；(3)S
( http: / / www.21cnjy.com )T；(4)S
( http: / / www.21cnjy.com )F；(5)S
( http: / / www.21cnjy.com )F；(6)F
( http: / / www.21cnjy.com )U.
16．设集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B?A，求实数m的取值范围．
17．下列关系式：①
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com ){0}；②{a}∈{a，b，c}；③0
( http: / / www.21cnjy.com ){0}；④
( http: / / www.21cnjy.com )∈{0,1}；⑤{a}
( http: / / www.21cnjy.com ){a}．其中表述正确的序号是________．
18．集合M＝{x|x2－x＝0}，N＝{y|x2＋y2＝1，x∈N}，则M、N的关系是__________．
19．(原创题)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{x|－2( http: / / www.21cnjy.com )UA与
( http: / / www.21cnjy.com )UB的关系是__________．
20．若{1}
( http: / / www.21cnjy.com )A
( http: / / www.21cnjy.com ){1,2,3,4}，且A中所有元素之和为奇数的集合A的个数是__________．
21．第二十九届夏季奥林匹克运动会于2008年8月8日在北京举行，若集合A＝{参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B＝{参加北京奥运会比赛的男运动员}，集合C＝{参加北京奥运会比赛的女运动员}，则
( http: / / www.21cnjy.com )AB＝__________，
( http: / / www.21cnjy.com )AC＝__________.
22．已知全集U和集合A，B，P，A＝
( http: / / www.21cnjy.com )UB，B＝
( http: / / www.21cnjy.com )UP，则A与P的关系是________．
23．同时满足：(1)M?{1,2,3,4,5}；(2)若a∈M，则6－a∈M的非空集合M有________个．
24．(易错题)已知集合A＝{x|x2－2x－3＝0}，B＝{x|ax－1＝0}，若B
( http: / / www.21cnjy.com )A，求实数a的值．
25.设全集U＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{|2a－1|,2}，
( http: / / www.21cnjy.com )UA＝{5}，求实数a的值．
26．(创新题)已知集合A＝
( http: / / www.21cnjy.com ){2,4,6,8,9}，B＝{1,2,3,5,8}，是否存在集合C，使C中的每一个元素都加上2就变成了A的一个子集，且C中的每一个元素都减去2，就变成了B的
一个子集？若存在，求出集合C；若不存在，请说明理由．
27．已知集合A＝{x|x2－3x＋4＝0}，B＝{x|(x＋1)(x2＋3x－4)＝0}，若A
( http: / / www.21cnjy.com )P
( http: / / www.21cnjy.com )B，求满足条件的集合P.
28．已知集合U＝{x|－1≤x≤2，x∈P}，A＝{x|0≤x<2，x∈P}，B＝{x|－a(1)若P＝R，求
( http: / / www.21cnjy.com )UA中最大元素m与
( http: / / www.21cnjy.com )UB中最小元素n的差m－n；
(2)若P＝Z，求
( http: / / www.21cnjy.com )AB和
( http: / / www.21cnjy.com )UA中所有元素之和及
( http: / / www.21cnjy.com )U(
( http: / / www.21cnjy.com )
AB)．
?答案与解析
基础巩固
1．④　∵2＝>＝3，
∴x∈A，{x}
( http: / / www.21cnjy.com )A.
2．2　④⑤正确．任何集合是它本身的子集，所以①错误；空集是任何非空集合的真子集，所以②错误；?只有一个子集即其本身，所以③错误．
3．A＝B
( http: / / www.21cnjy.com )C　∵A＝{－1,1}，B＝{－1,1}，
∴A＝B
( http: / / www.21cnjy.com )C.
4．{2,3,4,5}
5．{1,4,5}
6．3　∵B
( http: / / www.21cnjy.com )A，∴x2∈A.又x2≠1，
∴x2＝3或x2＝x，解得x＝±或x＝0或x＝1.当x＝1时，不满足题意．
∴x＝0或x＝±.
7．7　∵A＝{0,1,2}，
∴真子集有
( http: / / www.21cnjy.com )，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，共7个．
8．∈　
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )　＝
9．{－1,0,1}　∵B
( http: / / www.21cnjy.com )A，
∴B是A的子集．
当a＝0时，B＝
( http: / / www.21cnjy.com )，满足B
( http: / / www.21cnjy.com )A.
当a≠0时，B＝{－}，要使B
( http: / / www.21cnjy.com )A，必须B＝{1}或B＝{－1}，
即－＝1或－＝－1，解得a＝1或a＝－1.
综上可知，a的取值集合为{－1，0,1}．
10．5　由题意，A共有{1}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，共5个．
11．{x|0≤x≤1或x>6}　∵U＝{x|x≥0}，A＝{x|1∴
( http: / / www.21cnjy.com )UA＝{x|0≤x≤1或x>6}．
12．a≤1　∵A
( http: / / www.21cnjy.com )B，∴集合B必须真包含集合A.可借助于数轴，如图所示：
∵B＝{x|x≥a}，∴由图可知a≤1.
13．(1)∈　(2)＝　(3)
( http: / / www.21cnjy.com )　(4)
( http: / / www.21cnjy.com )
(5)
( http: / / www.21cnjy.com )
14．解：集合A、B、C、D之间的关系为D
( http: / / www.21cnjy.com )B
( http: / / www.21cnjy.com )C
( http: / / www.21cnjy.com )A.
用Venn图表示为：
15．解：(1)(3)(6)对；(2)(4)(5)错．
16．解：(1)当B＝
( http: / / www.21cnjy.com )时，有m＋1>2m－1，
即m<2，显然B?A成立；
(2)当B≠
( http: / / www.21cnjy.com )时，由B?A，
得
解得2≤m≤3.
综上可知，m的取值范围是m≤3.
能力提升
17．①⑤　②应为“
( http: / / www.21cnjy.com )”；③应为“∈”；④应为“
( http: / / www.21cnjy.com )”．
18．M
( http: / / www.21cnjy.com )N　M＝{0,1}，
∵x∈N，且y2＝1－x2，
∴当x＝0时，y＝±1；
当x＝1时，y＝0.
∴N＝{－1,0,1}．∴M
( http: / / www.21cnjy.com )N.
19．
( http: / / www.21cnjy.com )UA
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
UB　∵A＝{x|－2∴
( http: / / www.21cnjy.com )UA＝{1,5}，
∵B＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3}．
∴
( http: / / www.21cnjy.com )UB＝{1,4,5}．
∴
( http: / / www.21cnjy.com )UA
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )UB.
20．3　满足条件{1}?A?{1,2,
( http: / / www.21cnjy.com )3,4}的集合A有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,3,4}，{1,2,3,4}，显然和为奇数的有{1,2}，{1,4}，{1,2,4}，共3个．
21．C　B
22．A＝P　方法一：画出Venn图，如下图所示，由图可知A＝P.
方法二：由补集的定义，∵B＝
( http: / / www.21cnjy.com )UP，
∴A＝
( http: / / www.21cnjy.com )UB＝
( http: / / www.21cnjy.com )U(
( http: / / www.21cnjy.com )UP)＝P.
23．7　∵M
( http: / / www.21cnjy.com ){1,2,3,4,5}，若a∈M，则6－a∈M.
∴1,5应同时属于M,2,4也应同时属于M,3可单独属于M.
∴非空集合M应有23－1＝7个，即
( http: / / www.21cnjy.com ){3}，{1,5}，{2,4}，{1,3,5}，{2,3,4}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}．
24．解：A＝{x|x2－2x－3＝0}＝{－1，3}，且B
( http: / / www.21cnjy.com )A，
(1)当B＝
( http: / / www.21cnjy.com )时，方程ax－1＝0无解，故当a＝0时，B
( http: / / www.21cnjy.com )A；
(2)当B≠
( http: / / www.21cnjy.com )时，若a≠0，则B＝{}，
当＝－1时，a＝－1；
当＝3时，a＝都适合题意．
综上知，a的值为－1,0，.
点评：由于空集是任何非空集合的真子集，所以当B＝
( http: / / www.21cnjy.com )时，B
( http: / / www.21cnjy.com )A成立；这种情况容易遗漏，在解此类问题时要切实注意．
25．解：∵
( http: / / www.21cnjy.com )UA＝{5}，A＝{|2a－1|,2}，U＝{2,3，a2＋2a－3}，
∴
解得
∴a＝2.
26．解：假设存在集合C满足条件，则C≠
( http: / / www.21cnjy.com )，且C
( http: / / www.21cnjy.com ){0,2,4,6,7}，C?{3,4,5,7,10}．
∴存在集合C＝{4}，或C＝{7}或C＝{4,7}满足题意．
27．解：∵方程x2－3x＋4＝0的判别式Δ＝－7<0，
∴方程无解，即A＝
( http: / / www.21cnjy.com )．
由方程(x＋1)(x2＋3x－4)＝0，得x＝－1，或x＝－4，或x＝1.
∴B＝{－4，－1,1}．
又∵A
( http: / / www.21cnjy.com )P
( http: / / www.21cnjy.com )B，∴P≠
( http: / / www.21cnjy.com )且P
( http: / / www.21cnjy.com )B.
故满足条件的集合P有{－4}，{－1}，{1}，{－4，－1}，{－4,1}，{－1,1}，{－4，－1,1}共7个．
拓展探究
28．解：(1)∵
( http: / / www.21cnjy.com )UA＝{x|－1≤x<0，或x＝2}，
∴m＝2.
又∵
( http: / / www.21cnjy.com )UB＝{x|－1≤x≤－a，或1∴n＝－1.
∴m－n＝2－(－1)＝3.
(2)∵P＝Z，∴U＝{x|
( http: / / www.21cnjy.com )－1≤x≤2，x∈Z}＝{－1,0,1,2}，A＝{0,1}，B＝{1}或{0,1}．(注：当a≤0时，B＝{1}；当a>0时，B＝{0,1}．)
∴
( http: / / www.21cnjy.com )AB＝{0}，或
( http: / / www.21cnjy.com )AB＝
( http: / / www.21cnjy.com )，即元素之和为0.
又
( http: / / www.21cnjy.com )UA＝{－1,2}，其元素和为1，
故所求元素和为0＋1＝1.
∵
( http: / / www.21cnjy.com )AB＝{0}，或
( http: / / www.21cnjy.com )AB＝
( http: / / www.21cnjy.com )，
∴
( http: / / www.21cnjy.com )U(
( http: / / www.21cnjy.com )AB)＝{－1,1,2}，
或
( http: / / www.21cnjy.com )U(
( http: / / www.21cnjy.com )AB)＝
( http: / / www.21cnjy.com )U
( http: / / www.21cnjy.com )＝U＝{－1,0,1,2}．2.3　对数函数
2．3.1　对数
1．下列指数式与对数式的互化中，正确的个数是__________．
①100＝1与lg1＝0；
②27－＝与log27＝－；
③log39＝2与9＝3；
④log55＝1与51＝5；
⑤lnx＝2与x2＝e.
2．(1)已知logx＝－4，则x＝__________；
(2)若5lgx＝25，则x＝__________.
3．式子loga＋loga＋loga(a＞0且a≠1)的化简结果是__________．
4．方程9x－6·3x－7＝0的解是__________．
5．(1)4log23＝__________；(2)log3264＝__________.
6．求下列各式的值：
(1)log26－log23；(2)lg5＋lg2；(3)log23·log27125·log58.
课堂巩固
1．有下列说法：①零和负数没有
( http: / / www.21cnjy.com )对数；②任何一个指数式都可以化成对数式；③以10为底的对数叫做常用对数；④3log3(－5)＝－5成立．其中正确的个数为__________．
2．已知函数f(x)＝则f(f())的值是__________．
3．下列结论中，正确的序号是__________．
①lg2·lg3＝lg5；②lg23＝lg9
( http: / / www.21cnjy.com )；③5log5＝；④若logaM＋N＝b，则M＋N＝ab(a>0且a≠1)；⑤若log2M＋log3N＝log2N＋log3M，则M＝N.
4．(1)已知log23＝a，log25＝b，则log2＝__________(用a，b表示)．
(2)已知log23＝a，log37＝b，则log1456＝__________(用a，b表示)．
5．(2008重庆高考，理13)若a＞0，a＝，则loga＝__________.
6．(易错题)对于a>0且a≠1，下列说法中，正确的序号为__________．
①若M＝N，则logaM＝logaN；②若
( http: / / www.21cnjy.com )logaM＝logaN，则M＝N；③若logaM2＝logaN2，则M＝N；④若M＝N，则logaM2＝logaN2.
7．求下列各式的值：
(1)log2＋log212－log242；
(2)8－log23；
(3)(lg2)3＋(lg5)3＋3lg2×lg5.
8．已知lg2＝0.301
0，lg3＝0.477
1，求lg的值．
1．有以下四个结论：
①lg(lg10)＝0；
②ln(lne)＝0；
③若10＝lgx，则x＝100；
④若e＝lnx，则x＝e2.
其中正确的序号是__________．
2．已知a>0且a≠1，则下列等式中正确的个数是__________．
①loga(M＋N)＝logaM＋logaN(M>0，N>0)；
②loga(M－N)＝logaM－logaN(M>0，N>0)；
③＝loga(M>0，N>0)；
④logaM－logaN＝loga(M>0，N>0)．
3．(1)若log5·log36·log6x＝2，则x＝__________.
(2)设f(x)＝?eq
( http: / / www.21cnjy.com )
\b\lc\{\rc\
(\a\vs4\al\co1(2－x，　
x∈(－∞，1]，,log81x,
x∈(1，＋∞)，))则满足f(x)＝\f(1,4)的x值为__________．
4.已知11.2a＝1
000,0.011
2b＝1
000，那么－＝__________.
5．已知log(log2x)＝log(log3y)＝1，则x，y的大小关系是__________．
6．(1)已知loga2＝m，loga3＝n(a>0且a≠1)，则a2m－n＝__________.
(2)已知f(x6)＝log2x，那么f(8)的值为__________．
7．已知＝a，logn8＝blogn56(m、n＞0且m≠1，n≠1)，则a＋b＝__________，7＝__________.
8．已知f(3x)＝4xlog23＋233，则f(2444)的值等于__________．
9．(1)式子2(1＋log25)的值为__________．
(2)lg5·lg8
000＋(lg2)2＋lg0.06－lg6＝________.
(3)若2a＝5b＝10，则＋＝__________.
(4)lg4＋lg9＋2＝________.
(5)2lg5＋lg8＋lg5·lg20＋lg22＝__________.
(6)log2·log38·log27＝__________.
10．已知二次函数f(x)＝(lga)x2＋2x＋4lga的最大值是3，求a的值．
11．(易错题)(1)已知log89＝a，log25＝b，试用a，b表示lg3；
(2)已知log32＝a,3b＝5，用a、b表示log3；
(3)已知log189＝a,18b＝5，则用a、b表示log3645.
12．2008年我国国民生产总值为a亿元
( http: / / www.21cnjy.com )，如果年平均增长8%，那么经过多少年后国民生产总值是2008年的2倍？(lg2≈0.301
0，lg3≈0.477
1，lg1.08≈0.033
4，精确到1年)
答案
2．3　对数函数
2．3.1　对数
课前预习
1．3　∵log39＝2 32＝9,9＝3 log93＝，
∴③不正确；∵lnx＝2 e2＝x，x2＝e logxe＝2，
∴⑤不正确；①②④都正确．
2．(1)2　(2)100　(1)将已知化为指数式得x－4＝，
∴x4＝16＝24.又x＞0且x≠1，∴x＝2.
(2)∵5lgx＝25＝52，∴lgx＝2.∴x＝102＝100.
3．－n　原式＝logaa＋logaa－n＋logaa－＝logaa－nlogaa－logaa＝－n－＝－n.
4．log37　9x－6·3x
( http: / / www.21cnjy.com )－7＝0 (3x)2－6·3x－7＝0，令t＝3x＞0，则有t2－6t－7＝0，解得t＝7(t＝－1＜0舍去)，
∴3x＝7.∴x＝log37为原方程的解．
5．(1)9　(2)　(1)4log23＝22log23＝2log232＝32＝9.
(或4log23＝4log2232＝4log49＝9)
(2)log3264＝＝(或log3264＝＝＝)．
6．解：(1)log26－log23＝log2＝log22＝1；
(2)lg5＋lg2＝lg(5×2)＝lg10＝1；
(3)log23·log27125·log58
＝××
＝××＝3.
课堂巩固
1．2　①③正确；②错误，如(－1)2＝1，不能写成对数式；④错误，因为log3(－5)无意义．
2.　∵＞0，∴f()＝log3＝log33－2＝－2，∵－2＜0，∴f(－2)＝3－2＝.
∴f(f())＝f(－2)＝.
3．③⑤　由对数的运算性质知①②
( http: / / www.21cnjy.com )错；由对数恒等式知③正确；当loga(M＋N)＝b时，有M＋N＝ab，∴④错；由log2M＋log3N＝log2N＋log3M，得log2M－log2N＝log3M－log3N，即log2＝log3，上式只有当＝1，即M＝N时成立，
∴⑤正确．
4．(1)2a－b　(2)　(1)log2＝log29－log25＝log232－log25＝2a－b.
(2)法一：由log23＝a，log37＝b，得log23·log37＝ab，
∴·＝＝log27＝ab.
∴log1456＝
＝＝＝.
法二：∵log23＝a，∴log32＝＝.
又log37＝b，
∴log1456＝＝
＝＝.
5．3　法一：∵a＞0，a＝，∴loga＝.
∵loga＝loga()2＝2loga＝，
∴loga＝.∴loga＝＝3.
法二：∵a＝＝()2，∴loga＝log()2＝2.∴loga＝2.∴loga＝3.
6．②　在①中，当M＝N
( http: / / www.21cnjy.com )≤0时，logaM与logaN均无意义，因此logaM＝logaN不成立；在②中，当logaM＝logaN时，必有M>0，N>0，且M＝N，
∴M＝N成立；在③中，当logaM2
( http: / / www.21cnjy.com )＝logaN2时，有M≠0，N≠0，且M2＝N2，即|M|＝|N|，但未必有M＝N，例如M＝2，N＝－2时，也有logaM2＝logaN2，但M≠N；在④中，若M＝N＝0，则logaM2与logaN2均无意义，因此logaM2＝logaN2不成立．∴只有②正确．
点评：应用对数的定义及性质，都要注意只有当式
( http: / / www.21cnjy.com )子中所有的对数符号都有意义时，等式才成立，所以在用公式前要特别注意它成立的前提条件，如lgMN＝lgM＋lgN，只有当M>0，N>0时成立，若M<0，N<0，则MN>0，此时lgMN有意义，但lgM与lgN均无意义，∴lgMN＝lgM＋lgN就不成立．此类题看起来简单，其实做好不易，因为只有每小题都判断准确，才能做对答案，若稍微马虎就会出错，因此要切实打牢基础，把知识学透学好．
7.解：(1)法一：原式＝(log27－log248)＋log24＋log23－log26－log27
＝－log2(16×3)＋2＋log23－log2(2×3)
＝－log216－log23＋2＋log23－－log23
＝－×4＋2－＝－.
法二：原式＝log2(×12×)
＝log2＝log2
＝log22－＝－.
(2)原式＝(23)(－log23)＝21－3log23＝21－log227＝＝.
(3)法一：(运用立方和公式)原式＝
( http: / / www.21cnjy.com )(lg2＋lg5)(lg22－lg2×lg5＋lg25)＋3lg2×lg5＝lg22－lg2×lg5＋lg25＋3lg2×lg5＝(lg2＋lg5)2＝1.
法二：(由lg2＋lg5＝1，得lg2＝1－lg5，再用两数差的立方公式)
原式＝(1－lg5)3＋(lg5)3＋3(1－lg5)lg5＝1－3lg5＋3lg25－lg35＋lg35＋3lg5－3lg25＝1.
8．解：法一：lg＝lg45＝lg＝(lg9＋lg10－lg2)
＝(2lg3＋1－lg2)＝lg3＋－lg2
＝0.477
1＋0.5－×0.301
0＝0.826
6.
法二：lg＝lg45＝(lg5＋lg9)
＝(2lg3＋1－lg2)＝lg3＋－lg2
＝0.826
6.
法三：设lg＝x，即lg45＝x，
∴lg45＝2x.
∴102x＝45.∵lg2＝1－lg5＝0.301
0，
∴lg5＝0.699
0.
∴100.699
0＝5.①
又lg3＝0.477
1，∴100.477
1＝3.
∴(100.477
1)2＝32＝9.②
由①×②得100.699
0×102×0.477
1＝5×9＝45＝102x，
∴0.699
0＋2×0.477
1＝2x.
∴x＝0.826
6.
课后检测
1．①②　①lg(lg10)＝lg1＝0
( http: / / www.21cnjy.com )，②ln(lne)＝ln1＝0，∴①②正确；∵10＝lgx，∴x＝1010，∴③不正确；∵lnx＝e，∴x＝ee.∴④不正确．
2．1　对比对数的运算性质知①②③错，④正确．
3．(1)　(2)3　(1)∵log5·log36·log6x＝××＝2，
即－＝2，∴lgx＝－2lg5＝lg5－2＝lg.
∴x＝.(或由－＝2，得－log5x＝2，即log5x＝－2，∴x＝5－2＝)．
(2)当x≤1时，f(x)＝2－x＝＝2－2，
∴x＝2与x≤1矛盾(舍去)；当x＞1时，f(x)＝log81x＝，
∴x＝81＝(34)＝3，符合x＞1，∴x＝3.
4．1　方法一：用指数解．由题意11.2＝1
000，0.011
2＝1
000，
∴两式相除得1
000－＝＝1
000.
∴－＝1.
方法二：用对数解．由题意，得a×lg11.2＝3，
b×lg0.011
2＝3，∴－＝(lg11.2－lg0.011
2)＝1.
方法三：综合法解．∵11.2a＝1
000
( http: / / www.21cnjy.com ),0.011
2b＝1
000，∴a＝log11.21
000，b＝log0.011
21
000.∴－＝－＝log1
00011.2－log1
0000.011
2＝log1
000＝log1
0001
000＝1.
5．x∴log2x＝，x＝.
又log(log3y)＝1，∴log3y＝.∴y＝.
∵＝＝<＝＝，∴x6．(1)　(2)　(1)∵loga2＝m，loga3＝n，
∴am＝2，an＝3.
∴a2m－n＝＝＝＝.
(2)法一：设t＝x6，则x＝t，
∴f(t)＝log2t.
∴f(8)＝log28＝log22＝.
法二：∵8＝23＝()6，∴f(8)＝f(()6)＝log2＝(即令已知中的x＝)．
7．1　56　由换底公式得＝log567＝a，b＝＝log568，
∴a＋b＝log567＋log568＝log5656＝1.
∵log567＝a，∴＝log756.
∴7＝7log756＝56.
8．2
009　∵f(3x)＝4xlog23＋233.
∴f(3x)＝4log23x＋233，∴f(x)＝4log2x＋233.
∴f(2n)＝4log22n＋233＝4n＋233，令n＝444，则f(2444)＝4×444＋233＝2
009.
9．(1)2　(2)1　(3)1　(4)2　(5)3　(6)18
(1)法一：原式＝21＋log2＝2log22＋log2＝2log22＝2.
法二：原式＝21·2log25＝2·2log2＝2.
(2)原式＝(1－lg2
( http: / / www.21cnjy.com ))(3＋3lg2)＋3lg22＋lg6－2－lg6＝3(1－lg2)(1＋lg2)＋3lg22－2＝3(1－lg22)＋3lg22－2＝3－2＝1.
(3)法一：由2a＝5b＝10，得a＝log210，b＝log510，
∴＋＝＋＝lg2＋lg5＝lg10＝1.
法二：对已知条件的各边取常用对数，得alg2＝blg5＝1，
∴＝lg2，＝lg5.
∴＋＝lg2＋lg5＝lg10＝1.
(4)原式＝2lg2＋2lg3＋2
＝2(lg2＋lg3)＋2(1－lg6)＝2lg6＋2－2lg6＝2.
(5)原式＝2lg5＋2lg2＋lg5(2lg2＋lg5)＋lg22
＝lg25＋2lg5·lg2＋lg22＋2(lg5＋lg2)
＝(lg5＋lg2)2＋2lg10＝lg210＋2×1
＝1＋2＝3.
(6)原式＝··
＝··＝18.
10．解：∵二次函数f(x)有最大值，∴lga<0.
又当x＝－时，f(x)有最大值，且f(x)max＝＝4lga－＝3，
∴4lg2a－3lga－1＝0.令t＝lga，则方程为4t2－3t－1＝0，解得t＝1或t＝－，即lga＝1或lga＝－.
∵lga<0，∴lga＝－.
∴a＝10－.
11．解：(1)方法一：∵log89＝log2332＝log23＝a，∴log23＝a.
∴lg3＝＝＝＝.
法二：∵log89＝＝＝＝a，
∴lg3＝alg2.①
又∵log25＝＝＝b，∴lg2＝，代入①式得lg3＝a·＝.
(2)∵3b＝5，∴b＝log35.
又∵log32＝a，
∴log3＝log3(2×3×5)
＝(log32＋log33＋log35)＝(a＋b＋1)．
(3)∵18b＝5，∴log185＝b.
又log189＝a，
∴log182＝1－log1819＝1－a，
∴log3645＝＝
＝＝＝.
点评：(1)题中已知与未
( http: / / www.21cnjy.com )知底数不同，所以为了求出未知，就要利用换底公式，将未知换成已知的底数(如解法一)，或都换成常用对数(如解法二)，以利于问题的解决．
(2)用已知对数表示新的未知对数，一般方法
( http: / / www.21cnjy.com )是运用对数的运算法则及有关公式，将所求对数式转化为含有已知对数式的代数和的形式．只有将未知对数式的真数分解成已知对数的真数的积、商、幂的形式，才好利用运算性质，但要注意运算性质只有在同底的情况下才能运用，当底数不同时，要用换底公式，一般要换成已知对数的底数(如第(3)小题)．
12．解：设经过x年后国民生产总值是2008年的两倍．
经过1年，总产值为a(1＋8%)，
经过2年，总产值为a(1＋8%)2，
……
经过x年，总产值为a(1＋8%)x.
由题意得a(1＋8%)x＝2a，即1.08x＝2.
两边取常用对数，得lg1.08x＝lg2，即
x＝≈≈9(年)．
(可由换底公式，得x＝log1.082＝.)
答：约经过9年，国民生产总值是2008年的2倍．2.1.2　函数的表示方法
1．x∈A，y∈B，下列两个表格①和②能看成y是x的函数的表格是________．
x
1
2
3
2
5
y
90
89
89
85
95
x
1
2
3
4
5
y
90
89
89
90
95
2．下列图形是函数y＝－|x|(x∈[－2,2])的图象的序号是________．
3．函数y＝f(x)的图象如右图所示，
( http: / / www.21cnjy.com )那么f(x)的定义域是________；值域是________；其中只与x的一个值对应的y值的范围是________．
4．(1)已知f()＝，则f(x)的解析式为________．
(2)已知f(x)是一次函数，若f[f(x)]＝9x＋3，则f(x)的解析式为__________．
5．已知正方形的周长为x，它的外接圆的半径为y，则y关于x的解析式是__________．
6．已知f(x－1)＝2x＋3，f(m)＝6，则m等于____．
7．已知函数f(x)＝　则f[f()]＝__________.
8．已知函数f(x)＝则f[f(－π)]的值为________．
9．已知函数f(x)＝，求解：
(1)点(3,14)在f(x)的图象上吗？
(2)当x＝4时，求f(x)的值；
(3)当f(x)＝2时，求x的值．
10．已知函数φ(x)＝f
( http: / / www.21cnjy.com )(x)＋g(x)，其中f(x)是x的正比例函数，g(x)是x的反比例函数，且φ()＝16，φ(1)＝8，求φ(x)的解析式，并指出定义域．
11．如下图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽2
m，渠深1.8
m，边坡的倾角是45°.
(1)试用解析表达式将横断面中水的面积A
m2表示成水深h
m的函数；
(2)画出函数的图象；
(3)确定函数的定义域和值域．
12．设f(x)＝　则f[f()]＝________.
13．下列图象中表示函数关系y＝f(x)的序号是__________．
14．植物园要建形状为直角梯形
( http: / / www.21cnjy.com )的苗圃，两邻边借用夹角为135°的两面墙，另两边总长为30米．设垂直于底边的腰长为x米，则苗圃面积S关于x的函数解析式为__________．
15．已知函数f(x)＝　若f(a)＝3，则a的值是__________．
16．由于水污染日益严重
( http: / / www.21cnjy.com )，水资源变得日益短缺．为了节约用水，某市政府拟自2009年开始对居民自来水收费标准调整如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨6元；当用水超过4吨时，超过部分每吨增收3元．则某户居民所交水费y元与该月此户居民所用水量x吨之间的函数关系式为____________．
17.已知f(x)＋2f()＝x(x≠0)，则f(x)＝__________.
18．函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x＋2)＝，若f(1)＝－5，则f[f(5)]＝__________.
19．(1)已知f(x)满足f(x－)＝x2＋，则f(x＋1)的表达式为__________．
(2)(易错题)已知f(1－)＝x，则f(x)的解析式为__________．
20．如图，用长为l的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若矩形底边长为2x，求此框架围成的面积y与x的函数关系式，并指出其定义域．
21．已知函数f(x)＝
(1)求下列各值：f(－8)，f()，f()，f(－)；
(2)作出函数的简图；
(3)求函数的值域．
22．用铁板围成的圆柱形容器高为60
( http: / / www.21cnjy.com )0
cm，现以每秒升高10
cm的速度匀速地向容器内注入某种液体，30
s后，发现容器的底部有一小洞开始漏出液体，且按每秒下降
cm(t为时间，单位为秒)的规律漏出．
(1)液体是否会溢出容器？
(2)在容器中的液体全部漏完时停止注入，求容器内液体的高度y(cm)与注入时间x(s)的函数关系式，并求函数的值域．
23．在学校的洗衣店中每洗一次衣服(4.5千克以内)需要付费4元，如果在这家店洗衣10次以后可以免费洗一次．
(1)根据题意填写下表：
洗衣次数n
5
9
10
11
15
洗衣费用c
(2)是“费用c是次数n的函数”还是“次数n是费用c的函数”？
(3)写出函数的解析式，并画出图象．
?答案与解析
基础巩固
1．②　从表格①中可以得到集合A中的元素2和集合B中的两个元素89,85对应，
∴表示①不能看成y是x的函数，而表格②则可以．
2．②　y＝－|x|＝　
其中y＝－x(0≤x≤2)是直线y＝－x上满
( http: / / www.21cnjy.com )足0≤x≤2的一条线段(包括端点)，y＝x是直线y＝x上满足－2≤x＜0的一条线段(包括左端点)，其图象在原点及x轴下方．
3.[－3,0]∪[2,3)　[1,5)　[1,2)∪(4,5)
4．(1)f(x)＝(x≠0且x≠－1)
(2)f(x)＝3x＋或f(x)＝－3x－
(1)令u＝，∵x≠0且x≠－1，
∴x＝，u≠0且u≠－1.
∴f(u)＝＝(u≠0且u≠－1)，
即f(x)＝(x≠0且x≠－1)．
(2)由题设f(x)＝ax＋b，
则f[f(x)]＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝9x＋3，
比较系数得，a2＝9且ab＋b＝3，
∴或
∴f(x)＝3x＋或f(x)＝－3x－.
5．y＝x　如图，设正方形的边长为a，则4a＝x.
∴a＝.
由勾股定理得(2y)2＝a2＋a2＝2a2.
∴y＝a＝x.
6．－　方法一：设x－1＝t，
则x＝2t＋2，
f(t)＝2×(2t＋2)＋3＝4t＋7，
即f(x)＝4x＋7.
∴f(m)＝4m＋7＝6.
∴m＝－.
方法二：令2x＋3＝6，得x＝.
∴m＝x－1＝×－1＝－.
7.　>0，∴f()＝－1＝－<0.
∴f[f()]＝f(－)＝－＋1＝.
8．－π　∵－π<0，
∴f(－π)＝(－π)2－1＝π2－1>0.
∴f[f(－π)]＝f(π2－1)＝－π.
9．解：(1)∵＝－≠14，
∴点(3,14)不满足函数解析式，即点(3,14)不在函数f(x)的图象上．
(2)当x＝4时，f(x)＝＝－3.
(3)由f(x)＝2得＝2，
解得x＝14.
10．解：由题意，设f(x)＝ax，g(x)＝，a，b为比例常数，
∴φ(x)＝ax＋.
由φ()＝16，得
φ()＝f()＋g()＝a＋3b＝16.①
由φ(1)＝8，得
φ(1)＝f(1)＋g(1)＝a＋b＝8，②
解①②联立的方程组，
得
∴φ(x)＝3x＋，
其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
11．解：(1)由已知，横断面为等腰梯形，下底为2
m，上底为(2＋2h)
m，高为h
m，
∴水的横断面面积A＝＝h2＋2h(0(2)函数图象如下确定：由于A＝(h＋1)2－1，对称轴为直线h＝－1，顶点坐标为(－1，－1)，且图象过(0,0)和(－2，0)，
又考虑到0∴函数A＝h2＋2h的图象仅是抛物线的一部分，如图所示．
(3)定义域为{h|0∴0能力提升
12.　∵||≤1，
∴f()＝|－1|－2＝－.
∵|－|>1，
f(－)＝＝，
∴f[f()]＝f(－)＝.
13．②⑤⑥　∵在图②⑤⑥中，一个自变量x都对应唯一的y值，能表示函数f(x)，而①③④则有一个x值对应两个y值的情况，故不能表示函数．
14．S＝－x2＋30x，x∈(0,15)　如图所示，直角梯形的高为x米，一底边长为(30－x)米，则另一底边长为(30－2x)米．
由梯形面积公式得S＝[(30－x)＋(30－2x)]·x＝(60－3x)x＝－x2＋30x.
又30－2x>0，
∴0∴所求的函数解析式为S＝－x2＋30x，x∈(0,15)．
15.　当a≤－1时，f(a)＝a＋2＝3，得a＝1与a≤－1矛盾，舍去；
当－1∴a＝±，∵－
( http: / / www.21cnjy.com )(－1,2)舍去，
∴a＝；
当a≥2时，f(a)＝2a＝3，得a＝，与a≥2矛盾，舍去．
综上可知，a＝.
16．y＝　　当用水量0≤x≤4时，水费y＝6x；当用水量x>4时，水费y＝24＋9(x－4)＝9x－12.
17．f(x)＝－(x≠0)
∵f(x)＋2f()＝x(x≠0)，①
∴将上式中的x都用替换得f()＋2f(x)＝.②
解①②关于f(x)与f()的二元方程组得f(x)＝－(x≠0)．
18．－　由f(x＋2)＝，
得f(x＋4)＝＝f(x)，
∴f(5)＝f(1)＝－5.
∴f[f(5)]＝f(－5)＝f(－1)＝＝＝－.
19．(1)f(x＋1)＝(x＋1)2＋2
(2)f(x)＝(x－1)2(x≤1)
(1)∵f(x－)＝x2＋
＝(x2－2x·＋)＋2x·
＝(x－)2＋2，
∴f(x)＝x2＋2.
∴f(x＋1)＝(x＋1)2＋2.
(2)设1－＝t，则x＝(1－t)2.
∵x≥0，∴t≤1.
∴f(t)＝(1－t)2(t≤1)．
∴f(x)的解析式为f(x)＝(x－1)2(x≤1)．
点评：求函数解析式常用方法有
( http: / / www.21cnjy.com )配凑法(配方)，如第(1)小题；换元法，如第(2)小题，课堂巩固3题中的第(1)题；待定系数法，如课堂巩固第3题的(2)小题；构造方程组消元法，如前面第6题等．本题第(2)小题是将“1－”换元为另一个字母t，求出变量x与t的关系后代入原式可求出t的函数关系，从而得出所求解析式，但用此换元法要特别注意正确确定中间变量t的取值范围，否则就不能准确得出函数f(x)的定义域．
20．解：由题意知此框架是由一个
( http: / / www.21cnjy.com )矩形和一个半圆组成的图形，而矩形的底边长AB＝2x，设宽为a，则2x＋2a＋πx＝l，即a＝－－x，半圆的直径为2x，半径为x.
所以y＝x2＋(－x－x)·2x＝－(2＋)x2＋lx.
根据实际意义知－x－x>0，
又因为x>0，所以0即函数y＝－(2＋)x2＋lx的定义域是{x|021．解：函数的定义域为[－1,0)∪[0,1)∪[1，2]＝[－1,2]．
(1)因为－8?[－1,2]，
所以f(－8)无意义．
因为－1≤x<0时，f(x)＝－x，
所以f(－)＝－(－)＝.
因为0≤x<1时，f(x)＝x2，
所以f()＝()2＝.
因为1≤x≤2时，f(x)＝x，
所以f()＝.
(2)在同一坐标系中分段画出函数图象，如图所示．
(3)由(2)画出的图象可知，函数的值域为[0,2]．
点评：(1)分段函数的定义域是各段自变量取
( http: / / www.21cnjy.com )值集合的并集，应注意在不同的自变量取值范围内用不同的关系式，所以求值时应根据自变量的值所在的区间选用相应的关系式．分段函数的值域是各段函数值的集合的并集而不是交集，分段函数的最大(小)值是各段上的最大(小)值中的最大(小)者．
(2)画分段函数的图象时，要注意不同段之间图象端点间的衔接，该用实心点用实心点，该用空心点就用空心点，不能出现“一对多”现象．
拓展探究
22．解：(1)当x≤30时，y＝10x≤300；
当x>30时，y＝10x－(x－30)2
＝－(x－50)2＋400≤400.
因而液体不会溢出容器．
(2)∵y≥0，
∴x≤90.
∴y＝
∴函数的值域为[0,400]．
23．解：(1)
洗衣次数n
5
9
10
11
15
洗衣费用c
20
36
40
40
56
(2)费用c是次数n的函数，因为对
( http: / / www.21cnjy.com )于次数集合中的每一个元素(次数)，在费用集合中都有唯一的元素(费用)和它对应．但对于费用集合中的每一个元素(费用)，在次数集合中并不都是只有唯一的一个元素(次数)和它对应．如40元就有10次和11次与它对应．
(3)函数的解析式为c＝
其图象如图：2.3　对数函数
2．3.1　对数
1．下列指数式与对数式的互化中，正确的个数是__________．
①100＝1与lg1＝0
②27－＝与log27＝－
③log39＝2与9＝3
④log55＝1与51＝5
⑤lnx＝2与x2＝e
2．有下列说法：①零和负数没有对数；②任何
( http: / / www.21cnjy.com )一个指数式都可以化成对数式；③以10为底的对数叫做常用对数；④3log3(－5)＝－5成立．其中正确的个数为__________．
3．(1)已知logx＝－4，则x＝__________；
(2)若5lgx＝25，则x＝__________.
4．式子loga＋loga＋loga(a＞0且a≠1)的化简结果是__________．
5．方程9x－6·3x－7＝0的解是__________．
6．(1)4log23＝__________；(2)log3264＝__________.
7．已知函数f(x)＝则f(f())的值是__________．
8．下列结论中，正确的序号是__________．
①lg2·lg3＝lg5
②lg23＝lg9
③5log5＝
④若logaM＋N＝b，则M＋N＝ab(a>0且a≠1)
⑤若log2M＋log3N＝log2N＋log3M，则M＝N
9．(1)已知log23＝a，log25＝b，则log2＝__________(用a，b表示)；
(2)已知log23＝a，log37＝b，则log1456＝__________(用a，b表示)．
10．若a＞0，a＝，则loga＝__________.
11．(易错题)对于a>0且a≠1，下列说法中，正确的序号为__________．
①若M＝N，则logaM＝logaN
②若logaM＝logaN，则M＝N
③若logaM2＝logaN2，则M＝N
④若M＝N，则logaM2＝logaN2
12．求下列各式的值：
(1)log26－log23；
(2)lg5＋lg2；
(3)log23·log27125·log58.
13．求下列各式的值：
(1)log2＋log212－log242；
(2)8－log23；
(3)(lg2)3＋(lg5)3＋3lg2×lg5.
14．已知lg2＝0.301
0，lg3＝0.477
1，求lg的值．
15．有以下四个结论：
①lg(lg10)＝0；
②ln(lne)＝0；
③若10＝lgx，则x＝100；
④若e＝lnx，则x＝e2.
其中正确的序号是__________．
16．已知a>0且a≠1，则下列等式中正确的个数是__________．
①loga(M＋N)＝logaM＋logaN(M>0，N>0)
②loga(M－N)＝logaM－logaN(M>0，N>0)
③＝loga(M>0，N>0)
④logaM－logaN＝loga(M>0，N>0)
17．已知f(x)＝则f{f[f(－2－)]}＝__________.
18．(1)若log5·log36·log6x＝2，则x＝__________；
(2)设f(x)＝则满足f(x)＝的x值为__________．
19．已知11.2a＝1
000,0.011
2b＝1
000，那么－＝__________.
20.已知log(log2x)＝log(log3y)＝1，则x，y的大小关系是__________．
21．(1)已知loga2＝m，loga3＝n(a>0且a≠1)，则a2m－n＝__________；
(2)已知f(x6)＝log2x，那么f(8)的值为__________．
22．已知＝a，logn8＝blogn56(m、n＞0且m≠1，n≠1)，则a＋b＝__________，7＝__________.
23．已知f(3x)＝4xlog23＋233，则f(2444)的值等于__________．
24．(1)式子2(1＋log25)的值为__________．
(2)lg5·lg8
000＋(lg2)2＋lg0.06－lg6＝________.
(3)若2a＝5b＝10，则＋＝__________.
(4)lg4＋lg9＋2＝________.
(5)2lg5＋lg8＋lg5·lg20＋lg22＝__________.
(6)log2·log38·log27＝__________.
25．已知二次函数f(x)＝(lga)x2＋2x＋4lga的最大值是3，求a的值．
26．(易错题)(1)已知log89＝a，log25＝b，试用a，b表示lg3；
(2)已知log32＝a,3b＝5，用a、b表示log3；
(3)已知log189＝a,18b＝5，则用a、b表示log3645.
27．2009年我国国民生
( http: / / www.21cnjy.com )产总值为a亿元，如果年平均增长8%，那么经过多少年后国民生产总值是2009年的2倍？(lg2≈0.301
0，lg3≈0.477
1，lg1.08≈0.033
4，精确到1年)
28．已知常数a(a>0且a≠1)，变量x，y之间有关系：logax＋3logxa－logxy＝3，若y有最小值8，求a的值．
29．已知a>0且a≠1，若log2a＋loga8＝4，则
(1)判断函数f(x)＝xa＋3的奇偶性；
(2)计算loga27·log364的值；
(3)判断函数g(x)＝ax的单调性．
答案与解析
基础巩固
1．3　∵log39＝2
( http: / / www.21cnjy.com )32＝9,9＝3
( http: / / www.21cnjy.com )log93＝，∴③不正确；
∵lnx＝2
( http: / / www.21cnjy.com )e2＝x，x2＝e
( http: / / www.21cnjy.com )logxe＝2，∴⑤不正确；
①②④都正确．
2．2　①③正确；②错误，如(－1)2＝1，不能写成对数式；④错误，因为log3(－5)无意义．
3．(1)2　(2)100　(1)将已知化为指数式得x－4＝，
∴x4＝16＝24.
又x＞0且x≠1，∴x＝2.
(2)∵5lgx＝25＝52，
∴lgx＝2.∴x＝102＝100.
4．－n　原式＝logaa＋logaa－n＋logaa－＝logaa－nlogaa－logaa＝－n－＝－n.
5．log37　9x－6·3x－7＝
( http: / / www.21cnjy.com )0?(3x)2－6·3x－7＝0，令t＝3x＞0，则有t2－6t－7＝0，解得t＝7(t＝－1＜0舍去)，
∴3x＝7.∴x＝log37为原方程的解．
6．(1)9　(2)　(1)4log23＝22log23＝2log232＝32＝9.
(或4log23＝4log2232＝4log49＝9)
(2)log3264＝＝(或log3264＝＝＝)．
7.　∵＞0，
∴f()＝log3＝log33－2＝－2，
∵－2＜0，∴f(－2)＝3－2＝.
∴f(f())＝f(－2)＝.
8．③⑤　由对数的运算性质知①②错；由对数恒等式知③正确；
当loga(M＋N)＝b时，有M＋N＝ab，∴④错；
由log2M＋log3N＝log2N＋log3M，得log2M－log2N＝log3M－log3N，
即log2＝log3，上式只有当＝1，即M＝N时成立，
∴⑤正确．
9．(1)2a－b　(2)　(1)log2＝log29－log25＝log232－log25＝2a－b.
(2)方法一：由log23＝a，log37＝b，得log23·log37＝ab，
∴·＝＝log27＝ab.
∴log1456＝
＝＝＝.
方法二：∵log23＝a，
∴log32＝＝.
又log37＝b，
∴log1456＝＝
＝＝.
10.3　方法一：∵a＞0，a＝，
∴loga＝.
∵loga＝loga()2＝2loga＝，
∴loga＝.
∴loga＝＝3.
方法二：∵a＝＝()2，
∴loga＝log()2＝2.
∴loga＝2.∴loga＝3.
11．②　在①中，当M＝
( http: / / www.21cnjy.com )N≤0时，logaM与logaN均无意义，因此logaM＝logaN不成立；在②中，当logaM＝logaN时，必有M>0，N>0，且M＝N，
∴M＝N成立；在③中，当lo
( http: / / www.21cnjy.com )gaM2＝logaN2时，有M≠0，N≠0，且M2＝N2，即|M|＝|N|，但未必有M＝N，例如M＝2，N＝－2时，也有logaM2＝logaN2，但M≠N；在④中，若M＝N＝0，则logaM2与logaN2均无意义，因此logaM2＝logaN2不成立．∴只有②正确．
点评：应用对数的定义及性质，都要注意只有当
( http: / / www.21cnjy.com )式子中所有的对数符号都有意义时，等式才成立，所以在用公式前要特别注意它成立的前提条件，如lgMN＝lgM＋lgN，只有当M>0，N>0时成立，若M<0，N<0，则MN>0，此时lgMN有意义，但lgM与lgN均无意义，
∴lgMN＝lgM＋lg
( http: / / www.21cnjy.com )N就不成立．此类题看起来简单，其实做好不易，因为只有每小题都判断准确，才能做对答案，若稍微马虎就会出错，因此要切实打牢基础，把知识学透学好．
12．解：(1)log26－log23＝log2＝log22＝1；
(2)lg5＋lg2＝lg(5×2)＝lg10＝1；
(3)log23·log27125·log58
＝××
＝××＝3.
13．解：(1)方法一：原式＝(log27－log248)＋log24＋log23－log26－log27＝－log2(16×3)＋2＋log23－log2(2×3)＝－log216－log23＋2＋log23－－log23＝－×4＋2－＝－.
方法二：原式＝log2(×12×)
＝log2＝log2
＝log22－＝－.
(2)原式＝(23)(－log23)＝21－3log23＝21－log227＝＝.
(3)方法一：(运用立方和公
( http: / / www.21cnjy.com )式)原式＝(lg2＋lg5)(lg22－lg2×lg5＋lg25)＋3lg2×lg5＝lg22－lg2×lg5＋lg25＋3lg2×lg5＝(lg2＋lg5)2＝1.
方法二：(由lg2＋lg5＝1，得lg2＝1－lg5，再用两数差的立方公式)
原式＝(1－lg5)3＋(lg5)3＋3(1－lg5)lg5＝1－3lg5＋3lg25－lg35＋lg35＋3lg5－3lg25＝1.
14．解：方法一：lg＝lg45＝lg＝(lg9＋lg10－lg2)
＝(2lg3＋1－lg2)＝lg3＋－lg2
＝0.477
1＋0.5－×0.301
0＝0.826
6.
方法二：lg＝lg45＝(lg5＋lg9)
＝(2lg3＋1－lg2)＝lg3＋－lg2＝0.826
6.
法三：设lg＝x，即lg45＝x，
∴lg45＝2x.
∴102x＝45.
∵lg2＝1－lg5＝0.301
0，
∴lg5＝0.699
0.
∴100.699
0＝5.①
又lg3＝0.477
1，
∴100.477
1＝3.
∴(100.477
1)2＝32＝9.②
由①×②得100.699
0×102×0.477
1＝5×9＝45＝102x，
∴0.699
0＋2×0.477
1＝2x.
∴x＝0.826
6.
能力提升
15．①②　①lg(lg10)＝lg1＝0，②ln(lne)＝ln1＝0，∴①②正确；
∵10＝lgx，∴x＝1010，∴③不正确；
∵lnx＝e，∴x＝ee.∴④不正确．
16．1　对比对数的运算性质知①②③错，④正确．
17．－4　f(－2－)＝－2－2－＋＝－2－2＝－，f(－)＝(－)2＝，f()＝log2＝－4.
18．(1)　(2)3　(1)∵log5·log36·log6x＝××＝2，
即－＝2，
∴lgx＝－2lg5＝lg5－2＝lg.
∴x＝.(或由－＝2，得－log5x＝2，
即log5x＝－2，∴x＝5－2＝)．
(2)当x≤1时，f(x)＝2－x＝＝2－2，
∴x＝2与x≤1矛盾(舍去)；当x＞1时，f(x)＝log81x＝，
∴x＝81＝(34)＝3，符合x＞1，
∴x＝3.
19．1　方法一：用指数解．由题意11.2＝1
000，0.011
2＝1
000，
∴两式相除得1
000－
＝＝1
000.
∴－＝1.
方法二：用对数解．由题意，得a×lg11.2＝3，
b×lg0.011
2＝3，∴－＝(lg11.2－lg0.011
2)＝1.
方法三：综合法解．∵11.2a＝1
000,0.011
2b＝1
000，
∴a＝log11.21
000，b＝log0.011
21
000.
∴－
＝－
＝log1
00011.2－log1
0000.011
2
＝log1
000
＝log1
0001
000＝1.
20．x∴log2x＝，x＝.
又log(log3y)＝1，
∴log3y＝.∴y＝.
∵＝＝<＝＝，
∴x21．(1)　(2)　(1)∵loga2＝m，loga3＝n，
∴am＝2，an＝3.
∴a2m－n＝＝＝＝.
(2)方法一：设t＝x6，则x＝t，
∴f(t)＝log2t.
∴f(8)＝log28＝log22＝.
方法二：∵8＝23＝()6，
∴f(8)＝f(()6)＝log2＝(即令已知中的x＝)．
22．1　56　由换底公式得＝log567＝a，b＝＝log568，
∴a＋b＝log567＋log568＝log5656＝1.
∵log567＝a，∴＝log756.
∴7＝7log756＝56.
23．2
009　∵f(3x)＝4xlog23＋233.
∴f(3x)＝4log23x＋233，
∴f(x)＝4log2x＋233.
∴f(2n)＝4log22n＋233＝4n＋233，令n＝444，则f(2444)＝4×444＋233＝2
009.
24．(1)2　(2)1　(3)1　(4)2　(5)3　(6)18
(1)方法一：原式＝21＋log2＝2log22＋log2＝2log22＝2.
方法二：原式＝21·2log25＝2·2log2＝2.
(2)原式＝(1－lg2)
( http: / / www.21cnjy.com )(3＋3lg2)＋3lg22＋lg6－2－lg6＝3(1－lg2)(1＋lg2)＋3lg22－2＝3(1－lg22)＋3lg22－2＝3－2＝1.
(3)方法一：由2a＝5b＝10，得a＝log210，b＝log510，
∴＋＝＋＝lg2＋lg5＝lg10＝1.
方法二：对已知条件的各边取常用对数，得alg2＝blg5＝1，
∴＝lg2，＝lg5.
∴＋＝lg2＋lg5＝lg10＝1.
(4)原式＝2lg2＋2lg3＋2
＝2(lg2＋lg3)＋2(1－lg6)＝2lg6＋2－2lg6＝2.
(5)原式＝2lg5＋2lg2＋lg5(2lg2＋lg5)＋lg22
＝lg25＋2lg5·lg2＋lg22＋2(lg5＋lg2)＝(lg5＋lg2)2＋2lg10＝lg210＋2×1
＝1＋2＝3.
(6)原式＝××
＝××＝18.
25．解：∵二次函数f(x)有最大值，
∴lga<0.
又当x＝－时，f(x)有最大值，且f(x)max＝＝4lga－＝3，
∴4lg2a－3lga－1＝0.令t＝lga，则方程为4t2－3t－1＝0，解得t＝1或t＝－，即lga＝1或lga＝－.
∵lga<0，∴lga＝－.
∴a＝10－.
26．解：(1)方法一：∵log89＝log2332＝log23＝a，∴log23＝a.
∴lg3＝＝＝＝.
方法二：∵log89＝＝＝＝a，
∴lg3＝alg2.①
又∵log25＝＝＝b，
∴lg2＝，代入①式得lg3＝a·＝.
(2)∵3b＝5，∴b＝log35.
又∵log32＝a，
∴log3＝log3(2×3×5)
＝(log32＋log33＋log35)
＝(a＋b＋1)．
(3)∵18b＝5，∴log185＝b.
又log189＝a，
∴log182＝1－log1819＝1－a，
∴log3645＝＝
＝＝＝.
点评：(1)题中已知与未知底数不同
( http: / / www.21cnjy.com )，所以为了求出未知，就要利用换底公式，将未知换成已知的底数(如方法一)，或都换成常用对数(如方法二)，以利于问题的解决．
(2)用已知对数表示新的未知对数，一
( http: / / www.21cnjy.com )般方法是运用对数的运算法则及有关公式，将所求对数式转化为含有已知对数式的代数和的形式．只有将未知对数式的真数分解成已知对数的真数的积、商、幂的形式，才好利用运算性质，但要注意运算性质只有在同底的情况下才能运用，当底数不同时，要用换底公式，一般要换成已知对数的底数(如第(3)小题)．
27．解：设经过x年后国民生产总值是2009年的两倍．
经过1年，总产值为a(1＋8%)，
经过2年，总产值为a(1＋8%)2，
……
经过x年，总产值为a(1＋8%)x.
由题意得a(1＋8%)x＝2a，
即1.08x＝2.
两边取常用对数，得lg1.08x＝lg2，
即x＝≈≈9(年)．
(可由换底公式，得x＝log1.082＝.)
答：约经过9年，国民生产总值是2009年的2倍．
拓展探究
28．解：logax＋3logxa－logxy＝3，
∴logax＋－＝3，logay＝logx－3logax＋3.
∴y＝a[(logax)2－3logax＋3]＝a[(logax－)2＋]．
当logax＝时，(logax－)2＋有最小值，∴当y有最小值时，a>1.从而ymin＝a＝8.
∴a＝8＝24＝16.
29．解：∵loga8＋log2a＝4，
∴3loga2＋log2a＝4.
∴loga－4log2a＋3＝0.
(log2a－1)(log2a－3)＝0，
即log2a＝1或log2a＝3.
∴a＝2或a＝8.
(1)当a＝2时，f(x)＝x2＋3是偶函数；
当a＝8时，f(x)＝x8＋3也是偶函数．
∴f(x)＝xa＋3为偶函数．
(2)当a＝2时，原式＝log227×log364＝×＝×＝18；
当a＝8时，原式＝log827×log364＝×＝×＝6.
(3)∵g(x)＝2x或g(x)＝8x，且2与8都大于1，
∴g(x)＝ax在R上是增函数．2.4　幂函数
1．若幂函数y＝f(x)的图象经过点(9，)，则f(25)的值是__________．
2．设a∈{－1,1，，3}，则使函数y＝xa的定义域为R且为奇函数的所有a值为__________．
3．在下列函数中，定义域和值域相同的函数的个数为__________．
①y＝x2　②y＝x　③y＝x　④y＝x
⑤y＝x
4．比较下列各题中两个值的大小：
(1)1.5，1.7；(2)2.2－，1.8－.
课堂巩固
1．下列四图中是函数y＝x的图象的序号是__________．
2．在下列函数y＝，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝x＋1，y＝1中，是幂函数的个数为__________．
3．幂函数f(x)的图象过点(4，)，若f(a)＝2，则a＝__________.
4．图中曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n依次为__________．
5．设a＝0.20.3，b＝0.30.3，c＝0.30.2，则a、b、c的大小关系是__________．
6．下列四个命题：①y＝x－
( http: / / www.21cnjy.com )4是偶函数，在(0，＋∞)上是单调减函数；②y＝x是奇函数，在(0，＋∞)上是单调增函数；③y＝x－是偶函数，在(0，＋∞)上是单调减函数；④y＝x－是偶函数，在(0，＋∞)上是单调减函数．其中正确的序号是__________．
7．已知幂函数y＝f(x)过点(2，)，试求出此函数的解析式，并作出图象，判断奇偶性、单调性．
1．下列命题正确的个数是__________．
①当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线
②幂函数的图象都经过(0,0)、(1,1)两点
③若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大
④幂函数的图象不可能在第四象限
⑤图象不经过点(－1,1)的幂函数一定不是偶函数
2．幂函数的图象过点(2，)，则它的单调增区间是__________．
3．已知幂函数f(x)＝x2，g(x)＝x3，则使f(x)>g(x)成立的x的取值范围是__________．
4．已知幂函数f(x)＝(2n2－n)xn＋1，若在其定义域上为单调增函数，则n＝__________.
5．已知函数f(x)＝xn的图象经过点(3，)，则f(x)在区间[，4]上的最小值为__________．
6．若函数f(x)＝则f(f(f(0)))＝__________.
7．设α∈{－2，－1，－，，，1,2,3}，则使f(x)＝xα为奇函数且在(0，＋∞)上是单调增函数的α的值的个数是__________．
8．两个数()和()的大小关系是__________．
9．已知函数f(x)＝xα＋m的图象经过点(1,3)，又其反函数图象经过点(10,2)，则f(x)的解析式为__________．
10.(易错题)若(a＋1)－<(3－2a)－，试求a的取值范围．
11．试探讨下列问题：
(1)在幂函数y＝xα中，如果α是正偶数，如α＝2,4,6，…，这一类函数具有哪些重要性质？
(2)在幂函数y＝xα中，如果α是正奇数，如α＝1,3,5，…，这一类函数具有哪些重要性质？
12．(易错题)已知幂函数f(x)＝xm2－2m－3(m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调减函数．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)讨论F(x)＝a－的奇偶性．
答案
2．4　幂函数
课前预习
1.　设f(x)＝xα，由f(9)＝，即9α＝，32α＝3－1，∴α＝－.∴f(x)＝x－.∴f(25)＝25－＝.
2．1、3　　当a＝－1或时，所得幂函数定义域不是R；当a＝1和a＝3时，满足题中条件．
3．3　①⑤中函数定义域为R，值域为[0，＋∞)，②中函数的定义域与值域都是[0，＋∞)，③④中两函数的定义域与值域都是R，∴②③④符合．
4．解：(1)1.5，1.7是幂函数y＝x的两个函数值，考察函数y＝x在(0，＋∞)上是单调增函数，
∵1.5<1.7，∴1.5<1.7.
(2)∵函数y＝x－在第一象限内是单调减函数，且2.2>1.8，∴2.2－<1.8－.
课堂巩固
1．(3)　函数y＝x的定义域为[0，＋∞)，且过点(0,0)，(1,1)，∴不是(2)(4)；∵<1，
∴当x>1时函数增得慢，不是(1)．∴(3)正确．
2．1　y＝＝x－2为幂函数．
3.　设f(x)＝xα，则f(4)＝4α＝，解得α＝－，∴f(x)＝x－.
∴f(a)＝a－＝2，得a＝.
4．2，，－，－2　由题图，知C1、
( http: / / www.21cnjy.com )C2表示的幂函数在(0，＋∞)上都是单调增函数，对应的n值为正；C3、C4表示的幂函数在(0，＋∞)上都是单调减函数，相应的n值为负，又当x＝4时，x2＝16，x＝2，x－＝，x－2＝，∴相应于C1，C2，C3，C4的n依次为2，，－，－2.
5．a( http: / / www.21cnjy.com )0，＋∞)上为单调增函数，且0.2<0.3，∴0.20.3<0.30.3，即a0.2，
∴0.30.3<0.30.2，即b6．①④　①∵y＝x－4是偶函数且
( http: / / www.21cnjy.com )在第一象限是单调减函数，∴①正确；∵y＝x＝定义域为[0，＋∞)，不是奇函数，∴②错；∵y＝x－＝，定义域为(0，＋∞)，∴不是偶函数，③错；∵y＝x－是偶函数且在第一象限为单调减函数，∴④正确．
7．解：设幂函数为y＝xα
( http: / / www.21cnjy.com )，又过点(2，)，得＝2α，∴α＝－.∴函数解析式为y＝x－，定义域为(0，＋∞)．∴f(x)是非奇非偶函数，且f(x)在(0，＋∞)上为减函数，图象为
课后检测
1．2　当α＝0时，函数y＝xα
( http: / / www.21cnjy.com )的定义域为{x|x≠0，x∈R}，其图象为一条断直线，∴①不正确；当α<0时，函数y＝xα的图象不过(0,0)点，∴②不正确；幂函数y＝x－1的图象关于原点对称，但其在定义域内不是单调增函数，∴③不正确；幂函数的图象都不在第四象限，故④正确；∵当α∈R时，幂函数y＝xα一定过(1,1)点，∴若幂函数为偶函数，由对称性知它一定过(－1,1)点，∴不过(－1,1)点的幂函数一定不是偶函数，即⑤正确．
2．(－∞，0)　设f(x)＝xα，由图象过点(2，)，知2α＝，∴α＝－2.∴f(x)＝x－2，其单调增区间为(－∞，0)．
3．(－∞，0)∪(0,1)　f(x)>g(x)，即x2>x3，
∴x2－x3＝x2(1－x)>0.∴x2(x－1)<0.
∴x<1且x≠0.
∴x的取值范围是(－∞，0)∪(0,1)(也可画出图象观察易得答案)．
4．－　由题意2n2－n＝1，解得n＝－或n＝1，当n＝－时，f(x)＝符合题意，当n＝1时，f(x)＝x2在定义域R上不单调，舍去．
∴n＝－.
5.　∵f(x)的图象过点(3，)，∴3n＝.
∴n＝－1.
∴f(x)＝x－1在区间[，4]上为减函数．
∴f(x)min＝f(4)＝4－1＝.
6．1　由已知得f(0)＝－2，－2<0，
∴f(－2)＝(－2＋3)＝1.1>0.
∴f(1)＝1－＝1.
∴f(f(f(0)))＝f(f(－2))＝f(1)＝1.
7．3　y＝x，y＝x，y＝x3均适合题意．
8．()<()　∵<，>0，∴根据幂函数的单调性，有()<().
又0<<1，>，∴根据指数函数的单调性，有()<().综上可知，()<().
9．f(x)＝x3＋2　由互为反函数的两函数图象之间的关系知，反函数图象过点(10,2)，则(2,10)必在原函数图象上．
∴2α＋m＝10.①
又f(x)经过点(1,3)，
∴1α＋m＝3.②
由②得m＝2，代入①，得α＝3.
∴f(x)的解析式为f(x)＝x3＋2.
10.解：由题意，若a＋1与3－2a在同一单调区间内，则有
(1)a＋1与3－2a都在(－∞，0)内，且y＝x－在其定义域内是单调减函数，
∴有解得a∈ ；
(2)a＋1与3－2a都在(0，＋∞)内，且y＝x－为单调减函数，原不等式成立，则必有解得若a＋1与3－2a不在同一单调区间内，要使原不等式成立，则有解得a<－1.
综上，可知a的取值范围是(－∞，－1)∪(，)．
点评：本题主要考查幂函数y＝x－.因为它在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是单调减函数，且其图象在第三和第一象限内，所以应对a＋1与3－2a所在的单调区间相同与不同分别进行讨论；注重分类讨论思想的应用．借助于函数的图象，将问题考虑全面，谨防考虑不周导致漏解或错解．
11．解：(1)具备α>0时幂函数的性质，同时又具备图象关于y轴对称(即偶函数)这一重要性质．
(2)具备α>0时幂函数的性质，同时又具备图象关于原点对称(即为奇函数)这一重要性质．
12．解：(1)f(x)＝xm2－2m－3＝xm(m－2)－3(m∈Z)，由题意知，指数m(m－2)－3为偶数，即m(m－2)为奇数，
又f(x)在(0，＋∞)上单调递减，
∴指数小于零，即m(m－2)是小于3的奇数．
∴m是整数且为奇数．可验证m＝－1时
( http: / / www.21cnjy.com )，m(m－2)＝3不合题意；m＝1时，m(m－2)＝－1<3符合题意；m＝3时，m(m－2)＝3≮3不合题意．
∴只有m＝1时符合题意．
∴f(x)＝x－4.
(2)F(x)＝a－＝a·x－2－b·x3.
∵y＝x－2是偶函数，y＝x3是奇函数，
∴讨论如下：
①a≠0且b≠0时，F(x)既不是奇函数也不
( http: / / www.21cnjy.com )是偶函数；②a＝0且b≠0时，F(x)是奇函数；③a≠0且b＝0时，F(x)为偶函数；④当a＝b＝0时，F(x)(＝0)既是奇函数，又是偶函数．
点评：对幂函数综合题，应从定义域出发利用幂函数的性质与已知条件来解决．
(1)根据幂函数的单调性、奇偶性，
( http: / / www.21cnjy.com )确定m的值是解本题的关键．必须注意条件m∈Z，可将符合题意的m值代入检验，看似麻烦，实质只有一个m值满足题意，从而确定f(x)的解析式．
(2)判断F(x)的奇偶性，可由奇偶
( http: / / www.21cnjy.com )规律，但因含字母参数，所以要分情况讨论，不对a，b进行讨论，就判断出F(x)为非奇非偶函数，是本类问题易犯的错误．2.1.4　映射的概念
1．已知f：A→B是从集合A到B的映射，下列说法正确的序号是__________．
①集合A中的每一个元素在B中必有唯一元素与之
( http: / / www.21cnjy.com )对应　②B中可能有元素在A中没有对应元素　③A中两个不同的元素在B中的对应元素一定不相同　④B中的某个元素在A中与之对应的元素可能不止一个
2．下列从A到B的对应能构成映射的序号是__________．
①A＝R，B＝R＋，f：x→|x|.
②A＝R＋，B＝R，f：x→对x开平方(或x的平方根)．
③A＝R＋，B＝R＋，f：x→.
④A＝Q，B＝{偶数}，f：x→2x(注：R＋表示正实数)．
3．若B＝{－3,1,7}，试找出一个集合A，使得f：x→2x＋1是A到B的映射．
4．已知A＝R，B＝R，A到B的映射f：x→3x－5.
(1)求与x＝2,5,8相对应的B中元素；
(2)求与B中的元素35,47相对应的A中元素x.
课堂巩固
1．下列各组中，集合P与M不能建立P到M映射的序号是__________．
①P＝{0}，M＝ 　②P＝{1,2,3,
( http: / / www.21cnjy.com )4,5}，M＝{2,4,6,8,10}　③P＝Q，M＝{数轴上的点}　④P＝{平面上的点}，M＝{有序实数对}
2．给出下列四个对应，其中能构成映射的个数是__________．
3．已知集合A＝N
，B＝{奇数
( http: / / www.21cnjy.com )}，映射f：A→B使A中任一元素a与B中元素2a－1相对应，则与B中元素17对应的A中的元素是__________．
4．已知集合A＝{a，b}，B＝{c，d}，则能建立A到B的不同映射个数是__________．
5．在下列对应关系中，是A到B的映射的有__________个．
①A＝N，B＝N
，f：x→|x－3|；
②A＝N，B＝Q，f：x→5x＋2
009；
③A＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{－4，－3,0,5,12}，f：x→x(x－4)；
④A＝N，B＝{－1,1}，f：x→(－1)x；
⑤A＝{平面内的圆}，B＝{平面内的三角形}，f：圆→圆的内接三角形．
6．已知集合A＝{(x，y)||
( http: / / www.21cnjy.com )x|<2，x＋y<3，x∈Z，y∈N
}，B＝{0,1,2}，A到B的对应关系f：(x，y)→x＋y，试作出对应图，并判断f是否为从A到B的映射．
7．已知集合A＝{，，…，，eq
\f(1,2)，1,2，3，…，2
008,2
009}，在映射f：x→的作用下得到集合B，求集合B中所有元素之和．
1．已知映射f：A→B，其中，集合A＝{
( http: / / www.21cnjy.com )－3，－2，－1，1,2,3,4}，集合B中的元素都是在f作用下与A中元素相对应的元素，且对任意的a∈A，在B中与它对应的元素是|a|，则集合B中元素的个数是__________．
2．设集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤2}，在下图所示的图形中，能表示集合A到集合B的映射的序号是__________．
3．设集合A与B都是坐标平面
( http: / / www.21cnjy.com )上的点集：{(x，y)|x∈R，y∈R}，映射f：A→B使集合A中的元素(x，y)映射成集合B中的元素(x＋y，x－y)，则在映射f下，与B中的元素(2,1)相对应的A中的元素是__________．
4．已知集合A＝{1,2,3，…，10}
( http: / / www.21cnjy.com )，B＝{1，，，…，}．设x∈A，y∈B，试给出一个对应法则f使f：A→B是集合A到集合B的映射f：x→y＝__________.
5．已知A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}，按下列对应法则f，不能成为集合A到B的映射的序号是__________．
①f：x→y＝x　②f：x→y＝x－2　③f：x→y＝　④f：x→y＝|x－2|
6．已知A＝R，B＝{正实数}，映射f：
( http: / / www.21cnjy.com )x→|x|＋1，则A中的元素－2在B中的对应元素是__________，B中的元素8在A中的对应元素是__________．
7．为确保信息安全，信息需加密传输，
( http: / / www.21cnjy.com )发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)．已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a＋2b,2b＋c,2c＋3d,4d.例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为__________．
8．设集合A到B的映射为f1：x→2x＋1
( http: / / www.21cnjy.com )，集合B到C的映射f2：y→y2－1，则集合A到C的映射f的对应法则是什么？集合A中的元素1与C中的什么元素对应？集合C中的元素0与集合A中的什么元素对应？
9．(易错题)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{5,6,7}，在下列A到B的四种对应关系中，是否构成A到B的映射？
10．若f：x→3x＋1是集合A＝{1,2,3，k}到集合B＝{4,7，a4，a2＋3a}的一个映射．求自然数a，k及集合A，B.
答案
2．1.4　映射的概念
课前预习
1．①②④
2．③　①f：x→|x|，x∈R，当x＝0
( http: / / www.21cnjy.com )时，y＝0 B，∴不能构成映射；②当x＝4时，y＝±＝±2，一对多，不满足唯一性，不能构成映射；④f：x→2x，当x＝0、1∈Q时，y＝0、2 B不能构成映射．③符合映射概念．
3．解：由题意，得2x＋1＝－3，则x＝－2；由2x＋1＝1，得x＝0；由2x＋1＝7，得x＝3，∴集合A＝{－2,0,3}．
4．解：(1)∵f：x→3x－5，∴当x
( http: / / www.21cnjy.com )＝2时，3x－5＝1；当x＝5时，3x－5＝10；当x＝8时，3x－5＝3×8－5＝19.∴与2,5,8相对应的元素分别是1,10,19.
(2)由3x－5＝35，得x＝；由3x－5＝47，得x＝.
∴与B中元素35,47相对应的A中元素分别为，.
课堂巩固
1．①　由映射概念，f：A→B中集合A、B必须是非空集合，∴①不能建立P到M的映射．
2．2　由映射概念(1)(4)可构成映射．
3．9　由题意知，f：a→2a－1，∴由2a－1＝17，得a＝9.∴与B中元素17相对应的A中元素是9.
4．4　A到B的不同映射共有4个．它们分别是
5．3　由映射的概念，②③④是A到B的映射．
∵当x＝3(x∈N)时，|x－
( http: / / www.21cnjy.com )3|＝|3－3|＝0 N
，∴A中的元素3在B中没有对应元素，①不能构成A到B的映射；∵一个圆有无数个内接三角形相对应，∴⑤不构成A到B的映射．
6．解：由题意，得A＝{(－1,1)，(－1,2)，(－1,3)，(0,1)，(0,2)，(1,1)}，B＝{0,1,2}．对应图如下：
A中每一个元素在集合B中都有唯一的元素与它对应，所以f是集合A到集合B的映射．
7．解：由f：x→可知，对应法则实质是f(x)＝.
集合B＝{f()，f()，…，f()，f()，f(1)，f(2)，f(3)，…，f(2
008)，f(2
009)}．
∵f(x)＋f()＝＋＝＋＝1，
∴f()＋f()＋…＋f()＋f()＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2
008)＋f(2
009)＝(f(2
009)＋f())＋(f(2
008)＋f())＋…＋(f()＋f(3))＋(f(2)＋f())＋f(1)
＝1＋1＋…＋＋f(1)＝2
008＋＝2
008.
课后检测
1．4　由题意知对应法则为f：a→|a
( http: / / www.21cnjy.com )|，∴A中的－3和3对应B中的3，－2和2对应B中的2，－1和1对应B中的1，A中的4对应B中的4，即B＝{1,2,3,4}，∴B中元素有4个．
2．(4)(5)　由题设，将集合A、B与图(
( http: / / www.21cnjy.com )1)(2)对照知，集合A中的有些元素在B中没有元素与之对应，故不构成映射；图(3)，当0≤x＜2时，集合A中的元素与集合B中的两个元素相对应，故不构成映射；图(4)、(5)能构成映射．
3．(，)　依题意，令解得故与B中元素(2,1)对应的A中元素为(，)．
4.　由条件可知，B中的元素分别是A中元素平方的倒数，∴A到B的映射是f：x→y＝.
5．②　∵当x∈[0,2)时，例如x＝0,1，则y＝－2，－1 B，∴f：x→y＝x－2不能成为A到B的映射．
6．3　±7　∵x＝－2时，|x|＋1＝|－2|＋1＝3，∴A中元素－2与B中的对应元素为3.由|x|＋1＝8，得x＝±7.
∴B中的元素8在A中的对应元素为±7.
7．6,4,1,7　由题意可知解得
8．解：由y＝(2x＋1)2－1＝
( http: / / www.21cnjy.com )4x2＋4x，得集合A到C的映射f的对应法则是f：x→4x2＋4x＝4x(x＋1)；x＝1∈A，在f作用下，有4×1×(1＋1)＝8∈C，∴集合A中的元素1与C中的元素8对应；0∈C，即4x(x＋1)＝0，解得x＝0或x＝－1，
∴集合C中的元素0在集合A中有两个元素0或－1与之对应．
9．解：(1)是数集A到数集B的映射．
(2)因为A中的元素4在B中无对应元素，故该对应不是A到B的映射．
(3)该对应是A到B的一个映射．
(4)A中的元素3在B中有两个元素与之对应，故不是A到B的映射．
点评：判断一个对应是否是A到B
( http: / / www.21cnjy.com )的映射，应考虑两个方面：(1)集合A中的每一个元素是否在集合B中都有对应元素；(2)集合A中的元素在集合B中是否只有一个对应元素．它们成立与否是判断映射的标准与依据．
10．解：由题意，A中的1与
( http: / / www.21cnjy.com )B中的元素4对应，A中2与B中7对应，∴可判断A中的元素3要与B中的a4或a2＋3a相对应．若与a4对应，则a4＝3×3＋1＝10，且a∈N，∴a不存在；若与a2＋3a相对应，则a2＋3a＝10，解得a＝－5 N舍去，a＝2.此时集合B＝{4,7,16,10}，又集合A中的元素k只能与B中的a4＝16相对应，∴3k＋1＝16，k＝5.∴A＝{1,2,3,5}，B＝{4,7,10,16}．第1章　集合测评(B卷)
(满分120分　时间90分钟)
一、填空题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．只要求直接填写结果)
1．已知集合A＝(0，＋∞)，B＝[－1,2]，则A∩B＝________，A∪B＝________.
2．集合A＝{y|y＝－x2＋4，x∈N，y∈N}的真子集的个数为__________．
3．设a，b∈R，集合A＝{1，a＋b，a}，集合B＝{0，，b}．若A＝B，则b2
009－a2
009＝________.
4．已知全集U＝R，集合A＝[－3,3]，B＝(－∞，0)∪(4，＋∞)，则集合A∩( UB)＝________.
5．由实数x，－x，|x|，，－所组成的集合中，最多含有__________个元素．
6．若集合A＝{x|x≤2}，B＝{x|x≥a}满足A∩B＝{2}，则实数a＝________.
7．某班有学生55人，其中音
( http: / / www.21cnjy.com )乐爱好者30人，体育爱好者40人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，则班级中既爱好体育又爱好音乐的有__________人．
8．已知全集U＝{1,2,3,4,5}
( http: / / www.21cnjy.com )，集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x＝2a，a∈A}，则集合 U(A∪B)中元素的个数为________．
9．已知全集U，集合P、Q满
( http: / / www.21cnjy.com )足P Q，则下列命题：①P∩Q＝P；②P∪Q＝Q；③P∩( UQ)＝ ；④( UP)∪Q＝U中正确的个数是________．
10．设全集I＝{(x，y)|
( http: / / www.21cnjy.com )x，y∈R}，集合M＝{(x，y)|＝1}，N＝{(x，y)|y≠x＋1}，那么( IM)∩( IN)等于__________．
11．设集合A＝{x|x
( http: / / www.21cnjy.com )2－px＋15＝0}，集合B＝{x|x2＋qx＋r＝0}，且A∩B＝{3}，A∪B＝{2,3,5}，则p＝________，q＝________，r＝________.
12．设I是全集，非空集合P，Q满足
( http: / / www.21cnjy.com )P?Q?I.若含P、Q的一个集合运算表达式，使运算结果是空集，则这个运算表达式可以是__________．(只要求写出一个表达式)
二、解答题(本大题共5小题，共60分．解答应写出必要的文字说明、解题步骤或证明过程)
13．(12分)已知全集U＝{x|x－2≥
( http: / / www.21cnjy.com )0，或x－1≤0}，A＝{x|x<1，或x>3}，B＝{x|x≤1，或x>2}，求 UA， UB，A∩B，A∪B，( UA)∩( UB)， U(A∪B)．
14．(12分)集合A＝{a1
( http: / / www.21cnjy.com )，a2，a3，a4}，B＝{a，a，a，a}，且a115．(12分)设全集U＝R，A＝{x|a≤x≤2}，B＝{x|2x＋1≤x＋3，且3x≥2}．
(1)若B A，求实数a的取值范围；
(2)若a＝1，求A∪B，( UA)∩B.
16.(12分)已知A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}
，C＝{x|x2＋2x－8＝0}．
(1)若A∩B＝A∪B，求a的值；
(2)若 ?A∩B，且A∩C＝ ，求a的值；
(3)若A∩B＝A∩C≠ ，求a的值．
17．(12分)设全集U＝R，已知集合A＝
( http: / / www.21cnjy.com ){x|x2＋px＋q＝0}，B＝{x|qx2＋px＋1＝0}，问是否存在非零实数p，q使集合A、B同时满足下列两个条件：①A∩B≠ ，②A∩( UB)＝{－2}？若存在，求出p、q之值；若不存在，请说明理由．
答案与解析
第1章　集合测评(B卷)
一、填空题
1．(0,2]　[－1，＋∞)　画出数轴如图所示．
由图可知，A∩B＝(0,2]，A∪B＝[－1，＋∞)．
2．7　∵x∈N，y∈N，∴当x
( http: / / www.21cnjy.com )＝0时，y＝4；当x＝1时，y＝3；当x＝2时，y＝0.∴A＝{0,3,4}．故A的真子集为 ，{0}，{3}，{4}，{0,3}，{0,4}，{3,4}，共7个．
3．2　由题意知，A＝B，且a≠0，b≠0.
∴a＋b＝0，此时＝－1.又1∈B，∴b＝1，a＝－1.
∴b2
009－a2
009＝12
009－(－1)2
009＝1－(－1)＝2.
4．[0,3]　∵A＝[－3,3]， UB＝[0,4]，
∴A∩( UB)＝[0,3]．
5．2　∵＝|x|，－
( http: / / www.21cnjy.com )＝－|x|，∴当x＝0时，这几个实数均为0；当x>0时，它们分别是x，－x，x，x，－x；当x<0时，它们分别是x，－x，－x，－x，x，均最多表示两个不同的数．故集合中的元素最多有2个．
6．2　∵A＝{x|x≤2}，且A∩B＝{2}，∴B＝{x|x≥2}．∴a＝2.
7．19　法一：如图所示，设既爱好体育又爱好音乐的人数为n，则由集合运算关系，
有30－n＋n＋40－n＋4＝55，∴n＝19(人)．
法二：设既爱好体育又爱好音乐的有n人，则由题意有55＝30＋40－n＋4，解得n＝19(人)．
8．2　∵A＝{1,2}，B＝{x|x＝2a，a∈A}．
∴当a＝1时，x＝2；当a＝2时，x＝4.
因此B＝{2,4}，此时A∪B＝{1,2,4}．
∴ U(A∪B)＝{3,5}，其中所含元素的个数为2.
9．4　画出Venn图如图所示．
根据Venn图通过逐个验证易知四个命题都正确．
10．{(2,3)}　∵M＝{(x，y)|y＝x＋1，x≠2}，N＝{(x，y)|y≠x＋1}，
∴ IM＝{(x，y)|y≠x＋1，或(2,3)}， IN＝{(x，y)|y＝x＋1}，∴( IM)∩( IN)＝{(2,3)}．
11．8　－5　6　∵A∩B＝{3}，
∴3∈A，即32－3p＋15＝0，∴p＝8.
∵3∈B，∴32＋3q＋r＝0.①
当p＝8时，A＝{x|x2－8x＋15＝0}＝{3,5}，而A∪B＝{2,3,5}，
∴2∈B，于是有22＋2q＋r＝0.②
解①②组成的方程组得q＝－5，r＝6.∴p、q、r的值分别为8、－5、6.
12．( IQ)∩P　法一：(Venn图法)画出Venn图如下图所示：
可知( IQ)∩P＝ .
法二：(特例法)构造满足条件的集合，如设I＝
( http: / / www.21cnjy.com ){1,2,3}，Q＝{1,2}，P＝{1}，满足P?Q?I，则 IQ＝{3}，∴( IQ)∩P＝ .
二、解答题
13．解：∵U＝{x|x≤1，或x≥2}，
( http: / / www.21cnjy.com )A＝{x|x<1，或x>3}，B＝{x|x≤1，或x>2}，∴ UA＝{x|x＝1，或2≤x≤3}， UB＝{x|x＝2}＝{2}，A∩B＝{x|x<1，或x>3}＝A，A∪B＝{x|x≤1，或x>2}＝B，( UA)∩( UB)＝{2}， U(A∪B)＝ UB＝{2}．
14．解：法一：∵A∩B＝{a1，a4}，
( http: / / www.21cnjy.com )∴a1，a4必是某两个正整数的平方，而a1①若a2＝3，依题意有1＋3＋a3＋9＋a＋81＝124，
解得a3＝5或a3＝－6(舍去)．
②若a3＝3，依题意有1＋a2＋3＋9＋a＋81＝124，
解得a2＝5或a2＝－6(舍去)．
此时a2＝5>a3＝3，与题意矛盾．
综上所述，A＝{1,3,5,9}，B＝{1,9,25,81}．
法二：∵1≤a1∴必有a1＝a，∴a1＝1.
又a1＋a4＝10，∴a4＝9.
又a4∈B，∴＝3∈A.
设A中第四个元素为x，则由题意有
1＋3＋9＋x＋x2＋81＝124，
即x2＋x－30＝0.
∴x＝5(x＝－6舍去)，
∴A＝{1,3,5,9}，B＝{1,9,25,81}．
15．解：(1)B＝{x|x≤2，且x≥}＝{x|≤x≤2}，
∵B A，∴a≤.
(2)若a＝1，则A＝{x|1≤x≤2}，
此时A∪B＝{x|1≤x≤2}∪{x|≤x≤2}
＝{x|≤x≤2}．
由 UA＝{x|x<1，或x>2}，
∴( UA)∩B＝{x|x<1，或x>2}∩{x|≤x≤2}
＝{x|≤x<1}．(借助数轴更直观)
16．解：(1)∵A∩B＝A∪B，
∴A＝B，即A＝B＝{2,3}，
∴2,3是方程x2－ax＋a2－19＝0的两根．
由根与系数的关系，得
∴a＝5.
(2)由已知B＝{2,3}，C＝{－4,2}．
∵ ?A∩B，且A∩C＝ ，
∴3∈A,2 A，－4 A.
由3∈A得32－3a＋a2－19＝0，
即a2－3a－10＝0.
解得a＝－2或a＝5.当a＝－2时，A＝{x|x2＋2x－15＝0}＝{－5,3}，符合题意；
当a＝5时，A＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3}与2 A矛盾(舍去)，∴a＝－2.
(3)若A∩B＝A∩C≠ ，则有2∈A.
∴22－2a＋a2－19＝0即a2－2a－15＝0，解得a＝5或－3，当a＝5时，A＝{2,3}不符合条件A∩B＝A∩C；
当a＝－3时，A＝{x|x2＋3x－10＝0}＝{－5,2}符合条件，∴a＝－3.
17．解：假设存在非零实数p，
( http: / / www.21cnjy.com )q使集合A、B同时满足条件．由题意，设x0∈A，则x0≠0，否则将有q＝0与题设矛盾．于是由x＋px0＋q＝0，两边同除以x，得q()2＋p·＋1＝0，可知∈B.故集合A、B中的元素互为倒数．由条件①知，存在x0∈A，使得∈B，且x0＝，解得x0＝1或x0＝－1.由条件②知，A＝{－2,1}或A＝{－2，－1}．
若A＝{－2,1}，则B＝{－，1}，由根与系数的关系得p＝－(－2＋1)＝1，q＝－2×1＝－2.
若A＝{－2，－1}，则B＝{－1，－}．由根与系数的关系得p＝－(－2－1)＝3，q＝(－2)×(－1)＝2.
综上可知，存在非零实数p＝1，q＝－2或p＝3，q＝2满足两个条件．2.1.3　函数的简单性质
第一课时　单调性
1．下列函数：①y＝2x；②y＝|x|；③y＝x3；④y＝x0；⑤y＝x2.其中在(－∞，0)上为单调减函数的序号是__________．
2．若函数f(x)＝(2a－1)x＋b是R上的单调减函数，则a的取值范围是__________．
3．如果函数f(x)在[a，b]上是单调增
( http: / / www.21cnjy.com )函数，则对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论中正确的个数是__________．
①>0
②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0
③f(a)④>0
4．如果函数y＝5x2＋mx＋4在区间(－∞，－1]上是单调减函数，在区间[－1，＋∞)上是单调增函数，则m＝__________.
5．求f(x)＝－x2＋4x在[0,5]上的最大值和最小值．
课堂巩固
1．二次函数f(x)＝x2－
( http: / / www.21cnjy.com )6x＋3，有下列结论：①f(x)是单调增函数；②f(x)是单调减函数；③f(x)在(－∞，0)上是单调减函数；④f(x)在(－∞，0)上是单调增函数．其中正确的个数是__________．
2．函数f(x)＝2x2－mx
( http: / / www.21cnjy.com )＋3，当x∈[－2，＋∞)时为单调增函数，当x∈(－∞，－2]时为单调减函数，则f(1)＝__________.
3．若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)在[a，b]上的最大值与最小值之差为__________．
4．已知函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图象如下图：
　　
则函数y＝f(x)的单调增区间是__________．
函数y＝g(x)的单调减区间是__________．
5．设f(x)是定义在A上的单调减函数，且f(x)>0，则下列函数中为单调增函数的序号是__________．
①y＝3－f(x)　②y＝1＋　③y＝[f(x)]2④y＝1－
6．(原创题)已知函数y＝f(x)在定义域(－∞，0)上是单调增函数，且f(1－a)7．对于每一个实数x，设f(x)取y
( http: / / www.21cnjy.com )＝4x＋1，y＝x＋2，y＝－2x＋4三个函数中的最小值，用分段函数写出f(x)的解析式，并求f(x)的最大值．
1．在“__________”处填写“√”或“×”：
①增函数一定有最大值．__________
②减函数的图象一定与x轴相交．__________
③一次函数一定是增函数．__________
④y＝(定义域{x∈R|x≠0})是减函数．__________
⑤二次函数在任何区间上都不是单调函数．__________
2．已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是单调减函数，则实数a的取值范围是__________．
3．已知函数f(x)在区间[a，c]上单调递减，在区间[c，b]上单调递增，则f(x)在区间[a，b]上的最小值是__________．
4．已知函数f(x－2)＝2x2－9x＋13，则使函数f(x)是单调减函数的区间是__________．
5．已知f(x)为R上的单调减函数，则满足f()6．当x∈[0,5]时，函数f(x)＝3x2－4x＋c的值域为__________．
7．(易错题)有下列四个命题：①函
( http: / / www.21cnjy.com )数y＝2x2＋x＋1在(0，＋∞)上不是单调增函数；②函数y＝在(－∞，－1)∪(－1，＋∞)上是单调减函数；③函数y＝的单调增区间是(－∞，＋∞)；④已知f(x)在R上为单调增函数，若a＋b>0，则有f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)．其中正确命题的序号是__________．
8．已知f(x)是定义在[－1,1]上的单调减函数，且有f(x－1)9．已知函数f(x)＝x2＋2(1－2a)
( http: / / www.21cnjy.com )x＋6在(－∞，－1)上是单调减函数，(1)求f(2)的取值范围；(2)比较f(2a－1)与f(0)的大小．
10．判断函数f(x)＝－x3＋a在(－∞，＋∞)上的单调性，并证明你的结论．
11．已知函数y＝，问此函数在区间[2,6]上是否存在最大值和最小值？若存在，请求之；若不存在，请说明理由．
答案
2．1.3　函数的简单性质
第一课时　单调性课前预习
1．②⑤
2．a<　当2a－1<0，即a<时，函数f(x)在R上是单调减函数．
3．3　由函数单调性定义知，x1－
( http: / / www.21cnjy.com )x2与f(x1)－f(x2)同号，则函数是单调增函数．∴①②④正确，又∵x1≠x2，即x1与x2的大小未知，∴不一定有f(x1)x2，则由f(x)在[a，b]上是单调增函数，∴f(x1)>f(x2)，∴③错．
4．10　由题意知，二次函数的对称轴x＝－＝－1.∴m＝10.
5．解：f(x)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4.画出函数f(x)在[0,5]上简图如下图．
由图可知，f(x)max＝f(2)＝4，f(x)min＝f(5)＝－5.
课堂巩固
1．1　∵f(x)＝(x－3)2－6，∴函数在(－∞，3]上递减，在[3，＋∞)上递增．∴只有③正确，①②④错误．
2．13　二次函数的对称轴为x＝，由题意得＝－2，∴m＝－8.∴f(x)＝2x2＋8x＋3，f(1)＝2＋8＋3＝13.
3．|f(a)－f(b)|　由题意f(
( http: / / www.21cnjy.com )x)在区间端点处取得最值．当f(x)在[a，b]上是单调增函数时，f(x)min＝f(a)，f(x)max＝f(b)，最大值与最小值之差为f(b)－f(a)；当f(x)在[a，b]上是单调减函数时，f(x)min＝f(b)，f(x)max＝f(a)，此时，最大值与最小值之差为f(a)－f(b)．故所求结果为|f(a)－f(b)|.
4．(－∞，－2]，[0，＋∞)　(－∞，0]，(0，＋∞)
5．①②④　由题意，设x1，x2
( http: / / www.21cnjy.com )∈A，且x1f(x2)>0，∴3－f(x1)<3－f(x2)，即y＝3－f(x)在A上为单调递增函数．同理可得1＋<1＋，f2(x1)>f2(x2),1－<1－.∴y＝1＋，y＝1－在A上均为单调增函数．y＝f2(x)在A上是单调减函数，即填①②④.
6．(2,3)　由题意得解得27．解：由直线y＝4x＋1与y＝x＋
( http: / / www.21cnjy.com )2，求得交点A(，2)，再由直线y＝x＋2与y＝－2x＋4，求出交点B(，2)，由图象(1)可看出：
f(x)＝
(1)
画出f(x)的图象如图(2
( http: / / www.21cnjy.com ))可知，当x≥时，f(x)为单调减函数，∴当x＝时，f(x)有最大值，且有f(x)max＝f()＝－2×＋4＝.
(2)
课后检测
1．①×　②×　③×　④×　⑤×
2．a≤－3　∵函数f(x)的图象为开口向上
( http: / / www.21cnjy.com )的抛物线，其对称轴为x＝1－a，∴由题意知，对称轴在x＝4的右侧或与x＝4重合，即1－a≥4，∴a≤－3.
3．f(c)　∵f(x)在区间[a，c
( http: / / www.21cnjy.com )]上单调递减，∴对于任意的x∈[a，c]有f(x)≥f(c)，当且仅当x＝c时取“＝”．又∵f(x)在[c，b]上单调递增，∴对任意的x∈[c，b]有f(x)≥f(c)，当且仅当x＝c时，取“＝”．∴对任意的x∈[a，b]有f(x)≥f(c)，当且仅当x＝c时取“＝”，即f(x)的最小值为f(c)．
4．(－∞，]　法一(配凑法)：∵f(x
( http: / / www.21cnjy.com )－2)＝2(x－2)2＋8x－8－9x＋13＝2(x－2)2－(x－2)＋3，∴函数f(x)的解析式为f(x)＝2x2－x＋3.其图象为开口向上的抛物线，对称轴为x＝，∴单调减区间为(－∞，]．
法二(换元法)：设t＝x－2，则x＝t＋2，∴f(t)＝2(t＋2)2－9(t＋2)＋13＝2t2－t＋3.以下同法一．
5．(－1,0)∪(0,1)　∵f(x)是R上的单调减函数，∴由已知得>1，∴即－16．[－＋c,55＋c]　函数f(x)＝3
( http: / / www.21cnjy.com )x2－4x＋c的对称轴x＝，且开口方向向上，∴当x∈[0，]时为单调减函数，当x∈[，5]时为单调增函数，且f(0)∴f(x)在[0,5]上的最小值为f(
( http: / / www.21cnjy.com ))＝3×()2－4×＋c＝－＋c，最大值为f(5)＝3×52－4×5＋c＝55＋c.∴函数f(x)＝3x2－4x＋c的值域为[－＋c，55＋c]．
7．④　①∵函数在(－，＋∞)上为单调增函数，∴在(0，＋∞)上也是单调增函数，故①错．
②函数y＝在区间(－∞，－1)和(－1，＋∞)上各自是单调减函数，但不能说函数在(－∞，－1)∪(－1，＋∞)上为单调减函数，故②错．
③∵函数y＝的定义域是[，＋∞)，
∴函数的单调增区间是[，＋∞)，故③错．
④∵f(x)在R上为单调
( http: / / www.21cnjy.com )增函数，又a＋b>0，∴有a>－b或b>－a，∴f(a)>f(－b)，f(b)>f(－a)，两式相加，得f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)，故④对．
点评：①二次函数的单调性取决于开口方向
( http: / / www.21cnjy.com )与对称轴．对分式函数y＝不能说在(－∞，－1)∪(－1，＋∞)上是单调减函数，因为当取x1＝－2，x2＝0时，x1(2)讨论函数单调性或求单调区间，必须先求函数的定义域，单调区间往往是定义域或其子集，忽视这一点，很容易得出错误结果，如③.
8．解：由题意，条件f(x－1)解之，得∴x的取值范围是(，]．
9．解：(1)∵二次函数f(
( http: / / www.21cnjy.com )x)图象的对称轴为x＝2a－1，且开口向上，∴函数在区间(－∞，2a－1]上是单调减函数．若使f(x)在(－∞，－1)上是单调减函数，其对称轴x＝2a－1，必须在直线x＝－1的右侧或与其重合，即－1≤2a－1，∴a≥0.∴f(2)＝22＋2(1－2a)×2＋6＝－8a＋14≤14，即f(2)∈(－∞，14]．
(2)∵当x＝2a－1时，二次函数f(x)取得最小值，∴f(2a－1)≤f(0)．
10．解：函数f(x)＝－x3＋a在(－∞，＋∞)上是单调减函数．
证明：任取x1，x2∈R，且x1＝(－x＋a)－(－x
( http: / / www.21cnjy.com )＋a)＝x－x＝(x2－x1)(x＋x1x2＋x)＝(x2－x1)[(x2＋x1)2＋x]，∵x10，(x2＋x1)2＋x≥0(当且仅当x1＝x2＝0时，等号成立)．
∵x1≠x2，∴(x2＋x1)2＋x>0，
即f(x1)>f(x2)．∴f(x)＝－x3＋a在(－∞，＋∞)上是单调减函数．
11．解：法一(图象法)
( http: / / www.21cnjy.com )：函数的图象如下图所示，观察知，函数在闭区间[2,6]上是单调减函数，∴函数在区间的两个端点处存在最大值和最小值，即当x＝2时取得最大值，且最大值为2.当x＝6时取得最小值，且最小值为0.4.
法二(定义法)：任设x1，x2∈[2,6]且x1＝.由2≤x10，x2－1>0，(x1－1)(x2－1)>0.又x1＜x2，∴x2－x1>0.
∴f(x1)>f(x2)，于是函数f(x)＝
( http: / / www.21cnjy.com )在闭区间[2,6]上是单调减函数，∴函数在[2,6]的两个端点处分别存在最大值与最小值，即当x＝2时，取得最大值，且最大值为2；当x＝6时，取得最小值，且最小值为0.4.1.3　交集、并集
1．若集合A＝{1,3}，B＝{2,3,4}，则A∩B＝__________，A∪B＝__________.
2．若A＝{x|x2＝1}，B＝{x|x2－2x－3＝0}，则A∩B＝__________，A∪B＝__________.
3．已知集合M＝{x|－34．设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，则
( http: / / www.21cnjy.com )U(A∩B)＝__________.
5．已知集合P＝{x|1≤x≤10，x∈N}，集合Q＝{x|x2＋x－6＝0}，则P∩Q＝__________.
6．已知集合M＝{(x，y)|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，则M∩N＝__________.
7．满足条件M∪{1}＝{1,2,3}的集合M的个数是__________．
8．设集合A＝[－5,1)，B＝(－∞，2]，全集U＝R，则A∩B＝________，A∪B＝__________，(
( http: / / www.21cnjy.com )UA)∩B＝__________.
9．满足M?{a1，a2，a3，a4}，且M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}的集合M的个数是__________．
10．若集合A，B，C满足A∩B＝A，B∪C＝C，则A与C之间的关系必定是________．
11．在相应的图中，对所要求的集合部分打上阴影：
(1)(A∪B)∩(
( http: / / www.21cnjy.com )U(A∩B))；
(2)(B∪C)∪(
( http: / / www.21cnjy.com )UA)；
(3)B∩(
( http: / / www.21cnjy.com )U(A∪C))．
12．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{3,4,5,6}，C＝{1,3,4,6}，全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，求：
(1)A∩C；
(2)A∪B；
(3)A∩
( http: / / www.21cnjy.com )；
(4)C∪
( http: / / www.21cnjy.com )；
(5)(
( http: / / www.21cnjy.com )UA)∩(
( http: / / www.21cnjy.com )UB)；
(6)
( http: / / www.21cnjy.com )U(A∪B)；
(7)(
( http: / / www.21cnjy.com )UA)∪(
( http: / / www.21cnjy.com )UC)；
(8)
( http: / / www.21cnjy.com )U(A∩C)．
13．某运动协会共有成员68人，其中会游泳的57人，会射击的62人，若两项都不会的有3人，则这个运动协会中两项都会的有多少人？
14．设二次方程x2＋ax＋b＝0和x2＋cx＋15＝0的解集分别是A和B，又A∪B＝{3,5}，A∩B＝{3}，求a、b、c的值．
15．设全集U＝{a，b，c，d}，A＝{a，c}，B＝{b}，则A∩(
( http: / / www.21cnjy.com )UB)＝__________.
16．已知集合U＝{1,2,3,4}，M＝{1,2}，N＝{2,3}，则
( http: / / www.21cnjy.com )U(M∪N)＝__________.
17．若集合A＝{－1,0,1}，B＝{x|018．设集合M＝{m|－319．若A＝{1,5，－x2}，B＝{1,2x－3}，且A∪B＝A，则这样的x的不同值的个数为__________．
20．已知集合M＝{a2，a＋1，－3}，N＝{a－3,2a－1，a2＋1}，若M∩N＝{－3}，则a的值是________．
21．已知U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x≤－1}，则(A∩
( http: / / www.21cnjy.com )UB)∪(B∩
( http: / / www.21cnjy.com )UA)＝__________.
22．设集合A＝{(x，y)|4x＋y＝6}，B＝{(x，y)|3x＋2y＝7}，满足C?(A∩B)的集合C的个数为__________．
23．用集合表示下列图中的阴影部分．
(1)
　(2)
(1)__________；(2)__________．
24.(易错题)设P、Q
( http: / / www.21cnjy.com )是非空集合，定义P?Q＝{x|x∈(P∪Q)，且x?(P∩Q)}，现有集合M＝[0,4]，N＝(1，＋∞)，则M?N＝__________.
25．如图，有四个区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ分别代表与A、B有关的交集、并集、补集，请你将对应的区域与集合连接起来．
26．(易错题)设集合A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{9，a－5，1－a}，已知A∩B＝{9}，求实数a的值及A∪B.
27．某班举行数、理、化三科竞赛
( http: / / www.21cnjy.com )，每人至少参加一科，已知参加数学竞赛的有27人，参加物理竞赛的有25人，参加化学竞赛的有27人，其中参加数学、物理两科的有10人，参加物理、化学两科的有7人，参加数学、化学两科的有11人，而参加数、理、化三科的有4人，求全班人数．
28．(创新题)已知集合A＝[－1,1]，B＝(－3，－1)．
(1)求A∩B，A∪B；
(2)若集合C中含有3个元素，且满足C∩B≠
( http: / / www.21cnjy.com )，C
( http: / / www.21cnjy.com )[(A∪B)∩Z](Z为整数集)，求集合C.
?答案与解析
基础巩固
1．{3}　{1,2,3,4}
2．{－1}　{－1,1,3}　∵A＝{－1,1}，B＝{－1,3}，
∴A∩B＝{－1}，
A∪B＝{－1,1,3}．
3．{x|x<1}　M＝{x|－3∴M∪N＝{x|x<1}，借助数轴如图所示．
4．{1,4,5}　∵A∩B＝{2,3}，U＝{1,2,3,4,5}，∴
( http: / / www.21cnjy.com )U(A∩B)＝{1,4,5}．
5．{2}　∵P＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，Q＝{－3,2}，∴P∩Q＝{2}．
6．{(3，－1)}　M∩N＝{(x，y)|}＝{(x，y)|}＝{(3，－1)}．
7．2　由条件知，M中至少含元素2和3，
∴集合M有{2,3}，{1,2,3}，共2个．
8．[－5,1)　(－∞，2]　(－∞，－5)∪[1,2]
借助数轴知，A∩B＝A＝[－5,1)，
A∪B＝B＝(－∞，2]．
UA＝(－∞，－5)∪[1，＋∞)．
∴(
( http: / / www.21cnjy.com )UA)∩B＝(－∞，－5)∪[1,2]．
9．2　∵M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}，
∴a1∈M，a2∈M，a3
( http: / / www.21cnjy.com )M.
又∵M
( http: / / www.21cnjy.com ){a1，a2，a3，a4}，∴M为{a1，a2}或{a1，a2，a4}，共2个．
10．A
( http: / / www.21cnjy.com )C　∵A∩B＝A，∴A
( http: / / www.21cnjy.com )B.
∵B∪C＝C，∴B
( http: / / www.21cnjy.com )C.
∴A
( http: / / www.21cnjy.com )B
( http: / / www.21cnjy.com )C，故A
( http: / / www.21cnjy.com )C.
11.
12．解：(1)A∩C＝{1,3,4}；
(2)A∪B＝{1,2,3,4,5,6}；
(3)A∩
( http: / / www.21cnjy.com )＝
( http: / / www.21cnjy.com )；
(4)C∪
( http: / / www.21cnjy.com )＝{1,3,4,6}；
(5)(
( http: / / www.21cnjy.com )UA)∩(
( http: / / www.21cnjy.com )UB)＝{5,6,7,8}∩{1,2,7,8}＝{7,8}；
(6)
( http: / / www.21cnjy.com )U(A∪B)＝{7,8}；
(7)(
( http: / / www.21cnjy.com )UA)∪(
( http: / / www.21cnjy.com )UC)＝{5,6,7,8}∪{2,5,7,8}＝{2,5,6,7,8}；
(8)
( http: / / www.21cnjy.com )U(A∩C)＝{2,5,6,7,8}．
注：通过本题可验证(
( http: / / www.21cnjy.com )UA)∩(
( http: / / www.21cnjy.com )UB)＝
( http: / / www.21cnjy.com )U(A∪B)，(
( http: / / www.21cnjy.com )UA)∪(
( http: / / www.21cnjy.com )UC)＝
( http: / / www.21cnjy.com )U(A∩C)．
13．解法一：依据集合的运算性质，可设两项都会的有x人，
则由图知68＝(57－x)＋x＋(62－x)＋3.
∴x＝54.
解法二：设两项都会的有x人．画出Venn图如图所示．
可知两项都会的人x＝(62＋57)－68＋3＝54.
答：这个运动协会中游泳，射击两项都会的有54人．
14．解：∵A∩B＝{3}，
∴3是方程x2＋cx＋15＝0的根，即32＋3c＋15＝0.
∴c＝－8.
将c＝－8代回方程得x2－8x＋15＝0.
∴B＝{3,5}．又A∪B＝{3,5}，A∩B＝{3}，
∴A＝{3}，即方程x2＋ax＋b＝0有两个相等的实数根为3.
由根与系数的关系知3＋3＝－a，3×3＝b，
即a＝－6，b＝9.
∴a，b，c的值分别为－6,9，－8.
能力提升
15．{a，c}　∵U＝{a，b，c，d}，B＝{b}，
∴
( http: / / www.21cnjy.com )UB＝{a，c，d}，A＝{a，c}．
∴A∩(
( http: / / www.21cnjy.com )UB)＝{a，c}．
16．{4}　17.{1}
18．{－1,0,1}　依题意M＝{－2，－1，0,1}，N＝{－1,0,1,2,3}，
从而M∩N＝{－1,0,1}．
19．3　由题意得B
( http: / / www.21cnjy.com )A，
∴2x－3＝5或2x－3＝－x2，解得x＝4,1，－3.经检验均符合题意，故x值有3个．
20．－1　依题意，a－3＝－3或2a－1＝－3，解得a＝0或a＝－1.
当a＝0时，M＝{0,1，－3}，N＝{－3，－1,1}，这与M∩N＝{－3}矛盾，故a≠0；
当a＝－1时，M＝{1,0，－3}，N＝{－4，－3,2}，符合题意，∴a＝－1.
21．{x|x>0，或x≤－1}　
( http: / / www.21cnjy.com )UB＝{x|x>－1}，
( http: / / www.21cnjy.com )UA＝{x|x≤0}，
A∩
( http: / / www.21cnjy.com )UB＝{x|x>0}，B∩
( http: / / www.21cnjy.com )UA＝{x|x≤－1}．
∴(A∩
( http: / / www.21cnjy.com )UB)∪(B∩
( http: / / www.21cnjy.com )UA)＝{x|x>0，或x≤－1}．
22．2　A∩B＝{(x，y)|}＝{(x，y)|}＝{(1,2)}．
∵C?(A∩B)，
∴C为?或{(1,2)}，共2个．
23．(1)(
( http: / / www.21cnjy.com )UA)∩B　(2)A∩B∩C
24．[0,1]∪(4，＋∞)　由定义可知：M?N＝{x|x∈(M∪N)，且x?(M∩N)}，
∵M∪N＝{x|x≥0}＝[0，＋∞)，
M∩N＝(1,4]，如图．
∴M?N＝[0,1]∪(4，＋∞)．也可用Venn图表示，M?N实质就是图中阴影部分．
点评：本题给出了一种自定义的
( http: / / www.21cnjy.com )新运算，这类题型新颖，常在各类试题中出现，只有通过仔细读题，明确符号含义，弄懂运算规律，才能做对做好，否则不能真正把握概念本质，理解模糊就会犯错．在求交集、并集时常借助数轴，运用数形结合思想，但必须注意端点是否取得，只有细心，才不会犯错．
25.解：
26．解：∵A∩B＝{9}，∴9∈A.
(1)若2a－1＝9，则a＝5.
此时A＝{－4,9,25}，B＝{9,0，－4}，
∴A∩B＝{－4,9}，与已知矛盾，舍去．
(2)若a2＝9，则a＝±3.
当a＝3时，A＝{－4,5,9}，B＝{9，－2，－2}，B中有两个元素均为－2，与集合中元素的互异性矛盾，舍去；
当a＝－3时，A＝{－4，－7,9}，B＝{9，－8,4}．符合题意．
综上所述，a＝－3，A∪B＝{－8，－7，－4，4,9}．
点评：借助集合运算考查集合元素的性质，运
( http: / / www.21cnjy.com )用分类讨论思想解决．这也是历届高考必考查的数学思想方法．本题由交集元素入手，求出给定参数a的可能值，再检验是否符合条件，解此类问题时常忘记检验，若集合中的元素是用含字母的代数式表示，则检测必不可少，否则会因违背集合中元素的互异性而错解．
27．解：设参加数学、物理、化学
( http: / / www.21cnjy.com )竞赛的人构成的集合分别为A、B、C，用nP表示集合P中所含元素的个数，则nA＝27，nB＝25，nC＝27，nA∩B＝10，nB∩C＝7，nA∩C＝11，nA∩B∩C＝4，如下图所示．
∴全班人数为各数之和，即为
10＋12＋13＋7＋3＋6＋4＝55.
答：全班共有55人．
拓展探究
28．解：(1)在数轴上，画出集合A、B，如图．
可知A∩B＝
( http: / / www.21cnjy.com )，A∪B＝(－3,1]．
(2)∵(A∪B)∩Z＝{－2，－1,0,1}，C∩B≠
( http: / / www.21cnjy.com )，且C
( http: / / www.21cnjy.com )((A∪B)∩Z)．
∴－2∈C.
又C中含3个元素，∴C为{－2，－1，0}，{－2,0,1}，{－2，－1,1}，共3个．第1章　集合
1．1　集合的含义及其表示
1．判断题：(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)“全体著名的文学家”构成一个集合．(　　)
(2)小于8且不小于－2的偶数构成的集合是{0,2,4,6}．(　　)
(3)集合{0}中不含元素．(　　)
(4){0,1}，{1,0}是两个不同的集合．(　　)
(5)线段MN上点的全体构成的集合是无限集.
(　　)
2．下列对象：①不超过π的正整
( http: / / www.21cnjy.com )数；②高一数学课本中的所有难题；③所有的正三角形；④我国近代著名的数学家．其中能够构成集合的序号是__________．
3．下列各组对象：①NBA联盟中所有优秀
( http: / / www.21cnjy.com )的球员；②平面上到点O的距离等于1的点的全体；③2009年度所有的诺贝尔获奖者；④正方形的全体；⑤高一·三班的所有聪明学生；⑥参加2008年北京奥运会的所有运动员．其中能构成集合的有________．(只填序号)
4．用符号“∈”或“?”填空：
π________Q，________Q，
0________
( http: / / www.21cnjy.com )，________R，
0________N
，________{0,1,2}，
－2________Z.
5．有下列结论：①由1,1,2,3,4,5构成的集合含有6个元素；②{a，b}＝{b，a}；③
( http: / / www.21cnjy.com )＝{0}；④太湖中的鱼所组成的集合是无限集；⑤边长为1的菱形构成的集合是无限集，其中正确的个数是__________．
6．设由2,4,6构成的集合为A，若实数a满足a∈A时，6－a∈A，则a＝__________.
7．已知A＝{2，x}，B＝{xy,1}，若A＝B，则x＋y＝________.
8．下列叙述中，正确的个数是__________．
①1是集合N中最小的数　②若－a?N，则a∈N　③若a∈N
，b∈N，则a＋b的最小值为2　④方程x2－4x＝－4的解集是{2,2}
9．(1)“被3除余1的数”组成的集合用描述法可表示为__________．
(2)集合A＝{(x，y)|x＋y＝5，x∈N，y∈N}，则用列举法表示为A＝__________.
10．用适当的方法表示下列集合．
(1)中国古代四大发明的集合；
(2)直角坐标平面内第二象限的点集；
(3)由大于0小于2的实数组成的集合；
(4)绝对值等于1的实数的集合；
(5)方程x(x2＋2x－3)＝0的解集；
(6)不等式x2＋2≤0的解集．
11．求不等式4(x＋1)－3(x－1)>9的解集．
12．(易错题)已知集合A＝{x|kx2－3x＋2＝0}．
(1)若A＝
( http: / / www.21cnjy.com )，求实数k的取值范围；
(2)若A中只有一个元素，求k的值及集合A.
13．下列关系式中，正确的序号是__________．
①a∈{a，b}　②0∈
( http: / / www.21cnjy.com )　③{x|x2≤0}＝
( http: / / www.21cnjy.com )　④{x|x2＋2x＋5＝0}＝
( http: / / www.21cnjy.com )
14．由a2,2－a,4组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a一定不等于__________．
15．集合{x|x－2<3，且x∈N
}用另一种表示方法应是__________．
16．已知x、y、z为非零实数，代数式＋＋＋的值所组成的集合是M，则M＝________.
17．设三元素集A＝{x，，1}，B＝{|x|，x＋y,0}，其中x，y为确定常数且A＝B，则x2
009－y2
009的值等于__________．
18．下列结论中，正确的个数是__________．
①若以集合S＝{a，b，c}中三个元素
( http: / / www.21cnjy.com )为边可构成一个三角形，则该三角形一定不是等腰三角形　②满足1＋x>x的实数x组成一个集合　③方程＋|y＋2|＝0的解集为{2，－2}　④方程(x－1)2(x＋5)(x－3)＝0的解集中含有3个元素　⑤今天正午12时生活在地球上的所有人构成的集合是无限集
19．用描述法表示图中阴影部分的点(包括边界上的点)的坐标的集合是____________．
20．(易错题)已知A＝{a－2,2a2＋5a,6}，且－3∈A，求实数a的值．
21．已知M＝{2，a，b}，N＝{2a,2，b2}，且M＝N，求实数a与b的值．
22．(易错题)观察下面三个集合，回答下面问题：
①{x|y＝x2＋1}；②{y|y＝x2＋1}；③{(x，y)|y＝x2＋1}．
(1)它们是不是相同的集合？
(2)它们各自的含义是什么？
23．设S是由满足下列条件的实数所构成的集合：①1
( http: / / www.21cnjy.com )S；②若a∈S，则∈S.请解答下列问题：
(1)若2∈S，则S中必有另外两个数，求出这两个数；
(2)求证：若a∈S，则1－∈S；
(3)在集合S中元素能否只有一个？请说明理由．
答案与解析
1．(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　
( http: / / www.21cnjy.com )(5)√　(1)不满足集合中元素的确定性，错误；(2)“不小于”即“大于或等于”，集合中含“－2”；(3)集合中含有一个元素“0”；(4)是相同的集合；(5)线段MN上的点有无数个，是无限集．
2．①③　由集合定义知①③中的对象可构成集合；②中的“难”与④中的“著名”都无明确的界限，不确定，所以不能构成集合．
3．②③④⑥　①中的“优秀”与⑤中的“聪明”都无明确的界定，不符合集合中元素的确定性，故不能构成集合．
4．
( http: / / www.21cnjy.com )?　∈　
( http: / / www.21cnjy.com )?　∈　
( http: / / www.21cnjy.com )?　
( http: / / www.21cnjy.com )?　∈
5．2　由集合定义①错误；由集合相等的定
( http: / / www.21cnjy.com )义②正确；由空集定义③显然不对；∵太湖中鱼的个数是有限的，∴④不正确；菱形相邻两边夹角不同，则菱形是不同的，∴边长为1的菱形有无数个．故⑤正确．
6．2或4　∵A＝{2,4,6}，
∴当a＝2时，6－a＝4∈A，适合题意；
当a＝4时，6－a＝2∈A，也适合题意；
当a＝6时，6－6＝0?A，不合题意．
∴a的值为2或4.
7．3　由集合相等的概念有解得∴x＋y＝3.
8．0　N中的最小数为0，故①错误；②可举反例：a＝，则－a＝－
( http: / / www.21cnjy.com )N，但a＝
( http: / / www.21cnjy.com )N，故②不正确；③可取a＝1，b＝0，则a＋b＝1，其最小值不为2，故③错；④方程的解集应为{2}，故④错．所以正确个数为0.
9．(1){x|x＝3n＋1，且n∈Z}
(2){(0,5)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(5,0)}
10．解：(1)中国古代四大发明的集合可用列举法表示为{指南针，造纸术，火药，印刷术}．
(2)在平面直角坐标系内第二象限的点构成的集合用描述法可表示为{(x，y)|x<0，且y>0}．
(3)由大于0且小于2的实数组成的集合用描述法可表示为{x|0(4)绝对值等于1的实数的集合用描述法可表示为{x||x|＝1}，用列举法可表示为{－1,1}．
(5)方程x(x2＋2x－3)＝0的解集用描述法可表示为{x|x(x2＋2x－3)＝0}，用列举法可表示为{－3,0,1}．
(6)不等式x2＋2≤0的解集为?(列举法)．
11．解：由4(x＋1)－3(x－1)>9，可得x>2，
所以原不等式的解集为{x|x>2}．
12．解：(1)A＝
( http: / / www.21cnjy.com )，即方程kx2－3x＋2＝0无解；若k＝0，方程有一根x＝，不合题意；
若k≠0，方程kx2－3x＋2＝0为一元二次方程，
当Δ＝9－8k<0，即k>时，方程无解；
故使A＝
( http: / / www.21cnjy.com )的k的取值范围是k>.
(2)当k＝0时，由(1)知A＝{}，符合题意，当k≠0时，若A中只有一个元素，需使方程有两个相等的实数根，即Δ＝9－8k＝0，
∴k＝，此时方程为x2－3x＋2＝0，
解得x＝，即A＝{}．
综上所述，当k＝0时，A＝{}；
当k＝时，A＝{}．
点评：集合A的代表元素x为方程的解，
( http: / / www.21cnjy.com )所以集合中元素的个数问题可转化为探求方程解的个数问题(无解、一解)．因为二次项系数k∈R，所以解此类问题一定要注意讨论．当k＝0时，方程为一元一次方程；当k≠0时，是一元二次方程，也只有此情况下才能用判别式Δ.
能力提升
13．①④
14．－2,2,1　若a2＝2
( http: / / www.21cnjy.com )－a，则可得a＝－2，或a＝1，此时A中含有1个或2个元素，不合题意；若a2＝4，则得到a＝±2，当a＝－2时，A＝{4}含一个元素．
当a＝2时，A＝{0,4}只含2个元素，不合题意；若2－a＝4，则得a＝－2，不合题意．
∴a≠－2,2,1.
15．{1,2,3,4}
16．{－4,0,4}　分四种情况讨论
( http: / / www.21cnjy.com )：x，y，z中三个都为正，代数式的值为4；x，y，z中两个为正，一个为负，代数式值为0；x，y，z中一个为正，两个为负，代数式值为0；x，y，z都为负数时代数式值为－4.
∴M＝{－4,0,4}．
17．－1　由题意，知{x，，1}＝{|x|，x＋y,0}．
∵x≠0，∴＝0，即y＝0.
又∵x≠1，且|x|＝1，
∴x＝－1.
∴x2
009－y2
009＝(－1)2
009－02
009＝－1.
18．3　由集合中元素的互
( http: / / www.21cnjy.com )异性知①正确；由1＋x>x知x为全体实数，故能构成实数集R，②正确；③中x＝2，y＝－2应同时成立，解集表示不正确；④中方程有一个重根x＝1，在集合中只算一个元素，故④正确；⑤中构成的集合为有限集，故⑤错误．
19．{(x，y)|－2≤x≤0，且－2≤y≤0}
20．解：∵－3∈A，
∴a－2＝－3或2a2＋5a＝－3.
解得a＝－1或a＝－.
当a＝－1时，a－2＝－3,2a2＋5a＝－3与集合中元素的互异性矛盾，舍去；
当a＝－时，a－2＝－，2a2＋5a＝－3.
此时A＝{－，－3,6}，适合题意．
∴a＝－.
点评：集合中元素的性质既可以用于解题，又可用来检验解的正确性．特别是互异性易被忽视，所以做此类题时必须注意．
21．解：∵M＝N，
∴或
解得或或代入检验得所求a、b之值为或
22．解：(1)不是相同的集合．
(2)集合①是函数y＝x2
( http: / / www.21cnjy.com )＋1的自变量x所允许取到的值组成的集合，因为x可以取任意实数，所以{x|y＝x2＋1}＝R；集合②是函数y＝x2＋1的所有函数值y所允许取到的值组成的集合，由二次函数图象，知y≥1，所以{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}；集合③是函数y＝x2＋1图象上的所有点的坐标组成的集合．如图所示．
点评：用描述法表示集合，一定要明确
( http: / / www.21cnjy.com )集合的代表元素是什么，弄清集合中元素满足什么条件特征，只有真正搞清其内涵，才能在解此类题时得心应手．本题中虽然条件特征都是y＝x2＋1，但代表元素不同：x为自变量；y是因变量，即函数值；(x，y)表示有序数对，即函数y＝x2＋1图象上的点．
拓展探究
23．(1)解：∵2∈S,2≠1，
∴＝－1∈S.
∵－1∈S，－1≠1，
∴＝∈S.
∵∈S，≠1，
∴＝2∈S.
∴－1，∈S，即集合S中另外两个数分别为－1和.
(2)证明：∵a∈S，∴∈S.
∴＝1－∈S(a≠0，若a＝0，则＝1∈S，不合题意)．
(3)解：集合S中的元素，不能只有一个．
理由：假设集合S中只有一个元素，
则根据题意知a＝，
即a2－a＋1＝0.
此方程无实数解．
∴a≠.
因此集合S不能只有一个元素．2.3.2　对数函数
第一课时
1．函数y＝＋lgx的定义域为__________．
2．函数f(x)＝log(a－1)x是减函数，则a的取值范围是__________．
3．已知函数f(x)＝lg，若f(a)＝b，则f(－a)＝__________.
4．下列函数中，在区间(0，＋∞)上是单调增函数的个数是__________．
①y＝5x　②y＝lgx＋2　③y＝()x　④y＝x2＋1
⑤y＝logx
5．已知函数f(x)＝的定义域为M，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为N，则M∩N＝__________.
6．函数y＝loga(x－2)＋1(a＞0且a≠1)恒过定点P，则P点的坐标为__________．
7.下图是对数函数y＝logax的图象，已知a值取、、、，则相应于C1、C2、C3、C4的a的值依次是__________．
8．下列不等式成立的序号是__________．
①log32＜log23＜log25　②log32＜log25＜log23　
③log23＜log32＜log25　④log23＜log25＜log32
9．(1)已知函数f(x)＝若f(a)＝，则a＝__________；
(2)若函数f(x)＝logax(010．记函数f(x)＝()－x的反函数为f
( http: / / www.21cnjy.com )－1(x)，则函数y＝f－1(x－1)的图象可由函数y＝log2x经过向__________平移__________个单位而得到．
11．(1)已知log0.7(2m)(2)已知loga<1，则a的取值范围是__________．
12．画出函数f(x)＝|log2x|的图象．
13．求下列函数的定义域：
(1)y＝；
(2)y＝；
(3)y＝log(x＋1)(2－x)．
14．已知函数y＝lg(－x)，求其定义域，并判断函数的奇偶性、单调性．
15．下列四图，当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的大致图象的序号是__________．
16．若函数f(x)＝loga(x＋1)(a>0且a≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则a的值是__________．
17．三个数a＝30.7，b＝log30.7，c＝0.73按从大到小的顺序排列为__________．
18．若函数y＝f(x)的图象与函数y＝ln＋1的图象关于直线y＝x对称，则f(x)＝__________.
19．已知函数f(x)＝若f(x0)≥2，则x0的取值范围是__________．
20．设a＝log34，b＝log43，c＝log3(log43)，则a、b、c的大小关系是__________．
21．(1)已知函数f(x)＝logax满足f(9)＝2，则a＝__________；
(2)如果函数f(x)＝(3－a)x，g(x)＝logax的单调性相同，则a的取值范围是__________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　劲草敢做疾风，险峰只迎闯将。——卢嘉锡22.(1)函数f(x)＝的定义域是__________；
(2)函数y＝log(x－1)(3－x)的定义域是__________．
23．方程log2(x＋4)＝3x的实根个数为__________．
24．函数y＝log(4x－x2)的值域是__________．
25．(易错题)方程log(3x－1)＝log(x－1)＋log(3＋x)的解集是__________．
26．已知函数y＝f(x)是R上的奇函数，且x>0时，f(x)＝lgx，则f(－100)的值为__________．
27．(易错题)已知0＜a＜b＜1，比较logab、logba、logb、loga的大小．
28．已知函数f(x)＝loga(a>0且a≠1)．
(1)求函数的定义域；
(2)判断函数的奇偶性并予以证明；
(3)求使f(x)>0的x的取值范围．
29．求函数f(x)＝－(logx)2－logx＋5在2≤x≤4范围内的最值．
30．已知f(x)＝lg是奇函数．
(1)求a的值；
(2)判断函数f(x)在定义域上的单调性，并给出理由．
?答案与解析
基础巩固
1．0得02．(1,2)　由题意知，0＜a－1＜1，
∴1＜a＜2.
3．－b　f(－a)＝lg＝lg()－1＝－lg＝－f(a)＝－b.
4．3　①②④是(0，＋∞)上的增函数．
5．(－1,1)　∵M＝{x|1－x＞0}＝{x|x＜1}，
N＝{x|1＋x＞0}＝{x|x＞－1}，
∴M∩N＝{x|－1＜x＜1}＝(－1,1)．
6．(3,1)　若x－2＝1，即x＝3时，则不论a为何值，只要a＞0且a≠1，都有y＝1.∴函数恒过定点P(3,1)．
7.，，，　∵当a>1时，对数函
( http: / / www.21cnjy.com )数的图象自左向右呈上升趋势，且a越大，图象就越靠近x轴；当0∴C1对应的a值最大为，相应于C2的a值为，C3对应的a值为，C4对应的a值最小为.也可以作出直线y＝1与C1、C2、C3、C4的交点分别为(a1,1)、(a2,1)、(a3,1)、(a4,1)，结合图象可知：a1>a2>a3>a4，因此C1、C2、C3、C4相应的a值依次为，，，.
8．①　∵log32＜log33＝1,1＝log22＜log23＜log25，
∴log32＜log23＜log25，故①正确．
9．(1)－1或　(2)　(1)令f(a)＝log2a＝，得a＝＞0；令f(a)＝2a＝＝2－1，得a＝－1＜0，均满足条件，∴a＝－1或.
(2)f(x)＝logax(0＜a＜1)在(0，＋∞)上是减函数，
当x∈[a,2a]时，f(x)max＝f(a)＝1，f(x)min＝f(2a)＝loga2a.
根据题意，3loga2a＝1，即loga2a＝，
所以loga2＋1＝，即loga2＝－.
故由a－＝2得a＝2－＝.
10．右　一　∵f(x)＝()－x＝2x，
∴f－1(x)＝log2x.
∴f－1(x－1)＝log2(x－1)，其图象只需将y＝log2x图象向右平移一个单位长度即可得到．
11．(1)(1，＋∞)　(2)(0，)∪(1，＋∞)　(1)考查函数y＝log0.7x，它在(0，＋∞)上是减函数，
∵log0.7(2m)＜log0.7(m－1)，
∴2m＞m－1＞0.
由得m＞1，即m的取值范围是(1，＋∞)．
(2)当a>1时，loga，∴a>1.
当0综上，知a的取值范围是01，即a∈(0，)∪(1，＋∞)．
12．解：函数f(x)＝|log2x|的图象应是将y＝log2x的图象位于x轴下方的部分翻折到x轴上方，而原上方的不变，图象如下：
13．解：(1)要使函数式有意义，
则
解得x>且x≠3.
∴函数的定义域为{x|x>，且x≠3}．
(2)要使函数式有意义，
则
即解得∴函数的定义域为(，1]．
(3)要使函数式有意义，
则
解得－1∴函数的定义域为(－1,0)∪(0,2)．
14．解：由题意－x>0，得x∈R，即定义域为R.
又f(－x)＝lg[－(－x)]
＝lg(＋x)
＝lg
＝lg(－x)－1
＝－lg(－x)＝－f(x)，
∴y＝lg(－x)是奇函数．
任取x1、x2∈(0，＋∞)且x1＜x2，
则＜
?＋x1＜＋x2
?＞，
即有－x1＞－x2＞0.
∴lg(－x1)＞lg(－x2)，即f(x1)＞f(x2)成立．
∴f(x)在(0，＋∞)上为单调减函数．
又f(x)是定义在R上的奇函数，故f(x)在(－∞，0)上也为单调减函数．
能力提升
15．①　首先把y＝a－x化为y＝()x，
∵a＞1，∴0＜＜1.
因此y＝()x，即y＝a－x的图象是下降的，y＝logax的图象是上升的．
16．2　∵x∈[0,1]，
∴x＋1∈[1,2]．
∵loga1＝0，∴loga2＝1.∴a＝2.
17．a>c>b　∵3>1,0.7>0，
∴a＝30.7>1,0b＝log30.7<0.
∴a>c>b.
18．e2x－2　∵y＝f(x)与y＝ln＋1的图象关于y＝x对称，
∴y＝f(x)与y＝ln＋1互为反函数．
∵ln＝y－1，
∴＝ey－1.
∴x＝(ey－1)2＝e2y－2.
∴f(x)＝e2x－2.
19．(－∞，－1]∪[2，＋∞)　当x0≤0时，f(x0)＝()x0≥2，
∴－x0≥1，∴x0≤－1；
当x0＞0时，f(x0)＝log2(x0＋2)≥2＝log24.
∴x0＋2≥4.∴x0≥2.∴x0的取值范围是(－∞，－1]∪[2，＋∞)．
20．c＜b＜a　∵a＝
( http: / / www.21cnjy.com )log34＞log33＝1，b＝log43＞log41＝0且b＝log43＜log44＝1，即0＜b＜1，c＝log3(log43)＜log31＝0，∴c＜b＜a.
21．(1)3　(2)(1,2)　(1)由题意知loga9＝2，∴a2＝9.
又a＞0，且a≠1，∴a＝3；
(2)由题意，得或解得1＜a＜2.
22．(1)(－∞，3)∪(3,4)　(2)(1,2)∪(2,3)　(1)由题意，得
∴x≠3，且x＜4，
∴所求函数的定义域为(－∞，3)∪(3,4)；
(2)要使原函数有意义，必须且只需即
∴1＜x＜3且x≠2.
∴原函数的定义域为(1,2)∪(2,3)．
23．2　此类问题通过解方程是无法解决的，
( http: / / www.21cnjy.com )只有借助于函数图象来解决．在同一坐标系中作出函数y＝log2(x＋4)与y＝3x的图象如图所示，可观察出两个函数的图象共有两个不同的交点，
∴原方程有两个实根．函数y＝log2(x＋4)的图象可由y＝log2x的图象向左平移4个单位得到．
24．[－2，＋∞)　令t＝4x－x2，
则t＝－(x－2)2＋4≤4，而y＝logt在(0,4]上为单调减函数，
∴当t＝4时，y有最小值ymin＝log4＝－2.
∴y≥－2，即值域为[－2，＋∞)(也
( http: / / www.21cnjy.com )可以认为：当x＝2时，t有最大值为4，而y＝logt为减函数，∴y有最小值且ymin＝log4＝－2)．
25．{2}　原方程可化为
即
∴x＝2.∴原方程的解集为{2}．
点评：同底的对数方程可用比较
( http: / / www.21cnjy.com )真数法化为代数方程来解．若不同底，可用定义或性质转化为同底，但要注意转化的等价性．本题主要利用对数的运算性质，将方程转化为一元二次方程，同时保证各对数式有意义，即求出的根必须适合x的范围，或求出解来后再验根．否则会因产生增根而错解．求解集要注意最后将解或根写成集合形式．
26．－2　∵y＝f(x)是奇函数，
∴f(－100)＝－f(100)．
∵x>0时，f(x)＝lgx，
∴f(100)＝lg100＝2.
∴f(－100)＝－2.
27．解：方法一(代数法)：
∵0＜a＜b＜1，
∴＞＞1，函数y＝lo
( http: / / www.21cnjy.com )gax和y＝logbx都是区间(0，＋∞)上的单调减函数，y＝logx和y＝logx都是区间(0，＋∞)上的单调增函数．
∴logab＞loga1＝0，logba＞logb1＝0，logb＜log1＝0，loga＜log1＝0.
∵logab＜logaa＝1＝logbb＜logba，
loga＜logb＝－1＝loga＜logb，
∴loga＜logb＜logab＜logba.
方法二(图象法、数形结合法)：
由对数函数的性质及0＜a＜b＜1，可以得到函数y＝logax，y＝logbx，y＝logx，y＝logx的图象的大致位置如图所示．
作直线x＝a和x＝b可以得到logab、logba、logb、loga的对应点A、B、C、D.
由此可以判断它们的大小关系为：
loga点评：比较两个对数式的值
( http: / / www.21cnjy.com )的大小，若同底可根据对数函数的单调性判断；若不是同底的对数式，一种途径是化为同底或采用放缩法借助第三个中间量来比较大小，这个中间量通常是“0”或“1”，特别是多个数式的大小比较，一般先以0与1作分界点进行分组，然后再在每组内分别比较，最后下结论(如方法一)；另一种途径是利用对数函数的图象与性质去判断(如方法二)．图象法直观形象、快捷，但需对基本函数的图象把握深、透．由于底数影响指、对数函数的单调性，因此要特别注意底数，必要时还要分类讨论．
28．解：(1)由题意，知＞0，
∴有①或②
解①得－1＜x＜1，解②得x∈?，
∴函数f(x)的定义域为x∈(－1,1)．
(2)由(1)知，函数定义域关于原点对称，
∵f(－x)＝loga＝loga()－1
＝－loga＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数．
(3)∵f(x)＞0，
∴loga＞0，
即loga＞loga1.
∴当a＞1时，有＞1.
又∵－1＜x＜1，∴1－x＞0.
∴1＋x＞1－x，得x＞0.
又∵x＜1，∴0＜x＜1.
当0＜a＜1时，有0＜＜1.
∵1－x＞0，∴0＜1＋x＜1－x.
∴－1＜x＜0.
综上，知当a＞1时，f(x)＞0的x的取值范围是(0,1)；当0＜a＜1时，f(x)＞0的x的取值范围是(－1,0)．
29．解：f(x)＝－(logx)2－log()2x1＋5＝－(logx)2－logx＋5，令t＝logx，则由于t关于x的函数在[2,4]上是单调减函数，
∴tmin＝log4＝－2，tmax＝log2＝－1，即t∈[－2，－1]．
∴函数y＝g(t)＝－t2－t＋5
＝－(t＋)2＋.
其图象对称轴t＝－，开口向下．
∴g(t)在[－2，－1]上为单调增函数．
∴f(x)max＝g(t)max＝g(－1)＝，
f(x)min＝g(t)min＝g(－2)＝2.
拓展探究
30．解：(1)由f(x)是奇函数，
所以f(x)＋f(－x)＝0，
即lg＋lg＝0，＝1在定义域上恒成立，解得a＝1(或f(0)＝0得a＝1)；
(2)f(x)＝lg，由>0解得f(x)的定义域为(－1,1)，u＝＝－1在(－1,1)上单调递减，
因为y＝lgu单调递增，
所以f(x)在(－1,1)上单调递减．第1章　集合
1．1　集合的含义及其表示
1．判断题：(正确的画“√”，错误的画“×”)
　　　　　　　　　　　　　
(1)“全体著名的文学家”构成一个集合．(　　)
(2)小于8且不小于－2的偶数构成的集合是{0,2,4,6}．(　　)
(3)集合{0}中不含元素．(　　)
(4){0,1}，{1,0}是两个不同的集合．(　　)
(5)线段MN上点的全体构成的集合是无限集．
(　　)
2．下列对象：①2008年北京残奥会上我
( http: / / www.21cnjy.com )国获得的所有金牌；②高一数学课本中的所有难题；③所有的正三角形；④我国近代著名的数学家．其中能够构成集合的序号是__________．
3．用符号“∈”或“ ”填空：
π________Q，________Q，
0________ ，________R，
0________N
，________{0,1,2}，
－2________Z.
4．用适当的方法表示下列集合．
(1)中国古代四大发明的集合；
(2)直角坐标平面内第二象限的点集；
(3)由大于0小于2的实数组成的集合；
(4)绝对值等于1的实数的集合；
(5)方程x(x2＋2x－3)＝0的解集；
(6)不等式x2＋2≤0的解集．
5．求不等式4(x＋1)－3(x－1)>9的解集．
课堂巩固
1．下列各组对象：①NBA联盟中所有优秀的
( http: / / www.21cnjy.com )球员；②平面上到点O的距离等于1的点的全体；③2008年度所有的诺贝尔获奖者；④正方形的全体；⑤高一·三班的所有聪明学生；⑥参加2008年北京奥运会的所有运动员．其中能构成集合的有________．(只填序号)
2．有下列结论：①由1,1,2,3,4,5
( http: / / www.21cnjy.com )构成的集合含有6个元素；②{a，b}＝{b，a}；③ ＝{0}；④太湖中的鱼所组成的集合是无限集；⑤边长为1的菱形构成的集合是无限集，其中正确的个数是__________．
3．设由2,4,6构成的集合为A，若实数a满足a∈A时6－a∈A，则a＝__________.
4．已知A＝{2，x}，B＝{xy,1}，若A＝B，则x＋y＝________.
5．下列叙述中，正确的个数是__________．
①1是集合N中最小的数；②若－a N，则a∈N；③若a∈N
，b∈N，则a＋b的最小值为2；④方程x2－4x＝－4的解集是{2,2}．
6．(1)“被3除余1的数”组成的集合用描述法可表示为__________．
(2)集合A＝{(x，y)|x＋y＝5，x∈N，y∈N}，则用列举法表示为A＝__________.
7．(易错题)已知集合A＝{x|kx2－3x＋2＝0}．
(1)若A＝ ，求实数k的取值范围；(2)若A中只有一个元素，求k的值及集合A.
1．下列关系式中，正确的序号是__________．
①a∈{a，b}　②0∈ 　③{x|x2≤0}＝ 　④{x|x2＋2x＋5＝0}＝
2．由a2,2－a,4组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a一定不等于__________．
3．集合{x|x－2<3，且x∈N
}用另一种表示方法应是__________．
4．已知x、y、z为非零实数，代数式＋＋＋的值所组成的集合是M，则M＝________.
5．设三元素集A＝{x，，1}，B＝{|x|，x＋y,0}，其中x，y为确定常数且A＝B，则x2
009－y2
009的值等于__________．
6．下列结论中，正确的个数是__________．
①若以集合S＝{a，b，c}中三个元素
( http: / / www.21cnjy.com )为边可构成一个三角形，则该三角形一定不是等腰三角形；②满足1＋x>x的实数x组成一个集合；③方程＋|y＋2|＝0的解集为{2，－2}；④方程(x－1)2(x＋5)(x－3)＝0的解集中含有3个元素；⑤今天正午12时生活在地球上的所有人构成的集合是无限集．
7．用描述法表示图中阴影部分的点(包括边界上的点)的坐标的集合是____________．
8．(易错题)已知A＝{a－2,2a2＋5a,6}，且－3∈A，求实数a的值．
9．已知M＝{2，a，b}，N＝{2a,2，b2}，且M＝N，求实数a与b的值．
10．(易错题)观察下面三个集合，回答下面问题：
①{x|y＝x2＋1}；②{y|y＝x2＋1}；③{(x，y)|y＝x2＋1}．
(1)它们是不是相同的集合？
(2)它们各自的含义是什么？
答案
第1章　集合
1．1　集合的含义及其表示
课前预习
1．(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√
(1)不满足集合中元素的确定性，错
( http: / / www.21cnjy.com )误；(2)“不小于”即“大于或等于”，集合中含“－2”；(3)集合中含有一个元素“0”；(4)是相同集合；(5)线段MN上的点有无数个，是无限集．
2．①③　由集合定义知①③中的对象可构成集合；②中的“难”与④中的“著名”都无明确的界限，不确定，所以不能构成集合．
3． 　∈　 　∈　 　 　∈
4．解：(1)中国古代四大发明的集合可用列举法表示为{指南针，造纸术，火药，印刷术}．
(2)在平面直角坐标系内第二象限的点构成的集合用描述法可表示为{(x，y)|x<0，且y>0}．
(3)由大于0且小于2的实数组成的集合用描述法可表示为{x|0(4)绝对值等于1的实数的集合用描述法可表示为{x||x|＝1}，用列举法可表示为{－1,1}．
(5)方程x(x2＋2x－3)＝0的解集用描述法可表示为{x|x(x2＋2x－3)＝0}，用列举法可表示为{－3,0,1}．
(6)不等式x2＋2≤0的解集为 (列举法)．
5．解：由4(x＋1)－3(x－1)>9，可得x>2，
所以原不等式的解集为{x|x>2}．
课堂巩固
1．②③④⑥　①中的“优秀”与⑤中的“聪明”都无明确的界定，不符合集合中元素的确定性，故不能构成集合．
2．2　由集合定义①错误；由集合相
( http: / / www.21cnjy.com )等的定义②正确；由空集定义③显然不对；∵太湖中鱼的个数是有限的，∴④不正确；菱形相邻两边夹角不同，则菱形是不同的，∴边长为1的菱形有无数个．故⑤正确．
3．2或4　∵A＝{2,4,6}，
∴当a＝2时，6－a＝4∈A.适合题意；
当a＝4时，6－a＝2∈A也适合题意；
当a＝6时，6－6＝0 A，不合题意．
∴a的值为2或4.
4．3　由集合相等的概念有解得x＝1，y＝2，∴x＋y＝3.
5．0　N中的最小数为0，故①错误；②可举反
( http: / / www.21cnjy.com )例：a＝，则－a＝－ N，但a＝ N，故③不正确；③可取a＝1，b＝0，则a＋b＝1，其最小值不为2，故③错；④方程的解集应为{2}，故④错．所以正确个数为0.
6．(1){x|x＝3n＋1，且n∈Z}　(2){(0,5)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(5,0)}
7．解：(1)A＝ ，即方程kx2－3x＋2＝0无解；若k＝0，方程有一根x＝，不合题意；
若k≠0，方程kx2－3x＋2＝0为一元二次方程，当Δ＝9－8k<0，即k>时，方程无解；
故使A＝ 的k的取值范围是k>.
(2)当k＝0时，由(1)知A＝{}，符合题意，当k≠0时，若A中只有一个元素，需使方程有两个相等的实数根，即Δ＝9－8k＝0，
∴k＝，此时方程为x2－3x＋2＝0，
解得x＝，即A＝{}．
综上所述，当k＝0时，A＝{}；
当k＝时，A＝{}．
点评：集合A的代表元素x为
( http: / / www.21cnjy.com )方程的解，所以集合中元素的个数问题可转化为探求方程解的个数问题(无解、一解)．因为二次项系数k∈R，所以解此类问题一定要注意讨论．当k＝0时，方程为一元一次方程；当k≠0时，是一元二次方程，也只有此情况下才能用判别式Δ.
课后检测
1．①④
2．－2,2,1　若a2
( http: / / www.21cnjy.com )＝2－a，则可得a＝－2，或a＝1，此时A中含有1个或2个元素，不合题意；若a2＝4，则得到a＝±2，当a＝－2时，A＝{4}含一个元素．
当a＝2时，A＝{0,4}只含2个元素，不合题意；若2－a＝4，则得a＝－2，不合题意．
∴a≠－2,2,1.
3．{1,2,3,4}
4．{－4,0,4}　分四种情况讨论：
( http: / / www.21cnjy.com )x，y，z中三个都为正，代数式的值为4；x，y，z中两个为正，一个为负，代数式值为0；x，y，z中一个为正，两个为负，代数式值为0；x，y，z都为负数时代数式值为－4.
∴M＝{－4,0,4}．
5．－1　由题意，知{x，，1}＝{|x|，x＋y,0}．
∵x≠0，∴＝0，即y＝0.
又∵x≠1，且|x|＝1，
∴x＝－1.∴x2
009－y2
009＝(－1)2
009－02
009＝－1.
6．3　由集合中元素的互异性知①正确；
( http: / / www.21cnjy.com )由1＋x>x知x为全体实数，故能构成实数集R，②正确；③中x＝2，y＝－2应同时成立，解集表示不正确；④中方程有一个重根x＝1，在集合中只算一个元素，故④正确；⑤中构成的集合为有限集，故⑤错误．
7．{(x，y)|－2≤x≤0，且－2≤y≤0}
8．解：∵－3∈A，
∴a－2＝－3或2a2＋5a＝－3.
解得a＝－1或a＝－.
当a＝－1时，a－2＝－3,2a2＋5a＝－3与集合中元素的互异性矛盾，舍去；
当a＝－时，a－2＝－，2a2＋5a＝－3.
此时A＝{－，－3,6}，适合题意．
∴a＝－.
点评：集合中元素的性质既可以用于解题，又可用来检验解的正确性．特别是互异性易被忽视，所以做此类题时必须注意．
9．解：∵M＝N，∴或
解得或或代入检验得所求a、b之值为或
10．解：(1)不是相同的集合．
(2)集合①是函数y＝x2＋1的自
( http: / / www.21cnjy.com )变量x所允许取到的值组成的集合，因为x可以取任意实数，所以{x|y＝x2＋1}＝R；集合②是函数y＝x2＋1的所有函数值y所允许取到的值组成的集合，由二次函数图象，知y≥1，所以{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}；集合③是函数y＝x2＋1图象上的所有点的坐标组成的集合．如图所示：
点评：用描述法表示集合，一定要明确集合的
( http: / / www.21cnjy.com )代表元素是什么，弄清集合中元素满足什么条件特征，只有真正搞清其内涵，才能在解此类题时得心应手．本题中虽然条件特征都是y＝x2＋1，但代表元素不同：x为自变量；y是因变量，即函数值；(x，y)表示有序数对，即函数y＝x2＋1图象上的点．2.2.2　指数函数
1．下列以x为自变量的函数中，是指数函数的序号是__________．
①y＝(－4)x　②y＝πx　③y＝－4x　④y＝ax＋2(a>0且a≠1)　⑤y＝(a＋1)x(a>－1且a≠0)
2．方程3x－1＝的解是__________．
3．指数函数y＝f(x)的图象经过点(2,4)，那么f(－1)·f(3)＝__________.
4．指数函数y＝(2m－1)x是单调减函数，则m的取值范围是__________．
5．设f(x)＝3x＋2，则函数f(x)的值域为__________．
6．函数y＝的定义域是__________．
7.
右图是指数函数①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx；④y＝dx的图象，则a、b、c、d与1的大小关系是__________．
8．(1)已知函数f(x)＝4＋ax－2(a＞0，a≠1)的图象恒过定点P，则点P的坐标是__________．
(2)函数f(x)＝ax2＋2x－3＋m(a＞1)恒过点(1,10)，则m＝__________.
9．设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝()－1.5，则y1、y2、y3的大小关系为__________．
10．为了得到函数y＝3×()x的图象，可以把函数y＝()x的图象向__________平移__________个单位长度．
11．函数y＝2x－1＋1的图象是由函数y＝2x的图象经过怎样的平移得到的？
12．已知函数f(x)的定义域为[，4]，求函数f(2x)的定义域．
13．已知镭经过100年剩余的质量是原来质量的0.957
6，设质量为1的镭经过x年后，剩留量是y，求y关于x的函数关系式．
14．函数y＝()的值域是__________．
15．下列说法中，正确的序号是__________．
函数y＝－ex的图象：①与y＝ex的图象关于
( http: / / www.21cnjy.com )y轴对称；②与y＝ex的图象关于坐标原点对称；③与y＝ex的图象关于x轴对称；④与y＝e－x的图象关于y轴对称；⑤与y＝e－x的图象关于坐标原点对称；⑥与y＝e－x的图象关于x轴对称．
16．(1)已知指数函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)的图象经过点(3，π)，则f(－3)的值为__________；
(2)函数y＝ax(a>0，且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值的和为6，则a的值为__________．
17．一种单细胞生物以一分为二的方式
( http: / / www.21cnjy.com )进行繁殖，每三分钟分裂一次，假设将一个这种细胞放在一个盛有营养液的容器中，恰好一小时这种细胞充满容器，假设开始将两个细胞放入容器，同样充满容器的时间是__________分钟．
18．(易错题)若函数f(x)＝是R上的单调增函数，则实数a的取值范围是__________．
19．下列四个图形中，是函数y＝a|x|(a>1)的大致图象的序号是__________．
20.已知实数a，b满足等式()a＝()b，下列五个关系式：
①0其中不可能成立的关系式有__________个．
21．设函数f(x)定义在实数集
( http: / / www.21cnjy.com )上，它的图象关于直线x＝1对称，且当x≥1时，f(x)＝3x－1，则f()，f()，f()的大小关系是__________．
22．已知函数f(x)＝－m(m为常数)是奇函数，则m＝__________.
23．(1)已知0(2)已知函数f(x)满
( http: / / www.21cnjy.com )足：对任意实数x124．(1)设函数f(x)＝若f(x0)>1，则x0的取值范围是__________．
(2)若x1、x2为方程2x＝()－＋1的两个实数解，则x1＋x2＝.
25．(易错题)(1)函数f(x)＝()x－()x＋1，x∈[－3,2]的值域是__________；
(2)已知函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)在区间[－1,1]上有最大值14，则a的值为__________．
26．已知函数f(x)＝(＋)·x3.
(1)求f(x)的定义域；
(2)讨论f(x)的奇偶性；
(3)证明f(x)>0.
27．讨论函数f(x)＝()x2－2x的单调性，并求其值域．
28．分别比较函数f(x)＝2x2－2x－1，g(x)＝()x2－2x－1与函数y＝x2－2x－1的单调性之间的关系．
?答案与解析
基础巩固
1．②⑤　由指数函数的定义知①③④
( http: / / www.21cnjy.com )不是指数函数；②是；⑤∵a＞－1且a≠0，∴a＋1＞0且a＋1≠1.∴y＝(a＋1)x(a＞－1且a≠0)是指数函数．
2．－1　由＝3－2，知3x－1＝3－2，
∴x－1＝－2，即x＝－1.
3．4　设f(x)＝ax，由题意f(2)＝4，即a2＝4.
又a＞0且a≠1，
∴a＝2.∴f(x)＝2x.
∴f(－1)·f(3)＝2－1·23＝22＝4.
4.＜m＜1　由指数函数的性质知0＜2m－1＜1，∴＜m＜1.
5．(2，＋∞)　∵3x＞0，∴3x＋2＞2，即f(x)＞2，
∴f(x)的值域为(2，＋∞)．
6．(－∞，0]　要使函数有意义，必须1－3x≥0，即3x≤1,3x≤30，
∴x≤0.∴函数的定义域为(－∞，0]．
7．b＜a＜1＜d＜c　直线
( http: / / www.21cnjy.com )x＝1与四个指数函数图象交点的坐标分别为(1，a)，(1，b)，(1，c)，(1，d)．由图象可知纵坐标的大小关系，即得答案．
8．(1)(2,5)　(2)9　(1)函数图象随变量a的变化而变化，但恒有当x＝2时，f(2)＝4＋a0＝5，∴P(2,5)．
(2)∵f(x)恒过点(1,10)，∴把(1,10)点代入解析式得a12＋2×1－3＋m＝10，即m＋a0＝10，∴m＝9.
9．y2＜y3＜y1　y1＝(22)0.9＝21.8，y2＝(23)0.48＝23×0.48＝21.44，y3＝21.5，
∵y＝2x为R上的单调增函数，且1.44＜1.5＜1.8，
∴21.44＜21.5＜21.8，
即y2＜y3＜y1.
10．右　1　∵y＝3×()x＝()x－1，∴把函数y＝()x的图象向右平移1个单位长度便得到y＝()x－1的图象，即y＝3×()x的图象．
11．解：∵指数函数y＝2x的图象
( http: / / www.21cnjy.com )向右平移一个单位长度，就得到函数y＝2x－1的图象．再向上平移一个单位长度，就得到函数y＝2x－1＋1的图象．
∴函数y＝2x－1＋1的图象是由函数y＝2x的图象向右平移一个单位长度再向上平移一个单位长度而得到的．
12．解：∵f(x)的定义域为[，4]，
∴≤2x≤4，即2－1≤2x≤22.
又函数y＝2x是R上的增函数，
∴－1≤x≤2.故函数f(2x)的定义域为[－1,2]．
13．解：由题意知，一百年后质量为1的镭
( http: / / www.21cnjy.com )剩留量y1＝1×0.957
6＝0.957
61，二百年后质量为1的镭剩留量y2＝y1×0.957
6＝0.957
6×0.957
6＝0.957
62，…，x百年后质量为1的镭剩留量y＝(0.957
6)x，
∴x年后，y＝0.957
6.
能力提升
14．(0,1]　方法一(单调性法)：
∵函数的定义域为[1，＋∞)，且u＝为增函数，y＝()u为减函数，
∴由复合函数的单调性知，原函数为减函数．
∴当x＝1时ymax＝1.又指数函数值域为y>0，
∴0方法二(图象法)：令u(x)＝，则u(x)≥0，画出y＝()u(x)的图象，从图象可知015．③⑤　函数y＝－ex与函数y＝ex，同一个x对应的函数值互为相反数，其图象关于x轴对称，
∴③正确．对函数y＝－ex与函数y＝e－x而言，自变量x取相反数时，对应的函数值也为相反数，∴其图象关于原点对称，⑤正确．
另解：∵图象的对称性可以转化成点与点之间的对称性，关于x轴对称时(x，y)→(x，－y)，
∴y＝－ex与y＝ex关于x轴对称．
∵关于原点对称时，(x，y)→(－x，－y)，
∴y＝－ex→y＝e－x，
即函数y＝－ex与y＝e－x的图象关于原点对称．∴③⑤正确．
16．(1)　(2)2　(1)方法一：∵f(x)＝ax的图象经过点(3，π)，
∴f(3)＝π，即a3＝π.
∴a＝π，f(x)＝π.
∴f(－3)＝π＝.
方法二：由f(3)＝a3＝π，
得f(－3)＝a－3＝＝.
(2)∵y＝ax是单调函数，∴最大值与最小值在区间端点1,2取得．
∴f(1)＋f(2)＝6，即a2＋a－6＝0，解得a＝2，或a＝－3.
又∵a＞0且a≠1，∴a＝2.
17.57　设要经过时间为x分钟充满容器，由题意有2×2＝220，解得x＝57.
18．[4,8)　由f(x)在R上是单调增函数，知a＞1，4－＞0，a1≥(4－)×1＋2同时成立，解此不等式组得a∈[4,8)．
点评：利用函数的单调性求参数范围
( http: / / www.21cnjy.com )问题，无论运用什么方法求解，最终都必须转化为含该参数的不等式(组)解决，但要注意转化的等价性．本题已知函数为指数函数与一次函数构成的分段函数，用单调性时要特别注意两段的衔接点．因为f(x)是定义域R上的单调增函数，所以当x＝1(衔接点)时，必有a1≥(4－)×1＋2成立(等号成立)，若忽视这一点，就会得出1＜a＜8的错误结论．
19．(2)　函数y＝a|x|是偶函数
( http: / / www.21cnjy.com )，应先画出x≥0时f(x)的图象，然后沿y轴翻折过去，得到x<0时的函数图象．当x≥0时，y＝a|x|＝ax的图象过(0,1)点，a>1在第一象限，图象下凸，是增函数．
20．2　由题意：当a＝b＝0时，
()a＝()b＝1，∴⑤正确．
当a<0，b<0时，由题意知2－a＝3－b，
∴－a>－b，即a当a>0，b>0时，由题意知2－a＝3－b，
∴－b>－a，即a>b>0.∴①正确．
∴③④不可能成立．(亦可用图象法解)
21．f()方法一：由题设知f(x)图象的对称轴为直线x＝1，且当x>1时为增函数，当x<1时为减函数，∴f(x)中的x距离对称轴越近，函数值越小，
由此得f()方法二：由题设知，x≤1时
( http: / / www.21cnjy.com )函数f(x)单调递减，x≥1时函数f(x)单调递增，而x＝1为对称轴，∴f()＝f(1＋)＝f(1－)＝f()．∵<<，
∴f()>f()>f()，
即f()22.　∵f(x)的定义域为R，且为奇函数，
∴f(0)＝0.∴m＝＝.
23．(1)一　(2)f(x)＝2x　(1)∵0＜a＜1，b＜－1，
∴y＝ax＋b的大致图象如下图所示．
由图象知，函数y＝ax＋b的图象不经过第一象限．
(2)这是一个开放性题目，答案不唯一，只按要求写出一个即可，由题知f(x)为增函数，且满足指数函数的性质，
∴此函数为y＝ax(a>1)．
24．(1)(－∞，－1)∪(1，＋∞)　(2)－1
(1)当x0≤0时，令2－x0－1＞1，则2－x0＞2，
∴x0＜－1；当x0＞0时，令x0＞1，得x0＞1.
综上，知x0∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
(2)由题意，得2x＝2－1，
即x＝－1，化简得x2＋x－1＝0，由韦达定理(即根与系数的关系)可知x1＋x2＝－1.
25．(1)[，57]　(2)3或　
(1)∵f(x)＝[()2]x－()x＋1＝[()x]2－()x＋1，x∈[－3,2]，且y＝()x在x∈[－3,2]上为单调减函数，
∴()2≤()x≤()－3，
即≤()x≤8，设t＝()x，则t∈[，8]，原函数可化为f(x)＝g(t)＝t2－t＋1，t∈[，8]．
∵g(t)＝(t－)2＋，
∴结合函数g(t)的图象可知，g()≤g(t)≤g(8)．
∴≤g(t)≤57，
即f(x)∈[，57]．
故原函数的值域为[，57]．
(2)y＝(ax)2＋2ax－1
＝(ax＋1)2－2，
令ax＝t，所以y＝(t＋1)2－2.
当a>1时，
∵－1≤x≤1，
∴≤ax≤a，即≤t≤a.
∵函数的对称轴为t＝－1，
∴当t＝a时有最大值．
∵(a＋1)2－2＝14.∴a＝3.
当0∵－1≤x≤1，∴a≤ax≤.
∴a≤t≤.
∴当t＝时有最大值．
∴(＋1)2－2＝14.
∴a＝.
∴a的值为3或.
26．解法一：(1)由题意，2x－1≠0，
即x≠0，
∴定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
(2)令g(x)＝＋，φ(x)＝x3，则f(x)＝g(x)·φ(x)．
∵g(－x)＝＋＝＋
＝－＋＝－＋
＝－1－＋＝－－
＝－(＋)＝－g(x)，
∴g(x)为奇函数．
又∵φ(x)＝x3为奇函数，
∴f(x)＝(＋)·x3为偶函数．
(3)证明：x>0时，2x>1，
∴2x－1>0.
又∵x3>0，
∴f(x)>0.由偶函数的图象关于y轴对称，知x<0时，f(x)>0也成立．故对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，恒有f(x)>0.
解法二：(1)由2x－1≠0，得x≠0，
∴函数的定义域为{x|x≠0，x∈R}．
(2)在定义域内任取x，则－x在定义域内，则有f(－x)＝(＋)(－x)3＝－(＋)·x3＝－·x3＝·x3，
而f(x)＝(＋)·x3＝·x3，
∴f(－x)＝f(x)．
∴函数f(x)为偶函数．
(3)证明：当x<0时，由指数函数的性质知，0<2x<1，－1＜2x－1＜0，
∴<－1.
∴＋<－<0.
又x3<0，∴f(x)＝(＋)·x3>0.
由f(x)为偶函数，当x>0时，f(x)>0.总之，x∈R且x≠0时，函数f(x)>0.
27．解法一：因为函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，设x1，x2∈(－∞，＋∞)，且x1则f(x1)＝()x－2x1，
f(x2)＝()x－2x2，
所以＝
＝()x－2x2－x＋2x1
＝()x－x－2(x2－x1)
＝()(x2－x1)(x2＋x1－2)．
(1)当x1则有x2＋x1－2<0，
又因为x2－x1>0，
所以(x2－x1)(x2＋x1－2)<0.
所以()(x2－x1)(x2＋x1－2)>1.
又因为对于x∈R，f(x)>0恒成立，
所以f(x2)>f(x1)．
所以函数f(x)＝()x2－2x在(－∞，1]上单调递增．
(2)当1≤x12，则有x2＋x1－2>0，
又因为x2－x1>0，
所以(x2－x1)(x2＋x1－2)>0.
所以0<()(x2－x1)(x2＋x1－2)<1.
所以f(x2)所以函数f(x)在[1，＋∞)上单调递减．
综上所述，函数f(x)在(－∞，1]上是增函数，在[1，＋∞)上是减函数．
因为x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，0＜＜1，
所以0＜()x2－2x≤()－1＝5.
所以函数f(x)的值域是(0,5]．
解法二：因为函数f(x)的定义域是(－∞，＋∞)，
令t＝x2－2x，则f(x)＝g(t)＝()t.
又因为t＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上是单调减函数，而g(t)＝()t在定义域内是减函数，
所以函数f(x)在(－∞，1]上为增函数．
又因为g(t)＝()t在定义域内为减函数，t＝(x－1)2－1在[1，＋∞)上是增函数，
所以函数f(x)在[1，＋∞)上是减函数，值域求法同解法一(略)．
拓展探究
28．解：因为y＝(x－1)
( http: / / www.21cnjy.com )2－2，所以函数y＝x2－2x－1的单调减区间是(－∞，1]，单调增区间是[1，＋∞)，设x1，x2∈(－∞，1]，且x1y2.
因为函数y＝2x是R上的增函数，y＝()x是R上的减函数，
所以2y1>2y2，
且()y1<()y2，
即f(x1)>f(x2)，g(x1)所以函数f(x)＝2x2－2x－1在区间(－∞，1]上是减少的，g(x)＝()x2－2x－1在区间(－∞，1]上是增加的．
同理，函数f(x)＝2x2－2x－1
( http: / / www.21cnjy.com )在区间[1，＋∞)上是增加的，函数g(x)＝()x2－2x－1在区间[1，＋∞)上是减少的，因此函数y＝x2－2x－1单调递增时，函数f(x)＝2x2－2x－1单调递增，g(x)＝()x2－2x－1单调递减；函数y＝x2－2x－1单调递减时，函数f(x)＝2x2－2x－1单调递减，g(x)＝()x2－2x－1单调递增．第1章　集合测评(A卷)
(满分120分　时间90分钟)
一、填空题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．只要求直接填写结果)
1．下列说法正确的序号是__________．
①某校高一(1)班年龄较小的同学组成一个集合
②集合{1,2,3}与{3,1,2}表示不同的集合
③2008年北京奥运会的所有比赛项目组成一个集合
④1,0.5，，组成的集合有四个元素
⑤包括“嫦娥一号”在内的所有人造卫星组成的集合是有限集
2．已知M＝{x|x≥2}，a＝π，下列四个式子中正确的个数是________．
①a∈M　②{a}?M　③a M　④{a}∩M＝π
3．设集合U＝{x|04．若集合A＝[－2,3]，B＝(－∞，－1)∪(4，＋∞)，则集合A∩B＝________.
5．下列关系中正确的个数是__________．
①0 N　②π∈Q　③ {x∈R|x2＝－2}　④{0} 　⑤ ?{0}　⑥{a，b}∈{a，b，c}
6．已知集合M＝{a|∈N
，且a∈Z}，则用列举法表示M＝________.
7．已知集合U＝{1,2,3,
( http: / / www.21cnjy.com )4,5}，A＝{2,3,4}，B＝{4,5}，则A∩( UB)＝________，( UA)∪( UB)＝________.
8．如图所示，U是全集，M、P、S是U的3个子集，则阴影部分所表示的集合为__________．
9．已知集合A＝{x|x2＋x＋1＝0}，若A∩R＝ ，则实数m的取值范围是________．
10．已知集合A＝{x|x11．已知方程x2－px＋15＝0与
( http: / / www.21cnjy.com )x2－5x＋q＝0的解集分别是S与M，且S∩M＝{3}，则p＋q＝________.S∪M＝________.
12．定义集合A
B＝{x|x∈A，且x B
( http: / / www.21cnjy.com )}，若A＝{1,3,5,7}，B＝{2,3,5}，则(1)A
B的所有子集的个数为________________；(2)A
(A
B)＝__________.
二、解答题(本大题共5小题，共60分．解答应写出必要的文字说明、解题步骤或证明过程)
13．(10分)已知全集I＝R，
( http: / / www.21cnjy.com )集合A＝{x|x2＋ax＋12b＝0}，B＝{x|x2－ax＋b＝0}，满足( IA)∩B＝{2}，( IB)∩A＝{4}，求实数a、b的值．
14．(12分)已知全集
( http: / / www.21cnjy.com )U＝{不大于20的质数}，如果M、N是U的两个子集，且满足M∩( UN)＝{3,5}，( UM)∩N＝{7,19}，( UM)∩( UN)＝{2,17}，求M、N.
15．(12分)某班有学生50人，解甲、乙两道数学题．已知解对甲题者有34人，解对乙题者有28人，两题均解对者有20人，问：
(1)至少解对其中一题者有多少人？
(2)两题均未解对者有多少人？
16.(12分)已知集合A＝[a，a＋3]，B＝(－∞，－1)∪(5，＋∞)，全集U＝R.
(1)若a＝－3，求A∩B，A∩( UB)；
(2)若A∩B＝ ，求实数a的取值范围；
(3)若A UB，求实数a的取值范围．
17．(14分)设A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}．
(1)若A∩B＝B，求实数a的值；
(2)若A∪B＝B，求实数a的值．
?答
案
与
解
析
第1章　集合测评(A卷)
一、填空题
1．③⑤
2．2　①②正确．
3．{1,2,4}　U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，∴ UT＝{1,2,4,6,8}，∴S∩( UT)＝{1,2,4}．
4．[－2，－1)　结合数轴可得A∩B＝[－2，－1)．
5．2　①②显然不正确，∵{x|x2＝－2}＝ ，∴③即 .由子集性质知③正确；④不正确；⑤正确；⑥应为“?”而不是“∈”，∴不正确．
6．{－1,2,3,4}　∵∈N
，且a∈Z，∴5－a＝1,2,3,6，∴a＝4,3,2，－1.∴M＝{－1,2,3,4}．
7．{2,3}　{1,2,3,5}　 UB＝
( http: / / www.21cnjy.com ){1,2,3}， UA＝{1,5}，∴A∩( UB)＝{2,3}，( UA)∪( UB)＝{1,2,3,5}．
8．M∩P∩( US)　由图知，阴影部分元素x∈M，且x∈P，但x S，∴x∈(M∩P)∩( US)．
9．[0,4)　∵A∩R＝ ，∴A＝ .
( http: / / www.21cnjy.com )即方程x2＋x＋1＝0无解．∴Δ＝()2－4<0，得m<4，又m≥0，∴所求m的范围是0≤m<4，即[0,4)．
10．a≥2　∵B＝{x|1( http: / / www.21cnjy.com )<2}，∴ RB＝{x|x≤1或x≥2}．又∵A＝{x|x11．14　{2,3,5}　∵S∩M＝{3}，
∴3∈S,3∈M，∴32－3p＋15＝0，解得p＝8；32－5×3＋q＝0，
∴q＝6.∴p＋q＝14，将p＝8，q＝6代入原方程，得S＝{3,5}，M＝{2,3}，∴S∪M＝{2,3,5}．
12．(1)4　(2){3,5}　(1)由定义得A
B＝{1,7}，∴子集为 ，{1}，{7}，{1,7}，共22＝4个；
(2)∵A
B＝{1,7}，∴A
(A
B)＝{x|x∈A，且x (A
B)}＝{3,5}．
二、解答题
13．解：∵( IA)∩B＝{2}，∴2∈B且2 A，由此可得22－2a＋b＝0.①
∵( IB)∩A＝{4},4∈A且4 B，由此可得42＋4a＋12b＝0.②
由①②可解得a＝，b＝－.
14．解：U＝{不大于20的质数}＝{2,3,5,7,11,13,17,19}，如下图所示：
由( UM)∩( UN)＝{2,17}，知M、N中都没有元素2,17；
由( UM)∩N＝{7,19}，知N
( http: / / www.21cnjy.com )中有7,19，而M中没有元素7,19；由M∩( UN)＝{3,5}，知M中有元素3,5，而N中没有元素3,5；U中剩余元素11,13不在三个集合M∩( UN)、( UM)∩N、( UM)∩( UN)中，∴只能有M∩N＝{11,13}，∴M＝{3,5,11,13}，N＝{7,11,13,19}．
15．解：(1)方法一：设全集为U，A
( http: / / www.21cnjy.com )＝{只解对甲题的学生}，B＝{只解对乙题的学生}，C＝{甲、乙两题都解对的学生}，则A∪C＝{解对甲题的学生}，B∪C＝{解对乙题的学生}，A∪B∪C＝{至少解对一题的学生}， U(A∪B∪C)＝{两题均未解对的学生}．
因此A∪B∪C中的学生数为34＋28－20＝42(人)．
∴至少解对其中一题者有42个人．
方法二：利用Venn图解．画出Venn图如下图所示：
由图可知，至少解对一题者有14＋20＋8＝42(人)．
(2)由(1)得 U(A∪B∪C)有N2＝50－42＝8(人)．
∴两题均未解对者有8个人．(由Venn图也易得结果)
答：(1)至少解对其中一题者有42人．
(2)两题均未解对者有8人．
16．解：(1)若a＝－3，则A＝[－3,0]，此时A∩B＝[－3，－1)．
借助数轴如图所示：
∵ UB＝[－1,5]，∴A∩( UB)＝[－1,0]．
(2)∵a∴A≠ .又A∩B＝ ，∴有
解得－1≤a≤2.
(3)∵B＝(－∞，－1)∪(5，＋∞)，
∴ UB＝[－1,5]．
若A UB，则必须有
∴－1≤a≤2，故 UB A时，实数a的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．
17．解：易知A＝{－4,0}．
(1)若A∩B＝B，则B A，∴B＝ 或{0}或{－4}或{－4,0}．
①若B＝ ，则方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0无实数解，
∴Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，即8＋8a<0，解得a<－1；
②若B＝{0}，则方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0有两个相等的实数根，
∴解得a＝－1，
此时B＝{0}．满足题意，∴a＝－1；
③若B＝{－4}，则方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0有两个相等的实数根．∴此方程组无解．∴B≠{－4}；
④若B＝{－4,0}，则方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0有两个不相等的实数根－4,0，
∴解得a＝1，此时B＝{x|x2＋4x＝0}＝A＝{－4,0}，满足题意，∴a＝1.
综上可知，实数a的取值范围是a＝1或a≤－1.
(2)若A∪B＝B，则A B
( http: / / www.21cnjy.com ).又∵B为二次方程的解集，∴B中至多有两个元素．∵A＝{－4,0}，∴B＝{－4,0}＝A，即方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0有两个不相等的实数根为－4和0.由(1)知，a＝1.
注：本题在讨论一元二次方程的解时，也可以用根与系数的关系求a的值．第二课时
1．已知函数f(x)＝logax(a>0且
( http: / / www.21cnjy.com )a≠1)的反函数为y＝f－1(x)，且有反函数值f－1(2)<1，则下列图象中是函数f(x)的图象的序号是__________．
2．将函数y＝log2x的
( http: / / www.21cnjy.com )图象向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到函数f(x)的图象，则f(x)的解析式是__________．
3．已知0( http: / / www.21cnjy.com )oga＋loga，y＝loga5，z＝loga－loga，则x、y、z的大小关系为__________．
4．已知函数f(x)＝1
( http: / / www.21cnjy.com )＋logax(a>0，且a≠1)，f－1(x)是f(x)的反函数．若f－1(x)的图象过点(3,4)，则a＝__________.
5．已知f(x)＝lg，f(1)＝0，且当x>0时，恒有f(x)－f()＝lgx.
(1)求常数a、b的值；
(2)求f(x)的定义域．
课堂巩固
1．若定义在区间(－1,0)上的函数f(x)＝log2a(x＋1)满足f(x)＞0，则a的取值范围是__________．
2．若a＝log3π，b＝log76，c＝log20.8，则a、b、c的大小关系是__________．
3．设a>1，函数f(x)＝logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为，则a等于__________．
4．设a>1，且m＝loga(a2＋1)，n＝loga(a－1)，p＝loga(2a)，则m、n、p的大小关系是__________．
5．在同一平面直角坐标系
( http: / / www.21cnjy.com )中，函数y＝g(x)的图象与y＝ex的图象关于直线y＝x对称，而函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象关于y轴对称．若f(m)＝－1，则m＝__________.
6．已知函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，如果对于任意x∈[3，＋∞)都有|f(x)|≥1成立，求a的取值范围．
7．在同一直角坐标系下，画出函数f(x)＝1＋log2x与g(x)＝2－x＋1的图象．
1．(1)函数y＝f(x)的图象与函数y＝log3x(x>0)的图象关于直线y＝x对称，则f(x)＝__________.
(2)若函数f(x)的反函数为f－1(x)＝log2x，则f(x)＝__________.
2．已知函数f(x)＝log2(x2－ax＋3a)在[2，＋∞)上是单调增函数，则实数a的取值范围是__________．
3．若a＝，b＝，c＝，则a、b、c的大小关系为__________．
4．若A＝{x|2≤22－x<8，x∈Z}，B＝{x||log2x|>1}，则A∩( RB)的元素个数为__________．
5．设f(x)＝则不等式f(x)>2的解集为__________．
6．若x∈(e－1,1)，a＝lnx，b＝2lnx，c＝ln3x，则a、b、c的大小关系是__________．
7．已知函数f(x)＝2x＋3，f－1(x)
( http: / / www.21cnjy.com )是f(x)的反函数，若mn＝16，m，n∈(0，＋∞)，则f－1(m)＋f－1(n)的值为__________．
8．设a，b，c均为正数，且2a＝loga，()b＝logb，()c＝log2c，则a、b、c的大小关系为__________．
9．对于函数f(x)定义域中任意的x
( http: / / www.21cnjy.com )1、x2(x1≠x2)，有如下结论：①f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)；②f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)；③>0；④f()<(f(x1)＋f(x2))．当f(x)＝lgx时，上述结论成立的序号是__________．
10．(易错题)(1)方程lgx2－lg(x＋2)＝0的解集是
　　__________.
(2)函数y＝log(1－x)(x＋3)的递增区间是__________．
11．(易错题)已知f(x)＝1＋logx3，g(x)＝2logx2，试比较f(x)与g(x)的大小．
12．已知f(x)＝lg(ax－bx)(a>1>b>0)．
(1)求y＝f(x)的定义域．
(2)在函数图象上是否存在不同两点，使过这两点的直线平行于x轴？
(3)当a，b满足什么条件时，f(x)在区间(1，＋∞)上恒取正值？
答案
第二课时
课前预习
1．②　∵f－1(x)＝ax，又f－1(2)<1，∴a2<1.
∵a>0且a≠1，∴02．f(x)＝log2(x＋2)－1　y＝log2xy＝log2(x＋2)y＝log2(x＋2)－1.
3．z∵0又<<，∴loga>loga>loga，即z4．2　由互为反函数图象间的关系，得(4,3)必在函数f(x)的图象上，∴3＝1＋loga4，即loga4＝2.
∴a2＝4.
又a>0且a≠1，∴a＝2.
5．解：(1)∵f(1)＝0，∴lg＝0，
∴a＋b＝2.①
∵f(x)－f()＝lgx，
∴lg－lg＝lgx.
∴＝x，即ax2＋bx＝ax＋bx2，
∴a＝b.②
由①②知，a＝b＝1.
(2)∵f(x)＝lg，∴由>0，得　　①或②
由①得x>0，由②得x<－1，∴函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)．
课堂巩固
1．(0，)　当x∈(－1,0)时，有x＋1∈(0,1)，此时要满足f(x)>0，只要0<2a<1即可．
∴02．a>b>c　∵a＝log3π>log33＝1，log71∴0∴a>b>c.
3．4　由a>1，知f(x)在区间[a,2a]上为单调增函数，∴loga2a－logaa＝，即loga2＝，解得a＝4.
4．n1，则m＝log25>log24＝2，n＝log21＝0，p＝log24＝2，
∴n方法二：∵a>1，∴a2＋1－2a＝(a－1)2.
∴a2＋1>2a；
2a－(a－1)＝a＋1>0，∴2a>a－1.
∴a2＋1>2a>a－1＞0.
根据a>1时，y＝logax为单调增函数，得loga(a2＋1)>loga(2a)>loga(a－1)，即m>p>n.
5．－　由题意知，g(x)是函数y
( http: / / www.21cnjy.com )＝ex的反函数，∴g(x)＝lnx.又函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象关于y轴对称，∴f(x)＝ln(－x)．
又∵f(m)＝－1，∴ln(－m)＝－1＝lne－1，
∴－m＝e－1，即m＝－.
6．解：根据对数函数的图象和性质，知在区间[3，＋∞)上：当a>1时，|f(x)|≥1 f(x)≥1 loga3≥1，
∴1当0综上可知，a的取值范围是[，1)∪(1,3]．
7．解：∵f(x)的图象是
( http: / / www.21cnjy.com )由y＝log2x向上平移1个单位得到的，g(x)＝()x－1的图象是由y＝()x的图象向右平移一个单位得到的，∴先画出函数y＝log2x与y＝()x的图象，再经平移即得f(x)与g(x)的图象，如图所示．
课后检测
1．(1)3x(x∈R)　
( http: / / www.21cnjy.com )(2)2x(x∈R)　(1)由题意知y＝f(x)与y＝log3x(x>0)互为反函数，∴f(x)＝3x(x∈R)．
(2)∵y＝f－1(x)＝log2x，
∴x＝2y.∴f(x)＝2x(x∈R)．
2．(－4,4]　令u(x)＝x2－ax＋3a，其对称轴为x＝，由题意有
解得－43．c∴ln5方法二：(作差法)a－b＝－＝＝(ln8－ln9)<0，∴a同理可得c方法三：(作商法)依据题意可知a、b、c都为正数，
∵＝·＝<1，
∴a1，∴c∴c方法四：∵a＝ln，b＝ln，c＝ln，又＝<＝，＝>＝，∴c4．2　方法一：由21≤22－x<23＝8，得1≤2－x<3，
∴－1≤－x<1.
∴－1又∵x∈Z，
∴x＝0,1，即A＝{0,1}；
而0,1均不属于B，
∴0,1均属于 RB.
∴A∩( RB)＝{0,1}．
∴A∩( RB)中有2个元素．
方法二：由|log2x|>1得log2x>1，或log2x<－1，解得x>2或0∴B＝{x|02}，
∴ RB＝{x|x≤0或≤x≤2}．由方法一知A＝{0,1}，∴A∩( RB)＝{0,1}．∴A∩( RB)中有2个元素．
5．(1,2)∪(，＋∞)　(1)当x<2时，f(x)＝2ex－1>2 ex－1>1＝e0 x>1.
∴1(2)当x≥2时，f(x)＝log3(
( http: / / www.21cnjy.com )x2－1)>2 log3(x2－1)>log39 x2－1>9 x2>10(|x|>) x>或x<－ x>.由(1)(2)可知不等式的解集为(1,2)∪(，＋∞)．
6.b∵x∈(e－1,1)，
∴x>x2，∴a>b.
∵e－1∴lnx7．－2　f(x)＝2x＋3，得f－1(x)＝log2x－3，
∴f－1(m)＋f－1(n)＝log2m－3＋log2n－3＝log2mn－6＝log216－6＝4－6＝－2.
8．a法二(代数法)：∵a>0，∴2a>20＝1.
∴loga>1＝log，∴0又∵b>0，
∴0<()b<()0＝1.
∴0又∵()c>0，
∴log2c>0＝log21，∴c>1.
∴09．②③
10．(1){－1,2}　(2)(－1,1)　(1)由题意知即
∴x2－x－2＝0，解得x＝2或x＝－1.
经检验知，－1,2都是原方程的解．
(2)令u＝(1－x)(x＋3)>0，
∴①或②
解①得－3∴函数的定义域为(－3,1)．
∵u＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，对称轴为x＝－1，∴u在(－3，－1)上是单调增函数，在(－1,1)上是单调减函数．
又∵y＝logu为定义域上的单调减函数，
∴y＝log(1－x)(x＋3)在(－1,1)上是单调增函数，即原函数的递增区间为(－1,1)．
点评：(1)对数方程一般
( http: / / www.21cnjy.com )要转化为一元一次或二次方程来解．但要保证转化时各对数式有意义，即求出的根必须适合x的取值范围．此类问题常因不恒等变形而产生增根导致错解，所以要注意验根．
(2)本题是对数函数与二次函数的复合函
( http: / / www.21cnjy.com )数，需要分别判断它们的单调性，由于底数∈(0,1)，所以对数函数是单调减函数，二次函数经配方后，可依对称轴确定单调性与单调区间．但必须注意研究函数性质，或求单调区间，应考虑“定义域优先原则”．此类问题常因忽视定义域，而将单调区间求错．若对数的底数是字母，还要讨论．
11．解：f(x)和g(x)的定义域都是(0,1)∪(1，＋∞)．
f(x)－g(x)＝1＋logx3－2logx2＝1＋logx3－logx4＝logxx.
(1)当00，即0g(x)．
(2)当x>1时，若x>1，即x>，此时logxx>0，即x>时，f(x)>g(x)；若x＝1，即x＝，此时logxx＝0，即x＝时，f(x)＝g(x)；若0综上所述，当x∈(0,1)∪(，＋∞)时，f(x)>g(x)；当x＝时，f(x)＝g(x)；当x∈(1，)时，f(x)点评：比较两个函数值的大小常用函数的单调
( http: / / www.21cnjy.com )性．本题两函数可化为同底的对数式，所以可用作差法比较大小，但其差不仅真数上含变量x，底数上也有，所以使用对数的性质，要讨论底数大于1，还是大于零小于1，还要讨论真数．利用分类讨论思想解题，必须搞清分类标准，做到不重不漏．本题往往只注重了底数的讨论，却忽视了真数的讨论或对真数讨论混乱不清，而导致错解．
12．解：(1)由ax－bx>0，得()x>1＝()0，
∵>1，∴x>0.
∴函数的定义域为(0，＋∞)．
(2)先证明f(x)是其定义域上的单调增函数．对于任意的x1>x2>0，
∵a>1>b>0，∴ax1>ax2，bx1∴ax1－bx1>ax2－bx2.
∴lg(ax1－bx1)>lg(ax2－bx2)．
∴f(x1)>f(x2)．
∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数．假设
( http: / / www.21cnjy.com )y＝f(x)上存在不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，使直线AB∥x轴，则x1≠x2，y1＝y2，这与f(x)是增函数矛盾，
∴y＝f(x)的图象上不存在两点，使过这两点的直线平行于x轴．
(3)要使f(x)在(1，＋∞)上恒取正
( http: / / www.21cnjy.com )值，由于f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴只需f(1)≥0即可，即lg(a－b)≥0.∴a－b≥1.
∴当a，b满足a－b≥1时，f(x)在区间(1，＋∞)上恒取正值．第2章　函数概念与基本初等函数Ⅰ
2．1　函数的概念和图象
2．1.1　函数的概念和图象
1．对于函数y＝f(x)，以下说法中正确的个数为__________．
①y是x的函数；②对于不同的x，y的值也不同；③f(a)表示当x＝a时函数f(x)的值，是一个常量；④对某一个x，可以有两个y值与之对应．
2．设f(x)＝，则f(2)＋f()＝__________.
3．函数f(x)＝＋的定义域是__________．
4．下列图形中，不可能是函数y＝f(x)的图象的序号是________．
5．已知函数f(x)＝－x2＋2x，(1)求f(f(－2))；(2)求f(x)的值域；(3)画出函数的图象．
课堂巩固
1．设数集A＝{a，b，c}，B＝{x，y，z}，从集合A到B的四种对应方式如图，其中是从A到B的函数的序号是________．
2．设函数f(x)＝ax＋b，若f(1)＝－2，f(－1)＝0，则a与b的值分别为________．
3．函数f(x)＝与g(x)＝的定义域分别为M、N，则函数y＝f(x)＋g(x)的定义域为________．
4．下列各组中的两个函数，表示同一函数的组的个数是__________．
(1)f(x)＝x，g(x)＝()2；
(2)f(x)＝x，g(x)＝；
(3)f(x)＝|x|，g(x)＝；
(4)f(x)＝x，g(x)＝；
(5)f(x)＝2x－x2，g(t)＝2t－t2.
5．设g(x)＝2x＋1，f(g(x))＝3x＋2，若f(a)＝4，则a＝__________.
6．已知f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)．
(1)求f(2)，g(2)的值；
(2)求f(g(2))的值；
(3)求f(g(x))、g(f(x))的值．
7．画出函数f(x)＝x2－4x＋3，x∈[0,3]的图象，并求出函数的值域．
1．已知函数f(x)＝x2＋px＋q满足f(1)＝f(2)＝0，则f(－1)的值为__________．
2．已知函数f(x)＝，则满足f(4x)＝x的x的值为__________．
3．设M＝{x|－2≤x≤2}，N＝
( http: / / www.21cnjy.com ){y|0≤y≤2}，给出下列4个图形，其中能表示以集合M为定义域，N为值域的函数关系的序号是________．
4．若f(x)＝ax2－，a是一个正常数，且f(f())＝－，则a＝__________.
5．已知函数f(x)＝3x－4的值域为[－10,5]，则其定义域为__________．
6．若集合A＝{x|－1≤x≤1，x∈Z}，则当x∈A时，函数f(x)＝3x－1的值域为__________．
7．有一位商人，从北京向上海的家中
( http: / / www.21cnjy.com )打电话，通话m分钟的电话费由函数f(m)＝1.06×(0.5[m]＋1)(元)决定，其中m＞0，[m]是大于或等于m的最小整数．则从北京到上海通话时间为5.5分钟的电话费为________元．
8．(易错题)设函数f1(x)＝，f2(x)＝，f3(x)＝x2，则f1(f2(f3(2
009)))＝__________.
9．如图，△ABC是一个等腰直角三角
( http: / / www.21cnjy.com )形，AB＝AC＝1，EF∥BC.当E从A移向B时，写出线段EF的长度l与它到点A的距离h之间的函数关系式，并作出函数图象．
10．求函数y＝(x∈R)的值域．
答案
2．1　函数的概念和图象
2．1.1　函数的概念和图象
课前预习
1．2　由函数定义知①③正确；④不正确．对不同的x，可以有相同的y值，如y＝x2，当x＝±1时，y＝1.∴②不正确．
2．0　∵f(2)＝，f()＝－，
∴f(2)＋f()＝0.
3．[－1,2)∪(2，＋∞)　由题意得
∴
即函数f(x)的定义域为[－1,2)∪(2，＋∞)．
4．(1)(3)　由函数定义，对y
( http: / / www.21cnjy.com )＝f(x)，x为自变量，y为函数值，若一个x值对应两个y的值，就不构成函数，也不是函数图象，如(1)(3)．若一对一或多对一则是函数．
5．解：(1)∵f(－2)＝－8，
∴f(f(－2))＝f(－8)＝－80.
(2)函数f(x)的定义域为R，
∵f(x)＝－x2＋2x＝－(x2－2x＋1)＋1
＝－(x－1)2＋1≤1，
∴所求函数的值域为{y|y≤1}．
(3)描点法作出函数图象如下图所示．
课堂巩固
1．(1)(2)(3)
2．－1，－1　由已知得
解得a＝－1，b＝－1.
3．{x|x≥2}(或N
( http: / / www.21cnjy.com ))　由题意知，M＝{x|x≥1}，N＝{x|x≥2}，∴函数y＝f(x)＋g(x)的定义域为M∩N＝{x|}＝{x|x≥2}＝N.
4．2　(1)f(x)的定
( http: / / www.21cnjy.com )义域为R，g(x)的定义域为[0，＋∞)，所以不是同一函数；(2)g(x)＝＝|x|与f(x)的对应法则不同，也不是同一函数；(3)是同一函数；(4)g(x)的定义域为{x|x≠0}与f(x)的定义域不同，所以不是同一函数；(5)两个函数的定义域、对应法则都相同，只是自变量字母不同，是同一函数．
5.　法一：(换元法)令g(x)＝t，即2x＋1＝t，∴x＝.
∴f(g(x))＝f(t)＝3＋2＝t＋.
∴f(a)＝a＋.
∵f(a)＝4，∴a＋＝4.∴a＝.
法二：(配凑法)∵f(g(x))＝f(2x＋1)＝3x＋2＝(2x＋1)＋，
∴f(x)＝x＋.∴f(a)＝a＋＝4.
解得a＝.
法三：(待定系数法)由已知f(x)为一次函数，设f(x)＝kx＋b，
则f(g(x))＝kg(x)＋b＝k(2x＋1)＋b＝2kx＋(k＋b)．
又f(g(x))＝3x＋2，∴比较系数得2k＝3且k＋b＝2.∴k＝，b＝.
∴f(x)＝x＋.
∴f(a)＝a＋＝4.∴a＝.
6.解：(1)f(2)＝＝，g(2)＝22＋2＝6.
(2)f(g(2))＝f(6)＝＝.
(3)f(g(x))＝f(x2＋2)＝＝；
g(f(x))＝g()＝()2＋2
＝＋2.
7．解：f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1.
描点法作出函数图象如下：
∵x∈[0,3]，∴图象只是一段
( http: / / www.21cnjy.com )抛物线弧(包括两端点)．由图可知：－1≤y≤3，当x＝0时，y＝3；当x＝2时，y＝－1，∴所求函数的值域为[－1,3]．
课后检测
1．6　由题意得
∴f(x)＝x2－3x＋2.∴f(－1)＝(－1)2－3×(－1)＋2＝6.
2.　∵f(x)＝，∴f(4x)＝＝x，
即4x2－4x＋1＝0，解得x＝.
3．②　由函数概念，要构成函数必须
( http: / / www.21cnjy.com )是定义域中的每一个自变量对应唯一一个函数值．①中，当04.　∵f()＝a()2－＝2a－，
∴f(f())＝f(2a－)＝a(2a－)2－＝－，即a(2a－)2＝0.
∵a>0，∴2a－＝0.∴a＝.
5．[－2,3]　画出函数f(x)＝3x－4(y∈[－10,5])的图象如图：
∵当y＝－10时，x＝－2；
当y＝5时，x＝3，∴其图象为一线段且端点为(－2，－10)，(3,5)．
∴所求定义域为[－2,3]．
6．{－4，－1,2}　∵x∈A＝{－1,0,1}，
∴当x＝－1时，f(－1)＝－4；
当x＝0时，f(0)＝－1；当x＝1时，f(1)＝2.
∴函数f(x)的值域为{－4，－1,2}．
7．4.24　∵m＝5.5，∴[5.5]＝6.
∴f(5.5)＝1.06×(0.5×6＋1)＝1.06×4＝4.24.
8.　法一：∵f3(x)＝x2，
∴f3(2
009)＝2
0092.∵f2(x)＝，
∴f2(f3(2
009))＝f2(2
0092)＝.
又f1(x)＝，∴f1(f2(f3(2
009)))＝f1()＝＝.
法二：∵f1(x)＝，f2(x)＝，f3(x)＝x2，
∴f1(f2(f3(x)))＝f1(f2(x2))＝f1()＝＝.
∴f1(f2(f3(2
009)))＝＝.
点评：已知函数f(x)，g(x)的解
( http: / / www.21cnjy.com )析式，求复合函数f(g(x))的函数值时，要注意理解“f”和“g”的符号含义，一般遵循先内后外的原则，将g(x)看作自变量，结合对应法则一步一步导出最终结果．可以先求出复合函数解析式，再求值(法二)；也可以逐个求值，最后求出结果(法一)．但最终的结果一定不要带有“f”或“g”这样的抽象符号，否则会错解或还要进一步求解．这是解此类问题的易错点．
9．解：在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝1，EF∥BC，EF＝l.
设A到EF的距离为h，则l＝2h,0≤h≤.
图象如下图所示．
点评：本题以平面几何的三角形为载体
( http: / / www.21cnjy.com )，考查函数建模能力．求函数关系式主要寻求变量间的等量关系．本题利用等腰直角三角形的性质：“斜边上的中线(高线)等于斜边的一半”，列出等式，即得所求函数关系式，最后必须注明函数定义域，自变量h要符合实际意义，图象为一线段(含两端点)．
10．解法一：∵x∈R时，x2＋1>x2≥0，
∴0≤<1，且当x＝0时，y最小为0.
∴0≤y<1.
解法二：由已知得yx2＋y＝x2，∴x2＝≥0，即y与1－y同号且y≠1.
∴或解得0≤y<1，
即原函数值域为[0,1)．
解法三：y＝＝＝1－，
∵x2≥0(x∈R)，∴x2＋1≥1.
∴0<≤1，－1≤－<0.
∴0≤1－<1，即0≤y<1.
∴函数值域为[0,1)．
点评：本题解法运用了不等式知识，解法一
( http: / / www.21cnjy.com )运用了实数的性质，解法二利用分离变量，将问题转化为不等式组来解，解法三是分离常数后，再用不等式求解．“分离常数”“分离变量”都是常用的数学解题技巧与方法．2.1.4　映射的概念
1．已知f：A→B是从集合A到B的映射，下列说法正确的序号是__________．
①集合A中的每一个元素在B中必有唯一元
( http: / / www.21cnjy.com )素与之对应　②B中可能有元素在A中没有对应元素　③A中两个不同的元素在B中的对应元素一定不相同　④B中的某个元素在A中与之对应的元素可能不止一个
2．下列从A到B的对应能构成映射的序号是__________．
①A＝R，B＝R＋，f：x→|x|
②A＝R＋，B＝R，f：x→对x开平方(或x的平方根)
③A＝R＋，B＝R＋，f：x→
④A＝Q，B＝{偶数}，f：x→2x(注：R＋表示正实数)
3．下列各组中，集合P与M不能建立P到M映射的序号是__________．
①P＝{0}，M＝
( http: / / www.21cnjy.com )　②P＝{1,2,3,4,5}，M＝{2,4,6,8,10}　③P＝Q，M＝{数轴上的点}　④P＝{平面上的点}，M＝{有序实数对}
4．给出下列四个对应，其中能构成映射的个数是__________．
5．已知集合A＝N
，B＝{奇数}，
( http: / / www.21cnjy.com )映射f：A→B使A中任一元素a与B中元素2a－1相对应，则与B中元素17对应的A中的元素是__________．
6．已知集合A＝{a，b}，B＝{c，d}，则能建立A到B的不同映射个数是__________．
7．在下列对应关系中，是A到B的映射的有______个．
①A＝N，B＝N
，f：x→|x－3|
②A＝N，B＝Q，f：x→5x＋2
009
③A＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{－4，－3,0,5,12}，f：x→x(x－4)
④A＝N，B＝{－1,1}，f：x→(－1)x
⑤A＝{平面内的圆}，B＝{平面内的三角形}，f：圆→圆的内接三角形
8．若B＝{－3,1,7}，试找出一个集合A，使得f：x→2x＋1是A到B的映射．
9．已知A＝R，B＝R，A到B的映射f：x→3x－5.
(1)求与x＝2,5,8相对应的B中元素；
(2)求与B中的元素35,47相对应的A中元素x.
10．已知集合A＝{(x，y)||x|<2，x＋y<3，x∈Z，y∈N
}，B＝{0,1,2}，A到B的对应关系f：(x，y)→x＋y，试作出对应图，并判断f是否为从A到B的映射．
11．已知集合A＝{，，…，，，1,2，3，…，2
008，2
009}，在映射f：x→的作用下得到集合B，求集合B中所有元素之和．
12．已知映射f：A→B，其中，集
( http: / / www.21cnjy.com )合A＝{－3，－2，－1，1,2,3,4}，集合B中的元素都是在f作用下与A中元素相对应的元素，且对任意的a∈A，在B中与它对应的元素是|a|，则集合B中元素的个数是__________．
13．设集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤2}，在下图所示的图形中，能表示集合A到集合B的映射的序号是__________．
14．设集合A与B都是坐标平面上的
( http: / / www.21cnjy.com )点集：{(x，y)|x∈R，y∈R}，映射f：A→B使集合A中的元素(x，y)映射成集合B中的元素(x＋y，x－y)，则在映射f下，与B中的元素(2,1)相对应的A中的元素是__________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　
( http: / / www.21cnjy.com )　人靠理性无法绝对客观正确。——范氏15.已知集合A＝{1,2,3，…，10}，B＝{1，，，…，}．设x∈A，y∈B，试给出一个对应法则f使f：A→B是集合A到集合B的映射f：x→y＝__________.
16．已知A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}，按下列对应法则f，不能成为集合A到B的映射的序号是__________．
①f：x→y＝x　②f：x→y＝x－2　③f：x→y＝
④f：x→y＝|x－2|
17．已知A＝R，B＝{正实数}，映射
( http: / / www.21cnjy.com )f：x→|x|＋1，则A中的元素－2在B中的对应元素是__________，B中的元素8在A中的对应元素是__________．
18．为确保信息安全，信息需加密传
( http: / / www.21cnjy.com )输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)．已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a＋2b,2b＋c,2c＋3d,4d.例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为__________．
19．设集合A到B的映射为f
( http: / / www.21cnjy.com )1：x→2x＋1，集合B到C的映射f2：y→y2－1，则集合A到C的映射f的对应法则是什么？集合A中的元素1与C中的什么元素对应？集合C中的元素0与集合A中的什么元素对应？
20．(易错题)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{5,6,7}，在下列A到B的四种对应关系中，是否构成A到B的映射？
21．若f：x→3x＋1是集合A＝{1,2,3，k}到集合B＝{4,7，a4，a2＋3a}的一个映射．求自然数a，k及集合A，B.
22．(1)设集合A＝{a1，a2，a3}，B＝{b1，b2}，则从A到B的映射有多少个？从B到A的映射有多少个？
(2)设集合A＝{a1，a2，…，an}，B＝{b1，b2，…，bm}，则从A到B的映射有多少个？从B到A的映射有多少个？
?答案与解析
基础巩固
1．①②④
2．③　①f：x→|x|，x∈R，
( http: / / www.21cnjy.com )当x＝0时，y＝0?B，∴不能构成映射；②当x＝4时，y＝±＝±2，一对多，不满足唯一性，不能构成映射；④f：x→2x，当x＝0.1∈Q时，y＝0.2?B不能构成映射．③符合映射概念．
3．①　由映射概念，f：A→B中集合A、B必须是非空集合，
∴①不能建立P到M的映射．
4．2　由映射概念(1)(4)可构成映射．
5．9　由题意知，f：a→2a－1，
∴由2a－1＝17，得a＝9.
∴与B中元素17相对应的A中元素是9.
6．4　A到B的不同映射共有4个．它们分别是
7．3　由映射的概念，②③④是A到B的映射．
∵当x＝3(x∈N)时，|x－3|＝|3－
( http: / / www.21cnjy.com )3|＝0?N
，∴A中的元素3在B中没有对应元素，①不能构成A到B的映射；∵一个圆有无数个内接三角形相对应，∴⑤不构成A到B的映射．
8．解：由题意，得2x＋1＝－3，则x＝－2；由2x＋1＝1，得x＝0；由2x＋1＝7，得x＝3，∴集合A＝{－2,0,3}．
9．解：(1)∵f：x→
( http: / / www.21cnjy.com )3x－5，∴当x＝2时，3x－5＝1；当x＝5时，3x－5＝10；当x＝8时，3x－5＝3×8－5＝19.∴与2,5,8相对应的元素分别是1,10,19.
(2)由3x－5＝35，得x＝；
由3x－5＝47，得x＝.
∴与B中元素35,47相对应的A中元素分别为，.
10．解：由题意，得A＝{(－1,1)，(－1,2)，(－1,3)，(0,1)，(0,2)，(1,1)}，B＝{0,1,2}．对应图如下：
A中每一个元素在集合B中都有唯一的元素与它对应，所以f是集合A到集合B的映射．
11．解：由f：x→可知，对应法则实质是f(x)＝.
集合B＝{f()，f()，…，f()，f()，f(1)，f(2)，f(3)，…，f(2
008)，f(2
009)}．
∵f(x)＋f()＝＋＝＋＝1，
∴f()＋f()＋…＋f()＋f()＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2
008)＋f(2
009)＝[f(2
009)＋f()]＋[f(2
008)＋f()]＋…＋[f()＋f(3)]＋[f(2)＋f()]＋f(1)
＝1＋1＋…＋＋f(1)＝2
008＋＝2
008.
能力提升
12．4　由题意知对应法则为f：a
( http: / / www.21cnjy.com )→|a|，∴A中的－3和3对应B中的3，－2和2对应B中的2，－1和1对应B中的1，A中的4对应B中的4，即B＝{1,2,3,4}，∴B中元素有4个．
13．(4)(5)　由题设，将集合
( http: / / www.21cnjy.com )A、B与图(1)(2)对照知，集合A中的有些元素在B中没有元素与之对应，故不构成映射；图(3)，当0≤x＜2时，集合A中的元素与集合B中的两个元素相对应，故不构成映射；图(4)(5)能构成映射．
14．(，)　依题意，令解得故与B中元素(2,1)对应的A中元素为(，)．
15.　由条件可知，B中的元素分别是A中元素平方的倒数，∴A到B的映射是f：x→y＝.
16．②　∵当x∈[0,2)时，例如x＝0,1，则y＝－2，－1?B，
∴f：x→y＝x－2不能成为A到B的映射．
17．3　±7　∵x＝－2时，|x|＋1＝|－2|＋1＝3，∴A中元素－2与B中的元素3对应．由|x|＋1＝8，得x＝±7.
∴B中的元素8在A中的对应元素为±7.
18．6,4,1,7　由题意可知解得
19．解：由y＝(2x＋1)2－
( http: / / www.21cnjy.com )1＝4x2＋4x，得集合A到C的映射f的对应法则是f：x→4x2＋4x＝4x(x＋1)；x＝1∈A，在f作用下，有4×1×(1＋1)＝8∈C，∴集合A中的元素1与C中的元素8对应；0∈C，即4x(x＋1)＝0，解得x＝0或x＝－1，
∴集合C中的元素0在集合A中有两个元素0或－1与之对应．
20．解：(1)是数集A到数集B的映射．
(2)因为A中的元素4在B中无对应元素，故该对应不是A到B的映射．
(3)该对应是A到B的一个映射．
(4)A中的元素3在B中有两个元素与之对应，故不是A到B的映射．
点评：判断一个对应是否是A到B的映射，应
( http: / / www.21cnjy.com )考虑两个方面：(1)集合A中的每一个元素是否在集合B中都有对应元素；(2)集合A中的元素在集合B中是否只有一个对应元素．它们成立与否是判断映射的标准与依据．
21．解：由题意，A中的1与B中的元素4对应，A中的2与B中的7对应，
∴可判断A中的元素3要与B中的a4或a2＋3a相对应．
若与a4对应，则a4＝3×3＋1＝10，且a∈N，
∴a不存在；
若与a2＋3a相对应，则a2＋3a＝10，
( http: / / www.21cnjy.com )解得a＝－5?N舍去，a＝2.此时集合B＝{4,7,16,10}，又集合A中的元素k只能与B中的a4＝16相对应，
∴3k＋1＝16，k＝5.
∴A＝{1,2,3,5}，B＝{4,7,10,16}．
拓展探究
22．解：(1)a1可以与b1或b2对应，同样a2，a3也有2种方法，所以从A到B的映射共有2×2×2＝23＝8个．
同理，得从B到A的映射有3×3＝32＝9个．
(2)类比(1)的推理：∵集合A中有n个元素，集合B中有m个元素，
∴从A到B的映射共有mn个．
从集合B到A的映射共有nm个．