高一数学苏教版必修1自我小测Word版含解析26份

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我达标
1.下列命题中正确的是(
)
A.当α=0时，函数y=xα的图象是一条直线
B.幂函数的图象都经过(0，0)，(1，1)两点
C.若幂函数y=xα的图象关于原点对称，则y=xα在定义域内y随x的增大而增大
D.幂函数的图象不可能在第四象限
思路解析:当α=0时，函数y=xα定义域为{x|x≠0,x∈R}，其图象为两条射线，故A不正确；
当α<0时，函数y=xα的图象不过(0，0)点，故B不正确；
幂函数y=x-1的图象关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故C不正确；
幂函数的图象都不在第四象限，故D正确.
答案:D
2.下列函数中，定义域为(0，+∞)的函数为(
)
A.y=
B.y=
C.y=
D.y=x3
思路解析:先把指数式化为根式，再求定义域.
答案:B
3.下列函数中不是幂函数的是(
)
A.y=
B.y=x3
C.y=2x
D.y=x-1
思路解析:根据幂函数的定义：形如y=xα的函数称为幂函数，可知C不是幂函数.
答案:C
4.函数y=的图象是(
)
思路解析:函数y=的定义域为(0,+∞)，且过(0，0)、(1，1)点.
答案:C
5.下列函数在(-∞,0)上为减函数的是(
)
A.y=
B.y=x2
C.y=x3
D.y=x-2
思路解析:由幂函数的性质可知，y=x2在(-∞,0)上为减函数.
答案:B
6.已知函数f(x)=(a-1)·
当a=_______________________时，f(x)为正比例函数；
当a=_______________________时，f(x)为反比例函数；
当a=_______________________时，f(x)为二次函数；
当a=_______________________时，f(x)为幂函数.
思路解析:当f(x)为正比例函数时，即a=-2；
当f(x)为反比例函数时，即a=0或a=-1；
当f(x)为二次函数时，即a=；
当f(x)为幂函数时，a-1=1，即a=2.
答案:-2
0或-1
2
7.求下列函数的定义域：
(1)y=(3x-2+;
(2)y=.
思路解析:注意开方次数的奇偶和分式是否出现.
解答:(1)令x>,
由此得,函数y=(3x-2+的定义域为(,+∞).
(2)令->0x+1<0x<-1,
由此得,函数y=的定义域为(-∞,-1).
8.若＜，试求a的取值范围.
思路解析:根据幂函数的性质求解.
解答:有三种可能情况：
解得a∈(-∞，-1)∪(，).
9.m为怎样的值时，函数f(x)=(mx2+4x+m+2+(x2-mx+1)0的定义域是R？
思路解析:根据幂函数的性质求解.
解答:因为函数的定义域是R，所以
由①m＞-1.
由②Δ2=m2-4＜0，∴-2＜m＜2.
综上,-1＜m＜2.
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10.讨论函数y=的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出图象的示意图.
思路解析:函数y=是幂函数，按幂函数的性质求解.
解答:(1)要使y==有意义，x可以取任意实数，故函数定义域为R.
(2)∵x∈R，∴x2≥0.∴y≥0.
(3)f(-x)=
==f(x)，
∴函数y=是偶函数.
(4)∵n=＞0，
∴幂函数y=在[0，+∞)上单调递增.
由于幂函数y=是偶函数，
∴幂函数y=在[-∞，0)上单调递减.
(5)其图象如右图所示.
11.幂函数y=f(x)的图象过点(4,)，求f(8)的值.
思路解析:本题要想求得f(8)的值，必须要先求得幂函数的解析式.
解答:设f(x)=a，则=4a，a=-.
∴f(x)=，f(8)==.
12.求满足的字母a的取值范围.
思路解析:
根据已知条件可知，分别为对应幂函数y=，y=.要想求满足条件a的范围.只要判断出x为何值时曲线y=在曲线y=上方即可.
解答：在同一坐标系中，分别作出y1=，y2=的图象，由图象可知要使y1>y2，只需x>1.
∴当a>1时不等式>恒成立.
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13.如图，幂函数y=(m∈Z)的图象关于y轴对称，且与x轴、y轴均无交点，求此函数的解析式.
思路解析:由于图象关于y轴对称，所以此函数为偶函数且与x轴、y轴无交点，所以是双曲线型.
解答:由题意，得m2-2m+3<0,
∴-1∵m∈Z,∴m=0,1或2.
∵幂函数的图象关于y轴对称,
∴m2-2m+3为偶数.
∵当m=0或2时，m2-2m+3为-3;
当m=1时，m2-2m+3为偶数-4.
∴y=x-4.
14.已知幂函数f(x)=(t3-t+1)
(7+3t-2t2),t∈Z是偶函数且在(0,+∞)上为增函数，求实数t的值.
思路解析:关于幂函数y=xn(n∈Q,n≠0)的奇偶性问题，设(|p|、|q|互质),当q为偶数时，p必为奇数.y=是非奇非偶函数；当q是奇数时，y=的奇偶性与p的奇偶性对应.
解答:∵f(x)是幂函数,
∴t3-t+1=1.
∴t=-1,1或1.
当t=0时,f(x)=是奇函数;当t=-1,时f(x)=是偶函数;
当t=1时f(x)=是偶函数;且,都大于0,在(0,+∞)上为增函数.
故t=1且f(x)=
或t=-1且f(x)=x上标.自我小测
1．下列函数中，在区间(1,2)上有零点的序号是________．
①f(x)＝3x2－4x＋5　②f(x)＝x3－5x－5
③f(x)＝lnx－3x＋6　④f(x)＝ex＋3x－6
2．用二分法研究函数f(x)
( http: / / www.21cnjy.com )＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)＜0，f(0.5)＞0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．
3．函数的图象和函数g(x)＝log2x的图象的交点个数是________．
4．已知函数f(x)在区间(0，a)上有惟一零点(a＞0)，在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在的区间为、、，则下列说法中正确的是________．(只填序号)
①函数f(x)在区间内有零点
②函数f(x)在区间或内有零点
③函数f(x)在内无零点
④函数f(x)在区间或内有零点，或零点是
5．已知函数，若实数x0是方程f(x)＝0的解，且0＜x1＜x0,
则f(x1)的值与0的大小关系恒有________．
6．已知函数f(x)＝|x|，g(x)是
( http: / / www.21cnjy.com )定义在R上的奇函数，且当x＜0时，g(x)＝x(1＋x)，则方程f(x)＋g(x)＝1不相等的实数根的个数是________．
7．用二分法判断方程x3＋3x－1＝0在区间(0,1)内解的过程如下：
解：记f(x)＝x3＋3x－1，设方程x3＋3x－1＝0的实数解为x0，x0∈(0,1)；
第一次：f(0)＜0，f(0.5)＞0
( http: / / www.21cnjy.com )x0∈(0,0.5)；
第二次：f(0.25)＜0，f(0.5)＞0
( http: / / www.21cnjy.com )x0∈(0.25，0.5)；
第三次：f(0.25)＜0，f(0.375)＞0
( http: / / www.21cnjy.com )x0∈(0.25,0.375)；
第四次：f(0.312
5)＜0，f(0.375)＞0
( http: / / www.21cnjy.com )x0∈(0.312
5，0.375)；
第五次：f(0.312
5)＜0，f(0.343
75)＞0
( http: / / www.21cnjy.com )x0∈(0.312
5，0.343
75)；
第六次：f(0.312
5)＜0，f(0.328
125)＞0
( http: / / www.21cnjy.com )x0∈(0.312
5，0.328
125)；
第七次：f(0.320
312
5)＜0，f(0.328
125)＞0
( http: / / www.21cnjy.com )x0∈(0.320
312
5，0.328
125)；
第八次：f(0.320
312
5)＜0，f(0.324
218
75)＞0
( http: / / www.21cnjy.com )x0∈(0.320
312
5，0.324
218
75)．
问：若精确到0.1，算几次就可以了，解是多少？若精确到0.01呢？
参考答案
千里之行
1．④　解析：∵f(1)＝e1＋3×1－
( http: / / www.21cnjy.com )6＜0，f(2)＝e2＋2×3－6＞0，∴f(1)·f(2)＜0，即函数f(x)＝ex＋2x－6在区间(1,2)上有零点，∴填④.其他三个函数在区间(1,2)上无异号零点，故不合题意．
2．(0,0.5)　f(0.25)　解析：∵f(0)＜0，f(0.5)＞0，∴f(0)·f(0.5)＜0，∴f(x)的一个零点x0∈(0,0.5)，第二次应计算．
3．3　解析：如图所示，在同一直角坐标系内画出f(x)与g(x)的图象，结合图象知f(x)与g(x)的图象有3个交点
4．④　解析：由所选区间可知，零点必在区间内，取中点，若，则零点就是；若，则零点要么在上，要么在上，二者必居其一，∴④正确．
5．f(x1)＞0　解析：∵，∴1＜x0＜2.
如图所示，当0＜x1＜x0时，函数的图象在y＝log2x的上方，即必有，∴f(x1)＞0恒成立．
6．2　解析：当x＞0时，－x＜0，
∴g(－x)＝－x(1－x)．
又∵g(x)为R上的奇函数，
∴g(－x)＝－g(x)．∴g(x)＝x(1－x)(x＞0)．
∵g(－0)＝－g(0)，∴g(0)＝0.
设F(x)＝f(x)＋g(x)，则
F(x)＝
即F(x)＝
∴当x＞0时，方程F(x)＝1，即－x2
( http: / / www.21cnjy.com )＋2x＝1，解得x＝1；当x＜0时，方程即为x2＝1，解得x＝－1或x＝1＞0舍去，当x＝0时，F(x)＝0≠1，综上，知方程f(x)＋g(x)＝1有两个不相等的实数根x＝±1.
7．解：第五次，两个端点精确到0.1的近似值都为0.3，故x0≈0.3；
第八次，两个端点精确到0.01的近似值都是0.32，故x0≈0.32.自我小测
1．设，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为________．
2．在下列函数中，定义域和值域相同的函数的个数为______________．
①y＝x2　②　③
④　⑤
3．图中曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，四个值，则对应于曲线C1，C2，C3，C4的n依次为________．
4．已知幂函数f(x)＝(2n2－n)xn＋1，若在其定义域上为单调增函数，则f(x)在区间上的最小值为________．
5．已知函数f(x)＝xα＋m的图象经过点(1,3)，又其反函数图象经过点(10,2)，则f(f(1))＝________.
6．设，，，则a，b，c的大小关系是________．
7．已知幂函数y＝f(x)过点，试求出此函数的解析式，并作出图象，判断奇偶性、单调性．
8．已知幂函数y＝(m2＋2m－2)xm＋2在(0，＋∞)上是单调增函数，求满足的实数a的取值范围．
参考答案
千里之行
1．1,3　解析：当α＝－1或时，所得幂函数定义域不是R；当α＝1或α＝3时满足题中条件．
2．3　解析：①⑤中函数定
( http: / / www.21cnjy.com )义域为R，值域为[0，＋∞)，②中函数的定义域与值域都是[0，＋∞)，③④中两函数的定义域与值域都是R，∴②③④符合．
3．2，，，－2　解析：由题图，知C1、C2表示的幂函数在(0，＋∞)上都是单调增函数，对应n值为正；C3、C4表示的幂函数在(0，＋∞)上都是单调减函数，对应的n值为负，又当x＝4时，x2＝16，，，，∴对应于C1，C2，C3，C4的n依次为2，，，－2.
4.　解析：∵f(x)为幂函数，∴2n2－n＝1，解得或n＝1，当时，符合题意；当n＝1时，f(x)＝x2在定义域上不具有单调性，舍去，∴，.f(x)在[0，＋∞)上是单调增函数，∴在上也为单调增函数．∴
5．29　解析：由互为反函数的
( http: / / www.21cnjy.com )两个函数图象之间的关系知，反函数过点(10,2)，则(2,10)必在原函数f(x)的图象上，∴2α＋m＝10，①
又f(x)过点(1,3)，∴1α＋m＝3，②
由②得m＝2，代入①得α＝3，∴f(x)＝x3＋2.
∴f(1)＝3，f(f(1))＝f(3)＝33＋2＝29.
6．a＞c＞b　解析：构造幂函数，∵该函数在(0，＋∞)上是单调增函数．
∴，即a＞c；构造指数函数，∵该函数在R上是单调减函数，∴，即b＜c，∴a＞c＞b.
7．解：设幂函数为y＝xα，又过点，得，∴.∴函数解析式为，定义域为(0，＋∞)．∴f(x)是非奇非偶函数，且f(x)在(0，＋∞)上为单调减函数，图象为
8．解：由幂函数的定义知，m2＋2m－2＝1，即m2＋2m－3＝0.
解得m＝1或m＝－3，当m＝1时，y＝
( http: / / www.21cnjy.com )x3在(0，＋∞)上单调增函数．符合题意，当m＝－3时，y＝x－1在(0，＋∞)上是单调减函数，不合题意(舍)．
∴m＝1.　∵在(－∞，0)和(0，＋∞)上为单调减函数．
∴由，可得a＋1＞3－2a＞0，
或3－2a＜a＋1＜0，或a＋1＜0＜3－2a，
∴a＜－1或.
∴a的取值范围是．自我小测
1．函数的定义域为________．
2．已知a＞0且a≠1，在同一坐标系内，下列四图中，函数y＝ax与y＝loga(－x)的大致图象的序号是________．
3．设a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45，则a、b、c的大小关系是________．
4．(1)若函数f(x)＝logax(0＜a＜1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3倍，则a＝________.
(2)已知函数若f(a)≥2，则a的取值范围是________．
5．对任意不等于1的正数a，函数f(x)＝loga(x＋3)的反函数的图象都过点P，则点P的坐标是________．
6．(1)已知log0.7(2m)＜log0.7(m－1)，则m的取值范围是________．
(2)函数的值域是________．
(3)方程的解是________．
7．已知函数f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)，如果对于任意x∈[3，＋∞)都有|f(x)|≥1成立，求a的取值范围．
8．在同一直角坐标下，画出函数f(x)＝1＋log2x与g(x)＝2－x＋1的图象．
参考答案
千里之行
1．
解析：要使解析式有意义，只需
即0＜4x－3＜1，∴，∴函数的定义域为．
2．②　解析：y＝ax的图象只能在上半平面，
( http: / / www.21cnjy.com )y＝loga(－x)只能在左半平面，又因为函数y＝ax与y＝loga(－x)的增减性正好相反，所以只有②符合．
3．b＜a＜c　解析：∵函数
( http: / / www.21cnjy.com )y＝log5x为单调增函数，∴0＝log51＜log53＜log54＜log55＝1，∴(log53)2＜log53　∴b＜log53＜a.
又c＝log45＞log44＝1∴b＜a＜c.
4．(1)　(2)(－∞，－1]∪[2，＋∞)
解析：(1)f(x)＝logax(0＜a＜1)在(0，＋∞)上是单调减函数，
当x∈[a,2a]时，f(x)max＝f(a)＝1，f(x)min＝f(2a)＝loga2a.
根据题意，3loga2a＝1，即，所以，即.
故由得.
(2)当a≤0时，，∴－a≥1，∴a≤－1；当a＞0时，f(a)＝log2(a＋2)≥2＝log24.　∴a＋2≥4.　∴a≥2.　∴a的取值范围是a≤－1或a≥2.
5．(0，－2)　解析：法一：函数f(x)＝loga(x＋3)的反函数为g(x)＝ax－3，而g(0)＝a0－3＝－2.
∴g(x)的图象都过点(0，－2)．
法二：∵f(－2)＝loga1＝0，∴函数f(x)的图象都过点(－2,0)，
又∵原函数与其反函数的图象关于直线y＝x对称，
∴其反函数的图象经过点(0，－2)．
6．(1)(1，＋∞)　(2)[－2，＋∞)　(3)x＝2
解析：(1)考查函数y＝log0.7x，它在(0，＋∞)上是单调减函数，
∵log0.7(2m)＜log0.7(m－1)，∴2m＞m－1＞0.
由得m＞1，即m的取值范围是(1，＋∞)．
(2)令t＝4x－x2，则t＝－(x－2)2＋4≤4，而在(0,4]上为单调减函数，
∴当t＝4时，y有最小值，∴y≥－2，即值域为[－2，＋∞)(也可认为当x＝2时，t有最大值4，而为单调减函数，∴y有最小值且)．
(3)原方程可化为即　　∴x＝2.
7．解：根据对数函数的图象和性质，知在区间[3，＋∞)上：当a＞1时，|f(x)|≥1
( http: / / www.21cnjy.com )f(x)≥1
( http: / / www.21cnjy.com )loga3≥1，∴1＜a≤3.
当0＜a＜1时，|f(x)|≥1
( http: / / www.21cnjy.com )f(x)≤－1
( http: / / www.21cnjy.com )loga3≤－1，∴.
综上可知，a的取值范围是．
8．解：∵f(x)的图象是由y＝log2x的图象向上平移1个单位长度得到的，的图象是由的图象向右平移1个单位长度得到的，∴先画出函数y＝log2x与的图象，再经平移即得f(x)与g(x)的图象，如图所示．自主广场
我夯基
我达标
1.式子的值为(
)
A.2+
B.2
C.2+
D.1+
思路解析:考查对数式的运算法则.
原式=.故选B.
答案:B
2.下列各式中成立的是(
)
A.logax2=2logax
B.loga|xy|=loga|x|+loga|y|
C.loga3＞loga2
D.loga=logax-logay
思路解析:用对数的运算法则解决问题.
A、D的错误在于不能保证真数为正，C的错误在于a值不定.选B.
答案:B
3.已知f(x5)=lgx，则f(2)等于(
)
A.lg2
B.lg32
C.lg
D.lg2
思路解析:令x5=t，则x==.∴f(t)=lg=lgt.∴f(2)=lg2.
答案:D
4.设x、y为非零实数，a>0且a≠1，则下列各式中不一定成立的个数是(
)
①logax2=2logax
②l
( http: / / www.21cnjy.com )oga3>loga2
③loga|x·y|=loga|x|·loga|y|
④logax2=2loga|x|
A.1
B.2
C.3
D.4
思路解析:①②③不一定成立，④一定成立.
答案:C
5.设集合A={x|x2-1＞0}，B={x|log2x＞0}，则A∩B等于(
)
A.{x|x>1}
B.{x|x>0}
C.{x|x<-1}
D.{x|x＜-1或x＞1}
思路解析:该题考查集合的表示及解不等式.可以先分别求出集合A、B中所列不等式的解集，然后再在数轴上求它们的交集.
答案:A
6.若函数f(x)(x>0)满足f()=f(x)-f(y)，f(9)=8，则f(3)等于(
)
A.2
B.-2
C.1
D.4
思路解析:∵f(3)=f()=f(9)-f(3)，∴f(3)=f(9)=4.
答案:D
7.下列四个命题中，真命题是(
)
A.lg2lg3=lg5
B.lg23=lg9
C.若logaM+N=b，则M+N=ab
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D.若log2M+log3N=log2N+log3M，则M=N
思路解析:解答本题的关键是熟练掌握对数概念及对数运算的有关性质.将选项中提供的答案一一与相关的对数运算性质相对照，不难得出应选D.
答案:D
黑色陷阱：错选A或B或C.主要问题是对函数的运算性质不清，在对数运算的性质中，与A类似的一个正确等式是lg2+lg3=lg6；B中的lg23表示(lg3)2，它与lg32=lg9不是同一个意义；C中的logaM+N表示(logaM)+N，它与loga(M+N)不是同一意义；D中等式可化为log2M-log2N=log3M-log3N，即log2=log3，所以M=N.
8.函数f(x)=loga(a>0且a≠1)，f(2)=3，则f(-2)的值为________________.
思路解析:∵f(-x)=loga=-loga=-f(x),
∴函数为奇函数.∴f(-2)=-f(2)=-3.
答案:-3
9.求下列各式的值:
(1)设logbx-logby=a，则logb5x3-logb5y3=___________________.
(2)设loga(x+y)=，logax=1，则logay=_____________________.
(3)=_________________.
思路解析:利用对数的性质.
解答:(1)∵logbx-logby=a
,∴logb()=a.
∴logb5x3-logb5y3=logb=logb()3=3logb()=3a.
(2)∵loga(x+y)=,
∴=x+y.
又logax=1,∴x=a.
∴y=-a，从而logay=loga(-a).
(3)=32=9.
10.求下列各式中的x：
(1)x=-；
(2)logx5=；
(3)log(x-1)(x2-8x+7)=1.
思路解析:根据式中未知数的位置或直接转化成指数式计算或利用对数性质进行计算.
解答:(1)原式转化为=x，所以x=.
（2）原式转化为=5，所以x=.
（3）由对数性质得解得x=8.
11.已知lg2=0.301
0，lg3=0.477
1，求lg.
思路解析:解本题的关键是设法将的常用对数分解为2、3的常用对数代入计算.
解答:
lg=lg45=lg
=(lg9+lg10-lg2)
=(2lg3+1-lg2)
=lg3+-lg2
=0.477
1+0.5-0.150
5
=0.826
6.
我综合
我发展
12.(1)已知3a=2,用a表示log34-log36；
(2)已知log32=a,3b=5,，用a、b表示log3.
解答:
（1）∵3a=2，∴a=log32.
∴log34-log36=log3=log32-1=a-1.
（2）∵3b=5，∴b=log35.
又∵log32=a，
∴log3=log3(2×3×5)=(log32+log33+log35)=(a+b+1).
我创新
我超越
13.2005年3月28日在印度尼西亚苏门
( http: / / www.21cnjy.com )答腊岛附近发生里氏8.2级地震，日本气象厅测得为里氏8.5级.科学家常以里氏震级为度量地震的强度.若设N为地震时所散发出来的相对能量程度，那么里氏震级m可以定义为m=lgN，试比较8.2级和8.5级地震的相对能量程度.
解答:设8.2级和8.5级地震的相对能量程度分别为N1和N2，
由题意得
因此lgN2-lgN1=0.3，即lg=0.3，∴=100.3≈2.
因此，8.5级地震的相对能量程度约为8.2级地震的相对能量程度的2倍.自主广场
我夯基
我达标
1.若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞，4)上是减函数，则实数a的取值范围是(
)
A.a≤-3
B.a≥-3
C.a≤5
D.a≥3
思路解析：因为函数f(x)=x2+2(a-
( http: / / www.21cnjy.com )1)x+2有两个单调区间，它在(-∞，-(a-1)］上是减函数，又因为f(x)在区间(-∞，4)上是减函数，因此必有4≤-(a-1)，解得a≤-3.
答案:A
2.设f(x)是定义在A上的减函数，且f(x)＞0，则下列函数中为增函数的个数是(
)
①y=3-f(x)
②y=1+
③y=［f(x)］2
④y=1-
A.1
B.2
C.3
D.4
思路解析：∵f(x)是定义在A上的减函数，且f(x)＞0,
设x1、x2∈A，且x1＜x2，则f(x1)＞f(x2)＞0.
∴3-f(x1)＜3-f(x2)，
即y=3-f(x)在A上为增函数.
,
即y=1+在A上为增函数.
f2(x1)＞f2(x2)，
即y=f2(x)在A上是减函数.
，
即y=1-在A上为增函数.
答案:C
3.函数f(x)在区间(-4，7)上是增函数，则y=f(x-3)的递增区间是(
)
A.(-2，3)
B.(-1，10)
C.(-1，7)
D.(-4，10)
思路解析：∵f(x)在(-4，7)上是增函数
( http: / / www.21cnjy.com ),由-4＜x-3＜7，得-1＜x＜10且u=x-3在(-1，10)上也为增函数，∴f(x-3)在(-1，10)上为增函数.
答案:B
4.若y=f(x)在x∈［0，+∞)上的表达式为y=x(1-x)，且f(x)为奇函数，则x∈(-∞，0］时f(x)等于(
)
A.-x(1-x)
B.x(1+x)
C.-x(1+x)
D.x(x-1)
思路解析：∵x∈(-∞，0］时，-x≥0，
∴f(-x)=(-x)(1+x)，-f(x)=-x(1+x).
∴f(x)=x(1+x).
答案:B
5.已知函数f(x)=a-.若f(x)为奇函数，则a=______________.
解法一:∵f(x)的定义域为R,又∵f(x)为奇函数,∴f(0)=0,即a-=0.∴a=.
解法二:∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),
即a-=-a,解得a=.
答案:
6.函数y=的单调递增区间是____________，单调递减区间是____________.
思路解析：由-x2-x+6≥0，即x2+x-6≤0,解得-3≤x≤2,
∴y=的定义域是［-3，2］.又u=-x2-x+6的对称轴是x=-,
∴u在x∈［-3，-］上递增，在x∈［-，2］上递减.
又y=是［0，+∞)上的增函数,∴y=的递增区间是［-3，-］，递减区间是［-，2］.
答案:［-3，-］
［-，2］
7.函数y=f(x)是定义在R上的减函数，则y=f(|x+2|)的单调减区间是______________.
思路解析：∵y=f(u)在R上递减,u=
( http: / / www.21cnjy.com )|x+2|在［-2，+∞)上递增，在(-∞，-2］上递减,∴y=f(|x+2|)在［-2，+∞)上递减.
答案:［-2，+∞)
8.若f(x)=2x2+px+3在(-∞，1］上是减函数，在［1，+∞)上是增函数，则f(1)=_____________.
思路解析：∵a=2＞0，f(x)开口向上，
-=-=1p=-4，
∴f(x)=2x2-4x+3.∴f(1)=1.
答案:1
9.函数y=x2-4｜x｜-1的递增区间为______________.
思路解析：图象法，y=
答案:［-2，0］和［2，+∞)
10.已知f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数，且定义域为［a-1，2a］，则a=_________，b=_________.
思路解析：定义域关于原点对称，故a-1=-2a，a=.
又对于f(x)有f(-x)=f(x)恒成立，∴b=0.
答案:
0
11.若f(x)=+a(x∈R且x≠0)为奇函数，则a=_____________.
思路解析：特值法：∵f(-1)=-f(1)，+a=-［+a］a=.
答案:
12.已知f(x)=ax7-bx+2且f(-5)=17，则f(5)=___________.
思路解析：整体思想：f(-5)=a(-5)7-b(-5)+2=17(a·57-5b)=-15，
∴f(5)=a·57-b·5+2=-15+2=-13.
答案:-13
我综合
我发展
13.函数f(x)=log9(x+8-)在［1,+∞)上是增函数，求a的取值范围.
思路解析：由函数f(x)=log9(x+8-)在［1,+∞)上是增函数可以得到两个信息：①对任意的1≤x10恒成立.
解答：∵函数f(x)=log9(x+8-)在［1,+∞)上是增函数，∴对任意的1≤x1∵x1-x2<0，∴1+>0,>-1,a>-x1x2.
∵x2>x2≥1，∴要使a>-x1x2恒成立，只要a≥1.
又∵函数在f(x)=log9(x+8-)在［1,+∞）上是增函数，∴1+8-a>0，
即a<9.
综上,a的取值范围为［-1,9).
另解：(用导数求解)令g(x)=x+8-，函数f(x)=log9(x+8-)在［1,+∞)上是增函数，
∴g(x)=x+8-在［1,+∞）上是增函数，g′(x)=1+.
∴1+8-a>0，且1+≥0在［1,+∞)上恒成立，得-1≤a<9.
14.讨论函数f(x)=(a≠0)在区间(-1，1)内的单调性.
思路解析:根据函数的单调性定义求解.
解答：设-1＜x1＜x2＜１，则
f(x1)-f(x2)=.
∵x1、x2∈(-1，1)，且x1＜x2，∴x1-x2＜0，1+x1x2＞0，(1-x12)(1-x22)＞0.
于是，当a＞0时，f(x1)＜f(x2)；当a＜0时，f(x1)＞f(x2).
故当a＞0时，函数在(-1，1)上是增函数；当a＜0时，函数在(-1，1)上为减函数.
我创新
我超越
15.判断函数f(x)=的奇偶性.
思路解析:确定函数的定义域后可脱去绝对值符号.
解答：由得函数的定义域为［-1，1］.这时，｜x-2｜=2-x,
∴f(x)=.∴f(-x)==f(x).
且注意到f(x)不恒为零，从而可知f(x)=是偶函数，不是奇函数.
16.已知f(x)是R上的奇函数，且x∈(-∞，0)时，f(x)=-xlg(2-x)，求f(x).
思路解析：先设x＞0，求f(x)的表达式，再合并.
解答：∵f(x)为奇函数，∴f(0)=0.
当x＞0时，-x＜0，f(-x)=xlg(2+x)，即-f(x)=xlg(2+x)，
∴f(x)=-xlg(2+x)(x＞0).
∴f(x)=
17.下列函数中，在(-∞，0)内是减函数的是(
)
A.y=1-x2
B.y=x2+x
C.y=-
D.y=
思路解析：对于函数增减性的判定，只要画出函数的草图就易于判断了.
分别作出y=1-x2，y=x2+x，y=-，y=的图象，如图(1)—(4)所示.
答案:D
18.研究二次函数f(x)=2x2-4x-1的单调性，并加以证明.
思路解析：研究函数的单调性，首先得确定函数的单调区间，然后讨论函数在这个区间上是递增还是递减.
从二次函数f(x)=2x2-4x
( http: / / www.21cnjy.com )-1=2(x-1)2-3的图象可知，是开口向上的抛物线，且对称轴方程为x=1.因此这个函数的定义域R分为(-∞，1)和[1，+∞)两个单调区间，在(-∞，1)上递减，在[1，+∞)上递增.
证明：设x1、x2是[1，+∞)内的任意两个实数，且x1＜x2，
则有f(x1)=2x12-4x1-1，f(x2)=2x22-4x2-1，
f(x2)-f(x1)=2(x22-x12)-4(x2-x1)
=2(x2+x1)(x2-x1)-4(x2-x1)=2(x2-x1)(x1+x2-2).
很明显，如能证明2(x2-x1)(x1+x2-2)＞0，就说明f(x)在[1，+∞)上递增.
由于x1＜x2时，有x2-x1＞0，因此只要证明x1+x2-2＞0即可.
由于x1≥1，x2＞1，有x1+x2＞2，即x1+x2-2＞0，
所以f(x2)-f(x1)=2(x2-x1)(x1+x2-2)＞0，即f(x2)＞f(x1).
所以f(x)在[1，+∞)上递增.
用同样的方法可证明f(x)在(-∞，1)上递减.
对于二次函数f(x)=ax2+bx+c的单调性，有如下四种情况：
(1)当a＞0时，x∈(-∞，-)，f(x)为减函数；
(2)当a＞0时，x∈[-，+∞)，f(x)为增函数；
(3)当a＜0时，x∈(-∞，-)，f(x)为增函数；
(4)当a＜0时，x∈[-，+∞)，f(x)为减函数.自我小测
1．函数y＝2x2－4x－3的零点个数是________．
2．若方程2ax2－x－1＝0在(0,1)内恰有一解，则a的取值范围是________．
3．若函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是________．
4．已知方程x2＋(a－1)x＋(a－2)＝0的一个根比1大，另一个根比1小，则a的取值范围是________．
5．函数的零点个数为________．
6．设函数y＝x3与的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的端点为整数的区间是______．
7．求证：方程5x2－7x－1＝0的根一个在区间(－1,0)上，另一个在区间(1,2)上．
8．已知函数y＝2x2＋bx＋c在上是单调减函数，在上是单调增函数，且两个零点是x1、x2，满足|x1－x2|＝2，求这个二次函数的解析式．
　若函数f(x)＝mx2＋(m－3)x＋1的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧，求实数m的取值范围．
参考答案
千里之行
1．2　解析：∵Δ＝(－4)
( http: / / www.21cnjy.com )2－4×2×(－3)＝40＞0，∴方程2x2－4x－3＝0有两个不相等的实数根，即函数y＝2x2－4x－3有两个零点．
2．(1，＋∞)　解析：令
( http: / / www.21cnjy.com )f(x)＝2ax2－x－1，∵方程在(0,1)内恰有一个解，∴f(x)与x轴在(0,1)内恰有一个交点，∴f(0)·f(1)＜0，即－1·(2a－2)＜0，∴a＞1.
3．，　解析：由题意可知，2,3是方程x2－ax－b＝0的两根，由根与系数的关系知，a＝2＋3＝5，－b＝2×3，b＝－6，∴g(x)＝－6x2－5x－1＝－(2x＋1)(3x＋1)，
令g(x)＝0，得，或，∴函数g(x)的零点为，.
4．(－∞，1)
　解析：方程一根比1大，一根比1小，即函
( http: / / www.21cnjy.com )数f(x)＝x2＋(a－1)x＋(a－2)的零点一个在(1,0)点的右侧，一个在(1,0)点的左侧，画出f(x)的大致图象如图所示，由题意，得f(1)＜0，即1＋(a－1)·1＋(a－2)＜0，解得a＜1.
5．2　解析：由f(x)＝0，得或
解之可得x＝－3或x＝e2，
故零点个数为2.
6．(1,2)　解析：法一：设，则，，，，由f(1)·f(2)＜0.
知f(x)在(1,2)上有零点(f(x)图象在(1,2)上连续)．
∴x0∈(1,2)．
法二(图象法)在同一坐标系内画出两个函数的图象如图，由图象知x0∈(1,2)．
7．解：设f(x)＝5x2－7x－1，则f(－1)·f(0)＝11×(－1)＝－11＜0，f(1)·f(2)＝(－3)×5＝－15＜0.
而二次函数f(x)＝5x2－7x－
( http: / / www.21cnjy.com )1是连续的，所以f(x)在(－1,0)和(1,2)上各有一个零点，即方程5x2－7x－1＝0的根一个在(－1,0)上，另一个在(1,2)上．
8．解：由题意，∴b＝6.故y＝2x2＋6x＋c.
又由韦达定理，得x1＋x2＝－3，，
∴.
∴.
经检验，符合题意．
∴所求二次函数为.
百尺竿头
解：∵f(0)＝1，∴(1)当m＝0时，f(x)＝－3x＋1＝0的根为，适合题意；
(2)当m＜0时，f(x)的图象开口向下，且f(0)＝1＞0，∴f(x)的图象必与x轴正半轴有交点，满足题意；
(3)当m＞0时，要使f(x)图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧，
必须满足　　∴
∴0＜m≤1.综上，可得m∈(－∞，1]．自我小测
1．给出下列四种说法：①函数就是从定义域
( http: / / www.21cnjy.com )到值域的对应关系；②若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只有一个元素；③因为f(x)＝5这个数值不随x的变化而变化，所以f(0)＝5也成立；(4)f(x)表示的意义是与自变量x对应的函数值，而不是f与x的乘积，其中正确的个数是________．
2．给出下列对应：①A＝R，B＝{
( http: / / www.21cnjy.com )x|x＞0}，f：x→|x|；②A＝B＝N，f：x→|x－3|；③A＝Z，B＝Z，f：x→x的平方根；④A＝B＝Z，f：x→x2；⑤A＝{三角形}，B＝{x|x＞0}，f：“对A中的三角形求面积与B中元素对应”，其中能够表示从A到B的函数的序号是__________．
3．已知函数f(x)的定义域A＝{
( http: / / www.21cnjy.com )x|0≤x≤2}，值域B＝{y|1≤y≤2}，在下面的图形中，能表示f(x)的图象的只可能是________(填序号)．
4．下列各组函数中，表示同一函数的是________．
①f(x)＝x，；②f(x)＝x，；③f(x)＝3x＋1，g(t)＝3t＋1；④f(x)＝|x|，；⑤f(x)＝x＋3，.
5．根据函数f(x)＝x2的图象可知，当f(m)＞f(2)时，实数m的取值范围为________．
6．已知函数，则f(x)的定义域为________，f(x)的值域为____________．
7．画出下列函数的图象：
(1)y＝x2－2，x∈Z，且|x|≤2；
(2)y＝x－1，x∈[－1,4]；
(3)y＝－2x2＋3x，x∈(0,2]．
8．(1)求函数的定义域；
(2)已知函数的定义域为[0,3]，求f(x＋2)的定义域．
　已知函数
(a，b为常数，且a≠0)，满足f(2)＝1，方程f(x)＝x有惟一解．
求(1)a，b的值；
(2)f(f(－3))的值；
(3)f(x)的定义域和值域．
参考答案
千里之行
1．4　解析：∵函数是从定义域到值域的对应，
( http: / / www.21cnjy.com )∴当定义域中只有一个元素时，值域也只能有一个元素，所以①②正确．∵f(x)＝5是常数函数，解析式与x无关，∴对任意x∈R，都有f(x)＝5，∴③正确；由f(x)的符号意义知，④正确．
2．②④　解析：①0∈A，|0|＝
( http: / / www.21cnjy.com )0?B，∴f：x→|x|不表示从A到B的函数；③当输入值为4∈A，则有两个值±2输出(对应)，∴f：x→x的平方根不是从A到B的函数；⑤A中的元素不是数集，所以该对应不是从A到B的函数．
3．④　解析：图①中，当时，y∈[0,1)，B中无元素相对应，同理②图中，当x∈(1.5,2]时，y∈[0,1)B也无对应元素，故不是f(x)的图象．图③中对一个x值如x＝1，y有两个值与之对应，所以不是f(x)的图象．只有图④符合．
4．③④　解析：①中，f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为[0，＋∞)，定义域不同不是同一函数；②中，＝|x|与f(x)的对应法则不同，不是同一函数．⑤中，f(x)的定义域为R，
.定义域为{x|x≠3}．所以不是同一函数．
5．m＜－2或m＞2　解析：由函数f
( http: / / www.21cnjy.com )(x)＝x2的图象知，当m＞0时，由f(m)＞f(2)得m＞2；当m＜0时，由f(m)＞f(－2)，∴m＜－2.
6．[－1,1]　　解析：要使函数f(x)有意义，只需∴－1≤x≤1.即f(x)的定义域为[－1,1]．∵f(x)≥0，∴.∵－1≤x≤1，∴x2∈[0,1]，1－x2∈[0,1]，∴2≤[f(x)]2≤4，∵f(x)≥0.∴，即f(x)的值域为．
7．解：(1)∵x∈Z，且|x|≤2，∴函数图象为5个孤立的点分布在抛物线y＝x2－2上．如图(1)．
(2)图象为直线y＝x－1在[－1,4]上的一段，即一条线段，如图(2)．
(3)∵x∈(0,2]，∴函数图象是抛物线y＝－2x2＋3x介于0＜x≤2之间的一部分．如图(3)．
8．解：(1)要使函数有意义，则需∴
∴x≤1，且x≠0.∴函数的定义域为(－∞，0)∪(0,1]．
(2)∵的定义域为[0,3]，∴0≤x≤3，则1≤x＋1≤4.
∴，故f(x)的定义域为[1,2]，∴使f(x＋2)有意义的条件是1≤x＋2≤2.即－1≤x≤0，∴f(x＋2)的定义域为[－1,0]．
百尺竿头
解：(1)由已知条件f(2)＝1，得，∴2a＋b＝2①.又方程f(x)＝x，即有惟一解．∴x(ax＋b－1)＝0有惟一解．∵ax2＋(b－1)x＝0　(a≠0)的判别式Δ＝(b－1)2－4a×0＝0，∴解得b＝1，将b＝1代入①式，得.∴a、b的值分别为，1.
(2)由(1)知，.
∴.
∴.
(3)∵，∴f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)．
∵，∴f(x)的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．自主广场
我夯基
我达标
1.下列四个图形中，不可能是函数y=f(x)的图象的是(
)
思路解析：本题考查函数的定义.对函数y
( http: / / www.21cnjy.com )=f(x)，x为自变量，y为函数值.在选项D中，一个x值对应两个y的值，所以不满足函数多对一或一对一的条件.故选D.
答案:D
2.设函数f(x)=ax+b，若f(1)=-2，f(-1)=0，则(
)
A.a=1，b=-1
B.a=-1，b=-1
C.a=-1，b=1
D.a=1，b=1
思路解析：已知函数的对应法则，此题可用待定系数法求a、b的值.
由已知得a=-1，b=-1，选B.
答案:B
3.已知一次函数f(x)=kx+b满足f［f(x)］=9x+8，则k等于(
)
A.3
B.-3
C.±3
D.缺少条件
思路解析：由f(x)=kx+b，先化简f［f
( http: / / www.21cnjy.com )(x)］=kf(x)+b=k(kx+b)+b=k2x+kb+b，再由已知恒等式f［f(x)］=9x+8，求出k值.
∵f(x)=kx+b，∴f［f(x)］=k2x+kb+b=9x+8.
∴解得k=±3，选C.
答案:C
4.函数y=f(x)的图象与直线x=1的交点s个数是(
)
A.1
B.0
C.0或1
D.1或2
思路解析：由函数的定义可知，对
( http: / / www.21cnjy.com )任意自变量x，都有唯一确定的y和它对应，表现在函数图象上，即一个横坐标上最多只能有一个点.当x=1属于函数y=f(x)的定义域时，函数y=f(x)的图象与直线x=1有一个交点；当x=1不属于函数y=f(x)的定义域时，函数y=f(x)的图象与直线x=1没有交点.
答案:C
5.有一位商人，从北京向上海的家中
( http: / / www.21cnjy.com )打电话，通话m分钟的电话费，由函数f(m)=1.06×(0.5［m］+1)(元)决定，其中m＞0，［m］是大于或等于m的最小整数.则从北京到上海通话时间为5.5分钟的电话费为(
)
A.3.71元
B.3.97元
C.4.24元
D.4.77元
思路解析：∵m=5.5，∴［5.5］=6.代入函数解析式中，f(5.5)=1.06×(0.5×6+1)=
1.06×4=4.24.故选C.
答案:C
6.小刚离开家去学校，由于怕迟到，所以一开始
( http: / / www.21cnjy.com )就跑步，跑累了再走余下的路程.在下图所示中，纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图象中较符合小刚走法的是(
)
思路解析：首先审清题意，特别是横、纵两轴的
( http: / / www.21cnjy.com )含义.纵轴表示离校的距离，所以排除A、C，在B、D中选择答案.由于开始时是跑步前进，所以同一时间内，D选项位置变化大，所以选择D.
答案:D
7.函数f(x)=-1的定义域是(
)
A.x≤1或x≥-3
B.(-∞，1］∪［-3，+∞)
C.-3≤x≤1
D.［-3，1］
思路解析：考查函数的定义域.由1-x≥0，x+3≥0可知，-3≤x≤1，所以原函数的定义域为［-3，1］，故选D.
答案:D
8.惠民超市为了答谢新老顾客，决定在2005年“五一”黄金周期间，举办购物优惠大酬宾活动.活动规定：一次购物
(1)不超过200元，不予优惠；(2)超过200元，但不超过500元，享受9折优惠；
(3)超过500元，其中500元按(2)中的给予优惠，超过500元的部分，给予8折优惠.
某人两次去购物，分别付款168元和423元.若他只去一次购买同样的商品，则应付款额是(
)
A.472.18元
B.510.4元
C.522.8元
D.560.4元
思路解析：由题意知两次购物的实际价格应为168+423÷0.9=168+470=638(元).
若他只去一次买同样的商品，则应付500×0.9+(638-500)×0.8=450+110.4=560.4(元).
故应选D.
答案:D
9.求函数y=x+的值域.
思路解析：这个问题的解法有很多，由可以看出x≥，然后再根据函数y=x+的单调递增，判断出这个函数的值域.
解法一：原式可变形为y-x=，
∵≥0，∴y-x≥0.
∴y≥x.又由2x-1≥0，知x≥.
∴y≥.故所求函数的值域为［，+∞).
解法二：由题意易知函数的定义域为x≥，且在定义域内函数值y随自变量x的增大而增大，
∴当x=时，ymin=，故所求函数的值域为［，+∞).
解法三：令=t，则x=.由定义域x≥知t≥0，于是y=+t=(t+1)2.易知当t=0时，ymin=，故所求函数的值域为［，+∞).
我综合
我发展
10.二次不等式ax2+bx+2＞0的解集是(-，)，则a+b的值是(
)
A.10
B.-10
C.14
D.-14
思路解析：考查二次不等式、二次方程的有关知识.由题意可知-、是方程ax2+bx+2=0的两根，所以-+=-，-×=，解得a=-12，b=-2，所以a+b=-14，故选D.
答案:D
11.下图是某容器的侧面图，如果以相同的速度向容器中注水，则容器中水的高度与时间的函数关系是(
)
思路解析：由容器的特点，可知水高随注水时间均匀上升，故应选C.
答案:C
12.下图是某校在2005年2
( http: / / www.21cnjy.com )月份的一次考试中，一个解答题的分数分布图，这个图是使用图象法表示的函数吗 ____________.为什么 ____________.
思路解析：因为每个分数都对应一个不同的人数，符合函数的定义，并且函数中两变量的对应关系用图表反映出来，所以是图象法表示的函数.
答案:是
符合函数的定义
13.函数y=的最大值为_____________.
思路解析：画出该分段函数的图象(如下图)，即可获得y的最大值为4.
答案:4
14.某城镇近20年常住人口y(千人)与时间x(年)之间的函数关系如右图.考虑下列说法：
①前16年的常住人口是逐年增加的；
②第16年后常住人口实现零增长；
③前8年的人口增长率大于1；
④第8年到第16年的人口增长率小于1.
在上述四种说法中，正确说法的序号是___________________.
思路解析：由图知前16年中人口不断增加，但增长率小于1，16年后人口零增长.
答案:①②④
15.
2006年春节长假期间，外出购物的人
( http: / / www.21cnjy.com )越来越多，这给商家提供了很大商机.嘉园超市全体员工不放假，为获取最大利润做了一番试验.若将进货单价为8元的商品按10元一件的价格出售时，每天可销售60件，现在采用提高销售价格，减少进货量的办法增加利润.已知这种商品每涨1元，其销售量就要减少10件.问该商品售价定为多少时，才能获得最大利润 并求出最大利润.
思路解析：本题转化为二次函数在定义域上求值域的问题.定义域是由假设所得60-10(x-10)＞0而得到的，为0＜x＜16.
解答：设售价为x，则销售数量为60-10(x-10)，
则利润为y=(x-8)［60-10(x-10)］(0＜x＜16)
=10(16-x)(x-8)=-10x2+240x-1
280=-10(x-12)2+160，
则知当x=12时，y最大，最大值为ymax=160.
我创新
我超越
16.求函数y=x2-2x+3在x∈［-1，2］上的最大值、最小值.
思路解析：函数f(x)为二次函数，在区间［-1，2］上的图象已确定，可结合图象求函数最值.
解答：原函数变形为y=(x
( http: / / www.21cnjy.com )-1)2+2，x∈［-1，2］，对称轴方程为x=1.作出函数y=(x-1)2+2在x∈［-1，2］上的图象，如右图实线部分，可以看出y的最小值在x=1时取到，为2，y的最大值在x=-1时取到，为6.
17.求函数f(x)=x2-2ax-1在区间［0，2］上的最大值和最小值.
思路解析：考查函数的最值的
( http: / / www.21cnjy.com )求法及分类讨论的思想方法.二次函数在给定区间上的最值(值域)通常与它的开口方向、对称轴和区间的相对位置有关，因此此类题也常常需要分类讨论.
解答：f(x)=x2-2ax-1=(x-a)2-a2-1为二次函数，图象为开口向上的抛物线，
在区间［0，2］上的最值与对称轴x=a和区间［0，2］的相对位置相关，
所以需要对对称轴x=a进行讨论：
①当a＜0时，f(x)min=-1，f(x)max=3-4a；
②当0≤a＜1时，f(x)min=-1-a2，f(x)max=3-4a；
③当1≤a≤2时，f(x)min=-1-a2，f(x)max=-1；
④当a＞2时，f(x)min=3-4a，f(x)max=-1.自主广场
我夯基
我达标
1.如下图，当a＞1时，在同一坐标系中，函数y=a-x与y=logax的图象是(
)
思路解析：首先把y=a-x化为y=()x，
∵a＞1，∴0＜＜1.因此y=()x，即y=a-x的图象是下降的，y=logax的图象是上升的.
答案:A
2.y=(x2-3x+2)的递增区间是(
)
A.(-∞，1)
B.(2，+∞)
C.(-∞，)
D.(，+∞)
思路解析：首先考虑对数函数的定义域，再利用对数函数的性质.
答案:A
3.已知函数f(x)=lg(x2-3x+2)的定义域为F，函数g(x)=lg(x-1)+lg(x-2)的定义域为G，那么(
)
A.G
( http: / / www.21cnjy.com )F
B.G=F
C.FG
D.F∩G=
思路解析：F={x|x2-3x+2>0}={x|x>2或x<1}，G={x|x>2}.∴G
( http: / / www.21cnjy.com )F.
答案:A
4.已知函数f(x)=log2(x2-ax+3a)在［2，+∞)上是增函数，则实数a的取值范围是(
)
A.（-∞，4）
B.（-4，4]
C.（-∞，-4）∪［2，+∞
D.［-4，4)
思路解析:解决复合函数问题的通法是把复合函数化归为基本初等函数.
令u（x）=x2-ax+3a，其对称轴x=.由题意有解得-4答案:B
5.若定义在(-1，0)上的函数f(x)=log2a(x+1)满足f(x)>0，则a的取值范围是(
)
A.(0,)
B.(0,]
C.(,+∞)
D.(0,+∞)
思路解析：本题考查对数函数的基本性质.
当x∈(-1，0)时，有x+1∈(0，1)，此时要满足f(x)>0，只要0<2a<1即可.
由此解得0答案:A
6.函数y=lg的图象大致是(
)
思路解析：本题通法有两种：①图象是由点构成的，点点构成函数的图象，所以可取特殊点(2，0)，(，1).②利用函数解析式判断函数的性质，函数的定义域为(1，+∞)，在定义域上函数为减函数.
答案:A
7.若函数f(x)=logax(0)
A.
B.
C.
D.
思路解析：本题关键是利用f(x)的单调性确定f(x)在［a，2a］上的最大值与最小值.
f(x)=logax(0当x∈［a，2a］时，f(x)max=f(a)=1，f(x)min=f(2a)=loga2a.
根据题意，3loga2a=1，即loga2a=，所以loga2+1=，即loga2=-.故由=2得a==.
答案:A
我综合
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8.loga<1，则a的取值范围是____________.
思路解析：当a>1时，loga<1=logaa.∴a>.又a>1，∴a>1.
当0答案:(0，)∪(1，+∞)
9.函数y=loga(x-2)+1(a＞0且a≠1)恒过定点______________.
思路解析：若x-2=1，则不论a为何值，只要a＞0且a≠1，都有y=1.
答案:(3，1)
10.函数f(x)=log(a-1)x是减函数，则a的取值范围是____________.
思路解析：考查对数函数的概念、性质.注意到a-1既受a-1＞0且a-1≠1的制约，又受减函数的约束，由此可列关于a的不等式求a.
由题意知0＜a-1＜1，∴1＜a＜2.
答案:1＜a＜2
11.已知f(x)=loga(a>0且a≠1).
(1)求函数的定义域；
(2)讨论函数的单调性；
(3)求使f(x)>0的x的取值范围.
思路解析:注意对数函数的底和真数的制约条件以及底的取值范围对单调性的影响.
解答:(1)由>0得-1∴函数的定义域为(-1,1).
(2)对任意-1<0，∴.
当a>1时，logaa，即f(x1)当0loga，即f(x1)>f(x2).
∴当a>1时，f(x)为(-1，1)上的增函数；
当0(3)loga>0=loga1.
当a>1时，>1，即-1=>0.
∴2x(x-1)<0.∴0当0∴当a>1时，f(x)>0的解为(0，1)；
当00的解为(-1，0).
12.已知f(x)=1+logx3，g(x)=2logx2，试比较f(x)与g(x)的大小.
思路解析：要比较两个代数式的大小，通常采取
( http: / / www.21cnjy.com )作差法或作商法，作差时，所得差同零比较，作商时，应先分清代数式的正负，再将商同“1”比较大小.因为本题中的f(x)与g(x)的正负不确定，所以采取作差比较法.
解答:f(x)和g(x)的定义域都是(0，1)∪(1，+∞).
f(x)-g(x)=1+logx3-2logx2=1+logx3-logx4=logxx.
(1)当0＜x＜1时，若0＜x＜1，即0＜x＜，
此时logxx＞0，即0＜x＜1时，f(x)＞g(x).
(2)当x＞1时，若x＞1，即x＞，此时logxx＞0，
即x＞时，f(x)＞g(x)；
若x=1，即x=，此时logxx=0，
即x=时，f(x)=g(x)；
若0＜x＜1，即0＜x＜，
此时logxx＜0，
即1＜x＜时，f(x)＜g(x).
综上所述，当x∈(0，1)∪(，+∞)时，f(x)＞g(x)；
当x=时，f(x)=g(x)；当x∈(1，)时，f(x)＜g(x).
我创新
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13.已知f(x)=lg(ax-bx)(a>1>b>0).
(1)求y=f(x)的定义域；
(2)在函数图象上是否存在不同两点，使过两点的直线平行于x轴
思路解析：(2)的思维难点是把问题化归为研究函数的单调性问题.
解答:(1)由ax-bx>0，得()x>1=()0.
∵>1，∴x>0.
∴函数的定义域为(0，+∞).
(2)先证明f(x)是增函数.
对于任意x1>x2>0，∵a>1>b>0，
∴>，<.
∴->-.
∴lg(-)>lg(-).
∴f(x1)>f(x2).
∴f(x)在(0，+∞)上为增函数.
假设y=f(x)上存在不同的两点A(x1，y1)、B(x2，y2)，使直线AB平行于x轴，
则x1≠x2，y1=y2，这与f(x)是增函数矛盾.
∴y=f(x)的图象上不存在两点，使过这两点的直线平行于x轴.
14.已知非零常数x、y、z，满足2x=3y=6z，求证：.
思路解析：考查转化的思想方法，指、对式的转化.可以先求出x、y、z，然后由左边推证出右边.
证法一：设2x=3y=6z=k，则x=log2k，y=log3k，z=log6k.
∴=logk2+logk3=logk6=.
证法二：由2x=3y=6z，有2x=6z，3y=6z.
∴x=log26z=zlog26，y=log36z=zlog36.
∴(log62+log63)=log66=.
15.求函数f(x)=log2+log2(x-1)+log2(p-x)的值域.
思路解析：求函数值域，必须先求定义域，求对数函数的定义域转化为解不等式组.
解答:f(x)的定义域为∴∴∵函数定义域不能是空集，∴p＞1，定义域为(1，p).
而x∈(1，p)时，f(x)=log2(x+1)(p-x)=log2［-x2+(p-1)x+p］
=log2［-(x-)2+()2］.
(1)当0＜≤1，即1＜p≤3时，0＜(x+1)(p-x)＜2(p-1).
∴f(x)的值域为(-∞，log22(p-1)).
(2)当1＜＜p，即p＞3时，0＜(x+1)(p-x)≤()2.
∴函数f(x)的值域为(-∞，2log2(p+1)-2］.自主广场
我夯基
我达标
1.下列说法正确的是(
)
A.2004年雅典奥运会的所有比赛项目组成一个集合
B.某个班年龄较小的学生组成一个集合
C.集合{1，2，3}与{3，1，2}表示不同的集合
D.1，0.5，，组成的集合有四个元素
思路解析：考查集合元素的三个性质：确定性、互异性、无序性.
A中各比赛项目是确定的且各不相同的，∴A正确.
B中元素是不确定的，C中两集合是相等的，D中有3个元素.∴选A.
答案:A
2.下面六种表示法：
①｛x=-1，y=2｝;②｛(x,y)｜
( http: / / www.21cnjy.com )x=-1,y=2｝;③｛-1，2｝;④(-1，2);⑤｛(-1，2)｝;⑥｛(x,y)｜x=-1或y=2｝.
其中能正确表示方程组的解集的是(
)
A.①②③④⑤⑥
B.①②④⑤
C.②⑤
D.②⑤⑥
思路解析：由于此方程组的解是因而写成集合时，应表示成一对有序实数(-1，2)构成的集合.
答案:C
3.已知集合S={a，b，c}中的三个元素可构成△ABC的三条边长，那么△ABC一定不是(
)
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
思路解析：由集合元素的互异性，知a、b、c各不相同.∴选D.
答案:D
4.已知A=｛x｜x=a+b，a、b∈Z｝，判断下列元素x与集合A之间的关系：
(1)x=0，(2)x=，(3)x=.
思路解析：x与A的关系只有x∈A和xA两种.判断x是不是A中的元素，即观察x能否写成a+b(a、b∈Z)的形式.
答案:(1)因为0=0+0×，所以0∈A.
(2)因为x==，无论a、b为何整数，a+b=不能成立，所以x=A.
(3)因为x==1+2，所以∈A.
5.(1)实数a、b满足关系____________时，集合A={x|ax+b=0}是有限集；
(2)a、b满足关系____________时，集合A={x|ax+b=0}为无限集；
(3)a、b满足关系____________时，集合A={x|ax+b=0}为空集.
思路解析：(1)集合A={x|ax+b=0}是有限集，即方程ax+b=0有有限个解，即x=-存在.因此a≠0，b∈R.
(2)集合A={x|ax+b=0}是无限集，即方程ax+b=0有无限解.
∴a=b=0.
(3)集合A={x|ax+b=0}为空集，即方程ax+b=0无解.
∴a=0，b≠0.
答案:a≠0，b∈R
a=b=0
a=0，b≠0
6.夏令营共有200名成员，第一次体能测试151人优秀，第二次测试172人优秀，则两次都得优秀的人数至少有______________.
思路解析：由题意,设两次测试都优秀x人，两次都不优秀m人，由集合运算性质有151+172-x+m=200，m≥0知x≥123.
答案:123人
7.下列各组对象能否构成一个集合 指出其中的集合是无限集还是有限集 并用适当的方法表示出来.
(1)直角坐标平面内横坐标与纵坐标互为相反数的点；
(2)高一数学课本中所有的难题；
(3)方程x4+x2+2=0的实数根；
(4)图甲中阴影部分的点(含边界上的点).
甲
乙
思路解析：根据集合中元素的特点解答.
答案:(1)是无限集合.其中元素是点，这些点要满足横坐标和纵坐标互为相反数.
可用两种方法表示这个集合：
描述法：｛(x,y)｜y=-x｝；
图示法：如图乙中直线l上的点.
(2)不是集合.难题的概念是模糊的不确定的，实际上一道数学题是“难者不会，会者不难”.因而这些难题不能构成集合.
(3)是空集.其中元素是实数，这些实数应是方程x4+x2+2=0的根，这个方程没有实数根，它的解集是空集.可用描述法表示为或者{x∈R|x4+x2+2=0}.
(4)是无限集合.其中元素是点，这些点必须落在图甲的阴影部分(包括边界上的点).
图甲本身也可看成图示法表示，我们还可用描述法表示这个集合:
｛(x,y)｜-1≤x≤2，-≤y≤2，且xy≤0｝.
8.已知f(x)=x2-ax+b(a、b∈
( http: / / www.21cnjy.com )R)，A=｛x｜f(x)-x=0,x∈R｝，B=｛x｜f(x)-ax=0,x∈R｝，若A=｛1，-3｝，试用列举法表示集合B.
思路解析：∵
集合B是方程f(x)-ax=
( http: / / www.21cnjy.com )0的解集,∴要求集合B，需设法求出a、b的值，于是可通过集合A=｛1，-3｝为突破口来寻找本例的解题途径.
答案:f(x)-x=0，即x2-(a+1)x+b=0.
∵
A=｛1,-3｝.
∴
由韦达定理得∴
∴
f(x)=x2+3x-3.
f(x)-ax=0，亦即x2+6x-3=0，
∴B=｛x｜x2+6x-3=0｝=｛-3-2,-3+2｝.
9.已知集合A=｛p｜x2+2(p-1)x+1=0,x∈R｝，求一次函数y=2x-1，x∈A的取值范围.
思路解析：关键是理解集合A中元素的属性.p的取值范围必须满足关于x的一元二次方程x2+2(p-1)x+1=0有实数根.
答案:由已知，Δ=4(p-1)2-4≥0,得p≥2或p≤0.所以A=｛p｜p≥2或p≤0｝;
因为x∈A，所以x≥2或x≤0，所以2x-1≥3或2x-1≤-1，所以y的取值范围是｛y｜y≤-1或y≥3｝.
我综合
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10.已知x、y、z为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是(
)
A.0M
B.2∈M
C.-4M
D.4∈M
思路解析：分4种情况讨论：
( http: / / www.21cnjy.com )x、y、z中三个都为正，代数式值为4；x、y、z中两个为正，一个为负，代数式值为0；x、y、z中一个为正，两个为负，值为0；x、y、z都为负数时，代数式值为-4.∴选D.
答案:D
11.某班级50人，开设英语和日语两门
( http: / / www.21cnjy.com )外语课，规定每人至少选学一门，估计报英语的人数占全班80%到90%之间，报日语的人数占全班32%到40%之间，设M是两门都学的人数的最大值，m是两门都学的人数的最小值，则M-m等于(
)
A.15
B.14
C.10
D.9
思路解析：由已知得报英语的人数在40-45之间，报日语的人数在16-20之间.
则M=45+20-50=15，m=40+16-50=6.
∴M-m=9.∴选D.
答案:D
12.试用适当的方法表示下列集合.
(1)24的正约数；
(2)数轴上与原点的距离小于1的所有点；
(3)平面直角坐标系中，Ⅰ、Ⅲ象限的角平分线上的所有点；
(4)所有非零偶数；
(5)所有被3除余数是1的数.
思路解析：用列举法或描述法表示集合.无限集一般用描述法表示；当有限集中的元素个数不多便于枚举时，采用列举法表示.
答案:(1){1，2，3，4，6，8，12，24}.
(2){x||x|＜1}.
(3){(x，y)|y=x}.
(4){x|x=2k，k∈Z，k≠0}或{x|∈Z且x≠0}.
(5){x|x=3k+1，k∈Z}.
13.若1∈{x|x2+px+q=0}，2∈{x|x2+px+q=0}，求p、q的值.
思路解析：首先注意集合的代表元素，
( http: / / www.21cnjy.com )然后看元素的特点.由已知两集合中的元素分别为一元二次方程x2+px+q=0的解，最后利用方程解的定义或根与系数的关系求解.
解法一：∵1∈{x|x2+px+q=0}，2∈{x|x2+px+q=0}，
∴1，2都是方程x2+px+q=0的解，即1，2都适合方程，分别代入方程，
得
②-①得3+p=0，∴p=-3.
代入①，得q=-(p+1)=2.
故所求p、q的值分别为-3、2.
解法二：∵1∈{x|x2+px+q=0}，2∈{x|x2+px+q=0}，
∴1和2都是方程x2+px+q=0的解.由根与系数的关系知
∴p=-3，q=2.故所求p=-3，q=2.
14.求：(1)方程x2-4x+4=0的所有根的和；
(2)集合S={x|x2-4x+4=0}的所有元素的和.
思路解析：本题极易忽略的一个问题是，方程根的
( http: / / www.21cnjy.com )个数与方程解集中元素的个数不一定相同，由于方程x2-4x+4=0有两个重根x1=x2=2，但其解集中却只有一个元素2，即S={2}，所以两个问题有区别，应用了集合中元素的互异性.
答案:(1)方程x2-4x+4=0的所有根的和为4；(2)由于集合S={x|x2-4x+4=0}={2}，∴S中所有元素之和为2.
我创新
我超越
15.设S={x|x=m+n，m、n∈Z}.
(1)若a∈Z，则a是否是集合S中的元素
(2)对S中的任意两个x1、x2，则x1+x2、x1·x2是否属于S
思路解析：考查集合的元素满足的条件.
答案:(1)a是集合S的元素，因为a=a+0×∈S.
(2)不妨设x1=m+n，x2=p+q，m、n、p、q∈Z.
则x1+x2=(m+n)+(p+q)=(m+n)+(p+q)，m、n、p、q∈Z.
∴x1+x2∈S，
x1·x2=(m+n)·(p+q)=(mp+2nq)+(mq+np)，m、n、p、q∈Z.
∴x1x2∈S.
综上，x1+x2、x1·x2都属于S.自主广场
我夯基
我达标
1.下列说法正确的是(
)
①任意集合必有子集
②空集是任意集
( http: / / www.21cnjy.com )合的真子集
③若集合A是集合B的子集，集合B是集合C的子集，则集合A是集合C的子集
④若不属于集合A的元素也一定不属于集合B，则B是A的子集
A.①②③
B.①③④
C.①③
D.①②③④
思路解析：此题考查子集的性质，并需要注意空集的特殊性.
(1)任意集合都是自身的子集，因此①正确.
(2)空集是任意非空集合的真子集，因此②不正确.
(3)集合子集的性质具有传递性，因此③正确.
(4)可利用文氏图进行分析，④正确.
答案:B
2.已知集合{2x，x2-x}有且只有4个子集，则实数x的取值范围是(
)
A.R
B.(-∞，0)∪(0，+∞)
C.{x|x≠3，x∈R}
D.{x|x≠0且x≠3，x∈R}
思路解析：由已知{2x，x2-x}有且只有4个子集，可知2x≠x2-x.
解得x≠0且x≠3.
∴选D.
答案:D
3.集合{x∈N|x=5-2n，n∈N}的真子集的个数是(
)
A.9
B.8
C.7
D.6
思路解析：∵x∈N，n∈N，∴x=5-2n=5，3，1.
∴集合{x∈N|x=5-2n，n∈N}={1，3，5}.
∴其真子集的个数是23-1=7.
答案:C
4.满足条件{1，2}A
( http: / / www.21cnjy.com ){1，2，3，4}的集合A的个数是(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
思路解析：∵{1，2}A
( http: / / www.21cnjy.com ){1，2，3，4}，
∴A中至少有1、2两个元素，至多有1、2、3(4)三个元素.
∴集合A可能有三种情况：{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}.
∴集合A的个数是3.故选C.
答案:C
5.设M={x|x=a2+1，a∈N
}，P={y|y=b2-4b+5，b∈N
}，则下列关系正确的是(
)
A.M=P
B.M
( http: / / www.21cnjy.com )P
C.P
( http: / / www.21cnjy.com )M
D.M∩P=
思路解析：∵a∈N
，∴x=a2+1=2，5，10，….
∵b∈N
，∴y=b2-4b+5=(b-2)2+1=1，2，5，10，….
∴M
( http: / / www.21cnjy.com )P.故选B.
答案:B
6.已知全集U=Z，A={x|x=2k，k∈Z}，则
( http: / / www.21cnjy.com )A等于_______________.
思路解析：易知集合A为偶数集，
∵U=Z，∴
( http: / / www.21cnjy.com )A为奇数集.
∴
( http: / / www.21cnjy.com )A={x|x=2k+1，k∈Z}.
答案:{x|x=2k+1，k∈Z}
7.在平面直角坐标系中，集合C={(x，y)|y=x}表示直线y=x，从这个角度看，集合D={(x，y)|}表示直线2x-y=1和直线x+4y=5的交集，则集合C、D之间的关系为________，用几何语言描述这种关系为______________.
思路解析：直线2x-y=1和直线x+4y=5的交点坐标为(1，1).
答案:DC
点D在直线y=x上
8.已知集合P={a，a+d，a+2d}，Q={a，aq，aq2}，其中a≠0，且P=Q，求q的值.
思路分析：本题考查以集合P=Q为载
( http: / / www.21cnjy.com )体，列方程求未知数的值的问题，而集合中的元素具有无序性，由P=Q知，第一个集合中的元素a不可能与后面元素中的任何一个元素相等，再看第一个集合中的元素a+d，其不可能与第二个集合中的元素a相等，除此以外，可能对应情况为
解方程组，得出解后验证可得正确结论.
解：由P=Q，假设
②-①，得d=aq(q-1)，代入①解得a+aq(q-1)=aq.
∵a≠0，∴方程可化为(q-1)2=0，解得q=1.
于是a=aq=aq2与集合中元素的互异性相矛盾，故只能是
解得q=-或q=1.
经检验q=1不符合要求，舍去.∴q=-.
我综合
我发展
9.同时满足(1)M{1，2，3，4，5}，(2)若a∈M，则6-a∈M的非空集合M有(
)
A.32个
B.15个
C.7个
D.6个
思路解析：∵M{1，2，3，4，5}，a∈M，则6-a∈M，
∴1、5应同属于M，2、4也应同属于M，3可单独出现.
∴集合M的情况有七种：{3}，{1，5}，{2，4}，{1，3，5}，{2，3，4}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}.故选C.
答案:C
10.集合M={x|x=m+，m∈Z}，N={x|x=-，n∈Z}，P={x=+，p∈Z}，则M、N、P之间的关系是(
)
A.M=N
( http: / / www.21cnjy.com )P
B.M
( http: / / www.21cnjy.com )N=P
C.M
( http: / / www.21cnjy.com )N
( http: / / www.21cnjy.com )P
D.N
( http: / / www.21cnjy.com )P=M
思路解析：思路一：可简单列举集合中的元素.
思路二：从判断元素的共性和差异入手.
M={x|x=，m∈Z}，N={x|x==，n∈Z}，P={x|x=，p∈Z}.
由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的数，而6m+1表示被6除余1的数，所以M
( http: / / www.21cnjy.com )N=P.
答案:B
11.定义集合A
B={x|x∈A且xB}，若A={1，3，5，7}，B={2，3，5}，则
(1)A
B的子集为_______________________________________________________________；
(2)A
(A
B)=___________________________________________________________________.
思路解析：(1)A
B={1，7}，其子集为，{1}，{7}，{1，7}.
(2)A
(A
B)={3，5}.
答案:(1)，{1}，{7}，{1，7}
(2){3，5}
12.若S={x|x=2n+1，n∈Z}，T={x|x=4k±1，k∈Z}，试判断S与T这两个集合之间存在怎样的关系.
思路解析：考查两个集合的关系，即判别元素的异同，方法可列举，也可判别元素是否等价等.
解法一：∵S={…，-5，-3，-1，1，3，5，…}，T={…，-5，-3，-1，1，3，5，…}，
∴S=T.
解法二：由2n+1=4k+1(n=2k)或4k-1(n=2k-1)(n、k∈Z)，可知S=T.
解法三：S为奇数集合，而T中元素均为奇数，故有TS.
任取x∈S，则x=2n+1.
当n为偶数2k时，有x=4k+1∈T；
当n为奇数2k-1时，仍有x=4k-1∈T，∴ST.
∴TS且ST.故S=T.
13.设全集U={2，3，a2+2a-3}，A={|2a-1|，2}，
( http: / / www.21cnjy.com )A={5}，求实数a的值.
思路解析：本题抓住
( http: / / www.21cnjy.com )A={5}这个条件，得出5∈U且AU，易求出a的值.
解：∵
( http: / / www.21cnjy.com )A={5}，A={|2a-1|，2}，U={2，3，a2+2a-3}，
∴∴a=2.
我创新
我超越
14.已知三个集合E={x|x2-3x+2=0}，F={x|x2-ax+(a-1)=0}，G={x|x2-3x+b=0}.问：同时满足F
( http: / / www.21cnjy.com )E，GE的实数a和b是否存在 若存在，求出a、b所有值的集合；若不存在，请说明理由.
思路解析：将集合之间的关系转化为二元一次方程的解之间的关系，从而求得a、b的值.
解答：(1)由已知，E={1，2}，又∵F
( http: / / www.21cnjy.com )E，∴F=或{1}或{2}.
①当F=时，即方程x2-ax+(a-1)=0无解.∴Δ=a2-4(a-1)＜0，
即(a-2)2＜0，矛盾.∴F不可能为，即F≠.
②当F={1}时，即方程x2-ax+(a-1)=0有两相等的实根为1，
由根与系数的关系知
∴∴a=2，即a=2时，F
( http: / / www.21cnjy.com )E.
③当F={2}时，即方程x2-ax+(a-1)=0有两相等的实根为2，
由根与系数的关系知
∴∴a无解，即不存在a的值使F
( http: / / www.21cnjy.com )E.
综上，a=2时，F
( http: / / www.21cnjy.com )E.
(2)当GE且E={1，2}时，G=或{1}或{2}或{1，2}.
①当G=时，即方程x2-3x+b=0无解.
∴Δ=9-4b＜0.∴b＞.此时GE.
②当G={1}时，即方程x2-3x+b=0有两相等的根为1.
由根与系数的关系知矛盾.
③当G={2}时，同理矛盾.
④当G={1，2}时，即方程x2-3x+b=0有两异根为1、2.
由根与系数的关系，知∴b=2.
综上知b=2或b＞时，GE.
综合(1)(2)，知同时满足F
( http: / / www.21cnjy.com )E，GE的a、b的值存在.
适合条件的a、b集合分别为{2}、{b|b=2或b＞}.自主广场
我夯基
我达标
1.一个面积为100
cm2的等腰梯形，上底长为x
cm，下底长为上底长的3倍，则把它的高y表示成x的函数为(
)
A.y=50x(x＞0)
B.y=100x(x＞0)
C.y=(x＞0)
D.y=(x＞0)
思路解析：由·y=100得2xy=100,∴y=(x＞0).
答案:C
2.下列图形是函数y=-|x|(x∈［-2，2］)的图象的是(
)
思路解析：y=-|x|=
其中y=-x(0≤x≤2)是直线y
( http: / / www.21cnjy.com )=-x上满足0≤x≤2的一条线段(包括端点)，y=x是直线y=x上满足-2≤x＜0的一条线段(包括左端点)，其图象在原点及x轴下方.
答案:B
3.已知f(x)的定义域为［-2，2］，则f(x2-1)的定义域为(
)
A.［-1，］
B.［0，］
C.［-，］
D.［-4，4］
思路解析：∵-2≤x2-1≤2，∴-1≤x2≤3，即0≤x2≤3，
因此0≤|x|≤，-≤x≤.
答案:C
4.设f(x)=，则f()是(
)
A.f(x)
B.-f(x)
C.
D.
思路解析：∵f(x)=，∴f()==f(x).
答案:A
5.某城市出租车按如下方法收费：起步价
( http: / / www.21cnjy.com )6元，可行3
km(不含3
km)，3
km后到10
km(不含10
km)每走1
km加价0.5元，10
km后每走1
km加价0.8元，某人坐出租车走了12
km，他应交费____________元.
思路解析：把收费y元看成所求路程x
km的函数，当0＜x＜3时应交6元,当3≤x＜10时应交6+7×0.5=9.5元,
∴当x=12时，y=9.5+0.8×3=11.9元.
答案:11.9
6.设f(x)=则f｛f［f(-)］｝的值为__________，f(x)的定义域是__________.
思路解析：∵-1＜-＜0，∴f(-)=2×(-)+2=，
而0＜＜2，∴f()=-×=-.
∵-1＜-＜0，∴f(-)=2×(-)+2=.
因此f｛f［f(-)］｝=.
函数f(x)的定义域为｛x｜-1≤x＜0｝∪｛x｜0＜x＜2＝∪｛x｜x≥2｝=｛x｜x≥-1且x≠0｝.
答案:
｛x｜x≥-1且x≠0｝
7.如图，有一块边长为a的正方形
( http: / / www.21cnjy.com )铁皮，将其四个角各截去一个边长为x的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出体积V以x为自变量的函数式是_________，这个函数的定义域为_________.
思路解析：据长方体的体积公式，易得V=x(a-2x)2，其中0＜x＜.
答案:V=x(a-2x)2
{x|0＜x＜}
8.已知f(1-)=x，求f(x).
思路解析：设1-=t，用换元法，同时应注意函数的定义域.
答案:设1-=t，则x=(1-t)2.∵x≥0,∴t≤1.
∴f(t)=(1-t)2(t≤1).∴f(x)=(x-1)2(x≤1).
9.作出下列函数的图象：
(1)y=|x-1|+2|x-2|；
(2)y=|x2-4x+3|.
思路解析：先写出函数的解析式，再画出其图象.
解答：(1)y=|x-1|+2|x-2|=
函数y=|x-1|+2|x-2|的图象如左下图所示.
(2)y=|x2-4x+3|=
函数y=|x2-4x+3|的图象如右上图所示.
10.设H(x)=画出函数y=H(x-1)的图象.
思路解析：先求y=H(x-1)的函数解析式，再画其图象.
解答：由H(x)=得到H(x-1)=
画出函数H(x-1)的图象，如图所示.
11.A、B两地相距15
( http: / / www.21cnjy.com )0
km，某汽车以每小时50
km的速度从A地到B地，在B地停留2小时之后，又以每小时60
km的速度返回A地.写出该车离开A地的距离s(km)关于时间t(h)的函数关系式，并画出图象.
思路解析：该车离开A地的距离s(km)关于时间t(h)的函数为分段函数，先写出其解析式，再画出其图象.
解答：汽车由A地到B地共需=3(h),
由B地返回A地共需=2.5(h),
∴s=
画出函数图象如图所示：
12.如右图，梯形OABC各顶点的坐标分别为O(0，0)，A(6，0)，B(4，2)，C(2，2).一条与y轴平行的动直线l从O点开始作平行移动，到A点为止.设直线l与x轴的交点为M，OM=x，记梯形被直线l截得的在l左侧的图形的面积为y.求函数y=f(x)的解析式，定义域，值域以及f［f()］的值.
思路解析：这是由数学问题产生出函数关系的
( http: / / www.21cnjy.com )例子，结果是个分段定义函数.分段定义函数是一个函数，它在各“段”的对应法则是对定义域作分类而给出的，体现了整体和局部的关系.以上两种思想是认识分段定义函数的指导思想.如题图，由于点M在OA上的位置不同，题中所说的图形形状、求其面积的方法就不同，从而应对M点的位置，即x的取值作出分类讨论.
解答：当0≤x≤2时，图形为等腰直角三角形，此时y=·x·x=x2;当2＜x≤4时，图形为一个直角梯形，它又可分割成一个等腰直角三角形(确定的)与一个矩形，此时y=·2·2+(x-2)·2=2x-2;当4＜x≤6时，图形为一个五边形，它可看作是原梯形去掉一个等腰直角三角形(位于直线右侧)，此时y=(6+2)·2-(6-x)2=-x2+6x-10.
于是y=f(x)=
并且函数y=f(x)的定义域是[0，6].
又当0≤x≤2时,0≤x2≤2;当2＜x≤4时,2＜2x-2≤6;
当4＜x≤6时,6＜-x2+6x-10≤8.
所以函数y=f(x)的值域为[0，2]∪(2，6]]∪(6，8]，即为[0，8].
由于∈（2,4）,故f()=2·-2=5.
又5∈（4,6）,故f(5)=-·52+6·5-10=.
于是f［f()］=f(5)=.
13.用长为l的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架(如图)，若矩形底边长为2x，求此框架围成的面积y与x的函数关系式，并指出其定义域.
思路解析：求函数的定义域，如果是
( http: / / www.21cnjy.com )实际问题除应考虑函数解析式本身有定义外，还应考虑实际问题有意义，如本题注意到矩形的长2x、宽a必须满足2x＞0和a＞0，即l-πx-2x＞0.
解答：由题意知，此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积，而矩形的长AB=2x，宽为a.则有2x+2a+πx=l，
即a=-x-x，半圆的直径为2x，半径为x.
所以y=+(-x-x)·2x=-(2+)x2+lx.
根据实际意义知-x-x＞0，因x＞0，解得0＜x＜，
即函数y=-(2+)x2+lx的定义域是{x|0＜x＜}.
14.国内跨省市之间邮寄信函，每封信函的质量和对应的邮资如下表：
信函质量(m)/g
0＜m≤20
20＜m≤40
40＜m≤60
60＜m≤80
80＜m≤100
邮资(M)/元
0.80
1.60
2.40
3.20
4.00
画出图象，并写出函数M=f(m)的解析式.
思路解析：此题为分段函数，注意端点值.
解答：邮资是信函质量的函数，函数图象如下图.
函数的解析式为M=
我综合
我发展
15.设二次函数f(x)满足f(
( http: / / www.21cnjy.com )2+x)=f(2-x)，且f(x)=0的两个实根的平方和为10，f(x)的图象过点(0，3)，求f(x)的解析式.
思路解析:要求的函数为二
( http: / / www.21cnjy.com )次函数，一般可设其为f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，然后根据已知条件求出系数a、b、c，从而求得该二次函数.由于本题条件f(2+x)=f(2-x)隐含着函数f(x)的图象关于直线x=2对称，故可设函数f(x)=a(x-2)2+k.
解答：∵f(2+x)=f(2-x)，∴f(x)的图象关于直线x=2对称.
于是，设f(x)=a(x-2)2+k(a≠0)，
则由f(0)=3，可得k=3-4a，
∴f(x)=a(x-2)2+3-4a=ax2-4ax+3.
∵ax2-4ax+3=0的两实根的平方和为10，
∴10=x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=16-.
∴a=1.∴f(x)=(x-2)2-1=x2-4x+3.
我创新
我超越
16.如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽2
m，渠深1.8
m，边坡的倾角是45°.
(1)试用解析表达式将横断面中水的面积A(m2)表示成水深h(m)的函数；
(2)确定函数的定义域和值域；
(3)画出函数的图象.
思路解析：利用等腰梯形的性质解决问题.
解答：(1)由已知，横断面为等腰梯形，下底为2
m，上底为(2+2h)
m，高为h
m，
∴水的面积A==h2+2h.
(2)定义域为{h|0＜h＜1.8}.
值域由二次函数A=h2+2h(0＜h＜1.8)求得.
由函数A=h2+2h=(h+1)2-1的图象可知，
在区间(0，1.8)上函数为增函数，所以0＜A＜6.84.
故值域为{A|0＜A＜6.84}.
(3)函数图象如下确定.
由于A=(h+1)2-1，对称轴为直线h=-1，
顶点坐标为(-1，-1)，且图象过(0，0)和(-2，0)，
又考虑到0＜h＜1.8，
∴A=h2+2h的图象仅是抛物线的一部分，如右图所示.
17.如右图，动点P从边长为4
( http: / / www.21cnjy.com )的正方形ABCD的顶点B开始，顺次经C、D、A绕周界运动，用x表示点P的行程，y表示△APB的面积，求函数y=f(x)的解析式.
思路解析：由P点的运动方向知，当P运动到BC、CD、DA上时，分别对应的解析式不同，因此这是个分段函数.
解答：由已知，得y=自我小测
1．下列函数为单调增函数的序号是________．
①
(x＞0)；②；③；④.
2．函数y＝x2－3x＋2的单调减区间是________，最小值是________．
3．下列命题正确的序号是________．
①定义在(a，b)上的函数f(x
( http: / / www.21cnjy.com ))，若存在x1，x2∈(a，b)，使得x1＜x2时，有f(x1)＜f(x2)，则f(x)在(a，b)上递增．
②定义在(a，b)上的函数f(x)，若有
( http: / / www.21cnjy.com )无穷多对x1，x2∈(a，b)，使得x1＜x2时，有f(x1)＜f(x2)，则f(x)在(a，b)上递增．
③若f(x)在区间I1上是单调增函数，在区间I2上也是单调增函数，则f(x)在I1∪I2上也一定是单调增函数．
④若f(x)在区间I上单调递增，g(x)在区间I上单调递减，则f(x)－g(x)在区间I上单调递增．
4．已知函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图象如图：
则函数y＝f(x)的单调增区间是________；函数y＝g(x)的单调减区间是________．
5．小军遇到这样一道题目：写出满足在(
( http: / / www.21cnjy.com )－∞，0)上递减，在[0，＋∞)上递增，且有最小值为2的两个函数．请你帮小军写出满足条件的两个函数表达式：________________________________.
6．有下列四个命题：
①函数y＝2x2＋x＋1在(0，＋∞)上不是单调增函数；②函数在(－∞，－1)∪(－1，＋∞)上是单调减函数；③函数的单调增区间是(－∞，＋∞)；④已知f(x)在R上为单调增函数，若a＋b＞0，则有f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)．
其中正确命题的序号是________．
7．已知函数f(x)＝x2＋2(1－2a)x＋6在(－∞，－1)上是单调减函数．
(1)求f(2)的取值范围；
(2)比较f(2a－1)与f(0)的大小．
8．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．
(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值与最小值；
(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数．
　已知函数，问此函数在区间[2,6]上是否存在最大值和最小值？若存在，请求之，若不存在，请说明理由．
参考答案
千里之行
1．④　解析：在(0，＋∞)上是单调减函数在[0，＋∞)上是单调减函数，.在(0，＋∞)上也是单调减函数，
在[0，＋∞)上为单调增函数．
2．　　解析：函数的对称轴为，且开口向上，所以单调减区间为．，∴当时，.所以函数的最小值为.
3．④　解析：由单调增函数的定义，知x1，x2必须是区间(a，b)上的任意两个值且x1＜x2，所以“存在”，“有无穷多对”都不对，因此①②错；③反例在(－∞，0)上是单调增函数，在(0，＋∞)上也是单调增函数，但不能说在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是单调增函数，故③错；
对④设x1，x2∈I,
且x
( http: / / www.21cnjy.com )1＜x2，则f(x1)＜f(x2)，g(x1)＞g(x2)，∴－g(x2)＞－g(x1)，∴f(x2)－g(x2)＞f(x1)－g(x1)，故f(x)－g(x)在I上单调递增，∴④正确．
4．(－∞，－2]，[0，＋∞)　(－∞，0]，(0，＋∞)
5．y＝x2＋2或y＝|x|＋2　解析：这是一个开放性题，答案不惟一，可以是y＝ax2＋2，y＝a|x|＋2(a＞0)．
6．④　解析：①因为函数在上为单调增函数，所以在(0，＋∞)上也是单调增函数，故①错．②函数在区间(－∞，－1)和(－1，＋∞)上各自是单调减函数，但不能说函数在(－∞，－1)∪(－1，＋∞)上为单调减函数，因为当取x1＝－2，x2＝0时，x1＜x2，但，，f(x1)＜f(x2)，显然不满足单调减函数定义，所以要把这两个区间分开写，不能取并集写成一个区间．③∵函数的定义域是,
故③错．④∵f(x)在R上为单调增函数，又a＋b＞0，∴有a＞－b，或b＞－a，则有f(a)＞f(－b)，或f(b)＞f(－a)．两式相加得f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)，故④正确．
7．解：(1)∵二次函数f(x)
( http: / / www.21cnjy.com )＝x2＋2(1－2a)x＋6的图象的对称轴为x＝2a－1，且开口向上，∴此函数在区间(－∞，2a－1]上是单调减函数．若使f(x)在(－∞，－1)上为单调减函数，其对称轴x＝2a－1必须在x＝－1的右侧或与其重合，即－1≤2a－1，∴a≥0.∴f(2)＝22＋2(1－2a)×2＋6＝－8a＋14≤14，即f(2)∈(－∞，14]．
(2)∵当x＝2a－1时，二次函数f(x)取得最小值，
∴f(2a－1)≤f(0)．
8．解：(1)当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[－5,5]．
∵f(x)的对称轴为x＝1，∴当x＝1时f(x)取得最小值为1；当x＝－5时，f(x)取得最大值，且f(x)max＝f(－5)＝37.
(2)f(x)＝x2＋2ax＋2＝(x＋a
( http: / / www.21cnjy.com ))2＋2－a2的对称轴为x＝－a.∵f(x)在[－5,5]上是单调函数，∴－a≤－5或－a≥5，解得a≤－5或a≥5，∴a的取值范围是{a|a≤－5，或a≥5}．
百尺竿头
解：假设存在，先判定函数的单调性．
设x1，x2∈[2,6]，且x1＜x2，则
.由2≤x1＜x2≤6，得x1－1＞0，x2－1＞0，∴(x1－1)(x2－1)＞0，又∵x1＜x2，∵x2－x1＞0，∵f(x1)＞f(x2)，∴函数在区间[2,6]上是单调减函数．
∴函数在[2,6]的两个端点上分别取得最大值与最小值，即当x＝2时，取最大值，且最大值为2；在x＝6时，取最小值，最小值为0.4.自主广场
我夯基
我达标
1.把根式-2改写成分数指数幂的形式为(
)
A.-2(a-b
B.-2(a-b
C.-2()
D.-2()
思路解析：考查根式与分数指数幂的转化.
答案:A
2.下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是(
)
A.-=(-x(x≠0)
B.
C.(xy≠0)
D.(y<0)
思路解析:根据根式、分数指数幂的意义，可得选项.
答案:C
3.当a、b∈R时，下列各式总能成立的是(
)
A.(-)6=a-b
B.=a2+b2
C.=a-b
D.=a+b
思路解析:取a=0,b=1,A不成立;取a=0,b=-1,C不成立;取a=-1,b=-1,D不成立;因为a2+b2≥0,所以B正确.
答案:B
4.下列说法中:
①-2是16的四次方根;②正数的n次方根有两个;③a的n次方根就是;④=a(a≥0).
正确的命题个数是(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
思路解析:从n次方根和n次根式的概念入手，认清各概念与各符号之间的关系.
①是正确的.由(-2)4=16可验证.
②不正确，要对n分奇偶讨论.
③不正确，a的n次方根可能有一个值，可能有两个值，而只表示一个确定的值,它叫根式.
④正确，根据根式运算的依据，当n为奇数时，=a是正确的，当n为偶数时，若a≥0，则有=a.综上，当a≥0时，无论n为何值均有=a成立.
答案:B
说明：此题主要目的是分清n次方根是什么和有几个，进一步明确根式进行简单运算的依据.
5.某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化的情况是(
)
A.增加7.84%
B.减少7.84%
C.减少9.5%
D.不增不减
思路解析:将实际问题中的递增和递减转化为指数式进行计算.设原价格为A，则两年后的价格为A(1+20%)2，在此基础上又过两年后的价格为A(1+20%)2(1-20%)2，即为四年后的价格，求得为0.921
6A，比原价格A减少了，减了多少呢？根据式子=-7.84%，所以比原来减少了7.84%.故选B.
答案:B
6.已知函数y=(3x-2+(2-3x+，它的定义域是什么？写出x、y的范围，依次为_______.
思路解析:考查函数的定义域.
由得3x=2.
∴x=，从而y=.
答案:x=，y=
7.据国务院发展研究中心2000年发表的《
( http: / / www.21cnjy.com )未来20年我国发展前景》判断，未来20年，我国GDP(国内生产总值)年平均增长率可望达到7.3%.那么，到2020年，我国的GDP可望为2000年的__________倍.
思路解析:如果把我国2000年的GDP看成
( http: / / www.21cnjy.com )是1个单位，2001年为第1年，那么1年后，即2001年的GDP为2000年的(1+7.3%)1倍.
同理，2002年为(1+7.3%)2倍.
依次类推，2020年的GDP为2000年的(1+7.3%)20倍.
答案:(1+7.3%)20
8.若am=2，an=3，则=_____________.
思路解析:先求a3m，a3m-n=，
∴.
答案:
9.如图，P1是一块半径为1的半圆形纸板，在P1的左下端剪去一个半径为的半圆形纸板P2，然后依次剪去一个更小的半圆(其直径为前一个被剪掉半圆的半径)形纸板P3，P4，…，Pn，则Pn的半径rn是_____________.
( http: / / www.21cnjy.com )
思路解析:由已知可得r1=()0，r2=()1，r3=()2，r4=()3，
依次类推rn=()n-1.故答案为()n-1.
答案:()n-1
10.化简=__________________.
思路解析:先把根式化为分数指数幂，然后再计算.
答案:1
11.函数y=的定义域是__________________.
思路解析:解得x≠0,且x≠1.
答案:(-∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞)
12.求下列各式的值:
(1)(a>0);(2).
思路解析:根式可化为分数指数幂形式，利用分数指数幂运算性质计算.
既含有分数指数幂，又有根式，一般把根式统一化成分数指数幂的形式，便于计算，如果根式中根指数不同，也应化成分数指数幂的形式.
答案:(1)原式=.
(2)原式=.
13.化简×.
思路解析:在进行根式、指数的运算
( http: / / www.21cnjy.com )时，注意先将根式统一到指数，再按运算顺序进行计算.在运算过程中，要充分注意到指数的变化，灵活地运用乘法公式、因式分解等快速运算.
答案:原式=×
===a.
14.求值：
(1);
(2).
思路解析:(1)题需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质；(2)先化为同次根式，然后计算.
解答:(1)
=
=
=||+|2-|-|2-|=+2--(2-)=2.
(2)=2×××=2×××
=2×=2×3=6.
我综合
我发展
15.计算下列各式:
(1)(2)0+2-2·(2-(0.01)0.5;
(2)÷.
思路解析:一般地，进行指数幂运算时，化负指
( http: / / www.21cnjy.com )数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的.
解答:(1)原式=1+×(-(=1+=1.
(2)原式==1.
16.化简下列各式(其中各字母均为正数)：
(1);
(2);
(3).
思路解析:根式运算或根式与指数混合运算时
( http: / / www.21cnjy.com )将根式化为指数式运算较为方便，对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，如果有特殊要求，可根据要求写出结果，但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.
解答:(1)原式=.
(2)原式=［
=［()+()］2=4m.
(3)原式=-·b-3÷
=-··b-3÷
=-
=-·.
我创新
我超越
17.化简：
(1)(1-a);
(2)·.
思路解析:将根式化为指数幂.
解答:(1)原式＝(1-a)(a-1＝-(a-1)(a-1＝-(a-1＝-.
(2)原式=［xy2(xy-1(xy
=(xy2
=(
==xy.
18.计算下列各式(式中字母都是正数):
(1)(2)(-6)÷(-3);
(2)()8.
思路解析:(1)题可以仿照单项式乘除法进行，首先是系数相乘除，然后是同底数幂相乘除，并且要注意符号.
(2)题按积的乘方计算，而按幂的乘方计算，等熟练后可简化计算步骤.
解答:(1)
(2)(-6)÷(-3)
=［2×(-6)÷(-3)］=4ab0=4a;
(2)()8=()8()8=m2·n-3=.自我小测
1．下列对应中，能构成集合A到集合B的映射的序号是________．
①A＝{0,2}，B＝{0,1}，f：；②A＝{－2,0,2}，B＝{4}，f：x→x2；③A＝R，B＝{y|y＞0}，f：；④A＝B＝R，f：x→2x＋1.⑤A＝{x|x≥2，x∈N}，B＝{y|y≥0，y∈Z}；f：x→x2－2x＋2.
2．已知映射f：A→B，其中，集
( http: / / www.21cnjy.com )合A＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，集合B中的元素都是A中元素在映射f下的象，且对任意的a∈A，在B中和它对应的元素是|a|，则集合B中元素的个数是________．
3．已知f：x→|x|＋1是集合A＝R到集合B＝{x|x＞0}的一个映射，则B中的元素8在A中的原象是________．
4．已知A＝{a，b}，B＝{c，d，e}，则集合A到集合B的不同的映射f的个数为________．
5．给出下列两个集合间的对应关系
①A＝{你班的同学}，B＝{体重}，f：每个同学对应自己的体重；
②M＝{1,2,3,4}，N＝{2,4,6,8}，f：x→2x；
③A＝B＝R，f：；
④A＝R，B＝{y|y≥0}，f：x→x4；
⑤A＝{江苏，浙江、山东、广东}，B＝{南京
( http: / / www.21cnjy.com )、杭州、济南、广州}，f：A中每个省对应B中的一个省会城市，其中映射的个数是________，是函数的序号为________．
6．为了确保信息安全，信息需加
( http: / / www.21cnjy.com )密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)．已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a＋2b,2b＋c,2c＋3d,4d，例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16，当接收方收到的密文为14,9,23,28时，对应的明文为________．
7．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{5,6,7}，在下列A到B的四种对应关系中，是否构成A到B的映射？
8．若f：y＝3x＋1是从集合A＝{1,2,3，k}到集合B＝{4,7，a4，a2＋3a}的一个映射，求自然数a，k及集合A，B.
　设集合A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，f是A到B的映射，并满足f：(x，y)→(－xy，x－y)．
(1)求B中元素(3，－4)在A中的原象；
(2)试探索B中有哪些元素在A中存在原象；
(3)求当B中元素(a，b)在A中有且只有一个原象时，a，b所满足的关系式．
参考答案
千里之行
1．①④⑤　解析：∵A中元素0在B中无对应元素，
∴②不是集合A到B的映射，
∵0无倒数．
∴0∈A,0在B中无象，
∴③不能构成映射．
2．4　解析：由题意，知对应法则是f：a→|a|，
∴A中的3和－3对应的象是3，－2和2对应的象是2，－1和1对应的象是1,4对应的象是4，
∴B＝{1,2,3,4}，故B中元素有4个．
3．±7　解析：设原象为x，则|x|＋1＝8，即|x|＝7，∴x＝±7即8对应A中的原象为±7.
4．9　解析：∵A中有2个元素，B中有3个元素，∴A到B的映射共有32＝9个．
5．4　②④　解析：①⑤是映射，由于A、B不是数集，故不是函数，②④是映射，也是函数，③A中非正实数在B中无象，所以不是映射，更不是函数．
6．6,4,1,7　解析：由题意知　解得　
∴对应明文为6,4,1,7.
7．解：(1)是A到B的映射．
(2)∵A中的元素4在B中无对应元素，故该对应不是A到B的映射．
(3)该对应是A到B的映射．
(4)A中的元素3在B中有两个元素与之对应，故不是A到B的映射．
8．解：∵1的象是4,7的原象是2，
∴可以判断A中的元素3的象要么是a4，要么是a2＋3a.
由a4＝3×3＋1＝10，且a∈N知，a不存在．
∴a2＋3a＝10，解得a＝－5(舍去)，a＝2.
又集合A中的元素k的象3k＋1＝a4＝16.，
∴k＝5，∴A＝{1,2,3,5}，B＝{4,7,10,16}．
百尺竿头
解：(1)设(x，y)是(3，－4)的原象，于是解之，得或
∴(3，－4)在A中的原象是(－1,3)，(－3,1)．
(2)设任意(a，b)∈B，在A中有原象(x，y)应满足
由②式可得y＝x－b.代入①式得　x2－bx＋a＝0.　③
当且仅当Δ＝b2－4a≥0时，③式有实数根，因此只有当B中元素满足b2－4a≥0时，在A中才有原象．
(3)由以上(2)的解题过程，知只有当B中元素满足b2＝4a时，它在A中有且只有一个原象，故a、b所满足的关系式为b2＝4a.自主广场
我夯基
我达标
1.下列以x为自变量的函数中，是指数函数的是(
)
A.y=(-4)x
B.y=πx
C.y=-4x
D.y=ax+2(a＞0且a≠1)
思路解析:从指数函数的定义出发解决此题.
由指数函数的定义知，选B.
答案:B
2.下图是指数函数①y=ax；②y=bx；③y=cx；④y=dx的图象，则a、b、c、d与1的大小关?系是(
)
A.a＜b＜1＜c＜d
B.b＜a＜1＜d＜c
C.1＜a＜b＜c＜d
D.a＜b＜1＜d＜c
思路解析:直线x=1与四个指数函数图象交点的坐标分别为?(1，a)、(1，b)、(1，c)、(1，d)，由图象可知纵坐标的大小关系.
答案:B
3.已知镭经过100年剩余的质量是原来质量的0.957
6，设质量为1的镭经过x年后，剩留量是y，则y关于x的函数关系是(
)
A.y=
B.y=()x
C.y=0.957
6100x
D.y=1-
思路解析:首先应求出经过一年后放射掉其质量的百分比，然后求得放射一年后剩余原来质量的百分比，再根据x、y的函数应该是指数函数，就可得正确答案.设镭一年放射掉其质量的t%，则有0.957
6=1·(1-t%)100.∴t%=1-.
∴y=(1-t%)x=.选A.
答案:A
4.若函数y=ax+b-1(a>0且a≠1)的图象经过一、三、四象限，则一定有(
)
A.a>1且b<1
B.0C.00
D.a>1且b<0
思路解析:本题考查指数函数的图象.
函数y=ax+b-1(a>0且a≠1)的图象经过一、三、四象限，则必有a>1；
进而可知
答案:D
5.如果函数y=(a2-4)x在定义域内是减函数，则a的取值范围是(
)
A.|a|>2
B.|a|>
C.|a|<
D.2<|a|<
思路解析:∵0∴2<|a|<5.
答案:D
6.设y1=40.9，y2=80.44，y3=()-1.5，则(
)
A.y3＞y1＞y2
B.y2＞y1＞y3
C.y1＞y2＞y3
D.y1＞y3＞y2
思路解析:把给出的三个函数化为同底的指数式
( http: / / www.21cnjy.com )，y1=21.8，y2=21.32，y3=21.5，再根据指数函数y=2x是增函数即可判断y1＞y3＞y2.
答案:D
7.春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知
( http: / / www.21cnjy.com )每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了(
)
A.10天
B.15天
C.19天
D.18天
思路解析:荷叶覆盖水面面积y与生长时间的函数关系为y=2x，
当x=20时，长满水面，所以生长19天时，布满水面一半.故选C.
答案:C
8.农民收入由工资性收入和其他收入两部
( http: / / www.21cnjy.com )分构成.2003年某地区农民人均收入为3
150元(其中工资性收入为1
800元，其他收入为1
350元)，预计该地区自2004年起的2年内，农民的工资性收入将以每年6%的年增长率增长，其他收入每年增加160元，根据以上数据，2005年该地区农民人均收入介于(
)
A.3
200元—3
400元
B.3
400元—3
600元
C.3
600元—3
800元
D.3
800元—4
000元
思路解析:本题考查指数函数的应用.
设2005年该地区农民人均收入为y元，
则y=1
800×(1+6%)2+1
350+160×2≈3
686(元).
答案:C
9.右图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y(m2)与时间t(月)的关系：y=at，有以下叙述，其中正确的是(
)
①这个指数函数的底数为2
②第5个月时，浮萍面积就会超过30
m2
③浮萍从4
m2蔓延到12
m2需要经过1.5个月
④浮萍每月增加的面积都相等
⑤若浮萍蔓延到2
m2、3
m2、6
m2所经过的时间分别为t1、t2、t3，则t1+t2=t3
A.①②
B.①②③④
C.②③④⑤
D.①②⑤
思路解析:本题综合考查学生的识图能力及指数函数的性质.
由图形得函数解析式应为y=2x(x≥0).
答案:D
10.函数y=ax-3+3(a>0且a≠1)恒过定点______________.
思路解析:a3-3+3=a0+3=4.
答案:(3，4)
11.已知函数f(x)=ax+a-x(a>0且a≠1)，f(1)=3，则f(0)+f(1)+f(2)的值为______________.
思路解析:f(0)=a0+a0=2，f(1)=a+a-1=3，
f(2)=a2+a-2=(a+a-1)2-2=9-2=7.
∴f(0)+f(1)+f(2)=12.
答案:12
12.函数y=(2m-1)x是指数函数，则m的取值是_______________.
思路解析:考查指数函数的概念.
据指数函数的定义，y=ax中的底数a约定a＞0且a≠1.
故此2m-1＞0且2m-1≠1，所以m＞且m≠1.
答案:m＞且m≠1
13.电子计算机中使用二进制，它与十进制的换算关系如下表所示：
十进制
1
2
3
4
5
6
7
8
…
二进制
1
10
11
100
101
110
111
1
000
…
观察二进制为1位数、2位数、3位数时，对应的十进制数.当二进制为6位数时，能表示十进制中的最大数是_______________.
思路解析:此题考查学生的观察能力、归纳总结能力.通过观察图表：
二进制为1位数时，十进制的最大数为1=21-1；
二进制为2位数时，十进制的最大数为3=22-1；
二进制为3位数时，十进制的最大数为7=23-1.
依次类推，二进制为6位数时，十进制的最大数为26-1.
答案:26-1
14.函数y=的值域为_____________.
思路解析:考查指数函数的性质、函数值域的求法.
由于x2+1≥1，而y=3x在(-∞，+∞)上是增函数，
所以y=≥3，即y=的值域为［3，+∞).
答案:［3，+∞)
15.有浓度为a%的酒精一满瓶共m
( http: / / www.21cnjy.com )升，每次倒出n升，再用水加满，一共倒了10次，则加了10次水后瓶中的酒精浓度是_____________.
思路解析:本题考查指数函数的应用.
第一次加满水时，瓶中酒精的浓度为(1-)·a%，
第二次加满水时，瓶中酒精的浓度为(1-)(1-)·a%=(1-)2·a%，
依次可得第n次加满水时，瓶中酒精的浓度为(1-)n·a%.
答案:(1-)10·a%
16.求函数y=f(x)=()x-()x+1，x∈［-3，2］的值域.
思路解析:将()x看作一个未知量t，把原函数转化为关于t的二次函数求解.
解答:∵f(x)=［()x］2-()x+1，x∈［-3，2］，
∴()2≤()x≤()-3，即≤()x≤8.
设t=()x，则≤t≤8.
将函数化为f(t)=t2-t+1，t∈［，8］.
∵f(t)=(t-)2+，∴f()≤f(t)≤f(8).∴≤f(t)≤57.
∴函数的值域为［，57］.
17.已知+=3，求a2+a-2的值.
思路解析:本题考查指数的运算.
解答：从已知条件中解出a的值，再代入求值的方法不可取，应该设法从整体寻求结果与条件+=3的联系进而整体代入求值.
将+=3两边平方得a1+a-1+2=9，即a1+a-1=7.
再将其平方，
有a2+a-2+2=49，从而得到a2+a-2=47.
18.某种细菌每隔两小时分裂一次(每一个
( http: / / www.21cnjy.com )细菌分裂成两个，分裂所需时间忽略不计)，研究开始时有两个细菌，在研究过程中不断进行分裂，细菌总数y是研究时间t的函数，记作y=f(t)，
(1)写出函数y=f(t)的定义域和值域；
(2)在所给坐标系中画出y=f(t)(0≤t＜6)的图象；
(3)写出研究进行到n小时(n≥0，n∈Z)时，细菌的总数有多少个(用关于n的式子表示)
思路解析:要注意实际问题与数学模型的各量间的相互对应.
解答:(1)y=f(t)的定义域为t∈［0，+∞)，值域为{y|y=2n，n∈N
}.
(2)0≤t＜6时，为一分段函数y=
图象如下图.
(3)n为偶数时，y=；n为奇数时，y=.
∴y=
19.牛顿冷却规律描述一个物体在常温环境下的温度变化.如果物体的初始温度是T0，则经过一定时间t后的温度T将满足T-Tα=(T0-Tα)·，其中Tα是环境温度.使上式成立所需要的时间h称为半衰期.现有一杯用195热水冲的速溶咖啡放置在75的房间中，如果咖啡降温到105需20min，问欲降温到95需多少时间？
思路解析:由所给公式知它是时间t与温度T的指数函数关系，将题中有关数据代入求得h值.再将T=95代入已求得的T=f(t)中求得t.
解答:由题意，知T=Tα+(T0-Tα).
将有关数据代入，得T=75+(195-75)·.
这里h是以分钟为单位的半衰期，为了确定它的值，将t=20时，T=105代入，
此时，105=75+(195-75)·，解得h=10.
∴T=75+(195-75)·.
(
)
欲使T=95，代入(
)式，得95=75+(195-75)·，即=.
两边取对数，查表得=2.6，即t=26(min).
因此，在咖啡冲好26
min之后降温至95.
我综合
我发展
20.已知f(x)=＞0，当x∈(-∞，1]时恒成立，求实数a的取值范围.
思路解析:利用转化的思想，原题化为1+2x+4x·a＞0，再分离参变量得a＞-()x-()x，然后求指数函数的最值，最后用指数函数的单调性求最值.
解答:f(x)＞0在(-∞，1]上恒成立，即1+2x+4x·a＞0在(-∞，1]上恒成立，进一步转化为a＞-()x-()x在(-∞，1]上恒成立.
当且仅当a大于函数g(x)=-()x-()x的最大值时，a＞-()x-()x恒成立.
而g(x)=-()x-()x在(-∞，1]上是增函数,
∴当x=1时，g(x)max=--=-.
因此，所求a的取值范围为a＞-.
21.已知a、b∈R+，且a≠b，试求函数f(x)=［a2x+(ab)x-2b2x的定义域.
思路解析:求函数的定义域，
( http: / / www.21cnjy.com )就是求使函数表达式有意义的字母x的取值范围，因此，函数f(x)的定义域就是不等式a2x+(ab)x-2b2x＞0的解集.
解答:a2x+(ab)x-2b2x＞0等价于()2x+()x-2＞0.
∴［()x+2］［()x-1］＞0.
∵()x+2恒正，∴()x-1＞0.∴()x＞1.
①当a＞b时，＞1，∴x＞0.
∴函数f(x)的定义域为R+.
②当a＜b时，0＜＜1，∴x＜0.
∴函数f(x)的定义域为{x|x＜0}.
我创新
我超越
22.已知f(x)=x(+).
(1)判断函数的奇偶性；
(2)证明f(x)>0.
思路解析:本题以复合函数为载体判断函数的奇偶性，并利用函数的奇偶性证明不等式.
解答:(1)函数的定义域为{x|x≠0}.
f(-x)=-x·=-x·=x·=f(x),∴函数为偶函数.
(2)证明：由解析式，当x>0时，f(x)>0.
又f(x)是偶函数，当x<0时，-x>0.
∴当x<0时，f(x)=f(-x)>0，
即对于x≠0的任何实数x，均有f(x)>0.自主广场
我夯基
我达标
1.设全集U={a，b，c，d，e}，集合M={a，c，d}，N={b，d，e}，那么(
( http: / / www.21cnjy.com )M)∩(
( http: / / www.21cnjy.com )N)是(
)
A.
B.{d}
C.{a，c}
D.{b，e}
思路解析：
( http: / / www.21cnjy.com )M={b，e}，
( http: / / www.21cnjy.com )N={a，c}.
答案:A
2.定义集合运算:A⊙B={z|
( http: / / www.21cnjy.com )z=xy(x+y),x∈A,y∈B}.设集合A={0,1},B={2,3},则集合A⊙B的所有元素之和为(
)
A.0
B.6
C.12
D.18
思路解析：∵A={0,1},B={2,3},∴A⊙B={0,0,6,12}.
故所有元素之和为0+0+6+12=18.
答案:D
3.已知全集I，集合A、B满足A∩B=B，A∪B=A，则必定有(
)
A.BA
B.BA
C.A=B
D.
( http: / / www.21cnjy.com )A∩B=
思路解析：理解A∩B=B，A∪B=A的含义，从而知A、C选项均有可能.但必定有选项D.
答案:D
4.集合P={x|x2-16<0},Q={x|x=2n,n∈Z},则P∩Q等于(
)
A.{-2,2}
B.{-2,2,-4,4}
C.{-2,0,2}
D.{-2,2,0,-4,4}
思路解析：∵P={x|-4答案:C
5.已知集合P={x∈N|1≤x≤10},集合Q={x∈R|x2+x-6=0},则P∩Q等于(
)
A.{2}
B.{3}
C.{-2,3}
D.{-3,2}
思路解析：P={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},Q={-3,2},P∩Q={2}.
答案:A
6.全集为I，非空集合P、Q满足P
( http: / / www.21cnjy.com )Q
( http: / / www.21cnjy.com )I，若含P、I、Q的一个集合运算表达式使运算结果为，则这个运算表达式可以是_______________.(只需写一个表达式)
思路解析：用Venn图表示含I、P、Q的运算表达式结果为?，只需无公共部分的两区域表示的集合取交集即可.由Venn图，知P∩(Q)或(
( http: / / www.21cnjy.com )Q)∩(Q∩P)或(
( http: / / www.21cnjy.com )Q)∩(Q∪P)，(
( http: / / www.21cnjy.com )Q)∩(
( http: / / www.21cnjy.com )P)，(
( http: / / www.21cnjy.com )P)∩P均可.
答案:P∩(Q)
7.设集合A={-3，0，1}，B={t2-t+1}.若A∪B=A，则t=________________.
思路解析：由A∪B=A知BA，∴t2-t+1=-3①或t2-t+1=0②或t2-t+1=1③.①无解；②无解；③t=0或t=1.
答案:0或1
8.某高中2005年春季运动会开始了.
( http: / / www.21cnjy.com )设A={x|x是参加100米跑的同学}，B={x|x是参加200米跑的同学}，C={x|x是参加400米跑的同学}，学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项，请你用集合的运算说明这项规定，并解释以下集合运算的含义：
(1)A∪B；
(2)A∩C.
思路解析：本题考查集合的交集运算、并集运算.
解：用集合语言表示“学校规定，每位参赛同学最多只能参加两项比赛”，
即为(A∩B)∩C=.
(1)A∪B={x|x是参加100米跑或参加200米跑的同学}.
(2)A∩C={x|x是既参加100米跑又参加400米跑的同学}.
9.已知集合A={x|x2+4x=0}，集合B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0}，其中x∈R.
(1)若A∩B=B，求实数a的取值范围；
(2)若A∪B=B，求实数a的值.
思路解析：本题体现了分类讨论思想，要注意空集这一特殊集合.
解：(1)易知A={0，-4}，又A∩B=B，即AB，
∴B=或{0}或{-4}或{0，-4}.
当B=时，方程x2+2(a+1)x+a2-1=0无实数解，
∴Δ=4(a+1)2-4(a2-1)＜0，解得a＜-1.
当B={0}或{-4}时，方程x2+2(a+1)x+a2-1=0有两个相等实数根，
∴Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0，得a=-1，此时B={0}，满足题意.
当B={-4，0}时，方程x2+2(a+1)x+a2-1=0有两个不相等实数根-4，0，
则-2(a+1)=-4+0且a2-1=0，解得a=1，
此时B={x|x2+4x=0}={-4，0}，满足题意.
综合以上可知，a≤-1或a=1.
(2)由已知得A={0，-4}.又A∪B=B，即AB.
又∵B为二次方程解集，其中最多有2个元素，
∴B={0，-4}，即方程x2+2(a+1)x+a2-1=0有两根为0和-4.
由韦达定理知∴a=1.
因此，若A∪B=B，则a=1.
我综合
我发展
10.图中反映的是①四边
( http: / / www.21cnjy.com )形、②梯形、③平行四边形、④菱形、⑤正方形这五种几何图形之间的关系，五个图形与A、B、C、D、E代表的图形集合相对应，正确的是(
)
A.①-B，②-A，③-C，④-D，⑤-E
B.①-A，②-B，③-C，④-D，⑤-E
C.①-C，②-A，③-B，④-D，⑤-E
D.①-D，②-B，③-C，④-E，⑤-A
思路解析：由平面几何知识，在①②③④⑤五个图形中，①是最大、最基本的图形，包含②③④⑤.
∴①-A.B与C是并列的，即无交集，且③包含了④⑤.
∴②-B，③-C.正方形是特殊的菱形，∴④-菱形D，⑤-E.∴选B.
答案:B
11.如下图，有四个区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ.下面给出了四个用集合A、B的交集、并集、补集表示的集合，请你将对应的集合与区域连结起来.
B∩(
( http: / / www.21cnjy.com )A)
Ⅰ
A∩B
Ⅱ
A∩(
( http: / / www.21cnjy.com )B)
Ⅲ
( http: / / www.21cnjy.com )
(A∪B)
Ⅳ
思路解析：考查用韦恩图来表示集合的运算.
答案:
12.某车间有120人，其中乘电车上班的84人，乘汽车上班的32人，两车都乘的18人，求：
(1)只乘电车的人数；
(2)不乘电车的人数；
(3)乘车的人数；
(4)不乘车的人数；
(5)只乘一种车的人数.
思路解析：本题考查集合的运算，解题的关键是把文字语言转化为集合语言，借助于Venn图的直观性把它表示出来，再求解.
解答：设只乘电车的人数为x，不乘电车的人数为y，乘车的人数为z，不乘电车的人数为u，只乘一种车的人数为v，如图所示，可得
x=84-18=66人，
y=120-84=36人，
z=84+32-18=98人，
u=120-98=22人，
v=(84-18)+(32-18)=80人.
13.设I={1，2，3，…，9}，已知：(1)(
( http: / / www.21cnjy.com )A)∩B={3，7}，(2)(
( http: / / www.21cnjy.com )B)∩A={2，8}，(3)(
( http: / / www.21cnjy.com )A)∩(
( http: / / www.21cnjy.com )B)={1，5，6}，求集合A和B.
思路解析：通常的题目是首先给出集合
( http: / / www.21cnjy.com )，然后求集合的交、并、补等运算结果.本题恰恰相反，先给出了集合A、B的运算结果，然后要求求集合A、B.可以借助Venn图把相关运算的结果表示出来，自然地就得出集合A、B了.
解答：用Venn图表示集合I、A、B的关系，如右图所示的有关区域分别表示集合A∩B，(
( http: / / www.21cnjy.com )A)∩B，A∩(
( http: / / www.21cnjy.com )B)，(
( http: / / www.21cnjy.com )A)∩(
( http: / / www.21cnjy.com )B)，并填上相应的元素，可得A={2，4，8，9}，B={3，4，7，9}.
14.某班举行数、理、化
( http: / / www.21cnjy.com )三科竞赛，每人至少参加一科，已知参加数学竞赛的有27人，参加物理竞赛的有25人，参加化学竞赛的有27人，其中参加数学、物理两科的有10人，参加物理、化学两科的有7人，参加数学、化学两科的有11人，而参加数、理、化三科的有4人，求全班人数.
思路解析：根据题意，借助韦恩图求解.
解答：设参加数学、物理、化学竞赛的人构成的集合分别为A、B、C，
则na=27，nB=25，nC=27，nA∩B=10，nB∩C=7，nA∩C=11，nA∩B∩C=4，如图所示.
∴全班人数为各数之和：10+12+13+7+3+6+4=55.
答：全班共有55人.
我创新
我超越
15.已知A={2，4，a3-2a2-a+7}，B={-4，a+3，a2-2a+2，a3+a2+3a+7}，且A∩B={2，5}.
(1)求实数a的值；
(2)求A∪B.
思路解析：利用A∩B={2，5}确定集合元素的取值是本题的关键.
解答：由题意知，a3-2a2-a+7=5，解之得a=-1，1，2，
当a=-1，1时，A={2，4，5
( http: / / www.21cnjy.com )}，B={-4，2，4，5}或{-4，1，4，12}，这与已知A∩B={2，5}矛盾；当a=2时，符合题意，故a=2.
此时A∪B={2，4，5}∪{-4，2，5，25}={-4，2，4，5，25}.自我小测
1．已知x，y值的数据如下表：
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
y
－4
－3
－2
－1
0
1
2
则由表中数据可知，表中表示的函数关系式是________．
2．设，则f(x)＝________.
3．下列所给的四个图象中，可以作为函数y＝f(x)的图象的序号是________．
4．设　则＝________.
5．函数y＝f(x)的图象如
( http: / / www.21cnjy.com )图所示，那么f(x)的定义域是________；值域是________；其中只与x的一个值对应的y值的范围是________．
6．直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点，则a的取值范围是________．
7．已知函数φ(x)＝f(x)＋g(x)，其中f(x)是x的正比例函数，g(x)是x的反比例函数，且，φ(1)＝8，求φ(x)的解析式，并指出定义域．
8．已知函数
(1)求下列各函数值：f(－8)，，，；
(2)作出函数的简图；
(3)求函数的值域．
　如图所示，用长为l的铁丝弯成下部分为矩形，上部为半圆形的框架，若矩形底边长为2x，求此框架围成的面积y与x的函数关系式，并指出其定义域．
参考答案
千里之行
1．y＝x－1
2.　解析：令.则，∴，∴.
3．③④　解析：由函数概念知，对定义域内的每
( http: / / www.21cnjy.com )一个x值，y都有惟一的值与之对应，所以由图象知，①中当1＜x＜2时，y值不惟一；②中当x＝0时，y值不惟一，故①②不能作为函数y＝f(x)的图象．
4.　解析：∵，∴，
∵，∴.
5．[－3,0]∪[2,3)　　[1,5)　　[1,2)∪(4,5)
6．　解析：
当其图象如图所示时满足题意．
由图知解得.
7．解：由题意设f(x)＝ax，
，a，b为比例常数，
∴.
由，得.①
由φ(1)＝8，得φ(1)＝f(1)＋g(1)＝a＋b＝8，②
解①②联立的方程组，得　∴.
其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
8．解：函数的定义域为[－1,0)∪([0,1)∪[1,2]＝[－1,2]．
(1)∵－8?[－1,2]，∴f(－8)无意义．
∵－1≤x＜0时，f(x)＝－x，∴.
∵0≤x＜1时，f(x)＝x2，∴.
∵1≤x≤2时，f(x)＝x，∴.
(2)在同一坐标系中分段画出函数的图象，如图所示．
(3)由(2)画出的图象可知，函数的值域为[0,2]．
百尺竿头
解：由题意知此框架是由一个矩形和一个半圆组成的图形，而矩形的长AB＝2x，设宽为a，则有2x＋2a＋πx＝l，即，半圆直径为2x.
半径为x，∴面积.
根据实际意义知，又x＞0，解得.
即函数的定义域为．自我小测
1．如果lg2＝a，lg3＝b，则等于________．
2．下列结论中，正确的序号是________．
①lg2·lg3＝lg5；②lg23＝lg9；③；④若logaM＋N＝b，则M＋N＝ab(a＞0且a≠1)；⑤若log2M＋log3N＝log2N＋log3M，则M＝N.
3．(1)已知loga2＝m，loga3＝n(a＞0且a≠1)则a2m－n＝________；
(2)若a＞0，，则________；
(3)若5lgx＝25，则x＝________.
4．已知lg(log2x)＝0，，则logxy＝________.
5．已知，logn8＝blogn56(m、n＞0且m≠1，n≠1)，则a＋b＝________，________.
6．(1)已知11.2a＝1
000,0.011
2b＝1
000，则________.
(2)若2a＝5b＝10，则________.
7．求下列各式的值：
(1)2log525＋log264－2
011logπ1；
(2)log155·log1545＋(log153)2；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
8．2010年我国国民生
( http: / / www.21cnjy.com )产总值为a亿元，如果年平均增长8%，那么经过多少年后国民生产总值是2010年的2倍？(lg2≈0.301
0，lg3≈0.477
1，lg1.08≈0.033
4，精确到1年)
参考答案
1.　解析：∵lg2＝a，lg3＝b，
∴
2．③⑤　解析：由对数的运算性质知①②错；由对数恒等式知③正确；当loga(M＋N)＝b时，有M＋N＝ab，∴④错；由log2M＋log3N＝log2N＋log3M，得log2M－log2N＝log3M－log3N，即，上式只有当，即M＝N时成立，∴⑤正确．
3．(1)　(2)3　(3)100　解析：(1)∵loga2＝m，loga3＝n，∴am＝2，an＝3.
∴
(2)法一：∵a＞0，，∴
∴，即，∴
法二：∵a＞0，∴，∴　∴
(3)∵5lgx＝25＝52.∴lgx＝2，x＝102＝100.
4．－3　解析：∵lg(log2x)＝0，∴log2x＝1，∴x＝2，
又∵，
∴，∴，∴.
∴.
5．1　56　解析：由换底公式得.
，
∴a＋b＝log567＋log568＝log5656＝1.
∵log567＝a，∴.
∴.
6．(1)1　(2)1　解析：(1)法一：用指数解：由已知得.
，两式相除得：，
∴.
法二：用对数解．由题意，得a×lg11.2＝3，
b×lg0.011
2＝3，∴.
法三：综合法解．∵11.2a＝1
000,0.011
2b＝1
000，∴a＝log11.21
000，b＝log0.011
21
000.∴
(2)法一：由2a＝5b＝10，得a＝log210，b＝log510，
∴.
法二：对已知条件的各边取常用对数，得alg2＝blg5＝1，∴，，
∴.
7．解：(1)原式＝2log552＋log226－2011×0＝4＋6－0＝10.
(2)原式＝log155(1＋lo
( http: / / www.21cnjy.com )g153)＋(log153)2＝log155＋log153(log155＋log153)＝log155＋log153＝log1515＝1.[或原式＝(1－log153)(1＋log153)＋(log153)2＝1－(log153)2＋(log153)2＝1]
(3)原式＝(－2)×(－4)×(－2)＝－16.
(4)设，则＝(1＋lg2)lg7＋(lg7－1)(－lg2)＝lg7＋lg2＝lg14.∴x＝14，即.
(5)原式＝(1－lg2)
( http: / / www.21cnjy.com )(3＋3lg2)＋3lg22＋lg6－2－lg6＝3(1－lg2)(1＋lg2)＋3lg22－2＝3(1－lg22)＋3lg22－2＝3－2＝1.
(6)原式.
8．解：设经过x年后国民生产
( http: / / www.21cnjy.com )总值是2010年的2倍．经过1年，总产值为a(1＋8%)，经过2年，总产值为a(1＋8%)2，……经过x年，总产值为a(1＋8%)x.
由题意得a(1＋8%)x＝2a，即1.08x＝2.
方法一：两边取常用对数，得lg1.08x＝lg2，即．
方法二：用换底公式．∵1.08x＝2，∴
．
答：约经过9年，国民生产总值是2010的两倍．
百尺竿头
解：(1)∵18b＝5，∴log185＝b，又∵log189＝a，∴log182＝1－log189＝1－a.
∴.
2)∵loga8＋log2a＝4，∴3loga2＋log2a＝4，∴，
∴(log2a－1)(log2a－3)＝0，即log2a＝1或log2a＝3，∴a＝2或a＝8.
①当a＝2时，f(x)＝x2＋3是偶函数；当a＝8时，f(x)＝x8＋3也是偶函数．
∴f(x)是偶函数．
②当a＝2时，原式；当a＝8时，原式.
③∵g(x)＝2x或g(x)＝8x，且2与8都大于1，∴g(x)＝ax在R上是单调增函数．自我小测
1．设A＝{x|x＋1＞0}，B＝{x|x＜0}，则A∩B＝________.
2．设全集U＝{x∈N
|x＜6}，集合A＝{1,3}，B＝{3,5}，则(A∪B)＝________.
3．设集合A＝{(x，y)|4x＋y＝6}，B＝{(x，y)|3x＋2y＝7}，则满足C
( http: / / www.21cnjy.com )(A∩B)的集合C的个数为________．
4．已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，且B≠
( http: / / www.21cnjy.com )，若A∪B＝A，则实数m的取值范围是________．
5．已知S＝{x|x2－px＋
( http: / / www.21cnjy.com )6＝0}，M＝{x|x2－2x＋q＝0}，且S∩M＝{3}，则p＋q＝________，S∪M＝________.
6．若集合A＝{1,3，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝{1,3，x}，则满足条件的实数x的值为________．
7．已知全集U＝R，A＝{x|－4≤x＜2}，B＝{x|－1＜x≤3}，，求A∩B，A∪B，(B)∪P，(A∩B)∩(P)，并用区间表示．
8．设集合A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{9，a－5,1－a}，已知A∩B＝{9}，求实数a的值及A∪B.
　已知三个集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋a－1＝0}，C＝{x|x2－bx＋2＝0}，问同时满足B
( http: / / www.21cnjy.com )A，A∪C＝A的实数a，b是否存在？若存在，求出a，b的取值；若不存在，说明理由．
参考答案
千里之行
1．(－1,0)　解析：A∩B＝{x|x＞－1}∩{x|x＜0}＝{x|－1＜x＜0}．
2．{2,4}　解析：∵U＝{1,2,3,4,5}，A∪B＝{1,3,5}，∴(A∪B)＝{2,4}．
3．2　解析：．
∵C?A∩B，∴集合C的个数有2个，分别为?，{(1,2)}．
4．(2,4]　解析：∵A∪B＝A，∴B?A，又B≠?，∴
解得2＜m≤4.∴实数m的取值范围是(2,4]．
5．2　{－1,2,3}　解析：∵3∈S，∴32－3p＋6＝0，解得p＝5，
由3∈M，得32－2×3＋q＝0，∴q＝－3.　∴p＋q＝2，将p＝5，q＝－3.
代入原方程，得S＝{2,3}，M＝{－1,3}，∴S∪M＝{－1,2,3}．
6．0或　解析：∵A＝{1,3，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝{1,3，x}．
∴A∪B＝A，即B?A　∴x2＝3，或x2＝x.
①当x3＝3时，，，则，B＝{1,3}，符合题意；
若，则，B＝{1,3}，符合题意．
②当x2＝x时，x＝0，或x＝1，若x＝0；则A＝{1,3,0}，B＝{1,0}，符合题意；若x＝1，则A＝{1,3,1}，B＝{1,1}，与集合中元素的互异性矛盾，舍去．综上可知，x的值为0或.
7．解：A∩B＝{x|－1＜x＜2}，用区间表示为A∩B＝(－1,2)；
A∪B＝{x|－4≤x≤3}，用区间表示为A∪B＝[－4,3]；
∵B＝{x|x≤－1，或x＞3}，，
∴，用区间表示为；
(A∩B)∩(P)＝{x|0＜x＜2}，用区间表示为(A∩B)∩(P)＝(0,2)．
8．解：∵A∩B＝{9}．∴9∈A　∴2a－1＝9，或a2＝9.
(1)若2a－1＝9，则a＝5.此时A＝{－4,9,25}，B＝{9,0，－4}．
∴A∩B＝{－4,9}，与已知矛盾，舍去．
(2)若a2＝9，则a＝±3.当a＝3时，A＝{－4,5,9}，B＝{9，－2，－2}．
B中有两个元素均为－2，与集合中元素的互异性矛盾，舍去．
当a＝－3时，A＝{－4，－7,9}，B＝{9，－8,4}，符合题意．
综上可知，a＝－3，A∪B＝{－8，－7，－4,4,9}．
百尺竿头
解：存在．∵A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，B＝{x|x2－ax＋a－1＝0}＝{x|(x－1)[x－(a－1)＝0]}，
又∵B
( http: / / www.21cnjy.com )A，∴a－1＝1，∴a＝2.
∵A∪C＝A，∴C
( http: / / www.21cnjy.com )A.∴有以下三种情况：
①当C＝
( http: / / www.21cnjy.com )时，方程x2－bx＋2＝0无实根，
∴Δ＝b2－8＜0，∴.
②当C＝{1}或C＝{2}时，方程x2－bx＋2＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b2－8＝0，∴.此时，或，不符合题意，舍去．
③当C＝{1,2}时，方程x2－bx＋2＝0有两个不相等的实数根，由根与系数的关系知，b＝1＋2＝3.两根之积为2.
综上所述，存在a＝2，b＝3，或满足条件．自我小测
1．某座高山，从山脚开始，海拔
( http: / / www.21cnjy.com )每升高100米气温就降低0.7℃，已知山顶温度是14.1℃，山脚的温度是26℃，则这座山的相对高度是________．
2．今有一组实验数据见下表：
t
1.99
3.01
4.02
5.1
6.12
v
1.5
4.04
7.51
12
18.01
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个函数序号是________．①v＝log2t　②　③　④v＝2t－2
⑤v＝2t
3．将进货单价为8元的商品按10元一个销
( http: / / www.21cnjy.com )售，每天可卖出100个．若每个商品销售涨价一元，则日销售量减少10个．为获得最大利润，则此商品当日销售价应定为每个________元．
4．为了预防甲型H1N1流感的发生，某校决定对教室用药熏消毒法进行消毒，根据药学原理，从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室学习，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．
5．2009年我国人口总数为14亿，如果人口的自然年增长率控制在1.25%，则到________年我国人口总数将超过20亿．(注：lg1.012
5≈0.005
4，)．
6．如图所示，开始时桶1中有aL水，t分钟后剩余的水符合指数衰减曲线y1＝ae－nt，那么桶2中水就是y2＝a－ae－nt，假设过5分钟时桶1和桶2中的水相等，则再过________分钟桶1中的水只有.
7．某省两相近重要城市之间人员交流频繁
( http: / / www.21cnjy.com )，为了缓解交通压力，特修一条专用铁路，用一列火车作为交通车，已知该车每次拖4节车厢，一日能来回16次，如果每次拖7节车厢，则每日能来回10次，每日来回的次数是车头每次拖挂车厢个数的一次函数，每节车厢能载乘客110人．问这列火车每天来回多少次，每次应拖挂多少车厢才能使运营人员最多？并求出每天最多运营人数．
8．某皮鞋厂从今年1月份开始投产，并且前
( http: / / www.21cnjy.com )4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双，为了估测以后每个月的产量，以前三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份数x的关系，则在二次函数与指数函数模型(y＝abx＋c，a，b，c为常数)中，选用哪个函数作模拟函数好？请说明理由．
参考答案
千里之行
1．1
700米　解析：由题
( http: / / www.21cnjy.com )意知，山高h(百米)与气温T(℃)为一次函数关系，则T＝－0.7h＋b，当h＝0时，T＝26℃，∴b＝26，即T＝－0.7h＋26.当T＝14.1℃时，h＝17(百米)．
∴此山的相对高度为1
700米，(也可直接得．
2．③　解析：将表中数据代入各函数解析式中验证即可．
3．14　解析：设每个涨价x元，则实际
( http: / / www.21cnjy.com )销售价为(10＋x)元，销售的个数为(100－10x)，则利润为y＝(10＋x)(100－10x)－8(100－10x)＝－10(x－4)2＋360(0≤x≤10)．
∴当x＝4，即售价定为每个14元时，利润最大．
4．0.6　解析：由题意可得即得或
解得或t≥0.6故至少需要经过0.6小时后学生才可回教室．
5．2
038　解析：设经过x年后我国人口总数恰好为20亿，由题意得14(1＋1.25%)x＝20(x∈N＋)，即，两边取常用对数，有.
∴，
即经29年后人口总数将超过20亿．由2009＋29＝2038知，到2038年我国人口总数将超过20亿．
6．10　解析：∵过5分钟时两桶中的水相等，∴ae－5n＝a－ae－5n，∴①.设过x分钟桶1中的水只有，则，即，由①可知，∴x＝15.
∴再过15－5＝10分钟，桶1中的水只有.
7．解：设每日来回y次，每次挂x节车厢，由题意，得y＝kx＋b(k≠0)．
当x＝4时y＝16，当x＝7时y＝10，得下列方程组解得k＝－2，b＝24.
∴y＝－2x＋24.
由题意，知每日挂车厢最多时，营运人数最多，设每日营运S节车厢，
则S＝xy＝x(－2x＋24)＝－2x2＋24x＝－2(x－6)2＋72.
∴当x＝6时，Smax＝72，此时y＝12.
则每日最多运营人数为110×6×12＝7
920(人)．
答：这列火车每天来回12次，每次应拖挂6节车厢才能使运营人数最多，每天最多运7
920人．
8．解：设y1＝f(x)＝mx2＋nx＋p(m≠0)则由前三个月的产量得
解之得
∴f(4)＝－0.05×42＋0.35×4＋0.7＝1.3(万件)．
再设y2＝g(x)＝abx＋c.则
解得
∴g(4)＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35(万件)，
经比较可知用y＝－0.8·(0.5)x＋1.4作为模拟函数较好．自主广场
我夯基
我达标
1.在从集合A到集合B的映射中，下列说法正确的是(
)
A.B中的某一个元素b的原象可能不止一个
B.A中的某一个元素a的象可能不止一个
C.A中的两个不同元素所对应的象必不相同
D.B中的两个不同元素的原象可能相同
思路解析：映射在法则f的作用下，集合
( http: / / www.21cnjy.com )A中的任何一个元素都有象，并且象是唯一的.不要求B中的每一个元素都有原象，也就是说，象集C是集合B的子集.
答案:A
2.设集合A和B都是自然数集合N，映射f:A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2n+n，则在映射f下，象20的原象是(
)
A.2
B.3
C.4
D.5
思路解析:本题主要考查映射的概念，
( http: / / www.21cnjy.com )同时考查了运算能力.因为2n+n=20，用n=2，3或4,5逐个代入，排除A、B、D，得出正确答案.∴选C.
答案:C
3.设集合A和B都是坐标平面上的点集｛(x
( http: / / www.21cnjy.com ),y)｜x∈R，y∈R｝，映射f:A→B使集合A中的元素(x,y)映射成集合B中的元素(x+y,x-y)，则在映射f下象(2，1)的原象是(
)
A.(3，1)
B.(,)
C.(,-)
D.(1，3)
思路解析：本题主要考查映射的概念及解方程的思想.由
答案:B
4.已知四个从集合A到集合B的对应(如下图)，那么集合A到集合B的映射是(
)
A.④
B.①④
C.②④
D.③④
思路解析:在②中，A中的元素a2与
( http: / / www.21cnjy.com )B中的两个元素b2、b3对应(“象不唯一”)；在③中，?A中的元素a2在B中没有元素与它对应(“没有象”)，故②和③都不是集合A到集合B的映射.根据映射的定义，①和④是集合A到集合B的映射.
答案:B
5.下列集合A到集合B的对应中，判断哪些是A到B的映射,哪些是A到B的一一映射.
(1)A=N,B=Z，对应法则f:x→y=-x,x∈A,y∈B.
(2)A=R+,B=R+,f:x→y=,x∈A,y∈B.
(3)A={α|0°≤α≤90°},B={x|0≤x≤1}，对应法则f:取正弦.
(4)A=N
，B={0,1}，对应法则f:除以2得的余数.
(5)A={-4,-1,1,4}，B={-2,-1,1,2}，对应法则f:x→y=|x|2,x∈A,y∈B.
(6)A={平面内边长不同的等边三角形}，B={平面内半径不同的圆}，对应法则f:作等边三角形的内切圆.
思路解析：解决的起点是读懂各对应中的法则含义，判断的依据是映射和一一映射的概念，要求对“任一对唯一”有准确的理解，对问题考虑要细致、周全.
答案:(1)是映射，不是一一映射.因为集合B中有些元素(正整数)没有原象.
(2)是映射，是一一映射.不同的正实数有不同的唯一的倒数仍是正实数，任何一个正数都存在倒数.
(3)是映射，是一一映射.因为集合A中的角的正弦值各不相同，且集合B中每一个值都可以是集合A中角的正弦值.
(4)是映射，不是一一映射.因为集合A中不同元素对应集合B中相同的元素.
(5)不是映射.因为集合A中的元素(如4)对应集合B中两个元素(2和-2).
(6)是映射，是一一映射.因为任何一个等边三角形都存在唯一的内切圆，而任何一个圆都可以是一个等边三角形的内切圆.边长不同，圆的半径也不同.
说明：此题的主要目的在于明确映射构成的
( http: / / www.21cnjy.com )三要素的要求，特别是对于集合A，集合B及对应法则f有哪些具体要求，包括对法则f是数学符号语言给出时的理解.
6.给出下列关于从集合A到集合B的映射的论述，其中正确的有_____________.
①B中任何一个元素在A中必有原象;
②A中不同元素在B中的象也不同;
③A中任何一个元素在B中的象是唯一的;
④A中任何一个元素在B中可以有不同的象;
⑤B中某一元素在A中的原象可能不止一个;
⑥集合A与B一定是数集；
⑦记号f:A→B与f:B→A的含义是一样的.
思路解析：此题是对抽象的映射概念的认识，理论性较强，要求较高，判断时可以让学生借助具体的例子来帮助.
答案:③⑤
7.(1)A=N，B=R，f:x→y=，x∈A，y∈
B.在f的作用下，的原象是多少 14的象是多少
(2)设集合A=N,B={偶数}，映射f:A→B把集合A中的元素a映射到集合B中的元素a2-a，则在映射f下，象20的原象是多少？
(3)f:A→B是从A到B的映射，其中A=R，B={(x,y)|x,y∈R}，f:x→(x+1,x2+1)，则A中元素的象是多少 B中元素(2,2)的原象是多少
思路解析：通过此题使学生不仅会求指定元素的象与原象，而且明确求象与原象的方法.
解答：(1)由=，解得x=6，故的原象是6;
又，故14的象是.
(2)由a2-a=20解得a=5或a=-4，又a∈N，故a=5,即20的原象是5.
(3)的象是(+1,3)，由解得x=1，故(2,2)的原象是1.
8.已知集合A={x│x≠0，x∈R}，B=R，对应法则是“取负倒数”.
(1)画图表示从集合A到集合B的对应(在集合A中任取四个元素)；
(2)判断这个对应是否为从集合A到集合B的映射；
(3)元素-2的象是什么？-3的原象是什么？
(4)能不能构成从集合B到集合A的映射？
答案:(1)
(2)因为每一个非零实数(即A中
( http: / / www.21cnjy.com )任意一个元素)都有唯一的负倒数在实数集中(即在法则“取负倒数”下，都在集合B中有且只有唯一的元素与之对应)，所以这个对应是从集合A到集合B的映射.
(3)元素-2的象是-2的负倒实数，-3的原象是-3的负倒实数.
(4)因为B中有一个元素“0”，而在
( http: / / www.21cnjy.com )集合A中没有负倒数为0的元素与之对应，即集合B中不是任意一个元素在A中都存在非零实数以其为负倒数，所以由集合B到集合A构不成映射.
9.设集合A={1，2，3
( http: / / www.21cnjy.com )，k}，B={4，7，a4，a2+3a}，其中a、k∈N，(映射f:A→B，使B中元素y=3x+1与A中元素x对应，求a及k的值.
思路解析：∵B中元素y=3x+1与A中元素x
( http: / / www.21cnjy.com )对应，A中元素1的象是-4，A中元素2的象是7，A中元素3的象是10，故有a4=10或a2+3a=10.而a∈N，所以由a2+3a=10解得a=2；由k的象是a4，得3k+1=24，解得k=5.
答案:a=2；k=5.
10.(1)已知集合A=｛a1,a2｝，B=｛b1,b2｝，试问从集合A到集合B的所有不同的映射有多少种
(2)已知集合A=｛a1,a2｝，B=｛b1,b2，b3｝，试问从集合A到集合B的所有不同的映射有多少种
思路解析:当所给集合中的元素数目不大时，可直接用图示的方法展现所有不同的映射；若不然，可采用分析的方法解之.
解答：(1)用图示的方法可以清楚地看到从A到B能建立4种不同的映射(见下图).
(2)分A中元素对应B中同一元素和A中
( http: / / www.21cnjy.com )元素对应B中不同元素两种情形考虑.A中2个元素对应B中相同元素的对应有3个，这时有3种不同的映射；A中2个元素同时对应B中2个不同的元素的对应有6个，这时有6种不同的映射.所以，集合A到集合B的所有不同的映射一共有9种.
我综合
我发展
11.以下对应不是从集合M到集合N的映射的是(
)
A.M={P|P是数轴上的点}，N=R，对应关系f：数轴上的点与它代表的实数对应
B.M={P|P是平面坐标系中的点}，N={(x，y)|x、y∈R}，对应关系f：平面坐标系中的点与它代表的坐标对应
C.M={x|x是三角形}，N={x|x是圆}，对应关系f：每个三角形都对应它的内切圆
D.M={x|x是新华中学的班级}，N={x|x是新华中学的学生}，对应关系f：每个班级都对应班里的学生
思路解析：考查映射的概念.据映射的概念，在
( http: / / www.21cnjy.com )对应法则f下从A到B的映射，是指集合A中任意一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应，而集合B中的元素可以无原象，由此可知四个选项中A、B、C均正确，只有D不符合要求，故选D.
答案:D
12.已知集合A=｛1,2,3,a｝，B=｛
( http: / / www.21cnjy.com )4,7,b4,b2+3b｝，其中a∈N
，b∈N
.若x∈A，y∈B，映射f:A→B使B中元素y=3x+1和A中元素x对应.求a和b的值.
思路解析:利用原象与象的关系，建立关于a和b的方程组.
解答：∵A中元素x对应B中元素y=3x+1，
∴A中元素1的象是4，2的象是7，3的象是10.
∴b4=10或b2+3b=10.
又b∈N
，
∴b2+3b-10=0.解之，得b=2.
∵a的象是b4=16，∴3a+1=16.解之，得a=5.
我创新
我超越
13.集合M={a，b，c}，N={-
( http: / / www.21cnjy.com )1，0，1}，映射f：M→N满足f(a)+f(b)+f(c)=0，那么映射f：M→N的个数是(
)
A.3
B.4
C.5
D.7
思路解析：∵f(a)∈N，f(b)∈N，f(c)∈N且f(a)+f(b)+f(c)=0，
∴有0+0+0=0+1+(-1)=0.
当f(a)=f(b)=f(c)=0时，只有一个映射；
当f(a)、f(b)、f(c)中恰有一个为0，而另两个分别为1、-1时，有·=6个映射.因此所求映射的个数为1+6=7.
答案:D自我小测
1．给出下列关系
①{3}∈{3,4}；②；③{3,5}＝{3,1,5}；④
( http: / / www.21cnjy.com ){2}；⑤{1}
( http: / / www.21cnjy.com ){x|x＜2}；⑥．其中正确的序号是________．
2．设集合A＝{x|x2－1＝0}，B＝{x||x|＝1}，C＝{－1,0,1}，则集合A，B，C之间的关系是________．
3．集合{x∈N|x＝5－2n，n∈N}的真子集的个数是______________．
4．已知全集U＝R，集合M＝{x|x2－4≤0}，则M＝________.
5．若集合M＝{x|x＝2n＋1，n∈Z}，N＝{x|x＝4m±1，m∈Z}，则集合M与N的关系是________．
6．设全集为R，A＝{x|x＜0，或x≥1}，B＝{x|x≥a}，若A
( http: / / www.21cnjy.com )B，则a的取值范围是________．
7．已知全集U＝{2,0,3－a2}，P＝{2，a2－a－2}，且P＝{－1}，求实数a的值．
8．已知集合A＝{x|x＜－1，或x＞6}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}，全集U＝R.
(1)当x∈N
时，求集合A的子集个数．
(2)若，求实数m的取值范围．
　已知集合U＝{x|－1≤x≤2，x∈P}，A＝{x|0≤x＜2，x∈P}，B＝{x|－a＜x≤1，x∈P}(－1＜a＜1).
(1)若P＝R，求A中最大元素m与B中最小元素n的差m－n；
(2)若P＝Z，求B和A中所有元素之和及(B)．
参考答案
千里之行
1．②④⑥
2．A＝B
( http: / / www.21cnjy.com )C
3．7　解析：当n＝0,1,2时，得到x的值分别为5,3,1.
∴集合{x∈N|x＝5－2n，n∈N}＝{1,3,5}．其真子集有23－1＝7个，分别是
( http: / / www.21cnjy.com )，{1}，{3}，{5}，{1,3}，{1,5}，{3,5}．
4．{x|x＜－2，或x＞2}　解析：因为集合M＝{x|x2－4≤0}＝{x|－2≤x≤2}，全集U＝R，∴．
5．M＝N　解析：方法一：∵M＝{…，－5，－3，－1,1,3,5，…}，N＝{…，－5，－3，－1,1,3,5…}，∴M＝N.
方法二：∵n∈Z，∴当n为
( http: / / www.21cnjy.com )偶数时，令n＝2m，m∈Z.则M＝{x|x＝4m＋1，m∈Z}，当n为奇数时，令n＝2m－1，m∈Z，则M＝{x|x＝2(2m－1)＋1，m∈Z}＝{x|x＝4m－1，m∈Z}．∴M＝N.
方法三：M为奇数集合，而N中元素均为奇数，∴有，任取x∈M，则x＝2n＋1，当n为偶数2m时，有x＝4m＋1∈N，当n为奇数2m－1时，仍有x＝4m－1∈N，∴.∴且，故M＝N.
6．a≥1　解析：∵A＝{x|x＜0，或x≥1}，∴A＝{x|0≤x＜1}，∵B＝{x|x≥a}，∴B＝{x|x＜a}，将集合A，B在数轴上表示出来，如图所示．
∵A?B，∴a≥1.
7．解：∵P＝{－1}，∴－1∈U，且.
∴解得a＝2.经检验，a＝2符合题意．
故实数a的值为2.
8．解：(1)∵A＝{x|－1≤x≤6}．
∴当x∈N
时，A＝{1,2,3,4,5,6}．
∴集合A的子集个数为26＝64(个)．
(2)∵BA，∴分与讨论．
①当时，m－1＞2m＋1，即m＜－2.
②当时，由BA，借助数轴(如图所示)．
得
解得.
综上所述，m的取值范围是m＜－2或.
百尺竿头
解：(1)由已知得A＝{x|－1≤x＜0，或x＝2}，B＝{x|－1≤x≤－a，或1＜x≤2}，∴m＝2，n＝－1；∴m－n＝2－(－1)＝3.
(2)∵P＝Z，∴U＝{x|－1≤x≤2，x∈Z}＝{－1,0,1,2}，A＝{x|0≤x＜2，x∈Z}＝{0,1}，B＝{1}或{0,1}．∴B＝{0}或．即B中元素之和为0，又A＝{－1,2}．其元素之和为－1＋2＝1.故所求元素之和为0＋1＝1.∵B＝{0}，或，∴(B)＝{－1,1,2}或(B)＝＝U＝{－1,0,1,2}．自我小测
1．下列对象能构成集合的序号是________．
①NBA联盟中所有优秀的篮球运动员；②2011年诺贝尔奖获得者R；③美韩联合军演时发射的所有导弹；④校园花坛里所有鲜艳的花朵．
2．给出下列6个关系：，,0∈{0}，tan45°∈Z，0∈N
，π∈Q，其中，正确的个数为________．
3．(1)“被3除余1的数”组成的集合用描述法可表示为________．
(2)设集合，用列举法表示为____________．
4．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{3，x2,2}，若A＝B，则x的值是________．
5．下列结论中，正确的个数是________．
①cos30°∈Q；②若，则a∈N；③方程x2＋4＝4x的解集中含有2个元素；④若a∈N
，b∈N，则a＋b的最小值为2；⑤|－3|∈N
.
6．下列结论中，正确的序号是________．
①若以集合S＝{a，b，c}中三个元素为边可构成一个三角形，则该三角形一定不是等腰三角形；②满足1＋x＞x的实数x组成一个集合；③方程的解集为{2，－2}；④方程(x－1)2(x＋5)(x－3)＝0的解集中含有3个元素；⑤今天正午12时生活在地球上的所有人构成的集合为无限集．
7．已知二元素集A＝{a－3,2a－1}，若－3∈A，求实数a的值．
8．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}．
(1)若A中只有一个元素，求a的值；
(2)若A中最多有一个元素，求a的取值范围；
(3)若A中至少有一个元素，求a的取值范围．
9.　设S是由满足下列条件的实数所构成的集合：①；②若a∈S，则，请解答下列问题：(1)若2∈S，则S中必有另外两个数，求出这两个数；(2)求证：若a∈S，则；(3)在集合S中元素能否只有一个？请说明理由．
参考答案
1．②③　解析：①中的“优秀”、④中的“鲜艳”标准不明确，不能构成集合．
2．3　解析：,0∈{0}，tan45°＝1∈Z正确；，0∈N
，π∈Q不正确．
3．(1){x|x＝3n＋1，n∈Z}　(2){0,1,2}
4．±1　解析：由A＝B得x2＝1，∴x＝±1.
5．1　解析：只有⑤正确．∵
( http: / / www.21cnjy.com )Q，∴①不正确．取a＝0.1，则－0.1
( http: / / www.21cnjy.com )N,0.1
( http: / / www.21cnjy.com )N，∴②不正确；∵方程x2＋4＝4x的解集中只含有一个元素2，∴③不正确；∵a∈N
，∴a的最小值为1，∵b∈N，∴b的最小值为0，∴a＋b的最小值为1，故④不正确．
6．①②④　解析：由集合中元素的互异性知①正确；由1＋x＞x，得x为全体实数．故x构成实数集R，②正确；方程的解为x＝2且y＝－2，所以方程的解集表示不正确，应为含的单元素集，③错误；④中方程有一个重根x＝1，在集合中只算一个元素，故④正确；⑤中构成的集合为有限集，故不正确．
7．解：∵－3∈A，∴－3＝a－3或－3＝2a－1.
若－3＝a－3，则a＝0.此时A＝{－3，－1}，符合题意．
若－3＝2a－1，则a＝－1，此时A＝{－4，－3}，符合题意．
综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1.
8．解：(1)当a＝0时，原方程变为2x＋1＝0.此时，符合题意；
当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0为一元二次方程，Δ＝4－4a＝0时，
即a＝1时，原方程的解为x＝－1，符合题意．故当a＝0或a＝1时，原方程只有一个解，此时A中只有一个元素．
(2)A中最多含有一个元素，即A中有一个元素或A中没有元素．
当Δ＝4－4a＜0，即a＞1时，原方程无实数解，结合(1)知，
当a＝0或a≥1时，A中最多有一个元素．
(3)A中至少有一个元素，即A中有一个或两个元素．由Δ＞0得a＜1，结合(1)可知，a≤1.
9.解：(1)∵2∈S,2≠1，∴.∵－1∈S，－1≠1，∴.∵，，∴，∴－1，，即集合S中另外两个数分别为－1和.
(2)证明：∵a∈S，∴，∴(a≠0，若a＝0，则，不合题意)．
(3)集合S中的元素，不能只有一个，理由：假设集合S中只有一个元素，则根据题意知，即a2－a＋1＝0.此方程无实数解．∴.因此集合S不能只有一个元素．自我小测
1．对于定义在R上的任意奇函数f(x)，下列式子中恒成立的序号是________．
(1)f(x)－f(－x)≥0；(2)f(x)－f(－x)≤0；(3)f(x)·f(－x)≤0；(4)f(x)·f(－x)≥0；(5)f(x)＋f(－x)＝0；(6).
2．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，其定义域是[a－1,2a]，则a＝________，b＝________.
3．已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，则f(2)＝________.
4．已知奇函数f(x)在x＜0时，函数解析式为f(x)＝x(x－1)，则当x＞0时，函数解析式f(x)＝______________.
5．若f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是单调减函数，且f(2)＝0，则使得f(x)＜0的x的取值范围是______．
6．若f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x
( http: / / www.21cnjy.com )－2)＝－f(x)，给出下列4个结论：①f(2)＝0；②f(x)＝f(x＋4)；③f(x)的图象关于直线x＝0对称；④f(x＋2)＝f(－x)，其中所有正确结论的序号是______．
7．判断下列函数的奇偶性：
(1)；(2)；(3)；(4)
(a∈R)．
8．设f(x)为定义在R上的偶函数，
( http: / / www.21cnjy.com )当0≤x≤2时，y＝x；当x＞2时，y＝f(x)的图象是顶点为P(3,4)且过点A(2,2)的抛物线的一部分．
(1)求函数f(x)在(－∞，－2)上的解析式；
(2)在直角坐标系中画出函数f(x)的图象；
(3)写出函数f(x)的值域．
参考答案
千里之行
1．(3)(5)　解析：由奇函数的定义知
( http: / / www.21cnjy.com )，f(－x)＝－f(x)，∴f(x)·f(－x)＝f(x)·[－f(x)]＝－[f(x)]2≤0，且f(x)＋f(－x)＝0，∴(3)(5)正确，(1)(2)(4)错，(6)当f(－x)≠0时成立，故不恒成立．
2.　0　解析：∵函数具有奇偶性时，定义域必须关于原点对称，故a－1＝－2a，∴，又对于f(x)有f(－x)＝f(x)恒成立，∴b＝0.
3．－26　解析：方法一：令g(x)＝x5
( http: / / www.21cnjy.com )＋ax3＋bx，则g(x)是奇函数．∴f(－2)＝g(－2)－8＝－g(2)－8＝10，∴g(2)＝－18，∴f(2)＝g(2)－8＝－18－8＝－26.
方法二：∵f(－x)＋f
( http: / / www.21cnjy.com )(x)＝(－x)5＋a(－x)3＋b(－x)－8＋x5＋ax3＋bx－8＝－16，∴f(－2)＋f(2)＝－16，又f(－2)＝10，∴f(2)＝－16－f(－2)＝－16－10＝－26.
4．－x(x＋1)　解析
( http: / / www.21cnjy.com )：设x＞0时，则－x＜0，由条件，得f(－x)＝－x(－x－1)∵函数为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－x(－x－1)，∴f(x)＝－x(x＋1)(x＞0)．
5．(－2,2)　解析：方法一：f(2)＝
( http: / / www.21cnjy.com )0，f(－2)＝0，f(x)在(－∞，0]上单调递减，又∵f(x)为偶函数，∴f(x)在[0，＋∞)上单调递增，当x∈(－2,0]时，f(x)＜f(－2)＝0，当x∈[0,2)时，f(x)＜f(2)＝0，∴使f(x)＜0的x的取值范围是(－2,2)．
方法二：∵f(x)是偶函数，且
( http: / / www.21cnjy.com )在(－∞，0]上是单调减函数，∴f(x)在[0，＋∞)上是单调增函数，∵f(2)＝0，∴f(－2)＝f(2)＝0，由单调性易知使f(x)＜0的x的取值范围是(－2,2)，借助图形更直观，如图．
6．①②④　解析：由题意，知f(0)＝
( http: / / www.21cnjy.com )－f(2)，∴f(2)＝－f(0)，又f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0，∴f(2)＝0，故①正确；∵f(x)＝－f(x＋2)＝f(x＋4)，∴②正确；∵f(x)为奇函数，∴图象关于原点对称，③不正确；∵f(－x)＝－f(x)＝f(x＋2)，∴④正确．
7．解：(1)，但f(x)的定义域为{x|x≠1}，关于原点不对称，故此函数是非奇非偶函数．
(2)f(x)的定义域为R，∵对任意的x∈R，都有，∴函数f(x)为奇函数．
(3)f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
当x＞0时，－x＜0，则
( http: / / www.21cnjy.com )f(－x)＝(－x)3＋3(－x)2－1＝－x3＋3x2－1＝－(x3－3x2＋1)＝－f(x)．当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝(－x)3－3(－x)2＋1＝－x3－3x2＋1＝－(x3＋3x2－1)＝－f(x)∴对定义域内的任意x，都有f(－x)＝－f(x)∴函数f(x)为奇函数．
(4)当a＝0时，f(x)＝x2，对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，∴函数f(x)为偶函数．当a≠0时，(a≠0，x≠0)，取x＝±1，得f(－1)＋f(1)＝2≠0，f(－1)－f(1)＝－2a≠0，∴f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)，∴函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
8．解：(1)当x＞2时，
( http: / / www.21cnjy.com )设f(x)＝a(x－3)2＋4.又因为过A(2,2)，所以f(2)＝a(2－3)2＋4＝2，解得a＝－2，所以f(x)＝－2(x－3)2＋4.设x∈(－∞，－2)，则－x＞2，所以f(－x)＝－2(－x－3)2＋4.又因为f(x)在R上为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝－2(－x－3)2＋4，即f(x)＝－2(x＋3)2＋4，x∈(－∞，－2)．
(2)图象如图所示，
(3)由图象观察知f(x)的值域为{y|y≤4}．