高中数学第7章解析几何初步7.2直线的方程两点式、截距式教案湘教版必修3

直线的方程－两点式、截距式
●教学目标
掌握直线方程两点式的形式特点及适用范围;
了解直线方程截距式的形式特点及适用范围.
●教学重点
直线方程的两点式
●教学难点
两点式推导过程的理解
●教学方法
学导式
●教学过程
1、创设情境
直线l过两点A（1,2），B（3,5），求直线l的方程。
回忆：直线方程的点斜式、斜截式
直线方程的点斜式：
y
―y1
=k(
x
―x1)
直线的斜截式：y
=
kx
+
b
解：∵直线l过两点A（1,2），B（3,5）
∴直线l的斜率k
=
(5―2)/(3―1)
∴直线l的方程是y
―2
=
[(5―2)/(3―1)](x―1)
即：(y
―2)/
(5―2)=
(x―1)/
(3―1)
2、提出问题：
直线l过两点A（x1,y1），B（x2,y2），(x1≠x2)求直线l的方程。
推导:因为直线l经过点A（x1,y1），B（x2,y2），并且x1≠x2，所以它的斜率.代入点斜式,
得.
3、解决问题
直线方程的两点式:
其中（是直线两点的坐标.
说明:①这个方程由直线上两点确定;
②当直线没有斜率()或斜率为时,不能用两点式求出它的方程.
两点式的变形式：(x2―x1)(y―y1)
=
(y2―y1)(x―x1).
特殊情况，若直线l过点（a,0），（0，b），(ab≠0)则直线l的方程是什么？
分析：代入两点式有　，整理得
直线方程的截距式:,其中a,b分别为直线在x轴和y轴上截距.
说明:①这一直线方程由直线在x轴和y轴上的截距确定,所以叫做直线方程的截距式;
②求直线在坐标轴上的截距的方法：
令x
=
0得直线在y轴上的截距；令y=
0得直线在x轴上的截距。
反思应用:
例1　三角形的顶点是A(-5,0)、B（3，-3）、C（0，2）,求这个三角形三边所在直线的方程.
解:直线AB过A(-5,0)、B（3，-3）两点，由两点式　　得
整理得：，即直线AB的方程.
直线BC过C(0,2),斜率是,
由点斜式得:
整理得:,即直线BC的方程.
直线AC过A(-5,0),C(0,2)两点,由截距式得:
整理得：，即直线AC的方程.
变：三角形的顶点是A(-5,0)、B（3，-3）、C（0，2）,求这个三角形三边上的中线所在直线的方程.
分析：∵A(-5,0)、B（3，-3）∴AB的中点是（－1，－3/2）
　　　∴AB边上的中线所在的直线方程是
　　　即y
=
3x/2
+
2
同理BC边的中线所在的直线方程是y
=―x/13―5/13
AC边的中线所在的直线方程是y
=―4x/11―9/11
说明:例1中用到了直线方程的点斜式与两点式,说明了求解直线方程的灵活性,应让学生引起注意.
巩固训练　　P41练习1、2
例2　直线l在y轴上的截距为－1，且它的倾斜角是直线2x－y－1＝0的倾斜角的2倍，求直线l的方程。
分析：选用直线方程的形式－点斜式
解：设直线2x－y－1＝0的倾斜角是α，则直线l的倾斜角是2α。
∵tanα=
2,
∴tan2α=
2tanα/(1－tan2α)
=
－4/3
又直线l在y轴上的截距为－1，
∴直线l的方程是y
=
―4x/3―1
例3　直线l过点（1,2），且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程。
分析：选用截距式，行吗？为什么？
　　　截距式要求ab≠0。题目中只告诉我们截距相等，并没有说它们不等于0，故需分类讨论。
解：当直线l在两坐标轴上的截距都为0时，直线过原点，此时方程为y=2x；
　
当直线l在两坐标轴上的截距相等且不为0时，可设方程为x/a+y/a=1
将点（1,2）代入得a=3，此时方程为x+y=3。
故直线l的方程为y
=
2x或x+y－3=0
例4　已知直线l的斜率为1/6,且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求直线l的方程。
解：设直线l的方程为：y
=
x/6
+
b，
则它在两坐标轴上的截距分别为－6b与b.
由题意知｜－6b2|/2
=
3，解得b
=
±1
∴直线l的方程是y
=
x/6±1，即x－6y±6
=
0
●归纳总结
数学思想：数形结合、特殊到一般
数学方法：公式法
知识点：点斜式、斜截式、两点式、截距式
●作业　　P44　习题7.2
4,5,6,7
思考题：直线l过点P（2,1）且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，当｜PA｜·｜PB｜取到最小值时，求直线l的方程。
分析：设直线l的方程是y
―
1
=
k(x―2)，（k≠0）
则A(2－1/k
,
0),
B(0,
1－2k)
∴｜PA｜·｜PB｜=
≥
当且仅当k2=1即k=±1时｜PA｜·｜PB｜取最小值。
又根据题意k<0,
∴k=
－1，
　　　∴直线l的方程是：x
＋
y
－3＝0
教学后记：