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第一章
勾股定理
义务教育八年级数学（北师版）
探究课：勾股定理的证明
勾股定理的证明
1.上节课我们学习了勾股定理，你知道勾股定理的内容吗？
直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。
a +b =c
前情回顾
2.我们还利用方格纸验证了勾股定理，
你还记得吗？
a
b
c
a
b
c
外弦图
内弦图
总统证法
3.上节课的拓展作业是搜集有关勾股定理的发现、发展以及证明方法，你都搜到哪些资料了？能给我们分享一下吗？
勾股定理的证明
实验展示1：
我们可以利用四个相等的直角三角形来拼成一个正方形.
(1)
b
c
a
(2)
b
c
a
(3)
b
c
a
(4)
b
c
a
勾股定理的证明
实验论证：
想一想我们还可以怎么拼？
返回
勾股定理的证明
实验展示2：
我们还可以用这四个直角三角形卡片拼成一个更大的正方形
(1)
b
c
a
(2)
b
c
a
(3)
b
c
a
(4)
b
c
a
b
a
b
a
b
a
b
a
勾股定理的证明
实验论证：
想一想我们还可以怎么拼？
这种方法最先由邹元治提出
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勾股定理的证明
实验展示3：我们还可以用两个直角三角形来拼成一个直角梯形
(1)
b
c
a
(2)
b
c
a
a
a
b
b
c
c
勾股定理的证明
实验论证：
这种方法最先由1876年美国总统Garfield提出
勾股定理的证明
想一想我们前面实验中是怎么证明勾股定理的呢？
我们这种借助图形的面积来探索和验证数学结论的思想叫做数形结合的思想
“数”与“形”反映了事物两个方面的属性。我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而实现优化解题途径的目的。
勾股定理的证明
通过自己动手拼图和论证的过程，相信大家对勾股定理的证明有了更深入的了解。
下面我们来介绍几种古代学者证明勾股定理的方法！
一：青朱入出图
二：达·芬奇的证明
青朱出入图
三国时代魏国的数学家刘徽。在古籍《九章算术》作了注释。在注释中，他画了一个图形来证明勾股定理。由于他在图中以「青出」、「朱出」表示三个部分，又以「青入」、「朱入」解释如何将斜边正方形的空白部分填满，所以后世数学家都称这图为「青朱出入图」。也有人用「出入相补」这一词来表示这个证明的原理。
你能看出来它是怎么证明勾股定理的吗？
勾股定理的证明
请同学们观看视频了解刘徽的证明方法
我们可以发现刘徽是通过对图形的切割和补充来证明勾股定理的
达·芬奇的证明
意大利文艺复兴时代的
著名画家达·芬奇对勾
股定理进行了研究。
通过了解前面对勾股定理证明的思路，结合这个图形想一想通过怎么样的转变可以求证勾股定理！
达·芬奇的证明
过程详解：
A
a
B
C
b
D
E
F
O
Ⅰ
Ⅱ
A′
B′
C′
D′
E′
F′
Ⅰ
Ⅱ
达·芬奇的证明
a +b =c
现在你知道了达芬奇证明勾股定理的过程了吧，是不是为古代伟人的智慧所折服。
证明过程：
第一个多边形的面积与最后一个多边形面积相等。
勾股定理的证明
课内练习1
1，如图是传说中验证勾股定理的一种方法，你能根据这两个图形及提示验证勾股定理吗？
（提示：图①中拼成的大正方形与图②中拼成的大正方形面积相等）
勾股定理的证明
证明过程：
图①的面积为：
图②的面积为：
图①和图②面积相等得：
勾股定理的证明
接下来我们来了解更多证明勾股定理的其他方法吧！
(1)欧几里得《原本》
(2)梅文鼎证明
(3)利用相似三角形性质证明
(4)作直角三角形的内切圆证明
(5)利用切割线定理证明
勾股定理的证明
课内练习2
欣赏一颗美丽而神奇的树。它是由古希腊数学家毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的勾股定理树也称为“毕达哥拉斯树”。它使我们大家深刻的感受到了几何之美。在欣赏之余思考最外围所有小正方形的面积之和与哪个正方形的面积相等？
希腊的著名数学家毕达哥拉斯发现了这个定理，因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理。为了庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做“百牛定理”．
勾股定理的证明
我们可以先来看下列三个图形中最外围所有小正方形的面积之和与哪个正方形的面积相等。
我们可以看到这三个图形的最外圈所有小正方形的面积之和都与最大的那个正方形面积相等。
勾股定理的证明
由此我们可以推理归纳得到“毕达哥拉斯树”的最外围所有小正方形的面积之和也与那个最大的正方形面积相等。
课堂小结
1、利用图形的摆拼验证勾股定理。
2、体会“数形结合”的思想。探究课：勾股定理的证明
教学反思
我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在三
( http: / / www.21cnjy.com )千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾（短直角边）等于三，股（长直角边）等于四，那么弦等于五。即“勾三、股四、弦五”。它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中。本节课的教学目标，意在使学生通过动手实践，合作交流，探索定理，验证定理，实际应用等环节，让学生在学习知识的同时，掌握学习方法，并培养学生强烈的民族自豪感，适时进行爱国主义教育。
一、教学实例
1、反思学案设计
本节课在教学设计过程中结合了教材提供
( http: / / www.21cnjy.com )的内容和学生的实际水平，以及本章后的课题学习，设计学生“数格子”“拼图”活动，对教材提供的内容进行了整合，并进行提升，符合学生的认知特点，使学生体会学习过程的乐趣。对本节课各环节的反思如下。
（1）情景导入的设计。
课前提问，“同学们，上节课学习的勾股定
( http: / / www.21cnjy.com )理内容还记得吗？”学生回忆上节课知识，利用数格子方法验证勾股定理。同时上节课还布置了搜集勾股定理相关知识的作业，让学生了解勾股定理的历史。从而学生带着疑问，如何用其他方法验证勾股定理呢？引入本节课的课题：探索勾股定理。这部分请学生上讲台与大家分享自己搜集的勾股定理的知识与历史，引起大家的兴趣。
（2）活动探究的设计。
我设计了两个活动： 活动一：小
( http: / / www.21cnjy.com )组合作，利用课前准备好的四个直角三角形，通过摆拼，验证勾股定理。活动二：通过导学案材料的学习，让学生体会勾股定理的各种不同的验证方法。
探究活动一让学生组内交流，通过探索发现
( http: / / www.21cnjy.com )，让学生得到成功体验，激发进一步探究的热情和愿望.经历由特殊到一般的探究过程，培养学生的思维能力和语言表达能力。探究活动二让学生独立观察，自主探究，培养独立思考的习惯和能力。
（３）证明猜想，得到定理环节
如果给你四个全等的三角形，直角边长是a、b，斜边长c，你能拼成一个边长为（a+b）的正方形吗？
学生各个小组利用集体的智慧一起拼图。拼图游
( http: / / www.21cnjy.com )戏结束后，教师引导学生参照拼图思考证明方法。小组讨论，请学生代表上台发言，教师进行点评补充。证明上面的猜想成立，得到勾股定理。
此处说明：勾股定理只适用于直角三角形；勾股定理用来解决已知直角三角形的两边，求第三边的问题。
（４）应用知识，回归生活环节
学生领悟了勾股定理的奥妙，便
( http: / / www.21cnjy.com )想小试身手了。本环节设置了两部分。 第一部分给出了一道题目，难度值较小，可以让大部分的学生体验到成功的喜悦。第二部分利用“勾股树”解决问题。 学生从中体会到数学来源于生活同时又回归生活，为生活服务。解决实际应用问题，体现了数学来源于生活，又服务于生活，意在培养学生“用数学”的意识．运用数学知识解决实际问题是数学教学的重要内容。
二、得失分析
1、反思课堂生成
一堂好课的标准，应明确地显现在课堂教学
( http: / / www.21cnjy.com )的主体——学生身上，主要考察学生在课堂上的三种学习状态，即：学生的参与状态；学生的交流状态；学生的达成状态。这应成为教学中的重点。
学生在数格子的过程中，大部分学生能够数出正方形的面积，但怎样升华为“割”“补”法解决此类问题，引导语言不够简练。
在“拼图”验证勾股定理时，学生利用手中
( http: / / www.21cnjy.com )的直角三角形纸板，先拼出边长为a+b的正方形，再引导学生拼出其它的正方形，意在通过两个活动，使学生进一步体验验证的过程。小组活动的时间预设的不够，有些小组拼图的时间有些仓促。
2、反思遗憾
从生活出发的教学让学生感受到学习的快乐，
( http: / / www.21cnjy.com )而实践是学好数学的前提。本节课在猜想勾股定理的环节，学生体会从特殊到一般的数学思想，应该让学生自主探索和与同伴合作交流相结合的方式进行主动学习，教师只在学生遇到困难时，进行引导或组织学生通过讨论来突破难点，但在巡视时，还是急于告诉学生方法，没有给学生足够的时间找出方法，没有真正的做到“自主学习”，我觉得这是自身观念的问题，以后要强加改正。
三、理性思考
在我自己授课时，经常会觉得每节课应该有不同的
( http: / / www.21cnjy.com )方法进行教学，但在实际操作时却“如出一辙”，特别是小组活动的“有效性”，以及小组活动的时间问题，放手给学生，担心完不成教学任务，往往是刚开始“讨论”，有学生得到结论就马上停止，自己常常会觉得“哭笑不得”。如何处理才能做到既放手又有效呢？怎样运用才会“恰到好处”呢？这个问题将一直贯穿于我今后的教学中，进一步的实践，进一步的探索，进一步的提高。义务教育八年级数学（北师版）
第一章
勾股定理
勾股定理的证明
学习效果检测
课堂练习
1、
飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩5000米，飞机每小时飞行多少千米？
2、蚂蚁沿图中的折线从A点爬到D点，一共爬了多少厘米？（小方格的边长为1厘米）
3、有一个水池,水面是一个边长为10尺的正方
( http: / / www.21cnjy.com )形,在水池正中央有一根新生的芦苇,它高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向岸边,它的顶端恰好到达岸边的水面,请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少
义务教育八年级数学（北师版）
第一章
勾股定理
勾股定理的证明
教学目标达成与评价
【背景介绍】勾股定理是几何
( http: / / www.21cnjy.com )学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法．
把两个全等的直角三角形如
( http: / / www.21cnjy.com )图1放置，其三边长分别为a,b,c，显然∠DAB=∠B=90°,AC⊥DE。请用a、b、c分别表示出梯形ABCD、四边形AECD、△EBC的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理。（提示：对角线垂直的四边形的面积可用对角线乘积的一半求得。如图2）
根据以上材料，请填空，并写出证明勾股定理的过程。
S 梯形ABCD=
S △EBC=
S 四边形AECD=
图2
图1北师大版数学八年级上册教材分析
本册教材的主要内容有：勾股定理、实数、坐标与
( http: / / www.21cnjy.com )位置、一次函数与正比例函数、二元一次方程组、数据的分析与证明。其中，勾股定理及其逆定理是初等几何中最基本、最重要的定理之一。通过拼、摆或图形的割、补，使得这一重要几何事实得以确认。无理数的发现、实数系统的建立和函数概念是本学段知识的重点是和难点，实数是进一步学习的基础。坐标与位置从源头上突出了坐标法产生的思想，直角坐标系是实现坐标法的一种选择，建立坐标系把数轴拓展到平面，是数形结合与转化的桥梁。而函数以及函数思想与其他知识的广泛联系也是重心之一，一次函数与正比例函数的引入刻画了变量与变量间的关系，通过图解分析再现了函数特有的性质，同时给以后将要学习的反比例函数及二次函数带来很好的铺垫作用。二元一次方程组在一元一次方程的基础上，强调了消元的数学思想，它将二元一次方程组通过降次转化为一元一次方程来进行求解，同时介绍了二元一次方程组的图象解法，从整体上展示了方程组的解与一次函数的密切关系，揭示了图象方法的作用，这种思想方法对求近似解以及求解不等式等方面有广泛应用。在统计与概率领域，本册提供了刻画数据平均水平的三种量度，力图让学生掌握一定的数据分析的方法，更好地处理数据。通过命题的题设与结论的提出，充分地说明了事件的首要条件与必然结果，对相关几何题目的证明提出了重要的事实依据，在证明过程中，通过相应的公理与定理依据，推理出正确的结论，由于发现及证实它成立的方式非常多且富于变化，因此对学生有很大的吸引力。课题
：探究课：勾股定理的证明
第
课时
【学习目标】
1．通过割补、拼图，借助图形面积验证勾股定理；
2．了解勾股定理的发现、发展和证明方法。
3．通过操作、观察、交流，体会“数形结合”的数学思想。
【学习重难点】通过割补、拼图，借助图形面积验证勾股定理。
【学习过程】
一、温故知新
1.上节课我们学习了勾股定理，你知道勾股定理的内容吗？
2.我们还利用方格纸验证了勾股定理，
你还记得吗？
3.上节课的拓展作业是搜集有关勾股定理的发现、发展以及证明方法，你都搜到哪些资料了？能给我们分享一下吗？
二、探究学习
（一）动手摆拼，合理验证
1.图形
证明
2.图形
证明
3.图形
证明
（二）借古通今，体会学习
1.青朱出入图
2.达·芬奇的方法
（三）练习巩固
1.如图是传说中验证勾股定理的一种方法，你能根据这两个图形及提示验证勾股定理吗？
（提示：图①中拼成的大正方形与图②中拼成的大正方形面积相等）
（四）其他证法
1.欧几里得证明
2.梅文鼎证明
3.利用相似三角形性质证明
4.作直角三角形的内切圆证明
5.
利用切割线定理证明
（五）练习巩固
1.欣赏一颗美丽而神奇的树。它是由古希腊
( http: / / www.21cnjy.com )数学家毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的勾股定理树也称为“毕达哥拉斯树”。它使我们大家深刻的感受到了几何之美。在欣赏之余思考最外围所有小正方形的面积之和与哪个正方形的面积相等？
三、课堂小结
1.图形的摆拼验证勾股定理
2.体会“数形结合“的思想。
四、作业
请继续搜索勾股定理的相关资料，探寻更多证明勾股定理的方法。
教学目标达成与评价
【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满
( http: / / www.21cnjy.com )着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法．
把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长
( http: / / www.21cnjy.com )分别为a,b,c，显然∠DAB=∠B=90°,AC⊥DE。请用a、b、c分别表示出梯形ABCD、四边形AECD、△EBC的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理。（提示：对角线垂直的四边形的面积可用对角线乘积的一半求得。如图2）
根据以上材料，请填空，并写出证明勾股定理的过程。
S 梯形ABCD=
S △EBC=
S 四边形AECD=
图2
图1
