《创新导学案》2018高考数学（人教B版+文科）总复习演练提升+同步测评Word版含解析71份

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A组　专项基础训练
(时间：40分钟)
1．(2016·四川)抛物线y2＝4x的焦点坐标是(　　)
A．(0，2)　　　　　　　　　　B．(0，1)
C．(2，0)
D．(1，0)
【解析】
由题意得2p＝4，p＝2，抛物线的焦点坐标为(1，0)．
【答案】
D
2．(2017·河南中原名校联考)抛物线y2
( http: / / www.21cnjy.com )＝2px(p＞0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|＝4|OF|，△MFO的面积为4，则抛物线的方程为(　　)
A．y2＝6x
B．y2＝8x
C．y2＝16x
D．y2＝
【解析】
设M(x，y)，因为|OF|＝，|MF|＝4|OF|，
所以|MF|＝2p，
由抛物线定义知x＋＝2p，
所以x＝p，所以y＝±p，
又△MFO的面积为4，
所以××p＝4，解得p＝4(p＝－4舍去)．
所以抛物线的方程为y2＝8x.
【答案】
B
3．(2017·广东广州3
( http: / / www.21cnjy.com )月模拟)如果P1，P2，…，Pn是抛物线C：y2＝4x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，…，xn，F是抛物线C的焦点，若x1＋x2＋…xn＝10，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|PnF|＝(　　)
A．n＋10
B．n＋20
C．2n＋10
D．2n＋20
【解析】
由抛物线的方程y2＝4x可知其
( http: / / www.21cnjy.com )焦点为(1，0)，准线为x＝－1，由抛物线的定义可知|P1F|＝x1＋1，|P2F|＝x2＋1，…，|PnF|＝xn＋1，所以|P1F|＋|P2F|＋…＋|PnF|＝x1＋1＋x2＋1＋…＋xn＋1＝(x1＋x2＋…＋xn)＋n＝n＋10.故选A.
【答案】
A
4．(2017·江西南昌一模)已知
( http: / / www.21cnjy.com )抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与抛物线C的一个交点，若|FP|＝3|FQ|，则|QF|＝(　　)
A.
B.
C．3
D．2
【解析】
设l与x轴的交点为M，如图所
( http: / / www.21cnjy.com )示，过Q作QN⊥l，垂足为N，则△PQN∽△PFM，所以＝＝，因为|MF|＝4，所以|NQ|＝，故|QF|＝|QN|＝，故选A.
【答案】
A
5．(2017·湖北七市4
( http: / / www.21cnjy.com )月联考)过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线与双曲线x2－＝1的一条渐近线平行，并交抛物线于A、B两点，若|AF|＞|BF|，且|AF|＝2，则抛物线的方程为(　　)
A．y2＝2x
B．y2＝3x
C．y2＝4x
D．y2＝x
【解析】
由双曲线方程x2－＝1知其渐近线方程为y＝±x，∴过抛物线焦点F且与渐近线平行的直线AB的斜率为±，不妨取kAB＝，则其倾斜角为60°，即∠AFx＝60°.过A作AN⊥x轴，垂足为N.由|AF|＝2，得|FN|＝1.过A作AM⊥准线l，垂足为M，则|AM|＝p＋1.由抛物线的定义知，|AM|＝|AF|.∴p＋1＝2，∴p＝1，∴抛物线的方程为y2＝2x，故选A.
【答案】
A
6．(2016·江西九校联
( http: / / www.21cnjy.com )考)抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，其准线与双曲线y2－x2＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________．
【解析】
易得双曲线y2－x2＝1过点，从而－＝1，所以p＝2.
【答案】
2
7．(2016·山西四校三联)过抛物线y2＝4x的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点，则弦长|AB|为________．
【解析】
设A(x1，y1)，B
( http: / / www.21cnjy.com )(x2，y2)．易得抛物线的焦点是F(1，0)，所以直线AB的方程是y＝x－1，联立消去y得x2－6x＋1＝0，所以x1＋x2＝6，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.
【答案】
8
8．(2017·西安模拟)设
( http: / / www.21cnjy.com )F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点P(－1，0)的直线l交抛物线C于A、B两点，点Q为线段AB的中点，若|FQ|＝2，则直线l的斜率等于________．
【解析】
设直线l的方程为y＝k(x＋1)
( http: / / www.21cnjy.com )(k≠0)，将其代入y2＝4x得，k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，所以xQ＝－＝－1，yQ＝k(xQ＋1)＝，又|FQ|＝2，F(1，0)，所以＋＝4，解得k＝±1.
【答案】
±1
9．(2016·浙江)如图，设抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|－1.
(1)求p的值；
(2)若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M.求M的横坐标的取值范围．
【解析】
(1)由题意可得，抛物线上点A到焦点F的距离等于点A到直线x＝－1的距离，由抛物线的定义得＝1，即p＝2.
(2)由(1)得，抛物线方程为y2＝4x，F(1，0)，可设A(t2，2t)，t≠0，t≠±1.
因为AF不垂直于y轴，可设直线AF：x＝sy＋1(s≠0)，由消去x得y2－4sy－4＝0，
故y1y2＝－4，所以，B.
又直线AB的斜率为，故直线FN的斜率为－.
从而得直线FN：y＝－(x－1)，直线BN：y＝－.
所以N.
设M(m，0)，由A，M，N三点共线得
＝，于是m＝.
所以m＜0或m＞2.
经检验，m＜0或m＞2满足题意．
综上，点M的横坐标的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)．
10．(2015·福建)已知点F为抛物线E：y2＝2px(p＞0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|＝3.
(1)求抛物线E的方程；
(2)已知点G(－1，0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．
【解析】
方法一
(1)由抛物线的定义得|AF|＝2＋.
因为|AF|＝3，即2＋＝3，解得p＝2，
所以抛物线E的方程为y2＝4x.
(2)证明
因为点A(2，m)在抛物线E：y2＝4x上，
所以m＝±2，由抛物线的对称性，不妨设A(2，2)．
由A(2，2)，F(1，0)可得直线AF的方程为y＝2(x－1)．
由
得2x2－5x＋2＝0，
解得x＝2或x＝，从而B.又G(－1，0)，
所以kGA＝＝，kGB＝＝－.
所以kGA＋kGB＝0，从而∠AGF＝∠BGF，这表明点F到直线GA，GB的距离相等，故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切．
方法二
(1)同方法一．
(2)证明
设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r.
因为点A(2，m)在抛物线E：y2＝4x上，
所以m＝±2，由抛物线的对称性，不妨设A(2，2)．
由A(2，2)，F(1，0)可得直线AF的方程为y＝2(x－1)．
由
得2x2－5x＋2＝0.
解得x＝2或x＝，从而B.
又G(－1，0)，
故直线GA的方程为2x－3y＋2＝0.
从而r＝＝.
又直线GB的方程为2x＋3y＋2＝0.
所以点F到直线GB的距离
d＝＝＝r.
这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切．
B组　专项能力提升
(时间：30分钟)
11．(2015·四川)设直线l
( http: / / www.21cnjy.com )与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆(x－5)2＋y2＝r2(r＞0)相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是(　　)
A．(1，3)
B．(1，4)
C．(2，3)
D．(2，4)
【解析】
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则eq
\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝4x1，,y＝4x2，))相减得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，
当l的斜率不存在时，符合条件的直线l必有两条；当直线l的斜率k存在时，如图x1≠x2，则有·＝2，即y0·k＝2，
由CM⊥AB得，k·＝－1，y0·k
( http: / / www.21cnjy.com )＝5－x0，2＝5－x0，x0＝3，即M必在直线x＝3上，将x＝3代入y2＝4x，得y2＝12，∴－2＜y0＜2，∵点M在圆上，∴(x0－5)2＋y＝r2，r2＝y＋4＜12＋4＝16，
又y＋4＞4，∴4＜r2＜16，∴2＜r＜4.故选D.
【答案】
D
12．(2016·全国卷Ⅱ)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，曲线y＝(k＞0)与C交于点P，PF⊥x轴，则k＝(　　)
A.
B．1
C.
D．2
【解析】
易知抛物线的焦点为F(1，0)，
( http: / / www.21cnjy.com )设P(xP，yP)，由PF⊥x轴可得xP＝1，代入抛物线方程得yP＝2(－2舍去)，把P(1，2)代入曲线y＝(k＞0)得k＝2.
【答案】
D
13．(2016·湖南岳阳二模)直线3
( http: / / www.21cnjy.com )x－4y＋4＝0与抛物线x2＝4y、圆x2＋(y－1)2＝1从左至右的交点依次为A，B，C，D，则的值为________．
【解析】
如图所示，抛物线x2＝
( http: / / www.21cnjy.com )4y的焦点为F(0，1)，直线3x－4y＋4＝0过点(0，1)，由得4y2－17y＋4＝0，设A(x1，y1)，D(x2，y2)，则y1＋y2＝，y1y2＝1，解得y1＝，y2＝4，则＝＝＝16.
【答案】
16
14．(2016·安庆模拟)如图，A，B是焦点为F的抛物线y2＝4x上的两动点，线段AB的中点M在定直线x＝t(t＞0)上．
(1)求|FA|＋|FB|的值；
(2)求|AB|的最大值．
【解析】
(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
M(t，m)，
则x1＋x2＝2t，y1＋y2＝2m.
由抛物线的定义知|FA|＝x1＋1，|FB|＝x2＋1.
所以|FA|＋|FB|＝x1＋x2＋2＝2t＋2.
(2)由eq
\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝4x1，,y＝4x2，))得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，
所以＝.
故可设直线AB的方程为(y－m)＝x－t，即x＝y－＋t.
联立消去x，得y2－2my＋2m2－4t＝0.
则Δ＝16t－4m2＞0，即0≤m2＜4t，y1＋y2＝2m，y1y2＝2m2－4t.
所以|AB|＝|y1－y2|＝
＝，其中0≤m2＜4t.
当t≥1时，因为0≤2t－2＜4t，所以当m2＝2t－2时，|AB|取最大值，即|AB|max＝2t＋2.
当0＜t＜1时，因为2t－2＜0，所以当m2＝0时，|AB|取最大值，即|AB|max＝4.综上，|AB|max＝
15．(2016·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x－y－2＝0，抛物线C：y2＝2px(p＞0)．
(1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程．
(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.
①求证：线段PQ的中点坐标为(2－p，－p)；
②求p的取值范围．
【解析】
(1)抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为，
由点在直线l：x－y－2＝0上，得－0－2＝0，即p＝4.
所以抛物线C的方程为y2＝8x.
(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段PQ的中点为M(x0，y0)．
因为点P和Q关于直线l对称，所以直线l垂直平分线段PQ，
于是直线PQ的斜率为－1，则可设其方程为y＝－x＋b.
①证明
由消去x，得y2＋2py－2pb＝0.(
)
因为P和Q是抛物线C上的相异两点，所以y1≠y2，
从而Δ＝(2p)2－4×(－2pb)＞0，化简得p＋2b＞0.
方程(
)的两根为y1，2＝－p±，从而y0＝＝－p.
因为M(x0，y0)在直线l上，所以x0＝2－p.
因此，线段PQ的中点坐标为(2－p，－p)．
②因为M(2－p，－p)在直线y＝－x＋b，上，
所以－p＝－(2－p)＋b，即b＝2－2p.
由①知p＋2b＞0，于是p＋2(2－2p)＞0，所以p＜.
因此，p的取值范围是.( http: / / www.21cnjy.com )
A组　专项基础训练
(时间：50分钟)
1．(2015·广东)已知直线l的极坐标方程为2ρsin＝，点A的极坐标为，求点A到直线l的距离．
【解析】
依题可知直线l：2ρsin＝和点A可化为l：x－y＋1＝0和A(2，－2)，所以点A到直线l的距离为d＝＝.
2．(2017·河南八市联考)在平面
( http: / / www.21cnjy.com )直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为3ρ2＝12ρcos
θ－10(ρ＞0)．
(1)求曲线C1的直角坐标方程；
(2)曲线C2的方程为＋＝1，设P，Q分别为曲线C1与曲线C2上的任意一点，求|PQ|的最小值．
【解析】
(1)由3ρ2＝12ρcos
θ－10(ρ＞0)，得3x2＋3y2＝12x－10，即(x－2)2＋y2＝.
∴曲线C1的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝.
(2)依题意可设Q(4cos
θ，2sin
θ)，由(1)知圆C1的圆心坐标为(2，0)，
则|QC1|＝
＝
＝2
.
∴当cos
θ＝时，|QC1|min＝，
∴|PQ|min＝.
3．(2017·南京模拟)在极坐标系中，已知圆ρ＝3cos
θ与直线2ρcos
θ＋4ρsin
θ＋a＝0相切，求实数a的值．
【解析】
圆ρ＝3cos
θ的直角坐标方程为x2＋y2＝3x，
即＋y2＝，
直线2ρcos
θ＋4ρsin
θ＋a＝0的直角坐标方程为2x＋4y＋a＝0.
因为圆与直线相切，所以＝，
解得a＝－3±3.
4．(2017·南通第三次质检)在极坐标系中，求曲线ρ＝2cos
θ关于直线θ＝对称的曲线的极坐标方程．
【解析】
以极点为坐标原点，极轴为x轴建立直角坐标系，
则曲线ρ＝2cos
θ的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，且圆心为(1，0)．
直线θ＝的直角坐标方程为y＝x，
因为圆心(1，0)关于y＝x的对称点为(0，1)，
所以圆(x－1)2＋y2＝1关于y＝x的对称曲线为x2＋(y－1)2＝1.
所以曲线ρ＝2cos
θ关于直线θ＝对称的曲线的极坐标方程为ρ＝2sin
θ.
5．(2017·洛阳统考)已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－2ρcos＝2.
(1)将圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．
【解析】
(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x2＋y2＝4.
因为ρ2－2ρcos＝2，
所以ρ2－2ρ＝2.
所以x2＋y2－2x－2y－2＝0.
(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x＋y＝1.化为极坐标方程为ρcos
θ＋ρsin
θ＝1，
即ρsin＝.
6．(2017·常州模拟)在极坐标系中，O是极点，设A，B，求△AOB的面积．
【解析】
如图所示，∠AOB＝2π－－＝，
OA＝4，OB＝5，
故S△AOB＝×4×5×sin
＝5.
B组　专项能力提升
(时间：40分钟)
7．(2017·南京模拟)已知直线l：ρs
( http: / / www.21cnjy.com )in＝4和圆C：ρ＝2kcos(k≠0)，若直线l上的点到圆C上的点的最小距离等于2.求实数k的值并求圆心C的直角坐标．
【解析】
∵ρ＝kcos
θ－ksin
θ，
∴ρ2＝kρcos
θ－kρsin
θ，
∴圆C的直角坐标方程为x2＋y2－kx＋ky＝0，
即＋＝k2，
∴圆心的直角坐标为.
∵ρsin
θ·－ρcos
θ·＝4，
∴直线l的直角坐标方程为x－y＋4＝0，
∴－|k|＝2.
即|k＋4|＝2＋|k|，
两边平方，得|k|＝2k＋3，
∴或
解得k＝－1，故圆心C的直角坐标为.
8．(2017·山西质检)在极坐标系中，曲线C的方程为ρ2＝，点R.
(1)以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标；
(2)设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS周长的最小值，及此时P点的直角坐标．
【解析】
(1)∵x＝ρcos
θ，y＝ρsin
θ，
∴曲线C的直角坐标方程为＋y2＝1，
点R的直角坐标为R(2，2)．
(2)设P(cos
θ，sin
θ)，
根据题意可得|PQ|＝2－cos
θ，|QR|＝2－sin
θ，
∴|PQ|＋|QR|＝4－2sin(θ＋60°)，
当θ＝30°时，|PQ|＋|QR|取最小值2，
∴矩形PQRS周长的最小值为4，
此时点P的直角坐标为.
9．(2017·邯郸调研)在极坐标系中，已知直线l过点A(1，0)，且其向上的方向与极轴的正方向所成的最小正角为，求：
(1)直线的极坐标方程；
(2)极点到该直线的距离．
【解析】
(1)如图，由正弦定理得
＝.
即ρsin＝sin
＝，
∴所求直线的极坐标方程为ρsin＝.
(2)作OH⊥l，垂足为H，
在△OHA中，OA＝1，∠OHA＝，∠OAH＝，
则OH＝OAsin
＝，
即极点到该直线的距离等于.
10．(2017·山西朔州模拟
( http: / / www.21cnjy.com ))在极坐标系Ox中，曲线C的极坐标方程为ρ2＝.以极点O为直角坐标原点、极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系．
(1)求曲线C的直角坐标方程；
(2)设曲线C与x轴、y轴的正半轴分别交于点A，B，P是曲线C上一点，求△ABP面积的最大值．
【解析】
(1)∵曲线C的极坐标方程为ρ2＝，
∴9ρ2＋7ρ2sin2θ＝144.
由ρ2＝x2＋y2，y＝ρsin
θ，可得曲线C的直角坐标方程为9x2＋9y2＋7y2＝144.
即曲线C的直角坐标方程为＋＝1.
(2)∵曲线C与x轴、y轴的正半轴分别交于点A，B，
∴A(4，0)，B(0，3)，∴直线AB的方程为3x＋4y－12＝0.
设P(4cos
θ，3sin
θ)，则
点P到直线AB的距离为
d＝
＝.
当θ＝时，dmax＝，
∴△ABP面积的最大值为|AB|·＝6(＋1)．( http: / / www.21cnjy.com )
A组　专项基础训练
(时间：40分钟)
1．(2016·安徽皖江名校联考)在△ABC中，已知向量＝(2，2)，||＝2，·＝－4，则△ABC的面积为(　　)
A．4　　　　　　　　　　　B．5
C．2
D．3
【解析】
∵＝(2，2)，∴||＝＝2.
∵·＝||·||cos
A＝2×2cos
A＝－4，
∴cos
A＝－，∵0＜A＜π，∴sin
A＝，
∴S△ABC＝||·||sin
A＝2.
【答案】
C
2．(2017·安徽江淮十校第一次联考)在等腰△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，＝2，＝3，则·的值为(　　)
A．－
B．－
C.
D.
【解析】
由已知得·＝(＋)·＝－2＋·＋·＋2.①
因为△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，所以①式＝－×22＋0＋0＋×22＝－.故选A.
【答案】
A
3．已知向量a＝(2cos
α，2sin
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α)，b＝(3cos
β，3sin
β)，若a与b的夹角为60°，则直线xcos
α－ysin
α＋＝0与圆(x－cos
β)2＋(y＋sin
β)2＝的位置关系是(　　)
A．相交
B．相交且过圆心
C．相切
D．相离
【解析】
∵a＝(2cos
α，2sin
α)，b＝(3cos
β，3sin
β)，
∴|a|＝2，|b|＝3.
∴a·b＝6cos
αcos
β＋6sin
αsin
β＝6cos(α－β)．
而a·b＝|a||b|cos
60°＝3，
∴6cos(α－β)＝3 cos(α－β)＝.
则圆心(cos
β，－sin
β)到直线xcos
α－ysin
α＋＝0的距离d＝＝＝1＞＝r，∴相离．
【答案】
D
4．(2016·驻马店质检)若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC的形状为(　　)
A．正三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等腰直角三角形
【解析】
因为(－)·(＋－2)＝0，
即·(＋)＝0，∵－＝，
∴(－)·(＋)＝0，即||＝||，
所以△ABC是等腰三角形，故选C.
【答案】
C
5．(2015·辽阳一模)在△ABC中，如图，若|＋|＝|－|，AB＝2，AC＝1，E，F为BC边的三等分点，则·等于(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】
若|＋|＝|－|，则2＋2＋2·＝2＋2－2·，即有·＝0.E，F为BC边的三等分点，则·＝(＋)·(＋)＝·＝·＝2＋2＋·＝×(1＋4)＋0＝.故选B.
【答案】
B
6．(2016·合肥联考)已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则a＋b在a上的投影为________．
【解析】
∵|a＋b|2＝a2＋b2＋2a
( http: / / www.21cnjy.com )·b＝1＋4＋2×1×2×＝7，∴|a＋b|＝，cos〈a＋b，a〉＝＝＝.∴a＋b在a上的投影为|a＋b|·cos〈a＋b，a〉＝×＝2.
【答案】
2
7．(2015·潍坊模拟)如图，在△ABC中，O为BC中点，若AB＝1，AC＝3，〈，〉＝60°，则||＝________．
【解析】
因为〈，〉＝60°，
( http: / / www.21cnjy.com )所以·＝||·||cos
60°＝1×3×＝，又＝(＋)，所以2＝(＋)2＝(2＋2·＋2)，
所以2＝(1＋3＋9)＝，所以||＝.
【答案】
8．在△ABC中，若·＝·＝·，则点O是△ABC的________(填“重心”、“垂心”、“内心”、“外心”)．
【解析】
∵·＝·，
∴·(－)＝0，
∴·＝0，
∴OB⊥CA，即OB为△ABC底边CA上的高所在直线．
同理·＝0，·＝0，故O是△ABC的垂心．
【答案】
垂心
9．(2017·上海静安区一模)如图，已知O
( http: / / www.21cnjy.com )为坐标原点，向量＝(3cos
x，3sin
x)，＝(3cos
x，sin
x)，＝(，0)，x∈.
(1)求证：(－)⊥；
(2)若△ABC是等腰三角形，求x的值．
【解析】
(1)证明
∵－＝(0，2sin
x)，
∴(－)·＝0×＋2sin
x×0＝0，
∴(－)⊥.
(2)若△ABC是等腰三角形，则AB＝BC，
∴(2sin
x)2＝(3cos
x－)2＋sin2x，
整理得2cos2x－cos
x＝0，
解得cos
x＝0，或cos
x＝.
∵x∈，∴cos
x＝，x＝.
10．(2015·德州一模)在△ABC中，
( http: / / www.21cnjy.com )角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cos(A－B)，sin(A－B))，n＝(cos
B，－sin
B)，且m·n＝－.
(1)求sin
A的值；
(2)若a＝4，b＝5，求角B的大小及向量在方向上的投影．
【解析】
(1)由m·n＝－，得
cos(A－B)cos
B－sin(A－B)sin
B＝－，
所以cos
A＝－.
因为0＜A＜π，
所以sin
A＝＝＝.
(2)由正弦定理，得＝，
则sin
B＝＝＝，
因为a＞b，所以A＞B，则B＝.
由余弦定理得(4)2＝52＋c2－2×5c×，
解得c＝1，
故向量在方向上的投影为
||cos
B＝ccos
B＝1×＝.
B组　专项能力提升
(时间：20分钟)
11．(2015·湖南)已知点A，B，C在圆
( http: / / www.21cnjy.com )x2＋y2＝1上运动，且AB⊥BC.若点P的坐标为(2，0)，则|＋＋|的最大值为(　　)
A．6
B．7
C．8
D．9
【解析】
由A，B，C在圆x2
( http: / / www.21cnjy.com )＋y2＝1上，且AB⊥BC，所以AC为圆直径，故＋＝2＝(－4，0)，设B(x，y)，则x2＋y2＝1且x∈[－1，1]，＝(x－2，y)，所以＋＋＝(x－6，y)．故|＋＋|＝，所以x＝－1时有最大值＝7，故选B.
【答案】
B
12．(2016·山东)已知向量a＝(1，－1)，b＝(6，－4)．若a⊥(ta＋b)，则实数t的值为________．
【解析】
根据已知，a2＝2，a·b＝10.由a⊥(ta＋b)，得a·(ta＋b)＝ta2＋a·b＝2t＋10＝0，解得t＝－5.
【答案】
－5
13．已知向量a＝(1，)，b＝(，1)，则a与b夹角的大小为________．
【解析】
a·b＝2，∴cos〈a，b〉＝＝＝，又〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝.
【答案】
14．(2016·江苏)如
( http: / / www.21cnjy.com )图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，·＝4，·＝－1，则·的值是________．
【解析】
设＝a，＝b，则·＝(a＋3b)·(－a＋3b)＝9|b|2－|a|2＝4，·＝(a＋b)·(－a＋b)＝|b|2－|a|2＝－1，解得|a|2＝，|b|2＝.则·＝(a＋2b)·(－a＋2b)＝4|b|2－|a|2＝.
【答案】
15．(2016·宣城模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若·＝·＝1.
(1)判断△ABC的形状；
(2)求边长c的值；
(3)若|＋|＝2，求△ABC的面积．
【解析】
(1)由·＝·＝1，
得bc·cos
A＝ac·cos
B，由正弦定理，
即sin
Bcos
A＝sin
Acos
B，
∴sin(A－B)＝0，
∴A＝B，即△ABC是等腰三角形．
(2)由·＝1，得bc·cos
A＝1，
又bc·＝1，则b2＋c2－a2＝2，
又a＝b，∴c2＝2，即c＝.
(3)由|＋|＝2，得2＋b2＋2＝8，
∴b＝2，又c＝，
∴cos
A＝，sin
A＝，
∴S△ABC＝bc·sin
A＝×2××＝.( http: / / www.21cnjy.com )
A组　专项基础训练
(时间：35分钟)
1．下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是(　　)
A．f(x)＝3－x　　　　　　　B．f(x)＝x2－3x
C．f(x)＝－
D．f(x)＝－|x|
【解析】
当x＞0时，f(x)＝3－x为减函数；
当x∈时，f(x)＝x2－3x为减函数，
当x∈时，f(x)＝x2－3x为增函数；
当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－为增函数；
当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－|x|为减函数．
【答案】
C
2．已知函数y＝log2(ax－1)在(1，2)上单调递增，则实数a的取值范围是(　　)
A．(0，1]
B．[1，2]
C．[1，＋∞)
D．[2，＋∞)
【解析】
要使y＝log2(ax－1)在(1，2)上单调递增，则a＞0且a－1≥0，∴a≥1.
【答案】
C
3．(2017·哈尔滨联考)已
( http: / / www.21cnjy.com )知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x2＞x1＞1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(e)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．c＞a＞b
B．c＞b＞a
C．a＞c＞b
D．b＞a＞c
【解析】
因f(x)的图象关于直线
( http: / / www.21cnjy.com )x＝1对称．由此可得f＝f.由x2＞x1＞1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0恒成立，知f(x)在(1，＋∞)上单调递减．
∵1＜2＜＜e，∴f(2)＞f＞f(e)，
∴b＞a＞c.
【答案】
D
4．若函数f(x)＝x2－2x＋m在[3，＋∞)上的最小值为1，则实数m的值为(　　)
A．－3
B．－2
C．－1
D．1
【解析】
∵f(x)＝(x－1)2＋m－1在[3，＋∞)上为单调增函数，且f(x)在[3，＋∞)上的最小值为1，
∴f(3)＝1，即22＋m－1＝1，m＝－2.
【答案】
B
5．已知函数f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a的取值范围是(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】
当a＝0时，f(x)＝－12x＋5，在(－∞，3)上是减函数，
当a≠0时，由得0＜a≤，
综上a的取值范围是0≤a≤.
【答案】
D
6．已知函数f(x)＝，则该函数的单调增区间为________．
【解析】
设t＝x2－2x－3，由t≥0，即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3.
所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
因为函数t＝x2－2x－
( http: / / www.21cnjy.com )3的图象的对称轴为x＝1，所以函数在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增．又因为y＝在[0，＋∞)上单调递增．
所以函数f(x)的增区间为[3，＋∞)．
【答案】
[3，＋∞)
7．已知函数f(x)＝若f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________．
【解析】
由题意，得12＋a－2≤0，则a≤2，又ax－a是增函数，故a＞1，所以a的取值范围为1＜a≤2.
【答案】
(1，2]
8．(2015·厦门质检)函数f(x)＝－log2(x＋2)在区间[－1，1]上的最大值为________．
【解析】
由于y＝在R上递减，
( http: / / www.21cnjy.com )y＝log2(x＋2)在[－1，1]上递增，所以f(x)在[－1，1]上单调递减，故f(x)在[－1，1]上的最大值为f(－1)＝3.
【答案】
3
9．已知f(x)＝(x≠a)．
(1)若a＝－2，试证明f(x)在(－∞，－2)内单调递增；
(2)若a＞0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．
【解析】
(1)证明
任设x1＜x2＜－2，
则f(x1)－f(x2)＝－
＝.
∵(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0，
∴f(x1)＜f(x2)，
∴f(x)在(－∞，－2)上单调递增．
(2)任设1＜x1＜x2，则
f(x1)－f(x2)＝－
＝.
∵a＞0，x2－x1＞0，∴要使f(x1)－f(x2)＞0，
只需(x1－a)(x2－a)＞0在(1，＋∞)上恒成立，∴a≤1.
综上所述，a的取值范围是(0，1]．
10．(2017·浦东一模)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f＝f(x1)－f(x2)，且当x＞1时，f(x)＜0.
(1)求f(1)的值；
(2)证明：f(x)为单调递减函数；
(3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2，9]上的最小值．
【解析】
(1)令x1＝x2＞0，
代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，
故f(1)＝0.
(2)证明
任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＞x2，
则＞1，由于当x＞1时，f(x)＜0，
所以f＜0，即f(x1)－f(x2)＜0，
因此f(x1)＜f(x2)，
所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．
(3)∵f(x)在(0，＋∞)上是单调递减函数．
∴f(x)在[2，9]上的最小值为f(9)．
由f＝f(x1)－f(x2)得，
f＝f(9)－f(3)，
而f(3)＝－1，所以f(9)＝－2.
∴f(x)在[2，9]上的最小值为－2.
B组　专项能力提升
(时间：25分钟)
11．(2016·长春市质量检测)已知函数f(x)＝|x＋a|在(－∞，－1)上是单调函数，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，1]
B．(－∞，－1]
C．[－1，＋∞)
D．[1，＋∞)
【解析】
因为函数f(x)在(－∞，－a)上是单调函数，
所以－a≥－1，解得a≤1.
【答案】
A
12．定义新运算 ：当a≥b时，a
( http: / / www.21cnjy.com ) b＝a；当a＜b时，a b＝b2，则函数f(x)＝(1 x)x－(2 x)，x∈[－2，2]的最大值等于(　　)
A．－1
B．1
C．6
D．12
【解析】
由已知，得当－2≤x≤1时，f(x)＝x－2，
当1＜x≤2时，f(x)＝x3－2.
∵f(x)＝x－2，f(x)＝x3－2在定义域内都为增函数．
∴f(x)的最大值为f(2)＝23－2＝6.
【答案】
C
13．(2016·北京)下列函数中，在区间(－1，1)上为减函数的是(　　)
A．y＝
B．y＝cos
x
C．y＝ln(x＋1)
D．y＝2－x
【解析】
由基本初等函数可知：A
( http: / / www.21cnjy.com )项中，y＝在(－1，1)上为增函数；B项中，y＝cos
x在(－1，1)上不单调；C项中，y＝ln(x＋1)在(－1，1)上为增函数．D项中，y＝在(－1，1)上为减函数．故选D.
【答案】
D
14．(2017·珠海一模)已知函数f(x)＝lg，其中a是大于0的常数．
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)当a∈(1，4)时，求函数f(x)在[2，＋∞)上的最小值；
(3)若对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)＞0，试确定a的取值范围．
【解析】
(1)由x＋－2＞0，得＞0，
a＞1时，x2－2x＋a＞0恒成立，定义域为(0，＋∞)，
a＝1时，定义域为{x|x＞0且x≠1}，0＜a＜1时，定义域为{x|0＜x＜1－或x＞1＋}．
(2)设g(x)＝x＋－2，
当a∈(1，4)，x∈[2，＋∞)时，g′(x)＝1－＝＞0恒成立，
∴g(x)＝x＋－2在[2，＋∞)上是增函数．
∴f(x)＝lg在[2，＋∞)上是增函数．
∴f(x)＝lg在[2，＋∞)上的最小值为f(2)＝lg.
(3)对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)＞0，
即x＋－2＞1对x∈[2，＋∞)恒成立．
∴a＞3x－x2，
而h(x)＝3x－x2＝－＋在x∈[2，＋∞)上是减函数，
∴h(x)max＝h(2)＝2.
∴a＞2，即a的取值范围为(2，＋∞)．( http: / / www.21cnjy.com )
A组　专项基础训练
(时间：40分钟)
1．(2017·豫东、豫北十所名校联考)根据如下样本数据：
x
3
4
5
6
7
y
4.0
a－5.4
－0.5
0.5
b－0.6
得到的回归直线方程为＝bx＋a.若样本点的中心为(5，0.9)，则当x每增加1个单位时，y就(　　)
A．增加1.4个单位　　　　B．减少1.4个单位
C．增加7.9个单位
D．减少7.9个单位
【解析】
依题意得，＝0.9，故a＋b＝6.5①，又样本点的中心为(5，0.9)，故0.9＝5b＋a②，联立①②，解得b＝－1.4，a＝7.9，则＝－1.4x＋7.9，可知当x每增加1个单位时，y就减少1.4个单位．
【答案】
B
2．春节期间，“厉行节约，反对浪费”之风悄然吹开，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下的列联表：
做不到“光盘”
能做到“光盘”
男
45
10
女
30
15
则下面的正确结论是(　　)
附表及公式
P(K2≥k0)
0.100
0.050
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
6.635
10.828
K2＝
A．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”
B．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”
C．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”
D．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”
【解析】
由2×2列联表得到a
( http: / / www.21cnjy.com )＝45，b＝10，c＝30，d＝15，则a＋b＝55，c＋d＝45，a＋c＝75，b＋d＝25，ad＝675，bc＝300，n＝100，计算得K2的观测值k＝≈3.030.因为2.706＜3.030＜3.841，所以有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”．
【答案】
A
3．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：
父亲身高x/cm
174
176
176
176
178
儿子身高y/cm
175
175
176
177
177
则y对x的线性回归方程为(　　)
A．y＝x－1
B．y＝x＋1
C．y＝88＋x
D．y＝176
【解析】
由题意知D项明显不符合实际，排除；
且x＝＝176，y＝＝176，
又y对x的线性回归方程表示的直线恒过点(x，y)，
所以将(176，176)代入A，B，C中检验，只有C成立．
【答案】
C
4．已知某产品连续4个月
( http: / / www.21cnjy.com )的广告费用为xi(i＝1，2，3，4)千元，销售额为yi(i＝1，2，3，4)万元，经过对这些数据的处理，得到如下数据信息：①x1＋x2＋x3＋x4＝18，y1＋y2＋y3＋y4＝14；②广告费用x和销售额y之间具有较强的线性相关关系；③回归直线方程＝bx＋a中的b＝0.8(用最小二乘法求得)，那么，当广告费用为6千元时，可预测销售额约为(　　)
A．3.5万元
B．4.7万元
C．4.9万元
D．6.5万元
【解析】
依题意得x＝4.5，y＝3.5，由
( http: / / www.21cnjy.com )回归直线必过样本中心点得a＝3.5－0.8×4.5＝－0.1.当x＝6时，＝0.8×6－0.1＝4.7.
【答案】
B
5．(2017·郑州预测)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
单价x(元)
4
5
6
7
8
9
销量y(件)
90
84
83
80
75
68
由表中数据，求得线性回归方程为＝－4x＋a.若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线左下方的概率为(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】
依题意得x＝×(4＋5＋6＋7＋8＋9)＝，y＝×(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80，又回归直线必经过样本中心点(x，y)，于是有a＝80＋4×＝106，不等式4x＋y－106＜0表示的是回归直线的左下方区域．注意到在6个样本数据中，共有2个样本数据位于回归直线的左下方区域，因此所求的概率等于.
【答案】
B
6．(2017·济宁二模)已知下表所示数据的回归直线方程为＝4x＋242，则实数a＝________.
x
2
3
4
5
6
y
251
254
257
a
266
【解析】
回归直线＝4x＋242必过样本点的中心(x，y)，而x＝＝4，y＝＝，∴＝4×4＋242，解得a＝262.
【答案】
262
7．某单位为了了解用电量y千瓦·时与气温x
℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温.
气温/℃
14
12
8
6
用电量/千瓦·时
22
26
34
38
由表中数据得线性方程y＝a＋bx中b＝－2，据此预测当气温为5
℃时，用电量的千瓦·时数约为________．
【解析】
因为回归直线经过样本中心点，
( http: / / www.21cnjy.com )故由已知数表可得x＝10，y＝30，即(10，30)在回归直线上，代入方程可得a＝50，即回归直线方程为y＝50－2x，故可预测当气温为5
℃时，用电量的度数约为50－2×5＝40.
【答案】
40
8．为了判断高中三年级学生选修文科是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到如图所示2×2列联表：
理科
文科
总计
男
13
10
23
女
7
20
27
总计
20
30
50
已知P(K2≥3.841)≈0.
( http: / / www.21cnjy.com )05，P(K2≥5.024)≈0.025.根据表中数据，得到K2的观测值k＝≈4.844，则有________的把握认为选修文科与性别有关．
【解析】
由题意知，K2＝≈4.844，因为5.024＞4.844＞3.841，所以有95%的把握认为选修文科与性别有关．
【答案】
95%
9．(2017·宁夏银川一中期末)
( http: / / www.21cnjy.com )下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据.
x
3
4
5
6
y
2.5
3
4
4.5
(1)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y＝bx＋a.
(2)已知该厂技改前，100吨甲产品的
( http: / / www.21cnjy.com )生产能耗为90吨标准煤．试根据(1)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低了多少吨标准煤？
(参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)
10．(2017·邯郸摸底)为了解少
( http: / / www.21cnjy.com )年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名六年级学生进行了问卷调查得到如下列联表．平均每天喝500
mL以上为常喝，体重超过50
kg为肥胖.
常喝
不常喝
总计
肥胖
2
不肥胖
18
总计
30
已知在全部30人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为.
(1)请将上面的列联表补充完整．
(2)是否有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由．
(3)设常喝碳酸饮料且肥胖的学生中有2名女生，现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中抽取2人参加电视节目，则正好抽到一男一女的概率是多少？
参考数据：
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
参考公式：
K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
【解析】
(1)设常喝碳酸饮料肥胖的学生有x人，＝，解得x＝6.
常喝
不常喝
总计
肥胖
6
2
8
不肥胖
4
18
22
总计
10
20
30
(2)有．由已知数据可求得K2＝≈8.523＞7.879.因此有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关．
(3)设4名常喝碳酸饮料的肥胖
( http: / / www.21cnjy.com )男生为A，B，C，D，女生为E，F，则任取两人的取法有AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF，共15种．其中一男一女的取法有AE，AF，BE，BF，CE，CF，DE，DF，共8种．故抽到一男一女的概率是P＝.
B组　专项能力提升
(时间：30分钟)
11．下列说法：
①将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变；
②设有一个线性回归方程＝3－5x，变量x增加1个单位时，y平均增加5个单位；
③设具有相关关系的两个变量x，y的相关系数为r，则|r|越接近于0，x和y之间的线性相关程度越强；
④在一个2×2列联表中，由计算得K2的值，则K2的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大．
以上，错误结论的个数为(　　)
A．0
B．1
C．2
D．3
【解析】
方差反应一组数据的
( http: / / www.21cnjy.com )波动大小，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变，故①正确；在线性回归方程＝3－5x中，变量x增加1个单位时，y平均减小5个单位，故②不正确；根据线性回归分析中相关系数的定义：在线性回归分析中，相关系数为r，|r|越接近于1，相关程度越强，故③不正确；对分类变量x与y的随机变量的观测值K2来说，K2越大，“x与y有关系”的可信程度越大，故④正确．综上所述，错误结论的个数为2，故选C.
【答案】
C
12．(2017·兰州、张掖联考)对具有线
( http: / / www.21cnjy.com )性相关关系的变量x，y有一组观测数据(xi，yi)(i＝1，2，…，8)，其线性回归方程是＝x＋，且x1＋x2＋x3＋…＋x8＝2(y1＋y2＋y3＋…＋y8)＝6，则实数的值是(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】
依题意可知样本点的中心为，
则＝×＋，解得＝.
【答案】
B
13．有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：
优秀
非优秀
总计
甲班
10
b
乙班
c
30
合计
已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则下列说法正确的是(　　)
A．列联表中c的值为30，b的值为35
B．列联表中c的值为15，b的值为50
C．根据列联表中的数据，若按97.5%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”
D．根据列联表中的数据，若按97.5%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”
【解析】
由题意知，成绩优秀的学生数是30，成绩非优秀的学生数是75，所以c＝20，b＝45，选项A、B错误．
根据列联表中的数据，
得到K2＝≈6.109＞5.024，
因此有97.5%的把握认为“成绩与班级有关系”．
【答案】
C
14．某中学对“学生性别和是否喜欢看NBA
( http: / / www.21cnjy.com )比赛”作了一次调查，其中男生人数是女生人数的2倍，男生喜欢看NBA的人数占男生人数的，女生喜欢看NBA的人数占女生人数的.
(1)若被调查的男生人数为n，根据题意建立一个2×2列联表；
(2)若有95%的把握认为是否喜欢看NBA和性别有关，求男生至少有多少人？
附：K2＝，
P(K2≥k)
0.100
0.050
0.010
k
2.706
3.841
6.635
【解析】
(1)由已知得：
喜欢看NBA
不喜欢看NBA
总计
男生
n
女生
总计
n
(2)K2＝＝n.
若有95%的把握认为是否喜欢看NBA和性别有关，
则K2＞3.841，即n＞3.841，n＞10.24.
∵，为整数，∴n最小值为12.
即：男生至少12人．
15．(2016·课标全国Ⅲ)下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．
(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；
(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．( http: / / www.21cnjy.com )
A组　专项基础训练
(时间：35分钟)
1．(2017·湖南株洲二中
( http: / / www.21cnjy.com )月考)如图，设a，b，c，d＞0，且不等于1，y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx在同一坐标系中的图象如图，则a，b，c，d的大小顺序为(　　)
A．a＜b＜c＜d　　　　　B．b＜a＜c＜d
C．b＜a＜d＜c
D．a＜b＜d＜c
【解析】
由题意得，根据指数函数的图象与性质，可作直线x＝1，得到四个交点，自下而上可知指数函数的底数依次增大，即b＜a＜d＜c.故选C.
【答案】
C
2．(2017·河南三市一模)函数f(x)＝2|x－1|的图象是(　　)
【解析】
f(x)＝2|x－1|的图象是由y＝2|x|的图象向右平移1个单位得到的，由此得到正确选项为B.
【答案】
B
3．(2017·湖北宜昌一
( http: / / www.21cnjy.com )模)如图，面积为8的平行四边形OABC，对角线AC⊥CO，AC与BO交于点E，某指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)经过点E，B，则a＝(　　)
A.
B.
C．2
D．3
【解析】
设点E(t，at)，则点B坐标为(
( http: / / www.21cnjy.com )2t，2at)．因为2at＝a2t，所以at＝2.因为平行四边形OABC的面积＝OC×AC＝at×2t＝4t＝8，t＝2，所以a2＝2，a＝.故选A.
【答案】
A
4．(2017·株洲模拟)已知a＝21.2，b＝，c＝2log52，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．c＜b＜a
B．c＜a＜b
C．b＜a＜c
D．b＜c＜a
【解析】
a＝21.2＞21＝2，b＝＝2＜21＝2，2＞20＝1，故1＜b＜2，c＝log54＜log55＝1.故c＜b＜a.
【答案】
A
5．(2016·浙江)已知函数f(x)满足：f(x)≥|x|且f(x)≥2x，x∈R.(　　)
A．若f(a)≤|b|，则a≤b
B．若f(a)≤2b，则a≤b
C．若f(a)≥|b|，则a≥b
D．若f(a)≥2b，则a≥b
【解析】
依题意得f(a)≥2a，
若f(a)≤2b，则2a≤f(a)≤2b，∴2a≤2b，
又y＝2x是R上的增函数，∴a≤b.故选B.
【答案】
B
6．(2017·浙江温州瑞安四校联考)计算0.25－1××－10×(2－)－1＋1＋＝________．
【解析】
原式＝×－＋1＋300＝4×－10(2＋)＋1＋10＝6－20＋1＝－13.
【答案】
－13
7．(2017·江苏徐州沛县歌风中
( http: / / www.21cnjy.com )学期中)已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝－＋，则此函数的值域为________．
【解析】
设t＝，当x≥0时，2x≥1，∴
( http: / / www.21cnjy.com )0＜t≤1，f(t)＝－t2＋t＝－＋，∴0≤f(t)≤，故当x≥0时，f(x)∈.∵y＝f(x)是定义在R上的奇函数，∴当x≤0时，f(x)∈.故函数的值域为.
【答案】
8．已知函数f(x)＝2x－，函数g(x)＝则函数g(x)的最小值是________．
【解析】
当x≥0时，g(x)＝
( http: / / www.21cnjy.com )f(x)＝2x－为单调增函数，所以g(x)≥g(0)＝0；当x＜0时，g(x)＝f(－x)＝2－x－为单调减函数，所以g(x)＞g(0)＝0，所以函数g(x)的最小值是0.
【答案】
0
9．(2017·长春模拟)已知函数f(x)＝2a·4x－2x－1.
(1)当a＝1时，求函数f(x)在x∈[－3，0]的值域；
(2)若关于x的方程f(x)＝0有解，求a的取值范围．
【解析】
(1)当a＝1时，f(x)＝2·4x－2x－1＝2(2x)2－2x－1，
令t＝2x，x∈[－3，0]，则t∈.
故y＝2t2－t－1＝2－，t∈，故值域为.
(2)关于x的方程2a(2x)2－2x－1＝0有解，等价于方程2am2－m－1＝0在(0，＋∞)上有解．
记g(m)＝2am2－m－1，
当a＝0时，解为m＝－1＜0，不成立．
当a＜0时，开口向下，对称轴m＝＜0，过点(0，－1)，不成立．
当a＞0时，开口向上，对称轴m＝＞0，过点(0，－1)，必有一个根为正，所以，a＞0.
综上所述，a的取值范围是(0，＋∞)．
10．(2017·上海松江区期末)已知函数f(x)＝a|x＋b|(a＞0，b∈R)．
(1)若f(x)为偶函数，求b的值；
(2)若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，试求a，b应满足的条件．
【解析】
(1)∵f(x)为偶函数，
∴对任意的x∈R，都有f(－x)＝f(x)．
即a|x＋b|＝a|－x＋b|，|x＋b|＝|－x＋b|，解得b＝0.
(2)记h(x)＝|x＋b|＝
①当a＞1时，f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，
即h(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，
∴－b≤2，b≥－2.
②当0＜a＜1时，f(x)
( http: / / www.21cnjy.com )在区间[2，＋∞)上是增函数，即h(x)在区间[2，＋∞)上是减函数，但h(x)在区间[－b，＋∞)上是增函数，故不存在a，b的值，使f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数．
∴f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数时，a，b应满足的条件为a＞1且b≥－2.
B组　专项能力提升
(时间：20分钟)
11．(2016·课标全国Ⅲ)已知a＝2，b＝4，c＝25，则(　　)
A．b＜a＜c
B．a＜b＜c
C．b＜c＜a
D．c＜a＜b
【解析】
因为a＝2＝4，c＝25＝5，函数y＝x在(0，＋∞)上单调递增，所以4＜5，即a＜c，又因为函数y＝4x在R上单调递增，所以4＜4，即b＜a，所以b＜a＜c，故选A.
【答案】
A
12．已知实数a，b满足等式eq
\s\up12(a)＝，下列五个关系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b.其中不可能成立的关系式有(　　)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【解析】
函数y1＝与y2＝的图象如图所示．由＝得a＜b＜0或0＜b＜a或a＝b＝0.
故①②⑤可能成立，③④不可能成立．
【答案】
B
13．(2017·福建四地六校联考)y＝2·a|x－1|－1(a＞0，a≠1)过定点________．
【解析】
由题根据指数函数性质令|x－1|＝0，可得x＝1，此时y＝1，所以函数恒过定点(1，1)．
【答案】
(1，1)
14．(2017·皖北协作区联考)函数f(x)＝的值域为________．
【解析】
由1－ex≥0，ex≤1，故函数
( http: / / www.21cnjy.com )f(x)的定义域为{x|x≤0}．所以0＜ex≤1，－1≤－ex＜0，0≤1－ex＜1，函数f(x)的值域为[0，1)．
【答案】
[0，1)
15．(2017·广元模拟)已知定义在实数集R上的奇函数f(x)有最小正周期2，且当x∈(0，1)时，f(x)＝.
(1)求函数f(x)在(－1，1)上的解析式；
(2)判断f(x)在(0，1)上的单调性；
(3)当λ取何值时，方程f(x)＝λ在(－1，1)上有实数解？
【解析】
(1)∵f(x)是x∈R上的奇函数，∴f(0)＝0.
设x∈(－1，0)，则－x∈(0，1)，
f(－x)＝＝＝－f(x)，
∴f(x)＝－，∴f(x)＝
(2)设0＜x1＜x2＜1，
f(x1)－f(x2)＝
＝，
∵0＜x1＜x2＜1，∴2x1＜2x2，2x1＋x2＞20＝1，
∴f(x1)－f(x2)＞0，∴f(x)在(0，1)上为减函数．
(3)∵f(x)在(0，1)上为减函数，
∴＜f(x)＜，即f(x)∈.
同理，f(x)在(－1，0)上时，f(x)∈.
又f(0)＝0，当λ∈∪，
或λ＝0时，方程f(x)＝λ在x∈(－1，1)上有实数解．( http: / / www.21cnjy.com )
A组　专项基础训练
(时间：30分钟)
1．(2015·陕西)“sin
α＝cos
α”是“cos
2α＝0”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】
sin
α＝cos
α cos
2α＝cos2α－sin2α＝0；
cos
2α＝0 cos
α＝±sin
α /
sin
α＝cos
α，故选A.
【答案】
A
2．(2016·抚顺模拟)已知sin
2α＝，则cos2＝(　　)
A.　　　　　　　　　　　B.
C．－
D．－
【解析】
cos2＝＝＝＝.
【答案】
B
3．若α∈，且3cos
2α＝sin，则sin
2α的值为(　　)
A.
B．－
C.
D．－
【解析】
cos
2α＝sin＝sin
＝2sincos
代入原式，得
6sincos＝sin，
∵α∈，∴cos＝，
∴sin
2α＝cos
＝2cos2－1＝－.
【答案】
D
4．(2017·成都第一次诊断性检测)若sin
2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是(　　)
A.
B.
C.或
D.或
【解析】
∵α∈，∴2α∈.
∵sin
2α＝，∴2α∈，
∴α∈，cos
2α＝－.
∵β∈，∴β－α∈，
∴cos(β－α)＝－，
∴cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]
＝cos
2αcos(β－α)－sin
2αsin(β－α)
＝×－×＝.
又∵α＋β∈，
∴α＋β＝.
【答案】
A
5．(2016·菏泽期末)函数f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)的图象关于点对称，则f(x)的单调递增区间为(　　)
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
【解析】
∵f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)
＝2sin，
由题意知2×＋θ＋＝kπ(k∈Z)，
∴θ＝kπ－π(k∈Z)．
∵|θ|＜，∴θ＝.
∴f(x)＝2sin.
由2kπ－≤2x＋π≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－π≤x≤kπ－(k∈Z)．故选C.
【答案】
C
6．已知tan＝3，则sin
2θ－2cos2θ的值为________．
【解析】
∵tan＝3，
∴＝3，解得tan
θ＝.
∴sin
2θ－2cos2θ
＝
＝
＝＝－.
【答案】
－
7．(2016·东北三省四市教研联合体)已知tan(3π－x)＝2，则＝________．
【解析】
由诱导公式得tan(3π－x)＝－tan
x＝2，
故＝＝＝－3.
【答案】
－3
8．(2015·北京西城一模)若锐角α，β满足(1＋tan
α)(1＋tan
β)＝4，则α＋β＝________．
【解析】
因为(1＋tan
α)(1＋tan
β)＝4，
所以1＋(tan
α＋tan
β)＋3tan
αtan
β＝4，
即(tan
α＋tan
β)＝3－3tan
αtan
β＝3(1－tan
αtan
β)，
即tan
α＋tan
β＝(1－tan
αtan
β)．
∴tan(α＋β)＝＝.
又∵α，β为锐角，∴α＋β＝.
【答案】
9．(2016·沈阳质检)已知函数f(x)＝2sin
xsin.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)当x∈时，求函数f(x)的值域．
【解析】
(1)f(x)＝2sin
x＝×＋sin
2x＝sin＋.
所以函数f(x)的最小正周期为T＝π.
由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递增区间是，k∈Z.
(2)当x∈时，2x－∈，
sin∈，
f(x)∈.
故f(x)的值域为.
B组　专项能力提升
(时间：20分钟)
10．设α∈，β∈，且tan
α＝，则(　　)
A．3α－β＝
B．2α－β＝
C．3α＋β＝
D．2α＋β＝
【解析】
由tan
α＝得＝，
即sin
αcos
β＝cos
α＋cos
αsin
β，
∴sin(α－β)＝cos
α＝sin.
∵α∈，β∈，
∴α－β∈，－α∈，
由sin(α－β)＝sin，得α－β＝－α，
∴2α－β＝.
【答案】
B
11．定义运算＝ad－bc，若cos
α＝，＝，0＜β＜α＜，则β等于(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】
依题意有sin
αcos
β－cos
αsin
β＝sin(α－β)＝，
又0＜β＜α＜，∴0＜α－β＜，
故cos(α－β)＝＝，
而cos
α＝，∴sin
α＝，
于是sin
β＝sin[α－(α－β)]
＝sin
αcos(α－β)－cos
αsin(α－β)
＝×－×＝，
故β＝，故选D.
【答案】
D
12．(2017·河南百校联盟教学质量监测)已知函数f(x)＝|sin
x|＋|cos
x|，则下列结论中错误的是(　　)
A．f(x)是周期函数
B．f(x)图象的对称轴方程为x＝，k∈Z
C．f(x)在区间上为增函数
D．方程f(x)＝在区间上有6个根
【解析】
因为f＝＋＝|sin
x|＋|cos
x|＝f(x)，所以f(x)是周期为的函数．因为f(x)为偶函数，所以f(x)图象的对称轴方程为x＝，k∈Z，故A，B项正确．当x∈时，f(x)＝sin
x＋cos
x＝sin，作出函数f(x)的部分图象如图所示，由图象可知C项错误，D项正确．
【答案】
C
13．设x∈，则函数y＝的最小值为________．
【解析】
方法一
因为y＝＝，
所以令k＝.又x∈，
所以k就是单位圆x2＋y2＝1的左半圆上的动点
P(－sin
2x，cos
2x)与定点Q(0，2)所成直线的斜率．
又kmin＝tan
60°＝，
所以函数y＝的最小值为.
方法二
y＝＝
＝＝tan
x＋.
∵x∈，∴tan
x＞0.
∴tan
x＋≥2
＝.
即函数的最小值为.
【答案】
14．(2016·北京)已知函数f(x)＝2sin
ωxcos
ωx＋cos
2ωx(ω＞0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)求f(x)的单调递增区间．
【解析】
(1)因为f(x)＝2sin
ωxcos
ωx＋cos
2ωx
＝sin
2ωx＋cos
2ωx
＝sin，
所以f(x)的最小正周期T＝＝.
依题意，＝π，解得ω＝1.
(2)由(1)知f(x)＝sin.
函数y＝sin
x的单调递增区间为(k∈Z)．
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．( http: / / www.21cnjy.com )
A组　专项基础训练
(时间：35分钟)
1．设O是正方形ABCD的中心，则向量，，，是(　　)
A．相等的向量　　　　　　　　B．平行的向量
C．有相同起点的向量
D．模相等的向量
【解析】
这四个向量的模相等．
【答案】
D
2．(2017·广西南宁质检)已知a，b是两个单位向量，下列命题中错误的是(　　)
A．|a|＝|b|＝1
B．a·b＝1
C．当a，b反向时，a＋b＝0
D．当a，b同向时，a＝b
【解析】
a，b是两个单位向量，即模为1的向
( http: / / www.21cnjy.com )量，对于A，|a|＝|b|＝1，正确；对于B，a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉＝cos〈a，b〉，错误；对于C，当a，b反向时，a＋b＝0，正确；对于D，当a，b同向时，a＝b，正确．故选B.
【答案】
B
3．(2015·深圳调研)在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝3DC，E为BC的中点，则等于(　　)
A.＋
B.＋
C.＋
D.＋
【解析】
＝＋＋＝－＋，
＝＋＝＋＝＋＝＋.
【答案】
A
4．(2017·湖北黄冈调研)已知向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，a⊥b，(a－b)⊥c，M＝＋＋，则M＝(　　)
A．3
B．3
C．2＋
D．1＋
【解析】
根据条件，作＝a，＝b，⊥eq
\o(OB,\s\up6(→)).以OA，OB为邻边作矩形OACB，则＝－c，如图所示，则＝－＝a－b，∵(a－b)⊥c，＝－c，
∴⊥，即BA⊥OC，
∴矩形OACB为正方形，设其边长为1，则|a|＝1，|b|＝1，|c|＝，∴M＝＋＋＝1＋＋＝1＋.
【答案】
D
5．(2017·河南登封调研)设a，b是两个非零的平面向量，给出下列说法：
①若a·b＝0，则有|a＋b|＝|
( http: / / www.21cnjy.com )a－b|；②|a·b|＝|a||b|；③若存在实数λ，使a＝λb，则|a＋b|＝|a|＋|b|；④若|a＋b|＝|a|＋|b|，则存在实数λ，使得a＝λb.其中正确说法的个数是(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】
①若a·b＝0，则有|a
( http: / / www.21cnjy.com )＋b|＝|a－b|＝，正确；②因为|a·b|＝|a||b||cos〈a，b〉|≤|a||b|，所以不正确．③若存在实数λ，使a＝λb，则|a＋b|＝|λb＋b|＝|λ＋1||b|，|a|＋|b|＝|λb|＋|b|＝(|λ|＋1)|b|，当λ＜0时，|a＋b|≠|a|＋|b|，所以不正确；④因为|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a与b同向时，|a＋b|＝|a|＋|b|，所以存在实数λ，使得a＝λb，正确．所以正确说法的个数是2.故选B.
【答案】
B
6．(2017·浙江杭州模拟)在梯形A
( http: / / www.21cnjy.com )BCD中，AB＝CD，AB∥CD，点P为梯形所在平面内一点，满足：＋＋＋＝＋，若△ABC的面积为1，则△PCD的面积为________．
【解析】
由＋＋＋＝＋＝－＋－，得＋＝0，所以P点是AC的中点，所以h△PCD＝h△ABC.因为AB＝CD，AB∥CD，所以S△PCD＝S△ABC＝1.
【答案】
1
7．(2016·包头模拟)如图，在△ABC中，AH⊥BC交BC于H，M为AH的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________．
【解析】
∵＝(＋)＝[＋x(－)]＝[(1＋x)－x]，又∵＝λ＋μ，∴1＋x＝2λ，2μ＝－x，∴λ＋μ＝.
【答案】
8．(2017·天水模拟)△ABC所在的平面内有一点P，满足＋＋＝，则△PBC与△ABC的面积之比是________．
【解析】
因为＋＋＝，所以eq
\o(PA,\s\up6(→))＋＋＝－，所以＝－2＝2，即P是AC边的一个三等分点，且PC＝AC，由三角形的面积公式可知，＝＝.
【答案】
9．在△ABC中，D、E分别为BC、AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设＝a，＝b，试用a，b表示，.
【解析】
＝(＋)＝a＋b.
＝＋＝＋＝＋(＋)
＝＋(－)
＝＋
＝a＋b.
10．设两个非零向量e1和e2不共线．
(1)如果＝e1－e2，＝3e1＋2e2，＝－8e1－2e2，求证：A、C、D三点共线；
(2)如果＝e1＋e2，＝2e1－3e2，＝2e1－ke2，且A、C、D三点共线，求k的值．
【解析】
(1)证明
∵＝e1－e2，＝3e1＋2e2，
＝－8e1－2e2，
∴＝＋＝4e1＋e2
＝－(－8e1－2e2)＝－，
∴与共线．
又∵与有公共点C，∴A、C、D三点共线．
(2)＝＋＝(e1＋e2)＋(2e1－3e2)＝3e1－2e2，
∵A、C、D三点共线，
∴与共线，从而存在实数λ使得＝λ，
即3e1－2e2＝λ(2e1－ke2)，
得解得λ＝，k＝.
B组　专项能力提升
(时间：15分钟)
11．(2017·四川泸州检测)已知D为△ABC的边BC的中点，△ABC所在平面内有一个点P，满足＝＋，则的值为(　　)
A．1
B.
C.
D．2
【解析】
因为＝＋，所以PA必
( http: / / www.21cnjy.com )为以PB，PC为邻边的平行四边形的对角线．因为D为边BC的中点，所以D为PA的中点，所以的值为1.故选A.
【答案】
A
12．(2017·宁夏银川九中模拟)
( http: / / www.21cnjy.com )设点M是线段BC上的点，点A在直线BC外，2＝16，|＋|＝|－|，＋＝2，则||＝(　　)
A．2
B．4
C．6
D．8
【解析】
由|＋|＝|－|，＋＝2，得⊥，M为BC的中点．又2＝16，所以||＝4，所以||＝2，故选A.
【答案】
A
13．(2017·安徽十校3月联考)已知A、B、C三点不共线，且＝－＋2，则＝(　　)
A.
B.
C．6
D.
【解析】
如图，取＝－，＝2，以AM，AN为邻边作平行四边形AMDN，
此时＝－＋2.
由图可知S△ABD＝3S△AMD，S△ACD＝S△AND，
而S△AMD＝S△AND，
∴＝6，故选C.
【答案】
C
14．在 ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝________．(用a，b表示)
【解析】
由＝3得＝＝(a＋b)，
＝a＋b，所以＝－
＝(a＋b)－＝－a＋b.
【答案】
－a＋b
15．(2017·山西晋
( http: / / www.21cnjy.com )中四校联考)在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________．
【解析】
方法一
如图．
∵四边形ABCD为平行四边形，且E、F分别为CD、BC的中点，
∴＝＋＝(－)＋(－)
＝(＋)－(＋)＝(＋)－，
∴＝(＋)，∴λ＝μ＝，∴λ＋μ＝.
方法二
(回路法)：连接EF交AC于M.
因为E、F分别为CD、BC的中点，
所以点M为AC的四等分点，且＝，
又＝λ＋μ，
所以＝λ＋μ.
因为M、E、F三点共线，所以(λ＋μ)＝1，
所以λ＋μ＝.
【答案】( http: / / www.21cnjy.com )
A组　专项基础训练
(时间：40分钟)
1．若直线mx＋ny＝4与⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数是(　　)
A．至多为1　　　　　　　　　B．2
C．1
D．0
【解析】
由题意知：>2，即<2，
∴点P(m，n)在椭圆＋＝1的内部，
故所求交点个数是2.
【答案】
B
2．直线y＝x＋3与双曲线－＝1的交点个数是(　　)
A．1
B．2
C．1或2
D．0
【解析】
因为直线y＝x＋3与双曲线的渐近线y＝x平行，所以它与双曲线只有1个交点．
【答案】
A
3．已知椭圆C的方程为＋＝1(m＞0)，如果直线y＝x与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F，则m的值为(　　)
A．2
B．2
C．8
D．2
【解析】
根据已知条件得c＝，则点(，)在椭圆＋＝1(m＞0)上，
∴＋＝1，可得m＝2.
【答案】
B
4．(2017·丽水一模)斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为(　　)
A．2
B.
C.
D.
【解析】
设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
直线l的方程为y＝x＋t，
由消去y，
得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0，
则x1＋x2＝－t，x1x2＝.
∴|AB|＝|x1－x2|
＝·
＝·
＝·，
当t＝0时，|AB|max＝.
【答案】
C
5．过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们到直线x＝－2的距离之和等于5，则这样的直线(　　)
A．有且仅有一条
B．有且仅有两条
C．有无穷多条
D．不存在
【解析】
抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1，0)，
准线方程为x＝－1，设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则A，B到直线x＝－1的距离之和为x1＋x2＋2.
设直线方程为x＝my＋1，代入抛物线y2＝4x，
则y2＝4(my＋1)，即y2－4my－4＝0，
∴x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2＝4m2＋2.
∴x1＋x2＋2＝4m2＋4≥4.
∴A，B到直线x＝－2的距离之和x1＋x2＋2＋2≥6>5.
∴满足题意的直线不存在．
【答案】
D
6．(2017·大连名校联考)已知斜率为2的直线经过椭圆＋＝1的右焦点F1，与椭圆相交于A，B两点，则弦AB的长为________．
【解析】
由题意知，椭圆的右焦点F1的坐标为(1，0)，直线AB的方程为y＝2(x－1)．
由方程组消去y，整理得3x2－5x＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由根与系数的关系，得x1＋x2＝，x1x2＝0.
则|AB|＝
＝
＝
＝.
【答案】
7．(2017·安顺月考)在抛物线y＝x2上关于直线y＝x＋3对称的两点M，N的坐标分别为________．
【解析】
设直线MN的方程为y＝－x＋b，
代入y＝x2中，
整理得x2＋x－b＝0，令Δ＝1＋4b＞0，
∴b＞－.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－1，
＝－＋b＝＋b，
由在直线y＝x＋3上，
即＋b＝－＋3，解得b＝2，
联立得
解得
【答案】
(－2，4)，(1，1)
8．(2017·江苏盐城模拟)
( http: / / www.21cnjy.com )设椭圆＋＝1(m＞0，n＞0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的短轴长为________．
【解析】
由题意可得，抛物线y2＝
( http: / / www.21cnjy.com )8x的焦点为(2，0)，∴c＝2.∵椭圆的离心率为，∴a＝4，∴b＝＝2，即n＝2，∴椭圆的短轴长为4.
【答案】
4
9．设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左，右焦点，过F1且斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．
(1)求E的离心率；
(2)设点P(0，－1)满足|PA|＝|PB|，求E的方程．
【解析】
(1)由椭圆定义知|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a，
又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝a，
l的方程为y＝x＋c，其中c＝.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
( http: / / www.21cnjy.com )则A，B两点的坐标满足方程组消去y，化简得(a2＋b2)x2＋2a2cx＋a2(c2－b2)＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝.
因为直线AB的斜率为1，所以|AB|＝|x2－x1|＝，即a＝，故a2＝2b2，
所以E的离心率e＝＝＝.
(2)设AB的中点为N(x0，y0)，由(1)知
x0＝＝＝－，y0＝x0＋c＝.
由|PA|＝|PB|，得kPN＝－1，即＝－1，
得c＝3，从而a＝3，b＝3.
故椭圆E的方程为＋＝1.
10．(2017·山西山大附
( http: / / www.21cnjy.com )中模拟)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，短轴两个端点为A，B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形．
(1)求椭圆方程；
(2)若C，D分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于点P，证明：·为定值．
【解析】
(1)由题意知a＝2，b＝c，
∵a2＝b2＋c2，
∴b2＝2.
∴椭圆方程为＋＝1.
(2)证明
由题意知C(－2，0)，D(2，0)，
设M(2，y0)，P(x1，y1)，
则＝(x1，y1)，＝(2，y0)．
直线CM：＝，
即y＝x＋y0.
代入椭圆x2＋2y2＝4，
得eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(y,8)))x2＋yx＋y－4＝0.
∵x1·(－2)＝eq
\f(4（y－8）,y＋8)，
∴x1＝－eq
\f(2（y－8）,y＋8)，
∴y1＝eq
\f(8y0,y＋8).
∴＝eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2（y－8）,y＋8)，\f(8y0,y＋8))).
∴·＝－eq
\f(4（y－8）,y＋8)＋eq
\f(8y,y＋8)＝eq
\f(4y＋32,y＋8)＝4(定值)．
B组　专项能力提升
(时间：25分钟)
11．(2017·大连双基测试
( http: / / www.21cnjy.com ))过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的直线l与抛物线交于B，C两点，l与抛物线准线交于点A，且|AF|＝6，＝2，则|BC|等于(　　)
A.
B．6
C.
D．8
【解析】
不妨设直线l的倾斜角为θ，其中0
( http: / / www.21cnjy.com )＜θ＜，点B(x1，y1)，C(x2，y2)，则点B在x轴的上方，过点B作该抛物线的准线的垂线，垂足为B1，于是有|BF|＝|BB1|＝3，＝，由此得p＝2，抛物线方程是y2＝4x，焦点F(1，0)，cos
θ＝＝＝＝，sin
θ＝＝，tan
θ＝＝2，直线l：y＝2(x－1)．由消去y，得2x2－5x＋2＝0，x1＋x2＝，|BC|＝x1＋x2＋p＝＋2＝，选A.
【答案】
A
12．(2017·绵阳中学月考)
( http: / / www.21cnjy.com )已知抛物线E：y2＝2px(p＞0)经过圆F：x2＋y2－2x＋4y－4＝0的圆心，则抛物线E的准线与圆F相交所得的弦长为________．
【解析】
圆的标准方程为(x
( http: / / www.21cnjy.com )－1)2＋(y＋2)2＝32，圆心为F(1，－2)．代入抛物线方程可得p＝2，所以其准线方程为x＝－1.圆心到直线x＝－1的距离d＝2，所以抛物线E的准线与圆F相交所得的弦长为2＝2.
【答案】
2
13．(2017·西安中学模
( http: / / www.21cnjy.com )拟)如图，过抛物线y＝x2的焦点F的直线l与抛物线和圆x2＋(y－1)2＝1交于A，B，C，D四点，则·＝________．
【解析】
不妨设直线AB的方程为y＝1，联立
( http: / / www.21cnjy.com )解得x＝±2，则A(－2，1)，D(2，1)，因为B(－1，1)，C(1，1)，所以＝(1，0)，＝(－1，0)，所以·＝－1.
【答案】
－1
14．设抛物线y2＝8x的焦点为F，
( http: / / www.21cnjy.com )准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝________．
【解析】
直线AF的方程为y＝－(x－2)，
联立
得y＝4，所以P(6，4)．
由抛物线的性质可知|PF|＝6＋2＝8.
【答案】
8
15．(2017·湖北八校4月联考)已知抛物线x2＝2py上点P处的切线方程为x－y－1＝0.
(1)求抛物线的方程；
(2)设A(x1，y1)和B(
( http: / / www.21cnjy.com )x2，y2)为抛物线上的两个动点，其中y1≠y2且y1＋y2＝4，线段AB的垂直平分线l与y轴交于点C，求△ABC面积的最大值．
【解析】
(1)设点Peq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，\f(x,2p)))，
由x2＝2py得y＝，则y′＝，
因为点P处的切线的斜率为1，
所以＝1且x0－eq
\f(x,2p)－1＝0，解得p＝2，
所以抛物线的方程为x2＝4y.
(2)设线段AB的中点为M(x0，2)，
则x0＝，
kAB＝＝eq
\f(\f(x,4)－\f(x,4),x2－x1)＝(x1＋x2)＝，
∴直线l的方程为y－2＝－(x－x0)，
即2x＋x0(－4＋y)＝0，
∴l过定点(0，4)，即C(0，4)．
直线AB的方程为y－2＝(x－x0)．
由 x2－2x0x＋2x－8＝0，
则Δ＝4x－4(2x－8)＞0 －2＜x0＜2，
x1＋x2＝2x0，x1x2＝2x－8，
则|AB|＝
eq
\r(1＋\f(x,4))|x1－x2|
＝
eq
\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(x,4)))（32－4x）)
＝eq
\r(（4＋x）（8－x）)，
C(0，4)到AB的距离d＝|CM|＝eq
\r(x＋4)，
∴S△ABC＝|AB|·d
＝
eq
\r(（4＋x）2（8－x）)
＝
eq
\r(\f(1,2)（x＋4）（x＋4）（16－2x）)≤
＝8，
当且仅当x＋4＝16－2x，即x0＝±2时取等号，
∴S△ABC的最大值为8.( http: / / www.21cnjy.com )
A组　专项基础训练
(时间：35分钟)
1．(2016·课标全国Ⅱ)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝(　　)
A．－　　　　　　　　　　B．－
C.
D．2
【解析】
圆的方程可化为
( http: / / www.21cnjy.com )(x－1)2＋(y－4)2＝4，则圆心坐标为(1，4)，圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为＝1，解得a＝－.故选A.
【答案】
A
2．(2016·北京)圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心到直线y＝x＋3的距离为(　　)
A．1
B．2
C.
D．2
【解析】
由题知圆心坐标为(－1，0)，将直线y＝x＋3化成一般形式为x－y＋3＝0，故圆心到直线的距离d＝＝.故选C.
【答案】
C
3．(2016·石家庄一检)若圆C的半径为1，点C与点(2，0)关于点(1，0)对称，则圆C的标准方程为(　　)
A．x2＋y2＝1
B．(x－3)2＋y2＝1
C．(x－1)2＋y2＝1
D．x2＋(y－3)2＝1
【解析】
因为点C与点(2，0)关于点(1，0)对称，故由中点坐标公式可得C(0，0)，所以所求圆的标准方程为x2＋y2＝1.
【答案】
A
4．(2015·全国卷Ⅱ)已知三点A(1，0)，B(0，)，C(2，)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】
设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则解得
∴△ABC外接圆的圆心为，故△ABC外接圆的圆心到原点的距离为＝.
【答案】
B
5．(2016·绥化重点中学联考)圆心在曲线y＝(x＞0)上，且与直线2x＋y＋1＝0相切的面积最小的圆的方程为(　　)
A．(x－1)2＋(y－2)2＝5
B．(x－2)2＋(y－1)2＝5
C．(x－1)2＋(y－2)2＝25
D．(x－2)2＋(y－1)2＝25
【解析】
由圆心在曲线y＝(x＞0)上，
设圆心坐标为，a＞0.
又圆与直线2x＋y＋1＝0相切，所以圆心到直线的距离d＝≥＝，
当且仅当2a＝，即a＝1时取等号，
所以圆心坐标为(1，2)，
圆的半径的最小值为，
则所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5.
【答案】
A
6．(2016·福建师大附中联考)与圆C：x2＋y2－2x＋4y＝0外切于原点，且半径为2的圆的标准方程为________．
【解析】
所求圆的圆心在直线y＝－2x
( http: / / www.21cnjy.com )上，所以可设所求圆的圆心为(a，－2a)(a＜0)，又因为所求圆与圆C：x2＋y2－2x＋4y＝0外切于原点，且半径为2，所以＝2，可得a2＝4，则a＝－2或a＝2(舍去)．所以所求圆的标准方程为(x＋2)2＋(y－4)2＝20.
【答案】
(x＋2)2＋(y－4)2＝20
7．已知圆O：x2＋y2＝1，直线x－2y＋5＝0上动点P，过点P作圆O的一条切线，切点为A，则·的最小值为________．
【解析】
圆心O到直线x－2y＋5＝0的距离为＝，
即||min＝.
∵PA与圆O相切，∴PA⊥OA，即·＝0，
∴·＝(＋)·＝2＝||2－||2≥5－1＝4.
【答案】
4
8．(2016·山东烟台一模)已知直线l：x
( http: / / www.21cnjy.com )－y＋4＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，圆C上各点到直线l的距离的最小值为a，最大值为b，则a＋b＝________．
【解析】
由圆的标准方程
( http: / / www.21cnjy.com )得圆心C的坐标为(1，1)，半径r＝，则圆心(1，1)到直线l的距离d＝＝2＞＝r，所以直线l与圆C相离，则圆C上各点到l的距离的最小值a＝d－r＝2－＝，最大值b＝d＋r＝2＋＝3，故a＋b＝4.
【答案】
4
9．一圆经过A(4，2)，B(－1，3)两点，且在两坐标轴上的四个截距的和为2，求此圆的方程．
【解析】
设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，所以x1＋x2＝－D.
令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，所以y1＋y2＝－E.
由题意知－D－E＝2，即D＋E＋2＝0.①
又因为圆过点A、B，所以16＋4＋4D＋2E＋F＝0.②
1＋9－D＋3E＋F＝0.③
解①②③组成的方程组得D＝－2，E＝0，F＝－12.
故所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0.
10．在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2.
(1)求圆心P的轨迹方程；
(2)若P点到直线y＝x的距离为，求圆P的方程．
【解析】
(1)设P(x，y)，圆P的半径为r.
则y2＋2＝r2，x2＋3＝r2.
∴y2＋2＝x2＋3，即y2－x2＝1.
∴P点的轨迹方程为y2－x2＝1.
(2)设P的坐标为(x0，y0)，
则＝，即|x0－y0|＝1.
∴y0－x0＝±1，即y0＝x0±1.
①当y0＝x0＋1时，由y－x＝1得(x0＋1)2－x＝1.
∴∴r2＝3.
∴圆P的方程为x2＋(y－1)2＝3.
②当y0＝x0－1时，由y－x＝1得(x0－1)2－x＝1.
∴∴r2＝3.
∴圆P的方程为x2＋(y＋1)2＝3.
综上所述，圆P的方程为x2＋(y±1)2＝3.
B组　专项能力提升
(时间：30分钟)
11．(2016·深圳五校联考)已知直线l
( http: / / www.21cnjy.com )：x＋my＋4＝0，若曲线x2＋y2＋2x－6y＋1＝0上存在两点P，Q关于直线l对称，则m的值为(　　)
A．2
B．－2
C．1
D．－1
【解析】
因为曲线x2＋y2
( http: / / www.21cnjy.com )＋2x－6y＋1＝0是圆(x＋1)2＋(y－3)2＝9，若圆(x＋1)2＋(y－3)2＝9上存在两点P，Q关于直线l对称，则直线l：x＋my＋4＝0过圆心(－1，3)，所以－1＋3m＋4＝0，解得m＝－1.
【答案】
D
12．(2016·济南模拟)已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为(　　)
A．(x＋2)2＋(y－2)2＝1
B．(x－2)2＋(y＋2)2＝1
C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝1
D．(x－2)2＋(y－2)2＝1
【解析】
设圆C1的圆心坐标C1
( http: / / www.21cnjy.com )(－1，1)关于直线x－y－1＝0的对称点为(a，b)，依题意得解得所以圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1.
【答案】
B
13．(2016·浙江)已知a∈
( http: / / www.21cnjy.com )R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．
【解析】
方程a2x2＋(a
( http: / / www.21cnjy.com )＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则a2＝a＋2，故a＝－1或2.当a＝2时，方程为4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，即x2＋y2＋x＋2y＋＝0，亦即＋(y＋1)2＝－，不成立，故舍去；当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，即(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，故圆心为(－2，－4)，半径为5.
【答案】
(－2，－4)　5
14．已知定点A(0，1)，B(0，－1)，C(1，0)，动点P满足：·＝k||2.
(1)求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线类型；
(2)当k＝2时，求|2＋|的最大值、最小值．
【解析】
(1)设动点坐标为P(x，y)，
则＝(x，y－1)，＝(x，y＋1)，＝(1－x，－y)．
因为·＝k||2，所以x2＋y2－1＝k[(x－1)2＋y2]，
整理得(1－k)x2＋(1－k)y2＋2kx－k－1＝0.
若k＝1，则方程为x＝1，表示过点(k，0)且平行于y轴的直线．
若k≠1，则方程为＋y2＝.
表示以为圆心，以为半径的圆．
(2)最大值为3＋，最小值为－3.
15．(2017·河南中原
( http: / / www.21cnjy.com )名校第三次联考)已知圆C的方程为x2＋(y－4)2＝1，直线l的方程为2x－y＝0，点P在直线l上，过点P作圆C的切线PA，PB，切点为A，B.
(1)若∠APB＝60°，求点P的坐标；
(2)求证：经过A，P，C(其中点C为圆C的圆心)三点的圆必经过定点，并求出所有定点的坐标．
【解析】
(1)由条件可得圆C的圆
( http: / / www.21cnjy.com )心坐标为(0，4)，PC＝2，设P(a，2a)，则＝2，解得a＝2或a＝，所以点P的坐标为(2，4)或.
(2)设P(a，2a)，过
( http: / / www.21cnjy.com )点A，P，C的圆即是以PC为直径的圆，其方程为x(x－a)＋(y－4)(y－2a)＝0，整理得x2＋y2－ax－4y－2ay＋8a＝0，即(x2＋y2－4y)－a(x＋2y－8)＝0.
由得或
∴该圆必经过定点(0，4)和.( http: / / www.21cnjy.com )
A组　专项基础训练
(时间：35分钟)
1．函数y＝cos的部分图象可能是(　　)
【解析】
∵y＝cos，∴当2x－＝0，
即x＝时，函数取得最大值1，结合图象看，可使函数在x＝时取得最大值的只有D.
【答案】
D
2．(2016·课标全国Ⅱ)函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(　　)
A．y＝2sin
B．y＝2sin
C．y＝2sin
D．y＝2sin
【解析】
由图易知A＝2，因为周期
( http: / / www.21cnjy.com )T满足＝－，所以T＝π，ω＝＝2.由x＝时，y＝2可知2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，所以φ＝－＋2kπ(k∈Z)，结合选项可知函数解析式为y＝2sin.
【答案】
A
3．(2016·天津)已知函
( http: / / www.21cnjy.com )数f(x)＝sin2＋sin
ωx－(ω＞0)，x∈R.若f(x)在区间(π，2π)内没有零点，则ω的取值范围是(　　)
A.
B.∪
C.
D.∪
【解析】
f(x)＝＋sin
ωx－＝·(sin
ωx－cos
ωx)＝sin，
∵x∈(π，2π)，ω＞0，∴ωx－∈，
∵f(x)在区间(π，2π)内没有零点，∴有以下两种情况：
① (2kπ，2kπ＋π)，k∈Z，
则有k∈Z，
得ω∈，k∈Z，
当k＝0时，ω∈；
② (2kπ＋π，2kπ＋2π)，k∈Z，
则有k∈Z，
得ω∈，k∈Z，
当k＝－1时，ω∈，
又ω＞0，∴ω∈.
综上，ω∈∪，故选D.
【答案】
D
4．(2016·沈阳质检)已
( http: / / www.21cnjy.com )知曲线f(x)＝sin
ωx＋cos
ωx(ω＞0)相邻的两条对称轴之间的距离为，且曲线关于点(x0，0)中心对称，若x0∈，则x0等于(　　)
A.　　　　　　　　　　B.
C.
D.
【解析】
f(x)＝sin
ωx＋cos
ωx
＝2
＝2sin.
∵曲线f(x)＝2sin相邻的两条对称轴之间的距离为，
∴最小正周期T＝π＝，
∴ω＝2，
∴f(x)＝2sin.
∵曲线关于点(x0，0)中心对称；
∴2x0＋＝kπ(k∈Z)，
∴x0＝－(k∈Z)，
又x0∈，∴x0＝.
【答案】
C
5．(2016·开封模拟)函数f(x)＝A
( http: / / www.21cnjy.com )sin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象如图所示，为了得到这个函数的图象，只需将y＝sin
x(x∈R)的图象上所有的点(　　)
A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变
B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变
C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变
D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变
【解析】
由图象可知f(x)＝sin，由y＝sin
x的图象先左移个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变．
【答案】
C
6．电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I＝Asin(ωt＋φ)的图象如右图所示，则当t＝秒时，电流强度是________安．
【解析】
由图象知A＝10，＝－＝，
∴ω＝＝100π，∴I＝10sin(100πt＋φ)．
∵图象过点，
∴10sin＝10，
∴sin＝1，＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
∴φ＝2kπ＋，k∈Z，又∵0＜φ＜，∴φ＝.
∴I＝10sin，
当t＝秒时，I＝－5安．
【答案】
－5
7．(2016·全国卷Ⅲ)函数y＝sin
x－cos
x的图象可由函数y＝2sin
x的图象至少向右平移________个单位长度得到．
【解析】
函数y＝sin
x－cos
x＝2sin的图象可由函数y＝2sin
x的图象至少向右平移个单位长度得到．
【答案】
8．(2015·忻州市高三
( http: / / www.21cnjy.com )联考)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图象如图所示．若方程f(x)＝m在区间[0，π]上有两个不同的实数x1，x2，则x1＋x2的值为________．
【解析】
由图象可知y＝m和y＝f(x)图象的两个交点关于直线x＝或x＝π对称，
∴x1＋x2＝或π.
【答案】
或π
9．(2015·天津)已知函数f(x)＝sin2x－sin2，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
【解析】
(1)由已知，
有f(x)＝－
＝－cos
2x
＝sin
2x－cos
2x＝sin.
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)因为f(x)在区间上是减函数，在区间上是增函数，且f＝－，
f＝－，f＝，
所以f(x)在区间上的最大值为，最小值为－.
10．(2016·青岛模拟)
( http: / / www.21cnjy.com )已知函数f(x)＝4cos
ωx·sin＋a(ω＞0)图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为π.
(1)求a和ω的值；
(2)求函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间．
【解析】
(1)f(x)＝4cos
ωx·sin＋a
＝4cos
ωx·＋a
＝2sin
ωxcos
ωx＋2cos2ωx－1＋1＋a
＝sin
2ωx＋cos
2ωx＋1＋a
＝2sin＋1＋a.
当sin＝1时，f(x)取得最大值2＋1＋a＝3＋a，
又f(x)图象上最高点的纵坐标为2，
∴3＋a＝2，∴a＝－1.
又f(x)图象上相邻两个最高点的距离为π，∴f(x)的最小正周期T＝π，∴2ω＝＝2，∴ω＝1.
(2)由(1)得f(x)＝2sin，
由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
令k＝0，得≤x≤，
∴函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间为.
B组　专项能力提升
(时间：20分钟)
11．(2016·课标全国Ⅰ)将函数y＝2sin的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为(　　)
A．y＝2sin
B．y＝2sin
C．y＝2sin
D．y＝2sin
【解析】
该函数的周期为π，将其图象向右平移个单位后，得到的图象对应的函数为y＝2sin
＝2sin，故选D.
【答案】
D
12．(2016·宁夏大学附
( http: / / www.21cnjy.com )中第三次月考)已知函数f(x)＝sin
ωx＋cos
ωx(ω＞0)的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，把函数f(x)的图象沿x轴向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象．关于函数g(x)，下列说法正确的是(　　)
A．在上是增函数
B．其图象关于直线x＝－对称
C．函数g(x)是奇函数
D．当x∈时，函数g(x)的值域是[－2，1]．
【解析】
∵f(x)＝sin
ωx＋cos
ωx＝2＝2sin，由题意知＝，则T＝π，∴ω＝＝＝2，∴f(x)＝2sin，
把函数f(x)的图象沿x轴向左平移个单位长度，得g(x)＝f＝2sin＝2sin＝2cos
2x.
其图象如图．
由图可知，函数在上是减函数，A错误；其图象的对称中心为，B错误；函数为偶函数，C错误；2cos＝1，2cos＝－1，
∴当x∈时，函数g(x)的值域是[－2，1]，D正确．故选D.
【答案】
D
13．已知函数f(x)＝cos，其中x∈，若f(x)的值域是，则m的取值范围是________．
【解析】
画出函数的图象．
由x∈，可知≤3x＋≤3m＋，
因为f＝cos＝－，
且f＝cos
π＝－1，
要使f(x)的值域是，
所以π≤3m＋≤π，则≤m≤，
即m∈.
【答案】
14．已知f(x)＝sin(ω＞0)，f＝f，且f(x)在区间上有最小值，无最大值，则ω＝________．
【解析】
依题意，x＝＝时，y有最小值，
∴sin＝－1，
∴ω＋＝2kπ＋(k∈Z)，
∴ω＝8k＋(k∈Z)，
∵f(x)在区间上有最小值，无最大值，
∴－＜，即ω＜12，令k＝0，得ω＝.
【答案】
15．(2017·江西吉安市一中第二次质检)已知函数f(x)＝2sincos＋sin
2x＋a的最大值为1.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)将f(x)的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，若方程g(x)＝m在x∈上有解，求实数m的取值范围．
【解析】
(1)∵f(x)＝sin＋sin
2x＋a
＝cos
2x＋sin
2x＋a＝2sin＋a，
∴2＋a＝1，∴a＝－1.
由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
∴函数f(x)的单调递增区间是，k∈Z.
(2)∵将f(x)的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，即
g(x)＝f＝2sin－1
＝2sin－1.
∵x∈，∴2x＋∈，
∴当2x＋＝时，sin＝，g(x)取最大值－1；
当2x＋＝时，sin＝－1，g(x)取最小值－3.
∴－3≤m≤－1.( http: / / www.21cnjy.com )
A组　专项基础训练
(时间：35分钟)
1．(2015·浙江)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是(　　)
A．8
cm3　　　　　　　　　　B．12
cm3
C.
cm3
D.
cm3
【解析】
由三视图可知该几何体是
( http: / / www.21cnjy.com )由棱长为2
cm的正方体与底面为边长为2
cm正方形、高为2
cm的四棱锥组成，V＝V正方体＋V四棱锥＝8
cm3＋
cm3＝
cm3.故选C.
【答案】
C
2．(2016·课标全国Ⅰ)
( http: / / www.21cnjy.com )如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是(　　)
A．17π
B．18π
C．20π
D．28π
【解析】
由该几何体的三视图可知，这个几何体是把一个球挖掉它的得到的(如图所示)．
( http: / / www.21cnjy.com )
设该球的半径为R，则×πR3＝π，得R＝2.
所以它的表面积为4π×22－×4π×22＋3××π×22＝17π.故选A.
【答案】
A
3．(2015·课标全国Ⅰ)《九章算术》是我
( http: / / www.21cnjy.com )国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有(　　)
A．14斛
B．22斛
C．36斛
D．66斛
【解析】
由题意知：米堆的底面半径为(尺)，体积V＝×πR2·h≈(立方尺)．所以堆放的米大约为≈22(斛)．
【答案】
B
4．(2016·黑龙江哈六中期末
( http: / / www.21cnjy.com ))在平行四边形ABCD中，·＝0，22＋2－4＝0，若将其沿AC折成直二面角D AC B，则三棱锥D ACB的外接球的表面积为(　　)
A．16π
B．8π
C．4π
D．2π
【解析】
由题意知，AC⊥CB，2BC2＋A
( http: / / www.21cnjy.com )C2－4＝BC2＋BC2＋AC2－4＝BC2＋AB2－4＝0.因为ABCD是平行四边形，所以BC＝AD.因为二面角D AC B是直二面角，所以AD⊥平面ABC，即AD⊥AB，那么BC2＋AB2＝AD2＋AB2＝BD2＝4，即BD＝2.取BD中点O，连接OA，OC，∠BAD，∠BCD都是直角三角形，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，有OA＝OB＝OC＝OD，所以三棱锥D ACB的外接球的球心为点O，半径R＝OB＝1，所以表面积为S＝4πR2＝4π.
【答案】
C
5．(2015·课标全国Ⅱ)已知A，
( http: / / www.21cnjy.com )B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点．若三棱锥O ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为(　　)
A．36π
B．64π
C．144π
D．256π
【解析】
如图，要使三棱锥O ABC
( http: / / www.21cnjy.com )即C OAB的体积最大，当且仅当点C到平面OAB的距离，即三棱锥C OAB底面OAB上的高最大，其最大值为球O的半径R，则VO ABC最大＝VC OAB最大＝×S△OAB×R＝××R2×R＝R3＝36，所以R＝6，得S球O＝4πR2＝4π×62＝144π.选C.
【答案】
C
6．(2016·浙江)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是________cm2，体积是________cm3.
【解析】
根据几何体的三视图可得该几何体由如图所示的两个长方体组成，所以它的表面积为72
cm2，体积为32
cm3.
【答案】
72　32
7．(2015·江苏)现有橡皮泥制作
( http: / / www.21cnjy.com )的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________．
【解析】
设新的底面半径为r，由题意得πr2·4＋πr2·8＝π×52×4＋π×22×8，解得r＝.
【答案】
8．(2017·安徽合肥一中等六
( http: / / www.21cnjy.com )校第二次联考)在三棱锥P ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝2，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，则该三棱锥的外接球的表面积为________．
【解析】
因为AB＝2，AC＝1，∠BAC＝
( http: / / www.21cnjy.com )60°，利用余弦定理得BC＝，所以AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC.又因为PA⊥平面ABC，所以三棱锥P ABC是长为1，宽为，高为2的长方体的一部分(如图所示)，所以三棱锥P ABC外接球的半径为×＝，所以其外接球的表面积为4π×()2＝8π.
【答案】
8π
9．(2016·课标全国
( http: / / www.21cnjy.com )Ⅰ)如图，已知正三棱锥P ABC的侧面是直角三角形，PA＝6.顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G.
(1)证明：G是AB的中点；
(2)在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由)，并求四面体PDEF的体积．
【解析】
(1)证明
因为P在平面ABC内的正投影为D，
所以AB⊥PD.
因为D在平面PAB内的正投影为E，所以AB⊥DE.
又PD∩DE＝D，所以AB⊥平面PED，故AB⊥PG.
又由已知可得PA＝PB，所以G是AB的中点．
(2)在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为点E在平面PAC内的正投影．
理由如下：由已知可得PB
( http: / / www.21cnjy.com )⊥PA，PB⊥PC，又EF∥PB，所以EF⊥PA，EF⊥PC，因此EF⊥平面PAC，即点F为点E在平面PAC内的正投影．
连接CG，DF，因为P在平面ABC内的正投影为点D，所以D是正三角形ABC的中心．
由(1)知，G是AB的中点，所以D在CG上，且CD＝CG.
由题设可得PC⊥平面PAB，DE⊥平面PAB，
所以DE∥PC，因此PE＝PG，DE＝PC.
由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA＝6，可得DE＝2，PE＝2.
因为EF∥PB，PG为等腰△PAB的角平分线，所以∠FEP＝∠FPE，所以△EFP为等腰直角三角形，可得EF＝PF＝2.
所以四面体PDEF的体积
V＝××2×2×2＝.
10．(教材改编)已知一个上、下底
( http: / / www.21cnjy.com )面为正三角形且两底面中心连线垂直于底面的三棱台的两底面边长分别为20
cm和30
cm，且其侧面积等于两底面面积之和，求棱台的高．
【解析】
如图所示，三棱台ABC A1B1C1中，O、O1分别为两底面中心，D、D1分别为BC和B1C1的中点，则DD1为棱台的斜高．
由题意知A1B1＝20，AB＝30，
则OD＝5，O1D1＝，
由S侧＝S上＋S下，得
3××(20＋30)×DD1＝×(202＋302)，
解得DD1＝，在直角梯形O1ODD1中，
O1O＝eq
\r(DD－（OD－O1D1）2)＝4，
所以棱台的高为4
cm.
B组　专项能力提升
(时间：30分钟)
11．(2017·湖北武汉华中师大一附等校第一次联考)已知某几何体的三视图的侧视图是一个正三角形，如图所示，则该几何体的体积等于(　　)
A．12
B．16
C．20
D．32
【解析】
题中三视图是下图中几何体ABCDEF的三视图，由三视图中的尺寸，知其体积为V＝×4×2×6－××2＝20.故选C.
【答案】
C
12．(2017·河南郑州一
( http: / / www.21cnjy.com )模)如图是一个四面体的三视图，这个三视图均是腰长为2的等腰直角三角形，正视图和俯视图中的虚线是三角形的中线，则该四面体的体积为(　　)
A.
B.
C.
D．2
【解析】
由四面体的三视图得该四面体为
( http: / / www.21cnjy.com )棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1中的三棱锥C1 BDE，其中E是CD的中点，△BDE的面积S＝×＝1，三棱锥C1 BDE的高h＝CC1＝2，所以该四面体的体积V＝Sh＝.故选A.
【答案】
A
13．(2015·四川)在三棱柱ABC A1
( http: / / www.21cnjy.com )B1C1中，∠BAC＝90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边的长为1的等腰直角三角形，设点M，N，P分别是AB，BC，B1C1的中点，则三棱锥P A1MN的体积是________．
【解析】
由题意知还原后的几何体是一个直放的三棱柱，三棱柱的底面是直角边长为1的等腰直角三角形，高为1的直三棱柱，
∵VP A1MN＝VA1 PMN，
又∵AA1∥平面PMN，
∴VA1 PMN＝VA PMN，
∴VA PMN＝××1××＝，
故VP A1MN＝.
【答案】
14．(2017·湖北襄阳一模)一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．
【解析】
由三视图可知该几何体为长方体中挖
( http: / / www.21cnjy.com )去一个半球．长方体的棱长分别为4，4，2，半球的半径为2.∴S＝4×4＋4×2×4＋4×4－π×22＋×4π×22＝64＋4π.
【答案】
64＋4π
15．(2016·江苏)现需要设计
( http: / / www.21cnjy.com )一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥P A1B1C1D1，下部分的形状是正四棱柱ABCD A1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．
(1)若AB＝6
m，PO1＝2
m，则仓库的容积是多少？
(2)若正四棱锥的侧棱长为6
m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？
【解析】
(1)由PO1＝2知O1O＝4PO1＝8.
因为A1B1＝AB＝6，所以正四棱锥P A1B1C1D1的体积V锥＝·A1B·PO1＝×62×2＝24(m3)；
正四棱柱ABCD A1B1C1D1的体积V柱＝AB2·O1O＝62×8＝288(m3)．
所以仓库的容积V＝V锥＋V柱＝24＋288＝312(m3)．
(2)设A1B1＝a(m)，PO1＝h(m)，
则0＜h＜6，O1O＝4h.如图，连接O1B1.
因为在Rt△PO1B1中，O1B＋PO＝PB，
所以＋h2＝36，即a2＝2(36－h2)．
于是仓库的容积V＝V柱＋V锥＝a2·4h＋a2·h＝a2h＝(36h－h3)，0＜h＜6，
从而V′＝(36－3h2)＝26(12－h2)．
令V′＝0，得h＝2或h＝－2(舍)．
当0＜h＜2时，V′＞0，V是单调增函数，
当2＜h＜6时，V′＜0，V是单调减函数．
故当h＝2时，V取得极大值，也是最大值．
因此，当PO1＝2
m时，仓库的容积最大．( http: / / www.21cnjy.com )
A组　专项基础训练
(时间：40分钟)
1．平面α∥平面β，点A，C∈α，B，D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是(　　)
A．AB∥CD　　　　　　　　　B．AD∥CB
C．AB与CD相交
D．A，B，C，D四点共面
【解析】
充分性：A，B，C，D四点共面，由平面与平面平行的性质知AC∥BD.必要性显然成立．
【答案】
D
2．(2015·安徽)已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是(　　)
A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行
B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行
C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线
D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面
【解析】
对于A，α，β垂直于同一平
( http: / / www.21cnjy.com )面，α，β关系不确定，故A错；对于B，m，n平行于同一平面，m，n关系不确定，可平行、相交、异面，故B错；对于C，α，β不平行，但α内能找出平行于β的直线，如α中平行于α，β交线的直线平行于β，故C错；对于D，若假设m，n垂直于同一平面，则m∥n，其逆否命题即为D选项，故D正确．
【答案】
D
3．设l为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是(　　)
A．若l∥α，l∥β，则α∥β
B．若l⊥α，l⊥β，则α∥β
C．若l⊥α，l∥β，则α∥β
D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
【解析】
l∥α，l∥β，则α与β
( http: / / www.21cnjy.com )可能平行，也可能相交，故A项错；由“同垂直于一条直线的两个平面平行”可知B项正确；由l⊥α，l∥β可知α⊥β，故C项错；由α⊥β，l∥α可知l与β可能平行，也可能l β，也可能相交，故D项错．故选B.
【答案】
B
4．给出下列关于互不相同的直线l、m、n和平面α、β、γ的三个命题：
①若l与m为异面直线，l α，m β，则α∥β；
②若α∥β，l α，m β，则l∥m；
③若α∩β＝l，β∩γ＝m.γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.
其中真命题的个数为(　　)
A．3
B．2
C．1
D．0
【解析】
①中当α与β不平行时，也可能存在符合题意的l、m；
②中l与m也可能异面；③中 l∥n，
同理，l∥m，则m∥n，正确．
【答案】
C
5．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是(　　)
A．①③
B．①④
C．②③
D．②④
【解析】
①中易知NP∥AA′，MN∥A′B，
∴平面MNP∥平面AA′B可得出AB∥平面MNP(如图)．
④中，NP∥AB，能得出AB∥平面MNP.
【答案】
B
6．(2017·河南省实验中学模
( http: / / www.21cnjy.com )拟)如图所示，P为 ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F为PC上一点，当PA∥平面EBF时，＝________．
【解析】
连接AC交BE于点M，连接FM.
∵PA∥平面EBF，PA 平面PAC，平面PAC∩平面EBF＝FM，∴PA∥FM，∴＝＝＝.
【答案】
7．(2017·青岛二模
( http: / / www.21cnjy.com ))将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命题称为“可换命题”．给出下列四个命题：①垂直于同一平面的两直线平行；②垂直于同一平面的两平面平行；③平行于同一直线的两直线平行；④平行于同一平面的两直线平行．其中是“可换命题”的是________．(填命题的序号)
【解析】
由线面垂直的性质定理可知①
( http: / / www.21cnjy.com )是真命题，且垂直于同一直线的两平面平行也是真命题，故①是“可换命题”；因为垂直于同一平面的两平面可能平行或相交，所以②是假命题，不是“可换命题”；由公理4可知③是真命题，且平行于同一平面的两平面平行也是真命题，故③是“可换命题”；因为平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面，故④是假命题，故④不是“可换命题”．
【答案】
①③
8．如图，在正四棱柱ABCD
( http: / / www.21cnjy.com ) A1B1C1D1(底面是正方形的直四棱柱叫正四棱柱)中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，动点M在四边形EFGH上及其内部运动，则M满足条件________时，有MN∥平面B1BDD1.
【解析】
因为HN∥BD，HF
( http: / / www.21cnjy.com )∥DD1，所以平面NHF∥平面B1BDD1，故线段FH上任意点M与N相连，都有MN∥平面B1BDD1.(答案不唯一)
【答案】
M∈线段FH
9．如图，ABCD与ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．
求证：(1)BE∥平面DMF；
(2)平面BDE∥平面MNG.
【证明】
(1)如图，连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO，
又BE 平面DMF，MO 平面DMF，
所以BE∥平面DMF.
(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN，
又DE 平面MNG，GN 平面MNG，
所以DE∥平面MNG.
又M为AB中点，所以MN为△ABD的中位线，
所以BD∥MN，
又BD 平面MNG，MN 平面MNG，
所以BD∥平面MNG，
又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，
所以平面BDE∥平面MNG.
10．如图，已知四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面ABCD为菱形．
(1)证明：平面AB1C∥平面DA1C1；
(2)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1？若存在，确定点P的位置；若不存在，说明理由．
【解析】
(1)由棱柱ABCD A1B1
( http: / / www.21cnjy.com )C1D1的性质知，AB1∥DC1，∵AB1 平面DA1C1，DC1 平面DA1C1，∴AB1∥平面DA1C1，
同理可证B1C∥平面DA1C1，而AB1∩B1C＝B1，
由面面平行的判定定理知，平面AB1C∥平面DA1C1.
(2)存在这样的点P，使BP∥平面DA1C1.
∵A1B1綊AB綊DC，∴四边形A1B1CD为平行四边形．
∴A1D∥B1C.
在C1C的延长线上取点P，使C1C＝CP，连接BP，
∵B1B綊C1C，∴B1B綊CP，∴四边形BB1CP为平行四边形，
则BP∥B1C，∴BP∥A1D，∴BP∥平面DA1C1.
B组　专项能力提升
(时间：30分钟)
11．(教材改编)对于平面α和共面的直线m，n，下列命题中为真命题的是(　　)
A．若m，n与平面α所成的角相等，则m∥n
B．若m∥α，n∥α，则m∥n
C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α
D．若m α，n∥α，则m∥n
【解析】
正三棱锥P AB
( http: / / www.21cnjy.com )C的侧棱PA，PB与底面所成角相等，但PA与PB相交，应排除A；若m∥α，n∥α，则m与n平行、相交或异面，应排除B；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n α，应排除C；因为m，n共面，设经过m，n的平面为β，因为m α，所以α∩β＝m.因为n∥α，所以n∥m.
【答案】
D
12．空间四边形ABCD的两条对棱AC、BD
( http: / / www.21cnjy.com )的长分别为5和4，则平行于两条对棱的截面四边形EFGH在平移过程中，周长的取值范围是________．
【解析】
设＝＝k，∴＝＝1－k，
∴GH＝5k，EH＝4(1－k)，∴周长＝8＋2k.
又∵0【答案】
(8，10)
13．(2017·昆明第一次检
( http: / / www.21cnjy.com )测)在三棱锥S ABC中，△ABC是边长为6的正三角形，SA＝SB＝SC＝15，平面DEFH分别与AB，BC，SC，SA交于D，E，F，H.D，E分别是AB，BC的中点，如果直线SB∥平面DEFH，那么四边形DEFH的面积为________．
【解析】
取AC的中点G，连接SG，BG.
易知SG⊥AC，BG⊥AC，SG∩BG＝G，
故AC⊥平面SGB，
所以AC⊥SB.
因为SB∥平面DEFH，SB 平面SAB，平面SAB∩平面DEFH＝HD，
则SB∥HD.同理SB∥FE.
又D，E分别为AB，BC的中点，
则H，F也为AS，SC的中点，
从而得HF綊AC綊DE，
所以四边形DEFH为平行四边形．
又AC⊥SB，SB∥HD，DE∥AC，
所以DE⊥HD，
所以四边形DEFH为矩形，
其面积S＝HF·HD＝·＝.
【答案】
14．(2016·课标全国Ⅲ)如图，四棱锥
( http: / / www.21cnjy.com )P ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．
(1)证明：MN∥平面PAB；
(2)求四面体N BCM的体积．
【解析】
(1)证明
由已知条件，得AM＝AD＝2.
取BP的中点T，连接AT，TN.
因为N为PC的中点，
所以TN∥BC，
TN＝BC＝2，
所以TN＝AM.
又AD∥BC，所以TN∥AM，且TN＝AM，故四边形AMNT为平行四边形，所以MN∥AT.
因为AT 平面PAB，MN 平面PAB，
所以MN∥平面PAB.
(2)因为PA⊥平面ABCD，N为PC的中点，
所以N到平面ABCD的距离为PA.
取BC的中点E，连接AE.因为AB＝AC＝3，
所以AE⊥BC，AE＝＝.
因为AM∥BC，所以点M到BC的距离为，
故S△BCM＝×4×＝2.
所以四面体N BCM的体积
VN BCM＝×PA·S△BCM＝.
15．(2016·衡水模拟)如图所示
( http: / / www.21cnjy.com )的几何体ABCDFE中，△ABC，△DFE都是等边三角形，且所在平面平行，四边形
BCED是边长为2的正方形，且所在平面垂直于平面ABC.
(1)求几何体ABCDFE的体积；
(2)证明：平面ADE∥平面BCF.
【解析】
(1)取BC的中点O，ED的中点G，连接AO，OF，FG，AG.
∵AO⊥BC，AO 平面ABC，平面BCED⊥平面ABC，
∴AO⊥平面BCED.同理FG⊥平面BCED.∵AO＝FG＝，
∴VABCDFE＝×4××2＝.
(2)证明
由(1)知AO∥FG，AO＝FG，
∴四边形AOFG为平行四边形，∴AG∥OF.
又∵DE∥BC，DE∩AG＝G，DE 平面ADE，AG 平面ADE，FO∩BC＝O，FO 平面BCF，BC 平面BCF，
∴平面ADE∥平面BCF.( http: / / www.21cnjy.com )
A组　专项基础训练
(时间：35分钟)
1．(2016·安徽庐江六校第四次联考)若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有(　　)
A.＞　　　　　　B.＜
C.＞
D.＜
【解析】
∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.
∵a＞b＞0，∴－ac＞－bd，∴－＞，∴＜.故选D.
【答案】
D
2．(2016·江西南昌二中上学期模拟)设a
( http: / / www.21cnjy.com )＝log0.22，b＝log0.23，c＝20.2，d＝0.22，则这四个数的大小关系是(　　)
A．a＜b＜c＜d
B．d＜c＜a＜b
C．b＜a＜c＜d
D．b＜a＜d＜c
【解析】
由指数函数和对数函数的性质得log0.23＜log0.22＜0＜0.22＜1＜20.2，所以选D.
【答案】
D
3．(2016·内蒙古包头九中期中)若6＜a＜10，≤b≤2a，c＝a＋b，则c的取值范围是(　　)
A．9≤c≤18
B．15＜c＜30
C．9≤c≤30
D．9＜c＜30
【解析】
∵≤b≤2a，∴≤a＋b≤3a，即≤c≤3a.∵6＜a＜10，∴9＜c＜30.故选D.
【答案】
D
4．(2016·西安八校联考)“x1＞3且x2＞3”是“x1＋x2＞6且x1x2＞9”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】
x1＞3，x2＞3 x1＋x2＞6，x1x2＞9；反之不成立，例如x1＝，x2＝20.
【答案】
A
5．(2016·资阳一诊)已知a，b∈R，下列命题正确的是(　　)
A．若a＞b，则|a|＞|b|
B．若a＞b，则＜
C．若|a|＞b，则a2＞b2
D．若a＞|b|，则a2＞b2
【解析】
当a＝1，b＝－2时，A，B，C均不正确；对于D，a＞|b|≥0，则a2＞b2.
【答案】
D
6．(2016·贵阳监测考试)下列命题中，正确的是(　　)
A．若a＞b，c＞d，则ac＞bd
B．若ac＞bc，则a＞b
C．若＜，则a＜b
D．若a＞b，c＜d，则a－c＞b－d
【解析】
取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－
( http: / / www.21cnjy.com )2，可知A错误；当c＜0时，ac＞bc a＜b，∴B错误；∵＜，∴c≠0，又c2＞0，∴a＜b，C正确；取a＝c＝2，b＝d＝1，可知D错误．
【答案】
C
7．设a＞b＞c＞0，x＝，y＝，z＝，则x，y，z的大小关系是________．(用“＞”连接)
【解析】
方法一　y2－x2＝2c(a－b)＞0，∴y＞x.
同理，z＞y，∴z＞y＞x.
方法二　令a＝3，b＝2，c＝1，则x＝，y＝，
z＝，故z＞y＞x.
【答案】
z＞y＞x
8．已知a，b，c，d均为实数，有下列命题
①若ab＞0，bc－ad＞0，则－＞0；
②若ab＞0，－＞0，则bc－ad＞0；
③若bc－ad＞0，－＞0，则ab＞0.
其中正确的命题是________．
【解析】
∵ab＞0，bc－ad＞0，
∴－＝＞0，∴①正确；
∵ab＞0，又－＞0，即＞0，
∴bc－ad＞0，∴②正确；
∵bc－ad＞0，又－＞0，即＞0，
∴ab＞0，∴③正确．故①②③都正确．
【答案】
①②③
9．设x＜y＜0，试比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)(x＋y)的大小．
【解析】
(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)
＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2]
＝－2xy(x－y)．
∵x＜y＜0，∴xy＞0，x－y＜0，∴－2xy(x－y)＞0，
∴(x2＋y2)(x－y)＞(x2－y2)(x＋y)．
10．甲乙两人同时从宿舍到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步；乙一半时间步行，一半时间跑步；如果两人步行、跑步速度均相同，则谁先到教室？
【解析】
设路程为s，跑步速度为v1，步行速度为v2，
t甲＝＋＝，
s＝·v1＋·v2 t乙＝，
∴＝≥＝1.
∴t甲≥t乙，当且仅当v1＝v2时“＝”成立．
由实际情况知v1＞v2，∴t甲＞t乙．∴乙先到教室．
B组　专项能力提升
(时间：20分钟)
11．(2016·合肥质检)已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足b＋c≤3a，则的取值范围为(　　)
A．(1，＋∞)　　　　　　　　　B．(0，2)
C．(1，3)
D．(0，3)
【解析】
由已知及三角形三边关系得
∴∴
两式相加得，0＜2×＜4，
∴的取值范围为(0，2)．
【答案】
B
12．(2016·湘潭一模)设a，b是实数，则“a＞b＞1”是“a＋＞b＋”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【解析】
因为a＋－＝，若a＞b＞1，显然a＋－＝＞0，则充分性成立，当a＝，b＝时，显然不等式a＋＞b＋成立，但a＞b＞1不成立，所以必要性不成立．
【答案】
A
13．(2016·重庆一中调研)设a＞1＞b＞－1，则下列不等式中恒成立的是(　　)
A．a＞b2
B.＞
C.＜
D．a2＞2b
【解析】
对于A，∵－1＜b
( http: / / www.21cnjy.com )＜1，∴0≤b2＜1，又∵a＞1，∴a＞b2，故A正确；对于B，若a＝2，b＝，此时满足a＞1＞b＞－1，但＜，故B错误，对于C，若a＝2，b＝－，此时满足a＞1＞b＞－1，但＞，故C错误；对于D，若a＝，b＝，此时满足a＞1＞b＞－1，但a2＜2b，故D错误．
【答案】
A
14．(2016·江门模拟)设a，b∈R，定义运算“ 和 ”如下：
a b＝a b＝若m n≥2，p q≤2，则(　　)
A．mn≥4且p＋q≤4
B．m＋n≥4且pq≤4
C．mn≤4且p＋q≥4
D．m＋n≤4且pq≤4
【解析】
结合定义及m n≥2可得或即n≥m≥2或m＞n≥2，所以mn≥4；结合定义及p q≤2可得或
即q＜p≤2或p≤q≤2，所以p＋q≤4.
【答案】
A
15．某单位组织职工去某地
( http: / / www.21cnjy.com )参观学习需包车前往．甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠．
【解析】
设该单位职工有n人(n∈N
)，全票价为x元/人，坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元，
则y1＝x＋x·(n－1)
＝x＋nx，
y2＝nx.
所以y1－y2＝x＋nx－nx
＝x－nx
＝x.
当n＝5时，y1＝y2；
当n＞5时，y1＜y2；
当n＜5时，y1＞y2.
因此当单位去的人数为5人时，两车队收费同等优惠；
当单位去的人数多于5人时，甲车队收费更优惠；
当单位去的人数少于5人时，乙车队收费更优惠．( http: / / www.21cnjy.com )
A组　专项基础训练
(时间：30分钟)
1．(2017·云南昆明三中第三次综合测试)i是虚数单位，复数表示的点落在(　　)
A．第一象限　　　　　　　　　　B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【解析】
＝＝＝－3－4i，对应点的坐标为(－3，－4)，位于第三象限．故选C.
【答案】
C
2．(2016·北京)复数＝(　　)
A．i
B．1＋i
C．－i
D．1－i
【解析】
由复数运算可知＝＝＝i.故选A.
【答案】
A
3．(2016·湖南师大附中第七次月考)设复数z满足＝i，则|z|＝(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】
由＝i，得z＝＝－i，所以|z|＝.故选D.
【答案】
D
4．(2016·山东高密12月检测)若复数z的实部为1，且|z|＝2，则复数z的虚部是(　　)
A．－
B．±
C．±i
D.i
【解析】
由题意可设z＝1＋bi(b∈R)，因为|z|＝2，所以12＋b2＝4，解得b＝±，故选B.
【答案】
B
5．(2017·河北衡水中学下学期二调)如图
( http: / / www.21cnjy.com )，复平面上的点Z1，Z2，Z3，Z4到原点的距离都相等，若复数z所对应的点为Z1，则复数z·i(i是虚数单位)的共轭复数所对应的点为(　　)
( http: / / www.21cnjy.com )
A．Z1
B．Z2
C．Z3
D．Z4
【解析】
根据题意，设z＝bi(b＞0
( http: / / www.21cnjy.com ))，则z·i＝bi·i＝－b为负实数，对应点在x轴负半轴，即为Z2，其共轭复数对应的点仍是Z2.故选B.
【答案】
B
6．(2015·江苏)设复数z满足z2＝3＋4i(i是虚数单位)，则z的模为________．
【解析】
方法一
z2＝3＋4i＝4＋4i＋i2＝(2＋i)2，∴z＝2＋i或z＝－2－i，即|z|＝＝.
方法二
令z＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi＝3＋4i，
∴∴或∴z＝2＋i或z＝－2－i，即|z|＝＝.
【答案】
7．(2016·贵州八校联盟第二次联考)已知f(x)＝则f[f(1－i)]＝________．
【解析】
∵f(1－i)＝(1＋i)(1－i)＝2，
∴f[f(1－i)]＝f(2)＝1＋2＝3.
【答案】
3
8．复数(3＋i)m－(2＋i)对应的点在第三象限内，则实数m的取值范围是________．
【解析】
z＝(3m－2)＋(m－1)i，其对应点(3m－2，m－1)在第三象限内，故3m－2＜0且m－1＜0，∴m＜.
【答案】
m＜
9．计算：(1)；(2)；
(3)＋；(4).
【解析】
(1)＝＝－1－3i.
(2)＝
＝＝＝＋i.
(3)＋＝＋＝＋＝－1.
(4)＝＝＝
＝－－i.
10．复数z1＝＋(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i，若z1＋z2是实数，求实数a的值．
【解析】
z1＋z2＝＋(a2－10)i＋＋(2a－5)i
＝＋[(a2－10)＋(2a－5)]i
＝＋(a2＋2a－15)i.
∵z1＋z2是实数，∴a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.
又(a＋5)(a－1)≠0，∴a≠－5且a≠1，故a＝3.
B组　专项能力提升
(时间：15分钟)
11．(2016·四川)设i为虚数单位，则复数(1＋i)2＝(　　)
A．0
B．2
C．2i
D．2＋2i
【解析】
由复数运算得(1＋i)2＝1＋i2＋2i＝2i.故选C.
【答案】
C
12．(2017·山西忻州一中等四校第三次联考)若＝b＋2i，其中a，b∈R，i是虚数单位，则a＋b的值为(　　)
A．－3
B．－1
C．1
D．3
【解析】
由＝b＋2i，得－1－ai＝b＋2i，所以所以a＋b＝－3.故选A.
【答案】
A
13．(2016·湖北七校2月联考)已知＝b＋i，(a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a－b＝(　　)
A．－3
B．－2
C．－1
D．1
【解析】
因为＝2－ai＝b＋i，所以即所以a－b＝－3.
【答案】
A
14．(2017·辽宁师大附中期中)设复数z的共轭复数为z，若z＝1－i(i为虚数单位)，则＋z2的虚部为________．
【解析】
因为z＝1－i(i为虚数单位)，所以＋z2＝＋(1－i)2＝－2i＝－2i＝－i，其虚部为－1.
【答案】
－1
15．(2016·天津)i是虚数单位，复数z满足(1＋i)z＝2，则z的实部为________．
【解析】
因为z＝＝1－i，所以z的实部是1.
【答案】
1
16．若虚数z同时满足下列两个条件：
①z＋是实数；②z＋3的实部与虚部互为相反数．
这样的虚数是否存在？若存在，求出z；若不存在，请说明理由．
【解析】
这样的虚数存在，z＝－1－2i或z＝－2－i.
设z＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，
z＋＝a＋bi＋＝a＋bi＋
＝＋i.
∵z＋是实数，∴b－＝0.
又∵b≠0，∴a2＋b2＝5.①
又z＋3＝(a＋3)＋bi的实部与虚部互为相反数，
∴a＋3＋b＝0.②
由解得或
故存在虚数z，z＝－1－2i或z＝－2－i.( http: / / www.21cnjy.com )
A组　专项基础训练
(时间：30分钟)
1．(2017·浙江台州中学期中)函数f(x)＝lg(|x|－1)的大致图象是(　　)
【解析】
∵函数f(x)＝
( http: / / www.21cnjy.com )lg(|x|－1)，∴函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)；f(－x)＝lg(|x|－1)＝f(x)，f(x)是偶函数；当x＞2或x＜－2时，y＞0，当－2＜x＜－1或1＜x＜2时，y＜0.故选B.
【答案】
B
2．(2017·吉林长春外国语学校期末)记
( http: / / www.21cnjy.com )a＝－ln
，b＝－ln
，c＝－ln
，其中e为自然对数的底数，则a，b，c这三个数的大小关系是(　　)
A．a＞b＞c　　　　　　　　　B．a＜b＜c
C．b＞c＞a
D．b＞a＞c
【解析】
∵a＝－ln
＝＋1，b＝－ln
＝＋1＋ln
2，c＝－ln
＝＋1－ln
2，∵e≈2.718
28，＜ln
2＜1，∴b＞a＞c.故选D.
【答案】
D
3．(2017·河南安阳第三次联考)已知偶函
( http: / / www.21cnjy.com )数f(x)＝loga|x－b|在(－∞，0)上单调递增，则f(a＋1)与f(b＋2)的大小关系是(　　)
A．f(a＋1)≥f(b＋2)
B．f(a＋1)＞f(b＋2)
C．f(a＋1)≤f(b＋2)
D．f(a＋1)＜f(b＋2)
【解析】
∵y＝loga|x－b|是偶函
( http: / / www.21cnjy.com )数，∴loga|x－b|＝loga|－x－b|，∴|x－b|＝|－x－b|，∴x2－2bx＋b2＝x2＋2bx＋b2，整理得4bx＝0.由于x不恒为0，故b＝0.由此函数变为y＝loga|x|.当x∈(－∞，0)时，由于内层函数是一个减函数，又偶函数y＝loga|x－b|在区间(－∞，0)上递增，故外层函数是减函数，故可得0＜a＜1.综上得0＜a＜1，b＝0.∴a＋1＜b＋2，而函数f(x)＝loga|x－b|在(0，＋∞)上单调递减，∴f(a＋1)＞f(b＋2)．故选B.
【答案】
B
4．(2017·湖南长沙长郡中学第六次月考)设a＝log2，b＝log23，c＝，则(　　)
A．a＞b＞c
B．b＞a＞c
C．c＞b＞a
D．b＞c＞a
【解析】
∵a＝log2＜0＜c＝＜＝1＜b＝log23，∴b＞c＞a.
【答案】
D
5．(2016·浙江)已知a，b＞0且a≠1，b≠1.若logab＞1，则(　　)
A．(a－1)(b－1)＜0
B．(a－1)(a－b)＞0
C．(b－1)(b－a)＜0
D．(b－1)(b－a)＞0
【解析】
方法一
logab＞1＝logaa，
当a＞1时，b＞a＞1；
当0＜a＜1时，0＜b＜a＜1.只有D正确．
方法二
取a＝2，b＝3，排除A、B、C，故选D.
【答案】
D
6．(2017·河南信阳八模)
( http: / / www.21cnjy.com )若函数f(x)＝logt|x＋1|在区间(－2，－1)上恒有f(x)＞0，则关于t的不等式f(8t－1)＜f(1)的解集为________．
【解析】
∵x∈(－2，－1)，∴|x＋1|∈(0，1)．
又f(x)＝logt|x＋1|在区间(－2，－1)上恒有f(x)＞0，
∴0＜t＜1.
∵f(8t－1)＜f(1)，即logt8t＜logt2，∴8t＞2，t＞，
因此t∈.
【答案】
7．(2015·浙江)计算：log2＝________，2log23＋log43＝________．
【解析】
log2＝log22－＝－.
∵log43＝＝log23＝log2，
∴2log23＋log43＝2log23＋log2＝2log23＝3.
【答案】
－　3
8．(2015·福建)若函数f(x)＝(a＞0，且a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是________．
【解析】
由题意f(x)的图象如右图，则
∴1＜a≤2.
【答案】
(1，2]
9．设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a＞0，a≠1)，且f(1)＝2.
(1)求a的值及f(x)的定义域；
(2)求f(x)在区间上的最大值．
【解析】
(1)∵f(1)＝2，
∴loga4＝2(a＞0，a≠1)，
∴a＝2.
由得x∈(－1，3)，
∴函数f(x)的定义域为(－1，3)．
(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)
＝log2(1＋x)(3－x)＝log2[－(x－1)2＋4]，
∴当x∈(－1，1]时，f(x)是增函数；
当x∈(1，3)时，f(x)是减函数，
故函数f(x)在上的最大值是f(1)＝log24＝2.
B组　专项能力提升
(时间：20分钟)
10．(2017·皖北联考)设a＝log3，b＝log5，c＝log7，则(　　)
A．c＞b＞a
B．b＞c＞a
C．a＞c＞b
D．a＞b＞c
【解析】
因为log3＝log32－1，log5＝log52－1，log7＝log72－1，log32＞log52＞log72，故a＞b＞c.
【答案】
D
11．(2017·广西武鸣高中月考)函数f(x)＝log(x2－4)的单调递增区间为(　　)
A．(0，＋∞)
B．(－∞，0)
C．(2，＋∞)
D．(－∞，－2)
【解析】
由x2－4＞0得x＜－2或x＞2
( http: / / www.21cnjy.com )，因此函数f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．令t＝x2－4，当x∈(－∞，－2)时，t随x的增大而减小，y＝logt随t的减小而增大，所以y＝log(x2－4)随x的增大而增大，即f(x)在(－∞，－2)上单调递增．故选D.
【答案】
D
12．(2017·湖北华
( http: / / www.21cnjy.com )师一附中3月联考)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝log2x－1，则f＝________．
【解析】
因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f＝－f＝－＝.
【答案】
13．(2017·江苏常州一模)函数f(x)＝log2(－x2＋2)的值域为________．
【解析】
由题意知0＜－x2＋2≤2＝2，结合对数函数图象，知f(x)∈，故答案为.
【答案】
14．(2017·河南许昌第三次联考)已知f(x)＝loga(a＞0，且a≠1)．
(1)求f＋f的值．
(2)当x∈[－t，t](其中t∈(0，1)，且t为常数)时，f(x)是否存在最小值，如果存在，求出最小值；如果不存在，请说明理由．
(3)当a＞1时，求满足不等式f(x－2)＋f(4－3x)≥0的x的取值范围．
【解析】
(1)由＞0，得－1＜x＜1，
∴f(x)的定义域为(－1，1)．
又f(－x)＝loga＝loga
＝－loga＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数，
∴f＋f＝0.
(2)设－1＜x1＜x2＜1，则
－＝.
∵－1＜x1＜x2＜1，∴x2－x1＞0，
(1＋x1)(1＋x2)＞0，∴＞.
当a＞1时，f(x1)＞f(x2)，f(x)在(－1，1)上是减函数．
又t∈(0，1)∴x∈[－t，t]时，f(x)有最小值，且最小值为f(t)＝loga.
当0＜a＜1时，f(x1)＜f(x2)，f(x)在(－1，1)上是增函数．
又t∈(0，1)，∴x∈[－t，t]时，f(x)有最小值，且最小值为f(－t)＝loga.
(3)由(1)及f(x－2)＋f(4－3x)≥0，得
f(x－2)≥－f(4－3x)＝f(3x－4)．
∵a＞1，∴f(x)在(－1，1)上是减函数，
∴解得1＜x＜.
∴x的取值范围是.( http: / / www.21cnjy.com )
A组　专项基础训练
(时间：25分钟)
1．(2017·北京东城模拟)如图给出的是计算＋＋＋＋…＋的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是(　　)
A．i＜50？　　　　　　　　　　　　B．i＞50
C．i＜25
D．i＞25
【解析】
因为该循环体需要运行5
( http: / / www.21cnjy.com )0次，i的初始值是1，间隔是1，所以i＝50时不满足判断框内的条件，而i＝51时满足判断框内条件，所以判断框内的条件可以填入i＞50？.
【答案】
B
2．(2017·郑州模拟)执行如图所示的程序框图，输出的S值是(　　)
A.
B．－1
C．0
D．－1－
【解析】
由程序框图可知n＝1，S＝0；S＝cos，n＝2；
S＝cos＋cos，n＝3；
这样依次循环，一直到
S＝cos＋cos＋cos＋…＋cos
＝251＋cos＋cos＋…＋cos
＝251×0＋＋0＋＋(－1)＋＋0
＝－1－，n＝2
015.
【答案】
D
3．(2016·课标全国Ⅱ)中国古代有计
( http: / / www.21cnjy.com )算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x＝2，n＝2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s＝(　　)
A．7
B．12
C．17
D．34
【解析】
输入x＝2，n＝2.初始k＝0，s＝0.
第一次输入a＝2，s＝0×2＋2＝2，k＝0＋1＝1≤n，进入循环；
第二次输入a＝2，s＝2×2＋2＝6，k＝1＋1＝2≤n，再次进入循环；
第三次输入a＝5，s＝6×2＋5＝17，k＝2＋1＝3＞n，跳出循环，输出s＝17.故选C.
【答案】
C
4．(2017·安徽皖南八校三联)如图所示是用模拟数方法估计椭圆＋y2＝1的面积S的程序框图，则图中空白框内应填入(　　)
A．S＝
B．S＝
C．S＝
D．S＝
【解析】
从0到2产生的2
000个随机数中，落入椭圆内部或边界的有M个，则＝，故S＝.
【答案】
D
5．(2016·课标全国Ⅲ)执行如图所示的程序框图，如果输入的a＝4，b＝6，那么输出的n＝(　　)
A．3
B．4
C．5
D．6
【解析】
由程序框图依次得①a＝2，b
( http: / / www.21cnjy.com )＝4，a＝6，s＝6，n＝1；②a＝－2，b＝6，a＝4，s＝10，n＝2；③a＝2，b＝4，a＝6，s＝16，n＝3；④a＝－2，b＝6，a＝4，s＝20，n＝4，此时s＞16，输出n＝4.
【答案】
B
6．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的s值为________．
【解析】
根据程序框图，所求的
( http: / / www.21cnjy.com )值可以通过逐次循环求得，i＝5，s＝1，i＝4，s＝2×1＋1＝3，i＝3，s＝7；i＝2，s＝15，i＝1，s＝31，循环结束，故输出的s＝31.
【答案】
31
7．(2017·江西八校联考)执行如图所示的程序框图，输出的s是________．
【解析】
第一次循环：i＝1，s＝1
( http: / / www.21cnjy.com )；第二次循环：i＝2，s＝－1；第三次循环：i＝3，s＝2；第四次循环：i＝4，s＝－2，此时i＝5，执行s＝3×(－2)＝－6.
【答案】
－6
8．(2017·黄冈模拟)数列{an}满足a
( http: / / www.21cnjy.com )n＝n，阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入n＝5，an＝n，x＝2的值，则输出的结果v＝________．
【解析】
该程序框图循环4次，各次v的值分别是14，31，64，129，故输出结果v＝129.
【答案】
129
9．(2016·山东卷)执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出的S的值为________．
【解析】
第一次运行，i＝1，S＝－1；第二次运行，i＝2，S＝－1；第三次运行，i＝3，S＝1，符合判断条件，故输出的S的值为1.
【答案】
1
10．给出以下10个数：5，9，80，43，95，73，28，17，60，36，要求把大于40的数找出来并输出．试画出该问题的程序框图．
【解析】
程序框图如下：
B组　专项能力提升
(时间：15分钟)
11．(2016·四川)秦九韶是
( http: / / www.21cnjy.com )我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为(　　)
A．9
B．18
C．20
D．35
【解析】
由题意得i＝2
( http: / / www.21cnjy.com )，v＝1×2＋2＝4；i＝1，v＝4×2＋1＝9；i＝0，v＝9×2＋0＝18；i＝－1，此时不满足i≥0，退出循环，所以输出v＝18.故选B.
【答案】
B
12．(2016·天津)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为(　　)
A．2
B．4
C．6
D．8
【解析】
循环前：S＝4，n＝1；
第一次循环：S＝2×4＝8，n＝1＋1＝2，不满足n＞3；
第二次循环：S＝8－6＝2，n＝2＋1＝3，不满足n＞3；
第三次循环：S＝2×2＝4，n＝3＋1＝4，此时满足n＞3，循环结束．
输出S＝4.故选B.
【答案】
B
13．(2017·贵州遵义航天高中模拟)执行如图所示的程序框图，输出的S的值为(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】
由判断框内的条件k＜27，知退出循环体的k值为27，可知输出的S＝1××××…×＝＝3.
【答案】
C
14．(2016·天津河西区模拟)当n＝5时，执行如图所示的程序框图，输出的S值等于________．
【解析】
模拟执行程序，可得n＝5，m＝1，
( http: / / www.21cnjy.com )S＝1，满足条件m＜5，S＝2，m＝2；满足条件m＜5，S＝4，m＝3；满足条件m＜5，S＝7，m＝4；满足条件m＜5，S＝11，m＝5，不满足条件m＜5，退出循环，输出S的值为11.
【答案】
11
15．如图(1)(2)所示，它们都表示的是输出所有立方小于1
000的正整数的程序框图，那么应分别补充的条件为：
(1)________；
(2)________．
【解析】
第一个图中，n不能取10，否则会把立方等于1
000的正整数也输出了，所以应该填写n3＜1
000；
第二个图中当n≥10时，循环应该结束，所以填写n3≥1
000.
【答案】
(1)n3＜1
000　(2)n3≥1
000
16．(2016·江苏卷)如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是________．
【解析】
该流程图循环2次，第1次，a＝5，b＝7；第2次，a＝9，b＝5，结束循环，故输出的a的值为9.
【答案】
9( http: / / www.21cnjy.com )
A组　专项基础训练
(时间：30分钟)
1．(2016·课标全国Ⅲ)若tan
θ＝－，则cos
2θ＝(　　)
A．－　　　　　　　　　　B．－
C.
D.
【解析】
方法一
cos
2θ＝cos2θ－sin2θ＝
＝＝.故选D.
方法二
由tan
θ＝－，可得sin
θ＝±，因而cos
2θ＝1－2sin2θ＝.
【答案】
D
2．(2017·河北石家庄第二次模拟)
( http: / / www.21cnjy.com )在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P，则sin＝(　　)
A.
B．－
C.
D．－
【解析】
∵角α的终边过点P，∴sin
α＝cos，cos
α＝sin，∴α＝＋2kπ，k∈Z，
∴sin＝sin＝sin＝.故选A.
【答案】
A
3．(2016·江西九校联
( http: / / www.21cnjy.com )考)已知锐角α，β满足sin
α－cos
α＝，tan
α＋tan
β＋tan
αtan
β＝，则α，β的大小关系是(　　)
A．α＜＜β
B．β＜＜α
C.＜α＜β
D.＜β＜α
【解析】
∵α为锐角，sin
α－cos
α＝＞0，∴α＞.
又tan
α＋tan
β＋tan
αtan
β＝，
∴tan(α＋β)＝＝，
∴α＋β＝，又α＞，∴β＜＜α.
【答案】
B
4．(2017·黑龙江哈尔滨三中第二次检测)sin
182°×cos
28°－cos
2°×sin
28°的值为(　　)
A.
B．－
C.
D．－
【解析】
sin
182°×
( http: / / www.21cnjy.com )cos
28°－cos
2°×sin
28°＝(－sin
2°)×cos
28°－cos
2°×sin
28°＝－sin
30°＝－.故选B.
【答案】
B
5．(2017·福建四地六校联考)已知cos－sin
α＝，则sin的值是(　　)
A．－
B．－
C.
D.
【解析】
cos－sin
α＝，
∴cos
α－sin
α＝，
cos
α－sin
α＝，
∴sin＝sin
αcos＋cos
αsin
＝sin
α－cos
α＝－.故选B.
【答案】
B
6．(2017·山东滨州重点高中模拟)已知角α，β满足＝，若sin(α＋β)＝，则sin(α－β)的值为________．
【解析】
设sin(α－β)＝x，即sin
αcos
β－cos
αsin
β＝x，①
由sin(α＋β)＝，可得
sin
αcos
β＋cos
αsin
β＝，②
由①②求得sin
αcos
β＝＋，
cos
αsin
β＝－.
由＝＝＝，可得x＝－.
【答案】
－
7．(2016·合肥联考)已知α，β为锐角，cos
α＝，sin(α＋β)＝，则cos
β＝________．
【解析】
(1)∵α为锐角，∴sin
α＝＝.
∵α，β∈，
∴0＜α＋β＜π.
又∵sin(α＋β)＜sin
α，∴α＋β＞，
∴cos(α＋β)＝－.
cos
β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos
α＋sin(α＋β)·sin
α＝－×＋×＝＝.
【答案】
8．(2016·杭州模拟)函数f(x)＝2cos
xsin的最大值为________．
【解析】
∵f(x)＝2cos
xsin
＝2cos
x
＝sin
2x－cos
2x－
＝sin－，
∴f(x)的最大值为1－.
【答案】
1－
9．(2017·吉林省实验中学期末)已知tan＝.
(1)求tan
α的值；
(2)求的值．
【解析】
(1)tan＝＝＝，解得tan
α＝－.
(2)
＝＝
＝＝－.
B组　专项能力提升
(时间：20分钟)
10．(2017·宁夏中卫一中期末)在△ABC中，A，B，C成等差数列，则tan＋tan＋tan·tan的值是(　　)
A．±
B．－
C.
D.
【解析】
在△ABC中，∵A，B，C成等差数列，
∴B＝，A＋C＝.
则tan＋tan＋tan·tan
＝tan＋tan·tan
＝＋tan·tan＝.故选C.
【答案】
C
11．(2016·贵阳监测)已知sin＝，则cos的值是(　　)
A.
B.
C．－
D．－
【解析】
∵sin＝，
∴cos＝cos
＝1－2sin2＝，
∴cos＝cos
＝cos
＝－cos＝－.
【答案】
D
12．(2016·河南统考)已知tan
α，tan
β是lg(6x2－5x＋2)＝0的两个实根，则tan(α＋β)＝________．
【解析】
由lg(6x2－5x＋2)＝0，得6x2－5x＋1＝0，
∴由题意知tan
α＋tan
β＝，tan
α·tan
β＝，
∴tan(α＋β)＝＝＝1.
【答案】
1
13．(2017·河北师大附中第一次段考)函数y＝cos
2x＋2cos
x的最大值为________．
【解析】
∵y＝cos
2x＋2cos
x＝2cos2x＋2cos
x－1
＝2－，
∴当cos
x＝1时，函数y＝cos
2x＋2cos
x取最大值ymax＝2×－＝3.
【答案】
3
14．(2017·北京海淀期末练习)已知函数f(x)＝2cos
x(sin
x＋cos
x)－1.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)在区间上的最大值与最小值的和．
【解析】
(1)因为f(x)＝2cos
x(sin
x＋cos
x)－1＝sin
2x＋cos
2x＝sin，
所以函数f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)因为x∈，
所以2x∈，
所以∈.
根据函数f(x)＝sin
x的性质，
当2x＋＝－时，函数f(x)取得最小值sin，
当2x＋＝时，函数f(x)取得最大值sin.
因为sin＋sin＝0，
所以函数f(x)在区间上的最大值与最小值的和为0.( http: / / www.21cnjy.com )
A组　专项基础训练
(时间：30分钟)
1．(2017·山东聊城期中)已知A是数集，则“A∩{0，1}＝{0}”是“A＝{0}”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】
若“A＝{0}”，可得“A
( http: / / www.21cnjy.com )∩{0，1}＝{0}”；若“A∩{0，1}＝{0}”，可得集合A中0∈A，1 A，可以取A＝{－1，0}也满足题意．所以“A∩{0，1}＝{0}”是“A＝{0}”的必要不充分条件．
【答案】
B
2．(2017·湖南师大附中第四次月考)“cos
α＝”是“cos
2α＝”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】
当cos
α＝时，cos
( http: / / www.21cnjy.com )2α＝2cos2α－1＝，当cos
2α＝时，可以求得cos
α＝±，所以“cos
α＝”是“cos
2α＝”的充分不必要条件．故选A.
【答案】
A
3．(2017·山西康杰中学等校第二次联考)“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】
当a＝0时，f(x)＝x(x＞
( http: / / www.21cnjy.com )0)在区间(0，＋∞)内单调递增；当a＜0时，f(x)＝－(ax－1)x＝(－ax＋1)x(x＞0)，因为对称轴为x＝＜0，因此函数f(x)在区间(0，＋∞)内单调递增，充分性成立；反之，若a＞0，则函数f(x)在区间和内单调递增，而在内单调递减，因此必要性也成立．
【答案】
C
4．(2017·陕西商洛商南高中二模)在△ABC中，设命题p：＝＝，命题q：△ABC是等边三角形，那么命题p是命题q的(　　)
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】
＝＝，即＝，sin
Asin
C＝sin2B①；＝，sin
Asin
B＝sin2C②.①－②，得(sin
C－sin
B)(sin
A＋sin
B＋sin
C)＝0，则sin
C＝sin
B，∴C＝B.同理得C＝A，∴A＝B＝C，则△ABC是等边三角形．当△ABC为等边三角形，即A＝B＝C时，＝＝2R，＝＝2R，＝＝2R，
∴＝＝成立，∴命题p是命题q的充要条件．
【答案】
A
5．(2017·云南玉溪一中月考)设
( http: / / www.21cnjy.com )p：“lg
x，lg(x＋1)，lg(x＋3)成等差数列”，q：“2x＋1－，2x，3成等比数列”，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】
若p为真，则x＞0且2lg(
( http: / / www.21cnjy.com )x＋1)＝lg
x＋lg(x＋3)，∴lg(x＋1)2＝lg
x(x＋3)，∴(x＋1)2＝x(x＋3)，解得x＝1.若q为真，则(2x)2＝3，整理得(2x)2－6·2x＋8＝0，解得2x＝2或2x＝4，可得x＝1或x＝2.∵{1}是{1，2}的真子集，∴p是q的充分不必要条件．故选A.
【答案】
A
6．(2016·黑龙江大庆实验中学期末)命题：“若a2＋b2＝0(a，b∈R)，则a＝b＝0”的逆否命题是(　　)
A．若a≠b≠0(a，b∈R)，则a2＋b2≠0
B．若a＝b≠0(a，b∈R)，则a2＋b2≠0
C．若a≠0且b≠0(a，b∈R)，则a2＋b2≠0
D．若a≠0或b≠0(a，b∈R)，则a2＋b2≠0
【解析】
“a2＋b2＝0(
( http: / / www.21cnjy.com )a，b∈R)”的否定是“a2＋b2≠0”，“a＝b＝0”的否定是“a≠0或b≠0(a，b∈R)”，故命题：“若a2＋b2＝0(a，b∈R)，则a＝b＝0”的逆否命题是“若a≠0或b≠0(a，b∈R)，则a2＋b2≠0”，故选D.
【答案】
D
7．(2015·北京)设a，b是非零向量，“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的(　　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】
根据向量数量积运
( http: / / www.21cnjy.com )算a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉，由a·b＝|a|·|b|，得cos〈a，b〉＝1，所以a与b的夹角为0°，所以a与b共线同向；若a∥b，则a与b的夹角为0°或180°，所以“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的充分而不必要条件．故选A.
【答案】
A
8．函数f(x)＝有且只有一个零点的充分不必要条件是(　　)
A．a＜0　　　　　　　　　　　B．0＜a＜
C.＜a＜1
D．a≤0或a＞1
【解析】
因为函数f(x)过点(1，0)，
( http: / / www.21cnjy.com )所以函数f(x)有且只有一个零点 函数y＝－2x＋a(x≤0)没有零点 函数y＝2x(x≤0)与直线y＝a无公共点．由数形结合，可得a≤0或a＞1.
观察选项，根据集合间关系得{a|a＜0}?{a|a≤0或a＞1}，故答案选A.
【答案】
A
9．“若a≤b，则ac2≤bc2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________．
【解析】
其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题．
【答案】
2
10．若x＜m－1或x＞m＋1是x2－2x－3＞0的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________．
【解析】
由已知易得{x|x2－2x－3＞0}?{x|x＜m－1或x＞m＋1}，又{x|x2－2x－3＞0}＝{x|x＜－1或x＞3}，
∴或∴0≤m≤2.
【答案】
[0，2]
11．给定两个命题p、q，若綈p是q的必要而不充分条件，则p是綈q的________条件．
【解析】
若綈p是q的必要不充分条件，则q 綈p但綈p /
q，其逆否命题为p 綈q但綈q /
p，所以p是綈q的充分不必要条件．
【答案】
充分不必要
12．下列命题：
①若ac2＞bc2，则a＞b；
②若sin
α＝sin
β，则α＝β；
③“实数a＝0”是“直线x－2ay＝1和直线2x－2ay＝1平行”的充要条件；
④若f(x)＝log2x，则f(|x|)是偶函数．
其中正确命题的序号是________．
【解析】
对于①，ac2＞bc2，c2＞0，∴a＞b正确；
对于②，sin
30°＝sin
150° /
30°＝150°，
所以②错误；
对于③，直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，
( http: / / www.21cnjy.com )直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，若l1∥l2 A1B2＝A2B1，即－2a＝－4a a＝0且A1C2≠A2C1，所以③正确；
④显然正确．
【答案】
①③④
B组　专项能力提升
(时间：15分钟)
13．设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【解析】
先证“a＞b” “a|a|＞b|b
( http: / / www.21cnjy.com )|”．若a＞b≥0，则a2＞b2，即a|a|＞b|b|；若a≥0＞b，则a|a|≥0＞b|b|；若0＞a＞b，则a2＜b2，即－a|a|＜－b|b|，从而a|a|＞b|b|.
再证“a|a|＞b|b|”
( http: / / www.21cnjy.com )“a＞b”．若a，b≥0，则由a|a|＞b|b|，得a2＞b2，故a＞b；若a，b≤0，则由a|a|＞b|b|，得－a2＞－b2，即a2＜b2，故a＞b；若a≥0，b＜0，则a＞b.综上，“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的充要条件．
【答案】
C
14．(2015·湖北)l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线；q：l1，l2不相交，则(　　)
A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
C．p是q的充分必要条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
【解析】
直线l1、l2是异面直
( http: / / www.21cnjy.com )线，一定有l1与l2不相交，因此p是q的充分条件；若l1与l2不相交，那么l1与l2可能平行，也可能是异面直线，所以p不是q的必要条件．故选A.
【答案】
A
15．(2015·浙江)设实数a，b，t满足|a＋1|＝|sin
b|＝t.(　　)
A．若t确定，则b2唯一确定
B．若t确定，则a2＋2a唯一确定
C．若t确定，则sin唯一确定
D．若t确定，则a2＋a唯一确定
【解析】
若t确定，则t2确定，由|a＋1
( http: / / www.21cnjy.com )|＝t，得a2＋2a＋1＝t2，所以a2＋2a＝t2－1唯一确定；对于A、C，令t＝0，则sin
b＝0，即b＝kπ，k∈Z，所以b2，sin都不确定；对于D，令t＝2，则|a＋1|＝2，即a＝1或a＝－3，此时a2＋a＝2或a2＋a＝6，即a2＋a的值不唯一确定．故选B.
【答案】
B
16．已知集合A＝，B＝{x|－1＜
( http: / / www.21cnjy.com )x＜m＋1，x∈R}，若x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，则实数m的取值范围是________．
【解析】
A＝＝{x|－1＜x＜3}，
∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，
∴A?B，∴m＋1＞3，即m＞2.
【答案】
(2，＋∞)
17．设a，b为正数，则“a－b＞1”是“a2－b2＞1”的________条件．
【解析】
∵a－b＞1，即a＞b＋1.
又∵a，b为正数，
∴a2＞(b＋1)2＝b2＋1＋2
( http: / / www.21cnjy.com )b＞b2＋1，即a2－b2＞1成立，反之，当a＝，b＝1时，满足a2－b2＞1，但a－b＞1不成立．所以“a－b＞1”是“a2－b2＞1”的充分不必要条件．
【答案】
充分不必要
18．已知集合A＝，B＝{x|x＋m2≥1}．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数m的取值范围．
【解析】
y＝x2－x＋1＝＋，
∵x∈，∴≤y≤2，
∴A＝.
由x＋m2≥1，得x≥1－m2，
∴B＝{x|x≥1－m2}．
∵“x∈A”是“x∈B”的充分条件，
∴A B，∴1－m2≤，
解得m≥或m≤－，
故实数m的取值范围是∪.( http: / / www.21cnjy.com )
A组　专项基础训练
(时间：25分钟)
1．直线2x＋y－10＝0与不等式组表示的平面区域的公共点有(　　)
A．0个　　　　　　　　　　　　B．1个
C．2个
D．无数个
【解析】
由不等式组画出平面区域如图(阴影部分)．
直线2x＋y－10＝0恰过点A(5，0)，且其斜率k＝－2＜kAB＝－，即直线2x＋y－10＝0与平面区域仅有一个公共点A(5，0)．
【答案】
B
2．(2015·天津)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝x＋6y的最大值为(　　)
A．3
B．4
C．18
D．40
【解析】
画出约束条件的可行域如图
( http: / / www.21cnjy.com )阴影部分，作直线l：x＋6y＝0，平移直线l可知，直线l过点A时，目标函数z＝x＋6y取得最大值，易得A(0，3)，所以zmax＝0＋6×3＝18，选C.
【答案】
C
3．(2017·湖北荆州二模)已知x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最大值为(　　)
A．3
B．－3
C．1
D.
【解析】
作出可行域，如图所示的阴影部分，
当直线z＝2x＋y过点A(2，－1)时，z最大，是3，故选A.
【答案】
A
4．(2016·河南洛阳期中)若实数x，y满足不等式组且x＋y的最大值为9，则实数m＝(　　)
A．－2
B．－1
C．1
D．2
【解析】
先根据约束条件画出可行域，如图．设z＝x＋y，则y＝－x＋z，将z转化为直线y＝－x＋z在y轴上的截距．
当直线z＝x＋y经过直线x－my＋1＝0与直线2x－y－3＝0的交点A时，z最大．
由得A(4，5)，将点A的坐标代入x－my＋1＝0得m＝1，故选C.
【答案】
C
5．(2016·北京丰台模
( http: / / www.21cnjy.com )拟)某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲种产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙种产品要用A原料1吨，B原料3吨．该工厂每天生产甲、乙两种产品的总量不少于2吨，且每天消耗的A原料不能超过10吨，B原料不能超过9吨．如果设每天甲种产品的产量为x吨，乙种产品的产量为y吨，则在坐标系xOy中，满足上述条件的x，y的可行域用阴影部分表示正确的是(　　)
【解析】
由题可知故选A.
【答案】
A
6．(2016·株洲模拟)已知a＞0，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝(　　)
A.
B.
C．1
D．2
【解析】
如图所示，目标函数z＝2x＋y在点(1，－2a)处取得最小值，2×1－2a＝1，解得a＝.
【答案】
A
7．(2016·枣庄模拟)已知实数x，y满足约束条件，则ω＝的最小值是(　　)
A．－2
B．2
C．－1
D．1
【解析】
作出不等式组对应的平面区域如图，
ω＝的几何意义是区域内的点P(x，y)与定点A(0，－1)所在直线的斜率，
由图象可知当P位于点D(1，0)时，直线AP的斜率最小，此时ω＝的最小值为＝1.故选D.
【答案】
D
8．(2016·贵阳模拟)已知实数x，y满足则z＝2x－2y－1的取值范围是(　　)
A.
B．[0，5]
C.
D.
【解析】
画出不等式组所表示的区域，如图中阴影部分所示，
可知2×－2×－1≤z＜2×2－2×(－1)－1，
即z的取值范围是.
【答案】
D
9．(2016·山西质检)若变量x，y满足则2x＋y的取值范围为________．
【解析】
作出满足不等式组的平面区域，如图
( http: / / www.21cnjy.com )中阴影部分所示，平移直线2x＋y＝0，经过点(1，0)时，2x＋y取得最大值2×1＋0＝2，经过点(－1，0)时，2x＋y取得最小值2×(－1)＋0＝－2，所以2x＋y的取值范围为[－2，2]．
【答案】
[－2，2]
10．(2016·天津卷)某化
( http: / / www.21cnjy.com )肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：
　　原料
肥料　　
A
B
C
甲
4
8
3
乙
5
5
10
现有A种原料200吨，B种原料360吨，
( http: / / www.21cnjy.com )C种原料300吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．
(1)用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．
【解析】
(1)由已知，x，y满足的数学关系式为
该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分．
(2)设利润为z万元，则目标函数为z＝2x＋3y.
考虑z＝2x＋3y，将它变形为y＝
( http: / / www.21cnjy.com )－x＋，这是斜率为－，随z变化的一族平行直线.为直线在y轴上的截距，当取最大值时，z的值最大．又因为x，y满足约束条件，所以由图2可知，当直线z＝2x＋3y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大．
解方程组得点M的坐标为(20，24)．
所以zmax＝2×20＋3×24＝112.
答：生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．
B组　专项能力提升
(时间：15分钟)
11．(2016·黑龙江哈六中月考)设z＝x＋y，其中实数x，y满足若z的最大值为6，则z的最小值为(　　)
A．－3
B．－2
C．－1
D．0
【解析】
作出不等式组对应的平面区域，
如图所示．
由z＝x＋y，得y＝－x＋z.
平移直线y＝－x＋z，由图象可知当直线y＝－x＋z经过点A时，直线y＝－x＋z在y轴上的截距最大，此时z最大为6，即x＋y＝6.
当直线y＝－x＋z经过点B时，直线y＝－x＋z在y轴上的截距最小，此时z最小．
由得即A(3，3)．
∵直线y＝k过点A，∴k＝3.
由得即B(－6，3)．此时z的最小值为－6＋3＝－3，故选A.
【答案】
A
12．(2016·河北衡水中学四调)设x，y满足不等式组若z＝ax＋y的最大值为2a＋4，最小值为a＋1，则实数a的取值范围为(　　)
A．[－1，2]
B．[－2，1]
C．[－3，－2]
D．[－3，1]
【解析】
由z＝ax＋y得y＝－ax
( http: / / www.21cnjy.com )＋z，直线y＝－ax＋z是斜率为－a，在y轴上的截距为z的直线，作出不等式组对应的平面区域，如图，则A(1，1)，B(2，4)．
∵z＝ax＋y的最大值为2a＋4，最小值为a＋1，∴直线z＝ax＋y过点B时，z取得最大值2a＋4，过点A时取得最小值a＋1.
若a＝0，则y＝z，此时满足条件．
若a＞0，则目标函数线的斜率k＝－a＜0，
要使目标函数在A处取得最小值，在B处取得最大值，则目标函数线的斜率满足－a≥kBC＝－1，即0＜a≤1.
若a＜0，则目标函数线的斜率k＝－a＞0，要
( http: / / www.21cnjy.com )使目标函数在A处取得最小值，在B处取得最大值，则目标函数线的斜率满足－a≤kAC＝2，即－2≤a＜0.综上，－2≤a≤1，故选B.
【答案】
B
13．(2016·郑州第一次质量预测)已知点P(x，y)的坐标满足条件那么点P到直线3x－4y－13＝0的距离的最小值为(　　)
A.
B．2
C.
D．1
【解析】
在坐标平面内画出题中的不等式组
( http: / / www.21cnjy.com )表示的平面区域及直线3x－4y－13＝0，结合图形可知，在该平面区域内所有的点中，到直线3x－4y－13＝0的距离最近的点是(1，0)．又点(1，0)到直线3x－4y－13＝0的距离等于＝2，即点P到直线3x－4y－13＝0的距离的最小值为2.
【答案】
B
14．(2016·全国卷Ⅱ)若x，y满足约束条件则z＝x－2y的最小值为________．
【解析】
通性通法
作出可行域，如图中阴影部分所示，
由z＝x－2y得y＝x－z，作直线y＝x并平移，观察可知，当直线经过点A(3，4)时，zmin＝3－2×4＝－5.
光速解法
因为可行域为封
( http: / / www.21cnjy.com )闭区域，所以线性目标函数的最值只可能在边界点处取得，易求得边界点分别为(3，4)，(1，2)，(3，0)，依次代入目标函数可求得zmin＝－5.
【答案】
－5
15．(2016·江苏)已知实数x，y满足则x2＋y2的取值范围是________．
【解析】
画出不等式组表示的可行域如图：
由x－2y＋4＝0及3x－y－3＝0
( http: / / www.21cnjy.com )得A(2，3)，由x2＋y2表示可行域内的点(x，y)与点(0，0)的距离的平方可得(x2＋y2)max＝22＋32＝13，(x2＋y2)min＝d2＝＝，其中d表示点(0，0)到直线2x＋y－2＝0的距离，所以x2＋y2的取值范围为.
【答案】
16．(2016·山东淄博模拟)电视台应
( http: / / www.21cnjy.com )某企业之约播放两套连续剧．其中，连续剧甲每次播放时间为80
min，广告时间为1
min，收视观众为60万；连续剧乙每次播放时间为40
min，广告时间为1
min，收视观众为20万．已知此企业与电视台达成协议，要求电视台每周至少播放6
min广告，而电视台每周播放连续剧的时间不能超过320
min.问两套连续剧各播多少次，才能获得最高的收视率？
【解析】
设每周播放连续剧甲x次，播放连续剧乙y次，收视率为z.
则目标函数为z＝60x＋20y，
约束条件为
作出表示的可行域如图．
作出直线y＝－3x并平移，由图可知，当直线过点A时纵截距最大．
解方程组得点A的坐标为(2，4)，满足x∈N，y∈N，所以zmax＝60×2＋20×4＝200.
所以电视台每周应播放连续剧甲2次，播放连续剧乙4次，才能获得最高的收视率．( http: / / www.21cnjy.com )
A组　专项基础训练
(时间：20分钟)
1．(2017·山东淄博六中期中
( http: / / www.21cnjy.com ))已知定义在R上的函数f(x)，对任意x∈R，都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立，若函数y＝f(x＋1)的图象关于直线x＝－1对称，则f(2
019)＝(　　)
A．0　　　　　　　　　B．2
019
C．3
D．－2
019
【解析】
∵函数y＝f(x＋1)的图象关于直线x＝－1对称，
∴函数y＝f(x)的图象关
( http: / / www.21cnjy.com )于直线x＝0，即y轴对称，∴y＝f(x)为R上的偶函数．又∵对任意x∈R，均有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)，令x＝－3，得f(6－3)＝f(－3)＋f(3)＝2f(3)，∴f(3)＝0，∴f(x＋6)＝f(x)，∴函数y＝f(x)是以6为周期的周期函数，∴f(2
019)＝f(336×6＋3)＝f(3)＝0.
【答案】
A
2．为了得到函数y＝2x－3－1的图象，只需把函数y＝2x的图象上所有的点(　　)
A．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
B．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
C．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
D．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
【解析】
y＝2xy
＝2x－3y＝2x－3－1.故选A.
【答案】
A
3．(2017·安徽黄山一模)如图所示的图象可能是下列哪个函数的图象(　　)
A．y＝2x－x2－1
B．y＝
C．y＝(x2－2x)ex
D．y＝
【解析】
A中，∵y＝2x－x2－1＝2
( http: / / www.21cnjy.com )x－(x2＋1)，当x趋向于－∞时，2x的值趋向于0，x2＋1的值趋向于＋∞，∴当x趋向于－∞时，函数y＝2x－x2－1的值趋向于－∞，∴A中的函数不符合；B中，∵y＝sin
x是周期函数，∴函数y＝的图象是在x轴附近的波浪线，
∴B中的函数不符合；D中，y＝的定义域是(0，1)∪(1，＋∞)，∴D中函数不符合．故选C.
【答案】
C
4．(2016·浙江)函数y＝sin
x2的图象是(　　)
【解析】
排除法．由y＝sin
x2为偶函数判断函数图象的对称性，排除A，C；当x＝时，y＝sin＝sin≠1，排除B，故选D.
【答案】
D
5．使log2(－x)＜x＋1成立的x的取值范围是(　　)
A．(－1，0)
B．[－1，0)
C．(－2，0)
D．[－2，0)
【解析】
在同一坐标系内作出y＝log2(－x)，y＝x＋1的图象，知满足条件的x∈(－1，0)，故选A.
【答案】
A
6．已知函数f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝logf(x)的定义域是________．
【解析】
当f(x)＞0时，函数g(x)＝logf(x)有意义，由函数f(x)的图象知满足f(x)＞0的x∈(2，8]．
【答案】
(2，8]
7．用min{a，b，c}表示a，b，
( http: / / www.21cnjy.com )c三个数中的最小值．设f(x)＝min{2x，x＋2，10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为________．
【解析】
f(x)＝min{2x，x＋2，10－x}(x≥0)的图象如图．令x＋2＝10－x，得x＝4.
当x＝4时，f(x)取最大值，f(4)＝6.
【答案】
6
8．如图，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0，0)，(1，2)，(3，1)，则f的值等于________．
【解析】
∵由图象知f(3)＝1，
∴＝1.∴f＝f(1)＝2.
【答案】
2
B组　专项能力提升
(时间：15分钟)
9．(2016·山东)若函数y＝f(
( http: / / www.21cnjy.com )x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质．下列函数中具有T性质的是(　　)
A．y＝sin
x
B．y＝ln
x
C．y＝ex
D．y＝x3
【解析】
∵y＝sin
x，∴y′＝cos
x.
设y＝sin
x具有T性质，则在y＝si
( http: / / www.21cnjy.com )n
x的图象上存在两点(x1，sin
x1)，(x2，sin
x2)，使cos
x1·cos
x2＝－1.∵当x1＝0，x2＝π时成立，∴y＝sin
x具有T性质．y＝ln
x的定义域为(0，＋∞)，y′＝，则对定义域上任意两点x1，x2，·＞0，则y＝ln
x不具有T性质．同理，y＝ex，y＝x3不具有T性质．故选A.
【答案】
A
10．(2015·安徽)函数f(x)＝的图象如图所示，则下列结论成立的是(　　)
A．a＞0，b＞0，c＜0
B．a＜0，b＞0，c＞0
C．a＜0，b＞0，c＜0
D．a＜0，b＜0，c＜0
【解析】
函数定义域为{x|x≠－c}，结合图象知－c＞0，
∴c＜0.
令x＝0，得f(0)＝，又由图象知f(0)＞0，∴b＞0.
令f(x)＝0，得x＝－，结合图象知－＞0，∴a＜0.故选C.
【答案】
C
11．(2017·贵阳监测)函数y＝的图象大致是(　　)
【解析】
由题意得，x≠0，排除A；当x＜0时，x3＜0，3x－1＜0，∴＞0，排除B；又∵x→＋∞时，→0，∴排除D，故选C.
【答案】
C
12．已知f(x)是定义在R上
( http: / / www.21cnjy.com )且周期为3的函数，当x∈[0，3)时，f(x)＝.若函数y＝f(x)－a在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是________．
【解析】
先画出y＝x2－2x＋在区间[0，3)上的图象，再将x轴下方的图象对称到x轴上方，利用周期为3，将图象平移至区间[－3，4]内，即得f(x)在区间[－3，4]上的图象如图所示，其中f(－3)＝f(0)＝f(3)＝0.5，f(－2)＝f(1)＝f(4)＝0.5.
函数y＝f(x)－a在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)等价于y＝f(x)的图象与直线y＝a有10个不同的交点，由图象可得a∈.
【答案】
13．给出下列命题：①在区间(0，
( http: / / www.21cnjy.com )＋∞)上，函数y＝x－1，y＝x，y＝(x－1)2，y＝x3中有三个是增函数；②若logm3＜logn3＜0，则0＜n＜m＜1；③若函数f(x)是奇函数，则f(x－1)的图象关于点(1，0)对称；④若函数f(x)＝3x－2x－3，则方程f(x)＝0有两个实数根，其中正确的命题是________．
【解析】
对于①，在区间(0，＋∞
( http: / / www.21cnjy.com ))上，只有y＝x，y＝x3是增函数，所以①错误．对于②，由logm3＜logn3＜0，可得＜＜0，即log3n＜log3m＜0，所以0＜n＜m＜1，所以②正确．易知③正确．对于④，方程f(x)＝0即为3x－2x－3＝0，变形得3x＝2x＋3，令y1＝3x，y2＝2x＋3，在同一坐标系中作出这两个函数的图象，如图．
由图象可知，两个函数图象有两个交点，所以④正确．
【答案】
②③④( http: / / www.21cnjy.com )
A组　专项基础训练
(时间：40分钟)
1．(2015·广东)平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是(　　)
A．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0
B．2x＋y＋＝0或2x＋y－＝0
C．2x－y＋＝0或2x－y－5＝0
D．2x－y＋＝0或2x－y－＝0
【解析】
设所求直线方程为2x＋y＋c＝0，依题有＝，解得c＝±5，所以所求直线方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0，故选A.
【答案】
A
2．(2017·江西吉安一中月考)圆x2＋y2－2x＋4y＝0与直线2tx－y－2－2t＝0(t∈R)的位置关系为(　　)
A．相离　　　　　　　　　　　B．相切
C．相交
D．以上都有可能
【解析】
直线2tx－y－2－2t＝0恒过点(1，－2)，
∵12＋(－2)2－2×1＋4×(－2)＝－5＜0，
∴点(1，－2)在圆x2＋y2－2x＋4y＝0内．
∴直线2tx－y－2－2t＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＝0相交，故选C.
【答案】
C
3．(2017·山西太原模拟)若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝(　　)
A．21
B．19
C．9
D．－11
【解析】
圆C1的圆心为C
( http: / / www.21cnjy.com )1(0，0)，半径r1＝1，因为圆C2的方程可化为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m，所以圆C2的圆心为C2(3，4)，半径r2＝(m＜25)．从而|C1C2|＝＝5.由两圆外切得|C1C2|＝r1＋r2，即1＋＝5，解得m＝9，故选C.
【答案】
C
4．(2017·辽宁大连双基测试)已知直线y＝x＋m和圆x2＋y2＝1交于A，B两点，O为坐标原点．若·＝，则实数m＝(　　)
A．±1
B．±
C．±
D．±
【解析】
由得2x2＋2mx＋m2－1＝0.Δ＝8－4m2＞0，所以－＜m＜.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－m，x1x2＝，所以y1y2＝.
因为＝(－x1，－y1)，＝(x2－x1，y2－y1)，所以·＝(－x1，－y1)·(x2－x1，y2－y1)＝－x1(x2－x1)＋(－y1)(y2－y1)＝－x1x2－y1y2＋x＋y＝－2·＋1＝，解得m＝±，满足题意．故选C.
【答案】
C
5．(2017·四川宜宾模拟)如果实数x，y满足(x－2)2＋y2＝3，那么的最大值是(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】
设＝k，则y＝kx表示经过原点的直线，k为直线的斜率．
所以求的最大值就等价于求同时经过原点和圆上的点的直线中斜率的最大值．
从图中可知，斜率取最大值时对应的直线斜率为正且与圆相切，
此时的斜率就是其倾斜角∠EOC的正切值．
由题意，得|OC|＝2，|CE|＝，所以|OE|＝1.k＝＝，即为的最大值，故选C.
【答案】
C
6．(2017·云南名校联考)已知圆O：x
( http: / / www.21cnjy.com )2＋y2＝1，直线x－2y＋5＝0上动点P，过点P作圆O的一条切线，切点为A，则|PA|的最小值为________．
【解析】
过O作OP垂直于
( http: / / www.21cnjy.com )直线x－2y＋5＝0，过P作圆O的切线PA，连接OA，易知此时|PA|的值最小．由点到直线的距离公式，得|OP|＝＝.又|OA|＝1，所以|PA|＝＝2.
【答案】
2
7．(2017·北京海淀模拟)
( http: / / www.21cnjy.com )已知圆C：(x－2)2＋y2＝4，直线l1：y＝x，l2：y＝kx－1.若l1，l2被圆C所截得的弦的长度之比为1∶2，则k的值为________．
【解析】
圆C：(x－2)2＋y2＝4的圆心为C(2，0)，半径为2.
圆心到直线l1：y＝x的距离为＝，所以直线l1被圆C所截得的弦长为2＝2.
圆心到直线l2：y＝kx－1的距离d＝，所以l2被圆C所截得的弦长为4＝2，所以d＝0，所以2k－1＝0，k＝.
【答案】
8．(2016·课标全国Ⅰ)设直线
( http: / / www.21cnjy.com )y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2，则圆C的面积为________．
【解析】
把圆C的方程化为x2
( http: / / www.21cnjy.com )＋(y－a)2＝2＋a2，则圆心为(0，a)，半径r＝.圆心到直线x－y＋2a＝0的距离d＝.由r2＝d2＋，得a2＋2＝＋3，解得a2＝2，则r2＝4，所以圆的面积S＝πr2＝4π.
【答案】
4π
9．已知以点C(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O，B，其中O为原点．
(1)求证：△OAB的面积为定值；
(2)设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M，N，若|OM|＝|ON|，求圆C的方程．
【解析】
(1)证明
∵圆C过原点O，且|OC|2＝t2＋.
∴圆C的方程是(x－t)2＋＝t2＋，
令x＝0，得y1＝0，y2＝；
令y＝0，得x1＝0，x2＝2t，
∴S△OAB＝|OA|·|OB|＝××|2t|＝4，
即△OAB的面积为定值．
(2)∵|OM|＝|ON|，|CM|＝|CN|，
∴OC垂直平分线段MN.
∵kMN＝－2，∴kOC＝.
∴＝t，解得t＝2或t＝－2.
当t＝2时，圆心C的坐标为(2，1)，|OC|＝，
此时C到直线y＝－2x＋4的距离d＝<，
圆C与直线y＝－2x＋4相交于两点．
当t＝－2时，圆心C的坐标为(－2，－1)，|OC|＝，
此时C到直线y＝－2x＋4的距离d＝>.
圆C与直线y＝－2x＋4不相交，
∴t＝－2不符合题意，舍去．
∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.
10．(2015·广东)已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B.
(1)求圆C1的圆心坐标；
(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程；
(3)是否存在实数k，使得直线L：y＝k(x－4)与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．
【解析】
(1)由已知得，圆C1的标准方程为(x－3)2＋y2＝4，所以圆C1的圆心坐标为(3，0)．
(2)由题意可知，直线l的斜率
( http: / / www.21cnjy.com )必存在，设直线l的方程为y＝tx，A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)，线段AB的中点M(x0，y0)，
将y＝tx代入圆C1的方程，整理得(1＋t2)x2－6x＋5＝0.
则有x1＋x2＝，
所以x0＝，代入直线l的方程，得y0＝.
因为x＋y＝＋＝＝＝3x0，
所以＋y＝.
又因为方程(1＋t2)x2－6x＋5＝0有两个不相等的实根，所以Δ＝36－20(1＋t2)＞0，解得t2＜，所以＜x0≤3.
所以线段AB的中点M的轨迹C的方程为＋y2＝.
(3)由(2)知，曲线C：＋y2＝.
如图，D，E，F(3，0)，直线L过定点G(4，0)．
由得
(1＋k2)x2－(3＋8k2)x＋16k2＝0.
当直线L与曲线C相切时，判别式Δ＝
( http: / / www.21cnjy.com )0，解得k＝±.结合图形可以判断，当直线L与曲线C只有一个交点时，有kDG≤k≤kEG或k＝kGH或k＝kGI，即k∈∪.
B组　专项能力提升
(时间：30分钟)
11．(2017·四川双
( http: / / www.21cnjy.com )流中学月考)已知点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k＞0)上一动点，PA是圆C：x2＋y2－2y＝0的一条切线，A为切点，若PA长度的最小值为2，则k的值为(　　)
A．3
B.
C.
D．2
【解析】
圆C：x2＋y2－2y＝0的圆心为C(0，1)，r＝1.当PC与直线kx＋y＋4＝0(k＞0)垂直时，切线长|PA|最小．
在Rt△PAC中，|PC
( http: / / www.21cnjy.com )|＝＝，即点C到直线kx＋y＋4＝0(k＞0)的距离为，∴d＝＝，∴k＝±2.又∵k＞0，∴k＝2.故选D.
【答案】
D
12．(2017·重庆巴蜀
( http: / / www.21cnjy.com )中学月考)已知圆C：(x－)2＋(y－1)2＝1和两点A(－t，0)，B(t，0)，(t＞0)．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则t的最小值为(　　)
A．4
B．3
C．2
D．1
【解析】
由题意以AB为直径的圆
( http: / / www.21cnjy.com )与圆C有公共点，又圆C的圆心坐标为(，1)，半径为1，以AB为直径的圆的圆心为(0，0)，半径为t，则|t－1|≤≤t＋1，解得1≤t≤3.所以t的最小值为1，故选D.
【答案】
D
13．(2017·河南郑州一中模拟)过点P(1，)作圆x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则·＝________．
【解析】
如图，连接OA，OB，PO，则|OA|＝|OB|＝1，|PO|＝2，OA⊥PA，OB⊥PB.
在Rt△PAO中，|OA|＝1，|PO|＝2，|PA|＝，∴∠OPA＝30°，∴∠BPA＝2∠OPA＝60°.
∴·＝||||cos
60°＝××＝.
【答案】
14．(2017·福建四地六
( http: / / www.21cnjy.com )校联考)已知矩形ABCD的对角线交于点P(2，0)，边AB所在的直线方程为x＋y－2＝0，点(－1，1)在边AD所在的直线上．
(1)求矩形ABCD的外接圆方程；
(2)已知直线l：(1－2k)x＋(1＋k)y－5＋4k＝0(k∈R)，求证：直线l与矩形ABCD的外接圆相交，并求最短弦长．
【解析】
(1)依题意得AB⊥AD，∵kAB＝－1，∴kAD＝1，
∴直线AD的方程为y－1＝x＋1，即y＝x＋2.
解得即A(0，2)．
矩形ABCD的外接圆是以P(2，0)为圆心，|AP|＝2为半径的圆，方程为(x－2)2＋y2＝8.
(2)证明
∵直线l的方程可整理为
(x＋y－5)＋k(y－2x＋4)＝0，k∈R，
∴解得∴直线l过定点M(3，2)．
又∵点M(3，2)在圆内，∴直线l与圆相交．
∵圆心P与定点M的距离d＝，
∴最短弦长为2＝2.
15．(2016·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2，4)．
(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；
(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l的方程；
(3)设点T(t，0)满足：存在圆M上的两点P和Q，使得＋＝，求实数t的取值范围．
【解析】
圆M的标准方程为(x－6)2＋(y－7)2＝25，所以圆心M(6，7)，半径为5.
(1)由圆心N在直线x＝6上
( http: / / www.21cnjy.com )，可设N(6，y0)．因为圆N与x轴相切、与圆M外切，所以0＜y0＜7，于是圆N的半径为y0，从而7－y0＝5＋y0，解得y0＝1.
因此，圆N的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1.
(2)如图所示，因为直线l∥OA，所以直线l的斜率为＝2.
设直线l的方程为y＝2x＋m，
即2x－y＋m＝0，
则圆心M到直线l的距离d＝＝.
因为BC＝OA＝＝2，
而MC2＝d2＋，
所以25＝＋5，
解得m＝5或m＝－15.
故直线l的方程为2x－y＋5＝0或2x－y－15＝0.
(3)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)．
因为A(2，4)，T(t，0)，＋＝，
所以①
因为点Q在圆M上，所以(x2－6)2＋(y2－7)2＝25.②
将①代入②，得(x1－t－4)2＋(y1－3)2＝25.
于是点P(x1，y1)既在圆M上，又在圆[x－(t＋4)]2＋(y－3)2＝25上，
从而圆(x－6)2＋(y－7)2＝25与圆[x－(t＋4)]2＋(y－3)2＝25有公共点，
所以5－5≤≤5＋5，
解得2－2≤t≤2＋2.
因此，实数t的取值范围是[2－2，2＋2]．( http: / / www.21cnjy.com )
A组　专项基础训练
(时间：35分钟)
1．(2017·陕西西安音乐学院附中等校期末联考)若ab＜0，则过点P与Q的直线PQ的倾斜角的取值范围是(　　)
A.　　　　　　　　　B.
C.
D.
【解析】
由题意kPQ＝＝，∵ab＜0，∴kPQ＜0.设直线PQ的倾斜角为α，则tan
α＝kPQ＜0，∴α∈.故选B.
【答案】
B
2．(2016·重庆巴蜀中学诊断)直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是(　　)
A.
B.
C.∪
D.∪
【解析】
依题意，直线的斜率k＝－∈[－1，0)，因此其倾斜角的取值范围是.
【答案】
B
3．(2017·西安临潼区模拟)已知直线x＋a2y－a＝0(a是正常数)，当此直线在x轴，y轴上的截距和最小时，正数a的值是(　　)
A．0
B．2
C.
D．1
【解析】
直线x＋a2y－
( http: / / www.21cnjy.com )a＝0(a是正常数)在x轴，y轴上的截距分别为a和，此直线在x轴，y轴上的截距和为a＋≥2，当且仅当a＝1时，等号成立．故当直线x＋a2y－a＝0在x轴，y轴上的截距和最小时，正数a的值是1，故选D.
【答案】
D
4．(2016·湖北襄阳
( http: / / www.21cnjy.com )期中)已知△ABC的三顶点坐标分别为A(1，2)，B(3，6)，C(5，2)，M为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在直线的方程为(　　)
A．2x＋y－8＝0
B．2x－y＋8＝0
C．2x＋y－12＝0
D．2x－y－12＝0
【解析】
由题意结合中点坐标公式，得M(2，4)，N(3，2)．由两点式可得方程为＝，化为一般式，得2x＋y－8＝0，故选A.
【答案】
A
5．(2017·江西九江二模)过点P(－2，2)作直线l，使直线l与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，则这样的直线l一共有(　　)
A．3条
B．2条
C．1条
D．0条
【解析】
假设存在过点P(－2，
( http: / / www.21cnjy.com )2)的直线l，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为8.设直线l的方程为＋＝1，则＋＝1，即2a－2b＝ab.
直线l与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积S＝－ab＝8，即ab＝－16.
联立解得
故直线l的方程为＋＝1，即x－y＋4＝0，即这样的直线有且只有一条，故选C.
【答案】
C
6．(2017·黑龙江哈六中月考)过点P
( http: / / www.21cnjy.com )(3，0)作一直线l，使它被两直线l1：2x－y－2＝0和l2：x＋y＋3＝0所截的线段AB以P为中心，则直线l的方程为________．
【解析】
(1)当k不存在时，l：x＝3不
( http: / / www.21cnjy.com )满足题意；(2)当k存在时，设直线l：y＝k(x－3)，可得A，B.由中点坐标公式得k＝8，所以直线l的方程为y＝8x－24.
【答案】
y＝8x－24
7．(2017·河南郑州一中月考)若点P为x轴上的一点A(1，1)，B(3，4)，则|PA|＋|PB|的最小值是________．
【解析】
点A(1，1)关于x轴的对称点为A′(1，－1)，则|PA|＋|PB|的最小值是线段A′B的长，为.
【答案】
8．直线l：ax＋(a＋1)y＋2＝0的倾斜角大于45°，则a的取值范围是________．
【解析】
当a＝－1时，直线l的倾斜角为90°，符合要求；
当a≠－1时，直线l的斜率为－，只要－＞1或者－＜0即可，
解得－1＜a＜－或者a＜－1或者a＞0.
综上可知，实数a的取值范围是∪(0，＋∞)．
【答案】
∪(0，＋∞)
9．设直线l：(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y－2m＋6＝0(m≠－1)，根据下列条件分别确定m的值：
(1)直线l在x轴上的截距为－3；
(2)直线l的斜率为1.
【解析】
(1)∵l在x轴上的截距为－3，
∴－2m＋6≠0，即m≠3，又m≠－1，
∴m2－2m－3≠0.
令y＝0，得x＝，
由题意知，＝－3，
解得m＝－.
(2)由题意知2m2＋m－1≠0，
且－＝1，解得m＝.
10．已知点P(2，－1)．
(1)求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程；
(2)求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？
(3)是否存在过点P且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．
【解析】
(1)过点P的直线l与原点的距离为2，而点P的坐标为(2，－1)，显然，过点P(2，－1)且垂直于x轴的直线满足条件，
此时l的斜率不存在，其方程为x＝2.
若斜率存在，设l的方程为y＋1＝k(x－2)，
即kx－y－2k－1＝0.
由已知得＝2，
解得k＝.
此时l的方程为3x－4y－10＝0.
综上，可得直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.
(2)作图可得过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线，如图所示．
由l⊥OP，得klkOP＝－1，
所以kl＝－＝2.
由直线方程的点斜式，
得y＋1＝2(x－2)，
即2x－y－5＝0.
所以直线2x－y－5＝0是过点P且与原点O的距离最大的直线，最大距离为＝.
(3)由(2)可知，过点P不存在到原点的距离超过的直线，因此不存在过点P且到原点的距离为6的直线．
B组　专项能力提升
(时间：25分钟)
11．(2017·广州模拟)已知直线l1：2ax＋(a＋1)y＋1＝0，l2：(a＋1)x＋(a－1)y＝0，若l1⊥l2，则a＝(　　)
A．2或
B.或－1
C.
D．－1
【解析】
∵直线l1：2ax＋(a
( http: / / www.21cnjy.com )＋1)y＋1＝0，l2：(a＋1)x＋(a－1)y＝0，l1⊥l2，∴2a(a＋1)＋(a＋1)(a－1)＝0，解得a＝或a＝－1.故选B.
【答案】
B
12．(2017·四川成都新津中学月考)若点P(1，1)为圆(x－3)2＋y2＝9的弦MN的中点，则弦MN所在直线方程为________．
【解析】
∵P(1，1)为圆(
( http: / / www.21cnjy.com )x－3)2＋y2＝9的弦MN的中点，圆心与P点确定的直线斜率为＝－，∴弦MN所在直线的斜率为2，则弦MN所在直线的方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.
【答案】
2x－y－1＝0
13．(2017·河南豫东、豫北
( http: / / www.21cnjy.com )十校联考)△ABC的三个顶点为A(－3，0)，B(2，1)，C(－2，3)，则边BC的垂直平分线DE的方程为________．
【解析】
设BC中点D的坐标
( http: / / www.21cnjy.com )为(x，y)，则x＝＝0，y＝＝2，即(0，2)．∵直线BC的斜率k1＝－，∴BC的垂直平分线DE的斜率k2＝2，∴直线DE的方程为2x－y＋2＝0.
【答案】
2x－y＋2＝0
14．如图，射线OA、OB分别与x
( http: / / www.21cnjy.com )轴正半轴成45°和30°角，过点P(1，0)作直线AB分别交OA、OB于A、B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝x上时，求直线AB的方程．
【解析】
由题意可得kOA＝tan
45°＝1，
kOB＝tan(180°－30°)＝－，
所以直线lOA：y＝x，lOB：y＝－x.
设A(m，m)，B(－n，n)，
所以AB的中点C，
由点C在y＝x上，且A、P、B三点共线得
解得m＝，所以A(，)．
又P(1，0)，所以kAB＝kAP＝＝，
所以lAB：y＝(x－1)，
即直线AB的方程为(3＋)x－2y－3－＝0.
15．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；
(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．
【解析】
(1)证明
直线l的方程是k(x＋2)＋(1－y)＝0，
令解得
∴无论k取何值，直线总经过定点(－2，1)．
(2)由方程知，当k≠0时直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有解得k＞0；
当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k≥0.
(3)由l的方程，得A，B(0，1＋2k)．
依题意得
解得k＞0.
∵S＝·|OA|·|OB|＝··|1＋2k|
＝·＝≥×(2×2＋4)＝4，
“＝”成立的条件是k＞0且4k＝，即k＝，
∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.( http: / / www.21cnjy.com )
A组　专项基础训练
(时间：30分钟)
1．(2016·安徽安庆二模，1)若集合P＝{x||x|＜3，且x∈Z}，Q＝{x|x(x－3)≤0，且x∈N}，则P∩Q等于(　　)
A．{0，1，2}　　　　　　　
　B．{1，2，3}
C．{1，2}
D．{0，1，2，3}
【解析】
由题意得P＝{－2，－1，0，1，2}，Q＝{0，1，2，3}，∴P∩Q＝{0，1，2}．
【答案】
A
2．(2016·佛山模拟)已知函数f(x)＝则不等式f(x)≥x2的解集为(　　)
A．[－1，1]
B．[－2，2]
C．[－2，1]
D．[－1，2]
【解析】
方法一　当x≤0时，x＋2≥x2，
∴－1≤x≤0；①
当x＞0时，－x＋2≥x2，∴0＜x≤1.②
由①②得原不等式的解集为{x|－1≤x≤1}．
方法二　作出函数y＝f(x)和函数y＝x2的图象，如图，由图知f(x)≥x2的解集为[－1，1]．
【答案】
A
3．(2016·山东省实验中学第一次诊断)不等式－x2＋|x|＋2＜0的解集是(　　)
A．{x|－2＜x＜2}
B．{x|x＜－2或x＞2}
C．{x|－1＜x＜1}
D．{x|x＜－1或x＞1}
【解析】
原不等式化为|x|2－|x|－2＞0，
所以(|x|－2)(|x|＋1)＞0.
因为|x|＋1＞0，所以|x|－2＞0，即|x|＞2，
解得x＜－2或x＞2.故选B.
【答案】
B
4．(2016·吉林长春外国语学校第二次质检)若关于x的不等式ax－b＞0的解集是(－∞，－2)，则关于x的不等式＞0的解集为(　　)
A．(－2，0)∪(1，＋∞)
B．(－∞，0)∪(1，2)
C．(－∞，－2)∪(0，1)
D．(－∞，1)∪(2，＋∞)
【解析】
关于x的不等式ax－b＞0的解集是(－∞，－2)，∴a＜0，＝－2，∴b＝－2a，∴＝.∵a＜0，
∴＜0，解得x＜0或1＜x＜2.故选B.
【答案】
B
5．(2016·北京东城示范
( http: / / www.21cnjy.com )校上学期综合)已知f(x)＝不等式f(x＋a)＞f(2a－x)在[a，a＋1]上恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2)
B．(－∞，0)
C．(0，2)
D．(－2，0)
【解析】
因为f(x)为R上的减函数，故f(x＋a)＞f(2a－x) x＋a＜2a－x，从而2x＜a，所以2(a＋1)＜a，解得a＜－2.
【答案】
A
6．(2016·山东潍坊期末)对任意实数x，若不等式4x－m·2x＋1＞0恒成立，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－∞，2)
B．(－2，2)
C．(－∞，2]
D．[－2，2]
【解析】
令t＝2x，则t＞0.不
( http: / / www.21cnjy.com )等式可变形为t2－mt＋1＞0，即不等式t2－mt＋1＞0对t＞0恒成立，当≤0，即m≤0时，显然成立；当＞0，即m＞0时，Δ＝m2－4＜0，解得0＜m＜2.综上，实数m的取值范围是(－∞，2)．故选A.
【答案】
A
7．(2016·浙江金华磐安二中期中)若对任意正实数a，不等式x2＜1＋a恒成立，则实数x的最小值为________．
【解析】
∵a是正实数，∴1＋a＞1，∴不等式x2＜1＋a恒成立等价于x2≤1，解得－1≤x≤1，∴实数x的最小值为－1.
【答案】
－1
8．若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为，则不等式2x2＋bx＋a＜0的解集是________．
【解析】
由题意，知－和是一元二次方程ax2＋bx＋2＝0的两根且a＜0，
所以
解得
则不等式2x2＋bx＋a＜0，即2x2－2x－12＜0，所以x2－x－6＜0，解得－2＜x＜3.
【答案】
{x|－2＜x＜3}
9．(2016·甘肃白银会宁一中第三次月考
( http: / / www.21cnjy.com ))若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．
【解析】
当a－2＝0，即a＝2时不等式为－4＜0，
对一切x∈R恒成立．
当a≠2时，则
即解得－2＜a＜2.
∴实数a的取值范围是(－2，2]
【答案】
(－2，2]
10．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，函数F(x)＝f(x)－x的两个零点为m，n(m＜n)．
(1)若m＝－1，n＝2，求不等式F(x)＞0的解集；
(2)若a＞0，且0＜x＜m＜n＜，比较f(x)与m的大小．
【解析】
(1)由题意知，F(x)＝f(x)－x＝a(x－m)(x－n)．
当m＝－1，n＝2时，不等式F(x)＞0，
即a(x＋1)(x－2)＞0.
当a＞0时，不等式F(x)＞0的解集为{x|x＜－1或x＞2}；
当a＜0时，不等式F(x)＞0的解集为{x|－1＜x＜2}．
(2)f(x)－m＝F(x)＋x－m＝a(x－m)(x－n)＋x－m
＝(x－m)(ax－an＋1)，
∵a＞0，且0＜x＜m＜n＜，
∴x－m＜0，1－an＋ax＞0.
∴f(x)－m＜0，即f(x)＜m.
B组　专项能力提升
(时间：20分钟)
11．(2016·安徽皖北第一次联考)若不等式ax2＋bx＋2＜0的解集为，则的值为(　　)
A.
B.
C．－
D．－
【解析】
由题意得ax2＋bx＋2＝0的两根为－与，∴－＝－＋＝－，则＝1－＝1－＝.
【答案】
A
12．(2016·天津南开中学统练)设0＜b＜1＋a，若关于x的不等式(x－b)2＞(ax)2的解集中的整数解恰有3个，则(　　)
A．－1＜a＜0
B．0＜a＜1
C．1＜a＜3
D．3＜a＜6
【解析】
关于x的不等式(x－b)
( http: / / www.21cnjy.com )2＞(ax)2，即(a2－1)x2＋2bx－b2＜0，∵0＜b＜1＋a，[(a＋1)x－b][(a－1)x＋b]＜0的解集中的整数解恰有3个，∴a＞1，∴不等式的解集为＜x＜＜1，∴解集里的三个整数是－2，－1，0.
∴－3≤－＜－2，∴2＜≤3，2a－2＜b≤3a－3.
∵b＜1＋a，∴2a－2＜1＋a，∴a＜3，综上，1＜a＜3.故选C.
【答案】
C
13．(2016·辽宁鞍山模拟)当x∈(－∞，1]时，不等式＞0恒成立，则实数a的取值范围为________．
【解析】
因为a2－a＋1
( http: / / www.21cnjy.com )＝＋＞0，所以不等式＞0恒成立等价于1＋2x＋4x·a＞0恒成立．由1＋2x＋4x·a＞0，得－a＜＋＝＋，而函数y＝＋为减函数，所以当x∈(－∞，1]时，ymin＝＋＝，所以－a＜，即a＞－.所以实数a的取值范围为.
【答案】
14．(2016·山东泰安月考)命
( http: / / www.21cnjy.com )题p：关于x的不等式x2＋2ax＋4＞0对一切x∈R恒成立；命题q：函数f(x)＝(3－2a)x是增函数．若p或q为真，p且q为假，则实数a的取值范围是________．
【解析】
①对于命题p：关于x的不等式x2＋2ax＋4＞0对于一切x∈R恒成立，∴Δ＝4a2－16＜0，解得－2＜a＜2.
②对于命题q：函数f(x)＝(3－2a)x是增函数，∴3－2a＞1，解得a＜1.
当p为真，且q为假时，有解得1≤a＜2.
当p为假，且q为真时，有解得a≤－2.
综上，实数a的取值范围为(－∞，－2]∪[1，2)．
【答案】
(－∞，－2]∪[1，2)
15．(2016·云南大理)已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6.
(1)解关于a的不等式f(1)＞0；
(2)若不等式f(x)＞b的解集为(－1，3)，求实数a、b的值．
【解析】
(1)∵f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6，
∴f(1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a2＋6a＋3，
∴原不等式可化为a2－6a－3＜0，解得3－2＜a＜3＋2.
∴原不等式的解集为{a|3－2＜a＜3＋2}．
(2)f(x)＞b的解集为(－1，3)等价于方程－3x2＋a(6－a)x＋6－b＝0的两根为－1，3，
等价于解得( http: / / www.21cnjy.com )
A组　专项基础训练
(时间：35分钟)
1．(2015·广东)已知双曲线C：－＝1的离心率e＝，且其右焦点为F2(5，0)，则双曲线C的方程为(　　)
A.－＝1　　　　　　　　　B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
【解析】
因为所求双曲线的右
( http: / / www.21cnjy.com )焦点为F2(5，0)且离心率为e＝＝，所以c＝5，a＝4，b2＝c2－a2＝9，所以所求双曲线方程为－＝1，故选C.
【答案】
C
2．(2016·安徽安庆二模)双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝2x，则双曲线C的离心率是(　　)
A.
B.
C．2
D.
【解析】
由双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝2x，可得＝2，∴e＝＝＝.故选A.
【答案】
A
3．(2016·广东茂名二模)已
( http: / / www.21cnjy.com )知双曲线：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，焦距为2c，直线y＝(x＋c)与双曲线的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则双曲线的离心率为(　　)
A.
B.
C．2
D.＋1
【解析】
∵直线y＝(x＋c)过
( http: / / www.21cnjy.com )左焦点F1，且其倾斜角为60°，∴∠MF1F2＝60°，∠MF2F1＝30°.∴∠F1MF2＝90°，即F1M⊥F2M.
∴|MF1|＝|F1F2|
( http: / / www.21cnjy.com )＝c，|MF2|＝|F1F2|·sin
60°＝c，由双曲线的定义有：|MF2|－|MF1|＝c－c＝2a，∴离心率e＝＝＝＋1，故选D.
【答案】
D
4．(2015·课标全国Ⅰ)已
( http: / / www.21cnjy.com )知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点．若·<0，则y0的取值范围是(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】
由题意知a＝，b＝1，c＝，
∴F1(－，0)，F2(，0)，
∴＝(－－x0，－y0)，＝(－x0，－y0)．
∵·＜0，∴(－－x0)(－x0)＋y＜0，
即x－3＋y＜0.∵点M(x0，y0)在双曲线上，
∴eq
\f(x,2)－y＝1，即x＝2＋2y，
∴2＋2y－3＋y＜0，∴－＜y0＜.故选A.
【答案】
A
5．(2017·安徽江南十校3
( http: / / www.21cnjy.com )月联考)已知l是双曲线C：－＝1的一条渐近线，P是l上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若·＝0，则P到x轴的距离为(　　)
A.
B.
C．2
D.
【解析】
F1(－，0)，F2(
( http: / / www.21cnjy.com )，0)，不妨设l的方程为y＝x，则可设P(x0，x0)，由·＝(－－x0，－x0)·(－x0，－x0)＝3x－6＝0，得x0＝±，故P到x轴的距离为|x0|＝2，故选C.
【答案】
C
6．(2015·北京)已知双曲线－y2＝1(a>0)的一条渐近线为x＋y＝0，则a＝________．
【解析】
双曲线－y2＝1的渐近线为y＝±，已知一条渐近线为x＋y＝0，即y＝－x，因为a>0，所以＝，所以a＝.
【答案】
7．(2016·福建漳州
( http: / / www.21cnjy.com )二模)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点为F1、F2，P为双曲线C右支上异于顶点的一点，△PF1F2的内切圆与x轴切于点(1，0)，且P与点F1关于直线y＝－对称，则双曲线的方程为________．
【解析】
设点A(1，0)，因
( http: / / www.21cnjy.com )为△PF1F2的内切圆与x轴切于点(1，0)，则|PF1|－|PF2|＝|AF1|－|AF2|，所以2a＝(c＋1)－(c－1)，则a＝1.因为点P与点F1关于直线y＝－对称，所以∠F1PF2＝，且＝＝b，结合|PF1|－|PF2|＝2，|PF1|2＋|PF2|2＝4c2＝4＋4b2，可得b＝2.所以双曲线的方程为x2－＝1.
【答案】
x2－＝1
8．(2016·北京)已
( http: / / www.21cnjy.com )知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线为2x＋y＝0，一个焦点为(，0)，则a＝________；b＝________．
【解析】
由题可知双曲线焦点在x轴上，故渐近线方程为y＝±x，又一条渐近线为2x＋y＝0，即y＝－2x，
∴＝2，即b＝2a.
又∵该双曲线的一个焦点为(，0)，
∴c＝.
由a2＋b2＝c2可得a2＋(2a)2＝5，
解得a＝1，b＝2.
【答案】
1　2
9．(2016·山东)已
( http: / / www.21cnjy.com )知双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)．若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________．
【解析】
由已知得|AB|＝|CD|＝，|BC|＝|AD|＝|F1F2|＝2c.
因为2|AB|＝3|BC|，所以＝6c，
又b2＝c2－a2，所以2e2－3e－2＝0，
解得e＝2，或e＝－(舍去)．
【答案】
2
10．已知椭圆C1的方程为＋y2＝1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点．
(1)求双曲线C2的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且·>2(其中O为原点)，求k的取值范围．
【解析】
(1)设双曲线C2的方程为－＝1(a>0，b>0)，
则a2＝3，c2＝4，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1.
故C2的方程为－y2＝1.
(2)将y＝kx＋代入－y2＝1，
得(1－3k2)x2－6kx－9＝0.
由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得
∴k2≠且k2<1.①
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝－.
∴x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋)(kx2＋)
＝(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋2＝.
又·>2，得x1x2＋y1y2>2，
∴>2，即>0，解得由①②得故k的取值范围为∪.
B组　专项能力提升
(时间：25分钟)
11．(2015·重庆)
( http: / / www.21cnjy.com )设双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线，两垂线交于点D，若D到直线BC的距离小于a＋，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是(　　)
A．(－1，0)∪(0，1)
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－，0)∪(0，)
D．(－∞，－)∪(，＋∞)
【解析】
由题作出图象如图所示．
由－＝1可知A(a，0)，F(c，0)．
易得B，C.
∵kAB＝＝，∴kCD＝.
∵kAC＝＝，∴kBD＝－.
∴lBD：y－＝－(x－c)，
即y＝－x＋＋，
lCD：y＋＝(x－c)，
即y＝x－－.
∴xD＝c＋.∴点D到BC的距离为.
∴∴b4b2，∴0<<1.
∴0<<1.∵该双曲线渐近线斜率为k＝±，∴其取值范围为(－1，0)∪(0，1)．
【答案】
A
12．(2016·天津)已知双曲线
( http: / / www.21cnjy.com )－＝1(a＞0，b＞0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线的方程为(　　)
A.－y2＝1
B．x2－＝1
C.－＝1
D.－＝1
【解析】
由题意得c＝，＝，则a＝2，b＝1，所以双曲线的方程为－y2＝1.
【答案】
A
13．(2017·山东东营模拟)在
( http: / / www.21cnjy.com )△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠CBA＝，若双曲线Γ以AB为实轴，且过点C，则Γ的焦距为________．
【解析】
以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系．
设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则由题意，2a＝4，a＝2.
在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠CBA＝，
故C的横坐标为－＝－4，纵坐标为BC＝6.
又因为双曲线过点C，则－＝1，解得b2＝12，因此c2＝a2＋b2＝16，c＝4.
则Γ的焦距为8.
【答案】
8
14．(2016·福建厦门
( http: / / www.21cnjy.com )一中期中)已知点A(2，4)在抛物线y2＝2px上，且抛物线的准线过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点，若双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________．
【解析】
∵点A(2，4)在抛物线y2＝2px上，∴16＝4p，即p＝4.
∴抛物线的准线方程为x＝－2.
又抛物线的准线过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点，∴c＝2，而e＝＝2，∴a＝1，∴b2＝c2－a2＝4－1＝3.
∴该双曲线的方程为x2－＝1.
【答案】
x2－＝1
15．(2017·甘肃兰州诊断)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的方程为y＝x，右焦点F到直线x＝的距离为.
(1)求双曲线C的方程；
(2)斜率为1且在y轴上的截
( http: / / www.21cnjy.com )距大于0的直线l与双曲线C相交于B、D两点，已知A(1，0)，若·＝1，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．
【解析】
(1)依题意有＝，c－＝，
∵a2＋b2＝c2，∴c＝2a，
∴a＝1，c＝2，∴b2＝3，
∴双曲线C的方程为x2－＝1.
(2)证明
设直线l的方程为y＝x＋m(m＞0)，B(x1，x1＋m)，D(x2，x2＋m)，BD的中点为M，
由得2x2－2mx－m2－3＝0，
∴x1＋x2＝m，x1x2＝－，
又∵·＝1，即(2－x1)(2－x2)＋(x1＋m)(x2＋m)＝1，
∴m＝0(舍)或m＝2，
∴x1＋x2＝2，x1x2＝－，M点的横坐标为＝1，
∵·＝(1－x1)(1－x2)＋(x1＋2)(x2＋2)＝5＋2x1x2＋x1＋x2＝5－7＋2＝0，
∴AD⊥AB，∴过A、B、D三点的圆以点M为圆心，BD为直径，
∵点M的横坐标为1，∴MA⊥x轴，
∴过A、B、D三点的圆与x轴相切．( http: / / www.21cnjy.com )
A组　专项基础训练
(时间：35分钟)
1．数列1，3，5，7，…，(2n－1)＋，…的前n项和Sn的值等于(　　)
A．n2＋1－　　　　　　B．2n2－n＋1－
C．n2＋1－
D．n2－n＋1－
【解析】
该数列的通项公式为an＝(2n－1)＋，
则Sn＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋
＝n2＋1－.
【答案】
A
2．(2016·黑龙江哈尔滨六中下学期开学考试)在等比数列{an}中，a3＝9，前3项和为S3＝3x2dx，则公比q的值是(　　)
A．1
B．－
C．1或－
D．－1或－
【答案】
C
3．(2016·长沙模拟)已知
( http: / / www.21cnjy.com )函数f(n)＝n2cos(nπ)，且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100等于(　　)
A．－100
B．0
C．100
D．10
200
【解析】
若n为偶数，则
( http: / / www.21cnjy.com )an＝f(n)＋f(n＋1)＝n2－(n＋1)2＝－(2n＋1)，所以an是首项为a2＝－5，公差为－4的等差数列；若n为奇数，则an＝f(n)＋f(n＋1)＝－n2＋(n＋1)2＝2n＋1，所以an是首项为a1＝3，公差为4的等差数列．
所以a1＋a2＋a3＋…＋
( http: / / www.21cnjy.com )a100＝(a1＋a3＋…＋a99)＋(a2＋a4＋…＋a100)＝50×3＋×4＋50×(－5)－×4＝－100.
【答案】
A
4．(2016·济南模拟)数列{an}中，an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则数列{an}的前12项和等于(　　)
A．76
B．78
C．80
D．82
【解析】
由已知an＋1＋(－1)nan＝
( http: / / www.21cnjy.com )2n－1，得an＋2＋(－1)n＋1·an＋1＝2n＋1，得an＋2＋an＝(－1)n(2n－1)＋(2n＋1)，取n＝1，5，9及n＝2，6，10，结果相加可得S12＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a11＋a12＝78.故选B.
【答案】
B
A.
B.
C.
D.
【答案】
C
6．(2016·河北衡水中学二
( http: / / www.21cnjy.com )调)已知Sn是数列{an}的前n项和，a1＝1，a2＝2，a3＝3，数列{an＋an＋1＋an＋2}是公差为2的等差数列，则S25＝(　　)
A．232
B．233
C．234
D．235
【解析】
∵数列{an＋an＋1＋an＋2}是公差为2的等差数列，
∴an＋3－an＝(an＋1＋an＋2＋an＋3)－(an＋an＋1＋an＋2)＝2，
∴a1，a4，a7，…是首
( http: / / www.21cnjy.com )项为1，公差为2的等差数列，a2，a5，a8，…是首项为2，公差为2的等差数列，a3，a6，a9，…是首项为3，公差为2的等差数列，∴S25＝(a1＋a4＋a7＋…＋a25)＋(a2＋a5＋a8＋…＋a23)＋(a3＋a6＋a9＋…＋a24)＝9×1＋＋8×2＋＋8×3＋＝233，故选B.
【答案】
B
7．(2016·郑州一模
( http: / / www.21cnjy.com ))整数数列{an}满足an＋2＝an＋1－an(n∈N
)，若此数列的前800项的和是2
013，前813项的和是2
000，则其前2
017项的和为________．
【解析】
由an＋2＝an＋
( http: / / www.21cnjy.com )1－an，得an＋2＝an－an－1－an＝－an－1，易得该数列是周期为6的数列，且an＋2＋an－1＝0，S800＝a1＋a2＝2
013，S813＝a1＋a2＋a3＝2
000，
∴∴
∴依次可得a5＝－1
000，a6＝13，
由此可知an＋1＋an＋2＋an＋3＋an＋4＋an＋5＋an＋6＝0，
∴S2
017＝a1＝1
013.
【答案】
1
013
8．(2016·洛阳统考)已知正项数列
( http: / / www.21cnjy.com ){an}的前n项和为Sn， n∈N
，2Sn＝a＋an，令bn＝，设{bn}的前n项和为Tn，则在T1，T2，T3，…，T100中有理数的个数为________．
【解析】
∵2Sn＝a＋an，①
∴2Sn＋1＝a＋an＋1，②
②－①，得2an＋1＝a＋an＋1－a－an，a－a－an＋1－an＝0.
(an＋1＋an)(an＋1－an－1)＝0.
又∵{an}为正项数列，
∴an＋1－an－1＝0.
即an＋1－an＝1.
在2Sn＝a＋an中，令n＝1，可得a1＝1.
∴数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列，
∴an＝n.
∴bn＝
＝
＝＝－，
∴Tn＝1－，
∴T1，T2，T3，…，T100中有理数的个数为9.
【答案】
9
9．(2016·玉林、贵港联考)已知数列{an}中，a1＝3，a2＝5，且{an－1}是等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Tn.
【解析】
(1)∵{an－1}是等比数列且a1－1＝2，
a2－1＝4，＝2，
∴an－1＝2·2n－1＝2n，∴an＝2n＋1.
(2)bn＝nan＝n·2n＋n，
故Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝(2＋2×22＋3×23＋…＋n·2n)＋(1＋2＋3＋…＋n)．
令T＝2＋2×22＋3×23＋…＋n·2n.
则2T＝22＋2×23＋3×24＋…＋n·2n＋1.
两式相减，得－T＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1
＝－n·2n＋1，
∴T＝2(1－2n)＋n·2n＋1＝2＋(n－1)·2n＋1.
∵1＋2＋3＋…＋n＝，
∴Tn＝(n－1)·2n＋1＋.
10．(2016·浙江台州九峰高考适应性考试)已知数列{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a2，a4，a8成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{bn}满足：a
( http: / / www.21cnjy.com )1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋anbn＝2n＋1，n∈N
，令cn＝，n∈N
，求数列{cncn＋1}的前n项和Sn.
【解析】
(1)设等差数列{an}的公差为d.
∵a1＝1，且a2，a4，a8成等比数列，
∴a＝a2·a8，即
(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋7d)，
解得d＝0(舍)或d＝1，
∴数列{an}的通项公式为an＝n.
(2)由a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋anbn＝2n＋1，得
a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋an－1bn－1＝2n(n≥2)，
两式相减得anbn＝2n＋1－2n＝2n，
即bn＝(n≥2)，
则cn＝＝，cn＋1＝＝，
∴cncn＋1＝＝－，
∴Sn＝－＋－＋…＋－＝－＝.
B组　专项能力提升
(时间：20分钟)
11．(2016·福建厦门一中周考)已知数列{an}是等比数列，若a2a5a8＝－8，则＋＋(　　)
A．有最大值　　　　
B．有最小值
C．有最大值
D．有最小值
【解析】
因为数列{an}是等比数列，所以a2a5a8＝(a5)3＝－8，即a5＝－2，所以＋＋＝＋＋＝1＋，
由a5＝a1q4＝－2＜0知
( http: / / www.21cnjy.com )，a1＜0，a9＜0，所以－－≥2＝3，当且仅当a9＝9a1时，等号成立，即＋＋≥1＋＝，故选D.
【答案】
D
12．已知数列{an}中，a1＝8，且2an＋1＋an＝6，其前n项和为Sn，则满足不等式|Sn－2n－4|＜的最小正整数n是(　　)
A．12
B．13
C．15
D．16
【解析】
2an＋1＋an＝6 an＋1－2＝－(an－2)，
所以{an－2}是首项为6，公比为－的等比数列，an－2＝6×，
则Sn＝2n＋4－4×，
∴Sn－2n－4＝－4×.
∴|Sn－2n－4|＜ ＜ 2n－2＞2
008，又210＝1
024，211＝2
048，所以满足条件的最小正整数n＝13，故选B.
【答案】
B
13．(2016·昆明统考)在数列{an}中
( http: / / www.21cnjy.com )，an＞0，a1＝，如果an＋1是1与eq
\f(2anan＋1＋1,4－a)的等比中项，那么a1＋＋＋＋…＋的值是________．
【解析】
由题意可得，a＝eq
\f(2anan＋1＋1,4－a) (2an＋1＋anan＋1＋1)(2an＋1－anan＋1－1)＝0，又an＞0，∴2an＋1－anan＋1－1＝0，又2－an≠0，∴an＋1＝ an＋1－1＝，又可知an≠1，∴＝－1，
∴是以－2为首项，－1为公差的等差
( http: / / www.21cnjy.com )数列，∴＝－2－(n－1)＝－n－1 an＝ ＝＝－，∴a1＋＋＋＋…＋＝1－＋－＋－＋－＋…＋－＝.
【答案】
14．(2016·北京)已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和．
【解析】
(1)等比数列{bn}的公比q＝＝＝3，
所以b1＝＝1，b4＝b3q＝27.
设等差数列{an}的公差为d.
因为a1＝b1＝1，a14＝b4＝27，
所以1＋13d＝27，即d＝2.
所以an＝2n－1(n＝1，2，3，…)．
(2)由(1)知，an＝2n－1，bn＝3n－1，
因此cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1.
从而数列{cn}的前n项和
Sn＝1＋3＋…＋(2n－1)＋1＋3＋…＋3n－1
＝＋
＝n2＋.
15．(2016·山西太原二模)已知公比
( http: / / www.21cnjy.com )q＞0的等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，S3＝7.数列{bn}中，b1＝0，b3＝1.
(1)若数列{an＋bn}是等差数列，求an，bn；
(2)在(1)的条件下，求数列{bn}的前n项和Tn.
【解析】
(1)由题意得S3＝1＋q＋q2＝7，
∴q＝－3或q＝2.
∵q＞0，∴q＝2，∴an＝2n－1.
∴a1＋b1＝1，a3＋b3＝5，
∴数列{an＋bn}的公差d＝2，
∴an＋bn＝2n－1.
∴bn＝2n－1－an＝2n－1－2n－1.
(2)由(1)知bn＝2n－1－2n－1，
∴Tn＝(1－20)＋(3－21)＋(5－22)＋…＋[(2n－1)－2n－1]
＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]－(20＋21＋22＋…＋2n－1)
＝n2－2n＋1.( http: / / www.21cnjy.com )
A组　专项基础训练
(时间：40分钟)
1．在△ABC中，(＋)·＝||2，则△ABC的形状一定是(　　)
A．等边三角形　　　　　　　　B．等腰三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
【解析】
由(＋)·＝||2，
得·(＋－)＝0，
即·(＋＋)＝0，2·＝0，
∴⊥，∴A＝90°.
又根据已知条件不能得到||＝||，
故△ABC一定是直角三角形．
【答案】
C
2．已知点A(－2，0)，B(3，0)，动点P(x，y)满足·＝x2，则点P的轨迹是(　　)
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
【解析】
∵＝(－2－x，－y)，＝(3－x，－y)，
∴·＝(－2－x)(3－x)＋y2＝x2，
∴y2＝x＋6.
即点P的轨迹是抛物线．
【答案】
D
3．在△ABC所在平面上有一点P，满足＋＋＝，则△PAB与△ABC的面积的比值是(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】
由题意可得＝2，
所以P是线段AC的三等分点(靠近点A)，
易知S△PAB＝S△ABC，即S△PAB∶S△ABC＝1∶3.
【答案】
A
4．共点力F1＝(lg
2
( http: / / www.21cnjy.com )，lg
2)，F2＝(lg
5，lg
2)作用在物体M上，产生位移s＝(2lg
5，1)，则共点力对物体做的功W为(　　)
A．lg
2
B．lg
5
C．1
D．2
【解析】
F1＋F2＝(1，2lg
2)．
∴W＝(F1＋F2)·s＝(1，2lg
2)·(2lg
5，1)
＝2lg
5＋2lg
2＝2.
【答案】
D
5．若函数y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图象如图所示，M，N分别是这段图象的最高点和最低点，且·＝0(O为坐标原点)，则A等于(　　)
A.
B.π
C.π
D.π
【解析】
由题意知M，N，
又∵·＝×－A2＝0，∴A＝π.
【答案】
B
6．(2017·福建四地
( http: / / www.21cnjy.com )六校第一次联考)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，a＋b＝(，1)，则向量a与b的夹角是________．
【解析】
设向量a与b的夹角是θ，则a·b＝1××cos
θ＝cos
θ，
由|a＋b|＝＝
＝＝2，可得cos
θ＝0，∴θ＝.
【答案】
7．(2017·甘肃兰州二模)已知△
( http: / / www.21cnjy.com )ABC中的内角为A，B，C，重心为G，若2sin
A·＋sin
B·＋3sin
C·＝0，则cos
B＝________．
【解析】
设a，b，c为内角A，B
( http: / / www.21cnjy.com )，C所对的边，由正弦定理可得2a＋b＋3c＝0，∴2a＋b＝－3c＝3c(＋)，即(2a－3c)＋(b－3c)·＝0.
∵，不共线，则2a－3c＝0，b－3c＝0，即2a＝b＝3c.
∴a＝，c＝，∴cos
B＝＝.
【答案】
8．(2017·陕西西安模拟)已知直线
( http: / / www.21cnjy.com )ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝1相交于A，B两点，且
||＝，则·＝________．
【解析】
因为圆的半径为1，||＝，所以∠AOB＝120°，
所以·＝1×1×cos
120°＝－.
【答案】
－
9．(2016·江西新余三校联考)已知a＝(cos
x，2cos
x)，b＝(2cos
x，sin
x)，f(x)＝a·b.
(1)把f(x)图象向右平移个单位长度得到g(x)的图象，求g(x)的单调递增区间；
(2)当a≠0，a与b共线时，求f(x)的值．
【解析】
(1)∵f(x)＝a·b＝2cos2x＋2sin
xcos
x＝sin
2x＋cos
2x＋1＝sin＋1.
∴g(x)＝sin＋1
＝sin＋1.
由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z得，
－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
∴g(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)∵a≠0，a与b共线，∴cos
x≠0，
∴sin
xcos
x－4cos2x＝0，∴tan
x＝4.
∴f(x)＝2cos2x＋2sin
xcos
x＝＝＝.
10．(2016·黄冈中学期中)已知向量a＝，b＝(cos
x，－1)．
(1)当a∥b时，求cos2x－sin
2x的值；
(2)设函数f(x)＝2(a＋b)
( http: / / www.21cnjy.com )·b，已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，sin
B＝，求f(x)＋4cos的取值范围．
【解析】
(1)因为a∥b，
所以cos
x＋sin
x＝0，
所以tan
x＝－.
cos2x－sin
2x＝＝＝.
(2)f(x)＝2(a＋b)·b＝sin＋.
由正弦定理＝，得
sin
A＝，所以A＝，或A＝.
因为b＞a，所以A＝.
f(x)＋4cos＝sin－，
因为x∈，所以2x＋∈，
－1≤f(x)＋4cos≤－.
∴所求范围是.
B组　专项能力提升
(时间：20分钟)
11．(2016·石家庄调研)若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，则|a＋b－c|的最小值为(　　)
A.－1　　　　　　　　　　
　B．1
C.＋1
D.
【解析】
∵a·b＝0，且|a|＝|b|＝|c|，
所以|a＋b|＝，
又∵(a＋b)·c＝|a＋b||c|cos〈a＋b，c〉＝cos〈a＋b，c〉，
∴|a＋b－c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b－2a·c－2b·c＝3－2(a＋b)·c＝3－2cos〈(a＋b)，c〉，
所以当cos〈(a＋b)，c〉＝1时，
|a＋b－c|＝3－2＝(－1)2，
所以|a＋b－c|的最小值为－1.
【答案】
A
12．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的函数f(x)＝x3＋|a|x2＋a·bx在R上有极值，则向量a与b的夹角的范围是(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】
设a与b的夹角为θ.
∵f(x)＝x3＋|a|x2＋a·bx.
∴f′(x)＝x2＋|a|x＋a·b.
∵函数f(x)在R上有极值，
∴方程x2＋|a|x＋a·b＝0有两个不同的实数根，
即Δ＝|a|2－4a·b＞0，∴a·b＜，
又∵|a|＝2|b|≠0，
∴cos
θ＝＜＝，即cos
θ＜，
又∵θ∈[0，π]，∴θ∈，故选C.
【答案】
C
13．(2016·湖南师大附中月考)如图所示，在等腰直角三角形AOB中，OA＝OB＝1，＝4，则·(－)＝________．
【解析】
由已知得||＝，||＝，
则·(－)＝(＋)·＝·＋·＝cos＋×＝－.
【答案】
－
14．(2016·湖北咸宁联考)在
( http: / / www.21cnjy.com )△ABC中，∠ACB为钝角，AC＝BC＝1，＝x＋y，且x＋y＝1.若函数f(m)＝|－m|(m∈R)的最小值为，则||的最小值为________．
【解析】
由＝x＋y，且x＋y＝1，可知A，O，B三点共线，所以||的最小值为AB边上的高，又AC＝BC＝1，即O为AB的中点，且函数f(m)＝|－m|的最小值为，即点A到BC边的距离为.又AC＝1，所以∠ACB＝120°，从而可得||的最小值为.
【答案】
15．(2016·河南三市调研)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(a－c)·＝c·.
(1)求角B的大小；
(2)若|－|＝，求△ABC面积的最大值．
【解析】
(1)由题意得(a－c)cos
B＝bcos
C.
根据正弦定理得(sin
A－sin
C)cos
B＝sin
Bcos
C，
所以sin
Acos
B＝sin(C＋B)，
即sin
Acos
B＝sin
A，因为A∈(0，π)，所以sin
A＞0，所以cos
B＝，又B∈(0，π)，所以B＝.
(2)因为|－|＝，所以||＝，
即b＝，根据余弦定理及基本不等式得6＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝(2－)ac(当且仅当a＝c时取等号)，
即ac≤3(2＋)，
故△ABC的面积S＝acsin
B≤，
即△ABC的面积的最大值为.( http: / / www.21cnjy.com )
A组　专项基础训练
(时间：30分钟)
1．已知命题p：所有有理数都是实数；命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是(　　)
A．(綈p)∨q　　　　　　　　
　B．p∧q
C．(綈p)∧(綈q)
D．(綈p)∨(綈q)
【解析】
不难判断命题p为真命题，命题q为假命题，从而上述叙述中只有(綈p)∨(綈q)为真命题．
【答案】
D
2．(2017·开封模拟)已知命题p，q，“綈p为真”是“p∧q为假”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】
由“綈p为真”可得p为假，故p∧q为假；反之不成立．
【答案】
A
3．已知命题p：“x＞2是x2＞4的充要条件”，命题q：“若＞，则a＞b”，那么(　　)
A．“p或q”为真
B．“p且q”为真
C．p真q假
D．p，q均为假
【解析】
由已知得命题p是假命题，命题q是真命题，因此选A.
【答案】
A
4．(2017·商丘模拟
( http: / / www.21cnjy.com ))已知命题p：函数y＝ax＋1＋1(a＞0且a≠1)的图象恒过点(－1，2)；命题q：已知平面α∥平面β，则直线m∥α是直线m∥β的充要条件．则下列命题为真命题的是(　　)
A．p∧q
B．(綈p)∧(綈q)
C．(綈p)∧q
D．p∧(綈q)
【解析】
由指数函数恒过点(0，1)
( http: / / www.21cnjy.com )知，函数y＝ax＋1＋1是由y＝ax先向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到．所以函数y＝ax＋1＋1恒过点(－1，2)，故命题p为真命题；命题q：m与β的位置关系也可能是m β，故q是假命题．所以p∧(綈q)为真命题．
【答案】
D
5．(2017·安徽皖北片区第一次联考)已知p：x≥k，q：＜1，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是(　　)
A．[2，＋∞)
B．(2，＋∞)
C．[1，＋∞)
D．(－∞，－1)
【解析】
∵＜1，∴－1＝＜0，即(x－2)(x＋1)＞0，∴x＞2或x＜－1，得q：A＝(－∞，－1)∪(2，＋∞)．而p：B＝[k，＋∞)，又∵p是q的充分不必要条件，∴B?A，得k＞2.故选B.
【答案】
B
6．命题p： x∈R，sin
x＜1；命题q： x∈R，cos
x≤－1，则下列结论是真命题的是(　　)
A．p∧q
B．(綈p)∧q
C．p∨(綈q)
D．(綈p)∧(綈q)
【解析】
p是假命题，q是真命题，所以B正确．
【答案】
B
7．已知命题p：所有指数函数都是单调函数，则綈p为(　　)
A．所有的指数函数都不是单调函数
B．所有的单调函数都不是指数函数
C．存在一个指数函数，它不是单调函数
D．存在一个单调函数，它不是指数函数
【解析】
命题p：所有指数函数都是单调函数，则綈p：存在一个指数函数，它不是单调函数．
【答案】
C
8．(2017·太原模拟)已知命题p：
( http: / / www.21cnjy.com )x0∈R，ex0－mx0＝0，q： x∈R，x2＋mx＋1≥0，若p∨(綈q)为假命题，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－∞，0)∪(2，＋∞)
B．[0，2]
C．R
D．
【解析】
若p∨(綈q)为假命题，则p
( http: / / www.21cnjy.com )假q真．命题p为假命题时，有0≤m＜e；命题q为真命题时，有Δ＝m2－4≤0，即－2≤m≤2.所以当p∨(綈q)为假命题时，m的取值范围是0≤m≤2.
【答案】
B
9．命题“ x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是________．
【解析】
否定为全称命题：“ x∈R，x2＋2x＋5≠0”．
【答案】
x∈R，x2＋2x＋5≠0
10．若命题“ x0∈R，x＋(a－1)x0＋1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是________．
【解析】
因为命题“ x0∈R，x＋(a－1)x0＋1＜0”等价于x＋(a－1)x0＋1＝0有两个不等的实根，所以Δ＝(a－1)2－4＞0，即a2－2a－3＞0，解得a＜－1或a＞3.
【答案】
(－∞，－1)∪(3，＋∞)
11．(2017·昆明模拟)由
( http: / / www.21cnjy.com )命题“存在x0∈R，使x＋2x0＋m≤0”是假命题，求得m的取值范围是(a，＋∞)，则实数a的值是________．
【解析】
∵命题“存在x0∈R，使
( http: / / www.21cnjy.com )x＋2x0＋m≤0”是假命题，∴命题“ x∈R，x2＋2x＋m＞0”是真命题，故Δ＝22－4m＜0，即m＞1，故a＝1.
【答案】
1
12．下列结论：
①若命题p： x∈R，tan
x＝1；命题q： x∈R，x2－x＋1＞0.则命题“p∧(綈q)”是假命题；
②已知直线l1：ax＋3y－1＝0，l2：x＋by＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是＝－3；
③命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题：“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”．其中正确结论的序号为________．
【解析】
①中命题p为真命题，命题q为真命题，
所以p∧(綈q)为假命题，故①正确；
②当b＝a＝0时，有l1⊥l2，故②不正确；
③正确，所以正确结论的序号为①③.
【答案】
①③
B组　专项能力提升
(时间：15分钟)
13．已知命题p： x∈R，x－2＞lg
x，命题q： x∈R，x2＞0，则(　　)
A．p∨q是假命题
B．p∧q是真命题
C．p∧(綈q)是真命题
D．p∨(綈q)是假命题
【解析】
∵x＝10时，x－2＝8，lg
10＝1，x－2＞lg
x成立，
∴命题p为真命题，又x2≥0，命题q为假命题，
所以p∧(綈q)是真命题．
【答案】
C
14．四个命题：① x∈R，
( http: / / www.21cnjy.com )x2－3x＋2＞0恒成立；② x∈Q，x2＝2；③ x∈R，x2＋1＝0；④ x∈R，4x2＞2x－1＋3x2.其中真命题的个数为(　　)
A．0
B．1
C．2
D．4
【解析】
∵x2－3x＋2＞0，Δ＝(－3)2－4×2＞0，
∴当x＞2或x＜1时，x2－3x＋2＞0才成立，
∴①为假命题．
当且仅当x＝±时，x2＝2，∴不存在x∈Q，使得x2＝2，
∴②为假命题．
对 x∈R，x2＋1≠0，∴③为假命题．
4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，
即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2成立，
∴④为假命题．
∴①②③④均为假命题．
【答案】
A
15．下列结论正确的是(　　)
A．若p： x∈R，x2＋x＋1＜0，则綈p： x∈R，x2＋x＋1＜0
B．若p∨q为真命题，则p∧q也为真命题
C．“函数f(x)为奇函数”是“f(0)＝0”的充分不必要条件
D．命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的否命题为真命题
【解析】
∵x2＋x＋1＜0的否定是x2＋x
( http: / / www.21cnjy.com )＋1≥0，∴A错；若p∨q为真命题，则p、q中至少有一个为真，∴B错；f(x)为奇函数，但f(0)不一定有意义，∴C错；命题“若x2－3x＋2＝0则x＝1”的否命题为“若x2－3x－2≠0，则x≠1”，是真命题，D对．
【答案】
D
16．(2017·河南郑州模拟)已知p：≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，且綈p是綈q的必要而不充分条件，则实数m的取值范围是________．
【解析】
方法一
由≤2，得－2≤x≤10，
∴綈p：A＝{x|x＞10或x＜－2}．
由x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，得
1－m≤x≤1＋m(m＞0)，
∴綈q：B＝{x|x＞1＋m或x＜1－m，m＞0}．
∵綈p是綈q的必要而不充分条件，
∴B?A 解得m≥9.
方法二
∵綈p是綈q的必要而不充分条件，
∴q是p的必要而不充分条件，
∴p是q的充分而不必要条件．
由x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，得
1－m≤x≤1＋m(m＞0)．
∴q：Q＝{x|1－m≤x≤1＋m，m＞0}，
又由≤2，得－2≤x≤10，
∴p：P＝{x|－2≤x≤10}．
∴P?Q 解得m≥9.
【答案】
[9，＋∞)
17．(2017·上海金山中学期中)设p：1
( http: / / www.21cnjy.com )≤x≤3，q：m＋1≤x≤2m＋4，m∈R.若p是q的充分条件，则m的取值范围是________．
【解析】
因为p是q的充分条件，所以[1，3] [m＋1，2m＋4]，则解得－≤m≤0.
【答案】
18．(2017·山东省实验中学第二次诊断性考试)设p：实数x满足x2－4ax＋3a2＜0，其中a≠0；q：实数x满足
(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
(2)若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
【解析】
(1)由x2－4ax＋3a2＜0，得(x－3a)(x－a)＜0.
当a＝1时，解得1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3.
由得2＜x≤3，即q为真时实数x的取值范围是2＜x≤3.
若p∧q为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是2＜x＜3.
(2)p是q的必要不充分条件，即q可以推出p，但p推不出q.
设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则B是A的真子集．
又B＝(2，3]，当a＞0时，A＝(a，3a)；
当a＜0时，A＝(3a，a)．
所以当a＞0时，有解得1＜a≤2；
当a＜0时，显然A∩B＝ ，不合题意．
所以实数a的取值范围是(1，2].( http: / / www.21cnjy.com )
A组　专项基础训练
(时间：35分钟)
1．(2017·温州月考)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln
x，则f′(1)等于(　　)
A．－e　　　　　　　　　　　　B．－1
C．1
D．e
【解析】
由f(x)＝2xf′(1)＋ln
x，得f′(x)＝2f′(1)＋.
∴f′(1)＝2f′(1)＋1，则f′(1)＝－1.
【答案】
B
2．(2017·雅安模拟)设曲线y＝ex＋ax在点(0，1)处的切线与直线x＋2y－1＝0垂直，则实数a＝(　　)
A．3
B．1
C．2
D．0
【解析】
∵与直线x＋2y－1＝0垂直的直线斜率为2，
∴f′(0)＝e0＋a＝2，解得a＝2.
【答案】
C
3．已知f1(x)＝sin
x＋cos
x
( http: / / www.21cnjy.com )，fn＋1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N
，则f2
016(x)等于(　　)
A．－sin
x－cos
x
B．sin
x－cos
x
C．－sin
x＋cos
x
D．sin
x＋cos
x
【解析】
∵f1(x)＝sin
x＋cos
x，
∴f2(x)＝f1′(x)＝cos
x－sin
x，
∴f3(x)＝f2′(x)＝－sin
x－cos
x，
∴f4(x)＝f3′(x)＝－cos
x＋sin
x，
∴f5(x)＝f4′(x)＝sin
x＋cos
x＝f1(x)，
∴fn(x)是以4为周期的函数，
∴f2
016(x)＝f4(x)＝sin
x－cos
x，故选B.
【答案】
B
4．(2017·北京东城期中)曲线f(x)＝在点(1，f(1))处的切线方程是(　　)
A．x＝1
B．y＝
C．x＋y＝1
D．x－y＝1
【解析】
f(x)＝的导数为f′(x)＝，因此曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为k＝f′(1)＝0，切点坐标为，因此曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝.故选B.
【答案】
B
5．(2017·南昌二中模拟)设点P是曲线y＝x3－x＋上的任意一点，P点处切线倾斜角α的取值范围为(　　)
A.∪
B.
C.∪
D.
【解析】
因为y′＝3x2－≥－，故切线斜率k≥－，所以切线倾斜角α的取值范围是∪.
【答案】
C
6．(2017·陕西西安地区八校第三次联考)函数f(x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是(　　)
A．0＜f′(2)＜f′(3)＜f(3)－f(2)
B．0＜f′(3)＜f(3)－f(2)＜f′(2)
C．0＜f′(3)＜f′(2)＜f(3)－f(2)
D．0＜f(3)－f(2)＜f′(2)＜f′(3)
【解析】
观察题中图象可知，该函数在(
( http: / / www.21cnjy.com )2，3)上为连续可导的增函数，且增长得越来越慢．所以各点处的导数在(2，3)上处处为正，且导数的值逐渐减小，所以f′(2)＞f′(3)．而f(3)－f(2)＝表示连接点(2，f(2))与点(3，f(3))割线的斜率，根据导数的几何意义，一定可以在(2，3)之间找到一点，该点处的切线与割线平行，则割线的斜率就是该点处的切线的斜率，即该点处的导数，则必有0＜f′(3)＜＜f′(2)．故选B.
【答案】
B
7．(2015·课标Ⅰ)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2，7)，则a＝________．
【解析】
由题意可得f′(x)＝3ax2＋1，
∴f′(1)＝3a＋1，
又f(1)＝a＋2，∴f(x
( http: / / www.21cnjy.com ))＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)，又此切线过点(2，7)，
∴7－(a＋2)＝(3a＋1)(2－1)，解得a＝1.
【答案】
1
8．(2017·江西南昌十
( http: / / www.21cnjy.com )所省重点中学二模)设a为实数，函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－3)x的导函数为f′(x)，且f′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为________．
【解析】
∵f(x)＝x3＋ax2
( http: / / www.21cnjy.com )＋(a－3)x，∴f′(x)＝3x2＋2ax＋(a－3)．∵f′(x)是偶函数，∴3(－x)2＋2a(－x)＋(a－3)＝3x2＋2ax＋(a－3)，解得a＝0，∴f(x)＝x3－3x，f′(x)＝3x2－3.则f(2)＝2，f′(2)＝9，即切点为(2，2)，切线的斜率为9，∴曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－2＝9(x－2)，即9x－y－16＝0.
【答案】
9x－y－16＝0
9．(2017·长沙模拟)已知函数f(x)＝x3＋x－16.
(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；
(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．
【解析】
(1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上．
∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，
∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.
∴切线的方程为y＋6＝13(x－2)，
即y＝13x－32.
(2)设切点坐标为(x0，y0)，
则直线l的斜率为f′(x0)＝3x＋1，y0＝x＋x0－16，
∴直线l的方程为y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16.
又∵直线l过原点(0，0)，
∴0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16，整理得，x＝－8，
∴x0＝－2，
∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，得切点坐标(－2，－26)，k＝3×(－2)2＋1＝13.
∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
10．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．
【解析】
(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3.
当x＝2时，y＝.又f′(x)＝a＋，
于是解得故f(x)＝x－.
(2)证明
设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为
y－y0＝eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(3,x)))(x－x0)，
即y－＝eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(3,x)))(x－x0)．
令x＝0，得y＝－，
从而得切线与直线x＝0的交点坐标为.
令y＝x，得y＝x＝2x0，
从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0，2x0)．
所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为S＝|2x0|＝6.
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.
B组　专项能力提升
(时间：20分钟)
11．(2017·惠州模拟)已知函数f(x)＝cos
x，则f(π)＋f′＝(　　)
A．－
B．－
C．－
D．－
【解析】
∵f′(x)＝－cos
x＋(－sin
x)，∴f(π)＋f′＝－＋·(－1)＝－.
【答案】
C
12．(2017·兰州一模)曲边梯形
( http: / / www.21cnjy.com )由曲线y＝x2＋1，y＝0，x＝1，x＝2所围成，过曲线y＝x2＋1(x∈[1，2])上一点P作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，则这一点的坐标为(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】
设P(x0，x＋1)，x0∈[1，2]，则易知曲线y＝x2＋1在点P处的切线方程为y－(x＋1)＝2x0(x－x0)，∴y＝2x0(x－x0)＋x＋1，设g(x)＝2x0(x－x0)＋x＋1，则g(1)＋g(2)＝2(x＋1)＋2x0(1－x0＋2－x0)，∴S普通梯形＝×1＝－x＋3x0＋1＝－＋，
∴P点坐标为时，S普通梯形最大．
【答案】
B
13．(2016·天津)已知函数f(x)＝(2x＋1)ex，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(0)的值为________．
【解析】
∵f′(x)＝2ex＋(2x＋1)ex＝(2x＋3)·ex，
∴f′(0)＝3.
【答案】
3
14．(2015·天津)已知
( http: / / www.21cnjy.com )函数f(x)＝axln
x，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数．若f′(1)＝3，则a的值为________．
【解析】
∵f′(x)＝aln
x＋a，
∴f′(1)＝aln
1＋a＝3，
解得a＝3.
【答案】
3
15．(2017·河北唐山一中月
( http: / / www.21cnjy.com )考)已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12和直线m：y＝kx＋9，且f′(－1)＝0.
(1)求a的值；
(2)是否存在k，使直线m既是曲线y＝f(x)的切线，又是曲线y＝g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．
【解析】
(1)由已知得f′(x)＝3ax2＋6x－6a，
∵f′(－1)＝0，∴3a－6－6a＝0，∴a＝－2.
(2)存在．
由已知得，直线m恒过定点(0，9)，若直线m是曲线y＝g(x)的切线，则设切点为(x0，3x＋6x0＋12)．
∵g′(x0)＝6x0＋6，
∴切线方程为y－(3x＋6x0＋12)
＝(6x0＋6)(x－x0)，
将(0，9)代入切线方程，解得x0＝±1.
当x0＝－1时，切线方程为y＝9；
当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9.
由(1)知f(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11，
①由f′(x)＝0得－6x2＋6x＋12＝0，
解得x＝－1或x＝2.
在x＝－1处，y＝f(x)的切线方程为y＝－18；
在x＝2处，y＝f(x)的切线方程为y＝9，
∴y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9.
②由f′(x)＝12得－6x2＋6x＋12＝12，
解得x＝0或x＝1.
在x＝0处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11；
在x＝1处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10；
∴y＝f(x)与y＝g(x)的公切线不是y＝12x＋9.
综上所述，y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9，此时k＝0.( http: / / www.21cnjy.com )
A组　专项基础训练
(时间：30分钟)
1．(2016·天津)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{y|y＝2x－1，x∈A}，则A∩B＝(　　)
A．{1，3}　　　　　　　　B．{1，2}
C．{2，3}
D．{1，2，3}
【解析】
由题意可得B＝{1，3，5}，∴A∩B＝{1，3}，故选A.
【答案】
A
2．(2017·开封模拟)设集合A＝{n|n＝3k－1，k∈Z}，B＝{x||x－1|＞3}，则A∩( RB)＝(　　)
A．{－1，2}
B．{－2，－1，1，2，4}
C．{1，4}
D．
【解析】
B＝{x|x＞4或x＜－2}，∴ RB＝{x|－2≤x≤4}，∴A∩( RB)＝{－1，2}．
【答案】
A
3．(2017·日照模拟)集合A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝log2x，x＞0}，则A∩B等于(　　)
A．R
B．
C．[0，＋∞)
D．(0，＋∞)
【解析】
A＝{x|y＝}＝{x|x≥0}，B＝{y|y＝log2x，x＞0}＝R.故A∩B＝{x|x≥0}．
【答案】
C
4．(2017·海淀模拟)已知集合P＝{x|x2－x－2≤0}，M＝{－1，0，3，4}，则集合P∩M中元素的个数为(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】
由P中不等式变形得(x－2)(x＋1)≤0，解得－1≤x≤2，即P＝{x|－1≤x≤2}．
∵M＝{－1，0，3，4}，∴P∩M＝{－1，0}，则集合P∩M中元素的个数为2.
【答案】
B
5．(2017·南昌模拟)已知集合M＝{x|x2－4x＜0}，N＝{x|m＜x＜5}，若M∩N＝{x|3＜x＜n}，则m＋n等于(　　)
A．9
B．8
C．7
D．6
【解析】
由x2－4x＜0得0＜x＜4，所
( http: / / www.21cnjy.com )以M＝{x|0＜x＜4}．又因为N＝{x|m＜x＜5}，M∩N＝{x|3＜x＜n}，所以m＝3，n＝4，m＋n＝7.
【答案】
C
6．(2017·郑州模拟)若集合A＝{x|x≥0}，且A∩B＝B，则集合B可能是(　　)
A．{1，2}
B．{x|x≤1}
C．{－1，0，1}
D．R
【解析】
因为A∩B＝B，所以B A，因为{1，2} A，故选A.
【答案】
A
7．(2016·北京)已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|x＜3或x＞5}，则A∩B＝(　　)
A．{x|2＜x＜5}
B．{x|x＜4或x＞5}
C．{x|2＜x＜3}
D．{x|x＜2或x＞5}
【解析】
在数轴上将集合A，B表示出来，如图所示，可得A∩B＝{x|2＜x＜3}，故选C.
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】
C
8．(2017·河南南阳期中)已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}．若P∪M＝P，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1]
B．[1，＋∞)
C．[－1，1]
D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
【解析】
由P∪M＝P，可得M P.∵P＝{x|x2≤1}＝{x|－1≤x≤1}，∴－1≤a≤1.故选C.
【答案】
C
9．若x∈A，则∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M＝的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是________．
【解析】
具有伙伴关系的元素组是－1；，2，
所以具有伙伴关系的集合有3个：
{－1}，，.
【答案】
3
10．(2017·贵阳监测
( http: / / www.21cnjy.com ))已知全集U＝{a1，a2，a3，a4}，集合A是集合U的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件：①若a1∈A，则a2∈A；②若a3 A，则a2 A；③若a3∈A，则a4 A.则集合A＝________．(用列举法表示)
【解析】
若a1∈A，则a2∈A，则由
( http: / / www.21cnjy.com )若a3 A，则a2 A可知，a3∈A，假设不成立；若a4∈A，则a3 A，则a2 A，a1 A，假设不成立，故集合A＝{a2，a3}．
【答案】
{a2，a3}
11．已知集合A＝{(0，1)，(1，1)，(－1，2)}，B＝{(x，y)|x＋y－1＝0，x，y∈Z}，则A∩B＝________．
【解析】
A、B都表示点集，A∩B即是由A中在直线x＋y－1＝0上的所有点组成的集合，代入验证即可．
【答案】
{(0，1)，(－1，2)}
12．已知集合A＝{x∈R||x＋
( http: / / www.21cnjy.com )2|＜3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)＜0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________．
【解析】
A＝{x∈R||x＋2|＜3}＝{x∈R|－5＜x＜1}，
由A∩B＝(－1，n)可知m＜1，
则B＝{x|m＜x＜2}，画出数轴，可得m＝－1，n＝1.
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】
－1　1
B组　专项能力提升
(时间：15分钟)
13．(2016·山东)设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，5}，B＝{3，4，5}，则 U(A∪B)＝(　　)
A．{2，6}
B．{3，6}
C．{1，3，4，5}
D．{1，2，4，6}
【解析】
∵A∪B＝{1，3，4，5}，∴ U(A∪B)＝{2，6}，故选A.
【答案】
A
14．(2016·浙江)已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合P＝{1，3，5}，Q＝{1，2，4}，则( UP)∪Q＝(　　)
A．{1}
B．{3，5}
C．{1，2，4，6}
D．{1，2，3，4，5}
【解析】
∵U＝{1，2，3，4，5，6}，P＝{1，3，5}，
∴ UP＝{2，4，6}，
∵Q＝{1，2，4}，
∴( UP)∪Q＝{1，2，4，6}．
【答案】
C
15．(2017·浙江临海台州中学第三次统练)已知集合A＝{1，2}，B＝{2a－1|a∈A}，则A∪B＝(　　)
A．{1}
B．{1，2}
C．{1，2，3}
D．
【解析】
∵A＝{1，2}，∴B＝{2a－1|a∈A}＝{1，3}，∴A∪B＝{1，2，3}．
【答案】
C
16．(2017·成都模拟)已知集合M＝{x|x＞x2}，N＝，则M∩N＝________．
【解析】
对于集合M，由x＞x2，
( http: / / www.21cnjy.com )解得0＜x＜1，∴M＝{x|0＜x＜1}，∵0＜x＜1，∴1＜4x＜4，∴＜＜2，∴N＝，∴M∩N＝.
【答案】
17．(2017·兰州模拟)集合A＝{x|x2＋x－6≤0}，B＝{y|y＝，0≤x≤4}，则A∩( RB)＝________．
【解析】
A＝{x|x2＋x－6≤0}＝{x|－3≤x≤2}，B＝{y|y＝，0≤x≤4}＝{y|0≤y≤2}，
∴ RB＝{y|y＜0或y＞2}．
∴A∩( RB)＝{x|－3≤x＜0}．
【答案】
[－3，0)
18．(2016·辽宁期末)对于集合M，N，
( http: / / www.21cnjy.com )定义M－N＝{x|x∈M，且x N}，M N＝(M－N)∪(N－M)，设A＝，B＝{x|x＜0，x∈R}，则A B＝________．
【解析】
依题意得A－B＝{x|x≥0，x∈R}，B－A＝，
故A B＝∪[0，＋∞)．
【答案】
∪[0，＋∞)( http: / / www.21cnjy.com )
A组　专项基础训练
(时间：35分钟)
1．(2017·云南玉溪一中月考)
( http: / / www.21cnjy.com )如图所示，若Ω是长方体ABCD A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHC1B1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中不正确的是(　　)
A．EH∥FG　　　　　　　B．四边形EFGH是矩形
C．Ω是棱柱
D．四边形EFGH可能为梯形
【解析】
若FG不平行于EH，则FG与EH
( http: / / www.21cnjy.com )相交，交点必然在直线B1C1上，与EH∥B1C1矛盾，所以FG∥EH，故A正确；由EH⊥平面A1B1BA，得到EH⊥EF，可以得到四边形EFGH为矩形，故B正确；将Ω从正面看过去，就知道是一个五棱柱，故C正确；因为EFGH截去几何体EFGHC1B1后，EH綊B1C1綊GF，所以四边形EFGH不可能为梯形，故D错误．故选D.
【答案】
D
2．(2017·安徽黄山一模)已知正方
( http: / / www.21cnjy.com )体被过一面对角线和它对面两棱中点的平面截去一个三棱台后的几何体的主(正)视图和俯视图如图所示，则它的左(侧)视图是(　　)
【解析】
如图，由题意可知截取三棱台后的几何体是七面体，左视图的轮廓是正方形，因AP不可见，故而用虚线，故选A.
【答案】
A
3．(2015·北京)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为(　　)
A．1
B.
C.
D．2
【解析】
四棱锥的直观图如图所示，PC⊥平面ABCD，PC＝1，底面四边形ABCD为正方形且边长为1，最长棱长PA＝＝.
【答案】
C
4．(2017·豫晋冀上学期第二次调研)
( http: / / www.21cnjy.com )如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球O1，O2，这两个球外切，且球O1与正方体共顶点A的三个面相切，球O2与正方体共顶点B1的三个面相切，则两球在正方体的面AA1C1C上的正投影是(　　)
【解析】
由题意可以判断出两球在正方体
( http: / / www.21cnjy.com )的面AA1C1C上的正投影与正方形相切，排除C，D，把其中一个球扩大为与正方体相切，则另一个球全被挡住，由于两球不等，所以排除A，所以B正确．
【答案】
B
5．(2017·临沂模拟)如图
( http: / / www.21cnjy.com )甲，将一个正三棱柱ABC DEF截去一个三棱锥A BCD，得到几何体BCDEF，如图乙，则该几何体的正视图(主视图)是(　　)
【解析】
由于三棱柱为正三棱
( http: / / www.21cnjy.com )柱，故平面ADEB⊥平面DEF，△DEF是等边三角形，所以CD在后侧面上的投影为AB的中点与D的连线，CD的投影与底面不垂直，故选C.
【答案】
C
6．(2017·南昌一模)如图
( http: / / www.21cnjy.com )，在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，点P是平面A1B1C1D1内一点，则三棱锥P BCD的正视图与侧视图的面积之比为(　　)
A．1∶1
B．2∶1
C．2∶3
D．3∶2
【解析】
根据题意，三棱锥P BCD的
( http: / / www.21cnjy.com )正视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高；侧视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高．故三棱锥P BCD的正视图与侧视图的面积之比为1∶1.
【答案】
A
7．(2017·广东华师附中、广雅中学等四校联考)三棱锥S ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB的长为(　　)
A．16
B.
C．4
D．2
【解析】
由已知中的三视图可得SC⊥平面
( http: / / www.21cnjy.com )ABC，且底面△ABC为等腰三角形．在△ABC中，AC＝4，AC边上的高为2，故BC＝4.在Rt△SBC中，由SC＝4，可得SB＝4.
【答案】
C
8．(2017·江西新余一中四模)如图所示，某三棱锥的正视图、俯视图均为边长为2的正三角形，则其侧视图面积为(　　)
( http: / / www.21cnjy.com )
A．2
B.
C.
D.
【解析】
根据所给的正视图与俯视图的结构特
( http: / / www.21cnjy.com )征可以判定该三棱锥底面为正三角形，一个侧面为正三角形，且该侧面垂直于底面，所以其侧视图为一个底边和高均为的等腰直角三角形，其面积为.故选C.
【答案】
C
9．(2016·北京海淀期末)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥中最长的棱的长度为________．
【解析】
该四棱锥的底面是一个直角梯形，高为2，所以最长的棱的长度为＝2.
【答案】
2
10．如图是一个几何体的正视图和俯视图．
(1)试判断该几何体是什么几何体；
(2)画出其侧视图，并求该平面图形(侧视图)的面积．
【解析】
(1)由该几何体的正视图和俯视图可知该几何体是一个正六棱锥．
(2)该几何体的侧视图如图：
其中AB＝AC，AD⊥BC，且B
( http: / / www.21cnjy.com )C的长是俯视图正六边形对边间的距离，即BC＝a，AD是正六棱锥的高，则AD＝a，所以该平面图形(侧视图)的面积为S＝×a×a＝a2.
B组　专项能力提升
(时间：30分钟)
11．(2017·武昌调研)已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是该三棱锥的三视图的是(　　)
【解析】
易知该三棱锥的底
( http: / / www.21cnjy.com )面是直角边分别为1和2的直角三角形，注意到侧视图是从左往右看得到的图形，结合B、D选项知，D选项中侧视图方向错误，故选D.
【答案】
D
12．(2017·福建龙岩联考)一水平
( http: / / www.21cnjy.com )放置的平面四边形OABC，用斜二测画法画出它的直观图O′A′B′C′如图所示，此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面四边形OABC面积为________．
【解析】
因为直观图的面积是原图形面积的倍，且直观图的面积为1，所以原图形的面积为2.
【答案】
2
13．(2017·昆明、玉溪统考)如图，三
( http: / / www.21cnjy.com )棱锥V ABC的底面为正三角形，侧面VAC与底面垂直且VA＝VC，已知其正(主)视图的面积为，则其侧(左)视图的面积为________．
【解析】
设三棱锥V ABC的底面边长为
( http: / / www.21cnjy.com )a，侧面VAC的边AC上的高为h，则ah＝，其侧(左)视图是由底面三角形ABC边AC上的高与侧面三角形VAC边AC上的高组成的直角三角形，其面积为×a×h＝××＝.
【答案】
14．某几何体的三视图如图所示．
(1)判断该几何体是什么几何体？
(2)画出该几何体的直观图．
【解析】
(1)该几何体是一个正方体切掉两个圆柱后得到的几何体．
(2)直观图如图所示．
15．某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，求a＋b的最大值．
【解析】
如图，把几何体放到长方体中，使得长
( http: / / www.21cnjy.com )方体的体对角线刚好为几何体的已知棱，则长方体的体对角线A1C＝，则它的正视图投影长为A1B＝，侧视图投影长为A1D＝a，俯视图投影长为A1C1＝b，则a2＋b2＋()2＝2·()2，即a2＋b2＝8，又≤
，当且仅当“a＝b＝2”时等号成立．所以a＋b≤4，即a＋b的最大值为4.( http: / / www.21cnjy.com )
A组　专项基础训练
(时间：40分钟)
1．(2017·辽宁沈阳一模)△ABC的两个顶点为A(－4，0)，B(4，0)，△ABC的周长为18，则C点的轨迹方程为(　　)
A.＋＝1(y≠0)　　　
　　B.＋＝1(y≠0)
C.＋＝1(y≠0)
D.＋＝1(y≠0)
【解析】
∵△ABC的两顶点为A(－4，0)，B(4，0)，周长为18，∴AB＝8，BC＋AC＝10.
∵10＞8，∴点C到两个
( http: / / www.21cnjy.com )定点A，B的距离之和等于定值，且满足椭圆的定义，∴点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，2a＝10，2c＝8，∴b＝3.∴椭圆的标准方程是＋＝1(y≠0)．故选D.
【答案】
D
2．(2017·山西忻州模
( http: / / www.21cnjy.com )拟)设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P(a，b)满足|F1F2|＝|PF2|，设直线PF2与椭圆交于M，N两点．若|MN|＝16，则椭圆的方程为(　　)
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
【解析】
因为点P(a，b)满足|F1F2|＝|PF2|，
所以＝2c.
整理得2e2＋e－1＝0，解得e＝.
所以a＝2c，b＝c，
椭圆的方程为3x2＋4y2＝12c2.
直线PF2的方程为y＝(x－c)，将直线方程代入椭圆方程，整理得5x2－8cx＝0，解得x＝0或c，所以M(0，－c)，N，因此|MN|＝c＝16，所以c＝5，所以椭圆的方程为＋＝1，故选B.
【答案】
B
3．(2017·江西南昌模拟)已知F1，
( http: / / www.21cnjy.com )F2是椭圆C的两个焦点，焦距为4.若P为椭圆C上一点，且△PF1F2的周长为14，则椭圆C的离心率e为(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】
∵焦距为4，∴c＝2.∵P为椭
( http: / / www.21cnjy.com )圆C上一点，且△PF1F2的周长为14，∴2a＋2c＝14，∴a＝5，∴椭圆C的离心率e＝＝.故选B.
【答案】
B
4．(2017·河南郑州一模)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与椭圆交于A，B两点．若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则离心率为(　　)
A.
B．2－
C.－2
D.－
【解析】
如图，设|F1F
( http: / / www.21cnjy.com )2|＝2c，|AF1|＝m.若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|＝|AF1|＝m，|BF1|＝m.由椭圆的定义，得△ABF1的周长为4a，即4a＝2m＋m，∴m＝2(2－)a.
∴|AF2|＝2a－m＝2(－1)a.
在Rt△AF1F2中，|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2，
即4c2＝4(2－)2a2＋4(－1)2a2，
∴c2＝3(－1)2a2，e＝－，故选D.
【答案】
D
5．(2016·长沙模拟)设椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上的一动点，若△PF1F2是直角三角形，则△PF1F2的面积为(　　)
A．3
B．3或
C.
D．6或3
【解析】
由题意可得该椭圆短轴顶点与两
( http: / / www.21cnjy.com )焦点的连线的夹角是60°，所以该点P不可能是直角顶点，则只能是焦点为直角顶点，此时△PF1F2的面积为×2c×＝.
【答案】
C
6．(2017·安徽黄山一模)已知圆(x－2
( http: / / www.21cnjy.com ))2＋y2＝1经过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一个顶点和一个焦点，则此椭圆的离心率e＝________．
【解析】
圆(x－2)2＋y2＝1经过
( http: / / www.21cnjy.com )椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一个顶点和一个焦点，故椭圆的一个焦点为F(1，0)，一个顶点为A(3，0)，所以c＝1，a＝3，因此椭圆的离心率为.
【答案】
7．(2017·海南海口
( http: / / www.21cnjy.com )模拟)椭圆＋＝1(a＞b＞0)的焦距为2，左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上一点，∠F1PF2＝60°，△PF1F2的面积为2，则椭圆的标准方程为________．
【解析】
由题意，得c＝，∴a2－b2＝c2＝3.∵∠F1PF2＝60°，△PF1F2的面积为2，
∴|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝2，
∴|PF1|·|PF2|＝8.
又∵|PF1|＋|PF2|＝2a，由余弦定理得
4c2＝12＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos
60°
＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1|·|PF2|＝4a2－3×8，
解得a2＝9，故b2＝6，因此椭圆的方程为＋＝1.
【答案】
＋＝1
8．(2016·北京东城模拟)已知椭
( http: / / www.21cnjy.com )圆C的中心在原点，一个焦点F(－2，0)，且长轴长与短轴长的比是2∶，则椭圆C的方程是____________．
【解析】
设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)．
由题意知解得a2＝16，b2＝12.
所以椭圆C的方程为＋＝1.
【答案】
＋＝1
9．(2016·天津)设椭圆＋＝1(a＞)的右焦点为F，右顶点为A.已知＋＝，其中O为原点，e为椭圆的离心率．
(1)求椭圆的方程；
(2)设过点A的直线l与椭圆交
( http: / / www.21cnjy.com )于点B(B不在x轴上)，垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H.若BF⊥HF，且∠MOA＝∠MAO，求直线l的斜率．
【解析】
(1)设F(c，0)，由＋＝，即＋＝，可得a2－c2＝3c2，又a2－c2＝b2＝3，所以c2＝1，因此a2＝4，所以，椭圆的方程为＋＝1.
(2)设直线l的斜率为k(k≠0)，则直线l的方程为y＝k(x－2)．
设B(xB，yB)，由方程组消去y，
整理得(4k2＋3)x2－16k2x＋16k2－12＝0.
解得x＝2或x＝，
由题意得xB＝，从而yB＝.
由(1)知，F(1，0)，设H(0，yH)，有＝(－1，yH)，＝.
由BF⊥HF，得·＝0，
所以＋＝0，解得yH＝.
因此直线MH的方程为y＝－x＋.
设M(xM，yM)，
由方程组消去y，
解得xM＝.
在△MAO中，∠MOA＝∠MAO |
( http: / / www.21cnjy.com )MA|＝|MO|，即(xM－2)2＋y＝x＋y，化简得xM＝1，即＝1，解得k＝－，或k＝.
所以，直线l的斜率为－或.
10．(2016·吉林实验中学)如图，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F2(1，0)，点H在椭圆上．
(1)求椭圆的方程；
(2)点M在圆x2＋y2＝b2上，且M在第一象限，过M作圆x2＋y2＝b2的切线交椭圆于P，Q两点，求证：△PF2Q的周长是定值．
【解析】
(1)设椭圆的左焦点为F1，
根据已知，椭圆的左右焦点分别是F1(－1，0)，F2(1，0)，c＝1，
∵H在椭圆上，
∴2a＝|HF1|＋|HF2|＝＋＝6，
∴a＝3，b＝2，
故椭圆的方程是＋＝1.
(2)证明
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则eq
\f(x,9)＋eq
\f(y,8)＝1，
|PF2|＝eq
\r(（x1－1）2＋y)＝
eq
\r(（x1－1）2＋8\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x,9))))
＝
，
∵0＜x1＜3，
∴|PF2|＝3－x1，
在圆中，M是切点，
∴|PM|＝＝eq
\r(x＋y－8)
＝
eq
\r(x＋8\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x,9)))－8)＝x1，
∴|PF2|＋|PM|＝3－x1＋x1＝3，
同理：|QF2|＋|QM|＝3，
∴|F2P|＋|F2Q|＋|PQ|＝3＋3＝6，
因此△PF2Q的周长是定值6.
B组　专项能力提升
(时间：30分钟)
11．(2017·江西新余模拟
( http: / / www.21cnjy.com ))椭圆C的两个焦点分别是F1，F2，若C上的点P满足|PF1|＝|F1F2|，则椭圆C的离心率e的取值范围是(　　)
A．e≤
B．e≥
C.≤e≤
D．0＜e≤或≤e＜1
【解析】
∵椭圆C上的点P满足|PF1|＝|F1F2|，
∴|PF1|＝×2c＝3c.
由a－c≤|PF1|≤a＋c，
解得≤≤.
【答案】
C
12．(2017·重庆巴蜀中学模拟
( http: / / www.21cnjy.com ))已知F1，F2为椭圆C：＋＝1的左、右焦点，点E是椭圆C上的动点，·的最大值、最小值分别为(　　)
A．9，7
B．8，7
C．9，8
D．17，8
【解析】
由题意可知椭圆的左右
( http: / / www.21cnjy.com )焦点坐标为F1(－1，0)，F2(1，0)，设E(x，y)，则＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，·＝x2－1＋y2＝x2－1＋8－x2＝x2＋7(－3≤x≤3)，所以当x＝0时，·有最小值7，当x＝±3时，·有最大值8，故选B.
【答案】
B
13．(2016·江苏)如图，在平面直角坐标
( http: / / www.21cnjy.com )系xOy中，F是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________．
【解析】
由题意可得B，C，F(c，0)，则由∠BFC＝90°，得·＝·＝c2－a2＋b2＝0，化简得c＝a，则离心率e＝＝＝.
【答案】
14．(2016·四川)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P在椭圆E上．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D，证明：|MA|·|MB|＝|MC|·|MD|.
【解析】
(1)由已知，a＝2b.
又椭圆＋＝1(a＞b＞0)过点P，
故＋＝1，解得b2＝1.
所以椭圆E的方程是＋y2＝1.
(2)证明
设直线l的方程为y＝x＋m(m≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由方程组
得x2＋2mx＋2m2－2＝0，①
方程①的判别式为Δ＝4(2－m2)，
由Δ＞0，即2－m2＞0，解得－＜m＜.
由①得x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－2.
所以M点坐标为，直线OM方程为y＝－x，
由方程组得C，D.
所以|MC|·|MD|＝(－m＋)·(＋m)
＝(2－m2)．
又|MA|·|MB|＝|AB|2
＝[(x1－x2)2＋(y1－y2)2]
＝[(x1＋x2)2－4x1x2]
＝[4m2－4(2m2－2)]＝(2－m2)，
所以|MA|·|MB|＝|MC|·|MD|.
15．(2016·课标全国Ⅱ)已知A是椭圆E：＋＝1的左顶点，斜率为k(k＞0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.
(1)当|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积；
(2)当2|AM|＝|AN|时，证明：＜k＜2.
【解析】
(1)设M(x1，y1)，则由题意知y1＞0.
由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为.
又A(－2，0)，
因此直线AM的方程为y＝x＋2.
将x＝y－2代入＋＝1得7y2－12y＝0.
解得y＝0或y＝，所以y1＝.
因此△AMN的面积S△AMN＝2×××＝.
(2)证明
将直线AM的方程y＝k(x＋2)(k＞0)代入＋＝1得
(3＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－12＝0.
由x1·(－2)＝得x1＝，
故|AM|＝|x1＋2|＝.
由题设，直线AN的方程为y＝－(x＋2)，
故同理可得|AN|＝.
由2|AM|＝|AN|得＝，即
4k3－6k2＋3k－8＝0.
设f(t)＝4t3－6t2＋3t－8，则k是f(t)的零点，
f′(t)＝12t2－12t＋3＝3(2t－1)2≥0，
所以f(t)在(0，＋∞)内单调递增．
又f()＝15－26＜0，f(2)＝6＞0，
因此f(t)在(0，＋∞)内有唯一的零点，且零点k在(，2)内，所以＜k＜2.( http: / / www.21cnjy.com )
1．(2017·济南模拟
( http: / / www.21cnjy.com ))某社区在元宵节活动上，组织了“摸灯笼猜灯谜”的趣味游戏．已知在一个不透明的箱子内放有大小和形状相同的标号分别为1，2，3的小灯笼若干个，每个灯笼上都有一个谜语，其中标号为1的小灯笼1个，标号为2的小灯笼2个，标号为3的小灯笼n个．若参赛者从箱子中随机摸取1个小灯笼进行谜语破解，取到标号为3的小灯笼的概率为.
(1)求n的值；
(2)从箱子中不放回地摸取2个小灯笼，记第一
( http: / / www.21cnjy.com )次摸取的小灯笼的标号为a，第二次摸取的小灯笼的标号为b.记“a＋b≥4”为事件A，求事件A的概率．
【解析】
(1)由题意得，＝，∴n＝1.
(2)记标号为2的小灯笼分别
( http: / / www.21cnjy.com )为a1，a2，从箱子中不放回地摸取2个小灯笼的所有基本事件为(1，a1)，(1，a2)，(1，3)，(a1，1)，(a2，1)，(3，1)，(a1，a2)，(a1，3)，(a2，a1)，(3，a1)，(a2，3)，(3，a2)，共12个．
事件A包含的基本事件为(
( http: / / www.21cnjy.com )1，3)，(3，1)，(a1，a2)，(a2，a1)，(a1，3)，(3，a1)，(a2，3)，(3，a2)，共8个．
∴P(A)＝＝.
2．(2017·晋中模拟)某
( http: / / www.21cnjy.com )校学生参加了“铅球”和“立定跳远”两个科目的体能测试，每个科目的成绩分为A，B，C，D，E五个等级，该校某班学生两科目测试成绩的数据统计如图所示，其中“铅球”科目的成绩为E的学生有8人．
(1)求该班学生中“立定跳远”科目的成绩为A的人数；
(2)已知该班学生中恰有2人的两科成
( http: / / www.21cnjy.com )绩等级均为A，在至少有一科成绩等级为A的学生中，随机抽取2人进行访谈，求这2人的两科成绩等级均为A的概率．
【解析】
(1)因为“铅球”科目的成绩
( http: / / www.21cnjy.com )等级为E的学生有8人，所以该班有8÷0.2＝40人，所以该班学生中“立定跳远”科目的成绩等级为A的人数为40×(1－0.375－0.375－0.15－0.025)＝40×0.075＝3.
(2)由题意可知，至少有一科成绩等级为A的有4人，其中恰有2人的两科成绩等级均为A，另2人只有一个科目成绩等级为A.
设这4人为甲、乙、丙、丁，其中甲、乙是两
( http: / / www.21cnjy.com )科成绩等级都是A的同学，则在至少有一科成绩等级为A的学生中，随机抽取2人进行访谈，基本事件空间为Ω＝{(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(乙，丙)，(乙，丁)，(丙，丁)}，一共有6个基本事件．
设“随机抽取2人进行访谈，这2人的两科成绩等级均为A”为事件M，所以事件M中包含的基本事件有1个，为(甲，乙)，则P(M)＝.
3．(2017·南宁模拟
( http: / / www.21cnjy.com ))某位同学进行寒假社会实践活动，为了对白天平均气温与某奶茶店的某种饮料销量之间的关系进行分析研究，他分别记录了1月11日至1月15日的白天平均气温x(℃)与该奶茶店的这种饮料销量y(杯)，得到如下数据：
日期
1月11日
1月12日
1月13日
1月14日
1月15日
平均气温x(℃)
9
10
12
11
8
销量y(杯)
23
25
30
26
21
(1)若先从这5组数据中抽出2组，求抽出的2组数据恰好是相邻2天数据的概率；
(2)请根据所给5组数据，求出y关
( http: / / www.21cnjy.com )于x的线性回归方程＝x＋；并根据线性回归方程预测当气象台预报1月16日的白天平均气温为7℃时奶茶店这种饮料的销量．
附：线性回归方程＝x＋中，
【解析】
(1)设“选取的2组数据恰好是相邻2天数据”为事件A，
∵所有基本事件(m，n)(
( http: / / www.21cnjy.com )其中m，n为1月份的日期数)有(11，12)，(11，13)，(11，14)，(11，15)，(12，13)，(12，14)，(12，15)，(13，14)，(13，15)，(14，15)，共10个．
事件A包括的基本事件有(11，12)，(12，13)，(13，14)，(14，15)，共4个．
∴抽出的2组数据恰好是相邻2天数据的概率P(A)＝＝.
∴由公式，求得＝2.1，＝－＝4，
∴y关于x的线性回归方程为＝2.1x＋4，
∵当x＝7时，＝2.1×7＋4＝18.7，
∴该奶茶店这种饮料的销量大约为19杯(或18杯)．
4．(2017·江西八校联考
( http: / / www.21cnjy.com ))“双节”期间，高速公路车辆较多，某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速(km/h)分成六段：[60，65)，[65，70)，[70，75)，[75，80)，[80，85)，[85，90)后得到如图的频率分布直方图．
(1)求这40辆小型汽车车速的众数和中位数的估计值；
(2)若从车速在[60，70)内的车辆中任抽取2辆，求车速在[65，70)内的车辆恰有一辆的概率．
【解析】
(1)众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值等于77.5.
中位数的估计值x满足0.01×5＋0.02×5＋0.04×5＋0.06×(x－75)＝0.5，
解得x＝77.5，即中位数的估计值为77.5.
(2)从题图中可知，车速在[60，65)内的车辆数为m1＝0.01×5×40＝2，
车速在[65，70)内的车辆数为m2＝0.02×5×40＝4.
设车速在[60，65)内的车辆为a，b，车速在[65，70)内的车辆为c，d，e，f，
则所有基本事件有(a，b)，
( http: / / www.21cnjy.com )(a，c)，(a，d)，(a，e)，(a，f)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(b，f)，(c，d)，(c，e)，(c，f)，(d，e)，(d，f)，(e，f)，共15个，
其中车速在[65，70)内的车
( http: / / www.21cnjy.com )辆恰有一辆的事件有(a，c)，(a，d)，(a，e)，(a，f)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(b，f)，共8个．
所以车速在[65，70)内的车辆恰有一辆的概率为P＝.
5．(2017·长春模拟)某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮训练，每人投10次，投中的次数统计如下表：
学生
1号
2号
3号
4号
5号
甲班
6
5
7
9
8
乙班
4
8
9
7
7
(1)从统计数据看，甲、乙两个班哪个班成绩更稳定(用数字特征说明)；
(2)在本次训练中，从两班中分别任选1名同学，比较2人的投中次数，求甲班同学投中次数高于乙班同学投中次数的概率．
【解析】
(1)两个班数据的平均值都为7，
甲班的方差
s＝＝2，
乙班的方差
s＝
＝，
因为s(2)甲班1到5号记作a，b，c，
( http: / / www.21cnjy.com )d，e，乙班1到5号记作1，2，3，4，5，从两班中分别任选1名同学，得到的基本样本空间为Ω＝{a1，a2，a3，a4，a5，b1，b2，b3，b4，b5，c1，c2，c3，c4，c5，d1，d2，d3，d4，d5，e1，e2，e3，e4，e5}，Ω由25个基本事件组成，
将“甲班同学投中次数高于乙班同学投中次数”记作事件A，
则A＝{a1，b1，c1，d1，d2，d4，d5，e1，e4，e5}，A由10个基本事件组成，
所以甲班同学投中次数高于乙班同学投中次数的概率为P(A)＝＝.
6．(2017·洛阳统考)有2
000名
( http: / / www.21cnjy.com )网购者在11月11日当天于某购物网站进行网购消费(消费金额不超过1
000元)，其中有女士1
100名，男士900名．该购物网站为优化营销策略，根据性别采用分层抽样的方法从这2
000名网购者中抽取200名进行分析，如下表．(消费金额单位：元)
女士消费情况：
消费金额
(0，200)
[200，400)
[400，600)
[600，800)
[800，1
000]
人数
10
25
35
30
x
男士消费情况：
消费金额
(0，200)
[200，400)
[400，600)
[600，800)
[800，1
000]
人数
15
30
25
y
5
(1)计算x，y的值，在抽出的200名且
( http: / / www.21cnjy.com )消费金额在[800，1
000](单位：元)的网购者中随机选出2名发放网购红包，求选出的2名网购者都是男士的概率；
(2)若消费金额不低于600元的网购者为“网
( http: / / www.21cnjy.com )购达人”，低于600元的网购者为“非网购达人”，根据以上统计数据填写下面2×2列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否为‘网购达人’与性别有关？”
附：
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
K2＝，n＝a＋b＋c＋d
【解析】
(1)依题意，女士应抽取110名，男士应抽取90名，故x＝10，y＝15.
消费金额在[800，1
00
( http: / / www.21cnjy.com )0](单位：元)的网购者共有15名，从中选出2名共有105种选法，若2名网购者都是男士，共有10种选法，所以选出的2名网购者都是男士的概率为＝.
(2)列联表如下：
K2＝≈4.714.
又4.714>3.841，故能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否为‘网购达人’与性别有关”．( http: / / www.21cnjy.com )
A组　专项基础训练
(时间：35分钟)
1．(2017·安徽合肥一
( http: / / www.21cnjy.com )中期中)若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1，x2∈R，有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)＋1，则下列说法一定正确的是(　　)
A．f(x)－1为奇函数　　　　
B．f(x)－1为偶函数
C．f(x)＋1为奇函数
D．f(x)＋1为偶函数
【解析】
∵对任意x1，x2∈
( http: / / www.21cnjy.com )R有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)＋1，∴令x1＝x2＝0，得f(0)＝－1.令x1＝x，x2＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)＋1.∴f(x)＋1＝－f(－x)－1＝－[f(－x)＋1]，∴f(x)＋1为奇函数．故选C.
【答案】
C
2．(2016·湖南常德一中第五次月考)若f(x)＝ex－ae－x为奇函数，则f(x－1)＜e－的解集为(　　)
A．(－∞，2)
B．(－∞，1)
C．(2，＋∞)
D．(1，＋∞)
【解析】
因为f(x)＝ex－ae－
( http: / / www.21cnjy.com )x为奇函数，所以f(0)＝1－a＝0，即a＝1，则f(x)＝ex－e－x在R上单调递增，且f(1)＝e－.则由f(x－1)＜e－，得f(x－1)＜f(1)，即x－1＜1，解得x＜2，所以不等式f(x－1)＜e－的解集为(－∞，2)．故选A.
【答案】
A
3．(2017·湖南岳阳平江一中期中)已知函
( http: / / www.21cnjy.com )数f(x)是定义在R上的奇函数，其最小正周期为4，且x∈时，f(x)＝log2(－3x＋1)，则f(2
017)＝(　　)
A．4
B．2
C．－2
D．log27
【解析】
∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，其最小正周期为4，∴f(2
017)＝f(4×504＋1)＝f(1)＝－f(－1)．
∵－1∈，且x∈时，f(x)＝log2(－3x＋1)，∴f(－1)＝log2[－3×(－1)＋1]＝2，
∴f(2
017)＝－f(－1)＝－2.
【答案】
C
4．(2017·福建三明一中第一次月考)函数y＝f(x)是R上的奇函数，当x＜0时，f(x)＝2x，则当x＞0时，f(x)＝(　　)
A．－2x
B．2－x
C．－2－x
D．2x
【解析】
x＞0时，－x＜0，∵x＜0时，f(x)＝2x，∴当x＞0时，f(－x)＝2－x.
∵f(x)是R上的奇函数，∴当x＞0时，f(x)＝－f(－x)＝－2－x.故选C.
【答案】
C
5．(2016·四川)已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f(x)＝4x，则f＋f(1)＝________．
【解析】
∵函数f(x)为奇
( http: / / www.21cnjy.com )函数，且周期为2，∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(1)＝－f(－1)＝－f(－1＋2)＝－f(1)，∴f(1)＝0，∴f＝f＝－f＝－4＝－2，
∴f＋f(1)＝－2.
【答案】
－2
6．(2017·山东东营广饶一中诊断)若f(x)＝2x＋2－x·lg
a是奇函数，则实数a＝________．
【解析】
∵函数f(x)＝2x＋2
( http: / / www.21cnjy.com )－xlg
a是奇函数，∴f(x)＋f(－x)＝0，∴2x＋2－xlg
a＋2－x＋2xlg
a＝0，即2x＋2－x＋lg
a(2x＋2－x)＝0，∴lg
a＝－1，∴a＝.
【答案】
7．(2017·长春质检)
( http: / / www.21cnjy.com )已知定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝0，则不等式f(x－2)≥0的解集是________．
【解析】
由已知可得x－2≥1或x－2≤－1，解得x≥3或x≤1，∴所求解集是(－∞，1]∪[3，＋∞)．
【答案】
(－∞，1]∪[3，＋∞)
8．(2017·南通二模)设定义在R
( http: / / www.21cnjy.com )上的函数f(x)同时满足以下条件：①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)＝f(x＋2)；③当0≤x≤1时，f(x)＝2x－1，则f＋f(1)＋f＋f(2)＋f＝________．
【解析】
依题意知：函数f(x)为奇函数且周期为2，
∴f＋f(1)＋f＋f(2)＋f＝f＋f(1)＋f＋f(0)＋f＝f＋f(1)－f＋f(0)＋f＝f＋f(1)＋f(0)＝2－1＋21－1＋20－1＝.
【答案】
9．已知函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
【解析】
(1)设x＜0，则－x＞0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)．
于是x＜0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，
所以m＝2.
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，
结合f(x)的图象知
所以1＜a≤3，
故实数a的取值范围是(1，3]．
10．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2.
(1)求证：f(x)是周期函数；
(2)当x∈[2，4]时，求f(x)的解析式；
(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2
017)．
【解析】
(1)证明
∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．
∴f(x)是周期为4的周期函数．
(2)∵x∈[2，4]，∴－x∈[－4，－2]，
∴4－x∈[0，2]，
∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8，
又f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，
∴－f(x)＝－x2＋6x－8，
即f(x)＝x2－6x＋8，x∈[2，4]．
(3)∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－1.
又f(x)是周期为4的周期函数，
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)
＝…＝f(2
012)＋f(2
013)＋f(2
014)＋f(2
015)＝0.
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2
017)＝f(2
016)＋f(2
017)＝f(0)＋f(1)＝1.
B组　专项能力提升
(时间：20分钟)
11．(2016·山东)已知函数f
( http: / / www.21cnjy.com )(x)的定义域为R.当x＜0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x＞时，f＝f.则f(6)＝(　　)
A．－2
B．－1
C．0
D．2
【解析】
∵当x＞时，f＝f，∴f(x)＝f(x＋1)，∴当x＞时，函数f(x)以T＝1为周期．故f(6)＝f(1)．
∵当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)
( http: / / www.21cnjy.com )，∴f(1)＝－f(－1)．又当x＜0时，f(x)＝x3－1，∴f(－1)＝－2，∴f(1)＝2.故选D.
【答案】
D
12．(2016·天津)已知函数f
( http: / / www.21cnjy.com )(x)＝(a＞0，且a≠1)在R上单调递减，且关于x的方程|f(x)|＝2－恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是________．
【解析】
由题意得，解得≤a＜.
【答案】
13．(2017·郑州模
( http: / / www.21cnjy.com )拟)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数为________．
【解析】
因为当0≤x＜2时
( http: / / www.21cnjy.com )，f(x)＝x3－x，又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)＝0，所以f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0.又f(1)＝0，所以f(3)＝f(5)＝0.故函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数为7.
【答案】
7
14．(2017·湛江月考)
( http: / / www.21cnjy.com )定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1，0]上是增函数，给出下列关于f(x)的结论：①f(x)是周期函数；②f(x)的图象关于直线x＝1对称；③f(x)在[0，1]上是增函数；④f(x)在[1，2]上是减函数；⑤f(2)＝f(0)．其中正确结论的序号是________．
【解析】
对于①，f(x＋2)＝－f(x＋
( http: / / www.21cnjy.com )1)＝－[－f(x)]＝f(x)，故2是函数f(x)的一个周期，故①正确；对于②，由于函数f(x)是偶函数，且函数f(x)是以2为周期的函数，则f(2－x)＝f(x－2)＝f(x)，即f(2－x)＝f(x)，故函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，故②正确；对于③，由于函数f(x)是偶函数且在[－1，0]上是增函数，根据偶函数图象的性质可知，函数f(x)在[0，1]上是减函数，故③错误；对于④，由于函数f(x)是以2为周期的函数且在[－1，0]上为增函数，由周期函数的性质知，函数f(x)在[1，2]上是增函数，故④错误；对于⑤，由于函数f(x)是以2为周期的函数，所以f(2)＝f(0)，故⑤正确．综上所述，正确结论的序号是①②⑤.
【答案】
①②⑤
15．函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；
(3)如果f(4)＝1，f(x－1)＜2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．
【解析】
(1)∵对于任意x1，x2∈D，
有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，
∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.
(2)f(x)为偶函数．
证明
令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，
∴f(－1)＝f(1)＝0.
令x1＝－1，x2＝x有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，
∴f(－x)＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
(3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，
由(2)知，f(x)是偶函数，
∴f(x－1)＜2 f(|x－1|)＜f(16)．
又f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
∴0＜|x－1|＜16，
解之得－15＜x＜17且x≠1.
∴x的取值范围是{x|－15＜x＜17且x≠1}．( http: / / www.21cnjy.com )
A组　专项基础训练
(时间：50分钟)
1．已知x＋y＝1，求2x2＋3y2的最小值．
【解析】
由柯西不等式(2x2＋3y2)·≥＝(x＋y)2＝1，
∴2x2＋3y2≥，当且仅当2x＝3y，即x＝，y＝时，等号成立．所以2x2＋3y2的最小值为.
2．(2017·吉林实验中学模拟)设函数f(x)＝|x－a|.
(1)当a＝2时，解不等式f(x)≥4－|x－1|；
(2)若f(x)≤1的解集为[0，2]，＋＝a(m＞0，n＞0)，求证：m＋2n≥4.
【解析】
(1)当a＝2时，不等式为|x－2|＋|x－1|≥4，
①当x≥2时，不等式可化为x－2＋x－1≥4，解得x≥；
②当＜x＜时，不等式可化为2－x＋x－1≥4，不等式的解集为 ；
③当x≤时，不等式可化为2－x＋1－x≥4，解得x≤－.
综上可得，不等式的解集为∪.
(2)证明
∵f(x)≤1，即|x－a|≤1，
解得a－1≤x≤a＋1，而f(x)≤1的解集是[0，2]，
∴解得a＝1，
所以＋＝1(m＞0，n＞0)，
所以m＋2n＝(m＋2n)
＝2＋＋≥2＋2
＝4，
当且仅当m＝2，n＝1时取等号．
3．(2017·徐州模拟)设a、b、c是正实数，且a＋b＋c＝9，求＋＋的最小值．
【解析】
∵(a＋b＋c)
＝[()2＋()2＋()2]·
≥＝18.
∴＋＋≥2.∴＋＋的最小值为2.
4．设x，y，z∈R，且满足：x2＋y2＋z2＝1，x＋2y＋3z＝，求x＋y＋z.
【解析】
由柯西不等式可得(x2＋y
( http: / / www.21cnjy.com )2＋z2)(12＋22＋32)≥(x＋2y＋3z)2，即(x＋2y＋3z)2≤14，因此x＋2y＋3z≤.因为x＋2y＋3z＝，所以x＝＝，解得x＝，y＝，z＝，于是x＋y＋z＝.
5．(2017·南京、盐城联考)已知△ABC的三边长分别为a，b，c.求证：＋＋≥a＋b＋c.
【证明】
因为[(b＋c－a)＋(c＋a－b)＋(a＋b－c)]≥(a＋b＋c)2，
又a＋b＋c＞0，
所以＋＋≥a＋b＋c(当且仅当＝＝时取等号)．
6．(2017·苏州模拟)已知a，b，c∈R，且2a＋2b＋c＝8，求(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2的最小值．
【解析】
由柯西不等式得
(4＋4＋1)×[(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2]≥[2(a－1)＋2(b＋2)＋c－3]2，
∴9[(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2]≥(2a＋2b＋c－1)2.
∵2a＋2b＋c＝8，
∴(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2≥，
当且仅当＝＝c－3时等号成立，
∴(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2的最小值是.
B组　专项能力提升
(时间：40分钟)
7．(2016·课标全国Ⅱ)已知函数f(x)＝＋，M为不等式f(x)＜2的解集．
(1)求M；
(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|＜|1＋ab|.
【解析】
(1)f(x)＝
当x≤－时，由f(x)＜2，得－2x＜2，解得x＞－1，
即－1＜x≤－；
当－＜x＜时，f(x)＝1＜2，即－＜x＜；
当x≥时，由f(x)＜2，得2x＜2，解得x＜1，
即≤x＜1.
所以f(x)＜2的解集M＝{x|－1＜x＜1}．
(2)证明
由(1)知，当a，b∈M时
( http: / / www.21cnjy.com )，－1＜a＜1，－1＜b＜1，从而(a＋b)2－(1＋ab)2＝a2＋b2－a2b2－1＝(a2－1)(1－b2)＜0.
因此|a＋b|＜|1＋ab|.
8．(2017·黑龙江哈尔滨三中第二次检测)已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝2.
(1)求证：ab＋bc＋ac≤；
(2)若a，b，c都小于1，求a2＋b2＋c2的取值范围．
【解析】
(1)证明
∵a＋b＋c＝2，∴a
( http: / / www.21cnjy.com )2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝4，∴2a2＋2b2＋2c2＋4ab＋4bc＋4ca＝8，
∴8＝2a2＋2b2＋2c2＋4ab＋4bc＋4ca≥6ab＋6bc＋6ac，当且仅当a＝b＝c时取等号，∴ab＋bc＋ac≤.
(2)∵a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝4，
∴4≤a2＋b2＋c2＋a2＋b2＋b2＋c2＋a2＋c2＝3(a2＋b2＋c2)，当且仅当a＝b＝c时取等号，∴a2＋b2＋c2≥.
∵0＜a＜1，∴a＞a2.同理b＞b2，c＞c2.
∴a2＋b2＋c2＜a＋b＋c＝2，∴≤a2＋b2＋c2＜2，
∴a2＋b2＋c2的取值范围为.
9．(2017·锦州一模)(1)关于x的不等式|x－3|＋|x－4|＜a的解集不是空集，求a的取值范围；
(2)设x，y，z∈R，且＋＋＝1，求x＋y＋z的取值范围．
【解析】
(1)∵|x－3|＋|x－4|≥|(x－3)－(x－4)|＝1，
且|x－3|＋|x－4|＜a的解集不是空集，
∴a＞1，即a的取值范围是(1，＋∞)．
(2)由柯西不等式，得
[42＋()2＋22]·
≥
＝(x＋y＋z)2，
即25×1≥(x＋y＋z)2.
∴5≥|x＋y＋z|，∴－5≤x＋y＋z≤5.
∴x＋y＋z的取值范围是[－5，5]．
10．(2017·南京模拟)已知a，b∈(0，＋∞)，a＋b＝1，x1，x2∈(0，＋∞)．
(1)求＋＋的最小值；
(2)求证：(ax1＋bx2)(ax2＋bx1)≥x1x2.
【解析】
(1)因为a，b∈(0，＋∞)，a＋b＝1，x1，x2∈(0，＋∞)，
所以＋＋≥3·
＝3·≥3·＝3×＝6，
当且仅当＝＝且a＝b，即a＝b＝且x1＝x2＝1时，＋＋有最小值6.
方法二　因为a，b∈(0，＋∞)，a＋b＝1，x1，x2∈(0，＋∞)，
所以(ax1＋bx2)(ax2＋bx1)
＝a2x1x2＋abx＋abx＋b2x1x2
＝x1x2(a2＋b2)＋ab(x＋x)
≥x1x2(a2＋b2)＋ab(2x1x2)
＝x1x2(a2＋b2＋2ab)
＝x1x2(a＋b)2
＝x1x2，
当且仅当x1＝x2时，取得等号．
所以(ax1＋bx2)(ax2＋bx1)≥x1x2.( http: / / www.21cnjy.com )
A组　专项基础训练
(时间：40分钟)
1．(2017·山西太原五中4月模拟)在
( http: / / www.21cnjy.com )锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin
A＝，a＝2，S△ABC＝，则b的值为(　　)
A.　　　　　　　　　　　
B.
C．2
D．2
【解析】
在锐角△ABC中，sin
A＝，
S△ABC＝，
∴cos
A＝＝，bcsin
A＝bc·＝，
∴bc＝3，①
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos
A，
∴(b＋c)2＝a2＋2bc(1＋cos
A)
＝4＋6×＝12，
∴b＋c＝2.②
由①②得b＝c＝，故选A.
【答案】
A
2．一艘海轮从A处出发，以每
( http: / / www.21cnjy.com )小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(　　)
A．10海里
B．10海里
C．20海里
D．20海里
【解析】
如图所示，易知，在△ABC中，
AB＝20，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，
根据正弦定理得＝，解得BC＝10(海里)．
【答案】
A
3．如图，一条河的两岸平
( http: / / www.21cnjy.com )行，河的宽度d＝0.6
km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB＝1
km，水的流速为2
km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6
min，则客船在静水中的速度为(　　)
A．8
km/h
B．6
km/h
C．2
km/h
D．10
km/h
【解析】
设AB与河岸线所成的角为
( http: / / www.21cnjy.com )θ，客船在静水中的速度为v
km/h，由题意知，sin
θ＝＝，从而cos
θ＝，所以由余弦定理得＝＋12－2××2×1×，解得v＝6.选B.
【答案】
B
4．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60
m，则河流的宽度BC等于(　　)
A．240(＋1)m
B．180(－1)m
C．120(－1)m
D．30(＋1)m
【解析】
如图，∠ACD＝30°，∠ABD＝75°，AD＝60
m，
在Rt△ACD中，
CD＝
＝＝60
m，
在Rt△ABD中，BD＝＝＝
＝60(2－)m，
∴BC＝CD－BD＝60－60(2－)＝120(－1)m.
【答案】
C
5．如图，测量河对岸的塔高AB
( http: / / www.21cnjy.com )时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于(　　)
A．5
B．15
C．5
D．15
【解析】
在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.
由正弦定理得＝，所以BC＝15.
在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝15×＝15.
【答案】
D
6．江岸边有一炮台高30
m，江
( http: / / www.21cnjy.com )中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.
【解析】
如图，OM＝AOtan
45°＝30(m)，
ON＝AOtan
30°＝×30
＝10(m)，
在△MON中，由余弦定理得，
MN＝
＝＝10(m)．
【答案】
10
7．在200
m高的山顶上，测得山下一塔顶和塔底的俯角分别是30°，60°，则塔高为________m.
【解析】
如图，由已知可得∠BAC＝30°，∠CAD＝30°，
∴∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠ADC＝120°.
又AB＝200
m，∴AC＝
m.
在△ACD中，由余弦定理得，
AC2＝2CD2－2CD2·cos
120°＝3CD2，
∴CD＝AC＝
m.
【答案】
8．(2016·洛阳统考)
( http: / / www.21cnjy.com )如图，在△ABC中，sin＝，AB＝2，点D在线段AC上，且AD＝2DC，BD＝，则cos∠C＝________．
【解析】
由条件得cos∠ABC＝，sin∠ABC＝.
在△ABC中，设BC＝a，AC＝3b，
则由余弦定理得9b2＝a2＋4－a.①
因为∠ADB与∠CDB互补，
所以cos∠ADB＝－cos∠CDB，
所以＝－，
所以3b2－a2＝－6，②
联合①②解得a＝3，b＝1，所以AC＝3，BC＝3.
在△ABC中，cos∠C＝＝＝.
【答案】
9．(2017·辽宁沈阳二中月考)在一
( http: / / www.21cnjy.com )个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域，点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°＋θ且与点A相距10海里的位置C.
(1)求该船的行驶速度(单位：海里/小时)；
(2)若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入警戒水域，并说明理由．
【解析】
(1)如图，AB＝40，AC＝10，∠BAC＝θ，sin
θ＝.
由于0°＜θ＜90°，
所以cos
θ＝＝.
由余弦定理得
BC＝＝10.
所以船的行驶速度为＝15(海里/小时)．
(2)如图所示，设直线AE与BC的延长线相交于点Q.
在△ABC中，由余弦定理得，
cos∠ABC＝
＝＝.
从而sin∠ABC＝＝＝.
在△ABQ中，由正弦定理得，
AQ＝＝＝40，
由于AE＝55＞40＝AQ，所以点Q位于点A和点E之间，且QE＝AE－AQ＝15.过点E作EP⊥BC于点P，则EP为点E到直线BC的距离．
在Rt△QPE中，
PE＝QE·sin∠PQE＝QE·sin∠AQC
＝QE·sin(45°－∠ABC)＝15×＝3＜7.
所以船会进入警戒水域．
10．(2016·江苏卷)在△ABC中，AC＝6，cos
B＝，C＝.
(1)求AB的长；
(2)求cos的值．
【解析】
(1)因为cos
B＝，0＜B＜π，所以sin
B＝＝＝.
由正弦定理知＝，所以AB＝＝＝5.
(2)在△ABC中，A＋B＋C＝π，所以A＝π－(B＋C)，
于是cos
A＝－cos(B＋C)＝－cos
＝－cos
Bcos＋sin
Bsin，
又cos
B＝，sin
B＝，
故cos
A＝－×＋×＝－.
因为0＜A＜π，所以sin
A＝＝.
因此，cos＝cos
Acos＋sin
Asin＝－×＋×＝.
B组　专项能力提升
(时间：15分钟)
11．一个大型喷水池的中央有一
( http: / / www.21cnjy.com )个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100
m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是(　　)
A．50
m
B．100
m
C．120
m
D．150
m
【解析】
设水柱高度是h
m，水柱底端为C，在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，BC＝h.
在△ABC中，∠BAC＝6
( http: / / www.21cnjy.com )0°，AC＝h，AB＝100，根据余弦定理得，(h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos
60°，即h2＋50h－5
000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50
m.
【答案】
A
12．如图，一艘船上午9：30
( http: / / www.21cnjy.com )在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距8
n
mile.此船的航速是________n
mile/h.
【解析】
设航速为v
n
mile/h
在△ABS中，AB＝v，BS＝8，∠BSA＝45°，
由正弦定理得＝，∴v＝32.
【答案】
32
13．如图，某住宅小区的平面图呈圆
( http: / / www.21cnjy.com )心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿DC走到C用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为________米．
【解析】
如图，连接OC，在△O
( http: / / www.21cnjy.com )CD中，OD＝100，CD＝150，∠CDO＝60°.由余弦定理得OC2＝1002＋1502－2×100×150×cos
60°＝17
500，解得OC＝50.
【答案】
50
14．(2016·杭州二中月考
( http: / / www.21cnjy.com ))如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)：AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，且A，B，C，D四点共圆，则AC的长为________km.
【解析】
因为A，B，C，D四点共圆，所以D＋B＝π.
在△ABC和△ADC中，由余弦定理可
( http: / / www.21cnjy.com )得82＋52－2×8×5×cos(π－D)＝32＋52－2×3×5×cos
D，cos
D＝－，代入得AC2＝32＋52－2×3×5×＝49，故AC＝7.
【答案】
7
15．(2017·河南六市3月联考)
( http: / / www.21cnjy.com )如图，在一条海防警戒线上的点A，B，C处各有一个水声检测点，B，C到A的距离分别为20千米和50千米，某时刻B收到来自静止目标P的一个声波信号，8秒后A，C同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒．
(1)设A到P的距离为x千米，用x表示B，C到P的距离，并求出x的值；
(2)求P到海防警戒线AC的距离．
【解析】
(1)依题意，有PA＝PC＝x，PB＝x－1.5×8＝x－12.
在△PAB中，AB＝20，cos∠PAB＝＝＝，
同理，在△PAC中，AC＝50，cos∠PAC＝＝＝.
∵cos∠PAB＝cos∠PAC，∴＝，
解得x＝31.
(2)作PD⊥AC于D，在△ADP中，
由cos∠PAD＝，
得sin∠PAD＝＝，
∴PD＝PAsin∠PAD＝31×＝4.
故静止目标P到海防警戒线AC的距离为4千米．( http: / / www.21cnjy.com )
A组　专项基础训练
(时间：35分钟)
1．若a、b∈R，则下面四个式子中恒成立的是(　　)
A．lg(1＋a2)>0　　　　　　B．a2＋b2≥2(a－b－1)
C．a2＋3ab>2b2
D.<
【解析】
在B中，∵a2＋b2－2(a－b－1)＝(a2－2a＋1)＋(b2＋2b＋1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，
∴a2＋b2≥2(a－b－1)恒成立．
【答案】
B
2．①已知p3＋q3＝2，求证p
( http: / / www.21cnjy.com )＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2；②已知a，b∈R，|a|＋|b|＜1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.以下正确的是(　　)
A．①与②的假设都错误
B．①与②的假设都正确
C．①的假设正确；②的假设错误
D．①的假设错误；②的假设正确
【解析】
反证法的实质是否定结论，对于①，其结论的反面是p＋q＞2，所以①不正确；对于②，其假设正确．
【答案】
D
3．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求证＜a”索的因应是(　　)
A．a－b＞0
B．a－c＞0
C．(a－b)(a－c)＞0
D．(a－b)(a－c)＜0
【解析】
由题意知＜a b2－ac＜3a2
(a＋c)2－ac＜3a2
a2＋2ac＋c2－ac－3a2＜0
－2a2＋ac＋c2＜0
2a2－ac－c2＞0
(a－c)(2a＋c)＞0 (a－c)(a－b)＞0.
【答案】
C
4．若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则P，Q的大小关系是(　　)
A．P>Q
B．P＝Q
C．PD．由a的取值确定
【解析】
∵P2＝2a＋7＋2·
＝2a＋7＋2，
Q2＝2a＋7＋2·
＝2a＋7＋2，
∴P2【答案】
C
5．设a，b是两个实数，给出下列条件：
①a＋b＞1；②a＋b＝2；③a＋b＞2；④a2＋b2＞2；⑤ab＞1.
其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是(　　)
A．②③
B．①②③
C．③
D．③④⑤
【解析】
若a＝，b＝，则a＋b＞1，
但a＜1，b＜1，故①推不出；
若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②推不出；
若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2＞2，故④推不出；
若a＝－2，b＝－3，则ab＞1，故⑤推不出；
对于③，即a＋b＞2，
则a，b中至少有一个大于1，
反证法：假设a≤1且b≤1，
则a＋b≤2与a＋b＞2矛盾，
因此假设不成立，a，b中至少有一个大于1.
【答案】
C
6．用反证法证明命题“a，b∈R，ab可以被
( http: / / www.21cnjy.com )5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是__________________________________________________
________________．
【解析】
“至少有n个”的否定是“最多有n－1个”，故应假设a，b中没有一个能被5整除．
【答案】
a，b中没有一个能被5整除
7．下列条件：①ab＞0，②ab＜0，③a＞0，b＞0，④a＜0，b＜0，其中能使＋≥2成立的条件的序号是________．
【解析】
要使＋≥2，只需＞0且＞0成立，即a，b不为0且同号即可，故①③④能使＋≥2成立．
【答案】
①③④
8．若二次函数f(x)＝4x2－2
( http: / / www.21cnjy.com )(p－2)x－2p2－p＋1，在区间[－1，1]内至少存在一点c，使f(c)＞0，则实数p的取值范围是________．
【解析】
令
解得p≤－3或p≥，
故满足条件的p的范围为.
【答案】
9．已知a≥b＞0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.
【证明】
要证明2a3－b3≥2ab2－a2b成立，
只需证：2a3－b3－2ab2＋a2b≥0，
即2a(a2－b2)＋b(a2－b2)≥0，
即(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0.
∵a≥b＞0，∴a－b≥0，a＋b＞0，2a＋b＞0，
从而(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0成立，
∴2a3－b3≥2ab2－a2b.
10．已知四棱锥S ABCD中，底面是边长为1的正方形，又SB＝SD＝，SA＝1.
(1)求证：SA⊥平面ABCD；
(2)在棱SC上是否存在异于S，C的点F，使得BF∥平面SAD？若存在，确定F点的位置；若不存在，请说明理由．
【解析】
(1)证明
由已知得SA2＋AD2＝SD2，
∴SA⊥AD.同理SA⊥AB.
又AB∩AD＝A，
∴SA⊥平面ABCD.
(2)假设在棱SC上存在异于S，C的点F，使得BF∥平面SAD.
∵BC∥AD，BC 平面SAD.
∴BC∥平面SAD.而BC∩BF＝B，
∴平面FBC∥平面SAD.
这与平面SBC和平面SAD有公共点S矛盾，
∴假设不成立．
∴不存在这样的点F，使得BF∥平面SAD.
B组　专项能力提升
(时间：30分钟)
11．已知函数f(x)＝，a，b是正实数，A＝f，B＝f()，C＝f，则A、B、C的大小关系为(　　)
A．A≤B≤C
B．A≤C≤B
C．B≤C≤A
D．C≤B≤A
【解析】
∵≥≥，
又f(x)＝在R上是减函数．
∴f≤f()≤f，即A≤B≤C.
【答案】
A
12．如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则(　　)
A．△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形
B．△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形
C．△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2C2是锐角三角形
D．△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C2是钝角三角形
【解析】
由条件知，△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0，则△A1B1C1是锐角三角形，假设△A2B2C2是锐角三角形．
由
得
那么，A2＋B2＋C2＝，
这与三角形内角和为180°相矛盾．
所以假设不成立，又显然△A2B2C2不是直角三角形．
所以△A2B2C2是钝角三角形．
【答案】
D
13．已知点An(n，an)为函数y
( http: / / www.21cnjy.com )＝图象上的点，Bn(n，bn)为函数y＝x图象上的点，其中n∈N
，设cn＝an－bn，则cn与cn＋1的大小关系为________．
【解析】
由条件得
cn＝an－bn＝－n＝，
∴cn随n的增大而减小，∴cn＋1＜cn.
【答案】
cn＋1＜cn
14．(2016·江苏)记U＝{1，2，…，
( http: / / www.21cnjy.com )100}．对数列{an}(n∈N
)和U的子集T，若T＝ ，定义ST＝0；若T＝{t1，t2，…，tk}，定义ST＝at1＋at2＋…＋atk.例如：T＝{1，3，66}时，ST＝a1＋a3＋a66.现设{an}(n∈N
)是公比为3的等比数列，且当T＝{2，4}时，ST＝30.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)对任意正整数k(1≤k≤100)，若T {1，2，…，k}，求证：ST＜ak＋1；
(3)设C U，D U，SC≥SD，求证：SC＋SC∩D≥2SD.
【解析】
(1)由已知得an＝a1·3n－1，n∈N
.
于是当T＝{2，4}时，ST＝a2＋a4＝3a1＋27a1＝30a1.
又ST＝30，故30a1＝30，即a1＝1.
所以数列{an}的通项公式为an＝3n－1，n∈N
.
(2)证明
因为T {1，2，…，k}，an＝3n－1＞0，n∈N
，
所以ST≤a1＋a2＋…＋ak＝1＋3＋…＋3k－1
＝(3k－1)＜3k.因此，ST＜ak＋1.
(3)证明
下面分三种情况证明．
①若D是C的子集，则SC＋SC∩D＝SC＋SD≥SD＋SD＝2SD.
②若C是D的子集，则SC＋SC∩D＝SC＋SC＝2SC≥2SD.
③若D不是C的子集，且C不是D的子集．
令E＝C∩ UD，F＝D∩ UC，则E≠ ，F≠ ，E∩F＝ .
于是SC＝SE＋SC∩D，SD＝SF＋SC∩D，进而由SC≥SD得SE≥SF.
设k为E中的最大数，l为F中的最大数，则k≥1，l≥1，k≠l.
由(2)知，SE＜ak＋1.于是3l－1＝al≤SF≤SE＜ak＋1＝3k，所以l－1＜k，即l≤k.又k≠l，故l≤k－1.
从而SF≤a1＋a2＋…＋al＝1＋3＋…＋3l－1＝≤＝≤，
故SE≥2SF＋1，所以SC－SC∩D≥2(SD－SC∩D)＋1，即SC＋SC∩D≥2SD＋1.
综合①②③得，SC＋SC∩D≥2SD.
15．(2015·北京高考节选)已
( http: / / www.21cnjy.com )知数列{an}满足：a1∈N
，a1≤36，且an＋1＝(n＝1，2，…)．记集合M＝{an|n∈N
}．
(1)若a1＝6，写出集合M的所有元素；
(2)若集合M存在一个元素是3的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数．
【解析】
(1)6，12，24.
(2)证明
因为集合M存在一个元素是3的倍数，所以不妨设ak是3的倍数．
由an＋1＝可归纳证明对任意n≥k，an是3的倍数．
如果k＝1，则M的所有元素都是3的倍数．
如果k＞1，因为ak＝2ak－1或a
( http: / / www.21cnjy.com )k＝2ak－1－36，所以2ak－1是3的倍数，于是ak－1是3的倍数．类似可得，ak－2，…，a1都是3的倍数．
从而对任意n≥1，an是3的倍数，因此M的所有元素都是3的倍数．
综上，若集合M存在一个元素是3的倍数，则M的所有元素都是3的倍数．( http: / / www.21cnjy.com )
A组　专项基础训练
(时间：35分钟)
1．(2016·遵义航天高级中学模拟)对于函数f(x)＝sin，下列说法正确的是(　　)
A．f(x)的周期为π，且在[0，1]上单调递增
B．f(x)的周期为2，且在[0，1]上单调递减
C．f(x)的周期为π，且在[－1，0]上单调递增
D．f(x)的周期为2，且在[－1，0]上单调递减
【解析】
因为f(x)＝sin＝cos
πx，则周期T＝2，在[0，1]上单调递减，故选B.
【答案】
B
2．(2016·石家庄一模)函数f(x)＝tan的单调递增区间是(　　)
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
【解析】
由kπ－＜2x－＜kπ＋(k∈Z)得，－＜x＜＋(k∈Z)，所以函数f(x)＝tan的单调递增区间为(k∈Z)．
【答案】
B
3．(2015·河北五校联考)下列函数最小正周期为π且图象关于直线x＝对称的函数是(　　)
A．y＝2sin
B．y＝2sin
C．y＝2sin
D．y＝2sin
【解析】
由函数的最小正周期为π，可排除C
( http: / / www.21cnjy.com ).由函数图象关于直线x＝对称知，该直线过函数图象的最高点或最低点，对于A，因为sin＝sin
π＝0，所以选项A不正确．对于D，sin＝sin＝，所以选项D不正确．对于B，sin＝sin＝1，所以选项B正确．
【答案】
B
4．关于函数y＝tan，下列说法正确的是(　　)
A．是奇函数
B．在区间上单调递减
C.为其图象的一个对称中心
D．最小正周期为π
【解析】
函数y＝tan是非奇非偶函数，A错误；
在区间上单调递增，B错误；
最小正周期为，D错误．
∵当x＝时，tan＝0，
∴为其图象的一个对称中心，故选C.
【答案】
C
5．函数y＝cos
2x＋sin2x，x∈R的值域是(　　)
A．[0，1]
B.
C．[－1，2]
D．[0，2]
【解析】
y＝cos
2x＋sin2x＝cos
2x＋
＝.
∵cos
2x∈[－1，1]，∴y∈[0，1]．
【答案】
A
6．函数f(x)＝sin(－2x)的单调增区间是________．
【解析】
由f(x)＝sin(－2x)＝－sin
2x，
2kπ＋≤2x≤2kπ＋(k∈Z)得
kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．
【答案】
(k∈Z)
7．(2016·江苏卷)定义在区间[0，3π]上的函数y＝sin
2x的图象与y＝cos
x的图象的交点个数是________．
【解析】
由sin
2x＝co
( http: / / www.21cnjy.com )s
x可得cos
x＝0或sin
x＝，又x∈[0，3π]，则x＝，，或x＝，，，，故所求交点个数是7.
【答案】
7
8．(2017·陕西铜川宜君县高中模拟)某地
( http: / / www.21cnjy.com )一天6时至20时的温度y(℃)随时间x(小时)的变化近似满足函数y＝10sin＋20，x∈[6，20]．在上述时间范围内，温度不低于20
℃的时间约有________小时．
【解析】
由10sin＋20≥20，
可得sin≥0，
∴2kπ≤x＋≤2kπ＋π，k∈Z，
∴16k－6≤x≤16k＋2.
∵x∈[6，20]，∴10≤x≤18.
∴温度不低于20
℃的时间约有18－10＝8小时．
【答案】
8
9．已知f(x)＝sin.
(1)求函数f(x)图象的对称轴方程；
(2)求f(x)的单调增区间；
(3)当x∈时，求函数f(x)的最大值和最小值．
【解析】
(1)f(x)＝sin，
令2x＋＝kπ＋，k∈Z，则x＝＋，k∈Z.
∴函数f(x)图象的对称轴方程是x＝＋，k∈Z.
(2)令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
则kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
故f(x)的单调增区间为，k∈Z.
(3)当x∈时，≤2x＋≤，
∴－1≤sin≤，∴－≤f(x)≤1，
∴当x∈时，函数f(x)的最大值为1，最小值为－.
10．(2016·武汉调研)已知函数f(x)＝a＋b.
(1)若a＝－1，求函数f(x)的单调增区间；
(2)若x∈[0，π]时，函数f(x)的值域是[5，8]，求a，b的值．
【解析】
f(x)＝a(1＋cos
x＋sin
x)＋b
＝asin＋a＋b.
(1)当a＝－1时，f(x)＝－sin＋b－1，
由2kπ＋≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
∴f(x)的单调增区间为，k∈Z.
(2)∵0≤x≤π，
∴≤x＋≤，
∴－≤sin≤1，依题意知a≠0.
①当a＞0时，∴a＝3－3，b＝5.
②当a＜0时，∴a＝3－3，b＝8.
综上所述，a＝3－3，b＝5或a＝3－3，b＝8.
B组　专项能力提升
(时间：20分钟)
11．(2017·山东临沂期中)函数f(x)＝2－2sin2的最小正周期是(　　)
A.
B．π
C．2π
D．4π
【解析】
f(x)＝2－2sin2＝2－2sin2＝2－2·＝1＋cos
x的最小正周期为＝2π.
【答案】
C
12．(2017·北京丰台期末)函数f(x)＝sin
2x－cos
2x的一个单调递增区间是(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】
f(x)＝sin
2x－c
( http: / / www.21cnjy.com )os
2x＝·sin.由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.当k＝0时，x∈.
【答案】
D
13．已知函数f(x)＝3sin(ω＞0)和g(x)＝3cos(2x＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x∈，则f(x)的取值范围是________．
【解析】
由两三角函数图
( http: / / www.21cnjy.com )象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故ω＝2，所以f(x)＝3sin，当x∈时，－≤2x－≤，所以－≤sin≤1，故f(x)∈.
【答案】
14．已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)，y＝f(x)的部分图象如图，则f＝________．
【解析】
由题中图象可知，此正切函数的半周期等于－＝，即最小正周期为，
所以ω＝2.
由题意可知，图象过定点，
所以0＝Atan，
即＋φ＝kπ(k∈Z)，
所以φ＝kπ－(k∈Z)，
又|φ|＜，所以φ＝.
又图象过定点(0，1)，所以A＝1.
综上可知，f(x)＝tan，
故有f＝tan＝tan＝.
【答案】
15．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π.
(1)求当f(x)为偶函数时φ的值；
(2)若f(x)的图象过点，求f(x)的单调递增区间．
【解析】
∵由f(x)的最小正周期为π，则T＝＝π，
∴ω＝2，
∴f(x)＝sin(2x＋φ)．
(1)当f(x)为偶函数时，f(－x)＝f(x)．
∴sin(2x＋φ)＝sin(－2x＋φ)，
展开整理得sin
2xcos
φ＝0，
由已知上式对 x∈R都成立，
∴cos
φ＝0.∵0＜φ＜，∴φ＝.
(2)f(x)的图象过点时，sin＝，
即sin＝.
又∵0＜φ＜，∴＜＋φ＜π，
∴＋φ＝，φ＝.
∴f(x)＝sin.
令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
∴f(x)的单调递增区间为，k∈Z.( http: / / www.21cnjy.com )
A组　专项基础训练
(时间：35分钟)
1．(2017·安徽A10联盟3月模
( http: / / www.21cnjy.com )拟，12)已知函数f(x)＝－k，若x＝2是函数f(x)的唯一一个极值点，则实数k的取值范围为(　　)
A．(－∞，e]　　　　　　　
　B．[0，e]
C．(－∞，e)
D．[0，e)
【解析】
f′(x)＝－k
＝(x＞0)．
设g(x)＝，则g′(x)＝，则g(x)在(0，1)内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增．
∴g(x)在(0，＋∞)上有最小值，为g(1)＝e，结合g(x)＝与y＝k的图象可知，要满足题意，只需k≤e，选A.
【答案】
A
2．(2017·浙江瑞安中学月考)已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx的图象如图所示，则x＋x等于(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】
由图象可知f(x)
( http: / / www.21cnjy.com )的图象过点(1，0)与(2，0)，x1，x2是函数f(x)的极值点，因此1＋b＋c＝0，8＋4b＋2c＝0，解得b＝－3，c＝2，所以f(x)＝x3－3x2＋2x，所以f′(x)＝3x2－6x＋2.x1，x2是方程f′(x)＝3x2－6x＋2＝0的两根，因此x1＋x2＝2，x1x2＝，所以x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝4－＝.
【答案】
C
3．若商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函数关系式：y＝－x3＋27x＋123(x>0)，则获得最大利润时的年产量为(　　)
A．1百万件
B．2百万件
C．3百万件
D．4百万件
【解析】
y′＝－3x2＋27＝－3(x＋3)(x－3)，
当00；
当x>3时，y′<0.
故当x＝3时，该商品的年利润最大．
【答案】
C
4．(2017·洛阳统考)若函数f(x)＝2x3－9x2＋12x－a恰好有两个不同的零点，则a可能的值为(　　)
A．4
B．6
C．7
D．8
【解析】
由题意得f′(x
( http: / / www.21cnjy.com ))＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)，由f′(x)＞0得x＜1或x＞2，由f′(x)＜0得1＜x＜2，所以函数f(x)在(－∞，1)，(2，＋∞)上单调递增，
在(1，2)上单调递减，从而可知f(x)的极大值和极小值分别为f(1)，f(2)，
若欲使函数f(x)恰好有两个不同的零点，则需使f(1)＝0或f(2)＝0，解得a＝5或a＝4，
而选项中只给出了4，所以选A.
【答案】
A
5．设函数ht(x)＝3tx－2t，若有且仅有一个正实数x0，使得h7(x0)≥ht(x0)对任意的正数t都成立，则x0等于(　　)
A．5
B.
C．3
D.
【解析】
∵h7(x0)≥ht(x0)对任意的正数t都成立，
∴h7(x0)≥ht(x0)max.记g(t)＝ht(x0)＝3tx0－2t，
则g′(t)＝3x0－3t，令g′(t)＝0，
得t＝x，
易得ht(x0)max＝g(x)＝x，
∴21x0－14≥x，将选项代入检验可知选D.
【答案】
D
6．已知二次函数f(x)
( http: / / www.21cnjy.com )＝ax2＋bx＋c的导函数为f′(x)，f′(x)＞0，对于任意实数x，有f(x)≥0，则的最小值为________．
【解析】
∵f′(x)＝2ax＋b，∴f′(0)＝b＞0.
由题意知，∴ac≥，∴c＞0，
∴＝≥≥＝2，当且仅当a＝c时“＝”成立．
【答案】
2
7．(2017·郑州质检)设函数f(x
( http: / / www.21cnjy.com ))是定义在(－∞，0)上的可导函数，其导函数为f′(x)，且有2f(x)＋xf′(x)＞x2，则不等式(x＋2
017)2f(x＋2
017)－4f(－2)＞0的解集为________．
【解析】
由2f(x)＋xf′(x)＞x2，
x＜0得2xf(x)＋x2f′(x)＜x3，
所以[x2f(x)]′＜x3＜0.
令F(x)＝x2f(x)(x＜0)，
则F′(x)＜0(x＜0)，
即F(x)在(－∞，0)上是减函数，
因为F(x＋2
017)＝(x＋2
017)2f(x＋2
017)，F(－2)
＝4f(－2)，
所以不等式(x＋2
017)2f(x＋2
017)－4f(－2)＞0，
即为F(x＋2
017)－F(－2)＞0，即F(x＋2
017)＞F(－2)，
又因为F(x)在(－∞，0)上是减函数，
所以x＋2
017＜－2，所以x＜－2
019.
【答案】
(－∞，－2
019)
8．若对于任意实数x≥0，函数f(x)＝ex＋ax恒大于零，则实数a的取值范围是________．
【解析】
∵当x≥0时，f(x)＝ex＋ax＞0恒成立．
∴若x＝0，a为任意实数，f(x)＝ex＋ax＞0恒成立．
若x＞0，f(x)＝ex＋ax＞0恒成立，
即当x＞0时，a＞－恒成立．设Q(x)＝－.
Q′(x)＝－＝.
当x∈(0，1)时，Q′(x)＞0，则Q(x)在(0，1)上单调递增，
当x∈(1，＋∞)时，Q′(x)＜0，则Q(x)在(1，＋∞)上单调递减．
∴当x＝1时，Q(x)取得最大值．Q(x)max＝Q(1)＝－e，
∴要使x≥0时，f(x)＞0恒成立，a的取值范围为(－e，＋∞)．
【答案】
(－e，＋∞)
9．(2016·四川)设函数f(x)＝ax2－a－ln
x，g(x)＝－，其中a∈R.(e＝2.718…为自然对数的底数)
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)证明：当x＞1时，g(x)＞0；
(3)确定a的所有可能取值，使得f(x)＞g(x)在区间(1，＋∞)内恒成立．
【解析】
(1)f′(x)＝2ax－＝(x＞0)．
当a≤0时，f′(x)＜0，f(x)在(0，＋∞)内单调递减．
当a＞0时，由f′(x)＝0，有x＝.
此时，当x∈时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；
当x∈时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．
(2)证明
令s(x)＝ex－1－x，则s′(x)＝ex－1－1.
当x＞1时，s′(x)＞0，所以ex－1＞x，
从而g(x)＝－＞0.
(3)令g(x)＝－，s(x)＝ex－1－x.
则s′(x)＝ex－1－1.
而当x＞1时，s′(x)＞0，
所以s(x)在区间(1，＋∞)内单调递增．
又由s(1)＝0，有s(x)＞0，从而当x＞1时，g(x)＞0.
当a≤0，x＞1时，f(x)＝a(x2－1)－ln
x＜0.
故当f(x)＞g(x)在区间(1，＋∞)内恒成立时，必有a＞0.
当0＜a＜时，＞1.
由(1)有f＜f(1)＝0，
而g＞0，
所以此时f(x)＞g(x)在区间(1，＋∞)内不恒成立．
当a≥时，令h(x)＝f(x)－g(x)(x≥1)．
当x＞1时，h′(x)＝2ax－＋－e1－x＞x－＋－
＝＞＞0.
因此，h(x)在区间(1，＋∞)内单调递增．
又因为h(1)＝0，所以当x＞1时，h(x)＝f(x)－g(x)＞0，
即f(x)＞g(x)恒成立．
综上，a∈.
10．某村庄拟修建一个无盖的圆柱
( http: / / www.21cnjy.com )形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12
000π元(π为圆周率)．
(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；
(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．
【解析】
(1)因为蓄水池侧面的
( http: / / www.21cnjy.com )总成本为100·2πrh＝200πrh元，底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．
又根据题意200πrh＋160πr2＝12
000π，
所以h＝(300－4r2)，
从而V(r)＝πr2h＝(300r－4r3)．
因为r＞0，又由h＞0可得r＜5，
故函数V(r)的定义域为(0，5)．
(2)因为V(r)＝(300r－4r3)，
所以V′(r)＝(300－12r2)．
令V′(r)＝0，解得r＝5或－5(因为r＝－5不在定义域内，舍去)．
当r∈(0，5)时，V′(r)＞0，故V(r)在(0，5)上为增函数；
当r∈(5，5)时，V′(r)＜0，故V(r)在(5，5)上为减函数．
由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8.
即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．
B组　专项能力提升
(时间：30分钟)
11．设函数f(x)＝ax2＋bx＋
( http: / / www.21cnjy.com )c(a，b，c∈R)．若x＝－1为函数g(x)＝f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f(x)的图象的是(　　)
【解析】
因g(x)＝f(x)ex，
则g′(x)＝(2ax＋b)ex＋(ax2＋bx＋c)ex＝(ax2＋2ax＋bx＋b＋c)ex.
由x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点．
∴c－a＝0，∴c＝a.∴f(x)＝ax2＋bx＋a.
若方程ax2＋bx＋a＝0有两根x1，x2，则x1x2＝＝1，D中图象一定不满足条件．
【答案】
D
12．(2017·开封一模)已知函数f(x)＝ax3－3x＋1对x∈(0，1]总有f(x)≥0成立，则实数a的取值范围是________．
【解析】
当x∈(0，1]时不等式ax3－3x＋1≥0可化为a≥，设g(x)＝，x∈(0，1]，
g′(x)＝＝－.
g′(x)与g(x)随x的变化情况如下表：
x
g′(x)
＋
0
－
g(x)
( http: / / www.21cnjy.com )?
极大值4
( http: / / www.21cnjy.com )?
因此g(x)的最大值为4，
则实数a的取值范围是[4，＋∞)．
【答案】
[4，＋∞)
13．(2017·皖江名校联考)若y＝ax＋b为函数f(x)＝图象的一条切线，则a＋b的最小值为________．
【解析】
f′(x)＝(x＞0)．设
( http: / / www.21cnjy.com )切点为，则切线方程为y－＝eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x0)＋\f(1,x)))(x－x0)，即y＝eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x0)＋\f(1,x)))x－eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x0)＋\f(1,x)))x0＋，亦即y＝eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x0)＋\f(1,x)))x＋，令＝t，则t＞0，由题意得a＝＋eq
\f(1,x)＝t＋t2，b＝ln
x0－－1＝－ln
t－2t－1，令a＋b＝φ(t)＝－ln
t＋t2－t－1，则φ′(t)＝－＋2t－1＝，当t∈(0，1)时，φ′(t)＜0，则φ(t)在(0，1)上单调递减；当t∈(1，＋∞)时，φ′(t)＞0，则φ(t)在(1，＋∞)上单调递增，∴a＋b＝φ(t)≥φ(1)＝－1，故a＋b的最小值为－1.
【答案】
－1
14．设函数f(x)＝a2ln
x－x2＋ax，a＞0.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求所有的实数a，使e－1≤f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立．
【解析】
(1)因为f(x)＝a2ln
x－x2＋ax，其中x＞0，
所以f′(x)＝－2x＋a＝－.
由于a＞0，所以f(x)的增区间为(0，a)，减区间为(a，＋∞)．
(2)由题意得f(1)＝a－1≥e－1，即a≥e.
由(1)知f(x)在[1，e]内单调递增，
要使e－1≤f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立．
只要解得a＝e.
15．(2016·课标全国Ⅰ)已知函数f(x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．
【解析】
(1)f′(x)＝(x－1)ex＋2a(x－1)
＝(x－1)(ex＋2a)．
(ⅰ)设a≥0，则当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0.
所以f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．
(ⅱ)设a＜0，由f′(x)＝0，得x＝1或x＝ln(－2a)．
①若a＝－，则f′(x)＝(x－1)(ex－e)≥0，当且仅当x＝1时等号成立，
所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．
②若a＞－，则ln(－2a)＜1
( http: / / www.21cnjy.com )，故当x∈(－∞，ln(－2a))∪(1，＋∞)时，f′(x)＞0；当x∈(ln(－2a)，1)时，f′(x)＜0.所以f(x)在(－∞，ln(－2a))，(1，＋∞)上单调递增，在(ln(－2a)，1)上单调递减．
③若a＜－，则ln(－2a)＞1，故当x
( http: / / www.21cnjy.com )∈(－∞，1)∪(ln(－2a)，＋∞)时，f′(x)＞0；当x∈(1，ln(－2a))时，f′(x)＜0.所以f(x)在(－∞，1)，(ln(－2a)，＋∞)上单调递增，在(1，ln(－2a))上单调递减．
(2)①设a＞0，则由(1)知，f(x)
( http: / / www.21cnjy.com )在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．又f(1)＝－e，f(2)＝a＞0，取b满足b＜0且b＜ln，则
f(b)＞(b－2)＋a(b－1)2＝a＞0，
所以f(x)有两个零点．
②设a＝0，则f(x)＝(x－2)ex，所以f(x)只有一个零点．
③设a＜0，若a≥－，则由(1)知，f(x)在(1，＋∞)上单调递增．
又当x≤1时，f(x)＜0，故f(x)不存在两个零点；
若a＜－，则由(1)知，f(x)在(1，ln(－2a))上单调递减，在(ln(－2a)，＋∞)上单调递增．
又当x≤1时，f(x)＜0，故f(x)不存在两个零点．
综上，a的取值范围为(0，＋∞)．( http: / / www.21cnjy.com )
A组　专项基础训练
(时间：35分钟)
1．(2017·广东广州综合检测)已知向量a＝(3，4)，若|λa|＝5，则实数λ的值为(　　)
A.　　　　　　　　　　　B．1
C．±
D．±1
【解析】
因为a＝(3，4)，所以|a|＝＝5.因为|λa|＝|λ|·|a|＝5，所以5|λ|＝5，解得λ＝±1.故选D.
【答案】
D
2．(2017·黑龙江哈尔滨三中检测)已知向量a＝(1，m＋2)，b＝(m，－1)，且a∥b，则|b|等于(　　)
A.
B．2
C.
D.
【解析】
由a∥b，得－(m＋2)m＝1，解得m＝－1，所以|b|＝.
【答案】
A
3．(2017·四川资阳模拟)已知向量＝a＋3b，＝5a＋3b，＝－3a＋3b，则(　　)
A．A，B，C三点共线
B．A，B，D三点共线
C．A，C，D三点共线
D．B，C，D三点共线
【解析】
∵＋＝2a＋6b＝2(a＋3b)＝2，∴A，B，D三点共线．故选B.
【答案】
B
4．(2017·山东青岛一模)已知向量a＝(－1，2)，b＝(3，m)，m∈R，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的(　　)
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】
由已知，得a＋b＝(2，2＋m)．
若m＝－6，则a＋b＝(
( http: / / www.21cnjy.com )2，－4)，a∥(a＋b)成立；若a∥(a＋b)，则＝，m＝－6.所以“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的充要条件，故选A.
【答案】
A
5．(2017·吉林省实验中学二模)已知向量e1，e2是两个不共线的向量，若a＝2e1－e2与b＝e1＋λe2共线，则λ＝(　　)
A．2
B．－2
C．－
D.
【解析】
若a＝2e1－e2与b＝e
( http: / / www.21cnjy.com )1＋λe2共线，则存在一个实数k，使得2e1－e2＝k(e1＋λe2)＝ke1＋λke2，所以解得λ＝－.故选C.
【答案】
C
6．(2017·浙江温州瑞安八校联考)
( http: / / www.21cnjy.com )已知向量＝(m，2)，＝(－2，4)，若⊥，则m＝________；若∥，则m＝________．
【解析】
已知＝(m，2)，＝(－2，4)．若⊥，则·＝0，即－2m＋2×4＝0，解得m＝4；若∥，则4m－2×(－2)＝0，解得m＝－1.
【答案】
4　－1
7．(2016·洛阳一模)已知
( http: / / www.21cnjy.com )向量a＝(1，3)，b＝(－2，1)，c＝(3，2)．若向量c与向量ka＋b共线，则实数k＝________．
【解析】
ka＋b＝k(1，3)＋(－2，1
( http: / / www.21cnjy.com ))＝(k－2，3k＋1)，因为向量c与向量ka＋b共线，所以2(k－2)－3(3k＋1)＝0，解得k＝－1.
【答案】
－1
8．已知向量＝(3，－4)，＝(0，－3)，＝(5－m，－3－m)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m满足的条件是________．
【解析】
由题意得＝(－3，1)，＝(2－m，1－m)，若A，B，C能构成三角形，则，不共线，则－3×(1－m)≠1×(2－m)，解得m≠.
【答案】
m≠
9．已知A(1，1)，B(3，－1)，C(a，b)．
(1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系式；
(2)若＝2，求点C的坐标．
【解析】
(1)由已知得＝(2，－2)，＝(a－1，b－1)，
∵A，B，C三点共线，∴∥，
∴2(b－1)＋2(a－1)＝0，即a＋b＝2.
(2)∵＝2，∴(a－1，b－1)＝2(2，－2)，
∴，解得，∴点C的坐标为(5，－3)．
10．已知a＝(1，0)，b＝(2，1)．
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线；
(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb，且A，B，C三点共线，求m的值．
【解析】
(1)∵a＝(1，0)，b＝(2，1)，
∴ka－b＝k(1，0)－(2，1)＝(k－2，－1)，
a＋2b＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)，
∵ka－b与a＋2b共线，
∴2(k－2)－(－1)×5＝0，
∴k＝－.
(2)＝2(1，0)＋3(2，1)＝(8，3)，
＝(1，0)＋m(2，1)＝(2m＋1，m)．
∵A，B，C三点共线，
∴∥，
∴8m－3(2m＋1)＝0，
∴m＝.
B组　专项能力提升
(时间：15分钟)
11．P＝{α|α＝(－1，1)＋m(
( http: / / www.21cnjy.com )1，2)，m∈R}，Q＝{β|β＝(1，－2)＋n(2，3)，n∈R}是两个向量集合，则P∩Q等于(　　)
A．{(1，－2)}
B．{(－13，－23)}
C．{(－2，1)}
D．{(－23，－13)}
【解析】
P中，α＝(－1＋m，1＋2m)，Q中，β＝(1＋2n，－2＋3n)．
∴∴
此时α＝β＝(－13，－23)．
【答案】
B
12．(2017·河南安阳调研)已知平面向量a＝(2m＋1，3)，b＝(2，m)，且a与b反向，则|b|等于(　　)
A.
B.或2
C.
D．2
【解析】
因为a与b反向，所以a与b共线，所以m(2m＋1)－2×3＝0，解得m＝－2或m＝.
当m＝－2时，a＝(－3，3)，b＝(2，－2)，a与b反向，此时|b|＝2；当m＝时，a＝(4，3)，b＝，a与b同向．故选D.
【答案】
D
13．(2017·江西南昌
( http: / / www.21cnjy.com )调研)设e1，e2是平面内两个不共线的向量，＝(a－1)e1＋e2，＝be1－2e2(a＞0，b＞0)，若A，B，C三点共线，则ab的最大值是(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】
若A，B，C三点共线，则存在一个实数λ，使得＝λ，∴(a－1)e1＋e2＝λ(be1－2e2)，即
∴b＝2－2a.
∴ab＝a(2－2a)＝2a－2a2＝－2＋，当a＝，b＝1时，ab有最大值，最大值为.故选B.
【答案】
B
14．如图所示，A，B，C是圆O
( http: / / www.21cnjy.com )上的三点，线段CO的延长线与BA的延长线交于圆O外的一点D，若＝m＋n，则m＋n的取值范围是________．
【解析】
由题意得，＝k(k＜0)，
又|k|＝＜1，∴－1＜k＜0.
又∵B，A，D三点共线，
∴＝λ＋(1－λ)，
∴m＋n＝kλ＋k(1－λ)，
∴m＝kλ，n＝k(1－λ)，
∴m＋n＝k，从而m＋n∈(－1，0)．
【答案】
(－1，0)
15．(2016·北京东城模拟)如图所
( http: / / www.21cnjy.com )示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则m＋n的值为________．
【解析】
连接AO，则＝(＋)＝＋.
又∵M，O，N三点共线，
∴＋＝1，即m＋n＝2.
【答案】
2( http: / / www.21cnjy.com )
A组　专项基础训练
(时间：35分钟)
1．(2017·南昌模拟)已知函数f(x)＝(2x－x2)ex，则(　　)
A．f()是f(x)的极大值也是最大值
B．f()是f(x)的极大值但不是最大值
C．f(－)是f(x)的极小值也是最小值
D．f(x)没有最大值也没有最小值
【解析】
由题意得f′(x)＝(2－2x)
( http: / / www.21cnjy.com )ex＋(2x－x2)ex＝(2－x2)ex，当－＜x＜时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增；当x＜－或x＞时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减，所以f(x)在x＝处取得极大值f()＝2(－1)e＞0，在x＝－处取得极小值f(－)＝2(－－1)e－＜0，又当x＜0时，f(x)＝(2x－x2)ex＜0，所以f()是f(x)的极大值也是最大值．
【答案】
A
2．(2017·岳阳一模)下列函数中，既是奇函数又存在极值的是(　　)
A．y＝x3　　　　　　　　　　
　B．y＝ln(－x)
C．y＝xe－x
D．y＝x＋
【解析】
由题可知，B，C选项中的函数不是奇函数，A选项中，函数y＝x3单调递增(无极值)，而D选项中的函数既为奇函数又存在极值．
【答案】
D
3．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是(　　)
【解析】
由函数f(x)在x
( http: / / www.21cnjy.com )＝－2处取得极小值，可得f′(－2)＝0，且当x∈(a，－2)(a＜－2)时，f(x)单调递减，即f′(x)＜0；当x∈(－2，b)(b＞－2)时，f(x)单调递增，即f′(x)＞0.
所以函数y＝xf′(x)在区间(a，－
( http: / / www.21cnjy.com )2)(a＜－2)内的函数值为正，在区间(－2，b)(－2＜b＜0)内的函数值为负，由此可排除选项A，B，D.
【答案】
C
4．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则f(2)等于(　　)
A．11或18
B．11
C．18
D．17或18
【解析】
∵函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，
∴f(1)＝10，且f′(1)＝0，
即解得或
而当时，函数在x＝1处无极值，故舍去．
∴f(x)＝x3＋4x2－11x＋16，
∴f(2)＝18.
【答案】
C
5．(2017·黑龙江大庆铁人中学期
( http: / / www.21cnjy.com )中)若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于(　　)
A．4
B．8
C．9
D．18
【解析】
因为f(x)＝4x3－ax2－
( http: / / www.21cnjy.com )bx＋2，所以f′(x)＝12x2－2ax－b.由于函数f(x)在x＝1处有极值，所以f′(1)＝0，即12－2a－b＝0，2a＋b＝12.因为a＞0，b＞0，所以ab＝·2a·b≤＝18，当且仅当2a＝b＝6，即a＝3，b＝6时取等号，所以ab的最大值是18.故选D.
【答案】
D
6．函数f(x)＝＋x2－3x－4在[0，2]上的最小值是________．
【解析】
f′(x)＝x2＋2x－3，f′(x)＝0，x∈[0，2]，
得x＝1.
比较f(0)＝－4，f(1)＝－，
f(2)＝－，可知最小值为－.
【答案】
－
7．(2015·陕西)函数y＝xex在其极值点处的切线方程为________．
【解析】
由y＝xex可得
( http: / / www.21cnjy.com )y′＝ex＋xex＝ex(x＋1)，从而可得y＝xex在(－∞，－1)上递减，在(－1，＋∞)上递增，所以当x＝－1时，y＝xex取得极小值－e－1，因为y′|x＝－1＝0，故切线方程为y＝－e－1，即y＝－.
【答案】
y＝－
8．(2017·广州模拟)已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，则a－b＝________．
【解析】
由题意得f′(x)＝3x2＋6ax＋b，
则
解得或经检验当a＝1，b＝3时，函数f(x)在x＝－1处无法取得极值，而a＝2，b＝9满足题意，故a－b＝－7.
【答案】
－7
9．(2017·济宁模拟节选)已知函数f(x)＝(k≠0)．求函数f(x)的极值．
【解析】
f(x)＝，其定义域为(0，＋∞)，
则f′(x)＝－.
令f′(x)＝0，得x＝1，
当k＞0时，若0＜x＜1，则f′(x)＞0；
若x＞1，则f′(x)＜0，
∴f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，即当x＝1时，函数f(x)取得极大值.
当k＜0时，若0＜x＜1，则f′(x)＜0；
若x＞1，则f′(x)＞0，
∴f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，即当x＝1时，函数f(x)取得极小值.
10．已知函数f(x)＝(x－k)ex.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求f(x)在区间[0，1]上的最小值．
【解析】
(1)由题意知f′(x)＝(x－k＋1)ex.
令f′(x)＝0，得x＝k－1.
f(x)与f′(x)随x的变化情况如下表：
x
(－∞，k－1)
k－1
(k－1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
?
－ek－1
( http: / / www.21cnjy.com )?
所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)．
(2)当k－1≤0，即k≤1时，f(x)在[0，1]上单调递增，
所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(0)＝－k；
当0＜k－1＜1，即1＜k＜2时，
f(x)在[0，k－1]上单调递减，在[k－1，1]上单调递增，所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(k－1)＝－ek－1；
当k－1≥1，即k≥2时，f(x)在[0，1]上单调递减，
所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.
综上，当k≤1时，f(x)在[0，1]上的最
( http: / / www.21cnjy.com )小值为f(0)＝－k；当1＜k＜2时，f(x)在[0，1]上的最小值为f(k－1)＝－ek－1；
当k≥2时，f(x)在[0，1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.
B组　专项能力提升
(时间：30分钟)
11．(2017·山东威海模拟)设f
( http: / / www.21cnjy.com )′(x)为函数f(x)的导函数，已知x2f′(x)＋xf(x)＝ln
x，f(e)＝，则下列结论正确的是(　　)
A．f(x)在(0，＋∞)上单调递增
B．f(x)在(0，＋∞)上单调递减
C．f(x)在(0，＋∞)上有极大值
D．f(x)在(0，＋∞)上有极小值
【解析】
由x2f′(x)＋xf(
( http: / / www.21cnjy.com )x)＝ln
x，得xf′(x)＋f(x)＝，从而[xf(x)]′＝.令g(x)＝xf(x)，则f(x)＝，∴f′(x)＝＝，令h(x)＝ln
x－g(x)，则h′(x)＝－g′(x)＝－＝(x＞0)．令h′(x)＞0，即1－ln
x＞0，解得0＜x＜e，此时h(x)为增函数；令h′(x)＜0，即1－ln
x＜0，解得x＞e，此时h(x)为减函数．由f(e)＝，得g(e)＝ef(e)＝1.∴h(x)在(0，＋∞)上有极大值h(e)＝ln
e－g(e)＝1－1＝0，也是最大值，∴h(x)≤0，即f′(x)≤0，当且仅当x＝e时，f′(x)＝0.∴f(x)在(0，＋∞)上为减函数．故选B.
【答案】
B
12．若函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象可能为(　　)
【解析】
根据f′(x)的符号，f(x)图象应该是先下降后上升，最后下降，排除A、D；从适合f′(x)＝0的点可以排除B.
【答案】
C
13．函数f(x)＝x3－3ax＋b(a＞0)的极大值为6，极小值为2，则f(x)的单调递减区间是________．
【解析】
令f′(x)＝3x2－3a＝0，得x＝±，
则f(x)，f′(x)随x的变化情况如下表：
x
(－∞，－)
－
(－，)
(，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
( http: / / www.21cnjy.com )?
极大值
( http: / / www.21cnjy.com )?
极小值
( http: / / www.21cnjy.com )?
从而
解得
所以f(x)的单调递减区间是(－1，1)．
【答案】
(－1，1)
14．(2017·辽宁鞍山一中
( http: / / www.21cnjy.com )二模)已知函数f(x)＝x3＋mx2＋(m＋6)x＋1既存在极大值又存在极小值，则实数m的取值范围是________．
【解析】
因为f′(x)＝3x2＋2mx＋
( http: / / www.21cnjy.com )(m＋6)，所以Δ＝4m2－4×3(m＋6)＞0，解得m＞6或m＜－3，所以实数m的取值范围是(－∞，－3)∪(6，＋∞)．
【答案】
(－∞，－3)∪(6，＋∞)
15．设f(x)＝，其中a为正实数．
(1)当a＝时，求f(x)的极值点；
(2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围．
【解析】
对f(x)求导得f′(x)＝ex·.①
(1)当a＝时，若f′(x)＝0，则4x2－8x＋3＝0，
解得x1＝，x2＝.结合①，可知
x
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
( http: / / www.21cnjy.com )?
极大值
( http: / / www.21cnjy.com )?
极小值
( http: / / www.21cnjy.com )?
所以x1＝是极小值点，x2＝是极大值点．
(2)若f(x)为R上的单调函数，则
( http: / / www.21cnjy.com )f′(x)在R上不变号，结合①与条件a＞0，知ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立，即Δ＝4a2－4a＝4a(a－1)≤0，由此并结合a＞0，知0＜a≤1.所以a的取值范围为{a|0＜a≤1}．
16．(2017·烟台模拟)已知函数f(x)＝ax－2x(a＞0，且a≠1)．
(1)当a＝2时，求曲线f(x)在点P(2，f(2))处的切线方程；
(2)若f(x)的值恒非负，试求a的取值范围；
(3)若函数f(x)存在极小值g(a)，求g(a)的最大值．
【解析】
(1)当a＝2时，f(x)＝2x－2x，
所以f′(x)＝2xln
2－2，所以f′(2)＝4ln
2－2，
又f(2)＝0，所以所求切线方程为y＝(4ln
2－2)(x－2)．
(2)当x≤0时，f(x)≥0恒成立；
当x＞0时，若0＜a＜1，则x＞1时，
f(x)＜1－2＜0，与题意矛盾，故a＞1.
由f(x)≥0知ax≥2x，所以xln
a≥ln(2x)，
所以ln
a≥.
令g(x)＝，则g′(x)＝＝，令g′(x)＝0，则x＝，
且0＜x＜时，g′(x)＞0，x＞时，g′(x)＜0，
则g(x)max＝g＝＝，
所以ln
a≥，a≥e，即a的取值范围为[e，＋∞)．
(3)f′(x)＝axln
a－2，
①当0＜a＜1时，ax＞0，ln
a＜0，则f′(x)＜0，
所以f(x)在R上为减函数，f(x)无极小值．
②当a＞1时，设方程f′(x)＝0的根为t，得at＝，
即t＝loga＝，
所以f(x)在(－∞，t)上为减函数，在(t，＋∞)上为增函数，所以f(x)的极小值为f(t)＝at－2t＝－2，
即g(a)＝－2，又a＞1，所以＞0.
设h(x)＝x－xln
x，x＞0，则h′(x)＝1－ln
x－x·＝－ln
x，
令h′(x)＝0，得x＝1，
所以h(x)在(0，1)上为增函数，在(1，＋∞)上为减函数，
所以h(x)的最大值为h(1)＝1，
即g(a)的最大值为1，此时a＝e2.( http: / / www.21cnjy.com )
A组　专项基础训练
(时间：35分钟)
1．(2016·泉州模拟)等差数列{an}的前三项为x－1，x＋1，2x＋3，则这个数列的通项公式为(　　)
A．an＝2n－5　　　　　　
B．an＝2n－3
C．an＝2n－1
D．an＝2n＋1
【解析】
∵等差数列{an}的前三项为x－1，x＋1，2x＋3，
∴2(x＋1)＝(x－1)＋(2x＋3)，解得x＝0.∴a1＝－1，a2＝1，d＝2，故an＝－1＋(n－1)×2＝2n－3.
【答案】
B
2．(2016·东北三省联
( http: / / www.21cnjy.com )考)现给出以下几个数列：①2，4，6，8，…，2(n－1)，2n；②1，1，2，3，…，n；③常数列a，a，a，…，a；④在数列{an}中，已知a2－a1＝2，a3－a2＝2.其中等差数列的个数为(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】
①由4－2＝6－
( http: / / www.21cnjy.com )4＝…＝2n－2(n－1)＝2，得数列2，4，6，8，…，2(n－1)，2n为等差数列；②因为1－1＝0≠2－1＝1，所以数列1，1，2，3，…，n不是等差数列；③常数列a，a，a，…，a为等差数列；④当数列{an}仅有3项时，数列{an}是等差数列，当数列{an}的项数超过3项时，数列{an}不一定是等差数列，故等差数列的个数为2.
【答案】
B
3．(2016·山东齐鲁名校第二次联考)设Sn为等差数列{an}的前n项和，a2＝2，S5＝15，若的前n项和为，则n的值为(　　)
A．8
B．9
C．10
D．11
【解析】
因为S5＝15，{an}为等差数列
( http: / / www.21cnjy.com )，所以a3＝3，又a2＝2，所以公差d＝1，an＝n.所以＋＋＋…＋＝1－＋－＋…＋－＝1－＝＝，所以n＝9.
【答案】
B
4．(2016·西安八校联考)在等差数列{an}中，a1＝0，公差d≠0，若am＝a1＋a2＋…＋a9，则m的值为(　　)
A．37
B．36
C．20
D．19
【解析】
am＝a1＋a2＋…＋a9＝9a1＋d＝36d＝a37.
【答案】
A
5．(2016·陕西质量监测)已知数列{an}满足a1＝15，且3an＋1＝3an－2.若ak·ak＋1＜0，则正整数k＝(　　)
A．21
B．22
C．23
D．24
【解析】
3an＋1＝3an－2 an＋1＝an－ {an}是等差数列，则an＝－n.∵ak＋1·ak＜0，
∴＜0，∴＜k＜，∴k＝23.
【答案】
C
6．(2016·唐山期末)设等差数列{an}的前n项和为Sn，S3＝6，S4＝12，则S6＝________．
【解析】
设数列{an}的公差为d，S3＝6，S4＝12，
∴
∴
∴S6＝6a1＋d＝30.
【答案】
30
7．(2016·海淀模拟)已知等差数列{an}的公差d≠0，且a3＋a9＝a10－a8.若an＝0，则n＝________．
【解析】
∵a3＋a9＝a10－a8，
∴a1＋2d＋a1＋8d＝a1＋9d－(a1＋7d)，解得a1＝－4d，
∴an＝－4d＋(n－1)d＝(n－5)d，
令(n－5)d＝0(d≠0)，可解得n＝5.
【答案】
5
8．(2016·全国卷Ⅱ)等差数列{an}中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.
【解析】
(1)设数列{an}的公差为d，由题意有2a1＋5d＝4，a1＋5d＝3.
解得a1＝1，d＝.
所以{an}的通项公式为an＝.
(2)由(1)知，bn＝.
当n＝1，2，3时，1≤＜2，bn＝1；
当n＝4，5时，2＜＜3，bn＝2；
当n＝6，7，8时，3≤＜4，bn＝3；
当n＝9，10时，4＜＜5，bn＝4.
所以数列{bn}的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.
9．(2016·南昌调研)设数列{a
( http: / / www.21cnjy.com )n}的前n项和为Sn，4Sn＝a＋2an－3，且a1，a2，a3，a4，a5成等比数列，当n≥5时，an＞0.
(1)求证：当n≥5时，{an}成等差数列；
(2)求{an}的前n项和Sn.
【解析】
(1)证明　由4Sn＝a＋2an－3，4Sn＋1＝a＋2an＋1－3，
得4an＋1＝a－a＋2an＋1－2an，
即(an＋1＋an)(an＋1－an－2)＝0.
当n≥5时，an＞0，所以an＋1－an＝2，
所以当n≥5时，{an}成等差数列．
(2)由4a1＝a＋2a1－3，得a1＝3或a1＝－1，
又a1，a2，a3，a4，a5成等比数列，
所以an＋1＋an＝0(n≤5)，q＝－1，
而a5＞0，所以a1＞0，从而a1＝3，
所以an＝
所以Sn＝
10．(2016·济南模拟)等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a1＞0，S3＝S11，则当n为多少时，Sn最大？
【解析】
方法一　由S3＝S11得
3a1＋d＝11a1＋d，则d＝－a1.
从而Sn＝n2＋n＝－(n－7)2＋a1，
又a1＞0，所以－＜0.故当n＝7时，Sn最大．
方法二　由于Sn＝an2＋bn是关于n的
( http: / / www.21cnjy.com )二次函数，由S3＝S11，可知Sn＝an2＋bn的图象关于n＝＝7对称．由方法一可知a＝－＜0，故当n＝7时，Sn最大．
方法三　由方法一可知，d＝－a1.
要使Sn最大，则有
即
解得6.5≤n≤7.5，故当n＝7时，Sn最大．
方法四
由S3＝S11，可得2a1＋13d＝0，
即(a1＋6d)＋(a1＋7d)＝0，
故a7＋a8＝0，又由a1＞0，S3＝S11可知d＜0，
所以a7＞0，a8＜0，所以当n＝7时，Sn最大．
B组　专项能力提升
(时间：20分钟)
11．(2016·浙江卷)如图，点列
( http: / / www.21cnjy.com ){An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且|AnAn＋1|＝|An＋1An＋2|，An≠An＋2，n∈N
，|BnBn＋1|＝|Bn＋1Bn＋2|，Bn≠Bn＋2，n∈N
(P≠Q表示点P与Q不重合)．若dn＝|AnBn|，Sn为△AnBnBn＋1的面积，则(　　)
A．{Sn}是等差数列
B．{S}是等差数列
C．{dn}是等差数列
D．{d}是等差数列
【解析】
由题意，过点A1，A2，
( http: / / www.21cnjy.com )A3，…，An，An＋1，…分别作直线B1Bn＋1的垂线，高分别记为h1，h2，h3，…，hn，hn＋1，…，根据平行线的性质，得h1，h2，h3，…，hn，hn＋1，…成等差数列，又Sn＝×|BnBn＋1|×hn，|BnBn＋1|为定值，所以{Sn}是等差数列．故选A.
【答案】
A
12．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－3，ak＋1＝，Sk＝－12，则正整数k＝________．
【解析】
Sk＋1＝Sk＋ak＋1＝－12＋＝－，
又Sk＋1＝
＝
＝－，
解得k＝13.
【答案】
13
13．设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意自然数n都有＝，则＋的值为________．
【解析】
∵{an}，{bn}为等差数列，
∴＋＝＋＝＝.
∵＝＝＝＝，
∴＝.
【答案】
14．(2016·青岛二模)已知数列{an}的前n项和为Sn且满足an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2)，a1＝.
(1)求证：是等差数列；
(2)求an的表达式．
【解析】
(1)证明　∵an＝Sn－Sn－1(n≥2)，
又an＝－2Sn·Sn－1，∴Sn－1－Sn＝2Sn·Sn－1，Sn≠0.
因此－＝2(n≥2)．
故由等差数列的定义知是以＝＝2为首项，2为公差的等差数列．
(2)由(1)知＝＋(n－1)d＝2＋(n－1)×2＝2n，
即Sn＝.
由于当n≥2时，有an＝－2Sn·Sn－1＝－，
又∵a1＝，不适合上式．
∴an＝
15．(2016·咸阳模拟)已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a3·a4＝117，a2＋a5＝22.
(1)求通项an；
(2)求Sn的最小值；
(3)若数列{bn}是等差数列，且bn＝，求非零常数c.
【解析】
(1)因为数列{an}为等差数列，
所以a3＋a4＝a2＋a5＝22.又a3·a4＝117，
所以a3，a4是方程x2－22x＋117＝0的两实根，
又公差d＞0，所以a3＜a4，
所以a3＝9，a4＝13，
所以所以
所以通项an＝4n－3.
(2)由(1)知a1＝1，d＝4，
所以Sn＝na1＋×d＝2n2－n
＝2－.
所以当n＝1时，Sn最小，
最小值为S1＝a1＝1.
(3)由(2)知Sn＝2n2－n，
所以bn＝＝，
所以b1＝，b2＝，b3＝.
因为数列{bn}是等差数列，
所以2b2＝b1＋b3，
即×2＝＋，
所以2c2＋c＝0，
所以c＝－或c＝0(舍去)，
经验证c＝－时，{bn}是等差数列，
故c＝－.( http: / / www.21cnjy.com )
1．(2016·山东卷)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2(tan
A＋tan
B)＝＋.
(1)证明：a＋b＝2c；
(2)求cos
C的最小值．
【解析】
(1)证明
由题意知2＝＋，化简得2(sin
Acos
B＋sin
Bcos
A)＝sin
A＋sin
B，
即2sin(A＋B)＝sin
A＋sin
B，
因为A＋B＋C＝π，
所以sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin
C.
从而sin
A＋sin
B＝2sin
C.
由正弦定理得a＋b＝2c.
(2)由(1)知c＝，
所以cos
C＝＝
＝－≥，
当且仅当a＝b时，等号成立．
故cos
C的最小值为.
2．(2016·邵阳模拟)如图，在△ABC中，D为AB边上一点，DA＝DC，已知B＝，BC＝1.
(1)若△ABC是锐角三角形，DC＝，求角A的大小；
(2)若△BCD的面积为，求边AB的长．
【解析】
(1)在△BCD中，B＝，BC＝1，DC＝，
由正弦定理得，＝，
解得sin∠BDC＝＝，
则∠BDC＝或.
由△ABC是锐角三角形，可得∠BDC＝.
又由DA＝DC，得A＝.
(2)由于B＝，BC＝1，△BCD的面积为，
则·BC·BD·sin＝，解得BD＝.
由余弦定理得CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos＝1＋－2××＝，故CD＝，
则AB＝AD＋BD＝CD＋BD＝，
故边AB的长为.
3．(2016·郑州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知＋＝，且b＝，a＞c.
(1)求ac的值；
(2)若△ABC的面积S＝，求a，c的值．
【解析】
(1)因为＋＝
＝＝，
所以＝，
即sin2B＝sin
Asin
C.
由正弦定理可得b2＝ac，又b＝，所以ac＝2.
(2)S＝acsin
B＝sin
B＝，
又ac＝2且a＞c，
所以a2＞ac＝2，即a＞，又b＝，
所以A＞B，故角B一定为锐角，因此cos
B＝＝.
由余弦定理可知cos
B＝＝，
所以a2＋c2＝5，
由ac＝2且a＞c，解得a＝2，c＝1.
4．(2016·天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知asin
2B＝
bsin
A.
(1)求B；
(2)若cos
A＝，求sin
C的值．
【解析】
(1)在△ABC中，由＝，
可得asin
B＝bsin
A，
又由asin
2B＝bsin
A，得
2asin
Bcos
B＝bsin
A＝asin
B，
所以cos
B＝，得B＝.
(2)由cos
A＝，可得sin
A＝，则
sin
C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sin
＝sin
A＋cos
A＝.
5．(2016·淄博模拟)已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin＝2cos
A.
(1)若cos
C＝，求证：2a－3c＝0；
(2)若B∈，且cos(A－B)＝，求sin
B的值．
【解析】
由sin＝2cos
A，得sin
A＋cos
A＝2cos
A，
即sin
A＝cos
A.
因为A∈(0，π)，且cos
A≠0，
所以tan
A＝，所以A＝.
(1)证明
因为sin2C＋cos2C＝1，cos
C＝，C∈(0，π)，
所以sin
C＝，
由正弦定理知＝，即＝＝＝，
即2a－3c＝0.
(2)因为B∈，所以A－B＝－B∈，
因为sin2(A－B)＋cos2(A－B)＝1，所以sin(A－B)＝，所以sin
B＝sin[A－(A－B)]
＝sin
Acos(A－B)－cos
Asin(A－B)＝.
6．(2016·四川)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且＋＝.
(1)证明：sin
Asin
B＝sin
C；
(2)若b2＋c2－a2＝bc，求tan
B.
【解析】
(1)证明
根据正弦定理，可设＝＝＝k(k＞0)．
则a＝ksin
A，b＝ksin
B，c＝ksin
C.
代入＋＝中，有＋＝，变形可得
sin
Asin
B＝sin
Acos
B＋cos
Asin
B＝sin(A＋B)．
在△ABC中，由A＋B＋C＝π，有sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin
C，
所以sin
Asin
B＝sin
C.
(2)由已知，b2＋c2－a2＝bc，根据余弦定理，有
cos
A＝＝.
所以sin
A＝＝.
由(1)，sin
Asin
B＝sin
Acos
B＋cos
Asin
B，
所以sin
B＝cos
B＋sin
B，
故tan
B＝＝4.( http: / / www.21cnjy.com )
1．(2017·兰州模拟)已知函数f(x)＝ex－ax(a∈R，e为自然对数的底数)．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若a＝1，函数g(x)＝(x－m)f(x)－ex＋x2＋x在(2，＋∞)上为增函数，求实数m的取值范围．
【解析】
(1)函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝ex－a.
当a≤0时，f′(x)＞0，∴f(x)在R上为增函数；
当a＞0时，由f′(x)＝0得x＝ln
a，
则当x∈(－∞，ln
a)时，f′(x)＜0，∴函数f(x)在(－∞，ln
a)上为减函数，
当x∈(ln
a，＋∞)时，f′(x)＞0，∴函数f(x)在(ln
a，＋∞)上为增函数．
(2)当a＝1时，g(x)＝(x－m)(ex－x)－ex＋x2＋x，
∵g(x)在(2，＋∞)上为增函数，
∴g′(x)＝xex－mex＋m＋1≥0在(2，＋∞)上恒成立，
即m≤在(2，＋∞)上恒成立，
令h(x)＝，x∈(2，＋∞)，
h′(x)＝＝.
令L(x)＝ex－x－2，L′(x)＝ex－1＞0在(2，＋∞)上恒成立，
即L(x)＝ex－x－2在(2，＋∞)上为增函数，
即L(x)＞L(2)＝e2－4＞0，∴h′(x)＞0，
即h(x)＝在(2，＋∞)上为增函数，
∴h(x)＞h(2)＝，
∴m≤.
所以实数m的取值范围是.
2．(2017·武汉调研)已知函数f(x)＝ax2＋bx－ln
x(a＞0，b∈R)．
(1)设a＝1，b＝－1，求f(x)的单调区间；
(2)若对任意的x＞0，f(x)≥f(1)，试比较ln
a与－2b的大小．
【解析】
(1)由f(x)＝ax2＋bx－ln
x，x∈(0，＋∞)，
得f′(x)＝.
∵a＝1，b＝－1，
∴f′(x)＝＝(x＞0)．
令f′(x)＝0，得x＝1.
当0＜x＜1时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；
当x＞1时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．
∴f(x)的单调递减区间是(0，1)，f(x)的单调递增区间是(1，＋∞)．
(2)由题意可知，f(x)在x＝1处取得最小值，即x＝1是f(x)的极值点，
∴f′(1)＝0，∴2a＋b＝1，即b＝1－2a.
令g(x)＝2－4x＋ln
x(x＞0)，则g′(x)＝.
令g′(x)＝0，得x＝.
当0＜x＜时，g′(x)＞0，g(x)单调递增，
当x＞时，g′(x)＜0，g(x)单调递减，
∴g(x)≤g＝1＋ln
＝1－ln
4＜0，
∴g(a)＜0，即2－4a＋ln
a＝2b＋ln
a＜0，
故ln
a＜－2b.
3．(2016·日照模拟)已知函数f(x)＝在点(－1，f(－1))处的切线方程为x＋y＋3＝0.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设g(x)＝ln
x，求证：g(x)≥f(x)在[1，＋∞)上恒成立；
(3)若0＜a＜b，求证：＞.
【解析】
(1)将x＝－1代入切线方程得y＝－2，所以f(－1)＝＝－2，化简得b－a＝－4.①
f′(x)＝，f′(－1)＝＝＝＝－1.②
联立①②，解得a＝2，b＝－2.所以f(x)＝.
(2)证明
由题意知要证ln
x≥在[1，＋∞)上恒成立，
即证明(x2＋1)ln
x≥2x－2，x2ln
x＋ln
x－2x＋2≥0在[1，＋∞)上恒成立．
设h(x)＝x2ln
x＋ln
x－2x＋2，则h′(x)＝2xln
x＋x＋－2，
因为x≥1，所以2xln
x≥0，x＋≥2
≥2(当且仅当x＝1时等号成立)，即h′(x)≥0，
所以h(x)在[1，＋∞)上单调递增，h(x)≥h(1)＝0，
所以g(x)≥f(x)在[1，＋∞)上恒成立．
(3)证明
因为0＜a＜b，所以＞1，由(2)知ln＞，整理得＞，所以当0＜a＜b时，＞.
4．(2017·郑州模拟)已知函数f(x)＝ax－1＋ln
x，其中a为常数．
(1)当a∈时，若f(x)在区间(0，e)上的最大值为－4，求a的值；
(2)当a＝－时，若函数g(x)＝|f(x)|－－存在零点，求实数b的取值范围．
【解析】
(1)f′(x)＝a＋，令f′(x)＝0得x＝－，
因为a∈，所以0＜－＜e，
由f′(x)＞0得0＜x＜－，由f′(x)＜0得－＜x＜e，
从而f(x)的增区间为，减区间为，
所以f(x)max＝f＝－1－1＋ln＝－4，解得a＝－e2.
(2)函数g(x)＝|f(x)|－－存在零点，即方程|f(x)|＝＋有实数根，
由已知，函数f(x)的定义域为{x|x＞0}，
当a＝－时，f(x)＝－－1＋ln
x，
所以f′(x)＝－＋＝－，
当0＜x＜e时，f′(x)＞0；当x＞e时，f′(x)＜0，
所以，f(x)的增区间为(0，e)，减区间为(e，＋∞)，
所以f(x)max＝f(e)＝－1，
所以|f(x)|≥1.
令h(x)＝＋，则h′(x)＝.
当0＜x＜e时，h′(x)＞0；
当x＞e时，h′(x)＜0，
从而h(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，
所以h(x)max＝h(e)＝＋，
要使方程|f(x)|＝＋有实数根，
只需h(x)max≥1即可，故b≥2－.
即所求实数b的取值范围是.
5．(2016·课标全国Ⅱ)已知函数f(x)＝(x＋1)ln
x－a(x－1)．
(1)当a＝4时，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程；
(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞0，求a的取值范围．
【解析】
(1)f(x)的定义
( http: / / www.21cnjy.com )域为(0，＋∞)，当a＝4时，f(x)＝(x＋1)ln
x－4(x－1)，f′(x)＝ln
x＋－3，f′(1)＝－2，f(1)＝0.
所以曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为2x＋y－2＝0.
(2)当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞0等价于ln
x－＞0.
设g(x)＝ln
x－，
则g′(x)＝－＝，g(1)＝0.
①当a≤2，x∈(1，＋∞)时，x
( http: / / www.21cnjy.com )2＋2(1－a)x＋1≥x2－2x＋1＞0，即g′(x)＞0，g(x)在(1，＋∞)上单调递增，因此g(x)＞0；
②当a＞2时，令g′(x)＝0得
x1＝a－1－，x2＝a－1＋.
由x2＞1和x1x2＝1
( http: / / www.21cnjy.com )得x1＜1，故当x∈(1，x2)时，g′(x)＜0，g(x)在(1，x2)上单调递减，因此g(x)＜0，此时不满足题意．
综上，a的取值范围是(－∞，2]．
6．(2016·山东)设f(x)＝xln
x－ax2＋(2a－1)x，a∈R.
(1)令g(x)＝f′(x)，求g(x)的单调区间；
(2)已知f(x)在x＝1处取得极大值．求实数a的取值范围．
【解析】
(1)由f′(x)＝ln
x－2ax＋2a，
可得g(x)＝ln
x－2ax＋2a，x∈(0，＋∞)．
则g′(x)＝－2a＝.
当a≤0时，x∈(0，＋∞)时，g′(x)＞0，
函数g(x)单调递增；
当a＞0时，x∈时，g′(x)＞0，
函数g(x)单调递增，
x∈时，函数g(x)单调递减．
所以当a≤0时，g(x)的单调增区间为(0，＋∞)；
当a＞0时，g(x)的单调增区间为，单调减区间为.
(2)由(1)知，f′(1)＝0.
①当a≤0时，f′(x)单调递增，
所以当x∈(0，1)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．
所以f(x)在x＝1处取得极小值，不合题意．
②当0＜a＜时，＞1，由(1)知f′(x)在内单调递增，可得当x∈(0，1)时，f′(x)＜0，x∈时，f′(x)＞0.
所以f(x)在(0，1)内单调递减，在内单调递增，
所以f(x)在x＝1处取得极小值，不合题意．
③当a＝时，＝1，f′(x)在(0，1)内单调递增，
在(1，＋∞)内单调递减，
所以当x∈(0，＋∞)时，f′(x)≤0，f(x)单调递减，不合题意．
④当a＞时，0＜＜1，
当x∈时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，
所以f(x)在x＝1处取极大值，合题意．
综上可知，实数a的取值范围为a＞( http: / / www.21cnjy.com )
A组　专项基础训练
(时间：40分钟)
1．(2017·衡水模拟)已知F1，F2为椭
( http: / / www.21cnjy.com )圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过椭圆右焦点F2且斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C相交于E，F两点，△EFF1的周长为8，且椭圆C与圆x2＋y2＝3相切．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设A为椭圆的右顶点，直线AE，AF分别交直线x＝4于点M，N，线段MN的中点为P，记直线PF2的斜率为k′，求证：k·k′为定值．
【解析】
(1)因为△EFF1的周长为8，
所以4a＝8，所以a2＝4，
又椭圆C与圆x2＋y2＝3相切，故b2＝3，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)证明
由题意知过点F2(1，0)的直线l的方程为y＝k(x－1)，设E(x1，y1)，F(x2，y2)，
将直线l的方程y＝k(x－1)代入椭圆C的方程＋＝1，
整理得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0，
Δ＝64k4－4(4k2＋3)(4k2－12)＞0恒成立，
且x1＋x2＝，
x1x2＝.
直线AE的方程为y＝(x－2)，
令x＝4，得点M，
直线AF的方程为y＝(x－2)．
令x＝4，得点N，
所以点P的坐标为.
所以直线PF2的斜率为
k′＝
＝
＝·
＝·，
将x1＋x2＝，x1x2＝代入上式得：
k′＝·＝－，
所以k·k′为定值－1.
2．(2015·四川雅安重点中学1月月考)
( http: / / www.21cnjy.com )已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两焦点在x轴上，且两焦点与短轴的一个顶点的连线构成斜边长为2的等腰直角三角形．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点S的动直线l交椭圆C于A，B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点Q，使得以线段AB为直径的圆恒过点Q？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】
(1)∵椭圆两焦点与短轴的一
( http: / / www.21cnjy.com )个端点的连线构成等腰直角三角形，∴b＝c，又斜边长为2，即2c＝2，故c＝b＝1，a＝，椭圆方程为＋y2＝1.
(2)当l与x轴平行时，以线段AB为直径的圆的方程为x2＋＝；
当l与y轴平行时，以线段AB为直径的圆的方程为x2＋y2＝1.
由得
故若存在定点Q，则Q的坐标只可能为Q(0，1)．
下面证明Q(0，1)为所求：
若直线l的斜率不存在，上述已经证明．
若直线l的斜率存在，设直线l：y＝kx－，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得(9＋18k2)x2－12kx－16＝0，
Δ＝144k2＋64(9＋18k2)＞0，
x1＋x2＝，x1x2＝，
＝(x1，y1－1)，＝(x2，y2－1)，
·＝x1x2＋(y1－1)(y2－1)
＝(1＋k2)x1x2－(x1＋x2)＋
＝(1＋k2)·－·＋＝0，
∴⊥，即以线段AB为直径的圆恒过点Q(0，1)．
3．(2017·河南郑州二模)已知曲线C的方程是mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0)，且曲线C过A，B两点，O为坐标原点．
(1)求曲线C的方程；
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)是曲线C上的两点，且OM⊥ON，求证：直线MN恒与一个定圆相切．
【解析】
(1)由题意可得
解得m＝4，n＝1.
所以曲线C的方程为y2＋4x2＝1.
(2)证明
由题意得y＋4x＝1，y＋4x＝1，x1x2＋y1y2＝0，
原点O到直线MN的距离
d＝＝eq
\f(\r(（x＋y）（x＋y）),\r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2))
＝
eq
\r(\f(（x＋y）（x＋y）,x＋x＋y＋y))
＝
eq
\r(\f(（1－3x）（1－3x）,2－3（x＋x）))
＝
eq
\r(\f(1－3（x＋x）＋9xx,2－3（x＋x）)).
由x1x2＋y1y2＝0得
xx＝yy＝(1－4x)(1－4x)＝1－4(x＋x)＋16xx，
所以xx＝(x＋x)－，
所以d＝
eq
\r(\f(－3（x＋x）＋\f(12,5)（x＋x）＋\f(2,5),2－3（x＋x）))
＝
eq
\r(\f(\f(2,5)－\f(3,5)（x＋x）,2－3（x＋x）))＝.
所以直线MN恒与定圆x2＋y2＝相切．
B组　专项能力提升
(时间：30分钟)
4．(2017·河南洛阳模拟
( http: / / www.21cnjy.com ))设M是焦距为2的椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)上一点，A，B是椭圆E的左、右顶点，直线MA与MB的斜率分别为k1，k2，且k1k2＝－.
(1)求椭圆E的方程；
(2)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)上点N(x0，y0)处的切线方程为＋＝1.若点P是直线x＝2上任意一点，从P向椭圆E作切线，切点分别为C，D，求证：直线CD恒过定点，并求出该定点的坐标．
【解析】
(1)设A(－a，0)，B(a，0)，M(m，n)，则＋＝1，即n2＝b2·.
由k1k2＝－，即·＝－，故＝－，则a2＝2b2，又c2＝a2－b2＝1，解得a2＝2，b2＝1.
所以椭圆E的方程为＋y2＝1.
(2)证明
设点P(2，t)，切点C(x1，y1)，D(x2，y2)，
则两切线PC，PD的方程分别为
＋y1y＝1，＋y2y＝1.
由于点P在切线PC，PD上，故P(2，t)满足
＋y1y＝1，＋y2y＝1，
得x1＋y1t＝1，x2＋y2t＝1，故C(x1，y1)，D(x2，y2)均满足方程x＋ty＝1，
即x＋ty＝1为直线CD的方程．
令y＝0，得x＝1，故直线CD过定点(1，0)．
5．(2017·湖北黄冈二模)如图，已知
( http: / / www.21cnjy.com )点F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1的两个焦点，椭圆C2：＋y2＝λ经过点F1，F2，点P是椭圆C2上异于F1，F2的任意一点，直线PF1和PF2与椭圆C1的交点分别是A，B和C，D.设AB，CD的斜率分别为k，k′.
(1)求证：k·k′为定值；
(2)求|AB|·|CD|的最大值．
【解析】
(1)证明
因为点F1，F2是椭圆C1的两个焦点，故F1，F2的坐标是F1(－1，0)，F2(1，0)．
而点F1，F2是椭圆C2上的点，将F1，F2的坐标代入C2的方程得，λ＝.
设点P的坐标是(x0，y0)，
∵直线PF1和PF2的斜率分别是k，k′(k≠0，k′≠0)，
∴kk′＝·＝eq
\f(y,x－1)，①
又点P是椭圆C2上的点，故eq
\f(x,2)＋y＝，②
联立①②两式可得kk′＝－，即k·k′为定值．
(2)直线PF1的方程可表示为y＝k(x＋1)(k≠0)，
与椭圆C1的方程联立，
得到方程组
由方程组得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝.
|AB|＝|x1－x2|
＝·＝.
同理可求得|CD|＝，
则|AB|·|CD|＝
＝4≤，
当且仅当k＝±时等号成立．
故|AB|·|CD|的最大值等于.
6．(2017·东北师大附中联考)椭
( http: / / www.21cnjy.com )圆C1与C2的中心在原点，焦点分别在x轴、y轴上，它们有相同的离心率e＝，且C2的短轴为C1的长轴，C1与C2的四个焦点构成的四边形面积是2.
(1)求椭圆C1与C2的方程；
(2)设P是椭圆C2上非顶点的动点，P与椭圆C1长轴两个顶点A，B的连线PA，PB分别与椭圆C1交于点E，F.
①求证：直线PA，PB的斜率之积为常数；
②直线AF与直线BE的斜率之积是否为常数？若是，求出该值；若不是，请说明理由．
【解析】
(1)依题意设C
( http: / / www.21cnjy.com )1：＋＝1，C2：＋＝1，由对称性知，四个焦点构成的四边形为菱形，且面积S＝×2b×2b＝2，解得b2＝1，
∴椭圆C1：＋y2＝1，C2：＋＝1.
(2)由(1)知A(－，0)，B(，0)．
①证明
设P(x0，y0)，则eq
\f(y,4)＋eq
\f(x,2)＝1，
∵kPA＝，kPB＝，
∴kPA·kPB＝eq
\f(y,x－2)＝eq
\f(4－2x,x－2)＝－2，
即直线PA，PB的斜率之积为常数－2.
②是常数．设E(x1，y1)，则eq
\f(x,2)＋y＝1，
∵kEA＝，kEB＝，
∴kEA·kEB＝eq
\f(y,x－2)＝eq
\f(1－\f(1,2)x,x－2)＝－，
同理，kFA·kFB＝－，
∴kEA·kEB·kFA·kFB＝，
由kEA＝kPA，kFB＝kPB，结合①得kEA·kFB＝－.( http: / / www.21cnjy.com )
A组　专项基础训练
(时间：35分钟)
1．(2017·河南开封第一次摸底)若cos
θ＝，sin
θ＝－，则角θ的终边所在直线的方程为(　　)
A．3x＋4y＝0　　　　　　　B．4x＋3y＝0
C．3x－4y＝0
D．4x－3y＝0
【解析】
依题意，得tan
θ＝＝－，因此所求直线的斜率是－，其方程是y＝－x，即4x＋3y＝0.故选B.
【答案】
B
2．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α∈(0，π)的弧度数为(　　)
A.
B.
C.
D．2
【解析】
设圆半径为r，则其内接正三角形的边长为r，所以r＝α·r，∴α＝.
【答案】
C
3．若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是(　　)
A．sin
α＋cos
α＜0
B．tan
α－sin
α＜0
C．cos
α－tan
α＜0
D．tan
αsin
α＜0
【解析】
α是第三象限角，sin
α＜0，cos
α＜0，tan
α＞0，则可排除A、C、D，故选B.
【答案】
B
4．给出下列命题：
①第二象限角大于第一象限角；
②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；
③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；
④若sin
α＝sin
β，则α与β的终边相同；
⑤若cos
θ＜0，则θ是第二或第三象限的角．
其中正确命题的个数是(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】
举反例：第一象限角3
( http: / / www.21cnjy.com )70°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sin＝sin，但与的终边不相同，故④错；当cos
θ＝－1，θ＝π时既不是第二象限角，也不是第三象限角，故⑤错．综上可知只有③正确．
【答案】
A
5．(2017·南昌二中模拟)已知角α终边上一点P的坐标是(2sin
2，－2cos
2)，则sin
α等于(　　)
A．sin
2
B．－sin
2
C．cos
2
D．－cos
2
【解析】
因为r＝＝2，由任意三角函数的定义，得sin
α＝＝－cos
2.
【答案】
D
6．已知角α＝2kπ－(k∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y＝＋＋的值为________．
【解析】
由α＝2kπ－(k∈Z)及终边相同的概念知，
角α的终边在第四象限，
又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，
所以sin
θ＜0，cos
θ＞0，tan
θ＜0.
所以y＝－1＋1－1＝－1.
【答案】
－1
7．函数y＝
＋
的定义域是________．
【解析】
由题意知即
∴x的取值范围为＋2kπ≤x≤π＋2kπ，k∈Z.
【答案】
(k∈Z)
8．(2017·河南信阳期末)若点P在角－的终边上，且P的坐标为(－1，y)，则y等于________．
【解析】
点P在角－的终边上，而－＝－4π＋，故点P在角的终边上，故有＝tan＝－，∴y＝.
【答案】
9．一个扇形OAB的面积是1
cm2，它的周长是4
cm，求圆心角的弧度数和弦长AB.
【解析】
设扇形的半径为r
cm，弧长为l
cm，
则解得
∴圆心角α＝＝2.
如图，过O作OH⊥AB于H，则∠AOH＝1
rad.
∴AH＝1·sin
1＝sin
1(cm)，
∴AB＝2sin
1(cm)．
所以圆心角的弧度数为2，弦长AB为2sin
1
cm.
10．已知sin
α＜0，tan
α＞0.
(1)求α角的集合；
(2)求终边所在的象限；
(3)试判断tansincos的符号．
【解析】
(1)由sin
α＜0，知α在第三、四象限或y轴的负半轴上；
由tan
α＞0，知α在第一、三象限，故α角在第三象限，
其集合为.
(2)由2kπ＋π＜α＜2kπ＋，k∈Z，
得kπ＋＜＜kπ＋，k∈Z，
故终边在第二、四象限．
(3)当在第二象限时，tan＜0，
sin
＞0，cos＜0，
所以tan
sin
cos取正号；
当在第四象限时，tan＜0，
sin＜0，cos＞0，
所以tansincos也取正号．
因此，tansincos取正号．
B组　专项能力提升
(时间：20分钟)
11．(2017·江西六校联考)点A(sin
2
017°，cos
2
017°)位于(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【解析】
因为sin
2
017°＝sin(11×180°＋37°)
＝－sin
37°＜0，cos
2
017°＝cos(11×180°＋37°)
＝－cos
37°＜0，
所以点A(sin
2
017°，cos
2
017°)位于第三象限．
【答案】
C
12．(2017·福州一模)设α是第二象限角，P(x，4)为其终边上的一点，且cos
α＝x，则tan
α＝(　　)
A.
B.
C．－
D．－
【解析】
因为α是第二象限角，所以cos
α＝x＜0，
即x＜0.又cos
α＝x＝.
解得x＝－3，所以tan
α＝＝－.
【答案】
D
13．(2017·济南模拟)已知sin
θ－cos
θ＞1，则角θ的终边在(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【解析】
由已知得(sin
θ－cos
θ)
( http: / / www.21cnjy.com )2＞1，即1－2sin
θcos
θ＞1，sin
θcos
θ＜0，又sin
θ＞cos
θ，所以sin
θ＞0＞cos
θ，所以角θ的终边在第二象限．
【答案】
B
14．在直角坐标系中，O是原点，A点坐标为(，－1)，将OA绕O逆时针旋转450°到B点，则B点的坐标为________．
【解析】
设B(x，y)，由题意知|OA|＝|OB|＝2，∠BOx＝60°，且点B在第一象限，
∴x＝2cos
60°＝1，y＝2sin
60°＝，
∴B点的坐标为(1，)．
【答案】
(1，)
15．如图所示，动点P，Q从点A(4，0)出发沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转
弧度，求点P，点Q第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P，Q点各自走过的弧长．
【解析】
设P，Q第一次相遇时所用的时间是t，
则t·＋t·＝2π.
所以t＝4(秒)，即第一次相遇的时间为4秒．
设第一次相遇点为C，第一次相遇时P点和Q点已运动到终边在·4＝的位置，
则xC＝－cos
·4＝－2，yC＝－sin·4＝－2.
所以C点的坐标为(－2，－2)．
P点走过的弧长为π·4＝π，
Q点走过的弧长为π·4＝π.( http: / / www.21cnjy.com )
A组　专项基础训练
(时间：40分钟)
1．(2017·九江模拟)函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，2)　　　　　　　　　B．(0，3)
C．(1，4)
D．(2，＋∞)
【解析】
函数f(x)＝(x－3)ex的导数为f′(x)＝[(x－3)ex]′＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex.
由函数导数与函数单调性的关系，得当f′(x)＞0时，函数f(x)单调递增，
此时由不等式f′(x)＝(x－2)ex＞0，解得x＞2.
【答案】
D
2．(2017·黄冈调研)已知a≥1，f(
( http: / / www.21cnjy.com )x)＝x3＋3|x－a|，若函数f(x)在[－1，1]上的最大值和最小值分别记为M，m，则M－m的值为(　　)
A．8
B．－a3－3a＋4
C．4
D．－a3＋3a＋2
【解析】
当x∈[－1，1]时，f
( http: / / www.21cnjy.com )(x)＝x3＋3(a－x)＝x3－3x＋3a(a≥1)，∴f′(x)＝3(x－1)(x＋1)．当－1＜x＜1时，f′(x)＜0，所以原函数f(x)在区间[－1，1]上单调递减，所以M＝f(－1)＝3a＋2，m＝f(1)＝3a－2，所以M－m＝4.
【答案】
C
3．(2017·成都外国语学校月考
( http: / / www.21cnjy.com ))已知函数f(x)＝x2＋2cos
x，若f′(x)是f(x)的导函数，则函数f′(x)的图象大致是(　　)
【解析】
设g(x)＝f′(x)＝2x－2sin
x，g′(x)＝2－2cos
x≥0，所以函数f′(x)在R上单调递增．
【答案】
A
4．(2017·长春调研)已知函数f(x)＝x3＋ax＋4，则“a＞0”是“f(x)在R上单调递增”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】
f′(x)＝x2＋a，当a≥0时，f′(x)≥0恒成立，故“a＞0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件．
【答案】
A
5．函数f(x)在定义域R内可导
( http: / / www.21cnjy.com )，若f(x)＝f(2－x)，且当x∈(－∞，1)时，(x－1)f′(x)＜0，设a＝f(0)，b＝f，c＝f(3)，则(　　)
A．a＜b＜c
B．c＜b＜a
C．c＜a＜b
D．b＜c＜a
【解析】
依题意得，当x＜1时，f′(x)＞0，f(x)为增函数；
又f(3)＝f(－1)，且－1＜0＜＜1，
因此有f(－1)＜f(0)＜f，
即有f(3)＜f(0)＜f，c＜a＜b.
【答案】
C
6．函数f(x)＝x－ln
x的单调递减区间为________．
【解析】
函数的定义域是(0，＋∞)，
且f′(x)＝1－＝，
令f′(x)＜0，解得0＜x＜1，所以单调递减区间是(0，1)．
【答案】
(0，1)
7．(2017·上饶模拟)f(x)＝x3－3x＋a有3个不同的零点，则a的取值范围是________．
【解析】
由f′(x)＝3x2－3＞0，
( http: / / www.21cnjy.com )解得单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，f′(x)＜0得单调递减区间为(－1，1)．要有3个不同零点需满足解得a∈(－2，2)．
【答案】
(－2，2)
8．(2017·成都一诊)已知函数
( http: / / www.21cnjy.com )f(x)＝－2x2＋ln
x(a＞0)．若函数f(x)在[1，2]上为单调函数，则a的取值范围是________．
【解析】
f′(x)＝－4x＋，
若函数f(x)在[1，2]上为单调函数，
即f′(x)＝－4x＋≥0或f′(x)＝－4x＋≤0在[1，2]上恒成立，
即≥4x－或≤4x－在[1，2]上恒成立．
令h(x)＝4x－，则h(x)在[1，2]上单调递增，
所以≥h(2)或≤h(1)，
即≥或≤3，
又a＞0，所以0＜a≤或a≥1.
【答案】
∪[1，＋∞)
9．(2017·武汉武昌区联考)已
( http: / / www.21cnjy.com )知函数f(x)＝(k为常数，e是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．
(1)求k的值；
(2)求f(x)的单调区间．
【解析】
(1)由题意得f′(x)＝，
又f′(1)＝＝0，故k＝1.
(2)由(1)知，f′(x)＝.
设h(x)＝－ln
x－1(x＞0)，则h′(x)＝－－＜0，
即h(x)在(0，＋∞)上是减函数．
由h(1)＝0知，当0＜x＜1时，h(x)＞0，从而f′(x)＞0；
当x＞1时，h(x)＜0，从而f′(x)＜0.
综上可知，f(x)的单调递增区间是(0，1)，
单调递减区间是(1，＋∞)．
10．(2017·沈阳质检)已知函数f(x)＝ln
x，g(x)＝ax＋b.
(1)若f(x)与g(x)在x＝1处相切，求g(x)的表达式；
(2)若φ(x)＝－f(x)在[1，＋∞)上是减函数，求实数m的取值范围．
【解析】
(1)由已知得f′(x)＝，
∴f′(1)＝1＝a，a＝2.
又∵g(1)＝0＝a＋b，∴b＝－1，∴g(x)＝x－1.
(2)∵φ(x)＝－f(x)＝－ln
x在[1，＋∞)上是减函数．
∴φ′(x)＝≤0在[1，＋∞)上恒成立．
即x2－(2m－2)x＋1≥0在[1，＋∞)上恒成立，
则2m－2≤x＋，x∈[1，＋∞)，
∵x＋∈[2，＋∞)，∴2m－2≤2，m≤2.
故实数m的取值范围是(－∞，2]．
B组　专项能力提升
(时间：25分钟)
11．(2017·渭南模拟)设f(x)在定义域内可导，其图象如下图所示，则导函数f′(x)的图象可能是(　　)
【解析】
由f(x)的图象可知，当
( http: / / www.21cnjy.com )x＜0时，是减函数，f′(x)＜0，排除C、D两项，当x＞0时，函数的单调性是先减后增再减．∴当x→∞时，f′(x)＜0，故选B.
【答案】
B
12．已知f(x)是可导的函数，且f′(x)＜f(x)对于x∈R恒成立，则(　　)
A．f(1)＜ef(0)，f(2
016)＞e2
016f(0)
B．f(1)＞ef(0)，f(2
016)＞e2
016f(0)
C．f(1)＞ef(0)，f(2
016)＜e2
016f(0)
D．f(1)＜ef(0)，f(2
016)＜e2
016f(0)
【解析】
令g(x)＝，
则g′(x)＝′＝
＝＜0，
所以函数g(x)＝是单调减函数，
所以g(1)＜g(0)，g(2
016)＜g(0)，
即＜，＜，
故f(1)＜ef(0)，f(2
016)＜e2
016f(0)．
【答案】
D
13．若函数f(x)＝－x3＋x2＋2ax在上存在单调递增区间，则a的取值范围是________．
【解析】
对f(x)求导，
得f′(x)＝－x2＋x＋2a＝－＋＋2a.
当x∈时，
f′(x)的最大值为f′＝＋2a.
令＋2a＞0，解得a＞－.
所以a的取值范围是.
【答案】
14．已知函数f(x)＝－x2＋4x－3ln
x在区间[t，t＋1]上不单调，则t的取值范围是________．
【解析】
由题意知f′(x)＝－x＋4－
＝－，
由f′(x)＝0得函数f(x)的两个极值点为1和3，
则只要这两个极值点有一个在区间(t，t＋1)内，
函数f(x)在区间[t，t＋1]上就不单调，
由t＜1＜t＋1或t＜3＜t＋1，得0＜t＜1或2＜t＜3.
【答案】
(0，1)∪(2，3)
15．(2016·北京)设函数f(x)＝xea－x＋bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝(e－1)x＋4.
(1)求a，b的值；
(2)求f(x)的单调区间．
【解析】
(1)因为f(x)＝xea－x＋bx，
所以f′(x)＝(1－x)ea－x＋b.
依题设，知
即
解得a＝2，b＝e.
(2)由(1)知f(x)＝xe2－x＋ex.
由f′(x)＝e2－x(1－x＋ex－1)及e2－x＞0知，
f′(x)与1－x＋ex－1同号．
令g(x)＝1－x＋ex－1，则g′(x)＝－1＋ex－1.
所以，当x∈(－∞，1)时，g′(x)＜0，g(x)在区间(－∞，1)上单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＞0，g(x)在区间(1，＋∞)上单调递增．
故g(1)＝1是g(x)在区间(－∞，＋∞)上的最小值，
从而g(x)＞0，x∈(－∞，＋∞)．
综上可知，f′(x)＞0，x∈(－∞，＋∞)．
故f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．( http: / / www.21cnjy.com )
A组　专项基础训练
(时间：40分钟)
1．(2016·吉林长春二模)过
( http: / / www.21cnjy.com )双曲线x2－＝1的右支上一点P分别向圆C1：(x＋4)2＋y2＝4和圆C2：(x－4)2＋y2＝1作切线，切点分别为M，N，则|PM|2－|PN|2的最小值为(　　)
A．10　　　　　　　　　　　　B．13
C．16
D．19
【解析】
由题意可知，|PM|2－|PN
( http: / / www.21cnjy.com )|2＝(|PC1|2－4)－(|PC2|2－1)＝|PC1|2－|PC2|2－3＝(|PC1|－|PC2|)·(|PC1|＋|PC2|)－3＝2(|PC1|＋|PC2|)－3≥2|C1C2|－3＝13，故选B.
【答案】
B
2．(2017·台州模拟)已知P
( http: / / www.21cnjy.com )为双曲线C：－＝1上的点，点M满足||＝1，且·＝0，则当||取得最小值时点P到双曲线C的渐近线的距离为(　　)
A.
B.
C．4
D．5
【解析】
由·＝0，得OM⊥
( http: / / www.21cnjy.com )PM，根据勾股定理，求|MP|的最小值可以转化为求|OP|的最小值，当|OP|取得最小值时，点P的位置为双曲线的顶点(±3，0)，而双曲线的渐近线为4x±3y＝0，∴所求的距离d＝，故选B.
【答案】
B
3．(2017·江西南昌调研)已知圆O1：
( http: / / www.21cnjy.com )(x－2)2＋y2＝16和圆O2：x2＋y2＝r2(0＜r＜2)，动圆M与圆O1，圆O2都相切，动圆圆心M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为e1，e2(e1＞e2)，则e1＋2e2的最小值是(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】
①当动圆M与圆O1，O2都相内切时，|MO2|＋|MO1|＝4－r＝2a，故e1＝.
②当动圆M与圆O1相内切而与圆O2相外切时，|MO1|＋|MO2|＝4＋r＝2a′，故e2＝.
因此e1＋2e2＝＋＝，令12－r＝t(10＜t＜12)，e1＋2e2＝2×≥2×＝＝，故选A.
【答案】
A
4．(2017·绵阳模拟)若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中点和左焦点，点P为椭圆上的任一点，则·的最小值为________．
【解析】
点P为椭圆＋＝1上的任意一
( http: / / www.21cnjy.com )点，设P(x，y)(－3≤x≤3，－2≤y≤2)，依题意得左焦点F(－1，0)，∴＝(x，y)，＝(x＋1，y)，∴·＝x(x＋1)＋y2＝x2＋x＋＝·＋.
∵－3≤x≤3，∴≤x＋≤，∴≤≤，
∴≤≤，∴6≤·＋≤12，即6≤·≤12.故最小值为6.
【答案】
6
5．(2017·浙江温州
( http: / / www.21cnjy.com )一模)已知斜率为的直线l与抛物线y2＝2px(p＞0)交于x轴上方的不同两点A，B，记直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，则k1＋k2的取值范围是________．
【解析】
设直线l的方程为y＝x＋b(b＞0)，即x＝2y－2b，
代入抛物线方程y2＝2px，可得y2－4py＋4pb＝0，
Δ＝16p2－16pb＞0，∴p＞b.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4p，y1y2＝4pb，k1＋k2＝＋＝＋＝＝＞2.
【答案】
(2，＋∞)
6．(2016·山东)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的长轴长为4，焦距为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过动点M(0，m)(m＞0)的直线交x
( http: / / www.21cnjy.com )轴于点N，交C于点A，P(P在第一象限)，且M是线段PN的中点．过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B.
(ⅰ)设直线PM，QM的斜率分别为k，k′，证明为定值；
(ⅱ)求直线AB的斜率的最小值．
【解析】
(1)设椭圆的半焦距为c，
由题意知2a＝4，2c＝2，
所以a＝2，b＝＝.
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)(ⅰ)设P(x0，y0)(x0＞0，y0＞0)．
由M(0，m)，可得P(x0，2m)，Q(x0，－2m)，
所以直线PM的斜率k＝＝.
直线QM的斜率k′＝＝－.
此时＝－3.
所以为定值－3.
(ⅱ)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
直线PA的方程为y＝kx＋m，
直线QB的方程为y＝－3kx＋m.
联立
整理得(2k2＋1)x2＋4mkx＋2m2－4＝0.
由x0x1＝，可得x1＝，
所以y1＝kx1＋m＝＋m.
同理x2＝，y2＝＋m.
所以x2－x1＝－
＝，
y2－y1＝＋m－－m
＝，
所以kAB＝＝＝.
由m＞0，x0＞0，可知k＞0，
所以6k＋≥2，等号当且仅当k＝时取得．
此时＝，即m＝，符合题意．
所以直线AB的斜率的最小值为.
7．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F2(3，0)，离心率为e.
(1)若e＝，求椭圆的方程；
(2)设直线y＝kx与椭圆相交于A，B两点，若·＝0，且＜e≤，求k的取值范围．
【解析】
(1)由焦点F2(3，0)，知c＝3，
又e＝＝，所以a＝2.
又由a2＝b2＋c2，解得b2＝3.
所以椭圆的方程为＋＝1.
(2)由得(b2＋a2k2)x2－a2b2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系可知，
x1＋x2＝0，x1x2＝－.
又＝(3－x1，－y1)，＝(3－x2，－y2)，
所以·＝(3－x1)(3－x2)＋y1y2
＝(1＋k2)x1x2＋9＝0，
即＋9＝0，
整理得k2＝＝－1－.
由＜e≤及c＝3，
知2≤a＜3，12≤a2＜18.
所以a4－18a2＝(a2－9)2－81∈[－72，0)，
所以k2≥，则k≥或k≤－，
因此实数k的取值范围为∪.
B组　专项能力提升
(时间：25分钟)
8．(2017·威海模拟)已知圆
( http: / / www.21cnjy.com )x2＋y2＝1过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两焦点，与椭圆有且仅有两个公共点，直线l：y＝kx＋m与圆x2＋y2＝1相切，与椭圆＋＝1相交于A，B两点．记λ＝·，且≤λ≤.
(1)求椭圆的方程；
(2)求k的取值范围；
(3)求△OAB的面积S的取值范围．
【解析】
(1)由题意知2c＝2，所以c＝1.
因为圆与椭圆有且只有两个公共点，
从而b＝1，故a＝，所以所求椭圆方程为＋y2＝1.
(2)因为直线l：y＝kx＋m与圆x2＋y2＝1相切，
所以原点O到直线l的距离为＝1，
即m2＝k2＋1.
由
得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
λ＝·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝，
由≤λ≤，得≤k2≤1，
即k的取值范围是∪.
(3)|AB|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝2－，
由≤k2≤1，得≤|AB|≤.
设△OAB的AB边上的高为d，
则S＝|AB|d＝|AB|，
所以≤S≤.
即△OAB的面积S的取值范围是.
9．(2017·湖北黄冈
( http: / / www.21cnjy.com )模拟)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)与双曲线－y2＝1的离心率互为倒数，且直线x－y－2＝0经过椭圆的右顶点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设不过原点O的直线与椭圆C交于M，N两点，且直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，求△OMN面积的取值范围．
【解析】
(1)∵双曲线的离心率为，
∴椭圆的离心率e＝＝.
又∵直线x－y－2＝0经过椭圆的右顶点，
∴右顶点为(2，0)，即a＝2，c＝，b＝1，
∴椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2)由题意可设直线的方程为y＝kx＋m(k≠0，m≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立消去y并整理，得
(1＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0，
则x1＋x2＝－，x1x2＝，
所以y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)
＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2，
又直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，
故·＝＝k2 －＋m2＝0，
由m≠0，得k2＝ k＝±.
又由Δ＝64k2m2－16(1＋4k2)(m2－1)＝16(4k2－m2＋1)＞0，得0＜m2＜2，
显然m2≠1(否则x1x2＝0，则x1，x2中至少有一个为0，直线OM，ON中至少有一个斜率不存在，与已知矛盾)．
设原点O到直线MN的距离为d，则
S△OMN＝|MN|d
＝
|x1－x2|
＝|m|
＝
.
由0＜m2＜2，且m2≠1，得
△OMN面积的取值范围为(0，1)．( http: / / www.21cnjy.com )
A组　专项基础训练
(时间：30分钟)
1．(2017·珠海摸底)为了解72名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为8的样本，则分段的间隔为(　　)
A．9　　　　　　　　　　　　B．8
C．10
D．7
【解析】
由系统抽样方法知，72人分成8组，故分段间隔为72÷8＝9.
【答案】
A
2．(2017·兰州双基测试)从一个
( http: / / www.21cnjy.com )容量为N的总体中抽取一个容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则(　　)
A．p1＝p2＜p3
B．p2＝p3＜p1
C．p1＝p3＜p2
D．p1＝p2＝p3
【解析】
根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知，无论哪种抽样，每个个体被抽中的概率都是相等的，所以p1＝p2＝p3.
【答案】
D
3．(2016·邯郸摸底)某校数学
( http: / / www.21cnjy.com )教研组为了解学生学习数学的情况，采用分层抽样的方法从高一600人、高二780人、高三n人中，抽取35人进行问卷调查．已知高二被抽取的人数为13，则n＝(　　)
A．660
B．720
C．780
D．800
【解析】
由已知条件，抽样比为＝，
从而＝，解得n＝720.
【答案】
B
4．(2017·江西八校
( http: / / www.21cnjy.com )联考)从编号为001，002，…，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007，032，则样本中最大的编号应该为(　　)
A．480
B．481
C．482
D．483
【解析】
根据系统抽样的定
( http: / / www.21cnjy.com )义可知样本的编号成等差数列，令a1＝7，a2＝32，d＝25，所以7＋25(n－1)≤500，所以n≤20，最大编号为7＋25×19＝482.
【答案】
C
5．某城市修建经济适用房．已知甲
( http: / / www.21cnjy.com )、乙、丙三个社区分别有低收入家庭360户、270户、180户，若首批经济适用房中有90套住房用于解决住房紧张问题，采用分层抽样的方法决定各社区户数，则应从乙社区中抽取低收入家庭的户数为(　　)
A．40
B．36
C．30
D．20
【解析】
利用分层抽样的比例关系，
设从乙社区抽取n户，则＝.
解得n＝30.
【答案】
C
6．某市有大型超市100家、中型超
( http: / / www.21cnjy.com )市200家、小型超市700家．为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为80的样本，应抽取中型超市________家．
【解析】
根据分层抽样的知识，设应抽取中型超市t家，则＝，解得t＝16.
【答案】
16
7．某班级有50名学生，现要采取系统
( http: / / www.21cnjy.com )抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号1～50号，并分组，第一组1～5号，第二组6～10号，…，第十组46～50号，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为________的学生．
【解析】
因为12＝5×2＋2，即第三组抽出的是第二个同学，所以每一组都相应抽出第二个同学．所以第8组中抽出的号码为5×7＋2＝37.
【答案】
37
8．(2017·陕西师大附中模拟)
( http: / / www.21cnjy.com )采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落入区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷C的人数为________．
【解析】
设第n组抽到的号码为an，则
( http: / / www.21cnjy.com )an＝9＋30(n－1)＝30n－21，由750＜30n－21≤960，得25.7＜n≤32.7，所以n的取值为26，27，28，29，30，31，32，共7个，因此做问卷C的人数为7人．
【答案】
7
9．(2017·北京海淀区期末)
( http: / / www.21cnjy.com )某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂产量分布如图所示，现在用分层抽样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取100件做使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为________；由所得样品的测试结果计算出一、二、三分厂取出的产品的使用寿命平均值分别为1
020小时、980小时、1
030小时，估计这个企业所生产的该产品的平均使用寿命为________小时．
【解析】
第一分厂应抽取
( http: / / www.21cnjy.com )的件数为100×50%＝50；该产品的平均使用寿命为1
020×0.5＋980×0.2＋1
030×0.3＝1
015.
【答案】
50　1
015
10．某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：
(1)由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与年龄有关？
(2)用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众应该抽取几名？
(3)在上述抽取的5名观众中任取2名，求恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率．
【解析】
(1)因为在20至40岁的58
( http: / / www.21cnjy.com )名观众中有18名观众收看新闻节目，在大于40岁的42名观众中有27名观众收看新闻节目．所以，经直观分析，收看新闻节目的观众与年龄是有关的．
(2)应抽取大于40岁的观众人数为×5＝3(名)．
(3)用分层抽样方法抽取的5名观
( http: / / www.21cnjy.com )众中，20至40岁的有2名(记为Y1，Y2)，大于40岁的有3名(记为A1，A2，A3).5名观众中任取2名，共有10种不同取法：Y1Y2，Y1A1，Y1A2，Y1A3，Y2A1，Y2A2，Y2A3，A1A2，A1A3，A2A3.
设A表示随机事件“5名观众中任取2名，恰有1名观众年龄为20至40岁”，则A中的基本事件有6种：
Y1A1，Y1A2，Y1A3，Y2A1，Y2A2，Y2A3，
故所求概率为P(A)＝＝.
B组　专项能力提升
(时间：25分钟)
11．(2017·广东肇庆三模)
( http: / / www.21cnjy.com )一个总体中有100个个体，随机编号为0，1，2，…，99.依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1，2，…，10.现用系统抽样的方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组中随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码的个位数字与m＋k的个位数字相同．若m＝6，则在第7组中抽取的号码是(　　)
A．63
B．64
C．65
D．66
【解析】
由题设知，若m
( http: / / www.21cnjy.com )＝6，则在第7组中抽取的号码个位数字与13的个位数字相同，而第7组中数字编号依次为60，61，62，63，…，69，故在第7组中抽取的号码是63.故选A.
【答案】
A
12．采用系统抽样方法从960
( http: / / www.21cnjy.com )人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落入区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为(　　)
A．7
B．9
C．10
D．15
【解析】
由系统抽样的特点知：
( http: / / www.21cnjy.com )抽取号码的间隔为＝30，抽取的号码依次为9，39，69，…，939.落入区间[451，750]的有459，489，…，729，这些数构成首项为459，公差为30的等差数列，设有n项，显然有729＝459＋(n－1)×30，解得n＝10.所以做问卷B的有10人．
【答案】
C
13．200名职工年龄分布如图所示
( http: / / www.21cnjy.com )，从中随机抽取40名职工作样本，采用系统抽样方法，按1～200编号，分为40组，分别为1～5，6～10，…，196～200，第5组抽取号码为22，第8组抽取号码为________，若采用分层抽样，40岁以下年龄段应抽取________人．
【解析】
将1～200编号分为40组，则
( http: / / www.21cnjy.com )每组的间隔为5，其中第5组抽取号码为22，则第8组抽取的号码应为22＋3×5＝37；由已知条件200名职工中40岁以下的职工人数为200×50%＝100，设在40岁以下年龄段中应抽取x人，则＝，解得x＝20.
【答案】
37　20
14．网络上流行一种“QQ农场游
( http: / / www.21cnjy.com )戏”，这种游戏通过虚拟软件模拟种植与收获的过程．为了了解本班学生对此游戏的态度，高三(6)班计划在全班60人中展开调查，根据调查结果，班主任计划采用系统抽样的方法抽取若干名学生进行座谈，为此先对60名学生进行编号为：01，02，03，…，60，已知抽取的学生中最小的两个编号为03，09，则抽取的学生中最大的编号为________．
【解析】
由最小的两个编号为03，09
( http: / / www.21cnjy.com )可知，抽取人数的比例为，即抽取10名同学，其编号构成首项为3，公差为6的等差数列，故最大编号为3＋9×6＝57.
【答案】
57
15．某公路设计院有工程师6人，技术员1
( http: / / www.21cnjy.com )2人，技工18人，要从这些人中抽取n个人参加市里召开的科学技术大会．如果采用系统抽样和分层抽样的方法抽取，不用剔除个体，如果参会人数增加1个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，求n.
【解析】
总体容量为6＋12＋18＝36.
当样本容量是n时，由题意知，
( http: / / www.21cnjy.com )系统抽样的间隔为，分层抽样的比例是，抽取的工程师人数为×6＝，技术员人数为×12＝，技工人数为×18＝，所以n应是6的倍数，36的约数，即n＝6，12，18.
当样本容量为(n＋1)时，总体容量是35人，系统抽样的间隔为，因为必须是整数，所以n只能取6.即样本容量n＝6.( http: / / www.21cnjy.com )
A组　专项基础训练
(时间：35分钟)
1．(2017·太原模拟)某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．
甲说：我在1日和3日都有值班；
乙说：我在8日和9日都有值班；
丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．
据此可判断丙必定值班的日期是(　　)
A．2日和5日　　　　　　　　B．5日和6日
C．6日和11日
D．2日和11日
【解析】
这12天的日期之和S12＝(1＋12)＝78，甲、乙、丙各自的日期之和是26.对于甲，剩余2天日期之和22，因此这两天是10日和12日，故甲在1日，3日，10日，12日有值班；对于乙，剩余2天日期之和是9，可能是2日，7日，也可能是4日，5日，因此丙必定值班的日期是6日和11日．
【答案】
C
2．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理(　　)
A．结论正确
B．大前提不正确
C．小前提不正确
D．全不正确
【解析】
f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提错误．
【答案】
C
3．(2017·重庆模拟)某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1，1，2，3，5，则预计第10年树的分枝数为(　　)
A．21
B．34
C．52
D．55
【解析】
因为2＝1＋1，3＝2＋1，5＝3＋2，即从第三项起每一项都等于前两项的和，所以第10年树的分枝数为21＋34＝55.
【答案】
D
4．给出下列三个类比结论：
①(ab)n＝anbn与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝an＋bn；
②loga(xy)＝logax＋logay与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin
αsin
β；
③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.
其中正确结论的个数是(　　)
A．0
B．1
C．2
D．3
【解析】
(a＋b)n≠an＋bn(n≠1，a·b≠0)，故①错误．
sin(α＋β)＝sin
αsin
β不恒成立．
如α＝30°，β＝60°，sin
90°＝1，sin
30°·sin
60°＝，故②错误．
由向量的运算公式知③正确．
【答案】
B
5．若数列{an}是等差数列，则数列{b
( http: / / www.21cnjy.com )n}也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{cn}是等比数列，且{dn}也是等比数列，则dn的表达式应为(　　)
A．dn＝
B．dn＝
C．dn＝
eq
\r(n,\f(c＋c＋…＋c,n))
D．dn＝
【解析】
若{an}是等差数列，
则a1＋a2＋…＋an＝na1＋d，
∴bn＝a1＋d＝n＋a1－，
即{bn}为等差数列；
若{cn}是等比数列，则
c1·c2·…·cn＝c·q1＋2＋…＋(n－1)＝c·q，
∴dn＝＝c1·q，
即{dn}为等比数列，故选D.
【答案】
D
6．(2017·烟台模拟)观察下列不等式：
1＋<，
1＋＋<，
1＋＋＋<，
……
照此规律，第五个不等式为______________．
【解析】
观察每行不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数的分母的开方与右端值的分母相等，且每行右端分数的分子构成等差数列．
故第五个不等式为1＋＋＋＋＋<.
【答案】
1＋＋＋＋＋<
7．(2017·山东威海第一次模拟)对大
( http: / / www.21cnjy.com )于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23＝，33＝，43＝，…仿此，若m3的“分裂”数中有一个是73，则m的值为________．
【解析】
由题意可得，m3的“分
( http: / / www.21cnjy.com )裂”数为m个连续奇数，设m3的“分裂”数中第一个数为am，则由题意可得a3－a2＝7－3＝4＝2×2，a4－a3＝13－7＝6＝2×3，…，am－am－1＝2(m－1)，以上m－2个式子相加可得am－a2＝＝(m＋1)(m－2)，∴am＝a2＋(m＋1)(m－2)＝m2－m＋1，
∴当m＝9时，am＝73，即73是93的“分裂”数中的第一个，故答案为9.
【答案】
9
8．(2017·厦门模拟)
( http: / / www.21cnjy.com )已知等差数列{an}中，有＝，则在等比数列{bn}中，会有类似的结论：___________________________________.
【解析】
由等比数列的性质可知
b1b30＝b2b29＝…＝b11b20，
∴＝.
【答案】
＝
9．设f(x)＝，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．
【解析】
f(0)＋f(1)＝＋
＝＋＝＋＝，
同理可得：f(－1)＋f(2)＝，
f(－2)＋f(3)＝，并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于1.
归纳猜想得：当x1＋x2＝1时，
均有f(x1)＋f(x2)＝.
证明：设x1＋x2＝1，
f(x1)＋f(x2)＝＋
＝＝
＝＝＝.
10．在Rt△ABC中，AB⊥AC
( http: / / www.21cnjy.com )，AD⊥BC于D，求证：＝＋，那么在四面体A BCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．
【解析】
如图所示，由射影定理得
AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，
AC2＝BC·DC，
∴＝
＝＝.
又BC2＝AB2＋AC2，
∴＝＝＋.
猜想，四面体A BCD中，AB、AC、AD两两垂直，AE⊥平面BCD，
则＝＋＋.
证明：如图，连接BE并延长交CD于F，连接AF.
∵AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD＝D，
AC 平面ACD，AD 平面ACD，
∴AB⊥平面ACD.
∵AF 平面ACD，∴AB⊥AF.
在Rt△ABF中，AE⊥BF，
∴＝＋.
在Rt△ACD中，AF⊥CD，∴＝＋，
∴＝＋＋.
B组　专项能力提升
(时间：30分钟)
11．(2017·陕西商洛期
( http: / / www.21cnjy.com )中)对于任意的两个实数对(a，b)和(c，d)，规定：(a，b)＝(c，d)，当且仅当a＝c，b＝d；运算“ ”为：(a，b) (c，d)＝(ac－bd，bc＋ad)；运算“ ”为：(a，b) (c，d)＝(a＋c，b＋d)，设p，q∈R，若(1，2) (p，q)＝(5，0)，则(1，2) (p，q)＝(　　)
A．(4，0)
B．(2，0)
C．(0，2)
D．(0，－4)
【解析】
由(1，2) (p，q)＝(5，0)得

所以(1，2) (p，q)＝(1，2) (1，－2)＝(2，0)．
【答案】
B
12．(2016·北京)某
( http: / / www.21cnjy.com )学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段．下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊．
在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则(　　)
A．2号学生进入30秒跳绳决赛
B．5号学生进入30秒跳绳决赛
C．8号学生进入30秒跳绳决赛
D．9号学生进入30秒跳绳决赛
【解析】
由题可知9号、10号学生不能进
( http: / / www.21cnjy.com )入立定跳远决赛，所以对于A，当a<60时，2号、8号不能进入30秒跳绳决赛，满足条件，故A不对；对于C，若8号进入30秒跳绳决赛，则1号、4号、5号中有2人不能进入30秒跳绳决赛，不符合题意；对于D，9号不能确定；对于B，5号学生一定进入30秒跳绳决赛．故选B.
【答案】
B
13．(2017·河南八市重点高中联考)观察下列等式：
24＝7＋9
34＝25＋27＋29
44＝61＋63＋65＋67
……
照此规律，第4个等式可为________．
【解析】
观察可知每一行的数字都是
( http: / / www.21cnjy.com )连续的奇数，且奇数的个数等于所在的行数，设行数为n，用an1表示每行的第一个数，则an1＝(n＋1)3－n，因此第4行的第一个数为(4＋1)3－4＝121，则第4个等式为54＝121＋123＋125＋127＋129.
【答案】
54＝121＋123＋125＋127＋129
14．(2016·山东)观察下列等式：
＋＝×1×2；
＋＋＋＝×2×3；
＋＋＋…＋＝×3×4；
＋＋＋…＋＝×4×5；
……
照此规律，
＋＋＋…＋＝________．
【解析】
等式左边有2项时，右边＝×1×2＝××.
等式左边有4项时，右边＝×2×3＝××.
等式左边有6项时，右边＝×3×4＝××.
由此可归纳得等式左边有2n项时，
右边＝××＝n(n＋1)．
将此式用所给的第四个式子验证知该归纳式正确．
【答案】
n(n＋1)
15．(2016·汉中调研)对于三次函数f(
( http: / / www.21cnjy.com )x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，给出定义：设f′(x)是函数y＝f(x)的导数，f″(x)是f′(x)的导数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若f(x)＝x3－x2＋3x－，请你根据这一发现，
(1)求函数f(x)的对称中心；
(2)计算f＋f＋f＋f＋…＋f.
【解析】
(1)f′(x)＝x2－x＋3，f″(x)＝2x－1，
由f″(x)＝0，即2x－1＝0，解得x＝.
f＝×－×＋3×－＝1.
由题中给出的结论，可知函数f(x)＝x3－x2＋3x－的对称中心为.
(2)由(1)，知函数f(x)＝x3－x2＋3x－的对称中心为，
所以f＋f＝2，
即f(x)＋f(1－x)＝2.
故f＋f＝2，
f＋f＝2，
f＋f＝2，
…
f＋f＝2.
所以f＋f＋f＋f＋…＋f＝×2×2
016＝2
016.( http: / / www.21cnjy.com )
A组　专项基础训练
(时间：35分钟)
1．在下列命题中，不是公理的是(　　)
A．平行于同一个平面的两个平面相互平行
B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面
C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内
D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
【解析】
选项A是面面平行的性质定理，是由公理推证出来的，而公理是不需要证明的．
【答案】
A
2．(2017·安徽合肥一模)如图，已知四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD且PD＝AD，则下列结论中错误的是(　　)
A．过BD且与PC平行的平面交PA于点M，则M为PA的中点
B．过AC且与PB垂直的平面交PB于点N，则N为PB的中点
C．过AD且与PC垂直的平面交PC于点H，则H为PC的中点
D．过P，B，C的平面与平面PAD的交线为直线l，则l∥AD
【解析】
设AC∩BD＝O，∵ABCD是正方形，∴O是AC的中点．
∵过BD且与PC平行的平面交PA于M点，∴OM∥PC，∴M是PA的中点，故A正确．
设N为PB的中点，连接AN，∵P
( http: / / www.21cnjy.com )A与AB不相等，∴AN与PB不垂直，∴过AC且与PB垂直的平面交PB于N点，则N一定不是PB的中点，故B错误．
∵四边形ABCD为正方形，PD⊥
( http: / / www.21cnjy.com )平面ABCD且PD＝AD，∴PA＝AC，PD＝DC，∴过AD且与PC垂直的平面交PC于H点，则H为PC的中点，故C正确．
∵AD∥BC，平面PAD与平面PCB有公共点P，
∴l∥AD∥BC，故D正确．故选B.
【答案】
B
3．(2016·浙江)已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则(　　)
A．m∥l　　　　　　　　　　B．m∥n
C．n⊥l
D．m⊥n
【解析】
由题意知，直线m与l以及直线m与n的位置关系不能确定，故A，B，D不正确．又n⊥β且l β，则n⊥l.故选C.
【答案】
C
4．(2017·江西南昌模拟)设a，b是平面α内两条不同的直线，l是平面α外的一条直线，则“l⊥a，l⊥b”是“l⊥α”的(　　)
A．充要条件
B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】
a，b是平面α内两条不
( http: / / www.21cnjy.com )同的直线，l是平面α外的一条直线，l⊥a，l⊥b，若a∥b，l可以与平面α斜交，推不出l⊥α；若l⊥α，a，b是平面α内两条不同的直线，由线面垂直的性质定理，得l⊥a，l⊥b，∴“l⊥a，l⊥b”是“l⊥α”的必要而不充分条件．故选C.
【答案】
C
5．(2017·湖南衡阳模拟)如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是(　　)
A．MN与CC1垂直
B．MN与AC垂直
C．MN与BD平行
D．MN与A1B1平行
【解析】
如图，连接C1D，BD，AC，在三角形C1DB中，MN∥BD，故C正确；
∵CC1⊥平面ABCD，∴CC1⊥BD
( http: / / www.21cnjy.com )，∴MN与CC1垂直，故A正确；∵AC⊥BD，MN∥BD，∴MN与AC垂直，故B正确；∵A1B1与BD不平行，MN∥BD，∴MN与A1B1不平行，故D错误．故选D.
【答案】
D
6．(2016·课标全国Ⅱ)α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：
①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.
②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.
③如果α∥β，m α，那么m∥β.
④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．
其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号)
【解析】
①不正确．由m⊥n，m⊥α，可知n∥α或n α.
又n∥β，∴α∥β或α∩β＝l(但不一定垂直)．
②正确．n∥α，则存在n′ α，n∥n′，又m⊥α，则必有m⊥n′，
∴m⊥n.
③正确．α∥β，则α内任一直线均与β平行，又m α，∴m∥β.
④正确．m∥n，∴m，n与α所成的角相等．又α∥β，∴n与α，β所成的角相等．∴m与α所成的角和n与β所成的角相等．
故答案为②③④.
【答案】
②③④
7．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________．
【解析】
EF与正方体左、右两侧面均平行．所以与EF相交的侧面有4个．
【答案】
4
8．(2015·浙江)如图，三棱锥A
( http: / / www.21cnjy.com ) BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是________．
【解析】
如图所示，连接DN，取线段DN的中点K，连接MK，CK.
∵M为AD的中点，
∴MK∥AN，
∴∠KMC为异面直线AN，CM所成的角．
∵AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，
N为BC的中点，
由勾股定理求得AN＝DN＝CM＝2，
∴MK＝.
在Rt△CKN中，CK＝＝.
在△CKM中，由余弦定理，得
cos∠KMC＝＝.
【答案】
9．(2015·四川高考改编)如图，
( http: / / www.21cnjy.com )四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP与BD所成的角为________．
【解析】
如图，将原图补成正方体ABCD QGHP，
连接GP，则GP∥BD，所以∠APG为异面直线AP与BD所成的角，在△AGP中AG＝GP＝AP，所以∠APG＝.
【答案】
10．如图，空间四边形ABCD中，E，F
( http: / / www.21cnjy.com )，G分别在AB，BC，CD上，且满足AE∶EB＝CF∶FB＝2∶1，CG∶GD＝3∶1，过E，F，G的平面交AD于点H.
(1)求AH∶HD；
(2)求证：EH，FG，BD三线共点．
【解析】
(1)∵＝＝2，∴EF∥AC，
∴EF∥平面ACD，而EF 平面EFGH，
平面EFGH∩平面ACD＝GH，
∴EF∥GH，∴AC∥GH.
∴＝＝3，∴AH∶HD＝3∶1.
(2)证明
∵EF∥GH，且＝，＝，
∴EF≠GH，∴四边形EFGH为梯形．
令EH∩FG＝P，则P∈EH，而EH 平面ABD，
又P∈FG，FG 平面BCD，
平面ABD∩平面BCD＝BD，
∴P∈BD.∴EH，FG，BD三线共点．
B组　专项能力提升
(时间：30分钟)
11．(2016·上海闵行区期末
( http: / / www.21cnjy.com )调研)已知A，B，C，D是空间四点，命题甲：A，B，C，D四点不共面，命题乙：直线AC和BD不相交，则甲是乙成立的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】
若A，B，C，
( http: / / www.21cnjy.com )D四点不共面，则直线AC和BD不共面，所以AC和BD不相交；若直线AC和BD不相交，若直线AC和BD平行时，A，B，C，D四点共面，所以甲是乙成立的充分不必要条件．
【答案】
A
12．(2017·郑州第二次质
( http: / / www.21cnjy.com )量预测)如图，矩形ABCD中，AB＝2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE.若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下面四个命题中不正确的是(　　)
A．|BM|是定值
B．点M在某个球面上运动
C．存在某个位置，使DE⊥A1C
D．存在某个位置，使MB∥平面A1DE
【解析】
取DC中点F，连接MF，B
( http: / / www.21cnjy.com )F，MF∥A1D且MF＝A1D，FB∥ED且FB＝ED，所以∠MFB＝∠A1DE.由余弦定理可得MB2＝MF2＋FB2－2MF·FB·cos∠MFB是定值，所以M是在以B为圆心，MB为半径的球上，可得A、B正确．由MF∥A1D与FB∥ED可得平面MBF∥平面A1DE，可得D正确；A1C在平面ABCD中的射影与AC重合，AC与DE不垂直，可得C不正确．
【答案】
C
13．如图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，
①GH与EF平行；
②BD与MN为异面直线；
③GH与MN成60°角；
④DE与MN垂直．
以上四个命题中，正确命题的序号是________．
【解析】
还原成正四面体知GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE⊥MN.
【答案】
②③④
14．已知A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．
(1)求证：直线EF与BD是异面直线；
(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．
【解析】
(1)证明
假设EF与B
( http: / / www.21cnjy.com )D不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾．故直线EF与BD是异面直线．
(2)取CD的中点G，连接EG，FG，则EG∥BD，所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角．
在Rt△EGF中
，由EG＝FG＝AC，求得∠FEG＝45°，
即异面直线EF与BD所成的角为45°.
15．如图，在三棱锥P ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点．已知∠BAC＝，AB＝2，AC＝2，PA＝2.求：
(1)三棱锥P ABC的体积；
(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值．
【解析】
(1)S△ABC＝×2×2＝2，三棱锥P ABC的体积为V＝S△ABC·PA＝×2×2＝.
(2)如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则ED∥BC，所以∠ADE(或其补角)是异面直线BC与AD所成的角．
在△ADE中，DE＝2，AE＝，AD＝2，
cos∠ADE＝＝.
故异面直线BC与AD所成角的余弦值为.( http: / / www.21cnjy.com )
A组　专项基础训练
(时间：50分钟)
1．(2017·沈阳模拟)设函数f(x)＝|2x＋1|－|x－4|.
(1)解不等式f(x)＞0；
(2)若f(x)＋3|x－4|＞m对一切实数x均成立，求实数m的取值范围．
【解析】
(1)当x≥4时，f(x)＝2x＋1－(x－4)＝x＋5＞0，得x＞－5，所以x≥4.
当－≤x＜4时，f(x)＝2x＋1＋x－4＝3x－3＞0，得x＞1，所以1＜x＜4.
当x＜－时，f(x)＝－x－5＞0，得x＜－5，
所以x＜－5.
综上，原不等式的解集为(－∞，－5)∪(1，＋∞)．
(2)f(x)＋3|x－4|＝|2x＋1|＋2|x－4|≥|2x＋1－(2x－8)|＝9，
当－≤x≤4时等号成立，
所以m＜9，即m的取值范围为(－∞，9)．
2．(2017·南宁模拟)已知函数f(x)＝|x－a|.
(1)若f(x)≤m的解集为[－1，5]，求实数a，m的值；
(2)当a＝2且0≤t≤2时，解关于x的不等式f(x)＋t≥f(x＋2)．
【解析】
(1)∵|x－a|≤m，∴－m＋a≤x≤m＋a.
∵－m＋a＝－1，m＋a＝5，
∴a＝2，m＝3.
(2)f(x)＋t≥f(x＋2)可化为|x－2|＋t≥|x|.
当x∈(－∞，0)时，2－x＋t≥－x，2＋t≥0，
∵0≤t≤2，∴x∈(－∞，0)；
当x∈[0，2)时，2－x＋t≥x，x≤1＋，0≤x≤1＋，
∵1≤1＋≤2，
∴0≤t＜2时，0≤x≤1＋，t＝2时，0≤x＜2；
当x∈[2，＋∞)时，x－2＋t≥x，t≥2，当0≤t＜2时，无解，当t＝2时，x∈[2，＋∞)，
∴当0≤t＜2时原不等式的解集为；当t＝2时x∈R.
3．(2017·辽宁联考)已知函数f(x)＝log2(|x＋1|＋|x－2|－m)．
(1)当m＝7时，求函数f(x)的定义域；
(2)若关于x的不等式f(x)≥2的解集是R，求m的取值范围．
【解析】
(1)由题设知：|x＋1|＋|x－2|＞7，
不等式的解集是以下不等式组解集的并集；
或或
解得函数f(x)的定义域为(－∞，－3)∪(4，＋∞)．
(2)不等式f(x)≥2，即|x＋1|＋|x－2|≥m＋4，
∵x∈R时，恒有|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，
不等式|x＋1|＋|x－2|≥m＋4的解集是R，
∴m＋4≤3，m的取值范围是(－∞，－1]．
4．(2017·九江模拟)已知函数f(x)＝|x－3|－|x－a|.
(1)当a＝2时，解不等式f(x)≤－；
(2)若存在实数a，使得不等式f(x)≥a成立，求实数a的取值范围．
【解析】
(1)∵a＝2，
∴f(x)＝|x－3|－|x－2|＝
∴f(x)≤－等价于或
或
解得≤x＜3或x≥3，∴不等式的解集为.
(2)由不等式性质可知f(x)＝|x－3|－|x－a|≤|(x－3)－(x－a)|＝|a－3|，
∴若存在实数x，使得不等式f(x)≥a成立，则|a－3|≥a，解得a≤，
∴实数a的取值范围是.
5．(2017·兰州模拟)已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.
(1)若不等式f(x)≤6的解集为[－2，3]，求实数a的值；
(2)在(1)的条件下，若存在实数n使f(n)≤m－f(－n)成立，求实数m的取值范围．
【解析】
(1)由|2x－a|＋a≤6得|2x－a|≤6－a，
∴a－6≤2x－a≤6－a，即a－3≤x≤3，
∴a－3＝－2，
∴a＝1.
(2)由(1)知f(x)＝|2x－1|＋1，
令φ(n)＝f(n)＋f(－n)，
则φ(n)＝|2n－1|＋|2n＋1|＋2＝
∴φ(n)的最小值为4，故实数m的取值范围是[4，＋∞)．
6．(2017·郑州模拟)已知函数f(x)＝|3x＋2|.
(1)解不等式f(x)＜4－|x－1|；
(2)已知m＋n＝1(m，n＞0)，若|x－a|－f(x)≤＋(a＞0)恒成立，求实数a的取值范围．
【解析】
(1)不等式f(x)＜4－|x－1|，
即|3x＋2|＋|x－1|＜4.
当x＜－时，即－3x－2－x＋1＜4，解得－＜x＜－；
当－≤x≤1时，即3x＋2－x＋1＜4，解得－≤x＜；
当x＞1时，即3x＋2＋x－1＜4，无解．
综上所述，x∈.
(2)＋＝(m＋n)＝1＋1＋＋≥4，
令g(x)＝|x－a|－f(x)＝|x－a|－|3x＋2|
＝
∴x＝－时，g(x)max＝＋a，要使不等式恒成立，
只需g(x)max＝＋a≤4，即0＜a≤.
故实数a的取值范围为.
B组　专项能力提升
(时间：40分钟)
7．(2017·山西忻州一中、长治二中、康杰中学、临汾一中第一次联考)设函数f(x)＝|2x－1|，x∈R.
(1)求不等式|f(x)－2|≤5的解集；
(2)若g(x)＝的定义域为R，求实数m的取值范围．
【解析】
(1)不等式|f(x)－2|≤5，即－5≤f(x)－2≤5，
即－3≤f(x)≤7，
即|2x－1|≤7，即－7≤2x－1≤7，
解得－3≤x≤4，
故不等式的解集为{x|－3≤x≤4}．
(2)若g(x)＝的定义域为R，则f(x)＋f(x－1)＋m≠0恒成立，
即|2x－1|＋|2(x－1)－1|≠－m，
即＋≠－恒成立．
根据绝对值的意义，＋表示数轴上的x对应点到，对应点的距离之和，它的最小值为1，
故－＜1，解得m＞－2.
8．(2017·泉州模拟)已知函数f(x)＝|x＋3|－|x－2|.
(1)求不等式f(x)≥3的解集；
(2)若f(x)≥|a－4|有解，求a的取值范围．
【解析】
(1)f(x)＝|x＋3|－|x－2|≥3，
当x≥2时，有x＋3－(x－2)≥3，解得x≥2；
当x≤－3时，－x－3＋(x－2)≥3，解得x∈ ；
当－3＜x＜2时，有2x＋1≥3，解得1≤x＜2.
综上，f(x)≥3的解集为{x|x≥1}．
(2)由绝对值不等式的性质可得，
||x＋3|－|x－2||≤|(x＋3)－(x－2)|＝5，
则有－5≤|x＋3|－|x－2|≤5.
若f(x)≥|a－4|有解，则|a－4|≤5，
解得－1≤a≤9.所以a的取值范围是[－1，9]．
9．(2017·镇江模拟)已知a和b是任意非零实数．
(1)求的最小值；
(2)若不等式|2a＋b|＋|2a－b|≥|a|(|2＋x|＋|2－x|)恒成立，求实数x的取值范围．
【解析】
(1)∵≥＝＝4，∴的最小值为4.
(2)若不等式|2a＋b|＋|2a－b|≥|a|(|2＋x|＋|2－x|)恒成立，即|2＋x|＋|2－x|≤恒成立，
故|2＋x|＋|2－x|≤.
由(1)可知，的最小值为4，
∴x的取值范围即为不等式|2＋x|＋|2－x|≤4的解集．
解不等式得－2≤x≤2，
故实数x的取值范围为[－2，2]．
10．(2017·河南八市重点高中质量检测)已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1.
(1)若ab≤m恒成立，求m的取值范围；
(2)若＋≥|2x－1|－|x＋1|恒成立，求x的取值范围．
【解析】
(1)∵a＞0，b＞0且a＋b＝1，∴由基本不等式得ab≤＝，当且仅当a＝b＝时等号成立．
∵ab≤m恒成立，∴m≥.
(2)∵a，b∈(0，＋∞)，＋≥|2x－1|－|x＋1|恒成立，
∴|2x－1|－|x＋1|≤4.
当x≤－1时，不等式化为2－x≤4，解得－2≤x≤－1；
当－1＜x＜时，不等式化为－3x≤4，解得－1＜x＜；
当x≥时，不等式化为x－2≤4，解得≤x≤6.
∴x的取值范围为－2≤x≤6.( http: / / www.21cnjy.com )
A组　专项基础训练
(时间：30分钟)
1．(2017·宁波一模)已知
( http: / / www.21cnjy.com )实数a满足－3＜a＜4，函数f(x)＝lg(x2＋ax＋1)的值域为R的概率为P1，定义域为R的概率为P2，则(　　)
A．P1＞P2　　　　　　　　　B．P1＝P2
C．P1＜P2
D．P1与P2的大小不确定
【解析】
若f(x)的值域为R
( http: / / www.21cnjy.com )，则Δ＝a2－4≥0，得a≤－2或a≥2，故P1＝＋＝.若f(x)的定义域为R，则Δ＝a2－4＜0，得－2＜a＜2，故P2＝＝，所以P1＜P2.
【答案】
C
2．(2017·石家庄一模)在区间[0，1]上任取两个数，则这两个数之和小于的概率是(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】
设这两个数分别是x，y，则总的基本
( http: / / www.21cnjy.com )事件构成的区域是确定的平面区域，所求事件包含的基本事件构成的区域是确定的平面区域，如图所示，阴影部分的面积是1－×＝，所以这两个数之和小于的概率是.
【答案】
C
3．(2017·山西四校联考)在面积为S的△ABC内部任取一点P，则△PBC的面积大于的概率为(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】
设AB，AC上分别有点D，E满足
( http: / / www.21cnjy.com )AD＝AB且AE＝AC，则△ADE∽△ABC，DE∥BC且DE＝BC.∵点A到DE的距离等于点A到BC的距离的，∴DE到BC的距离等于△ABC高的.当动点P在△ADE内时，P到BC的距离大于DE到BC的距离，∴当P在△ADE内部运动时，△PBC的面积大于，∴所求概率为＝＝.
【答案】
D
4．(2017·石家庄模
( http: / / www.21cnjy.com )拟)已知O，A，B三地在同一水平面内，A地在O地正东方向2
km处，B地在O地正北方向2
km处，某测绘队员在A，B之间的直线公路上任选一点C作为测绘点，用测绘仪进行测绘，O地为一磁场，距离其不超过
km的范围内会对测绘仪等电子仪器形成干扰，使测量结果不准确，则该测绘队员能够得到准确数据的概率是(　　)
A.
B.
C．1－
D．1－
【解析】
由题意知在等腰直角三角形OAB
( http: / / www.21cnjy.com )中，以O为圆心，为半径的圆截AB所得的线段长为2，而|AB|＝2，故该测绘队员能够得到准确数据的概率是1－＝1－.
【答案】
D
5．(2017·广州摸底)由不
( http: / / www.21cnjy.com )等式组确定的平面区域记为Ω1，不等式组确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】
平面区域Ω1的面积为×2×2＝2，平面区域Ω2为一个条形区域，画出图形如图所示，其中C(0，1)．
由解得即D，
则△ACD的面积为S＝×1×＝，则四边形BDCO的面积S＝S△OAB－S△ACD＝2－＝.在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为＝.
【答案】
D
6．(2017·鞍山调查
( http: / / www.21cnjy.com ))一只昆虫在边分别为5，12，13的三角形区域内随机爬行，则其到三角形顶点的距离小于2的地方的概率为________．
【解析】
如图所示，该三角形为直角三角形，其面积为×5×12＝30，阴影部分的面积为×π×22＝2π，所以所求概率为＝.
【答案】
7．(2017·湖北七市联考)AB是
( http: / / www.21cnjy.com )半径为1的圆的直径，M为直径AB上任意一点，过点M作垂直于直径AB的弦，则弦长大于的概率是________．
【解析】
依题意知，当相应的弦长大于时，圆心到弦的距离小于
＝，因此相应的点M应位于线段AB上与圆心的距离小于的地方，所求的概率等于.
【答案】
【解析】
如图所示，当m＝0时，平面区域E(阴影部分)的面积最大，此时点P落在平面区域E内的概率最大．
【答案】
0
9．(2017·湖南衡阳八中月考)随机向边长为5，5，6的三角形中投一点P，则点P到三个顶点的距离都不小于1的概率是________．
【解析】
由题意作图，如图
则点P应落在深色阴影部分，
S三角形＝×6×＝12，三个小扇形可合并成一个半圆，故其面积为，故点P到三个顶点的距离都不小于1的概率为＝.
【答案】
10．已知向量a＝(2，1)，b＝(x，y)．
(1)若x∈{－1，0，1，2}，y∈{－1，0，1}，求向量a∥b的概率；
(2)若x∈[－1，2]，y∈[－1，1]，求向量a，b的夹角是钝角的概率．
【解析】
(1)设“a∥b”为事件A，由a∥b，得x＝2y.
基本事件空间为Ω＝{(－1，－1)，
( http: / / www.21cnjy.com )(－1，0)，(－1，1)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)，(2，－1)，(2，0)，(2，1)}，共包含12个基本事件；其中A＝{(0，0)，(2，1)}，包含2个基本事件．则P(A)＝＝，即向量a∥b的概率为.
(2)因为x∈[－1，2]，y∈[－1，1]，则满足条件的所有基本事件所构成的区域如图为矩形ABCD，面积为S1＝3×2＝6.
设“a，b的夹角是钝角”为事件B，由a，b的夹角是钝角，可得a·b＜0，即2x＋y＜0，且x≠2y.
事件B包含的基本事件所构成的区域为图中四边形AEFD，面积S2＝××2＝2，
则P(B)＝＝＝.
即向量a，b的夹角是钝角的概率是.
B组　专项能力提升
(时间：30分钟)
11．(2016·课标全国Ⅱ)某路口人行
( http: / / www.21cnjy.com )横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】
此人来到时，正好是红灯，若至少需要等待15秒，说明红灯开始时间小于等于25秒．对应概率P＝＝.故选B.
【答案】
B
12．(2015·湖北)在区间[0，1]上
( http: / / www.21cnjy.com )随机取两个数x，y，记p1为事件“x＋y≥”的概率，p2为事件“|x－y|≤”的概率，p3为事件“xy≤”的概率，则(　　)
A．p1＜p2＜p3
B．p2＜p3＜p1
C．p3＜p1＜p2
D．p3＜p2＜p1
【解析】
如图，点(x，
( http: / / www.21cnjy.com )y)所处的空间为正方形OBCA表示的平面区域(包括其边界)，故本题属于几何概型中的“面积比”型．分别画出三个事件对应的图形，根据图形面积的大小估算概率的大小．
满足条件的x，y构成的点
( http: / / www.21cnjy.com )(x，y)在正方形OBCA及其边界上．事件“x＋y≥”对应的图形为图①所示的阴影部分；事件“|x－y|≤”对应的图形为图②所示的阴影部分；事件“xy≤”对应的图形为图③所示的阴影部分．对三者的面积进行比较，可得p2＜p3＜p1.
【答案】
B
13．(2016·黑龙江哈尔滨六中期末)设
( http: / / www.21cnjy.com )不等式组，表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离小于2的概率是(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】
区域D：，表示矩形，面积为3.
到坐标原点的距离小于2的点，位
( http: / / www.21cnjy.com )于以原点O为圆心、半径为2的圆内，则图中的阴影面积为×1×＋×π×4＝＋，∴所求概率为P＝.故选D.
【答案】
D
14．(2017·山东青岛一模)如图所
( http: / / www.21cnjy.com )示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角θ＝.现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是________．
【解析】
易知小正方形的
( http: / / www.21cnjy.com )边长为－1，故小正方形的面积为S1＝(－1)2＝4－2，大正方形的面积为S＝2×2＝4，故飞镖落在小正方形内的概率P＝＝＝.
【答案】
15．甲、乙两船驶向一个不
( http: / / www.21cnjy.com )能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的．如果甲船停泊时间为1
h，乙船停泊时间为2
h，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率．
【解析】
设甲、乙两艘船到达码
( http: / / www.21cnjy.com )头的时刻分别为x与y，记事件A为“两船都不需要等待码头空出”，则0≤x≤24，0≤y≤24，要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1
h以上或乙比甲早到达2
h以上，即y－x≥1或x－y≥2.故所求事件构成集合A＝{(x，y)|y－x≥1或x－y≥2，x∈[0，24]，y∈[0，24]}．
A为图中阴影部分，全部结果构成集合Ω为边长是24的正方形及其内部．
所求概率为P(A)＝＝
＝＝.( http: / / www.21cnjy.com )
A组　专项基础训练
(时间：20分钟)
1．下表是函数值y随自变量x变化的一组数据，它最可能的函数模型是(　　)
x
4
5
6
7
8
9
10
y
15
17
19
21
23
25
27
A.一次函数模型　　　　　　
　B．幂函数模型
C．指数函数模型
D．对数函数模型
【解析】
根据已知数据可知，自变量每增加1函数值增加2，因此函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型．
【答案】
A
2．(2017·四川德阳一诊)将甲桶中的
( http: / / www.21cnjy.com )a
L水缓慢注入空桶乙中，t
min后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y＝aent.假设过5
min后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m
min甲桶中的水只有
L，则m的值为(　　)
A．5
B．8
C．9
D．10
【解析】
∵5
min后甲桶和乙桶的水量相等，
∴函数y＝f(t)＝aent满足f(5)＝ae5n＝a，可得n＝ln，∴f(t)＝a·，
因此，当k
min后甲桶中的水只有
L时，f(k)＝a·＝a，即＝，∴k＝10，
由题可知m＝k－5＝5，故选A.
【答案】
A
3．(2017·合肥调研)某工厂
( http: / / www.21cnjy.com )6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是(　　)
【解析】
前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A，C图象符合要求，而后3年年产量保持不变，故选A.
【答案】
A
4．(2017·北京朝阳统一考试)设某
( http: / / www.21cnjy.com )公司原有员工100人从事产品A的生产，平均每人每年创造产值t万元(t为正常数)．公司决定从原有员工中分流x(0＜x＜100，x∈N
)人去进行新开发的产品B的生产．分流后，继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x%.若要保证产品A的年产值不减少，则最多能分流的人数是(　　)
A．15
B．16
C．17
D．18
【解析】
由题意，分流前每年创造的产值为100t(万元)，分流x人后，每年创造的产值为(100－x)(1＋1.2x%)t，
则由
解得0＜x≤.
因为x∈N
，所以x的最大值为16.
【答案】
B
5．我国为了加强对烟酒生产
( http: / / www.21cnjy.com )的宏观管理，除了应征税收外，还征收附加税．已知某种酒每瓶售价为70元，不收附加税时，每年大约销售100万瓶；若每销售100元国家要征附加税x元(叫做税率x%)，则每年销售量将减少10x万瓶，如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元，则x的最小值为(　　)
A．2
B．6
C．8
D．10
【解析】
由分析可知，每年此项经营中所
( http: / / www.21cnjy.com )收取的附加税额为104·(100－10x)·70·，令104·(100－10x)·70·≥112×104，解得2≤x≤8.故x的最小值为2.
【答案】
A
6．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________m.
【解析】
设内接矩形另一边长
( http: / / www.21cnjy.com )为y，则由相似三角形性质可得＝，解得y＝40－x，所以面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400(0＜x＜40)，当x＝20时，Smax＝400.
【答案】
20
7．(2017·长春模拟)一个容器装
( http: / / www.21cnjy.com )有细沙a
cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t
min后剩余的细沙量为y＝ae－bt(cm3)，经过8
min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．
【解析】
当t＝0时，y＝a，当t＝8时，y＝ae－8b＝a，
∴e－8b＝，容器中的沙子只有开始时
( http: / / www.21cnjy.com )的八分之一时，即y＝ae－bt＝a，e－bt＝＝(e－8b)3＝e－24b，则t＝24，所以再经过16
min.
【答案】
16
8．西北某羊皮手套公司准备投入适当的广告
( http: / / www.21cnjy.com )费对其生产的产品进行促销．在一年内，根据预算得羊皮手套的年利润L万元与广告费x万元之间的函数解析式为L＝－(x＞0)．则当年广告费投入________万元时，该公司的年利润最大．
【解析】
由题意得L＝－＝－(x＞0)．当－＝0，即x＝4时，L取得最大值21.5.
故当年广告费投入4万元时，该公司的年利润最大．
【答案】
4
B组　专项能力提升
(时间：10分钟)
9．有浓度为90%的溶液100
g，
( http: / / www.21cnjy.com )从中倒出10
g后再倒入10
g水称为一次操作，要使浓度低于10%，这种操作至少应进行的次数为(参考数据：lg
2＝0.301
0，lg
3＝0.477
1)(　　)
A．19
B．20
C．21
D．22
【解析】
操作次数为n时的浓度为，由＜10%，得n＋1＞＝≈21.8，∴n≥21.
【答案】
C
10．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，
( http: / / www.21cnjy.com )如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x、y应为(　　)
A．x＝15，y＝12
B．x＝12，y＝15
C．x＝14，y＝10
D．x＝10，y＝14
【解析】
由三角形相似得＝，得x＝(24－y)，
∴S＝xy＝－(y－12)2＋180，
∴当y＝12时，S有最大值，此时x＝15.
【答案】
A
11．某种病毒经30分钟繁殖为
( http: / / www.21cnjy.com )原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y＝ekt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则k＝________，经过5小时，1个病毒能繁殖为________个．
【解析】
当t＝0.5时，y＝2，∴2＝ek，
∴k＝2ln
2，∴y＝e2tln
2，
当t＝5时，y＝e10ln
2＝210＝1
024.
【答案】
2ln
2　1
024
12．一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些
( http: / / www.21cnjy.com )树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的.
(1)求每年砍伐面积的百分比；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
(3)今后最多还能砍伐多少年？
【解析】
(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0＜x＜1)．
则a(1－x)10＝a，即(1－x)10＝，
解得x＝1－.
即每年砍伐面积的百分比为1－.
(2)设经过m年剩余面积为原来的，则a(1－x)m＝a，
即＝，所以＝，
解得m＝5.故到今年为止，已砍伐了5年．
(3)设从今年开始，最多还能砍伐n年，
则n年后剩余面积为a(1－x)n.
令a(1－x)n≥a，即(1－x)n≥，
所以≥，
即≤，
解得n≤15.
故今后最多还能砍伐15年．( http: / / www.21cnjy.com )
A组　专项基础训练
(时间：35分钟)
1．(2017·西安八校联考)如图所
( http: / / www.21cnjy.com )示的茎叶图是甲、乙两位同学在期末考试中的六科成绩，已知甲同学的平均成绩为85，乙同学的六科成绩的众数为84，则x，y的值为(　　)
A．2，4　　　　　　　　　　　B．4，4
C．5，6
D．6，4
【解析】
x甲＝＝85，解得x＝6，由图可知y＝4.
【答案】
D
2．(2017·陕西一检)某
( http: / / www.21cnjy.com )班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40，50)，[50，60)[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，则图中x的值等于(　　)
A．0.12
B．0.012
C．0.18
D．0.018
【解析】
依题意，0.054×10＋10×x＋0.01×10＋0.006×10×3＝1，解得x＝0.018.
【答案】
D
3．(2015·全国卷Ⅱ)根据给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位：万吨)柱形图，以下结论中不正确的是(　　)
A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著
B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效
C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
【解析】
对于A选项，由图知从2007年到
( http: / / www.21cnjy.com )2008年二氧化硫排放量下降得最多，故A正确．对于B选项，由图知，由2006年到2007年矩形高度明显下降，因此B正确．对于C选项，由图知从2006年以后除2011年稍有上升外，其余年份都是逐年下降的，所以C正确．由图知2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关，故选D.
【答案】
D
4．(2016·邢台摸底)样本中共有五个个体，其值分别为0，1，2，3，m.若该样本的平均值为1，则其方差为(　　)
A.
B.
C.
D．2
【解析】
依题意得m＝5×1－(0＋1＋2＋3)＝－1，样本方差s2＝(12＋02＋12＋22＋22)＝2，即所求的样本方差为2.
【答案】
D
5．(2017·长沙一模)下面的茎叶图是某班学生在一次数学测试时的成绩：
根据茎叶图，得出该班男、女生数学成绩的四个统计结论，其中错误的一项是(　　)
A．15名女生成绩的平均分为78
B．17名男生成绩的平均分为77
C．女生成绩和男生成绩的中位数分别为82，80
D．男生中的高分段和低分段均比女生多，相比较男生两极分化比较严重
【解析】
对于A，15名女生
( http: / / www.21cnjy.com )成绩的平均分为×(90＋93＋80＋80＋82＋82＋83＋83＋85＋70＋71＋73＋75＋66＋57)＝78，A正确；对于B，17名男生成绩的平均分为×(93＋93＋96＋80＋82＋83＋86＋86＋88＋71＋74＋75＋62＋62＋68＋53＋57)＝77，故B正确；对于D，观察茎叶图，对男生、女生成绩进行比较，可知男生两极分化比较严重，D正确；对于C，根据女生和男生成绩数据分析可得，两组数据的中位数均为80，C错误．
【答案】
C
6．(2017·皖南八校联考)
( http: / / www.21cnjy.com )某一段公路限速60公里/小时，现抽取200辆通过这一段公路的汽车的时速，其频率分布直方图如图所示，则这200辆汽车中在该路段超速的有________辆．
【解析】
由频率分布直方图可得超速的频率为0.04×10＋0.02×10＝0.6，所以该路段超速的有200×0.6＝120辆．
【答案】
120
7．(2017·郑州二检)已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m，n的比值＝________．
【解析】
由茎叶图可知甲的数据为27
( http: / / www.21cnjy.com )，30＋m，39，乙的数据为20＋n，32，34，38.由此可知乙的中位数是33，所以甲的中位数也是33，所以m＝3.由此可以得出甲的平均数为33，所以乙的平均数也是33，所以有＝33，所以n＝8，所以＝.
【答案】
8．(2016·课标全国Ⅰ)某公司
( http: / / www.21cnjy.com )计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)，n表示购机的同时购买的易损零件数．
(1)若n＝19，求y与x的函数解析式；
(2)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；
(3)假设这100台机器在购机的同时每台都
( http: / / www.21cnjy.com )购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？
【解析】
(1)当x≤19时，y＝3
800；
当x＞19时，y＝3
800＋500(x－19)＝500x－5
700.
所以y与x的函数解析式为
y＝(x∈N)．
(2)由柱状图知，需更换的零件数不大于18的频率为0.46，不大于19的频率为0.7，故n的最小值为19.
(3)若每台机器在购机同时都购买1
( http: / / www.21cnjy.com )9个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3
800，20台的费用为4
300，10台的费用为4
800，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为
×(3
800×70＋4
300×20＋4
800×10)＝4
000.
若每台机器在购机同时都购买20个易损零
( http: / / www.21cnjy.com )件，则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4
000，10台的费用为4
500，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为
×(4
000×90＋4
500×10)＝4
050.
比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件．
9．(2017·湖南雅礼中学一模
( http: / / www.21cnjy.com ))某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件数的统计数据的茎叶图如图所示，已知两组技工在单位时间内加工的合格零件的平均数都为10.
(1)求出m，n的值；
(2)求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件的方差s和s，并由此分析两组技工的加工水平；
(3)质检部门从该车间甲、乙两组技工
( http: / / www.21cnjy.com )中各随机抽取一名，对其加工的零件进行检测，若两人加工的合格零件个数之和大于17，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率．
【解析】
(1)根据题意可知：x甲＝(7＋8＋10＋12＋10＋m)＝10，
x乙＝(9＋n＋10＋11＋12)＝10，
∴m＝3，n＝8.
(2)s＝[(7－10)2＋(8－10)2＋(10－10)2＋(12－10)2＋(13－10)2]＝5.2，
s＝[(8－10)2＋(9－10)2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(12－10)2]＝2，
∵x甲＝x乙，s＞s，
∴甲、乙两组的整体水平相当，乙组更稳定一些．
(3)质检部门从该车间甲、
( http: / / www.21cnjy.com )乙两组技工中各随机抽取一名，对其加工的零件进行检测，设两人加工的合格零件数分别为a，b，则所有(a，b)有(7，8)，(7，9)，(7，10)，(7，11)，(7，12)，(8，8)，(8，9)，(8，10)，(8，11)，(8，12)，(10，8)，(10，9)，(10，10)，(10，11)，(10，12)，(12，8)，(12，9)，(12，10)，(12，11)，(12，12)，(13，8)，(13，9)，(13，10)，(13，11)，(13，12)，共计25个，而a＋b≤17的基本事件有(7，8)，(7，9)，(7，10)，(8，8)，(8，9)，共计5个，故满足a＋b＞17的基本事件共有25－5＝20(个)，故该车间“质量合格”的概率为＝.
10．(2017·江西八校联考)“双节”期间
( http: / / www.21cnjy.com )，高速公路车辆较多，某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速(km/h)分成六段：[60，65)，[65，70)，[70，75)，[75，80)，[80，85)，[85，90]后得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求这40辆小型汽车车速的众数和中位数的估计值；
(2)若从车速在[60，70)内的车辆中任抽取2辆，求车速在[65，70)内的车辆恰有一辆的概率．
【解析】
(1)由频率分布直方图可知众数的估计值为77.5.
设中位数的估计值为x，则0.01×5＋
( http: / / www.21cnjy.com )0.02×5＋0.04×5＋0.06×(x－75)＝0.5，解得x＝77.5，即中位数的估计值为77.5.
(2)从题图中可知，车速在[60，65)内的车辆数为0.01×5×40＝2，
车速在[65，70)内的车辆数为0.02×5×40＝4，
记车速在[60，65)内的两辆车为a，b，
( http: / / www.21cnjy.com )车速在[65，70)内的四辆车为c，d，e，f，则所有基本事件有：(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(a，f)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(b，f)，(c，d)，(c，e)，(c，f)，(d，e)，(d，f)，(e，f)，共15个．
其中车速在[65，70)内的车辆恰有一辆的事
( http: / / www.21cnjy.com )件有：(a，c)，(a，d)，(a，e)，(a，f)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(b，f)，共8个．
所以车速在[65，70)内的车辆恰有一辆的概率为P＝.
B组　专项能力提升
(时间：30分钟)
11．(2017·内江模拟)某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图如下：
分组成[11，20)，[20，30)，[30，39]时，所作的频率分布直方图是(　　)
【解析】
由直方图的纵坐标是频率/组距，排除C和D；又第一组的频率是0.2，直方图中第一组的纵坐标是0.02，排除A，故选B.
【答案】
B
12．(2017·广东惠州第一中学第二
( http: / / www.21cnjy.com )次调研)为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分值的中位数为me，众数为m0，平均值为x，则(　　)
A．me＝m0＝x
B．me＝m0＜x
C．me＜m0＜x
D．m0＜me＜x
【解析】
由题图可知，3
( http: / / www.21cnjy.com )0名学生的得分情况依次为：2个人得3分，3个人得4分，10个人得5分，6个人得6分，3个人得7分，2个人得8分，2个人得9分，2个人得10分．中位数为第15，16个数(分别为5，6)的平均数，即me＝5.5.又5出现的次数最多，故m0＝5.又x＝×(2×3＋3×4＋10×5＋6×6＋3×7＋2×8＋2×9＋2×10)≈5.97，得m0＜me＜x.故选D.
【答案】
D
13．(2015·湖北)某电子商务公司
( http: / / www.21cnjy.com )对10
000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3，0.9]内，其频率分布直方图如图所示．
(1)直方图中的a＝________；
(2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为________．
【解析】
由频率分布直方图及
( http: / / www.21cnjy.com )频率和等于1可得0.2×0.1＋0.8×0.1＋1.5×0.1＋2×0.1＋2.5×0.1＋a×0.1＝1，解得a＝3.于是消费金额在区间[0.5，0.9]内频率为0.2×0.1＋0.8×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6，所以消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为：0.6×10
000＝6
000，故应填3，6
000.
【答案】
(1)3　(2)6
000
14．(2017·大同调研)某网络营销部门随机抽查了某市200名网友在2015年11月11日的网购金额，所得数据如下表：
网购金额(单位：千元)
人数
频率
(0，1]
16
0.08
(1，2]
24
0.12
(2，3]
x
p
(3，4]
y
q
(4，5]
16
0.08
(5，6]
14
0.07
合计
200
1.00
已知网购金额不超过3千元与超过3千元的人数比恰为3∶2.
(1)试确定x，y，p，q的值，并补全频率分布直方图(如图)；
(2)该营销部门为了了解
( http: / / www.21cnjy.com )该市网友的购物体验，从这200名网友中，用分层抽样的方法从网购金额在(1，2]和(4，5]的两个群体中确定5人中进行问卷调查，若需从这5人中随机选取2人继续访谈，则此2人来自不同群体的概率是多少？
【解析】
(1)根据题意有：
解得
∴p＝0.4，q＝0.25.
补全频率分布直方图如图所示，
(2)根据题意，网购金额在(1，2]内的人数为
×5＝3(人)，记为：a，b，c.
网购金额在(4，5]内的
( http: / / www.21cnjy.com )人数为×5＝2(人)，记为：A，B.则从这5人中随机选取2人的选法为：(a，b)，(a，c)，(a，A)，(a，B)，(b，c)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)，(A，B)共10种．记2人来自不同群体的事件为M，则M中含有(a，A)，(a，B)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)共6种．
∴P(M)＝＝.
15．(2016·四川)我国是世界上严重缺水
( http: / / www.21cnjy.com )的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x(吨)，一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0，0.5)，[0.5，1)，…，[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
(1)求直方图中a的值；
(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；
(3)估计居民月均用水量的中位数．
【解析】
(1)由频率分布直方图知，月均用水量在[0，0.5)中的频率为0.08×0.5＝0.04，
同理，在[0.5，1)，[1.5，2)
( http: / / www.21cnjy.com )，[2，2.5)，[3，3.5)，[3.5，4)，[4，4.5]中的频率分别为0.08，0.20，0.26，0.06，0.04，0.02.
由0.04＋0.08＋0.5×a＋0.20＋0.26＋0.5×a＋0.06＋0.04＋0.02＝1，
解得a＝0.30.
(2)由直方图知100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为
0．06＋0.04＋0.02＝0.12.
由以上样本的频率分布，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300
000×0.12＝36
000.
(3)设中位数为x吨．
因为前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73＞0.5，
而前4组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48＜0.5，
所以2≤x＜2.5.
由0.50×(x－2)＝0.5－0.48，解得x＝2.04.
故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨．( http: / / www.21cnjy.com )
A组　专项基础训练
(时间：35分钟)
1．(2016·湖北部分重点中学第一次联考)函数f(x)由下表定义：
x
2
5
3
1
4
f(x)
1
2
3
4
5
若a0＝5，an＋1＝f(an)(n∈N)，则a2
016的值为(　　)
A．1　　　　　　　　　　　B．2
C．4
D．5
【解析】
∵a0＝5，an＋1＝f(an)，
∴a1＝f(a0)＝f(5)＝2
( http: / / www.21cnjy.com )，a2＝f(a1)＝f(2)＝1，a3＝f(a2)＝f(1)＝4，a4＝f(a3)＝f(4)＝5，a5＝f(a4)＝f(5)＝2，…，
∴a1＝a5.∴{an}是以4为周期的周期数列．∴a2
016＝a0＝5.
【答案】
D
2．若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10等于(　　)
A．15
B．12
C．－12
D．－15
【解析】
由题意知，a1＋a2＋…＋a10
＝－1＋4－7＋10－…＋(－1)10×(3×10－2)
＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－1)9×(3×9－2)＋(－1)10×(3×10－2)]＝3×5＝15.
【答案】
A
3．(2016·天津一中模拟)已知数列{an}的前n项和Sn＝2an－1，则满足≤2的正整数n的集合为(　　)
A．{1，2}
B．{1，2，3，4}
C．{1，2，3}
D．{1，2，4}
【解析】
因为Sn＝2an－1，所以当
( http: / / www.21cnjy.com )n≥2时，Sn－1＝2an－1－1，两式相减，得an＝2an－2an－1，整理得an＝2an－1.又因为a1＝2a1－1，解得a1＝1，所以{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，故{an}的通项公式为an＝2n－1.由≤2，得2n－1≤2n，所以有n＝1，2，3，4.
【答案】
B
4．(2016·北京海淀区期末)若数列{an
( http: / / www.21cnjy.com )}满足：a1＝19，an＋1＝an－3(n∈N
)，则数列{an}的前n项和数值最大时，n的值为(　　)
A．6
B．7
C．8
D．9
【解析】
∵a1＝19，an＋1－an＝－3，
∴数列{an}是以19为首项，－3为公差的等差数列，
∴an＝19＋(n－1)×(－3)＝22－3n.
设{an}的前k项和数值最大，
则有k∈N
，∴
∴≤k≤，
∵k∈N
，∴k＝7.∴满足条件的n的值为7.
【答案】
B
5．(2016·山东日照实验中学月考)如果数列{an}满足a1＝2，a2＝1，且＝(n≥2)，则这个数列的第10项等于(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】
∵＝，
∴1－＝－1，＋＝2，
∴＋＝，故是等差数列．
又d＝－＝，∴＝＋9×＝5，
故a10＝.
【答案】
C
6．(2016·山东部分重点中学
( http: / / www.21cnjy.com )第二次联考)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：
将三角形数1，3，6，10，…记为数列{an}，则数列{an}的通项公式为________．
【解析】
由图可知，an＋1－an＝n＋1，a1＝1，由累加法可得an＝.
【答案】
an＝
7．(2016·河南洛阳模拟)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋2n－1(n∈N
)，则an＝________．
【解析】
∵a1＝1，an＋
( http: / / www.21cnjy.com )1＝an＋2n－1(n∈N
)，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝(2n－3)＋(2n－5)＋…＋1＋1＝＋1＝n2－2n＋2.
【答案】
n2－2n＋2
8．(2016·安徽江淮十校第
( http: / / www.21cnjy.com )一次联考)在数列{an}中，a1＝2，an＝3an－1＋2(n≥2，n∈N
)，则通项an＝________．
【解析】
由an＝3an－1＋2，得an＋1
( http: / / www.21cnjy.com )＝3(an－1＋1)(n≥2)．∵a1＝2，∴a1＋1＝3≠0，∴数列{an＋1}是以3为首项，3为公比的等比数列．∴an＋1＝3·3n－1＝3n，∴an＝3n－1.
【答案】
3n－1
9．数列{an}的通项公式是an＝n2－7n＋6.
(1)这个数列的第4项是多少？
(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？
(3)该数列从第几项开始各项都是正数？
【解析】
(1)当n＝4时，a4＝42－4×7＋6＝－6.
(2)令an＝150，即n2－7n＋6＝150，
解得n＝16或n＝－9(舍去)，
即150是这个数列的第16项．
(3)令an＝n2－7n＋6＞0，解得n＞6或n＜1(舍去)．
所以从第7项起各项都是正数．
10．(2016·天水一模)已知数列{an}中，a1＝1，且an＋an＋1＝2n.求数列{an}的通项公式．
【解析】
∵an＋an＋1＝2n，①
∴an＋1＋an＋2＝2n＋1，②
②－①，得an＋2－an＝2n，
由a1＝1，a1＋a2＝2，得a2＝1.
当n为奇数时，
an＝(an－an－2)＋(an－2－an－4)＋…＋(a3－a1)＋a1
＝2n－2＋2n－4＋…＋2＋1
＝×2n＋；
当n为偶数时，
an＝(an－an－2)＋(an－2－an－4)＋…＋(a4－a2)＋a2
＝2n－2＋2n－4＋…＋22＋1
＝×2n－.
故an＝
B组　专项能力提升
(时间：20分钟)
11．(2016·大庆质量检
( http: / / www.21cnjy.com )测)已知数列{an}满足an＋1＝an－an－1(n≥2)，a1＝1，a2＝3，记Sn＝a1＋a2＋…＋an，则下列结论正确的是(　　)
A．a2
017＝1，S2
017＝3　　
　B．a2
017＝2，S2
017＝1
C．a2
017＝2，S2
017＝3
D．a2
017＝1，S2
017＝1
【解析】
由an＋1＝a
( http: / / www.21cnjy.com )n－an－1(n≥2)，知an＋2＝an＋1－an，则an＋2＝－an－1(n≥2)，an＋3＝－an，…，an＋6＝an，所以数列{an}是周期数列，周期是6.又a1＝1，a2＝3，a3＝2，a4＝－1，a5＝－3，a6＝－2，所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝0，所以a2
017＝a1＝1，S2
017＝a1＝1.
【答案】
D
12．(2016·河南洛阳模拟)设数列{an}满足a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝(n∈N
)，则通项公式是(　　)
A．an＝
B．an＝
C．an＝
D．an＝
【解析】
设{2n－1·an}的前n项和为Tn，∵数列{an}满足a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝(n∈N
)，
∴Tn＝，∴2n－1an＝Tn－Tn－1＝－＝，
∴an＝＝，经验证，n＝1时也成立，故an＝.故选C.
【答案】
C
13．定义：称为n个正数P1，P2，…，Pn的“均倒数”．若数列{an}的前n项的“均倒数”为，则数列{an}的通项公式为(　　)
A．an＝2n－1
B．an＝4n－1
C．an＝4n－3
D．an＝4n－5
【解析】
∵＝，
∴＝2n－1，
∴a1＋a2＋…＋an＝(2n－1)n，
a1＋a2＋…＋an－1＝(2n－3)(n－1)(n≥2)，
当n≥2时，an＝(2n－1)n－(2n－3)(n－1)＝4n－3；
a1＝1也适合此等式，∴an＝4n－3.
【答案】
C
14．(2016·云南红河州
( http: / / www.21cnjy.com )统一检测)设数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n(n＋1)(n＋2)(n∈N
)，则通项an＝________．
【解析】
数列{nan}的前n项和为a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n(n＋1)(n＋2)．①
其前n－1项和为a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1
＝(n－1)n(n＋1)．②
①－②，得nan＝n(n＋1)[(n＋2)－(n－1)]＝3n(n＋1)，即an＝3n＋3.
当n＝1时也满足上式．故an＝3n＋3.
【答案】
3n＋3
15．(2016·开封模拟)已知数列{an}中，an＝1＋(n∈N
，a∈R且a≠0)．
(1)若a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值；
(2)若对任意的n∈N
，都有an≤a6成立，求a的取值范围．
【解析】
(1)∵an＝1＋(n∈N
，a∈R，且a≠0)，
又a＝－7，∴an＝1＋(n∈N
)．结
( http: / / www.21cnjy.com )合函数f(x)＝1＋的单调性，可知1＞a1＞a2＞a3＞a4，a5＞a6＞a7＞…＞an＞1(n∈N
)．
∴数列{an}中的最大项为a5＝2，最小项为a4＝0.
(2)an＝1＋＝1＋，
已知对任意的n∈N
，都有an≤a6成立，
结合函数f(x)＝1＋的单调性，
可知5＜＜6，即－10＜a＜－8.( http: / / www.21cnjy.com )
A组　专项基础训练
(时间：40分钟)
1．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点
( http: / / www.21cnjy.com )A∈α，A l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是(　　)
A．AB∥m　　　　　　　　　　　B．AC⊥m
C．AB∥β
D．AC⊥β
【解析】
如图所示，AB∥l∥m；AC⊥l，m∥l AC⊥m；AB∥l AB∥β，只有D不一定成立，故选D.
【答案】
D
2．在空间内，设l，m，n是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中为假命题的是(　　)
A．α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l，则l⊥γ
B．l∥α，l∥β，α∩β＝m，则l∥m
C．α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，若l∥m，则l∥n
D．α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β或α∥β
【解析】
对于A，∵如果两个相交平面均垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面，∴该命题是真命题；
对于B，∵如果一条直线平行于两个相交平面，那么该直线平行于它们的交线，∴该命题是真命题；
对于C，∵如果三个平面两两相交，有三条交线，那么这三条交线交于一点或相互平行，∴该命题是真命题；
对于D，当两个平面同时垂直于第三个平面时，这两个平面可能不垂直也不平行，∴D是假命题．综上所述，选D.
【答案】
D
3．(2017·天津滨海新
( http: / / www.21cnjy.com )区模拟)如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：
①BD⊥AC；
②△BAC是等边三角形；
③三棱锥D ABC是正三棱锥；
④平面ADC⊥平面ABC.
其中正确的是(　　)
A．①②④
B．①②③
C．②③④
D．①③④
【解析】
由题意知，BD⊥平面
( http: / / www.21cnjy.com )ADC，故BD⊥AC，①正确；AD为等腰直角三角形斜边BC上的高，平面ABD⊥平面ACD，所以AB＝AC＝BC，△BAC是等边三角形，②正确；易知DA＝DB＝DC，又由②知③正确；由①知④错．故选B.
【答案】
B
4．(2015·福建)若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的(　　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】
m垂直于平面α，当l
( http: / / www.21cnjy.com ) α时，也满足l⊥m，但直线l与平面α不平行，∴充分性不成立，反之，l∥α，一定有l⊥m，必要性成立．故选B.
【答案】
B
5．(2017·青岛质检)设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是(　　)
A．a⊥α，b∥β，α⊥β
B．a⊥α，b⊥β，α∥β
C．a α，b⊥β，α∥β
D．a α，b∥β，α⊥β
【解析】
对于C项，由α∥β，a α可得a∥β，又b⊥β，得a⊥b，故选C.
【答案】
C
6．(2017·吉林实验中学)设a，b，c是空间的三条直线，α，β是空间的两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是(　　)
A．当c⊥α时，若c⊥β，则α∥β
B．当b α时，若b⊥β，则α⊥β
C．当b α，且c是a在α内的射影时，若b⊥c，则a⊥b
D．当b α，且c α时，若c∥α，则b∥c
【解析】
A的逆命题为：当
( http: / / www.21cnjy.com )c⊥α时，若α∥β，则c⊥β.由线面垂直的性质知c⊥β，故A正确；B的逆命题为：当b α时，若α⊥β，则b⊥β，显然错误，故B错误；C的逆命题为：当b α，且c是a在α内的射影时，若a⊥b，则b⊥c.由三垂线逆定理知b⊥c，故C正确；D的逆命题为：当b α，且c α时，若b∥c，则c∥α.由线面平行判定定理可得c∥α，故D正确．
【答案】
B
7．如图，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的射影，给出下列结论：
①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.
其中正确结论的序号是________．
【解析】
由题意知PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.
又AC⊥BC，且PA∩AC＝A，
∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥AF.
∵AF⊥PC，且BC∩PC＝C，
∴AF⊥平面PBC，
∴AF⊥PB，又AE⊥PB，AE∩AF＝A，
∴PB⊥平面AEF，∴PB⊥EF.
故①②③正确．
【答案】
①②③
8．(2017·福建四地六校月考)点P在正方体ABCD A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列四个命题：
①三棱锥A D1PC的体积不变；
②A1P∥平面ACD1；
③DP⊥BC1；
④平面PDB1⊥平面ACD1.
其中正确的命题序号是________．
【解析】
由题意可得直线BC1平行于直线AD1，并且直线AD1 平面AD1C，直线BC1 平面AD1C，
所以直线BC1∥平面AD1C.
所以点P到平面AD1C的距离不变，
VA D1PC＝VP AD1C，
所以体积不变．故①正确；
连接A1C1，A1B，
可得平面AD1C∥平面A1C1B.
又因为A1P 平面A1C1B，所以A1P∥平面ACD1，故②正确；
当点P运动到B点时，△DBC1是等边三角形，
所以DP不垂直于BC1.
故③不正确；
因为直线AC⊥平面DB1，DB1 平面DB1.
所以AC⊥DB1.同理可得AD1⊥DB1.
所以可得DB1⊥平面AD1C.
又因为DB1 平面PDB1.
所以可得平面PDB1⊥平面ACD1.
故④正确．
综上，正确的序号为①②④.
【答案】
①②④
9．(2017·郑州模拟)如图，已知三棱
( http: / / www.21cnjy.com )柱ABC A′B′C′的侧棱垂直于底面，AB＝AC，∠BAC＝90°，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．
(1)证明：MN∥平面AA′C′C；
(2)设AB＝λAA′，当λ为何值时，CN⊥平面A′MN，试证明你的结论．
【解析】
(1)证明
如图，取A′B′的中点E，连接ME，NE.
因为M，N分别为A′B和B′C′的中点，所以NE∥A′C′，ME∥AA′.
又A′C′ 平面AA′C′C，A′A 平面AA′C′C，
所以ME∥平面AA′C′C，NE∥平面AA′C′C，
所以平面MNE∥平面AA′C′C，
因为MN 平面MNE，
所以MN∥平面AA′C′C.
(2)连接BN，设AA′＝a，则AB＝λAA′＝λa，
由题意知BC＝λa，CN＝BN＝，
因为三棱柱ABC A′B′C′的侧棱垂直于底面，
所以平面A′B′C′⊥平面BB′C′C，
因为AB＝AC，点N是B′C′的中点，
所以A′N⊥平面BB′C′C，所以CN⊥A′N，
要使CN⊥平面A′MN，只需CN⊥BN即可，
所以CN2＋BN2＝BC2，即2＝2λ2a2，
解得λ＝，故当λ＝时，CN⊥平面A′MN.
10．(2016·江苏)如图，在直三棱柱AB
( http: / / www.21cnjy.com )C A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.
求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；
(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.
【证明】
(1)在直三棱柱ABC A1B1C1中，A1C1∥AC.
在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，
所以DE∥AC，于是DE∥A1C1.
又因为DE 平面A1C1F，A1C1 平面A1C1F，
所以直线DE∥平面A1C1F.
(2)在直三棱柱ABC A1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1.因为A1C1 平面A1B1C1，所以A1A⊥A1C1.
又因为A1C1⊥A1B1，A1A 平面ABB1A1，
A1B1 平面ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1，
所以A1C1⊥平面ABB1A1.
因为B1D 平面ABB1A1，
所以A1C1⊥B1D.
又因为B1D⊥A1F，A1C1 平面A1C1F，
A1F 平面A1C1F，A1C1∩A1F＝A1，
所以B1D⊥平面A1C1F.
因为直线B1D 平面B1DE，
所以平面B1DE⊥平面A1C1F.
B组　专项能力提升
(时间：30分钟)
11．(2017·贵州模拟)如图，
( http: / / www.21cnjy.com )已知P是矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，E，F分别是AB，PC的中点．若∠PDA＝45°，则EF与平面ABCD所成角的大小是(　　)
A．90°
B．60°
C．45°
D．30°
【解析】
取PD的中点G，
( http: / / www.21cnjy.com )连接AG，FG.∵E，F分别为AB，PC的中点，∴AE＝AB，GF∥DC且GF＝DC.又在矩形ABCD中AB∥CD且AB＝CD，∴AE∥GF且AE＝GF，∴四边形AEFG是平行四边形，∴AG∥EF，∴AG与平面ABCD所成的角等于EF与平面ABCD所成的角．过G作GH⊥AD，垂足为H，则GH∥PA.∵PA⊥平面ABCD，∴GH⊥平面ABCD，∴∠GAH为AG与平面ABCD所成的角，即为所求角．∵∠PDA＝45°，G为PD的中点，
∴∠GAH＝45°，即EF与平面ABCD所成的角为45°，故选C.
【答案】
C
12．设α，β是空间两个不同
( http: / / www.21cnjy.com )的平面，m，n是平面α及β外的两条不同直线．从“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：________(用代号表示)．
【解析】
逐一判断．若①②③成立，则m与α的位置关系不确定，故①②③ ④错误；同理①②④ ③也错误；①③④ ②与②③④ ①均正确．
【答案】
①③④ ②(或②③④ ①)
13．已知α，β，γ是三个不同的平
( http: / / www.21cnjy.com )面，命题“α∥β，且α⊥γ β⊥γ”是真命题，如果把α，β，γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有________个．
【解析】
若α，β换为直线a
( http: / / www.21cnjy.com )，b，则命题化为“a∥b，且a⊥γ b⊥γ”，此命题为真命题；若α，γ换为直线a，b，则命题化为“a∥β，且a⊥b b⊥β”，此命题为假命题；若β，γ换为直线a，b，则命题化为“a∥α，且b⊥α a⊥b”，此命题为真命题．
【答案】
2
14．(2017·浙江温州一模)如图，在三棱锥D ABC中，DA＝DB＝DC，D在底面ABC上的射影为E，AB⊥BC，DF⊥AB于点F.
(1)求证：平面ABD⊥平面DEF；
(2)若AD⊥DC，AC＝4，∠BAC＝60°，求直线BE与平面DAB所成角的正弦值．
【解析】
(1)证明
由题意知DE⊥平面ABC，
∴AB⊥DE.
又AB⊥DF，DE∩DF＝D，
∴AB⊥平面DEF.
∵AB 平面ABD,
∴平面ABD⊥平面DEF.
(2)
如图，由DA＝DB＝DC知EA＝EB＝EC，∴E是△ABC的外心．
又∵AB⊥BC，∴E为AC的中点，过E作EH⊥DF于点H，连接BH，则由(1)知EH⊥平面DAB，∴∠EBH即为BE与平面DAB所成的角．
由AC＝4，AD⊥DC，∠BAC＝60°，得DE＝2，EF＝，
∴DF＝，EH＝，
∴sin∠EBH＝＝.
故直线BE与平面DAB所成角的正弦值为.
15．(2017·深圳模拟)如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为菱形，PB⊥平面ABCD.
(1)若AC＝6，BD＝8，PB＝3，求三棱锥A PBC的体积；
(2)若点E是DP的中点，证明：BD⊥平面ACE.
【解析】
(1)∵四边形ABCD为菱形，
∴BD与AC相互垂直平分，
∴底面ABCD的面积S菱形ABCD＝×6×8＝24，
∴S△ABC＝S菱形ABCD＝12.
又PB⊥平面ABCD，且PB＝3，
∴三棱锥A PBC的体积VA PBC＝VP ABC＝×PB×S△ABC＝12.
(2)证明
如图，设BD与AC相交于点O，连接OE，
∵O为BD的中点，E是DP的中点，
∴OE∥PB.
又PB⊥平面ABCD，
∴OE⊥平面ABCD.
∵BD 平面ABCD，
∴OE⊥BD，
由(1)知AC⊥BD，
又AC∩OE＝O，
∴BD⊥平面ACE.( http: / / www.21cnjy.com )
A组　专项基础训练
(时间：35分钟)
1．(2017·山东实验中学第一次诊断性考试)“m＝1”是“函数f(x)＝x2－6mx＋6在区间(－∞，3]上为减函数”的(　　)
A．必要不充分条件　　　　B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】
函数f(x)＝x2
( http: / / www.21cnjy.com )－6mx＋6在区间(－∞，3]上为减函数的充要条件是3m≥3，即m∈[1，＋∞)．又{1}是[1，＋∞)的真子集，所以“m＝1”是“函数f(x)＝x2－6mx＋6在区间(－∞，3]上为减函数”的充分不必要条件．故选B.
【答案】
B
2．(2017·四川资阳模拟)已知函
( http: / / www.21cnjy.com )数f(x)＝x2－2x＋4在区间[0，m](m＞0)上的最大值为4，最小值为3，则实数m的取值范围是(　　)
A．[1，2]
B．(0，1]
C．(0，2]
D．[1，＋∞)
【解析】
作出函数的图象如图所
( http: / / www.21cnjy.com )示，从图中可以看出当1≤m≤2时，函数f(x)＝x2－2x＋4在区间[0，m](m＞0)上的最大值为4，最小值为3.故选A.
【答案】
A
3．(2017·福建四地六校联考)设函数f(x)＝的最小值为－1，则实数a的取值范围是(　　)
A．a≥－2
B．a＞－2
C．a≥－
D．a＞－
【解析】
当x≥时，f(x)＝4x
( http: / / www.21cnjy.com )－3≥2－3＝－1，∵f(x)min＝f＝－1，当x＜时，f(x)＝x2－2x＋a＝(x－1)2＋a－1，即f(x)在上单调递减，则f(x)＞f＝a－，∴a－≥－1，∴a≥－.故选C.
【答案】
C
4．(2016·甘肃嘉峪关一中一模)已
( http: / / www.21cnjy.com )知f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2(a＜0)在区间[0，1]上有最大值－12，则实数a等于(　　)
A．－6
B．－5
C．－4
D．－3
【解析】
∵f(x)＝－
( http: / / www.21cnjy.com )4x2＋4ax－4a－a2＝－(2x－a)2－4a(a＜0)的图象是开口向下的抛物线，对称轴方程为x＝＜0，故函数f(x)在区间[0，1]上单调递减，故当x＝0时，函数f(x)有最大值，为－a2－4a＝－12，求得a＝－6，故选A.
【答案】
A
5．(2017·安徽江淮十校高三4月联考)二次函数f(x)的图象经过点，且f′(x)＝－x－1，则不等式f(10x)＞0的解集为(　　)
A．(－3，1)
B．(－lg
3，0)
C.
D．(－∞，0)
【解析】
由题意设f(x)＝ax2＋bx＋(a≠0)，
则f′(x)＝2ax＋b，∵f′(x)＝－x－1，
∴∴
∴f(x)＝－x2－x＋，
令f(x)＞0，得－3＜x＜1，∵10x＞0，
∴不等式f(10x)＞0可化为0＜10x＜1，∴x＜0，故选D.
【答案】
D
6．(2017·湖南师大附中等四校联考)若函数f(x)＝x2＋a|x－2|在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是________．
【解析】
∵f(x)＝x2＋a|x－2|，
∴f(x)＝
又∵f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∴解得－4≤a≤0，
即实数a的取值范围是[－4，0]．
【答案】
[－4，0]
7．(2017·上海外国语大学
( http: / / www.21cnjy.com )附属中学模拟)若函数f(x)＝ax2＋b|x|＋c(a≠0)在定义域R上有四个单调区间，则实数a，b，c应满足的条件为________．
【解析】
∵f(x)为偶函数，∴x≥0时，f(x)＝ax2＋bx＋c有两个单调区间，
∴对称轴x＝－＞0，∴＜0，∴a，b，c应满足的条件为a，b异号．
【答案】
a，b异号
8．已知函数f(x)＝x2－2ax＋2a＋4的定义域为R，值域为[1，＋∞)，则a的值为________．
【解析】
由于函数f(x)的值域为[1，＋∞)，
所以f(x)min＝1.
又f(x)＝(x－a)2－a2＋2a＋4，
当x∈R时，f(x)min＝f(a)＝－a2＋2a＋4＝1，
即a2－2a－3＝0，解得a＝3或a＝－1.
【答案】
－1或3
9．(2017·南昌二中)已知函数f(x)＝x－2m2＋m＋3(m∈Z)是偶函数，且f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
(1)求m的值，并确定f(x)的解析式；
(2)g(x)＝log2[3－2x－f(x)]，求g(x)的定义域和值域．
【解析】
(1)因为f(x)在(0，＋∞)单调递增，由幂函数的性质得－2m2＋m＋3＞0，解得－1＜m＜.
因为m∈Z，所以m＝0或m＝1.
当m＝0时，f(x)＝x3不是偶函数；
当m＝1时，f(x)＝x2是偶函数，
所以m＝1，f(x)＝x2.
(2)由(1)知g(x)＝log2(－x2－2x＋3)，
由－x2－2x＋3＞0，得－3＜x＜1，
所以g(x)的定义域为(－3，1)．
设t＝－x2－2x＋3，x∈(－3，1)，则t∈(0，4]，
此时g(x)的值域就是函数y＝log2t，t∈(0，4]的值域．
又y＝log2t在区间(0，4]上是增函数，所以y∈(－∞，2]，所以函数g(x)的值域为(－∞，2]．
10．(2015·浙江)设函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)．
(1)当b＝＋1时，求函数f(x)在[－1，1]上的最小值g(a)的表达式；
(2)已知函数f(x)在[－1，1]上存在零点，0≤b－2a≤1，求b的取值范围．
【解析】
(1)当b＝＋1时，f(x)＝＋1，
故对称轴为直线x＝－.
当a≤－2时，g(a)＝f(1)＝＋a＋2.
当－2＜a≤2时，g(a)＝f＝1.
当a＞2时，g(a)＝f(－1)＝－a＋2.
综上，g(a)＝
(2)设s，t为方程f(x)＝0的解，且－1≤t≤1，则
由于0≤b－2a≤1，因此≤s≤(－1≤t≤1)．
当0≤t≤1时，≤st≤，
由于－≤≤0和－≤≤9－4，
所以－≤b≤9－4.
当－1≤t＜0时，≤st≤，
由于－2≤＜0和－3≤＜0，所以－3≤b＜0.
故b的取值范围是[－3，9－4]．
B组　专项能力提升
(时间：20分钟)
11．已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋4(0＜a＜3)，x1＜x2，x1＋x2＝1－a，则(　　)
A．f(x1)＝f(x2)
B．f(x1)＜f(x2)
C．f(x1)＞f(x2)
D．f(x1)与f(x2)的大小不能确定
【解析】
函数的对称轴为x＝－1，
设x0＝，由0＜a＜3得到－1＜＜.
又x1＜x2，用单调性和离对称轴的远近作判断得f(x1)＜f(x2)．
【答案】
B
12．(2017·江门、佛山模拟)已知幂函数f(x)＝xα，当x＞1时，恒有f(x)＜x，则α的取值范围是________．
【解析】
当x＞1时，恒
( http: / / www.21cnjy.com )有f(x)＜x，即当x＞1时，函数f(x)＝xα的图象在y＝x的图象的下方，作出幂函数f(x)＝xα在第一象限的图象，由图象可知α＜1时满足题意．
【答案】
(－∞，1)
13．(2017·江苏五校联考)已知函数f(
( http: / / www.21cnjy.com )x)＝mx2＋(2－m)x＋n(m＞0)，当－1≤x≤1时，|f(x)|≤1恒成立，则f＝________．
【解析】
由题意得：
|f(0)|≤1 |n|≤1 －1≤n≤1；
|f(1)|≤1 |2＋n|≤1 －3≤n≤－1，
因此n＝－1，
∴f(0)＝－1，f(1)＝1.
由f(x)的图象可知：要满足题意，则图象的对称轴为直线x＝0，∴2－m＝0，m＝2，
∴f(x)＝2x2－1，∴f＝－.
【答案】
－
14．(2017·河北石家
( http: / / www.21cnjy.com )庄期中)设二次函数f(x)＝ax2－4x＋c(x∈R)的值域为[0，＋∞)，则＋的最小值为________；若ax2－4x＋c＞0的解集为(－1，2)，则a－c＝________．
【解析】
∵二次函数f(x)＝ax2－4
( http: / / www.21cnjy.com )x＋c的值域为[0，＋∞)，∴解得a＞0，c＞0，ac＝4，∴＋≥2
＝2
＝3.若ax2－4x＋c＞0的解集为(－1，2)，则－1，2是方程ax2－4x＋c＝0的解，
∴解得∴a－c＝12.
【答案】
3　12
15．(2017·河南三校第三次联考)二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若在区间[t，t＋2]上，不等式f(x)＞2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．
【解析】
(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c，由f(0)＝1得c＝1，故f(x)＝ax2＋bx＋1.
∵f(x＋1)－f(x)＝2x，
∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x.
即2ax＋a＋b＝2x，即有2a＝2，a＋b＝0，解得a＝1，b＝－1，∴f(x)＝x2－x＋1.
(2)由题意得x2－x＋1＞2x＋m在[t，t＋2]上恒成立，即x2－3x＋1－m＞0在[t，t＋2]上恒成立．
设g(x)＝x2－3x＋1－m，其图象的对称轴为直线x＝.
①当t＞时，g(x)在[t，t＋2]上单调递增，可得最小值为g(t)＝t2－3t＋1－m＞0，此时m＜t2－3t＋1.
②当－≤t≤时，g(x)最小值为g(1.5)＝－m－＞0，此时m＜－.
③当t＜－时，g(x)在[t，t＋2]上单调递减，可得最小值为g(t＋2)＝t2＋t－1－m＞0，此时m＜t2＋t－1.( http: / / www.21cnjy.com )
A组　专项基础训练
(时间：50分钟)
1．(2017·吉林实验中学)已知椭圆C：＋＝1，直线l：(t为参数)．
(1)写出椭圆C的参数方程及直线l的普通方程；
(2)设A(1，0)，若椭圆C上的点P满足到点A的距离与其直线l的距离相等，求点P的坐标．
【解析】
(1)椭圆C的参数方程为：(θ为参数)，
直线l的普通方程为x－y＋9＝0.
(2)设P(2cos
θ，sin
θ)，
则|AP|＝＝2－cos
θ，
P到直线l的距离
d＝＝.
由|AP|＝d，得3sin
θ－4cos
θ＝5，又sin2θ＋cos2θ＝1，
得sin
θ＝，cos
θ＝－.
故P.
2．(2015·陕西高考)在直角坐标系xOy
( http: / / www.21cnjy.com )中，直线l的参数方程为(t为参数)．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ＝2sin
θ.
(1)写出⊙C的直角坐标方程；
(2)P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．
【解析】
(1)由ρ＝2sin
θ，
得ρ2＝2ρsin
θ，
从而有x2＋y2＝2y，
所以x2＋(y－)2＝3.
(2)设P，又C(0，)，
则|PC|＝
＝，
故当t＝0时，|PC|取得最小值，
此时，点P的直角坐标为(3，0)．
3．(2017·辽宁五校联考)倾斜角为α的直线l过点P(8，2)，直线l和曲线C：(θ为参数)交于不同的两点M1，M2.
(1)将曲线C的参数方程化为普通方程，并写出直线l的参数方程；
(2)求|PM1|·|PM2|的取值范围．
【解析】
(1)曲线C的普通方程为＋＝1，
直线l的参数方程为(t为参数)．
(2)将l的参数方程代入曲线C的方程得：
(8＋tcos
α)2＋8(2＋tsin
α)2＝32，
整理得(8sin2α＋cos2α)t2＋(16cos
α＋32sin
α)t＋64＝0，
由Δ＝(16cos
α＋32sin
α)2－4×64(8sin2α＋cos2α)＞0，
得cos
α＞sin
α，故α∈，
∴|PM1||PM2|＝|t1t2|
＝∈.
4．(2017·山西模拟)在极坐标系中，
( http: / / www.21cnjy.com )曲线C的极坐标方程为ρ＝4sin.现以极点O为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为(t为参数)．
(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)设直线l和曲线C交于A，B两点，定点P(－2，－3)，求|PA|·|PB|的值．
【解析】
(1)ρ＝4sin＝4sin
θ＋4cos
θ，
所以ρ2＝4ρsin
θ＋4ρcos
θ，
所以x2＋y2－4x－4y＝0，
即(x－2)2＋(y－2)2＝8；
直线l的普通方程为x－y＋2－3＝0.
(2)把直线l的参数方程代入到圆C：
x2＋y2－4x－4y＝0中，
得t2－(4＋5)t＋33＝0，
设A，B对应的参数分别为t1，t2，
则t1t2＝33.
点P(－2，－3)显然在直线l上，
由直线标准参数方程下t的几何意义知
|PA|·|PB|＝|t1t2|＝33，
所以|PA|·|PB|＝33.
5．(2017·长春模拟)以直角坐标系的原点
( http: / / www.21cnjy.com )O为极点，x轴的正半轴为极轴，已知点P的直角坐标为(1，－5)，点C的极坐标为，若直线l过点P，且倾斜角为，圆C的半径为4.
(1)求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；
(2)试判断直线l与圆C的位置关系．
【解析】
(1)直线l的参数方程为(t为参数)，
即(t为参数)．
由题知C点的直角坐标为(0，4)，圆C的半径为4，
∴圆C的方程为x2＋(y－4)2＝16，
将代入得，
圆C的极坐标方程为ρ＝8sin
θ.
(2)由题意得，直线l的普通方程为x－y－5－＝0，
圆心C到l的距离为d＝＝＞4，
∴直线l与圆C相离．
6．(2017·沈阳模拟)已知曲线C1的极坐标方程为ρ2cos
2θ＝8，曲线C2的极坐标方程为θ＝，曲线C1，C2相交于A，B两点．
(1)求A，B两点的极坐标；
(2)曲线C1与直线(t为参数)分别相交于M，N两点，求线段MN的长度．
【解析】
(1)由得ρ2cos
＝8，
所以ρ2＝16，即ρ＝±4.
所以A，B两点的极坐标为：A，B或B.
(2)由曲线C1的极坐标方程得其直角坐标方程为x2－y2＝8，
将直线代入x2－y2＝8，
整理得t2＋2t－14＝0，
即t1＋t2＝－2，t1·t2＝－14，
所以|MN|＝＝2.
B组　专项能力提升
(时间：40分钟)
7．已知曲线C：＋＝1，直线l：(t为参数)．
(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；
(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．
【解析】
(1)曲线C的参数方程为(θ为参数)．
直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.
(2)曲线C上任意一点P(2cos
θ，3sin
θ)到l的距离为d＝|4cos
θ＋3sin
θ－6|.
则|PA|＝
＝|5sin(θ＋α)－6|，
当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为.
当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为.
8．(2017·洛阳模拟
( http: / / www.21cnjy.com ))极坐标系与直角坐标系xOy取相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知直线l的参数方程为(t为参数)．曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝8cos
θ.
(1)求曲线C的直角坐标方程；
(2)设直线l与曲线C交于A，B两点，与x轴的交点为F，求＋的值．
【解析】
(1)由ρsin2θ＝8cos
θ得，ρ2sin2θ＝8ρcos
θ，
∴曲线C的直角坐标方程为y2＝8x.
(2)易得直线l与x轴的交点为F(2，0)，
将直线l的方程代入y2＝8x，
得(tsin
α)2＝8(2＋tcos
α)，
整理得sin2α·t2－8cos
α·t－16＝0.
由已知sin
α≠0，
Δ＝(－8cos
α)2－4×(－16)sin2α＝64＞0，
∴t1＋t2＝，t1t2＝－＜0，
故＋＝＝
＝＝＝.
9．(2016·课标全国Ⅱ)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.
(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|＝，求l的斜率．
【解析】
(1)由x＝ρcos
θ，y＝ρsin
θ可得圆C的极坐标方程为ρ2＋12ρcos
θ＋11＝0.
(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．
设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2＋12ρcos
α＋11＝0.
于是ρ1＋ρ2＝－12cos
α，ρ1ρ2＝11.
|AB|＝|ρ1－ρ2|＝＝.
由|AB|＝得cos2α＝，tan
α＝±.
所以l的斜率为或－.
10．(2016·课标全国Ⅲ)在直角坐标系
( http: / / www.21cnjy.com )xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin＝2.
(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．
【解析】
(1)C1的普通方程为＋y2＝1.
C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.
(2)由题意，可设点P的直角坐标为(cos
α，sin
α)．因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值，
d(α)＝
＝.
当且仅当α＝2kπ＋(k∈Z)时，d(α)取得最小值，最小值为，此时P的直角坐标为.( http: / / www.21cnjy.com )
A组　专项基础训练
(时间：30分钟)
1．(2017·河北衡水中学一调)已知函数f(x)＝则f(f(f(－1)))的值等于(　　)
A．π2－1　　　　　　　　B．π2＋1
C．π
D．0
【解析】
由函数的解析式可得f(f(f(－1)))＝f(f(π2＋1))＝f(0)＝π.故选C.
【答案】
C
2．(2017·邵阳模拟)已知函数f(x)
( http: / / www.21cnjy.com )＝－1的定义域是[a，b](a，b∈Z)，值域是[0，1]，那么满足条件的整数数对(a，b)共有(　　)
A．2个
B．3个
C．5个
D．无数个
【解析】
由题意函数f(x)＝－1的值域是[0，1]，
∴1≤≤2，∴0≤|x|≤2，∴－2≤x≤2，
∴[a，b] [－2，2]．
由于x＝0时，y＝1，x＝±2
( http: / / www.21cnjy.com )时，y＝0，故在定义域中一定有0，而±2必有其一，又a，b∈Z，取b＝2时，a可取－2，－1，0，取a＝－2时，b可取0，1.
故满足条件的整数数对(a，b)共有5对．
【答案】
C
3．(2017·石家庄一模)已知f(x)为
( http: / / www.21cnjy.com )偶函数，且当x∈[0，2)时，f(x)＝2sin
x，当x∈[2，＋∞)时，f(x)＝log2x，则f＋f(4)等于(　　)
A．－＋2
B．1
C．3
D.＋2
【解析】
因为f＝f＝2sin
＝，
f(4)＝log24＝2，所以f＋f(4)＝＋2.
【答案】
D
4．若二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，则g(x)的解析式为(　　)
A．g(x)＝2x2－3x
B．g(x)＝3x2－2x
C．g(x)＝3x2＋2x
D．g(x)＝－3x2－2x
【解析】
(待定系数法)设g(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
∵g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，
∴解得
∴g(x)＝3x2－2x，选B.
【答案】
B
5．已知函数f(x)满足f＝log2，则f(x)的解析式是(　　)
A．f(x)＝log2x
B．f(x)＝－log2x
C．f(x)＝2－x
D．f(x)＝x－2
【解析】
根据题意知x＞0，所以f＝log2x，则f(x)＝log2＝－log2x.
【答案】
B
6．已知函数f(x)＝log2，f(a)＝3，则a＝________．
【解析】
由题意可得log2＝3，所以＝23，解得a＝－.
【答案】
－
7．(2017·太原月考)已知函数y＝f(2x)的定义域为[－1，1]，则y＝f(log2x)的定义域是________．
【解析】
∵函数f(2x)的定义域为[－1，1]，
∴－1≤x≤1，∴≤2x≤2.
∴在函数y＝f(log2x)中，≤log2x≤2，
∴≤x≤4.
【答案】
[，4]
8．(2016·浙江)设函数f(
( http: / / www.21cnjy.com )x)＝x3＋3x2＋1.已知a≠0，且f(x)－f(a)＝(x－b)(x－a)2，x∈R，则实数a＝________，b＝________．
【解析】
因为f(x)－f(a)
( http: / / www.21cnjy.com )＝x3＋3x2－a3－3a2，(x－b)(x－a)2＝(x－b)(x2－2ax＋a2)＝x3－(2a＋b)x2＋(a2＋2ab)x－a2b，所以，解得a＝－2，b＝1.
【答案】
－2　1
9．已知f(x)是二次函数，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求函数f(x)的解析式．
【解析】
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，又f(0)＝0，
∴c＝0，即f(x)＝ax2＋bx.
又∵f(x＋1)＝f(x)＋x＋1.
∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1.
∴2ax＋a＋b＝x＋1，
∴解得
∴f(x)＝x2＋x.
10．根据如图所示的函数y＝f(x)的图象，写出函数的解析式．
【解析】
当－3≤x＜－1时，函数y＝f(
( http: / / www.21cnjy.com )x)的图象是一条线段(右端点除外)，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，将点(－3，1)，(－1，－2)代入，可得f(x)＝－x－；
当－1≤x＜1时，同理可设f(x)＝cx＋d(c≠0)，
将点(－1，－2)，(1，1)代入，可得f(x)＝x－；
当1≤x＜2时，f(x)＝1.
所以f(x)＝
B组　专项能力提升
(时间：20分钟)
11．若函数y＝的定义域为R，则实数a的取值范围是________．
【解析】
因为函数y＝的定义域为R，
所以ax2＋2ax＋3＝0无实数解，
即函数y＝ax2＋2ax＋3的图象与x轴无交点．
当a＝0时，函数y＝的图象与x轴无交点；
当a≠0时，则Δ＝(2a)2－4·3a＜0，解得0＜a＜3.
综上所述，a的取值范围是[0，3)．
【答案】
[0，3)
12．若函数f(x)＝，则
(1)＝________；
(2)f(3)＋f(4)＋…＋f(2
017)＋f＋f＋…＋f＝________．
【解析】
(1)∵f(x)＋f＝＋＝0，
∴＝－1(x≠±1)，∴＝－1.
(2)∵f(3)＋f＝0，f(4)＋f＝0，…，
f(2
017)＋f＝0，
∴f(3)＋f(4)＋…＋f(2
017)＋f＋…＋f＝0.
【答案】
(1)－1　(2)0
13．(2016·山东)已知函数f
( http: / / www.21cnjy.com )(x)＝其中m＞0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________．
【解析】
由题意方程f(
( http: / / www.21cnjy.com )x)－b＝0有三个不同的根，即直线y＝b与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，作出函数f(x)＝的图象，如图所示，若存在实数b，使方程f(x)－b＝0有三个不同的根，则m＞－m2＋4m，即m2－3m＞0，又m＞0，所以m＞3，即m的取值范围为(3，＋∞)．
【答案】
(3，＋∞)
14．具有性质：f＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：
①y＝x－；②y＝x＋；③y＝
其中满足“倒负”变换的函数是________．
【解析】
对于①，f(x)＝x－，f＝－x＝－f(x)，满足；对于②，f＝＋x＝f(x)，不满足；
对于③，f＝即f＝
故f＝－f(x)，满足．
综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.
【答案】
①③
15．如图1是某公共汽车线路收支差额y元与乘客量x的图象．
(1)试说明图1上点A、点B以及射线AB上的点的实际意义；
(2)由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图2、3所示．你能根据图象，说明这两种建议的意义吗？
(3)此问题中直线斜率的实际意义是什么？
(4)图1、图2、图3中的票价分别是多少元？
【解析】
(1)点A表示无人乘车
( http: / / www.21cnjy.com )时收支差额为－20元，点B表示有10人乘车时收支差额为0元，线段AB上的点表示亏损，AB延长线上的点表示赢利．
(2)图2的建议是降低成本，票价不变，图3的建议是提高票价．
(3)斜率表示票价．
(4)图1、2中的票价是2元．图3中的票价是4元．( http: / / www.21cnjy.com )
A组　专项基础训练
(时间：35分钟)
1．(2016·山东)△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知b＝c，a2＝2b2(1－sin
A)．则A＝(　　)
A.　　　　　　　　　　B.
C.
D.
【解析】
由余弦定理得a2＝b2＋c
( http: / / www.21cnjy.com )2－2bccos
A＝2b2－2b2cos
A，所以2b2(1－sin
A)＝2b2(1－cos
A)，所以sin
A＝cos
A，即tan
A＝1，又0＜A＜π，所以A＝.
【答案】
C
2．(2017·甘肃定西模拟)在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a2＋b2＝2c2，则cos
C的最小值为(　　)
A.
B.
C.
D．－
【解析】
因为a2＋b2＝2c2，所以由余弦定理可知，c2＝2abcos
C，cos
C＝＝×≥×＝.故选C.
【答案】
C
3．(2017·河南实验中学模拟)在△ABC中，a＝2，A＝45°，若此三角形有两解，则b的范围为(　　)
A．2＜b＜2
B．b＞2
C．b＜2
D.＜b＜
【解析】
∵在△ABC中，a＝2，A＝45°，且此三角形有两解，
∴由正弦定理＝＝2，得b＝2sin
B，B＋C＝180°－45°＝135°，
由B有两个值，得到这两个值互补，
若B≤45°，则和B互补的角B′≥135°，这样A＋B′≥180°，不成立，
∴45°＜B＜135°.
又若B＝90°，这样补角也是90°，一解，
∴＜sin
B＜1，∴2＜b＜2，故选A.
【答案】
A
4．(2017·辽宁沈阳模拟)在△ABC中，已知∠A∶∠B＝1∶2，角C的平分线CD把三角形面积分为4∶3两部分，则cos
A＝(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】
∵∠A∶∠B＝1∶2，即B＝2A，
∴B＞A，∴AC
＞BC.
∵角平分线CD把三角形面积分成4∶3两部分，∴由角平分线定理得BC∶AC＝BD∶AD＝3∶4，
∴由正弦定理＝得＝，整理得＝＝，则cos
A＝.故选B.
【答案】
B
5．(2017·云南玉溪一中月考)已知a
( http: / / www.21cnjy.com )，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，若cos
B＝，a＝10，△ABC的面积为42，则b＋的值等于(　　)
A.
B．16
C．8
D．16
【解析】
∵cos
B＝，B为三角形内角，
∴sin
B＝＝.
∵a＝10，△ABC的面积为42，
∴acsin
B＝42，即3c＝42，解得c＝14，
∴由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos
B＝100＋196－224＝72，即b＝6.
再由正弦定理可得＝＝＝10，∴b＋＝16，故选B.
【答案】
B
6．(2017·福建莆田二十五中月考)若△ABC的周长等于20，面积是10，A＝60°，则a＝________．
【解析】
∵A＝60°，∴S△ABC＝bcsin
A＝10，
即bc＝10，解得bc＝40.
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos
A，得
a2＝(b＋c)2－3bc＝(b＋c)2－120，
∵△ABC的周长a＋b＋c＝20，
∴b＋c＝20－a，得a2＝(20－a)2－120，解得a＝7.
【答案】
7
7．(2016·北京)在△ABC中，∠A＝，a＝c，则＝________．
【解析】
在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bc·cos
A，
将∠A＝，a＝c代入，
可得(c)2＝b2＋c2－2bc·，
整理得2c2＝b2＋bc.
∵c≠0，∴等式两边同时除以c2，
得2＝＋，即2＝＋.
令t＝(t＞0)，有2＝t2＋t，即t2＋t－2＝0，
解得t＝1或t＝－2(舍去)，
故＝1.
【答案】
1
8．(2017·甘肃张掖
( http: / / www.21cnjy.com )二模)设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c且acos
B－bcos
A＝c，则的值为________．
【解析】
由acos
B－bcos
A＝c及正弦定理可得
sin
Acos
B－sin
Bcos
A＝sin
C，
即sin
Acos
B－sin
Bcos
A＝sin(A＋B)，
即5(sin
Acos
B－sin
Bcos
A)＝3(sin
Acos
B＋sin
Bcos
A)
即sin
Acos
B＝4sin
Bcos
A，
因此tan
A＝4tan
B，
所以＝4.
【答案】
4
9．(2016·浙江)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2acos
B.
(1)证明：A＝2B；
(2)若cos
B＝，求cos
C的值．
【解析】
(1)证明
由正弦定理得sin
B＋sin
C＝2sin
Acos
B，
故2sin
Acos
B＝sin
B＋sin(A＋B)＝sin
B＋sin
Acos
B＋cos
Asin
B，
于是sin
B＝sin(A－B)．
因为A，B∈(0，π)，所以0＜A－B＜π，
所以B＝π－(A－B)或B＝A－B.
因此A＝π(舍去)或A＝2B，所以A＝2B.
(2)由cos
B＝得sin
B＝，
cos
2B＝2cos2B－1＝－，
故cos
A＝－，sin
A＝，
cos
C＝－cos(A＋B)＝－cos
Acos
B＋sin
Asin
B＝.
10．(2016·湖北宜昌调研)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c＝asin
C－ccos
A.
(1)求A；
(2)若a＝1，△ABC的面积为，求b，c.
【解析】
(1)由已知结合正弦定理，得
sin
C＝sin
Asin
C－sin
Ccos
A.
∵sin
C≠0，
∴1＝sin
A－cos
A＝2sin，
即sin＝.
又∵A∈(0，π)，∴A－∈，
∴A－＝，∴A＝.
(2)S＝bcsin
A，即
＝bc·，∴bc＝1.①
又∵a2＝b2＋c2－2bccos
A＝(b＋c)2－2bc－2bccos，
即1＝(b＋c)2－3，且b，c为正数，
∴b＋c＝2.②
由①②两式，解得b＝c＝1.
B组　专项能力提升
(时间：20分钟)
11．(2016·课标全国Ⅲ)在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则sin
A＝(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】
设BC边上的高为AD
( http: / / www.21cnjy.com )，则BC＝3AD，DC＝2AD，所以AC＝＝AD.由正弦定理，知＝，即＝，解得sin
A＝，故选D.
【答案】
D
12．(2017·河南洛阳期
( http: / / www.21cnjy.com )中)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tan
A＝，tan
B＝，且最长边的长为1，则△ABC最短边的长为________．
【解析】
由题意可得tan
C＝－tan(A＋B)
＝－＝－＝－1，
∴C＝135°，c为最长边，故c＝1.
又∵0＜tan
B＝＜＝tan
A，∴B为最小角，b为最短边，∵tan
B＝，∴sin
B＝，由正弦定理可得b＝＝.
【答案】
13．(2015·重庆)在△ABC中，B＝120°，AB＝，A的角平分线AD＝，则AC＝________．
【解析】
由正弦定理得＝，即＝，解得sin∠ADB＝，所以∠ADB＝45°，从而∠BAD＝15°＝∠DAC，所以C＝180°－120°－30°＝30°，AC＝＝.
【答案】
14．(2016·课标全
( http: / / www.21cnjy.com )国Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos
A＝，cos
C＝，a＝1，则b＝________．
【解析】
在△ABC中，co
( http: / / www.21cnjy.com )s
A＝，cos
C＝，∴sin
A＝，sin
C＝，∴sin
B＝sin(A＋C)＝sin
Acos
C＋sin
Ccos
A＝×＋×＝.∴由正弦定理＝，可得b＝＝1××＝.
【答案】
15．(2017·贵州贵阳六中月考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知cos
2A－3cos(B＋C)＝1.
(1)求角A的大小；
(2)若△ABC的面积S＝5，b＝5，求sin
Bsin
C的值．
【解析】
(1)由cos
2A－3cos(B＋C)＝1，得
2cos2A＋3cos
A－2＝0，
解得cos
A＝或cos
A＝－2(舍去)．
因为0＜A＜π，所以A＝.
(2)由S＝bcsin
A＝bc·＝bc＝5，得bc＝20.又由b＝5，知c＝4.
由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos
A＝25＋16－20＝21，所以a＝.
由正弦定理，得sin
Bsin
C＝sin
A·sin
A＝sin2A＝×＝.( http: / / www.21cnjy.com )
A组　专项基础训练
(时间：35分钟)
1．(2015·全国卷Ⅰ)如果
( http: / / www.21cnjy.com )3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为(　　)
A.　　　　　　　　　　　B.
C.
D.
【解析】
从1，2，3，4，5中任取3个不
( http: / / www.21cnjy.com )同的数共有如下10个不同的结果：(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，其中勾股数只有(3，4，5)，所以概率为.
【答案】
C
2．(2016·浙江金丽衢
( http: / / www.21cnjy.com )十二校二联)4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为偶数的概率为(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】
因为从四张卡片中任取出两
( http: / / www.21cnjy.com )张的情况为(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共6种．其中两张卡片上数字和为偶数的情况为(1，3)，(2，4)共2种，所以两张卡片上的数字之和为偶数的概率为.
【答案】
B
3．(2016·课标全国Ⅲ)小
( http: / / www.21cnjy.com )敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M、I、N中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】
小敏输入密码的所有可能情
( http: / / www.21cnjy.com )况如下：(M，1)，(M，2)，(M，3)，(M，4)，(M，5)，(I，1)，(I，2)，(I，3)，(I，4)，(I，5)，(N，1)，(N，2)，(N，3)，(N，4)，(N，5)，共15种．
而能开机的密码只有一种，所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率为.
【答案】
C
4．(2016·北京)从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】
设这5名学生为甲、乙、丙、丁、戊，
( http: / / www.21cnjy.com )从中任选2人的所有情况有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，(乙，丙)，(乙，丁)，(乙，戊)，(丙，丁)，(丙，戊)，(丁，戊)，共4＋3＋2＋1＝10种．
其中甲被选中的情况有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，共4种，
故甲被选中的概率为＝.故选B.
【答案】
B
5．(2017·太原二模)
( http: / / www.21cnjy.com )记连续投掷两次骰子得到的点数分别为m，n，向量a＝(m，n)与向量b＝(1，0)的夹角为α，则α∈的概率为(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】
方法一
依题意，向量a＝(m
( http: / / www.21cnjy.com )，n)共有6×6＝36(个)，其中满足向量a＝(m，n)与向量b＝(1，0)的夹角α∈，即n＜m的(m，n)可根据n的具体取值进行分类计数：第一类，当n＝1时，m有5个不同的取值；第二类，当n＝2时，m有4个不同的取值；第三类，当n＝3时，m有3个不同的取值；第四类，当n＝4时，m有2个不同的取值；第五类，当n＝5时，m有1个取值，因此满足向量a＝(m，n)与向量b＝(1，0)的夹角α∈的(m，n)共有1＋2＋3＋4＋5＝15(个)，所以所求概率为＝.
方法二
依题意可得向量a＝
( http: / / www.21cnjy.com )(m，n)共有6×6＝36(个)，其中满足向量a＝(m，n)与向量b＝(1，0)的夹角α∈，即n＜m的向量a＝(m，n)有＝15(个)，所以所求概率为＝.
【答案】
B
6．(2016·四川)从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则logab为整数的概率是________．
【解析】
所有的基本事件有(2，3
( http: / / www.21cnjy.com ))，(2，8)，(2，9)，(3，2)，(3，8)，(3，9)，(8，2)，(8，3)，(8，9)，(9，2)，(9，3)，(9，8)，共12个．
记“logab为整数”为事件A，
则事件A包含的基本事件有(2，8)，(3，9)，共2个．
∴P(A)＝＝.
【答案】
7．(2016·江苏)将一颗质地均匀的骰子
( http: / / www.21cnjy.com )(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．
【解析】
先后抛掷2次骰子，所有可能出现的情况可用数对表示为
(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，
(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，
……
(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，
(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共36个．
其中点数之和不小于10的有(4，
( http: / / www.21cnjy.com )6)，(5，5)，(5，6)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共6个．从而点数之和小于10的数对共有30个，故所求概率P＝＝.
【答案】
8．(2017·海淀一模)现有7名数理化
( http: / / www.21cnjy.com )成绩优秀者，分别用A1，A2，A3，B1，B2，C1，C2表示，其中A1，A2，A3的数学成绩优秀，B1，B2的物理成绩优秀，C1，C2的化学成绩优秀．从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛，则A1和B1不全被选中的概率为________．
【解析】
从这7人中选出数学、物理
( http: / / www.21cnjy.com )、化学成绩优秀者各1名，所有可能的结果组成的12个基本事件为：(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)．
设“A1和B1不全被选中”为事件N
( http: / / www.21cnjy.com )，则其对立事件N表示“A1和B1全被选中”，由于N＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)}，所以P(N)＝＝，由对立事件的概率计算公式得P(N)＝1－P(N)＝1－＝.
【答案】
9．(2017·兰州双基测试)一个盒子里装有
( http: / / www.21cnjy.com )三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取一张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.
(1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；
(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．
【解析】
(1)由题意，(a，b，
( http: / / www.21cnjy.com )c)所有可能的结果为：(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，2，2)，(1，2，3)，(1，3，1)，(1，3，2)，(1，3，3)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，1，3)，(2，2，1)，(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，1)，(2，3，2)，(2，3，3)，(3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)，(3，2，1)，(3，2，2)，(3，2，3)，(3，3，1)，(3，3，2)，(3，3，3)，共27种．
设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，则事件A包括(1，1，2)，(1，2，3)，(2，1，3)，共3种，
所以P(A)＝＝，
因此，“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为.
(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，则事件B包括(1，1，1)，(2，2，2)，(3，3，3)，共3种，
所以P(B)＝1－P(B)＝1－＝，
因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为.
10．(2015·天津高考)设甲、乙
( http: / / www.21cnjy.com )、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9，18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．
(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数．
(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．
①用所给编号列出所有可能的结果；
②设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A发生的概率．
【解析】
(1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3，1，2.
(2)①从6名运动员中随机抽
( http: / / www.21cnjy.com )取2人参加双打比赛的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15种．
②编号为A5和A6的两名
( http: / / www.21cnjy.com )运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共9种．因此，事件A发生的概率P(A)＝＝.
B组　专项能力提升
(时间：30分钟)
11．(2017·天津红桥区模拟)从自然
( http: / / www.21cnjy.com )数1，2，3，4，5中，任意取出两个数组成两位的自然数，再从这些两位自然数中取出一个数，则取出的数恰好能被3整除的概率为(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】
从自然数1，2，3，4，5
( http: / / www.21cnjy.com )中任意取出两个数组成两位的自然数，共有5×4＝20个，从这些两位自然数中取出的数恰好能被3整除有12，21，15，51，24，42，45，54，共8个，故能被3整除的概率为＝.
【答案】
A
12．(2016·安徽芜湖、
( http: / / www.21cnjy.com )马鞍山第一次教学质量检测)某同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为x，第二次向上的点数记为y，在直角坐标系xOy中，以(x，y)为坐标的点落在直线2x－y＝1上的概率为(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】
掷一枚骰子两次不同的点数共有36种
( http: / / www.21cnjy.com )，以(x，y)为坐标的点落在直线2x－y＝1上的点有(1，1)，(2，3)，(3，5)．故所求概率为，故选A.
【答案】
A
13．(2017·洛阳统考)将一颗骰子先后
( http: / / www.21cnjy.com )投掷两次分别得到点数a，b，则直线ax＋by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2有公共点的概率为________．
【解析】
依题意，将一颗骰子先后
( http: / / www.21cnjy.com )投掷两次得到的点数所形成的数组(a，b)有(1，1)，(1，2)，(1，3)，…，(6，6)，共36种，其中满足直线ax＋by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2有公共点，即满足≤，a2≤b2的数组(a，b)有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，…，(6，6)，共6＋5＋4＋3＋2＋1＝21种，因此所求的概率等于＝.
【答案】
14．(2017·雅安模拟
( http: / / www.21cnjy.com ))甲、乙两人用4张扑克牌(分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．
(1)设(i，j)表示甲、乙抽到的牌的牌面数字(如果甲抽到红桃2，乙抽到红桃3，记为(2，3))，写出甲、乙两人抽到的牌的所有情况；
(2)若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌的牌面数字比3大的概率是多少？
(3)甲、乙约定，若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜；否则，乙胜，你认为此游戏是否公平？请说明理由．
【解析】
(1)方片4用4′表示，则甲
( http: / / www.21cnjy.com )、乙两人抽到的牌的所有情况为：(2，3)，(2，4)，(2，4′)，(3，2)，(3，4)，(3，4′)，(4，2)，(4，3)，(4，4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)共12种不同的情况．
(2)甲抽到3，乙抽到的牌只能是2，4，4′，因此乙抽到的牌的牌面数字大于3的概率为.
(3)甲抽到的牌的牌面数字比乙大，有(3，2)，(4，2)，(4，3)，(4′，2)，(4′，3)，共5种情况．
甲胜的概率为P1＝，乙胜的概率为P2＝.
因为＜，所以此游戏不公平．
15．(2017·山东枣庄八中南校区2月
( http: / / www.21cnjy.com )模拟)根据我国颁布的《环境空气质量指数(AQI)技术规定》：空气质量指数划分为0～50、51～100、101～150、151～200、201～300和大于300六级，对应空气质量指数的六个级别，指数越大，级别越高，说明污染越严重，对人体健康的影响也越明显．专家建议：当空气质量指数小于150时，可以进行户外运动；空气质量指数为151及以上时，不适合进行旅游等户外活动，下表是济南市2015年12月中旬的空气质量指数情况：
时间
11日
12日
13日
14日
15日
16日
17日
18日
19日
20日
AQI
149
143
251
254
138
55
69
102
243
269
(1)求12月中旬市民不适合进行户外活动的概率；
(2)一外地游客在12月中旬来济南旅游，想连续游玩两天，求适合连续旅游两天的概率．
【解析】
(1)该试验的基本事件空间Ω＝{11，12，13，14，15，16，17，18，19，20}，基本事件总数n＝10.
设事件A为“市民不适合进行户外活动”，则A＝{13，14，19，20}，包含基本事件数m＝4.所以P(A)＝＝，
即12月中旬市民不适合进行户外活动的概率为.
(2)该试验的基本事件空间Ω
( http: / / www.21cnjy.com )＝{(11，12)，(12，13)，(13，14)，(14，15)，(15，16)，(16，17)，(17，18)，(18，19)，(19，20)}，
基本事件总数n＝9，
设事件B为“适合连续旅游两天的日期”，则B＝{(11，12)，(15，16)，(16，17)，(17，18)}，包含基本事件数m＝4，
所以P(B)＝，所以适合连续旅游两天的概率为.( http: / / www.21cnjy.com )
A组　专项基础训练
(时间：35分钟)
1．(2017·广东茂名一模)下列函数中，在(－1，1)内有零点且单调递增的是(　　)
A．y＝logx　　　　　　　　B．y＝2x－1
C．y＝x2－
D．y＝－x3
【解析】
函数y＝logx在定义域上是减函数，y＝x2－在(－1，1)上不是单调函数，y＝－x3在定义域上单调递减，均不符合要求．对于y＝2x－1，当x＝0∈(－1，1)时，y＝0且y＝2x－1在R上单调递增．故选B.
【答案】
B
2．(2017·江西赣州一模)函数f(x)
( http: / / www.21cnjy.com )，g(x)满足：对任意x∈R，都有f(x2－2x＋3)＝g(x)，若关于x的方程g(x)＋sinx＝0只有5个根，则这5个根之和为(　　)
A．5
B．6
C．8
D．9
【解析】
由f(x2－2x＋3)＝g
( http: / / www.21cnjy.com )(x)知g(x)的图象关于直线x＝1对称(若g(x)的图象不关于直线x＝1对称，则存在x1，x2，满足x1＋x2＝2，但g(x1)≠g(x2)，而f(x－2x1＋3)＝g(x1)，f(x－2x2＋3)＝g(x2)，且f(x－2x1＋3)＝f(x－2x2＋3)，这与g(x1)≠g(x2)矛盾)，由g(x)＋sin
x＝0，知g(x)＝－sin
x，因为y＝－sin
x的图象也关于直线x＝1对称，g(x)＋sin
x＝0有5个根，故必有一个根为1，另外4个根的和为4.所以原方程所有根之和为5.
【答案】
A
3．(2017·宁夏银川长庆高中月考)a＝3x2dx，函数f(x)＝2ex＋3x－a的零点所在的区间是(　　)
A．(－2，－1)
B．(－1，0)
C．(0，1)
D．(1，2)
【解析】
∵a＝3x2dx＝x3|＝7，∴f(x)＝2ex＋3x－7.
∵f(0)＝2e0＋3×0－7＝－5，f(1
( http: / / www.21cnjy.com ))＝2e＋3－7＝2(e－2)＞0，∴f(0)f(1)＜0，∴函数f(x)＝2ex＋3x－a的零点所在的区间是(0，1)．故选C.
【答案】
C
4．(2017·辽宁五校协作体联考)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝2x＋x－3，则f(x)的零点个数为(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】
因为函数f(x
( http: / / www.21cnjy.com ))是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝0，所以0是函数f(x)的一个零点．当x＞0时，令f(x)＝2x＋x－3＝0，则2x＝－x＋3.分别作出函数y＝2x和y＝－x＋3的图象如图所示，可得这两个函数的图象有一个交点，所以函数f(x)在(0，＋∞)内有一个零点．又根据图象的对称性知，当x＜0时函数f(x)也有一个零点．综上所述，f(x)的零点个数为3.故选C.
【答案】
C
5．(2017·福建三明一中第一次月考)已知函数f(x)＝则函数y＝f(x)＋x－4的零点个数为(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】
函数y＝f(x)＋x－4
( http: / / www.21cnjy.com )的零点，即函数y＝－x＋4与y＝f(x)的交点的横坐标．如图所示，函数y＝－x＋4与y＝f(x)的图象有两个交点，故函数y＝f(x)＋x－4的零点有2个．故选B.
【答案】
B
6．(2017·吉林实验中学)函数f(x)＝3x－7＋ln
x的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，则n＝________．
【解析】
求函数f(x)＝3x－7
( http: / / www.21cnjy.com )＋ln
x的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值，因为f(2)＝－1＋ln
2，由于ln
2＜ln
e＝1，所以f(2)＜0，f(3)＝2＋ln
3，由于ln
3＞1，所以f(3)＞0，所以函数f(x)的零点位于区间(2，3)内，故n＝2.
【答案】
2
7．若函数f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2和3，则不等式af(－2x)＞0的解集是________．
【解析】
∵f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2，3.
∴－2，3是方程x2＋ax＋b＝0的两根，
由根与系数的关系知
∴
∴f(x)＝x2－x－6.
∵不等式af(－2x)＞0，
即－(4x2＋2x－6)＞0 2x2＋x－3＜0，
解集为.
【答案】
8．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________．
【解析】
画出f(x)＝的图象，如图．
由于函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，
结合图象得：0＜m＜1，即m∈(0，1)．
【答案】
(0，1)
9．设函数f(x)＝(x＞0)．
(1)作出函数f(x)的图象；
(2)当0＜a＜b，且f(a)＝f(b)时，求＋的值；
(3)若方程f(x)＝m有两个不相等的正根，求m的取值范围．
【解析】
(1)如图所示．
(2)∵f(x)＝＝
故f(x)在(0，1]上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数．
由0＜a＜b且f(a)＝f(b)，得0＜a＜1＜b，且－1＝1－，∴＋＝2.
(3)由函数f(x)的图象可知，当0＜m＜1时，方程f(x)＝m有两个不相等的正根．
10．关于x的二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在区间[0，2]上有解，求实数m的取值范围．
【解析】
方法一
设f(x)＝x2＋(m－1)x＋1，x∈[0，2]，
①若f(x)＝0在区间[0，2]上有一解，
∵f(0)＝1＞0，则应有f(2)＜0，
又∵f(2)＝22＋(m－1)×2＋1，
∴m＜－.
②若f(x)＝0在区间[0，2]上有两解，则
∴
∴
∴－≤m≤－1.
由①②可知m的取值范围是(－∞，－1]．
方法二
显然x＝0不是方程x2＋(m－1)x＋1＝0的解，
0＜x≤2时，方程可变形为1－m＝x＋，
又∵y＝x＋在(0，1]上单调递减，[1，2]上单调递增，
∴y＝x＋在(0，2]的取值范围是[2，＋∞)，
∴1－m≥2，∴m≤－1，
故m的取值范围是(－∞，－1]．
B组　专项能力提升
(时间：15分钟)
11．(2017·湖北华师一附中3月联考)已知函数f(x)＝则函数g(x)＝f(1－x)－1的零点个数为(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】
g(x)＝f(1－x)－1
＝

当x≥1时，函数g(x)有1个零点；当x＜1时，函数有2个零点，所以函数的零点个数为3，故选C.
【答案】
C
12．(2017·福建厦门质检
( http: / / www.21cnjy.com ))定义在(－2，2)上的奇函数f(x)恰有3个零点，当x∈(0，2)时，f(x)＝xln
x－a(x－1)(a＞0)，则a的取值范围是________．
【解析】
由f(x)是定义在(－2
( http: / / www.21cnjy.com )，2)上的奇函数知f(0)＝0，问题可转化为f(x)在(0，2)上有且只有一个零点．令h(x)＝xln
x，g(x)＝a(x－1)，又f(1)＝0，则问题转化为h(x)与g(x)的图象在(0，2)内没有(1，0)之外的交点．
如图，a＝1时，h(x)＝xln
x与g(x)＝x－1的图象相切，满足题意；
当a＞0且a≠1时，要满足题意，只需要g(2)≥h(2)，∴a≥2ln
2.
综上所述，a的取值范围是a≥2ln
2或a＝1.
【答案】
a＝1或a≥2ln
2
13．(2017·河南质检)给定
( http: / / www.21cnjy.com )方程：＋sin
x－1＝0，下列命题中：①该方程没有小于0的实数解；②该方程有无数个实数解；③该方程在(－∞，0)内有且只有一个实数解；④若x0是该方程的实数解，则x0＞－1.正确命题是________．
【解析】
依题意，在同一坐标系中画出函数
( http: / / www.21cnjy.com )y＝－1与y＝－sin
x(该函数的值域是[－1，1])的大致图象，结合图象可知，它们的交点中，横坐标为负的交点有且只有一个，因此方程＋sin
x－1＝0在(－∞，0)内有且只有一个实数解，故③正确，①不正确；由图象易知②④均正确．
【答案】
②③④
14．(2017·贵州七校联考)已知函数f(x)＝若函数y＝f(x)－kx有3个零点，则实数k的取值范围是________．
【解析】
方程f(x)－kx＝0
( http: / / www.21cnjy.com )即为方程f(x)＝kx.因为f(0)＝ln
1＝0，k·0＝0，所以x＝0是函数y＝f(x)－kx的一个零点．当x＜0时，f(x)＝－x2＋x，令－x2＋x＝kx，解
得x＝－k(x＝0舍去)，
( http: / / www.21cnjy.com )令－k＜0，解得k＞，∴k＞时，函数y＝f(x)－kx在(－∞，0)上有一个零点；当x＞0时，f(x)＝ln(x＋1)，f′(x)＝∈(0，1)，要使函数y＝f(x)－kx在(0，＋∞)上有一个零点，则0＜k＜1.综上知＜k＜1时满足题意，∴所求实数k的取值范围是.
【答案】
15．(2017·山西四校三模)已知函数f(x)＝若方程f(x)＝mx－恰有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________．
【解析】
在平面直角坐标系
( http: / / www.21cnjy.com )中作出函数y＝f(x)的图象(如图)，易知函数y＝mx－的图象恒过定点，设过点且与函数y＝ln
x(x＞1)的图象相切的直线为l1，切点坐标为(x0，ln
x0)(x0＞1)．因为y＝ln
x的导函数为y′＝，所以图中y＝ln
x(x＞1)的图象的切线l1的斜率为k＝，则＝，解得x0＝，所以k＝＝.又图中直线l2的斜率为，故当方程f(x)＝mx－恰有四个不相等的实数根时，实数m的取值范围是.
【答案】( http: / / www.21cnjy.com )
A组　专项基础训练
(时间：35分钟)
1．(2017·青岛二中月考)从1，2，…，
( http: / / www.21cnjy.com )9中任取两数，给出下列事件：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个数都是奇数；③至少有一个奇数和两个数都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．
其中是对立事件的是(　　)
A．①　　　　　　　　　　B．②④
C．③
D．①③
【解析】
根据题意，从1，2，…，9中任
( http: / / www.21cnjy.com )取两数，其中可能的情况有“两个奇数”“两个偶数”“一个奇数与一个偶数”三种情况．依次分析所给的4个事件可得：①恰有一个偶数和恰有一个奇数都是“一个奇数与一个偶数”这种情况，不是对立事件；②至少有一个奇数包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，与“两个数都是奇数”不是对立事件；③至少有一个奇数包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，和“两个数都是偶数”是对立事件；④至少有一个奇数包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，至少有一个偶数包括“两个偶数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，不是对立事件．
【答案】
C
2．(2017·北京海淀模拟)为了估计某水池
( http: / / www.21cnjy.com )中鱼的尾数，先从水池中捕出2
000尾鱼，并给每尾鱼做上标记(不影响存活)，然后放回水池，经过适当的时间，再从水池中捕出500尾鱼，其中有标记的鱼为40尾，根据上述数据估计该水池中鱼的尾数为(　　)
A．10
000
B．20
000
C．25
000
D．30
000
【解析】
由题意可得有记号的鱼所占的比例大约为＝，设水池中鱼的尾数是x，则有＝，解得x＝25
000.
【答案】
C
3．(2017·河北大城一中月考)某产品分
( http: / / www.21cnjy.com )甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽检一件是正品(甲级)的概率为(　　)
A．0.95
B．0.97
C．0.92
D．0.08
【解析】
记抽检的产品是甲
( http: / / www.21cnjy.com )级品为事件A，是乙级品为事件B，是丙级品为事件C，这三个事件彼此互斥，因而所求概率为P(A)＝1－P(B)－P(C)＝1－5%－3%＝92%＝0.92.
【答案】
C
4．(2017·孝感二模)某天下课以后，教室里还剩下2位男同学和2位女同学．如果他们依次走出教室，则第2位走出的是男同学的概率为(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】
已知2位女同学和2位男同学走出的所
( http: / / www.21cnjy.com )有可能顺序有(女，女，男，男)，(女，男，女，男)，(女，男，男，女)，(男，男，女，女)，(男，女，男，女)，(男，女，女，男)，所以第2位走出的是男同学的概率P＝＝.
【答案】
A
5．(2017·云南一检)在2，0，1，5这组数据中，随机取出三个不同的数，则数字2是取出的三个不同数的中位数的概率为(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】
分析题意可知，共有(0，1
( http: / / www.21cnjy.com )，2)，(0，2，5)，(1，2，5)，(0，1，5)4种取法，符合题意的取法有2种，故所求概率P＝.
【答案】
C
6．(2017·兰州诊断)从2本不同的数学书
( http: / / www.21cnjy.com )和2本不同的语文书中任意抽出2本书(每本书被抽中的机会相等)，则抽出的书是同一学科的概率等于________．
【解析】
从2本不同的数学书和2本不同的语文
( http: / / www.21cnjy.com )书中任意抽出2本书共有6种不同的取法，其中抽出的书是同一学科的取法共有2种，因此所求的概率等于＝.
【答案】
7．一根绳子长为6米，绳子上有5个节点将绳
( http: / / www.21cnjy.com )子6等分，现从5个节点中随机选一个将绳子剪断，则所得的两段绳长均不小于2米的概率为________．
【解析】
随机选一个节点将绳子剪
( http: / / www.21cnjy.com )断共有5种情况，分别为(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)．满足两段绳长均不小于2米的为(2，4)，(3，3)，(4，2)，共3种情况．所以所求概率为.
【答案】
8．(2017·温州十校联考)记
( http: / / www.21cnjy.com )一个两位数的个位数字与十位数字的和为A.若A是不超过5的奇数，从这些两位数中任取一个，其个位数为1的概率为________．
【解析】
根据题意，个位数字与十位
( http: / / www.21cnjy.com )数字之和为奇数且不超过5的两位数有：10，12，14，21，23，30，32，41，50，共9个，其中个位是1的有21，41，共2个，因此所求的概率为.
【答案】
9．(2016·福建基地综合，18)某商
( http: / / www.21cnjy.com )店计划每天购进某商品若干件，商店每销售1件该商品可获利50元．若供大于求，剩余商品全部退回，但每件商品亏损10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利30元．
(1)若商店一天购进该商品10件，求日利润y(单位：元)关于日需求量n(单位：件，n∈N)的函数解析式；
(2)商店记录了50天该商品的日需求量n(单位：件)，整理得下表：
日需求量n
8
9
10
11
12
频数
9
11
15
10
5
①假设该店在这50天内每天购进10件该商品，求这50天的日利润(单位：元)的平均数；
②若该店一天购进10件该商品，以50天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求日利润在区间[400，550]内的概率．
【解析】
(1)当日需求量n≥10时，日利润为y＝50×10＋(n－10)×30＝30n＋200，
当日需求量n＜10时，利润y＝50×n－(10－n)×10＝60n－100.
所以日利润y与日需求量n的函数解析式
为y＝
(2)50天内有9天获得的日
( http: / / www.21cnjy.com )利润为380元，有11天获得的日利润为440元，有15天获得的日利润为500元，有10天获得的日利润为530元，有5天获得的日利润为560元．所以
①这50天的日利润(单位：元)的平均数为
＝477.2.
②日利润(单位：元)在区间[400，550]内的概率为P＝＝.
10．(2017·辽宁沈阳二中月考)从某
( http: / / www.21cnjy.com )学校的800名男生中随机抽取50名测量其身高，被测学生身高全部介于155
cm和195
cm之间，将测量结果按如下方式分组：第一组[155，160)，第二组[160，165)，…，第八组[190，195]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4.
(1)求第七组的频率；
(2)估计该校的800名男生的身高的中位数以及身高在180
cm以上(含180
cm)的人数；
(3)若从身高属于第六组和第八组的所有男
( http: / / www.21cnjy.com )生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x，y，事件E＝{|x－y|≤5}，事件F＝{|x－y|＞15}，求P(E∪F)．
【解析】
(1)第六组的频率为＝0.08，所以第七组的频率为1－0.08－5×(0.008×2＋0.016＋0.04×2＋0.06)＝0.06.
(2)身高在第一组[155，160)的频率为0.008×5＝0.04，
身高在第二组[160，165)的频率为0.016×5＝0.08，
身高在第三组[165，170)的频率为0.04×5＝0.2，
身高在第四组[170，175)的频率为0.04×5＝0.2，
由于0.04＋0.08＋0.2＝0.32＜
( http: / / www.21cnjy.com )0.5，0.04＋0.08＋0.2＋0.2＝0.52＞0.5，估计这所学校的800名男生的身高的中位数为m，则170＜m＜175.
由0.04＋0.08＋0.2＋(m－170)×0.04＝0.5，
得m＝174.5，所以可估计这所学校的800名男生的身高的中位数为174.5.
由直方图得后三组频率为0.08＋0.06＋0.008×5＝0.18，
所以身高在180
cm以上(含180
cm)的人数为0.18×800＝144.
(3)第六组[180，185)的人数为4，
( http: / / www.21cnjy.com )设为a，b，c，d，第八组[190，195]的人数为2，设为A，B，则从中选两名男生有ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，bA，cA，dA，aB，bB，cB，dB，AB，共15种情况，
因事件E＝{|x－y|≤5}发生当且仅当
( http: / / www.21cnjy.com )随机抽取的两名男生在同一组，所以事件E包含的基本事件为ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB，共7种情况，故P(E)＝.
由于|x－y|max＝195－180＝15，
所以事件F＝{|x－y|＞15}是不可能事件，P(F)＝0.
由于事件E和事件F是互斥事件，
所以P(E∪F)＝P(E)＋P(F)＝.
B组　专项能力提升
(时间：30分钟)
11．(2017·湖北十市联考)从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是(　　)
A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”
B．“至少有一个黑球”与“都是红球”
C．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
D．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”
【解析】
A中的两个事件是包含
( http: / / www.21cnjy.com )关系，不是互斥事件；B中的两个事件是对立事件；C中的两个事件都包含“一个黑球一个红球”的事件，不是互斥关系；D中的两个事件是互斥而不对立的关系．
【答案】
D
12．(2016·天津)甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为(　　)
A.　　　　　　　　B.
C.
D.
【解析】
甲不输包括两人下成和棋和甲获胜两种情况，由已知条件及互斥事件的概率公式可得甲不输的概率为＋＝.
【答案】
A
13．(2017·云南昆明3月月考
( http: / / www.21cnjy.com ))中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为，乙夺得冠军的概率为，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________．
【解析】
由于事件“中国队夺得女子乒乓
( http: / / www.21cnjy.com )球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算，即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为＋＝.
【答案】
14．(2017·河南洛阳一模)经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下：
排队人数
0
1
2
3
4
5人及5人以上
概率
0.1
0.16
0.3
0.3
0.1
0.04
求：(1)至多2人排队等候的概率；
(2)至少3人排队等候的概率．
【解析】
记“无人排队等候”为事件A，“1人
( http: / / www.21cnjy.com )排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F互斥．
(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A∪B∪C，所以P(G)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.
(2)方法一
记“至少3人排队等候
( http: / / www.21cnjy.com )”为事件H，则H＝D∪E∪F，所以P(H)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.
方法二
记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.
15．(2015·陕西)随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：
(1)在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；
(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率．
【解析】
(1)在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，4月份任选一天，西安市不下雨的概率为P＝＝.
(2)称相邻的两个日期为“互邻
( http: / / www.21cnjy.com )日期对”(如，1日与2日，2日与3日等)，这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率为.
以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为.( http: / / www.21cnjy.com )
A组　专项基础训练
(时间：35分钟)
1．(2016·沈阳质检)已知点O(0，0)，A(0，b)，B(a，a3)．若△OAB为直角三角形，则必有(　　)
A．b＝a3
B．b＝a3＋
C．(b－a3)＝0
D．|b－a3|＋＝0
【解析】
若以O为直角顶点
( http: / / www.21cnjy.com )，则B在x轴上，则a必为0，此时O，B重合，不符合题意；若∠A＝，则b＝a3≠0.若∠B＝，根据垂直关系可知a2·＝－1，所以a(a3－b)＝－1，即b－a3－＝0.以上两种情况皆有可能，故只有C满足条件．
【答案】
C
2．(2016·湖南衡阳期末)若两条直线ax＋2y＋6＝0与x＋(a－1)y＋(a2－1)＝0平行，则a的取值集合是(　　)
A．{－1，2}　　　　　　　　　B．{－1}
C．{2}
D.
【解析】
∵直线ax＋2y＋6＝0与x＋(a－1)y＋(a2－1)＝0平行，
∴解得a＝－1，
∴a的取值集合是{－1}．故选B.
【答案】
B
3．(2017·安徽皖南八校联考)已知倾斜角为θ的直线与直线x－3y＋1＝0垂直，则＝(　　)
A.
B．－
C.
D．－
【解析】
依题意，tan
θ＝－3(θ∈[0，π))，
所以＝＝＝，故选C.
【答案】
C
4．(2017·安徽皖南八校联考)已知点A(x，5)关于点(1，y)的对称点是(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是(　　)
A．4
B.
C.
D.
【解析】
根据中点坐标公式得解得所以点P的坐标为(4，1)，所以点P(x，y)到原点的距离d＝＝，故选D.
【答案】
D
5．(2017·广东佛山六校联考
( http: / / www.21cnjy.com ))设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程是(　　)
A．x＋y－5＝0
B．2x－y－1＝0
C．2y－x－4＝0
D．2x＋y－7＝0
【解析】
因为直线PA的倾斜角为
( http: / / www.21cnjy.com )45°，且|PA|＝|PB|，所以直线PB的倾斜角为135°.又当x＝2时，y＝3，即P(2，3)，所以直线PB的方程为y－3＝－(x－2)，即x＋y－5＝0，故选A.
【答案】
A
6．(2016·山东济南一中月考)若两平行直线3x－2y－1＝0，6x＋ay＋c＝0之间的距离为，则的值为________．
【解析】
由题意得＝≠，∴a＝－4，c≠－2.∴6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋＝0.由两平行直线间的距离公式，得＝，解得c＝2或－6，∴＝±1.
【答案】
±1
7．(2017·忻州训练)已
( http: / / www.21cnjy.com )知两直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，若l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等，则a＋b＝________．
【解析】
由题意得.
解得或经检验，两种情况均符合题意，
∴a＋b的值为0或.
【答案】
0或
8．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0，2)与点(4，0)重合，点(7，3)与点(m，n)重合，则m＋n＝________．
【解析】
由题意可知纸的折
( http: / / www.21cnjy.com )痕应是点(0，2)与点(4，0)连线的中垂线，即直线y＝2x－3，它也是点(7，3)与点(m，n)连线的中垂线，于是，
解得，故m＋n＝.
【答案】
9．已知△ABC的顶点A(5，1)
( http: / / www.21cnjy.com )，AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0，求直线BC的方程．
【解析】
依题意知：kAC＝－2，A(5，1)，
∴lAC为2x＋y－11＝0，
联立lAC、lCM得
∴C(4，3)．
设B(x0，y0)，AB的中点M为，
代入2x－y－5＝0，得2x0－y0－1＝0，
∴
∴B(－1，－3)，∴kBC＝，
∴直线BC的方程为y－3＝(x－4)，
即6x－5y－9＝0.
10．已知直线l经过直线l1：2x＋y－5＝0与l2：x－2y＝0的交点．
(1)若点A(5，0)到l的距离为3，求l的方程；
(2)求点A(5，0)到l的距离的最大值．
【解析】
(1)易知l不可能为l2，可设经过两已知直线交点的直线系方程为(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，
即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，
∵点A(5，0)到l的距离为3，
∴＝3，
即2λ2－5λ＋2＝0，∴λ＝2，或λ＝，
∴l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0.
(2)由
解得交点P(2，1)，如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离，则d≤PA(当l⊥PA时等号成立)．
∴dmax＝PA＝＝.
B组　专项能力提升
(时间：30分钟)
11．(2017·北京二十四中模拟)
( http: / / www.21cnjy.com )已知点M(0，－1)，点N在直线x－y＋1＝0上，若直线MN垂直于直线x＋2y－3＝0，则点N的坐标是(　　)
A．(－2，－1)
B．(2，3)
C．(2，1)
D．(－2，1)
【解析】
∵点N在直线x－y＋1＝0上，∴可设点N坐标为(x0，x0＋1)．
根据经过两点的直线的斜率公式，得kMN＝＝.
∵直线MN垂直于直线x＋2y－3＝0，直线x＋2y－3＝0的斜率k＝－，
∴kMN×＝－1，即＝2，解得x0＝2.因此点N的坐标是(2，3)，故选B.
【答案】
B
12．(2017·上海虹口区期末质量监测)已
( http: / / www.21cnjy.com )知l1，l2是分别经过A(2，1)，B(0，2)两点的两条平行直线，当l1，l2之间的距离最大时，直线l1的方程是________．
【解析】
由平面几何知识，得当l1⊥AB时，l1，l2之间的距离最大．
∵A(2，1)，B(0，2)，∴kAB＝－，∴kl1＝2，∴直线l1的方程是y－1＝2(x－2)，即2x－y－3＝0.
【答案】
2x－y－3＝0
13．(2016·淮安一调)已知入射光线
( http: / / www.21cnjy.com )经过点M(－3，4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2，6)，则反射光线所在直线的方程为________．
【解析】
设点M(－3，4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′，
所以解得a＝1，b＝0.
又反射光线经过点N(2，6)，
所以所求直线的方程为＝，
即6x－y－6＝0.
【答案】
6x－y－6＝0
14．已知直线l：y＝x－1，
(1)求点P(3，4)关于l对称的点Q；
(2)求l关于点(2，3)对称的直线方程．
【解析】
(1)设Q(x0，y0)，由于PQ⊥l，且PQ中点在l上，
有解得
∴Q.
(2)在l上任取一点，如M(0，－1)，则M关于点(2，3)对称的点为N(4，7)．∵当对称点不在直线上时，关于点对称的两直线必平行，
∴所求直线过点N且与l平行，
∴所求方程为y－7＝(x－4)，
即为x－2y＋10＝0.
15．已知三条直线：l1：2x－y＋a＝0(a＞0)；l2：－4x＋2y＋1＝0；l3：x＋y－1＝0，且l1与l2间的距离是.
(1)求a的值；
(2)能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件：
①点P在第一象限；
②点P到l1的距离是点P到l2的距离的；
③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是∶.若能，求点P的坐标；若不能，说明理由．
【解析】
(1)直线l2：2x－y－＝0，所以两条平行线l1与l2间的距离为d＝＝，
所以＝，即＝，
又a＞0，解得a＝3.
(2)假设存在点P，设点P(x0，y0)．
若P点满足条件②，则P点在与l1，
l2平行的直线l′：2x－y＋c＝0上，
且＝，
即c＝或，
所以2x0－y0＋＝0或2x0－y0＋＝0；
若P点满足条件③，由点到直线的距离公式，
有＝，
即|2x0－y0＋3|＝|x0＋y0－1|，
所以x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0；
由于点P在第一象限，所以3x0＋2＝0不可能．
联立方程2x0－y0＋＝0和x0－2y0＋4＝0，
解得(舍去)
联立方程2x0－y0＋＝0和x0－2y0＋4＝0，
解得
所以存在点P同时满足三个条件．( http: / / www.21cnjy.com )
1．(2016·江西师大附中
( http: / / www.21cnjy.com )模拟)如图，矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，等腰梯形ABEF中，AB∥EF，AB＝2，AD＝AF＝1，∠BAF＝60°，O，P分别为AB，CB的中点，M为底面△OBF的重心．
(1)求证：平面ADF⊥平面CBF；
(2)求证：PM∥平面AFC.
【证明】
(1)∵矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，CB⊥AB，
∴CB⊥平面ABEF.
又AF 平面ABEF，∴CB⊥AF.
又AB＝2，AF＝1，∠BAF＝60°，
由余弦定理知BF＝，AF2＋BF2＝AB2，得AF⊥BF.
∵BF∩CB＝B，∴AF⊥平面CFB.
又∵AF 平面ADF，
∴平面ADF⊥平面CBF.
(2)连接OM并延长交BF于H，
则H为BF的中点，又P为CB的中点，连接PH，
∴PH∥CF，又∵AF 平面AFC，∴PH∥平面AFC.
连接PO，则PO∥AC，AC 平面AFC，PO∥平面AFC.
PO∩PH＝P，∴平面POH∥平面AFC，
又PM 平面POH，∴PM∥平面AFC.
2．(2016·南宁模拟)如图，在四棱
( http: / / www.21cnjy.com )锥P ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，PA＝PD＝AD＝2，点M在线段PC上，且PM＝2MC，N为AD的中点．
(1)求证：AD⊥平面PNB；
(2)若平面PAD⊥平面ABCD，求三棱锥
P NBM的体积．
【解析】
(1)证明
∵PA＝PD，N为AD的中点，
∴PN⊥AD.
∵底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，∴BN⊥AD.
∵PN∩BN＝N，
∴AD⊥平面PNB.
(2)∵PA＝PD＝AD＝2，
∴PN＝NB＝，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PN⊥AD，
∴PN⊥平面ABCD，
∴PN⊥NB，
∴S△PNB＝××＝.
∵AD⊥平面PNB，AD∥BC，
∴BC⊥平面PNB.
∵PM＝2MC，
∴VP NBM＝VM PNB＝VC PNB＝×××2＝.
3．(2016·山西四校联考)如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，矩形DCBE所在的平面垂直于圆O所在的平面，AB＝4，BE＝1.
(1)证明：平面ADE⊥平面ACD；
(2)当三棱锥C ADE的体积最大时，求点C到平面ADE的距离．
【解析】
(1)证明
∵AB是直径，
∴BC⊥AC.
又四边形DCBE为矩形，
∴CD⊥DE，BC∥DE，
∴DE⊥AC.
∵CD∩AC＝C，
∴DE⊥平面ACD.
又DE 平面ADE，
∴平面ADE⊥平面ACD.
(2)由(1)知VC AD
( http: / / www.21cnjy.com )E＝VE ACD＝×S△ACD×DE＝××AC×CD×DE＝×AC×BC≤×(AC2＋BC2)＝×AB2＝，
当且仅当AC＝BC＝2时等号成立．
∴当AC＝BC＝2时，三棱锥C ADE的体积最大，为.
此时，AD＝＝3，S△ADE＝×AD×DE＝3，
设点C到平面ADE的距离为h，则VC ADE＝×S△ADE×h＝，h＝.
4．(2016·长春模拟)如
( http: / / www.21cnjy.com )图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB＝60°，PD⊥平面ABCD，PD＝AD＝1，点E，F分别为AB和PD的中点．
(1)求证：直线AF∥平面PEC；
(2)求三棱锥P BEF的表面积．
【解析】
(1)证明
如图，作FM∥CD交PC于M，连接ME.
∵点F为PD的中点，
∴FM綊CD，
又AE綊CD，
∴AE綊FM，
∴四边形AEMF为平行四边形，
∴AF∥EM，
∵AF 平面PEC，EM 平面PEC，
∴直线AF∥平面PEC.
(2)连接ED，BD，可知ED⊥AB，
AB⊥PE，AB⊥FE.
故S△PEF＝PF×ED＝××＝；
S△PBF＝PF×BD＝××1＝；
S△PBE＝PE×EB＝××＝；
S△BEF＝EF×EB＝×1×＝.
因此三棱锥P BEF的表面积SP BEF＝S△PEF＋S△PBF＋S△PBE＋S△BEF＝.
5．在如图①所示的半圆O中，AB为直径，
( http: / / www.21cnjy.com )C为半圆O(A，B除外)上任一点，D，E分别在AO，AC上，DE⊥AB.现将△ABC沿DE折起使得AD⊥BD，从而构成四棱锥A BCED，如图②所示．
(1)在图②中，若F是BC上的点，且EC∥平面ADF.求证：BC⊥AF；
(2)若翻折前DC＝，AD＝1，∠BAC＝30°，求翻折后四棱锥A BCED的体积．
【解析】
(1)证明
因为EC∥平面ADF，平面BCED∩平面ADF＝DF，所以EC∥DF.
由已知可得EC⊥BC，所以DF⊥BC.
又AD⊥BD，AD⊥DE，DE∩BD＝D，
所以AD⊥平面BCED.
又BC 平面BCED，所以AD⊥BC.
又AD∩DF＝D，所以BC⊥平面ADF.
又AF 平面ADF，所以BC⊥AF.
(2)设半圆O的半径为R，在图中连接OC，
因为∠BAC＝30°，AB⊥DE，AC⊥BC，AD＝1，
所以DE＝AD·tan
30°＝，
∠AOC＝120°，DO＝R－1，OC＝R.
又DC＝，在△OCD中，由余弦定理得
( http: / / www.21cnjy.com )DC2＝OD2＋OC2－2OD·OC·cos
120°，即7＝(R－1)2＋R2－2(R－1)·R·，即(R－2)(R＋1)＝0，解得R＝2或R＝－1(舍去)．所以AC＝2R·cos
30°＝2，BC＝2R·sin
30°＝2.
所以S四边形BCED＝S△ABC－S△ADE＝×2×2－×1×＝.
由(1)知四棱锥A BCED的高为AD＝1，
所以四棱锥A BCED的体积为V＝×AD×S四边形BCED＝×1×＝.
6．如图所示，在直四棱柱ABCD A1B1C1D1中，AB∥CD，AB⊥BC，且A1A＝AB＝BC＝1，CD＝2.
(1)求证：AB1⊥平面A1BC；
(2)在线段CD上是否存在点N，使得D1N∥平面A1BC？若存在，求出三棱锥N AA1C的体积；若不存在，请说明理由．
【解析】
(1)证明
因为直四棱柱ABCD A1B1C1D1中，A1A⊥平面ABCD，又BC 平面ABCD，所以A1A⊥BC.
因为AB⊥BC，AB∩A1A＝A，所以BC⊥平面AA1B1B.
又AB1 平面AA1B1B，
所以AB1⊥BC.
因为A1A⊥AB，A1A＝AB＝1，所以四边形AA1B1B是正方形，所以AB1⊥A1B.
因为A1B∩BC＝B，
所以AB1⊥平面A1BC.
(2)方法一
存在，当N为CD的中点时，D1N∥平面A1BC.理由如下：
若N为CD的中点，连接BN，因为AB∥CD，
( http: / / www.21cnjy.com )AB＝BC＝1，CD＝2，所以AB∥DN，AB＝DN，所以四边形ABND为平行四边形，所以BN∥AD，BN＝AD.
在直四棱柱ABCD A1
( http: / / www.21cnjy.com )B1C1D1中，AD∥A1D1，AD＝A1D1，所以BN＝A1D1，BN∥A1D1，所以四边形A1BND1为平行四边形，所以A1B∥D1N.
又D1N 平面A1BC，A1B 平面A1BC，所以D1N∥平面A1BC.
易知S△ACN＝S△BCN＝CN×BC＝×1×1＝，
又A1A⊥平面ABCD，A1A＝
( http: / / www.21cnjy.com )1，所以V三棱锥N AA1C＝V三棱锥A1 ACN＝S△ACN×A1A＝××1＝，即三棱锥N AA1C的体积为.
方法二
存在，当N为CD的中点时，D1N∥平面A1BC.
理由如下：若N为CD的中点，取C1D1的
( http: / / www.21cnjy.com )中点M，连接BN，A1M，MC，如图所示．因为在直四棱柱ABCD A1B1C1D1中A1B1∥C1D1，A1B1＝1，C1D1＝2，所以A1B1∥MC1，A1B1＝MC1，所以四边形A1B1C1M为平行四边形，所以A1M∥B1C1，A1M＝B1C1.
又BC∥B1C1，BC＝B1C1，所以A1M
( http: / / www.21cnjy.com )∥BC，A1M＝BC，所以四边形A1BCM为平行四边形，所以A1B∥CM.又D1M＝NC＝1，D1M∥NC，所以四边形D1MCN为平行四边形，所以MC∥D1N，所以D1N∥A1B.
又D1N 平面A1BC，且A1B 平面A1BC，所以D1N∥平面A1BC.
易知S△ACN＝S△BCN＝CN×BC＝×1×1＝，
又AA1⊥平面ABCD，AA
( http: / / www.21cnjy.com )1＝1，所以V三棱锥N AA1C＝V三棱锥A1 ACN＝S△ACN×A1A＝××1＝，即三棱锥N AA1C的体积为.( http: / / www.21cnjy.com )
A组　专项基础训练
(时间：35分钟)
1．下列不等式一定成立的是(　　)
A．lg>lg
x(x>0)
B．sin
x＋≥2(x≠kπ，k∈Z)
C．x2＋1≥2|x|(x∈R)
D.>1(x∈R)
【解析】
当x>0时，x2＋≥2·x·＝x，
所以lg≥lg
x(x>0)，故选项A不正确；
运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”，
而当x≠kπ，k∈Z时，sin
x的正负不定，
故选项B不正确；
由基本不等式可知，选项C正确；
当x＝0时，有＝1，故选项D不正确．
【答案】
C
2．(2016·河南百校联
( http: / / www.21cnjy.com )盟质检)如图所示，一张正方形的黑色硬纸板，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形的图形，设小矩形的长、宽分别为a，b(2≤a≤10)，剪去部分的面积为8，则＋的最大值为(　　)
A．1　　　　　　　　　　　B.
C.
D．2
【解析】
由题意，2ab＝8，∴b＝.
∵2≤a≤10，
∴＋＝＋＝1＋≤1＋＝，
当且仅当a＝，即a＝6时，＋取得最大值.
【答案】
C
3．(2016·新疆乌鲁木齐第二次诊断)已知x，y都是正数，且x＋y＝1，则＋的最小值为(　　)
A.
B．2
C.
D．3
【解析】
由题意知，x＋2＞0，y＋1＞0，
(x＋2)＋(y＋1)＝4，
则＋＝[(x＋2)＋(y＋1)]
＝≥＝，当且仅当x＝，y＝时，＋取最小值.
【答案】
C
4．(2016·甘肃白银会宁一中第三次月考)对一切实数x，不等式x2＋a|x|＋1≥0恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2)
B．[－2，＋∞)
C．[－2，2]
D．[0，＋∞)
【解析】
当x＝0时，不等式x2＋a
( http: / / www.21cnjy.com )|x|＋1≥0恒成立，当x≠0时，则有a≥＝－，故a大于或等于－的最大值．由基本不等式可得|x|＋≥2，
∴－≤－2，即－的最大值为－2，故实数a的取值范围是[－2，＋∞)，故选B.
【答案】
B
5．(2016·武汉模拟)已知正数x，y满足x＋2y－xy＝0，则x＋2y的最小值为(　　)
A．8
B．4
C．2
D．0
【解析】
由x＋2y－xy＝0，得＋＝1，且x＞0，y＞0.
∴x＋2y＝(x＋2y)×＝＋＋4≥4＋4＝8.
【答案】
A
6．(2015·陕西)设f(x)＝ln
( http: / / www.21cnjy.com )
x，0＜a＜b，若p＝f()，q＝f，r＝(f(a)＋f(b))，则下列关系式中正确的是(　　)
A．q＝r＜p
B．q＝r＞p
C．p＝r＜q
D．p＝r＞q
【解析】
∵0＜a＜b，∴＞，
又∵f(x)＝ln
x在(0，＋∞)上为增函数，
故f＞f()，即q＞p.
又r＝(f(a)＋f(b))＝(ln
a＋ln
b)
＝ln
a＋ln
b＝ln(ab)
＝f()＝p.
故p＝r＜q.选C.
【答案】
C
7．(2016·银川模拟)若直线2ax＋by－2＝0(a＞0，b＞0)平分圆x2＋y2－2x－4y－6＝0，则＋的最小值是(　　)
A．2－
B.－1
C．3＋2
D．3－2
【解析】
∵圆心为(1，2
( http: / / www.21cnjy.com ))在直线2ax＋by－2＝0上，∴a＋b＝1，∴＋＝(a＋b)＝3＋＋≥3＋2.当且仅当＝，即a＝2－，b＝－1时等号成立．
【答案】
C
8．(2016·安徽安庆二中第一次质检)若x＞0，y＞0，则的最小值为(　　)
A.
B．1
C.
D.
【解析】
设t＝，则t＞0，
∵t2＝≥＝，
∴t≥，当且仅当x＝y时取等号．
∴的最小值为.故选C.
【答案】
C
9．(2016·湖北华师一附中等八校联考)若2x＋4y＝4，则x＋2y的最大值是________．
【解析】
因为4＝2x＋4y＝2x
( http: / / www.21cnjy.com )＋22y≥2＝2，所以2x＋2y≤4＝22，即x＋2y≤2，当且仅当2x＝22y＝2，即x＝2y＝1时，x＋2y取得最大值2.
【答案】
2
10．(2016·南京金陵中学第一次联考)已知实数x，y满足x－＝－y，则x＋y的最大值为________．
【解析】
∵x－＝－y，
∴x＋y＝＋≤2，
则(x＋y)2≤2(x＋y＋4)，解得－2≤x＋y≤4.∴x＋y的最大值为4.
【答案】
4
11．已知x＞0，y＞0，且2x＋5y＝20.
(1)求u＝lg
x＋lg
y的最大值；
(2)求＋的最小值．
【解析】
(1)∵x＞0，y＞0，
∴由基本不等式，得2x＋5y≥2.
∵2x＋5y＝20，
∴2≤20，xy≤10，
当且仅当2x＝5y时，等号成立．
因此有解得
此时xy有最大值10.
∴u＝lg
x＋lg
y＝lg(xy)≤lg
10＝1.
∴当x＝5，y＝2时，u＝lg
x＋lg
y有最大值1.
(2)∵x＞0，y＞0，
∴＋＝·
＝≥
＝，
当且仅当＝时，等号成立．
由
解得
∴＋的最小值为.
B组　专项能力提升
(时间：20分钟)
12．(2016·重庆巴蜀中学期中)若a＞0
( http: / / www.21cnjy.com )，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于(　　)
A．2
B．3
C．6
D．9
【解析】
f′(x)＝12x2－2ax－2b，∵y＝f(x)在x＝1处有极值，∴a＋b＝6.
∵a＞0，b＞0，∴ab≤＝9，当且仅当a＝b＝3时取等号，∴ab的最大值等于9.故选D.
【答案】
D
13．(2016·云南大理祥云一中第二次月考)设a＞b＞0，则a2＋＋的最小值是(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】
a2＋＋＝ab＋＋a(a－b)＋≥4，当且仅当时取等号，即
∴a2＋＋的最小值为4.
【答案】
D
14．(2016·天津河西模拟)函数f(x)＝x＋(x＞2)的最小值为________．
【解析】
∵x＞2，∴x－2＞0，∴f(x)＝x＋＝(x－2)＋＋2≥4，
当且仅当x＝2＝1，即x＝3时取等号．∴函数f(x)的最小值为f(3)＝4.
【答案】
4
15．(2016·广东北师大东莞石竹附中期中)已知x＞0，y＞0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值为________．
【解析】
∵x＞0，y＞0，不等式＋≥恒成立，
∴m≤(x＋3y)恒成立．
又∵(x＋3y)＝6＋＋≥6＋2＝12，当且仅当＝，即x＝3y时取等号，
∴(x＋3y)的最小值为12.
由m≤(x＋3y)恒成立，得m≤12，即m的最大值为12.
【答案】
12
16．(2016·山东齐鲁名校第
( http: / / www.21cnjy.com )二次调研)首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y＝x2－200x＋45
000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元．
(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？
【解析】
(1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为x＋－200≥2－200＝100，
当且仅当x＝，即x＝300时等号成立，故该单位月处理量为300吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．
(2)获利．设该单位每月获利为S元，则
S＝200x－y＝－x2＋400x－45
000＝－(x－400)2＋35
000.因为x∈[300，600]，所以S∈[15
000，35
000]．故该单位每月获利，最大利润为35
000元．( http: / / www.21cnjy.com )
A组　专项基础训练
(时间：30分钟)
1．(2017·江西五校联考)＝(　　)
A．－　　　　　　　　　　B．－
C.
D.
【解析】
原式＝
＝
＝＝.
【答案】
D
2．(2017·江西鹰潭余江一中第二次模拟)已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线3x－y＝0上，则等于(　　)
A．－
B.
C．0
D.
【解析】
∵角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线3x－y＝0上，
∴tan
θ＝3，∴＝＝＝.
故选B.
【答案】
B
3．若角α的终边落在第三象限，则＋的值为(　　)
A．3
B．－3
C．1
D．－1
【解析】
由角α的终边落在第三象限得sin
α＜0，cos
α＜0，故原式＝＋＝＋＝－1－2＝－3.
【答案】
B
4．(2017·湖北重点中学第三次月考)已知角α的终边上一点的坐标为，则角α的最小正值为(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】
因为sin＝sin＝sin＝，cos＝cos＝－cos＝－，所以点在第四象限．又因为tan
α＝＝－＝tan＝tan，所以角α的最小正值为.故选B.
【答案】
B
5．已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(4)＝3，则f(2
017)的值为(　　)
A．－1
B．1
C．3
D．－3
【解析】
∵f(4)＝asin(4π＋α)＋bcos(4π＋β)
＝asin
α＋bcos
β＝3，
∴f(2
017)＝asin(2
017π＋α)＋bcos(2
017π＋β)
＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)
＝－asin
α－bcos
β
＝－3.
【答案】
D
6．(2016·四川)sin
750°＝________．
【解析】
sin
750°＝sin(720°＋30°)＝sin
30°＝.
【答案】
7．(2015·四川)已知sin
α＋2cos
α＝0，则2sin
αcos
α－cos2α的值是________．
【解析】
由sin
α＋2cos
α＝0得tan
α＝－2.
2sin
αcos
α－cos2α＝＝＝＝＝－1.
【答案】
－1
8．(2017·浙江温州十校联考)若角α的终边经过点P，则sin
αtan
α的值是________．
【解析】
|OP|＝r＝
＝1，∴点P在单位圆上，∴sin
α＝－，cos
α＝，tan
α＝＝－，得
sin
α·tan
α＝×＝.
【答案】
9．已知α为第二象限角，则cos
α＋sin
α·＝________．
【解析】
原式＝cos
α
＋sin
α
＝cos
α
＋sin
α
＝cos
α＋sin
α
＝0.
【答案】
0
10．已知sin(3π＋α)＝2sin，求下列各式的值：
(1)；
(2)sin2α＋sin
2α.
【解析】
由已知得sin
α＝2cos
α.
(1)原式＝＝－.
(2)原式＝
＝＝.
B组　专项能力提升
(时间：15分钟)
11．(2015·福建)若sin
α＝－，且α为第四象限角，则tan
α的值等于(　　)
A.
B．－
C.
D．－
【解析】
∵sin
α＝－，α为第四象限角，
∴cos
α＝＝，
∴tan
α＝＝－.故选D.
【答案】
D
12．(2017·黄州联考)若A，B是锐角△ABC的两个内角，则点P(cos
B－sin
A，sin
B－cos
A)在(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【解析】
∵△ABC是锐角三角形，则A＋B＞，
∴A＞－B＞0，B＞－A＞0，
∴sin
A＞sin＝cos
B，
sin
B＞sin＝cos
A，
∴cos
B－sin
A＜0，sin
B－cos
A＞0，
∴点P在第二象限，选B.
【答案】
B
13．(2017·江苏淮安四星级高中段考)已知α是第二象限角且sin
α＝，则tan
α的值是________．
【解析】
∵α是第二象限角且sin
α＝，
∴cos
α＝－＝－，则tan
α＝＝－.
【答案】
－
14．sin21°＋sin22°＋…＋sin290°＝________．
【解析】
sin21°＋si
( http: / / www.21cnjy.com )n22°＋…＋sin290°＝sin21°＋sin22°＋…＋sin244°＋sin245°＋cos244°＋cos243°＋…＋cos21°＋sin290°＝(sin21°＋cos21°)＋(sin22°＋cos22°)＋…＋(sin244°＋cos244°)＋sin245°＋sin290°＝44＋＋1＝.
【答案】
15．(2017·广东肇庆二模)已知向量a＝(2，sin
θ)与b＝(1，cos
θ)互相平行，其中θ∈.
(1)求sin
θ和cos
θ的值；
(2)若sin(θ－φ)＝，0＜φ＜，求cos
φ的值．
【解析】
(1)∵a与b互相平行，
∴sin
θ＝2cos
θ，
代入sin2θ＋cos2θ＝1，可得cos
θ＝±，
又θ∈，∴cos
θ＝，
∴sin
θ＝.
(2)∵0＜φ＜，0＜θ＜，
∴－＜θ－φ＜，
又sin(θ－φ)＝，
∴cos(θ－φ)＝＝，
∴cosφ＝cos[θ－(θ－φ)]
＝cos
θcos(θ－φ)＋sin
θsin(θ－φ)＝.( http: / / www.21cnjy.com )一、选择题
1．函数f(x)＝的定义域为(　　)
A．(0，＋∞)　　　　　　　　B.
C.
D.∪(1，＋∞)
【解析】
由得x≥且x≠1.
【答案】
D
2．下列函数中既是奇函数，又在区间[－1，1]上单调递减的函数是(　　)
A．f(x)＝|tan
2x|
B．f(x)＝－|x＋1|
C．f(x)＝(2－x－2x)
D．f(x)＝log
【解析】
A中，函数f(x)＝|ta
( http: / / www.21cnjy.com )n
2x|在x＝±时没有定义，故排除A；B中，函数f(x)＝－|x＋1|不是奇函数，故排除B；C中，函数的定义域为R，且f(－x)＝(2x－2－x)＝－(2－x－2x)＝－f(x)，故该函数为奇函数且为减函数，故C正确；D中，令t＝g(x)＝(－2＜x＜2)，该函数为减函数，又y＝logx为减函数，所以函数f(x)＝log为增函数，故排除D.
【答案】
C
3．(2017·昆明模拟)已知函数f(x)＝设a＝log，则f[f(a)]＝(　　)
A.
B．2
C．3
D．－2
【解析】
－1＜a＝log＜0，则f[f(a)]＝f()＝log3＝.
【答案】
A
4．(2017·长春模拟)若对任意的x∈R，y＝均有意义，则函数y＝loga的大致图象是(　　)
【解析】
由题意得1－a|x|≥0，即a|x
( http: / / www.21cnjy.com )|≤1＝a0恒成立，由于|x|≥0，故0＜a＜1.y＝loga＝－loga|x|是偶函数，且在(0，＋∞)上是单调递增函数．
【答案】
B
5．如果函数f(x)＝logax(a＞1)在区间[a，2a]上的最大值是最小值的3倍，那么实数a的值为(　　)
A.
B.
C．2
D．3
【解析】
因为a＞1，所以函数f(x)＝l
( http: / / www.21cnjy.com )ogax在区间[a，2a]上单调递增，所以f(2a)＝3f(a)，即loga2a＝3logaa＝3，所以a3＝2a，所以a＝.
【答案】
A
6．已知函数f(x)＝，函数g(x)＝f(x)－2x恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是(　　)
A．[－1，1)
B．[0，2]
C．[－2，2)
D．[－1，2)
【解析】
由题意知g(x)＝.因为g(x)
( http: / / www.21cnjy.com )有三个不同的零点，所以2－x＝0在x＞a时有一个解，由x＝2得a＜2.由x2＋3x＋2＝0得x＝－1或x＝－2，由x≤a得a≥－1.综上，a的取值范围为[－1，2)，所以选D.
【答案】
D
7．已知a＝3，b＝log，c＝log2，则(　　)
A．a＞b＞c
B．b＞c＞a
C．c＞b＞a
D．b＞a＞c
【解析】
∵a＝3＞1，0＜b＝log＝log32＜1，c＝log2＜0，∴a＞b＞c，故选A.
【答案】
A
8．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋1)＝f(－x)，当x∈时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(x)在内是(　　)
A．减函数且f(x)＞0
B．减函数且f(x)＜0
C．增函数且f(x)＞0
D．增函数且f(x)＜0
【解析】
因为f(x＋1)＝f
( http: / / www.21cnjy.com )(－x)，f(x)为奇函数，所以f(x＋1)＝－f(x)，f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，得f(x)的周期为2.当x∈时，f(x)＝log2(x＋1)恒为正，且单调递增，由f(x＋1)＝f(－x)可知f(x)关于x＝对称，作出函数f(x)的图象如图所示，由图象可知在上，f(x)为减函数且恒为负．
【答案】
B
9．如图，不规则四边形ABCD中，
( http: / / www.21cnjy.com )AB和CD是线段，AD和BC是圆弧，直线l⊥AB交AB于E，当l从左至右移动(与线段AB有公共点)时，把四边形ABCD分成两部分，设AE＝x，左侧部分的面积为y，则y关于x的图象大致是(　　)
【解析】
当l从左至右移动时，一开始
( http: / / www.21cnjy.com )面积的增加速度越来越快，过了D点后面积保持匀速增加，图象呈直线变化，过了C点后面积的增加速度又逐渐减慢．
【答案】
C
10．(2017·郑州模拟)已
( http: / / www.21cnjy.com )知函数f(x)是定义在R上以2为周期的奇函数，当x∈(0，1)时，有f(x)＝ln，则函数f(x)在x∈(3，4)时是一个(　　)
A．增函数且f(x)＜0
B．增函数且f(x)＞0
C．减函数且f(x)＜0
D．减函数且f(x)＞0
【解析】
当x∈(0，1)时，f(x)＝
( http: / / www.21cnjy.com )ln是增函数且f(x)＞0，又f(x)是奇函数，则当x∈(－1，0)时，f(x)是增函数且f(x)＜0，因为f(x)的周期为2，所以当x∈(3，4)时，f(x)是增函数且f(x)＜0.
【答案】
A
11．定义函数y＝f(x
( http: / / www.21cnjy.com ))，x∈D，若存在常数c，对任意x1∈D，存在唯一的x2∈D，使得＝c，则称函数f(x)在D上的均值为c.已知f(x)＝ln
x，x∈[1，e2]，则函数f(x)＝ln
x在x∈[1，e2]上的均值为(　　)
A.
B．1
C．e
D.
【解析】
只有x1x2＝e2，才有x1∈[
( http: / / www.21cnjy.com )1，e2]时，x2＝∈[1，e2]，所以函数f(x)＝ln
x在x∈[1，e2]上的均值为＝＝＝1.
【答案】
B
12．已知x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，若函数f(x)＝－a(x≠0)有且仅有3个零点，则a的取值范围是(　　)
A.∪
B.∪
C.∪
D.∪
【解析】
当0＜x＜1时，f(x)＝－a＝－a，
1≤x＜2时，f(x)＝－a＝－a，
2≤x＜3时，f(x)＝－a＝－a，….
f(x)＝－a的图象是把y＝的图象进行纵向平移而得到的，画出y＝的图象，如图所示，通过数形结合可知a∈∪.
【答案】
A
二、填空题
13．设函数f(x)＝则使f(x)＝的x的集合为________．
【解析】
由题知，若x≤0，则x＝－1；若x＞0，则x＝2或x＝2－.故x的集合为.
【答案】
14．(2017·湖北荆州一模)若函数f(x)＝(a＞0，且a≠1)的值域是(－∞，－1]，则实数a的取值范围是________．
【解析】
x≤2时，
f(x)＝－x2＋2x－2＝－(x－1)2－1，
f(x)在(－∞，1)上递增，在(1，2]上递减，
∴f(x)在(－∞，2]上的最大值是－1，又f(x)的值域是(－∞，－1]，∴当x＞2时，logax≤－1，
故0＜a＜1，且loga2≤－1，
∴≤a＜1，故答案为.
【答案】
15．(2017·洛阳模拟)已知f(x)＝
( http: / / www.21cnjy.com )log2x，x∈[2，16]，对于函数f(x)值域内的任意实数m，使x2＋mx＋4＞2m＋4x恒成立的实数x的取值范围为________．
【解析】
因为x∈[2，16]，所以f
( http: / / www.21cnjy.com )(x)＝log2x∈[1，4]，即m∈[1，4]．不等式x2＋mx＋4＞2m＋4x恒成立，即为m(x－2)＋(x－2)2＞0恒成立，设g(m)＝(x－2)m＋(x－2)2，则此函数在[1，4]上恒大于0，所以即解得x＜－2或x＞2.
【答案】
(－∞，－2)∪(2，＋∞)
三、解答题
16．(2017·泰安模拟)已知函数f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x.
(1)当x∈[1，4]时，求函数h(x)＝[f(x)＋1]·g(x)的值域；
(2)如果对任意的x∈[1，4]，不等式f(x2)·f()＞k·g(x)恒成立，求实数k的取值范围．
【解析】
(1)h(x)＝(4－2log2x)·log2x＝－2(log2x－1)2＋2，
因为x∈[1，4]，所以log2x∈[0，2]，
故函数h(x)的值域为[0，2]．
(2)由f(x2)·f()＞k·g(x)，
得(3－4log2x)(3－log2x)＞k·log2x，
令t＝log2x，因为x∈[1，4]，所以t＝log2x∈[0，2]，
所以(3－4t)(3－t)＞k·t对一切t∈[0，2]恒成立，
①当t＝0时，k∈R；
②当t∈(0，2]时，k＜恒成立，
即k＜4t＋－15，
因为4t＋≥12，当且仅当4t＝，即t＝时取等号，所以4t＋－15的最小值为－3.
综上，实数k的取值范围为(－∞，－3).( http: / / www.21cnjy.com )1．已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的n∈N
有an＋Sn＝n.
(1)设bn＝an－1，求证：数列{bn}是等比数列；
(2)设c1＝a1且cn＝an－an－1(n≥2)，求{cn}的通项公式．
【解析】
(1)证明　由a1＋S1＝1及a1＝S1得a1＝.
又由an＋Sn＝n及an＋1＋Sn＋1＝n＋1得an＋1－an＋an＋1＝1，∴2an＋1＝an＋1.
∴2(an＋1－1)＝an－1，即2bn＋1＝bn.
∴数列{bn}是b1＝a1－1＝－为首项，为公比的等比数列．
(2)由(1)知2an＋1＝an＋1，∴2an＝an－1＋1(n≥2)．
∴2an＋1－2an＝an－an－1(n≥2)，
即2cn＋1＝cn(n≥2)，
又c1＝a1＝，2a2＝a1＋1，∴a2＝.
∴c2＝－＝，即c2＝c1.
∴数列{cn}是首项为，公比为的等比数列．
∴cn＝·＝.
2．(2016·青岛模拟)已知数列
( http: / / www.21cnjy.com ){an}是等差数列，Sn为{an}的前n项和，且a10＝28，S8＝92；数列{bn}对任意n∈N
，总有b1·b2·b3·…·bn－1·bn＝3n＋1成立．
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)记cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.
【解析】
(1)设等差数列{an}的公差为d，
则a10＝a1＋9d＝28，S8＝8a1＋×d＝92，
解得a1＝1，d＝3，所以an＝1＋3(n－1)＝3n－2.
因为b1·b2·b3·…·bn－1·bn＝3n＋1，
所以b1·b2·b3·…·bn－1＝3n－2(n≥2)，
两式相除得bn＝(n≥2)．
因为当n＝1时，b1＝4适合上式，
所以bn＝(n∈N
)．
(2)由(1)知cn＝＝，
则Tn＝＋＋＋…＋，
Tn＝＋＋＋…＋＋，
所以Tn＝2＋－，
从而Tn＝2＋3×－，
即Tn＝7－.
3．数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an(n∈N
)，Sn为其前n项和．数列{bn}为等差数列，且满足b1＝a1，b4＝S3.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)设cn＝，数列{cn}的前n项和为Tn，证明：≤Tn＜.
【解析】
(1)由题意知，{an}是首项为1，公比为2的等比数列，
∴an＝a1·2n－1＝2n－1.
∴Sn＝2n－1.
设等差数列{bn}的公差为d，则b1＝a1＝1，b4＝1＋3d＝7，
∴d＝2，bn＝1＋(n－1)×2＝2n－1.
(2)证明　∵log2a2n＋2＝log222n＋1＝2n＋1，
∴cn＝＝
＝，
∴Tn＝
＝＝.
∵n∈N
，∴Tn＝＜，
当n≥2时，Tn－Tn－1＝－＝＞0，
∴数列{Tn}是一个递增数列，∴Tn≥T1＝.
综上所述，≤Tn＜.
4．已知二次函数y＝f(x)的图
( http: / / www.21cnjy.com )象经过坐标原点，其导函数为f′(x)＝6x－2，数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N
)均在函数y＝f(x)的图象上．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，试求数列{bn}的前n项和Tn.
【解析】
(1)设二次函数f(x)＝ax2＋bx(a≠0)，
则f′(x)＝2ax＋b.
由于f′(x)＝6x－2，得a＝3，b＝－2，
所以f(x)＝3x2－2x.
又因为点(n，Sn)，(n∈N
)均在函数y＝f(x)的图象上，
所以Sn＝3n2－2n.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n2－2n)－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5.
当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＝1＝6×1－5，
所以，an＝6n－5(n∈N
)．
(2)由(1)得bn＝＝
＝，
故Tn＝
＝＝.
5．设数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＋2an＝3(n∈N
)，设数列{bn}满足b1＝a1，bn＝(n≥2)．
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)设cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.
【解析】
(1)∵Sn＋2an＝3(n∈N
)，∴当n≥2时，Sn－1＋2an－1＝3，两式相减得3an＝2an－1，即＝.
又当n＝1时，a1＋2a1＝3，
∴a1＝1，
∴数列{an}是首项为1，公比为的等比数列，且an＝.
∵当n≥2时，bn＝，两边取倒数得＝＋，
∴－＝，b1＝a1＝1，∴数列是首项为1，公差为的等差数列，且＝1＋(n－1)×＝，
∴bn＝.
(2)由(1)可知cn＝＝n，
Tn＝1＋2×＋3×＋4×＋…＋(n－1)×＋n×，①
Tn＝＋2×＋3×＋…＋(n－1)×＋n×②
①－②得－Tn＝1＋＋＋…＋－n×＝－2＋(2－n)×，
∴Tn＝4＋2(n－2).
6．数列{an}的前n项和
( http: / / www.21cnjy.com )为Sn，Sn＝2n－n，等差数列{bn}的各项为正实数，其前n项和为Tn，且T3＝15，又a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3－1成等比数列．
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)若cn＝an·bn，当n≥2时，求数列{cn}的前n项和An.
【解析】
(1)当n＝1时，a1＝2－1＝1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－n－[2n－1－(n－1)]＝2n－1－1，此式对n＝1不成立，
∴an＝
又由T3＝15，可得b1＋b2＋b3＝15，∴b2＝5.
设数列{bn}的公差为d，由a1＋b1，a2
( http: / / www.21cnjy.com )＋b2，a3＋b3－1成等比数列可得6－d，6，7＋d成等比数列，∴(6－d)(7＋d)＝36 d＝2或d＝－3(舍)．
从而可得bn＝b2＋(n－2)d＝5＋(n－2)·2＝2n＋1.
(2)cn＝an·bn＝
当n≥2时，
An＝3＋5·21＋7·22＋…＋(2n－1)·2n－2＋(2n＋1)·2n－1－[5＋7＋…＋(2n＋1)]，
令Pn＝5·21＋7·22＋…＋(2n－1)·2n－2＋(2n＋1)·2n－1，①
则2Pn＝5·22＋7·23＋…＋(2n－1)·2n－1＋(2n＋1)·2n，②( http: / / www.21cnjy.com )
A组　专项基础训练
(时间：35分钟)
1．(2016·宁夏大学附中上学期月考)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝(　　)
A.　　　　　
B．－
C.
D．－
【解析】
设等比数列{an}的公比为q，
∵S3＝a2＋10a1，a5＝9，
∴
解得
【答案】
C
2．(2016·山西四校联考)等比数
( http: / / www.21cnjy.com )列{an}满足an＞0，n∈N
，且a3·a2n－3＝22n(n≥2)，则当n≥1时，log2a1＋log2a2＋…＋log2a2n－1等于(　　)
A．n(2n－1)
B．(n＋1)2
C．n2
D．(n－1)2
【解析】
由等比数列的性质，
得a3·a2n－3＝a＝22n，从而得an＝2n.
方法一　log2a1＋l
( http: / / www.21cnjy.com )og2a2＋…＋log2a2n－1＝log2[(a1a2n－1)·(a2a2n－2)·…·(an－1an＋1)·an]＝log22n(2n－1)＝n(2n－1)．
方法二　取n＝1，log2a1＝log22
( http: / / www.21cnjy.com )＝1，而(1＋1)2＝4，(1－1)2＝0，排除B，D；取n＝2，log2a1＋log2a2＋log2a3＝log22＋log24＋log28＝6，而22＝4，排除C，选A.
【答案】
A
3．(2016·山东潍坊重点高中联考)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则＝(　　)
A．2
B.
C.
D．3
【解析】
依题意知等比数列的公比q≠±1
( http: / / www.21cnjy.com )，设S3＝k，则S6＝3k(k≠0)，结合S3，S6－S3，S9－S6成等比数列可知S9－3k＝4k，故S9＝7k.所以＝
.
【答案】
B
4．(2016·湖南师大附中月考)已知各
( http: / / www.21cnjy.com )项不为0的等差数列{an}满足a6－a＋a8＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b2·b8·b11＝(　　)
A．1
B．2
C．4
D．8
【解析】
由等差数列的性质，
( http: / / www.21cnjy.com )得a6＋a8＝2a7.由a6－a＋a8＝0，可得a7＝2，所以b7＝a7＝2.由等比数列的性质得b2·b8·b11＝b2b7b12＝b＝23＝8.
【答案】
D
5．(2016·甘肃河西五市
( http: / / www.21cnjy.com )部分普通高中第一次联考)正项等比数列{an}中的a1，a4
031是函数f(x)＝x3－4x2＋6x－3的极值点，则loga2
016＝(　　)
A．－1
B．1
C.
D．2
【解析】
∵f′(x)＝x2－8x＋6，∴a1·a4
031＝6.又∵{an}为正项等比数列，
∴a＝a1·a4
031＝6，∴loga2
016＝log＝1.
【答案】
B
6．(2016·广州综合测试)已知数列{an}为等比数列，若a4＋a6＝10，则a7(a1＋2a3)＋a3a9的值为(　　)
A．10
B．20
C．100
D．200
【解析】
a7(a1＋2a3)＋a3a9＝a7a1＋2a7a3＋a3a9＝a＋2a4a6＋a＝(a4＋a6)2＝102＝100.
【答案】
C
7．(2016·长春调研)在正项等比数
( http: / / www.21cnjy.com )列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，则n＝________．
【解析】
设数列{an}的公比为q，
由a1a2a3＝4＝aq3与a4a5a6＝12＝aq12，
可得q9＝3，an－1anan＋1＝aq3n－3＝324，
因此q3n－6＝81＝34＝q36，
所以3n－6＝36，即n＝14.
【答案】
14
8．(2016·南宁测试)在各项均为正数的等比数列{an}中，a1＝2，且2a1，a3，3a2成等差数列．则an＝________．
【解析】
设数列{an}的公比为q，
∵2a1，a3，3a2成等差数列，∴2a1＋3a2＝2a3，
2a1＋3a1q＝2a1q2，
2q2－3q－2＝0，解得q＝2或q＝－.
∵q＞0，∴q＝2.
∵a1＝2，∴数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1＝2n.
【答案】
2n
9．(2016·河南实验中学期中)数列{bn}满足：bn＋1＝2bn＋2，bn＝an＋1－an，且a1＝2，a2＝4.
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
【解析】
(1)由bn＋1＝2bn＋2，得bn＋1＋2＝2(bn＋2)，
∴＝2，又b1＋2＝a2－a1＋2＝4，
∴数列{bn＋2}是首项为4，公比为2的等比数列．
∴bn＋2＝4·2n－1＝2n＋1，∴bn＝2n＋1－2.
(2)由(1)知，an－an－1＝bn－1＝2n－2(n≥2)，
∴an－1－an－2＝2n－1－2(n＞2)，
…，a2－a1＝22－2，
∴an－2＝(22＋23＋…＋2n)－2(n－1)，
∴an＝(2＋22＋23＋…＋2n)－2n＋2
＝－2n＋2＝2n＋1－2n.
∴Sn＝－＝2n＋2－(n2＋n＋4)．
10．(2016·全国卷Ⅲ)已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0.
(1)求a2，a3；
(2)求{an}的通项公式．
【解析】
(1)由题意可得a2＝，a3＝.
(2)由a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0得
2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)．
因为{an}的各项都为正数，所以＝.
故{an}是首项为1，公比为的等比数列，因此an＝.
B组　专项能力提升
(时间：20分钟)
11．(2016·河南洛阳期中)下列结论正确的是(　　)
A．若数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝n2＋n＋1，则{an}为等差数列
B．若数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝2n－2，则{an}为等比数列
C．非零实数a，b，c不全相等，若a，b，c成等差数列，则，，可能构成等差数列
D．非零实数a，b，c不全相等，若a，b，c成等比数列，则，，一定构成等比数列
【解析】
在A中，∵数列{a
( http: / / www.21cnjy.com )n}的前n项和为Sn，Sn＝n2＋n＋1，∴a1＝S1＝1＋1＋1＝3，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋n＋1)－[(n－1)2＋(n－1)＋1]＝2n(n≥2)，故{an}不为等差数列，故A错误；在B中，∵数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝2n－2，∴a1＝S1＝2－2＝0，∴{an}不为等比数列，故B错误；在C中，若，，构成等差数列，则＝＋＝＝，∴b2＝ac，∴ac＝＝，∴a＝c，从而a＝c＝b，与非零实数a，b，c不全相等矛盾，∴，，不可能构成等差数列，故C错误；在D中，∵非零实数a，b，c不全相等，a，b，c成等比数列，∴b2＝ac，∴＝＝·，
∴，，一定成等比数列，故D正确．故选D.
【答案】
D
12．(2016·宁夏大
( http: / / www.21cnjy.com )学附中上学期月考)在正项等比数列{an}中，存在两项am，an(m，n∈N
)使得＝4a1，且a7＝a6＋2a5，则＋的最小值是(　　)
A.
B．1＋
C.
D.
【解析】
在正项等比数列{an
( http: / / www.21cnjy.com )}中，设公比为q，∵a7＝a6＋2a5，∴＝＋2，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，∴am＝a12m－1，an＝a12n－1.
∵＝4a1，∴aman＝a2m＋n－2＝16a，即m＋n－2＝4，∴m＋n＝6，
列举(m，n)＝(1，5)，(2，4)，(
( http: / / www.21cnjy.com )3，3)，(4，2)，(5，1)，即有＋＝2，，2，，.当m＝2，n＝4时，＋取得最小值.
【答案】
A
13．(2016·兰州诊断)数列{
( http: / / www.21cnjy.com )an}的首项为a1＝1，数列{bn}为等比数列且bn＝，若b10b11＝2
017，则a21＝________．
【解析】
由bn＝，且a1＝1，得b1＝＝a2.
b2＝，a3＝a2b2＝b1b2.
b3＝，a4＝a3b3＝b1b2b3，…，
an＝b1b2…bn－1，
∴a21＝b1b2…b20.
∵数列{bn}为等比数列，
∴a21＝(b1b20)(b2b19)…(b10b11)＝(b10b11)10
＝(2
017)10
＝2
017.
【答案】
2017
14．(2016·全国卷Ⅰ)已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝，anbn＋1＋bn＋1＝nbn.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求{bn}的前n项和．
【解析】
(1)由已知，a1b2＋b2＝b1，b1＝1，b2＝，得a1＝2.
所以数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，
通项公式为an＝3n－1.
(2)由(1)和anbn＋1＋bn＋1
( http: / / www.21cnjy.com )＝nbn，得bn＋1＝，因此数列{bn}是首项为1，公比为的等比数列．记{bn}的前n项和为Sn，则
Sn＝＝－.
15．(2017·兰州模拟)设Sn为数列{an}的前n项和，对任意的n∈N
，都有Sn＝m＋1－man(m为常数，且m＞0)．
(1)求证：数列{an}是等比数列；
(2)设数列{an}的公比q＝f(m)，数列{bn}满足b1＝2a1，bn＝f(bn－1)(n≥2，n∈N
)，求数列{bn}的通项公式．
【解析】
(1)证明
当n＝1时，a1＝S1＝m＋1－ma1，解得a1＝1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝man－1－man，即(1＋m)an＝man－1.
又m为常数，且m＞0，∴＝(n≥2)．
∴数列{an}是首项为1，公比为的等比数列．
(2)由(1)得，q＝f(m)＝，b1＝2a1＝2.
∵bn＝f(bn－1)＝，
∴＝＋1，即－＝1(n≥2)．
∴数列是首项为，公差为1的等差数列．
∴＝＋(n－1)·1＝，即bn＝(n∈N
)．