第二章
基本初等函数
2.3
幂函数
课堂练习：
1．幂函数的图象经过点，则的解析式为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
试题分析：因,故，所以,故应选B.
考点：幂函数的定义．
2．已知指数函数的图象恒过定点P，若定点P在幂函数的图像上，则幂函数的图像是（
）
【答案】A
考点：指数函数幂函数性质
3.
如图，函数、、的图象和直线将平面直角坐标系的第一象限分成八个部分：①②③④⑤⑥⑦⑧。若幂函数的图象经过的部分是④⑧，则可能是（
）
A.y＝x2
B.
C.
D.y=x-2
【答案】B
考点：幂函数的图像和性质.
已知幂函数y＝f(x)的图象经过点，则f(2)＝
．
【答案】
【解析】
设幂函数为y＝xα，∵幂函数的图象经过点，∴＝4α，∴α＝－，
∴y＝x－，∴f(2)＝2－＝，
考点：幂函数的解析式
5．点（，2）在幂函数f（x）的图象上，点（-2，在幂函数g（x）的图象上，问当x为何值时，有f（x）＞g（x），f（x）=g（x），f（x）＜g（x）.
【答案】①当x＞1或x＜-1时，f（x）＞g（x）；②当x=±1时，f（x）=g（x）；③当-1＜x＜1且x≠0时，
f（x）＜g（x）.
【解析】
设f（x）=xα，则由题意得2=（）α，∴α=2，即f（x）=x2，再设g（x）=xβ，
则由题意得=（-2）β，∴β=-2，即g（x）=x-2，在同一坐标系中作出f（x）与g（x）的图象，如图所示.
由图象可知：①当x＞1或x＜-1时，f（x）＞g（x）；②当x=±1时，f（x）=g（x）；③当-1＜x＜1且x≠0时，f（x）＜g（x）.
课后练习：
1．幂函数的图象过点，那么函数的单调递增区间是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
试题分析：因为函数过点，所以，故函数解析式为，单调增区间为，选C.
考点：1.幂函数；2.二次函数.
2．函数是幂函数，且在上为增函数，则实数
的值是（
）
A．
B．
C．
D．
或
【答案】
考点：幂函数的概念及性质.
3．当时，幂函数为减函数，则函数
.
【答案】2
【解析】
试题分析：因为给出的函数是幂函数，所以系数等于1，又函数在x∈（0，+∞）时为减函数，所以幂指数小于0，联立后可求解m的值．
由当x∈（0，+∞）时，幂函数y=（m2-m-1）x-m-1为减函数，得：
考点：幂函数的性质
4．幂函数的图像与坐标轴没有公共点，则m的值为
【答案】1
【解析】
试题分析：由题意可得，解得即m=1
考点：幂函数性质
5．已知幂函数在上单调递增，函数．
（1）求的值；
（2）当时，记的值域分别为集合，若，求实数的取值范围．
【答案】（1）（2）
（2）由（1）可知，当时，单调递增，∴，∵，∴，∴．故实数的取值范围是．
考点：幂函数的定义，单调性，值域，集合的运算必修一
第二章
基本初等函数
2．3
幂函数
【教学目标】
1、知识与技能目标：理解幂函数的定义和幂函数的图像及其性质.
2、过程与能力目标：通过类比指、对数函数的研究方法和过程，对幂函数进行学习研究，掌握研究函数的一般方法；通过小组合作学习，引导学生自主、合作、探究学习，经历观察、比较、分析、类比、归纳和概括等认知过程，使学生生动活泼地全面发展，数学思维品质和能力得到全面提升．
3、情感与态度目标：（1）引导学生经历由具体函数研究，概括一般规律，再实际应用的过程，渗透数形结合、分类讨论等数学思想，体会特殊和一般的辩证关系，从而培养学生观察、分析、归纳和概括等逻辑思维能力；（2）通过小组合作学习，引导学生开展自主、合作、探究学习，培养学生主动探究的意识和严谨治学的科学精神，促进合作能力、沟通能力和表达交流能力的提高．
【教法指导】
本节学习重点：幂函数的图像和性质．.
本节学习难点：幂函数的图像和性质．．
【教学过程】
☆复习引入☆
思考：请用描点法在同一平面直角坐标系中画出初中已熟知的函数的图象,并观察它们的共同特点.
解析：
这些函数都是以幂的底数为自变量,指数为常数,它们的图象都过点(1,1).
☆探索新知☆
思考1：仿效指数函数、对数函数的解析式,你能否归纳出实例中此类函数的统一表达式
(都可以表示为(a为常数)的形式):
1、幂函数的概念
一般地,函数叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.
答案：x、α
【质疑探究1】
(1)幂函数的定义与指数、对数函数的定义存在什么共性
思考2：幂函数的定义与指数、对数函数的定义存在什么区别
①幂函数的底数为自变量,指数为常数,而指数函数的底数为常数,指数为自变量；②指数、对数函数的定义域都是唯一确定的,而幂函数的定义域却不尽相同)
练习1:下列函数中是幂函数的是 .
(1)y=;(2)y=+x3;(3)y=2x;(4)y=x0;(5)y=xπ(其中π为圆周率).
解析:(1)y=
QUOTE
\
MERGEFORMAT
=x-3是幂函数;(2)y=+x3有两项,不是幂函数；(3)y=2x为指数函数;
(4)y=x0是幂函数；(5)y=xπ是幂函数.
答案:(1)(4)(5).
2、幂函数的图像
思考3：幂函数y=x3、y=的图象有何特征
(y=x3的图象穿过第一、三象限,y=的图象只分布在第一象限)
在同一平面直角坐标系中,画出幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=,y=x-1的图象如图:
【质疑探究2】
以上5个幂函数的图象有何共性与特性
(1)共性:都经过定点(1,1);都不经过第四象限.
(2)特性:当α>0时,图象都经过原点；当α>1时,第一象限内的图象下凸；当0<α<1时,第一象限内的图象上凸)
练习：函数y=的图象是( B )
【解析】幂函数图象过定点(1,1)可排除选项A、D.在直线x=1右侧函数y=的图象应在直线y=x下方.故选B.
3、幂函数的性质
思考：指数、对数函数在其定义域上都是单调函数,幂函数呢
(不一定,如幂函数y=x2在其定义域上就不具备单调性,即幂函数的单调性取决于幂指数的取值)
【质疑探究3】
在第一象限内,幂函数y=xα的单调性可以如何分类
(在区间(0,+∞)上,当α>0时,y=xα是增函数;当α<0时,y=xα是减函数)
练习3：(1)若a=,b=,那么下列不等式成立的是( B )
(A)a<1
(B)1(C)b<1(D)1(2)已知n∈{-2,-1,0,1,2,3},若n>n,则n= .
解析:(1)b==,因为函数y=在[0,+∞)上是增函数,且1<1.1<
QUOTE
\
MERGEFORMAT
,所以<<
,所以1(2)∵
QUOTE
\
MERGEFORMAT
>
QUOTE
\
MERGEFORMAT
,n>n,∴幂函数y=xn在(0,+∞)上为增函数,∴n=1或2或3.
答案:(1)B (2)1或2或3
☆课堂提高☆
1、已知幂函数的图象过点，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
试题分析：根据幂函数的定义，设幂函数，将点代入，得到，因此
考点：幂函数的定义．
2、若幂函数的图象不过原点，则（
）
A．
B．或
C．
D．
【答案】B
考点：幂函数的概念.
3、若函数是幂函数，则函数（其中a＞0，a≠1）的图象过定点A的坐标为
．
【答案】
【解析】
试题分析：由题意得额，因为函数是幂函数，所以，所以函数，令，即，所以过定点．
考点：幂函数的概念及对数函数的性质．
4、已知幂函数的图像过点，则_________________；函数的定义域为_________________．
【答案】3
考点：1.函数定义域；2.幂函数
5、若<,则a的取值范围是 .
【答案】
【解析】令f(x)==,则f(x)的定义域是{x|x>0},且在(0,+∞)上单调递减,则原不等式等价于解得6、比较下列各组数中两个数的大小.
(1)
与;(2)
与;(3)
与.
【答案】详见解析.
【解析】(1)∵幂函数y=x0.5在(0,+∞)上是单调递增的,
又
QUOTE
\
MERGEFORMAT
>
QUOTE
\
MERGEFORMAT
,∴>.
(2)∵幂函数y=x-1在(-∞,0)上是单调递减的,又-
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\
MERGEFORMAT
<-
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\
MERGEFORMAT
,>.
(3)∵函数y1=x为R上的减函数,又
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\
MERGEFORMAT
>
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\
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,∴>.
又∵函数y2=
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\
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在(0,+∞)上是增函数,且
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\
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>
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\
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,∴>,∴>.第二章
基本初等函数
2.3
幂函数
（时间：25分，满分55分）
班级
姓名
得分
1．（5分）已知幂函数的图象过点，则（
）
A．
B．
C．
D．与大小无法判定
【答案】A
【解析】
试题分析：设，则，，即，在上是减函数，所以．故选A．
考点：幂函数的概念与性质．
2.（5分）函数y＝x的图象是( )
【答案】 B
考点：幂函数的图像和性质.
3.（5分）给出下列函数：（1）；（2）；（3）；（4）；（5），其中是幂函数的序号为（
）
A．（2）（3）
B．（1）（2）
C．（2）（3）（5）
D．（1）（2）（3）
【答案】A
【解析】
试题分析：幂函数的形式为，（1）为指数函数，（4）中多了常数项，（5）中系数不为.故选A.
考点：幂函数的定义.
4.（5分）若幂函数的图象不过原点，则（
）
A．
B．或
C．
D．
【答案】B
考点：幂函数的概念.
5．（5分）设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＜b＜c
B．b＜a＜c
C．c＜a＜b
D．b＜c＜a
【答案】 B
【解析】 由于函数y＝x在它的定义域R上是减函数，∴a＝>b＝>0.
由于函数y＝x在它的定义域R上是增函数，且>，故有c＝>a＝，
故a，b，c的大小关系是b＜a＜c，故选B.
考点：指数函数、幂函数性质的应用．
6．（5分）函数满足，那么函数的图象大致为
【答案】C
【解析】
试题分析：由函数满足，即，则即
，将函数的图像向左平移1个单位长度（纵坐标不变），然后将轴下方的图像折上去，即可知选C
考点：幂函数，函数的图像变换
7．（5分）若幂函数y
=的图象经过点（9,）,
则f（25）的值是_________.
【答案】
【解析】
试题分析：设代入点（9,）得
考点：幂函数
8．（5分）已知幂函数是偶函数，且在上是增函数，则
。
【答案】1
考点：本题主要考查幂函数的性质。
9．（5分）已知幂函数在增函数，则的取值范围
.
【答案】(0,10)
【解析】
试题分析：根据已知表达式可知，幂函数在增函数，首先分析对数式y=lga中真数大于零，即a>0，同时要满足在增函数，说明了幂指数为正数，即1-lga>0，得到lga<1=lg10,a<10,这样结合a>0，可知实数a的取值范围是(0,10)。
考点：本题主要考查幂函数的性质。
10．（10分）若，试求的取值范围.
【答案】（－∞，－1）∪（，）
【解析】解：∵幂函数有两个单调区间，
∴根据和的正、负情况，有以下关系
① ② ③
解三个不等式组：①得＜＜，②无解，③＜－1
∴的取值范围是（－∞，－1）∪（，）
考点：本题主要考查幂函数的性质。
y
y
x
O
1
y
x
O
-1
x
O
-1
y
x
O
-1
B．
A．
C．
D．