必修一
第三章
函数与方程
3.1.1方程的根与函数的零点
【教学目标】
1.知识与技能：
（1）结合二次函数的图像理解函数零点的定义，会判断一元二次方程根的存在性及根的个数；
（2）了解方程的实根与其相应函数零点之间的联系；
（3）了解判定函数的零点存在的条件，能找到零点所在的区间.
2.过程与方法：
（1）体验二次函数的图象与
轴的交点的横坐标和对应的一元二次方程根的关系，探究方程的根与函数的零点的联系；
（2）经历从特殊到一般从具体到抽象的研究过程，提高发现问题、提出问题、解决问题的能力；
（3）在课堂探究中领会化归与转化、数形结合、函数与方程的思想，并能用该思想主动来研究问题.
3.情感态度价值观：
在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．
【教法指导】
本节学习重点：理解方程的根与函数零点的等价关系，形成用函数处理问题意识．
本节学习难点：函数零点存在的条件．
【教学过程】
☆复习引入☆
思考：思考：若将这些特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程及相应的二次函数的图象与x轴交点的关系，结论是否仍然成立？
解析：
☆探索新知☆
思考1：对于函数我们把叫作函数的零点.你能概括一般函数零点的概念吗？
1、函数零点的概念
对于函数,我们把使的实数叫做函数的零点.
思考2：结合函数零点的定义和我们刚才的探究过程，你能总结方程的根与函数的零点之间关系吗？
函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图像与轴交点的横坐标.
还可以用数学符号语言表达，函数有零点方程有实数根
函数
的图像与x轴有交点.
思考3：请说出函数的零点是多少？
从定义上可以看到零点指的是一个实数并非一个点.
2、零点存在性定理
探究：观察二次函数的图象，如右图，我们发现函数在区间上有零点。计算和的乘积，你能发现这个乘积有什么特点？在区间上是否也具有这种特点呢？
结论：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根。我们把这个结论称为零点存在定理。
思考4：判断图中零点个数？
加强定理的结论:若在区间上连续函数满足f(a)f(b)<0,是否意味着函数在上只有一个零点 如何保证只有一个零点？严格单调
思考5：将定理反过来:若连续函数在上有一个零点,是否一定有f(a)f(b)<0
不一定
3、例题剖析
例2：求的零点的大致区间和个数.
解：用计算器或计算机作出，的对应值表和图像.
由表和图可知，，则，这说明函数在区间内有零点.由于函数在定义域内是增函数，所以它仅有一个零点.
练习2：函数，问：方程在区间内有没有实数根？为什么？
且函数的图像是连续曲线，
在区间内有零点.
即方程在区间内有实数根.
☆课堂提高☆
1、函数f(x)＝－ln
x的零点所在的大致区间是( )
A．(1,2)
B．(2,3)
C．(3,4)
D．(e，＋∞)
【答案】 B
【解析】 ∵函数f(x)＝－ln
x满足f(2)＝－ln
2＞0，f(3)＝1－ln
3＜0，∴f(2)·f(3)＜0，根据函数零点的判定定理可得函数f(x)＝－ln
x的零点所在的大致区间是(2,3)，故选B.
2、设是方程的解，则属于区间（
）
A.
（0，1）
B.
（1，2）
C.
（2，3）
D.
（3，4）
【答案】C
【解析】
试题分析：设,因,，故,应选C.
考点：函数零点的定义及运用.
3、函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是________.
【答案】 0，－
4、关于的方程的两根满足，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
试题分析：由，得方程有一根比大的，另一根比小的，令只需，求得，故答案为.
考点：1、一元二次方程根与系数的关系；2、二次函数的图象与性质.
5、关于x的方程有四个不同的实根，则实数的取值范围为_________
【答案】
【解析】
考点：函数图像与性质
6、已知函数，若有四个零点，求实数的取值范围.
【答案】
【解析】
试题分析：由题意得，函数，所以，作出的图象，要使得与有四个不同的交点，所以.
考点：函数零点的应用.
【方法点晴】本题主要考查了函数的零点的概念、零点的判定与应用，此类问题利用函数与方程之间的关系转化为两个函数的图象的交点个数问题，利用数形结合是解答的关键，着重考查了函数与方程思想及数形结合思想的应用，属于中档试题，本题的解答中，把函数有四个零点，转化为与有四个不同的交点，作出两个函数的图象，即可求解.必修一
3.1.1方程的根与函数的零点
课堂练习：
1．函数的零点有（
）
A．个
B．个
C．个
D．个
【答案】A
【解析】
试题分析：，即无零点，选A.
考点：函数零点
2．若函数在区间上存在一个零点，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．或
D．
【答案】C
【解析】
试题分析：函数在区间上存在一个零点，则，即
，解得或
故选：C．
考点：函数零点的判定定理.
3.
设是方程的解，则属于区间（
）
A.
（0，1）
B.
（1，2）
C.
（2，3）
D.
（3，4）
【答案】C
考点：函数零点的定义及运用.
4．关于的方程的两根满足，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
试题分析：由，得方程有一根比大的，另一根比小的，令只需，求得，故答案为.
考点：1、一元二次方程根与系数的关系；2、二次函数的图象与性质.
5．已知二次函数.
（1）若,且函数的值域为,求函数的解析式;
（2）若,且函数在上有两个零点,
求的取值范围.
【答案】（1）（2）
试题解析：（1）因为,因为函数的值域为,所以方程有两个相等的实数根,
即有等根,
故.
（2）设的两个零点分别为,所以,不妨设,且,
.
考点：二次函数值域，二次函数实根分布
课后练习：
1．函数的零点所在区间为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
试题分析：由题意得，，所以，由零点的存在性定理可知，函数在区间内有零点，故选B.
考点：零点的存在性定理.
2．函数f(x)＝ex－的零点所在的区间是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】B
考点：函数零点
3．已知关于的方程有2个不相等的实数根，则的取值范围是_______.
【答案】
【解析】
试题分析：关于的方程有个不相等的实数根,即有两个不等的实数根，转化为和的图象有两个交点，由于两函数的图象均过点，故已有一个交点，又因为为偶函数，当时，，临界位置为直线与曲线相切，设切点坐标为，，得，解的，故要使得有两个不相等的实数根，可得，得，又因为为偶函数，可得当，，则的范围为，故答案为.
考点：函数零点的个数.
4．若函数有两个零点,
则实数的取值范围是
．
【答案】
【解析】
试题分析：由函数有两个零点，可得有两个零点，从而可得函数函数的图象有两个交点，结合函数的图象可得，时符合条件，故答案为：.
考点：函数的零点.
5．设函数是定义在上的偶函数,
对任意,都有,且当时,,
若在区间内关于的方程恰有三个不同的实数根,
求的取值范围.
【答案】.
【解析】
试题分析：由得,作出图像如下.关于的方程恰有三个不同的实数根,
就是函数与有三个不同的交点，即.
考点：函数零点
【方法点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法
(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.
(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.
(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.
