3.2.1
几类不同增长的函数模型
【教学目标】
1．知识与技能
结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义,
理解它们的增长差异性.
2．过程与方法
能够借助信息技术,
利用函数图象及数据表格,
对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较,
初步体会它们的增长差异性;
收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数等),
了解函数模型的广泛应用.
3．情感、态度、价值观
体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用.
【教法指导】
1．教学重点
将实际问题转化为数学问题，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。
2．教学难点
如何选择和利用不同函数模型增长差异性分析解决实际问题。
【教学过程】
☆情境引入☆
1．我们学习过函数的哪几种表示法？
2．学生回答指数函数、对数函数以及幂函数的图象和性质。
3．你能举出以前学习过的增长型的函数吗？
4．一张纸的厚度大约为0.01
cm，一块砖的厚度大约为10
cm，请同学们计算将一张纸对折n次的厚度和n块砖的厚度，列出函数关系式，并计算n＝20时它们的厚度．你的直觉与结果一致吗？
解：纸对折n次的厚度：f(n)＝0.01·2n(cm)，n块砖的厚度：g(n)＝10n(cm)，f(20)≈105
m，g(20)＝2
m.
☆探索新知☆
【例题讲解】
例1．（教材P95例1）
假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。
请问，你会选择哪种投资方案？
★思路点拔：
1．各方案每天回报的变化情况可用什么函数模型来反映？
2．选择投资方案的依据是什么？
★解答过程：
解：设第天的回报为元，则方案一可以用进行描述，方案二可以用进行描述，方案三可以用进行描述.三个模型中，第一个是常数函数，后两个都是递增函数模型．要对三个方案做出选择，就要对它的增长情况进行分析．我们先用计算机计算一下三种所得回报的增长情况.
x/天[]
方案一
方案二
方案三[][][
y/元
增加量/元
y/元
增加量/元
y/元
增加量/元
1
40
10
0.4
2
40
0
20
10
0.8
0.4
3
40
0
30
10
1.6
0.8
4
40
0
40
10
3.2
1.6
5
40
0
50
10
6.4
3.2
6
40
0
60
10
12.8
6.4
7
40
0
70
10
25.6
12.8
8
40
0
80
10
51.2
25.6
9
40
0
90
10
102.4
51.2
10
40
0
100
10
204.8
102.4
…
…
…
…
…
…
…
30
40
0
300
10
214
748
364.8
107
374
182.4
再作出三个函数的图象(如下图)．
由表和上图可知，方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但方案二与方案三的函数的增长情况很不相同．可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二无法企及的．从每天所得回报看，在第1～3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第5～8天，方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元．
下面再看累积的回报数．通过计算机或计算器列表如下：
因此，投资1～6天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或方案二；投资8～10天，应选择方案二；投资11天(含11天)以上，则应选择方案三．
例2．（教材P97例2）某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金（单位：万元）随销售利润（单位：万元）的增加而增加但奖金不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%．现有三个奖励模型：
．
问：其中哪个模型能符合公司的要求？
★思路点拔：
1．此例涉及了哪几类函数模型？本例实质如何？
2．根据问题中的数据，如何判定所给的奖励模型是否符合公司要求？
★解答过程：
解：借助计算器或计算机作出函数y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x的图象(如下图)．
观察函数的图象，在区间[10,1
000]上，模型y＝0.25x，y＝1.002x的图象都有一部分在直线y＝5的上方，只有模型y＝log7x＋1的图象始终在y＝5的下方，这说明只有按模型y＝log7x＋1进行奖励时才符合公司的要求．
下面通过计算确认上述判断．
首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万．
对于模型y＝0.25x，它在区间[10,1
000]上递增，而且当x＝20时，y＝5，因此，当x＞20时，y＞5，所以该模型不符合要求；
令f(x)＝log7x＋1－0.25x，x∈[10,1
000]．利用计算器或计算机作出函数f(x)的图象(如上图)，由函数图象可知它是递减的，因此
f(x)＜f(10)≈－0.316
7＜0，即log7x＋1＜0.25x.
所以当x∈[10,1
000]时，＜0.25.
说明按模型y＝log7x＋1奖励，奖金不超过利润的25%.
综上所述，模型y＝log7x＋1确实能符合公司的要求.
思考：指数函数（＞1）、对数函数（＞1）、幂函数（＞0）在区间（0，
+∞）上都是增函数。这三类函数的增长是有差异的，那么，这种差异的具体情况到底怎么样呢？
用几何画板在同一坐标系做函数y＝log2x，y＝2x，y＝x2的图像，观察它们的图像，思考指数函数（＞1）、对数函数（＞1）、幂函数（＞0）在区间（0，
+∞）上增长的差异。
结论：(1)、在区间(0,+∞)上，幂函数（＞1）、对数函数（＞1）、幂函数（＞0）都是增函数。
(2)、随着x的增大，
(a>1)的增长速度越来越快，会远远大于(n>0)的增长速度。
(3)、随着x的增大，
(a>1)的增长速度越来越慢，会远远大于
(n>0)的增长速度。
总存在一个，当x>时，就有.
【课堂练习】
1.
商店出售茶壶与茶杯，茶壶每个定价20元，茶杯每个5元，该商店推出两种优惠办法：①买一个茶壶送一个茶杯，②按购买总价的92%付款．某顾客购买茶壶4个，茶杯若干个(不少于4个)，若购买茶杯数x个，付款为y(元)，试分别建立两种优惠办法中，y与x的函数关系式，并指出如果该顾客需要购买茶杯40个，应选择哪种优惠办法？．
★解答过程：
2．某公司拟投资100万元，有两种投资可供选择：一种是年利率10%，按单利计算，5年后收回本金和利息；另一种是年利率9%，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息．哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元？(结果精确到0.01万元)
★解答过程：
解：本金100万元，年利率10%，按单利计算，5年后的本息和是100×(1＋10%×5)＝
150(万元)．
本金100万元，年利率9%，按每年复利一次计算，5年后的本息和是100×(1＋9%)5≈
153.86(万元)．
由此可见，按利率9%每年复利一次计算要比按年利率10%单利计算更有利，5年后多得
利息153.86－150＝3.86(万元)．
☆课堂提高☆
1．下列函数中随x的增大而增长速度最快的是( )
A．y＝ex
B．y＝100ln
x
C．y＝x100
D．y＝100·2x
【答案】 A
【解析】 指数函数y＝ax，在a>1时呈爆炸式增长，并且随a值的增大，增长速度越快，应选A.
2．某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表：
x
1
2
3
…
y
1
2
3
…
下面的函数关系式中，能表达这种关系的是( )
A．y＝log2(x＋1)
B．y＝2x－1
C．y＝2x－1
D．y＝(x－1)2＋1
答案 D
【解析】 代入检验，排除A、B、C，故选D.
3．在某种金属材料的耐高温实验中，温度y(℃)随着时间t(分)变化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示：现给出下列说法________
①前5分钟温度增加越来越快；
②前5分钟温度增加越来越慢；
③5分钟后温度保持匀速增加；
④5分钟后温度保持不变．
答案 ②③
【解析】 前5分钟，温度y随x增加而增加，增长速度越来越慢；5分钟后，温度y随x的变化曲线是直线，即温度匀速增加．故说法②③正确．
4．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元(如图)．
(1)分别写出两种产品的收益与投资额的函数关系．
(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？
答案
(1)
f(x)＝x(x≥0)，g(x)＝(x≥0)．(2)
当投资债券类产品16万元，投资股票类产品4万元时，收益最大，最大收益是3万元．
解 (1)设f(x)＝k1x，g(x)＝k2，所以f(1)＝＝k1，g(1)＝＝k2，
即f(x)＝x(x≥0)，g(x)＝(x≥0)．
☆课堂小结☆
（1）解决实际问题的步骤：
实际问题
读懂问题
将问题抽象化
数学模型
解决问题
（2）几种常见函数的增长情况：
常数函数
一次函数
指数函数
没有增长
直线上升
指数爆炸
.
☆课后作业☆
1.教材P107习题3·2（A组）第1，2题。3.2.1
几类不同增长的函数模型
（时间：25分，满分55分）
班级
姓名
得分
一、选择题
1．函数y＝2x与y＝x2的图象的交点个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】 D
【解析】 作出两个函数的图象，在第一象限中有两个交点，在第二象限中有一个交点，即共有三个交点．
2．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2A．y1>y2>y3
B．y2>y1>y3
C．y1>y3>y2
D．y2>y3>y1
【答案】 B
【解析】 在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略)，在区间(2,4)内，从上到下图象依次对应的函数为y2＝x2，y1＝2x，y3＝log2x，故y2>y1>y3.
3．某工厂生产两种成本不同的产品，由于市场发生变化，A产品连续两次提价20%，B产品连续两次降低20%，结果都以23.04元666出售，此时厂家同时出售A、B产品各一件，盈亏情况为( )
A．不亏不赚
B．亏5.92元
C．赚5.92元
D．赚28.96元
【答案】 B
【解析】 由题意得，A产品原价为16元，B产品原价为36元，若厂家同时出售A、B两种产品，亏5.92元，故选B.
4．高为h，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部碰了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为V，则函数V＝f(h)的大致图象是( )
【答案】 B
【解析】 当h＝H时，体积是V，故排除A，C.h由0到H变化的过程中，V的变化开始时增长速度越来越快，类似于指数型函数的图象，后来增长速度越来越慢，类似于对数型函数的图象，综合分析可知选B.
5．三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如下表：
x
1
3
5
7
9
11
y1
5
135
625
1715
3645
6655
y2
5
29
245
2189
19685
177149
y3
5
6.10
6.61
6.985
7.2
7.4
则关于x分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为( )
A．y1，y2，y3
B．y2，y1，y3
C．y3，y2，y1
D．y1，y3，y2
【答案】 C
6．四个人赛跑，假设他们跑过的路程fi(x)(i∈{1,2,3,4})和时间x(x＞1)的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是( )
A．f1(x)＝x2
B．f2(x)＝4x
C．f3(x)＝log2x
D．f4(x)＝2x
【答案】 D
[解析] 显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f4(x)＝2x，故选D.
二、填空题
7．假设某商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R＝a，那么广告效应D＝a－A，当A＝________时，取得最大值．
【答案】
【解析】D＝a－A＝－(－)2＋，当＝，即A＝时，D最大．
8．某食品加工厂生产总值的月平均增长率为p，则年平均增长率为________．
【答案】 (1＋p)12－1
【解析】设年平均增长率为x,年初产值为1.则。
9．某汽车油箱中存油22
kg，油从管道中匀速流出，200分钟流尽，油箱中剩余量y(kg)与流出时间x(分钟)之间的函数关系式为__________________．
【答案】y＝22－x
【解析】流速为＝，x分钟可流x.
10．在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由微机记录后显示的图象如图所示．现给出下列说法：
①前5min温度增加的速度越来越快；②前5min温度增加的速度越来越慢；③5min以后温度保持匀速增加；④5min以后温度保持不变．
其中正确的说法是________．(填序号)
【答案】 ②④
【解析】 因为温度y关于时间t的图象是先凸后平，即5min前每当t增加一个单位增量，则y相应的增量越来越小，而5min后是y关于t的增量保持为0，则②④正确．
三、解答题
11．家用冰箱使用的氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层．臭氧含量Q呈指数函数型变化，满足关系式Q＝Q0，其中Q0是臭氧的初始量．
（1）随时间的增加，臭氧的含量是增加还是减少
（2）多少年以后将会有一半的臭氧消失
12．有甲，乙两家健身中心，两家设备和服务都相当，但收费方式不同．甲中心每小时5元；乙中心按月计算，一个月中30小时以内(含30小时)90元，超过30小时的部分每小时2元．某人准备下个月从这两家中选择一家进行健身活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时．
(1)设在甲中心健身活动x(15≤x≤40)小时的收费为f(x)元，在乙中心健身活动x小时的收费为g(x)元，试求f(x)和g(x)；
(2)问：选择哪家比较合算？为什么？
【答案】
(1)f(x)＝5x,15≤x≤40，g(x)＝（2）当15≤x＜18时，选甲比较合算；当x＝18时，两家一样合算；当18＜x≤40时，选乙比较合算．
【解析】 (1)f(x)＝5x,15≤x≤40，
g(x)＝
(2)当5x＝90时，x＝18，
即当15≤x＜18时，f(x)＜g(x)；
当x＝18时，f(x)＝g(x)，
当18＜x≤40时，f(x)＞g(x)．
所以当15≤x＜18时，选甲比较合算；当x＝18时，两家一样合算；当18＜x≤40时，选乙比较合算．3.2.1
几类不同增长的函数模型
1．下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是( )
A．y＝1
B．y＝x
C．y＝3x
D．y＝log3x
【答案】 C
【解析】 结合函数y＝1，y＝x，y＝3x及y＝log3x的图象可知，随着x的增大，增长速度最快的是y＝3x.
2．如图，能使不等式log2x＜x2＜2x成立的自变量x的取值范围是( )
A．x＞0
B．x＞2
C．x＜2
D．0＜x＜2
答案 D
解析
由图可知，当03．一辆匀速行驶的火车90
min行驶180
km，则这辆火车行驶的路程y(km)与时间t(h)之间的函数关系式是( )
A．y＝2t
B．y＝120t
C．y＝2t(t≥0)
D．y＝120t(t≥0)答案 D
解析 90
min＝1.5
h，∴y＝t＝120t(t≥0)，故选D.
4．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v米/秒和燃料的质量M千克、火箭(除燃料外)的质量m千克的函数关系式是v＝2
000ln.当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒．
【答案】 e6－1
【解析】 当v＝12
000时，2
000×ln＝12
000，
∴ln＝6，∴＝e6－1
5．某工厂生产某种产品的固定成本为200万元，并且生产量每增加一单位产品，成本增加
1万元，又知总收入
R
是单位产量
Q
的函数：R（Q）=4Q
-Q2，则总利润
L（Q）的最大值是
万元，这时产品的生产数量为
.
答案
250，300
解析
总利润
=总收入
-成本，L（Q）=4Q
-Q2-（200+Q）=-（Q
-300）2+250.
当产量即Q为300时，总利润L（Q）的最大值是250万元。
6．有甲、乙两个水桶，开始时水桶甲中有a升水，水桶乙中无水，水通过水桶甲的底部小孔流入水桶乙中，t分钟后剩余的水符合指数衰减曲线y＝ae－nt，假设过5分钟时水桶甲和水桶乙的水相等，求再过多长时间水桶甲中的水只有.
答案
再过10分钟水桶甲中的水只有.
