3.2.2
函数模型的应用实例
【教学目标】
1．知识与技能
使学生通过投资回报实例，对直线上升和指数爆炸有感性认识。
通过阅读理解题目中文字叙述所反映的实际背景，领悟其中的数学本质，弄清题中出现的量及起数学含义。
（3）
体验由具体到抽象及数形结合的思维方法。
2．过程与方法
经历实际应用问题的求解过程，体验指数函数模型、拟合函数模型的题型特征，学会运用函数知识解决实际问题.http://www./3．情感、态度、价值观
了解数学知识来源于生活，又服务于实际，从而培养学生的数学应用意识，提高学生学习数学的兴趣.
【教法指导】
1．教学重点
指数函数，对数函数等函数模型的应用将实际问题转化为函数模型。
2．教学难点
怎样选择数学模型分析解决实际问题。
【教学过程】
☆情境引入☆
一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及幂函数，不只是理论上的数学问题，它们都与现实世界有着紧密的联系，我们如何利用这些函数模型来解决实际问题？
☆探索新知☆
【例题讲解】
例1．（教材P102例3）
一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示.
（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；
（2）假设这辆汽车行驶这段路程前的读数为2004
km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s
km与时间t
h的函数关系式，并作出相应的图象.
★思路点拔：
1．该图中反映的数据，应怎样理解？
2.图中5个小矩形的面积之和为多少？它有什么实际含义？
3.汽车的行驶里程与里程表读数之间有什么关系？它们关于时间的函数图象又有何关系？
★解答过程：
例2．（教材P103例4）
人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变
化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯（T.R.Malthus，1766—1834）就提出了自然状态下的人口增长模型：
y=y0ert,
其中t表示经过的时间，y0表示t=0时的人口数，r表示人口的年平均增长率.
下表是1950~1959年我国人口数据资料：
（1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；
（2）如果按表的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？
★思路点拔：
1.本题描述所涉及数量之间关系的函数模型是否是确定的，确定这种模型需要几个因素？
2.根据表中数据如何确定函数模型？
3.怎样检验该模型与我国实际人口数据是否相符？
★解答过程：
由上图可以看出，所得模型与1950~1959年的实际人口数据基本吻合.
（2）将y=130000代入
y=55196e0.0221t（t∈N），
由计算器可得
t≈38.76.
所以，如果按表的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年（即1989年）我国的人口就已达到13亿.由此可以看到如果不实行计划生育，而是让人口自然增长，今天我国将面临难以承受的人口压力.
例3.（教材P104例5）
某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元.销售单价与日均销售量的关系如表所示：
销售单价/元
6
7
8
9
10
11
12
日均销售量/桶
480
440
400
360
320
280
240
请据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？
★思路点拔：
观察表中的数据，日均销售量与销售单价之间有什么函数关系？怎样求其最大值？
★解答过程：
解：根据表，销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶.设在进价基础上增加x元后，日均销售利润为y
元，而在此情况下的日均销售量就为
480–40(x–1)=520–40x(桶)
由于x＞0且520–40x＞0，即0＜x＜13，于是可得
y=(520–40x)x–200
=
–40x2+520x–200，0＜x＜13
易知，当x=6.5时，y有最大值.
所以，只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润.
例4.（教材P106例6）
某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：
身高/cm
60
70
80
90
100
110
120
140
150
160
170
体重/kg
6.13
7.90
9.99
12.15
15.02
17.50
20.92
31.11
38.85
47.25
55.05
（1）根据上表提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重y
kg与身高x
cm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式。
（2）若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏重，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175
cm，体重为78
kg的在校男生的体重是否正常？
★思路点拔：
1.在坐标系中描出表中数据对应的点（x,y)，根据这些点的分布情况，可以选用哪个函数模型较近似地反映这个地区未成年男性体重与身高的函数关系？
2.怎样求函数解析式？
★解答过程：
解：（1）以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图。根据点的分布特征，可考虑以作为刻画这个地区未成年男性的体重与身高关系的函数模型。
归纳：解函数应用题的步骤：
解应用题就是在阅读材料、理解题意的基础上，把实际问题抽象转化为数学问题，然后再用相应的数学知识去解决，基本程序如下：
1、阅读、审题：要做到简缩问题，删掉将要语句，深入理解关键字句；为便于数据处理，最好运用表格（或图形）处理数据，便于寻找数量关系。
2、建模：将问题简单化、符号化，尽量借鉴标准形式，建立数学关系式。
3、合理求解纯数学问题。
4、解释并回答实际问题。
【课堂练习】
1.
某电器公司生产A型电脑.1993年这种电脑平均每台的生产成本为5
000元，并以纯利润20%确定出厂价．从1994年开始，公司通过更新设备和加强管理，使生产成本逐年降低．到1997年，尽管A型电脑出厂价仅是1993年出厂价的80%，但却实现了50%纯利润的高效益．(1)求1997年每台A型电脑的生产成本；
(2)以1993年的生产成本为基数，求1993年至1997年生产成本平均每年降低的百分数．(精确到0.01，以下数据可供参考：＝2.236，＝2.449)
★解答过程：
2．某农家旅游公司有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满．公司欲提高档次，并提高租金，如果每间客房每日增加2元，客房出租数就会减少10间．若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？
★解答过程：
解：设客房日租金每间提高个2元，则每天客房出租数为300-10，
由>0，且300-10>0得：0<<30
设客房租金总收入元，则有：总收入
（0<<30）
由二次函数性质可知当=10时，max=8000．
所以当每间客房日租金提高到20+10×2=40元时，客户租金总收入最高，为每天8000元．
☆课堂提高☆
1．一般地，家庭用电量（kW
·h）与气温（℃
）有一定的关系，如图
3
-2-17所示，图（1）表示某年
12个月中每月的平均气温，图（2）表示某家庭在这年
12个月中每个月的用电量.根据这些信息，以下关于该家庭用电量与气温间关系的叙述中，正确的是（
）
A.气温最高时，用电量最多
B.气温最低时，用电量最少
C.当气温大于某一值时，用电量随气温增高而增加
D.当气温小于某一值时，用电量随气温降低而增加
答案 C
【解析】
2月份用电量最多，但
2月份气温明显不是最高，因此
A
项错误，同理可判断出
B项错误，由
5、6、7三个月的气温和用电量可知
C项正确.
2．某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的关系式为y＝5x＋4000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本日产手套量至少为( )
A．200副
B．400副
C．600副
D．800副
答案
D
【解析】 由10x－y＝10x－(5x＋4000)≥0，得x≥800.故选D。
3．某商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告上写上“大酬宾，八折优惠”结果是每台彩电比原价多赚了270元，则每台彩电的原价为________元．
【答案】 2
250
【解析】 设彩电的原价为a，
∴a(1＋0.4)·80%－a＝270，∴0.12a＝270，解得a＝2
250.∴每台彩电的原价为2
250元．
4．将进货价为8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件；若每件的售价涨0.5元，其销售量减少10件，问将售价定为多少时，才能使所赚利润最大？并求出这个最大利润．
答案
售价为14元时，每天可获利最多为720元．
【解析】设每件售价提高x元，利润为y元，
则y＝(2＋x)(200－20x)＝－20(x－4)2＋720.
故当x＝4，即定价为14元时，每天可获利最多为720元．
☆课堂小结☆
本节重点学习了函数模型的实例应用，包括一次函数模型、二次函数模型、分段函数模型、指数函数模型等；另外还应关注函数、方程之间的相互关系．
☆课后作业☆
1.课本第107页习题A组
5、6。
2.（选做题）习题3.2
B组
1题3
.2.2
函数模型的应用实例
（时间：25分，满分55分）
班级
姓名
得分
一、选择题
1．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如右图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是( )
A．310元
B．300元
C．290元
D．280元
【答案】B
【解析】
由题意可知，收入y是销售量x的一次函数，设y＝ax＋b，将(1,800)，(2,1
300)代入得a＝500，b＝300.
当销售量为x＝0时，y＝300.
2．某商店某种商品进货价为每件40元，当售价为50元时，一个月能卖出500件．通过市场调查发现，若每件商品的单价每提高1元，则该商品一个月的销售量会减少10件．商店为使销售商品的月利润最高，应将该商品每件定价为( )
A．70元 B．65元
C．60元
D．55元
【答案】
A
【解析】 设该商品每件单价提高x元，销售该商品的月利润为y元，
则y＝(10＋x)(500－10x)＝－10x2＋400x＋5
000＝－10(x－20)2＋9
000
∴当x＝20时，ymax＝9
000，
此时每件定价为50＋20＝70元，故选A.
3．以半径为R的半圆上任意一点P为顶点，直径AB为底边的△PAB的面积S与高PD＝x的函数关系式是( )．
A．S＝Rx
B．S＝2Rx(x＞0)
C．S＝Rx(0＜x≤R)
D．S＝πR2(0＜x≤R)
【答案】 C
【解析】 S＝S△PAB＝·AB·PD＝Rx，又0＜PD≤R，∴S＝Rx，(0＜x≤R)．故选C。
4．据你估计，一种商品在销售收入不变的条件下，其销量y与价格x之间的关系图最可能是下图中的( )．
【答案】 C
【解析】销售收入不变，∴xy＝c(定值)，∴y＝.
5．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )
A.
B.
C.
D.－1
【答案】 D
【解析】 设年平均增长率为x，则有(1＋p)(1＋q)＝(1＋x)2，
解得x＝－1.
6．把长为12
cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是( )
A.cm2
B．4
cm2C．3
cm2
D．2
cm2
【答案】D
【解析】
设一段长为x
cm，则另一段长为(12－x)cm.
∴S＝()2＋(4－)2＝(x－6)2＋2≥2.
二、填空题
7．某不法商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告上写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚了270元，那么每台彩电原价是________元．
【答案】2
250
【解析】 设每台彩电的原价为x元，则x(1＋40%)×0.8－x＝270，解得x＝2
250(元)．
8．工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y＝a·0.5x＋b，现已知该厂今年1月份、2月份生产该产品分别为1万件、1.5万件．则此工厂3月份该产品的产量为________万件．
【答案】 1.75
【解析】 由题意有，
解得，∴y＝－2×0.5x＋2，
∴3月份产量为y＝－2×0.53＋2＝1.75万件．
9．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3
km(不超过3
km按起步价付费)；超过3
km但不超过8
km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8
km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.
【答案】 9
【解析】 设出租车行驶x
km时，付费y元，
则y＝由y＝22.6，解得x＝9.
10．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y＝ekt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则k＝________，经过5小时，1个病毒能繁殖为________个．
【答案】2ln
2 1
024
【解析】 当t＝0.5时，y＝2，
∴2＝，
∴k＝2ln
2，
∴y＝e2tln
2，当t＝5时，
∴y＝e10ln
2＝210＝1
024.
三、解答题
11．随着我国加入WTO，某企业决定从甲、乙两种畅销产品中选择一种进行投资生产打入国际市场，已知投资生产这两种产品的有关数据如下表(单位：万美元)，其中年固定成本与生产件数无关，a为常数，且4≤a≤8，另外年销售乙产品x件时需上交0.05x2万美元的特别关税.
项目类别
年固定成本
每件产品成本
每件产品销售价
每年最多生产件数
甲产品
30
a
10
200
乙产品
50
8
18
120
(1)写出该厂分别投资生产甲、乙两种产品的年利润y1，y2与生产件数x(x∈N)的函数关系式；
(2)分别写出投资生产这两种产品的最大年利润；
(3)如何决定投资可获得大利润？
【答案】(1)y1＝(10－a)x－30,0≤x≤200，x∈N，
y2＝－0.05x2＋10x－50,0≤x≤120，x∈N.
（2）甲产品的最大年利润1
970－200a.
乙产品的最大年利润450
(3)当4≤a＜7.6时，投资甲产品，
当a＝7.6时，投资甲、乙两种产品都可以，
当7.6＜a≤8时，投资乙产品．
【解析】 由题意，(1)y1＝(10－a)x－30,0≤x≤200，x∈N，
y2＝－0.05x2＋10x－50,0≤x≤120，x∈N.
(2)∵y1在[0,200]上是增函数，
∴y1max＝200(10－a)－30＝1
970－200a.
∵y2＝－0.05(x－100)2＋450，
∴当x＝100时，y2max＝450.
(3)设1
970－200a＝450，得a＝7.6.
∴当4≤a＜7.6时，投资甲产品，
当a＝7.6时，投资甲、乙两种产品都可以，
当7.6＜a≤8时，投资乙产品．
12．一片森林原来的面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的，
(1)求每年砍伐面积的百分比；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
(3)今后最多还能砍伐多少年？
【答案】(1)1－().
(2)5年
(3)最多还能砍伐15年
【解析】 (1)设每年砍伐面积的百分比为x(0解得x＝1－().3.2.2
函数模型的应用实例
1．在某个物理实验中，测得变量x和变量y的几组数据，如下表：
x
0.50
0.99
2.01
3.98
y
－0.99
0.01
0.98
2.00
则对x，y最适合的拟合函数是( )
A．y＝2x
B．y＝x2－1
C．y＝2x－2
D．y＝log2
x
【答案】 D
2．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化的情况是( )
A．减少7.84%
B．增加7.84%
C．减少9.5%
D．不增不减
答案 A
解析
设某商品价格为a，依题意得：a(1＋0.2)2(1－0.2)2＝a×1.22×0.82＝0.921
6a，所以四年后的价格与原来价格比较(0.921
6－1)a＝－0.078
4a，即减少7.84%.
3．甲、乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是( )
A．甲比乙先出发
B．乙比甲跑的路程多
C．甲、乙两人的速度相同
D．甲先到达终点
答案 D
解析 由图象知甲所用时间短，所以甲先到达终点．
4．某工厂生产某种产品固定成本为2
000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元．
【答案】 2
500
【解析】 L(Q)＝40Q－Q2－10Q－2
000＝－Q2＋30Q－2
000＝－(Q－300)2＋2
500，
当Q＝300时，L(Q)的最大值为2
500万元．
5．已知长为4，宽为3的矩形，若长增加x，宽减少，则面积最大．此时x＝________，面积S＝________.
答案 1
解析 根据题目条件0＜＜3，即0＜x＜6，
所以S＝(4＋x)
＝－(x2－2x－24)＝－(x－1)2(0＜x＜6)．
故当x＝1时，S取得最大值.
6．根据市场调查，某种商品在最近的40天内的价格f(t)与时间t满足关系f(t)＝
(t∈N)，销售量g(t)与时间t满足关系g(t)＝－t＋(0≤t≤40，t∈N)．求这种商品的日销售额(销售量与价格之积)的最大值．
【答案】日销售额的最大值为176.
