课时跟踪检测（十五）
几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式
层级一 学业水平达标
1．已知函数f(x)＝x3的切线的斜率等于3，则切线有( )
A．1条
B．2条
C．3条
D．不确定
解析：选B ∵f′(x)＝3x2＝3，解得x＝±1.切点有两个，即可得切线有2条．
2．曲线y＝ex在点A(0,1)处的切线斜率为( )
A．1
B．2
C．e
D.
解析：选A 由条件得y′＝ex，根据导数的几何意义，可得k＝y′|x＝0＝e0＝1.
3．已知f(x)＝－3x，则f′(2)＝( )
A．10
B．－5x
C．5
D．－10
解析：选D ∵f′(x)＝－5x，∴f′(2)＝－5×2×＝－10，故选D.
4．已知f(x)＝xα，若f′(－1)＝－2，则α的值等于( )
A．2
B．－2
C．3
D．－3
解析：选A
若α＝2，则f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，
∴f′(－1)＝2×(－1)＝－2适合条件．故应选A.
5.
曲线y＝x3在x＝1处切线的倾斜角为( )
A．1
B．－
C.
D.
解析：选C ∵y′＝x2，∴y′|x＝1＝1，
∴切线的倾斜角α满足tan
α＝1，∵0≤α<π，∴α＝.
6．曲线y＝ln
x在点M(e,1)处的切线的斜率是________，切线方程为____________．
解析：∵y′＝(ln
x)′＝，∴y′|x＝e＝.
∴切线方程为y－1＝(x－e)，即x－ey＝0.
答案： x－ey＝0
7．已知f(x)＝a2(a为常数)，g(x)＝ln
x，若2x[f′(x)＋1]－g′(x)＝1，则x＝________.
解析：因为f′(x)＝0，g′(x)＝，
所以2x[f′(x)＋1]－g′(x)＝2x－＝1.
解得x＝1或x＝－，因为x＞0，所以x＝1.
答案：1
8．设坐标平面上的抛物线C：y＝x2，过第一象限的点(a，a2)作抛物线C的切线l，则直线l与y轴的交点Q的坐标为________．
解析：显然点(a，a2)为抛物线C：y＝x2上的点，∵y′＝2x，∴直线l的方程为y－a2＝2a(x－a)．
令x＝0，得y＝－a2，∴直线l与y轴的交点的坐标为(0，－a2)．
答案：(0，－a2)
9．求下列函数的导数：
(1)y＝x8；(2)y＝4x；(3)y＝log3x；
(4)y＝sin；(5)y＝e2.
解：(1)y′＝(x8)′＝8x8－1＝8x7.
(2)y′＝(4x)′＝4xln
4.
(3)y′＝(log3x)′＝.
(4)y′＝(cos
x)′＝－sin
x.
(5)y′＝(e2)′＝0.
10．已知P(－1,1)，Q(2,4)是曲线y＝x2上的两点，
(1)求过点P，Q的曲线y＝x2的切线方程．
(2)求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．
解：(1)因为y′＝2x，P(－1,1)，Q(2,4)都是曲线y＝x2上的点．
过P点的切线的斜率k1＝y′|x＝－1＝－2，
过Q点的切线的斜率k2＝y′|x＝2＝4，
过P点的切线方程：y－1＝－2(x＋1)，即2x＋y＋1＝0.
过Q点的切线方程：y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.
(2)因为y′＝2x，直线PQ的斜率k＝＝1，
切线的斜率k＝y′|x＝x0＝2x0＝1，
所以x0＝，所以切点M，
与PQ平行的切线方程为：
y－＝x－，即4x－4y－1＝0.
层级二 应试能力达标
1．质点沿直线运动的路程s与时间t的关系是s＝，则质点在t＝4时的速度为( )
A.
B.
C.
D.
解析：选B ∵s′＝t－.∴当t＝4时，
s′＝·＝
.
2．直线y＝x＋b是曲线y＝ln
x(x＞0)的一条切线，则实数b的值为( )
A．2
B．ln
2＋1
C．ln
2－1
D．ln
2
解析：选C ∵y＝ln
x的导数y′＝，
∴令＝，得x＝2，∴切点为(2，ln
2)．
代入直线y＝x＋b，得b＝ln
2－1.
3．在曲线f(x)＝上切线的倾斜角为π的点的坐标为( )
A．(1,1)
B．(－1，－1)
C．(－1,1)
D．(1,1)或(－1，－1)
解析：选D 因为f(x)＝，所以f′(x)＝－，因为切线的倾斜角为π，所以切线斜率为－1，
即f′(x)＝－＝－1，所以x＝±1，
则当x＝1时，f(1)＝1；
当x＝－1时，f(1)＝－1，则点坐标为(1,1)或(－1，－1)．
4．设曲线y＝xn＋1(n∈N
)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2·…·xn的值为( )
A.
B.
C.
D．1
解析：选B 对y＝xn＋1(n∈N
)求导得y′＝(n＋1)xn.
令x＝1，得在点(1,1)处的切线的斜率k＝n＋1，∴在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(xn－1)．令y＝0，得xn＝，∴x1·x2·…·xn＝×××…××＝，
故选B.
5．与直线2x－y－4＝0平行且与曲线y＝ln
x相切的直线方程是________．
解析：∵直线2x－y－4＝0的斜率为k＝2，
又∵y′＝(ln
x)′＝，∴＝2，解得x＝.
∴切点的坐标为.
故切线方程为y＋ln
2＝2.
即2x－y－1－ln
2＝0.
答案：2x－y－1－ln
2＝0
6．若曲线y＝在点P(a，)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值是________________．
解析：∵y′＝，∴切线方程为y－＝(x－a)，令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝－a，由题意知··a＝2，∴a＝4.
答案：4
7．已知曲线方程为y＝f(x)＝x2，求过点B(3,5)且与曲线相切的直线方程．
解：设切点P的坐标为(x0，x)．
∵y＝x2，∴y′＝2x，∴k＝f′(x0)＝2x0，
∴切线方程为y－x＝2x0(x－x0)．
将点B(3,5)代入上式，得5－x＝2x0(3－x0)，
即x－6x0＋5＝0，∴(x0－1)(x0－5)＝0，
∴x0＝1或x0＝5，
∴切点坐标为(1,1)或(5,25)，
故所求切线方程为y－1＝2(x－1)或y－25＝10(x－5)，
即2x－y－1＝0或10x－y－25＝0.
8．求证：双曲线xy＝a2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于常数．
证明：设P(x0，y0)为双曲线xy＝a2上任一点．
∵y′＝′＝－.
∴过点P的切线方程为y－y0＝－(x－x0)．
令x＝0，得y＝；令y＝0，得x＝2x0.
则切线与两坐标轴围成的三角形的面积为
S＝··|2x0|＝2a2.
即双曲线xy＝a2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为常数2a2.课时跟踪检测（十二）
抛物线的简单几何性质
层级一 学业水平达标
1．已知抛物线的对称轴为x轴，顶点在原点，焦点在直线2x－4y＋11＝0上，则此抛物线的方程是( )
A．y2＝－11x
B．y2＝11x
C．y2＝－22x
D．y2＝22x
解析：选C 在方程2x－4y＋11＝0中，
令y＝0得x＝－，
∴抛物线的焦点为F，
即＝，∴p＝11，
∴抛物线的方程是y2＝－22x，故选C．
2．过点(2,4)作直线l，与抛物线y2＝8x只有一个公共点，这样的直线l有( )
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条
解析：选B 可知点(2,4)在抛物线y2＝8x上，∴过点(2,4)与抛物线y2＝8x只有一个公共点的直线有两条，一条是抛物线的切线，另一条与抛物线的对称轴平行．
3．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上一点，若·＝－4，则点A的坐标为( )
A．(2，±2
)
B．(1，±2)
C．(1,2)
D．(2,2)
解析：选B 设A(x，y)，则y2＝4x，①
又＝(x，y)，＝(1－x，－y)，
所以·＝x－x2－y2＝－4．②
由①②可解得x＝1，y＝±2．
4．过点(1,0)作斜率为－2的直线，与抛物线y2＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为( )
A．2
B．2
C．2
D．2
解析：选B 设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由题意知AB的方程为y＝－2(x－1)，
即y＝－2x＋2．
由得x2－4x＋1＝0，
∴x1＋x2＝4，x1·x2＝1．
∴|AB|＝
＝＝＝2．
5．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )
A．
B．
C．
D．
解析：选D 易知抛物线中p＝，焦点F，直线AB的斜率k＝，故直线AB的方程为y＝，代入抛物线方程y2＝3x，整理得x2－x＋＝0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝．由抛物线的定义可得弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝＋＝12，结合图象可得O到直线AB的距离d＝·sin
30°＝，所以△OAB的面积S＝|AB|·d＝．
6．直线y＝x－1被抛物线y2＝4x截得的线段的中点坐标是________．
解析：将y＝x－1代入y2＝4x，整理，得x2－6x＋1＝0．由根与系数的关系，得x1＋x2＝6，＝3，
∴＝＝＝2．
∴所求点的坐标为(3,2)．
答案：(3,2)
7．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|＝7，则AB的中点M到抛物线准线的距离为________．
解析：抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1．由抛物线的定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p，即x1＋x2＋2＝7，得x1＋x2＝5，于是弦AB的中点M的横坐标为．
因此，点M到抛物线准线的距离为＋1＝．
答案：
8．过抛物线x2＝2py(p>0)的焦点F作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A，B两点(点A在y轴左侧)，则＝________．
解析：由题意可得焦点F，故直线AB的方程为y＝x＋，与x2＝2py联立得A，B两点的横坐标为xA＝－p，xB＝p，故A－p，p，Bp，p，所以|AF|＝p，|BF|＝2p，所以＝．
答案：
9．已知抛物线y2＝6x，过点P(4,1)引一弦，使它恰在点P被平分，求这条弦所在的直线方程．
解：设弦的两个端点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．
∵P1，P2在抛物线上，∴y＝6x1，y＝6x2．
两式相减得(y1＋y2)(y1－y2)＝6(x1－x2)．①
∵y1＋y2＝2，代入①得k＝＝3．
∴直线的方程为y－1＝3(x－4)，即3x－y－11＝0．
10．已知直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．
(1)若|AF|＝4，求点A的坐标；
(2)求线段AB的长的最小值．
解：由y2＝4x，得p＝2，其准线方程为x＝－1，焦点F(1,0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)由抛物线的定义可知，|AF|＝x1＋，从而x1＝4－1＝3．代入y2＝4x，解得y1＝±2．
∴点A的坐标为(3,2)或(3，－2)．
(2)当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为y＝k(x－1)．
与抛物线方程联立，
得消去y，整理得
k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0．
∵直线与抛物线相交于A，B两点，
则k≠0，并设其两根为x1，x2，
∴x1＋x2＝2＋．
由抛物线的定义可知，|AB|＝x1＋x2＋p＝4＋>4．
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，与抛物线相交于A(1,2)，B(1，－2)，此时|AB|＝4，
∴|AB|≥4，即线段AB的长的最小值为4．
层级二 应试能力达标
1．边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是( )
A．y2＝x
B．y2＝－x
C．y2＝±x
D．y2＝±x
解析：选C 设抛物线方程为y2＝ax(a≠0)．又A(取点A在x轴上方)，则有＝±a，解得a＝±，所以抛物线方程为y2＝±x．故选C．
2．过抛物线y2＝4x的焦点，作一条直线与抛物线交于A，B两点，若它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )
A．有且仅有一条
B．有两条
C．有无穷多条
D．不存在
解析：选B 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义，知|AB|＝x1＋x2＋p＝5＋2＝7．又直线AB过焦点且垂直于x轴的直线被抛物线截得的弦长最短，且|AB|min＝2p＝4，所以这样的直线有两条．故选B．
3．直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A，B两点，若AB中点的横坐标为2，则k＝( )
A．2或－2
B．1或－1
C．2
D．3
解析：选C 由得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0．又由Δ＝16(k＋2)2－16k2>0，得k>－1．则由＝4，得k＝2．故选C．
4．已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若·＝0，则k＝( )
A．
B．
C．
D．2
解析：选D 由题意可知抛物线C的焦点坐标为(2,0)，则直线AB的方程为y＝k(x－2)，将其代入y2＝8x，得k2x2－4(k2＋2)x＋4k2＝0．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则①
由
∵·＝0，
∴(x1＋2，y1－2)·(x2＋2，y2－2)＝0．
∴(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－2)(y2－2)＝0，
即x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋y1y2－2(y1＋y2)＋4＝0．④
由①②③④解得k＝2．故选D项．
5．直线y＝x－3与抛物线y2＝4x交于A，B两点，过A，B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P，Q，则梯形APQB的面积为________．
解析：由消去y得x2－10x＋9＝0，得x＝1或9，即或所以|AP|＝10，|BQ|＝2或|BQ|＝10，|AP|＝2，|PQ|＝8，所以梯形APQB的面积S＝×8＝48．
答案：48
6．顶点为坐标原点，焦点在x轴上的抛物线，截直线2x－y＋1＝0所得的弦长为，则抛物线方程为________．
解析：设所求抛物线方程为y2＝ax(a≠0)，
联立得4x2＋(4－a)x＋1＝0，
则Δ＝(4－a)2－16>0，得a>8或a<0．
设直线与抛物线的交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝．
所以|AB|＝
＝＝，
解得a＝12或a＝－4．
所以抛物线方程为y2＝12x或y2＝－4x．
答案：y2＝12x或y2＝－4x
7．已知抛物线y2＝－x与直线y＝k(x＋1)相交于A，B两点，O为坐标原点．
(1)求证：OA⊥OB；
(2)当△OAB的面积等于
时，求实数k的值．
解：(1)证明：由消去x，得ky2＋y－k＝0．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意，知k≠0，则y1＋y2＝－，y1y2＝－1．
由A，B在抛物线y2＝－x上，可知y＝－x1，y＝－x2，则yy＝x1x2．
因为kOA·kOB＝·＝＝＝－1，
所以OA⊥OB．
(2)设直线与x轴交于点N．
令y＝0，得x＝－1，即N(－1,0)．
因为S△OAB＝S△OAN＋S△OBN＝|ON||y1|＋|ON|·|y2|＝|ON||y1－y2|，
所以S△OAB＝×1×
＝
＝．
解得k＝±．
8．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝|PQ|．
(1)求C的方程；
(2)过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程．
解：(1)设Q(x0,4)，代入y2＝2px得x0＝．
所以|PQ|＝，|QF|＝＋x0＝＋．
由题设得＋＝×，解得p＝－2(舍去)或p＝2．
所以C的方程为y2＝4x．
(2)依题意知l与坐标轴不垂直，
故可设l的方程为x＝my＋1(m≠0)．
代入y2＝4x得y2－4my－4＝0．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4．
故AB的中点为D(2m2＋1,2m)，
|AB|＝|y1－y2|
＝·
＝4(m2＋1)．
又l′的斜率为－m，
所以l′的方程为x＝－y＋2m2＋3．
将上式代入y2＝4x，
并整理得y2＋y－4(2m2＋3)＝0．
设M(x3，y3)，N(x4，y4)，
则y3＋y4＝－，y3y4＝－4(2m2＋3)．
故MN的中点为E，
|MN|＝|y3－y4|
＝·
＝．
由于MN垂直平分AB，故A，M，B，N四点在同一圆上等价于|AE|＝|BE|＝|MN|，
从而|AB|2＋|DE|2＝|MN|2，即4(m2＋1)2＋2＋2＝．
化简得m2－1＝0，解得m＝1或m＝－1．
所求直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0．课时跟踪检测（十四）
导数的几何意义
层级一 学业水平达标
1．下面说法正确的是( )
A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线
B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在
C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在
D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在
解析：选C f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率，当切线垂直于x轴时，切线的斜率不存在，但存在切线．
2．曲线f(x)＝－在点M(1，－2)处的切线方程为( )
A．y＝－2x＋4
B．y＝－2x－4
C．y＝2x－4
D．y＝2x＋4
解析：选C ＝＝，所以当Δx→0时，f′(1)＝2，即k＝2.所以直线方程为y＋2＝2(x－1)．即y＝2x－4.故选C.
3．曲线y＝x3－2在点处切线的倾斜角为( )
A．1
B.
C.
D．－
解析：选B ∵y′＝
＝
＝x2，
∴切线的斜率k＝y′|x＝1＝1.
∴切线的倾斜角为，故应选B.
4．曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于( )
A．1
B.
C．－
D．－1
解析：选A ∵y′|x＝1＝
＝
＝li
(2a＋aΔx)＝2a，
∴2a＝2，∴a＝1.
5．过正弦曲线y＝sin
x上的点的切线与y＝sin
x的图象的交点个数为( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．无数个
解析：选D 由题意，y＝f(x)＝sin
x，
则f′＝
＝
.
当Δx→0时，cos
Δx→1，
∴f′＝0.
∴曲线y＝sin
x的切线方程为y＝1，且与y＝sin
x的图象有无数个交点．
6．已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝________.
解析：由导数的几何意义得f′(1)＝，由点M在切线上得f(1)＝×1＋2＝，所以f(1)＋f′(1)＝3.
答案：3
7．已知曲线f(x)＝，g(x)＝过两曲线交点作两条曲线的切线，则曲线f(x)在交点处的切线方程为____________________．
解析：由，得
∴两曲线的交点坐标为(1,1)．
由f(x)＝，
得f′(x)＝li
＝
＝，
∴y＝f(x)在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(x－1)．
即x－2y＋1＝0，
答案：x－2y＋1＝0
8．曲线y＝x2－3x的一条切线的斜率为1，则切点坐标为________．
解析：设f(x)＝y＝x2－3x，切点坐标为(x0，y0)，
f′(x0)＝
＝
＝2x0－3＝1，故x0＝2，
y0＝x－3x0＝4－6＝－2，故切点坐标为(2，－2)．
答案：(2，－2)
9．已知抛物线y＝x2，直线x－y－2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离．
解：根据题意可知与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2的切线对应的切点到直线x－y－2＝0的距离最短，设切点坐标为(x0，x)，则y′|x＝x0＝
＝2x0＝1，所以x0＝，所以切点坐标为，
切点到直线x－y－2＝0的距离d＝＝，所以抛物线上的点到直线x－y－2＝0的最短距离为.
10．已知直线l：y＝4x＋a和曲线C：y＝x3－2x2＋3相切，求a的值及切点的坐标．
解：设直线l与曲线C相切于点P(x0，y0)，
∵＝
＝(Δx)2＋(3x0－2)Δx＋3x－4x0.
∴当Δx→0时，→3x－4x0，即f′(x0)＝3x－4x0，
由导数的几何意义，得3x－4x0＝4，
解得x0＝－或x0＝2.
∴切点的坐标为或(2,3)，
当切点为时，
有＝4×＋a，∴a＝，
当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a，∴a＝－5，
当a＝时，切点为；
a＝－5时，切点为(2,3)．
层级二 应试能力达标
1.已知y＝f(x)的图象如图，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是( )
A．f′(xA)>f′(xB)
B．f′(xA)
C．f′(xA)＝f′(xB)
D．不能确定
解析：选B 由图可知，曲线在点A处的切线的斜率比曲线在点B处的切线的斜率小，结合导数的几何意义知f′(xA)2．已知曲线y＝2x3上一点A(1,2)，则点A处的切线斜率等于( )
A．0
B．2
C．4
D．6
解析：选D Δy＝2(1＋Δx)3－2×13＝6Δx＋6(Δx)2＋2(Δx)3，
＝
[2(Δx)2＋6Δx＋6]＝6，故选D.
3．设f(x)存在导函数，且满足
＝－1，则曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为( )
A．2
B．－1
C．1
D．－2
解析：选B
＝
＝f′(x)＝－1.
4．已知直线ax－by－2＝0与曲线y＝x3在点P(1,1)处的切线互相垂直，则为( )
A.
B.
C．－
D．－
解析：选D 由导数的定义可得y′＝3x2，∴y＝x3在点P(1,1)处的切线斜率k＝y′|x＝1＝3，由条件知，3×＝－1，∴＝－.
5.如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则
＝______.
解析：由导数的概念和几何意义知，
＝f′(1)＝kAB＝＝－2.
答案：－2
6．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数为f′(x)，f′(0)>0，对于任意实数x，有f(x)≥0，则的最小值为________．
解析：由导数的定义，得f′(0)＝
＝
＝
(a·Δx＋b)＝b.
又因为对于任意实数x，有f(x)≥0，
则所以ac≥，所以c>0.
所以＝≥≥＝2.
答案：2
7．已知函数f(x)＝ax2＋1(a＞0)，g(x)＝x3＋bx，若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值．
解：∵f′(x)＝
＝
＝2ax，
∴f′(1)＝2a，即切线斜率k1＝2a.
∵g′(x)＝
＝
＝3x2＋b，
∴g′(1)＝3＋b，即切线斜率k2＝3＋b.
∵在交点(1，c)处有公共切线，∴2a＝3＋b.
又∵a＋1＝1＋b，即a＝b，故可得
8．已知曲线y＝x2＋1，是否存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．
解：∵＝＝2x＋Δx，
∴y′＝
＝
(2x＋Δx)＝2x.
设切点为P(x0，y0)，则切线的斜率为k＝y′|x＝x0＝2x0，由点斜式可得所求切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)．
又∵切线过点(1，a)，且y0＝x＋1，
∴a－(x＋1)＝2x0(1－x0)，
即x－2x0＋a－1＝0.∵切线有两条，
∴Δ＝(－2)2－4(a－1)>0，解得a<2.
故存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线，a的取值范围是
(－∞，2)．阶段质量检测（一）
常用逻辑用语
(时间120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．命题“若x2<1，则－1A．若x2≥1，则x≥1，或x≤－1
B．若－1C．若x>1，或x<－1，则x2>1
D．若x≥1，或x≤－1，则x2≥1
解析：选D 命题“若p，则q”的逆否命题是“若綈q，则綈p”．
2．已知命题①若a>b，则<，②若－2≤x≤0，则(x＋2)(x－3)≤0，则下列说法正确的是( )
A．①的逆命题为真
B．②的逆命题为真
C．①的逆否命题为真
D．②的逆否命题为真
解析：选D ①的逆命题为<则，a>b，若a＝－2，b＝3，则不成立．故A错；②的逆命题为若(x＋2)(x－3)≤0，则－2≤x≤0是假命题，故B错；①为假命题，其逆否命题也为假命题，故C错；②为真命题，其逆否命题也为真命题，D正确．
3．已知命题p： x∈R,2x<3x；命题q： x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是( )
A．p∧q
B．綈p∧q
C．p∧綈q
D．綈p∧綈q
解析：选B 容易判断当x≤0时2x>3x，命题p为假命题，分别作出函数y＝x3，y＝1－x2的图象，易知命题q为真命题．根据真值表易判断綈p∧q为真命题．
4．全称命题“ x∈R，x2＋5x＝4”的否定是( )
A． x0∈R，x＋5x0＝4
B． x∈R，x2＋5x≠4
C． x0∈R，x＋5x0≠4
D．以上都不正确
解析：选C 全称命题的否定为特称命题．
5．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A 要区分向量平行与向量相等，相反向量等基本概念，向量平行不一定向量相等，向量相等或相反必平行．
6．下列命题中，真命题是( )
A．命题“若|a|>b，则a>b”
B．命题“若“a＝b，则|a|＝|b|”的逆命题
C．命题“当x＝2时，x2－5x＋6＝0”的否命题
D．命题“终边相同的角的同名三角函数值相等”
解析：选D 原命题可以改写成“若角的终边相同，则它们的同名三角函数值相等”，是真命题，故选D.
7．已知命题p：若实数x，y满足x3＋y3＝0，则x，y互为相反数；命题q：若a>b>0，则<.下列命题p∧q，p∨q，綈p，綈q中，真命题的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：选B 易知命题p，q都是真命题，则p∧q，p∨q都是真命题，綈p，綈q是假命题．
8．“a<0”是“方程ax2＋1＝0至少有一个负根”的( )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选C 方程ax2＋1＝0至少有一个负根等价于x2＝－，故a<0，故选C.
9．已知命题p：若不等式x2＋x＋m>0恒成立，则m>；命题q：在△ABC中，A>B是sin
A>sin
B的充要条件，
则( )
A．p假q真
B．“p且q”为真
C．“p或q”为假
D．綈p假綈q真
解析：选B 易判断出命题p为真命题，命题q为真命题，所以綈p为假，綈q为假．结合各选项知B正确．
10．下列关于函数f(x)＝x2与函数g(x)＝2x的描述，正确的是( )
A． a0∈R，当x>a0时，总有f(x)B． x∈R，f(x)C． x<0，f(x)≠g(x)
D．方程f(x)＝g(x)在(0，＋∞)内有且只有一个实数解
解析：选A 在同一坐标系内作出两函数的大致图象，两交点为(2,4)，(4,16)．
当x>4时，
由图象知f(x)其余三命题均错误．
11．f(x)，g(x)是定义在R上的函数，h(x)＝f(x)＋g(x)，“f(x)，g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B 若f(x)，g(x)均为偶函数，则h(－x)＝f(－x)＋g(－x)＝f(x)＋g(x)＝h(x)，所以h(x)为偶函数；若h(x)为偶函数，则f(x)，g(x)不一定均为偶函数．可举反例说明，如f(x)＝x，g(x)＝x2－x＋2，则h(x)＝f(x)＋g(x)＝x2＋2为偶函数．
12．有下列命题：
①“若x＋y>0，则x>0且y>0”的否命题；
②“矩形的对角线相等”的否命题；
③“若m≥1，则mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集是R”的逆命题；
④“若a＋7是无理数，则a是无理数”的逆否命题．
其中正确的是( )
A．①②③
B．②③④
C．①③④
D．①④
解析：选D ①的逆命题为“若x>0且y>0，则x＋y>0”为真，故否命题为真；
②的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”，为假命题；
③的逆命题为，若mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集为R，则m≥1.
∵当m＝0时，解集不是R，
∴应有
即m>1.∴③是假命题；
④原命题为真，逆否命题也为真．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)
13．命题“若a A，则b∈B”的逆否命题是________．
解析：逆否命题既否定其条件又否定其结论，然后交换其顺序．
答案：若b B，则a∈A
14．命题p：若a，b∈R，则ab＝0是a＝0的充分条件，命题q：函数y＝的定义域是[3，＋∞)，则“p∨q”“p∧q”“綈p”中是真命题的为________．
解析：p为假命题，q为真命题，故p∨q为真命题，綈p为真命题．
答案：p∨q，綈p
15．已知p：－40，若綈p是綈q的充分条件，则实数a的取值范围是________．
解析：p：a－4由綈p是綈q的充分条件可知，
q是p的充分条件，即q p，
∴解得－1≤a≤6.
答案：[－1,6]
16．若“x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}”是假命题，则x的取值范围是________．
解析：由x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}，
得x<1或x≥2.
∵此命题是假命题，
∴1≤x<2.
答案：[1,2)
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．
(1)能被6整除的数一定是偶数；
(2)当＋|b＋2|＝0时，a＝1，b＝－2；
(3)已知x，y为正整数，当y＝x2时，y＝1，x＝1.
解：(1)若一个数能被6整除，则这个数为偶数，是真命题．
(2)若＋|b＋2|＝0，则a＝1且b＝－2，真命题．
(3)已知x，y为正整数，若y＝x2，则y＝1且x＝1，假命题．
18．(本小题满分12分)判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假．
(1)对数函数都是单调函数；
(2)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除；
(3) x∈{x|x>0}，x＋≥2；
(4) x0∈Z，log2x0>2.
解：(1)本题隐含了全称量词“所有的”，可表述为“所有的对数函数都是单调函数”，是全称命题，且为真命题．
(2)命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是特称命题，真命题．
(3)命题中含有全称量词“ ”，是全称命题，真命题；
(4)命题中含有存在量词“ ”，是特称命题，真命题．
19．(本小题满分12分)已知c>0，设命题p：y＝cx为减函数，命题q：函数f(x)＝x＋>在x∈上恒成立．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求c的取值范围．
解：由p∨q真，p∧q假，知p与q为一真一假，对p，q进行分类讨论即可．
若p真，由y＝cx为减函数，得0当x∈时，由不等式x＋≥2(x＝1时取等号)知，f(x)＝x＋在上的最小值为2.
若q真，则<2，即c>.
若p真q假，则0若p假q真，则c≥1，c>，所以c≥1.
综上可得，c∈∪[1，＋∞)．
20．(本小题满分12分)已知命题：“ x∈{x|－1≤x≤1}，都有不等式x2－x－m<0成立”是真命题．
(1)求实数m的取值集合B；
(2)设不等式(x－3a)(x－a－2)<0的解集为A，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
解：(1)命题：“ x∈{x|－1≤x≤1}，都有不等式x2－x－m<0成立”是真命题，得x2－x－m<0在－1≤x≤1时恒成立，
∴m>(x2－x)max，得m>2，
即B＝{m|m>2}．
(2)不等式(x－3a)(x－a－2)<0，
①当3a>2＋a，即a>1时，解集A＝{x|2＋a②当3a＝2＋a，即a＝1时，解集A＝ ，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则A?B成立；③当3a<2＋a，即a<1时，解集A＝{x|3a∴3a≥2，此时a∈.
综上①②③可得a∈.
21．(本小题满分12分)设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.
证明：充分性：因为∠A＝90°，
所以a2＝b2＋c2.
于是方程x2＋2ax＋b2＝0可化为x2＋2ax＋a2－c2＝0，
所以x2＋2ax＋(a＋c)(a－c)＝0.
所以[x＋(a＋c)][x＋(a－c)]＝0.
所以该方程有两根x1＝－(a＋c)，x2＝－(a－c)，
同样另一方程x2＋2cx－b2＝0也可化为x2＋2cx－(a2－c2)＝0，即[x＋(c＋a)][x＋(c－a)]＝0，
所以该方程有两根x3＝－(a＋c)，x4＝－(c－a)．
可以发现，x1＝x3，
所以方程有公共根．
必要性：设x是方程的公共根，
则
由①＋②，得x＝－(a＋c)，x＝0(舍去)．
代入①并整理，可得a2＝b2＋c2.
所以∠A＝90°.
所以结论成立．
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2＋(a＋1)x＋lg|a＋2|(a∈R，且a≠－2)．
(1)若f(x)能表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)的和，求g(x)与h(x)的解析式；
(2)命题p：函数f(x)在区间[(a＋1)2，＋∞)上是增函数；命题q：函数g(x)是减函数．如果命题p，q有且只有一个是真命题，求a的取值范围．
解：(1)因为f(x)＝g(x)＋h(x)， ①
g(－x)＝－g(x)，h(－x)＝h(x)，
所以f(－x)＝－g(x)＋h(x)，
②
(①－②)÷2得g(x)＝(a＋1)x，
(①＋②)÷2得h(x)＝x2＋lg|a＋2|.
(2)因为函数f(x)＝x2＋(a＋1)x＋lg|a＋2|在区间[(a＋1)2，＋∞)上是增函数，所以(a＋1)2≥－，
解得a≥－1或a≤－且a≠－2.
又由函数g(x)＝(a＋1)x是减函数，
得a<－1且a≠－2.
所以命题p为真的条件是：
a≥－1或a≤－且a≠－2；
命题p为假的条件是：－命题q为真的条件是：a<－1且a≠－2；
命题q为假的条件是：a≥－1或a＝－2；
所以命题p，q有且只有一个是真命题时，实数a的取值范围是.课时跟踪检测（二）
四种命题
四种命题间的相互关系
层级一 学业水平达标
1．命题“若m＝10，则m2＝100”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题是( )
A．原命题、否命题
B．原命题、逆命题
C．原命题、逆否命题
D．逆命题、否命题
解析：选C 因为原命题是真命题，所以逆否命题也是真命题．
2．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是( )
A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3
B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3
C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3
D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3
解析：选A a＋b＋c＝3的否定是a＋b＋c≠3，a2＋b2＋c2≥3的否定是a2＋b2＋c2<3.
3．与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是( )
A．能被3整除的整数，一定能被6整除
B．不能被3整除的整数，一定不能被6整除
C．不能被6整除的整数，一定不能被3整除
D．不能被6整除的整数，能被3整除
解析：选B 即写命题“若一个整数能被6整除，则一定能被3整除”的逆否命题．
4．若命题p的否命题为q，命题p的逆否命题为r，则q与r的关系是( )
A．互逆命题
B．互否命题
C．互为逆否命题
D．以上都不正确
解析：选A 设p为“若A，则B”，那么q为“若綈A，则綈B”，r为“若綈B，则綈A”．故q与r为互逆命题．
5．原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )
A．真，假，真
B．假，假，真
C．真，真，假
D．假，假，假
解析：选B 因为原命题为真，所以它的逆否命题为真；若|z1|＝|z2|，当z1＝1，z2＝－1时，这两个复数不是共轭复数，所以原命题的逆命题是假的，故否命题也是假的．故选B.
6．命题“若x≠1，则x2－1≠0”的真假性为________．
解析：可转化为判断命题的逆否命题的真假，由于原命题的逆否命题是：“若x2－1＝0，则x＝1”，因为x2－1＝0，x＝±1，所以该命题是假命题，因此原命题是假命题．
答案：假命题
7．已知命题“若m－1解析：由已知得，若1∴∴1≤m≤2.
答案：[1,2]
8．下列命题中：
①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；
②若一个四边形对角互补，则它内接于圆；
③正方形的四条边相等；
④圆内接四边形对角互补；
⑤对角不互补的四边形不内接于圆；
⑥若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．
其中互为逆命题的有_______；互为否命题的有________；互为逆否命题的有________．
解析：命题③可改写为“若一个四边形是正方形，则它的四条边相等”；命题④可改写为“若一个四边形是圆内接四边形，则它的对角互补”；命题⑤可改写为“若一个四边形的对角不互补，则它不内接于圆”，再依据四种命题间的关系便不难判断．
答案：②和④，③和⑥ ①和⑥，②和⑤ ①和③，④和⑤
9．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，然后判断真假．
(1)等高的两个三角形是全等三角形；
(2)弦的垂直平分线平分弦所对的弧．
解：(1)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等高，是真命题；
否命题：若两个三角形不等高，则这两个三角形不全等，是真命题；
逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等高，是假命题．
(2)逆命题：若一条直线平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线，是假命题；
否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不平分弦所对的弧，是假命题；
逆否命题：若一条直线不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线，是真命题．
10．判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．
解：原命题的逆否命题为“已知a，x为实数，若a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集”．判断其真假如下：
抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的图象开口向上，
判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.
因为a<1，所以4a－7<0.
即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的图象与x轴无交点．
所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．
故原命题的逆否命题为真命题．
层级二 应试能力达标
1．命题“设a，b，c∈R，若a>b，则ac2>bc2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．4个
解析：选C 若c＝0，则ac2>bc2不成立，故原命题为假命题．由等价命题同真同假，知其逆否命题也为假命题．逆命题“设a，b，c∈R，若ac2>bc2，则a>b”为真命题，由等价命题同真同假，知原命题的否命题也为真命题，所以共有2个真命题，故选C.
2．命题“对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形的对角线相等”的( )
A．逆命题
B．否命题
C．逆否命题
D．无关命题
解析：选A 由于这两个命题的关系是一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，所以互为逆命题，故选A.
3．原命题“圆内接四边形是等腰梯形”，则下列说法正确的是( )
A．原命题是真命题
B．逆命题是假命题
C．否命题是真命题
D．逆否命题是真命题
解析：选C 原命题是假命题，所以逆否命题是假命题，逆命题“等腰梯形是圆内接四边形”是真命题，所以否命题是真命题，故选C.
4．命题“若α＝，则tan
α＝1”的逆否命题是( )
A．若α≠，则tan
α≠1
B．若α＝，则tan
α≠1
C．若tan
α≠1，则α≠
D．若tan
α≠1，则α＝
解析：选C 否定原命题的结论作条件，否定原命题的条件作结论所得的命题为逆否命题，可知C正确．
5．命题“若x>1，则x>0”的逆命题是________________，逆否命题是________________．
答案：若x>0，则x>1 若x≤0，则x≤1
6．在原命题“若A∪B≠B，则A∩B≠A”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．
解析：逆命题为“若A∩B≠A，则A∪B≠B”；
否命题为“若A∪B＝B，则A∩B＝A”；
逆否命题为“若A∩B＝A，则A∪B＝B”；
全为真命题．
答案：4
7．已知a，b，c∈R，证明：若a＋b＋c<1，则a，b，c中至少有一个小于.
证明：原命题的逆否命题为：已知a，b，c∈R，若a，b，c都不小于，则a＋b＋c≥1.
由条件a≥，b≥，c≥，
三式相加得a＋b＋c≥1，
显然逆否命题为真命题．
所以原命题也为真命题．
即已知a，b，c∈R，若a＋b＋c<1，
则a，b，c中至少有一个小于.
8．已知函数f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)，若命题：对于任意的x1∈[－1,2]，存在x2∈[－1,2]使f(x1)＝g(x2)为真命题，求实数a的取值范围．
解：对于任意的x1∈[－1,2]，存在x2∈[－1,2]使f(x1)＝g(x2)，则{f(x)|x∈[－1,2]} {g(x)|x∈[－1,2]}．又f(x)＝x2－2x在[－1,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，所以－1≤f(x)≤3.因为g(x)＝ax＋2(a>0)在[－1,2]上单调递增，所以－a＋2≤g(x)≤2a＋2，于是有即a≥3.
故实数a的取值范围为[3，＋∞)．回扣验收特训（三）
导数及其应用
1．函数f(x)＝excos
x的图象在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为( )
A.
B．0
C.
D．1
解析：选A 由f′(x)＝ex(cos
x－sin
x)，则在点(0，f(0))处的切线的斜率k＝f′(0)＝1，故倾斜角为，选A.
2．已知函数f(x)＝x3－x2＋cx＋d有极值，则c的取值范围为( )
A．c＜
B．c≤
C．c≥
D．c＞
解析：选A 由题意得f′(x)＝x2－x＋c，若函数f(x)有极值，则Δ＝1－4c＞0，解得c＜.
3．函数y＝ln
x－x在x∈(0，e]上的最大值为( )
A．e
B．1
C．－1
D．－e
解析：选C 函数y＝ln
x－x的定义域为(0，＋∞)，又y′＝－1＝，令y′＝0得x＝1，当x∈(0,1)时，y′>0，函数单调递增；当x∈(1，e)时，y′<0，函数单调递减．当x＝1时，函数取得最大值－1，故选C.
4．函数f(x)＝x2＋2mln
x(m<0)的单调递减区间为( )
A．(0，＋∞)
B．(0，)
C．(，＋∞)
D．(0，)∪(，＋∞)
解析：选B 由条件知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
因为m<0，则f′(x)＝.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(0，)
(，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
?
极小值
?
由上表可知，函数f(x)的单调递减区间是(0，)，单调递增区间是(，＋∞)．
5．已知函数f(x)＝－x3＋2x2＋2x，若存在满足0≤x0≤3的实数x0，使得曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与直线x＋my－10＝0垂直，则实数m的取值范围是( )
A．[6，＋∞)
B．(－∞，2]
C．[2,6]
D．[5,6]
解析：选C f′(x)＝－x2＋4x＋2＝－(x－2)2＋6，因为x0∈[0,3]，所以f′(x0)∈[2,6]，又因为切线与直线x＋my－10＝0垂直，所以切线的斜率为m，所以m的取值范围是[2,6]．
6．已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝( )
A．－4
B．－2
C．4
D．2
解析：选D 由题意得f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0得x＝±2，∴当x＜－2或x＞2时，f′(x)＞0；当－2＜x＜2时，f′(x)＜0，∴f(x)在(－∞，－2)上为增函数，在(－2,2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数．∴f(x)在x＝2处取得极小值，∴a＝2.
7．已知函数f(x)＝(2x＋1)ex，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(0)的值为________．
解析：因为f(x)＝(2x＋1)ex，
所以f′(x)＝2ex＋(2x＋1)ex＝(2x＋3)ex，
所以f′(0)＝3e0＝3.
答案：3
8．设x1，x2是函数f(x)＝x3－2ax2＋a2x的两个极值点，若x1＜2＜x2，则实数a的取值范围是________．
解析：由题意得f′(x)＝3x2－4ax＋a2的两个零点x1，x2满足x1＜2＜x2，所以f′(2)＝12－8a＋a2＜0，解得2＜a＜6.
答案：(2,6)
9．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m，n∈[－1,1]，则f(m)＋f′(n)的最小值是________．
解析：f′(x)＝－3x2＋2ax，根据已知f′(2)＝0，得a＝3，即f(x)＝－x3＋3x2－4.根据函数f(x)的极值点，可得函数f(m)在[－1,1]上的最小值为f(0)＝－4，f′(n)＝－3n2＋6n在[－1,1]上单调递增，所以f′(n)的最小值为f′(－1)＝－9.
[f(m)＋f′(n)]min＝f(m)min＋f′(n)min＝－4－9＝－13.
答案：－13
10．请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD是边长为60
cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x(cm)．
(1)若广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？
(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
解：设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)．
由已知得a＝x，h＝＝(30－x),0(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1
800，
所以当x＝15时，S取得最大值．
(2)V＝a2h＝2(－x3＋30x2)，V′＝6x(20－x)．
由V′＝0得x＝0(舍去)或x＝20.
当x∈(0,20)时，V′>0；
当x∈(20,30)时，V′<0.
所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值．
此时＝，即包装盒的高与底面边长的比值为.
11．(全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝ln
x－x＋1.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)证明当x∈(1，＋∞)时，1＜＜x；
(3)设c＞1，证明当x∈(0,1)时，1＋(c－1)x＞cx.
解：(1)由题设，f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－1，令f′(x)＝0，解得x＝1.
当0＜x＜1时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；
当x＞1时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．
(2)证明：由(1)知，f(x)在x＝1处取得最大值，
最大值为f(1)＝0.
所以当x≠1时，ln
x＜x－1.
故当x∈(1，＋∞)时，ln
x＜x－1，ln
＜－1，
即1＜＜x.
(3)证明：由题设c＞1，设g(x)＝1＋(c－1)x－cx，
则g′(x)＝c－1－cxln
c.
令g′(x)＝0，解得x0＝.
当x＜x0时，g′(x)＞0，g(x)单调递增；
当x＞x0时，g′(x)＜0，g(x)单调递减．
由(2)知1＜＜c，故0＜x0＜1.
又g(0)＝g(1)＝0，故当0＜x＜1时，g(x)＞0.
所以当x∈(0,1)时，1＋(c－1)x＞cx.
12．已知函数f(x)＝(x＋1)ln
x－a(x－1)．
(1)当a＝4时，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程；
(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞0，求a的取值范围．
解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．
当a＝4时，f(x)＝(x＋1)ln
x－4(x－1)，
f(1)＝0，f′(x)＝ln
x＋－3，f′(1)＝－2.
故曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为2x＋y－2＝0.
(2)当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞0等价于ln
x－＞0.
设g(x)＝ln
x－，
则g′(x)＝－＝，g(1)＝0.
①当a≤2，x∈(1，＋∞)时，x2＋2(1－a)x＋1≥x2－2x＋1＞0，故g′(x)＞0，g(x)在(1，＋∞)上单调递增，因此g(x)＞0；
②当a＞2时，令g′(x)＝0得x1＝a－1－，x2＝a－1＋.
由x2＞1和x1x2＝1得x1＜1，故当x∈(1，x2)时，g′(x)＜0，g(x)在(1，x2)上单调递减，因此g(x)＜0.
综上，a的取值范围是(－∞，2].课时跟踪检测（十六）
导数的运算法则
层级一 学业水平达标
1．已知函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，则a的值为( )
A．1
B.
C．－1
D．0
解析：选A ∵f(x)＝ax2＋c，∴f′(x)＝2ax，
又∵f′(1)＝2a，∴2a＝2，∴a＝1.
2．函数y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：选D y′＝[(x＋1)2]′(x－1)＋(x＋1)2(x－1)′＝2(x＋1)·(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1，∴y′|x＝1＝4.
3．曲线f(x)＝xln
x在点x＝1处的切线方程为( )
A．y＝2x＋2
B．y＝2x－2
C．y＝x－1
D．y＝x＋1
解析：选C ∵f′(x)＝ln
x＋1，∴f′(1)＝1，又f(1)＝0，∴在点x＝1处曲线f(x)的切线方程为y＝x－1.
4.
已知物体的运动方程为s＝t2＋(t是时间，s是位移)，则物体在时刻t＝2时的速度为( )
A.
B.
C.
D.
解析：选D ∵s′＝2t－，∴s′|t＝2＝4－＝.
5．设曲线y＝ax－lnx在点(1,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝( )
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：选D y′＝a－1，由题意得y′|x＝1＝2，即a－1＝2，所以a＝3.
6．曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程为________．
解析：∵y′＝3x2－1，∴y′|x＝1＝3×12－1＝2.
∴切线方程为y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0.
答案：2x－y＋1＝0
7．已知曲线y1＝2－与y2＝x3－x2＋2x在x＝x0处切线的斜率的乘积为3，则x0＝________.
解析：由题知y′1＝，y′2＝3x2－2x＋2，所以两曲线在x＝x0处切线的斜率分别为，3x－2x0＋2，所以＝3，所以x0＝1.
答案：1
8．已知函数f(x)＝f′cos
x＋sin
x，则f的值为________．
解析：∵f′(x)＝－f′sin
x＋cos
x，
∴f′＝－f′×＋，
得f′＝－1.
∴f(x)＝(－1)cos
x＋sin
x.
∴f＝1.
答案：1
9．求下列函数的导数
(1)y＝－ln
x；
(2)y＝(x2＋1)(x－1)；
(3)y＝；
(4)y＝.
解析：(1)y′＝(－ln
x)′
＝()′－(ln
x)′＝－.
(2)y′＝[(x2＋1)(x－1)]′
＝(x3－x2＋x－1)′＝(x3)′－(x2)′＋(x)′－(1)′
＝3x2－2x＋1.
(3)y′＝
＝.
(4)y′＝
＝.
10．偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的图象过点P(0,1)，且在x＝1处的切线方程为y＝x－2，求f(x)的解析式．
解：∵f(x)的图象过点P(0,1)，∴e＝1.
又∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)．
故ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝ax4－bx3＋cx2－dx＋e.
∴b＝0，d＝0.∴f(x)＝ax4＋cx2＋1.
∵函数f(x)在x＝1处的切线方程为y＝x－2，
∴切点为(1，－1)．∴a＋c＋1＝－1.
∵f′(x)|x＝1＝4a＋2c，∴4a＋2c＝1.
∴a＝，c＝－.
∴函数f(x)的解析式为f(x)＝x4－x2＋1.
层级二 应试能力达标
1．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于( )
A．－1
B．－2
C．2
D．0
解析：选B ∵f′(x)＝4ax3＋2bx为奇函数，∴f′(－1)＝－f′(1)＝－2.
2．曲线y＝x2ex在点(1,1)处切线的斜率等于( )
A．2e
B．e
C．3e
D．1
解析：选C 函数的导数为f′(x)＝2xex＋x2ex＝ex(x2＋2x)．
当x＝1时，f′(1)＝3e，即曲线y＝x2ex在点(1,1)处切线的斜率k＝f′(1)＝3e，故选C.
3．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋ln
x，则f′(e)＝( )
A．e－1
B．－1
C．－e－1
D．－e
解析：选C ∵f(x)＝2xf′(e)＋ln
x，
∴f′(x)＝2f′(e)＋，
∴f′(e)＝2f′(e)＋，解得f′(e)＝－，故选C.
4．若f(x)＝x2－2x－4ln
x，则f′(x)＞0的解集为( )
A．(0，＋∞)
B．(－1,0)∪(2，＋∞)
C．(2，＋∞)
D．(－1,0)
解析：选C ∵f(x)＝x2－2x－4ln
x，
∴f′(x)＝2x－2－＞0，
整理得＞0，解得－1＜x＜0或x＞2，
又因为f(x)的定义域为(0，＋∞)，所以x＞2.
5．直线l是曲线y＝x3＋ax2－9x－1(a>0)的切线，当直线l的斜率最小时，与直线10x＋y＝6平行，则a＝________.
解析：∵y′＝x2＋2ax－9＝(x＋a)2－9－a2，
∴斜率的最小值为－9－a2＝－10，得a＝1.
答案：1
6．曲线y＝在点(1,1)处的切线为l，则l上的点到圆x2＋y2＋4x＋3＝0上的点的最近距离是____________．
解析：y′＝－，则y′＝－1，∴切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0，圆心(－2,0)到直线的距离d＝2，圆的半径r＝1，∴所求最近距离为2－1.
答案：2－1
7．已知曲线f(x)＝x3＋ax＋b在点P(2，－6)处的切线方程是13x－y－32＝0.
(1)求a，b的值；
(2)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线l：y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．
解：(1)∵f(x)＝x3＋ax＋b的导数f′(x)＝3x2＋a，
由题意可得f′(2)＝12＋a＝13，f(2)＝8＋2a＋b＝－6，
解得a＝1，b＝－16.
(2)∵切线与直线y＝－x＋3垂直，
∴切线的斜率k＝4.
设切点的坐标为(x0，y0)，
则f′(x0)＝3x＋1＝4，∴x0＝±1.
由f(x)＝x3＋x－16，可得y0＝1＋1－16＝－14，
或y0＝－1－1－16＝－18.
则切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.
即y＝4x－18或y＝4x－14.
8．设fn(x)＝x＋x2＋…＋xn－1，x≥0，n∈N，n≥2.
(1)求fn′(2)；
(2)证明：fn(x)在内有且仅有一个零点(记为an)，且0＜an－＜.
解：(1)由题设fn′(x)＝1＋2x＋…＋nxn－1.
所以fn′(2)＝1＋2×2＋…＋(n－1)2n－2＋n·2n－1，①
则2fn′(2)＝2＋2×22＋…＋(n－1)2n－1＋n·2n，②
①－②得，－fn′(2)＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n·2n
＝－n·2n＝(1－n)·2n－1，
所以fn′(2)＝(n－1)·2n＋1.
(2)因为f(0)＝－1＜0，
fn＝－1＝1－2×n≥1－2×2＞0，
因为x≥0，n≥2.
所以fn(x)＝x＋x2＋…＋xn－1为增函数，
所以fn(x)在内单调递增，
因此fn(x)在内有且仅有一个零点an.
由于fn(x)＝－1，
所以0＝fn(an)＝－1，
由此可得an＝＋a＞，故＜an＜.
所以0＜an－＝a＜×n＋1＝.阶段质量检测（三）
导数及其应用
(时间：
120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若f(x)＝sin
α－cos
x，则f′(x)等于( )
A．sin
x
B．cos
x
C．cos
α＋sin
x
D．2sin
α＋cos
x
解析：选A 函数是关于x的函数，因此sin
α是一个常数．
2．以正弦曲线y＝sin
x上一点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是( )
A.∪
B．[0，π)
C.
D.∪
解析：选A y′＝cos
x，∵cos
x∈[－1,1]，∴切线的斜率范围是[－1,1]，∴倾斜角的范围是∪.
3．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点(
)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析：选A 设极值点依次为x1，x2，x3且a＜x1＜x2＜x3＜b，则f(x)在(a，x1)，(x2，x3)上递增，在(x1，x2)，(x3，b)上递减，因此，x1，x3是极大值点，只有x2是极小值点．
4．函数f(x)＝x2－ln
x的单调递减区间是( )
A.
B.
C.
，
D.，
解析：选A ∵f′(x)＝2x－＝，当0＜x≤时，f′(x)≤0，故f(x)的单调递减区间为.
5．函数f(x)＝3x－4x3(x∈[0,1])的最大值是( )
A．1
B.
C．0
D．－1
解析：选A f′(x)＝3－12x2，令f′(x)＝0，
则x＝－(舍去)或x＝，f(0)＝0，f(1)＝－1，
f＝－＝1，∴f(x)在[0,1]上的最大值为1.
6．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3处取得极值，则a＝( )
A．2
B．3
C．4
D．5
解析：选D f′(x)＝3x2＋2ax＋3，∵f′(－3)＝0.
∴3×(－3)2＋2a×(－3)＋3＝0，∴a＝5.
7．函数f(x)＝ax3＋ax2－2ax＋1的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.∪
解析：选D f′(x)＝ax2＋ax－2a＝a(x＋2)(x－1)，
要使函数f(x)的图象经过四个象限，则f(－2)f(1)<0，即<0，解得a<－或a>.
故选D.
8.已知函数f(x)的导函数f′(x)＝a(x－b)2＋c的图象如图所示，则函数f(x)的图象可能是( )
解析：选D 由导函数图象可知，当x<0时，函数f(x)递减，排除A、B；当00，函数f(x)递增．因此，当x＝0时，f(x)取得极小值，故选D.
9．定义域为R的函数f(x)满足f(1)＝1，且f(x)的导函数f′(x)>，则满足2f(x)A．{x|－1B．{x|x<1}
C．{x|x<－1或x>1}
D．{x|x>1}
解析：选B 令g(x)＝2f(x)－x－1，∵f′(x)>，
∴g′(x)＝2f′(x)－1>0，∴g(x)为单调增函数，
∵f(1)＝1，∴g(1)＝2f(1)－1－1＝0，∴当x<1时，
g(x)<0，即2f(x)10．某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y1＝17x2，生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y2＝2x3－x2(x＞0)，为使利润最大，应生产( )
A．6千台
B．7千台
C．8千台
D．9千台
解析：选A 设利润为y，则y＝y1－y2＝17x2－(2x3－x2)＝18x2－2x3，y′＝36x－6x2，令y′＝0得x＝6或x＝0(舍)，f(x)在(0,6)上是增函数，在(6，＋∞)上是减函数，∴x＝6时y取得最大值．
11．已知定义在R上的函数f(x)，f(x)＋x·f′(x)＜0，若a＜b，则一定有( )
A．af(a)＜bf(b)
B．af(b)＜bf(a)
C．af(a)＞bf(b)
D．af(b)＞bf(a)
解析：选C [x·f(x)]′＝x′f(x)＋x·f′(x)＝f(x)＋x·f′(x)＜0，
∴函数x·f(x)是R上的减函数，
∵a＜b，∴af(a)＞bf(b)．
12．若函数f(x)＝，且0A．a>b
B．aC．a＝b
D．a，b的大小不能确定
解析：选A f′(x)＝，令g(x)＝xcos
x－sin
x，则g′(x)＝－xsin
x＋cos
x－cos
x＝－xsin
x.
∵0b，故选A.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中的横线上)
13．若f(x)＝x3－f′(1)x2＋x＋5，则f′(1)＝________.
解析：f′(x)＝x2－2f′(1)x＋1，令x＝1，得f′(1)＝.
答案：
14．曲线C：y＝在点(1,0)处的切线的方程为________________．
解析：由y＝，得y′＝，所以y′x＝1＝1，即切线l的斜率为1.又切线l过点(1,0)，所以切线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.
答案：x－y－1＝0
15．已知函数f(x)满足f(x)＝f(π－x)，且当x∈时，f(x)＝x＋sin
x，设a＝f(1)，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系是________．
解析：f(2)＝f(π－2)，f(3)＝f(π－3)，
因为f′(x)＝1＋cos
x≥0，
故f(x)在上是增函数，
∵>π－2>1>π－3>0，
∴f(π－2)>f(1)>f(π－3)，即c答案：c16．若函数f(x)＝在区间(m,2m＋1)上单调递增，则实数m的取值范围是__________．
解析：f′(x)＝，令f′(x)＞0，得－1＜x＜1，
即函数f(x)的增区间为(－1,1)．
又f(x)在(m,2m＋1)上单调递增，
所以解得－1＜m≤0.
答案：(－1,0]
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)若函数y＝f(x)在x＝x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y＝f(x)的极值点．已知a，b是实数，1和－1是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点．
(1)求a和b的值；
(2)设函数g(x)的导函数g′(x)＝f(x)＋2，求g(x)的极值点．
解：(1)由题设知f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
且f′(－1)＝3－2a＋b＝0，f′(1)＝3＋2a＋b＝0，
解得a＝0，b＝－3.
(2)由(1)知f(x)＝x3－3x.
因为f(x)＋2＝(x－1)2(x＋2)，
所以g′(x)＝0的根为x1＝x2＝1，x3＝－2，
于是函数g(x)的极值点只可能是1或－2.
当x＜－2时，g′(x)＜0；当－2＜x＜1时，
g′(x)＞0，故－2是g(x)的极值点．
当－2＜x＜1或x＞1时，g′(x)＞0，
故1不是g(x)的极值点．
所以g(x)的极值点为－2.
18.
(本小题满分12分)(北京高考)设函数f(x)＝－kln
x，k>0.
(1)求f(x)的单调区间和极值；
(2)证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，
]上仅有一个零点．
解：(1)由f(x)＝－kln
x(k>0)，
得x>0且f′(x)＝x－＝.
由f′(x)＝0，解得x＝(负值舍去)．
f(x)与f′(x)在区间(0，＋∞)上的情况如下：
x
(0，)
(，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
?
?
所以，f(x)的单调递减区间是(0，)，单调递增区间是(，＋∞)．
f(x)在x＝处取得极小值f()＝.
(2)证明：由(1)知，f(x)在区间(0，＋∞)上的最小值为f()＝.
因为f(x)存在零点，所以≤0，从而k≥e.
当k＝e时，f(x)在区间(1，)上单调递减，且f()＝0，
所以x＝是f(x)在区间(1，
]上的唯一零点．
当k>e时，f(x)在区间(1，
]上单调递减，且f(1)＝>0，f()＝<0，
所以f(x)在区间(1，
]上仅有一个零点．
综上可知，若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，
]上仅有一个零点．
19．(本小题满分12分)某公园准备建一个摩天轮，摩天轮的外围是一个周长为k米的圆．在这个圆上安装座位，且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连．经预算，摩天轮上的每个座位与支点相连的钢管的费用为8k元/根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为x米时，相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为k元．假设座位等距离分布，且至少有两个座位，所以座位都视为点，且不考虑其他因素，记摩天轮的总造价为y元．
(1)试写出y关于x的函数关系式，并写出定义域．
(2)当k＝100米时，试确定座位的个数，使得总造价最低．
解：(1)设摩天轮上总共有n个座位，则x＝，
则n＝，
y＝8k＋k
＝k2，
定义域为.
(2)当k＝100时，
则y＝100，
令f(x)＝＋1
024，
则f′(x)＝－＋512×＝，
令f′(x)＝0，
所以x＝ x＝＝，
当x∈时，f′(x)<0，
即f(x)在x∈上单调递减，
当x∈时，f′(x)>0，
即f(x)在x∈上单调递增，
所以总造价y的最小值在x＝时取到，此时座位个数为＝64个．
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ln
x＋(a>0)．
(1)若a＝1，求函数f(x)的单调区间．
(2)若以函数y＝f(x)(x∈(0,3])图象上任意一点P(x0，y0)为切点的切线的斜率k≤恒成立，求实数a的最小值．
解：(1)当a＝1时，f(x)＝ln
x＋，
定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－＝，
当x∈(0,1)时，f′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，
所以f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，＋∞)．
(2)由(1)知f′(x)＝(0则k＝f′(x0)＝≤(0即a≥max.
当x0＝1时，－x＋x0取得最大值，所以a≥，所以a的最小值为.
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2－mln
x，h(x)＝x2－x＋a.
(1)当a＝0时，f(x)≥h(x)在(1，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围；
(2)当m＝2时，若函数k(x)＝f(x)－h(x)在区间(1,3)上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围．
解：(1)由f(x)≥h(x)，
得m≤在(1，＋∞)上恒成立．
令g(x)＝，则g′(x)＝，
当x∈(1，e)时，g′(x)＜0；
当x∈(e，＋∞)时，g′(x)＞0，
所以g(x)在(1，e)上递减，在(e，＋∞)上递增．
故当x＝e时，g(x)的最小值为g(e)＝e.
所以m≤e.即m的取值范围是(－∞，e]．
(2)由已知可得k(x)＝x－2ln
x－a.
函数k(x)在(1,3)上恰有两个不同零点，
相当于函数φ(x)＝x－2ln
x与直线y＝a有两个不同的交点．
φ′(x)＝1－＝，
当x∈(1,2)时，φ′(x)＜0，φ(x)递减，
当x∈(2,3)时，φ′(x)＞0，φ(x)递增．
又φ(1)＝1，φ(2)＝2－2ln
2，φ(3)＝3－2ln
3，
要使直线y＝a与函数φ(x)＝x－2ln
x有两个交点，
则2－2ln
2＜a＜3－2ln
3.
即实数a的取值范围是(2－2ln
2,3－2ln
3)．
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2有两个零点．
(1)求a的取值范围；
(2)设x1，x2是f(x)的两个零点，证明：x1＋x2<2.
解：(1)f′(x)＝(x－1)ex＋2a(x－1)＝(x－1)(ex＋2a)．
①设a＝0，则f(x)＝(x－2)ex，f(x)只有一个零点．
②设a>0，则当x∈(－∞，1)时，f′(x)<0；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，
所以f(x)在(－∞，1)内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增．
又f(1)＝－e，f(2)＝a，取b满足b<0且b，
则f(b)>(b－2)＋a(b－1)2＝a>0，
故f(x)存在两个零点．
③设a<0，由f′(x)＝0得x＝1或x＝ln(－2a)．
若a≥－，则ln(－2a)≤1，
故当x∈(1，＋∞)时，
f′(x)>0，因此f(x)在(1，＋∞)内单调递增．
又当x≤1时，f(x)<0，所以f(x)不存在两个零点．
若a<－，则ln(－2a)>1，
故当x∈(1，ln(－2a))时，f′(x)<0；
当x∈(ln(－2a)，＋∞)时，f′(x)>0.
因此f(x)在(1，ln(－2a))内单调递减，在(ln(－2a)，＋∞)内单调递增．
又当x≤1时，f(x)<0，所以f(x)不存在两个零点．
综上，a的取值范围为(0，＋∞)．
(2)证明：不妨设x1所以x1＋x2<2等价于f(x1)>f(2－x2)，即f(2－x2)<0.
由于f(2－x2)＝－x2e2－x2＋a(x2－1)2，
而f(x2)＝(x2－2)ex2＋a(x2－1)2＝0，
所以f(2－x2)＝－x2e2－x2－(x2－2)ex2.
设g(x)＝－xe2－x－(x－2)ex，
则g′(x)＝(x－1)(e2－x－ex)．
所以当x>1时，g′(x)<0，而g(1)＝0，
故当x>1时，g(x)<0.
从而g(x2)＝f(2－x2)<0，故x1＋x2<2.回扣验收特训（二）
圆锥曲线与方程
1．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率是( )
A．2
B．
C．
D．
解析：选C 由题可知y＝x与y＝－x互相垂直，可得－·＝－1，则a＝b．由离心率的计算公式，可得e2＝＝＝2，e＝．
2．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( )
A．y2＝±4x
B．y2＝±8x
C．y2＝4x
D．y2＝8x
解析：选B 由题可知抛物线的焦点坐标为，于是过焦点且斜率为2的直线的方程为y＝2，令x＝0，可得点A的坐标为，所以S△OAF＝××＝4，得a＝±8，故抛物线的方程为y2＝±8x．
3．已知一动圆P与圆O：x2＋y2＝1外切，而与圆C：x2＋y2－6x＋8＝0内切，则动圆的圆心P的轨迹是( )
A．双曲线的一支
B．椭圆
C．抛物线
D．圆
解析：选A 由题意，知圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝1，则圆C与圆O相离，设动圆P的半径为R．∵圆P与圆O外切而与圆C内切，∴R>1，且|PO|＝R＋1，|PC|＝R－1．又|OC|＝3，∴|PO|－|PC|＝2<|OC|，即点P在以O，C为焦点的双曲线的右支上．
4．我们把由半椭圆＋＝1(x≥0)与半椭圆＋＝1(x<0)合成的曲线称作“果圆”(其中a2＝b2＋c2，a>b>c>0)，如图所示，其中点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点．若△F0F1F2是边长为1的等边三角形，则a，b的值分别为( )
A．，1
B．，1
C．5,3
D．5,4
解析：选A ∵|OF2|＝＝，|OF0|＝c＝|OF2|＝，∴b＝1，∴a2＝b2＋c2＝1＋＝，得a＝．
5．已知抛物线的方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋4＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，则d1＋d2的最小值为( )
A．＋2
B．＋1
C．－2
D．－1
解析：选D 因为抛物线的方程为y2＝4x，所以焦点坐标为F(1,0)，准线方程为x＝－1．因为点P到y轴的距离为d1，所以到准线的距离为d1＋1．又d1＋1＝|PF|，所以d1＋d2＝d1＋1＋d2－1＝|PF|＋d2－1．焦点F到直线l的距离记为d，则d＝＝＝，而|PF|＋d2≥d＝，所以d1＋d2＝|PF|＋d2－1≥－1，即d1＋d2的最小值为－1．
6．双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共焦点，它们的离心率互为倒数，则双曲线方程为( )
A．y2－3x2＝36
B．x2－3y2＝36
C．3y2－x2＝36
D．3x2－y2＝36
解析：选A 由4x2＋y2＝64得＋＝1，
c2＝64－16＝48，
∴c＝4，e＝＝．
∴双曲线中，c′＝4，e′＝＝．
∴a′＝c′＝6，b′2＝48－36＝12．
∴双曲线方程为－＝1，即y2－3x2＝36．
7．已知椭圆＋＝1(a>b>0)，其上一点P(3，y)到两焦点的距离分别是6．5和3．5，则该椭圆的标准方程为________．
解析：由椭圆的定义，知2a＝6．5＋3．5＝10，a＝5．
又解得c＝，
从而b2＝a2－c2＝，
所以椭圆的标准方程为＋＝1．
答案：＋＝1
8．已知直线l与抛物线y2＝4x交于A，B两点，O为坐标原点，若·＝－4，则直线l恒过的定点M的坐标是________．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＋y1y2＝－4．当直线l的斜率不存在时，设其方程为x＝x0(x0>0)，则x－4x0＝－4，解得x0＝2；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋b，由得ky2－4y＋4b＝0，得y1y2＝，则x1x2＝＝，得＋＝－4，∴＝－2，有b＝－2k，直线y＝kx－2k＝k(x－2)恒过定点(2,0)．又直线x＝2也恒过定点(2,0)，得点M的坐标为(2,0)．
答案：(2,0)
9．已知A(0，－4)，B(3,2)，抛物线y2＝x上的点到直线AB的最短距离为________．
解析：直线AB为2x－y－4＝0，设抛物线y2＝x上的点P(t，t2)，d＝＝＝≥＝．
答案：
10．如图，已知椭圆＋＝1(a>b>0)的长、短轴端点分别为A，B，F1，F2分别是其左、右焦点．从椭圆上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，且与是共线向量．
(1)求椭圆的离心率e；
(2)设Q是椭圆上异于左、右顶点的任意一点，求∠F1QF2的取值范围．
解：(1)∵F1(－c,0)，则xM＝－c，yM＝，
∴kOM＝－．
由题意，知kAB＝－，
∵与是共线向量，∴－＝－，
∴b＝c，得e＝．
(2)设|F1Q|＝r1，|F2Q|＝r2，∠F1QF2＝θ，
∴r1＋r2＝2a．
又|F1F2|＝2c，
由余弦定理，
得cos
θ＝＝＝－1≥－1＝0，
当且仅当r1＝r2时等号成立，∴cos
θ≥0，
∴θ∈．
11．如图，焦距为2的椭圆E的两个顶点分别为A，B，且与n＝(，－1)共线．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)若直线y＝kx＋m与椭圆E有两个不同的交点P和Q，且原点O总在以PQ为直径的圆的内部，求实数m的取值范围．
解：(1)因为2c＝2，所以c＝1，又＝(－a，b)，且∥n，
所以b＝a，所以2b2＝b2＋1，所以b2＝1，a2＝2，
所以椭圆E的标准方程为＋y2＝1．
(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，把直线方程y＝kx＋m代入椭圆方程＋y2＝1，
消去y，得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝，
Δ＝16k2－8m2＋8>0，
即m2<2k2＋1，(
)
因为原点O总在以PQ为直径的圆的内部，
所以·
<0，
即x1x2＋y1y2<0，
又y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝，
由＋<0得m2依题意且满足(
)得m2<，
故实数m的取值范围是．
12．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B．已知点A的坐标为(－a,0)，点Q(0，y0)在线段AB的垂直平分线上，且·＝4，求y0的值．
解：(1)由e＝＝，得3a2＝4c2．
再由c2＝a2－b2，得a＝2b．
由题意可知×2a×2b＝4，即ab＝2．
解方程组得a＝2，b＝1．
所以椭圆的方程为＋y2＝1．
(2)由(1)可知A(－2,0)．
设B点的坐标为(x1，y1)，直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x＋2)．
联立方程组消去y并整理，得
(1＋4k2)x2＋16k2x＋(16k2－4)＝0．
由－2x1＝，得x1＝．
从而y1＝．
设线段AB的中点为M，
则M的坐标为．
以下分两种情况：
①当k＝0时，点B的坐标为(2,0)，线段AB的垂直平分线为y轴，于是＝(－2，－y0)，＝(2，－y0)．
由·＝4，得y0＝±2．
②当k≠0时，线段AB的垂直平分线方程为
y－＝－．
令x＝0，解得y0＝－．
由＝(－2，－y0)，＝(x1，y1－y0)．
·＝－2x1－y0(y1－y0)
＝＋
＝＝4，
整理得7k2＝2，故k＝±．所以y0＝±．
综上，y0＝±2或y0＝±．课时跟踪检测（三）
充分条件与必要条件
层级一 学业水平达标
1．设{an}是公比为q的等比数列，则“q>1”是“{an}为递增数列”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选D 当数列{an}的首项a1＜0时，若q＞1，则数列{an}是递减数列；当数列{an}的首项a1＜0时，要使数列{an}为递增数列，则0＜q＜1，所以“q＞1”是“数列{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件．故选D.
2．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么( )
A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C．丙是甲的充要条件
D．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
解析：选A 因为甲是乙的必要条件，所以乙 甲．
又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙 乙，但乙
丙，如图．
综上，有丙 甲，但甲丙，
即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．
3．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是( )
A．a＝－b
B．a∥b
C．a＝2b
D．a∥b且|a|＝|b|
解析：选C 对于A，当a＝－b时，≠；对于B，注意当a∥b时，与可能不相等；对于C，当a＝2b时，＝＝；对于D，当a∥b，且|a|＝|b|时，可能有a＝－b，此时≠.综上所述，使＝成立的充分条件是a＝2b.
4．设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A φ＝0时，函数f(x)＝cos(x＋φ)＝cos
x是偶函数，
而f(x)＝cos(x＋φ)是偶函数时，φ＝π＋kπ(k∈Z)．
故“φ＝0”是“函数f(x)＝cos(x＋φ)为偶函数”的充分不必要条件．
5．使|x|＝x成立的一个必要不充分条件是( )
A．x≥0
B．x2≥－x
C．log2(x＋1)>0
D．2x<1
解析：选B ∵|x|＝x x≥0，
∴选项A是充要条件．选项C，D均不符合题意．
对于选项B，∵由x2≥－x得x(x＋1)≥0，
∴x≥0或x≤－1.
故选项B是使|x|＝x成立的必要不充分条件．
6．如果命题“若A，则B”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A是B的________________条件．
解析：因为逆否命题为假，所以原命题为假，即A /
B.
又因否命题为真，所以逆命题为真，即B A，
所以A是B的必要不充分条件．
答案：必要不充分
7．条件p：1－x<0，条件q：x>a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．
解析：p：x>1，若p是q的充分不必要条件，则p q，但，也就是说，p对应集合是q对应集合的真子集，所以a<1.
答案：(－∞，1)
8．下列命题：
①“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充要条件；
②b2－4ac<0是一元二次不等式ax2＋bx＋c<0解集为R的充要条件；
③“a＝2”是“直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1”的充分不必要条件；
④“xy＝1”是“lg
x＋lg
y＝0”的必要不充分条件．
其中真命题的序号为______________．
解析：①x>2且y>3时，x＋y>5成立，反之不一定，如x＝0，y＝6.所以“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充分不必要条件；
②不等式解集为R的充要条件是a<0且b2－4ac<0，故②为假命题；
③当a＝2时，两直线平行，反之，若两直线平行，则＝，∴a＝2.因此，“a＝2”是“两直线平行”的充要条件；
④lg
x＋lg
y＝lg(xy)＝0，∴xy＝1且x>0，y>0.
所以“lg
x＋lg
y＝0”成立，xy＝1必成立，反之不然．
因此“xy＝1”是“lg
x＋lg
y＝0”的必要不充分条件．
综上可知，真命题是④.
答案：④
9．下列命题中，判断条件p是条件q的什么条件．
(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y；
(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；
(3)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形；
(4)p：圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切，q：c2＝(a2＋b2)r2.
解：(1)∵|x|＝|y|x＝y，但x＝y |x|＝|y|，
∴p是q的必要不充分条件．
(2)∵△ABC是直角三角形△ABC是等腰三角形，
△ABC是等腰三角形△ABC是直角三角形，
∴p是q的既不充分也不必要条件．
(3)∵四边形的对角线互相平分四边形是矩形，
四边形是矩形 四边形的对角线互相平分，
∴p是q的必要不充分条件．
(4)若圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切，则圆心到直线ax＋by＋c＝0的距离等于r，即r＝，
所以c2＝(a2＋b2)r2；
反过来，若c2＝(a2＋b2)r2，则＝r成立，
说明x2＋y2＝r2的圆心(0,0)到直线ax＋by＋c＝0的距离等于r，
即圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切，
故p是q的充要条件．
10．已知数列{an}的前n项和Sn＝pn＋q(p≠0且p≠1)，求证：数列{an}为等比数列的充要条件为q＝－1.
证明：(1)充分性：当q＝－1时，a1＝p－1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)．
当n＝1时，上式也成立．
于是＝＝p，即数列{an}为等比数列．
(2)必要性：当n＝1时，a1＝S1＝p＋q.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)．
∵p≠0且p≠1，
∴＝＝p.
因为{an}为等比数列，
所以＝＝p＝，∴q＝－1.
即数列{an}为等比数列的充要条件为q＝－1.
层级二 应试能力达标
1．“0b”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A 当0b成立，所以是充分条件；当a>b时，有a2．已知直线l，m，平面α，且m α，则( )
A．“l⊥α”是“l⊥m”的必要条件
B．“l⊥m”是“l⊥α”的必要条件
C．l∥m l∥α
D．l∥α l∥m
解析：选B 很明显l⊥α l⊥m，l⊥m
l⊥α，l∥m
l∥α，l∥αl∥m，故选B.
3．下列说法正确的是( )
A．“x>0”是“x>1”的必要条件
B．已知向量m，n，则“m∥n”是“m＝n”的充分条件
C．“a4>b4”是“a>b”的必要条件
D．在△ABC中，“a>b”不是“A>B”的充分条件
解析：选A A中，当x>1时，有x>0，所以A正确；B中，当m∥n时，m＝n不一定成立，所以B不正确；C中，当a>b时，a4>b4不一定成立，所以C不正确；D中，当a>b时，有A>B，所以“a>b”是“A>B”的充分条件，所以D不正确．故选A.
4．设p：≤x≤1；q：(x－a)(x－a－1)≤0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
解析：选B ∵q：a≤x≤a＋1，p是q的充分不必要条件，
∴解得0≤a≤.故选B.
5．已知关于x的方程(1－a)x2＋(a＋2)x－4＝0(a∈R)，则该方程有两个正根的充要条件是________．
解析：方程(1－a)x2＋(a＋2)x－4＝0有两个实根的充要条件是
即
设此时方程的两根分别为x1，x2，则方程有两个正根的充要条件是 1答案：(1,2]∪[10，＋∞)
6．已知“－1解析：当方程x2＋y2＋kx＋y＋k2＝0表示圆时，
k2＋3－4k2>0，解得－1所以－1即实数m的取值范围是(－1,1]．
答案：(－1,1]
7．已知p：x2－8x－20>0，q：x2－2x＋1－a2>0.若p是q的充分条件，求正实数a的取值范围．
解：不等式x2－8x－20>0的解集为
A＝{x|x>10或x<－2}；
不等式x2－2x＋1－a2>0的解集为
B＝{x|x>1＋a或x<1－a，a>0}．
依题意p q，所以A B.
于是有解得0所以正实数a的取值范围是(0,3]．
8．求二次函数y＝－x2＋mx－1的图象与两端点为A(0,3)，B(3,0)的线段AB有两个不同的交点的充要条件．
解：线段AB的方程为x＋y＝3，由题意得方程组在[0,3]上有两组实数解，将①代入②，得x2－(m＋1)x＋4＝0(0≤x≤3)，此方程有两个不同的实数根，令f(x)＝x2－(m＋1)x＋4，则二次函数f(x)在x∈[0,3]上有两个实根，
故有：解得3故m的取值范围是.课时跟踪检测（一）
命
题
层级一 学业水平达标
1．下列语句不是命题的有( )
①若a>b，b>c，则a>c；②x>2；③3<4；④函数y＝ax(a>0，且a≠1)在R上是增函数．
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
解析：选C ①③是可以判断真假的陈述句，是命题；②④不能判断真假，不是命题．
2．下列命题是真命题的是( )
A．所有质数都是奇数
B．若>，则a>b
C．对任意的x∈N，都有x3>x2成立
D．方程x2＋x＋2＝0有实根
解析：选B 选项A错，因为2是偶数也是质数；选项B正确；选项C错；因为当x＝0时x3>x2不成立；选项D错，因为Δ＝12－8＝－7<0，所以方程x2＋x＋2＝0无实根.
3．已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，则下列命题中，假命题是( )
A．若a∥b，则α∥β
B．若α⊥β，则a⊥b
C．若a，b相交，则α，β相交
D．若α，β相交，则a，b相交
解析：选D 由已知a⊥α，b⊥β，若α，β相交，a，b有可能异面．
4．给出命题“方程x2＋ax＋1＝0没有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是( )
A．4
B．2
C．0
D．－3
解析：选C 方程无实根时，应满足Δ＝a2－4<0.故a＝0时适合条件．
5．已知下列三个命题：
①若一个球的半径缩小到原来的，
则其体积缩小到原来的；
②若两组数据的平均数相等，
则它们的标准差也相等；
③直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝相切．
其中真命题的序号为( )
A．①②③
B．①②
C．①③
D．②③
解析：选C 对于命题①，设球的半径为R，则π3＝·πR3，故体积缩小到原来的，命题正确；
对于命题②，若两组数据的平均数相同，则它们的标准差不一定相同，例如数据：1,3,5和3,3,3的平均数相同，但标准差不同，命题不正确；
对于命题③，圆x2＋y2＝的圆心(0,0)到直线x＋y＋1＝0的距离d＝＝，等于圆的半径，所以直线与圆相切，命题正确．
6．下列语句中是命题的有________(写出序号)，其中是真命题的有________(写出序号)．
①垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？
②一个数不是正数就是负数；
③大角所对的边大于小角所对的边；
④△ABC中，若∠A＝∠B，则sin
A＝sin
B；
⑤求证方程x2＋x＋1＝0无实根．
解析：①疑问句．没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题；
②是假命题，0既不是正数也不是负数；
③是假命题，没有考虑在同一个三角形内；
④是真命题；
⑤祈使句，不是命题．
答案：②③④ ④
7．给出下面三个命题：
①函数y＝tan
x在第一象限是增函数；
②奇函数的图象一定过原点；
③若a>b>1，则0其中是真命题的是________．(填序号)
解析：①是假命题，反例：x＝2π＋和x＝，tan＝，tan
＝1,2π＋>，但tan2π＋.
②是假命题，反例：y＝是奇函数，但其图象不过原点．
③是真命题，由对数函数的图象及单调性可知是真命题．
答案：③
8．若命题“ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．
解析：∵ax2－2ax－3>0不成立，
∴ax2－2ax－3≤0恒成立．
当a＝0时，－3≤0恒成立；
当a≠0时，则有
解得－3≤a<0.
综上，－3≤a≤0.
答案：[－3,0]
9．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假，且指出p和q分别指什么．
(1)乘积为1的两个实数互为倒数；
(2)奇函数的图象关于原点对称；
(3)与同一直线平行的两个平面平行．
解：(1)“若两个实数乘积为1，则这两个实数互为倒数”．它是真命题．
p：两个实数乘积为1；q：两个实数互为倒数．
(2)“若一个函数为奇函数，则它的图象关于原点对称”．它是真命题．
p：一个函数为奇函数；q：函数的图象关于原点对称．
(3)“若两个平面与同一条直线平行，则这两个平面平行”．它是假命题，这两个平面也可能相交．
p：两个平面与同一条直线平行；q：两个平面平行．
10．已知A：5x－1>a，B：x>1，请选择适当的实数a，使得利用A，B
构造的命题“若p，则q”为真命题．
解：若视A为p，则命题“若p，则q”为“若x>，则x>1”．由命题为真命题可知≥1，解得a≥4；
若视B为p，则命题“若p，则q”为“若x>1，则x>”．由命题为真命题可知≤1，解得a≤4.
故a取任一实数均可利用A，B构造出一个真命题，比如这里取a＝1，则有真命题“若x>1，则x>”．
层级二 应试能力达标
1．在空间中，下列命题正确的是( )
A．平行直线的平行投影重合
B．平行于同一平面的两条直线平行
C．垂直于同一平面的两个平面平行
D．垂直于同一平面的两条直线平行
解析：选D A中当两平行直线确定的平面不垂直于投影面时，两平行直线的平行投影不重合．B中两直线也可以相交或异面．C中两平面可以相交．D正确．故选D.
2．下面的命题中是真命题的是( )
A．y＝sin2x的最小正周期为2π
B．若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根同号，则>0
C．如果M N，那么M∪N＝M
D．在△ABC中，若·>0，则B为锐角
解析：选B y＝sin2x＝，T＝＝π，故A为假命题；当M N时，M∪N＝N，故C为假命题；在三角形ABC中，当·>0时，向量与的夹角为锐角，B应为钝角，故D为假命题．故选B.
3．下列命题为真命题的是( )
A．若＝，则x＝y
B．若x2＝1，则x＝1
C．若x＝y，则＝
D．若x解析：选A 很明显A正确；B中，由x2＝1，得x＝±1，所以B是假命题；C中，当x＝y<0时，结论不成立，所以C是假命题；D中，当x＝－1，y＝1时，结论不成立，所以D是假命题．故选A.
4．命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是( )
A．这个四边形的对角线互相平分
B．这个四边形的对角线互相垂直
C．这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直
D．这个四边形是平行四边形
解析：选C 命题可改为“若一个四边形是平行四边形，则这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直．”故选C.
5．命题“若a>0，则二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包括边界)”条件p：________，结论q：________________________________.它是____________命题(填“真”或“假”)．
解析：a>0时，设a＝1，把(0,0)代入x＋y－1≥0得－1≥0不成立，
∴x＋y－1≥0表示直线的右上方区域(包括边界)，
∴命题为真命题．
答案：a>0 二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包含边界) 真
6．定义“正对数”：ln＋x＝现有四个命题：
①若a>0，b>0，则ln＋(ab)＝bln＋a；
②若a>0，b>0，则ln＋(ab)＝ln＋a＋ln＋b；
③若a>0，b>0，则ln＋≥ln＋a－ln＋b；
④若a>0，b>0，则ln＋(a＋b)≤ln＋a＋ln＋b＋ln
2.
其中的真命题有________．(写出所有真命题的编号)
解析：对于①，当a≥1时，ab≥1，则ln＋(ab)＝ln
ab＝bln
a＝bln＋a；当0同理讨论a，b在(0，＋∞)内的不同取值，可知③④为真命题．
对于②，可取特殊值a＝e，b＝，则ln＋(ab)＝0，ln＋a＋ln＋b＝1＋0＝1，故②为假命题．
综上可知，真命题有①③④.
答案：①③④
7．已知p：x2－2x＋2≥m的解集为R；q：函数f(x)＝－(7－3m)x是减函数．若这两个命题中有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围．
解：若命题p为真命题，由x2－2x＋2＝(x－1)2＋1≥m，可知m≤1；
若命题q为真命题，则7－3m>1，即m<2.
命题p和q中有且只有一个是真命题，则p真q假或p假q真，
即或所以1故实数m的取值范围是(1,2)．
8．试探究命题“方程ax2＋bx＋1＝0有实数解”为真命题时，a，b满足的条件．
解：方程ax2＋bx＋1＝0有实数解，要考虑方程为一元一次方程和一元二次方程两种情况：
当a＝0时，方程ax2＋bx＋1＝0为bx＋1＝0，只有当b≠0时，方程有实数解x＝－；
当a≠0时，方程ax2＋bx＋1＝0为一元二次方程，方程有实数解的条件为Δ＝b2－4a≥0.
综上知，当a＝0，b≠0或a≠0，b2－4a≥0时，方程ax2＋bx＋1＝0有实数解．课时跟踪检测（十八）
函数的极值与导数
层级一 学业水平达标
1．已知函数y＝f(x)在定义域内可导，则函数y＝f(x)在某点处的导数值为0是函数y＝f(x)在这点处取得极值的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．非充分非必要条件
解析：选B 根据导数的性质可知，若函数y＝f(x)在这点处取得极值，则f′(x)＝0，即必要性成立；反之不一定成立，如函数f(x)＝x3在R上是增函数，f′(x)＝3x2，则f′(0)＝0，但在x＝0处函数不是极值，即充分性不成立．故函数y＝f(x)在某点处的导数值为0是函数y＝f(x)在这点处取得极值的必要不充分条件，故选B.
2．设函数f(x)＝＋ln
x，则( )
A．x＝为f(x)的极大值点
B．x＝为f(x)的极小值点
C．x＝2为f(x)的极大值点
D．x＝2为f(x)的极小值点
解析：选D 由f′(x)＝－＋＝＝0可得x＝2.当0＜x＜2时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x＞2时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．故x＝2为f(x)的极小值点．
3．已知函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是( )
A．(2,3)
B．(3，＋∞)
C．(2，＋∞)
D．(－∞，3)
解析：选B 因为函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，又f′(x)＝6x2＋2ax＋36，所以f′(2)＝0解得a＝－15.令f′(x)＞0，解得x＞3或x＜2，所以函数的一个递增区间是(3，＋∞)．
4．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是( )
解析：选C 由题意可得f′(－2)＝0，而且当x∈(－∞，－2)时，f′(x)＜0，此时xf′(x)＞0；排除B、D，当x∈(－2，＋∞)时，f′(x)＞0，此时若x∈(－2,0)，xf′(x)＜0，若x∈(0，＋∞)，xf′(x)＞0，所以函数y＝xf′(x)的图象可能是C.
5．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1,0)点，则f(x)的极大值、极小值分别为( )
A.，0
B．0，
C．－，0
D．0，－
解析：选A f′(x)＝3x2－2px－q，
由f′(1)＝0，f(1)＝0得，
解得∴f(x)＝x3－2x2＋x.
由f′(x)＝3x2－4x＋1＝0得x＝或x＝1，易得当x＝时f(x)取极大值.当x＝1时f(x)取极小值0.
6．设x＝1与x＝2是函数f(x)＝aln
x＋bx2＋x的两个极值点，则常数a＝______________.
解析：∵f′(x)＝＋2bx＋1，由题意得
∴a＝－.
答案：－
7．函数f(x)＝ax2＋bx在x＝处有极值，则b的值为________．
解析：f′(x)＝2ax＋b，∵函数f(x)在x＝处有极值，
∴f′＝2a·＋b＝0，即b＝－2.
答案：－2
8.已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)．如图，则下列说法中不正确的是________．(填序号)
①当x＝时，函数f(x)取得最小值；
②f(x)有两个极值点；
③当x＝2时函数值取得极小值；
④当x＝1时函数取得极大值．
解析：由图象可知，x＝1,2是函数的两极值点，∴②正确；又x∈(－∞，1)∪(2，＋∞)时，y＞0；x∈(1,2)时，y＜0，∴x＝1是极大值点，x＝2是极小值点，故③④正确．
答案：①
9．设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R，求f(x)的单调区间与极值．
解：由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R知f′(x)＝ex－2，x∈R.令f′(x)＝0，得x＝ln
2.
于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，ln
2)
ln
2
(ln
2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
单调递减↘
2(1－ln
2＋a)
单调递增↗
故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln
2)，单调递增区间是(ln
2，＋∞)；
且f(x)在x＝ln
2处取得极小值．
极小值为f(ln
2)＝2(1－ln
2＋a)，无极大值．
10．已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1时取得极值，且f(1)＝－1.
(1)试求常数a，b，c的值；
(2)试判断x＝±1时函数取得极小值还是极大值，并说明理由．
解：(1)由已知，f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
且f′(－1)＝f′(1)＝0，得3a＋2b＋c＝0,3a－2b＋c＝0.
又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1.
∴a＝，b＝0，c＝－.
(2)由(1)知f(x)＝x3－x，
∴f′(x)＝x2－＝(x－1)(x＋1)．
当x<－1或x>1时，f′(x)>0；当－1∴函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1,1)上为减函数．
∴当x＝－1时，函数取得极大值f(－1)＝1；
当x＝1时，函数取得极小值f(1)＝－1.
层级二 应试能力达标
1．函数f(x)＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则a，b的值分别为( )
A．1，－3
B．1,3
C．－1,3
D．－1，－3
解析：选A ∵f′(x)＝3ax2＋b，由题意知f′(1)＝0，f(1)＝－2，∴∴a＝1，b＝－3.
2．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围是( )
A．(－1,2)
B．(－3,6)
C．(－∞，－3)∪(6，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
解析：选C f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，
∵f(x)有极大值与极小值，∴f′(x)＝0有两不等实根，∴Δ＝4a2－12(a＋6)>0，∴a<－3或a>6.
3．设a∈R，若函数y＝ex＋ax(x∈R)有大于零的极值点，则( )
A．a＜－1
B．a＞－1
C．a＜－
D．a＞－
解析：选A ∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a.令y′＝ex＋a＝0，则ex＝－a，∴x＝ln(－a)．又∵x＞0，∴－a＞1，即a＜－1.
4．已知函数f(x)＝ex(sin
x－cos
x)，x∈(0,2
017π)，则函数f(x)的极大值之和为( )
A.
B.
C.
D.
解析：选B f′(x)＝2exsin
x，令f′(x)＝0得sin
x＝0，∴x＝kπ，k∈Z，当2kπ0，f(x)单调递增，当(2k－1)π017π)，∴0<(2k＋1)π<2
017π，∴0≤k<1
008，k∈Z.
∴f(x)的极大值之和为S＝f(π)＋f(3π)＋f(5π)＋…＋f(2
015π)＝eπ＋e3π＋e5π＋…＋e2
015π＝＝，故选B.
5．若函数y＝－x3＋6x2＋m的极大值为13，则实数m等于______．
解析：y′＝－3x2＋12x＝－3x(x－4)．由y′＝0，得x＝0或4.且x∈(－∞，0)∪(4，＋∞)时，y′＜0；x∈(0,4)时，y′＞0，∴x＝4时取到极大值．故－64＋96＋m＝13，解得m＝－19.
答案：－19
6．若函数f(x)＝x3＋x2－ax－4在区间(－1,1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围为______．
解析：由题意，f′(x)＝3x2＋2x－a，
则f′(－1)f′(1)<0，即(1－a)(5－a)<0，解得1答案：[1,5)
7．已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.
(1)求a，b的值；
(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．
解：(1)f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4.
由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4，故b＝4，a＋b＝8.
从而a＝4，b＝4.
(2)由(1)知，f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x，
f′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2).
令f′(x)＝0得，x＝－ln
2或x＝－2.
从而当x∈(－∞，－2)∪(－ln
2，＋∞)时，f′(x)>0；当x∈(－2，－ln
2)时，f′(x)<0.
故f(x)在(－∞，－2)，(－ln
2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln
2)上单调递减．
当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e－2)．
8．已知函数f(x)＝(a∈R，a≠0)．
(1)当a＝－1时，求函数f(x)的极值；
(2)若函数F(x)＝f(x)＋1没有零点，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝－1时，f(x)＝，f′(x)＝.
由f′(x)＝0，得x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，2)
2
(2,
＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
?
极小值
?
所以函数f(x)的极小值为f(2)＝－，
函数f(x)无极大值．(2)F′(x)＝f′(x)＝＝.
①当a<0时，F(x)，F′(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，2)
2
(2，＋∞)
F′(x)
－
0
＋
F(x)
?
极小值
?
若使函数F(x)没有零点，当且仅当F(2)＝＋1>0，
解得a>－e2，所以此时－e2②当a>0时，F(x)，F′(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，2)
2
(2，＋∞)
F′(x)
＋
0
－
F(x)
?
极大值
?
当x>2时，F(x)＝＋1>1，
当x<2时，令F(x)＝＋1<0，
即a(x－1)＋ex<0，
由于a(x－1)＋ex令a(x－1)＋e2≤0，得x≤1－，即x≤1－时，
F(x)<0，所以F(x)总存在零点，
综上所述，所求实数a的取值范围是(－e2,0)．课时跟踪检测（六）
椭圆及其标准方程
层级一 学业水平达标
1．设P是椭圆＋＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于( )
A．4
B．5
C．8
D．10
解析：选D 根据椭圆的定义知，|PF1|＋|PF2|＝2a＝2×5＝10，故选D．
2．已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是( )
A．2
B．6
C．4
D．12
解析：选C 由于△ABC的周长与焦点有关，设另一焦点为F，利用椭圆的定义，|BA|＋|BF|＝2，|CA|＋|CF|＝2，便可求得△ABC的周长为4．
3．命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和|PA|＋|PB|＝2a(a>0，常数)；命题乙：P点轨迹是椭圆．则命题甲是命题乙的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分且必要条件
D．既不充分又不必要条件
解析：选B 利用椭圆定义．若P点轨迹是椭圆，则|PA|＋|PB|＝2a(a>0，常数)，∴甲是乙的必要条件．
反过来，若|PA|＋|PB|＝2a(a>0，常数)是不能推出P点轨迹是椭圆的．
这是因为：仅当2a>|AB|时，P点轨迹才是椭圆；而当2a＝|AB|时，P点轨迹是线段AB；当2a<|AB|时，P点无轨迹，∴甲不是乙的充分条件．
综上，甲是乙的必要不充分条件．
4．如果方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是( )
A．a>3
B．a<－2
C．a>3或a<－2
D．a>3或－6解析：选D 由a2>a＋6>0得所以所以a>3或－65．已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|＝2，若|PF1|与|PF2|的等差中项为|F1F2|，则椭圆C的标准方程为( )
A．＋＝1
B．＋＝1或＋＝1
C．＋＝1
D．＋＝1或＋＝1
解析：选B 由已知2c＝|F1F2|＝2，∴c＝．
∵2a＝|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4，
∴a＝2．∴b2＝a2－c2＝9．
故椭圆C的标准方程是＋＝1或＋＝1．
6．椭圆＋＝1的焦距是2，则m的值是________．
解析：当椭圆的焦点在x轴上时，a2＝m，b2＝4，c2＝m－4，又2c＝2，∴c＝1．
∴m－4＝1，m＝5．
当椭圆的焦点在y轴上时，a2＝4，b2＝m，
∴c2＝4－m＝1，
∴m＝3．
答案：3或5
7．已知椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点，则椭圆C的标准方程为________________．
解析：法一：依题意，可设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，且可知左焦点为F′(－2,0)．
从而有解得
又a2＝b2＋c2，所以b2＝12，
故椭圆C的标准方程为＋＝1．
法二：依题意，可设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，则解得b2＝12或b2＝－3(舍去)，从而a2＝16．所以椭圆C的标准方程为＋＝1．
答案：＋＝1
8．椭圆的两焦点为F1(－4,0)，F2(4,0)，点P在椭圆上，若△PF1F2的面积最大为12，则椭圆方程为__________．
解析：如图，当P在y轴上时△PF1F2的面积最大，
∴×8b＝12，∴b＝3．
又∵c＝4，∴a2＝b2＋c2＝25．
∴椭圆的标准方程为＋＝1．
答案：＋＝1
9．设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点．设椭圆C上一点到两焦点F1，F2的距离和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标．
解：由点在椭圆上，得＋＝1，
又2a＝4，所以椭圆C的方程为＋＝1，焦点坐标分别为(－1,0)，(1,0)．
10．已知椭圆C与椭圆x2＋37y2＝37的焦点F1，F2相同，且椭圆C过点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若P∈C，且∠F1PF2＝，求△F1PF2的面积．
解：(1)因为椭圆＋y2＝1的焦点坐标为(－6,0)，(6,0)．
所以设椭圆C的标准方程为＋＝1(a2>36)．
将点的坐标代入整理得4a4－463a2＋6
300＝0，解得a2＝100或a2＝(舍去)，
所以椭圆C的标准方程为＋＝1．
(2)因为P为椭圆C上任一点，
所以|PF1|＋|PF2|＝2a＝20．
由(1)知c＝6，
在△PF1F2中，|F1F2|＝2c＝12，
所以由余弦定理得：
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos
，
即122＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|．
因为|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·
所以122＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1|·|PF2|．
所以122＝202－3|PF1||PF2|．
所以|PF1|·|PF2|＝＝＝．
S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|sin
＝××＝．
所以△F1PF2的面积为．
层级二 应试能力达标
1．下列说法中正确的是( )
A．已知F1(－4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆
B．已知F1(－4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆
C．平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)两点的距离之和等于点M(5,3)到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆
D．平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆
解析：选C A中，|F1F2|＝8，则平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段，所以A错误；B中，到F1，F2两点的距离之和等于6，小于|F1F2|，这样的轨迹不存在，所以B错误；C中，点M(5,3)到F1，F2两点的距离之和为＋＝4>|F1F2|＝8，则其轨迹是椭圆，所以C正确；D中，轨迹应是线段F1F2的垂直平分线，所以D错误．故选C．
2．椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，P为椭圆上的一点，已知·＝0，则△F1PF2的面积为( )
A．9
B．12
C．10
D．8
解析：选A ∵·＝0，
∴PF1⊥PF2．
∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2且|PF1|＋|PF2|＝2a．
又a＝5，b＝3，∴c＝4，
∴
②2－①，得2|PF1|·|PF2|＝36，
∴|PF1|·|PF2|＝18，
∴△F1PF2的面积为
S＝·|PF1|·|PF2|＝9．
3．若α∈，方程x2sin
α＋y2cos
α＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．
解析：选A 易知sin
α≠0，cos
α≠0，方程x2sin
α＋y2cos
α＝1可化为＋＝1．因为椭圆的焦点在y轴上，所以>>0，即sin
α>cos
α>0．又α∈，所以<α<．
4．已知P为椭圆＋＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )
A．5
B．7
C．13
D．15
解析：选B 由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心：且|PF1|＋|PF2|＝10，从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2＝7．
5．若椭圆2kx2＋ky2＝1的一个焦点为(0，－4)，则k的值为________．
解析：易知k≠0，方程2kx2＋ky2＝1变形为＋＝1，所以－＝16，解得k＝．
答案：
6．已知椭圆C：
＋＝1，点M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则
|AN|＋|BN|＝________．
解析：取MN的中点G，G在椭圆C上，因为点M关于C的焦点F1，F2的对称点分别为A，B，故有|GF1|＝|AN|，|GF2|＝|BN|，所以|AN|＋|BN|＝2(|GF1|＋|GF2|)＝4a＝12．
答案：12
7．已知点P在椭圆上，且P到椭圆的两个焦点的距离分别为5,3．过P且与椭圆的长轴垂直的直线恰好经过椭圆的一个焦点，求椭圆的标准方程．
解：法一：设所求的椭圆方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)，
由已知条件得解得
所以b2＝a2－c2＝12．
于是所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1．
法二：设所求的椭圆方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)，两个焦点分别为F1，F2．
由题意知2a＝|PF1|＋|PF2|＝3＋5＝8，所以a＝4．
在方程＋＝1中，令x＝±c，得|y|＝；
在方程＋＝1中，令y＝±c，得|x|＝．
依题意有＝3，得b2＝12．
于是所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1．
8．
如图在圆C：(x＋1)2＋y2＝25内有一点A(1,0)．Q为圆C上一点，AQ的垂直平分线与C，Q的连线交于点M，求点M的轨迹方程．
解：如图，连接MA．由题意知点M在线段CQ上，从而有|CQ|＝|MQ|＋|MC|．又点M在AQ的垂直平分线上，
则|MA|＝|MQ|，故|MA|＋|MC|＝|CQ|＝5．
又A(1,0)，C(－1,0)，故点M的轨迹是以(1,0)，(－1,0)为焦点的椭圆，且2a＝5，故a＝，c＝1，b2＝a2－c2＝－1＝．
故点M的轨迹方程为＋＝1．课时跟踪检测（十一）
抛物线及其标准方程
层级一 学业水平达标
1．抛物线y＝12x2上的点到焦点的距离的最小值为( )
A．3
B．6
C．
D．
解析：选C 将方程化为标准形式是x2＝y，因为2p＝，所以p＝．故到焦点的距离最小值为．
2．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为( )
A．
B．1
C．2
D．4
解析：选C ∵抛物线y2＝2px的准线x＝－与圆(x－3)2＋y2＝16相切，∴－＝－1，即p＝2．
3．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若＝4，则|QF|＝( )
A．
B．
C．3
D．2
解析：选C 过点Q作QQ′⊥l交l于点Q′，因为＝4，所以|PQ|∶|PF|＝3∶4，又焦点F到准线l的距离为4，所以|QF|＝|QQ′|＝3．故选C．
4．设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则C的圆心轨迹为( )
A．抛物线
B．双曲线
C．椭圆
D．圆
解析：选A 由题意知，圆C的圆心到点(0,3)的距离比到直线y＝0的距离大1，即圆C的圆心到点(0,3)的距离与到直线y＝－1的距离相等，根据抛物线的定义可知，所求轨迹是一条抛物线．
5．已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2．若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为( )
A．x2＝y
B．x2＝y
C．x2＝8y
D．x2＝16y
解析：选D 双曲线的渐近线方程为y＝±x，由于＝＝
＝2，所以＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x．抛物线的焦点坐标为，所以＝2，所以p＝8，所以抛物线方程为x2＝16y．
6．抛物线x＝y2的焦点坐标是________．
解析：方程改写成y2＝4mx，得2p＝4m，∴p＝2m，即焦点(m,0)．
答案：(m,0)
7．已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(1，m)到其焦点的距离为5，双曲线x2－＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，则实数a＝________．
解析：根据抛物线的定义得1＋＝5，p＝8．不妨取M(1,4)，则AM的斜率为2，由已知得－×2＝－1，故a＝．
答案：
8．对标准形式的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．
其中满足抛物线方程为y2＝10x的是________．(要求填写适合条件的序号)
解析：抛物线y2＝10x的焦点在x轴上，②满足，①不满足；设M(1，y0)是y2＝10x上一点，则|MF|＝1＋＝1＋＝≠6，所以③不满足；由于抛物线y2＝10x的焦点为，过该焦点的直线方程为y＝k，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，则k＝－2，此时存在，所以④满足．
答案：②④
9．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程．
解：法一：如图所示，设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，则焦点F，准线l：y＝，作MN⊥l，垂足为N，则|MN|＝|MF|＝5，而|MN|＝3＋，3＋＝5，即p＝4．
所以抛物线方程为x2＝－8y，准线方程为y＝2．
由m2＝－8×(－3)＝24，得m＝±2．
法二：设所求抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则焦点为F．
∵M(m，－3)在抛物线上，且|MF|＝5，
故解得
∴抛物线方程为x2＝－8y，m＝±2，准线方程为y＝2．
10．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0．5米．
(1)以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程；
(2)若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米(精确到0．1米)
解：如图所示．(1)依题意，设该抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，
因为点C(5，－5)在抛物线上，
所以该抛物线的方程为x2＝－5y．
(2)设车辆高为h，则|DB|＝h＋0．5，
故D(3．5，h－6．5)，
代入方程x2＝－5y，解得h＝4．05，
所以车辆通过隧道的限制高度为4．0米．
层级二 应试能力达标
1．过点A(3,0)且与y轴相切的圆的圆心的轨迹为( )
A．圆
B．椭圆
C．直线
D．抛物线
解析：选D 设P为满足条件的点，则点P到点A的距离等于点P到y轴的距离，即点P在以点A为焦点，y轴为准线的抛物线上，所以点P的轨迹为抛物线．故选D．
2．抛物线y2＝4x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当△FPM为等边三角形时，其面积为( )
A．2
B．4
C．6
D．4
解析：选D 如图，∵△FPM是等边三角形．
∴由抛物线的定义知PM⊥l．
在Rt△MQF中，|QF|＝2，
∠QMF＝30°，∴|MF|＝4，
∴S△PMF＝×42＝4．故选D．
3．已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB中点到x轴的最短距离为( )
A． B． C．1 D．2
解析：选D 设AB的中点为M，焦点为F(0,1)．过M作准线l：y＝－1的垂线MN，过A作AC⊥l于C，过B作BD⊥l于D，则|MN|＝＝≥＝3，所以AB中点到x轴的最短距离为3－1＝2，此时动弦AB过焦点，故选D．
4．设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5．若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为( )
A．y2＝4x或y2＝8x
B．y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16x
D．y2＝2x或y2＝16x
解析：选C 由已知得抛物线的焦点F，设点A(0，2)，抛物线上点M(x0，y0)，则＝，＝．由已知得，·＝0，即y－8y0＋16＝0，因而y0＝4，M．
由|MF|＝5得，
＝5，又p＞0，解得p＝2或p＝8，故选C．
5．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若＋＋＝0，则||＋||＋||＝________．
解析：因为＋＋＝0，所以点F为△ABC的重心，则A，B，C三点的横坐标之和为点F的横坐标的三倍，即xA＋xB＋xC＝3，所以||＋||＋||＝xA＋1＋xB＋1＋xC＋1＝6．
答案：6
6．从抛物线y2＝4x上的一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的内切圆的面积为________．
解析：如图，∵|PM|＝5，
∴点P的坐标为(4,4)，
∴S△PMF＝×5×4＝10．
设△PMF的内切圆圆心为O′，半径为r，
∴S△PMF＝S△O
′PM＋S△O
′PF＋S△O
′MF，
即(5＋5＋2)r＝10，解得r＝，
故△PMF内切圆的面积为πr2＝π．
答案：π
7．已知M是抛物线y2＝2px(p>0)上任一点(不与原点重合)，F是其焦点．
求证：以MF为直径的圆与y轴相切．
证明：如图，过M作MN⊥l于N，交y轴于点Q，O′是MF的中点，作O′R⊥y轴于R．
∵|MF|＝|MN|，|OF|＝|OP|＝|QN|，
∴|O′R|＝(|OF|＋|QM|)
＝(|QM|＋|QN|)
＝|MN|＝|MF|，
∴以MF为直径的圆与y轴相切．
8．设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点．
(1)若点P到直线x＝－1的距离为d，A(－1,1)，求|PA|＋d的最小值；
(2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．
解：(1)依题意，抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1．
由抛物线的定义，知|PF|＝d，
于是问题转化为求|PA|＋|PF|的最小值．
如图，连接AF，交抛物线于点P，则最小值为＝．
(2)把点B的横坐标代入y2＝4x中，得y＝±，
因为>2，所以点B在抛物线内部．
自点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1(如图)．
由抛物线的定义，知|P1Q|＝|P1F|，
则|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝3＋1＝4．
即|PB|＋|PF|的最小值为4．阶段质量检测（二）
圆锥曲线与方程
(时间120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(安徽高考)下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x的是( )
A．x2－＝1
B．－y2＝1
C．－x2＝1
D．y2－＝1
解析：选C 由双曲线焦点在y轴上，排除选项A、B，选项C中双曲线的渐近线方程为y＝±2x，故选C．
2．θ是任意实数，则方程x2＋y2sin
θ＝4的曲线不可能是( )
A．椭圆
B．双曲线
C．抛物线
D．圆
解析：选C 由于θ∈R，对sin
θ的值举例代入判断．
sin
θ可以等于1，这时曲线表示圆，sin
θ可以小于0，这时曲线表示双曲线，sin
θ可以大于0且小于1，这时曲线表示椭圆．
3．设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，若曲线C上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线C的离心率等于( )
A．或
B．或2
C．或2
D．或
解析：选A 设|PF1|＝4k，|F1F2|＝3k，|PF2|＝2k．若曲线C为椭圆，则2a＝6k,2c＝3k，∴e＝；若曲线C为双曲线，则2a＝2k,2c＝3k，∴e＝．
4．设F1，F2是双曲线－y2＝1的两个焦点，P在双曲线上，当△F1PF2的面积为2时，·的值为( )
A．2
B．3
C．4
D．6
解析：选B 设P(x0，y0)，又F1(－2,0)，F2(2,0)，
∴＝(－2－x0，－y0)，＝(2－x0，－y0)．|F1F2|＝4，S△PF1F2＝|F1F2|·|y0|＝2，∴|y0|＝1．又－y＝1，∴x＝3(y＋1)＝6，∴·＝x＋y－4＝6＋1－4＝3．
5．设P是双曲线－＝1(a>0)上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝3，则|PF2|＝( )
A．1或5
B．6
C．7
D．8
解析：选C 双曲线－＝1的一条渐近线方程为3x－2y＝0，故a＝2．又P是双曲线上一点，故||PF1|－|PF2||＝4，而|PF1|＝3，则|PF2|＝7．
6．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是( )
A．
B．[－2,2]
C．[－1,1]
D．[－4,4]
解析：选C 准线x＝－2，Q(－2,0)，设l：y＝k(x＋2)，
由得k2x2＋4(k2－2)x＋4k2＝0．
当k＝0时，x＝0，即交点为(0,0)，
当k≠0时，Δ≥0，－1≤k＜0或0＜k≤1．
综上，k的取值范围是[－1,1]．
7．(全国乙卷)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为( )
A．
B．
C．
D．
解析：选B 不妨设直线l经过椭圆的一个顶点B(0，b)和一个焦点F(c,0)，则直线l的方程为＋＝1，即bx＋cy－bc＝0．由题意知＝×2b，解得＝，即e＝．故选B．
8．(浙江高考)已知椭圆C1：＋y2＝1(m＞1)与双曲线C2：－y2＝1(n＞0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则( )
A．m＞n且e1e2＞1
B．m＞n且e1e2＜1
C．m＜n且e1e2＞1
D．m＜n且e1e2＜1
解析：选A C1的焦点为(±，0)，C2的焦点为(±，0)，
∵C1与C2的焦点重合，
∴＝，∴m2＝n2＋2，∴m2＞n2.
∵m＞1，n＞0，∴m＞n.
∵C1的离心率e1＝，C2的离心率e2＝，
∴e1e2＝·
＝＝
＝＝＞＝1.
答案：A
9．探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口的直径为60
cm，灯深40
cm，则抛物线的标准方程可能是( )
A．y2＝x
B．y2＝x
C．x2＝－y
D．x2＝－y
解析：选C 如果设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，则抛物线过点(40,30)，从而有302＝2p×40，即2p＝，
所以所求抛物线方程为y2＝x．
虽然选项中没有y2＝x，但C中的2p＝符合题意．
10．已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|＝2|FB|，则k＝( )
A．
B．
C．
D．
解析：选D 将y＝k(x＋2)代入y2＝8x，得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，设A(x1，y1),
B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝4，抛物线y2＝8x的准线方程为x＝－2，由|FA|＝2|FB|及抛物线定义得x1＋2＝2(x2＋2)，即x1＝2＋2x2，代入x1x2＝4，整理得x＋x2－2＝0，解得x2＝1或x2＝－2(舍去)．所以x1＝4，＝5，解得k2＝，又因为k>0，所以k＝．
11．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为．双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为( )
A．＋＝1
B．＋＝1
C．＋＝1
D．＋＝1
解析：选D 因为椭圆的离心率为，所以e＝＝，c2＝a2＝a2－b2，所以b2＝a2，即a2＝4b2．双曲线的渐近线方程为y＝±x，代入椭圆方程得＋＝1，即＋＝＝1，所以x2＝b2，x＝±b，y2＝b2，y＝±
b，则在第一象限双曲线的渐近线与椭圆C的交点坐标为，所以四边形的面积为4×
b×
b＝b2＝16，所以b2＝5，所以椭圆方程为＋＝1．
12．(四川高考)设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆(x－5)2＋y2＝r2(r>0)相切于点M，且M为线段AB的中点．若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是( )
A．(1,3)
B．(1,4)
C．(2,3)
D．(2,4)
解析：选D 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(5＋rcos
θ，rsin
θ)
则
两式相减得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)．
当直线l的斜率不存在时，显然符合条件的直线l有两条．
当直线l的斜率存在时，
可得2rsin
θ(y1－y2)＝4(x1－x2)
kAB＝＝．
又∵kMC＝＝．
∴kAB＝－＝－．
∴＝－ r＝>2．
由于M在抛物线的内部，∴(rsin
θ)2<4(5＋rcos
θ)＝20＋4rcos
θ＝20＋4×(－2)＝12．
∴|rsin
θ|<2．∴|rsin
θ|＝r·＝<2 r2<16 0因此2二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)
13．以双曲线－＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为________．
解析：双曲线焦点(±4,0)，顶点(±2,0)，故椭圆的焦点为(±2,0)，顶点(±4,0)．
答案：＋＝1
14．设F1，F2为曲线C1：＋＝1的焦点，P是曲线C2：－y2＝1与C1的一个交点，则△PF1F2的面积为________．
解析：由题意知|F1F2|＝2＝4，
设P点坐标为(x，y)．
由得
则S△PF1F2＝|F1F2|·|y|＝×4×＝．
答案：
15．抛物线y2＝2px(p>0)上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p＝________．
解析：依题意，设抛物线的焦点为F，点Q的横坐标是x0(x0≥0)，则有|QF|＝x0＋的最小值是＝1，则p＝2．
答案：2
16．已知二次曲线＋＝1，当m∈[－2，－1]时，该曲线的离心率的取值范围是________．
解析：∵m∈[－2，－1]，
∴曲线方程化为－＝1，曲线为双曲线，
∴e＝．∵m∈[－2，－1]，∴≤e≤．
答案：，
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交于点P，求抛物线的方程和双曲线的方程．
解：依题意，设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，
∵点P在抛物线上，∴6＝2p×．∴p＝2，
∴所求抛物线的方程为y2＝4x．
∵双曲线的左焦点在抛物线的准线x＝－1上，
∴c＝1，即a2＋b2＝1，
又点P在双曲线上，∴－＝1，
解方程组
得或(舍去)．
∴所求双曲线的方程为4x2－y2＝1．
18．(本小题满分12分)已知抛物线方程为y2＝2x，在y轴上截距为2的直线l与抛物线交于M，N两点，O为坐标原点．若OM⊥ON，求直线l的方程．
解：设直线l的方程为y＝kx＋2，
由消去x得ky2－2y＋4＝0．
∵直线l与抛物线相交，
∴解得k<且k≠0．
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1y2＝，
从而x1x2＝·＝．
∵OM⊥ON，∴x1x2＋y1y2＝0，
即＋＝0，解得k＝－1符合题意，
∴直线l的方程为y＝－x＋2．
19．(本小题满分12分)已知椭圆＋＝1及直线l：y＝x＋m，
(1)当直线l与该椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；
(2)求直线l被此椭圆截得的弦长的最大值．
解：(1)由消去y，并整理得
9x2＋6mx＋2m2－18＝0．①
Δ＝36m2－36(2m2－18)＝－36(m2－18)．
∵直线l与椭圆有公共点，
∴Δ≥0，据此可解得－3
≤m≤3
．
故所求实数m的取值范围为[－3
，3
]．
(2)设直线l与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由①得：x1＋x2＝－，x1x2＝，
故|AB|＝·
＝
·
＝·
，
当m＝0时，直线l被椭圆截得的弦长的最大值为．
20．(本小题满分12分)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，过点A(0，－b)和B(a,0)的直线与原点的距离为．
(1)求椭圆的方程；
(2)已知定点E(－1,0)，若直线y＝kx＋2(k≠0)与椭圆交于C，D两点，问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点，请说明理由．
解：(1)直线AB的方程为：bx－ay－ab＝0．
依题意解得
∴椭圆方程为＋y2＝1．
(2)假若存在这样的k值，由得
(1＋3k2)x2＋12kx＋9＝0．
∴Δ＝(12k)2－36(1＋3k2)>0．①
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，
则②
而y1y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4．
要使以CD为直径的圆过点E(－1,0)，当且仅当CE⊥DE时，则·＝－1．
即y1y2＋(x1＋1)(x2＋1)＝0．
∴(k2＋1)x1x2＋(2k＋1)(x1＋x2)＋5＝0．③
将②式代入③整理解得k＝．经验证k＝使①成立．
综上可知，存在k＝，使得以CD为直径的圆过点E．
21．(本小题满分12分)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为e，若直线l：x＝与两条渐近线分别相交于P，Q两点，F为右焦点，△FPQ为等边三角形．
(1)求双曲线C的离心率e；
(2)若直线y＝ax＋b被双曲线C所截得的弦长为，求双曲线C的方程．
解：(1)双曲线C的两条渐近线方程为y＝±x，不妨设点P在第一象限，则渐近线与直线l：x＝的两交点分别为P，，Q．
设直线l交x轴于点M(如图)．
∵△PFQ为等边三角形，
∴|MF|＝|PQ|，
即c－＝，
即＝，解得b＝a，
∴c＝2a，∴e＝＝2．
(2)由(1)得双曲线C的方程为－＝1．
设直线y＝ax＋b与双曲线C的两交点坐标为(x1，y1)和(x2，y2)．
把y＝ax＋b＝ax＋a代入双曲线C的方程，
得(a2－3)x2＋2a2x
＋6a2＝0．
则
∴a2<6，且a2≠3．
又x1＋x2＝，x1x2＝，
∴直线y＝ax＋b被双曲线C所截得的弦长为
＝
＝
＝，
化简整理得13a4－77a2＋102＝0．
∴a2＝2或a2＝，满足a2<6且a2≠3．
∴双曲线C的方程为－＝1或－＝1．
22．(本小题满分12分)(湖南高考)已知抛物线C1：x2＝4y的焦点F也是椭圆C2：＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为2．过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且与同向．
(1)求C2的方程；
(2)若|AC|＝|BD|，求直线l的斜率．
解：(1)由C1：x2＝4y知其焦点F的坐标为(0,1)．
因为F也是椭圆C2的一个焦点，
所以a2－b2＝1．①
又C1与C2的公共弦的长为2，C1与C2都关于y轴对称，且C1的方程为x2＝4y，
由此易知C1与C2的公共点的坐标为，
所以＋＝1．②
联立①②，得a2＝9，b2＝8．
故C2的方程为＋＝1．
(2)如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)．
因与同向，且|AC|＝|BD|，
所以＝，从而x3－x1＝x4－x2，
即x1－x2＝x3－x4，
于是(x1＋x2)2－4x1x2＝(x3＋x4)2－4x3x4．③
设直线l的斜率为k，则l的方程为y＝kx＋1．
由得x2－4kx－4＝0．
而x1，x2是这个方程的两根，
所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4．④
由得(9＋8k2)x2＋16kx－64＝0．
而x3，x4是这个方程的两根，
所以x3＋x4＝－，x3x4＝－．⑤
将④⑤代入③，得16(k2＋1)＝＋，
即16(k2＋1)＝，
所以(9＋8k2)2＝16×9，
解得k＝±，即直线l的斜率为±．课时跟踪检测（十九）
函数的最大(小)值与导数
层级一 学业水平达标
1．设M，m分别是函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值，若M＝m，则f′(x)( )
A．等于0
B．小于0
C．等于1
D．不确定
解析：
选A 因为M＝m，所以f(x)为常数函数，故f′(x)＝0，故选A.
2．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[－2,1]上的最大值、最小值分别是( )
A．12，－8
B．1，－8
C．12，－15
D．5，－16
解析：选A y′＝6x2－6x－12，
由y′＝0 x＝－1或x＝2(舍去)．
x＝－2时，y＝1；x＝－1时，y＝12；x＝1时，y＝－8.
∴ymax＝12，ymin＝－8.故选A.
3．函数f(x)＝x4－4x(|x|<1)( )
A．有最大值，无最小值
B．有最大值，也有最小值
C．无最大值，有最小值
D．既无最大值，也无最小值
解析：选D f′(x)＝4x3－4＝4(x－1)(x2＋x＋1)．
令f′(x)＝0，得x＝1.又x∈(－1,1)且1 (－1,1)，
∴该方程无解，故函数f(x)在(－1,1)上既无极值也无最值．故选D.
4．函数f(x)＝2＋，x∈(0,5]的最小值为( )
A．2
B．3
C.
D．2＋
解析：选B 由f′(x)＝－＝＝0，得x＝1，
且x∈(0,1)时，f′(x)＜0，x∈(1,5]时，f′(x)＞0，
∴x＝1时，f(x)最小，最小值为f(1)＝3.
5．函数y＝的最大值为( )
A．e－1
B．e
C．e2
D．10
解析：选A 令y′＝＝＝0 x＝e.当x＞e时，y′＜0；当0＜x＜e时，y′＞0，所以y极大值＝f(e)＝e－1，在定义域内只有一个极值，所以ymax＝e－1.
6．函数y＝－x(x≥0)的最大值为__________．
解析：y′＝－1＝，令y′＝0得x＝.
∵0＜x＜时，y′＞0；x＞时，y′＜0.
∴x＝时，ymax＝－＝.
答案：
7．函数f(x)＝xe－x，x∈[0,4]的最小值为________．
解析：f′(x)＝e－x－xe－x＝e－x(1－x)．
令f′(x)＝0，得x＝1(e－x＞0)，
∴f(1)＝＞0，f(0)＝0，f(4)＝＞0，
所以f(x)的最小值为0.
答案：0
8．若函数f(x)＝x3－3x－a在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为m，n，则m－n＝________.
解析：∵f′(x)＝3x2－3，
∴当x＞1或x＜－1时，f′(x)＞0；
当－1＜x＜1时，f′(x)＜0.
∴f(x)在[0,1]上单调递减，在[1,3]上单调递增．
∴f(x)min＝f(1)＝1－3－a＝－2－a＝n.
又∵f(0)＝－a，f(3)＝18－a，∴f(0)＜f(3)．
∴f(x)max＝f(3)＝18－a＝m，
∴m－n＝18－a－(－2－a)＝20.
答案：20
9．设函数f(x)＝ex－x2－x.
(1)若k＝0，求f(x)的最小值；
(2)若k＝1，讨论函数f(x)的单调性．
解：(1)k＝0时，f(x)＝ex－x，f′(x)＝ex－1.
当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故f(x)的最小值为f(0)＝1.
(2)若k＝1，则f(x)＝ex－x2－x，定义域为R.
∴f′(x)＝ex－x－1，令g(x)＝ex－x－1，
则g′(x)＝ex－1，
由g′(x)≥0得x≥0，所以g(x)在[0，＋∞)上单调递增，
由g′(x)<0得x<0，所以g(x)在(－∞，0)上单调递减，
∴g(x)min＝g(0)＝0，即f′(x)min＝0，故f′(x)≥0.
所以f(x)在R上单调递增．
10．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋5，曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线方程为y＝3x＋1.
(1)求a，b的值；
(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值．
解：(1)依题意可知点P(1，f(1))为切点，代入切线方程y＝3x＋1可得，f(1)＝3×1＋1＝4，
∴f(1)＝1＋a＋b＋5＝4，即a＋b＝－2，
又由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋5得，
又f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
而由切线y＝3x＋1的斜率可知f′(1)＝3，
∴3＋2a＋b＝3，即2a＋b＝0，
由解得
∴a＝2，b＝－4.
(2)由(1)知f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，
f′(x)＝3x2＋4x－4＝(3x－2)(x＋2)，
令f′(x)＝0，得x＝或x＝－2.
当x变化时，f(x)，f′(x)的变化情况如下表：
x
－3
(－3，－2)
－2
1
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
8
?
极大值
?
极小值
?
4
∴f(x)的极大值为f(－2)＝13，极小值为f＝，
又f(－3)＝8，f(1)＝4，
∴f(x)在[－3,1]上的最大值为13.
层级二 应试能力达标
1．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为( )
A．[0,1)
B．(0,1)
C．(－1,1)
D.
解析：选B ∵f′(x)＝3x2－3a，令f′(x)＝0，可得a＝x2，又∵x∈(0,1)，∴0＜a＜1，故选B.
2．若函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为( )
A．－10
B．－71
C．－15
D．－22
解析：选B f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)．由f′(x)＝0，得x＝3或x＝－1.又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27，f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5，∴f(x)min＝k－76＝－71.
3．设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝ln
x的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小值时t的值为( )
A．1
B.
C.
D.
解析：选D 因为f(x)的图象始终在g(x)的上方，所以|MN|＝f(x)－g(x)＝x2－ln
x，设h(x)＝x2－ln
x，则h′(x)＝2x－＝，令h′(x)＝＝0，得x＝，所以h(x)在上单调递减，在上单调递增，所以当x＝时有最小值，故t＝.
4．函数f(x)＝x3＋ax－2在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是( )
A．[3，＋∞)
B．[－3，＋∞)
C．(－3，＋∞)
D．(－∞，－3)
解析：选B ∵f(x)＝x3＋ax－2在[1，＋∞)上是增函数，∴f′(x)＝3x2＋a≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a≥－3x2在[1，＋∞)上恒成立，又∵在[1，＋∞)上(－3x2)max＝－3，∴a≥－3.
5．设函数f(x)＝x2ex，若当x∈[－2,2]时，不等式f(x)＞m恒成立，则实数m的取值范围是________．
解析：f′(x)＝xex＋x2ex＝·x(x＋2)，
由f′(x)＝0得x＝0或x＝－2.
当x∈[－2,2]时，f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：
x
－2
(－2,0)
0
(0,2)
2
f′(x)
0
－
0
＋
f(x)
递减
递增
∴当x＝0时，f(x)min＝f(0)＝0，要使f(x)＞m对x∈[－2,2]恒成立，只需m＜f(x)min，∴m＜0.
答案：(－∞，0)
6．已知函数y＝－x2－2x＋3在区间[a,2]上的最大值为，则a＝________.
解析：y′＝－2x－2，令y′＝0，得x＝－1，∴函数在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，＋∞)上单调递减．若a＞－1，则最大值为f(a)＝－a2－2a＋3＝，解之得a＝－；若a≤－1，则最大值为f(－1)＝－1＋2＋3＝4≠.综上知，a＝－.
答案：－
7．已知函数f(x)＝ax3＋x2＋bx(其中常数a，b∈R)，g(x)＝f(x)＋f′(x)是奇函数．
(1)求f(x)的表达式；
(2)求g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值．
解：(1)∵f′(x)＝3ax2＋2x＋b，
∴g(x)＝f(x)＋f′(x)
＝ax3＋(3a＋1)x2＋(b＋2)x＋b.
∵g(x)是奇函数，
∴g(－x)＝－g(x)，
从而3a＋1＝0，b＝0，
解得a＝－，b＝0，
因此f(x)的表达式为f(x)＝－x3＋x2.
(2)由(1)知g(x)＝－x3＋2x，
∴g′(x)＝－x2＋2，令g′(x)＝0.
解得x1＝－(舍去)，x2＝，
而g(1)＝，g()＝，g(2)＝，
因此g(x)在区间[1,2]上的最大值为g()＝，最小值为g(2)＝.
8．已知函数f(x)＝ln
x＋.
(1)当a<0时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在[1，e]上的最小值是，求a的值．
解：函数f(x)＝ln
x＋的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－＝，
(1)∵a<0，∴f′(x)>0，
故函数在其定义域(0，＋∞)上单调递增．
(2)x∈[1，e]时，分如下情况讨论：
①当a<1时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，其最小值为f(1)＝a<1，这与函数在[1，e]上的最小值是相矛盾；
②当a＝1时，函数f(x)在[1，e]上单调递增，其最小值为f(1)＝1，同样与最小值是相矛盾；
③当10，f(x)单调递增，
所以，函数f(x)的最小值为f(a)＝ln
a＋1，由ln
a＋1＝，得a＝.
④当a＝e时，函数f(x)在[1，e]上有f′(x)<0，f(x)单调递减，其最小值为f(e)＝2，这与最小值是相矛盾；
⑤当a>e时，显然函数f(x)在[1，e]上单调递减，其最小值为f(e)＝1＋>2，仍与最小值是相矛盾；
综上所述，a的值为.课时跟踪检测（五）
全称量词与存在量词
层级一 学业水平达标
1．下列命题中的假命题是( )
A． x∈R,2x－1>0
B． x∈N
，(x－1)2>0
C． x0∈R，lg
x0<1
D． x0∈R，tan
x0＝2
解析：选B 当x＝1时，(x－1)2＝0，所以B为假命题．
2．下列四个命题中的真命题为( )
A．若sin
A＝sin
B，则A＝B
B． x∈R，都有x2＋1>0
C．若lg
x2＝0，则x＝1
D． x0∈Z，使1<4x0<3
解析：选B A中，若sin
A＝sin
B，不一定有A＝B，故A为假命题，B显然是真命题；C中，若lg
x2＝0，则x2＝1，解得x＝±1，故C为假命题；D中，解1<4x<3得3．有下列四个命题：
① x∈R,2x2－3x＋4>0；
② x∈{1，－1,0},2x＋1>0；
③ x0∈N，使x≤x0；
④ x0∈N
，使x0为29的约数．
其中真命题的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：选C 对于①，这是全称命题，由于Δ＝(－3)2－4×2×4<0，所以2x2－3x＋4>0恒成立，故①为真命题；对于②，这是全称命题，由于当x＝－1时，2x＋1>0不成立，故②为假命题；对于③，这是特称命题，当x0＝0或x0＝1时，有x≤x0成立，故③为真命题；对于④，这是特称命题，当x0＝1时，x0为29的约数成立，所以④为真命题．
4．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( )
A．锐角三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数x，使>2
解析：选B A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；B中x＝0时，x2＝0，所以B既是特称命题又是真命题；C中因为＋(－)＝0，所以C是假命题；D中对于任一个负数x，都有<0，所以D是假命题．
5．(浙江高考)命题“ n∈N
，f(n)∈N
且f(n)≤n”的否定形式是( )
A． n∈N
，f(n) N
且f(n)>n
B． n∈N
，f(n) N
或f(n)>n
C． n0∈N
，f(n0) N
且f(n0)>n0
D． n0∈N
，f(n0) N
或f(n0)>n0
解析：选D 写全称命题的否定时，要把量词 改为 ，并且否定结论，注意把“且”改为“或”．
6．命题“ x∈R,3x2－2x＋1>0”的否定是________．
解析：“ x∈M，p(x)”的否定为“ x0∈M，綈p(x0)”．
∴其否定为 x0∈R,3x－2x0＋1≤0.
答案： x0∈R,3x－2x0＋1≤0
7．下列命题中，是全称命题的是________；是特称命题的是________．(填序号)
①正方形的四条边相等；
②有两个角相等的三角形是等腰三角形；
③正数的平方根不等于0；
④至少有一个正整数是偶数．
解析：①可表述为“每一个正方形的四条边相等”，是全称命题；②是全称命题，即“凡是有两个角相等的三角形都是等腰三角形”；③可表述为“所有正数的平方根不等于0”是全称命题；④是特称命题．
答案：①②③ ④
8．(山东高考)若“ x∈，tan
x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．
解析：由题意，原命题等价于tan
x≤m在区间上恒成立，即y＝tan
x在上的最大值小于或等于m，又y＝tan
x在上的最大值为1，所以m≥1，即m的最小值为1.
答案：1
9．用“ ”“ ”写出下列命题的否定，并判断真假．
(1)二次函数的图象是抛物线；
(2)在直角坐标系中，直线是一次函数的图象；
(3)有些四边形存在外接圆；
(4) a，b∈R，方程ax＋b＝0无解．
解：(1) f(x)∈{二次函数}，f(x)的图象不是抛物线．它是假命题．
(2)在直角坐标系中， l∈{直线}，l不是一次函数的图象．它是真命题．
(3) x∈{四边形}，x不存在外接圆．它是假命题．
(4) a，b∈R，方程ax＋b＝0至少有一解．它是假命题．
10．已知命题p：“至少存在一个实数x0∈[1,2]，使不等式x2＋2ax＋2－a>0成立”为真，试求参数a的取值范围．
解：法一：由题意知，x2＋2ax＋2－a>0在[1,2]上有解，令f(x)＝x2＋2ax＋2－a，则只需f(1)>0或f(2)>0，即1＋2a＋2－a>0，或4＋4a＋2－a>0.
整理得a>－3或a>－2.
即a>－3.故参数a的取值范围为(－3，＋∞)．
法二：綈p： x∈[1,2]，x2＋2ax＋2－a>0无解，
令f(x)＝x2＋2ax＋2－a，
则即
解得a≤－3.
故命题p中，a>－3.
即参数a的取值范围为(－3，＋∞)．
层级二 应试能力达标
1．已知命题p： x∈R,2x2＋2x＋<0；命题q： x0∈R，sin
x0－cos
x0＝.则下列判断正确的是( )
A．p是真命题
B．q是假命题
C．綈p是假命题
D．綈q是假命题
解析：选D p：2x2＋2x＋＝2＝2x＋2≥0，
∴p为假命题，綈p为真命题．
q：sin
x0－cos
x0＝sin
，
∴x0＝π时成立．
故q为真，而綈q为假命题．
2．下列命题中是假命题的是( )
A． m∈R，使f(x)＝(m－1)xm2－4m＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减
B． a>0，函数f(x)＝(ln
x)2＋ln
x－a有零点
C． α，β∈R，使cos(α＋β)＝cos
α＋sin
β
D． φ∈R，函数f(x)＝sin(2x＋φ)都不是偶函数
解析：选D ∵f(x)为幂函数，∴m－1＝1，∴m＝2，∴f(x)＝x－1，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减，故A中的命题为真命题；
∵y＝(ln
x)2＋ln
x的值域为，∴ a>0，方程(ln
x)2＋ln
x－a＝0有解，即函数f(x)有零点，故B中的命题为真命题；
当α＝，β＝2π时，cos(α＋β)＝cos
α＋sin
β成立，故C中的命题为真命题；
当φ＝时，f(x)＝sin＝cos
2x为偶函数，故D中的命题为假命题．
3．若命题p： x∈R，sin2x＋cos2x＝1，命题q： a∈R，数列{an}是等差数列，则綈(p∧q)是( )
A． x∈R，sin2x＋cos2
x≠1或 a∈R，数列{an}不是等差数列
B． x∈R，sin2x＋cos2x≠1且 a∈R，数列{an}不是等差数列
C． x0∈R，sin2x0＋cos2x0≠1或 a0∈R，数列{a0n}不是等差数列
D． x0∈R，sin2x0＋cos2x0≠1且 a0∈R，数列{a0n}不是等差数列
解析：选C 綈(p∧q)＝(綈p)∨(綈q)，故选C.
4．命题p： x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≥0，则綈p是( )
A． x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0
B． x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0
C． x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0
D． x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0
解析：选C 根据全称命题的否定是特称命题，知綈p： x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0.故选C.
5．命题“至少有一个正实数x满足方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0”的否定是________．
答案： x∈R，x2＋2(a－1)x＋2a＋6≠0
6．已知命题p： c>0，y＝(3－c)x在R上为减函数，命题q： x∈R，x2＋2c－3>0.若p∧q为真命题，则实数c的取值范围为________．
解析：由于p∧q为真命题，
所以p，q都是真命题，所以解得2故实数c的取值范围为(2,3)．
答案：(2,3)
7．已知命题p： a∈(0，b](b∈R且b>0)，函数f(x)＝sin的周期不大于4π.
(1)写出綈p；
(2)当綈p是假命题时，求实数b的最大值．
解：(1)綈p： a0∈(0，b](b∈R且b>0)，函数f(x)＝sin的周期大于4π.
(2)由于綈p是假命题，所以p是真命题，
所以 a∈(0，b]，≤4π恒成立，解得a≤2，
所以b≤2，所以实数b的最大值是2.
8．已知f(t)＝log2t，t∈[，8]，若命题“对于f(t)值域内的所有实数m，不等式x2＋mx＋4>2m＋4x恒成立”为真命题．求实数x的取值范围．
解：易知f(t)∈.
由题意，令g(m)＝(x－2)m＋x2－4x＋4＝(x－2)m＋(x－2)2，则g(m)>0对 m∈恒成立．
所以即
解得x>2或x<－1.
故实数x的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．课时跟踪检测（七）
椭圆的简单几何性质
层级一 学业水平达标
1．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为( )
A．(±13,0)
B．(0，±10)
C．(0，±13)
D．(0，±)
解析：选D 由题意知椭圆焦点在y轴上，且a＝13，b＝10，则c＝＝，故焦点坐标为(0，±)．
2．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( )
A．
B．
C．
D．
解析：选A 依题意，△BF1F2是正三角形，
∵在Rt△OBF2中，|OF2|＝c，|BF2|＝a，∠OF2B＝60°，
∴cos
60°＝＝，即椭圆的离心率e＝，故选A．
3．已知椭圆＋＝1与椭圆＋＝1有相同的长轴，椭圆＋＝1的短轴长与椭圆＋＝1的短轴长相等，则( )
A．a2＝25，b2＝16
B．a2＝9，b2＝25
C．a2＝25，b2＝9或a2＝9，b2＝25
D．a2＝25，b2＝9
解析：选D 因为椭圆＋＝1的长轴长为10，焦点在x轴上，椭圆＋＝1的短轴长为6，所以a2＝25，b2＝9．
4．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P．若＝2，则椭圆的离心率是( )
A．
B．
C．
D．
解析：选D ∵＝2，∴||＝2||．
又∵PO∥BF，∴＝＝，
即＝，∴e＝＝．
5．椭圆mx2＋ny2＋mn＝0(mA．(0，±)
B．(±，0)
C．(0，±)
D．(±，0)
解析：选C 化为标准方程是＋＝1，
∵m∴焦点在y轴上，且c＝＝．
6．椭圆＋＝1的离心率为，则m＝________．
解析：当焦点在x轴上时，＝ m＝3；
当焦点在y轴上时，＝ m＝．
综上，m＝3或m＝．
答案：3或
7．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，
且过P(－5,4)，则椭圆的方程为________________．
解析：∵e＝＝，
∴＝＝，
∴5a2－5b2＝a2即4a2＝5b2．
设椭圆的标准方程为＋＝1(a>0)，
∵椭圆过点P(－5,4)，∴＋＝1．
解得a2＝45．∴椭圆方程为＋＝1．
答案：＋＝1
8．设F1，F2分别为椭圆＋y2＝1的左，右焦点，点A，B在椭圆上，若＝5，则点A的坐标是________．
解析：设A(m，n)．
由＝5，得B．
又A，B均在椭圆上，所以有
解得或
所以点A的坐标为(0,1)或(0，－1)．
答案：(0,1)或(0，－1)
9．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为，过点F1的直线l交椭圆C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，求椭圆C的标准方程．
解：设椭圆C的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
由e＝知＝，故＝，从而＝，＝．由△ABF2的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，得a＝4，∴b2＝8．
故椭圆C的标准方程为＋＝1．
10．椭圆＋＝1(a>b>0)的右顶点是A(a,0)，其上存在一点P，使∠APO＝90°，求椭圆离心率的取值范围．
解：设P(x，y)，由∠APO＝90°知，点P在以OA为直径的圆上，圆的方程是2＋y2＝2．
∴y2＝ax－x2．①
又P点在椭圆上，故＋＝1．②
把①代入②化简，得(a2－b2)x2－a3x＋a2b2＝0，即
(x－a)[(a2－b2)x－ab2]＝0，∵x≠a，x≠0，
∴x＝，又0∴0<由b2＝a2－c2，得a2<2c2，∴e>．
又∵0层级二 应试能力达标
1．椭圆＋＝1与＋＝1(0A．有相等的长轴长、短轴长
B．有相等的焦距
C．有相同的焦点
D．有相同的顶点
解析：选B c＝25－9＝16，c＝(25－k)－(9－k)＝25－9＝16，所以两椭圆有相等的焦距．故选B．
2．过椭圆＋＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为( )
A．8,6
B．4,3
C．2，
D．4,2
解析：选B 过椭圆焦点的最长弦为长轴，其长度为2a＝4；最短弦为垂直于长轴的弦，因为c＝1，将x＝1代入＋＝1，得＋＝1，解得y2＝，即y＝±，所以最短弦的长为2×＝3．故选B．
3．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为( )
A．＋＝1
B．x2＋＝1
C．＋y2＝1
D．＋＝1
解析：选B 椭圆9x2＋4y2＝36可化为＋＝1，
可知焦点在y轴上，焦点坐标为(0，±)，
故可设所求椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，则c＝．
又2b＝2，即b＝1，所以a2＝b2＋c2＝6，
则所求椭圆的标准方程为x2＋＝1．
4．(全国丙卷)已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为( )
A．
B．
C．
D．
解析：选A 如图所示，由题意得A(－a,0)，B(a,0)，F(－c,0)．
设E(0，m)，
由PF∥OE，得＝，
则|MF|＝．①
又由OE∥MF，得＝，
则|MF|＝．②
由①②得a－c＝(a＋c)，即a＝3c，
∴e＝＝．故选A．
5．已知椭圆＋＝1(a>b>0)，A，B分别为椭圆的左顶点和上顶点，F为右焦点，且AB⊥BF，则椭圆的离心率为________．
解析：在Rt△ABF中，
|AB|＝，|BF|＝a，|AF|＝a＋c，
由|AB|2＋|BF|2＝|AF|2，
得a2＋b2＋a2＝(a＋c)2．
将b2＝a2－c2代入，得a2－ac－c2＝0，
即e2＋e－1＝0，解得e＝．
因为e>0，所以e＝．
答案：
6．已知椭圆的长轴长为20，短轴长为16，则椭圆上的点到椭圆中心的距离的取值范围是________．
解析：由题意，知a＝10，b＝8，不妨设椭圆方程为＋＝1，其上的点M(x0，y0)，则|x0|≤a＝10，|y0|≤b＝8，点M到椭圆中心的距离d＝．因为＋＝1，所以y＝64＝64－x，则d＝＝
，因为0≤x≤100，所以64≤x＋64≤100，即8≤d≤10．
答案：[8,10]
7．已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝，求实数m的值及椭圆的长轴长和短轴长，并写出焦点坐标和顶点坐标．
解：椭圆方程可化为＋＝1，
由m－＝>0，可知m>，
所以a2＝m，b2＝，c＝＝
，
由e＝，得
＝，解得m＝1．
于是椭圆的标准方程为x2＋＝1，
则a＝1，b＝，c＝．
所以椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为，；四个顶点坐标分别为(－1,0)，(1,0)，，．
8．设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)
的左、右焦点，过点
F1的直线交椭圆
E于
A，B两点，|AF1|＝3|F1B|．
(1)若|AB|＝4，△ABF2
的周长为16，求|AF2|；
(2)若cos∠AF2B＝，求椭圆E
的离心率．
解：(1)由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，
得|AF1|＝3，|F1B|＝1．
因为△ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a＝16，|AF1|＋|AF2|＝2a＝8．
故|AF2|＝8－3＝5．
(2)设|F1B|＝k，则k>0且|AF1|＝3k，|AB|＝4k．
由椭圆定义可得，|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k．
在△ABF2中，由余弦定理可得，
|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|·|BF2|·cos∠AF2B，
即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－(2a－3k)·(2a－k)．
化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k>0，故a＝3k．
于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k．
因此|BF2|2＝|F2A|2＋|AB|2，可得F1A⊥F2A，
故△AF1F2为等腰直角三角形．
从而c＝a，所以椭圆E的离心率e＝＝．模块综合检测
(时间120分钟
满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．命题“ x0∈R,2x0－3>1”的否定是( )
A． x0∈R,2x0－3≤1
B． x∈R,2x－3>1
C． x∈R,2x－3≤1
D． x0∈R,2x0－3>1
解析：选C 由特称命题的否定的定义即知．
2．设f(x)＝xln
x，若f′(x0)＝2，则x0的值为( )
A．e2
B．e
C.
D．ln
2
解析：选B 由f(x)＝xln
x，得f′(x)＝ln
x＋1.
根据题意知ln
x0＋1＝2，所以ln
x0＝1，因此x0＝e.
3．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值为( )
A.
B．－
C．8
D．－8
解析：选B 由y＝ax2得x2＝y，
∴＝－8，
∴a＝－.
4．下列说法中正确的是( )
A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真
B．“a>b”与“a＋c>b＋c”不等价
C．“a2＋b2＝0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2＋b2≠0”
D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真
解析：选D 否命题和逆命题互为逆否命题，有着一致的真假性，故选D.
5.函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图，则函数y=ax2+bx+的单调递增区间是( )
A．(－∞，－2]
B.
C．[－2,3]
D.
解析：选D 由题图可知d＝0.不妨取a＝1，∵f(x)＝x3＋bx2＋cx，∴f′(x)＝3x2＋2bx＋c.由图可知f′(－2)＝0，f′(3)＝0，∴12－4b＋c＝0,27＋6b＋c＝0，
∴b＝－，c＝－18.∴y＝x2－x－6，y′＝2x－.
当x＞时，y′＞0，∴y＝x2－x－6的单调递增区间为.故选D.
6．下列结论中，正确的为( )
①“p且q”为真是“p或q”为真的充分不必要条件；
②“p且q”为假是“p或q”为真的充分不必要条件；
③“p或q”为真是“綈p”为假的必要不充分条件；
④“綈p”为真是“p且q”为假的必要不充分条件．
A．①②
B．①③
C．②④
D．③④
解析：选B p∧q为真 p真q真 p∨q为真，故①正确，由綈p为假 p为真 p∨q为真，故③正确．
7．双曲线－＝1(mn≠0)的离心率为2，它的一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则mn的值为( )
A.
B.
C.
D.
解析：选A 抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，
故双曲线－＝1中，
m>0，n>0且m＋n＝c2＝1.①
又双曲线的离心率e＝＝
＝2，②
联立方程①②，解得故mn＝.
8．设函数f(x)在R上可导，f(x)＝x2f′(2)－3x，则f(－1)与f(1)的大小关系是( )
A．f(－1)＝f(1)
B．f(－1)>f(1)
C．f(－1)D．不确定
解析：选B 因为f(x)＝x2f′(2)－3x，所以f′(x)＝2xf′(2)－3，则f′(2)＝4f′(2)－3，解得f′(2)＝1，所以f(x)＝x2－3x，所以f(1)＝－2，f(－1)＝4，故f(－1)>f(1).
9．已知F1(－3,0)，F2(3,0)是椭圆＋＝1的两个焦点，点P在椭圆上，∠F1PF2＝α.当α＝时，△F1PF2面积最大，则m＋n的值是( )
A．41
B．15
C．9
D．1
解析：选B 由S△F1PF2＝|F1F2|·yP＝3yP，
知P为短轴端点时，△F1PF2面积最大．
此时∠F1PF2＝，
得a＝＝2
，b＝＝，故m＋n＝15.
10．已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1，F2，点A在C上．若|F1A|＝2|F2A|，则cos∠AF2F1＝( )
A.
B.
C.
D.
解析：选A 由题意得解得|F2A|＝2a，|F1A|＝4a，
又由已知可得＝2，所以c＝2a，即|F1F2|＝4a，
∴cos∠AF2F1＝
＝＝.故选A.
11．若不等式2xln
x≥－x2＋ax－3对x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，0)
B．(－∞，4]
C．(0，＋∞)
D．[4，＋∞)
解析：选B 由2xln
x≥－x2＋ax－3，得a≤2ln
x＋x＋，设h(x)＝2ln
x＋x＋(x＞0)，则h′(x)＝.当x∈(0,1)时，h′(x)＜0，函数h(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)＞0，函数h(x)单调递增，所以h(x)min＝h(1)＝4.所以a≤h(x)min＝4.故a的取值范围是(－∞，4]．
12．定义在R上的函数f(x)满足：f′(x)＞f(x)恒成立，若x1＜x2，则ex1f(x2)与ex2f(x1)的大小关系为( )
A．ex1f(x2)＞ex2f(x1)
B．ex1f(x2)＜ex2(x1)
C．ex1f(x2)＝ex2f(x1)
D．ex1f(x2)与ex2f(x1)的大小关系不确定
解析：选A 设g(x)＝，则g′(x)＝＝，由题意g′(x)＞0，所以g(x)单调递增，当x1＜x2时，g(x1)＜g(x2)，即＜，所以ex1f(x2)＞ex2f(x1)．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)
13．命题“ x0∈R,2x－3ax0＋9＜0”为假命题，则实数a的取值范围是________．
解析：∵ x0∈R,2x－3ax0＋9＜0为假命题，
∴ x∈R,2x2－3ax＋9≥0为真命题，
∴Δ＝9a2－4×2×9≤0，即a2≤8，
∴－2≤a≤2.
答案：[－2，2
]
14．(天津高考)已知函数f(x)＝axln
x，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数．若f′(1)＝3，则a的值为________．
解析：f′(x)＝a＝a(1＋ln
x)．
由于f′(1)＝a(1＋ln
1)＝a，又f′(1)＝3，所以a＝3.
答案：3
15．过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一个焦点作圆x2＋y2＝a2的两条切线，切点分别为A，B.若∠AOB＝120°(O是坐标原点)，则双曲线C的离心率为________．
解析：由题意，如图，在Rt△AOF中，∠AFO＝30°，
AO＝a，OF＝c，∴sin
30°＝＝＝.
∴e＝＝2.
答案：2
16．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价为p元，销量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q＝8
300－170p－p2，则该商品零售价定为______元时利润最大，利润的最大值为______元．
解析：设商场销售该商品所获利润为y元，则
y＝(p－20)(8
300－170p－p2)
＝－p3－150p2＋11
700p－166
000(p≥20)，
则y′＝－3p2－300p＋11
700.
令y′＝0得p2＋100p－3
900＝0，
解得p＝30或p＝－130(舍去)．
则p，y，y′变化关系如下表：
p
(20,30)
30
(30，＋∞)
y′
＋
0
－
y
?
极大值
?
故当p＝30时，y取极大值为23
000元．
又y＝－p3－150p2＋11
700p－166
000在[20，＋∞)上只有一个极值，故也是最值．所以该商品零售价定为每件30元，所获利润最大为23
000元．
答案：30 23
000
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知命题p：方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q： x∈R,4x2－4mx＋4m－3≥0.若(綈p)∧q为真，求m的取值范围．
解：p真时，m>2.
q真时，4x2－4mx＋4m－3≥0在R上恒成立．
Δ＝16m2－16(4m－3)≤0，解得1≤m≤3.
∵(綈p)∧q为真，∴p假，q真．
∴即1≤m≤2.
∴所求m的取值范围为[1,2]．
18．(本小题满分12分)设函数f(x)＝－x3＋x2＋(m2－1)x(x∈R)，其中m＞0.
(1)当m＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率；
(2)求函数f(x)的单调区间与极值．
解：(1)当m＝1时，f(x)＝－x3＋x2，
f′(x)＝－x2＋2x，故f′(1)＝1.
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为1.
(2)f′(x)＝－x2＋2x＋m2－1.
令f′(x)＝0，解得x＝1－m或x＝1＋m.
因为m＞0，所以1＋m＞1－m.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，1－m)
1－m
(1－m，1＋m)
1＋m
(1＋m，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
?
极小值
?
极大值
?
所以f(x)在(－∞，1－m)，(1＋m，＋∞)内是减函数，在(1－m,1＋m)内是增函数．
函数f(x)在x＝1－m处取得极小值f(1－m)，
且f(1－m)＝－m3＋m2－.
函数f(x)在x＝1＋m处取得极大值f(1＋m)，
且f(1＋m)＝m3＋m2－.
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ln
x＋a(1－x)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围．
解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a.
若a≤0，则f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
若a>0，则当x∈时，f′(x)>0；
当x∈时，f′(x)<0.
所以f(x)在上单调递增，在上单调递减．
(2)由(1)知，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上无最大值；
当a>0时，f(x)在x＝处取得最大值，最大值为
f＝ln＋a＝－ln
a＋a－1.
因此f>2a－2等价于ln
a＋a－1<0.
令g(a)＝ln
a＋a－1，则g(a)在(0，＋∞)上单调递增，g(1)＝0.
于是，当0当a>1时，g(a)>0.
因此a的取值范围是(0,1)．
20．(本小题满分12分)如图，已知点E(m，0)为抛物线y2=4x内的一个定点，过E作斜率分别为k1，k2的两条直线分别交抛物线于点A，B，C，D，且M，N分别是线段AB，CD的中点．
(1)若m=1，k1k2=-1，求△EMN面积的最小值；
(2)若k1+k2=1，求证：直线MN过定点．
解：(1)当m=1时，E为抛物线y2=4x的焦点．
∵k1k2=-1，∴AB⊥CD.
由题意，知直线AB的方程为y=k1(x-1)，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得k1y2-4y-4k1=0，
∴y1+y2=，y1y2=-4.
又线段AB的中点为M，
∴M.
同理点N(2k+1，-2k1)．
∴S△EMN=|EM|·|EN|=
·=2
≥2=4，
当且仅当k=，即k1=±1时等号成立，
∴△EMN面积的最小值为4.
(2)证明：由题意，得直线AB的方程为y=k1(x-m)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得k1y2-4y-4k1m=0，
∴y1+y2=，y1y2=-4m.
又线段AB的中点为M，
∴M.
同理点N.
∴kMN===k1k2，
∴直线MN：y-=k1k2，
即y=k1k2(x-m)+2，
∴直线MN恒过定点(m,2)．
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ex＋2x2－3x.
(1)求证：函数f(x)在区间[0,1]上存在唯一的极值点．
(2)当x≥时，若关于x的不等式f(x)≥x2＋(a－3)x＋1恒成立，试求实数a的取值范围．
解：(1)证明：f′(x)＝ex＋4x－3，
∵f′(0)＝e0－3＝－2<0，f′(1)＝e＋1>0，
∴f′(0)·f′(1)<0.
令h(x)＝f′(x)＝ex＋4x－3，则h′(x)＝ex＋4>0，
∴f′(x)在区间[0,1]上单调递增，
∴f′(x)在区间[0,1]上存在唯一零点，
∴f(x)在区间[0,1]上存在唯一的极小值点．
(2)由f(x)≥x2＋(a－3)x＋1，
得ex＋2x2－3x≥x2＋(a－3)x＋1，
即ax≤ex－x2－1，
∵x≥，∴a≤.
令g(x)＝，则g′(x)＝.
令φ(x)＝ex(x－1)－x2＋1，则φ′(x)＝x(ex－1)．
∵x≥，∴φ′(x)>0.
∴φ(x)在上单调递增．
∴φ(x)≥φ＝－>0.
因此g′(x)>0，故g(x)在上单调递增，
则g(x)≥g＝＝2－，
∴a的取值范围是.
22．(本小题满分12分)如图，已知椭圆＋=1(a>b>0)，A(2,0)是长轴的一个端点，弦BC过椭圆的中心O，且·＝0，|－|＝2|－|.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设P，Q为椭圆上异于A，B且不重合的两点，若∠PCQ的平分线总是垂直于x轴，则是否存在实数λ，使得＝λ？若存在，若存在，求出λ的最大值；若不存在，请说明理由．
解：(1)∵·＝0，∴⊥，∠ACB＝90°．
又|－|＝2|－|，即||＝2||，
∴||＝||，
∴△AOC是等腰直角三角形．
∵A(2,0)，∴C(1,1)．
又点C在椭圆上，a＝2，
∴＋＝1，∴b2＝，
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1．
(2)对于椭圆上两点P，Q，
∵∠PCQ的平分线总是垂直于x轴，
∴PC与CQ所在直线关于直线x＝1对称．
设kPC＝k(k≠0且k≠±1)，则kC
Q＝－k，
则直线PC的方程为
y－1＝k(x－1) y＝k(x－1)＋1，①
直线CQ的方程为
y－1＝－k(x－1) y＝－k(x－1)＋1，②
将①代入＋＝1，
得(1＋3k2)x2－6k(k－1)x＋3k2－6k－1＝0.③
∵C(1,1)在椭圆上，∴x＝1是方程③的一个根，
∴xP＝，
以－k替换k，得到xQ＝.
kPQ＝＝＝＝＝.
而kAB＝，∴kPQ＝kAB，∴PQ∥AB，
∴存在实数λ，使得＝λ．
又||＝
＝
＝＝≤，
当且仅当9k2＝，即k2＝，k＝±时取等号．
又||＝，∴λmax＝＝.课时跟踪检测（十三）
变化率问题
导数的概念
层级一 学业水平达标
1．如果一个函数的瞬时变化率处处为0，则这个函数的图象是( )
A．圆
B．抛物线
C．椭圆
D．直线
解析：选D 当f(x)＝b时，瞬时变化率
＝
＝0，所以f(x)的图象为一条直线．
2．设函数y＝f(x)＝x2－1，当自变量x由1变为1.1时，函数的平均变化率为( )
A．2.1
B．1.1
C．2
D．0
解析：选A ＝＝＝2.1.
3．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则( )
A．f′(x)＝a
B．f′(x)＝b
C．f′(x0)＝a
D．f′(x0)＝b
解析：选C f′(x0)＝
＝
(a＋b·Δx)＝a.
4．如果质点A按照规律s＝3t2运动，则在t0＝3时的瞬时速度为( )
A．6
B．18
C．54
D．81
解析：选B ∵s(t)＝3t2，t0＝3，
∴Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝3(3＋Δt)2－3·32＝18Δt＋3(Δt)2.∴＝18＋3Δt.∴
＝
(18＋3Δt)＝18，故应选B.
5．已知f(x)＝x2－3x，则f′(0)＝( )
A．Δx－3
B．(Δx)2－3Δx
C．－3
D．0
解析：选C f′(0)＝
＝
＝
(Δx－3)＝－3.故选C.
6．设f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a＝________.
解析：∵f′(1)＝
＝
＝a，∴a＝2.
答案：2
7.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为1，2，3，则三者的大小关系为________．
解析：1＝kOA，2＝kAB，3＝kBC，
由图象知kOA＜kAB＜kBC.
答案：1＜2＜3
8．球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为______．
解析：∵Δy＝π×23－π×13＝，
∴＝＝.
答案：
9．质点按规律s(t)＝at2＋1做直线运动(s单位：m，t单位：s)．若质点在t＝2时的瞬时速度为8
m/s，求常数a的值．
解：∵Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝[a(2＋Δt)2＋1]－(a×22＋1)＝4aΔt＋a(Δt)2，∴＝4a＋aΔt，
∴在t＝2时，瞬时速度为
＝4a,4a＝8，∴a＝2.
10．已知函数f(x)＝求f′(4)·f′(－1)的值．
解：当x＝4时，Δy＝－＋
＝－＝
＝.
∴＝.
∴
＝
＝＝.
∴f′(4)＝.
当x＝－1时，＝
＝＝Δx－2，
由导数的定义，得f′(－1)＝
(Δx－2)＝－2，
∴f′(4)·f′(－1)＝×(－2)＝－.
层级二 应试能力达标
1．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx，－2＋Δy)，则等于( )
A．4
B．4x
C．4＋2Δx
D．4＋2(Δx)2
解析：选C ＝＝＝＝2Δx＋4.
2.甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图，则在[0，t0]这个时间段内，甲、乙两人的平均速度v甲，v乙的关系是( )
A．v甲＞v乙
B．v甲＜v乙
C．v甲＝v乙
D．大小关系不确定
解析：选B 设直线AC，BC的斜率分别为kAC，kBC，由平均变化率的几何意义知，s1(t)在[0，t0]上的平均变化率v甲＝kAC，s2(t)在[0，t0]上的平均变化率v乙＝kBC.因为kAC＜kBC，所以v甲＜v乙．
3．若可导函数f(x)的图象过原点，且满足
＝－1，则f′(0)＝( )
A．－2
B．－1
C．1
D．2
解析：选B ∵f(x)图象过原点，∴f(0)＝0，
∴f′(0)＝
＝
＝－1，
∴选B.
4．已知f(x)＝，且f′(m)＝－，则m的值等于( )
A．－4
B．2
C．－2
D．±2
解析：选D f′(x)＝
＝－，于是有－＝－，m2＝4，解得m＝±2.
5．已知函数f(x)＝－x2＋x在区间[t,1]上的平均变化率为2，则t＝________.
解析：∵Δy＝f(1)－f(t)＝(－12＋1)－(－t2＋t)＝t2－t，
∴＝＝－t.
又∵＝2，∴t＝－2.
答案：－2
6．一物体的运动方程为s＝7t2＋8，则其在t＝________时的瞬时速度为1.
解析：＝＝7Δt＋14t0，
当
(7Δt＋14t0)＝1时，t＝t0＝.
答案：
7．枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果它的加速度是5.0×105
m/s2，枪弹从枪口射出时所用时间为1.6×10－3
s，求枪弹射出枪口时的瞬时速度．
解：位移公式为s＝at2，
∵Δs＝a(t0＋Δt)2－at＝at0Δt＋a(Δt)2，
∴＝at0＋aΔt，∴
＝
＝at0，
已知a＝5.0×105m/s2，t0＝1.6×10－3s，∴at0＝800
m/s.
所以枪弹射出枪口时的瞬时速度为800
m/s.
8．设函数f(x)在x0处可导，求下列各式的值．
(1)
；
(2
.
解：(1)
＝－m
＝－mf′(x0)．
(2)原式
＝
＝
－
＝4
－5
＝4f′(x0)－5f′(x0)＝－f′(x0)．课时跟踪检测（十）
双曲线的简单几何性质
层级一 学业水平达标
1．下列双曲线中离心率为的是( )
A．－＝1
B．－＝1
C．－＝1
D．－＝1
解析：选B 由e＝得e2＝，∴＝，
则＝，∴＝，即a2＝2b2．因此可知B正确．
2．中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线方程是( )
A．x2－y2＝8
B．x2－y2＝4
C．y2－x2＝8
D．y2－x2＝4
解析：选A 令y＝0得，x＝－4，
∴等轴双曲线的一个焦点坐标为(－4,0)，
∴c＝4，a2＝c2＝×16＝8，故选A．
3．双曲线＋＝1的离心率e∈(1,2)，则k的取值范围是( )
A．(－10,0)
B．(－12,0)
C．(－3,0)
D．(－60，－12)
解析：选B 由题意知k<0，∴a2＝4，b2＝－k．
∴e2＝＝＝1－．
又e∈(1,2)，∴1<1－<4，∴－124．已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为( )
A．－＝1
B．－＝1
C．－＝1
D．－＝1
解析：选B 设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，由题意知c＝3，a2＋b2＝9，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)则有
两式作差得＝＝＝，
又AB的斜率是＝1，
所以4b2＝5a2，代入a2＋b2＝9得a2＝4，b2＝5，
所以双曲线标准方程是－＝1．
5．(全国卷Ⅱ)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为( )
A．
B．2
C．
D．
解析：选D 不妨取点M在第一象限，如图所示，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则|BM|＝|AB|＝2a，∠MBx＝180°－120°＝60°，
∴M点的坐标为．
∵M点在双曲线上，∴－＝1，a＝b，
∴c＝a，e＝＝．故选D．
6．(全国卷Ⅱ)已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程为________．
解析：法一：∵双曲线的渐近线方程为y＝±x，
∴可设双曲线的方程为x2－4y2＝λ(λ≠0)．
∵双曲线过点(4，)，∴λ＝16－4×()2＝4，
∴双曲线的标准方程为－y2＝1．
法二：∵渐近线y＝x过点(4,2)，而<2，
∴点(4，)在渐近线y＝x的下方，
在y＝－x的上方(如图)．
∴双曲线的焦点在x轴上，
故可设双曲线方程为
－＝1(a>0，b>0)．
由已知条件可得
解得
∴双曲线的标准方程为－y2＝1．
答案：－y2＝1
7．过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M，N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为________．
解析：由题意知，a＋c＝，
即a2＋ac＝c2－a2，∴c2－ac－2a2＝0，∴e2－e－2＝0，
解得e＝2或e＝－1(舍去)．
答案：2
8．双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F，过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________．
解析：双曲线－＝1的右顶点A(3,0)，右焦点F(5,0)，渐近线方程为y＝±x．
不妨设直线FB的方程为y＝(x－5)，代入双曲线方程整理，得x2－(x－5)2＝9，解得x＝，y＝－，
所以B．
所以S△AFB＝|AF||yB|＝(c－a)·|yB|＝×(5－3)×＝．
答案：
9．(全国卷Ⅰ)已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C的左支上一点，A(0,6)．当△APF周长最小时，求该三角形的面积．
解：设双曲线的左焦点为F1，由双曲线方程x2－＝1可知，a＝1，c＝3，故F(3，0)，F1(－3,0)．
当点P在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知|PF|－|PF1|＝2，所以|PF|＝|PF1|＋2，从而△APF的周长＝|AP|＋|PF|＋|AF|＝|AP|＋|PF1|＋2＋|AF|．
因为|AF|＝＝15为定值，所以当(|AP|＋|PF1|)最小时，△APF的周长最小，
由图象可知，此时点P在线段AF1与双曲线的交点处(如图所示)．
由题意可知直线AF1的方程为y＝2x＋6，
由
得y2＋6y－96＝0，
解得y＝2或y＝－8(舍去)，
所以S△APF＝S△AF1F－S△PF1F
＝×6×6－×6×2＝12．
10．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，且＝．
(1)求双曲线C的方程；
(2)已知直线x－y＋m＝0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，求m的值．
解：(1)由题意得解得
所以b2＝c2－a2＝2．
所以双曲线C的方程为x2－＝1．
(2)设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)．
由
得x2－2mx－m2－2＝0(判别式Δ>0)．
所以x0＝＝m，y0＝x0＋m＝2m．
因为点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝5上，
所以m2＋(2m)2＝5．
故m＝±1．
层级二 应试能力达标
1．双曲线－＝1的焦点到渐近线的距离为( )
A．2
B．2
C．
D．1
解析：选A 不妨取焦点(4,0)和渐近线y＝x，则所求距离d＝＝2．故选A．
2．若双曲线与椭圆＋＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y＝－x，则双曲线的方程为( )
A．y2－x2＝96
B．y2－x2＝160
C．y2－x2＝80
D．y2－x2＝24
解析：选D 设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，因为双曲线与椭圆有相同的焦点，且焦点为(0，±4)，所以λ<0，且－2λ＝(4)2，得λ＝－24．故选D．
3．若中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( )
A．
B．
C．
D．
解析：选D 设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．由题意，知过点(4，－2)的渐近线方程为y＝－x，所以－2＝－×4，即a＝2b．设b＝k(k>0)，则a＝2k，c＝k，所以e＝＝＝．故选D．
4．(全国甲卷)已知F1，F2是双曲线E：－＝1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则E的离心率为( )
A．
B．
C．
D．2
解析：选A 法一：作出示意图，如图，离心率e＝＝＝，由正弦定理得e＝＝＝＝．故选A．
法二：因为MF1与x轴垂直，所以|MF1|＝．
又sin∠MF2F1＝，所以＝，即|MF2|＝3|MF1|．由双曲线的定义得2a＝|MF2|－|MF1|＝2|MF1|＝，所以b2＝a2，所以c2＝b2＋a2＝2a2，所以离心率e＝＝．
5．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点为F(2，0)，且离心率为e＝，则双曲线的标准方程为________．
解析：由焦点坐标，知c＝2，由e＝＝，可得a＝4，所以b＝＝2，则双曲线的标准方程为－＝1．
答案：－＝1
6．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e的取值范围是________．
解析：由题意，知≥，则≥3，所以c2－a2≥3a2，即c2≥4a2，所以e2＝≥4，所以e≥2．
答案：[2，＋∞)
7．设双曲线－＝1(0解：直线l的方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0．
于是有＝c，
所以ab＝c2，两边平方，得a2b2＝c4．
又b2＝c2－a2，所以16a2(c2－a2)＝3c4，
两边同时除以a4，得3e4－16e2＋16＝0，
解得e2＝4或e2＝．
又b>a，所以e2＝＝1＋>2，则e＝2．
于是双曲线的离心率为2．
8．已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1．
(1)若直线l与双曲线C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；
(2)若直线l与双曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，且△AOB的面积是，求实数k的值．
解：(1)由消去y，
得(1－k2)x2＋2kx－2＝0．①
由直线l与双曲线C有两个不同的交点，
得
解得－即k的取值范围为(－，－1)∪(－1,1)∪(1，)．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由方程①，得x1＋x2＝，x1x2＝．
因为直线l：y＝kx－1恒过定点D(0，－1)，
则当x1x2<0时，S△AOB＝S△OAD＋S△OBD＝|x1－x2|＝；
当x1x2>0时，S△AOB＝|S△OAD－S△OBD|＝|x1－x2|＝．
综上可知，|x1－x2|＝2，
所以(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2)2，
即2＋＝8，解得k＝0或k＝±．
由(1)，可知－简单的逻辑联结词
层级一 学业水平达标
1．“xy≠0”是指( )
A．x≠0且y≠0
B．x≠0或y≠0
C．x，y至少一个不为0
D．x，y不都是0
解析：选A xy≠0是指x，y均不能为0，故选A.
2．若命题“p且q”为假，且綈p为假，则( )
A．p或q为假
B．q假
C．q真
D．p假
解析：选B 綈p为假，则p为真，而p∧q为假，得q为假．
3．已知全集U＝R，A U，B U，如果命题p：∈(A∪B)，则命题“綈p”是( )
A. A
B.∈( UA)∩( UB)
C.∈ UB
D. (A∩B)
解析：选B 由p：∈(A∪B)，可知綈p： (A∪B)，即∈ U(A∪B)，而 U(A∪B)＝( UA)∩( UB)，故选B.
4．给定两个命题p，q.若綈p是q的必要而不充分条件，则p是綈q的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A q 綈p等价于p 綈q，綈pq等价于綈qp，故p是綈q的充分而不必要条件．
5．设a，b，c
是非零向量，已知命题p：若
a·b＝0，b·c＝0，则
a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c，则下列命题中真命题是( )
A．p∨q
B．p∧q
C．(綈p)∧(綈q)
D．p∨(綈q)
解析：选A 对于命题p：因为a·b＝0，b·c＝0，所以a，b与b，c的夹角都为90°，但a，c的夹角可以为0°或180°，故a·c≠0，所以命题p是假命题；对于命题q：a∥b，b∥c说明a，b与b，c都共线，可以得到a，c的方向相同或相反，故a∥c，所以命题q是真命题．则p∨q是真命题，p∧q是假命题，綈p是真命题，綈q是假命题，所以(綈p)∧(綈q)是假命题，p∨(綈q)是假命题，故选A.
6．命题“若a解析：命题“若p，则q”的否命题是“若綈p，则綈q”，命题的否定是“若p，则綈q”．
答案：若a≥b，则2a≥2b 若a7．已知p：x2－x≥6，q：x∈Z.若“p∧q”“綈q”都是假命题，则x的值组成的集合为________．
解析：因为“p∧q”为假，“綈q”为假，所以q为真，p为假．
故即
因此，x的值可以是－1,0,1,2.
答案：{－1,0,1,2}
8．已知条件p：(x＋1)2>4，条件q：x>a，且綈p是綈q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．
解析：由綈p是綈q的充分不必要条件，可知綈p 綈q，但綈q
綈p.由一个命题与它的逆否命题等价，可知q p但p
q．又p：x>1或x<－3，可知{x|x>a}?{x|x<－3或x>1}，所以a≥1.
答案：[1，＋∞)
9．指出下列命题是简单命题还是含逻辑联结词的命题，若是含逻辑联结词的命题，写出构成它的简单命题．
(1)两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；
(2)若x∈{x|x<1或x>2}，则x是不等式(x－1)·(x－2)>0的解．
解：(1)“p且q”形式的命题，其中p：两个角是45°的三角形是等腰三角形，q：两个角是45°的三角形是直角三角形．
(2)“p或q”形式的命题，其中p：若x∈{x|x<1}，则x是不等式(x－1)(x－2)>0的解，q：若x∈{x|x>2}，则x是不等式(x－1)(x－2)>0的解．
10．命题甲：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为 ，命题乙：函数y＝(2a2－a)x为增函数．分别求出符合下列条件的实数a的取值范围：
(1)甲、乙至少有一个是真命题；
(2)甲、乙中有且只有一个是真命题．
解：甲命题为真时，Δ＝(a－1)2－4a2<0，
即a>或a<－1，①
乙命题为真时，2a2－a>1，即a>1或a<－.②
(1)甲、乙至少有一个是真命题，即为a<－或a>，
∴甲、乙至少有一个是真命题时，a的取值范围是
∪.
(2)甲、乙有且只有一个是真命题，有两种情况：甲真乙假时，∴甲、乙中有且只有一个真命题时，a的取值范围是
∪.
层级二 应试能力达标
1．已知p：x＋1>2，q：5x－6>x2，则綈p是綈q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A 设集合A＝{x|x＋1≤2}＝{x|x≤1}，B＝{x|5x－6≤x2}＝{x|x≤2或x≥3}，由于A?B，所以綈p是綈q的充分不必要条件，故选A.
2．已知p：函数y＝sinx的最小正周期是π，q：函数y＝tan
x的图象关于直线x＝对称，则下列判断正确的是( )
A．p为真
B．綈q为假
C．p∧q为假
D．p∨q为真
解析：选C 很明显p和q均是假命题，所以綈q为真，p∧q为假，p∨q为假，故选C.
3．已知命题p：所有的有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( )
A．(綈p)∨q
B．p∧q
C．(綈p)∧(綈q)
D．(綈p)∨(綈q)
解析：选D 由题意，得p是真命题，q是假命题，所以(綈p)∨q，p∧q，(綈p)∧(綈q)都是假命题，(綈p)∨(綈q)是真命题，故选D.
4．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )
A．(綈p)∨(綈q)
B．p∨(綈q)
C．(綈p)∧(綈q)
D．p∨q
解析：选A 綈p：甲没有降落在指定范围；綈q：乙没有降落在指定范围，至少有一位学员没有降落在指定范围，即綈p或綈q发生．
5．已知p：若数列{an}的前n项和Sn＝n2＋m，则数列{an}是等差数列，当綈p是假命题时，则实数m的值为________．
解析：由于綈p是假命题，所以p是真命题．
由Sn＝n2＋m，得an＝所以1＋m＝2×1－1，解得m＝0.
答案：0
6．已知p：点M(1,2)在不等式x－y＋m<0表示的区域内，q：直线2x－y＋m＝0与直线mx＋y－1＝0相交，若p∧q为真命题，则实数m的取值范围为________．
解析：当p是真命题时，有1－2＋m<0，即m<1；
当q是真命题时，有2＋m≠0，，即m≠－2.
又p∧q为真命题，所以p是真命题且q是真命题，
所以m<1且m≠－2，
所以实数m的取值范围是(－∞，－2)∪(－2,1)．
答案：(－∞，－2)∪(－2,1)
7．已知p：－11，綈q是綈p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
解：由－1所以綈p：x≤或x≥4，
设集合A＝；
由x＋a>1，得x＋a<0，解得x<－a，
所以綈q：x≥－a，
设集合B＝{x|x≥－a}．
又綈q是綈p的充分不必要条件，所以B?A，
所以－a≥4，解得a≤－4，
所以实数a的取值范围是(－∞，－4]．
8．已知命题p：x1和x2是方程x2－mx－2＝0的两个实根，不等式a2－5a－3≥|x1－x2|对任意实数m∈[－1,1]恒成立；命题q：不等式ax2＋2x－1>0有解．若p∧q是假命题，綈p也是假命题．求实数a的取值范围．
解：∵p∧q是假命题，綈p是假命题，
∴命题p是真命题，命题q是假命题．
∵x1，x2是方程x2－mx－2＝0的两个实根，
∴
∴|x1－x2|＝＝，
∴当m＝[－1,1]时，|x1－x2|max＝3.
由不等式a2－5a－3≥|x1－x2|对任意实数m∈[－1,1]恒成立，可得a2－5a－3≥3，
∴a≥6或a≤－1，
∴当命题p为真命题时，a≥6或a≤－1.①
命题q：不等式ax2＋2x－1>0有解，
①当a>0时，显然有解；
②当a＝0时，2x－1>0有解；
③当a<0时，∵ax2＋2x－1>0有解，
∴Δ＝4＋4a>0，
∴－1从而命题q：不等式ax2＋2x－1>0有解时，a>－1.
又∵命题q是假命题，∴a≤－1.②
由①②得，所求a的取值范围为(－∞，－1]．课时跟踪检测（二十）
生活中的优化问题举例
层级一 学业水平达标
1．福建炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是( )
A．8
B.
C．－1
D．－8
解析：选C 瞬时变化率即为f′(x)＝x2－2x为二次函数，且f′(x)＝(x－1)2－1，又x∈[0,5]，故x＝1时，f′(x)min＝－1.
2．把一段长为12
cm的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是( )
A.
cm2
B．4
cm2
C．3
cm2
D．2
cm2
解析：选D 设一段为x，则另一段为12－x(0＜x＜12)，
则S(x)＝×2×＋×2×＝，∴S′(x)＝.
令S′(x)＝0，得x＝6，
当x∈(0,6)时，S′(x)＜0，
当x∈(6,12)时，S′(x)＞0，
∴当x＝6时，S(x)最小．
∴S＝＝2(cm2)．
3．某公司生产某种产品，固定成本为20
000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R与年产量x的关系是R(x)＝则总利润最大时，每年生产的产品是( )
A．100
B．150
C．200
D．300
解析：选D 由题意，总成本为：C＝20
000＋100x，所以总利润为P＝R－C＝
P′＝令P′＝0，当0≤x≤400时，得x＝300；当x>400时，P′<0恒成立，易知当x＝300时，总利润最大．
4．设正三棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为( )
A.
B．2
C.
D.V
解析：选C 设底面边长为x，则高为h＝，
∴S表＝3××x＋2×x2＝＋x2，
∴S表′＝－＋x，
令S表′＝0，得x＝.
经检验知，当x＝时，S表取得最小值．
5．内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为( )
A．R
B．2R
C.R
D.R
解析：选C 设圆锥高为h，底面半径为r，则R2＝(h－R)2＋r2，∴r2＝2Rh－h2，∴V＝πr2h＝h(2Rh－h2)＝πRh2－h3，V′＝πRh－πh2.令V′＝0得h＝R.
当00；当因此当h＝R时，圆锥体积最大．故应选C.
6．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为________万元．
解析：设甲地销售x辆，则乙地销售(15－x)辆．
总利润L＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)
＝－0.15x2＋3.06x＋30(x≥0)．
令L′＝－0.3x＋3.06＝0，得x＝10.2.
∴当x＝10时，L有最大值45.6.
答案：45.6
7．如图，内接于抛物线y＝1－x2的矩形ABCD，其中A，B在抛物线上运动，C，D在x轴上运动，则此矩形的面积的最大值是________．
解析：设CD＝x，则点C坐标为，点B坐标为，
∴矩形ABCD的面积
S＝f(x)＝x·
＝－＋x，x∈(0,2)．
由f′(x)＝－x2＋1＝0，
得x1＝－(舍)，x2＝，
∴x∈时，f′(x)＞0，f(x)是递增的，
x∈时，f′(x)＜0，f(x)是递减的，
当x＝时，f(x)取最大值.
答案：
8．某厂生产某种产品x件的总成本：C(x)＝1
200＋x3，又产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，总利润最大时，产量应定为__________件．
解析：设产品单价为a元，又产品单价的平方与产品件数x成反比，即a2x＝k，由题知a＝.
总利润y＝500－x3－1
200(x>0)，
y′＝－x2，由y′＝0，得x＝25，x∈(0,25)时，
y′>0，x∈(25，＋∞)时，y′<0，所以x＝25时，
y取最大值．
答案：25
9．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
解：(1)设隔热层厚度为x
cm，由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝，再由C(0)＝8，得k＝40，
因此C(x)＝.
而建造费用为C1(x)＝6x.
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为
f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x
＝＋6x(0≤x≤10)．
(2)f′(x)＝6－，
令f′(x)＝0，即＝6，
解得x＝5，x＝－(舍去)．
当00，
故x＝5是f(x)的最小值点，对应的最小值为
f(5)＝6×5＋＝70.
当隔热层修建5
cm厚时，总费用达到最小值70万元．
10．某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品，则损失100元．已知该厂制造电子元件过程中，次品率p与日产量x的函数关系是：p＝(x∈N
)．
(1)写出该厂的日盈利额T(元)用日产量x(件)表示的函数关系式；
(2)为获最大日盈利，该厂的日产量应定为多少件？
解：(1)由题意可知次品率p＝日产次品数/日产量，每天生产x件，次品数为xp，正品数为x(1－p)．
因为次品率p＝，当每天生产x件时，
有x·件次品，有x件正品．
所以T＝200x－100x·
＝25·(x∈N
)．
(2)T′＝－25·，
由T′＝0得x＝16或x＝－32(舍去)．
当0层级二 应试能力达标
1．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为( )
A．13万件
B．11万件
C．9万件
D．7万件
解析：选C y′＝－x2＋81，令y′＝0，解得x＝9或x＝－9(舍去)，当0＜x＜9时，y′＞0；当x＞9时，y′＜0.
所以当x＝9时，y取得最大值．
2．若一球的半径为r，作内接于球的圆柱，则圆柱侧面积的最大值为( )
A．2πr2
B．πr2
C．4πr2
D.πr2
解析：选A 设内接圆柱的底面半径为r1，高为t，
则S＝2πr1t＝2πr12＝4πr1.
∴S＝4π.
令(r2r－r)′＝0得r1＝r.
此时S＝4π·r·＝4π·r·r＝2πr2.
3．某商品一件的成本为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出(200－x)件，要使利润最大每件定价为( )
A．80元
B．85元
C．90元
D．95元
解析：选B 设每件商品定价x元，依题意可得
利润为L＝x(200－x)－30x＝－x2＋170x(0＜x＜200)．
L′＝－2x＋170，令－2x＋170＝0，解得x＝＝85.
因为在(0,200)内L只有一个极值，所以以每件85元出售时利润最大．
4．内接于半径为R的半圆的周长最大的矩形的宽和长分别为( )
A.和R
B.R和R
C.R和R
D．以上都不对
解析：选B 设矩形的宽为x，则长为2，
则l＝2x＋4(0令l′＝0，解得x1＝R，x2＝－R(舍去)．
当00，当R所以当x＝R时，l取最大值，即周长最大的矩形的宽和长分别为R，R.
5．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨．
解析：设该公司一年内总共购买n次货物，则n＝，
∴总运费与总存储费之和f(x)＝4n＋4x＝＋4x，令f′(x)＝4－＝0，解得x＝20，x＝－20(舍去)，
x＝20是函数f(x)的最小值点，故当x＝20时，f(x)最小．
答案：20
6.一个帐篷，它下部的形状是高为1
m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3
m的正六棱锥(如图所示)．当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为__________
m时，帐篷的体积最大．
解析：设OO1为x
m，底面正六边形的面积为S
m2，帐篷的体积为V
m3.
则由题设可得正六棱锥底面边长为＝(m)，于是底面正六边形的面积为S＝6×()2＝(8＋2x－x2)．
帐篷的体积为
V＝×(8＋2x－x2)(x－1)＋(8＋2x－x2)
＝(8＋2x－x2)
＝(16＋12x－x3)，
V′＝(12－3x2)．
令V′＝0，解得x＝2或x＝－2(不合题意，舍去)．
当1＜x＜2时，V′＞0；当2＜x＜4时，V′＜0.
所以当x＝2时，V最大．
答案：2
7．某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销，经调查，每年投入广告费t(百万元)，可增加销售额约为－t2＋5t(百万元)(0≤t≤3)．
(1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？
(2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造，经预测，每投入技术改造费x百万元，可增加的销售额约为－x3＋x2＋3x(百万元)．请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大．(收益＝销售额－投入)
解：(1)设投入t(百万元)的广告费后增加的收益为f(t)，
则有f(t)＝(－t2＋5t)－t＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4(0≤t≤3)，
∴当t＝2时，f(t)取得最大值4，即投入2百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大．
(2)设用于技术改造的资金为x(百万元)，
则用于广告促销的资金为(3－x)(百万元)，又设由此获得的收益是g(x)(百万元)，
则g(x)＝＋[－(3－x)2＋5(3－x)]－3＝－x3＋4x＋3(0≤x≤3)，
∴g′(x)＝－x2＋4，
令g′(x)＝0，解得x＝－2(舍去)或x＝2.
又当0≤x<2时，g′(x)>0；当2∴当x＝2时，g(x)取得最大值，即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，该公司由此获得的收益最大．
8．统计表明某型号汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数为y＝x3－x＋8(0(1)当x＝64千米/小时时，行驶100千米耗油量多少升？
(2)若油箱有22.5升油，则该型号汽车最多行驶多少千米？
解：(1)当x＝64千米/小时时，要行驶100千米需要＝小时，
要耗油×＝11.95(升)．
(2)设22.5升油能使该型号汽车行驶a千米，由题意得，
×＝22.5，
∴a＝，
设h(x)＝x2＋－，
则当h(x)最小时，a取最大值，
h′(x)＝x－＝，
令h′(x)＝0 x＝80，
当x∈(0,80)时，h′(x)<0，
当x∈(80,120)时，h′(x)>0，
故当x∈(0,80)时，函数h(x)为减函数，
当x∈(80,120)时，函数h(x)为增函数，
∴当x＝80时，h(x)取得最小值，此时a取最大值为
a＝＝200.
故若油箱有22.5升油，则该型号汽车最多行驶200千米．回扣验收特训（一）
常用逻辑用语
1．命题“若p，则q”的逆命题是( )
A．若q则p
B．若綈p则綈q
C．若綈q则綈p
D．若p则綈q
解析：选A 根据原命题与逆命题之间的关系可得，逆命题为“若q则p”，选A．
2．下列叙述中正确的是( )
A．若a，b，c∈R，则“ax2＋bx＋c≥0”的充分条件是“b2－4ac≤0”
B．若a，b，c∈R，则“ab2>cb2”的充要条件是“a>c”
C．命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2≥0”
D．l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β
解析：选D 对于选项A，当a<0时，若b2－4ac≤0，则ax2＋bx＋c≤0，故“b2－4ac≤0”不是“ax2＋bx＋c≥0”的充分条件，A错；对于选项B，若ab2>cb2，则(a－c)b2>0，即a>c，若a>c，当b＝0时，ab2>cb2不成立，故“ab2>cb2”是“a>c”的充分不必要条件，B错；对于选项C，命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2<0”，故C错；对于选项D，由线面垂直的性质可知α∥β，故D正确，选D．
3．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A 先证“α⊥β
a⊥b”．∵α⊥β，α∩β＝m，b β，b⊥m，∴b⊥α．又∵a α，∴b⊥a；再证“a⊥bα⊥β”．举反例，当a∥m时，由b⊥m知a⊥b，此时二面角α m β可以为(0，π]上的任意角，即α不一定垂直于β．故选A．
4．下列命题中，真命题是( )
A． x0∈R，ex0≤0
B． x∈R,2x>x2
C．a＋b＝0的充要条件是＝－1
D．a>1，b>1是ab>1的充分条件
解析：选D ∵ x∈R，ex>0，∴A错；∵函数y＝2x与y＝x2的图象有交点，如点(2,2)，此时2x＝x2，∴B错；∵当a＝b＝0时，a＋b＝0，而0作分母无意义，∴C错；a>1，b>1，由不等式可乘性知ab>1，∴D正确．
5．设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p： x∈A,2x∈B，则( )
A．綈p： x∈A,2x∈B
B．綈p： x A,2x∈B
C．綈p： x∈A,2x B
D．綈p： x A,2x B
解析：选C 命题p是全称命题： x∈M，p(x)，则綈p是特称命题： x∈M，綈p(x)．故选C．
6．已知a>0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )
A． x∈R，f(x)≤f(x0)
B． x∈R，f(x)≥f(x0)
C． x∈R，f(x)≤f(x0)
D． x∈R，f(x)≥f(x0)
解析：选C x0满足关于x的方程2ax＋b＝0时，x0＝－是函数f(x)＝ax2＋bx＋c的最小值点，根据全称量词和存在量词的含义进行分析判断．函数f(x)的最小值是f＝f(x0)，等价于 x∈R，f(x)≥f(x0)，所以选项C中的命题是假命题．
7．已知命题p： x>0总有(x＋1)ex>1，则綈p为________．
解析：命题p为全称命题，所以綈p为 x0>0，使得(x0＋1)ex0≤1．
答案：(x0＋1)ex0≤1
8．给出以下命题：
① x∈R，|x|>x；
② α∈R，sin
3α＝3sin
α；
③ x∈R，x>sin
x；
④ x∈(0，＋∞)，x其中正确命题的序号有________．
解析：x≥0时，|x|＝x，①错，当α＝0时，sin
3α＝3sin
α，②正确；当x＝－时，xx，③错；根据指数函数的图象可以判断，当x∈(0，＋∞)时，x答案：②
9．对任意实数a，b，c，给出下列命题：
①“a>b>0”是“a2>b2”成立的充分不必要条件；
②“b2＝ac”是“a，b，c成等比数列”的充要条件；
③“a<5”是“a<3”的必要条件；
④“0其中真命题的是________(填序号)．
解析：①中a>b>0 a2>b2，a2>b2 /
a>b>0故①正确．
②中若a＝b＝c＝0，满足b2＝ac，但a，b，c不成等比数列，故②错误．
③“a<5”是“a<3”的必要条件，故③正确．
④当0答案：①③
10．已知p：x2－8x－20＞0，q：x2－2x＋1－a2＞0，若p是q的充分而不必要条件，求正实数a的取值范围．
解：p：x2－8x－20＞0 x＜－2或x＞10，
令A＝{x|x<－2或x>10}，
∵a＞0，∴q：x＜1－a或x＞1＋a，
令B＝{x|x<1－a或x>1＋a}，
由题意p q且q /
p，知A?B，
应有或
0＜a≤3，
∴a的取值范围为(0,3]．
11．在数列{an}中，若a－a＝k(n≥2，n∈N
，k为常数)，则称{an}为X数列．
证明：一个等比数列为X数列的充要条件是其公比为1或－1．
证明：设数列{an}是等比数列，且an＝a1qn－1(q为公比且q≠0)，
若{an}为X数列，
则有a－a＝aq2n－2－aq2n－4＝aq2n－4(q2－1)＝k(k为与n无关的常数)，
所以q2＝1，即q＝1或q＝－1．
若一个等比数列{an}的公比q＝1，
则an＝a1，进而a－a＝0，所以{an}为X数列；
若一个等比数列{an}的公比q＝－1，
则an＝(－1)n－1a1，进而a－a＝(－1)2n－2a－(－1)2n－4a＝0，
所以{an}为X数列．
故一个等比数列为X数列的充要条件是其公比为1或－1．
12．已知a＞0且a≠1，设命题p：函数y＝loga(x＋1)在区间(－1，＋∞)内单调递减；
q：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴有两个不同的交点，如果p∨q为真命题，那么a的取值集合是怎样的呢？并写出求解过程．
解：由y＝loga(x＋1)在区间(－1，＋∞)上单调递减知0∵曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于两个不同的点，
∴Δ＝(2a－3)2－4×1×1>0，解之得a<或a>．
∴p真对应集合A＝{a|0q真对应集合B＝．
由于p∨q真，即p，q中至少有一个为真命题．
因此适合题数目要求的a的取值集合是：
A∪B＝．课时跟踪检测（九）
双曲线及其标准方程
层级一 学业水平达标
1．已知F1(－8,3)，F2(2,3)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝10，则P点的轨迹是( )
A．双曲线
B．双曲线的一支
C．直线
D．一条射线
解析：选D F1，F2是定点，且|F1F2|＝10，所以满足条件|PF1|－|PF2|＝10的点P的轨迹应为一条射线．
2．在方程mx2－my2＝n中，若mn<0，则方程表示的曲线是( )
A．焦点在x轴上的椭圆
B．焦点在x轴上的双曲线
C．焦点在y轴上的椭圆
D．焦点在y轴上的双曲线
解析：选D 将方程化为－＝1，
由mn<0，知－>0，
所以方程表示的曲线是焦点在y轴上的双曲线．
3．已知定点A，B且|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，则|PA|的最小值为( )
A．
B．
C．
D．5
解析：选C 如图所示，点P是以A，B为焦点的双曲线的右支上的点，当P在M处时，|PA|最小，最小值为a＋c＝＋2＝．
4．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值是( )
A．
B．1或－2
C．1或
D．1
解析：选D 依题意知解得a＝1．
5．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( )
A．x2－＝1
B．－y2＝1
C．y2－＝1
D．－＝1
解析：选A 由双曲线定义知，
2a＝－＝5－3＝2，
∴a＝1．
又c＝2，∴b2＝c2－a2＝4－1＝3，
因此所求双曲线的标准方程为x2－＝1．
6．设m是常数，若点F(0,5)是双曲线－＝1的一个焦点，则m＝________．
解析：由点F(0,5)可知该双曲线－＝1的焦点落在y轴上，所以m>0，且m＋9＝52，解得m＝16．
答案：16
7．经过点P(－3,2)和Q(－6，－7)，且焦点在y轴上的双曲线的标准方程是________________．
解析：设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，
则解得
故双曲线的标准方程为－＝1．
答案：－＝1
8．已知双曲线的两个焦点F1(－，0)，F2(，0)，P是双曲线上一点，且·＝0，|PF1|·|PF2|＝2，则双曲线的标准方程为________________．
解析：由题意可设双曲线方程为
－＝1(a>0，b>0)．
由·＝0，得PF1⊥PF2．根据勾股定理得
|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2，即|PF1|2＋|PF2|2＝20．
根据双曲线定义有|PF1|－|PF2|＝±2a．
两边平方并代入|PF1|·|PF2|＝2得
20－2×2＝4a2，解得a2＝4，从而b2＝5－4＝1，
所以双曲线方程为－y2＝1．
答案：－y2＝1
9．已知与双曲线－＝1共焦点的双曲线过点P，求该双曲线的标准方程．
解：已知双曲线－＝1，由c2＝a2＋b2，
得c2＝16＋9＝25，∴c＝5．
设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．
依题意，c＝5，∴b2＝c2－a2＝25－a2，
故双曲线方程可写为－＝1．
∵点P在双曲线上，
∴－＝1．
化简，得4a4－129a2＋125＝0，
解得a2＝1或a2＝．
又当a2＝时，b2＝25－a2＝25－＝－<0，不合题意，舍去，故a2＝1，b2＝24．
∴所求双曲线的标准方程为x2－＝1．
10．已知△ABC的两个顶点A，B分别为椭圆x2＋5y2＝5的左焦点和右焦点，且三个内角A，B，C满足关系式sin
B－sin
A＝sin
C．
(1)求线段AB的长度；
(2)求顶点C的轨迹方程．
解：(1)将椭圆方程化为标准形式为＋y2＝1．
∴a2＝5，b2＝1，c2＝a2－b2＝4，
则A(－2,0)，B(2,0)，|AB|＝4．
(2)∵sin
B－sin
A＝sin
C，
∴由正弦定理得
|CA|－|CB|＝|AB|＝2<|AB|＝4，
即动点C到两定点A，B的距离之差为定值．
∴动点C的轨迹是双曲线的右支，并且c＝2，a＝1，
∴所求的点C的轨迹方程为x2－＝1(x>1)．
层级二 应试能力达标
1．设θ∈，则关于x，y的方程＋＝1所表示的曲线是( )
A．焦点在y轴上的双曲线
B．焦点在x轴上的双曲线
C．焦点在y轴上的椭圆
D．焦点在x轴上的椭圆
解析：选B 由题意，知－＝1，因为θ∈，所以sin
θ>0，－cos
θ>0，则方程表示焦点在x轴上的双曲线．故选B．
2．若双曲线－y2＝1(n>1)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且满足|PF1|＋|PF2|＝2，则△PF1F2的面积为( )
A．1
B．
C．2
D．4
解析：选A 设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2，已知|PF1|＋|PF2|＝2，解得|PF1|＝＋，|PF2|＝－，|PF1|·|PF2|＝2．又|F1F2|＝2，则|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，所以△PF1F2为直角三角形，且∠F1PF2＝90°，于是S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝×2＝1．故选A．
3．若双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点坐标是(3,0)，则k＝( )
A．1
B．－1
C．
D．－
解析：选A 依题意，知双曲线的焦点在x轴上，方程可化为－＝1，则k>0，且a2＝，b2＝，所以＋＝9，解得k＝1．
4．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)，F1，F2为其两个焦点，若过焦点F1的直线与双曲线的一支相交的弦长|AB|＝m，则△ABF2的周长为( )
A．4a
B．4a－m
C．4a＋2m
D．4a－2m
解析：选C 由双曲线的定义，知|AF2|－|AF1|＝2a，|BF2|－|BF1|＝2a，所以|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|BF1|)＋4a＝m＋4a，于是△ABF2的周长l＝|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＋2m．故选C．
5．已知双曲线－＝1的两个焦点分别为F1，F2，双曲线上的点P到F1的距离为12，则点P到F2的距离为________．
解析：设F1为左焦点，F2为右焦点，当点P在双曲线的左支上时，|PF2|－|PF1|＝10，所以|PF2|＝22；当点P在双曲线的右支上时，|PF1|－|PF2|＝10，所以|PF2|＝2．
答案：22或2
6．过双曲线－＝1的一个焦点作x轴的垂线，则垂线与双曲线的一个交点到两焦点的距离分别为________．
解析：因为双曲线方程为－＝1，
所以c＝＝13，
设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，
则F1(－13,0)，F2(13,0)．
设过F1且垂直于x轴的直线l交双曲线于A(－13，y)(y>0)，则＝－1＝，
所以y＝，即|AF1|＝．
又|AF2|－|AF1|＝2a＝24，
所以|AF2|＝24＋＝．
即所求距离分别为，．
答案：，
7．已知△OFQ的面积为2，且·＝m，其中O为坐标原点．
(1)设(2)设以O为中心，F为其中一个焦点的双曲线经过点Q，如图所示，||＝c，m＝c2，当||取得最小值时，求此双曲线的标准方程．
解：(1)因为eq
\b\lc\{\rc\
(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)|
|·||sin π－θ ＝2\r(6)，,|
|·||cos
θ＝m，))
所以tan
θ＝．
又θ<4．
即tan
θ的取值范围为(1,4)．
(2)设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，Q(x1，y1)，则||＝(x1－c，y1)，
所以S△OFQ＝||·|y1|＝2，则y1＝±．
又·＝m，即(c,0)·(x1－c，y1)＝c2，解得x1＝c，
所以||＝＝
≥＝2，
当且仅当c＝4时，||最小，
这时Q的坐标为(，)或(，－)．
因为所以于是双曲线的标准方程为－＝1．
8．设圆C与两圆(x＋)2＋y2＝4，(x－)2＋y2＝4中的一个内切，另一个外切．
(1)求C的圆心轨迹L的方程；
(2)已知点M，F(，0)，且P为L上动点．求||MP|－|FP||的最大值．
解：(1)两圆的圆心分别为A(－，0)，B(，0)，半径为2，设圆C的半径为r．由题意得|CA|＝r－2，|CB|＝r＋2或|CA|＝r＋2，|CB|＝r－2，
两式相减得|CA|－|CB|＝－4或|CA|－|CB|＝4，即||CA|－|CB||＝4．
则圆C的圆心轨迹为双曲线，其中2a＝4，c＝，b2＝1，
∴圆C的圆心轨迹L的方程为－y2＝1．
(2)由(1)知F为双曲线L的一个焦点，如图，连接MF并延长交双曲线于一点P，此时|PM|－|PF|＝|MF|为||PM|－|FP||的最大值．
又|MF|＝＝2，
∴||MP|－|FP||的最大值为2．课时跟踪检测（十七）
函数的单调性与导数
层级一 学业水平达标
1．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( )
A．y＝sin
x
B．y＝xex
C．y＝x3－x
D．y＝ln
x－x
解析：选B B中，y′＝(xex)′＝ex＋xex＝ex(x＋1)＞0在(0，＋∞)上恒成立，∴y＝xex在(0，＋∞)上为增函数．对于A、C、D都存在x＞0，使y′＜0的情况．
2．若函数y＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
解析：选C y′＝3x2＋2x＋m，由条件知y′≥0在R上恒成立，∴Δ＝4－12m≤0，∴m≥.
3．函数y＝x4－2x2＋5的单调递减区间为( )
A．(－∞，－1)和(0,1)
B．[－1,0]和[1，＋∞)
C．[－1,1]
D．(－∞，－1]和[1，＋∞)
解析：选A y′＝4x3－4x，令y′<0，即4x3－4x<0，解得x<－1或04．函数y＝xln
x在(0,5)上的单调性是( )
A．单调递增
B．单调递减
C．在上单调递减，在上单调递增
D．在上单调递增，在上单调递减
解析：选C 由已知得函数的定义域为(0，＋∞)．
∵y′＝ln
x＋1，令y′＞0，得x＞.
令y′＜0，得x＜.
∴函数y＝xln
x在上单调递减，在上单调递增．
5．若函数y＝a(x3－x)的单调减区间为，则a的取值范围是( )
A．(0，＋∞)
B．(－1,0)
C．(1，＋∞)
D．(0,1)
解析：选A y′＝a(3x2－1)＝3a.
当－＜x＜时，＜0，
要使y＝a(x3－x)在上单调递减，
只需y′＜0，即a＞0.
6．函数f(x)＝cos
x＋x的单调递增区间是________．
解析：因为f′(x)＝－sin
x＋＞0，所以f(x)在R上为增函数．
答案：(－∞，＋∞)
7．若函数y＝ax3－ax2－2ax(a≠0)在[－1,2]上为增函数，则a∈________.
解析：y′＝ax2－ax－2a＝a(x＋1)(x－2)>0，
∵当x∈(－1,2)时，(x＋1)(x－2)<0，∴a<0.
答案：(－∞，0)
8．若函数y＝－x3＋ax有三个单调区间，则a的取值范围是 .
解析：∵y′＝－4x2＋a，且y有三个单调区间，
∴方程y′＝－4x2＋a＝0有两个不等的实根，
∴Δ＝02－4×(－4)×a>0，∴a>0.
答案：(0，＋∞)
9．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx，且f′(－1)＝－4，f′(1)＝0.
(1)求a和b；
(2)试确定函数f(x)的单调区间．
解：(1)∵f(x)＝x3＋ax2＋bx，
∴f′(x)＝x2＋2ax＋b，
由得
解得a＝1，b＝－3.
(2)由(1)得f(x)＝x3＋x2－3x.
f′(x)＝x2＋2x－3＝(x－1)(x＋3)．
由f′(x)>0得x>1或x<－3；
由f′(x)<0得－3∴f(x)的单调递增区间为(－∞，－3)，(1，＋∞)，单调递减区间为(－3,1)．
10．已知a≥0，函数f(x)＝(x2－2ax)ex.设f(x)在区间[－1,1]上是单调函数，求a的取值范围．
解：f′(x)＝(2x－2a)ex＋(x2－2ax)ex
＝ex[x2＋2(1－a)x－2a]．
令f′(x)＝0，即x2＋2(1－a)x－2a＝0.
解得x1＝a－1－，x2＝a－1＋，
令f′(x)＞0，得x＞x2或x＜x1，
令f′(x)＜0，得x1＜x＜x2.
∵a≥0，∴x1<－1，x2≥0.
由此可得f(x)在[－1,1]上是单调函数的充要条件为x2≥1，即a－1＋≥1，解得a≥.
故所求a的取值范围为.
层级二 应试能力达标
1.已知函数f(x)＝＋ln
x，则有( )
A．f(2)B．f(e)C．f(3)D．f(e)解析：选A 在(0，＋∞)内，f′(x)＝＋>0，所以f(x)在(0，＋∞)内是增函数，所以有f(2)2.设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能的是( )
解析：选C 由f′(x)的图象知，x∈(－∞，0)时，f′(x)>0，f(x)为增函数，x∈(0,2)时，f′(x)<0，f(x)为减函数，x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数．只有C符合题意，故选C.
3．(全国Ⅱ卷)若函数f(x)＝kx－ln
x在区间(1，＋∞)内单调递增，则k的取值范围是( )
A．(－∞，－2]
B．(－∞，－1]
C．[2，＋∞)
D．[1，＋∞)
解析：选D 因为f(x)＝kx－ln
x，所以f′(x)＝k－.因为f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，所以当x>1时，f′(x)＝k－≥0恒成立，即k≥在区间(1，＋∞)上恒成立．因为x>1，所以0<<1，所以k≥1.故选D.
4．设函数F(x)＝是定义在R上的函数，其中f(x)的导函数f′(x)满足f′(x)A．f(2)>e2f(0)，f(2
016)>e2
016f(0)
B．f(2)016)>e2
016f(0)
C．f(2)016)016f(0)
D．f(2)>e2f(0)，f(2
016)016f(0)
解析：选C ∵函数F(x)＝的导数F′(x)＝＝<0，
∴函数F(x)＝是定义在R上的减函数，
∴F(2)同理可得f(2
016)016f(0)．故选C.
5．已知函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为____________．
解析：设g(x)＝f(x)－2x－4，则g′(x)＝f′(x)－2.
∵对任意x∈R，f′(x)＞2，∴g′(x)＞0.
∴g(x)在R上为增函数．又g(－1)＝f(－1)＋2－4＝0，∴x＞－1时，g(x)＞0.
∴由f(x)＞2x＋4，得x＞－1.
答案：(－1，＋∞)
6．若f(x)＝－x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是_____________．
解析：∵f(x)在(－1，＋∞)上为减函数，
∴f′(x)≤0在(－1，＋∞)上恒成立，
∵f′(x)＝－x＋，∴－x＋≤0，
∵b≤x(x＋2)在(－1，＋∞)上恒成立，
g(x)＝x(x＋2)＝(x＋1)2－1，
∴g(x)min＝－1，∴b≤－1.
答案：(－∞，－1]
7．已知函数f(x)＝aln
x－ax－3(a∈R)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)当a＝－1时，证明：当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋2>0.
解：(1)根据题意知，f′(x)＝(x>0)，
当a>0时，则当x∈(0,1)时，f′(x)>0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，所以f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)；
同理，当a<0时，f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)；
当a＝0时，f(x)＝－3，不是单调函数，无单调区间．
(2)证明：当a＝－1时，f(x)＝－ln
x＋x－3，
所以f(1)＝－2，
由(1)知f(x)＝－ln
x＋x－3在(1，＋∞)上单调递增，
所以当x∈(1，＋∞)时，f(x)>f(1)．
即f(x)>－2，所以f(x)＋2>0.
8．已知函数f(x)＝(a∈R，a≠0)．
(1)当a＝－1时，求函数f(x)的极值；
(2)若函数F(x)＝f(x)＋1没有零点，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝－1时，f(x)＝，f′(x)＝.
由f′(x)＝0，得x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，2)
2
(2,
＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
?
极小值
?
所以函数f(x)的极小值为f(2)＝－，
函数f(x)无极大值．(2)F′(x)＝f′(x)＝＝.
①当a<0时，F(x)，F′(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，2)
2
(2，＋∞)
F′(x)
－
0
＋
F(x)
?
极小值
?
若使函数F(x)没有零点，当且仅当F(2)＝＋1>0，
解得a>－e2，所以此时－e2②当a>0时，F(x)，F′(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，2)
2
(2，＋∞)
F′(x)
＋
0
－
F(x)
?
极大值
?
当x>2时，F(x)＝＋1>1，
当x<2时，令F(x)＝＋1<0，
即a(x－1)＋ex<0，
由于a(x－1)＋ex令a(x－1)＋e2≤0，得x≤1－，即x≤1－时，
F(x)<0，所以F(x)总存在零点，
综上所述，所求实数a的取值范围是(－e2,0)．课时跟踪检测（八）
直线与椭圆的位置关系
层级一 学业水平达标
1．直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为( )
A．相切
B．相交
C．相离
D．不确定
解析：选B 直线y＝kx－k＋1可变形为y－1＝k(x－1)，故直线恒过定点(1,1)，而该点在椭圆＋＝1内部，所以直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1相交，故选B．
2．椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为，则的值是( )
A．
B．
C．
D．
解析：选A 由消去y得，
(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0．
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN中点为(x0，y0)，
则x1＋x2＝，∴x0＝，
代入y＝1－x得y0＝．
由题意＝，∴＝，选A．
3．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )
A．(0,1)
B．0，
C．0，
D．，1
解析：选C ∵⊥，∴点M在以F1F2为直径的圆上，又点M在椭圆内部，∴c0，∴04．已知椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，直线l：x＝2，点A∈l，线段AF交椭圆C于点B，若＝3，则|
|＝( )
A．
B．2
C．
D．3
解析：选A 设点A(2，n)，B(x0，y0)．
由椭圆C：＋y2＝1知a2＝2，b2＝1，
∴c2＝1，即c＝1．∴右焦点F(1,0)．
由＝3得(1，n)＝3(x0－1，y0)．
∴1＝3(x0－1)且n＝3y0．
∴x0＝，y0＝n．
将x0，y0代入＋y2＝1，
得×2＋2＝1．
解得n2＝1，
∴||＝＝＝．
5．(全国卷Ⅰ)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为( )
A．＋＝1
B．＋＝1
C．＋＝1
D．＋＝1
解析：选D 因为直线AB过点F(3,0)和点(1，－1)，
所以直线AB的方程为y＝(x－3)，
代入椭圆方程＋＝1消去y，
得x2－a2x＋a2－a2b2＝0，
所以AB的中点的横坐标为＝1，即a2＝2b2，
又a2＝b2＋c2，所以b＝c＝3．
所以E的方程为＋＝1．
6．椭圆x2＋4y2＝16被直线y＝x＋1截得的弦长为______．
解析：由
消去y并化简得x2＋2x－6＝0．
设直线与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝－2，x1x2＝－6．
∴弦长|MN|＝|x1－x2|
＝
＝
＝．
答案：
7．已知动点P(x，y)在椭圆＋＝1上，若A点坐标为(3,0)，|
|＝1，且·＝0，则||的最小值是________．
解析：易知点A(3,0)是椭圆的右焦点．
∵·＝0，
∴⊥．
∴||2＝|
|2－||2＝||2－1，
∵椭圆右顶点到右焦点A的距离最小，故||min＝2，∴||min＝．
答案：
8．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为________．
解析：由＋＝1可得F(－1,0)．
设P(x，y)，－2≤x≤2，则·＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋31－＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2，
当且仅当x＝2时，·取得最大值6．
答案：6
9．已知斜率为1的直线l过椭圆＋y2＝1的右焦点，交椭圆于A，B两点，求弦AB的长．
解：∵a2＝4，b2＝1，∴c＝＝，
∴右焦点F(，0)，∴直线l的方程y＝x－．
由消去y并整理，得5x2－8x＋8＝0．
设直线l与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
∴|AB|＝
＝＝，
即弦AB的长为．
10．设椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点(0,4)，离心率为．
(1)求C的方程；
(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．
解：(1)将(0,4)代入C的方程得＝1，
∴b＝4．又e＝＝，得＝，
即1－＝，∴a＝5，
∴C的方程为＋＝1．
(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)．
设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y＝(x－3)代入C的方程，得＋＝1，即x2－3x－8＝0，解得x1＋x2＝3，∴AB的中点坐标
x0＝＝，y0＝＝(x1＋x2－6)＝－，即中点坐标为．
层级二 应试能力达标
1．若直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为( )
A．2
B．1
C．0
D．0或1
解析：选A 由题意，得
>2，所以m2＋n2<4，则－22．若直线kx－y＋3＝0与椭圆＋＝1有两个公共点，则实数k的取值范围是( )
A．
B．
C．∪
D．∪
解析：选C 由得(4k2＋1)x2＋24kx＋20＝0，当Δ＝16(16k2－5)>0，即k>或k<－时，直线与椭圆有两个公共点．故选C．
3．若点(x，y)在椭圆4x2＋y2＝4上，则的最小值为( )
A．1
B．－1
C．－
D．以上都不对
解析：选C 设＝k，则y＝k(x－2)．
由消去y，整理得
(k2＋4)x2－4k2x2＋4(k2－1)＝0，
Δ＝16k4－4×4(k2－1)(k2＋4)＝0，
解得k＝±，
∴kmin＝－．选C．
4．已知F1(－c,0)，F2(c,0)为椭圆＋＝1的两个焦点，P(不在x轴上)为椭圆上一点，且满足·＝c2，则椭圆离心率的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．
解析：选C 由椭圆的定义，得|PF1|＋|PF2|＝2a，平方得|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝4a2． ①
又·＝c2，
∴|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2＝c2， ②
由余弦定理，得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2＝|F1F2|2＝4c2， ③
由①②③，得cos∠F1PF2＝<1，
所以c又|PF1|·|PF2|≤2＝a2，
∴2a2－3c2≤a2，a2≤3c2，e≥，
则椭圆离心率的取值范围是，故选C．
5．若过椭圆＋＝1内一点(2,1)的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程是________．
解析：设弦的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1，＋＝1，两式相减并将x1＋x2＝4，y1＋y2＝2代入，得＝－，所以所求直线的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0．
答案：x＋2y－4＝0
6．过点M(1,1)作斜率为－的直线与椭圆C：＋＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入椭圆方程相减得＋＝0，根据题意有x1＋x2＝2×1＝2，y1＋y2＝2×1＝2，且＝－，所以＋×＝0，得a2＝2b2，所以a2＝2(a2－c2)，整理得a2＝2c2，所以＝，即e＝．
答案：
7．已知F1，F2分别是椭圆＋y2＝1的左、右焦点，过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，且∠AOB(O为坐标原点)为锐角，求直线l的斜率k的取值范围．
解：显然直线x＝0不满足题设条件，故设直线l：y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
联立消去y并整理，得x2＋4kx＋3＝0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝．
由Δ＝(4k)2－12＝4k2－3>0，得k>或k<－．①
又0°<∠AOB<90° cos∠AOB>0 ·>0，
所以·＝x1x2＋y1y2>0．
又y1y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝＋＋4＝，
所以＋>0，即k2<4，所以－2综合①②，得直线l的斜率k的取值范围为－2，－∪．
8．已知椭圆＋＝1(a>b>0)经过点(0，)，离心率为，左右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c，0)．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线
l：y＝－x＋m与椭圆交于
A，B两点，与以F1F2
为直径的圆交于C，D
两点，且满足＝
，求直线l
的方程．
解：(1)由题设知
解得a＝2，b＝，c＝1，
∴椭圆的方程为＋＝1．
(2)由题设，以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1，
∴圆心到直线l的距离d＝，
由d＜1得|m|＜．(
)
∴|CD|＝2＝2＝
．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得x2－mx＋m2－3＝0，
由根与系数的关系可得x1＋x2＝m，x1x2＝m2－3．
∴|AB|＝
＝
．
由＝得
＝1，
解得m＝±，满足(
)．
∴直线l的方程为y＝－x＋或y＝－x－．