高中数学（人教A版）选修2-1课时达标训练Word版含解析25份

课时达标训练（十六）
[即时达标对点练]
题组1　空间向量数量积的运算
1．已知向量a和b的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝5，则(2a－b)·a等于(　　)
A．12
B．8＋
C．4
D．13
2．在四面体OABC中，棱OA、OB、OC两两垂直，且OA＝1，OB＝2，OC＝3，G为△ABC的重心，则＝________．
3．已知长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点．试计算：
题组2　利用数量积求夹角
4．已知|a|＝1，|b|＝，且a－b与a垂直，则a与b的夹角为(　　)
A．60°
B．30°
C．135°
D．45°
5．已知a，b是异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的角是(　　)
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
6．如图所示，在四棱锥P ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥BC，AB⊥AD，且PA＝AB＝BC＝AD＝1，求PB与CD所成的角．
7．如图所示，正四面体ABCD的每条棱长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点，求证：MN⊥AB，MN⊥CD.
题组3　利用数量积求距离
8．已知在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，同一顶点为端点的三条棱长都等于1，且彼此的夹角都是60°，则此平行六面体的对角线AC1的长为(　　)
A.
B．2
C.
D.
9．已知平行四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，且PA＝6，则PC＝________．
10．在正四面体ABCD中，棱长为a，M，N分别是棱AB，CD上的点，且|MB|＝2|AM|，|CN|＝|ND|，求|MN|.
[能力提升综合练]
1．下列各命题中，不正确的命题的个数为(　　)
①＝|a|；
②m(λa)·b＝(mλ)a·b(m、λ∈R)；
③a·(b＋c)＝(b＋c)·a；
④a2b＝b2a.
A．4
B．3
C．2
D．1
2．在△ABC中，＝b，若a·b＜0，则△ABC是(　　)
A．钝角三角形
B．直角三角形
C．锐角三角形
D．不能确定
3．已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积不为零的是(　　)
4．在正方体ABCD A1B1C1D1中，有下列命题：
①；②＝0；③的夹角为60°；④正方体的体积为|··|.
其中正确命题的个数是(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
5．如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求B、D间的距离．
6．如图，正三棱柱ABC A1B1C1中，底面边长为.
(1)设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1；
(2)设AB1与BC1的夹角为，求侧棱的长．
答
案
即时达标对点练
1.
解析：选D　(2a－b)·a＝2a2－b·a＝2|a|2－|a||b|·cos
120°＝2×4－2×5×＝13.
2.
答案：
3.
解：如图，
＝c，
则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0.
(1)
＝b·＝|b|2＝42＝16.
(2)
＝·(a＋c)＝|c|2－|a|2＝22－22＝0.
(3)
＝·
＝(－a＋b＋c)·＝－|a|2＋|b|2＝2.
4.
解析：选D　∵a－b与a垂直，
∴(a－b)·a＝0，
∴a·a－a·b＝|a|2－|a|·|b|·cos〈a，b〉＝1－1××cos〈a，b〉＝0，
∴cos〈a，b〉＝.
∵0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉＝45°.
5.
∴a与b所成的角是60°.
6.
解：由题意知
∵PA⊥平面ABCD，
7.
8.
9.
解析：
则|PC|＝||＝＝7.
答案：7
10.
即|MN|＝a.
能力提升综合练
1.
解析：选D　∵a·a＝|a|2，∴＝|a|，故①正确．
m(λa)·b＝(mλa)·b＝mλa·b＝(mλ)a·b，故②正确．
a·(b＋c)＝a·b＋a·c，(b＋c)·a＝b·a＋c·a＝a·b＋a·c＝a·(b＋c)，故③正确．
a2·b＝|a|2·b，b2·a＝|b|2·a，故④不一定正确．
2.
解析：选A　∵a·b＝|a||b|cos〈〉＜0，
∴cos〈〉＜0，
即∠BAC为钝角，
∴△ABC为钝角三角形．
3.
解析：选A　用排除法，因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，故＝0，排除D；因为AD⊥AB，PA⊥AD，又PA∩AB＝A，所以AD⊥平面PAB，所以AD⊥PB，故，排除B，同理＝0，排除C.
4.
解析：选B　如图所示，
，
5.
6.
又△ABC为正三角形，课时达标训练（十八）
[即时达标对点练]
题组1　空间向量的坐标运算
1．已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3，2)，则下列结论正确的是(　　)
A．a＋b＝(10，－5，－6)
B．a－b＝(2，－1，－6)
C．a·b＝10
D．|a|＝6
2．已知A(4，1，3)，B(2，－5，1)，C为线段AB上一点，且＝，则点C的坐标为(　　)
A.
B.
C.
D.
3．已知M1(2，5，－3)，M2(3，－2，－5)，设在线段M1M2上的一点M满足，则向量的坐标为________．
题组2　空间向量的平行与垂直
4．已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是(　　)
A．1
B.　　　
C.　　　
D.
5．以正方体ABCD A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，则与共线的向量的坐标可以是(　　)
A．(1，，)　　
B．(1，1，)
C．(，，)
D．(，，1)
6．如果三点A(1，5，－2)、B(2，4，1)、C(a，3，b＋2)共线，那么a－b＝________．
题组3　夹角与距离的计算
7．已知A(2，－5，1)，B(2，－2，4)，C(1，－4，1)，则向量AB―→与AC―→的夹角为(　　)
A．30°　　　　
B．45°　　　　
C．60°　　　　
D．90°
8．若a＝(x，2，2)，b＝(2，－3，5)的夹角为钝角，则实数x的取值范围是________．
9．空间三点A(1，2，3)，B(2，－1，5)，C(3，2，－5)，试求：
(1)求△ABC的面积；
(2)△ABC的AB边上的高．
[能力提升综合练]
1．已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(7，5，λ)，若a、b、c三向量共面，则实数λ等于(　　)
A.
B.
C.
D.
2．已知A(3，3，3)，B(6，6，6)，O为原点，则的夹角是(　　)
A．0
B．π
C.π
D．2π
3．已知点A(1，－2，11)，B(4，2，3)，C(6，－1，4)，则△ABC的形状是(　　)
A．等腰三角形　　　　　　B．等边三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
4．已知向量a＝(0，－1，1)，b＝(4，1，0)，|λa＋b|＝，且λ＞0，则λ＝________．
5．已知a＝(1－t，1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值是________．
6．如图，已知正三棱柱ABC A1B1C1的各条棱长都相等，P为A1B上的点，，且PC⊥AB.求：
(1)λ的值；
(2)异面直线PC与AC1所成角的余弦值．
7．如图所示，直三棱柱ABC A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M、N分别是AA1、CB1的中点．
(1)求BM、BN的长；
(2)求△BMN的面积．
答
案
即时达标对点练
1.
解析：选D　a＋b＝(10，－5，－2)，a－b＝(－2，1，－6)，a·b＝22，|a|＝6，∴A、B、C错．
2.
解析：选C　由题意知，，设C(x，y，z)，
则2(x－4，y－1，z－3)＝(2－x，－5－y，1－z)，
所以所以
3.
解析：设M(x，y，z)，
则＝(1，－7，－2)，
＝(3－x，－2－y，－5－z)．
∴∴
答案：
4.
解析：选D　由题意得，(ka＋b)·(2a－b)＝(k－1，k，2)·(3，2，－2)＝3(k－1)＋2k－4＝0，所以k＝.
5.
解析：选C　设正方体的棱长为1，
则由图可知D(0，0，0)，B1(1，1，1)，
∴＝(1，1，1)，
∴与共线的向量的坐标可以是(，，)．
6.
解析：∵A、B、C三点共线，
∴，即(1，－1，3)＝λ(a－1，－2，b＋4)＝(λ(a－1)，－2λ，λ(b＋4))．
∴解得λ＝，a＝3，b＝2.
∴a－b＝1.
答案：1
7.
8.
解析：a·b＝2x－2×3＋2×5＝2x＋4，设a，b的夹角为θ，因为θ为钝角，所以cos
θ＝＜0，又|a|＞0，|b|＞0，所以a·b＜0，即2x＋4＜0，所以x＜－2，又a，b不会反向，所以实数x的取值范围是(－∞，－2)．
答案：(－∞，－2)
9.
(2)|
|＝，
设AB边上的高为h，
则|AB|·h＝S△ABC＝3，∴h＝3.
能力提升综合练
1.
解析：选D　∵a、b、c三向量共面，则存在不全为零的实数x，y，使c＝xa＋yb，即(7，5，λ)＝x(2，－1，3)＋y(－1，4，－2)＝(2x－y，－x＋4y，3x－2y)，
所以解得∴λ＝3x－2y＝.
2.
解析：选B　∵＝3×6＋3×6＋3×6＝54，
∴cos〈〉＝＝1，
∵〈〉∈[0，π]，∴〈〉＝0.∴〈〉＝π.
3.
解析：选C　＝(3，4，－8)，＝(5，1，－7)，＝(2，－3，1)，
∴||＝＝，
||＝＝，
||＝＝，
∴||2＋||2＝75＋14＝89＝||2.
∴△ABC为直角三角形．
4.
解析：∵a＝(0，－1，1)，b＝(4，1，0)，
∴λa＋b＝(4，1－λ，λ)．
∵|λa＋b|＝，∴16＋(1－λ)2＋λ2＝29.
∴λ2－λ－6＝0.∴λ＝3或λ＝－2.
∵λ＞0，∴λ＝3.
答案：3
5.
解析：由已知，得
b－a＝(2，t，t)－(1－t，1－t，t)＝(1＋t，2t－1，0)．
∴|b－a|＝＝＝.
∴当t＝时，|b－a|取得最小值.
答案：
6.
解：(1)设正三棱柱的棱长为2，取AC的中点O，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，－1，0)，B(，0，0)，C(0，1，0)，A1(0，－1，2)，B1(，0，2)，C1(0，1，2)，于是＝(，1，0)，
＝(0，－2，2)，＝(，1，－2)．因为PC⊥AB，
所以＝0，也即＝0.
所以异面直线PC与AC1所成角的余弦值是.
7.
解：以C为原点，以CA、CB、CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图)．
则B(0，1，0)，M(1，0，1)，N.
(1)
＝(1，－1，1)，
＝，
∴||＝＝，
||＝＝，
故BM的长为，BN的长为.
(2)S△BMN＝·BM·BN·sin∠MBN，
＝＝，
∴sin∠MBN＝
＝，
故S△BMN＝×××＝.
即△BMN的面积为.模块综合检测
一、选择题
1．命题“ x0∈R，2x0－3>1”的否定是(　　)
A． x0∈R，2x0－3≤1
B． x∈R，2x－3>1
C． x∈R，2x－3≤1
D． x0∈R，2x0－3>1
2．若抛物线的准线方程为x＝1，焦点坐标为(－1，0)，则抛物线的方程是(　　)
A．y2＝2x
B．y2＝－2x
C．y2＝4x
D．y2＝－4x
3．设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．已知直线l1的方向向量a＝(2，4，x)，直线l2的方向向量b＝(2，y，2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y的值是(　　)
A．－3或1
B．3或－1
C．－3
D．1
5．下列说法中正确的是(　　)
A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真
B．“a>b”与“a＋c>b＋c”不等价
C．“a2＋b2＝0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2＋b2≠0”
D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真
6．以椭圆＋＝1的右焦点为圆心，且与双曲线－＝1的渐近线相切的圆的方程是(　　)
A．x2＋y2－10x＋9＝0
B．x2＋y2－10x－9＝0
C．x2＋y2＋10x＋9＝0
D．x2＋y2＋10x－9＝0
7．若命题“ x0∈R，使x＋(a－1)x0＋1<0”是假命题，则实数a的取值范围为(　　)
A．[1，3]
B．[－1，3]
C．[－3，3]
D．[－1，1]
8．下列结论中，正确的为(　　)
①“p且q为真”是“p或q为真”的充分不必要条件；
②“p且q为假”是“p或q为真”的充分不必要条件；
③“p或q为真”是“为假”的必要不充分条件；
④“为真”是“p且q为假”的必要不充分条件．
A．①②　　　
B．①③　　　
C．②④　　　
D．③④
9．双曲线－＝1(mn≠0)的离心率为2，它的一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则mn的值为(　　)
A.
B.
C.
D.
10．若直线y＝2x与双曲线－＝1(a>0，b>0)有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为(　　)
A．(1，)
B．(，＋∞)
C．(1，]
D．[，＋∞)
11．如图，将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，若点P满足的值为(　　)
A.
B．2
C.
D.
12．过M(－2，0)的直线m与椭圆＋y2＝1交于P1、P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为(　　)
A．2
B．－2
C.
D．－
二、填空题
13．双曲线－＝1的焦距是________．
14．命题p：若a，b∈R，则ab＝0是a＝0的充分条件，命题q：函数y＝的定义域是[3，＋∞)，则“p∨q”、“p∧q”、“
”中是真命题的有________．
15．已知A(0，－4)，B(3，2)，抛物线y2＝x上的点到直线AB的最短距离为________．
16．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F1(1，0)，离心率为e.设A，B为椭圆上关于原点对称的两点，AF1的中点为M，BF1的中点为N，原点O在以线段MN为直径的圆上．设直线AB的斜率为k，若0三、解答题
17．已知命题p：方程＋＝1所表示的图形是焦点在y轴上的双曲线；命题q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根，又p∨q为真，綈q为真，求实数m的取值范围．
18．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，且a2＝2b.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线l：x－y＋m＝0与椭圆交于A、B两点，且线段AB的中点在圆x2＋y2＝1上，求m的值．
19．在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，∠ABC＝60°，N是BC的中点．将梯形ABCD绕AB旋转90°，得到梯形ABC′D′(如图)．
(1)求证：AC⊥平面ABC′；
(2)求证：C′N∥平面ADD′；
(3)求二面角A C′N C的余弦值．
20．已知点P是⊙O：x2＋y2＝9上的任意一点，过P作PD垂直x轴于D，动点Q满足
(1)求动点Q的轨迹方程；
(2)已知点E(1，1)，在动点Q的轨迹上是否存在不重合的两点M，N，使
(O是坐标原点)，若存在，求出直线MN的方程，若不存在，请说明理由．
21．如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，MD⊥平面ABCD，NB∥MD，且NB＝1，MD＝2.
(1)求证：AM∥平面BCN；
(2)求AN与平面MNC所成角的正弦值；
(3)E为直线MN上一点，且平面ADE⊥平面MNC，求的值．
22．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F(－c，0)，离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2＋y2＝截得的线段的长为c，|FM|＝.
(1)求直线FM的斜率；
(2)求椭圆的方程；
(3)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围．
答
案
1.
解析：选C　由特称命题的否定的定义即知．
2.
解析：选D　∵抛物线的准线方程为x＝1，焦点坐标为(－1，0)，∴抛物线的开口方向向左且顶点在原点，其中p＝2，∴抛物线的标准方程为y2＝－4x.
3.
解析：选A　先求出两条直线平行的充要条件，再判断．
若直线l1与l2平行，则a(a＋1)－2×1＝0，
即a
＝－2或a＝1，
所以a＝1是直线l1与直线l2平行的充分不必要条件．
4.
解析：选A　由题意，得
解得或∴x＋y＝1或x＋y＝－3.
5.
解析：选D　否命题和逆命题互为逆否命题，有着一致的真假性，故选D.
6.
解析：选A　椭圆右焦点F(5，0)，双曲线渐近线方程为y＝±x，则焦点F到y＝x的距离为4，所以圆的方程为(x－5)2＋y2＝16，即x2＋y2－10x＋9＝0.
7.
解析：选B　根据题意可得 x∈R，
都有x2＋(a－1)x＋1≥0，
∴Δ＝(a－1)2－4≤0，∴－1≤a≤3.
8.
解析：选B　p∧q为真 p真q真 p∨q为真，故①正确，由为假 p为真 p∨q为真，故③正确．
9.
解析：选A　抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，故双曲线－＝1中，
m>0，n>0且m＋n＝c2＝1.①
又双曲线的离心率e＝＝＝2，②
联立方程①②，解得
故mn＝.
10.
解析：选B　双曲线的两条渐近线中斜率为正的渐近线为y＝x.由条件知，应有>2，
故e＝＝＝>.
11.
＝＋＋2－×1×1×＋1××－1××＝.
12.
解析：选D　设直线m：y＝k1(x＋2)，代入＋y2＝1，得：x2＋2k(x＋2)2－2＝0，
整理，得(1＋2k)x2＋8kx＋8k－2＝0，
Δ＝(8k)2－4(1＋2k)(8k－2)>0，解得k<.
设P1P2的中点P(x0，y0)，则x0＝＝，
y0＝k1(x0＋2)＝.
∴k2＝－.∴k1k2＝－.
13.
解析：依题意a2＝m2＋12，b2＝4－m2，所以c2＝a2＋b2＝16，c＝4，2c＝8.
答案：8
14.
解析：依题意可知p假，q真，所以“p∨q”为真，“p∧q”为假，“”为真．
答案：p∨q，
15.
解析：直线AB为2x－y－4＝0，设抛物线y2＝x上的点P(t，t2)，d＝＝＝≥＝.
答案：
16.
解析：设A(m，n)，则B(－m，－n)，k＝，
因为原点O在以线段MN为直径的圆上，
所以OM⊥ON，
又因为M为AF1的中点，
所以OM∥BF1，
同理ON∥AF1，
所以OMF1N是矩形，即AF1⊥BF1，
所以(1－m)(1＋m)－n2＝0，
即m2＋n2＝1.
又＋＝1，
于是有＋＝m2＋n2，
从而＝＝k2≤3，
即＋≥4，
将b2＝a2－1代入，
并整理得4a4－8a2＋1≤0，
解得≤a2≤.
又a>c＝1，
所以4－2≤<1，
即－1≤e<1.
答案：[－1，1)
17.
解：因为方程＋＝1表示焦点在y轴上的双曲线，
所以即m>2.
故命题p：m>2；
因为方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根，
所以Δ＝[4(m－2)]2－4×4×1<0，
即m2－4m＋3<0，
所以1因为p∨q为真，为真，所以p真q假．
即此时m≥3.
综上所述，实数m的取值范围为{m|m≥3}．
18.
解：(1)由题意得　解得
故椭圆的方程为x2＋＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)．
联立直线与椭圆的方程得
即3x2＋2mx＋m2－2＝0，
Δ＝(2m)2－12(m2－2)＞0，－＜m＜，
所以x0＝＝－，y0＝x0＋m＝，
即M，又因为M点在圆x2＋y2＝5上，
所以＋＝1，解得m＝±.
19.
解：(1)证明：因为AD＝BC，N是BC的中点，
所以AD＝NC，又AD∥BC，
所以四边形ANCD是平行四边形，所以AN＝DC，又因为四边形ABCD是等腰梯形，
∠ABC＝60°，
所以AB＝BN＝AN，所以NC＝AN，所以四边形ANCD是菱形，所以∠ACB＝∠DCB＝30°，所以∠BAC＝90°，即AC⊥AB.
由已知可知平面C′BA⊥平面ABC，因为平面C′BA∩平面ABC＝AB，所以AC⊥平面ABC′.
(2)证明：因为AD∥BC，AD′∥BC′，AD∩AD′＝A，
BC∩BC′＝B，所以平面ADD′∥平面BCC′，
又因为C′N 平面BCC′，所以C′N∥平面ADD′.
(3)连接BD交AN于点O.由(1)知AC⊥平面ABC′，同理，AC′⊥平面ABC.建立如图所示的空间直角坐标系，
设AB＝1，则B(1，0，0)，C(0，，0)，C′(0，0，)，N，
设平面C′NC的法向量为n＝(x，y，z)，
得平面C′NC的一个法向量为n＝(，1，1)，
因为AC′⊥平面ABC，所以平面C′AN⊥平面ABC，
又易知BD⊥AN，而平面C′AN∩平面ABC＝AN，所以BD⊥平面C′AN.
因为BD与AN交于点O，则O为AN的中点，O，
所以平面C′AN的一个法向量为＝，
又由图形知二面角A C′N C为钝角，所以二面角A C′N C的余弦值为－.
20.
解：(1)设P(x0，y0)，Q(x，y)，依题意，得点D的坐标为D(x0，0)，＝(x－x0，y)，＝(0，y0)，
∴即
∵点P在⊙O上，故x＋y＝9，
∴＋＝1，∴动点Q的轨迹方程为＋＝1.
(2)假设椭圆＋＝1上存在不重合的两点M(x1，y1)，N(x2，y2)满足，则E(1，1)是线段MN的中点，且有即
又M(x1，y1)，N(x2，y2)在椭圆＋＝1上，
∴两式相减，得
＋＝0，
∴kMN＝＝－，
∴直线MN的方程为4x＋9y－13＝0，
∴椭圆上存在点M，N满足，此时直线MN的方程为4x＋9y－13＝0.
21.
解：因为NB∥MD，MD⊥平面ABCD，
所以NB⊥平面ABCD，
因为ABCD为正方形，
所以分别以DA，DC，DM所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，M(0，0，2)，N(2，2，1)．
(2)设平面MNC的法向量为n＝(x，y，z)，
故AN与平面MNC所成角的正弦值为.
所以m＝，
由(2)知，平面MNC的法向量n＝(1，－2，－2)，
所以m·n＝0，所以－2·－2＝0，所以λ＝，
所以|ME|＝2，|MN|＝3，所以＝.
22.
解：(1)由已知有＝，又由a2＝b2＋c2，可得a2＝3c2，b2＝2c2.设直线FM的斜率为k(k>0)，则直线FM的方程为y＝k(x＋c)．
由已知，有＋＝，解得k＝.
(2)由(1)得椭圆方程为＋＝1，直线FM的方程为y＝(x＋c)，两个方程联立，消去y，整理得3x2＋2cx－5c2＝0，解得x＝－c或x＝c.
因为点M在第一象限，可得M的坐标为.
由|FM|＝＝，解得c＝1，
所以椭圆的方程为＋＝1.
(3)设点P的坐标为(x，y)，直线FP的斜率为t，
得t＝，即y＝t(x＋1)(x≠－1)，与椭圆方程联立得消去y，整理得2x2＋3t2(x＋1)2＝6.
又由已知，得t＝>，
解得－设直线OP的斜率为m，得m＝，即y＝mx(x≠0)，
与椭圆方程联立，整理可得m2＝－.
①当x∈时，有y＝t(x＋1)＜0，
因此m>0，于是m＝，得m∈.
②当x∈(－1，0)时，有y＝t(x＋1)>0，因此m<0，
于是m＝－，得m∈.
综上，直线OP的斜率的取值范围是
∪.阶段质量检测（一）
一、选择题
1．“1A．充分不必要条件　　　　B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．命题“ x∈R，x2≠x”的否定是(　　)
A． x∈R，x2≠x
B． x∈R，x2＝x
C． x R，x2≠x
D． x∈R，x2＝x
3．已知命题p： n∈N，2n>1
000，则为(　　)
A． n∈N，2n≤1
000
B． n∈N，2n>1
000
C． n∈N，2n≤1
000
D． n∈N，2n<1
000
4．已知命题①若a>b，则<，②若－2≤x≤0，则(x＋2)(x－3)≤0，则下列说法正确的是(　　)
A．①的逆命题为真
B．②的逆命题为真
C．①的逆否命题为真
D．②的逆否命题为真
5．“sin
α＝cos
α”是“cos
2α＝0”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．已知命题p：若实数x，y满足x3＋y3＝0，则x，y互为相反数；命题q：若a>b>0，则<.下列命题p∧q，p∨q，，中，真命题的个数是(　　)
A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4
7．“a<0”是“方程ax2＋1＝0至少有一个负根”的(　　)
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
8．下列结论不正确的是(　　)
A．命题“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”的逆否命题是“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”
B．若命题p： x∈R，x2＋x＋1≠0，则： x0∈R，x＋x0＋1＝0
C．若p∨q为真命题，则p，q均为真命题
D．“x>2”是“x2－3x＋2>0”的充分不必要条件
9．已知命题p：若不等式x2＋x＋m>0恒成立，则m>；命题q：在△ABC中，A>B是sin
A>sin
B的充要条件，则(　　)
A．p假q真
B．“p且q”为真
C．“p或q”为假
D．假真
10．f(x)，g(x)是定义在R上的函数，h(x)＝f(x)＋g(x)，“f(x)，g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的(　　)
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
11．下列命题中不正确的是(　　)
A． a，b∈R，an＝an＋b，有{an}是等差数列
B． a，b∈R，an＝an2＋bn，使{an}是等差数列
C． a，b，c∈R，Sn＝an2＋bn＋c，有{an}是等差数列
D． a，b，c∈R，Sn＝an2＋bn＋c，使{an}是等差数列
12．有下列命题：①“若x＋y>0，则x>0且y>0”的否命题；②“矩形的对角线相等”的否命题；③“若m≥1，则mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集是R”的逆命题；④“若a＋7是无理数，则a是无理数”的逆否命题．其中正确的是(　　)
A．①②③
B．②③④
C．①③④
D．①④
二、填空题
13．命题“若A l，则B∈m”的逆否命题是________．
14．已知p：x2＋2x－3>0，q：x∈N.若“p∧q”“
”都是假命题，则x的值组成的集合为________．
15．已知命题p： m∈R，m＋1<0，命题q： x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立，若p∧q为假命题，则实数m的取值范围是________．
16．给出下列四个命题：①若“p且q”为假命题，则p，q均为假命题；②命题“若a>b，则2a>2b－1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b－1”；③“任意x∈R，x2＋1≥0”的否定是“存在x∈R，x2＋1<0”；④在△ABC中，“A>B”是“sin
A>sin
B”的充要条件．其中正确的命题是________．(填序号)
三、解答题
17．π为圆周率，a，b，c，d∈Q，已知命题p：若aπ＋b＝cπ＋d，则a＝c且b＝d.
(1)写出并判断真假；
(2)写出p的逆命题、否命题、逆否命题并判断真假．
18．写出下列命题的否定，并判断其真假，同时说明理由．
(1)q：所有等边三角形都是等腰三角形；
(2)r： x0∈R，x＋2x0＋2≤0；
(3)s：至少有一个实数x0，使3x0－1＝0.
19．给定两个命题，P：对于任意实数x都有ax2＋ax＋1>0恒成立；Q：关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根；如果P与Q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．
20．解答下列问题：
(1)是否存在实数m，使得2x＋m<0是x2－2x－3>0的充分条件？
(2)是否存在实数m，使得2x＋m<0是x2－2x－3>0的必要条件？
21．已知c>0，设命题p：y＝cx为减函数，命题q：函数f(x)＝x＋>在x∈上恒成立．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求c的取值范围．
22．已知命题：“ x∈{x|－1≤x≤1}，都有不等式x2－x－m<0成立”是真命题．
(1)求实数m的取值集合B；
(2)设不等式(x－3a)(x－a－2)<0的解集为A，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
答
案
1.
解析：选A　“12.
解析：选D　全称命题的否定为特称命题，原命题的否定为 x∈R，x2＝x，故选D.
3.
解析：选A　特称命题的否定为全称命题，即 n∈N，2n≤1
000.故选A.
4.
解析：选D　①的逆命题为若<，则a>b，若a＝－2，b＝3，则不成立．故A错；②的逆命题为若(x＋2)(x－3)≤0，则－2≤x≤0是假命题，故B错；①为假命题，其逆否命题也为假命题，故C错；②为真命题，其逆否命题也为真命题，D正确．
5.
解析：选A　cos
2α＝0等价于cos2α－sin2α＝0，即cos
α＝±sin
α.由cos
α＝sin
α可得到cos
2α＝0，反之不成立，故选A.
6.
解析：选B　易知命题p，q都是真命题，则p∧q，p∨q都是真命题，，是假命题．
7.
解析：选C　方程ax2＋1＝0至少有一个负根等价于x2＝－有实根，故a<0，故选C.
8.
解析：选C　选项C中，p∨q为真，则p，q中至少一个为真．
9.
解析：选B　易判断出命题p为真命题，命题q为真命题，所以为假，为假．结合各选项知B正确．
10.
解析：选B　若f(x)，g(x)均为偶函数，则h(－x)＝f(－x)＋g(－x)＝f(x)＋g(x)＝h(x)，所以h(x)为偶函数．若h(x)为偶函数，则f(x)，g(x)不一定均为偶函数．可举反例说明，如f(x)＝x，g(x)＝x2－x＋2，则h(x)＝f(x)＋g(x)＝x2＋2为偶函数．
11.
解析：选C　显然A、B两项正确，当c≠0时，若Sn＝an2＋bn＋c，则{an}不是等差数列；当c＝0时，若Sn＝an2＋bn＋c，则{an}是等差数列，因此C项错误，D正确．
12.
解析：选D　①的逆命题为“若x>0且y>0，则x＋y>0”为真，故否命题为真；
②的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”，为假；
③的逆命题为“若mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集为R，则m≥1”．
∵当m＝0时，解集不是R，
∴应有即m>1.∴③是假命题；
④原命题为真，逆否命题也为真．
13.
解析：逆否命题既否定其条件又否定其结论，然后交换其顺序．
答案：若B m，则A∈l
14.
解析：因为“p∧q”为假，“”为假，
所以q为真，p为假．
故即
因此x的值可以是0，1.
答案：{0，1}
15.
解析：因为p∧q为假命题，所以p，q中至少有一个为假命题．而命题p： m∈R，m＋1<0为真命题；所以命题q： x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立必定为假命题，所以Δ＝m2－4×1≥0，解得m≤－2或m≥2.
又命题p： m∈R，m＋1＜0为真命题，所以m<－1.
故综上可知m≤－2.
答案：(－∞，－2]
16.
解析：“p且q”为假命题，则p和q至少有一个是假命题，故①错；由否命题和全称命题的否定可知②③都正确；利用正弦定理可以证明在△ABC中，“A>B”是“sin
A>sin
B”的充要条件是正确的．
答案：②③④
17.
解：(1)
：“若aπ＋b＝cπ＋d，则a≠c或b≠d”．
因为a，b，c，d∈Q，又aπ＋b＝cπ＋d，
所以π(a－c)＝d－b∈Q，
则a＝c且b＝d.
故p是真命题，所以是假命题．
(2)逆命题：“若a＝c且b＝d，则aπ＋b＝cπ＋d”．真命题．
否命题：“若aπ＋b≠cπ＋d，则a≠c或b≠d”．真命题．
逆否命题：“若a≠c或b≠d，则aπ＋b≠cπ＋d”．真命题．
18.
解：(1)
：至少存在一个等边三角形不是等腰三角形，假命题．这是由于原命题是真命题．
(2)
： x∈R，x2＋2x＋2>0，真命题．
这是由于 x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1>0成立．
(3)
： x∈R，3x－1≠0，假命题．
这是由于x＝0时，3x－1＝0.
19.
解：对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0恒成立 a＝0或 0≤a<4.
关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根 1－4a≥0 a≤.
如果P正确，Q不正确，有0≤a<4，且a>，
所以如果Q正确，P不正确，有a<0或a≥4，且a≤，
所以a<0.
所以实数a的取值范围为(－∞，0)∪.
20.
解：(1)欲使得2x＋m<0是x2－2x－3>0的充分条件，则只要 {x|x<－1或x>3}，则只要－≤－1，即m≥2，故存在实数m∈[2，＋∞)使得2x＋m<0是x2－2x－3>0的充分条件．
(2)欲使得2x＋m<0是x2－2x－3>0的必要条件，则只要 {x|x<－1或x>3}，而这是不可能的，故不存在实数m，使得2x＋m<0是x2－2x－3>0的必要条件．
21.
解：由p∨q真，p∧q假，知p与q为一真一假，对p，q进行分类讨论即可．
若p真，由y＝cx为减函数，得0.
若p真q假，则0若p假q真，则c≥1，c>，所以c≥1.
综上可得，c∈∪[1，＋∞)．
22.
解：(1)命题：“ x∈{x|－1≤x≤1}，都有不等式x2－x－m<0成立”是真命题，得x2－x－m<0在－1≤x≤1时恒成立，
∴m>(x2－x)max，得m>2，即B＝{m|m>2}．
(2)不等式(x－3a)(x－a－2)<0，
①当3a>2＋a，即a>1时，解集A＝{x|2＋a若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则AB，
∴2＋a≥2，此时a∈(1，＋∞)；
②当3a＝2＋a，即a＝1时，解集A＝ ，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则AB成立；
③当3a<2＋a，即a<1时，解集A＝{x|3a∴3a≥2，此时a∈.
综上①②③可得a∈.[即时达标对点练]
题组1　充分、必要条件的判断
1．“数列{an}为等比数列”是“an＝3n(n∈N
)”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．“实数a＝0”是“直线x－2ay＝1和2x－2ay＝1平行”的　　(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．“sin
A＝”是“A＝”的__________条件．
题组2　充要条件的证明
5．函数y＝(2－a)x(a
<2且a≠1)是增函数的充要条件是　　(　　)
A．1<
a
<2　　　　　
B.<
a
<2
C．a
<1
D．a
<0
6．求证：一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数的充要条件是b＝0.
题组3　利用充分、必要条件求参数的范围
7．一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是(　　)
A．a
<0
B．a
>0
C．a
<－1
D．a
<1
8．在平面直角坐标系xOy中，直线x＋(m＋1)y＝2－m与直线mx＋2y＝－8互相垂直的充要条件是m＝________．
9．已知M＝{x|(x－a)2<1}，N＝{x|
x
2－5
x－24<0}，若N是M的必要条件，求a的取值范围．
[能力提升综合练]
1．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么(　　)
A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C．丙是甲的充要条件
D．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
2．设0x<1
”的(　　)
A．充分不必要条件　　　
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．平面α∥平面β的一个充分条件是(　　)
A．存在一条直线a，a∥α，a∥β
B．存在一条直线a，a α，a∥β
C．存在两条平行直线a、b，a α，b
β，a∥β，b∥α
D．存在两条异面直线a、b，a α，b
β，a∥β，b∥α
4．设{an}是等比数列，则“a1A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．不等式(a＋x)(1＋x)<0成立的一个充分不必要条件是－2<
x
<－1，则a的取值范围是________．
6．下列命题：
①“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充要条件；
②b2－4ac<0是一元二次不等式a
x
2＋b
x＋c<0解集为R的充要条件；
③“a＝2”是“直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1”的充分不必要条件；
④“xy＝1”是“lg
x＋lg
y＝0
”的必要不充分条件．
其中真命题的序号为________．
7．已知方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件．
8．已知条件p：|x－1|>a和条件q：2x2－3x＋1>0，求使p是q的充分不必要条件的最小正整数a.
答
案
即时达标对点练
1.
解析：选B　当an＝3n时，{an}一定为等比数列，但当{an}为等比数列时，不一定有an＝3n，故应为必要不充分条件．
2.
解析：选A　由a＋b＝0可知a，b是相反向量，它们一定平行；但当a∥b时，不一定有a＋b＝0，故应为充分不必要条件．
3.
解析：选C　当a＝0时，两直线方程分别为x＝1和2x＝1，显然两直线平行；反之，若两直线平行，必有1×(－2a)＝(－2a)×2，解得a＝0，故应为充要条件．
4.
解析：由sin
A＝不一定能推得A＝，例如A＝等；但由A＝一定可推得sin
A＝，所以“sin
A＝”是“A＝”的必要不充分条件．
答案：必要不充分
5.
解析：选C　由指数函数性质得，当y＝(2－a)x(a
<2且a≠1)是增函数时，2－a
>1，解得a
<1.故选C.
6.
证明：①充分性：如果b＝0，那么f(x)＝kx，
因为f(－x)＝k(－x)＝－kx，
即f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数．
②必要性：因为f(x)＝kx＋b
(k≠0)是奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)对任意x均成立，
即k(－x)＋b＝－kx＋b，
所以b＝0.
综上，一次函数f(x)＝kx＋b
(k≠0)是奇函数的充要条件是b＝0.
7.
解析：选C　∵一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一正根和一负根．
由于{a|a<－1}?{a|a<0}，故选C.
8.
解析：x＋(m＋1)y＝2－m与mx＋2y＝－8互相垂直 1·m＋(m＋1)·2＝0 m＝－.
答案：－
9.
解：由(x－a)2<1，得a－1由x
2－5
x－24<0，得－3∵N是M的必要条件，
∴M
N.
故a的取值范围为[－2，7]．
能力提升综合练
1.
解析：选A　因为甲是乙的必要条件，所以乙 甲．
又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙 乙，但乙丙，
如图．
综上，有丙 甲，但甲丙，
即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．
2.
解析：选B　因为0<
x<，所以0x<1.由x·sin
x<1知xsin2x
x<1，因此必要性成立．由xsin2x
<1得xsin
x
<
，而>1，因此充分性不成立．
3.
解析：选D　当满足A、B、C三个选项中的任意一个选项的条件时，都有可能推出平面α与β相交，而得不出α∥β，它们均不能成为α∥β的充分条件．只有D符合．
4.
解析：选C　{
an
}为等比数列，an＝a1·qn－1，由a1q
q
2，即a1>0，q>1或a1<0，0<
q
<1，则数列{
an
}为递增数列．反之也成立．
5.
解析：根据充分条件，必要条件与集合间的包含关系，应有(－2，－1)?{
x
|(
a＋x)(1＋x)<0}，故有a>2.
答案：(2，＋∞)
6.
解析：①x>2且y>3时，x＋y>5成立，反之不一定，如x＝0，y＝6.所以“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充分不必要条件；
②不等式解集为R的充要条件是a<0且b2－4ac<0，故②为假命题；
③当a＝2时，两直线平行，反之，若两直线平行，则＝，∴a＝2.因此，“a＝2”是“两直线平行”的充要条件；
④lg
x＋lg
y＝lg(xy)＝0，
∴xy＝1且x>0，y>0.
所以“lg
x＋lg
y＝0”成立，xy＝1必然成立，反之不然．
因此“xy＝1”是“lg
x＋lg
y＝0”的必要不充分条件．
综上可知，真命题是④.
答案：④
7.
解：令f(x)＝x2＋(2k－1)x＋k2，则方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有两个大于1的实数根
k<－2.
因此k<－2是使方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有两个大于1的实数根的充要条件．
8.
解：依题意a>0.由条件p：|x－1|>a，
得x－1<－a或x－1>a，
∴x<1－a或x>1＋a.
由条件q：2x2－3x＋1>0，得x<或x>1.
要使p是q的充分不必要条件，即“若p，则q”为真命题，逆命题为假命题，应有或
解得a≥.令a＝1，则p：x<0或x>2，
此时必有x<或x>1.
即p q，反之不成立．
∴最小正整数a＝1.课时达标训练（五）
[即时达标对点练]
题组1　全称命题、特称命题及其真假判断
1．下列四个命题中，既是全称命题又是真命题的是(　　)
A．斜三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个实数x，使x2>0
C．任意无理数的平方必是无理数
D．存在一个负数x，使>2
2．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是(　　)
A．锐角三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数x，使>2
3．有下列四个命题：① x∈R，2x2－3x＋4>0；② x∈{1，－1，0}，2x＋1>0；③ x0∈N，使x≤x0；④ x0∈N
，使x0为29的约数．其中真命题的个数为(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
题组2　全称命题、特称命题的否定
4．命题“ x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是(　　)
A． x∈(－∞，0)，x3＋x<0
B． x∈(－∞，0)，x3＋x≥0
C． x0∈[0，＋∞)，x＋x0<0
D． x0∈[0，＋∞)，x＋x0≥0
5．命题“ x∈Z，使x2＋2x＋m≤0”的否定是(　　)
A． x∈Z，使x2＋2x＋m>0
B．不存在x∈Z，使x2＋2x＋m>0
C． x∈Z，使x2＋2x＋m≤0
D． x∈Z，使x2＋2x＋m>0
6．命题p：“有些三角形是等腰三角形”，则是(　　)
A．有些三角形不是等腰三角形
B．所有三角形是等边三角形
C．所有三角形不是等腰三角形
D．所有三角形是等腰三角形
7．命题“ x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是________________________________．
题组3　全称命题、特称命题的应用
8．已知命题“ x0∈R，2x＋(a－1)x0＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围是________．
9．已知p： x∈R，2x>m(x2＋1)，q： x0∈R，x＋2x0－m－1＝0，且p∧q为真，求实数m的取值范围．
[能力提升综合练]
1．已知命题p： x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0，则是(　　)
A． x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0
B． x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0
C． x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0
D． x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0
2．下列四个命题中的真命题为(　　)
A．若sin
A＝sin
B，则A＝B
B． x∈R，都有x2＋1>0
C．若lg
x2＝0，则x＝1
D． x0∈Z，使1<4x0<3
3．已知命题p： x∈R，2x2＋2x＋<0；命题q： x0∈R，sin
x0－cos
x0＝.则下列判断正确的是(　　)
A．p是真命题
B．q是假命题
C．是假命题
D．是假命题
4．已知命题p： b∈[0，＋∞)，f(x)＝x2＋bx＋c在[0，＋∞)上为增函数，命题q： x0∈Z，使log2x0>0，则下列结论成立的是(　　)
5．命题p： x0∈R，x＋2x0＋5<0是________(填“全称命题”或“特称命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)，它的否定为：________．
6．已知a>0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列四个命题中假命题的序号是________．
① x∈R，f(x)≤f(x0)；
② x∈R，f(x)≥f(x0)；
③ x∈R，f(x)≤f(x0)；
④ x∈R，f(x)≥f(x0)．
7．已知p：存在实数x，使4x＋2x·m＋1＝0成立，若是假命题，求实数m的取值范围．
8．已知p：“ x∈[1，2]，x2－a≥0”，q：“ x0∈R，使x＋2ax0＋2－a＝0”．若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．
答
案
即时达标对点练
1.
解析：选A　只有A，C两个选项中的命题是全称命题；且A显然为真命题．因为是无理数，而()2＝2不是无理数，所以C为假命题．
2.
解析：选B　A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；B中x＝0时，x2＝0，所以B既是特称命题又是真命题；C中因为＋(－)＝0，所以C是假命题；D中对于任一个负数x，都有＜0，所以D是假命题．
3.
解析：选C　对于①，这是全称命题，由于Δ＝(－3)2－4×2×4<0，所以2x2－3x＋4>0恒成立，故①为真命题；
对于②，这是全称命题，由于当x＝－1时，2x＋1>0不成立，故②为假命题；
对于③，这是特称命题，当x0＝0或x0＝1时，有x≤x0成立，故③为真命题；
对于④，这是特称命题，当x0＝1时，x0为29的约数成立，所以④为真命题．
4.
解析：选C　全称命题： x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0的否定是特称命题： x0∈[0，＋∞)，x＋x0<0.
5.
解析：选D　特称命题的否定为全称命题，否定结论．故选D.
6.
解析：选C　在写命题的否定时，一是更换量词，二是否定结论．更换量词：“有些”改为“所有”，否定结论：“是等腰三角形”改为“不是等腰三角形”，故为“所有三角形不是等腰三角形”．故选C.
7.
解析：“ x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定为“ x∈R，使得x2＋2x＋5≠0”．
答案： x∈R，使得x2＋2x＋5≠0
8.
解析：由题意可得“对 x∈R，2x2＋(a－1)x＋>0恒成立”是真命题，令Δ＝(a－1)2－4<0，得－1答案：(－1，3)
9.
解：由命题p为真可知2x>m(x2＋1)恒成立，
即mx2－2x＋m<0恒成立，
所以解得m<－1.
由命题q为真可得
Δ＝4－4(－m－1)≥0，
解得m≥－2，
因为p∧q为真，
所以p真且q真，
所以由得－2≤m<－1，
所以实数m的取值范围是[－2，－1)．
能力提升综合练
1.
解析：选C　命题p的否定为“ x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0”．
2.
解析：选B　A中，若sin
A＝sin
B，不一定有A＝B，故A为假命题，B显然是真命题；C中，若lg
x2＝0，则x2＝1，解得x＝±1，故C为假命题；D中，解1<4x<3得3.
解析：选D　p：2x2＋2x＋＝2＝2≥0，
∴p为假命题，为真命题．
q：sin
x0－cos
x0＝sin＝，
∴x0＝π时成立．
故q为真，而为假命题．
4.
解析：选D　f(x)＝x2＋bx＋c
＝＋c－，
对称轴为x＝－≤0，
所以f(x)在[0，＋∞)上为增函数，命题p是真命题．令x0＝4∈Z，则log2x0＝2>0，所以命题q是真命题，为假命题，p∨()为真命题．故选D.
5.
解析：命题p： x0∈R，x＋2x0＋5<0是特称命题．因为x2＋2x＋5＝(x＋1)2＋4>0恒成立，
所以命题p为假命题，
命题p的否定为： x∈R，x2＋2x＋5≥0.
答案：特称命题　假　 x∈R，x2＋2x＋5≥0
6.
解析：由题意：x0＝－为函数f(x)图象的对称轴方程，所以f(x0)为函数的最小值，即对所有的实数x，都有f(x)≥f(x0)，因此 x∈R，f(x)≤f(x0)是错误的．
答案：③
7.
解：∵为假命题，∴p为真命题．
即关于x的方程4x＋2x·m＋1＝0有解．
由4x＋2x·m＋1＝0，
得m＝－2x－＝－≤－2.
即m的取值范围为(－∞，－2]．
8.
解：p为真时，x2－a≥0，
即a≤x2.
∵x∈
[1，2]时，上式恒成立，而x2∈[1，4]，∴a≤1.
q为真时，Δ＝(2a)2－4(2－a)≥0，
即a≥1或a≤－2.
∵p且q为真命题，∴p，q均为真命题．
∴a＝1或a≤－2.
即实数a的取值范围是{a|a＝1或a≤－2}.课时达标训练（十二）
[即时达标对点练]
题组1　由抛物线方程求焦点坐标和准线方程
1．对抛物线y＝4x2，下列描述正确的是(　　)
A．开口向上，焦点为(0，1)
B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为(1，0)
D．开口向右，焦点为
2．抛物线y＝－的准线方程是(　　)
A．x＝
B．y＝2
C．x＝
D．y＝4
3．抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点到其准线的距离是(　　)
A.
B.
C．|a|
D．－
题组2　求抛物线的标准方程
4．焦点是F(0，5)的抛物线的标准方程是(　　)
A．y2＝20x
B．x2＝20y
C．y2＝x
D．x2＝y
5．顶点在原点，且过点(－4，4)的抛物线的标准方程是(　　)
A．y2＝－4x
B．x2＝4y
C．y2＝－4x或x2＝4y
D．y2＝4x或x2＝－4y
题组3　抛物线定义的应用
6．设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则C的圆心轨迹为(　　)
A．抛物线
B．双曲线
C．椭圆
D．圆
7．若抛物线y2＝8x上一点P到其焦点F的距离为9，则点P的坐标为(　　)
A．(7，±)
B．(14，±)
C．(7，±2)
D．(－7，±2)
8．若点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到直线3x－4y＋＝0的距离与P到该抛物线的准线的距离之和的最小值．
题组4　抛物线方程的实际应用
9．某抛物线拱桥跨度是20米，拱桥高度是4米，在建桥时，每4米需用一根支柱支撑，求其中最长支柱的长．
10．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少有0.5米．
(1)以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程；
(2)若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米(精确到0.1米)
[能力提升综合练]
1．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为(　　)
A.　　　　
B．1
C．2　　　　
D．4
2．抛物线y＝12x2上的点到焦点的距离的最小值为(　　)
A．3
B．6
C.
D.
3．动点到点(3，0)的距离比它到直线
x＝－2的距离大1，则动点的轨迹是(　　)
A．椭圆
B．双曲线
C．双曲线的一支
D．抛物线
4．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为(　　)
A.
B．1
C.
D.
5．已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(1，m)到其焦点的距离为5，双曲线x2－＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，则实数a＝________．
6．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝________．
7．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程．
8．已知圆C的方程x2＋y2－10x＝0，求与y轴相切且与圆C外切的动圆圆心P的轨迹方程．
答
案
即时达标对点练
1.
解析：选B　由y＝4x2，得x2＝y，故抛物线开口向上，且焦点坐标为.
2.
解析：选B　由y＝－，得x2＝－8y，故抛物线开口向下，其准线方程为y＝2.
3.
解析：选B　∵2p＝|a|，∴p＝.∴焦点到准线的距离是.
4.
解析：选B　由5＝得p＝10，且焦点在y轴正半轴上，故方程形式为x2＝2py，所以x2＝20y.
5.
解析：选C　设抛物线方程为y2＝－2p1x或x2＝2p2y，把(－4，4)代入得16＝8p1或16＝8p2，即p1＝2或p2＝2.
故抛物线的标准方程为y2＝－4x或x2＝4y.
6.
解析：选A　由题意知，圆C的圆心到点(0，3)的距离比到直线
y＝0的距离大1，即圆C的圆心到点(0，3)的距离与到直线y＝－1的距离相等，根据抛物线的定义可知，所求轨迹是一条抛物线．
7.
解析：选C　由y2＝8x，得抛物线的准线方程为x＝－2，因P点到焦点的距离为9，故P点的横坐标为7.由y2＝8×7，得y＝±2，即P(7，±2)．
8.
解：如图．
|PA|＋|PQ|＝|PA|＋|PF|≥|AF|min.
AF的最小值为F到直线3x－4y＋＝0的距离．
d＝＝1.
9.
解：如图，建立直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)．
依题意知，点P(10，－4)在抛物线上，
所以100＝－2p×(－4)，
2p＝25.
即抛物线方程为x2＝－25y.
因为每4米需用一根支柱支撑，
所以支柱横坐标分别为－6，－2，2，6.
由图知，AB是最长的支柱之一，
设点B的坐标为(2，yB)，
代入x2＝－25y，得yB＝－.
所以|AB|＝4－＝3.84(米)，
即最长支柱的长为3.84米．
10.
解：如图所示，
(1)依题意，设该抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，
因为点C(5，－5)在抛物线上，
所以该抛物线的方程为x2＝－5y.
(2)设车辆高h，则|DB|＝h＋0.5，
故D(3.5，h－6.5)，
代入方程x2＝－5y，解得h＝4.05，
所以车辆通过隧道的限制高度为4.0米．
能力提升综合练
1.
解析：选C　∵抛物线y2＝2px的准线x＝－与圆(x－3)2＋y2＝16相切，∴－＝－1，即p＝2.
2.
解析：选C　将方程化为标准形式是x2＝y，因为2p＝，所以p＝.故到焦点的距离最小值为.
3.
解析：选D　已知条件可等价于“动点到点(3，0)的距离等于它到直线x＝－3的距离”，由抛物线的定义可判断，动点的轨迹为抛物线，故选D.
4.
解析：选C　∵|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋＝3，
∴xA＋xB＝.
∴线段AB的中点到y轴的距离为＝.
5.
解析：根据抛物线的定义得1＋＝5，解得p＝8.不妨取M(1，4)，则AM的斜率为2，由已知得－×2＝－1，故a＝.
答案：
6.
解析：如图所示，直线AF的方程为y＝－(x－2)，与准线方程x＝－2联立得A(－2，4)．
设P(x0，4)，代入抛物线y2＝8x，得8x0＝48，∴x0＝6，
∴|PF|＝x0＋2＝8.
答案：8
7.
解：法一：如图所示，设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，则焦点F，准线l：y＝，作MN⊥l，垂足为N，则|MN|＝|MF|＝5，而|MN|＝3＋＝5，即p＝4.
所以抛物线方程为x2＝－8y，准线方程为y＝2.
由m2＝－8×(－3)＝24，得m＝±2.
法二：设所求抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则焦点为F.
∵M(m，－3)在抛物线上，且|MF|＝5，
故
解得
∴抛物线方程为x2＝－8y，m＝±2，准线方程为y＝2.
8.
解：设P点坐标为(x，y)，动圆的半径为R，
∵动圆P与y轴相切，
∴R＝|x|.
∵动圆与定圆C：(x－5)2＋y2＝25外切，
∴|PC|＝R＋5.
即|PC|＝|x|＋5.
当点P在y轴右侧时，即x>0，
则|PC|＝x＋5，
故点P的轨迹是以(5，0)为焦点的抛物线，
则圆心P的轨迹方程为y2＝20x(x>0)；
当点P在y轴左侧时，即x<0，
则|PC|＝－x＋5，
此时点P的轨迹是x轴的负半轴，即方程y＝0(x<0)．
故点P的轨迹方程为y2＝20x(x>0)或y＝0(x<0)．课时达标训练（十三）
[即时达标对点练]
题组1　抛物线的几何性质
1．设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是(　　)
A．(6，＋∞)
B．[6，＋∞)
C．(3，＋∞)
D．[3，＋∞)
2．已知抛物线的对称轴为x轴，顶点在原点，焦点在直线2x－4y＋11＝0上，则此抛物线的方程是(　　)
A．y2＝－11x
B．y2＝11x
C．y2＝－22x
D．y2＝22x
题组2　抛物线的焦点弦问题
3．过抛物线y2＝8x的焦点作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为(　　)
A．8
B．16
C．32
D．64
4．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点作一直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则kOA·kOB的值为(　　)
A．4
B．－4
C．p2
D．－p2
5．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则|AB|＝________．
6．线段AB是抛物线y2＝x的一条焦点弦，且|AB|＝4，则线段AB的中点C到直线x＋＝0的距离为________．
题组3　直线与抛物线的位置关系
7．已知直线y＝kx－k及抛物线y2＝2px(p>0)，则(　　)
A．直线与抛物线有一个公共点
B．直线与抛物线有两个公共点
C．直线与抛物线有一个或两个公共点
D．直线与抛物线可能没有公共点
8．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是(　　)
A.
B．[－2，2]
C．[－1，1]
D．[－4，4]
9．在抛物线y2＝2x上求一点P.使P到直线x－y＋3＝0的距离最短，并求出距离的最小值．
10．如图所示，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，求此抛物线的方程．
[能力提升综合练]
1．设AB为过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦，则|AB|的最小值为(　　)
A.　　　　
B．p　　　　
C．2p　　　　
D．无法确定
2．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为(　　)
A．x＝1
B．x＝－1
C．x＝2
D．x＝－2
3．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在准线上的射影为A1、B1，则∠A1FB1等于(　　)
A．45°
B．90°
C．60°
D．120
4．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与C交于A，B两点，则cos∠AFB＝(　　)
A.
B.
C．－
D．－
5．已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k＝________．
6．抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________．
7．已知AB是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦，且A(x1，y1)，B(x2，y2)，点F是抛物线的焦点．
(1)证明：y1y2＝－p2，x1x2＝；
(2)求＋的值．
8．如图，已知两条抛物线E1：y2＝2p1x(p1>0)和E2：y2＝2p2x(p2>0)，过原点O的两条直线l1和l2，l1与E1，E2分别交于A1，A2两点，l2与E1，E2分别交于B1，B2两点．
(1)证明：A1B1∥A2B2；
(2)过原点O作直线l(异于l1，l2)与E1，E2分别交于C1，C2两点．记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2，求的值．
答
案
即时达标对点练
1.
解析：选D　∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，
∴＝3，即p＝6.
又抛物线上的点到准线的距离的最小值为，
∴抛物线上的点到准线的距离的取值范围为[3，＋∞)．
2.
解析：选C　在方程2x－4y＋11＝0中，
令y＝0得x＝－，
∴抛物线的焦点为F，即＝，∴p＝11，
∴抛物线的方程是y2＝－22x，故选C.
3.
解析：选B　由抛物线y2＝8x的焦点为(2，0)，
得直线的方程为y＝x－2，代入y2＝8x得(x－2)2＝8x，
即x2－12x＋4＝0.
∴x1＋x2＝12，弦长＝x1＋x2＋p＝12＋4＝16.
4.
解析：选B　kOA·kOB＝＝·＝，
根据焦点弦的性质x1x2＝，y1y2＝－p2，
故kOA·kOB＝＝－4.
5.
解析：|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.
答案：8
6.
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由于|AB|＝x1＋x2＋p＝4，
∴x1＋x2＝4－＝，
∴中点C(x0，y0)到直线x＋＝0的距离为x0＋＝＋＝＋＝.
答案：
7.
解析：选C　∵直线y＝kx－k＝k(x－1)，
∴直线过点(1，0)．
又点(1，0)在抛物线y2＝2px的内部．
∴当k＝0时，直线与抛物线有一个公共点；当k≠0时，直线与抛物线有两个公共点．
8.
解析：选C　准线x＝－2，Q(－2，0)，
设l：y＝k(x＋2)，
由得k2x2＋4(k2－2)x＋4k2＝0.
当k＝0时，即交点为(0，0)，
当k≠0时，Δ≥0，－1≤k<0或0综上，k的取值范围是[－1，1]．
9.
解：法一：设P(x0，y0)是y2＝2x上任一点，则点P到直线l的距离d＝＝eq
\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(y,2)－y0＋3)),\r(2))
＝，
当y0＝1时，dmin＝，
∴P.
法二：设与抛物线相切且与直线x－y＋3＝0平行的直线方程为x－y＋m＝0，
由得y2－2y＋2m＝0，
∵Δ＝(－2)2－4×2m＝0，
∴m＝.
∴平行直线的方程为x－y＋＝0，此时点到直线的最短距离转化为两平行线之间的距离，则dmin＝＝，此时点P的坐标为.
10.
解：过A、B分别作准线的垂线AA′、BD，垂足分别为A′、D，则|BF|＝|BD|，
又2|BF|＝|BC|，
∴在Rt△BCD中，∠BCD＝30°.
又|AF|＝3，
∴|AA′|＝3，|AC|＝6，|FC|＝3.
∴F到准线距离p＝|FC|＝.
∴y2＝3x.
能力提升综合练
1.
解析：选C　当AB垂直于对称轴时，|AB|取最小值，此时AB即为抛物线的通径，长度等于2p.
2.
解析：选B　抛物线的焦点为F，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－，即x＝y＋，代入y2＝2px得y2＝2py＋p2，即y2－2py－p2＝0，由根与系数的关系得＝p＝2(y1，y2分别为点A，B的纵坐标)，所以抛物线方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1.
3.
解析：选B　如图，由抛物线定义知|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|，所以∠AA1F＝∠AFA1.
又∠AA1F＝∠A1FO，
所以∠AFA1＝∠A1FO，
同理∠BFB1＝∠B1FO.
于是∠AFA1＋∠BFB1
＝∠A1FO＋∠B1FO＝∠A1FB1，
故∠A1FB1＝90°.
4.
解析：选D　由得x2－5x＋4＝0，
∴x＝1或x＝4.
5.
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x1>0，x2>0，y1>0，y2>0，
由得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，
∴x1x2＝4，　①
∵|FA|＝x1＋＝x1＋2，
|FB|＝x2＋＝x2＋2，且|FA|＝2|FB|，
∴x1＝2x2＋2.　②
由①②得x2＝1，
∴B(1，2)，代入y＝k(x＋2)，得k＝.
答案：
6.
解析：抛物线的焦点坐标F，准线方程为y＝－.代入－＝1得|x|＝
.要使△ABF为等边三角形，则tan
＝＝＝，解得p2＝36，p＝6.
答案：6
7.
解：(1)证明：过焦点F的直线AB的方程为y＝k或x＝.
当直线AB的方程为y＝k时，
由消去x，得ky2－2py－kp2＝0.
∵AB与抛物线有两个交点，
∴k≠0.由韦达定理得y1y2＝－p2.
又y＝2px1，y＝2px2，
∴x1x2＝eq
\f(y,2p)·eq
\f(y,2p)＝＝.
当直线AB的方程为x＝时，x1x2＝，y1＝p，
y2＝－p，∴y1y2＝－p2.
(2)设直线AB：y＝k或x＝.
当直线AB的方程为y＝k时，
由消去y，得k2x2－p(k2＋2)x＋＝0.
∵AB与抛物线有两个交点，
∴k≠0.
∴x1＋x2＝，x1x2＝.
又|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，
∴|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p.
|AF|·|BF|＝
＝x1x2＋(x1＋x2)＋＝(x1＋x2)＋
＝(x1＋x2＋p)＝，
即|AF|＋|BF|＝·|AF|·|BF|，
∴＋＝.
当直线AB的方程为x＝时，
x1＝x2＝，y1＝p，y2＝－p，
∴|AF|＝|BF|＝p，∴＋＝.
8.
解：(1)证明：设直线l1，l2的方程分别为y＝k1x，y＝k2x(k1，k2≠0)，
则由 A1eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2p1,k)，\f(2p1,k1)))，
由 A2eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2p2,k)，\f(2p2,k1)))，
同理可得B1eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2p1,k)，\f(2p1,k2)))，B2eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2p2,k)，\f(2p2,k2)))，
所以＝eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2p1,k)－\f(2p1,k)，\f(2p1,k2)－\f(2p1,k1)))
＝2p1eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k)－\f(1,k)，\f(1,k2)－\f(1,k1)))
＝eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2p2,k)－\f(2p2,k)，\f(2p2,k2)－\f(2p2,k1)))
＝2p2eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k)－\f(1,k)，\f(1,k2)－\f(1,k1)))，
所以A1B1∥A2B2.
(2)由(1)知A1B1∥A2B2，同理可得B1C1∥B2C2，A1C1∥A2C2，
所以△A1B1C1∽△A2B2C2，
故＝eq
\f(p,p).课时达标训练（十九）
[即时达标对点练]
题组1　平面的法向量
1．已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则平面ABC的一个法向量是(　　)
A．(1，1，－1)
B．(1，－1，1)
C．(－1，1，1)
D．(－1，－1，－1)
2．已知a＝(2，－4，－3)，b＝(1，－2，－4)是平面α内的两个不共线向量．如果n＝(1，m，n)是α的一个法向量，那么m＝________，n＝________．
题组2　利用空间向量证明平行问题
3．若两个不同平面α，β的法向量分别为u＝(1，2，－1)，v＝(－3，－6，3)，则(　　)
A．α∥β
B．α⊥β
C．α，β相交但不垂直
D．以上均不正确
4．已知直线l的方向向量为(2，m，1)，平面α的法向量为，且l∥α，则m＝________．
5．若
(λ，μ∈R)，则直线AB与平面CDE的位置关系是________．
6．如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC＝，PA⊥底面ABCD，PA＝2，点M为PA的中点，点N为BC的中点，AF⊥CD于F，如图建立空间直角坐标系．求出平面PCD的一个法向量并证明MN∥平面PCD.
题组3　利用空间向量证明垂直问题
7．若直线l的方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的法向量为u＝(－2，0，－4)，则(　　)
A．l∥α
B．l⊥α
C．l α
D．l与α斜交
8．若两个不同平面α，β的法向量分别为u＝(2，1，－1)，v＝(3，2，8)，则(　　)
A．α∥β
B．α⊥β
C．α，β相交不垂直
D．以上均不正确
9．在正方体ABCD A1B1C1D1中，求证：DB1⊥平面A1BC1.
10．在正三棱锥P ABC中，三条侧棱两两垂直，G是△PAB的重心，E、F分别为BC、PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.
(1)求证：平面GEF⊥平面PBC；
(2)求证：EG⊥BC，PG⊥EG.
[能力提升综合练]
1．若平面α、β的法向量分别为a＝，b＝(－1，2，6)，则(　　)
A．α∥β
B．α与β相交但不垂直
C．α⊥β
D．α∥β或α与β重合
2．直线l的方向向量为a，平面α内两共点向量下列关系中能表示l∥α的是(　　)
3．已知平面α内有一个点A(2，－1，2)，它的一个法向量为n＝(3，1，2)，则下列点P中，在平面α内的是(　　)
A．(1，－1，1)
B.
C.
D.
4．如图，在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，平行六面体的各棱长均相等．给出下列结论：
①A1M∥D1P；
②A1M∥B1Q；
③A1M∥平面DCC1D1；
④A1M∥平面D1PQB1.
这四个结论中正确的个数为(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
5．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥.其中正确的是________．
6．在直角坐标系Oxyz中，已知点P(2cos
x＋1，2cos
2x＋2，0)和点Q(cos
x，－1，3)，其中x∈[0，π]，若直线OP与直线OQ垂直，则x的值为________．
7．如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E为PC的中点，EF⊥BP于点F.求证：
(1)PA∥平面EDB；
(2)PB⊥平面EFD.
8．如图，在四棱锥P ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°的角．求证：
(1)CM∥平面PAD；
(2)平面PAB⊥平面PAD.
答
案
即时达标对点练
1.
解析：选D　＝(－1，1，0)，＝(－1，0，1)．
设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，则有
取x＝－1，则y＝－1，z＝－1.
故一个法向量是(－1，－1，－1)．
2.
解析：由已知可得即
解得m＝，n＝0.
答案：　0
3.
解析：选A　∵v＝－3u，∴α∥β.
4.
解析：∵l∥α，∴l的方向向量与α的法向量垂直．
∴(2，m，1)·＝2＋m＋2＝0.
解得m＝－8.
答案：－8
5.
解析：∵
(λ，μ∈R)，
∴AB∥平面CDE或AB 平面CDE.
答案：AB∥平面CDE或AB 平面CDE
6.
证明：由题设知，在Rt△AFD中，AF＝FD＝，A(0，0，0)，B(1，0，0)，F，D，P(0，0，2)，M(0，0，1)，N.
＝，＝，
＝.
设平面PCD的一个法向量为n＝(x，y，z)，

令z＝，得n＝(0，4，)．
因为·n＝·(0，4，)＝0，
又MN 平面PCD，所以MN∥平面PCD.
7.
解析：选B　∵u＝－2a，∴u∥a.
又∵u为平面α的法向量，∴l⊥α.
8.
解析：选B　∵v·u＝6＋2－8＝0.∴v⊥u，∴α⊥β.
9.
证明：如图所示，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A1(1，0，1)，B(1，1，0)，C1(0，1，1)，B1(1，1，1)，
故＝(0，1，－1)，＝(－1，1，0)，＝(1，1，1)．
设平面A1BC1的法向量n＝(x，y，z)，
则⊥n，⊥n.
故·n＝0，·n＝0.
即y－z＝0，－x＋y＝0.
可设n＝(1，1，1)，故有n∥.
所以DB1⊥平面A1BC1.
10.
证明：(1)如图，以三棱锥的顶点P为原点，以PA、PB、PC所在直线分别作为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
设PA＝PB＝PC＝3，
则A(3，0，0)、B(0，3，0)、
C(0，0，3)、E(0，2，1)、F(0，1，0)，G(1，1，0)、P(0，0，0)，
而PA⊥平面PBC，∴FG⊥平面PBC.
又FG 平面GEF，∴平面GEF⊥平面PBC.
法二：可得＝(0，－1，－1)，＝(1，－1，－1)．
设平面GEF的法向量是n＝(x，y，z)，
则有n⊥，n⊥，∴
令y＝1，得z＝－1，x＝0，即n＝(0，1，－1)．
显然＝(3，0，0)是平面PBC的一个法向量．
又n·＝0，∴n⊥.∴平面GEF⊥平面PBC.
∴EG⊥PG，EG⊥BC.
能力提升综合练
1.
解析：选D　∵a＝－b，∴a∥b，∴α∥β或α与β重合．
2.
解析：选D　A、B、C均表示l∥α或l α.
3.
解析：选B　要判断点P是否在平面内，只需判断向量与平面的法向量n是否垂直，即·n是否为0即可，因此，要对各个选项进行逐个检验．对于选项A，＝(1，0，1)，则·n＝(1，0，1)·(3，1，2)＝5≠0，故排除A；对于选项B，＝，则·n＝·(3，1，2)＝0.
4.
又B1Q与D1P不平行，故②不正确．
5.
解析：由于·＝－1×2＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0，·＝4×(－1)＋2×2＋0×(－1)＝0，所以①②③正确．
答案：①②③
6.
解析：由OP⊥OQ，得
即(2cos
x＋1)·cos
x＋(2cos
2x＋2)·(－1)＝0.
∴cos
x＝0或cos
x＝.
∵x∈[0，π]，∴x＝或x＝.
答案：或
7.
证明：以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D xyz，如图，
设DC＝PD＝1，则P(0，0，1)，A(1，0，0)，D(0，0，0)，B(1，1，0)，E.
，
∴x＋－＝0，即x＋y－z＝0.①
∴x＝λ，y＝λ，z－1＝－λ.②
由①②可知，x＝，y＝，z＝，
∴＝.
(1)设n1＝(x1，y1，z1)为平面EDB的一个法向量，
∴
取z1＝－1，则n1＝(－1，1，－1)．
又∵PA 平面EDB，∴PA∥平面EDB.
(2)设n2＝(x2，y2，z2)为平面EFD的一个法向量，
∴
取z2＝1，则n2＝(－1，－1，1)．
∴PB⊥平面EFD.
8.
证明：以C为坐标原点，CB为x轴，CD为y轴，CP为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.
∵PC⊥平面ABCD，
∴∠PBC为PB与平面ABCD所成的角，
∴∠PBC＝30°.
∵PC＝2，∴BC＝2，PB＝4.
∴D(0，1，0)，B(2，0，0)，A(2，4，0)，P(0，0，2)，M，
.
(1)设n＝(x，y，z)为平面PAD的一个法向量，
得
令y＝2，得n＝(－，2，1)．
∵n·＝－×＋2×0＋1×＝0，
∴n⊥.又CM 平面PAD，
∴CM∥平面PAD.
(2)如图，取AP的中点E，连接BE，则E(，2，1)，＝(－，2，1)．
∵PB＝AB，∴BE⊥PA.
又∵＝(－，2，1)·(2，3，0)＝0，
∴.即BE⊥DA.
又∵PA∩DA＝A，∴BE⊥平面PAD.
∵BE 平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PAD.课时达标训练（十五）
[即时达标对点练]
题组1　空间向量的线性运算
1．已知空间四边形ABCD中，G为CD的中点，则等于(　　)
　　　
2．如图，在空间平移△ABC到△A′B′C′，连接对应顶点，设，＝c，M是BC′的中点，N是B′C′的中点，用向量a、b、c表示向量等于(　　)
A．a＋b＋c　　　　　B.a＋b＋c
C．a＋b
D.a
3．如图所示，空间四边形OABC中，，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC中点，则等于(　　)
A.a－b＋c
B．－a＋b＋c
C.a＋b－c
D．－a＋b－c
题组2　向量共线问题
4．下列条件，能说明空间不重合的A、B、C三点共线的是(　　)
5．已知向量a，b，且＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　)
A．A、B、D
B．A、B、C
C．B、C、D
D．A、C、D
7．已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是AB、AD的中点，F、G分别是CB、CD上的点，且，.求证：四边形EFGH是梯形．
题组3　向量共面问题
8．若a与b不共线，且m＝a＋b，n＝a－b，p＝a，则(　　)
A．m、n、p共线
B．m与p共线
C．n与p共线
D．m、n、p共面
9．A，B，C不共线，对空间任意一点O，若，则P、A、B、C四点(　　)
A．不共面
B．共面
C．不一定共面
D．无法判断是否共面
10．已知A，B，C三点不共线，平面ABC外一点M满足.
(1)判断三个向量是否共面；
(2)判断M是否在平面ABC内．
[能力提升综合练]
1．在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　)
A．－a＋b＋c
B.a＋b＋c
C.a－b＋c
D．－a－b＋c
2．如图所示，已知三棱锥O ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，点G在线段MN上，且MG＝2GN.设，则x，y，z的值分别为(　　)
A．x＝，y＝，z＝　　　
B．x＝，y＝，z＝
C．x＝，y＝，z＝
D．x＝，y＝，z＝
3．下面关于空间向量的说法正确的是(　　)
A．若向量a，b平行，则a，b所在的直线平行
B．若向量a，b所在直线是异面直线，则a，b不共面
C．若A，B，C，D四点不共面，则向量不共面
D．若A，B，C，D四点不共面，则向量不共面
4．已知G为正方形ABCD的中心，点P为正方形ABCD所在平面外一点，则等于(　　)
5．有下列命题：
①若，则A，B，C，D四点共线；
②若，则A，B，C三点共线；
③若e1，e2为不共线的非零向量，a＝4e1－e2，b＝－e1＋e2，则a∥b；
④若向量e1，e2，e3是三个不共面的向量，且满足等式k1e1＋k2e2＋k3e3＝0，则k1＝k2＝k3＝0.
其中是真命题的序号是________(把所有真命题的序号都填上)．
6．在空间四边形ABCD中，G为△BCD的重心，E，F分别为边CD和AD的中点，试化简，并在图中标出化简结果的向量．
7．如图，平行六面体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.
(1)证明：A，E，C1，F四点共面；
(2)若
，求x＋y＋z的值．
答
案
即时达标对点练
1.
解析：选A
2.
解析：选D　
3.
解析：选B　由向量加法法则可知＝＝－a＋(b＋c)＝－a＋b＋c.
4.
解析：选C　由可知，共线，又因为有一个公共点B，故A，B，C三点共线．
5.
解析：选A　∵＝2a＋4b＝2(a＋2b)＝2，
∴A、B、D三点共线．
6.
∵e1，e2是不共线向量，∴∴k＝1.
答案：1
7.
证明：∵E、H分别是AB、AD的中点，
∴四边形EFGH是梯形．
8.
解析：选D　由于(a＋b)＋(a－b)＝2a，
即m＋n＝2p，即p＝m＋n，又m与n不共线，所以m，n，p共面．
9.
由共面的充要条件知P，A，B，C四点共面．
10.
(2)由(1)知向量共面且它们有共同的起点M，又A，B，C三点不共线，
∴M，A，B，C共面，即M在平面ABC内．
能力提升综合练
1.
解析：选A　＝c＋(－a＋b)＝－a＋b＋c.
2.
3.
解析：选D　可以通过平移将空间任意两个向量平移到一个平面内，因此空间任意两个向量都是共面的，故B，C都不正确．注意向量平行与直线平行的区别，可知A不正确，可用反证法证明D是正确的．
4.
5.
解析：根据共线向量的定义，若，则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，故①错；且有公共点A，所以②正确；由于a＝4e1－e2＝－4(－e1＋e2)＝－4b，所以a∥b.故③正确；易知④也正确．
答案：②③④
6.
解：∵G是△BCD的重心，BE是CD边上的中线，
7.
解：(1)证明：∵ABCD A1B1C1D1是平行六面体，
∴x＋y＋z＝.课时达标训练（十七）
[即时达标对点练]
题组1　空间向量的基底
1．在四面体ABCD中，可以作为空间向量的一个基底的是　　(　　)
2．设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a，b，x}，②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}，其中可以作为空间一个基底的向量组有(　　)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
3．已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，若λe1＋μ
e2＋v
e3＝0，则λ2＋μ2＋v2＝________．
题组2　用基底表示空间向量
4．在正方体ABCD A1B1C1D1中，设＝c，A1C1与B1D1的交点为E，则BE―→＝________．
5．如图，四棱锥P OABC的底面为一矩形，设，E，F分别是PC和PB的中点，用a，b，c表示.
题组3　空间向量的坐标表示
6．设{e1，e2，e3}是空间向量的一个单位正交基底，a＝4e1－8e2＋3e3，b＝－2e1－3e2＋7e3，则a，b的坐标分别为________．
7．棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱DD1，D1C1，BC的中点，以为基底，求下列向量的坐标：
8．已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且PA＝AD＝1，试建立适当的坐标系并写出向量的坐标．
[能力提升综合练]
1．设p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间的一个基底，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件　　　　B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．若向量的起点与终点M、A、B、C互不重合且无三点共线，且满足下列关系(O是空间任一点)，则能使向量成为空间一个基底的关系是(　　)
3．已知空间四边形OABC，其对角线为AC，OB，M，N分别是OA，BC的中点，点G是MN的中点，则
等于(　　)
4．已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＝________，y＝________．
5．正方体ABCD A1B1C1D1中，点E、F分别是底面A1C1和侧面CD1的中心，若＝0(λ∈R)，则λ＝________．
6．如图所示，在平行六面体ABCD A′B′C′D′中，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，点Q在CA′上，且CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a，b，c}表示以下向量：
7．已知{i，j，k}是空间的一个基底，设a1＝2i－j＋k，a2＝i＋3j－2k，a3＝－2i＋j－3k，a4＝3i＋2j＋5k.试问是否存在实数λ，μ，υ，使a4＝λa1＋μa2＋υa3成立？如果存在，求出λ，μ，υ的值，如果不存在，请给出证明．
答
案
即时达标对点练
1.
答案：D
2.
解析：选C　如图，令a＝，b＝，，z＝，a＋b＋c＝.
由A，B1，C，D1四点不共面，可知向量x，y，z也不共面，同理b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面，故选C.
3.
解析：∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底，
∴e1，e2，e3为不共面的向量．
又∵λe1＋μ
e2＋v
e3＝0，
∴λ＝μ＝v＝0，∴λ2＋μ2＋v2＝0.
答案：0
4.
答案：－a＋b＋c
5.
6.
解析：由于{e1，e2，e3}是空间向量的一个单位正交基底，所以a＝(4，－8，3)，b＝(－2，－3，7)．
答案：a＝(4，－8，3)，b＝(－2，－3，7)
7.
解：(1)
＝，
＝，
＝.
8.
解：如图，延长DA到E，使AE＝DA.因为PA＝AE＝AB＝1，且PA⊥平面ABCD，AE⊥AB，所以可设，以{e1，e2，e3}为基底建立空间直角坐标系A xyz.
能力提升综合练
1.
解析：选B　当非零向量a，b，c不共面时，{a，b，c}可以当基底，否则不能当基底，当{a，b，c}为基底时，一定有a，b，c为非零向量．因此pq，q p.
2.
3.
4.
解析：因为m与n共线，所以存在实数λ，使m＝λn，即a－b＋c＝λxa＋λyb＋λc，
于是有解得
答案：1　－1
5.
解析：如图，连接A1C1，C1D，A1D，则E在A1C1上，F在C1D上，易知EFA1D，
∴λ＝－.
答案：－
6.
解：连接AC，AD′，AC′.
(1)
＝(a＋b＋c)．
(2)
＝(a＋2b＋c)．
7.
解：假设存在实数λ，μ，υ使a4＝λa1＋μa2＋υa3成立，则有3i＋2j＋5k
＝λ(2i－j＋k)＋μ(i＋3j－2k)＋υ(－2i＋j－3k)＝(2λ＋μ－2υ)i＋(－λ＋3μ＋υ)j＋(λ－2μ－3υ)k.
∵{i，k，j}是一组基底，
∴i，j，k不共面．
∴
解得
故存在λ＝－2，μ＝1，υ＝－3使结论成立．课时达标训练（十四）
[即时达标对点练]
题组1　空间向量的概念辨析
1．两个非零向量的模相等是两个向量相等的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，各条棱所在的向量中，与向量相等的向量共有(　　)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
3．在平行六面体ABCD A′B′C′D′中，各条棱所在的向量中，模与向量的模相等的向量有(　　)
A．7个
B．3个
C．5个
D．6个
4．判断下列各命题的真假：
①向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；
②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；
③两个有公共终点的向量，一定是共线向量；
④有向线段就是向量，向量就是有向线段．
其中假命题的个数为(　　)
A．2
B．3
C．4
D．1
题组2　空间向量的加减运算
5．已知空间四边形ABCD中，等于(　　)
A．a＋b－c　　　B．－a－b＋c
C．－a＋b＋c
D．－a＋b－c
6．空间四边形ABCD中，M，G分别是BC，CD的中点，则
(　　)
7．设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且，则四边形ABCD是(　　)
A．平行四边形
B．空间四边形
C．等腰梯形
D．矩形
8．式子运算的结果是________．
9．在长方体ABCD A1B1C1D1中，化简.
10．如图所示，在三棱柱ABC A1B1C1中，M是BB1的中点．化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：
[能力提升综合练]
1．如图，在四棱柱的上底面ABCD中，，则下列向量相等的是(　　)
2．空间四边形ABCD中，若E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边上的中点，则下列各式中成立的是(　　)
3．已知正方体ABCD A1B1C1D1的中心为O，则在下列各结论中正确的结论共有(　　)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
4．对于空间中的非零向量，有下列各式：
①②；③；④.其中一定不成立的是________．
5．如图，在四面体O ABC中，b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝________(用a，b，c表示)．
6．在直三棱柱ABC A1B1C1中，若，则＝________．
7．如图，在长，宽，高分别为AB＝4，AD＝2，AA1＝1的长方体ABCD A1B1C1D1中的八个顶点的两点为起点和终点的向量中．
(1)单位向量共有多少个？
(2)写出模为的所有向量；
(3)试写出的相反向量．
8．如图所示，在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1、BC、C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：
答
案
即时达标对点练
1.
答案：B
2.
答案：C
3.
答案：A
4.
解析：选B　①假命题，若a与b中有一个为零向量时，其方向是不确定的；②真命题；③假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反；④假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段．
5.
解析：选C　＝b－a＋c＝－a＋b＋c.
6.
7.
解析：选A　
∴四边形ABCD为平行四边形．
8.
答案：
9.
10.
解：(1)
(2)因为M是BB1的中点，所以.
(3)
向量如图所示．
能力提升综合练
1.
解析：选D　AB∥DC，即四边形ABCD为平行四边形，由平行四边形的性质知，.故应选D.
2.
解析：选B　由于E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA边上的中点，所以四边形EFGH为平行四边形，其中，而E，B，F，G四点构成一个封闭图形，首尾相接的向量的和为零向量，即有.
3.
解析：选C　利用图形及向量的运算可知②是相等向量，①③④是相反向量．
4.
解析：根据空间向量的加减法运算，对于①：恒成立；对于③：方向相同时，有；对于④：当共线且与方向相反时，有|.只有②一定不成立．
答案：②
5.
解析：
答案：a＋b＋c
6.
解析：如图，＝－c－(a－b)＝－c－a＋b.
答案：－c－a＋b
7.
解：(1)因为长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的向量，，共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个．
(2)因为长方体的左、右两侧的对角线长均为，故模为的向量有
(3)向量的相反向量为，共4个．
8.
解：(1)∵P是C1D1的中点，
＝a＋c＋＝a＋c＋b.
(2)∵N是BC的中点，
(3)∵M是AA1的中点，课时达标训练（九）
[即时达标对点练]
题组1　直线与椭圆的位置关系
1．直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1的位置关系是(　　)
A．相交
B．相切
C．相离
D．不能确定
2．直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是________．
题组2　直线与椭圆的相交弦问题
3．椭圆＋＝1的两个焦点为F1，F2，过F2的直线交椭圆于A，B两点．若|AB|＝8，则|AF1|＋|BF1|的值为(　　)
A．10
B．12
C．16
D．18
4．椭圆x2＋4y2＝16被直线y＝x＋1截得的弦长为________．
5．已知中心在原点，一个焦点为F(0，)的椭圆被直线l：y＝3x－2截得的弦的中点横坐标为，求此椭圆的方程．
题组3　与椭圆有关的最值问题
6．已知动点P(x，y)在椭圆＋＝1上，若A点坐标为(3，0)，||＝1，且＝0，则||的最小值是________．
7．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为________．
8．如图，点A是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的短轴位于y轴下方的端点，过点A且斜率为1的直线交椭圆于点B，若P在y轴上，且BP∥x轴，
(1)若点P的坐标为(0，1)，求椭圆C的标准方程；
(2)若点P的坐标为(0，t)，求t的取值范围．
[能力提升综合练]
1．若直线mx＋ny＝4和⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则过(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数(　　)
A．至多一个　　　
B．2个
C．1个
D．0个
2．已知点(m，n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，则2m＋4的取值范围是(　　)
A．[4－2，4＋2
]
B．[4－，4＋
]
C．[4－2，4＋2
]
D．[4－，4＋
]
3．已知椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，直线l：x＝2，点A∈l，线段AF交椭圆C于点B，若＝(　　)
A.
B．2
C.
D．3
4．椭圆Γ：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y＝(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．
5．已知椭圆G：＋y2＝1，过点(0，2)作圆x2＋y2＝1的切线l交椭圆G于A，B两点．
(1)求椭圆G的焦点坐标和离心率；
(2)O为坐标原点，求△OAB的面积．
6．已知椭圆的一个顶点为A(0，－1)，焦点在x轴上，若右焦点到直线x－y＋2＝0的距离为3.
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆与直线y＝x＋m相交于不同的两点M，N，问是否存在实数m使|AM|＝|AN|；若存在求出m的值；若不存在说明理由．
答
案
即时达标对点练
1.
解析：选A　因为直线y＝kx＋1过定点(0，1)，且点(0，1)在椭圆＋＝1的内部，故直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1相交．
2.
解析：由得(m＋3)x2＋4mx＋m＝0.
又∵直线与椭圆有两个公共点，
∴Δ＝(4m)2－4m(m＋3)＝16
m2－4m2－12m
＝12m2－12m>0，
解得m>1或m<0.
又∵m>0且m≠3，
∴m>1且m≠3.
答案：(1，3)∪(3，＋∞)
3.
解析：选B　∵|AB|＋|AF1|＋|BF1|＝4a，∴|AF1|＋|BF1|＝4×5－8＝12.
4.
解析：由
消去y并化简得x2＋2x－6＝0.
设直线与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝－2，x1x2＝－6.
∴弦长|MN|＝|x1－x2|
＝
＝
＝.
答案：
5.
解：设所求椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)．
弦两端点为(x1，y1)，(x2，y2)，
由＋＝1及y＝3x－2得
(a2＋9b2)x2－12b2x＋b2(4－a2)＝0，
x1＋x2＝，由已知＝，
即＝1，
所以a2＝3b2.又c2＝a2－b2＝50，
所以得a2＝75，b2＝25，
所以椭圆的方程为＋＝1.
6.
解析：易知点A(3，0)是椭圆的右焦点．
答案：
7.
解析：由＋＝1可得F(－1，0)．
设P(x，y)，－2≤x≤2，则＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2，
当且仅当x＝2时，取得最大值6.
答案：6
8.
解：∵直线AB的斜率为1，
∴∠BAP＝45°，
(1)∵P(0，1)，
即b＝2，且B(3，1)．
∵B在椭圆上，
∴＋＝1，得a2＝12，
∴椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)由点P的坐标为(0，t)及点A位于x轴下方，得点A的坐标为(0，t－3)，
∴t－3＝－b，即b＝3－t.
显然点B的坐标是(3，t)，将它代入椭圆方程得，
＋＝1，解得a2＝.
∵a2>b2>0，
∴>(3－t)2>0.
∴>1，即－1＝>0，
∴所求t的取值范围是.
能力提升综合练
1.
解析：选B　因为直线mx＋ny＝4和⊙O：x2＋y2＝4没有交点，
所以
>2，即m2＋n2<4，
所以n2<4－m2，
则＋<＋＝1－m2<1.
所以点(m，n)在椭圆＋＝1内部，
故过点(m，n)的直线与椭圆有2个交点．
2.
解析：选A　方程可化为＋＝1，故椭圆焦点在y轴上，又a＝2，b＝，所以
－≤m≤，
故4－2≤2m＋4≤2＋4.
3.
解析：选A　设点A(2，n)，B(x0，y0)．
由椭圆C：＋y2＝1知a2＝2，b2＝1，
∴c2＝1，即c＝1.∴右焦点F(1，0)．
∴1＝3(x0－1)且n＝3y0.
∴x0＝，y0＝n.
将x0，y0代入＋y2＝1，得×＋＝1.
解得n2＝1，
∴||＝＝＝.
4.
解析：直线y＝(x＋c)过点F1，且倾斜角为60°，所以∠MF1F2＝60°，从而∠MF2F1＝30°，所以MF1⊥MF2.
在Rt△MF1F2中，|MF1|＝c，|MF2|＝c，所以该椭圆的离心率e＝＝＝－1.
答案：－1
5.
解：(1)由已知得a＝2，b＝1，
所以c＝＝.
所以椭圆G的焦点坐标为(－，0)，(，0)，
离心率为e＝＝.
(2)设l的方程为y＝kx＋2，即kx－y＋2＝0，
由l与圆x2＋y2＝1相切得＝1，
解得k＝±.
将y＝±x＋2代入x2＋4y2－4＝0，
得13x2±16x＋12＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
|AB|＝2＝2
＝2＝.
又O到AB的距离d＝1.
∴S△OAB＝×|AB|×1＝.
6解：(1)依题意可设椭圆方程为＋y2＝1，
则右焦点F(，0)．
由题设＝3，
解得a2＝3，
故所求椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)设P为弦MN的中点，
由
得4x2＋6mx＋3m2－3＝0.
由于直线与椭圆有两个交点，
所以Δ>0，即－2所以xP＝＝－，从而yP＝xP＋m＝，
所以kAP＝＝，
又|AM|＝|AN|，
所以AP⊥MN，
所以＝－1，解得m＝2，
所以不存在实数m使|AM|＝|AN|.课时达标训练（八）
[即时达标对点练]
题组1　由椭圆的标准方程研究几何性质
1．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是　　(　　)
A．5、3、0.8
B．10、6、0.8
C．5、3、0.6
D．10、6、0.6
2．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(－10，0)，则焦点坐标为(　　)
A．(±13，0)
B．(0，±10)
C．(0，±13)
D．(0，±)
3．已知椭圆＋＝1与椭圆＋＝1有相同的长轴，椭圆＋＝1的短轴长与椭圆＋＝1的短轴长相等，则(　　)
A．a2＝25，b2＝16
B．a2＝9，b2＝25
C．a2＝25，b2＝9或a2＝9，b2＝25
D．a2＝25，b2＝9
题组2　由椭圆的几何性质求标准方程
4．中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴3等分，则此椭圆的方程是(　　)
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
5．已知椭圆＋＝1，长轴在y轴上．若焦距为4，则m等于(　　)
A．4
B．5
C．7
D．8
6．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，两个焦点分别为F1和F2，椭圆G上一点到F1和F2的距离之和为12.则椭圆G的方程为_______________________．
题组3　椭圆的离心率
7．椭圆x2＋4y2＝4的离心率为(　　)
A.
B.
C.
D.
8．椭圆的短半轴长为3，焦点到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆的离心率为(　　)
A.
B.
C.
D.
9．A为y轴上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，△AF1F2为正三角形，且AF1的中点B恰好在椭圆上，求此椭圆的离心率．
[能力提升综合练]
1．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值是(　　)
A.
B.
C．2
D．4
2．过椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为(　　)
A.
B.
C.
D.
3．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若，则椭圆的离心率是(　　)
A.
B.
C.
D.
4．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为4
的椭圆方程是________．
5．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且过P(－5，4)，则椭圆的方程为________．
6．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．
7．中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆上有M，N两点，求椭圆的标准方程．
8．已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．
答
案
即时达标对点练
1.
解析：选B　把椭圆的方程写成标准方程为＋＝1，知a＝5，b＝3，c＝4.∴2a＝10，2b＝6，＝0.8.
2.
解析：选D　由题意知，其焦点在y轴上，且a＝13，b＝10，则c＝＝.
3.
解析：选D　因为椭圆＋＝1的长轴长为10，焦点在x轴上，椭圆＋＝1的短轴长为6，所以a2＝25，b2＝9.
4.
解析：选A　因为2a＝18，2c＝×2a＝6，所以a＝9，c＝3，b2＝81－9＝72.
5.
解析：选D　由题意得m－2>10－m且10－m>0，于是66.
解析：依题意可设椭圆G的方程为＋＝1，a>b>0，
半焦距为c，
∵椭圆G的离心为率为，
∴＝ c＝a.
∵椭圆G上一点到F1和F2的距离之和为12，
∴2a＝12 a＝6.
∴c＝3，b＝＝3，
∴椭圆G的方程为＋＝1.
答案：＋＝1
7.
解析：选A　化为标准方程为＋y2＝1，a2＝4，b2＝1，c2＝3，∴e＝＝.
8.
解析：选C　由题意，得或
当a－c＝9时，由b2＝9得a2－c2＝9＝(a－c)(a＋c)，
a＋c＝1，则a＝5，c＝－4(不合题意)．
当a＋c＝9时，解得故e＝.
9.
解：如图，连接BF2.
∵△AF1F2为正三角形，
且B为线段AF1的中点，
∴F2B⊥AF1.
又∵∠BF2F1＝30°，|F1F2|＝2c，
∴|BF1|＝c，|BF2|＝c，
根据椭圆定义得|BF1|＋|BF2|＝2a，
即c＋c＝2a，
∴＝－1.
∴椭圆的离心率e为－1.
能力提升综合练
1.
解析：选A　由题意可得2＝2×2，解得m＝.
2.
解析：选B　记|F1F2|＝2c，则由题设条件，知|PF1|＝，|PF2|＝，则椭圆的离心率e＝＝＝＝.
3.
解析：选D　
又∵PO∥BF，∴＝＝，
即＝，∴e＝＝.
4.
解析：椭圆9x2＋4y2＝36可化为＋＝1，
因此可设待求椭圆为＋＝1.
又b＝2，故m＝20，得＋＝1.
答案：＋＝1
5.
解析：∵e＝＝，
∴＝＝，
∴5a2－5b2＝a2即4a2＝5b2.
设椭圆的标准方程为＋＝1(a>0)，
∵椭圆过点P(－5，4)，∴＋＝1.
解得a2＝45.∴椭圆方程为＋＝1.
答案：＋＝1
6.
解析：设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)．
因为，所以MF1⊥MF2，
所以点M的轨迹是以O为圆心，c为半径的圆．
因为点M总在椭圆内部，所以c所以c2所以2c2答案：
7.
解：当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0).
将点M，N代入上式，得
解得
此时椭圆的标准方程为＋＝1.
当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
将点M，N代入上式得
解得
因为a>b>0，所以舍去，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
8.
解：椭圆方程可化为＋＝1，
由m>0，易知m>，∴a2＝m，b2＝.
∴c＝＝
.
由e＝，得
＝，解得m＝1，
∴椭圆的标准方程为x2＋＝1.
∴a＝1，b＝，c＝.
∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1，
两焦点坐标分别为F1，F2，
顶点坐标分别为A1(－1，0)，A2(1，0)，B1，B2.阶段质量检测（三）
一、选择题
1．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使l∥α的是(　　)
A．a＝(1，0，1)，n＝(－2，0，0)
B．a＝(1，3，5)，n＝(1，0，1)
C．a＝(0，2，1)，n＝(－1，0，－1)
D．a＝(1，－1，3)，n＝(0，3，1)
2．已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，－2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是(　　)
A．1
B.
C.
D.
3．已知向量i，j，k是一组单位正交向量，m＝8j＋3k，n＝－i＋5j－4k，则m·n＝(　　)
A．7
B．－20
C．28
D．11
4．若平面α的法向量为n，直线l的方向向量为a，直线l与平面α的夹角为θ，则下列关系式成立的是(　　)
A．cos
θ＝
B．cos
θ＝
C．sin
θ＝
D．sin
θ＝
5．在以下命题中，不正确的个数为(　　)
①|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件；
②若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb；
③对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若，则P，A，B，C四点共面；
④若{a，b，c}为空间的一个基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间的另一个基底；
⑤|(a·b)·c|＝|a|·|b|·|c|.
A．2
B．3
C．4
D．5
6．已知空间三点O(0，0，0)，A(－1，1，0)，B(0，1，1)，在直线OA上有一点H满足BH⊥OA，则点H的坐标为(　　)
A．(－2，2，0)
B．(2，－2，0)
C.
D.
7．如图，AB＝AC＝BD＝1，AB 平面α，AC⊥平面α，BD⊥AB，BD与平面α成30°角，则C、D间的距离为(　　)
A．1
B．2
C.
D.
8．已知向量a＝(1，2，3)，b＝(－2，－4，－6)，|c|＝，若(a＋b)·c＝7，则a与c的夹角为(　　)
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
9．已知A(1，0，0)，B(0，－1，1)，O(0，0，0)，的夹角为120°，则λ的值为(　　)
A．±
B.
C．－
D．±
10．已知＝(1，2，3)，＝(2，1，2)，＝(1，1，2)，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为(　　)
A.
B.
C.
D.
11．如图所示，在三棱柱ABC A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝
90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1的夹角是(　　)
A．45°
B．60°
C．90°
D．120°
12．已知三棱柱ABC A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形．若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为(　　)
A.
B.
C.
D.
二、填空题
13．已知a＝(x，2，－4)，b＝(－1，y，3)，c＝(1，－2，z)，且a，b，c两两垂直，则(x，y，z)＝________．
14．已知空间四边形OABC，如图所示，其对角线为OB、AC，M、N分别为OA、BC的中点，点G在线段MN上，且，现用基向量表示向量，并设，则x、y、z的和为________．
15．如图所示，已知正四面体A BCD中，AE＝AB，CF＝CD，则直线DE和BF所成角的余弦值为________．
16．如图所示，已知二面角α l β的平面角为θ，AB⊥BC，BC⊥CD，AB在平面β内，BC在l上，CD在平面α内，若AB＝BC＝CD＝1，则AD的长为________．
三、解答题
17．已知向量a＝(1，－3，2)，b＝(－2，1，1)，点A(－3，－1，4)，B(－2，－2，2)．
(1)求|2a＋b|；
(2)在直线AB上是否存在一点E，使得⊥b(O为原点)
18．如图，在四棱锥P ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点．
(1)求证：EF⊥CD；
(2)求DB与平面DEF所成角的正弦值．
19．已知四棱锥P ABCD的底面是直角梯形，AB∥DC，∠DAB＝90°，PD⊥底面ABCD，且PD＝DA＝CD＝2AB＝2，M点为PC的中点．
(1)求证：BM∥平面PAD；
(2)在平面PAD内找一点N，使MN⊥平面PBD.
20．如图，三棱锥P ABC中，PC⊥平面ABC，PC＝3，∠ACB＝.D，E分别为线段AB，BC上的点，且CD＝DE＝，CE＝2EB＝2.
(1)证明：DE⊥平面PCD；
(2)求二面角A PD C的余弦值．
21．如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，A1A＝4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．
(1)证明：A1D⊥平面A1BC；
(2)求二面角A1 BD B1的平面角的余弦值．
22．如图，已知矩形ABCD中，AB＝2AD＝2，O为CD的中点，沿AO将三角形AOD折起，使DB＝.
(1)求证：平面AOD⊥平面ABCO；
(2)求直线BC与平面ABD所成角的正弦值．
答
案
1.
解析：选D　若l∥α，则a·n＝0，只有选项D中a·n＝0.
2.
解析：选D　依题意(k
a＋b)·(2a－b)＝0，
所以2k|a|2－k
a·b＋2a·b－|b|2＝0，
而|a|2＝2，|b|2＝5，a·b＝－1，
所以4k＋k－2－5＝0，解得k＝.
3.
解析：选C　因为m＝(0，8，3)，n＝(－1，5，－4)，所以m·n＝0＋40－12＝28.
4.
解析：选D　若直线与平面所成的角为θ，直线的方向向量与该平面的法向量所成的角为β，
则θ＝β－90°或θ＝90°－β，cos
β＝，
∴sin
θ＝|cos
β|＝.
5.
解析：选C　①|a|－|b|＝|a＋b| a与b共线，但a与b共线时|a|－|b|＝|a＋b|不一定成立，故不正确；②b需为非零向量，故不正确；③因为2－2－1≠1，由共面向量定理知，不正确；④由基底的定义知正确；⑤由向量的数量积的性质知，不正确．
6.
解析：选C　由＝(－1，1，0)，且点H在直线OA上，可设H(－λ，λ，0)，则＝(－λ，λ－1，－1)．
又BH⊥OA，∴·＝0，即(－λ，λ－1，－1)·(－1，1，0)＝0，即λ＋λ－1＝0，解得λ＝，
∴H.
7.
8.
解析：选C　设向量a＋b与c的夹角为α，因为a＋b＝(－1，－2，－3)，|a＋b|＝，cos
α＝＝，
所以α＝60°.因为向量a＋b与a的方向相反，所以a与c的夹角为120°.
9.
解析：选C　因为＝(1，0，0)，＝(0，－1，1)，＝(1，－λ，λ)，
所以()·＝1×0＋(－λ)×(－1)＋1×λ＝2λ，||＝，
||＝，由题意知cos
120°＝＝－，
解得λ2＝，又因为<0，所以λ<0，
所以λ＝－.
10.
解析：选C　∵Q在OP上，∴可设Q(x，x，2x)，则＝(1－x，2－x，3－2x)，＝(2－x，1－x，2－2x)．
∴＝6x2－16x＋10，
∴x＝时，最小，这时Q.
11.
12.
解析：选B　取正三角形ABC的中心O，连接OP，则∠PAO是PA与平面ABC所成的角．
因为底面边长为，所以AD＝×＝，AO＝AD＝×＝1.三棱柱的体积为×()2×AA1＝，解得AA1＝，即OP＝AA1＝，所以tan
∠PAO＝＝，即∠PAO＝.
13.
解析：由题意知
解得x＝－64，y＝－26，z＝－17.
答案：(－64，－26，－17)
14.
∴x＝，y＝，z＝.
∴x＋y＋z＝.
答案：
15.
解析：
答案：
16.
即AD的长为.
答案：
17.
解：(1)因为a＝(1，－3，2)，b＝(－2，1，1)，所以2a＋b＝(0，－5，5)，所以|2a＋b|＝＝5.
(2)假设存在点E，其坐标为E(x，y，z)，则，即(x＋3，y＋1，z－4)＝λ(1，
－1，－2)，
所以
所以E(λ－3，－λ－1，－2λ＋4)，
所以＝(λ－3，－λ－1，－2λ＋4)．
又因为b＝(－2，1，1)，⊥b，
所以·b＝－2(λ－3)＋(－λ－1)＋(－2λ＋4)＝－5λ＋9＝0，所以λ＝，
所以E，
所以在直线AB上存在点E，使⊥b.
18.
解：(1)证明：以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图．
设AD＝a，则D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，E，P(0，0，a)，F.
∵·＝·(0，a，0)＝0.
∴⊥，∴EF⊥CD.
(2)设平面DEF的法向量为n＝(x，y，z)，
即
即
取x＝1，则y＝－2，z＝1，∴n＝(1，－2，1)，
设DB与平面DEF所成角为θ，则sin
θ＝.
19.
解：(1)证明：∵PD⊥底面ABCD，CD∥AB，CD⊥AD.
∴以D为原点，DA，DC，DP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系(如图所示)．
由于PD＝CD＝DA＝2AB＝2，
所以D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，1，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2)，M(0，1，1)，
∴＝(－2，0，1)，＝(0，2，0)，
∵⊥平面PAD，
∴是平面PAD的法向量，且·＝0，
∴BM∥平面PAD.
(2)设N(x，0，z)是平面PAD内一点，
∴即
∴在平面PAD内存在点N，使MN⊥平面PBD.
20.
解：(1)证明：由PC⊥平面ABC，DE 平面ABC，故PC⊥DE.
由CE＝2，CD＝DE＝得△CDE为等腰直角三角形，故CD⊥DE.
由PC∩CD＝C，DE垂直于平面PCD内两条相交直线，故DE⊥平面PCD.
(2)由(1)可知，△CDE为等腰直角三角形，∠DCE＝，如图，过D作DF垂直CE于F，易知DF＝FC＝FE＝1，又已知EB＝1，故FB＝2.
由∠ACB＝，得DF∥AC，＝＝，故AC＝DF＝.
以C为坐标原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则C(0，0，0)，P(0，0，3)，A，E(0，2，0)，D(1，1，0)，
＝(1，－1，0)，＝(－1，－1，3)，＝，
设平面PAD的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
由n1·＝0，n1·＝0，
可得故可取n1＝(2，1，1)．
由(1)可知DE⊥平面PCD，故平面PCD的法向量n2可取为，即n2＝(1，－1，0)，
从而法向量n1，n2的夹角的余弦值为
cos
〈n1，n2〉＝＝，
故所求二面角A PD C的余弦值为.
21.
解：(1)证明：设E为BC的中点，由题意得A1E⊥平面ABC，所以A1E⊥AE.
因为AB＝AC，所以AE⊥BC.
故AE⊥平面A1BC.
由D，E分别为B1C1，BC的中点，得DE∥B1B且DE＝B1B，
从而DE∥A1A且DE＝A1A，
所以A1AED为平行四边形．
故A1D∥AE.
又因为AE⊥平面A1BC，所以A1D⊥平面A1BC.
(2)以CB的中点E为原点，分别以射线EA，EB为x轴，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系E xyz，如图所示．
由题意知各点坐标如下：A1(0，0，)，B(0，，0)，D(－，0，)，B1(－，，)．
因此＝(0，，－)，＝(－，－，)，＝(0，，0)．
设平面A1BD的法向量为m＝(x1，y1，z1)，平面B1BD的法向量为n＝(x2，y2，z2)．
可取n＝(，0，1)．
于是|cos〈m，n〉|＝＝.
由题意可知，所求二面角的平面角是钝角，故二面角A1 BD B1的平面角的余弦值为－.
22.
解：(1)证明：在矩形ABCD中，AB＝2AD＝2，O为CD的中点，
∴△AOD，△BOC为等腰直角三角形，
∴∠AOB＝90°，
即OB⊥OA.
在四棱锥D ABCO中，取AO中点H，连接DH，BH，
则OH＝DH＝AO＝，
在Rt△BOH中，BH2＝BO2＋OH2＝，
在△BHD中，DH2＋BH2＝＋＝3，又DB2＝3，
∴DH2＋BH2＝DB2，
∴DH⊥BH.
又DH⊥OA，OA∩BH＝H，
∴DH⊥平面ABCO，
而DH 平面AOD，
∴平面AOD⊥平面ABCO.
(2)分别以OA，OB所在直线为x轴，y轴，O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0，，0)，A(，0，0)，D，C，
∴＝(－，，0)，＝，
＝.
设平面ABD的法向量为n＝(x，y，z)，
即x＝y，x＝z，令x＝1，
则y＝z＝1，n＝(1，1，1)．
设α为直线BC与平面ABD所成的角，
即直线BC与平面ABD所成角的正弦值为.阶段质量检测（二）
一、选择题
1．如果方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞)
B．(1，2)
C.
D．(0，1)
2．已知双曲线－＝1的一条渐近线方程为y＝x，则双曲线的离心率为(　　)
A.
B.
C.
D.
3．抛物线y2＝8x上一点P到焦点的距离为4，则P到坐标原点的距离为(　　)
A．5
B．2
C．4
D.
4．若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2，0)的距离小1，则点P的轨迹为(　　)
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
5．设P是双曲线－＝1(a＞0)上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝3，则|PF2|＝(　　)
A．1或5　　　　
B．6　　　　
C．7　　　　
D．8
6．设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，若曲线C上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线C的离心率等于(　　)
A.或　　　　B.或2
C.或2
D.或
7．过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点F(－c，0)(c＞0)作圆x2＋y2＝的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若，则双曲线的离心率为(　　)
A.　　　
B.　　　
C.　　　
D.
8．已知双曲线－＝1的左、右焦点分别是F1、F2，P是双曲线上的一点，若|PF1|＝5，则△PF1F2最大内角的余弦值为(　　)
A．－
B.
C.
D．－
9．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为.双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为(　　)
A.＋＝1　　　B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
10．已知|AB―→|＝3，A，B分别在y轴和x轴上运动，O为原点，，则动点P的轨迹方程是(　　)
A.＋y2＝1
B．x2＋＝1
C.＋y2＝1
D．x2＋＝1
11．探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口的直径为60
cm，灯深40
cm，则抛物线的标准方程可能是(　　)
A．y2＝x
B．y2＝x
C．x2＝－y
D．x2＝－y
12．双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共焦点，它们的离心率互为倒数，则双曲线方程为(　　)
A．y2－3x2＝36
B．x2－3y2＝36
C．3y2－x2＝36
D．3x2－y2＝36
二、填空题
13．以双曲线－＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为________．
14．设F1，F2为曲线C1：＋＝1的焦点，P是曲线C2：－y2＝1与C1的一个交点，则△PF1F2的面积为________．
15．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF＝，则C的离心率e＝________．
16．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点与双曲线x2－＝1的右焦点F重合，抛物线的准线与x轴交于点K，点A在抛物线上且|AK|＝|AF|，则△AFK的面积为________．
三、解答题
17．椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为2.一双曲线和该椭圆有公共焦点，且双曲线的实半轴长比椭圆的长半轴长小4，双曲线离心率与椭圆离心率之比为7∶3，求椭圆和双曲线的方程．
18．已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)两点，且|AB|＝9.
(1)求该抛物线的方程；
(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求λ的值．
19．如图所示，F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右两个焦点，A，B为两个顶点，
已知椭圆C上的点到F1，F2两点的距离之和为4.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过椭圆C的焦点F2作AB的平行线交椭圆于P，Q两点，求△F1PQ的面积．
20．如图，椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)经过点A(0，－1)，且离心率为.
(1)求椭圆E的方程；
(2)经过点(1，1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.
21．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，过点A(0，－b)和B(a，0)的直线与原点的距离为.
(1)求双曲线C的方程；
(2)直线y＝kx＋m(km≠0)与该双曲线C交于不同的两点C，D，且C，D两点都在以点A为圆心的同一圆上，求m的取值范围．
22．已知抛物线C1：x2＝4y的焦点F也是椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点．C1与C2的公共弦的长为2.过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，.
(1)求C2的方程；
(2)若|AC|＝|BD|，求直线l的斜率．
答
案
1.
解析：选D　由x2＋ky2＝2，得＋＝1，
又∵椭圆的焦点在y轴上，
∴＞2，即0＜k＜1.
2.
解析：选A　由＝得b＝a，
∴c＝＝＝a.
∴e＝＝.
3.
解析：选B　抛物线y2＝8x的准线方程为x＝－2，由P到焦点的距离为4知，P到准线的距离为4，故P的横坐标xP＝2，y＝16，|PO|＝eq
\r(x＋y)＝2.
4.
解析：选D　由题意得，点P到直线x＝－2的距离与它到点(2，0)的距离相等，因此点P的轨迹是抛物线．
5.
解析：选C　双曲线－＝1的一条渐近线方程为3x－2y＝0，故a＝2.又P是双曲线上一点，故||PF1|－|PF2||＝4，而|PF1|＝3，则|PF2|＝7.
6.
解析：选A　设|PF1|＝4k，|F1F2|＝3k，|PF2|＝2k.若曲线C为椭圆，则2a＝6k，2c＝3k，∴e＝；若曲线C为双曲线，则2a＝2k，2c＝3k，∴e＝.
7.
解析：选A　设双曲线右焦点为M，∵OE⊥PF，∴在直角三角形OEF中，|EF|＝.
又，
∴E是PF的中点．∴|PF|＝2，
又O是FM的中点，
∴MP⊥FP，∴|PM|＝a，
又|PF|－|PM|＝2a，∴2－a＝2a，
∴离心率e＝＝.
8.
解析：选B　由双曲线定义知|PF2|＝|PF1|±2a.所以|PF2|＝9或|PF2|＝1＜c－a＝2(舍去)．
又|F1F2|＝8，所以△PF1F2的最大内角为∠PF1F2，
cos∠PF1F2＝＝.
9.
解析：选D　因为椭圆的离心率为，所以e＝＝，c2＝a2＝a2－b2，所以b2＝a2，即a2＝4b2.双曲线的渐近线方程为y＝±x，代入椭圆方程得＋＝1，即＋＝＝1，所以x2＝b2，x＝±b，y2＝b2，y＝±b，则在第一象限双曲线的渐近线与椭圆C的交点坐标为，所以四边形的面积为4×b×b＝b2＝16，所以b2＝5，所以椭圆方程为＋＝1.
10.
解析：选A　设P(x，y)，A(0，y0)，B(x0，0)，由已知得(x，y)＝(0，y0)＋(x0，0)，即x＝x0，y＝y0，所以x0＝x，y0＝3y.因为||＝3，所以x＋y＝9，即＋(3y)2＝9，化简整理得动点P的轨迹方程是＋y2＝1.
11.
解析：选C　如果设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，则抛物线过点(40，30)，从而有302＝2p×40，即2p＝，所以所求抛物线方程为y2＝x.
虽然选项中没有y2＝x，但C中的2p＝符合题意．
12.
解析：选A　由4x2＋y2＝64得＋＝1，c2＝64－16＝48，
∴c＝4，e＝＝.
∴双曲线中，c′＝4，e′＝＝.
∴a′＝c′＝6，b′2＝48－36＝12.
∴双曲线方程为－＝1，即y2－3x2＝36.
13.
解析：双曲线焦点(±4，0)，顶点(±2，0)，故椭圆的焦点为(±2，0)，顶点(±4，0)．
答案：＋＝1
14.
解析：由题意知|F1F2|＝2＝4，设P点坐标为(x，y)．
由得
则S△PF1F2＝|F1F2|·|y|＝×4×＝.
答案：
15.
解析：设椭圆的右焦点为F1，在△ABF中，由余弦定理可解得|BF|＝8，所以△ABF为直角三角形，又因为斜边AB的中点为O，所以|OF|＝c＝5，连接AF1，因为A，B关于原点对称，所以|AF1|＝|BF|＝8，所以2a＝14，a＝7，所以离心率e＝.
答案：
16.
解析：由题意得＝2，p＝4，抛物线方程为y2＝8x，K(－2，0)，设A(x0，y0)，|AF|＝a，x0＝a－2，
由|AK|＝a得a2＋y＝2a2，
又y＝8(a－2)，∴a2＝8(a－2)，解得a＝4.
由已知可得|y0|＝a＝4.
∴S△AFK＝×4×4＝8.
答案：8
17.
解：①焦点在x轴上，设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，且c＝.
设双曲线为－＝1(m＞0，n＞0)，
m＝a－4.因为＝，所以＝，
解得a＝7，m＝3.
因为椭圆和双曲线的半焦距为，
所以b2＝36，n2＝4.
所以椭圆方程为＋＝1，
双曲线方程为－＝1.
②焦点在y轴上，椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1.
18.
解：(1)直线AB的方程是y＝2，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝.
由抛物线定义得：|AB|＝x1＋x2＋p＝9，所以p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x.
(2)由p＝4，4x2－5px＋p2＝0
可简化为x2－5x＋4＝0.
从而x1＝1，x2＝4，y1＝－2，y2＝4，
从而A(1，－2)，B(4，4)．
设＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4，4)
＝(4λ＋1，4λ－2)，
又y＝8x3，即[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，
即(2λ－1)2＝4λ＋1，
解得λ＝0或λ＝2.
19.
解：(1)由题设知，2a＝4，即a＝2，
将点代入椭圆方程得＋＝1，解得b2＝3，
故椭圆方程为＋＝1.
(2)由(1)知A(－2，0)，B(0，)，
所以kPQ＝kAB＝，所以PQ所在直线方程为
y＝(x－1)，
由得8y2＋4y－9＝0，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1＋y2＝－，
y1·y2＝－，
所以|y1－y2|＝＝＝，
所以S△F1PQ＝|F1F2|·|y1－y2|＝×2×＝.
20.
解：(1)由题意知＝，b＝1，综合a2＝b2＋c2，
解得a＝，
所以，椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)证明：由题设知，直线PQ的方程为y＝k(x－1)＋1，
代入＋y2＝1，
得(1＋2k2)x2－4k(k－1)x＋2k(k－2)＝0，
由已知Δ＞0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x2≠0，
则x1＋x2＝，
x1x2＝，
从而直线AP与AQ的斜率之和
kAP＋kAQ＝＋＝＋
＝2k＋(2－k)＝2k＋(2－k)
＝2k＋(2－k)＝2k－2(k－1)＝2.
21.
解：(1)－y2＝1.
(2)消去y得，
(1－3k2)x2－6kmx－3m2－3＝0，
由已知，1－3k2≠0且Δ＝12(m2＋1－3k2)＞0 m2＋1＞3k2.①
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，CD的中点P(x0，y0)，
则x0＝＝，y0＝kx0＋m＝，
因为AP⊥CD，
所以kAP＝＝＝－，
整理得3k2＝4m＋1.②
联立①②得m2－4m＞0，
所以m＜0或m＞4，又3k2＝4m＋1＞0，
所以m＞－，因此－＜m＜0或m＞4.
故m的取值范围为∪(4，＋∞)．
22.
解：(1)由C1：x2＝4y知其焦点F的坐标为(0，1)，
因为F
也是椭圆C2的一个焦点，所以a2－b2＝1.①
又C1与C2的公共弦长为2，C1与C2都关于y轴对称，且C1的方程为：x2＝4y，
由此可知C1与C2的公共点的坐标为，
所以＋＝1.②
联立①②得a2＝9，b2＝8，
故C2的方程为＋＝1.
(2)如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，
从而x3－x1＝x4－x2，即x3－x4＝x1－x2，于是(x3＋x4)2－4x3x4＝(x1＋x2)2－4x1x2.③
设直线l的斜率为k，则l的方程为y＝kx＋1，
由得x2－4kx－4＝0，而x1，x2是这个方程的两根，所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，④
由得(9＋8k2)x2＋16kx－64＝0，
而x3，x4是这个方程的两根，
所以x3＋x4＝－，x3x4＝－，⑤
将④、⑤代入③，得16(k2＋1)＝＋.
即16(k2＋1)＝，
所以(9＋8k2)2＝16×9，
解得k＝±，
即直线l的斜率为±.课时达标训练（六）
[即时达标对点练]
题组1　曲线与方程的概念
1．下列命题正确的是(　　)
A．方程
＝1表示斜率为1，在y轴上的截距是2的直线
B．△ABC的顶点坐标分别为A(0，3)，B(－2，0)，C(2，0)，则中线AO的方程是x＝0
C．到x轴距离为5的点的轨迹方程是y＝5
D．曲线2x2－3y2－2x＋m＝0通过原点的充要条件是m＝0
2．已知定点P(x0，y0)不在直线l：f(x，y)＝0上，则方程f(x，y)－f(x0，y0)＝0表示一条(　　)
A．过点P且垂直于l的直线
B．过点P且平行于l的直线
C．不过点P但垂直于l的直线
D．不过点P但平行于l的直线
题组2　曲线与方程关系的应用
3．方程y＝3x－2(x≥1)表示的曲线为(　　)
A．一条直线
B．一条射线
C．一条线段
D．不能确定
4．曲线C的方程为y＝x(1≤x≤5)，则下列四点中在曲线C上的是(　　)
A．(0，0)
B.
C．(1，5)
D．(4，4)
5．方程x2＋y2＝1(xy<0)表示的曲线形状是(　　)
题组3　轨迹方程的求法
6．到两坐标轴距离之和为4的点M的轨迹方程为(　　)
A．x＋y＝4
B．x－y＝4
C．|x＋y|＝4
D．|x|＋|y|＝4
7．已知点A(1，0)，直线l：y＝2x－4，点R是直线l上的一点，若，则点P的轨迹方程为(　　)
A．y＝－2x
B．y＝2x
C．y＝2x－8
D．y＝2x＋4
8．如图，过点P(2，4)作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于点A，l2交y轴于点B，求线段AB的中点M的轨迹方程．
9．已知圆C：x2＋(y－3)2＝9，过原点作圆C的弦OP，求OP中点Q的轨迹方程．
[能力提升综合练]
1．平面内有两定点A，B，且|AB|＝4，动点P满足||＝4，则点P的轨迹是(　　)
A．线段　　　B．半圆　　　C．圆　　　D．直线
2．方程x＋|y－1|＝0表示的曲线是(　　)
3．在△ABC中，若B，C的坐标分别是(－2，0)、(2，0)，中线AD的长度是3，则A点的轨迹方程是(　　)
A．x2＋y2＝3
B．x2＋y2＝4
C．x2＋y2＝9(y≠0)
D．x2＋y2＝9(x≠0)
4．已知A(－1，0)，B(2，4)，△ABC的面积为10，则动点C的轨迹方程是(　　)
A．4x－3y－16＝0或4x－3y＋16＝0
B．4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0
C．4x－3y＋16＝0或4x－3y＋24＝0
D．4x－3y＋16＝0或4x－3y－24＝0
5．已知方程①x－y＝0；②－＝0；③x2－y2＝0；④＝1，其中能表示直角坐标系的第一、三象限的角平分线C的方程的序号是________．
6．设点F(2，0)，动点P到y轴的距离为d，则满足条件|PF|－d＝2的点P的轨迹方程________．
7．已知三角形ABC中，AB＝2，AC＝BC.
(1)求点C的轨迹方程；
(2)求三角形ABC的面积的最大值．
8．已知圆C的方程为x2＋y2＝4，过圆C上的一动点M作平行于x轴的直线m，设m与y轴的交点为N，若向量，求动点Q的轨迹方程．
答
案
即时达标对点练
1.
解析：选D　对照曲线和方程的概念，A中的方程需满足y≠2；B中“中线AO的方程是x＝0(0≤y≤3)”；而C中，动点的轨迹方程为|y|＝5，从而只有D是正确的．
2.
解析：选B　点P的坐标(x0，y0)满足方程f(x，y)－f(x0，y0)＝0，因此方程表示的直线过点P.又∵f(x0，y0)为非零常数，∴方程可化为f(x，y)＝f(x0，y0)，方程表示的直线与直线l平行．
3.
解析：选B　方程y＝3x－2表示的曲线是一条直线，当x≥1时，它表示一条射线．
4.
解析：选D　(4，4)适合方程y＝x，且满足1≤x≤5.
5.
解析：选C　由x2＋y2＝1可知方程表示的曲线为圆．
又∵xy<0，∴图象在第二、四象限内．
6.
解析：选D　设M点的坐标为(x，y)，则|x|＋|y|＝4.
7.
解析：选B　设点P(x，y)，R(x0，y0)，因为A(1，0)，所以＝(1－x0，－y0)，＝(x－1，y)，
因为，所以
所以代入直线y＝2x－4可得y＝2x.
8.
解：设点M的坐标为(x，y)，
因为M为线段AB的中点，
所以A(2x，0)，B(0，2y)．又因为P(2，4)，
即x＋2y－5＝0.
所以M点的轨迹方程是x＋2y－5＝0.
9.
解：法一：(直接法)如图，因为Q是OP的中点，所以∠OQC＝90°.
设Q(x，y)，由题意，得|OQ|2＋|QC|2＝|OC|2，
即x2＋y2＋[x2＋(y－3)2]＝9，
所以点Q的轨迹方程为x2＋＝(去掉原点)．
法二：(定义法)如图所示，
因为Q是OP的中点，所以∠OQC＝90°，
则Q在以OC为直径的圆上，
故Q点的轨迹方程为x2＋＝(去掉原点)．
法三：(代入法)设P(x1，y1)，Q(x，y)，由题意，
得即
又因为x＋(y1－3)2＝9.
所以4x2＋4＝9，
即点Q的轨迹方程为x2＋＝(去掉原点)．
能力提升综合练
1.
解析：选C　以AB的中点为原点，
以AB所在的直线为x轴建立直角坐标系，则A(－2，0)、B(2，0)．设P(x，y)，则＝2(－x，－y)．∴x2＋y2＝4.即点P的轨迹是圆．
2.
解析：选B　方程x＋|y－1|＝0可化为|y－1|＝－x≥0，则x≤0，因此选B.
3.
解析：选C　易知BC中点D即为原点O，所以|OA|＝3，所以点A的轨迹是以原点为圆心，以3为半径的圆，又因为在△ABC中，A，B，C三点不共线，所以y≠0.所以选C.
4.
解析：选B　由两点式，得直线AB的方程是＝，即4x－3y＋4＝0，
线段AB的长度|AB|＝＝5.
设C的坐标为(x，y)，
则×5×＝10，
即4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0.
5.
解析：①是正确的；②不正确，如点(－1，－1)在第三象限的角平分线上，但其坐标不满足方程－＝0；③不正确．如点(－1，1)满足方程x2－y2＝0，但它不在曲线C上；④不正确．如点(0，0)在曲线上，但其坐标不满足方程＝1.
答案：①
6.
解析：设P点坐标为（x，y）.
由|PF|＝2＋d得＝2＋|x|，化简整理得y2＝4|x|＋4x，当x≥0时，y2＝8x，当x<0时，y＝0.
答案：y2＝8x(x>0)或y＝0(x<0)
7.
解：(1)以AB为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，则A(－1，0)，B(1，0)，
设C(x，y)，由AC＝BC，
得(x－3)2＋y2＝8.因为在△ABC中，A、B、C三点不共线，所以y≠0.
即点C的轨迹方程为(x－3)2＋y2＝8(y≠0)．
(2)由于AB＝2，
所以S△ABC＝×2×|y|＝|y|，
因为(x－3)2＋y2＝8，
所以|y|≤2，所以S△ABC≤2，
即三角形ABC的面积的最大值为2.
8.
解：设点Q的坐标为(x，y)，点M的坐标为(x0，y0)(y0≠0)，则点N的坐标为(0，y0)．
因为，即(x，y)＝(x0，y0)＋(0，y0)＝(x0，2y0)，则x0＝x，y0＝.
又点M在圆C上，所以x＋y＝4，即x2＋＝4(y≠0)．
所以动点Q的轨迹方程是＋＝1(y≠0)．课时达标训练（七）
[即时达标对点练]
题组1　椭圆的标准方程
1．已知方程
＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是(　　)
A．(4，10)
B．(7，10)
C．(4，7)
D．(4，＋∞)
2．已知椭圆
＋＝1的一个焦点为(2，0)，则椭圆的方程是(　　)
A.＋＝1
B.＋＝1
C．x2＋＝1
D.＋＝1
3．椭圆9x2＋16y2＝144的焦点坐标为________．
4．已知椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，－2)且a＝2b，则椭圆的标准方程为________．
题组2　与椭圆有关的轨迹问题
5．已知圆x2＋y2＝1，从这个圆上任意一点P向y轴作垂线，垂足为P′，则PP′的中点M的轨迹方程是(　　)
A．4x2＋y2＝1
B．x2＋＝1
C.＋y2＝1
D．x2＋＝1
6．已知B，C是两个定点，|BC|＝8，且△ABC的周长等于18，求这个三角形的顶点A的轨迹方程．
题组3　椭圆的定义及焦点三角形问题
7．椭圆的两焦点为F1(－4，0)、F2(4，0)，点P在椭圆上，若△PF1F2的面积最大为12，则椭圆方程为________．
8．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－4，0)和C(4，0)，顶点B在椭圆＋＝1上．则＝________．
9．已知椭圆的焦点在x轴上，且焦距为4，P为椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项．
(1)求椭圆的方程；
(2)若△PF1F2的面积为2，求点P坐标．
[能力提升综合练]
1．设定点F1(0，－3)，F2(0，3)，动点P满足条件|PF1|＋|PF2|＝a＋(a>0)，则点P的轨迹是(　　)
A．椭圆
B．线段
C．不存在
D．椭圆或线段
2．椭圆＋y2＝1的两个焦点为F1，F2，过F1作x轴的垂线与椭圆相交，一个交点为P，则△PF1F2的面积等于(　　)
A.　　　　
B.
C.
D．4
3．已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|＝2，若|PF1|与|PF2|的等差中项为|F1F2|，则椭圆C的标准方程为(　　)
A.＋＝1
B.＋＝1或
＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1或
＋＝1
4．设F1，F2是椭圆C：＋＝1的焦点，在曲线C上满足的点P的个数为(　　)
A．0
B．2
C．3
D．4
5．F1，F2分别为椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF2是面积为
的正三角形，则b2的值是________．
6．椭圆＋＝1上的一点M到左焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|等于________．
7．已知椭圆的中心在原点，两焦点F1，F2在x轴上，且过点A(－4，3)．若F1A⊥F2A，求椭圆的标准方程．
8．已知P是椭圆＋y2＝1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点．
(1)当∠F1PF2＝60°时，求△F1PF2的面积；
(2)当∠F1PF2为钝角时，求点P横坐标的取值范围．
答
案
即时达标对点练
1.
解析：选B　由题意知解得72.
解析：选D　由题意知，椭圆焦点在x轴上，且c＝2，
∴a2＝2＋4＝6，
因此椭圆方程为＋＝1，故选D.
3.
解析：椭圆的标准方程为＋＝1，
∴a2＝16，b2＝9，c2＝7，且焦点在x轴上，
∴焦点坐标为(－，0)，(，0)．
答案：(－，0)，(，0)
4.
解析：∵c＝2，a2＝4b2，∴a2－b2＝3b2＝c2＝12，
b2＝4，a2＝16.
又∵焦点在y轴上，∴标准方程为＋＝1.
答案：＋＝1
5.
解析：选A　设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，则x＝，y＝y0.
∵P(x0，y0)在圆x2＋y2＝1上，
∴x＋y＝1.　①
将x0＝2x，y0＝y代入方程①，得4x2＋y2＝1.
6.
解：以过B，C两点的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy，如图所示．
由|BC|＝8，可知点B(－4，0)，C(4，0)．
由|AB|＋|AC|＋|BC|＝18，|BC|＝8，得|AB|＋|AC|＝10.因此，点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a＝10，c＝4.但点A不在x轴上．由a＝5，c＝4，得b2＝a2－c2＝25－16＝9.所以点A的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．
7.
解析：如图，当P在y轴上时△PF1F2面积最大，
∴×8b＝12，∴b＝3，
又∵c＝4，∴a2＝b2＋c2＝25.
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
答案：＋＝1
8.
解析：由椭圆方程＋＝1知，a＝5，b＝3，∴c＝4，即点A(－4，0)和C(4，0)是椭圆的焦点．
又点B在椭圆上，∴|BA|＋|BC|＝2a＝10，且|AC|＝8.
于是，在△ABC中，由正弦定理，得＝＝.
答案：
9.
解：(1)由题意知，2c＝4，c＝2，
|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝8，
即2a＝8，∴a＝4.
∴b2＝a2－c2＝16－4＝12.
∵椭圆的焦点在x轴上，
∴椭圆的方程为＋＝1.
(2)设点P坐标为(x0，y0)，
依题意知，|F1F2||y0|＝2，
∴|y0|＝，y0＝±.
代入椭圆方程eq
\f(x,16)＋eq
\f(y,12)＝1，得x0＝±2，
∴点P坐标为(2，)或(2，－)或(－2，)或(－2，－)．
能力提升综合练
1.
解析：选D　∵a＋≥2＝6，
当且仅当a＝，即a＝3时取等号，
∴当a＝3时，|PF1|＋|PF2|＝6＝|F1F2|，
点P的轨迹是线段F1F2；
当a>0，且a≠3时，|PF1|＋|PF2|>6＝|F1F2|，点P的轨迹是椭圆．
2.
解析：选A　如图所示，
由定义可知，|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，c＝＝，又由PF1⊥F1F2，可设点P的坐标为(－，y0)，代入＋y2＝1，得|y0|＝，即|PF1|＝，所以S△PF1F2＝|PF1|·|F1F2|＝.
3.
解析：选B　由已知2c＝|F1F2|＝2，∴c＝.
∵2a＝|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4，
∴a＝2.∴b2＝a2－c2＝9.
故椭圆C的标准方程是＋＝1或＋＝1.
4.
解析：选B　∵，∴PF1⊥PF2.
∴点P为以线段F1F2为直径的圆与椭圆的交点，且此圆的半径为c＝＝2.
∵b＝2，∴点P为该椭圆y轴的两个端点．
5.
解析：∵|OF2|＝c，∴由已知得＝，
∴c2＝4，c＝2.
设点P的坐标为(x0，y0)，由△POF2为正三角形，
∴|x0|＝1，|y0|＝，代入椭圆方程得＋＝1.
∵a2＝b2＋4，∴b2＋3(b2＋4)＝b2(b2＋4)，
即b4＝12，∴b2＝2.
答案：2
6.
解析：如图，设椭圆的右焦点为F2，则由|MF1|＋|MF2|＝10，知|MF2|＝10－2＝8.
又因为点O为F1F2的中点，点N为MF1的中点，
所以|ON|＝|MF2|＝4.
答案：4
7.
解：设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
设焦点F1(－c，0)，F2(c，0)(c>0)．
∵F1A⊥F2A，
∴(－4＋c)·(－4－c)＋32＝0，
∴c2＝25，即c＝5.
即F1(－5，0)，F2(5，0)．
则2a＝|AF1|＋|AF2|
＝＋
＝＋＝4.
∴a＝2，
∴b2＝a2－c2＝(2)2－52＝15.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
8.
解：(1)由椭圆的定义，得|PF1|＋|PF2|＝4且F1(－，0)，F2(，0)．①
在△F1PF2中，由余弦定理，
得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos
60°.②
由①②得|PF1|·|PF2|＝.
所以S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sin∠F1PF2＝.
(2)设点P(x，y)，由已知∠F1PF2为钝角，
得即(－－x，－y)·(－x，－y)<0.
又y2＝1－，
所以x2<2，解得－所以点P横坐标的范围是.课时达标训练（一）
[即时达标对点练]
题组1　命题的概念
1．下列语句中是命题的是(　　)
A．周期函数的和是周期函数吗？
B．sin
0°＝0
C．求x2－2x＋1>0的解集
D．作△ABC∽△EFG
2．以下语句中：
①{0}∈N；②x2＋y2＝0；③x2>x；④{x|x2＋1＝0}．其中命题的个数是(　　)
A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3
题组2　命题的构成形式
3．把命题“末位数字是4的整数一定能被2整除”改写成“若p，则q”的形式为_______________________________________．
4．命题“若a>0，则二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包含边界)”的条件p：________，结论q：________．它是________命题(填“真”或“假”)．
5．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假，且指出p和q分别指什么．
(1)乘积为1的两个实数互为倒数；
(2)奇函数的图象关于原点对称；
(3)与同一直线平行的两个平面平行．
题组3　判断命题的真假
6．下列命题是真命题的是(　　)
A．所有质数都是奇数
B．若>，则a>b
C．对任意的x∈N，都有x3>x2成立
D．方程x2＋x＋1＝0有实根
7．下列命题中真命题有(　　)
①mx2＋2x－1＝0是一元二次方程；②抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴至少有一个交点；③互相包含的两个集合相等；④空集是任何集合的真子集．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
8．下列命题中真命题的个数为(　　)
①面积相等的三角形是全等三角形；
②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；
③若a>b，则a＋c>b＋c;
④矩形的对角线互相垂直．
A．1
B．2
C．3
D．4
9．下列命题：
①y＝x2＋3为偶函数；②0不是自然数；③{x∈N|0[能力提升综合练]
1．设a、b、c是任意非零平面向量，且相互不共线，则：①(a·b)c＝(c·a)b；②|a|－|b|<|a－b|;
③(b·c)a－(c·a)b不与c垂直；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2，是真命题的有(　　)
A．①②　　　
B．②③　
C．③④　　　
D．②④
2．已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，则下列命题中，假命题是(　　)
A．若a∥b，则α∥β
B．若α⊥β，则a⊥b
C．若a，b相交，则α，β相交
D．若α，β相交，则a，b相交
3．给出命题“方程x2＋ax＋1＝0没有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是(　　)
A．4
B．2
C．0
D．－4
4．已知下列三个命题：
①若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的；
②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；
③直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝相切．
其中真命题的序号为(　　)
A．①②③
B．①②
C．①③
D．②③
5．下列语句中是命题的有________(写出序号)，其中是真命题的有________(写出序号)．
①垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？
②一个数不是正数就是负数；
③大角所对的边大于小角所对的边；
④△ABC中，若∠A＝∠B，则sin
A＝sin
B；
⑤求证方程x2＋x＋1＝0无实根．
6．若命题“ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．
7．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．
(1)奇数不能被2整除；
(2)当(a－1)2＋(b－1)2＝0时，a＝b＝1;
(3)两个相似三角形是全等三角形；
(4)在空间中，平行于同一个平面的两条直线平行．
8．已知A：5x－1>a，B：x>1，请选择适当的实数a，使得利用A，B构造的命题“若p，则q”为真命题．
答
案
即时达标对点练
1.
解析：选B　A选项是疑问句，C、D选项中的语句是祈使句，都不是命题．
2.
解析：选B　①是命题，且是假命题；②、③不能判断真假，不是命题；④不是陈述句，不是命题．
3.
答案：若一个整数的末位数字是4，则它一定能被2整除
4.
解析：a>0时，设a＝1，把(0，0)代入x＋y－1≥0得－1≥0不成立，∴x＋y－1≥0表示直线的右上方区域，∴命题为真命题．
答案：a>0　二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包含边界)　真
5.
解：(1)“若两个实数乘积为1，则这两个实数互为倒数”．它是真命题．
p：两个实数乘积为1，q：两个实数互为倒数．
(2)“若一个函数为奇函数；则它的图象关于原点对称”．它是真命题．
p：一个函数为奇函数；q：函数的图象关于原点对称．
(3)“若两个平面与同一条直线平行，则这两个平面平行”．它是假命题，这两个平面也可能相交．
p：两个平面与同一条直线平行；q：两个平面平行．
6.
解析：选B　选项A错，因为2是偶数也是质数；选项B正确；选项C错，因为当x＝0时x3>x2不成立；选项D错，因为Δ＝12－4＝－3<0，所以方程x2＋x＋1＝0无实根．
7.
解析：选A　①中，当m＝0时，是一元一次方程；②中当Δ＝4＋4a<0时，抛物线与x轴无交点；③是正确的；④中空集不是本身的真子集．
8.
解析：选A　①错；②中若x＝3，y＝0，则xy＝0，但|x|＋|y|≠0，故②错；③正确；④中矩形的对角线不一定互相垂直．
9.
解析：①为真命题；②③④为假命题．
答案：①
能力提升训练
1.
解析：选D　①错，数量积不满足结合律；②对，由向量减法的三角形法则可知有|a|－|b|<|a－b|；③[(b·c)·a－(c·a)·b]·c＝(b·c)(a·c)－(c·a)(b·c)＝0.∴③错；④对．
2.
解析：选D　由已知a⊥α，b⊥β，若α，β相交，a，b有可能异面．
3.
解析：选C　方程无实根时，应满足Δ＝a2－4<0.故a＝0时适合条件．
4.
解析：选C　对于命题①，设球的半径为R，则π＝·πR3，故体积缩小到原来的，命题正确；对于命题②，若两组数据的平均数相同，则它们的标准差不一定相同，例如数据：1，3，5和3，3，3的平均数相同，但标准差不同，命题不正确；对于命题③，圆x2＋y2＝的圆心(0，0)到直线x＋y＋1＝0的距离d＝＝，等于圆的半径，所以直线与圆相切，命题正确．
5.
解析：①是疑问句，没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题；
②是假命题，0既不是正数也不是负数；
③是假命题，没有限制在同一个三角形内；
④是真命题；
⑤是祈使句，不是命题．
答案：②③④　④
6.
解析：∵ax2－2ax－3>0不成立，
∴ax2－2ax－3≤0恒成立．
当a＝0时，－3≤0恒成立；
当a≠0时，则有
解得－3≤a<0.综上，－3≤a≤0.
答案：[－3，0]
7.
解：(1)若一个数是奇数，则它不能被2整除，是真命题．
(2)若(a－1)2＋(b－1)2＝0，则a＝b＝1，是真命题．
(3)若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角形，是假命题．
(4)在空间中，若两条直线平行于同一个平面，则这两条直线平行，是假命题．
8.
解：若视
A为p，B为q，则命题“若p，则q”为“若x>，则x>1”．由命题为真命题可知≥1，解得a≥4；若视B为p，A为q，则命题“若p，则q”为“若x>1，则x>”．由命题为真命题可知≤1，解得a≤4.故a取任一实数均可利用A，B构造出一个真命题，比如这里取a＝1，则有真命题“若x>1，则x>”．课时达标训练（二十）
[即时达标对点练]
题组1　异面直线所成的角
1．已知直线l1的一个方向向量为a＝(1，－2，1)，直线l2的一个方向向量为b＝(2，
－2，0)，则两直线所成角的余弦值为(　　)
A．1
B.
C.
D.
2．在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝2，DD1＝3，则AC与BD1所成角的余弦值为(　　)
A．0
B.
C．－
D.
3．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，BC1与直线AB1夹角的余弦值为　　(　　)
A.
B.
C.
D.
题组2　直线与平面所成的角
4．若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于(　　)
A．120°
B．60°
C．30°
D．以上均错
5．正方体ABCD A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为(　　)
A.
B.
C.
D.
6．如图，正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，M是CE与AD的交点，AC⊥BC，且AC＝BC.
(1)求证：AM⊥平面EBC；
(2)求直线AB与平面EBC所成角的大小．
题组3　二面角
7．如图，过边长为1的正方形ABCD的顶点A作线段EA⊥平面AC，若EA＝1，则平面ADE与平面BCE所成的二面角的大小是(　　)
A．120°
B．45°
C．135°
D．60°
8．平面α的法向量为(1，0，－1)，平面β的法向量为(0，－1，1)，则平面α与平面β所成二面角的大小为________．
9.如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.
(1)证明：平面PQC⊥平面DCQ；
(2)求二面角Q BP C的余弦值．
[能力提升综合练]
1．在长方体ABCD A1B1C1D1中，B1C和C1D与底面所成角分别为60°和45°，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为(　　)
A.　　　
B.
C.　　　
D.
2．已知直角△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝4，D为AB的中点，沿中线将△ACD折起使得AB＝，则二面角A CD B的大小为(　　)
A．60°
B．90°
C．120°
D．150°
3．如图正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，O是面A1B1C1D1的中心，则BO到平面ABC1D1所成角的正弦值为________．
4．四棱柱ABCD A1B1C1D1的侧棱AA1垂直于底面，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD⊥AB，AD＝AB＝AA1＝2BC，E为DD1的中点，F为A1D的中点．
(1)求证：EF∥平面A1BC；
(2)求直线EF与平面A1CD所成角θ的正弦值．
5．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB＝CD＝CF.
(1)求证：BD⊥平面AED；
(2)求二面角F BD C的余弦值．
6．如图，在四棱锥P ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC＝45°，PA＝AD＝2，AC＝1.
(1)求证：PC⊥AD；
(2)求二面角A PC D的正弦值；
(3)若E为棱PA上的点，且异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长．
答
案
即时达标对点练
1.
解析：选D　cos〈a，b〉＝
＝＝＝.
2.
解析：选A　建立如图所示的空间直角坐标系，则D1(0，0，3)，B(2，2，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)．
所以＝(－2，－2，3)，＝(－2，2，0)．
所以cos
〈，〉＝
3.
解析：选A　设CB＝1，则A(2，0，0)，B1(0，2，1)，C1(0，2，0)，B(0，0，1)，＝(0，2，－1)，＝(－2，2，1)．
4.
解析：选C　∵l的方向向量与平面的法向量的夹角为120°，∴它们所在直线的夹角为60°，则直线l与平面α所成的角为90°－60°＝30°.
5.
解析：选D　建系如图，设正方体棱长为1，D(0，0，0)，B1(1，1，1)，B(1，1，0)，
则＝(0，0，1)．
∵B1D⊥平面ACD1，
∴＝(1，1，1)为平面ACD1的法向量．
设BB1与平面ACD1所成的角为θ，
∴cos
θ＝.
6.
解：∵四边形ACDE是正方形，
∴EA⊥AC，AM⊥EC.
∵平面ACDE⊥平面ABC，
∴EA⊥平面ABC.
∴可以以点A为原点，以过A点平行于BC的直线为x轴，分别以AC和AE所在直线为y轴和z轴，建立空间直角坐标系A xyz.
设EA＝AC＝BC＝2，
则A(0，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，E(0，0，2)．
∵M是正方形ACDE的对角线的交点，
∴M(0，1，1)．
∴AM⊥EC，AM⊥CB.
又∵EC∩CB＝C，∴AM⊥平面EBC.
(2)∵AM⊥平面EBC，
∴为平面EBC的一个法向量．
∵＝(0，1，1)，＝(2，2，0)，
∴直线AB与平面EBC所成的角为30°.
7.
解析：选B　以A为原点，分别以AB，AD，AE所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则E(0，0，1)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，＝(1，0，－1)，＝(1，1，－1)．
设平面BCE的法向量为n＝(x，y，z)，
则有
可取n＝(1，0，1)．
又平面EAD的法向量为＝(1，0，0)，
所以cos〈n，〉＝＝，
故平面ADE与平面BCE所成的二面角为45°.
8.
解析：设u＝(1，0，－1)，v＝(0，－1，1)．
α与β所成二面角的大小为θ.
则cos
θ＝±|cos
〈u，v〉|＝±＝±.
∴θ＝或.
答案：或
9.
解：如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长度，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D xyz.
(1)证明：依题意有Q(1，1，0)，C(0，0，1)，P(0，2，0)，则＝(1，1，0)，＝(0，0，1)，＝(1，－1，0)，
即PQ⊥DQ，PQ⊥DC.故PQ⊥平面DCQ.
又PQ 平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ.
(2)依题意有B(1，0，1)，
设n＝(x，y，z)是平面PBC的法向量，则
因此可取n＝(0，－1，－2)．
可取m＝(1，1，1)，所以cos〈m，n〉＝－.
故二面角Q BP C的余弦值为－.
能力提升综合练
1.
解析：选A　建立如图所示的空间直角坐标系，可知∠CB1C1＝60°，∠DC1D1＝
45°，
设B1C1＝1，CC1＝＝DD1.
∴C1D1＝，则有B1(，0，0)，C(，1，)，C1(，1，0)，D(0，1，)．
2.
解析：选C　取CD中点E，在平面BCD内过B点作BF⊥CD，交CD延长线于F.
据题意知AE⊥CD，AE＝BF＝，EF＝2，AB＝.
3.
解析：建立坐标系如图，则B(1，1，0)，O，
＝(1，0，1)是平面ABC1D1的一个法向量．
又＝，
∴BO与平面ABC1D1所成角的正弦值为
答案：
4.
解：(1)证明：∵E，F分别是DD1，DA1的中点，
∴EF∥A1D1.
又A1D1∥B1C1∥BC，
∴EF∥BC，且EF 平面A1BC，BC 平面A1BC，
∴EF∥平面A1BC.
(2)∵AB，AD，AA1两两垂直，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，以AA1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系如图，
设BC＝1，则A(0，0，0)，A1(0，0，2)，C(2，1，0)，D(0，2，0)，D1(0，2，2)，F(0，1，1)，E(0，2，1)，
∴＝(0，1，0)，设平面A1CD的法向量n＝(x，y，z)，
取n＝(1，2，2)，
＝，
∴直线EF与平面A1CD所成角θ的正弦值等于.
5.
解：(1)证明：∵四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，∴∠ADC＝∠BCD＝120°.
又∵CB＝CD，∴∠CDB＝30°.
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BD.
又∵AE⊥BD，且AE∩AD＝A，AE 平面AED，AD 平面AED，∴BD⊥平面AED.
(2)由(1)知AD⊥BD，∴AC⊥BC.
又FC⊥平面ABCD，因此CA，CB，CF两两垂直．
以C为坐标原点，分别以CA，CB，CF所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
不妨设CB＝1，则C(0，0，0)，B(0，1，0)，D，F(0，0，1)，因此＝，＝(0，－1，1)．
设平面BDF的一个法向量为m＝(x，y，z)，
则m·＝0，m·＝0，
即x－y＝0，－y＋z＝0，所以x＝y＝z.
令z＝1，得m＝(，1，1)．
由于＝(0，0，1)是平面BDC的一个法向量，
故二面角F BD C的余弦值为.
6.
解：如图，以点A为原点，AD，AC，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，由题意得A(0，0，0)，D(2，0，0)，C(0，1，0)，B，P(0，0，2)．
(1)证明：易得＝(0，1，－2)，
＝(2，0，0)，
于是·＝0，
所以PC⊥AD.
(2)
＝(0，1，－2)，＝(2，－1，0)．
设平面PCD的法向量n＝(x，y，z)，
不妨令z＝1，可得n＝(1，2，1)．
可取平面PAC的法向量m＝(1，0，0)．
于是cos〈m，n〉＝＝＝，
从而sin〈m，n〉＝.
所以二面角A PC D的正弦值为.
(3)设点E的坐标为(0，0，h)，其中h∈[0，2]．
＝＝.
所以＝cos
30°＝，
解得h＝，即AE的长为.课时达标训练（二十一）
1．如图所示的多面体中，正方形BB1C1C所在平面垂直平面ABC，△ABC是斜边AB＝的等腰直角三角形，B1A1∥BA，B1A1＝BA.
(1)求证：C1A1⊥平面ABB1A1；
(2)求直线BC1与平面AA1C1所成的角的正弦值．
2．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，AB＝2BC＝4，BF＝CF＝AE＝DE，EF＝2，EF∥AB，AF⊥CF，G为FC的中点．
(1)证明：AF∥平面BDG；
(2)求平面ABF与平面BCF所成锐二面角的余弦值．
3．在长方体ABCD A1B1C1D1中，AD＝AA1＝AB，点E是棱AB上一点，且＝λ.
(1)证明：D1E⊥A1D；
(2)是否存在λ，使得二面角D1 EC D的平面角为？并说明理由．
4．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2AD＝4，点E，F，G分别是AB，CD，BC的中点，沿EF将四边形ADFE折起，使得平面ADFE⊥BCFE，形成如图所示的多面体ABCDFE.
(1)求证：BD⊥EG；
(2)求平面DEG与平面DEF所成锐二面角的余弦值．
5．在边长为3的正△ABC中，E，F，P分别是AB，AC，BC边上的点，且满足AE＝CF＝CP＝1(如图1)．将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，连接A1B，A1P(如图2)，使平面A1EF⊥平面BPE.
(1)求证：A1E⊥平面BEP；
(2)求直线A1E与平面A1BP所成角的大小．
6．如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，∠BAC＝60°，A1A＝4，AB＝AC＝2.F为棱AA1上的动点，D是BC1上的点且BD＝DC1.
(1)若DF∥平面ABC，求的值；
(2)当的值为多少时，直线A1C1与平面BFC1所成角的正弦值为？
答
案
1.
解：易知CA，CB，CC1两两垂直，且CA＝CB＝CC1＝1，故以C为原点，以CA为x轴建立空间直角坐标系如图所示，
则A(1，0，0)，B(0，1，0)，C1(0，0，1)，A1，
∴C1A1⊥AA1，C1A1⊥AB.
又∵AA1∩AB＝A，
∴C1A1⊥平面ABB1A1.
(2)设平面AA1C1的法向量为n＝(x，y，z)，
令x＝1，则n＝(1，－1，1)．
又＝(0，－1，1)，
设直线BC1与平面AA1C1所成的角为θ，
2.
解：(1)证明：连接AC交BD于O点，则O为AC的中点，连接OG，
∵点G为FC的中点，∴OG∥AF.
∵AF 平面BDG，OG 平面BDG，∴AF∥平面BDG.
(2)取AD的中点M，BC的中点Q，连接MQ，则MQ∥AB∥EF，
∴M，Q，F，E共面．
作FP⊥MQ于P，EN⊥MQ于N，则EN∥FP且EN＝FP.
连接EM，FQ，∵AE＝DE＝BF＝CF，AD＝BC，
∴△ADE≌△BCF，∴EM＝FQ，
∴Rt△ENM≌Rt△FPQ，
∴MN＝PQ＝1.
∵BF＝CF，Q为BC中点，
∴BC⊥FQ.
又BC⊥MQ，FQ∩MQ＝Q，
∴BC⊥平面MQFE，
∴PF⊥BC，
∴PF⊥平面ABCD.
以P为原点，PM所在直线为x轴，PF所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则A(3，1，0)，B(－1，1，0)，C(－1，－1，0)，设F(0，0，h)(h>0)，则＝(－3，－1，h)，＝(1，1，h)．
∵AF⊥CF，
∴·＝0，解得h＝2.
则＝(－3，－1，2)，＝(1，－1，2)，
设平面ABF的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
令z1＝1，得x1＝0，y1＝2，
∴n1＝(0，2，1)．
同理得平面
BCF的一个法向量为n2＝(－2，0，1)．
∴|cos〈n1，n2〉|＝＝＝，
∴平面ABF与平面BCF所成锐二面角的余弦值为.
3.
解：(1)以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，如图所示．
不妨设AD＝AA1＝1，AB＝2，
则D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，2，0)，C(0，2，0)，A1(1，0，1)，B1(1，2，1)，C1(0，2，1)，D1(0，0，1)．
因为＝λ，
所以E，
于是＝，＝(－1，0，－1)，
所以·＝·(－1，0，－1)＝－1＋0＋1＝0，
故D1E⊥A1D.
(2)因为DD1⊥平面ABCD，所以平面DEC的一个法向量为n＝(0，0，1)，
设平面D1EC的法向量为n1＝(x，y，z)，又＝，＝(0，－2，1)，
整理得取y＝1，则n1＝.
因为二面角D1 EC D的平面角为，
所以＝，即＝，解得λ＝－1.
故存在λ＝－1，使得二面角D1 EC D的平面角为.
4.
解：(1)∵AD∥BC，BC＝2AD＝4，E，F分别是AB，CD的中点，
∴AD∥EF，EF∥BC，EF＝3.
∵∠ABC＝90°，∴EF⊥AE，EF⊥BE，
∴EF⊥平面AEB.
∵平面ADFE⊥平面BCFE，
∴AE⊥EB，∴EB，EF，EA两两垂直．
以点E为坐标原点，EB，EF，EA分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系
由已知得，E(0，0，0)，A(0，0，2)，B(2，0，0)，C(2，4，0)，F(0，3，0)，D(0，2，2)，G(2，2，0)，
∴＝(2，2，0)，＝(－2，2，2)．
∴·＝－2×2＋2×2＝0，
∴BD⊥EG.
(2)由已知，得＝(2，0，0)是平面DEF的一个法向量．
设平面DEG的法向量为n＝(x，y，z)，
设平面DEG与平面DEF所成锐二面角的大小为θ，
则
∴平面DEG与平面DEF所成锐二面角的余弦值为.
5.
解：(1)在图1中，取BE的中点D，连接DF.
∵AE＝CF＝1，∴AF＝AD＝2，
而∠A＝60°，∴△ADF是正三角形，
又AE＝DE＝1，∴EF⊥AD.
在图2中，A1E⊥EF，BE⊥EF，
∴∠A1EB为二面角A1 EF B的平面角．
由题设条件知，此二面角为直二面角，即A1E⊥BE，
∴A1E⊥平面BEF，即A1E⊥平面BEP.
(2)分别以EB，EF，EA1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则E(0，0，0)，A1(0，0，1)，B(2，0，0)，F(0，，0)，P(1，，0)，
则＝(0，0，－1)，＝(2，0，－1)，
＝(－1，，0)．
设平面A1BP的法向量为n＝(x，y，z)，
由n⊥平面A1BP知，n⊥，n⊥，
即
令x＝，得y＝1，z＝2，则n＝(，1，2)，
∴直线A1E与平面A1BP所成的角为30°.
6.
解：(1)如图，以A为原点，BC边上的高所在直线为x轴，平行于BC的直线为y轴，AA1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系A xyz，∵A1A＝4，∴A1(0，0，4)，
∵∠BAC＝60°，AB＝AC＝2，
∴B(，－1，0)，C(，1，0)，C1(，1，4)，
∵D是BC1上的点且BD＝DC1，
∴D(，0，2)．
∵DF∥平面ABC，平面ABC的一个法向量为(0，0，1)，∴4λ－2＝0，即λ＝，∴的值为1.
设平面BFC1的法向量为n＝(x，y，z)，
则
令z＝，则n＝(4m－2，－2，)．
∵＝(，1，0)，直线A1C1与平面BFC1所成角的正弦值为，
∴＝，解得m＝，∴的值为.课时达标训练（十）
[即时达标对点练]
题组1　双曲线的标准方程
1．双曲线－＝1的焦距为(　　)
A．3
B．4
C．3
D．4
2．已知双曲线的a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为(　　)
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1或
－＝1
D.－＝0或
－＝0
3．若方程－＝1表示双曲线，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－1，3)
B．(－1，＋∞)
C．(3，＋∞)
D．(－∞，－1)
4．焦点分别为(－2，0)，(2，0)且经过点(2，3)的双曲线的标准方程为(　　)
A．x2－＝1
B.－y2＝1
C．y2－＝1
D.－＝1
题组2　双曲线定义的应用
5．已知F1(－8，3)，F2(2，3)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝10，则P点的轨迹是(　　)
A．双曲线
B．双曲线的一支
C．直线
D．一条射线
6．双曲线
－＝1的两个焦点分别是F1，F2，双曲线上一点P到焦点F1的距离是12，则点P到焦点F2的距离是(　　)
A．17
B．7
C．7或17
D．2或22
7．若椭圆＋＝1(m>n>0)和双曲线－＝1(s，t>0)有相同的焦点F1和F2，而P是这两条曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值是(　　)
A．m－s
B.(m－s)
C．m2－s2
D.－
题组3　与双曲线有关的轨迹问题
8．已知动圆M过定点B(－4，0)，且和定圆(x－4)2＋y2＝16相切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　)
A.－＝1(x>0)
B.－＝1(x<0)
C.－＝1
D.－＝1
9．△ABC的一边的两个顶点B(－a，0)，C(a，0)(a>0)，另两边的斜率之积等于m(m≠0)．求顶点A的轨迹方程，并且根据m的取值情况讨论轨迹的图形．
[能力提升综合练]
1．双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点坐标为(0，3)，则k的值是(　　)
A．1　　　
B．－1　　　
C.　　　
D．－
2．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值是(　　)
A.
B．1或－2
C．1或
D．1
3．已知定点A，B且|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，则|PA|的最小值为(　　)
A.
B.
C.
D．5
4．已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F1(－，0)，点P位于该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0，2)，则该双曲线的方程是(　　)
A.－y2＝1
B．x2－＝1
C.－＝1
D.－＝1
5．已知方程＋＝1表示的曲线为C.给出以下四个判断：
①当14或t<1时，
曲线C表示双曲线；③若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则14.
其中判断正确的是________(只填正确命题的序号)．
6．若双曲线x2－4y2＝4的左、右焦点分别是F1、F2，过F2的直线交右支于A、B两点，若|AB|＝5，则△AF1B的周长为________．
7．双曲线－＝1的两个焦点为F1，F2，点P在双曲线上．若PF1⊥PF2，求点P到x轴的距离．
8．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若点M在双曲线上，F1，F2为左、右焦点，且|MF1|＋|MF2|＝6，试判别△MF1F2的形状．
答
案
即时达标对点练
1.
解析：选D　由双曲线－＝1可知，
a＝，b＝，c2＝a2＋b2＝12.
∴c＝2，∴焦距为2c＝4.
2.
解析：选C　由于焦点所在轴不确定，
∴有两种情况．
又∵a＝5，c＝7，
∴b2＝72－52＝24.
3.
解析：选B　依题意，应有m＋1>0，即m>－1.
4.
解析：选A　由双曲线定义知，
2a＝－＝5－3＝2，
∴a＝1.
又c＝2，∴b2＝c2－a2＝4－1＝3，
因此所求双曲线的标准方程为x2－＝1.
5.
解析：选D　F1，F2是定点，且|F1F2|＝10，所以满足条件|PF1|－|PF2|＝10的点P的轨迹应为一条射线．
6.
解析：选D　依题意及双曲线定义知，＝10，即12－|PF2|＝±10，∴|PF2|＝2或22，故选D.
7.
解析：选A　不妨设点P是两曲线在第一象限内的交点，由题意得
解得
则|PF1|·|PF2|＝(＋)(－)＝m－s.
8.
解析：选C　设动圆M的半径为r，依题意有|MB|＝r，另设A(4，0)，则有|MA|＝r±4，即|MA|－|MB|＝±4，亦即动圆圆心M到两定点A、B的距离之差的绝对值等于常数4，又4<|AB|，因此动点M的轨迹为双曲线，且c＝4，2a＝4，∴a＝2，a2＝4，b2＝c2－a2＝12，故轨迹方程是－＝1.
9.
解：设顶点A的坐标为(x，y)，则kAB＝，kAC＝.
由题意，得·＝m，即－＝1(y≠0)．
当m>0时，轨迹是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线(两顶点除外)；
当m<0且m≠－1时，轨迹是中心在原点，以坐标轴为对称轴的椭圆(除去与x轴的两个交点)，其中当－1能力提升综合练
1.
解析：选B　原方程可化为－＝1，由焦点坐标是(0，3)可知c＝3，且焦点在y轴上，∴k<0.c2＝－－＝－＝9，∴k＝－1.
2.
解析：选D　由于a>0，03.
解析：选C　如图所示，点P是以A，B为焦点的双曲线的右支上的点，当P在M处时，|PA|最小，最小值为a＋c＝＋2＝.
4.
解析：选B　由题意可设双曲线方程为－＝1，
又由中点坐标公式可得P(，4)，
∴－＝1，解得a2＝1.
5.
解析：①错误，当t＝时，曲线C表示圆；②正确，若C为双曲线，则(4－t)(t－1)<0，∴t<1或t>4;
③正确，若C为焦点在x轴上的椭圆，则4－t>t－1>0.∴1④正确，若曲线C为焦点在y轴上的双曲线，则∴t>4.
答案：②③④
6.
解析：由双曲线定义可知|AF1|＝2a＋|AF2|＝4＋|AF2|；|BF1|＝2a＋|BF2|＝4＋|BF2|，
∴|AF1|＋|BF1|＝8＋|AF2|＋|BF2|＝8＋|AB|＝13.
△AF1B的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝18.
答案：18
7.
解：设点P为(x0，y0)，而F1(－5，0)，F2(5，0)，
即(－5－x0)(5－x0)＋(－y0)·(－y0)＝0，
整理，得x＋y＝25.　①
∵P(x0，y0)在双曲线上，∴eq
\f(x,9)－eq
\f(y,16)＝1.　②
联立①②，得y＝，即|y0|＝.
因此点P到x轴的距离为.
8.
解：(1)椭圆方程可化为＋＝1，焦点在x轴上，且c＝＝，
故设双曲线方程为－＝1，
则有
解得a2＝3，b2＝2，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
(2)不妨设点M在右支上，则有|MF1|－|MF2|＝2，
又|MF1|＋|MF2|＝6，故解得|MF1|＝4，|MF2|＝2.
又|F1F2|＝2，
因此在△MF1F2中，边MF1最长，
因为cos
∠MF2F1＝<0，
所以∠MF2F1为钝角，故△MF1F2为钝角三角形．课时达标对点练（二）
[即时达标对点练]
题组1　四种命题的概念
1．命题“若a A，则b∈B”的否命题是(　　)
A．若a A，则b B　　　　
B．若a∈A，则b B
C．若b∈B，则a A
D．若b B，则a A
2．命题“若x>1，则x>0”的逆命题是__________，逆否命题是__________．
3．下列命题中：
①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；
②正方形的四条边相等；
③若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．
其中互为逆命题的有________；互为否命题的有________；互为逆否命题的有________(填序号)．
题组2　四种命题的真假判断
4．下列命题中为真命题的是(　　)
A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题
B．命题“若x＝1，则x2>1”
的否命题
C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题
D．命题“若x2>1，则x>1”的逆否命题
5．命题“若m＝10，则m2＝100”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题是(　　)
A．原命题、否命题
B．原命题、逆命题
C．原命题、逆否命题
D．逆命题、否命题
6．命题“若x≠1，则x2－1≠0”的真假性为________．
题组3　等价命题的应用
7．判断命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题的真假．
8．证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1.
[能力提升综合练]
1．若命题p的否命题为q，命题p的逆否命题为r，则q与r的关系是(　　)
A．互逆命题　
B．互否命题
C．互为逆否命题
D．以上都不正确
2．下列四个命题：①“若xy＝0，则x＝0，且y＝0”的逆否命题；②“正方形是矩形”的否命题；③“若ac2>bc2，则a>b”的逆命题；④若m>2，则不等式x2－2x＋m>0.其中真命题的个数为(　　)
A．0
B．1
C．2
D．3
3．有下列四个命题：
①“若x＋y＝0，则x、y互为相反数”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆命题；
④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题．
其中真命题的序号为(　　)
A．①②
B．②③
C．①③
D．③④
4．已知原命题“两个无理数的积仍是无理数”，则：
①逆命题是“乘积为无理数的两数都是无理数”；
②否命题是“两个不都是无理数的积也不是无理数”；
③逆否命题是“乘积不是无理数的两个数都不是无理数”．
其中所有正确叙述的序号是________．
5．已知：A表示点，a，b，c表示直线，α，β表示平面，给出下列命题：
①a⊥α，b α，若b∥α，则b⊥a;
②a⊥α，若a⊥β，则α∥β；
③a α，b∩α＝A，c为b在α上的射影，若a⊥c，则a⊥b；
④a⊥α，若b∥α，c∥a，则a⊥b，c⊥b.
其中逆命题为真的是________．
6．已知命题“若m－17．设命题p：若m<0，则关于x的方程x2＋x＋m＝0(m∈R)有实根．
(1)写出命题p的逆命题、否命题、逆否命题；
(2)判断命题p及其逆命题、否命题、逆否命题的真假．(直接写出结论)
8．判断命题：“若b≤－1，则关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题的真假．
答
案
即时达标对点练
1.
解析：选B　命题“若p，则q”的否命题是“若綈p，则綈q”，“∈”与“ ”互为否定形式．
2.
答案：若x>0，则x>1　若x≤0，则x≤1
3.
答案：②和③　①和③　①和②
4.
解析：选A　对A，即判断：“若x>|y|，则x>y”的真假，显然是真命题．
5.
解析：选C　因为原命题是真命题，所以逆否命题也是真命题．
6.
解析：可转化为判断命题的逆否命题的真假，由于原命题的逆否命题是：“若x2－1＝0，则x＝1”，因为x2－1＝0，x＝±1，所以该命题是假命题，因此原命题是假命题．
答案：假命题
7.
解：∵m>0，∴12m>0，∴12m＋4>0.
∴方程x2＋2x－3m＝0的判别式Δ＝12m＋4>0.
∴原命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真．
又原命题与它的逆否命题等价，所以“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题也为真．
8.
证明：“若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为：“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”，
当a＝2b＋1时，a2－4b2－2a＋1＝(2b＋1)2－4b2－2(2b＋1)＋1＝4b2＋4b＋1－4b2－4b－2＋1＝0，
故该命题的逆否命题为真命题，从而原命题也是真命题．
能力提升综合练
1.
解析：选A　设p为“若A，则B”，那么q为“若，则”，r为“若，则”．故q与r为互逆命题．
2.
解析：选B　命题①的逆否命题是“若x≠0，或y≠0，则xy≠0”，为假命题；命题②的否命题是“若一个四边形不是正方形，则它不是矩形”，为假命题；命题③的逆命题是“若a>b，则ac2>bc2”，为假命题；命题④为真命题，当m>2时，方程x2－2x＋m＝0的判别式Δ<0，对应二次函数图象开口向上且与x轴无交点，所以函数值恒大于0.
3.
解析：选C　命题①：“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”是真命题；命题②：可考虑其逆命题“面积相等的三角形是全等三角形”是假命题，因此命题②是假命题；命题③：“若x2＋2x＋q＝0有实根，则q≤1”是真命题；命题④是假命题．
4.
解析：原命题的逆命题、否命题叙述正确．逆否命题应为“乘积不是无理数的两个数不都是无理数”．
答案：①②
5.
解析：④的逆命题：“a⊥α，若a⊥b，c⊥b，则b∥α，c∥a”，而b，c可以在α内，故不正确．
答案：①②③
6.
解析：由已知得，若1∴∴1≤m≤2.
答案：[1，2]
7.
解：(1)p的逆命题：若关于x的方程x2＋x＋m＝0(m∈R)有实根，则m<0.
p的否命题：若m≥0，则关于x的方程x2＋x＋m＝0(m∈R)无实根．
p的逆否命题：若关于x的方程x2＋x＋m＝0(m∈R)无实根，则m≥0.
(2)命题p及其逆否命题是真命题，命题p的逆命题和否命题是假命题．
8.
解：(利用原命题)因为原命题与逆否命题真假性一致，所以只需要判断原命题的真假即可．
方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，因为b≤－1，所以Δ≥4>0，故此方程有两个不相等的实根，即原命题为真，故它的逆否命题也为真．课时达标训练（四）
[即时达标对点练]
题组1　含逻辑联结词的命题的构成
1．已知p：x∈A∩B，则綈p是(　　)
A．x∈A且x B　　　　
B．x A或x B
C．x A且x B
D．x∈A∪B
2．命题：“菱形对角线互相垂直平分”，使用的逻辑联结词的情况是(　　)
A．没有使用逻辑联结词
B．使用了逻辑联结词“且”
C．使用了逻辑联结词“或”
D．使用了逻辑联结词“非”
3．命题p：方向相同的两个向量共线，命题q：方向相反的两个向量共线．
则命题：“p∨q”为___________________________________________________．
4．命题“若abc＝0，则a、b、c中至少有一个为零”的否定为：________，否命题为：________．
题组2　含逻辑联结词的命题的真假判断
5．若命题“p且q”为假，且为假，则(　　)
A．p或q为假
B．q假
C．q真
D．p假
6．已知命题p：x2＋y2＝0，则x，y都为0；命题q：若a2>b2，则a>b.给出下列命题：①p且q；②p或q；③；④.其中为真命题的是(　　)
A．①②
B．①③
C．②③
D．②④
7．由下列各组命题构成的“p∨q”“p∧q”“
”形式的命题中，“p∨q”为真，“p∧q”为假，“”为真的是(　　)
A．p：3为偶数，q：4是奇数
B．p：3＋2＝6，q：5>3
C．p：a∈{a，b}；q：{a}?{a，b}
D．p：Q?R；q：N＝N
8．设a，b，c是非零向量．已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c，则下列命题中真命题是(　　)
A．p∨q
B．p∧q
C．()∧()
D．p∨()
题组3　利用三种命题的真假求参数范围
9．已知p：x2－x≥6，q：x∈Z.若“p∧q”“
”都是假命题，则x的值组成的集合为________．
10．设p：不等式x2－(a＋1)x＋1≤0的解集是 ；q：函数f(x)＝(a＋1)x在定义域内是增函数．如果p∧q为假命题，p∨q为真命题，求a的取值范围．
[能力提升综合练]
1．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(　　)
A．()∨()
B．p∨()
C．()∧()
D．p∨q
2．已知命题p：设x∈R，若|x|＝x，则x>0，命题q：设x∈R，若x2＝3，则x＝，则下列命题为真命题的是(　　)
A．p∨q
B．p∧q
C．()∧q
D．()∨q
3．下列各组命题中满足：“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，“”为真命题的是(　　)
A．p：0＝ ；q：0∈
B．在△ABC中，若cos2A＝cos2B，则A＝B；q：y＝sin
x在第一象限内是增函数
C．p：若a>b，则<；q：不等式|x|>x的解集为(－∞，0)
D．p：圆(x－1)2＋(y－2)2＝1的面积被直线x＝1平分；q：若a·b<0，则a与b的夹角不一定是钝角
4．若命题为真命题，则p，q的真假情况为(　　)
A．p真，q真
B．p真，q假
C．p假，q真
D．p假，q假
5．命题p：不等式ax＋3>0的解集是，命题q：在等差数列{an}中，若a16．已知条件p：(x＋1)2>4，条件q：x>a，且綈p是的充分不必要条件，则a的取值范围是________．
7．分别写出下列各组命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的新命题，并判断其真假．
(1)p：3是9的约数，q：3是18的约数；
(2)p：方程x2＋x－1＝0的两实根符号相同，q：方程x2＋x－1＝0的两实根绝对值相等；
(3)p：π是有理数，q：π是无理数．
8．命题p：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为 ；命题q：函数y＝(2a2－a)x为增函数．分别求出符合下列条件的实数a的取值范围．
(1)p，q至少有一个是真命题；
(2)p或q是真命题且p且q是假命题．
答
案
即时达标对点练
1.
解析：选B　p等价于x∈A且x∈B，所以为x A或x B.
2.
解析：选B　菱形的对角线互相垂直且互相平分，
∴使用了逻辑联结词“且”．
3.
答案：方向相同或相反的两个向量共线
4.
解析：否定形式：若abc＝0，则a、b、c全不为零．
否命题：若abc≠0，则a、b、c全不为零．
答案：若abc＝0，则a、b、c全不为零　若abc≠0，则a、b、c全不为零
5.
解析：选B　为假，则p为真，而p∧q为假，得q为假．
6.
解析：选D　易知，p真，q假，所以p且q假，p或q真，假，真，即真命题是②④，故选D.
7.
解析：选B　由已知得p为假命题，q为真命题，只有B符合．
8.
解析：选A　法一：取a＝c＝(1，0)，b＝(0，1)，显然a·b＝0，b·c＝0，但a·c＝1≠0，∴p是假命题．
a，b，c是非零向量，由a∥b知a＝xb，由b∥c知b＝yc，
∴a＝xyc，∴a∥c，∴q是真命题．
综上知p∨q是真命题，p∧q是假命题．
又∵为真命题，为假命题，
∴()∧()，p∨()都是假命题．
法二：由于a，b，c都是非零向量，
∵a·b＝0，∴a⊥b.∵b·c＝0，
∴b⊥c.如图，
则可能a∥c，∴a·c≠0，∴命题p是假命题，∴是真命题．命题q中，a∥b，则a与b方向相同或相反；b∥c，则b与c方向相同或相反．故a与c方向相同或相反，∴a∥c，即q是真命题，则是假命题．故p∨q是真命题，p∧q，()∧()，p∨()都是假命题．
9.
解析：因为“p∧q”为假，“”为假，所以q为真，p为假．故即
因此，x的值可以是－1，0，1，2.
答案：{－1，0，1，2}
10.
解：对于p，因为不等式x2－(a＋1)x＋1≤0的解集是 ，
所以Δ＝[－(a＋1)]2－4＜0.
解这个不等式得，－3对于q：f(x)＝(a＋1)x在定义域内是增函数，
则有a＋1>1，所以a>0.
又p∧q为假命题，p∨q为真命题，
所以p、q必是一真一假．
当p真q假时有－3综上所述，a的取值范围是(－3，0]∪[1，＋∞)．
能力提升综合练
1.
解析：选A　“至少有一位学员没有降落在指定范围”是指“甲没降落在指定范围”或“乙没降落在指定范围”，应表示为()∨()．
2.
解析：选D　由|x|＝x应得x≥0而不是x>0，故p为假命题；由x2＝3应得x＝±，而不只有x＝，故q为假命题．因此为真命题，从而()∨q也为真命题．
3.
解析：选C　选项A中，命题p假，q假，所以不满足题意；选项B中，命题p真，q假，为假命题，也不满足题意；选项C中，命题p假，q真，p∨q为真命题，p∧q为假命题，为真命题，满足题意；选项D中，p，q都是真命题，不符合题目要求．
4.
解析：选C　若为真命题，则p∨()是假命题，故p和都是假命题，即p假q真．
5.
解析：易知p为假命题，q为真命题，故只有()∧q为真命题．
答案：()∧q
6.
解析：由是的充分不必要条件，可知 ;
但，又一个命题与它的逆否命题等价，可知q p但pq，又p：x>1或x<－3，可知{x|x>a}?{x|x<－3或x>1}，所以a≥1.
答案：[1，＋∞)
7.
解：(1)p或q：3是9的约数或是18的约数，真；
p且q：3是9的约数且是18的约数，真；
非p：3不是9的约数，假．
(2)p或q：方程x2＋x－1＝0的两实根符号相同或绝对值相等，假；
p且q：方程x2＋x－1＝0的两实根符号相同且绝对值相等，假；
非p：方程x2＋x－1＝0的两实根符号不同，真．
(3)p或q：π是有理数或是无理数，真；
p且q：π是有理数且是无理数，假；
非p：π不是有理数，真．
8.
解：因为关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为 ，
所以Δ＝(a－1)2－4a2<0，即a<－1或a>，
所以p为真时a<－1或a>，
为真时－1≤a≤.
因为函数y＝(2a2－a)x为增函数，
所以2a2－a>1，
即a<－或a>1，
所以q为真时a<－或a>1.
为真时－≤a≤1.
(1)若()∧()为真，
则－≤a≤，
所以p，q至少有一个是真时a<－或a>.
即此时a∈∪.
(2)因为p∨q是真命题且p∧q是假命题，
所以p，q一真一假，
所以()∧q为真时
即－1≤a<－；
p∧()为真时即所以p∨q是真命题且p∧q是假命题时，
－1≤a<－或即此时a∈∪.课时达标训练（十一）
[即时达标对点练]
题组1　根据双曲线的标准方程研究几何性质
1．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为(　　)
A．－
B．－4
C．4
D.
2．双曲线－＝1的渐近线方程是(　　)
A．y＝±x
B．y＝±x
C．y＝±x
D．y＝±x
3．已知双曲线－＝1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为(　　)
A.
B.
C.
D.
题组2　由双曲线的几何性质求标准方程
4．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则双曲线方程为(　　)
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
5．中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线方程是(　　)
A．x2－y2＝8
B．x2－y2＝4
C．y2－x2＝8
D．y2－x2＝4
6．已知双曲线两顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±x，求双曲线的标准方程．
题组3　求双曲线的离心率
7．设F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得(|PF1|－|PF2|)2＝b2－3ab，则该双曲线的离心率为(　　)
A.
B.
C．4
D.
8．已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，以线段F1F2为边作等边三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率e＝________．
题组4　直线与双曲线的位置关系
9．已知双曲线方程为x2－＝1，过P(1，0)的直线l与双曲线只有一个公共点，则l的条数为(　　)
A．4
B．3
C．2
D．1
10．若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，那么k的取值范围是________．
[能力提升综合练]
1．如图，ax－y＋b＝0和bx2＋ay2＝ab(ab≠0)所表示的曲线只可能是(　　)
2．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的实轴与虚轴长相等，一个焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线方程为(　　)
A．x2－y2＝2　　　　
B．x2－y2＝
C．x2－y2＝1
D．x2－y2＝
3．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则C的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x
B．y＝±x
C．y＝±x
D．y＝±x
4．已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)与双曲线C2：x2－＝1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点．若C1恰好将线段AB三等分，则(　　)
A．a2＝
B．a2＝13
C．b2＝
D．b2＝2
5．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是________．
6．已知双曲线E的中心为原点，F(3，0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为________．
7．双曲线－＝1(08．中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝2，椭圆的半长轴长与双曲线半实轴长之差为4，离心率之比为3∶7.
(1)求这两曲线方程；
(2)若P为这两曲线的一个交点，求△F1PF2的面积．
答
案
即时达标对点练
1.
解析：选A　由双曲线方程mx2＋y2＝1，知m<0，则双曲线方程可化为y2－＝1，则a2＝1，a＝1.又虚轴长是实轴长的2倍，
∴b＝2，
∴－＝b2＝4，
∴m＝－.
2.
解析：选A　由－＝0，得y2＝x2，即y＝±x.
3.
解析：选B　由题意可知，
此双曲线为等轴双曲线．等轴双曲线的实轴与虚轴相等，则a＝b，c＝＝a，于是e＝＝.
4.
解析：选A　由题意知c＝4，焦点在x轴上，所以＋1＝e2＝4，所以＝，又由a2＋b2＝4a2＝c2＝16，得a2＝4，b2＝12.所以双曲线方程为－＝1.
5.
解析：选A　令y＝0得，x＝－4，
∴等轴双曲线的一个焦点坐标为(－4，0)，
∴c＝4，a2＝c2＝×16＝8，故选A.
6.
解：设以y＝±x为渐近线的双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，
当λ>0时，a2＝4λ，
∴2a＝2＝6 λ＝.
当λ<0时，a2＝－9λ，
∴2a＝2＝6 λ＝－1.
∴双曲线的标准方程为－＝1和－＝1.
7.
解析：选D　由双曲线的定义知，
(|PF1|－|PF2|)2＝4a2，
所以4a2＝b2－3ab，即－3·＝4，
解得＝4(－1舍去)．
因为双曲线的离心率e＝＝，
所以e＝，故选D.
8.
解析：依题意知，F1(－c，0)，F2(c，0)，
不妨设M在x轴上方，则M(0，c)，
所以MF1的中点为，代入双曲线方程可得
－＝1，又c2＝a2＋b2，所以－＝1，
整理得e4－8e2＋4＝0，
解得e2＝4＋2(e2＝4－2<1舍去)，
所以e＝＋1.
答案：＋1
9.
解析：选B　∵双曲线方程为x2－＝1，故P(1，0)为双曲线右顶点，∴过P点且与双曲线只有一个公共点的直线共3条(一条切线和两条与渐近线平行的直线)．
10.
解析：由得x2－(kx＋2)2＝6.
则(1－k2)x2－4kx－10＝0有两个不同的正根．
则得－答案：
能力提升综合练
1.
解析：选C　直线方程可化为y＝ax＋b，曲线方程可化为＋＝1，若a>0，b>0，则曲线表示椭圆，可排除A、B、D，若a>0，b<0，C符合．
2.
解析：选A　设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ>0)，渐近线方程为y＝±x，焦点到渐近线的距离＝，∴c＝2.∵2λ＝c2＝4，∴λ＝2.
3.
解析：选C　因为双曲线－＝1的焦点在x轴上，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.又离心率为e＝＝＝＝，所以＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.
4.
解析：选C　双曲线的渐近线方程为y＝±2x，设直线AB：y＝2x与椭圆C1的一个交点为C(第一象限的交点)，则|OC|＝，
∵tan
∠COx＝2，∴sin
∠COx＝，cos
∠COx＝，
则C的坐标为，
代入椭圆方程得＋＝1，∴a2＝11b2.
∵5＝a2－b2，∴b2＝.
5.
解析：由题可得直线的斜率为，要使直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，只要≥，∴e2＝1＋≥4.
答案：[2，＋∞)
6.
解析：设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
由题意知c＝3，a2＋b2＝9，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)则有：eq
\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x,a2)－\f(y,b2)＝1，,\f(x,a2)－\f(y,b2)＝1，))
两式作差得，＝＝＝，
又AB的斜率是＝1，
所以4b2＝5a2，代入a2＋b2＝9得a2＝4，b2＝5，
所以双曲线标准方程是－＝1.
答案：－＝1
7.
解：由l过两点(a，0)，(0，b)，
设l的方程为bx＋ay－ab＝0.
由原点到l的距离为c，得＝c.
将b＝代入，平方后整理，得
16－16×＋3＝0.令＝x，
则16x2－16x＋3＝0，解得x＝或x＝.
因为e＝，有e＝.故e＝或e＝2.
因为0，所以离心率e为2.
8.
解：(1)设椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1(a，b，m，n>0，且a>b)，
则
解得a＝7，m＝3，所以b＝6，n＝2，
所以椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1.
(2)不妨设F1，F2分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，则|PF1|＋|PF2|＝14，|PF1|－|PF2|＝6，
所以|PF1|＝10，|PF2|＝4，
所以cos
∠F1PF2
＝＝，
所以S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|sin
∠F1PF2
＝×10×4×＝12.