2.2.1
条件概率
课堂探究
探究一
条件概率的计算
对于条件概率的计算问题，首先要判断是否是条件概率，若确定为条件概率，则可采用下面两种方法进行计算：
(1)从古典概型角度看，事件有限定的前提条件，则各事件包含的基本事件个数发生了变化，故首先要准确计算各事件包含的基本事件个数，然后得出条件概率，即
P(B|A)＝，n(AB)表示AB同时发生包含的基本事件的个数，同理n(A)表示事件A发生所包含的基本事件的个数．当然这个公式只是对于古典概型而言，即组成事件A的各基本事件发生的概率相等(等可能事件)．
(2)利用条件概率的定义，先分别求出P(A)和P(A∩B)，再用P(B|A)＝求解．
【典型例题1】
在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不放回地依次抽取2道题，求：
(1)第1次抽到理科题的概率；
(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率；
(3)在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．
思路分析：根据分步乘法计数原理先计算出事件总数，然后计算出各种情况下的事件数后即可求解．
解：设第1次抽到理科题为事件A，第2次抽到理科题为事件B，则第1次和第2次都抽到理科题为事件A∩B.
(1)从5道题中不放回地依次抽取2道题包含的基本事件数为A＝20.根据分步乘法计数原理，事件A包含的基本事件数为A×A＝12.故P(A)＝＝.
(2)因为事件A∩B包含的基本事件数为A＝6，
所以P(A∩B)＝＝.
(3)方法1：由(1)(2)可得，在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为P(B|A)＝＝＝.
方法2：因为事件A∩B包含的基本事件数为6，事件A包含的基本事件数为12，所以P(B|A)＝＝.
探究二
条件概率的应用
复杂的条件概率问题可以先分解为两个(或多个)较简单的互斥事件的并，再求这些简单事件的概率，最后利用概率加法公式P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)求得复杂事件的概率，但在拆分时要保证拆分的事件之间互斥．
【典型例题2】
已知袋中有6个黑球，4个白球，这些球除颜色外其他均相同，从中依次取出3个球，不放回．若第一次取出的是白球，求第三次取出黑球的概率．
思路分析：第三次取出黑球是在第一次取出白球的条件下发生的，属于条件概率．
解：设A＝{第一次取出的是白球}，B＝{第三次取出的是黑球}，则P(B|A)＝＝＝＝.
探究三
易错辨析
易错点：误认为P(B|A)与P(B)相同
【典型例题3】
设某种动物由出生算起活到10岁的概率为0.7，活到20岁的概率为0.3，现有一个10岁的这种动物，则它能活到20岁的概率是多少？
错解：它能活到20岁的概率为0.3.
错因分析：出现错误的原因是不明白题意，误认为动物活到20岁的概率与10岁的动物活到20岁的概率相同．
正解：设该动物活到10岁的事件为A，活到20岁的事件为B，则P(A)＝0.7，P(B)＝0.3.
由于A∩B＝B，所以P(A∩B)＝P(B)．
所以这个动物能活到20岁的概率为P(B|A)＝＝＝.2.3.2
离散型随机变量的方差
课堂探究
探究一
求离散型随机变量的方差
解决求离散型随机变量的方差问题，首先要理解随机变量X的意义，写出X可能取的全部值，其次求出X每个取值对应的概率，列出分布列，然后由期望的定义求出E(X)，最后由方差计算公式求出D(X)．
【典型例题1】
某校从6名学生会干部(其中男生4人，女生2人)中选3人参加市中学生运动会志愿者．
(1)所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列及方差．
(2)在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率．
思路分析：(1)先求出ξ的分布列，再求期望，再利用方差公式求出方差．(2)利用条件概率或用古典概型概率公式求解．
解：(1)ξ的可能取值为0,1,2.
由题意P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝1，
D(ξ)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＝.
(2)设在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的事件为C，“男生甲被选中”包含的基本事件数为C＝10，“男生甲被选中，女生乙也被选中”包含的基本事件数为C＝4，
所以P(C)＝＝＝.故在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为.
探究二
离散型随机变量方差的性质及运算
1．简化运算：当求随机变量ξ的期望与方差时，可首先分析ξ是否服从二项分布，如果服从，则用公式求解，可大大减少运算量．
2．性质应用：注意利用E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b及D(aξ＋b)＝a2D(ξ)求期望与方差．
【典型例题2】
袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一个，ξ表示所取球的标号．
(1)求ξ的分布列、期望和方差．
(2)若η＝aξ＋b，E(η)＝1，D(η)＝11，试求a，b的值．
思路分析：(1)先求出ξ的分布列，再利用公式求出期望与方差．
(2)通过ξ与η的线性关系表示出E(η)，D(η)，列方程组求解．
解：(1)ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
P
所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.5，
D(ξ)＝(0－1.5)2×＋(1－1.5)2×＋(2－1.5)2×＋(3－1.5)2×＋(4－1.5)2×＝2.75.
(2)由D(η)＝a2D(ξ)，得a2×2.75＝11，
即a＝±2.
又E(η)＝aE(ξ)＋b，
所以当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2；
当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4.
所以或即为所求．
探究三
方差的实际应用
离散型随机变量的期望反映了随机变量取值的平均水平，而方差反映了随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度，因此在实际决策问题中，通常需先计算期望，比较一下谁的平均水平高，然后再计算方差，分析一下谁的稳定性较好，因此在利用期望和方差的意义去分析解决实际问题时，两者都要考虑．
【典型例题3】
有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设，为了对重点建设负责，政府到两个建材厂进行抽样检查，他们从中各取等量的样品进行检查，得到它们的抗拉强度指数如下：
X
110
120
125
130
135
P
0.1
0.2
0.4
0.1
0.2
Y
100
115
125
130
145
P
0.1
0.2
0.4
0.1
0.2
其中X和Y分别表示甲、乙两厂钢筋的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度不低于120，比较说明甲、乙两厂的钢筋哪一种稳定性较好．
思路分析：要比较两种钢筋的质量，可先比较甲、乙两种钢筋的平均抗拉强度，即期望，然后比较这两种钢筋质量的稳定性，即方差．
解：E(X)＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125，
E(Y)＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝125，
D(X)＝(110－125)2×0.1＋(120－125)2×0.2＋(125－125)2×0.4＋(130－125)2×0.1＋(135－125)2×0.2＝50，
D(Y)＝(100－125)2×0.1＋(115－125)2×0.2＋(125－125)2×0.4＋(130－125)2×0.1＋(145－125)2×0.2＝165.
由E(X)＝E(Y)，可知甲、乙两厂的钢筋的平均抗拉强度是相等的，且平均抗拉强度都不低于120，但由于D(X)＜D(Y)，即乙厂的钢筋的抗拉强度与其平均值偏差较大，故可认为甲厂的钢筋的质量稳定性较好．
探究四
易错辨析
易错点：用错公式而致误
【典型例题4】
已知随机变量X的概率分布如下表所示：
X
－1
0
1
P
求E(X)，D(X)，的值．
错解：E(X)＝x1p1＋x2p2＋x3p3＝－1×＋0×＋1×＝－，
D(X)＝(x1－E(X))p1＋(x2－E(X))p2＋(x3－E(X))p3＝eq
\b\lc\(\rc\)()×＋eq
\b\lc\(\rc\)()×＋eq
\b\lc\(\rc\)()×＝0，所以＝0.
错因分析：错误的原因是在利用方差的定义求解时，把(xi－E(X))2pi中(xi－E(X))2的平方漏掉了．
正解：E(X)＝x1p1＋x2p2＋x3p3＝－1×＋0×＋1×＝－，
D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋(x3－E(X))2p3
＝eq
\b\lc\(\rc\)()2×＋eq
\b\lc\(\rc\)()2×＋eq
\b\lc\(\rc\)()2×＝，
所以＝＝.2.2.2
事件的独立性
课堂探究
探究一
相互独立事件的判断
判定相互独立事件的方法：
(1)若P(A∩B)＝P(A)×P(B)，则A，B相互独立，即如果A，B同时成立时的概率等于事件A的概率与事件B的概率的积，则可得出事件A，B为相互独立事件．
(2)在实际问题中，判断事件的独立性往往凭经验或借助直观的方法，而不需要通过P(A∩B)＝P(A)×P(B)验证．如有放回的两次抽奖，掷5次同一枚硬币，两人射击等，由事件本身的性质就能直接判定出是否相互影响，从而得出是否相互独立．但对条件较复杂的情形，如甲、乙是地球上两个不同点，“甲地地震”与“乙地地震”就不能轻易判定为相互独立，因为它们可能存在某种内在联系，对这类事件的独立性，需要依据公式P(A∩B)＝P(A)×P(B)来判断．
【典型例题1】
判断下列各对事件是不是相互独立事件：
(1)甲组3名男生、2名女生，乙组2名男生、3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；
(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；
(3)一筐内有6个苹果和3个梨，“从中任意取出1个，取出的是苹果”与“把取出的苹果放回筐内，再从筐内任意取出1个，取出的是梨”．
思路分析：由题目可获取以下主要信息：(1)给出各对事件共三组；(2)要求判断各对事件是不是相互独立事件．解答本题可先看两个事件中的一个事件发生与否对另一个事件发生的概率是否有影响，再判断两个事件是否相互独立．
解：(1)“从甲组选出1名男生”这一事件是否发生对“从乙组选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以二者是相互独立事件．
(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为.可见，前一事件是否发生对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．
(3)由于把取出的苹果又放回筐内，故对“从中任意取出1个，取出的是梨”的概率没有影响，所以二者是相互独立事件．
探究二
求相互独立事件的概率
解决相互独立事件同时发生的概率问题，首先应确定各事件之间是相互独立的，确定这些事件可以同时发生，其次求出每个事件发生的概率，最后根据相互独立事件的概率计算公式求解．
【典型例题2】
高二某同学语文、数学、英语三科的考试成绩在一次考试中排名全班第一的概率：语文为0.9，数学为0.8，英语为0.85，求：
(1)三科成绩均未获得第一名的概率是多少？
(2)恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少？
思路分析：先明确已知事件间的关系，再把所求事件的概率表示成已知事件的概率，最后选择公式计算．
解：分别记该生语文、数学、英语考试成绩排名全班第一的事件为A，B，C，则A，B，C两两相互独立，且P(A)＝0.9，P(B)＝0.8，P(C)＝0.85.
(1)“三科成绩均未获得第一名”可以用
表示，
P(
)＝P()P()P()
＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]
＝(1－0.9)(1－0.8)(1－0.85)＝0.003，
即三科成绩均未获得第一名的概率是0.003.
(2)“恰有一科成绩未获得第一名”可以用(BC)∪(AC)∪(AB)表示．
由于事件BC，AC和AB两两互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的概率公式，所求的概率为P(BC)＋P(AC)＋P(AB
)
＝P()P(B)P(C)＋P(A)P()P(C)＋P(A)P(B)·P()
＝[1－P(A)]P(B)P(C)＋P(A)[1－P(B)]P(C)＋P(A)P(B)[1－P(C)]
＝(1－0.9)×0.8×0.85＋0.9×(1－0.8)×0.85＋0.9×0.8×(1－0.85)＝0.329，
即恰有一科成绩未获得第一名的概率是0.329.
探究三
易错辨析
易错点：不能正确区分相互独立事件与互斥事件而致误
【典型例题3】
设甲、乙两名射手独立地对同一目标进行射击，各射击一次，他们击中目标的概率分别为0.9,0.8，求在一次射击中，目标被击中的概率．
错解：设甲击中目标为事件A，乙击中目标为事件B，甲、乙两人中至少有一人击中目标为事件C.因为C＝A∪B，所以P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1.7.
错因分析：因为甲、乙两名射手独立射击同一目标，所以事件A与B是两个独立事件．错解中运用公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)是误认为A，B是两个互斥事件．
正解一：设甲击中目标为事件A，乙击中目标为事件B，甲、乙两人中至少有一人击中目标为事件C.因为A，B是相互独立事件，所以A与，与B也是相互独立事件，所以P(C)＝P(A)＋P(B)＋P(AB)＝P(A)·P()＋P()·P(B)＋P(A)·P(B)＝0.9×(1－0.8)＋(1－0.9)×0.8＋0.9×0.8＝0.98.
正解二：P(C)＝1－P()＝1－P()＝1－P()·P()＝1－[1－P(A)][1－P(B)]＝1－0.1×0.2＝0.98.2.2.3
独立重复试验与二项分布
课堂探究
探究一
独立重复试验的概率
解决独立重复试验的概率求解问题时，首先要判断涉及的试验是否为独立重复试验，在确定是独立重复试验后再利用公式Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k(其中k＝0,1,2，…，n)来计算．
【典型例题1】
某单位有6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5(每个员工上网与否相互独立)．求：
(1)至少3个人同时上网的概率；
(2)至少几个人同时上网的概率会小于0.3
思路分析：根据题目可获取以下主要信息：(1)单位上网员工的人数；(2)员工上网的概率相同且相互独立．解答本题可先确定6个员工上网开展工作是相互独立试验，再根据题目的要求用n次独立重复试验的概率公式求解．
解：该单位6个员工每个人上网的概率都为0.5，则其对立事件每个人不上网的概率也是0.5.在6个人需上网的条件下，“r个人同时上网”这个事件(记为Ar)的概率为P(Ar)＝C×0.5r×(1－0.5)6－r＝×C(r＝0，1，…，6)．
(1)(方法一)所求概率为P(A3∪A4∪A5∪A6)＝P(A3)＋P(A4)＋P(A5)＋P(A6)＝×(C＋C＋C＋C)＝×(20＋15＋6＋1)＝.
(方法二)所求概率为1－P(A0∪A1∪A2)＝1－×(C＋C＋C)＝1－×(1＋6＋15)＝.
(2)设“至少r个人同时上网”的事件为Br，
P(B6)＝P(A6)＝＜0.3，
P(B5)＝P(A5∪A6)＝P(A5)＋P(A6)＝×(C＋C)＝＜0.3，
P(B4)＝P(A4∪A5∪A6)＝×(C＋C＋C)＝＞0.3.所以至少5个人同时上网的概率小于0.3.
探究二
二项分布的分布列
二项分布的解题步骤
(1)判断随机变量X是否服从二项分布．
看两点：①是否为n次独立重复试验；②随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数．
(2)建立二项分布模型．
(3)确定X的取值并求出相应的概率．
(4)写出分布列．
【典型例题2】
为了防止受污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售．已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互之间没有影响．
(1)求该产品不能销售的概率；
(2)如果产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果产品不能销售，则每件产品亏损80元(即获利－80元)．已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X元，求X的分布列．
思路分析：要求随机变量的分布列，首先根据题目中的条件确定离散型随机变量的取值，然后计算各取值对应的概率．
解：(1)记“该产品不能销售”为事件A，则表示“该产品能够销售”，
所以P(A)＝1－P()＝1－eq
\b\lc\(\rc\)()eq
\b\lc\(\rc\)()＝.
(2)由题意知，X的可能取值为－320，－200，－80,40,160，其概率分别为
P(X＝－320)＝eq
\b\lc\(\rc\)()4＝，
P(X＝－200)＝C×eq
\b\lc\(\rc\)()3×＝，
P(X＝－80)＝C×eq
\b\lc\(\rc\)()2×eq
\b\lc\(\rc\)()2＝，
P(X＝40)＝C××eq
\b\lc\(\rc\)()3＝，
P(X＝160)＝eq
\b\lc\(\rc\)()4＝.
所以X的分布列为
X
－320
－200
－80
40
160
P
探究三
综合应用
二项分布是一种常见的离散型随机变量的概率分布，它的应用十分广泛，利用二项分布的模型可以快速地写出随机变量的分布列，从而简化了求随机变量取每一个具体值的概率的过程，因此，我们应熟练掌握二项分布．利用二项分布解决实际问题的关键在于在实际问题中建立二项分布的模型．
【典型例题3】
某人抛掷一枚硬币，出现正、反面的概率都是，构造数列{an}，使an＝
记Sn＝a1＋a2＋…＋an(n∈N＋)．
(1)求S8＝2时的概率；
(2)求S2≠0，且S8＝2时的概率．
思路分析：弄清“S8＝2”及“S2≠0，且S8＝2”对应的事件，再根据相应公式求解．
解：(1)S8＝2，需8次中有5次正面3次反面，设其概率为P1，则P1＝C53＝Ceq
\b\lc\(\rc\)()8＝×8＝.
(2)S2≠0即前两次同时出现正面或同时出现反面．
①当前两次同时出现正面时，S2＝2，要使S8＝2，需后6次中出现3次正面3次反面．
设其概率为P2，
则P2＝××C×33＝8×＝.
②当前两次同时出现反面时，S2＝－2，要使S8＝2，需后6次中出现5次正面1次反面．设其概率为P3，
则P3＝××C×5＝8×6＝.
所以利用互斥事件的概率公式，当S2≠0，且S8＝2时的概率为P2＋P3＝＋＝.
探究四
易错辨析
易错点：对独立重复试验中“随机变量X＝k”表示的意义理解错误
【典型例题4】
一袋中装有5个白球、3个红球，现从袋中往外取球，每次取一个，取出后记下球的颜色后放回，直到红球出现10次时停止，停止时取球的次数X是一个随机变量，求X＝12的概率．(保留五位小数)
错解1：由题意知这是一个“12次独立重复试验恰有10次发生”的概率问题，由二项分布知P(X＝12)＝C×eq
\b\lc\(\rc\)()10×eq
\b\lc\(\rc\)()2≈0.001
42.
错解2：P(X＝12)指前11次独立重复试验恰有9次发生且第12次必须发生的概率，由二项分布知P(X＝12)＝C×eq
\b\lc\(\rc\)()9×eq
\b\lc\(\rc\)()2×1≈0.003
15.
错因分析：错解1包含了第12次抽到白球的可能，这是不符合题意的；错解2中误认为第12次取到红球这一事件发生的概率为1，这也是不可能的．
正解：记事件A为“取到红球”，则为“取到白球”，P(A)＝，P()＝，X＝12表示事件A在前11次试验中恰有9次发生且在第12次试验中也发生，故P(X＝12)＝C×eq
\b\lc\(\rc\)()9×eq
\b\lc\(\rc\)()2×＝C×eq
\b\lc\(\rc\)()10×eq
\b\lc\(\rc\)()2≈0.001
18.2.1
离散型随机变量及其分布列
课堂探究
探究一
求离散型随机变量的分布列
求离散型随机变量的分布列，首先要确定离散型随机变量X所有可能的取值，并确定其意义．然后求出各取值对应的概率P(Xi)，最后将其列成表格的形式．
【典型例题1】
袋中装有6个同样大小的黑球，编号分别为1,2,3,4,5,6，现从中随机地取出3个球，用ξ表示取出球的最大号码，求ξ的分布列．
思路分析：由题目可获取以下主要信息：①已知黑球的数量和编号；②随机取出3个球．解答本题可先写出ξ的可能取值，再求出ξ中每一个可能值的概率，从而列出分布列．
解：随机变量ξ的可能取值为3,4,5,6.从袋中随机地取出3个球，包含的基本事件总数为C.事件“ξ＝3”包含的基本事件总数为C；事件“ξ＝4”包含的基本事件总数为CC；事件“ξ＝5”包含的基本事件总数为CC；事件“ξ＝6”包含的基本事件总数为CC.从而有P(ξ＝3)＝＝，P(ξ＝4)＝＝，P(ξ＝5)＝＝，P(ξ＝6)＝＝.所以随机变量ξ的分布列为
ξ
3
4
5
6
P
探究二
分布列性质的应用
利用离散型随机变量的分布列可求出随机变量在某个范围内取值时的概率，此时可根据随机变量取值的范围确定随机变量可取哪几个值，再利用分布列即可求得对应范围内的概率．
若分布列中的概率取值中含有字母，可利用性质p1＋p2＋…＋pn＝1求出字母的值，求解时注意pi≥0，i＝1，2，…，n.
【典型例题2】
(1)若离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
P
4a－1
3a2＋a
则a＝__________.
(2)设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝(i＝1,2,3,4)，求：
①P(X＝1或X＝2)；
②Peq
\b\lc\(\rc\)().
思路分析：(1)利用分布列的性质pi＝1求解．
(2)先由分布列的性质求a，再根据X＝1或X＝2，＜X＜的含义，利用分布列求概率．
(1)解析：由分布列的性质可知
解得a＝(a＝－2舍去)．
答案：
(2)解：①因为pi＝＋＋＋＝1，所以a＝10.
则P(X＝1或X＝2)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝.
②由a＝10，可得Peq
\b\lc\(\rc\)()＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＋＝.
探究三
两类特殊的分布
如果一个随机试验只有两个可能的结果，就可以用二点分布来研究．如果某个随机试验有多个结果，而我们只关心某一事件是否发生时，依然可以将其定义为二点分布．
应用超几何分布，首先要确定所给问题是否是超几何分布问题，若是超几何分布问题，则写出N，M，n的取值，然后利用超几何分布的概率公式求出相应的概率，写出其分布列．
【典型例题3】
设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述1次试验的成功次数，则P(ξ＝0)等于( )
A．0
B.
C.
D.
解析：因为2P(ξ＝0)＝P(ξ＝1)，且P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝1，所以P(ξ＝0)＝.
答案：C
【典型例题4】
从含有5件次品的20件产品中，任取3件，试求：
(1)取到的次品数X的分布列；
(2)至少取到1件次品的概率．(精确到0.001)
思路分析：次品数X服从参数为N＝20，M＝5，n＝3的超几何分布，根据超几何分布的概率公式可求出次品数X的分布列．
解：(1)根据题意，取到的次品数X为离散型随机变量，且X服从参数为N＝20，M＝5，n＝3的超几何分布，它的可能取值为0,1,2,3，由公式可得随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P
(2)根据随机变量X的分布列，可得至少取到1件次品的概率为
P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＋＝＋＋＝＝≈0.601或P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－＝1－＝≈0.601.
故至少取到1件次品的概率约为0.601.
探究四
易错辨析
易错点：不能正确理解离散型随机变量分布列的性质而致误
【典型例题5】
若离散型随机变量X的概率分布如下表所示：
X
0
1
P
9c2－c
3－8c
求常数c的值．
错解：由9c2－c＋3－8c＝1，得9c2－9c＋2＝0，解得c＝或c＝.
错因分析：离散型随机变量的概率分布必须同时满足：(1)pi≥0，i＝1,2，…，n；(2)p1＋p2＋p3＋…＋pn＝1，错解错在只满足性质(2)而忽略了性质(1)．
正解：由离散型随机变量的性质，得
解得c＝.2.4
正态分布
课堂探究
探究一
正态分布的概念与正态曲线
解决此类问题要正确理解正态分布的概念及正态密度函数解析式的特点．
(1)用待定系数法求正态变量的概率密度曲线的函数表达式，关键是确定参数μ和σ的值，并注意函数的形式．
(2)当x＝μ时，正态变量的概率密度函数取得最大值，即f(μ)＝为最大值，并注意该式在解题中的应用．
【典型例题1】
如图所示的是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态变量的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差．
思路分析：给出一个正态曲线就给出了该曲线的对称轴和最大值，从而就能求出总体随机变量的期望、标准差以及解析式．
解：从给出的正态曲线可知该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是，所以μ＝20，＝，则σ＝.
所以概率密度函数的解析式是f(x)＝·，x∈(－∞，＋∞)．
总体随机变量的期望是μ＝20，方差是σ2＝()2＝2.
探究二
正态分布中的概率计算
解决正态分布概率求解问题的关键在于充分利用正态曲线的对称性，把待求区间内的概率向已知区间内的概率进行转化，并结合正态分布的3σ原则求解．
【典型例题2】
在某项测量中，测量结果服从正态分布X～N(1,4)，求正态总体X在(－1,1)内取值的概率．
思路分析：解答本题可先求出X在(－1,3)内取值的概率，然后由正态曲线关于x＝1对称知，X在(－1,1)内取值的概率就等于在(－1,3)内取值的概率的一半．
解：由题意得μ＝1，σ＝2，所以P(－1＜X＜3)＝P(1－2＜X＜1＋2)＝0.683.又因为正态曲线关于x＝1对称，所以P(－1＜X＜1)＝P(1＜X＜3)＝P(－1＜X＜3)＝0.341
5.
探究三
正态分布的应用
正态总体在(μ－3σ，μ＋3σ)以外取值的概率只有0.3%的性质，在实际生产中有比较广泛的应用．我们只要知道了正态分布的平均数μ和标准差σ，利用这个性质，就可以判断哪些情况是异常出现的小概率事件(在生产中一般指生产过程出现了问题，没有正常工作),3σ原则应用的基本步骤可分为三步．一是提出统计假设，统计假设里的变量服从正态分布N(μ，σ2)；二是确定一次试验中的取值a是否落入范围(μ－3σ，μ＋3σ)；三是作出判断，如果a∈(μ－3σ，μ＋3σ)，则接受统计假设，如果a (μ－3σ，μ＋3σ)，则拒绝统计假设．
【典型例题3】
已知某车间正常状态下生产的某种零件的尺寸服从正态分布N(27.45,0.052)，质量检验员随机抽查了10个零件，测量得到它们的尺寸如下：
27．34 27.49 27.55 27.23 27.40
27．46 27.38 27.58 27.54 27.68
请你根据正态分布的3σ原则，帮助质量检验员确定哪些零件应该判定为非正常状态下生产的．
思路分析：利用正态变量在区间(μ－3σ，μ＋3σ)内取值的概率是99.7%，零件尺寸落在区间(μ－3σ，μ＋3σ)内则正常，否则不正常．
解：由题意知μ＝27.45，σ＝0.05.因为正态变量在区间(μ－3σ，μ＋3σ)内取值的概率是99.7%，所以我们认为尺寸落在区间(27.45－3×0.05,27.45＋3×0.05)外的零件是非正常状态下生产的，即尺寸为27.23和27.68的零件不符合落在区间(27.45－3×0.05,27.45＋3×0.05)内这一条件，所以可判断它们是在非正常状态下生产的．2.3.1
离散型随机变量的数学期望
课堂探究
探究一
求离散型随机变量的数学期望
解决求离散型随机变量的数学期望问题的关键是求出分布列，只要求出离散型随机变量的分布列，就可以套用数学期望的公式求解．对于aX＋b型随机变量的数学期望，可以利用数学期望的性质求解，也可以求出aX＋b的分布列，再用定义求解．
【典型例题1】
甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是.假设各局比赛结果相互独立．
(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率；
(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分、对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分、对方得1分，求乙队得分X的分布列及数学期望．
思路分析：(1)利用相互独立事件的概率求解．(2)先列出X的所有值，并求出每个X值所对应的概率，列出分布列，然后根据公式求出数学期望．
解：(1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A1，“甲队以3∶1胜利”为事件A2，“甲队以3∶2胜利”为事件A3，
由题意，各局比赛结果相互独立，
故P(A1)＝3＝，
P(A2)＝C2×＝，
P(A3)＝C22×＝.
所以，甲队以3∶0胜利、以3∶1胜利的概率都为，以3∶2胜利的概率为.
(2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A4，
由题意，各局比赛结果相互独立，
所以P(A4)＝C22×＝.
由题意，随机变量X的所有可能的取值为0,1,2,3，
根据事件的互斥性得
P(X＝0)＝P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝，
又P(X＝1)＝P(A3)＝，
P(X＝2)＝P(A4)＝，
P(X＝3)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝2)＝.
故X的分布列为
X
0
1
2
3
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
探究二
特殊分布的数学期望
解决此类问题，首先应依据二项分布、二点分布及超几何分布的特点，判断随机变量属于哪一种分布，再写出随机变量的分布列，然后利用特殊分布的数学期望公式求解．
【典型例题2】
某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2棵．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各棵大树是否成活互不影响．求移栽的4棵大树中：
(1)两种大树各成活1棵的概率；
(2)成活的棵数ξ的分布列与数学期望．
思路分析：本题主要考查独立重复试验和分布列的应用，求解时可由二项分布求数学期望．
解：设Ak表示甲种大树成活k棵，k＝0,1,2，
Bl表示乙种大树成活l棵，l＝0,1,2，
则Ak，Bl(k，l＝0,1,2)相互独立，由独立重复试验中事件发生的概率公式，得
P(Ak)＝C×eq
\b\lc\(\rc\)()k×eq
\b\lc\(\rc\)()2－k，
P(Bl)＝C×eq
\b\lc\(\rc\)()l×eq
\b\lc\(\rc\)()2－l.
据此算得：P(A0)＝，P(A1)＝，P(A2)＝，
P(B0)＝，P(B1)＝，P(B2)＝.
(1)所求概率为P(A1B1)＝P(A1)P(B1)＝×＝.
(2)(方法1)ξ的所有可能值为0,1,2,3,4，
P(ξ＝0)＝P(A0B0)＝×＝，
P(ξ＝1)＝P(A0B1)＋P(A1B0)＝×＋×＝，
P(ξ＝2)＝P(A0B2)＋P(A1B1)＋P(A2B0)＝×＋×＋×＝，
P(ξ＝3)＝P(A1B2)＋P(A2B1)＝×＋×＝，
P(ξ＝4)＝P(A2B2)＝×＝.
综上知ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
P
从而，ξ的数学期望为E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝(棵)．
(方法2)分布列的求法同方法1，令ξ1，ξ2分别表示甲、乙两种大树成活的棵数，则ξ1～Beq
\b\lc\(\rc\)()，ξ2～Beq
\b\lc\(\rc\)()，
所以E(ξ1)＝2×＝(棵)，E(ξ2)＝2×＝1(棵)，
所以E(ξ)＝E(ξ1)＋E(ξ2)＝＋1＝(棵)．
探究三
期望的应用
解决数学期望的应用问题，首先应把实际问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件发生的可能性的大小，并列出分布列，最后利用公式求出相应的数学期望，随机变量的数学期望反映的是离散型随机变量取值的平均水平．在实际问题的决策中，往往把数学期望最大的方案作为最佳方案进行选择．
【典型例题3】
某公司准备将100万元资金投入代理销售业务，现有A，B两个项目可供选择：
①投资A项目一年后获得的利润X1(万元)的分布列如下表所示：
X1
11
12
17
P
a
0.4
b
且X1的数学期望E(X1)＝12.
②投资B项目一年后获得的利润X2(万元)与B项目产品价格的调整有关，B项目产品价格根据销售情况在4月和8月决定是否需要调整，两次调整相互独立且在4月和8月进行价格调整的概率分别为p(0＜p＜1)和1－p.经专家测算评估：B项目产品价格一年内调整次数X(次)与X2的关系如下表所示：
X(次)
0
1
2
X2(万元)
4.12
11.76
20.40
(1)求a，b的值．
(2)求X2的分布列．
(3)若E(X1)＜E(X2)，则选择投资B项目，求此时p的取值范围．
思路分析：(1)由分布列的性质及数学期望的计算公式列方程组求解．
(2)利用相互独立事件同时发生的概率求解．
(3)利用数学期望公式列出不等式求解．
解：(1)由题意得
解得a＝0.5，b＝0.1.
(2)X2的可能取值为4.12,11.76,20.40.
P(X2＝4.12)＝(1－p)[1－(1－p)]＝p(1－p)，
P(X2＝11.76)＝p[1－(1－p)]＋(1－p)(1－p)＝p2＋(1－p)2，P(X2＝20.40)＝p(1－p)．
所以X2的分布列为
X2
4.12
11.76
20.40
P
p(1－p)
p2＋(1－p)2
p(1－p)
(3)由(2)可得E(X2)＝4.12p(1－p)＋11.76[p2＋(1－p)2]＋20.40p(1－p)＝－p2＋p＋11.76.
因为E(X1)＜E(X2)，
所以12＜－p2＋p＋11.76.
所以0.4＜p＜0.6.
当选择投资B项目时，p的取值范围是(0.4,0.6)．
探究四
易错辨析
易错点：对随机变量X取值的意义理解错误而致误
【典型例题4】
某人进行一项试验，若试验成功，则停止试验；若试验失败，则再重新试验一次；若试验3次均失败，则放弃试验．若此人每次试验成功的概率均为，且各次试验互不影响．求此人试验次数X的数学期望．
错解：试验次数X的可能取值为X＝1,2,3，
P(X＝1)＝，P(X＝2)＝×＝，
P(X＝3)＝××＝，
所以X的概率分布如下表所示
X
1
2
3
P
所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
错因分析：错误的主要原因是没有明确随机变量X的取值意义，X＝1表示一次试验就成功，X＝2表示第一次失败，第二次成功，由于试验最多进行3次，所以X＝3表示前两次失败，第三次可能成功也可能失败，所以P(X＝3)＝××eq
\b\lc\(\rc\)()＝.因此，在求随机变量取各值的概率时，务必理解各取值的实际意义，以免出错．
正解：试验次数X的可能取值为1,2,3，
P(X＝1)＝，P(X＝2)＝×＝，
P(X＝3)＝××eq
\b\lc\(\rc\)()＝.
所以X的分布列为
X
1
2
3
P
所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
