2018年高考数学（理）总复习：高考达标检测（打包60份，含答案）

高考达标检测（十二）
函数单调性必考，导数工具离不了
一、选择题
1．(2017·厦门质检)函数y＝x2－ln
x的单调递减区间为(　　)
A．(-1,1)　　　　　　　　
　B．(0,1]
C．(1，＋∞)
D．(0,2)
解析：选B　由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，又由y′＝x－≤0，解得0＜x≤1，所以函数的单调递减区间为(0,1]．
2．(2017·成都外国语学校月考)已知函数f(x)＝x2＋2cos
x，若f′(x)是f(x)的导函数，则函数f′(x)的图象大致是(　　)
解析：选A　设g(x)＝f′(x)＝2x－2sin
x，g′(x)＝2－2cos
x≥0，所以函数f′(x)在R上单调递增．
3．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足≤0，则必有(　　)
A．f(0)＋f(2)＞2f(1)
B．f(0)＋f(2)≤2f(1)
C．f(0)＋f(2)＜2f(1)
D．f(0)＋f(2)≥2f(1)
解析：选A　当x＜1时，f′(x)＜0，此时函数f(x)单调递减，当x＞1时，f′(x)＞0，此时函数f(x)单调递增，
∴当x＝1时，函数f(x)取得极小值同时也取得最小值，
所以f(0)＞f(1)，f(2)＞f(1)，则f(0)＋f(2)＞2f(1)．
4．已知函数f(x)＝xsin
x，x1，x2∈，且f(x1)＜f(x2)，那么(　　)
A．x1－x2＞0
B．x1＋x2＞0
C．x－x＞0
D．x－x＜0
解析：选D　由f(x)＝xsin
x得f′(x)＝sin
x＋xcos
x＝cos
x(tan
x＋x)，当x∈时，f′(x)＞0，即f(x)在上为增函数，又f(－x)＝－xsin(－x)＝xsin
x，因而f(x)为偶函数，∴当f(x1)＜f(x2)时有f(|x1|)＜f(|x2|)，∴|x1|＜|x2|，x－x＜0，故选D.
5．(2016·吉林长春三模)定义在R上的函数f(x)满足：f′(x)＞f(x)恒成立，若x1＜x2，则ex1f(x2)与ex2f(x1)的大小关系为(　　)
A．ex1f(x2)＞ex2f(x1)
B．ex1f(x2)＜ex2f(x1)
C．ex1f(x2)＝ex2f(x1)
D．ex1f(x2)与ex2f(x1)的大小关系不确定
解析：选A　设g(x)＝，则g′(x)＝＝，
由题意g′(x)＞0，所以g(x)单调递增，
当x1＜x2时，g(x1)＜g(x2)，即＜，所以ex1f(x2)＞ex2f(x1)．
6．(2017·广西质检)若函数f(x)＝(x2－cx＋5)ex在区间上单调递增，则实数c的取值范围是(　　)
A．(－∞，2]
B．(－∞，4]
C．(－∞，8]
D．[－2,4]
解析：选B　f′(x)＝[x2＋(2－c)x－c＋5]ex，
∵函数f(x)在区间上单调递增，
等价于x2＋(2－c)x－c＋5≥0对任意x∈恒成立，
即(x＋1)c≤x2＋2x＋5，
∴c≤对任意x∈恒成立，
∵x∈，
∴＝(x＋1)＋≥4，
当且仅当x＝1时等号成立，∴c≤4.
二、填空题
7．函数f(x)＝1＋x－sin
x
在(0,2π)上的单调性为________．
解析：在(0,2π)上有f′(x)＝1－cos
x＞0，所以f(x)在(0,2π)上单调递增．
答案：单调递增
8．(2016·九江模拟)已知函数f(x)＝x2＋2ax－ln
x，若f(x)在区间上是增函数，则实数a的取值范围为________．
解析：f′(x)＝x＋2a－≥0在上恒成立，
即2a≥－x＋在上恒成立，
∵max＝，
∴2a≥，即a≥.
答案：
9．(2017·兰州诊断)若函数f(x)＝x2－ex－ax在R上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是________．
解析：∵f(x)＝x2－ex－ax，∴f′(x)＝2x－ex－a，
∵函数f(x)＝x2－ex－ax在R上存在单调递增区间，
∴f′(x)＝2x－ex－a≥0，即a≤2x－ex有解，
设g(x)＝2x－ex，则g′(x)＝2－ex，
令g′(x)＝0，解得x＝ln
2，
则当x＜ln
2时，g′(x)＞0，g(x)单调递增，
当x＞ln
2时，g′(x)＜0，g(x)单调递减，
∴当x＝ln
2时，g(x)取得最大值，且g(x)max＝g(ln
2)＝2ln
2－2，∴a≤2ln
2－2.
答案：(－∞，2ln
2－2]
三、解答题
10．已知函数f(x)＝x－＋1－aln
x，a＞0.讨论f(x)的单调性．
解：由题意知，f(x)的定义域是(0，＋∞)，导函数f′(x)＝1＋－＝.
设g(x)＝x2－ax＋2，二次方程g(x)＝0的判别式Δ＝a2－8.
①当Δ≤0，即0＜a≤2时，对一切x＞0都有f′(x)≥0.
此时f(x)是(0，＋∞)上的单调递增函数．
②当Δ＞0，即a＞2时，方程g(x)＝0有两个不同的实根x1＝，x2＝，0＜x1＜x2.
所以f(x)，f′(x)随x的变化情况如下表：
x
(0，x1)
x1
(x1，x2)
x2
(x2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
?
极小值
?
此时f(x)在
上单调递增，
在上单调递减，
在上单调递增．
11．(2016·武汉调研)已知函数f(x)＝xln
x.
(1)若函数g(x)＝f(x)＋ax在区间[e2，＋∞)上为增函数，求a的取值范围；
(2)若对任意x∈(0，＋∞)，f(x)≥恒成立，求实数m的最大值．
解：(1)由题意得g′(x)＝f′(x)＋a＝ln
x＋a＋1.
∵函数g(x)在区间[e2，＋∞)上为增函数，
∴当x∈[e2，＋∞)时，g′(x)≥0，
即ln
x＋a＋1≥0在[e2，＋∞)上恒成立．
∴a≥－1－ln
x.
令h(x)＝－ln
x－1，∴a≥h(x)max，
当x∈[e2，＋∞)时，ln
x∈[2，＋∞)，
∴h(x)∈(－∞，－3]，∴a≥－3，
即a的取值范围是[－3，＋∞)．
(2)∵2f(x)≥－x2＋mx－3，
即mx≤2xln
x＋x2＋3，
又x＞0，∴m≤在x∈(0，＋∞)上恒成立．
记t(x)＝＝2ln
x＋x＋.
∴m≤t(x)min.
∵t′(x)＝＋1－＝＝，
令t′(x)＝0，得x＝1或－3(舍)．
当x∈(0,1)时，t′(x)＜0，函数t(x)在(0,1)上单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，t′(x)＞0，
函数t(x)在(1，＋∞)上单调递增．
∴t(x)min＝t(1)＝4.
∴m≤t(x)min＝4，
即m的最大值为4.
12．(2016·湖北八校联考)设函数f(x)＝x2＋ax－ln
x.
(1)若a＝1，试求函数f(x)的单调区间；
(2)令g(x)＝，若函数g(x)在区间(0,1]上是减函数，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝1时，f(x)＝x2＋x－ln
x，定义域为(0，＋∞)，
所以f′(x)＝2x＋1－＝＝，
所以当0＜x＜时，f′(x)＜0，当x＞时，f′(x)＞0，
所以f(x)在上单调递减，
在上单调递增．
(2)g(x)＝＝，
定义域为(0，＋∞)．
则g′(x)＝，
令h(x)＝－x2＋(2－a)x＋a－＋ln
x，则h′(x)＝－2x＋＋＋2－a，令m(x)＝h′(x)，x∈(0，＋∞)，则m′(x)＝－2－－＜0，
故h′(x)在区间(0,1]上单调递减，从而对任意的x∈(0,1]，h′(x)≥h′(1)＝2－a.
①当2－a≥0，即a≤2时，h′(x)≥0，所以h(x)在(0,1]上单调递增，
所以h(x)≤h(1)＝0，即g′(x)≤0，所以g(x)在区间(0,1]上是减函数，满足题意；
②当2－a＜0，即
a＞2时，h′(1)＜0，h′＝－＋a2＋2＞0,0＜＜1，所以y＝h′(x)在区间(0,1]上有唯一零点，设为x0，所以h(x)在(0，x0)上单调递增，在(x0,1]上单调递减，所以h(x0)＞h(1)＝0，而h(e－a)＝－e－2a＋(2－a)e－a＋a－ea＋ln
e－a＜0，所以y＝h(x)在区间(0,1)上唯一零点，设为x′，即函数g′(x)在区间(0,1)上有唯一零点，所以g(x)在区间(0，x′)上单调递减，在(x′，1)上单调递增，不满足题意．
综上可知，实数a的取值范围为(－∞，2]．高考达标检测（十一）导数运算是基点、几何意义是重点、定积分应用是潜考点
一、选择题
1．若
(sin
x－acos
x)dx＝2，则实数a等于(　　)
A．－1　　　　　　　　　　
　B．1
C．－2
D．2
解析：选A　由题意知(－cos
x－asin
x)＝1－a＝2，a＝－1.
2．(2017·衡水调研)曲线y＝1－在点(－1，－1)处的切线方程为(　　)
A．y＝2x＋1
B．y＝2x－1
C．y＝－2x－3
D．y＝－2x－2
解析：选A　∵y＝1－＝，
∴y′＝＝，y′x＝－1＝2，
∴曲线在点(－1，－1)处的切线斜率为2，
∴所求切线方程为y＋1＝2(x＋1)，
即y＝2x＋1.
3．(2017·济南一模)已知曲线f(x)＝ln
x的切线经过原点，则此切线的斜率为(　　)
A．e
B．－e
C.
D．－
解析：选C　法一：∵f(x)＝ln
x，
∴x∈(0，＋∞)，f′(x)＝.
设切点P(x0，ln
x0)，
则切线的斜率为k＝f′(x0)＝＝kOP＝.
∴ln
x0＝1，∴x0＝e，∴k＝＝.
法二：(数形结合法)：在同一坐标系下作出y＝ln
x及曲线y＝ln
x经过原点的切线，由图可知，切线的斜率为正，且小于1，故选C.
4．已知f(x)＝ln
x，g(x)＝x2＋mx＋(m＜0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f(1))，则m的值为(　　)
A．－1
B．－3
C．－4
D．－2
解析：选D　∵f′(x)＝，
∴直线l的斜率为k＝f′(1)＝1.
又f(1)＝0，
∴直线l的方程为y＝x－1.
g′(x)＝x＋m，设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，
则有x0＋m＝1，y0＝x0－1，
又因为y0＝x＋mx0＋(m＜0)，
解得m＝－2，故选D.
5．(2017·南昌二中模拟)设点P是曲线y＝x3－x＋上的任意一点，P点处切线倾斜角α的取值范围为(　　)
A.∪
B.
C.∪
B.
解析：选C　因为y′＝3x2－≥－，故切线斜率k≥－，所以切线倾斜角α的取值范围是∪.
6．已知曲线y＝，则曲线的切线斜率取得最大值时的直线方程为(　　)
A．x＋4y－2＝0
B．x－4y＋2＝0
C．4x＋2y－1＝0
D．4x－2y－1＝0
解析：选A　y′＝＝，因为ex＞0，所以ex＋≥2＝2(当且仅当ex＝，即x＝0时取等号)，则ex＋＋2≥4，故y′＝≤－当(x＝0时取等号)．当x＝0时，曲线的切线斜率取得最大值，此时切点的坐标为，切线的方程为y－＝－(x－0)，即x＋4y－2＝0.故选A.
二、填空题
7．(2017·山西模拟)已知函数f(x)＝则－2f(x)dx＝________.
解析：f(x)＝
＝π×22＋＝π＋6.
答案：π＋6
8．曲线y＝log2x在点(1,0)处的切线与坐标轴所围三角形的面积等于________．
解析：∵y′＝，∴k＝，
∴切线方程为y＝(x－1)，
∴三角形面积为S＝×1×＝＝log2e.
答案：log2e
9．(2016·东营一模)函数f(x)＝xln
x在点P(x0，f(x0))处的切线与直线x＋y＝0垂直，则切点P(x0，f(x0))的坐标为________．
解析：∵f(x)＝xln
x，
∴f′(x)＝ln
x＋1，
由题意得f′(x0)·(－1)＝－1，
即f′(x0)＝1 ln
x0＋1＝1 ln
x0＝0 x0＝1，
∴f(x0)＝1·ln
1＝0，
∴P(1,0)．
答案：(1,0)
三、解答题
10．已知函数f(x)＝x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C.
(1)求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；
(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围．
解：(1)由题意得f′(x)＝x2－4x＋3，
则f′(x)＝(x－2)2－1≥－1，
即过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．
(2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k，
则由题意，及(1)可知，
解得－1≤k＜0或k≥1，
故由－1≤x2－4x＋3＜0或x2－4x＋3≥1，
得x∈(－∞，2－]∪(1,3)∪[2＋，＋∞)．
11．已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.
(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．
解：(1)∵f′(x)＝3x2－8x＋5，
∴f′(2)＝1，又f(2)＝－2，
∴曲线在点(2，f(2))处的切线方程为y＋2＝x－2，
即x－y－4＝0.
(2)设曲线与经过点A(2，－2)的切线相切于点P(x0，x－4x＋5x0－4)，
∵f′(x0)＝3x－8x0＋5，
∴切线方程为y－(－2)＝(3x－8x0＋5)(x－2)，
又切线过点P(x0，x－4x＋5x0－4)，
∴x－4x＋5x0－2＝(3x－8x0＋5)(x0－2)，
整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，
解得x0＝2或1，
∴经过A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0，或y＋2＝0.
12．(2017·洛阳模拟)已知函数f(x)＝ln
x－，曲线y＝f(x)在点处的切线平行于直线y＝10x＋1.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)设直线l为函数g(x)＝ln
x的图象上任意一点A(x0，y0)处的切线，在区间(1，＋∞)上是否存在x0，使得直线l与曲线h(x)＝ex也相切？若存在，满足条件的x0有几个？解：(1)∵函数f(x)＝ln
x－，
∴f′(x)＝＋，
∵曲线y＝f(x)在点处的切线平行于直线y＝10x＋1，
∴f′＝2＋8a＝10，
∴a＝1，
∴f′(x)＝.
∵x＞0且x≠1，
∴f′(x)＞0，
∴函数f(x)的单调递增区间为(0,1)和(1，＋∞)．
(2)存在且唯一，证明如下：
∵g(x)＝ln
x，
∴切线l的方程为y－ln
x0＝(x－x0)，
即y＝x＋ln
x0－1，　①
设直线l与曲线h(x)＝ex相切于点(x1，ex1)，
∵h′(x)＝ex，∴ex1＝，∴x1＝－ln
x0，
∴直线l的方程也可以写成y－＝(x＋ln
x0)，
即y＝x＋＋，　②
由①②得ln
x0－1＝＋，
∴ln
x0＝.
下证：在区间(1，＋∞)上x0存在且唯一．
由(1)可知，
f(x)＝ln
x－在区间(1，＋∞)上单调递增，
又f(e)＝－＜0，
f(e2)＝＞0，
结合零点存在性定理，说明方程f(x)＝0必在区间(e，e2)上有唯一的根，这个根就是所求的唯一x0.高考达标检测（五十七）
坐标系
1．在极坐标系中，直线ρ(sin
θ－cos
θ)＝a与曲线ρ＝2cos
θ－4sin
θ相交于A，B两点，若|AB|＝2，求实数a的值．
解：直线的极坐标方程化为直角坐标方程为x－y＋a＝0，
曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝5，
所以圆心C的坐标为(1，－2)，半径r＝，
所以圆心C到直线的距离为＝
＝，
解得a＝－5或a＝－1.
故实数a的值为－5或－1.
2．在极坐标系中，求曲线ρ＝4cos上任意两点间的距离的最大值．
解：由ρ＝4cos可得ρ2＝4ρ＝2ρcos
θ＋2ρsin
θ，即得x2＋y2＝2x＋2y，配方可得(x－1)2＋(y－)2＝4，该圆的半径为2，则圆上任意两点间距离的最大值为4.
3．在极坐标系中，已知圆C经过点P，圆心为直线ρsin＝－与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．
解：在ρsin＝－中，令θ＝0，得ρ＝1，
所以圆C的圆心坐标为(1,0)．
因为圆C经过点P，
所以圆C的半径PC＝
＝1，于是圆C过极点，
所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cos
θ.
4．在极坐标系中，求直线ρcos＝1与圆ρ＝4sin
θ的交点的极坐标．
解：ρcos＝1化为直角坐标方程为x－y＝2，
即y＝x－2.
ρ＝4sin
θ可化为x2＋y2＝4y，
把y＝x－2代入x2＋y2＝4y，
得4x2－8x＋12＝0，
即x2－2x＋3＝0，
所以x＝，y＝1.
所以直线与圆的交点坐标为(，1)，
化为极坐标为.
5．(2017·邯郸调研)在极坐标系中，已知直线l过点A(1,0)，且其向上的方向与极轴的正方向所成的最小正角为，求：
(1)直线的极坐标方程；
(2)极点到该直线的距离．
解：(1)如图，由正弦定理得
＝.
即ρsin＝sin＝，
∴所求直线的极坐标方程为ρsin＝.
(2)作OH⊥l，垂足为H，
在△OHA中，OA＝1，∠OHA＝，∠OAH＝，
则OH＝OAsin＝，
即极点到该直线的距离等于.
6．(2016·山西质检)在极坐标系中，曲线C的方程为ρ2＝，点R.
(1)以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标；
(2)设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS周长的最小值，及此时P点的直角坐标．
解：(1)∵x＝ρcos
θ，y＝ρsin
θ，
∴曲线C的直角坐标方程为＋y2＝1，
点R的直角坐标为R(2,2)．
(2)设P(cos
θ，sin
θ)，
根据题意可得|PQ|＝2－cos
θ，|QR|＝2－sin
θ，
∴|PQ|＋|QR|＝4－2sin(θ＋60°)，
当θ＝30°时，|PQ|＋|QR|取最小值2，
∴矩形PQRS周长的最小值为4，
此时点P的直角坐标为.
7．(2017·南京模拟)已知直线l：ρsin＝4和圆C：ρ＝2kcos(k≠0)，若直线l上的点到圆C上的点的最小距离等于2.求实数k的值并求圆心C的直角坐标．
解：∵ρ＝kcos
θ－ksin
θ，
∴ρ2＝kρcos
θ－kρsin
θ，
∴圆C的直角坐标方程为x2＋y2－kx＋ky＝0，
即2＋2＝k2，
∴圆心的直角坐标为.
∵ρsin
θ·－ρcos
θ·＝4，
∴直线l的直角坐标方程为x－y＋4＝0，
∴－|k|＝2.
即|k＋4|＝2＋|k|，
两边平方，得|k|＝2k＋3，
∴或
解得k＝－1，
故圆心C的直角坐标为.
8．(2017·贵州联考)已知在一个极坐标系中点C的极坐标为.
(1)求出以C为圆心，半径长为2的圆的极坐标方程(写出解题过程)并画出图形；
(2)在直角坐标系中，以圆C所在极坐标系的极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，点P是圆C上任意一点，Q(5，－)，M是线段PQ的中点，当点P在圆C上运动时，求点M的轨迹的普通方程．
解：(1)如图，设圆C上任意一点A(ρ，θ)，则∠AOC＝θ－或－θ.
由余弦定理得，4＋ρ2－4ρcosθ－＝4，
∴圆C的极坐标方程为ρ＝4cos.作图如图所示．
(2)在直角坐标系中，点C的坐标为(1，)，可设圆C上任意一点P(1＋2cos
α，＋2sin
α)，
设M(x，y)，由Q(5，－)，M是线段PQ的中点，
得点M的轨迹的参数方程为(α为参数)，
即(α为参数)，
∴点M的轨迹的普通方程为(x－3)2＋y2＝1.高考达标检测（五十八）
参数方程
1．(2017·吉林实验中学)已知椭圆C：＋＝1，直线l：(t为参数)．
(1)写出椭圆C的参数方程及直线l的普通方程；
(2)设A(1,0)，若椭圆C上的点P满足到点A的距离与其直线l的距离相等，求点P的坐标．
解：(1)椭圆C的参数方程为：(θ为参数)，
直线l的普通方程为x－y＋9＝0.
(2)设P(2cos
θ，sin
θ)，
则|AP|＝
＝2－cos
θ，
P到直线l的距离
d＝＝.
由|AP|＝d，得3sin
θ－4cos
θ＝5，又sin2θ＋cos2θ＝1，
得sin
θ＝，cos
θ＝－.
故P.
2．已知曲线C1：(t为参数)，曲线C2：(θ为参数)．
(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
(2)若C1上的点P对应的参数为t＝，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：(t为参数)的距离的最小值．
解：(1)曲线C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，曲线C2：＋＝1，
曲线C1是以(－4,3)为圆心，1为半径的圆；
曲线C2是以坐标原点为中心，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．
(2)当t＝时，P(－4,4)，Q(8cos
θ，3sin
θ)，
故M－2＋4cos
θ，2＋sin
θ.
曲线C3为直线x－2y－7＝0，
M到C3的距离d＝|4cos
θ－3sin
θ－13|，
从而当cos
θ＝，sin
θ＝－时，d取最小值.
3．(2017·辽宁五校联考)倾斜角为α的直线l过点P(8,2)，直线l和曲线C：(θ为参数)交于不同的两点M1，M2.
(1)将曲线C的参数方程化为普通方程，并写出直线l的参数方程；
(2)求|PM1|·|PM2|的取值范围．
解：(1)曲线C的普通方程为＋＝1，
直线l的参数方程为(t为参数)．
(2)将l的参数方程代入曲线C的方程得：
(8＋tcos
α)2＋8(2＋tsin
α)2＝32，
整理得(8sin2α＋cos2α)t2＋(16cos
α＋32sin
α)t＋64＝0，
由Δ＝(16cos
α＋32sin
α)2－4×64(8sin2α＋cos2α)>0，
得cos
α>sin
α，故α∈，
∴|PM1|·|PM2|＝|t1t2|＝∈.
4．(2017·山西模拟)在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝4sin.现以极点O为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为(t为参数)．
(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)设直线l和曲线C交于A，B两点，定点P(－2，－3)，求|PA|·|PB|的值．
解：(1)ρ＝4sin＝4sin
θ＋4cos
θ，
所以ρ2＝4ρsin
θ＋4ρcos
θ，
所以x2＋y2－4x－4y＝0，
即(x－2)2＋(y－2)2＝8；
直线l的普通方程为x－y＋2－3＝0.
(2)把直线l的参数方程代入到圆C：
x2＋y2－4x－4y＝0中，
得t2－(4＋5)t＋33＝0，
设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1t2＝33.
点P(－2，－3)显然在直线l上，
由直线标准参数方程下t的几何意义知
|PA|·|PB|＝|t1t2|＝33，
所以|PA|·|PB|＝33.
5．(2017·贵州模拟)极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点为极点，以x轴正半轴为极轴，曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cos
θ(ρ≥0)，曲线C2的参数方程为(t为参数，0≤α＜π)，射线θ＝φ，θ＝φ＋，θ＝φ－与曲线C1分别交于(不包括极点O)点A，B，C.
(1)求证：|OB|＋|OC|＝|OA|；
(2)当φ＝时，B，C两点在曲线C2上，求m与α的值．
解：(1)证明：依题意|OA|＝4cos
φ，
|OB|＝4cos，
|OC|＝4cos，
则|OB|＋|OC|＝4cos＋4cos
＝2(cos
φ－sin
φ)＋2(cos
φ＋sin
φ)
＝4cos
φ＝|OA|.
(2)当φ＝时，B，C两点的极坐标分别为，，化为直角坐标为B，C，所以经过点B，C的直线方程为y－＝－(x－1)，而C2是经过点(m,0)且倾斜角为α的直线，故m＝2，α＝.
6．(2017·唐山模拟)将曲线C1：x2＋y2＝1上所有点的横坐标伸长到原来的
倍(纵坐标不变)得到曲线C2，点A为C1与x轴正半轴的交点，直线l经过点A且倾斜角为30°，记l与曲线C1的另一个交点为B，与曲线C2在第一、三象限的交点分别为C，D.
(1)写出曲线C2的普通方程及直线l的参数方程；
(2)求|AC|－|BD|.
解：(1)由题意可得C2：＋y2＝1，
l：(t为参数)．
(2)将代入＋y2＝1，
整理得5t2＋4t－4＝0.
设点C，D对应的参数分别为t1，t2，
则t1＋t2＝－，
且|AC|＝t1，|AD|＝－t2.
又|AB|＝2|OA|cos
30°＝，
故|AC|－|BD|＝|AC|－
＝|AC|－|AD|＋|AB|
＝t1＋t2＋＝.
7．(2016·长春模拟)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝8cos.
(1)求曲线C2的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；
(2)若曲线C1和曲线C2交于A，B两点，求|AB|的最大值和最小值．
解：(1)对于曲线C2有ρ＝8cos，
即ρ2＝4ρcos
θ＋4ρsin
θ，
因此曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－4x－4y＝0，
即(x－2)2＋(y－2)2＝16，其表示一个圆．
(2)将C1的参数方程代入C2的方程可得，
t2－2sin
α·t－13＝0，
设A，B对应的参数分别为t1，t2，
则t1＋t2＝2sin
α，t1t2＝－13.
所以|AB|＝|t1－t2|＝
＝
＝，
因此|AB|的最大值为8，最小值为2.
8．(2017·云南一模)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．在以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝.
(1)直接写出直线l的普通方程、曲线C的直角坐标方程；
(2)设曲线C上的点到直线l的距离为d，求d的取值范围．
解：(1)直线l的普通方程为x－y＋3＝0.
曲线C的直角坐标方程为3x2＋y2＝3.
(2)∵曲线C的直角坐标方程为3x2＋y2＝3，
即x2＋＝1，
∴曲线C上的点的坐标可表示为(cos
α，sin
α)．
∴d＝
＝
＝.
∴d的最小值为＝，
d的最大值为＝.
∴≤d≤，
即d的取值范围为.高考达标检测（三十二）空间角3类型——线线角、线面角、二面角
1．如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB＝BE＝EC＝2，G，F分别是线段BE，DC的中点．
(1)求证：GF∥平面ADE；
(2)求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值．
解：(1)如图，取AE的中点H，连接HG，HD，
又G是BE的中点，所以GH∥AB，且GH＝AB.
又F是CD的中点，
所以DF＝CD.
由四边形ABCD是矩形，
得AB∥CD，AB＝CD，
所以GH∥DF，且GH＝DF，
从而四边形HGFD是平行四边形，
所以GF∥DH.
又GF 平面ADE，DH 平面ADE，
所以GF∥平面ADE.
(2)如图，在平面BEC内，过点B作BQ∥EC.
因为BE⊥CE，
所以BQ⊥BE.
又因为AB⊥平面BEC，
所以AB⊥BE，AB⊥BQ.
以B为原点，分别以，
，
的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则A(0,0,2)，B(0,0,0)，E(2,0,0)，F(2,2,1)．
因为AB⊥平面BEC，
所以＝(0,0,2)为平面BEC的法向量．
设n＝(x，y，z)为平面AEF的法向量．
又＝(2,0，－2)，＝(2,2，－1)，
由eq
\b\lc\{\rc\
(\a\vs4\al\co1(n·＝0，,n·＝0，))
得
取z＝2，得n＝(2，－1,2)．
从而cos?〈n，〉?＝eq
\f(n·,|n|·||)＝＝，
所以平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值为.
2．(2016·全国丙卷)如图，四棱锥P ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．
(1)证明MN∥平面PAB；
(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．
解：(1)证明：由已知得AM＝AD＝2.
取BP的中点T，连接AT，TN，
由N为PC的中点知TN∥BC，TN＝BC＝2.
又AD∥BC，故TN綊AM，
所以四边形AMNT为平行四边形，于是MN∥AT.
因为MN 平面PAB，AT 平面PAB，
所以MN∥平面PAB.
(2)取BC的中点E，连接AE.
由AB＝AC得AE⊥BC，从而AE⊥AD，
且AE＝＝
＝.
以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz.
由题意知P(0,0,4)，M(0,2,0)，C(，2,0)，N，
＝(0,2，－4)，
＝，
＝.
设n＝(x，y，z)为平面PMN的法向量，
则eq
\b\lc\{\rc\
(\a\vs4\al\co1(n·＝0，,n·＝0，))即
可取n＝(0,2,1)．
于是|cos〈n，〉|＝eq
\f(|n·|,|n|||)＝.
所以直线AN与平面PMN所成角的正弦值为.
3．(2017·潍坊统考)如图，在四棱锥P ABCD中，AD∥BC，平面APD⊥平面ABCD，PA＝PD，E在AD上，且AB＝BC＝CD＝DE＝EA＝2.
(1)求证：平面PEC⊥平面PBD；
(2)设直线PB与平面PEC所成的角为，求平面APB与平面PEC所成的锐二面角的余弦值．
解：(1)证明：连接BE.
在△PAD中，PA＝PD，AE＝ED，
所以PE⊥AD.
又平面APD⊥平面ABCD，平面APD∩平面ABCD＝AD，
所以PE⊥平面ABCD，
故PE⊥BD.
在四边形ABCD中，BC∥DE，且BC＝DE，
所以四边形BCDE为平行四边形，
又BC＝CD，
所以四边形BCDE为菱形，
故BD⊥CE，
又PE∩EC＝E，
所以BD⊥平面PEC，
又BD 平面PBD，
所以平面PEC⊥平面PBD.
(2)取BC的中点F，连接EF.
由(1)可知，△BCE是一个正三角形，所以EF⊥BC，又BC∥AD，
所以EF⊥AD.
又PE⊥平面ABCD，故以E为坐标原点，分别以直线EF、直线ED、直线EP为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
设PE＝t(t>0)，则D(0,2,0)，A(0，－2,0)，P(0,0，t)，F(，0,0)，B(，－1,0)．
因为BD⊥平面PEC，
所以＝(－，3,0)是平面PEC的一个法向量，
又＝(，－1，－t)，
所以cos〈，〉＝eq
\f(·,||·||)＝＝.
由已知可得sin
＝|cos〈，〉|＝，得t＝2.
故P(0,0,2)，＝(，－1，－2)，＝(，1,0)．
设平面APB的法向量为n＝(x，y，z)，
则由eq
\b\lc\{\rc\
(\a\vs4\al\co1(n⊥，,n⊥
))
可得eq
\b\lc\{\rc\
(\a\vs4\al\co1(n·＝\r(3)x－y－2\r(2)z＝0，,n·＝\r(3)x＋y＝0，))
取y＝－，则x＝，z＝，故n＝(，－，)为平面APB的一个法向量，
所以cos〈，n〉＝eq
\f(·n,|
|·|n|)＝＝－.
设平面APB与平面PEC所成的锐二面角为θ，
则cos
θ＝|cos〈，n〉|＝.
4．(2017·郑州模拟)如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，四边形AA1C1C是边长为2的菱形，平面ABC⊥平面AA1C1C，∠A1AC＝60°，∠BCA＝90°.
(1)求证：A1B⊥AC1；
(2)已知点E是AB的中点，BC＝AC，求直线EC1与平面ABB1A1所成的角的正弦值．
解：(1)证明：取AC的中点O，连接A1O，
因为四边形AA1C1C是菱形，
且∠A1AC＝60°，
所以△A1AC为等边三角形，
所以A1O⊥AC.
又平面ABC⊥平面AA1C1C，
平面ABC∩平面AA1C1C＝AC，
所以A1O⊥平面ABC，
所以A1O⊥BC.
又BC⊥AC，A1O∩AC＝O，
所以BC⊥平面AA1C1C，
所以AC1⊥BC.
在菱形AA1C1C中，AC1⊥A1C，
所以AC1⊥平面A1BC，所以A1B⊥AC1.
(2)连接OE，以点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O
xyz，
则A(0，－1,0)，B(2,1,0)，C(0,1,0)，C1(0,2，)，
＝(2,2,0)，＝＝(0,1，)，设m＝(x，y，z)是平面ABB1A1的法向量，则m·＝0，m·＝0，
即取z＝－1，可得m＝(－，，－1)．
又E(1,0,0)，
所以＝(－1,2，)，
设直线EC1与平面ABB1A1所成的角为θ，
则sin
θ＝|cos〈，m〉|＝eq
\f(|·m|,||·|m|)＝.
即直线EC1与平面ABB1A1所成角的正弦值为.高考达标检测（四）
函数的定义域、解析式及分段函数
一、选择题
1．(2016·广东模拟)设函数f(x)满足f
＝1＋x，则f(x)的表达式为(　　)
A.　　　　　　　　　
B.
C.
D.
解析：选A　令＝t，则x＝，代入f
＝1＋x，得f(t)＝1＋＝，即f(x)＝，故选A.
2．(2017·惠州调研)已知函数f(x)的定义域为[0,2]，则g(x)＝的定义域为(　　)
A．[0,1)∪(1,2]
B．[0,1)∪(1,4]
C．[0,1)
D．(1,4]
解析：选C　由题意可知，解得0≤x<1，故g(x)＝的定义域为[0,1)，选C.
3．(2017·福建调研)设函数f：R→R满足f(0)＝1，且对任意x，y∈R都有f(xy＋1)＝f(x)f(y)－f(y)－x＋2，则f(2
017)＝(　　)
A．0
B．1
C．2
017
D．2
018
解析：选D　令x＝y＝0，则f(1)＝f(0)f(0)－f(0)－0＋2＝1×1－1－0＋2＝2，令y＝0，则f(1)＝f(x)f(0)－f(0)－x＋2，将f(0)＝1，f(1)＝2代入，可得f(x)＝1＋x，所以f(2
017)＝
2
018.故选D.
4．若f(x)对于任意实数x恒有2f(x)－f(－x)＝3x＋1，则f(1)＝(　　)
A．2
B．0
C．1
D．－1
解析：选A　令x＝1，得2f(1)－f(－1)＝4，①
令x＝－1，得2f(－1)－f(1)＝－2，　　
　②
联立①②得f(1)＝2.
5．若二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，则g(x)的解析式为(　　)
A．g(x)＝2x2－3x
B．g(x)＝3x2－2x
C．g(x)＝3x2＋2x
D．g(x)＝－3x2－2x
解析：选B　设g(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
∵g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，
∴解得
∴g(x)＝3x2－2x.
6．(2017·青岛模拟)已知函数f(x)＝则使f(x)＝2的x的集合是(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选A　由题意可知，f(x)＝2，即或解得x＝或4，故选A.
7．(2017·莱芜模拟)已知函数f(x)的定义域为[3,6]，则函数y＝eq
\f(f 2x ,\r(log 2－x ))的定义域为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选B　要使函数y＝eq
\f(f 2x ,\r(log 2－x ))有意义，需满足eq
\b\lc\{\rc\
(\a\vs4\al\co1(3≤2x≤6，,logeq
\f(f 2x ,\r(log 2－x )) 2－x >0，,2－x>0)) ≤x<2.故选B.
8．(2017·武汉调研)函数f(x)＝满足f(1)＋f(a)＝2，则a的所有可能取值为(　　)
A．1或－
B．－
C．1
D．1或
解析：选A　∵f(1)＝e1－1＝1且f(1)＋f(a)＝2，
∴f(a)＝1，
当－1∵0∴πa2＝ a＝－；
当a≥0时，f(a)＝ea－1＝1 a＝1.
故a＝－或1.
二、填空题
9．已知函数y＝f(x2－1)的定义域为[－，]，则函数y＝f(x)的定义域为________．
解析：∵y＝f(x2－1)的定义域为[－，]，
∴x∈[－，
]，x2－1∈[－1,2]，
∴y＝f(x)的定义域为[－1,2]．
答案：[－1,2]
10．(2017·杭州模拟)已知f(x)＝使f(x)≥－1成立的x的取值范围是________．
解析：由题意知或
解得－4≤x≤0或0＜x≤2，故x的取值范围是[－4,2]．
答案：[－4,2]
11．具有性质：f
＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数．下列函数：
①y＝x－；②y＝x＋；③y＝
其中满足“倒负”变换的函数是________．(填序号)
解析：对于①，f(x)＝x－，f
＝－x＝－f(x)，满足题意；
对于②，f
＝＋x＝f(x)≠－f(x)，不满足题意；
对于③，f
＝
即f
＝故f
＝－f(x)，满足题意．
答案：①③
12．(2016·北京高考)设函数f(x)＝
①若a＝0，则f(x)的最大值为________；
②若f(x)无最大值，则实数a的取值范围是________．
解析：当x≤a时，由f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1.
如图是函数y＝x3－3x与y＝－2x在没有限制条件时的图象．
①若a＝0，则f(x)max＝f(－1)＝2.
②当a≥－1时，f(x)有最大值；
当a<－1时，y＝－2x在x>a时无最大值，且－2a>(x3－3x)max，所以a<－1.
答案：①2　②(－∞，－1)
三、解答题
13．已知f(x)＝x2－1，g(x)＝
(1)求f(g(2))与g(f(2))；
(2)求f(g(x))与g(f(x))的表达式．
解：(1)由已知，g(2)＝1，f(2)＝3，
因此f(g(2))＝f(1)＝0，g(f(2))＝g(3)＝2.
(2)当x>0时，g(x)＝x－1，
故f(g(x))＝(x－1)2－1＝x2－2x；
当x<0时，g(x)＝2－x，
故f(g(x))＝(2－x)2－1＝x2－4x＋3.
所以f(g(x))＝
当x>1或x<－1时，f(x)>0，
故g(f(x))＝f(x)－1＝x2－2；
当－1故g(f(x))＝2－f(x)＝3－x2.
所以g(f(x))＝
14.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y(米)与汽车的车速x(千米/时)满足下列关系：y＝＋mx＋n(m，n是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y(米)与汽车的车速x(千米/时)的关系图．
(1)求出y关于x的函数表达式；
(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度．
解：(1)由题意及题图，得
解得m＝，n＝0，
所以y＝＋(x≥0)．
(2)令＋≤25.2，
得－72≤x≤70.
∵x≥0，∴0≤x≤70.
故行驶的最大速度是70千米/时．高考达标检测（三十五）圆的方程命题3角度——求方程、算最值、定轨迹
一、选择题
1．(2017·宁波“十校”联考(一))圆M：x2＋y2＋2x＋2y－5＝0的圆心坐标为(　　)
A．(1，)　　　　　　　
B．(1，－)
C．(－1，)
D．(－1，－)
解析：选D　x2＋y2＋2x＋2y－5＝0配方得(x＋1)2＋(y＋)2＝9，
故圆心坐标为(－1，－)，选D.
2．(2016·鹤岗一模)经过点(1,0)，且圆心是两直线x＝1与x＋y＝2的交点的圆的方程为(　　)
A．(x－1)2＋y2＝1
B．(x－1)2＋(y－1)2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1
D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
解析：选B　由得即所求圆的圆心坐标为(1,1)，
又由该圆过点(1,0)，得其半径为1，故圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1.
3．(2017·广州测试)圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为(　　)
A．(x－2)2＋(y－1)2＝1
B．(x＋1)2＋(y－2)2＝1
C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
D．(x－1)2＋(y＋2)2＝1
解析：选A　∵圆心(1,2)关于直线y＝x对称的点为(2,1)，∴圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.
4．方程|y|－1＝表示的曲线是(　　)
A．一个椭圆
B．一个圆
C．两个圆
D．两个半圆
解析：选D　由题意知|y|－1≥0，则y≥1或y≤－1，当y≥1时，原方程可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1(y≥1)，其表示以(1,1)为圆心、1为半径、直线y＝1上方的半圆；当y≤－1时，原方程可化为(x－1)2＋(y＋1)2＝1(y≤－1)，其表示以(1，－1)为圆心、1为半径、直线y＝－1下方的半圆．所以方程|y|－1＝表示的曲线是两个半圆，选D.
5．(2017·南昌检测)圆心在y轴上，且过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是(　　)
A．x2＋y2＋10y＝0
B．x2＋y2－10y＝0
C．x2＋y2＋10x＝0
D．x2＋y2－10x＝0
解析：选B　根据题意，设圆心坐标为(0，r)，半径为r，则32＋(r－1)2＝r2，解得r＝5，可得圆的方程为x2＋y2－10y＝0，故选B.
6．若圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上有且只有两个点到直线4x－3y＝2的距离等于1，则半径r的取值范围是(　　)
A．(4,6)
B．[4,6]
C．[4,6)
D．(4,6]
解析：选A　易求圆心(3，－5)到直线4x－3y＝2的距离为5.令
r＝4，可知圆上只有一点到已知直线的距离为1；令r＝6，可知圆上有三点到已知直线的距离为1，所以半径r取值范围在(4,6)之间符合题意．
7．已知圆C与直线y＝x及x－y－4＝0都相切，圆心在直线y＝－x上，则圆C的方程为(　　)
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2
B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
C．(x－1)2＋(y－1)2＝2
D．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
解析：选D　由题意知x－y＝0
和x－y－4＝0之间的距离为＝2，所以r＝；又因为y＝－x与x－y＝0，x－y－4＝0均垂直，所以由y＝－x和x－y＝0联立得交点坐标为(0,0)，由y＝－x
和x－y－4＝0联立得交点坐标为(2，－2)，所以圆心坐标为(1，－1)，圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
8．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m,0)，B(m，0)(m>0)．若圆C
上存在点P，使得
∠APB＝90°，则
m的最大值为(　　)
A．7
B．6
C．5
D．4
解析：选B　根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C的坐标为(3,4)，半径r＝1，且|AB|＝2m，因为∠APB＝90°，连接OP，易知|OP|＝|AB|＝m.要求m的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最大距离．因为|OC|＝
＝5，所以|OP|max＝|OC|＋r＝6，即m
的最大值为6.
二、填空题
9．(2016·浙江高考)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．
解析：由二元二次方程表示圆的条件可得a2＝a＋2，解得a＝2或－1.
当a＝2时，方程为4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，即x2＋y2＋x＋2y＋＝0，配方得
2＋(y＋1)2＝－＜0，不表示圆；
当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，配方得(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，则圆心坐标为(－2，－4)，半径是5.
答案：(－2，－4)　5
10．(2016·天津高考)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为________．
解析：因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，
设C(a,0)，且a＞0，
所以圆心到直线2x－y＝0的距离d＝＝，
解得a＝2，
所以圆C的半径r＝|CM|＝＝3，
所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9.
答案：(x－2)2＋y2＝9
11．(2016·山东济宁一模)当方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆的面积取最大值时，直线y＝(k－1)x＋2的倾斜角α＝________.
解析：由题意知，圆的半径r＝
＝
≤1，当半径r取最大值时，圆的面积最大，此时k＝0，r＝1，所以直线方程为y＝－x＋2，则有tan
α＝－1，又α∈[0，π)，故α＝.
答案：
12．(2016·大连模拟)点P(1,2)和圆C：x2＋y2＋2kx＋2y＋k2＝0上的点的距离的最小值是________．
解析：圆的方程化为标准式为(x＋k)2＋(y＋1)2＝1.
∴圆心C(－k，－1)，半径r＝1.
易知点P(1,2)在圆外．∴点P到圆心C的距离为：
|PC|＝＝≥3.
∴|PC|min＝3.
∴点P和圆C上点的最小距离dmin＝|PC|min－r＝3－1＝2.
答案：2
三、解答题
13．(2017·湖南六校联考)已知直线l：4x＋3y＋10＝0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方．
(1)求圆C的方程；
(2)过点M(1,0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)设圆心C(a,0)，则＝2 a＝0或a＝－5(舍去)．
所以圆C的方程为x2＋y2＝4.
(2)当直线AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB.
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，N(t,0)，A(x1，y1)，
B(x2，y2)，
由得(k2＋1)x2－2k2x＋k2－4＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝.
若x轴平分∠ANB，则kAN＝－kBN ＋＝0 ＋＝0 2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0 －＋2t＝0 t＝4，
所以当点N为(4,0)时，能使得∠ANM＝∠BNM总成立．
14．(2016·陕西模拟)在△OAB中，已知O(0,0)，A(8,0)，B(0,6)，△OAB的内切圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4，P是圆上一点．
(1)求点P到直线l：4x＋3y＋11＝0的距离的最大值和最小值；
(2)若S＝|PO|2＋|PA|2＋|PB|2，求S的最大值和最小值．
解：(1)由题意得圆心(2,2)到直线l：4x＋3y＋11＝0的距离d＝＝＝5＞2，故点P到直线l的距离的最大值为5＋2＝7，最小值为5－2＝3.
(2)设点P的坐标为(x，y)，
则S＝x2＋y2＋(x－8)2＋y2＋x2＋(y－6)2
＝3(x2＋y2－4x－4y)－4x＋100＝－4x＋88，
而(x－2)2≤4，所以－2≤x－2≤2，
即0≤x≤4，所以－16≤－4x≤0，所以72≤S≤88，
即当x＝4时，Smin＝72，当x＝0时，Smax＝88.高考达标检测（五十一）
n次独立重复试验与二项分布
一、选择题
1．(2017·陕西模拟)周老师上数学课时，给班里同学出了两道选择题，她预估做对第一道题的概率为0.80，做对两道题的概率为0.60，则预估做对第二道题的概率是(　　)
A．0.80　　　　　　　　　
B．0.75
C．0.60
D．0.48
解析：选B　设“做对第一道题”为事件A，“做对第二道题”为事件B，
则P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.8·P(B)＝0.6，故P(B)＝0.75.
2．(2017·大连模拟)把一枚骰子连续掷两次，已知在第一次抛出的是偶数点的情况下，第二次抛出的也是偶数点的概率为(　　)
A．1
B.
C.
D.
解析：选B　设事件A：第一次抛出的是偶数点，B：第二次抛出的是偶数点，
则P(B|A)＝＝＝.
3．(2016·郑州二模)设X～B(4，p)，其中0A.
B.
C.
D.
解析：选D　P(X＝2)＝Cp2(1－p)2＝，即p2(1－p)2＝2·2，解得p＝或p＝(舍去)，故P(X＝1)＝Cp·(1－p)3＝.
4．(2016·江西鹰潭一中模拟)端午节放假，甲回老家过节的概率为，乙、丙回老家过节的概率分别为，.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少1人回老家过节的概率为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选B　“甲、乙、丙回老家过节”分别记为事件A，B，C，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，所以P()＝，P()＝，P()＝.由题知A，B，C为相互独立事件，所以三人都不回老家过节的概率P(
)＝P()P()P()＝××＝，所以至少有一人回老家过节的概率P＝1－＝.
5．(2017·天津南开调研)一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X次球，则P(X＝12)的值为(　　)
A．C102
B．C102
C．C22
D．C102
解析：选D　由题意知第12次取到红球，前11次中恰有9次红球2次白球，由于每次取到红球的概率为，所以P(X＝12)＝C9×2×.
6．(2017·南昌模拟)为向国际化大都市目标迈进，某市今年新建三大类重点工程，它们分别是30项基础设施类工程、20项民生类工程和10项产业建设类工程．现有3名民工相互独立地从这60个项目中任选一个项目参与建设，则这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选D　记第i名民工选择的项目属于基础设施类、民生类、产业建设类分别为事件Ai，Bi，Ci，i＝1,2,3.由题意，事件Ai，Bi，Ci(i＝1,2,3)相互独立，则P(Ai)＝＝，P(Bi)＝＝，P(Ci)＝＝，i＝1,2,3，故这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是P＝
AP(AiBiCi)＝6×××＝.
二、填空题
7．(2016·河北衡水中学质检)将一个大正方形平均分成9个小正方形，向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中)，投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B，则P(A|B)＝________.
解析：依题意，随机试验共有9个不同的基本结果，
由于随机投掷，且小正方形的面积大小相等，
所以事件B包含4个基本结果，事件AB包含1个基本结果．所以P(B)＝，P(AB)＝.
所以P(A|B)＝＝＝.
答案：
8．位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是.质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是________．
解析：移动五次后位于点(2,3)，所以质点P必须向右移动2次，向上移动3次．
故其概率为C3·2＝C5＝.
答案：
9．(2017·海淀期末)已知甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别是0.7,0.6，且每次试跳成功与否之间没有影响．
(1)甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率是________；
(2)若甲、乙各试跳两次，则甲比乙的成功次数多一次的概率是________．
解析：(1)记“甲在第i次试跳成功”为事件Ai，“乙在第i次试跳成功”为事件Bi，“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件C.
法一：P(C)＝P(A1)＋P(B1)＋P(A1B1)
＝P(A1)P(1)＋P()P(B1)＋P(A1)P(B1)
＝0.7×0.4＋0.3×0.6＋0.7×0.6＝0.88.
法二：由对立事件的概率计算公式得P(C)＝1－P(
)＝1－P()P()＝1－0.3×0.4＝0.88.
(2)设“甲在两次试跳中成功i次”为事件Mi，“乙在两次试跳中成功i次”为事件Ni，所以所求概率P＝P(M1N0)＋P(M2N1)＝P(M1)P(N0)＋P(M2)P(N1)＝C×0.7×0.3×0.42＋0.72×C×0.6×0.4＝0.302
4.
答案：(1)0.88　(2)0.302
4
三、解答题
10．(2017·唐山模拟)小王在某社交网络的朋友圈中，向在线的甲、乙、丙随机发放红包，每次发放1个．
(1)若小王发放5元的红包2个，求甲恰得1个的概率；
(2)若小王发放3个红包，其中5元的2个，10元的1个．
记乙所得红包的总钱数为X，求X的分布列．
解：(1)设“甲恰得1个红包”为事件A，
则P(A)＝C××＝.
(2)X的所有可能取值为0,5,10,15,20.
P(X＝0)＝3＝，
P(X＝5)＝C××2＝，
P(X＝10)＝2×＋2×＝，
P(X＝15)＝C×2×＝，
P(X＝20)＝3＝.
X的分布列为：
X
0
5
10
15
20
P
11．挑选空军飞行员可以说是“万里挑一”，要想通过需要过五关：目测、初检、复检、文考(文化考试)、政审．若某校甲、乙、丙三位同学都顺利通过了前两关，根据分析甲、乙、丙三位同学能通过复检关的概率分别是0.5，0.6，0.75，能通过文考关的概率分别是0.6,0.5,0.4，由于他们平时表现较好，都能通过政审关，若后三关之间通过与否没有影响．
(1)求甲、乙、丙三位同学中恰好有一人通过复检的概率；
(2)设只要通过后三关就可以被录取，求录取人数ξ的分布列．
解：(1)设A，B，C分别表示事件“甲、乙、丙通过复检”，
则所求概率P＝P(A
)＋P(
B
)＋P(
C)
＝0.5×(1－0.6)×(1－0.75)＋(1－0.5)×0.6×(1－0.75)＋(1－0.5)×(1－0.6)×0.75
＝0.275.
(2)甲被录取的概率为P甲＝0.5×0.6＝0.3，
同理P乙＝0.6×0.5＝0.3，P丙＝0.75×0.4＝0.3.
∴甲、乙、丙每位同学被录取的概率均为0.3，故可看成是独立重复试验，即ξ～B(3,0.3)，
ξ的可能取值为0,1,2,3，其中P(ξ＝k)＝C(0.3)k·(1－0.3)3－k.
故P(ξ＝0)＝C×0.30×(1－0.3)3＝0.343，
P(ξ＝1)＝C×0.3×(1－0.3)2＝0.441，
P(ξ＝2)＝C×0.32×(1－0.3)＝0.189，
P(ξ＝3)＝C×0.33＝0.027，
故ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
0.343
0.441
0.189
0.027
12．某市为了调查学校“阳光体育活动”在高三年级的实施情况，从本市某校高三男生中随机抽取一个班的男生进行投掷实心铅球(重3
kg)测试，成绩在6.9米以上的为合格．把所得数据进行整理后，分成5组画出频率分布直方图的一部分(如图所示)，已知成绩在[9.9,11.4)的频数是4.
(1)求这次铅球测试成绩合格的人数；
(2)若从今年该市高中毕业男生中随机抽取两名，记ξ表示两人中成绩不合格的人数，利用样本估计总体，求ξ的分布列．
解：(1)由直方图，知成绩在[9.9,11.4)的频率为1－(0.05＋0.22＋0.30＋0.03)×1.5＝0.1.
因为成绩在[9.9,11.4)的频数是4，故抽取的总人数为＝40.
又成绩在6.9米以上的为合格，所以这次铅球测试成绩合格的人数为40－0.05×1.5×40＝37.
(2)ξ的所有可能的取值为0,1,2，利用样本估计总体，从今年该市高中毕业男生中随机抽取一名成绩合格的概率为，成绩不合格的概率为1－＝，可判断ξ～B.
P(ξ＝0)＝C×2＝，
P(ξ＝1)＝C××＝，
P(ξ＝2)＝C×2＝，
故所求分布列为
X
0
1
2
P高考达标检测（五十四）数系的扩充与复数的引入的命题3角度
——概念、意义、运算
一、选择题
1．(2016·山东高考)若复数z满足2z＋＝3－2i，其中i为虚数单位，则z＝(　　)
A．1＋2i　　　　　　　　
B．1－2i
C．－1＋2i
D．－1－2i
解析：选B　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则2z＋＝2a＋2bi＋a－bi＝3a＋bi＝3－2i.由复数相等的定义，得3a＝3，b＝－2，解得a＝1，b＝－2，∴z＝1－2i.
2．(2017·沈阳质量监测)已知i为虚数单位，则复数在复平面内所对应的点在(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：选A　因为＝1＋i，其在复平面内对应的点为(1,1)，故选A.
3．(2017·昆明七校调研)已知i为虚数单位，a∈R，如果复数2i－是实数，则a的值为(　　)
A．－4
B．2
C．－2
D．4
解析：选D　依题意，复数2i－＝2i－＝是实数，
因此4－a＝0，a＝4，选D.
4．(2016·唐山统考)已知复数z满足z(1－i)＝4(i为虚数单位)，则z＝(　　)
A．1＋i
B．－2－2i
C．－1－i
D．1－i
解析：选A　由题意，得z＝＝＝1＋i，故选A.
5．(2017·贵阳监测)设i为虚数单位，则复数z＝的共轭复数为(　　)
A．2－3i
B．－2－3i
C．－2＋3i
D．2＋3i
解析：选A　因为z＝＝＝2＋3i，
所以＝2－3i，故选A.
6．(2017·四川模拟)已知x，y∈R，i为虚数单位，且(x－2)i－y＝－1＋i，则(1＋i)x＋y的值为(　　)
A．4
B．－4
C．4＋4i
D．2i
解析：选B　由(x－2)i－y＝－1＋i得x＝3，y＝1，则(1＋i)x＋y＝(1＋i)4＝－4.
7．(2016·贵州遵义模拟)复数z＝4i2
016－(其中i为虚数单位)在复平面内对应的点在(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：选D　z＝4i2
016－＝4×1－＝4－＝2－i，故z在复平面内对应的点在第四象限．
8．已知复数z＝(cos
θ－isin
θ)(1＋i)，则“z为纯虚数”的一个充分不必要条件是(　　)
A．θ＝
B．θ＝
C．θ＝
D．θ＝
解析：选C　z＝(cos
θ－isin
θ)(1＋i)＝(cos
θ＋sin
θ)＋(cos
θ－sin
θ)i.
z是纯虚数等价于等价于θ＝＋kπ，k∈Z.故选C.
二、填空题
9．(2016·天津高考)已知a，b∈R，i是虚数单位，若(1＋i)(1－bi)＝a，则
的值为________．
解析：因为(1＋i)(1－bi)＝1＋b＋(1－b)i＝a，又a，b∈R，
所以1＋b＝a且1－b＝0，得a＝2，b＝1，所以＝2.
答案：2
10．(2017·重庆巴蜀中学调研)设复数z的共轭复数为，若(1－i)＝2i，则复数z＝________.
解析：因为(1－i)＝2i，所以＝＝＝－1＋i，所以z＝－1－i.
答案：－1－i
11．(2017·河北质量监测)设复数z满足z(2－3i)＝6＋4i(其中i为虚数单位)，则z的模为________．
解析：因为z＝＝＝＝2i，
所以|z|＝2.
答案：2
12．(2016·山东实验中学诊断)在复平面内，复数对应的点到直线y＝x＋1的距离是________．
解析：因为＝＝1＋i，所以复数对应的点为(1,1)，点(1,1)到直线
y＝x＋1的距离为＝.
答案：
三、解答题
13．计算：(1)；
(2)；
(3)＋；
(4).
解：(1)＝＝－1－3i.
(2)＝＝＝＝＋i.
(3)＋＝＋＝＋＝－1.
(4)＝
＝＝
＝－－i.
14．复数z1＝＋(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i，若＋z2是实数，求实数a的值．
解：＋z2＝＋(a2－10)i＋＋(2a－5)i
＝＋[(a2－10)＋(2a－5)]i
＝＋(a2＋2a－15)i.
∵＋z2是实数，
∴a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.
∵a＋5≠0，
∴a≠－5，故a＝3.高考达标检测（二十九）求解空间几何体问题的2环节——识图与计算
一、选择题
1．(2017·大连调研)如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中点P是棱CD上一点，则三棱锥P A1B1A的侧视图是(　　)
解析：选D　在长方体ABCD A1B1C1D1中，从左侧看三棱锥P A1B1A，B1，A1，A的射影分别是C1，D1，D；AB1的射影为C1D，且为实线，PA1的射影为PD1，且为虚线．故选D.
2.(2017·永州一模)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为(　　)
A．1　　　　　　　　　　
　B.
C.
D．2
解析：选D　由题意得，该几何体的直观图为三棱锥A BCD，
如图，其最大面的表面是边长为2的等边三角形，故其面积为
×(2)2＝2.
3．(2016·太原一模)一个正三棱柱的正(主)视图和俯视图如图所示，则这个三棱柱的侧(左)视图的面积为(　　)
A．6
B．8
C．8
D．12
解析：选A　该三棱柱的侧(左)视图为一个矩形，由“长对正，高平齐，宽相等”的原理知，其侧(左)视图的底边长为俯视图中正三角形的高，即为2，侧(左)视图的高为3，故其侧(左)视图的面积为S＝2×3＝6，故选A.
4.如图是一个四面体的三视图，这三个视图均是腰长为2的等腰直角三角形，正视图和俯视图中的虚线是三角形的中线，则该四面体的体积为(　　)
A.
B.
C.
D．2
解析：选A　由三视图可知，此四面体如图所示，其高为2，底面三角形的一边长为1，对应的高为2，所以其体积V＝××2×1×2＝，故选A.
5．(2016·全国甲卷)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(　　)
A．12π
B.π
C．8π
D．4π
解析：选A　设正方体棱长为a，则a3＝8，所以a＝2.
所以正方体的体对角线长为2，所以正方体外接球的半径为，
所以球的表面积为4π·()2＝12π，故选A.
6．(2016·北京高考)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为(　　)
A.
B.
C.
D．1
解析：选A　通过三视图可还原几何体为如图所示的三棱锥P ABC，通过侧视图得高h＝1，底面积S＝×1×1＝，所以体积V＝Sh＝××1＝.
7．如图是某几何体的三视图，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为(　　)
A.　　　　　　　　　
　B.
C．4π
D．2π
解析：选A　由对称性可知外接球球心在侧视图中直角三角形的高线上，设外接球的半径为R，则(－R)2＋12＝R2，R＝，其表面积S＝4πR2＝4π2＝.
8．(2016·全国丙卷)在封闭的直三棱柱ABC A1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是(　　)
A．4π　　　　　　　　　
　B.
C．6π
D.
解析：选B　设球的半径为R，
∵△ABC的内切圆半径为＝2，
∴R≤2.又2R≤3，
∴R≤，
∴Vmax＝×π×3＝.故选B.
二、填空题
9．(2016·四川高考)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是________．
解析：由正视图知三棱锥的形状如图所示，且AB＝AD＝BC＝CD＝2，BD＝2，设O为BD的中点，连接OA，OC，则OA⊥BD，OC⊥BD，结合正视图可知AO⊥平面BCD.
又OC＝＝1，
∴V三棱锥A BCD＝××1＝.
答案：
10．(2016·浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是________cm2，体积是________cm3.
解析：由三视图还原几何体如图所示，下面长方体的长、宽都是4，高为2；上面正方体的棱长为2.所以该几何体的表面积为(4×4＋2×4＋2×4)×2＋2×2×4＝80(cm2)；
体积为4×4×2＋23＝40(cm3)．
答案：80　40
11．(2016·天津高考)已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示(单位：m)，则该四棱锥的体积为________m3.
解析：由三视图知，四棱锥的高为3
m，底面平行四边形的一边长为2
m，对应高为
1
m，所以其体积V＝Sh＝×2×1×3＝2(m3)．
答案：2
12.如图，点O为正方体ABCD
A′B′C′D′的中心，点E为面B′BCC′的中心，点F为B′C′的中点，则空间四边形D′OEF在该正方体的各个面上的正投影可能是________(填出所有可能的序号)．
解析：空间四边形D′OEF在正方体的面DCC′D′及其对面ABB′A′上的正投影是①；在面BCC′B′及其对面ADD′A′上的正投影是②；在面ABCD及其对面A′B′C′D′上的正投影是③.
答案：①②③
三、解答题
13.如图，在四棱锥P ABCD中，底面为正方形，PC与底面ABCD垂直，下图为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为6
cm
的全等的等腰直角三角形．
(1)根据所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；
(2)求PA.
解：(1)该四棱锥的俯视图为(内含对角线)边长为6
cm的正方形，
如图，其面积为36
cm2.
(2)由侧视图可求得PD＝＝＝6.
由正视图可知AD＝6，且AD⊥PD，所以在Rt△APD中，
PA＝＝
＝6
cm.
14．(2015·全国卷Ⅱ)如图，长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．
(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；
(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．
解：(1)交线围成的正方形EHGF如图所示．
(2)如图，作EM⊥AB，垂足为M，
则AM＝A1E＝4，EB1＝12，EM＝AA1＝8.
因为四边形EHGF为正方形，
所以EH＝EF＝BC＝10.
于是MH＝＝6，AH＝10，HB＝6.
故S四边形A1EHA＝×(4＋10)×8＝56，
S四边形EB1BH＝×(12＋6)×8＝72.
因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，
所以其体积的比值为.高考达标检测（四十四）排列与组合常考3类型——排列、组合、分组分配
一、选择题
1．将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有(　　)
A．12种　　　　　　　　　
B．18种
C．24种
D．36种
解析：选A　由分步乘法计数原理，先排第一列，有A种方法，再排第二列，有2种方法，故共有A×2＝12种排列方法．
2．有5名优秀毕业生到母校的3个班去做学习经验交流，则每个班至少去一名的不同分派方法种数为(　　)
A．150
B．180
C．200
D．280
解析：选A　分两类：一类，3个班分派的毕业生人数分别为2,2,1，则有·A＝90种分派方法；另一类，3个班分派的毕业生人数分别为1,1,3，则有C·A＝60种分派方法．所以不同分派方法种数为90＋60＝150.
3．将标号为1,2,3,4的四个篮球分给三位小朋友，每位小朋友至少分到一个篮球，且标号1,2的两个篮球不能分给同一个小朋友，则不同的分法种数为(　　)
A．15
B．20
C．30
D．42
解析：选C　四个篮球中两个分到一组有C种分法，三组篮球进行全排列有A种，标号1,2的两个篮球分给同一个小朋友有A种分法，所以有CA－A＝36－6＝30种分法，故选C.
4．有5本不同的教科书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其并排摆放在书架的同一层上，则同一科目书都不相邻的放法种数是(　　)
A．24
B．48
C．72
D．96
解析：选B　据题意可先摆放2本语文书，当1本物理书在2本语文书之间时，只需将2本数学书插在前3本书形成的4个空中即可，此时共有AA种摆放方法；当1本物理书放在2本语文书一侧时，共有AACC种不同的摆放方法，由分类加法计数原理可得共有AA＋AACC＝48种摆放方法．
5．现有2门不同的考试要安排在5天之内进行，每天最多进行一门考试，且不能连续两天有考试，那么不同的考试安排方案种数是(　　)
A．12
B．6
C．8
D．16
解析：选A　若第一门安排在开头或结尾，则第二门有3种安排方法，这时，共有C×3＝6种方法；若第一门安排在中间的3天中，则第二门有2种安排方法，这时，共有3×2＝6种方法．综上可得，不同的考试安排方案共有6＋6＝12种．
6．(2016·昆明调研)航空母舰“辽宁舰”将进行一次编队配置科学试验，要求2艘攻击型核潜艇一前一后，3艘驱逐舰和3艘护卫舰分列左右，每侧3艘，同侧不能都是同种舰艇，则舰艇分配方案的方法数为(　　)
A．72
B．324
C．648
D．1
296
解析：选D　核潜艇排列数为A，6艘舰艇任意排列的排列数为A，同侧均是同种舰艇的排列数为AA×2，则舰艇分配方案的方法数为A(A－AA×2)＝1
296.
7．(2016·青岛模拟)将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有(　　)
A．18种
B．24种
C．36种
D．72种
解析：选C　一个路口有3人的分配方法有CCA(种)；
两个路口各有2人的分配方法有CCA(种)．
∴由分类加法计数原理，甲、乙在同一路口的分配方案为CCA＋CCA＝36(种)．
8．市内某公共汽车站有6个候车位(成一排)，现有3名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数是(　　)
A．48　　　　　　　　　　
B．54
C．72
D．84
解析：选C　由题意，先把3名乘客全排列，有A种排法，产生四个空，再将2个连续空座位和一个空座位插入四个空中，有A种排法，则共有A·A＝72(种)候车方式．故选C.
二、填空题
9．(2017·洛阳统考)四名学生保送到三所学校去，每所学校至少得一名，则不同的保送方案有________种．
解析：分两步：先将四名学生分成2,1,1三组，共有C种；而后，对三组学生进行全排列，有A种．依分步乘法计数原理有CA＝36(种)保送方案．
答案：36
10．若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误方法共有________种．
解析：把g，o，o，d
4个字母排一列，可分两步进行，第一步：排g和d，共有A种排法；第二步：排两个o，共一种排法，所以总的排法种数有A＝12(种)．其中正确的有一种，所以错误的共有A－1＝12－1＝11(种)．
答案：11
11．(2017·江苏淮海中学期中)若A，B，C，D，E，F六个不同元素排成一列，要求A不排在两端，且B，C相邻，则不同的排法有________种(用数字作答)．
解析：由于B，C相邻，把B，C看做一个整体，有2种排法．这样，6个元素变成了5个．先排A，由于A不排在两端，则A在中间的3个位子中，有A＝3种方法，其余的4个元素任意排，有A种不同方法，故不同的排法有2×3×A＝144种．
答案：144
12．(2017·济南模拟)航天员拟在太空授课，准备进行标号为0,1,2,3,4,5的六项实验，向全世界人民普及太空知识，其中0号实验不能放在第一项，最后一项的标号小于它前面相邻一项的标号，则实验顺序的编排方法种数为________(用数字作答)．
解析：优先安排第一项实验，再利用定序问题相除法求解．由于0号实验不能放在第一项，所以第一项实验有5种选择．最后两项实验的顺序确定，所以共有＝300种不同的编排方法．
答案：300
三、解答题
13．将7个相同的小球放入4个不同的盒子中．
(1)不出现空盒时的放入方式共有多少种？
(2)可出现空盒时的放入方式共有多少种？
解：(1)将7个相同的小球排成一排，在中间形成的6个空当中插入无区别的3个“隔板”将球分成4份，每一种插入隔板的方式对应一种球的放入方式，则共有C＝20种不同的放入方式．
(2)每种放入方式对应于将7个相同的小球与3个相同的“隔板”进行一次排列，即从10个位置中选3个位置安排隔板，故共有C＝120种放入方式．
14．(2017·郑州检测)有5名男生和3名女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，分别求符合下列条件的选法数：
(1)有女生但人数必须少于男生；
(2)某女生一定要担任语文课代表；
(3)某男生必须包括在内，但不担任数学课代表；
(4)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表．
解：(1)先选后排．符合条件的课代表人员的选法有(CC＋CC)种，排列方法有A种，所以满足题意的选法有(CC＋CC)·A＝5
400(种)．
(2)除去该女生后，即相当于挑选剩余的7名学生担任四科的课代表，有A＝840(种)选法．
(3)先选后排．从剩余的7名学生中选出4名有C种选法，排列方法有CA种，所以选法共有CCA＝3
360(种)．
(4)先从除去该男生和该女生的6人中选出3人，有C种选法，该男生的安排方法有C种，其余3人全排列，有A种，因此满足题意的选法共有CCA＝360(种)．高考达标检测（二十三）
等差数列的3考点——求项、求和和判定
一、选择题
1．(2017·长沙名校联考)已知数列{an}是等差数列，a1＋a7＝－8，a2＝2，则数列{an}的公差d等于(　　)
A．－1　　　　　　　　　
　B．－2
C．－3
D．－4
解析：选C　法一：由题意可得
解得d＝－3.
法二：a1＋a7＝2a4＝－8，∴a4＝－4，
∴a4－a2＝－4－2＝2d，∴d＝－3.
2．在等差数列{an}中，a1＝0，公差d≠0，若am＝a1＋a2＋…＋a9，则m的值为(　　)
A．37
B．36
C．20
D．19
解析：选A　am＝a1＋a2＋…＋a9＝9a1＋d＝36d＝a37，∴m＝37.故选A.
3．在数列{an}中，若a1＝2，且对任意正整数m，k，总有am＋k＝am＋ak，则{an}的前n项和Sn＝(　　)
A．n(3n－1)
B.
C．n(n＋1)
D.
解析：选C　依题意得an＋1＝an＋a1，即an＋1－an＝a1＝2，所以数列{an}是以2为首项、2为公差的等差数列，an＝2＋2(n－1)＝2n，Sn＝＝n(n＋1)，选C.
4．(2016·大同模拟)在等差数列中，a1＋a2＋a3＝3，a18＋a19＋a20＝87，则此数列前20项的和等于(　　)
A．290　　　　　　　　
　B．300
C．580
D．600
解析：选B　由a1＋a2＋a3＝3a2＝3，得a2＝1.
由a18＋a19＋a20＝3a19＝87，得a19＝29，
所以S20＝＝10(a2＋a19)＝300.
5．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S9＝18，an－4＝30(n>9)，若Sn＝336，则n的值为(　　)
A．18
B．19
C．20
D．21
解析：选D　因为{an}是等差数列，所以S9＝9a5＝18，a5＝2，Sn＝＝＝×32＝16n＝336，解得n＝21，故选D.
6．(2017·烟台模拟)设数列{an}是公差d<0的等差数列，Sn为其前n项和，若S6＝5a1＋10d，则Sn取最大值时，n＝(　　)
A．5
B．6
C．5或6
D．6或7
解析：选C　∵S6＝5a1＋10d，∴6a1＋15d＝5a1＋10d，得a1＋5d＝0，即a6＝0.∵数列{an}是公差d<0的等差数列，∴n＝5或6时，Sn取最大值．
7．设{an}是等差数列，d是其公差，Sn是其前n项和，且S5S8，则下列结论错误的是(　　)
A．d<0
B．a7＝0
C．S9>S5
D．当n＝6或n＝7时Sn取得最大值
解析：选C　由S50.同理由S7>S8，得a8<0.又S6＝S7，∴a1＋a2＋…＋a6＝a1＋a2＋…＋a6＋a7，∴a7＝0，∴B正确；∵d＝a7－a6<0，∴A正确；而C选项，S9>S5，即a6＋a7＋a8＋a9>0，可得2(a7＋a8)>0，由结论a7＝0，a8<0，知C选项错误；∵S5S8，∴结合等差数列前n项和的函数特性可知D正确．选C.
二、填空题
8．(2017·枣庄模拟)若数列{an}满足a1＝，－＝5(n∈N
)，则a10＝________.
解析：因为－＝5，所以是以＝3为首项、5为公差的等差数列，所以＝3＋5(n－1)＝5n－2，即an＝，所以a10＝＝.
答案：
9．等差数列{an}中，a1＝，am＝，an＝(m≠n)，则数列{an}的公差d＝________.
解析：∵am＝＋(m－1)d＝，an＝＋(n－1)d＝，∴(m－n)d＝－，
∴d＝，∴am＝＋(m－1)＝，解得＝，即d＝.
答案：
10．(2016·江苏高考)已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和．若a1＋a＝－3，S5＝10，则a9的值是________．
解析：法一：设等差数列{an}的公差为d，由S5＝10，知S5＝5a1＋d＝10，得a1＋2d＝2，即a1＝2－2d.所以a2＝a1＋d＝2－d，代入a1＋a＝－3，化简得d2－6d＋9＝0，所以d＝3，a1＝－4.故a9＝a1＋8d＝－4＋24＝20.
法二：设等差数列{an}的公差为d，由S5＝10，知＝5a3＝10，所以a3＝2.
所以由a1＋a3＝2a2，得a1＝2a2－2，代入a1＋a＝－3，化简得a＋2a2＋1＝0，所以a2＝－1.
公差d＝a3－a2＝2＋1＝3，故a9＝a3＋6d＝2＋18＝20.
答案：20
三、解答题
11．(2017·成都模拟)已知数列{an}各项均为正数，且a1＝1，an＋1an＋an＋1－an＝0(n∈N
)．
(1)设bn＝，求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列的前n项和Sn.
解：(1)证明：因为an＋1an＋an＋1－an＝0(n∈N
)，
所以an＋1＝.
因为bn＝，
所以bn＋1－bn＝－＝－＝1.
又b1＝＝1，
所以数列{bn}是以1为首项、1为公差的等差数列．
(2)由(1)知，bn＝n，所以＝n，即an＝，
所以＝＝－，
所以Sn＝＋＋…＋＝1－＝.
12．(2017·沈阳质检)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＋a6＝4，S5＝－5.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若Tn＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|，求T5的值和Tn的表达式．
解：(1)设等差数列{an}的公差为d，
由题意知解得
故an＝2n－7(n∈N
)．
(2)由an＝2n－7<0，得n<，即n≤3，
所以当n≤3时，an＝2n－7<0，当n≥4时，an＝2n－7>0.
由(1)知Sn＝n2－6n，
所以当n≤3时，Tn＝－Sn＝6n－n2；
当n≥4时，
Tn＝－S3＋(Sn－S3)＝Sn－2S3＝n2－6n＋18.
故T5＝13，Tn＝
13．已知等比数列{an}是递增数列，且a2a5＝32，a3＋a4＝12，数列{bn}满足b1＝1，且bn＋1＝2bn＋2an(n∈N
)．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)若对任意n∈N
，不等式(n＋2)bn＋1≥λbn总成立，求实数λ的最大值．
解：(1)证明：设{an}的公比为q，因为a2a5＝a3a4＝32，a3＋a4＝12，且{an}是递增数列，
所以a3＝4，a4＝8，所以q＝2，a1＝1，所以an＝2n－1.
因为bn＋1＝2bn＋2an，
所以＝＋1，
所以数列是以＝1为首项、1为公差的等差数列．
(2)由(1)知bn＝n×2n－1，
所以λ≤＝＝2.
因为n∈N
，易知当n＝1或2时，2取得最小值12，所以λ的最大值为12.高考达标检测（四十八）变量间的相关关系、统计案例
一、选择题
1．相关变量x，y的样本数据如下表：
x
1
2
3
4
5
y
2
2
3
5
6
经回归分析可得y与x线性相关，并由最小二乘法求得回归直线方程为＝1.1x＋a，则a＝(　　)
A．0.1　　　　　　　　　　
B．0.2
C．0.3
D．0.4
解析：选C　∵回归直线经过样本点的中心(，)，且由题意得(，)＝(3,3.6)，∴3.6＝1.1×3＋a，∴a＝0.3.
2．(2016·江西南昌一模)某商品的销售量y(件)与销售价格x(元/件)存在线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为
＝－10x＋200，则下列结论正确的是(　　)
A．y与x具有正的线性相关关系
B．若r表示变量y与x之间的线性相关系数，则r＝－10
C．当销售价格为10元时，销售量为100件
D．当销售价格为10元时，销售量为100件左右
解析：选D　y与x具有负的线性相关关系，所以A项错误；当销售价格为10元时，销售量在100件左右，因此C错误，D正确；B项中－10是回归直线方程的斜率．
3．(2016·山东泰安二模)登山族为了了解某山高y(km)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了4次山高与相应的气温，并制作了对照表：
气温(℃)
18
13
10
－1
山高(km)
24
34
38
64
由表中数据，得到线性回归方程＝－2x＋.由此估计山高为72(km)处气温的度数为(　　)
A．－10
B．－8
C．－6
D．－4
解析：选C　因为＝10，＝40，所以样本中心点为(10,40)，因为回归直线过样本中心点，所以40＝－20＋，即＝60，所以线性回归方程为＝－2x＋60，所以山高为72(km)处气温的度数为－6，故选C.
4．(2016·常德一模)某机构为了解某地区中学生在校月消费情况，随机抽取了100名中学生进行调查，将月消费金额不低于550元的学生称为“高消费群”，调查结果如表所示：
高消费群
非高消费群
合计
男
15
35
50
女
10
40
50
合计
25
75
100
参照公式，得到的正确结论是(　　)
参考公式：K2＝，
其中n＝a＋b＋c＋d.
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
A．有90%以上的把握认为“高消费群与性别有关”
B．没有90%以上的把握认为“高消费群与性别有关”
C．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“高消费群与性别无关”
D．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“高消费群与性别有关”
解析：选B　将表格中的数据代入公式可得K2＝＝≈1.33＜2.706，所以没有90%以上的把握认为“高消费群与性别有关”．
5．(2017·河南八市质检)为了研究某大型超市当天销售额与开业天数的关系，随机抽取了5天，其当天销售额与开业天数的数据如下表所示：
开业天数x
10
20
30
40
50
当天销售额y/万元
62
75
81
89
根据上表提供的数据，求得y关于x的线性回归方程为＝0.67x＋54.9，由于表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为(　　)
A．67
B．68
C．68.3
D．71
解析：选B　设表中模糊看不清的数据为m.因为＝＝30，又样本中心点(，)在回归直线＝0.67x＋54.9上，所以＝＝0.67×30＋54.9，得m＝68，故选B.
6．某研究机构对儿童记忆能力x和识图能力y进行统计分析，得到如下数据：
记忆能力x
4
6
8
10
识图能力y
3
5
6
8
由表中数据，求得线性回归方程为＝x＋，若某儿童的记忆能力为12，则他的识图能力为(　　)
A．7
B．9.5
C．10
D．12
解析：选B　由表中数据得＝＝7，＝＝，由(，)在直线＝x＋上，得＝－，即线性回归方程为＝x－.当x＝12时，＝×12－＝9.5，即他的识图能力为9.5.
二、填空题
7．(2017·安徽阜阳质检)某班主任对全班30名男生进行了作业量多少的调查，数据如下表：
认为作业多
认为作业不多
总计
喜欢玩电脑游戏
12
8
20
不喜欢玩电脑游戏
2
8
10
总计
14
16
30
该班主任据此推断男生认为作业多与喜欢玩电脑游戏有关系，则这种推断犯错误的概率不超过________．
解析：计算得K2的观测值为k＝≈4.286＞3.841，则推断犯错误的概率不超过0.05.
答案：0.05
8．已知x与y之间的一组数据如下表所示，当m变化时，y与x的回归直线＝bx＋a必过定点________.
x
0
1
2
3
y
1
3
5－m
7＋m
解析：因为线性回归直线一定经过样本中心点(，)，
又＝＝，＝＝4，
所以回归直线＝bx＋a必过定点.
答案：
9．(2017·湖北黄冈质检)某企业为了增强自身竞争力，计划对职工进行技术培训，以提高产品的质量．为了解某车间对技术培训的态度与性别的关系，对该车间所有职工进行了问卷调查，利用2×2列联表计算得K2≈3.918，经查对临界值表知P(K2≥3.841)≈0.05.由此，三位领导得出以下判断：
p：有95%的把握认为“对技术培训的态度与性别有关”；
q：没有95%的把握认为“对技术培训的态度与性别有关”；
r：有5%的把握认为“对技术培训的态度与性别有关”．
则下列结论中，正确结论的序号是________．(把你认为正确的命题序号都填上)
①p∧(綈q)；②(綈p)∨q；③(綈p)∧(綈q)；④p∨r.
解析：由题意，得K2≈3.918，P(K2≥3.841)≈0.05，所以只有p的判断正确，即有95%的把握认为“对技术培训的态度与性别有关”．由真值表知①④为真命题．
答案：①④
三、解答题
10．(2017·宁夏银川一中期末)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据.
x
3
4
5
6
y
2.5
3
4
4.5
(1)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y＝bx＋a.
(2)已知该厂技改前，100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(1)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低了多少吨标准煤？
(参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)
解：(1)由对照数据，计算得iyi＝66.5，
＝32＋42＋52＋62＝86，
＝4.5，＝3.5，＝＝＝0.7，
＝－
＝3.5－0.7×4.5＝0.35，
所求的回归方程为＝0.7x＋0.35.
(2)当x＝100时，＝100×0.7＋0.35＝70.35，
预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低90－70.35＝19.65(吨标准煤)．
11．第31届夏季奥林匹克运动会于2016年8月5日至8月21日在巴西里约热内卢举行．下表是近五届奥运会中国代表团和俄罗斯代表团获得的金牌数的统计数据(单位：枚).
第30届伦敦
第29届北京
第28届雅典
第27届悉尼
第26届亚特兰大
中国
38
51
32
28
16
俄罗斯
24
23
27
32
26
(1)根据表格中两组数据完成近五届奥运会两国代表团获得的金牌数的茎叶图；
(2)下表是近五届奥运会中国代表团获得的金牌数之和y(从第26届算起，不包括之前已获得的金牌数)随时间x变化的数据：
时间x(届)
26
27
28
29
30
金牌数之和y(枚)
16
44
76
127
165
作出散点图如下：
由图可以看出，金牌数之和y与时间x之间存在线性相关关系，请求出y关于x的线性回归方程；并预测到第32届奥运会时中国代表团获得的金牌数之和为多少？
参考数据：＝28，＝85.6，(xi－)(yi－)＝381，(xi－)2＝10.
附：对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回归直线＝x＋的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
＝，＝－
.
解：(1)近五届奥运会两国代表团获得的金牌数的茎叶图如下：
(2)＝＝＝38.1，
＝－
＝85.6－38.1×28＝－981.2，
所以金牌数之和y关于时间x的线性回归方程为＝38.1x－981.2.
当x＝32时，中国代表团获得的金牌数之和的预报值＝38.1×32－981.2＝238，
故预测到第32届奥运会时中国代表团获得的金牌数之和为238枚．
12．厦门理工学院为了了解大学生使用手机的情况，分别在大一和大二两个年级各随机抽取了100名大学生进行调查．下面是根据调查结果绘制的学生日均使用手机时间的频率分布直方图和频数分布表，将使用手机时间不低于80分钟的学生称为“手机迷”．
大一学生日均使用手机时间的频率分布直方图：
大二学生日均使用手机时间的频数分布表：
时间分组
频数
[0,20)
12
[20,40)
20
[40,60)
24
[60,80)
26
[80,100)
14
[100,120]
4
(1)将频率视为概率，估计哪个年级的大学生是“手机迷”的概率大？请说明理由．
(2)在大一的抽查中，已知随机抽到的女生共有55名，其中10名为“手机迷”．根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料判断有多大的把握认为“手机迷”与性别有关？
非“手机迷”
“手机迷”
总计
男
女
总计
附：随机变量K2＝(其中n＝a＋b＋c＋d为样本总量)．
参考数据：
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
解：(1)由频率分布直方图可知，大一学生是“手机迷”的概率为P1＝(0.002
5＋0.010)×20＝0.25，
由频数分布表可知，大二学生是“手机迷”的概率为P2＝＝0.18，
因为P1＞P2，所以大一年级的大学生是“手机迷”的概率大．
(2)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，
“手机迷”有(0.010＋0.002
5)×20×100＝25(人)，非“手机迷”有100－25＝75(人)，
2×2列联表如下：
非“手机迷”
“手机迷”
合计
男
30
15
45
女
45
10
55
合计
75
25
100
则K2的观测值k＝＝≈3.030，
因为3.030＞2.706，所以有90%的把握认为“手机迷”与性别有关．高考达标检测（四十三）圆锥曲线的综合问题
——定点、定值、探索性问题
1．(2017·汕头期末联考)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F(1,0)，O为坐标原点，
A，B是抛物线C上异于O的两点．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线OA，OB的斜率之积为－，求证：直线AB过x轴上一定点．
解：(1)因为抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点坐标为(1,0)，
所以＝1，所以p＝2.
所以抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)证明：①当直线AB的斜率不存在时，
设A，B.
因为直线OA，OB的斜率之积为－，
所以·＝－，化简得t2＝32.
所以A(8，t)，B(8，－t)，此时直线AB的方程为x＝8.
②当直线AB的斜率存在时，
设其方程为y＝kx＋b，A(xA，yA)，B(xB，yB)，
联立方程组消去x，得ky2－4y＋4b＝0.
根据根与系数的关系得yAyB＝，
因为直线OA，OB的斜率之积为－，
所以·＝－，
即xAxB＋2yAyB＝0.
即·＋2yAyB＝0，
解得yAyB＝0(舍去)或yAyB＝－32.
所以yAyB＝＝－32，即b＝－8k，
所以y＝kx－8k，即y＝k(x－8)．
综上所述，直线AB过定点(8,0)．
2．(2017·甘肃张掖一诊)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝2，点P为椭圆短轴的端点，且△PF1F2的面积为2.
(1)求椭圆的方程；
(2)点Q是椭圆上任意一点，A(4，6)，求|QA|－|QF1|的最小值；
(3)点B是椭圆上的一定点，B1，B2是椭圆上的两动点，且直线BB1，BB2关于直线x＝1对称，试证明直线B1B2的斜率为定值．
解：(1)由题意可知c＝，S△PF1F2＝|F1F2|×b＝2，
所以b＝2，求得a＝3，故椭圆的方程为＋＝1.
(2)由(1)得|QF1|＋|QF2|＝6，F1(－，0)，F2(，0)．
那么|QA|－|QF1|＝|QA|－(6－|QF2|)
＝|QA|＋|QF2|－6，
而|QA|＋|QF2|≥|AF2|＝＝9，
所以|QA|－|QF1|的最小值为3.
(3)设直线BB1的斜率为k，因为直线BB1与直线BB2关于直线x＝1对称，
所以直线BB2的斜率为－k，所以直线BB1的方程为y－＝k(x－1)，
设B1(x1，y1)，B2(x2，y2)，
由
可得(4＋9k2)x2＋6k(4－3k)x＋9k2－24k－4＝0，
因为该方程有一个根为x＝1，所以x1＝，
同理得x2＝，
所以kB1B2＝
＝
＝
＝＝，
故直线B1B2的斜率为定值.
3．(2016·合肥质检)设A，B为抛物线y2＝x上相异两点，其纵坐标分别为1，－2，
分别以A，B为切点作抛物线的切线l1，l2，设l1，l2相交于点P.
(1)求点P的坐标；
(2)M为A，B间抛物线段上任意一点，设＝λ＋μ，试判断＋是否为定值？如果为定值，求出该定值，如果不是定值，请说明理由．
解：(1)由题知A(1,1)，B(4，－2)，
设点P的坐标为(xp，yp)，
切线l1：y－1＝k(x－1)，联立
由抛物线与直线l1相切，解得k＝，
即l1：y＝x＋，同理，l2：y＝－x－1.
联立l1，l2的方程，可解得
即点P的坐标为.
(2)设M(y，y0)，且－2≤y0≤1.
由＝λ＋μ
得＝λ＋μ，
即解得
则＋＝＋＝1，即＋为定值1.
4．(2017·河北质量检测)已知椭圆E：＋＝1的右焦点为F(c,0)，且a＞b＞c＞0，设短轴的一个端点为D，原点O到直线DF的距离为，过原点和x轴不重合的直线与椭圆E相交于C，G两点，且||＋||＝4.
(1)求椭圆E的方程；
(2)是否存在过点P(2,1)的直线l与椭圆E相交于不同的两点A，B且使得2＝4·成立？若存在，试求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
解：(1)由椭圆的对称性知||＋||＝2a＝4，
∴a＝2.又原点O到直线DF的距离为，
∴＝，∴bc＝，
又a2＝b2＋c2＝4，a＞b＞c＞0，
∴b＝，c＝1.
故椭圆E的方程为＋＝1.
(2)当直线l与x轴垂直时不满足条件．
故可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
直线l的方程为y＝k(x－2)＋1，代入椭圆方程得
(3＋4k2)x2－8k(2k－1)x＋16k2－16k－8＝0，
∴Δ＝32(6k＋3)＞0，
∴k＞－.
x1＋x2＝，x1x2＝，
∵2＝4·，
即4[(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－1)]＝5，
∴4(x1－2)(x2－2)(1＋k2)＝5，
即4[x1x2－2(x1＋x2)＋4](1＋k2)＝5，
∴4
(1＋k2)
＝4×＝5，
解得k＝±，k＝－不符合题意，舍去．
∴存在满足条件的直线l，其方程为y＝x.高考达标检测（三）
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
一、选择题
1．有下列四个命题，其中真命题是(　　)
A． n∈R，n2≥n
B． n∈R， m∈R，m·n＝m
C． n∈R， m∈R，m2D． n∈R，n2解析：选B　对于选项A，令n＝即可验证其不正确；对于选项C、选项D，可令n＝－1加以验证，均不正确，故选B.
2．给出以下四个命题：
命题p1：存在x∈R，x－2>lg
x成立；
命题p2：不存在x∈(0,1)，使不等式log2x命题p3：对任意的x∈(0,1)，不等式log2x命题p4：对任意的x∈(0，＋∞)，不等式log2x<成立．
其中的真命题有(　　)
A．p1，p3　　　　　　　　
　B．p1，p4
C．p2，p3
D．p2，p4
解析：选A　p1中取x＝10，则有10－2>lg
10，故命题p1为真命题；由对数函数的性质知，p2为假命题，p3为真命题；p4中取x＝4不等式不成立，故选A.
3．(2016·石家庄一模)命题p：若sin
x>sin
y，则x>y；命题q：x2＋y2≥2xy.下列命题为假命题的是(　　)
A．p或q
B．p且q
C．q
D．綈p
解析：选B　取x＝，y＝，可知命题p是假命题；由(x－y)2≥0恒成立，可知命题q是真命题，故綈p为真命题，p或q是真命题，p且q是假命题．
4．(2017·唐山模拟)已知命题p： x0∈N，xA．p假q真
B．p真q假
C．p假q假
D．p真q真
解析：选A　由x5．(2017·开封模拟)已知命题p1： x∈(0，＋∞)，3x>2x，p2： θ∈R，sin
θ＋cos
θ＝，则在命题q1：p1∨p2；q2：p1∧p2；q3：(綈p1)∨p2和q4：p1∧(綈p2)中，真命题是(　　)
A．q1，q3　　　　　　　　　
　B．q2，q3
C．q1，q4
D．q2，q4
解析：选C　因为y＝x在R上是增函数，即y＝x>1在(0，＋∞)上恒成立，所以命题p1是真命题；sin
θ＋cos
θ＝sin≤，所以命题p2是假命题，綈p2是真命题，所以命题q1：p1∨p2，q4：p1∧(綈p2)是真命题，选C.
6．(2017·河北联考)命题p： a∈，使得函数f(x)＝在上单调递增；命题q：函数g(x)＝x＋log2x在区间上无零点．则下列命题中是真命题的是(　　)
A．綈p
B．p∧q
C．(綈p)∨q
D．p∧(綈q)
解析：选D　设h(x)＝x＋.当a＝－时，函数h(x)在(－∞，－1)∪(－1，＋∞)上为增函数，且h＝>0，则函数f(x)在上必单调递增，即p是真命题；∵g＝－<0，g(1)＝1>0，∴g(x)在上有零点，即q是假命题，故选D.
7．(2017·郑州质量预测)已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a，若 x1∈， x2∈[2,3]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，1]
B．[1，＋∞)
C．(－∞，2]
D．[2，＋∞)
解析：选A　由题意知f(x)min≥g(x)min(x∈[2,3])，因为f(x)min＝5，g(x)min＝4＋a，所以5≥4＋a，即a≤1，故选A.
8．(2017·贵阳期末)下列说法正确的是(　　)
A．命题“ x∈R，ex>0”的否定是“ x0∈R，ex0>0”
B．命题“已知x，y∈R，若x＋y≠3，则x≠2或y≠1”的逆否命题是真命题
C．“x2＋2x≥ax在x∈[1,2]上恒成立” “(x2＋2x)min≥(ax)max在x∈[1,2]上恒成立”
D．命题“若a＝－1，则函数f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点”的逆命题为真命题
解析：选B　A：命题的否定是“ x0∈R，ex0≤0”，∴A错误；B：逆否命题为“已知x，y∈R，若x＝2且y＝1，则x＋y＝3”，易知为真命题，∴B正确；C：分析题意可知，不等式两边的最值不一定在同一个点取到，故C错误；D：若函数f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点，则：①a＝0，符合题意；②a≠0，Δ＝4＋4a＝0，a＝－1，故逆命题是假命题，∴D错误．
二、填空题
9．命题“ x∈R，cos
x≤1”的否定是________．
答案： x0∈R，cos
x0>1
10．给出下列命题：
① x∈R，x2＋1>0；② x∈N，x2≥1；③ x0∈Z，x<1；④ x0∈Q，x＝3；⑤ x∈R，x2－3x＋2＝0；⑥ x0∈R，x＋1＝0.
其中所有真命题的序号是________．
解析：①显然是真命题；②中，当x＝0时，x2<1，故②是假命题；③中，当x＝0时，x3<1，故③是真命题；④中，对于任意的x∈Q，x2＝3都不成立，故④是假命题；⑤中，只有当x＝1或x＝2时，x2－3x＋2＝0才成立，故⑤是假命题；⑥显然是假命题．综上可知，所有真命题的序号是①③.
答案：①③
11．已知命题p：“ x∈[0,1]，a≥ex”；命题q：“ x0∈R，使得x＋4x0＋a＝0”．若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围为________．
解析：若命题“p∧q”是真命题，那么命题p，q都是真命题．
由 x∈[0,1]，a≥ex，得a≥e；
由 x0∈R，使x＋4x0＋a＝0，
知Δ＝16－4a≥0，a≤4，因此e≤a≤4.
则实数a的取值范围为[e,4]．
答案：[e,4]
12．(2017·昆明模拟)由命题“存在x0∈R，使x＋2x0＋m≤0”是假命题，求得m的取值范围是(a，＋∞)，则实数a的值是________．
解析：∵命题“存在x0∈R，使x＋2x0＋m≤0”是假命题，∴命题“ x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题，故Δ＝22－4m<0，即m>1，故a＝1.
答案：1
三、解答题
13．已知命题p：“存在a>0，使函数f(x)＝ax2－4x在(－∞，2]上单调递减”，命题q：“存在a∈R，使 x∈R,16x2－16(a－1)x＋1≠0”．若命题“p∧q”为真命题，求实数a的取值范围．
解：若p为真，则对称轴x＝－＝在区间(－∞，2]的右侧，即≥2，∴0若q为真，则方程16x2－16(a－1)x＋1＝0无实数根．
∴Δ＝[16(a－1)]2－4×16<0，
∴∵命题“p∧q”为真命题，
∴命题p，q都为真，
∴∴故实数a的取值范围为.
14．设p：实数x满足x2－4ax＋3a2＜0，其中a＞0.
q：实数x满足
(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
(2)綈p是綈q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
解：由x2－4ax＋3a2＜0(a＞0)，得a＜x＜3a，
即p为真命题时，a＜x＜3a，
由得
即2＜x≤3，即q为真命题时，2＜x≤3.
(1)a＝1时，p：1由p∧q为真，知p，q均为真命题，则
得2＜x＜3，所以实数x的取值范围为(2,3)．
(2)设A＝{x|a＜x＜3a}，B＝{x|2＜x≤3}，
由题意知q是p的充分不必要条件，所以B?A，
有∴1＜a≤2，
所以实数a的取值范围为(1,2]．高考达标检测（二）
命题及其关系
充分条件与必要条件
一、选择题
1．(2017·菏泽一中模拟)命题“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是(　　)
A．若a2＋b2≠0，则a≠0且b≠0
B．若a2＋b2≠0，则a≠0或b≠0
C．若a＝0且b＝0，则a2＋b2≠0
D．若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0
解析：选D　命题的逆否命题是条件和结论对调且都否定，注意“且”应换成“或”．
2．在命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c<0}≠ ”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是(　　)
A．都真　　　　　　　　
　B．都假
C．否命题真
D．逆否命题真
解析：选D　对于原命题：“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c<0}≠ ”，这是一个真命题，所以其逆否命题也为真命题；但其逆命题：“若{x|ax2＋bx＋c<0}≠ ，则抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下”是一个假命题，因为当不等式ax2＋bx＋c<0的解集非空时，可以有a>0，即抛物线的开口可以向上，因此否命题也是假命题．故选D.
3．(2016·山西太原一模)“已知命题p：cos
α≠，命题q：α≠”，则命题p是命题q的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A　法一：若cos
α≠，
则α≠2kπ±(k∈Z)，
则α也必然不等于，故p q；
若α≠，但α＝－时，
依然有cos
α＝，故q
/p.
所以p是q的充分不必要条件．
法二：綈p：cos
α＝，綈q：α＝，
则有綈p
/綈q，綈q 綈p，即綈q是綈p的充分不必要条件，根据原命题与逆否命题的等价性，可得p是q的充分不必要条件．
4．(2017·烟台诊断)若条件p：|x|≤2，条件q：x≤a，且p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是(　　)
A．[2，＋∞)
B．(－∞，2]
C．[－2，＋∞)
D．(－∞，－2]
解析：选A　p：|x|≤2 －2≤x≤2.
因为p是q的充分不必要条件，
所以[－2,2] (－∞，a]，即a≥2.
5．(2017·嘉兴质检)命题“对任意x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是(　　)
A．a≥4
B．a>4
C．a≥1
D．a>1
解析：选B　若“对任意x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题，则有a≥(x2)max，其中x∈[1,2]，所以a≥4，命题成立的一个充分不必要条件即寻找[4，＋∞)的一个真子集即可，故选B.
6．(2017·河南质量检测)设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“a⊥b”是“α⊥β”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
D．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B　因为α⊥β，b⊥m，所以b⊥α，又直线a在平面α内，所以a⊥b；但直线a，m不一定相交，所以“a⊥b”是“α⊥β”的必要不充分条件，故选B.
7．如果x，y是实数，那么“x≠y”是“cos
x≠cos
y”的(　　)
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选C　设集合A＝{(x，y)|x≠y}，B＝{(x，y)|cos
x≠cos
y}，则A的补集C＝
{(x，y)|x＝y}，B的补集D＝{(x，y)|cos
x＝cos
y}，显然C?D，所以B?A.于是“x≠y”是
“cos
x≠cos
y”的必要不充分条件．
8．(2017·南昌调研)下列说法正确的是(　　)
A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题是“若x2＝1，则x≠1”
B．“x＝－1”是“x2－x－2＝0”的必要不充分条件
C．命题“若x＝y，则sin
x＝sin
y”的逆否命题是真命题
D．“tan
x＝1”是“x＝”的充分不必要条件
解析：选C　由原命题与否命题的关系知，原命题的否命题是“若x2≠1，则x≠1”，即A不正确；因为x2－x－2＝0，所以x＝－1或x＝2，所以由“x＝－1”能推出“x2－x－2＝0”，反之，由“x2－x－2＝0”推不出“x＝－1”，所以“x＝－1”是“x2－x－2＝0”的充分不必要条件，即B不正确；因为由x＝y
能推得sin
x＝sin
y，即原命题是真命题，所以它的逆否命题是真命题，故C正确；由x＝能推出tan
x＝1，但由tan
x＝1推不出x＝，所以“tan
x＝1”是“x＝”的必要不充分条件，即D不正确．
二、填空题
9．“若a≤b，则ac2≤bc2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________．
解析：其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题．
答案：2
10．(2017·德州一中模拟)下列命题中为真命题的序号是________．
①若x≠0，则x＋≥2；
②命题：若x2＝1，则x＝1或x＝－1的逆否命题为：若x≠1且x≠－1，则x2≠1；
③“a＝1”是“直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件；
④命题“若x<－1，则x2－2x－3>0”的否命题为“若x≥－1，则x2－2x－3≤0”．
解析：当x<0时，x＋≤－2，故①错误；根据逆否命题的定义可知，②正确；“a＝±1”是“直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件，故③错误；根据否命题的定义知④正确．故填②④.
答案：②④
11．已知集合A＝，B＝{x|－1解析：A＝＝{x|－1∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，
∴A?B，∴m＋1>3，即m>2.
答案：(2，＋∞)
12．设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，则“|q|＝1”是“S4＝2S2”的________条件．
解析：∵等比数列{an}的前n项和为Sn，又S4＝2S2，
∴a1＋a2＋a3＋a4＝2(a1＋a2)，∴a3＋a4＝a1＋a2，
∴q2＝1 |q|＝1，∴“|q|＝1”是“S4＝2S2”的充要条件．
答案：充要
三、解答题
13．写出命题“已知a，b∈R，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2≥4b”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．
解：(1)逆命题：已知a，b∈R，若a2≥4b，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，为真命题．
(2)否命题：已知a，b∈R，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，则a2<4b，为真命题．
(3)逆否命题：已知a，b∈R，若a2<4b，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，为真命题．
14．已知集合A＝，B＝{x|x＋m2≥1}．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数m的取值范围．
解：y＝x2－x＋1＝2＋，
∵x∈，∴≤y≤2，
∴A＝.
由x＋m2≥1，得x≥1－m2，
∴B＝{x|x≥1－m2}．
∵“x∈A”是“x∈B”的充分条件，
∴A B，∴1－m2≤，
解得m≥或m≤－，
故实数m的取值范围是∪.高考达标检测（十三）
极值、最值两考点
利用导数巧推演
一、选择题
1．函数f(x)＝(x2－1)2＋2的极值点是(　　)
A．x＝1　　　　　　　　　
　B．x＝－1
C．x＝1或－1或0
D．x＝0
解析：选C　∵f(x)＝x4－2x2＋3，
∴由f′(x)＝4x3－4x＝4x(x＋1)(x－1)＝0，
得x＝0或x＝1或x＝－1，
又当x<－1时f′(x)<0，当－10，
当01时，f′(x)>0，
∴x＝0,1，－1都是f(x)的极值点．
2．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则的值为(　　)
A．－
B．－2
C．－2或－
D．2或－
解析：选A　由题意知，f′(x)＝3x2＋2ax＋b，f′(1)＝0，f(1)＝10，即解得或经检验满足题意，故＝－.
3．(2017·浙江瑞安中学月考)已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx的图象如图所示，则x＋x等于(　　)
A.
B.
C.
B.
解析：选C　由图象可知f(x)的图象过点(1,0)与(2,0)，x1，x2是函数f(x)的极值点，因此1＋b＋c＝0,8＋4b＋2c＝0，解得b＝－3，c＝2，所以f(x)＝x3－3x2＋2x，所以f′(x)＝3x2－6x＋2.x1，x2是方程f′(x)＝3x2－6x＋2＝0的两根，因此x1＋x2＝2，x1x2＝，所以x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝4－＝.
4．(2017·南昌调研)已知函数f(x)＝(2x－x2)ex，则(　　)
A．f()是f(x)的极大值也是最大值
B．f()是f(x)的极大值但不是最大值
C．f(－)是f(x)的极小值也是最小值
D．f(x)没有最大值也没有最小值
解析：选A　由题意得f′(x)＝(2－2x)ex＋(2x－x2)ex＝(2－x2)ex，当－0，函数f(x)单调递增；当x<－或x>时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，所以f(x)在x＝处取得极大值f()＝2(－1)e>0，在x＝－处取得极小值f(－)＝2(－－1)e－<0，又当x<0时，f(x)＝(2x－x2)ex<0，所以f()是f(x)的极大值也是最大值，无最小值．
5．(2016·长沙二模)已知函数f(x)＝(a＞0)在[1，＋∞)上的最大值为，则a的值为(　　)
A.－1
B.
C.
B.＋1
解析：选A　由f(x)＝，得f′(x)＝，当a＞1时，若x＞，则f′(x)＜0，f(x)单调递减，若1＜x＜，则f′(x)>0，f(x)单调递增，故当x＝时，函数f(x)有最大值＝，得a＝＜1，不合题意；当a＝1时，函数f(x)在[1，＋∞)上单调递减，最大值为f(1)＝，不合题意；当0＜a＜1时，函数f(x)在
[1，＋∞)上单调递减，此时最大值为f(1)＝＝，得a＝－1，符合题意．故a的值为－1，选A.
6．若函数f(x)＝x3＋x2－在区间(a，a＋5)上存在最小值，则实数a的取值范围是(　　)
A．[－5,0)
B．(－5,0)
C．[－3,0)
D．(－3,0)
解析：选C　由题意，f′(x)＝x2＋2x＝x(x＋2)，故f(x)在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函数，在(－2,0)上是减函数，作出其图象如图所示，令x3＋x2－＝－得，x＝0或x＝－3，则结合图象可知解得a∈[－3,0)，故选C.
二、填空题
7．若函数f(x)＝2x2－ln
x在其定义域的一个子区间(k－1，k＋1)内存在最小值，则实数k的取值范围是________．
解析：因为f(x)的定义域为(0，＋∞)，
又f′(x)＝4x－，
由f′(x)＝0，得x＝.
据题意
解得1≤k<.
答案：
8．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1,0)点，则f(x)的极大值、极小值分别为________．
解：由题意知，f′(x)＝3x2－2px－q，由f′(1)＝0，f(1)＝0，得解得p＝2，q＝－1，∴f(x)＝x3－2x2＋x，由f′(x)＝3x2－4x＋1＝0，得x＝或x＝1，易得当x＝时，f(x)取极大值，当x＝1时，f(x)取极小值0.
答案：　0
9．设函数f(x)＝ln
x－ax2－bx，若x＝1是f(x)的极大值点，则a的取值范围为________．
解析：∵f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－ax－b，
由f′(1)＝0，得b＝1－a.
∴f′(x)＝－ax＋a－1＝
＝－.
①若a≥0，当0＜x＜1时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；
当x＞1时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；
所以x＝1是f(x)的极大值点．
②若a＜0，由f′(x)＝0，得x＝1或x＝－.
因为x＝1是f(x)的极大值点，
所以－＞1，解得－1＜a＜0.
综合①②得a的取值范围是(－1，＋∞)．
答案：(－1，＋∞)
三、解答题
10．(2017·济宁模拟)已知函数f(x)＝(k≠0)．求函数f(x)的极值．
解：f(x)＝，其定义域为(0，＋∞)，
则f′(x)＝－.
令f′(x)＝0，得x＝1，
当k＞0时，若0＜x＜1，则f′(x)＞0；
若x＞1，则f′(x)＜0，
∴f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，即当x＝1时，函数f(x)取得极大值，无极小值．
当k＜0时，若0＜x＜1，则f′(x)＜0；
若x＞1，则f′(x)＞0，
∴f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，即当x＝1时，函数f(x)取得极小值，无极大值．
11．已知函数f(x)＝x－2ln
x－＋1，g(x)＝ex(2ln
x－x)．
(1)若函数f(x)在定义域上是增函数，求a的取值范围；
(2)求g(x)的最大值．
解：(1)由题意得x＞0，f′(x)＝1－＋.
由函数f(x)在定义域上是增函数，得f′(x)≥0，即a≥2x－x2＝－(x－1)2＋1(x＞0)．
因为－(x－1)2＋1≤1(当x＝1时，取等号)，
所以a的取值范围是[1，＋∞)．
(2)g′(x)＝ex，
由(1)得a＝2时，f(x)＝x－2ln
x－＋1，
且f(x)在定义域上是增函数，又f(1)＝0，
所以，当x∈(0,1)时，f(x)＜0，当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞0.
所以，当x∈(0,1)时，g′(x)＞0，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＜0.
故当x＝1时，g(x)取得极大值也是最大值－e.
12．(2017·威海调研)已知函数f(x)＝＋ax，x＞1.
(1)若f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求实数a的取值范围；
(2)若a＝2，求函数f(x)的极小值；
(3)在(2)的条件下，若方程(2x－m)ln
x＋x＝0在(1，e]上有两个不等实根，求实数m的取值范围．
解：(1)∵f(x)＝＋ax，x＞1.
∴f′(x)＝＋a.由题意可得f′(x)≤0在(1，＋∞)
上恒成立，即a≤－＝2－，对x∈(1，＋∞)恒成立．
∵x∈(1，＋∞)，∴ln
x∈(0，＋∞)，
∴－＝0时，函数t(x)＝2－的最小值为－，∴a≤－.
故实数a的取值范围为.
(2)当a＝2时，f(x)＝＋2x，
f′(x)＝
＝
由得x＝e.
f(x)与f′(x)在(1，＋∞)上的情况如下表：
x
eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，e))
e
eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(e，＋∞))
f′(x)
－
0
＋
f(x)
?
极小值feq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(e))
?
∴f(x)极小值＝f(e)＝eq
\f(e,\f(1,2))＋2e＝4.
(3)∵x＞1，
∴(2x－m)ln
x＋x＝0 2x－m＋＝0 m＝＋2x，
∴方程(2x－m)ln
x＋x＝0在(1，e]上有两个不等实根，
即函数f(x)与函数y＝m在(1，e]上有两个不同的交点．
由(2)可知，f(x)在eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，e))上单调递减，在eq
\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(e，e))上单调递增且feq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(e))＝4，f(e)＝3e，
∴当x→1时，→＋∞，
∴4＜m≤3e，
故实数m的取值范围是(4，3e]．高考达标检测（二十五）
数列求和的3种方法
—分组转化、裂项相消和错位相减
一、选择题
1．(2017·扬州调研)已知数列{an}的前n项和为Sn，并满足：an＋2＝2an＋1－an，a5＝4－a3，则S7＝(　　)
A．7　　　　　　　　　　　
　B．12
C．14
D．21
解析：选C　由an＋2＝2an＋1－an知数列{an}为等差数列，由a5＝4－a3
得a5＋a3＝4＝a1＋a7，所以S7＝＝14.
2．(2017·安徽江南十校联考)在数列{an}中，an＋1－an＝2，Sn为{an}的前n项和．若S10＝50，则数列{an＋an＋1}的前10项和为(　　)
A．100
B．110
C．120
D．130
解析：选C　{an＋an＋1}的前10项和为a1＋a2＋a2＋a3＋…＋a10＋a11＝2(a1＋a2＋…＋a10)＋a11－a1＝2S10＋10×2＝120.故选C.
3．(2017·安溪质检)数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n，则S17＝(　　)
A．9
B．8
C．17
D．16
解析：选A　S17＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋15－16＋17＝1＋(－2＋3)＋(－4＋5)＋(－6＋7)＋…＋(－14＋15)＋(－16＋17)＝1＋1＋1＋…＋1＝9.
4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列的前100项和为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选A　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.
∵a5＝5，S5＝15，
∴∴
∴an＝a1＋(n－1)d＝n.
∴＝＝－，
∴数列的前100项和为＋＋…＋＝1－＝.
5．对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝2，{an}的“差数列”的通项公式为2n，则数列{an}的前2
016项和S2
016＝(　　)
A．22
017－2
B．22
017－1
C．22
017
D．22
017＋1
解析：选A　由题意知an＋1－an＝2n，则an－an－1＝2n－1，an－1－an－2＝2n－2，…，a3－a2＝22，a2－a1＝2，累加求和得an－a1＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＝＝2n－2，n≥2，又a1＝2，所以an＝2n，则数列{an}的前2
016项和S2
016＝＝22
017－2，故选A.
6．已知数列{an}满足an＋2－an＋1＝an＋1－an，n∈N
，且a5＝，若函数f(x)＝sin
2x＋2cos2，记yn＝f(an)，则数列{yn}的前9项和为(　　)
A．0
B．－9
C．9
D．1
解析：选C　由已知可得，数列{an}为等差数列，f(x)＝sin
2x＋cos
x＋1，∴f＝1.∵f(π－x)＝sin(2π－2x)＋cos(π－x)＋1＝－sin
2x－cos
x＋1，∴f(π－x)＋f(x)＝2，∵a1＋a9＝a2＋a8＝…＝2a5＝π，∴f(a1)＋…＋f(a9)＝2×4＋1＝9，即数列{yn}的前9项和为9.
二、填空题
7．(2016·陕西一检)已知数列{an}中，a1＝2，a2n＝an＋1，a2n＋1＝n－an，则{an}的前100项和为________．
解析：由a1＝2，a2n＝an＋1，a2n＋1＝n－an，得a2n＋a2n＋1＝n＋1，∴a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a98＋a99)＝2＋2＋3＋…＋50＝1
276，∵a100＝1＋a50＝1＋(1＋a25)＝2＋(12－a12)＝14－(1＋a6)＝13－(1＋a3)＝12－(1－a1)＝13，∴a1＋a2＋…＋a100＝1
276＋13＝1
289.
答案：1
289
8．1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1＝________(x≠0且x≠1)．
解析：设Sn＝1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1，①
则xSn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，②
①－②得：(1－x)Sn＝1＋x＋x2＋…＋xn－1－nxn
＝－nxn，
∴Sn＝－.
答案：－
9．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(－1)n(an＋1)，记Sn为{an}的前n项和，则S2
017＝________.
解析：由a1＝1，an＋1＝(－1)n(an＋1)可得，
a2＝－2，a3＝－1，a4＝0，a5＝1，a6＝－2，a7＝－1，…，
故该数列为周期是4的数列，
所以S2
017＝504(a1＋a2＋a3＋a4)＋a1
＝504×(－2)＋1＝－1
007.
答案：－1
007
三、解答题
10．(2017·西安八校联考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a5＝－3，S10＝－40.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若从数列{an}中依次取出第2,4,8，…，2n，…项，按原来的顺序排成一个新数列{bn}，求数列{bn}的前n项和Tn.
解：(1)∵a5＝a1＋4d＝－3，
S10＝10a1＋45d＝－40，
解得a1＝5，d＝－2.
∴an＝－2n＋7.
(2)依题意，bn＝a2n＝－2×2n＋7＝－2n＋1＋7，
故Tn＝－(22＋23＋…＋2n＋1)＋7n
＝－＋7n
＝4＋7n－2n＋2.
11．已知递增的等比数列{an}的前n项和为Sn，a6＝64，且a4，a5的等差中项为3a3.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
解：(1)设等比数列{an}的公比为q(q>0)，
由题意，得
解得
所以an＝2n.
(2)因为bn＝＝，
所以Tn＝＋＋＋＋…＋，
Tn＝＋＋＋…＋＋，
所以Tn＝＋＋＋＋…＋－
＝－
＝－，
故Tn＝－＝－.
12．(2017·云南统检)设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝2，对任意n∈N
，都有2Sn＝(n＋1)an.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列的前n项和为Tn，求证：≤Tn<1.
解：(1)因为2Sn＝(n＋1)an，
当n≥2时，2Sn－1＝nan－1，
两式相减，得2an＝(n＋1)an－nan－1，
即(n－1)an＝nan－1，
所以当n≥2时，＝，
所以＝＝2，即an＝2n(n≥2)．
因为a1＝2也符合上式，所以an＝2n.
(2)证明：由(1)知an＝2n，
令bn＝，n∈N
，
所以bn＝＝＝－.
所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝＋＋…＋＝1－.
因为>0，所以1－<1.
显然当n＝1时，Tn取得最小值.
所以≤Tn<1.高考达标检测（二十八）
基本不等式
一、选择题
1．设0A．a　
B．a<<C．a<D.解析：选B　因为00，故b>；由基本不等式知>，综上所述，a<<2．(2017·衡水模拟)设非零实数a，b，则“a2＋b2≥2ab”是“＋≥2”成立的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B　因为a，b∈R时，都有a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，即a2＋b2≥2ab，
而＋≥2 ab>0，所以“a2＋b2≥2ab”是“＋≥2”的必要不充分条件．
3．设正实数a，b满足a＋b＝1，则(　　)
A.＋有最大值4
B.有最小值
C.＋有最大值
D．a2＋b2有最小值
解析：选C　由于a>0，b>0，由基本不等式得1＝a＋b≥2，当且仅当a＝b时，等号成立，∴≤，∴ab≤，＋＝＝≥4，因此＋的最小值为4，a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－＝，(＋)2＝a＋b＋2＝1＋2≤1＋1＝2，所以＋有最大值，故选C.
4．(2017·开封摸底考试)已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是(　　)
A．3
B．4
C.
D.
解析：选B　由题意得x＋2y＝8－x·2y≥8－2，当且仅当x＝2y时，等号成立，整理得(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0，即(x＋2y－4)(x＋2y＋8)≥0，又x＋2y>0，所以x＋2y≥4，所以x＋2y的最小值为4，故选B.
5．(2017·江南十校联考)设x，y∈R，a>1，b>1，若ax＝by＝2,2a＋b＝8，则＋的最大值为(　　)
A．2
B．3
C．4
D．log23
解析：选B　∵ax＝by＝2，∴x＝loga2，y＝logb2，
∴＋＝＋＝log2a＋log2b＝log2(ab)．
又a>1，b>1，∴8＝2a＋b≥2，即ab≤8，
当且仅当2a＝b，即a＝2，b＝4时取等号，
∴＋＝log2(ab)≤log28＝3.故max＝3.
6．不等式x2＋2x<＋对任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，则实数x的取值范围是(　　)
A．(－2,0)
B．(－∞，－2)∪(0，＋∞)
C．(－4,2)
D．(－∞，－4)∪(2，＋∞)
解析：选C　不等式x2＋2x<＋对任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，等价于x2＋2x＝8(当a＝4b时等号成立)，
∴x2＋2x<8，解得－47．若正数a，b满足a＋b＝2，则＋的最小值是(　　)
A．1
B.
C．9
D．16
解析：选B　＋＝[(a＋1)＋(b＋1)]＝≥(5＋2)＝，当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号，故选B.
8．(2016·洛阳统考)若正实数x，y，z满足x2＋4y2＝z＋3xy，则当取最大值时，＋－的最大值为(　　)
A．2
B.
C．1
D.
解析：选D　∵z＝x2＋4y2－3xy，x，y，z∈(0，＋∞)，
∴＝＝≤1(当且仅当x＝2y时等号成立)，
此时＋－＝－，
令＝t>0，则＋－＝t－t2＝－(t－1)2＋≤(当且仅当t＝1时等号成立)．故选D.
二、填空题
9．(2017·云南两市联考)已知向量a＝(m,1)，b＝(1－n,1)，m>0，n>0，若a∥b，则
＋的最小值是________．
解析：向量a∥b的充要条件是m×1＝1×(1－n)，即m＋n＝1，故＋＝(m＋n)＝3＋＋≥3＋2，当且仅当n＝m＝2－时等号成立，故＋的最小值是3＋2.
答案：3＋2
10．已知a，b，c都为实数，且b，c同号，若a＋＋＝，则的最小值为________．
解析：由已知得a2＋＋＝bc，所以＝a2＋＋＋＝bc＋≥2(当且仅当bc＝1时取等号)，故的最小值为2.
答案：2
11．(2016·周口调研)已知对任意正实数x，y，x＋2≤λ(x＋y)恒成立，则实数λ的最小值为________．
解析：依题意得x＋2≤x＋(x＋2y)＝2(x＋y)，即≤2(当且仅当x＝2y时取等号)，即的最大值是2，又λ≥恒成立，所以λ≥2，即λ的最小值是2.
答案：2
12.某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑到防洪堤的坚固性及水泥用料等因素，要求设计其横断面的面积为9平方米，且高度不低于米，记防洪堤横断面的腰长为x米，外周长(梯形的上底与两腰长的和)为y米，若要使堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x＝________.
解析：设横断面的高为h，
由题意得AD＝BC＋2·＝BC＋x，h＝x，
∴9＝(AD＋BC)h＝(2BC＋x)·x，
故BC＝－，
由
得2≤x<6，
∴y＝BC＋2x＝＋(2≤x<6)，
从而y＝＋≥2
＝6，
当且仅当＝(2≤x<6)，即x＝2时等号成立．
答案：2
三、解答题
13．已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求：
(1)xy的最小值；
(2)x＋y的最小值．
解：(1)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，
又x＞0，y＞0，
则1＝＋≥2
＝，得xy≥64，
当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立．
所以xy的最小值为64.
(2)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，
则x＋y＝·(x＋y)＝10＋＋
≥10＋2
＝18.
当且仅当x＝12且y＝6时等号成立，
∴x＋y的最小值为18.
14．某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900
m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1
m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1
m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3
m宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x(单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S(单位：m2)．
(1)求S关于x的函数关系式；
(2)求S的最大值．
解：(1)由题设，得S＝(x－8)＝－2x－＋916，x∈(8,450)．
(2)因为8所以2x＋≥2
＝240，
当且仅当x＝60时等号成立，从而S≤676.
故当矩形温室的室内长为60
m时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676
m2.高考达标检测（二十七）
简单的线性规划问题
1．设D为不等式组所表示的平面区域，区域D上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为(　　)
A.　　　　　　　　　　
　
B.
C.
D.
解析：选C　作出可行域，如图中阴影部分所示，则根据图形可知，点B(1,0)到直线2x－y＝0的距离最小，d＝＝，故最小距离为.
2．(2016·天津高考)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝2x＋5y的最小值为(　　)
A．－4
B．6
C．10
D．17
解析：选B　由约束条件作出可行域如图中阴影部分所示，目标函数可化为y＝－x＋z，在图中画出直线y＝－x，
平移该直线，易知经过点A时z最小．
又知点A的坐标为(3,0)，
∴zmin＝2×3＋5×0＝6.故选B.
3．(2017·河南豫西五校联考)设z＝x＋y，其中实数x，y满足若z的最大值为6，则z的最小值为(　　)
A．－3
B．－2
C．－1
D．0
解析：选A　法一：作出实数x，y满足的平面区域，如图中阴影部分所示，由图知，当目标函数z＝x＋y经过点C(k，k)时，取得最大值，且zmax＝k＋k＝6，得k＝3.当目标函数z＝x＋y经过点B(－6,3)时，取得最小值，且zmin＝－6＋3＝－3，故选A.
法二：先作出所表示的平面区域，再作出直线x＋y＝6，则直线x＋y＝6与直线y＝x的交点为(3,3)，结合题意易知k＝3.故不等式组表示的平面区域的顶点分别为(0,0)，(－6,3)，(3,3)，分别代入z＝x＋y得z的值为0，－3,6，所以z的最小值为－3.
4．已知实数x，y满足则z＝2x－2y－1的取值范围是(　　)
A.
B．[0,5]
C.
D.
解析：选D　画出不等式组所表示的区域，如图阴影部分所示，作直线l：2x－2y－1＝0，平移l可知2×－2×－1≤z<2×2－2×(－1)－1，即z的取值范围是.
5．(2016·乌鲁木齐三诊)已知不等式组所表示的平面区域为D，若直线y＝kx－3与平面区域D有公共点，则k的取值范围为(　　)
A．[－3,3]　　　　　　
　
B.∪
C．(－∞，－3]∪[3，＋∞)
D.
解析：选C　依据不等式组作出可行域如图阴影部分所示，注意到y＝kx－3过定点(0，－3)．∴斜率的两个端点值为－3,3，两斜率之间存在斜率不存在的情况，∴k的取值范围为(－∞，－3]∪[3，＋∞)，故选C.
6．设变量x，y满足约束条件则S＝的取值范围是(　　)
A.
B.
C.
D．[1,2]
解析：选C　作出可行域为含边界的三角形区域(如图)，
顶点分别是A(1,0)，B(0,1)，C(2，2)．S＝表示可行域内的点与定点P(－1，－1)连线的斜率，则Smin＝kPA＝，Smax＝kPB＝2，故选C.
7．(2016·大连期末)已知点P的坐标(x，y)满足过点P的直线l与圆C：x2＋y2＝14相交于A，B两点，则|AB|的最小值是(　　)
A．2
B．4
C.
D．2
解析：选B　根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，设点P到圆心的距离为d，则求最短弦长，等价于求到圆心距离d最大的点，即为图中的P点，其坐标为(1,3)，则d＝＝，此时|AB|min＝2＝4，故选B.
8．已知O为坐标原点，点M的坐标为(1,1)．若点N(x，y)的坐标满足则·的最大值为(　　)
A.
B．2
C.
D．2
解析：选B　如图，点N在图中阴影区域内，当O，M，N共线，且||＝2时，
·最大，此时N(，)，∴·＝(1,1)·(，)＝2，故选B.
二、填空题
9．(2017·沈阳质监)已知不等式组表示的平面区域的面积等于3，则a的值为________．
解析：依据不等式组画出可行域如图中阴影部分所示，由图可知其表示的平面区域为△ABC，所以S＝×2|AC|＝3，所以|AC|＝3，即C(2,3)，又点C在直线ax－y＋2＝0上，得a＝.
答案：
10．(2016·全国甲卷)若x，y满足约束条件则z＝x－2y的最小值为________．
解析：不等式组
表示的可行域如图阴影部分所示．
由z＝x－2y得y＝x－z.
平移直线y＝x，易知经过点A(3,4)时，z有最小值，最小值为z＝3－2×4＝－5.
答案：－5
11．点P(x，y)在不等式组表示的平面区域内，若点P(x，y)到直线y＝kx－1(k>0)的最大距离为2，则实数k＝________.
解析：题中的不等式组表示的平面区域是以(0,1)，(0,3)，(1,2)为顶点的三角形区域(如图所示)，易得平面区域内的点(0,3)到直线y＝kx－1(k>0)的距离最大，所以＝2，又k>0，得k＝1.
答案：1
12．(2016·江苏高考)已知实数x，y满足则x2＋y2的取值范围是________．
解析：根据已知的不等式组画出可行域，如图阴影部分所示，则(x，y)为阴影区域内的动点．d＝可以看做坐标原点O与可行域内的点(x，y)之间的距离．数形结合，知d的最大值是OA的长，d的最小值是点O到直线2x＋y－2＝0的距离．由可得A(2,3)，
所以dmax＝＝，dmin＝＝.所以d2的最小值为，最大值为13.所以x2＋y2的取值范围是.
答案：
三、解答题
13．(2017·山西实验中学诊断)若不等式组表示的平面区域是一个三角形，求a的取值范围．
解：不等式组表示的平面区域如图所示(阴影部分)．
解得A（，），
解得B(1,0)．若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，
则直线x＋y＝a中a应满足0故a的取值范围为(0,1]∪.
14．(2016·天津高考)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：
　原料肥料　
　
A
B
C
甲
4
8
3
乙
5
5
10
现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨．在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．
(1)用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．
解：(1)由已知，x，y满足的数学关系式为
该二元一次不等式组所表示的平面区域为图①中的阴影部分．
(2)设利润为z万元，则目标函数为z＝2x＋3y.
考虑z＝2x＋3y，将它变形为y＝－x＋，它的图象是斜率为－，随z变化的一族平行直线，为直线在y轴上的截距，当取最大值时，z的值最大．根据x，y满足的约束条件，由图②可知，当直线z＝2x＋3y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大．
解方程组得点M的坐标为(20,24)，
所以zmax＝2×20＋3×24＝112.
故生产甲种肥料20车皮，乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．高考达标检测（五十六）证明4方法
——综合法、分析法、反证法、数学归纳法
一、选择题
1．(2017·广州调研)若a，b，c为实数，且a＜b＜0，则下列命题正确的是(　　)
A．ac2＜bc2　　　　　　
B．a2＞ab＞b2
C.＜
D.＞
解析：选B　a2－ab＝a(a－b)，
∵a＜b＜0，∴a－b＜0，
∴a2－ab＞0，
∴a2＞ab.①
又ab－b2＝b(a－b)＞0，
∴ab＞b2，②
由①②得a2＞ab＞b2.
2．(2017·常德模拟)数列{an}中，已知a1＝1，当n≥2时，an－an－1＝2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是(　　)
A．3n－2
B．n2
C．3n－1
D．4n－3
解析：选B　计算出a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16.可猜想an＝n2.
3．(2016·大连一模)设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)的值(　　)
A．恒为负值
B．恒等于零
C．恒为正值
D．无法确定正负
解析：选A　由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，
可知f(x)是R上的单调递减函数，
由x1＋x2>0，可知x1>－x2，f(x1)则f(x1)＋f(x2)<0.
4．已知函数f(x)＝x，a，b为正实数，A＝f，B＝f()，C＝f，则A，B，C的大小关系为(　　)
A．A≤B≤C
B．A≤C≤B
C．B≤C≤A
D．C≤B≤A
解析：选A　因为≥≥，又f(x)＝x在R上是单调减函数，
故f≤f()≤f.
5．已知m＞1，a＝－，b＝－，则以下结论正确的是(　　)
A．a＞b
B．a＜b
C．a＝b
D．a，b大小不定
解析：选B　∵a＝－＝，
b＝－＝
.
而＋＞＋＞0(m＞1)，
∴＜，即a6．设a，b，c均为正实数，则三个数a＋，b＋，c＋(　　)
A．都大于2
B．都小于2
C．至少有一个不大于2
D．至少有一个不小于2
解析：选D　∵a＞0，b＞0，c＞0，
∴＋＋＝＋＋≥6，当且仅当a＝b＝c＝1时，“＝”成立，故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2.
二、填空题
7．(2017·临汾模拟)下列条件：①ab＞0，②ab＜0，③a＞0，b＞0，④a＜0，b＜0，其中能使＋≥2成立的条件的序号是________．
解析：要使＋≥2，只需＞0且＞0成立，即a，b不为0且同号即可，
故①③④都能使＋≥2成立．
答案：①③④
8．若二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1，在区间[－1,1]内至少存在一点c，使f(c)>0，则实数p的取值范围是________．
解析：法一：(补集法)
令解得p≤－3或p≥，
故满足条件的p的范围为.
法二：(直接法)
依题意有f(－1)>0或f(1)>0，
即2p2－p－1<0或2p2＋3p－9<0，
得－故满足条件的p的取值范围是.
答案：
9．(2017·德州一模)如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则△A2B2C2是________三角形．
解析：由条件知，△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0，则△A1B1C1是锐角三角形，假设△A2B2C2是锐角三角形．
由得
那么，A2＋B2＋C2＝，这与三角形内角和为180°相矛盾．
所以假设不成立，又显然△A2B2C2不是直角三角形．
所以△A2B2C2是钝角三角形．
答案：钝角
三、解答题
10．已知a，b，c为不全相等的正数，求证：＋＋＞3.
证明：因为a，b，c为不全相等的正数，
所以＋＋
＝＋＋＋＋＋－3，
＞2
＋2
＋2
－3＝3，
即＋＋＞3.
11．(2016·武汉模拟)已知数列{an}，an≥0，a1＝0，a＋an＋1－1＝a.
求证：当n∈N＋时，an＜an＋1.
证明：(1)当n＝1时，因为a2是方程a＋a2－1＝0的正根，所以a1＜a2.
(2)假设当n＝k(k∈N
)时，0≤ak＜ak＋1，
则由a－a＝(a＋ak＋2－1)－(a＋ak＋1－1)＝(ak＋2－ak＋1)(ak＋2＋ak＋1＋1)＞0，得ak＋1＜ak＋2，
即当n＝k＋1时，an＜an＋1也成立．
根据(1)和(2)，可知an＜an＋1对任何n∈N
都成立．
12．已知f(x)＝ax2＋bx＋c，若a＋c＝0，f(x)在[－1,1]上的最大值为2，最小值为－.求证：a≠0且＜2.
证明：假设a＝0或≥2.
(1)当a＝0时，由a＋c＝0，得f(x)＝bx，显然b≠0.
由题意得f(x)＝bx在[－1,1]上是单调函数，
所以f(x)的最大值为|b|，最小值为－|b|.
由已知条件，得|b|＋(－|b|)＝2－＝－，
这与|b|＋(－|b|)＝0相矛盾，所以a≠0.
(2)当≥2时，由二次函数的对称轴为x＝－，
知f(x)在[－1,1]上是单调函数，故其最值在区间的端点处取得．
所以
或
又a＋c＝0，则此时b无解，所以＜2.
由(1)(2)，得假设不成立，所以a≠0且＜2.高考达标检测（三十七）
椭圆命题3角度——求方程、研性质、判关系
一、选择题
1．如果x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是(　　)
A．(0,1)　　　　　　　　
B．(0,2)
C．(1，＋∞)
D．(0，＋∞)
解析：选A　x2＋ky2＝2转化为椭圆的标准方程，得＋＝1，
∵x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，
∴＞2，解得0＜k＜1.
∴实数k的取值范围是(0,1)．故选A.
2．(2017·济南质检)已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，且它的长轴长等于圆C：x2＋y2－2x－15＝0的半径，则椭圆的标准方程是(　　)
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋y2＝1
D.＋＝1
解析：选A　由x2＋y2－2x－15＝0，
知r＝4＝2a，
所以a＝2.又e＝＝，
所以c＝1，则b2＝a2－c2＝3.
因此椭圆的标准方程为＋＝1.
3．设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，
△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选C　由题意可得|PF2|＝|F1F2|，
所以2＝2c，
所以3a＝4c，所以e＝.
4．(2017·厦门模拟)椭圆E：＋＝1(a＞0)的右焦点为F，直线y＝x＋m与椭圆E交于A，B两点，若△FAB周长的最大值是8，则m的值等于(　　)
A．0
B．1
C.
D．2
解析：选B　设椭圆的左焦点为F′，则△FAB的周长为AF＋BF＋AB≤AF＋BF＋AF′＋BF′＝4a＝8，所以a＝2，当直线AB过焦点F′(－1,0)时，△FAB的周长取得最大值，所以0＝－1＋m，所以m＝1.故选B.
5．已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C上点A满足AF2⊥F1F2.若点P是椭圆C上的动点，则·的最大值为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选B　设向量，的夹角为θ.由条件知|AF2|＝＝，则·＝
||cos
θ，于是·要取得最大值，只需在向量上的投影值最大，易知此时点P在椭圆短轴的上顶点，所以·＝cos
θ≤，即·的最大值为.
6．从椭圆＋＝1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选C　由题意可设P(－c，y0)(c为半焦距)，kOP＝－，kAB＝－，由于OP∥AB，∴－＝－，y0＝，把P代入椭圆方程得＋＝1，即2＝，∴e＝＝.选C.
二、填空题
7．若F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0解析：设点A在点B上方，F1(－c,0)，F2(c,0)，其中c＝，
则可设A(c，b2)，B(x0，y0)，
由|AF1|＝3|F1B|，可得＝3，
故即
代入椭圆方程可得＋b2＝1，
解得b2＝，
故椭圆方程为x2＋＝1.
答案：x2＋＝1
8．已知椭圆的方程是x2＋2y2－4＝0，则以M(1,1)为中点的弦所在直线方程是______．
解析：设过M(1,1)点的方程为y＝kx＋b，
则有k＋b＝1，即b＝1－k，即y＝kx＋(1－k)，
联立方程组
则有(1＋2k2)x2＋(4k－4k2)x＋(2k2－4k－2)＝0，
所以＝·＝1，
解得k＝－，故b＝，
所以y＝－x＋，即x＋2y－3＝0.
答案：x＋2y－3＝0
9．如图，椭圆的中心在坐标原点O，顶点分别是A1，A2，B1，B2，焦点分别为F1，F2，延长B1F2与A2B2交于P点，若∠B1PA2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为________．
解析：设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，∠B1PA2为钝角可转化为，
所夹的角为钝角，则(a，－b)·(－c，－b)＜0，得b2＜ac，即a2－c2＜ac，故2＋－1＞0，即e2＋e－1＞0，e＞或e＜，又0＜e＜1，∴＜e＜1.
答案：
三、解答题
10．(2016·洛阳一模)设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点(0,4)，离心率为.
(1)求C的方程；
(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．
解：(1)将(0,4)代入C的方程得＝1，
∴b＝4，
由e＝＝，得＝，
即1－＝，∴a＝5，
∴C的方程为＋＝1.
(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)，
设直线与椭圆C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)．
将直线方程y＝(x－3)代入椭圆C的方程，
得＋＝1，
即x2－3x－8＝0，
由根与系数的关系得x1＋x2＝3，
∴x0＝＝，
y0＝＝(x1＋x2－6)＝－，
即线段AB的中点坐标为.
11．(2017·广州五校联考)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的离心率e＝，且经过点(，1)，O为坐标原点．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)圆O是以椭圆E的长轴为直径的圆，M是直线x＝－4在x轴上方的一点，过M作圆O的两条切线，切点分别为P，Q，当∠PMQ＝60°时，求直线PQ的方程．
解：(1)由题意可得e＝＝，
∵椭圆E经过点(，1)，∴＋＝1，
又a2－b2＝c2，解得a＝2，b＝2，
∴椭圆E的标准方程为＋＝1.
(2)连接OM，OP，OQ，OM与PQ交于点A，
依题意可设M(－4，m)．
由圆的切线性质及∠PMQ＝60°，可知△OPM为直角三角形且∠OMP＝30°，
∵|OP|＝2，∴|OM|＝4，
∴＝4，又m＞0，
解得m＝4，∴M(－4,4)，
∴直线OM的斜率kOM＝－1，
由MP＝MQ，OP＝OQ可得OM⊥PQ，
∴直线PQ的斜率kPQ＝1，
设直线PQ的方程为y＝x＋n，
∵∠OMP＝30°，∴∠POM＝60°，
∵∠OPA＝30°，
由|OP|＝2知|OA|＝，即点O到直线PQ的距离为，
∴＝，解得n＝±2(舍去负值)，
∴直线PQ的方程为x－y＋2＝0.
12.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB的斜率为0时，|AB|＋|CD|＝3.
(1)求椭圆的方程；
(2)求以A，B，C，D为顶点的四边形的面积的取值范围．
解：(1)由题意知，e＝＝，则a＝c，b＝c.
当直线AB的斜率为0时，
|AB|＋|CD|＝2a＋＝2c＋c＝3，
∴c＝1.
∴椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)①当直线AB与直线CD中有一条的斜率为0时，另一条的斜率不存在．
由题意知S四边形＝|AB|·|CD|＝×2×＝2.
②当两条直线的斜率均存在且不为0时，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
直线AB的方程为y＝k(x－1)，则直线CD的方程为y＝－(x－1)．
将直线AB的方程代入椭圆方程，并整理得
(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0，
∴x1＋x2＝，
x1x2＝，
∴|AB|＝|x1－x2|
＝·
＝.
同理，|CD|＝＝.
∴S四边形＝·|AB|·|CD|
＝··
＝
＝
＝2－.
∵22＋1≥22＋1＝9，
当且仅当k＝±1时取等号，
∴S四边形∈.
综合①与②可知，S四边形∈.高考达标检测（四十）曲线与方程求解3方法——直接法、定义法、代入法
一、选择题
1．(2017·深圳调研)已知点F(0,1)，直线l：y＝－1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且·＝·，则动点P的轨迹方程为(　　)
A．x2＝4y　　　　　　　　
B．y2＝3x
C．x2＝2y
D．y2＝4x
解析：选A　设点P(x，y)，则Q(x，－1)．
∵·＝·，
∴(0，y＋1)·(－x,2)＝(x，y－1)·(x，－2)，
即2(y＋1)＝x2－2(y－1)，整理得x2＝4y，
∴动点P的轨迹方程为x2＝4y.
2．(2016·呼和浩特调研)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，M为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段MF1的中点P的轨迹是(　　)
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
解析：选B　设椭圆的右焦点是F2，
由椭圆定义可得|MF1|＋|MF2|＝2a＞2c，
所以|PF1|＋|PO|＝(|MF1|＋|MF2|)＝a＞c，
所以点P的轨迹是以F1和O为焦点的椭圆．
3．已知正方形的四个顶点分别为O(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，点D，E分别在线段OC，AB上运动，且OD＝BE，设AD与OE交于点G，则点G的轨迹方程是(　　)
A．y＝x(1－x)(0≤x≤1)
B．x＝y(1－y)(0≤y≤1)
C．y＝x2(0≤x≤1)
D．y＝1－x2(0≤x≤1)
解析：选A　设D(0，λ)，E(1,1－λ)，0≤λ≤1，所以线段AD的方程为x＋＝1(0≤x≤1)，线段OE的方程为y＝(1－λ)x(0≤x≤1)，联立方程组(λ为参数)，消去参数λ得点G的轨迹方程为y＝x(1－x)(0≤x≤1)．
4．(2016·廊坊二模)有一动圆P恒过定点F(a,0)(a＞0)且与y轴相交于点A，B，若△ABP为正三角形，则圆心P的轨迹为(　　)
A．直线
B．圆
C．椭圆
D．双曲线
解析：选D　设P(x，y)，动圆P的半径为R，
∵△ABP为正三角形，
∴P到y轴的距离d＝R，即|x|＝R.
而R＝|PF|＝，
∴|x|＝·.
整理得(x＋3a)2－3y2＝12a2，
即－＝1.
∴点P的轨迹为双曲线．故选D.
5．(2016·沈阳质检)已知点O(0,0)，A(1，－2)，动点P满足|PA|＝3|PO|，则P点的轨迹方程是(　　)
A．8x2＋8y2＋2x－4y－5＝0
B．8x2＋8y2－2x－4y－5＝0
C．8x2＋8y2＋2x＋4y－5＝0
D．8x2＋8y2－2x＋4y－5＝0
解析：选A　设P点的坐标为(x，y)，由|PA|＝3|PO|，得＝3，整理得8x2＋8y2＋2x－4y－5＝0，故选A.
6．(2017·梅州质检)动圆M经过双曲线x2－＝1的左焦点且与直线x＝2相切，则圆心M的轨迹方程是(　　)
A．y2＝8x
B．y2＝－8x
C．y2＝4x
D．y2＝－4x
解析：选B　双曲线x2－＝1的左焦点F(－2,0)，动圆M经过F且与直线x＝2相切，则圆心M到点F的距离和到直线x＝2的距离相等，由抛物线的定义知轨迹是抛物线，其方程为y2＝－8x.
二、填空题
7．(2017·聊城一模)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A(1,0)，B(2,2)，若点C满足＝＋t(－)，其中t∈R，则点C的轨迹方程是________．
解析：设C(x，y)，则＝(x，y)，＋t(－)＝(1＋t,2t)，所以消去参数t得点C的轨迹方程为y＝2x－2.
答案：y＝2x－2
8．已知圆的方程为x2＋y2＝4，若抛物线过点A(－1,0)，B(1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是____________．
解析：设抛物线焦点为F，过A，B，O作准线的垂线AA1，BB1，OO1，则|AA1|＋|BB1|＝2|OO1|＝4，由抛物线定义得|AA1|＋|BB1|＝|FA|＋|FB|，∴|FA|＋|FB|＝4，故F点的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．所以抛物线的焦点轨迹方程为
＋＝1(y≠0)．
答案：＋＝1(y≠0)
9．在△ABC中，A为动点，B，C为定点，B，C(a＞0)，且满足条件sin
C－sin
B＝sin
A，则动点A的轨迹方程是________．
解析：由正弦定理得－＝×，
即|AB|－|AC|＝|BC|，
故动点A是以B，C为焦点，为实轴长的双曲线右支．
即动点A的轨迹方程为－＝1(x>0且y≠0)．
答案：－＝1(x＞0且y≠0)
三、解答题
10．已知圆C1的圆心在坐标原点O，且恰好与直线l1：x－y－2＝0相切．
(1)求圆的标准方程；
(2)设点A为圆上一动点，AN⊥x轴于点N，若动点Q满足＝m＋(1－m)
(其中m为非零常数)，试求动点Q的轨迹方程C2.
解：(1)设圆的半径为r，圆心到直线l1的距离为d，
则d＝＝2＝r，
∴圆C1的方程为x2＋y2＝4.
(2)设动点Q(x，y)，A(x0，y0)，
∵AN⊥x轴于点N，
∴N(x0,0)，
由题意，得(x，y)＝m(x0，y0)＋(1－m)(x0,0)，
∴即
将A代入x2＋y2＝4，得＋＝1.
即动点Q的轨迹方程为＋＝1.
11．(2017·唐山统考)已知动点P到直线l：x＝－1的距离等于它到圆C：x2＋y2－4x＋1＝0的切线长(P到切点的距离)．记动点P的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程；
(2)点Q是直线l上的动点，过圆心C作QC的垂线交曲线E于A，B两点，设AB的中点为D，求的取值范围．
解：(1)由已知得圆的方程为(x－2)2＋y2＝3，
则圆心为C(2,0)，半径r＝.
设P(x，y)，依题意可得|x＋1|＝，
整理得y2＝6x.
故曲线E的方程为y2＝6x.
(2)设直线AB的方程为my＝x－2，
则直线CQ的方程为y＝－m(x－2)，可得Q(－1,3m)．
将my＝x－2代入y2＝6x并整理可得y2－6my－12＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝6m，y1y2＝－12，
AB的中点D的坐标为，
即D(3m2＋2,3m)，|QD|＝3m2＋3.
|AB|＝·＝2，
所以2＝
＝的取值范围是，
故的取值范围是.
12．(2016·泰安质检)如图所示，动圆C1：x2＋y2＝t2,1＜t＜3，与椭圆C2：＋y2＝1相交于A，B，C，D四点，点A1，A2分别为C2的左，右顶点．
(1)当t为何值时，矩形ABCD的面积取得最大值？并求出其最大面积．
(2)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程．
解：(1)设A(x0，y0)，则S矩形ABCD＝4|x0y0|，
由＋y＝1得y＝1－，
从而xy＝x＝－2＋.
当x＝，y＝时，Smax＝6.
从而t2＝x＋y＝5，t＝，
∴当t＝时，矩形ABCD的面积取到最大值6.
(2)由椭圆C2：＋y2＝1，知A1(－3,0)，A2(3,0)，
由曲线的对称性及A(x0，y0)，
得B(x0，－y0)，
设点M的坐标为(x，y)，
直线AA1的方程为y＝(x＋3)．①
直线A2B的方程为y＝(x－3)．②
由①②得y2＝(x2－9)．③
又点A(x0，y0)在椭圆C上，
故y＝1－.④
将④代入③得－y2＝1(x＜－3，y＜0)．
因此点M的轨迹方程为－y2＝1(x＜－3，y＜0)．高考达标检测（二十六）
不等式性质、一元二次不等式
一、选择题
1．(2017·唐山一模)下列命题中，正确的是(　　)
A．若a>b，c>d，则ac>bd
B．若ac>bc，则a>b
C．若<，则aD．若a>b，c>d，则a－c>b－d
解析：选C　取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，可知A错误；当c<0时，ac>bc a0，∴a2．若a，b是任意实数，且a>b，则下列不等式成立的是(　　)
A．a2>b2　　　　　　　　
　
B.aC．lg(a－b)>0
D.>1
解析：选B　法一：因为函数f(x)＝x在R上是减函数，
又a>b，所以a法二：取a＝，b＝－，则a2＝，b2＝，a2故排除A、C、D选项，选B.
3．已知集合M＝{x|x2－4x>0}，N＝{x|mA．10
B．12
C．14
D．16
解析：选C　M＝{x|x2－4x>0}＝{x|x>4或x<0}，N＝{x|m由于M∩N＝{x|64．(2016·重庆检测)不等式<1的解集是(　　)
A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
B．(1，＋∞)
C．(－∞，－1)
D．(－1,1)
解析：选A　∵<1，∴－1<0，即<0，
该不等式可化为(x＋1)(x－1)>0，∴x<－1或x>1.
5．不等式f(x)＝ax2－x－c>0的解集为{x|－2解析：选B　由根与系数的关系得＝－2＋1，－＝－2，得a＝－1，c＝－2，
∴f(x)＝－x2－x＋2(经检验知满足题意)，∴f(－x)＝－x2＋x＋2，其图象开口向下，对称轴为x＝，结合图象知选B.
6．(2017·合肥一模)若不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为(　　)
A．(－3,0)
B．[－3,0)
C．[－3,0]
D．(－3,0]
解析：选D　当k＝0时，显然成立；
当k≠0时，即一元二次不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，
则解得－3综上，满足不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立的k的取值范围是(－3,0]．
7．若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4,3]的子集，则a的取值范围是(　　)
A．[－4,1]
B．[－4,3]
C．[1,3]
D．[－1,3]
解析：选B　原不等式为(x－a)(x－1)≤0，当a<1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a≥－4即可，即－4≤a<1；当a＝1时，不等式的解为x＝1，此时符合要求；当a>1时，不等式的解集为[1，a]，此时只要a≤3即可，即18．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件应定为(　　)
A．12元
B．16元
C．12元到16元之间
D．10元到14元之间
解析：选C　设销售价定为每件x元，利润为y，则：
y＝(x－8)[100－10(x－10)]，
依题意有，(x－8)[100－10(x－10)]＞320，
即x2－28x＋192＜0，
解得12＜x＜16，
所以每件销售价应为12元到16元之间．
二、填空题
9．(2017·武汉一模)已知存在实数a满足ab2>a>ab，则实数b的取值范围是__________．
解析：∵ab2>a>ab，∴a≠0，
当a>0时，b2>1>b，
即解得b<－1；
当a<0时，b2<1即此式无解．
综上可得实数b的取值范围为(－∞，－1)．
答案：(－∞，－1)
10．(2017·河南六市一联)不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，则实数a的取值范围是________．
解析：∵不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，
∴Δ＝a2－4×4>0，即a2>16.
∴a>4或a<－4.
答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)
11．已知函数f(x)＝为奇函数，则不等式f(x)<4的解集为________．
解析：因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，可得a＝－3，b＝－1，
所以f(x)＝
当x≥0时，由x2－3x<4，解得0≤x<4；
当x<0时，由－x2－3x<4解得x<0，
所以不等式f(x)<4的解集为(－∞，4)．
答案：(－∞，4)
12．若关于x的不等式ax2－|x|＋2a<0的解集为空集，则实数a的取值范围为________．
解析：ax2－|x|＋2a<0 a<，当x≠0时，≤＝(当且仅当x＝±时取等号),
当x＝0时，＝0<，因此要使关于x的不等式ax2－|x|＋2a<0的解集为空集，只需a≥，即实数a的取值范围为.
答案：
三、解答题
13．求不等式12x2－ax>a2(a∈R)的解集．
解：原不等式可化为12x2－ax－a2>0，
即(4x＋a)(3x－a)>0，
令(4x＋a)(3x－a)＝0，解得x1＝－，x2＝.
当a>0时，不等式的解集为∪；
当a＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；
当a<0时，不等式的解集为∪.
14．某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10
000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？
解：(1)由题意得，y＝[12(1＋0.75x)－10(1＋x)]×10
000(1＋0.6x)(0整理得y＝－6
000x2＋2
000x＋20
000(0(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，
必须有
即解得0所以投入成本增加的比例应在范围内．
15．(2017·江西八校联考)已知函数f(x)＝x2－2ax－1＋a，a∈R.
(1)若a＝2，试求函数y＝(x>0)的最小值；
(2)对于任意的x∈[0,2]，不等式f(x)≤a成立，试求a的取值范围．
解：(1)依题意得y＝＝＝x＋－4.
因为x>0，所以x＋≥2.
当且仅当x＝时，即x＝1时，等号成立．
所以y≥－2.
所以当x＝1时，y＝的最小值为－2.
(2)因为f(x)－a＝x2－2ax－1，
所以要使得“任意的x∈[0,2]，不等式f(x)≤a成立”只要“x2－2ax－1≤0在[0,2]上恒成立”．
不妨设g(x)＝x2－2ax－1，
则只要g(x)≤0在[0,2]上恒成立即可．
所以
即
解得a≥.
故a的取值范围为.高考达标检测（五十）几何概型命题3角度——长度（角度）、面积、体积
一、选择题
1.如图所示，A是圆上一定点，在圆上其他位置任取一点A′，连接AA′，得到一条弦，则此弦的长度小于或等于半径长度的概率为(　　)
A.　　　　　　　　　　
B.
C.
D.
解析：选C　当AA′的长度等于半径长度时，∠AOA′＝，A′点在A点左右都可取得，故由几何概型的概率计算公式得P＝＝.
2．在区间[0,1]上随意选择两个实数x，y，则使≤1成立的概率为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选B　如图所示，试验的全部结果构成正方形区域，使得≤1成立的平面区域为以坐标原点O为圆心，1为半径的圆的与x轴正半轴，y轴正半轴围成的区域，由几何概型的概率计算公式得，所求概率P＝＝.故选B.
3．(2017·湖南师大附中检测)利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，b，则事件“”发生的概率为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选A　由题意可知该不等式组表示的区域为一个边长为1的正方形，其面积是1.表示的区域为一个边长为的正方形，面积是，所以所求概率为.
4．(2017·辽宁五校联考)若实数k∈[－3,3]，则k的值使得过点A(1,1)可以作两条直线与圆x2＋y2＋kx－2y－k＝0相切的概率等于(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选D　由点A在圆外可得k＜0，由题中方程表示圆可得k＞－1或k＜－4，所以－1＜k＜0，故所求概率为，故选D.
5．(2016·长沙三模)如图，矩形OABC内的阴影部分由曲线f(x)＝sin
x(x∈(0，π))及直线x＝a与x轴围成，向矩形OABC内随机投掷一点，若该点落在阴影部分的概率为，则a的值为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选B　由题意知，阴影部分的面积为sin
xdx＝(－cos
x)
＝－cos
a＋
cos
0＝1－cos
a，根据几何概型的概率计算公式知＝，即cos
a＝－，而a∈(0，π)，故a＝，故选B.
6．(2017·伊春模拟)在区间上随机取一个数x，则sin
x＋cos
x∈[1，
]的概率是(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选B　因为x∈，所以x＋∈，由sin
x＋cos
x＝sin∈[1，
]，得≤sin≤1，所以x∈，故要求的概率为＝.
7．(2017·商丘模拟)已知P是△ABC所在平面内一点，＋＋2＝0，现将一粒豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选C　如图所示，设点M是BC边的中点，因为＋＋2＝0，所以点P是中线AM的中点，所以黄豆落在△PBC内的概率P＝＝，故选C.
8．(2016·烟台模拟)在区间[0,1]上任取两个数a，b，则函数f(x)＝x2＋ax＋b2无零点的概率为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选C　要使该函数无零点，只需a2－4b2<0，
即(a＋2b)(a－2b)<0.∵a，b∈[0,1]，a＋2b>0，
∴a－2b<0.
作出的可行域(如阴影部分所示)，
易得该函数无零点的概率P＝＝.
二、填空题
9．已知线段AC＝16
cm，先截取AB＝4
cm作为长方体的高，再将线段BC任意分成两段作为长方体的长和宽，则长方体的体积超过128
cm3的概率为________．
解析：依题意，设长方体的长为x
cm，则相应的宽为(12－x)cm，由4x(12－x)＞128得x2－12x＋32＜0,4＜x＜8，因此所求的概率等于＝.
答案：
10．(2017·湖北七市联考)AB是半径为1的圆的直径，M为直径AB上任意一点，过点M作垂直于直径AB的弦，则弦长大于的概率是________．
解析：依题意知，当相应的弦长大于时，圆心到弦的距离小于
＝，因此相应的点M应位于线段AB上与圆心的距离小于的地方，所求的概率等于.
答案：
11．(2017·重庆检测)在不等式组所表示的平面区域内随机地取一点P，则点P恰好落在第二象限的概率为________．
解析：画出不等式组表示的平面区域(如图中阴影部分所示)，
因为S△ABC＝×3×＝，S△AOD＝×1×1＝，
所以点P恰好落在第二象限的概率为＝＝.
答案：
12.在底和高等长度的锐角三角形中有一个内接矩形ABCD，矩形
的一边BC在三角形的底边上，如图，在三角形内任取一点，则该点取自矩形内的最大概率为________．
解析：设AD＝x，AB＝y，则由三角形相似可得＝，解得y＝a－x，所以矩形的面积S＝xy＝x(a－x)≤2＝，当且仅当x＝a－x，即x＝时，S取得最大值，所以该点取自矩形内的最大概率为＝.
答案：
三、解答题
13．设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.若a是从区间[0,3]任取的一个数，b是从区间[0,2]任取的一个数，求方程有实根的概率．
解：设事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”．当a≥0，b≥0时，方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的充要条件为a≥b.试验的全部结果所构成的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2}，构成事件A的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}，
根据条件画出构成的区域，可得所求的概率为
P(A)＝＝.
14．已知向量a＝(－2,1)，b＝(x，y)．
(1)若x，y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a·b＝－1的概率；
(2)若x，y在连续区间[1,6]上取值，求满足a·b<0的概率．
解：(1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36(个)．
由a·b＝－1有－2x＋y＝－1，所以满足a·b＝－1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3个．
故满足a·b＝－1的概率为＝.
(2)若x，y在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω＝{(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6}；满足a·b<0的基本事件的结果为A＝{(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6且－2x＋y<0}；画出图形如图，矩形的面积为S矩形＝25，阴影部分的面积为S阴影＝25－×2×4＝21，
故满足a·b<0的概率为.高考达标检测（三十九）抛物线命题3角度——求方程、研性质、判关系
一、选择题
1．(2017·江西九校联考)若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为(　　)
A．圆　　　　　　　　　　
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
解析：选D　依题意，点P到直线x＝－2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P的轨迹是抛物线．
2．(2016·运城期末)已知抛物线x2＝ay与直线y＝2x－2相交于M，N两点，若MN中点的横坐标为3，则此抛物线方程为(　　)
A．x2＝y
B．x2＝6y
C．x2＝－3y
D．x2＝3y
解析：选D　设点M(x1，y1)，N(x2，y2)．
由消去y，得x2－2ax＋2a＝0，
所以＝＝3，即a＝3，
因此所求的抛物线方程是x2＝3y.
3．设F为抛物线y2＝2x的焦点，A、B、C为抛物线上三点，若F为△ABC的重心，则||＋||＋||的值为(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：选C　依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，又焦点F，x1＋x2＋x3＝3×＝，则||＋||＋||＝＋＋x3＋＝(x1＋x2＋x3)＋＝＋＝3.
4．(2014·全国卷Ⅰ)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0＝(　　)
A．1
B．2
C．4
D．8
解析：选A　由题意知抛物线的准线为x＝－.因为|AF|＝x0，根据抛物线的定义可得x0＋＝|AF|＝x0，解得x0＝1，故选A.
5．(2017·铜川一模)已知抛物线y2＝2x的弦AB的中点的横坐标为，则|AB|的最大值为(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：选D　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝3，利用抛物线的定义可知，|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋1＝4，由图可知|AF|＋|BF|≥|AB| |AB|≤4，当且仅当直线AB过焦点F时，|AB|取得最大值4.
6．(2016·长春一模)过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F且倾斜角为120°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A，B两点，则的值等于(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选A　记抛物线y2＝2px的准线为l′，
如图，作AA1⊥l′，BB1⊥l′，AC⊥BB1，垂足分别是A1，B1，C，
则有cos∠ABB1＝＝＝，
即cos
60°＝＝，由此得＝.
二、填空题
7．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，若|AF|＋|BF|＝5，则线段AB的中点到y轴的距离为________．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由抛物线定义可得|AF|＋|BF|＝5，即x1＋＋x2＋＝5，解得x1＋x2＝，所以线段AB的中点到y轴的距离为＝.
答案：
8．(2017·长春二模)过抛物线y2＝4x的焦点作倾斜角为45°的直线l交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．
解析：由题意知，抛物线焦点为(1,0)，直线l的方程为y＝x－1，与抛物线方程联立，得消去x，得y2－4y－4＝0，设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y1＋y2＝4，y1y2＝－4，|y1－y2|＝＝4，从而△OAB的面积为××|y1－y2|＝2.
答案：2
9．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若|AF|＝5，则|BF|＝________.
解析：由题意，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋1＝5 x1＝4，y＝4x1＝16，根据对称性，不妨设y1＝4，∴直线AB：y＝x－，代入抛物线方程可得，4x2－17x＋4＝0，∴x2＝，∴|BF|＝x2＋1＝
答案：
三、解答题
10．已知抛物线y2＝4px(p＞0)的焦点为F，圆W：(x＋p)2＋y2＝p2的圆心到过点F的直线l的距离为p.
(1)求直线l的斜率；
(2)若直线l与抛物线交于A，B两点，△WAB的面积为8，求抛物线的方程．
解：(1)易知抛物线y2＝4px(p＞0)的焦点为F(p,0)，
依题意直线l的斜率存在且不为0，
设直线l的方程为x＝my＋p，
因为W(－p,0)，
所以点W到直线l的距离为＝p，
解得m＝±，
所以直线l的斜率为±.
(2)由(1)知直线l的方程为x＝±y＋p，
由于两条直线关于x轴对称，不妨取x＝y＋p，
联立消去x得y2－4py－4p2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4p，y1y2＝－4p2，
所以|AB|＝·＝16p，
因为△WAB的面积为8，
所以p×16p＝8，得p＝1，
所以抛物线的方程为y2＝4x.
11．(2017·绵阳南山中学月考)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)，F为抛物线C的焦点，A为抛物线C上的动点，过A作抛物线准线l的垂线，垂足为Q.
(1)若点P(0,2)与点F的连线恰好过点A，且∠PQF＝90°，求抛物线的方程；
(2)设点M(m,0)在x轴上，若要使∠MAF总为锐角，求m的取值范围．
解：(1)由题意知|AQ|＝|AF|，
∵∠PQF＝90°，
∴A为PF的中点．
∵F，
∴A，且点A在抛物线上，
∴1＝2p·，
解得p＝，
∴抛物线的方程为y2＝2x.
(2)设A(x，y)，则y2＝2px，
由∠MAF为锐角得·＞0且m≠.
又＝(m－x，－y)，＝，
∴·＞0，
即(x－m)＋y2＞0，
即x2－x＋＋y2＞0，
∵y2＝2px，
∴x2＋x＋＞0对任意的x≥0都成立．
令f(x)＝x2＋x＋，
则f(x)＝2＋－2＞0对任意的x≥0都成立．
当－≥0，即m≥时，
只要使－2＞0成立，
整理得4m2－20mp＋9p2＜0，
解得＜m＜，且m≥，
∴≤m＜.
当－＜0，即m＜时，
只要使＞0成立，得m＞0，
∴0＜m＜.
综上可得m的取值范围是∪.
12．已知抛物线E：x2＝2py(p＞0)，直线y＝kx＋2与E交于A，B两点，且·＝2，其中O为原点．
(1)求抛物线E的方程；
(2)点C的坐标为(0，－2)，记直线CA，CB的斜率分别为k1，k2，证明：k＋k－2k2为定值．
解：(1)将y＝kx＋2代入x2＝2py，
得x2－2pkx－4p＝0，
其中Δ＝4p2k2＋16p＞0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝2pk，x1x2＝－4p.
·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋·＝－4p＋4.
由已知可得－4p＋4＝2，
解得p＝，
所以抛物线E的方程为x2＝y.
(2)证明：由(1)知，x1＋x2＝k，x1x2＝－2.
k1＝＝＝＝x1－x2，
同理k2＝x2－x1，
所以k＋k－2k2＝2(x1－x2)2－2(x1＋x2)2
＝－8x1x2＝16.
即k＋k－2k2为定值，为16.高考达标检测（四十七）样本估计总体
一、选择题
1．(2017·内江模拟)某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图如下：
分组成[11,20)，[20,30)，[30,39]时，所作的频率分布直方图是(　　)
解析：选B　由直方图的纵坐标是频率/组距，排除C和D；又第一组的频率是0.2，直方图中第一组的纵坐标是0.02，排除A，故选B.
2．(2016·山西四校联考)某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100)，若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是(　　)
A．45　　　　　　　　　　
B．50
C．55
D．60
解析：选B　∵[20,40)，[40,60)的频率和为(0.005＋0.01)×20＝0.3，
∴该班的学生人数是＝50.
3．(2017·武汉部分学校调研)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则(　　)
A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数
B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数
C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差
D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
解析：选C　甲的成绩的平均数是＝6，中位数是6，极差是4，方差是＝2；乙的成绩的平均数是＝6，中位数是5，极差是4，方差是＝，故选C.
4．某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5,30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是(　　)
A．56
B．60
C．120
D．140
解析：选D　由直方图可知每周自习时间不少于22.5小时的频率为(0.16＋0.08＋0.04)×2.5＝0.7，则每周自习时间不少于22.5小时的人数为0.7×200＝140.故选D.
5．某项测试成绩满分为10分，现随机抽取30名学生参加测试，得分如图所示，假设得分值的中位数为me，平均值为，众数为m0，则(　　)
A．me＝m0＝
B．me＝m0＜
C．me＜m0＜
D．m0＜me＜
解析：选D　由图可知m0＝5.
由中位数的定义知应该是第15个数与第16个数的平均值，由图知将数据从小到大排，第15个数是5，第16个数是6，
所以me＝＝5.5.
＝(3×2＋4×3＋5×10＋6×6＋7×3＋8×2＋9×2＋10×2)≈5.97＞5.5，
所以m0＜me＜，故选D.
6．(2017·山西大学附中诊断测试)已知样本(x1，x2，…，xn)的平均数为，样本(y1，y2，…，ym)的平均数为(≠)，若样本(x1，x2，…，xn，y1，y2，…，ym)的平均数＝a＋(1－a)，其中0＜a＜，则n，m的大小关系为(　　)
A．n＜m
B．n＞m
C．n＝m
D．不能确定
解析：选A　由题意可得＝，
＝，
＝
＝·＋·
＝·＋·＝a＋(1－a)，
所以＝a，＝1－a，
又0＜a＜，
所以0＜＜＜，
故n＜m.
二、填空题
7．(2017·安徽黄山检测)如图是某青年歌手大奖赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为a1，a2，则它们的大小关系是________．(用“＞”表示)
解析：由题意知去掉一个最高分和一个最低分后，可以求得甲和乙两名选手得分的平均数分别为a1＝＋80＝84，a2＝＋80＝85，所以a2＞a1.
答案：a2＞a1
8．某公司300名员工2015年年薪情况的频率分布直方图如图所示，由图可知，员工中年薪在3.4～3.6万元的共有________人．
解析：由频率分布直方图知年薪低于3.4万元或者高于3.6万元的频率为(0.2＋0.8＋0.8＋1.0＋1.0)×0.2＝0.76，因此，年薪在3.4到3.6万元间的频率为1－0.76＝0.24，所以300名员工中年薪在3.4到3.6万元间的员工人数为300×0.24＝72(人)．
答案：72
9.对某同学的六次数学测试成绩(满分100分)进行统计，作出的茎叶图如图所示，给出关于该同学成绩的以下说法：
①中位数为84；②众数为85；
③平均数为85；④极差为12.
其中正确说法的序号是________．
解析：由茎叶图知，六次数学测试成绩分别为78,83,83,85,90,91，可得中位数为＝84，所以①正确；众数为83，所以②错误；平均数为＝85，所以③正确；极差为91－78＝13，所以④错误．故正确说法的序号是①③.
答案：①③
三、解答题
10．(2017·南昌一模)某校高一某班的某次数学测试成绩(满分为100分)的茎叶图和频率分布直方图都受了不同程度的破坏，但可见部分如图，据此解答下列问题：
(1)求分数在[50,60]的频率及全班人数；
(2)求分数在[80,90]的频数，并计算频率分布直方图中[80,90]间的矩形的高．
解：(1)分数在[50,60]的频率为0.008×10＝0.08.
由茎叶图知，分数在[50,60]之间的频数为2，
所以全班人数为＝25.
(2)分数在[80,90]的频数为25－2－7－10－2＝4，频率分布直方图中[80,90]间的矩形的高为÷10＝0.016.
11．某市为了了解今年高中毕业生的体能状况，从本市某高中毕业班中抽取了一个班进行铅球测试，成绩在8.0米(精确到0.1米)以上的为合格，把所得数据进行整理后，分成6组画出条形图(如图)，已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04,0.10,0.14,0.28,0.30，第6小组的频数是7.
(1)求这次铅球测试成绩合格的人数；
(2)若从第1小组和第2小组中随机抽取两个人的测试成绩，则两个人的测试成绩来自同一个组的概率为多少？
解：(1)第6小组的频率为：
1－(0.04＋0.10＋0.14＋0.28＋0.30)＝0.14，
则此次测试总人数为＝50，
又第4,5,6组成绩均合格，
所以合格的人数为50×(0.28＋0.30＋0.14)＝36.
(2)由(1)易得第1小组含两个样本，第2小组含五个样本，将第1小组的学生成绩编号为a1，a2，将第2小组的学生成绩编号为b1，b2，b3，b4，b5，从第1,2小组中随机取两个人的测试成绩的所有基本事件共有21个：(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a1，b5)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，(a2，b5)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b1，b4)，(b1，b5)，(b2，b3)，(b2，b4)，(b2，b5)，(b3，b4)，(b3，b5)，(b4，b5)，而且这些基本事件是等可能出现的．
用A表示“两个人的测试成绩来自同一组”这一事件，
则A包含的基本事件有11个，所以P(A)＝.
12．(2017·江西八校联考)“双节”期间，高速公路车辆较多，某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速(km/h)分成六段：[60,65)，[65,70)，[70,75)，[75,80)，[80,85)，[85,90]后得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求这40辆小型汽车车速的众数和中位数的估计值；
(2)若从车速在[60,70)内的车辆中任抽取2辆，求车速在[65,70)内的车辆恰有一辆的概率．
解：(1)由频率分布直方图可知众数的估计值为77.5.
设中位数的估计值为x，
则0.01×5＋0.02×5＋0.04×5＋0.06×(x－75)＝0.5，
解得x＝77.5，即中位数的估计值为77.5.
(2)从题图中可知，车速在[60,65)内的车辆数为
0．01×5×40＝2，
车速在[65,70)内的车辆数为0.02×5×40＝4，
记车速在[60,65)内的两辆车为a，b，车速在[65,70)内的四辆车为c，d，e，f，则所有基本事件有：(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(a，f)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(b，f)，
(c，d)，(c，e)，(c，f)，(d，e)，(d，f)，(e，f)，共15个．
其中车速在[65,70)内的车辆恰有一辆的事件有：(a，c)，(a，d)，(a，e)，(a，f)，
(b，c)，(b，d)，(b，e)，(b，f)，共8个．
所以车速在[65,70)内的车辆恰有一辆的概率为P＝.高考达标检测（三十一）
垂直问题3角度——线线、线面、面面
一、选择题
1．(2017·青岛模拟)设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是(　　)
A．a⊥α，b∥β，α⊥β　　　　
　B．a⊥α，b⊥β，α∥β
C．a α，b⊥β，α∥β
D．a α，b∥β，α⊥β
解析：选C　对于C项，由α∥β，a α可得a∥β，又b⊥β，得a⊥b，故选C.
2．(2016·浙江高考)已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则(　　)
A．m∥l
B．m∥n
C．n⊥l
D．m⊥n
解析：选C　∵α∩β＝l，∴l β.∵n⊥β，∴n⊥l.
3．(2017·南昌模拟)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l α，l β，则(　　)
A．α∥β且l∥α
B．α⊥β且l⊥β
C．α与β相交，且交线垂直于l
D．α与β相交，且交线平行于l
解析：选D　由于m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，则平面α与平面β必相交，但未必垂直，且交线垂直于直线m，n，又直线l满足l⊥m，l⊥n，则交线平行于l.
4．设a，b是夹角为30°的异面直线，则满足条件“a α，b β，且α⊥β
”的
平面α，β(　　)
A．不存在
B．有且只有一对
C．有且只有两对
D．有无数对
解析：选D　过直线a的平面α有无数个，当平面α与直线b平行时，两直线的公垂线与b确定的平面β⊥α，当平面α与b相交时，过交点作平面α的垂线与b确定的平面β⊥α.故选D.
5．(2016·银川一模)如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有(　　)
A．AH⊥平面EFH
B．AG⊥平面EFH
C．HF⊥平面AEF
D．HG⊥平面AEF
解析：选A　由平面图形得AH⊥HE，AH⊥HF，又HE∩HF＝H，∴AH⊥平面HEF，故选A.
6．(2017·宝鸡质检)对于四面体ABCD，给出下列四个命题：
①若AB＝AC，BD＝CD，则BC⊥AD；
②若AB＝CD，AC＝BD，则BC⊥AD；
③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD；
④若AB⊥CD，AC⊥BD，则BC⊥AD.
其中为真命题的是(　　)
A．①②
B．②③
C．②④
D．①④
解析：选D　①如图，取BC的中点M，连接AM，DM，由AB＝AC AM⊥BC，同理DM⊥BC BC⊥平面AMD，而AD 平面AMD，故BC⊥AD.④设A在平面BCD内的射影为O，连接BO，CO，DO，由AB⊥CD BO⊥CD，由AC⊥BD CO⊥BD O为△BCD的垂心 DO⊥BC AD⊥BC.
二、填空题
7．若α，β是两个相交平面，m为一条直线，则下列命题中，所有真命题的序号为________．
①若m⊥α，则在β内一定不存在与m平行的直线；
②若m⊥α，则在β内一定存在无数条直线与m垂直；
③若m α，则在β内不一定存在与m垂直的直线；
④若m α，则在β内一定存在与m垂直的直线．
解析：对于①，若m⊥α，如果α，β互相垂直，则在平面β内存在与m平行的直线，故①错误；对于②，若m⊥α，则m垂直于平面α内的所有直线，故在平面β内一定存在无数条直线与m垂直，故②正确；对于③④，若m α，则在平面β内一定存在与m垂直的直线，故③错误，④正确．
答案：②④
8．在三棱锥P
ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O，
(1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心．
(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心．
解析：如图，连接OA，OB，OC，OP，并延长AO交BC于H点，延长BO交AC于D点，延长CO交AB于G点．
(1)在Rt△POA、Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PC＝PB，
所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心．
(2)∵PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，
∴PC⊥平面PAB，又AB 平面PAB，
∴PC⊥AB，
又AB⊥PO，PO∩PC＝P，∴AB⊥平面PGC，
又CG 平面PGC，
∴AB⊥CG，即CG为△ABC边AB的高．
同理可证BD，AH为△ABC底边上的高，
即O为△ABC的垂心．
答案：(1)外　(2)垂
9.如图，直三棱柱ABC
A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E.要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为________．
解析：设B1F＝x，因为AB1⊥平面C1DF，DF 平面C1DF，
所以AB1⊥DF.
由已知可以得A1B1＝，
设Rt△AA1B1斜边AB1上的高为h，则DE＝h.
又2×＝h，
所以h＝，DE＝.
在Rt△DB1E中，B1E＝
＝.
由面积相等得×
＝x，得x＝.
即线段B1F的长为.
答案：
三、解答题
10．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，S是
△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC.
(1)求证：SD⊥平面ABC；
(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.
证明：(1)因为SA＝SC，D是AC的中点，
所以SD⊥AC.
在Rt△ABC中，AD＝BD，
又SA＝SB，SD＝SD，
所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD.
又AC∩BD＝D，所以SD⊥平面ABC.
(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC.
由(1)知SD⊥BD，又SD∩AC＝D，
所以BD⊥平面SAC.
11．(2016·郑州模拟)如图，已知三棱柱ABC A′B′C′的侧棱垂直于底面，AB＝AC，∠BAC＝90°，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．
(1)证明：MN∥平面AA′C′C；
(2)设AB＝λAA′，当λ为何值时，CN⊥平面A′MN，试证明你的结论．
解：(1)证明：如图，取A′B′的中点E，连接ME，NE.
因为M，N分别为A′B和B′C′的中点，
所以NE∥A′C′，ME∥BB′∥AA′.
又A′C′ 平面AA′C′C，A′A 平面AA′C′C，
所以ME∥平面AA′C′C，NE∥平面AA′C′C，
所以平面MNE∥平面AA′C′C，
因为MN 平面MNE，
所以MN∥平面AA′C′C.
(2)当λ＝时，CN⊥平面A′MN，证明如下：
连接BN，设AA′＝a，则AB＝λAA′＝λa，
由题意知BC＝λa，CN＝BN＝
，
因为三棱柱ABC A′B′C′的侧棱垂直于底面，
所以平面A′B′C′⊥平面BB′C′C，
因为AB＝AC，点N是B′C′的中点，
所以A′N⊥平面BB′C′C，
所以CN⊥A′N，
要使CN⊥平面A′MN，只需CN⊥BN即可，
所以CN2＋BN2＝BC2，
即2＝2λ2a2，解得λ＝，
故当λ＝时，CN⊥平面A′MN.
12．(2016·北京高考)如图，在四棱锥P ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.
(1)求证：DC⊥平面PAC.
(2)求证：平面PAB⊥平面PAC.
(3)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由．
解：(1)证明：因为PC⊥平面ABCD，
所以PC⊥DC.
又因为DC⊥AC，且PC∩AC＝C，
所以DC⊥平面PAC.
(2)证明：因为AB∥DC，DC⊥AC，
所以AB⊥AC.
因为PC⊥平面ABCD，
所以PC⊥AB.
又因为PC∩AC＝C，
所以AB⊥平面PAC.
又AB 平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAC.
(3)棱PB上存在点F，使得PA∥平面CEF.
理由如下：取PB的中点F，连接EF，CE，CF.
因为E为AB的中点，
所以EF∥PA.
又因为PA 平面CEF，EF 平面CEF，
所以PA∥平面CEF.高考达标检测（十）
函数零点的命题3角度——求个数、定区间、求参数
一、选择题
1．(2017·烟台模拟)函数f(x)＝ln(x＋1)－的一个零点所在的区间是(　　)
A．(0,1)　　　　　　　　
　B．(1,2)
C．(2,3)
D．(3,4)
解析：选B　∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，
且f(1)＝ln
2－1<0，
f(2)＝ln
3－>0，
∴f(x)的零点所在区间为(1,2)，故选B.
2．(2017·吉林白山模拟)已知函数f(x)＝则函数g(x)＝f(x)－x的零点为(　　)
A．0
B．－1，－2
C．－1,0
D．－2，－1,0
解析：选B　当x>1时，g(x)＝f(x)－x＝0，则2x－x＝0.∵x>1，∴此时方程无解；当x≤1时，g(x)＝f(x)－x＝x2＋3x＋2＝0，则x1＝－1或x2＝－2.综上，函数g(x)的零点为－1，－2.
3．(2016·河南周口二模)已知函数f(x)＝x－log3x，若x0是函数y＝f(x)的零点，且0A．恒为正值
B．等于0
C．恒为负值
D．不大于0
解析：选A　因为函数f(x)＝x－log3x在(0，＋∞)上是减函数，所以当0f(x0)．又x0是函数f(x)的零点，因此f(x0)＝0，所以f(x1)>0，即此时f(x1)的值恒为正值，选A.
4．(2015·湖南高考)已知函数f(x)＝若存在实数b，使函数g(x)＝f(x)－b有两个零点，则a的取值范围是(　　)
A．[0,1]
B．(－∞，0)
C．(1，＋∞)
D．(－∞，0)∪(1，＋∞)
解析：选D　函数g(x)有两个零点，即方程f(x)－b＝0有两个不等实根，则函数y＝f(x)和y＝b的图象有两个公共点．
①若a<0，则当x≤a时，f(x)＝x3，函数单调递增；当x>a时，f(x)＝x2，函数先单调递减后单调递增，f(x)的图象如图(1)实线部分所示，其与直线y＝b可能有两个公共点．
②若0≤a≤1，则a3≤a2，函数f(x)在R上单调递增，f(x)的图象如图(2)实线部分所示，其与直线y＝b至多有一个公共点．
③若a>1，则a3>a2，函数f(x)在R上不单调，f(x)的图象如图(3)实线部分所示，其与直线y＝b可能有两个公共点．
综上，a<0或a>1.
5．(2017·云南玉溪统考)已知函数f(x)＝函数g(x)＝f(x)－2x恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是(　　)
A．[－1,1)
B．[0,2]
C．[－2,2)
D．[－1,2)
解析：选D　由题意知g(x)＝因为g(x)有三个不同的零点，所以2－x＝0在x>a时有一个解，由x＝2得a<2；由x2＋3x＋2＝0得x＝－1或x＝－2，则由x≤a得a≥－1.综上，a的取值范围为[－1,2)，所以选D.
6．设函数f(x)＝ex＋2x－4，g(x)＝ln
x＋2x2－5，若实数a，b分别是f(x)，g(x)的零点，则(　　)
A．g(a)<0B．f(b)<0C．0D．f(b)解析：选A　依题意，f(0)＝－3<0，f(1)＝e－2>0，且函数f(x)是增函数，因此函数f(x)的零点在区间(0,1)内，即02＋3>0，函数g(x)的零点在区间(1,2)内，即1f(1)>0.又函数g(x)在(0,1)内是增函数，因此有g(a)7．(2017·安徽六安模拟)已知函数f(x)＝2mx2－x－1在区间(－2,2)上恰有一个零点，则实数m的取值范围是(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选D　当m＝0时，函数f(x)＝－x－1有一个零点x＝－1，满足条件．
当m≠0时，函数f(x)＝2mx2－x－1在区间(－2,2)上恰有一个零点，需满足
①f(－2)·f(2)<0或②或③
解①得－②无解，解③得m＝.
综上可知－8．(2017·天津模拟)已知函数f(x)＝g(x)＝则函数f(g(x))的所有零点之和是(　　)
A．－＋
B.＋
C．－1＋
D．1＋
解析：选B　由f(x)＝0得x＝2或x＝－2，由g(x)＝2得x＝1＋，由g(x)＝－2得x＝－，所以函数f(g(x))的所有零点之和是－＋1＋＝＋，故选B.
二、填空题
9．已知f(x)＝则函数g(x)＝f(x)－ex的零点个数为________．
解析：函数g(x)＝f(x)－ex的零点个数即为函数y＝f(x)与y＝ex的图象的交点个数．作出函数图象可知有2个交点，即函数g(x)＝f(x)－ex有2个零点．
答案：2
10．函数f(x)＝ax＋1－2a在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是________．
解析：当a＝0时，函数f(x)＝1在(－1,1)上没有零点，所以a≠0.所以函数f(x)是单调函数，要满足题意，只需f(－1)f(1)<0，即(－3a＋1)·(1－a)<0，所以(a－1)·(3a－1)<0，解得答案：
11．已知关于x的方程x2＋mx－6＝0的一个根比2大，另一个根比2小，则实数m的取值范围是______．
解析：设函数f(x)＝x2＋mx－6，则根据条件有f(2)<0，即4＋2m－6<0，解得m<1.
答案：(－∞，1)
12．已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，则m的取值范围为________．
解析：由条件，抛物线f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1与x轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，如图所示，得
解得
故m的取值范围是.
答案：
三、解答题
13．(2017·信阳模拟)已知函数f(x)＝log2(2x＋1)．
(1)求证：函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；
(2)若g(x)＝log2(2x－1)(x>0)，且关于x的方程g(x)＝m＋f(x)在[1,2]上有解，求m的取值范围．
解：(1)证明：∵函数f(x)＝log2(2x＋1)，
任取x1∵x1∴f(x1)∴函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．
(2)∵g(x)＝m＋f(x)，
∴m＝g(x)－f(x)
＝log2(2x－1)－log2(2x＋1)
＝log2
＝log2，
∵1≤x≤2，∴2≤2x≤4，
∴log2≤log2≤log2，
故m的取值范围为.
14．(2017·德州模拟)已知函数f(x)＝x2＋ax＋2，a∈R.
(1)若不等式f(x)≤0的解集为[1,2]，求不等式f(x)≥1－x2的解集；
(2)若函数g(x)＝f(x)＋x2＋1在区间(1,2)上有两个不同的零点，求实数a的取值范围．
解：(1)因为不等式f(x)≤0的解集为[1,2]，
所以a＝－3，于是f(x)＝x2－3x＋2.
由f(x)≥1－x2，得2x2－3x＋1≥0，
解得x≤或x≥1，
所以不等式f(x)≥1－x2的解集为.
(2)函数g(x)＝2x2＋ax＋3在区间(1,2)上有两个不同的零点，则即
解得－5所以实数a的取值范围是(－5，－2)．高考达标检测（四十六）随机抽样
一、选择题
1．(2017·珠海摸底)为了解72名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为8的样本，则分段的间隔为(　　)
A．9　　　　　　　　　　
B．8
C．10
D．7
解析：选A　由系统抽样方法知，72人分成8组，故分段间隔为72÷8＝9.
2．(2017·河北冀州中学期末)某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150,120,180,150个销售点．公司为了调查产品销售情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区有20个大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务等情况，记这项调查为②，则完成①，②这两项调查宜采用的抽样方法依次是(　　)
A．分层抽样法，系统抽样法
B．分层抽样法，简单随机抽样法
C．系统抽样法，分层抽样法
D．简单随机抽样法，分层抽样法
解析：选B　一般甲、乙、丙、丁四个地区会存在差异，采用分层抽样法较好．在丙地区中抽取的样本个数较少，易采用简单随机抽样法．
3．(2016·石家庄模拟)某学校高三年级一班共有60名学生，现采用系统抽样的方法从中抽取6名学生做“早餐与健康”的调查，为此将学生编号为1,2，…，60.选取的这6名学生的编号可能是(　　)
A．1,2,3,4,5,6
B．6,16,26,36,46,56
C．1,2,4,8,16,32
D．3,9,13,27,36,54
解析：选B　由系统抽样知识知，所取学生编号之间的间距相等且为10，所以应选B.
4．某城市修建经济适用房．已知甲、乙、丙三个社区分别有低收入家庭360户、270户、180户，若首批经济适用房中有90套住房用于解决住房紧张问题，采用分层抽样的方法决定各社区户数，则应从乙社区中抽取低收入家庭的户数为(　　)
A．40
B．36
C．30
D．20
解析：选C　利用分层抽样的比例关系，
设从乙社区抽取n户，则＝.
解得n＝30.
5．(2017·江西八校联考)从编号为001,002，…，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007,032，则样本中最大的编号应该为(　　)
A．480
B．481
C．482
D．483
解析：选C　根据系统抽样的定义可知样本的编号成等差数列，令a1＝7，a2＝32，则d＝25，所以7＋25(n－1)≤500，所以n≤20，最大编号为7＋25×19＝482.
6．哈六中2016届有840名学生，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为(　　)
A．11
B．12
C．13
D．14
解析：选B　使用系统抽样方法，从840名学生中抽取42人，即从20人中抽取1人．所以从编号1～480的人中，恰好抽取＝24(人)，接着从编号481～720共240人中抽取＝12人．
7．某校高中生共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现分层抽取容量为45的样本，那么高一、高二、高三年级抽取的人数分别为(　　)
A．15,10,20
B．10,5,30
C．15,15,15
D．15,5,25
解析：选A　因为抽取了45人的样本，所以三个年级抽取的人数分别为×45＝15，×45＝10，×45＝20.故选A.
8．(2016·淄博模拟)某市A，B，C，D四所中学报名参加某高校2016年自主招生考试的学生人数如下表所示：
中学
A
B
C
D
人数
40
30
10
20
该市教委为了解参加考试的学生的学习状况，采用分层抽样的方法从四所中学报名参加考试的学生中随机抽取50名参加问卷调查．则A，B，C，D四所中学抽取的学生人数分别为(　　)
A．15,20,10,5
B．15,20,5,10
C．20,15,10,5
D．20,15,5,10
解析：选D　由题意知，四所中学报名参加某高校2016年自主招生考试的学生总人数为100，抽取的学生人数与学生总人数的比值为＝，所以应从A，B，C，D四所中学抽取的学生人数分别为20,15,5,10.
二、填空题
9．已知某商场新进3
000袋奶粉，为检查其三聚氰胺是否超标，现采用系统抽样的方法从中抽取150袋检查，若第一组抽出的号码是11，则第六十一组抽出的号码为________．
解析：每组袋数：d＝＝20，
由题意知这些号码是以11为首项，20为公差的等差数列．
a61＝11＋60×20＝1
211.
答案：1
211
10．某市有大型超市100家、中型超市200家、小型超市700家．为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为80的样本，应抽取中型超市________家．
解析：根据分层抽样的知识，设应抽取中型超市t家，则＝，解得t＝16.
答案：16
11．一个总体中有90个个体，随机编号0,1,2，…，89依从小到大的编号顺序平均分成9个小组，组号依次为1,2,3，…，9.现用系统抽样方法抽取一个容量为9的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码个位数字与m＋k的个位数字相同，若m＝8，则在第8组中抽取的号码是________．
解析：由题意知，m＝8，k＝8，则m＋k＝16，也就是第8组抽取的号码个位数字为6，十位数字为8－1＝7，故抽取的号码为76.
答案：76
12．(2017·北京海淀区期末)某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂产量分布如图所示，现在用分层抽样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取100件做使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为________；由所得样品的测试结果计算出一、二、三分厂取出的产品的使用寿命平均值分别为1
020小时、980小时、1
030小时，估计这个企业所生产的该产品的平均使用寿命为________小时．
解析：第一分厂应抽取的件数为100×50%＝50；该产品的平均使用寿命为1
020×0.5＋980×0.2＋1
030×0.3＝1
015.
答案：50　1
015
三、解答题
13．某校高中三年级的295名学生已经编号为1,2,3，…，295，为了了解学生的学习情况，要按1∶5的比例抽取一个样本，用系统抽样的方法进行抽取，请写出抽样过程．
解：按1∶5的比例抽样．295÷5＝59.
第一步，把295名同学分成59组，每组5人．第一组是编号为1～5的5名学生，第二组是编号为6～10的5名学生，依次类推，第59组是编号为291～295的5名学生．
第二步，采用简单随机抽样，从第一组5名学生中随机抽取1名，不妨设其编号为k(1≤k≤5)．
第三步，从以后各段中依次抽取编号为k＋5i(i＝1,2，3，…，58)的学生，再加上从第一段中抽取的编号为k的学生，得到一个容量为59的样本．
14．某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度(学历)的调查，其结果(人数分布)如下表：
年龄学历　　
35岁以下
35～50岁
50岁以上
本科
80
30
20
研究生
x
20
y
(1)用分层抽样的方法在35～50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人学历为研究生的概率；
(2)在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这N个人中随机抽取出1人，此人的年龄为50岁以上的概率为，求x，y的值．
解：(1)用分层抽样的方法在35～50岁中抽取一个容量为5的样本，设抽取学历为本科的人数为m，∴＝，解得m＝3.
抽取的样本中有研究生2人，本科生3人，分别记作S1，S2；B1，B2，B3.
从中任取2人的所有等可能基本事件共有10个：(S1，B1)，(S1，B2)，(S1，B3)，(S2，B1)，(S2，B2)，(S2，B3)，(S1，S2)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)
其中至少有1人的学历为研究生的基本事件有7个：(S1，B1)，(S1，B2)，(S1，B3)，(S2，B1)，(S2，B2)，(S2，B3)，(S1，S2)．
∴从中任取2人，至少有1人学历为研究生的概率为.
(2)由题意，得＝，解得N＝78.
∴35～50岁中被抽取的人数为78－48－10＝20，
∴＝＝，解得x＝40，y＝5.
即x，y的值分别为40,5.高考达标检测（十六）
三角函数的2个常考点——图象与性质
一、选择题
1．函数y＝|sin
x|＋sin
x的值域为(　　)
A．[－1,1]　　　　　　　
　B．[－2,2]
C．[－2,0]
D．[0,2]
解析：选D　∵y＝|sin
x|＋sin
x
＝
又∵－1≤sin
x≤1，∴y∈[0,2]，
即函数的值域为[0,2]．
2．(2017·江南十校联考)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为4π，且f＝1，则f(x)图象的一个对称中心是(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选A　由f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝，∵f＝1，∴×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，即φ＝＋2kπ(k∈Z)．由|φ|<，得φ＝，故f(x)＝sin.令x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝2kπ－(k∈Z)，故f(x)图象的对称中心为(k∈Z)，当k＝0时，f(x)的对称中心为，故选A.
3．下列函数同时具有性质“(1)最小正周期是π；(2)图象关于直线x＝对称；(3)在上是减函数”的是(　　)
A．y＝sin
B．y＝sin
C．y＝cos
D．y＝sin
解析：选D　易知函数y＝sin的最小正周期为4π，故排除A；当x＝时，y＝sin＝0，故排除B；当x∈时，2x＋∈，函数y＝cos在x∈上单调递增，故排除C；对于函数y＝sin，可知其最小正周期T＝＝π，将x＝代入得，y＝sin＝1，是最大值，可知该函数的图象关于直线x＝对称，令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，化简整理可得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，可知函数y＝sin在上是减函数，故选D.
4．(2017·云南师大附中调研)若函数f(x)＝sin
ωx－cos
ωx，ω＞0，x∈R，又f(x1)＝2，f(x2)＝0，且|x1－x2|的最小值为，则ω的值为(　　)
A.
B.
C.
D．2
解析：选A　由题意知f(x)＝2sin，设函数f(x)的最小正周期为T，因为f(x1)＝2，f(x2)＝0，所以|x1－x2|的最小值为＝，所以T＝6π，所以ω＝，故选A.
5．若函数f(x)同时具有以下两个性质：①f(x)是偶函数；②对任意实数x，都有f＝f.则f(x)的解析式可以是(　　)
A．f(x)＝cos
x
B．f(x)＝cos
C．f(x)＝sin
D．f(x)＝cos
6x
解析：选C　由题意可得，函数f(x)是偶函数，且它的图象关于直线x＝对称．只有C项符合要求，故选C.
6．(2017·洛阳统考)已知f(x)＝asin
2x＋bcos
2x，其中a，b∈R，ab≠0.若f(x)≤对一切x∈R恒成立，且f＞0，则f(x)的单调递增区间是(　　)
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
解析：选B　f(x)＝asin
2x＋bcos
2x＝sin(2x＋φ)，其中tan
φ＝.∵f(x)≤，∴x＝是函数f(x)的图象的一条对称轴，即＋φ＝＋kπ(k∈Z)，φ＝＋kπ(k∈Z)．又f＞0，∴φ的取值可以是－，∴f(x)＝sin，由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，故选B.
二、填空题
7．函数f(x)＝eq
\r(1＋logx)＋tan的定义域是________．
解析：依题意得eq
\b\lc\{\rc\
(\a\vs4\al\co1(1＋logx≥0，,x＋\f(π,4)≠kπ＋\f(π,2) k∈Z .))
∴0∴函数f(x)的定义域是.
答案：
8．函数y＝tan的图象与x轴交点的坐标是________________．
解析：由2x＋＝kπ(k∈Z)得，
x＝－(k∈Z)．
∴函数y＝tan的图象与x轴交点的坐标是(k∈Z)．　　
答案：(k∈Z)
9．已知函数f(x)＝|cos
x|·sin
x，给出下列五个说法：
①f＝－；
②若|f(x1)|＝|f(x2)|，则x1＝x2＋kπ(k∈Z)；
③f(x)在区间上单调递增；
④函数f(x)的周期为π；
⑤f(x)的图象关于点中心对称．
其中正确说法的序号是________．
解析：①f＝f
＝sin
＝cos·＝－，故①正确．
②令x1＝－，x2＝，
则|f(x1)|＝|f(x2)|，
但x1－x2＝－＝－，
不满足x1＝x2＋kπ(k∈Z)，故②不正确．
③f(x)＝
∴f(x)在上单调递增，故③正确．
④f(x)的周期为2π，故④不正确．
⑤易知f(x)的图象不关于点中心对称，故⑤不正确．
综上可知，正确说法的序号是①③.
答案：①③
三、解答题
10．(2016·湖南岳阳二模)设函数f(x)＝cos＋2sin2.
(1)求f(x)的最小正周期和对称轴方程；
(2)当x∈时，求f(x)的值域．
解：(1)f(x)＝cos
2x＋sin
2x＋1－cos(2x＋π)
＝cos
2x＋sin
2x＋1
＝sin＋1，
所以f(x)的最小正周期T＝π.
由2x＋＝kπ＋，k∈Z，
得对称轴方程为x＝＋，k∈Z.
(2)因为－≤x≤，所以－≤2x＋≤，
所以f(x)的值域为.
11．已知函数f(x)＝(cos2x－sin2x)＋2sin
xcos
x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)设x∈，求f(x)的值域和单调递减区间．
解：(1)∵f(x)＝sin
2x＋cos
2x＝2sin，
∴f(x)的最小正周期为π.
(2)∵x∈，
∴－≤2x＋≤π，
∴－≤sin≤1.∴x∈时，f(x)的值域为[－，2]，单调递减区间为.
12．已知函数f(x)＝2sin2x＋bsin
xcos
x满足f＝2.
(1)求实数b的值以及函数f(x)的最小正周期；
(2)记g(x)＝f(x＋t)，若函数g(x)是偶函数，求实数t的值．
解：(1)由f＝2，得2×＋b××＝2，
解得b＝2.
则f(x)＝2sin2x＋2sin
xcos
x＝1－cos
2x＋sin
2x＝2sin＋1，
所以函数f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)由(1)得f(x＋t)＝2sin＋1，
所以g(x)＝2sin＋1，
又函数g(x)是偶函数，
则2t－＝kπ＋，k∈Z，
所以t＝＋，k∈Z.高考达标检测（六）幂函数、二次函数的3类考查点——图象、性质、解析式
一、选择题
1．(2017·绵阳模拟)幂函数y＝(m2－3m＋3)xm的图象过点(2,4)，则m＝(　　)
A．－2　　　
　B．－1　　　　
C．1　　　
　D．2
解析：选D　∵幂函数y＝(m2－3m＋3)xm的图象过点(2,4)，∴解得m＝2.故选D.
2．(2017·杭州测试)若函数f(x)＝x2－2x＋1在区间[a，a＋2]上的最小值为4，则实数a的取值集合为(　　)
A．[－3,3]
B．[－1,3]
C．{－3,3}
D．{－1，－3,3}
解析：选C　∵函数f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2的图象的对称轴为直线x＝1，f(x)在区间[a，a＋2]上的最小值为4，∴当a≥1时，f(a)＝(a－1)2＝4，a＝－1(舍去)或a＝3；
当a＋2≤1，即a≤－1时，f(a＋2)＝(a＋1)2＝4，a＝1(舍去)或a＝－3；当a<13.如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：
①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5aA．②④
B．①④
C．②③
D．①③
解析：选B　∵二次函数的图象与x轴交于两点，∴b2－4ac>0，即b2>4ac，①正确；对称轴为x＝－1，即－＝－1,2a－b＝0，②错误；结合图象知，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，③错误；由对称轴为x＝－1知，b＝2a，又函数图象开口向下，∴a<0，∴5a<2a，即5a4．(2017·济南统考)若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为，则m的取值范围是(　　)
A．[0,4]　　　　　　
　B.
C.
D.
解析：选D　二次函数图象的对称轴为x＝，且f＝－，f(3)＝f(0)＝－4，由图得m∈.
5．函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f(1)的取值范围是(　　)
A．f(1)≥25　　　　　　　
　B．f(1)＝25
C．f(1)≤25
D．f(1)>25
解析：选A　函数f(x)＝4x2－mx＋5的增区间为，由已知可得≤－2 m≤－16，所以f(1)＝4×12－m×1＋5＝9－m≥25.
6．(2017·合肥教学质量检测)函数f(x)＝－x2＋3x＋a，g(x)＝2x－x2，若f(g(x))≥0对x∈[0,1]恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．[－e，＋∞)
B．[－ln
2，＋∞)
C．[－2，＋∞)
D.
解析：选C　如图所示，在同一坐标系中画出y＝x2＋1，y＝2x，y＝x2＋的图象，由图象可知，在[0,1]上，x2＋1≤2x二、填空题
7．已知幂函数f(x)＝x－m2＋2m＋3(m∈Z)在(0，＋∞)上为增函数，且在其定义域内是偶函数，则m的值为________．
解析：∵幂函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，
∴－m2＋2m＋3>0，即m2－2m－3<0，解得－1又m∈Z，∴m＝0或m＝1或m＝2.
当m＝0或m＝2时，f(x)＝x3在其定义域内为奇函数，不满足题意；当m＝1时，f(x)＝x4在其定义域内是偶函数，满足题意．
综上可知，m的值是1.
答案：1
8．(2017·江苏扬州中学测试)二次函数y＝3x2＋2(m－1)x＋n在区间(－∞，1)上是减函数，在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数m＝________.
解析：二次函数y＝3x2＋2(m－1)x＋n的图象的开口向上，对称轴为直线x＝－，要使得函数在区间(－∞，1)上是减函数，在区间[1，＋∞)上是增函数，则x＝－＝1，解得m＝－2.
答案：－2
9．(2017·南通一调)若函数f(x)＝ax2＋20x＋14(a>0)对任意实数t，在闭区间[t－1，t＋1]上总存在两实数x1，x2，使得|f(x1)－f(x2)|≥8成立，则实数a的最小值为________．
解析：由题意可得，当x∈[t－1，t＋1]时，[f(x)max－f(x)min]min≥8，当[t－1，t＋1]关于对称轴对称时，f(x)max－f(x)min取得最小值，即f(t＋1)－f(t)＝2at＋a＋20≥8，f(t－1)－f(t)＝－2at＋a－20≥8，两式相加，得a≥8，所以实数a的最小值为8.
答案：8
三、解答题
10．(2017·杭州模拟)已知值域为[－1，＋∞)的二次函数f(x)满足f(－1＋x)＝f(－1－x)，且方程f(x)＝0的两个实根x1，x2满足|x1－x2|＝2.
(1)求f(x)的表达式；
(2)函数g(x)＝f(x)－kx在区间[－1,2]上的最大值为f(2)，最小值为f(－1)，求实数k的取值范围．
解：(1)由f(－1＋x)＝f(－1－x)，可得f(x)的图象关于直线x＝－1对称，
设f(x)＝a(x＋1)2＋h＝ax2＋2ax＋a＋h(a≠0)，
由函数f(x)的值域为[－1，＋∞)，可得h＝－1，
根据根与系数的关系可得x1＋x2＝－2，x1x2＝1＋，
∴|x1－x2|＝＝
＝2，
解得a＝1，
∴f(x)＝x2＋2x.
(2)由题意得函数g(x)在区间[－1,2]上单调递增，
又g(x)＝f(x)－kx＝x2－(k－2)x.
∴g(x)的对称轴方程为x＝，
则≤－1，即k≤0，故k的取值范围为(－∞，0]．
11．(2017·成都诊断)已知函数f(x)＝x2＋ax＋3－a，若x∈[－2,2]，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．
解：f(x)＝2－－a＋3，令f(x)在[－2,2]上的最小值为g(a)．
(1)当－<－2，即a>4时，g(a)＝f(－2)＝7－3a≥0，
∴a≤.
又a>4，∴a不存在．
(2)当－2≤－≤2，即－4≤a≤4时，
g(a)＝f＝－－a＋3≥0，
∴－6≤a≤2.又－4≤a≤4，
∴－4≤a≤2.
(3)当－>2，即a<－4时，g(a)＝f(2)＝7＋a≥0，∴a≥－7.
又a<－4，∴－7≤a<－4.
综上可知，a的取值范围为[－7,2]．
12．已知函数f(x)＝ax2－2ax＋2＋b(a≠0)，若f(x)在区间[2,3]上有最大值5，最小值2.
(1)求a，b的值；
(2)若b<1，g(x)＝f(x)－mx在[2,4]上单调，求m的取值范围．
解：(1)f(x)＝a(x－1)2＋2＋b－a.
当a>0时，f(x)在[2,3]上为增函数，
故
当a<0时，f(x)在[2,3]上为减函数，
故
(2)∵b<1，∴a＝1，b＝0，即f(x)＝x2－2x＋2.
g(x)＝x2－2x＋2－mx＝x2－(2＋m)x＋2，
∵g(x)在[2,4]上单调，
∴≤2或≥4.
∴m≤2或m≥6.
故m的取值范围为(－∞，2]∪[6，＋∞)．高考达标检测（五）
函数的单调性、奇偶性及周期性
一、选择题
1．(2017·沈阳教学质量监测)下列函数中，在其定义域内是增函数且是奇函数的是(　　)
A．y＝2x　　　　　　　　
　B．y＝2|x|
C．y＝2x－2－x
D．y＝2x＋2－x
解析：选C　A中函数是非奇非偶函数，B、D中函数是偶函数，对于选项C，由奇函数的定义可知该函数是奇函数，由复合函数的单调性可知其在定义域内是增函数，故选C.
2．(2017·辽宁阶段测试)设函数f(x)＝ln(1＋x)＋mln(1－x)是偶函数，则(　　)
A．m＝1，且f(x)在(0,1)上是增函数
B．m＝1，且f(x)在(0,1)上是减函数
C．m＝－1，且f(x)在(0,1)上是增函数
D．m＝－1，且f(x)在(0,1)上是减函数
解析：选B　因为函数f(x)＝ln(1＋x)＋mln(1－x)是偶函数，所以f＝f，则
(m－1)ln
3＝0，即m＝1，则f(x)＝ln(1＋x)＋ln(1－x)＝ln(1－x2)，因为x∈(0,1)时，y＝1－x2是减函数，故f(x)在(0,1)上是减函数，故选B.
3．(2016·北京高考)已知x，y∈R，且x>y>0，则(　　)
A.－>0
B．sin
x－sin
y>0
C.x－y<0
D．ln
x＋ln
y>0
解析：选C　A项，考查的是反比例函数y＝在(0，＋∞)上单调递减，因为x>y>0，所以－<0，所以A错误；B项，考查的是三角函数y＝sin
x在(0，＋∞)上的单调性，y＝sin
x在(0，＋∞)上不单调，所以不一定有sin
x>sin
y，所以B错误；C项，考查的是指数函数y＝x在(0，＋∞)上单调递减，因为x>y>0，所以有xx的性质，ln
x＋ln
y＝ln
xy，当x>y>0时，xy>0，不一定有ln
xy>0，所以D错误．
4．(2016·山东高考)已知函数f(x)的定义域为R.当x＜0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x＞时，f＝f，则f(6)＝(　　)
A．－2
B．－1
C．0
D．2
解析：选D　由题意可知，当－1≤x≤1时，f(x)为奇函数，且当x>时，f(x＋1)＝f(x)，所以f(6)＝f(5×1＋1)＝f(1)．而f(1)＝－f(－1)＝－[(－1)3－1]＝2，所以f(6)＝2.故选D.
5．(2017·湖南联考)已知函数f(x)是R上的奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，若a＝f，b＝f，c＝f，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．bB．cC．bD．a解析：选B　∵<<，∴tan<－10，∴tan6．(2017·邢台摸底考试)已知定义在(－1,1)上的奇函数f(x)，其导函数为f′(x)＝1＋
cos
x，如果f(1－a)＋f(1－a2)<0，则实数a的取值范围为(　　)
A．(0,1)
B．(1，)
C．(－2，－)
D．(1，)∪(－，－1)
解析：选B　依题意得f′(x)>0，则f(x)是定义在(－1,1)上的增函数．不等式f(1－a)＋f(1－a2)<0等价于f(1－a2)<－f(1－a)＝f(a－1)，则有解得1选B.
7．定义运算＝ad－bc，若函数f(x)＝在(－∞，m)上单调递减，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－2，＋∞)
B．[－2，＋∞)
C．(－∞，－2)
D．(－∞，－2]
解析：选D　∵＝ad－bc，∴f(x)＝＝(x－1)(x＋3)－2×(－x)＝x2＋4x－3＝(x＋2)2－7，
∴f(x)的单调递减区间为(－∞，－2)，
∵函数f(x)在(－∞，m)上单调递减，
∴(－∞，m) (－∞，－2)，即m≤－2.故选D.
8．(2016·广州模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，f(x)＝f(x＋4)，且当x∈(－1,0)时，f(x)＝2x＋，则f(log220)＝(　　)
A．1
B.
C．－1
D．－
解析：选C　因为x∈R，且f(－x)＝－f(x)，所以函数为奇函数，因为f(x)＝f(x＋4)，所以函数的周期为4.
所以f(log220)＝f(log220－4)＝f
＝－f＝－f＝－
＝－＝－1，故选C.
二、填空题
9．(2016·天津高考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a满足f(2|a－1|)＞f(－)，则a的取值范围是________．
解析：∵f(x)是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减，f(－)＝f()，
∴f(2|a－1|)＞f()，∴2|a－1|＜＝2，
∴|a－1|＜，即－＜a－1＜，即＜a＜.
答案：
10．(2016·四川高考)已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f(x)＝4x，则f＋f(1)＝________.
解析：∵f(x)为奇函数，周期为2，
∴f(1)＝f(1－2)＝f(－1)＝－f(1)，∴f(1)＝0.
∵f(x)＝4x，x∈(0,1)，
∴f＝f＝f＝－f＝－4＝－2.
∴f＋f(1)＝－2.
答案：－2
11．(2017·江苏调研)已知函数f(x)是偶函数，且当x>0时，f(x)＝x3＋x＋1，则当x<0时，f(x)的解析式为________________．
解析：设x<0，则－x>0，因为当x>0时，f(x)＝x3＋x＋1，所以f(－x)＝－x3－x＋1.又函数f(x)是偶函数，所以f(x)＝－x3－x＋1.
答案：f(x)＝－x3－x＋1
12．(2017·台州模拟)已知函数g(x)是R上的奇函数，且当x<0时，g(x)＝－ln(1－x)，函数f(x)＝若f(2－x2)>f(x)，则实数x的取值范围是________．
解析：设x>0，则－x<0.
∵x<0时，g(x)＝－ln(1－x)，
∴g(－x)＝－ln(1＋x)．
又∵g(x)是奇函数，
∴g(x)＝ln(1＋x)(x>0)，
∴f(x)＝其图象如图所示．
由图象知，函数f(x)在R上是增函数．
∵f(2－x2)>f(x)，
∴2－x2>x，即－2所以实数x的取值范围是(－2,1)．
答案：(－2,1)
三、解答题
13．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝logx.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)解不等式f(x2－1)>－2.
解：(1)当x<0时，－x>0，则f(－x)＝log(－x)．
因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)．
所以函数f(x)的解析式为
f(x)＝
(2)因为f(4)＝log4＝－2，f(x)是偶函数，
所以不等式f(x2－1)>－2可化为f(|x2－1|)>f(4)．
又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
所以|x2－1|<4，解得－即不等式的解集为(－，)．
14．(2017·湖南长郡中学测试)已知定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2，且当x∈(0,1)时，f(x)＝.
(1)求f(x)在[－1,1]上的解析式；
(2)证明：f(x)在(0,1)上是减函数．
解：(1)当x∈(－1,0)时，－x∈(0,1)．
∵f(x)是奇函数，
∴f(x)＝－f(－x)＝－＝－.
由f(0)＝f(－0)＝－f(0)，
且f(1)＝－f(－1)＝－f(－1＋2)＝－f(1)，
得f(0)＝f(1)＝f(－1)＝0.
∴在区间[－1,1]上，有f(x)＝
(2)证明：当x∈(0,1)时，f(x)＝，设0则f(x1)－f(x2)＝－＝，
∵00,2x1＋x2－1>0，
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
故f(x)在(0,1)上是减函数．高考达标检测（一）
集
合
一、选择题
1．(2017·郑州质量预测)设全集U＝{x∈N
|x≤4}，集合A＝{1,4}，B＝{2,4}，则 U(A∩B)＝(　　)
A．{1,2,3}　　　　　　　
　B．{1,2,4}
C．{1,3,4}
D．{2,3,4}
解析：选A　因为U＝{1,2,3,4}，A∩B＝{4}，所以 U(A∩B)＝{1,2,3}，故选A.
2．(2017·福州模拟)集合A＝{－3，－1,2,4}，B＝{x|2x<8}，则A∩B＝(　　)
A．{－3}
B．{－1,2}
C．{－3，－1,2}
D．{－3，－1,2,4}
解析：选C　由题意知，集合A＝{－3，－1,2,4}，B＝{x|2x<8}＝{x|x<3}，则A∩B＝
{－3，－1,2}，故选C.
3．(2017·重庆适应性测试)设全集U＝R，集合A＝，B＝{x∈R|0A．(1,2]
B．[1,2)
C．(1,2)
D．[1,2]
解析：选B　依题意得 UA＝{x|1≤x≤2}，( UA)∩B＝{x|1≤x<2}＝[1,2)，选B.
4．(2017·武汉调研)已知集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x2＋2x－8>0}，则A∪B＝(　　)
A．(－∞，－4)∪[－2，＋∞)
B．(2,3]
C．(－∞，3]∪(4，＋∞)
D．[－2,2)
解析：选A　因为B＝{x|x>2或x<－4}，所以A∪B＝{x|x<－4或x≥－2}，故选A.
5．(2016·浙江高考)已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪( RQ)＝(　　)
A．[2,3]　　　　　　　
　B．(－2,3]
C．[1,2)
D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)
解析：选B　∵Q＝{x∈R|x2≥4}，
∴ RQ＝{x∈R|x2＜4}＝{x∈R|－2＜x＜2}．
∵P＝{x∈R|1≤x≤3}，
∴P∪( RQ)＝{x∈R|－2＜x≤3}＝(－2,3]．
6．设集合A＝{－1,0,1}，集合B＝{0,1,2,3}，定义A
B＝{(x，y)|x∈A∩B，y∈A∪B}，则A
B中元素的个数是(　　)
A．7
B．10
C．25
D．52
解析：选B　因为A＝{－1,0,1}，B＝{0,1,2,3}，
所以A∩B＝{0,1}，A∪B＝{－1,0,1,2,3}．
由x∈A∩B，可知x可取0,1；
由y∈A∪B，可知y可取－1,0,1,2,3.
所以元素(x，y)的所有结果如下表所示：
Y
x　
－1
0
1
2
3
0
(0，－1)
(0,0)
(0,1)
(0,2)
(0,3)
1
(1，－1)
(1,0)
(1,1)
(1,2)
(1,3)
所以A
B中的元素共有10个．
7．(2017·吉林一模)设集合A＝{0,1}，集合B＝{x|x>a}，若A∩B中只有一个元素，则实数a的取值范围是(　　)
A．{a|a<1}
B．{a|0≤a<1}
C．{a|a≥1}
D．{a|a≤1}
解析：选B　由题意知，集合A＝{0,1}，集合B＝{x|x>a}，画出数轴(图略)．若A∩B中只有一个元素，则0≤a<1，故选B.
8．设P和Q是两个集合，定义集合P－Q＝{x|x∈P，且x Q}，如果P＝{x|log2x<1}，Q＝{x||x－2|<1}，那么P－Q＝(　　)
A．{x|0B．{x|0C．{x|1≤x<2}
D．{x|2≤x<3}
解析：选B　由log2x<1，得0所以P＝{x|0由|x－2|<1，得1所以Q＝{x|1由题意，得P－Q＝{x|0二、填空题
9．(2017·辽宁师大附中调研)若集合A＝{x|(a－1)·x2＋3x－2＝0}有且仅有两个子集，则实数a的值为________．
解析：由题意知，集合A有且仅有两个子集，则集合A中只有一个元素．当a－1＝0，即a＝1时，A＝，满足题意；当a－1≠0，即a≠1时，要使集合A中只有一个元素，需Δ＝9＋8(a－1)＝0，解得a＝－.综上可知，实数a的值为1或－.
答案：1或－
10．(2017·湖南岳阳一中调研)已知集合A＝{x|x解析：由 RB＝{x|x≤1或x≥2}，
且A∪( RB)＝R，
可得a≥2.
答案：[2，＋∞)
11．(2017·贵阳监测)已知全集U＝{a1，a2，a3，a4}，集合A是全集U的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件：①若a1∈A，则a2∈A；②若a3 A，则a2 A；③若a3∈A，则a4 A.则集合A＝________.(用列举法表示)
解析：假设a1∈A，则a2∈A，由若a3 A，则a2 A可知，a3∈A，故假设不成立；假设a4∈A，则a3 A，a2 A，a1 A，故假设不成立．故集合A＝{a2，a3}．
答案：{a2，a3}
12．(2016·北京高考)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种．则该网店
①第一天售出但第二天未售出的商品有________种；
②这三天售出的商品最少有________种．
解析：设三天都售出的商品有x种，第一天售出，第二天未售出，且第三天售出的商品有y种，则三天售出商品的种类关系如图所示．
由图可知：
①第一天售出但第二天未售出的商品有19－(3－x)－x＝16(种)．
②这三天售出的商品有(16－y)＋y＋x＋(3－x)＋(6＋x)＋(4－x)＋(14－y)＝43－y(种)．
由于所以0≤y≤14.
所以(43－y)min＝43－14＝29.
答案：①16　②29
三、解答题
13．设全集U＝R，A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2(1)分别求A∩B，A∪( UB)；
(2)若B∪C＝B，求实数a的取值范围．
解：(1)由题意知，A∩B＝{x|1≤x≤3}∩{x|2易知 UB＝{x|x≤2或x≥4}，
所以A∪( UB)＝{x|1≤x≤3}∪{x|x≤2或x≥4}＝{x|x≤3或x≥4}．
(2)由B∪C＝B，可知C B，画出数轴(图略)，易知214．(2017·青岛模拟)若集合M＝{x|－3≤x≤4}，集合P＝{x|2m－1≤x≤m＋1}．
(1)证明M与P不可能相等；
(2)若集合M与P中有一个集合是另一个集合的真子集，求实数m的取值范围．
解：(1)证明：若M＝P，则－3＝2m－1且4＝m＋1，即m＝－1且m＝3，不成立．
故M与P不可能相等．
(2)若P?M，当P≠ 时，有
或解得－1≤m≤2；
当P＝ 时，有2m－1>m＋1，解得m>2，即m≥－1；
若M?P，则或无解．
综上可知，当有一个集合是另一个集合的真子集时，只能是P?M，此时必有m≥－1，
即实数m的取值范围为[－1，＋∞)．高考达标检测（三十）
平行问题3角度——线线、线面、面面
一、选择题
1．(2017·惠州模拟)设直线l，m，平面α，β，则下列条件能推出α∥β的是(　　)
A．l α，m α，且l∥β，m∥β
B．l α，m β，且l∥m
C．l⊥α，m⊥β，且l∥m
D．l∥α，m∥β，且l∥m
解析：选C　借助正方体模型进行判断．易排除选项A，B，D，故选C.
2.如图，在长方体ABCD A′B′C′D′中，下列直线与平面AD′C平行的是(　　)
A．B′C′　　　　　　　　
　B．A′B
C．A′B′
D．BB′
解析：选B　连接A′B，∵A′B∥CD′，∴A′B∥平面AD′C.
3．(2017·台州模拟)设l为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是(　　)
A．若l∥α，l∥β，则α∥β
B．若l⊥α，l⊥β，则α∥β
C．若l⊥α，l∥β，则α∥β
D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
解析：选B　画出一个长方体ABCD A1B1C1D1.对于A，C1D1∥平面ABB1A1，C1D1∥平面ABCD，但平面ABB1A1与平面ABCD相交；对于C，BB1⊥平面ABCD，BB1∥平面ADD1A1，但平面ABCD与平面ADD1A1相交；对于D，平面ABB1A1⊥平面ABCD，CD∥平面ABB1A1，但CD 平面ABCD；易知B正确．
4．设α，β是两个不同的平面，m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分不必要条件是(　　)
A．m∥l1且n∥l2
B．m∥β且n∥l2
C．m∥β且n∥β
D．m∥β且l1∥α
解析：选A　由m∥l1，m α，l1 β，得l1∥α，同理l2∥α，又l1，l2相交，所以α∥β，反之不成立，所以m∥l1且n∥l2是α∥β的一个充分不必要条件．
5．已知直线a，b，平面α，则以下三个命题：
①若a∥b，b α，则a∥α；
②若a∥b，a∥α，则b∥α；
③若a∥α，b∥α，则a∥b.
其中真命题的个数是(　　)
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：选A　对于①，若a∥b，b α，则应有a∥α或a α，所以①是假命题；对于②，若a∥b，a∥α，则应有b∥α或b α，因此②是假命题；对于③，若a∥α，b∥α，则应有a∥b或a与b相交或a与b异面，因此③是假命题．综上，在空间中，以上三个命题都是假命题．
6．(2016·福州模拟)已知直线a，b异面，给出以下命题：
①一定存在平行于a的平面α使b⊥α；
②一定存在平行于a的平面α使b∥α；
③一定存在平行于a的平面α使b α；
④一定存在无数个平行于a的平面α与b交于一定点．
则其中论断正确的是(　　)
A．①④
B．②③
C．①②③
D．②③④
解析：选D　对于①，若存在平面α使得b⊥α，则有b⊥a，而直线a，b未必垂直，因此①不正确；对于②，注意到过直线a，b外一点M分别引直线a，b的平行线a1，b1，显然由直线a1，b1可确定平面α，此时平面α与直线a，b均平行，因此②正确；对于③，注意到过直线b上的一点B作直线a2与直线a平行，显然由直线b与a2可确定平面α，此时平面α与直线a平行，且b α，因此③正确；对于④，在直线b上取一定点N，过点N作直线c与直线a平行，经过直线c的平面(除由直线a与c所确定的平面及直线c与b所确定的平面之外)均与直线a平行，且与直线b相交于一定点N，因此④正确．综上所述，②③④正确．
二、填空题
7.如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则下列结论中正确的序号为________．
①AC⊥BD；
②AC∥截面PQMN；
③AC＝BD；
④异面直线PM与BD所成的角为45°.
解析：∵MN∥PQ，MN 平面ACD，PQ平面ACD，
∴PQ∥平面ACD.又平面ACD∩平面ABC＝AC，∴PQ∥AC，从而AC∥截面PQMN，②正确；同理可得MQ∥BD，∵MQ⊥PQ，PQ∥AC，∴AC⊥BD，①正确；∵MQ∥BD，∠PMQ＝45°，∴异面直线PM与BD所成的角为45°，故④正确；根据已知条件无法得到AC，BD长度之间的关系，故③不正确．故填①②④.
答案：①②④
8．在正四棱柱ABCD
A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，则点Q满足条件________时，有平面D1BQ∥平面PAO.
解析：如图所示，假设Q为CC1的中点，因为P为DD1的中点，所以QB∥PA.
连接DB，因为P，O分别是DD1，DB的中点，所以D1B∥PO，
又D1B 平面PAO，QB 平面PAO，
所以D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，又D1B∩QB＝B，所以平面D1BQ∥平面PAO.故Q满足条件Q为CC1的中点时，有平面D1BQ∥平面PAO.
答案：Q为CC1的中点
9．如图，在四棱锥V ABCD中，底面ABCD为正方形，E，F分别为侧棱VC，VB上的点，且满足VC＝3EC，AF∥平面BDE，则＝________.
解析：连接AC交BD于点O，连接EO，取VE的中点M，连接AM，MF，由VC＝3EC VM＝ME＝EC，又AO＝CO AM∥EO AM∥平面BDE，又由题意知AF∥平面BDE，∴平面AMF∥平面BDE MF∥平面BDE MF∥BE VF＝FB ＝2.
答案：2
三、解答题
10.(2017·陕西质检)如图所示，在三棱柱ABC
A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，AA1＝AB＝2.
(1)求证：AB1∥平面BC1D；
(2)设BC＝3，求四棱锥B
DAA1C1的体积．
解：(1)证明：连接B1C，设B1C与BC1相交于点O，
连接OD，如图所示．
∵四边形BCC1B1是平行四边形，∴点O为B1C的中点．
∵D为AC的中点，
∴OD为△AB1C的中位线，
∴OD∥AB1.
∵OD 平面BC1D，
AB1 平面BC1D，
∴AB1∥平面BC1D.
(2)∵AA1⊥平面ABC，AA1 平面AA1C1C，
∴平面ABC⊥平面AA1C1C.
∵平面ABC∩平面AA1C1C＝AC，
作BE⊥AC，垂足为E，
则BE⊥平面AA1C1C.
∵AB＝AA1＝2，BC＝3，AB⊥BC，
∴在Rt△ABC中，AC＝＝＝，
∴BE＝＝，
∴四棱锥B
AA1C1D的体积V＝×(A1C1＋AD)·AA1·BE＝××2×＝3.
11．如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD＝6，BC＝4，E，F分别在BC，AD上，EF∥AB.现将四边形ABCD沿EF折起，使平面ABEF⊥平面EFDC.
若BE＝1，在折叠后的线段AD上是否存在一点P，且＝λ，使得CP∥平面ABEF？若存在，求出λ的值，若不存在，说明理由．
解：AD上存在一点P，使得CP∥平面ABEF，此时λ＝.
理由如下：
当λ＝时，
＝，可知＝，
如图，过点P作MP∥FD交AF于点M，
连接EM，PC，则有＝＝，
又BE＝1，可得FD＝5，故MP＝3，
又EC＝3，MP∥FD∥EC，故有MP綊EC，故四边形MPCE为平行四边形，
所以CP∥ME，又CP 平面ABEF，ME 平面ABEF，
故有CP∥平面ABEF.
12．(2016·山东高考)在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB.
(1)已知AB＝BC，AE＝EC，求证：AC⊥FB；
(2)已知G，H分别是EC和FB的中点，求证：GH∥平面ABC.
证明：(1)因为EF∥DB，
所以EF与DB确定平面BDEF.
如图，连接DE.
因为AE＝EC，D为AC的中点，
所以DE⊥AC.
同理可得BD⊥AC.
又BD∩DE＝D，
所以AC⊥平面BDEF.
因为FB 平面BDEF，
所以AC⊥FB.
(2)如图，设FC的中点为I，连接GI，HI.
在△CEF中，因为G是CE的中点，
所以GI∥EF.又EF∥DB，所以GI∥DB.
在△CFB中，因为H是FB的中点，
所以HI∥BC.又HI∩GI＝I，BC∩DB＝B，
所以平面GHI∥平面ABC.
因为GH 平面GHI，所以GH∥平面ABC.高考达标检测（五十五）
推理3方法——类比、归纳、演绎
一、选择题
1．(2017·日照二模)下面几种推理过程是演绎推理的是(　　)
A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A和∠B是两条平行直线的同旁内
角，则
∠A＋∠B＝180°
B．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质
C．某校高三年级共有10个班，一班有51人，二班有53人，三班有52人，由此推测各班都超过50人
D．在数列{an}中，a1＝1，an＝(n≥2)，计算a2，a3，a4，由此推测
通项an
解析：选A　演绎推理是由一般到特殊的推理，显然选项A符合；选项B属于类比推理；选项C、D是归纳推理．
2．(2017·重庆检测)演绎推理“因为对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)是增函数，而函数y＝logx是对数函数，所以y＝logx是增函数”所得结论错误的原因是(　　)
A．大前提错误　　　　　
B．小前提错误
C．推理形式错误
D．大前提和小前提都错误
解析：选A　因为当a＞1时，y＝logax在定义域内单调递增，当0＜a＜1时，y＝logax在定义域内单调递减，所以大前提错误．故选A.
3．(2016·辽宁丹东联考)已知“整数对”按如下规律排列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第70个“整数对”为(　　)
A．(3,9)
B．(4,8)
C．(3,10)
D．(4,9)
解析：选D　因为1＋2＋…＋11＝66，所以第67个“整数对”是(1,12)，第68个“整数对”是(2,11)，第69个“整数对”是(3,10)，第70个“整数对”是(4,9)．故选D.
4．有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6号选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是(　　)
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
解析：选D　若甲猜测正确，则4号或5号得第一名，那么乙猜测也正确，与题意不符，故甲猜测错误，即4号和5号均不是第一名．若丙猜测正确，那么乙猜测也正确，与题意不符，故仅有丁猜测正确，所以选D.
5．(2016·银川二模)将正整数排列如下：
1
2　3　4
5　6　7　8　9
10　11　12　13　14　15　16
…
则图中数2
016出现在(　　)
A．第44行第81列
B．第45行第81列
C．第44行第80列
D．第45行第80列
解析：选D　由题意可知第n行有2n－1个数，则前n行的数的个数为1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2，因为442＝1
936,452＝2
025，且1
936＜2
016＜2
025，所以2
016在第45行，又第45行有2×45－1＝89个数，2
016－1
936＝80，故2
016在第45行第80列，选D.
6．(2017·上海师大附中检测)若数列{an}满足：对任意的n∈N
，只有有限个正整数m使得am
＜n成立，记这样的m的个数为(an)
，则得到一个新数列{(an)
}．例如，若数列{an}是1,2,3，…，n，…，则数列{(an)
}是0,1,2，…，n－1，….已知对任意的n∈N
，an＝n2，则((an)
)
＝(　　)
A．2n
B．2n2
C．n
D．n2
解析：选D　对任意的n∈N
，an＝n2，则(a1)
＝0，(a2)
＝(a3)
＝(a4)
＝1，(a5)
＝(a6)
＝…＝(a9)
＝2，(a10)
＝(a11)
＝…＝(a16)
＝3，…，所以((a1)
)
＝1，((a2)
)
＝4，((a3)
)
＝9，…，由此猜想((an)
)
＝n2，故选D.
7．(2017·广州模拟)以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中的“杨辉三角形”．
1
　2　
3
　4
　5
…
2
013　2
014　2
015　2
016
3
　5　
7
　9
…………
4
027　4
029　4
031
8　12　16
………………
8
056　8
060　
20　28
……………………
16
116
………………………………　
该表由若干行数字组成，从第二行起，第一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为(　　)
A．2
017×22
013
B．2
017×22
014
C．2
016×22
015
D．2
016×22
014
解析：选B　当第一行为2个数时，最后一行仅一个数，为3＝3×1＝3×20；
当第一行为3个数时，最后一行仅一个数，为8＝4×2＝4×21；
当第一行为4个数时，最后一行仅一个数，为20＝5×4＝5×22；
当第一行为5个数时，最后一行仅一个数，为48＝6×8＝6×23；
归纳推理得，当第一行为2
016个数时，最后一行仅一个数，为2
017×22
014.故选B.
8．我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一直角边为股，斜边为弦．若a，b，c为直角三角形的三边，其中c为斜边，则a2＋b2＝c2，称这个定理为勾股定理．现将这一定理推广到立体几何中：在四面体O
ABC中，∠AOB＝∠BOC＝
∠COA＝90°，S为顶点O所对面的面积，S1，S2，S3分别为侧面△OAB，△OAC，△OBC的面积，则下列选项中对于S，S1，S2，S3满足的关系描述正确的为(　　)
A．S2＝S＋S＋S
B．S2＝＋＋
C．S＝S1＋S2＋S3
D．S＝＋＋
解析：选A　如图，作OD⊥
BC于点D，连接AD，
由立体几何知识知，AD⊥BC，
从而S2＝2＝BC2·AD2＝BC2·(OA2＋OD2)
＝(OB2＋OC2)·OA2＋BC2·OD2
＝2＋2＋2
＝S＋S＋S.
二、填空题
9．如果函数f(x)在区间D上是凸函数，那么对于区间D内的任意x1，x2，…，xn，都有≤f.若y＝sin
x在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC中，sin
A＋sin
B＋sin
C的最大值是________．
解析：由题意知，凸函数满足
≤f，
又y＝sin
x在区间(0，π)上是凸函数，则sin
A＋sin
B＋sin
C≤3sin＝3sin＝.
答案：
10．(2016·湛江一模)如图，已知点O是△ABC内任意一点，连接AO，BO，CO，并延长交对边于A1，B1，C1则＋＋＝1，类比猜想：点O是空间四面体A BCD内任意一点，连接AO，BO，CO，DO，并延长分别交平面BCD，ACD，ABD，ABC于点A1，B1，C1，D1，则有____________．
解析：猜想：若O为四面体A BCP内任意一点，连接AO，BO，CO，DO，并延长分别交平面BCD，ACD，ABD，ABC于点A1，B1，C1，D1，则＋＋＋＝1.用等体积法证明如下：＋＋＋＝＋＋＋＝1.
答案：＋＋＋＝1
11．有一个游戏：将标有数字1,2,3,4的四张卡片分别随机发给甲、乙、丙、丁4个人，每人一张，并请这4个人在看自己的卡片之前进行预测：
甲说：乙或丙拿到标有3的卡片；
乙说：甲或丙拿到标有2的卡片；
丙说：标有1的卡片在甲手中；
丁说：甲拿到标有3的卡片．
结果显示：甲、乙、丙、丁4个人的预测都不正确，那么甲、乙、丙、丁4个人拿到卡片上的数字依次为________．
解析：由甲、丁的预测不正确可得丁拿到标有3的卡片，由乙的预测不正确可得乙拿到标有2的卡片，由丙的预测不正确可知甲拿到标有4的卡片，故丙拿到标有1的卡片，即甲、乙、丙、丁4个人拿到卡片上的数字依次为4,2,1,3.
答案：4,
2,
1,
3
12．已知cos＝，
coscos＝，
coscoscos＝，
……
(1)根据以上等式，可猜想出的一般结论是________；
(2)若数列{an}中，a1＝cos，a2＝coscos，
a3＝coscoscos，…，
前n项和Sn＝，则n＝________.
解析：(1)从题中所给的几个等式可知，第n个等式的左边应有n个余弦相乘，且分母均为2n＋1，分子分别为π，2π，…，nπ，右边应为，故可以猜想出结论为
cos·cos·…·cos＝(n∈N
)．
(2)由(1)可知an＝，故Sn＝＝1－
＝＝，解得n＝10.
答案：(1)coscos·…·cos＝(n∈N
)
(2)10
三、解答题
13．在锐角三角形ABC中，求证：sin
A＋sin
B＋sin
C＞cos
A＋cos
B＋cos
C.
证明：∵△ABC为锐角三角形，
∴A＋B＞，
∴A＞－B，
∵y＝sin
x在上是增函数，
∴sin
A＞sin＝cos
B，
同理可得sin
B＞cos
C，sin
C＞cos
A，
∴sin
A＋sin
B＋sin
C＞cos
A＋cos
B＋cos
C.
14．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin213°＋cos217°－sin
13°cos
17°；
②sin215°＋cos215°－sin
15°cos
15°；
③sin218°＋cos212°－sin
18°cos
12°；
④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos
48°；
⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos
55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
解：(1)选择②式，计算如下：
sin215°＋cos215°－sin
15°cos
15°＝1－sin
30°
＝1－＝.
(2)三角恒等式为
sin2α＋cos2(30°－α)－sin
α·cos(30°－α)＝.
证明如下：
法一：sin2α＋cos2(30°－α)－sin
α·cos(30°－α)
＝sin2α＋(cos
30°cos
α＋sin
30°sin
α)2－sin
α·(cos
30°cos
α＋sin
30°sin
α)
＝sin2α＋cos2α＋sin
αcos
α＋sin2α－sin
αcos
α－sin2α
＝sin2α＋cos2α
＝.
法二：sin2α＋cos2(30°－α)－sin
αcos(30°－α)
＝＋－sin
α·(cos
30°cos
α＋sin
30°sin
α)
＝－cos
2α＋＋(cos
60°cos
2α＋sin
60°sin
2α)－sin
αcos
α－sin2α
＝－cos
2α＋＋cos
2α＋sin
2α－sin
2α－(1－cos
2α)
＝1－cos
2α－＋cos
2α＝.高考达标检测（四十一）圆锥曲线的综合问题
——直线与圆锥曲线的位置关系
一、选择题
1．(2017·韶关一模)已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，且点A在第一象限，若|AF|＝3，则直线l的斜率为(　　)
A．1　　　　　　　　　　　
B.
C.
D．2
解析：选D　由题意可知焦点F(1,0)，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，由|AF|＝3＝xA＋1，得xA＝2，又点A在第一象限，故A(2,2)，故直线l的斜率为2，选D.
2．(2017·丰台期末)若F(c,0)为椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点，椭圆C与直线
＋＝1交于A，B两点，线段AB的中点在直线x＝c上，则椭圆的离心率为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选B　因为直线＋＝1在x，y轴上的截距分别为a，b，所以不妨取A(a,0)，B(0，b)，又线段AB的中点在直线x＝c上，所以c＝，即e＝＝，选B.
3．若直线y＝kx＋2与抛物线y2＝x有一个公共点，则实数k的值为(　　)
A.
B．0
C.或0
D．8或0
解析：选C　由得ky2－y＋2＝0，
若k＝0，直线与抛物线有一个交点，则y＝2，
若k≠0，则Δ＝1－8k＝0，∴k＝，
综上可知k＝0或.
4．已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若·＝0，则k＝
(　　)
A.
B.
C.
D．2
解析：选D　如图所示，设F为焦点，取AB中点P，过A，B分别作准线的垂线，垂足分别为G，H，连接MF，MP，由·＝0，知MA⊥MB，则|MP|＝|AB|＝(|AG|＋|BH|)，所以MP为直角梯形BHGA的中位线，所以MP∥AG∥BH，所以∠GAM＝∠AMP＝∠MAP，又|AG|＝|AF|，AM为公共边，所以△AMG≌△AMF，所以∠AFM＝∠AGM＝90°，则MF⊥AB，所以k＝－＝2.
5．(2016·惠州三调)若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)与直线y＝2x无交点，则双曲线的离心率e的取值范围是(　　)
A．(1,2)
B．(1,2]
C．(1，)
D．(1,
]
解析：选D　因为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)与直线y＝2x无交点，
所以≤2，故e＝
≤，
又e＞1，故双曲线的离心率e的取值范围是(1，]．故选D.
6．斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为(　　)
A．2
B.
C.
D.
解析：选C　设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为y＝x＋t，
由消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0.
则x1＋x2＝－t，x1x2＝.
∴|AB|＝|x1－x2|＝·
＝·
＝·，
当t＝0时，|AB|max＝.
二、填空题
7．已知抛物线y＝ax2的焦点到准线的距离为2，则直线y＝x＋1截抛物线所得的弦长等于________．
解析：由题设知p＝＝2，∴a＝.
抛物线方程为y＝x2，焦点为F(0,1)，准线为y＝－1.
联立消去x，整理得y2－6y＋1＝0，
∴y1＋y2＝6，∵直线过焦点F，
∴所得弦|AB|＝|AF|＋|BF|＝y1＋1＋y2＋1＝8.
答案：8
8．(2014·江西高考)过点M(1,1)作斜率为－的直线与椭圆C：＋＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入椭圆方程相减得＋＝0，根据题意有x1＋x2＝2×1＝2，y1＋y2＝2×1＝2，且＝－，所以＋×＝0，得a2＝2b2，所以a2＝2(a2－c2)，整理得a2＝2c2得＝，所以e＝.
答案：.
9．设A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y＝2x2上的两点，直线
l
是AB的垂直平分线．当直线
l
的斜率为时，直线
l
在
y
轴上的截距的取值范围是________．
解析：设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程为y＝x＋b，过点A，B的直线可设为y＝－2x＋m，联立方程得2x2＋2x－m＝0，从而有x1＋x2＝－1，
Δ＝4＋8m＞0，m＞－，①
又AB的中点在直线
l
上，即m＋1＝－＋b，得m＝b－，将m＝b－代入①得b＞，所以直线
l
在y轴上的截距的取值范围是.
答案：
三、解答题
10．设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0＜b＜1)的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．
(1)求|AB|；
(2)若直线l的斜率为1，求b的值．
解：(1)由椭圆定义知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4，
又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝.
(2)设直线l的方程为y＝x＋c，其中c＝.
A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标满足方程组
化简得(1＋b2)x2＋2cx＋1－2b2＝0，
则x1＋x2＝－，x1x2＝.
因为直线AB的斜率为1，
所以|AB|＝|x2－x1|，
即＝|x2－x1|.
则＝(x1＋x2)2－4x1x2＝－＝，
因为0＜b＜1，所以b＝.
11．(2017·广州联考)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点F(1,0)，且经过点P.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l与椭圆C相切，过F作FQ⊥l，垂足为Q，求证：|OQ|为定值(其中O为坐标原点)．
解：(1)由题意可设椭圆C的左焦点为F′(－1,0)，
则半焦距c＝1.
由椭圆定义可知：
2a＝|PF|＋|PF′|
＝＋＝4，
所以a＝2，b2＝a2－c2＝3，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)证明：①当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝±2，Q(－2,0)或Q(2,0)，此时|OQ|＝2；
②当直线l的斜率为0时，l的方程为y＝±，Q(1，－)或Q(1，)，此时|OQ|＝2；
③当直线l的斜率存在且不为0时，设为k，其方程可设为y＝kx＋m(k≠0)．
因为FQ⊥l，所以直线FQ的方程为y＝－(x－1)．
由
消去y可得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.
因为直线l与椭圆C相切，
所以Δ＝(8km)2－4×(3＋4k2)·(4m2－12)＝0，
整理得：m2＝4k2＋3.　(
)
由
得Q，
所以|OQ|＝
＝
，
将(
)式代入上式得：|OQ|＝
＝2.
综上所述：|OQ|＝2，|OQ|为定值．
12．(2017·武汉武昌区调研)已知抛物线E：y2＝2px(p＞0)上一点M(x0,4)到焦点F的距离|MF|＝x0.
(1)求E的方程；
(2)过F的直线l与E相交于A，B两点，AB的垂直平分线l′与E相交于C，D两点，若·＝0，求直线l的方程．
解：(1)由抛物线的定义，得|MF|＝x0＋，
又|MF|＝x0，
∴x0＋＝x0，即x0＝2p，
∴M(2p,4)．
∵M(2p,4)在抛物线y2＝2px(p＞0)上，
∴4p2＝16，解得p＝－2(舍去)或p＝2.
故E的方程为y2＝4x.
(2)由题意可知，直线l的斜率存在，且不等于0，
故可设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)．
由消去y并整理，
得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
其判别式Δ1＝(2k2＋4)2－4k4＝16(k2＋1)＞0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，
∴y1＋y2＝k(x1＋x2)－2k＝.
∴AB的中点P的坐标为，
|AB|＝x1＋x2＋2＝.
又l′的斜率为－，其方程为y－＝－，即x＝－ky＋3＋.
由消去x并整理，
得y2＋4ky－4＝0.
其判别式Δ2＝(4k)2＋16＝16＞0.
设C(x3，y3)，D(x4，y4)，
则y3＋y4＝－4k，y3y4＝－4.
∴x3＋x4＝－k(y3＋y4)＋2
＝4k2＋6＋＝.
∴CD的中点Q的坐标为，
|CD|＝|y3－y4|
＝·
＝·
＝，
|PQ|＝
＝.
∵·＝0，
∴⊥，即AC⊥AD，
∴|AQ|＝|CD|.
又2＋|PQ|2＝|AQ|2，
∴|AB|2＋|PQ|2＝|CD|2，
即2＋2
＝2，化简，
得k2－1＝0，
解得k＝±1.
故所求直线l的方程为y＝±(x－1)，
即x－y－1＝0或x＋y－1＝0.高考达标检测（二十二）
平面向量的数量积及应用
一、选择题
1．(2017·江西八校联考)已知两个非零向量a，b满足a·(a－b)＝0，且2|a|＝|b|，则〈a，b〉＝(　　)
A．30°　　　　　　　　　
　B．60°
C．120°
D．150°
解析：选B　由题知a2＝a·b，而cos〈a，b〉＝＝＝，所以〈a，b〉＝60°，故选B.
2．(2016·长春三模)若|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a－b与b的夹角为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选D　由|a＋b|＝|a－b| |a＋b|2＝|a－b|2 a·b＝0，|a－b|＝2|a| |a－b|2＝4|a|2 |b|＝|a|，设a－b与b的夹角为θ，则cos
θ＝＝＝＝－，又θ∈[0，π]，所以θ＝，故选D.
3．O是△ABC所在平面内的一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC的形状一定是(　　)
A．正三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．斜三角形
解析：选C　∵(－)·(＋－2)＝(－)·[(－)＋(－)]＝(－)·(＋)＝·(＋)＝(－)·(＋)＝||2－||2＝0，所以||＝||，∴△ABC为等腰三角形．
4.如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是(　　)
A.
B．2
C．0
D．1
解析：选A　∵＝＋，·＝·(＋)＝·＋·＝·＝||＝，∴||＝1，||＝－1，∴·＝(＋)·(＋)＝·＋·＝－(－1)＋1×2＝－2＋＋2＝，故选A.
5．(2017·东北三校联考)在△ABC中，A＝120°，·＝－1，则||的最小值是(　　)
A.
B．2
C.
D．6
解析：选C　在△ABC中，设AB＝c，AC＝b，BC＝a.
因为·＝－1，所以bccos
120°＝－1，即bc＝2，在△ABC中，由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bccos
120°＝b2＋c2＋bc≥3bc＝6，所以a≥，即||的最小值是.
6.已知函数f(x)＝Asin(πx＋φ)的部分图象如图所示，点B，C是该图象与x轴的交点，过点C的直线与该图象交于D，E两点，则(＋)·(－)的值为(　　)
A．－1
B．－
C.
D．2
解析：选D　注意到函数f(x)的图象关于点C对称，因此C是线段DE的中点，＋＝2.
又－＝＋＝，
且||＝T＝×＝1，因此(＋)·(－)＝22＝2，选D.
7．已知菱形ABCD的边长为6，∠ABD＝30°，点E，F分别在边BC，DC上，BC＝2BE，CD＝λCF.若·＝－9，则λ的值为(　　)
A．2
B．3
C．4
D．5
解析：选B　依题意得＝＋＝－，＝＋，因此·＝eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)
－
))·eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋\f(1,λ)
))＝2－2＋·，于是有×62＋×62×cos
60°＝－9，由此解得λ＝3，选B.
8．(2016·银川调研)已知⊥，||＝，||＝t，若点P是△ABC所在平面内的一点，且＝eq
\f(,||)＋eq
\f(4,|
|)，则·的最大值等于(　　)
A．13
B．15
C．19
D．21
解析：选A　建立如图所示坐标系，则B，C(0，t)，＝，＝(0，t)，＝eq
\f(,||)＋eq
\f(4,||)＝t＋(0，t)＝(1,4)，
∴P(1,4)，·＝·(－1，t－4)＝17－≤17－2＝13，当且仅当t＝时，取“＝”．故选A.
二、填空题
9．(2017·兰州诊断)已知向量a，b满足|b|＝4，a在b方向上的投影是，则a·b＝________.
解析：a在b方向上的投影是，设θ为a与b的夹角，则|a|·cos
θ＝，a·b＝|a|·|b|·cos
θ＝2.
答案：2
10．已知向量α，β是平面内两个互相垂直的单位向量，若(5α－2γ)·(12β－2γ)＝0，
则
|
γ
|
的最大值是________．
解析：因为α·β＝0，|α|＝|β|＝1，
所以(5α－2γ)·(12β－2γ)＝60α·β－10α·γ－24β·γ＋4γ·γ＝0，
即2|γ|2＝5α·γ＋12β·γ＝(5α＋12β)·γ，当γ与5α＋12β共线时，|γ|最大，
所以4|γ|2＝(5α＋12β)2＝25|α|2＋120α·β＋144|β|2＝25＋144＝169，
所以|γ|＝.
答案：
11．在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，AD＝1，梯形所在平面内一点P满足＋＝2，则·＝________.
解析：以BC，BA为邻边作矩形ABCE，则＋＝，∵＋＝2，故P是BE的中点，连接PC，∴PD＝AB＝1，CP＝AC＝，CD＝＝，
cos∠CPD＝＝－，·＝||·||cos∠CPD＝1××＝－1.
答案：－1
12.如图，已知△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，D是BC的中点，若向量＝＋m·，且的终点M在△ACD的内部(不含边界)，则·的取值范围是________．
解析：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则B(4,0)，C(0,4)，D(2,2)，M(1,4m)，m∈，·＝(1,4m)·(－3,4m)＝16m2－3∈(－2,6)．
答案：(－2,6)
三、解答题
13．(2016·西安考前检测)已知向量a＝(2，－1)，b＝(1，x)．
(1)若a⊥(a＋b)，求|b|的值；
(2)若a＋2b＝(4，－7)，求向量a与b夹角的大小．
解：(1)由题意得a＋b＝(3，－1＋x)．
由a⊥(a＋b)，可得6＋1－x＝0，
解得x＝7，即b＝(1,7)，
所以|b|＝＝5.
(2)a＋2b＝(4,2x－1)＝(4，－7)，
故x＝－3，
所以b＝(1，－3)，
所以cos〈a，b〉＝＝＝，
因为〈a，b〉∈[0，π]，
所以a与b夹角是.
14．已知向量m＝，n＝.
(1)若m·n＝1，求cos的值；
(2)记f(x)＝m·n，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a－c)cos
B＝bcos
C，求函数f(A)的取值范围．
解：m·n＝sincos＋cos2
＝sin＋cos＋
＝sin＋.
(1)∵m·n＝1，
∴sin＝，
cos＝1－2sin2＝，
cos＝－cos＝－.
(2)∵(2a－c)cos
B＝bcos
C，由正弦定理得
(2sin
A－sin
C)cos
B＝sin
Bcos
C，
∴2sin
Acos
B＝sin
Ccos
B＋sin
Bcos
C，
∴2sin
Acos
B＝sin(B＋C)．
∵A＋B＋C＝π，
∴sin(B＋C)＝sin
A，且sin
A≠0，
∴cos
B＝，B＝.∴0∴<＋<，又∵f(x)＝m·n＝sin＋，
∴f(A)＝sin＋，
故1故函数f(A)的取值范围是.高考达标检测（二十一）
平面向量的基本运算
一、选择题
1.(2017·长春模拟)如图所示，下列结论正确的是(　　)
①＝a＋b；
②＝a－b；
③＝a－b；
④＝a＋b.
A．①②　　　　　　
　B．③④
C．①③
D．②④
解析：选C　①根据向量的加法法则，得＝a＋b，故①正确；②根据向量的减法法则，得＝a－b，故②错误；③＝＋QS―→＝a＋b－2b＝a－b，故③正确；④＝＋QR―→＝a＋b－b＝a＋b，故④错误，故选C.
2．(2017·长沙一模)已知向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(－k,10)，且A，B，C三点共线，则k的值是(　　)
A．－　　　　　　　　　　
　B.
C.
D.
解析：选A　＝－＝(4－k，－7)，
＝－＝(－2k，－2)．
∵A，B，C三点共线，
∴，共线，
∴－2×(4－k)＝－7×(－2k)，
解得k＝－.
3．(2016·嘉兴调研)已知点O为△ABC外接圆的圆心，且＋＋＝0，则△ABC的内角A等于(　　)
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
解析：选A　由＋＋＝0得，＋＝，由O为△ABC外接圆的圆心，结合向量加法的几何意义知，四边形OACB为菱形，且∠CAO＝60°，故A＝30°.
4．(2017·武汉武昌区调研)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内的任意一点，则＋＋＋等于(　　)
A．
B．2
C．3
D．4
解析：选D　因为M是平行四边形ABCD对角线AC，BD的交点，所以＋＝2，＋＝2，所以＋＋＋＝4，故选D.
5．设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且＝2，＝2，＝2，则＋＋与
(　　)
A．反向平行
B．同向平行
C．互相垂直
D．既不平行也不垂直
解析：选A　由题意得＝＋＝＋，
＝＋＝＋，
＝＋＝＋，
因此＋＋＝＋(＋－)
＝＋＝－，
故＋＋与反向平行．
6.如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且＝x，＝y，则的值为(　　)
A．3
B.
C．2
D.
解析：选B　利用三角形的性质，过重心作平行于底边BC的直线，易得x＝y＝，则＝.
7．(2017·兰州模拟)已知向量a＝(1－sin
θ，1)，b＝，若a∥b，则锐角θ＝(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选B　因为a∥b，所以(1－sin
θ)×(1＋sin
θ)－1×＝0，得sin2θ＝，所以sin
θ＝±，故锐角θ＝.
8．已知△ABC是边长为4的正三角形，D，P是△ABC内的两点，且满足＝(＋)，＝＋，则△APD的面积为(　　)
A.
B.
C.
D．2
解析：选A　取BC的中点E，连接AE，由于△ABC是边长为4的正三角形，则AE⊥BC，＝(＋)，又＝(＋)，所以点D是AE的中点，AD＝.取＝，以AD，AF为邻边作平行四边形，可知＝＋＝＋.而△APD是直角三角形，AF＝，所以△APD的面积为××＝.
二、填空题
9．在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若＝5e1，＝3e2，则＝________.(用e1，e2表示)
解析：在矩形ABCD中，因为O是对角线的交点，所以＝＝(＋)＝
(＋)＝(5e1＋3e2)＝e1＋e2.
答案：e1＋e2
10．已知S是△ABC所在平面外一点，D是SC的中点，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝________.
解析：依题意得＝－＝(＋)－＝－＋＋，因此x＋y＋z＝－1＋＋＝0.
答案：0
11．(2017·贵阳模拟)已知平面向量a，b满足|a|＝1，b＝(1,1)，且a∥b，则向量a的坐标是________．
解析：设a＝(x，y)．
∵平面向量a，b满足|a|＝1，b＝(1,1)，且a∥b，
∴＝1，x－y＝0.解得x＝y＝±.
∴a＝或.
答案：或
12．(2016·抚顺二模)如图，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2，若＝λ＋μ
(λ，μ∈R)，即λ＋μ的值为________．
解析：如图，构成平行四边形，∵∠OCD＝90°，|OC|＝2，∠COD＝30°，∴|CD|＝2×＝2＝|OE|＝|μ|，
|OD|＝＝|λ|＝4，注意共线的条件和单位向量有λ＋μ＝6.
答案：6
三、解答题
13.图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，＝，＝a，＝b.
(1)用a，b表示向量，，，，；
(2)求证：B，E，F三点共线．
解：(1)延长AD到G，使＝，
连接BG，CG，得到平行四边形ABGC，
所以＝a＋b，＝＝(a＋b)，＝＝(a＋b)，
＝＝b，
＝－＝(a＋b)－a＝(b－2a)，＝－＝b－a＝(b－2a)．
(2)证明：由(1)可知＝，
又因为，有公共点B，
所以B，E，F三点共线．
14．(2017·郑州模拟)平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1，2)，c＝(4,1)．
(1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；
(2)若d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝，求d的坐标．
解：(1)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，
由题意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，
解得k＝－.
(2)设d＝(x，y)，则d－c＝(x－4，y－1)，
又a＋b＝(2,4)，|d－c|＝，
∴解得或
∴d的坐标为(3，－1)或(5,3)．高考达标检测（五十九）绝对值不等式
1．(2017·唐山模拟)已知函数f(x)＝|
2x－a
|＋|
x＋1
|.
(1)当a＝1时，解不等式f(x)<3；
(2)若f(x)的最小值为1，求a的值．
解：(1)因为f(x)＝|2x－1|＋|x＋1|＝且f
(1)＝f
(－1)＝3，
所以f(x)<3的解集为{x|－1(2)|
2x－a
|＋|
x＋1
|＝＋|x＋1|＋≥＋0＝，
当且仅当(x＋1)≤0且x－＝0时，取等号．
所以＝1，
解得a＝－4或0.
2．(2017·沈阳模拟)设函数f(x)＝|
2x＋1
|－|
x－4
|.
(1)解不等式f
(x)>0；
(2)若f(x)＋3|
x－4
|>m对一切实数x均成立，求实数m的取值范围．
解：(1)当x≥4时，f(x)＝2x＋1－(x－4)＝x＋5>0，得x>－5，所以x≥4.
当－≤x＜4时，f(x)＝2x＋1＋x－4＝3x－3>0，得x>1，所以1当x<－时，f(x)＝－x－5>0，得x<－5，
所以x<－5.
综上，原不等式的解集为(－∞，－5)∪(1，＋∞)．
(2)
f(x)＋3|x－4|＝|2x＋1|＋2|x－4|≥|2x＋1－(2x－8)|＝9，
当－
≤
x
≤4时等号成立，
所以m<9，即m的取值范围为(－∞，9)．
3．设函数f(x)＝|
x－1
|＋|
x－2
|.
(1)求证：f(x)≥1；
(2)若f(x)＝成立，求x的取值范围．
解：(1)证明：f(x)＝|
x－1
|＋|
x－2
|≥|(
x－1
)－(
x－2
)|＝1.
(2)∵＝＝＋≥2，
当且仅当a＝0时等号成立，
∴要使f
(x)＝成立，只需|
x－1
|＋|
x－2
|≥2，
即或或
解得x≤
或x≥
，
故x的取值范围是∪.
4．(2017·郑州二检)已知函数f
(x)＝|
3x＋2
|.
(1)解不等式f
(x)<4－|
x－1
|；
(2)已知m＋n＝1(m，n>0)，若|
x－a
|－f
(x)≤＋(a>0)恒成立，求实数a的取值范围．
解：(1)不等式f(x)<4－|x－1|，即|3x＋2|＋|
x－1|<4.
当x<－时，即－3x－2－x＋1<4，
解得－
当－≤x≤1时，即3x＋2－x＋1<4，
解得－≤x<；
当x>1时，即3x＋2＋x－1<4，无解．
综上所述，x∈.
(2)＋＝(m＋n)＝1＋1＋＋≥4，
当且仅当m＝n＝时等号成立．
令g(x)＝|
x－a
|－f(x)＝|
x－a
|－|
3x＋2
|＝
∴x＝－时，g
(x)max＝＋a，要使不等式恒成立，
只需g
(x)max＝＋a
≤4，即0
≤.
所以实数a的取值范围是.
5．(2016·山西考前质量检测)设函数f(x)＝|
x－3
|＋|
2x－4
|－a.
(1)当a＝6时，求不等式f(x)>0的解集；
(2)如果关于x的不等式f(x)<0的解集不是空集，求实数a的取值范围．
解析：(1)当a＝6时，f
(x)＝|
x－3
|＋|
2x－4
|－6，
由f(x)>0，可得或
或
解得x<
或x>
.
故f(x)>0的解集为∪.
(2)∵|x－3|＋|2x－4||x－3|＋|2x－4|＝
∴(
|x－3
|＋|
2x－4
|)min＝1，
∴a>1.
故实数a的取值范围为(1，＋∞)．
6．(2016·南宁模拟)已知函数f(x)＝|
x－a
|.
(1)若f(x)≤m的解集为[－1,5]，求实数a，m的值；
(2)当a＝2且0≤t≤2时，解关于x的不等式f
(
x)＋t≥f
(x＋2)．
解：(1)∵|
x－a
|≤m，
∴－m＋a≤x≤m＋a.
∵－m＋a＝－1，m＋a＝5，
∴a＝2，m＝3.
(2)f
(x)＋t
≥f
(x＋2)可化为|
x－2
|＋t≥|
x
|.
当x∈(－∞，0)时，2－x＋t≥－x,2＋t≥0，
∵0≤t≤2，∴x∈(－∞，0)；
当x∈[
0,2
)时，2－x＋t≥x，x≤1＋，0≤x≤1＋，
∵1≤1＋≤2，
∴0≤t＜2时，0≤x≤1＋，t＝2时，0≤x＜2；
当x∈[
2，＋∞)时，x－2＋t
≥
x，t≥2，
当0≤t＜2时，无解，
当t＝2时，x∈[2，＋∞)，
∴当0≤t＜2时原不等式的解集为；
当t＝2时x∈R.
7．(2017·九江模拟)已知函数f(x)＝|
x－3
|－|
x－a
|.
(1)当a＝2时，解不等式f(x)≤－；
(2)若存在实数a，使得不等式f(x)≥a成立，求实数a的取值范围．
解：(1)∵a＝2，
∴f(x)＝|x－3|－|x－2|＝
∴f(x)≤－等价于或或
解得≤x＜3或x≥3，
∴不等式的解集为.
(2)由不等式性质可知f(x)＝|x－3|－|x－a|≤|(x－3)－(x－a)|＝|a－3|，
∴若存在实数x，使得不等式f(x)≥a成立，则|a－3|≥a，解得a≤，
∴实数a的取值范围是.
8．(2017·石家庄模拟)设f(x)＝|
ax－1
|.
(1)若f(x)≤2的解集为[－6,2]，求实数a的值；
(2)当a＝2时，若存在x∈R，使得不等式f
(2x＋1)－f
(x－1)≤7－3m成立，求实数m的取值范围．
解：(1)显然a≠0，
当a＞0时，解集为，
则－＝－6，＝2，无解；
当a＜0时，解集为，
则－＝2，＝－6，
得a＝－.
综上所述，a＝－.
(2)当a＝2时，令h(x)＝f(2x＋1)－f(x－1)＝|4x＋1|－|2x－3|＝
由此可知，h(x)在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，则当x＝－时，h(x)取到最小值－，
由题意知，－≤7－3m，解得m≤，故实数m的取值范围是.高考达标检测（三十八）双曲线命题3角度——用定义、求方程、研性质
一、选择题
1．(2017·合肥质检)若双曲线C1：－＝1与C2：－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线相同，且双曲线C2的焦距为4，则b＝(　　)
A．2　　　　　　　　　　
B．4
C．6
D．8
解析：选B　由题意得，＝2 b＝2a，C2的焦距2c＝4 c＝＝2 b＝4，故选B.
2．若双曲线x2＋＝1的一条渐近线的倾斜角α∈，则m的取值范围是(　　)
A．(－3,0)
B．(－，0)
C．(0,3)
D.
解析：选A　由题意可知m<0，双曲线的标准方程为x2－＝1，经过第一、三象限的渐近线方程为y＝x，因为其倾斜角α∈，所以＝tan
α∈(0，)，故
m∈(－3,0)．
3．已知双曲线C的渐近线方程为y＝±2x，且经过点(2,2)，则C的方程为(　　)
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
解析：选A　由题意，设双曲线C的方程为－x2＝λ(λ≠0)，
因为双曲线C过点(2,2)，则－22＝λ，解得λ＝－3，
所以双曲线C的方程为－x2＝－3，即－＝1.
4．P是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上的点，F1，F2是其左、右焦点，双曲线的离心率是，且PF1⊥PF2，若△F1PF2的面积是9，则a＋b的值等于(　　)
A．4
B．5
C．6
D．7
解析：选D　由||PF1|－|PF2||＝2a，|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，|PF1|·|PF2|＝9，得c2－9＝a2.又＝，∴a＝4，c＝5，b＝3.∴a＋b＝7.
5．(2016·湖南六校联考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为(　　)
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
解析：选C　由已知可得交点(3,4)到原点O的距离为圆的半径，则半径r＝＝5，故c＝5，a2＋b2＝25，又双曲线的一条渐近线y＝x过点(3,4)，故3b＝4a，可解得b＝4，a＝3，故选C.
6．(2017·东北四校联考)已知点F1，F2为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，点P在双曲线C的右支上，且满足|PF2|＝|F1F2|，∠F1F2P＝120°，则双曲线的离心率为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选A　如图，在△PF1F2中，|PF2|＝|F1F2|＝2c，又∠F1F2P＝120°，由余弦定理可得|PF1|2＝|F1F2|2＋|PF2|2－2|F1F2|·|PF2|·cos
120°＝12c2，所以|PF1|＝2c.由双曲线的定义可得2a＝|PF1|－|PF2|＝2c－2c＝2(－1)c.故双曲线的离心率e＝＝＝.
7．(2016·天津高考)已知双曲线－＝1(b＞0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为(　　)
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
解析：选D　由题意知双曲线的渐近线方程为y＝±x，
圆的方程为x2＋y2＝4，
联立解得或
即圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为.
由双曲线和圆的对称性得四边形ABCD为矩形，其相邻两边长为，，故＝2b，得b2＝12.
故双曲线的方程为－＝1.故选D.
8．若以F1(－3,0)，F2(3,0)为焦点的双曲线与直线y＝x－1有公共点，则该双曲线的离心率的取值范围为(　　)
A.∪(，＋∞)
B.
C.
D.∪(，＋∞)
解析：选B　依题意，设题中的双曲线方程是－＝1(a＞0，b＞0)，
则有a2＋b2＝9，b2＝9－a2.
由消去y，化简得(b2－a2)x2＋2a2x－a2(1＋b2)＝0(
)有实数解，
注意到当b2－a2＝0时，方程(
)有实数解，此时双曲线的离心率e＝；
当b2－a2≠0时，Δ＝4a4＋4a2(b2－a2)(1＋b2)≥0，
即a2－b2≤1，a2－(9－a2)≤1(b2＝9－a2＞0且a2≠b2)，
由此解得0＜a2≤5且a2≠，
此时e＝≥＝且e≠.
综上所述，该双曲线的离心率的取值范围为，选B.
二、填空题
9．(2016·北京高考)双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则a＝________.
解析：不妨令B为双曲线的右焦点，A在第一象限，则双曲线如图所示．
∵四边形OABC为正方形，|OA|＝2，
∴c＝|OB|＝2，∠AOB＝.
∵直线OA是渐近线，
方程为y＝x，
∴＝tan∠AOB＝1，即a＝b.
又∵a2＋b2＝c2＝8，∴a＝2.
答案：2
10．(2015·湖南高考)设F是双曲线C：－＝1的一个焦点．若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为________．
解析：不妨设F(－c,0)，PF的中点为(0，b)．由中点坐标公式可知P(c,2b
)．
又点P在双曲线上，
则－＝1，故＝5，即e＝＝.
答案：
11．过点(0,3b)的直线l与双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条斜率为正值的渐近线平行，若双曲线C的右支上的点到直线l的距离恒大于b，则双曲线C的离心率的最大值是________．
解析：根据题意知，直线l的斜率为，所以直线l的方程为y＝x＋3b，因为双曲线右支上的点到直线l的距离恒大于b，所以直线y＝x＋3b与直线y＝x的距离大于等于b，即≥b，所以≤3，即e≤3，所以双曲线的离心率的最大值为3.
答案：3
12．(2016·浙江高考)设双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2.若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是________．
解析：由题意不妨设点P在双曲线的右支上，现考虑两种极限情况：当PF2⊥x轴时，|PF1|＋|PF2|有最大值8；当∠P为直角时，|PF1|＋|PF2|有最小值2.因为△F1PF2为锐角三角形，所以|PF1|＋|PF2|的取值范围为(2，8)．
答案：(2，8)
三、解答题
13．(2017·昆明模拟)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．点M(3，m)在双曲线上．
(1)求双曲线的方程；
(2)求证：·＝0；
(3)求△F1MF2的面积．
解：(1)∵e＝，则双曲线的实轴、虚轴相等．
∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ.
∵双曲线过点(4，－)，
∴16－10＝λ，即λ＝6.
∴双曲线方程为x2－y2＝6.
(2)证明：设＝(－2－3，－m)，
＝(2－3，－m)．
∴·＝(3＋2)×(3－2)＋m2＝－3＋m2，
∵M点在双曲线上，
∴9－m2＝6，即m2－3＝0，
∴·＝0.
(3)△F1MF2的底|F1F2|＝4.
由(2)知m＝±.
∴△F1MF2的高h＝|m|＝，
∴S△F1MF2＝×4×＝6.
14．(2017·河南六校联考)已知椭圆C1的方程为＋y2＝1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点，O为坐标原点．
(1)求双曲线C2的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且·＞2，求k的取值范围．
解：(1)设双曲线C2的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
则a2＝4－1＝3，c2＝4，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1，
故双曲线C2的方程为－y2＝1.
(2)将y＝kx＋代入－y2＝1，
得(1－3k2)x2－6kx－9＝0.
由直线l与双曲线C2交于不同的两点，
得
∴k2＜1且k2≠.
①
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，
x1x2＝.
∴x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋)(kx2＋)
＝(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋2
＝.
又∵·＞2，即x1x2＋y1y2＞2，
∴＞2，即＞0，
解得＜k2＜3.
②
由①②得＜k2＜1，
故k的取值范围为∪.高考达标检测（四十九）古典概型命题2类型——简单事件、复杂事件
一、选择题
1．(2016·北京高考)从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为(　　)
A.　　　　　　　　　　
B.
C.
D.
解析：选B　设另外三名学生分别为丙、丁、戊．从5名学生中随机选出2人，有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，(乙，丙)，(乙，丁)，(乙，戊)，(丙，丁)，(丙，戊)，(丁，戊)，共10种情形，其中甲被选中的有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，共4种情形，故甲被选中的概率P＝＝.
2．(2017·豫东名校联考)在集合A＝{2,3}中随机取一个元素m，在集合B＝{1,2,3}中随机取一个元素n，得到点P(m，n)，则点P在圆x2＋y2＝9内部的概率为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选B　点P(m，n)共有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)6种情况，只有(2,1)，(2,2)这2个点在圆x2＋y2＝9的内部，所求概率为＝.
3．(2016·昆明一模)小明从某书店购买5本不同的教辅资料，其中语文2本，数学2本，物理1本．若将这5本书随机并排摆放在书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选B　语文、数学只有一科的两本书相邻，有2AAA＝48种摆放方法；语文、数学两科的两本书都相邻，有AAA＝24种摆放方法；而五本不同的书排成一排总共有A＝120种摆放方法．故所求概率为1－＝.故选B.
4．(2017·泉州质检)一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a＞b，b＜c时，称该三位自然数为“凹数”(如213,312等)，若a，b，c∈{1,2,3,4}，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率是(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选C　由1,2,3组成的三位自然数为123,132,213,231,312,321，共6个；同理由1,2,4组成的三位自然数共6个；由1,3,4组成的三位自然数也是6个；由2,3,4组成的三位自然数也是6个．所以共有6＋6＋6＋6＝24个．当b＝1时，有214,213,314,412,312,413，共6个“凹数”；当b＝2时，有324,423，共2个“凹数”．所以这个三位数为“凹数”的概率P＝＝.
5．(2014·全国卷Ⅰ)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选D　由题知所求概率P＝＝，选D.
6．一袋中装有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从袋中一次性随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选D　法一：从袋中一次性随机摸出2只球的所有可能情况有C＝6种，设“这2只球颜色不同”为事件N，这2只球颜色可能为1白1红，1白1黄，1红1黄，事件N包含的情况有CC＋CC＋CC＝5种，故这2只球颜色不同的概率P(N)＝.
法二：从袋中一次性随机摸出2只球的所有可能情况有C＝6种，设“这2只球颜色不同”为事件N，则事件为“这2只球颜色相同”，根据题意可知，若2只球的颜色相同，则这2只球只能是黄球，又这2只球为黄球的概率P()＝＝，故这两只球颜色不同的概率P(N)＝1－P()＝，故选D.
7．设m，n分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，则在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2＋mx＋n＝0有实根的概率为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选C　先后两次出现的点数中有5的情况有：(1,5)，(2,5)，(3,5)，(4,5)，(5,5)，(6,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共11种．其中使方程x2＋mx＋n＝0有实根的情况有：(5,5)，(6,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共7种．故所求概率为.
8．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b2x＋1，若a是从1,2,3三个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选D　对函数f(x)求导可得f′(x)＝x2＋2ax＋b2，
要满足题意需x2＋2ax＋b2＝0有两个不等实根，
即Δ＝4(a2－b2)>0，即a>b.
又(a，b)的取法共有9种，其中满足a>b的有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，共6种，
故所求的概率P＝＝.
二、填空题
9．(2016·浙江镇海中学调研)由数字0,1,2,3组成一个没有重复数字，且不被10整除的四位数，则两个偶数不相邻的概率是________．
解析：由题可得，满足条件的四位数有1
023,1
032,1
203，1
302，2
013,2
031,2
103,2
301,
3
012,3
021,3
102,3
201，共12个．其中两个偶数不相邻的有1
032,2
103,2
301，3
012，共4个．故满足条件的概率为P＝＝.
答案：
10．(2016·亳州质检)已知集合M＝{1,2,3,4)，N＝{(a，b)|a∈M，b∈M)，A是集合N中任意一点，O为坐标原点，则直线OA与y＝x2＋1有交点的概率是________．
解析：易知过点(0,0)与y＝x2＋1相切的直线为y＝2x(斜率小于0的无需考虑)，集合N中共有16个元素，其中使OA斜率不小于2的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,4)，共4个，故所求的概率为＝.
答案：
11．(2017·昆明模拟)投掷两颗相同的正方体骰子(骰子质地均匀，且各个面上依次标有点数1,2,3,4,5,6)一次，则两颗骰子向上点数之积等于12的概率为________．
解析：抛掷两颗相同的正方体骰子共有36种等可能的结果：(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)．点数积等于12的结果有：(2,6)，(3,4)，(4,3)，(6,2)，共4种，故所求事件的概率为＝.
答案：
12．某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为a，b，则双曲线－＝1的离心率e>的概率是________．
解析：由e＝
>，得b>2a.
当a＝1时，b＝3,4,5,6四种情况；
当a＝2时，b＝5,6两种情况，总共有6种情况．
又同时掷两颗骰子，得到的点数(a，b)共有36种结果．
∴所求事件的概率P＝＝.
答案：
三、解答题
13．设a∈{2,4}，b∈{1,3}，函数f(x)＝ax2＋bx＋1.
(1)求f(x)在区间(－∞，－1]上是减函数的概率；
(2)从f(x)中随机抽取两个，求它们在(1，f(1))处的切线互相平行的概率．
解：(1)f′(x)＝ax＋b，由题意f′(－1)≤0，即b≤a，
而(a，b)共有(2,1)，(2,3)，(4,1)，(4,3)四种，满足b≤a的有3种，故概率为.
(2)由(1)可知，函数f(x)共有4种可能，从中随机抽取两个，有6种抽法．
∵函数f(x)在(1，f(1))处的切线的斜率为f′(1)＝a＋b，
∴这两个函数中的a与b之和应该相等，而只有(2,3)，(4,1)这1组满足，
∴概率为.
14．(2016·山东高考)某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：
①若xy≤3，则奖励玩具一个；
②若xy≥8，则奖励水杯一个；
③其余情况奖励饮料一瓶．
假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动．
(1)求小亮获得玩具的概率；
(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．
解：用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应．
因为S中元素的个数是4×4＝16，
所以基本事件总数n＝16.
(1)记“xy≤3”为事件A，则事件A包含的基本事件数共5个，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)．
所以P(A)＝，即小亮获得玩具的概率为.
(2)记“xy≥8”为事件B，“3＜xy＜8”为事件C.
则事件B包含的基本事件数共6个，即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．所以P(B)＝＝.
事件C包含的基本事件数共5个，
即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1)．
所以P(C)＝.因为＞，
所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．高考达标检测（十八）三角恒等变换的3个考查点——化简、求值和应用
一、选择题
1．(2016·全国丙卷)若tan
θ＝－，则cos
2θ＝(　　)
A．－　　　　　　
　B．－
C.
D.
解析：选D　∵cos
2θ＝＝，
又∵tan
θ＝－，∴cos
2θ＝＝.
2．已知tan＝，且－＜α＜0，则等于(　　)
A．－
B．－
C．－
D.
解析：选A　由tan＝＝，
得tan
α＝－.
又－<α<0，
所以sin
α＝－.
故＝
＝2sin
α＝－.
3．(2017·温州测试)已知sin
x＋cos
x＝，则cos＝(　　)
A．－
B.
C．－
D.
解析：选B　∵sin
x＋cos
x＝2
＝2＝2cos＝，
∴cos＝.
4．(2017·东北三省模拟)已知sin＝cos，则cos
2α＝(　　)
A．1　　　　　　　　　
　B．－1
C.
D．0
解析：选D　∵sin＝cos
，
∴cos
α－sin
α＝cos
α－sin
α，
即sin
α＝－cos
α，
∴tan
α＝＝－1，
∴cos
2α＝cos2α－sin2α＝＝＝0.
5．(2017·南宁调研)若θ∈[0，π]，cos
θ＝，则tan
＝(　　)
A.
B.
C．7
D.
解析：选D　法一：因为θ∈[0，π]，所以∈，
所以cos
＝
＝，
所以sin
＝，所以tan
＝，故选D.
法二：由题意得sin
θ＝，所以tan
θ＝.因为θ∈[0，π]，所以∈，所以由tan
θ＝＝，解得tan
＝或tan
＝－(舍去)，故选D.
6．(2017·吉林大学附中检测)若α∈，且3cos
2α＝sin，则sin
2α的值为(　　)
A．－
B．－
C．－
D．－
解析：选D　∵3cos
2α＝sin，
∴3(cos2
α－sin2
α)＝(sin
α－cos
α)，
易知sin
α≠cos
α，故cos
α＋sin
α＝－，
两边平方得1＋sin
2α＝，解得sin
2α＝－，故选D.
7．(2017·贵阳监测)已知sin＋sin
α＝，则sin的值是(　　)
A．－
B.
C.
D．－
解析：选D　sin＋sin
α＝ sin
cos
α＋cos
sin
α＋sin
α＝ sin
α＋cos
α＝ sin
α＋cos
α＝，故sin＝sin
αcos＋cos
αsin
＝－＝－.
8．(2016·长沙模拟)在△ABC中，若(tan
B＋tan
C)＝tan
B·tan
C－1，则sin
2A＝(　　)
A．－
B.
C．－
D.
解析：选D　由两角和的正切公式知tan
B＋tan
C＝tan(B＋C)(1－tan
B·tan
C)，所以(tan
B＋tan
C)＝tan
B·tan
C－1＝tan(B＋C)(1－tan
B·tan
C)，所以tan(B＋C)＝－，所以tan
A＝，又A∈(0，π)，所以A＝，所以sin
2A＝，故选D.
二、填空题
9．化简：sin
50°(1＋tan
10°)＝________.
解析：sin
50°(1＋tan
10°)
＝sin
50°
＝sin
50°·
＝sin
50°·
＝＝＝＝1.
答案：1
10．(2016·浙江高考)已知2cos2x＋sin
2x＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0)，则A＝________，b＝________.
解析：∵2cos2x＋sin
2x＝1＋cos
2x＋sin
2x＝1＋sin，
∴1＋sin＝Asin(ωx＋φ)＋b，
∴A＝，b＝1.
答案：　1
11．(2017·东北三省四市联考)已知tan(3π－x)＝2，则＝________.
解析：由诱导公式得tan(3π－x)＝－tan
x＝2，
即tan
x＝－2，
故＝＝＝－3.
答案：－3
12．(2017·珠海六校联考)已知tan(α＋β)＝，tan
β＝，则tan的值为________．
解析：∵tan(α＋β)＝，tan
β＝，
∴tan
α＝tan[(α＋β)－β]
＝
＝＝，
tan＝＝＝.
答案：
三、解答题
13．已知函数f(x)＝sin
x－cos
x＋2，记函数f(x)的最小正周期为β，向量a＝(2，
cos
α)，b＝，0＜α＜，且a·b＝.
(1)求f(x)在区间上的最值；
(2)求的值．
解：(1)f(x)＝sin
x－cos
x＋2＝2sin＋2，
∵x∈，
∴x－∈，
∴f(x)的最大值是4，最小值是2.
(2)由题意知β＝2π，
∴a·b＝2＋cos
αtan(α＋π)＝2＋sin
α＝，
∴sin
α＝，
∴＝
＝2cos
α＝2＝.
14．(2017·台州模拟)已知实数x0，x0＋是函数f(x)＝2cos2ωx＋sin(ω＞0)的相邻的两个零点．
(1)求ω的值；
(2)设a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C所对的边，若f(A)＝且＋＝，试判断△ABC的形状，并说明理由．
解：(1)f(x)＝1＋cos
2ωx＋sin
2ωx－cos
2ωx
＝sin
2ωx＋cos
2ωx＋1
＝sin＋1，
由题意得T＝π，
∴＝π，即ω＝1.
(2)由(1)得f(x)＝sin＋1，
∴f(A)＝sin＋1＝，
即sin＝.
∵0＜A＜π，
∴＜2A＋＜，
∴2A＋＝，即A＝.
由＋＝，得＋＝，
所以cos
B＋cos
C＝2cos
A＝1，
又因为B＋C＝，
所以cos
B＋cos＝cos
B－cos
B＋sin
B
＝sin＝1，
所以B＝C＝.
综上，△ABC是等边三角形．高考达标检测（二十）
正、余弦定理的3个应用点——高度、距离和角度
一、选择题
1.(2017·东北三校联考)如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a
km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为(　　)
A．a
km　　　　　　　
　B.a
km
C．2a
km
D.a
km
解析：选D　依题意知∠ACB＝180°－20°－40°＝120°，在△ABC中，由余弦定理知AB＝
＝a(km)，即灯塔A与灯塔B的距离为a
km.
2.如图所示为起重机装置示意图，支杆BC＝10
m，吊杆AC＝15
m，吊索AB＝5
m，起吊的货物与岸的距离AD为(　　)
A．30
m　　　　　　　
　B.
m
C．15
m
D．45
m
解析：选B　在△ABC中，AC＝15
m，AB＝5
m，BC＝10
m，
由余弦定理得cos∠ACB＝
＝＝－.
∴sin∠ACB＝.
又∠ACB＋∠ACD＝180°.
∴sin∠ACD＝sin∠ACB＝.
在Rt△ADC中，AD＝AC·sin∠ACD＝15×＝
m.
3．(2017·江西联考)某位居民站在离地20
m高的阳台上观测到对面小高层房顶的仰角为60°，小高层底部的俯角为45°，那么这栋小高层的高度为(　　)
A．20m　　　　　　
　B．20(1＋)m
C．10(＋)m
D．20(＋)m
解析：选B　如图，设AB为阳台的高度，CD为小高层的高度，AE为水平线．由题意知AB＝20
m，∠DAE＝45°，∠CAE＝60°，故DE＝20
m，CE＝AE·tan
60°＝20
m．所以CD＝20(1＋)m.故选B.
4．如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6
km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB＝1
km，水的流速为2
km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6
min，则客船在静水中的速度为(　　)
A．8
km/h
B．6
km/h
C．2
km/h
D．10
km/h
解析：选B　设AB与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v
km/h，由题意知，sin
θ＝＝，从而cos
θ＝，所以由余弦定理得2＝2＋12－2××2×1×，解得v＝6.
5.(2017·武昌调研)如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600
km处的热带风暴中心正以20
km/h的速度向正北方向移动，距风暴中心450
km以内的地区都将受到影响，则该码头将受到热带风暴影响的时间为(　　)
A．14
h
B．15
h
C．16
h
D．17
h
解析：选B　记现在热带风暴中心的位置为点A，t小时后热带风暴中心到达B点位置，在△OAB中，OA＝600，AB＝20t，∠OAB＝45°，根据余弦定理得OB2＝6002＋400t2－2×20t×600×，令OB2≤4502，即4t2－120t＋1
575≤0，解得≤t≤，所以该码头将受到热带风暴影响的时间为－＝15(h)，故选B.
6．一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100
m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是(　　)
A．50
m
B．100
m
C．120
m
D．150
m
解析：选A　设水柱高度是h
m，水柱底端为C，则在△ABC中，A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝h，根据余弦定理得，(h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos
60°，即h2＋50h－5
000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50
m.
二、填空题
7.(2017·郑州调研)如图，在山底测得山顶仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的斜坡走1
000
m至S点，又测得山顶仰角∠DSB＝75°，则山高BC为________
m.
解析：由题图知∠BAS＝45°－30°＝15°，∠ABS＝45°－15°＝30°，∴∠ASB＝135°，在△ABS中，由正弦定理可得＝，
∴AB＝1
000，
∴BC＝＝1
000.
答案：1
000
8.如图，在水平地面上有两座直立的相距60
m的铁塔AA1和BB1.已知从塔AA1的底部看塔BB1顶部的仰角是从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的2倍，从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角．则从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的正切值为________；塔BB1的高为________
m.
解析：设从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角为α，则AA1＝60tan
α，BB1＝60tan
2α.∵从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角，∴△A1AC∽△CBB1，∴＝，∴AA1·BB1＝900，∴3
600tan
αtan
2α＝900，∴tan
α＝(负值舍去)，tan
2α＝，BB1＝60tan
2α＝45.
答案：　45
9.如图，为了测量河对岸A，B两点之间的距离，观察者找到一个点C，从点C可以观察到点A，B；找到一个点D，从点D可以观察到点A，C；找到一个点E，从点E可以观察到点B，C.并测量得到一些数据：CD＝2，CE＝2，∠D＝45°，∠ACD＝105°，∠ACB＝48.19°，∠BCE＝75°，∠E＝60°，则A，B两点之间的距离为________.
解析：依题意知，在△ACD中，∠A＝30°，
由正弦定理得AC＝＝2.
在△BCE中，∠CBE＝45°，
由正弦定理得BC＝＝3.
在△ABC中，由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC×BCcos
∠ACB＝10，所以AB＝.
答案：
三、解答题
10.已知在东西方向上有M，N两座小山，山顶各有一个发射塔A，B，塔顶A，B的海拔高度分别为AM＝100米和BN＝200米，一测量车在小山M的正南方向的点P处测得发射塔顶A的仰角为30°，该测量车向北偏西60°方向行驶了100米后到达点Q，在点Q处测得发射塔顶B处的仰角为θ，且∠BQA＝θ，经测量tan
θ＝2，求两发射塔顶A，B之间的距离．
解：在Rt△AMP中，∠APM＝30°，AM＝100，
∴PM＝100，在△PQM中，∠QPM＝60°，
又PQ＝100，
∴△PQM为等边三角形，
∴QM＝100.
在Rt△AMQ中，由AQ2＝AM2＋QM2，得AQ＝200.
在Rt△BNQ中，tan
θ＝2，BN＝200，
∴BQ＝100，cos
θ＝.
在△BQA中，BA2＝BQ2＋AQ2－2BQ·AQcos
θ＝(100)2，∴BA＝100.
即两发射塔顶A，B之间的距离是100米．
11．某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45°，距离为10
n
mile的C处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9
n
mile/h的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以21
n
mile/h的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间.
解：如图所示，根据题意可知AC＝10，∠ACB＝120°，设舰艇靠近渔轮所需的时间为t
h，并在B处与渔轮相遇，则AB＝21t，BC＝9t，在△ABC中，根据余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos
120°，所以212t2＝102＋81t2＋2×10×9t×，
即360t2－90t－100＝0，解得t＝或t＝－(舍去)．
所以舰艇靠近渔轮所需的时间为
h.
此时AB＝14，BC＝6.
在△ABC中，根据正弦定理，得＝，
所以sin∠CAB＝＝，
即∠CAB≈21.8°或∠CAB≈158.2°(舍去)，
即舰艇航行的方位角为45°＋21.8°＝66.8°.
所以舰艇以66.8°的方位角航行，需
h
才能靠近渔轮．
12．某高速公路旁边B处有一栋楼房，某人在距地面100米的32楼阳台A处，用望远镜观测路上的车辆，上午11时测得一客车位于楼房北偏东15°方向上，且俯角为30°的C处，10秒后测得该客车位于楼房北偏西75°方向上，且俯角为45°的D处．(假设客车匀速行驶)
(1)如果此高速路段限速80千米/时，试问该客车是否超速？
(2)又经过一段时间后，客车到达楼房的正西方向E处，问此时客车距离楼房多远？
解：(1)在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝100米，
则BC＝100米．
在Rt△ABD中，∠BAD＝45°，AB＝100米，则BD＝100米．
在△BCD中，∠DBC＝75°＋15°＝90°，
则DC＝＝200米，
所以客车的速度v＝＝20米/秒＝72千米/时，
所以该客车没有超速．
(2)在Rt△BCD中，∠BCD＝30°，
又因为∠DBE＝15°，所以∠CBE＝105°，
所以∠CEB＝45°.
在△BCE中，由正弦定理可知＝，
所以EB＝＝50米，
即此时客车距楼房50米．高考达标检测（十五）
三角函数的3个基本考点——定义、公式和关系
一、选择题
1．(2016·福州一模)设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cos
α＝x，
则tan
α＝(　　)
A.　　　　　　　
　B.
C．－
D．－
解析：选D　因为α是第二象限角，所以cos
α＝x＜0，即x＜0.又cos
α＝x＝.
解得x＝－3，所以tan
α＝－.
2．(2017·江西六校联考)点A(sin
2
017°，cos
2
017°)位于(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：选C　因为sin
2
017°＝sin(11×180°＋37°)
＝－sin
37°＜0，cos
2
017°＝cos(11×180°＋37°)
＝－cos
37°＜0，
所以点A(sin
2
017°，cos
2
017°)位于第三象限．
3．若sin
θcos
θ＝，则tan
θ＋的值是(　　)
A．－2　　　　
　B．2　　　　　
C．±2　　　　
　D.
解析：选B　tan
θ＋＝＋＝＝2.
4．(2017·江西五校联考)＝(　　)
A．－　　
　B．－　
　　
C.　　
　D.
解析：选D　原式＝
＝
＝＝＝.
5．已知A(xA，yA)是单位圆(圆心在坐标原点O)上任意一点，将射线OA绕O点逆时针旋转30°，交单位圆于点B(xB，yB)，则xA－yB的取值范围是(　　)
A．[－2,2]
B．[－，]
C．[－1,1]
D.
解析：选C　设x轴正方向逆时针到射线OA的角为α，根据三角函数的定义得xA＝
cos
α，yB＝sin(α＋30°)，所以xA－yB＝cos
α－sin(α＋30°)＝－sin
α＋cos
α＝sin(α＋150°)∈[－1,1]．
6．(2017·日照模拟)已知－＜α＜0，sin
α＋cos
α＝，则的值为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选C　∵sin
α＋cos
α＝，∴1＋sin
2α＝，即sin
2α＝－，又∵－<α<0，∴cos
α－sin
α>0.
∴cos
α－sin
α＝＝，
∴＝＝.
二、填空题
7．化简：＝________.
解析：原式＝
＝＝＝－1.
答案：－1
8．(2017·枣庄模拟)已知cos＝a(|a|≤1)，则cos＋sin的值是________．
解析：由题意知，cos＝cos
＝－cos＝－a.
sin＝sin＝cos＝a，
∴cos＋sin＝0.
答案：0
9．(2017·成都一诊)在直角坐标系xOy中，已知任意角θ以坐标原点O为顶点，以x轴的非负半轴为始边，若其终边经过点P(x0，y0)，且|OP|＝r(r＞0)，定义：sicos
θ＝，称“sicos
θ”为“θ的正余弦函数”，若sicos
θ＝0，则sin＝________.
解析：因为sicos
θ＝0，所以y0＝x0，所以θ的终边在直线y＝x上，所以当θ＝2kπ＋，k∈Z时，sin＝sin＝cos＝；当θ＝2kπ＋，k∈Z时，sin＝sin＝cos＝.综上得sin＝.
答案：
三、解答题
10．已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sin
α＋的值．
解：设α终边上任一点为P(k，－3k)，
则r＝＝|k|.
当k＞0时，r＝k，
∴sin
α＝＝－，＝＝，
∴10sin
α＋＝－3＋3＝0；
当k＜0时，r＝－k，∴sin
α＝＝，
＝＝－，
∴10sin
α＋＝3－3＝0.
综上，10sin
α＋＝0.
11．已知π＜α＜2π，cos(α－7π)＝－，
求sin(3π＋α)·tan的值．
解：∵cos
(α－7π)＝cos
(7π－α)＝cos
(π－α)＝－cos
α
＝－，∴cos
α＝.
∴sin(3π＋α)·tan
＝sin(π＋α)·
＝sin
α·tan＝sin
α·
＝sin
α·＝cos
α＝.
12．已知α为第三象限角，
f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若cos＝，求f(α)的值．
解：(1)f(α)＝
＝＝－cos
α.
(2)∵cos＝，∴－sin
α＝，
从而sin
α＝－.
又α为第三象限角，∴cos
α＝－＝－，
∴f(α)＝－cos
α＝.高考达标检测（三十三）
空间向量2综合——折叠、探索
1．如图所示，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD＝NB＝1，E为BC的中点．
(1)求异面直线NE与AM所成角的余弦值；
(2)在线段AN上是否存在点S，使ES⊥平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由．
解：(1)由题意知，DA，DC，DM两两垂直，故以D为坐标原点，建立空间直角坐标系D
xyz.
由题意易得D(0,0,0)，A(1,0,0)，M(0,0,1)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，N(1,1,1)，E，
∴＝，＝(－1,0,1)．
∵|cos〈，〉|＝eq
\f(|·|,||||)＝＝，
∴异面直线NE与AM所成角的余弦值为.
(2)假设在线段AN上存在点S，使ES⊥平面AMN，连接AE.
∵＝(0,1,1)，可设＝λ＝(0，λ，λ)，
又＝，∴＝＋＝.
由ES⊥平面AMN，得eq
\b\lc\{\rc\
(\a\vs4\al\co1(·＝0，,·＝0，))即
故λ＝，此时＝，||＝，
经检验，当AS＝时，ES⊥平面AMN.
故线段AN上存在点S，使得ES⊥平面AMN，此时AS＝.
2．如图1，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝3a，点P在AB
上，PE∥BC交AC于点E，PF∥AC交BC于点F.沿PE将△APE翻折成△A′PE，使得平面A′PE⊥平面ABC；沿PF将△BPF翻折成△B′PF，使得平面B′PF⊥平面ABC，如图2.
(1)求证：B′C∥平面A′PE；
(2)若AP＝2PB，求二面角A′ PC B′的正切值．
解：(1)证明：因为FC∥PE，FC 平面A′PE，PE 平面A′PE，
所以FC∥平面A′PE.
因为平面A′PE⊥平面ABC，且平面A′PE∩平面ABC＝PE，A′E⊥PE，
所以A′E⊥平面ABC.
同理B′F⊥平面ABC，
所以B′F∥A′E，从而B′F∥平面A′PE.
又FC∩B′F＝F，
所以平面B′CF∥平面A′PE，从而B′C∥平面A′PE.
(2)法一：因为AC＝BC＝3a，AP＝2PB，
所以CE＝a，EA′＝2a，PE＝2a，PC＝a.
如图，过E作EM⊥PC，垂足为M，连接A′M.
由(1)知A′E⊥平面ABC，可得A′E⊥PC，
所以PC⊥平面A′EM，所以A′M⊥PC.
所以∠A′ME即二面角A′ PC E的平面角．
在Rt△PEC中，由等面积法易得EM＝＝a，
所以在Rt△A′EM中，可得tan∠A′ME＝＝＝.
过F作FN⊥PC，垂足为N，连接B′N.
同理可得∠B′NF即二面角B′ PC F的平面角，
且tan∠B′NF＝＝＝.
设二面角A′ PC B′的大小为θ，则∠A′ME＋θ＋∠B′NF＝π，
所以tan
θ＝－tan(∠A′ME＋∠B′NF)＝－＝，
即二面角A′ PC B′的正切值为.
法二：易知EC，EP，EA′两两垂直，可建立如图所示的空间直角坐标系E xyz.
则C(a,0,0)，P(0,2a,0)，A′(0,0,2a)，B′(a,2a，a)．
所以＝(a,0，－2a)，＝(0,2a，－2a)，
＝(0，－2a，－a)，＝(－a,0，－a)．
设平面A′CP的一个法向量为m＝(x，y,1)，
则eq
\b\lc\{\rc\
(\a\vs4\al\co1(m·＝0，,m·＝0，))即解得
所以平面A′CP的一个法向量为m＝(2,1,1)．
设平面B′CP的一个法向量为n＝(x′，y′，1)，
则eq
\b\lc\{\rc\
(\a\vs4\al\co1(n·＝0，,n·＝0，))即解得
所以平面B′CP的一个法向量为n＝.
设二面角A′ PC B′的大小为θ，易知θ为锐角，
则cos
θ＝＝＝，
从而可得tan
θ＝，即二面角A′ PC B′的正切值为.
3.在如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，∠DAB＝60°，AD＝2，AM＝1，E为AB的中点．
(1)求证：AN∥平面MEC；
(2)在线段AM上是否存在点P，使二面角P EC D的大小为？若存在，求出AP的长h；若不存在，请说明理由．
解：(1)证明：如图，连接NB交MC于点F，连接EF.
由已知可得四边形BCNM是平行四边形，∴F是BN的中点，
又E是AB的中点，∴AN∥EF.
又EF 平面MEC，AN 平面MEC，∴AN∥平面MEC.
(2)假设线段AM上存在点P，使二面角P EC D的大小为.
在AM上取一点P，连接EP，CP.
由于四边形ABCD是菱形，且∠DAB＝60°，E是AB的中点，
可得DE⊥AB，所以DE⊥CD.
因为四边形ADNM是矩形，所以DN⊥AD.
又平面ADNM⊥平面ABCD，平面ADNM∩平面ABCD＝AD，
∴DN⊥平面ABCD，
以DE，DC，DN所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系D xyz，则D(0,0,0)，E(，0,0)，C(0,2,0)，P(，－1，h)，则＝(，－2,0)，
＝(0，－1，h)，
设平面PEC的法向量为n1＝(x，y，z)，
则eq
\b\lc\{\rc\
(\a\vs4\al\co1(·n1＝0，,·n1＝0，))∴
令y＝h，则n1＝(2h，h，)，
又平面DEC的法向量n2＝(0,0,1)，
∴cos
〈n1，n2〉＝＝＝，解得h＝，
∴在线段AM上存在点P，使二面角P EC D的大小为，此时h＝.
4．如图，已知在长方形ABCD中，AB＝2，A1，B1分别是边AD，BC上的点，且AA1＝BB1＝1，A1E垂直B1D于E，F为AB的中点．把长方形ABCD沿直线A1B1折起，使得平面AA1B1B⊥平面A1B1CD，且直线B1D与平面AA1B1B所成的角为30°.
(1)求异面直线A1E，B1F所成角的余弦值；
(2)求二面角F B1D A1的余弦值．
解：由已知条件可得A1A，A1B1，A1D两两垂直，可建立如图所示的空间直角坐标系，由已知AB＝2，AA1＝BB1＝1，可得A1(0,0,0)，B1(2,0,0)，F(1,0,1)．
又A1D⊥平面AA1B1B，所以B1D与平面AA1B1B所成的角为
∠DB1A1＝30°，又A1B1＝AB＝2，A1E⊥B1D，所以A1E＝1，A1D＝，从而易得E，D.
(1)因为＝，＝(－1,0,1)，
所以cos
〈，〉＝eq
\f(·,||·||)＝＝－.
所以异面直线A1E，B1F所成角的余弦值为.
(2)易知平面A1B1CD的一个法向量m＝(0,0,1)．
设n＝(x，y，z)是平面B1DF的法向量，
易知＝，
所以eq
\b\lc\{\rc\
(\a\vs4\al\co1(n·＝0，,n·＝0，))即
令x＝1，得n＝(1，，1)．
所以cos〈m，n〉＝＝.
由图知二面角F B1D A1为锐角，
所以二面角F B1D
A1的余弦值为.高考达标检测（五十三）算法与程序框图考查2类型——推结果、填条件
一、选择题
1．(2017·合肥模拟)执行如下程序框图，则输出结果为(　　)
A．2　　　　　　　　　　
B．3
C．4
D．5
解析：选C　依次执行框图中的语句：n＝1，S＝0，T＝20；T＝10，S＝1，n＝2；T＝5，S＝3，n＝3；T＝，S＝6，n＝4，跳出循环，输出的n＝4，故选C.
2．(2017·北京东城模拟)如图给出的是计算＋＋＋＋…＋的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是(　　)
A．i＜50
B．i＞50
C．i＜25
D．i＞25
解析：选B　因为该循环体需要运行50次，i的初始值是1，间隔是1，所以i＝50时不满足判断框内的条件，而i＝51时满足判断框内条件，所以判断框内的条件可以填入i>50？.
3.某班有50名学生，在一次数学考试中，an表示学号为n的学生的成绩，则执行如图所示的程序框图，下列结论正确的是(　　)
A．P表示成绩不高于60分的人数
B．Q表示成绩低于80分的人数
C．R表示成绩高于80分的人数
D．Q表示成绩不低于60分，且低于80分的人数
解析：选D　P表示成绩低于60分的人数，Q表示成绩低于80分且不低于60分的人数，R表示成绩不低于80分的人数．
4．(2016·武昌调研)如图所示的程序框图的算法思路源于世界数学名题“3x＋1问题”．执行该程序框图，若N＝3，则输出的i＝(　　)
A．6
B．7
C．8
D．9
解析：选C　第一步：n＝10，i＝2；
第二步：n＝5，i＝3；
第三步：n＝16，i＝4；
第四步：n＝8，i＝5；
第五步：n＝4，i＝6；
第六步；n＝2，i＝7；
第七步：n＝1，i＝8，
结束循环，输出的i＝8，故选C.
5．执行如图所示的程序框图，则输出S的值为(　　)
A．3
B．－6
C．10
D．－15
解析：选D　第一次执行程序，得到S＝0－12＝－1，i＝2；
第二次执行程序，得到S＝－1＋22＝3，i＝3；
第三次执行程序，得到S＝3－32＝－6，i＝4；
第四次执行程序，得到S＝－6＋42＝10，i＝5；
第五次执行程序，得到S＝10－52＝－15，i＝6，
到此结束循环，输出的S＝－15.
6．(2017·昆明七校调研)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出S的值为1，则判断框内为(　　)
A．i＞6
B．i＞5
C．i≥3
D．i≥4
解析：选D　依题意，执行程序框图，进行第一次循环时，S＝1×(3－1)＋1＝3，i＝1＋1＝2；进行第二次循环时，S＝3×(3－2)＋1＝4，i＝2＋1＝3；进行第三次循环时，S＝4×(3－3)＋1＝1，i＝4；因此当输出的S的值为1时，判断框内为“i≥4？”，选D.
7．执行如图所示的程序框图，如果输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为(　　)
A.0
B．1
C．2
D．3
解析：选C　当时，由线性规划的图解法知，目标函数S＝2x＋y的最大值为2，否则，S的值为1.所以输出的S的最大值为2.
8.(2017·江西联考)给出30个数：1,2,4,7，…，其规律是：第1个数是1；第2个数比第1个数大1；第3个数比第2个数大2；第4个数比第3个数大3，…，以此类推，要计算这30个数的和，现已给出了该问题的程序框图如图所示，那么框图中判断框①处和执行框②处应分别填入(　　)
A．i≤30？；p＝p＋i－1
B．i≤29？；p＝p＋i＋1
C．i≤31？；p＝p＋i
D．i≤30？；p＝p＋i
解析：选D　由于要计算30个数的和，故循环要执行30次，由于循环变量的初值为1，步长为1，故①中应填写“i≤30？”．又由第1个数是1；第2个数比第1个数大1；第3个数比第2个数大2；第4个数比第3个数大3，…，故②中应填写p＝p＋i.
二、填空题
9．执行如图所示的程序框图，则输出的a值是________．
解析：a的值依次为1,4,13,40,121，然后跳出循环体，故输出的a值是121.
答案：121
10．(2017·山东临沂一模)某程序框图如图所示，若判断框内是k≥n，且n∈N时，输出的S＝57，则判断框内的n应为________．
解析：程序在运行过程中各值变化如下表：
k
S
是否继续循环
循环前1
1
第一次循环2
4
是
第二次循环3
11
是
第三次循环4
26
是
第四次循环5
57
否
故退出循环的条件应为k≥5.则输出的S＝57，则判断框内n应为5.
答案：5
11．(2016·山东高考)执行如图所示的程序框图，若输入的a，b的值分别为0和9，则输出的i的值为________．
解析：第1次循环：a＝0＋1＝1，b＝9－1＝8，a＜b，此时i＝2；
第2次循环：a＝1＋2＝3，b＝8－2＝6，a＜b，此时i＝3；
第3次循环：a＝3＋3＝6，b＝6－3＝3，a＞b，输出i＝3.
答案：3
12．(2017·衡水模拟)执行如图所示的程序框图，若输入x＝9，则输出y＝________.
解析：第一次循环：y＝5，x＝5；
第二次循环：y＝，x＝；
第三次循环：y＝，此时|y－x|＝＝<1，
故输出y＝.
答案：
13.已知某程序框图如图所示，则程序运行结束时输出的结果为________．
解析：第一次循环结束时，n＝2，x＝3，y＝2－1＝1；
第二次循环结束时，n＝4，x＝9，y＝4－1＝3；
第三次循环结束时，n＝6，x＝27，y＝6－3＝3.
此时满足n>4，
结束循环，输出logyx＝log327＝3.
答案：3
14.(2016·山东高考)执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出的S的值为________．
解析：第一次循环：S＝－1,1＜3，i＝2；
第二次循环：S＝－1,2＜3，i＝3；
第三次循环：S＝－1＝1,3≥3，输出S＝1.
答案：1高考达标检测（六十）不等式证明
1．设a，b，c为正数且a＋b＋c＝1，求证：2＋2＋2≥.
证明：2＋2＋2
＝(12＋12＋12)[2＋2＋2]
≥[1×＋1×＋1×]2
＝[1＋（＋＋）]
2＝[1＋(a＋b＋c)（＋＋）]2
≥×(1＋9)2＝.
即原不等式成立．
2．(2017·大连双基测试)已知x，y是两个不相等的正实数，求证：(
x2y＋x＋y2
)(
xy2＋y＋x2
)>9x2y2.
证明：因为x，y是正实数，
所以x2y＋x＋y2≥3＝3xy，
当且仅当x2y＝x＝y2，即x＝y＝1时，等号成立；
同理：xy2＋y＋x2≥3＝3xy，
当且仅当xy2＝y＝x2，即x＝y＝1时，等号成立．
所以(x2y＋x＋y2)(xy2＋y＋x2)≥9x2y2，
当且仅当x＝y＝1时，等号成立．
因为x≠y，
所以(
x2y＋x＋y2
)(
xy2＋y＋x2
)>9x2y2.
3．已知x，y∈R，且|
x
|<1，|
y
|<1.
求证：＋≥.
证明：法一：(分析法)∵|
x
|<1，|
y
|<1，
∴>0，>0，
∴＋≥.
故要证明结论成立，
只要证明≥成立．
即证1－xy≥成立即可．
∵(y－x)2≥0，有－2xy≥－x2－y2，
∴(1－xy
)2≥(1－x2
)(1－y2
)，
∴1－xy≥>0.
∴不等式成立．
法二：(综合法)∵≤
＝≤＝1－|xy|，
∴＋≥≥，
∴原不等式成立．
4．设函数f(x)＝|
x－4
|＋|
x－3
|，f(x)的最小值为m.
(1)求m的值；
(2)当a＋2b＋3c＝m(a，b，c∈R)时，求a2＋b2＋c2的最小值．
解：(1)法一：f(x)＝|
x－4
|＋|
x－3
|≥|
(x－4)－(x－3)
|＝1，
故函数f(x)的最小值为1，即m＝1.
法二：f(x)＝
当x≥4时，f(x)≥1；当x<3时，f(x)>1；当3≤x＜4时，f(x)＝1，故函数f(x)的最小值为1，即m＝1.
(2)(
a2＋b2＋c2)(
12＋22＋32
)≥(
a＋2b＋3c
)2＝1，
故a2＋b2＋c2≥，
当且仅当a＝，b＝，c＝时取等号．
故a2＋b2＋c2的最小值为.
5．(2017·云南统一检测)已知a是常数，对任意实数x，不等式|
x＋1
|－|
2－x
|≤a≤
|
x＋1
|＋|
2－x
|都成立．
(1)求a的值；
(2)设m＞n＞0，求证：2m＋≥2n＋a.
解：(1)设f(x)＝|
x＋1
|－|
2－x
|，
则f(x)＝
∴f(x)的最大值为3.
∵对任意实数x，|
x＋1
|－|
2－x
|≤a都成立，即f(x)≤a，
∴a≥3.
设h(x)＝|x＋1|＋|2－x|，
则h(x)＝
则h(x)的最小值为3.
∵对任意实数x，|
x＋1
|＋|
2－x
|≥a都成立，即h(x)≥a，
∴a≤3.
∴a＝3.
(2)证明：由(1)知a＝3.
∵2m＋－2n＝(m－n)＋(m－n)＋，且m＞n＞0，
∴(m－n)＋(m－n)＋
≥3＝3.
∴2m＋≥2n＋a.
6．(2017·吉林实验中学模拟)设函数f(x)＝|
x－a
|.
(1)当a＝2时，解不等式f(x)≥4－|
x－1
|；
(2)若f(x)≤1的解集为[0,2]，＋＝a(m>0，n>0)，求证：m＋2n≥4.
解：(1)当a＝2时，不等式为|
x－2
|＋|
x－1
|≥4，
①当x≥2时，不等式可化为x－2＋x－1≥4，解得x≥；
②当1＜x＜2时，不等式可化为2－x＋x－1≥4，
不等式的解集为 ；
③当x≤1时，不等式可化为2－x＋1－x≥4，解得x≤－.
综上可得，不等式的解集为∪.
(2)证明：∵f(x)≤1，即|x－a|≤1，
解得a－1≤x≤a＋1，而f(x)≤1的解集是[0,2]，
∴解得a＝1，
所以＋＝1(m>0，n>0)，
所以m＋2n＝(m＋2n)
＝2＋＋≥2＋2
＝4，
当且仅当m＝2，n＝1时取等号．
7．(2017·合肥模拟)已知a＞0，b＞0，记A＝＋，B＝a＋b.
(1)求A－B的最大值；
(2)若ab＝4，是否存在a，b，使得A＋B＝6？并说明理由．
解：(1)A－B＝－a＋－b
＝－2－2＋1≤1，
当且仅当a＝b＝时等号成立，
即A－B的最大值为1.
(2)A＋B＝a＋b＋＋≥2＋2，因为ab＝4，
所以A＋B≥4＋2＞6，
所以不存在这样的a，b，使得A＋B＝6.
8．(2016·西安质检)已知函数f(x)＝|
x－1
|.
(1)解不等式f
(2x)＋f
(x＋4)≥8；
(2)若|a|<1，|b|<1，a≠0，求证：>f
.
解：(1)f
(2x)＋f
(x＋4)＝|
2x－1
|＋|
x＋3
|
＝
当x<－3时，由－3x－2≥8，解得x≤－；
当－3≤x<时，－x＋4≥8无解；
当x≥时，由3x＋2≥8，解得x≥2.
所以不等式f(2x)＋f(x＋4)≥8的解集为∪[2，＋∞)．
(2)证明：>f等价于f(ab)>|a|
f，
即|
ab－1
|>|
a－b
|.
因为|
a
|<1，|
b
|<1，
所以|
ab－1
|2－|
a－b
|2＝(
a2b2－2ab＋1
)－(
a2－2ab＋b2
)＝(
a2－1
)(
b2－1
)>
0，
所以|
ab－1
|>|
a－b
|.
故所证不等式成立．高考达标检测（九）函数图象的3个常考方式——作图、识图、用图
一、选择题
1．(2017·南昌模拟)函数y＝的图象大致为(　　)
解析：选D　由题意知x≠1，∵当00，ln
x<0，∴y<0，图象在x轴下方，排除B，C；当x>1时，2x>0，ln
x>0，∴y>0，图象在x轴上方，当x→＋∞时，y＝→＋∞，故选D.
2．(2017·昆明模拟)如图是张大爷离开家晨练过程中离家距离y与行走时间x的函数y＝f(x)的图象．若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷行走的路线可能是(　　)
解析：选D　由图象知，张大爷晨练时，离家的距离y随行走时间x的变化规律是先匀速增加，中间一段时间保持不变，然后匀速减小．
3．若对任意的x∈R，y＝均有意义，则函数y＝loga的图象大致是(　　)
解析：选B　由题意得1－a|x|≥0，即a|x|≤1＝a0恒成立，由于|x|≥0，故04.若函数f(x)＝的图象如图所示，则f(－3)等于(　　)
A．－　　　　　　
　B．－
C．－1
D．－2
解析：选C　由图象可得－a＋b＝3，ln(－1＋a)＝0，得a＝2，b＝5，∴f(x)＝故f(－3)＝2×(－3)＋5＝－1，故选C.
5．函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)>0在(－1,3)上的解集为(　　)
A．(1,3)　　　　　　　　
B．(－1,1)
C．(－1,0)∪(1,3)
D．(－1,0)∪(0,1)
解析：选C　作出函数f(x)的图象如图所示．
当x∈(－1,0)时，由xf(x)>0得x∈(－1,0)；
当x∈(0,1)时，由xf(x)>0得x∈ ；
当x∈(1,3)时，由xf(x)>0得x∈(1,3)．
故x∈(－1,0)∪(1,3)．
6.如图，直线l和圆C，当l从l0开始在平面上绕点O按逆时针方向匀速转动(转动角度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，这个函数的大致图象是(　　)
解析：选C　随着时间的增长，直线被圆截得的弦长先慢慢增加到直径，再慢慢减小，所以圆内阴影部分的面积增加速度先越来越快，然后越来越慢，反映在图象上面，则先由平缓变陡，再由陡变平缓，结合图象知，选C.
7．(2017·洛阳统考)若函数y＝f(2x＋1)是偶函数，则函数y＝f(2x)的图象的对称轴方程是(　　)
A．x＝－1　　　　　　　
B．x＝－
C．x＝
D．x＝1
解析：选C　∵f(2x＋1)是偶函数，其图象关于y轴，即关于x＝0对称，而f(2x＋1)＝f，∴f(2x)的图象可由f(2x＋1)的图象向右平移个单位得到，即f(2x)的图象的对称轴方程是x＝.
8．(2016·齐鲁名校模拟)已知函数f(x)＝4－x2，函数g(x)(x∈R且x≠0)是奇函数，当x>0时，g(x)＝log2x，则函数f(x)·g(x)的大致图象为(　　)
解析：选D　易证函数f(x)＝4－x2为偶函数，又g(x)是奇函数，所以函数f(x)·g(x)为奇函数，其图象关于原点对称，排除A、B.又当x>0时，g(x)＝log2x，当x>1时，g(x)>0，当0f(x)＝4－x2，当x>2时，f(x)<0，当00，所以排除C，故选D.
二、填空题
9．(2016·绵阳二诊)已知函数y＝f(x)及y＝g(x)的图象分别如图所示，方程f(g(x))＝0和g(f(x))＝0的实根个数分别为a和b，则a＋b＝____________.
解析：由图象知f(x)＝0有3个根，分别为0，±m(m>0)，其中1答案：10
10．若函数f(x)＝的图象关于点(1,1)对称，则实数a＝________.
解析：函数f(x)＝＝a＋(x≠1)，当a＝2时，f(x)＝2，函数f(x)的图象不关于点(1,1)对称，故a≠2，其图象的对称中心为(1，a)，即a＝1.
答案：1
11．若关于x的方程|x|＝a－x只有一个解，则实数a的取值范围是________．
解析：由题意a＝|x|＋x，
令y＝|x|＋x＝图象如图所示，故要使a＝|x|＋x只有一解，则a>0.
答案：(0，＋∞)
12．设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：作出函数f(x)与函数g(x)的图象，如图，要使f(x)≥g(x)恒成立，则－a≤1，∴a≥－1.
答案：[－1，＋∞)
三、解答题
13．当x∈(1,2)时，不等式(x－1)20，且a≠1)恒成立，求实数a的取值范围．
解：设f(x)＝(x－1)2，g(x)＝logax，
要使x∈(1,2)时，不等式(x－1)2当0当a>1时，如图所示，使x∈(1,2)时，
不等式(x－1)2即(2－1)2≤loga2，解得1综上可知，实数a的取值范围为(1,2]．
14．已知函数f(x)＝x|m－x|(x∈R)，且f(4)＝0.
(1)求实数m的值；
(2)作出函数f(x)的图象并判断其零点个数；
(3)根据图象指出f(x)的单调递减区间；
(4)根据图象写出不等式f(x)>0的解集．
解：(1)∵f(4)＝0，∴4|m－4|＝0，即m＝4.
(2)∵f(x)＝x|m－x|＝x|4－x|＝
∴函数f(x)的图象如图：
由图象知f(x)有两个零点．
(3)从图象上观察可知：f(x)的单调递减区间为[2,4]．
(4)从图象上观察可知：不等式f(x)>0的解集为{x|04}．高考达标检测（十九）
正、余弦定理的3个基础点——边角、形状和面积
一、选择题
1．(2017·兰州一模)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝2asin
B，则A＝(　　)
A．30°　　　　　　　　
　B．45°
C．60°
D．75°
解析：选A　因为在锐角△ABC中，b＝2asin
B，由正弦定理得，sin
B＝2sin
Asin
B，所以sin
A＝，又0°2．(2017·浙江金丽衢十二校联考)已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝＝，则该三角形的形状是(　　)
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等边三角形
D．钝角三角形
解析：选A　因为＝，由正弦定理得＝，所以sin
2A＝sin
2B.由＝，可知a≠b，所以A≠B.又A∈(0，π)，B∈(0，π)，所以2A＝180°－2B，即A＋B＝90°，所以C＝90°，于是△ABC是直角三角形．故选A.
3．(2017·太原模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b2＋c2－a2＝bc，且b＝a，则下列关系一定不成立的是(　　)
A．a＝c
B．b＝c
C．2a＝c
D．a2＋b2＝c2
解析：选B　由余弦定理，得cos
A＝＝＝，则A＝30°.又b＝a，由正弦定理得sin
B＝sin
A＝sin
30°＝，所以B＝60°或120°.当B＝60°时，△ABC为直角三角形，且2a＝c，可知C，D成立；当B＝120°时，C＝30°，所以A＝C，即a＝c，可知A成立，故选B.
4．(2016·唐山一模)在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝2BC＝2CD，则cos∠DAC＝(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选B　如图所示，设CD＝a，则易知AC＝a，AD＝a，在△ACD中，CD2＝AD2＋AC2－2AD×AC×cos∠DAC，∴a2＝(a)2＋(a)2－2×a×a×cos∠DAC，∴cos∠DAC＝.
5．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且2S＝(a＋b)2－c2，则tan
C等于(　　)
A.
B.
C．－
D．－
解析：选C　因为2S＝(a＋b)2－c2＝a2＋b2－c2＋2ab，则由面积公式与余弦定理，得absin
C＝2abcos
C＋2ab，即sin
C－2cos
C＝2，所以(sin
C－2cos
C)2＝4，即＝4，所以＝4，解得tan
C＝－或tan
C＝0(舍去)，故选C.
6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2＝a2＋bc，A＝，则角C＝(　　)
A.
B.
C.或
D.或
解析：选B　在△ABC中，由余弦定理得cos
A＝，即＝，所以b2＋c2－a2＝bc.又b2＝a2＋bc，所以c2＋bc＝bc，即c＝(－1)bC＝＝，解得C＝.故选B.
二、填空题
7．(2017·吉林三校联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若b2＋c2＝2a2，则cos
A的最小值为________．
解析：因为b2＋c2＝2a2，则由余弦定理可知a2＝2bccos
A，所以cos
A＝＝×≥×＝(当且仅当b＝c时等号成立)，即cos
A的最小值为.
答案：
8．在△ABC中，A＝，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积等于________．
解析：由正弦定理＝，得＝，解得sin
B＝1，B＝，所以△ABC为直角三角形，所以AB＝＝2，所以S△ABC＝AB·BC＝×2×2＝2.
答案：2
9．(2016·北京高考)在△ABC中，∠A＝，a＝c，则＝________.
解析：在△ABC中，∠A＝，
∴a2＝b2＋c2－2bccos，即a2＝b2＋c2＋bc.
∵a＝c，∴3c2＝b2＋c2＋bc，∴b2＋bc－2c2＝0，
∴(b＋2c)(b－c)＝0，∴b－c＝0，∴b＝c，∴＝1.
答案：1
三、解答题
10．(2016·天津高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知asin
2B＝bsin
A.
(1)求B；
(2)若cos
A＝，求sin
C的值．
解：(1)由asin
2B＝bsin
A及正弦定理得
2asin
Bcos
B＝bsin
A＝asin
B，
所以cos
B＝，所以B＝.
(2)由cos
A＝，可得sin
A＝，则
sin
C＝sin[π－(A＋B)]
＝sin(A＋B)
＝sin
＝sin
A＋cos
A
＝.
11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且csin
B＝bcos
C＝3.
(1)求b；
(2)若△ABC的面积为，求c.
解：(1)由正弦定理得sin
Csin
B＝sin
Bcos
C，
又sin
B≠0，所以sin
C＝cos
C，C＝45°.
因为bcos
C＝3，所以b＝3.
(2)因为△ABC的面积S＝acsin
B＝，csin
B＝3，
所以a＝7.又c2＝a2＋b2－2abcos
C＝25，所以c＝5.
12．(2017·武昌调研)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos2B＋cos
B＝1－cos
Acos
C.
(1)求证：a，b，c成等比数列；
(2)若b＝2，求△ABC的面积的最大值．
解：(1)证明：在△ABC中，cos
B＝－cos(A＋C)．
由已知，得(1－sin2B)－cos(A＋C)＝1－cos
Acos
C，
∴－sin2B－(cos
Acos
C－sin
Asin
C)＝－cos
Acos
C，
化简，得sin2B＝sin
Asin
C.
由正弦定理，得b2＝ac，∴a，b，c成等比数列．
(2)由(1)及题设条件，得ac＝4.
则cos
B＝＝≥＝，
当且仅当a＝c时，等号成立．
∵0B＝≤
＝.
∴S△ABC＝acsin
B≤×4×＝.
∴△ABC的面积的最大值为.高考达标检测（二十四）
等比数列的3考点——基本运算、判定和应用
一、选择题
1．(2017·山西四校联考)已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝(　　)
A．4×n　　　　　　　
　B．4×n－1
C．4×n
D．4×n－1
解析：选B　由题意得(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)，解得a＝5，故a1＝4，a2＝6，所以q＝，an＝4×n－1.
2．(2016·海口调研)设Sn为等比数列{an}的前n项和，a2－8a5＝0，则的值为(　　)
A.
B.
C．2
D．17
解析：选B　设{an}的公比为q，依题意得＝＝q3，因此q＝.注意到a5＋a6＋a7＋a8＝q4(a1＋a2＋a3＋a4)，即有S8－S4＝q4S4，因此S8＝(q4＋1)S4，＝q4＋1＝，选B.
3．(2017·重庆诊断)在各项均为正数的等比数列{an}中，a1＝3，a9＝a2a3a4，则公比q的值为(　　)
A.
B.
C．2
D．3
解析：选D　由a9＝a2a3a4得a1q8＝aq6，
所以q2＝a，因为等比数列{an}的各项都为正数，所以q＝a1＝3.
4．(2017·江西六校联考)在等比数列{an}中，a5a11＝3，a3＋a13＝4，则＝(　　)
A．3
B．－
C．3或
D．－3或－
解析：选C　由{an}是等比数列得，a5a11＝a3a13＝3，又a3＋a13＝4，解得或故q10＝3或，所以＝＝q10＝3或.
5．已知等比数列{an}的各项均为不等于1的正数，数列{bn}满足bn＝lg
an，b3＝18，b6＝12，则数列{bn}的前n项和的最大值为(　　)
A．126
B．130
C．132
D．134
解析：选C　设等比数列{an}的公比为q(q>0)，由题意可知，lg
a3＝b3，lg
a6＝b6.
又b3＝18，b6＝12，则a1q2＝1018，a1q5＝1012，∴q3＝10－6，即q＝10－2，∴a1＝1022.
又{an}为正项等比数列，
∴{bn}为等差数列，且公差d＝－2，b1＝22，
故bn＝22＋(n－1)×(－2)＝－2n＋24.
∴数列{bn}的前n项和Sn＝22n＋×(－2)＝－n2＋23n＝－2＋.又n∈N
，故n＝11或12时，(Sn)max＝132.
6．在数列{an}中，“an＝2an－1，n＝2,3,4，…”是“{an}是公比为2的等比数列”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B　当an＝0时，也有an＝2an－1，n＝2,3,4，…，但{an}不是等比数列，因此充分性不成立；当{an}是公比为2的等比数列时，有＝2，n＝2,3,4，…，即an＝2an－1，n＝2,3,4，…，所以必要性成立．故选B.
二、填空题
7．已知数列{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则a1a2a3＋a2a3a4＋…＋anan＋1an＋2＝________.
解析：设数列{an}的公比为q，则q3＝＝，解得q＝，a1＝＝4.
易知数列
{anan＋1an＋2}是首项为a1a2a3＝4×2×1＝8，公比为q3＝的等比数列，所以a1a2a3＋a2a3a4＋…＋anan＋1an＋2＝＝(1－2－3n)．
答案：(1－2－3n)
8．(2016·辽宁一模)在等比数列{an}中，若a7＋a8＋a9＋a10＝，a8a9＝－，则＋＋＋＝________.
解析：因为＋＝，＋＝，由等比数列的性质知a7a10＝a8a9，
所以＋＋＋＝＝÷＝－.
答案：－
9．(2017·邢台摸底)若正项数列{an}满足a2＝，a6＝，且＝(n≥2，n∈N
)，则log2a4＝________.
解析：由＝(n≥2，n∈N
)可得数列{an}是等比数列，所以a＝a2a6＝，又a4>0，则a4＝，故log2a4＝log2＝－3.
答案：－3
三、解答题
10．(2016·全国丙卷)已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.
(1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式；
(2)若S5＝，求λ.
解：(1)证明：由题意得a1＝S1＝1＋λa1，
故λ≠1，a1＝，故a1≠0.
由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1得an＋1＝λan＋1－λan，
即an＋1(λ－1)＝λan.
由a1≠0，λ≠0得an≠0，所以＝.
因此{an}是首项为，公比为的等比数列，
于是an＝n－1.
(2)由(1)得Sn＝1－n.
由S5＝得1－5＝，即5＝.
解得λ＝－1.
11．设Sn为数列{an}的前n项和，对任意的n∈N
，都有Sn＝m＋1－man(m为常数，且m>0)．
(1)求证：数列{an}是等比数列；
(2)设数列{an}的公比q＝f(m)，数列{bn}满足b1＝2a1，bn＝f(bn－1)(n≥2，n∈N
)，求数列{bn}的通项公式．
解：(1)证明：当n＝1时，a1＝S1＝m＋1－ma1，
解得a1＝1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝man－1－man，
即(1＋m)an＝man－1.
又m为常数，且m>0，∴＝(n≥2)．
∴数列{an}是首项为1，公比为的等比数列．
(2)由(1)得，q＝f(m)＝，b1＝2a1＝2.
∵bn＝f(bn－1)＝，
∴＝＋1(n≥2)，
即－＝1(n≥2)．
∴数列是首项为，
公差为1的等差数列．
∴＝＋(n－1)·1＝，
即bn＝(n∈N
)．
12．已知公比不为1的等比数列{an}的首项a1＝，前n项和为Sn，且a4＋S4，a5＋S5，a6＋S6成等差数列．
(1)求等比数列{an}的通项公式；
(2)对n∈N
，在an与an＋1之间插入3n个数，使这3n＋2个数成等差数列，记插入的这3n个数的和为bn，求数列{bn}的前n项和Tn.
解：(1)因为a4＋S4，a5＋S5，a6＋S6成等差数列，
所以a5＋S5－a4－S4＝a6＋S6－a5－S5，
即2a6－3a5＋a4＝0，
所以2q2－3q＋1＝0，
因为q≠1，所以q＝，
所以等比数列{an}的通项公式为an＝.
(2)由题意得bn＝·3n＝×n，
所以Tn＝×＝.高考达标检测（四十五）二项式定理命题3角度
——求系数、定特项、会赋值
一、选择题
1.3的展开式中的常数项为(　　)
A．12　　　　　　　　　　
B．－12
C．6
D．－6
解析：选A　由题意可得，二项展开式的通项为Tr＋1＝C·(x2)3－rr＝(－2)rCx6－3r，令6－3r＝0，得r＝2，
∴3的展开式中的常数项为T2＋1＝(－2)2C＝12，故选A.
2．(2017·商丘月考)在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是(　　)
A．74
B．121
C．－74
D．－121
解析：选D　展开式中含x3项的系数为C(－1)3＋C(－1)3＋C(－1)3＋C(－1)3＝
－121.
3．(2017·唐山一模)3展开式中的常数项为(　　)
A．－8
B．－12
C．－20
D．20
解析：选C　∵3＝6，∴Tr＋1＝Cx6－r·r＝C(－1)rx6－2r，
令6－2r＝0，得r＝3，∴常数项为C(－1)3＝－20.
4．(x＋2)2(1－x)5中x7的系数与常数项之差的绝对值为(　　)
A．5
B．3
C．2
D．0
解析：选A　常数项为C×22×C＝4，x7系数为C×C(－1)5＝－1，因此x7系数与常数项之差的绝对值为5.
5．若m的展开式中二项式系数之和为128，则展开式中的系数是(　　)
A．21
B．－21
C．7
D．－7
解析：选A　由题意可知2m＝128，∴m＝7，∴展开式的通项Tr＋1＝C(3x)7－r·r＝C37－r(－1)rx7－，令7－r＝－3，解得r＝6，
∴的系数为C37－6(－1)6＝21，故选A.
6．已知a＝2cosdx，则二项式5的展开式中x的系数为(　　)
A．10
B．－10
C．80
D．－80
解析：选D　a＝2cosdx＝2sin＝－2，展开式的通项为Tr＋1＝
C(－2)rx10－3r，令10－3r＝1，则r＝3，T4＝C(－2)3x＝－80x.
7．1－90C＋902C－903C＋…＋(－1)k90kC＋…＋9010C除以88的余数是(　　)
A．－1
B．1
C．－87
D．87
解析：选B　1－90C＋902C＋…＋(－1)k90kC＋…＋9010C＝(1－90)10＝8910＝(88＋1)10＝8810＋C889＋…＋C88＋1，∵前10项均能被88整除，∴余数是1.
8．设(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若a1＋a2＋…＋an＝63，则展开式中系数最大的项是(　　)
A．15x2
B．20x3
C．21x3
D．35x3
解析：选B　∵(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，
令x＝0，得a0＝1.
令x＝1，则(1＋1)n＝a0＋a1＋a2＋…＋an＝64，
∴n＝6，
又(1＋x)6的展开式二项式系数最大的项的系数最大，
∴(1＋x)6的展开式系数最大的项为T4＝Cx3＝20x3.
二、填空题
9．若a1(x－1)4＋a2(x－1)3＋a3(x－1)2＋a4(x－1)＋a5＝x4，则a2＋a3＋a4＝________.
解析：x4＝[(x－1)＋1]4＝C(x－1)4＋C(x－1)3＋C(x－1)2＋C(x－1)＋C，
对照a1(x－1)4＋a2(x－1)3＋a3(x－1)2＋a4(x－1)＋a5＝x4，
得a2＝C，a3＝C，a4＝C，
所以a2＋a3＋a4＝C＋C＋C＝14.
答案：14
10．若(x2＋ax＋1)6(a＞0)的展开式中x2的系数是66，则sin
xdx的值为________．
解析：由题意可得(x2＋ax＋1)6的展开式中x2的系数为C＋Ca2，故C＋Ca2＝66，∴a＝2或a＝－2(舍去)．故sin
xdx＝sin
xdx＝(－cos
x)
＝1－cos
2.
答案：1－cos
2
11．已知(1＋x＋x2)n的展开式中没有常数项，n∈N
，且2≤n≤7，则n＝________.
解析：由题意得n的展开式的通项Tr＋1＝Cxn－r·x－3r＝Cxn－4r中不含x0，x－1，
x－2，所以n－4r＝0，n－4r＝－1和n－4r＝－2在条件n∈N
，且2≤n≤7下均无解，
则n＝5.
答案：5
12．(2016·合肥质检)若n展开式的各项系数的绝对值之和为1
024，则展开式中x的一次项的系数为________．
解析：Tr＋1＝C()n－rr＝(－3)r·Cx，
因为展开式的各项系数绝对值之和为C＋|(－3)1C|＋(－3)2C＋|(－3)3C|＋…＋
|(－3)nC|＝1
024，
所以(1＋3)n＝1
024，解得n＝5，
令＝1，解得r＝1，
所以展开式中x的一次项的系数为(－3)1C＝－15.
答案：－15
三、解答题
13．已知二项式n的展开式中各项的系数和为256.
(1)求n；
(2)求展开式中的常数项．
解：(1)由题意得C＋C＋C＋…＋C＝256，
∴2n＝256，解得n＝8.
(2)该二项展开式中的第r＋1项为
Tr＋1＝C8－r·r＝C·x，
令＝0，得r＝2，
此时，常数项为T3＝C＝28.
14．已知在n的展开式中，第6项为常数项．
(1)求n；
(2)求含x2的项的系数；
(3)求展开式中所有的有理项．
解：(1)通项公式为
Tk＋1＝Cxkx－.
＝Ckx.
因为第6项为常数项，
所以k＝5时，＝0，即n＝10.
(2)令＝2，得k＝2，
故含x2的项的系数是C2＝.
(3)根据通项公式，由题意得
令＝r(r∈Z)，
则10－2k＝3r，k＝5－r，
∵k∈N，∴r应为偶数，
∴r可取2,0，－2，即k可取2,5,8，
∴第3项，第6项与第9项为有理项，
它们分别为C2x2，C5，C8x－2.高考达标检测（十七）三角函数的1个必考点
——函数y=Asin(ωx+φ)的图象和性质
一、选择题
1．(2016·长沙质检)将函数y＝cos
2x的图象先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得图象对应的函数解析式是(　　)
A．y＝－sin
2x
B．y＝－cos
2x
C．y＝2sin2x
D．y＝－2cos2x
解析：选C　y＝cos
2x
y＝cos
y＝
cos
＋1，即y＝cos(2x＋π)＋1＝1－cos
2x＝2sin2x.
2．(2016·四川高考)为了得到函数y＝sin的图象，只需把函数y＝sin
2x的图象上所有的点(　　)
A．向左平行移动个单位长度
B．向右平行移动个单位长度
C．向左平行移动个单位长度
D．向右平行移动个单位长度
解析：选D　∵y＝sin＝sin，
∴将函数y＝sin
2x的图象向右平行移动个单位长度，可得y＝sin的图象．
3.(2017·洛阳调研)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式是(　　)
A．f(x)＝sin　
　B．f(x)＝sin
C．f(x)＝sin
D．f(x)＝sin
解析：选D　由图象可知＝－＝，∴T＝π，∴ω＝＝2，故排除A、C，把x＝代入检验知，选项D符合题意．
4．(2017·河南六市联考)将奇函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象向左平移个单位得到的图象关于原点对称，则ω的值可以为(　　)
A．6
B．3
C．4
D．2
解析：选A　由函数为奇函数得φ＝kπ(k∈Z)，又－＜φ＜，∴φ＝0，y＝Asin
ωx.由函数图象向左平移个单位得到函数y＝Asin＝Asin，其图象关于原点对称，∴有ω＝kπ(k∈Z)，即ω＝6k(k∈Z)，故选A.
5．(2016·邢台模拟)先把函数f(x)＝sin的图象上各点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，再把新得到的图象向右平移个单位，得到y＝g(x)的图象．当x∈时，函数g(x)的值域为(　　)
A.
B.
C.
D．[－1,0)
解析：选A　依题意得g(x)＝sin＝sin，当x∈时，2x－∈，sin∈，此时g(x)的值域是，选A.
6.(2017·株洲模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)其中A>0，ω>0，－<φ<，其部分图象如图所示，将f(x)
的图象纵坐标不变，横坐标变成原来的2倍，再向右平移1个单位得到g(x)的图象，则函数g(x)的解析式为(　　)
A．g(x)＝sin
B．g(x)＝sin
C．g(x)＝sin
D．g(x)＝sin
解析：选B　由图象可得f(x)＝sin，横坐标变为原来的2倍得y＝sin，再向右平移1个单位，得g(x)＝sin＝sin.
二、填空题
7．已知函数f(x)＝3sin(ω＞0)和g(x)＝3cos(2x＋φ)的图象完全相同，若x∈，则f(x)的值域是________．
解析：f(x)＝3sin＝3cos＝3cos，易知ω＝2，则f(x)＝3sin，
∵x∈，∴－≤2x－≤，
∴－≤f(x)≤3.
答案：
8.已知函数f(x)＝Mcos(ωx＋φ)(M
＞0，ω＞0,0＜φ＜π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，AC＝BC＝，C＝90°，则f的值为________．
解析：依题意知，△ABC是直角边长为的等腰直角三角形，因此其边AB上的高是，函数f(x)的最小正周期是2，故M＝，＝2，ω＝π，f(x)＝cos(πx＋φ)．又函数f(x)是奇函数，于是有φ＝kπ＋，其中k∈Z.由0＜φ＜π，得φ＝，故f(x)＝－sin
πx，f＝－sin＝－.
答案：－
9.一观览车的主架示意图如图所示，其中O为轮轴的中心，距地面32
m(即OM的长)，巨轮的半径为30
m，AM＝BP＝2
m，巨轮逆时针旋转且每12分钟转动一圈．若点M为吊舱P的初始位置，经过t分钟，该吊舱P距离地面的高度为h(t)m，则h(t)＝______________.
解析：建立如图所示的直角坐标系，设点B的纵坐标为y＝Asin(ωx＋φ)＋k，由题意知A＝30，k＝32，φ＝－，又因为T＝12＝，所以ω＝，y＝30sin＋32，所以吊舱P距离地面的高度h(t)＝30sin＋30.
答案：30sin＋30
三、解答题
10．(2017·四川成都七中调研)已知函数f(x)＝sin
xcos
x－cos2x－.
(1)求f(x)在区间上的最大值和最小值及相应的自变量x的值；
(2)在直角坐标系中作出函数f(x)在区间[0，π]上的图象．
解：(1)f(x)＝sin
2x－cos
2x－1
＝sin－1，
当x∈时，2x－∈.
故当2x－＝，即x＝时，f(x)在区间上取得最大值0，
当2x－＝－，即x＝－时，f(x)在区间上取得最小值－－1.
(2)当x∈[0，π]时，2x－∈.
列表：
x
0
π
2x－
－
0
π
f(x)
－
－1
0
－1
－2
－
描点、连线，得所求图象如图所示：
11．(2016·苏州调研)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)其中A，ω，φ为常数，且A＞0，ω＞0，－＜φ＜的部分图象如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若f(α)＝，0＜α＜，求f的值．
解：(1)由题图可知，A＝2，T＝2π，故ω＝1，所以f(x)＝2sin(x＋φ)，又f＝2sin＝2，且－＜φ＜，故φ＝－.
于是f(x)＝2sin.
(2)由f(α)＝，得sin＝.
因为0＜α＜，
所以cos＝，
所以sin＝2sincos＝，
cos＝cos2－sin2＝，
所以f＝2sin
＝2sin
＝2sincos＋2cossin
＝2××＋2××＝.
12．(2017·山东师大附中模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示．
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)说明函数y＝f(x)的图象可由函数y＝sin
2x－cos
2x的图象经过怎样的平移变换得到；
(3)若方程f(x)＝m在上有两个不相等的实数根，求m的取值范围．
解：(1)由题图可知，A＝2，T＝4＝π，
∴＝π，ω＝2，∴f(x)＝2sin(2x＋φ)，∵f＝0，
∴sin＝0，∴φ＋＝kπ，k∈Z.
∵|φ|＜，
∴φ＝，∴f(x)＝2sin.
(2)y＝sin
2x－cos
2x
＝2sin
＝2sin，
故将函数y＝sin
2x－cos
2x的图象向左平移个单位就得到函数y＝f(x)的图象．
(3)当－≤x≤0时，－≤2x＋≤，故－2≤f(x)≤，若方程f(x)＝m在上有两个不相等的实数根，则曲线y＝f(x)与直线y＝m在上有2个交点，结合图形，易知－2＜m≤－.
故m的取值范围为(－2，－]．高考达标检测（三十六）直线、圆的位置关系命题3角度
——判位置、求切线、解弦长
一、选择题
1．(2016·山东高考)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是(　　)
A．内切　　　　　　　　
B．相交
C．外切
D．相离
解析：选B　由题知圆M：x2＋(y－a)2＝a2(a＞0)，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离d＝，所以2＝2，解得a＝2.圆M，圆N的圆心距|MN|＝，两圆半径之差为1，故两圆相交．
2．在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线x－y－4＝0相切，则圆O的方程为(　　)
A．x2＋y2＝4
B．x2＋y2＝3
C．x2＋y2＝2
D．x2＋y2＝1
解析：选A　依题意，圆O的半径r等于原点O到直线x－y－4＝0的距离，即r＝＝2，得圆O的方程为x2＋y2＝4.
3．(2017·辽宁葫芦岛模拟)过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为(　　)
A.
B．2
C.
D．2
解析：选D　过原点且倾斜角为60°的直线方程为x－y＝0，圆x2＋(y－2)2＝4的圆心(0,2)到直线x－y＝0的距离为d＝＝1，因此弦长为2＝2＝2.
4．(2017·山东青岛一模)已知点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k＞0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B为切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为(　　)
A．4
B．3
C．2
D.
解析：选C　圆C的方程可化为x2＋(y－1)2＝1，因为四边形PACB的最小面积是2，则此时切线长为2，故圆心(0,1)到直线kx＋y＋4＝0的距离为，即＝，解得k＝±2，又k＞0，所以k＝2.
5．(2016·大连双基测试)已知直线y＝x＋m和圆x2＋y2＝1交于A，B两点，O为坐标原点，若·＝，则实数m＝(　　)
A．±1
B．±
C．±
D．±
解析：选C　由得2x2＋2mx＋m2－1＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－m，x1x2＝，所以y1y2＝，因为＝(－x1，－y1)，＝(x2－x1，y2－y1)，所以·(x2－x1，y2－y1)＝－x1(x2－x1)＋(－y1)(y2－y1)＝－x1x2－y1y2＋x＋y＝－2·＋1＝，解得m＝±，故选C.
6．(2017·河北邯郸模拟)由直线y＝x＋1上的一点向圆x2－6x＋y2＋8＝0引切线，则切线长的最小值为(　　)
A．1
B．2
C.
D．3
解析：选C　切线长的最小值在直线y＝x＋1上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3,0)到直线的距离为d＝＝2，圆的半径为1，故切线长的最小值为＝＝.
7．(2016·河南鹤壁一模)垂直于直线y＝x＋1且与圆x2＋y2＝1相切于第一象限的直线方程是(　　)
A．x＋y－＝0
B．x＋y＋1＝0
C．x＋y－1＝0
D．x＋y＋＝0
解析：选A　与直线y＝x＋1垂直的直线方程可设为x＋y＋b＝0，由x＋y＋b＝0与圆x2＋y2＝1相切，所以＝1，故b＝±.因为直线与圆相切于第一象限，故结合图形知b＝－，所以所求直线方程为x＋y－＝0.
8．(2016·揭阳一模)已知直线x＋y－k＝0(k＞0)与x2＋y2＝4交于不同的两点A，B，O为坐标原点，且|＋|≥||，则k的取值范围是(　　)
A．(，＋∞)
B．[，2)
C．[，＋∞)
D．[，2)
解析：选B　由已知得圆心到直线的距离小于半径，即＜2，又k＞0，故0＜k＜2.①
如图，作平行四边形OACB，连接OC交AB于M，
由|＋|≥||得||≥||，
即∠MBO≥，因为|OB|＝2，
所以|OM|≥1，故≥1，k≥
.②
综合①②得，≤k＜2.选B.
二、填空题
9．(2017·邯郸质检)已知圆C：x2＋y2＝4，过点A(2,3)作圆C的切线，切点分别为P，Q，则直线PQ的方程为______________．
解析：由题意知，圆C的圆心为C(0,0)，以CA为直径的圆的方程为x(x－2)＋y(y－3)＝0，即x2＋y2－2x－3y＝0，与圆C：x2＋y2＝4相减得2x＋3y－4＝0，所以直线PQ的方程为2x＋3y－4＝0.
答案：2x＋3y－4＝0
10．(2017·大连双基测试)圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点的充要条件是________．
解析：圆心(0,0)到直线y＝kx＋2的距离d＝，直线与圆没有公共点的充要条件是d＞1，即
>1，解得k∈(－，)．
答案：k∈(－，)
11．(2016·唐山统考)已知过点A(3,1)的直线l与圆C：x2＋y2－4y－1＝0相切于点B，则·＝________.
解析：由x2＋y2－4y－1＝0可知圆C的圆心C(0,2)，半径r＝，∴|AC|＝＝，∴|AB|＝＝，∴∠ACB＝45°，故·＝××cos
45°＝5.
答案：5
12．(2017·宁夏银川一中检测)过点M(1,2)的直线l与圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝25交于A，B两点，当∠ACB最小时，直线l的方程是________．
解析：依题意得知，当∠ACB最小时，圆心C到直线l的距离达到最大，此时直线l与直线CM垂直，又直线CM的斜率为1，因此所求的直线l的方程是y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.
答案：x＋y－3＝0
三、解答题
13．如图，已知圆C与y轴相切于点T(0,2)，与x轴的正半轴交于两点M，N(点M在点N的左侧)，且|MN|＝3.
(1)求圆C的方程；
(2)过点M任作一直线与圆O：x2＋y2＝4相交于A，B两点，连接AN，BN，求证：kAN＋kBN为定值．
解：(1)因为圆C与y轴相切于点T(0,2)，
可设圆心的坐标为(m,2)(m＞0)，
则圆C的半径为m，
又|MN|＝3，
所以m2＝4＋2＝，
解得m＝，
所以圆C的方程为2＋2＝.
(2)证明：由(1)知M(1,0)，N(4,0)，
当直线AB的斜率为0时，
易知kAN＝kBN＝0，
即kAN＋kBN＝0.
当直线AB的斜率不为0时，
设直线AB：x＝1＋ty，将x＝1＋ty代入x2＋y2－4＝0，并整理得(t2＋1)y2＋2ty－3＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
所以
则kAN＋kBN＝＋
＝＋
＝
＝＝0.
综上可知，kAN＋kBN为定值．
14．(2016·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2,4)．
(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；
(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l的方程；
(3)设点T(t,0)满足：存在圆M上的两点P和Q，使得＋＝，求实数t的取值范围．
解：圆M的标准方程为(x－6)2＋(y－7)2＝25，
所以圆心M(6,7)，半径为5.
(1)由圆心N在直线x＝6上，可设N(6，y0)．
因为圆N与x轴相切，与圆M外切，
所以0＜y0＜7，圆N的半径为y0，
从而7－y0＝5＋y0，
解得y0＝1.
因此，圆N的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1.
(2)因为直线l∥OA，
所以直线l的斜率为＝2.
设直线l的方程为y＝2x＋m，
即2x－y＋m＝0，
则圆心M到直线l的距离
d＝＝.
因为BC＝OA＝＝2，
而MC2＝d2＋2，
所以25＝＋5，
解得m＝5或m＝－15.
故直线l的方程为2x－y＋5＝0或2x－y－15＝0.
(3)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)．
因为A(2,4)，T(t,0)，＋＝，
所以①
因为点Q在圆M上，
所以(x2－6)2＋(y2－7)2＝25.②
将①代入②，得(x1－t－4)2＋(y1－3)2＝25.
于是点P(x1，y1)既在圆M上，又在圆[x－(t＋4)]2＋(y－3)2＝25上，
从而圆(x－6)2＋(y－7)2＝25与圆[x－(t＋4)]2＋(y－3)2＝25有公共点，
所以5－5≤
≤5＋5，
解得2－2≤t≤2＋2.
因此，实数t的取值范围是[2－2，2＋2
]．高考达标检测（三十四）直线方程命题4角度
——求方程、判位置、定距离、用对称
一、选择题
1．(2017·深圳调研)在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0有可能是(　　)
解析：选B　当a＞0，b＞0时，－a＜0，－b＜0.选项B符合．
2．直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是(　　)
A.　　　　　　　　
B.
C.∪
D.∪
解析：选B　由直线方程可得该直线的斜率为－，
又－1≤－＜0，所以倾斜角的取值范围是.
3．已知点M是直线x＋y＝2上的一个动点，且点P(，－1)，则|PM|的最小值为(　　)
A.
B．1
C．2
D．3
解析：选B　|PM|的最小值即点P(，－1)到直线x＋y＝2的距离，
又＝1.故|PM|的最小值为1.选B.
4．在等腰三角形MON中，MO＝MN，点O(0,0)，M(－1,3)，点N在x轴的负半轴上，则直线MN的方程为(　　)
A．3x－y－6＝0
B．3x＋y＋6＝0
C．3x－y＋6＝0
D．3x＋y－6＝0
解析：选C　因为MO＝MN，所以直线MN的斜率与直线MO的斜率互为相反数，所以kMN＝－kMO＝3，所以直线MN的方程为y－3＝3(x＋1)，即3x－y＋6＝0，选C.
5．(2016·忻州检测)在平面直角坐标系中，点(0,2)与点(4,0)关于直线l对称，则直线l的方程为(　　)
A．x＋2y－4＝0
B．x－2y＝0
C．2x－y－3＝0
D．2x－y＋3＝0
解析：选C　因为点(0,2)与点(4,0)关于直线l对称，所以直线l的斜率为2，且直线l过点(2,1)，所以直线l的方程为2x－y－3＝0，故选C.
6．直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是(　　)
A.
B.∪(1，＋∞)
C.∪
D．(－∞，－1)∪
解析：选D　设直线方程为y－2＝k(x－1)，直线在x轴上的截距为1－，
令－3<1－<3，解不等式得k>或k<－1.
7．若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为(　　)
A.
B．－
C．－
D.
解析：选B　依题意，设点P(a,1)，Q(7，b)，则有
解得a＝－5，b＝－3，从而可知直线l的斜率为＝－.
8．(2017·厦门模拟)“c＝5”是“点(2,1)到直线3x＋4y＋c＝0的距离为3”的(　　)
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B　由点(2,1)到直线3x＋4y＋c＝0的距离d＝＝3，解得c＝5或c＝－25，故“c＝5”是“点(2,1)到直线3x＋4y＋c＝0的距离为3”的充分不必要条件，选B.
二、填空题
9．已知点A(－3，－4)，B(6,3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值为________．
解析：由题意及点到直线的距离公式得＝，解得a＝－或－.
答案：－或－
10．(2017·烟台模拟)直线3x－4y＋k＝0在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k＝________.
解析：令x＝0，得y＝；令y＝0，得x＝－，则有－＝2，所以k＝－24.
答案：－24
11．已知直线l1的方程为3x＋4y－7＝0，直线l2的方程为6x＋8y＋1＝0，则直线l1与l2的距离为________．
解析：直线l1的方程为3x＋4y－7＝0，直线l2的方程为6x＋8y＋1＝0，
即3x＋4y＋＝0，∴直线l1与l2的距离为＝.
答案：
12．设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________．
解析：易求定点A(0,0)，B(1,3)．当P与A和B均不重合时，因为P为直线x＋my＝0与mx－y－m＋3＝0的交点，且易知两直线垂直，则PA⊥PB，所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10，所以|PA|·|PB|≤＝5(当且仅当|PA|＝|PB|＝时，等号成立)，当P与A或B重合时，|PA|·|PB|＝0，故|PA|·|PB|的最大值是5.
答案：5
三、解答题
13．(2017·山东临沂检测)已知直线l：(2＋m)x＋(1－2m)y＋4－3m＝0.
(1)求证：不论m为何实数，直线l过一定点M；
(2)过定点M作一条直线l1，使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分，求直线l1的方程．
解：(1)证明：直线l的方程整理得(2x＋y＋4)＋m(x－2y－3)＝0，
由解得
所以无论m为何实数，直线l过定点M(－1，－2)．
(2)过定点M(－1，－2)作一条直线l1，使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分，
则直线l1过点(－2,0)，(0，－4)，
设直线l1的方程为y＝kx＋b，
把两点坐标代入得解得
则直线l1的方程为y＝－2x－4，即2x＋y＋4＝0.
14．(1)求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l的方程．
(2)设直线l的方程为(a＋1)x＋y－2－a＝0(a∈R)，若a＞－1，直线l与x，y轴分别交于M，N两点，O为坐标原点，求△OMN面积取最小值时，直线l的方程．
解：(1)设直线在x轴、y轴上的截距分别为a，b.
①当a≠0，b≠0时，设l的方程为＋＝1.
∵点(4，－3)在直线上，∴＋＝1，
若a＝b，则a＝b＝1，直线方程为x＋y－1＝0.
若a＝－b，则a＝7，b＝－7，此时直线的方程为x－y－7＝0.
②当a＝b＝0时，直线过原点，且过点(4，－3)，
∴直线的方程为3x＋4y＝0.
综上知，所求直线方程为x＋y－1＝0或x－y－7＝0或3x＋4y＝0.
(2)易求M，N(0,2＋a)，∵a＞－1，
∴S△OMN＝··(2＋a)＝·＝≥2，
当且仅当a＋1＝，即a＝0时，等号成立．
故所求直线l的方程为x＋y－2＝0.高考达标检测（七）
指数函数的2类考查点——图象、性质
一、选择题
1．在同一直角坐标系中，函数f(x)＝2x＋1与g(x)＝x－1的图象关于(　　)
A．y轴对称　　　　　　
　B．x轴对称
C．原点对称
D．直线y＝x对称
解析：选A　∵g(x)＝21－x＝f(－x)，∴f(x)与g(x)的图象关于y轴对称．
2．(2017·邯郸质检)已知函数y＝kx＋a的图象如图所示，则函数y＝ax＋k的图象可能是(　　)
解析：选B　由函数y＝kx＋a的图象可得k<0,0－1，所以－13．(2017·山西四校联考)设a＝40.8，b＝80.46，c＝－1.2，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a>b>c
B．b>a>c
C．c>a>b
D．c>b>a
解析：选A　∵a＝21.6，b＝21.38，c＝21.2，函数y＝2x在R上单调递增，且1.2<1.38<1.6，∴21.2<21.38<21.6，即c4．(2017·东北三校联考)函数f(x)＝ax－1(a>0，且a≠1)的图象恒过点A，下列函数中图象不经过点A的是(　　)
A．y＝
B．y＝|x－2|
C．y＝2x－1
D．y＝log2(2x)
解析：选A　由题知A(1,1)．把点A(1,1)代入四个选项，选项A，y＝的图象不经过点A.
5．(2017·广西质量检测)若xlog52≥－1，则函数f(x)＝4x－2x＋1－3的最小值为(　　)
A．－4
B．－3
C．－1
D．0
解析：选A　∵xlog52≥－1，∴2x≥，则f(x)＝4x－2x＋1－3＝(2x)2－2×2x－3＝(2x－1)2－4.当2x＝1时，f(x)取得最小值－4.
6．已知函数f(x)＝|2x－1|，af(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是(　　)
A．a<0，b<0，c<0
B．a<0，b≥0，c>0
C．2－a<2c
D．2a＋2c<2
解析：选D　作出函数f(x)＝|2x－1|的图象(如图中实线所示)，又af(c)>f(b)，结合图象知f(a)<1，a<0，c>0，∴0<2a<1,2c>1，
∴f(a)＝|2a－1|＝1－2a，
f(c)＝|2c－1|＝2c－1.
又f(a)>f(c)，即1－2a>2c－1，
∴2a＋2c<2.
7．(2017·东北三校联考)若关于x的方程|ax－1|＝2a(a>0，且a≠1)有两个不等实根，则a的取值范围是(　　)
A．(0,1)∪(1，＋∞)
B．(0,1)
C．(1，＋∞)
D.
解析：选D　方程|ax－1|＝2a(a>0，且a≠1)有两个实数根转化为函数y＝|ax－1|与y＝2a有两个交点．
①当0②当a>1时，如图②，而y＝2a>1不符合要求．
∴08．(2017·河南十校联考)设y＝f(x)在(－∞，1]上有定义，对于给定的实数K，定义fK(x)＝给出函数f(x)＝2x＋1－4x，若对于任意x∈(－∞，1]，恒有fK(x)＝f(x)，则(　　)
A．K的最大值为0
B．K的最小值为0
C．K的最大值为1
D．K的最小值为1
解析：选D　根据题意可知，对于任意x∈(－∞，1]，恒有fK(x)＝f(x)，则f(x)≤K在x≤1上恒成立，即f(x)的最大值小于或等于K即可．
令2x＝t，则t∈(0,2]，f(t)＝－t2＋2t＝－(t－1)2＋1，可得f(t)的最大值为1，∴K≥1，故选D.
二、填空题
9．(2017·济宁模拟)若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)在[0，＋∞)上是增函数，则a＝________.
解析：若a>1，有a2＝4，a－1＝m，此时a＝2，m＝，此时g(x)＝－为减函数，不合题意．若0答案：
10．已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是________．
解析：令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间上单调递增，在区间上单调递减，而y＝2t为R上的增函数，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]．
答案：(－∞，4]
11．(2016·江苏徐州二模)已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常数，且a>0，a≠1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)．若不等式x＋x－m≥0在x∈(－∞，1]上恒成立，则实数m的最大值为________．
解析：把A(1,6)，B(3,24)代入f(x)＝b·ax，得
结合a>0，且a≠1，解得
要使x＋x≥m在x∈(－∞，1]上恒成立，
只需保证函数y＝x＋x在(－∞，1]上的最小值不小于m即可．
因为函数y＝x＋x在(－∞，1]上为减函数，
所以当x＝1时，
y＝x＋x有最小值.
所以只需m≤即可．
所以m的最大值为.
答案：
12．(2017·湖南八校第三次联考)对于给定的函数f(x)＝ax－a－x(x∈R，a>0，a≠1)，下面给出五个命题，其中真命题是________．(填序号)
①函数f(x)的图象关于原点对称；
②函数f(x)在R上不具有单调性；
③函数f(|x|)的图象关于y轴对称；
④当0⑤当a>1时，函数f(|x|)的最大值是0.
解析：∵f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，f(x)的图象关于原点对称，①是真命题；当a>1时，f(x)在R上为增函数，当01时，f(|x|)在(－∞，0)上为减函数，在[0，＋∞)上为增函数，∴当x＝0时，y＝f(|x|)的最小值为0，⑤是假命题．综上，真命题是①③④.
答案：①③④
三、解答题
13．已知函数满足
f
＝.
(1)求常数c的值；
(2)解关于x的不等式f(x)>
＋1.
解：(1)由f＝，得c·＋1＝，解得c＝.
(2)由(1)得f(x)＝
由f(x)>＋1，
得当0＋1，
解得当≤x<1时，2－4x＋1>＋1，
解得≤x<.
综上，不等式f(x)>＋1的解集为.
14．已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．
(1)求a，b的值；
(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．
解：(1)因为f(x)是R上的奇函数，
所以f(0)＝0，即＝0，解得b＝1.
从而有f(x)＝.
又由f(1)＝－f(－1)，知＝－，解得a＝2.
(2)由(1)知f(x)＝＝－＋，
由上式易知f(x)在R上为减函数，又因为f(x)是奇函数，从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0等价于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k)．
因为f(x)是R上的减函数，
则t2－2t>－2t2＋k，
即对一切t∈R有3t2－2t－k>0，
从而Δ＝4＋12k<0，
解得k<－.
故k的取值范围为.高考达标检测（四十二）圆锥曲线的综合问题——最值、范围、证明
1．设F是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点，直线l为其左准线，直线l与x轴交于点P，线段MN为椭圆的长轴，已知|MN|＝8，且|PM|＝2|MF|.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若过点P的直线与椭圆相交于不同两点A，B，求证：∠AFM＝∠BFN.
解：(1)∵|MN|＝8，
∴a＝4，
又∵|PM|＝2|MF|，得－a＝2(a－c)，
整理得2e2－3e＋1＝0 e＝或e＝1(舍去)．
∴c＝2，b2＝a2－c2＝12，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)证明：当AB的斜率为0时，
显然∠AFM＝∠BFN＝0.满足题意．
当AB的斜率不为0时，点P(－8,0)，F(－2,0)，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为x＝my－8，
代入椭圆方程整理得：
(3m2＋4)y2－48my＋144＝0，
则Δ＝(48m)2－4×144(3m2＋4)，
y1＋y2＝，y1·y2＝.
∴kAF＋kBF＝＋
＝＋
＝
＝＝0，
∴kAF＋kBF＝0，从而∠AFM＝∠BFN.
综上可知：恒有∠AFM＝∠BFN.
2．(2017·大庆模拟)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．
(1)若＝2，求直线AB的斜率；
(2)设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．
解：(1)依题意知F(1,0)，设直线AB的方程为x＝my＋1.
将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得y2－4my－4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.①
因为＝2，
所以y1＝－2y2.
②
联立①和②，消去y1，y2，得m＝±
.
所以直线AB的斜率是±
2.
(2)由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2S△AOB.
因为2S△AOB＝2··|OF|·|y1－y2|
＝＝4，
所以当m＝0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4.
3．(2017·贵阳适应性考试)已知椭圆C1：＋y2＝1(a＞1)的长轴长、短轴长、焦距分别为|A1A2|，|B1B2|，|F1F2|，且|F1F2|2是|A1A2|2与|B1B2|2的等差中项．
(1)求椭圆C1的方程；
(2)若曲线C2的方程为(x－t)2＋y2＝(t2＋t)2，过椭圆C1左顶点的直线l与曲线C2相切，求直线l被椭圆C1截得的线段长的最小值．
解：(1)由题意得|B1B2|＝2b＝2，|A1A2|＝2a，
|F1F2|＝2c，a2－b2＝c2，
又2×(2c)2＝(2a)2＋22，解得a2＝3，c2＝2，
故椭圆C1的方程为＋y2＝1.
(2)由(1)知，可取椭圆C1的左顶点为A1(－，0)，
设直线l的方程为y＝k(x＋)．
由直线l与曲线C2相切得＝(t＋)t，
整理得＝t.
又0＜t≤，所以0＜≤，解得0＜k2≤1.
由
消去y，整理得(3k2＋1)x2＋6k2x＋9k2－3＝0.
直线l被椭圆C1截得的线段一端点为A1(－，0)，
设另一端点为B，解方程可得点B的坐标为
，
所以|A1B|＝
＝.
令m＝(1＜m≤)，
则|A1B|＝＝.
由函数y＝3m－的性质知y＝3m－在区间(1，]上是增函数，
所以当m＝时，y＝3m－取得最大值2，从而|A1B|min＝.
4．(2017·沈阳质量监测)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝6，直线y＝kx与椭圆交于A，B两点．
(1)若△AF1F2的周长为16，求椭圆的标准方程；
(2)若k＝，且A，B，F1，F2四点共圆，求椭圆离心率e的值；
(3)在(2)的条件下，设P(x0，y0)为椭圆上一点，且直线PA的斜率k1∈(－2，－1)，试求直线PB的斜率k2的取值范围．
解：(1)由题意得c＝3，
根据2a＋2c＝16，得a＝5.
结合a2＝b2＋c2，解得a2＝25，b2＝16.
所以椭圆的方程为＋＝1.
(2)法一：由得x2－a2b2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
所以x1＋x2＝0，x1x2＝，
由AB，F1F2互相平分且共圆，
易知，AF2⊥BF2，
因为＝(x1－3，y1)，
＝(x2－3，y2)，
所以·＝(x1－3)(x2－3)＋y1y2
＝x1x2＋9＝0.
即x1x2＝－8，
所以有＝－8，
结合b2＋9＝a2，
解得a2＝12(a2＝6舍去)，
所以离心率e＝.
(若设A(x1，y1)，B(－x1，－y1)相应给分)
法二：设A(x1，y1)，又AB，F1F2互相平分且共圆，
所以AB，F1F2是圆的直径，
所以x＋y＝9，
又由椭圆及直线方程综合可得：
由前两个方程解得x＝8，y＝1，
将其代入第三个方程并结合b2＝a2－c2＝a2－9，
解得a2＝12，故e＝.
(3)由(2)的结论知，椭圆方程为＋＝1，
由题可设A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，
k1＝，k2＝，
所以k1k2＝，
又＝＝－，
即k2＝－，
由－2＜k1＜－1可知，＜k2＜.
即直线PB的斜率k2的取值范围是.高考达标检测（八）
对数函数的2类考查点——图象、性质
一、选择题
1．已知lg
a＋lg
b＝0(a＞0且a≠1，b＞0且b≠1)，则函数f(x)＝ax与g(x)＝－logbx的图象可能是(　　)
解析：选B　因为lg
a＋lg
b＝0，
所以lg
ab＝0，所以ab＝1，
即b＝，故g(x)＝－logbx＝－logx＝logax，
则f(x)与g(x)互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，结合图象知B正确．故选B.
2．(2017·西安二模)若函数y＝log2(mx2－2mx＋3)的定义域为R，则实数m的取值范围是(　　)
A．(0,3)　　　　　　　　
　B．[0,3)
C．(0,3]
D．[0,3]
解析：选B　由题意知mx2－2mx＋3>0恒成立．当m＝0时符合题意；当m≠0时只需解得03．(2017·洛阳二模)设a＝log3π，b＝log2，c＝log3，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a>b>c
B．a>c>b
C．b>a>c
D．b>c>a
解析：选A　因为a＝log3π>log33＝1，b＝log2b，又＝＝(log23)2>1，b>0，所以b>c，故a>b>c.
4.(2017·张家界模拟)已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是(　　)
A．0　B．0C．0D．0解析：选A　令g(x)＝2x＋b－1，这是一个增函数，而由图象可知函数f(x)＝loga(g(x))是单调递增的，所以必有a>1.又由图象知函数图象与y轴交点的纵坐标介于－1和0之间，即－15．(2017·济宁质检)设函数f(x)＝loga|x|在(－∞，0)上单调递增，则f(a＋1)与f(2)的大小关系是(　　)
A．f(a＋1)>f(2)　　　　
　B．f(a＋1)C．f(a＋1)＝f(2)
D．不能确定
解析：选A　因为f(x)＝loga|x|在(－∞，0)上单调递增，所以0f(2)．
6．(2016·浙江高考)已知a，b＞0且a≠1，b≠1，若logab＞1，则(　　)
A．(a－1)(b－1)＜0
B．(a－1)(a－b)＞0
C．(b－1)(b－a)＜0
D．(b－1)(b－a)＞0
解析：选D　∵a，b＞0且a≠1，b≠1，∴当a＞1，即a－1＞0时，不等式logab＞1可化为alogab＞a1，即b＞a＞1，
∴(a－1)(a－b)＜0，(b－1)(a－1)＞0，(b－1)(b－a)＞0.当0＜a＜1，即a－1＜0时，不等式logab＞1可化为alogab＜a1，即0＜b＜a＜1，∴(a－1)(a－b)＜0，(b－1)(a－1)＞0，(b－1)(b－a)＞0.
综上可知，选D.
7．(2017·湖南六校联考)已知f(x)是偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，若f(lg
x)>f(2)，则x的取值范围是(　　)
A.
B.∪(1，＋∞)
C.
D．(0,1)∪(100，＋∞)
解析：选C　由偶函数的定义可知，f(x)＝f(－x)＝f(|x|)，且已知f(x)在[0，＋∞)上是减函数．故不等式f(lg
x)>f(2)可化为|lg
x|<2，即－2x<2，解得8．(2016·深圳二模)已知函数f(x)＝|lg
x|.若0A．(2，＋∞)
B．[2，＋∞)
C．(3，＋∞)
D．[3，＋∞)
解析：选C　f(x)＝|lg
x|的图象如图所示，由题知f(a)＝f(b)，则有0a|＝－lg
a，f(b)＝|lg
b|＝lg
b，即－lg
a＝lg
b，则a＝，∴a＋2b＝2b＋.令g(b)＝2b＋，g′(b)＝2－，显然当b∈(1，＋∞)时，g′(b)>0，∴g(b)在(1，＋∞)上为增函数，
∴g(b)＝2b＋>3，故选C.
二、填空题
9．(2017·东北三校联考)已知函数f(x)＝ln，若f(a)＋f(b)＝0，且0解析：由题意可知ln＋ln
＝0，
即ln＝0，
从而·＝1，化简得a＋b＝1，
故ab＝a(1－a)＝－a2＋a＝－2＋.
又0∴0即ab∈.
答案：
10．(2017·湛江一模)已知函数f(x)＝loga(a>0，且a≠1)是奇函数，则函数f(x)的定义域为________．
解析：因为f(x)为奇函数，所以f(x)＋f(－x)＝0，即loga
＋loga
＝0，化简得(m2－1)x2＝4m(m－1)对定义域上的每一个x都成立，所以m＝1，此时f(x)＝loga
.由>0，解得－1答案：(－1,1)
11．(2017·武汉外国语学校模拟)若函数f(x)＝loga(x2－ax＋5)(a>0且a≠1)满足对任意的x1，x2，当x1解析：当x1答案：(1,2)
12．(2017·吉林长春三模)已知函数f(x)＝ln(x＋)，g(x)＝f(x)＋2
017，下列命题：
①f(x)的定义域为(－∞，＋∞)；
②f(x)是奇函数；
③f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；
④若实数a，b满足f(a)＋f(b－1)＝0，则a＋b＝1；
⑤设函数g(x)在[－2
017,2
017]上的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝2
017.
其中真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号)
解析：对于①，∵>＝|x|≥－x，
∴＋x>0,
∴f(x)的定义域为R，∴①正确．
对于②，f(x)＋f(－x)＝ln(x＋)＋ln(－x＋)＝ln[(x2＋1)－x2]＝ln
1＝0.
∴f(x)是奇函数，∴②正确．
对于③，令u(x)＝x＋，则u(x)在[0，＋∞)上单调递增．当x∈(－∞，0]时，u(x)＝x＋＝，而y＝－x在(－∞，0]上单调递减，且－x>0.
∴u(x)＝在(－∞，0]上单调递增，
又u(0)＝1，
∴u(x)在R上单调递增，
∴f(x)＝ln
(x＋)在R上单调递增，∴③正确．
对于④，∵f(x)是奇函数，
而f(a)＋f(b－1)＝0，
∴a＋(b－1)＝0，
∴a＋b＝1，∴④正确．
对于⑤，f(x)＝g(x)－2
017是奇函数，
当x∈[－2
017,2
017]时，f(x)max＝M－2
017，f(x)min＝m－2
017，
∴(M－2
017)＋(m－2
017)＝0，
∴M＋m＝4
034，∴⑤不正确．
答案：①②③④
三、解答题
13．(2017·枣庄模拟)设x∈[2,8]时，函数f(x)＝loga(ax)·loga(a2x)(a>0，且a≠1)的最大值是1，最小值是－，求实数a的值．
解：f(x)＝(logax＋1)(logax＋2)
＝[(logax)2＋3logax＋2]
＝2－.
当f(x)取最小值－时，logax＝－.
∵x∈[2,8]，∴a∈(0,1)．
∵f(x)是关于logax的二次函数，
∴f(x)的最大值必在x＝2或x＝8处取得．
若2－＝1，则a＝2－，
此时f(x)取得最小值时，x＝－＝ [2,8]，舍去；
若2－＝1，则a＝，
此时f(x)取得最小值时，x＝－＝2∈[2,8]，符合题意．∴a＝.
14．(2017·江西师大附中诊断)已知函数f(x)＝logax＋m(a>0且a≠1)的图象过点(8,2)，点P(3，－1)关于直线x＝2的对称点Q在f(x)的图象上．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)令g(x)＝2f(x)－f(x－1)，求g(x)的最小值及取得最小值时x的值．
解：(1)点P(3，－1)关于直线x＝2的对称点Q的坐标为(1，－1)．由得
解得m＝－1，a＝2，
故函数f(x)的解析式为f(x)＝－1＋log2x.
(2)g(x)＝2f(x)－f(x－1)＝2(－1＋log2x)－[－1＋log2(x－1)]＝log2－1(x>1)，
∵＝＝(x－1)＋＋2≥2
＋2＝4，
当且仅当x－1＝，即x＝2时，“＝”成立，
而函数y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，
则log2－1≥log24－1＝1，
故当x＝2时，函数g(x)取得最小值1.高考达标检测（十四）
综合问题是难点，3大题型全冲关
1．(2014·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝aln
x＋x2－bx(a≠1)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为0.
(1)求b；
(2)若存在x0≥1，使得f(x0)<，求a的取值范围．
解：(1)f′(x)＝＋(1－a)x－b.
由题设知f′(1)＝0，解得b＝1.
(2)f(x)的定义域为(0，＋∞)，
由(1)知，f(x)＝aln
x＋x2－x，
f′(x)＝＋(1－a)x－1＝(x－1)．
①若a≤，则≤1，故当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(1，＋∞)上单调递增．
所以，存在x0≥1，使得f(x0)<的充要条件为f(1)<，即－1<，解得－－1②若1，故当x∈时，f′(x)<0；当x∈时，f′(x)>0.f(x)在上单调递减，在上单调递增．
所以，存在x0≥1，使得f(x0)<的充要条件为f<.
而f＝aln＋＋>，所以不合题意．
③若a>1，则f(1)＝－1＝<.
综上，a的取值范围是(－－1，－1)∪(1，＋∞)．
2．(2017·郑州质检)已知函数f(x)＝xln
x，g(x)＝x2－x.
(1)求f(x)的单调区间和极值点；
(2)是否存在实数m，使得函数h(x)＝＋m＋g(x)有三个不同的零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
解：(1)由题意f′(x)＝ln
x＋1(x>0)，
由f′(x)>0，得x>；由f′(x)<0，得0所以f(x)在上单调递减，在上单调递增．
故f(x)的极小值点为x＝，无极大值点．
(2)假设存在实数m，使得函数h(x)＝＋m＋g(x)有三个不同的零点，
即方程6ln
x＋8m＋x2－8x＝0有三个不等实根．
令φ(x)＝6ln
x＋8m＋x2－8x，
φ′(x)＝＋2x－8＝＝，
由φ′(x)>0，得03；由φ′(x)<0，得1所以φ(x)在(0,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，所以φ(x)的极大值为φ(1)＝－7＋8m，
φ(x)的极小值为φ(3)＝－15＋6ln
3＋8m.
要使方程6ln
x＋8m＋x2－8x＝0有三个不等实根，则函数φ(x)的图象与x轴要有三个交点，
根据φ(x)的图象可知必须满足解得3.
所以存在实数m，使得方程＋m＋g(x)＝0有三个不等实根，实数m的取值范围是.
3．(2017·武汉调研)已知函数f(x)＝＋e－x－1.
(1)证明：当λ＝0时，f(x)≥0；
(2)若当x≥0时，f(x)≥0，求实数λ的取值范围．
解：(1)证明：当λ＝0时，f(x)＝x＋e－x－1，
则f′(x)＝1－e－x.令f′(x)＝0，解得x＝0.
当x<0时，f′(x)<0，∴f(x)在(－∞，0)上是减函数；
当x>0时，f′(x)>0，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
故f(x)在x＝0处取得最小值f(0)＝0，即f(x)≥0.
(2)由已知x≥0，∴e－x－1≤0.
当λ<0时，若x>－，则<0，此时f(x)<0，不符合题设条件；
当λ≥0时，若x≥0，f(x)＝＋e－x－1≥0 x＋λx(e－x－1)＋e－x－1≥0.
令g(x)＝x＋λx(e－x－1)＋e－x－1，则f(x)≥0 g(x)≥0.
而g′(x)＝1＋λ(e－x－1)－λxe－x－e－x＝(λ－1)(e－x－1)－λxe－x.
①当0≤λ≤时，由(1)知，x＋e－x－1≥0，
即e－x≥1－x ex≥1＋x，∴x≤ex－1.
∴g′(x)＝(λ－1)(e－x－1)－λxe－x
≥(λ－1)(e－x－1)－λe－x(ex－1)
＝(λ－1)(e－x－1)－λ(1－e－x)
＝(2λ－1)(e－x－1)≥0.
此时g(x)在[0，＋∞)上是增函数，∴g(x)≥g(0)＝0，
即f(x)≥0.
②当λ>时，由(1)知，e－x≥1－x，∴x≥1－e－x.
∴g′(x)＝(λ－1)(e－x－1)－λxe－x
＝(λ－1)(e－x－1)－λx(e－x－1)－λx
＝(λ－1－λx)(e－x－1)－λx
≤(λ－1－λx)(e－x－1)－λ(1－e－x)
＝(2λ－1－λx)(e－x－1)．
当0综上可知，实数λ的取值范围为.
4．(2016·合肥一模)已知函数f(x)＝ln
x－ax＋1.
(1)若曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线l与直线4x＋3y－3＝0垂直，求实数a的值；
(2)若f(x)≤0恒成立，求实数a的取值范围；
(3)证明：ln(n＋1)>＋＋…＋(n∈N
)．
解：(1)函数f(x)＝ln
x－ax＋1的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a.
∴f′(1)＝1－a.
又切线l与直线4x＋3y－3＝0垂直，
∴1－a＝，解得a＝.
(2)f′(x)＝－a＝(x>0)．
①当a≤0时，则f′(x)＝－a>0，
则f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
而f(1)＝1－a>0，则f(x)≤0不成立，故a>0.
②当a>0时，f′(x)＝，
由f′(x)>0，得0由f′(x)<0，得x>，
故f(x)在上是增函数，在上是减函数．
∴f(x)的最大值为f＝－ln
a.
要使f(x)≤0恒成立，只需－ln
a≤0，解得a≥1.
故实数a的取值范围为[1，＋∞)．
(3)证明：由(2)知，当a＝1时，有f(x)≤0在(0，＋∞)上恒成立，且f(x)在(0,1]上是增函数，
又f(1)＝0，
∴ln
x令x＝，则ln
<－1＝－.
令n＝1,2,3，…，n，
则有ln
<－，ln
<－，…，ln
<－.
以上各式两边分别相加，得
ln
＋ln
＋…＋ln
<－，
即ln
<－，
故ln(n＋1)>＋＋…＋(n∈N
)．高考达标检测（五十二）
离散型随机变量的均值与方差、正态分布
一、选择题
1．设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人三次上班途中遇红灯的次数的期望为(　　)
A．0.4　　　　　　　　　
B．1.2
C．0.43
D．0.6
解析：选B　∵途中遇红灯的次数X服从二项分布，即X～B(3,0.4)，
∴E(X)＝3×0.4＝1.2.
2．在某次数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布N(100，σ2)(σ＞0)，若ξ在(80,120)内的概率为0.6，则ξ在(0,80)内的概率为(　　)
A．0.05
B．0.1
C．0.15
D．0.2
解析：选D　根据正态曲线的对称性可知，ξ在(80,100)内的概率为0.3，
因为ξ在(0,100)内的概率为0.5，所以ξ在(0,80)内的概率为0.2，故选D.
3．(2016·南阳二模)设随机变量X～B(2，p)，随机变量Y～B(3，p)，若P(X≥1)＝，则D(3Y＋1)＝(　　)
A．2
B．3
C．6
D．7
解析：选C　法一：由题意得P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝Cp(1－p)＋Cp2＝，所以p＝，则Y～B3，，故D(Y)＝3××＝，所以D(3Y＋1)＝9D(Y)＝9×＝6.
法二：因为P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝，所以P(X＝0)＝C(1－p)2＝，所以p＝，则Y～B，故D(Y)＝3××＝，所以D(3Y＋1)＝9D(Y)＝9×＝6.
4．已知袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X表示所取球的标号．若η＝aX＋b，E(η)＝1，D(η)＝11，则a＋b的值是(　　)
A．1或2
B．0或2
C．2或3
D．0或3
解析：选B　由题意可知，X的所有可能取值为0,1,2,3,4，E(X)＝×0＋×1＋×2＋×3＋×4＝，D(X)＝×2＋×2＋×2＋×2＋×2＝.
由D(η)＝a2D(X)，得a2×＝11，即a＝±2.
又E(η)＝aE(X)＋b，所以当a＝2时，由1＝2×＋b，
得b＝－2，此时a＋b＝0.
当a＝－2时，由1＝－2×＋b，得b＝4，此时a＋b＝2.故选B.
5．已知甲、乙两个工人在同样的条件下生产某种材料，日生产量相等，每天出废品的情况如表所示，则下列结论正确的是(　　)
工人
甲
乙
废品数
0
1
2
3
0
1
2
3
概率
0.4
0.3
0.2
0.1
0.3
0.5
0.2
0
A．甲生产的产品质量比乙生产的产品质量好一些
B．乙生产的产品质量比甲生产的产品质量好一些
C．两人生产的产品质量一样好
D．无法判断谁生产的产品质量好一些
解析：选B　根据离散型随机变量的分布列可知甲生产的产品出废品的平均值为0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1，乙生产的产品出废品的平均值为0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＋3×0＝0.9，结合实际可知乙生产的产品质量比甲生产的产品质量好一些，故选B
6.如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体．经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值E(X)等于(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选B　由题意X可取0,1,2,3，
且P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝.
故E(X)＝＋2×＋3×＝.
二、填空题
7．(2015·广东高考)已知随机变量X服从二项分布B(n，p)．若E(X)＝30，D(X)＝20，则p＝________.
解析：由E(X)＝30，D(X)＝20，可得
解得p＝.
答案：
8．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ＞0)，若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为________．
解析：由正态分布N(1，σ2)(σ＞0)的图象关于直线x＝1对称，且ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，知ξ在(1,2)内取值的概率也为0.4，故ξ在(0,2)内取值的概率为0.8.
答案：0.8
9．若某科技小制作课的模型制作规则是：每位学生最多制作3次，一旦制作成功，则停止制作，否则可制作3次．设某学生一次制作成功的概率为p(p≠0)，制作次数为X，若X的数学期望E(X)＞，则p的取值范围是________．
解析：由已知条件可得P(X＝1)＝p，
P(X＝2)＝(1－p)p，
P(X＝3)＝(1－p)2p＋(1－p)3＝(1－p)2，
则E(X)＝P(X＝1)＋2P(X＝2)＋3P(X＝3)
＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＝p2－3p＋3＞，
解得p＞或p＜，又p∈(0,1]，可得p∈.答案：
三、解答题
10．甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，射击次数相同，已知两名运动员击中的环数稳定在7环、8环、9环、10环，他们比赛成绩的统计结果如下：
击中频率
7
8
9
10
甲
0.2
0.15
0.3
a
乙
0.2
b
0.2
0.35
请你根据上述信息，解决下列问题：
(1)估计甲、乙两名射击运动员击中的环数都不少于9环的概率；
(2)若从甲、乙两名运动员中挑选一名参加某大型比赛，请你从随机变量均值意义的角度，谈谈让谁参加比较合适？
解：(1)由题意易知a＝1－0.2－0.15－0.3＝0.35，b＝1－0.2－0.2－0.35＝0.25，
用频率估计概率，可得甲击中的环数不少于9环的概率为0.65，乙击中的环数不少于9环的概率为0.55，
∴甲、乙两名射击运动员击中的环数都不少于9环的概率等于0.65×0.55＝0.357
5.
(2)设甲、乙两名射击运动员击中的环数分别为随机变量X，Y，X的分布列为
X
7
8
9
10
P
0.2
0.15
0.3
0.35
E(X)＝7×0.2＋8×0.15＋9×0.3＋10×0.35＝8.8.
Y的分布列为
Y
7
8
9
10
P
0.2
0.25
0.2
0.35
E(Y)＝7×0.2＋8×0.25＋9×0.2＋10×0.35＝8.7.
∵E(X)＞E(Y)，
∴从随机变量均值意义的角度看，选甲去比较合适．
11．(2016·济南模拟)某校为了普及环保知识，增强学生的环保意识，在全校组织了一次有关环保知识的竞赛．经过初赛、复赛，甲、乙两个代表队(每队3人)进入了决赛，规定每人回答一个问题，答对为本队赢得10分，答错得0分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且各人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示乙队的总得分．
(1)求ξ的分布列和均值；
(2)求甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率．
解：(1)由题意知，ξ的所有可能取值为0,10,20,30.
P(ξ＝0)＝××＝，
P(ξ＝10)＝××＋××＋××＝＝，
P(ξ＝20)＝××＋××＋××＝＝，
P(ξ＝30)＝××＝，
故ξ的分布列为
ξ
0
10
20
30
P
所以E(ξ)＝0×＋10×＋20×＋30×＝.
(2)记“甲队得30分，乙队得0分”为事件A，“甲队得20分，乙队得10分”为事件B，则A，B互斥．
又P(A)＝3×＝，
P(B)＝C2××＝，
故甲、乙两队总得分之和为30分且甲队获胜的概率为
P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝＝.
12．(2017·淄博模拟)某茶楼有四类茶饮，假设为顾客准备泡茶工具所需的时间相互独立，且都是整数(单位：分钟)．现统计该茶楼服务员以往为100位顾客准备泡茶工具所需的时间t，结果如表所示.
类别
铁观音
龙井
金骏眉
大红袍
顾客数(人)
20
30
40
10
时间t(分钟/人)
2
3
4
6
注：服务员在准备泡茶工具时的间隔时间忽略不计，并将频率视为概率．
(1)求服务员恰好在第6分钟开始准备第三位顾客的泡茶工具的概率；
(2)用X表示至第4分钟末服务员已准备好了泡茶工具的顾客数，求X的分布列及均值．
解：(1)由题意知t的分布列为
t
2
3
4
6
P
设A表示事件“服务员恰好在第6分钟开始准备第三位顾客的泡茶工具”，则事件A对应两种情形：
①为第一位顾客准备泡茶工具所需的时间为2分钟，且为第二位顾客准备泡茶工具所需的时间为3分钟；
②为第一位顾客准备泡茶工具所需的时间为3分钟，且为第二位顾客准备泡茶工具所需的时间为2分钟．
所以P(A)＝P(t＝2)×P(t＝3)＋P(t＝3)×P(t＝2)＝×＋×＝.
(2)X的所有可能取值为0,1,2，
X＝0对应为第一位顾客准备泡茶工具所需的时间超过4分钟，所以P(X＝0)＝P(t＞4)＝P(t＝6)＝；
X＝1对应为第一位顾客准备泡茶工具所需的时间为2分钟且为第二位顾客准备泡茶工具所需的时间超过2分钟，或为第一位顾客准备泡茶工具所需的时间为3分钟，或为第一位顾客准备泡茶工具所需的时间为4分钟，
所以P(X＝1)＝P(t＝2)·P(t＞2)＋P(t＝3)＋P(t＝4)＝×＋＋＝；
X＝2对应为两位顾客准备泡茶工具所需的时间均为2分钟，
所以P(X＝2)＝P(t＝2)·P(t＝2)＝×＝.
所以X的分布列为
X
0
1
2
P
所以X的均值E(X)＝0×＋1×＋2×＝.