锐角三角函数
我们知道，在直角三角形ABC中，当锐角A确定时，∠A的对边与邻边的比、∠A的对边与斜边的比、∠A的邻边与斜边的比都随之确定，这三个比分别叫做∠A的正切、正弦和余弦。
想一想，除了正切、正弦和余弦外，你还能写出边的一些比吗？这些比随∠A的确定而确定吗？
事实上，当锐角A确定时，∠A的邻边与对边的比、斜边与∠A的邻边的比、斜边与∠A对边的比也都随之确定。
∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cot
A，即；
斜边与∠A的邻边的比叫做∠A的正割，记作sec
A，即；
斜边与∠A的对边的比叫做∠A的余割，记作csc
A，即．
锐角A的正弦、余弦、正切、余切、正割和余割统称为锐角A的三角函数。教材答疑：教材是从函数的角度研究正弦、余弦和正切的吗？
教材上虽然称“锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数”，但实际上并没有特别明确地从函数的角度研究它们，也就是说没有研究随着角的变化，其三角函数值的变化规律，而是研究当锐角一定时，直角三角形中相应边的比值是什么。教材之所以引入“三角函数”这一名词，是因为：（1）可以与高中的学习相衔接；（2）既然《标准》中用的是“三角函数”的说法，我们就没有必要再用其他的称呼。关于正弦、余弦
生活离不开数学，数学来源于生活，数学与生活是永远无法分离的。数学是一种科学、一种语言、一种艺术、一种思维方法，它出现于自然、艺术、音乐、建筑、历史、科学、文学，它无比丰富，引人入胜。数学很美，这就要看谁能够在以后的学习中发现数学的美、应用数学的美！
关于正弦、余弦，我们初中阶段只是学习了其中的初步知识。到了高中，我们还将学到正弦定理、余弦定理。
正弦定理：
余弦定理：或
或
，或
这两个定理表达了一个三角形的边长与其内角的正弦值、余弦值之间的数量关系。只要知道了一个三角形的三边之长，我们就有确定的公式求得其内角的正弦值和余弦值。怎么样，很神秘吧！反过来，知道了一个三角形的正弦值和余弦值，能否求得它的三边之长呢？想一想，也许能够得到正确的答案。
第一章
直角三角形的边角关系
1.从梯子的倾斜程度谈起（二）
一、学生知识状况分析
本课是第九册第一章第一节《从梯子的倾斜程度谈起》的第二课时，由于学生在前一节课学习过有关正切的知识，但对于直角三角形只能停留在两直角边之间的关系，那么，直角三角形中斜边与直角边之间是否也存在着一定的关系呢？本节课首先通过实验的方法，让学生真正领会到直角三角形中斜边与直角边之间确实也存在着一定的关系。
二、教学任务分析
本课是第九册第一章第一节《从梯子的倾斜程度谈起》的第二课时，是通过实验的方法，让学生真正领会到直角三角形中斜边与直角边之间确实也存在着一定的关系，从而，探索出直角三角形中，一个锐角的直角边与斜边的比是随锐角的大小变化而变化的。在试验过程中，不同学生对问题的理解是不一样的，教师应尊重学生间的差异，不要急于否定学生的答案，而要鼓励学生开展讨论，给学生提供成果展示的机会，培养学生的交流能力及学习数学的自信心.
在学习的过程中，有些活动学生很容易就能得到结论，但要重视试验的作用。鼓励每一位学生亲自试验，要注意克服想当然的习惯、缺乏主动实践探索的意识，鼓励学生验证试验结果的合理性。
本节课教学目标如下：
教学目标：
（一）教学知识点：
1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正弦、余弦的意义和与现实生活的联系.
2.能够用sinA,cosA表示直角三角形中斜边与直角边的比，表示生活中物体的倾斜程度，能够用正弦、余弦进行简单的计算.
(二)能力训练要求：
1.体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题.提高解决实际问题的能力.
2.体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神.
(三)情感与价值观要求：
1.积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲.
2.形成实事求是的态度以及独立思考的习惯.
教学重点：
理解正弦、余弦的数学意义，密切数学与生活的联系.
教学难点：理解正弦、余弦的数学意义，并用它来表示两边的比.
三、教学过程分析
本节课设计了六个教学环节：第一环节
创设情境；第二环节：探求新知；第三环节：随堂练习；第四环节：课堂小结；第五环节：课堂体会；第六环节：
布置作业。
第一环节
创设情境
（1）我们在上一节课学习了直角三角形中的一种边与角的关系:锐角的三角函数--正切函数。即：在直角三角形中,若一个锐角的对边与邻边的比值是一个定值,那么这个角的值也随之确定.在Rt△ABC中,锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tanA,
当Rt△ABC中的一个锐角A确定时,其它边之间的比值也确定吗 今天这节课，我们就来学习第九册（下）第一章：直角三角形的边角关系：正弦与余弦。
（2）上节课，我们研究了“陡”这个字，明确了梯子摆放的“陡”与“缓”，是与梯顶、
梯脚到墙角的距离比有关的。下面请同学们模拟实验，是否还与梯长与梯顶或梯脚到墙角的距离比有关呢？
第二环节
探求新知
1、摆一摆
请大家拿出我们课前准备的模拟墙体和两架模拟梯子：
（1）首先，把两架梯子摆在同一面墙上，使其中一架梯子比较陡。
（2）我们在摆的过程中，要仔细观察，认真思考，探索一下，要想把一个
梯子摆得陡一些，除了与倾斜角的大小有关之外，还与那些因素有关呢？
（3）通过观察，我们可以得到：要想把一个梯子摆得陡一些，与梯子的对边与邻边有关。那么是不是单纯地与倾斜角的对边或邻边有关呢？为了探索这个一般规律，请同学们接着来摆梯子，使其中一架梯子比较陡。这一次，我们要边摆，边度量每个梯子倾斜角的对边与邻边，并计算每个倾斜角的对边与邻边的比值，之后每组填好实验报告。（展示数据及结论）
（4）实验结论：梯子越陡，倾斜角的对边与斜边的比值越大，邻边与斜边的比值越小。
2、想一想：
上节课，我们研究了：在小明家的墙角处放有一架较长的梯子，墙很高，又没有足够长的尺来测量，我们可以用一种巧妙的方法得到梯子的倾斜程度：在梯子上任选一点B1，、B2，
如图1-3，通过测量B1C1及AC1，算出它们的比，来说明梯子的倾斜程度；也可通过测量B2C2及AC2
，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度。在这里，我们能否类似的研究呢？
（1）Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系？
（2）和有什么关系？和有什么关系？
（3）如果改变梯子的位置呢？
由此你得出什么结论？
3、有关的概念
在Rt
△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与斜边的比，叫做∠A的正弦。记作sinA.
∠A的邻边与斜边的比也随之确定，这个比叫做∠A的余弦。记作cosA.
注意的问题：
（1）sinA,cosA中常省去角的符号“∠”。
（2）sinA,cosA没有单位，它表示一个比值。
（3）sinA,cosA是一个完整的符号，不表示“sin”,“cos”乘以“A”。
（4）在初中阶段，sinA,cosA中,∠A是一个锐角。
4、议一议：
梯子的倾斜程度与sinA,cosA的关系：
梯子AB越陡，sinA的值越大
,
cosA的值越小
5、例题分析：
例1：如图:在Rt△ABC中,∠B=900,AC=200,sinA=0.6.求:BC的长.
（老师期望:请你求出cosA,tanA,sinC,cosC和tanC的值.你敢应战吗 ）
例2．如图:在Rt△ABC中,∠C=900,AC=10，cosA=，求:AB,sinB
（老师期望:注意到这里cosA=sinB,其中有没有什么内有的关系 ）
第三环节
随堂练习
1.如图:在等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=6.求:
sinB,cosB,tanB
（老师提示:过点A作AD垂直于BC于D.
）
2.在Rt△ABC中,∠C=900,BC=20,sinA=，求:△ABC的周长
3.在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大100倍,sinA的值（
）
A.扩大100倍
B.缩小100倍
C.不变
D.不能确定
4.已知∠A,∠B为锐角
(1)若∠A=∠B,则sinA
sinB;
(2)若sinA=sinB,则∠A
∠B.
5.如图,
∠C=90°CD⊥AB.
SinB=(
)=(
)=(
)
6.在上图中,若BD=6,CD=12.求cosA的值.
（老师提示:模型“双垂直三角形”的有关性质你可曾记得.）
7.如图,分别根据下面两图，求出∠A的三个三角函数值.
8.在Rt△ABC中,∠C=90°,
AC=3,AB=6,求sinA和cosB
(老师提示:求锐角三角函数时,勾股定理的运用是很重要的.)
9．在等腰△ABC中,AB=AC=13,BC=10,求sinB,cosB.
10.在梯形ABCD中,AD//BC,AB=DC=13,AD=8,BC=18
求:sinB,cosB,tanB.
（老师提示:作梯形的高是梯形的常用辅助,借助它可以转化为直角三角形.）
第四环节
小结
1.锐角三角函数定义:
①sinA,cosA,tanA,
是在直角三角形中定义的,∠A是锐角(注意数形结合,构造直角三角形).
②sinA,cosA,tanA,
是一个完整的符号,表示∠A的正切,习惯省去“∠”号；
③sinA,cosA,tanA,是一个比值.注意比的顺序,且sinA,cosA,tanA,均﹥0,无单位.
④sinA,cosA,tanA,
的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关.
⑤角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等.
2．请思考:在Rt△ABC中,
sinA和cosB有什么关系
第五环节
体会
数学中的某些定理具有这样的特性:它们极易从事实中归纳出来,但证明却隐藏极深.
——高斯
第六环节
作业
1.在△ABC中,AB=5,BC=13,AD是BC边上的高,AD=4.求:CD,sinC.
2.在Rt△ABC中,∠BCA=90°,CD是中线,BC=8,CD=5.
求sin∠ACD,cos∠ACD和tan∠ACD.
3.在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA和cosB有什么关系
4.在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA和cosB有什么关系
四、教学反思
由于上节课学生学习了三角函数中的正切，所以本节课结合初中学生身心发展的特点，运用了类比法教学法，唤起和加深学生对教学内容的体会和了解，并培养和发展学生的观察、思维能力，这是贯彻“从生动的直观到抽象的思维，并从抽象的思维到实践”的基本认识规律，运用好这些直观教学，能使学生学习数学的过程成为积极的愉快的和富有想象的过程，使学习数学的过程不再是令人生畏的过程。(共17张PPT)
第一章
直角三角形的边角关系
第一节
从梯子的倾斜程度谈起(二)
在直角三角形中,若一个锐角的对边与邻边的比值是一个定值,那么这个角的值也随之确定.
正切
直角三角形中边与角的关系:锐角的三角函数--正切函数
有的放矢
在Rt△ABC中,锐角A的对边与邻边的比
叫做∠A的正切,记作tanA,即
A
B
C
∠A的对边
∠A的邻边
┌
斜边
tanA=
本领大不大
悟心来当家
如图,当Rt△ABC中的一个锐角A确定时,它的对边与邻边的比便随之确定.此时,其它边之间的比值也确定吗
想一想
结论:
在Rt△ABC中,如果锐角A确定,那么∠A的对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定.
∠A的对边
A
B
C
∠A的邻边
┌
斜边
正弦与余弦
在Rt△ABC中,锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,记作sinA,即
想一想
在Rt△ABC中,锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,记作cosA,即
锐角A的正弦、余弦、正切都是∠A的三角函数.
A
B
C
∠A的对边
∠A的邻边
┌
斜边
cosA=
sinA=
生活问题数学化
结论:梯子的倾斜程度与sinA和cosA有关:
sinA越大,梯子越陡;cosA越小,梯子越陡.
想一想
如图,梯子的倾斜程度与sinA和cosA有关吗
行家看“门道”
例2
如图:在Rt△ABC中,∠B=900,AC=200,sinA=0.6.
求:BC的长.
例题欣赏
老师期望:
请你求出cosA,tanA,sinC,cosC和tanC的值.你敢应战吗
200
A
C
B
┌
解:在Rt△ABC中,
知识的内在联系
求:AB,sinB.
做一做
10
┐
A
B
C
老师期望:
注意到这里cosA=sinB,其中有没有什么内在的关系
如图:在Rt△ABC中,∠C=900,AC=10,
真知在实践中诞生
1.如图:在等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=6.
求:
sinB,cosB,tanB.
随堂练习
求:△ABC的周长.
老师提示:过点A作AD垂直于BC于D.
C
5
5
6
A
B
┌
D
┐
A
B
C
2.在Rt△ABC中,∠C=900,BC=20,
八仙过海,尽显才能
3.如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大100倍,sinA的值（
）
A.扩大100倍
B.缩小100倍
C.不变
D.不能确定
随堂练习
4.已知∠A,∠B为锐角
(1)若∠A=∠B,则sinA
sinB;
(2)若sinA=sinB,则∠A
∠B.
A
B
C
┌
八仙过海,尽显才能
5.如图,
∠C=90°,CD⊥AB.
随堂练习
6.在上图中,若BD=6,CD=12.求cosA的值.
老师提示:
模型“双垂直三角形”的有关性质你可曾记得.
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
┍
┌
A
C
B
D
┍
┌
A
C
B
D
八仙过海,尽显才能
7.如图,分别根据图(1)和图(2)求∠A的三个三角函数值.
随堂练习
8.在Rt△ABC中,∠C=90°,
AC=3,AB=6,
求sinA和cosB
老师提示:
求锐角三角函数时,勾股定理的运用是很重要的.
┌
A
C
B
3
4
┌
A
C
B
3
4
(1)
(2)
八仙过海,尽显才能
随堂练习
9.在等腰△ABC中,AB=AC=13,BC=10,
求sinB,cosB.
老师提示:
过点A作AD垂直于BC,垂足为D.
求锐角三角函数时,勾股定理的运用是很重要的.
A
C
B
┌
D
相信自己
随堂练习
10.在梯形ABCD中AD//BC,AB=DC=13,AD=8,BC=18
求:sinB,cosB,tanB.
老师提示:
梯形的高是梯形的常用辅助线,借助它可以转化为直角三角形.
A
D
B
C
F
┌
E
┌
回味无穷
定义中应该注意的几个问题:
小结
拓展
1.sinA,cosA,tanA是在直角三角形中定义的,∠A是锐角(注意数形结合,构造直角三角形).
2.sinA,cosA,tanA各是一个完整的符号,分别表示∠A的正弦、余弦和正切,记号中习惯省去“∠”；
3.sinA,cosA,tanA分别是一个比值.注意比的顺序,且sinA,cosA,tanA均大于0,无单位.
4.sinA,cosA,tanA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关.
5.角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等.
回味无穷
回顾,反思,深化
小结
拓展
1.锐角三角函数定义:
请思考:在Rt△ABC中,
sinA和cosB有什么关系
A
B
C
∠A的对边
∠A的邻边
┌
斜边
tanA=
sinA=
cosA=
1.
如图,分别求∠α,∠β的正弦、余弦和正切.
2.在△ABC中,AB=5,BC=13,AD是BC边上的高,AD=4.求:CD,sinC.
3.在Rt△ABC中,∠BCA=90°,CD是中线,BC=8,CD=5.
求sin∠ACD,cos∠ACD和tan∠ACD.
α
β
9
┐
x
4.在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA和cosB有什么关系
知识的升华
结束寄语
数学中的某些定理具有这样的特性:它们极易从事实中归纳出来,但证明却隐藏极深.
——高斯
下课了!
