(共19张PPT)
特殊角30°,45°,60°角的三角函数值.
填空
在Rt ABC
中,
∠C=90°.
c
A
B
C
a
b
c2=
a2+b2
∠A+∠B=90°
(1)
三边的关系是
(2)
锐角的关系是
∠A的对边
∠A的邻边
斜边
∠A的对边
斜边
∠A的邻边
∠A的对边
∠A的邻边
(3)边角的关系是
cotA
=
cosA
=
sinA=
tanA
=
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
(其中A可以换成B)
定义:
在Rt 中,
除直角外,一共有5个元素(三边和两锐角),
由Rt 中除直角外的已知元素,
求出未知元素的过程,
叫做解直角三角形
.
如图,海中有一个小岛A,该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行,开始在A岛南偏西55°的B处,往东行驶20海里后到达该岛的南偏西25°的C处.之后,货轮继续向东航行.
想一想P21
要解决这个问题,我们可以将其数学化,如图.
请与同伴交流你是怎么想的
怎么去做
你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗
A
B
C
D
北
东
船有触礁的危险吗
A
解:要知道货轮继续向东航行途中有无触礁的危险,只要过点A作AD⊥BC的延长线于点D,如果AD>10海里,则无触礁的危险.根据题意可知,∠BAD=55°,∠CAD=25°,BC=
20海里.设AD=x海里.
问题解决
数学化
答:货轮继续向东航行途中没有触礁的危险.
D
┌
A
B
C
D
北
东
55°
25°
真知在实践中诞生
如图,小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶,测得仰角为30°,再往塔的方向前进50m至B处,测得仰角为60°,那么该塔有多高 (小明的身高忽略不计,结果精确到1m).
想一想
P21
要解决这问题,我们仍需将其数学化.
请与同伴交流你是怎么想的
准备怎么去做
现在你能完成这个任务吗
古塔究竟有多高
这个图形与前面的图形相同,因此解答如下.
这样解答
D
A
B
C
┌
50m
30°
60°
答:该塔约有43m高.
解:如图,根据题意可知,∠A=30°,∠DBC=60°,AB=50m,
则∠ADC=60°,∠BDC=30°,设CD=x
m.
老师期望:这道题你能有更简单的解法吗？
行家看“门道”
问题解决
某商场准备改善原有楼梯的安全性能,把倾角由原来的40°减至35°,已知原楼梯的长度为4m,调整后的楼梯会加长多少 楼梯多占多长一段地面 (结果精确到0.01m).
做一做P22
现在你能完成这个任务吗
请与同伴交流你是怎么想的
准备怎么去做
A
B
C
D
┌
楼梯加长了多少
解:如图,根据题意可知,∠A=35°,∠BDC=40°,DB=4m.求(1)AB-BD的长.
A
B
C
D
┌
4m
35°
40°
答:调整后的楼梯会加长约0.48m.
联想的功能
问题解决
解:如图,根据题意可知,∠A=35°,∠BDC=40°,DB=4m.求(2)
AD的长.
A
B
C
D
┌
4m
35°
40°
答:楼梯多占约0.61m长的一段地面.
联想的功能
问题解决
如图,一灯柱AB被一钢缆CD固定.CD与地面成40°夹角,且DB=5m.现再在CD上方2m处加固另一根钢缆ED,那么,钢缆ED的长度为多少 (结果精确到0.01m).
随堂练习P22
怎么做
我先将它数学化!
E
B
C
D
2m
40°
5m
钢缆长几何
解:如图,根据题意可知,∠CDB=40°,EC=2m,DB=5m.求DE的长.
就这样
∴∠BDE≈51.12°.
E
B
C
D
2m
40°
5m
答:钢缆ED的长度约为7.96m.
真知在实践中诞生
问题解决
如图,水库大坝的截面是梯形ABCD,坝顶AD=6m,坡长CD=8m,坡底BC=30m,∠ADC=135°.
(1)求坡角∠ABC的大小;
(2)如果坝长100m,那么修建这个大坝共需多少土石方 (结果精确到0.01m3
)
咋办
先构造直角三角形!
A
B
C
D
大坝中的数学计算
随堂练习P22
解:如图,(1)求坡角∠ABC的大小.
有两个直角三角形
先作辅助线!
A
B
C
D
6m
8m
30m
135°
过点D作DE⊥BC于点E,过点A作AF⊥BC于点F.
E
┐
F
┌
∴∠ABC≈17°8′21″.
答:坡角∠ABC约为17°8′21″.
解答问题需要有条有理
问题解决
解:如图,(2)如果坝长100m,那么修建这个大坝共需多少土石方 (结果精确到0.01m3
)
再求体积!
先算面积!
答:修建这个大坝共需土石方约10182.34m3.
100m
A
B
C
D
6m
30m
F
┌
计算需要空间想象力
问题解决
填表:已知一个角的三角函数值,求这个角的度数(逆向思维)
∠A=
∠A=
∠A=
∠A=
∠A=
∠A=
∠A=
∠A=
∠A=
回味无穷
由锐角的三角函数值求锐角
c
A
B
C
a
b
c2=
a2+b2
(1)
三边的关系
∠A+∠B=90°
(2)
锐角的关系
(3)边角的关系(其中A可以换成B)
∠A的对边
∠A的邻边
斜边
∠A的对边
斜边
∠A的邻边
∠A的对边
∠A的邻边
cotA=
cosA=
sinA=
tanA=
问题:
在Rt 中除直角外的5个元素(三边和两锐角)
,
已知几个元素,可以求出其余的未知元素
利用三个关系研究这个问题.
关系式中有a,b,c三个量
,
已知两个可求出第三个.
关系式中有A,B两个量
,
已知一个可求出另一个.
每一个关系式中都有两边一角三个量,已知两个可求出第三个.
结论:
利用三个关系,在Rt 除直角外的5个元素中,
知道
其中的2个元素(至少有一个是边),
就可以求出其余的三个未知元素.
独立
作业
P24
习题1.6
1,2,3题;
祝你成功！
知识的升华
1
如图，有一斜坡AB长40m，坡顶离地面的高度为20m,求此斜坡的倾斜角.
驶向胜利的彼岸
2.有一建筑物,在地面上A点测得其顶点C的仰角为30°,向建筑物前进50m至B处,又测得C的仰角为45°,求该建筑物的高度(结果精确到0.1m).
3.
如图,燕尾槽的横断面是一个等腰梯形,其中燕尾角∠B=55°,外口宽AD=180mm,燕尾槽的深度是70mm,求它的里口宽BC(结果精确到1mmm).
A
B
C
┌
A
B
C
D
P24
习题1.6
1,2,3题
下课了!
结束寄语
悟性的高低取决于有无悟“心”,其实,人与人的差别就在于你是否去思考、去发现.对于“船有触礁的危险吗？”这一节，教学中应注意什么？
本节的主要目标是应用三角函数的知识去解决实际问题。本节的重点和难点问题就是如何使学生将现实问题转化为数学问题，并应用相关的知识去解决。因此，在教学中，教师应该给学生搭建一些台阶，如根据题意如何画出示意图，在图中如何表示各种角（仰角、俯角、方位角等）。雷达如何测定目标的高度（一）
雷达是利用极短的无线电波进行探测的装置。无线电波传播时遇到障碍物就会反射回来，雷达就是根据这个原理把无线电波发射出去，再用接受装置接受反射回来的无线电波，这样就可以测定目标的方向、距离、大小等。雷达在使用上不受气候条件的影响，应用于军事、天文、气象、航海、航空等领域。
你知道雷达是如何测定目标的高度的吗？
假设大地是一个平面，目标的高低角可以测出，根据无线电波的传播速度及其来回所用的时间，可以计算出雷达与目标之间的倾斜距离d（如图）．这时目标的高度为h＝d
sin．
当然，大地并不是平面，而是曲面。因此计算目标高度h的近似公式是h＝d
sin＋，其中，R表示地球的半径（约等于6370千米）．第一章
直角三角形的边角关系
4.船有触礁的危险吗
一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：学生已经知道直角三角形三角关系(两锐角互余),三边关系(勾股定理)既边角关系(锐角三角函数).
学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了大量的解直角三角形的活动，解决了一些简单的现实问题，感受到了用直角三角形的有关知识解决现实问题的必要性和作用，获得了用直角三角形的有关知识解决现实问题所必须的一些数学活动经验的基础；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
二、教学任务分析
教科书基于学生对直角三角形的认识，提出了本课的具体学习任务：利用锐角三角函数知识解决船有触礁的危险吗等实际问题。但这仅仅是这堂课外显的具体教学目标，或者说是一个近期目标。数学教学由一系列相互联系而又渐次梯进的课堂组成，因而具体的课堂教学也应满足于整个数学教学的远期目标，或者说，数学教学的远期目标，应该与具体的课堂教学任务产生实质性联系。本课内容从属于“三角学”这一数学学习领域，因而务必服务于三角学教学的远期目标：“三角函数的性质及其应用”，同时也应力图在学习中逐步达成学生的有关情感态度目标。为此，本节课的教学目标是：
知识与技能
能够把实际问题转化为数学问题,
能够借助计算器进行有关三角函数的计算,并能进一步对结果的意义进行说明,发展数学应用意识和解决问题的能力.
过程与方法
1．经历探索船是否有触礁的危险的过程,进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用.
2．通过探索活动让学生感受数学与现实生活的密切联系，增强学生的数学应用意识，初步培养学生用数学知识分析问题、解决问题的良好习惯。
情感态度与价值观
让学生在探索活动中通过相互间的合作与交流，进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力。
教学重点：能够把实际问题转化为数学问题,
能够借助计算器进行有关三角函数的计算
教学难点：能够把实际问题转化为数学问题
三、教学过程分析
本节课设计了四个教学环节：
第一环节：知识准备
第二环节：实际应用（船有触礁的危险吗、古塔有多高、楼梯加长了多少、钢缆有多长、大坝中的数学计算、利用三角函数值求锐角）
第三环节：课堂小结
第四环节：布置作业
第一环节
知识准备
复习回顾：
直角三角形中，三边的关系？两个锐角的关系？边与角的关系？
30°、45°、60°角的三角函数值是多少？
第二环节
实际应用
1．船有触礁的危险吗
海中有一个小岛A,该岛四周10海里内暗礁.今有货轮四由西向东航行,开始在A岛南偏西550的B处,往东行驶20海里后到达该岛的南偏西250的C处.之后,货轮继续向东航行.你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗
解:要知道货轮继续向东航行途中有无触礁的危险,只要过点A作AD⊥BC的延长线于点D,如果AD>10海里,则无触礁的危险.根据题意可知,∠BAD=550,∠CAD=250,BC=
20海里.设AD=x,则
2。古塔有多高
小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶,测得仰角为300,再往塔的方向前进50m至B处,测得仰角为600,那么该塔有多高 (小明的身高忽略不计,结果精确到1m)
：
解:如图,由题意可知,∠A=300,∠DBC=600,AB=50m.设CD=x,则∠ADC=600,∠BDC=300,
3．楼梯加长了多少
某商场准备改善原有楼梯的安全性能,把倾角由原来的400减至350,已知原楼梯的长度为4m,调整后的楼梯会加长多少 楼梯多占多长一段地面 (结果精确到0.01m).
解:如图,根据题意可知,∠A=350,∠BDC=400,DB=4m.求(1)AB-BD的长,(2)AD的长.
4．钢缆有多长
一灯柱AB被一钢缆CD固定.CD与地面成400夹角,且DB=5m.现再在CD上方2m处加固另一根钢缆ED,那么,钢缆ED的长度为多少 (结果精确到0.01m).
解:如图,根据题意可知,∠CDB=400,EC=2m,DB=5m.求DE的长.
5．大坝中的数学计算
水库大坝的截面是梯形ABCD,坝顶AD=6m,坡长CD=8m.坡底BC=30m,∠ADC=1350.
(1)求坡角∠ABC的大小;
(2)如果坝长100m,那么修建这个大坝共需多少土石方(结果精确到0.01m3
).
解:
(1)如图,求坡角∠ABC的大小，过点D作DE⊥BC于点E,过点A作AF⊥BC于点F.
(2)如果坝长100m,那么修建这个大坝共需多少土石方(结果精确到0.01m3
).
活动目的：对本节知识进行巩固练习。
6．利用三角函数值求锐角
活动内容：填表—— 由锐角的三角函数值反求锐角
第三环节
课堂小结
在Rt 中除直角外有5个元素(三边和两锐角)
，利用三个关系研究这个问题.
(1)
三边的关系c2=
a2+b2关系式中有a,b,c三个量
,
已知两个可求出第三个.
(2)
锐角的关系∠A+∠B=90°关系式中有A,B两个量
,
已知一个可求出另一个.
(3)边角的关系(其中A可以换成B)
每一个关系式中都有两边一角三个量,已知两个可求出第三个.
利用三个关系,在Rt 除直角外的5个元素中,
知道
其中的2个元素(至少有一个是边),
就可以求出其余的三个未知元素.
第四环节
布置作业
P24
习题1.6
1,2,3题;
四、教学反思
1．要创造性的使用教材
教材只是为教师提供最基本的教学素材，教师完全可以根据学生的实际情况进行适当调整。学生在小学已经学过统计图的特点，而且普遍掌握较好，因此没有必要再以问题的形式逐步总结认识，教学中将重点放在怎样根据“研究问题的需要、数据本身的特点及统计图本身的特点”科学合理的选择统计图。而且能让学生通过社会调查亲自去感受统计图在实际生活中的应用，体会数学的实际价值。并且让学生利用小组调查搜集来的自己感兴趣的数据制作统计图。从而培养学生善于观察生活、搜集数据、选择决策的能力。
2．相信学生并为学生提供充分展示自己的机会
通过课前小组合作社会调查、课堂展示讲解统计图的过程，为学生提供展示自己聪明才智的机会，并且在此过程中更利于教师发现学生分析问题解决问题的独到见解，以及思维的误区，以便指导今后的教学。课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位，通过运用各种启发、激励的语言，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度。
3．注意改进的方面
在小组讨论之前，应该留给学生充分的独立思考的时间，不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问。教师应对小组讨论给予适当的指导，包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等，使小组合作学习更具实效性。
A
B
C
D
北
东
D
A
B
C
┌
50m
300
600
A
B
C
D
┌
4m
350
400
∴∠BDE≈51.12°
A
B
C
D
6m
8m
30m
1350
∴∠ABC≈17°8′21″.
