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第二十一章
·一元二次方程
一元二次方程
1.什么叫方程？我们学过那些方程？
2.什么叫一元一次方程？
3.什么叫分式方程？
温故知新
要设计一座2m高的人体雕像，修雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，雕像的下部应设计为多高？
A
C
B
2m
雕像上部的高度AC，下部的高度BC应有如下关系：
设雕像下部高
x
m，于是得方程：
x2=2(2－x)
整理得：x2＋2x－4=0
问题引入
问题引入中的方程
x2＋2x－4=0
①
你会发现这个方程与以前学习过的一次方程不同，其中未知数x的最高次数是2，怎样解决这样的方程从而得到问题的答案呢？
像这样的方程有广泛的应用，请看下面的问题．
讨论分析
（100－2x）（50－2x）=3600
整理得：4x2－300x+1400=0
化简得
：x2－75x+350=0
②
X
过程探索
问题2:
要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？
全部比赛共4×7＝28场
过程探索
方程①
②
③有什么特点？
x2－75x+350=0
②
x2＋2x－4=0
①
（1）这些方程的两边都是整式.
（2）方程中只含有一个未知数，未知数的最高次数是2.
像这样的等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
过程探索
结论总结
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：
经典例题
例:
将方程3x(x－1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数，一次项系数及常数项．
解：
去括号，得:
移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式：
其中二次项系数为3，一次项系数为－8，常数项为－10.
课后练习
1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数，一次项系数及常数项：
（4）(3x-2)(x+1)=8x-3
二次项系数为５，一次项系数－4，常数项－1.
二次项系数为4，一次项系数0，常数项－81.
课后练习
二次项系数为4，一次项系数8，常数项－25.
二次项系数为3，一次项系数-7，常数项1.
（4）(3x-2)(x+1)=8x-3
课后练习
2.根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式：
（1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x；
（2）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长x；
（3）把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x；
（4）一个直角三角形的斜边长为10，两条直角边相差2，求较长的直角边长x．
课后练习
解：
（1）设其边长为x，则面积为x2
4x2=25
（2）设长为x，则宽（x－2）
x(x－2)=100
x2－2x－100=0
课后练习
（3）设其中的较短一段为x，则另较长一段为（1－x）
x2－3x＋1=0
x·1
=
(1－x)
2
（4）设较长的直角边长为x,则较短的直角边长为（x-2）
课后练习《一元二次方程》
一元二次方程是中学数学的主要内容之一在初中数学中占有重要地位学生通过一元二次方程的学习可以对已学过实数一元一次方程整式二次根式等知识加以巩固同时一元二次方程又是今后学生学习可化为一元二次方程的分式方程二次函数等知识的基础。本节课通过实际生活出发，用数学解决生活中的问题，以此激发学生的学习热情，体会数学的严谨性以及结论的确定性，提升学生的综合能力。
【知识与能力目标】
1. 通过设置问题，建立数学模型，模仿一元一次方程的概念给一元二次方程下定义；
2. 一元二次方程的一般形式及其有关概念。
【过程与方法目标】
1. 通过观察，归纳一元二次方程概念的教学；
2. 使学生理解并能够掌握一元二次方程的一般表达式以及各种特殊形式。
【情感态度价值观目标】
1. 通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情；
2. 感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。
【教学重点】
一元二次方程的概念及其一般形式和用一元二次方程有关概念解决问题。
【教学难点】
通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念。
（1）每人一份印刷练习题；
（2）教师自制的多媒体课件；
（3）上课环境为多媒体大屏幕环境。
1．创设情境，引入新知
教师展示教科书本章的章前图，请同学们阅读章前问题，并回答：
问题1．这个方程属于我们学过的某一类方程吗？
师生活动:学生整理已经学过的方程类型，复习方程的概念，元与次的概念，观察新方程，分析此方程的元与次，尝试为新方程命名．
【设计意图】使学生认识到一元二次方程是刻画某些实际问题的模型，体会学习的必要性，在学生已有的知识的体系中合理的构建一元二次方程这一新知识．
问题2．这样的方程在其他实际问题中是否还存在呢？你能再想出一个例子吗？
师生活动:学生思考二次项产生的原因，从熟悉的实际背景中，很有可能从矩形的面积出发，设计情境．
【设计意图】让学生从“接受式”的学习方式中走出来，走向对一元二次方程产生的根源的探求，在编制情境的过程中，他们将加深对一元二次方程概念的理解．部分学生能够独立解决问题，自己编制情境并列出方程，部分学生可以根据同学给出的情境去列方程，或者阅读课本上的实际问题．
2．拓宽情境，概括概念
给出课本问题1、问题2的两个实际问题，设未知数，建立方程．
问题1
如图21．1-1，有一块矩形铁皮，长100
cm，宽50
cm．在它的四个角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积是3 600
cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
问题2
要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，你说组织者应邀请多少个队参赛？
教师引导学生思考并回答以下几个问题：
全部比赛共有______场．
若设应邀请个队参赛，则每个队要与其他____个队各赛一场，全部比赛共有___
场．
由此，我们可以列出方程______________，化简得________________．
问题3．
这些方程是几元几次方程？
师生活动:学生将实际问题中的语言转化成数学的符号语言，体会运算关系，寻找等量关系，学习建模．将列得的方程化简整理，判断出方程的次数．
【设计意图】在建模的过程中不仅加强学生的数学思维能力，而且对二次项产生的根源将更加明晰，加深对一元二次方程的理解．让学生回答方程的元与次，一是让他们体会统一成一般形式的必要性，为概念的形成做铺垫，分解教学的难点；二是让他们明确教学的主线，从被动学习走向主动学习．
问题4．
这些方程是什么方程？
师生活动:观察本课得出的一些方程，思考它们的共性，同学们尝试给出一元二次方程的定义，并且概括出一元二次方程的一般形式．
(1)一元二次方程的概念：
等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程叫做一元二次方程．
(2)一元二次方程的一般形式是．其中是二次项，a是二次项系数；是一次项，b是一次项系数；c是常数项．?
【设计意图】让学生自己给出定义就是对过去所学一元一次方程的定义的类比和对比，概括一般形式是对一元二次方程另一个角度的理解，是对数学符号语言的应用能力的提升．
3．辨析应用，加深理解
问题5．
请你说出一个一元二次方程，和一个不是一元二次方程的方程．
师生活动:可以由学生举手回答，也可以随机选择学生回答，调动学生广泛地参与．追问学生所举的反例为什么不是一元二次方程？是什么方程？
【设计意图】学生自己举例，应用概念，从正反两个方向强化了对概念的理解，在追问的过程中，帮助学生将已有的方程梳理成比较清晰的知识体系，如下：
开发学生认识的资源，激发学生从不同角度、不同形式去深入理解同一概念，让不同的学生在此过程中获得不同的收获，实现分层教学分层指导的效果．
问题6．
下列方程哪些是一元二次方程？
例1．下列方程哪些是一元二次方程？
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
答案(2)(5)(6)．
师生活动:用概念指导辨析，方程(3)与(4)同学们可能会产生争议，(3)帮助学生明确一元二次方程是整式方程，(4)体会化为一般形式的必要性，对a≠0条件加深认识．
【设计意图】补足学生所举正反例的缺漏，追问：有二次项的一元方程就是一元二次方程吗？帮助学生进一步巩固概念，深化对一元、二次的认识．
问题7．指出下列方程的二次项、一次项和常数项及它们的系数．
例2．
将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数：
(1)；(2)．
师生活动:
(1)将方程去括号得：，移项，合并同类项得：，其中二次项是，二次项系数是3；一次项是，一次项系数是，常数项是．教师应及时分析可能出现的问题(比如系数的符号问题)．
(2)一元二次方程的一般形式是，过程略．
例3．关于x的方程，在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？
答案：时此方程为一元二次方程；，时此方程为一元一次方程．
【设计意图】在形式比较复杂的方程面前，通过辨析方程的元、次、项看清方程的本质，深化理解，淡化对一元二次方程概念的记忆．
4．巩固概念，学以致用
教科书第4页：
练习
【设计意图】巩固性练习，同时检验一元二次方程概念的掌握情况．
5．归纳小结，反思提高
请学生总结今天这节课所学内容，通过对比之前所学其他方程，谈对一元二次方程概念的认识，反思学习过程中的典型错误．
6．布置作业
教科书习题21．1
略
教材分析
教学目标
教学重难点
课前准备
教学过程
教学反思
