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第二十一章
·一元二次方程
公式法
温故知新
配方法解一元二次方程的步骤：
(1)现将已知方程化为一般形式；
(2)化二次项系数为1；
(3)常数项移到右边；
(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；
(5)变形为
的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0，方程无实根。
问题引入
任何一元二次方程都可以写成一般形式
①
你能否也用配方法得出方程①的解呢？
知识点详解
已知
，试推导它的两个根x1=
x2=
解：移项，得
二次项系数化为1，得
配方，得
知识点详解
即
②
因为a≠0,所以4a2>0.当b2－4ac≥0时，
由②式得
知识点详解
综上可知，一元二次方程
的根由方程的系数a，b，c确定。因此，解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式
，当
时，将a，b，c的值代入式子
就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用它
解一元二次方程的方法叫做公式法.由求根公式可知，一元二次方程
最多有两个实数根。
例题详解
解下列方程
例题详解
解下列方程
例题详解
解下列方程
例题详解
解下列方程
因为在实数范围内负数不能开方，所以原方程无实数根。
知识点详解
归纳：
（1）当
时，一元二次方程
有实数根。
（2）当
时，一元二次方程
有实数根。
（3）当
时，一元二次方程
没有实数根。
例题详解
某数学兴趣小组对关于x的方程
提出了下列问题。
(1)若使方程为一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程。
分析：(1)要使它为一元二次方程，必须满足
，同时还要满
足(m+1)≠0。
例题详解
(2)若使方程为一元一次方程m是否存在？若存在，请求出。
分析：(2)要使它为一元一次方程，必须满足:
①
或②
或③
课堂小结
1、由配方法解一般的一元二次方程
若
得
求根公式
:
2、用公式法解一元二次方程的一般步骤：
1)将所给的方程变成一般形式，注意移项要变号，尽量让a>0.
2)找出系数a，b，c，注意各项的系数包括符号。
3)计算
，若结果为负数，方程无解，
4)若结果为非负数，代入求根公式，算出结果。
课堂小结
3、当
时，一元二次方程有两个相等的实数根。
当
时，一元二次方程有两个不相等的实数根。
当
时，一元二次方程没有实数根。《公式法》
在用公式法解一元二次方程，是在学生已经学
( http: / / www.21cnjy.com )习直接开平方法、因式分解法和配方法解解一元二次方程后的又一次学习。对于系数不特殊的一元二次方程用前面的几种方法解起来不方便。而用求根公式解较复杂的一元二次方程显得就很方便了。因此，要学习用公式法解一元二次方程。公式法是所有一元二次方程通用的解法，它为进一步学习一元二次方程的简单应用起到铺垫作用。
【知识与能力目标】
能够用配方法推导出一元二次方程的求根公式，能熟练的使用求根公式解一元二次方程。
【过程与方法目标】
在教师的指导下，经历观察、推导、交流归纳等活动导出一元二次方程的求根公式，培养学生的合情推理与归纳总结的能力。
【情感态度价值观目标】
培养学生的独立思考的习惯和与大家的合作交流意识。
【教学重点】
正确、熟练地使用一元二次方程的求根公式解一元二次方程，提高学生的综合运算能力。
【教学难点】
正确地推导出一元二次方程的求根公式，理解
b2-4ac对一元二次方程根的影响。
多媒体课件
一．复习引入
总结用配方法解一元二次方程的步骤(学生总结，老师点评)。
(1)现将已知方程化为一般形式；
(2)化二次项系数为1；
(3)常数项移到右边；
(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；
(5)变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0，方程无实根。
二、探索新知
用配方法解方程
如果一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，你能否用配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题。
问题：已知ax2+bx+c=0(a≠0)，试推导它的两个根x1=
( http: / / www.21cnjy.com / )，x2=
( http: / / www.21cnjy.com / )(这个方程一定有解吗？什么情况下有解？)
分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去。
解：移项，得：ax2+bx=-c
二次项系数化为1，得x2+
( http: / / www.21cnjy.com / )x=-
( http: / / www.21cnjy.com / )
配方，得：x2+
( http: / / www.21cnjy.com / )x+(
( http: / / www.21cnjy.com / ))2=-
( http: / / www.21cnjy.com / )+(
( http: / / www.21cnjy.com / ))2
即(x+
( http: / / www.21cnjy.com / ))2=
( http: / / www.21cnjy.com / )
∵4a2>0，4a2＞0，
当b2-4ac≥0时
( http: / / www.21cnjy.com / )≥0
∴(x+
( http: / / www.21cnjy.com / ))2=(
( http: / / www.21cnjy.com / ))2
直接开平方，得：x+
( http: / / www.21cnjy.com / )=±
( http: / / www.21cnjy.com / )
即x=
( http: / / www.21cnjy.com / )
∴x1=
( http: / / www.21cnjy.com / )，x2=
( http: / / www.21cnjy.com / )
由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系数a、b、c而定，因此：
(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，将a、b、c代入式子x=
( http: / / www.21cnjy.com / )就得到方程的根。(公式所出现的运算，恰好包括了所学过的六中运算，加、减、乘、除、乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性)
(2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式。
(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法。
公式的理解
(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根。
例1．用公式法解下列方程
(1)2x2-x-1=0
(2)x2+1.5=-3x
(3)
x2-
( http: / / www.21cnjy.com / )x+
( http: / / www.21cnjy.com / )=0
(4)4x2-3x+2=0
分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可。
补:(5)(x-2)(3x-5)=0
三、巩固练习
教材P42
练习1．(1)、(3)、(5)或(2)
、(4)
、(6)
四、应用拓展
例2．某数学兴趣小组对关于x的方程(m+1)
( http: / / www.21cnjy.com / )+(m-2)x-1=0提出了下列问题。
(1)若使方程为一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程。
(2)若使方程为一元一次方程m是否存在？若存在，请求出。
你能解决这个问题吗？
分析：能。(1)要使它为一元二次方程，必须满足m2+1=2，同时还要满足(m+1)≠0。
(2)要使它为一元一次方程，必须满足:
①
( http: / / www.21cnjy.com / )或②
( http: / / www.21cnjy.com / )或③
( http: / / www.21cnjy.com / )
五、归纳小结
本节课应掌握：
(1)求根公式的概念及其推导过程；
(2)应用公式法解一元二次方程的步
( http: / / www.21cnjy.com )骤:1)将所给的方程变成一般形式，注意移项要变号，尽量让a>0.2)找出系数a，b，c，注意各项的系数包括符号。3)计算b2-4ac，若结果为负数，方程无解，4)若结果为非负数，代入求根公式，算出结果。
(3)初步了解一元二次方程根的情况。
略。
教材分析
教学目标
教学重难点
课前准备
教学过程
教学反思
