《因式分解法》
本节课是在学生学习了用配方法和公式法解一
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)元二次方程的基础上展开的，学习一元二次方程的第三种解法-----因式分解法。任何一个一元二次方程都可以用配方法和公式法这两种方法中的一种来解，为什么还要学习因式分解法解一元二次方程呢？因为对于某些特殊的一元二次方程，用因式分解法解起来更简便。培养学生观察思考，避繁就简和一题多解的能力等都具有重要的作用。因式分解法解一元二次方程既可以复习八年级学过的因式分解的方法，又可以为后续处理有关一元二次方程的问题时提供多一些思路和方法。
【知识与能力目标】
了解因式分解法的概念，会利用因式分解法解简单数字系数的一元二次方程。
【过程与方法目标】
经历探索因式分解法解一元二次方程的过程，发展学生合情推理的能力，体验解决问题方法的多样性，灵活选择解方程的方法。
【情感态度价值观目标】
积极探索不同的解法，并和同伴交流，在学习活动中获得成功的体验，建立学好数学的兴趣和信心。
【教学重点】
应用因式分解法解一元二次方程。
【教学难点】
将方程化为一般式后，对方程左侧进行因式分解。
多媒体课件
1.创设情景，引出问题
问题一
根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么物体经过x
s离地面的高度(单位：m)为
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。根据上述规律，物体经过多少秒落回地面(结果保留小数点后两位)？
师生活动：学生积极思考并尝试列方程，可有学生解释如何理解“落回地面”。
【设计意图】学生首先要理解实际问题背景下代
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)数式的意义，理解落回地面的意义就是高度为零，就是表示高度的代数式的值为零，从而列出方程。在阅读并尝试回答的过程中让他们感受在生活、生产中需要用到方程，从而激发学生的求知欲。
2.观察感知，理解方法
问题二 如何求出方程的解呢？
师生活动：学生从已有的知识出发，考虑用配方
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)法和公式法解决问题，教师再一步引导学生观察方程的结构，学生进行深入的思考，努力发现因式分解法方法解方程。
【设计意图】通过配方法和公式法的选择，更好地让学生对比感受因式分解法的简便，为本节课的教学内容做好知识上的铺垫和准备。
问题三 如果
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，则有什么结论？对于你解方程有什么启发吗？
师生活动：学生很容易回答有
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或
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的结论。由此进一步思考如何将一元二次方程化为两个一次式的乘积。
【设计意图】通过观察，引导学生进一步思考，发现用因式分解中提取公因式法解方程更加简便，从而学生会对方法的选择有一定的理解。
问题四 上述方法是是如何将一元二次方程降为一次的？
师生活动：学生通过对解决问
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)题过程的反思，体会到通过提取公因式将一元二次方程化为了两个一次式的乘积的形式，得到两个一元一次方程，教师注重引导学生观察方程在因式分解过程中的变化，在学生总结发言的过程中适当引导。
【设计意图】让学生对比不同解法，不是用
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)开平方降次，而是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种节一元二次方程的方法叫做因式分解法。在反思小结的过程中，理解因式分解法的意义，从而引出本节课的教学内容。
3.例题示范，灵活运用
例 解下列方程
(1)
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；
(2)
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师生活动：提问：(1)如何求出方程(1)的解呢？说说你的方法。
(2)对比解法，说说各种解法的特点。
学生积极思考，积极回答问题，对比解法的不同。
【设计意图】问题(1)的提出是开放式的，学生可能会回答将括号打开，然后利用配方法或公式法，也有些学生会观察到如果将
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当作一个整体，利用提取公因式的方法直接就化为两个一次式乘积为零的形式。通过问题(2)的思考讨论，让学生体会解法的利弊，注重观察方程自身的结构。
师生活动：提问：(1)方程(2)与方程(1)对比，在结构上有什么不同？
(2)谈谈方程(2)的解法。
学生观察方程(2)与方程(1)的区别，用类比划归的思想解决问题。
【设计意图】问题(2)的方程需要先
(
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)进行移项，将方程化为右侧等于零的结构，然后得到一个平方差的结构，利用平方差公式将一元二次方程化为两个一次式的乘积为零的结构。
4.小结提升，深化理解
问题五 (1)因式分解法的一般步骤是什么？
(2)请大家总结三种解法的联系与区别。
师生活动：学生积极思考，归纳因式分
(
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)解法的一般步骤。总结各种解题方法的特点，体会各种方法的利弊，在交流的过程中加深对解一元二次方程方法的理解，教师对学生的发言给予鼓励和肯定，对于小结交流中的出现的问题及时进行引导纠正，帮助学生深入理解问题。
【设计意图】学生通过小结反思，深化对问题的理
(
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)解，体会到配方法需要将方程进行配方降次，公式法需要将方程化为一般形式后利用求根公式求解；而因式分解法需要将一元二次方程化为两个一次项乘积为零的形式；另在还让学生体会到配方法和公式法适用于所有方程，但有时计算量比较大，因式分解法适用于一部分一元二次方程，但是三种方法都体现了降次的基本思想。
略。
教材分析
教学目标
教学重难点
课前准备
教学过程
教学反思《因式分解法》同步练习3
1．填空题
(1)方程t(t＋3)＝28的解为_______．
(2)方程(2x＋1)2＋3(2x＋1)＝0的解为__________．
(3)方程(2y＋1)2＋3(2y＋1)＋2＝0的解为__________．
2．用因式分解法解下列方程：
(1)x2＋12x＝0；
(2)4x2－1＝0；
(3)x2＝7x；
(4)x2－4x－21＝0；
3．用适当方法解下列方程：
(1)x2－4x＋3＝0；
(2)(x－2)2＝256；
(3)x2－3x＋1＝0；
(4)x2－2x－3＝0；
4．解关于x的方程：
(1)x2－4ax＋3a2＝1－2a；(2)x2＋5x＋k2＝2kx＋5k＋6；
(3)x2－2mx－8m2＝0；
(4)x2＋(2m＋1)x＋m2＋m＝0．
5．已知x2＋3xy－4y2＝0(y≠0)，试求的值．
6．已知(x2＋y2)(x2－1＋y2)－12＝0．求x2＋y2的值．
7．请你用三种方法解方程：x(x＋12)＝864．
8．已知x2＋3x＋5的值为9，试求3x2＋9x－2的值．
9．一跳水运动员从10米高台上跳水，他跳下的高度h(单位：米)与所用的时间t(单位：秒)的关系式h＝－5(t－2)(t＋1)．求运动员起跳到入水所用的时间．
10．为解方程(x2－1)2－5(x2－1)＋4＝0，我们可以将x2－1视为一个整体，然后设x2－1＝y，则y2＝(x2－1)2，原方程化为y2－5y＋4＝0，解此方程，得y1＝1，y2＝4．
当y＝1时，x2－1＝1，x2＝2，∴x＝±．
当y＝4时，x2－1＝4，x2＝5，∴x＝±．
∴原方程的解为x1＝－，x2＝，x3＝－，x4＝．
以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想．
(1)运用上述方法解方程：x4－3x2－4＝0．
(2)既然可以将x2－1看作一个整体，你能直接运用因式分解法解这个方程吗？
参考答案
1.(1)t1＝－7，t2＝4(2)x1＝－，x2＝－2(3)y1＝－1，y2＝－2．(1)x1＝0，x2＝－12；(2)x1＝－，x2＝；(3)x1＝0，x2＝7；(4)x1＝7，x2＝－3
3．(1)x1＝1，x2＝3；(2)x1＝18，x2＝－14；(3)x1＝，x2＝；(4)x1＝3，x2＝－1；
4．(1)x2－4ax＋4a2＝a2－2a＋1，
(x－2a)2＝(a－1)2，
∴x－2a＝±(a－1)，
∴x1＝3a－1，x2＝a＋1．
(2)x2＋(5－2k)x＋k2－5k－6＝0，
x2＋(5－2k)x＋(k＋1)(k－6)＝0，
［x－(k＋1)］［x－(k－6)］＝0，
∴x1＝k＋1，x2＝(k－6)．
(3)x2－2mx＋m2＝9m2，(x－m)2＝(3m)2
∴x1＝4m，x2＝－2m?
(4)x2＋(2m＋1)x＋m(m＋1)＝0，
(x＋m)［x＋(m＋1)］＝0，
∴x1＝－m，x2＝－m－1?
5．(x＋4y)(x－y)＝0，
x＝－4y或x＝y
当x＝－4y时，＝；
当x＝y时，＝＝0．
6．(x2＋y2)(x2＋y2－1)－12＝0，
(x2＋y2)2－(x2＋y2)－12＝0，
(x2＋y2－4)(x2＋y2＋3)＝0，
∴x2＋y2＝4或x2＋y2＝－3(舍去)?
7．x1＝－36，x2＝24?
8．∵x2＋3x＋5＝9，∴x2＋3x＝4，
∴3x2＋9x－2＝3(x2＋3x)－2＝3×4－2＝10?
9．10＝－5(t－2)(t＋1)，∴t＝1(t＝0舍去)
10．(1)x1＝－2，x2＝2?
(2)(x2－2)(x2－5)＝0，(x＋)(x－)(x＋)(x－)＝0?(共14张PPT)
第二十一章
·一元二次方程
因式分解法
温故知新
1.我们已经学过了几种解一元二次方程的方法
（1）配方法
（2）公式法
2.什么叫分解因式
把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做分解因式。
问题引入
根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么经过
x
s物体离地的高度（单位：m）为10x－4.9x2。你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗（精确到0.01s）？
解：设物体经过
x
s落回地面，这时它离地面的高度为0，
即10x－4.9x2＝0
①
思考：除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法解方程①？
知识点详解
解：方程①的右边为0，左边可以因式分解得：
x(10－4.9x)＝0
于是得x＝0或10－4.9x＝0
②
∴x1＝0
x2＝
上述解中，x2表示物体约在2.04s时落回地面，而x1＝0表示物体被上抛离开地面的时刻，即0s时物体被抛出，此刻物体的高度是0m。
知识点详解
用因式分解法解一元二次方程的步骤：
1.方程右边化为零。
2.将方程左边分解成两个一次因式的乘积。
3.至少有一个因式为零，得到两个一元一次方程。
4.两个一元一次方程的解就是原方程的解。
知识点详解
如果
a·b＝0，那么a＝0或b＝0，这是因式分解法的根据.
如：如果(x＋1)(x－1)＝0，那么x＋1＝0或x－1＝0，即x＝1或x＝-1。
温馨提示:
1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右边等于零;
2.
关键是熟练掌握因式分解的知识;
3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少有一个因式等于零。”
例题详解
(1)
解：
例题详解
(2)
解：
练习题
1．小华在解一元二次方程
x2－x＝0
时，只得出一个根
x＝1，则被漏掉的一个根是(
)
A．x＝4
B．x＝3
C．x＝2
D．x＝0
D
练习题
2.用适当的方法解下列方程：
解：
练习题
3.先化简，再求值：
其中x2-x=0.
解：∵x2－x＝0，∴x(x－1)＝0.
∴x1＝0，x2＝1.
当
x＝1
时，x2－1＝0(舍去)．
∴x＝0.
原式
＝(x－2)(x＋1)．
当
x＝0
时，
原式＝(x－2)(x＋1)＝(0－2)(0＋1)＝－2.
课堂总结
1．因式分解法
当一元二次方程的一边为0时，将方程的另一边分解成两个因式的积，进而转化为两个一元一次方程求解，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
2．灵活选择方法解一元二次方程
一元二次方程有三种解法：配方法，公式法，因式分解法。
课堂总结
其选择的原则一般为：
(1)当给定的一元二次方程能转换成(x＋m)2
＝n(n≥0)型时可选用配方法。
(2)当一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的左边能分解因式时，选用因式分解法；不能分解因式时，一般选用公式法。《因式分解法》同步练习
(
选择
题
)
1、方程的解是（
）
A．
B．
C．，
D．，
2、方程(x－16)(x＋8)＝0的根是(
)
A．x1＝－16，x2＝8
B．x1＝16，x2＝－8
C．x1＝16，x2＝8
D．x1＝－16，x2＝－8
3、下列方程4x2－3x－1＝0，5x2－7x＋2＝0，13x2－15x＋2＝0中，有一个公共解是(
)
A．x＝
B．x＝2
C．x＝1
D．x＝－1
4、方程5x(x＋3)＝3(x＋3)解为(
)
A．x1＝，x2＝3
B．x＝
C．x1＝－，x2＝－3
D．x1＝，x2＝－3
5、方程(y－5)(y＋2)＝1的根为(
)
A．y1＝5，y2＝－2
B．y＝5
C．y＝－2
D．以上答案都不对
6、方程(x－1)2－4(x＋2)2＝0的根为(
)
A．x1＝1，x2＝－5
B．x1＝－1，x2＝－5
C．x1＝1，x2＝5
D．x1＝－1，x2＝5
7、一元二次方程x2＋5x＝0的较大的一个根设为m，x2－3x＋2＝0较小的根设为n，则m＋n的值为(
)
A．1
B．2
C．－4
D．4
8、方程x2－3|x－1|＝1的不同解的个数是(
)
A．0
B．1
C．2
D．3
(
填空
题
)
1、小华在解一元二次方程时，只得出一个根是，则被他漏掉的一个根是________.（提示：方程两边不能同除以含有未知数的式子，否则会失根的.）
2、关于x的方程x2＋(m＋n)x＋mn＝0的解为__________．
(
简答
题
)
1、已知，求代数式的值．
(
选择
题
)答案
1、C
先移项，得，因式分解，得：，∴，.
2、B
3、C
4、D
5、D
6、B
7、A
8、D
(
填空
题
)
1、
将方程因式分解，得，∴，.∴被他漏掉的根是.
2、x1＝－m，x2＝－n
(
简答
题
)
1、解：原式=
∵，∴，
∴或，∴或，
∴当时，原式=-=3；当时，原式=-3．
