22.2二次函数与一元二次方程一课一练

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九上数学分类题型汇编：第22章第2节 二次函数与一元二次方程
题型一 【二次函数与一元二次方程的关系】
1.已知二次函数y=x2+3x+m（m为常数）的图象与x轴有两个交点，其中一个交点为（﹣1，0），则另一个交点是（　　）21世纪教育网版权所有
A.（1，0） B.（2，0） C.（﹣2，0） D.（﹣3，0）
2.抛物线y=x2+kx﹣1与x轴交点的个数为（　　）
A.0个 B.1个 C.2个 D.以上都不对
3.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的是（ ）A.ac＞0 B.方程ax2+bx+c=0的两根是x1=﹣1，x2=3
C.不等式ax2+bx+c＜0的解集是﹣1＜x＜3 D.当x＞0时，y随x的增大而减小
4．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）和正比例函数y=x的图象如图所示，则方程ax2+（b﹣）x+c=0（a≠0）的两根之和（　　）21教育网
A.小于0 B.等于0 C.大于0 D.不能确定
第3题图 第4题图
5.已知二次函数y=kx2﹣7x﹣7的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围为　 　.
6.已知抛物线y=2（k+1）x2+4kx+2k﹣3，求：
（1）k为何值时，抛物线与x轴有两个交点；
（2）k为何值时，抛物线与x轴有唯一交点；
（3）k为何值时，抛物线与x轴没有交点.
　
题型二【利用二次函数的图像解不等式】
1.已知抛物线y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，若y＜0，则x的取值范围是（　　）
A.﹣1＜x＜3 B.﹣1＜x＜4 C.x＜﹣1或 x＞4 D.x＜﹣1或 x＞3
2.如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c≥0的解集是（　　）
A.﹣1≤x≤5 B.x≥5 C.x≤﹣1 D.x≤﹣1或x≥5
3.若二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）的图象经过点（2，0），且其对称轴为x=﹣1，则使函数值y＞0成立的x的取值范围是（　　）21·世纪*教育网
A.x＜﹣4或x＞2 B.﹣4≤x≤2 C.x≤﹣4或x≥2 D.﹣4＜x＜2
　
第1题图 第2题图
题型三【 利用二次函数图像求一元二次方程的近似解】
1.下表是一组二次函数y=x2+3x﹣5的自变量x与函数值y的对应值：
x 1 1.1 1.2 1.3 1.4
y ﹣1 ﹣0.49 0.04 0.59 1.16
那么方程x2+3x﹣5=0的一个近似根是（　　）
A.1 B.1.1 C.1.2 D.1.3
2.下列表格是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与函数y的一些对应值.由此可以判断方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个根在（　　） 2·1·c·n·j·y
x 6.17 6.18 6.19 6.20
y=ax2+bx+c ﹣0.03 ﹣0.01 0.02 0.06
A.6.17﹣6.18之间 B.6.18﹣6.19之间 C.6.19﹣6.20之间 D.不确定
3.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数），对称轴为直线x=1，它的部分自变量与函数值y的对应值如下表，写出方程ax2+bx+c=0的一个正数解的近似值　 　（精确到0.1）.2-1-c-n-j-y
x ﹣0.1 ﹣0.2 ﹣0.3 ﹣0.4
y=ax2+bx+c ﹣0.58 ﹣0.12 0.38 0.92
4.已知二次函数y=﹣x2﹣2x+2.
（1）填写表，并在给出的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … …
（2）结合函数图象，直接写出方程﹣x2﹣2x+2=0的近似解（指出在哪两个连续整数之间即可）.
　题型四 【二次函数与一元二次方程、不等式的综合】
　1.已知关于x的方程kx2+（2k+1）x+2=0.
（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根；
（2）当抛物线y=kx2+（2k+1）x+2图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数时，若P（a，y1），Q（1，y2）是此抛物线上的两点，且y1＞y2，请结合函数图象确定实数a的取值范围；21·cn·jy·com
（3）已知抛物线y=kx2+（2k+1）x+2恒过定点，求出定点坐标.
2.关于x的方程kx2+（3k+1）x+3=0.
（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根；
（2）当二次函数y=kx2+（3k+1）x+3的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为负整数时，求出函数的最大（或最小）值，并画出函数图象；www.21-cn-jy.com
（3）若P（a，y1），Q（2，y2）是（2）中抛物线上的两点，且y1＞y2，请你结合函数图象确定实数a的取值范围.www-2-1-cnjy-com
3.已知关于x的一元二次方程kx2+（3k+1）x+3=0（k≠0）.
（1）求证：无论k取何值，方程总有两个实数根；
（2）若二次函数y=kx2+（3k+1）x+3的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为整数，求k的值.21*cnjy*com
4.已知关于x的方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2=0.
（1）求证：无论m取任何实数时，方程总有实数根；
（2）若关于x的二次方程y=mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2=0的图象经过坐标原点，求抛物线的解析式；【来源：21cnj*y.co*m】
（3）在直角坐标系xOy中，画出（2）中的函数图象，结合图象回答问题：当直线y=x+b与（2）中的函数图象只有两个交点时，求b的取值范围.【版权所有：21教育】
　
【能力综合提升】
1.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个不同的交点，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0根的情况是（　　）21教育名师原创作品
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.无法确定
2.二次函数y=a（x﹣3）2+4（a≠0）的图象在1＜x＜2这一段位于x轴的上方，在5＜x＜6这一段位于x轴的下方，则a的值为（　　）
A.1 B.﹣1 C.2 D.﹣2
3.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣5，0），对称轴为直线x=﹣2，给出四个结论：
①abc＞0； ②4a+b=0；③若点B（﹣3，y1）、C（﹣4，y2）为函数图象上的两点，则y2＜y1； ④a+b+c=0.其中，正确结论的个数是（　　）
A.1 B.2 C.3 D.4
4.对于每个正整数n，抛物线y=（n2+n）x2﹣（2n+1）x+1与x轴交于An，Bn两点，以|AnBn|表示该两点间的距离，则|A1B1|+|A2B2|+…+|A2016B2016|的值是（　　）
A. B. C. D.
5.若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点，坐标分别为（x1，0）、（x2，0），且x1＜x2，图象上有一点M（x0，y0）在x轴下方，在下列四个算式中判定正确的是　 　.
①a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0；②a＞0；③b2﹣4ac≥0；④x1＜x0＜x2.
6.已知二次函数y=（x﹣1）2﹣t2（t≠0），方程（x﹣1）2﹣t2﹣1=0的两根分别为m，n（m＜n），方程（x﹣1）2﹣t2﹣2=0的两根分别为p，q（p＜q），判断m，n，p，q的大小关系是　 　（用“＜”连接）
7.已知抛物线p：y=ax2+bx+c的顶点为C，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），点C关于x轴的对称点为C′，我们称以A为顶点且过点C′，对称轴与y轴平行的抛物线为抛物线p的“关联”抛物线，直线AC′为抛物线p的“关联”直线.若一条抛物线的“关联”抛物线和“关联”直线分别是y=x2+2x+1和y=2x+2，则这条抛物线的解析式为　 　.
　
参考答案与试题解析
题型一 【二次函数与一元二次方程的关系】　
1C.【解答】解：设另一个交点坐标为（a，0），∵y=x2+3x+m，∴y=x2+3x++m﹣，
∴y=+m﹣，∴二次函数图象的对称轴为x=﹣，∵，
∴a=﹣2，∴另一个交点是（﹣2，0），故选C.　
2C.【解答】解：∵抛物线y=x2+kx﹣1，∴当y=0时，则0=x2+kx﹣1，∴△=b2﹣4ac=k2+4＞0，
∴方程有2个不相等的实数根，∴抛物线y=x2+kx﹣与x轴交点的个数为2个，故选C.
3B.【解答】解：A、∵抛物线的开口向下，∴a＜0.∵抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，
∴c＞0，∴ac＜0，故本选项错误；B、∵抛物线的对称轴为x=1，与x轴的一个交点是（3，0），∴抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0），∴方程ax2+bx+c=0的两根是x1=﹣1，x2=3，故本选项正确；C、∵由图可知当x＜﹣1或x＞3时，抛物线在x轴的下方，
∴不等式ax2+bx+c＜0的解集是x＜﹣1或x＞3，故本选项错误；D、由图可知，当0＜x＜1时，y随x的增大而增大，故本选项错误.故选B.　【来源：21·世纪·教育·网】
4C.【解答】解：设ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，∵由二次函数的图象可知x1+x2＞0，a＞0，∴﹣＞0.设方程ax2+（b﹣）x+c=0（a≠0）的两根为m，n，则m+n=﹣=﹣+，∵a＞0，∴＞0，∴m+n＞0.故选C.
　5　k＞﹣，且k≠0　.
【解答】解：∵二次函数y=kx2﹣7x﹣7的图象和x轴有两个交点，∴，
∴k＞﹣且k≠0.故答案为：k＞﹣，且k≠0.　
6.【解答】解：（1）∵抛物线y=2（k+1）x2+4kx+2k﹣3与x轴有两个交点，∴△＞0，且2（k+1）≠0，∴（4k）2﹣4×2（k+1）（2k﹣3）＞0且k≠﹣1，整理得，k+3＞0，解得，k ＞﹣3且k≠﹣1.故k＞﹣3且k≠﹣1时，抛物线与x轴有两个交点；
（2）∵抛物线与x轴有唯一交点，∴△=0，且2（k+1）≠0，
∴（4k）2﹣4×2（k+1）（2k﹣3）=0且k≠﹣1，整理得，k+3=0，解得，k=﹣3.
故k=﹣3时，抛物线与x轴有唯一交点；
（3）∵抛物线与x轴无交点，∴△＜0，且2（k+1）≠0，
∴（4k）2﹣4×2（k+1）（2k﹣3）＜0，且k≠﹣1，整理得，k+3＜0，解得，k＜﹣3.
故k＜﹣3时，抛物线与x轴没有交点.
题型二 【利用二次函数的图像解不等式】
1A.【解答】解：根据图象可知，抛物线的对称轴为x=1，抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），则（﹣1，0）关于x=1对称的点为（3，0），即抛物线与x轴另一个交点为（3，0），
当﹣1＜x＜3时，y＜0，故选A.
2A.【解答】解：由图可知，函数图象的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点坐标为（5，0），
所以，函数图象与x轴的另一交点的坐标是（﹣1，0），所以，不等式ax2+bx+c≥0的解集是﹣1≤x≤5.故选A.　
3D.【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）的图象经过点（2，0），且其对称轴为x=﹣1，∴二次函数的图象与x轴另一个交点为（﹣4，0），∵a＜0，∴抛物线开口向下，
则使函数值y＞0成立的x的取值范围是﹣4＜x＜2.故选D.
题型三 【利用二次函数图像求一元二次方程的近似解】
1C【解答】解：观察表格得：方程x2+3x﹣5=0的一个近似根为1.2，故选C
2B.【解答】解：由表格中的数据看出﹣0.01和0.02更接近于0，故x应取对应的范围.
3 2.2.（答案不唯一，与其相近即可）
【解答】解：由表可知，当x=﹣0.2时，y的值最接近0，所以，方程ax2+bx+c=0一个解的近似值为﹣0.2，设正数解的近似值为a，∵对称轴为直线x=1，∴=1，解得a=2.2.　
4.【解答】解：（1）填表如下：
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … ﹣6 ﹣1 2 3 2 ﹣1 ﹣6 …
所画图象如图：
（2）由图象可知，方程﹣x2﹣2x+2=0的两个近似根是﹣3～﹣2之间和0～1之间.
　题型四 【二次函数与一元二次方程、不等式的综合】　
1.【解答】（1）证明：①当k=0时，方程为x+2=0，所以x=﹣2，方程有实数根，
②当k≠0时，∵△=（2k+1）2﹣4k×2=（2k﹣1）2≥0，即△≥0，
∴无论k取任何实数时，方程总有实数根；
（2）解：令y=0，则kx2+（2k+1）x+2=0，
解关于x的一元二次方程，得x1=﹣2，x2=﹣，
∵二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数，∴k=1.
∴该抛物线解析式为y=x2+3x+2，
由图象得到：当y1＞y2时，a＞1或a＜﹣4.
（3）依题意得kx2+（2k+1）x+2﹣y=0恒成立，即k（x2+2x）+x﹣y+2=0恒成立，
则，解得或.所以该抛物线恒过定点（0，2）、（﹣2，0）.
2.【解答】（1）证明：当k=0时，方程变形为x+3=0，解得x=﹣3；
当k≠0时，△=（3k+1）2﹣4 k 3=（3k﹣1）2，∵（3k﹣1）2≥0，∴△≥0，
∴当k≠0时，方程有实数根，∴无论k取任何实数时，方程总有实数根；
（2）解：kx2+（3k+1）x+3=0（k≠0）
（kx+1）（x+3）=0，解得：x1=﹣，x2=﹣3，
所以二次函数y=kx2+（3k+1）x+3的图象与x轴两个交点的横坐标分别为﹣和﹣3，
根据题意得﹣为整数，且k为负整数所以整数k=﹣1；二次函数为y=﹣x2﹣2x+3；
函数图象如下：
（3）解：把点Q（2，y2）代入y=﹣x2﹣2x+3得y2=﹣5，则点Q的对称点为（﹣4，﹣5），
由图象可知：当﹣4＜a＜2时，y1＞y2.
3.【解答】（1）证明：△=（3k+1）2﹣4k×3=（3k﹣1）2，
∵（3k﹣1）2，≥0，∴△≥0，∴无论k取何值，方程总有两个实数根；
（2）解：kx2+（3k+1）x+3=0（k≠0）x=，
x1=﹣，x2=﹣3，
所以二次函数y=kx2+（3k+1）x+3的图象与x轴两个交点的横坐标分别为﹣和﹣3，
根据题意得﹣为整数，所以整数k为±1.　
4.【解答】解：（1）分两种情况讨论.
①当m=0时，方程为x﹣2=0，x=2.∴m=0时，方程有实数根.
②当m≠0时，则一元二次方程的根的判别式
△=[﹣（3m﹣1）]2﹣4m（2m﹣2）
=9m2﹣6m+1﹣8m2+8m=m2+2m+1
=（m+1）2≥0，
∴m≠0时，方程有实数根.故无论m取任何实数时，方程恒有实数根.
综合①②可知，m取任何实数，方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2=0恒有实数根；
（2）∵抛物线y=mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2经过原点，
∴2m﹣2=0，∴m=1，∴抛物线解析式为y=x2﹣2x.
（3）函数图象如图所示，由消去y得到x2﹣3x﹣b=0，
∵两个函数图象有两个交点，∴△＞O，∴9+4b＞0，
∴b＞﹣时直线y=x+b与（2）中的函数图象只有两个交点.
　
【能力综合提升】　
1A.【解答】解：由分析可知：抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个不同的交点，
∴一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不同的实数根，故选（A）　
2B.【解答】解：∵y=a（x﹣3）2+4（a≠0），∴抛物线的对称轴为x=3.
又∵当1＜x＜2时，函数图象位于x轴的上方，∴当4＜x＜5时，函数图象位于x轴的上方.又∵当5＜x＜6时，函数图象位于x轴的下方，∴当x=5时，y=0.∴4a+4=0.
∴a=﹣1.故选：B.　
3C.【解答】解：由图象可知：开口向下，故a＜0，抛物线与y轴交点在x轴上方，故c＞0，
∵对称轴x=﹣＜0，∴b＜0，∴abc＞0，故①正确；∵对称轴为x=﹣2，∴﹣=﹣2，
∴b=4a，∴4a﹣b=0，故②不正确；
当x＜﹣2时，此时y随x的增大而增大，∵﹣3＞﹣4，∴y1＞y2，故③正确；
∵图象过点A（﹣5，0），对称轴为直线x=﹣2，∴点A关于x=﹣2对称点的坐标为：（1，0）
令x=1代入y=ax2+bx+c，∴y=a+b+c=0，故④正确故选（C）　
4D.【解答】解：当y=0时，（n2+n）x2﹣（2n+1）x+1=0，解得x1=，x2=，则A、B点的坐标为（，0），（，0），则|AnBn|=﹣，【出处：21教育名师】
所以|A1B1|=1﹣；|A2B2|=﹣；|A3B3|=﹣；|A2016B2016|=﹣，
所以|A1B1|+|A2B2|+…+|A2016B2016|=1﹣+﹣+﹣+…+﹣=1﹣=.故选D.21*cnjy*com
5. 　①　.
【解答】解：
∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点无法确定a的正负情况，
∴选项②项错误；∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点，且坐标分别为（x1，0）、（x2，0），且x1＜x2，∴b2﹣4ac＞0，故选项③错误；21cnjy.com
若a＞0，则x1＜x0＜x2，若a＜0，则x0＜x1＜x2或x1＜x2＜x0，故选项④错误
若a＞0，则x0﹣x1＞0，x0﹣x2＜0，∴（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0，∴a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0，
若a＜0，则（x0﹣x1）与（x0﹣x2）同号，∴a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0，
综上所述，a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0正确，故选项①正确，故答案为：①.　
6. 　p＜m＜n＜q　
【解答】解：二次函数y=（x﹣1）2﹣t2（t≠0）的图象如右：根据图可知p＜m＜n＜q，
故答案为：p＜m＜n＜q.
　
7　y=x2﹣2x﹣3　.
【解答】解：∵y=x2+2x+1=（x+1）2，∴A点坐标为（﹣1，0），
解方程组，得或，∴点C′的坐标为（1，4），
∵点C和点C′关于x轴对称，∴C（1，﹣4），
设原抛物线解析式为y=a（x﹣1）2﹣4，把A（﹣1，0）代入得4a﹣4=0，解得a=1，
∴原抛物线解析式为y=（x﹣1）2﹣4=x2﹣2x﹣3.故答案为：y=x2﹣2x﹣3.
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