6．2.1 直接证明：分析法与综合法
1．要证明＋<2，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是( )
A．综合法
B．分析法
C．反证法
D．归纳法
答案 B
2．已知a，b，c是三条互不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，给出
四个命题：
①a∥b，b∥α，则a∥α；②a，b α，a∥β，b∥β，则α∥β；③a⊥α，a∥β，则α⊥β；④a⊥α，b∥α，则a⊥b.
其中正确的命题个数是
( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析 ①中a∥α需a α，此条件不一定成立；②中α∥β时需a，b相交，此条件不一定成立；③中β内平行于a的直线一定垂直于α，正确；④中a与b所成角为90°，正确．
答案 B
3．设x，y∈R，且4xy＋4y2＋x＋6＝0，则x的取值范围是
( )
A．－3≤x≤2
B．－2≤x≤3
C．x≤－2或x≥3
D．x≤－3或x≥2
解析 已知等式视为y的一元二次方程，则Δ＝(4x)2－4×4(x＋6)≥0，∴x≤－2或x≥3.
答案 C
4.如图所示，在直四棱柱A1B1C1D1－ABCD中，当底
面四边形ABCD满足条件________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形)．
解析 从结论出发，找一个使A1C⊥B1D1成立的充分条件．因而可以是：AC⊥BD.
答案 AC⊥BD
5．等式“＝”的证明过程“等式两边同时乘以
得，左边＝·＝＝＝1，右边＝1，左边＝右边，故原等式成立”应用了________的证明方法．(填“综合法”或“分析法”)
答案 综合法
6．已知函数f(x)＝·x3.
(1)判断f(x)的奇偶性；
(2)求证：f(x)>0.
(1)解 ∵2x－1≠0，∴函数f(x)的定义域为{x|x≠0}．
∵f(－x)－f(x)＝(－x)3－x3
＝(－x)3－x3
＝·x3－x3－·x3－x3＝x3－x3＝0，
∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数．
(2)证明 由题意知x≠0，
当x>0时，∵2x－1>0，x3>0，∴f(x)>0；
当x<0时，∵－x>0，∴f(－x)＝f(x)>0，
∴f(x)>0.综上所述，f(x)>0.
7．p＝＋，q＝·(m、n、a、b、c、d均为正数)，
则p、q的大小为
( )
A．p≥q
B．p≤q
C．p＞q
D．不确定
解析 q＝
≥
＝＋＝p.
答案 B
8．若sin
α＋sin
β＋sin
γ＝0，cos
α＋cos
β＋cos
γ＝0，则cos(α－β)＝
( )．
A．1
B．－1
C.
D．－
解析 sin
α＋sin
β＝－sin
γ，cos
α＋cos
β＝－cos
γ，
两式两边分别平方相加得cos(α－β)＝－.
答案 D
9．已知a，b是不相等的正数，x＝，y＝，则x，y的大小关
系是________．
解析 ∵x2＝＝
＝＋<＋＝a＋b.＝()2＝y2，
∴x
答案 x10．补足下面用分析法证明基本不等式≤的步骤．
要证明≤，
只需要证2≤a＋b，
只要证________，只要证________，由于________显然成立，因此原不等式成立．
答案 a＋b－2≥0，(－)2≥0，(－)2≥0
11．已知a>0，求证：
－≥a＋－2.
证明 要证
－≥a＋－2，
只要证
＋2≥a＋＋.
∵a>0，故只要证2≥2，
即a2＋＋4
＋4≥a2＋2＋
＋2
＋2，
从而只要证2
≥，
只要证4≥2，
即a2＋≥2，而上述不等式显然成立，
故原不等式成立．
12．(创新拓展)证明在△ABC中，a，b，c成等差数列的充要条件是acos2
＋ccos2＝b.
证明 在△ABC中，acos2＋c·cos2＝
a·＋c·＝
a(1＋cos
C)＋c(1＋cos
A)＝3b
a＋c＋acos
C＋ccos
A＝3b
a＋c＋a＋c＝3b
a＋c＋＋＝3b
a＋c＋b＝3b a＋c＝2b
a，b，c成等差数列．所以命题成立．(共36张PPT)
1．了解数学归纳法的原理、证明的步骤及变形的特点．
2．会用数学归纳法证明有关几何问题．整除问题和归纳猜
想的问题．
6．3 数学归纳法
【课标要求】
是一种证明与正整数n有关的数学命题的重要方法．
用数学归纳法证明的步骤
(1)证明当n取第一个值n0时结论正确；
(2)假设当n＝k(k∈N＋，且k≥n0)时结论正确，证明当n＝
时结论也正确．
在完成了这两个步骤以后，就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数n都正确．
自学导引
1．
2．
数学归纳法
k＋1
3．用框图表示数学归纳法的步骤
提示 (1)不完全归纳法：如果我们考察了某类对象中的一部分，由这一部分具有某种特征而得出该对象中的全体具有这种特征的结论为不完全归纳法．由不完全归纳法得出的结论不一定都是正确的，其正确性还需进一步证明．
(2)完全归纳法：如果我们考察了某一类对象中的所有对象而得出了该类对象全体具有某种特征的结论为完全归纳法．由完全归纳法得到的结论一定是正确的．数学归纳法是一种完全归纳法．
自主探究
1．什么是不完全归纳法和完全归纳法？
提示 验证n＝n0时的n0未必是1，根据题目要求，有时可以为2,3等．
2．当n∈N＋时，必须从n＝1归纳吗？
答案 B
预习测评
答案 D
用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取
( )．
A．2
B．3
C．5
D．6
解析 当n取1、2、3、4时，2n>n2＋1不成立，
当n＝5时，25＝32>52＋1＝26，
第一个能使2n>n2＋1的n值为5，
故选C.
答案 C
3．
用数学归纳法证明(1＋1)(2＋2)(3＋3)…(n＋n)＝2n－1·(n2
＋n)时，从n＝k到n＝k＋1左边需要添加的因式是_______．
解析 当n＝k时，左端为：(1＋1)(2＋2)…(k＋k)，
当n＝k＋1时，
左端为：(1＋1)(2＋2)…(k＋k)(k＋1＋k＋1)，
由k到k＋1需添加的因式为：(2k＋2)．
答案 2k＋2
4．
数学归纳法的步骤(1)是命题论证的基础，步骤(2)是判断命题的正确性能否递推下去的保证，这两个步骤缺一不可．如果缺少步骤(2)，无法对n取n0后的数时的结论是否正确作出判断；如果缺少步骤(1)这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤(2)就没有意义了．
(1)验证是基础
一般情况下，用数学归纳法证明与正整数有关的数学命题时，第一个允许值是命题成立的第一个正整数，并不一定所有的第一个允许值n0都是1.
要点阐释
运用数学归纳法的注意点
1．
(2)递推是关键
“假设n＝k(k≥n0，k∈N＋)时命题成立”这一归纳假设起着已知的作用，“n＝k＋1时命题成立”则是求证的目标．在证明“n＝k＋1时命题也成立”的过程中，必须利用归纳假设，再根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出n＝k＋1时命题成立．可见数学归纳法证明的关键在于第二步．
说明：(1)数学归纳法是直接证明的一种重要方法，应用十分广泛．一般来说，与正整数有关的恒等式、不等式、数的整除性、数列的通项及前n项和等问题，都可以考虑用数学归纳法证明．
(2)归纳推理可以帮助我们发现一般规律，但是其正确性需要通过证明来验证．一般情况下，有关正整数的归纳、猜想问题，都需要由不完全归纳法得到猜想，然后用数学归纳法证明猜想是否正确．
从观察一些特殊的简单的问题入手，根据它们所体现的共同性质，运用不完全归纳法作出一般命题的猜想，然后从理论上证明(或否定)这种猜想，这个过程叫做“归纳—猜想—证明”．
这类问题涉及的知识很广泛，可以涵盖代数、三角恒等式、不等式、数列、几何问题、整除性问题等，解题一般分三步进行：
①验证p(1)，p(2)，p(3)，p(4)，…；
②提出猜想；
③用数学归纳法证明．
归纳、猜想与证明
2．
典例剖析
题型一 用数学归纳法证明等式
点评 用数学归纳法证题时，要把n＝k时的命题当作条件，在证n＝k＋1命题成立时须用上假设．要注意当n＝k＋1时，等式两边的式子与n＝k时等式两边的式子的联系，增加了哪些项，减少了哪些项，问题就会顺利解决．
1．
用数学归纳法证明：当n∈N＋时，(1·22－2·32)＋(3·42－
4·52)＋…＋[(2n－1)(2n)2－2n(2n＋1)2]＝－n(n＋1)(4n＋3)．
证明 (1)当n＝1时，左式＝1·22－2·32＝－14，
右式＝－1·2·7＝－14.等式成立；
(2)假设当n＝k(k∈N＋)时等式成立，即
(1·22－2·32)＋(3·42－4·52)＋…＋[(2k－1)(2k)2－2k(2k＋1)2]＝－k(k＋1)(4k＋3)，
那么(1·22－2·32)＋(3·42－4·52)＋…＋[(2k－1)(2k)2－2k(2k＋1)2]＋[(2k＋1)(2k＋2)2－(2k＋2)(2k＋3)2]＝－k(k＋1)(4k＋3)－2(k＋1)[(4k2＋12k＋9)－(4k2＋6k＋2)]＝－k(k＋1)(4k＋3)－2(k＋1)·(6k＋7)＝－(k＋1)(4k2＋15k＋14)＝－(k＋1)(k＋2)·(4k＋7)＝－(k＋1)[(k＋1)＋1][4(k＋1)＋3]．
这表明，当n＝k＋1时，等式也成立．
由(1)、(2)可知，等式对一切n∈N＋都成立．
题型二 不等式的证明
点评 用数学归纳法证明不等式时，n＝k＋1时的目标必须清楚明确，首先分离整理出归纳假设的部分，然后明确无误地用上假设．用上假设之后，可采用综合法、分析法、比较法等方法完成后续的证明，同时注意放缩法的应用．
题型三 证明整除问题
证明 (1)当n＝1时，x2n－1＋y2n－1＝x＋y，能被x＋y整除．
(2)假设当n＝k(k∈N＋，且k≥1)时，命题成立，即x2k－1＋y2k－1能被x＋y整除．
那么x2(k＋1)－1＋y2(k＋1)－1
＝x2k＋1＋y2k＋1＝x2k－1＋2＋y2k－1＋2
＝x2·x2k－1＋y2·y2k－1＋x2·y2k－1－x2·y2k－1
＝x2(x2k－1＋y2k－1)＋y2k－1(y2－x2)．
∵x2k－1＋y2k－1能被x＋y整除，y2－x2＝(y＋x)(y－x)也能被x＋y整除，
【例3】用数学归纳法证明x2n－1＋y2n－1(n∈N＋)能被x＋y整除．
这表明，当n＝k＋1时，x2(k＋1)－1＋y2(k＋1)－1能被x＋y整除．
由(1)，(2)可知原命题成立．
点评 用数学归纳法证明整除性命题时，经常利用添加项的技巧来凑出假设.
证明：(1)当n＝1时，62－1＋1＝7能被7整除．
(2)假设当n＝k(k∈N＋，且k≥1)时，62k－1＋1能被7整除．
那么62(k＋1)－1＋1＝62k－1＋2＋1
＝36(62k－1＋1)－35.∵62k－1＋1能被7整除，35也能被7整除，
这表明，当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1能被7整除．
由(1)、(2)知命题成立．
3．用数学归纳法证明62n－1＋1(n∈N＋)能被7整除．
在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝λan＋λn＋1＋(2－λ)2n(n∈N＋)，其中λ>0.
(1)求a2，a3，a4；
(2)猜想{an}的通项公式并加以证明．
解 (1)由an＋1＝λan＋λn＋1＋(2－λ)2n，
将a1＝2代入，得a2＝λa1＋λ2＋(2－λ)×2＝λ2＋4，
将a2＝λ2＋4代入，得a3＝λa2＋λ3＋(2－λ)×22＝2λ3＋8，
将a3＝2λ3＋8代入，得a4＝λa3＋λ4＋(2－λ)×23＝3λ4＋16.
题型四 归纳、猜想、证明
【例4】
(2)由a2，a3，a4对{an}的通项公式做出猜想：an＝(n－1)λn＋2n.
下面用数学归纳法加以证明
当n＝1时，a1＝2＝(1－1)λ1＋21成立．
假设当n＝k(k∈N＋，且k≥1)时，ak＝(k－1)λk＋2k，
那么ak＋1＝λak＋λk＋1＋(2－λ)2k＝(k－1)λk＋1＋λ2k＋λk＋1＋(2－λ)2k
＝kλk＋1＋2k＋1＝[(k＋1)－1]λk＋1＋2k＋1.
这表明，当n＝k＋1时，ak＋1＝[(k＋1)－1]λk＋1＋2k＋1也成立．
综上可知，an＝(n－1)λn＋2n对任意n∈N＋都成立．
点评 因为数列和数学归纳法都是与正整数有关的问题，所以利用数学归纳法研究数列问题是一种非常重要的思想方法．当数列的一般性结论(如通项公式、前n项和公式等)不易直接推出时，根据前几项归纳猜想，然后利用数学归纳法进行证明，可使问题得以顺利解决．
当k－1＝0时，猜想成立，
当k－1≠0时，ak＋1＝(k＋1)[2(k＋1)－1]．
这表明，当n＝k＋1时，结论正确．
由①、②可知，数列{an}的通项公式是an＝n(2n－1)(n∈N＋)．
误区警示 利用数学归纳法证明时，一定要用“归纳假设” 6．2.2 间接证明：反证法
1．命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是
( )
A．有两个内角是直角
B．有三个内角是直角
C．至少有两个内角是直角
D．没有一个内角是直角
答案 C
2．应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用
( )
①结论相反判断，即假设 ②原命题的条件 ③公理、定理、定义等 ④原结论
A．①②
B．①②④
C．①②③
D．②③
答案 C
3．如果两个实数之和为正数，则这两个数
( )
A．一个是正数，一个是负数
B．两个都是正数
C．至少有一个是正数
D．两个都是负数
解析 假设两个数都是负数，则其和必为负数．
答案 C
4．用反证法证明命题：“若a，b∈R，且a2＋|b|＝0，则a，b全为0”时，
应假设为________．
解析 “a，b全为0”即是“a＝0，且b＝0”．因此它的否定为“a≠0，或b≠0”
答案 若a≠0，或b≠0
5．和两异面直线AB，CD都相交的直线AC，BD的位置关系是________．
解析 假设AC与BD共面于α，则点A，C，B，D都在α内，
∴AB与CD共面于α，这与AB，CD异面的条件矛盾．
∴AC与BD异面．
答案 异面
6．已知a是整数，a2是偶数，求证：a也是偶数．
证明 (反证法)假设a不是偶数，即a是奇数．
设a＝2n＋1(n∈Z)，则a2＝4n2＋4n＋1.
∵4(n2＋n)是偶数，
∴4n2＋4n＋1是奇数，这与已知a2是偶数矛盾．
由上述矛盾可知，a一定是偶数．
7．以下各数不能构成等差数列的是
( )
A．4,5,6
B．1,4,7
C.，，
D.，，
解析 显然A，B，C选项中，给出的三数均能构成等差数列，故选D.事实上，，，不能构成等差数列，证明如下：假设，，成等差数列，则2＝＋ 12＝7＋2 5＝2 25＝40.这是不可能的．
答案 D
8．用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是
( )．
A．假设至少有一个钝角
B．假设至少有两个钝角
C．假设没有一个钝角
D．假设没有一个钝角或至少有两个钝角
答案 B
9．用反证法证明：“a，b至少有一个为0”，应假设________．
答案 a，b全为为0
10．已知函数f(x)在[0,1]上有意义，且f(0)＝f(1)，如果对任意的x1，x2∈[0,1]
且x1≠x2，都有|f(x1)－f(x2)|<|x1－x2|，求证：|f(x1)－f(x2)|<，若用反证法证明该题，则反设应为________．
解析 根据已知和反证法的要求，反设应为：存在x1，x2∈[0,1]且x1≠x2，虽然|f(x1)－f(x2)|<|x1－x2|，
但|f(x1)－f(x2)|≥.
答案 存在x1，x2∈[0,1]且x1≠x2，
虽然|f(x1)－f(x2)|<|x1－x2|，
但|f(x1)－f(x2)|≥
11．已知数列{an}满足a1＝λ，an＋1＝an＋n－4，λ∈R，n∈N＋，对任意λ
∈R，证明：数列{an}不是等比数列．
证明 假设存在一个实数λ，使{an}为等比数列，则有a＝a1a3，即2＝λ，
即：λ2－4λ＋9＝λ2－4λ，∴9＝0，矛盾．
所以，数列{an}不是等比数列．
12．(创新拓展)用反证法证明：如果x>，那么x2＋2x－1≠0.
证明 假设x2＋2x－1＝0
则(x＋1)2＝2
∴x＝－1±
此时x<与已知x>矛盾，
故假设不成立．
∴原命题成立．6．1.1 归 纳
1．某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，○○○●●○○○
●●○○○…，按这种规律往下排，那么第36个圆的颜色应是
( )
A．白色
B．黑色
C．白色可能性大
D．黑色可能性大
答案 A
2．由集合{a1}，{a1，a2}，{a1，a2，a3}，…的子集个数归纳出集合{a1，
a2，a3，…，an}的子集个数为
( )
A．n
B．n＋1
C．2n
D．2n－1
解析 集合{a1}的子集有 ，{a1}共2个；{a1，a2}的子集有 ，{a1}，{a2}，{a1，a2}共4个；集合{a1，a2，a3}的子集共8个，猜测n个元素的集合的子集有2n个，故选C.
答案 C
3．根据给出的数塔猜测123456×9＋7等于
( )
1×9＋2＝11
12×9＋3＝111
123×9＋4＝1111
1234×9＋5＝11111
12345×9＋6＝111111
A．1111110
B．1111111
C．1111112
D．1111113
解析 由数塔运算积的知识易得B为真．
答案 B
4．n个连续自然数按规律排列下表：
0 3
→
4
7
→
8 11…
↓
↑ ↓
↑
↓
↑
1
→
2 5
→
6
9
→
10
根据规律，从2010到2012箭头方向依次为________．
解析 观察特例规律知：位置相同的数字都是以4为公差的等差数例，由2,3,4知2010到2012为↑→，故答案为↑→.
答案 ↑→
5．已知
＝2
，
＝3
，
＝4
，…，
若
＝6
(a，b均为实数)，推测a＝________，b＝________.
答案 6 35
6．设Sn＝＋＋＋…＋，写出S1，S2，S3，S4的值，归
纳并猜想出结果，并给出证明．
解 n＝1,2,3,4时，S1＝，S2＝，S3＝，S4＝.
猜想：Sn＝.
证明如下：＝－，
∴Sn＝＋＋＋…＋
＝1－＝.
7．设n是自然数，则(n2－1)[1－(－1)n]的值
( )
A．一定是零
B．不一定是整数
C．一定是偶数
D．是整数但不一定是偶数
解析 当n＝1时，值为0，
当n＝2时，值为0，
当n＝3时，值为2，
当n＝4时，值为0，
当n＝5时，值为6.
答案 C
8．(2011·江西)观察下列各式：55＝3
125,56＝15
625,57＝78
125，…，则52
011
的末四位数字为
( )．
A．3
125
B．5
625
C．0
625
D．8
125
解析 55＝3
125,56＝15
625,57＝78
125,58的末四位数字为0
625,59的末四位数字为3
125,510的末四位数字为5
625，511的末四位数字为8
125,512的末四位数字为0
625，…，
由上可得末四位数字周期为4，呈现规律性交替出现，∴52
011＝54×501＋7末四位数字为8
125.
答案 D
9．(2011·山东)设函数f(x)＝(x>0)，观察f1(x)＝f(x)＝，
f2(x)＝f[f1(x)]＝，
f3(x)＝f[f2(x)]＝，
f4(x)＝f[f3(x)]＝，…
根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N＋且n≥2时，fn(x)＝f[fn－1(x)]＝________.
解析 先求分母中x项系数组成数列的通项公式，由1,3,7,15…，可推知该数列的通项公式为an＝2n－1，又函数结果分母中常数项依次为2,4,8,16，…，故其通项公式为bn＝2n.
∴fn(x)＝.
答案
10．(2011·陕西)观察下列等式
1＝1
2＋3＋4＝9
3＋4＋5＋6＋7＝25
4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49
…
照此规律，第n个等式为________．
解析 ∵1＝12,2＋3＋4＝9＝32，
3＋4＋5＋6＋7＝25＝52，
4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49＝72，
所以第n个等式为
n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.
答案 n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2
11．观察以下等式：
sin230°＋cos260°＋sin
30°·cos
60°＝，
sin240°＋cos270°＋sin
40°·cos
70°＝，
sin215°＋cos245°＋sin
15°·cos
45°＝.
…
写出反映一般规律的等式，并给予证明．
解 反映一般规律的等式是(表述形式不唯一)：
sin2α＋cos2(α＋30°)＋
sin
α·cos(α＋30°)＝.
证明如下：
sin2α＋cos2(α＋30°)＋sin
α·cos(α＋30°)
＝sin2α＋(cos
α·cos
30°－sin
α·sin
30°)2
＋sin
α·(cos
αcos
30°－sin
α·sin
30°)
＝sin2α＋2＋sin
α
·cos
α－sin2α
＝sin2α＋
cos2α＋sin2α－sin
α·cos
α＋sin
α·cos
α－sin2α＝(sin2α＋cos2α)＝.
12．(创新拓展)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，n∈N＋，求a2，a3，a4
并猜想数列的通项公式，并给出证明．
解 {an}中a1＝1，a2＝＝，
a3＝＝＝，
a4＝＝，…，
所以猜想{an}的通项公式an＝(n∈N＋)．此猜想正确．
证明如下：因为a1＝1，an＋1＝，
所以＝＝＋，
即－＝，所以数列是以＝1为首项，
公差为的等差数列，
所以＝1＋(n－1)＝＋，
即通项公式an＝(n∈N＋)．(共24张PPT)
1．了解间接证明的一种基本方法——反证法．
2．了解反证法的思考过程、特点．
3．结合已经学过的数学实例，理解反证法的推理过程，证明步骤，体会直接证明与间接证明的区别与联系．
6．2.2 间接证明：反证法
【课标要求】
1．间接证明不是从正面确定论题的真实性，而是证明它的
为假，或改证它的 为真，以间接地达到目的． 是间接证明的一种基本方法．
2．一般地，先假设原命题的
，从这个假设出发，经过推理，得出与已知事实相矛盾的结果，这个矛盾的结果说明原命题结论的否定不成立，从而间接肯定了原命题结论成立，像这样一种间接证法，称为
．
自学导引
反论题
等价命题
反证法
否定成立
反证法
3．反证法证题的一般步骤：(1)
；(2)
；(3)
．
4．运用反证法的关键是
．
反设
归谬
结论
导出矛盾
有人说，反证法就是通过证明逆否命题来证明原命题，这种说法对吗？为什么？
提示 这种说法是错误的，反证法是否定命题，然后再证明命题的否定是错误的，从而肯定原命题正确，不是通过逆否命题证题．命题的否定与原命题是对立的，原命题为真，其命题的否定一定为假．
自主探究
用反证法证明命题“三角形的三个内角中至少有一个大于等于60°”时，反设正确的是
( )
A．三个内角都小于60°
B．三个内角都大于60°
C．三个内角中至多有一个大于60°
D．三个内角中至多有两个大于60°
解析 “至少有一个”的否定是“一个都没有”，则反设为“三个内角都小于60°”．
答案：A
预习测评
1．
反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是
( )
①与已知条件矛盾 ②与假设矛盾 ③与定义、公理、定理矛盾 ④与事实矛盾
A．①②
B．①③
C．①③④
D．①②③④
答案 D
“x＝0且y＝0”的否定形式为________．
答案：x≠0或y≠0
用反证法证明：“△ABC中，若∠A＞∠B，则a＞b”的结论的否定为________．
答案 a≤b
2．
3．
4．
间接证明不是从正面确定命题的真实性，而是证明它的结论的否定不成立，或改证它的等价命题为真，以间接地达到目的，反证法是间接证明的一种基本方法．
反证法在于表明：若肯定命题的条件而否定其结论，就会导致矛盾．具体地说，反证法不直接证明命题“若p则q”，而是先肯定命题的条件p，并否定命题的结论q，即从原命题的否定入手，由p与綈q合乎逻辑地推出一个矛盾结果；根据矛盾律，两个互相矛盾的判断不能同真，必有一假，断定命题的否定为假；从而根据排中律，两个互相矛盾的判断不能同假，必有一真．由此肯定命题“若p则q”为真．
要点阐释
第三步：由p和綈q出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果；
第四步：断定产生矛盾结果的原因在于开始所作的假定綈q不真，于是原结论q成立，从而间接地证明了命题p→q为真．
第三步所说的矛盾结果，通常是指推出的结果与已知公理、已知定义、已知定理或已知条件矛盾，与临时假定矛盾以及自相矛盾等各种情况．
典例剖析
题型一 “至多”、“至少”型问题
点评 从正面说明需分多种情况讨论，而从反面进行证明只要研究一种情况的题目，适宜用反证法．
若函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，求证：方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实根．
证明 假设方程f(x)＝0在[a，b]上至少有两个实根α，β，即f(α)＝f(β)＝0.
∵α≠β，不妨设α>β.
又∵f(x)在[a，b]上为增函数，
∴f(α)>f(β)，这与f(α)＝f(β)＝0矛盾．
所以f(x)＝0在[a，b]上至多有一个实根．
1．
如图所示，设SA、SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点，求证：AC与平面SOB不垂直．
证明 假设AC⊥平面SOB，因为直线SO在平面SOB内，所以SO⊥AC.因为SO⊥底面圆O，所以SO⊥AB.所以SO⊥平面SAB.所以平面SAB∥底面圆O.这显然与平面SAB与底面圆O相交矛盾，所以假设不成立，即AC与平面SOB不垂直．
题型二 “否定性”“肯定性”问题
【例2】
点评 否定性的问题常用反证法，例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾．
若a是整数，且a2能被4整除，求证：a能被2整除．
证明 假设a不能被2整除，则a≠2n(n∈Z)，所以a2≠4n2，所以a2不一定能被4整除，这与已知相矛盾，假设不成立，即a能被2整除．
2．
函数f(x)在R上为增函数，对命题“若a＋b≥0(a、b∈R)，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”．
(1)写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论；
(2)写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．
解 (1)逆命题是：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.(真命题)下面用反证法证明：
假设a＋b＜0，则a＜－b，b＜－a.因为f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，则f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a)，所以f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，与已知条件矛盾，故假设不成立，所以逆命题为真．
题型三 综合性问题
【例3】
(2)逆否命题：若f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，则a＋b＜0，(真命题)下面用反证法证明：
假设a＋b≥0，所以a≥－b，b≥－a，因为f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，所以f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．与已知矛盾，故假设不成立，因此逆否命题为真．
点评 本题利用函数单调性进行推理论证，综合性较强．一般地，对直接证明有困难的命题的证明，可考虑用反证法．
纠错心得 防止命题的否定写错的措施有两种：①熟记“逻辑”中的真值表，p与綈p真假相反．②借助集合观点，原命题与原命题的否定是补集关系.(共25张PPT)
1．了解合情推理的含义，能利用归纳进行简单的推理．
2．了解归纳在数学发现中的作用．
6．1 合情推理和演绎推理
6．1.1 归 纳
【课标要求】
由一系列有限的
事例得出
结论的推理方法叫作归纳．
归纳推理的一般步骤
首先，通过观察特例发现某些
或
；然后把这种共性推广为
；最后对所得出的一般性猜想，进行
．
用归纳推理可以帮助我们从具体事例中发现
，但是仅根据一系列有限的特殊事例所得出的一般结论
．
自学导引
1．
2．
3．
特殊
一般
共性
一般规律
一般性命题(猜想)
检验和证明
一般规律
不一定可靠
归纳推理的一般步骤是什么？
提示 (1)通过观察个别情况发现某些相同性质．
(2)从已知的相同性质中推出一个明确的一般性命题(猜想)．
自主探究
关于归纳推理下列说法正确的是
( )
A．归纳推理是一般到一般的推理
B．归纳推理是一般到特殊的推理
C．归纳推理的结论一定是正确的
D．归纳推理的结论不一定正确
答案 D
预习测评
1．
答案 D
数列2,5,11,20，x,47，…中的x等于________．
答案 32
解析 观察易发现：两个实数和的绝对值不大于这两个数的绝对值的和，即|x＋y|≤|x|＋|y|.
答案 |x＋y|≤|x|＋|y|
3．
1．根据一类事物的部分对象具有的某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理，简称归纳．
2．归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理过程，其思维过程大致如下：实验观察→概括→推广→猜测一般性结论．
3．归纳推理的前提和结论不具有必然性联系，前提正确，其结论不一定正确．结论的正确性还需要理论证明或实践检验．
要点阐释
4．归纳推理的特点：(1)归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，因此，由归纳推理得出的结论超越了前提所包容的范围．(2)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论不一定真实，因此它不能作为数学证明的工具．(3)归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题．
直线l1与l2是同一平面内的两条相交直线，它们有一个交点，如果在这个平面内再画第3条直线，那么这3条直线最多可能有________个交点，如果在这个平面内再画第4条直线，那么这4条直线最多可能有________个交点，由此可以猜想：在同一个平面内6条直线最多可有________个交点，n(n为大于1的整数)条直线最多可有________个交点(用含有n的代数式表示)．
典例剖析
题型一 归纳推理的证明
【例1】
点评 虽然由归纳推理所得到的结论未必是正确的，但它所具有的由特殊到一般、由具体到抽象的认识功能，对于数学的发现是十分有用的，观察、实验，对有限的资料作出归纳整理，提出带有规律性的猜想，是数学研究的基本方法之一．
答案 f(x)g(y)＋g(x)f(y)－g(x＋y)＝0 能
平面上有n(n≥2)条抛物线，其中每两条都相交于两点，并且每三条都不相交于同一点，试求这n条抛物线把平面分成多少个部分？
解 当n＝2时，即两条相交抛物线把平面分成5部分，记f(2)＝5＝22＋1；
当n＝3时，f(3)＝10＝32＋1；
当n＝4时，f(4)＝17＝42＋1；
当n＝5时，f(5)＝26＝52＋1；
归纳猜想：f(n)＝n2＋1(n≥2)．
题型二 运用归纳推理探索解题思路，能寻找解题方法
【例2】
证明 设n条抛物线将平面分成f(n)个部分；有(n＋1)条抛物线时，由于第n＋1条抛物线与前n条抛物线共有2n个交点，这2n个交点将第n＋1条抛物线共分成2n＋1段，而每一段都把原来所在的部分分成了两部分，从而增加了2n＋1个部分，所以f(n＋1)＝f(n)＋2n＋1(n≥2)．
∴f(3)＝f(2)＋5；
f(4)＝f(3)＋7；
f(5)＝f(4)＋9；
…
f(n)＝f(n－1)＋2n－1，
以上各式相加得：
f(n)＝f(2)＋(5＋7＋9＋…＋2n－1)＝n2＋1(n≥2)．
所以满足题意的n条抛物线将平面分成n2＋1个部分．
点评 运用归纳推理需要考查部分对象的情形，从而归纳猜想出一般规律，这样往往有时计算量大，易出偏差，且内部潜在的规律性有时难于看出来，就用“递推法”取代“经验归纳法”，转向考察问题每递进一步所反映的规律，即探求递推关系，最后用初始值及递推关系来寻找一般规律，从而得出问题的结论．
点评 通过观察个别情况发现某些相同性质，从相同性质中推出一个明确表述的一般性结论，一般地，归纳个别情况越多，越具有代表性，推广的结论越可能为真．
已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n＝1,2,3，…)．
(1)求a2，a3，a4，a5；
(2)归纳猜想通项公式an.
解 (1)当n＝1时，知a1＝1，
由an＋1＝2an＋1，得a2＝3，
a3＝7，a4＝15，a5＝31
方法技巧 如何进行归纳推理
【例4】
(2)由a1＝1＝21－1，
a2＝3＝22－1，
a3＝7＝23－1，
a4＝15＝24－1，
a5＝31＝25－1.
可归纳猜想，an＝2n－1(n∈N＋)．
点评 归纳推理具有从特殊到一般，由具体到抽象的认知功能，在数列问题中，常用归纳推理猜测求解数列的通项公式或前n项和公式．其具体步骤为：
(1)通过条件求得数列中的前几项；
(2)观察数列的前几项寻求项的规律，猜测数列的通项公式并加以证明．(共30张PPT)
【课标要求】
1．了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式．
2．并能运用演绎推理进行一些简单推理．
3．掌握合情推理和演绎推理的联系和差异．
4．了解合情推理和演绎推理在数学发现中的作用．
6．1.3 演绎推理
6．1.4 合情推理与演绎推理的关系
1．演绎推理：是由一般到特殊，按照严格的逻辑法则得到的一种必然性结论的推理过程，它的主要形式是 ．
2．三段论常用格式为：①M是P，② ，③S是P；其中①是
，它提供了一个一般性原理；②是
，它指出了一个特殊对象；③是
，它根据一般原理，对特殊情况作出的判断．
自学导引
三段论
S是M
大前提
小前提
结论
3．在演绎推理中，只要大前提、小前提都是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必是
的．
4．数学成果的发现往往是由
给出的，再由
给予证明．
真实
合情推理
演绎推理
1．三段论的基本格式是什么？
提示 M—P(M是P)(大前提) S—M(S是M)(小前提)S—P(S是P)(结论)
2．三段论推理的依据，用集合的观点怎样来理解？
提示 若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的一个子集，那么S中所有元素也都具有性质P.
自主探究
提示 从合情推理与演绎推理在认识事物的过程中所发挥的作用的角度考虑，二者是紧密联系的，合情推理的结论需要演绎推理的论证，而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得的．就数学而言，演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程，但数学结论、证明思路等的发现，主要靠合情推理．因此，我们不仅要学会证明，也要学会猜想．
3．合情推理与演绎推理有什么联系？
下面说法正确的有
( )．
①演绎推理是由一般到特殊的推理；②演绎推理得到的结论一定是正确的；③演绎推理一般模式是“三段论”形式；④演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析 ②错，①③④正确，故选C.
答案 C
预习测评
1．
解析 两条直线平行，同旁内角互补(大前提)
∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角(小前提)
∠A＋∠B＝180°(结论)．
答案 A
答案 增函数的定义
3．用演绎推理证明“y＝x2(x＞0)是增函数”时的大前提为______．
1．演绎推理的含义
数学理论都是用演绎推理组织起来的，每一个数学理论都是一个演绎体系，演绎推理是由一般到特殊的推理，是一种必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系，即演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围．只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必是真实的，但是错误的前提可能导致错误的结论．
要点阐释
三段论的含义
我们在解答题和证明题中所用到的推理，一般都是演绎推理，它的基本模式是三段论．
(1)大前提：已知的一般原理．例如数学中的公理、定理、性质等，物理中的定律、性质等．凡是经过实践检验是正确的都可以当作大前提．
(2)小前提：所研究的特殊情况，即在大前提范围内的某一特殊情形．
(3)结论：根据一般原理，对特殊情况做出的判断．
2．
注意：①三段论推理的根据，用集合的观点来讲就是：若集合M中所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P.
②演绎推理是一个必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系，因而，只要大前提、小前提都是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必是真实的．但错误的前提可能导致错误的结论．
合情推理与演绎推理的关系
①合情推理包括归纳推理和类比推理；而演绎推理的主要形式是“三段论式推理”．
②从推理形式上看，归纳是由部分到整体、特殊到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理．
③从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．
3．
把下列推理写成三段论的形式
(1)所有的金属都能导电，铀是金属，所以，铀能够导电；
(2)一切奇数都不能被2整除，(2100＋1)是奇数，所以(2100＋1)不能被2整除；
(3)三角函数都是周期函数，y＝tan
α是三角函数，所以y＝tan
α是周期函数．
典例剖析
题型一 用三段论的形式表示演绎推理
【例1】
解 (1)所有的金属都能导电——大前提(一般原理)
铀是金属——小前提(特殊情况)
所以铀能够导电——结论(对特殊情况的判断)．
(2)一切奇数都不能被2整除——大前提．
(2100＋1)是奇数——小前提．
所以(2100＋1)不能被2整除——结论．
(3)大前提：三角函数都是周期函数，
小前提：y＝tan
α是三角函数，
结论：y＝tan
α是周期函数．
点评 用三段论写推理过程中，关键是明确大前提、小前提，有些推理有时省略了大前提，寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．
把“函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线”写成三段论的形式．
解 二次函数的图象是一条抛物线，(大前提)
函数y＝x2＋x＋1是二次函数，(小前提)
所以，y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线．(结论)
1．
证明函数f(x)＝x4－x3＋x2－x＋1的图象恒在x轴的上方．
证明 当x<0时，f(x)各项都为正数，
因此，当x<0时，f(x)为正数．
当0≤x≤1时，f(x)＝x4＋x2(1－x)＋1－x>0；
当x>1时，f(x)＝x3(x－1)＋x(x－1)＋1>0
综上所述，函数f(x)的图象恒在x轴的上方．
点评 对x所有可能的取值都给出了f(x)为正数的证明，所以断定f(x)恒为正数．
题型二 演绎推理的运用
【例2】
2．若a，b是正实数，且a≠b，试比较aabb与abba的大小．
在平面内，已知直线l与两点A，B，在直线l上求一点P，使(1)A，B在直线l同侧时，PA＋PB最小；
(2)A、B在直线l两侧时，|PA－PB|最大(线段AB中点不在l上)．
题型三 用合情推理与演绎推理解决问题
【例3】
以上结论用演绎法证明如下：
在直线l上任取异于P点的一点P′，
连接P′A，P′A′，PA，P′B，
则P′A＋P′B＝P′A′＋P′B，
在△P′A′B中，P′B＋P′A′＞A′B
＝PA′＋PB＝PA＋PB，
∴P′A＋P′B＞PA＋PB，
∴点P是使PA＋PB最小的点．
(2)与(1)类似，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B并延长交l于点P，则点P就是使|PA－PB|最大的点．
下面用演绎法证明
在直线l上任取异于点P的一点P′，连接P′A，P′A′，P′B，AP，
则|P′A－P′B|＝|P′A′－P′B|在△P′A′B中，
|P′A′－P′B|＜A′B＝|PA′－PB|
＝|PA－PB|，
∴|P′A－P′B|＜|PA－PB|，
∴点P是使|PA－PB|最大的点．
点评 在处理探究性问题时，先通过合情推理得到猜想，然后用演绎推理的方法证明结论的正确性．
“因为过不共线的三点有且仅有一个平面(大前提)，而A、B、C为空间三点(小前提)，所以过A、B、C三点只能确定一个平面(结论)．”
上述推理的结论正确吗？为什么？
[错解] 符合三段论推理形式证明，故命题正确．
错解分析 只有在大前提、小前提、推理过程都正确的情况下，结论才一定正确，否则，结论不一定正确．
误区警示 三段论推理的严密性不容忽视
【例4】
[正解] 推理形式是正确的，但小前提是错误的．因为若三点共线可确定无数平面，只有不共线的三点可满足．推理的结论不正确．
纠错心得 判断一个三段论推理是否正确，要从大前提、小前提、推理形式三个方面去考虑，只要有一个方面错误，结论就可能是错误的.(共19张PPT)
本章归纳整合
知识网络
第六章
推理与证明
学习合情推理时，要通过实例分析归纳，弄清归纳推理和类比推理的含义、特点以及相互间的区别．进行归纳推理时，要注重发现特例的共性或一般规律，这是猜想的基础；进行类比推理时，要善于在两类不同事物间的对比中，尽可能多的找出相同或相似点，以推测在其他方面也可能存在相同或相似之处．
进行演绎推理时，要准确把握演绎推理的主要形式——三段论，明确大前提、小前提和结论的逻辑关系，从而形成言之有理、论之有据的习惯．
要点归纳
1．合情推理与演绎推理
直接证明与间接证明
使用综合法进行证明时，要明确推证方向，选择最佳推证途径，在顺推中，要时常联系最终结果进行猜想，防止迷途和剪除无用的中间结果；使用分析法证明时，要做到步步追逆的条件都是结论的充分条件(当然，充要条件更好)．
反证法的证题关键是恰当作出假设，正确推理找出矛盾．
数学归纳法
学习数学归纳法时，首先要明确不完全归纳和完全归纳的作用、区别与联系．数学归纳法事实上是一种完全归纳的证明方法，它适用于与自然数有关的问题．两个步骤、一个结论缺一不可，否则结论不成立；在证明递推步骤时，必须使用归纳假设，必须进行恒等变换．
2．
3．
归纳推理和类比推理是常用的合情推理，两种推理的结论“合情”但不一定“合理”，其正确性都有待严格证明．尽管如此，合情推理在探索新知识方面有着极其重要的作用．
演绎推理的主要形式是三段论，在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确，事实上，演绎推理是我们解决问题最常用的推理形式．
专题一 归纳推理和类比推理
在Rt△ABC中，若∠C＝90°，是cos2A＋cos2B＝1，请在立体几何中给出类似的四面体性质的猜想．
【例1】
点评：(1)平面图形中的线、角类比到空间中分别对应着空间中的面和二面角．(2)Rt△ABC类比到四面体P A′B′C′中，AB对应着底面A′B′C′，直角边对应着侧面PA′B′，PB′C′，PA′C′，直角对应着侧面两两垂直，锐角对应着侧面与底面所成的二面角．
点评 由归纳推理所得到的结论不一定正确，但它所具有的特殊到一般的性质对数学的发展有着十分重要的作用，应用时应首先分析清楚题目的条件，合理归纳．
综合法是从已知条件出发，经过逐步推理，最后推出待证结论．
分析法是从待证结论出发，逐步寻求使结论成立的充分条件，最后把要证明的结论归结为判断一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)．
反证法是否定命题的结论，在这个否定的条件下，推出与已知条件或已证事实相矛盾，从而得出否定的命题不成立，原命题成立．反证法反映了“正难则反”的解题思想．
专题二 证明
答案：C
点评 本题主要考查了综合法．综合法解决问题的关键是从“已知”(已知条件，已有定义、公理、定理)看“可知”，逐步逼近“未知”，其逐步推理，实质上是寻找已知的必要条件，运用综合法解题时首先要明确方向，然后可以将每个条件一一解码，使文字、符号、图形、结构实现信息迁移，化生为熟，化新为旧，从而使结论水落石出．
如图，在四面体B－ACD中，CB＝CD，AD⊥BD，且E，F分别是AB，BD的中点，求证：
(1)直线EF∥平面ACD；
(2)平面EFC⊥平面BCD.
证明 (1)要证直线EF∥平面ACD，
只需证EF∥AD且EF 平面ACD.
因为E，F分别是AB，BD的中点，
所以EF是△ABD的中位线，
所以EF∥AD，
所以直线EF∥平面ACD.
要证平面EFC⊥平面BCD，
【例4】
点评 对于第一问采取逆向分析寻线的方法，即假设结论成立，运用线面平行的性质定理，寻找两个面的交线．
对于第二问可以从结论出发，进行两次转化，一步步逆寻条件：即证面面垂直 线面垂直 线线垂直．
本题主要运用了分析法，其解决问题的关键是从未知看需知，逐步靠拢已知．
(2)由(1)知an＋1－2an＝2n＋1，∴an＋2－2an＋1＝2n＋3，
两式相减可得an＋2－3an＋1＋2an＝2，
即an＋2－an＋1－2(an＋1－an)＝2.
∵bn＝an＋1－an，∴bn＋1＋2＝2(bn＋2)，
∴数列{bn＋2}是公比为2的等比数列．
又∵a1＝1，∴a2＝5，∴b1＝4，即b1＋2＝6.
∴bn＋2＝6·2n－1，即bn＝3·2n－2.
(3)由(2)知an＋1－an＝3·2n－2，
而已知an＋1－2an＝2n＋1，
联立解得an＝3·2n－2n－3，
∴2an＝6·2n－4n－6，
∴2an－bn＝3·2n－4(n＋1)，
当n＝1时，2a1－b1＝－2<0，即2a1当n＝2时，2a2－b2＝0，即2a2＝b2；
当n＝3时，2a3－b3＝8>0，即2a3>b3；
当n＝4时，2a4－b4＝28>0，即2a4>b4；
猜想当n≥3时，2an>bn，即3·2n>4(n＋1)．
下面用数学归纳法证明
①当n＝3时，命题成立．
②假设当n＝k(k≥3)时，命题成立，即3·2k>4(k＋1)，
则当n＝k＋1时，即3·2k＋1＝2×(3·2k)>8(k＋1)＝8k＋8＝4k＋8＋4k>4k＋8＝4(k＋2)，不等式也成立．
∴综上所述，当n＝1时，2an当n≥3且n∈N＋时，2an>bn.
点评 通过此例可看到观察、归纳、猜想、证明的思想方法．其基本思路是：在探讨某些问题时，可以先从观察入手，发现问题的特点，形成解决问题的初步思路；然后用归纳方法进行试探，提出合理的猜想；最后用数学归纳法给出证明．第六章
推理与证明
章末质量评估
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(每小题5分，共50分)
1．学习合情推理后，甲、乙两位同学各举了一个例子，
甲：由“若三角形周长为l，面积为S，则其内切圆半径r＝”类比可得“若三棱锥表面积为S，体积为V，则其内切球半径r＝”；
乙：由“若直角三角形两直角边长分别为a、b，则其外接圆半径r＝”类比可得“若三棱锥三条侧棱两两垂直，侧棱长分别为a、b、c，则其外接球半径r＝”．这两位同学类比得出的结论
( )
A．两人都对
B．甲错、乙对
C．甲对、乙错
D．两人都错
解析 利用等面积与等体积法可推得甲同学类比的结论是正确的；把三条侧棱两两垂直的三棱锥补成一个长方体，则此三棱锥的外接球半径等于长方体的外接球半径，可求得其半径r＝，因此，乙同学类比的结论是错误的．
答案 C
2．设S(n)＝＋＋＋＋…＋，则
( )．
A．S(n)共有n项，当n＝2时，S(2)＝＋
B．S(n)共有n＋1项，当n＝2时，S(2)＝＋＋
C．S(n)共有n2－n项，当n＝2时，S(2)＝＋＋
D．S(n)共有n2－n＋1项，当n＝2时，S(2)＝＋＋
解析 从n到n2共有n2－n＋1个自然数，即S(n)共有n2－n＋1项．
答案 D
3．在△ABC中，sin
Asin
C>cos
Acos
C，则△ABC一定是
( )．
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不确定
解析 由sin
Asin
C>cos
Acos
C，可得cos
(A＋C)<0，
∴cos
B>0.但A、C不能判断．
答案 D
4．下列三句话按三段论的模式排列顺序正确的是
( )．
①2
006能被2整除；②一切偶数都能被2整除；③2
006是偶数．
A．①②③
B．②①③
C．②③①
D．③②①
答案 C
5．已知a＋b＋c＝0，则ab＋bc＋ca的值
( )．
A．大于0
B．小于0
C．不小于0
D．不大于0
解析 ∵(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ac)＝0.
又∵a2＋b2＋c2≥0，
∴2(ab＋bc＋ac)≤0.
答案 D
6．已知a，b∈R，若a≠b，且a＋b＝2，则
( )．
A．1B．ab<1<
C．ab<<1
D.解析 ∵b＝2－a，
∴ab＝a(2－a)＝－(a2－2a)＝－(a－1)2＋1<1，
＝＝＝a2－2a＋2＝(a－1)2＋1>1，故选B.
答案 B
7．下列推理是归纳推理的是
( )．
A．A，B为定点，动点P满足|PA|＋|PB|＝2a>|AB|，得P的轨迹为椭圆
B．由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式
C．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜出椭圆＋＝1的面积S＝πab
D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇
解析 从S1，S2，S3猜想出数列的前n项和Sn，是从特殊到一般的推理，所以B是归纳推理．
答案 B
8．某个命题与正整数有关，如果当n＝k(k∈N＋)时，该命题成立，那么可
推得当n＝k＋1时命题也成立．现在已知当n＝5时，该命题不成立，那么可推得
( )．
A．当n＝6时该命题不成立
B．当n＝6时该命题成立
C．当n＝4时该命题不成立
D．当n＝4时该命题成立
解析 依题意，若n＝4时该命题成立，则n＝5时该命题成立；而n＝5时该命题不成立，却无法判断n＝6时该命题成立还是不成立，故选C.
答案 C
9．已知函数f(x)＝|ln
x|，若>a>b>1，则f(a)，f(b)，f(c)比较大小关系正确的是
( )．
A．f(c)>f(b)>f(a)
B．f(b)>f(c)>f(a)
C．f(c)>f(a)>f(b)
D．f(b)>f(a)>f(c)
解析 当x>1时，f(x)＝|lnx|＝lnx为增函数，因为>a>b>1，所以f>f(a)>f(b)，而f＝＝|ln
c|＝f(c)，所以f(c)>f(a)>f(b)．
答案 C
10．若a>b>c，n∈N＋，且＋≥恒成立，则n的最大值为
( )．
A．2
B．3
C．4
D．5
解析 ＋＝
＝≥＝.
所以nmax＝4.
或者(a－c)·
＝[(a－b)＋(b－c)]·
≥2·2
＝4.
答案 C
二、填空题(每小题5分，共25分)
11．在数列{an}中，a1＝1，且Sn，Sn＋1,2S1成等差数列(Sn表示数列{an}的前
n项和)，则S2，S3，S4分别为__________________，猜想Sn＝________.
解析 由Sn，Sn＋1,2S1成等差数列，
得2Sn＋1＝Sn＋2S1，
因为S1＝a1＝1，所以2Sn＋1＝Sn＋2.
令n＝1，则2S2＝S1＋2＝1＋2＝3 S2＝，
同理，分别令n＝2，n＝3，可求得S3＝，S4＝.
由S1＝1＝，S2＝＝，
S3＝＝，S4＝＝，猜想Sn＝.
答案：，，
12．设f(x)是定义在实数集R上的函数，且满足f(x＋2)＝f(x＋1)－f(x)，如
果f(1)＝lg，f(2)＝lg
15，则f(2
008)＝________.
解析 由f(1)＝lg＝lg
15－1，f(2)＝lg
15，
f(3)＝f(2)－f(1)＝1，
f(4)＝f(3)－f(2)＝1－lg
15，
f(5)＝f(4)－f(3)＝－lg
15，
f(6)＝f(5)－f(4)＝－1，
f(7)＝f(6)－f(5)＝lg
15－1，
f(8)＝f(7)－f(6)＝lg
15，…，
可以猜想到，从f(7)开始，又重复了上述数值，
即f(x＋6)＝f(x)，
∴f(2
008)＝f(334×6＋4)＝f(4)＝1－lg
15.
答案：1－lg
15
13．观察下列等式：13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43
＝(1＋2＋3＋4)2，…，根据上述规律，第四个等式为________．
答案 13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2
14．用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋n2＝，则n＝k＋1时左端在n
＝k时的左端加上________．
解析 n＝k左端为1＋2＋3＋…＋k2，n＝k＋1时左端为1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.
答案 (k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2
15．设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成
等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，________，________，成等比数列．
解析 对于等比数列，通过类比，有等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4＝a1a2a3a4，T8＝a1a2…a8，T12＝a1a2…a12，T16＝a1a2…a16，因此＝a5a6a7a8，＝a9a10a11a12，＝a13a14a15a16，而T4，，，的公比为q16，因此T4，，，成等比数列．
答案
三、解答题(本大题共6小题，共75分)
16．(本小题满分13分)下列是真命题还是假命题，用分析法证明你的结论．
命题：若a>b>c且a＋b＋c＝0，则<.
证明 此命题是真命题
∵a＋b＋c＝0，a>b>c，∴a>0，c<0.
要证<成立，只要证即证b2－ac<3a2，也就是证：(a＋c)2－ac<3a2.
即证(a－c)(2a＋c)>0.
∵a－c>0,2a＋c＝(a＋c)＋a＝a－b>0，
∴(a－c)(2a＋c)>0成立．故原不等式成立．
17．(本小题满分13分)设a>0，b>0,2c>a＋b，求证：
(1)c2>ab；
(2)c－证明 (1)∵a>0，b>0，∴2c>a＋b≥2
∴c>>0，∴c2>ab.
(2)要证c－只要证－即证|a－c|<，也就是(a－c)2而(a－c)2－(c2－ab)＝a(a＋b－2c)<0
∴原不等式成立．
18.
(本小题满分13分)如图，SA⊥平面ABC，AB⊥
BC，过A作SB的垂线，垂足为E；过E作SC的垂线，垂足为F.
求证：AF⊥SC.
证明 要证AF⊥SC，只需证SC⊥平面AEF，
只需证AE⊥SC(因为EF⊥SC)，
只需证AE⊥平面SBC，
只需证AE⊥BC(因为AE⊥SB)，
只需证BC⊥平面SAB，
只需证BC⊥SA(因为AB⊥BC)．
由SA⊥平面ABC可知上式成立，所以AF⊥SC.
19．(本小题满分12分)观察下表：
1，
2,3
4,5,6,7
8,9,10,11,12,13,14,15，
…
问：(1)此表第n行的最后一个数是多少？
(2)此表第n行的各个数之和是多少？
(3)2
008是第几行的第几个数？
解 (1)∵第n＋1行的第1个数是2n，
∴第n行的最后一个数是2n－1.
(2)2n－1＋(2n－1＋1)＋(2n－1＋2)＋…＋(2n－1)
＝＝3·2n－3－2n－2为所求．
(3)∵210＝1
024,211＝2
048,1
024<2
008<2
048，
∴2
008在第11行，该行第1个数是210＝1
024，由2
008－1
024＋1＝985，知2
008是第11行的985个数．
20．(本小题满分12分)用数学归纳法证明：对任意n∈N＋，··…
>成立．
证明 (1)当n＝1时，左边＝，右边＝，因为>，所以不等式成立．
(2)假设当n＝k时不等式成立，即··……>成立，则当n＝k＋1时，
左边＝··……·>·
＝
＝
＝
>.
所以当n＝k＋1时，不等式也成立，由(1)，(2)可得不等式恒成立．
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2－4，设曲线y＝f(x)在点(xn，f(xn))
处的切线与x轴的交点为(xn＋1,0)(n∈N＋)，其中x1为正实数．
(1)用xn表示xn＋1；
(2)求证：对一切正整数n，xn＋1≤xn的充要条件是x1≥2；
(3)若x1＝4，记an＝lg，证明数列{an}成等比数列，并求数列{xn}的通项公式．
(1)解 由题意可得f′(x)＝2x，
所以过曲线上点(xn，f(xn))的切线方程为
y－f(xn)＝f′(xn)(x－xn)，
即y－(x－4)＝2xn(x－xn)．
令y＝0，得－(x－4)＝2xn(xn＋1－xn)．
即x＋4＝2xnxn＋1.显然xn≠0，∴xn＋1＝＋.
(2)证明 (必要性)
若对一切正整数n，有xn＋1≤xn，则x2≤x1，
即＋≤x1，∴x≥4.而x1>0，即有x1≥2.
(充分性)若x1≥2>0，由xn＋1＝＋，
用数学归纳法易得xn>0，从而
xn＋1＝＋≥2＝2(n≥1)，
即xn≥2(n≥2)．又x1≥2，∴xn≥2(n≥1)．
于是xn＋1－xn＝＋－xn＝
＝≤0.
即xn＋1≤xn对一切正整数n成立．
(3)解 xn＋1＝＋，知xn＋1＋2＝，
同理，xn＋1－2＝.故＝()2.
从而lg＝2lg，即an＋1＝2an.
所以，数列{an}成等比数列，
故an＝2n－1a1＝2n－1·lg＝2n－1lg
3，
即lg＝2n－1lg
3.
从而＝32n－1，所以xn＝.6．1.2 类 比
1．下列哪个平面图形与空间的平行六面体作为类比对象较合适
( )．
A．三角形
B．梯形
C．平行四边形
D．矩形
答案 C
2．给出下面四个类比结论
( )．
①实数a，b，若ab＝0则a＝0或b＝0；类比向量a，b，若a·b＝0，则a＝0或b＝0
②实数a，b，有(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；类比向量a，b，有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2
③实数a，有|a|2＝a2，类比向量a，有|a|2＝a2
④实数a，b有a2＋b2＝0，则a＝b＝0；类比向量a，b有a2＋b2＝0，则a＝b＝0
其中类比结论正确的命题个数为
( )．
A．0
B．1
C．2
D．3
答案 D
3．三角形的面积S＝(a＋b＋c)·r，其中a，b，c为三角形的边长，r为三角
形内切圆的半径，利用类比推理；可以得出四面体的体积为( )．
A．V＝abc
B．V＝Sh
C．V＝(S1＋S2＋S3＋S4)r
D．V＝(ab＋bc＋ac)h
答案 C
4．如图(1)有面积关系＝，则图(2)有体积关系
＝________.
答案
5．类比平面几何中“三角形任两边之和大于第三边”，得空间相应的结
论为________．
解析 平面中的三角形与空间中的三棱锥是类比对象，从而有结论．
答案 三棱锥任意三个面的面积之和大于第四个面的面积
6．如图，在三棱锥S－ABC中，SA⊥SB，SB⊥SC，SA⊥SC，且SA、SB、
SC和底面ABC，所成的角分别为α1、α2、α3，三侧面SBC，SAC，SAB的面积分别为S1，S2，S3，类比三角形中的正弦定理，给出空间情形的一个猜想．
解 在△DEF中(如图)，由正弦定理得
＝＝.
于是，类比三角形中的正弦定理，
在四面体S－ABC中，
我们猜想＝＝成立．
7．在等差数列{an}中，若an＞0，公差d≠0，则有a4a6＞a3a7，类比上述性
质，在等比数列{bn}中，若bn＞0，公比q≠1，则关于b5，b7，b4，b8的一个不等关系正确的是
( )．
A．b5b7＞b4b8
B．b7b8＞b4b5
C．b5＋b7＜b4＋b8
D．b7＋b8＜b4＋b5
答案 C
8．给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：
①“若a，b∈R，则a－b＝0 a＝b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＝0 a＝b”；
②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di a＝c，b＝d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则a＋b＝c＋d a＝c，b＝d”；
③“若a，b∈R，则a－b>0 a>b”类比推出“若a，b∈C，则a－b>0 a>b”．
其中类比得到的结论正确的个数是
( )．
A．0
B．1
C．2
D．3
解析 ①②是正确的，③是错误的，因为复数不能比较大小，如a＝5＋6i，b＝4＋6i，虽然满足a－b＝1>0，但复数a与b不能比较大小．
答案 C
9．定义：ab，bc，cd，da的运算分别对应下图中的(1)(2)(3)(4)
则图中甲、乙运算式可表示为________．
答案 db，ca
10．.(2010·广东汕头)在平面几何中，△ABC的内角平分线CE分AB所成线
段的比为＝，把这个结论类比到空间：在三棱锥A－BCD中(如图所示)，平面DEC平分二面角A－CD－B且与AB相交于E，则得到的类比的结论是________．
解析 △ABC中作ED⊥AC于D，EF⊥BC于F，则ED＝EF.
∴＝＝，
类比：在三棱锥A－BCD中，过直线AB作一平面垂直于CD，并交CD于点H，则∠AHB是二面角A－CD－B的平面角，连结EH，则EH是∠AHB的角平分线．
∴＝＝.
答案 ＝
11．已知等差数列{an}的公差为d，前n项和Sn，则有如下性质：
①通项：an＝am＋(n－m)d；
②若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m、n、p、q∈N＋)；
③若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap(m、n、p∈N＋)；
④Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成等差数列．
类比上述性质，在等比数列{bn}中，写出相类似的性质，并判断所得结论的真假．
解 在等比数列{bn}中，公比为q，前n项和为Sn，则可以得到：
①通项：bn＝bm·qn－m(真命题)；
②若m＋n＝p＋q，则bm·bn＝bp·bq(m，n，p，q∈N＋)(真命题)；
③若m＋n＝2p，则bm·bn＝b(m，n，p∈N＋)(真命题)；
④Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成等比数列(真命题)．
12．(创新拓展)(2011·福建)设V为全体平面向量构成的集合，若映射f：
V→R满足：
对任意向量a＝(x1，y1)∈V，b＝(x2，y2)∈V，以及任意λ∈R，均有f[λa＋(1－λ)b]＝λf(a)＋(1－λ)f(b)，则称映射f具有性质p.
现给出如下映射：
①f1：V→R，f1(m)＝x－y，m＝(x，y)∈V；
②f2：V→R，f2(m)＝x2＋y，m＝(x，y)∈V；
③f3：V→R，f3(m)＝x＋y＋1，m＝(x，y)∈V.
分析映射①②③是否具有性质p.
解 a＝(x1y1)，b＝(x2，y2)，
λa＋(1－λ)b＝(λx1＋(1－λ)x2，λy1＋(1－λ)y2)．
对于①，f1(m)＝x－y
∴f(λa＋(1－λ)b)＝[λx1＋(1－λ)x2]－[λy1＋(1－λ)y2]
＝λ(x1－y1)＋(1－λ)(x2－y2)．
λf(a)＋(1－λ)f(b)＝λ(x1－y1)＋(1－λ)(x2－y2)
f(λa＋(1－λ)b)＝λf(a)＋(1－λ)f(b)．
∴①具有性质p.
对于②，f2(m)＝x2＋y，设a＝(0,0)，b＝(1,2)，
λa＋(1－λ)b＝(1－λ，2(1－λ))，
f(λa＋(1－λ)b)＝(1－λ)2＋2(1－λ)＝λ2－4λ＋3，
而λf(a)＋(1－λ)b＝λ(02＋0)＋(1－λ)(12＋2)＝3(1－λ)．
又λ∈R，∴f(λa＋(1－λ)b)＝λf(a)＋(1－λ)f(b)不恒成立
故②不具有性质p.
对于③，f3(m)＝x＋y＋1，
f(λa＋(1－λ)b)＝[λx1＋(1－λ)x2]＋[λy1＋(1－λ)y2]＋1
＝λ(x1＋y1)＋(1－λ)(x2＋y2)＋1，
又λf(a)＋(1－λ)f(b)＝λ(x1＋y1＋1)＋(1－λ)(x2＋y2＋1)
＝λ(x1＋y1)＋(1－λ)(x2＋y2)＋λ＋(1－λ)
＝λ(x1＋y1)＋(1－λ)(x2＋y2)＋1.
∴f(λa＋(1－λ)b)＝λf(a)＋(1－λ)f(b)
③具有性质p.6．1.3 演绎推理
6．1.4 合情推理与演绎推理的关系
1．下列表述正确的是
( )
①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．
A．①②③
B．②③④
C．②④⑤
D．①③⑤
解析 归纳推理是由部分到整体的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理．
答案 D
2．“因对数函数y＝logax是增函数(大前提)，而y＝logx是对数函数(小前
提)，所以y＝logx是增函数(结论)．”上面推理的错误是
( )
A．大前提错导致结论错
B．小前提错导致结论错
C．推理形式错导致结论错
D．大前提和小前提都错导致结论错
答案 A
3．对a＞0，b＞0，a＋b≥2.若x＋≥2
，则x＋≥2，以上推理
过程中的错误为
( )．
A．大前提
B．小前提
C．结论
D．无错误
答案 B
4．函数y＝2x＋5的图象是一条直线，用三段论表示为：
大前提：________________________________________________.
小前提：_________________________________________________.
结论：_________________________________________________.
答案 一次函数的图象是一条直线 函数y＝2x＋5是一次函数 函数y＝2x＋5的图象是一条直线
5．定义在(0，＋∞)上的函数f(x)，满足(1)f(9)＝2；(2)对 a，b∈(0，＋
∞)，有f(ab)＝f(a)＋f(b)，则f＝________.
解析 由题设f(b)＝f＝f(a)＋f，
所以f＝f(b)－f(a)．取a＝b＝1，得f(1)＝0.
又f(9)＝f(3×3)＝f(3)＋f(3)＝2，∴f(3)＝1，
∴f＝f(1)－f(3)＝0－1＝－1.
答案 －1
6．将下列演绎推理写成三段论的形式．
(1)所有的金属都导电，树枝不导电，所以树枝不是金属；
(2)在一个标准大气压下，冰的融点是0℃.一个标准大气压下气温升到0
℃，冰会融解；
(3)直角三角形中a2＋b2＝c2，在△ABC中AC2＋BC2＝AB2，所以△ABC是直角三角形；
(4)两直线平行，同位角相等，如果∠A和∠B是两平行直线的同位角，那么∠A＝∠B.
解 (1)所有的金属都导电，(大前提)
树枝不导电，(小前提)
树枝不是金属．(结论)
(2)在一个标准大气压下，冰的融点是0℃，(大前提)
一个标准大气压下气温升到0℃，(小前提)
冰融解．(结论)
(3)直角三角形中a2＋b2＝c2，(大前提)
△ABC中AC2＋BC2＝AB2，(小前提)
△ABC是直角三角形．(结论)
(4)两直线平行，同位角相等，(大前提)
∠A和∠B是两平行直线的同位角，(小前提)
∠A＝∠B.(结论)
7．函数f(x)＝x3＋sin
x＋1(x∈R)若f(a)＝2，则f(－a)的值为
( )．
A．3
B．0
C．－1
D．－2
解析 f(a)＝a3＋sin
a＋1，f(－a)＝－a3－sin
a＋1
∴f(a)＋f(－a)＝2，f(－a)＝2－f(a)＝2－2＝0.
答案 B
8．设x，y，z∈(0，＋∞)，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a，b，c三数( )
A．至少有一个不大于2
B．都小于2
C．至少有一个不小于2
D．都大于2
解析 ∵x、y、z＞0，∴x＋≥2，y＋≥2，z＋≥2，
∴a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥6，
因此a，b，c至少有一个不小于2.
答案 C
9．对于平面几何中的命题：“夹在两条平行线之间的平行线段相等”，
在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：
___________________________________________________________，
这个命题的真假是________________________________．
答案 夹在两个平行平面间的平行线段相等 真命题
10．在平面内，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为
1∶4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．
答案 1∶8
11．先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：
已知a1，a2∈R，a1＋a2＝1，求证：a＋a≥.
证明：构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2，f(x)对一切实数x∈R，恒有f(x)≥0，则Δ＝4－8(a＋a)≤0，
∴a＋a≥.
(1)已知a1，a2，…，an∈R，a1＋a2＋…＋an＝1，请写出上述结论的推广式；
(2)参考上述解法，对你推广的结论加以证明．
(1)解 已知a1，a2，…，an∈R，a1＋a2＋…＋an＝1，
则a＋a＋…＋a≥.
(2)证明 构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2
＝nx2－2(a1＋a2＋…＋an)x＋a＋a＋…＋a
＝nx2－2x＋a＋a＋…＋a，
f(x)对一切实数x∈R，恒有f(x)≥0，
则Δ＝4－4n(a＋a＋…＋a)≤0，
∴a＋a＋…＋a≥.
12．(创新提高)已知Sn为正项数列{an}的前n项和，且满足Sn＝a＋an(n∈
N＋)，
求出a1，a2，a3，a4，猜想{an}的通项公式并给出证明
解 由Sn＝a＋an(n∈N＋)．
可得a1＝a＋a1，解得a1＝1，
S2＝a1＋a2＝a＋a2，解得a2＝2，
同理a3＝3，a4＝4，猜想an＝n.
证明 Sn＝a＋an①
Sn－1＝a＋an－1，(当n≥2时)②
①－②得(an－an－1－1)(an＋an－1)＝0，
∵an＋an－1≠0，∴an－an－1＝1，
又a1＝1，故数列{an}是首项a1＝1，公差d＝1的等差数列，
故an＝n.(共29张PPT)
1．了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程与特点．
2．结合已学过的数学实例，体会综合法的两种形象化说法：“顺推证法”或“由因导果法”；分析法又叫“逆推证法”或“执果索因法”．了解综合法与分析法的流程框图、思考过程及特点．
6．2 直接证明与间接证明
6．2.1 直接证明：分析法与综合法
【课标要求】
1．综合法是从数学题的
出发，经过逐步的
最后达到待证结论或需求的问题，它是由
，即“由因导果”．
2．分析法是从数学题的 出发，一步一步地探索下去，最后达到
，它是由
，即“执果索因”．
自学导引
已知条件
逻辑推理
已知走向求证
待证结论或需求问题
题设的已知条件
求证走向已知
综合法与分析法的优点是什么？
提示 综合法的优点：叙述简洁、直观，条理清楚；而且可使我们从已知的知识中进一步获得新的知识．
分析法的优点：更符合人们的思维规律，利于思考，思路自然，在探求问题的证明时，它可帮助我们构思．应该指出的是不能把分析法和综合法绝对分开，正如恩格斯所说“没有分析就没有综合”一样，分析与综合是相比较而存在的，它们既是对立的，又是统一的．严格地讲，分析是为了综合，综合又需根据分析，因而有时在一个命题的论证中，往往同时应用两种方法，有时甚至交错使用．
自主探究
综合法是从已知条件、定义、定理、公理出发，寻求命题成立的
( )
A．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．充分不必要条件
预习测评
1．
答案 B
分析法是
( )
A．执果索因的逆推法
B．执因导果的顺推法
C．因果分别互推的两头凑法
D．寻找结论成立的充要条件的证明办法
答案 A
2．
答案 p≥q
若抛物线y＝4x2上的点P到直线y＝4x－5的距离最短，则点P的坐标为________．
4．
1．综合法是中学数学证明中常用的一种方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法．即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列的中间推理，最后导出所要求证结论的真实性．
简言之，综合法是一种由因导果的证明方法．其逻辑依据也是三段论式的演绎推理方法．
要点阐释
应用综合法时，应从命题的前提出发，在选定了真实性是无可争辩的出发点以后(它基于题设或已知的真命题)，再依次由它得出一系列的命题(或判断)，其中每一个都是真实的(但它们并不一定都是所需求的)，且最后一个必须包含我们要证明的命题的结论时，命题得证．并非一上来就能找到通达命题结论的思路，只是在证明的过程中对每步结论进行分析、推敲、比较、选择后才能得到．当然，在较多地积累一些经验，掌握一些证法之后，可较为顺利地得到证明的思路．而在证明的叙述时，直接叙述这条思路就够了．
2．分析法是数学中常用到的一种直接证明方法．就证明程序来讲，它是一种从未知到已知(从结论到题设)的逻辑推理方法．具体说，即先假设所要证明命题的结论是正确的，由此逐步推出保证此结论成立的必要的判断．而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时，命题得证(应该强调的一点，它不是由命题的结论去证明前提)．
因此，分析法是一种执果索因的证明方法．这种证明方法的逻辑依据是三段论式的演绎推理方法．
一般来讲，分析法有两种证明途径：(1)由命题结论出发，找结论成立的充分条件，逐步推演下去；(2)由命题结论出发，找结论成立的必要条件，逐步推演下去．
应该指出，应用分析法时，并非一开始就确信由结论出发所产生的那些推断(或命题)都正确，各个推理步骤及依次考虑的概念、定理、法则等都合适．这种推理方法仅仅是建立与需要证明的命题的等效关系，因而需要从这些关系中逐个考查，逐个思索，逐个分析，逐个判断，在得到了所需的确定结论时(它们是已证的命题或已知的条件)，才知道前面各步推理的适当与否，从而找出证明的路子．
当证题不知从何入手时，有时可以运用分析法而获得解决，特别是对于条件简单而结论复杂的题目，往往有效．另外对于恒等式的证明，也同样可以运用．
用分析法证“若P则Q”这个命题的模式是：
为了证明命题Q为真，
这只需证明命题P1为真，从而有……，
这只需证明命题P2为真，从而有……，
…
这只需证明命题P为真．
而已知P为真，故Q必真．
设数列{an}的前n项和为Sn，且(3－m)Sn＋2man＝m＋3(n∈N＋)，其中m为常数，且m≠－3.
典例剖析
题型一 综合法的应用
【例1】
点评 本题要证明数列为等差、等比数列，通过定义可寻求解题思路，在证明过程中，恰当处理递推关系是本题证明的关键．
用综合法证明时，证明思路的着眼点较难把握，一般地，靠综合分析或积累的经验，或分析法分析获得．因此用综合法证题时，要注意分析条件与结论的区别与联系．
试证：以抛物线过焦点的弦为直径的圆与抛物线的准线相切．
题型二 分析法的应用
【例2】
点评 分析法的思路与综合法正好相反，它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知．即：已知条件、已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等等．
若a，b，c是三角形的三边长，试证方程b2x2＋(b2＋c2－a2)x＋c2＝0没有实根．
证明 要证方程无实根，只需证其判别式Δ＝(b2＋c2－a2)2－4b2c2＜0即可，考虑到Δ＝(b2＋c2－a2－2bc)(b2＋c2－a2＋2bc)
＝[(b－c)2－a2][(b＋c)2－a2]＝(b－c＋a)(b－c－a)(b＋c－a)(b＋c＋a)．
∵三角形任意二边之和大于第三边，故a＋b＞c，b＋c＞a，c＋a＞b，从而b－c＋a＞0，b＋c－a＞0，b－c－a＜0.又a＋b＋c＞0，故Δ＜0.从而原命题成立．
题型三 分析法与综合法的综合应用
【例3】
点评 本题在证明过程中，前面两步应用了分析法，后面两步用了综合法．在实际证题时，常把分析法与综合法结合起来运用．有时先用分析法探求证题思路，再用综合法书写证明．
另外，本题还可由Δ＝(b2＋c2－a2)2－4b2c2＝(2bccos
A)2－4b2c2＝4b2c2(cos2
A－1)＝－4b2c2sin2A＜0直接证得．这里运用了余弦定理．
误区警示 解题过程逻辑上不严密导致失分
纠错心得 分析法的特点是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理实际上是要寻找它的充分条件．其理论依据是三段论推理.(共24张PPT)
【课标要求】
1．了解类比推理的意义，能利用类比进行简单的推理．
2．了解类比在数学发现中的作用．
6．1.2 类 比
类比是根据两个 的对象在某方面的 之处，推测出这两个对象在其他方面也可能有 之处．
自学导引
1．
不同
相似
相似
合情推理是根据已有的事实和正确的结论(包括实验和实践的结果)以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程．
和
是合情推理常用的两种基本思维方法．注意归纳是由部分到整体，由特殊到一般的推理；类比是由特殊到特殊的推理．
一般说来，合情推理所获得的结论仅仅是一种猜想，未必可靠．
3．
归纳
类比
类比推理的一般步骤是什么？
提示 (1)找出两类事物之间的相似性或一致性；
(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．
自主探究
下面几种推理是类比推理的是
( )．
①由圆的性质类比出球的有关性质；
②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是
180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；
③张军某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；
④三角形的内角和为180°，四边形的内角和为360°，五边形的内角和为540°，由此推断出凸n边形内角和是(n－2)×180°.
A．①②
B．①③
C．①
D．②④
预习测评
1．
答案 C
解析 由类比推理的特点可知．
答案 C
由三角形的性质通过类比推理，得到四面体的如下性质：四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体内切球的球心，那么原来三角形的性质为________．
解析 二面角类比角，平分面类比平分线，故原来三角形的性质为三角形三条角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心
答案 三角形三条角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心
4．
1．类比推理是由特殊到特殊的推理，其思维过程大致如下：观察、分析、比较→联想、类推→猜测新的结论(提出猜想)．
2．类比推理是在两个(或两类)不同的对象之间进行对比，找出若干相同或相似点之后，推测在其他方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式，类比推理所引出的结论并不一定真实．
要点阐释
3．类比推理的特点：①类比是从人们已经掌握了的事物的属性推测正在研究中的事物的属性，它以旧的认识作基础，类比出新的结果．②类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性．③类比的结果是猜测性的，尽管不一定可靠，但它却具有发现的功能．
4．类比推理是以比较为基础的，在对两个或两类对象的属性进行比较时，若发现它们有较多的相同点或相似点，则可以把其中一个或一类对象的另外一种属性推移到另一个或另一类对象中去．
我们已经学过了等差数列，你是否想到过有没有等和数列呢？
①类比“等差数列”给出“等和数列”的定义．
②探索等和数列{an}的奇数项与偶数项各有什么特点？并加以说明．
③在等和数列{an}中，如果a1＝a，a2＝b，求它的前n项的和Sn.
典例剖析
题型一 知识间的类比
【例1】
点评 本题是一道浅显的定义类比应用问题，通过对等差数列定义及性质的理解，类比出等和数列的定义和性质，很好地考查学生类比应用的能力．
在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB、AC互相垂直，则AB2＋AC2＝BC2”．拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A－BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直，则________．”
题型二 类比推理的应用
【例2】
点评 将平面几何中的三角形、长方形、圆、面积等和立体几何中的三棱锥、长方体、球、体积等进行类比，是解决和处理立体几何问题的重要方法．
在△DEF中有余弦定理：DE2＝DF2＋EF2－2DF·EF·cos
∠DFE.拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱ABC－A1B1C1的三个侧面面积与其中两个侧面所成二面角之间的关系式，并予以证明．
2．
误区警示 不合理类比导致出错
【例3】
请用类比推理完成下表：
纠错心得 解决这类问题的关键是：先充分认识两个系统的相同(或相似)之处，充分考虑其中的本质联系，再进行类比.6．3 数学归纳法
1．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步验证
n＝
( )．
A．1
B．2
C．3
D．0
解析 因为是证明凸n边形，首先可先构成n边形，故选C.
答案 C
2．满足1·2＋2·3＋3·4＋…＋n(n＋1)＝3n2－3n＋2的自然数等于( )．
A．1
B．1或2
C．1,2,3
D．1,2,3,4
解析 用排除法，将4,3依次代入，所以选C.
答案 C
3．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步
是
( )．
A．假使n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3正确
B．假使n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1正确
C．假使n＝k时正确，再推n＝k＋1正确
D．假使n≤k(k≥1)，再推n＝k＋2时正确(以上k∈N＋)
解析 因为n为正奇数，据数学归纳法证题步骤，第二步应先假设第k个正奇数也成立，本题即假设n＝2k－1正确，再推第k＋1个正奇数即n＝2k＋1正确．
答案 B
4．用数学归纳法证明≥n(a，b是非负实数，n∈N＋)时，假设n
＝k命题成立之后，证明n＝k＋1命题也成立的关键是________________．
解析 要想办法出现ak＋1＋bk＋1，两边同乘以，右边也出现了要证的k＋1.
答案 两边同乘以
5．用数学归纳法证明 1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N
)的过程如下：
(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N＋，且k≥1)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1.所以当n＝k＋1时等式也成立．由此可知对于任何n∈N
，等式都成立．上述证明的错误是____________．
答案 未用归纳假设
6．平面内有n(n∈N＋，n≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过
同一点，证明：交点的个数f(n)＝.
证明 (1)当n＝2时，两条直线的交点只有一个，
又f(2)＝×2×(2－1)＝1，
∴当n＝2时，命题成立．
(2)假设n＝k，∈N＋，且(k>2)时，命题成立，即平面内满足题设的任何k条直线交点个数f(k)＝k(k－1)，
那么，当n＝k＋1时，任取一条直线l，除l以外其他k条直线交点个数为f(k)＝k(k－1)，l与其他k条直线交点个数为k，从而k＋1条直线共有f(k)＋k个交点，
即f(k＋1)＝f(k)＋k＝k(k－1)＋k
＝k(k－1＋2)＝k(k＋1)＝(k＋1)[(k＋1)－1]，
这表明，当n＝k＋1时，命题成立．
由(1)、(2)可知，对n∈N＋(n≥2)命题都成立．
7．在数列{an}中，an＝1－＋－＋…＋－则ak＋1＝
( )．
A．ak＋
B．ak＋－
C．ak＋
D．ak＋－
解析 a1＝1－，a2＝1－＋－，…，an＝1－＋－＋…＋－，ak＝1－＋－＋…＋－，所以，ak＋1＝ak＋－.
答案 D
8．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3，(n∈N＋)能被9整除”，要利
用归纳法假设证n＝k＋1时的情况，只需展开
( )．
A．(k＋3)3
B．(k＋2)3
C．(k＋1)3
D．(k＋1)3＋(k＋2)3
解析 假设n＝k时，原式k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，当n＝k＋1时，(k＋1)3.＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只须将(k＋3)3展开，让其出现k3即可．故应选A.
答案 A
9．观察下列不等式：1>，1＋＋>1,1＋＋＋…＋>，1＋＋＋…＋
>2,1＋＋＋…＋>，…，由此猜测第n个不等式为________(n∈N＋)．
解析 3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，
可猜测：1＋＋＋…＋>.
答案 1＋＋＋…＋>
10．楼梯共有n级，每步只能跨上1级或2级，走完该n级楼梯共有f(n)
种不同的走法，则f(n)，f(n－1)，f(n－2)的关系为________．
答案 f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)
11．用数学归纳法证明对n∈N＋都有＋＋＋…＋＝.
证明 ①当n＝1时，左边＝＝，右边＝＝，左边＝右边．
∴n＝1时，等式成立．
②假设＋＋…＋＝，
则n＝k＋1时，＋＋…＋＋
＝＋
＝＝
＝＝＝.
∴n＝k＋1时，等式成立．
由①②知＋＋…＋＝.
12．(创新拓展)已知，n∈N＋，An＝2n2，Bn＝3n，试比较An与Bn的大小，
并加以证明．
解 当n＝1时：A1＝2，B1＝3，有A1当n＝2时：A2＝8，B2＝9，有A2当n＝3时：A3＝18，B3＝27，有A3由上可归纳出当n∈N＋时，都有An下面用数学归纳法证明(下面只证n≥2时成立)：
(1)当n＝2时，由上可知不等式成立．
(2)假设n＝k(k∈N＋，且k≥1)时不等式成立，即2k2<3k，
则3k＋1＝3×3k＝3k＋3k＋3k>2k2＋2k2＋2k2.
由于2k2≥4k (k≥2)，2k2>2，
所以3k＋1>2k2＋2k2＋2k2>2k2＋4k＋2＝2(k＋1)2，
这表明，当n＝k＋1时，不等式也成立．
综合(1)、(2)可知，n∈N＋，n≥2时，都有An综上可知n∈N＋时，An