6．2.1 直接证明：分析法与综合法
1．要证明＋<2，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是( )
A．综合法
B．分析法
C．反证法
D．归纳法
答案 B
2．已知a，b，c是三条互不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，给出
四个命题：
①a∥b，b∥α，则a∥α；②a，b α，a∥β，b∥β，则α∥β；③a⊥α，a∥β，则α⊥β；④a⊥α，b∥α，则a⊥b.
其中正确的命题个数是
( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析 ①中a∥α需a α，此条件不一定成立；②中α∥β时需a，b相交，此条件不一定成立；③中β内平行于a的直线一定垂直于α，正确；④中a与b所成角为90°，正确．
答案 B
3．设x，y∈R，且4xy＋4y2＋x＋6＝0，则x的取值范围是
( )
A．－3≤x≤2
B．－2≤x≤3
C．x≤－2或x≥3
D．x≤－3或x≥2
解析 已知等式视为y的一元二次方程，则Δ＝(4x)2－4×4(x＋6)≥0，∴x≤－2或x≥3.
答案 C
4.如图所示，在直四棱柱A1B1C1D1－ABCD中，当底
面四边形ABCD满足条件________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形)．
解析 从结论出发，找一个使A1C⊥B1D1成立的充分条件．因而可以是：AC⊥BD.
答案 AC⊥BD
5．等式“＝”的证明过程“等式两边同时乘以
得，左边＝·＝＝＝1，右边＝1，左边＝右边，故原等式成立”应用了________的证明方法．(填“综合法”或“分析法”)
答案 综合法
6．已知函数f(x)＝·x3.
(1)判断f(x)的奇偶性；
(2)求证：f(x)>0.
(1)解 ∵2x－1≠0，∴函数f(x)的定义域为{x|x≠0}．
∵f(－x)－f(x)＝(－x)3－x3
＝(－x)3－x3
＝·x3－x3－·x3－x3＝x3－x3＝0，
∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数．
(2)证明 由题意知x≠0，
当x>0时，∵2x－1>0，x3>0，∴f(x)>0；
当x<0时，∵－x>0，∴f(－x)＝f(x)>0，
∴f(x)>0.综上所述，f(x)>0.
7．p＝＋，q＝·(m、n、a、b、c、d均为正数)，
则p、q的大小为
( )
A．p≥q
B．p≤q
C．p＞q
D．不确定
解析 q＝
≥
＝＋＝p.
答案 B
8．若sin
α＋sin
β＋sin
γ＝0，cos
α＋cos
β＋cos
γ＝0，则cos(α－β)＝
( )．
A．1
B．－1
C.
D．－
解析 sin
α＋sin
β＝－sin
γ，cos
α＋cos
β＝－cos
γ，
两式两边分别平方相加得cos(α－β)＝－.
答案 D
9．已知a，b是不相等的正数，x＝，y＝，则x，y的大小关
系是________．
解析 ∵x2＝＝
＝＋<＋＝a＋b.＝()2＝y2，
∴x
答案 x10．补足下面用分析法证明基本不等式≤的步骤．
要证明≤，
只需要证2≤a＋b，
只要证________，只要证________，由于________显然成立，因此原不等式成立．
答案 a＋b－2≥0，(－)2≥0，(－)2≥0
11．已知a>0，求证：
－≥a＋－2.
证明 要证
－≥a＋－2，
只要证
＋2≥a＋＋.
∵a>0，故只要证2≥2，
即a2＋＋4
＋4≥a2＋2＋
＋2
＋2，
从而只要证2
≥，
只要证4≥2，
即a2＋≥2，而上述不等式显然成立，
故原不等式成立．
12．(创新拓展)证明在△ABC中，a，b，c成等差数列的充要条件是acos2
＋ccos2＝b.
证明 在△ABC中，acos2＋c·cos2＝
a·＋c·＝
a(1＋cos
C)＋c(1＋cos
A)＝3b
a＋c＋acos
C＋ccos
A＝3b
a＋c＋a＋c＝3b
a＋c＋＋＝3b
a＋c＋b＝3b a＋c＝2b
a，b，c成等差数列．所以命题成立．6．1.2 类 比
1．下列哪个平面图形与空间的平行六面体作为类比对象较合适
( )．
A．三角形
B．梯形
C．平行四边形
D．矩形
答案 C
2．给出下面四个类比结论
( )．
①实数a，b，若ab＝0则a＝0或b＝0；类比向量a，b，若a·b＝0，则a＝0或b＝0
②实数a，b，有(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；类比向量a，b，有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2
③实数a，有|a|2＝a2，类比向量a，有|a|2＝a2
④实数a，b有a2＋b2＝0，则a＝b＝0；类比向量a，b有a2＋b2＝0，则a＝b＝0
其中类比结论正确的命题个数为
( )．
A．0
B．1
C．2
D．3
答案 D
3．三角形的面积S＝(a＋b＋c)·r，其中a，b，c为三角形的边长，r为三角
形内切圆的半径，利用类比推理；可以得出四面体的体积为( )．
A．V＝abc
B．V＝Sh
C．V＝(S1＋S2＋S3＋S4)r
D．V＝(ab＋bc＋ac)h
答案 C
4．如图(1)有面积关系＝，则图(2)有体积关系
＝________.
答案
5．类比平面几何中“三角形任两边之和大于第三边”，得空间相应的结
论为________．
解析 平面中的三角形与空间中的三棱锥是类比对象，从而有结论．
答案 三棱锥任意三个面的面积之和大于第四个面的面积
6．如图，在三棱锥S－ABC中，SA⊥SB，SB⊥SC，SA⊥SC，且SA、SB、
SC和底面ABC，所成的角分别为α1、α2、α3，三侧面SBC，SAC，SAB的面积分别为S1，S2，S3，类比三角形中的正弦定理，给出空间情形的一个猜想．
解 在△DEF中(如图)，由正弦定理得
＝＝.
于是，类比三角形中的正弦定理，
在四面体S－ABC中，
我们猜想＝＝成立．
7．在等差数列{an}中，若an＞0，公差d≠0，则有a4a6＞a3a7，类比上述性
质，在等比数列{bn}中，若bn＞0，公比q≠1，则关于b5，b7，b4，b8的一个不等关系正确的是
( )．
A．b5b7＞b4b8
B．b7b8＞b4b5
C．b5＋b7＜b4＋b8
D．b7＋b8＜b4＋b5
答案 C
8．给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：
①“若a，b∈R，则a－b＝0 a＝b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＝0 a＝b”；
②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di a＝c，b＝d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则a＋b＝c＋d a＝c，b＝d”；
③“若a，b∈R，则a－b>0 a>b”类比推出“若a，b∈C，则a－b>0 a>b”．
其中类比得到的结论正确的个数是
( )．
A．0
B．1
C．2
D．3
解析 ①②是正确的，③是错误的，因为复数不能比较大小，如a＝5＋6i，b＝4＋6i，虽然满足a－b＝1>0，但复数a与b不能比较大小．
答案 C
9．定义：ab，bc，cd，da的运算分别对应下图中的(1)(2)(3)(4)
则图中甲、乙运算式可表示为________．
答案 db，ca
10．.(2010·广东汕头)在平面几何中，△ABC的内角平分线CE分AB所成线
段的比为＝，把这个结论类比到空间：在三棱锥A－BCD中(如图所示)，平面DEC平分二面角A－CD－B且与AB相交于E，则得到的类比的结论是________．
解析 △ABC中作ED⊥AC于D，EF⊥BC于F，则ED＝EF.
∴＝＝，
类比：在三棱锥A－BCD中，过直线AB作一平面垂直于CD，并交CD于点H，则∠AHB是二面角A－CD－B的平面角，连结EH，则EH是∠AHB的角平分线．
∴＝＝.
答案 ＝
11．已知等差数列{an}的公差为d，前n项和Sn，则有如下性质：
①通项：an＝am＋(n－m)d；
②若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m、n、p、q∈N＋)；
③若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap(m、n、p∈N＋)；
④Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成等差数列．
类比上述性质，在等比数列{bn}中，写出相类似的性质，并判断所得结论的真假．
解 在等比数列{bn}中，公比为q，前n项和为Sn，则可以得到：
①通项：bn＝bm·qn－m(真命题)；
②若m＋n＝p＋q，则bm·bn＝bp·bq(m，n，p，q∈N＋)(真命题)；
③若m＋n＝2p，则bm·bn＝b(m，n，p∈N＋)(真命题)；
④Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成等比数列(真命题)．
12．(创新拓展)(2011·福建)设V为全体平面向量构成的集合，若映射f：
V→R满足：
对任意向量a＝(x1，y1)∈V，b＝(x2，y2)∈V，以及任意λ∈R，均有f[λa＋(1－λ)b]＝λf(a)＋(1－λ)f(b)，则称映射f具有性质p.
现给出如下映射：
①f1：V→R，f1(m)＝x－y，m＝(x，y)∈V；
②f2：V→R，f2(m)＝x2＋y，m＝(x，y)∈V；
③f3：V→R，f3(m)＝x＋y＋1，m＝(x，y)∈V.
分析映射①②③是否具有性质p.
解 a＝(x1y1)，b＝(x2，y2)，
λa＋(1－λ)b＝(λx1＋(1－λ)x2，λy1＋(1－λ)y2)．
对于①，f1(m)＝x－y
∴f(λa＋(1－λ)b)＝[λx1＋(1－λ)x2]－[λy1＋(1－λ)y2]
＝λ(x1－y1)＋(1－λ)(x2－y2)．
λf(a)＋(1－λ)f(b)＝λ(x1－y1)＋(1－λ)(x2－y2)
f(λa＋(1－λ)b)＝λf(a)＋(1－λ)f(b)．
∴①具有性质p.
对于②，f2(m)＝x2＋y，设a＝(0,0)，b＝(1,2)，
λa＋(1－λ)b＝(1－λ，2(1－λ))，
f(λa＋(1－λ)b)＝(1－λ)2＋2(1－λ)＝λ2－4λ＋3，
而λf(a)＋(1－λ)b＝λ(02＋0)＋(1－λ)(12＋2)＝3(1－λ)．
又λ∈R，∴f(λa＋(1－λ)b)＝λf(a)＋(1－λ)f(b)不恒成立
故②不具有性质p.
对于③，f3(m)＝x＋y＋1，
f(λa＋(1－λ)b)＝[λx1＋(1－λ)x2]＋[λy1＋(1－λ)y2]＋1
＝λ(x1＋y1)＋(1－λ)(x2＋y2)＋1，
又λf(a)＋(1－λ)f(b)＝λ(x1＋y1＋1)＋(1－λ)(x2＋y2＋1)
＝λ(x1＋y1)＋(1－λ)(x2＋y2)＋λ＋(1－λ)
＝λ(x1＋y1)＋(1－λ)(x2＋y2)＋1.
∴f(λa＋(1－λ)b)＝λf(a)＋(1－λ)f(b)
③具有性质p.第六章
推理与证明
章末质量评估
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(每小题5分，共50分)
1．学习合情推理后，甲、乙两位同学各举了一个例子，
甲：由“若三角形周长为l，面积为S，则其内切圆半径r＝”类比可得“若三棱锥表面积为S，体积为V，则其内切球半径r＝”；
乙：由“若直角三角形两直角边长分别为a、b，则其外接圆半径r＝”类比可得“若三棱锥三条侧棱两两垂直，侧棱长分别为a、b、c，则其外接球半径r＝”．这两位同学类比得出的结论
( )
A．两人都对
B．甲错、乙对
C．甲对、乙错
D．两人都错
解析 利用等面积与等体积法可推得甲同学类比的结论是正确的；把三条侧棱两两垂直的三棱锥补成一个长方体，则此三棱锥的外接球半径等于长方体的外接球半径，可求得其半径r＝，因此，乙同学类比的结论是错误的．
答案 C
2．设S(n)＝＋＋＋＋…＋，则
( )．
A．S(n)共有n项，当n＝2时，S(2)＝＋
B．S(n)共有n＋1项，当n＝2时，S(2)＝＋＋
C．S(n)共有n2－n项，当n＝2时，S(2)＝＋＋
D．S(n)共有n2－n＋1项，当n＝2时，S(2)＝＋＋
解析 从n到n2共有n2－n＋1个自然数，即S(n)共有n2－n＋1项．
答案 D
3．在△ABC中，sin
Asin
C>cos
Acos
C，则△ABC一定是
( )．
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不确定
解析 由sin
Asin
C>cos
Acos
C，可得cos
(A＋C)<0，
∴cos
B>0.但A、C不能判断．
答案 D
4．下列三句话按三段论的模式排列顺序正确的是
( )．
①2
006能被2整除；②一切偶数都能被2整除；③2
006是偶数．
A．①②③
B．②①③
C．②③①
D．③②①
答案 C
5．已知a＋b＋c＝0，则ab＋bc＋ca的值
( )．
A．大于0
B．小于0
C．不小于0
D．不大于0
解析 ∵(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ac)＝0.
又∵a2＋b2＋c2≥0，
∴2(ab＋bc＋ac)≤0.
答案 D
6．已知a，b∈R，若a≠b，且a＋b＝2，则
( )．
A．1B．ab<1<
C．ab<<1
D.解析 ∵b＝2－a，
∴ab＝a(2－a)＝－(a2－2a)＝－(a－1)2＋1<1，
＝＝＝a2－2a＋2＝(a－1)2＋1>1，故选B.
答案 B
7．下列推理是归纳推理的是
( )．
A．A，B为定点，动点P满足|PA|＋|PB|＝2a>|AB|，得P的轨迹为椭圆
B．由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式
C．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜出椭圆＋＝1的面积S＝πab
D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇
解析 从S1，S2，S3猜想出数列的前n项和Sn，是从特殊到一般的推理，所以B是归纳推理．
答案 B
8．某个命题与正整数有关，如果当n＝k(k∈N＋)时，该命题成立，那么可
推得当n＝k＋1时命题也成立．现在已知当n＝5时，该命题不成立，那么可推得
( )．
A．当n＝6时该命题不成立
B．当n＝6时该命题成立
C．当n＝4时该命题不成立
D．当n＝4时该命题成立
解析 依题意，若n＝4时该命题成立，则n＝5时该命题成立；而n＝5时该命题不成立，却无法判断n＝6时该命题成立还是不成立，故选C.
答案 C
9．已知函数f(x)＝|ln
x|，若>a>b>1，则f(a)，f(b)，f(c)比较大小关系正确的是
( )．
A．f(c)>f(b)>f(a)
B．f(b)>f(c)>f(a)
C．f(c)>f(a)>f(b)
D．f(b)>f(a)>f(c)
解析 当x>1时，f(x)＝|lnx|＝lnx为增函数，因为>a>b>1，所以f>f(a)>f(b)，而f＝＝|ln
c|＝f(c)，所以f(c)>f(a)>f(b)．
答案 C
10．若a>b>c，n∈N＋，且＋≥恒成立，则n的最大值为
( )．
A．2
B．3
C．4
D．5
解析 ＋＝
＝≥＝.
所以nmax＝4.
或者(a－c)·
＝[(a－b)＋(b－c)]·
≥2·2
＝4.
答案 C
二、填空题(每小题5分，共25分)
11．在数列{an}中，a1＝1，且Sn，Sn＋1,2S1成等差数列(Sn表示数列{an}的前
n项和)，则S2，S3，S4分别为__________________，猜想Sn＝________.
解析 由Sn，Sn＋1,2S1成等差数列，
得2Sn＋1＝Sn＋2S1，
因为S1＝a1＝1，所以2Sn＋1＝Sn＋2.
令n＝1，则2S2＝S1＋2＝1＋2＝3 S2＝，
同理，分别令n＝2，n＝3，可求得S3＝，S4＝.
由S1＝1＝，S2＝＝，
S3＝＝，S4＝＝，猜想Sn＝.
答案：，，
12．设f(x)是定义在实数集R上的函数，且满足f(x＋2)＝f(x＋1)－f(x)，如
果f(1)＝lg，f(2)＝lg
15，则f(2
008)＝________.
解析 由f(1)＝lg＝lg
15－1，f(2)＝lg
15，
f(3)＝f(2)－f(1)＝1，
f(4)＝f(3)－f(2)＝1－lg
15，
f(5)＝f(4)－f(3)＝－lg
15，
f(6)＝f(5)－f(4)＝－1，
f(7)＝f(6)－f(5)＝lg
15－1，
f(8)＝f(7)－f(6)＝lg
15，…，
可以猜想到，从f(7)开始，又重复了上述数值，
即f(x＋6)＝f(x)，
∴f(2
008)＝f(334×6＋4)＝f(4)＝1－lg
15.
答案：1－lg
15
13．观察下列等式：13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43
＝(1＋2＋3＋4)2，…，根据上述规律，第四个等式为________．
答案 13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2
14．用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋n2＝，则n＝k＋1时左端在n
＝k时的左端加上________．
解析 n＝k左端为1＋2＋3＋…＋k2，n＝k＋1时左端为1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.
答案 (k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2
15．设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成
等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，________，________，成等比数列．
解析 对于等比数列，通过类比，有等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4＝a1a2a3a4，T8＝a1a2…a8，T12＝a1a2…a12，T16＝a1a2…a16，因此＝a5a6a7a8，＝a9a10a11a12，＝a13a14a15a16，而T4，，，的公比为q16，因此T4，，，成等比数列．
答案
三、解答题(本大题共6小题，共75分)
16．(本小题满分13分)下列是真命题还是假命题，用分析法证明你的结论．
命题：若a>b>c且a＋b＋c＝0，则<.
证明 此命题是真命题
∵a＋b＋c＝0，a>b>c，∴a>0，c<0.
要证<成立，只要证即证b2－ac<3a2，也就是证：(a＋c)2－ac<3a2.
即证(a－c)(2a＋c)>0.
∵a－c>0,2a＋c＝(a＋c)＋a＝a－b>0，
∴(a－c)(2a＋c)>0成立．故原不等式成立．
17．(本小题满分13分)设a>0，b>0,2c>a＋b，求证：
(1)c2>ab；
(2)c－证明 (1)∵a>0，b>0，∴2c>a＋b≥2
∴c>>0，∴c2>ab.
(2)要证c－只要证－即证|a－c|<，也就是(a－c)2而(a－c)2－(c2－ab)＝a(a＋b－2c)<0
∴原不等式成立．
18.
(本小题满分13分)如图，SA⊥平面ABC，AB⊥
BC，过A作SB的垂线，垂足为E；过E作SC的垂线，垂足为F.
求证：AF⊥SC.
证明 要证AF⊥SC，只需证SC⊥平面AEF，
只需证AE⊥SC(因为EF⊥SC)，
只需证AE⊥平面SBC，
只需证AE⊥BC(因为AE⊥SB)，
只需证BC⊥平面SAB，
只需证BC⊥SA(因为AB⊥BC)．
由SA⊥平面ABC可知上式成立，所以AF⊥SC.
19．(本小题满分12分)观察下表：
1，
2,3
4,5,6,7
8,9,10,11,12,13,14,15，
…
问：(1)此表第n行的最后一个数是多少？
(2)此表第n行的各个数之和是多少？
(3)2
008是第几行的第几个数？
解 (1)∵第n＋1行的第1个数是2n，
∴第n行的最后一个数是2n－1.
(2)2n－1＋(2n－1＋1)＋(2n－1＋2)＋…＋(2n－1)
＝＝3·2n－3－2n－2为所求．
(3)∵210＝1
024,211＝2
048,1
024<2
008<2
048，
∴2
008在第11行，该行第1个数是210＝1
024，由2
008－1
024＋1＝985，知2
008是第11行的985个数．
20．(本小题满分12分)用数学归纳法证明：对任意n∈N＋，··…
>成立．
证明 (1)当n＝1时，左边＝，右边＝，因为>，所以不等式成立．
(2)假设当n＝k时不等式成立，即··……>成立，则当n＝k＋1时，
左边＝··……·>·
＝
＝
＝
>.
所以当n＝k＋1时，不等式也成立，由(1)，(2)可得不等式恒成立．
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2－4，设曲线y＝f(x)在点(xn，f(xn))
处的切线与x轴的交点为(xn＋1,0)(n∈N＋)，其中x1为正实数．
(1)用xn表示xn＋1；
(2)求证：对一切正整数n，xn＋1≤xn的充要条件是x1≥2；
(3)若x1＝4，记an＝lg，证明数列{an}成等比数列，并求数列{xn}的通项公式．
(1)解 由题意可得f′(x)＝2x，
所以过曲线上点(xn，f(xn))的切线方程为
y－f(xn)＝f′(xn)(x－xn)，
即y－(x－4)＝2xn(x－xn)．
令y＝0，得－(x－4)＝2xn(xn＋1－xn)．
即x＋4＝2xnxn＋1.显然xn≠0，∴xn＋1＝＋.
(2)证明 (必要性)
若对一切正整数n，有xn＋1≤xn，则x2≤x1，
即＋≤x1，∴x≥4.而x1>0，即有x1≥2.
(充分性)若x1≥2>0，由xn＋1＝＋，
用数学归纳法易得xn>0，从而
xn＋1＝＋≥2＝2(n≥1)，
即xn≥2(n≥2)．又x1≥2，∴xn≥2(n≥1)．
于是xn＋1－xn＝＋－xn＝
＝≤0.
即xn＋1≤xn对一切正整数n成立．
(3)解 xn＋1＝＋，知xn＋1＋2＝，
同理，xn＋1－2＝.故＝()2.
从而lg＝2lg，即an＋1＝2an.
所以，数列{an}成等比数列，
故an＝2n－1a1＝2n－1·lg＝2n－1lg
3，
即lg＝2n－1lg
3.
从而＝32n－1，所以xn＝.6．1.3 演绎推理
6．1.4 合情推理与演绎推理的关系
1．下列表述正确的是
( )
①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．
A．①②③
B．②③④
C．②④⑤
D．①③⑤
解析 归纳推理是由部分到整体的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理．
答案 D
2．“因对数函数y＝logax是增函数(大前提)，而y＝logx是对数函数(小前
提)，所以y＝logx是增函数(结论)．”上面推理的错误是
( )
A．大前提错导致结论错
B．小前提错导致结论错
C．推理形式错导致结论错
D．大前提和小前提都错导致结论错
答案 A
3．对a＞0，b＞0，a＋b≥2.若x＋≥2
，则x＋≥2，以上推理
过程中的错误为
( )．
A．大前提
B．小前提
C．结论
D．无错误
答案 B
4．函数y＝2x＋5的图象是一条直线，用三段论表示为：
大前提：________________________________________________.
小前提：_________________________________________________.
结论：_________________________________________________.
答案 一次函数的图象是一条直线 函数y＝2x＋5是一次函数 函数y＝2x＋5的图象是一条直线
5．定义在(0，＋∞)上的函数f(x)，满足(1)f(9)＝2；(2)对 a，b∈(0，＋
∞)，有f(ab)＝f(a)＋f(b)，则f＝________.
解析 由题设f(b)＝f＝f(a)＋f，
所以f＝f(b)－f(a)．取a＝b＝1，得f(1)＝0.
又f(9)＝f(3×3)＝f(3)＋f(3)＝2，∴f(3)＝1，
∴f＝f(1)－f(3)＝0－1＝－1.
答案 －1
6．将下列演绎推理写成三段论的形式．
(1)所有的金属都导电，树枝不导电，所以树枝不是金属；
(2)在一个标准大气压下，冰的融点是0℃.一个标准大气压下气温升到0
℃，冰会融解；
(3)直角三角形中a2＋b2＝c2，在△ABC中AC2＋BC2＝AB2，所以△ABC是直角三角形；
(4)两直线平行，同位角相等，如果∠A和∠B是两平行直线的同位角，那么∠A＝∠B.
解 (1)所有的金属都导电，(大前提)
树枝不导电，(小前提)
树枝不是金属．(结论)
(2)在一个标准大气压下，冰的融点是0℃，(大前提)
一个标准大气压下气温升到0℃，(小前提)
冰融解．(结论)
(3)直角三角形中a2＋b2＝c2，(大前提)
△ABC中AC2＋BC2＝AB2，(小前提)
△ABC是直角三角形．(结论)
(4)两直线平行，同位角相等，(大前提)
∠A和∠B是两平行直线的同位角，(小前提)
∠A＝∠B.(结论)
7．函数f(x)＝x3＋sin
x＋1(x∈R)若f(a)＝2，则f(－a)的值为
( )．
A．3
B．0
C．－1
D．－2
解析 f(a)＝a3＋sin
a＋1，f(－a)＝－a3－sin
a＋1
∴f(a)＋f(－a)＝2，f(－a)＝2－f(a)＝2－2＝0.
答案 B
8．设x，y，z∈(0，＋∞)，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a，b，c三数( )
A．至少有一个不大于2
B．都小于2
C．至少有一个不小于2
D．都大于2
解析 ∵x、y、z＞0，∴x＋≥2，y＋≥2，z＋≥2，
∴a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥6，
因此a，b，c至少有一个不小于2.
答案 C
9．对于平面几何中的命题：“夹在两条平行线之间的平行线段相等”，
在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：
___________________________________________________________，
这个命题的真假是________________________________．
答案 夹在两个平行平面间的平行线段相等 真命题
10．在平面内，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为
1∶4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．
答案 1∶8
11．先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：
已知a1，a2∈R，a1＋a2＝1，求证：a＋a≥.
证明：构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2，f(x)对一切实数x∈R，恒有f(x)≥0，则Δ＝4－8(a＋a)≤0，
∴a＋a≥.
(1)已知a1，a2，…，an∈R，a1＋a2＋…＋an＝1，请写出上述结论的推广式；
(2)参考上述解法，对你推广的结论加以证明．
(1)解 已知a1，a2，…，an∈R，a1＋a2＋…＋an＝1，
则a＋a＋…＋a≥.
(2)证明 构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2
＝nx2－2(a1＋a2＋…＋an)x＋a＋a＋…＋a
＝nx2－2x＋a＋a＋…＋a，
f(x)对一切实数x∈R，恒有f(x)≥0，
则Δ＝4－4n(a＋a＋…＋a)≤0，
∴a＋a＋…＋a≥.
12．(创新提高)已知Sn为正项数列{an}的前n项和，且满足Sn＝a＋an(n∈
N＋)，
求出a1，a2，a3，a4，猜想{an}的通项公式并给出证明
解 由Sn＝a＋an(n∈N＋)．
可得a1＝a＋a1，解得a1＝1，
S2＝a1＋a2＝a＋a2，解得a2＝2，
同理a3＝3，a4＝4，猜想an＝n.
证明 Sn＝a＋an①
Sn－1＝a＋an－1，(当n≥2时)②
①－②得(an－an－1－1)(an＋an－1)＝0，
∵an＋an－1≠0，∴an－an－1＝1，
又a1＝1，故数列{an}是首项a1＝1，公差d＝1的等差数列，
故an＝n.6．2.2 间接证明：反证法
1．命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是
( )
A．有两个内角是直角
B．有三个内角是直角
C．至少有两个内角是直角
D．没有一个内角是直角
答案 C
2．应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用
( )
①结论相反判断，即假设 ②原命题的条件 ③公理、定理、定义等 ④原结论
A．①②
B．①②④
C．①②③
D．②③
答案 C
3．如果两个实数之和为正数，则这两个数
( )
A．一个是正数，一个是负数
B．两个都是正数
C．至少有一个是正数
D．两个都是负数
解析 假设两个数都是负数，则其和必为负数．
答案 C
4．用反证法证明命题：“若a，b∈R，且a2＋|b|＝0，则a，b全为0”时，
应假设为________．
解析 “a，b全为0”即是“a＝0，且b＝0”．因此它的否定为“a≠0，或b≠0”
答案 若a≠0，或b≠0
5．和两异面直线AB，CD都相交的直线AC，BD的位置关系是________．
解析 假设AC与BD共面于α，则点A，C，B，D都在α内，
∴AB与CD共面于α，这与AB，CD异面的条件矛盾．
∴AC与BD异面．
答案 异面
6．已知a是整数，a2是偶数，求证：a也是偶数．
证明 (反证法)假设a不是偶数，即a是奇数．
设a＝2n＋1(n∈Z)，则a2＝4n2＋4n＋1.
∵4(n2＋n)是偶数，
∴4n2＋4n＋1是奇数，这与已知a2是偶数矛盾．
由上述矛盾可知，a一定是偶数．
7．以下各数不能构成等差数列的是
( )
A．4,5,6
B．1,4,7
C.，，
D.，，
解析 显然A，B，C选项中，给出的三数均能构成等差数列，故选D.事实上，，，不能构成等差数列，证明如下：假设，，成等差数列，则2＝＋ 12＝7＋2 5＝2 25＝40.这是不可能的．
答案 D
8．用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是
( )．
A．假设至少有一个钝角
B．假设至少有两个钝角
C．假设没有一个钝角
D．假设没有一个钝角或至少有两个钝角
答案 B
9．用反证法证明：“a，b至少有一个为0”，应假设________．
答案 a，b全为为0
10．已知函数f(x)在[0,1]上有意义，且f(0)＝f(1)，如果对任意的x1，x2∈[0,1]
且x1≠x2，都有|f(x1)－f(x2)|<|x1－x2|，求证：|f(x1)－f(x2)|<，若用反证法证明该题，则反设应为________．
解析 根据已知和反证法的要求，反设应为：存在x1，x2∈[0,1]且x1≠x2，虽然|f(x1)－f(x2)|<|x1－x2|，
但|f(x1)－f(x2)|≥.
答案 存在x1，x2∈[0,1]且x1≠x2，
虽然|f(x1)－f(x2)|<|x1－x2|，
但|f(x1)－f(x2)|≥
11．已知数列{an}满足a1＝λ，an＋1＝an＋n－4，λ∈R，n∈N＋，对任意λ
∈R，证明：数列{an}不是等比数列．
证明 假设存在一个实数λ，使{an}为等比数列，则有a＝a1a3，即2＝λ，
即：λ2－4λ＋9＝λ2－4λ，∴9＝0，矛盾．
所以，数列{an}不是等比数列．
12．(创新拓展)用反证法证明：如果x>，那么x2＋2x－1≠0.
证明 假设x2＋2x－1＝0
则(x＋1)2＝2
∴x＝－1±
此时x<与已知x>矛盾，
故假设不成立．
∴原命题成立．6．3 数学归纳法
1．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步验证
n＝
( )．
A．1
B．2
C．3
D．0
解析 因为是证明凸n边形，首先可先构成n边形，故选C.
答案 C
2．满足1·2＋2·3＋3·4＋…＋n(n＋1)＝3n2－3n＋2的自然数等于( )．
A．1
B．1或2
C．1,2,3
D．1,2,3,4
解析 用排除法，将4,3依次代入，所以选C.
答案 C
3．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步
是
( )．
A．假使n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3正确
B．假使n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1正确
C．假使n＝k时正确，再推n＝k＋1正确
D．假使n≤k(k≥1)，再推n＝k＋2时正确(以上k∈N＋)
解析 因为n为正奇数，据数学归纳法证题步骤，第二步应先假设第k个正奇数也成立，本题即假设n＝2k－1正确，再推第k＋1个正奇数即n＝2k＋1正确．
答案 B
4．用数学归纳法证明≥n(a，b是非负实数，n∈N＋)时，假设n
＝k命题成立之后，证明n＝k＋1命题也成立的关键是________________．
解析 要想办法出现ak＋1＋bk＋1，两边同乘以，右边也出现了要证的k＋1.
答案 两边同乘以
5．用数学归纳法证明 1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N
)的过程如下：
(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N＋，且k≥1)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1.所以当n＝k＋1时等式也成立．由此可知对于任何n∈N
，等式都成立．上述证明的错误是____________．
答案 未用归纳假设
6．平面内有n(n∈N＋，n≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过
同一点，证明：交点的个数f(n)＝.
证明 (1)当n＝2时，两条直线的交点只有一个，
又f(2)＝×2×(2－1)＝1，
∴当n＝2时，命题成立．
(2)假设n＝k，∈N＋，且(k>2)时，命题成立，即平面内满足题设的任何k条直线交点个数f(k)＝k(k－1)，
那么，当n＝k＋1时，任取一条直线l，除l以外其他k条直线交点个数为f(k)＝k(k－1)，l与其他k条直线交点个数为k，从而k＋1条直线共有f(k)＋k个交点，
即f(k＋1)＝f(k)＋k＝k(k－1)＋k
＝k(k－1＋2)＝k(k＋1)＝(k＋1)[(k＋1)－1]，
这表明，当n＝k＋1时，命题成立．
由(1)、(2)可知，对n∈N＋(n≥2)命题都成立．
7．在数列{an}中，an＝1－＋－＋…＋－则ak＋1＝
( )．
A．ak＋
B．ak＋－
C．ak＋
D．ak＋－
解析 a1＝1－，a2＝1－＋－，…，an＝1－＋－＋…＋－，ak＝1－＋－＋…＋－，所以，ak＋1＝ak＋－.
答案 D
8．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3，(n∈N＋)能被9整除”，要利
用归纳法假设证n＝k＋1时的情况，只需展开
( )．
A．(k＋3)3
B．(k＋2)3
C．(k＋1)3
D．(k＋1)3＋(k＋2)3
解析 假设n＝k时，原式k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，当n＝k＋1时，(k＋1)3.＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只须将(k＋3)3展开，让其出现k3即可．故应选A.
答案 A
9．观察下列不等式：1>，1＋＋>1,1＋＋＋…＋>，1＋＋＋…＋
>2,1＋＋＋…＋>，…，由此猜测第n个不等式为________(n∈N＋)．
解析 3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，
可猜测：1＋＋＋…＋>.
答案 1＋＋＋…＋>
10．楼梯共有n级，每步只能跨上1级或2级，走完该n级楼梯共有f(n)
种不同的走法，则f(n)，f(n－1)，f(n－2)的关系为________．
答案 f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)
11．用数学归纳法证明对n∈N＋都有＋＋＋…＋＝.
证明 ①当n＝1时，左边＝＝，右边＝＝，左边＝右边．
∴n＝1时，等式成立．
②假设＋＋…＋＝，
则n＝k＋1时，＋＋…＋＋
＝＋
＝＝
＝＝＝.
∴n＝k＋1时，等式成立．
由①②知＋＋…＋＝.
12．(创新拓展)已知，n∈N＋，An＝2n2，Bn＝3n，试比较An与Bn的大小，
并加以证明．
解 当n＝1时：A1＝2，B1＝3，有A1当n＝2时：A2＝8，B2＝9，有A2当n＝3时：A3＝18，B3＝27，有A3由上可归纳出当n∈N＋时，都有An下面用数学归纳法证明(下面只证n≥2时成立)：
(1)当n＝2时，由上可知不等式成立．
(2)假设n＝k(k∈N＋，且k≥1)时不等式成立，即2k2<3k，
则3k＋1＝3×3k＝3k＋3k＋3k>2k2＋2k2＋2k2.
由于2k2≥4k (k≥2)，2k2>2，
所以3k＋1>2k2＋2k2＋2k2>2k2＋4k＋2＝2(k＋1)2，
这表明，当n＝k＋1时，不等式也成立．
综合(1)、(2)可知，n∈N＋，n≥2时，都有An综上可知n∈N＋时，An1．某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，○○○●●○○○
●●○○○…，按这种规律往下排，那么第36个圆的颜色应是
( )
A．白色
B．黑色
C．白色可能性大
D．黑色可能性大
答案 A
2．由集合{a1}，{a1，a2}，{a1，a2，a3}，…的子集个数归纳出集合{a1，
a2，a3，…，an}的子集个数为
( )
A．n
B．n＋1
C．2n
D．2n－1
解析 集合{a1}的子集有 ，{a1}共2个；{a1，a2}的子集有 ，{a1}，{a2}，{a1，a2}共4个；集合{a1，a2，a3}的子集共8个，猜测n个元素的集合的子集有2n个，故选C.
答案 C
3．根据给出的数塔猜测123456×9＋7等于
( )
1×9＋2＝11
12×9＋3＝111
123×9＋4＝1111
1234×9＋5＝11111
12345×9＋6＝111111
A．1111110
B．1111111
C．1111112
D．1111113
解析 由数塔运算积的知识易得B为真．
答案 B
4．n个连续自然数按规律排列下表：
0 3
→
4
7
→
8 11…
↓
↑ ↓
↑
↓
↑
1
→
2 5
→
6
9
→
10
根据规律，从2010到2012箭头方向依次为________．
解析 观察特例规律知：位置相同的数字都是以4为公差的等差数例，由2,3,4知2010到2012为↑→，故答案为↑→.
答案 ↑→
5．已知
＝2
，
＝3
，
＝4
，…，
若
＝6
(a，b均为实数)，推测a＝________，b＝________.
答案 6 35
6．设Sn＝＋＋＋…＋，写出S1，S2，S3，S4的值，归
纳并猜想出结果，并给出证明．
解 n＝1,2,3,4时，S1＝，S2＝，S3＝，S4＝.
猜想：Sn＝.
证明如下：＝－，
∴Sn＝＋＋＋…＋
＝1－＝.
7．设n是自然数，则(n2－1)[1－(－1)n]的值
( )
A．一定是零
B．不一定是整数
C．一定是偶数
D．是整数但不一定是偶数
解析 当n＝1时，值为0，
当n＝2时，值为0，
当n＝3时，值为2，
当n＝4时，值为0，
当n＝5时，值为6.
答案 C
8．(2011·江西)观察下列各式：55＝3
125,56＝15
625,57＝78
125，…，则52
011
的末四位数字为
( )．
A．3
125
B．5
625
C．0
625
D．8
125
解析 55＝3
125,56＝15
625,57＝78
125,58的末四位数字为0
625,59的末四位数字为3
125,510的末四位数字为5
625，511的末四位数字为8
125,512的末四位数字为0
625，…，
由上可得末四位数字周期为4，呈现规律性交替出现，∴52
011＝54×501＋7末四位数字为8
125.
答案 D
9．(2011·山东)设函数f(x)＝(x>0)，观察f1(x)＝f(x)＝，
f2(x)＝f[f1(x)]＝，
f3(x)＝f[f2(x)]＝，
f4(x)＝f[f3(x)]＝，…
根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N＋且n≥2时，fn(x)＝f[fn－1(x)]＝________.
解析 先求分母中x项系数组成数列的通项公式，由1,3,7,15…，可推知该数列的通项公式为an＝2n－1，又函数结果分母中常数项依次为2,4,8,16，…，故其通项公式为bn＝2n.
∴fn(x)＝.
答案
10．(2011·陕西)观察下列等式
1＝1
2＋3＋4＝9
3＋4＋5＋6＋7＝25
4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49
…
照此规律，第n个等式为________．
解析 ∵1＝12,2＋3＋4＝9＝32，
3＋4＋5＋6＋7＝25＝52，
4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49＝72，
所以第n个等式为
n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.
答案 n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2
11．观察以下等式：
sin230°＋cos260°＋sin
30°·cos
60°＝，
sin240°＋cos270°＋sin
40°·cos
70°＝，
sin215°＋cos245°＋sin
15°·cos
45°＝.
…
写出反映一般规律的等式，并给予证明．
解 反映一般规律的等式是(表述形式不唯一)：
sin2α＋cos2(α＋30°)＋
sin
α·cos(α＋30°)＝.
证明如下：
sin2α＋cos2(α＋30°)＋sin
α·cos(α＋30°)
＝sin2α＋(cos
α·cos
30°－sin
α·sin
30°)2
＋sin
α·(cos
αcos
30°－sin
α·sin
30°)
＝sin2α＋2＋sin
α
·cos
α－sin2α
＝sin2α＋
cos2α＋sin2α－sin
α·cos
α＋sin
α·cos
α－sin2α＝(sin2α＋cos2α)＝.
12．(创新拓展)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，n∈N＋，求a2，a3，a4
并猜想数列的通项公式，并给出证明．
解 {an}中a1＝1，a2＝＝，
a3＝＝＝，
a4＝＝，…，
所以猜想{an}的通项公式an＝(n∈N＋)．此猜想正确．
证明如下：因为a1＝1，an＋1＝，
所以＝＝＋，
即－＝，所以数列是以＝1为首项，
公差为的等差数列，
所以＝1＋(n－1)＝＋，
即通项公式an＝(n∈N＋)．