4．2.1 几个幂函数的导数
4．2.2 一些初等函数的导数表
1．曲线y＝x3在点P处的切线的斜率为3，则P点的坐标为
( )．
A．(－2，－8)
B．(－1，－1)，(1,1)
C．(2,8)
D.
解析 y′＝3x2，由3x2＝3，得x＝1或x＝－1，
∴P点坐标为(1,1)或(－1，－1)．
答案 B
2．下列结论：①(cos
x)′＝sin
x；②′＝cos；③若y＝，则y′|x＝3
＝－；④(e3)′＝e3.其中正确的个数为
( )．
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
解析 (cos
x)′＝－sin
x，①错，sin＝，′＝0.②错，′＝－，∴y′|x＝3＝－，③正确，e3为常数，(e3)′＝0，④错．
答案 B
3．(2011·山东)曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标为
( )．
A．－9
B．－3
C．9
D．15
解析 y′＝3x2，则y′|x＝1＝3，所以曲线在P点处的切线方程为y－12＝3(x－1)．
即y＝3x＋9，它在y轴上的截距为9.
答案 C
4．已知P(－1,1)，Q(2,4)是曲线f(x)＝x2上的两点，则平行于直线PQ的曲线
y＝x2的切线方程是________________．
解析 y＝x2的导数为y′＝2x，设切点为M(x0，y0)，
则y′|x＝x0＝2x0，又kPQ＝＝1，
又切线平行于PQ，∴k＝y′|
x＝x0＝2x0＝1，∴x0＝.
∴切点M，
∴切线方程为y－＝x－，即4x－4y－1＝0.
答案 4x－4y－1＝0
5．曲线y＝sin
x在点A处的切线方程为________．
解析 y′＝cos
x，y′|x＝＝，所以曲线在A点处的切线方程为y－＝.即x－2y＋－＝0.
答案 x－2y＋－＝0
6．已知直线y＝kx是曲线y＝ln
x的切线，求k.
解 设切点为P(x0，y0)，又y′＝(ln
x)′＝.
∴点P处的切线斜率为，
∴k＝，x0＝，∴P.
又点P在直线y＝kx上，∴ln
＝k·＝1.
∴＝e，即k＝.
7．(2011·江西)曲线y＝ex在点A(0,1)处的切线的斜率为
( )．
A．1
B．2
C．e
D.
解析 y′＝ex，y′|x＝0＝1.所以，所求切线的斜率为1.
答案 A
8．设f0(x)＝cos
x，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈
N，则f2
011(x)等于
( )．
A．sin
x
B．－sin
x
C．cos
x
D．－cos
x
解析 f0(x)＝cos
x，f1(x)＝－sin
x，f2(x)＝－cos
x，
f3(x)＝sin
x，f4(x)＝cos
x，…，
由此看出，四个一循环，具有周期性，T＝4.∵2
011＝4×502＋3，∴f2
011(x)＝f3(x)＝sin
x.
答案 A
9．曲线y＝log2x的一条切线的斜率为，则切点坐标为________．
解析 y′＝，由＝，得x＝1.所以切点坐标为(1,0)．
答案 (1,0)
10．函数y＝－2sin的导数为________．
解析 y＝－2sin
＝sin
x，故y′＝cos
x.
答案 cos
x
11．求过曲线y＝ex上的点P(1，e)且与曲线在该点处的切线垂直的直线方程．
解 y′＝ex，∴曲线在点P处的切线的斜率为e1＝e.
∴过P点与曲线在点P处的切线垂直的直线的斜率为－.
∴所求方程为y－e＝－(x－1)，即x＋ey－e2－1＝0.
12．(创新拓展)求过点(2,0)且与曲线y＝x3相切的直线方程．
解 设切点坐标为(x0，x)，则由于y′＝3x2，所以切线斜率为3x，切线方程为y－x＝3x(x－x0)，它过点(2,0)，
∴0－x＝3x(2－x0)
∴x0＝0或x0＝3.
若x0＝0，则切点坐标为(0,0)，切线方程为y＝0.
若x0＝3，则切点坐标为(3,27)，切线方程为y－27＝3×32(x－3)，即27x－y－54＝0.
所以，所求直线方程为y＝0或27x－y－54＝0.(共20张PPT)
本章归纳整合
知识网络
第四章
导数及其应用
要点归纳
理解函数的平均变化率，要仔细观察函数图象的变化特点：一是不同点处的函数平均变化率不同；二是在同一点处当点P0向P靠近的不同程度时的函数的变化率的变化．
1．导数的概念及其计算
利用导数研究函数的单调性，要注意求函数单调区间的三个步骤，同时要注意函数的定义域，只能在定义域内，通过讨论导数的符号，来确定函数的单调区间．否则，就会出现错误．
函数的极值与区间端点的取值中的最大(或最小)者即为函数的最大(或最小)值．
2．导数的实际应用
根据导数的几何意义，导数就是相应切线的斜率，从而就可以应用导数解决一些与切线相关的问题．
设函数f(x)＝4x2－ln
x＋2，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．
专题一 应用导数解决与切线相关的问题
【例1】
点评 根据导数的几何意义，可以通过求导数来求切线的斜率，再根据切点是曲线与切线的公共点，求出切点的坐标，代入直线方程的点斜式就可以求出切线的方程．
点P(2,0)是函数f(x)＝x3＋ax与g(x)＝bx2＋c的图象的一个公共点，且两条曲线在点P处有相同的切线，求a，b，c的值．
解 因为点P(2,0)是函数f(x)＝x3＋ax与g(x)＝bx2＋c的图象的一个公共点，
所以23＋2a＝0
①
4b＋c＝0
②
由①得a＝－4.
所以f(x)＝x3－4x.
又因为两条曲线在点P处有相同的切线，
所以f′(2)＝g′(2)，
【例2】
而由f′(x)＝3x2－4得到f′(2)＝8，
由g′(x)＝2bx得到g′(2)＝4b，
所以8＝4b，即b＝2代入②得到c＝－8.
综上所述，a＝－4，b＝2，c＝－8.
点评 有三个未知数，要列三个方程来求，由点P是两曲线的公共点可列出两个方程，由两条曲线在点P处有相同的切线得到两函数在点P处的导数相等再列一个方程，联立三个方程就可以求出a，b，c的值．
利用导数研究函数是高考的必考内容，也是高考的重点、热点．考题利用导数作为工具，求函数的单调区间、函数的极值与最值，参数的取值范围等问题常出现，若以选择题、填空题出现，以中低档题为主；若以解答题形式出现，则难度以中档以上为主，有时也以压轴题的形式出现．考查中常渗透函数、不等式等有关知识，综合性较强．
专题二 导数与函数、不等式的综合应用
点评 本例综合考查了利用导数研究函数的单调性、极值、最值等有关问题．解题中应注意数形结合、分类讨论、化归转化等思想方法的应用．
点评 本题是一个函数图象与平面区域的交汇问题，求解的关键是根据导函数图象得出函数的单调性，使不等式组具体化．
定积分是解决求平面图形，特别是不规则图形的面积、变速直线运动的路程及变力做功等问题的方便而且强有力的工具．
设两抛物线y＝－x2＋2x，y＝x2所围成的图形为M，求M的面积．
专题三 定积分及其应用
【例5】
点评 不规则图形的面积可用定积分求，关键是确定积分上、下限及被积函数，积分的上、下限一般是两曲线交点的横坐标．4．3.1 利用导数研究函数的单调性
1．已知y＝f(x)，x∈[0,1]，且f′(x)>0，则下列关系式一定成立的是( )．
A．f(0)<0
B．f(1)>0
C．f(1)>f(0)
D．f(1)
解析 f′(x)>0，说明f(x)在[0,1]上单调递增，故f(1)>f(0)，选C.
答案 C
2．下列函数中在区间(－1,1)上是减函数的是
( )．
A．y＝－3x2＋3
B．y＝ln
|x|
C．y＝
D．y＝sin
x
答案 C
3．函数f(x)＝xln
x的单调递减区间是
( )．
A.
B.
C.
D．(e，＋∞)
解析 ∵f′(x)＝ln
x＋1，
∴由f′(x)<0，即ln
x＋1<0得ln
x<－1＝ln
e－1，
∴0答案 C
4．函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调减区间为________．
解析 f′(x)＝3x2－30x－33＝3(x－11)(x＋1)，令f′(x)＜0，得－1＜x＜11，所以单调减区间为(－1,11)．
答案 (－1,11)
5．函数f(x)的导数y＝f′(x)的图象如图所示，则
函数f(x)的单调递增区间是______．
答案 [－1,0]和[2，＋∞)
6．求下列函数的单调区间．
(1)f(x)＝x3－x；(2)y＝ex－x＋1.
解 (1)f′(x)＝3x2－1＝(x＋1)(x－1)，
令f′(x)>0，则x∈和，
令f′(x)<0，则x∈.
∴f(x)＝x3－x的单调增区间为和；单调减区间为.
(2)y′＝ex－1，令y′>0，即ex－1>0，
则x∈(0，＋∞)，
令y′<0，即ex－1<0，则x∈(－∞，0)，
∴y＝ex－x＋1的单调增区间(0，＋∞)，单调减区间为(－∞，0)．
7．函数f(x)＝xcos
x－sin
x在下面哪个区间内是增函数
( )．
A.
B．(π，2π)
C.
D．(2π，3π)
解析 f′(x)＝cos
x－xsin
x－cos
x＝－xsin
x，
当x∈(π，2π)时，f′(x)>0.
答案 B
8．(2011·辽宁)函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，
则f(x)>2x＋4的解集为
( )．
A．(－1,1)
B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1)
D．(－∞，＋∞)
解析 设m(x)＝f(x)－(2x＋4)，则m′(x)＝f′(x)－2>0，
∴m(x)在R上是增函数，
∴m(－1)＝f(－1)－[2×(－1)＋4]＝0，
∴m(x)>0的解集为{x|x>－1}．
即f(x)>2x＋4的解集为(－1，＋∞)．
答案 B
9．使y＝sin
x＋ax在R上是增函数的a的取值范围为________．
解析 y′＝cos
x＋a≥0，
∴a≥－cos
x在R上恒成立，
又cos
x∈[－1,1]，∴a≥1.
答案 [1，＋∞)
10．函数y＝x(a>0)的单调增区间为________，单调减区间为_______．
解析 函数的定义域为[0，a]，y′＝，由y′>0结合0≤x≤a，得0由y′<0结合x∈[0，a]得∴y的增区间为，减区间为.
答案
11．若函数f(x)＝ax3－x2＋x－5在(－∞，＋∞)上单调递增，求a的取值范围．
解 f′(x)＝3ax2－2x＋1，
∵f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，
∴f′(x)≥0即3ax2－2x＋1≥0在R上恒成立．
∴∴a≥.
∴a的取值范围为.
12．(创新拓展)(2011·福建)已知a，b为常数，且a≠0，函数f(x)＝－ax＋b
＋axln
x，f(e)＝2.
①求b；②求函数f(x)的单调区间．
解 ①f(e)＝2，即－ae＋b＋aeln
e＝2，∴b＝2.
②由①知f(x)＝－ax＋axln
x＋2，f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝－a＋a＝aln
x.
当a>0时，由f′(x)>0知x>1，由f′(x)<0知0当a<0时，由f′(x)>0知01.
所以a>0时，f(x)的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0,1)；
a<0时，f(x)的增区间为(0,1)，减区间为(1，＋∞)．(共23张PPT)
【课标要求】
1．会根据定积分的定义，用“四步曲”方法求一些简单函
数的定积分．
2．理解定积分的简单性质并会简单应用．
3．会说出定积分的几何意义，能根据几何意义解释定积分．
4．5.3 定积分的概念
设f(x)是在区间[a，b]上有定义的函数，在a，b之间取若
干分点a＝x0Δk上任取一点代表点zk，作和式：
.①
如果(不论如何取分点xk和代表点zk)当d趋于0时和式
①以S为极限，就说函数f(x)在[a，b]上
，并且说S是f在
[a，b]上的
，记作S＝
.a和b分别叫作定积分的
和
，f(x)叫作
．[a，b]叫作
．
自学导引
1．
可积
定积分
下限
上限
被积函数
积分区间
一般来说，定积分的几何意义是
2．定积分的几何意义
3．定积分的物理意义
在区间[a，b]上，曲线与
直线x＝a，x＝b(a≠b)及x轴所围图形面积的代数和(即x
轴上方的面积减去x轴下方的面积)
运动物体从x＝a
到x＝b时所走过的路程
运动物体从x＝a到x＝b时所做的功
用定义求定积分的一般方法是什么？
自主探究
预习测评
答案 B
答案 D
答案 D
答案 (1)> (2)< (3)<
要点阐释
1．定积分可以表示图形的面积
被积函数是正的，定积分的值也为正，如果被积函数是负的，函数曲线在
x轴之下，定积分的值就是带负号的曲边梯形的面积．当被积函数在积分区间上有正有负时，定积分就是x轴之上的正的面积与x轴之下的负的面积的代数和．
此外，定积分还有更多的实际意义，比如在物理学中，可以用定积分表示功、路程、压力、体积等．
2．定积分表示图形面积的代数和
3．
典例剖析
点评 用定义计算定积分问题，只要按照化整为零，插入等分点；以直代曲，估计误差；积零成整，精益求精这三个步骤完成即可．
点评 解决此类定积分应先画图，然后根据几何意义求解．
题型二 定积分的几何意义
[错解] D
误区警示 运算要细心
错解分析 用和式定义和定积分定义求解，计算时一定要细致、认真，否则容易出错．
答案 A(共32张PPT)
【课标要求】
1．了解极大(小)值的概念；结合图象，了解函数在某点取
得极值的必要条件和充分条件；
2．能利用导数求不超过三次的多项式函数的极大值，极
小值．
4.3.2 函数的极大值和极小值
如果不等式
对一切x∈(u，v)成立，就说函数在x＝c处取得极大(小)值，称c为f(x)的一个极大(小)值点，
为f(x)的一个极大(小)值．极大值，极小值统称
，极大值点和极小值点统称为
．
自学导引
1．
f(c)≥f(x)(或f(c)≤f(x))
f(c)
f(c)
极值点
2．如果函数f(x)在某个区间内有导数，求极值的一般方法为：
(1)求导数f′(x)；
(2)求f(x)的驻点，即求
的根；
(3)检查f′(x)在驻点左右的符号，如果在驻点左侧附近为
，右侧附近为
，那么函数y＝f(x)在这个驻点处取得极大(小)值．
f′(x)＝0
正(负)
负(正)
在一个给定区间上，函数的极值有怎样的情形？
提示 在一个给定的区间上，函数可能有若干个极值点，也可能不存在极值点；函数可以只有极大值，没有极小值，或者只有极小值没有极大值；也可以既有极大值，又有极小值．极大值不一定比极小值大，极小值也不一定比极大值小．
自主探究
关于极值，如下叙述正确的是
( )．
A．若f′(x0)＝0，则f(x0)是极值
B．对于函数f(x)，极大值和极小值是唯一的
C．极大值总比极小值大
D．极大值可能是最大值
解析 比如y＝－x2，极大值0也是最大值．
答案 D
预习测评
1．
已知函数f(x)，x∈R，且在x＝1处f(x)存在唯一的极小值，则
( )．
A．当x∈(－∞，1)时，f′(x)>0；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0
B．当x∈(－∞，1)时，f′(x)>0；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0
C．当x∈(－∞，1)时，f′(x)<0；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0
D．当x∈(－∞，1)时，f′(x)<0；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0
2．
解析 ∵f(x)在x＝1处存在极小值，
∴x<1时，f′(x)<0，x>1时，f′(x)>0，故选C.
答案 C
函数y＝x3－27x的极大值是________．
解析 ∵y′＝3x2－27，令y′＝0，得x＝±3.
又y′＝3(x＋3)(x－3)，
∴y′>0 x<－3或x>3；
y′<0 －3故x＝－3是函数的极大值点，
∴y极大值＝f(－3)＝54.
答案 54
3．
函数f(x)＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则a、b的值分别为________、________.
解析 因为f′(x)＝3ax2＋b，所以f′(1)＝3a＋b＝0.①
又x＝1时有极值－2，所以a＋b＝－2.②
由①②解得a＝1，b＝－3.
答案 1 －3
4．
(1)函数f(x)在点x0及其附近有定义是指在点x0及其左、右邻域都有意义．
(2)按定义，极值点xi是区间[a，b]内部的点(如图)，不会是端点a，b.
要点阐释
1．函数极值概念的理解
(3)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
(4)极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
(5)不可导函数也可能有极值点(例如函数y＝|x|，它在点x＝0处不可导，但x＝0是函数的极小值点)，即函数f(x)在极值点处不一定存在导数．
(6)可导函数的极值点一定是它导数为零的点，反之，函数的导数为零的点不一定是该函数的极值点，因此导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件，其充分条件是这点两侧的导数异号．
(7)函数f(x)在[a，b]上有极值的话，它的极值点的分布是有规律的，如上图，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样，相邻两个极小值点之间必有一个极大值点．一般地，当函数f(x)在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f(x)在[a，b]内的极大值点和极小值点是交替出现的．
(1)确定函数定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)求方程f′(x)＝0的根即函数驻点；
(4)检查f′(x)在f′(x)＝0的根左右两侧的符号，若左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；若左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；若左、右同号，则不是极值点．通常利用列表的形式概括表示并进行判断是什么类型的极值点以及极值．
2．求可导函数极值的步骤
典例剖析
点评 (1)为了便于确定方程f′(x)＝0的根是不是极值点，是极大值点还是极小值点，通常借用表格进行．
(2)可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．
已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1处取得极值，且f(1)＝－1.
(1)求常数a，b，c的值；
(2)判断x＝±1是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出数值．
题型二 求含参数的函数的极值
【例2】
若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，试求a，b
的值．
2．
如图所示，三次函数f(x)＝x3＋ax2＋x在区间(－1,1)上有极大值和极小值．求常数a的取值范围．
题型三 函数极值的逆用
【例3】
点评 正确理解函数在给定区间上有极值的实质，将函数的极值问题转化为二次方程根的分布问题，这样本题就能迎刃而解．
已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋6)x＋1既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围．
解 ∵f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋6)，
由题意f′(x)＝0有两个不等的实根．
∴Δ>0，即36a2－36(a＋6)>0，
a2－a－6>0，即a<－2或a>3.
3．
已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1处有极值0，求常数a，b的值．
误区警示 f′(x0)＝0是函数f(x)
在x0处存在极值的必要不充分条件
【例4】
错因分析 根据极值定义，函数先减后增为极小值，先增后减为极大值，此题未验证x＝－1两侧导数f′(x)的符号，故求错．
纠错心得 对于可导函数，极值点导数为零，但导数为0的点不一定是极值点，因此已知函数的极值点，求某些参变量的值时，应验证能否使函数取到极值，否则易出现错解.4．5.3 定积分的概念
1．下列命题不正确的是
( )．
A．若f(x)是连续的奇函数，则
f(x)dx＝0
B．若f(x)是连续的偶函数，则f(x)dx＝2f(x)dx
C．若f(x)在[a，b]上连续且恒正，则f(x)dx>0
D．若f(x)在[a，b]上连续且f(x)dx>0，则f(x)在[a，b]上恒正
答案 D
2．直线x＝1，x＝－1，y＝0及曲线y＝x3＋sin
x围成的平面图形的面积可
表示为
( )．
A.
(x3＋sin
x)dx
B．2(x3＋sin
x)dx
C．2
(x3＋sin
x)dx
D.(x3＋sin
x)dx
答案 B
3．已知[f(x)＋g(x)]dx＝18，g(x)dx＝10，则f(x)dx等于
( )．
A．8
B．10
C．18
D．不确定
答案 A
4．根据定积分的几何意义，用积分表示如图所示各图的阴影部分的面积，
S＝________.
答案 [f1(x)－f2(x)]dx(两图积分式相同)
5．由定积分的几何意义，定积分sin
xdx表示________．
答案 由直线x＝0，x＝，y＝0和曲线y＝sin
x围成的曲边梯形的面积
6．根据定积分的几何意义推出下列积分的值．
(1)
xdx； (2)
cos
xdx.
解 若x∈[a，b]时，f(x)≥0，则f(x)dx的几何意义是表示由直线x＝a，x＝b，y＝0和曲线y＝f(x)围成的平面图形的面积；若x∈[a，b]时，f(x)≤0，则f(x)dx表示所围成的图形面积的负值．
(1)如图①，
xdx＝－A1＋A1＝0.
(2)如图②，cos
xdx＝A1－A2＋A3＝0.
7．已知定积分f(x)dx＝8，则f(x)为奇函数，则
f(x)dx＝
( )．
A．0
B．16
C．12
D．8
答案 A
8．和式＋＋…＋，当n→∞时的极限值用定积分式子可表示为( )．
A.dx
B.dx
C.0dx
D.dx
答案 B
9.x2dx＝，x2dx＝，则x2dx＝________.
答案
10．图1，图2用定积分可表示为________，________.
答案
f(x)dx－f(x)dx，－
f(x)dx
11．有一质量非均匀分布的细棒，已知其线密度为ρ(x)＝2x(取细棒所在直
线为x轴，细棒的一端为原点)，棒长为l，试用定积分表示细棒的质量m，并求出m的值．
解 细棒的质量m＝ρ(x)dx＝2xdx.而2xdx表示由直线y＝2x，x＝l，x＝0及x轴所围成的图形面积，如图所示．
∴2xdx＝×l×2l＝l2.
即m＝l2.
12．(创新拓展)求定积分
x2dx的值．
解 将区间[－1,2]等分成n个区间，则每个区间的长度为.
每个小区间的面积ΔSi＝2.
面积和Sn＝2
＝
＝
＝3＋－9
当n→∞时，Sn→3＋×2－9＝3.
∴x2dx＝3.4.1.3 导数的概念和几何意义
1．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线
( )．
A．不存在
B．与x轴平行或重合
C．与x轴垂直
D．与x轴斜交
答案 B
2．已知函数y＝f(x)的图象如图，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是( )．
A．f′(xA)>f′(xB)
B．f′(xA)C．f′(xA)＝f′(xB)
D．不能确定
解析 分别作出A、B两点的切线，由图可知kB>kA，即f′(xB)>f′(xA)．
答案 B
3．已知曲线y＝2x2上一点A(2,8)，则在点A处的切线斜率为
( )．
A．4
B．16
C．8
D．2
解析 在点A处的切线的斜率即为曲线y＝2x2在x＝2时的导数，由导数定义可求y′＝4x.
答案 C
4．抛物线y＝x2＋x＋2上点(1,4)处的切线的斜率是________，该切线方程
为________________．
解析 Δy＝(1＋d)2＋(1＋d)＋2－(12＋1＋2)＝3d＋d2，故y′|x＝1＝li
＝
(3＋d)＝3.
∴切线的方程为y－4＝3(x－1)，
即3x－y＋1＝0.
答案 3 3x－y＋1＝0
5．若曲线y＝x2－1的一条切线平行于直线y＝4x－3，则这条切线方程为
________________．
解析 ∵f′(x)＝
＝
＝
＝
(2x＋d)＝2x.
设切点坐标为(x0，y0)，则由题意知f′(x0)＝4，即2x0＝4，∴x0＝2，代入曲线方程得y0＝3，故该切线过点(2,3)且斜率为4.所以这条切线方程为y－3＝4(x－2)，即4x－y－5＝0.
答案 4x－y－5＝0
6．求曲线y＝x3在点(3,27)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积．
解 ∵f′(3)＝
＝li
＝
(d2＋9d＋27)＝27，
∴曲线在点(3,27)处的切线方程为y－27＝27(x－3)，
即27x－y－54＝0.
此切线与x轴、y轴的交点分别为(2,0)，(0，－54)．
∴切线与两坐标轴围成的三角形的面积为
S＝×2×54＝54.
7．已知函数f(x)在x＝1处的导数为3，则f(x)的解析式可能为
( )．
A．f(x)＝(x－1)2＋3(x－1)
B．f(x)＝2(x－1)
C．f(x)＝2(x－1)2
D．f(x)＝x－1
解析 分别求四个选项的导函数分别为f′(x)＝2(x－1)＋3；f′(x)＝2；f′(x)＝4(x－1)；f′(x)＝1.
答案 A
8．(2011·重庆)曲线y＝－x3＋3x2在点(1,2)处的切线方程为
( )．
A．y＝3x－1
B．y＝－3x＋5
C．y＝3x＋5
D．y＝2x
解析
＝－Δx2＋3.
Δx→0时，－Δx2＋3→3.
∴f′(1)＝3.即曲线在(1,2)处的切线斜率为3.
所以切线方程为y－2＝3(x－1)，即y＝3x－1.
答案 A
9．函数y＝f(x)图象在M(1，f(1))处的切线方程为y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)
＝________.
解析 由已知切点在切线上．
∴f(1)＝×1＋2＝.
切线的斜率f′(1)＝.∴f(1)＋f′(1)＝3.
答案 3
10．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程为x－y＋1＝0，则a，b的
值分别为________，________.
解析 ∵点(0，b)在切线x－y＋1＝0上，
∴－b＋1＝0，b＝1.
又＝＝a＋Δx，
∴f′(0)＝a＝1.
答案 1 1
11．已知曲线y＝x3＋1，求过点P(1,2)的曲线的切线方程．
解 设切点为A(x0，y0)，则y0＝x＋1.
＝＝Δx2＋3x0Δx＋3x.
∴f′(x0)＝3x，切线的斜率为k＝3x.
点(1,2)在切线上，∴2－(x＋1)＝3x(1－x0)．∴x0＝1或x0＝－.
当x0＝1时，切线方程为3x－y－1＝0，
当x0＝－时，切线方程为3x－4y＋5＝0.
所以，所求切线方程为3x－y－1＝0或3x－4y＋5＝0.
12．(创新拓展)求垂直于直线2x－6y＋1＝0并且与曲线y＝x3＋3x2－5相切
的直线方程．
解 设切点为P(a，b)，函数y＝x3＋3x2－5的导数为y′＝3x2＋6x.故切线的斜率k＝y′|x＝a＝3a2＋6a＝－3，得a＝－1，代入y＝x3＋3x2－5得，b＝－3，即P(－1，－3)．故所求直线方程为y＋3＝－3(x＋1)，即3x＋y＋6＝0.第四章
导数及其应用
章末质量评估
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(每小题5分，共50分)
1．若当
＝1，则f′(x0)等于
( )．
A.
B.
C．－
D．－
解析
＝－
＝－
＝－f′(x0)．
∴－f′(x0)＝1，∴f′(x0)＝－.
答案：D
2．(2011·重庆)曲线y＝－x3＋3x2在点(1,2)处的切线方程为
( )．
A．y＝3x－1
B．y＝－3x＋5
C．y＝3x＋5
D．y＝2x
解析 y′＝－3x2＋6x，y′|x＝1＝3，
切线方程为y－2＝3(x－1)，
即y＝3x－1.
答案 A
3．函数y＝xcos
x－sin
x在下面哪个区间内是增函数
( )．
A.
B.
C.
D.
解析 y′＝－xsin
x，当x∈(π，2π)时，y′＞0，则函数y＝xcos
x－sin
x在区间(π，2π)内是增函数．
答案 B
4．某汽车启动阶段的路程函数为s(t)＝2t3－5t2＋2，则t＝2秒时，汽车的加
速度是
( )．
A．14
B．4
C．10
D．6
解析 v(t)＝s′(t)＝6t2－10t.a(t)＝v′(t)＝12t－10.
∴当t＝2时，a(2)＝24－10＝14.
答案 A
5．
(1＋cos
x)dx等于
( )．
A．π
B．2
C．π－2
D．π＋2
解析
(1＋cos
x)dx
＝(x＋sin
x)
答案 D
6．函数f(x)＝(0( )．
A．在(0,10)上是增函数
B．在(0,10)上是减函数
C．在(0，e)上是增函数，在(e,10)上是减函数
D．在(0，e)上是减函数，在(e,10)上是增函数
解析 由f′(x)＝，令f′(x)>0，得0令f′(x)<0，得e答案 C
7．函数f(x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是
( )．
A．0B．0C．0D．0解析 f′(2)、f′(3)是x分别为2、3时对应图象上点的切线斜率，f(3)－f(2)＝，
∴f(3)－f(2)为图象上x为2和3对应两点连线的斜率，所以选B.
答案：B
8．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为
( )．
A．1
B．2
C．－1
D．－2
解析 设切点坐标是(x0，x0＋1)，
依题意有
由此得x0＋1＝0，x0＝－1，a＝2，选B.
答案 B
9．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为
( )．
A．－1＜a＜2
B．－3＜a＜6
C．a＜－1或a＞2
D．a＜－3或a＞6
解析 f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，
因为f(x)既有极大值又有极小值，所以Δ＞0，
即4a2－4×3×(a＋6)＞0，即a2－3a－18＞0，解得a＞6或a＜－3.
答案 D
10．(2011·全国)曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的
三角形的面积为
( )．
A.
B.
C.
D．1
解析 y′＝－2e－2x，y′|x＝0＝－2.
∴切线方程为y－2＝－2(x－0)，即2x＋y－2＝0.
它与y＝x的交点为P，
所以面积S＝×1×＝.
答案 A
二、填空题(每小题5分，共25分)
11．若dx＝6，则b＝________.
解析 dx＝2ln
x＝2ln
b－2＝6.
∴ln
b＝4，∴b＝e4.
答案 e4
12．过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线
方程是________．
解析 易求y′＝6x－4，y′|x＝1＝2.
∴所求直线的斜率k＝2.
∴所求直线的方程为y－2＝2(x＋1)，即2x－y＋4＝0.
答案 2x－y＋4＝0
13．要做一个底面为长方形的带盖的箱子，其体积为72
cm3，其底面两邻
边长之比为1∶2，则它的长为______，宽为______，高为______时，可使表面积最小．
解析 设两边分别为x
cm、2x
cm，高为y
cm.
V＝2x2y＝72，y＝，s＝2(2x2＋2xy＋xy)
＝4x2＋6xy＝4x2＋.
s′＝8x－，令s′＝0，解得x＝3.
答案 3
m 6m m
14．设函数f(x)＝x3－x2－2x＋5，若对任意x∈[－1,2]有f(x)数m的取值范围是________．
解析 由题意知m大于f(x)在x∈[－1,2]上的最大值，求得f(x)max＝f(2)＝7，所以m>7.
答案 m>7
15．若曲线f(x)＝ax3＋ln
x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是
________．
解析 f′(x)＝3ax2＋，∵f(x)存在垂直于y轴的切线，∴f′(x)＝0有解，即3ax2＋＝0有解，∴3a＝－，而x>0，∴a∈(－∞，0)．
答案 (－∞，0)
三、解答题(本大题共6小题，满分75分)
16．(本小题满分13分)已知函数f(x)＝x3－3ax2＋2bx在点x＝1处有极小值－1.
(1)求a、b；
(2)求f(x)的单调区间．
解 (1)由已知，可得
f(1)＝1－3a＋2b＝－1，①
又f′(x)＝3x2－6ax＋2b，
∴f′(1)＝3－6a＋2b＝0.②
由①②解得
(2)由(1)得函数的解析式为f(x)＝x3－x2－x.
由此得f′(x)＝3x2－2x－1.
根据二次函数的性质，
当x<－或x>1时，f′(x)>0；
当－因此，在区间和(1，＋∞)上，函数f(x)为增函数；
在区间上，函数f(x)为减函数．
17．(本小题满分13分)设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实
根，且f′(x)＝2x＋2.
(1)求y＝f(x)的表达式；
(2)求y＝f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积．
解 (1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b.
又f′(x)＝2x＋2，所以a＝1，b＝2.
所以f(x)＝x2＋2x＋c.
又方程f(x)＝0有两个相等实根，
即x2＋2x＋c＝0有两个相等实根，
所以Δ＝4－4c＝0，即c＝1.
故f(x)＝x2＋2x＋1.
(2)依题意，所求面积为S＝
(x2＋2x＋1)dx＝
＝.
18．(本小题满分
13分)
一物体做变速直线运动，其v－t曲线如图所示，求该物体在
s～6
s间的运动路程．
解 v(t)＝
由变速直线运动的路程公式，可得
s＝v(t)dt＝2tdt＋2dt＋dt
＝t2＋2t＋＝(m)．
所以物体在
s～6
s间的运动路程是
m.
19．(本小题满分12分)(2011·浙江文)设函数f(x)＝a2ln
x－x2＋ax，a>0.①求
f(x)的单调区间；②求所有实数a，使e－1≤f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立．
解 ①f(x)＝a2ln
x－x2＋ax，其中x>0，
所以f′(x)＝－2x＋a＝.
由于a>0，∴由f′(x)>0知0由f′(x)<0知x>a.
所以，f(x)的增区间为(0，a)，减区间为(a，＋∞)．
②由题意知f(1)＝a－1≥e－1，
即a≥e.
由①知f(x)在[1，e]内递增，
要使e－1≤f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立．
只要
∴a＝e.
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(x2＋ax－2a2＋3a)ex(x∈R)，其中a∈R.
(1)当a＝0时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率；
(2)当a≠时，求函数f(x)的单调区间与极值．
解：(1)当a＝0时，f(x)＝x2ex，f′(x)＝(x2＋2x)ex，故f′(1)＝3e.所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为3e.
(2)f′(x)＝[x2＋(a＋2)x－2a2＋4a]ex.
令f′(x)＝0，解得x＝－2a或x＝a－2.
由a≠知，－2a≠a－2.
以下分两种情况讨论．
①若a>，则－2ax
(－∞，－2a)
－2a
(－2a，a－2)
a－2
(a－2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
?
极小值
?
所以f(x)在(－∞，－2a)，(a－2，＋∞)内是增函数，在(－2a，a－2)内是减函数．
函数f(x)在x＝－2a处取得极大值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a.
函数f(x)在x＝a－2处取得极小值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2.
②若a<，则－2a>a－2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，a－2)
a－2
(a－2，－2a)
－2a
(－2a，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
?
极小值
?
所以f(x)在(－∞，a－2)，(－2a，＋∞)内是增函数，在(a－2，－2a)内是减函数．
函数f(x)在x＝a－2处取得极大值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2.
函数f(x)在x＝－2a处取得极小值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a.
21．(本小题满分12分)(2011·辽宁)设f(x)＝x＋ax2＋bln
x，曲线y＝f(x)过点
P(1,0)，且在P点处的切线的斜率为2.
①求a，b的值；
②证明：f(x)≤2x－2.
①解 f′(x)＝1＋2ax＋.
由题意知即
解得a＝－1，b＝3.
②证明 由①知f(x)＝x－x2＋3ln
x.
f(x)的定义域为(0，＋∞)．
设g(x)＝f(x)－(2x－2)＝2－x－x2＋3ln
x，
则g′(x)＝－1－2x＋＝－.
由g′(x)>0知0由g′(x)<0知x>1.
所以g(x)在(0,1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减．
所以g(x)在(0，＋∞)上的最大值为g(1)＝0，
所以g(x)≤0，即f(x)≤2x－2.4．1.2 问题探索——求作抛物线的切线
1．已知曲线y＝2x2上一点A(1,2)，则A处的切线斜率等于( )．
A．2
B．4
C．6＋6d＋2d2
D．6
答案 B
2．已知曲线y＝x2－2上的一点P，则过点P的切线的倾斜角为( )．
A．30°
B．45°
C．135°
D．165°
答案 B
3．如果曲线y＝2x2＋x＋10的一条切线与直线y＝5x＋3平行，则切点坐标为
( )．
A．(－1，－8)
B．(1,13)
C．(1,12)或(－1,8)
D．(1,7)或(－1，－1)
答案 B
4．若曲线y＝x2＋1在曲线上某点处的斜率为2，则曲线上该切点的坐标为
________
答案 (1,2)
5．曲线y＝x2＋2在点P(1,3)处的切线方程为________．
解析 ＝Δx＋2，
当Δx→0时，Δx＋2→2.
所以曲线y＝x2＋2在点P(1,3)处的切线斜率为2，其方程为y－3＝2(x－1)．
即为2x－y＋1＝0.
答案 2x－y＋1＝0
6．抛物线y＝x2在点P处的切线与直线2x－y＋4＝0平行，求点P的坐标及切
线方程．
解 设点P(x0，y0)，
＝＝d＋2x0，
d→0时，d＋2xo→2x0.
抛物线在点P处的切线的斜率为2x0，
由于切线平行于2x－y＋4＝0，∴2x0＝2，x0＝1
即P点坐标为(1,1)
切线方程为y－1＝2(x－1)，即为2x－y－1＝0.
7．曲线y＝在点P(3,1)处的切线斜率为
( )．
A．－
B．0
C.
D．1
解析 ＝＝.
当Δx→0时，→.
答案 C
8．曲线y＝－在点(1，－1)处的切线方程为
( )．
A．y＝x－2
B．y＝x
C．y＝x＋2
D．y＝－x－2
解析 ＝＝，
当Δx→0时，→1.
曲线y＝－在点(1，－1)处的切线的斜率为1，切线方程为y＋1＝1(x－1)，即y＝x－2.
答案 A
9．曲线f(x)＝x2＋3x在点A(2,10)处的切线的斜率为________．
解析
＝＝Δx＋7，
当Δx→0时，Δx＋7→7，
所以，f(x)在A处的切线的斜率为7.
答案 7
10．曲线f(x)＝x2＋3x在点A处的切线的斜率为7，则A点坐标为________．
解析 设A点坐标为(x0，x＋3x0)，
则
＝
＝Δx＋(2x0＋3)Δx，
当Δx→0时，Δx＋(2x0＋3)→2x0＋3，
∴2x0＋3＝7，∴x0＝2.x＋3x0＝10.A点坐标为(2,10)．
答案 (2,10)
11．已知抛物线y＝x2＋1，求过点P(0,0)的曲线的切线方程．
解 设抛物线过点P的切线的切点为Q
(x0，x＋1)．
则＝Δx＋2x0.
Δx→0时，Δx＋2x0→2x0.
∴＝2x0，∴x0＝1或x0＝－1.
即切点为(1,2)或(－1,2)．
所以，过P(0,0)的切线方程为y＝2x或y＝－2x.即2x－y＝0或2x＋y＝0.
12．(创新拓展)直线l：y＝x＋a(a≠0)和曲线C：y＝x3－x2＋1相切，求切点
的坐标及a的值．
解 设切点A(x0，y0)，
＝＝3x－2x0＋(3x0－1)d＋d2→3x－2x0(d→0)．
故曲线上点A处切线斜率为3x－2x0，∴3x－2x0＝1，
∴x0＝1或x0＝－，代入C的方程得
或代入直线l，
当时，a＝0(舍去)，当时，a＝，
即切点坐标为，a＝.4.5 定积分与微积分基本定理
4．5.1 曲边梯形的面积
4．5.2 计算变力所做的功
1．把区间[1,3]n等分，所得每个小区间的长度Δx等于
( )．
A.
B.
C.
D.
答案 B
2．如果汽车在一段时间内的函数为v(t)＝20t,0≤t≤5，若将时间段[0,5]平
均分成5份，且分别用每个小区间左端点函数值近似代替在该小区间内的平均速度，则汽车在这段时间内走过的距离约为
( )．
A．200
B．210
C．190
D．220
答案 A
3．关于近似替代下列说法正确的是
( )．
A．在分割后的每个小区间上，只能用左端点的函数值近似替代
B．在分割后的每个小区间上，只能用右端点的函数值近似替代
C．在分割后的每个小区间上，只能用其中点的函数值近似替代
D．在分割后的每个小区间上，可以用任意一点的函数值近似替代
答案 D
4．由直线x＝0，x＝1，y＝0和y＝3x围成的图形的面积为________．
答案
5．一物体的速度与时间的关系式为v＝t2，则在从开始到1秒内运动的路
程为________．
答案
6．求抛物线f(x)＝1＋x2与直线x＝0，x＝1，y＝0所围成的平面图形的面积S.
解 ①分割
把区间[0,1]等分成n个小区间(i＝1,2，…，n)，其长度Δx＝，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，其面积分别记为ΔSi(i＝1,2，…，n)
②近似代替
用小矩形面积近似代替小曲边梯形的面积．
ΔSi＝fΔx＝(i＝1,2，…，n)．
③求和
Si＝
＝
＝＝1＋.
④取极限
当n→∞时，Si→1＋＝.
因此S＝.
7．函数f(x)＝x2在区间上
( )．
A．f(x)的值变化很小
B．f(x)的值变化很大
C．f(x)的值不变化
D．当n很大时，f(x)的值变化很小
解析 当n很大时，区间的长度越小，f(x)的值变化很小．
答案 D
8．当n很大时，函数f(x)＝x2在区间上的值可以用下列哪个值近似
地代替
( )．
A．f
B．f
C．f
D．f(0)
解析 当n很大时，f(x)＝x2在上的值可用该区间上任何一点的函数值近似代替，也可以用左端点或右端点的函数值近似代替．
答案 C
9．由直线y＝x＋1，y＝0，x＝0，x＝2围成的四边形的面积为________．
答案 4
10．求由曲线y＝x2与直线x＝1，x＝2，y＝0围成的曲边梯形的面积时，
把区间分成5等份，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________．
答案 1.02
11．求由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x(x－1)围成的图形面积．
解 (1)化整为零，插入等分点．
将曲边梯形分成n个小曲边梯形，用分点
，，…，把区间[0,1]等分成n个小区间，，…，，…，.
简写作：(i＝1,2，…，n)．
每个小区间的长度为Δx＝－＝.
过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作：
ΔS1，ΔS2，…，ΔSi，…，ΔSn.
(2)以直代曲，估计误差．
用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积．
在小区间上任取一点xi(i＝1,2，…，n)，
为了计算方便，取xi为小区间的左端点，用xi对应的函数值f(xi)＝为一边，以小区间长度Δx＝为邻边的小矩形面积近似代替第i个小曲边梯形面积，可以近似地表示为：
ΔSi≈f(xi)·Δx＝·(i＝1,2，…，n)．
(3)积零成整，精益求精．
因为每一个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面积的近似值，所以n个小矩形面积的和，就是曲边梯形面积S的近似值．即：
S＝Si≈(xi)Δx＝·＝－.①
当分点数目越多，即Δx越小时，和式①的值就越接近曲边梯形的面积S.因此，当n趋于＋∞时，即Δx趋于0时，和式①的极限值就是所求曲边梯形的面积．
Δx趋于0时，S趋于－(负号表示图象在x轴下方)．所以，由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x(x－1)围成的图形的面积是.
12．(创新拓展)设力F作用在质点m上使m沿x轴从x＝1运动到x＝10，已知F
＝x2＋1且力的方向和x轴的正向相同，求F对质点m所作的功．
解 将区间[1,10]n等分，则各小区间的长度为.
在上取xi＝1＋i.
∴Fi＝x＋1＝2＋1，Wi＝Fi＝
＝＋i2＋i.
i＝18＋×＋×＝18＋＋81.
当n→∞时，i→18＋×2＋81＝342.
所以F对质点所作的功为342.(共25张PPT)
【课标要求】
1．理解函数的和、差、积、商的求导法则．
2．理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和四则
运算求简单函数的导数．
3．了解复合函数的概念，理解复合函数的求导法则．
4．能求简单的复合函数的导数．(仅限于形如f(ax＋b)的导数)．
4．2.3 导数的运算法则
自学导引
1．导数的运算法则
cf′(x)
f′(x)＋g′(x)
f′(x)－g′(x)_
f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
一般地，若y＝f(u)，u＝g(x)，则y′x＝ ，即y对x的导数等于 ．
2．
fu′·ux′
y对u的导数与u对x的导数的积
答案 C
过点(0,1)作抛物线y＝x2＋x＋1的切线，则其中一条切线为
( )．
A．2x＋y＋2＝0
B．3x－y＋3＝0
C．x＋y＋1＝0
D．x－y＋1＝0
2．
答案 D
求复合函数的导数，一般是运用复合函数的求导法则，将问题转化为基本函数的导数来解决．①分析清楚复合函数是由哪些基本函数复合而成的，适当选定中间变量；②分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量的关系；③根据基本函数的求导公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数；
要点阐释
1．掌握复合函数的求导方法
④复合函数的求导过程掌握以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程，对于经过多次复合及四则运算而成的复合函数，可以直接应用公式和法则，从最外层开始由外及里逐层求导．
3．根据导数的四则运算法则，可以直接对一些(基本)初等函
数求导．应注意，运算法则是在可导的前提下才能适用．
典例剖析
题型一 利用运算法则求函数的导数
【例1】
求下列函数的导数：
点评 理解和掌握求导法则和公式的结构规律是灵活进行求导运算的前提条件，若运算过程中出现失误，其原因主要是不能正确理解求导法则，特别是商的求导法则．另外，在求导过程中对符号判断不清，也是导致出错的原因之一．通过本例可以看出，深刻理解和掌握导数运算法则，再结合给定函数本身的特点，才能准确有效地进行求导运算．
对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的原则，另外，求导时尽量减少乘法和除法运算法则的使用，以便简化运算．
点评 复合函数的求导是一个“连锁”过程，中间变量的选择应视具体问题而定，目的是转化为可求导的基本形式．
题型二 求复合函数的导数
Sn＝1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1(x≠1，且x≠0，n∈N＋)．
题型三 求导的综合应用
【例3】
利用导数求和：
点评 此题巧妙在导数公式(xn)′＝nxn－1的灵活运用上，由上述导数公式联想到它是和式x＋x2＋x3＋…＋xn的导数，然后求出其和的导数．
答案 2n＋1－2
误区警示 求导时要分清常量与变量
错因分析 在本题中，y是关于x的函数，而cos
t是常数．
纠错心得 在进行求导及有关运算时，要分清谁是常量，谁是变量，对谁求导，务必要弄清.4．1.1 问题探索——求自由落体的瞬时速度
1．设物体的运动方程s＝f(t)，在计算从t到t＋d这段时间内的平均速度时，
其中时间的增量d
( )．
A．d>0
B．d<0
C．d＝0
D．d≠0
答案 D
2．一物体运动的方程是s＝2t2，则从2
s到(2＋d)
s这段时间内位移的增量为
( )．
A．8
B．8＋2d
C．8d＋2d2
D．4d＋2d2
解析 Δs＝2(2＋d)2－2×22＝8d＋2d2.
答案 C
3．一物体的运动方程为s＝3＋t2，则在时间段[2,2.1]内相应的平均速度为
( )．
A．4.11
B．4.01
C．4.0
D．4.1
解析 ＝＝4.1.
答案 D
4．质点运动规律s＝2t2＋1，则从t＝1到t＝1＋d时间段内运动距离对时间
的变化率为________．
解析 ＝＝4＋2d.
答案 4＋2d
5．已知某个物体走过的路程s(单位：m)是时间t(单位：s)的函数：s＝－t2＋1.
(1)t＝2到t＝2.1；
(2)t＝2到t＝2.01；
(3)t＝2到t＝2.001.
则三个时间段内的平均速度分别为________，________，________，估计该物体在t＝2时的瞬时速度为________．
答案 －4.1
m/s －4.01
m/s －4.001
m/s －4
m/s
6．某汽车的紧急刹车装置在遇到特别情况时，需在2
s内完成刹车，其位
移(单位：m)关于时间(单位：s)的函数为：s(t)＝－3t3＋t2＋20，求：
(1)开始刹车后1
s内的平均速度；
(2)刹车1
s到2
s之间的平均速度；
(3)刹车1
s时的瞬时速度．
解 (1)刹车后1
s内平均速度
1＝＝
＝－2(m/s)．
(2)刹车后1
s到2
s内的平均速度为：
2＝
＝
＝－18(m/s)．
(3)从t＝1
s到t＝(1＋d)s内平均速度为：
3＝
＝
＝＝－7－8d－3d2→－7(m/s)(d→0)
即t＝1
s时的瞬时速度为－7
m/s.
7．一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s与时间t之间的方程
为s＝t2，则t＝2时，此木块水平方向的瞬时速度为
( )．
A．2
B．1
C.
D.
解析 ＝＝＋Δt→(Δt→0)．
答案 C
8．质点M的运动方程为s＝2t2－2，则在时间段[2,2＋Δt]内的平均速度为
( )．
A．8＋2Δt
B．4＋2Δt
C．7＋2Δt
D．－8＋2Δt
解析 ＝＝8＋2Δt.
答案 A
9．自由落体运动的物体下降的距离h和时间t的关系式为h＝gt2，则从t＝0
到t＝1时间段内的平均速度为________，在t＝1到t＝1＋Δt时间段内的平均速度为________，在t＝1时刻的瞬时速度为________．
解析 ＝g.
＝g＋gΔt.
当Δt→0时，g＋gΔt→g.
答案 g g＋gΔt g
10．自由落体运动的物体下降距离h和时间t的关系式为h＝gt2，t＝2时的
瞬时速度为19.6，则g＝________.
解析 ＝2g＋gΔt.
当Δt→0时，2g＋gΔt→2g.
∴2g＝19.6，g＝9.8.
答案 9.8
11．甲、乙二人平时跑步路程与时间的关系以及百米赛跑路程和时间的关
系分别如图①、②所示．问：
(1)甲、乙二人平时跑步哪一个跑得快？
(2)甲、乙二人百米赛跑，快到终点时，谁跑得快(设Δs为s的增量)
解 (1)由题图①在(0，t]时间段内，甲、乙跑过的路程s甲(2)由题图②知，在终点附近[t－d，t)时间段内，路程增量Δs乙>Δs甲，所以>即快到终点时，乙的平均速度大于甲的平均速度，所以乙比甲跑得快．
12．(创新拓展)质量为10
kg的物体按照s(t)＝3t2＋t＋4的规律做直线运动，
求运动开始后4秒时物体的动能．
解
＝＝3Δt＋25，
当Δt→0时，3Δt＋25→25.即4秒时刻的瞬时速度为25.
∴物质的动能为mv2＝×10×252＝3
125(J)
答案 运动开始后4秒时的动能为3
125
J(共22张PPT)
【课标要求】
1．理解各个公式的证明过程，进一步理解运用概念求导数
的方法．
2．掌握常见函数的导数公式．
3．灵活运用公式求某些函数的导数．
4．2 导数的运算
4．2.1 几个幂函数的导数
4．2.2 一些初等函数的导数表
常见基本初等函数的导数公式：
(1)(c)′＝ (c为常数函数)；
(2)(xα)′＝
(α≠0)；
(3)(ex)′＝
；
(4)(ax)′＝
(a>0，a≠1)；
(5)(ln
x)′＝ (x>0)；
自学导引
0
αxα－1
ex
ax(ln
a)
(6)(logax)′＝
(a>0，a≠1，x>0)；
(7)(sin
x)′＝
；
(8)(cos
x)′＝
；
(9)(tan
x)′＝
；
(10)(cot
x)′＝
.
cos
x
－sin
x
求函数f(x)＝sin
x和g(x)＝cos
x的导数．
提示 f′(x)＝(sin
x)′＝cos
x，g′(x)＝(cos
x)′＝－sin
x.
要注意在这两个函数的导数公式中符号的区别．
另外可以发现，若令f1(x)＝sin
x，fk＋1(x)＝[fk(x)]′(k∈N＋)，则f2(x)＝cos
x，f3(x)＝－sin
x，f4(x)＝－cos
x，f5(x)＝sin
x，于是函数fk＋1(x)(k∈N＋)的结果具有周期性(周期为4)．
自主探究
答案 D
预习测评
答案 B
答案 1
1．c′＝0(c为常数)
y′＝0表示函数y＝c图象上每一点处切线的斜率都为0.
若y＝c表示路程关于时间的函数，则y′＝0可以解释为 某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态．
2．x′＝1
y′＝1表示函数y＝x图象上每一点处切线的斜率都为1.
若y＝x表示路程关于时间的函数，则y′＝1可以解释为某物体作瞬时速度为1的匀速直线运动．
要点阐释
几个常用函数的导数的函义
y′＝2x表示函数y＝x2图象上点(x，y)处切线的斜率为2x，说明随着x的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，y′＝2x表明：当x＜0时，随着x的增加，y＝x2减少得越来越慢；当x＞0时，随着x的增加，y＝x2增加得越来越快．
若y＝x2表示路程关于时间的函数，则y′＝2x可以解释为某物体作变速运动，它在时刻x的瞬时速度为2x.
3．(x2)′＝2x
点评 熟练掌握导数基本公式，并灵活运用对数性质及三角变换公式，转化为基本初等函数的导数．
如图，质点P在半径为1
m的圆上沿逆时针做匀角速运动，角速度1
rad/s，设A为起始点，求时刻t时，点P在y轴上的射影点M的速度．
解 时刻为t时，∵角速度1
rad/s，
∴∠POA＝1·t＝t
rad，
∴∠MPO＝∠POA＝t
rad，
∴OM＝OP·sin∠MPO＝1·sin
t，
∴点M的运动方程为y＝sin
t，∴v＝y′＝(sin
t)′＝cos
t(m/s)，
即时刻t时，点P在y轴上的射影点M的速度为cos
t
m/s.
题型三 导数的应用
【例3】
点评 要求时刻t时M点的速度，首先要求出在y轴上的运动方程，它是关于t的函数，再对t求导，就得到M点的速度了．
路灯距地平面为8
m，一个身高为1.6
m的人以84
m/min的速率在地面上行走，从路灯在地平面上射影点C，沿某直线离开路灯，求人影长度的变化率v.
3．
[错解] y′＝x·3x－1
错因分析 混淆了幂函数与指数函数的求导公式，而套用了幂函数y＝xα的求导公式：y′＝(xα)′＝α·xα－1.
[正解] 根据求导公式，若y＝ax(a>0，且a≠1)，则y′＝axln
a，得y′＝(3x)′＝3xln
3.
纠错心得 熟记基本初等函数导数公式特别是指数函数与幂函数、正弦函数y＝sin
x与余弦函数y＝cos
x的导数.
误区警示 对求导公式记忆不牢致错
【例4】
求函数y＝3x的导数．4.3.2 函数的极大值和极小值
1．函数f(x)＝x＋在x>0时有
( )．
A．极小值
B．极大值
C．既有极大值又有极小值
D．极值不存在
解析 ∵f′(x)＝1－，由f′(x)>0，
得x>1或x<－1，又∵x>0，∴x>1.
由得0在(1，＋∞)内f′(x)>0，∴f(x)在(0，＋∞)有极小值f(1)，但无极大值．
答案 A
2．函数y＝1＋3x－x3有
( )．
A．极小值－1，极大值1
B．极小值－2，极大值3
C．极小值－2，极大值2
D．极小值－1，极大值3
解析 y′＝3－3x2，令y′＝0，解得x＝±1.x<－1或x>1时，y′<0；－10.可得f(1)＝3是极大值，f(－1)＝－1是极小值．
答案 D
3．函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，
则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点
( )．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析 f(x)的极小值点左边有f′(x)<0，极小值点右边有f′(x)>0，因此f′(x)的图象在原点O左侧第一个与x轴的交点符合条件，且只有1个极小值点，故选A.
答案 A
4．已知函数y＝aln
x＋bx2＋x在x＝1和x＝2处有极值，则a＝________，b
＝________.
解析 ∵f′(x)＝＋2bx＋1，由于f′(1)＝0，f′(2)＝0.
∴解得a＝－，b＝－.
答案 － －
5．函数y＝cos
2x在(0，π)内的极______值是______．
解析 y′＝(cos
2x)′＝－2sin
2x，令y′＝0，得x＝，又当x∈时，f′(x)＜0；当x∈时，f′(x)＞0.故y＝cos
2x在(0，π)内的极小值是－1.
答案 小 －1
6．(2011·四川)已知f(x)＝x＋，h(x)＝，设F(x)＝f(x)－h(x)，求F(x)的
单调区间与极值．
解 F(x)＝f(x)－h(x)＝x＋－(x≥0)．
F′(x)＝－x－＝.
令F′(x)＝0得x＝.
当x∈时，F′(x)<0；x∈时，F′(x)>0.
故当x∈时，F(x)是减函数；x∈时，F(x)是增函数．
F(x)在x＝时，有极小值，F＝.
7．下列函数中，x＝0是其极值点的是
( )．
A．y＝－x3
B．y＝cos2x
C．y＝tan
x－x
D．y＝
解析 显然x＝0不是y＝－x3，y＝的极值点．
又y′＝(cos2x)′＝2cos
x(－sin
x)＝－sin
2x.
显然x＝0时，y′＝0，在x0的左右附近y′正、负变化．
∴x0＝0是y＝cos2x的极大值点．
答案 B
8．(2011·浙江)函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)，若x＝－1为函数f(x)ex的
一个极值点，则下列图象不可能为y＝f(x)的图象是
( )．
解析 设h(x)＝f(x)ex，则h′(x)＝(2ax＋b)ex＋(ax2＋bx＋c)ex＝(ax2＋2ax＋bx＋b＋c)ex，由x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，得h′(－1)＝0.
即a－2a－b＋b＋c＝0，∴c＝a.
f(x)＝ax2＋bx＋a.若方程ax2＋bx＋a＝0有两个根x1，x2，则x1x2＝1.D图中一定不满足该条件．
答案 D
9．(2011·广东)函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________处取得极小值．
解析 f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，
当x∈(0,2)时，f′(x)<0；
当x∈(2，＋∞)∪(－∞，0)时，f′(x)>0，
∴f(x)在(－∞，0)上是增函数，(0,2)上是减函数，(2，＋∞)上是增函数．
所以x＝2时，f(x)取得极小值．
答案 2
10．已知函数f(x)＝x·2x取得极小值时，x＝________.
解析 f′(x)＝2x＋x·2xln
2＝2x(1＋xln
2)，
令f′(x)＝0得x＝－log2e，
当x>－log2e时，f′(x)>0；
当x<－log2e时，f′(x)<0.
∴x＝－log2e时，f(x)取得极小值．
答案 －log2e
11．(2011·安徽)设f(x)＝，其中a为正实数．
①当a＝时，求f(x)的极值点；②若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围．
解 f′(x)＝＝
①当a＝时，f′(x)＝.由f′(x)＝0得x＝或x＝.
当x<时，f′(x)>0；当时，f′(x)>0.
∴f(x)在上是增函数，上是减函数，上是增函数．
∴x＝是极大值点，x＝是极小值点．
②若f(x)为R上的单调函数，则f′(x)在R上不变号．由于a>0，又ex>0，(1＋ax2)2>0.
∴ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立．即Δ＝4a2－4a≤0.
∴0所以a的范围为(0,1]．
12．(创新拓展)(2011·重庆)设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝
2a，f′(2)＝－b，其中a，b∈R.
①求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；②设g(x)＝f′(x)e－x，求g(x)的极值．
解 ①f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
∵f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，
∴3＋2a＋b＝2a,12＋4a＋b＝－b.
∴a＝－，b＝－3.
∴f(x)＝x3－x2－3x＋1.
从而f(1)＝－.
又f′(1)＝2a＝－3，
∴f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＋＝－3(x－1)，即6x＋2y－1＝0.
②g(x)＝(3x2－3x－3)e－x，
∴g′(x)＝(6x－3)e－x－
e－x(3x2－3x－3)＝(－3x2＋9x)e－x.
令g′(x)＝0得x＝0或x＝3.
当x∈(－∞，0)时，g′(x)<0；
当x∈(0,3)时，g′(x)>0；
当x∈(3，＋∞)时，g′(x)<0.
∴g(x)在(－∞，0)上是减函数，在(0,3)上是增函数，在(3，＋∞)上是减函数．
∴当x＝0时，g(x)取得极小值g(0)＝－3；当x＝3时，g(x)取得极大值g(3)＝15e－3.4．2.3 导数的运算法则
1．已知f(x)＝sin
x－cos
x，则f′等于
( )．
A．0
B.
C.
D．1
解析 f′(x)＝cos
x＋sin
x，∴f′＝＋.
答案 C
2．函数y＝(5x－4)3的导数是
( )．
A．3(5x－4)2
B．9(5x－4)2
C．15(5x－4)2
D．12(5x－4)2
解析 已知函数由y＝u3和u＝5x－4复合而成．
答案 C
3．一点P在曲线y＝x3－x＋上移动，设点P处切线的倾斜角为α，则角α的
取值范围是
( )．
A.
B.∪
C.
D.
解析 ∵y′＝3x2－1，∴tan
α＝3x2－1≥－1.
∴α∈∪.
答案 B
4．函数y＝x2sin
x的导数是________．
答案 2xsin
x＋x2cos
x
5．若f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，则a＝________.
解析 ∵f′(x)＝2(2x＋a)×2＝4(2x＋a)，∴f′(2)＝16＋4a＝20，∴a＝1.
答案 1
6．在曲线y＝x3＋x－1上求一点P，使过P点的切线与直线4x－y＝0平行．
解 ∵y′＝3x2＋1，根据导数的几何意义，曲线在P(x0，y0)处的切线的斜率k＝y′|x＝x0，
即3x＋1＝4，∴x0＝±1.
当x0＝1时，y0＝1，此时切线为y－1＝4(x－1)，即y＝4x－3；当x0＝－1时，y0＝－3，此时切线为y＋3＝4(x＋1)，即y＝4x＋1.
综上可得P点坐标为(1,1)或(－1，－3)．
7．设y＝－2exsin
x，则y′等于
( )．
A．－2ex(cos
x＋sin
x)
B．－2exsin
x
C．2exsin
x
D．－2excos
x
解析 y′＝－2[ex(sin
x)′＋(ex)′sin
x]
＝－2(excos
x＋exsin
x)＝－2ex(cos
x＋sin
x)．
答案 A
8．(2011·江西)若f(x)＝x2－2x－4ln
x，则f′(x)>0的解集为
( )．
A．(0，＋∞)
B．(－1,0)∪(2，＋∞)
C．(2，＋∞)
D．(－1,0)
解析 f(x)有意义的x取值为x>0，
f′(x)＝2x－2－＝＝.
∴f′(x)>0的解集为{x|x>2}．
答案 C
9．若函数f(x)＝cos2，则f′＝________.
解析 f(x)＝，
f′(x)＝＝－3sin.
∴f′＝－3sin＝0.
答案 0
10．设曲线y＝eax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________.
解析 y′＝aeax，y′|x＝0＝a.
由题意知，a×＝－1，∴＝2.
答案 2
11．(2011·湖北)设函数f(x)＝x3＋2ax2＋bx＋a，g(x)＝x2－3x＋2，其中x∈
R，a，b为常数，已知曲线y＝f(x)与y＝g(x)在点(2,0)处有相同的切线l.
求a，b的值，并求出切线l的方程．
解 f′(x)＝3x2＋4ax＋b，g′(x)＝2x－3，
由于曲线y＝f(x)与y＝g(x)在点(2,0)处有相同的切线，∴f′(2)＝g′(2)，f(2)＝g(2)＝0，
∴∴a＝－2，b＝5.
所以，所求切线的斜率为g′(2)＝1，
切线方程为y－0＝1(x－2)，即x－y－2＝0.
12．(创新拓展)(2011·课标全国)已知函数f(x)＝＋，曲线y＝f(x)在点
(1，f(1))处的切线方程为x＋2y－3＝0.求a，b.
解 f′(x)＝－.
由于直线x＋2y－3＝0的斜率为－，且过点(1,1)，
所以即
∴a＝1，b＝1.(共22张PPT)
【课标要求】
了解曲边梯形的面积，了解变力所做的功，并会解决简单的问题．
4.5 定积分与微积分基本定理
4．5.1 曲边梯形的面积
4．5.2 计算变力所做的功
1．由三条直线
x＝a，x＝b，y＝0和一条曲线y＝f(x)围成的图形，叫作
．
2．计算曲边梯形面积的策略是
．
3．计算曲边梯形面积和变力所做功的步骤是：
(1)化整为零，插入等分点；
(2)以直代曲，估计误差；
(3)积零成整，精益求精．
自学导引
曲边梯形
化整为零，以直代曲
求曲边梯形面积时，能否直接对整个曲边梯形进行“以直代曲”呢？怎样才能减小误差？
提示 不能直接对整个曲边梯形进行“以直代曲”，否则误差太大．为了减小近似代替的误差，需要先分割再分别对每个小曲边梯形“以直代曲”．
自主探究
答案 C
预习测评
答案 B
答案 xp
要求一个曲边梯形的面积，不能用已有的面积公式计算，为了计算曲边梯形的面积，可以将它分割成许多个小曲边梯形，每个小曲边梯形用相应的小矩形近似代替，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值．当分割无限变细时，这个近似值就无限趋近于所求曲边梯形的面积．
要点阐释
1．曲边梯形的面积
变力做功的计算和曲边梯形面积的计算所用的方法是一样的，仍然是“化整为零，以直代曲”的策略．虽然它们的意义不同，但都可以归纳为求一个特定形式和的极限．通过这两个背景问题，能使我们更好地了解定积分的概念．
2．变力所做的功
求由直线x＝1，x＝2和y＝0及曲线y＝x3围成的曲边梯形的面积．
典例剖析
题型一 求曲边梯形的面积
【例1】
点评 “分割、近似代替、求和、取极限”的过程是定积分中的一个难点，要想突破它，就要单独研究一下这个过程，仔细体会各步的要旨，这对同学们提高认知能力，培养自主学习的能力也是一种锻炼．
求直线x＝0，x＝2，y＝0与二次函数曲线f(x)＝x2＋2x＋1
所围成的曲边梯形的面积．
1．
弹簧在拉伸过程中，力与伸长量成正比，即力F(x)＝kx(k为常数，x是伸长量)，求弹簧从平衡位置拉长b所做的功．
题型二 计算变力所做的功
【例2】
点评 本题为变力做功问题，与解决曲边梯形面积方式是一样的，都要对某一函数实行相同结构的数学运算．(共26张PPT)
了解导数与定积分的关系，了解微积分基本定理，并能正确运用基本定理计算简单的定积分．
4．5.4 微积分基本定理
【课标要求】
1．微积分基本定理
自学导引
F(b)－F(a)
斜率
切线
导数
F′(xk)
定积分
f(x)的原函数唯一吗？
提示 不一定．如F(x)＋c，c可以是任意一个常数，也就是原函数可能有无穷多个．
提示 0
自主探究
1．
答案 B
预习测评
答案 A
答案 C
答案 1－cos
1
微积分基本定理的理解
1．微积分基本定理揭示了导数与定积分之间的联系，同时它也提供了计算定积分的一种有效方法．
2．根据定积分的定义求定积分，往往比较困难，而利用微积分基本定理求定积分比较方便．
要点阐释
3．设f(x)是定义在区间I上的一个函数，如果存在函数F(x)，在区间I上的任意一点x处都有F′(x)＝f(x)，那么F(x)叫做函数f(x)在区间I上的一个原函数．根据定义，求函数f(x)的原函数，就是要求一个函数F(x)，使它的导数F′(x)等于f(x)．由于[F(x)＋c]′＝F′(x)＝f(x)，所以F(x)＋c也是f(x)的原函数，其中c为常数．
典例剖析
点评 要正确理解求导运算与求原函数运算是互逆运算的原理，进行定积分运算．在计算定积分时，往往要先对被积函数进行变形、化简，再进行积分．
点评 利用定积分求参数的问题，主要是利用求定积分的基本方法，列出方程组求解．
误区警示 未弄清定积分与
曲边梯形的面积间的关系而出错
错因分析 当对应曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值取负值，此时曲边梯形的面积等于定积分的相反数，本题求曲线与直线所围成图形的面积时应先判断曲线在x轴上方还是下方，否则求出的面积是错误的．(共30张PPT)
【课标要求】
1．理解导数与函数单调性之间的关系．
2．会利用导数研究函数的单调性．
3．会求不超过三次的多项式函数的单调区间．
4．3 导数在研究函数中的应用
4．3.1 利用导数研究函数的单调性
设函数y＝f(x)在某个区间上的导数为f′(x)
，如果
，那么函数y＝f(x)递增；如果 ，那么函数y＝f(x)递减．
从导数定义看，函数的导数就是函数值关于自变量的
，变化率的绝对值越大说明变得越
，绝对值越小说明变得越
；从函数的图象看，导数是切线的
，斜率的绝对值大说明切线陡，曲线也就陡，斜率的绝对值小说明切线较平，曲线也就平缓一些．
自学导引
1．
f′(x)>0
f′(x)<0
2．
变化率
快
慢
斜率
提示 可导函数f(x)在(a，b)上递增(减)的充要条件是f′(x)≥0(f′(x)≤0)在(a，b)上恒成立，且f′(x)在(a，b)的任意子区间内都不恒等于零．这就是说，函数f(x)在区间上的单调性并不排斥在区间内的个别点处有f′(x)＝0.
自主探究
可导函数f(x)在(a，b)上递增(减)的充要条件是什么？
若f(x)在[a，b]上连续且在区间(a，b)内，f′(x)>0，且f(a)≥0，则在(a，b)内有
( )．
A．f(x)>0
B．f(x)<0
C．f(x)＝0
D．不能确定
解析 因f(x)在(a，b)上为增函数，∴f(x)>f(a)≥0.
答案 A
预习测评
1．
函数f(x)＝x＋ln
x的单调增区间为
( )．
A．(－∞，－1)，(0，＋∞)
B．(0，＋∞)
C．(－1,0)
D．(－1,1)
答案 B
2．
函数y＝x3－3x的单调递减区间是________．
解析 ∵y′＝3x2－3＝3(x2－1)，
∴令y′<0，即3(x＋1)(x－1)<0，解得－1答案 (－1,1)
已知f(x)＝ax3＋3x2－x＋1在R上是减函数，则a的取值范围为________．
3．
4．
答案 (－∞，－3]
研究导数函数注意几个关键点：
(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间．
(2)在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导点．
(3)如果一个函数的单调区间不止一个，这些单调区间中间一般不能用“∪”连接，可用“逗号”或“和”字隔开．
要点阐释
(4)注意在某一区间内f′(x)＞0(或f′(x)＜0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分不必要条件，而不是充要条件．如f(x)＝x3，x＝0时，f′(x)＝0，但f(x)在R上是增函数．
(5)如果函数在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)为常函数．如f(x)＝3，则f′(x)＝3′＝0.
(6)利用导数的符号判断函数的增减性，这是导数的几何意义在研究曲线变化规律上的一个应用，它充分体现了数形结合的思想．
(7)一般地，可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是：对任意的x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒等于零，特别是在已知函数的单调性求参数的取值范围时，要注意等号是否可以取到．
点评 用导数证明函数的单调性(在某区间内f′(x)>0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件)．
根据导数与函数单调性的关系，由f′(x)的符号可判定或证明函数f(x)在相应区间上的增减性．
题型二 求函数的单调区间
【例2】
求函数f(x)＝3x2－2ln
x的单调区间．
点评 确定函数的单调区间，可利用函数单调性定义，但有时往往比较繁杂，如果函数y＝f(x)可导，则可借助导数来求函数的单调区间，通常是先求出函数f(x)的导数，然后再解不等式f′(x)>0或f′(x)<0确定递增区间和递减区间．另外，单调区间一般不能写成并集的形式．
2．求函数f(x)＝x2－2ln
x的单调区间．
题型三 已知单调性求参数的取值范围
点评 利用导数判断函数的单调性，就要通过先求出导函数，根据已知条件判断导函数在某个区间上的正负．这其中，如果含有参数就会用到分类讨论，同时要注意函数的定义域，否则会产生错误的判断．
已知函数的单调性，求函数解析式中参数的取值范围，可转化为不等式恒成立问题，一般地，函数f(x)在区间Ⅰ上单调递增(或减)，转化为不等式f′(x)≥0(f′(x)≤0)在区间Ⅰ上恒成立，再用有关方法可求出参数的取值范围．
若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，求实数m的取值范围．
3．
已知向量a＝(x2，x＋1)，b＝(1－x，t)，若函数f(x)＝a·b在区间(－1,1)上是增函数，求t的取值范围．
[错解一] 依题意得f(x)＝x2(1－x)＋t(x＋1)
＝－x3＋x2＋tx＋t
，则f′(x)＝－3x2＋2x＋t.
若f′(x)在(－1,1)上是增函数，则在(－1,1)上f′(x)>0.
而f′(x)>0 t>3x2－2x在区间(－1,1)上恒成立．
设函数g(x)＝3x2－2x，
误区警示 函数在某区间上的单调性与
其导数之间的关系是易错点
【例4】
错因分析 上述的解法中，把f′(x)>0视为了f(x)在某区间上为增函数的充要条件，事实上f′(x)>0是f(x)在某区间上为增函数的充分不必要条件．4.3.3 三次函数的性质：单调区间和极值
1．三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的图象如下图，则它的导数f′(x)\
的图象最可能是
( )．
答案 C
2．函数f(x)＝x3－3x＋3，当x∈时，函数f(x)的最小值是
( )．
A.
B．－5
C．1
D.
答案 C
3．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴相切于(1,0)点，则f(x)的极值为
( )．
A．极大值为，极小值为0
B．极大值为0，极小值为－
C．极小值为－，极大值为0
D．极小值为0，极大值为
答案 A
4．已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M，
m，则M－m＝________.
答案 32
5．若函数f(x)＝x3＋ax在R上有两个极值点，则实数a的取值范围是________．
解析 ∵f(x)＝x3＋ax
∴f′(x)＝3x2＋a，
由题意，得Δ＝02－4×3×a>0，∴a<0.
答案 a<0
6．已知函数f(x)＝x3－ax－1
(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求a的取值范围；
(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减，若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由；
(3)证明 f(x)＝x3－ax－1的图象不可能总在直线y＝a的上方．
(1)解 f′(x)＝3x2－a，由3x2－a≥0在R上恒成立，即a≤3x2在R上恒成立，
易知当a≤0时，f(x)＝x3－ax－1在R上是增函数，
∴a≤0.
(2)解 由3x2－a<0在(－1,1)上恒成立，∴a>3x2.
但当x∈(－1,1)时，0<3x2<3，
∴a≥3，即当a≥3时，f(x)在(－1,1)上单调递减．
(3)证明 取x＝－1，得f(－1)＝a－2，a－2)
在f(x)＝x3－ax－1的图象上，且在直线y＝a的下方.
∴f(x)的图象不可能总在直线y＝a的上方．
7．函数y＝ax3－2x在[2,8]上是减函数，则
( )．
A．a＝
B．a＝0
C．a≤
D．a<0
答案 C
8．直线y＝a与函数y＝x3－3x的图象有三个相异的交点，则a的取值范围为
( )．
A．(－2,2)
B．[－2,2]
C．[2，＋∞)
D．(－∞，－2]
解析 y′＝3x2－3，由y′＝0，得x＝1或x＝－1.
当x<－1时，y′>0；当－11时，y′>0.
所以y＝x3－3x在(－∞，－1)上递增，(－1,1)上递减，(1，＋∞)上递增．
当x＝－1时，y取得极大值(－1)3－3×(－1)＝2；
当x＝1时，y取得极小值13－3×1＝－2.
因此，a的取值范围为－2答案 A
9．设函数f(x)＝x3－－2x＋5，若对任意的x∈[－1,2]，都有f(x)>m，则实
数m的取值范围为________．
解析 f′(x)＝3x2－x－2，由f′(x)＝0，得x＝1或x＝－.
f(－1)＝，f＝，f(1)＝，f(2)＝7，
∴f(x)的最小值为，∴m<.
答案
10．函数f(x)＝x3－3a2x＋a(a>0)的极大值为正数，极小值为负数，则a的取
值范围为________．
解析 f′(x)＝3x2－3a2(a>0)，
由f′(x)>0，得x>a或x<－a，
由f′(x)<0，得－a所以f(x)在(－∞，－a)上递增，(－a，a)上递减，(a，＋∞)上递增．
当x＝－a时，f(x)取得极大值f(－a)＝2a3＋a>0；
当x＝a时，f(x)取得极小值f(a)＝－2a3＋a<0.
又a>0，∴a>.
答案
11．(2011·重庆)设f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1的导数为f′(x)，若函数y＝f′(x)
的图象关于直线x＝－对称，且f′(1)＝0.
①求实数a，b的值；②求函数f(x)的极值．
解 ①∵f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1，
∴f′(x)＝6x2＋2ax＋b.
由题意知，－＝－且6×12＋2a×1＋b＝0，
∴a＝3，b＝－12.
②由①知，f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1.
∴f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x＋2)(x－1)
由f′(x)＝0，得x＝1或x＝－2.
由f′(x)>0，得x>1或x<－2，由f′(x)<0，得－2∴f(x)在(－∞，－2)上递增，(－2,1)上递减，(1，＋∞)上递增．
∴当x＝－2时，f(x)取得极大值f(－2)＝21，当x＝1时，f(x)取得极小值f(1)＝－6.
12．(创新拓展)(2011·天津)已知函数f(x)＝4x3＋3tx2－6t2x＋t－1，x∈R，其
中t∈R.
①当t＝1时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
②当t≠0时，求f(x)的单调区间．
解 ①t＝1时，f(x)＝4x3＋3x2－6x，f′(x)＝12x2＋6x－6，f′(0)＝－6，又f(0)＝0.
∴曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y－0＝－6(x－0)，即6x＋y＝0.
②t≠0时，f′(x)＝12x2＋6tx－6t2＝6(2x2＋tx－t2)＝6(x＋t)(2x－t)．若t>0，则由f′(x)>0得x<－t或x>，f′(x)<0得－t∴f(x)在(－∞，－t)上递增，在上递减．
在上递增，
若t<0，则由f′(x)>0得x<或x>－t，由f′(x)<0得∴f(x)在上递增，上递减，(－t，＋∞)上递增．(共32张PPT)
4．4 生活中的优化问题举例
生活中经常遇到求利润最大，用料最省，效率最高等问题，这些问题通常称为
．通过前面的学习，我们知道
是求函数最大(小)值的有力工具，运用
，可以解决一些生活中的
．
解决实际应用问题时，要把问题中所涉及的几个变量转化成函数关系，这需通过分析、联想、抽象和转化完成．函数的最值要由极值和端点的函数值确定，当定义域是开区间，函数在开区间上有惟一的极值，则它就是函数的最值．
自学导引
1．
2．
优化问题
导数
导数
优化问题
数学建模
利用导数解决实际问题中的最值问题时应注意什么？
提示 (1)在求实际问题的最大(小)值时，一定要注意考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去．
(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f′(x)＝0的情形，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值．
(3)在解决实际优化问题中，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式给予表示，还应确定函数关系式中自变量的定义区间．
自主探究
有一长为16
m的篱笆，要围成一个矩形场地，则此矩形
场地的最大面积为
( )．
A．32
m2
B．18
m2
C．16
m2
D．14
m2
解析 设矩形长为x
m，则宽为(8－x)m，矩形面积S＝x(8－x)(0令S′＝8－2x＝0，得x＝4
m，此时Smax＝42＝16(m2)．
(当然也可用配方法或基本不等式法求最值)．
答案 C
预习测评
1．
以长为10的线段AB为直径作半圆，则它的内接矩形的面积的最大值为
( )
A．10
B．15
C．25
D．50
解析 法一：如图，设∠NOB＝θ，则矩形面积为S＝5sin
θ·2·5cos
θ＝25sin
2θ，故Smax＝25.
2．
答案 C
如右图所示，某工厂需要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为________．
3．
答案 32米，16米
用总长为6
m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的相邻两边长之比为3∶4，那么容器容积最大时，高为______m.
4．
答案 0.5
利用导数解决实际问题的一般方法
(1)细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最值的变量y与自变量x，找出变量y与x的关系，即列出函数关系y＝f(x)，再根据实际问题确定函数y＝f(x)的定义域，这样就把实际问题转化成了数学问题．
(2)求f′(x)，解方程f′(x)＝0，求出定义域内所有的实数根．
(3)比较函数在各个根和端点处的函数值的大小，根据问题的实际意义确定函数的最大值或最小值．
要点阐释
注意：①求实际问题的最值时，一定要考虑问题的实际意义，不符合实际意义的理论值要舍去．
②在实际问题中，若在函数的定义域内，使f′(x)＝0成立的值只有一个，且函数在这一点处取得极大(小)值，则不与端点值比较，也可以知道这就是最大(或小)值．
在边长为60
cm的正方形铁片的四角上切去边长相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？
典例剖析
题型一 容积(或面积)最大问题
【例1】
答：当箱底边长为40
cm时，箱子容积最大，最大容积是16
000
cm3.
点评 在实际问题中，有时会遇到函数在定义区间内只有一个点使f′(x)＝0.如果函数在该点取得极大(小)值，极值就是函数的最大(小)值．
做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料
最省，则圆柱的底面半径为________．
1．
答案 3
题型二 时间、费用最省问题
点评 利用导数的方法解决实际问题，要注意构造函数，但与解决一般的函数问题有区别，即注意利用导数所求出的函数最值点是否符合现实问题的要求．
一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为10
km/h时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问此轮船以________
km/h的速度航行时，能使行驶每千米的费用总和最小．
2．
答案 20
某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位：元，0≤x≤30)的平方成正比．已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．
(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；
(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？
解 (1)设商品降价x元，则多卖的商品数为kx2，若记商品在一个星期的获利为f(x)元，则依题意有
f(x)＝(30－x－9)(432＋kx2)＝(21－x)(432＋kx2)．
又由已知条件24＝k·22，于是有k＝6，
所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9
072，x∈[0,30]．
题型三 利润最大问题
【例3】
点评 利润(收益)＝销售额－成本，在有关利润(收益)的问题中，注意应用此公式列函数式．
所以每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元．
点评 关于利润最大问题，利润等于收入减去成本，而收入等于产量乘价格，由此可得出利润与产量的函数关系式，再用导数求最大利润．
甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元．
(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域；
(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
误区警示 忽略实际问题中函数的定义域致误
【例4】
纠错心得 在运用导数解决实际问题的过程中，忽略实际问题中函数的定义域而造成结果求解错误．解决问题的主要措施为：在准确理解题意的基础上，正确建立数学模型，在实际问题中的定义域范围内找出问题的最优解.(共21张PPT)
【课标要求】
1．理解并掌握平均速度的概念．
2．通过实例的分析，经历平均速度过渡到瞬时速度的过程．
4．1 导数概念
4．1.1 问题探索——求自由落体的瞬时速度
1．伽利略通过实验得到的自由落体的下落距离s和时间t有近似的函数关系，其关系是
.
2．在t0时刻的瞬时速度即指在时刻t0＋d，当d趋于0时，时间段[t0，t0＋d]内的
．
3．若物体的运动方程为s＝f(t)，则物体在任意时刻t的瞬时速
度v(t)就是平均速度v(t，d)＝
在d趋于0时的
极限．
自学导引
s＝4.9t2
平均速度
答案 C
自主探究
答案 A
一质点的运动方程是s＝4－2t2，则在时间段[1,1＋d]内
相应的平均速度为
( )．
A．2d＋4
B．－2d＋4
C．2d－4
D．－2d－4
预习测评
答案 D
1．
2．已知物体位移s与时间t的函数关系为s＝f(t)．下列叙述
正确的是
( )．
A．在时间段[t0，t0＋d]内的平均速度即是在t0时刻的瞬时速度
B．在t1＝1.1，t2＝1.01，t3＝1.001，t4＝1.000
1，这四个时刻的速度都与t＝1时刻的速度相等
C．在时间段[t0－d，t0]与[t0，t0＋d](d>0)内当d趋于0时，两时间段的平均速度相等
D．以上三种说法都不正确
解析 两时间段的平均速度都是在t0时刻的瞬时速度．
答案 C
答案 3.05g
如果质点M的运动方程是s＝2t2－2，则在时间段[2,2＋d]内的平均速度是________．
答案 8＋2d
4．
平均速度是运动物体在某一段时间内位移的平均值，即用时间除位移得到，而瞬时速度是物体在某一时间点的速度，当时间段越来越小的过程中，平均速度就越来越接近一个数值，这个数值就是瞬时速度，可以说，瞬时速度是平均速度在时间间隔无限趋于0时的“飞跃”．
要点阐释
1．平均速度与瞬时速度的区别与联系
2．求瞬时速度的一般步骤
典例剖析
题型一 求平均速度
已知物体运动方程为s(t)＝2t2＋2t(位移单位：m，时间单位：s)，求：
(1)物体在运动前3
s内的平均速度；
(2)物体在2
s到3
s内的平均速度．
1．
(1)计算t从3
s到3.1
s,3.01
s,3.001
s各段时间内平均速度；
(2)求t＝3
s时的瞬时速度．
题型二 求瞬时速度
枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果它的加速度是5.0×105
m/s2，枪弹从枪口中射出时所用的时间为1.6×10－3
s，求枪弹射出枪口时的瞬时速度．
2．
[错解] ∵Δs＝2(2＋d)2＋5－(2×22＋5)＝8d＋2d2，
∴平均速度为8d＋2d2，
误区警示 对相关概念及公式掌握不牢出错
【例3】
求函数s＝2t2＋5在区间[2,2＋d]内的平均速度．
纠错心得 应熟练掌握相关概念及公式，并会准确应用．4．5.4 微积分基本定理
1．由曲线y＝x3，直线x＝0，x＝1及y＝0所围成的曲边梯形的面积为( )．
A．1
B.
C.
D.
解析 曲边梯形面积A＝x3dx＝＝.
答案 D
2．2dx的值是
( )．
A.
B.＋1
C．－
D．0
答案 B
3．若(2x＋k)dx＝2－k，则实数k的值为
( )．
A.
B．－
C．1
D．0
解析 ∵(2x＋k)dx＝(x2＋kx)＝1＋k＝2－k，
∴k＝.
答案 A
4．如果f(x)dx＝1，f(x)dx＝－1，则f(x)dx＝________.
解析 f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx＝－1，
即1＋f(x)dx＝－1，∴f(x)d(x)＝－2.
答案：－2
5．f(x)是一次函数，且f(x)dx＝5，xf(x)dx＝，那么f(x)的解析式是________．
解析 设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则
(ax＋b)dx＝axdx＋bdx
＝ax2|＋bx|＝a＋b＝5.①
x(ax＋b)dx＝(ax2＋bx)dx
＝ax3|＋bx2|＝a＋b＝.②
由①②解得a＝4，b＝3.故f(x)＝4x＋3.
答案 f(x)＝4x＋3
6．求定积分
解 取F(x)＝e2x，
则F′(x)＝′＝·e2x·(2x)′＝e2x，
7．(2011·福建)(ex＋2x)dx等于
( )．
A．1
B．e－1
C．e
D．e＋1
解析 (ex＋2x)dx＝(ex＋x2)＝(e＋1)－(e0＋0)＝e.
答案 C
8．(2011·课标全国)由曲线y＝，y＝x－2及y轴所围成的图形的面积等于( )．
A．－
B．4
C.
D．6
解析 y＝与y＝x－2的交点坐标为(4,2)．
如图阴影部分为y＝，y＝x－2及y轴围成的图形其面积S＝
(－x＋2)dx
＝＝.
答案 C
9．(2011·陕西)设f(x)＝若f[f(1)]＝1，则a＝________.
解析 3t2dt＝t3＝a3
∴f(1)＝lg
1＝0.
∴f(0)＝0＋a3＝a3.
即f[f(1)]＝a3，
∴a3＝1，a＝1.
答案 1
10．一物体以v＝
m/s的速度沿直线运动，该物体开始运动后10
s内
所经过的路程为________m.
11．若f(x)＝ax＋b(a≠0)，且f(x)dx＝1.
求证：[f(x)]2dx＞1.
证明 由于f(x)dx＝(ax＋b)dx
＝2＋a2＝1＋a2＞1.
12．(创新拓展)物体A以速度v＝3t2＋1在一直线上运动，在物体A出发的
同时，在此直线上物体B在物体A的正前方5
m处以v＝10t的速度与A同向运动．问两物体何时相遇？相遇时物体A走过的路程是多少？
解 设A追上B时，所用时间为t0，
依题意知sA＝sB＋5，4．4 生活中的优化问题举例
1．设底为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边
长为
( )
A.
B.
C.
D．2
解析 设底面边长为x，则表面积S＝x2＋V(x>0)，
S′＝(x3－4V)，令S′＝0，得唯一极值点x＝.
答案 C
2．某公司生产一种产品，固定成本为20
000元，每生产一单位的产品，成
本增加100元，若总收入R与年产量x的关系是R(x)＝则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是
( )．
A．150
B．200
C．250
D．300
解析 ∵总利润P(x)＝
由P′(x)＝0，得x＝300，故选D.
答案 D
3．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平
方成正比，比例系数为k(k>0)，贷款的利率为0.048，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x(x∈(0,0.048))，则x为多少时，银行可获得最大收益
( )．
A．0.016
B．0.032
C．0.024
D．0.048
解析 依题意：存款量是kx2，银行应支付的利息是kx3，贷款的收益是0.048kx2，其中x∈(0,0.048)．
所以银行的收益是y＝0.048kx2－kx3(0由于y′＝0.096kx－3kx2，令y′＝0得x＝0.032或x＝0(舍去)，
又当00；
当0.032所以当x＝0.032时，y取得最大值，即当存款利率为0.032时，银行可获得最大收益．
答案 B
4．正三棱柱体积为16，当其表面积最小时，底面边长a＝________.
解析 表面积：S＝a2＋(a>0)，
S′＝a－，
令S′＝0，得唯一极值点，
a＝＝4.
答案 4
5．某商品一件的成本为30元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出
(200－x)件，当每件商品的定价为________元时，利润最大．
解析 利润为S(x)＝(x－30)(200－x)＝－x2＋230x－6
000，S′(x)＝－2x＋230.由S′(x)＝0得x＝115，这时利润达到最大．
答案 115
6．(2011·福建)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单
位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3①求a的值；②若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
解 ①因为x＝5时，y＝11，
∴＋10＝11，∴a＝2.
②由①知，y＝＋10(x－6)2，
所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)＝(x－3)＝2＋10(x－3)(x－6)2,3∴f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)．
当30；4∴f(x)在(3,4)上递增，(4,6)上递减．
当x＝4时，f(x)取得最大值，f(4)＝42.
即当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得利润最大．
7．(2011·北京)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，
若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品
( )．
A．60件
B．80件
C．100件
D．120件
解析 设每件产品的平均费用为y，
则y＝＋.y′＝－＋＝.
当x>80时，y′>0；当x<80时，y′<0.
所以当x＝80时，y取得最小值．
答案 B
8．(2011·湖南)设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝ln
x的图象分别交于点M，
N，则当|MN|达到最小时t的值为
( )．
A．1
B.
C.
D.
解析 |MN|＝y＝t2－ln
t(t>0)，
y′＝2t－＝.
当0时，y′>0.
∴y在上递减，上递增，
∴t＝时，|MN|取得最小值．
答案 D
9．用总长为14.8
m的钢条做一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底
面的一边比另一边长0.5
m，那么高为________时容器的容积最大？
解析 设容器底面的一边为x，则另一边长为x＋0.5，高为3.2－2x，
则V＝x(x＋0.5)(3.2－2x)．
V′＝－6x2＋4.4x＋1.6.
令V′＝0得x＝1.
∴x＝1时，V取得最大值．
∴高为3.2－2×1＝1.2(m)
答案 1.2
m
10．将长为l的铁丝剪成2段，各围成长宽之比为2∶1及3∶2的矩形，则面
积之和的最小值为________．
解析 设前者宽为x，面积之和为y，
则y＝2x·x＋(l－6x)(l－6x)＝x2－lx＋l2，
y′＝x－l.令y′＝0得，x＝l.
∴y的最小值为y|x＝l＝l2.
答案 l2
11．(2011·江苏)请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60
cm的
正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形，斜边的两个端点，设AE＝FB＝x(cm)．
①某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？
②某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
解 设包装盒的高为h
cm，底面边长为a
cm.
则a＝x，h＝＝(30－x)，0①S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1
800，
所以，当x＝15时，S取得最大值．
②V＝a2h＝2(－x3＋30x2)，V′＝6x(20－x)．
令V′＝0得x＝0或x＝20.
当00；当20所以，当x＝20时，V取得极大值，也是最大值．
此时＝.
即包装盒的高与底面边长的比值为.
12．(创新拓展)(2011·山东)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度
单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为立方米，且l≥2r.
假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元．设该容器的建造费用为y千元．
①写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；
②求该容器的建造费用最小时的r.
解 ①设容器的容积为V，
由题意知V＝πr2l＋πr3，
又V＝，
∴l＝＝.
由于l≥2r，
∴≥2r，
∴0所以建造费用y＝2πrl×3＋4πr2c
＝2πr××3＋4πr2c
因此，y＝4π(c－2)r2＋，0②由①知y′＝8π(c－2)r－＝，
由于c>3，
∴c－2>0.
由y′＝0得r＝
若0<
<2，即c>时，
此时0时，y′<0，0.
∴r＝时，y取得极小值．
若
≥2，即30∴r＝2时，y取得极小值．
总之，当3当c>时，建造费用最小时，r＝
.(共32张PPT)
【课标要求】
1．理解函数最值的概念，了解函数最值与极值的区别和
联系．
2．会用导数求在闭区间上三次的多项式函数的最大值、
最小值．
4.3.3 三次函数的性质：单调区间和极值
三次函数的导数零点与其单调区间和极值
设F(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，
F′(x)＝3ax2＋2bx＋c(a≠0)．
填写下表：
当a>0时，
自学导引
≥
(－∞，u)
∪(v，＋∞)
(u，v)
递增
递增
递增
递减
递增
无
无
x＝u
x＝v
(－∞，u)
∪(v，＋∞)
(u，v)
递减
递减
递减
递增
递减
当a<0时，
极小值
极大值
求函数y＝f(x)在[a，b]上的最值与求f(x)的极值有什么不同？
提示 根据函数最值的定义及求最值的方法可知：
(1)求函数的最值与求函数的极值不同的是，在求可导函数的最值时，不需要对各导数为0的点讨论其是极大值还是极小值，只需将导数为0的点和端点的函数值进行比较即可．
(2)可利用函数的单调性求f(x)在闭区间上的最值．若f(x)在[a，b]上单调递增，则f(x)的最大值为f(b)，最小值为f(a)；若f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
自主探究
下列说法正确的是
( )
A．函数在其定义域内若有最值与极值，则其极大值便是最
大值，极小值便是最小值
B．闭区间上图象连续不断的函数一定有最值，也一定有极
值
C．若函数在其定义域上有最值，则一定有极值，反之，若
有极值则一定有最值
D．若函数在给定区间上有最值，则最多有一个最大值，一
个最小值，但若有极值，则可有多个极值甚至无穷多个
答案 D
预习测评
1．
答案 A
若函数f(x)在[a，b]上f′(x)>0，则f(a)是函数的最________值，f(b)是函数的最________值．
答案 小 大
已知函数f(x)＝x3－ax在R上递增，则a的取值范围是_______
解析 f(x)＝x3－ax，∴f′(x)＝3x2－a
由题意，得3x2－a≥0
即a≤3x2在R上恒成立
∴a≤0.
答案 (－∞，0]
3．
4．
三次函数F(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的导数F′(x)为二次函数F′(x)＝3ax2＋2bx＋c(a≠0)，当F′(x)有两个不相等的零点时，F(x)有一个极大值，一个极小值，对应有三个单调区间．当F′(x)有一个零点或没有零点时，F(x)没有极值，此时F(x)是单调的．
具体分析如下：
方程F′(x)＝0根的判别式Δ＝4b2－12ac，则有：
要点阐释
1．三次函数的性质
①当Δ≤0时，若a>0则F(x)在R上是增函数；若a<0，则F(x)在R上是减函数．
②当Δ
>0时，设F′(x)＝0的两根x10时，F(x)的递增区间有两个，为(－∞，x1)和(x2＋∞)；递减区间有一个，为(x1，x2)，x1是极大值点，x2是极小值点；
当a<0时，F(x)的递减区间有两个，为(－∞，x1)和(x2，＋∞)；递增区间有一个，为(x1，x2)，x1是极小值点，x2是极大值点．
(1)极值是部分区间内的函数的最值，而最值是相对整个区间内的最大或最小值．
(2)求最值的步骤：
①求出函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
2.求函数y＝f(x)在[a，b]上的最值
(1)函数的极值表示函数在某一点附近的局部性质，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较．
(2)函数的极值不一定是最值，需要将极值和区间端点的函数值进行比较，或者考查函数在区间内的单调性．
(3)如果连续函数在区间(a，b)内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值．
(4)可导函数在极值点的导数为零，但是导数为零的点不一定是极值点．例如，函数y＝x3在x＝0处导数为零，但x＝0不是极值点．
3．极值与最值的区别和联系
(1)f(x)＝2x3＋3x2＋6x＋1；
(2)f(x)＝－2x3＋9x2－12x－7.
典例剖析
题型一 求三次函数的单调区间和极值点
【例1】
求下列函数的单调区间和极值点：
点评 对此类题目，只要理解了f′(x)的符号对函数f(x)取极值的影响，所有问题便迎刃而解，所以重要的是方法的领悟．
(1)求f(x)的单调递减区间；
(2)若f(x)在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．
题型二 三次函数的最值
【例2】
已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a.
(2)结合(1)，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝3.
又x∈[－2,2]，∴x＝－1.
当－20.
∴x＝－1是函数f(x)的极小值点，该极小值也就是函数f(x)在[－2,2]上的最小值，即f(x)min＝f(－1)＝a－5.
又函数f(x)的区间端点值为
f(2)＝－8＋12＋18＋a＝a＋22，
f(－2)＝8＋12－18＋a＝a＋2.
∵a＋22>a＋2，∴f(x)max＝a＋22＝20，∴a＝－2.
此时f(x)min＝a－5＝－2－5＝－7.
点评 (1)函数在闭区间上的最大值和最小值，就是开区间上的极值和端点的函数值中的最大、最小值．
(2)若在闭区间上只有一个极大值(或极小值)，这个极大值(或极小值)即为函数的最大值(或最小值)，另一最值在区间的端点处取得．
解 法一 函数f(x)的导数f′(x)＝x2－ax＋a－1.
令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝a－1.
当a－1≤1，即a≤2时，函数f(x)在(1，＋∞)上为增函数，不合题意．
当a－1>1，即a>2时，函数f(x)在(－∞，1)上为增函数，
在(1，a－1)上为减函数，在(a－1，＋∞)上为增函数．
题型三 由三次函数的单调性确定参数的值或范围
点评 f(x)为增函数，一定可以推出f′(x)≥0，但反之不一定．因为f′(x)≥0，即为f′(x)>0或f′(x)＝0，当函数在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)为常函数，不具有单调性，所以f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件．
设函数f(x)＝2x3＋3ax2＋3bx＋8c在x＝1和x＝2时取得极值．
(1)求a、b的值；
(2)若对于任意的x∈[0,3]，都有f(x)3．
(2)由(1)可知，f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)．
当x∈(0,1)时，f′(x)>0；
当x∈(1,2)时，f′(x)<0；
当x∈(2,3)时，f′(x)>0.
所以，当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝5＋8c.
又f(3)＝9＋8c，则当x∈[0,3]时，
f(x)的最大值为f(3)＝9＋8c.
因为对于任意的x∈[0,3]，
有f(x)所以9＋8c9.
因此c的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)
求函数f(x)＝x3－2x2＋1在区间[－1,2]上的最大值与最小值．
误区警示 要正确区分极值与最值
【例4】
错因分析 求出函数的极值后，要与区间端点的函数值进行比较后方可确定函数的最值，否则会出现错误．
纠错心得 准确、深刻地理解函数最值的概念，注意区分函数最值与极值的区别与联系是解决函数最值问题的关键.(共27张PPT)
【课标要求】
1．理解并掌握导数的概念，掌握求函数在一点上的导数的
方法．
2．理解导数的几何意义．
4.1.3 导数的概念和几何意义
函数fox)在x＝u处步长为d的差分为
，差商为
，它表示函数在自变量的某个区间上的
，它反映了自变量在某个范围内变化时，
变化的总体的快慢．
自学导引
1．
f(u＋d)－f(u)
平均变化率
函数值
确定的极限值
微商
f′(x0)
f(x)的导函数
一阶导数
函数f(x)在x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的
．
3．
斜率
曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))的切线与导数的关系．
提示 函数f(x)在点x0处有导数，则在该点处函数f(x)的曲线必有切线，且导数值是该切线的斜率；但函数f(x)的曲线在点x0处有切线，而函数f(x)在该点处不一定可导，如f(x)＝在x＝0处有切线，但它不可导．
即若曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的导数f′(x0)不存在，但有切线，则切线与x轴垂直．若f′(x0)存在，且f′(x0)
>0，则切线与x轴正向夹角为锐角；f′(x0)<0，切线与x轴正向夹角为钝角；f′(x0)＝0，切线与x轴平行．
自主探究
答案 B
预习测评
若f(x0)－f(x0－d)＝2x0d＋d2，下列选项正确的是
( )．
A．f′(x)＝2
B．f′(x)＝2x0
C．f′(x0)＝2x0
D．f′(x0)＝d＋2x0
答案 C
2．
已知函数y＝f(x)图象如图，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是
( )．
A．f′(xA)>f′(xB)
B．f′(xA)C．f′(xA)＝f′(xB)
D．不能确定
答案 A
3．
在曲线f(x)＝x2＋x上取一点P(1,2)，则在区间[1,1＋d]上的平均变化率为________，在点P(1,2)处的导数f′(1)＝_______.
答案 3＋d 3
4．
要点阐释
若物体的运动方程为s＝s(t)，则位移对时间的导数为在t0处的瞬时速度．
若物体的运动速度与时间关系为v＝v(t)，则速度对时间的导数为在t0时刻的加速度．
(1)对于函数y＝f(x)在x0处的导数是表示在x0处函数值变化快慢的一个量，其几何意义为在x＝x0处的切线的斜率．
(2)f′(x)是指随x变化，过曲线上的点(x，f(x))的切线斜率与自变量x之间的函数．
2．导数的物理意义
3．导数的几何意义
典例剖析
答案 C
点评 在利用导数定义求函数在某点处导数值时，往往采用凑项的方法凑成定义的形式再解决．
答案 B
点评 差分式化成分子和分母极限都在的情形(但分母极限不能为0)，如果分母极限为0，则从分母中分离出导致分母趋于0的因式，与分子约分消去，便可得出正确结论．
点评 求某一点x0处的导数值f′(x0)，可先求出导函数f′(x)，再赋值求解f′(x0)．
(1)求曲线C在点(1,1)处的切线方程，
(2)求过点(1,0)且与曲线C相切的直线的方程．
题型四 利用导数求切线方程
【例4】
已知曲线C：y＝x2，
(2)点(1,0)不在曲线y＝x2上．
设过点(1,0)与曲线C相切的直线其切点为(x0，x)，
则切点处的斜率为2x0.切线方程为y－x＝2x0(x－x0)
(
)
又因为此切线过点(1,0)．
∴－x＝2x0(1－x0)，解得x0＝0或x0＝2，
代入(
)式得过点(1,0)与曲线
C：y＝x2相切的直线方程为y＝0或4x－y－4＝0.
点评 本题主要考查了导数的几何意义以及直线方程的知识，若求某点处的切线方程，此点即为切点，否则除求过二次曲线上的点的切线方程外，不论点是否在曲线上，均需设出切点．
误区警示 易混淆曲线过点P的切线与曲线在点P处的切线
纠错心得 在求曲线过某点的切线方程时，首先要判断该点是否在曲线上，再根据不同情况求解.(共21张PPT)
【课标要求】
理解并掌握如何求抛物线的切线．
4．1.2 问题探索——求作抛物线的切线
设P(u，f(u))是函数y＝f(x)的曲线上的任一点，则求点P处切线斜率的方法是：
(1)在曲线上取不同于P的点Q(u＋d，f(u＋d))，计算直线PQ
的斜率k(u，d)＝
.
(2)在所求得的PQ的斜率的表达式k(u，d
)中让d趋于0，如果k(u，d)趋于
的数值k(u)，则 就是曲线在P处的切线斜率．
自学导引
求曲线上点P处切线斜率的方法
确定
k(u)
设函数y＝f(x)，当自变量x由x0改变到x0＋d时，函数的改变量Δy为
A．f(x0＋d)
B．f(x0)＋d
C．f(x0)＋d
D．f(x0＋d)－f(x0)
答案 D
自主探究
1．
2．函数y＝x2在x＝1处的切线斜率k＝________.
答案 2
一物体作匀速圆周运动，其运动到圆周A处时( )．
A．运动方向指向圆心O
B．运动方向所在直线与OA垂直
C．速度与在圆周其他点处相同
D．不确定
答案 B
预习测评
1．
答案 C
3．过曲线y＝2x上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为____．
答案 1
答案 －d＋3
要点阐释
2．过某点的曲线的切线方程
要正确区分曲线“在点(u，v)处的切线方程”和“过点(u，v)的切线方程”．前者以点(u，v)为切点，后者点可能在曲线上，也可能不在曲线上，即使在曲线上，也不一定是切点．
3．曲线的割线与切线的区别与联系
曲线的割线的斜率反映了曲线在这一区间上上升或下降的变化趋势，刻画了曲线在这一区间升降的程度，而曲线的切线是割线与曲线的一交点向另一交点逼近时的一种极限状态，它实现了由割线向切线质的飞跃．
A2(2,4)，A4(4,16)，A5(5,25)为抛物线上另外四点．
(1)分别求割线PA1，PA2，PA4，PA5的斜率；
(2)若A(x0，x)为曲线y＝x2上异于P的动点，当A逐渐向P趋近时，说明割线斜率的变化情况．
典例剖析
题型一 有关曲线的割线斜率的探索
【例1】
点P(3,9)为抛物线y＝x2上的一点，A1(1,1)，
点评 割线向切线逼近的过程是从有限到无限的过程，也是d趋于0的过程，这一过程实现了从割线到切线质的飞跃．
(1)求当x1＝1，x2＝2时，kAB.
(2)求当x1＝x0，x2＝x0＋d时，A、B两点连线斜率kAB.
1．已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)为函数y＝x3曲线上两不同点．
处的切线方程．
题型二 有关切线方程的探索
【例2】
已知曲线方程为y＝f(x)＝x3＋2x，求曲线在点P(1,3)
点评 求曲线上点(x0，y0)处切线方程的步骤：
(1)求割线斜率；(2)求切线斜率；(3)求切线方程．
2．求y＝f(x)＝x2－1在x＝1处的切线斜率及切线方程．
分别满足下列条件：
(1)平行于直线y＝x＋1；
(2)垂直于直线2x－16y＋1＝0；
(3)倾斜角为135°.
题型三 求切点坐标
【例3】
在曲线y＝4x2上求一点P使得曲线在该点处的切线
点评 解答此类题目，切点横坐标是关键信息，因为切线斜率与之密切相关．同时应注意解析几何知识的应用，特别是直线平行、垂直、倾斜角与斜率关系等知识．
3．在抛物线y＝x2上求一点P，使点P到直线y＝4x－5的距离最小．
所求过P点处切线斜率为2u，当过P点的切线与直线y＝4x－5平行时，P点到直线y＝4x－5的距离最小，
所以2u＝4，u＝2.
∵P点在抛物线y＝x2上，∴f(u)＝4，
∴所求P点坐标为(2,4)．