4．2.1 几个幂函数的导数
4．2.2 一些初等函数的导数表
1．曲线y＝x3在点P处的切线的斜率为3，则P点的坐标为
( )．
A．(－2，－8)
B．(－1，－1)，(1,1)
C．(2,8)
D.
解析 y′＝3x2，由3x2＝3，得x＝1或x＝－1，
∴P点坐标为(1,1)或(－1，－1)．
答案 B
2．下列结论：①(cos
x)′＝sin
x；②′＝cos；③若y＝，则y′|x＝3
＝－；④(e3)′＝e3.其中正确的个数为
( )．
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
解析 (cos
x)′＝－sin
x，①错，sin＝，′＝0.②错，′＝－，∴y′|x＝3＝－，③正确，e3为常数，(e3)′＝0，④错．
答案 B
3．(2011·山东)曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标为
( )．
A．－9
B．－3
C．9
D．15
解析 y′＝3x2，则y′|x＝1＝3，所以曲线在P点处的切线方程为y－12＝3(x－1)．
即y＝3x＋9，它在y轴上的截距为9.
答案 C
4．已知P(－1,1)，Q(2,4)是曲线f(x)＝x2上的两点，则平行于直线PQ的曲线
y＝x2的切线方程是________________．
解析 y＝x2的导数为y′＝2x，设切点为M(x0，y0)，
则y′|x＝x0＝2x0，又kPQ＝＝1，
又切线平行于PQ，∴k＝y′|
x＝x0＝2x0＝1，∴x0＝.
∴切点M，
∴切线方程为y－＝x－，即4x－4y－1＝0.
答案 4x－4y－1＝0
5．曲线y＝sin
x在点A处的切线方程为________．
解析 y′＝cos
x，y′|x＝＝，所以曲线在A点处的切线方程为y－＝.即x－2y＋－＝0.
答案 x－2y＋－＝0
6．已知直线y＝kx是曲线y＝ln
x的切线，求k.
解 设切点为P(x0，y0)，又y′＝(ln
x)′＝.
∴点P处的切线斜率为，
∴k＝，x0＝，∴P.
又点P在直线y＝kx上，∴ln
＝k·＝1.
∴＝e，即k＝.
7．(2011·江西)曲线y＝ex在点A(0,1)处的切线的斜率为
( )．
A．1
B．2
C．e
D.
解析 y′＝ex，y′|x＝0＝1.所以，所求切线的斜率为1.
答案 A
8．设f0(x)＝cos
x，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈
N，则f2
011(x)等于
( )．
A．sin
x
B．－sin
x
C．cos
x
D．－cos
x
解析 f0(x)＝cos
x，f1(x)＝－sin
x，f2(x)＝－cos
x，
f3(x)＝sin
x，f4(x)＝cos
x，…，
由此看出，四个一循环，具有周期性，T＝4.∵2
011＝4×502＋3，∴f2
011(x)＝f3(x)＝sin
x.
答案 A
9．曲线y＝log2x的一条切线的斜率为，则切点坐标为________．
解析 y′＝，由＝，得x＝1.所以切点坐标为(1,0)．
答案 (1,0)
10．函数y＝－2sin的导数为________．
解析 y＝－2sin
＝sin
x，故y′＝cos
x.
答案 cos
x
11．求过曲线y＝ex上的点P(1，e)且与曲线在该点处的切线垂直的直线方程．
解 y′＝ex，∴曲线在点P处的切线的斜率为e1＝e.
∴过P点与曲线在点P处的切线垂直的直线的斜率为－.
∴所求方程为y－e＝－(x－1)，即x＋ey－e2－1＝0.
12．(创新拓展)求过点(2,0)且与曲线y＝x3相切的直线方程．
解 设切点坐标为(x0，x)，则由于y′＝3x2，所以切线斜率为3x，切线方程为y－x＝3x(x－x0)，它过点(2,0)，
∴0－x＝3x(2－x0)
∴x0＝0或x0＝3.
若x0＝0，则切点坐标为(0,0)，切线方程为y＝0.
若x0＝3，则切点坐标为(3,27)，切线方程为y－27＝3×32(x－3)，即27x－y－54＝0.
所以，所求直线方程为y＝0或27x－y－54＝0.4．3.1 利用导数研究函数的单调性
1．已知y＝f(x)，x∈[0,1]，且f′(x)>0，则下列关系式一定成立的是( )．
A．f(0)<0
B．f(1)>0
C．f(1)>f(0)
D．f(1)
解析 f′(x)>0，说明f(x)在[0,1]上单调递增，故f(1)>f(0)，选C.
答案 C
2．下列函数中在区间(－1,1)上是减函数的是
( )．
A．y＝－3x2＋3
B．y＝ln
|x|
C．y＝
D．y＝sin
x
答案 C
3．函数f(x)＝xln
x的单调递减区间是
( )．
A.
B.
C.
D．(e，＋∞)
解析 ∵f′(x)＝ln
x＋1，
∴由f′(x)<0，即ln
x＋1<0得ln
x<－1＝ln
e－1，
∴0答案 C
4．函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调减区间为________．
解析 f′(x)＝3x2－30x－33＝3(x－11)(x＋1)，令f′(x)＜0，得－1＜x＜11，所以单调减区间为(－1,11)．
答案 (－1,11)
5．函数f(x)的导数y＝f′(x)的图象如图所示，则
函数f(x)的单调递增区间是______．
答案 [－1,0]和[2，＋∞)
6．求下列函数的单调区间．
(1)f(x)＝x3－x；(2)y＝ex－x＋1.
解 (1)f′(x)＝3x2－1＝(x＋1)(x－1)，
令f′(x)>0，则x∈和，
令f′(x)<0，则x∈.
∴f(x)＝x3－x的单调增区间为和；单调减区间为.
(2)y′＝ex－1，令y′>0，即ex－1>0，
则x∈(0，＋∞)，
令y′<0，即ex－1<0，则x∈(－∞，0)，
∴y＝ex－x＋1的单调增区间(0，＋∞)，单调减区间为(－∞，0)．
7．函数f(x)＝xcos
x－sin
x在下面哪个区间内是增函数
( )．
A.
B．(π，2π)
C.
D．(2π，3π)
解析 f′(x)＝cos
x－xsin
x－cos
x＝－xsin
x，
当x∈(π，2π)时，f′(x)>0.
答案 B
8．(2011·辽宁)函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，
则f(x)>2x＋4的解集为
( )．
A．(－1,1)
B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1)
D．(－∞，＋∞)
解析 设m(x)＝f(x)－(2x＋4)，则m′(x)＝f′(x)－2>0，
∴m(x)在R上是增函数，
∴m(－1)＝f(－1)－[2×(－1)＋4]＝0，
∴m(x)>0的解集为{x|x>－1}．
即f(x)>2x＋4的解集为(－1，＋∞)．
答案 B
9．使y＝sin
x＋ax在R上是增函数的a的取值范围为________．
解析 y′＝cos
x＋a≥0，
∴a≥－cos
x在R上恒成立，
又cos
x∈[－1,1]，∴a≥1.
答案 [1，＋∞)
10．函数y＝x(a>0)的单调增区间为________，单调减区间为_______．
解析 函数的定义域为[0，a]，y′＝，由y′>0结合0≤x≤a，得0由y′<0结合x∈[0，a]得∴y的增区间为，减区间为.
答案
11．若函数f(x)＝ax3－x2＋x－5在(－∞，＋∞)上单调递增，求a的取值范围．
解 f′(x)＝3ax2－2x＋1，
∵f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，
∴f′(x)≥0即3ax2－2x＋1≥0在R上恒成立．
∴∴a≥.
∴a的取值范围为.
12．(创新拓展)(2011·福建)已知a，b为常数，且a≠0，函数f(x)＝－ax＋b
＋axln
x，f(e)＝2.
①求b；②求函数f(x)的单调区间．
解 ①f(e)＝2，即－ae＋b＋aeln
e＝2，∴b＝2.
②由①知f(x)＝－ax＋axln
x＋2，f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝－a＋a＝aln
x.
当a>0时，由f′(x)>0知x>1，由f′(x)<0知0当a<0时，由f′(x)>0知01.
所以a>0时，f(x)的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0,1)；
a<0时，f(x)的增区间为(0,1)，减区间为(1，＋∞)．4.3.3 三次函数的性质：单调区间和极值
1．三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的图象如下图，则它的导数f′(x)\
的图象最可能是
( )．
答案 C
2．函数f(x)＝x3－3x＋3，当x∈时，函数f(x)的最小值是
( )．
A.
B．－5
C．1
D.
答案 C
3．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴相切于(1,0)点，则f(x)的极值为
( )．
A．极大值为，极小值为0
B．极大值为0，极小值为－
C．极小值为－，极大值为0
D．极小值为0，极大值为
答案 A
4．已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M，
m，则M－m＝________.
答案 32
5．若函数f(x)＝x3＋ax在R上有两个极值点，则实数a的取值范围是________．
解析 ∵f(x)＝x3＋ax
∴f′(x)＝3x2＋a，
由题意，得Δ＝02－4×3×a>0，∴a<0.
答案 a<0
6．已知函数f(x)＝x3－ax－1
(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求a的取值范围；
(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减，若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由；
(3)证明 f(x)＝x3－ax－1的图象不可能总在直线y＝a的上方．
(1)解 f′(x)＝3x2－a，由3x2－a≥0在R上恒成立，即a≤3x2在R上恒成立，
易知当a≤0时，f(x)＝x3－ax－1在R上是增函数，
∴a≤0.
(2)解 由3x2－a<0在(－1,1)上恒成立，∴a>3x2.
但当x∈(－1,1)时，0<3x2<3，
∴a≥3，即当a≥3时，f(x)在(－1,1)上单调递减．
(3)证明 取x＝－1，得f(－1)＝a－2，a－2)
在f(x)＝x3－ax－1的图象上，且在直线y＝a的下方.
∴f(x)的图象不可能总在直线y＝a的上方．
7．函数y＝ax3－2x在[2,8]上是减函数，则
( )．
A．a＝
B．a＝0
C．a≤
D．a<0
答案 C
8．直线y＝a与函数y＝x3－3x的图象有三个相异的交点，则a的取值范围为
( )．
A．(－2,2)
B．[－2,2]
C．[2，＋∞)
D．(－∞，－2]
解析 y′＝3x2－3，由y′＝0，得x＝1或x＝－1.
当x<－1时，y′>0；当－11时，y′>0.
所以y＝x3－3x在(－∞，－1)上递增，(－1,1)上递减，(1，＋∞)上递增．
当x＝－1时，y取得极大值(－1)3－3×(－1)＝2；
当x＝1时，y取得极小值13－3×1＝－2.
因此，a的取值范围为－2答案 A
9．设函数f(x)＝x3－－2x＋5，若对任意的x∈[－1,2]，都有f(x)>m，则实
数m的取值范围为________．
解析 f′(x)＝3x2－x－2，由f′(x)＝0，得x＝1或x＝－.
f(－1)＝，f＝，f(1)＝，f(2)＝7，
∴f(x)的最小值为，∴m<.
答案
10．函数f(x)＝x3－3a2x＋a(a>0)的极大值为正数，极小值为负数，则a的取
值范围为________．
解析 f′(x)＝3x2－3a2(a>0)，
由f′(x)>0，得x>a或x<－a，
由f′(x)<0，得－a所以f(x)在(－∞，－a)上递增，(－a，a)上递减，(a，＋∞)上递增．
当x＝－a时，f(x)取得极大值f(－a)＝2a3＋a>0；
当x＝a时，f(x)取得极小值f(a)＝－2a3＋a<0.
又a>0，∴a>.
答案
11．(2011·重庆)设f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1的导数为f′(x)，若函数y＝f′(x)
的图象关于直线x＝－对称，且f′(1)＝0.
①求实数a，b的值；②求函数f(x)的极值．
解 ①∵f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1，
∴f′(x)＝6x2＋2ax＋b.
由题意知，－＝－且6×12＋2a×1＋b＝0，
∴a＝3，b＝－12.
②由①知，f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1.
∴f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x＋2)(x－1)
由f′(x)＝0，得x＝1或x＝－2.
由f′(x)>0，得x>1或x<－2，由f′(x)<0，得－2∴f(x)在(－∞，－2)上递增，(－2,1)上递减，(1，＋∞)上递增．
∴当x＝－2时，f(x)取得极大值f(－2)＝21，当x＝1时，f(x)取得极小值f(1)＝－6.
12．(创新拓展)(2011·天津)已知函数f(x)＝4x3＋3tx2－6t2x＋t－1，x∈R，其
中t∈R.
①当t＝1时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
②当t≠0时，求f(x)的单调区间．
解 ①t＝1时，f(x)＝4x3＋3x2－6x，f′(x)＝12x2＋6x－6，f′(0)＝－6，又f(0)＝0.
∴曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y－0＝－6(x－0)，即6x＋y＝0.
②t≠0时，f′(x)＝12x2＋6tx－6t2＝6(2x2＋tx－t2)＝6(x＋t)(2x－t)．若t>0，则由f′(x)>0得x<－t或x>，f′(x)<0得－t∴f(x)在(－∞，－t)上递增，在上递减．
在上递增，
若t<0，则由f′(x)>0得x<或x>－t，由f′(x)<0得∴f(x)在上递增，上递减，(－t，＋∞)上递增．4．5.3 定积分的概念
1．下列命题不正确的是
( )．
A．若f(x)是连续的奇函数，则
f(x)dx＝0
B．若f(x)是连续的偶函数，则f(x)dx＝2f(x)dx
C．若f(x)在[a，b]上连续且恒正，则f(x)dx>0
D．若f(x)在[a，b]上连续且f(x)dx>0，则f(x)在[a，b]上恒正
答案 D
2．直线x＝1，x＝－1，y＝0及曲线y＝x3＋sin
x围成的平面图形的面积可
表示为
( )．
A.
(x3＋sin
x)dx
B．2(x3＋sin
x)dx
C．2
(x3＋sin
x)dx
D.(x3＋sin
x)dx
答案 B
3．已知[f(x)＋g(x)]dx＝18，g(x)dx＝10，则f(x)dx等于
( )．
A．8
B．10
C．18
D．不确定
答案 A
4．根据定积分的几何意义，用积分表示如图所示各图的阴影部分的面积，
S＝________.
答案 [f1(x)－f2(x)]dx(两图积分式相同)
5．由定积分的几何意义，定积分sin
xdx表示________．
答案 由直线x＝0，x＝，y＝0和曲线y＝sin
x围成的曲边梯形的面积
6．根据定积分的几何意义推出下列积分的值．
(1)
xdx； (2)
cos
xdx.
解 若x∈[a，b]时，f(x)≥0，则f(x)dx的几何意义是表示由直线x＝a，x＝b，y＝0和曲线y＝f(x)围成的平面图形的面积；若x∈[a，b]时，f(x)≤0，则f(x)dx表示所围成的图形面积的负值．
(1)如图①，
xdx＝－A1＋A1＝0.
(2)如图②，cos
xdx＝A1－A2＋A3＝0.
7．已知定积分f(x)dx＝8，则f(x)为奇函数，则
f(x)dx＝
( )．
A．0
B．16
C．12
D．8
答案 A
8．和式＋＋…＋，当n→∞时的极限值用定积分式子可表示为( )．
A.dx
B.dx
C.0dx
D.dx
答案 B
9.x2dx＝，x2dx＝，则x2dx＝________.
答案
10．图1，图2用定积分可表示为________，________.
答案
f(x)dx－f(x)dx，－
f(x)dx
11．有一质量非均匀分布的细棒，已知其线密度为ρ(x)＝2x(取细棒所在直
线为x轴，细棒的一端为原点)，棒长为l，试用定积分表示细棒的质量m，并求出m的值．
解 细棒的质量m＝ρ(x)dx＝2xdx.而2xdx表示由直线y＝2x，x＝l，x＝0及x轴所围成的图形面积，如图所示．
∴2xdx＝×l×2l＝l2.
即m＝l2.
12．(创新拓展)求定积分
x2dx的值．
解 将区间[－1,2]等分成n个区间，则每个区间的长度为.
每个小区间的面积ΔSi＝2.
面积和Sn＝2
＝
＝
＝3＋－9
当n→∞时，Sn→3＋×2－9＝3.
∴x2dx＝3.4.1.3 导数的概念和几何意义
1．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线
( )．
A．不存在
B．与x轴平行或重合
C．与x轴垂直
D．与x轴斜交
答案 B
2．已知函数y＝f(x)的图象如图，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是( )．
A．f′(xA)>f′(xB)
B．f′(xA)C．f′(xA)＝f′(xB)
D．不能确定
解析 分别作出A、B两点的切线，由图可知kB>kA，即f′(xB)>f′(xA)．
答案 B
3．已知曲线y＝2x2上一点A(2,8)，则在点A处的切线斜率为
( )．
A．4
B．16
C．8
D．2
解析 在点A处的切线的斜率即为曲线y＝2x2在x＝2时的导数，由导数定义可求y′＝4x.
答案 C
4．抛物线y＝x2＋x＋2上点(1,4)处的切线的斜率是________，该切线方程
为________________．
解析 Δy＝(1＋d)2＋(1＋d)＋2－(12＋1＋2)＝3d＋d2，故y′|x＝1＝li
＝
(3＋d)＝3.
∴切线的方程为y－4＝3(x－1)，
即3x－y＋1＝0.
答案 3 3x－y＋1＝0
5．若曲线y＝x2－1的一条切线平行于直线y＝4x－3，则这条切线方程为
________________．
解析 ∵f′(x)＝
＝
＝
＝
(2x＋d)＝2x.
设切点坐标为(x0，y0)，则由题意知f′(x0)＝4，即2x0＝4，∴x0＝2，代入曲线方程得y0＝3，故该切线过点(2,3)且斜率为4.所以这条切线方程为y－3＝4(x－2)，即4x－y－5＝0.
答案 4x－y－5＝0
6．求曲线y＝x3在点(3,27)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积．
解 ∵f′(3)＝
＝li
＝
(d2＋9d＋27)＝27，
∴曲线在点(3,27)处的切线方程为y－27＝27(x－3)，
即27x－y－54＝0.
此切线与x轴、y轴的交点分别为(2,0)，(0，－54)．
∴切线与两坐标轴围成的三角形的面积为
S＝×2×54＝54.
7．已知函数f(x)在x＝1处的导数为3，则f(x)的解析式可能为
( )．
A．f(x)＝(x－1)2＋3(x－1)
B．f(x)＝2(x－1)
C．f(x)＝2(x－1)2
D．f(x)＝x－1
解析 分别求四个选项的导函数分别为f′(x)＝2(x－1)＋3；f′(x)＝2；f′(x)＝4(x－1)；f′(x)＝1.
答案 A
8．(2011·重庆)曲线y＝－x3＋3x2在点(1,2)处的切线方程为
( )．
A．y＝3x－1
B．y＝－3x＋5
C．y＝3x＋5
D．y＝2x
解析
＝－Δx2＋3.
Δx→0时，－Δx2＋3→3.
∴f′(1)＝3.即曲线在(1,2)处的切线斜率为3.
所以切线方程为y－2＝3(x－1)，即y＝3x－1.
答案 A
9．函数y＝f(x)图象在M(1，f(1))处的切线方程为y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)
＝________.
解析 由已知切点在切线上．
∴f(1)＝×1＋2＝.
切线的斜率f′(1)＝.∴f(1)＋f′(1)＝3.
答案 3
10．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程为x－y＋1＝0，则a，b的
值分别为________，________.
解析 ∵点(0，b)在切线x－y＋1＝0上，
∴－b＋1＝0，b＝1.
又＝＝a＋Δx，
∴f′(0)＝a＝1.
答案 1 1
11．已知曲线y＝x3＋1，求过点P(1,2)的曲线的切线方程．
解 设切点为A(x0，y0)，则y0＝x＋1.
＝＝Δx2＋3x0Δx＋3x.
∴f′(x0)＝3x，切线的斜率为k＝3x.
点(1,2)在切线上，∴2－(x＋1)＝3x(1－x0)．∴x0＝1或x0＝－.
当x0＝1时，切线方程为3x－y－1＝0，
当x0＝－时，切线方程为3x－4y＋5＝0.
所以，所求切线方程为3x－y－1＝0或3x－4y＋5＝0.
12．(创新拓展)求垂直于直线2x－6y＋1＝0并且与曲线y＝x3＋3x2－5相切
的直线方程．
解 设切点为P(a，b)，函数y＝x3＋3x2－5的导数为y′＝3x2＋6x.故切线的斜率k＝y′|x＝a＝3a2＋6a＝－3，得a＝－1，代入y＝x3＋3x2－5得，b＝－3，即P(－1，－3)．故所求直线方程为y＋3＝－3(x＋1)，即3x＋y＋6＝0.4．4 生活中的优化问题举例
1．设底为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边
长为
( )
A.
B.
C.
D．2
解析 设底面边长为x，则表面积S＝x2＋V(x>0)，
S′＝(x3－4V)，令S′＝0，得唯一极值点x＝.
答案 C
2．某公司生产一种产品，固定成本为20
000元，每生产一单位的产品，成
本增加100元，若总收入R与年产量x的关系是R(x)＝则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是
( )．
A．150
B．200
C．250
D．300
解析 ∵总利润P(x)＝
由P′(x)＝0，得x＝300，故选D.
答案 D
3．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平
方成正比，比例系数为k(k>0)，贷款的利率为0.048，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x(x∈(0,0.048))，则x为多少时，银行可获得最大收益
( )．
A．0.016
B．0.032
C．0.024
D．0.048
解析 依题意：存款量是kx2，银行应支付的利息是kx3，贷款的收益是0.048kx2，其中x∈(0,0.048)．
所以银行的收益是y＝0.048kx2－kx3(0由于y′＝0.096kx－3kx2，令y′＝0得x＝0.032或x＝0(舍去)，
又当00；
当0.032所以当x＝0.032时，y取得最大值，即当存款利率为0.032时，银行可获得最大收益．
答案 B
4．正三棱柱体积为16，当其表面积最小时，底面边长a＝________.
解析 表面积：S＝a2＋(a>0)，
S′＝a－，
令S′＝0，得唯一极值点，
a＝＝4.
答案 4
5．某商品一件的成本为30元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出
(200－x)件，当每件商品的定价为________元时，利润最大．
解析 利润为S(x)＝(x－30)(200－x)＝－x2＋230x－6
000，S′(x)＝－2x＋230.由S′(x)＝0得x＝115，这时利润达到最大．
答案 115
6．(2011·福建)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单
位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3①求a的值；②若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
解 ①因为x＝5时，y＝11，
∴＋10＝11，∴a＝2.
②由①知，y＝＋10(x－6)2，
所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)＝(x－3)＝2＋10(x－3)(x－6)2,3∴f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)．
当30；4∴f(x)在(3,4)上递增，(4,6)上递减．
当x＝4时，f(x)取得最大值，f(4)＝42.
即当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得利润最大．
7．(2011·北京)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，
若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品
( )．
A．60件
B．80件
C．100件
D．120件
解析 设每件产品的平均费用为y，
则y＝＋.y′＝－＋＝.
当x>80时，y′>0；当x<80时，y′<0.
所以当x＝80时，y取得最小值．
答案 B
8．(2011·湖南)设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝ln
x的图象分别交于点M，
N，则当|MN|达到最小时t的值为
( )．
A．1
B.
C.
D.
解析 |MN|＝y＝t2－ln
t(t>0)，
y′＝2t－＝.
当0时，y′>0.
∴y在上递减，上递增，
∴t＝时，|MN|取得最小值．
答案 D
9．用总长为14.8
m的钢条做一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底
面的一边比另一边长0.5
m，那么高为________时容器的容积最大？
解析 设容器底面的一边为x，则另一边长为x＋0.5，高为3.2－2x，
则V＝x(x＋0.5)(3.2－2x)．
V′＝－6x2＋4.4x＋1.6.
令V′＝0得x＝1.
∴x＝1时，V取得最大值．
∴高为3.2－2×1＝1.2(m)
答案 1.2
m
10．将长为l的铁丝剪成2段，各围成长宽之比为2∶1及3∶2的矩形，则面
积之和的最小值为________．
解析 设前者宽为x，面积之和为y，
则y＝2x·x＋(l－6x)(l－6x)＝x2－lx＋l2，
y′＝x－l.令y′＝0得，x＝l.
∴y的最小值为y|x＝l＝l2.
答案 l2
11．(2011·江苏)请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60
cm的
正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形，斜边的两个端点，设AE＝FB＝x(cm)．
①某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？
②某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
解 设包装盒的高为h
cm，底面边长为a
cm.
则a＝x，h＝＝(30－x)，0①S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1
800，
所以，当x＝15时，S取得最大值．
②V＝a2h＝2(－x3＋30x2)，V′＝6x(20－x)．
令V′＝0得x＝0或x＝20.
当00；当20所以，当x＝20时，V取得极大值，也是最大值．
此时＝.
即包装盒的高与底面边长的比值为.
12．(创新拓展)(2011·山东)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度
单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为立方米，且l≥2r.
假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元．设该容器的建造费用为y千元．
①写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；
②求该容器的建造费用最小时的r.
解 ①设容器的容积为V，
由题意知V＝πr2l＋πr3，
又V＝，
∴l＝＝.
由于l≥2r，
∴≥2r，
∴0所以建造费用y＝2πrl×3＋4πr2c
＝2πr××3＋4πr2c
因此，y＝4π(c－2)r2＋，0②由①知y′＝8π(c－2)r－＝，
由于c>3，
∴c－2>0.
由y′＝0得r＝
若0<
<2，即c>时，
此时0时，y′<0，0.
∴r＝时，y取得极小值．
若
≥2，即30∴r＝2时，y取得极小值．
总之，当3当c>时，建造费用最小时，r＝
.4．5.4 微积分基本定理
1．由曲线y＝x3，直线x＝0，x＝1及y＝0所围成的曲边梯形的面积为( )．
A．1
B.
C.
D.
解析 曲边梯形面积A＝x3dx＝＝.
答案 D
2．2dx的值是
( )．
A.
B.＋1
C．－
D．0
答案 B
3．若(2x＋k)dx＝2－k，则实数k的值为
( )．
A.
B．－
C．1
D．0
解析 ∵(2x＋k)dx＝(x2＋kx)＝1＋k＝2－k，
∴k＝.
答案 A
4．如果f(x)dx＝1，f(x)dx＝－1，则f(x)dx＝________.
解析 f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx＝－1，
即1＋f(x)dx＝－1，∴f(x)d(x)＝－2.
答案：－2
5．f(x)是一次函数，且f(x)dx＝5，xf(x)dx＝，那么f(x)的解析式是________．
解析 设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则
(ax＋b)dx＝axdx＋bdx
＝ax2|＋bx|＝a＋b＝5.①
x(ax＋b)dx＝(ax2＋bx)dx
＝ax3|＋bx2|＝a＋b＝.②
由①②解得a＝4，b＝3.故f(x)＝4x＋3.
答案 f(x)＝4x＋3
6．求定积分
解 取F(x)＝e2x，
则F′(x)＝′＝·e2x·(2x)′＝e2x，
7．(2011·福建)(ex＋2x)dx等于
( )．
A．1
B．e－1
C．e
D．e＋1
解析 (ex＋2x)dx＝(ex＋x2)＝(e＋1)－(e0＋0)＝e.
答案 C
8．(2011·课标全国)由曲线y＝，y＝x－2及y轴所围成的图形的面积等于( )．
A．－
B．4
C.
D．6
解析 y＝与y＝x－2的交点坐标为(4,2)．
如图阴影部分为y＝，y＝x－2及y轴围成的图形其面积S＝
(－x＋2)dx
＝＝.
答案 C
9．(2011·陕西)设f(x)＝若f[f(1)]＝1，则a＝________.
解析 3t2dt＝t3＝a3
∴f(1)＝lg
1＝0.
∴f(0)＝0＋a3＝a3.
即f[f(1)]＝a3，
∴a3＝1，a＝1.
答案 1
10．一物体以v＝
m/s的速度沿直线运动，该物体开始运动后10
s内
所经过的路程为________m.
11．若f(x)＝ax＋b(a≠0)，且f(x)dx＝1.
求证：[f(x)]2dx＞1.
证明 由于f(x)dx＝(ax＋b)dx
＝2＋a2＝1＋a2＞1.
12．(创新拓展)物体A以速度v＝3t2＋1在一直线上运动，在物体A出发的
同时，在此直线上物体B在物体A的正前方5
m处以v＝10t的速度与A同向运动．问两物体何时相遇？相遇时物体A走过的路程是多少？
解 设A追上B时，所用时间为t0，
依题意知sA＝sB＋5，第四章
导数及其应用
章末质量评估
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(每小题5分，共50分)
1．若当
＝1，则f′(x0)等于
( )．
A.
B.
C．－
D．－
解析
＝－
＝－
＝－f′(x0)．
∴－f′(x0)＝1，∴f′(x0)＝－.
答案：D
2．(2011·重庆)曲线y＝－x3＋3x2在点(1,2)处的切线方程为
( )．
A．y＝3x－1
B．y＝－3x＋5
C．y＝3x＋5
D．y＝2x
解析 y′＝－3x2＋6x，y′|x＝1＝3，
切线方程为y－2＝3(x－1)，
即y＝3x－1.
答案 A
3．函数y＝xcos
x－sin
x在下面哪个区间内是增函数
( )．
A.
B.
C.
D.
解析 y′＝－xsin
x，当x∈(π，2π)时，y′＞0，则函数y＝xcos
x－sin
x在区间(π，2π)内是增函数．
答案 B
4．某汽车启动阶段的路程函数为s(t)＝2t3－5t2＋2，则t＝2秒时，汽车的加
速度是
( )．
A．14
B．4
C．10
D．6
解析 v(t)＝s′(t)＝6t2－10t.a(t)＝v′(t)＝12t－10.
∴当t＝2时，a(2)＝24－10＝14.
答案 A
5．
(1＋cos
x)dx等于
( )．
A．π
B．2
C．π－2
D．π＋2
解析
(1＋cos
x)dx
＝(x＋sin
x)
答案 D
6．函数f(x)＝(0( )．
A．在(0,10)上是增函数
B．在(0,10)上是减函数
C．在(0，e)上是增函数，在(e,10)上是减函数
D．在(0，e)上是减函数，在(e,10)上是增函数
解析 由f′(x)＝，令f′(x)>0，得0令f′(x)<0，得e答案 C
7．函数f(x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是
( )．
A．0B．0C．0D．0解析 f′(2)、f′(3)是x分别为2、3时对应图象上点的切线斜率，f(3)－f(2)＝，
∴f(3)－f(2)为图象上x为2和3对应两点连线的斜率，所以选B.
答案：B
8．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为
( )．
A．1
B．2
C．－1
D．－2
解析 设切点坐标是(x0，x0＋1)，
依题意有
由此得x0＋1＝0，x0＝－1，a＝2，选B.
答案 B
9．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为
( )．
A．－1＜a＜2
B．－3＜a＜6
C．a＜－1或a＞2
D．a＜－3或a＞6
解析 f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，
因为f(x)既有极大值又有极小值，所以Δ＞0，
即4a2－4×3×(a＋6)＞0，即a2－3a－18＞0，解得a＞6或a＜－3.
答案 D
10．(2011·全国)曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的
三角形的面积为
( )．
A.
B.
C.
D．1
解析 y′＝－2e－2x，y′|x＝0＝－2.
∴切线方程为y－2＝－2(x－0)，即2x＋y－2＝0.
它与y＝x的交点为P，
所以面积S＝×1×＝.
答案 A
二、填空题(每小题5分，共25分)
11．若dx＝6，则b＝________.
解析 dx＝2ln
x＝2ln
b－2＝6.
∴ln
b＝4，∴b＝e4.
答案 e4
12．过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线
方程是________．
解析 易求y′＝6x－4，y′|x＝1＝2.
∴所求直线的斜率k＝2.
∴所求直线的方程为y－2＝2(x＋1)，即2x－y＋4＝0.
答案 2x－y＋4＝0
13．要做一个底面为长方形的带盖的箱子，其体积为72
cm3，其底面两邻
边长之比为1∶2，则它的长为______，宽为______，高为______时，可使表面积最小．
解析 设两边分别为x
cm、2x
cm，高为y
cm.
V＝2x2y＝72，y＝，s＝2(2x2＋2xy＋xy)
＝4x2＋6xy＝4x2＋.
s′＝8x－，令s′＝0，解得x＝3.
答案 3
m 6m m
14．设函数f(x)＝x3－x2－2x＋5，若对任意x∈[－1,2]有f(x)数m的取值范围是________．
解析 由题意知m大于f(x)在x∈[－1,2]上的最大值，求得f(x)max＝f(2)＝7，所以m>7.
答案 m>7
15．若曲线f(x)＝ax3＋ln
x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是
________．
解析 f′(x)＝3ax2＋，∵f(x)存在垂直于y轴的切线，∴f′(x)＝0有解，即3ax2＋＝0有解，∴3a＝－，而x>0，∴a∈(－∞，0)．
答案 (－∞，0)
三、解答题(本大题共6小题，满分75分)
16．(本小题满分13分)已知函数f(x)＝x3－3ax2＋2bx在点x＝1处有极小值－1.
(1)求a、b；
(2)求f(x)的单调区间．
解 (1)由已知，可得
f(1)＝1－3a＋2b＝－1，①
又f′(x)＝3x2－6ax＋2b，
∴f′(1)＝3－6a＋2b＝0.②
由①②解得
(2)由(1)得函数的解析式为f(x)＝x3－x2－x.
由此得f′(x)＝3x2－2x－1.
根据二次函数的性质，
当x<－或x>1时，f′(x)>0；
当－因此，在区间和(1，＋∞)上，函数f(x)为增函数；
在区间上，函数f(x)为减函数．
17．(本小题满分13分)设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实
根，且f′(x)＝2x＋2.
(1)求y＝f(x)的表达式；
(2)求y＝f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积．
解 (1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b.
又f′(x)＝2x＋2，所以a＝1，b＝2.
所以f(x)＝x2＋2x＋c.
又方程f(x)＝0有两个相等实根，
即x2＋2x＋c＝0有两个相等实根，
所以Δ＝4－4c＝0，即c＝1.
故f(x)＝x2＋2x＋1.
(2)依题意，所求面积为S＝
(x2＋2x＋1)dx＝
＝.
18．(本小题满分
13分)
一物体做变速直线运动，其v－t曲线如图所示，求该物体在
s～6
s间的运动路程．
解 v(t)＝
由变速直线运动的路程公式，可得
s＝v(t)dt＝2tdt＋2dt＋dt
＝t2＋2t＋＝(m)．
所以物体在
s～6
s间的运动路程是
m.
19．(本小题满分12分)(2011·浙江文)设函数f(x)＝a2ln
x－x2＋ax，a>0.①求
f(x)的单调区间；②求所有实数a，使e－1≤f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立．
解 ①f(x)＝a2ln
x－x2＋ax，其中x>0，
所以f′(x)＝－2x＋a＝.
由于a>0，∴由f′(x)>0知0由f′(x)<0知x>a.
所以，f(x)的增区间为(0，a)，减区间为(a，＋∞)．
②由题意知f(1)＝a－1≥e－1，
即a≥e.
由①知f(x)在[1，e]内递增，
要使e－1≤f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立．
只要
∴a＝e.
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(x2＋ax－2a2＋3a)ex(x∈R)，其中a∈R.
(1)当a＝0时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率；
(2)当a≠时，求函数f(x)的单调区间与极值．
解：(1)当a＝0时，f(x)＝x2ex，f′(x)＝(x2＋2x)ex，故f′(1)＝3e.所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为3e.
(2)f′(x)＝[x2＋(a＋2)x－2a2＋4a]ex.
令f′(x)＝0，解得x＝－2a或x＝a－2.
由a≠知，－2a≠a－2.
以下分两种情况讨论．
①若a>，则－2ax
(－∞，－2a)
－2a
(－2a，a－2)
a－2
(a－2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
?
极小值
?
所以f(x)在(－∞，－2a)，(a－2，＋∞)内是增函数，在(－2a，a－2)内是减函数．
函数f(x)在x＝－2a处取得极大值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a.
函数f(x)在x＝a－2处取得极小值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2.
②若a<，则－2a>a－2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，a－2)
a－2
(a－2，－2a)
－2a
(－2a，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
?
极小值
?
所以f(x)在(－∞，a－2)，(－2a，＋∞)内是增函数，在(a－2，－2a)内是减函数．
函数f(x)在x＝a－2处取得极大值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2.
函数f(x)在x＝－2a处取得极小值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a.
21．(本小题满分12分)(2011·辽宁)设f(x)＝x＋ax2＋bln
x，曲线y＝f(x)过点
P(1,0)，且在P点处的切线的斜率为2.
①求a，b的值；
②证明：f(x)≤2x－2.
①解 f′(x)＝1＋2ax＋.
由题意知即
解得a＝－1，b＝3.
②证明 由①知f(x)＝x－x2＋3ln
x.
f(x)的定义域为(0，＋∞)．
设g(x)＝f(x)－(2x－2)＝2－x－x2＋3ln
x，
则g′(x)＝－1－2x＋＝－.
由g′(x)>0知0由g′(x)<0知x>1.
所以g(x)在(0,1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减．
所以g(x)在(0，＋∞)上的最大值为g(1)＝0，
所以g(x)≤0，即f(x)≤2x－2.4．1.2 问题探索——求作抛物线的切线
1．已知曲线y＝2x2上一点A(1,2)，则A处的切线斜率等于( )．
A．2
B．4
C．6＋6d＋2d2
D．6
答案 B
2．已知曲线y＝x2－2上的一点P，则过点P的切线的倾斜角为( )．
A．30°
B．45°
C．135°
D．165°
答案 B
3．如果曲线y＝2x2＋x＋10的一条切线与直线y＝5x＋3平行，则切点坐标为
( )．
A．(－1，－8)
B．(1,13)
C．(1,12)或(－1,8)
D．(1,7)或(－1，－1)
答案 B
4．若曲线y＝x2＋1在曲线上某点处的斜率为2，则曲线上该切点的坐标为
________
答案 (1,2)
5．曲线y＝x2＋2在点P(1,3)处的切线方程为________．
解析 ＝Δx＋2，
当Δx→0时，Δx＋2→2.
所以曲线y＝x2＋2在点P(1,3)处的切线斜率为2，其方程为y－3＝2(x－1)．
即为2x－y＋1＝0.
答案 2x－y＋1＝0
6．抛物线y＝x2在点P处的切线与直线2x－y＋4＝0平行，求点P的坐标及切
线方程．
解 设点P(x0，y0)，
＝＝d＋2x0，
d→0时，d＋2xo→2x0.
抛物线在点P处的切线的斜率为2x0，
由于切线平行于2x－y＋4＝0，∴2x0＝2，x0＝1
即P点坐标为(1,1)
切线方程为y－1＝2(x－1)，即为2x－y－1＝0.
7．曲线y＝在点P(3,1)处的切线斜率为
( )．
A．－
B．0
C.
D．1
解析 ＝＝.
当Δx→0时，→.
答案 C
8．曲线y＝－在点(1，－1)处的切线方程为
( )．
A．y＝x－2
B．y＝x
C．y＝x＋2
D．y＝－x－2
解析 ＝＝，
当Δx→0时，→1.
曲线y＝－在点(1，－1)处的切线的斜率为1，切线方程为y＋1＝1(x－1)，即y＝x－2.
答案 A
9．曲线f(x)＝x2＋3x在点A(2,10)处的切线的斜率为________．
解析
＝＝Δx＋7，
当Δx→0时，Δx＋7→7，
所以，f(x)在A处的切线的斜率为7.
答案 7
10．曲线f(x)＝x2＋3x在点A处的切线的斜率为7，则A点坐标为________．
解析 设A点坐标为(x0，x＋3x0)，
则
＝
＝Δx＋(2x0＋3)Δx，
当Δx→0时，Δx＋(2x0＋3)→2x0＋3，
∴2x0＋3＝7，∴x0＝2.x＋3x0＝10.A点坐标为(2,10)．
答案 (2,10)
11．已知抛物线y＝x2＋1，求过点P(0,0)的曲线的切线方程．
解 设抛物线过点P的切线的切点为Q
(x0，x＋1)．
则＝Δx＋2x0.
Δx→0时，Δx＋2x0→2x0.
∴＝2x0，∴x0＝1或x0＝－1.
即切点为(1,2)或(－1,2)．
所以，过P(0,0)的切线方程为y＝2x或y＝－2x.即2x－y＝0或2x＋y＝0.
12．(创新拓展)直线l：y＝x＋a(a≠0)和曲线C：y＝x3－x2＋1相切，求切点
的坐标及a的值．
解 设切点A(x0，y0)，
＝＝3x－2x0＋(3x0－1)d＋d2→3x－2x0(d→0)．
故曲线上点A处切线斜率为3x－2x0，∴3x－2x0＝1，
∴x0＝1或x0＝－，代入C的方程得
或代入直线l，
当时，a＝0(舍去)，当时，a＝，
即切点坐标为，a＝.4.5 定积分与微积分基本定理
4．5.1 曲边梯形的面积
4．5.2 计算变力所做的功
1．把区间[1,3]n等分，所得每个小区间的长度Δx等于
( )．
A.
B.
C.
D.
答案 B
2．如果汽车在一段时间内的函数为v(t)＝20t,0≤t≤5，若将时间段[0,5]平
均分成5份，且分别用每个小区间左端点函数值近似代替在该小区间内的平均速度，则汽车在这段时间内走过的距离约为
( )．
A．200
B．210
C．190
D．220
答案 A
3．关于近似替代下列说法正确的是
( )．
A．在分割后的每个小区间上，只能用左端点的函数值近似替代
B．在分割后的每个小区间上，只能用右端点的函数值近似替代
C．在分割后的每个小区间上，只能用其中点的函数值近似替代
D．在分割后的每个小区间上，可以用任意一点的函数值近似替代
答案 D
4．由直线x＝0，x＝1，y＝0和y＝3x围成的图形的面积为________．
答案
5．一物体的速度与时间的关系式为v＝t2，则在从开始到1秒内运动的路
程为________．
答案
6．求抛物线f(x)＝1＋x2与直线x＝0，x＝1，y＝0所围成的平面图形的面积S.
解 ①分割
把区间[0,1]等分成n个小区间(i＝1,2，…，n)，其长度Δx＝，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，其面积分别记为ΔSi(i＝1,2，…，n)
②近似代替
用小矩形面积近似代替小曲边梯形的面积．
ΔSi＝fΔx＝(i＝1,2，…，n)．
③求和
Si＝
＝
＝＝1＋.
④取极限
当n→∞时，Si→1＋＝.
因此S＝.
7．函数f(x)＝x2在区间上
( )．
A．f(x)的值变化很小
B．f(x)的值变化很大
C．f(x)的值不变化
D．当n很大时，f(x)的值变化很小
解析 当n很大时，区间的长度越小，f(x)的值变化很小．
答案 D
8．当n很大时，函数f(x)＝x2在区间上的值可以用下列哪个值近似
地代替
( )．
A．f
B．f
C．f
D．f(0)
解析 当n很大时，f(x)＝x2在上的值可用该区间上任何一点的函数值近似代替，也可以用左端点或右端点的函数值近似代替．
答案 C
9．由直线y＝x＋1，y＝0，x＝0，x＝2围成的四边形的面积为________．
答案 4
10．求由曲线y＝x2与直线x＝1，x＝2，y＝0围成的曲边梯形的面积时，
把区间分成5等份，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________．
答案 1.02
11．求由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x(x－1)围成的图形面积．
解 (1)化整为零，插入等分点．
将曲边梯形分成n个小曲边梯形，用分点
，，…，把区间[0,1]等分成n个小区间，，…，，…，.
简写作：(i＝1,2，…，n)．
每个小区间的长度为Δx＝－＝.
过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作：
ΔS1，ΔS2，…，ΔSi，…，ΔSn.
(2)以直代曲，估计误差．
用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积．
在小区间上任取一点xi(i＝1,2，…，n)，
为了计算方便，取xi为小区间的左端点，用xi对应的函数值f(xi)＝为一边，以小区间长度Δx＝为邻边的小矩形面积近似代替第i个小曲边梯形面积，可以近似地表示为：
ΔSi≈f(xi)·Δx＝·(i＝1,2，…，n)．
(3)积零成整，精益求精．
因为每一个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面积的近似值，所以n个小矩形面积的和，就是曲边梯形面积S的近似值．即：
S＝Si≈(xi)Δx＝·＝－.①
当分点数目越多，即Δx越小时，和式①的值就越接近曲边梯形的面积S.因此，当n趋于＋∞时，即Δx趋于0时，和式①的极限值就是所求曲边梯形的面积．
Δx趋于0时，S趋于－(负号表示图象在x轴下方)．所以，由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x(x－1)围成的图形的面积是.
12．(创新拓展)设力F作用在质点m上使m沿x轴从x＝1运动到x＝10，已知F
＝x2＋1且力的方向和x轴的正向相同，求F对质点m所作的功．
解 将区间[1,10]n等分，则各小区间的长度为.
在上取xi＝1＋i.
∴Fi＝x＋1＝2＋1，Wi＝Fi＝
＝＋i2＋i.
i＝18＋×＋×＝18＋＋81.
当n→∞时，i→18＋×2＋81＝342.
所以F对质点所作的功为342.4．1.1 问题探索——求自由落体的瞬时速度
1．设物体的运动方程s＝f(t)，在计算从t到t＋d这段时间内的平均速度时，
其中时间的增量d
( )．
A．d>0
B．d<0
C．d＝0
D．d≠0
答案 D
2．一物体运动的方程是s＝2t2，则从2
s到(2＋d)
s这段时间内位移的增量为
( )．
A．8
B．8＋2d
C．8d＋2d2
D．4d＋2d2
解析 Δs＝2(2＋d)2－2×22＝8d＋2d2.
答案 C
3．一物体的运动方程为s＝3＋t2，则在时间段[2,2.1]内相应的平均速度为
( )．
A．4.11
B．4.01
C．4.0
D．4.1
解析 ＝＝4.1.
答案 D
4．质点运动规律s＝2t2＋1，则从t＝1到t＝1＋d时间段内运动距离对时间
的变化率为________．
解析 ＝＝4＋2d.
答案 4＋2d
5．已知某个物体走过的路程s(单位：m)是时间t(单位：s)的函数：s＝－t2＋1.
(1)t＝2到t＝2.1；
(2)t＝2到t＝2.01；
(3)t＝2到t＝2.001.
则三个时间段内的平均速度分别为________，________，________，估计该物体在t＝2时的瞬时速度为________．
答案 －4.1
m/s －4.01
m/s －4.001
m/s －4
m/s
6．某汽车的紧急刹车装置在遇到特别情况时，需在2
s内完成刹车，其位
移(单位：m)关于时间(单位：s)的函数为：s(t)＝－3t3＋t2＋20，求：
(1)开始刹车后1
s内的平均速度；
(2)刹车1
s到2
s之间的平均速度；
(3)刹车1
s时的瞬时速度．
解 (1)刹车后1
s内平均速度
1＝＝
＝－2(m/s)．
(2)刹车后1
s到2
s内的平均速度为：
2＝
＝
＝－18(m/s)．
(3)从t＝1
s到t＝(1＋d)s内平均速度为：
3＝
＝
＝＝－7－8d－3d2→－7(m/s)(d→0)
即t＝1
s时的瞬时速度为－7
m/s.
7．一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s与时间t之间的方程
为s＝t2，则t＝2时，此木块水平方向的瞬时速度为
( )．
A．2
B．1
C.
D.
解析 ＝＝＋Δt→(Δt→0)．
答案 C
8．质点M的运动方程为s＝2t2－2，则在时间段[2,2＋Δt]内的平均速度为
( )．
A．8＋2Δt
B．4＋2Δt
C．7＋2Δt
D．－8＋2Δt
解析 ＝＝8＋2Δt.
答案 A
9．自由落体运动的物体下降的距离h和时间t的关系式为h＝gt2，则从t＝0
到t＝1时间段内的平均速度为________，在t＝1到t＝1＋Δt时间段内的平均速度为________，在t＝1时刻的瞬时速度为________．
解析 ＝g.
＝g＋gΔt.
当Δt→0时，g＋gΔt→g.
答案 g g＋gΔt g
10．自由落体运动的物体下降距离h和时间t的关系式为h＝gt2，t＝2时的
瞬时速度为19.6，则g＝________.
解析 ＝2g＋gΔt.
当Δt→0时，2g＋gΔt→2g.
∴2g＝19.6，g＝9.8.
答案 9.8
11．甲、乙二人平时跑步路程与时间的关系以及百米赛跑路程和时间的关
系分别如图①、②所示．问：
(1)甲、乙二人平时跑步哪一个跑得快？
(2)甲、乙二人百米赛跑，快到终点时，谁跑得快(设Δs为s的增量)
解 (1)由题图①在(0，t]时间段内，甲、乙跑过的路程s甲(2)由题图②知，在终点附近[t－d，t)时间段内，路程增量Δs乙>Δs甲，所以>即快到终点时，乙的平均速度大于甲的平均速度，所以乙比甲跑得快．
12．(创新拓展)质量为10
kg的物体按照s(t)＝3t2＋t＋4的规律做直线运动，
求运动开始后4秒时物体的动能．
解
＝＝3Δt＋25，
当Δt→0时，3Δt＋25→25.即4秒时刻的瞬时速度为25.
∴物质的动能为mv2＝×10×252＝3
125(J)
答案 运动开始后4秒时的动能为3
125
J4.3.2 函数的极大值和极小值
1．函数f(x)＝x＋在x>0时有
( )．
A．极小值
B．极大值
C．既有极大值又有极小值
D．极值不存在
解析 ∵f′(x)＝1－，由f′(x)>0，
得x>1或x<－1，又∵x>0，∴x>1.
由得0在(1，＋∞)内f′(x)>0，∴f(x)在(0，＋∞)有极小值f(1)，但无极大值．
答案 A
2．函数y＝1＋3x－x3有
( )．
A．极小值－1，极大值1
B．极小值－2，极大值3
C．极小值－2，极大值2
D．极小值－1，极大值3
解析 y′＝3－3x2，令y′＝0，解得x＝±1.x<－1或x>1时，y′<0；－10.可得f(1)＝3是极大值，f(－1)＝－1是极小值．
答案 D
3．函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，
则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点
( )．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析 f(x)的极小值点左边有f′(x)<0，极小值点右边有f′(x)>0，因此f′(x)的图象在原点O左侧第一个与x轴的交点符合条件，且只有1个极小值点，故选A.
答案 A
4．已知函数y＝aln
x＋bx2＋x在x＝1和x＝2处有极值，则a＝________，b
＝________.
解析 ∵f′(x)＝＋2bx＋1，由于f′(1)＝0，f′(2)＝0.
∴解得a＝－，b＝－.
答案 － －
5．函数y＝cos
2x在(0，π)内的极______值是______．
解析 y′＝(cos
2x)′＝－2sin
2x，令y′＝0，得x＝，又当x∈时，f′(x)＜0；当x∈时，f′(x)＞0.故y＝cos
2x在(0，π)内的极小值是－1.
答案 小 －1
6．(2011·四川)已知f(x)＝x＋，h(x)＝，设F(x)＝f(x)－h(x)，求F(x)的
单调区间与极值．
解 F(x)＝f(x)－h(x)＝x＋－(x≥0)．
F′(x)＝－x－＝.
令F′(x)＝0得x＝.
当x∈时，F′(x)<0；x∈时，F′(x)>0.
故当x∈时，F(x)是减函数；x∈时，F(x)是增函数．
F(x)在x＝时，有极小值，F＝.
7．下列函数中，x＝0是其极值点的是
( )．
A．y＝－x3
B．y＝cos2x
C．y＝tan
x－x
D．y＝
解析 显然x＝0不是y＝－x3，y＝的极值点．
又y′＝(cos2x)′＝2cos
x(－sin
x)＝－sin
2x.
显然x＝0时，y′＝0，在x0的左右附近y′正、负变化．
∴x0＝0是y＝cos2x的极大值点．
答案 B
8．(2011·浙江)函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)，若x＝－1为函数f(x)ex的
一个极值点，则下列图象不可能为y＝f(x)的图象是
( )．
解析 设h(x)＝f(x)ex，则h′(x)＝(2ax＋b)ex＋(ax2＋bx＋c)ex＝(ax2＋2ax＋bx＋b＋c)ex，由x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，得h′(－1)＝0.
即a－2a－b＋b＋c＝0，∴c＝a.
f(x)＝ax2＋bx＋a.若方程ax2＋bx＋a＝0有两个根x1，x2，则x1x2＝1.D图中一定不满足该条件．
答案 D
9．(2011·广东)函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________处取得极小值．
解析 f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，
当x∈(0,2)时，f′(x)<0；
当x∈(2，＋∞)∪(－∞，0)时，f′(x)>0，
∴f(x)在(－∞，0)上是增函数，(0,2)上是减函数，(2，＋∞)上是增函数．
所以x＝2时，f(x)取得极小值．
答案 2
10．已知函数f(x)＝x·2x取得极小值时，x＝________.
解析 f′(x)＝2x＋x·2xln
2＝2x(1＋xln
2)，
令f′(x)＝0得x＝－log2e，
当x>－log2e时，f′(x)>0；
当x<－log2e时，f′(x)<0.
∴x＝－log2e时，f(x)取得极小值．
答案 －log2e
11．(2011·安徽)设f(x)＝，其中a为正实数．
①当a＝时，求f(x)的极值点；②若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围．
解 f′(x)＝＝
①当a＝时，f′(x)＝.由f′(x)＝0得x＝或x＝.
当x<时，f′(x)>0；当时，f′(x)>0.
∴f(x)在上是增函数，上是减函数，上是增函数．
∴x＝是极大值点，x＝是极小值点．
②若f(x)为R上的单调函数，则f′(x)在R上不变号．由于a>0，又ex>0，(1＋ax2)2>0.
∴ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立．即Δ＝4a2－4a≤0.
∴0所以a的范围为(0,1]．
12．(创新拓展)(2011·重庆)设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝
2a，f′(2)＝－b，其中a，b∈R.
①求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；②设g(x)＝f′(x)e－x，求g(x)的极值．
解 ①f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
∵f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，
∴3＋2a＋b＝2a,12＋4a＋b＝－b.
∴a＝－，b＝－3.
∴f(x)＝x3－x2－3x＋1.
从而f(1)＝－.
又f′(1)＝2a＝－3，
∴f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＋＝－3(x－1)，即6x＋2y－1＝0.
②g(x)＝(3x2－3x－3)e－x，
∴g′(x)＝(6x－3)e－x－
e－x(3x2－3x－3)＝(－3x2＋9x)e－x.
令g′(x)＝0得x＝0或x＝3.
当x∈(－∞，0)时，g′(x)<0；
当x∈(0,3)时，g′(x)>0；
当x∈(3，＋∞)时，g′(x)<0.
∴g(x)在(－∞，0)上是减函数，在(0,3)上是增函数，在(3，＋∞)上是减函数．
∴当x＝0时，g(x)取得极小值g(0)＝－3；当x＝3时，g(x)取得极大值g(3)＝15e－3.4．2.3 导数的运算法则
1．已知f(x)＝sin
x－cos
x，则f′等于
( )．
A．0
B.
C.
D．1
解析 f′(x)＝cos
x＋sin
x，∴f′＝＋.
答案 C
2．函数y＝(5x－4)3的导数是
( )．
A．3(5x－4)2
B．9(5x－4)2
C．15(5x－4)2
D．12(5x－4)2
解析 已知函数由y＝u3和u＝5x－4复合而成．
答案 C
3．一点P在曲线y＝x3－x＋上移动，设点P处切线的倾斜角为α，则角α的
取值范围是
( )．
A.
B.∪
C.
D.
解析 ∵y′＝3x2－1，∴tan
α＝3x2－1≥－1.
∴α∈∪.
答案 B
4．函数y＝x2sin
x的导数是________．
答案 2xsin
x＋x2cos
x
5．若f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，则a＝________.
解析 ∵f′(x)＝2(2x＋a)×2＝4(2x＋a)，∴f′(2)＝16＋4a＝20，∴a＝1.
答案 1
6．在曲线y＝x3＋x－1上求一点P，使过P点的切线与直线4x－y＝0平行．
解 ∵y′＝3x2＋1，根据导数的几何意义，曲线在P(x0，y0)处的切线的斜率k＝y′|x＝x0，
即3x＋1＝4，∴x0＝±1.
当x0＝1时，y0＝1，此时切线为y－1＝4(x－1)，即y＝4x－3；当x0＝－1时，y0＝－3，此时切线为y＋3＝4(x＋1)，即y＝4x＋1.
综上可得P点坐标为(1,1)或(－1，－3)．
7．设y＝－2exsin
x，则y′等于
( )．
A．－2ex(cos
x＋sin
x)
B．－2exsin
x
C．2exsin
x
D．－2excos
x
解析 y′＝－2[ex(sin
x)′＋(ex)′sin
x]
＝－2(excos
x＋exsin
x)＝－2ex(cos
x＋sin
x)．
答案 A
8．(2011·江西)若f(x)＝x2－2x－4ln
x，则f′(x)>0的解集为
( )．
A．(0，＋∞)
B．(－1,0)∪(2，＋∞)
C．(2，＋∞)
D．(－1,0)
解析 f(x)有意义的x取值为x>0，
f′(x)＝2x－2－＝＝.
∴f′(x)>0的解集为{x|x>2}．
答案 C
9．若函数f(x)＝cos2，则f′＝________.
解析 f(x)＝，
f′(x)＝＝－3sin.
∴f′＝－3sin＝0.
答案 0
10．设曲线y＝eax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________.
解析 y′＝aeax，y′|x＝0＝a.
由题意知，a×＝－1，∴＝2.
答案 2
11．(2011·湖北)设函数f(x)＝x3＋2ax2＋bx＋a，g(x)＝x2－3x＋2，其中x∈
R，a，b为常数，已知曲线y＝f(x)与y＝g(x)在点(2,0)处有相同的切线l.
求a，b的值，并求出切线l的方程．
解 f′(x)＝3x2＋4ax＋b，g′(x)＝2x－3，
由于曲线y＝f(x)与y＝g(x)在点(2,0)处有相同的切线，∴f′(2)＝g′(2)，f(2)＝g(2)＝0，
∴∴a＝－2，b＝5.
所以，所求切线的斜率为g′(2)＝1，
切线方程为y－0＝1(x－2)，即x－y－2＝0.
12．(创新拓展)(2011·课标全国)已知函数f(x)＝＋，曲线y＝f(x)在点
(1，f(1))处的切线方程为x＋2y－3＝0.求a，b.
解 f′(x)＝－.
由于直线x＋2y－3＝0的斜率为－，且过点(1,1)，
所以即
∴a＝1，b＝1.